matematicas 2 preparatoria

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Matemáticas 11

PREPARATORIA ABIERTA

iï"f

El con ten id o académ ico de este texto es exclusiva responsab ilidad del In s titu to Tecnológico y de Etudios S u p e rio re s de M o n te rre y y su índ ice p erte n ec e al p ro g ram a corresp on d ien te al p lan de estud ios del nivel m edio superior, para la m ateria de:

M A T E M Á T IC A S II U N ID A D E S V -V III

A U TO R : M a rio V illegas U rqu id i

R EV ISÓ : G ustavo M en d o za G onzález

C O M IT É A C A D É M IC O : H u m b erto C antú S a lin asM o isés G alicia A rra m b id e R oberto G arcía M a rtín e z G ustavo M en d o za G onzález H éctor Paz Estrada

A D A P T Ó : Luis Felipe Robles G.E nrique M o ra les B.

La educación es una responsabilidad compartida y en consecuencia invitamos atentamente a toda persona interesada en colaborar para resolver la problemática educativa, a que remita sus comentarios, críticas y sugerencias con respecto a esta obra a la Dirección General del Bachillerato de la SEP.

Sus aportaciones serán apreciadas en todo lo que valen y permitirán perfeccionar y adecuar permanentemente estos materiales a las cambiantes condiciones de la época actual.

SEP, 1983DERECHOS RESERVADOS

ISBN 970-18-0596-8

Indice

Prólogo ..................................................................................................................................................Notación ................................................................................................................................................13Instrucciones para el alumno ............................................................................................................15UNIDAD V. Posterior desarrollo de los números reales ............................................................ 17

Introducción ............................................................................................................................ 19Objetivos generales ................................................................................................................20Diagrama temático estructural ............................................................................................ 21Glosario ...................................................................................................................................22Módulo 1 ........................................ ....................................................................................... 25

Objetivos específicos .................................................................................................25Esquema resum en......................................................................................................... 251.1 Postulados de orden .......................................................................................... 26Reactivos de autoevaluación ....................................................................................29

Módulo 2 .................................................................................................................................31Objetivos específicos .................................................................................................31Esquema resumen .................................... ...............................................................312.1 Ordenamiento de los enteros ........................................................................... 322.2 Números racionales. Densidad .......................................................................33Reactivos de autoevaluación ....................................................................................35

■ Módulo 3 .................................................................................................................................37Objetivos específicos .................................................................................................37Esquema resumen .....................................................................................................373.1 Representación geométrica de los números reales .......................................383.2 Valor absoluto......................................................................................................... 40 1

Reactivos de autoevaluación ....................................................................................42Módulo 4 .................................................................................................................................45

Objetivos específicos .................................................................................................45Esquema resumen .....................................................................................................454.1 Gráfica de un conjunto numérico ...................................................................46Reactivos de autoevaluación ....................................................................................47

Paneles de verificación ............. ............................................................................................49UNIDAD VI .Exponentes y radicales .............................................................................................. 61

Introducción ............................................................................................................................ 63Objetivos generales ................................................................................................................64Diagrama temático estructural .......................................................................................... 65Glosario ...................................................................................................................................66Módulo 5 ......................................... .........................................................................................67

Objetivos específicos .................................................................................................67

Esquema resumen ....................................................................................................5.1 Exponentes enteros y exponente cero. Leyes de los exponentes ............... 68Reactivos de autoevaluación .................................................................................^

Módulo 6 ............................................................................................................................... ^71Objetivos específicos ..........................................................................................

Esquema resumen ................................................................................................... ^6.1 Radicales............................................................................................................................... 74

Reactivos de autoevaluación ................................................................................... ^8Módulo 7 ............................................................................................................................... ^

Objetivos específicos ............................................................................................Esquema resumen ............................................................................................. .. . 797.1 Isomorfismo de dos conjuntos. Exponentes racionales ............................ 80Reactivos de autoevaluacion ................................................................................... 86

Módulo 8 ..................................................................................................................................89Objetivos espec íficos.................... .......................................................................... 89Esquema resumen ....................................................................................................898.1 Leyes de los radicales. Simplificación de radicales. Multiplicación y di

visión........................................................................................................................... 908.2 Suma y resta de los radicales ....................................................................... 94Reactivos de autoevaluación ..................................................................................... 95

Paneles de verificación............................ ................................................................................ 99)AD V i l . Aplicaciones .............................. ............................................................................ 107

Introducción .........................................................................................................................109Objetivos generales .............................................................................................................109Diagrama temático estructural ......................................................................................... 111Glosario ................................................................................................................................112Módulo 9....................................................................................................................................113

Objetivos específicos ..............................................................................................113Esquema resumen ..................................................................................................1339.1 Planteo de problemas ..................................................................................... 114Reactivos de autoevaluación ................................................................................ 118

Módulo 10 ................................................... ........................................................................121Objetivos específicos.............................................................................................121Esquema resum en .....................................................................................................12 110 -1 Solución de ec u ac io n e s ........................................................................... 122Reactivos de autoevaluación ........................................................................... 125

Módulo 11 ................................................................................................................... .127Objetivos específicos ..............................................................................................127Esquema resumen ................................................................................................12711.1 Solución de desigualdades ...........................................................................12811.2 Ecuaciones fraccionarias ............................................................................. 129Reactivos de autoevaluación......................................................................................130

Módulo 1 2 ............................................................................................................................... 133

Objetivos específicos ...............................................................................................133Esquema resumen ................................................................................................... 13312.1 Problemas de planteo ....................................................................................134Reactivos de au toevaluac ión ........................................................................138

Paneles de verificación ....................................................................................................... 141UNIDAD VIII. Funciones, relaciones y g rá fica s ........................................................................... 159

Introducción ........................................................................................................................ 161Objetivos generales ..............................................................................................................162

Diagrama temático estructural ........................................................................................ .. 163Glosario ................................................................................................................................ 164Módulo 13 .............................................................................................................................165

Objetivos específicos ...............................................................................................165Esquema resumen ......................................................................... ................... 165

13.1 Funciones. Notación ...................................................................................... 16613.2 Relaciones ....................................................................................................... 174

Reactivos de autoevaluación ......................................................................... .. 175Módulo 14 .............................................................................................................................177

Objetivos específicos ...............................................................................................177Esquema resumen ................................................................................................... 17714.1 Sistemas de coordenadas en dos dimensiones .........................................178

Reactivos de autoevaluación ............................................................................. 181Módulo 1 5 .................................................................................................................................182

Objetivos específicos .....................................................................................182Esquema resumen ................................................................................................... 18215.1 Gráfica de funciones y relaciones .......................... ....................................183Reactivos de autoevaluación........................................................................ ........... 187

Módulo 16 ..................... .......................................................................................................189Objetivos específicos .............................................................................................. 189Esquema resumen ...................................................... ...................................... . 18916.1 Cartas de flujo .................................................................................................190Reactivos de autoevaluación ............................................. ....................................194

Paneles de verificación ....................................................................................................... 195

Prólogo

Hemos visto en el texto anterior los principios básicos del razonamiento deductivo, los postulados que definen al conjunto de los números reales como un campo, así como también las operaciones fundamentales con esos números, con las cuales debemos estar ya familiarizados a través de los ejercicios que allí se propusieron.

Los postulados de campo, sin embargo, no nos dan reglas para poder comparar a los elementos del conjunto/?, y esas normas son las que ahora tratamos para completar nuestros conocimientos fundamentales sobre el conjunto de los números reales. Asimismo consideramos algunas interpretaciones geométricas de estos elementos, para ver después las interpretaciones geométricas de las relaciones entre ios números reales, planteándolas antes en forma simbólica como igualdades o desigualdades.

Es nuestro objetivo general en este libro completar el conocimiento de los números reales;I o para aplicarlo en la solución de problemas prácticos mediante la generalización que nos proporciona el álgebra, y 2o establecer el vínculo que existe entre estos números y la geometría, preparación fundamental de cualquier estudiante para que pueda abordar la analítica y el cálculo, todas ellas materias básicas en el estudio de cualquier tecnología.

Mano Villegas Urquidi

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Instrucciones para el alumno

El presente texto ha sido estructurado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los alumnos que estudian en la modalidad de enseñanza abierta.

El libro está dividido en cuatro unidades, que corresponden a cuatro grandes tenias de la Matemática; es\án marcadas con números romanos. A su vez, las unidades se dividen en módulos. E! total de módulos de las cuatro unidades, es decir, del libro completo, suma 16. La división en módulos tiene por objeto repartir la carga de estudio, calculando que cada módulo pueda ser estudiado, aproximadamente, en una semana. Además, esta división le permite a usted, alumno, darse cuenta del avance que ha logrado en el estudio de la materia.

Al principio del ¡íbro se encontrará una Notación que son las explicaciones relacionadas ton Wi simbología empleada.

I. En cada unidad encontrará:Introducción. Que es una visión general y anticipada de lo que se tratará en esa

unidad.Objetivos generales. Son las metas que deberá alcanzar usted cuando termine de

estudiar la unidad. Sí analiza esos objetivos con detenimiento verá que están formulados de manera amplia y general, de tal t'orma que usted mismo pueda hacer una apreciación personal para comprobar si. efectivamente, aprendió los temas presentados.

Diagrama temático estructura!. Es una presentación esquemática del contenido total de ta unidad. Su función es básicamente de enlace, o sea, cómo se relacionan los diferentes temas tratados en cada uno de los módulos que componen la unidad.

Glosario. Le indica el significado de los términos técnicos empleados en el desarrollo do la unidad.

Bibliografía. Al final de cada unidad encontrará los libros recomendados paraampliar o profundizar el tema de la unidad.

II I n eada módulo cneuturará los siguientes elementos:

Objetivos específicos. Son el desglose de ios objetivos generales de la unidad. Responden a la pregunta ¿qué debo ser capaz de hacer cuando termine de estudiar este módulo?

Lstjin'iiui resumen. Frésenla el contenido de cada módulo en forma sinóptica.

A naves del desarrollo del lema usted encontrará las siguientes características:

Ideas guia. Ubicadas en los márgenes de las hojas. Son pequeñísimos resúmenes que tienen >.01110 finalidad laciliíarle la situación de un concepto, la fijación d<=> una información o la realización de un repaso muy rápido.

La figuraSignifica “ toma tu lápiz” e indica alguna actividad que usted debe realizar como práctica en sus ejercicios de aprendizaje.

Se encuentra localizada en los márgenes de las hojas.

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Reactivos de autoevaluación. Al final de cada módulo se dan una serie de preguntasautocomprobación, para que pueda verificar por usted misino en qué grado ha logrado objetivos (propuestos al principio del módulo). Las respuestas correctas las encontrará

final de cada unidad, en los Paneles de verificación.

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l

-■ÍV •:

Notación

Un factor importante para la comprensión de cualquier texto de matemática es la correcta interpretación de los símbolos, pues en textos de autores diferentes es posible que a un mismo símbolo se le den significados distintos; por tal razón se ofrece una lista de los símbolos empleados en este curso y su interpretación. Ellos son presentados en el orden de aparición en el libro.

C

SIMBOLO SIGNIFICADO

£1 Es un elemento de . . .No es un elemento de . . .

í í Conjunto= Es igual aI Ta! que+ Símbolo de la operación suman (a) Cardinalidad del conjunto A■ ■ ■ Y así sucesivamente^ Conjunto universal^ Conjunto vacíoN Conjunto de tos números naturales

Símbolo de la operación multiplicación No es igual a Subconjunto de . . .No es subconjunto de . . .

C Subconjunto propio deEs mayor que

< Es menor que— Es menor o igual que ^ Es mayor o igual que W Unión con fl Intersección con

Complemento de C No es subconjunto propio de— > Símbolo de implicación— Símbolo de la operación diferencia o resta ^ No es mayor que <£ No es menor quer- Símbolo para expresar la operación división: (también se usa

el símbolo — como en

v)15

<=> Dob le im plicación o equivalenciaNo, es falso que

A TriánguloAngulo

R Conjunto de los números realesE Conjunto de los números enterosD Conjunto de los racionalesD ' Conjunto de los irracionales7r 3.14159...V Símbolo de la operación raíz cuadrada% Tartto por ciento

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UNIDAD VPOSTERIOR DESARROLLO

DE LOS NUMEROS REALES

■V/' f * V , V - ^ \ \ '<:i *' ' 1 *• ;v>;k: « \ lV¡'

■ U :¡‘' . f l -"■:■■ ; .‘v"' [| 7.:

"Â : m :

m

Introducción

Al llegar al nivel de Preparatoria ya hemos aceptado y utilizado el orden entre los números enteros y aun entre los racionales, generalmente de una manera intuitiva, ahora fundamentamos aquellos conocimientos y los extendemos a los números reales aplicando para lograr este aprendizaje las técnicas de la Unidad 111, es decir, la justificación de cada paso a cada cambio en una expresión algebraica.

Ahora, empezaremos a manipular expresiones algebraicas en que intervienen las desigualdades, ya que hasta aquí sólo hemos resuelto las llamadas ecuaciones. Estableceremos la correspondencia entre los números reales y los puntos que forman una línea recta, para asi, introducirnos a los sistemas coordenados en los cuales se grafican los conjuntos numéricos, técnica esta importantísima dada la aplicación y divulgación tan extendida de las gráticas en el mundo moderno, como “lenguaje” visual.

19

Objetivos generales

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:1. Aplicará los postulados de orden entre los números reales en la resolución de

desigualdades.2. Utilizará los teoremas básicos sobre desigualdades en la simplificación de expresiones

numéricas.3. Calculará valores absolutos de diferentes distancias.4. Graficará conjuntos numéricos, utilizando como instrumento la recta numérica.

20

Diagrama tem ático estructural

21

Glosarlo

Campo. Todo sistema matemático cuyos elementos cumplan con los seis postulados de campo acuerdo para dos operaciones.

Campo ordenado. Es todo campo cuyos elementos pueden ordenarse y compararse de a ese orden.

Postulados de orden. Son las propiedades que posee un determinado conjunto para ordenar y comparar sus elementos.

Propiedad de tricotomía. Si X, y G R entonces sólo una de las proposiciones siguientes es verdadera:

x > y ó x < y 6 x = y

Postulado transitivo. Si un número real es mayor que un segundo número, y este mayor que un tercero, entonces el primer número es mayor que el tercero.

x, y, z G R< x > y y > z => x > ZInecuación. Son proposiciones abiertas en que intervienen los signos de las desigualdades

^ ^ > i*- .Postulado aditivo. Si un número real es mayor que otro, la desigualdad no st altera al sumar

un mismo número real en ambos lados de la desigualdad.Si x , y , z £ R , y x > y = > x + z > y + z

Postulado multiplicativo. Si un número real es mayor que otro, la desigualdad no se altera al multiplicar por un mismo número real positivo en ambos lados de la desigualdad.

Si x, y, z G R, y z > 0 y x > 0Si x > y =* x z > y z

Número racional. Es el elemento numérico que se puede representar por el cociente de dos enteros y cuyo denominador es diferente de cero,

D = { x I * = y > b E E , b ^ 0 } y D ^ RDensidad. Es la propiedad de los números racionales en cuanto al orden, y dice que entre dos

números racionales siempre hay otro número racional.Inducción matemática. Proceso por el cual después de aceptar un caso particular por

inducción se generaliza a cualquier caso “n” para demostrar deductivamente que si se cumple para “n” se cumplirá para “n + 1 ” , concluyendo que se cumple siempre.

Orientación gráfica. Sentido de referencia para la localización del orden de los números sobre una recta.

Sistema coordenado lineal. Es la correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta ylos elementos de R.

Valor absoluto. Es el número de unidades que separan dos puntos sin importar el signo de referencia en un sistema coordenado lineal.

Distancia entre dos puntos. Es el número de unidades que se encuentran entre dos puntos.

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Recia numérica. Es la recta con cuyos puntos se asocia el conjunto de números reales,t a m b i é n se llama sistema C.L.

Gráfica de un número. Es el punto de una recta numérica con la que se asocia e l número. C o o r d e n a d a . Es el vafor numérico con el que se asocia a un punto de la recta numérica. I n t e r v a l o . Es la gráfica de un conjunto numérico expresado en valor absoluto y menor que o

su conjunción equivalente.Intervalo abierto. Es cuando en la gráfica no se incluyen los valores extremos. [ a,b]Intervalo cerrado. Es aquel en el que en la gráfica se incluyen los valores extremos.

23

r

Módulo 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:1 Definirá con sus palabras número positivo y número negativo. < .2 Explicará porqué el conjunto de los números reales forma un campo ordenado.3 Mencionará cuáles son los postulados de orden.4 Concluirá el valor de verdad de proposiciones dadas utilizando las definiciones de “ mayor

que” y “menor que”.5. Aplicará los postulados de orden (tricotomía, transitivo, aditivo, multiplicativo), en la justifi

cación de implicaciones y en la demostración de teoremas.6. Demostrará algunos teoremas de orden aplicando los postulados correspondientes.7. Mencionará cuáles son las inecuaciones.¡s. Resolverá desigualdades justificando cada uno de los pasos.

ESQUEMA RESUMEN

Tricotomía

Postulado transitivoPOSTULADOS DE ORDEN

Postulado aditivo

Postulado multiplicativo

l)l'-S I G U A L D A D E S E —

I N E C U A C I O N E S

Algunos teoremas importantes __

Teoremasbásicos

(defin ic ión de “ m ayor q u e” ) a fe - a C P (defin ic ión de “ m enor que” )

S i f l > ¿ j y c < 0 z n > ac < beSi a > b y c > d = > a + c > b + da, b t c, d > 0 , a > b y c > d = > ac > b d

25

El conjunto de los números reales es un campo

Campoordenado es...

¿Cómo se ordenan los números reales...?

¿Y ai orden •a establece...?

1.1 Postulados de ordenExisten proposiciones en las que comparamos valores, medidas,

etcétera; decimos por ejemplo: Juan es mayor que Pedro, una hectárea es mayor que media hectárea, un octavo es menor que ciento treinta milésimas; ¿cómo podemos estar convencidos del valor de verdad de dichas proposiciones? los postulados de campo, las propiedades de la igualdad y la equivalencia nos sirven para justificar que existe diferencia pero no nos permiten o justifican el sentido de esta diferencia.

Los elementos que manejamos son números reales y hemos demostrado que forman lo que llamamos un campo, necesitamos ahora demostrar que se pueden ordenar y comparar de acuerdo con ese orden, para demostrar en los casos de desigualdad cuál es mayor o cuál es menor, es decir, que el conjunto de los números reales forma un campo ordenado.Definición;_______________________________________________________Campo ordenado es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los seis postulados de campo para dos operaciones y además guardan un orden al compararse entre ellos.

Considerando que vamos a acomodar los números uno después de otro, empezaremos por acomodar y definir a tres conjuntos disjuntos cuya unión forma ei conjunto/?.

1. Sea P. el conjunto de números positivos.

2. {x I - x E P}, El conjunto de números negativos que definimosusando el conjunto P, como aquellos números cuyo inverso es positivo. Siendo x negativo —xes positivo.

3. {0} Este conjunto complementa la unión de los dos anteriores y tiene un solo elemento, por el teorema 3-11, sabemos que el cero es un número cuyo inverso es él mismo.

El orden de los tres conjuntos definidos lo establecemos usando las siguientes

Definiciones;____________________________________________________

x € R y x > 0 ° x G x & R y x < 0 « - x £ P

De acuerdo con las definiciones cualquier número positivo es mayor que 0 y cualquier número negativo es menor que 0. Usando la regla de inferencia de la cadena (Unidad II, Módulo 8), deducimos que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

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p o s t u l a d o 5*1. Tricotomía. Si x, y, G R entonces sólo una de lasproposiciones siguientes es verdadera, x > y ó .v < ó x = y

Postulado 5*2.Tran»ltlvo. Si un número real es mayor que un segundo número, y éste mayor que un tercer número, entonces el primer número es mayor que el tercero.

x, y , z € . R , x > y y y > z = * x > z

Postulado 5-3. Aditivo.

x, v, z G /f, x > y = * x + z > y + z

Postulado 5-4. Multiplicativo.

x, y, z G R, i > ü y x > y xz > y z

A diferencia del postulado multiplicativo para la igualdad, éste tiene una condición más, el factor (z) debe ser positivo o mayor que 0. Ahora estableceremos y demostraremos algunos teoremas que nos serán de gran utilidad, tanto para ordenar los elementos de R como para resolver proposiciones abiertas en las que intervienen desigualdades. Las demostraciones siguen la técnica de dos columnas, pero en las justificaciones sólo escribiremos las que correspondan a este libro, pues se supone que usted recordará las que correspondan a la teoría de campo y sólo se recomienda que esté seguro de recordarlas; con esto se pretende recortar dichas demostraciones para hacerlas más interesantes; recuerde que siempre que no se mencione otra cosa el conjunto de reemplazamiento es R.

A las proposiciones abiertas en que intervienen desigualdades también se les llama inecuaciones.

TeoremaS-1 , a > b - a < ~b

postulados de orden

Demostración: a > b =* - a < —b - a < —b ^ iQ > b ' Dado - a < —b

(—a ) + (— b) G R Cerradura a + b G Ra + [(—a) -I- (— ¿>)] > b + [(—a) 4- (— b)\ Postu- -’-a + (a + b) < -

lado 5-30 + ( '-b) > ( - a ) + 0 ü + b < a +

- a < - b a > b

templo: Si 100 > 10 entonces - 100 < - 10

¿Qué postulados nos ordenan los

números reales...?

Teoremas para proposiciones

abiertas...

> b

27

Cómo definidos mayor qué?

Teorema 5-2. Q > b sí y sólo sí o — £> es positivo A este teorema también se le llama de la definición de mayor

que- b € Pa > b

Demostración:a > b = > a ~ b & P

a > b Dado

a + (~ b ) > b + ( - 6 ) Postu lado 5-3

a - b > 0a — b £ P D efin ic ión de

e lem ento de P

a - b ^ P ^ a > b a - b G P a - b > 0

(<7-¿>) + & > G + 0 a > b

DadoDefinición de número positivo Postulado 5-3

¿Para definir menor qué...]

Teorema 5-3. a b — a £ PDemostración:

a b — a £ P ba a- a C P Dado- a > 0 . . .

 ac < beTeorema 5-4 a > b y c < 0,

Este teorema nos indica que a diferencia del postulado 5-4 multiplicativo, si el factor que se agrega es negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. La demostración está escrita en el problema 6 de los Reactivos de autoevaluación correspondientes a este módulo para que la justifique el alumno.

Teorema 5-5 a > b y c > d ,

Aplicación de teoremas sobre desigualdades

a)

28

Dos desigualdades del mismo sentido pueden sumarse miembro a miembro y resulta una desigualdad con el mismo sentido. La demostración es muy semejante a la del teorema anterior y se propone como el problema 7 de los reactivos.

Teorema 5-6 a, b, c, d > 0, a > b y c > d ** ac > bd

Si todos los números en dos desigualdades del mismo sentido son positivos se pueden multiplicar miembro a miembro y resulta otra desigualdad con el mismo sentido.

Ejemplos: Teorema 5*415 > 9 y — 2 < 0 b ) — 2 > — 5 — 120 15 ( - 2 ) < 9 ( - 2 ) ( _ 2 > ( - 1 ) < ( - 5 )

- 3 0 < - 1 8 2 < 5( - 1 )

Teorem a 5-5 a ) 4 > 3 y 8 > 7 b ) 7 < l l y l 0 < 1 5 4 + 8 > 3 + 7 7 + 10 < 11 4* 15

12 > 1 0 17 < 26

Teorema 5*6 a ) 6 > 4 y 3 > 2 b ) 3 < 5 y 7 < 96 3 > 4 • 2 3 ■ 7 < 5 ■ 9

18 > 8 21 < 45

Con la idea de tener presente la diferencia entre el inverso de un número dado y su recíproco, se incluye la siguiente actividad complementaria.

1" Fscriba el inverso aditivo de los siguientes números:a ) -3 b ) - £ c ) ^ d )J_ e) -1

o -a-b 4

2" Escriba el recíproco (inverso multiplicativo) de cada número de los incisos anteriores.

En caso de duda consulte ia Unidad III.

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

1. Demuestre que el p roducto de dos núm eros reales ambos positivos o ambos negativos, siempre es positivo.

2. Demuestre que si a E R, a * 0 =* a1 > 03. Utilice la definición de menor que, para deducir una conclusión de cada

una de las proposiciones siguientes. La conclusión debe deducirse de la proposición dada sin tom ar en cuenta el valor de verdad.a) 6 < 9 c) - 2 - ( - 4 ) E P e) - 3 - ( - l ) € / ’b) - 5 < - 1 d) 5 - 8 G P f) 14 - 7 e P

4. Aplique en el problem a anterior, la definición de mayor que. Invierta las desigualdades de los incisos a) y b).

5. Justifique cada una de las siguientes implicaciones considerándola verdadera, com plétela cuando no tenga conclusión escrita.a) - a < 0 => a E P g) 3 < 10 y 10 < 50 => 3 < 50b) 3 G ? => 3 > 0 h) 5 > j: y x > 0 => 5x > Jf5c) a * b y a ' ------------ --- i) a es positivo y b + 2 es positivo,d) 3 > l = ^ 3 - l £ i } entonces a(b + 2) es positivo.

29

e) 5 < 3 y 5 # 3 =*----------- j) x < y y y < z + 3 * x < z + 2f) x no es m ayor que 0 y x

no es m enor que 0 =* --------6 . Justifique los pasos dados en la dem ostración del Teorem a 5-4.

a > b y c < 0 =*■ ac < be1. a > b2. c < 0 => - c > 0 *3. a{~c) > b { - c )4. - a c > - b e5. ac < be

7 Demuestre el Teorema 5-5.8 . Demuestre el Teorem a 5-6.

Resuelva las siguientes desigualdades justificando sólo los pasos en que aplique postulados o teorem as de este capitulo.

9 . 2x + 1 > 3Solución: 2x + í > 3

{2x 4- 1 ) + ( - 1 ) > 3 + ( - 1 ) Postulado 5«3 aditivo 2x > 2

( y ) 2x > ( - i) 2 Postulado 5-4 multiplicativo

x > 1 {x e R 1 x > 1 } ,,

1 0 2x 2 >

11 IfLÍLZ ~ 1

14. Complete la solución2 x - 1 > - 3

2x > ________ Postulado 5*32x > ------------

> Postulado 5-4>

{x € R ! x > 2}

15. Resuelva: 4 - 3x > 4

30

r-

Módulo 2


Al te rm in a r d e e s tu d ia r este m ódulo , el a lum no:

1 . D em ostrará el o rd en am ien to de los en teros p o r m ed io del postulado aditivo.2. E x p ira rá cuáles son los núm eros racionales3. D ará un e jem plo de densidad .

4. O rdenará núm eros reales de m en o r a m ay o r y de m ayor a m enor.5. D em ostrará la d en sid ad de los n ú m ero s racionales.6. C alcu lará p rom ed ios de dos núm ero s d ados.7. D em qstrará el teo rem a sobre fracciones iguales a cero.8. D em ostrará el teo rem a >v, x , y , z e R y , Z > 0

x w> X z > w y

Z

ESQUEMA RESUMEN

ORDENAMIENTO DE LOS ENTEROS - Inducción matemática

Características

NUMEROS RACIONALES - - Campo ordenado

Densidad

I EOREMA SOBRE UNA FRACCION IGUAL A CERO

Si x, y € _ E \ y ^ 0

x— = 0 o x =: 0y

31

2.1 Ordenamiento de los enteros

¿Cómo Teorema 5-7. I > 0ordenamos Demostración: los enteros? i > o ó l < 0 ó l = 0

l * 01 < 0

1 < 0 => - 1 > 0 =* ( - 1 ) ( - 1 ) > 0 ( - 1 )=> 1 > 0

1 < 0 , 1 * 0 =► 1 > o

TricotomíaPostulado de identidad inciso c). Hipótesis. Si llegamos a un absurdo o contradicción, nuestra hipótesis será falsa y la disyunción nos señalará la verdad. Método ¡n- directo.

Definición de núm ero negativo. Postulado 5-4.Contradicción entre la hipótesis y la conclusión por lo que la hipótesis es falsa.

Corolario: Como 1 y 1 & P entonces si x £ N = > x E P

Si a 1 > 0 le aplicamos el postulado 5-3 aditivo sumándole la unidad a cada lado tendremos: 1 ■+■ 1 > 0 + 1 y por sustitución2 > 1 , aplicando el mismo postulado a este resultado y así sucesivamente a lo que resulte, tendremos un orden establecido para los elementos de TV justificado por el postulado transitivo:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < . . .

Si después de comprobar unos cuantos casos aceptamos que N C Pt es decir, que todos los números naturales son mayores que 0 y que por tanto sus inversos serán los números enteros negativos o menores que 0.

... - 4 < - 3 < - 2 < - 1 < 0

Razonamiento tipo de razonamiento estamos empleando? debemos recordarmatemático que con este tipo de razonamiento las conclusiones no son necesaria

mente válidas pues es un razonamiento inductivo, por lo que después de dem ostrar que se cumplen en un caso particular, para un número n £ E, habrá que demostrar deductivamente que se cumplen para elsiguiente número n + 1 , para entonces sí aceptar como conclusión quese cumplirán para todos los elementos de E.

A este procedimiento se le llama inducción matemática o también criterio de la inducción y su aplicación requiere mucha más experiencia

32

parte del estudiante que la que hasta aquí haya obtenida Por lopronto aceptaremos que iV C P.

2 2 Números racionales. Densidad

En la Unidad III del texto anterior hemos definido al conjunto de números enteros y una razón para ampliar este conjunto fue que ningún entero multiplicado por 8 da 4, podemos observar que eso significa que los elementos de E no tienen un inverso para la multiplicación o r e c í p r o c o en el mismo conjunto, por lo cual £ no es un conjunto cerrado par;) la multiplicación, de modo que aunque E es un conjunto ordenado, no es un campo ya que sus elementos no cumplen con los postulados de cerradura e inversos. Un conjunto mucho más "rico” que E, cuyos elementos sí cumplen con los postulados de campo, es el conjunto D de los números racionales.

Definición:__________________________________ ________________ _Número racional es el que se puede representar por el cociente de dos enteros, denominador diferente de 0.

D = {x 1 x = ~ , a, b e E, b ^ 0}, D C RO

Este conjunto es, entonces, un campo y el teorem a.............................

3*20 (~ = o ad =bc) junto con los dos siguientes nos permitirá orde

nar sus elementos, con lo cual D formará un campo ordenado.Teorema 5-8. Jt, v £ f , v =/= 0 * = 0 ** X = 0

vEl enunciado para este teorema podría escribirse como sigue:

Una fracción es igual a cero, si y sólo si su numerador es cero” Este teorema adquiere gran importancia en la solución de

ecuaciones con fracciones, y puede hacerse extensivo a los números realessi consideramos x, y íE R.

Demostración: £ = Q o _ y * 0 =i X Definición de la división (observe que es doble implica-

y0 = x

— — 0 o x — 0 ción.

El teorema siguiente condiciona que los denominadores de las cciones sean números positivos. Podría condicionarse que ambos °m madores fueran negativos con el mismo resultado, pero de ningún

modo PUeden tener signos diferentes.

T(*rcma 5-9 *w, x, y , 2 GR; y , z > 0; — > — o xz > w y

Los números racionales sí

forman un campo

Una fracción es igual a cero si...

Los números racionales forman un

campo ordenado

33

Una fracción es mayor que otra si y sólo si, el producto en cruz de numeradores y denominadores da una desigualdad en el mismo sentido.

Las fracciones mencionadas pueden interpretarse como número« racionales.Ejemplos: Establecer sentido de desigualdad entre:

2 1 17 ' 2 1 3 = 63, 17 • 4 = 68a) - y 63 < 68

21 17

T < Tb ) — , ‘ ( - 4 ) 5 = - 2 0 , ( - 7 ) 3 = - 2 1

- 3 5 - 2 0 > - 2 14 - 4 _ 4 7 _ - 7 _ 7 - 4 ^ - 7

IT ” ~T~ ~ ~ T’ T “ ~T“ ~ ~T~ > 54 7

- 3

, . Estos teoremas, 3-20, 5-8 y 5-9, justifican que podemos referirnos al conjunto D como un campo ordenado, además entre los elementos de este conjunto existe una propiedad muy importante a la que llamamos densidad.

Densidad Definición:

Entre dos números racionales siempre hay otro número racional.

jíj. El número conocido como promedio de dos o como mediaaritmética es una prueba de la propiedad densidad.

Ejemplos:a) Entre 5 y 6 la media aritmética es

2 2

b) Entre 5 y XI la media aritmética es 5 4 - ~2 2

— 5— = 21 /4

y se puede continuar indefinidamente localizando un número entre 5 y la media aritmética que resulte.

El problema 3 de los siguientes Reactivos de autoevaluación presenta simbólicamente esta propiedad a la que haremos referencia en el tema "G ráfica de un conjunto numérico” .

34


Ordene el siguiente conjunto de números de menor a mayor (< )

{5.2, - 2 .8 , 1 , 7 . 6 }

Ordene el siguiente conjunto de números de mayor a menor (> ){.1, 0, 01, I, .12, .123, .012, .1235}

Si a > b, demuestre que a > ” - ~ 6 > b. Esta notación representa la con

junción a > a- 6- y — ■* - > b, que demuestra la propiedad de los

números racionales llamada densidad. -—%—— se llama la media arltmé-

tica de a y b.

Demuestre que: ^ < 1

Encuentre la media aritmética entre:a) 2 y 7b) - 3 y 5c) - 3 .6 y 2.5

« - 1 y f

| y 3

Demuestre el Teorema 5-9. w, x, y , z e R, y , z > 0

- > — ♦* X2 > wv y * *

Llene el espacio entre los números con el símbolo que haga verdadera la proposición, escogiendo entre < , = , > .

a) 0 e) ^ ________ 0

b) 1.301 ------------ 1.3001 A T -

c) z l _ 1 o) -*í_ z l2 ----------- — ---------4 ~ 12 ------------------- 3

d) - 1 - 1 *) f ? - _______ ^3 ------------------- 4 5 7

i) -3.002 ________ -3J090

Módulo 3


terminar de estudiar este módulo, el alumno: j Seflalará en qué consiste una recta numérica.2 Explicaré orientación positiva y negativa de una recta numérica.3 E xp iará cuáles son los llamados números racionales.4. Dada una serie de puntos, determinará sus coordenadas.5. Dada una serie de coordenadas, gratícará los puntos correspondientes, fi. Mencionará en qué consiste el valor absoluto .7 Obtendrá valores absolutos de diferentes puntos de Ja recta numérica.8, Definirá el concepto de distancia entre dos puntos9, Resolverá problemas relativos a Ja distancia entre dos puntos.

ESQUEMA RESUMEN

Representación geométrica de los números reales:

La recta numérica Orientación positiva Orientación negativa

I— sistema coordenado Uaeal

Valor absolutoDistancia entre dos puntos en la recta numérica.

Definiciones de valor absoluto.

a, c € . R y c > 0 J a I = c<?=> a = c ó a = —c j a ( > c < = > a > c 6 a < —c j a j e £•<=> —c < a < c

37

El conjunto de puntos sobro una recta

R = {

A = {-*

Los números irracionales en la recta

3.1 Representación geométrica de los números reales

Hemos utilizado el criterio de inducción o inducción matemáticapara establecer un orden entre los elementos del conjunto E, que a su vez nos ha servido, junto con los teoremas 5-8 y 5-9, para establecer un orden entre los elementos del conjunto D. Si consideramos que una línea recta es un conjunto de puntos que cumplen con una condición y llamamos a ese conjunto A , podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos de R y los de A, empezando por establecer la correspondencia entre un elemento de A y el elemento 0 de R .

