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8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 1/195
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 2/195
r
INTRODUCCIÓN
.El
presente manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para la
PSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparación
PSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno de
ejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. Su
. creación obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc para
la prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:lnivel apropiado de extensión y
profundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesores
dedicados casi en forma exclusiva , a l a preparación de dicha prueba.
De acuerdo anuestra experiencia de varios años como profesores enla preparación para
las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes de
lo importante que es 'la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los'
conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemática una disciplina abstracta por
excelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ella
es lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte,
tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el enten-
dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe ser
llevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Sepuedendesarrollar
músculos con sólo leer un libro de gimnasia. No estamos exagerando la importancia que
tiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, ya
sean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la r ealidad mate-
mática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selección
universi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos:
1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 3
0
medio, (ojalá desde antes) y ,
2°) debe 'destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática.
De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de30
ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la
P~u.
Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a través
de la incorporación de nuevos test. ' .
Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temático
más anexo, con el objetivo de facilitar al a lumno una dejas formas de desarrollar orde-
nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje.
A pesar de'que el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, para
potenciar el hecho decompartir ideas.buscar soluciones enconjunto a los problemas más
difíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala-
bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad.
El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalan
los planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 3/195
t est para los temas de l a PSU Mat emática, con sus correspondient es respuestas, Hemos
procur ado, dent ro de lo po sible, ord enar los e je rc ic ios que aparecen en los tes t, en orden
de complej idad o d ificul tad crecien te . No s iemp re es f ác il ponerse de acuerdo en los c ri te -
rios para reali zar el ordenamient o pedagógico. Para tener éxito en la PSU, l os alumnos y
'las a lumnas deben resolve rtodos los test , ya que enéstos, s e plan tean e je rc ic ios simi lar es ,
a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora.
Además, pa ra f ac il it ar la labor de todos los u suarios de l texto, hemos decidido colocar las
. respuestas de los ejercicios en la misma pági na dohde termina el respect ivo test. De esta
, manera, si un al umno o alumna utili za un determinado test como evaluaci ón diagnóstica
en un tema , entonces puede conocer su resul tado inmediatamente.
Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de
, Ed ic iones DC, por la pos ibi lidad que' no s ha dado de concre ta r este impor tante t raba jo, 'que
nuestros al umnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también al
Sr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor de
diseño y diagramación del text o. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta.
.G ladys Briones Tor res, por la e labo ración de a lgunos de los d ibujos de l tex to. Deseamos
expresa r también nuest ros agradecimien tos más s inceros para nuest ro amigo y colega ,
el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que él
mismo ayudó apreparar .
Si este texto puede servir a un gran número de usuarios, entonces nuestra t area se habrá
cumplido a cabalidad.
Como siempre, deseamos a nuest ras alumnas ya nuestros al umnos, desde ya, el mejor de
los éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitar ias.
1
I
I
I
1 :
Los autores
Santiago de Chile,.2009
r
ALF ABETO GRIEGO
Mayúsculas
Minúsculas
Nombre
A
o.
alfa
B
~
beta
,í
y
gama
/',
5
,delta
E
épsilon
Z 1;
zeta
H
11
eta
e
e, ,}
theta
1
I
iota
K
K
kappa
1\,
x lambda
M
~
rnu o m i
N
v
nu o n i
-
S
xi
O
o
ó micron
n 1t
pi
p
p
rha
L
fJ,~ sigma
T
r
tau
y
v
ípsilon
<t >
'1 '
phi
X
X
ji
'l'
\jI
psi
.' U
w
ome g a
~
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1 1
1 ,
I
SIM1WLOGÍA MATEMÁTI(:A
LISTA DE SÍMBOLOS Y NOTACIONES MATEMÁTICAS
SÍMBOLOS USADÚS EN LÓGICA MATEMÁTICA
SÍMBOLOS USADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS
Símbolo
Significado Lectura
p, q,
t
s, .. ,
pr op osi cio nes
p e
CU
-e re e se ...
-p, -p, p, N(p) ne g aci ón d e p
no p, es falso que p, etc.
p
1\
q
conjunoón pyq
pvq disyunc ión,
poq
P . : : . Q
disyunció n, excluyente,
p o q, pero no am bas
P ,=> q
impl icanc ia simple o condicional Si p entonc es q, p i mplica q
p ee q
implica ncia doble o bicondic ional p si Y sólo si q , p equiva lente con q
ss i si Y s ól o si
si y sólo si
=> 0=
pr oposición contradictoria'
contrad icción
'ti
cuantifica do r un iversal
p ar a t od o, par a c ua lq uier
3
cu ant ifica dor existendal
exis te , existe al menos un(o ) o un a
3
cu antificado r existenda l es tricto exi,té un (a ) únic o( a)
Símbolo
Significado,
Lectura
A , B , e , . ..
co nj u nt os
a, be, ce, ...
a, b, e , .. . . elementos
a be ce , .. .
(a)
co njunto de 'un so lo e le men to
sin gleto n de a
( a, b )
c on ju nt o de elementos a Y b
c on ju nt o de e lemen tos a Y b
E
relac ión de pertenencia
está en, es un 'e le me nt o d e
e
negación de p e rt e nenc ia
no e st á en, no e s un elemento de '
A -S relació n de igualdad
A es igua l a S
e relación
de in clus ión estricta
es subconjunto propio de
¡;;
rel ac ión de incl usión
es tá in clui do en
: :> relaci ón de inc l us ió n i nversa
inc luye a,
o :
negación d e i nclusió n estricta
no e s sub conjunto propio de
peA ) o 2' conjun to p ot en cia de A
conjunto po tencia de A
# Y # A -
cardinalida d
ca rd inalidad de A
u
un ió n
un ió n
n in tersección
,
in tersección
-
dif erencia
m en o s
A ' o
K
co mpleme nto
co mpl emento del co njunto' A
00{
co n ju n to vado o co n jun to nu lo .
fi
U co n ju n to u niversal o u n ive rso
conjunto
u n iv er sa l o un iverso
( a , b )
Pa r ord enado de elementos a y b
par or denado de elemen tos a y b
AxS
producto car tesiano entr e A y B
A cr uz S
-
A6S difer encia simétrica en tre A y B
A delta B
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _i - - - - - - - - - -
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r
SÍMBOLOS USA.DOS EN ARITMÉTICA.
SÍMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLÁSICA ELEMENTAL
Símbolo Significado Lectura
IN c on ju n to d e l os n ú me ro s n at ur al es
ene
IN ,
conjunt o
de-los
números cardinales
e n e s u b c er o
Z
c on ju n to d e l os n ú me ro s e n te ro s
zeta
Q
c on ju n to d e l os n ú me ro s
racionales
cu
Q'
01
c o nj u n to d e l o s n ú m er o s i rr ac io n al e s
c u p r im a o i
IR
c o nj un to d e lo s n úm e ro s r ea le s erre
e
c on ju nt o d e l os
números
complejos
ce
,+
ad ic ión
m ás
-
sustracción
me no s
multiplicadón
m u lt ip li ca d o p o r
:
división
. d iv id id o p or
l.
t an to p o r ' c ie n to o p or c en ta je
t a n to p o r ci e n to
'lo.
tan to p or m il tan to p or ¡nil
,¡
s i gn o r a d ic a l r a í~ c u a dr a d a
~
s ig n o d e i gu a ld a d.
e s i g uá l a
'
,
signo d e desigualdad es distin to de
=
signo d e identidad e s idéntico a
/
ta l q ue ta l que
>
s ig n o d e c o mp a ra c ió n
m a yo r q ue
<
s ig n o d e c o mp a ra c ió n
m e no r q u e
;,
signo d e compa radón mayor o igua l
< . s i gn o d e c o mp a ra ci ó n
m e no r o i gu al
«
s i gn o d e c o mp a ra ci ó n
m u ch o m e no r q ue
»
s ig n o d e c o mp a ra ci ó n
m u ch o m ay or q u e
r
Símbolo
Significado Lectura
n
n úme r o na turatcualquiera ene
'2n n úm er o n at ur al p ar
d o s
en e
2n - 1
n ú me ro n a tu r al i mp ar
d os e ne m en o s u n o
z
numero
c omp t e je c u a qu ie r a
zeta
z
c on ju ga do d el c om pl ej o z
z e t a c o n ju g a do
1 a I
v al or a bs ol ut o d e u n n úm e ro real
v a lo r a b solu to o m ódulo de a
I z I
v al or a bs ol ut o d e u n c om pl ej o
v al or a bs ol ut o o m ó du lo d e z et a
ee
e
proporcionalidad
es directamente p rop orc iona l a
..
cons ecuenc ia
p o r l o t an to, po r cons igu ien te ,
f(x )~ a x + b
b in o mi o d e p ri me r
qradc
e fe d e e qu is e s i gu al a a eq ui s
más
be
f(x)
=
ax' + bx + e trino mio de se gun do g ra do
e fe de e qu is e s i gu al a a eq uis a l
c ua dr ad o m ás b ee qu is m ás c e
±
s um a o r es ta m á s m e no s
a'
,
p ote nc ia e né si ma d e a
a
ele vado a
ene
lag
o p e ra d o r l o g ar t tm i c o
logarit mo d ec im al o d e B ri gg s
In ope rador loga ritm ico
l og ar it mo n at ur al o 'd e N e p er
,
I~~ I
d et er mi na nt e d e d os p or d os
d et er min an te a , b , c , d
r
b
e l
e
f
det erminant e de
tres-por
tres
d et er mi na n te a b
e,
d, e
f,
g h,
i'
g h
i
[ ~ ~ 1
matriz d e d os p or d os
m at ri z a , b ,
e,
d
[ a
b
e l
el
m atr iz a , b, e ; d, e , 1 , g , h , i
g
h
i
m a tr iz d e t re s p or t re s
L
siqma
mayúscula
sumatoria
rr
pi
mayúscula
pitatorie
o m u l t ip l i ca t o ri a
[a , b
1
i nt er va lo t er ra do d e e xt re m os a y b
i nt erv al o ce rr ad o a c om a b
1 a, b [
i nt er va lo a bi er to d e e xt re mo s a y b in te rv alo abier to a c oma b
[a , b [
,
'i~tervato sem icerrado o sem iab ierto in terva lo s em icerrado a com a b
1
a, b J
i n te rv a lo s e mi ce r ra d o o semiabierto
i nte rv al o s em ic er ra do a c om a b
~
~.
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1 . .
SÍMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA
Símbolo
Significado
Lectura
n olll
factorial
ene factoríal o fa et or ia l de ene
P (n) p ermutación pe rm u ta c ión de e r ie e l em ent os
V
vañaci ón o arreg lo
vari ac ión.de ene
e lement os tom ado s de a . erre
. r
l : J
combinacíóo
com b inac ión
de
ene e lem ent os to ma do s d e erre en erre
I
,
SÍMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES
Significado Lectura
ímbolo
lím
. . : . .
n-t- n
probabilidad free ueneial timit e de la razón ene sub i part id o p or e ne c ua nd o
en e t ie n de a in fi ni to
SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Símbolo
Significado. Lectura
f f r e c u e n c ia
efe
x
oM.A.
m e di a a ri tm ética o m ed ia
med ia o prom edio aritmétic~.
Me mediana
mediana
M o moda
moda
;
c r
des v iación
s t an d ar d sigma (minú scula)
~~
SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA CLÁSICA ELEMENTAL
Símbolo
Significado
Lectura
A, B , e , ....
pu nt os a, be , ce, ...
< l:: A BC ángu lo A Be ángulo AB C
m (<l::ABC )
med id a d el' á ng ul o A SC
medida del á ng ul o A se
PO segmen to PO
se gm e nt o cu yo s extremos so n P J
PO o m (PO ) longitud long itud o medida del segm ento PO
L L L e tc
líneas rectas
rect a L t, L ete
1 1
'parale lismo es pa raleloa
J.
, pe rp endieularidad es perpe ndicular a
n
pla no plano pi
P (A ,S ,C)
pla no plano qu e pas a pod as
pu ntos no eolineales A, B ye
I
tr iángul o triángulo
h., h , Y h,
alturas de u n t riángul o ABC haehe sub a; hae he sub b y ha che sub e
b b
a
y b. -,
bisec triees d e un triá ngulo AB C b~ sub alfa, be sub beta y be sub gam a
t, t y t,
tran sve rsales de gra vedad de un te sub a, te sub b
y
te sub e
trián gu lo A Be
S .' S , Y S ,
simetrales de un triángulo AS e ese sub a, ese sub b y ese sub e
mi mbym
c
. med ianas de u n t riángulo AB e
em e sub a, ~ me s ub b
y
eme su b e
H
ortocentro
ortoc ent ro
1
in ce ntr o incen tro
G
cen tro de gra vedad
centro de gra vedad
O c i r c u n ce n t r o cir cun centro
py q
proyecci ones de lo s eat etos sobre la pe
y
eu
hip ot en us a
uy v
seg mentos en que la bisectriz by u y uve
divi de al la do e
.
equ iva lend a es equ iva len te con
-
co ng rue ncia
es co~.~.ruente co n
-
sem ej an za
es se m e j a n te co n
C(O,r)
circu n fer encia
circun fer en cia de cen tro O
y
radio r
C(P,O.R)
c i r c u n f e ren c i a
cir cu nf eren cia
que
pa sa
por los
pun tos no col ineales P,
Q
Y R
'I\B
arco de circunferen cia
arco AB
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1 ,
l '
I
l'
I
SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL,
S ím bolo
S ignificado
Lect ur a
sen~
raz ón entre el cateto opuest o a ~ y la h ipo ten usa
seno de b et a
co sp raz on en tre .el cateto adyacente a
} j
y l a m po tenusa
coseno de b eta
tgP
, razón en tre el cateto opuesto a P y el cateto ady ace nte a
p
tangen te de be ta
cotp raz ón ent re el ca t et o a dyacen te a J ) y el cate to opuesto a p
cotangen te de bet a
se cp ra zón entre la hipote nusa y el cateto a dy ac ent e a ~
sec ante de beta
co secf3
razón entre la h ipotenusa y el ca teto op ue sto a 13
co se cante de be ta
-
SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA
Símbolo S igni ficado
Lectura
flx
no tac ió n delt a
~
delt a equis
m
pend iente de una ' re cta pend iente
6 .' 1
pe nd ien te de una recta
del ta ye part ido por de lta eq uis
l 1 X
',
y= mx
ecuaci ón de una rec t a p or el or ige n
ye e s igual a eme equ is
y = mx
+
n
ec uac ión pr in cipa l de la rect a
ye es igual a en ie equis más en e
A Y . + By + e = o
ec uac ió n ge neral de la rec ta
ae quis má s bey má s ce ig ual a cero
y - Yo
=
m(x - x
o
)
ec uación punto- pend ient e ,
ye men os ye sub ce ro es ig ual a eme facto r
de equis me no s eq uis su b cero
_x_
.•-L=1
ec uaci ón d,e segme nto s de la recta equis par tido p or a má s ye pa rt ido po r be es
a.
b ,
igu al a un o
x
2
+
y 2 = rl
ec ua ción de la c ircunfer en ci a con
equis al cuadrad o má s ye al cuadr ad o
cen tro en el orige h y rad io erre
es igual a erre al cuad rad o
(x - h) '
+ (y -
k) '
=
r '
ecua ción de la ci rc unf erencia con
equ is m e no s h a che al cu adrado más ye
cent ro en ha che c om a ea y radi o
me nos ea al cua drado es igua l a erre al
er re cuad rado
/ ¡
~
1
:1
1
'
,1
f
TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA
*
'H AB ILIDADE S
INTELECTU AL ES
TOT AL
EJE S
TEMÁT ICO S
, o
_
o ~
o ,
'E ~
~~
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E
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O •
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'
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u •.••g
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Q.~~
O
'U e ~
-cc..
¿~~~
f-
11
-
29
-
21
I
I
~
6
20 122
2,
Álgebra y funciones
3,
Geometrjo
y Trigonometría
Fueme: Documento oficial. Proceso
de
Admisión 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.
l. . Números y proporcionalidad
4. Estadistica y probabilidad
I
1 -
\:
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 8/195
r
¡
¡
1
I
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
ALFABETO GRIEGO
SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA
TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MATEMÁTICA
PRIMER EJE T EM Á
neo.
N Ú M E R O S
Y
P RO P O RC I O N AL I D AD
EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO 1 .ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS ENTEROS ( Z)
T es t N ° 1 N úm e ro s e nt er os:
22
26
I
I
I
t
¡
¡
1
1
.
I
CAPÍTULO 2. ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS RACIONALES (
Q)
Tes t N 2 : Números rac iona le s 1
Test N 3: Números racionales Il
31
CAPÍTULO 3. ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS REALES ( R)
Test N 4: Números reales .
45
CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES
51
Test N 5: Razones
y
proporciones
CAPÍTULO~. PROPO~CIONALIDAD
Test N 6: Proporcionalidad
CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTERÉS
57
63
Test N 7: Porcentajes 1
Test ¡ ¡ O 8 : Porcentajes II
CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS
74
Test N 9; Regularidades numéricas
BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICA
Primer Eje Temático: NÚMEROS yPROPORCIONALIDAD
S EG U ND O E JE T EM Á TI CO : Á L GE B RA Y F U N CIO N ES
79,
EJERCICIOS RESUELTOS
CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN ALLENGUAJE ALGEBRAICO
82
88
Test N°1: Lenguaje algebraico
1
Test N 2: Lenguaje algebraíco
Il
CAPÍTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN
y
FRACCIONES ALGEBRAICAS
102
I
I
~
Test N 3: Productos notables,
factorizocion. y
fracciones algebraicas
C~ÍTULO 3. ECUACIONES DEPRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111
Tes t N 4 : Ecuac ione s deprimer grado
y
problemas con enunciado verbal
CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL
120
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 9/195
1
1 : [
l i t
1
'.·
1 ,
1 ' 1 1
, ' 1
I '
(
Tes t N°5 : Problemas dep lan teo con enunc iado verba l
C A P ÍT U L O 5 . D E S I GU A L D A D E S E I N EC U A C IO N E S L I NE A L E S
Test N°6: Desigualdades, inecuaciones
y
sis temas de inecuaciones lineale
C A P ÍT UL O 6 . G EO M ET Rí A A N A L ÍT IC A B Á SI CA
Test N 7: Geometria Analí tica básica
C A P ÍT UL O 7 . E C UA C IÓ N C A R TE S IA N A D E L A R E CT A
Test N
8: Ecuac ión car te siana de la rec ta
C A P ÍT UL o 8 . S IS TE M A im EE C UA C IO N ES L IN E A LE S
Test N°9: Sistemas de ecuaciones lineales'
C AP Í TU LO t. PO TENCIACIÓN
Test N°IO: Potencias
C A P ÍT UL O 1 0. R A D IC A C IÓ N
Test trn Raíces
C A P ÍT UL O 1 1. F UN C IO N ES : C O NC Ep tO S F UN D A M E NT A LE S
, Test N°12: Funciones: Conceptos fundamentales
C A P Í Tu L O 1 2 . F U N C IÓ N A F ÍN , F U NC IÓ N V A L OR A B S OL U TO y F uN C IÓ N P A R TE E N TE R A
Tes t N°l3: Función a fín, f unción valor absoluto y función par te ent era
C A P Í TU L O 1 3 . F U N C IÓ N C UA D R Á T IC A
Test N°14: Función cuadrática
CAPÍTUL014 . E C U AC IÓ N C U ADR Á T IC A
TesiN°15: Ecuación cuadrática
. C A P Í TU L O 1 5. F UN C I ON E S P O T EN C IA , E X PO N E NC I A L
y
LO G AR Í TM IC A
TeStN°16: Funciones potencia, exponencial
y
logarítmica
C A P Í TU L O 1 6 . E C UA C I O NE S I R RA C I O NA L E S
Test N°17: Ecuaciones irracionales
C A P ÍT UL O 1 7. E C U AC IO N E S E X PO N E N C IALE S
Tes t N°18: Ecuaciones exponenciales
C A P Í TU L O 1 8. L O G A R IT M A C IÓ N
Test N'19: Logaritmos
B IB L IO GR AF Í A E SPE C ÍF IC A
S e gu n do E je T em á ti co : Á L G EB R A Y F UN C I ON E S
T ER CE R E JE T EM ÁT IC O: G EO M ET RÍ A Y T RIG ON OM ET RÍ A
EJERCIC IO S R ESUELTOS
C A P ÍT UL o 1 . Á N GU L OS Y T R I ÁN G UL O S
Test N°I: Ángulos
y
triángulos
C A P ÍT UL 0 2. C O NG R UE N CI A .
Test N°2: Congruencia
C AP Í TUL0 3. C U A D RI LÁ TE R OS Y P OL ÍG ON O S
Tes t N°3 : Cuadr ilát eros y Poligonos
C A P Í TU L O 4 . T R A N S FO R M A C IO N E S I S OM É T RI C A S
T es f N ° 4: Transformaciones isometricas
C A P Í TU L O 5 . Á N G UL O S E N L A C I RC U N FE R E NC I A
275
Test N°5: Ángulos en la circunferencia
C A P ÍT UL O 6 . P ER ÍM E TR O S Y Á RE A S
283
Test N°6: Perímetros y áreas
C A P ÍT UL 0 7. S EM E JA N ZA
291
Test N°7:.Semejanza
C A P Í TU L O 8 . G E OM E T R ÍA D E P R O P OR C IÓ N
299
Test N°B: Geometría de proporción
C AP Í TU LO 9 . TR IÁ N GU LO R E c rÁ l 'l G ULO :TE O R EM ASDE E U C L IDE SYDE P ITÁ G O R AS
Test N°9: Triángulo rectánguloi .Teoremas deEuclides
y
de Pitágoras
C A P Í TU L O 1 0 . T R I GO N O M ET R ÍA P L A N A
9
317
Test N°lO.: Trigonometría plana
C A P Í TU L O 1 1 . S E G M E N TO S P R O P OR C IO N A L E S E N E L C Í RC U L O
326
Test N°1l: Proporciones en el Círculo
C A P ÍT UL O 1 2. G EO M ET R ÍA D E L E S P A C IO
Test N°12: Geometría del espacio
C A P Í TU L O 1 3 . V E C T O R ES : R E C TA S yPLAN O S
334
.343
Tes t N°l3: Vee to re s, e cuac ión vee to rial de la recta
y
ecuaci6n veetorial del plano
B I BL I O GR A F ÍA E S P EC ÍFI CA
T er ce r E je T em á ti co : G E OM E T R ÍA Y T R IG O N O M ET R ÍA
C UA R TO E JE T EM Á
rrco.
E STAD Í ST IC A
y
PR O B AB IL IDAD
351
. E JE R C IC I OS R E S UE L T OS
C A P Í TU L O 1 . E S T A D Í S T IC A D E S C R IP T IV A
354
357
Test N°}: Estadística Descriptiva
C A P Í TU L O 2 . P R O B A B IL I D A D
Tes t N 2 : Probabi li dad l
B IB L IO G R AF Í A E SPE C ÍF IC A
C u ar to E je T em á ti co : E S T A D ÍS T IC A Y P R O B A B IL I D A D
366
376
A N E XO : S UF IC IE NC IA D E D A T O S
E JE R C IC IO S R E SU E LTO S
378
383
e st N°1 de S uf iciencia de datos
JFi :
8/17/2019 Matemáticas UC
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/
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 11/195
¡ i :
1 ' 1
I
PSU:Cuader no de E jercicios, Matemática
EJERCICIOS RESUELTOS
PRIMER EJE TEMÁTICO: NÚMEROS yPROPORCIONALIDAD
1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada y
dos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduce
enun cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compró
Gladys en total?
1
A)
-
4
1
B)
-
2
C) 1
D)
1 -
~
3
Solución:
. ' ~ : ' ; '
\ ~
r
1
s
-\-2..-1-
4
PRIME R EJE TEMÁTICO
I
Ejercicios Resueltos
2) Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades
expresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?
1) a:b:c=6:8:9
11) a: e = 2 : 3
1I1)
a + b +
C
a
--
23 6
A) Sólo 1 y Ir
B) Sólo II
y
III
C) Sólo 1 y III
D) 1, II Y II I
E) Ninguna de las tres
Solución:
_-\
Z
t I
Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, y
como además con la razón b e = 8 : 9 tenemos el elemento b .en común, podemos escribir la
proporción continuada a b c : e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta.
Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos a y c , sacadas dela proporción anterior y tendremos:
a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual II
también es correcta.
. Finalmente para la tercera, aplicamos lapropiedad fundamental de toda seriede razones igua les y no s
a +b +
C
a . .
queda: =- (hemos compar ado col). laprimera razón pues es' l a que figura en el segundo
6 + 8 + 9 6
\~t
~ Z\
- . .. .-.\;()'--;/f
~
; : : ; ~
t
L
. a+b+c
miembro de la proporción), lo cual se reduce a: -----
también es correcta. 23
a
-. Por lo tanto, la proporción III
6
Este sencillo ejercicio sereduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que semencionan'
y, en seguida, sumarlas y restar la s según e l caso .
Tendremos:
1 3. 1 I 2
-+-+2 - -=-+-+2
2
4 4 2
4
1
1
- + - + 2
2 ..
2
+ 2
. 3 1
(resolvemos pnmero- - -
4 4
tienen igual denominador) .
2
-, aprovechando que
4
Observaciones y comentarios:
Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado de una constante de
proporcionalidad k .
Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática PSU, capítulo de
proporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica de Chile en su octava
edición, febrero de 2008.
Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertas
razones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. mediana
dificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entonces
a. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el concepto
de razón.
Respuesta correcta: alternativa D .
(simplificando la fracción ~ )
4
G
+
±
=
l J
= 3
Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos de yarJ,le en total.
Observaciones y comentarios:
Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se deben
traducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operaciones
correspondientes. Se considera un ej ercicio fácil.
Respuesta correcta: alternativa E
22 23
. .
.
..
_--
1 ::; .
8/17/2019 Matemáticas UC
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1 1 1
1
, : . .
o o .
i
F
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I
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24 ..
L_
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
9
1, -
8
25 36
, - , - , el cuarto término de ella es
32 64
3) Dada la siguiente sucesión: . . '
2
A)
8
9
5
6
D). ~
2
.8)
C)
I
I
. .
E) No se puede determinar pues faltan datos
Solución:
I
1
I
Puesto que una suces ión es una función de N a R, entonces e l problema se reduce a encontrar una
función, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de n para el cálculo de las
imágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada,
identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es el
primer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. .
1
1
2
a
= -
=-
1 2 ·i
a
2
= l :
(puede escribirse de una infinidad de formas)
9
3
2
a = -
= -
l 8
i
. a.
=
? (es el término que ,se busca)
25
52
a =- =-
5 32 2
5
36
6
2
a =~ =-
6 64 . 2
6
l '
Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general o
enésimo de la sucesión viene dado por la expresión:
PRlMER EJE TEMÁTICO
I
Ejercicios Resueltos
n
2
a =- 'v'neN
n 2
n
En efecto, según esta fórmula, elsegundo término (n
2 ) sería:
2
2
a
2 =
' es decir: a
2
=
1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado.
2
De tal modo que el t érmino solicitado, el cuarto (n
= 4),
est~ dado por:
I
4
2
- ,es decir:
2
4
4
a
4
Observaciones y comentarios:
'En este tipo de ejerc ic ios , d eben darse en el enunciado la sufic iente cantidad de términos (ininimo
tres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemática-
que permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos es
imposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema sería
ambiguo y habrían muchas (en general infin itas ) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos,
se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dos
términos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmé tica ), o bien, si la razón en tre dos
. términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, .
Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es.
decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definición
de una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que t al hecho no pueda ocurrir. De hecho, en
una sucesión oscilante, del tipo a
n
= (-1) ; todos los términos par es son iguales entre sí y tienen por
valor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí
y
tienen por valor - L
Respuesta correcta: alternativa A
,
2S
8/17/2019 Matemáticas UC
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1,
I 1 ,
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emática
1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4
=
CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
. Test N' 1: Números enteros
~ -20
Q , :1
- . 2 . . ~ ---o, ,
13
~ '\ e a
- 2-
)
-Z -
1
, lO
C l - 2
17
D)
-Z -
E)
16
2) ¿Cuál (es) de las s igu ientes p ropos ic iones es( son) verdadera (s) ?
I) 3· (-2) = 6/ III) -5 < -1 V
Ir) 3 . (-2)
> _52 /
IV) O,>~3 ,Y
-
.
. : . ,
' .
.
./
A) S610 Ir y III
B) S610 II y IV
.C) S610 III y IV
,~ S610II, III y IV
E) S610 III, IV Y V
.'3) -3 - 3· 3.; 3
+
3
=
, . . : : : ,- ' - ' >
) - 6
~ -3
C) O
D) 3
E) 6 /
4) El valor de - [~1 - H/+1) -1 - (-1
+
1) - 1 ] es
A) -3 - G
'\lt-~- ,,\\-'\ \,+,.~--,-()-
r
B) -2
C 1
- 7 ' \ _ \ - / \ . ~ '\
D 2
~ 3
~.
~\~,
.~
t <
(v..;;' 0
~, 5)
- '3-\(:_
-00 -'c
- z . - = i
. : - S
;.
'6) El valor de la expresión 18 - (~45) : (_3)2+ (-2) '(_1)' es
: ~ 2 5 , ' - . t - : \ 5 ~ ? 1 ' .f . 1; . . ~ ;
B) 9 ó o I - \. -'.'\\
C) -5 '\ ü-
,, - c b
I
- + - L .\
D) -9
E) 5
\2> '-\ -
26
~ '::. :.\- :i,
-eS
TIEMPO MÁXIMO PARA
CADA TEST: 1 HORA
V) -10 >
~i
VI) 3
2
< 2
21
r
7)
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 1. NÚMEROS ENTEROS
Si a
=
-2 ; b = -3 ; e
=
-1 Y d
= -4,
entonces [a - b • (d - e)] - a
=
~ -'-9
B) - 7
C) -4
D) 7
E 9
[ : - 1 -
-+ : :, • (-
q -\- '\
'(:i n,
1 : '. '\
l..'¿,-I -
~ . .- J . ~
-J .
_': _ _ ;c
J\\ )
y
~ 8)
e .
,
A l
~B)
C)
D)
'-~
9)
Si a ' -2, entonces .a
2
- 1\'
=
-12 '
1 ; . : \~
(-l'i.
?
-4 -
(.~l)-
( - - ;1 ~ t
1\ -e -
2
-2 ~-\ '\ i , ; \
L
2 ~\. ~ ¡
~~C ~
7 . - - . - \ - ~ 1
4 _ /\ ' ?- - \,\ -
á , ' J ., -1
--~ -r: _.\ \.j
Si 1 a 1 representa el Valor absoluto de a, indi que cuál de las' s iguientes alternativas es falsa:
E l r ectángulo de la figura representa una car tul ina en la que se desea pegar fo togr afías cuadradas de
igua l tamaño hasta cub ri rla exactamente, ¿Cuá l e~ la mayor longi tud de l lado de las fotog ra fías que
cumplen esta condición? J o,
A) 2 {\ ~.\J
= - q , - ¡-;\ ' , '0 ~
r- -\Q .
~ 3 - ' ~ ) + - > ,L ,_
C) 4 'b
, . .S\~ C ,-
D) 5 - 1\,;:5-- .
E) 6 /'
A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;.
B) -21 < 8
: ¡ i 1-71> 171
D) -5 < O
'E) 1-91 >1-8 1
l Ü) ~23 + 5°+ 3
2
-
4' =
A) -6
~ , \ -t
Q, - 4
'B)
-4
. .
5 ·
l
-2
t
D)
O
-L
E)
2
~ 11)
12) Tres números enteros consecutivos suman cero, ¿Cuánto vale el mayor de ellos?
A) -2
,B) -1
C) O
j 1
E) 3
, , - - - - 1 _ - { - o
]
¡' ,
9 1 . - .: : ~ _
15
A) NP OM
1~ MOPN
C)
MONP
D) N'PM O
E) N M PO
1,~7
7
<) ;00 LZ?.
13) Si
M , N,
O YP son números enteros tales que
M > N , o >..P,
N
< P y o <
M, El orden decreciente de estos
números es
,7., /
7 1: 1
UJ <, L__ ;
1\ .~. 2 . \ . \
\~,
. -
2~)
~ '-J
L ~
< 7 '7 ,
I L.. ••••.
1.
1); LL
27
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 14/195
1 :
1 , :
I
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemáiíca
14) Si X E Z y X < ':'1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) mayortes) que 1?
1)
x'
1I)
2x
A) S610 1
B) S610 II
C) S610 n y III
D) S610 1 y n
¡ fj )
Sóló 1 y III
15) Se define: Dos números p y q son compatibles, si el cuociente
'entre
el mayor y el menor es un
. número entero múltiplo de 3 . .
De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números p y q ~on compatibles?
Ill)
_x
3
[ 1
,
.
A l 56 Y 7
B) 24 Y 12
C) 12 y 3
D) 72 Y 9
~. 54 6 ,', . .'
t; ~16) El valor :e x en'la siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 + x ) 1 }
=
O , es
1
1
,A) -2 -\ L
' Z x.
. B) -1
1
I :', C) O -
1 \ ~
.0\
; :W D) 1 - 1
11 ~ 2 ',,:: ..
?
c
1:1) Si b es el sucesor de a, entonces (a+ b)(a - b) - (a
-b)'
es
::. A) 2a + 2
' 1 .
::1 B) -2a + 2
· 1 C) -4a - 2
D) -6a- 2
~. -2a-2
18) Sean a, by e números enteros. Si
~,;:>
b, b » e y b = O,¿cuál de l as siguientes relaciones es falsa?
A)
a' e
< O ,/. 2\
'O,',.').;,J V;;; .
B) b: a
=
O
C) a' b
=
b
~ b+ c c O
\,i( .
E) a-c > O
'( 1 9)
:>Lb
>;j
. )
' ' / >
'
... J
Si a + b
+
e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces el valor numérico de la expresión
p'(p - a)(p -b)(p -
e)
es .
A) -24
B) 24
C) 84
D) 96
~ 108
'f , . 20) La temperatura mínima de un día fue de dos gradosCelsius bajo cero y la máxima de ocho grados
Celsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de latemperatura en el día?
A) ~IO·C
B) -6·C
g 6 ·C~
~. 10 ·C~
E) .11 °C'
-L
~f3
\¡O~\U:~; ,
.....
' f · [ (, ~ } . l . '1 r /: . ,- . .
1
\0
r:
\ 0 . \ : _ / . . ( ~ ~ _
l'
I
28
..i.L
r
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l'
'
t ,
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I
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¡ -,
I
I
1
•
1
¡;
.
1
1
~
f
l .
1
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS
21) Si p Y q son enteros consecutivos tales, que p < q , entonces siempre es cierto que
1) P - q = -1
~ S6lo 1
B)
S6lo II
C) Sólo III
D) Sólo 1 y II
E) S6lo II y m.
Il) p : q = p + 1
IIl)
p: q
=-1
') '. -a, /
~ ~.
.... -.f\
22) M
=
12C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué vaiores puede tenerel dígito
C para que se cumpla la divisibilidad?
A) { 1,2,3 }
,
\1.5 L \
b-:.
2')
12
L{ ' f e ; - ~ ~ ' ,
B){A,
6, 9 }
1 L . -
é'.,-,u: j
C) {3, 6, 9 }
:;'2 -
J
0{
2, 5, 8)
G . \ . \
,
' 7 ~
?v,
E) {5, 6, 7 }
'1./
23) Sean'X, Y , Z tres números enteros distintos, tales que X > Y » O, 'Z = O . ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es falsa?
J 1
LI-r-s-\-l.
)
Z Y-
X)
=
O
, Y -X+Z> O
C) XY +Z>O
D) X(Y +Z »O
E) Y Z+ X> O
24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A . Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuánto
le falta-para completar la suma deseada?'
A) A + B -
e
I J J J C+A':'.,
C)-A- (C-B)
D) A-'(B+C)
E) B -C
+
A
25) Se sabe que n'' es múltip lo ¡ le 3. Entonces , ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?
1) n es múltiplo de 3/ II) ·12n es múltiplo de 3 / . IlI) n + 27 es múltiple de 3
A) Sól61 / '.
B) Sólo
m'<
»>
C) S6lo 1y nI
D) S6lo II y
m '<
.>'
~ 1, By III ','//
(\
Q
)
\
. . • . . - ,
v.
')1 \
~
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29
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU, Cuaderno de Ejercicios , Matemática
26 ) La r elac ión a > b» e, con a, b, C E Z se cumple si:
(1)
a>e
y b
> c/ .
(2 ) a ~ b ya> O
A) (1) por sí sol a /
B) (2) por sí solav'
$. \~ ') Ambas juntas, (1 ) y (2 ) < . /
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) /
E) Se requiere información adicional x,
27)
Dado que
X.E Z.
¿Es
x
positivo?
(1)
X
Z
es positivo.
.(2) 2x es 'positivo /
A) (l) por sí sola
~ (2)
po r s í sola
C). Ambas junt as, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó
(2)
E) Se requiere inf.1mación adicional
'. ~ ,-',= ~/
28)
Si a, b
E Z,
¿es a
+
impar?
(1)' a - = -
t r e s
'frrl:par/
(2) a.: b ' ,
. 6 . . - - - :
A)
(1)
po r sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas jun tas, (1) y (2 )
~ Cada una por s í sola,
(1)
ó (2)
E) Se requiere información adicional
_V l' '
9) ¿Cuál es el valor numérico de l a e xpresión x'
-r -
x? ~
'y ' .
'Z ,L _ ~ ')
(1)
; 2 - 4 = · 0
t: ' - J . . . ? : ; . 1 - - \ X:::.;2 r>«
. ' < f,\
(2) x'
=
-8 ::.I~ x .. . (J -::(j
A) (1) por s í so la
< 0
(2) .por sí sola
C) Ambas juntas, (ll.y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó (2 )
E) Serequiere información adicional
30) Podemos de te rminar e l número total de personas, ent re damas y varones, que asi ste a una fiesta si :
(1) es posib le formar quince parejas entre los presentes y quedarían nueve varones sin dama.
(2) cuando todos los hombres quieren bailar, faltan nueve damas.
.• (1) por s í sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas jun tas, .(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
l '
I
RESPUESTAS CORRECTAS
' r
I
i
t
PRIMER EJE TEMÁTICO I Tes t N 2, NÚMEROS RACIONALES 1
CAPÍTULO 2, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)
Test N 2 : Números racionales 1 .
1)
~ ( % - ~ J =
A) J . . .
1-
65
1
r
B) 35
1
, . . '
t
25
-~
__= '~--'-~
~c.\ I
- , r
:.J _;
.-.,c:~
. . . . •
'
J
t· ,
~\
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¡
I
I
I
1 9
I
D) -
I
15
¡
E) 1
. '4 2) Una fracción de términos P/ {~os aumenta $U ,vator si:
1
1
1) el numerador aumenta,
I I) el denominador aumenta.
. III) el numerador disminuye. /
' IV) el denominador disminuye V r\}'
1, .
A) Sólo
1
B) Sólo 1 y II
.C) Sólo 1y II I
I '~ ) Sólo 1 y IV
I E) Sólo II y IV
l
j
-<
\\
~\~
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\ I
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- - - -
. . . . J
\
\
- - . . . . . 5
~
_. 5
-'
,\:
~.J.\
0~,
3) En un curso de 40 alumnosIos ~ son niñas, Si a mediados deaño ent ran a lcur so 5 niñas más, ¿cuá l
8
será aho ra la f racc ión de n iños de l total de a lumnos de l cur so? ,
1
A)
'4
2
B)
' 9
5
C)
'9
1
D) 2 :
1
E)
'3
4). Una barra de alumini o' mide 0,5 m. Por efecto de los cambios de temperatura, a las 16 h se ha
dilatado en una cent ésima parte de su longit ud. ¿Cuánto mide alas. 16 h?
I ,
I
30
1
31
I
, -
r
I
t
.. 1
A)
0,51 m
B) 0,55 m
C) 0,505 m
D) 0,555 m
E),O,5005m
8/17/2019 Matemáticas UC
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1 1
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica
5) Si n es un número entero negativo distinto de -1, ¿cuál de las s iguientes fracciones es la mayor?
.
¡
A)
-
-
n
-L
•
1 .-
;; : -
- - q -
1
e) -
n'
l
D) -
n-l
n
E)
-
A
6) Si a = . .
b
2
verdaderats)?
l) a+ b c c
~ Sólo l
B) Sól~ II
'e)
Sólo III
D) Sólo l y ,II
E)
r,
II Y UI ,
-- , -- I~ {:
.2
J-
'3:
J ~ <,
2.. ~_,_ .' :::: .
Z, • ',
- 1 ' :7 \ '
\?
-; 1 '
. ,' 0 . - - ;
-r.~ -t t.,~
. .. :: '
'~ y e = ~ , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
7 ~ .
¡ I r
, I
e
b
- <a'
e
i .~;.. : ± ~ ~
I) b < e • a
2
III)
-
i
j
7) En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen un noveno su
medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante
A) aumenta en un noveno.
B) disminuye en un noveno.
-C) aumenta en un décimo.
D)
aumenta en un quinto.
E)
aumenta en dos novenos
8) En un ó .
ARe,
un ángulo interior mide x , el segundo mide lO más que la 'mitad del anterior y el
último mide un quinto de lo que mide el primero. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor
ángulo interior?
¡
'
A)
B)
C)
D)
E)
100°
20°
80°
40°
60°
9)
Un estanque'tiene ocupadas sus tres octavas part es con agua. Si agregándole 500 litros el agua ocupa
hasta la mitad del estanque, ¿cuál es ,su capacidad?
A) 8.000 litros
B) 4.000 litros
C) 3.600 litros
D) 2.000 litros
E) 1.000 litros
; : 1
l '
32
I
__
'~
PRIMER EJE TEMÁ
rrco I
Test N ° 2. NÚMÉROS RACIONALES 1
10) Un par tido de fútboi se desarrolla en dos -tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del
partido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?
2
A)
-
9
4
B)
-
9
5
e)
-
9
\
5
D)
1 8
13
E)
18
11)
Enun gr~po de madres, ~ de ellas no han tenido hijas, un sexto. t~vo melliz~s
y
las 26restantes tienen
, 5,:,;,'
só lo una hija. ¿Cuántas madr es hay en el grupo? ':',
?
2 . . .
A)
260
B) 120
C) '60
30
E) No se puede determinar
' - = '.
i\:?
\ ¡~ ;
\
• . .
. R__
\ 3
.
2
En un curso, un día faltaron a clases los 5
cuántos alumnos se componía el curso?
12)
de los alumnos. Si ese día asistieron 24 alumnos, ¿de
' 2 .
2.: ..\';:'.
_ ,V . . : ;
_ _ ~
~11
.~: ;... . . . • \ -
.....:.-
-
~) 36
B) 38
r- :
C) 40
.. 1
D) 42
E) 44
\.
~~
,,1
;,.~
13) ¿QUé' precio tiene una mercadería si los~ de losl de ella val en $7.500?
. . ,3 4
A) $9.000
,B) $12.500
C) $15,000
D)
$17:500
E)
$24,000
Te~emos 6 botellas llenas y 4 a mitad de,capacidad, todas de lit, que contienen aceite. Para envasar
1 . 4
dicho aceite en botellas de - litro ocuparemos
2 , '
14)
A)
B)
C)
D
E)
.'
5 botellas
6 botellas
10 botellas'
11 botellas
12 botellas
33
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 17/195
I: i,
1 ) 1 1 :
;
PSU. Cuad erno de Ej ercicios. Matemática
15) Una persona compró dos séptimos de 3+ docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?
A) 2 docenas
B) 1+ .
docenas
C) 1 docenas
D) 1
docena
E) 1. naranja
16) Si a cinco enteros un medio se l e suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene
A) 4 1 . ;
B) 4~
C) 4 1
D) 5~
l
E) 51 .
Y
'
42 70 56
. i\ . . .
. ( 17) Si a = -; b = -; c = -, entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es
, 147 245· 159 . , '
'A) a c c c b 117~\' ¡U~
-r>
?~' ~(1):Zll.c:>::.
B) b>
a'> e
'1
~ \ . . - \
C) c o b c- a .. ,(~
D)
a+c=b
~'\C) ,
E)
a =,b -cc ,,: > ';9 · ,
18) L
. l ,3 5 7 7 d d d ,
os raciona es -, -, -, - or ena os e mayor a menor son
4 6 8 9
¡I
¡ I I o
1
1
1
i l1 :
A 3 5 7 7
) 4' 6'9'8
B 7 73 5
) 8' 9' 4' 6
.;.....: ..--¡
' ) - ¡
I -
.
' -'\-
, . . . . .
~
757 3
8' 6' 9',4'
-r
775 3
9'8' 6' 4
E) 7 . . . , 7 . . . ~ ~
9' 8' .4' 6
'J;..,
D)
3
19) ¿Cuántos paquetes de
4'
kg de azúcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?
A)
B)
~
E)
90
120
160
210
280
.'
)
~
i(0
. . c - - -
'2
? : :
, _,'o.
34
, Q,
» :
PRIMER EJE TEMÁTICO/Tesl N° 2, NÚMEROS RACIONALES 1
20) En
un estanque de
estanque?
A) 8t
B) 9t
C ) 8+
D)
9 +
E) 8t
17t litros de capacidad, faltan
8 - il i
litros parallenarlo. ¿Cuántos litros tenía el
equivale a
.7 -1
, 1 '
o
i'
'\
\~I
1
2+-
, 3
21) -1
1 - ~
3
S
A)
4
4
B) S
3
C) -
4
49
D)
5
5
E) 49
5 - . .
, __ 3
1+ ~
3
- , \
.. : . ... : - ~ _ . . . .-
.
