Matematicas Nivel 3

AritmticaTercer Nivel

Jos Luis Moreno Aranda Grupo Mathematik, SA de CV Libros Electrnicos Todos los Derechos Reservados 2006

Aritmtica Libro del Maestro

Dinmica Bsica del Sistema de Numeracin DecimalLos nmeros naturales o nmeros enteros

Las columnas numricasAl iniciar el tercer nivel, los estudiantes ya conocen todos los nombres de los nmeros que necesitamos para crear cualquier nmero sin importar la cantidad. Agregar columnas a la izquierda nos permite seguir construyendo, sin lmite, nmeros naturales a los cuales tambin llamamos enteros. En lgebra los llamaremos enteros positivos. Recordemos nuevamente que las columnas numricas las recorremos de derecha a izquierda. Los nombres de las columnas siguen un esquema cclico que se repite cada tres columnas y las palabras claves que se repiten son: unidad, decena y centena. Figura 3.1 Las columnas numricas Unidades Centenas Unidades Unidades Unidades Unidades Centenas Centenas Centenas Centenas Decenas Decenas Decenas Decenas Decenas

Milln de Millones Billones

Miles de Milln

Milln

Millar

Direccin en la que recorremos las columnasLibro del Maestro

79

Los nombres de los nmerosComo una estrategia pedaggica para construir los nombres de los nmeros, llamamos nombres de los nmeros a los nmeros del 1 al 999, es decir, las unidades, decenas y centenas, y apellido de los nmeros al ciclo al que pertenecen. Los nmeros del primer ciclo, o ciclo bsico, no tienen apellido. Figura 3.2 Apellidos de los nmeros Unidades Unidades Unidades Unidades UnidadesTercer Nivel de Abstraccin

Centenas

Centenas

Centenas

Centenas

Centenas

Decenas

Decenas

Decenas

Decenas

Ciclo millones de millones Figura 3.3

Ciclo miles de millones

Ciclo millones

Ciclo mil

Ciclo bsico

Ejemplo de los nombres y apellidos de los nmeros millones Unidades Centenas Centenas Decenas mil Unidades Unidades Centenas Decenas Decenas

9 4 7 novecientos cuarenta y siete 3 , 9 4 7 tres mil novecientos cuarenta y siete 2 3 , 9 4 7 veintitrs mil novecientos cuarenta y siete 5 2 3 , 9 4 7 quinientos veintitrs mil novecientos cuarenta y siete 8 , 5 2 3 , 9 4 7 ocho millones quinientos veintitrs mil novecientos cuarenta y siete 6 8 , 5 2 3 , 9 4 7 sesenta y ocho millones quinientos veintitrs mil novecientos cuarenta y siete Columnas numricas del 0 al 99,999 Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Utilizando las columnas numricas, los alumnos deben construir nmeros y escribirlos en notacin desarrollada y compacta as como tambin escribir sus nombres con ortografa correcta, para que mediante el uso de sus sentidos, entiendan y demuestren estos conceptos.

80

Decenas

Figura 3.4Decenas de millar

Notacin desarrollada, compacta y nombres de los nmerosUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

1,000 100 1,000 100 1,000 100 100

10 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 1,000 100 1,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 100 10,000 100 10,000 100 10,000 10,000 100 100 100 100 100

10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

Dgitos disponibles3,485 = 3,000 + 400 + 80 +5

Dgitos disponibles16,247 = 10,000 + 6,000 + 200 + 40 +7

Dgitos disponibles51,968 = 50,000 + 1,000 + 900 + 60 +8

Tres mil cuatrocientos ochenta y cinco

Diecisis mil doscientos cuarenta y siete

Cincuenta y un mil novecientos sesenta y ocho

Libro del Maestro

81

Suma y Resta

El algoritmo de la suma y la resta

El algoritmo de la suma. Noveno pasoUtilizando las columnas numricas del 0 al 99,999, sumar dos dgitos hasta el 18 en las columnas de las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar y las decenas de millar efectuando sumas del 0 al 99,999. Los alumnos se encuentran ya preparados para realizar cualquier suma, sin importar el nmero de dgitos o cifras que la formen. En el primero y segundo niveles de abstraccin los nios, utilizando sus sentidos, han entendido y demostrado el concepto de la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal, as como tambin, han desarrollado la habilidad para realizar mentalmente sumas de dos dgitos hasta el 18. En este tercer nivel de abstraccin, las columnas numricas del material didctico tienen slo 9 fichas en cada columna, ya que es como de hecho estn constituidas, porque solamente contamos con 9 dgitos. Esto hace necesario que los estudiantes realicen sumas para completar 10, lo que les permite comprender mejor la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal y desarrollar la habilidad para realizar mentalmente sumas ms complejas. Columnas numricas del 0 al 99,999 Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Utilizando las columnas numricas vamos a realizar la suma: 35,276 + 48,967 82Tercer Nivel de Abstraccin


Suma en la columna de las unidadesUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1

En la columna de las unidades slo tenemos 3 unidades disponibles y debemos sumar 7, por lo cual sumamos 1 decena en la columna de la izquierda, es decir, 10 unidades, y restamos 3 unidades, ya que 7 = 10 3 35,276 + 00,010 00,003

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 1 10,00035,276 + 00,007 Figura 3.6Decenas de millar

100 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 1 10,000 1,000 Dgitos disponibles 1 10,000 1,000 100 1 1 10,00035,276 + 00,007 = 35,283

Suma en la columna de las decenasUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1

En la columna de las decenas slo tenemos 1 decena disponible y debemos sumar 6, por lo cual sumamos 1 centena en la columna de la izquierda, es decir, 10 decenas, y restamos 4 decenas, ya que 6 = 10 4 35,283 + 00,100 00,040

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 1 10,000 1,000 100 Dgitos disponibles 1 10,000 1,000 100 1 1 10,00035,283 + 00,060

100 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 10 1 10 1 10,00035,283 + 00,060 = 35,343

Libro del Maestro

83


Suma en la columna de las centenasUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 En la columna de las centenas slo tenemos 6 centenas 10,000 1,000 100 disponible y debemos 10,000 1,000 sumar 9, por lo cual 1,000 sumamos 1 unidad de millar en la 1,000 columna de la izquierda, 1,000 es decir, 10 centenas, y restamos 1 centena, ya que 9 = 10 135,343 + 01,000 00,100

10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 10 1 10,000 10 135,343 + 00,900 Figura 3.8Decenas de millar

100 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1 10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 10 1 10 10,00035,343 + 00,900 = 36,243

Suma en la columna de las unidades de millarUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

En la columna de las unidades de millar slo tenemos 3 unidades de millar disponibles y debemos sumar 8, por lo cual sumamos 1 decena de millar en la columna de la izquierda, es decir, 10 unidades de millar, y restamos 2 unidades de millar, ya que 8 = 10 2 36,243 + 10,000 02,000

10,000 10,000 10,000 10,000

1,000 100 1,000 100 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 10,000 1 10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 100 10 1 10,000 1036,243 + 08,000

100 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 10 1 10 1 10,00036,243 + 08,000 = 44,243

84

Tercer Nivel de Abstraccin


Suma en la columna de las decenas de millarUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 1,000 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

En la columna de las decenas de millar tenemos 6 decenas de millar disponibles y debemos sumar 4 44,243 + 40,000

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

1,000 100 1,000 100 1,000 1,000

10 10 10 10

1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 10,000 1 10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 100 10 1 10,000 1044,243 + 40,000

100 10,000 1,000 100 10 1 1 1,000 100 10 1 1,000 Dgitos disponibles 10 1 100 10 1 1,000 1044,243 + 40,000 = 84,243

El algoritmo de la resta. Noveno pasoUtilizando las columnas numricas del 0 al 99,999, restar dos dgitos hasta el 18 en las columnas de las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar y las decenas de millar efectuando restas del 0 al 99,999. Para que los nios puedan realizar cualquier resta, sin importar el nmero de dgitos que compongan a los nmeros es necesario que, utilizando sus sentidos, hayan entendido y demostrado el concepto de la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal, as como tambin, hayan desarrollado la habilidad para realizar mentalmente restas de dos dgitos hasta el 18. El hecho de que las columnas numricas del material didctico solamente tengan 9 dgitos en cada columna, permite a los alumnos comprender mejor la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal y desarrollar la habilidad para realizar mentalmente restas de mayor grado de dificultad. Columnas numricas del 0 al 99,999 Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Utilizando las columnas numricas vamos a realizar la resta: 72,354 38,596

Libro del Maestro

85


Resta en la columna de las unidadesUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 100 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