Podemos escribir los números enteros en el orden definido, escribiendo el uno a la derecha del cero o a la izquierda del cero antes de establecer la correspondencia; en el primer caso, decimos que se le da orientación positiva y en el segundo caso, orientación negativa. La orientación positiva es la acostumbrada y será la que consideraremos nosotros, de modo que los números positivo« quedan a la derecha del cero y los números negativos a la izquierda y cualquier número a la derecha de otro es mayor que él.

(_) * ... |------- »> (+)_2 I l r

4 , -3 , - 2 , 2 -1 , 2 0, 1 1, V 2 2, 3 , ff, 4 . . . }

£ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $.— •— ------- •— •— -— •— •— —e — •— —©— •— ►}

T O A M

Las cab ezas de flecha ind ican lo m ism o que los p u n to s suspensivos en lo's con ju n to s, es decir, que se sigue h a s tá infin ito .

Si dividimos el espacio entre 0 y 1 o entre dos enteros consecutivos cualesquiera en “ q” divisiones iguales, podemos establecer la correspondencia entre un punto de la recta A y cualquier número racional, — t y

qsiguiendo este procedimiento nos encontraremos de que aun con la propiedad densidad de los números racionales, nos quedan muchísimos “huecos” en la recta, a menos que tomemos en cuenta a los elementos del conjunto!) ,los irracionales, que vendrían a “ llenar esos huecos” como se ve en la gráfica anterior con los números irracionales \ Í 2 t y ir.

Al conjunto de puntos que forman la recta 04) lo llamamos recta numérica y al punto en correspondencia con el número 0, por habernos servido de base para la correspondencia, lo llamamos origen. De este modo cualquier puntoP , estará en correspondencia con un número n y decimos de efios lo siguiente:

“P es la gráfica o representación geométrica del número rt” o también que“n e s la coordenada d e P ” lo cual simbolizamos P(fl), que se lee “P e n n»

38

Ejemplo*5

a)AS *

MM(3), se lee M en 3 y significa que 3 es la coordenada de M o también que M es la gráfica del 3.

b) La coordenada de T es — ~

entonces T ( )

-2 -1

c) t i (v 2 ). E! punto B se puede situar geométricamente como semuestra en el dibujo. -

4. =z

Todos los números reales pueden escribirse en su forma decimal (los irracionales tendrán una parte decimal infinita y no periódica), y esta forma nos permite localizar, en forma aproximada, la posición de la gráfica de cualquier número real sin necesidad de construcciones geométricas difíciles y engorrosas. Por lo anterior, podemos decir que: A cada número real le corresponde un punto en la recta numérica y a cada punto le corresponde uno y sólo un número real.Ejemplo:

Localice n = 2.743..,, número irracional i

1 B

1 < 2 < 3

39

2.74 < 2.743 < 2.75 2.7 2.74 2.75 2.8

Se puede observar que la exactitud de la gráfica de n depende del número de subdivisiones que hagamos y consecuentemente del tamaño del dibujo, el error entre la gráfica y el valor exacto de la coordenada puede hacerse tan pequeflo como se desee, escogiendo la escala lo suficientemente grande

SistemaCoordenadoLineal

Definición:

A esta correspondencia uno a uno o biunivoca entre los puntos de A y los elementos de R le llamaremos sistema coordenado lineai.

Valoresabsolutos en la reota numérica

3.2. Valor absolutoEn la recta numérica las coordenadas de cada punto nos lo sitúan a

una determinada distancia del origen, a la derecha, si el número es positivo o a la izquierda, si es negativo, por ejemplo: La gráfica del número 6 está 6 unidades a la derecha del 0 , en cambio la gráfica de >6 está a 6 unidades a la izquierda del 0. En ambos casos decimos que la distancia entre cualquiera de los dos puntos y el origen, es de 6 unidades y aquí no nos interesa el signo, que sólo nos sirvió para saber en qué sentido medir la distancia, en otras palabras, al hablar de distancia nos interesa el valor sin considerar el signo, o también podemos decir que nos interesa que el valor siempre sea positivo; la coordenada nos da entonces el valor de la distancia al origen y no tomamos en cuenta su signo, pero cuando consideramos la distancia entre dos puntos cualquiera, la resta de sus coordenadas nos > proporciona ese valor, pero tampoco debemos considerar el signo. Hjemplo: La distancia entre .4(6) y B ( - 2) nos la da la resta. (6) — (—2 ) = 8 ó ( - 2 ) — (6) = - 8 , en donde el valor es 8 . Para evitar el inconveniente del signo o el de buscar la coorde-

40

nada m a y o r para restarle la menor y obiener un resultado siempre itivo. se ha inventado un término que aclara la situación: valor

Insoluto; el símbolo para representarlo son dos líneas verticales una a cada lado del número o de la expresión que lo represente. Ejemplos:

\ I x I se lee el valor absoluto de x. ^ I (6) _ ( -2)1 se le* el valor absoluto de la restá.

I ( - 2 ) - (6)1 se lee el valor absoluto de la resta.

La definición del valor absoluto de cualquier número real nos dice que es ei < nsmo número cuando éste sea positivo o que tomemos ef inverso del número en caso de que sea negativo o que es cero Si éste es cero. En pocas palabras, el valor absoluto siempre es positivo; las disyunciones que establece la definición las simbolizamos cün elcorchete = { f 5

Ejemplo: x — j 1 % es igual a 5 o es igual al ^ *1 o igual a 3

E! valor absoluto de un número

es...

Definición:

El valor absoluto de un número r e a lc e s * s i el número es positivo o es — x si el número es negativo o es U si el número es el 0 .

( x, si x > 0 —x , si x < 0 x, si x = 0

Ejemplos:

a) 1 3 1 = 3 , porque 3 > 0b) 1—31 = — (—3) = 3. porque -3 < 0 tomamos su inverso

x - 1, si (jc - 1) > 0 c) I x — 11 — - ( * - 1), si (JC - 1) < 0

0, si (x - 1) = 0

d) Si I x I 3 entonces x = 3 ó x — - 3 por incisos a) y b) anteriores.

e) lx - 1 ! = 5 ==*> x - 1 = 5 6 í - l c - 5x - 1 — 5 = > x = 6 x - l = - S = í > jc = - 4

lx ~ 1 | =r 5 X — 6 Ó X — - 4I X I > 7 í' x > 7 ó x < - 7 , La segunda proposición de la disyunción (x < —7) la desigualdad está invertida ¿por qué? V“r teorema 5-1 ,r,ir

41

g) I x I < 7

De los ejemplos anteriores podemos deducir las siguientes definiciones:

a, c e R y c > 0 (Recuerde que a, c pueden ser expresiones algebraicas) I a \ = c ^ a ~ c ó a = - c I 0 I > c ** 0 > c ó a < - c1 a l < c <>- c < a < c

c < a < c es una forma de escribir la conjunción de a > - c y a < c

Usando la definición de valor absoluto diga si la siguiente proposición es falsa o verdadera y explique. I x l < — 1 . *

3.3. Distancia entre dos puntos en la recta numérica.

La distancia de cualquier punto P (x) al origen será I x I , ya queI x - 0 I = lx I

La distancia entre dos puntos cualquiera/í(x)yjB(>y)será el valor absoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera, \ x - y \ = \ y - x \ .

m r ■ El concepto de valor absoluto nos evita inconvenientes con los signosen el manejo de la distancia en el sistema coordenado lineal.

Ejemplos:

a) Distancia entre ,4(6) y B ( ~ 3)

A B = I (6) - ( -3 ) I = I ( -3 ) - {6)1 La recta sobre las letras A B = 16 + 3 1 = 1 - 3 - 6 1 significa o representa: longitud = 19 1 = 1 - 9 1 del segmento de recta entre = 9 A y B.

b) Distancia entre C(- y ) y D ( - -y )

^ = | _ i _ ( _ i l ) | = | _ J . + i l ¡ = | ±22 j = ¡ i l | = I I2 5 2 5 10 10 10


1. Si las coordenadas de los puntos A y B son respectivamente 2 y 6 demuestre que la coordenada del punto medio P, es la media aritmética de las coordenadas de los extremos. (También se le llama promedio).

A ( 2) y 5(6) =* P(4)*Por definición, ningún valor absoluto es negativo, de donae | x | . < -1 es una propo

sición falsa.

42

Encuentre las coordenadas de los puntos medios entre a) 3 y - 3 b) 2.1 y - 5.1 c) 7 y 3.4

■, Escriba el valor numérico más simple para x.a) * = - 1 1 2 1 b ) * = 1 - 1 2 1 c) x = - 1 - 1 2 1

d) * = 1 7 ~ f 1 e) x = I j I - f - { I

4 Demuestre que para todo a € R, - I a I < a y Solución: Geométricamente o lo que es lo mismo sobre

la recta numérica x es un número a la derecha de y.b) t a - 6 l = 1 c) t a 1 > 5 d) l a - 2 l = 4 e) l a l < 5f) 3.14 < 7r < 3.15 g) I a + 3 I > 1 ' h) a > 0

6 . Demuestre que la + M < l a l + 16!

7 . Efectúe las operaciones indicadas.a) 5 + 1 - 3 1 b) i 6 I + 1 4 1 c) I - 4 1 + 1 4 - 5 1d) t - 3 1 • I - 4 1 e) I 7 I - I - 21

8 . Determine el valor de x en las expresiones:a) 1 x 1 = 2 b) \ x - 2 \ = 5 c) I 3 - x I = 6d) t jc + 5 I > 2 e) I x + 5 I < 2 0 I 3 - 2x I > 5g) I 5x + 1 í < 2

9. Determinar las distancias entre cada par de puntos dadas sus coordenadas,

a) A ( 3 ) , B ( 7) b ) M ( - 2 ) , N ( 4)

” " ( - 4 } * ( - t )

43

Módulo 4


AI term in ar de e s tu d ia r este m ódulo , el a lu m n o :1. Explicará q u é es un intervalo .2. Explicará a qué se le llama intervalo abierto.3. Explicará a q ué se le llam a in tervalo cerrad o .4 . G raftcará co n ju n to s num éricos.

5. Diferenciará intervalos abiertos y cerrados después de «solver una lista de6. Explicará la diferencia entre intervalo abierto e intervalo cerrado.7. Identificará en un gráfico un intervalo abierto y un intervalo cerrado8. Indicará un intervalo cerrado utilizando los conceptos de igualdades y desigualdades.

ESQUEMA resumen

GRAFICA DE UN CONJUNTO NUMERICO

INTERVALO

ABIERTO

CERRADO

45

Intervalo

* < *

4.1 Gráfica de un conjunto numérico

H em os d icho que la gráfica de un número real en un punto en elsistema coordenado lineal, por tanto la gráfica de un conjunto denúmeros será un conjunto de puntos.

Algunos conjuntos numéricos pueden expresarse simbólicamente utilizando el valor absoluto.Por ejemplo:a) I X I = 3, se interpretará como el conjunto de puntos que están a

3 unidades de origen. I X I = 3 ** X = 3 ó X = ~ 3 Solución: {3} U {—3} = {3, —3}Gráfica

-m— •------1------ i------ 1------ 1------ i------ •--- ►- 3 0 3

b) 1 x + 1 I = 5. se puede interpretar como el conjunto depuiv tos que están a 5 unidades d e —1. I X + 1 l — \ X — (—1)1 = 5

lx + l ! = 5 , í>x + l = 5 ó x + l = - 5Solución:

( x l l x - ( - l ) l = 5 } = {x I x + 1 = 5 ó x 4- 1 = - 5 } - {4,-6}

Gráfica: —_ f —f—m —i—i- h—i t «—i—i—- 6 0 4

Definición:

A la gráfica de un conjunto numérico expresado con el valor absoluto y menor que, o su conjunción equivalente, se le llama un intervalo.

c) I x + 1 I < 7 se interpreta como el conjunto de puntos cuya distancia al punto de coordenada -1 es menor de 7 unidades,

{x I I x - ( -1 )1 < 7}i x + l l < 7 < > - 7 < x - f - l < 7

- 8 < x < 6 Postulado 5*3 Solución : {x I - 8 < x < 6} = {x I - 8 < x} H {x I X < 6}

El conjunto es infinito, incluye a todos los números reales mayores que -8 en un caso, y a los menores que 6 en el otro, pero no incluyen * esos números (—8 y 6).Gráfica.-------o » , ■ 4 O ------- -

-8 0 6 O ---------------- --------------------------------------------------— x > -8

Los puntos correspondientes al -8 y al 6 se dibujan “huecos” Para indicar que no forman parte del conjunto de puntos.

46

Intervaloabierto

d) I X - 2 I < 3. Reeuerde que < es la disyunción < ó = . Esta proposición se puede interpretar como el conjunto de puntos cuya distancia a 2 es menor o igual a 3 unidades, {x I I x — 2 I < 3 }

| x _ 2 I < 3 ~ x - 2 < 3 y 2 > - 3 x < 5 y x > - 1

Solución: {x I x < 5 y x - 1} = {x I x < 5} O {x I x > — 1}

En este caso los extremos del intervalo, el 5 y el—1 sí están incluidos por el signo = y en la gráfica aparecerán “llenos” .

Gráfica

—------------------------------------------------------------------------- • X < 5

je > - i • ----------------------------- --------------------------------- -—

----------- .................. .......... 4 —• --------— -- l o s

A los intervalos como el del ejemplo d), en los que los extremos están incluidos se les nombra intervalo cerrado.

Los conceptos intervalo abierto, intervalo cerrado adquieren un valor extraordinario en el estudio del cálculo en unidades posteriores.


1- Determine todos los valores posibles para x en las expresiones siguientes, escríbalos como conjunto solución y grafíquelos.

a) l x I = 10 b) I x - 1 I = 3 c) I x + 4 I > 1

d) I x + 4 I < 1 e) I 3 - x I = 6 Q I 2 - * I < 2

Determine los conjuntos solución o de verdad de los conjuntos que se dan y dibuje su gráfica en la recta numérica. Considere el conjunto de reemplazamiento indicado en cada problema.

Intervalocerrado

^ los intervalos com o el del e jem plo c), q ue no incluyen los ex trem o s se je5 nombra intervalos abiertos, ya q ue p o r la p ro p ied ad de densidad siempre en co n trarem o s o tro nú m ero en tre el 6 y el m en o r m ás p róx im o a 6 que se nos Pue^ a o c u rrir , lo m ism o sucede en c u an to al ex trem o e n -8 .

47i

a) { x € £ l - 3 < x < 1 }{x € £ I x > - 3 y x < 1} - { -2 , - 1 , 0 }

- 3 - 2 - 1 o 1

b) {x G R I x < 2 y x < 6}

d) {x € R I x < 2 ó x < 6}f) {x € /? I x > 3 y x < - 1 }

Rflcpuvsta. En el conjunto solución sólo tendrem os enteros por lo que sólo hay 3 elementos en el conjunto.

c) {x e E I - J < x < | }

e) {x e R I x > - 1 ó x < 3}g) {x 6 R I I x + 3 I < 1}

3. De acuerdo con las definiciones dadas al final del tema valor absoluto, emplee los postulados y teoremas sobre desigualdades para resolver las siguientes desigualdades. Díga sí la gráfica es o no un intervalo, en caso afirmativo si es cerrado o abierto.a) I 2x + 6 ! > 4 b) I 5x - 1 I < 9c) I 3 - 2x1 < 1 d) I 5 + 3x1 < 3

4. Use los postulados de orden, definiciones y teoremas necesarios para resolver las siguientes desigualdades.Graflque en el sistema coordenado lineal el conjunto solución que encuentre, no es necesario justificar.a) - 2 x > 4 b) 3x + 5 < 7x + 4 c) 3x - 3 <. 4

d) 3 y - 5 > 4 - (v - 1) e) 6(z - 2) > 2(z - 4)

f) t jc — 1 I > 8 g) I 4 - I < 6 h) 1 > ~ ~

B1BLIOGRAF1A DE ESTA UNIDAD ‘'ALGEBRA’' Rees. Sparks. Ed. Reverte. 1973.“ ALGEBRA“. Florence Lovaglia, Meritt Elmore, Donald Conway. Ed. Harla. 1973.

48

Paneles de verificación

MODULO 1 - VALIDACION

Sí a > 0 y b > 0 ó « < 0 y & < 0 => ab > 0a > 0 y b > 0 Dado a < 0 y b < 0

a ' b > 0 Postulado 5-4 b < 0 i o V o Teorema 5-1ab > 0 a ( - b ) < 0 ( - b) Postulado 5-4

~ab < 0ab > 0 Teorema 5-1

a e R y a 0 =* a% > 0 Cualquier número real diferente de 0 multiplicado por sr mismo da un producto positivo.

a € k Dadoa > 0 ó a < 0 Tricotomía y a 0a > 0 Hipótesis a < 0 Hipótesis

a - a > Ü -g Postulado 5-4 a - a > 0 - a Teorema 5-4a 1 > 0 > 0

a) 9 - 6 e /> ó 9 - 6 > 0 d) 8 < 5b) ( - 1 ) - ( - 5 ) 6 Í ó ( - 1 ) - ( - 5 ) > 0 e) - 1 < - 3c) - 4 < - 2 ' f) 7 < 14

a) 6 - 9 G P ‘ d) 5 > 8b) ( - 5 ) - ( - l ) G / * . e) - 3 > - 1c) - 2 > - 4 0 14 > 7

a) Definición de números negativos.b) Definición de números positivosc) a =f c b y a b . Tricotomía.d) Teorema 5-2 o definición de “mayor que” .e) 5 < 3 y 5 ^ 3 = » ’ 5 > 3 . Tricotomía.0 x > 0 y x < 0 = » x — 0. Tricotomía.g) Postulado 5-2. Transitivo.h) Postulado 5-4. Multiplicativo.0 Problema 2 . La conclusión obtenida en este problema se puede enun

ciar como sigue: “El conjunto P es cerrado para la multiplicación” j) Postulado 5-2. Transitivo.

49

76 . Teorema 5-4. a > b y c < O s* a c < be

a > b, c < 0 Dadoc < 0 - c > 0 Definición de número negativo ó Teorema

a (-c ) > fc(-c) Postulado 5-4 - ac > - b e

ac < be Teorema 5-1

7. Teorema 5-5. a > b, c > d =*• a + c > b + da > b Dado

a + c > b + c , Postulado 5-3c > d Dado

b + c > b + d Postulado 5-3a + c > b + c > b + da + c > b + d Postulado 5-2 transitivo

8 . Teorema 5-6. a, b, c, d € P a > b, c > d ac > bda > b , c > 0 Dado

ac > be Postulado 5-4c > d , b > 0 Dado

be > bd Postulado 5*4ac > be > bdac > bd Postulado 5-2

9. 2x + 1 > 3 Resuelto en el texto.

10. 2x - > 3x + y

(2x - ~ > (3x + - ) + j ' Postulado 5-32 2 3 2

2x > 3x + Postulado 5-3

2x + ( -3 x ) > ( - 3 x ) + (3x + -7 )O_ X > 1 ■■ r.

6 Teorema 5-1

11. 3\ - , - < l " ■

( - 3 ) > ( - 3 ) 1 { Teorema 5 4

3x + 7 > - 3 i r(3x + 7) + ( - 7 ) > - 3 + ( - 7 ) / , Postulado 5-3

3x > - 1 0

50

( I ) 3 x > ( y ) ( -1 0 ) Postulado 5-4

10x s

l2 _4x < 3x + 7_ 4x + ( -3 x ) < (~3x) + (3x + 7) Postulado 5-3

- 7 x < 7

( - ~ ) ( - 7 x ) > ( - y ) 7 Teorema 5-4

x > - 1

13. f > - * + T

2 - y > 2 ( - 5 x + -|) Postulado 5-4

X > - lOx + y

X + lOx > lOx + (-1 0 x + i ) Postulado 5-3


1. Empezamos por ordenar separadamente los negativos y k» po«itivos, después de escribirlos en forma de fracción.

-2 -8 = - T5- 7-6 = ^ | , 5.2 = i |

__ J_? •> _ 1 _ - _ 2. _ ±? < - i. 10 5 5 2 10 2 5 4

(-28)5 t (-12 )10 ( -1 2 )2 t ( -7 )5 (-2 8 )2 t (-7 )1 0 (-1 2 )4 t (-3 )5 -1 4 0 < - 1 2 0 - 2 4 > - 3 5 - 5 6 > - 7 0 - 4 8 < - 1 5

! / H _ 7 ^ 28 ^ 1 2 . 38 10 10 2 < 10 5 4

Solución: { - { , - 2 .8 , - - £ , - 2 , 1 , 5.2, 7.6}

2. .1 =s _L o í = —— 12 = 123 = 123 1 0 ' ’ 100 ’ 10 0 ’ 1000

■012 = .1235 - - i 23*-1000 ’ 10000

51

Siempre que sea práctico úsese un común denominador antes de comparar.12 3S 120 1230 1 20 0 100 1000

1 0 0 0 0 ’ 1 0 0 0 0 ’ 1 0 0 0 0 ’ 1 0 0 0 0 ’ 1 0 0 0 0 ’ 100 0 0

Solución: {1, .1235, .123, .12, .1, .012, .01, 0}

3 . a > b =*■ a > - ■ - ■ > b => a > — ■- y — > b

a > b Dado u > ba + a > a + b Postulado 5-3 a + b > b + b

y • 2a > ^ {a + b) Postulado 5-4 - {a + b) > ~ ■ 2b

a + b a + b . .J - - > b , * - .

4. -i < - < 1 — < y — < 12 4 2 4 7 4

1 < 2 Orden de los enteros

4 ■ 1 < 4 • 2 Postulado 5-42 2

i < 1

1 i + 1- < — r— < 1 Problema 3 anterior2 2

- < - < 12 2

i < -3- < i 2 4

5. a) 2 < < 7 2

media aritmética -2— = v 2 2

b) = i

c)

d)

e)

- 3 .6 + 2.5 _ - 1.1 = _ H2 2 20

1 3 - 2 + 32 4 _ 4 _ j_

2 2 82 , 11— + 32 _____ 3 _ 1 i

2 2 6

52

6.T e o r e m a 5-9. w , x , y , z < E R y, z > 0; ^ ~ xz > wy

* > — v, z > 0 Dado y z

y . z > 0 Problema 6 inciso i) de los Problemas V-l

vZ . * > y z • ~ Postulado 5-4y y 2 , f . ¿ . . .

x z * y w

xz > yW’ y. z > 0 Dado2 y

y( - • - ) > 0 Cerradura de PV *

( x z ) ( - * - ) > Cvw ) ( - • - ) Postulado 5-4 t y 2 y

? a) ~ > 0 porque ~ e P y ~ - 0 = y € /> " r

b) 1.301 > 1.3001 porque 1.3010 - 1.3001 = 0.0009 E P

c) ~ < - ~ porque ( -7 )4 = - 2 8 < ( -9 ) 2 — — 18, —18 — ( - 2 8 ) = 10 £ F

d) - | c - ^ porque ( - 1)4 = - 4 < ( - 1)3 = - 3 , - 3 - ( - 4 ) = I E P

e) < 0 porque z l = _ Í . y 0 - ( - - ) - - € / >3 3 3 3 3 3

0 | > | porque 5 - 5 > 7 - 3 , 25 - 21 = 4 e P ,

- 1 2 3

- 3 . - 5h> i } - > * porque ~j = j V } - ( - f ) = ( f + ^ € />

i) -3 .0 0 2 > - 3.020 porque - 3 .0 0 2 - ( -3 .0 2 0 ) = 0.018 € P


l©r. Método Com probación

^ < 6 ~AP = BP por ser P el punto (pedio2 < 2 + 6

2

2 < 4 < 6 BP = 1 6 - 4 1 = 2

< — < 6 A P = 1 2 - 4 1 = 2

53

2o. MétodoÁB = I 2 - 6 I = 4

AP = 2 = B PI 2 — jc I = 2 y 2 = ! 6 - x I

-i • 4 = 2 { x l 2 - x = 2 ó 2 - j c = - 2 } n { * l 6 - x = : 2 ó 6 - j c =: _ 212 {x I x = O ó x = 4} n {x I x = 4 ó x =. 8 }

-----,----- , . - {0 ,4} O {4 ,8 }P{x) S(6) {4}

2 < x < 6 x = 4

-4(2)

Comprobación: I 2 - (4)1 = 2 y 2 = ) 6 - (4) 1

2. a) i4(3) y 5 ( - 3 )

Sea P{x) el punto medio

Solución P(0). Compruébela,

b) P(x):

Solución P{- y )

V = 3 + ( -* ) * 2

= f = o

Problema 1

Teorema 5-8

Problema 1

_ - 3 . 0 _ _ _32 " 2

c) P(x):

Solución P{5.2). Compruébela

- 7 + 3 .4* * “ r "

3. a) x = - 1 2 b) x = 12

d) x = I i - s= i _ 4 i = 4

« ^ " «

C) X

e) x = j - i

= -1 2= — i.

3

4. - I a I < a 0.

Demostrar: a 0 => a = \ a \ Definición de valor absoluto

2a. parte

o < 0 y lu í > 0a < 0 0 ^ \ a \ - a y - a < 0 Definición de valor absoluto- I a I — - a- I a I < 0 < a- I a I < a Postulado 5-2

2a. parte

a < 0 ^ \a \ — —a Definición de valor absoluto- I a I = a v'

Conclusión: Para todo a € R, - Id l < a

5. a) Resuelto en el texto.b) la — 6 1 = 1. La distancia entre a y el punto de coordenada 6 es 1.c) I a I > 5. a es un punto cuya distancia al origen es mayor que 5.d) I a - 2 I = 4. La distancia entre a y el punto de coordenada 2 es 4.e) l a l < 5. a es un punto cuya distancia al origen es menor que 5.f) 3.14 < 7T < 3.15. ir es la coordenada de un punto entre los de

coordenada 3.14 y 3.15.g) I a + 3 I > 1. La distancia entre a y - 3 es mayor que la unidad.h) a > 0. a es un punto a la derecha del origen.

6. Demostrar: l a + 6 l < l a l + | ¿ ) |

la. parteDe acuerdo con el problema 4 anterior

- \a \ < a < l f l l- I b I 0 y a + ¿ < 0

a + b > 0 => \ a + b \ — a + bla + b l < ! a ! + l b l Primera parte de esta demostra

ción y sustitución de la igualdad

a + f t e O 3* I a + b \ — - ( a + b)— ( I a i -|“ l 6 l ) < a + 6 Primera parte de esta de

mostración l a l + I b I > - (a + b) Teorema 5-4

la + b l < l a l + l bl Sustitución de la igualdad

55

7. a) 5 + 1 - 3 1 = 5 + 3 = 8 b) 1 6 1 + 1 4 1 = 6 + 4 = 1 0c) 1 - 4 1 + 1 4 - 5 1 = 4 + 1 - 1 ! = 4 + 1 = 5d) 1 - 3 I • I - 4 I = 3 ■ 4 = 12 e) 17 1 - 1 - 2 1 = 7 - 2 = 5

8.

1 .

a) \ x \ = 2

b)

c)

d)

X = 2 ó X = — 2 { -2 ,2 }

x - 2 I = 5 ’= » - x - 2 = 5 ó X — 2 = —5 X = 7 ó X = — 3

( -3 ,7 }3 - x I = 6 => 3 — x = 6 ó 3 - x = —6

X = - 3 ó X = 9 { -3 ,9 }

lx + 51 > 2 =»■ x + 5 > 2 ó x + 5 < - 2X > - 3 ó X < - 7

{x 6 Ä I X > 3 ó x < -7 }e) îx + 5 l < 2 = >,x + 5 < 2 y x + 5 > - 2

X < - 3 y X > - 7 {x e R I - 7 < X < - 3 }

f) l 3 - 2 x l > 5 ^ 3 - 2 x > 5 ó 3 - 2 x < - 5- 2 x > 2 ó - 2x < - 8

x < - I ó x > 4 {x £ /? ! x < - I ó x > 4)

g) I 5 x + l l < 2 = > 5 x + l < 2 y 5x + 1 > - 25x < 1 y 5x > - 3

{x E R

x < ± y x > - }

- * < x < 1 }5 - - 5 J

9. a ) / i Ä = | 7 ~ 3 | = ! 4 i = 4b) M N =: j 4

c ) ^ F = ^

d) T s =

e) /4Æ =

f) M/V =

. ( - 2 ) 1 = 1 4 + 2 1 = 6

3 0 - 7

Va

j 23 I:! ì 4 I

23U

2 3

a\1OO1 _ l 17 1 _ 17

T T 12 1 12 1” Ï23 - 3 -20 Í 23

T " “ I 4 ~~ T3J

T185

~28“

¡85I T


a) Ix I = 10 {x Ix = 10 ó x = —10} = {10, - 10}-io IO

56

u) IX3 {x \ x _ 1 = 3 ó x - 1 = - 3 } = {x I x = 4 ó x — - 2 } = {4, - 2}

c)x + 4 I > 1 {x I x + 4 > 1 ó x + 4 < - 1 } = {jcljf > - 3 ó x < - 5 }

o — *-5 - 3

^ l x + 4 l < 1 {x I — 1 < x + 4 < 1} = {x I - 5 < x < - 3}

o*+—4 e-5 -3 0

c) I 3 - x t = 6 ( x l 3 - x = 6 ó 3 - x = —6} = {x I x = - 3 ó x = 9} = { -3 , 9}

«— + . - i --------3 0

0 f 2 - x I .< 2 { x l - 2 < 2 - x < . 2 } = I f x í - 4 < - x < 0 } = { x l 4 > x > 0 }

J 2 3 4

2. a) Resuelto en el textob) { x E / ? l x < 2 y x < 6 El conjunto solución es infinito , por lo

que queda definido por las condiciones.

{x I x < 2 } n {* | * < 6} x < 2x < 6

{x I x < 2 )

c) {x e E \ - 1 < x < 1 }1 A J

0 2

{ x \ x > - l x e E } n { x l x < l x e E } = { -3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2}

-7/2 9 /4..I -♦— ♦ »■■■■«— “•-■■(—I-------- (— -t----- i—- 4 - 3 0 2

{x 6 /? I je < 2 ó x < 6 }

{x I x < 6!

x < 2 x < 6

— -----'-—O

i

5 7

e) {x e R I x > - 1 ó x < 3}x < 3

* > -i

- 2 - 1 0 1 2 3

f) { x G / ? l x > 3 y x < - 1 } {x I x > 3} n {x I x < - 1 } = 0

x < -4 ------- O O ---------- fc“ x > 3

--------- 1------ ----- 1----------- 1----------- 1------------1—- i 0 1 2 3

g) { x £ / ? l l x + 3 l < l } Conjunto solución infinito {x I - 1 < x + 3 < 1} = {x ! - 4 < x < - 2 }

x < -2 ~ * -------------------------- •• ------------------------m- x > -4

• > i •-4 -3 -2 -1

3. a) I 2x + 6 I > 4 2x + 6 > 4 ó 2 x + 6 < - 4 No es intervalo

2x > - 2 2x < - 1 0 { x l x > - l ó x < - 5 } x > - 1 ó x < - 5

b) I 5x - II < 95x - 1 < 9 y 5x - 1 >. - 9 Si es intervalo y es cerrado

5 x < 10 5 x > - 8 "■ ' { , , * < 2 y *x < 2 y x ¿ |

{je I - - < x < 2 }‘

1 3 - 2x 1 < 13 - 2x < 1 y 3 - 2x > - 1 , Si es intervalo y es abierto

~ 2 x < - 2 - 2x > - 4 ' {x 1 X > 1 y x < 2}x > i y x < 2 {x 1 1 < x < 2}

1 5 + 3x 1 < 35 + 3x < 3 y 5 + 3x > - 3 Si es intervalo y es abierto

3x < - 2 3x > - 8x < 2

3 y x > - ® 3- ! < * < - - 3 { * 1 - f < * <

58

4. a) - 2 * > 4( - ¿ ) ( - 2 r ) < ( - | ) 4

x < - 2{x <E R I X < - 2}

- i

b) 3x + 5 1

* > \

{x t X > — }4 1

c) 3x — 3 < 43x < 4 + 3

(X I X < - j }

7/3

2 3 4

e) 6(z - 2) > 2(z - 4)6z - 1 2 > 2z - 86z - 2z > - 8 + 1 2

4z > 4z > 1

{z\z > 1 }

d) 3^ - 5 >3y - 5 >3y + y >

4y > I 05

' > 2

{y\ y >

4 — Cv 1 ) 4 - 7 + 15 + 5

0 1 2 5/2

I X - 1X -I > 8

x > 9

>óó

x - I < - 8 X < - 7

{ x < E R l x > 9} U [ x e R t x < - 7 }

g) 1 4 - y I < 64 - y < 6 y 4 -_y > - 6

- y < 2 -_y > - 10 .y > - 2 y < 10

{ y 6 /? I j > - 2 } n [ y E /? I jy < 1 0 }

, , . 3x + 7h ) 1 > — —

3 > 3x + 73 - 7 > 3x

3x < - 4

x < - 4-2 0 10 {x e R ! x < - 4/3}

59

Vi.W1's*)«*«•'»« » h.j;-'"« :

UNIDAD VIEXPONENTES Y RADICALES

Introducción

En la Unidad IV hablamos de potencias y definimos ál exponente como un “número de veces” , eso lo limitaba a ser un número natural y limitaba también la flexibilidad de las operaciones con potencias. En esta unidad, extendemos la idea de exponente hasta los números racionales, y conseguimos establecer la correspondencia uno a uno entre las potencias con tos racionales como exponentes y los radicales, mediante el lsomorfismo, facilitando asi las operaciones y la simplificación de expresiones algebraicas.

El concepto de isomorfismo ha sido de gran utilidad para la misma matemática simplificando operaciones como en esta unidad lo presentamos al conseguir operar con potencias en lugar de radicales cuando así conviene; también se ha conseguido aplicar la matemática en otras áreas del conocimiento, algunas como en la música, en donde no se veía relación alguna, gracias al estudio comparativo délas estructuras que establece el concepto de isomorfismo.

63

Objetivos generales

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:Simplificará expresiones algebraicas con exponentes mediante la aplicación de las leyes de los exponentes.Simplificará expresiones algebraicas con radicales.Resolverá operaciones con exponentes y radicales, utilizando el isomorfismo de dos conjuntos.Resolverá operaciones de suma, resta, multiplicación y división con exponentes y radicales.


65

Glosarlo

Potencia. Es la representación de un producto de tactores iguales y se indica x ■ x - , , , =Base. Al factor que ha de multiplicarse por sí mismo.Exponente. Es el número de veces que ha de multiplicarse el factor cuando es positivo y e!

número de veces que ha de multiplicarse el recíproco cuando es negativo.Exponente cero. Una forma de potencia para representar a la unidad x° ~ 1Radical. Es el símbolo ^ ' que nos representa la operación de obtener una raíz enésima.Raíz enésima. Si n es un entero positivo y si a y b ^ R y satisfacen la ecuación an —

entonces se dice que a es una raíz enésima de b .Raíz enésima principal. Se dice que a es la raíz enésima principal de b si y sólo si a" = b y si

n £ JVÍndice del radical. Es el número que indica la raíz que hay que obtener del factor o expresión.Radicando. Es la expresión o factor que se encuentra dentro del radical.Sistema matemático. Está constituido por un conjunto de elementos y la definición de una o

más operaciones con esos elementos.Correspondencia biunívoca. Es la relación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.Isomorfismo. Cuando existe correspondencia biunívoca entre los elementos de los conjuntos y

esta correspondencia se conserva al efectuar una o más operaciones entre los elementos (sin que deban ser las mismas operaciones), se dice que esos dos conjuntos tienen la misma forro*o existe isomorfismo entre ellos para esas operaciones.