-
~-
' J
Il
3,
~).
~
, L
,]
.. . , . .
,
... c.
_. __ 1. c . . . . )
-
1) (p + q)(p - q)
A) Sólo 1
B) Sólo TI
C) S610 III
D) Sólo 1I
y
III
E)r',IIyIII
<.
o :.
- y~::
j¿ ;
\
\ L ¡
-:
:J
.~
-: ) .
iC ; .. : .. _
z,
\ . . l .
22) ¿Cuánto, es la mitad del recíproco de 4?
1
A) '2
B) 2
1
C) 8
D) 8
El 1
. 2
23 )
Si p=-
Y
'3
entero?
1 '
q =-, entonces, de las siguientes expresiones, ¿cuá1 (es) equivaletn ) a un número
4
,
II) 6pq
.8p
III) 3q
/
1
35
U A l .. .
8/17/2019 Matemáticas UC
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1 ~
,
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
24) El valor de
3 2
_4__ 5_ es
7 8
10· 15
r
I
PRIMER EJE TEMÁTICO
I
Test
N
2, NÚMEROS RACIONALES I
27) -Si a, b
y
e son tres númerosracionales.positivos, ¿cuál es el menor?
1 '
4
9
A)
-
28
21
B)
-
10
6
C)
-
5
D)
2
1
E) -4
25) Un basquetbolista convierte In tiros y falla n. ¿Qué fracción de sus lanzamientos convierte?
m
Al
m+ n
m-vn
. B)
m+ n
x
-
C)
y
m
D
-
m-n
m
E)
-
n
1
26) ¿Cuánto vale
2
kilo de durazno s?
(1) 3+ kg valen $\.950 .
(2) 2 durazno s valen $200
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
cr
Ambas juntas, (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
(l)a-b=
.1
(2) a - e = -2
I
I
l
'1
1
36
¡
¡ .
A) (1) por sí sota
B) (2)
por sí sola
. C)
Ambas juntas,
(1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
28). La fracción 1 : es negativa. si:
q
(1 ) P +
q<
O
(2 )
p>
O
A) (1)por sí sola
B) (2)poi sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)
D)
Cada una por sí sola,
(1) ó (2)
E)
Se requiere información adicional
9
Si a+c .7·. .
2) 1 -- =-,¿cuál es el.valor de a?
c 3
(1) 3a = 4c
3
2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
2)
e =
30) Seanx e y enteros no nulos. La fracción 2 ' . representa un número entero positivo, si:
y
(1) le e
y
tienen el mismo signo
(2) y> O
1\
X es múltiplo positivo de y
A) (1) por s í sola .
. B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas; (l) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
.E) Se requiere. información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
37
¿e§
8/17/2019 Matemáticas UC
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1 , :
l'
1 ,
I
i
l ·
i
r
¡,
I
L
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
TEST N° 3: Números racionales II
1) '2 . + ~ + ~ =
10 100 1.000
A ) 0,58 '
31
B) 1.000
e) 0,327
D)
0,427
E)
3,28
. 2n
2) Si n es un número natural, entonces la expresión 2n + 1 representa siempre
A) un número impar.
B) un número par.
e) una fracción impropia.
D). un número mixto.
E) una fracción irreducible.
3), ¿Guáles de las siguientes fracciones son equivaientes?
T I )
4
16
2'
8
IV)
I) O,2~
A) Sólo .I yII
B) Sólo II y III '
C). Sólo III y IV
D) Sólo II, III Y IV,
E) I, II, III Y IV
4)
[¡
-'(5 . ~
+ 1 ) ] - 3 ' :
2 =
III)
51
4
67
4
69
8
15
4
3
8
5) 0,000002 5 . 10 =
A)
B)
C)
D
E)
A)
500.000,2
B) 10,0.
e) 2,5
D)
1,0
E)
0,1
;38
8
32
r
PRIMER EJE TEMÁTICO' Test
N03,
NÚMEROS RACIONALES
[1
6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y ' 1t veces la edad de María. ¿Qué parte de
la edad de Pablo .es la edad de María?
3
A)
-
8
B) 2+
e) 3{ -
D)
6
E) 6t
1 1
7) 3 ' - 1 2
1
4
I
I
'4
A) -'9 ¡
E)
O
1
e)
-
4
D)
1
5
E)
-
3
8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los c inco sextos de la misma, se debe
pagar
A) $10.000
B)
$8.000
C)$12.000
D)
$7.250
E) $9.000
9)
0,875: 0,625 =
A) 1,6
B) 1,5
C) 1,4
D)
1,3
E)
,1,2
10) Si, P = 0,001; Q = 0,01 Y R = .0,1; entonces el valor de P
+
QR es
A) 0,00101
B) 0,0101
C) 0,0022
D) ,0,002
E) 0,0012
39
8/17/2019 Matemáticas UC
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1 , :
t ' :
i
j t
1 I
1:
1:
~
,
I ¡
1 1
r
,
~
PSU. Cuaderno de · jercicios Matemática
11) 0 , 4 2
=
14
A) -
33
21
B) -
33
C), 14
19
5
S
E)
1 9
12)'1- 2
5,- _4_
3 - .
3
8
3
3
B ) -
2
7
C) '2
4
D)-;¡
A)
3
E)
' 7
13) ¿Cuántas veces 0;01 es igua la 1,01?
A)
100
B)
101
C) 110
D)
1,01
E) 0,101
i4) 1 :
0,125t
l
A) un octavo
B) un cuarto
'C) un medio
D) cuatro
E) ocho
40 '
r
I
I
I
I
PRIMER EJE TEMÁTICO I TeSI N 3, NÚMEROS RACIONALES II
15) En una liquidación de temporada, los ~ de los ~ del preciode una camisa son $1.500, Entonces, el
, de Ia cami 3 14 '
recio e a camisa, en pesos, es
A) 3,500
4,500
B) -:;
13.750 '
C-7-
D)
5,000
E) Otro valor
16) ¿Cuá1(es) de los siguientes números .es(son) racional(es)?
1)
-2,73
TI )
0,123
A) S610 Ly IV
B) Sólo I yII
C) S610 II y III
D) Sólo I, II Y III
E) I, II, III YIV
III) 4,0156
IV) 5,01001000100001..,
1 '
I
I
2
17) Un cordel se corta en cuatro pártes: la primera es
15
del total, la segunda es
tercera es
2 .
del total. Si sobraron 80 cm, entonces todo el cordel medía
5
A) 360,cm
B)' 3,2m
C) 0,0018 km
D)
2,700 rn m
E)
0,0018
m
'2
'9
del total, la
18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que
Al
8
-
10
6
Bl
-
10
1
C) 20,
D)
1
-
5
E)
5
11) Si n . 10-
3
= 10-4, entonces el valor de n es
A) 0,0000001
B)'
0,000001
C) , 0,00001
D)
0,001
E) 0,1
41
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
20) Un bidón contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de él 2,5 litros,
o 5 _
quedan - de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle
. 12 ,
A) 10 litros
5 _
B)
6 ' litros
C)
2+ l it ros
D)
4t litros
E)
5i litros
1
1 ,
21) Se derrumba una pared de ladril los quedando sól o de una al tura de 36 cm. Se nos dice que l a part e
derrumbada es ~ de sualtura original. ¿Cuántos centímetros de ladrillo habrá que levantar para dar le
8 .
a la pared su
altura
original?
r
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N 3, NÚMEROS RACIONALES 11
24)
Si ~ = 2 ., entonces ¿cuá l de las expresiones s igu ientes es igual a cero?
b 2 .'
A) 2a - b
B) -2a - b
C) 2a+ b
D)
a -
2b
E) a
+
2b
25)
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsafs)?
A) 12
B) 24
C)
36
D) 48
E) 60
22) 0,555 ... + 0,777 ...
=
A) 0,12
B) 1,2
C) 1}
D) 1,32
E) lt
23) Una deuda de $a se cancela con $b a lcontado y e l saldo en 12cuotas iguales . ¿Cuál de las s iguientes
alternativas representa el valor de cada cuota?
A) a - ~
12
B) ~-b
o 12
C) a _ ab
12
D) a ~ b
12
E)
~ab
12
42
1)
(-0,9)2 < 0,1
A) Sólo 1
B)
Sólo' II
C) Sólo III
D) ~ólo II
y
III
E) 1, II Y III
II) 0,01 > 10-
2
III) 0,009' 0,1 .;. 1,1 • 10-
2
26) En un curso mixto de 40 alumnos, ¿cuántas niñas hay?
(1) Hay 8 niñas más que niños .
(2)
Los n iños son los 3 . de las niñas.
3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1)
y
(2)
D) Cadauua por s í sola.Tl)ó (2)
E) Se requiere información adicional
27) ¿Qué fracción dei triángulo equilátero ABC está sombreada en la f igura adjunta?
- (1) AE = BE
(2). DE
J. .
AB
A) (1) por sí sola
B )(2) por sí sola
C) Ambas j untas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiei:e información adicional
~B
D
28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que:
)
1 _ 2 .
(1 3 x - ~
1
(2) x·
- 1, siendo x O
x
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas j unt as, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
43
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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
29) ¿Cuántas personas t raba jan en una fábrica?
30)
4'
(1) Los - son varones,
, 7
(2) Hay 210 mujeres,
Al (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas; (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
El Se requiere información adicional
La fr acción ~ no sepuede simp li fica r s i:
b
(1) a yb son primos entre sí.
(2) el máximo común divisor entre a y b es uno,
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
PRIMER EJE TEMÁTICO I Tes t W 4, NÚMEROS REALES
CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)
Test N° 4: Números reales
1} El número
(..f i :
J3)' es
A) un número entero
B) un decimal fini to
C) una fr acción impropia
D) un decimal periódico
E) un decimal inf ini to noperiódico
,2 )' Un número raciona l comprendido ent re .J 3 y
1 5
es
A)
.J 3 +
1 5
, 2
B)
. J 3 -
1 5
2
C) .J4 ,
D) 1,7
E) 2,3
3) Sea Q el conjunto de l os números racional es, I el conjunto de los números i rracional es y IR el
, conjunto de lo s números reales, ¿Cuá l(es) de las a fi rmaciones s iguien tes es(son ) verdadera (s) ?
l) Q
Í\
I=IR
H)
QuI=IR
I1I)
lRnI=
A) Sólo I.
I
B) Sólo H,
C) Sólo
III.
D) Sólo 1 y H,
E) Sólo
II y III.
RESPUESTAS CORRECTAS
4) En la espi ral de raíces cuadradas que se muest ra en l a figura adjunta, con los datos indi cados en
e lla, ¿cuál (es) de los s iguien tes segmentos t iene(n ) como medida
u n
número irracional?
l) AB
II)
AC
III) AD
A) Sólo 1 y n.
B) Sólo II y III.
C) Sólo l y III,
D) l, II Y HI.
E) Ninguna de l as tres.
y
2
D
44
2 X,
45
8/17/2019 Matemáticas UC
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P SU. C ua der no d e E jercicios
Matemática
5) El número
Jl2
puede interpretarse como:
1) La altur~ de un triángulo equilátero de lado 4
II) Una solución de la ecuación x' =a 12
Ill)
Un número i rrac iona l comprendido entre 2 y
3
A) Sólo I
B) Sólo II
e) Sólo m
D) Sólo
1
y
II '
E) Sólo IIy. III
6). Sea p un número primo. De las siguientes expresiones:
1) p . J2
II) 3N
III)
JP . JP
¿CiIál(es) corresponde(n) a
número fs)
irracional(es)?
A) Sólo 1
B)
Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo
r. Y
II
E)· Sólo I y III
I
i l
li
¡ ¡
¡
7)
Dado que
x
A)
x'
B)
x'
+
e) x' - x
D)x' ~
1
E) x' - 2x
- . j: : ¡ + 1., entonces ¿cuál de los siguientes números no es irracional?
8) Si «a» es un número irracional, entonce s ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) ~
verdaderats)? .
1 ) (-a)' es positivo
II) (¡es racional
III) -a es irracional
1 : .
A) Sólo I
B)
Sólo II
e) Sólo I yII
D) S'ólo I y III
E) 1, II Y III
.
.
9) ¿euál(es) de los siguientes números es(son) irracioIÍa1(es)?
. II)
.. fi
+
7 .. fi
.J6
1) .J2 .-.Jl8
III) --
. . . J 2 1 6
A) Sólo 1
B) Sólo' II
e) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II
y
III
46
r
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N 4, NÚMEROS REALES
10) Sean a =-2 y b = - . .r : ; . , ¿cuál de los números siguientes pertenece a lR-?
A)
ab
B)
-(a)(-b)
el b~a
r» (-bl -
(-a)
- a
El -b
11 l ¿Cuál es el inverso aditivo de -n ; In . x ?
Al - 1
B l O
el 1
D)
-mnx
El . mnx
12l Un número irracional comprendido entré
O
y 1 es
Al
. J 2
2
B l ~ . J 2 ~ J 3
1
el
7
Dl
0,5
El 0,999
13 l El hecho que, para todo par de números reales my n se cumpla que m
+
n
=
n + m se llama
A) propiedad aditi va.
. B) propiedad conmutativa de la adición en IR.'
el clausura para la adición en IR.
D)
ley de cancelación para la adición en IR.
El propiedad asocia tiva de la adición en IR.
14) Dados los númer~~ reales a
= / J 3
-1/,
b =¡
~
= ¡ 3 ( . J 2 - - J 3 ) ¡ .
El orden creciente entre
ellos es
A)
a
< b <
e
B)
a
<
e
<
b
C)
b<c<a
D) c
cb c a
E) c.c a
<
b
15) Si P Y
Q
son dos números reales ubicados en la recta numérica de la figura adjunta, entonces el
producto PQ es otro número real ubicado
A)
a la izquierda del
O.
1
1
1
1
• • •
) . entre Oy P..
O
p
Q
) entre
P
y Q.
r» entre Q y 1.
El
a la derecha del .1.
47
8/17/2019 Matemáticas UC
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¡
, r
I
1 :
I
,
, 1
i'
: 1
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
6) El
:
'd
l éri l l l i ó
(x-2)(x-4) ,
d
'f'
1 conjunto e va ores num ncos rea es para os cuales a expresi n
2 Q
esta e
1-
, ',x -36
nida' es: '
A) (6)
B) (2,4)
C) (-6)
D) (-6. 2. 4, 6 )
E) (-6,6 i
,
17) Si el radio de una circunferencia se mide por un número racional. el lado deJ cuadrado inscrito está
dado po r un número:
A) racional.
B) irracional.
C) entero,
D) cuadrado perfecto.
E) ninguno de éstos.
18) El primer conjunto del cual es elemento la expresión - (2 -. J5 ) es
A), IN
B) Z
C)
Q
D) IR
E) Otro
19)
Si x
=5 .
10'. entonces x'
=
A)
la· 10
6
B) 10
ó
O
C) 25· O'
D) 25' la'
E) 25 '10
6
20)
¿Cuál de los siguientes números no es racional?
A) .. f 9 O O
B) ')0.04
, 2
C) (~)
D)
.J3
.fíi
E)
)0,999 ...
l' ,
r
i
l
J
21) ¿Cliál(es) de las' siguientes expresiones es(son) equivalentets) a la quinta parte de 0,05?
1) (0,05)' II) 10-
1
I1I)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II
y
III
48
r
PRIMER EJETEMÁ TIeO I Tesl N 4. NÚMEROS REALES
22) Dado que la altura de un triángulo equilátero está medida por un número racional, ¿cuál(es) de 'las
siguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) también por un número racional?
1) El perímetro del triángulo
II) El diámetro de la circunferencia circunscrita' al triángulo.
IJI) El área del triángulo.
A) Sólo I
B) Sólo II
C)
Sólo
III
D) Sólo 1
II
E) Sólo I y III
23)
¿Cuál de las expresiones siguientes es equivalente a 5,033f
A) 50
2
+
33
B) 5· 10 +30 + 3
C) 5· lO + 33 . la'
D) 5'10'+3'10+3
E) ,50 . la' + 33 . 10
24) Si a =
J u J
¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse «a» para dar como resultado
un número racional?
1 )
Fa
A) Sólo por 1
B) Sólo por
Il
O)
Sólo por III
D) Sólo por
I
ó
II
El Por I,Il ó III
II) -J W
I1I)
10
25) 0,000000672
=
A) 672· 10-
B) 67,2 10-
6
C) 6,72 10-<>
D) '67,2 10-
7
,E) 6,72 10-
7
26) ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes 'da(n) como resultado un número irracional?
.fi+J2
)
f i+
z-Ii
II),ifi ifi
III)
f i f i f i
A) Sólo 1
B) Sólo II
0,01
I
C), Sólo
III
D) Sólo 1 y II
E) Sólo II y III
49
;fiEb . . _
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. PSU.
Cuaderno
de Ejercicios, Matemática
S
· b ' I 1 '
. r a
'1 .
27) 1 a, y e son numeros rea es, entonces a
ex presión -
representa un numero rea SI:
, b·c
(1) a es no negativo.
(2) b Y e son distintos' de cero.
A) (1) por sí sola
B) . (2) por
s í
sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una poi sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
28) Para determinar si el número x es un número irracional' se sabe que:
(1)' x tiene un' desarrollo decimal infinito.
(2) x es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado'.
A) . (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
. Cl' Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (I) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) Para determinar el valor del producto de l os números reales a
y
b se sabe:
(1) el inverso aditivo de a' es a y 2b = 1.
(2) b es un número racional posiiivo
y
a no tiene inverso multiplicativo.
A) (1) por si sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D Cada una por sí sola; (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
39) ¿Está el número x = a : . 10 escrito en notación científica?
(1) 1:S;a
<
10
(2) ne Z
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D)' Cada una por sí sola, (1) -ó (2)
E) Se requiere información adicional
r
I
,
1 •
50
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test W 5, RAZONES Y PROPORCIONES
CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES
Test N° '5: Razones y proporciones
1) Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del padre?
A) 3:.4
B) 3: S
C) 3: 6
D) 3: 7.
E) 3: 8
2) Las masas de dos personas están en la razón de 2 :'3. Si unade ellas tiene 23 kilogramos más de masa.
que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?
A) 36 kg
B) 46 kg.
C) S6 kg
D) 64 kg
E)
69
kg
3) Dos ángulos suplementarios están en la razón 3 : S. ¿Cuál es la diferencia p~sitiva'entre sus medidas?
A) 22,S·
B) 30·
C), 4S·
D) 67,So
E) 90·
4) Un kilógramo de queso La Vaquita: salada cuesta $7.200. ¿Cuánto se debe pagar por 125 gramos de'
estequeso? .
A) $450
B) $720
C) $800
D) $900.
E) $1.800
,5) En un mapa a centímetros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden b centí-
metros del mapa?
A) ~
3.000
B) 3.000
ab
C) _a'
3.000b
D) 3.000a
b
E) 3.000b
a
-~
1
o _ _
A .~ _
'
•....
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PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
6)' En un liceo mixto de 1.540 alumnos, 880 son varones. ¿Cuál es la razón entre el número de
damas y el de varones?·
A) 1 : 2
B) 1: 3
C) 2: 3
D) 3: 4
E) 3: 5
7) Dos números enteros están en la razón
2 : 7.
Si la suma de ellos es
-36,
¿cuáles son los números?
A) -7 Y 29
. B) 7 Y -29
C) -8y -28
D) 8 Y -28
El -lO.y -26
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test N 5, RAZONES Y PROPORCIONES
11) Si 5m = p ; 5q = 2r
A) 0,25
B) 0,5
C)1
D) 2
E) 4
y
p
=
r, entonces m: q
=
8) Sean a, b y e números enteros tales que e es la quinta parte de a y a ese doble de b , La
relación correcta entre b y e es:
A) Sb = 2c
B) 2b
=
lSe
e b
e 2 : 15
D) b
5 = e : 2
E) b
e = 1 : 10
9) Si ~
m
l
2' m
~6 Y
3 .
= ~ ,entonces de las igualdades siguientes es'(s;n) verdadera(s):
p
4 . .
III) p 2q
12) La media proporcional geométri ca entre 18 y 72 es
A)
18
B)
27
C) 36
D) 45
E) 5:1
13) Si se tiene la proporción ~
b
2,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes proporciones se deduce(n)
3 ' .
1) n=p
II) n q
A) Sólo l.
B) Sólo n.
C) Sólo 1Il.
D) Sólo 1 y III.
E) 1, II Y Ill.
10) Si x :
y =
1 : 4, ¿cuál es el valor de (x
+
y) cuando y = 1?
.5
A)
'4
5
B) 2 :
3
C -
4
D . .
2
E) 5
como correcta(s)?
... a
5
b
a 2a 10
a-b
1
1) -. -
=--
II)
-=-
III)
- =-
IV)
-=-
b-a 2
3 5 3b 9
a:+ b 4.
A) Sólo III
Bl
Sóio 1I
y
III
C) S610 1
y
IV
D) Sólo 1, II Y IV
E) Todas
14) En un estante, los tarros de salsa de tomate con champiñones y los de salsa de tomate con pollo
están en la razón de 9 : 10. Si' se retiran del estante 38 tarros de salsa con pol lo, la razón se
, invierte. En tal caso, los tarros de salsa de tomate con pollo qu.e había antes del ret iro, en el
estante, eran
A) 20
B) 100
e) '162
D) 180
E) 200 .
15) Miguel y Oscar tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a: b. Si Oscar tiene
15 estampillas más de las que tiene Miguel,
y
éste tiene a estampillas, entonces
1(1
cantidad de
estampillas que tiene Oscar es
A)a
+
15
B) b- 15
15a
e) -
a-b
15a
D) b-a
53
lSb
E a-b
52
\ I
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PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
16) Alberto, Bernardo
y
Carlos forman' una sociedad. El capita] aportado por Carlos está con el
capital aportado por Alberto
y
Bernardo en la razón 1 :
1
y
además se sabe que Alberto aportó
$1.400.000
y
Bernardo' $1.600.000. Entonces el capitaltotal de esta sociedad es de '
A) $1.500.000
B) $3.000.000
C)
$6.000.000
D $8.000.000
E)
$9.000.000
I ¡
ti
1 1
I ·J
q
l
i l
1
1 :
~
17) La suma de dos números es 108
Y.
ellos se encuentran en la razón de 1
5.
¿Cuáles son ios
números? .
A
8
Y
100
B 18·· y. 90
C)
21,6
Y
76,4
D
48
60
El
28
Y
80
18) ¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse s.s. para' obtener dos números que
. estén en la razón 3 :.4?
A) '1
B) 2
C 3
D) 4
E 5
19) Si 3p - 2'= q
y
p:. q= 1 : -2, entonces ¿cuál es el valor de p?
2
A) 3
B) ~
2
C) 2
D) 4
E 6
1
20) Al restarse.16 del quíntuplo de un número, se obtiene otro que está con el original en la razón-3: 1 .
¿Cuál es el número 'original?
A)
19
B) 8
C 5
D)2
E) ~8
21) En un mapa, la distancia, entre dos ciudades es de' 36 cm
y
Ia distancia real es de 288 .km. ¿A qué
- escala fue diseñado el mapa? .
A). 1 : 800
B) 1 8.000
C) 1: 80.000
D) 1 800.000
E) 1: 8.000.000
s4
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test N' 5, RAZONES Y PROPORClONES
22) En un mapa 2,5 cm representan 30 km. ¿Qué área representa un cuadrado de 10 cm de lado?
A) 144 km'
B)
1.440 km'
C) 14:400 km'
D) 1.480 km'
E) 1.448 km'
23) Un árbol de 3 m de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene la razón altura/sombra, la
sombra de un árbol de 4
ID
'Será
A) 20 cm
B)
64 cm
C l
80 cm
D)
106,6 cm
E) . 160 cm
24) El perímetro de un rectángulo es 120 cm. Si los Iados están en la razón 1 : 2, ¿cuál es su área?
A) 80 cm'
B)
800 cm'
C)
3.200
cm?
Dj 320 cm'
E) 1.600 cm'
25) Las edades de Paula y Francisca están en la razón 7 9. Si Francisca tiene 18 años, entonces en
dos años más, la razón .entre sus edades será
A) 7: 9
B) . 9 : 11
C) 1: 2
,D 7: 10
. E) 4.: 5
26) En una canasta conteniendo 80 huevos entre 'blancos
y
de color, los huevos blancos
y
los huevos
.de color están en la razón de 2 : 3. El número de huevos blancos que falta para igualar el número
total de h~vos blancos
y
de color es:
A) 12
B)
16
C) 32
D)
40
.E) 48.
55·
__ __ Sf:
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PSU. Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
27) Si 2a
=
3b Y 5b
=
7c, entonces ,¿cuál es el valor de e?'
(1)
I
a = -
5
r
I
PRIMER EJE TEMÁ nco
Test N 6, PROPORCIONALIDAD
CAPÍTULO S. PROPORCIONALIDAD
Test N° 6: Proporcionalidad
10
21
. . . .
1) La docena de manzanas cuesta $1;200. ¿Cuánto hay que pagar por 54 manzanas?
A) $3,240
B)
$3,600
C) $4,800
D)
$5.400
E) $6.000
2) ¿En' cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las variables x e y son directamente' pro-
porcionales? ' . ,
A) xy
=
k
B) 2x - 3y = O
C) x - y = x
+
y
D) x+.y': -I ,
E) Sx -
6y
= I
3)
Si para hacer una torta,se necesitan
9
huevos de 120 g, ¿cuántos huevos de 80
g
se necesitarían?
A) 6 .'
B) 13t •
C
12
D) 15
E) 15t
4) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e
y,
-donde x es directamente proporcional con
y.
¿Cuáles son los valores de P y Q? • '
(2) .:
a
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1)
y
(2)
¡ ;: i)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
28) La razón entre el número de hombres y mujeres en un curso es 5 : 2, ¿cuántos varones hay?
(1)
El curso tiene 42 alumnos,
,(2) Las niñas del curso son 12.
A)
1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C)
Ambas juntas,
(1)
y
(2)
D) ,
Cada una por sí sola,
(1) Ó (2)
E) Se requiere info'rmación adicional,
29) Las aristas de la caja de la figura miden a, b
y
e
CID,
¿Cuál es el área de la cara sombreada?
(1)
a:
b :
é
5 ; 7 : 3,
(2) 'El volumen de la caja es 840 cm',
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola,(l) ó (2)
E) Se requiere información adicional
( , l e
b
l
A) P = 40 Y Q =
13
B) P=18 Y Q=17
C) P,=20 Y Q= 18
D) P
= 40
Y
Q = 18
, 16
E) P = 18 Y Q '= -
9.
~
~
30) Con respecto a sus ángulos interiores, ¿qué clase de triángulo es el D . ABC?
(1) Sus ángulos interiores están en la razón 3 : 7 : 8
(2)' El mayor de los ángulos interiores mide 80°
y
el menor de los ángulos exteriores, mide 100°
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una .por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información ,adiciorial
R máquinas demoran N horas en hacer un trabajo. Entonces 3 de las mismasmáquinas demoran
NR
A) ~
3N
B)
R
3R
e) N
N
D 3R
R
E 3N
57
6
r
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU . Cuaderno ¡ feE je rc ic io s, Matemática
6) a es i nversamente proporcional al cuadrado de b. Si a 5 cuando b = 2,
b
= l? .
A) .5
B) 10
C) 15
D)20
E) 25
cuánto vale a cuando
7 ) ~ i s l ,
~ f ~ [ L
~ ¡ ' b l ; l ~ i : '
W i ~ 7 : k
X X .: X· X
A) Sólo 1
B) Sólo III
C) Sólo IV
D) Sólo I y IV
.~
E) Sólo I, II Y IV
8) En la tabla siguien te se muest ran los valor es de x e y, donde x es inversamente propo rc iona l con y.
¿Cuáles son los valores de A y B?
A) A = 27
8
Y
B.= -
9
B) A = 18
Y
.B= 3
C) A= 3
y
B=
18
12 9
D) A= - Y
B=-
. 3
. 2
E) A = 27
Y
B= 18
x
9 A
2
Y
4
12
B
9) Un auto recorre. una distancia d con una r apidez cons tante Y, y demora un t iempo t. ¿Cuál es la
rapidez a l a q ue deberá ir si quiere demorar la mit ad del tiempo en recorrer la misma distancia?
A)
B)
v
2
v
C -
4
D) 2v
E) 4v
58
f '
PRIMER EJE TEMÁTICO Test W 6, PROPORCIONALIDAD
Un bus recorre normalmente una distancia de k kilómetros en h' horas. ¿Cuál sería su rapi dez
medi a en krn/h, si ·e stuvier a autor izado y l legara a' su destino con una hora de retraso?
A) * - 1
k - 1
Bl
-h
k - 1
C) h _ 1
k
D) h
+
1
k
E) h-=1
. c . .
11) El consumo de electricidady de una estufa eléct rica es directamente proporcional al' t iempo x
durante el cual se encuentra encendi da. Si k es una constante distinta de cero, entonces ¿cu 'ál de
las siguientes expresiones matemáticas podría corresponder al enunciado?
A)
y
¡= k, x
k
B) Y=-
x
C)
y
=
k, x'
D)
y
=
k
X
E) y =x : k
12) ¿En cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las var iables x e y son inversamente proporciona-
les?
A) xy = 1
B) 3x
+
2y= 6
C)
x -
y = O
D) x
-l- y =
10
E)' 5x - 2y=0
13) La fuerza centrí peta (f,) que actúa sobre un cuerpo en rot ación es direct ament e proporcional a la
masa (m) del cuerpo, al cuadrado de la vel ocidad (v), e inversamente proporcional al radio (r) de
la c ir cunf erenc ia que desc ribe . ESÚI ley se expr esa matemát icamente pq, r medio de la fórmula: '
A)
f,
=
kmv
r
B)
f, = kmv
2
r
C
f, =
km
2
v
r
D) f, = kmv
r
2
E)
f = kmv
e
-;:z
59
: ; ..
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 30/195
PSU. Cua derno de Ejercicios Matemática
14) Una familia compuesta de 4 personas consume $360.000 en 30 días. A ese mismo ritmo de
consumo, ~para cuántos días le alcanzarán $4S0.000 a una familia de 6 personas?
A) 15
B)
26%-
C) 33¡
D) 60
E) 65
15) 8 trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajado-
.res más se necesitarán?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E)
10'
)(5)
3 niños comen 6 pasteles en 2 minutos. Para comer 4 pasteles, ¿cuántos minutos demorará un.
. niño?
17)
A) 1
B) 2
C) 3·
D) 4
E) 6
Se sabe que A es inversamente proporcional al cuadrado de B. Si A
=
100 cuando B
=
5, entonces,
¿cuánto vale A. Cuando B = lO?
A) 50
B) 25
C) 20
D) 15
E)
10
PRIMER EJE TEMÁ
rico
Test N 6, PROPORCIONALIDAD
. 21) Una máquina puede imprimir 45.000 tarjetas en 12 horas. ¿Cuántas horas necesitaría si el pedido
3 .'
aumenta en sus -?
10
A) 15 h
B)
15
h 6
min
C) 15 h30 min
D) 15 h 36 min
E) 15 h 45 min
22) Se emplean 12 máquinas pata realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de 3 máquinas menos,
¿cuántos días más se emplearán en hacer igual trabajo?
A)
B)
C
D
E)
111 .:
4
5
15
is
20
18)
Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿cuántas nueces come una ardilla en un día?
A) 0,01
B) 0,5
C)
0,1
D) 1
E)
10
23) En ciertas recetas de cocina, 1
t
copas de vino pueden sustituirse por una copa de cognac, ¿cuántas
copas de vino se deben usar en una receta que requiere 1t copas de ccgnac?
A) 1
B) 2
C 2¡
D lt
E)
1.1
4
24) En un circuito eléctrico, la c orriente
y
la resistenc ia son inversamente. proporcionales (si el voltaje es
constante). Si un circuito tiene una resistencia de '200 ohmsy una corriente de 1 1 amperes, encuentre
la corriente, expresada en amperes, cuando la resistencia es 500 ohms.
A)
3
5
B)
7.1
,
C)
3
D
4
-
15
E)
3
1
4
25) Si tres ';ecreta~ias pueden tipear seis manuscritos en doce días, ¿cuántos días tomaría a dos secretarias
tipear tres de tales manuscritos?
A) 4
B) 9
e) 1 1 2
D) 16
E) 36
61
I 1
Para embaldosar el piso de una cocina se ocupan 48 baldosas cuadradas
¿Cuántas baldosas' de 40 cm de lado se' ocuparían en un piso equivalente?
A) '21
B) 36
C 54
D) 64
E) 66.
Diez libros valen $75.000, luego doce de los mismos libros costarán
A) $6.250
B) $85.000
. C) $62.500
D) $80.000
E) $90.000
19)
de 30 cm de lado.
20)
60
, ,
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática
26) Si 10 caballos consumen 50 fardos de pasto en 3 días. entonces ~l número de fardos de pasto que
consumen 15 caballos durante 1 semana. bajo el mismo. patrón de consumo es
50 . 15 . 10
A) ---
7 . 3
50 . 7 -, 15
B)~
I
j
50 . '10 . 3
C)
]T:7
I
50 . 15 . 3
D) 10 . 7
50 . 10 . 7
E) ~
27) ¿Cuáles de las parejas de variables siguientes son directamente proporcionales?
A) El área de un cuadrado y su
lado.
B) Li.
longitud' de una circunferencia
y
su radio.
C), El volumen deun cubo
y
su arista.
r» La estatura de una persona y su edad ..
E) E, Mea de un círculo y su radio., .
28) ¿Cuántos días necesitarán ,5 hombres. trabajando 6 horas diarias para hacer' 60 metros de la
misma obra? '
(1) 3 hombres trabajando 8 horas diarias han realizan 80 metros de la obra en 10 días.
(2) Más hombres demoran menos días en hacer el mismo trabajo.
A)
(1)
por sí sola
B)
(2) por sí sola'
C) , Ambas juntas. (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola. (1)
6
(2)
E) Se requiere información adicional
Podemos determinar si A y B son directam~nte proporcionales si:
(1)
Cuando A aumenta.
B
aumenta.
(2) Cuando
B
disminuye. A disminuye.'
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas.
(1)
y (2)
D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
X e Y son inversa mente proporcionales si:
(1) X . Y = K 11 K es una constante.
(2) El gráfico de la relación entre Xe y esuna h ipérbola equilátera
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por· sí sola
C) Ambas juntas. (l} y (2)
D) Cada una por sí sola. (I ),ó (2)
E)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
29)
1
I
¡ I
30)
I
.
H
' 1
~
6
r
PRIMER EJE TEMÁTICO
TestN 7, PORCENTAJES I
CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTER~S
Test
N 7:
Porcentajes
1
1 El
18% de 150 es
A) 2,7
B) 27
C 75
D) 108
E) 270
2) ¿Qué tanto por ciento es 52,5 de, 350?
A)
1.5%
B)6.6%
C)
15%
D) 66.6%
E)
183.570/0
3)
Una persona tiene $500 y gasta el 25%. ¿Con cuánto se queda?
A) $125
B) $375
C) ,
$475
D) $625
E) $275
4) El 25 % de p sumado a
p
se expresa
A) 5p
4
125
B)
100 +
P
C)
p
+ 25
100
D) P + 25p
100
E) l25p
5) En una familia de 8 personas. el 25% de ellas están resfriadas. Las personas no resfriadas son
, ,
A 2
B) 4
C 5
D) 6
E) 8
6) El 40% de un número es 260. El 70% del mismo número es
A) 104
B)
182
C) 260
D )
455
E)
650
63
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática
7) Un niño aumenta su masa de 15 kg a 18 kg. El porcentaje en que aumentó su masa es de un
Al 30%
1
B) 6%
C
. .
I
D) 20%
I
13)
E) 25%·
8) Un supermercado ofrece un
producto
rebajado en un 20% a $280. El precio original era
A)
.$70
B) $268,8
C $280
D) $336
E) $350
9) Un ;Utféulo fue comprado en $800
y
vendido en $1. 000. La ganancia es de un
A)
20%
B) 25%
C).40%
D) 80%
E) 125%
10) Un artículo cuesta $p, y se vende obteniéndose e115% de ganancia. El precio de venta es
PRIMER EJE TEMÁTICO ITest N 7. PORCENTAJES 1
12) Una secretaria que escribía 60 palabras por minuto aumenta a 72 palabras por minuto. ¿Cuál es
el porcentaje de aumento?
A)
7,2%
B) 12%
C) 18,5%
D) 20%
E) 60%
Si María tuviera un 15% menos de Ía edad que tiene, tendría 34 años. Cuál essu edad actual?
A)
28 años
B)30 años'
C) 36 años
D) 40años
E) 49 años
14) Tenía 30 lápices. Di a mi hermano el 30%, a mi primo el 20% ya un amigo el 10%. ¿Con
cu ántos
lápices me quedé? .
A) 10
B) 12
C) 16
D) 18
E)
20
15) En un curso, 30 alumnos rindieron el examen' de matemática. De ellos, 8 obtuvieron la nota. máxima, 12
obtuvieron un 5, además 7 obtuvieron un 4, y el resto fue reprobado. ¿Cuál es el porcentaje de-reprobados?
A)
0,9%
B) 3%
C) 10%
D) 12%
E) 30%
16) De una caja de 80 lápices, 30 son negros
y
los restantes son verdes. Entonces, el porcentaje de lápices
verdeS es .
A)
30%
B 37,5%
.C) 50%
D) 62,5%
E) 80%
17) El 40% de 80
=
30% de 60
+
Z, entonces
z =
A 6
B) 8
C)
14
D)
30
E 42
18) En una promoción de 550 estudiantes, el 42% desea continuar estudios universitarios. ¿Cuántos
alumnos quieren estudiar en la universidad?
A) 13
B) 23
C 77
D)' 210
E) 231
65
A) p. +
.. E .
15
B)
p
+
150p
P + 150
C) ---¡o¡¡ -
D)
p
+ 1~0
15p
p 100
11) De una deuda de $ p se cancela el 30% y el saldo se divide en 6 cuotas iguales. El valor de cada cuota
es
30p . 6
A )
.100'
·p-30. 6
B) 100'
70p . 6
C)
100'
300p _ P
D) 600 .
p-30'
2
E)
100'
6
~;
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
19) En un curso de 20 niños y 28 niñas. ¿qué', porcentaje son niñas?
A) 41.7
E ) 48
C) 58t
D
70
E) 71
20)
Un, hombre ahorra $24.000 que equivalen a un 371 % de' su salario semanal. ¿Cuáles su salario
. semanal?
A) $40.000
B) $46.000
C) $64.000
D)' $88.000
E) $90.000 ,
21) Fresia deposita'$700.000 en un banco. el cual paga un 3% de interés anual. ¿Cuánto dinero ,tendrá
ahorrado al f ina l del año? ' ,
A) $21.000
~) $679.000
C) $702.100
D) $721-.000
E)' $910.000
22) ,¿Cuánto dinero deberá invertir un hombre a u na tasa de 5% anual, para tener $1.470.000a fin de año?
A) $70.000
B)$700,OOO
C) $1.400.000
D) $1.462.650
E) $1.540.000
23) Don Pepe recibe un sueldo mensual de $600.000 más un 5% de todas sus ventas si ellas exceden a
$1.000.000 y un bono 'especial de $50.000 si sus ventas exceden $2.000.000. ¿Cuánto fueron
'sus ingresos un mes en que vendió $2.100.000?,
A) $605.000
B) $650.000
e ) $655.000
D) $750.000
E) $755.000
24) Si el perímetro de un cuadrado se duplica, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
A) 100%
B) 200%
C) 300%
D) 400%
E) 500%
25) De' un curso de danza de 70 alumnas, un día asistieron sólo 49 alumnas. Ese día. el porcentaje de
ínasístencía fue de '
A) 21%
B) 30%
C) 35%
D) 49%
E) 70%
i .
I
66
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test W 7, PORCENTAJES 1
26) Una cantidad A aumenta a B .El porcentaje de aumento fue
A) 100B
A
100A
B) B
100(B-A)
C A
D) 100B
B-A
AB
E) 100
27) El 15% de un número es x. Por lo tanto, el 90% del mismo número es
A) 3x
B) 6x
C) 9x
D) 12x
E) 15x
28) Si a es el 150% de
b yb
es el 140% de c. entonces ¿cuál es el valor de e?
(1) a es igual al 20% de 1.
'(2)
a
es.el
210% de
c:
A)
1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C)
Ambas juntas.
1) y
(2)'
D)
Cada una 'por sí sola. (1) Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
29) ¿Cuál es el 32% de un número?
(1) Su 60% es el triple de su quinta parte,
(2) Su 45% excede
a
su 28%en 34.
A)
1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas. (1) y (2)
D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
3 O)
Dadas las cantid~des a. b
y
c; podemos, afirmar que a es el 25% de b si:
(1) e = 4a.
(2) e =b.
A)
l
por sí sola
B) (2) por sí Sola
C)
Ambas juntas. (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)
E) Se.requiere información adiCional,
RESPUESTAS CORRECTAS
67
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno d e Ejercicios, Matemática
Test N° 8: Porcentajes II
n Si el 32% de 50 es m y el 40% 'de 5 es n, ¿qué tanto por ciento es n de m?
A) 87,5%
B)
80%
e 800%
D) 12,5%
E) 700%'·
2) En una liquidación todos los productos están rebajados en un 20%. Si una persona paga $28.400 por su
compra, ¿cuárlto dineroahorró en la liquidación?
Á) $5.680
B) .$7.100
e)
$6.816
D) $6.500
. E) $6.100
3) .Un examen de admisiÓn a un. instituto profesional lo rindieron 1.250 personas, de las cuales fueron
aceptadas el 80%. Si el 20% de tos aceptados son mujeres, ¿cuántos hombres más que mujeres fueron
aceptados en el instituto? .
A) .50
B) 200
e
'450
D) 600
E) L050
4) Un libro cuyo costo fue de $6.400 se vendió en un cierto lugar en $11.200. ¿Qué porcentaje de utilidad
se obtuvo? .
A) 20%
B) 40%
e 50%
D) 65%
E) 75
5) Una persona debe realizar un trabajo especializado en 8 día s t rabajando cantidades iguales todos los
días. ¿Qué porcentaje del trabajo lleva realizado después de t día de trabajo?
A)
0,5%
B)
6,25%
e
.12,5 '
D) 25%·
El 50%
6) Una mercadería costó $m y se vende ganando el x%, ¿cuál es la ganancia?
A) ~
100
i
;
d·
i i
m
B)
IOx
i'
J ;'
x
e 10m
D)
1000m
x
E)
100mx
68
PRIMER EJE TEMÁTICO¡Test N 8, PORCENTAJES II
7) Un bus emplea 4 horas en recorrer x kilómetros. ¿Qué porcentaje del camino recorre en
15
minutos viajando con la misma rapidez?
A)'
0,5%
B) 6,25%
C) 12,5%
D) 18,75%
E ) 25%
8) Una persona percibe un' sueldo líquido mensual de $360.000 y logra ahorrar e15% de su sueldo. Si en
tres meses ha ahorrado $x, ¿cUál e s el valor de x?
A) StO.800
B) $18.000
C)
$24.0010
D) $36.000
E) . $54.000
9)
Enuna bolsa hay 36bolitas, entre blancas y negras. Si las bolitas negras corresponden al 75% del total,
¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderats)? .
1) Las bolitas blancas son 9.
lI)
Las bolitas 'negras duplican a las blancas.
III) Las bolitas negras son 8 más que las blancas.
A) Sólo 1
B) Sólo Ir
e) Sólo' III
D) Sólo Ir y III
E) Sólo 1 y III
10) De los s operarios de una fábrica,
h
son hombres . ¿Cuál es el porcentaje de mujeres que trabaja en
dicha fábrica?
(s -h)
A) -s-o %
B) (100 - ~) %
(100(S -
h
l .
C) , %
s
rOO(S -
h ) )
)
%.
h
. ,
E) (lOOh J%
s- h
11) Dos artículos se compran en.$60.000 y $80.000, respectivamente. Si a elloshay que agregarles eI18%'
de impuesto, entonces el preció to ta l a pagar es
A) $10.800
E) $14.400
e ) $140.000
D) $144.400
E) .$165.200
69
¡~
;¡/
~,
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática
12) Una mercadería se vendió en $m con p,% de pérdida, ¿euál fue el precio de compra?
100m
A--
100 -
P
lOOp
B) 10 _
in
100(100 - p]
e) -'-
,m
100(100 - m)
D) --
P
E) p+m
13) Dos descuentos' sucesivos del 10% son equivalentes a un descuento único del
A) 19%
B)
20%
C) 22,5%
D) 25%
E) 30%
14) Las dimensiones de un rectángulo son
8 0
m de largo por 50 m de ancho, Si el largo aumenta en
un 5% y el ancho disminuye en un 20%, ¿qué variación experimenta su área?
A) Aumenta en un 30% ..
B)
Disminuye en uri 25% ~
e) Aumenta en un 22,5%
D) Disminuye en un'16%
E) Disminuye en un 84% ,
15) Los tres ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 5 : 6 : 9, Si el ángulo menor aumen-
taen un 20%, el ángulo del medio permanece igual y el ángulo 'mayor disminuye en.11,IIL,%,
entonces la' razón en que están los nuevos ángulos es de '
Al 2: 3: 4
B) 1: 2 : 3
C) 3:3:4
D) 5: 9 : 4
E) 9: 2: 3
16) Si el radio de un círculo aumenta en un 100%, entonces .su área aumenta en un
A) 100%
B) 200%
e) 300%
D) 400%
E) 500%
70
PRIMER EJE
TEMÁ
rico T~st 8 ,PORCENTAJES II
1'7) En los últimos cinco años, el precio de un nuevo modelo de automóvil se incrementó en 30%, Si
se estima que el porcentaje de incremento para los próximos cinco años será el mismo, entonces
el porcentaje de incremento para este período completo de diez años será
A) 15%
B)
JO%
e) 39%
D) 60%
E) 69%
18) Si a 25 litros de una solución de alcohol al 20~ se le agregan 50 litros de agua, '¿cuál será el
porcentaje de alcohol en la nueva solución?