10 10 10 10 10

1 1 1 1

En la columna de las unidades hay 4 unidades y debemos restar 6, por lo cual restamos 1 decena en la columna de la izquierda, es decir, 10 unidades, y sumamos 4 unidades, ya que 6 = 10 + 4 72,354 00,010 + 00,004

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 100 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 1 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1 1,000 100 10 1 1,000 10 172,354 00,006 Figura 3.11Decenas de millar

10,000 1,000 100 10 1 100 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 100 10 10 1,000 1072,354 00,006 = 72,348

Resta en la columna de las decenasUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 100 10,000 10,000 10,000 10,000

10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

En la columna de las decenas hay 5 decenas y debemos restar 9, por lo cual restamos 1 centena en la columna de la izquierda, es decir, 10 decenas, y sumamos 1 decena, ya que 9 = 10 + 4 72,348 00,100 + 00,010

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 100 10 10 1,000 1072,348 00,090

10,000 1,000 100 10 1 100 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 100 10 1,000 1072,348 00,090 = 72,258

86



Resta en la columna de las centenasUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

En la columna de las centenas hay 3 centenas y debemos restar 5, por lo cual restamos 1 unidad de millar en la columna de la izquierda, es decir, 10 centenas, y sumamos 5 centenas, ya que 5 = 10 + 5 72,258 01,000 + 00,500

10,000 1,000 100 100 10,000 100 10,000 10,000 100 100 10,000 10,000 100 100 10,000

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 100 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 100 10 1,000 1072,258 00,500 Figura 3.13Decenas de millar

10,000 1,000 100 10 1 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 10 1,000 1072,258 00,500 = 71,758

Resta en la columna de las unidades de millarUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 100 10,000 100 10,000 10,000 100 100 10,000 10,000 100 100 10,000

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

En la columna de las unidades de millar hay 1 unidad de millar y debemos restar 8, por lo cual restamos 1 decena de millar en la columna de la izquierda, es decir, 10 unidades de millar, y sumamos 2 unidades de millar, ya que 8 = 10 + 2 71,758 10,000 + 02,000

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 100 100 10,000 10,000 100 100

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 1,000 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 10 1,000 1071,758 08,000

10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 10 10,000 1,000 1071,758 08,000 = 63,758

Libro del Maestro

87


Resta en la columna de las decenas de millarUnidades de millar Centenas Decenas Unidades Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 100 100 10,000 10,000 100 100

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

En la columna de las decenas de millar hay 6 decenas de millar y debemos restar 3 63,758 30,000

10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 10,000 1,000 100 100 100 100 100

10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1

10,000 1,000 100 10 1 Dgitos disponibles 10,000 1,000 100 10 1,000 10 10,000 1,000 1063,758 30,000

10,000 1,000 100 10 1 10,000 1,000 100 10 Dgitos disponibles 10,000 1,000 10,000 1,000 10 10,000 1063,758 30,000 = 33,758

El algoritmo de la suma. Dcimo pasoUtilizando notacin desarrollada y compacta, sumar dos dgitos hasta el 18 en las columnas de las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar y las decenas de millar efectuando sumas del 0 al 99,999. Como los estudiantes han podido demostrar mediante el uso del material didctico, todas las columnas numricas se comportan de igual manera, sin importar la posicin que ocupan, por lo cual, sumar cantidades de pocas o de muchas cifras utilizamos siempre el mismo procedimiento. Figura 3.15 Suma en notacin desarrollada y compactaD de millar U de millar Centenas Decenas Unidades D de millar U de millar Unidades Centenas

D de millar U de millar Centenas Decenas Unidades

2 7 , 9 5 3 = 20,000 + 7,000 + 900 + 50 + 3 + + + + + + 4 8 , 6 7 9 = 40,000 + 8,000 + 600 + 70 + 9 1 6,000 +1 600 +1 30 +1 2 70,000 + 6,000 + 600 + 30 + 2 = 76,632

10,000

1,000

100

Decenas 10

27,953 +48,679 76,632

1 1 1 1

88


El algoritmo de la resta. Dcimo pasoUtilizando notacin desarrollada y compacta, restar dos dgitos hasta el 18 en las columnas de las unidades, las decenas, las centenas, las unidades de millar y las decenas de millar efectuando restas del 0 al 99,999. Debido a que todas las columnas se comportan de la misma manera, cuando restamos y necesitamos pedir prestado a la columna de la izquierda, decimos: tomamos 10, sin mencionar si son decenas, centenas, unidades de millar, etctera. Figura 3.16 Resta en notacin desarrolla y compactaD de millar U de millar Unidades Centenas D de millar U de millar Centenas Decenas Unidades

D de millar U de millar Centenas Decenas Unidades

Decenas

8 7 , 2 3 5 = 80,000 + 7,000 + 200 + 30 3 8 , 7 9 6 = 30,000 + 8,000 + 700 + 90 + 6 40,000 + 8,000 + 400 + 30 + 9 = 48,439 El avin. Suma y resta Material didctico. Juegos de tercer nivel

70,000

16,000

1100

120

1 + 5

8 7 , 2 3 15 3 8,7 9 6 4 8,4 3 9

7 16 11 12

Este paquete de material didctico ha sido diseado para que los estudiantes, mediante el uso de sus sentidos, entiendan, demuestren y desarrollen la habilidad para efectuar mentalmente sumas y restas hasta el 18, requisito indispensable para que puedan utilizar con xito los algoritmos correspondientes. Las instrucciones para utilizar el material como juego de cartas, lotera de contar y sumar y como cartas flash se encuentran al final de este libro. Figura 3.17 El avin

4

0 13

7

1

6

Libro del Maestro

8

1

7

8

5

9

4 9

9 7 5 9 5

2

2

8

3

7 + 9 58 4=

9

=

6

1

2 3

10 3

4

889

2

Multiplicacin

El algoritmo de la multiplicacin

Memorizar las tablas de multiplicarEn el segundo nivel, con la ayuda del material didctico, los estudiantes han creado sus propias tablas de multiplicar y se han familiarizado con la forma de escribir multiplicaciones, auxiliados con la tabla de referencia rpida del libro de texto de segundo ao. Los nios no deben aprender de memoria las tablas de multiplicar ensendoles cancioncitas o pidindoles que las repitan muchas veces, ya que esta manera de hacerlo no genera en los alumnos conocimiento significativo. La tabla de referencia rpida tipo reloj y los juegos de la multiplicacin, son las ayudas pedaggicas que en forma divertida permiten a los estudiantes, mediante el uso de sus sentidos, entender, demostrar, memorizar las tablas y desarrollar la habilidad para hacer multiplicaciones. El segundo paso en el desarrollo del algoritmo de la multiplicacin es utilizando la notacin desarrollada y una cuadrcula

90


Referencia rpida de las tablas de multiplicar Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Figura 3.18 Referencia rpida de las tablas de multiplicar24 35 16 21 28 4 1 12 18 24 30 36 42 48 54 6 12 1 0 8 35 20 12 4 25 3 0 35 16 5 40 4 20 6 5 5 M 24 7 at he 28 8 m at ik 32 9 36 4

56

9 56 42 4

64

72

8

7 63

5 18 12 1 6 9 4 6 8 10 12 14 16 18 2

42 21 2

7 3

Baraja y lotera de las tablas de multiplicar Material didctico. Juegos de tercer nivel Este paquete de material didctico ha sido diseado para que los estudiantes, mediante el uso de sus sentidos, entiendan, demuestren el concepto de la multiplicacin de dos nmeros naturales y memoricen las tablas de multiplicar. Consiste de dos estrategias pedaggicas: el juego de lotera usando las barajas y los tableros y el juego de barajas utilizando nicamente las barajas. Las instrucciones para utilizar el material como lotera de multiplicar, como juego de barajas y como cartas flash se encuentran al final de este libro. Figura 3.19 Baraja y lotera de multiplicar189 7 8 2 9 4 8 9 4 5 5 2

496 7 4 6 4

7

4916

7

2423

77

64 46

Libro del Maestro

20 30 40 50 60 70 80 90 10 1

247

5629

87 78

8 27 36

3245 5

404 63 72

4881 9

32

5 5

25

8

567

18 155 3 5 3

32

25 81

126 2 6 2

8

9

9

156 5 6 5

81 30

9

12 47

426

2 2 2 2 6

30

4

42

7

91

El algoritmo de la multiplicacin. Segundo pasoUtilizando notacin desarrollada y la cuadrcula cuando el multiplicando tiene dos cifras y el multiplicador una Para multiplicar dos nmeros, sin importar el nmero de cifras que los compongan, los nios deben haber entendido y demostrado las tablas de multiplicar y la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal, es decir, que la columna en la cual se encuentra el dgito determina el valor que representa. El algoritmo de la multiplicacin consiste en multiplicar dos dgitos teniendo en cuenta la columna en la que encuentran. Para crear el algoritmo que usamos para hacer multiplicaciones en notacin compacta, utilizamos la cuadrcula como una ayuda pedaggica, con el objeto de facilitarles a los estudiantes que entiendan y demuestren la forma en la cual se construye. Figura 3.20 Multiplicacin en notacin desarrollada y compactaDecenas Unidades Unidades Decenas Unidades Decenas