Modelo matemático. Es una representación por medio de símbolos matemáticos abstractos de un fenómeno físico o de una relación de ideas cualesquiera.

Módulo 5


A) terminar de estudiar este módulo, el alumno:1 Obtendrá números reales mediante la aplicación de las leyes de los exponentes.

12 Aplicará las definiciones a° — 1 y fr" — — en la obtención de expresiones algebraicas

enteras.3 Aplicará las leyes de los exponentes en la simplificación de expresiones algebraicas.4 Aplicará las leyes de los exponentes en la evaluación de expresiones algebraicas.

ESQUEMA RESUMEN

EXPOfíENTES ENTEROS Y EXPONENTE CERO

Definiciones:

Para todo a E R, a ^ 0, a° = 1

Tara todo a E R, a # 0, a~n = — an

LEYES DE LOS EXPONENTES:

Para todo a, b E R, a ^ 0 y todo n. m E R y bases diferente» de 0 para exponentes negativos o cero.

A ) a m . a n = a m + ti

B ) (a m )n - a m • n

C ) ( «■ b Y - Qn > b n

D )a m

~añ= a m - n

E )< í

r =Qn

b n

67

5.1 Exponentes enteros y exponente cero. Leyes de exponentes.

En el tem a Multiplicación de expresiones algebraicas de la IV, definimos una potencia (a”) como la representación del produ^ de un factor repetido (o), al que llamamos base de la potencia y ° número en la parte superior derecha (n), exponente de la potencia qUe nos indica las veces que se repetía la base como factor.

Ljcmplo:

x 2 = x ■ x, (a + 3) 3 = (a + 3) (o + 3) (a + 3).

Exponentos Obtendremos muchas ventajas si el número natural del exponentt benteros consideramos un número entero cualquiera, n £ E, y probamos que

los teoremas demostrados para multiplicar y dividir potencias, (donde n E N).*e cumplen igualmente al tomar n G E- Recordemos la

parte del Teorema 4-4 que dice

^ = 1 , si m = n, a ^ 0

y si la escribimos en la forma tradicional de las implicaciones. Si

a™m = n => — — am~n = = 1» a zfi. 0

anesto no es posible ya que m no puede ser igual a n, pero podemos usar e*tarelación y la ecuación para justificar las siguientes definiciones:

gtn-n

Exponente Definición: Para todo a 6 R, a # 0 , a° = 1

cero y iexponente Definición: Para todo a e R, a =£ 0, n 6 E, a~n = —

annegativo

Esta segunda definición nos señala que el signo negativo en el exponente, es una forma de indicar que se debe tomar el recíproco de esa potencia.Ejemplos:

a) 5 U = 1 ; ( 2 x y * y = 1 ; (x* + 2 ) u = 1

£0n las dos definiciones, las cuales son consistentes con respecto a stros postulados y definiciones anteriores podemos probar que

nüe trQS teoremas acerca de multiplicación y división de potencias se nlJ p|en y aun se simplifican al considerar n , m G E.

_____ ____ ___________ — ------------------------------------------------------------ ----------- 1—Teorema 6.1. L eyes de los exponentes. para todo a, b 6 R, a 0 y todo rt. m G E y bases diferentes de 0 para exponentes negativos o cero.

A) am ■ an = am + n

B) (amY = am • n

C) (a- b Y = an ■ bn

D)ama*

= am - n

E) r =a*b n

La demostración de este teorema al que llamamos Leyes de los exponentes, puede hacerse usando las definiciones de potencias de la Unidad IV y las dos definiciones aquí presentadas. En los ejemplos siguientes se expresan las potencias eliminando exponentes cero o negativos, identifique con cuidado lo que representa a la base en las potencias, sobre todo cuando hay signos negativos para que no se equivoque al obtener el número.

Ejemplos:

a) = x 5 , (2y ) - 3 (2y ) ' = (2y ) - 1 = ±

b) (x * y = x 6 , (X2) - 1 = * - « = - L

(3xyJ)3 = V x * y 6 = 2 1 x* y6 , {2x iy ) ~ 1 — 2-'i x ~ t y~'1 =

d) a: 3 y 1 i 2 x 3vv r = = x, = y 2 - 5 = y - 3 = ~ , -=H - = 2 x ° y ~ l x y i j J y x y

Eti i manipulación de las expresiones algebraicas unas veces es le escribirlas usando exponentes negativos y cero para que no

e Can facciones. pero en otras ocasiones convendrá más usar sólo la et1tcs Positivos aunque tengamos que vérnoslas con las tracciones;

Periencia y habilidad en el manejo de las expresiones algebraicas y

Leyes de los exponentes

Exponentes negativos

y cero

69

las leyes de los exponentes, nos señalarán la forma más conveniente de usar estas ideas en cada caso.

Ejemplos: Simplifique las siguientes expresiones y escriba los resultad sin exponentes cero o negativos.

i) Sx’ y ’3 x - ‘

(Usaremos dos métodos, el alumno escogerá el que le parezca práctico según el problema).

ler. Método

5x iy ~ i _ 53x-* 3 ■ 1

5x*3-y*+*

Ley D

a° = 1 y Ley D

Sx*W 3

2o. Método

= a-n = J_3 * -’ 3 . _L anJ vJ

S x 2

= -ü L3

x 2

— S x * ’ y*

— S x * 3 ^ *

Lev A

Cualquiera que sea el método, el resultado pnal debe ser el mismo y en ambos, al aplicar la definición de a ~n = cambiamos el número del numerador al denominador o viceversa, sólo que debe observar que esto es válido únicamente con factores. El cambio simultáneo de un factor al denominador y el signo de su exponente no cambian el valor de la expresión.

(£>'3)

j e r. Método

(Recuerde, si el exponente es ceroo negativo la base debe ser

diferente de cero.

( £ ) " - g g . " * " ' - i

C1 )1= Leyes B y C =

' ( V*X4

2* y 1

Xa

4y 1

i

' = . * ! ■4

X4

' _ 1 X4y 1 4

= - X—

4 y 3

En l'I e jem p lo s ig u ie n te se p r e t e n d e resa l ta r el h e c h o d e q u e c a m b i a

mos. de n u m e ra d o r a d e n o m i n a d o r o v ic e v er s a , s ó lo factores.

Ejemplo: *_* + y 1 x + yx + y - 1 + y 1

Detarrollo:


Evalúe cada uno de los problemas siguientes. Use las ieycs de los exponentes para obte ner un número real sin exponentes negativos o cero.

1 .

2 .

25

(2x y

r-~ oo

4-3

( 1 0*)°13. < £ > -

3.

4.

( ~ 2 y y

(-4 X ) - 1

9.

1 0 .

x y • x 4

(4 • 10») (3 • 10~s) (6 ■ 104)14.

5. (2y - ) - ' 1 1 . 3 S ( - 3 ) - J 15.

6 .3 ~ ' x * y ~ *

2 - t X - * y *1 2 . 5o ■ 5 - J

En los problemas siguientes escriba una expresión equivalenteSimplifique.

16. 4 *7 - 1 x 3 5

sin usar fracciones.

18.2x!

19.4X * y ~ *

3JT- '>'*

n" + 1 20 . P

p * n + 3am + 32 1 . am -1

Simplifique las fracciones que se dan en seguida de modo que en el resultado no existan exponentes negativos o cero. Factorice cuando sea necesario.

22 . Úf-1 + 23. (a + 6 ) - 1 24.x ~3 -X -1 •

25.x" - >"»

n _ ¿0 . “Q-t -f- ¿,-1

Evalúe el siguiente problema. Encuentre el numeral que representa la expresión.

„ ( -3 ) - (-2 x )-> , 3o2 ( - 2 a ) - '27• (x + T )-> * - 2 2 8 - — — p ara "

™ 3 pq + q 3 » 29. ■ — — para p = 5 y q = 3

3pq + p 32q K * *

3Ü x _l + 4x~230. —--------- para x = 3

AT4

72

Mòdulo 6


Al término del estudio de este módulo, el alumno:1 E x p l i c a r á c u á l es Id raíz enésima de un número.2 Explicará por qué no se pueden obtener raíces cuadradas o pares de números negativos.3 Explicará cuál es la raíz principal enésima de un número positivo o negativo.4 Señalará de una raiz cuál es el radical y su índice, y cuál el radicando.5 M e n c i o n a r á la utilidad del valor absoluto en operaciones con radicales.(, Obtendrá la raíz principal de una serie de expresiones dadas.

ESQUEMA RESUMEN

RADICALES — DEFINICIONES ^ - h (T R

Si n es un entero positivo y si a y b son £ R y satisfacen la ecuación an = b, entonces se dice que a es una raíz enesima de

n C JV y íi" = b a es la raíz enésima de b

Si 6 £ P existe otro número positivo único “ a ” tal que an — b . Este nútnefo se llama la raíz principal enésima de¿> y se representa como:

____ t f F = a

Si b<( j y n es impar, existe otro número negativo único " a ” tal que an = b Ese número se llama la raíz principal enésima de se representa como -^/F" = a< donde

Jantoft como b son negativos.

a la raíz enésima principal de b si y sólo si an — b y si n £ N y es par entonces «, b £ p.

n £ N y "fE* — a < > an ^ b y (n es p a r m > a, b £ P)

Raízenésima

26 = 2

Ex ponentes pares

6.1 Radicales

En el módulo anterior ampliamos nuestras definiciones exponentes a exponentes negativos y nulos; ahora las generalizare^ exponentes racionales, ya que como hemos visto antes los números real * tienen diferentes formas de representarse. Los exponentes racionales conducen a una de ellas, llamada forma radical, muy generalizada v utilidad se manifiesta para representar los números irracionales" £| termino raíz tiene un significado muy especial en matemáticas, como podemos ver en la siguiente definición,

Definición:Si n es un entero positivo y si a y b son £ R y satisfacen la ecuación! an = b y entonces se dice que a es una raíz enésima de b '

n S y an — b ** a es la raíz enésima de b ^

De acuerdo con la definición anterior podemos decir que: 2J = 4 y el exponente 2 E N, entonces 2 es una raíz cuadrada de 4 pero. (— 2)J = 4 y el exponente 2 £ TV, entonces-2 también es una raíz cuadrada de 4.

En ia misma forma podemos considerar que siendo 34 = 81 y ( -3 )4 = 8 1 entonces3y-3 son ambos raíces cuartas de 81.

¿Qué número elevado a la sexta potencia nos da 64?

¿Cuáles serán entonces las raíces sextas de 64?

- 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 64 (-2 )« = ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2) = 64

¿Qué número elevado al cuadrado nos d a -9?

El teorema 3-13 (-a)(-b) — ab , nos dice que el producto de dos negativos o de dos inversos de dos números es positivo o el producto de los números respectivamente, y los otros teoremas de esa sección nos llevaron a lo que llamamos las “ reglas de los signos en U multiplicación” ,¿Qué conclusiones podemos deducir como c o n s e c u e n c i a

de la respuesta a la pregunta ¿qué número real al cuadrado nos da-9?

3 1 = 9 ( - 3 )3 = 9

No hay número real que multiplicado por sí mismo o e l e v a d o *1 cuadrado dé un número negativo, de donde se deduce que siempre que el ex ponente sea par, el resultado es positivo por lo que no pódelo5 encontrar raíces cuadradas (índice 2) de números negativos.

¿Cuál es la raíz cúbica d e - 8?, es equivalente a preguntar ¿ c u á l es el número que elevado a! cubo nos d a - 8? Respuesta: -2

porque (-2 )* = ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 8

¡a cúbica de-64? (—4)( - 4y = ( -4 ) ( - 4 ) ( -4 ) = - 6 4

p 0 r to d o s lo s e j e m p l o s a n t er io r e s y la d e f i n i c i ó n d e ra íz e n é s i m a d e

un nú m ero c o n c l u i m o s q u e:

n ú m e r o p o s i t iv o se o b t i e n e n d o s r a íc e s r ea les o s ó lo u n a ,

^ p e n d i e n d o d e q u e n s e a p a r o im p a r r e s p e c t i v a m e n t e y q u e d e u n

útriero n e g a t iv o se o b t i e n e u n a raíz n e g a t iv a o n i n g u n a d e p e n d i e n d o d e

qUe n sea im p a r o p a r r e s p e c t iv a m e n t e .

Ejemplo85a) Sea 64 P, la s r a íces c u a d r a d a s ( n p a r ) s e r á n 8 y - 8 p o r q u e

83 = ( - 8 y = 64.b) Sea 8 E P, la ra íz c ú b i c a ( « im p a r ) es 2 p o r q u e e s el ú n ic o n ú m e r o

real q u e al c u b o d a 8.

c) - 2 7 $ P, la única raíz cúbica es —3 porque ( - 3 )3 = - 2 7 ; 33 =£ - 2 7 .

d) -6 4 $ P, la raíz c u a d r a d a n o e x i s t e en el c o n j u n t o d e lo s n ú m e r o s

reales (n parj.

En general se puede decir que existen exactamente n raíces enésimas de cualquier número real, sólo que no todas son números reales y quedan fuera del campo que estamos estudiando, por lo tanto es muy conveniente que cuando esté trabajando con números reales tenga muy presente la siguiente:

Definición: ______________ ______ _______________________ ______Si b S P existe otro número único “ a” tal que an — b. Ese numero se llama la raíz principal enésima de b y se represent i como

______ síb ~ a.

Ejemplo: \ / l 6 . La raíz principal cuarta de 16 es un número positi- Vo que elevado a la cuarta potencia da 16, es decir 2. Cuandu-2 se eleva a la cuarta potencia también da 16; pero siendo un número negativo no 1° podemos llamar la raíz principal de 16, de ese modo cuando usamos radicales representamos a números únicos.

i^ finieión:^ < 0 y n es impar, existe otro número negativo único “a" tal que

Ese número se llama raíz principal enésima de .^J^Presenta como \ fb = a, donde tanto a como b son negativos.

Raíces de números

positivos y negativos

R a í zp r i n c i p a l

Raízprincipalenésima

75

Ejemplo: ^ / —27 = : — 3 que es la raíz principal de -27

Ya vimos antes como siendo b negativoy n par la raíz enésima de ¿ no existe.. n¡~

i y b no existe cuando n es par y b < 0).

Ejemplos:

1 . 27 es el núm ero que elevado al cubo da - 2 7 , es decir ( - 3)

= - 3 .

2 . v ^ Í 6 no existe entre los elem entos de R ya que n es par.

'I'odo lo anterior se puede sintetizar diciendo :

Definición:a es la raíz enésima principal de b si y sólo si an — b y si íl 6 iV y par entonces a, b £ P.

n £ N y s fb = a o an = b y {«espar =*a,bGP)

En donde \T~ se llama radical.

Al número n se le llama índice del radical y no se acostumbra escribirlo cuando es el 2.

A b o a la expresión debajo o contenida en el radical la llamamos radicando.

Ejemplos:

a) n/ 9 = 3, se lee raíz cuadrada (n = 2) de 9 igual a 3.

b) ^ 8 l = 3, raíz cuarta (n = 4) de 81 igual a 3.

c) n /- '4 no existe, raíz cuadrada de - 4 no existe.

d) = - 2 , raíz cúbica de - 8 igual - 2 .

Como consecuencia o conclusión deducida de nuestra definición rie raíz principal de índice par, en el sentido de que ésta es siempre un número positivo, situación similar a la del valor de una distancia para la que se introdujo el concepto de valor absoluto, podemos emplear ese concepto para asegurarnos de tomar la raíz principa! cuando usam o s

literales. Consideremos la definición de raí/ enésima de b .

\ fb = a o an — b y (n es par => a, b £ P)

Podemos deducir que cuando b = x n l a d o b l e i m p l i c a c i ó n queda en la forma siguiente:

\ I x n = a o an = x n y (n es par => a, x G P)

Pe la igualdad de potencias an — x n concluimos que las bases )n ¡guales a — x, sólo que si n es par. ¿cómo asegurarnos de que se

ti'n’P13 con: (n eS par ^ a’ X € Sabemos que xn £ P porque n es par, ¿pero número X 7

Una forma de asegurarnos de que se cumpla será escribir = y entonces

\íx » = l x l

Ejemplo*'* = - 5 => x J = (~ 5 )3 - 25 x 1 6 P pero x ^ P

Entonces s f í ^ s y = 1 - 5 1 = 5 . "

La raíz cuadrada de - 5 al cuadrado es el valor absoluto de - 5

í x f si x > 0Sea x e R =* \ f x 2 - < - x , si x < 0

^ 0 , si x = 0

En otras palabras V x 3 = ¡ x t

Ejemplos:

a í '/ íila ’ = I 9a I, de este modo a puede representar un número positivo o negativo y de cualquier modo nuestra proposición es verdadera.

b) V a3 + 2a + 1 = V (a + 1 ) J = t a + 1 1

c) sÍ9xA = \ / (3 x a)2 = 3x* No fue necesario tomar elvalor absoluto ¿por que?

d) >J\xl + 1 )* — x J + 1 Este es un caso semejante alejemplo anterior; siendo X1 un número siempre positivo por su exponente par, no es necesario considerar al valor absoluto.

Si suponemos que \J x 1 = X (sin tomar el valer absoluto), par? todo* ^ R, cuando x = -1 tendríamos:

= - 1 es decir > / ( - 1)2 = \ f ( ^ 1 ) (— 1 ) — v/ 3 = - 1

,“ntonces tendríamos dos raíces principales para 1 ; —1 y 1 lo cual es falso PUes contradice nuestra definición: n es par => a, b G P, aquí a y -1 £ p.

f) \/(o - 3)1 = I fl - 3 I y l a - 3 1 ^ a - 3

para algünos valores <je

g) o > 3, \¡{a - 3 Y - a - 3. \ j na vez condicionados los valores de a de modo que sea positivo, no es necesario tomar el valor absoluto.

h) n/x* — x

i) v/2453 = 245j) \ /(x - 2y ) 4 = I x - 2>» I , .


1 . ¿Qué entiende por la raíz enésima de un número? ¿Y por la raíz cuadrada? ¿Y por la cúbica?

2. ¿Cuál es la raíz enésima principal de un número? Explique.

En los problemas del 3 al 22 escriba la raíz principal de la expresión que se da. Recuerde que es un número único.

3. -/T é 13. v C ?

4.

14. s / - 2 7 x 3

25 15. V64x*

5 . \ Í T Í 16. \ / x * y 2

6 .17. V 27 a*b*

7 . N /(-4 y '■ ' ; ! 19. « y -8a * k b * c 9k, k G N. -t:> ■ t f ■

8 . n /^64 , 2 0 . n/Cx - 2) 1 , x > 2

9 . \ /^ 3 2 2 1 . n/(x ~ 2) j , x < 2

10. VTóff’ 22. Va* + 4a" + 4, fl € /?

1 1 . ^ 1 6

Módulo 7


Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

1 D e f in ir á lo q u e e s u n s i s t e m a m a t e m á t i c o .

2 Explicad 3 qué se refiere el isomorfismo de dos conjuntos.3 Explicará qué es un modelo matemático.4 E x p l i c a r á el concepto de exponentes racionales.«i Explicará la ampliación de la ley de exponentes.

Aplicará el conocimiento sobre exponentes racionales, en la obtención de expresiones algebraicas equivalentes con radicales.

7 Simplificará expresiones algebraicas con exponentes racionales y radicales usando las leyesde los exponentes.

ESQUEMA RESUMEN

— I so m o r f i sm o d e d o s c o n j u n t o s

— M o d e lo m a t e m á t i c o

— E x p o n e n t e s r a c io n a le s

— A m p l ia c ió n d e la ley d e los e x p o n e n t e s

Para to d o a , 1) C i ? a , I) ^ 0 y m , n C D :

79

Isomorfismo

Modelomatemático

7.1 Isomorfísmo de dos conjuntos. Exponentes racionalesUn conjunto de elementos y la definición de una o más operaci

con esos elementos nos sirve para constituir lo que se llama un matemático; existen infinidad de sistemas matemáticos y a muchos * ellos se les ha encontrado una aplicación práctica, ya sea en la física ^ química, la economía, la lingüistica, la informática, etc a u n / V *i »uu en lasartes hay aplicación de los sistemas matemáticos, y a eso se debe | importancia de estudiar la estructura de esos sistemas matemáticos poder así establecer comparación con los conjuntos de fenómenos eos o de elementos artísticos y de ahí el descubrimiento de cotres pondencia entre los elementos de esos conjuntos y los elementos del conjunto de números reales. Así se descubrió que a cada sonido le corres ponde un número y viceversa, por ejemplo al sonido Dole corresponde el número 256 que son las vibraciones por segundo que nuestro oído registra con esa nota musical. Dos sonidos simultáneos como el Do y el Mi se corresponden con el número * que es la relación de sus

frecuencias. Del mismo modo se estableció una correspondencia entre los elementos de la pintura, el color básicamente, y los números reales, pues a cada color le correspondí- mui frecuencia, sólo que ahora la percibe la vista en lugar del oído.Definición:

Cuando existe correspondencia blunívoca o uno a uno entre los elementos de dos conjuntos y esta correspondencia se conserva al elec- tuar una o más operaciones entre los elementos, (sin que deban ser las mismas operaciones), se dice que esos dos conjuntos tienen la misma forma para esas operaciones o que existe isomorfísmo entre ellos para esas operaciones.

Lo anterior significa que un conjunto cuyos elementos son fáciles de manejar en una operación nos puede servir como modelo del otro en el que la operación correspondiente pudiera ser muy difícil o inclusive, pudiera ser imposible provocar la operación a voluntad, por e jem p lo :

podemos trabajar con números reales y crear arte, pues las o p e r a c io n e s

válidas que efectuemos con los números tienen resultados que se cumplen en su conjunto isomorfo sea música o pintura y decimos que trabajamos con un modelo matemático de una realidad a r tís t ic a .

Esto hace de las matemáticas instrumento formidable para el tísico que en muchas ocasiones no puede producir un modelo real par*1 comprobar una teoría o tiene que esperar años a q u e la n a t u r a l e z a &

produzxa, e n cambio los modelos matemáticos son prácticos, e c o n ó m i c o s

y accesibles.Aun entre los mismos sistemas matemáticos el i s o m o r f í s m o de

diferentes conjuntos nos p e r m i t e s i m p l i f i c a r l a s o p e r a c i o n e s en ufl

80

efectuando otras más simples en un conjunto isotnorfo, (en el C°n R epresentación geométrica de los números reales, sin saberlo terTl2 ei ¡somorfismo entre R y A para “visualizar las operacionesaplicamos ei ^ j r r

fícándolas \ \ \ , « 7 7 ¡ • ; Las o p e rac io n es con po ten c ias o jes p resen tan m u ch a s d ificu ltad es y es conven ien te b u sc a r el

r orflsm ° con o tro c o n jü n to que nos p e rm íta s im p lifica r el m ane jo de ^ ^ * eiem entos. C onsiderem os p ues los sigu ien tes co n ju n to s:

M co n ju n to de potencias enteras de x, x un valor indeterminado. £. co n ju n fo de enteros.

M — x - 1 , x ~ l , x ° , x 1, x 1 , x s,...}$ $ $ $ $ $ $

E = { ...,-3 , - 2 , - 1 , 0, 1 , 2, 3 ,...}

A nalizando la c o rre sp o n d en c ia b funívoca e n tre los e lem en tos d e M y E y dos operac iones d e fin id as en cad a u n o de e llos, p o d rem o s establecer si existe isom orflsm o e n tre ellos.

Fu el conjunto M están d e fin id as dos o perac iones de acu e rd o con el teorema Leyes de los E x p o n en tes , la m u ltip licac ió n y la elevación de potencias. :tm . jc" = xm+n; (jt"‘) ” — x m n ( m , n, £ E )

La elevación de po ten c ias la sim bo lizam os con * (léase estrella) de modo de escrib ir (jcm ) w com o jc** * = jc” — y"1,11 ( m , n, £ E )

M es cerrado para esas dos operaciones.

x* - x - 2 = jc3 ; ( x * y = jc4

Como ya sabemos E es cerrado para ia suma y la multiplicación, «bservemos entonces que hay correspondencia de esas operaciones con las dos mencionadas para M.

Es decir que la operación de sumar enteros corresponde a Îíi de multiplicar potencian enteras de una misma base ^

+ E

Y la de multiplicar enteros corresponde a ia de elevar a * M mui potepcia entera las patencias enteras de x. $

E

Sabemos por el estudio de Ja estructura del conjunto E que las operaciones vistas cumplen con todos los postulados de campo, excepto el de inversos para la multiplicación, razón por la cual se amplió este conjunto, formando e| con jun to /) de los números racionales con cuyos elementos siempre son posibles las cuatro operaciones fundamentales. Entonces ampliemos también nuestro conjunto M , considerando ahora exponentes racionales para las potencias de x y formando así el conjunto

aque llamaremos / = {x b \ a, b E ) . Verifiquemos si se conserva el isomorfismo entre los conjuntos l y D para las operaciones ya discutidas.

' A'■> 1 > •••« V - x .

Ambos conjuntos son campos porque siendo / de la misma forma que D y D u n campo, entonces / también lo es, y para cada elemento existe un inverso en las operaciones correspondientes.

En D n + ( - « ) = 0; n • - - 1 n e D, n i - 0n

En / x " * x _n = ; x" * x ” — x 1 n E D, n =£ 0

yEl elemento inverso para la elevación de potencias (*) es * n de

modo que siendo estrella (*) una operación conmutativa, ( / es un campo), podemos escribir:

82

2 ±* x n — x n * x n

]_ ldecir x ” * xn ~ (•*")" ~ x ' por la definición de *.

e S .1.

“x ” elevado a la potencia n nos da x ” .

C o m p a r e la e x p r e s i ó n a n t e r io r c o n la s d e f i n i c i o n e s d e ra íz e n é s i m a .

“ 2 e le v a d o a la s e x t a p o t e n c i a d a 6 4 ” p o r lo t a n t o 2 e s l a r a íz s e x t a

de 64.2 = v 6 4

a e levad o a la p o t e n c ia n nos da b " . p o r lo ta n to , ¿ í e s la ra íz

enésim a d e ¿ . q = nf^

Complete usted la siguiente implicación: i

“Si x n elevado a la potencia n nos da x, entonces...”í_

D e su c o n c lu s ió n p o d e m o s d e c i r que el n ú m e r o X n e x i s t e , e s real y

es ún ico y qu e u t i l i z a n d o el isomorfismo p o d e m o s c o n s id e r a r la s

o peraciones con lo s e l e m e n t o s d e / e n lu g a r d e la s o p e r a c i o n e s c o n lo s

radicales.

Definiciones:

X* — v'x, x t R, n £ <V y si n es par =* x > 0

mx'1 = \!x*n — ( v x V n , x E R, ™ E D v si m es par > 0n '

Ejemplos:

a) 27^ = ^ 2 7 = 3

b) 16^ = n/T ó = 4

c) (-16)* - y - ~ Í6

d) 81 = = (< /8)2

= V m = ( 2)2

4

C o m o los n ú m e r o s r a c i o n a le s t i e n e n un n ú m e r o in f in i t o d e r e p r e

s en tac ion e s q u e p o d e m o s c o n o c e r o e n c o n t r a r a p l i c a n d o e' t e o r e m a

(— — — d e b e m o s t e n e r c u i d a d o d e c u m p l i r e x a c t a m e n t e c o n lasy y r

q u e n o está d e f i n i d o p o r q u e s i e n d o n mi

n ú m e r o p a r la b a s e d e la p o t e n c i a o r a d i c a n d o

es n e g a t iv o .

*3

definiciones, cn el sentido de que la base de la potencia debe sernúmero positWo para poder aplicar el teorema 3-19, ya que se ™ ^ôrre piriesgo de cometer errores ai cambiar la representación del

i i » P°nentecomo se muestra en los ejemplos siguientes:

i - . - - ( - 1 6 )2 ^ ( - 16)’ ' 1 = (-16)* El numerador del exponente cambió de impar

a par, siendo la base un número negativo.

Í -1 6 V - v - 1 6 que no existe.

( -1 6 )* = v H 6 )= ó ( V ^ T ó )5Correcto

= </ 25 6 ó (número que no existe)1

- ^ o no existe ese número real. Incorrecto

( - 2 1 Y ^ { - 2 i y ' 2 = ( ~ 2 i y >t. El denominador cambió de impar a par, siendo la base negativa.

( -2 7 )* = V -2 7 = 3.

( - 2 7 ) 1'* = </(- 27 )’

- </?29

= 3

(número que no existe)

no existe ese número real.

Correcto

Incorrecto

Podemos ver entonces que la aplicación del teorema 3-19 al expolíeme nos conduce de una respuesta única, a una disyunción en la que no se dice cuál de las proposiciones es la verdadera y en ocasiones la disyunción es falsa como en el ejemplo 2.

Una conclusión que podemos deducir del ¡somorfismo entre los conjuntos / y D, es la ampliación de las Leyes de los Exponentcs o Teorema 6-1, considerando a m y n números racionales en luguf de elementos de E,

Al igual que se indicó con los exponentes negativos y cero, en el de expresiones algebraicas unas veces es conveniente el uso de

»1®* y otras su equivalente con exPonentes racionales, equivalencia* trada con el isomorfismo entre los conjuntos I y D.áeWoS

Ejempl°s:Cambie la expresión de modo que no tenga exponentes fraccionarios

negativos y encuentre el valor más simple para ella:

(2_ .r = 2 - T = 2 - ‘ = l

/ 8 \ - I _ /125\ f = 12S3 3 _ ( ' Ÿ ï ï ï y = 5^ ^ 25 2) Vi25/ \ 8 / 81 ' 3 ( ÿ g ja 2* = 4

3) (23 + 34)1 = v/22 + 3* = >/4 + 81 = \ / I ?

i i i NOTA: (2 1 + 3*Y # (2 1)1 + (34)í

Cambie la expresión de modo que no contenga radicales.I

4) v 8 - 87

5) </& & = (81 a>y = (81)* (a> f = 3a3,A

6) Va1 4- b * = (oJ + b ' ) 'n

7) n/(ü3 + ¿>3)c3~ - [(¿z1 + ¿ » V ] ’ = (a* + = (<*3 + *')*<

Cambie la expresión de modo que toda sea un radicando del índice que se da. Considere sólo valores positivos para las variables.

8) Indice 2

a) 2x = (2x y = ( 2 x ÿ = \ f ( 2 x ÿ = sÍ4x'2 . ' .

b) 3rJ' J = (3 r »)í = % /(> » )* = \ ¡

¿) + { 2 x f = [5x* + (2x)*]* = y ] [5x'J + (2 x f } '

= (5 * 1)1 + 2 ( 5 x b ( 2 x ) in + [(2*)»'*]»

+ 2 ( 5 ) (2x)'íri ( x ‘r¿) {2 x V - + ( 2 x ? =

y B T + ' 2 ( 5) ( 2 ) jc(jc)1'-’ ( 2 x ) ' ~ + 83 *3 = ^ 2 5 * + 20x + &x*

8 5

d) a + 2 = (a + 2 ÿ = V(a -f 2)* ■ = n/ût2 + 4a + 4

9) Indice 3

a) 3a = O a f = V ( 3 a ÿ *=

b) 3 \ /x = (3x*)* = N/C**7)* = \ 27x*

c) x + 2 = (x + 2 ) ’ = V (x + 2)3 = \/x* + 6x3 + 1 2x + 8


Escriba en los problemas del 1 al 6 una expresión equivalente usando radicales, toda la expresión debe ser radicando.

]1. x 3 3. 4 a3'4 5. (27a»)1"

2. 3* 4. (2b )s' i 6 . ( 256 ) 1/s

En los problemas del 7 al 11, esc ríba u n a expresión equivalente que no contenga radicales ni fracciones.

7. i/a* 10. Va3 - 43

8 . V * ’ + y ’ 1L

\ [ x ’T

9. v x 1 + y 1^ 2x ^

En los problemas siguientes, efectúe las operaciones indicadas y simplifique usando las leyes de los exponentes ya generalizada a exponentes racionales. Considere que todas las variables son números positivos y no debe dejar exponentes negativos, cero o fraccionarios en la respuesta.

i1 2 . ( A ) - i

27 15.

13. (,0 1 )3/J16.

1 3

X * * X 2 ■ X '

14. ( 100 )° 2 1

2x 3 17. x 3y 2t 3

x 3 yT

86

24 . (tf1 - b7 )(û* + b 7 )

' ' ì 12 5 . {a' — b ‘ ) ( ¿r' + £73 b

2 6 . ( >/x + V ) (X + y)

5

27. (x ! + i )‘ i ( x 3 + 1 )( (x J + 1 )*

87

I

Módulo 8


Al te rm in a r de e s tu d ia r este m ódulo , el a lum no:1 D em o strará a lg u n as leyes de los rad icales.2 U tilizará las leyes a n te rio re s en la sim plificación de expresiones con radicales.3 R e s o lv e r á m ultip licac iones con rad icales sim p lifican d o el re su ltad o .4. D efinirá Jas condiciones p a ra Ja sim plificación d e rad icales.5. Resolverá divisiones de expresiones con rad ica les , sim p lifican d o el re su ltad o .b. R acionalizará d en o m in ad o re s en c u a lq u ie r fracc ión sim p lifican d o los resu ltad o s.7. O b ten d rá expresiones eq u iva len tes con ín d ices p ro p u esto s a expresiones con radica

les dados. . . ,8. S im plificará el indice de rad icales dados.9. Resolverá sum as y restas de expresiones con rad ica les , sim p lifican d o el re su ltad o .

ESQUEMA RESUMEN

LEYES DE LOS RADICALES

A ) — b

B) t fá b = ( a b V /n =: a1'" b l n = \ / F

( o n d ic i o n e sp a r a la

' ' i m p l i t i e a c i ó n -

(lc r a d i c a l e s

e lim in arse del rad ican d o .2. El ín d ice del rad ica l d eb e se r el m ín im o posible.3 . No d eb e h a b e r tracciones en el ra d ic an d o , es d ec ir q ue su d e n o m in a d o r

1. Todos los factores con potencias enésimas exactas o múltiplos de n, deben

d e b e s e r r a c i o n a l i z a d o .

SumaOPERACIONES _ Resta CON RADICALES Multiplicación

División

L E Y E S D E L O S R A D I C A L E S

Si a, b Ç iR , n Ç N y n ingún rad icando es negativo si n es par:

A) — à Demostración: \ /b ^ ~ = bn,n; como — — i : n — 6

B ) \ZÔb = y'o" \ / b Dem ostración: \ / a b = ( a b ) ht' — a l/n bx ” = x"/“~ v"V Q yè

C) b ^ O Demostración ; '\J~JL — / ÍL V /N — _ v« “v ¿ \ / f r ¿ \ b / b i n

D) = "y/cT Demostración:

‘V v ' « ’ — ( a 1/n) 1/w = a 1' "’ = ai/» .« _ m,„/~_________________________________________________ ,________________ ^ y i

A c o n t i n u a c i ó n la s leves d e l o s r a d ic a l e s se u s a n en c a s o s n u m é r i c o s para ob s e rv a r su fun

c i o n a m i e n t o .

