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  • COPYRIGHT Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2007

    INTRODUO MATEMTICA

  • SUMRIO 1. Os Nmeros ............................................................................ 05

    2. Numerais ............................................................................... 06

    3. Sistemas de Numerao ................................................... 07

    4. Sistema de Numerao Romano ..................................... 07

    5. Sistema de Numerao Indo-Arbico .......................... 09

    6. Algarismos .......................................................................... 09

    7. Base de um Sistema de Numerao .............................. 10

    8. baco .................................................................................... 10

    9. Sistema Binrio .................................................................. 10

    10. Ordens do Nosso Sistema de Numerao................... 13

    11. Classes do Nosso Sistema de Numerao.................... 13

    12. Leitura dos Nmeros ...................................................... 14

    13. Valor Relativo ................................................................... 15

    14. Valor Absoluto ................................................................. 15

    15. Antecessor ........................................................................ 16

    16. Sucessor ............................................................................ 16

    17. Consecutivo ....................................................................... 17

    18. Decomposio ................................................................... 17

    19. Nmeros Cardinais .......................................................... 18

    20. Nmeros Ordinais .......................................................... 18

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    1 OS NMEROS

    Os nmeros governam o mundo. (Plato)

    1.1 A IMPORTNCIA DOS NMEROS Imagine a tua vida sem os nmeros. J imaginou a confuso que seria ? Tente responder as seguintes perguntas sem usar os nmeros:

    a) Quantos anos voc tem ? b) Qual a data do teu nascimento ? c) Que horas so ? d) Qual a tua altura ? e) Quanto custa o po no teu bairro ?

    Conseguiu responder a alguma ? Claro que no, no ? Percebeu a importncia dos nmeros na nossa vida ?

    Contando uma histria... Num passado bem distante, quando ainda no haviam inventado os nmeros, havia um pastor de ovelhas que todos os dias levava seus animais para pastar fora do aprisco. O problema que muitas delas no voltavam. Quando elas no se perdiam, os lobos a devoravam. E o coitado do pastor nem podia controlar. Afinal, como ele ia saber se estava faltando alguma, se ele no sabia contar ! Tambm nem podia ! Se esqueceu que no existiam os nmeros ?

    O pastor teve uma brilhante idia: cada ovelha que sasse do aprisco, ele colocava uma pedra na sacola, e tirava quando a ovelha voltasse. Um belo dia, as ovelhas estavam entrando, e ele tirando as pedras. Para a sua surpresa, sobrou uma pedra na sacola. O que aconteceu ? Pense e responda:

    Parece que o pastor havia resolvido o seu problema com a relao entre ovelhas e pedras. O problema que a quantidade de ovelhas aumentou sobremaneira ! Como ele ia representar milhares de ovelhas com pedras ? Comeava a a necessidade de criar os nmeros. Mas isso uma outra histria...

    Se aprofundando...

    A PALAVRA CLCULO A palavra clculo muito usada na matemtica. Saiba que ela significa pedra. Calcular significa contar pedras. Voc j deve presumir de onde veio essa expresso, no mesmo ? Se no sabe, leia a histria do pastor de ovelhas acima novamente !

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    2 NUMERAIS Vimos na histria anterior que foi necessrio criar um sistema para contagem. No entanto, antes de pensar em criar esse sistema, era necessrio criar smbolos para expressar as quantidades. Seu nome: numerais.

    Numerais so os smbolos (desenhos)

    que representam uma quantidade. Veja os numerais inventados por povos diferentes: EGPICIO (3.300 a.C)

    BABILNIA (1.700 a.C)

    HINDU (300 a.C)

    HINDU (500 d.C)

    RABE (900 d.C)

    RABE (Espanha) (1.000 d.C)

    ITALIANO (1.400 d.C)

    .

    INDO-ARBICO (DIAS DE HOJE)

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ROMANO

    I V X L C D M

    Se aprofundando...

    O NMERO ZERO O zero o mais novo dentre os numerais. Inicialmente, no utilizava nenhum smbolo para represent-lo. Isso porque para representar zero objeto, era s deixar vazio (sem desenho). Mas a necessidade de expressar nmeros grandes fez com que criasse um smbolo para representar o nada. Imagine representar o nmero mil e trs sem os zeros...

    Zero, esse nada que tudo. (Laisant) Resumo: Numeral o smbolo que forma os nmeros

    Exercitando

    1 - Ao lado de cada nmero, escreva a quantidade de numerais: 154 ___ 57 ___ 0 ___ 50 ___ 1.458 ___ 9 ___ 85 ___ 1 ___ 2 ___ 3 ___ 1106 ___

    .