7 9 = 70 + 9 8 = 8 5 60 +7 2 500 + 70 600 + 1 30 + 2 = 632100

7 1 7 5 6 6 3

9 8 2 0 2

Comparando la multiplicacin en notacin desarrollada y en notacin compacta, puede ayudar a los alumnos a comprender con ms claridad, la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal. Observando con detenimiento la figura 3.21, nos damos cuenta que cuando usamos notacin desarrollada, en la primer lnea se encuentra el resultado de la multiplicacin del multiplicador por las unidades y las decenas del multiplicando. Sumando estas cantidades, obtenemos el resultado de la multiplicacin. En el caso de la multiplicacin en notacin compacta, hacemos esta misma multiplicacin y directamente acomodamos el resultado para sumarlo. Figura 3.21 Comparacin de la multiplicacin en notacin desarrollada y compacta 7 9 = 70 + 9 8 = 8 5 60 +7 2 100 500 + 70 600 + 1 30 + 2 = 632 7 1 7 5 6 6 3 9 8 2 0 2

Este es el resultado de la multiplicacin que debemos sumar

92


El algoritmo de la multiplicacin. Tercer pasoUtilizando cuadrcula cuando el multiplicando tiene tres cifras y el multiplicador una Figura 3.22 Multiplicacin usando la cuadrcula 2 6 1 5 1 4 8 1 6 0 2 1 3 7 8 6 0 0 6 Multiplicamos 8 60 = 480 por eso escribimos el 0 Multiplicamos 8 200 = 1,600 por eso escribimos el 00 4 7 1 3 1 4 9 2 8 0 3 3 2 5 7 5 0 0 5

El algoritmo de la multiplicacin. Cuarto pasoUtilizando notacin compacta con el procedimiento de la cuadrcula sin dibujar los cuadritos y el algoritmo compacto en notacin compacta cuando el multiplicando tiene dos cifras y el multiplicador una Utilizando la cuadrcula podemos resolver cualquier multiplicacin, sin importar el nmero de dgitos que tengan los multiplicandos, sin embargo cuando los nmeros son grandes resulta un poco tardado. Para preparar al nio a resolver cualquier multiplicacin, vamos primero a familiarizarlo con la notacin compacta llevando cifras y haciendo las sumas mentalmente. Figura 3.23 Multiplicacin en notacin compacta con y sin la cuadrcula Multiplicamos 9 6 = 54. Escribimos 3 6 el 4 y llevamos mentalmente el 5 9 Multiplicamos 9 3 = 27 1 5 4 Sumamos mentalmente: 2 7 0 5 + 7 = 12 y 1 + 2 = 3 3 2 4 Procedimiento de la cuadrcula sin dibujar los cuadritos 3 6 9 3 2 4 Algoritmo compacto en notacin compacta

Libro del Maestro

93

Divisin

Concepto y tablas de dividir

Concepto de la divisinLa divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. Multiplicar consiste en agrupar o sumar en forma rpida los cuadritos que forman el rea de un rectngulo utilizando la longitud de la base y la altura. Por lo tanto, dividir es separar el rea de un rectngulo en reas iguales de menor tamao usando para ello la longitud de la base o de la altura. Dividir 30 entre 5 y obtener como resultado 6 significa que tenemos un rea de 30 cuadritos y la dividimos en 5 reas de igual tamao, cada una de estas reas ms pequeas tiene 6 cuadritos. Figura 3.24 Dividir es separar el rea de un rectngulo

rea total Nmero de reas formadas

30 =6 5

Tamao de cada una de las reas formadas

rea = 30 cuadritos

5 reas de 6 cuadritos cada unaTercer Nivel de Abstraccin

94

Si ahora agrupamos las reas separadas, volvemos a formar el rea completa y para calcular su valor multiplicamos 6 por 5 y obtenemos 30. La multiplicacin es la operacin inversa de la divisin, por lo que: 30 =6 5 Figura 3.25 6 5 = 30

La divisin es la operacin inversa de la multiplicacin

42 =7 6

7 6 = 42

rea = 42 cuadritos

6 reas de 7 cuadritos cada una

Notacin de la divisinLa divisin de dos nmeros la podemos expresar utilizando la notacin de fraccin o el smbolo 72 =9 8 72 8 = 9

Las tablas de dividirPara que el conocimiento tenga sentido y por lo tanto sea significativo, es indispensable que los nios, utilizando los cuadritos del material didctico complemento del libro de texto de tercer ao y la tabla de la figura 3.27, construyan sus propias tablas de dividir. Construimos las tablas de dividir utilizando la propiedad que dice que la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. Primero colocamos los cuadritos que corresponden al rea total respuesta de la multiplicacin y luego los dividimos. En la figura 3.26 cmo efectuar la divisin 10 5. Figura 3.26 Divisin de 10 5

rea total 10 cuadritos 5 2 = 10Libro del Maestro

La dividimos en 5 reas de 2 cuadritos cada una

10 =2 5 10 5 = 2

95

3.27

Las tablas de dividir 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 =1 1 2 =2 1 3 =3 1 4 =4 1 2 2 =1 2 4 =2 2 6 =3 2 3 3 =1 3 6 =2 3 4 4 =1 4 5 5 =1 5 6 6 =1 6 7 7 =1 7 8 8 =1 8 9 9 =1 9

8 10 12 14 16 18 =2 =2 =2 =2 =2 =2 4 5 6 7 8 9

9 12 15 18 21 24 27 =3 =3 =3 =3 =3 =3 =3 3 4 5 6 7 8 9

8 12 16 20 24 28 32 36 =4 =4 =4 =4 =4 =4 =4 =4 2 3 4 5 6 7 8 9

5 10 15 20 25 30 35 40 45 =5 =5 =5 =5 =5 =5 =5 =5 =5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 12 18 24 30 36 42 48 54 =6 =6 =6 =6 =6 =6 =6 =6 =6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 14 21 28 35 42 49 56 63 =7 =7 =7 =7 =7 =7 =7 =7 =7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 16 24 32 40 48 56 64 72 =8 =8 =8 =8 =8 =8 =8 =8 =8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 =9 =9 =9 =9 =9 =9 =9 =9 =9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

96


Figura 3.28

Tabla de dividir del 3

6 =2 3 63 = 2

9 =3 3 93 = 3

12 =4 3 12 3 = 4

15 =5 3 15 3 = 5

18 =6 3 18 3 = 6

21 =7 3 21 3 = 7

24 =8 3 24 3 = 8

27 =9 3 27 3 = 9

Libro del Maestro

97

Referencia rpida de las tablas de dividir Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Figura 3.29 Referencia rpida de las tablas de dividir

63 56 9 49 8 7 42 7 35 6 28 5 tik 54 21 4 ema 42 48 14 3 2ath 30 36 M4 2 6 12 18 10 15 20 25 8 30 35 40 45 12 16 20 5 24 28 32 36

4

Nmero escondido en la divisin Material didctico. Juegos de tercer nivel Este juego ha sido diseado para que los alumnos, mediante el uso de sus sentidos, entiendan, demuestren el concepto de la divisin de dos nmeros naturales y aprendan de memoria las tablas de multiplicar. La estrategia pedaggica consiste en permitir al estudiante asociar la divisin como operacin inversa de la multiplicacin para facilitarle el que memorice las tablas de dividir. Las instrucciones para utilizar el material como lotera de multiplicar, como juego de barajas y como cartas flash se encuentran al final de este libro. Figura 3.30 Nmero escondido en la divisin

98

5

4 = 4 45 = 6 =2 9 1 30 =5

35 1 9 25 72 27

18 27 36 45 54 63 72 18 1 62 43 9 2

40 48 56

64

8 72

9 6 4 6 8 10 12 14 16 182

15 12

18

24 21

27 3

24 = 4 6 20 24 8 72 =8 9 14

6

49 = 7 7 54 = 9 6

16 3

24 = 8 21 = 3


Divisin

El algoritmo de la divisin

Notacin para efectuar divisionesAl nmero que queremos dividir le llamamos el dividendo o el numerador y al que lo divide el divisor o el denominador. Hay dos formas en las cuales podemos expresar el dividendo y el divisor para efectuar la divisin: 1. En forma de nmero fraccionario. 2. En la casita. Figura 3.31 Formas de efectuar la divisin Numerador o dividendo Denominador o divisor