Kjcmplos:

A ) \ / 3;( — 3 ; ^/{x l +■ y - ) 4’ = X- - f y¿

\ / { x — l ) 2 ~ ¡JC — 1 ! (Recordar definición de valor absoluto en laUnidad V Módulo 3 y su relación con los radicales en esta unidad al final del Módulo 6.

B) \ / 5 4 = \ / 2 1 ■ 2 = < / r f < / 2 ^ 3 ^ / ï

\ / x ^ v” * —

( y - 2 ) 6 S /Cÿ - 2 ) u ( y - 2 ) “'» ' ( y - 2 ) ‘

o »

90

8 .1. Leyes de los radicales. Simplificación de radicales. Multiplicación y división

L a s expresiones de la form a \ fb nos rep re se n tan a un número único a, al que Ñamamos raíz princ ipa l enésima d e b y como se m enciona an tes Jutv casos en los q ue es m ás ven ta joso ex p resa r la c a n tid a d con un rad ica l en lugar de usar ex p onen tes fraccionarios.

Las leyes de los rad icales se desp ren d en de las leyes de los exponentes (T e o r e m a 6- 1) ya genera lizad as, y es necesario ten erlas presen tes al t r a b a ja r con radicales. R ecuerde que

\ íb — b n y si n es par =* b > 0 .

C om o una activ idad c o m p lem en ta ria p ro p o rc io n a las justificaciones en las ciem ostraciones de las leyes B, C y D.

Aprovechando estas leyes de los radicales puede cambiarse la forma radica! de las siguientes maneras:

a) Quitar del radicando las potencias múltiplo del índice, para lo cualfactorizamos antes.

1 . \^32, se factoriza n^2 s se separan los factores que sean cubos perfectos21 y se aplican las leyes B y A.

<Í32 = \J 2 3 ■ V = <ÍV \ / v = 2 \/4

2. x^SÍx^y' = v 3 3 • 3j( >y 't = v^ 3* 3^ 6 3x*y = 3 x y 2 ^ 3x*y

1. \Í2Sx* podría

b) Reducir el índice del radical, sin olvidar que el radicando debe ser positivo.

= \ f (5 x 3)2 = (5x3)1/6 = (5 x 3)3 = \ /5 x 3 . Un segundo método ser:

= 3 2 5 xb = \ / \ / (5 x 3)2~ =

c) Racionalizar el denominador. Radomlimr lignltlci W W ffafir la expresión por una equivalente sin radical m donó» wilMttqMC.

Se busca un factor (z)tal que haga que el radicando en el denominador tenga un exponente múltiplo del índice del radical y usando el teorema

— = — se efectúa el producto. y yz

91

=</T

V 8.r*

3/ 9-4 v^36 = >^36v 2» 2

j a x ¿ j ax- _ ^/ax*\ I x2 x2 V x4 '¿/x4

</ 8x* b‘

( x ) 1

*/ 7gJy* 2xb* _ J O a ' y ' Y W ' ) _ vÎ4fl»b*xy»

V 2 »x'b' 2xbJ ^ 2 *x4b* v ^ x b 7?v ^ x b ’)«

14a* b* xy»2 xbJ

Simplificación de radicales

En algunos problemas lo conveniente puede ser la racionalización del numerador para lo cual seguirá el mismo método, buscando entonces que sean las potencias en el numerador múltiplos del índice. La ráelo* nalización,ya sea del numerador o del denominador nos simplifica una división de radicales, pues sólo se busca una raíz y se efectúa la división en lugar de buscar dos raíces y luego hacer la división.

Decimos qLe un radical está en su forma más simple o que ha sido simplificado cuando se cumplen las siguientes tres condiciones:1 . Todos los factores con potencias enésimas exactas o múltiplos áen,

han sido eliminados del radicando como en los ejemplos del inciso a) anterior.

2. El índice del radical es el mínimo posible, simplificándolo como en el ejemplo del inciso b).

3. No hay fracciones en el radicando, e s decir que su d e n o m i n a d o r fue racionalizado, ejemplos en el inciso c).

Una vez que los radicales están en su forma más simple, se procede a efectuar las operaciones con ellos, aunque no es condición indispensable haberlos simplificado. En las operaciones de multiplicar y dividir radicales se consideran dos casos: 1 ) radicales con igual índice, 2) radicales con índice diferente.

92

i

Mu!nPlicaCÍÓnCaS° 1-l operación se e ectúa apocando la ley de radicales B.

% * = V ï l f b

Ejemp,oS:

a) (2 ^ 4 ) ( 3 ^ ) “ 2 * 3 ^ 4 ^ 1 6 = 6 ^ 4 16 = 6 ^ 6 4 = 6 • 4 = 24

b) V45aJx y 5 = V(15ax3) (45a* x y 3) =

= ^/( 15 • 15 • 3 ) (a ■ a¿) (x* ■ x ) (y 1) = v ( 151*1 ) 3 ( a u¿) (*3+1) (y8) =

— \ / l 52 • 3a:t jc4 y:t — VÎS2 xA =

- ( 152/a • xA/*) V ^ 7 = 15 . ^ \ Æ 7

Multiplicación caso 2.La operación se efectúa aprovechando el isomorfismo* con los txpo*

nenies racionales y sus leyes para cambiar a radicales con indices (goales«

Ejemplos:

a) yfS V T = 5* 2 = 5' • 2‘ = v'I7 ■ - tfv = </25 • 8 = <^200

b) v/óx7 \ /4 x 4 y 1 = (3-2x3)* (2Jx4 y, )ï = (3-2x3)3/< (2 1 x4 y*)*'4

= y/(3‘ 2x 3)3 ^ (2 J x 4 y 1 )’

= ^ 3 3 -2 ’ x 1 7 y 4

= 2xJ v 54x* y4

División caso 1.Esta operación se efectúa usando la ley de radicales C.

I a _ v/tf x xz«1 - -^= y se simplifica usando el teorema — = —

Ejemplo: 6 n/T _ _6_ ? / 5 _ ^ a / 5-3a _ 3 n/45~ _ v r r 2 /3 2 V 3 V 3*3J 3

División caso 2.Al igual que en la multiplicación buscamos cambiar a radical«

con el mismo índice, usando los exponentes racionales*

Ejemplos:

b ) x/30- = (3q)t t ^ 480 (48a)ï

1 2(3 a) =

(48a)

— = / 34f l~

ÎMI V 33 2 ,!,a3

El problema de la racionalización de radicales en una tracción pUe(le ser en algunos casos bastante complicado y es necesario qUe vea cn seguida algunos problemas de los tipos de racionalización tnás frecuentes.

Ejemplos: Racionalización 4

de radicales a)5 - >/5

5 - > /5 5 - \ Í 6

5 j V 5

5 +V5

El tactor que agreguemos debe ser tal que )a potencia del radicando iguale al índice, pero que no deje otro radical en el otro término. En este caso usamos los binomios conjugados.

(5 - V ?) (5 + nAs) = 25 - 5.

4(5 +>/5) _ 4 ( 5 + V f ) _ 5 + \/5~

5 * -(V 5 V 25 ~ 5 5

b)

c)

1

\ Í 2 + 2n/3

1

1 + \ ¡x + 1

_ \ ¡ x + 1

^ 2 - 2 ^ 3 s /2 - 2 ^ /3

V2+2n/3 V 2 -2 v /3

V x + 1

s / 2 - 2 ^ / 3 = \ f 2 - 2 s f ï

( J Í y - { 2 s f ï y ■ 2 - 4 - 3 - 1 0

1 - Æ T

l + \ / x + i l - v ' x + l ( l ) 1 “ ( s f X + 1)*

V x + 1 - (n /x ~ + IV _ V x + 1 - ( x ± D

1 — (x + 1)

V x + 1 - X - 1-x

8.2 Suma y resta de radicales

Radicales Se dice (3ue 2 0 m ^ s rad icales son semejantes, c u a n d o tien en el m ism o

semejantes índice y el mismo radicando.La suma algebraica de radicales se reduce a combinar todos los

radicales semejantes en un solo término.

94

EJel,npl<»8:

^ j g + \fsÔ - y/ Ï 2 Ninguno de estos radicales es semejante, por lo que debemos cambiar su forma o simplificarlos.

= v ^ 2 + V25 -2 - v /3 6 ^ 2 = 3 ^ 2 + S s f l - 6 ^ 2

= (3 + 5 - 6 ) s i l

= 2 ^ 2

b) 4 v^Í2 + 5 V 8 - v/sÓ - 7 \/4 8

4 V 4 ^ 3 + 5 V 4 T2 - \/2 5 * 2 - 7 > / Í 6 - 3 = 8 ^ 3 ■*> 1 0 ^ 2 - 5 s i l - 2 8 v^3

= I0 V 2 - 5 n/2 + 8 n /3 - 2 8 \ /3

= ( 1 0 -5 ) ^ 2 + ( 8 - 2 8 ) n/3

= 5 n /2 - 20 V 3

c) v/3 + -^81 - V 27 + 5 \^3

= V3 + \ /2 7 - 3 - ^ 9 ^ 3 + 5-^3 = >/3 + 3<Í3 - 3 ^ + 5 ^

: = - 2 ^ 3 + 8 ^ /3

d ) <Í432 ~ </2S0 +

</6*-2 - ^ 5 ^ 2 + - y j / T = 6 ^ 2 - 5>5^2 + ^ f

= 6 ^ 2 - 5 \ / 2 + - ^ 2 ‘- 4

= ( 6 - 5 +

= 4 ^ 2


Demuestre la ley de radicales C.

V b

Demuestre la ley de radicales D.

En los problemas del 3 al 16 reduzca el radical a la forma más simpie

Recuerde que: \fx* = 1 x 1

3 . \ /8 0 4. 5 ^ 2 4 3 5. a s/d b 'c* 6 . V 32

7. \ /T 9 2 o , b'7 8 . \/8 1 z* x* y 5 9. / i .V 9 4

10. v ,6 4 x 7 y*6 11. 2a 'Ja2 + 60 + 9 12. - -Z_25

Vx+5

13. \ / 12x 4 - 36x*y* + 27y4 14. V a n b 2 " cs',+1 dn+2

15. 16. > /* ■ Vx= v V

Efectúe las multiplicaciones y simplifique el resultado.

17. V U T e 18. \ / x 3- y J V x - y 19. (V 6 + \^3)(>/6 - 2 \ Í 3 )

2 0 . + 2 1 . \ /9 x sÍTÍx* 22 .

23. (2 + ^^3) (2 - v^3) 24. (Vx + y - z) (\/x + y + z)

Efectúe las divisiones y simplifique el resultado.

25. 4V^ 26 3 ^ 7 ' 5 ^ 2

27 . ^ + 4 s/2 - 5n/8 NOTA: ( - ^ = 7 + 7 ) ">8

2 9 v/a b 2 -r ■ 1 y " ; ■

>'/a1 b

Racionalice los denominadores y simplifique.

30. 31. 32 . — 2— 4 \/5 4 ^ 2 + V3

3 3 I + ^ ^4 x ^5 1 Ver el Proble-

l ->/2 x + V y ‘ ma de Vl'3

96

to+ft + c = [« ♦ * )♦ « ) 37.F3' i + V x + x û s / b + b V â

1 3 9 . J - V x + 17 2 ^ 3 ^ 1 + V x + 1

Convierta los radicales dados a otros de índice 12 .

tí7 41. V xÿ 42. </a» 43. \ / 2 ^40. V 5

Simplifique el índice de los radicales dados.

9 45. '^8 0 * F 46. Vx* + 2*}’ + y 1

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique

47. 3 \/8 + 2 n/Ts 48. \ Í S l - ^ 2 4 49. 5 s i l - <Í64 + 2 n/32

50. ^2 + ’5 16 - v^54 51. \/4 (x + y) - 2 \/9 (x + y ) + 3V x+y

52. 2a \^27x*y + 3bN/8x*y — 6c \^ -x3y

~~ + ^4 ' ^ a ' ^ QÍ + ^ b ’ c 5 + V a’ bsc

55. ^ / T * | VÏ08 - ^ 9 56. - i - ♦ 3V 3 2 2 + V ? 5 + 2 ^ 5

BIBLIOGRAFIA DE ESTA UNIDAD

D"lchmi, Mary, Berman, Simón, Wooton, William. “ALGEBRA MODERNA Y TRIGONO- MErRlA". Ed. Publicaciones Cultural. México. 1967.

Ordenas. Luis. Raggi. Tomás. ’‘TEMAS 1. ALGEBRA”. Ed. Sociedad Matemática. México. 1970.

L

97



_ J ___ = 1(-4x>* 16xJ

I 32 2 . 8 x* 3. 4y* 4.

J _ - X. 6 2a X* x» _ 4x^ - _j_ _ 15. 2y*' " 2 ‘ 3y*y4 3yT 4 » ~ 64

g. ( 1 0 0 0 )* = 1 9. x*r 10. 4 « 3 *6 » 101 = 7200• j" \

11. (^ p = 3*- (-3)* = 3 ’ - 3 ' - 3 ’ ' 12. 1 • j , = i

13. (■§)' = -J! - 14. ( | ) ‘ ( y ) ' = = 3>-2 = 54

,5 f 2i’ ) = _L_ « J_, - > . :1J- 2* 2>-2* 2’ y ,M C ‘. IA-< à

16. 5*-> 17. 5 - f . : st 19. 4 - 3 - x*y*

2 0 . p í » * i ) - ( 2 « * 3 ) = p f i - í = p < n * % ) , , ; , , rt 2 1 . a 4

íH'í* <■ - 'vt'íí r23.

Æ + h V

1 , 1 a + ba b ab

1 1 y ¿ -X*X* y 1 il X M

J » Jx’ y1 x*y*

X" - y"(xn - y«) (x2» +x"yi

® + b a* + b*b* J* _ tf*b*- i ♦ 1 a + b» b ah

9 (x * lV 1 9(3)»( - 2x)* (-4V

w . - 1a

I ¡I,a +b w : Ü.!

V i-»*r if ' .<'V! Íf/'M

ii'J î- -■■■'■ ' •'•¡•i- ,’y íil;'t0T»iií

s a * b1ab

99

«, 1 3 a¿ 33 * ( - 2*)-» 3«’ — - y f l

28, ~ ~ 8 + a 8 + fl 8 - f f l

- y ( _ 2 ) 3 i

8 + ( — 2 ) 6 2

8 -f* oi

3P9+9 32p ;3 pq+p 32 q

3° x~y + 4 ;r2

9Q _____; — _______ — 3(P9+9+2p) - (pq+p+2$)------ ~o- — 3P9+P+2«

= 3p-9 = 30-3 = 32 = 9

■". 1 * £

30. « , . ( l . i . + 4 . l ) = * ‘ ( - í ± i ) = Jí ( i + 4)

, r . . E ,, 1 : : ?: , Tí ) = 9 (3 + 4 ) = 63 f


1. Se entiende por raíz enésima de un número, otro número tal que elevado a la potencia n se obtenga el número dado. La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado da el primero y la raíz cúbica es otro número que al elevarlo al cubo da el primero.

2. La raíz principal enésima de un número es, como se define en el problema anterior, otro número que ekvado a la potencia n da el primer número sólo que si el primer número es positivo, la raíz principal también lo es y si es negativo, la raíz principal sólo existe* cuando el índice es impar, y también es un número negativo.

3- ; « ■ > / £ - ! * 7 - 3

6 . = \ 7 - v ^ - í ) 3" = 1-41 - 4 &. t V -6 4 No existe

9. < ^ = - 2 J J 1 0 . VTóo’ = 14a I 1 1 . vTó = 2

12. \ / —1 = — " 13. V -4 2 No existe 14. \ f - 27x3 - -3xV aJ \ a \

100

wj 5 >/64xa = 8x 4 16. V x4y7 — I x a y 1 17. \/2 7 a s b ‘ = 3abJ

i g N/a 4kb3k = l a 3*1! )* ! (Se toma valor absoluto porque k puede ser impar y b negativo)

19 V -8fl6kb3kc,k = - 2a ,kbkc3k 2 0 . V ( x - 2)J, x >2 = x ~ 2 '

2 1 , \ í ( x - 2 Y , x < 2 = Ix —21 2 2 . V a 1 +4c + 4 = \ /(a + 2)1 = la+21

MODULO 7 - VALIDACION:i Sw:' i : . '

1 . x* = v x" 2. 3 ,,s = V3* = v^9

3 « J | ________ ' ' í * i ■ '

3 , 4a7 = 4I a 7 = (4 4j *)4 = <Í4*a* = vz256ar

i ____ ___ *■ . *i ,;,í ____J4. (2b)’ = ^(2b)* = >5 32b* 5. (27a»)-11 = (27a*f m </21a9

6. (256)',1J = (256)^ = V 256 7 . > /¡? « « M

8. V x ] +y* = (x* + y*)* 9. / - = r^L1 = — i------r * (xJ+yJ)- *Y x 3+yJ v x U y 1 (x1+y2)T

y--------- 1 ¿i J / v l ,, i i10. v a 1 - 4 1 = (flJ- 4 J)í 1 1 . x x . y _ (x*y)* (2xy, )~ *

V I H ?

12 (± \ - i - - 27* _ V27 3 ' \* j “ ✓ *' 27 - ‘-g > - gi - - f = - 2 '

13. (.oí)? = (_1_)T _ _ L _ - — !— ■ _ L « _ L_ 100 100- (-/lOO)1 10* 1000

1 5 = Í - L . Y ’ ,\ úix*1 / \ 4 a 3x / \4a*x*J

14. ( l o o r = • C2x* 2 V i \ “* " / \ 4 * ' x J \ 4 a ' x ‘J , / j j

1 £ i i i i S I *1 _i b . x 4 . x J x ‘ = x 4 + I + 4 = x ,a = > ? x ”

i ¿1 7 x T y J ¿ » i i. - i x* f . -------- = x , í . y l , = x y .t = x

X * y J/1 ^

101

m

ecu

e = CC.X*£')/> * (,x¿£),(X6 ) £ = *U*¿ZMX6 ) = ,(.»x¿Z)«(*6 ) = >x¿£/\x6 / \ ' \ i------------ i -1 - - i t : T -------

X + Xxys£+X = ,(Xy\+Xyv) ‘Q£

i 'j '

j O'

A ~ \ t\ = t(X-x)(A + x)/\ = (¿-X) (,¿-tX)/\ = / U x ^ t/t- tXy\ ’g[

I . ^ = E l ‘ g -« c ^ * -¿ i

> =J ^ A ' £ ’C =

OUJ31IV OpOJ9p^

* »‘XA s LiX == «i ¿ Xt = £ Í í X' t X} =' 91 7 9t 7 9

i-Li[iX|tX} = e( £X -»Xj.X} = ei l i(tx)tx]tx} = ,X^,XA tX A ‘ÇJ... v. < * ' »r . *

V, ;< - j-»

/•. "*■«■;• \vi

. 'W jf i V ' ü ? í , ' 2 i í 'Sl

,\ rfHT1jí ¿? — uppu^c^tR^ ~ m_( i * up i ♦ ue 3 wtQ u^) ~ t-»op ;+mç3m:Qk /^ ^ I

f Ï T '

0 < i¿ í~ i* l -£/> { z ¿ Í - z * Z ) =

A j * î - i X P t / ' ~ ( »¿6 + « ¿ tX Z I - A t jE A = >&LZ+ t* e* 9 £ - >*l IA ,£:l

S ^ ( S - X ^ U S I - X Í - ( s ^ T Â J T ç Z ^ x y S3 .. X 31

\£+o\i>Z =

l i î+ ty / ' n = b+ v9+ _0 f°Z ‘I I _*fc i-A kXt? = x(,.X »X ,» ) /v = ,.X tx f9 /^ ‘Ol

Ü A - f = çryv gsA ■ I >4A*X2gy> X ‘XZ£ = (t^ 2£ ) («* »X (2 t g)/\ = tX , X > Z I 8 / ^ '3

W A « v s - (qgç)(*q»g »z)A « tq«pz6iA

*9 £/^>«q»e = «3»q6/M> ç

»6-«C^S * 6'JZfiS = > 01f t t = 01 ^ = QlSf i = 0 8 £ '£

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U~ ^ = 7 . j T * 1 ? q- i _ p M '"V

W , ||0 = -rfe"" “ ■■:;■•I ' T \¿ .,,: ¡. ., 1

^ ; N o o v a n v A - 8 c r m a o w ^

= j _ 0 + « * ) = , 0 + « * ) • = * ( l 4 , x ) #( i + ex ) l (i + tx) ' ¿z1 7

t(X + x )/\. » w (X + x) = (X + x ),(X + x ) = (X+x) X+x/s. *9j

q - ® * ,(«q) - ,(«*) = (« q + .q . j + . f lK ç q - «»)t i » i

> >q - » = t(*q) - t(t») = ( .q * »»X tq -t» ) > £

, . T i i i i if . ' ■: x

V ^ q g Ä «3«q.-x «Z = « (O ^ i _*£)

* « q .^ g - C « -* tK «q^) * («•*£) tuq«»«fr) = ( « j^ ) i ( .q c » 9 i ) ‘z z

6 4 32 2 . V x V x </x = X* x 3x 4 = X1- x !J x i: - 'V x '3 = x<7x

2 3 . (2 + V 3 ) ( 2 - ^ 3 ) = (2 )J - (V 3)3 = 4 - ^ 9

24 . (Vx + y - z )(V x + y + z) = (Vx + y)2 - (z)3 - x + y * - z1

25 4 ^ 2 8 = 4 V~2ÌT 7 = 4 V f ? = 4 - 2 - 7 8 , ,,

3>/7 3 -7 3 -7 3 -7 3

2 6 . — ^ = 2 y / % ~ = 2 s / 35 V 2 v 4-

?7 vr3 + 4 v /2 - 5 V 8 = V j + 4 V 2 - 5 V 8 < V2_ = V ó + 4 V 4 ~ 5 V Ï6 =V2 V2 V 2 _ 2

- ^ + 4 - 1 0 = — V ¿ - 6

28 . _ * ß * b = y Ü T = i v^Tb", \V 8ab3 ^ 8flb’ V b J b

29 = 6 / a ^ _ ô /b f = 6 = _1 * / ^ - 4

’ ^ (a ’ b)^ V ff4 b ? " V f l 5 ' û û

3 0 2 V 3 2 n/3 n/5 _ 2 V l5 _ V Ï5

31.

4 V 5 4 V 5 V 5 4 -5 IQ

2 V 3 = 2 ^ 3 ^ = 2 V 75 = \ Ï Ï 5

4 V 5 4 ' ^ V 5 7 4 - 5 10

32 . — = 3 £ L _ ^ _ = 3 ( 2 = 3(2 - V 3 ) = f -3 - % /32 + V 3 Í2)1 - ( V3)1 4 - 3 ;

3 3 i * s . ' Ij =1 - V2 (1 )J - ( V 2 ) 1

3 4 X = xj x - V y )

x+ Vy xJ - y - k ■2 I J_ 1 2 1 1 2

i 1 ■ (x â - x J y* + y 3) x * - x 3y 9 +y*j/— ,/— — i i i ’ i i - .^ x + Vy (x3 + y3)(x 3- x 3ys + y J) x y

104

x ^ V x = x + V x = (x + V x ) [(1 + x ) - V x l = Xa + V x____

1 + V x + x (1 + x) + V x ( l + x V - ( V ^ ) * (1 + 2 x + x 3) - x

X3 + V x

1 + X + X 1

a V b - bV a _ (a V b - b v<ö (a Vb - b Va) _ a + b - 2Vab

^ av'b + bv'a (a V k )5 - ( b V a ) 1 a ~ b

38 .1 = i > t ( v 2 + v 3 ) - v s ] ________ = V 2 + y j - V s

V2 + v^3 + V5 [(>/2 + >/3)+>/5]K>/2 + > /3)-n /5] (V2 + V3)3-(V 5 )J

= V 2 + y j - ' / s = v n + y i s - N ^ o = 1 n/ 3 + i 7 2 - - 1 - v 1 ò2 Vö 2 - 6 6 4 12

T: <...■>‘V r. v ■3 9 i - ^ T m = ( i - V T m ) 1 w 2 + X - 2 VjTm

1 + Vx + 1 1 “ (x + 1) -X

4 0 . V 5 = 57 = 571 = </625 ; 4 1 . V ^ = (Xy)^ - (xy )^ = ^ y 6

n 2n __r t_4 2 . VÍ7" = a‘ = a 11 = 4 3 . V 2X3 = (2 x 3) 3 = (2X1) 11 = ‘V l6 x a

4 4 . V9 = (3 1)4 = £ = v/3

----------- j _ J. _i i l l _____4 5 . V8a*b* = (2 3a 3bs) ' 2 = 2 iaa ,3 b 'J = 2*a*bA = V2ab^

4 6 . V x1 + 2xy + y 3 = V ^ + y ) 1 = (x + y)* = (x + y )4 = Vx + y

47. 3 V8 + 2 V Î8 = 6 V2 + 6 V 2 = 1 2 V 2

48. V sl - V24 = 3V3 - 2V3 = V349. 5 V2 - \/64 + 2 V3 2 = 5 V2 - V8 + 2 V3 2 = SV2 - 2 V2 + 8 V 2 = I IV 2

50. V 2 + V Í6 - Ì / Ì 4 = \ /2 + V 8^2 - V 2 7 -2 = V 2 + 2 ^ 2 - 3 ^ 2 = 0

51. V4(x + y) - 2 \/9 (x + y) + 3V T + y = 2 V x+y - 6 V xV y + 3V x + y = - vÇ +y

52. 2aV 27x*y + 3b V 8xsy - ócV-òc’ y = 6axV y + 6bxVy - 6 c ( -x ) Vy

= 6x (a + b + c) Vy105

b a ab ab

"'J?:54, Va* be* + v/ab^c* + >/a*bsc = aeVabc + bJ c Vcbc + a 4bJ Vabc

% ■■■ = (uc1 + b3c + a4b2) Vabc , * ^4 *f ;A ,• - / . 'I ' <■’ > l V >

55. + ■ |' / ï0 8 -y 4 '9 = + ( i * 9 - l ) V 3 = - y V 5

* . * . 3 . i O z ^ l , . - 4 (2 V ? ) , 1 ( 5 - 2 ^2 * V s 5 + 2 v ÿ ' 2’ - 5 5J - 20 5

= - 8 + 4 V5 + 3 - - V5 5

- ' V - " . = ü ^ _ 55

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106

UNIDAD VIIAPLICACIONES

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si rà $

Introducción

En las unidades anteriores Hemos completado nuestras nociones fundamentales de la estructura del conjunto de números reales y de la manipulación de las expresiones algebraicas que los representan. Es muy importante que se haya adquirido suficiente habilidad y destreza en la manipulación de las expresiones algebraicas antes de iniciar esta unidad, para poder concentrarnos en los temas que aquí trataremos.

En esta unidad presentamos quizá 1á parte más difícil en la solución de problemas, el planteo en lenguaje algebraico.

Veremos como traducir el lenguaje ordinario que usamos al proponer los problemas o las situaciones reales, al lenguaje matemático que nos facilitará la simplificación o la solución de dichos problemas; las expresiones algebraicas resultantes pueden ser lo que llamamos ecuaciones o inecuaciones.

Los reactivos de autoevaluación se agrupan según el tem a considerado como problemas sobre mediciones, dígitos, comerciales, de mezclas, de movimiento, trabajo, etcétera, y en la misma forma se presentarán cuando vayamos a practicar con nuevas técnicas algebraicas o nuevos conceptos matemáticos, procurando mantener una relación lo más estrecha posible, entre los temas abstractos y su aplicación a la realidad.

109

Objetivos g e w a le s

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:i. Traducirá a expresiones algebraicas las condiciones de problema* planteado* en lenguaje

común. .. 0 ;!. Resolverá ecuaciones de primer grado con una incógnita. v

Resolverá desigualdades que contengan una variable. , ,l. Resolverá ecuaciones fraccionarias que contengan una variable. ,,,, íf:>. Planteará y resolverá problemas en términos de ecuaciones. ¡: ,

I yo s-'WÍ. :!■<■■■ :u : <'■ r.\\\ fr\ ■ . ff.

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10


Glosario

*.v< 5» ■

Idioma o lenguaje matemático. Conjunto de símbolos y reglas que sirven para expresar proposiciones.

Iraducir a lenguaje matemático. Proceso por el cual se pasa del lenguaje ordinario al lenguaje matemático.

Ecuación. Es una expresión algebraica que tiene una igualdad condicionada para ciertos valores de la variable.

Resolver la ecuación. Proceso de despejar la variable o incógnita.3rado de la ecuación. Es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable.Desigualdades o inecuaciones. Son los problemas que a) simbolizarse algebraicamente con

tienen símbolos de mayor que, menor que o diferente a.Polución de inecuaciones o desigualdades. Es el proceso de encontrar el conjunto solución, el

cual generalmente es infinito.Ecuaciones fraccionarias. Son las expresiones algebraicas que tienen por lo menos en algún

denominador a la variable cuyo conjunto solución se está buscando.vlínimo común múltiplo. Es el número mínimo que tiene como factores a todos los denomina

dores de una ecuación fraccionaria.

112

Módulo 9


Al term inar de estudiar este módulo, el alumno: iV1. Traducirá al lenguaje matemático expresiones del español.2. Reescribirá problemas utilizando lenguaje matemático. ¡

. ¡ ESQUEMA RESUMEN

LENGUAJE COMUN --------- LENGUAJE ALGEBRAICO

ESPAÑOL --------- ALGEBRA

Ejemplo:

El doble de un número ■ H ^ v - ; .

es 25 --------- 2 * = 2 5 ■

Uso del álgebra

El lenguaje matemático

9.1 Planteo de problemas

Una vez comprendidos los postulados de campo y de orden, y después de haber practicado su aplicación así como la aplicación de los teoremas que se derivaron de los postulados, el trabajo con los elementos del conjunto i?, es decir con los números reales, empieza a mecanizarse y como en los deportes aquellos que más practiquen llegarán a dominar mejor esas mecanizaciones. Llega un momento en que se preguntan ¿para qué me sirve esta habilidad en el manejo de los símbolos y de las expresiones algebraicas? ¿Cómo aplico esto a la vida real si en ella no encuentro esas expresiones algebraicas producto de la mente humana? Bien, para contestar a éstas y otras preguntas de quienes estudian materias abstractas consideremos las siguientes reflexiones:

Hemos aprendido un nuevo idioma, otro lenguaje; el de la Ciencia Matemálica; nos servirá para desarrollar más esa misma ciencia si eso nos atrae; pero también utilizaremos en las demás ciencias esta forma de expresarnos; el razonamiento matemático nos conduce sin dudas o desviaciones a la verdad, y esto es muy importante aun en los problemas de !a vida diaria, pues es necesario tener la certeza de que, aplicando correctamente nuestros postulados y teoremas, llegamos siempre a una conclusión válida o verdadera; pero los problemas de las ciencias experimentales y los de la vida diaria los encontramos o los planteamos en el lenguaje ordinario y aquí está realmente el problema más difícil, necesitamos traducir al idioma matemático para poder usar nuestros conocimientos y habilidades matemáticas y encontrar con certeza la verdad.

| Como en la traducción de un idioma a otro cualquiera es necesario, en primer lugar, comprender totalmente la proposición, interpretando

; correctamente los términos y modismos que pudieran utilizarse; en ■ segundo lugar, debemos estar familiarizados con las formas de expresión ’ y modismos del otro idioma para traducir correctamente.

.! Ejemplo: Debemos interpretar correctamente la oración en inglés | what is up? Pues la traducción literal no nos dice gran cosa en español,

sobre todo no dice lo que realmente se pretende decir. Es necesario ; conocer ambos idiomas para darle la forma más fácilmente compren

sible. Literalmente sería ¿qué está arriba? y la traducción correcta es ¿qué1 sucede?

Lo mismo tenemos que hacer para traducir del español al lenguaje matemático; primero debemos asegurarnos de comprender las condiciones de un problema para después escribir las expresiones algebraicasque “ digan" lo mismo.

114

r

Ejemplos:

ESPAÑOL ALGEBRA

i' '■ll ■■ ■■ , u: .

Y;*.-;-.í ;/;11 : : n , v> '

a) Encontrar dos números reales. Sean x, R...

b) El doble de un número es 25. 2x = 25

c) La suma de dos números. x + y

íVl La suma de dos números dividida entre >o¡ í j t X ,- . xy . „ . . . , .......

su producto. ‘ , j¡

e) Un número es el triple de otro. , , x = 3y

f) El triple de la suma de dos números. 3(* + > 0 =

g) El perímetro de un cuadrado es 20 (aquí

son necesarios conocimientos geométri- 4x = 20

eos además de algebraicos para interpre

tar el término cuadrado).

h) El área de un rectángulo es de 25 unida- (l. „. .

des cuadradas (igual que en el anterior, x *y

rectángulo debe estar definido com o el (¡ ‘ •

área de esa figura geométrica). A"!, V;

i) El cinco por ciento de un número. ]oO~ * ^ j) Las dos terceras partes de una cantidad. 2 x ' ! j '

k.) La parte menor de 50 sí la mayor es x . 50 - x í V ' ’

1) El producto de dos números es como ' - .*7 >

mínimo 230. , x y ^ 230 tr ;

m) La suma de dos números es mayor que 12. x + y > 12 J

n) La ganancia máxima es de 20 pesos. G < 20

°) Un número es 8 unidades menor que otro. x = y — 8

P) En un rectángulo el largo es 20 unidades

más que el ancho. Ü = a + 20

*0 ¿Cuánto cuestan n artículos de 20 centa

vos c/u? (A quí es necesario conocer las

unidades monetarias) 20 n centavos

r) ¿Cuántos pesos cuestan n artículos de 5

centavos cada uno? .05 n pesos

Traducción del español al lenguaje

matemático

115

s) El precio de un artículo si dos artículos 25cuestan 25 2

t) El precio de n artículos si tres artículos 15cuestan 15 T ' "

u) Dos números que sumen 50 x, 50 — *

Como puede ver en los ejemplos anteriores las expresiones en español se pueden traducir a expresiones algebraicas en donde es o ser se traduce com o-, como máximo se traduce ^ , como mínimo se traduce una cantidad y otra se traducen x —y , etc.; pero la traducción en muchos casos no es posible hacerla directamente de la expresión verbal o escrita que nos dan y es necesario cambiar la forma o aplicar otros conocimientos para interpretar correctamente esa expresión, y en algunos casos tendremos que reescribir las condiciones de un problema para poderlas comprender y después traducirlas al lenguaje simbólico o matemático.

Cuando un problema es fácil y la condición o condiciones son claras, nos es posible traducirlas a símbolos matemáticos sin vacilación. Ejemplos:1. Encuentre dos cantidades cuya suma sea 13 y cuyo producto sea 24.

