Matemática – Unidade 3. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática

Matemática – Unidade 3

Educação a Distância – EaD

Professor: Flávio Brustoloni

Matemática

Cronograma: Turma ADG0096

Matemática

Data Atividade

20/102º Encontro

1ª Avaliação Disciplina

06/10 1º Encontro

27/103º Encontro


10/114º Encontro

3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

06/10 1º Encontro

20/102º Encontro


Objetivos desta Unidade:• Compreender a importância do uso de modelos matemáticos na área

de Administração e Economia, como recurso para tomada de decisões;

1/44

• Reconhecer diferentes tipos de modelos: linear, quadrático, exponencial, bem como algumas de suas aplicações;

• Identificar as funções custo, lucro e receita, enquanto modelos lineares e polinomiais de grau 2;

• Reconhecer, sob a ótica matemática, conceitos como depreciação linear e ponto de nivelamento;

Unidade 3

APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS

2/44

TÓPICO 1

Modelos Lineares

3/44

1 Introdução

Os modelos econômicos muitas vezes envolvem questões como fixação de

preços, controle de custos e otimização de lucros. O lucro de uma empresa, por exemplo, pode ser expresso em função do preço de venda de um produto, o que nos permite representar algebricamente

esta relação, fazendo uso de funções matemáticas.

(Estamos na página 125 da apostila)4/44

Tópico 1

2 Vantagens dos Modelos Matemáticos

Os modelos matemáticos servem para representar simplificações da

realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as

complexas e difíceis situações reais através do uso de técnicas

matemáticas.


Tópico 1

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau

Função Custo (C):


Tópico 1

C = CF + CV

Onde:C = CustoCF = Custo FixoCV = Custo Variável


Função Receita (R):


Tópico 1

R(x) = p.x

Onde:R = ReceitaR(x) = Função Receita x produtos vendidosp = Preço de mercadox = Quantidade de mercadorias vendidas


Função Lucro (L):


Tópico 1

L(x) = R(x) – C(x)

Onde:L = LucroL(x) = Função Lucro x produtos vendidosR(x) = Função Receita x produtos vendidos C(x) = Função Custo x produtos vendidos x = Produtos vendidos



Tópico 1

Exemplo 1: o custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00

e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é

dada por:

C(x) = 5.000 + 10x



Tópico 1

C(x) = 5.000 + 10xY

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700

X1800

C(x)

GRÁFICO 22 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO



Tópico 1

Supondo que este mesmo produto seja vendido a $ 15,00, a função

receita será dada por:

R(x) = 15x



Tópico 1

R(x) = 15x

GRÁFICO 23 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITAY

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700

X1800

C(x)

Y

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1700

X1800

C(x)



Tópico 1 GRÁFICO 24 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA e CUSTO NO MESMO SISTEMA DE EIXOS

Ponto de Nivelamento

LUCRO

PREJUÍZO

RECEITA

CUSTO



Tópico 1

15x = 5000 + 10x15x – 10x = 50005x = 5000x = 5000 / 5x = 1000



Tópico 1

A função lucro, por sua vez, é determinada através da diferença entre

a receita e o custo, ou seja:

L(x) = 15x – (5000 + 10x)L(x) = 15x – 5000 – 10x

L(x) = 5x - 5000

3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo


Tópico 1

Nas funções custo, receita e lucro, a variável x geralmente representa a

quantidade de determinado produto.Se o produto em questão for divisível (por

exemplo, número de camisetas produzidas / vendidas), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, ..., e o gráfico será um

conjunto de pontos alinhados.



Tópico 1

Ct(x)

x

5000

FIGURA 8 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO DISCRETO



Tópico 1

Ct(x)

x

5000

FIGURA 9 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO CONTÍNUO

4 Depreciação Linear


Tópico 1

Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem

diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se

depreciação.

Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente.



Tópico 1

Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$ 10.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00.

a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?

b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?



Tópico 1

Para determinar a expressão que expressa o valor da máquina daqui a x anos, vamos considerar os pontos conhecidos A(0, 10000) e B(6, 1000) e determinar a função dos coeficientes da função y = ax+b.0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

V(x)

A

B



Tópico 1

y = ax+b

0a + b = 10.0006a + b = 1.000

0a = 0, logo b = 10.000

6a + 10.000 = 1.0006a = 1.000 - 10.0006a - 9.000a = -9.000 / 6a = 1.500

V(x) = -1.500x + 10.000



Tópico 1

A depreciação é resultante da diferença entre o valor inicial do bem e a função

que determina sua variação de valor no decorrer do tempo x:

D(x) = V0 – V(x)



Tópico 1

D(x) = V0 – Vx

D(x) = 10000 – (-1500x + 10000)

D(x) = 10000 + 1500x – 10000

D(x) = 1500x

Como a variável x é expressa em anos, a função que determina a depreciação D(x) para x anos, apresenta

uma desvalorização anual do equipamento correspondente a R$ 1.500,00.