42 =6 7

Cociente Divisor

6 7 42

Dividendo

Libro del Maestro

99

Pasos para crear el algoritmo de la divisinEl algoritmo de la divisin es el primer procedimiento que se construye tomando decisiones. Por lo tanto, este algoritmo es diferente del algoritmo de la suma, la resta y la multiplicacin, en los cuales simplemente se deben aplicar en forma ordenada los pasos para obtener el resultado, sin importar el grado de dificultad de la operacin. En el caso de la divisin, primero se debe decidir cmo dividir el dividendo y aproximar el cociente o resultado. Para desarrollar el algoritmo de la divisin se utiliza una estrategia pedaggica que consiste en siete pasos: Tercer nivel de abstraccin 1. Familiarizarse con la notacin de la divisin y las tablas de dividir. 2. Dividir los nmeros naturales de una y dos cifras con residuo cuando el divisor es cualquier dgito del 2 al 9. Si el residuo no es cero, el resultado se expresa como una fraccin mixta. Cuarto nivel de abstraccin 3. Aplicar la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal, es decir, la divisin de nmeros que estn colocados en las diferentes columnas numricas, en donde su posicin queda indicada por el nmero de ceros que lo componen. 4. Dividir los nmeros naturales de dos y tres cifras utilizando notacin de fraccin para descomponer el dividendo en sumandos que permitan efectuar la divisin. El divisor es cualquier dgito del 2 al 9. El mismo tipo de divisin se realiza utilizando la casita. Si el residuo no es cero el resultado se expresa como una fraccin mixta. En este cuarto paso se aplica el concepto de la divisin y el concepto de la dinmica bsica del sistema de numeracin decimal. 5. Se utiliza el concepto de la divisin y la dinmica fundamental del sistema de numeracin decimal para construir la notacin decimal. Quinto nivel de abstraccin 6. Dividir un nmero de tres o ms dgitos entre un nmero de dos o ms dgitos. Se utiliza la casita y se escriben las restas para efectuarlas. Si el residuo no es cero, el resultado se expresa en notacin de fraccin mixta o en notacin decimal. 7. Utilizar la casita para dividir dos nmeros que estn expresados en notacin decimal.

100


El algoritmo de la divisin. Primer pasoFamiliarizarnos con la notacin de la divisin y las tablas de dividir El libro de texto de tercer ao de primaria y los juegos del material didctico de tercer nivel, presentan una serie de ejercicios que le permiten al estudiante entender, demostrar y desarrollar la habilidad en el uso de la notacin que utilizamos en la divisin, as como tambin, memorizar las tablas de dividir. Figura 3.32 Notacin de la divisin

35 =5 7

5 7 35

48 =8 6

8 6 48

El algoritmo de la divisin. Segundo pasoDividir los nmeros naturales de una y dos cifras con residuo cuando el divisor es cualquier dgito del 2 al 9. Si el residuo no es cero, el resultado se expresa como una fraccin mixta La divisin se hace dos veces: primero utilizando la casita y despus en notacin de fraccin. Si el residuo no es cero, el resultado se expresa como una fraccin mixta. Se encuentra el nmero menor ms cercano que divide al dividendo entre el divisor. El residuo es la cantidad que sobra, es decir, que todava no hemos dividido. Para expresar este hecho, el resultado se escribe en notacin mixta. Figura 3.33 Divisin utilizando la casita y notacin de fraccin 3 3 R=6+ =6 4 4 Notacin mixta Residuo 3 24 27 24 + 3 3 3 = = + =6+ =6 4 4 4 4 4 4 Notacin mixta

6 4 27 24 Residuo 3

Cuando efectuamos la divisin utilizando notacin de fraccin, descomponemos el dividendo en el nmero ms grande que s puede ser dividido en forma exacta y sumamos el residuo. Es importante notar que por razones prcticas, al expresar una fraccin en notacin mixta no utilizamos el signo de ms; sin embargo, debemos tener claro que la fraccin est sumndose al nmero entero.

Libro del Maestro

101

Geometra

Clasificacin de los polgonos de tres a ocho lados El metro y el reloj

Clasificacin de los polgonos de tres a ocho lados1. Tringulo. Polgono con tres lados rectos. 2. Cuadriltero. Polgono con cuatro lados rectos, cuya clasificacin tambin incluye al: Paralelogramo. Cuadriltero con lados opuestos paralelos. Cuadrado. Paralelogramo en donde todos sus ngulos son rectos y sus lados iguales. Rectngulo. Paralelogramo en donde todos sus ngulos son rectos. Rombo. Paralelogramo con todos sus lados iguales. Romboide. Paralelogramo de lados adyacentes diferentes. Papalote. Cuadriltero con dos pares de lados adyacentes iguales. Trapecio. Cuadriltero con un par de lados opuestos paralelos y el otro no. 3. Pentgono. Polgono con cinco lados rectos. 4. Hexgono. Polgono con seis lados rectos. 5. Heptgono. Polgono con siete lados rectos. 6. Octgono. Polgono con ocho lados rectos. 102Tercer Nivel de Abstraccin

Figura 3.34

Polgonos de tres a ocho lados

Tringulo 3 lados iguales


Tringulo 3 lados diferentes

Cuadrado Paralelogramo de 4 lados iguales

Rombo Paralelogramo de 4 lados iguales

Romboide Paralelogramo de lados adyacentes diferentes

Rectngulo Paralelogramo de 2 pares opuestos de lados iguales

Papalote Cuadriltero de 2 pares adyacentes de lados iguales

Pentgono regular 5 lados iguales

Trapecio Cuadriltero con 1 par de lados opuestos paralelos

Hexgono regular 6 lados iguales

Heptgono regular 7 lados iguales

Octgono regular 8 lados iguales

Rompecabezas de figuras geomtricas Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Los rompecabezas del material didctico complemento del libro de tercer ao, permiten a los nios utilizar sus sentidos para entender, demostrar y memorizar, en forma creativa y divertida, los nombres y las formas de los polgonos hasta de ocho lados. Adems los posibilita a desarrollar su ingenio e imaginacin.

Libro del Maestro

103

Figura 3.35

Rompecabezas de figuras geomtricasTr i ng ul o

Cuadrado

Romboide Tringulo Trapecio Cuadriltero Tringulo Trapecio

g Trin

u Tring

a Trmb o

pe

ciolo Tringu

Cuadrilterocio

PaTrap e

pal

oteRombo

Tringulo

Tr i ng ul o

ulo

lo gu n

Tringulo

ct Re

Tringulo

Rec

tng

lo

o

i Tr

i Tr

Cuadriltero

ng

ng

i TrPap e lot apa

CuadrilteroOc tg

Tr a

Pentg ono irregula r

ng ul o Tringulo o ul ng i Tr

palote

ng

e

Pa

Cuadrado

Tringulo

i Tr

pe

ci

o

He p irre tgon gul o ar

Rectngulo

Heptgono irregular Rectngulo Romboide

El metro: unidad de longitud bsica del sistema de medicin decimalEl sistema mtrico decimal est formado por la unin de conjuntos de 10 unidades cada uno. Por ejemplo, uniendo 10 milmetros formamos un centmetro, uniendo 10 centmetros formamos un decmetro, etc. El metro es la unidad bsica de medicin lineal. Los nombres de las otras unidades se derivan de esta palabra e indican la relacin que guardan con respecto al metro.