ESPAÑOL ALGEBRA

Dos cantidades... ¡ , í x, y...cuya suma sea 13... . x 4. y — 23

...cuyo producto sea 24 , ; x • y — 24

2. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perímetro de 540 metros, si sabemos que d Uu$ 0 mide 30 metros más que el ancho.

i?.'.;- f - - > i - í-*■ -¿ir--'

ESPAÑOL ALGEBRA

Encuentre las dimensiones de un terreno rec- largo — xtangular con... , : . ancho = y...un perímetro de 540 metros, 2x + 2y — 540 si sabemos que el largo mide 30 m más que elancho x = 30 + y (el conocimiento del término rectangular, nos dice que tiene dos dimensiones) (Conocimiento de perímetro)

En los dos ejemplos anteriores las condiciones son proposiciones muy claras y es posible traducirlas de inmediato a símbolos matemáticos. En lo s casos más difíciles las proposiciones no dan con mucha claridad las condiciones y es entonces cuando se necesita el conocimiento del idioma español para concentramos más en el significado de las proposiciones que en las palabras mismas y así poder reescriblr el problema utilizando otras palabras, términos o modismos que sean fácilmente traducibles a símbolos. Ejemplos:J. Encontrar un número entero menor que 100 que sea 12 unidades

mayor que 5 veces la suma de sus dígitos. El cuadrado de la suma de sus dígitos es 39 unidades menor que el triple del entero inmediato mayor.

ESPAÑOL ALGEBRA

Encontrar un entero menor que 100 Se reescribe:Encontrar un número de dos dígitos como máximo

x dígito de las decenas y dígito de las unidades

El número es... IQx + y (valor de posición de los dígitos)

12 unidades mayor que5y*cesia suma de sus dígitos Se reescribe:5 veces la suma de sus dígito*

más 12 unidades

nos dan el número

5(x +■ y )

5(x + y ) + 12 ’ ''

S(x + y ) + 12 - lQje + j f

El cuadrado de la suma de sus dígitos es 39 unidades menor que el triple del entero inmediato mayor Se reescribe: ‘El entero inmediato mayor. (10* + y ) + 1 ^

3(1 Qx + y + 1)

3(10x + y 4- í ) - 39

(x + y f

tres veces

menos 39 unidades

nos dan el cuadrado de la suma de sus dígitos '3(10x + y + 1) - 39 = (x + y)*

2. Encontrar el lado de la base y la altura de un prisma recto de base cuadrada, si su superficie tiene un área de % cm 2 y su volumen es de60 cm 3

x — lado de la base y - altura

ESPAÑOL ALGEBRA

Encontrar el lado de la base y la altura de un prisma recto de base cuadrada si su superficie tiene un área de 96 cm2 *

Se re-escribe:

El área de una base v - ' más el de la otra base y el área de cada uno de los 4

lados rectangulares (ancho por largo) nos suman un área de 96 cm2

Los conocimientos geométricos nos permiten “visualizar” la figura, observando que tiene dos bases y sus lados son rectángulos

x 2 "2 x 2

4Axy2x2 + 4x y — 96

Su volumen es de 60 cm3 Se re-escribe:El área de una base

por la altura nos dan un volumen de 60 cm3

x 2yx 2y = 60

Los ejemplos nos dan una idea de la traducción del español al lenguaje simbólico o matemático y , podemos observar que no es fácil; sólo la práctica que obtengamos nos ayudará, y com o sucede con los idiomas que si se abandona la práctica, se olvidan fácilmente los vocablos y modismos, así la falta de práctica hace que se nos olvíden los símbolos y expresiones algebraicas.

> REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

Exprese las siguientes proposiciones en símbolos algebraicos, no se intenta resolver problemas, sólo plantearlos.1 - 2 unidades más que 5 veces un cierto número.

2. La parte menor de 100 si la mayor es x.3. Las dos partes que forman 100.4. Tres enteros consecutivos.5. Los dos números cuya diferencia es 10.6. Cualquier número impar.7. Tres números impares consecutivos.8. La cantidad que 5 veces un número excede de 60,9. ¡m cantidad que 75 excede de tres veces un número.

10. Si 2n representa al primer núfriero entero ¿cómo representa al tercer número entero'7

11. Si 2n representa al primer número entero, ¿cómo representa la suma de los primeros cuatro números enteros?

12. El número de centavos en pesos.13. El cuadrado de cualquier entero.14. Tres veces el entero inmediato mayor.15. Lo que excede el cuadrado de un número a su doble.16. La diferencia de los cuadrados de dos enteros consecutivos.17. El costo en centavos de n artículos si tres se adquieren con 10 centavos.18. El costo en pesos de ti artículos si dos valen 15 centavos.19. La fracción cuyo denom inador es 4 unidades mayor que el doble del

cuadrado del numerador.20. El perím etro de un rectángulo si un lado es 3 cm más corto que el triple

del otro lado.21. El perím etro y el área de un rectángulo si un lado es 4 metros mayor

que el doble del otro lado.22. Los litros de alcohol contenidos en un tanque A que tiene x litros de

una mezcla de 40% de alcohol.23. El total de litros de alcohol si juntam os los del tanque .4 del problema

anterior a los de un tanque B que tiene y litros de mezcal al 20%.24. La suma de dos números es 21 y un número es el triple del otro.25. El producto de dos enteros consecutivos es 72.26. La suma de un número y su recíproco es 34/15.27. Hace 10 años Juan tenía cuatro veces la edad de Memo; ahora la edad

de Juan sólo duplica la de Memo.Plantee la expresión que nos lleve a la solución.

¿8. Un papá es 24 años mayor que su hijo. Dentro de 8 años el papá tendrá el doble de años que su hijo. Escriba una expresión que nos lleve a la solución.'

29. Cuando se aumentan 4 m etros a cada lado de un área cuadrada, el area aum enta 64 metros- cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del área original? Sólo planteélo.

^0. La longitud de un rectángulo es el triple de su ancho. Si el ancho se dism inuye en un metro y se aum entan 3 metros al largo, el área será de

f e

119

72 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo original? Sólo planteélo.

I. El perímetro de un triángulo isósceles es de 84 centímetros y la longitud de uno de sus lados iguales es dos tercios de la longitud de la base. Encuentre la longitud de la base del triángulo.

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120

Módulo 10

OBJETIVOS ESPECIFICOS -

Al term inar de estudiar este módulo, el alumno:1. Definirá el término ecuación.2. Despejará la incógnita que se señale de cualquier fórmula.3. Resolverá ecuaciones de primer grado con una incógnita.

ESQUEMA RESUMEN

SOLUCION DE ECUACIONES: ;

1. Despejar una incógnita.2. Resolución de la ecuación.3. Fórmulas.— Ecuaciones que éxpcfeuui ünaley.

v i '. . _ • . . -M . á j f ■ y* ■' fX

f f ■; . I.

v Jt ,;xi! ■ V" -Oi-v, ,¡

0 £

121

10.1 Solución de ecuaciones

} ecuaciones luyen ibolos igualdad

En ía traducción de! idioma ordinario al lenguaje simbólico, hemos visto que el planteamiento nos conduce con frecuencia a expresiones eij las que se incluye el símbolo de la Igualdad. Estas expresiones las definimos en el tema de ln Unidad III con el nombre de ecuaciones» dijimos que una ecuación es una Igualdad condicionada para cierto« valores de la variable. Encontrar esos valores que forman el conjunto solución es el proceso de resolver la ecuación o como también se le llama el proceso de despejar la variable o incógnita.

Como recordaremos, el proceso de resolver una ecuación o despejar una Incógnita consiste en ir paso a paso transformando la ecuación dada en otru equivalente, utilizando para ello las propiedades de la igualdad, postulados y teoremas ya demostrados. Por ejemplo:

4* + 6 = 2x + 18 ■* 2x + 6 = 18

(Agregamos ~ 2 x a cada lado de Ja igualdad)

Con la misma propiedad aditiva de la igualdad podemos transformar la expresión

2x + 6 = l S ‘, , 4x + 6 = 2 x + 18

(Agregamos 2x a cada lado de la igualdad)

Es decir que podemos usar la doble Implicación

4 x + 6 = 2x + 18 2x + 6 = 18

por lo que ambas expresiones son equivalentes o significan lo mismo y por lo tanto podemos estar seguros de que tienen el mismo conjunto solución para*.

2x + 6 = 18 *+ 2x — 12 (Agregando—ó)

2* = 1 2 * * * = 6 (Propiedad multiplicativa-^-.yteorema de la división)

por )o tanto 4* + 6 = 2* + 18 ** * = 6

Regla de Inferencia déla cadena

Comprobación« 4(6) + 6 — 2(6) + 18

24 + 6 == 12 + 18

30 = 30122

F

por supuesto que la mecanización del proceso, nos permite saltaro menos pasos de acuerdo con la destreza adquirida en el mane-

ño de las expresiones algebraicas.El nombre despejar la incógnita proviene principalmente de la

solución de ecuaciones literales, es decir, ecuaciones en las que ade- 01& de la variable se utilizan otras letras para representar números teales, de m odo que la solución no es numérica sino una expresión algebraica y la le tra que representa a la variable de la expresión puede cambiar en cada ocasión que se usa esa expresión, dependiendo de las cantidades que se conozcan; a esas expresiones se les conoce en las diferentes especialidades con el nombre de fórmulas, y son ecuaciones que expresan una ley, una regla o un principio general.

Ejemplos: a )F = ma\ esta fórmula expresa una ley física en donde F representa el valor de una fuerza, m el valor de una masa y a representa el valor de una aceleración.

La fórmula se lee: Fuerza igual a masa por aceleración y cuando se conoce el valor de m y de a , se sustituyen para encontrar el valor de F; pero algunas veces nos interesa conocer el valor de a y a que conocemos los valores de F y m , por lo que a es ahora la variable o incógnita y debemos resolver para a, o despegara

F = m a a = - > (Propiedad multiplicativa ^m (:■ k y Teorema de la división)

F -'»-i- V -o también F = ma <=> m — a

b) s „ = " I ^1 H ' 1 J V I , , . f

Esta fórm ula se usa en las progresiones aritméticas en donde S n {S índice n ) representa la suma de n términos de una progresión, ai representa el valor del primer término y d la diferencia común entre términos consecutivos de una progresión; se lee, la suma de n términos de una progresión es igual al núm ero de térm inos n por la suma del doble del prim ero, más el núm ero de térm inos m enos uno, por la diferencia com ún, todo dividido entre dos.

Supongamos que conocem os los valores de S n , n y d , en tal caso, la incógnita será a \ , el prim er térm ino y debemos despejar a\ o resolver para a i

Despejar (a incógnita

S „ ^ ” [2ai + ( / ! — l)d )

= 2. = 2a, + (n - \ )d n

- (n - 1 )d = 2a,n

2 Sn - n(n - l)tf

0i

j t t í tu d ó n

e je m p lo « :... *■;vi

b)

j (Multiplicamos ambos lacios por el recíproco de y )

(Agregamos el inverso de

; ‘ (n - \)d )

' s:; (Efectuamos la resta en el miembro izquierdo de la ecua-

■ 1 ción)

(Multiplicamos por el recíproco de 2 y la propiedad simétrica de

1 1 : la igualdad).

= 2a,

2 S n - n(n - \ ) d

2n

Ahora sabemos el valor literal de Oí y será cuestión de sustituir los valores de las demás literales para obtener un valor numérico.

Algunas veces las ecuaciones pueden contener fracciones y en tales casos es conveniente principiar la solución con los pasos que nos lleven a una ecuación equivalente sin fracciones o quebrados y para eso, podemos aplicar la propiedad multiplicativa de la igualdad usando como factor el mínimo común múltiplo (MCM) de todos los denominadores y luego proseguir en la forma ya explicada.

a) 4x - 9 = í- MCM = 44

4(4* - 9) = 4 ( í )

16x - 3 6 ~ x

3 ¡x - x ‘ MCM = 35

3 5 (3 - ±x> = 35lx - j ) ! ; w - . i .....

105 - I x - 35* - 5 ’ "

c) MCM 6

« J í - ^ L l ) = 6(6 - í - ^ 1 )

4a - 3(o + 4) = 36 - 3(a - 2)

14

ú í


Resuelva las ecuaciones y compruebe la solución en los problemas del 1 al 11 .

1. 2(x + 3) = 3(x - 1)2. 3y - 2(y - 1) = M y + 2)3. 2y + 3 = l y - 104 . l x + s/3 = 2

5 . 9 - 2[a - 3(a - 4) - 5] = I - 5(a - 2)6 . 3 + 1 x 1 = 47 . 5 - I x + 3 I = 6

8 . I 14x - 97 I = - 8

9. I 3 - x I = 6

10. V (2 - x ) 1 = 41 1 . V(x - 4 ) 1 = - 1

En las fórmulas siguientes resuelva para la variable que se indica.12. A — ffr*, despeje r

13. °F = y °C + 32, despeje °C "C se lee grados centígrados y *F telee grados farenheit

14. P = 2a + 2b, resuelva para b

15. A — y (ft, + b t) , resuelva para b x

16. V = IR, despeje R

17. d — V0t + , despeje a

Resuelva las siguientes ecuaciones que ahora contienen fracciones.

18. 8x + = j x - 7

19. 1Z _ > = 23 6

20. 7 - j ( fe - 3) = { (2x + 4 ) .

125

13 Ä - i l = 1IS 3

¡4 ÜJLl _ L z l _ iJ L i = .0 ^ * 2 3 2

55. \ { * y - 4 ) - \ { y - 6 ) = { ( K - 6 )

■ ■■ .. •.-'f ■ ■ 1 K

\ :.vr

V.:vr V' 1 ’

•■'■■■V ■ '■ V1 Ì: C-' :K-*■ :r ■:?>*.

«Sí!:;,;'-?* .V* *;tlJta /Irrm i *c w i

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f 5¡ $y3n';.*;b v^j

í-Wioko.-ni #<Hntàno& . <»«&/•«.*.»»; ■ -i . ■

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j

2a

Mòdulo 11

OBJETIVOS ESPECIFICOS í’Vt,.

Al término del estudio de este módulo, el alumno:Resolverá desigualdades e inecuaciones que contengan una variable. Graficará en la recta numérica el conjunto solución de una desigualdad. Resolverá ecuaciones fraccionarias.Explicará con sus propias palabras qué es una ecuación fraccionaria.

DesigualdadesConjunto solución

Gráfica en la recta numérica

Ecuaciones fraccio&aritsSolución

Comprobación

- üüí .

i* ¿‘ís¡rr

a

' -'h .{f. 'i

127

Lasinecuacionesincluyendesigualdades

Ejemplos: a) Solución:

Grife*

b) 2x + 7 Solución:

- 3x <

x >

11.1 Solución de desigualdades

En el tema anterior nos concentramos en la solución de ecuaciones para poder resolver los problemas que al simbolizarse contienen igualdades, pero como vimos antes del planteo de los problemas, resultan también expresiones que contienen desigualdades o combinación de igualdades con desigualdades. El proceso para encontrar el conjunto solución o sencillamente la solución para expresiones con desigualdades, también llamadas inecuaciones, es muy semejante al que hemos empleado para la ecuaciones, sólo que ahora las Justificaciones para las transformaciones son los postulados de orden y ios teoremas sobre desigualdades ya demostrados en el tema de la Unidad V.

En la Unidad V vimos la diferencia en las gráficas del conjunto solución, cuándo se trataba de una ecuación, y cuándo se trataba de una inecuación; en la ecuación, el conjunto solución puede ser vacío o tener varios valores, por lo que su gráfica es ningún punto o varios puntos. En la inecuación o desigualdad, el conjunto solución generalmente es infinito y si el conjunto de reemplazamiento o universo son los números reales, la gráfica de los números sucesivos es un segmento de la recta numérica Mamado intervalo que puede ser cerrado o abierto, según que sus extremos estén o no definidos respectivamente.

Ax + 5 > 2x + 9 2x + 5 > 9 (Agregamos ~ 2x en ambos miembros)

2x > 4 f (Agregamos - 5 ) . i

x > 2 (Agregamos el factor — que es mayor que 0)

- 1 0 1 2 3 -i----------- ,------------------- Q »

< 5x - 8+ 7 < - 8 (Agregamos - 5x)

- 1 5 (Agregamos - 7 )-1 5 1 (Agregamos el factor - — que por ser

3 3

- — < 0 obliga a cambiar el sentido de

la desigualdad de menor que a mayor que).

x > S

- 2 - 1

126

<11,2 Ecuaciones fraccionarias

Hemos resuelto ecuaciones que contienen fracciones, pero un tipo muy especial de éstas son las que tienen por lo menos en algún denominador a la variable cuyo conjunto solución se está buscando, las l l a m a m o s ecuaciones fraccionarias.

En este tipo de ecuaciones algunas operaciones no dan ecuaciones equivalentes. Por ejemplo:

Sea la ecuación fraccionaria x - 32 x - 7 x - 3

el MCM = x — 3 (x - 3) = (x - 3) ( l -

.'ÍY ímj tí- h

1 = ( x - 3) - ( * - 3 )

'* ^ l = x - 3 - 2 x + 7

x = 3

estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es {3} para ambas, pero no para la ecuación original que entonces sería 0 .

* - i

Sustituyendo tenemos - = 1 - 2 ( 3 ) - 7( 3 ) - 3 (3 ) - 3

con ese valor para x los números quedan indefinidos:

0- 1

0

* - 3= 1 - 2 x - 7

X - 3(x I x # 3}

x - 2 x - 2

y vemos que

j;Y

En otras palabras, podemos decir que en las ecuaciones fraccionarlas el Universo para la variable ya no son todos los números reales y deben excluirse aquellos valores que hagan que un denominador cualquiera sea 0; en nuestro ejemplo excluiríamos al número 3escribiendo la ecuación como sigue:

Universo de las ecuaciones

fraccionarias

f n lo que indicamos que ese valor no puede pertenecer ai conjunto )lución; generalmente al plantear la ecuación no se excluyen números e su conjunto de reemplazamíento, considerándose tentativamente que on todos los números reales y ya obtenido un conjunto solución, se

prueban sus elementos en la ecuación original excluyéndose los que no satisfacen a la ecuación. Ejemplo:

Encontrar el conjunto solución para X .7 x - 11 7

= 1 -

»

129

(* - 2)( ^ " ) = (* - 2> (' - r - i )2x - 11 = (x - 2) - (7)

/ f 2x - 11 — x - 9

x - 11 = - 9■r-xn.iv; kh. _: ‘ : ' x = 2

Comprobación: — — = 1 -(2) - 2 (2) - 2

- 7 = i - ± ■ " T -* • f o o

"¿ Z Con el eletaÜmto 2 la igualdad tiene un valor de verdad indefinido y siendo 2 la ú ni«» solución encontrada , la solución a la ecuación originalserá | | er. , > ,


Resuelva las desigualdades o Inecuaciones siguientes, grafique en la recta numérica el conjunto solución y diga cuando se trate de un Intervalo si éste es abierto o cerrado.

1. 5x - 7 < 9x ; f ■;

2. 2(x + 3) > 3(x - 1) + 6:/ /£.' «Cm: =: vr.-?íi.=¿ífirr ■

3. 7x - 6 < 4 + 17(x - 5) ¡Sw? tul mbn\-< o*. *■'*. •'»&** *#/ hí. *;r*q ’' • . « y } i; w i & y ¿ ' ' j i W í f t s i " ' - ' í - í

4 x + 1 < 1 '■><••>*..m:-;' ¡'•-i &4 3 6 jflit . ■■■'» .-Ij

< 2 1 5 ,, „ . • !■5. j X - 3 > - X Ní: * * • ^ j í , ,

¿ 1 i . i >.» i-2vwT<mv- ;» *t.; ...ií;;1 .:'■■■!■ • •” .. < 4 „ y, ,i;s : , /

7. 7(3x - 1) > 4 + 5(2* + 1) '

>5 4

9. la + 1 I > 3

10. I 2a + 1 ! < 3

130

En los problemas siguientes resuelva las inecuaciones en coitfimtclón o disyunción. Recuerde que a < x a y X a + 2 ó 3a + 1 > 8'

12. 5x + 7 < 2 y 3x - 4 > 8 ,:.S

13. — 1 < x + 2 < 6

14. - 3 < 3x + 2 < - 1

15. 5x + 7 < 2 ó 3x - 4 > 8

Encuentre el coqfunto aolncfáa de los siguientes problemas:

. Ai*í " V .- '• -

17. Ü í - 7 = 3 - i ü

18. 3 1 _ 1x ~ 2 x 2

19. 1 + T " = —“ Tx 2 x x - 1

20. 1 = 8 - - ^ y

21 . i3y - 1 y y ( 3 y - I )

9? 2* + 1 i _ lx 1 - 4 JC + 2 * - 2

23. - J í _ = + 4* - 3 JC - 3

24. _ 5 =2 y - 8 3y - 12

e Algunas expresiones son poünomios de 2o. grado, sin embargo, los problemas„s. n diseñados de modo que la solución es posible con los conocimientos hasta aquiadquiridos.

131

INDICACION: Antes de factorizarpara buscar el MCM déle a las expresiones la forma polinomial.

Módulo 12


Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:1. Planteará problemas en términos de ecuaciones.2. Resolverá los problemas planteados.3. Aplicará los conceptos sobre problemas de planteo a diferentes áreas de la ciencia.

'í'r.'í v - ■■■■■:- ■: /.■■ :

'i.’i -i. ¡\ ■■ V p

MB " ""** ESQ U ÉM A R tb U M lN

■vi' ..i ■ .'tií ‘v . V'PROBLEMAS DE PLANTEO: ; : ,

?(¡*

133

12.1 Problemas de planteo

Pasos para resolver problemas de planteo

Ya hemos visto y practicado la forma de plantear un problema real en lenguaje algebraico y también, aprendimos ya a resolver los diferentes tipos de ecuaciones o inecuaciones que nos presenta el lenguaje algebraico utilizando en ello los postulados de la igualdad, de campo y <je orden, así como los teoremas que nos han permitido una cierta mecanización en las operaciones o manipulación de las expresiones algebraicas. Completaremos lo anterior concentrándonos ahora en la solución de los problemas propuestos en el lenguaje ordinario usando las técnicas algebraicas.

Existen en el lenguaje ordinario expresiones que utilizamos con mucha frecuencia v que se refieren a una fracción o razón, la cual es muy

importante que sepamos identificar. Me refiero a términos como el de:. . . . ... , c kilómetros metros

velocidad que se refiere a la fracción hora , seRun(Jo etc. y que

mencionamos como kilómetros por hora, metros por segundo, etc. dando la apariencia de un producto. Precio unitario; que se refiere a pesos centavo«! ^ y que leemos como pesos por un artículo,

iirtíctilo ar ticulo .centavos por un articulo,etc.,o también pesos por kilo,pesos por litro, etc.

Para el tratamiento de los problemas en donde intervenga algún tipo de razón podemos utilizar como una fórmula la siguiente proposición:

Una cantidad es igual a la razón por la ba«e tomada C = R yC B

Ejemplos:a) Cantidad de kilómetros—razón en kilómetros por hora X las horas

(clistancta) (velocidad) (tiempo)

b) Cantidad de dinero = razón en pesos por unidad x las unidades(Costo) (precio unitario) (unidades)

c) Cantidad de trabajo desarrollado= razón en trabajo hecho cada día X días trabajados.

En la solución de los problemas de planteo vamos a considerar los siguientes pasos:1. Interpretar correctamente el significado de la expresión hablada o

escrita, asignando a las variables o incógnitas las últimas letras delalfabeto (x, y, z).

2. Escribir la expresión o expresiones algebraicas procurando referir todas las variables a una sola que pudiera llamarse x Esta restricción es temporal mientras aprendamos a resolver expresiones con más de una variable).

1. Relacionar la información ya simbolizada para establecer ana ecuación o una inecuación.

134

r 4. Resolver la ecuación o inecuación.5. Interpretar la solución algebraica en términos del lenguaje ordinario

comprobando que satisface las condiciones estipuladas.

Ejemplos:1. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un períme

tro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros más que el ancho. Este es el ejemplo 2 del tema Planteo de problemas, sólo que ahora debemos simbolizar usando solamente una variable).

Laigo mide 30 metros más que el ancho largo = x ancho = x - 30y el perímetro es de 540 metrosperímetro = 2 veces el largo + 2 veces el itticho 2x + 2(x - 30) = 540

■ í-s ■Ecuación: 2x + 2(x -- 30) = 540 Solución: 2x + 2x - 60 = 540

4* = 600 > 1

* = 150 ■Interpretación:

largo = 150 metros ancho = 120 metros Comprobación:

Perímetro = 2(150) + 2(120) = 300 + 240 = 540 metros

2, Si la suma de dos números es 21 y un número es el triple del otro. ¿Cuáles son esos dos números?

Dos números cuya suma es 21 x, 21 - xv uno es el triple del otro > (21 - x ) * 3*

Ecuación: 21 - x — 3x Solución: 21 = 4x

■' ¿ J v • ■ \21

X = X ;.l.

interpretación: un número = ^ y el otro — ( 3 ) ~ = ~

Comprobación:

i i + « = m = a =4 4 4 1 '

■vr M ’ 11 ■'i-■> ■ "

135

3. El dígito de las decenas de un cierto número de dos dígitos es 4 uni dades mayor que el dígito de las unidades y es una unidad menor que el doble del dígito de las unidades. ¿Cuál es ese número?

Dígito de las decenas * es 4 unidades mayor que el dígito de las unidades x ~ 4 el doble del dígito de las unidades í:J'-s 2(x - 4) menos 1 es el dígito de las decenas ' 2(x ~ 4) — 1 = x

Ecuación: 2(x - 4 ) - 1 = x Solución: 2x - 8 - 1 = x

7x - x = 9X — 9 : ¿vto ^ -‘V

Interpretador dígito de las decenas = 9 dígito de las unidades = 9 - 4 = 5 Número 95

Comprobación: x es una unidad menor que el doble de 5 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9

4. ¿Que bonificación recibe un empleado si cobra S 1,496.00 después de deducirle 15% de impuestos?

■ I..

Bonificación x v Impuestos ,15x ¿ ^ L a bonificación menos impuestos da 1,496.00

x - .15x = 1,496.00 ; ' ' - v 100* - 15x = 149,600

85x = 149,600 ^149,600

85= 1,760.00

5. Dos corredores recorren una pista circular de un kilómetro en 6 y 10 minutos respectivamente. Si arrancan al mismo tiempo del mismo lugar y en la misma dirección ¿en cuántos minutos pasará el más rápido al más lento?

C = R x B, en este caso la fórmula será:distancia = velocidad x tiempo

d — V ' t

El más rápido será el que hace menos tiempo y lo llamaremos A , su velocidad — distancia _ l km y _

tiempo 6 min. A t El más lento lo llamaremos B y su velocidad Vr = km/min.

136

Para que A alcance a B tiene que recorrer un kilómetro más de lo que Heve B es decir, la diferencia es de 1 km o una vuelta más a la pista.

distancia teeorrida por A, distancia recorrida por B; = 1 km■*.----------------- — ---------— — —y

d = Vt Va * vBt = 1

— t = 10

1 " M CM = 30

- 0 - 10 1 30 * 1

5t - 3f = 30 2t = 30

í = 15 minutos " i ,.r,f v iComprobación

distancia recorrida por B en 15 minutos dB = lo" ~ ^

distancia recorrida por A en 15 minutos dA = -7 (15) = ^ km = 2.5 k mO O

6. Un obrero A efectúa un trabajo en 3 días y un obrero B tarda para elmismo trabajo 6 días ¿en cuántos días harán ese trabajo entre los ,dos?

Fórmula: C - R x B 3 .:

Ahora:Cantidad de trabajo desarrollado = trabajo hecho cada diaX ttfatero dedías.

Si llamamos x al número de días cuando trabajan juntos y Iftcantidad detrabajo es 1, A que tarda 3 días trabaja a razón de (R W — ) y Ba razón de —

6

La razón R trabajando juntos será, ~ + — ^

C = R x B

Ecuación: 1 = (- + -£) • x

Solución: 6 * 1 = 6 ( ^ + 7 )*3 o

6 = 2x + x x = 2 días

C o m p ro M ó n Â efectúa: - áV¡£. == ~ del trabajo ;

*

C = R x B

1 = ( t +

m

B efectúa: — x 2 — \ — ~z del trabajo6 b i

1 + — — 1 trabajo term inado3 3 J

7. ¿Cuántos kilos de nuez criolla que cuesta $ 20.00 el kilo, deben mezclarse con 30 kilos de nuez de castilla que cuesta $ 38.00 el kilo para obtener una mezcla que se vende a $ 26.00 el kilo?

kilos de nuez de castilla ; , .. 30kilos de nuez criolla v xkilos de mezcla resultante 30 + x

Fórmula: C = R x B que ahora nos representa:valor total = precio unitario x núm ero de unidades

Valor de nuez de castilla = 38 • 30 = 1,140.00 Valor de nuez crioua = 20 • x — 20 x Valor de la mezcla = 26 • (30 + x)

Ecuación: Valor de nuez de castilla + valor nuez criolla — valor mezcla1,140 + 20* - 26(30 + x )

Solución: 1,140 - 780 = 26x - 20x

x - 60 kilos>(•!! ' " "

Comprobación:30 kilos a 38.00 kilo = 1,140.0060 kilos a 20.00 kilo = 1,200.00

i 90 kilos a 26.00 kilo = 2,340.00

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION ‘

'OBLEM AS SOBRE MEDICIONESSi al aum entar 4 metros a cada lado de un cuadrado el área aum enta 64 m etros cuadrados ¿cuáles eran las medidas del cuadrado original?

El perím etro de un triángulo isósceles es de 84 centím etros y la longitud de uno de los lados iguales es dos tercios de la longitud de la base. Encuentre la longitud de la base.

Si la lectura en grados fahrenheit de tem peratura equivalen a ~ de los

grados centígrados más 32. ¿A qué tem peratura las mediciones o lecturas serán iguales?

8

PROBLEMAS NUMERICOS ABSTRACTOS4. El numerador de cierta fracción tiene 5 unidades más que el denomina

dor. ¿Cuál será esa fracción si al restar 9 unidades al numerador y su

marle 1 al denominador la fracción resulta ser y ?

5. La suma de dos números es 37. Si el mayor se divide entre el menor el cociente es tres y el residuo 5. Encuentre esos números.

6. La mitad de cierto número es 10 unidades mayor que ^ del mismo.

¿Cuál es ese número? , , ,

fu ePROBLEMAS CON DIGITOS7. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 10. Si los dígitos

se escriben en orden inverso el nuevo número es una unidad menor que el doble del número original. Encuentre el número original.

8. En un número de dos dígitos, el de las decenas excede en 3 unidades,

al de las unidades y la suma de los dos es ^ del número que forman.

¿Qué número forman? : : M tiin ’-nrt-;v r , ~ ^

PROBLEMAS COMERCIALES9. El Sr. Pérez invirtió $4,000.00; una parte al 5% y el resto al 3% de in

terés simple. Al año recibió un total de $168.00 como pago de intereses. ¿Cuánto invirtió al 5% y cuánto al 3%?

10. Si a un comerciante le cuesta un mueble $1,200.00 y es su política ofrecer un 20% de descuento sobre el precio de lista. ¿Cuál debe ser el precio de lista de modo que la utilidad aún con el descuento sea de 25%?

11. La recaudación total de una pelea de box fue de $9,778.00. Los boletos para caballero se vendieron a $15.00 y los de damas ¿ $8.50. ¿Cuántos boletos de caballero y cuántos de dama se vendieron si en total se vendieron 755 boletos?

PROBLEMAS SOBRE MOVIMIENTO12. Dos automóviles A y B separados 280 km promedian velocidades de

30 y 40 km/hr. respectivamente. Si a las 3:00 p.m. empezaron a acercarse ¿a qué hora y lugar se encontrarán?

13. Un automóvil viajando al Norte sale al mismo tiempo que un avión que

viaja al Sur. Si la velocidad del avión es 2 ~ veces la del automóvil y des

pués de 1 hora 15 minutos los separan 210 km ¿cuáles son las velocidades de cada uno?

14. Una lancha de carreras que alcanza 60 millas por hora persigue a otra lancha que corre a 32 millas por hora. Si a los 45 minutos la lancha más

139

rápida sobrepasa a la más lenta ¿cuántas millas la adelanta 15 minutos después de haberla alcanzado?

PROBLEMAS SOBRE MEZCLAS15. Un tanque contiene 20 litros de una mezcla de alcohol y agua con 40%

de alcohol por volumen. ¿Cuántos litros de mezcla deben sustituirse por agua para que la mezcla resultante tenga 25% de alcohol?

16. Dos cantidades de minerales contienen 40% y 25% de manganeso (Mn) respectivamente. ¿Cuántas toneladas de cada mineral deben mezclarse para obtener 100 ton de mezcla con 35% de manganeso? Los porcentajes son por peso.

PROBLEMAS SOBRE TRABAJO * r » - > ,-V:

17. Dos obreros A y B trabajando juntos terminan una tarea en 6 días. A trabaja dos veces más rápido que B. ¿Cuántos días tardará A en hacer el mismo trabajo? ¿Cuántos le tomaría a B f

18. Una persona cobra durante su turno $18.00 por cada hora que trabaja y $3.00 por cada hora que pierde en trasladarse. ¿Cuántas horas perdió en trasladarse si después de 40 de labores cobró $540.00.

19. En la apertura de una carretera un tractor pequeño niveló un kilómetro en 6 días. Usando un tractor más grande se redujo e! tiempo por el mismo trabajo a 3 días. ¿Cuánto tiempo les tomará el mismo trabajo si se usan los dos tractores simultáneamente?

20. Se usan tres tuberías para llenar un aljibe con agua. Con la tubería más grande sola se tardan 20 min. si se usa la mediana sola se lleva 30 minutos y si se usa la más pequeña tarda 60 minutos. ¿En cuántos minutos se llena usando las tres tuberías?

■ . ' á ' V v -\j ■•' ■!/' : ‘V v ' í-UÍ'íí. í . !■' ’3 ' ": ''‘''Sí1. ’■

■■■¡ i,.'. r' '■ 1

£.v«, .-»i. . / ' - ! ■*.'

140


3t: ■: . ,-C d j

MODULO 9 VALIDACION

1. Consideramos que x es ése cierto número ■ r , i;5 veces cierto número será: 5xy dos unidades más: 5x + 2 .n:-*?’?*&.<■ rV .pít*?!» Ah , v t .í

2. La parte mayor x ^°'r ' ■’ i í Las dos son 100 , , fLa parte menor sera: 100 - x ^

3. Las dos partes que forman 100 .r efeuna puede ser x, la otra será: 100 - x . n >» :de modo que ambas x + ( 1 0 0 - x ) = 100 \ ' ’

4. Si el primer entero es y ( : ¡el segundo será: y + 1 ;:v- -éiv-'-a »a {:•(!■■ { *'í O*,y el tercero será: y + 2 ¿ -

5. Uno de los números es x, el otro será x + 10

NOTA: Recuerde que las soluciones o respuestas no s0fi únic&i,* 'jki rts- puesta puede ser diferente y ser válida. Com pruebe.

6. 2n + 1, n e E porque siendo n entero 2rt siempre ^ par ^ *•sumarle 1 sera unpai

7. La diferencia entre núm eros impares consecutivos es 2. *' * Si 2x + 1 es el prim er impar, entonces los tres serán2x + 1, 2x + 3, 2 * + 5

8. Si el número es x la respuesta será 5x - 609. Si el núm ero es n la respuesta será 75 - 3rt.

10. 2 n es el primero, 2rr■ + 1 el segundo entonces 2r¡ + 2 será el tefCtfQ.H . 8n + 6. (2n) + (2/7 + 1) + (2n + 2) + (2* + 3). ’ ' >12. 1 peso = 100 centavos, entonces x pesos = 100 x centavos.13. Si el entero es x. x 2 .14. Si el entero es n, el inm ediato m ayor es n + 1, por lo tan to « w + o

es la respuesta.15. El cuadrado de un num ero: x 1

141

El doble de un número; 2x respuesta: x* - 2x

16. Si un entero es y el otro y + 1 y 1 - (y + 1) ’ ó (y + 1)* - y*

- 2.y - 1 2y + 1 :> ,u?U í>4

17. Un artículo cuesta -y centavos luego n artículos cuestan centavos.

18. Un artículo vale -y centavos luego n artículos valen ~ centavos pero

1 X ICh1 centavo = — pesos y x centavos = pesos — centavos serán15/1 1 _ 15«2 100 200 ^

19. El numerador es x, el doble del cuadrado del numerador 2x2 El denominador 4 unidades mayor que 2 x * es decir 2 x * + 4

xLa fracción es:2x* + 4

20. El perímetro es la suma de los cuatro lados, si un lado es n cms., el otro será (3 n - 3) cms. y el perímetro 2n + 2(3« ->-3) = 2 f l + 6 n - 6 = 8« - 6 centímetros.