A) 5%'
B)
6t%
C)
10%
D) 13t%
E). 20%
19) Una tienda vende un reloj con una utilidad de un 25 % sobre el precio de costo, ¿Qué porcentaje
del precio de 'venta del reloj es la utilidad de la tienda?
A) 12,5%
B)
20%
C)
25%
D) 50%
E)
75%
20) El stock de un almacén disminuye su valor en un 20%, ¿En qué porcentaje deberá incrementarse
este stock para volver a su valor inicial?
A) 15
B) 20%
e) 25%
D) 30%
E) 40%
21) La población de un pueblo aumenta en 50% cada 50 años, Si la población en 1950 era 810
habitantes ¿en qué año la población era de 160 habitantes?
A) 1.650
B) 1.700
C) 1.750
D)
1.806
E) 1.850
7 1
PSU uaderno de Ejercidos. Matemáüca
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test N 8.. PORCENTAJES 1I
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 36/195
22) Una mujer compra lO cajas de tomates a un costo total de $80.000 . Si ella pierde 2 cajas, ¿a qué
precio 'debería vender cada una de las cajas restantes, para obtener una ganancia de un 25% del
costo total?
A) $10.000
B)
$12.500
C) $15.000
O),
$100.000
E) $120.000
23) Se deposita $100.000.000 a un 10% de interés simp le anual, ¿cuánto se podrá retirar al cabo de
5 años?' '
, 'A) $155.000.000
B)
$150.000.000
C) $145.0QO.000
O)
$140.000.000
E)
$105.000.000
24), Si la' arista de un
cubo
se duplica, ¿en qué porcentaje' aumenta su vol~men?
A) 100%
B) 200%
C) 400%
O)
700%
El
800%
. 25) ¿Qué capital se debe depositar a un 5% de interés compuesto anual para que al cabo de 5 años se
transforme en $ 66 .550?
66.550
A) s
(1,05)'
B)
$ 66.550 . (1,05.)'
/66.550
C) $ {J.05
(66.550)'
0)$ ~
66.55Q
E) ,$ ~
26) Un líquido se evapora a razón de un.5% cada diez minutos. De Ilitro de este líquido, ¿cuánto
quedará al cabo de una hora? ' ,
A l 700 cm'
',B) 750 cm'
C) 1.600' (0,95)' cm'
O)
1.000· (1,05)' cm'
E) 1000· (0,05)' cm'
7
27) Una persona ganó $480.000 al depositar un capital a plazo en un banco. Si retira '$15.480.000 al
final del período, entonces el tanto por ciento de interés pagado es
A) 32,2%
B) 31,2%
C)
7,4%
D)
3,2%
E)
3,1%
28) Una persona mantuvo un depósito de $100.000 un cierto período de tiempo, al término del' cual, retiró'
todo (su capital). Si el banco, le pagó un k% de interés compuesto anual después de agregarle un 12%,
al valor inicial del depósito por concepto del alza del costo de 'la vida, entonces el dinero que retiró fue
(1) El tiempo de depósito fueron 5 años.
(2)
El
~
de
IDO
es
6.
A) (1) por s í sola
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere' información adicional
29) En una figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de diámetro AB. Podemos
determinar qué porcentaje del círculo es el área del triángulo si:
(l)
El triángulo es rectángulo escaleno de hi potenusa 5 cm.
(2)
AC =
4
cm y
Be
=
3
cm.
A) (1) por sí sola
B)
(2) por s í sola
C) Ambas juntas; (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola,
(1)
ó (2)
E)
Se requiere información adicional
3O) ¿En qué porcentaje varía el volumen de un globo esférico que se está inflando?
,(1) El radio inicial era 10 cm,
(2) El radio final es 15 cm.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola,
(1)
Ó (2)
E)
Ser equiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
73
PSU. Cuaderno de Ejercicios.
Matemática
PRIMER EJE TEMÁTICO
Test N 9.: REGULARIDADES NUMÉRICAS
8/17/2019 Matemáticas UC
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CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS
Test N° 9: Regularídades numéricas
1)
El octavo término de la secuencia:
A)
10-
l
B) 10-
6
C) 10-
7
D) 10-
8
E)
10-
9
2) De acuerdo a la siguiente secuencia
1 ;0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... es
123
~,~,~
~ 2 ~ ' * '
7) La cifra de las unidades de 3 es
A) 3
B 9
C 7
D) 1
E) Ninguna de las anteriores
8) En la secuencia:
fig. 1 fig.2
fig. 3
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderats)?
l)m + n~20 .
1I).2p=q=12 8 .
.nn
El octavo térmirio es
t
6 24
A) Sólo. III .r .'
. B)
Sólo
1
yIl
. C)
Sólo
1
y III
D) Sólo II y III
E) 1, Il Y III
3) ~n la sucesión:
1 , 5 ,7 ,11 , 13 ,
a,
19.,
b , ... , los valores de a y
b
'Son, respectivamente:
A) 17 Y 24
B) 17y 23
C)
17 Y 22
D) 16. Y 23
E) 15 Y 21
4) En la serie: 8 , 2 ,-4 , -10 , . .. , el término que ocupa el lugar diecinueve es
A) -150
B) -100
C) 100
D) 150
E)
16.0
5) a' - a, a
2
_ 13., al -' 3a, son los tres primeros términos de una su~esión. Si a -2, entonces el
quinto término es
A)
-42
B)
-22
. C) -6.
D) 22
E) 42
6.) Escondiendo huevi tos de pascua, Juan oculta un huevo en un primer escondite; en el segundo, el
.'doble de huevos que en el primero; en el tercero, el triple que en el segundo; en el cuarto.. el
cuádruplo que en el tercero, y así sucesivamente, ¿cuántos huevos ocultará en' el séptimo escon-
dite?
A) 28
B) 120
C) 128
D) 720
E) 5.040
Para lo s a spectos
teóricos
de este conteoido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores P.A.A. y p.e.E. , se recomienda nuestro Manual de Prepara-
ción P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile , S exta Edición, Marzo de 2006.
74
. el número de puntos en la décima figura es
A 6. 3
B) 80
C)
99
D) 120
E 1 43
9) El término que ocupa el.noveno lugar de la siguiente secuencia es
J 2 2 2 J2
4,
4 J2
'A)
8J 2
B)
1O J2
Ó
16J 2
D) 32J2
E)
64J 2
En la siguiente secuencia de figur as formadas con palitos de fósforos, ¿con cuántos palitos se constru-
ye la décima figura? . .
A)2·
3'0'
B) 2· 3'
C)
2.3
8
D) 2' 3
7
E) 6
9
10)
»<
c
~
11 En la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, S, ... , cada término, a partir ctel tercero, se obtiene
sumando l os dos anteriores. ¿Cuál de los siguientes términos debe ser un número impar?
A) 21
B) 4S
C) 363
D)
44 2
E 6. 96
12) En la secuencia: 1,
-2,
3,
-4,
S, ... , la diferencia entre el ?écimo y el noveno término es
A) 19
B) 1
C - 1
D· -19
E) -20
75
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~i
PSU
Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
PRIMER EJE TEMÁTICO / BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
8/17/2019 Matemáticas UC
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~ ¡ ¡
, 1 '
ij
r
I
25) El quinto término de la s ecuencia: 10, 18, 34, 66, ... , es
A)
82
B)
98
C)
106
D)
114
E)
130
26) El término que ocupa .el lugar 10 en la secuencia: -0,6 ; 1 ,2 ; - 2,4 ; 4,8 ; ... , es.
A) 1.228,8
B)
307,2
C).-153,6
D
~307,2
E)-6l4,4
27) De acuerdo a la figura sig uiente,
x'
=
28)
A) 1
B 5
C)
625.
D) 5'
E)
1.024
¿Cuál es el término ubicado en el l ugar 30 de una secuencia dada?
(1)
Los primeros dos términos son 1
y '' '
. 2
(2) Cada término, a partir del segundo, se
7 15 6
1 3 ~ 1 l - - 3
x 8 12
1 4 ~ 1 \ Y
1'
2
10
encuentra sumando _ . . , al anterior.
2
A) (1) por sí sola
B)
( 2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola,
1)
ó (2)
E)
Se requi er e información adiciana
29) En la secuencia de triángulos de la f igura, podemos determinar el área del enésimo triángulo si cono-
cemos que:
(1) El primer triángulo. tiene lada 1 cm
y
cada siguiente triángulo tiene lado igual a la altura del
anterior.
(2) Todos las triángulos son equiláteros.
A) (1) por s í s al a
) (2) par sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2) .
D) Cada una par sí so la, (1) ó (2) '.,
E) Se requiere información adicional
30) Podemos determinar el noveno término. de una lista de números naturales si:
(1) Los números de la lista son cuadrado s per fe ct os.
(2) El primer número de l a l ista es l.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una pür sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS COR RECTAS
78.
1) Autor:
Título:
Editorial:
2)
Autor:
Título:
Editorial:
3)
Autor:
'Título:
Editorial:
4)
Autor:
Título:
Editorial:
5) Autores:
Título:
Editorial:
6)
Autores:
Título.:
Editorial:
7)
Autores:
Título:
Editorial:
Notas:
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
Primer Eje Temático
NÚlVillROS
y
PROPORCIONALIDAD
Álvarez Díaz, Eugenio.
Problemas de Aritmética.y Álgebra sobre temas de Mitología.
México, D. F., 1944, (*)
Baldar, Aurelio.
Aritmética Teórico-Práctica.
EditorialCódice
S,
A, Madrid, 1990.
D olc iani ,
Mar;,
P.
Matemáticas Modernas para escuelas secundarias.
Editorial Cultural. México, 1972.
Nichol s,
Eugene D.
Matemáticas,
Editorial Interamericana.
M éx ico
1977.
Petersen John
A. y Hashisaki, Joseph.
Teoría de la Aritmética,
Editürial Limusa Wiley, México; 1969.
'I'afemalcher, Augusto
y
Poensich, Ricardo
E lemento s de Matemáticas
Imprenta
y
Litografía Univer so . Santi ago. de Chi le ,
1911.
(*)
Taylor, Howard E. yWade, Thomas L.
Matemáticas Básicas
Limusa Wiley.
Mé xico ,
1971.
1) Los textos destacados (ennegrecidos) corresponden a literatura ¡natemática de autores chilenos.
2) Los textos destacados con asterisco
(*)
corresponden a libros fuentes , cercanas a nosotros, d e la información
matemática,
Comentar-ios sobre la bibliogr af ía matemát ica
Puesto que laMatemática es una disciplina internacional y universal, recalcamos nuevamente en este punto la
importancia que tiene una buena bibliografía para trabajar, .no necesariamente en
es pañol .vpu es
l os ejerc icios y
problemas de Matemática trascienden las barreras del idioma, del espacio
y
del tiempo. De esta forma, al colocar
bibliografía en otros idiomas y de otros tiempos est amos acercando alos alumnos y las alumnas estudiosas y, por qué
'no decirlo también, a nuestros propios colegas, al encuentro con las raíces de la disciplina misma. También los
estamos acercando a las fuentes del conocimiento y dernostrándoles con ello que, problemas que parecen ser muy
recientes, en realidad, son tan antiguos como la Mat emát ic a misma, El mensaje que pretendemos mostrar le o i ncul carle
a nuestros alumnos y a nuestras alumnas. es que ellos mismos deben ser capaces dé encontrar
y
-descubrir su propia
bibliografía, tal cual lo ha hecho uno de los autores, profesor Miguel' Ormazábal
D íaz -M uñoz .
Cabe hacer notar que
hemos indicado también, en esta bibliografía, una importante ~antidad de'literatura matemática chilena, literatura
'de la cual est amos muy orgullosos, por su alt o n ivel
y
cali dad académ ica, aunque lo pedagógico pudiese ser discutible.
En efecto, las diferentes formas de enseñar Matemática varían en el t iempo, según los lugares geográficos
y
según
sea el público a quien va dirigida la enseñanza,'supunto de partida o nivel de conocimientos previos, necesidades e
intereses, etc. Actualmente la Didáctica de la Matemática es toda una disciplina en la que trabajan los especialistas,
79
•..__ ~ _ ~
. .
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU Cuaderno de Ejercicios, Matemática
l.. 9'
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
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EJERCICIOS RESUELTOS
SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA YFUNCIONES .
1)
Óscar efectúa la división
( X 2 - 1):
(x -
1),
siendo x un número entero pos it ivo mayor que
1,
obten iendo . como resu ltado el binomio x
+
l. Para comprobar que el resultado anterior es correcto,
. Óscar podría: .
1)
efectuar la d ivisión entre el d ivid¡mdo
y
el cuociente para obtener el d ivisor
II) multiplicar el divisor por el cuociente 'para ob tene r el d ividendo
ID). darle valores numéricos para x a ambas expresiones, excepto para x =1
De las verificaciones anteriores, es(son) correcta(s):
A) Sólo TI
B)
Sólo
1 y
TI
C) Sólo. II Y ID
D)
Sólo
1
y III
. E) 1,. TI Y III
no ·está definida. Sea entonces, x
=
9. En tal caso, el primer miembro de la división (~) tiene
- x - 1
9
2
-
I 80· .
por valor: -. --
= - = ID
9- 1 8
Yel segundo miembro de la división ex
+
1) tiene por valor 9 .
+ '1 =
10
¡Son iguales , por lo tanto el resultado es tá comprobado.
A modo de ejercicio, compruébelo Ud. para otro valor numérico.
Luego II I es correcto.
Observaciones
y
comentarios:
Este es un ejercicio muy in teresant e po r su valor conceptual, ya que apunta a ·105 mecanismos' de
comprobación de una división
al geb raica,
Como se puede apreciar a través del ejemplo, los mecanismos
de comprobación son variados y diversos. .
Respuest a cor re ct a: alternativa
E
Solución:
2)
,El perímetro de un rectángulo es de
46
cm. Si el l argo disminuyeen
3
cm y el ancho aumenta en
2
cm,
.el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia entre el l argo y e lancho originales
es de .
Para comprobar e l cuocien te de una d iv is ión a lgebrai ca, excep tuando , por supuesto, l a .división por
cero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III s irven para tal propósito. En
efecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:
x
2
- 1
x
+I
ex
+ 1) (x'- 1)
x
1
=
x - 1, es decir, el divisor
La simplificación anter ior por e factor ex
+ 1)
está garantizada pues, por hipótesis, ex
* -1),
ya
que x e sun
núme ro
entero positivo. Luego , 1es correcto.
Ahora, si multiplicamos el divisor por el cuociente obtenemos, aplicando el producto notable suma por
su diferencia: . .
(x - 1) (x + 1) = x
2
1 , que ~s el dividendo
A) 5cm
B) 7cm
e)·
8cm
D) IOcm
E) 12 cm
Solución:
Este es eltípico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales,
. Sean lee y las dimensiones del rectángulo' original. Hagamos un dibujo de la situación, en los dos casos
a los que se alude en el enunciado:
--
- - v - - . /
x '
Luego TI es correcto.
Por último, si le damos valores numéricos a la indeterminada x enambos lados de la igualdad, también
podremos verificar que la divis ión está correcta. La única excepción es x
=
1pues l ad ivisión por cer o
82
.y
+ 2
y
~ - - - - - - - - - - ~~====~==~
x -
83
PSU. Cuaderno de Ejercicios.
Matemática
SEGUND O E JE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
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Nuestra primera info~ación es que el perímetro del rectángulo original es de 4 6 cm, con lo cual
nuestra primera ecuación a plantea r es: '
2
x
+ 2y = 46
(1)
3) El' trinomio de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a X2 + b
x
+
e
t iene como raíces o'
soluciones Xl = I Y x
2
= -1, siendo a > , O . El gráfico que mejor representa a dicho trinomio es:
A)
Ob~ervaciones y comentarios:
1
'E)
'Como se puede apreciar , e ste problema tiene una seri e de et apas para su resolución, las que deben
llevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.
De acuerdo a l~ segunda información del enunciado, el área del rectángulo es 'la misma en el primer
,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuación a planteares:
x
y =
( x
-r- 3) (y
+
2)
.Resolviendo los paréntesis y simpli ficando (hágalo Ud.), se obti ene la ecuación:
ix-3y-6=O
(2)
B)
C)
De las ecuaciones (1) y (2); formamos el sist ema de ecuaciones lineales:
2
x
+ 2 y = 46. },
2 X - 3y - 6 = O .
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incógnita x y se obtiene:
5 Y
+
6= 46, de donde:
y = 8
D)
Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuacione s del sis tema , po r e jemplo en (1 ), obtenemos
x = 15.
De tal modo que hls dimensiones del rectángulo original son:
x
= 15 cm
e
y
=
8 cm
y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es:
x -
y =
,15 cm - 8 cm
=
7 cm
Respuesta correcta: alternativa B
84
x
x
x
X'
x
85
PSU. Cuaderno
Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE T EMÁTICO I Ejercicios Resueltos
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Solución:
Si el trinomio dado tiene como raíces o soluciones
XI = 1 Y
x
2
= -1,
entonces significa que su
gráfica - que es una p ar ábola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los números dados'
~I Y 1,
ubicándolos de izquierda a derecha en la rec ta numérica, respectivamente.
Ahora bieri, como~nel enunciado se nos d ic e que a >
O ,
entonces las famas de la parábola abren
hacia arriba (parábola sonriente o, como se dice en lenguaje técnico, cóncava hacia arriba).
,Finalmente, la ecuación del eje de simetría de la parábola está dada por:
Xv
XI +
x
2
2
-1
+
l
2
O
Esto nos dice que el eje de sime tría de la parábola es el eje
Y .
De acuerdo a 10an terior, la opción que responde a todos los requerimientos anteriores es la C.
Observaciones
y
comentarios:
[
Este es un típico problema de encontrar la parábo la que mejor representa a una c ie rt a función cuadrática,
dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo de
gráficos. '
,Si se sigue el análisis de la situación , paso a paso, e lp roblema no ofrece dificultad alguna.
Respuesta correcta: alternativa
e
4) Se da la función logarítmica y = f(x) = log x. Con respecto a ella se plantean las siguientes
igualdades:
1 )
f(l)
= O
ll) f(2) + f(5)
=
f(10)
llI) f(2) •
f(5)
=
1
De la:s,igualdad~s anteriores, es(son) cor rectaís):
A) S610 1
B) Sólo 1 yIL
C) ,Sólo II Y III
D) Sólo 1 Y III
E) 1, II Y III
86
Solución:
Veamos la validez de cada una de las tres opc ione s que se nos ofrecen:
1) f(l) = log 1
=
O , pues, de acuerdo a la definición de logaritmo se debe cumplir que: 10°
lo cuaÍ es correcto. Por lo tanto,
1
s verdadera. '
1,
Il) f(2)
+
f(5) = log
2 +
log 5
log
(2 •
5), según la propiedad del logaritmo de un producto
log 10, efectuando la multiplicación
1, pues,por definición de logaritrno se debe cumplir que: 10
1
=
10, lo cual es
correcto. Por lo tanto, II e sverdadera.
III) f(2). {{S) = lag 2 • lag 5
Ahora bien, como la función logarítmica es creciente, es~o es, s i X e
y
son números reales positivos tales
que
x < y ~
log
x <
lag y , 'entonces podemos aprovechar este hecho para e st ablecer la s iguiente
'desigualdad. Puesto qu e 1 < 2
<
10 ~ log 1 < log 2< lag 10, es decir: O < log 2
<
1. Por lo
tanto, ellogaritrno de dos es un número real comprendido entre cero yuno. Análogamente se puede
demost rar (hágalo Ud. ) que e llogaritmo de cinco también es un número rea l comprendido 'entre cero
y ,
uno. Por consiguiente, hemos demostrado las dos desigualdades siguientes:
O <
log2
<
O <
10g
5 <
}
Multiplicándolasmiembro a
m iem bro ,
tenemos que:
O <
10g.2 • log 5, <
1 ,
lo que nos indica que
el producto de ambos logaritrnos es un número real comprendido entre cero y uno, pero en ningún-caso
es igual a uno. Por lo tanto, III es falsa.
Obseryaciones
y
comentarios:
Este es un ejercicio int egrador, pues combina el.tema de las funciones, específicamente su lenguaje
operacional, con el tema de los logaritmos. La s t resopciones son directas, a excepción, probablemente
de la última (IlI), pues allí se trata dedemostrar que la igualdad es incorrecta, mediante consideraciones
referentes a desigualdades y , obviamente, sin el conocimiento numérico de los logaritmos.
Respuesta correcta: alternativa B
',87
PSU. Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
{f
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 1, LENGUAJEALGEBRAICO I
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CAPÍTULO 1. IN'tRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAleO
, Test N 1: Lenguaje algebraico 1
TIEMPO M,>Í.XIMOPARÁ
CADA TEST: 1 HORA
1) El 'número de términos de que consta la expresión algebraica -7x' + 5y + 2z es
A) 7
B) 5
e}
3
D} 2
E)
2}El valor numérico de la expresión': -7a'b', si a = -1 Y b = 3, es
A) -63
'B)
-21
e
o
D),21
E)
63
:3 )
Si a = 2, b
=
,~4 Y e
= -1,
e l v alor numérico de la expresión a'b + be - 5c' es
A) -17
B) -15
C), -9
D)
- 7
E
17
4) Si x = -2, .el valor de la expresión (x - 3x
+
2) :
r s -
6:c
+
x') es
A)-2
B)
O
C
D) 2
E
4
5)
Si
C,= -3
y d ='10, entonces el valor
de
la expresión _c'_
+ ~
es
, c+rí d-c
A) -3
B -1
C) O
D) I
E) 10
6) Si a, b y e son números reales tales 'que a + b + e = O, entonces el valor numérico de la expresión
a b
c a c
b
- + - + - + '- + -, + ~ es '
b e
a e
b
a
A) -3
B) -1
C
D)
3
E) 6
,7) Laexpresión 9(2a, - 3)' es equivalente a
A) (18a - 27)'
B)
36a' - 81
C
12a'
+
81
D)
36a'
+
8.1
E) (6a - 9)
8) La cuarta parte de (8z
4
+ 4) es igual a
A) '2z' + l
B} 2z' + 1
C)
2z'
+ 4
D)
2z'
,E) 2z'
9) Si un automóvil ha recorrido (x
+ 1)
Km en a horas, ¿cuál es su rapidez promedio, en kilóme-
'tras/hora?
A)
(x
+ l)a '
B
x-l
-
a
x+l
C) -
a
D) ~
x+l
a
E)
x-l
10) La sernidiferencia entre 3a + 4b Y a - 2b es
A) 2a + 6b
B)
a +
3b
'C) a s- b
D) a + 2b
E) 4a
+
2b
~ I M
c.
PSU. Cudderno de Ejercicios. Matemática
r
SEGUNDO EJE TEMÁ TIeO
I
Test W l. LENGUAJE ALGEBRAICO 1
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 45/195
,11 ,3
11) Al reducir términos semejantes en - -a + -b + 2a - 3b - -a
, . 2 3' 4
ne como resultado
, 3 ',17 1
A) - ¡a-
(5b
+ ¡
B)
< }
17 1
-a - -b+ -
464
~a
-~b + ~
464
~a.:17b_~
4 6 4
1 ,3 1 ,
-b
+
-4 ' - 2 . ' '
se
obtie-
6
15) Sia,byc E IR,entonceslaexpres'ión: a'''':' b{b+c[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)J} es equi-
valente a
A)
a ,
B)
2b'
C) a
+
b
D) a -
b
2
El O
16) El valor numérico de la' exp re sión a'(b' -
e )
+ b
2
(c' - a') + c
2
(a -
b') sab iendo que
a
-8,
b = 9 Y
e
=
10 es
A) O
B)64
C)
,81
D) 100
E)
152
17) Si le restamos 6a
+
5b a la suma de 2a
+
9by 3a - 2b, la diferencia será
A) 5a
+
7b
B) a
+
2b
C) 2b- a
D) b - 2a
.E )
2a +
b
18) ¿Cuál es la diferencia entre 3z' - 2z + 3 Y 2z' - 3z?
A) _Z2 - Z - 3
B)
5z
2
- 5z
+3
,C)'
z'
+
z +
3
D) z,
+
z - 3
E)
z' - z +
3
19) (-2x:y')(3x'y')' =
A)
18x'y'
B) ,-18x'y7
C)
-18x'y6
D)
36x'y7
'E) 36 )[6
y
10
20) El producto de los binomios (4x - 3y) Y (2y + 5x) es
A)
20)[' - 23y'
B)
20x' + 7xy- 6y2
C) 20x' - 7xY - 6y2'
D)
20x
2
- 7xy
+
6y'
E) 20x' - 6y'
91
e
D)
9171
E) -
-a-
-b
< 1 - -
4 ,6 4
12) 5+5,[2-4(x-6)1=
A)
65 - IOx
B J
-115 - 20x
e)
-220 - 4x
D)
260 - 40x
E),
135 - 20x
13) x(x + y)
r-
y(x - y) =
A)
(x
+ y)(.x - y)
B)
'y2 _
x'
C)
x' - 2xy +
y'
D) x + 2xy _ y'
E)
x
+ y
[
, 1 ]
14) ~,-3(a-b) + '3(-6a-9b)=
A)
2a
+
3b
B) 5a
e a
D)
-a
E)
-5a
90,
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
~<
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N
i,
LENGUAJE ALGEBRAICO 1
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 46/195
21) Para que (y - 3) sea un factor del trinomio y2
+
2y
+
e, el valor de e debe ser
A) -15
B ) O
C) 5
D) 8
E) 15
22) ¿Para qué valor
de k,
(x
+
4 ) es un factor del trinoniio x
2
+ kx -
12?
A) -4
r
B) -3
C) ~2
D) -1
E) 1
23) Al dividir (x' - 81) por(x - 3) se obtiene
A) X
2
+
3x
+ 9
'B) x' +3x
2
+
9x
+
27
,Cl x' - 3x
2
+ 9x - 27
D) x
2
+ 6x + 9
'E)
x + 27
24) El rest o o residuo que resulta al efectuar la div isión (x
5
+
243) :'
(x
+
3) es
A) -243
B) ~8.1
C) O
D) 81
E) 243
25) El' área de un cuadrado es 4x
2
'- 12x + 9.. Si cada lado se aumenta en 2 unidades, ¿en cuánto
. aumenta la superficie del cuadrado? .
A) 8x + 8
B) 8x - 8
C) .Bx
D) 8
E)
-8x
26) Si la longitud de un
rectángulo
es (38 + 2t)
Y
su perímetro es (lOs + ót), entonces el ancho del
rectángulo está representado por:
A) 2s
+
t
B) 7s
+
4t
C) 4s
+
2t
,D) 3,5s
+
2t
E) 2t
+
s
92
27) Sea x
>
5 un número real positivo y supongamos que (x? - 25) representa el área de un rectángu-
lo, siendo (x
+
5 ) uno de los lados, El otro lado está dado por
A) x + 5
B)
x -
5
C) x
+
5
D) x - 5
E)
x -
125
28) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a
2
bo,siendo a y b distintos de cero?
(1) a
=
10
(2) b
=
5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1)
y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se ~equiere información adiciona l
29) ¿Cuál es el grado de la expresión a lgebr aica : xmy yP?
(I j m
e
n s-p.
(2)
n
+'p
=
3,
A)
(I)
por sí sola
B) (2) por 'sí sola
C)
Ambas juntas,
(1)
y (2)
D)
Cada, una por sí sola,
(L)
ó (2)
E) Se requiere información adicional
30) En una biblioteca hay 180 libros, de los cual~s 3n 10 son de Física
y'
3n - 5 de Biología .
¿Cuántos son los restantes?
(1) Hay 15 libros más de Física que de Biología.
(2) n = 3,
A) (1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas,
(1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola,
(1)
ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
93
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 47/195
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
.~~
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, LENGUAJE ALGEBRAICO I I
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 48/195
1O)2p - [ q - (p - 2q) ]
=
A) 3(p
+
q)
B)
2(p -
q)
e) 3(p - q)
D)2(Pfq)
3
E) -
2
11) 3y' - 5y - 2(1 _ Y + y')
A)
5y'
+
7y - 2
B)
y +
3y - 2
e) y' - 3y - 2
D) 3y' - y - 2
E) 3y' - y
+
2
12)1 - { -1 - [1 -
x - (-x +
1)])
=
A) -2
B) ':1
e o
D) 1
E) 2
a
-
, 13) S abiendo que a '= -4
y
b
=
8,entonces _b_
=
a b,
- +-
b a
A) -5
1
B) 10
e
1
5
14)
Si 4x - '3 = '2x
+ 5,
¿cuál(es) de las siguientes expresiones esíson) igual(es) a
16?
I) (2x - 4)
II)
x
III)
x3 _ 4x + 16
A) Sólo I '
B) Sólo l Y II
e) Sólo l y III
D) l, II yIII
E) Ninguna,
a .a .
15) Si
b =
e ~ b
= ti
siendo b, e
y
d distintos de cero entonces se verifica corno correcta la
relación
A) e =-d
B) e
=
d
e)
e
= bd
D) b = cd
E) d=b+c
3a
2
b
8
16)
El producto entre --
y - es
2
ab
2
A) 8a
b
24a
B)
-
b
3a
e)
b
b
D) -
12a
E) 12a
b
17) En la multiplicación de monomios axm
y
3 , x'y
mente
ax
8
y
9
Ios valores de m y n son, respectiva-
D)
2
5
A) 2 Y 3'
B) 2 y , 6
,e) 4 y 3
D) 4 Y 6
E) 6 Y 4
97
E)
1
2
96
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 49/195
18) Si. P(x) = 2x - 1 Y Q(x) =. 1- 2x, entonces P(x)· Q(x) =
A ) O
B) 4x
2
- 1
C)
-4x
2
-
1
D) -4x
2
+4x - 1
E) 4x - 4x + 1
19) ¿En qué se.transformala
expresión
(a - x)a +
bx
si x,= a +
ab s- b ?
A) a''':' b
B)
a
+ b
e)
a
r»
b
E) á b
20} La. suma de tres números naturales consecutivos
es
3n. ¿Cuál es el producto de los dos números
extremos?
A) n -.n
,B) n - n
C) n -l
D)
n - 1
E) n +
n :
21) l+x+ic
2
+x
3
=
I) (1 + x)(l + x)
A)
Sólo
1
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D) Sólo 1y II
E) Sólo II yIII
II)
l-x
l- x con x
t
1
III)
(1 -
x)(l - x')
m
22) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a -; siendo n.;t O?
A)
m+I
n+l
B)
m-l
n-l
C)
2m~1
2n+l
D)
2m
-
2n
E)
( : r
·23) Si
e t
O , entonces la fracción a - b es equivalente
a:
- c
A)
a +b
e
B)
b - a
e
C)
_ b - a
e
D)
b +a
- c
E)
l : J - a
- c
24) Si Ignacio tenía (y-
10)
años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 años
con respecto a su edad actual?
.A)
y -
20
B) y-ID
C Y
D) Y
+
10
E) 10y - 10
98 99
.._- -- ...•---~---
,):
t.
PSU. Cuaderno deEjercicios. Matemática
. ¡ :~ ,
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test W 2, LENGUAJE ALGEBRAlCO
ti
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 50/195
:1
iJ
'j
, ¡
~ i
11 '
:1
,
:: i
'1
,
;i
~ J
~~
25) Si X
;t.
z,entonces - x- y es equivalente a:
x-z
-x-y
A)
z-x
-x+y
E)
x+z
x-y
C
x-z
-x+y
D
__ o
-x+z
E)
x- y
z - x
26) El valor de 5x-2y 5y-2x
~-~es,
A)
5x 4y
3z
E O
, 7x-3y
C) --
3z
D) 7x+3y
3 z
E)
7x-7y
3 : i
27) Si P representa un número par, ¿cuál es 'la expresión simbólica que corresponde a la razón entre
el
sucesor par y el sucesor impar de p?
I
A)
E) P
C) P
+
3
p+l
D) -
p+2
E) p+2
p+l
100
28) Se quiere determinar si el valor de x en la ecuación x
+
a
=
b es un entero positivo.
(1) a y b son enteros positivos.
(2)
a
ybson
enteros y b
>
a.
A) (l)
por sí sola
B) .(2) por sí sola
C) ,Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (l)ó
(2)
E)
Se requiere información adicional'
29) ¿Cuál es el valor de m
+
2n?
. (1)
m
-2p
23,1
(2) n
+
¡i = -44,08
A) (1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
30)
¿Es x
2
- y2
=
X +.y ? _
(1) x e y son enteros consecutivos, s iendo x > y.
(2)
x =
y
+
l
A) (1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) ,S:ada una por sí sola, (1) '6 (2)
E)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
101
PSU. Cuaderno
de
Ejercicios,
Matemática:
CAPÍTULO 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS
í
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 3. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 51/195
Test N° 3: Productos notables, factorización
y
fracciones algebraicas
x _y (x-,y) ,
1)
Si
x
* - y, entonces el valor de -- + --- ~
(x -
y)
, , x-y x-y ,
A)
x - y
B) x + y
e) -x
+
y
x- y
D) --
x+y
E) 2x+ y
2) Sabiendo que x + ~ = 3 ; entonces x + J.
x
x
A) 27
. 8
18
C)
9
D) 7
E)
2
\
3) Al factorizar totalmente la expresión al
+
a'
+
b
l
- b' se obtiene
A) (a
+ b)(a' + ab +
b'
+ a
+
b)
B)
(a + b)(a' - ab + b' + a - b)
e) (a-
b)(a' - ab
+
b'
+ a...:
b)
D)
(a - b)(a' + ab + b' + a - b)
E)
(a - b)(a' + ab + b' + a + b)
4) Un factor común a 'x' - 3x - 54, x' - x - 42 Y x' - 2x - 48 es
6) El máximo común divisor (rn.c.d.) de las expresiones algebraicas siguientes: (x
+
2), (x' _ 4) Y
(x' - x -
6)
es:
A)
B) 2
C)
x -
3
D)x +2
E) x - 4
X12 _ 12
7) Siendo x * y, el cuociente ~
x -y
A) x'
+
y
B) x + x'y' + y'
e) x - xy
+
y'
D) x' - x'y'4 _ y'
E) x - y
8) ¿euál(es) 'de las siguientes fracciones es(son) equivalente(s) a la fracción ~, y
* - O?
, y
1 )
mx
-, con m e O '
.rny
A) x + 6
B) x - 9
e)
x
+
7
D) x - 8,
E) x - 5
H
mx + nx ,
---- , con mx +
n* -O
rnxy +ny
5)
Un binomio que d iv ide exactamente a x' - 2x -
15,
Xl
+'
27
Y
x' -
9
es
A)
x
+ 3
B)
x -
3
e)
x
+
5
D) x-S
E) x - 9,
102
, III)
mx+ny ,
my + nx (m
*
O Y n O )
A) Sólo I.
B) S610 H.
e)
S610 III,
D) S610 1
y
H,
E) S610 1
y
III.
9)
S·
f
1
f
'6 5z+ 8y , , 1 denorni 'l
setrans orma a racci n --- en otra equivalente cuyo enorninador es e' trínomio
4z-5 '
12z - 19z + 5, entonces el numerador de esta última es
A) 15i - 5z - 24y + 8
B) 15z' + 5z + 24yz - 8
e) 15z' - 5z + 24yz - 8y
D) 15z' - 5z
+
24yz + 8y
E) 15z' + 5z - 24yz - 8y
e
103
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 52/195
PSU. Cuadernode Ejercicios, Matemática
17) '¿euál(es) 'de los' siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x' +
t'
para completar el
I I D' I ' ,p o
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 3, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS
8xy
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 53/195
'1
1 1
1
, 1
desarrollo del cuadrado de, un binomi o?
1) -4x
2
H) 4x III) 4x2
A) Sólo L
'B) Sólo H.
C) Sólo III.
D) Sólo 1y IIt
E) Sólo I y III.
1-
x
-- + 1
18) Al simplificar la fracción compuesta ~~~' se obtiene
- -'1
l+x
A)
-1
1
.B)
--
l-x
1
C)
--
X
2-x
D)
-
-x
.l=x
E)
--
l+x
x+1
x-l
--
---
19)
Simplificando la fracción compuesta x
1'1
x + 1 obtenemos
1
-- +--
x+l
x-l
A) 4x
B) 2x
e) 2
1
D)
-
2
E)
X ,
1 6
20 )
La fracción 3 3 (con xy
'# O );
reducida a su mínima expresión es
4x y+4xy
2xy
A) x2y+xy2
B)
xy
2
e), x+y
2
D)
x
2
+y2
2
E) X-y
X\2
_x
2
y
21) Al simplificar la expresión
6 •
,con x ' y obtenemos
x
-y
x2y2
A) (x
2
+xy+y2)(X
2
_xy+y')
y .
B ~
x
y
C)
x-y
D), xy
(X2+ xy+y2 )(X2 -xy + v )
E)y -
x
1 7
rso. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
22)
a + b
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 3. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZAClÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS
5
3 ( '
z
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 54/195
a
3
+.b
3
- (a+ b)
A)
1
-
3ab
1
B
2a +ab+2b
2
1
C
2a ~ab+2b
D)
1
--
3ab
E
1
--
2ab
23)
:3
2
2
----+--
y+l Y
+y
A
y- 4
y +y
5y.+4
B- -
y +y
y+-4
• .
C
y +y
3
D)
y +y
1
E
y +l
24) P p+2) .4+2p
lOp . ,._p-
A) p+2
4
B) (p+2)3
p'
C)'p+2
D)
(p+2)' :4(p+2)
2p ,
p+2
E) 4p'
(
X -1) ( 2x-1 )
25) ~ : x.j.2x+l. =
2x - 1
Al 2x' _ 1
B)
x -
1
2x - 1
C x-l
',D) _x
2
E)
x '
108
a
3
b
'
,
26) _-_ a -ab+ b
a
+
b
3
a-b·
2
A).a+ab+b
a+
b .
. B)
a
2
-ab+b
a-b
.C)
a
+ab+ b
a-b
D)
a
2
-ab+ b
a+b
E
109
PSU. Cuaderno deEjercicios, Matemática
)S
'1 f ió 2x'+8x+6, ival denomi d
~.
SEGUNDO ErE TEMÁTICOrres, N
4,
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
CAPÍTULO 3, ECUAeIONES DE PRIMER GRADO O LINEÁLES y PROBLEMAS VERBALES
8/17/2019 Matemáticas UC
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27 l a racci n es equiva ente a otra. cuyo enomma or es
, x+3 . ,
rador de la segunda fracción?
A) 2x' - 6x - 8
B) x, - Sx + 8
c) x' - 3x
D) 2x'-16x + 5'
É)
2x'
t
6x+
4
( < ' + 2), ¿cuál es el nume-
28) ¿Es x' igual a xy?
. (1)
x' -
y =
(x
+
S)(y- 5)
(2) x = y
A) (1) por sí sola
B) (2) por .sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) Se puede determinar el valor de la fracción xy - 3x +y -
3
si se sabe que:
' 'xy+2y-3x-6
(1)
x =
1
e
y 3
(2) X;é -2 e y =4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí .sola
C) .Ambas juntas, (1), y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30) ¿Es (m - n)' = m' + n'?
(1 ) m = O
(2)
n=
O
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
110
Test
N° 4:
Ecuaciones
de
primer grado y problemas con ennnciado verbal
, 1) ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones esíson) de primer grado en x?
I)
(x
+ 7)' =
(x
+ S)(x + 8)
H) (x - 3)' = (x +9)(x- 9)
III) (2x + a)(x - ~) ; x(2x - a) _ x'
A) Sólo L
B) Sólo H.
e) Sólo III.
D) Sólo I
yn.
E) I, H Y
ur .
3 .
2) Si 1 - - =. 9; entonces x =
x' .
A)
9
2
2
B) - 9
3 '
e)
- : 8
8
D)
-
3
9
E)
-
2
3). ¿Para qué valor de x la expresión 5(x - 3) - 4(x - 2) es igual a cero?
A) 2
B) 3
e)
4
D) 5
E) 7
4) ¿Para qué valor de x se tiene que las expresiones (x + l)(x + 2) Y (x - l.)(x - 2) son iguales?
A) -2
B) -1
e)
O
D) 1
E) 2
111
i
pspo
uaderno
de
Ejercic ios J~atemálica
5) Dada la ecuación en
x :
(0,222 ... )
x +
0,777 ...
=
(2,333 ... ) x. El valor de
x
es
SEGUNDO EJE TEMÁTIcorrest N 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
2
8/17/2019 Matemáticas UC
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___ • _ __ -o dWi
A)
7
19
B)
2
3
C
3
4
'
D
8
15
E) no se puede determinar'
5x - 4 ; entonces el valor de x es
5x
6) Si 10 ..., 7x
6 +; 7x
A) 56
B) 35
C
11
D)
7
E)
3
7) Si
a
bson números reales, se tiene la ecuación en la incógnita
x:
ax + b bx + a, Con respecto
a ella es correcto afirmar que:
1) Si a
;t
b, entonces l a ecuación tiene por única solución x
=
l.
II) Si a = b, entonces la ecuación es una identidad que se verifica para todo x real.
lII)
Si x
=
1, entonces la ecuación es una identidad que se cumple para todo a
y b.
De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s):
A) Sólo 1y n.
B) Sólo II y lIl.
C) Sólo 1
y
III.,
D) 1, II Y III.
E)
Ninguna de ellas.
8) El conjunto solución de la ecuación l-x
x-I
-1 es
A) [-1 }
B) [1}
e) IR
D) IR - [ 1 }
E) l
2
9)
Alresolver la ecuación ~
.-(3 -
0,6)
2,
5
0,1
(0,1)' _ 1 ' se obtiene. x =
A)
11
4
B)
11
4
C)
4
11
D
4
11
E) Ninguna de las anteriores.
S' P
0)
1-
q-x
A) 2
B)
P - q.
C)
p+q
'q
--, entonce s si endo p
;é
q, el valor de x es
p-x
D)
p'+
q
, p-q
E)
p'+
q
p+ q
(
,
11) Dado que ~
p
A)
q-h
B)
q(l ~ ;)-
C q
D) q(l
+ ;)
b
E) 'q - '---
a -
a
b ' O . .
+ -, cona e .-p
;t °
y q ;é O, entonces al d espejar la variable p resulta p =
q p
113
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
12) Si
n '
O Y
n '
1, entonces el valor de
x
en la ecuación
. . +
_n_
x + n es
,j}
SBGUNDO EJE TEMÁTICOrrest N 4, ECUÁCIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIAD~ VERBAL
, 5x-7
,16) Dada la relación
y
= --,_
4
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n n+ x
nx
3x+4
A)
x
4y
+ 7
5-3y
B) x=5y+7
4-3y
e) x = 4y-7
5+3y
D)
x= 5y-7
3y+4
E)' x =
4y+3
5'1+7 '
con x ' -- al despejar x en términos de y se obtiene
3
17)
La diferencia entre el quíntuple del sucesor de a
y
el antecesor del cuadrado del doble de
b,
corresponde aIa expresión
A) Sea
+
1) - [(2b)' - 1]
B) e a + 1)- [2(b - 1)]'
e)
Sea
+
1) - (2b - 1)'
D) 5(a
+
1) -
2(b' -
1)
E)
e a
+ 1) -
2b'-
1
18) La diferencia entre el cuadrado de un número x, y el semiproducto de él con su tercio es igual a
j
115
~
N~
2
x
'B)
-
6
~2
~~
I
2
=3
x
D)
-
3
2~
m~
A) n
1
,- B) '2
n
,~ 2(n-l)
r
D) n
2
-1
E)
n
n= -I
13) Si a
y
b son números reales, la ecuación 3x - 5 + a = bx + 1 tiene una única solución para x,
A) Cualesquiera que sean los números a
y
b
B) Sólosi a 7 2b
e) Sólo si a ' 6
D) Sólo si b 7 O
E) Sólo si b 7 3
14)
Siendo a
y.
b números reales con a '
O ,
b '
O y
a '
b,
el conjunto 'solución de la ecuación
J
i
j
x x
a
-+--=--es'
a b-a b-a
A) {O}
B) {1}
e
{ ~ }
D { a
2
b_a
3
}
) ab-s b' ,
E)
I'l
15) La solución de la ecuación 2,/ x / - 8 = -/ x /
+
1 está dada' por:
1) x =-3
1I)
x =-2
A) Sólo I.
'B) Sólo H,
e)
Sólo IlI,
D) Sólo 1 y H,
E) Sólo 1 y IlI,
114
PSíl Cuaderno deEjercicios. Matemática
19) Si a es un número real positivo, la expresión aJi puede interpr,etarse geométricamente como:
' ¡ '
;i
,
SEGUNDO EJE TEMÁTlCOrrest N° 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
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2 .
1 ) El lado del cuadrado inscrito en un c írculo de radio ~
2
II) La mitad de la diagonal de un cuadrado de lado a .
1Il) La longitud de un cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuya.hípotenusa es a .
A) Sólo
rr.
. B), Sólo 1 y Ir.
C) Sólo 1I y lII.
D) Sólo 1
y
lII.
E) I, n y IIL
:j
20) Si e y b son números reales positivos, con e > b, la expresión lc ~ b' puedeinterpretarse
verbalmente como:
La ra íz cuadrada de
-la
diferencia entre 'los cuadrados de
e
y
b .
La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre e y b.
Un cateto de un trián~ulo rectángulo cuya hipotenusa es e y cuyo cateto conocido es b ,
Sólo t.
Sólo n.
Sólo III.
Solo 1 y,IIL
Sólo II
y
1Il.