104

Pen t irre gono gula r

Trapecio

Tr a

Cua

CuadradoPap alot e

u ng

Octgono

Cuadrado Pen tgo n irre gula o r

ul

Re

ct

lo

Octgono

Hexgono irregular

Re

ct

n

gu

lo

Octgono irregular

Cuadriltero


e

oid

Cuadriltero

alot

Tr a

o

mb

Pap

pe

Tr i

Ro

c

P

io

Tringulo

Cuadrado

Tringulo

Re

pe

ct

ci

alot

Rectnguloe Pap alot

u ng

i Tr

o ul

ul

o

n

o

gu

ng

ul

Papalote

dril

tero

Tr i

ng

n Tri

u

lo

gulo

Pa

Re

pa

Tri n

ct

lo

te

Tringulo

ng

gul

ulo

o

CuTri ngu lo

Ro

ad

ulo

rad

lo

Tri n

ogul

o

n Tri gul o

e oid mb RoTr i ng

ng i Tr o ul

ul o

Tringulo

Tringulo

te lo pa Pa

Oc tg on oPap

ono

Tr i ng u lo Tringulo o ul ng

Tr

r i ng Cuad ul o

i Tr

n Tri gul o

e

lo

ilte ro

Pe n irr tgo eg n ula o r

Pap alot e

Cuadrilteroalot

Octgono irregular

Cuadrilter

Tringulo

o

Re ng ct ulo

no go Hex gular irre

e

Figura 3.360

El metro1 1 dm 2 1 dm 3 1 dm 4 1 dm 5 1 dm 6 1 dm 7 1 dm 8 1 dm 9 1 dm 10

1 dm

1

2

3

4

1 dm5

6

7

8

9

10 cm

1

2

3

4 5

1 cm

6

7

8

9 10 mm

1 milmetro 1 centmetro 1 decmetro 1 metro

El metro Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao El metro del material didctico complemento del libro de texto de tercer ao, tiene como objetivo que los estudiantes, utilizando sus sentidos, entiendan, demuestren y desarrollen la habilidad en el uso de la unidad bsica de medicin lineal. El diseo de este material didctico, tambin permite a los nios, entender y demostrar las fracciones de metro. Figura 3.37 Material didctico: el metro1 dm6 7 8 9

1 dm

1 dm6 7 8 9

1 dm6 7 8 9

01

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

1

2

3

4

5

31 dm

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

1 dm

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

51 dm

6 55

1

2

3

4

5

6

7

8

9

71 dm

1

2

3

4

6

7

8

9

61 dm

7 95

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

1 dm

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

1

2

3

4

6

7

8

9

Horas, minutos y segundos: unidades bsicas del sistema sexagesimalLa construccin del metro resulta ser muy sencilla, ya que es una unidad lineal, es decir, se representa con una recta y est formada de la unin de conjuntos de 10 unidades. Debido a que nuestro sistema de numeracin tambin es decimal, hacer operaciones con el metro y fraccionarlo es fcil.Libro del Maestro

105

Medir el tiempo resulta un poco ms complicado, ya que lo medimos en forma circular y el sistema que utilizamos no es decimal sino sexagesimal, o sea, la unidad mide 60. En este nivel, los alumnos deben entender, demostrar y desarrollar la habilidad para manejar las fracciones de hora, de minuto y de segundo. Figura 3.38 Fracciones de hora55 56 54 0 1 2 57 58 59 60 34

45

49 48 47 46

50

52 51

53

11

12Mathematik

5

1

6

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

52 51

53

55 56 54

0 1 2 57 58 59 60 3

11

12Mathematik

4

5

1

6

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

52 51

53

55 56 54

59 0 1 2 57 58 60 3

11

12Mathematik

4

5

1

6

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

22 23 24

39 38

20

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

1 hora = 30 minutos 252 51 53 54

1 hora = 20 minutos 352 51 53 54

1 hora = 15 minutos 452 51 53 54

55 56

0 1 2 57 58 59 60 3

45

49 48 47 46

50

11

12Mathematik

4

5

1

6

55 56

0 1 2 57 58 59 60 3

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

11

12Mathematik

4

5

1

6

55 56

59 0 1 2 57 58 60 3

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

11

12Mathematik

4

5

1

6

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

22 23 24

39 38

20

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

1 hora = 12 minutos 552 51 53 54

1 hora = 10 minutos 653 54

1 hora = 6 minutos 1052 51 53 54

55 56

0 1 2 57 58 59 60 3

45

49 48 47 46

50

11

12Mathematik

4

5

1

6

55 56

0 1 2 57 58 59 60 3

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

52 51

11

12Mathematik

4

5

1

6

55 56

59 0 1 2 57 58 60 3

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421

16 17 18 19

15

45

49 48 47 46

50

11

12Mathematik

4

5

1

6

7

8

10

2

9

10

11 12 13 14

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

39 38

20

44 43 42 41

9 837 36

3 435 3421 22 23 24

16 17 18 19

15

40

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

22 23 24

39 38

20

7

27 26 33 32 31 30 29 28

6

525

1 hora = 5 minutos 12



106


El reloj y fracciones de hora Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Para que el conocimiento sea significativo, es necesario que los alumnos, utilizando sus sentidos, lo entiendan y lo demuestren. Los relojes y las fracciones de hora del material didctico complemento del libro de texto de tercer ao, ayudan a los estudiantes a conseguir este objetivo. Figura 3.3956

Material didctico: el reloj y las fracciones de hora4

4

12

4

53 52 51

3

1 hora 10

4

11ras

1

7 8 9

Ho

47 46

13

0

48

12 14

1 5 hor a

49

11

2

50

0

10

Mathematik

2

10

1 12 ho ra

1 15 h or

5

5

7

4

10

5 6

11

0

9

54

55

59 57 58

0 60

1

2

2

3

12

5

06

1 2 3

54 53 52 51

55

1

56

59 57 58

0 60 1 0

2

3

3

4

11

12

5

a

8

6

2

3

0

1 2 3 4

6

5049 48 47 46

10

1 hora Mathematik 6

1

7 8

2

10 1011 12 13 14

9

5

1

4544 43 42 41

11

12

16 17

10

9Mi nu

3 837 36

1

6 7 8

ra 1 ho 2

152 30 2918 19

451 206

4413 14

941

3 837 36

5

7

8

9

9

1516 17 18 19

10113

0

4

43 42

39 38

735 3433 32 31

630 2928 27

526

21 22 23 24

1 4 ho

0

40

20

ra

425

15

12 13

1

3

40

4 735 3433 32 31

2

20

14

1

2

8

1 3 ho

15

Libro del Maestro

tos

19

27 26

39 38

630 2928 27

526

21 22 23 24

20

16

18 17 18 19

25

17

ra

24

23

20

22

21

0

16

1514 3 13 12 4

1 2

25

5

11

10

6

7

9

8

107

Geometra

Polgonos

Definicin de un polgonoUn polgono es una figura formada por tres o ms puntos (vrtices) unidos por segmentos de recta (lados) que forman una figura plana cerrada en la cual dos lados no se intersectan.

Caracterstica de los polgonos El nmero de sus lados es igual al nmero de sus ngulos internos.

Tipos de polgonos Polgono convexo. Todos sus ngulos internos son menores o iguales a 180. Polgono cncavo. Alguno de sus ngulos internos es mayor a 180. Polgono equiltero. Todos sus lados son iguales. Polgono equiangular. Todos sus ngulos internos son iguales. Polgono regular. Es equiltero y equiangular.

108


Clasificacin de los polgonos de tres a ocho lados1. Tringulo. Polgono con tres lados rectos. 2. Cuadriltero. Polgono con cuatro lados rectos, cuya clasificacin tambin incluye al: Paralelogramo. Cuadriltero con lados opuestos paralelos. Cuadrado. Paralelogramo en donde todos sus ngulos son rectos y sus lados iguales. Rectngulo. Paralelogramo en donde todos sus ngulos son rectos. Rombo. Paralelogramo con todos sus lados iguales. Romboide. Paralelogramo de lados adyacentes diferentes. Papalote. Cuadriltero con dos pares de lados adyacentes iguales. Trapecio. Cuadriltero con un par de lados opuestos paralelos y el otro no. 3. Pentgono. Polgono con cinco lados rectos. 4. Hexgono. Polgono con seis lados rectos. 5. Heptgono. Polgono con siete lados rectos. 6. Octgono. Polgono con ocho lados rectos. Figura 3.40 Polgonos de tres a ocho lados



Tringulo 3 lados diferentes

Cuadrado Rombo Paralelogramo de Paralelogramo de 4 lados iguales 4 lados iguales

Romboide Paralelogramo de lados adyacentes diferentes

Rectngulo Paralelogramo de 2 pares opuestos de lados iguales

Papalote Cuadriltero de 2 pares adyacentes de lados iguales

Pentgono regular 5 lados iguales

Trapecio Cuadriltero con 1 par de lados opuestos paralelos

Hexgono regular 6 lados iguales

Heptgono regular 7 lados iguales

Octgono regular 8 lados iguales

Libro del Maestro

109

Permetro de un polgonoEl permetro de un polgono es la suma de la longitud de todos sus lados.

