Matematica Unidade 8 -Juros Simples

administraçãoamintas paiva

afonso

Unidade 2.3

Juros Simples

Matemática Financeira

Administração

Amintas Paiva Afonso


FLUXO DE CAIXA - Linha do TempoFLUXO DE CAIXA - Linha do Tempo

• Convenção: – Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito, pagamento a terceiro, aplicação, investimento.

VALOR NEGATIVO =VALOR NEGATIVO =

– Seta para cima: entrada de dinheiro; saque, recebimento, resgate, retorno de investimento.

VALOR POSITIVO =VALOR POSITIVO =


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FLUXO DE CAIXA - FLUXO DE CAIXA - EXEMPLO

15.000,00

-1.872,45

10

O fluxo de caixa acima poderia representar por exemplo um empréstimo de R$ 15.000,00 pago em 10 prestações de R$ 1.872,45.



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JUROS SIMPLES - CONCEITO

O QUE SÃO JUROS?

• Os juros são a remuneração pelo empréstimo do dinheiro.

• Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva.

• Pode ser caracterizado como o aluguel do dinheiro que se negocia.



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PARÂMETROS BÁSICOS

• VALOR PRESENTE (Present Value) (P ou PV):

É o Valor Atual ou Capital Inicial. Valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa. Também é chamado de Principal.

• VALOR FUTURO (Future Value) (F ou FV):

É o Valor do Dinheiro em uma data futura. É conhecido por Montante ou Capital Acumulado. Este Valor Futuro, é o Principal acrescido dos juros.

• PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO (n):

É o número de períodos em que um determinado valor de Principal, ficará aplicado, ou será emprestado a uma determinada taxa de juros.

JUROS SIMPLES - CONCEITO

Dado um principal (PV), ele deverá render

juros (J) a uma taxa constante (i) por um

determinado número de períodos (n), gerando

um montante (FV). O juro produzido em

determinado momento não rende mais juros.

Os juros calculados de cada intervalo de tempo

sempre são calculados sobre o capital inicial

emprestado ou aplicado.



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JUROS SIMPLES - FÓRMULAS

Assim, a cada período há um acréscimo de “PV.i” ao capital inicial. Desse modo, após n períodos o juro total produzido será:

J = PV . i . nJ = PV . i . n

PVPV = Valor Presente ou capital inicialnn = períodos ii = taxa de remuneração do capital inicialJ J = valor dos juros produzidos pelo capital “PV” à taxa de juros “i” em “n” períodos.



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EXEMPLO

Um capital inicial de R$ 500,00 é aplicado durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dos juros recebidos por essa aplicação durante o período?

J = PV . i . nJ = 500 . 0,03 . 4J = 60

Resposta: Essa aplicação rende R$ 60,00 de juros durante o período aplicado (4 meses).



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JUROS SIMPLES - FÓRMULAS

Sabemos que o montante Sabemos que o montante (FV)(FV) é igual ao Capital é igual ao Capital Inicial Inicial (PV)(PV), acrescido do total de juros , acrescido do total de juros (J)(J), ou seja:, ou seja:

FVFV = PV + J

Conforme vimos anteriormente: J = P . i . n, então:

FV = PV + PV . i . n

E colocando o PV em evidência, tem-se que

FV = PV.(1+ i . n) Fórmula de Juros Simples



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Em outras palavras...Em outras palavras...

Dinheiro tem umDinheiro tem umcusto associadocusto associado

ao tempoao tempo



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Componentes do custo do $

• Os pontos questionados Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.remetem ao custo do dinheiro.

• Ao transportar $ no tempo, Ao transportar $ no tempo, existe um custo que pode ser existe um custo que pode ser decomposto em:decomposto em:– inflaçãoinflação– risco de créditorisco de crédito– taxa real de jurostaxa real de juros



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Exemplo de DFC

Valor PresenteValor Presente

nn00

Valor FuturoValor Futuro

Valor PresenteValor Presente

JurosJuros

Período de capitalizaçãoPeríodo de capitalização

++

Diagrama de Fluxo de Caixa Diagrama de Fluxo de Caixa Operação de EmpréstimoOperação de Empréstimo



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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

EXEMPLO:

Um investidor aplica no banco R$ 1.000,00, em 20/09/08.