TÓPICO 2

Modelos Polinomiais

25/44

2 Oferta e Demanda


Tópico 2

Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade demandada. O gráfico da equação de demanda é chamado de

curva de demanda.

Função Demanda: p = f(x)

Função Oferta: p = f(x)

2 Oferta e Demanda


Tópico 2

Uma função demanda p = f(x) onde p mede o preço por unidade

e x o número de unidades, é geralmente uma função

decrescente de x, enquanto a função oferta é geralmente uma

função decrescente de x.

2 Oferta e Demanda


Tópico 2

Pre

ço

P

0 Q

Ofe

rtaD

em

an

da

Q u a n tid a d e

3 Função Receita e Lucro Quadráticas


Tópico 2

Exemplo: “A função de demanda de um produto é p(x) = 10 – x, e a

função custo é c(x) = 20 – x. Vamos obter:

a)A função receita e o preço que a maximiza;

b) A função lucro e o preço que a maximiza.



Tópico 2

R(x) = p . x

R(x) = (10-x) . x

R(x) = 10x – x2

y = ax + b

a = -1, b = 10

Xv = -(b / 2a)

Xv = -(10 / 2.(-1))

Xv = 5



Tópico 2

p(x) = 10 – x

x = 5

p(x) = 10 – 5

p(x) = 5



Tópico 2

L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = 10x – x2 – (20 + x)

L(x) = 10x – x2 – 20 – x

L(x) = -x2 + 9x - 20



Tópico 2

Xv = -(b / 2a)

Xv = -(9 / 2.(-1))

Xv = 4,5

p(x) = 10 – 4,5 p(x) = 5,5

TÓPICO 3

Modelos Exponenciais

34/44

1 Introdução


Tópico 3

O modelo exponencial se apresenta como alternativa para descrição ou previsão de

determinados fenômenos. A função exponencial é uma das funções matemáticas

mais utilizadas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das

necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de

poluentes.

2 Modelo de Crescimento Exponencial


Tópico 3

Exemplo 1: Suponhamos que uma população tenha hoje 40.000 habitantes e que haja um

crescimento populacional de 2% ao ano. Assim:

• Daqui a 1 ano o número de habitantes será:

y1 = 40.000 + (0,02) . 40.000 = 40.000 . (1 + 0,02)

• Daqui a 2 anos o número de habitantes será:

• Daqui a 3 anos o número de habitantes será:

y2 = y1 + (0,02).y1 = y1.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)2

y3 = y2 + (0,02).y2 = y2.(1 + 0,02) = 40.000 . (1 + 0,02)3



Tópico 3

Podemos concluir que:

y = 40.000. (1,02)x

Taxa de crescimento

da cidade

Quantidade inicial de

habitantes

Taxa de crescimento anual (2%)

Variável Tempo (anos)

y = y0. (1 + k)x



Tópico 3

Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa

de crescimento anual?

30.000 = 20.000.(1 + k)10

30.00020.000

= (1 + k)10

1,5 = (1 + k)10

1,5 = 1 + k10



Tópico 3

Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a taxa

de crescimento anual?

1 + k = 1,0414

k = 0,0414 (.100)

k = 4,14%

A taxa de crescimento será de 4,14% para que daqui a 10 anos, a população desta cidade seja de 30.000 habitantes.

3 Juros Compostos


Tópico 3

Exemplo 1: Consideremos um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de

10% ao ano. Significa que:

Ano Capital Juros Montante

01 1.000,00 100,00 1.100,00

02 1.100,00 110,00 1.210,00

03 1.210,00 121,00 1.331,00

3 Juros Compostos


Tópico 3

Podemos concluir que:

M = C.(1 + i)n

Montante

Capital inicial

Taxa de Juros

Variável Tempo

3 Juros Compostos


Tópico 3

Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual

a taxa mensal de juros desta aplicação?

1.061,36 = 1.000.(1 + k)4

1.061,361.000

= (1 + k)

1,06136 = (1 + k)

1,06136 = 1 + k

4

4

4

3 Juros Compostos


Tópico 3

Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual

a taxa mensal de juros desta aplicação?

1 + k =

k = 0 (.100)

k = 1,5%

1,015

k = 1,015 - 1

,015

A taxa mensal de juros será de 1,5% para que,

daqui a 4 meses, o montante seja de

R$ 1.061,36.

4 Decaimento Exponencial de Vendas


Tópico 3

Se S0 é o número de vendas no último mês após a interrupção dos esforços promocionais, então um bom modelo

matemático para S(t) é:

S(t) = S . e0- t

Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

PRÓXIMA AULA:

Matemática

4º Encontro da Disciplina3ª Avaliação da Disciplina

(AVALIAÇÃO FINAL)

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