El enunciado: el cuadrado de la suma de los núm er os e y
d
aumentado en el cuadrado de la
diferencia entre los mismos' números es igual al doble de la suma de los cuadrados de .escs
mismos, números , se expresa ,por
F ~
n
1 :
1I)
: 1
U n
: 1
A)
i
B)'
,
q
I.
D
i .
m
. 21)
A) (e + d') + e
i
d') = 2(2{; - 2d)
B)
(e
+ d ) +
(e -
d ) = 2(c + d )
C) (e
+
d)
+ (e -
el )
= 2(c'+
d )
D)
(e
+ d)
+ (e
-d)
= 2(c
+ d)
E) (e + d)' + (e - d)' = 2(e' +d')
Si al doble de mi edad 'actual le resto el. triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual,
Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?
A) 3(x ., 6) - 2x = x
B) (3x - 6) - 2x=
x
C) 2x - 3(x - 6) =
x
D) 2x - 3x - 6 = x
E) 2x - 3x + 6 =x
22)
116
23) La expresión
J :
(b - a)' puede decodificarse como:
A) La raíz cuadrada de la diferencia entre el recíproco del cuadrado de e y el cuadrado de la
diferencia entre b y a ..
.B) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de .c y la di ferencia entre
b y a.
C) La raíz cuadrada de la diferencia 'entre el recíproco del .cuadrado de c y la diferencia entre
los 'cuadrados de b
y
a.
, ,
D) La raíz cuadrada del recí proco de l a diferencia de ·10s cuadrados entre e y la diferencia
entre b y a. .
E) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de c y la diferencia entre
bya. .
24) El enunciado:
a
la tercera parte dei antecesor de un número natural n se le suma el sucesor del
mismo número dado y se obtiene el exceso del doble del mismo número original sobre 2 , se
expresa matemáticamente por:
A)
~ - 1
+ ~ +
1
= 2n - 2
3
3
B)
~ + ~ +
1
= 2n - 2
3
C)
~ + ~ +
1
= 2 - 2n
.3
3
D)
~ + n
+
1= 2 - 2n
3
E)
~ + n
+
1 = 2n - 2
3
25) Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho está encerr ado por x metros de cerca
para protegerlo. El área en términos de x es:
'
A)
2
B) 2x'
2X2
C)
9
x
D)· 18
x
2
l
E 72
117
PSU. Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
26) Si la ganancia que se obtiene de la venta de un artículo que cuesta C pesos y. se vende en S pesos
. .
~
SEGUNDO EJE TEMÁTICOrresl N' 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
29) Si x e
y
son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?
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1 .
es G
=-
e, entonces la ganancia está dada por
n. .
1
A) G = _ .- S
n-1
1
B) G = -
S
n
C) G = _n_·S
n+ I
D) G
=
_1_
S
n+1 .
E)
G= ~S
n-1
27) ¿Cuál es el número de tus discípulos? se le preguntó un día a Pitágoras. La mitad, respondió él,
estudian Matemáticas, un ·cuarto· los misterios de la N at ur aleza , un séptimo medi tan en s ilencio. y
además hay tres mujeres . ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? .
A) 3
B) 7
C) 14
D) 21
E)
22
28) ¿Es x +
y
+ z = l ?
(l)x+y=l
(2) y
+
z
=
1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó m
E) Se requiere ·información adicional
, .
118
(1) ~ = 2°
Y
(2 )
2x+2y
= O
4
A) (1)
por sí sola
B) ·(2)
por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
30) ¿Cuánto .tiempo demoran Susana y su madre en pin tar una muralla?
(1).
Susana, trabajando sola, pinta la muralla en
3
horas.
(2) Su madre, trabajando sola, demora 4 horas.
A) (l) por sí sola
B) (2)
por sí. sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola,
(1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
119
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VERBAL
. Test N° S: Problemas' de planteo con ,enunciado verbal f
·
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 5, PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO'VERBAL
~ 6).L,ili,~,¡, , d, pO; 0' ,ci, re 1,di , 00;; po, '= . Sil. di , ·
cia total recorrida por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió el camión?
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1) Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos años
estarán enla razón de cinco es a dos?
¡
A) 8
B) 10
C) 13
D) 15
E)
Nunca'
2) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. El producto entre el menor y el
,mayor es . '.
. A) 195
B)
221
C) 323
D) 3,57
. E) ~99 ,
3) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18° más que 'el ángulo menor. ¿Cuánto mide el
ángulo exterior basa]'?' .
A)
48°
B)66°
C) 114°
D) 132°
E) , 144°
4) Entre Susanay Roberto forman una sociedad. De las ganancias,' Susana recibe Sm más que
Roberto. Si u p día ganaron $n, ¿cuánto le corresponde a Roberto?
A)
600 Km
B) 450 km
e) 250 km
D)
150 km
E) ·100 ,km
7) Francisca es seis años mayor ' lue Valentina. La suma de sus edades es 48, ¿Qué edad tenía
.Francisca hace 6 años?
A)
27 años
B) 24 años
e) 21 años
D) 15 años
E)
12.años
8) Claudia, Luz María, y Trinidad fueron a comer. Si cÍividieroll' la cuenta en parte~' iguales
y
el-
monto total con el 10% de propina fue de $15.67?, ¿cuánta propina dio cada una?
A)
$522,5
B)$475
e) $450'
D) $425
E
$375
9) .La suma de dos números es 17. Si el número más grande es c in co unidades mayor' que el doble
, del más pequeño, entonces los números son:
A) 2. Y
15.
B) 3 Y 14
q 4 Y 13
D) 5 Y 12
E) 6 Y
11
10) La fábrica, de bicicleias Ciclos produce 10.000 bicicletas al año. Si quiere aumentar la
produc-
'ción a razón de 1.250 unidades más por año, hasta fabricar 25.000 bicicletas anualmente, ¿cuán-
to
tiempo le tomará alcanzar su
m eta?
A)
B)
e
D)
E) 14' años .
11) La edad de
A
es el triple de la de
B
y dentro de 20 años será el doble. Hallar la 'edad' actual de
A.
A) 20
B) 40
e)
60
D)
80
E) 100 .
ID
años
11 años
l? años
1 3 años
121
n
A) '2-m
n-m
B)
-
2
n
C) '2 + m
n-m
2
E)
n-m.
D
- m'
5) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro. ¿Cuál es el
número?
A) 6
B) -6
C}
9
í»
-9
E) -12
120
p s u
Cuadernode Ejercicios, Matemática
12) De acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones de
caridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada una
de las instituciones de caridad, la Cruz- Roja y el Hogar de ancianos A ta rdecer. Si la herencia es
SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N°
S
PROBLEMAS DE PLANTEO CONENUNC(ADO
VERil
AL
17) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto l.
¿Cuáles son estos números?
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A) 12
A
7
B) 15
,
B)
8
C) 30
C)
-8
D) 42
D) -28
E) 45
E) -32
de $240.000.000, ¡.cuánto recibirá cada nieta?
A) $40.000.000
B) $45.000.000
C) $60.000.000
D) $65.000.000
E) $80.000.000
13} Si un obrero cobra $400por cortar verticalmente un tubo metálico en d9S partes, ¿cuánto cobra-
.rá IJar cortarlo en 4 partes?
A) $400
B) $600
C)$800
D) $1.000
E) $1.200
14) En cada día, de lunes a v ie rnes, g ané $600 más de lo que gané el día anterior, Si el viernes gané
$5.000, ¿cuánto gané el día lunes? .
A) $600·
B) $1.800
C)
$2.000
D) $2.600
E) $3.200
15) Se ha repartido $642.000 entre dos personas, Javiera y Sofía de manera que Javiera recibe
$36.000 más que Sof ía . ¿Cuánto recibe Sofía?
A) $36.000
B)
$267.000
C) $303.000
D) $321.000
E) $339.000
16) En un curso hay 60 alumnos. Si hay 15 niñas más que el duplo de varones, ¿cuántos varones hay
en el curso? . .
122
A)
13
Y 4
B) 14 Y 7
C)
15
Y 6
D)
16
y 5
E)
19
y 6
18) Los
3 .
de las gallinas de un agricultor son blancas,
. .
son negras y las 20 restantes son castella-
53·
nas. ¿Cuántas gallinas tiene el agricultor?
A)
28
B) 30
C 35
D)
60
E) 75
19) Se reparten $180.000 entre A, B Y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio
de la de C. ¿Cuánto recibe B? . .
. A) $20.000
B) $30.000
C) $40.000
D) $60.000
E) $90.000
:20) lfna sala tiene doble largo que ancho, S i el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en
4 m, la superficie de la sala no varía. Hall ar el largo inicial.
A) 12 m
B)
20
m
C) 22
m
D)
24
m
E)
26 m
21) Si el promedio de seis números es -6, y la suma de cuatro de ellos es 20, ¿cuál es el promedi o de
los otros dos números?
123
S \i
PS U. Cuaderno de
Ejercicios
Matemática
, 22) Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de, fútbol
a un costo total de $M. Después de una discusión 2 socios se retiran. ¿En cuántos pesos se
' f '
t SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 5. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VER:BAL
1 . 27) U, p f, ,,~ tr ~ • ,, ,,, ,. d, 01 , pre, , , .I ,m , ,, ,d0;1 El ,, ,o ·
, diante responde: si toma el doble del número que somos y lo divide por cuatro
y
además me,
cuenta a mí, somos exactamente 25. ¿Cuántos estudiantes eran?
8/17/2019 Matemáticas UC
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M-20
A) -2-
M
B) 40
I
28)
C) 9
M
D) -
2
E) 2M
A)
60°
B)
75°
C 90°
[ 29)
D) 100°
E)
105°
incrementa el costo-correspondiente a cada uno deIos 'restantes socios?
23) Dos.ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45° al mayor, ¿cuánto mide
este último? .
24}
Dos ángulos son complementarios y están en la razón de
2 :
3. ¿Cuánto mide el menor de ellos?
A) 18°
B)
25°
,C) 32°
D) 36°
E) 54°
25) Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x,
¿cuánto vale x? '
'A) -2
B - 1
C) O
. D) I
E) 2
26) Sea a un número. Si el doble de este número excede en 1 a su cuadrado, ¿cuál de las siguientes
igualdades corresponde a ese enunciado?
A) 2 . (a +
1)
= a'
B) 2a + I = a
C) 2a - 1 = (2a - 1)
D) 2a
=
a
+
1
E),. 2a = (a
+1)2
1 ;
: J
i
: 1
,
I 1
:1 '
\ ¡
11
'jl'
'1
124
A) 24,
B) 25
C) 48
D) 49
E) IDO
Se puede conocer el 'valor de x si:
(1) La quinta parte de x es 2.
(2) L a diferencia entre el doble de x y -lOes igual a x.
A) (1) por sí sola
B) , (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se, requiere información adicional
Se 'quiere determinar cuánto tardarán dos' hermanos en pintar una habitación trabajando juntos:
(1) Trabajando solo, .el hermano mayor demora 3 horas
(2) Trabajando solo, el hermano menor demora 1,5 veces lo que tarda el mayor
. A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
'D) Cada una por sí-sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
30) Sea N = 10d
+
uun número de dos cifras en el sistema decimal, siendo d la cifra de las decenas
y u la cifra de las unidades. ¿Es N par?
(1) (d
+
u) es un número par
(2) u es dígito par'
A) (1) 'por sí sola
B) (2) por. sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D). Cada una por
sí
sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional ,
RESPUESTAS CORRECTAS
125
PSU.Cuaderno de Ejercicios , Matemática
CAPÍ'fULO S. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES
Test N 6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas' de ínecuacíones l in ea les
SEGUNDO EJETEMÁTICO / Test N 6, DESIGUALDADES, iNECUACIONES
y
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
2x-1 <3x+2
6) La solución de l siguiente sistemas de inecuaciones , ( I es e l conjunto
, 5x+222 x+4)
8/17/2019 Matemáticas UC
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1) La máxima velocidad v permitida en carretera es de 120 km. Al expresar matemáticamente ' esta
h
proposición se tiene
A) O < v
s:
120
B) O
<
v
< 120
C) 0<vS:119
D) v>120
El v 2120
2) El doctor indicó al Sr. Juan Gordillo que, co'nsiderando su peso actual (p,), y su peso ideal (p),
, debería bajar por lo menos 8 kg. La expresión matemática para esta relación es
A)p. - PiS: 8
B) Pi + 82 p.
. C) P, s : P
a
- 8
D) 8 - Pa s : P,
E} P
i
- P, s : 8
3) ,¿A lo más, cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandí a de $1.800 se pueden comprar con
un billet e de $20.000?
A)
88
Bl 89
C) 90
D)
91
E) 92
4)
En un L '. ABC, cua lquier a, AB
= 6
cm
y
BC
= 9
cm. ¿Cuál de las siguientes desigualdades debe
verificarse para el tercer lado?
A) 6 cm < AC < 9 cm
B) 6cm < AC < 15 cm
C) 3 cm < AC < 9 cm '
D) 3 cm < AC < 15 cm
E)
9cm
<
AC
<
15cm
5) El intervalo soiuci ón de la inecuación 3x -,14 < 7x - 2 es
A) [-3,
+ =I
B)
,]-=, -
3[
C) ]-00, - 3]
D) ]-3,
+
=I
E) ]3, +
=I
126
A) {x E llt / x > - 3 }
B) {x E llt
I
x 2 - 3 }
C) {xEllt/x>2}
D) {x Ellt I x 2 2 }
E) {x E
lFU-
3 <x s:2 }
7) La soluc ión gráfica de la inecuación 2x _ ~ > x + 10 es
3 3
A)
~
7
B)
~
(
,
7
D)
,
7
E)
7
8) La soluci ón gráfi ca de l a inecuación (x _'1)'._ 7 2 (x. - 2)2 es
~
) , 5
B)
•
C)
~
5
~
5
Ew
'
D)
5
E)
5
127
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
, 5x-4>7x-16
9) Al expresar gráficamente y como intervalo el conjunto solución del sistema I Se
8-7x<16-15x
v
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I,TeS N' 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
12) El conjunto solución de la inecuación -5 > 2x
+
1~ -13 es
A) {xEIltI-3>x~-7}
8/17/2019 Matemáticas UC
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obtiene
A)
(~
]-00
1[
1
B)
~~
]~, 1)
1
C
~
] 1, =I
1
D)
~
[1,
o o [
1 ,
E)
, 4~}
- 00 1 [ u) 1, 00[ ,
10) El intervalo solucióndel siguiente sistema es ,
,
A) T h t
B) [3,4 [
C) ] ~ ,4 [
D) -004 [
E) [3,
00[
x~3
x<4
2(x-1»5
11) La soluéión del siguiente sistema está dada por el intervalo
A) 'J3,3-:l-JU]4,o:.[
B)[3¡,4[
C) ]-oo ,3t]v ]4 ,oo[
D) ]-oo,3[u4,oo [
E)
¡l
128
5(x-3)~~2+x
3x>2x+4
x<3
B) {x E Ilt
1 3::;
x
< -
7}
C) [x E Ilt
1 3 >
x ]
O) [x E Ilt x ~ - 7}
El
¡l
13) Se quiere poner 24 libros. en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros'
'.y en l a inferior, menos del doble qne en la superior, pero más de
13,
¿Cuántos libros se podrán
'poner en la parte superior del estante?
A) Más de 9
B)Menos de la
e) 9 ó más
D) 10
Ó
menos
E) 9 Ó 10
14) Al resolverla inecuaciónl 9 -
61\
I
>
3 se obtiene como solución
A) jr, 2 [
B) ] - 00 1) u)2,00[
C) [1,2 [ , \
D) ) -;:-00 I[ u 2, 00[.
, E)
Ilt
15) La solución' de Ja inecuación 1 1 - xl . . es el conjunto
2
A) [ ~ , % ]
B) [ ~ , o o [
C ) J - o o , % J
D ) [ 0 , % ]
' J l J [ 3 [
) ~ 2 u2 co
129
PSU. Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
16) ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?
1
Va effi : .
) a+- ?: :2 ,
~'<
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES
y
SISTEMAS DEINECUACIONES LINEALES
x+3 < 5
2
se obtiene como solución
0) Al resolver el siguiente sistema de inecuaciones
8/17/2019 Matemáticas UC
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a .
a:i 1
Vá elR ,;
I) --:>-
1
+
a 2'
III) (1 + a}(1 + b) 2: 4, s i a > O, b > Oy ab = 1
A) Sólo
r
B) Sólo 1 y T I
C) Sólo 1 y I1I
D) Sólo II y III
E)
r,
II Y III
17) ¿Qué números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones síguíentes o
1)' el doble del número más 3 es menor que 11:
Il) el triple del número más 2 es mayor que 5:
A) cualquier entero positivo.
B) cualquier entero positivo mayor que .l.
C) sólo el 2 y 'el 3.
D) los enteros positivos menores que 4.
E) no existen números enteros que cumplan las condiciones dadas.
18) En un teatro con capacidad para 500 personas se iecaudaron más deS2.000.000 el día del estre- .
no. de una obra dramática. Si la entrada valía $6.000, ¿cuántos espectadores 'asistieron ese día a
la función? .
A) 500 espectadores.
B) Menos de' 500 espectadores.
C) El número de asistentes es mayor que 333 y menor o igual que 5QO.
D) 333 espectadores.
E)
334
espectadores ..'
19) ¿A cuál- intervalo pertenecen los números reales que son mayores que su cuadrado?
A) ]~, l[
B) ]0, l[
C) ]0,
=I
D) [O, 1]
E) ]-1.,O[
13
2 x
2 - -:-:; O
7
A)
]-00,
7[
B) [7,
+=I
C) {7}
. D)
I R , .
E) il
21) La.esfinge de Tebas amenazó a un caminante con matarlo si no respondía correctamente a.Ia
siguiente pregunta: Hace 500 años mi edad no era superior a la mitad de la que tengo ahora, y
dentro. de 1.000 años no será mayor que el doble. ¿Cuál es mi edad? . Si el caminante sobrevivió
a la prueba, ¿cuál fue su: respuesta?
A) 500 años
B) 750 años
C)· 800 años
D)' 900 años
E) 1.000 años
22) El conjunto solución de la inecuación
. ¡. -
1 2:O
A)
]-00,
-1]
u [1,
oo[
B)
]-00,
-1]
C) [1,
oo[
D) (-1, 1]
E)
I R ,
23) Los números reales que satisfacen la inecuación x' - 6x + 8 < O pertenecen al intervalo
A) ]-oo,2[
B) ]4, =I
C
il
D)
I R
E) ]2,4[
. 24) El conjunto solución de la inecuación x' + 6x + 9 > O es
A)
B) ]~oo, ~3[
C) . ]-3, =I
D) {-3}
E) I R - {-3)
131
PSU ;Cuaderno de Ejercicios.
Matemática
25) Al resolver la inecuación x'
+
x
+
l <
O
se' obtiene' como solución
A) I R .
B) i 1 J
r
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N
6,
DESIGUALDADES, INECUACIONES y SISTEMAS
DE
INECUACIONES LINEÁLES
30) Después' de un viaje,
a
Francisca le sobraron algunos dólares
y
algunos, francos, Si por aquel
entonces una moneda de 1 dólar equivalía a $420 y, un franco equivalía a $9Ó, ¿cuántos francos
tenía Francisca?
8/17/2019 Matemáticas UC
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C) [-1, 1]
D) I R . +
E)
I R . ,
6 El' ió n de Ia i i ó 2x +
1
3
) r conjunto solución eIa mecuaci n --- <, es
, x+2
l·
(1) Francisca tenía ¡'a mitad de monedas de un dólar que de un franco.
(2) El valor en pesos de los dólares
y
francos que tenía estaba entre $5,500
y
$5,900.
A) (1) por sí sola
B)
(2)
por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) ,
O )
Cada tina por sí sola, (1) ó
(2)
E) Se requiere información adicional
\
133
A) l+=. -5[
.Bl ]-2,
= I
C) ]-=, -5[ u]-2,
C o [
D) ]-5, -2[
E)
W ,
x+3
27) Al resolver la inecuación --
3
4
x+2
> l se obtie~e ecmo solución el intervalo
3
A)
]-=,
-2[ u2,=[
. B) ]-2,2[
C)
}-=,
-2[
D) ]2,
=[
E) ]-=, -2] u-2; =I
28), Si un cjradrado tiene lado a y esta longitud se .incrementa en x%, ¿se incrementa el área del
cuadrado en más de un 10%?
(1)
x <
10%
(2) x> 5%
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) ,Cada una por sí sola, (1) ó
(2)
E) Se requiere' información adicional
29) Se pide encontrar la longitud del mayor de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que está
medida por un número entero.
(1) Dos de los lados del triángulo miden 2 cm
y
9 cm,
2
t;
ABC esescaleno
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
132
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA
Test W 7: Geometría Analítica básica
¡ , ;
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
f
Test' N 7. GEOMETRÍA ANALíTICA BÁSICA
5) ¿Cuál es el área de' un círculo que tiene un diámetro con extremos A (-3,3)
y
B (3 , -3) ?
A) 24n:
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1) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado con su centro en el origen Oy de lados paralelos a los
ejes X e Y. Si las coordenadas de l vé rt ice C son ( 4 , 4 ) , ¿cuáles son las coordenadas del vértice A?
A)
( - 4 0 /2 , - 4 - 1 2 )
B) ( - : - 4 - 1 2 ; ~ )
C)'
(' -4 , -4)
D) (~,4)
E)
( 4 , - 4 )
y.
D
e
o
A·
B
2)· Si el punto A tienecoordenadas (1, 2) y.el punto B tiene coordenadas (9,8), ¿cmí.l e s la distancia entre
A y B?
A) 10
B) 9
C 8
D) 7
E) 6
3) La 'distancia entre los puntos A(-5, 4) Y B(7, -1) es
A) 5
B) 17'
C) 13
D) 18
E),
600,
4) ¿Cuál es el perímetro de un t riángulo cuyos vértices tienen coordenadas (1 ,4);
(1 ,
7)y (4 ;4) ?
A)
3+.J2
B)
3 - 1 2 .
C 6
D
6+3F2
E) 9+3.fi
l '
J '
,\
x
B) l8n:
C) l2n:
D 9n:
E
4n:
,6)
Si
A (
0,
a).
B
(O ,-4) :C(2 , -1 )
Y D
(2,2)
son los vértices de un paralelógrarno, entonces a
A) -8
B) -7
C) -6
D)-2
E)-l
7) El área de la figura que resulta al unir consecutivamente los puntos ~ (-1,-2), B(3,-2), C(5,2)
y
D(I,'2) es
.A) 4 5
B)
1612
C) 2 5
D) 16
E sF2
8) El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4), B(-3,-I~ y C(I,-3)' es
A) 16
, .Jl3. J6 í
B) --
2
.Jl3.~
C) 2
D) 12
E) 10
135
PSU. Cuaderno de Ejercicios.
Matemática
9) El cuadrilátero ABCO es un trapecio isósceles con An· BC y vértices A{3,O) , B(2,3).y
C
(-2,3). Las coordenadas del vértice
D
son
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁS C~'
13)
Si·
M (-3,
O) es el punto medio del trazo
AB,
con
A (
4,6) . entonces las coordenadas de B' son
A) (-ID. -6)
8/17/2019 Matemáticas UC
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A) (-1,0)
B) (-2,0)
e)
(-3,0)
D)
(~4,0)
E) (7,0)
lO) Tres de los cuatro vértices de unparalelógrarno tienen coordenadas: (O ,-2) , (-1, O ) y (-2 , -2 ). Las'
coordenadas del cuarto vértice pueden ser:
1)
(-3,0)
II)
(1, 0 )
De las afirmaciones anteriores, esíson) verdaderats):
A) Sólo 1
B)
Sólo
TI
e) Sólo ID
D) Sólo 1
y
II
E) 1, II YID
11) El triángulo que tiene vérti ces en los puntos A(0,3), B(7,6) y C(2,8) es
A)
escaleno
B) equilátero
e) re~táng\llo
escaleno
. D)' rectángulo isósceles
E) obtusángulo
12) Las coordenadas del punto medio del trazo que· tiene por extremos los puntos
Q(2,5 ; 1,6) son
A) (3,8;
4,0)
B) (1,9;2,0)
e) ,(3,8; 2,0)
O) (1,9; 4,,0) . ,
E)
(1,8; 2,5) .
136
-<
ID) (-1,-4)
B) ( i , 3 )
e) (11. 12)
O)
( i .3 )
E) (-:-5. -3) .
14) Si el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos P(m.2) y Q(3m,~4) tiere
coordenadas
( -6 , -1 ),
entonces m =
A - 4
B) -3
e) -2
. 3
D) --
2
E) 2
15 ) Si A(-2 ,0) , B(1O ,8 ) Y e( 0 ,8 ) son los vértices de un triángulo. ento~ces, la ~edida de la longitud
c e
la transversal dé gravedad
t,
es
A) 4 .[2
B)
. J 2 9
e) 2 16
p (1 , , 3 ; 2 ,4 ) Y
t
D) 215
E)
4 .
117
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
16) Si A(-2,S), B(-4,1) , C(-2,-3)y D(O,I) son los vértices de un cuadrilátero, ¿cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdaderaís)?
1 ) ABCO es un rombo
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA
19) En la figura adjunta, el área del triángulo ABC es 24, ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?
A) W ,-2)
l'j¡
8/17/2019 Matemáticas UC
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U) Perímetro de ABCO es 8.)5
Ill)
Área de ABCD es 32
A) Sólo
1 '
B)
s e re r y n
C) Sólo Iy III
,O) , Sólo
II y
III
'E) 1,U Y III
l7)
La distancia ent re los puntos
P
[a,b)
y
Q
(b,
a) es siempre igual a
,A) °
B) a+b
C) 2a+2b
O) (b-a)$
E)
l b .. a l . J 2
18) ¿Cuál(es) de las siguientes PíOPosicion~s relativas al triángulo de vértices D(4,1), E(-l,-l)
y
F(2,-4) es(son) verdaderars)?
1) 6, OEF es isósceles con base EF
7 . J 2
II) La altu ra r especto al lado EF mide --
2
rm
'El áfea del 6, DEFes
E
, 2
A) S610 1
B) S610 II
C) Sólo 1
y
U
O) S610 1 y III
E) , 1,
II Yni
138
E) (10,2)
<;:(2,4)
C)
(2,6)
° 1
b
~B
X
O) (8,-2)
A(2,-2)
E) Falta información para .determinarlas.
L
20) Si ,A(-2,-i) Y B(2,-2) son dos vértices del triángulo equilátero ABC, entonces las coordenadas,
del vértice C pueden ser:
1) (0,2(F-:-l))
II) (0,-2(,.}3+1))
III) (0,0)
A) Sólo 1
B) S6lo n
C) S6lo III
D) Sólo 1 y n
E) I , II Y
ID
21) En la fi gura adjunta. ¿cuál es el área 'de la superficie achurada?
y
A) 5,5
3
B) 5.0
2
C) 4.5
O), 3,0
'E) 2,5
UI
1 2
3
X
,22) Si A(-6,0). B(O,O) y C(0,8)' son los vért ices de un triángulo. la medida de la longitud de la
mediana que es paralela al lado AC es
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) i o
139
PSU . Cua de r no de Ejercicios; Matemática
23) Si el '- PMN de la figura adjunta, es isósceles con base PM, entonces ,se puede afirmar que las
coordenadas del vértice M son
A) (O,2b)
Y .
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
J
Test N° 7. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSIC~',
26) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a una circunferencia con centro en el o rigen y radio
107
l) (8,6)
,Il) (-sfi, -sfi)
'IlI) - 25 1 ,4 )
8/17/2019 Matemáticas UC
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25) ¿Cuáles son las coordenadas del.vértice B del triángulo OAB de la figura adjunta?
I
(2) El círculo tiene su centró en el origen
y
pasa por el punto de coordenadas - 1 , 2 . J 3 ) .
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)'
D), Cada una por sí sola, (1) ó (2) .
E) Se requiere informaci ón adi cional
29) Se quiere determinar I<\ Scoordenadas del vértice B de un t riángulo equilátero ABC del cual se con ocen:
A(-:-6 ;O )
y
C (O ,.6) .
B) (2b,i)
I
Wb,c)
C) (2c,a)
P(O,a)t'J
'>M
D)
(2b,a)
° 1
X
E) (2a,2b)
24) En la figura del ejercicio anterior, ¿cuáles sonIas coordenadas de la, imagendel punto N, 'como
resultado de' una reflexión respecto de la recta PM 7
A)(b,
-c)
B) (-b,c)
I
I
C) (b,a-c)
D)
(b
J
2il+c)
E) (b,2a-c)
( O a J 3 )
A) '3
( o 2 a J 3 )
y,
B) '3
C)
( O , 2 a )
B
D) ( O , ~ )
E) ( o , ~ )
A(a,O)
140
x
A)
se ier
B)Sólo rr
C) 'Sólo ly II
D
Sólo l yIlI
El l, TI
r
lIT
27) Si
A(
-2,3),
B( 5,3) , C(
a,
7) y D(l,7 )
son los
vértices
del paralelógramo ABCO, entonces la
diagonal.
AC
mide
A)
n
B) ,2J 29
C)
6 . J 3 ,
D) 10
E f i
28)
Para determinar el área de un círculo se sabe que:
(1)
Los puntos de coordenadas (3,2)
y
(-3,-2) son los ext remos de un diámetro del círculo,
(1)
B es un punto del cuarto cuadrante ..
(2) B es un punto de la bisectriz del segundo
y
cuarto cuadrante.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
111
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
30) Para determinar las coordenadas del baricentro G de un triángulo ABe se sabe que:
(1) Sus vérti ce s son:
A(-5,2),
B 3 ,0) y
C(I,6).
~r'f
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECIA
CAPÍTULO '7. ECUACIÓN CARTES IANA DE LA RECTA
Test N° 8: Ecuación cartesiana de la recta
1) Dados los puntos A(2, S ) , B(3, 4) Y CC-l, x). ¿Qué valor debe tener x para que los puntos A,B
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(2) Los puntos medios de los lados tienen coordenadas:
(-1,.1), (2,3) Y (-2,4).
A)
(1)
por sí sola
B) ·(2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola,
(1) Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
142
y
e sean colineales?
A) -1
B O
el
D) 4
E)
2) Si, e l punto
Q,
cuya ordenada es -7, pertenece a la recta cuya ecuación cartesiana es ,6x - Sy
=
iJ,
entonces la abscisa de
Q
es: '
Al -3
Bl -2
el O
D) 1
E) 7
3) El punto Míx, x
+
1) es el punto medio del segmentocuyos extremos son los puntos A(-x
+
3; 5; Y
B(5x - 1, 3x - 2l,'entonces x =
Al -5
Bl -1
e)
3
D) 7
E) 9
4) El punto P, de abscisa -2, es un punto' de la recta de ecuación cartesiana 3y'- 2x
=
19. Entonces
, l a o rdenada' de
P
es
Al
B)
3
,e) ,
- 2
23
D)
3'
El
25
2 .
S) La ecuación cartesiana que representa a la recta de la figura es
A) -3x
- l o
2y O
Bl3x-2y+2=O
e)
2x-3y+2=O
D) -2x + 3y + 6 = O
E) 2x - 3y
+
6
=
O
-3
o
x
~3
PSU. Cuaderno de
Ejercicio s,
Matemática
6) La ecuación que representa a la recta de la figura es
A) 2x + 3y - 6a = O
B) 3x+2y-6a=0
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test
W
8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RICTA
\.1) La pendiente de la recta de ecuación: 3ic - 9 y - 4 = O es
A)
3
B)
- 3
8/17/2019 Matemáticas UC
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'e) 3x - 2y - 6a = O
D) 3x
+
2y
+
6a =0
E), 3x - 2y + 6a = O
7)
La recta de la figura está ,mejor representada por la ecuación
A)
x -
2
=
O
E)
y -
2 = O
C) x+y-2:=0
D ) x + y +2 = O
E)
x-y+2=0
8) La recta de la. fj~ura está mejor representada por la ecuación
A)
X-
1
=
O
B) x + 1 = O
C) y~l=O
D)
y
+
1
=
O
E) x + y + '1 O
,9)
La ecuación' de la recta de la figura es
A) x
+
y + '2 = O
E) x
+
y ~ 2 O '
e)
x -
y
+ 2 O
D)
x - y -
2
='0
E)
x'-y=O
10)
La ecuación cartesiana que representa a 'la recta .de la figura es
A) 2x -
3y
= O
B) 2x
+
3y = O
e) 3x + 2y =
O
D) 3x - 2y
O
E )
3x
+ y = O
144
,Y
2
.1
o
1
y
2
1 -
-1
o
I -1
2
.x
x
x
x
1
e)
--
3
1
D
-
3
E)
4
9
12) La pendiente de la recta de ecuación: x 4y _ 8 es
1
4
B) 4
e) 1
D) 8
E) 2
A)
13)
Para' que la recta de ecuación: 3kx
+ y - 10
= O tenga una 'pendiente
6,
el valor de k debe ¡er
A) 2
B - 2
e) 3
D) -3
E)6
14) Una recta paralela a la recta de ecuación: 5y = 12x + 20 es
A) Y = 12x + I
B) y ,,;-sx - 2
C) Y =
4x +
8
12
D) 5y= s-x-l
E) ,10y = 24x
15)
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5,
,2)
Y Q(2,
-1)
es'
A) 3x
+
7y + 1 = O
B)
x +
2y = O
C) 3x
+
8y
-r
1 = O
D)
4x
+ 7y -
1
=
O
E ) 2x + 5y = O
145
PSU. Cuaderno de Ejercic ios Mar emá tica
16) La recta L del gráfico de la figura siguiente tiene por ecuación:
'j.•
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA
I . .
20) La rectal pasa por el origen del sistema de coordenadas
y
es perpendicular a la recta
y
= x - 2.
La ecuación de l es
A) Y
=
x
y
A) x
+
y
= 2
3
L
,
-
B) x - i - y
3
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\1 ··· . ·
1 ,
i~,
,
I t ·
~
~
I
~
~
J 7 )
¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la nieta 5x - 10y
+
8 , ; , O ? .
'. . ' , . 3
,18) La recta que pasa por el punto (-3,2) Y que es paralela a la recta y=-
x+2
es
. . . 2
A)
x - 2y +
7
=
O
B }
Jx -
2y + 13 = O '
C) 3 x + 2y ~ 2 = O
D) 3x :
2y -
5 = O
E) 2x +
3y -
1 O.
19) Si las rectas L, : 4x - 3y = p, Y' L
2
:-2x + ky = 15 son paralelas, entonces el valor de k, es:
B)
y
=-x
C)
y
x
+ 2
D) y=-x+2
E)
y
= -x - 2
2.1) La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (-2, O) Y es perpendicular a la recta
3x + y 2es:
A)
y
=
x +
2
B) Y =
2x +
3
1
e) y=-x+2
3
1
D)
y=-x-2
3
1 1 -
E) y=-x+-
3 3
22) La ecuación que representa a la recta L de lafigura adjunta es:
Al -x - '3
=
Y
E) x - 3 = Y
C) x + 3 = Y
D )
x -
3y - 3 = O
E) 3 x - 1 =
3y
L
3
x
y
3
2
-3 -2 -1
A)
- 3
l.3)
. ;.
3
B)
- 2
2
C)
-
3
3
D)
-
2
E)
3
o
2
Dados los puntos M(7, -1) YN(-2, 8),en¿ontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen
de . sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta. MN.
A)
x
+
y
=0
E) x -
y '=
O
C ) 4x -:-y = O
D)
x
+ 4y = O
E) 7x - y
=
O
147
<;
2
C) 2x - y = l
~ ~ I
D) x + 2y = 2 • ,
0 1
2 ' -- -
X
1
) 2x'¡' y ' = 2
A) Sx - 2y
+ 4
= O
B) x -
2y -i -
16
=
O
I
8
C) x + 10y +.'-'- = O
i
. 5
I
. 1
8 .
D )
x - lOy +- =
O
5
~
I~
1
8
~
. El x + 2y
+ -
= O
~
5
.
1 4 6
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
~
I
24) La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (5, O)
Y
(O, 2) respectivamente,.
es:
A) 2x -5y
10
l
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA
~.
28)
Se pi de determinar la ecuación de' una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas;
Para ello se sabe, además que: ' '
(1) pasa por el punto (1, 2)
(2) tiene pendien te 2
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\
l .
2 .
B) y=--x+l
5.
2 .
C) x =l--y
5
D) 5x
+
2y
=
10
El 2x + 5y
=
10
25) El perímetro del triángulo determinado por la recta ~ +
'i .. . =
1,
Y
los ejes de coordenadas es:
.4' 3 '
A) 5
B 6
C 7
D) 9
E) 12
26) En la figura adjunta, la ecuación de la recta L, es
y
=
%
x , ;la ecuación de la recta L
2
es
y
= ~
x
+
2 ,
y
L¡
L,
El área del triángulo OI'Q mide, en. unidades, cuadradas:
A) 1
Bl' 2
C 3
D) 4
E) 6
27) Si se hace rotar en 90°, enel sentido antihorario, la recta x
+
y
O en torno al origen del sistema
. de coordenadas, en tonces la ecuación de la recta así retada será:
1)
Il)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
-x -
y
=
O
x y =O
-x +
y
O
Sólo 1
.sólo II
Sólo III
Sólo II y III
Ninguna de las anteriores
148
x
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) Dada la recta cuya ecuación es 2x +
ky -
7
0, se pide hallar la ecuación de la recta paralela a
ella si se sabe que:
(1) pasa por el origen del sistema de coordenadas
(2) k = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sol a, ( 1) ó (2),
E) Se requiere información adicional
30) Una recta corta a los ejes de coordenadas X e Y en los puntos P y Q, respectivamente, Se pide
determinar la pendiente de la recta PQ y para ello se. da la siguiente información:
(1) P(4, O)
(2) Q(O, 3)
.A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
149
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EéuACIONES LINEALES
Test N° 9: Sistemas de ecuaciones lineales
1)
Si u = v, y 4u = 2v - 6, entonces' u =
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
6)
Dado el sistema
13x-lly =17
1
, los valores de (x + y), y de (x-y) son respectivamente
llx-13y=7 .
A) 5 Y
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A) -12
B) , -6
C) -4
D) ,:-3
E) - 2
'2) Dado que x = 5 - 3y, y' x = 9
+
y, entonces ,«y» es igual a
A - 7
, B) ,-2
C) -1
D
7
E)
8
3)
Si 2x - Y = 5, Y x + 2y = 25, 'entonces x =
A)
25
B)
9
C)
7
D)
3
35
E) 4
4) Si x + 3y
=
15, y «x» es el doblede «y», entonces los valores de «x» y de «y» son, respectivamente
A) 6 y.3
B) 4 Y 2
C) 2 Y 1
D) 10 y 5
E) 8 Y 4
5)
Si 3x -
10y
= 40,
y
A) -7
B) 3~5
e)
6'
D) 7
E) 14.
4x + 3y =
9 ,
entonces x - y =
150
B - 1 Y 5
C) 1 y 5
D) -5 Y-1
E) -1 Y-5
7)
Dado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente
x+2y=0
x:y=2:3
El conjunto solución del sistema es
A) {(O, O) }
B) ((-2, l)'}
C) ((2, 3) }
D)
(H
-3) }
E) < 1 >
8)
La solución del siguiente sistema está dada por dos números enteros consecutivos
y
positivos
x
e y
tales que x > y:
x+.y =k I
x-y=k-2
entonces el valor de «k» es
A) O
E) 1
C 2
D) 3
E 4
)
2x-3y=8
9) Dado el sistema ,' , 1 , entonces la solución es
6y-4x=9
A)
x
=4, Y= °
2
B) x=O,y=3
C)
-x
O, Y °
D) no hay solución.
E) hay un número infinito de soluciones.
151
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
18) ¿Para cuál, de los s iguien te-s pares de valores de u y v las rectas L¡: 5x - 2y-l0 = O, y
L, : .15x - uy- v
=
O son paralelas no coincidentes?
u
v
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
22l En un rombo la suma de las díagonales es 14 cm y se sabe que el área no varí a cuando la diagonal
más corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. El
per ímetro del,rombo es de
Al 14 cm
E)
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A) 3 6
E) 3 30
Cl
6 10
D 6
30
E
10 20
l ·
19) La 'suma de dos números es 27. Dividi endo el mayor por el menor se obtiene un cuoci ente igual a 2
y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números?
Ál 19
y
8
E)'
20 y7
C) 22 y 8
D) 11
y 10
E) 18 y 11
Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, menos un año. En dos años más, el padre tendrá el
doble de la edad de su hijo más nueve años. ¿Cuál es la edad actual del padre f del h ijo
respectivamente? .
20)
Al 23 y
8
El 29
Y
10
Cl
56 y 19
r » 35 y
12
El
59 Y 20
21 1 El denominador de una fracción excede al numerador en 5 unidades. Si el denominador se aumentara.
en 7, el val or de la fracción sería ~. ¿Cuál es la fracción?
2
2
Al -
. 7
1
El '2
12
C) . 17
22
r» 27
32
E) 37
154
C) 16 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
23
1
Una lancha recorre 6 km en 40 minutos en favor de la corrient e; el viaje de regreso l e t oma 1 h ora.
Encont ra r la rapidez de la lancha en agua t ranqu ila, en ki f¡
h
Al 1,5
Bl 3
C) 4,5
D) 6
E)
7,5
24) La suma de 'los dígit os de un ci erto numero menor que ci en es once. Si los dígitos se inviert en,
entonces 'el 'numero disminuye en nueve unidades. La diferencia positiva entre las cif ras del número
original es
A)
O
E)
C) 2
D) 3
E 9
25) En la' figur a adjunta,
MN ..L OM Y PN..L O P.
Si R es el punto de intersección de la recta
L¡ : x - y = O con la recta L
2
:
3x +
y -
3a = O.¿Cuá l es la razón ent re las á reas de l t riángulo OMR
y el cuadr ilátero OMNP?
y
A) 1: 8
E) 1:6
C) 1:4
D) 1:3
V
~b
I
E)
3:8
Jl\~
X
155
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
En una bolsa hay bolitas blancas y negras, 'La quinta parte de las blancas equivale a la tercera parte
de las negras y el promedio del total de boJitas excede en seis a la mitad de las blancas, S.í b es el
número de boJitas blancas y n el número de bolitas negras, el sistema que nos permite calcular b y n
es:
26)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
28) El siguiente sistema tiene una única solución para las incógnitas x e y si:
ax+by ec
dx+ey=f
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t
i
¡
:i
~
~
~
\1
1 :
t ,
l '
i.
I
~
i
¡ :
¡
e: I
¡,
¡ l
I
~i
I
I¡
11
~
b
n
--
3
A)
b~=~+6
2
2
b
n
--
5
B)
b+n=~+6
_2_ 2
b
n
-
-
3
e)
b~=~_6
L
2
b
n
--
5
D
b+ n _ ~ + 6
2-
'
~=~
_ 5
3
E
b~=~_6
2
2
2x
-'-,6y'=. 3
27) Si el siguiente sistema px + lOy = q
depyqson
10 15
A) P=~3' q=-3
6
B) P=-s
9
q=-S
10 9
,C) P=-3' q
= -S
9
q=-
5
6
D) p=-S
6
E) P=S'
t
I
Ü
9
q=-S
156
tiene un número infinito de soluciones. entonces los valores'
(1)
a
b
-;é-
d ' e
(2)
c;é f
A)
(1)
por sí sola
B) (2)
por sí sola
C) Ambas juntas. (1) y (2)
D) Cada una por sí sola. (1) ó
(2)
E) ,Se requiere información, adicional
'29) Se pueden determinar las ed~des de Ignacio y Francisca si se sabe que:
(1) La edad de Francisca excede' en 7 años a la tercera parte de la edad de Ignacio,
(2) La edad-de Ignacio es ig~a1 al tri;le de la de Francisca disminuid~ e~ 21.
A) (1) por . s f sola
B)
(2) por sí sola,
C), Ambas juntas. (1) y (2)
D) Cada una por sí sola. (I), ó (2)
E)
Se requiere información adicional
30) ¿Cuál es el valor de x
e-
y?
(1) a-b = 12
(2) ax + by-ay-bx = 24
A) (1) por sí sola
B) , (2) por sí sola
C) 'Ambas juntas. (1) y (2)
D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)
E), Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
157
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPíTULO 9. POTENCIACIÓN
Test N° 10:' Potendas
,1) De acuerdo a la d~finición inductiva n de potencia para basé r eal y exponente natural, la expre-
sión a'
+ ,
es igual a' ,
f
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N' 10. POTENCIAS
6) El número más grande que se puede escribir utilizando exactamente tres veces la cif ra t re s, sin
usar signos de operación, es '
A) 333
B) 33
3
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3' - 3
3
equivale a
A)
3'
B) 15
t
11)
C) 3
3
',2
3
D) 3
3
.2
4
•
5
E)
3
3
'1) a' + , . a
O
II) a a III) a' -, . a'
A) Sólo L
B) Sólo
n..
e)
,Sólo III.
D) Sólo I Y,II.
E) 1, II't IlL
2) La, potencia 9
6
1)
A)
B)
e)
D
E)
tiene el mismo valor que lafs) potencia(s)
3
II)
81'
Sólo I
y n.
Sólo
n y
III.
Sólo I y 111. '
1,
u y
III.
1Il)
Ninguna.
3)2'+11'=
A)
53
B)
13
z
C) 13
3
D)
13'
E) 22
3
4) 7
3
_ '10'=
A) (-W
)3) (_3)3
e)
(-3)'
D
3'
E)
3'
5)
• Para la d efinición inducuva del concep to de potencia de bas e
rea fy expon en te
natur al. consultar-nuestro Manua l de Pr epara ción P.S .U. Ma temá tica editado po r
Ediciones Un ive rsidad Ca tólic a
de
Chile Sex ta Ed ición Marzo d e2006 pág ina 188.