21. Perímetro = 2 n + 2(2n + 4 ) = 6n + 8 metros ,Area = rt(2n + 4 ) ¡

i b •»

22. x litros de mezcla al 40% (porcentaje por volum en) Cantidad de alcohol en el tanque A — A x

«

23. Alcohol en tanque A = A x . , Alcohol en tanque B = .2y . 1 , r t Total de alcohol = Ax + .2y y ^

24. Si uh número es x el otro será 3x y te SUip*:x "4" 3x = 21 ' J'

25. Un entero es n el otro es n + 1 y el producto;* ,n{n + \) = 12

26. Un número n, su recíproco y la suma: l(j ; .-;

« + -* = ^ ..n 15 ■ ; ,1- *•

142

27. Sea x la edad presente de Memo y 2x la edad actual de Juan de manera que hace 10 años:

La edad de Juan = 4 veces la de Memo2x - 10 = 4(x - 10)

28. Edad del hijo: x 8 años después:Edad del padre: x + 24 (x + 24) + 8 = 2(x, + g);

29. Un lado del cuadrado es x el área es x 1Se aum enta el lado a: x + 4 la nueva área = (x + 4 )1El área aum enta 64, es decir (x + 4)5 - x 1 = 64 y este último plantea*m iento nos sirve para encontrar la solución.

30. Ancho = x, x - 1 , . , .- - » . . ■ a Area = (x - 1) (3x + 3) - 72

Largo - 3x, 3x + 3De la expresión (x - 1) (3x + 3) = 72 podem os despejar x para encontrar las dimensiones originales.

31. Si el triángulo es isósceles dos de sus lados son iguales, por tanto si un lado de los iguales es x y el lado desigual es la base, será: 84 - 2x y

entonces tendremos x = — (84 - 2x) de donde podrem os obtener el va

lor de x y de ahí la medida de la base. ¡


1. 2(x + 3) = 3(x - 1) > Com probación:2x + 6 = 3x - 3 ,, ,;í. 2(9 + 3 ) = 3(9 - 1)

2x - 3x = - 3 - 6 , ' ■' ' i” 2 - 1 2 = 3 - 8- x = - 9 j¡*, 24 = 24

x = 9 '>'■'

2. 3y - 2(y - 1) — 4(y + 2) Comprobación:3y - 2y + 7 = 4y + & ’¿í 3 ( - 2) - 2 [ ( -2 ) - 1] = 4 [ ( - 2 ) + 2 f

y _ 4 y = 8 - 2 - 6 - 2 (~ 3 ) = 4 - 0— 3y — 6 —6 + 6 = 0

y = - ± = - 2 - " o

3- 2y + 3 = 7y - 10 Comprobación:7y - 7 y = - 1 0 - 3 + 3 = 7(1 3 \ _ 1Q

- S y = - 1 313

S26

y = t 5V - • v ■■■ 26

5

- 3 = 7 < f ) -

• 3 =915 10

15 _ 91 50S 5 5

41 _ 41S ~ 5

143

4. Ix + y/3 2 Comprobación: 7 ( - ----- — ) + V s = 27x = 2 ~ \ f 3 J . t ..... ^ ' 7 /

2 - ^ 3 7, 0 V - v , 7 ■ 7 (2 - V3 ) + V 3 - 2x =

7 2 = 2

' ■ >," íH íí:. i:.- Z l- ,

K>Vv¿' '■& .ié,>.ííif:íV’U(’.

5. 9 - 2[a - 3(0 - 4) - 51 = 1 - 5 (a - 2) * " ' ^ 9 - 2[a - 3a + 1 2 - 5 ] = 1 - 5a + 10

9 - 2 (-2 a + 7) = - 5 a + 11 9 + 4 t f - 1 4 = - 5 a + l l

4a - 5 = - 5 a + 114a + 5a = 11 + 5 ‘77’"' ’,.,7'77 :

. r . .. 9a = 16 . ' • - • :16 •>: , 3>V.a = ■■

■'?-i :K.í 9 ^ fc:,

Comprobacion:

9 - 2 [ - 3 ( - | | - 4) - 5 ] = 1 - 5 - 2 )" r ,-';Ul^.'

9 - 2 (“! - ~ j + 12 - 5) = 1 - “ + 10 T1 „ :

9 - 2< ” t 7) = - + | l y ■ - Vi; j ' í i í :

l'F:'

^ - 14 =9 11 - 809

■ v,;

^ - 5 =9

11 - 809 \ ' ~ -it ’■

64 45 _ 99 80i ■■ '!/ '

9 9 9 9 V- v - -

19 _ 19 ■■i' i ’ ; . r '• í.9 ” 9

Comprobación: & *í■ í ',-v ■■■■■ i. i ;íí'

x =■ 1 ■- x = - 13 + 111 = 4 3 + 1 - 1 1 = 43 + 1 = 4 3 + 1 = 4

6. 3 + I jc I = 4I X I - 4 - 3 ;.1x1 = 1

X = 1 Ó X = - 1

{- 1, 1} J .....

r x, si x > 07. 5 - I x + 3 I = 6 I x I = J si x < 0

- Ix + 31 = 6 - 5 , o, si x = 0- Ix + 31 = 1

I :; + 3 I = ~ 1Por definición de valor absoluto ningún número cumple la proposición.

8. I 14x - 97 I — - 8 Igual que en el problem a anterior no existe solución.

144

9. I 3 - * I = 63 — jc = 6 ó 3 • x ~ — 6

x = - 3 ó x - 9 ( - 3 , 9}

Com probación:I 3 - ( -3 ) 1 = 6

13 + 31 = 6 '6 1 = 6

3 - 9 1 = 6 1 - 6 1 = 6

10. \/{2 ~ X)1 = 4 (Jn valor equivalente al valor absoluto dijimosque era com o sigue:

I 2 — jc I = 4 1x1 = y fx '2 - x = 4 ó 2 - x = - 4

x — - 2 ó x = 6{ -2 , 6} v ': o k . , ' =, -í

11. ' f ( x - 4 )1 = - 1 No existe solución de acuerdo con la definición del problema anterior ya que no existen valores absolutos negativos.

12. A = i r r1 Esta es la fórmula para el área de un circulo de radio r.

'■ = 4 "

r=í^13. °F = j °C + 32 Fórmula para convertir temperaturas. Grados fahr-

or — 9 enheit igual a j de los grados centígrados + 32°r — 32 — — °C *

5c e q A “■ ■ í ■ -i ■f (-F - 32) = i "O

{ (°F - 32) = °C ' •• rt ; w

°C = 1 (°F - 32) Grados centígrados igual a £ déOJ* dife

rencia grados fahrenheit y 32.i

14. P = 2a + 2b Fórmula para el perímetro de un rectángulo.2b = P - 2 a

P - 2 a . . P ^ : . • U " rá* • ■ ^b = —— — ó b ~ — - a *-2 2 .. :■ , , . , : >, ... t

'< " r rf* •••15. >4 = £ (¿>, + &a) Fórmula para el área de tul trapecio donde h es

2

2A = /i(¿>, + ¿ 0 2A— =* b , + b*

h

b t = - b* h

la altura y b ,, b t Utt bate*.

145

6 V Fórmula para electricidadR = - y Voltaje

* Resistencia - _Corriente

7. d — v01 + ~ at* Fórmula para obtener distancia “d’

J- a t2 = d - v0t conocidos: V0 - velocidad inicial2

at’ = 2(d - v0 í) t - tiempo

a — ^ (d - v0t) o - aceleración t ;

* ■■ Xr

8. &x + - ü = j x - 7 MCM = 15

15(8* + - j ) = 15(j x - T * o:. :

I20x + 55 = 3x - 105 12Qx - 3x = -1 0 5 - 55

117jc = -1 6 0 160

x = ' 7 n160-1 . Í , l í i i hf í ' f

/} '-

{- — }1,7 *«líí “í.

i9. - I = 2 MCM ^ 6

4y - >> — 12 !

3y — 12 >> = 4

{4} . .. : , .

>0 . 7 - i (^x _ 3) = 1 (2 x 4- 4) MCM — 6 , pero los sumandos sonmúltiplos del factor afuera del paréntesis, luego el desarrollo nos dará enteros.

3 v ' t7 - 2x + 1 = 5x + 10

~ 2 x - 5x = 1 0 - 8 - I x - 2

146

4a - 3(<z + 4) = 36 - 3(a - 2) 4a — 3fl - 12 = 3 6 - 3 f l + 6

4a = 54

22. 3 - y ^ x - y MCM - 35

105 - I x = 35* - 5 42x = 110

* = &* 21

{ « }2 1 J

23. = - MCM * 153

9a + 1 = 10 9a = 9

a = 1

24. ~ L s J . - i ± - 3- = 0 MCM ^ 62 3 2

3(r - 1) - 2(r - 2) - 3(r + 3) = 03 r - 3 - 2 r + 4 - 3 r - 9 = 0 -

.. ■ - > - 8 = 0 ;/■ - -

2r = - 8 y V '’ ' ’ r - - 4

¿ { -4}

25. y (3y - 4) - " (y - 6) = (y - 6) NOTA: Podemos reducir términos semejantes.

■ y O y - 4) - { 0 - 6) - \ (y - 6) = 0

1 (3y - 4) - l (y - 6) = 0 MCM = 62 6

• V 3(3^ - 4) - 5 (y - 6) = 09v - 12 - 5y + 30 = 0

147

y = - T

4y = -1 8

< - i >


5.x - 7 < 9x

5x - 9x < 7

4x < 7

> — .-2 - 1

2. 2(x + 3) > 3(x - 1) + 62x + 6 > 3x — 3 + 6

- x > - 3X < 3

>©-3

3. ' T - 6 •X - 6

75

X >

4 + 4 + lQx

2110

15 2

17(x - 5) 17x - 85 15

2

8 10

X 7 2x 13 3 6

0 ^ U -r ?) »: Ù - ■>

5X + 8 - 5x

<<

6x ~ 2 - 10

—.(.I, 'iiW i * .+> ASrr oX -,

X > 2 ft - 1

S. 2— X 5i3 > 5

I * AfCM = 23

48x - 40 > 75x >

1 o > 21X -2

X < 4027

i. is y

_ I 2 < 4 - l y UlfCAf = 6

3y < 21 6y < 9

2

148

7. 7(3* - 1) ;> 4 + 5(2* + 1) 21x - 7 > 4 + lOx + 5

11* > 16

* > 2± - í i

16 11

S a ~ 3 ^ 1 ~ a 5 4

4(a - 3) > 5(1 - a)4a - 12 > 5 - 5a

9a > 17

a > T

9. ta + I I > 3a + l > 3 ó a + l < - 3

a > 2 * . < - 4 /

AÍCA/ = 2017/9

-1

- 4 - 3 - a - 1 0 \

10. t l a + 1 1 < 32a + 1 < 3 y 2a + 1 > - 3

a < 1 a > - 2- 2 < a < 1

Sí es intervalo y es AtortoLM (p— — y — « y ^- 3 - 2 - 1 0 1

11. 5 a > a + 2 ó 3 a + l > 8 4a > 2 3a > 7

a > a > -

a > ~

12. 5x + 7 < 2 y 3x - 4 > 85x < - 5 3x > 12 x < - 1 y x > 4

- 1 > x > 4

0

13. - 1 < x + 2 < 6 ; * - 3 < x < 4

14. - 3 < 3x + 2 < - 1 - 5 < 3x < - 3

1 ,í. f

No existe un valor que cumpla las dos desigualdades com o lo pide la conjunción

- 3

Sí es intervalo y es abierto

-i—- 2 -1 0

S í es intervalo y es abierto

15. 5x + 7 < 2 ó 3 x - 4 > 8 Las desigualdades son del problema 12 5x < - 5 3x > 12 cambiando a disyunción. Ahora si exis-X < _ 1 ó x > 4 te solución.

-í

16. x - } = | , MCM = 8

8x - 1 = 2x - 4(x - 5)Sx - 1 = 2x - 4x + 20 7

lOx = 21

x = »o

1 10J....

17. UL* - 1 = 3 - MCM * 205 4

4(fl + 4) - 140 = 60 - 5(a + 2)4a + 16 - 140 = 60 - 5a - 10

9a — 174

; . - i 1 1 ■174

18. 2 - - i- = 1 MCM = 2 xx 2x 26 - 1 = x y x =/= 0 Esta conjunción es equivalente a la ecua-

x = 5 y x 0 ción original{5} n {x lx 0} , La solución es la intersección de los con*

{5} juntos solución como ya vimos en lógica,pero esto se va mecanizando y en el futuro lo haremos mentalmente.

” • 7 + 3 7 = 7 ^ 7 M CM = í * - » 2*2(x - 1) + (x - 1) =s 2x y x =£ 0, x ^ 1

2x - 2 + x - 1 = 2x

x = 3 y x ^ 0, x ^ 1 Ya sea que la intersección {3} se haga mentalmente o que

se pruebe la solución 3 " - en la ecuación original para comprobar si es tam-

: : - bién solución de ella.

150

20. . 1 = 8 - - MCM = yy y

l = Sy - 3 , y j = 0 Sy - 4 - - r *' = 1

í t >

21 • ; • - > < * - . - >

6y - (3y - 1) = 4, y =£ 0, y =É j

3y = 3 ; ■

y = i{i}

2x -+_1 _ __ 1- 4 * +2x + 1 1 1

22- f f r i - r U = J T i MCM = (x + 2) ( x - 2) .

(x + 2) (X - 2) x + 2 x ~ 2 1

2x + 1 - (x - 2) = X + 2

x + 3 = x + ? Esta proposición es falsa.

0 = - 1 Una inconsistencia, un absurdo debido a que la expresión original

no es ecuación, es decir no es vá-{} lida para ningún número real.

x —

23. + 4 ; MCM = (x - 3)x - 3 x - 33x = 9 + 4(x - 3)3x = 9 + 4x - 12

- x = - 3 ;x = 3 y x ^ 3 . , ■ ■ .

{1 ■ '

24. - 5 = 'l y - 8 3 y - 12

T7^—~ r - 5 = — 5—r MCM = 6 (y - 4)2(y - 4) 3(y - 4) v /

3 0 - 2) - 5[6<> - 4)] = 2 * 5 , .y * 4

3y - 6 - 30y + 120 = 1 0

— 27y = - 1 0 4

v = l0.427 ■ ■ V . , í

{ i ° i }1 27 ;

151

2 5 * y -± J - = 1 > L = J + _ - 3--------- M £ M ~ ( 2 y - 1) (y + 2 )2 y - 1 y + 2 2 y + 3 y - 2 ' ^ ^

: H'.;1 r

4 y + 2 _ 2 y - 5 + 3_________

27.

2 y - l y + 2 ( 2y - i ) (y + 2)

(4y + 2) (y + 2) = (2 r - 5) (2y - 1) + 3, y # - 2 , -±

4 y J + lOy + 4 = 4 y 2 — 12/ + 5 + 322y =■ 4

26. —-— ------- + — ----- -— ~ = O Al segundo denom inador le damos lak + k - 6 3 - sk - 2 k forma polinom ial en k y cambiamos

3 -4 _ q el signo al numerador para que el* * + * - 6 2* J + 5f c - 3 primer término quede positivo, faci

litándose la factorización.3______ -4 _(* + 3) (* - 2) {2k - 1) (fc + 3) “ 0

3(2Ar - 1) + [ -4 (* - 2)] = 0 ,6 * - 3 - 4* + 8 = 0

2k = - 5

* = - T . * * - 3 . 4 • 2!:

X* + a: - 2 3 - 2x - X7 x 2 -I- 5x + 6

-(* - 3) _ 2(x -2 ) . x - 1x 7 + x - 2 - ( x 2 + 2x - 3) r 7 + 5x + 6

- (* - 3) _ - 2( x - 2 ) . x - 1T + "C W = (x + 3) (x + 2) (x - 1)( x + 2 ) ( x - l ) ( x + 3 ) ( * l ) ( x f 3 ) ( x + 2 )

- (x - 3) (x + 3) = - 2(x - 2) (x + 2) + (x - 1) (x - 1)- (x2 - 9 )= - 2(x2 - 4) + (x1 - 2x + 1)- + 9 = - 2x2 + 8 + x 2 - 2x + 1

9 = - 2 x + 92x = 0

x = 0 , x # - 3 , - 2 , 1 {0}

152

w M O D U L 0 12 - VALIDACION

1. Lado = x Area = x 3 Nuevo lado = x + 4 Nueva área = (x + 4 )J

Nueva área - área = 6 4 (x + 4 )2 - x 2 — 64

x 2 + 8x + 16 - x J = 6 4 8x + 16 = 64

X 2 = 8 . , . .

Solución x = 6 m tl.

I- • r : 'i :2. Cada lado igual mide x cms. M

La base medirá: 84 - 2x cms. f i.x = f (84 - 2x)

3x = 168 - 4x *v " ' Base = 84 - 2(24) l; ^7x = 168 = 36 centímetros

X — 24 T, - f j . ; , ' " r ■■■

" ' . i'" '3. °F = j °C + 32 ,;u ' ^

°F = °C en lectura x es decir iüfi x cF = x °C

X j X + 32 ^ y \- j;.<.'/-•(.'íu ;• i X —40

5x = 9x + 160 *. ,„0 ™ - « - • « '

- 4

4. Denominador = x ’ ** + -5-— - — — MCM>4 X + í 2

Fracción = * f*v 2(x - 4) = x + 1, X - 1

Fracción — x — 9 ,,

5. El número menor = x, entonces el mayor es 37 -XDividendo . Residuo— ------ — = cociente + -----------Divisor Divisor

= 3 + - MCM = xX X37 - x = 3x + 5, x ^ 0

x = 8 Los aéneros m 8 y 29

i :

¿Ot-." <N

: 2(* + 1)

163

6. Sea x el número buscado, ^ será t t Mitad que es igual a: — + 10 6

- = - + 10 M CM = 62 6

3x = x + 60 x = 30

7. Sea x un dígito, el otro será 10 - xL J •

Si el p r im e ro es el d íg ito de las decenas $1 núm ero q u e form an es:IQx + (10 - x )Al revés 10(10 - x ) + xEl número form ado al revés es igual al doble del original menos 1

10(10 - x ) + x = 2(1 Ox + 10 - x ) - l100 - 9x = l&x + 19 C

__ 8 1X - —r = 3

27

El número original es 10(3) + (10 - 3) = 30 + 7 = 37

decenas = x x + (x - 3) = -y [lOx + (x - 3)] unidades — x - 3

c tn j . I « 2x - 3 = \ ( 1 1 * - 3 )numero que forman = lOx + (x - 3) 7

Solución 63 x = 6

9. Consideremos que la cantidad invertida al 5% es x :4000 - x = cantidad invertida al 3%interés de la inversión al 5% + interés de la inversión al 3% = 168

.05x + .03(4000 - x ) = 168

Para manejar números más fáciles o con los que tenem os más experiencia que son los enteros m ultipliquem os la ecuación por 100

5x + 3(4000 - x ) = 16800 x = 2,400

'»Solución: al 5% - $2,400.00

al 3% - $1,600.00■ ... - .■.¡■■■.V' ■- '

10. Precio de lista x, utilidad 25% del precio de venta ’Precio de venta x - ,20x = .8Qx

Utilidad = precio de venta - costo .25(.8Qx) = .8Gx - 1,200

¡ .25(.8Qx) - ,8Qx = -1 ,2 0 0

154

,8Qx - (.25) (.80*) ,80c (1 - .25)

.80c (.75) ,6x

x

Precio de lista $2,000.00

11. Sea x el número de boletos de caballeroboletos de dama 755 - x : 'La recaudación total = recaudación x caballeé* + recaudación X damas

9.778.00 = \5 x + 8.5(755 - x ) : •9 .778.00 = Í5x + 6,417.5 - 8.5* ?v í J

6.5* = 3,360.5 ‘ ‘... ■ , SX = 3 ’360 -5- = 517 Boletos de caballo» 517

^ = ' Boletos de dama 2 3 t

1,2001,2001,2001,2001,200 = 2,000.00

12. Llamemos t al tiempo transcurrido hasta encontrarse Distancia = velocidad x tiem poDistancia recorrida por A + Distancia recorrida por B — 280

30/ + 40r = 280 lO t — 280

/ = 4 horas Se encuentran a las 7:00 p.m.A una distancia de la posición inicial de A de 120 km ó si se mide de la posición de B serán 160 km

120 km ------- --------------- 160 km

-> -----encuentro

| ---------------------------- 280 km -------------------------------- * ji, " W .;><

13. velocidad del auto = x ; como 15 min. = ~ horavelociaad del avión = 2.5* , = i . 2 5 horas

Distancia = velocidad x tiempoDistancia que recorre el au to + distancia que recorre el avión » 2 1 0 km

1.25* + 1.25(2.5*) = 210

Muchas veces es más rápido operar con fracciones que con decimales probaremos ahora

155

± * + ± < f * ) = 2IO

A * + 11 x = 2104 8

10x + 25x = 1,680 x = 48

velocidad del automóvil = 48 k m / h r . .c r .velocidad del avión = 120 k m / h r .

4. La información de 45 minutos para que la lancha rápida alcance a la lenta no es necesaria ya que nos preguntan la diferencia que se esta* blece en 15 minutos.Distancia - velocidad x tiempoDistancia de adelanto = Distancia recorrida por lancha rápida - Distancia recorrida por lancha lenta.

Tiempo = 15 minutos = ^ hora

Distancia de adelanto = (60) „ - (32) a ^

= 1 5 - * : í ■

= 7 millas ;J;;.

5. Sea x el volumen por sustituir de 40%Volumen que queda 20 - xEl volumen de alcohol en los 20 litros al 25% es el mismo que el de la solución que queda al 40%

.25(20) = .4 0 (2 0 - x ) , . , x = 7.5 litros

16. Toneladas con 40% de Mn = x Contenido = Porcentaje x Tonelaje Toneladas con 25% de Mn = 100 - xContenido de Mn al 40% + Contenido de Mn al 25% = Contenido total de Mn al 35%

.40x + .25(100 - x ) = .3 5 (1 0 0 ) x - 67 toneladas al 40% 100 - x = 33 ton. al 25%

17. Para hacer una tarea A requiere x días mientras B necesita 2x días. Tarea = rapidez diaria x número de días

La rapidez de A = ~ de tarea/día

156

La rapidez de B — de tarea/día

En 6 díasTarea de A + Tarea de B = Tarea Total o terminada

i . 6 + - ± . 6 = 1 J - ' :x 2x

6 ( i + —- ) = ! v x 2x

x = 9 días

A necesita 9 días B necesita 18 días

18. Horas perdidas en traslado — x Cantidad = Razón x baseHoras trabajadas = 40 - x

Cantidad ganada en traslado + Cantidad, ganada trabajando = 540.00 3x + 18(40 - x ) = 540

3x + 720 - 18x = 540- 15* = - 1 8 0

x = 12 horas

19. Rapidez de trabajo del tractor pequeño = km/día

Rapidez de trabajo del tractor grande = -j km/día

Tiempo necesario usando ambos tractores = x días

Cantidad de trabajo del tractor pequeño + Cantidad de triba$0 del tractor grande = 1 km.

x - 2 días

20. Tiempo requerido por las tres tuberías = t minutos

En un minuto una llena ^ de aljibe (esta es la razón) otra y la

más pequeña ~

157

Cantidad = razón x base

. t + _L . t + _L . r 20 30 60

/ — + - ! + _ ! _ 20 30 60

1 ^ i’/»’ ! U'* *

t:u t'Y .¿-i>’ ' t .tví'--;f - :Jr.¡ » v. ■ • v ' í 1' '

• TÍ ! ■ ■ ■

;■ ■ ■■■■• O ' -

■sm

r,

1 aljibe lleno

= 1

- 10 minutos

158

UNIDAD VIIIFUNCIONES, RELACIONES

Y GRAFICAS

Introducción

Los sistemas matemáticos como el que forman los números reales sirven de modelo a sis- tenias de la vida real, sean éstos ios complicados sistemas sociales o los menos complicados sistemas físicos de nuestro ambiente, de ahí la gran importancia que le damos al aprendizaje y comprensión de postulados, definiciones y teoremas, acerca de la estructura de los númerosreales.

En todos los sistemas se establecen relaciones entre conjuntos de individuos, objetos, números o ideas, según que el sistema sea social, físico o matemático, por lo tanto hemos de continuar nuestro estudio de los números reales con los conceptos acerca de las relaciones entre los subconjuntos de números reales, de manera que su comprensión facilite el desarrollo de conceptos y habilidades que nos conduzcan a un mejor conocimiento de nuestra sociedad así como del uso y abuso de la tecnología y de las ciencias en general.

La Revolución Industrial se empequeñece ante la promesa de grandes y rápidos cambios en nuestro desarrollo con la aplicación de! procesamiento de datos y la computación electrónica; aprovechamos los temas de la presente unidad para dar al estudiante una idea de los métodos y técnicas de estas áreas del conocimiento que pudieran despertar inquietudes que los inclinen al estudio en esas direcciones de gran actualidad y futuro.

161

Objetivos «Murales

Al term inar de estudiar esta unidad, el alumno: > <

1. Diferenciará entre relaciones y funciones de varios pares de conjuntos.2. Dada la regla de correspondencia, determinará los elementos de una función o relación.3. Utilizará el sistema de coordenadas para graficar pares ordenados.4. Dada la regla de correspondencia podrá graficarla en un sistema de coordenadas rec

tangulares.5. Dada una señe de instrucciones podrá dibujar una carta de flujo.6. Dada una carta de flujo podrá interpretarla.

, : íy/. i'.'jji*'■Wfir'Xí í ,: •>- hiU :j.

" i'

■■■ ■ -í■ ■;v>

162


Funciones

Relaciones

Radicales Valor absoluto

Dominio y recorrido de relaciones

Notación de funciones y relaciones

Sistema coordenado lineal

Coordenadasrectangulares

■ tr % '

ai' . . ( ' '!'•

\y >1 : "íJf.. : ; i- . !-

Gráfica de funciones y relaciones

K,l- V'., Oí' í' •• ■■4: ■ ¡.^

Cartas de flujo

-'A ■ ,t'i'i :í

'“'V.C; i'--!:.' S¿í:- '

?*> >'i.ttk. i ííyóír;;;' ■■ ;•

y.-.'í .* ■ . ' I M í i S

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a:,**.'. ~i‘] :<■■ c - 7 , !n.

v : • - A 1■ 7;»íy 7; í

... n;, r ■ : a

163

GIOMrto

Función, Es la correspondencia que se establece entre los elementos dedos conjuntos y asocia a cada elemento del primer conjunto ( x ) con un elemento único del segundo coniunt [y O f ( x ) ) .

ó Función. Una función es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos no coinciden en el primer elemento.

Dominio. Es el conjunto formado con los primeros elementos x y se le conoce también como variable independiente.

Recorrido o contradominio. Es el formado por los elementos del segundo conjunto y y se le conoce también como variable dependiente.

Regla de correspondencia. Es la relación que se establece entre el dominio (X) y el contradominio ( y ) .

Pares ordenados. Es la relación uno a uno que se establece entre los elementos del dominio y los elementos del contradominio.

Conjunto de reemplazamiento. Son los números reales que al sustituirlo en la variable* hacen verdadera la función.

Relación. Es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto X cor un elemento cualquiera del segundo conjunto y .

Sistema de coordenadas. Este sistema se forma usando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, y que se intersectan en sus orígenes.

Modelo geométrico. Es la representación gráfica de un conjunto de números reales.Origen. Los ejes x y y (abscisa y ordenada). Es el punto donde se intersectan las rectas del sis

tema coordenado y coinciden con el elemento 0.Abscisa. Es la coordenada de un número real sobre el eje de las x (horizontal).Ordenada. Es. la coordenada de un número sobre el eje y (vertical),Proyección perpendicular. Es el proceso de trazar una línea desde la gráfica a uno de los ejes.Cuadrante, Es el sistema coordenado. La intersección de dos rectas divide al plano en cuatro

partes siendo cada una de ellas los cuadrantes.Diagrama de flujo. Es una representación esquemática de un conjunto de operaciones indi

cando su secuencia en forma lógica con el objeto de facilitar su visualización.Algoritmo. Es una lista de instrucciones o secuencia de operaciones que debe seguirse para re

solver un problema, efectuar un cálculo o un trabajo.Información de entrada. Son los datos que introducimos en un algoritmo para encontrar una

solución del problema.Simulación de modelos. Es un proceso por medio del cual se efectúan pruebas dentro del la

boratorio de fenómenos reales, considerando ciertas variables.

164

V

Módulo 13

ííi

O B J E T I V O S E S P E C I F I C O S

U:-:

Al término del estudio de este módulo, el alumno: ' ' '1. Definirá el concepto de función. • ■íti2. Explicará en qué consiste un par ordenado, " ' i"*:''ÍV ’3. Explicara cuál es el dominio y contradominio de una función. ■’ v4 . Definirá et concepto de relación.5. Mencionará las diferencias y semejanzas entre función y relación. ;í6. De una lista dada de problemas señalará las expresiones que sean funciones y las que

sean relaciones.7. De una lista de ecuaciones señalará cuál es el dominio y cuál el contradominio.

E S Q U E M A R E S U M E N

FUNCION: , 7

—Simbología f: x •* y ; x =* y , J \x ) ~ y, {x, f(x ))

— Domi ni o

—Regla de correspondencia ..^ ^

—Contradominio o recorrido j* \ 1

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS ; v ¡ v ;;: v i ,f.¡: í. , ;

(■Vv) = O, w) x = : y i’ = u1 ' • • ■ ■ ■-■!,<>■*.. .Y- '*&

x Var i abl e i ndependi ent e.

y Var i abl e dependi ent e . -:u* J-n¡-7 ■ v -

RELACIONES >i-b :'.“i'V;-v

'-i ' ' 1 . . . i - ' . v ¡ i i - ’ v.<.'f ¿ íU ' í ' i '

165

13.1 Funcione*. Notación

Funciónmatemática

Ejemplos de funciones

Correspondan' cía entre dos conjuntos

El concepto de función es de gran Importancia en las clencl general y aun en nuestra vida cotidiana. Aunque con frecuencia se ^ interpreta o se confunde con el verbo funcionar, es necesario distinguí*1 diferencia, pues cuando hablamos de algo que funciona o no ** nos referimos al verbo funcionar, es decir, hablamos del actuar o Te* desempeño que tiene ese algo sea una persona, una máquina o un cualquiera. Función en matemática tiene un significado muy especia] no es exclusivo de la matemático como ya dijimos, pues lo encontramos en todas las ciencias.

Antes de dar una definición precisa y formal del concepto de función intentaré mediante ejemplos prácticos dar la idea que nos ayude i comprender esa definición.

En nuestra vida diaria el concepto está muy ligado al concepto de variación, y asi decimos por ejemplo, que en muchos objetos el peso varia con el volumen, si aumenta el volumen aumenta el peso, si disminuye el volumen disminuye el peso; expresamos entonces la relación que

existe entre el peso y el volumen, estableciendo que el peso Mtá en función del volumen y que a un valor del peso le corresponde un valor único de volumen.

En las figuras geométricas, por ejemplo, un cuadrado de lado 1, tiene un área ,4 que varia al cambiar la medida del lado I, sí aumenta 1 aumenta A, si disminuye 1 disminuye Ai en otras palabras A wtá función de 1; exlsteuna relación entre el valor de A y el valor de 1 y * u® valor de 1 sólo le corresponde un valor de/4.

En los dos ejemplos anteriores encontram os un* relación de correspondencia entre los etementos de conjunto«; en el primer ejemplo son, el conjunto de valores de peso y el de valores de volumen, en el segundo ejemplo son, el conjunto de valore» área y el conjunto de valores del lado; para poder identificar cuáles *on los elementos que están en correspondencia puesto que son únicot, necesitamos conocer cómo te relacionan e*o» conjunto*l *n primer ejemplo necesitamos saber cómo varía el peso según el mflte

166

w

forma del objeto y en el segundo ejemplo necesitamos saber cómo varía el ¿rea según la figura de que se trate. Existe pues una regla para cada r0biema en particular que nos da ese cómo.Cuando hablamos de función intervienen siempre tres cosas, dos

c0njuníos y k reRa que establece la corréspondencia entre los elementos ¿g cada conjunto, de manera que a u n elemento de un conjunto se le pueda identificar el elemento único del otro conjunto que le corresponde.

Existen muchas actividades humanas que pueden ser descritas mediante esas tres cosas mencionadas arriba, dos conjuntos cualquiera yu n a regla de correspondencia. .

Ejemplos:En medicina:A puede ser un conjunto de síntomas g un conjunto de enfermedades f la regla llamadá diagnóstico que

relaciona un síntom a con una enfermedad.

En física: ’ ; 1A puede ser un conjunto de valores de tiempo B un conjunto de valores de posición f la regla llamada fórmula que nos relaciona

para cada valor de tiem po con una posición.

Reglas de correspondencia

¡o.';

Así podríamos relacionar también, un conjunto de valores de distancia cor el conjunto de valores de pasajes, y podríamos seguir con más ejemplos o también podríamos generalizar cualquier actividad por medio del álgebra hablando en términos abstractos de los conjuntos A y B, y de la regla de correspondencia f , sin especificar qué elementos forman esos conjuntos, sencillamente diríamos “ si x es un elemento de A entonces en

existe un elemento y , asociado a x por medio de la regla de correspondencia f” ; en diagramas de Venn esquematizaríamos como sigue:

L'na práctica generalizada es la de representar a una función por la ktra f o también por g, h o T. El hecho de que /asocia cada elemento de

Representación simbólica de una función

167

■no:’.

zí con un elemento único de se representa simbólicamente enfo r m a s , a sa b e r .

/■ X

varias

y, x =» y, f { x) = y , ( x , /- (* ))

Relación de correspondencia

* De las cuatro formas de simbolizar esta relación la tercera v ln „y ia c«arta

son las más comunes y se leen: f [ X) — y " f de x es igual a y " Fi7 • ci parén.tesis no Indica multiplicación, señala o destaca el elemento al n,,P ,se lebusca su correspondiente usando la regla de correspondencia y qUe es(¿r e p r e s e n t a d o p r e c i s a m e n te p o r f (x) ó p o r y.

(x. A *)) ó (.v, > ) “X, f[ x )" ó 'X y ’’.Forman un par de números oelementos al que se le llama par ordenado.

El orden es de gran importancia ya que se estableció de manera de que el primer elemento sea siempre al que se le busca su correspondiente por medio de la regla de correspondencia y el tegundo elemento es precisamente el que le corresponde y se representa por flr) o por y .