• Em 20/09/09 a instituição devolve ao investidor

R$ 1.100,00.

• JUROS = 1.100 – 1.000 = 100,00

• Taxa de Juros no Período = 100/1000 = 0,1 = 10%.



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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:

R$ 1.000,00 (Aplicação)

SAÍDA DE CAIXA

R$ 1.100,00 (Resgate)

ENTRADA DE CAIXA

PERÍODO01

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Amintas Paiva Afonso


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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA é o Conjunto de Entradas e Saídas de Caixa durante um período de tempo.

Graficamente o Diagrama (DFC) é representado por um Eixo Horizontal (que representa o tempo, normalmente dividido em períodos).

• Entradas de Caixa (+): seta voltada para cima.

• Saída de Caixa (-): seta voltada para baixo.

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

0 1 2

3 4 5 6



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$ 100,00$ 100,00Valor PresenteValor Presente

nn1100 22 33

$ 5,00$ 5,00 $ 5,00$ 5,00 $ 5,00$ 5,00

$ 115,00$ 115,00Valor FuturoValor Futuro

$ 15,00$ 15,00JurosJuros

$ 100,00$ 100,00Valor PresenteValor Presente

Incidência de JurosIncidência de Juros

• A representação gráfica seria:A representação gráfica seria:

JUROS SIMPLES Amintas Paiva Afonso


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• PRESTAÇÕES UNIFORMES (PMT):

É o valor a ser pago ou recebido, por determinado período de capitalização no caso em que a série de pagamentos/recebimentos for uniforme.

• TAXA DE JUROS (i):

É o valor da taxa de juros a que um valor fica aplicado por n períodos.

• TAXA DE DESCONTO (Discount Rate) (d):

É a taxa de juros que transforma um Valor Futuro em um Valor Presente (PV).

PARÂMETROS BÁSICOS Amintas Paiva Afonso


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• ANO CIVIL:

Também chamado de ano calendário, período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28/29, 30 e 31 dias.

• ANO COMERCIAL:

Muito utilizado em operações financeiras, é o ano de 360 dias com todos os meses de 30 dias.

• FORMAS OU REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO:

É a maneira como os juros são calculados em uma determinada operações. Podem ser Capitalizados a juros simples ou a juros compostos.

PARÂMETROS BÁSICOS Amintas Paiva Afonso


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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES:

Os juros de cada período são sempre calculados sobre o Capital Inicial empregado.

Exemplo: Capital Inicial: R$ 10.000,00 (PV) e Taxa de Juros: 5% a.a.

Final do Ano

Saldo Inicio do Ano

Juros a Cada Ano Saldo Final do Ano

0 10.000,00

1 10.000,00 10.000,00 x 0,05 = 500,00 10.500,00

2 10.500,00 10.000,00 x 0,05 = 500,00 11.000,00

3 11.000,00 10.000,00 x 0,05 = 500,00 11.500,00

4 11.500,00 10.000,00 x 0,05 = 500,00 12.000,00

5 12.000,00 10.000,00 x 0,05 = 500,00 12.500,00



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Como vimos, juros é a remuneração do capital:

Juros = J = PV * i * n

Assim, para calcular o valor futuro, basta somar os juros ao valor presente:

FV = PV + J

Juntando as duas expressoes “Juros” e “Valor Futuro” temos:

FV = PV + (PV * i * n) FV = PV * [1 + (i * n)]

Essa é a fórmula básica da matemática financeira e mostra como corrigir o dinheiro no tempo.

FV = PV * [1 + (i * n)]



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Formulação Matemática:

• Juros: J = PV . i . n

• Montante: FV = PV . [1 + (i.n)]

• Principal: PV = FV / [1 + (i.n)]

• Taxa: i = [(FV / PV) – 1] / n

• Período: n = [(FV / PV) – 1] / i

Notas:

• Nas fórmulas, a taxa de juros i está expressa em forma decimal.

• Os valores de i e de n deverão ser compatíveis, ou seja, se i for expresso ao ano, n deverá também ser expresso em anos.