158
729'
C)- 3
33
D) (3
3
)3
E) 3
13'l ,
7) l
>
(-1)'
_(_1)0.
(-1)':
(-1)3
A) -2
13) -1
C) O
D) 1
E) 2,
8) ¿Cuál es la cifra de las unidades del
núme ro
36O?
A) O
B) 1
e) 3
D) 7
E 9
9) (-2)' + 2-'
A) O
B) 1
C) 4
D) 4
E) indeterminado
10) 3' .
2 7
=
A)
3
B)
3
22
C)
81'
D
81
E)
81
a s
La cuarta potencia del doble del cubo de cinco se escribe simbólicamente como
A) 4.2.5
3
B) 4· (2 . 5)3
C) 2· (53)'
O)
(2' 5
3
) 4
E) (2
3
• 5
3
)4
159,
1
,
:
PSU. Cuaderno de
Ejercicios, Matemática
12) (n-
I
+
n-')n'
A) n-'
+
n-<;
B)
n-'
e) n'
6
: w
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
TeS N ID, POTENCIAS
17) Si 3' = a,
y 2'
= b, entonces
3'+1 . 2 '+ 1
=
A) 6ab
13) ab?
e)
(ab)'
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 80/195
D)
n-
E) n(n
+ 1)
13)
. 2
2
Al simplificar la expresión ~ se obtienecomo resultado
2 ( 2 2 )
A) 2-'
-E) 2-
1
e) 2
0
D)2
E) 2'
14) El promedio de las 'potencias 2 '0 y 2' es
¡,
A)
2
60
B ) 2
30
e)
1
30
i
D) 2
10
+ 2
20
:.
E)
21' + 239 '
s n
. -5 -1
15) Siendo n un número natural, al simplificar la expresión . se obtiene
sn+l . S . , 5 -1
A) 1
5
B) 1
C) 2
n
D) 1
n+
2n -1
2n
l
3
4
.3
3
.3-
2
16)
-T
73-.
3 70 - .
3
71
A) 3'
B) 3
6
C) 3'
D) 3'
E)
}3
160
D) 5ab
E) 6ab'
( , ) 3 ( 3 )
18) Si ab *·0, al simplifi car l a expresión a b
6
((ab )').
A)
B) ab .
C)
(ab(
D) a'b'
E) a'b
3
(3') + ( 3
3
) + (3,) 6
19)' ,
.(3')
A) 3
B)
3 '4
e 3
D) l
E)
. 3
6
3
' +6
20 ) '6 +6'
A) 6'
B) 6
3
e) 6'
D) 6
E) 6
21) (2 ,1 - 1)'
A) 2 ,+3
+
1
B)
2 +' +
1
e) 2 ,·+ 1 + l
D ) 2 ,,+2 _ 2 '+ ' - + - 1
E) 2 + ' - 2 '+1 + 1
se obt iene
161
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 81/195
PSU.Cuaderno de Ejercicios Matemática
30) ¿Cuál es el valor de a, siendo. a un número entero?
(1)
a
4
=1
(2) a
3
+ 1
=
°
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 11, RAÍCES
CAPÍTULO 10. RADICACIÓN
Test N° 11: Raíces
1) 1 - 6~ =
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 82/195
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí .sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS ,
164
1
A) --
8.
1
B) -¡
1
C)
~2
1
D)
-
8
1
E)
-
4
2) ;0,0196
=
A) 0,014.
B)
0,104
C)
0.,14
D) 1,04
E)
1,4'
3)
;169-25
=
Al 8
B) 12
C)
144
D)
f8
E)
Jfi
4)
.Jf6 9 - E s =
, A) 8
B)
12
C)
144
D)
{8
E)
Jfi
165
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 83/195
PSU. Cuaderno
e
Ej~rcicios, Matemásíca
13)
(J 8 +
..fi)
A) 10
E) 16
C) 18
~,.,
1 ' .
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N ° 11. RAÍCES
18)
Si a ~
1,
entonces
(.,¡;:;¡ - ~f -
.A) -2
E) 2
e 2a
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 84/195
D)
100
E) 10 + 2h
14)
La expresión
5 J 3 -
J 2 f
es igual a
A).13
E)
73·
e) ·73 - 5 1 6
D) 73 - 1OJ6
E) 77- 1OJ6
z
15) Si (5 + 2 J 3 ) =.a +
b J 3 ,
entonces los valores de a Y~ son, t~spectivamente
a
b
A)
37 2 0
E)
37 10
C)
31 20
,
D)
3.1
10
1 ,
E)
147
O
16) (h - l)(h + 1 ) '
A) 1
E)
3
e)
8
D)
h +
1
E)
3+
2h
17)
(3h + 2)(312 - 2)
A)
5
E) 10
C) 14
D) 18
E)
3h
168
D) -2~
E) ~(a~~a'-1)
19) Si. n es un número· natural, entonce·s . J 9 - 2 . 3 + 1
A) 3' -.1
E) 3'
+
1
e)
9'
D) 9' +
. E) 9' - 3
··1 1_
20) 15 - 1
15
+ 1 -
A) O
E)
0,25
e) 0,5
D) 1
1.
E) 2 J 5
21) Si n es un entero positivo, entonces la expresión (hr .
fir
A) 2'
+
2
E) 2'
+
1
e) 20 + 2
D) 20+ '
E) 2'
.169
\
__
o __
' - =
PSl: . Cuaderno de Ejercicios
M~temálica
?< . '
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test W 11,' RAíCES
2 6 ) Si 2 j f + 3 J f J = 5. -\- x , ent onces x
A) . 2 . + 2
1 6
, 6
i i
22)
J7 -
1 -
J7
+ 1
A) O
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 85/195
B) , 2 +
-. /6
6
e)
5
+
2 -. / 6
D)
2
+ 2 -. /6
6
E)
2 0 + 2 1 6
3
27) J 3 J 2 =
,A)
-. /6
Bl
11 8
e)
J6
D)
Fa
E) ifl8
28) Si a es. un número real, entonces para que se verifique la igualdad .,Ja = a, se debe ~umplir:
(1) a = O
,(2)
a=
1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29)
. ; J x +
J 9 ,
=
fi5
se verifica si y sólo sí:
(1) x = 16
m
x=4
A) (1) por 'sí sola
B) (2) por sí sola
e) .Ambas juntas, (1) y (2)
'n)
Cada una por. sí sola: (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
, 170 171
J2
B) 3
1
e)
'3
1
D '6
;fj
,E)
2'
, , 1 +_1_
23)' La expresión 1 - 1 _ - J 3 ,1 + - J 3
A)
1 B)
- - J 3
e) - J3
D) 1 -
- J 3
E) 1+.Jj
24) Si
. J x
+' 2 = 3, entonces x
A) -1
B)
e
2
D) 3
E) 4
25) r x + 2 = 3, entonces x
A) -1
Bl
e), 5
D
7
E)
9
PSU.
~ademo
de Ejercicios Matemática
30) EnOC, la igualdad ( . r x f = [ x [ se verifica si:
(1 )
x z
O
(2)
X <
O
- A) (1) por sí sola
t
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N ° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
CAPíTULO 11 FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Test N° 12: Funciones:
conceptos
fundamentales
1)
¿euál(es)-de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en
B?
I) A~B - -lI) A~B I1I) A~B
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 86/195
I
L...__
,E) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí
sola, (1)
ó
(2)
.E) Se requiere información adicional
r
i
I
,- ,
1
i
172
I
,
A)
Sólo
L
B) Sólo n.
e) Sólo I I I .
D) Sólo 1 y m.
E) Sólo T I y ID ;
2) Siendo A
= (
2,_3,5} Y B
= {
1,7 }. ¿cuál de los s iguient es conjuntos define una función de B hacia A?
. A) ((1,2)}
B) {(1,3),0,5) }
e) ((1,5), (7, 3) }
D) ((1, 2), (1, 3), (1,5), (7,2), (7,3), (7, 5)}
E) ((1, 1), (7,
- j 2 X ' + 1
3) Si f(x) = -
x-4 .
si x >
si x s
1
entonces se afirma que:
I)
f(3)=7
De estas igualdades,
estson) verdaderajs):
A) Sólo L
B) Sólo H.
e) Sólo 1
y
lI.
D) Sólo H
y .m .
E) Todas las anteriores.
4) La fun ci ón f de N a N que le hace corresponder a ~ada número natural «ene» el triple del cuadrado
de su sucesor está dada por la fórmula matemática:
A) f(n)
=
3(n + 1)'
B)
f(n)
=
3n'; -
1
e) [en) = 3(n'
+ ~)
D) f(n) = (3n); 4: l
E)
[en)
(3n + 1)'
H) f(1)
- 3
ID) feO)
=
-4
173
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ ~ a = s•~ ~ ~ _
p su Cuaderno de Ejercicios Matemática
5) Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5
J
y B = ( a, b, e, d
J
y una cierta función f :A -7B definida
como s igue f (l)
=
b; f(2) = a; f(3) =
e y
f(5) = a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son)
verdadera(s)
1) «a» es la imagen de 2 y de 5
Il) la preimagen de ' b» es 1
· . 1
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 12. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
8) Dada la función f(x)
A) -8
B - 6
C) O
D 6
x
2
-
4 ,entonces el valor de f(1) + f(-I)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 87/195
III) el 'conjunto A es el dominio de. la función
IV) el conjunto B es el recorrido de la función
A) Sólo IDy IV.
B) Sólo 1.
.el.
Sólo 1, TI Y III.
D)
Todas.
E) Ninguna de las an teriores.
6)
El gráfico de la función y = f(x),. donde
x
es
ia
longitud del lado de un cuadrado y f(x) es la mitad
del perímetro respectivo es ..
A
E
Y
e)
¡-
YT- fr'¡T l
I v e :
i'
i
Y I- 1 T f 1 T
fT1
-l - r O T - r :r - :
¡tí
1 1
i ¡ i.i l.
- ,¡ , i
rr+rt
d : : : : : : 1
¡.
x
x
D)
E)
. Y t J i ¡ - . . - .- . ' - . . . • .
i
¡
i i
i:
i
y f~ T :-~-rT r
1;
l·
- í i j
x
x
.7) Sean f: Z -7 Z
f(g(IO))
=
A) 60
B) 202
. e)
262
D) 828
E) 848
definida por f(x) = = 4x +
20
Y g:
Z '
-7
Z
definida por' g(x) ~
2X2
+
2 ;
entonces
1 7 < t.
i I
x
E) 8
9) Sean las funciones enteras f
y
h definida s deZ en Z por las fórmulas f(x)
entonces al calcular
3.. f(-'I)
+.
5 .
h(2) resulta
x' -
3 ,
y h(x)
x
+ 4
A) - 6
B) 12
e) 20
D) 24
E) 36
10)
Si f(x) =x' -
, entonces f(-2) -
f(-3)
A) -24
B) -4
e) O
D) 4
E) 12
11)
Sea la función real f: llt-7lRdefinida por f(x)
=5 ..
Entonces: f(-I)
+
f(l)
. A) -1'
B) o
e)
D) 5
E) 10
x -
2
,12)
La expresión.
x' +
8
A)
-8
B) -2
C)
O
D)
2
E).
8
no está definida cuando x toma uno de los valores siguientes:
175
PSU. Cuaderno de E jercicios Matemática
'13)
Sea la función real definida por
f(x)
3
_ , V x
c f O, Entonces
2,
f
(1) , f (2)
X f(1)+f(2)
1
A)
' 4
l
~r
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
16) Dada la función f
(x)
=
kx '- 2kx + 8 ,Si
f -1
=
O, entonces k
=
A) -8
8
3
)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 88/195
1
B) '2
C)
2
3
D 2
E 4
14)'Si
f(x) =
2x' -5x + a ,entonces al calcular el valorde J(a+b)-f(a) seobtiene
2b
A)
(a+b)'
b
1
B) -
2
C) 2(a + b)'
D) 2a + b
5
E) 2a+b--
2
15) Dado el polinornio p(x)
A) p(-1)
E) p(O)
el
p G J
D) p(1)
El p(2)
6x
2
-
5x + 1. Entonces
p f ~
J =
176
C) O,
8,
3
)
E)
,8
, si x ~
O
,si x
< O
Entonces f(2) + f(
-2)
A) O
E) 2
e
4
D) 5
E) 7
18) Dada la función '
f:~ -7 ~
definida por f(x) = 7x -9, Entonces, para elementos distintos a
y
b de
17) Dada la función real f : ~
-7 ~
definida por: f(x); { x ' +,3
x-l
su dominio se tiene que'
f(b) - f(a)
b - a '
A) -9
B) -7
C) O
D 7
E) 9
19) El dominio de la función real dada por la fórmula f(x)=:lx
2
+1 es
',Al
bomf={;E~ X>O)
E)
Domf= xE~/x,~O)
e)
Dorn
f e
{XE ~/x>-l}
D) Domf={xE,~/?l~-l}
E) Dom f= ~
-
-
,.,.
-----_
.. . .
_-'-----'---
177
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
, . ¡
. :
20) Se da la función f : A ~ B definida por el diagrama adjunto ..
Entonces el valor de la expresión
f(4)· f(2) - f(I)· f(3)
f(2)...:f(l)
f
A)
f(2)-f(l)
.\~
J~
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
l'
24) Sean las funciones
h : I R ~ I R
y f:1R
'-7 I R
definidas por las fórmulas
h(x) =
2x + 5
Y
f(x:)
= 3x + 11.
f , ¡
l.
Entonces .el par ordenado que pertenece a I r y f es
'.
A) (-6,-7).
B) (1, O)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 89/195
. . . a -b
f(4)'
21) Sea la función f:N~lRdefinidapor
f(n)=--.- con
e b. Entonces -
a- b f(2)
B) f(4)+f(3)
C) f(2)-f(4)
. D)
f(3)-f(2)
E) f(2)+f(4)
.r a'
+ b
2
A) Sólo 1.
B)
Sólo
H.
e)
Sólo
m .
D) Sólo I y H.
E) Sólo' H
y
Ill.
22) El domini o de la función real dada por la fórmula g(x):=..Jx -1 es .
A) Domg= (XE IR /x >O)
B) Dom'g= {XE IR /x~O }
e) Dom g = {x E I R
t
x » l]
D) Domg= (XE IR /x~
1)
E) Dom g = I R
H)
a'
+ ab + b
23)
El dominio de la función real dada por
la
fórmula
h(x) = .. J x -7 - ,1 7 - x
es
A)
.Dom
Ir
=
{x E
I R
I x ~ 7 )
B) Dom h .,
(x
E I R Ix 5, 7)
e) Dom h = (7)
D) Dom Ir
= I R
E) Dom h = <J l
178
JIl) a' - ab + b'
C) (3, O)
D)
(:-6,
-1).
E). (-7, -6)
25) Si f: A -? I R , con A = {-2, -1,0,4) está definida por f(x:)
el conjunto
x
3
- 1, entonces el recorrido de f es.
A) Rec f
=
{-'l,O, 7, 63 }
B)Recf=
{-9, -2, :-1,63}
C)
Rec
f = {-2, -1, O,4} .
D)
Recf= {- 8,
-1,
D,
63}
E)
Recf
= {-8, O,
1, 64 }
26) Sea la función r
.~C •••
en
I R
definida por la fórmula f'(x)
=
ax
+
10. Si f(-3) = -2, entonces f(-2) =
A) -3
B) -2
e) -1
D)
o
E) 2
. '. . T1J)' )
f(n+l} N
27) Una función del conjunto
N
al. conjunto ~ es tal que f(1
=2 y - __ =
3, vn
E
I . En tal
caso
f(5) = . .
f(n)
A) 6
. B)18
e)
54
D) 162
E) 486
179
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test W 13, FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOÚJTO, FUNCIÓN PARTE ENTERA
28) . ¿Es
f;1R
--- 7
IR
una función?
(1) El dominio de f es IR
(2) El recorri<i~ de f es IR
A)
(1)
porsí sola
CAPÍTULO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
. Y FUNCIÓN PARTE ENTERA
Test N 13: Función afin, función valor absoluto ~ función par te entera
1) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función que
permite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas
es
A) C(n) (15.000
+
22.500) . n
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 90/195
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) La expresión
(1) b*2
h(x) =~ ,con a
y
b números reales, define una. función de
IR
en
IR
si;
b -2
B) C(n) (l5.000 + 22.500)
n
C) C(n)
15.000 + 22.500n
D)
C(n)
15.000n
+
22.500
E) C(n) 22.500 + 15.00
n
2) Un excursionista estima que el tiempo que demora en sub ir una .colina en una. cierta: región está
dado por
T(h) =
2
+ _._h_
horas, donde
h
es la altura de la' colina en metros. ¿Cuál es' la altura
. . . 1.600 .
de una colina si demora 4 horas en subiría?
A) 3.200 m
B) 30400 m
C) 3.500 m
D) 4.000 m
. E) 5.200 m
3) Una compañía de t..léfonos cobra mensualmente $7.000 por arriendo de equipos y $45 por mi-
nuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor 'cuya cuenta mensual asciende a
26A40? . .
A)
743
B) 622
Cl 532
D) 432
E) 332
4) María José, agente promocional de-una compañía de teatro, gana un salario semanal de US $300
. más US $3.por cada entrada que vende. Su salario mensual se puede representar como
s =
300 ,. 3n.
Se le ofrece la oportunidad de cambiar su plan salarial. Con el nuevo plan, ganaría un salario
semanal de US $400 más US .$2por cada entrada que venda.'Su salario semanal con el nuevo
plan se puede representar como s = 400
+
2n. ¿Cu'ántasentradas tendría que vender en una
semana para que su salario sea el mismo
ba jo
ambos planes? .
A)
B)
C
D)
E) .'
140
I D O
80
50
2.0
(2 )
a *
O
I
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Arribas juntas, (1) Y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E l Se requiere información adicional
30) Se desea conocer el valor de f(3) si f(x.)
(1)
feO) =
b Y a
=
2
(2 ) f(1) = S Y f(-l) =
ax +
b.
Para los aspectos teóricos de este contenido el cual es nuevo en relación a las pruebas anteriores P.A.A. y p.e.E. , se recomienda nuestro Manual de Preparación
P.sy . editado por E diciones Universidad Católica de Chile Sexta E di ción Marzo de 2 006
181
i
:
A)
(1)
por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas
juntas; (1) y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
Ej. Se requiere información adicional
RESPUESTAS' CORRECTAS
i
\
L
180
PSU. Cuaderno de Ejercidos Matemática
5) Los biólogos han observado que la frecuencia del canto 'de los grillos de una cierta especie está
relacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos por
minuto a 70°F y 168 por minuto a 80°F.
L a
función afín que relaciona la temperatura t y el
número 'de sonidos por minuto es
A .) f(t) = 75t + 144
B) f(t) =150t + 288
SEGUNDO EJE T EMÁTICO
I
Test W
t
3. FUNCIÓN AFÍN. FUNCIÓN VALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA
(
si En una cierta ciudad se puede arrendar un automóvil pagando $1.000 más $75 por kilómetro
recorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar un auto por un día, si
se recorren x kilómetros es
A) f(x) = 1.000x + 75x
B)
f(x) = 75x - 1.000
C) f(x) =1.000 + 75x
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 91/195
C) f(t) = 24
t
: '
216
, 5
D)
f(t) = 144t + 75
E) f(t) = 2l6t
-1
24
, 5
6) El señor y la señora Herrera planean instalar un sistema de seguridad en su casa: Han red~cido
sus 'opciones a dos compañías de seguridad, Moneywell
y
Doile. El sistema de Moneywell cuesta
$336.000 de instalación y $1.700 semanales. El sistema equival ente en Doile cuesta s610 $226,OQO
de
instalación, pero su tarifa semanal es de $2.800, Si las tarifas semanales no cambian, ¿dentro
de .cuántas semanas se igualarían los cos tos de ambos sistemas?
A)
10
B-)
20
é)
35
D) 44
E l 100
7) Un colegio está conside rando la compra de uno de dos sis temas 'computacionales. En el sistema
A, el computador principal cuesta US $3,600 y los termina1es US $400 cada uno. En el sistema
B, el computador princi pal cuesta US $2.400 y los terminales US $600 cada uno. Representando
esta situación con e l s is tema de ecuac iones .
e = 3.600 + 400n
e = 2.400 + 600n
en que e es el costo total y n es el número de terminales, ¿Cuál es el número de terminales
para el cual ambos sistemas cuestan lo mismo? '
A)
<}
B) 8
l
q
7i ·
'1,
D) 6
E) 5
/
~
~i
- ' - - '
182.
D) f(x) = 75x - 1.000
(
l.OOO)x'
E)
f(x)
=
75
9) El punto donde el gráfico de f(X)=-~X+() intersectaal eje X es
A) (O, 6)
B) (16, O )
C) (6, O)
D)
(O,
16)
E)
( - % ,
6 )
l O) L(x) es una funci
i
aíín
con
L f-í)
sistema
{4a+b =2
A)
2a+2b =-1
B)
¡
2 ; + b . 4
--a+b=l
2
C)
{ + 4 b = , 2
a+b=-- 2
{ a+4b=2
D) ,
2a-2b=-1
¡ ± > + 4 b = 2
EJ.¡
a+b=--
2
1
2 Y L(l) = --, Para encontrar Líx) podemos resolver.el
2
183
¡¡--,
j
p s u
Cuaderno de Ejercicios Matemática
11)
El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios, Tienen.la idea de hacer un
periódico semanal,
y
averiguan que si se hacen n periódicos, el costo por semanario viene
dado por la fórmula:
C=2 (40
+
10,~)
dondeC = costo y n =' número de periódicos. ¿Cuál es el costo de cada periódico, si deciden
:: ¡{
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 13, FUNCIÓN AFIN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, FUNCIÓN PAR TE' ENTERA
Paula
y
Mónica comienzan su recorrido cuando se encuentran a cierta distancia de un pueblo. El
gráfico muestra el movimiento de sus autos, donde
d
representa la distancia de los autos al pue-
blo
y
t el tiempo que llevan de -viaje,
A par ti r de la información del gráfico,
15)
se puede afirmar que:
d(km)
8/17/2019 Matemáticas UC
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imprimir 500 ejemplares?
A)
80
B) 100
C) UO
D)
120
E)
130
12) El punto de, intersección de las rectas de ecuación x =
-3
e
y 7
es
A) (4, -ID)
E) (3, -7)
C)
(-3,7)
D) (7,-3)
E) (-7, -3)
13)
Si E(x) es la función Parte Entera que asigna a cada a número real x él mayor número entero
que es menor o igual que
x,
entonces, '¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre
verdadera(s)? .
1) VXE IR:E(~) = E;X)
Il) VnEZ:E(n)
=
n
1Il) E(-1,5)
-1
A) Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo III
D)Sólo 1y II
E) Sólo II y m
14) Si E(x) es la función Parte Entera, ¿cuál de las proposiciones siguientes es falsa?
, ,
A) -E(O) = O
B) E(5) - E(4)
=
1
CJ. E(l,72) - E(I)
=
0,72
. E(2,5) 1
D) E(2) =
E) E(- 1,34)
= -
2
184
250
200
, ,150
100
50
Paula
. 800
A)
200
600
,
E
B) 300
400
. C)
400
D)
510
200
E) 600
Mónica
,2 t(hr)
A)
ambas recorreri
IS O
km en una hora.
B) en una hora de viaje, los dos autos alcanzan la mi sma velocidad.
C)
el auto de Paula va
m á s
rápido que el de Mónica durante todo el viaje.
D)ambos autos recorren la misma distancia hasta el final del viaje
E) el auto de Mónica es más antiguo que el, de Paula..
16) En la recepciónde encomiendas de la oficina de correos de-cierta ciudad disponen de gráficos como
el siguiente para
e
ular el costo de envío .de encomiendas, ¿Cuál es el precio de una 'encomienda
que pesa 425 gramos'?
17)
El conjunto de la(s} solución(es) de la ecuación
I -3¡¡ I
=
36,
es
A) {12}
B) {'::'12,12}
C) 0
D) IR
E) {-12}
100'
300 500 .
.g ramo s
185,
X
t : 1
C) c= -(25+s)
50
P Sll, Cuaderno de Ejercicios Matemática
l8).El gráfico siguiente podría corresponder al- de la función:
y
t{;j
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N' 13, FUNCIÓN AFíN. FUNCIÓN VALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA
A) f(x:) = - I 2x I
B) f(x) =3 -Ix + 2 I
C) f(x)
=
3 + I x . ..;. 2 I
D) f(x) = -2
+
I x - 3 I
23) La comisión c de un corredor de bolsa' es de US$25 más 2%' del valor de la venta,
- s ;
por lo tanto,
su comisión es. una función de las ventas que está dada por la ecuación
A) e = 25 + D ,D2 s
B)
e = 25.+ 2s
.O
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 93/195
D) e = 25s + 0,.02
E) e = (25
+ -
D, D2) s
E) f(x) = -2 + 1
x
+ 3 I
24) La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo es una función del número de
patinadores po: semana,. n. La función que aproxima la ganancia es
p
=
f(n)
=
8n - 60.0, para .O ~ n ~ 4 .0 .0
Si una semana la gananc ia fue 1..080, ¿cuántos fueron los .patinádores en esa semana?
A) 8 . .04 .0
B) 4 ..02 .0
e)
21.0
D) 6Ó
E) 5 .0_
25) El largo de un rectángulo es el doble del ancho, La función que permite calcular el perímetro del
rectángulo si' se' conoce su ancho x es
A)
f'(x)
=
2x
B)
f(x) = 4x
C)
f(x)
= 6x
D) f(x) ~ 8x
E)
f'(x) = IOx
26)
¿Cuál de las funciones siguientes corresponde a una función afín?
A)
f = (
(-1, 1),
( . O ,
O).(1, l)}
B) f = { r-i, 1), .0, 2), (1, 4»)
e)
f = f (..;.1, 1), .0 ,2 ), (1, 3»)
D)
f
= ( (_1, 1),
D ~
1), (1,
2»)
E) f = ( (-1, 1),
.0,3),
(1, 6»)
. '27) Si f(x) = 2x ya>
O
entonces el perímetro del triángulo rectángulo sombreado de la
A13a
B) 6a
figura es
19)
¿euál(es) de las proposiciones siguientes es(son)
verdaderaís)
para todo número real
x?
I)N=
x
II) Ixl =N
Ill) 12-x I ~ ~(X_2)2
A)S610 1
E) Sólo II
e) Sólo
III
D) Sólo 1 y II
E)
Sólo
II
y
III
2.0) Los gráficos de las funciones f(x) = l x l - 1, .; g(x)
2. se intersectan en el(los) punto(s):
y
f(x)
A) (3, . O )
E) (-3,
. O )
e) (-3, 2) Y(3, 2)
D) (2• .O ) Y (3, .O )
E) ' (-2, 2) Y ( 2, 2)
21) ¿En cuál de las siguientes alternativas, las variables tienen una relación definida por.una función
lineal? . '.
Volumen de una esf er a
H
Radio de la esfera
Diagonal de un cuadrado
H
Lado del cuadrado
Volumen de un cilindro
H
.Radio de la base del cilindro
Area de un cuadrado
·H
Lado del cuadrado
Área de un 'círculo
H
Radio del círculo
A)
E).
C)
D)
E)
22) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes. es verdadera respecto de la función valor absoluto?
A) Su dominio es el conjunto de los números reales no negativos.
B) Su recorrido es el conjunto de los números reales.
C)' Es una función decreciente en todo su dominio.
D) Es una función de segundo grado.
E) Tiene un mínimo valor.
186.
e) 3a(1 + J5)
D) a(3 ~ J5)
x.
E) 3a + J 5
. ,
187
PSU. Cuaderno de
Ejercicios Mille~tica
28) ¿Es la función f lineal?
'( 1) SU gráfico es una recta con pendiente positiva que pasa por el origen.
(2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0)
y
Q(0,5).
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
; ¡¡. ; .
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Tes t N 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA
~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~~~~~~~~~~~~~~~==~~
¡.
CAPÍTULO 13. FUNCIÓN CUADRÁ rICA
Test N°, 14: Función cuadrática
1) ¿Cuál/es) de las s iguientes funciones estson) cuadrática(s)?
1)
f(x) = (1-x)(x+3)
lI) g(x)=5-3x-x'
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el Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una, por sí 'sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere informacióu adicional
29) Ixl =
1) R= 3
(2) I xl' = 9
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1)
y
(2}
D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)
E)
Se, requiere información adicional'
30) La parte entera del número entero x (Eíxj), se puede determinar si se sabe q~e:
(1) ,...3~
xc
O ,
(2)
x'
= 4.
A) (1) por sí sola
B) (2)
por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por si sola, (1) ó (2)
E)
Se requi ere i nformación adicional
I
i
; 1
1
RESPUESTAS CORRECTAS
IU)
h(x)
x3-3x2+2x+l
~x
Al
S6lo
B) Sólo II
C) Sólo III
D)
Sólo
1
y II
,E) S610 1 ,y III
,2)
¿Cual(es) de las gráficas siguientes corresponde(n) a función(es)'de segundo grado en la variable x?
,III)
x
-6
-4,
~2
o 2
4
6
-2
-4
188
1)
,'6 -4
189
I1 ) ,.
L
-6 -4 ,-2
~
4'
-2
'-4
Al Sólo 1
B) Sólo II
C) S610 1
y
II
D)
S610 1 Y III'
E) I,n y III
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
3) El gráfico de la función f(x) =x
2
- X
-6, intersecta al eje Y en el(los) pun tots) de coordenada(s):
A) (O, 6)
B) (3, O ) Y (-2, O)
e) (-6, O)
D) (O,-6)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 14. FUNCIÓN CUADRÁTICA
J;
r ,: '
7) La ecuación del eje de simetría de la parábola y= 3 (x - sf + 2 es
A) x-3';'0
B) x-5=0
e) x-2=0
8/17/2019 Matemáticas UC
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1
1
1 :
1
. .
~
l
i
t i
l'
¡I
ti
~
f
t
,
t
. (1 o )
E) 2'
4)· ¿euál(es) de los siguientes puntos pertenecem) ál gráfic~ de la función f(x)
=
_x
2
+ 1
?
l) (0,1)
II)
(1,0)
rnl( -1 , O ) ,
A)Só~o l
B)Sólo TI
e) Sólo l y II
D) Sólo 1 y
ID
E) r, II Y ~TI
5) ¿euál(es) de las siguientes relaciones está(n) dada(s) por una [unción cuadrática?
1) Diagonal de un cuadrado y ·el área del mismo.
II) Lado de un triángulo equilátero y área: del
ITÚSffiO.
III) Superficie de un cubo y volumen del mismo.
A} Sólo I
B) Sólo TI
e) Sólo
ID
D) Sólo l y II
E) Sólo l y
ID
6) El vértice de la parábola cuya ecuación es
y=-2x
2
+4x+10
·es el punto de coordenadas
A) (1,0)
B) (1,10)
C) (1;12 )
D) (-I+F6 ,- I-F6 )
E) (-1,4)
190
D)
x+3~0
E)
x+5 =0
8) El vértice de la parábola y = -(x
+
1)2 -2 es el punto de coordenadas
A)
(-1 ,-2)
B) (1 ,-2)
e)
(- 1 ,2)
D) (1,2)
E)
(-2 ,-1 )
9) .Respecto del gráfico de la: función
f(x)
=
x
2
+
4x
+
1, es correcto afirmar que:
1)
tiene un mínimo valor en el punto. de abscisa -2.
II)
es simétrico respecto de la recta de ecuación y = -2 .
ID )
intersecta al eje Y en el punto de coo rdenadas .(0,1).
A) Sólo 1
B) Sólo II
e)
Sólo III
D) Sólo 1 Y TI
E)
Sólo 1 Y III
10)·
Si el vért ice de la parábola de ecuación
f(x)
=
x
2
+
kx +36 es un punto del eje X, entonces el(los)
'. valorfes) de k es(son)
A)
±4
B)
±6
e)
9.
D) ±1 2
E
36
-'---,----
191
PSU. Cuadernode Ejercicios Matemática
11) El gráfico de la función [(x)
A)
5 - 2x - x
2
es
D)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N' 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA
.I~¡ ..
13)
¿euál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = 2x
2
+12x+
16
es(son)
verdaderats)?
1) Tiene un máximo .valor en el punto
(-3,
-2),
II) Su dominio es el
co njunto
de los números reales
(IR ).
8/17/2019 Matemáticas UC
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i
i
. .
r·
i
I i ;
i l
I U
A) Sólo 1
·3
·6
-4
- ¡
- ,f
2
\ 4
•
S •
I
,
B)
Sólo II
.a
-6
-4
- ,
l o
< /4
6 sl
I
C) Sólo ID
l
D) Sólo 1 y III
B)
E)
El .
l.:
I
Y
III
-8
-6
-4
1\
~I
1
-
-6
-4
e)
, r
C\
s
-K
-ú
-4
-2
12) Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y=2x
2
es
1
1 1
h
f
i
j .,
¡ ll '
A~ y=-2x2
1
z
B)
Y = 2
x
e)y=x'+2
D) y=-2(x+I(1-3
E) y=2(x-I)2+3
19,2
ID) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que -2.
14)
Si la ecuación de una parábola es y=3-2x-3x'. entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
1) La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados.
Ii) La parábola corta ambos ejes coordenados,
ID) La parábola corta al eje
X
en dos. puntos distintos.
A)
Sólo
1
B) Sólo II,'
e)
Sólo III
D) Sólo 1 y II
E ) Sólo II y ID
15) Un
intervalo en el cual la función dada por f(x)= _x
2
+
8x- 3
es estrictamente creciente es
'A)
]-'00,13[
B) ]-4,+oo[
e) ]4 ,
+00[
D) ]- ,4 [
E)
]-00,-4[
,
16)
'¿Cuál debe ser elvalor de k para que la parábola y=x
2
+kx+S
tenga su vértice en el pu~to, (2,:-1)?
A ~6
B - 4
e)
-3
D 2
E) 4
193
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
17l La ecuación de la parábola que t iene l a misma forma que y = x' pero con vértice en (-3,2) es
Al y=-3x
2
+2
.B)
Y=(X-3)2+2
Cl Y=(X-3)2- '2
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test
W
14, FUNCIÓN CUADRÁTICA
21 ) ¿Cuál de los s iguien tes podr ía ser e l gr áfico de la func ión que exp resa la re lac ión ent re e lcateto de un
triángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo?
.
.
Al 2l )i . ............ • / • ) •
B)
2tX ..:...... . . . . .
. ' '
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 97/195
D) Y=(X+3)2_2
El Y=(X+3)2 +2
18l S i se lanza una pied ra vert icalmente hacia a rr iba , ésta sube hasta un c ie rto pun to y luego empieza a
caer. La rel ación que exi st e entre el t iempo t, en segundos, que la piedra ll eva en el aire cuando se
encuentra a una al tura y, viene dada por la fórmula y = - 5 e +20t + 10. ¿Cuándo alcanzará el punto
más alto?
Al A los 0,5 segundos. '
B) A 1 segundo.
C)
A los 1,5 segundos.
Dl A los 2 segundos.
El A los 5 segundos.
19l Al hacer un estudio de mercado de relojes con teléfono incorporado, una compañía f in landesa obtuvo
las s igu ientes funciones de o fe rtay demanda de d icho produc to en func ión de su pr ec io:
1
z
2 2
demanda: y=--x +7.000.000 oferta: y=-x
5 ~
siendo
x
e l precio de un r eloj -teléfono, en UM (unidades monetarias)
y
l a cant idad de r elojes -
teléfono que se demandan o se o frecen en un año. ¿A qué p recio, en un idades mone ta rias (UMl se
deber ían vender los relojes-teléfono para que la demanda iguale a la oferta?
Al 7.000
Bl 6.500
Cl 6.000
D) 5.500
El 5.000
20l De entre todos los rectángulos' que tienen un per ímetro de 20 cm, el de mayor área tiene dimensiones:
Al 1 cm
y
9 cni
.Bl 2 cm
y
8 cm
C) 3 cm
y
7 cm
D) 4 cm
y 6 cm.
E) 5 cm
y 5 cm
194
,
x
I
O
: 1
:2
3
O
1
:2
3
Dl4Y..
, 1+ - . . · . . . . . ¡ . . . . . · · · . . ~ · · · · · . .. . . . . .
· 4 . . . . .. · . .. .. .. . ..
¡ .. .. .. .. . . . . . . .
x
I
I
,
2 ' 3
O
1 2 3
x
x
El 2 + < L .
x
1 : 2
3
22) Se arro ja una pelota desde e l sue lo y laa l tur a, en metros , v iene dada por y = ~5t' + 1al, siendo
t
el
t iempo en segundos . ¿Cuá l es la a ltura máxima que a lcanza?
Al 10
m
B) 7,5 m
C) 5m
r» 2,5 m
E) 1m
195
su Cuaderno de Ejercicios Matemática
23) La ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto
(2, 3)
y que pasa por el punto
(3, 5)
es
A) y=2x
2
-:-8x,+1l
B) y=2x
2
+8x+1I
C) y=-2x
2
-8x+1l
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I
Test N 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA
,~ 27) El valor máximo de la funciónf (x) = 3
+
4x' - x es
¡ :
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 12
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 98/195
D)
y'=-2x
2
+8x-ll
E)
y= 2x
2
+8x-ll
24) . La efecti vidad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un e spectador. Después
de algunos experimentos.. una agencia de publicidad ·determinó que si la efectividad E se mide en una
escala del O al 10, entonces
2 1 .
2
-n
E (n) = 3
n
-
90
donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial, Para que éste tenga una
efectividad máxima, ¿cuántas· veces deberá verlo ·un espectador?
A) 60
E)
50
C)
40
D)
30
E
20
25). Dos números cuya suma es -24 y cuyo producto es máximo son
A) ~36
Y
12
El -24
Y
O
C) ~14
Y
-10
D) -12
Y
-12
El -6
y
-18
26) Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál
. es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canalera de máxima capacidad?
A l
7,5 cm
. Bl
10cm
1<-30- ¡
~
¡
C) 12,5 cm
,
,
.~,
D) 15 cm
,
,
El 17',5 cm
,
.
,
,
,
,
ty=
x
196
I .. .____--_
28) ¿Es f (x ) una función cuadrática?
(1) El gráfico ·de f(x) tiene dos intersecciones con el eje X.
. (2) El gráfico de f(x) tiene simetría respecto del eje
Y.
A) (1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) Y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) La altura de 'una pelota en vuelo está dada por h(t)
=
At -.Et2 , con
t > O .
Poderrios determinar la
altura máxima que alcanza la pelota si se conoce que:
(1)
El' gráfico de h(t) es simétrico respec to de la recta cuya ecuación es
t = 5.
(2)
h(l)
='18.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).;
E) Se requiere información adicional
3
O )
Se puede determinar la ecuación de una parábola' de la forma f (x)
=
ax
2
+ bx + e, si se sabe que:
(1) Pasa por los puntos (0,0)
y
(8,0)
(2) Tiene un mínimo valor en e¡ punto (4,~12)
A)
(i)
por sí .sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (l) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6(2)
El Se requiere información adicional
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~A
Test N°15:Ecuación cuadrática
1 ) ¿euá l( es ) de las s iguientes ecuaciones es(son ) de segundo gr ado en la incógni ta «x»?
1)
(x+1)' =(x2+7)(x+l)
H) (2X_S)2 =(2X+S)(2x-S)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
S)
D
d
1
a+b X ° b 'al' .
a a ecuacion ------= ,en que a
y
representan numeros re es pOSItIVOS,ntonces la(s)
x
a+b '
solución(es) para x es(son):
A) O
B) a+ b
e) -(a + ti)
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ID ) (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x
2
A) Sólo l.
B) Sólo 1
y
H.
e) Sólo TI ,y III.
D)
Sólo 1
y ID .
E) 1, H Y III.
2) La soluc ión de la ecuación x
2
+ 16 = 2S es x =
A) -3
B) 3
e)
-9
D) 9
E) -3 Y 3 .
3), E l c?njunto soluc ión de la ecuac ión ,_4x
2
= -64 es
A) {16}
B) {-4}
C) {4}
D) {-4, 4 }
E) {-2, 2 }
4) El va lor de k requerido para que x= -1 sea soluc ión de la ecuac ión x
2
_ 2kx = k + x es
A) -2,
2
3
B)
e o
2
3
2
D
E)
198
D a- b
E) ±(a + b)
6)
Si x
2
, - 8x = O, entonces x
A)
O
Y
8 .
B)
2
Y
4
e)
- 8
y
8
D
O
Y -8
E)
-8 Y
8
7)
Si (x - 6)(x + 8) = O, entonces x
A) -6
Y
8
B) -6
Y -8
e) 6 y
8
D 6
y-8
E)
Sólo 6
8)
En la ecuación
x
2
+ 99 x - 100
A) -100
B)
-9 9
100
99
D) 99
E) 100
C)
O, l a suma de su s r aíces (o soluc iones) es
9) El va lo r de «m» en la ecuación x -r- 3x
=
m para ,que la di fe renc ia de las ra íces sea 2, 'debe ser
A) -1,2S
B)
0,2S
e) O, S
D) 2
E) 2,S
199
.~
P SU . C uadern o Ejercicios M atemática
i
.
: I
i,
~
10)
La suma de las raíces de la ecuación
=
1 vale
x-a x+b
A) a - b
B) b -
a
: 1
i
a
C)
b
I J .
¡ \
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
¡ 4) ¿Qué valor debe tener «p» en la: ecuación x'-(2p - 1) x + p2 = O para que sus raíces difieran
en la unidad?
A)
B
e
-1
O
8/17/2019 Matemáticas UC
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~ 1
¡
. 1
1
,
D
e
a
E)-ab
. 1
11) Sean x, T X
2
las raíces de la ecuación x
2
,
+
36 = px . Para que se cumpla la condición x,
el parámetro «p» debe valer
i ¡
, I
I ,
A) - 4
B) -2
e)
o
D
2
E) 6
'
12) En la ecuación 2x
2
-5x
+
4(k-2)
=
O, para que una de las raíces sea igual a l valor recíproco
de la otra, k debe ser igu,al a
A) O
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) Ninguna 'de las anteriores.
13) ¿Qué valor debe tener «m» en la ecuación mx'
+
x
+
(3m 2)'=0 para que sus raíces sean
inversas multiplicativas lá una de la otra?'
A) ,1
B)
2
3
C)
3
2
D
2
3
3
E)-2
200
-x
2
,
O
1
4
E)
4
, 15) Sia
y ~
son las raíces de la ecuación ax
2
+
bx
+
e
=
O , el valor de a
2
[ 3 .
+
a ~2, es. '
b
A)
e
B)
bc
~
C)
be
2
a
O
ab
2
, e
e
E)
b
16) Si x,
y
x
2
son las raíces de' x - 7x
=
3, entonces el valor de (x, +
1)(
x
2
+
1)
A
, -3
B) ,
1
C) 4
D
5
E)
7
17) Los valores de k para los cuales la ecuación 2x
2 -
kx
+
.x
+
8
=
O tiene raíces reales: e iguales son
A) 9 Y -7
B) solamente '-7
C) 9 Y 7
O) - 9 Y - 7
E) solamente 9
~
l•
.
,
201
·PSU Cuaderno de Ejercicios
Matemática
18) Si XI 'y X
2
son las raíces de' 3X2 - 10x + 5
O, entonces el valor de la expresión
_X~I_ + 2L- .
XI - 1 x
2
_ 1 es Igual a
A)
10
3
. ,
ti
SEGUNDO EJE TEMkTICO
Test N 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
22) Si las raíces de una
ecuación
cuadrática son
x,
= X, = ~, entonces ella es
2
2
.
1
A)
X
-¡x-¡=O
B)
4X2
+x+-l
eO
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 101/195
1
B
1
2
e
O
D
5
3
I
.
E)
10
3
.
. .
19) El valor de
k
para que la ecuación x
2
-8x + 2(k-2) =
O ,
tenga una sola raíz real es'
A)-3
B) 2
C 4
D
6
E) 10
20) El discriminante de la ecuación x2+2.J3x+3=0 es cero, entonces sus raíces son
A) reales. e iguales.
B) racionales e iguales.
e) racionales y distintas.
D) irracionales y distintas.
E)
números no reales.
21) Un valor de k para que la ecuación x2+(k+4)x+16=0 lt?nga una sola raíz real es
A) -4
B)
O
e
3
D
4
E) 12
202
e)
x ~J
=0
D) 1+4x-x =O
E) 4x
2
.-4x+l=0
23) Si XI' Y x
2
' son las raíces de la ecuáción
x
2
-2x+3=0, ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son
. ~
. 1
Y -?
x
2
A)
3x
2
-2¡¡:+1=O
B)
'1+2x-3x
2
=O
C)
3x
2
+2x+l=O.
D ) 3x
2
+2x-l=O
E) Ninguna de las anteriores.
24) Si
a
yb son números reales t ales que b2:0, la ecuación cuadrática cuyas raíces son a+.Jb
y
a-Jb, es
A)
a
2
x
2
-
b
=
O
B) (x-a)'=b
e) x
2
+(b-a
2
)x+2a=0
D) x
2
-(2a+b)x+a' =0.
E) b
2
x' -a =0
25) En la' ecuación bicuadrada
x
-5x
2
+4 = : O , los valores de
x
son
A) ±5, ±4
B) ±4, ±2 .
e) ±4, ±1
D) ±3, ±
E) ±2, ±
203
¡s : __
__o _ ___ _
· s u Cuaderno de Ejercidos Matemática
26) La(s) solución(es) de la ecuación x'+a=x+a', donde «a es un número real cualquiera, es (son)
1 )
a
II)
o
IIl) l-a
AY Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo 1 y II
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test N 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
3'0) Se puede determinar el área de un triángul o rectángulo si se sabe que:
(1)
Su hipotenusa mide
13
cm,
(2) La' diferenc ia de las longitudes de los catetos es 7 cm.