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    3 - SISTEMAS DE NUMERAO

    Com os numerais inventados, era necessrio, agora, colocar essa idia em ordem. Um sistema que iria coloc-los em seqncia, dando a idia de contagem, e que recebeu o nome de sistema de numerao. Cada povo citado anteriormente inventou o seu prprio sistema de numerao. Existem, ainda, outros sistemas de numerao, como o dos maias, entre outros, que no convm, por hora, mencionar. Alis, veremos adiante as regras de apenas dois sistemas de numerao: o Romano e o Indo-Arbico, os quais so usados at hoje por ns.

    I, II, III, IV, V, VI, VII...

    4 - SISTEMA DE NUMERAO ROMANO

    Como foi visto anteriormente, os numerais so letras maisculas:

    I, V, X, L, C, D, M. Regras: 1) O sistema dividido em Numerais Fundamentais

    I = 1 X = 10 C = 100 M = 1000 Numerais Secundrios

    V = 5 L = 50 D = 500

    .

    2) os numerais fundamentais podem ser repetidos at trs vezes. Nunca mais de trs ! Exemplos: I, II, III (1,2,3) X, XX, XXX (10,20,30) C, CC, CCC (100,200,300) M, MM, MMM (1000,2000,3000) 3) Os numerais secundrios no podem ser repetidos NUNCA ! 4) Quando um numeral fundamental estiver esquerda do secundrio, dever subtrair o valor dele. Quando estiver direita, dever somar.

    Lendo um nmero romano:

    DE OLHO NA DICA: I

    Identifique, primeiro, o nmero secundrio

    a) IVObserve que tem 2 numerais (I e V). Devo ver qual deles o secundrio. Neste caso, o V, que vale 5. Ele ser o meu ponto de partida. Vejo qual numeral est a sua direita para somar com 5. Percebo que no tem nenhum. Vejo qual o numeral est sua esquerda para subtrair de 5. Percebo que o I, que vale 1. Logo, tiro 1 de 5, que fica 4. Assim, IV = 4. b) VII Neste caso no h valor para subtrair, pois no tem numeral esquerda do secundrio. Mas eu tenho um valor direita, o qual dever ser somado com o V, que o meu secundrio. II vale 2. Ento devo somar II com V (2 com 5), que d 7. Assim, VII = 7.

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    Se aprofundando...

    COMO REPRESENTAR 4000 ? Voc j sabe que o M vale 1000. Sabe que, por ser um numeral fundamental, ele pode ser repetido. Mas s pode repeti-lo trs vezes. Como, ento, fazer para representar o quatro mil ? A partir de 3999, os nmeros romanos so escritos normalmente, porm com um trao em cima do numeral, que valer 1000 Obs: __

    V temos o algarismo do 5. Como est com um trao em cima, dizemos cinco mil. PENSE E RESPONDA:

    Voc est estudando nmeros romanos. Mas ser necessrio ? Em que situao voc poder usar os seus conhecimentos de nmeros romanos ?

    .

    .

    Exercitando 1 Complete a tabela nas clulas que esto vazias, com nmeros romanos ou indo-arbicos.

    1 X

    3 VIII

    9 XI

    14 XXIX

    132 LXXVIII

    84 XCIX

    6000 2 Qual o nome do nosso sistema de numerao ? 3 Quantos numerais existem no sistema de numerao romano ? 4 O que significa o trao em cima de um numeral romano ? 5 Em que sculo voc est ? .

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    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

    5 - SISTEMA DE NUMERAO INDO-ARBICO

    Esse o sistema que ns usamos nos dias de hoje, por ser mais simples de representar. Mas apesar de sua facilidade, houve um tempo em que ele foi rejeitado.

    Contando uma histria... H muito tempo atrs, a maioria dos pases usava o sistema de numerao Romano. Mas voc j percebeu que ele bem complicadinho, no ? Em 809, um matemtico chamado Mohammed-al-Khowarizmi conheceu um sistema de numerao que os hindus usavam. Ele se interessou imediatamente, por contar com dez algarismos (por isso chamado sistema de numerao decimal, ou seja, base dez). Levou para sua terra, e aperfeioou esse sistema, sendo do jeito que ns o conhecemos hoje. Na hora de registrar na histria a autoria, houve dvida: seria esse sistema hindu ou rabe ? Para no haver briga, passou a se chamar indo-arbico, prestigiando os dois povos. Bom, embora os dois povos citados gostassem muito desse novo sistema de numerao, teve quem odiasse. A Igreja da poca chegou a ameaar punio para quem fizesse uso desse sistema, quer