• Como os juros simples variam de forma linear, i e n podem ser compatibilizados, dividindo-se ou mutiplicando-se pelo período correspondente à taxa.



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ImportantImportantee Taxa (Taxa (ii))

e

Número de Períodos (Número de Períodos (nn))devem estar sempre na

mesmamesma base!!

Sugestão: altere semprealtere sempre nn e evitee evite

alteraralterar ii

Pré-requisito básico!!!Amintas Paiva Afonso


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niPVFV 1

niFV

PV

1

nPVFV

i

1

iPVFV

n

1

Fórmulas de Juros SimplesAmintas Paiva Afonso


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EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA

1o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV

Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação.

3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis)

FV = PV (1 + i * n)FV = 50.000 (1 + 0,02 * 36)FV = 50.000 * 1,72FV = 86.000Resposta: O montante é de R$ 86.000,00



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2o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV

Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o principal aplicado durante o prazo de 8 meses na taxa de 3% ao mês.

FV = PV (1 + i * n)117.800 = PV (1 + 0,03 * 8)117.800 = PV * 1,24PV = 117.800 / 1,24 = 95.000

Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00



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3o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i

Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal relativa a aplicação.

1 ano = 12 meses

FV = PV (1 + i * n)172.000 = 100.000 (1 + i * 12)172.000 / 100.000 = 1 + i * 121,72 - 1 = 12 * i i = 0,72 / 12 = 0,06

Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% am



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4o Grupo – Dados FV, PV, i , achar n

Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$ 368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o prazo da aplicação.

FV = PV (1 + i * n)368.000 = 200.000 (1 + 0,07 * n)368.000 / 200.000 = 1 + 0,07 * n)1,84 = 1 + 0,07 * n1,84 – 1= 0,07 * nn = 0,84 / 0,07 = 12

Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses.



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JUROS SIMPLES

Exercício 1

Um cliente pegou R$ 4.000,00 emprestado à taxa de 2,5% a.p. Quanto pagará ao emprestador no vencimento do empréstimo daqui a um período?

Soluçao:

Podemos calcular os juros e somar com o principal:

J = PV . i . n J = 4.000,00 * 0,025 = 100,00

FV = PV + J FV = 4.000,00 + 100,00 = 4.100,00

Podemos também calcular direto na fórmula do FV:

FV = PV . [1 + (i . n)] FV = 4.000,00 . [1 + (0,025 . 1)]

FV = 4.100,00



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Exercício 2

Um hospital pegou um empréstimo a taxa de juros de 5,5% a.p. e pagou no vencimento R$ 44.310,00. Qual o valor do empréstimo sabendo-se que o período para o pagamento foi de um mês?

Soluçao:

FV = PV x (1 + (i x n))

44.310,00 = PV x (1 + (0,055 x 1))

44.310,00 = PV x (1,055)

PV = 44.310,00 / 1,055

PV = 42.000,00



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Exercício 3

Uma clínica presta um serviço e cobra à vista a quantia de R$ 500,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, cobra R$ 560,00. Qual a taxa incluída na compra a prazo?

Soluçao:

i = ((FV / PV) – 1) x (1 / n)

i = ((560,00 / 500,00) – 1) x (1 / 1)

i = (1,12 – 1)

i = 0,12 ou 12%



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Exercício 4

Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestado no banco ao custo de 4% a.m. Quanto pagará de juros após um mês?

Soluçao:

J = PV x i x n

J = 1.000,00 x 0,04 x 1

J = 40,00



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Exercício 5

Uma loja vende uma mercadoria à vista por R$ 400,00. Já a prazo, para pagamento em um mês, a mesma mercadoria tem um acréscimo de 5%. Qual o valor dos juros incluídos na compra à prazo?

Soluçao:

J = PV x i x n

J = 400,00 x 0,05 x 1

J = 20,00



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Exercício 6

Um cliente pegou R$ 1.000,00 emprestados e pagou R$ 80,00 de juros em um mês. Qual a taxa de juros cobrada pelo banco?

Soluçao:

J = PV x i x n

80 = 1.000,00 x i x 1

i = 80 / 1.000,00

i = 0,08 ou 8% a.m.



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