A)
(1)
por sí sola
B) (2)por s í sola
C) Ambas juntas, (1) y
(2)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 102/195
E) Sólo 1
y
III
27) Las raíces de la ecuación x' - 2x
=
O se 'pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los
, puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par
A) y=x', y=2x
B) y= x
2
-2x, y = O
C)
y
= x;
y =
x - 2
D) Y = x
2
-2x + 1 , Y = 1
E) y=x
2
-1. y=2x~1
28) Se pueden determinar las raíces de la ecuación'2x'+kx-15 =
O
si se sabe que:,
(1) (2,7) es un punto del gráficode y=2x' +kX-15
(2) Su producto,es -1;5.
A)
(1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D)Cada una po r sísola,(1) ó (2)
E)
Se requiere información adicional
29) Si a, b y c son ~úineros rea~es, con a ' O , ¿son números reales las 'raíces de la ecuación ax + bx
+
e = O ?
(1) b'
-4ac
¿
O
(2) E l gr áfico de f'(x)
= =
ax
2
+ bx + e int ersecta al eje X en dos puntos distintos.
AY (1) por sí sola
B) (2) por sí' sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, el) ó (2)
E) Se requiere información adicional
204
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó(2)
E)
Se requiere información adicional
205
1 1
PSU _
Cuaderno
de
Ejercidos
Ma temá tic a
CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA
Test N° 16: Funciones potencia, exponencial
y
logarítmica
1); ¿euál(es) de las siguientes func iones cor respondem) a func ión(es) potencia?
1 ) f(x)
=
3
2
II) h(x)
=
Ji)'
1lI) p(x) = X'
A)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test N' 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOOARíTMICA
,~
5) Si el gráfico de la figura es el de la función
y
= x entonces ¿cuál de las alternativas muestra el'
gráfico de y
=
< J x ?
~
D
y
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 103/195
A) Sólo 1
B)
Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y. II
E) Sólo
1
y m
2) Si V(x) es la función que permite calcular el volumen de un cubo en términos de su arista,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdaderaís)?
1) El dominio de la función es el conjunto delos núineros reales positivos (IR').
'Il) El recorrido de la función es to~o el conjunto de los números reales (IR).
TII) El' gráfico de la función tiene simetría respecto del origen del sistema «0,0)).
A) Sólo 1
B)
Sólo
1
y II
e) Sólo' I
y
III
D) Sólo II y III -
E)
I,II
Y
III
3) Si n E IN Y n es par, entonces ¿cuáLde las siguientes afirmac iones relativas a la función f(x) = x es'
falsa?
A) El dominio de f es IR
B) El recorrido de f es IR+ v {O}
C) El gráfico de f tiene un mínimo valor
D) El gráfico de f tiene simetría respecto al eje Y
E) 'lfXEIR: fe-x) = -f(x)
4) Si en la figura se tieneel gráfico de una función del tipo f(x)
=
ax , ¿cuál(es) dejas siguientes
proposiciones 'estson)' siempre verdadera(s)?
1) a < O.
II)
III)
A)
B)
e
D
E)
n es par mayor que 2.
a E Z.
Sóio .I
Sólo, II
I
.-6
- 4
- ~J \ 2
4
6
Sólo 1 y II
Sólo 1
y
III
1
1 - 4
Sólo II
y
III
206
6) La figura muestra los gráfi cos de las funciones potencia: f(x)
=
x , g(x)
=
x y
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
1)
n
<
m
< p.
11) n, m y p son números enteros impares.
I1I) ID - n:= p - m = 1.
A) Sólo 1
B) Sólo rr
C) Sólo III
D) Sólo 1 y III
E) Sólo 1
y
Il
B)
C
y , .
207
E
y
h(x) = x
p
.
0.5 '
¡,5
·0.5
¡
¡ . s .
-0.5
.¡,
1 5
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 104/195
I ¡
i
I
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
16)
Una pareja de 'conejos se deja en una isla, en condiciones tales que su .número se triplica cada.ó
meses. ¿Cuál es la función que representa el número de conejos (y) después de 'transcurridos x
años? .
~
20)
¿eual(es) de las siguientesafirrriaciones relativas a la función f(x)
1) Es decreciente en t odo su dominio. ,
II) El gráfico de f pasa por e t origen del sistema de coordenadas.
III) El gráfico de' f no corta al eje X.
A) Sólo 1
B)
Sólo II
e) Sólo III
~ SEGUNDO EJE TEMÁTICO
¡T es;
N 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENC1AL
y
LOGARÍTMICA
1 {
1 - 2' es(son) verdaderars)?
A) Y
=
2 ,3
B) Y
=
2, 3'
C) Y
=
2 . 3
t
D
=
6
2
' .
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 105/195
\
J
t ,
fea )
f(b)
D)Sólo
1 y
II
El Sólo II y III
22) El dominio de la función f(x) = : log(3x - 1) es
A) ]~,
+ o o [
B) H ,+ o o [
C) . ]0 , +oo [
D) [-~, +
o {
E) IR
21) ¿euál(es) de las siguientes características
relativas
a la función logarítrnica f(x) = log.(x), siendo
«b» un número real positivo distinto de uno, es(son) siempre .verdadera(s)?
1 ) Si log.(x) = 16g
b
(y) entonces x = y.
II) Los logaritmos de números negativos son negativos.
I1I) f(b')
=
x.
A) Sólo 1
B) Sólo II
e) Sólo III
D) Sólo 1 y 11
E) Sólo
1 y
III
2
E} Y
=
12x
17) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente' modo: correrá:cadadía el
. doble de lo que corrió el día' anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número
de metros que corre el día x, si el primer. día corrió 1.000 metros?
A) 1.000' 2(x - 1)'
B )
1.000,
2 <
·.e)
1.000, 2'-1
D)
1.000, 2'·1
E) 1.000· 2x
i
) Un cierto tipo de bacteria es .tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo se deja una de
estas bacterias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veidact'er¡¡(s)7.
1) En 10 días habrá 2 4 bacterias.
II) Transcurridas 20 horas habrá 4 bacterias.
III) .En 2n días el número de bac te rias será 2'.
A) Sólo
B}
Sólo
1
y II
e) Sólo
1
y III
D) Sólo II
y
III
E) 1, II Y III
19)
Dada la función exponencial f(x) =( ~ J ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
córrecta(s)?
1)
f( : u) =
(f(U»-I.
IJ) f(m
+
n) = f(m) , f(n)
IlI)
f ( ~
J
A) Sólo 1 y II
B) Sólo 1 y III
e) Sólo II y m
D) 1, ti
y
III
E) Ninguna de las tres
2
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
A)
23) Si la base b es un número real pos it ivo mayor que 1, ¿cuál de los siguientes corresponde al
gráfico de,
y
= 3 + 10gb(X- 2)?
D
~
~
2
4
6 \
~
~ ~
2
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡'Tes, N'16, FUNCIONES POTENCIA. EXPONENCIAL
y
LOGARfTMlCA
,
. 1
1
25) Para' que la función
f(x) =
a', de base real,' corresponda a una función exponencial, 'debe ocurrir que:
(1)
a debe ser r ea l, positiva
(2) a ~ 1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) Y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó
(2)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 106/195
~ r
1
~
¡ ,
1 ·
I
~t
I
I
I 44 I I
26)
B)
1
t,v
x
-6
4
O 2
4
6
, -2
4
C)
y
.
¡
2
x
-6 ,
-4 -2
O
2
4
6 '
-2
-4
E)
,
..
y
4
2
x
-6,
4
-2
O
4 6
-2
~
4
24) ¿Cuál debe ser el valor de a en el gráfico adjunto para que la' función representada sea f(x) = log,(x)? '
A) 4
B) 2
C
1
D) 4
1
E) 2
2 2
y
O
x
E) Se requiere información adicional
Para que la función f(x)
=
log.(x), de base real,
y
con argumento positivo
x,
corresponda a una
función logarítmica, debe ocurrir que:
(1) a debe ser real positiva
(2)
a ~
I
A) (1) por sí sola
B) (2)por sí sola
.ci Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó
(2)
El Se requiere información adicional
i : _ •
Dada la ecuación Iogarítmica 10g( x: 9)
incógnita
x
satisface la(s) condición(es)
(1 ) x + 9
>
O
(2)
x>
O
'A) (1) por sí sola
B) (2)
por sí sola
el
Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó
(2)
E),
Se requiere' información adicional'
28) Sabiendo que lag 10 = lag 'i o o . entonces la igualdad anterior tiene lugar si y sólo si, la relación
:\ y . .
entre las bases
x
e
y
es:
27)
log(x +9) + log
(x),
ella se satisface si
y
sólo si, la:
1
,
1 1
(1) Y = 2x
2) y
=
x
2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e). Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sol a, (1), ó (2)
E) Se requiere 'información adicional
213
, I '
~
,
PSU u ad er no ·de Ejercicios Matemática
29) Si
X
e
y
son números rea le s positivos, entonces dada la igualdad 10g(~) = O, ella se satisface si
y
s610 si, la relación entre
,x.
e y es
(l)x-y=O
(2) ~ == 1
Y
A) (1) por sí sola
:~
.i
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test
W
17. ECUACIONES IRRACIONALES,
CAPÍTULO 16. ECUACIONES
IRRACIONALES
Test N° p:Ecuaciones írr-acíonales
\
1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes es(son) irracional(es)?
I) x +
fi
= fi II)
rx+2
= fi
A) Sólo L
B)
S610 u
ID).rx
.J 2 fi
8/17/2019 Matemáticas UC
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I
J
t
~
í
h
1 ,
~
f ¡
1
~
¡ -
1:
l
~
1I
¡
1
1
B) (2)
po r
sí sola
C) Ambas juntas, (1) X (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó'(2)
E) Se requiere información' adicional
30), Da'da la ecuación logarí;mica log(x)=- 10g(~), para resolverla, se transforma en tin'a equivalente
a ella en que la(s) condicióntes) p~ra la
in cógnita
x esíson): '
(l}x>O
(2)
1
x== -
x
A) (1) por sí sola
B)(2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sísola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUEST AS CORRECTAS'
2 4
C)
S610
IlI .
D) Sólo
II
y
III.
E) Sólo, 1
y
IIL
2) Si -F x - 2 = -3, entonces el valor de x es igual a
A) - 1
B) 1
e) 2
D) 3
E 4
3)
Si
.rx + i
: J 5 - ,
entonces el, valor de x e s igual a
A) ,O
B) ,1
e)
5 + 216
D) 5 -
216
E) Ninguna de las anteriores
4)
Si
.rx = - -1,
entonces ~i(los) valor(es) de x es(son):
A) Solo el+-I
B) Sólo el
C) Ambos -1 y
D) Ni -1 ni l
E) Sin solución para
x
5) Si ~ + 1 = O , entonces el(los) valor(es) de
x
es(son):
A) Sólo el -1
B) Sólo el l
e) Ambos -1 y
D) Ni -1 ni l
E) 'Si n solución para x
215
6) Dada l~ ecuación irracional 5
+ ~'=
12. la solución para x es
PSU Cuadétno-de Ejercicios Matemática SEGUNDO EJE TEMÁTICO/Test N 17, ECUACIONES IRRACIONALES
f
¡
i
,1
j j
¡i
11
¡
I
.¡
A) 1,627
B) 345
C)
343
D)
125
E) ,9
7) La ecuaciónirracional 6 + ~ = 9 admite como solución para x el valor
11) Se afirma que la(s) solución(es) de la ecuación
x+l=~
es(son)
A) Sólo el
-i.
B)
Sólo el
O
C) Sólo el 1
D) Sólo el' -1
y
el O
E)
Sólo el O y el 1
8/17/2019 Matemáticas UC
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ii
j
I
;~
A) ,
6,561
B) 6,557
C) 5,267
D} 83
E) 81
8) Dado que 1 - '~ = 1, entonces x
A)
- 2
B
-1
e
o
D)
1
E)
2
9) Par~ que
~ = 7 , x debe ser
A)
-53
B)
3
e
10
D)
13
E)
45
l O) Al resolver la ecuación 16 -
'3 x =
12. resulta x=
A)
24
B)
16
32
e
-
3
16
o)
-
3
I
E)
4
I
I
216
l
12) La (s ) solución(es) deja ecuación ~
A) Sólo el
O
,B) Sólo el
e) Sólo
O
y
D)
Sólo el
2
E) Sólo el I.y el 2
13)
Si
. J 4 x
2
-
3x ~l
1 - x
es(son)
2x
1 , entonces el valor de x es
A) 9
B) 4
C) 3
D) 2
E)
14) Al resolver la ecuación x
2
21
+ ~.
se encuentra que su(s) solución(es) es(son)
1)
- 5
'Ir)
5
IlI)
25
A) Sólo
B) Sólo Ir
C) Sólo III
D) Sólo 1 y II
E) Sólo Ir y III
15) Si
x » a (siendo aE IR ). entonces la ecuación i rracional ~
A)
O
B)
a(a -
1 ) ,
C)
.a -
a
2
D 2a
2
E)
a(a
+ 1 )
a
tiene comosolución x =
2 7
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
16) El conjunto solución de la ecuación ~ - ~2(x - 1 )
o es
A) <\ l
B ) { O }
C) {~ }
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Tes t N' 17, ECUACIONES IRRACIONALES
20) La solución de la ecuación ~
=
~,en el conjunto IR, es
5
A) x
=
2
B)
2
x=-
5
C
Sin solución
8/17/2019 Matemáticas UC
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- -
D) {1 }
E) {2}
17) Si ,,/2 +
Fx =
2, entonces
x
A) - 2
B) -1
e) o
D
E) 2
18)
Si
,[s-2.J2x-4
A)
o
B) 2
C 4
D 8
5
E)
2
1
,entonces
.x
19) Si 16,J45-
12.J1~x -
7
7
A)
1 2
E)
48, entonces el valor' de x es
4
C)3
214
D} 297
E) Ninguna de las anterior es
2 8
D)
x=O
E)
Ninguna de las anteriores
21) En IR, la ecuación irracional
Fx
Al - 2
B)
O
e
2
D) Ningún valor de x
E)
Ninguna de las anteriores
~ se satisface para x
22) La ecuación irracional' x
+
'~= 7 tiene como solución(es):
1) x =.4
Il)
x
= 5
A) Sólo 1
B)
Sól o Il
e) Sólo I II
D) Sólo' 1 Y Il
E) Sólo Il y III
IlI) x=l O
23) La(s) solución(es) de la ecuación
EX+ l,
+
I x
1) O Il)
4
A) Sólo 1
E) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo 1
y
II
E) Sólo 1
y
III
24) La ecuación irracional
.,Jx+22 ,- r x + u = 1
condición:
1 es(son):'
IlI) 5
t iene una sol ución «x. que satisface la
A)
O
< x < 9
B) 10' < x< 14
'C) e l . antecesor de x es un número pr imo.
D) la ecuación anter ior no tiene solucióI\ '
E) la ecuación anteriortiene más de una solución.
2 9
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES
Test N° 18: Ecuacíones exponenciales
SEGUNDO EJE TEMÁTICO Test N 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
fj
6) Si se sabe que 2
- I
A l [6)
B) [9)
C) [11)
D) [6, 11 )
E) \ l
7) Dado que 7
X
- 2
4s , entonces el conjunto solución de esta ecuación es
1,entonces x
1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes
estson)
exponencial(es).?
1)
x
2
=
3
A) Sólo 1.
B) Sólo H.
II) 2
x
= 3
III)
(- 2 ) '
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¡ f
i
27 . 27 ,entonces x
A ) -'2
B)
O
e)
1
. D)
2
E)
7
8) Si x
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9) Si 3
x
A)5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
3, Y
x
n
-
1
243, entonces n
'.
223
ii
:f
t,
;1
¡¡ ~ ,
e) Sólo III.
D). Sólo IIy III.
E) Sólo 1 y n.
2)
Si 2
n
. +
2 =
128; entonces 2
n
-
I
A) 127
B) 126
C 64
D)
32
E)
16
3) Si T
n
:
2 = 16 entonces n
A) -2
B)
2
e)
4
D)
6
E)
8
4) Si 3
x
=
81, entonces x
A) -4
B
-2
C)
O
D)
2
E) . 4
.,
1 ,1
, i
5) Sabiendo que
2x + ,2
=
4; eritonces x
A)
- 2
B) -1
C)
O
D 1
E
2
222
rsu.Cua~eni.o
Ejercicios Matemática
(
)
+ 3
.~ admite como solución a x =
27
11) La ecuación exponencial 9-
3
x
A) -6
: 8) - 3
e)
o
D 3
E)
6
~:~(
SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
1S) El valor de x dado por la ecuación 100'
A) 0,0001
B) 0,001
C) - 0,01
D) .-1
E) - 2
0,01
es
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12) Si
.10 Y =
25, entonces 10.-
Y
1
A}
-5
1
- E ) 625
1
e)
-
s o
1
D) 25
1
E)
-
5
V I V J
1
3) Si) '.) =) ,entonces e l valor de x es
A) -1
B)
O
C) 1
D
2
1
E)
-
2
14) (0,25)'= 16: entonces x
A) -4
B) -:-2
C) 2
D
4
E)
16
224
I
16) Dada la ecuación
( _ I _ J
125 25
3
,
el valor de
x
es
A) -6
B)
-3
e)
-2
D) -1
E) 2
17) El valor de x dado por la ecuación (_~)-
. 7
2.401 . (-7)
es
A) -5
B) -4
e)
~3
D 4
E) S
. . ~
18) En -la ecuación exponericial
4-'
~, el valor de la incógnita x es
2
A)
-2
B)
-1
. 1
e) --
2
1
D)
-
2
E)
2
19) Si 9'
+ 2 =
240 + 9 , entonces el valor de x es
A) 0,1·
B) 0,2
. C) 0,3
D) OA
E) ·0,5
225
PSU Cuaderno de Ejercicios
Matemática
(
S
) 0 . 8 X
20) El conj unto solución de la ecuación .
¡
64
125
está dado por
~
A ) { _ 1 : }
{ ,2}
B) -5
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test N 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
I~\
24) Si a E IR · Y a;rl,e~tonceslasolucióll,delaecuaciónexponencial a
x
-
2
=
a
2
-'es
A) - 2
B) O
e) I
D) 2
E) a
25) Si «a es .un número real positivo y distinto de uno, entonces la solución de la ecuación exponencial
a
2x
- 2 = a
3
. a es
8/17/2019 Matemáticas UC
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e)
r : }
D) L ~ }
E)
L 5
2
}
21)
Si
4 = 0,125 Y 125
z
verdadera(s)?
. J 5 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)
A) '-3
B) -1
C)
1
D
3
5
E) '2
26) Si (2
n
r
2 .
(2 ) ,
entonces el(los) valor(es) de
«n.
que satisface(n) la ecuación ariterior es(son)
1)
x +
Z
= -1}
H)
x + z = -:,I}
IIl)
x z =. -0,25
A) Sólo I.
B) Sólo H,
e) Sólo IIL
D)
Sólo
1 y
H.
E) I, Il
Y
HI.
22) Si 4
x
_ 4
x
-
1 ,:
24, entonces (2x r es igual a
A) . J 5
B) 5 J 5
C) 2 5 .J 5
D)
25
E) . 125
13) El valor de x que satisface la ecuación 3
x
+ 3' -1 + 3' - 2 '. + 3
x
- 3 + 3' - 4 ,= 363 es
A) 1
B) 2
e
3
D) 4
E) 5
226
1)
o
Il)
2
A) Sólo' 1 .
B)
Sólo II.
e)
SóloIIl.
D) Sólo 1 y I.
E)
Sólo Il y lII.
ID) 4
27) Si 2
x
+ 4 x = 72, entonces el conjunto solución de esta ecuación es
A)
S i l
B) {l}
e) {2}
D) {3}
E) {4}
28) Sabiendo que
10'
= 100', entonces para que se cumpla la igualdad anteiior es necesario y basta
que:
(1) y = 2
x
(2) y =x
2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas,
(1)
y (2)
D) Cada una por sí sola,
(1)
ó (2)
E) Se requiere información adicional
227
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
29) Se pide hallar el valor numérico de x en la ecuación exponencial a
b. Para ello se sabe que:
(1) a E IR .+ ya*, l
(2) b ~ a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
.~
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
Test
W
19. LOGARITMOS
C~PÍTULO 18. LOGARITMACIÓN
Test N· 19: Logaritmos
1) ¿euá1(es) deIas siguientes ecuaciones conduce(n) al concepto de Iogaritrno para el despeje 'de
las variables involucradas?
1) 2' = 8 JI)
x
2
=
9
III)
)'+,
A) Sólo 1.
B)' Sólo
u.
e) Sólo III .
8/17/2019 Matemáticas UC
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. E} Se requiere información adicional
30) Se da-la ecuación exponencial a
= =
b Y se pide el valor numérico de x. La información de que se
dispone para ello es que:
(1) a = 10
(2) b >10 , con n
E
IN.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
D) Sólo 1 y n.
E) Sólo I III.
2) log,(125) =
A)· 2
B)
3
e
4
D 5
E) 25
3). Si a, b y son números reales positivos, .con al menos uno de ellos distinto de Uno, entonces la
ecuación
log,
a =
e
es equivalente a
A)
a
b
=
t
B) a' =b
e) b'
=
a
D)b' =
e
E) lb
=
a
4) log,o'(1.000.000)
A) 2
B) 3
e) 4
D) 5
E) 6
81
5) log.-
116
A) -4
B)
- 3
e)
- 2
D
2
E)
4
..229
---=..-- --_ ...- -
s u Cuaderno de Ejercicios Matemática
6) logo.ol0,00 1 =
A) -2·
B) -1,5
e) -1
D)
-0,5
E) 1,5
7) ¿
Cuál
es el logaritmo de 3 con respecto a la base 3 J 3 ?
SEGUNDO EJE TEMÁTICO Test N 19, LOGARITMOS
ID)
¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)?
1) log
lO
2 = 5
4 :
1I)
log 81 = 3 '
A)
Solo
1.
B)
Sólo II
y
lIl.
e) Sólo
1 ,
III
Y
IV.
III) log¡ 56 = - 3
IV) log.¡¡8 =
-4
8/17/2019 Matemáticas UC
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1
A) 3 '
1
B)
2
2
C 3
3
D ' 4
3
E)
2
8) log,,, i . J 3
A) -2
B) -1
C O
D
E) 2
9) De las siguientes afirmaciones, es(son) verdaderais):
1) log, 27 = - 3
J
1II) log,olOO = 2
1
1I) log 7 = 2 '
A) Sólo' n.
B) Sólo 1II y IV.
e) Sólo I y IV.
D) Sólo n. III
Y
IV.
E) Todas.
IV)
1
log'6
2
= '4
230
D) Sólo Ir, III Y IV.
E) Sólo IV.
('25 . 625) .
11) El valor de
ío g ,
-2-.5- es Igual a
A)
3.125
B)
725
C)
7
D)
6
E)
'5
12) log,I6 + logJ4lJ7 =
A)
37
12
7
B)
-
4
e)
3
-
2
4
D)
-
3
1
E)
-
6
13) Si log , 16 = ~ log,16, entonces x
, x
A)
- 4
B)
0,25
; .
. e)
0,5
D
l
E)
16
231
8/17/2019 Matemáticas UC
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8/17/2019 Matemáticas UC
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p s u
Cuaderno de Ejercicios Matemática
30) ¿Corresponde la figura adjunta al gráfico de y
=
10g2
x
?
(1) La curva pasa por él punto de coordenadas (1, O).
(2) La curva de la figura
y
la curva dey = 2' son simétricas respecto de la recta y = x.
.
y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
,BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
Segundo Eje Temático:
ÁLGEBRA y FUNCIONES
1) Au to r:
Allendoerfer Car¡'B. y Oakley, Cletus
Tí tu lo : Fundamen to s de Mat emát ic as Uni ve rsi ta ria s.
Editorial:
Ediciones del Castillo. Madrid', 1966.
2)
Autor:
Allendoerfer Carl B.
y
Oakley, Cletus
Título:
Fundamentos dé Álgebra:
Editorial:
Editorial Mcflraw-HillvColombia, 1971.
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E) Se requiere información adicionalj
ol?/ .~I
236
3) Aut or :
Ayres, Frank
Título: Álgebra Moderna
Editorial:
Editorial Mcflraw-Hill. Colombia, 1969.
4) Autor: Ba1dor, J. Aurelio
Título:
Álgebra Elemental.
Editorial:
Compañía Edi to rial Cul tu ra l. Madrid, 1985.
5)
Autor: Cano.Omer
Título:
Álgebra : 3°
y
4° año de Humanidades
Editorial:
Edi to rial La Sal le, Santia,go s/f
6)
Autor:
Cano,Omer
Título:
Álgebra e lemental : 4°, 5° Y 6° año de Hnmanidades
. Editorial:
Ed it ori al La S al le . San tia go, s lf
7)
Autor:
Chrystal, George
Título:
A text book ofAlgebra.
Editorial:
_Che lsea Pnb . Nueva York, 1927. (*)
8)
Autor: Dolci ani , Mar y P .
Título:
Álgebra Moderna: Estructura
y
Método, L ib rosI y
n.
Editorial:
Publicaciones Cultural. México, 1972.
9)
Autor:
F.G-M
Título:
Exercices d'Algébre,
Editorial:'
Librairie Armand Marné. París, 1912. (*)
O)
Autor:
Hali,H.S.
Título: School Algebra.
E di to ri al: McMi ll an. Londres, 1923. (*)
11)
Autor:
Hal l, H . S .
y
Knight, S.R.
Título:
Álgebra elemental.
Edi tor ial : Mon ta ne r y Simon . Esp añ a, 19 72 . ( *)
12)
Autor:
HaÚ, H. S . y Knight, S.R.
Título:
Álgebra Superior.
Editorial: Uteha, México, 1972. (*)
13)
Autor: Hue, Th. y N. Vagnier
Título:
Algebre
Editorial:
Librairie Delagrave, París, 1922.
14)
Autor: Lehmann, Charles
Título:
Álgebra.
Ed it or ial : Limus a Wi le y, Est ados Uni dos , 19 72.
237
______ ~ CW? _ _ ~ _
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
15) Au to r:
Título:
Editorial:
16)
Autor:
Título:
Editorial:
17)
Autor:
Título:
Editorial:
18)
Autor:
Título:
Lidvinenko, V.
y
Mordkóvich A: ,
Prácticas para resolver problemas matemáticos. Álgebra y Trigonometría.
Editorial Mir, Moscú, 1989.:
Mor f C . y Tzaut S.
Exercices et problernes d'Algébre, recueil gradué.
Librairie F. Rouge & Cie . L ib ra ir ie de L 'Unive rs it é. Qua tr ieme edi tion , 1906. (*)
Proschle, Francisco
Álgebra: 4°,5° y6° año de Humanidades
San tiago de Chi le , 1967
. Ritch, Barnett
Álgebra Elemental Moderna.
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 119/195
Editorial:
19)
Autor:
Título:
Editorial:
20)
Autor:
__ ítl O:
Editorial:'
21)
Autor:
Título:
Editorial:
22)
Autor:
Título:.
Editorial:
23)
Autor: .
Título:
Editorial:
24)
Autor:
Título:
Editorial:
25)
Autor:
Título:
Edi to rial : .
26)
Autor:
Título:
Editorial:
27) Aut or :
Título:
Editorial: .
2 8) Aut or :
Título:
Editorial:
2 9) Aut or :
Título:·
Editorial:
McGraw-Hill . Colombia, 1971. Colección Schaum.
Robledo Herrera,' Alamiro
Lecciones· de Álgebra Elemental Moderna,' en tres tomos.
Unive rs it ar ia . San tiago de Chi le , 1973.
Rojo, Armando
Álgebra.
E l Ateneo .. Buenos Aires, 1975.
Schons, N.
J.
Traité
d
Algebre.
Namur LaProcure . Par ís , 1936. (*)
Smith, Charles
A t reat ise en Álgebra .
McMilIan. Londres, 195i (*)
Spiegel, Murray R.
Álgebra Superior
McGraw-Hill . Colombia, 1971. ColecciónSchaum.
S tahl F . und Meyer F .
Algebra. Aufgabensammlung (colección de problemas)
Orell Füssli Verlag Zürich.
(*)
Une Réunion de Professeurs
Cours d 'A lgebre é lémentai re (N° 264 E)
Libra ir ie Générale de l 'enseigneÍnent l ib re . Par ís , 1947. (*)
Une Réunion de Professeurs
Exerc ices d 'A lgebre é lémentai re (N° 264 M)
Librairie Générale de l 'enseignement libre. París, 1947. C* )
Une Réunion. de Professeurs
Complements d'Algebre (N 263 E)
Libra ir ie Générale de l 'enseignement l ib re . Par ís , 1947. (*)
.Une Réunion de Professeurs
Complements d 'A lgebrc ; solut ions (N° 263 M)
Librairie Générale de l 'enseignement libre. París, 1947.
(*)
yáñez Bravo, Mardoqueo
Matemáticas
Soci edad Impr en ta y Li to gr af ía Un iv er so . San ti ag o d e Ch ile , 19 18 .
23 8
Contiene una can tidad muy impor tante de e je rc ic ios y muy bien graduados .
~ ~
1 5U
Cuaderno de Ejercicios. Matemática
EJERCICIOS RESUELTOS
TERCER EJE TEMÁTICO: GEOlVIETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
1) Se tiene un triángulo rectánguloAlsC de lados BC = 3 cm y CA = 4 cm y cuya altura es CD = he'
. Se hace giraren 180° en tomo a la altura CD, hacia la derecha, formándose el triángulo B'A'C (rio
dibujado en la f igura), En tal caso, la distancia B'B mide
A)
1,8 cm
~ : A .
TERCEREJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
Observaciones y comentarios:
En apariencia, este es un problema dificil pero nosotros lo hemos mostrado como un problema accesible
y fácil de resolve r mediante los recursos de las imetría, tan ímportante ahora en el actual programa de
Geometría para la E. M, En Geometría Euclidiana es muy importante el darse cuenta de lo que
ocurre con un ejercicio. Hacer un muy buen dibujo a la manera clásica (eón regla y compás), o con
recursos más reciéntes (mediante alguna herrainienta computacional) también ayuda
a
que a uno se
le ocurrael mét odo para la solución e incluso la solución misma. Aunque también recalcamos que el
dibujo no demuestra absolutamente nada. La demostración o solución del mismo debe estar basada en
axiomas, postulados
O'
teoremas conocidos.
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 120/195
B)
2,4
cm
C) 3,2
C m
D)
3, 6 cm
E)
4, 0
cm
Solución:
~B
A D
Al.interpretar el enunciado del problema.iel dibujo correspondiente sería el siguiente:
A~Á
B' D B '
Debido al giro del triánguloABC en tomo a la altura CD, para formar el nuevotriángulo B' A'C, resulta
que /), ABC
'=
/) A'B'C. Por lo tanto, al ser BC
: =
B'C, resulta que eltriángulo B'BC es isósceles
de baseB'B (que es la distancia pedida), Luego, dicha distancia es igual al doble de l segmento DB, ya
que la altura CD en el t riángulo isósceles B'BC es, al mismo tiempo, transversal de gravedad y, por lo
tanto , llega al punto medio de la base B'B, El cálculo del segmento DB = P se efectúa con el t eorema
deEuclides del cateto:
: ¡ .
ti
,a2,
=.
c.p
Como a= 3 cm y c. = 5 cm, (triángulo pitagórico clásico), reemplazando los valores numéricos
en la fórmula, tendremos que:
3
2
= 5 p, de donde p
~ = 1, 8 cm
5
240
Finalmente, la distancia buscada mide B'B
2p
2 • 1,8 cm 3,6 cm
Respuesta correcta: alternativa
D
2) En la figura adjunta, tenemos una circunferencia de centro O. Con los datos indicados en ella, el ángulo
x mide
A) 138 °
B) 107°
C) 10 4°
D)
86 °
\
y\.
/
142~E
1 I
E)
76 °
Solución:
El arco BD mide
62°,
el doble del ángulo inscrito BAD que subtiende dicho arco.
El ángulo ADC, que es el ángulo exterior del triángulo AED, mide la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a él:
31 °
y
42 °,
es decir, mide
73 °.
Por lo tanto, la medida angular del. arco
AC
es el doble
de 73°, o sea, 146°. Aplicando el teorema del ángulo interior al ángulo x, que es el ángulo buscado,
obtenemos la ecuación:
14 ,6° + 62 ° , es decir:
x = 2
x
= 104°
Obser~aciones y comentarios:
Este e jercicio puede resolverse usando solamente teoremas referentes a las medidas de los ángulos en
una circunferencia. En cambio , nosotros 10 hemos resuelto usando en forma combinada teoremas de
ángulos en la circunferencia y de ángulos e n el triángulo,
Es muy importante descubrir, para cada, unode los alumnos yde las alumnas, cuál es el método más
expedito para llegar correctamente a la solución y, en el menor tiempo po sibl e .
Respuesta correcta: alternativa C
241
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
TERCER EJETEMÁTICO
I
Ejercicios Resueltos
3) En la f igur a adjunta, ABCD es un cuadrado cuyo lado es 2a . Las f igu ras d ibujadas ene l inter ior de é l
son dos semicircunferencias de diámetros iguales a dos lados opuestos del cuadrado dado. El área de la
región achurada está dada por la expresión:
A)
4 a
2
B)
2 a
2
C) 41t a
2
.~
Observaciones y comentados:
Esmuy importante notar que este ejercicio seharesuelto con el máximo derazonamiento y el mínimo de'
cálculos, aprovechándose las ideas de las imet ría para de te rmínar, por e jemplo, qué parte de l cuadr ado .
es la zona achur ada , De esta manera lasoluc ión f luyó por sí sola. I nc lu so podemos deci r que, tal vez;
ni siquiera era necesario t rasladar e lcuadrante de arriba hacia aba jo. Bas taba con darse cuenta que la
zona achurada era igual a lazona enblanco.
Respuesta cor recta: a ltern at iva B
8/17/2019 Matemáticas UC
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D)
21t a
2
I
l '
4)
E)
2 2 1 2
a -
- 1
a
2
Solución:
Para el d esa rro llo de este e je rc ic io, debemos aprovechar la simetr ía que éste nos o fr ece. Debemos
r ecordar que los e je rc ic ios de cálcu lo de áreas que involucran cuadrado s, t riángulos equi lá te ros ,
c ír culos, e tc . poseen s imetría con respecto a su s e jes, 10 cual favorece el cálculo respectivo. En. este
caso, basta con trasladar el cuadrante achurado de la par te super ior izquierda de laf igura al cuadrante
que. está en blanco en la par te infer ior derecha, para obtener la f igura siguiente:
-.
Do ;C
De laobservac ión de esta nueva figura ; no s damos cuenta que el la es equiva lente ala primera, es decir ,
tiene la mi sma área, por est ar formada por partes congruent es. De ahí deducimos que él área de la
zona achur ada , que es equiva lente a la que está ahora en blanco, cor responde a la mi tad .de l á rea del
cuadrado. Luego, el áreaachurada mide:
2 a y
2
2 a
2
En el cubo de ari st a igual a 10 cm, de la fi gura adj unt a, se tiene una sección .plana que pasa por dos
vértices opuestos de la b ase y por unvértice super ior. El ángulo diedro que forma esteplano con elp lano
de labase del cubo es alfa (u) . Podemos calcular este ángulo alfa por medio de la(s) ecuación(es):
2
I) sen ex
= 16
1I) cos ex ~
J2
16
J2
Comencemos por enumera r los vért ices de l cubo y tamb ién e l cent ro de labase del cubo.
El triánguloHAO es rectángulo enA pues la arista EA es perpendicular a la diagonal AC de la base.
Los catetosde dicho triángulo rectángulo son: HA= 10 cm
y
AO = 5 ficm ,pues AO m ide la mitad
de la diagonalAC. Por lo tan to. Ia hípo tenu sa OHmide , por e l teoremadePi tágor as , OH =
5 . J 6
cm.
Entonces para calcular la medida del ángulo alfa, podemos usar las principales razones trigonométricas
de dicho ángulo en el triángulo HAO.
243
•••
242
III) tg ex =
Es(son) correcta(s):
A)
Sólo I
B)
Sólo I Y II
C)
Sólo II y III
D) Sólo
J
y III
E) I, IIy III
Solución:
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
E
TERCER EJE TEMÁ'rrCQ I Test N 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
CAPÍTULO 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Test N ° 1:_ Ángulos
y
triángulos
TIEMPO MÁXIMO PARA
CADA TEST: 1HORA
1) En la figura adjunta, los ángulos AOB
y
~OC miden cinco tercios
y
cuatro tercios de un ángulo,
recto, respectivamente.' Entonces el ~ x formado por sus bisectrices mide
A) 1150
B)
120
0
0
8/17/2019 Matemáticas UC
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Así tendremos:
I r
e
sen
o :
AH,
HO
10 cm
SV6cm
2
. J 6
Análogamente se obtiene para el coseno y la tangente:
cos o :
AO_
HO
5 fi cm
5 . J 6
cm
fi
- 16
y
Luego vemos que con cualquiera de las tres razones trigonométricas podemos calcular la medida del
- ángulo alfa (e) ,
tg o: =HA
AO
10 cm
5 fi
cm
fi
Observaciones y comentarios: _
Nuevamente observamos que para poder resolver con éxito un ejercicio como éste, la clave está en
un muy buen dibujo, En él identificamos el t riangulo rectánguloque nos conviene para determinar el
ángulo pedido, en nuest ro caso, el ángulo alfa
a ,
Cuando el ángulo es agudo, como en este caso, en
reali dad, con cualquiera de las t res razones trigonométricas se puede calcular el valor del ángulo,
i
Respuest a correcta: alternativa E
;1
44
C 121,5
A
D) 135
0
:'~~B
)' 150
0
2) En la figura adjunta, L, // L, Y T, -LT La medida de <Cx +~y
+~
z es
TI
A) 90
0
B) 180
0
C) 240
0
D)
150
0
E)
120
0
(bU
)
L
Z \ )
L,
I X ..I
3) En la figura adjunta, AB//DC y AD//BC, AB = BC, ¿Cuál es la medida del ángulo x?-
l i
,. .
, he
A)
4 S O
B)
55°
C) 50°
D) 65°
E)
60
0
4) En la figura adjunta, L, // L EA = EB,
~'=
1100~entonces x :
+ y =
E
A) 220
B) 200
0
C) . 140
0
D) 70
0
E) 55
0
LJ(
A \
(Y\C
LI
1 \
,
(
lA
).t )
L2
245
-\ ..
----
A) 10°
B) 40°
C)
50°
D) 80°
E) 90°
11) Si
<l:
U = 50° Y
LI/I
L
2
,
¿cuállto mide-e; x?
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
1 . .
5) Si en l a figura adjunta, U
= - ~ ,
¿cuánto mide el ángulo a. ?
4
'. . '/
~L.....----'.
A)
18°
B
22,5°
C)
36°
D
45°
E)
n°
6) Si en la figura adjunta, LI
L2' entonces 4:x =
40 '
1 ' ;
~
I~
TERCER EJE TEMÁ
neo I
Test
W
1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
10) En la figura adjunta, U
=
80·, L, /1 L
L,.L
L, Y L, es bisectriz de U, ¿cuánto mide el <r:x?
L 4 &
.' L
2
.
.. . . ... . L,
.~\, . . . . ./
\\., 2.' ••••••.
:
\ .
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 123/195
A)
30°
LI
¡
B) 40°
e) 50·
~
D)
60°
L2
1,
E)
90°
A l 100°
B) 120°
C)
130°
D) 140°
E) 150°
7)
s i
U=
¡¡ +
45° Yel complemento de Umide 20°, entonces o
A)
25°
B)
45°
e) 65°
D)
70·
E)
115°
8) En la figura adjunta,
LI / 1 L
2
Y U: ) = 1 : 2. El valor de 4: x es
A) 145°
B) 110°
e)
75°
.D)
70°
E)
35°
x
/' r L¡
\
://aJ (P \ L
2
9) Si. en la figura adjunta, LI
11 L ¡.t
=
4~
y ¡¡
=
80°. ¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son)
verdadera(s)?
I) Y = 20°
A) Sólo
Il y IV
B) Sólo
I, Il
Y
IV
C) Sólo
III y IV
D) I,Ii, III YIV
E)' Ninguna
Il) x=
¡¡
IV)
y=1 3
Il)x=¡.t
\ ,( L¡
__ 1 .. • 7
Il y
~I L2
246
12) En. la figura adjunta, L, //L AE Y BE bisectrices. Si 8 ~ 120°, entonces, ¿cuál de los siguientes
ángulos podría determinarse exactamente sin conocer la medida del ángulo o?
,
A) U
B) ~
e
Y
D) Todos pueden determinarse
E) Ninguno de los anteriores
f ~V
L
2
~ , ( 1 . ,
13) En la figura adjunta,
L , // L
2
,4: 1 35° ,4: 2 45°, entonces 4: x
A)
80~
B) 90°
e) 100°
D) 135·
E) No. se 'puede determinar
L¡ 7
L
2
I~ .
.
.
14) Un triángulo 'cualquiera tiene un ángulo que mide '52°
y
el segundo mide el triple del tercero. Luego
el segundo y el tercer ángulo miden, respectivamente
~)32°
Y
96°
1\)39
Y
)30
e) 75°
y
25°
D) 96°
Y
32°
E) 13°
Y
19°
247
PSU. Cuaderno deEjercicios Matemática
15) En l a fi gura adjunta, la medida del ángul o z di sminuida en la medida del ángulo x es
A) 16°
B) 34°
e) 52°
D) 62,°
E) 68°
16) Si se sabe que en la figura adjunta, se cumpl e que x : y
entre
x
e y es
A) 5°
~
~
8 : 7, entonces el doble, de la diferencia
TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 1 , ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
20) Si los ángulos i nteriores de un tri ángul o están en r azón de 3 : 4 : 5, ent onces el triángulo es
A) acutángulo
B) rectángulo
C) isósceles
D) obtusángulo
E) equilátero
21) Si se sabe que los _ángu los inter ior es de un t riángu lo están en la razón de _x : y : Z ,con x
=
y, y
además
x
+y < Z, entonces se puede afi rmar que e l t riángulo es
Al rectángulo' escaleno
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 124/195
B) 7°
C) 10°
D) 14°
E) 60°
75°
17) Si en la figura adjunta, el ~ x mide el 75% de la medida del<1;'y , entonces la razón x : y : Z, es
A) 11: 4 : 3
B) 3: 7 : 11
e)
4: 3 :
11
D)' 3,: 4 :
11
E) No se puede calcul ar
18) , Si en un ' .ABe se sabe que uno de su s ángulos interiores mide 20° más que ot ro de e llos y 35° menos
que' el tercero, entonces es verdadero, que
A) el.A ABe es acut ángulo
B) el ángulo mayor mide 70°
e) el ' . ABe es rectángulo
D) el angula menor mide 55°
,E) Ninguna de las anter ior es_
19) En un t riángulo rectángulo l os ángulos agudos están en razón de I : 4, luego el mayor de el los mide
B) isósceles rectángulo
C) acutángulo isósceles
D) equilátero rectángulo
E) isósceles obtusángulo
22 ) En la figura ad jun ta,ABCD es un' cuadrado
y
Be
=
eE , luego el < l: (X mide
E
AliSO
B) 22,5°
C)
27,5°
D) 45°
E) 60°
A)
18°
B) 40°
C) 72°
D
80°
E) 144°'
248
23) El A ABC de l a figura adjunta es i sóscel es rectángulo en C. La medida dcl<C x es
A)
60°
B)
75°
C) 90°
D) 105°
E) Falta información para determinaría
C
\ ~~ 'B
24) En la figura, el <l: x mide el 75% de l amedida del <tAeB, Ae = Be = AD, Luego, ,el-<tACB mide
,
,
A) 90°
B) 85°
C)
80°
D) 75°
E)
Faltan datos
A
\
B
D
249
••
PSU. C uadern o de E je rcicios Matemática
25) En la figura, AB
=
BD Y B es el punto medio de AC. La medida del <t x es
A)
45
0
B)
60°
C)
90
0
D) 100
0
E l 120
0
A
lit-
u. ,) ~
26 ) De acuerdo a la f igur a adjunta, Cl) 1. .AB. CE es bisect riz de l ángu lo ACB. Entonces «x =
A)
50
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
29) En el tri ángul o ABe de l a figura adjunta, ¿es CD l a alt ura relativa al lado AB?
(1) HE
CD y H es e l or tocent ro del ;: ' ABe
C
(2) D es el punto medio de AB
A)
(1)
por sí sola
B) (2) porsí sola
G :) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
El Se requiere información adicional
I \B
A
D
8/17/2019 Matemáticas UC
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B) 10°
e
150
D)'
20
0
E) 22,5
0
~
. A DE'
27) En la figura adjunta, se tiene que: BC 1. DE
y'
AC 1.BE, entonces X - Y=
A) UO
O
B) 120
0
e) 140°
D)
150
0
E) 160
0
C
A
28) Dados los ángulos ex y ~. ¿Es exe l complemento de ' ~
?
( 1), ex y ~ son agudos
(2)
ex + ~.= 900
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí : sol a.
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) eada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
250
30) ¿Es ABe un tri ángul oisósceles de base AB, siendo A(--:4, O) Y B(4, O)?
(1) El vértice e está en el eje Y
. (2) La altura Cl)
=
h,. está en el ej eY
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas j unt as, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional
I L .