Unidad para medir el permetroPodemos escoger cualquier unidad de longitud para medir el permetro de un polgono. Los estudiantes estn ya familiriazados con el metro, el centmetro y el milmetro. Figura 3.41 Permetro de polgonos

7 cm

6 cm

14 m 38 mm 11 m

5 cm

67 mm

4 cm

PTringulo = 7 + 6 + 5 = 18 cm

PParalelogramo = 67 + 67 + 38 + 38 = 210 mm PHeptgono = 4 7 = 28 cm

PPapalote = 11 + 11 + 14 + 14 = 50 m

rea de un polgonoLa unidad para medir el rea es un cuadrado al cual se le llama unidad cuadrada y se representa como u2. Si utilizamos el metro para medir el rea, la unidad es el metro cuadrado: m2. Pero si empleamos el centmetro o el milmetro, entonces la unidad es el centmetro cuadrado: cm2, o el milmetro cuadrado: mm2.

rea de un polgonoEl rea de un polgono es la suma de las unidades de rea que podamos acomodar dentro de l.

rea de un cuadrado y de un rectnguloComo ya se estudi al desarrollar las tablas de multiplicar, el rea de un cuadrado o un rectngulo se encuentra multiplicando la longitud de la base por la longitud de la altura, lo cual es equivalente a contar en forma rpida las unidades cuadradas que forman la superficie.

110


Unidad para medir el reaAl igual que para el caso de la longitud, para medir el rea de un cuadrado o de un rectngulo, podemos escoger cualquier unidad de rea. Debido a que los alumnos conocen ya el metro, el centmetro y el milmetro, utilizamos el metro cuadrado, el centmetro cuadrado y el milmetro cuadrado. Figura 3.42 rea de un cuadrado y de un rectngulo1 cm2 1 m2 1 mm2 4 mm

5 cm

6m

5 cm

3m

8 mm

ACuadrado = 5 5 = 25 cm2

ARectngulo = 3 6 = 18 m2

ARectngulo = 8 4 = 32 mm2

ACuadrado = ARectngulo = Base Altura

Libro del Maestro

111

Geometra

Figuras slidas

Algunos trminos utilizados en figuras slidas1. Cara. Superficie plana de una figura slida. 2. Arista. Recta en donde se unen dos caras de una figura slida. 3. Vrtice. Punto en el cual se unen dos o ms aristas. Figura 3. 43 Trminos de las figuras slidas F A B E D C A H Arista Vrtice Arista G Cara

Vrtice

Vrtices: A, B, C, D, E, F, G, H. Aristas: AB, AD, AF, BC, BG, CD, CH, GF, GH, ED, EF, EH. Caras: ABCD, AFGB, AFED, BGHC, EFGH, CDEH.

Vrtices: A, B, C, D. Aristas: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Caras: ABC, ACD, ABD, BCD.

D Cara C 112

BTercer Nivel de Abstraccin

Clasificacin de las figuras slidas1. Poliedro. Figura slida en tres dimensiones cuyas caras son polgonos. Regular. Todas sus caras son iguales. Irregular. Una o varias de sus caras no son iguales. Prisma. Un poliedro que tiene al menos dos de sus caras iguales y paralelas. Recto. La altura del prisma es la arista que une sus bases. Oblicuo. La altura del prisma no es una de las aristas. Pirmide. Un poliedro que slo tiene una base y sus caras son tringulos. Regular. El vrtice est directamente encima del centro de la base. Recta. La altura de la pirmide es una de sus aristas. Oblicua. El vrtice no est directamente encima del centro de la base. 2. Cilindro. Figura slida que tiene dos bases circulares iguales y paralelas. Recto. La cara superior est directamente encima de la inferior. Oblicuo. La cara superior no est directamente encima de la inferior. 3. Cono. Figura slida que tiene una base circular. Regular. El vrtice est directamente encima del centro de la base. Oblicuo. El vrtice no est directamente encima del centro de la base. 4. Esfera. Figura slida en la que todos los puntos de la superficie estn a la misma distancia del centro.

Clasificacin de los prismas y las pirmidesLos prismas y las pirmides se clasifican de acuerdo a la forma de su base. Triangular. Su base es un tringulo Cuadrado. Su base es un cuadrado Rectangular. Su base es un rectngulo Pentagonal. Su base es un pentgono Hexagonal. Su base es un hexgono Heptagonal. Su base es un heptgono Octagonal. Su base es un octgono

Nombres de los poliedros regularesLos poliedros regulares se clasifican de acuerdo al nmero de caras iguales que tienen. Tetraedro. Poliedro regular de cuatro caras iguales. Cubo. Poliedro regular de seis caras iguales. Octaedro. Poliedro regular de ocho caras iguales. Dodecaedro. Poliedro regular de doce caras iguales. Icosaedro. Poliedro regular de veinte caras iguales.

Libro del Maestro

113

Figura 3.44

Prismas y pirmides

Poliedro regular Cubo

Poliedro irregular

Prisma rectangular recto

Pirmide pentagonal oblicua

Cilindro recto

Cono oblicuo

Prisma hexagonal recto

Esfera

114


Geometra

Volumen de poliedros, cilindros y conos

Concepto de volumenEl volumen de un cuerpo slido es la medida de su extensin en el espacio tridimensional.

Unidad de volumenEl cubo es la unidad para medir volmenes. Para encontrar el valor de una rea utilizamos un cuadrado que puede ser 1 cm2, 1 m2 o cualquier otra unidad que elijamos. Para medir volmenes usamos un cubo, por eso le llamamos unidad cbica y la representamos con el exponente 3. El nmero de cubos o fracciones de cubo que acomodamos en un poliedro, cilindro, cono o esfera representa su volumen. La unidad bsica para medir el volumen es el metro cubco: m3. Figura 3.45 El metro cbico

11m

mm3 = m m m 1m

Libro del Maestro

115

La unidad cbica puede ser 1 mm3, 1 cm3, 1 dm3, 1 m3 o tambin para efectos acadmicos 1 u3. La relacin entre las unidades de volumen del sistema mtrico decimal se muestra en la figura 3.45. Figura 3.46 Relacin entre las unidades de volumen

1 cm 1 dm3 1 m3

1 mm3

3

Volumen de poliedros, cilindros y conosPara que el estudio y la aplicacin del clculo del volumen de un poliedro, cilindro o cono resulte sencillo, vamos a desarrollarlo, paso a paso, sin necesidad de memorizar y utilizar complicadas frmulas.

Pasos para desarrollar una estrategia para calcular el volumen de poliedros, cilindros y conosLa estrategia pedaggica consiste de nueve pasos: Tercer nivel de abstraccin 1. El cubo es la unidad para medir volmenes. El volumen de un cubo es el producto del rea de la base por la altura. Volumen Cubo = rea Base Altura 2. El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el rea de la base por la altura. Volumen Prisma = rea Base Altura Tercer nivel de abstraccin 3. Descomponer un poliedro irregular en prismas rectangulares cuyo volumen podemos calcular fcilmente. Cuarto nivel de abstraccin 4. Descomponer un poliedro irregular en prismas rectangulares y triangulares cuyo volumen podemos calcular fcilmente.Tercer Nivel de Abstraccin

116

Cuarto nivel de abstraccin 5. El volumen de cualquier pirmide recta y regular se calcula multiplicando el rea de la base por la altura y dividiendo entre tres. Volumen Pirmide = rea Base Altura 3

6. Descomponer un poliedro irregular en prismas y pirmides cuyo volumen podemos calcular fcilmente. Quinto nivel de abstraccin 7. El volumen de cualquier prisma oblicuo se calcula multiplicando el rea de la base por la altura perpendicular de la base a la cara superior. Volumen Prisma oblicuo = rea Base Altura Perpendicular 8. El volumen de cualquier pirmide oblicua se calcula multiplicando el rea de la base por la altura perpendicular de la base al vrtice y dividiendo entre tres. Volumen Pirmide oblicuo = rea Base Altura Perpendicular 3

9. Descomponer un poliedro irregular que contiene prismas y pirmides rectas y oblicuas en prismas y pirmides cuyo volumen podemos calcular fcilmente.