La relación de correspondencia se establece entonces entre los

elementos representados por x y los representados por y, de modo que;

A c a d a e le m e n to x le c o r r e s p o n d e un v a lo r ú n ic o y , d e acu erd o con

la r eg la d e c o r r e sp o n d e n c ia f .

p e r o a un va lo r d e y le p u e d e n c o r r e s p o n d e r u n o o m á s d e un valor de

x\ fo r m a n d o pares ordenados p o d e m o s s im b o liz a r c u a lq u ie r relación de

c o r r e s p o n d e n c ia , p o r e je m p lo ; p o d e m o s c o n v e n ir q u e en un par de

n o m b r e s e l p r im e r o sea un a lu m n o d e la P r e p a r a to r ia A bierta y el

s e g u n d o su T u to r en la m is m a , e n to n c e s (P ed ro , José) (Juan, T om ás)

(Javier. J o s c ) .. . fo r m a n un c o n ju n to d e p a res o r d e n a d o s y sab em os sin

lu g a r a d u d a s q u e P e d r o e s un a lu m n o d e la P r e p a r a to r ia A b ierta y José

es su Tutor, q u e Jav ier ta m b ié n e s a lu m n o y José e s su tu to r y qu e de todos

lo s p a r e s e l p r im e r o e s u n a lu m n o y e l s e g u n d o e s su tu to r ; pero, y aquí

te n e m o s a lg o m u y im p o r ta n te , ese conjunto de pares o r d e n a d o s sólo sertf función si para cada alumno sólo h a y un tutor, a u n q u e un tutor le

c o r r e s p o n d a a v a r io s a lu m n o s , la c o r r e s p o n d e n c ia a s í os u n ívoca . ¿Cuál

ser ía la r e g la q u e r e la c io n a e s t o s n o m b r e s ? ¿ C ó m o se sa b e qu e a Juan le

c o r r e s p o n d e c o m o tu to r T o m á s ?

Normas para designar

)168

Esto lo decidió un organizador del sistema educativo mencionado y 0siblemente no haya seguido una regla específica sino varios factores

¿orno: lu8ar residencia, lugar de trabajo, etc. Esto nos enseña que una función es un concepto, una idea, y no como con frecuencia se confunde, una regla ° una ecuación-, rto confundir entonces a la función, que está fornia^8 por dos conjuntos y una regla de correspondencia, con la misma regta de correspondencia que muchas veces se representa por unagcu a c ió n .

Definición:

1. Una función es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto (x ) con un elem en to único del segundo conjunto (y ó /(* ))

Al primer conjunto se le llama Dominio de la función y al segundo Dominio yRecorrido o Contradominio de la función. contradominio

2. Una función es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares , : >distintos no coinciden en el primer elemento. Al conjunto formado con -i- >.alos primeros elementos se le llama el Dominio y al que forman ios , . í ,, segundos elementos el Recorrido o Contradominio.

En la segunda definición hablamos de pares ordenados distintos y nunca antes los habíamos comparado, por lo que definiremos la igualdad

pares ordenados como sigue:

Dos pares ordenados ( x , y ) (z ,w ) son iguales si y sólo si x - z

(*•}') = (z, w) o x — z y y = w \ '

Ejemplos: ;-V

(2> 3) = ( 2 , 3) (4, 2) # (2 ,4 ) (a, b) = (2, 5) o a = 2 y

y y TT W.

De los ejemplos anteriores vemos que no basta que los pares tengan los m^rnos números, además es necesario que tengan el mismo orden.

acuerdo con las definiciones dadas para el concepto de función âprenderemos que la regta de correspondencia por sí sola no define a üna función y que es importante conocer los conjuntos Dominio y

La regia de correspondencia

no define una función

169

Recorrido y compvptMliqprcoa la regla dada a un elemento de] d0ltll le corresponde un Únlot ffanento del recorrido. '"«lio

Ejemplos:

a) Supongamos que A'es el conjunto de habitantes de una ciudad y yel conjunto de nómeros naturales {1, 2,3,-..)y f una regla que dice ^ da elemento de X lo asociamos con su edad en años cumplidos será un elemento de Y. La función está definida puesto que tenenT6 dos conjuntos y la regla de correspondencia que asocia a cada ele mentó de X con un elemento único de Y, porque a cada persona le corresponde una edad y no más de una, ya que una persona no puede tener dos edades.

X — (Juan Pérez, José Talavera, Javier J ja rc ía ,...}

Y = {1, 2, 3, 4, 5,

Como no sería práctico escribir todos los elementos de cada conjunto usamos la notación para construir conjuntos:

{(x, y ) I caaa persona (jf) se asocia con su edad (y)}

Que se lee: El conjunto de pares ordenados( x , y ) tales que a cada persona se asocia con su edad (y ).

b) Sean los conjuntos X = {10, 20, 30} y Y = {15, 25, 35} Y la reg la de co rrespondencia h: x < y.

Escribimos un conjunto de pares ordenados (x, jm) Si x & X, £ Y y deben cumplir con h.

H - {(*, y ) \ x < y } ~

= {(10, 15), (10, 25), (10, 35), (20, 25), (20, 35), (30, 35)}

Diga si el conjunto// de pares ordenados representa o no una función. La respuesta correcta se explica observando la correspondencia que

se establece en seguida.

- '■ V ' 1 ■ ■ ■X - { 1 ( ^ 2 0 ^ 30} Dominio

Y - {15, 2 5 ,^ 3 5 } Recorrido

AI 10, elemento del dominio vemos que le corresponden 3 elementos (15, 25, 35) del recorrido por lo tanto, H no es una función-

Ya vimos como usando la notación de construir conjuntos P°êin^ escribir una función, veamos ahora un ejemplo más f r e c u e n t e

matemática.

c) Consideremos prim ero la proposición abierta, 2x + y = 3, ya que convenimos no escribirlo, recuerde que el conjunto de reemplazamiento son los números reales, es decir que las variables x y representan números reales. Si le asignamos a x el valor 1, para que la proposición sea verdadera .y debe valer 1, es decir a * = 1, le corresponde y = 1, el par ordenado será: (1, 1).

Ahora le asignamos a x el valor 3 y el valor de y debe ser: ;

2(3) + y ~ 3 - =*> >’ = 3 - 2 ( 3 ) y = - 3

el par ordenado será: (3, —3)

A los pares ordenados que así se obtienen les llamamos soluciones de la ecuación.

Diga si los siguientes pares son o no soluciones de la ecuación dada.

( 2 , - 1 ) ( 5 , - 7 ) ( - 2 , 7 ) ( 7 , - 2 )

Los tres primeros pares ordenados son solución de la ecuación porque la satisfacen, o hacen verdadera a la proposición abierta, en cambio el último, aunque tiene los mismos elem entos del tercer p a r ,nolos tiene en el mismo orden y como el prim er elem ento es un valor de x y el segundo un valor de y , entonces, x = 7 y y — -2 y la proposición quedará:

2(7) + ( - 2 ) = 3 falsa

Todas las soluciones de la ecuación con dos variables forman un conjunto infinito, por lo que esta relación se escribe usando la no tación para construir conjuntos, como el conjunto de pares que cum pleno satisfacen la ecuación, y podem os representarlo por una letra; H = {(x, y) | 2x + y = 3 Y Se lee H es el conjunto de pares ordenados x, y que cum plen la regla h: 2x +y = 3 .

Si en la relación H encontram os que para cada valor de x sólo le corresponde un valor de y entonces decimos que H es una función y que la ecuación es la regla de correspondencia. Podemos observar que es más fácil determ inar el valor de y correspondiente al valor de x

escogimos, si primero resolvemos la ecuación (2x + y = 3) para y y escribimos

y = 3 - 2x, así para x — - 3 v = 3 - 2 (—3) = 9 ( - 3 , 9 ) ^

P°r lo anterior la función H se puede “definir” por la regla de cbfres- P°dencia h , lo que simbolizamos h(x) = 3 - 2 x

V así Para x = -3 escribimos f i( -3 ) = 3 - 2 ( -3 )üe se lee en -3 es igual a 9 ” . h ( - 3 ) = 9

con dos variables

Conjunto de pares

ordenados infinito

171

Variable independiente y variable dependiente

y los pares ordenados que vimos antes (2, -1 ) , (5, - 7)( ^ nitican usando la notación para construir conjuntos que- ’h a ) = - i • w s ) = - 7 ' « . j .

Consideremos ahora I;i función / ’ — i (2, 3) (3 ,5 ) (4, 7)¿ de acuerdo con la definición de función el Dominio será {2, 3, 4,; e) Recorrido será (3, 5, 7}es decir f (2) = 3, f (3) = 5 y f (4) = 7 en otras palabras al 2 u corresponde el 3, al 3 el 5 y al 4 el 7.

Si la función es un conjunto de pares ordenados infinito entonces 1« escribimos usando la notación antes dada, ejemplo:

g = :(x, y ) I y - 1 + x ' , x 6 R }

observe que ya nos dan los valores de x es decir, el dominio de la función que es R.

P a r a r lo , >>=] y como x 2 > 0 los valores de y siempre serán positivos y entonces el Recorrido serán los números reales positivos, y > ],

Dominio de g = {x \ x €E R ) Recorrido de g — {y I y > 1}

Los valores de X representan elementos del dominio y los de > elementos del recorrido. Otra forma de nombrarlos son: y variable independiente,y variable dependiente porque su valor depende del valor escogido para x

En álgebra es frecuente el uso de valores literales para las variables, por lo que es importante haber comprendido las definiciones y notación de las funciones, para no tener dificultades con este tipo de problemas. Ejemplo:d) Sea la regla de correspondencia r: r(x) = x 3 + 2x

r(2) = 23 + 2(2) = 8 (2, 8)r(a) — a2 + 2 a, (a, a1 + 2 í í )

r(a + 1 ) = (a + 1 ) J + 2 (a + 1)

— a2 + la + 1 + 2¿7 + 2= a 2 + 4 a + 3, (a + 1, ¿75 + + •

El dominio, el recorrido y la regia de correspondencia definen un* función; antes dijimos la función definida por 2 x + y = 3 ¿noS es,arn0S contradiciendo? no es así realmente, lo que sucede, es que por razone^ prácticas el dominio y el recorrido no se explican y sólo se da I» correspondencia, considerando que de antemano se aclaró que mos en ci campo de los números reales, de manera que quien 'ce

1T2

An co rrespondencia p u ede de ah í. determinar el dominio y el reco*,-ig 1 alJ|iqiio esto no siempre es fácil. En ustos casos dice que unibos.

v recorrido están implícitos en la regla de correspondenciai» " '"10 y ¡Jeiopl»'

j 2x + y ~ ° y ~ 3 - 2x

gl valor de x debe ser un número real al cual le corresponderá otro ¿jêro real. Si observamos la expresión del lado derecho de la igualdad

n ervamos que la instrucción o proposición que representa nos dice que número 3 se le reste el producto 2x, como estas operaciones son

t)inarias en s*emPre obtendremos otro elemento de R si x Rt es decir v£R> lue8° e* dominio está formado por todo R y el recorrido también serí R .

0 y =

Cualquier número real para x nos da otro real para y , luego el dominio es R, pero como jc1 > 0, el recorrido serán números positivos ocero.

3 - 2xS) y =

(x - 1) (x - 2)

En e! numerador o en el denominador cualquier número real para X nos da otro número real, pero como la división entre 0 no está definida los valores 1 y 2 para x, y en general los valores de x que hagan Q a un &nominador no encuentran número real que les corresponda y entonces no son elementos del dominio, ejemplos:

, = _ ? - « o( . - 0 0 - 2 ) = = i = i n d e f l n i d o

v 3 - 2(2).. . T

3 - 4(2 - 1) (2 - 2) (2 - 1) . 0

- 1

0= indefinido

P°r lo anterior, sabremos que en el dominio no encontraremos esos j números; * 1( * # 2 i

_ 3 - 2 ( 3 1(3 - 1) (3 - 2 )

173

H N h k

13.2 Relacione»

Relación y función no ton concepto« equivalentes

< é r

Ya vimos que una función ee una relación de corrêpomu,,-.particular, pues exige que a un elemento del dominio le correspon ^ un elemento del recorrido, 1

Cuando no se cumple esta exigencia, no tenemos función, y en es una relación cualquiera, como veremos en el ejemplo slgui^0*

h) A(x) = - J 2 - X

Por lo visto en la Unidad VI, sabemos que algunos valores de x pertenecerán al dominio, porque no encontrarán número real que corresponda, ejemplos:

h(3) * v 2 - 3

h(A) = v / 2 - ~ 4

no existe

no existe

Entonces para que el radical represente a un número real dibe ser mayor o igual que 0;

2 - x > 0 + x < 2 y Dominio de h ■ {* I x < 2}

el recorrido será R ya que se consideran todos los valores posibles y «a ellos se toman tanto los positivos como los negativos, el decir, qui pus un valor de x en el dominio de la relación obtendremos dos valom para y.

A ( l ) ■ - v r=S Zti

M I) = 1 ó h( 1 ) = - 1

Defbtlolóni

1. Una relación es una correspondencia entre los elementos di d* conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto (X), con ua elemento cualquiera del segundo conjunto (y )

2. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados.

Compare las definiciones anteriores con lás de fünción y cualquier función ee una relación pero no cualquier relación M h a n * 1 El conjunto //del ejemplo anterior es una relación.

Relación y función no ion puta conceptos equivalentes.


En los problemas del 1 al 12 diga cuáles conjuntos describen una función y cuáles una relación cualquiera. Explique.

, {(1,2) 0 , 4 ) (2 ,3 )}, (1 ,3) (4 ,6 ) (7 ,9 ) (10, 12)>j ((1,2) (2 ,4 ) (1 .3 )}: {(4,4) (3 ,4 ) (2 ,4 ) (1 ,4)} ‘, {(1,4) (3 ,4 ) (4 ,1 ) (4 ,3 )} 'l {(1 ,2 '-(1 .3 ) (2 ,4 )}

En los problemas del 13 al 20 indique el dominio y el recorrido de las funciones dadas usando la natación de conjuntos.

13. í(x ) = ^ 4 - x - 18. f ( x ) = ------- 1 '

14. A*) = * “ O (* +15. , = _ i _ 19. h(x) = - X + 2

7. { (x,y) = 2x + 4}8. \ y = 1 x -- 11, X e R )9. {(x,.k) \ x + y ’ := 1}

10. i Ax) == X2, X € R )11. {(x, 1 X1 + y = i , = -L< x < 1}12. {(x, g (x)) 1g(x) == n/ x , .x > 0}

X - 2 y X 2 - 4x + 4

„ .. - 1 x 3 — 6x — 716- y - —----- - . ■ . , .( , , . . 20. y = ---------------------x* - 1 ' ' X 2 + 6x _ 7

17. y = V x1 + 1 , , ,

En los problemas 21 y 22 además del dominio y el recorrido escriba la reglá de correspondencia como una ecuación. Use la notación de funciones en la regla de correspondencia.

21. H = { ( -4 ,2 ) ( - 2 ,4 ) (0 ,6 ) (2 ,8 )}

F = {(—2 ,4 ) ( - 1, 3) (0 ,2 ) (1 ,1 ) (2 ,0 ) ( 3 , - 1 ) }

23- Considerando el conjunto G = {(x, g ( x ) ) I gix) = . 3jc* — x + 1 }encuentre

») j ( - 0 0 * ( j ) + í 0 )

g) g(a + 1) - g{d), a e Rb) g(3) c> g(0)“> «(«), a e R h) * ( g ± i ) . , - g W _ a g Re) g( a + l ) , a S R (« + ! ) - (« )

/

175

24. Considere las siguientes dos funciones ‘definidas” por las ecuaciones.

x* - 1X - 1

1-

a) ¿Cuál es el dominio de / y cuál es el de gl ¿Podemos simplificar la fracción Cn y? hágalo y conteste la siguiente pregunta:

b) ¿Cuál es la diferencia entre las funciones / y ;

> ■' i A -".:,(■/? v » - ■ -/:' •

1 ¡ ■ ; Í ; K í á H 1 : > X ? | ¡ . í . K TJ k l i U \ _ i

ji ■■ ’ 1-' K' ' '.. ....... '....... -..... ' 4 Kií:' ’

.......! : ‘ Í ^ Y [{ 4 Y Y o.-"r >•> -- "t 1 Y. l.' r

.L : .:'í::4V'" ' ; v Y >r ^ *

i,. • ?\ '' . X-’. • ■ly¡ v* C'klv í f e í n í í ' f :,A :■ J

$h ••iiii-.v. ••• l ' : * m í 2'¿c,. '-o

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* : ■.** ^ ' ' Y ^ ■■'* ;■’■;•;»■ ;; 1 .i, ■■. «Yi- : " ■ /' . , '■■■ •■;k" > ■ " ■>;'*. *’■ ■:. ■“ v" í,v.¿, ■■

- ’ r¡- ^ v ' J ;■ ;.:r , \j /;:,[■' '"""■ ' ''■■■"■¡ " .....■■■■■■■ • ■■ J..

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' 'í i i■- ’ ;á¡' "■■■.■■■'■,,■% .f t’0% ; M -í.

í w.; ; 1 -1

17»

Modulo 14


Al término del estudio de este módulo, el alumno:1 Explicará en qué consiste el sistema coordenado cartesiano.2 M encionará cuáles son los ejes del sistema coordenado cartesiano.3 M encionará la orientación positiva o negativa que tienen los ejes del sistema coordenado

cartesiano.4 Pe una lista de pares ordenados diagram ará los puntos resultantes (proyección p er

pendicular en un sistema coordenado cartesiano.5. De una gráfica con varios puntos en un sistema coordenado cartesiano escribirá los pares

ordenados correspondientes a cada punto.

ESQUEMA RESUMEN

—Sistema coordenado lineal, medio para obtener un modelo geométrico

—Sistema coordenado en 2 dimensiones o

Origen

cartesiano — abscisa

ordenad;»proyección perpendicular

14.1 Sistema de coordenadas en dos dimensiones

Sistem aCoordenadoLineal

Sistem aCoordenadoCartesiano

Cuadrantes

En la Unidad V introdujimos el sistema coordenado lineal qypermitió obtener un modelo geométrico del conjunto de los nT"* n°*reales; definimos la gráfica de un número real como un pm,| Cr0sgráfica de un conjunto de números como un intervalo, de modosolución de una ecuación o una inecuación con una variablegraficarse como bit punto o como un intervalo; sin embargo, aun cuand°la utilidad de este sistema coordenado lineal es muy limitada, ya qUe ¡usamos sólo cuando las expresiones tienen una sola variable nn« •* nos sirvecomo punto de partida para obtener modelo« para los conceptos definidos en los temas anteriores como las función« y las relaciona en general, modelos que nos proporcionan, quizá, la forma más clara, ¿til y práctica de ilustrar tales relacióne«.

Ih ia de faí definiciones de función (y de relación en general) nos habla de un conjunto de pares ordenados, es decir, dos conjuntos de números y una relación de correspondencia o dependencia entre ellos- en consecuencia el concepto del sistema cdordenado lineal se puede aplicar con cada conjunto y la asociación se logra formando lo que se llama un sistema coordenado rectangular o sistema coordenado cartesiano en honor del matemático francés cjue lo inventó, René Descartes (1637). Este sistema se forma usando dos rectas numéricas perpendicular« entre sí, a las que se denomina ejes coordenados y que se intersectan *r sus orígenes, punto al que se llama simplemente el origen del sistema que generalmente se representa por la letra O*

Generalmente uno de los ejes se dibuja3 | horizontal y en él, los número* positlToi2 quedan a la derecha y los negativos a la1 > f izquierda del origen, el otro eje o recta

numérica queda entonces vertical y los núihcnM positivos están hacia arriba y los negativo« hacia abqfo del origen.

y u que i»

-3 -2 -1“*------ 4 ------- 1-----

- 1III -2

-3

2 3

IV

Las unidades de longitud usadas en las rectas numéricas que cn adelante llamaremos ejes coordenados, por lo general son iguales en ambos ejes pero en algunos casos puede tomarse «n» P*r* ** horizontal y otra diferente para el eje vertical.

El plano en el que se dibujan los ejes coordenados queda dividido cuatro partes que se denominan cuadrantes, y que se numeran corn° ep muestra en la gráfica anterior empezando por el superior dcr€C ° sentido contrario a las manecillas del reloj.

178

wCon es*e de coordenadas rectangulares se puede establecer>rieSPondencia uno a uno o biunivoca e~"------ A------- ^ ~1viflf ordenado de números reales (x,jy).

VÜttP*“ , . j _ ______ ; j _____. i_

orteSpondencia uno a uno o biunivoca entre cada punto del plano

acostum brado es considerar el eje horizontal corno el corres-¿jente al dominio, por lo cual se le conoce com o eje de las x , o

P^hién eje de las abscisas, nombre que tam bién se da a los elemen- jdel dominio; al eje vertical en el cual se representan los elementos

^corrido le llamamos eje de las y , o también eje de las ordenadas, en un par ordenado, los elem entos se llaman abscisa y

delentonces,penada respectivamente, y estos nom bres son más usados que primero y segundo elem ento.

Definición: .... ;

Si el par ordenado (x sy ) se asocia con un punto M podem os decir «M es la gráfica de o también “(X .y) son las coordenadasdeAT% lo que simbolizamos que se lee M en x,.y.

Eje de las x y eje de la» y

Considerando el pun to M en un sistema de coordenadas rectangulares sus coordenadas se localizan trazando una recta perpendicular al eje horizontal para localizar la abscisa x , a este punto se le llama proyección perpendicular de M al eje x . Después encontramos la proyección perpendicular de Ai al eje de las y , con lo que localizamos la ordenada de M.

El punto en que se cortan las perpendiculares levantadas en las coordenadas es la gráfica del par ordenado.

Ejemplos:a) A(2, 3); A es la gráfica de (2, 3)

(2, 3) son las coordenadas de A , abscisa 2, en eje de las x. ordenada 3, en eí e de 1 as v * (3 ,2 )

— Atí.3! »1— “ **!— ¡iíl.11

k)

r *

r V ' .

;v°:0

Ôbserve que dos pares ordenados diferentes tienen com o gráfica Puntos diferentes, y si los pares ordenados son iguales la grá-

mismo punto.

1 7 9

A t i

c) Grafique el conjunto siguiente’.{ ( - 4 ,- 1 ) (-2 , 0) (-1 , 2) (0, 3) (2, 1)}

Una forma práctica de presentar los conjuntos de pares ordenados antes de graficarlos es lo que se llama una tabla da pana ordenados que puede ser horizontal o vertical, según convenga. El ejemplo que sigue no« da idea de esta forma.Ejemplo: Graficar el conjunto de pares ordenados

Tabla de Pares Ordenados

Vertical Horizontal Gráfica

180


Diagrame los puntos siguientes:a) abscisa 2, ordenadá - 1 e) (_ i . ± )

b) abscisa - , ordenada y f) ( - 3 0)

c) ( 2 , - 2 ) g) (0 ,0 )d) (0 ,3 ) h) ( - 3 , - 5 )

¿Cuál es la abscisa de los puntos situados en el eje de las y? ¿Cuál es la ordenada de los puntos en el eje de las x?

Indique el cuadrante en que se encuentra cada uno de los siguientes puntos. No es necesario diagramar.

* - 1 . 6 ) 0 ( 4 , - 2 ) * (3 , 2) S ( - 3 , - 2 )

Graficar los siguientes conjuntos escribiendo la tabla de pares ordenados.

a) { ( - 2 , - 1 ) ( - 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) 1 ....

b ) i ( y , 2 ) ( - 1 , - 1 ) ( 1 . 5 , 3 ) (0, - y ) } .

c ) { ( - 1 . 6 , - 1 . 5 ) ( - 0 . 8 , - 0 . 3 ) ( - 0 . 2 , 0 ) ( 0 , 0 . 5 ) ( 0 .2 ,1 .2 ) j

Escriba para cada inciso del problema 4 anterior la palabra fondón o la palabra reloción según corresponda.

m

Módulo 15


Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:1. Explicará en qué consiste la gráfica de una relación.2. Dada una lista de relaciones, el alumno determinará los valores para el domin'

contradominio. 10 e*3. Determinará de la gráfica obtenida si los puntos representan una función o sólo

relación. Una4. Dada una ecuación elaborará una gráfica.5. Dada una función la graficará y determinará la tendencia.

ESQUEMA RESUMEN

GRAFICA DE FUNCIONES Y RELACIONES

—Gráfica de la ecuación

I. muestra

Tendencia de una línea r

162

15.1 Gráfica de funciones y relaciones

Hemos visto ya como los modelos matemáticos ayudan en la Modelosolución de problemas reales de una manera práctica y económica, sin matemático¿inbareo, el planteamiento simbólico es algunas veces complicado y no se y modeloaprecian todos sus aspectos, es en estos casos en los que un modelo geométricogeométrico o gráfica del problema, o de la expresión matemática nos da una visión más amplia, de gran utilidad.

Como antes mencionamos, muchas de las actividades humanas o de los problemas que los humanos nos planteamos se describen como una función o como una relación en general; precisamente en el tema anterior veíamos cómo puede grafícarse un conjunto de pares ordenados y de ahí la importancia del sistema de coordenadas rectangulares, ya que una relación es un conjunto de pares ordenados.

La gráfica de una relación es el conjunto de puntos cuyas Gráficacoordenadas i*,y) cumplen o satisfacen la regla de correspondencia, y así d* una relación como se acostumbra definir una función o relación por la regla de correspondencia cuando ésta es una ecuación también se acostumbra decir la gráfica de la ecuación.Ejemplos: j >a) Graficar la siguiente función {(x, y) | 3x — y — 2, x , y E E )

Vamos a determinar los elementos, o sea lds pares ordenados que forman el conjunto, para lo cual necesitamos el dominio de la función y ya vimos la conveniencia de resolver la ecuación para y.

y = 3x -2 , el dominio dado es E, por lo que el número de parfes ordenados es infinito de

: modo que escogeremos para graficar sólo una parte, digamos los enteros en el intervalo - 3 < x < 2 puede graficar la parte que le interese por alguna razón en particular,en este caso vamos a buscar los elementos del recorrido entre los límites que hemos escogido; si

' /(;c) = 3x - 2 podemos escribir la tablacálculando / ( — 3) f { ~ 2 ) etc.

A r 3 ) = 3 ( -3 ) - 2 = - 9 - 2 = - 1 1 ; f ( - 2) = 3 ( - 2) - 2 = - 6 - 2 = - 8; A - l ) = 3 ( - l ) - 2 = - 3 - 2 = - 5; /(O) = 3(0) - 2 = 0 - 2 = - 2 ;/(1 ) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1;

y

< -(-3 , - l l ) ( -2 , -S ) ( -1 . - 5 ) (0, - 2 ) (1, 1)...}

( - 3 ,———j

- l l )( - 2 , - 8 )

( - 1 . - 5 )(0, - 2 )( l , 0

2 4

183

Como se mencionó, los pares ordenados se encuentran escogiend arbitrariamente elementos del dominio, que sustituidos en la regla ° correspondencia, nos dan los elementos del recorrido. *

b) G rafkar {(*, y ) I * ~ y ~ 2, x, y € R, - 1 < x < 3}

En este caso procedemos como en el ejemplo anterior, y = x ~ 2 dominio = {x R - I < x < 3} f{~ 1) — - i =recorrido = { y E ^ R \ - 3 < y < 1} f {3) = 3 — 3 = 1

El dominio está limitado entre —1 y 3,pero como se trata de elementos de R esto constituye lo que definimos como un intervalo cerrado, de cualquier modo, sabemos que en ese intervalo existen un número infinito de valores para X y habrá un número infinito de pares ordenados. Escogeremos sólo algunos valores enteros por ser fáciles de calcular; ejemplo:

“ 1, 0, 1, 2, 3

/ í - 1 ) = - 3 ; fi0 ) = 0 - 2 = - 2 ;

/U ) = 1 - 2 = - 1 ; A 2) = 2 - 2 - 0 ; A 3) = 1;

A B C D E

X - i 0 1 2 3

y - 3 - 2 - 1 0 1

Muestra de pares

Como en el ejemplo anterior ahora también consideramos sólo unos cuantos valores de X una especie de muestra, y la experiencia en el trazado de gráficas nos dirá cuántas “muestras” son suficientes y cuáles son las más fáciles para calcular el valor que les corresponda, pues por la propiedad de densidad entre dos cualesquiera siempre habrá un número infinito, por lo que siendo imposible graficar todos de una manera exacta, sólo graficaremos los del muestreo como se muestra en la primera figura, y después se aproximan los puntos intermedios uniéndolos que se graficaron, como se muestra en la segunda figura.

Ecuación: x ~ y = 2

184

c) Grafique la relación siguiente:{(x , y ) \ y 1 = x }

despejar y tendrem os y Dominio = {x \ x > 0}Recorrido = {y l y E R ]

Este es un problema semejante a! ejemplo anterior, pues el conjunto <je reem plazam iento (que no se menciona, tal como convenimos), es el de los números reales, de manera que procederemos igual que en el anterior COIl un muestreo, uniendo después los puntos con una línea.

Después con la regla de correspondencia buscamos los elementos del recorrido que correspondan, sólo que en este ejemplo en que se trata de una relación, a cada valor del dominio le corresponden 2 del recorrido (excepto en x — 0) y tendremos 11 puntos.

X y0 0

i4

12

14

12

1 11 - 12 1,41...2 -1 .4 13 1,73...3 -1 .7 3 .4 24 \~ - 2

Observando una gráfica podemos darnos cuenta si corresponde a una función o a una relación; cuando se trata del primer caso unas líneas verticales imaginarias sólo cortan la gráfica en un punto, indicándonos que para un valor de x sólo le corresponde uno áey, como en el ejemplo

en cambio en el ejemplo c), podemos darnos cuenta que cualquier vertical en un valor x del dominio, corta dos veces la gráfica indicando <lue al valor del dominio le corresponden dos del recorrido.

Además de lo anterior, una gráfica nos proporciona mucha información acerca de la función o relación de que se trata , como en el eJempio anterior c), en que vemos que nunca hay valores negativos de x y el valor mínimo es el 0.

d * Grafiquemos el conjunto cuya regla de correspondencia es x2 y — y = 1

La gráfica muestra si se trata de una función o de una relación

165

Al unir los puntos para aproximar ej resto de Jos pares ordenados vemos que la línea no puede cruzar las verticales en 1 y -1. ¿Entonces cómo unir B con C ó E con F1

En los casos en que el dominio de una función o una relación tiene vacíos, sean sólo puntos como en este ejemplo, o Intervalo« mayores, no podemos unir los puntos que estén en lados contrarios y nos damos cuenta que nuestro muestreo fue insuficiente, debemos considerar más valores de x en las proximidades de esos vacíos del dominio para analizar la tendencia que seguirán los otros puntos. Consideraremos otros dos puntos antes y otros dos después.

Podemos ahora unir con una linea suave, es decir, sin quiebres, jos puntos A,B , H , i de un lado y los J, K, C, D, E por el / / otro lado.

Con lo graficado podemos aproximar el ^ resto de los valores de acuerdo a las J

tendencias a cada lado de las lineas, lineasKque no pertenecen al dominio, y hacer lo

mismo para las gráficas a los lados de la Hnea en x = 1 . De la regla de correspondencia notamos que ningún valor real de x pueae hacer que la función o variable dependiente y, va'8a Recuerde el teorema que dice que £ = q = 0, x, y £ ^

y ' * de 1»¿Qué información acerca de la función y puede o b te n e r s e

gtáfica?

JC y

-1 .3 1.44

-1 .2 2.27

- . 8 -2.77

- .7 -1.96

186


Trazar la gráfica de cada una de las relaciones cuya regla de correspondencia se da. Escoja c| intervalo adecuado para graficar. cuando no se mencione alguno. Recuerde que si el dominio es un conjunto infinito en el intervalo escogido, se unen los puntos escogidos

muettreo.

1. y = 2x - 1 6. {(*, y ) I y = I x - 1 1 }

2. y = 6 - 3x 7. y = ~ x 1 + 2

3. y s 8. y - - - x*, I x I < 2

4. {(x.y) \ y = 6, x e R } 9. A x ) = 3 - 2x - x J5. {(jc, I x - - 2 , .y € i?} 10. / I » = x 3 - 2x - 8

En los problemas II al 14 establezca la correspondencia entre cada relación y la gráfica correcta.

11. {(*.>0 - 1* I. - 2 < x < 2 } U {(*, y ) \ y = 2, - 2 < x < 2)12. {(x,^) \ y = x, - 2 < x < 2} U { ( x , y ) \ y = - x, - 2 < x < 2}

13. l (x, y) \ y = 2. x G * }14. {(*, y ) I y = 2 - I x I, - 2 < x < 2}

En los problemas del 15 al 20 diga cuál gráfica representa una función y cuál una relación. Recuerde las gráfica de los intervalos para una interpretación correcta (V-4).

. f e

1S7

17. 19.

I » I ■» *

21. Graticar las siguientes relaciones en los intervalos que se indican, señalando según sea el dominio si la gráfica continúa o no con puntas de flecha.

- a) y = x¿ — 2x■ — 8; —5 < * < 6

b) y = 3 — 2x — x*\ —5 < x < 4

c) y = x'A -f- 2.r2 — I x — 3; —4 < x < 3

d) - f = 16; - 5 < jc < 5 '

i

188

Módulo 16

OBJETIVOS ESPECIOSOS

Al términar de estudiar este módulo, el alumno:Explicará en qué consiste una carta de flujo.Explicará qué entiende por algoritmo.Dada una lista de instrucciones dibujará una carta de flujo,Dada una regla de correspondencia para una relación la traducirá en una carta de Dada una carta de flujo para una relación, escribirá una ecuación o regla d i , correspondencia equivalente.

ESQUEMA RESUMEN

Carta de flujo o diagram a de flujo:algoritmo .

16.1 Cartas de flujo

Los diagramas de flujo estableo«! la secuencia a seguir en un trabajo

slmbologla de los diagramas de flujo

A través de las diferentes épocas de la historia de la humanidad hombre siempre ha intentado simplificar loi trabajos tanto fliicoi ^ mentales: un producto de estos esfuerzos es la computadora electr6ni°m° todo el equipo periférico para utilizarla eficientemente. y

Son necesarias varias operaciones en un orden o secuencia establecido para comunicarnos con la computadora y, de la necesidad de asegurarnos de seguir el procedimiento correcto para darle instruc ciones a la máquina se creó un método simbólico llamado cartsa o diagrama! de fh\Jo.

Las cartas de flujo proporcionan un medio para simplificar y organizar diversas operaciones o cálculos que requieren una secuencia definida, no sólo para dar instrucciones a una computadora, también ie ha extendido su uso para programar el trabajo que va a desempeñar un individuo o un equipo, actualmente se considera a las cartas de flqjo o diagramas de fli^jo como la forma más conveniente de escribir un algoritmo* para efectuar alguna tarea útil o algún cálculo.

En seguida presentamos las cartas de flujo como un método de escribir Instrucciones, para lo cual usaremos formas geométricas diferentes para diferentes tipos de Instrucción, la forma ovsl se usa para

dar órdenes como {arrancar) y {parar' ) , la forma rectangular para

instrucciones como Q um a^, j eleva al cubo] escribe ; la forma de

rombo o diamante cuando se debe tomar una déclslón entre il y no, o entre falso y verdadero con respecto a la proposición encerrada por lafigura.