RESPUESTAS CORRECTAS
251
••
PSU. Cuaderno de jercidos Matemática
CAPÍTULO 2, CONGRU~NCIA
Test, N° 2: Congruencia
1) Dos triángulos son congruentes cuando
A) tienen la misma área,
B) tienen los mismos ángulos,
C) tienen el mismo perímetro.
D) tienen 'Ia misma forma,
E).
tienen la misma forma
y
el mismo tamaño,
2) Si 'los, triángulos .de la figura son congruentes, ¿cuál es el valor de
xi
1
TERCER EJE TEMÁ
neo /
Test N' 2, CONGRUENCIA
i
l
; 5) Si se cumple que , MNO ~ , PQR, entonces tambié n secumple '1'
A) MN=PR
B) ON = RP
C) <1:MON ' <1:PQR
D) <1:NMO ,<1: QPR
E). <1:NOM ' <1:RPQ
6) En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias estson) conecta(s)?
1) J.ABC ' J.ADB
8/17/2019 Matemáticas UC
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. 1
' I
¡ ¡
:1
1
,
¡ ' ,
i
I
¡
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¡ .
~
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J
I [¡
¡ (
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u
I
L _
A) 45°
B) 50
0
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D
C) 55
0
6 '
D) 65
0
50· .
.75·
E) 75
0
6
,
1 ,
3) ¿Cuál f igura muestra dos triángulos que no son necesariamente congruentes?
€7
CLll
'
·
;
A)
E ) A
B)
D
&
)
\ x ~
4)'Si en la f igura AC ,BD'
y
AD ,BC, entonces, ¿cuál, de los siguientes postulados puede ser
usado para demostrar que
t , . .
OCA ' J.CDB?
A) Lado - Lado - Lado
B) Lado - Ángulo - Lado
C) Ángulo - Lado - Ángulo
D) Lado - Lado - Ángulo
E) Ángulo - Angula
1><\..
. C
25 2
Il) J. AMB ' J.CMB
III) J.·ABC ' J.A,DC
,A) Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) 1, II Y III .
. . AC
AV .
\¡
7) En la figura: BC ' CD ; AC ' CE . ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre
-verdadera/s)
?
1) GC ' FC
nr <1:BAC ,-<l:DEC
III) GC
1.
AB Y CF
1.
DE
A) 'Sólo 1
B) .Sólo II
C) Sólo Iy Il
,D) Sólo
T I
y III
E) 1, Il Y III
A
E
8) De acuerdo a la figura, si J.ABC ' J.DBE, ¿cuál es el ancho AC del río?
A) 20 m
A
-
B) 18
ID
C) 1'6 m
' - - - - o
-
) 14 m
e
E 12
m
F
253
PSU.
CucUtern o
de
Ejercicios,
Matemática
9) S i la altura CD del triángulo ABC divide a éste en dos triángulos congruentes, entonces, se
'cumple que:
1)
D es punto medio de AB,
Ir) AC es simétrico de BC respecto de CD.
IlI) 11 ACD es rectángulo en C.
De las afirmaciones anteriores, es(son) siempre verdaderars):
A) Sólo 1
, B) Sólo II
(
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test W 2, CONGRUENCIA
12) En el triángulo ABCde la figura: D, E Y F son .los puntos medios de los lados respectivos.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
1)
t : , . ADF
=
t :, . FEC.
II) FDEC es un paralelógramo.
IU) ADEF es un paralelógrarno congruente con el paralelógramo BDFE.
A) Sólo
1
B) Sólo II
C) Sólo 1 y II
D) Sólo
1
y
III
e
,( '\/. B
8/17/2019 Matemáticas UC
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C) Sólo m
D) $ólo (yIl
E) 1,U
y
III
1Q) ¿Cuál de los siguientes triángulos no es congruente con el triángulo ABC?
,~. C'
2,4
A
37 .
3,2 B
E)
3,2
~
~ ,
11) Si en el cuadrilátero ABCD se cumple que I1.ADC :i 11CBA, entonces se puede afirmar que
- ~r n~w
A) Trapecio isósceles
B) Cuadrado
C) Rectángulo
D) Rombo
E) Romboide
I
i
;
.A)~' ,
2,4
. 90'
3,2 '
q,J
L J
,4
3,2
B)~
D)~
.53~
5
E) r : Ir y III
13) En la f igura adjunta, ~CD es un 'parale ógramo, entonces ¿cuál de, las siguientes proposiciones
es siempre 'verdadera?
,
.
~
A) FE s GE
B)
AE = :; DE
C) EC = EG
- -
D) AD
= : ;
DC
E) FD
= :;
GC
14) Son siempre congruentes:
1) dos triángulos con igual área.
Il) dos circunferencias con igual diámetro.
, III)
dos cuadrados con igual perímetro.
A), Sólo II
B) Sólo 1 y II
cj Sólo Il y III
D) Sólo r y III
E) .1; Ir .y III
15) ¿En cuál(es) de los siguiente~ cuadriláteros se forman dos paresde trÚngulos congruentes al
dibujar sus diagonales? '
¡ ¡ ¿ < l e
A B
1) Rombo.
II) Cuadrado.
III) Del toide.
,A) Sólo II
B) Sólo 1 y II
C )
Sóló II y III
D) Sólo 1 y III
El r, Ir y III
255
¡ ¡
¡
I
I
L
r
¡
I
1 1
I
¡
s u
Cuaderno de Ejercicios Mate mática
16) En el
Ó.
ABe, si <tAeD ==<tBeD, entonces ¿cuár(es) de las siguientes condiciones es(son)
necesaria(s) para
que-se
cumple que
Ó.
AeD ==ó. BeD ?
l)
eD.LAB
- -
1I) AD ==.BD
III) <t eAD == c eBD
A) Sólo 1
'B) Sólo III
e) Sólo 1
y
III
D) Sólo
1
y
II ,
I \
\B
e
'ff
TERCER EJE TEMÁ
rtco,
Test W 2. CONGRUENCIA
20) En el cuadrado ABeD de lado
a,
se hace AE= DE = DF = CF =
a,
¿Cuál(es) de las siguientes'
proposiciones es(son) verdadera(s)?
F
1)
AC
= EF
Il) B, E Y F son plintos colineales
1Il) <t;AEF ==<t BCF
A) Sólo 1
e
B) Sólo 1
y
II
e) Sólo
l
y
III
a
D) Sólo
n y
III
E) I,
n,
III
K \
le
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I 1
f
I
f
t ·
¡
i·
¡
¡
B
I
l) Reflexión.
r
Il) Rotación.
I - .
,
,
III) Traslación.
,
,
.
..
,
,
,
. .
,
A) Sólo
I
.. ,
)
,
.
,
. .
B)
Sólo l y II
,
..
. .
,,
.• .
e)
Sólo r y m
,
..
. .
,
..
. D)Sólo II y III
E
l, II YIII
.,
E) l,
II
Y
III
17)
En la figura: ABeD' es un paralelógramo
y
E es un punto en la prolongación' de AB tal que
BE= AB. ¿euál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?
)~
A B . E
A)
B)
e
D
E)
ABFD es un trapecio,
F es punto medio de BG.
E. es la imagen de. D bajo una reflexión con centro en F,
E
es la imagen de e bajo una reflexión respecto de DE.
L\BEF ==ó.eDF
18) Si ABeD es un trapecio isósceles, ¿qué información adicional puede ser usada para demostrar
que los triángulos en la figura son congruentes?~
1', 1
~,i
~',
l
i
.\
1 ;
[ 1
[ , .¡ :,
L
1 :
t i ;
j
'
r, l ' ¡
1 ,'
li;:
~
' 1
L '
'J-,
1
A)
DEIICF
B) <t EDe y <t FCD son suplementarios
e) DE =CF
- -
D) DE.L AB Y CF.L AB
E)
<t DEA ==<t eFE
\
Al E -
19) Dos polígonos congruentes son siempre:
l) semejantes,
II) equivalentes,
IlI) simétricos.
¿Cuál(és) de las a fi rmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?
A) Sólo 1
B) Sólo n
C) Sólo III
D) Sólo
ly
II
E) Sólo 1 y III
;
256
'A
v 'B
21) Sea el triángulo ABe no isósceles, en el cual se traza la transversal de gravedad CM prolongándose
en una longitud MD = CM. Si se une D con A
y .8,
¿cuál(es) de. las siguientes afirmaciones
'estson) verdaderais)?
I)BD
Ij AC
Il) <t BeD ==
-c
ADC
III) ADBe es un paralelógrarno
A) Sólo
1
B) Sólo II .
e) Sólo 1
y
n
D) Sólo I 'y rr r
E) 1,n·y
III
A < : . ) , '0 B
D
22) Los cuatro triángulos que se forman al dibujar las diagonales de un cuadrado son congruentes
por: '
¡l'
257
díS
-. , '
PSU. Cuaderno de Ejercicios
Matemática
23) En la figura, los triángulos ABC y A'B'C' son simétricos respecto de la recta L . ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es (son) siempre verdaderats)?
i)L'>ABC
=
L'>A'B'C'
Il) CBB'C' es un trapecio isósceles
'S
~.
A . .
.. . • . . . . . . /
'.
e '
IlI) El ángulo que fo~tnan las rectas AB y A'B'
tiene su vértice' en. L.
A) Sólo
1 .
Bl
Sólo
1
y II
C) .Sólo
1
y III
L
TERCER EJE TEMÁ
nco I
Test N 2, CONGRUENCIA
26) En el cuadrado PQRS de la f igura adjunta, cuyo lado mide 5 cm, el vértice P yace sobre una recta
AB que no corta al perímetro del cuadrado. Si ST = 3 cm y QV = 4 cm, ¿cuánto mide la distancia
RU?
R
A)
5 cm
I
B)
6 cm
C)
7
cm
D) 12 cm
E)
5 .J i
cm
-, A
T
U
P
V
8
27) En la figura: ABCD es un cuadrado de lado- a; AE = a y GF .1AC. ¿Cuál(es) de las siguientes
8/17/2019 Matemáticas UC
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D) Sólo II y III
E) '. 1, II Y III
24) Si sobre los 'Iados del triángulo
is
ó s ce les ABC se construyeron cuadrados, ¿cuál(es) de las
siguientes proposiciones
esíson)
siempre verdad'era(s)? .
1) Cuadrado ACFG es la imagen del cuadrado BDEC bajo una rotación con centro 'en C y
ángulo de medida igual a lá' del <t:ACE:
Il) ~ AKH = 45°.
III) . FB .1EA
A) Sólo 1
B) Sólo 1 y II
GC
H(',/\,\
~D
C) Sólo I y III
A
B
D) S610U Y III
E) 1,
U
y III
25) ~n la figura adjunta, el triángulo APQ es congruente con el triángulo ABC. Si el punto
Q
está I .
sobre el lado BC, entonces la medida del ángulo. BAP, en función del ángulo ~, es
i
,
1 :
1
1 .
, 1, :
: :
A)
. ~
2
B)
90° - ~
2
e )
180° - 2~
D
90° - ~
E)
90°
+ ~
. Ae---: J\
I
2
p
' 1 ' : _
' i;
, 1
1
' 1
258
proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
1) G y F son puntos medios de los lados DC y BC respectivamente.
1I) ó AEF = ó ABF
III) CF : FE = .Ji :
A) SÓlo 1
B) S?lo II
C) Sólo III
D) Sólo 1y II
E) Sólo II y III
o ' -- ;: '
F
B'
28) Podemos afirmar que el óABC es isósceles con base AB si:
(1) D es punto medio de AB y CD es altura.
(2) CD es bisectriz del ángulo ACB ; ~ ADC y ~ BDC son suplementarios
A) (l) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) El cuadrilátero convexo ó ABCD es un
paralelóg ra mo
si:
(1) AE=EC y DE=EB
(2) óDCE
= '
L'>BAE
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,' (1)
Y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
_E) Se requiere información adicional
P < 7 C
E -
'A B'
259
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
30) Si. el cuadrilátero ABCD es un paralelógramo, ¿es ABCD un cuadrado?
(1) t e. .
ABC
= t e . .
CDA
(2) te . . DAB es s imétrico del A BCD respecto de. la diagonal BD
A) (1) 'por
sí
sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, ( 1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
·E) Se requiere información adicional
i'
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
CAPÍTULO 3. CUADRILÁTEROS
y
POLÍGONOS
Test N·
3:
Cuadriláteros
y
polígouos
1). En el paralelógramo ABCD de la figura 'adjunta, .¿cuántos grados mide x?
A)
20
B)
10
C)
5
D) 25
7
J \. .
.B
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'1
' 1
lj
': 1
1
RESPUESTAS CORRECTAS
'¡
260
/,'
7
E)
5
-
2
2) ¿En .cuélde los siguientes polígonos se cumple que la suma de sus ángulos interiores es' igual ala
suma de sus ángulos exteriores?
A) Triángulo
B) Cuadrilátero
ClPentágono
D) Hexágono.
E) . En ningún polígono se cumple esta relación
3) La razón entre las medidas de los ángulos interior
y
exterior de un cierto polígono regular es de 3 : 2 ,
¿cuántas diagonal es tiene dicho polígono?
A) 2
B) 3
C 4
D) 5
E),6
,
4) En el cuadrado ABCo de la figura adjunta, AE
=
AC. ¿Cuánto mide el ángulo x?
A 45 ·
B) 60·
C) 67,5·
D) 70·
E) 75·
~ [ 2 ñ E
.
261
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
5) En la figura adj unta, ABCD es un cuadrado, AC es di agonal
y
el
ó.
ABE. es equilátero. La medida
del ángulo x es .
Al
60°
D ~ ~ J
)
67,5°
C)
75°
. X
D) 90°
E) 105°
A B
6} Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. El mayor de sus 'ángulos
interiores mide
Al
85°
TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO
S
11) Desde un vért ice de un pol ígono regu la r se pueden t raza r 27 diagona l es. ¿Cuánto mide cada ángu lo
exterior de este polígono? .
A) 24°
B) 15°
C)
168°
D) 30°
E) 12°
12 ) En la f igur a adjunta, ABCD es un para le lógramo. Con los da to s indicados , la medida del ángu lo x es
A) 60°
D
C
) 80°
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B)
90°
ci 100°
r» 120°
E) 125°
7) Al uni r los pun tos medios de los lados de un t rapezoide en forma consecut iva se ob tiene s iempre
A} un trapezoide
B) un trapecio
C) un paralelógramo
D) un cuadr ado
E) no se puede determinar
8 l ' ¿Cuántas diagona les se pueden t raza r en un oc tógono?
Al 8
Bl 20
C) 40
D)
16
El 24
9) E l ángu lo interior de un pol ígono regular mide 144° , ¿qué pol ígono regu la r es?
A) Eneágono
B} Octógono
C) Decágono
D) Heptágono
E) Dodecágono
10) ¿Qué polí gono es tal que el número de susdi agonales esigual al número de sus l ados?
A) Octógono
B) Hexágono
C) Pentágono
D) Cuadrado
E) No exi st e t al pol ígono
L[S1
Cl 30°
D) 40°
A
E
B
El 50°
1: :\ ) En la figura adjun ta , ABCD es un para le lógr amo ..Dadas las condiciones expresadas en la figura,
¿qué tipo de paralelógramo es?
Al Rectángulo
Bl 'Trapecio
C) Rombo
D) Rcmboide
El Cuadrado
k----.~--:?C
14l En la figura adjunt a, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . La medida del ángulo x es
Al 70°
Bl 120°
C) 140
0
r»
40°
E) Falta información para determinarlo
A B
15l Según los da to s en la figur a adjun ta , ¿qué t ipo de cuadr iláter o es e l ABCD?
Al Rombo
I
B) Romboide
D
C
C) Trapecio
D) Cuadrilátero cualquiera
El Delto ide
A
k.~_~_
262 263
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
24 ) En la figura ad junta, ABCD es un rombo. Si D, B Y E son colineales, AB
=
BE Y '4:DAB
=
a., ¿cuánto
mide
el
4: DEC en términos de a.?
A) 90°- ~
2
B) 45
0
C) a
D)90° - a.
E)
45
0
_ ~
4
25) Con respecto a la figura adjunta; siempre se cumple que
D C
\
E
~
e ,
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 3, CUADRILÁTEROS
Y
POLÍGONO S
28) Se puede determinar la medida del ángulo y del cuadrilátero de la figura adjunta si se sabe q~e:-
(1)
ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero
(2) El 4: DABmide 60
0
) ,C
A) (1) por sí sola
B) '(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por ~í sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere información adicional
29) Se puede determinar el perímetro del trapecio ABCD de la figura adjunta si se conoce:
8/17/2019 Matemáticas UC
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A)
P=x /\ <l >= y
Jl)
p+ x=<l> '+y
C) P+( j>=x+y
D)
p+ y = <l >+ x
E) ~= y /\ <1> x
26) ¿Cuál de las siguientes propiedades cumplen siempre los cuadriláteros inscritos en una circunferencia?
A) Sus' lados opuestos son congruentes.
B) Sus 'ángulos interiores son rectos.
C) Sus ángulos adyacentes son complementarios.
D) Sus ángulos .opuestos son suplementarios.
E) Sus diagonales son perpendiculares.
27) En' el paralel6gramo ABCD de la figura adjunta, se dibujó la diagonal AC
y
se unió el, vértice D con
. . _'. , AP
el punto medio M del lado AB. Si ambas rectas se intersectan en P, ¿cuál es el valor de la razón --?
. . AC
A) 1
3
l'
B) 1
2
¡ ,
C) 2 3
[
,.
l
D) 3
4
r
E) 3
2
I
I
I
l ~
266
I
.
.L
l :i?7
C
A M B
(1) DC = 25 cm
(2) AD
=
10cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
¡
e
~
A
B
30) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?
(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.
(2) Sus ángulos exteriores suman 360
0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
267
PSU. Cuaderno
de-Ejercicios.
Matemática
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Test
N° 4:
Transformaciones isométr icas
1), ¿Cuál de las siguientes transformaciones no corresponde a una isometría o. movimiento rígido.
del plano? .
A) Reflexión respecto de una recta dada.
E)
Rotación en torno a un punto en un ángulo dado.
el .Homotecia con centro en un punto dado y razón 2.
D) Traslación en un vector dado.
E) Reflexión respecto de un punto dado,
2)'
¿euál(es) de las figuras siguientes tiene(n) dos ejes de simetría?
~
~
I~
TERCER EJl3 TEMÁTICO
f
Test N' 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICS.S
5) La figura está formada por triángulos equiláteros congruentes. Si la traslación T es tal que la
imagen del punto D es el punto
.B,
entonces si aplicamos T al punto H, se obtiene' el punto
1
1
A) J
B) G
el F
D) M
E) A
iiii)
L M N
o
P
6)
Si la T es una traslación
tal
que
T:
(2,
-3) ~ '(0, O),
entonces T:
(1,2) ~
A) H,O)
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n < : >
ombo
IlI)Q
Elipse
1 ) 1 · . . ' 1
Rectángulo
A) Sólo I
E) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo l y IÍ
E)
t, n y
III
3) Dado el 6. ABC', rectángulo en C, ¿cuál(es) .de las figuras siguientes se pueden obtener siempre a
partir del triánguloABe mediante isometrías o composiciones de isometrías?
e
1) Rectángulo de lados a
y
b
II) Rombo de lado e
Ifl) Paralelógramo de lados b
y
e,
A) Sólo I
B) S610 II
e) ·Sólo III
D) Sólo 1 y II
E) r, n y III
A~B
e
4)
En la figura adjunta: la recta L es un eje de simetría, A, G, D Y E: G, B son tríos de puntos
colineales. Si
4: GBe
=
30°
y·4:K.AG
=
58°, entonces la medida del
4:
AKE es
. K < \ ) 4 L
E
124°
B)
'C)
D)
E
120°
100°
90°
64°
Pa ra los aspectos teóricos de este contenido el cual es nuevo en relac ión a las pruebas anteriores
(P.A.A.
y
p.e.E.),
se re com ienda nu estr o Man ual de Preparacién .
P.S.U. editado
por
Ediciones Universidad
Ca tólica de Chile. Sexta
Edición.
Mano de 20 06
268
-- --------------------_.
B) (1, 2)
e) (0, O)
D) (-1,5)
E) (-2, 3)
7) Si k Y n son dos e jes de simetría del octágono regular de la figura, entonces la imagen . de l p u nto
D bajo la composición de reflexiones
r, °
r, es
A) F
B)B·
: [
X
J :
) H
D) G
E) D
8) Si P es el punto en que se intersectan las diagonales del cuadrado ABCD de la figura, entonces
¿cuál es 'la imagen del' punto D bajo una rotación con centro en
P y
ángulode 270
0
en sentido
contrario a los punteros del reloj?
A) A
D [ J C
) B
e ) e
D D
A . B
E) P
9) Las coordenadas del punto de reflexión P que transforma al punto (-6, 1) en el punto (2, -3) son
A) (-2,-2)
B) (-2, O)
e) H,-2)
D) (-2,-1)
E) (-1, O)
269
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 135/195
i
[ :
PSU.
Cuader~~
de
Ejercicios
Matemática
17) Los ejes de simetría' de la figura siguiente son
, ¡
I
I
A) 2
B) 4
C)
6
D) 8
E) 12
O
·'
. '. .
18)
El segmento A'B' es la imagen del segmento
AB
bajo una rotación con centr o en un punto
O
y'
.co n un - .ángulo dado, Para encontrar el centro de rotación O, basta
A) dibujar las simetrales de AA~ y BB'
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
1
22) ¿Cuál(es) de los siguientes polígouos tienem) simetría respecto a sus diagonales?
1)
El rombo
11)
El romboide
I1I ) E l rectángulo
A) Sólo 1
B )
Sólo
ir
e) Sólo III
D)
Sólo
1 y II I
E) S6lo 1
y
n
23) ¿euál es la preirnagen del punto r 2 4) bajo una rotación con centro en el origen
y
en 270
0
en
sentido antihorario?
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E) , encontrar el simétrico de A respecto de ,larecta BB'
19)
El problema de cubrir completamente (teselar) el plano con polígonos regulares de n lados tiene
solución sólo para n
=
B) trazar la bisectriz del ángulo que forman las rectas AB
y
A B
1 ,
I
I
' ¡
'C) dibujar las rectas, AA Y BB'
D) dibujar paralelas
a
AB
y
A'B'
ti
I
: ,'
1
/
': . ,
\ ~
A) 3, 4y 5
B) 3, 4y 6
C) 3,4
y
8
D) 3,5 Y 8
E) 4, 6 Y 8
20) Si a un triángulo escaleno ABC, se le aplica una reflexión con respecto al - la do AB, la figura
AC'Be que resulta es
A) un romboide
B) un trapecio
C) un deltoide
D) un rectángulo
E) un cuadrado
21) La imagen del pun to (-'2, 3) bajo la transformación F: (x, y) -? (x - 2, Y - 3) es
I
A) (-4, O)
B) (O, O)
C)(-4, -6)
D) (O, 6)
E) (-4,6)
272
--._-p- ----- -~
A) (-4,2)
B) (4,-2)
e) (-4, O) ,
D) (O; 2)
E) (-4, -2)'
24) Dadas la transformacionesT: (x,
y) ~
(x - 1, Y
+
1) Y
T,:
(x,
y)
~,(-x,
-y).
al aplicar la
transformación
T,
o
TI
al punto
M(2, -1)
se obtiene el punto de coordenadas
A) (-3,2)
E )
(1, O)
e) (-1, O)
D) (-1,2)
E) (3, -2)
25) Mediante una reflexión, el punto (3,4) se transformó en el punto (-3,
4),
La ecuación del eje de
reflexi ón es '
A ) Y = O
B ) x = O
e) y
=
4
,D) x = 4
E) Y =-x
26)
En la figura, ABeDE es un pentágono regular. El ángulo de la rotación de centro O que permite
pasar del vértice
e
al vértice A, mide
(
D
A)
180
'E ~ t
)
144
e
156
0
D
216
0
E) -216
0
,
'A
B
273
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
27) Al aplicar a L i una reflexión con respecto al eje Y de un plano cartesiano, seguida de una
ref lexión respecto del origen' 0(0, O) , ella se transforma en .
A) D .
B)
< :=
C)
q
D)
L i
E)
r?
28) Dado un pol ígono regular, ¿es posible recubrir el pl ano con él?
(1) La suma de sus ángul os ext eriores es 360°.'
(2) Su ángul o int erior mide 120°.
TERCER EJETEMÁTICO / Test N 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Tes t N° 5: Ángu los en la c ir cunf erenc ias
1) A las 11 en punto, los punteros del rel oj forman nn ángulo que mide
A) 12°
B) 30°
C) .32,72°
D)
45°
E) 60°
2) Si en la figura adjunta, O es el centro de la circunferenci a, <I:ABÓ
=
35°
Y
AC es un diámetro,
entonces la medida del ángu lo BOe es
A
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A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se r equiere información' adicional
29) Para determinar l a imagen B' del
vérticeB
del Ó. ABC, equi lá te ro, b ajo una isometría se conoce
que:
(1) La isornetría es una 'rotación con cent ro en A.
(2) La imagen de
e
bajo esta i sometría es el vértice B.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se r equiere info rmac ión adicional
30) Se quiere determinar qué ti po de cuadrilátero es el cuadri látero ABeD.
(1) Tiene .s imetría respecto de sus diagonales.
(2) Tienejl ejes de simetría.
A) (1) por sí sola
B) (2) po~ sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada nna por sí sola, (1)· ó (2)
E) Se r equiere información adiciona l
RESPUESTAS CORRECTAS
274
A) 17,5°
B) . 35°
e 70°
D)
90°
E)
110°
e
3 ) En la figur a adjunta, O es e l cen tro de la c ircunfe renc ia . S i<I:PSR
= '
50° y<I: PTQ
=
20° , entonces el
arco R Q mide
A) 15°
B) 30°
i
/
A O
S
) 45°
D) 60°'
E) 80°
T
4) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AC es diámetro, <t ABD
=
40° Y
<I:BCA =30°, entonces x
+
y - z =
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
42 ~i
~
IX~C
E) 60°
275
:
I
l ,
»su. Cuaderno de Ejercicios .Matemática
9) Si un lado de un triángulo mi de 12 cm y el ángulo opuesto a est e l ado mide 30°, ¿cuál es el' diám~tro
de la circunferencia circunscrita, a este, triángulo? '
TER'CER EJE TEMÁTICO I Test N 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
~¡
f.
:
1 :
5) 'En la figura adjunta, la recta R. es tangen te a la circunferencia en C, Si
B e
=150° Y<tABC =40°
entonces
x + Y ' =
A) 18 cm
A) 105°
.
B) l2.J3 cm
B) 110°
C) 24 cm
)
115°
D) 36 cm
D) 120°
E)
2 4 . J 3 cm
) 125°
6)'
En la circunferencia de centro O
y
radio r de la figura adjunta, el
A
ABC es isósceles de base' AB ,Si
AB
= =
r
y
CD es bisectriz del <t ACB , entonces la medida del <t OBC ,es
10) Si en la figura adjunta, ABC es un triángulo' inscrito en la circunferencia,
y
P,
Q
y
R son los puntos .de
intersección de las bisectrices
.de
los ángulos interiores con la circunferencia; entonces la med ida del
ángulo PQR es '
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~ 1
ll¡
¡ ¡
1 I
~ I
t ,
t i
¡ ,
,
n
¡
I
' : ' 1'
-
l
n
i:j
~I
r
)j e
i
r
,
A)
10°
B)
15°
C 25°
D)
30°
E) 35°
D) a +
1 )
4
E) ~(a
+ 1 ) )
3
A )
a +
1 )
B) a + 1 )
2
C) 2
(a +
1
, , D
'7) En la circunferencia de centro O de l~ figura adjunta, <t BOC =60
0
y
<t' ECD ;= 5'0
0
• ¿Cuánto mide el
<tBEC?
A)
30°
B) 50°
A l
\ D
C
60°
D)
80°
E) 120°
11) En la figura adjunta, O eselcentro de la semicircunferencia
y
B e = 3 EA , ¿Cuánto mi de el ángulo
ACO?
A)
z z . s -
B)
30°
e
45°
D)
67,5°
E)
75°
~ :>I
B
8) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado inscrito en la c ircunferencia,
y
E es un punto cualquiera
del arco e n , enton~es a + p =
A) 45°
B)
90°
e)
105°
D) 125°
E) 135°
12) Si 'las cuerdas AB, Be, CD, DE
y'
EA son todas congruentes, entonces a + 'Y+ 8 =
A) 36°
D
~
B)
72°
C) 108°
D) 120°
E) 180°
276
277
-----_._--- . -
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
13) Con los dat os indicados en la fi gura adjunt a, si O es el centro de la ci rcunferencia circunscrita al
t1
ABC, ¿cuánto mide el 4: AOB?
A) 20°
B)
30°
C) 40°
D) 50°
E) 100°
14) En la fi gura adjunta, AB 'es tangen te a la c ir cunf erenc ia de cent ro O en e l punto B y AD es secante,
~ 1
CB mide. '5 de la circunferencia. El 4: BAD mide
1
El arco BD mide 3 ' de la circunferencia y el arco
TERCER EJE TEMÁTICO Test N 5, ÁNGULOS EN LA:CIRCUNFERENCIA
17) En l a circunferencia de centro O de la figura adjunt a, AD y BE son diámetros, Si BE J CD y
4: 0= 72° , ¿cuánto mide el 4: a1
A) '108°
: 8
72°
C)
36°
D)
18°
E) 9°
18) En la c ir cunf er enc ia de la figura adjun ta, PT y PQ son tangent es a l a circunferencia en .P y Q,
respectivamente, Si <l:PQT = 63°, entonces X
+ Y =
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A) 24°
B) 36°
C) 45°
D)
48° A
E)
60°
B
15 ) En la Semici rcunf erencia de diámetro AB de la figura adjunta, se trazó una cuerda ACtal que el
<t:BAC mide 20°, Si la tangente XDY es paralela a AC, entonces los ángulos ADX y BDY
miden, respectivamente. .
I 'il· ·~ i,
1
l.
y
A) 30'0
Y
60°
B) 35°
Y
55°
)\
C) 55° y
35°
D) 60°
Y
30°
A~
': ,I
B
E) Falt a informaciónpara determinarlo
,
.
l i
li
il
1 :
I ' ¡
' ';i
t i ,
¡ i¡
11 '
I '
f i
,
1 ,
1 ,
L
16) ¿Cuál(es) de los siguientes cuadr iláteros es(son) siempre inscr ip tible(s)en una circunferencia?
I) Cuadrado
II) Rombo
II I) Trapecio isó sceles
A) Sólo l
B) Sólo II
CJ Sólo l y II
D) Sólo l
y
III
E) l, II Y III
8
L
A) 117°
B) 126°
C) 135°
D) 171 °
E) 180°
N ...-/
p
19) S i en la c ircunfe renc ia de cent ro O de la f igur a adjunta, AB es un d iámetro y <t:ABD =.,,7° , entonces
e l< t:DCB mide
A)
254°
B) 198°
C) 161°
M
> 1 B
D) 143°
E) 127°
20) Si en la circunferencia de la fi gura adj unta, MN es t angente en T y
f A Á B B T
entonces la medida del 4: MTB es
5 : 6 : 7 ,
M
A) 110°
B) 100°
C
70°
D) 60°
E) 50°
N
279
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PSU. Cuaderno de Ejercicios. Mateln:ática
29) El radio.de la circunferencia de centro O. de la figura adjunta. mide 8 cm. ¿Cuánto mide la cuerda
AB?
(1) T
es el punto medio de AB
'~:'¡
TERCER EJE TEMÁ TrCO / Test N 6. PERfMETROS y ÁREAS
CAPÍTULO 6. PERÍMETROS Y ÁREAS
Test N° 6: Perímetros y áreas
1)
El área del rectángulo de la figura adjunta es,
A) 40 cm'
E )
48 cm'
C)
50 cm'
D)
80 cm'
E) 100 cm'
2) OTl.AB
y OT=6
cm
A)
(1)
por
sí
sola.
B)
(2)
por sí sola.
C) Ambas juntas.
(1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
' S e
requiere información adicional.
30)' Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta
y
BD y AC' son diámetros. Es posible
,
. .
10
c~/'-
/
. -
...,,'
8cm
2) Un pasi ll o embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12
ID
de
ancho. El área del pasi llo m ide ' ,
A)
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A)
200 cm'
~
F
B) 400 cm'
I I J I
\c
B
I
,
C)
800 cm'
.
D )
1.200 cm'
'E) 1.600 cm'
: i
1
1
determinar la medida del ángulo ACB si se conoce que: '
(1) B e
=2· ,ij3
(2)
a
=
120°
D
68 m'
B) 120 m'
C) 144 m'
D) 150 m'
E) 160 m'
3) EÍJ la figura: ABCD' es un cuadrado cuyo lado mide 40 cm y t1 DCE es equilátero. El área achurada
mide
E
A
lB
4) En la figura adjunta se t iene una circunferencia de centro O y radio r. El área achurada mide
A) 1 r
2
12
A) (1) por sí sola.
B)
(2)
por sí sola.
C) Ambas juntas. (1) y (2).
D) Cada una por sí sola,
(1)
6 (2).
E) Se requiere información adicional.
B)
1 r
2
-
1
9
[1
1 1
- ,
1H
2
C
l i
C)
-
j l
8
2
~
'D) 1 .f
¡ l
.
6
A
1
RESPUESTAS CORRECTAS
1
1tr
2
E)
-
4
1
t:1 H
I
V V
I ~,·'t.L I J
(l
I U
II
la
U
I J e
1 1 U
L
1 a
'9
1
V,
I V'v I a'E
oz I HI I
~
.
282
283
PSU. Cuaderno de Ejercicios.Matemática
5) Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su área resulta igual
a
81 cm', entonces ¿cuánto mide
el perímetro del. cuadrado original?
A) 48 cm
B)
44 cm
C) 36 cm
D) 24 cm
E) 12 cm
6) Si en la figura adjunta todos ios 'ángulos son re ctos, entonces su área, en términos de x , s e puede
obtener mediante:
TERCER EJE TEMÁ -rICO I Test N 6, PERÍMETROS Y ÁREAS
9)
ABCD es un cuadrado de lado 2 cm, Los cuatro arcos.
de
circunferencia se dibujaron con centro en
el punto medio de cada lado .del cuadrado, El, área sombreada mide
A)
(2 1 i -
4) cm'
D
B) ,(4.- : i
4
1t) cm'
C)
(1t - 1 ) cm'
D)
(27t - 2)
cm'
E) 2 cm'
1) (8x '3x) +(2x
'x)
+ (4x ' 2x)
T I )
(IOx' 5x) -[(2x)'-i- 2 (2x' 3x)]
I
lO)
4x
l HI iIi IIIi lII
¿Cuál es el área de 'un triángulo cuyos lados miden 15 cm, 15 cm
y
24 cm?
A)
·54 cm'
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• . .
l i r
[(7x' 5x) - (3x' 2X)]
+
83x)'_(2x)']
A) '$ólo 1
x
B) Sólo II
2x
_ n
3)(
'C) Sólo III
8x
D) Sólo I,Y II
h
11)
E) 1, n y In
, ',
I
1 ;
7) En la figura adjunta, las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son 16 cm y 12 cm ,
¿Cuánto mide el á re a achurada?
o: '
A)
196 - 192
cm?
B)
144 --192 cm?
C)
1211t - 192 cm?
D)
100 -
192 cm'
E) 81lt - 192 C¡p2
8) Si en la figura adjunta, el paralelógramo ABCD tiene ár ea igual
a
48 cm'
y
AE
=
2, E B , entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1 ) - Área(tlDEC) ~ 24 cm'
II ) Área(tlEBC)=8cm'
III) Área(tlEFB) = 6cm'
A) Sólo
1
B) Sólo II
C)Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, n y 1lI
~\ . ;;¡e
A~ Y }~
F
284
,B)
108
cm-
C) 180 cm'
D) 216 cm':
E)
240 cm'
¿C~ál es el 'área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 8 cm?
A)
16,J3 cm ?
B) 96.fj
cm'
C)
128 J3
cm ?
D)
192.J3
cm'
E)
2 0 8 1 3 cm
ill, ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° en ella es 31<?
A) 214
B) 18
C) 12
D) 8
E 6
13) Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados miden a ~ 35
mm,
b
=
53 rnrn Y
e =
66
mm,
Desde el vértice
C se trazauna recta
CD
que divide al triángulo en otros ,dos.de igual ¡J~rímetro, Los segmentos AD
y DB miden, respectiVamente
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
14) Si en el paralelógramo. ABeD de la figura adjunta. E
y
F son los puntos medios de AB
y
Be.
respectivamente. ·¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
1)
Área achurada
=
2.Área(L\ AED}
Il)
Área achurada = 2 Área (L \ FCD)
ID) Área achur~da = Área
L \
AED) +Área
{ L \
FCD)
A) Sólo
I
B)
Sólo n
C)· Sólo ID
D)
Sólo
I y II
E) I.IIyID
A L - - - - - -
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test·N 6; PERÍMETROS Y ÁREAS
(
17) En la figura adjunta. si el área del paralelógramo ABeD es n, y si la longitud de DE es n + . . .. . •
entonces la longi;ud de AB
es .
n
A)
n
B) _1_.
l
+ 1
C
I
. e)
n +
1
,
D) .z.,
A E
B
n
+
1
E)
n'
~
8/17/2019 Matemáticas UC
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J
15)'
El perímetro de un rectángulo es
6x.
Si uno de sus lados mide'::' • ¿cuál es el área del rectángulo?
·2 .
I
I
l.
I
A) x'
4
B)
5x
2
-
4
e
5x'
-
2'
D) l1x
2
4
E) .1lx'
2
16) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de .la figura?
A) 21
B) 24
e)
2 4
+
J2
D) 18
+
6.fi
E) 24.fi
286
6
A\
12 I
18)
Si el área de un círculo es ·64n cm'. entonces la longitud desu circunferencia es
A)
8ncm
B)
16ncm
C)
321tCm
D) 64ncm
E) 128n cm
19) En la figura.
L \
ABC es rectángulo en C. D y E son puntos medios de AB. y CA. respectivamente y
Ae
=
BC
=
2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones esíson) verdadera(s)? .
I) El triángulo CDE es isósceles.
TI) El ~ea del triángulo CDE es 0.5 cm'.
III) El perímetro del triángulo CDE .es (2
+ J2 )
cm.
B
A) Sólo
l
B) Sólo
Ir
C) Sólo ID
D) Sólo 1 y Ir
E) l. II Y ID
D
V
e E A
20) Si el área del rectángulo ABCD de la figura adjunta mide 48 cm'. ¿cuál es el área del triángulo ABE?
.
.
A)
12 cm'
B)
24 cm'
C) 30 cin
D) 48 cm'
E) 60 cm'
287
PSU C~aderno de E jerc icios Matemática
21) En la figura adjunta, ABCD
y
AEFG son rectángulos. EB =AG = 8 cm, FC
=
la cm
y
FD =2JlO cin.
El área de la superficie achurada es r F
~ .
TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 6, PERíMETROS Y ÁREAS
25) Cuatro palos redondos -de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico .como se .
muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?
A) .
24 + 61t cm
A) 28cm
2
B) 30cm'
B)
48+121t
cm
C) 32cm'. e)
12.+ 31t
cm
D) 34cm'
C
D)
36
+
91];
cm
E) 36cm'
B E)
24
+
121t .cm
22) En la figura, ABCD es un cuadrado y
6
ABE es equilátero. ¿Qué parte dei á re a del
cuadrado
es el
área achurada? .
1
A) ¡
26) En un círculo de radio r se dibujan los diámetros perpendiculares PQ
y
R S ,
y
haciendo centro en P
y radio PS se tr aza el cuadrante de circunferencia PRS. El área de la superficie achur ada mide.
1 2
A) ¡t
r
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i
I
¡
I
1 :
1 :
¡:
¡
~;
~I
; 1
¡'I
...
1
'B)
'3
1
C) '2
2
D)
3
3
E)¡
)..., =-C
Ir
B
23) En la figura, ABeD es un rectángulo. Si AC es una semicircunferencia de radio
3
cm
y
,1
<l:
BAC
mide 30
0
, entonces el área achurada mide
A) rt cm-
B) 2n cm' .
C)
3n cm'
D) 4n cm'
E)
5n cm'
24)
El
triángulo ABC es rectángulo en. C. Se han construido sobre los catetos los cuadrados
Ent rc y
ACDE. Si Á .B = la cm, ¿cu~to m ide el. área achurada?' .~
D
'A) la cm'
E) 20 cm'
q
50 cm'
D) 100
cm'
E) No se puede determinar
• 288
E)
( 2 : -
1}'
, . 2
C) 1t
r'
D)
r'
1 ,
R
E) '2 1t r
27) El área de un cuadrado que tiene igual perímetro que un triángulo equilátero cuya altura mide
~.f3
. . . 4
cm es
A)
36a'
cm'
9a'
B)
- cm-
4
9a'
e)
- cm'
16
9a'
D) - cm ?
64
a'
. E)
-- cm'
576
H
289
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
28) ¿Cl áI
e s
el área del trapeci o ABCD de la figura adjunta?
(1) El trapecio es isósceles y Ab =10 cm.
(2) La mediana del trapecio mide 12 cm y su altura 8 cm.
A)
(1)
por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas,
(1)
y
(2).
D) Cada una por sí sola,
(1).
ó
(2).
E) . Se requiere información adicional,
L 6 , m . ~
A 18 cm B
29) En el ó. ABC de la figura: CD es bisectriz del4:ACB
y
AC
=
BC. ¿Cuál es el perímetro del
L l ABC?
I~ .
•
TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7. SEMEJANZA
CAPÍTULÓ 7. SEMEJANZA
Test
N° 7: Semejanza
1)
Si dos polígonos son semejantes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)
siempre verdaderat s)?
1) .Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual. medida.
II) Sus lados correspondientes son proporcionales.
IU) Los polígonos tienen la misma forma.
A) Sólo 1
B) Sólo 1
y
II
el
Sólo 1
y
III
D) Sólo U y III
E) .r, II Y III
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(1) AD
=
3 cm y BC= 5 cm
(2) CD = 4 cm
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola ..
C) Ambas juntas, (1)
y
(2).
D) .Cada una por sí sola, (1) ó
(2).
E) Se requiere información adicional.
e
J - t
D 'B
30) Dos lados de un triángulo miden 6 cm
y
8 cm.· Se puede calcular su área s i:
(1) El triángulo es isósceles.
(2) El tr iángulo no es rectángulo.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1)
y
(2) .
. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) .Se requiere información adicional.
RESPUESTAS CORRECTAS
29 0
2)
La razón entre. la altura del triángulo
ABe y
la altura correspondiente del triángulo
MNP
es
7 : 10. Si los dos triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?
A) 7 ·10
B) 10 7 ,
e).
49 100
D)
343 1.000
E) 1.000
343.
3) Si en la 'figura adjunta t; ABC - t;DEF , entonces x _ y =
A) 1,5
B) 2.0.
e) 2,5
D) 3,0
E) 3,5
e
~
A 7 .B
F
~
.. E
12m
~2m
. 4)
En la figura, los triángulos son semejantes. La altura del árbol es
A)
6m
B)
8m
C)
12
m
D)
18 m
E
24 m
~~~
4m
1 )·
I
~
291
PSU. Cua de rno de Ejercicios Matemática
5) Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 Y 15. Las longitudes de los lados de otro triángulo
son 12, 18
Y
22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) Los triángulos ti enen sus áreas
en
la razón 2:'
3.
B) Los triángulos son semejantes por el postulado Lado-Lado-Lado.
C) Los triángulos son semejantes por homotecia.
D) Los triángulos no son semejantes.'
E) Ambos triángulos son rectángulos.
6) De acuerdo
a
la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
1) BE:
CD =
2,: 7
I1 )
perímetro del
A
ACD =
2
, perímetro del
A
ACD
1
e
TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7, SEMEJANZA
8)
Si a un cuadrado ABCD le aplicamos una homotecia concentro en A y razón
-1,: 2 secbtiene
otro cuadrado A'B'C'D'. La figura que mejor rep~esenta esta situación es,
A ' l i T
C
D
e'
E)
t E J
e'
, .
A =A' B' B
D
e
D A=A' B
A=,A' B B'
D
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f
~
t
I
,
F
' , 1
I
~
~
~
d
I
1,
¡ i
l i
I
I
~
t
l '
1
1
1 1
1 :
área del
A
ABE
1
Jr r )
área del
A
APC = 9
A} Sólo
r
B) Sólo
II
C) Sólo
1
y
rr
D)Sólo
II yI II
E) r, II Y III
d J A
p e
: b J e
' ,B
D B
e'
D
B'
e'·
'~
9) Si a un pentágono de perímetro 24 cm se le apl ica una homotecia de razón k
=
3 1, ¿cuánto
mide el perímetro del pentágono resultante? '
A) 4
cm
B) 6 cm
C) 8
cm
D) 72 cm
fl) 96
cm
10) Se llama semejanza al movimiento obtenido por
A) traslaciones
B),
rotaciones
C)
reflexiones
D) simetrías deslizantes
E) hómotecias
11), Silos triángulos de la figura son semejantes, entonces el perímetro y área del triángulo A'B'C'
son, respectivamente
7)
A un triángulo con vértices en los puntos
A(
-2,
-1),
B(2, ~
1) Y ecO,
4), se le aplica una homotecia
con centro en el origeny. razón
3 :
2. Las coordenadas de los vértices del triángulo que se obtiene
son
A ) A ' ( - 3 , - % } B ' ( 3 : - % } C (O ,6)
B)
A ' ( - . . . . ) B , ( 2 2 . )
c , ( i
2 . l . 1
2'2' ,2'2' 2'2)
A) 18 cm y 13,5 cm'
B) 12 cm y
6
cm'
C) 8 cm y 4 cm'
A A~'
3,:~ 4.5= .. '
4cm e 'B'
e:
A '(
- t - }
B ' ( ~ , - ~ } C ' ( - ~ , ~ )
D ) A ( 3 , n B t 3 , ~ }
C'(O,-6)
C
E)
A , ( _ i - ~ ) B , ( i : - ~ )
c ' ( o
ª - )
3 , 3 3 3 , 3
D) 8 cm y 2f cm'
E) 18 cm y 9 cm'
,
,
292
293
1 :
. ,
PSU. Cuaderno d e E jercicios Matemática
,¡ I
:I~
11
1
1
J2) La pizzería don Vitto ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $1.800, ¿a qué
precio deberá vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero' con 45
cm de diámetro?