El volumen de poliedros, cilindros y conos. Primer pasoEl cubo es la unidad para medir volmenes. El volumen de un cubo es el producto del rea de la base por la altura Volumen Cubo = rea Base Altura Figura 3.47 Volumen del cubo aCubo

Cubo

Cubo

El cubo Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Utilizando el material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao, los nios deben construir la unidad para medir volmenes: el cubo; para que mediante el uso de sus sentidos, entiendan y demuestren este concepto.Libro del Maestro

Cubo

a

a

a a

a a

reaBase = a a a Volumen = reaBase Altura Volumen = a a a = a3

117

Figura 3.48

El cuboreaBase = a a = a2

Volumen = reaBase Altura Volumen = a2 a = a3

El volumen de poliedros, cilindros y conos. Segundo pasoEl volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el rea de la base por la altura Volumen Prisma = rea Base Altura Tomamos cualquiera de las caras como base, obtenemos su rea y la multiplicamos por la altura correspondiente. La respuesta es la misma, sin importar cul de las caras utilizamos como base. Figura 3.49 Volumen de un prisma

a

14 6 4 14 4 6

4 14

6

reaBase 1 = 14 4 = 56 u2 Volumen = 56 6 = 336 u3

reaBase 2 = 6 4 = 24 u2 Volumen = 24 14 = 336 u3 Volumen = reaBase Altura

reaBase 3 = 14 6 = 84 u2 Volumen = 84 4 = 336 u3

Tres prismas rectangulares Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao El material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao, contiene tres prismas iguales de base rectangular, para que los estudiantes entiendan y demuestren que, el volumen de cualquier prisma se obtiene multiplicando el rea de cualquiera de las bases por la altura correspondiente. 118Tercer Nivel de Abstraccin

Figura 3.50

Prismas de base rectangular

El volumen de poliedros, cilindros y conos. Tercer pasoDescomponer un poliedro irregular en prismas rectangulares cuyo volumen podemos calcular fcilmente Cuando el poliedro est formado de prismas de base rectangular, lo descomponemos y calculamos el volumen de cada uno de ellos. El volumen del poliedro es la suma de los volmenes de cada uno de los prismas. Figura 3.51 Volumen de un poliedro irregular

Volumen Poliedro = VP1 + VP2 + VP3

VP3 = rea Base 3 Altura 3 VP1 = rea Base 1 Altura 1 VP2 = rea Base 2 Altura 2

Libro del Maestro

119

Poliedro irregular compuesto de prismas rectos rectangulares Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao El material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao, permite a los alumnos entender, demostrar y desarrollar la habilidad para calcular el volumen de cualquier poliedro que puede ser descompuesto en prismas rectos de base rectangular. El alumno primero arma del poliedro irregular cuyo volumen quiere calcular. Posteriormente, arma los tres prismas rectos de base rectangular que forman el poliedro irregular, y calcula el volumen de cada uno de ellos. El volumen del poliedro es la suma de estos volmenes. Figura 3.52 Prismas rectos que componen un poliedro irregularPri s rec ma r tan ecto gu lar

Pr bas isma er r ect ecto ang de ula r

120

Pr bas isma e r rec ect to ang de ula r

Po Irr liedr egu o lar


Nmeros Fraccionarios

Concepto de suma y resta de fracciones Clasificacin de las fracciones

Concepto de suma y resta de fraccionesSolamente las fracciones que son del mismo tamao, es decir, que tienen el mismo denominador, se pueden sumar y restar. Utilizando el material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao, los nios deben entender y demostrar este concepto. Suma y resta de fracciones Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Figura 3.53 Demostracin del concepto de la suma de fracciones1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 81 12 1 1 12 12 1 12

1 1 12 12 1 1 2 12

1 8

1 8

+1 8 1 8

=

+1 12

=

1 1 12 12 1 1 2 12

1 12

3 4 + 8 8

3 4 7 + = 8 8 8

5 4 + 12 12

5 4 9 + = 12 12 12

Libro del Maestro

1 12

1 12

1 8

1 8

1

1

1 8

1 8

12 1

12 1

121

Clasificacin de las fraccionesLos nmeros fraccionarios o racionales es el conjunto de los nmeros que se expresan como el cociente de dos nmeros enteros. Los nmeros fraccionarios se clasifican como: 1. Fraccin simple. El numerado y el denominador son nmeros enteros. 2. Fraccin compleja. El numerador y el denominador a su vez tambin son fracciones. 3. Fraccin propia. El numerador es menor que el denominador. 4. Fraccin impropia. El numerador es mayor que el denominador. 5. Fraccin mixta. Un entero con una fraccin propia. Figura 3.54 1 5 1 5 Clasificacin de las fracciones

1 5

1 5 1 5 1 8

1 1 6 1 1 6 6 6 1 8 1 8

1 6

1 6

3 5 2 6

Fraccin simple

Fraccin simple

3 5 2 6

Fraccin compleja

1 8 1 8

1 8

1 8

1 8 8 =1 8

1 8 1 8

1 8 1 8 Un entero

1 8 5 8

1 8

1 8 1 8

13 8

Fraccin impropia

13 5 5 Fraccin mixta =1+ =1 8 8 8 Entero Fraccin

Fraccin propia

Notacin de fraccin mixtaSi al sumar dos fracciones el resultado es una fraccin impropia el numerador es mayor que el denominador, es decir, el nmero de partes que obtenemos es mayor que la unidad, entonces formamos una unidad y utilizamos la notacin mixta para expresar el resultado. Con el material didctico, complemento del libro de texto, hacemos la demostracin como se muestra en la figura 3.54.

122


Notacin de fraccin mixta Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Figura 3.55 Demostracin de la notacin de fraccin mixta11 1 1 16 16 1 6 16 1 16 16 1 16 1 1 6

11 1 1 16 16 1 6 16

+161 1 16 16

=

+

1

1

13 9 + 16 16

13 9 22 16 6 6 6 + = = + = 1+ = 1 16 16 16 16 16 16 16

En matemticas siempre utilizamos la notacin ms compacta posible, por eso al expresar una fraccin en notacin mixta no usamos el smbolo de ms, sin embargo, sabemos que es una suma. Figura 3.56 En la notacin de fraccin mixta no usamos el smbolo de ms

1

4

+

+4 4 4 4 1 1 1 1

1 2

2 1 1 1 + = 1+ = 1 2 2 2 2

4 3 3 3 + = 1+ = 1 4 4 4 4

Procedimiento para expresar fracciones impropias en notacin de fraccin mixtaEl denominador indica el nmero de partes en las cuales la unidad ha sido dividida, por lo cual, cuando el numerador y el denominador son iguales, sabemos que la fraccin representa la unidad. Expresar una fraccin impropia en notacin mixta, consiste en representar la fraccin como una suma de dos fracciones, una de las cuales representa una o varias unidades, y la otra es una fraccin propia, es decir, el numerador es menor que el denominador.

4

1

1

1 1 1 16 16 1 6 16

1 1 1 16 16 16 16

1 1

1 16 16

1

16

16

1 1 1 16 16 16

1 1 1 16 16 16

1 1 1 16 16 16

Libro del Maestro

1

16

1 1 1 16 16 1 6

1

1

16

1 1 1 16 16 1 6

1 4

1 2

1 2

123

Figura 3.57

Fraccin impropia expresada en notacin mixta Fraccin impropia Entero 12 5 5 5 17 Fraccin mixta + = 1+ =1 = 12 12 12 12 12 1 unidad Fraccin propia1 1 12 12 1 1 12 12

1

1

1

1

1

1

12

12

12

12

12

1 1 12 12

12

1 1 12 12 1 1 2

1 1 12 12 1 1 2

1 1 12 12 1 1 2

1 1 12 12

1 1 12 12 1 1 2

=

+1 12

12

12

Fraccin impropia Entero 16 3 3 3 19 Fraccin mixta + = 2 + =2 = 8 8 8 8 8 2 unidades Fraccin propia 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8

=

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

Suma y resta de fracciones con diferente denominador. Comn denominadorCuando las fracciones son de diferente tamao, es decir, tienen diferentes denominadores, no se pueden sumar o restar. Para sumar o restar fracciones que no tienen el mismo tamao el mismo denominador primero debemos hacerlas del mismo tamao comn denominador y despus efectuar la suma o resta. Los alumnos deben entender y demostrar la suma y resta de fracciones con diferente denominador. El material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao de primaria, nos permite hacer estas demostraciones, en forma sencilla.