En el módulo 14 Unidad IV se presenta el algoritmo* de la división de expresiones polinomiales, después de estudiar los siguientes ejemplo*

Algoritmo es una lista de instrucciones o secuencia de operaciones que deben seguirse para resolver un problema, efectu tr un cálculo o un trabajo cualquiera.

190

(je cartas de flujo dibuje una carta de flujo que contenga el algoritmo de la división.

I

‘.Jí'i í v ; v■?<

Verdadero ( Piresentar examen Unidad VIII

C Parar

Las proposiciones algebraicas que utilizamos en los primeros proble mas del módulo anterior son las reglas de correspondencia de relaciones es decir, son las instrucciones para que usando un valor de “x” se en' cuentre el valor de “y” correspondiente. En los ejemplos c) y d) siguientes damos las instrucciones de los reactivos de autoevaluación del módulo 15 en forma de carta de flujo, la información de entrada en el inciso c) seránlos elementos del dominio de la función dada por: y — 2x _ ¡, asjpara cada valor de éstos y siguiendo las instrucciones en la carta de flujo obtendremos el elemento del recorrido que corresponda.

y z z 2 x — 1

Si escogemos los enteros en el intervalo cerrado [— 2, 2]como se hizo en aquel problema encontraremos la siguiente correspondencia:

* = { — 2, — 1, 0, 1, 2 }

í t t l *Y = { — 5, — 3, — 1, 1, 3}

d>

¿Qué función se está calculando? Escriba la regla de correspondencia.

Tomar un valor de x , elevarlo al cuadrado, x z tomar su in v e r s o ,

-X2y sumarle 2; ¡claro!, se trata de la regla de correspondencia dada en eí problema 7 y ~ ~x2 + 2

Las cartas de flujo tienen gran aplicación en la ingeniería industrial para la simulación de modelos como la simulación de separaciones en una línea de producción que se muestra en seguida.

192

ita

3.


Escriba una carta de flujo para encontrar los elementos de un conjunto intersecci6 otros dos A y B cuyos elementos se dan.

Escriba una carta de flujo describiendo las operaciones para determinar valores d función cuya ecuación o regla de correspondencia se da en seguida. üna

a ) y — 2 x - 5 b) y — x A — x-Y- 3 c ) y = (2x'¿ $ ) x Con las siguientes cartas de flujo escriba las ecuaciones que definen a la función

194

2.3.

4.5.6.7.8.

10.11.12.13.


. M O D U L 0 13 - VALIDACION

1 . Función. Es un conjunto de pares ordenados donde t n á o t peres d iferentes NO se repite el primer elem ento, igual que en problema anterior.(1 , 2) =£ (1, 3 ) sin embargo, el primer elemento se repite, lo que indica que al 1 le corresponden dos elementos, el 2 y 3.

(4, 1) * (4, 3)(1, 2) * ( 1 , 3)A un valor de x sólo le corresponde uno de y.Misma razón que en problem a anterior, sólo que en estos casos de valor absoluto luego hay dudas, porque a dos valores de x les corresponde el mismo valor de y; por ejemplo: x — 3, y = 2 y para x = - 1, y — 2 y = 1 3 - 1 1 = 121 = 2 y 1 - 1 - 1 1 = 1 - 2 1 = 2

(3, 2) ( - 1. 2)9. R ebdA n. Si resolvemos para y la regla de correspondencia, tendremos

y con cada valor de x obtendrem os 2 de y que

satisfacen la condición.

Función.Relación.

Función.Relación.Relación.Función.Función.

Función. Relación. Relación.

£(.x) =

- i < x < 1

Dominio: 4 x 2 >X2 <

i x i £ 2 v . {x I - 2 < x < 2}

Recorrido: Resolvemos para x

recuerde que

s íx 1 = i X I

14. f [ x ) = x

15. y = x - 2

x = v/4 - [g(x)p

{y \ - 2 < g(x) < 2}

Dominio: x € R

Dominio: x — 2 = 0x = 2

Recorrido: f ( x ) R

{x \ x =É 2}

196

16. y =- 1

Dominio:

y

x z - I = 0 x = ± 1

ìRecorrido: y — —x l - i

(y l y 0}

[x \ x gfc - l , 1 }

{y *= 0}

17. y = \fx* + 1 Dominio: x 1 + 1 > 0x e R

Recorrido: y E R

18. f a ) =( * - 1) ( x + 2 )

Dominio: — {x ! x ^ 1, - 2 } Recorrido: = {y I y =£ 0}

19. *(*) = r r

h(x) =

4x + 4 x + 2

Dominio: = {x I x i=- 2} Recorrido: = y E R

Dominio: = { x l x ^ ~ 1 , 1) Recorrido: = y 6 R

( * - 2 ) *

20. y = 1x J + 6 x - 7

V = ~ 7) ( x + ))( x + 7 ) ( x - l )

21. /?(*) = * + 6, x = 2k, k E E, - 3 < k < 2

22. /■(*) = 2 - x, x e £ \ - 3 < x < 4

23. a) g { - 1) = 3 ( - l y - ( - 1 ) + i= 3 + 1 + 1

g(~ 1) = 5

b) *(3) = 3(3)a - (3) + 1= 2 7 - 3 + 1

g( 3) = 25

c) g(0) = 3(0)J - (0 ) + 1= 0 - 0 + 1

^(0 ) = 1

d) gio) ~ 3 (a f - (a) + 1 • .£(a) = - a + 1

196

e) gia + 1) = 3(a + i y - (a + 1) + 1= 3(a* + 2a + 1) - a - 1 + 1

g(a 4- 1) = 3a3 + 5a + 1

O í ( y ) + * 0 ) = 1 3 ({ ) ‘ - ( j ) + 1) + (3 (1 )’ - + 1 ]

= ( 7 - y + O + (3 - 1 + 1)

gi j ) + JT<1 > = 'J

g) g(a + 1) - 5<a) = [3(ü + l ) 3 - (a + 1) + l ] - [3(j)* - a + i j = (3 a3 + 5 a + 1) - (3a3 - a + 1)

g ia + O - £(a ) = 6ü + 2

g ( a + 1 ) - g ( a ) c ,„ _ b a

( « + ! ) - (a) 1

24. a) Dominio de / = x E RX1 - 1 __ (x + 1) (* - 1)

g(x) = x - 1 1

I * + 0 (* ~ 0 = * + 1X - 1

b) La diferencia entre f y g es únicamente la diferencia en sus dominios es decir f [x) = [£(*) y x # 1 ] .Recuerde que la conjunción es verdadera sólo si se cumplen ambas proposiciones.

M O D U L 014 VALIDACION

II

C) 'y

1 2

-1-

-2

1111

------------------4 (2, - 2 )

d) 3

2- I ■

%V(0,3)

\ y

12

•» *

2. La abscisa de los puntos sobre el eje de las y es 0. La ordenada de los puntos sobre el eje de las x es 0.

3. f es un punto de segundo cuadrante

Q es un punto de cuarto cuadrante R es un punto de primer cuadranteS es un punto de tercer cuadrante

198

a)

4.

b)

X y

- 2 - i

— 1 0

0 i

1 2

x y

32

2

— 1 — 1

1.5 3

023

c)

A B C D E

X - 1 .6 -0 .8 -0 .2 0 0.2

y —1.5 -0 .3 0 0.5 1.2

1.2

D—1.6 -0.8 -0.2

y

hiTEi

'0.5i

■ - 2 1■0 . 1 "

1 B1

ii

■— 1i

— 1 . 5A *

— 2 ■

5. a) Función. No se repite el primer elemento ett ningún par ordenado.b) Relación. Los puntos A y C correspondes « dos pares ordenados diferentes pero COB

el mismo primer elemento.c) Función. Lo mismo que en inciso a).


200

4. Dominio = x € /?- 2 <, X <, 2

yA - 2 6

5 - 1 6

C 0 6

D 1 6

E 2 6

Dominio = x — - 2 Recorrido = y € /?- 2 < y < 2

- 3 < x < 3

X yA - 3 4

5 - 2 3

C - 1 2

£> 0 1

E 1 0

F 2 1

G 3 2

á a: s= - 2

£ ---------

D I H -------------

-1

B f ' -

A -2

>- = 6

Dominio = x G R

-2 < x < 3

X y

íu 1 I

N>

1 ¡

- 2

B - 1 1

C 0 2

D 1 1

E 2 - 2

F 3 - 7

8. Dominio = I x I < 2

- 2 < x < 2

X y

A - 2 0

B - 1 - s / 3

C 0 - 2

D 1 - y f í

E 2 0

Dominio = x € R

La factorización de la función ayuda algunas veces a encontrar más fácilmente sus valores

X

A - 4 - 5

B - 3 0

C - 2 3

D - 1 4

E 0 3

F 1 0

G 2 - 5

y i c >

^ —/\/ \

1 / t-

J f = - x > + 22

-1 - \ ¿5j \ i \

-2 i / _1 1

i > i ------1 \ '2

- -1 \ '

Ai ------------------------ v- - 2 -----------4 E

^ _ _

- 4 < X < 2

Ejemplo: - ( - 4 + 3) ( - 4 - 1) - ( - 1 ) ( - 5 )

202

i y

/ II i 1 *

A tE

" A• 7 17

- i - i

\. t

iii•

- i i

7 2

\ i \ i

B ----------

C

i y

— Sí l y / o

Observe que las lineas no tienen cabeza de flecha porque ahí terminan.

f í x ) = 3 - 2 x - x 1

11. La gráfica “c”

12. La gráfica “a”

13. La gráfica “d”

14. La gráfica “b”

15. Función. Porque líneas imaginaria* vertiealei tOOMt la gráfica M unsólo punto.

16. Función.

17. Relación. En x = 0 una vertical tocaría la gtáfies #n dos puntos.

1$. Relación.

19. Función.

20. Relación.

h ) / ( a ) = 3 — 2-v — j r ; D om inio = R

* — 5 — 4 — 3 — 2 — i 0 I 2 3 4y — 12 — 5 0 3 4 3 0 — 5 — 12 — 21

204

Arrancar ^

Leer un elem ento

del dom inio

IM ultiplicar

por 1-------------

R estar

5

/ i H a v \S) f más \

No

3. a) y = 2** + x - f 3 b) y = (3x- f2 )x

206

Matemáticas //, Libro Se terminó de imprimir en mayo de 2008, en los talleres de Editores e Impresores Profesionales, í-.dimpro . S..A. de c.v.

San Marcos núm. 102-15, Col. Tlalpan,Deleg. Tlalpan. C P 14000, M éxico, D.F.

Se tiraron 6 000 ejemplares más sobrantes para reposición.

ISBN 970-18-0597-6

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S f 0^ C s 7 r ac,<sns e ^ e s í r e "

C O L A B O R A D O R E S

C O N S T R U C T O R E S

Profr. e Ing. O r l a n d o P a checo Quijanó,

Fís. Miguel Ángel M e n d o z a Ibañez

Act. Luis Fern a n d o E steves Cano

Mat. Hugo V i l l a g o m e z V e l a z q u e z

C O N T R O L DE CAL I D A D

Mat. J o s é A l fonso R a m í r e z O rtega

Profr. Hugo Licona Anaya

I L U S T R A C I O N E S

Fís. Miguel Ángel M e n d o z a Ibañez

M E C A N O G R A F Í A

Olivia Amol i t o s H e r n á n d e z

ÍNDICE

I N T R O D U C C I Ó N

D E S C R I P C I Ó N DEL M A T E R I A L

I N S T R U C C I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S P A R A EL USO DEL M A T E R I A L

S E C C I Ó N I '

E j e r c i c i o s de la Unidad V

Tabla de a u t o e v a 1uación de la Unidad V

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la Un i d a d V

S E C C I Ó N II

E j e r c i c i o s de la Unidad VI

Tabla de a u t o e va 1uación de la Un i d a d VI

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la Un i d a d VI

S E C C I Ó N III

Ejerci c i o s de la Unidad VII

Tabla de a utoe va 1uación de la Unidad VII

D i a g n ó s t i c o y rec o m e n d a c i ones para la Unidad VII

S E C C I Ó N IV

E j e r c i c i o s de la Unidad VIII

Tabla de a u t o e v a l u a c i ó n de la Uni d a d VIII

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la Uni d a d VIII

S E C C I Ó N V

Cuadro de c o n c e n t r a c i ó n de punt a j e s por u n idad

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s g e n e r a l e s para las c u atro

unid a d e s del texto

INTRODUCCION

El material que tiene en sus manos es un apoyo que le brinda la Dirección

General de Evaluación Educativa (DGEE) para afianzar*los conocimientos adquiri_

dos en su libro de texto.•

En este material, correspondiente a la materia Matemáticas II, del segun

do semestre, encontrará una serie de ejercicios que le darán la oportunidad de

familiarizarse con el tipo de pregunta que contiene la prueba y percatarse del

nivel de aprendizaje que usted ha alcanzado mediante el estudio de su libro de

texto.

Con el fin de mejorar las ediciones subsecuentes, solicitamos que comuni_

que sus observaciones, críticas y/o sugerencias a la siguiente direcicfin:

La educación es una responsabilidad com partida y en consecuencia invitamos atentam ente a toda persona interesada en colaborar para resolver la problemática educativa, a que remita sus comentarios, críticas y sugerencias con respecto a esta obra a la Dirección General de Educación Extraescolar de la SEP,

Sus aportaciones serán apreciadas en todo lo que valen y permitirán perfeccionar y adecuar perm anentem ente estos materiales a las cam biantes condiciones de la época actual.

2

D E S C R I P C I Ó N DEL M A T E R I A L

El m a t e r i a l está i n t e g r a d o por cinco s e c c i o n e s . Las s e c c i o n e s I, II, jjj

IV se r e f i e r e n , r e s p e c t i v a m e n t e , a las u n i d a d e s V, VI, VII y VIII de su ^

bro de texto M a t e m á t i c a . U n í d a d e s V - V I I I . (1980)

En cada una de dichas s e c c i o n e s usted e n c o n t r a r á :

— Una serie de e j e r c i c i o s b a s a d o s en su libro de texto.

— Una tabla de autoe va 1 ua c i ó n .

— Un d i a g n ó s t i c o y una serie de r e c o m e n d a c i o n e s rela c i o n a d o s

con el p u n t a j e que ob t u v o en la sección.

La tabla de autoeval uac i ón tiene la f i n a l i d a d de p r oporc i ona rl e informacijr

acerca de los e j e r c i c i o s de cada s e c c i ó n del mate r i a l .

En la primera c o l u m n a se e n c u e n t r a el n ú m e r o c o r r e s p o n d i e n te a cada

e j e r c i c i o .

En la segunda c o l u m n a se p r o p o r c i o n a la r e s p u e s t a c o r r e c t a a cada ej¿

c icio de la sección.

En la tercera c o l u m n a se p r o p o r c i o n a {n) el(los) n ú mero(s) de 7 a (s ) pa

gináis) del libro de texto d onde puede u sted e n c o n t r a r el c o n t e n i d o relac’

nado con los e j e r c i c i o s de la sección.

En la última columna (que está en b l a n c o ) usted debe an o t a r 1 para c;

da e j e r c i c i o que haya c o n t e s t a d o c o r r e c t a m e n t e . En caso c o n t r a r i o , debe

ted a n o t a r 0.

En la s e c c i ó n V usted e n c o n t r a r á :

— Un c uadro d e ' c o n c e n t r a c i ón de p u n t a j e s por unidad.

— Un d i a g n ó s t i c o y una serie de r e c o m e n d a c i o n e s g e n e r a l e s reía-

c ion a d o s con el p u n t a j e que o b t u v o para todos los e j e r c i c i o s

que integran el m a t e r i a l .

3

cuadro de c o n c e n t r a c i ó n de p u n t a j e s por u n i d a d tiene la f i n a l i d a d de pro

s o n a r l e i n f o r m a c i ó n s obre su p u n t a j e total o b t e n i d o en todos los ejercioOrC -ios que in t e 9 ran e ' m a t e r i a l .

i n s t r u c c i o n e s y -r e c o m e n d a c i o n e s p a r a e l u s o d e l m a t e r i a l

para reso l v e r l o s » e j e r c i c i o s que i n t e g r a n este m a t e r i a l , es n e c e s a r i o que

e s t u d i e su libro de texto.

Tenga a la mano h ojas b lancas para r e a l i z a r en e llas las o p e r a c i o n e s

qUe c o nsidere n e c e s a r i a s ,• d e s a r r o l l a r los e j e r c i c i o s , h a c e r d i a g r a m a s , escri

bir sus r e s p u e s t a s , etcét e r a .

Lea con c u i d a d o cada e j e r c i c i o y a s e g ú r e s e de haberlo- c o m p r e n d i d o p e r

fectamente antes de i n t e n t a r resolv e r l o .

Una vez que haya r e s u e l t o los e j e r c i c i o s de cada s e c c i ó n , c o n s u l t e la

tabla de a u t o e v a 1ua c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e y c o m p a r e sus r e s p u e s t a s con las

que allí se p r o p o r c i o n a n .

Por cada e j e r c i c i o r e s u e l t o c o r r e c t a m e n t e , e s c r i b a 1 en la columna

'Puntaje o b t e n i d o " de la tabla de a u t o e v a 1uac i ó n r e s p e c t i v a . En caso c o n

tra r i o, e s c r i b a 0.

Para c a l c u l a r su p u n t a j e o b t e n i d o en cada secc i ó n , u s t e d debe sumar los

"unos" que anotó en la úl t i m a c o l u m n a de la tabla de a u t o e v a l u a c i ó n c o r r e s

pondí' ente.

Por último, para c a l c u l a r su p u n t a j e total para todos los ejerci c i o s ,

dehe an o t a r en el c u a d r o de c o n c e n t r a c i ó n de pun t a j e s por un i d a d los p u n t a

jes q ue e s c r i b i ó al final de cada t abla de a u t o e v a 1uación y s u m a r l o s . Este

dato es su p untaje total para todos los e j e r c i c i o s .

Se le s ugiere llevar a cabo las r e c o m e n d a c i o n e s c o n t e n i d a s en los

^ a g n ó s t i c o s por u n i d a d y en el d i a g n ó s t i c o general para las cu a t r o unida-

des del texto, con el fin de r e a f i r m a r sus c o n o c i m i e n t o s y m e j o r a r sus pun-

ta j e s .

Los punt a j e s que o b t e n g a en estos e j e r c i c i o s no t i e n e n v a l i d e z para fi_

n^s de a c r e d i t a c i ó n , s o l a m e n t e r e p r e s e n t a n un i n d i c a d o r del g rado de domi-

n,° que u sted posee s o b r e el c o n t e n i d o de su libro de texto.

ffer

4

S E C C I O N I

E j e r c i c i o s de la U n i d a d V

1. ¿Qué p o s t u l a d o de orden j u s t í f ^ c a 1 a i m p 1 i c a c i ó nu + 2 > v y v > 0 = > ( u + 2) v > v ~ ?

A) Adi ti vo .B) T r a n s i t i v o .C) Tri c o t o m í a .D) M u í t i p l i c a t i vo .

2. La s o l u c i ó n de la e x p r e s i ó n2 - 3x > 4x - 5 es

A) x - 1

B) x -1

3. ¿En cuál de las s i g u i e n t e s o p ciones no_ a p arece un nú m e r o ra c i o n a 1?

A)

B)

C)

D)

4. ¿Cuál de las s i g u i e n t e s relacio^ nes es c o r r e c t a ?

A)

B)

C)

D)

5. ¿Cuál es m edia aritméti’ 3 .. 4 ,

14 > 1615 17

8 . 11" 13 ^ 12

4 65 " 11

2 . 39 ' ~r

7 y W.1

A)1 1 0~6T

B)

C)

D)

110TU55176

24~ST

6. El r e s u l t a d o de ]-7 ] * 1 2

es

A)B)C)D)

-22

- 66

26

7. ¿Cuál es la d i s t a n c i a entr puntos P(- §) y Q (- |)?

A)

B)

C)

D)

23T T

A6

7_1 2

15

¿£ Uál de las s i g u i e n t e s g r á f i cas c o r r e s p o n d e a la e x p r e s i ó n

2x + 3 1 = 5 ?

A)- 4 0 1

H-----1---- •--- ►

O * ' o”

0) « --- *---- h-4

-I-----1---- •---4

-I---- 1--- ►-1 O

j. ¿Cuál es el c o n j u n t o s o l u c i ó n

de !* - 3 ¡ < 11?

A) (x 1 - 14 < x < 14}

B ) { X 1 - 8 i x < 14}

C) (x ! - 14 .< x < 8}

D) Í X j - 8 < x < 8}

10. La g r á f i c a q ue c o r r e s p o n d e al •conjunto s o l u c i ó n de la d e s i

g u a l d a d | 1 0 x - 5 j < 15 se o b s e r

va en la opción:

A)

B)

C)

D)

-4-

-1

- 2

- 2

T a b l a de a u t o e v a 1 ua c i ó n de la Unidad V

N ú m e r o del e j e r c i c i o

R espues ta c o r r e c t a

Pag i n a ( s } del 1 i bro

P un t a j eo b t e n i d o

1 D 26 - 28

2 B 2 7 - 2 9

3 C 33 - 34

4 A 33 - 34

5 C 34

6 C 40 - 43

7 C 42

8 A 41 - 46

9 B 46 - 47

10 A 46 - 4 7

T O T A L

6

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la U n i d a d V

Si usted o btuvo 5 puntos o me n o s , su nivel de c o n o c i m i e n t o ac e r c a del C(

ten i d o de esta unidad es d e f i c i e n t e ; por lo tanto, debe e s t u d i a r nuevam,

la un i d a d y r e solver, por s e g u n d a o c a s i ó n , los e j e r c i c i o s co r r e s p o n d i en ■

Si u sted ob t u v o 6 puntos o más, su g r a d o de d o m i n i o sobre el c o n t e n i d o r

esta un i d a d es a c e p t a b l e . Sin emba r g o , es c o n v e n i e n t e que e s t u d i e con r

y or d e t e n i m i e n t o a q u e l l o s c o n t e n i d o s que se le d i f i c u l t a r o n , con objeto

que r e s u e l v a c o r r e c t a m e n t e todos los e j e r c i c i o s .

S E C C I Ó N II

E j e r c i c i o s de la Unidad VI

1 ~ 311. El r e s u l t a d o de (- j ) es

M

B)

O

D )

12. ¿Cuál de las s i g u i e n t e s e x p r e sio n e s se o b t i e n e al s i m p l i f i car y e s c r i b i r sin e x p o n e n t e s

A)

B)

C)

D)

3xí>

y

6XVX

3 y ?

3 x

y2

13. Al s i m p l i f i c a r la expresión

3 xse o b t i e n e como r

yta do

A)

B)

D)

3x

1 2X

2 ' y 6

c)

2 7 x

7

L a r a í z cúbica de -216 e s

A) 7 2

B) 6

0 - 6

D) -72

L a raíz principal de / í * 6 x es

A) 2 x

B) 1 6x

c) 2 x f

D) ; 1 6 x |‘ ■

Una f r a c c i ó n e q u i v a l e n t e a la4

e x p r e s i ó n (3a + b ) 5 se l o caliza en la opción:

A ) ♦4

b

6) :/(3a ♦ b}"

c) / 3 a 1 * b 5 .

D) '/(3 a ♦ b ) 5 •

Al e l i m i n a r el e x p o n e n t e f r a c cion a r i o y. e s c r i b i r en su forma más sim p l e la e x p r e s i ó n

(27 x ' y !) ’- 3

( x y ) , se obti ene

A)X

B)X

C) 2 7 y 2

D) 3 y 2

'*/ l~2 818. Al s i m p l i f i c a r /I6x y , se

ob t i e n e

A ) 16 x 1 y 2

8) 2 x 12 y

C) 4 x 3y 2

D) 2 x 3y 2

19. El r e s u l t a d o de /uv/u v es

A) 7 u ? v

B ) u /u2 3 V

C) u / u V

D ) u /u 3 v 3

20i

El r e s u l t a d o de —x ^ es

A

21

A) ?T

y

B) 4 X ‘

C) y /xy

D ) x /xy

Al r a c i o n a l i z a r la e x p r e s i ó n

— , s e o b t i e n e3 + / 2

9 - 3 / 27

9 - 3 / 2 ,

3 - /2

8

22. Al c o n v e r t i r /Tx en una e x p r e sión con índice 9, se o b t i e n e

A) j s i ; A) / 2 + /2

B) /fíx7B) fe + 5/2

C) ,9/3 4 3 xc) ^38 + ' / Í Ó

D) D) ^38 + /26

23. El r e s u l t a d o de

^54 - ŸÏ6 - (-/Ï8 + /8) es

Tabla de a u t o e v a l u a c i ó n de la Unidad VI

N ú m e r o del ejerc i c i o

R e s p u e s t ac o r r e c t a

Pági n a {s ) del libro

Pjj nta je obten i do

11 D • 68 - 71

12 A 68 - 71

13 B 68 - 71

14 C 74 - 78

15 C 76 - 78

16 B 83 - 86

17 B 81 - 85

18 D 91 - 93

19 D 93

20 D 91 - 94

21 A 94

22 D 91 - 95

23 A 94 - 95

T 0 T A L

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la Un i d a d VI

Si usted o b t u v o 7 puntos o menos, su nivel de c o n o c i m i e n t o acerca del c°nt

nid-o de esta uni d a d es d e f i c i e n t e ; por lo tanto, debe e s t u d i a r n u evamente

la unidad y r e s o l v e r , por s e g u n d a o c a s i ó n , los e j e r c i c i o s c o r r e s p o n d i ente5

■ u s t e d o b t u v o 8 pu n t o s o más, su g rado de d o m i n i o s o b r e el c o n t e n i d o de

ta u n i d a d es a c e p t a b l e . S i n e m b a r g o , es c o n v e n i e n t e que e s t u d i e con ma-

or d e t e n i m i e n t o a q u e l l o s c o n t e n i d o s que se le d i f i c u l t a r o n , con o b j e t o de

qUe resu e l v a c o r r e c t a m e n t e todos los e j e r c i c i o s .

S E C C I O N III

: j e r c i c i o s de la U n i d a d VII

¿Cuál de las s i g u i e n t e s e x p r e siones c o r r e s p o n d e al e n u n c i a d o "La cu a r t a parte del p r o d u c t o de tres números más dos u n i d a des"?

A)xyz

+ 2

B) 4xyz + 2

C)xyz + 2

4 '

í) \ * 1 i + 2 4 M

C o n s i d e r e el s i g u i e n t e p r o b l e ma :

"El largo de un r e c t á n g u l o m i de x m etros, su a n c h o es dos metros m enor que el largo y el área es de un m e t r o cuad r a d o . E n c o n t r a r sus d i m e n s i o n e s .’1

¿Con cuál de las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s podría r e s o l v e r s e el p r o b l e m a a n t e r i o r ?

-A)

B )

:)

»)

x(x - 2) = 1

x(x + 2) _ n— ---- 1

2[x + (x + 2)] = 1

26

28

Al d e s p e j a r Vo de la formule.

d = Vot + y a t‘ .

A) Vo = £ +- i at

B) V o ^ - ^ - ^ a t

C) Vo = £ + ^ a t :

se o b t i e n e

D) Vo d . i a t 2 t 2 at

27. Al r e s o l v e r la e c u a c i ó n8u - 2(u - 8 ) = 2u, se o b t i e n e

A) u = 4B) u = 2C) u = -2D) u = -4

Al r e s o l v e r la e c u a c i ó n

2 ' 3 X x ■ mo r e s u l t a d o

_ 21

se o b t i e n e co

A)

3)

C)

D)

4

218J _4

10

29. La s o l u c i ó n de

es

A) 9

B) 3

c) -1

D) -3

30. El largo de un2 m más que el

área aum e n t a 82 m el largo,d e 1 r ectángul o

A) 2 m

B) 4 m

c) 6 mD) 8 m

2X + 3

= O

: ho. Si el

al .aumentar

31. ¿Cuál es el s u eldo de un do si d e s p u é s de d esconta eT ple>

e 415% por c o n c e p t o de impuesto--6 prestaci ones cobra $15 52 5.2s?

A) $22 178.93

B) $18 2 65.00

C) S 17 8 54.04

D) $13 196.46

Tabla de a u t o e v a i u a c i o n de la Unidad VII

Número del ejerc i c i o

R e s p u e s t acorr e c t a

Pag i na ( s ) del libro

Punta-je obteni do

24 A 115 - 118

25 B 115 - 118

26 B 122 - 124

27 0 122 - 124

28 , B 124

29 A 129 - 1 3 0

30 c 134 - 138

31 B 134 - 138

T 0 T A L

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s para la Un i d a d Vil

Si usted ob t u v o 4 puntos o menos, su nivel de c o n o c i m i e n t o acerca del conte

nido de esta un i d a d es deficiente; por lo tanto, debe e s t u d i a r n u e v a m e n t e

un i d a d y r esolver, por segunda o c a s i ó n , los e j e r c i c i o s cor res pond i ente-

*11

. u5ted o b t u v o 5 p untos o más, su gr a d o de d o m i n i o sobre el c o n t e n i d o de

u n i d a d es a c e p t a b l e . Sin emba r g o , es c o n v e n i e n t e que e s t u d i e con ma-

(jeteni mi ento a q u e l l o s c o n t e n i d o s que se le d i f i c u l t a r o n , con o b j e t o deyOÍ

resuelva c o r r e c t a m e n t e todos los e j e r c i c i o s .

S E C C I O N IV

Ejercicios de la U n i d a d VIII

52, ¿Cuál es el d o m i n i o de la f u n

ción f (x ) = x ? .X - 2 x

A) {x X 1, X + -1}

B) { X 1 x + 2, x f 0}

C) { X 1 x + - 2}

0 } ( X 1i * i 3}

¿Cuál de los s i g u i e n t e s c o n j u n tos es el r e c o r r i d o de la fun-ci ón H = í(1, 2), (3(5, 6) , í 7 , 8) }?

A) Í1 , 3, 5, 7}

B) f 2 , 4, 6, 8]

C) {3, 7 , 11, 15}

D) {2, 12 , 30, 56}

¿Cuál de los s i g u i e n t e s con j u n -tos co rres ponde a una f u n c i ó n ?

A) {(-(0,

2, -

2)}1), (- 1 , 0) , (0, 1)

B) {(1(1,

, 1) 4)}

, (1, 2) , (1, 3),

C) {(1(2,

, 3)4)}

, (1, 4) , (2, 3),

U) i d(4,

, 3) 6)}

, (3, 5) , (2, 4),

?35. Si h ( x ) = -— i - — , el v alor de

xh ( -1 ) es

A) 9B) 7C) -7 0) -9

36. O b s e r v e el s i g u i e n t e plano.

_1--1--L_l—«— -. t-»x

¿ Cuáles son las c o o r d e n a d a s del punto M?

A) (4, 3) '

B) (4, -3)

C) (-4, 3)

D) (-4, -3)

v ¿

37. ¿En cuál de las s i g u i e n t e s grá ficas se o bserva el punto P ( - 2 , 3)?

A;

P

B)

c) Y D)

i- i -»X

38. ¿Cuál de las s i g u i e n t e s g r á f i cas c o r r e s p o n d e a la e x p r e s i ó n

y = x. - 2x + 3?

A) B)

C) D)

1 X

39. ¿Cuál e,s la g r á f i c a derel;

B)

C)

-*-*■ X — i

13

3 x¡1 d i a g r a m a de flujo que le c o r r e s p o n d e a la f unción y = + 1, se

observa en la opción:

24

41. O b s e r v e el s i g u i e n t e diagr a m a .

¿Cuál de las s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s

A) y = V -

B) y = (J) - 4 :

c ) y •= - 4 ) '

D) y

le c o r r e s p o n d e ?

V

15

Tabla de a u t o e v a 1 uación de la Uni d a d VIII

Número del ejerci ci o

R e s p u e s t ac o r r e c t a

Pág i na (s ) del 1 i b ro

P u n t a j e o b t e n i do

32 B 169 - 174

33 B 171 - 172

34 D 169 - 174

35 D 171 - 173

36 C 178 - 180

37 A 178 - 180

38 C 183 - 186

39 A 183 - 186

40 A 190 - 193

41 D 190 - 193

T 0 T A L

iagnóstico y r e c o m e n d a c i o n e s para la U n i d a d VIII

i usted ob t u v o 5 puntos o m e n o s , su nivel de c o n o c i m i e n t o a c e r c a del c o n

vido de esta un i d a d es d e f i c i e n t e ; por lo tanto, debe e s t u d i a r n u e v a m e n t e

3 unidad y r e solver, por s e g u n d a o c a s i ó n , los e j e r c i c i o s c o r r e s p o n d i e n t e s .

i usted obt u v o 6 puntos o más, su g rado de d o m i n i o s o b r e el c o n t e n i d o de

sta unidad es a c e p t a b l e . Sin e m b a r g o , es c o n v e n i e n t e que e s t u d i e con ma-

0r d e t e n i m i e n t o .aquel 1 os c o n t e n i d o s que se le d i f i c u l t a r o n , con ob j e t o de

^ resuelva c o r r e c t a m e n t e todos los e j e r c i c i o s .

16

S E C C I O N V

Cuadro de c o n c e n t r a c i ó n de p u n t a j e s por unída-d

Pu n t a j eo b t e n i d o

U n i d a d V

Un i d a d VI

U n i d a d VII

Un i d a d VII.I

T O T A L

D i a g n ó s t i c o y r e c o m e n d a c i o n e s g e n e r a l e s para las cuatro unidades del texto

Si o b t u v o 24 puntos o men o s , esto q u i e r e d e c i r que aún no do m i n a los conte

nidos de su libro de texto. Es i n d i s p e n s a b l e que vuelva a e s t u d i a r todas

las u n i d a d e s de su libro de texto. Se le r e c o m i e n d a c o n t e s t a r nuevamente

los e j e r c i c i o s de a u t o e v a 1 uación que c o n t e s t ó i n c o r r e c t a m e n t e .

Si ob t u v o de 25 a 30 puntos, s i g n i f i c a ,que aún no ha a l c a n z a d o un dom|

nio s u f i c i e n t e de los c o n t e n i d o s de su libro de texto. Se le recomienda

que e s t u d i e n u e v a m e n t e los c o n t e n i d o s r e l a c i b n a d o s con los ejerc i c i o s que

haya r e s u e l t o i n c o r r e c t a m e n t e , antes de vo l v e r a res o l v e r l o s .

Si o b t u v o de 31 a 36 p untos, su nivel d e s c o n o c i m i e n t o s s obre el con

nido de su libro de t exto es a c e p t a b l e ; sin e m b a r g o , es c o n v e n i e n t e que

tudie n u e v a m e n t e aque l l o s temas dél texto que no domine todavía y trate ■

r es o l v e r los ejerc i c i o s del p r e s e n t e mate r i a l que c o n t e s t ó incorrectamentC'

Si o b t u v o de 37 a 40, pero no a l c a n z ó los 41 puntos, esto indica que

usted tiene d e f i c i e n c i a s m í nimas para o b t e n e r el p u ntaje máximo. Sin em

ba r g o » se le r e c o m i e n d a r e v i s a r n u e v a m e n t e a q u e l l o s c o n t e n i d o s de su lib,-L

de t exto s obre los cuales tenga dudas. #

Matematicas II, Ejercicios Autoevaluación „ se terminó de imprimir y encuadernar en el mes de

Agosto de 2000 en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V. (IEPSA)

Calz, de San Lorenzo 244; 09830 México, D.F.

Se tiraron 31,000 ejemplares Más sobrantes para reposición

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