124

1 1 12 12

1 12

1 1 12 12

1

1

+ 1 8

1 8

1 8

1 8

1 8 1 8


Suma y resta de fracciones con diferente denominador Material didctico complemento del libro de texto de tercer ao Figura 3.58 Demostracin de la suma de fracciones con diferente denominador

1

4

+4 1

=4 1

+4 1

=4 4 1 1

1 2

1 1 + 2 4

1 1 2 1 + = + 2 4 4 4

Fracciones del mismo tamao Comn denominador1 12 1 12 1 12 1 1 12 12

4

1

2 1 3 + = 4 4 4

1

1

1 12

1

1

12

1

12

12

4

1 1 12 12

1 1 12 12

+4 1

=

12

+

=

+

1 1 12 12 1 1 2

1 1 12 12 1 1 2

1 1 12 12 1 1 2

1 12

1 12

4

12

12

12

12

1

3 5 + 4 12

3 5 9 5 + = + 4 12 12 12

9 5 14 12 2 2 + = = + =1 12 12 12 12 12 12

Fracciones del mismo tamao Comn denominador Usando el material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao, as como tambin, el juego de fracciones de tercer nivel, los estudiantes deben desarrollar la habilidad para hacer sumas de fracciones sencillas mentalmente. Al desarrollar la habilidad para efectuar sumas de fracciones mentalmente, el alumno va descubriendo, que hacer las fracciones del mismo tamao calcular el comn denominador, es equivalente a multiplicar el numerador y el denominador por la misma cantidad.1 1 1 2 1 2 1 3 + = + = + = 2 4 2 2 4 4 4 4 3 5 3 3 5 9 5 14 12 2 2 + = + = + = = + =1 4 12 4 3 12 12 12 12 12 12 12

Libro del Maestro

1 1 12 12

1 1 12 12

1

1

1

1

125

Fracciones equivalentesCuando multiplicamos el numerador y el denominador por la misma cantidad, formamos fracciones equivalente, es decir, que representan la misma porcin de la unidad. Figura 3.59 Fracciones equivalentes1

1 1 16 16 1 1 6 16

1 8

1 1 1 16 16 16 16

1

1

1

16

4

4

1 8

=

1 8

=1 4

1 16

1 2

1 1 4 4 = = 2 2 4 8

3 3 4 12 = = 4 4 4 16

Simplificacin de fraccionesSimplificar fracciones significa generar fracciones equivalentes al aplicar la operacin inversa de la multiplicacin, es decir, se divide el numerador y el denominador por el mismo nmero diferente de cero. Figura 3.60 Simplificar fracciones genera fracciones equivalentes 8 16 4 8 2 4 1 2

=Ocho de diecisis 8 8 4 = 2 = 16 16 8 2 Cuatro de ocho 4 8 4 = 16 8 8

=Dos de cuatro 1 2 4 1 = 8 2 4 2

=Uno de dos

Mentalmente efectuamos la divisin del numerador y el denominador por el mismo nmero

Dividimos el numerador y el denominador por el mismo nmero para simplificar las fracciones u obtener las fracciones equivalentes.

126

1 16 1 1 6

1 8

1


Nmeros Fraccionarios

El algoritmo de la suma y resta de fracciones

Algoritmo para sumar y restar fraccionesEs importante recordar que slo las fracciones que tienen el mismo tamao, se pueden sumar y restar, es decir, son aquellas que tienen el mismo denominador. El algoritmo para sumar y restar fracciones se desarrolla de dos formas: 1. Mtodo rpido 2. Mtodo tradicional

Mtodo rpidoEl mtodo que llamamos rpido para sumar o restar fracciones, consiste en multiplicar el numerador y el denominador de una o varias fracciones por la misma cantidad, con el objeto de hacer todas las fracciones del mismo tamao, es decir, que todas tengan un comn denominador, y despus sumar o restar los numeradores. El mtodo tradicional lo explicaremos en el siguiente nivel de abstraccin.

Libro del Maestro

127

Procedimiento para sumar y restar fracciones utilizando el mtodo rpidoEfectuar sumas y restas usando el mtodo rpido consiste de cuatro pasos: 1. Encontrar el mnimo comn denominador. 2. Multiplicar el numerador y el denominador por la cantidad adecuada para que todas las fracciones tengan el mismo denominador. 3. Sumar y restar los numeradores. 4. Si es posible expresar el resultado en notacin mixta y simplificar. Figura 3.61 Mtodo rpido para sumar o restar fracciones sumamos los numeradores multiplicamos el numerador y el denominador restamos los numeradores

multiplicamos el numerador y el denominador

2 3 2 2 3 4 3 7 + = + = + = 5 10 5 2 10 10 10 10

3 5 3 3 5 9 5 4 = = = 4 12 4 3 12 12 12 12

multiplicamos el numerador y el denominador

sumamos los numeradores

3 9 5 3 2 9 5 4 6 9 20 35 32 3 3 3 + + = + + = + + = = + = 2+ = 2 8 16 4 8 2 16 4 4 16 16 16 16 16 16 16 16

Pasos para crear el algoritmo de la suma y resta de fraccionesTercer nivel de abstraccin 1. Utilizando imgenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el comn denominador, sumar o restar las fracciones usando el mtodo rpido, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta. Por ltimo, se simplifica. 2. Utilizando notacin de fraccin, calcular mentalmente el comn denominador, sumar o restar las fracciones usando el mtodo rpido, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta. Por ltimo, se simplifica. Cuarto nivel de abstraccin 3. Utilizando notacin de fraccin, calcular mentalmente el comn denominador, sumar o restar las fracciones usando el mtodo tradicional, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta. Por ltimo, se simplifica. Quinto nivel de abstraccin 4. Calcular el mnimo comn denominador aplicando el teorema fundamental de la aritmtica. 5. Sumar o restar fracciones utilizando tanto el mtodo rpido como el tradicional. Se aplica el teorema fundamental de la aritmtica para calcular el mnimo comn denominador, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta y se simplifica.

128


El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Primer pasoUtilizando imgenes visuales de las fracciones, calcular mentalmente el comn denominador, sumar o restar las fracciones usando el mtodo rpido, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta. Por ltimo, se simplifica. El material didctico, complemento del libro de texto de tercer ao de primaria, y el juego de fracciones de tercer nivel, han sido diseados para que los estudiantes, utilizando imgenes visuales, entiendan, demuestren y desarrollen la habilidad para sumar y restar fracciones sencillas. Mediante el uso de esta estrategia pedaggica, permite que los conceptos estudiados sean un conocimiento significativo. Juego de suma de fracciones Material didctico. Juegos de tercer nivel Este juego ha sido diseado para que los alumnos, mediante el uso de sus sentidos, entiendan y demuestren los conceptos de: fraccin, suma de fracciones, comn denominador y fracciones equivalentes, as como tambin, desarrollen la habilidad para aplicarlos. La estrategia pedaggica consiste en permitirles a los estudiantes que formen imgenes de las fracciones en su mente, para que el conocimiento sea significativo. Las instrucciones para utilizar el material como juego de suma de fracciones y como cartas flash se encuentran al final de este libro.

Libro del Maestro

129

Figura 3.62

Juego de suma de fracciones

rrect co

+

1

5

1 7 1 7 2 = 1 + 14 = 15 + = + 16 8 16 8 2 16 16 16 3

6

1 5 8 + = 1 2 16 8 + 5 2 2 1 = + 5 6 16 3 1 = 7 6 1 6 4 2

52

7

3

+

4

1 16

8

5

7 8

16

+

3 4 3 4 2 3 8 11 + = + = + = 14 7 14 7 2 14 14 14 3 4

+

3 14

El algoritmo de la suma y resta de fracciones. Segundo pasoUtilizando notacin de fraccin, calcular mentalmente el comn denominador, sumar o restar las fracciones usando el mtodo rpido, y si es posible, el resultado se expresa en notacin mixta. Por ltimo, se simplifica. De manera mental calculamos el mnimo comn denominador (mcd) y para hacer que todos los denominadores de las fracciones que queremos sumar o restar sean el mcd, multiplicamos y dividimos el numerador y denominador por el mismo nmero. Figura 3. 63 Suma y resta de fracciones utilizando el mtodo rpido9 9 9 2 9 18 9 9 = = = 7 14 7 2 14 14 14 14 4 3 4 3 3 4 9 13 + = + = + = 15 5 15 5 3 15 15 15

130

8 4 6 = 3 2 2 = + 14 = 14 7 2 3 2 14 + = + 7 2 5 14 7 14 3 3 4 5 8 + 49 16 = 2 5 8 2 + 3 10 16 = 3 16 + = 13 3 1 6 1 6 4

7

+

3

2 16

+

33 8

7 14 = 8 2 = 16 1 6 2 + 1 4 = 16 3 4 34 2 + 4 5 6 3 = 1 2 + 4 16

+

14

2

4 7

7 3 7 3 3 7 9 16 4 3 1 1 1 + = + = + = = = + = 1+ = 1 12 4 12 4 3 12 12 12 3 3 3 3 3 2 5 2 2 5 3 4 15 19 18 1 1 1 + = + = + = = + = 3+ = 3 3 2 3 2 2 3 6 6 6 6 6 6 6Tercer Nivel de Abstraccin

+

12

51

3

50

42

1 12

tas in

+5 16

3

12

5 16

+1 4

as R e

1 3 5

3 8 + 7 16 = 3 8 2 2 + 7 1 6 = 6 3 + 1 6 7 1 = 13 6 16 414

spues

1 8

+

53

2 4

3 4

7 16

38

1 3 1 3 3 1 9 10 5 + = + = + = = 12 4 12 4 3 12 12 12 6 3 4

3 4

5

Documents

Matematicas Nivel 3