A) $3.600
B)
$5.400
C) $7.200
D) $iO.800
E) $16,200
13) ¿CuáJ(es)de las siguientes parejas de triángulos es(son) semejantes?
1)
7 A ? l .
,A
?
21
1
6 8, ~
, , 3t
*
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 7, SEMEJANZA
16) En la figura, AC .LBD
y
ED .L AB , ¿cuá1(es) de las siguientes alternativas es(son) verdadera(s)?
1) FD FE= FA . Fe
Il) AC' ED = AB . BD
III) FD'
FA = FC. FE
A)
Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo 1 y II
El
Sólo
1 y III
o
e
AL E B
17)
E n
la figura: CE = 2 cm, DE = 6 cm y AB = 12 cm, entonces la medida de AC es
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~
A) Sólo
1
B)
Sólo
II
C) Sólo
III
D)
SóloJ
y III
E) Sólb II y III,
~
G
·
10
III)
.A 30
~
14)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?
A) Dos.polígonos congruentes son ',siempre semejantes.
El) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes,
C) Dos cuadrados son siempre semejantes,
D) Dos círculos son siempre ,semejantes.
E) 'Dos rectángulos son siempre semejantes.
15) Los perímetros de dos figuras 'semejantes son 30 cm y 18 cm. ¿En qué razón están los lados?
A) 25 : 9
B) 10: 9
C) 6:2
D) 5: 3
E) 5: 2
i I
~
1 ,
I
i
~
294
e
A) 3 cm
B) 4 cm
~E
C), 5 cm
D) 6 cm
E 8 cm
a ....
'B
1 8) Si l i . ABe ~ l i .
DEF,
¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a AB?
1)
BeDE ' EF·AC AC·DE
I~
Il)
--
I1I)
EF'
Be
DF
A) Sólo
1
B)
Sólo
II
C) Sólo III
D) Sólo 1y II
E) Sólo 1 y III
i
9) La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjeta
original. El valor de x es
Al
5
B)
10
E l l I J
. ,
C), 15
D) 20
)
10 10 10 10
E)
30
295
PSU Cuaderno de EjercícíosvMatemútica
20) De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera/s)?
1)
PQ
= 8
II) <l: OPQ =
90°
III) ' SOR - ' QOP
A) Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo 1 y II
D) .Sólo 1 y III
E) (TI Y III
s
R
21) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. D es el punto medio de AB. DE es
perpendicular a AB. Si AC = 12 Y
A B
= 20, el área del triángulo DBE es
Q
TERCER EJE TEMÁTiCO I Test N 7, SEMEJANZA
24) Si DoABC - ' JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es
verdadera?
'A) BC· OT
=
AC . JT
B) AB· JO = AC . JT
C) AB· JT = BC . OT
D) AC· OT
=
BC . JT
E)AC • OT
=
AB .' JO
25) ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?
A) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
B) Dos triángulos is6sceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice.
C) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcio-
nales. . .
D) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen Iashípotenusas iguales ..
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I
I
,
~
~
1
~
•
~
~
f '
J
I
~
~
~
~
.
~
~
~
~
~
(
r
t
r
~
·c
A) 30
.
B) 35
C) 37,5
A
u)
48
E) 58,5
.E
/ 1 '>.8
22) En el triángulo is6sceles PQR de la figura, PR'= QR; PS es bisectriz del ángulo en P. ¿Cuá1(es)
de las afirmaciones siguientes es( son) verdadera(s)?
1) Los triángulos PQS y PRQ son isósceles .
II) El triángulo PQR es semejante al triángulo QSP.
·x 3 .
R
III) 3'
=
x-3
A)
B)
C
D
'E)
Sólo 1
.
,
Sólo II
Sólo 1 y II
Sólo II y III
1, I I Y III
pV ~ la
23)
Dos octógonos regulares tienen lados cuyas longitudes son
6
fjy
9.
La razón de sus áreas es
l.
l
i
l'
A) 4: 3
B)
2 [j:
3
C) 2:.[3
D)
Ms:9
É)
2: 1
29 6.
E) . Dos
triángulos
son semejantes cuando
tienen
sus lados respectivamente paralelos.
26) En el triángulo ABC, rectángulo en B: EFI/BC, AF = Fe = 5 cm
y
AB =.6 cm. Si la mediana del
trapecio BCFE mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de este trapecio?
. A) 12 cm
B)
l5cm
C)
l8·cm
D) 20 cm
E) 24 cm
A~.··F·'···
E .
C
27) En. l a f igura: ABCD es un paralelógramo. El valor de
x+y
es
A)
14,4 cm
B)
10,0 cm
C)
9,0 cm
D)
8,0 cm
E)
7;6 cm
A
28) ¿Es el
<t
PSR congruente. con el <l:TQR?
16
(1) <t
SPR ' =
<t:
QTR
PR SR
(2) TR
=
QR
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D)Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
E) Se re·quiere. información adicional
p
Q
297
I
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
29) Se puede determinar la medida del segmento WZ si:
(1) RW
=
15, ZR;= 10 Y SZ
=
8.
(2) 4:SRZ
:=
4: WZS
w
'{ TERCER EJE TEMÁ rtco I Test W 8.GEOMETRíA DE PROPORCIÓN
~
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~~~~~~~~~~~~~~- - ~~~~~~
'~I
CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
Test N° 8: Geometría de proporción
1 )
Dado un trazo AB
= 8 0 cm
'y un número real
A . = ~,
entonces dividir armónj~amente dicho trazo AB
en la razón
i
significa 3
. AC 5
1)
Encontrar un punto
e
entre A y B tal que ' _
'. CB
3
II)
Encontrar un punto D en la prolongación de AB, a la derecha de B, tal que AD
. . DB
A)
(l)
por sí sola
B) (2) por sí sola
e)
Ambasjuntas,
(1) y (2)
D)
Cada
-un a
por sí sola,
(1)
ó
(2)
E) Se requiere información adicional
R
'JZ·
III) Encontrar un punto D. en la prolongación de AB ala izquierda de A tal que AD
= ~
DB 3
De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correcta(s)?
A), Sólo
30)
Con respecto a la figura adjuntavpodemos determinar el valor de y - x si sabemos que:
1) EDIl AB
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i
1
:
¡ t i
¡
B
B) Sólo
T I
C) ,Sólo III
D) Sólo
1
y
TI
E) 'Sólo 1 y III
2) Se tiene un segmento AB de 95 cm. Al 'dividirlo interiormente por dos puntos dados P
y
Q tales que
AP : PQ ': QB ;=3 : 5 : 11, la diferencia entre el mayor y e r menor de los segmen tos que resultan de tal
división es
A) 15 cm
B) 25 cm
C) 40 cm
D) 55 cm
E) 60
c m
3) Cuando se divide un cierto trazo, AB, armónicamente en la razón de l . . . . : . 4, la distancia entre los
punto s de división interior y exterior es de 48 cm. La medida del trazo AB es
A)
12 cm
B) 14
cm
C) 18 cm
D) 24
cm
E) 28 cm
(2)
CD
= 14
A
4) En la figura adjunta,
ABIiCD
Si OA;= 10 cm, AC .; 8 cm y BD;= 12 cm, entonces OB;=
O
A) '9,6 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D)
15
cm
E) 16 cm'
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola'
C)
Ambas juntas,
(1)
y (2)
D) Cada
una por sí sola,
(1) 6 (2) .
E) Se requiere 'inforrnaclón adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
29 8
299
PSU - Cuaderno de
Ejercicios
Matemática
, 5)
En
la
figura adjunta se muestra un trazo AB de 20 cm, M es el punto memo de .AB, Los puntos C
y
D dividen al trazo AB, el primero interiormente
y
el segundo exteriormente, en la razón
7 : 3,
f
A
B
D
e
.Al respecto
-se'
plantean las' siguientes afirmaciones:
1) M A
2
MC 'MD
II)
2
AB
1 1
AC 'AD
III) Los puntos B
y
A dividen armónicamente al trazo CD en la razón 2 : S
,
,
De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctaís)?
TERCER,EJETEMÁTICO
I
Test N 8, GEOMETRJA DE PROPORCIÓN
8) En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, se han dibujado sus diagonales AC
y
BD, las cuales se
' cortan en P. ,Se trazan DM
/1
Be
y
eN
1 /
AD. En tales condiciones se afirma que
CP
N P
D
1)
-=-
PA PD
M I >
DP
T I )
-=-
,PC PB
1Il)
MN// AB
De las afirmaciones anteriores,
¿cuál(es) de ellas es(son) correctá(s)?
A) Sólo 1
B) Sólo
T I
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A ) Sólo 1
y
TI
B) Sólo II y m
C) Sólo 1
y
III
D) Sólo III
E) Todas
6) En la figura adjunta,
AB/I
CD
/1
EF, Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación se
miden con la misma unidad de medida u ,
y
si AC
=
6u, CE
=
4u
y
DF
=
6u, entonces BF
=
A) 4u
B) 9u
C)
12u
D) lSu
F
E)
18u
7) En la figura adjunta se cumple que
CDII
AB, OA ~ 12 cm, OD
=
18 cm
y
eB
=
35 cm. El segmento
oe mide
A)
12 cm
B)
14 cm
C) 15
cm
D)
'16 cm
E)
21 cm',
300
C)~m
D) Sólo r y TI A B
E) Todas
9) Los lados de un triángulo ABC miden BC = 8 cm, Cs: = 10 cm
y
AB
=
12 cm. Se dibuja un~ paralela
MN al
lado AB de tal modo que el perímetro del triángulo MNC sea igual al perímetro del trapecio
ABNM. Él valor de MN es ,
A) 10 cm
B)
8
cm
C)
6 cm'
20
D)
'3
cm
25
E)
3cm
10;
¿En cuál de los casos -síguientespodemos afirmar que dos triángulos son semejantes?
1)
,Tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
TI ) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre .lados proporcionales.
IlI) Tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?
A) 'Sólo TI
B)
Sólo III
e)
S610 T I
y
III
D) S610 1 y T I
E) 1, II Y III
301
PSU. Cuaderno d e Ejercicios Matemática
11) Se da un triángulo ABC rectángulo en C. ¿Con cuál de los Procedimientos siguientes podemos
asegurar que se obtiene, a l menos, un. triángulo semejante al triángul o ABC?
I)
Trazando una paralela DE a la hipotenusa.
ir ) Dibujando la altura CD = he relativa a la hipotenusa.
Ill) Trazando la bisectriz del ángulo recto;
De los procedimientos anteriores, ¿cuál(es) de ellos esfson) correcto(s)?
A) S610
r
B) S610 II
C) S610 III
D)S610 l y II
E) Sólo l y III
12) La media proporcional geométrica entr e dos trazos de 6 cm y de 24 cm es un trazo de
A) 9,6 cm
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
15) Cuando dos circunferencias son tangentes exteriormente, ocurre que l a longitud del segmento de
tangente común exterior es igual a lamedia proporcional geométrica entre sus diámetros, Según esta
propiedad, '¿cuánto mide la longitud de la tangente común exterior a las dos circunferencias tangentes,
exteriormente de la fi gura adjunta de radios r = 4 cm y R ' 9 cm? '
A)
6cm
B)
6,5
cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) 14 cm
16) ¿En cuál(es) de los siguientes casos secumple que la medida del segmento indicado es media
proporcional geométrica entre las 'medidas pe los otros dos segmentos?
8/17/2019 Matemáticas UC
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'B) 12 cni.
C) 13 cm
. D) 14 cm
E)
15 cm
13) En el t ri ángulo rectángulo ABC de la' figura adjunta, rectángulo en C, BC ' a
y
CA ' b ' 2a.
CD =he es la altura relativa a la hipotenusa, entonces CD '
1
A) -'
-a
215
115
) - 5 a
5
C) ~15 a
2
e
l ·
. 5 Ir
D) -...;5
a
, 2
E) 3.15 a
5 ,
En un cierto triángulo rectángulo ocurr e que l a suma de la medida de la h ipotenusa con la med ida de
uno de los catetos es 25 cm, mientras que la diferencia entre las medidas 'de ambos es. de 9 cm.
Entonces la medida del otro .cateto es de
o \B
A D
14)
A)
8cm
,B)
9 cm
C) 12 cm
D) 15 cm
E)
16 cm
302
1) La altura de un triángulo 'rectángulo y los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
II) Un cateto de un triángulo rectángulo con respecto a su proyección sobre la hipotenusa
y
la
hipotenusa entera.
1lI) La tangente trazada a una cb:cunferencia desde un punto exterior y los dos segmentos de
una secante trazadas por el mismo punto exterior: el segmento ínterior y el segmento exterior
De las afirmaciones -anteriores, ¿cuál (e s) de e ll as e s (s on ) correcta(s)?
Si
A) Sólo I
B) S610 II
C) SóloIII
D) Sólo 1 y II
E)' Sólo l,
y
III
17) En la figura siguiente, siendo ABC un triángulo rectángulo en
e,
ocurre que el área del cuadrado
BHIC es idéntica al área delrectángulo BDEG. Este hecho. geométrico ilustra mejor el teorema de
, 1
A) Euclides de la altura
B) Euclides del cateto
C) Pitágoras
D) los paralelogramos complementarios
E) no corresponde a ningún teorema en
espe~ial
18) 'Las diagonalesde un rombo miden 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto 'mide el radio de la 'circunferencia
inscrita
e n
él? '
A) 12 cm
B) 15 cm
C) 18 cm
D) 21 cm
E) 25 cm
,,----_ ~
Á
303
I
I
~,
e 'Al2pq ~
B) pq
h.
e)
p2 + q , . . E
Aé y ~B I D) q2 _p
'~D~'
q p, . q p
E) (p+ q) h
e
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
19) En la figur a adjunta, los catetos del triángulo
ABe,
rectángulo en
e,
miden a = 3 cm y b = 4 cm. La
razón en que están los segmentos p y q, proyecciones de a y b respectivamente, sobre la hipotenusa, es
13
A) 2
3
B) 4
9
e) 1 6
81
D)
2 5 6
4
El 3
TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
22) En el triángulo
ABC,
rectángulo en
e,
indicado en la figura adjunta, se traza la altura CD =
he
la que
determina sobre la hipotenusa dos segmentos de longitudes p y q. En seguida se trazan DE.L Be y
- - . 2
DF .LAC. En tal caso, EF
23) En la f igura adjunta, PT es tangente a la circunferencia de centro O y la recta PB es secante a dicha
8/17/2019 Matemáticas UC
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A) 24 cm
1
B) 28 cm
e) 32 cm
II
D) 40 cm
1
E) 60 cm
~~
~
1
305
304
J
r
r
~
I
1
~
~
r
~
I
I
circunferencia yno pasa por el centro. Si construimos un cuadrado cuyo lado es PT , entonces él
ser á eql.\ivalente a un rectángulo cuyos lados son los segmentos de medidas:
1)
PAy AB
, II)
PA YPB
III)
AB
YPB
IV)
(PO
+
OT)y (PO - OT)
De las expresiones anteriores,
Q I
/
\
>p
¿cuál(es) es(son) correcta(s)?
A) Sólo 1 y m
B'
B) Sólo II
e) Sólo IV
D) Sólo II y IV
E) S610 I, T I Y m
20) Dado el triángulo rectángulo ABC -con todos sus elementos, indicado .en.Ia figura adjunta, . Si 'se
construye otro triángulo rectángulo cuyos cateto s sean la suma de los catetos del triángulo .dado y la
a ltur a de l t riángulo dado, entonces la hipotenusa sería: .
A)
a
+ b + he
e
B)
e + he
AA,
1 : ,
e
a·+
b
+ e
r»
a + he
E
b + he
<....... . --v- D_-----------
e
21) En un cierto triángulo rectángulo
ABe,
rectángulo en
e,
lahipotenusa mide 15' cm y su altura
correspondiente mide
6
cm, La longitud del cateto mayor es de
A) 6 : . J 5
.8) 5 :. J 5
C)
4 :. J 5
I
24)
r » 3 . : . J 5
E)
2 :. J 5
P es el punto de i n te rsec ci ón de las tangentes exter iores a las circunferencias de centros' O yO', Si el
radio de la circunferencia menor es r
=
3,5 cm, el radio de la circunferencia mayor es R = 14 ' cm y-la
distanc ia AP = 8 cm, entonces PB =
PSU. Cuaderno
de
Ejercicios Matemática
.25) Dos cuerdas AB y .CD se cortan en un punto P de un círculo cuyo centro es 0, tal como se muestra
en la figura adjunta.
A
c.
B
Si con algunas pare jas de los trazos determinados en la' figura anterior se construyen dos rectángulos,
éstos resultan ser equivalentes. La opción que ,nos indica los rectángulos que siempre son equivalentes
es
~
'
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
26 )
Enel triángulo ABC de la figura adjunta,
EF //
AB. Además
EF
= a, AB =
1 ,4 a
y el área del triángulo
ABC es 98 cm . El área del triángulo EFC es
C
A) 35 cm ?
B) 42
cm?
C) ~9 cm
El '>, F
I
D) 50
cm
E)
56
cm?
Al
B
27) En un trapecio ABCD, de bases AB
y
CD, se trazan las diagonales AC
y
BD, las cuales se c ortan
enO, El área del triángulo COD es de9 m2y el área del triángulo ABO es de 16 m
2
,
Elárea del
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306
A)
B
D
p
p
C
p
p
B
p
D
A
'B)
p
e
A
C)
p
B
A
D)
D
E)
P .
B
trapecio' es igual
a' .
A )
49 m
2
B) 37 m'
C) 28 m '
D) 25 m
2
A :
T • -= Z V I T
R
E) . Faltan datos
7
28) Se' desea dividir armónicamente un trazo AB = 40 cm en la razón
=
'3 ' Para ello es necesario y
suficiente
(1) Dividirlo interiormente en la r azón
(2) Dividirlo exteriormente en la razón
A) (1) por 'sí soiit
B)' (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (l)y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó
(2)
'E) Se requiere info rmación adicional
. .
307
A
B
P
p
B
C
PSU. Cuaderno deEjercicios Matemática
29) Con respecto a las medidas de los t razos de la figura adj unta, se cumpl e entre ellos l a relaci ón
AO BO
OD = OC' Para que ocurr a la propor ción anterior debe cumplirse necesariamente que:
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test
N'
9,
TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DEEUCLIDES
y
DE PITÁGORAS
CAPÍTULO 9 . TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES
y
DE PITÁGORAS
Test N° 9: Triángulo rectángulo: Teoremas de Euclides y de Pítágoras
(1) e l / / e ,
I
Il
1)
= =: , A
e l
(2)
tl
ABO - ,t . DCO
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
o
C) Ambas juntas, (1) y (2)
: D
e
2
) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere información adicional
30) En e l t riángulo ABC de la f igu ra adjunta, la a ltur a CD = h, cae en el interior del trazo AB , dividiéndolo
En la figura adjunta, e l t riángu lo ABC es rectángulo en e l vé rt ice C. E l va lor de x es
A
3M
B)
3 0 . J 5
B
C)
4M
I
~x
.30
D)
SM
,E)
I O . J 5
C
60
A
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en dos' segmentos p
y.
q tales que p + q = c . Ent re las longit udes de los segment os p, q
y
h, se
cumple la r e lación h; .~ P q , Esta relación es válida si
C
(1) El triángulo ABC es rectángulo en C
(2) E l t riángulo ABC es isósce les de base . AB
A) (1) por sí sola
B)
(2) por sí so la '
C) Ambas juntas, (1) y (2)
AC:y:
X y > B
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
q
D
p
l'
e I
E)
Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
V 'DE
a
'91
;).'\, a '1
308
2) ·En el t riángulo ABC de la figura adjunt a, rectángulo en A, la medida del lado AB es
G
)
±2
~
B)
. -.fi
C
D)
.f i
A
D
\ . B
xE)
2
¡ ;. .. -
3) En el triángulo rectángulo de la figura adjunta, l a medida de BC es
A)
7
B) /
8
C
11
D) 12
E)
Jl94
.~,
A 13
4) De acuerdo a . los datos en la figura adjunt a, el val or de x es
A)
7l-
5
B)
g o l
3
C
10±
D)
11
E)
IS
C
A~B
x
309
..._--_
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
. 5)
Eltriangulo ABC de la figura es rectángulo en C. Si CD es la altura respecto de la hipotenusa,
AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces Ia medida del segmento AD es
6../5
3../5
2../5
.6 ~
.D) -,,5
5
E)
' : . . . . / 5
3
A)
B)
C)
cm
cm
.~
A. x D . B
'~
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES
y mi
PlTÁGORAS
cm
9) El perímetro de la figura adjunta es
~'
A) 28 cm
B) 32 cm
C)36 cm
D) 37 cm
E) 39 cm
3cm
n
0m
cm
cm
10) En la figura adjunta, el triángnlo ABC es rectángulo en C y CD es la. altura respecto de la
hipotenusa. Si AD = 8 cm
y
CD = 16 cm, entonces la longitud d~ BC es
A) 16)5 cm
B)
32 cm
6) Enelrriángulo ABC, rectanguloen C, AB = 20 cm y AD = 4 cm. La medida de la altura CD es
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.~
C)
1 6 J 3
cm
D) 1 6 J 2 cm
A D B
E)
8)5 cm
,
~-.
.
,. ... 11) De acuerdo a.los datos de la fi gura adjunta, el perímetro del triángulo ABC es
i
r
_ .
A)
8 + 12)5 cm
e . .
B) 20 + 12$ cm
4~~
) 16 + 10)5 cm
D) . 16 + 12)5 cm
A 4cm D B
E)
30 + 4)5 cm
.~ .
D B
A)
6 cm
B)
sJ2 cm
C)
8 cm
D).
4../5 cm
E)
10 cm
7) El triángulo ABC es rectángulo en B e is6sceles. Si
AB es
A)
9J2 cm
B)
11 cm
C)
10 cm.
D)
9 cm
E)
· 4 J 2
cm
AC = 18 cm, entonces la longitud del lado
A ¿ J C
B
12) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdaderars)?
1)
AC=)5. cm.
I1)
<r ADC= 90°.
III)
<r:BCD = 90° .
A) Sólo 1
B) Sólo II
C) S610 1 y II
D) Sólo 1 y m
E) 1, II Ym
'C
, \B
A 2cm
8) En la figura adjunta, ABCD
y
CEFG son cuadrados. Si el área de CEFG es 36 cm2,¿cuál es el área
de ABCD? .
Q.
A)
6 c m
2
B) 6J2 cm?
LJ~
)F
C)
9 cm'
D)
18cm
2
E)
24
cm-
A.
B
i l
I
I
I
310
311
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
13) Si todos los triángulos de la figura son rectángulos e isósceles y OA = 1 cm, entonces la longitud
de EO es
A) 4fi cm
B) 4 cm
e) 3J2 cm
~B
¡
I~
i l
D) 3 cm
E) 2J2 cm
E
o 1 A
14)
En la figur a adjunta, Ae
=8
cm, BC
= 4
cm y BD
= fi.
¿euál es la longitud de AB?
A) 4J2 cm
e'
TERCER EJE TEMÁTico
I
Test N 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAs DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS
17) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos cuyas
longitudes son entre sí como
1 : 9.
Si la longitud
-de
la altura es
9
cm, entonces la longitud de la
hipotenusa es
A) 10cm.
B) 20cm
e) 30cm,
D) 40cm
E)
50cm
18) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos
segmentos cuyas longitudes son 5 cm y 45 cm. ¿euál es la longitud de la altura?
A)
llcm
B)
12cm
e) 13cm
D) 14cm
8/17/2019 Matemáticas UC
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15)
En la figura adjunta, el t.ABC es equilátero de perímetro 24 cm, AD =
8 1 3
cm y AB
DE .
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero DECA?
C
A)
12(3 + -13)
cm
B)
8 ( 6 +-13)
cm
\ 8
C)
4(17 + 7-13)
cm
72-13
I \ I
20)
f~
D cm
E)
8 (3 +
11-13)
cm
J
lE
D
16)
De' acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál es la longitud de DB?'
1
~'
B)
4-13 cm
l
4 . [ 5 cm)
D) .fi4 cm
A
E)
4 . J 7
cm
J j
A)
13m
B 11m
C) 9
m
·: : 1:
D
7 m
~¡
E
5 ' m
i r ;I . :
312
,.
~
¡ ¡ ;
A
Lh
6m D ,B
m
IScm
19) Si en la figura adjunta, AC =13 cm y BC =
J 6
cin, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
proposiciones es(son)
correctats)?
1) AB=3 cm
1I )
CD
=12
cm
.. .
A D
IlI) Área(t. DBe)=vIz cm'
A) Sólo 1
B) Sólo 1
y
TI
C)
Sólo
1
y
III
D) Sólo II y III
E) 'I, II Y III
Si se construye un 'rombo con .lado igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado
d e
lado p,
entonces la mayor de las diagonales del rombo tiene longitud
Al2p
2 1 - -
) 2
p
J2 . . ,,/-,_,/
e)
P . J 5 p . . ,/
D) -
2p.[5 , __, /
E)
p~4 2J2 /
313
PSU. Cuaderno de Ejercicios
Matemática
21) Si MNPQ es un rectángulo y QR -LMP , entonces, de acuerdo a los datos de la figura, QR
=
m
2
n
2
A)
m
2
+ n
2
mi + n
2
Q.
P
B)
--
mn
rnn '
, I
. \ .
../
In
C)
.Jm
2
+ n
2
,I/R,
I N
~
)
M
m
m
2
+'n
2
E)
)
m2
u:
n2
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES
y
DE PITÁGORAS
24) Si en la figura adjunta, BD= De ,,;6 cm y AB =2' Be, ¿cuál es la longitud de AD
t :
A)
6J2 cm
/Ve
)
9
cm
C)
12 cm
D) 12J2 cm
: 1
A
' B
E)
18 cm
25) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura adjunta?
B
A)
J
cm'
B)
cm'
8/17/2019 Matemáticas UC
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A) 3J2 cm
27)
R
B) 3J3 cm
P~Q
C) 3-J6 cm
D)
s. Ii
cm
E)
3M cm
22) La altura correspondiente a I~hipotenusa de ,un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentos
cuyas longitudes son 6, cm y 21 cm, ¿cuáles son las lon~itudes, de los catetos?
A)
9J2 cm y
9 fi
cm
B)
3-J6cm, y 3m
cm
C)
is cm
y 56
cm
D)
3-/14 cm
y
6
cm
E
3-/14 cm
y
21
cm
23) Si en la figura adjunta, eltriángulo PQR es réctángulo en R iRQ = 6 cm, entonces la longitud de
RS es
314
e
sJ 5 cm'
D)
20 cm'
E)
40 cm'
26) ¿Cuál es la longitud de B e en la figura adjunta?
A) lOcm
B)
l6cm
C) 18cm
D)
20cm
E)
24cm
A
e
Si el triángulo ABC de la figura adjunta, es rectángulo en el vértice e, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? '
1) (AC)' +'(BC)2 =(AB)' ;
II)' (BE)' + (AD)2 =(AB)' +(ED)'
ill) CE,DB=CD,EA
A) S610 1
B) Sólo III
C) Sólo 1 y 11
D) Sólo 1 y III
E) I, TI YIII
I~B
315
a
' í
. .e
.,~ :
.. ; ;,
PSU. Cuaderno de Ejercicios Maremática
28) En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en C; a
2
+b
2
=
(1) P = 3
cm y
q = 4
cm
(2)
a·b=7·h,
e
/h
A·
q
D P'.
A) (1) por sí sola.
B) (2)
por sí sola:
C) , Ambas juntas,
(1)
y
(2).
D) .Cada una por sí sola, (1)
ó
(2).
E) Se requie re información adicional.
. .
29) Si en.la figura adjunta se cumple' que AD =DC .' Se puede afirmar que el triángulo' ABC es
rectángulo en 'C si:
(1) Triángulo ADC es rectángulo en D
(2)
AD=DB
B
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N
¡Ó ,
TRIGONOMETRÍA PLANA
1\,
CAPÍTULQ 10. TRIGONOMETRÍA PLANA
Test W 10: Trigonometría plana
1) Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura adjunta, de catetos Be
=
a
=
20 cm y C,A
=
b
=
21 cm,
los valores de' sen
a, c os: a
y tan
a
son, respectivamente:
l.
; .
A) 20
3 .. .
20,
29' 29 Y 21
21
20
20
B)
29' 21
y
29
20 20 21.
C) 21 29 Y 29
20. 20 ,21
D) 29' 21
y
29
AL
a) ,'\,
B
C
j
¡
i~:
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 158/195
. A) (1) por sí sola.
B) (2)por sí sola.
e) Ambas juntas,
(1)
y (2).
D) Cada una por sí sola, (1)ó (2).
E) Se requiere información adicional.
D
C
'>A
~
1
I 1
1
j
30) ,¿Cuánto miden los catetos de un t riángulo rectángulo?
(1) La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 ,
Y
21 cm. '.
(2) La hipotenusa mide 27 cm.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, '(1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
, 1
r
l
,
¡ .
6
; 2120 20
1 ; , ,E) 29' 29 Y 21
~.
2) El valor exacto de la expr esión sen 30 + sen 60' - sen 90 =
A) O
B) ~
2
1 1,
C) ~ - 1 3
2
í
1 '
P ) ~ ( - 1 3 - 1 )
E)
3) En el triángulo rectángulo ABe, rectángulo en C, de la figura adjunta, se tiene que eB = 6
- 1 3
'cm'
y
el ángulo ABC mide 60 °. En tal caso, la altura CD = he mide
A)
1 2 - 1 3
cm
_ C
B)
9 - 1 3
cm
C)
3 - 1 3 cm
D)
9 cm
E)
6
cm
A
/' O \ B
7
PSU
Cuaderno
de
Ejercicios Matemática
4) Si
o .
corresponde a la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces, ¿cuál de las'
.condiciones siguientes debe verificar necesariamente sen a ?
A) seno. > O
B)
seno. <
1
e) Ay B
D) la función sen
a
puede asumir cualquier valor 'numérico
E) la
función
sen
a
sólo puede asumir valores racionales
5) De las expresiones dadas a continuación, para up ángulo dado
a :
1)
sen? a
+
cos «
ll)
sec a
+
tan'
o .
ID) cosec? a. - cotan
2
a:
¿euál(es) de ellas tiene(n) por valor l? .
TERCER EJE TEMÁ
neo
I
Test N'
t O ,
TRIGONOMETRíA PLANA
7) Dadas las siguientes parejas de 'funciones trigonométricas:
1) seno y coseno
Il) .
tangente
y
cotangente
III) secante y cosecante
¿euál(es) de ellas ea(son), 'a la vez, recíproca(s) y cofunción(es)?
A )
Sólo
TI
B) Sólo 1 y ID
e) Sólo
T I
y ID
D) Sólo 1 y
T I
E) .1, II Y ID
8) En el rectángulo ABeD de la figura adjunta, con los datos indicados en e lla, el lado AB mide
2
A) 3
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 159/195
A) Sólo
B) Sólo II y III
e) Sólo 1 y
T I
D) Sólo 1 y III
E) 1,
T I Y
ID
6) En la figura adjunta, tenemos un cuadrado AISCD de lado 1. M es el punto medio del lado BC En
tales condiciones, tan a =
1
A)
-
2
1
B)
. J 5
2
C)'
. J 5
. J 5
D)
-
2
E)
. J 5
318
DC
M
B
2.J3
Bl-3-
e) 2.J3
D 3
J3
E)
2'
D
e
¡
51
A
30°
t
I
2
D)
sec- a.
tan' a.
B
9) En, un rombo ABeD de lado 10 cm, .dicho lado forma un ángulo de 20° con la diagonal mayor AC,
Las expresiones trigonométricas que ~ejor representan las longitudes de las diagonales AC y BD
son, respectivamente:
A)' 10 cos 20°; 10sen 20°
'B) 20 cos 2.0°; 20 sen 20°
e) lOcos 40°; 10 sen 40°
.D) 20 cos 40°; 20 sen 40°
E)
10 cos 10°; 10 sen 10°
10) ¿Cuál de las siguientes. es un ejemplo de identidad trigonométríca?'
A)
sec
a:
cosec
a: ~
E) sec a:+ cos .c ~
e) sec
a: -
cos
a: ~
El cos' a . - sen' a. =
A,e ~
I
319
PSU. Cuadernode Ejercidos
Matemática
11) ¿Cuál e~ el valor de cos' 30°
+
cos' 45°
+
cos' 60°?
5
A)
-
8
3
B)
-
'4
5
e)
> ' 4
3
D
-
2
.7
E)
-
4
12) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones correspondetn) al valor exacto de sen 60°?
1)- . 2 sen 30°'
14) La expresión sen 60° cos 30°
+
sen 30°cos 60° tiene por valor
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N' lO, TRIGONOMETRIA PLANA
1
A)
- ' -
4
1
B)
-
2
C
i J ]
2
3
D)
-
4
E)
1
15) Un posible valor de x que satisface la ecuación 3 sen (x) - 4·
sen (x) - 3, es
1 :
1
1)
x
= 2 ' II )
x
= 30°
ID)
x
=~
radianes
6
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 160/195
Il)
2 se n
30°
cós
30°
IlI)
1
2'sen1200
De las expresiones anteriores, es(son) correcta(s):
A) Sólo 1
B) Sólo Il
C) Sólo ID
D) Sólo 1 ó III
E) Sólo 1 ó II
13) En la figura adjunt a, ABCD es un cuadrado de lado 2. AM es la tr~nsversal de gravedad
correspondiente al lado BC' del triángulo ABC. Con los datos angulares indicados en la figura, la
relación correcta entre las tangentes de los ángulos o: y ~ es:
A)
tan ~ = tan
20:
D
C
B)
tanp. = tan
a
C)
tan~. =
2
tan
a
l '
/
~M
1 '
D)
tan~'= -tan
20:
2 '
~
,
'B
, :1
1
A'
)
tan ~ = - tan o:
, 2
I
¡
320
A) Sólo
B) Sólo Il
C) Sólo ID
D) Sólo 1 ó III
El Sólo Il ó ID
B)
J]
A) 3
1.6) Sea el rectángu lo ABeD de la figura adjunta, Con el dato lineal
y
los da tos angulares indicados en
ella, él área del triángulo BED, en centímetros cuadrados, mide:'
) e
K ¡
16
)
D) 2J ]
E) 3J]
Al ~B
17) Dado que sec o: - tan o:
=
2, entonces el valor de sec o:
+
tan o:
=
A)
0,1
B) 0,2
e)
0,3
D) 0,4
. E)
0,5
E
'3cm
. 321
PSU. Cuaderno de Ejercicios
Matemática
18) Al factorizar completamente la expresión tan' 3 - tan 13 se obtiene
A)
tan 13(tan'- 3 - 1 )
B)
tan' 13(tan
1 3 -
1)
e
tan
1 3
(1- tan
1 3 )
(1 + tan13)
D)
tan
1 3 (1-
tan'
1 3 )
E)
tan 1 3 (tan 1 3 -1)(tan 3
+
1)
19) Si el ángulo
a
es un
ángulo
agudo en un triángulo rectángulo, entonces la expresión
cos? a
sena + --'-
=
sena
A)
B)
cosec n
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N° 10, TRIGONOMETRÍA PLANA
22) Si
X
= sec e e
y
= cosec
e,
entonces x' +
y2
A) (x +
y )
B)
( x _
y)'
e) x'
i
.D)
x y
I
B) 2
8/17/2019 Matemáticas UC
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e)
cos a
D)
sec a
E)
sen a
20)
Al expresar en su.forma más simple la fracción sen' e - cos' e ,(con sen () ' cos e), obtenemos
se n? e - cos ',e
A)
B) 1+-sene cose
e) sen e cose
D) sen' e cos' e
E) cos? e - sen' e
ti) En la figura adjunta, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia unitaria. Entonces las.
coordenadas de dicho punto P, en funció~ del ángulo e , están dadas- por:
322
3
e) 2
D) 3·
E) no se puede determinar
24) En la figura adjunta, se tiene que: AB
11
CD, BC ..1
AC
y BD .1 CD. Si AB
= 1
Yel ángulo
. , BAe
=
X,
entonces' eD
=
B
A) sen
x
B) cos x
D
C) sen ' X
D)cos
2
X
E) tan x
AL
: : :
25)
Dado el cubo de arista unitaria de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las razones trigonornétricas que
aparecen a continuación nos sirve(n) para determinar el ángulo agudo a .entre la diagonal interior y
la diagonal de la cara?
1 .fi 1
I) sen a = - II) cos a = - III) tan a = r;;
~ ~ ~2
.A A
A) Sólo l y II
X I B) Sólo II y m
C) Sólo l
y
III
D) Sólo II
E) l, II Y III ,. l,//~
323
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
26) Dado el teorema trigonornétrico: El área de cualquier triángulo plano está dada por el serniproducto
de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman , Al aplicar dicho teorema a un tr iángulo
equilátero ABC de lado Ha , como el de la figura adjunta, se obtiene como expresión para el área:
A) (a
+
a)sen30
0
1 '
B)
-(a
+
a)sen60°
2
e
C)
(a a)
sen 30
0
1
D)2 (a ' a) sen30°
.' 'B
, 1
E)
2
(a ' 'a) sen 60
0
27) Para todos los valores de x para J;~cuales se cumple que tan(x)
>
O, si log (tan (x))
= ID,
entonces
1 1 ' ,
TERCEREJE TEMÁTICO I Test N 10, TRIGONOMETRÍA PLANA
,
,i
29) En el triángulo 'rectángulo ABe de la figura adjunta, rectángulo en e, se tiene qúe sen
IX =
sen ~,
Para que ocurra lo anterior, entonces debe cumplirse que:
(1) e es el punto medio del arco·ÁB
(2) /';,ABC es isósceles de base
AB
A) (1) por s í sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
E) Se requiere información adicional
e
11-'
\lB
30) Ei triángulo ABC de la figura adjunta es rectángulo en C. Para poder determinar eliperímetro del
triángulo ABe tenemos
(1) el cateto eB
=
5 ID
r '
8/17/2019 Matemáticas UC
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log (cot(x») =
A)·~
m
B) -m
e) I
-r
m
D)'-~
\ : '
m
E) m - l
28) Se necesita determinar el ancho de un ríoypara ello se sabe que un ·árbol que c rece exactamente en
su ribera, a una cierta hora del día, arroja una sombra sobre el río de igual medida que el ancho del
mismo: Por lo tanto, el ancho del río se puede conocer si .
( 1) en el momento indicado, el ángulo de elevación de la sombra con respecto a la cúspide del
árbol es de
45·
(2) a esa hora del día, la sombra del árbol es de 15 metros
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
. e) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí s ol a, (1) 6 (2)
E) Se requiere información adicional
324
I
(2) tan ~
=
2,4
A~B
JU;SPUEST AS CORRECTAS
A) (1) por sí .sola
B) .,<2) por sí s ol a
e) Ambas juntas, (1) Y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)
E) Se requiere información adicional
..
,
y
\
325
PSU. Cuaderno deEjer ci cios, Matemática
CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO
Test
N° 11:
Proporciones .en ;el círculo
1)
En la circunferencia de la figura adj unta, PA = 10 cm,
AJ 3 = 6
cm
y
PC
= 8
cm, entonces CD
=
p
A)
4,8 cm
B) 7,5 cm
C) 12 cm
D) 16 cm
E) 20 cm
D
2) En una circunferencia de centro 0, las cuerdas RS y TU se intersectan en P. Si RP
=
15 cm,
PS =18 cm,
y
TÍ' : PU= 3: 10, ent?ncesoPU
=
I
, i
'~
TERCER EJE TEMÁTICO / Test
W
11,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
5) Si en' la circunferencia de,centro O de la figura adjunta:OA 1. Be. Si OM = 8 cm
y
OA = 17 cm;
¿cuánto mide la cuerda BC?
A)
30 cm
B
15 cm
• 1
lA
O
)
J
cm
D) )14 5 cm
~
m cm
6). En la circunferencia de la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia en
T,
PB =
16
cm
y
PT
=
8 cm. ¿Cuánto mide el segmento externo de la secante?
A)
2 cm
B
4 cm
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A)
3 cm
B)
9
cm
e). 20-H cm
D) 25n cm
E)
30 cm
3) En la f igura adjunta, AB es tangente a la circunferencia' en el punto B . ¿euál(es) de las siguientes
proposiciones es(son) .siempre verdadera(s)?
1) <t:BDe:= <t:ABe
II) ;DBC es isósceles con base BD
In)
(AB)2=AD.Ae
A) Sólo 1
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo 1 y In
E) 1, II Y III
4) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, la medida de la cuerda ABes
A)
4 cm
B)
.7 cm
e)
8 cm
D) 12 cm
E) 16 cm
326
A
e)
6cm
O)' 8 cm
B\
Á
p
E) 48 cm
7) En la ci rcunferencia de centro °
y
radio 4
cm
de la figura adjunta, PA = 8 cm
y
PC = 9 cm ,
entonces PD
=
A)
12 cm
P
B) 14~ cm
9
e)
17,8 cm
O
18cm
E)
135 cm
D
8) En la circunferencia de la figura. adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en M. Sabiendo que
AM
=
8 cm, MB
=
6 cm y CM = 12 cm, entonces MD =
A) 4 cm
B) 3 cm
e) 2cm
O) 1, 5 cm
E
1 cm
C
327 .
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
9) En una circunferencia, los segmentos de, una de dos cuerdas que se cortan miden 8 y 9 cm,'
respectivamente. Sabiendo que uno mide el doble que el otro, las medidas de los segmentos de la
otra cuerda son
A) 5 cm y 10 cm
B) 7 cm y 10 cm
C) 8 cm y 16 cm
D) 6 cm y 12 cm
E) 7 cm y 14 cm
10) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB
y
CD se cortan en P. Sabiendo que
AP= x
+
4, 'PB =
x ,
CP. = 3 cm
y
PD =·4 cm ,el valor de
x
es
D
A)
4 cm
B)
3 cm
e
:2 cm
TERCER EJE TEMÁTICO
I
TestN° 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
13) Desde el punto P se han trazado la tangente PT
y
la secante PB a la circunferencia de centro O.
¿Cuál de las ecuaciones siguientes permite determinar cor rectamente el valor de PA?
A) (PT)2 = PA . PB
B)
(PT)2 = PA . AB
• C) (PT)' ';'AB . BP
(
A
\ ~P
D) (PA)2 =PT . AB
E) (PB)2 = PA . PT
~
14) En la figura adjunta, NQ es tangente a la circunferencia de centro O
y'
desde N se ha trazado la
secante NP que pasa por el centro. Si NM = 4 cm y NQ = 12 cm, entonces el radio de la
circunferencia mide
8/17/2019 Matemáticas UC
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D) 1,5
cm
A\
'1
/B
; E) -6 cm
11) En la figura adjunta, PD = 40, CD = 10 Y PB = 60, entonces AB
C
20
A)
-
3
B)
15
F
C)
20
D)
40
E)
45
12) En la figura adjunta, PB
y
PD son dos secantes a la c ircunferencia de centro O. Sabiendo que
PA = 1cm, AB = Scm y PD = ·12 cm, entonces los segmentos pe y CD miden,
respectivamente:
A) 0,5 cm y 11,5 cm
B) 0,5 cm y, U cm
C) 6 cm
y 12 cm
D) 1 cm
y ncm
E)
1,5 cm y 12 cm
. 328
í
.D
,p
A) 8 cm
B) 10 cm
/'
I
-lP
e) 16 cm
D) 18 cm
N
E) 32 cm
15) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro B, AC = :l'cm, Be =
3
cm
y
..
BCE es
rectángulo en e . Entonces el perímetro del triángulo EeD, en cm, es
.......-----... E
) 6 + 2.Js
B) 6 + 2m
(
,, 1
Dl
e
8 +
S..Jj
D) 10+
S..Jj
~
E) 10+ 4..Jj
16) En l a figura adjunta, O es el cent ro de l a circunferencia. Si Be = AE = 3 cm y De = EB = 4cm,
entonces ED = E
A) 1 cm
lB
= - - - c
B) 2 cm
Aí
O
) 3 cm
D) 5 cm
- - - - - - - - - - -
329
E) 6 cm
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
17) En la figura adjunta se tiene: AB > BC. Si Ae
=
29 cm, BE = 14cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la
medida de AB?
A) 21 cm
B)
20 cm
e) 18 cm .
D) 12 cm
E}
8 cm
18) En lafigura adjunta, la tangente' AB mide 28 'cm y desde A se ha trazado la secante Ae que no pasa
por el centro
O .
Si
g~
=
3.
entonces AC mide
A) 14 cm
B)'2lcm
ci2~ cm
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N ¡l,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
21 ) En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia de diámetro AB.. Si CD ..L AB,
- - -
DE..l oe, AD = 8cm y DB = 2cm, entonces EC mide
A) 1,6 cm
B) 1,8 cm
C)
3,2 cm
Di 3,6
cm
E)
4,0 cm
e
\' : b lB
22) En la figura adjunta, CM
y
eN son tangentes a la circunferencia de centro O. Si AO
Me= 20 cm, entonces BC =
15 cmy
A
I
,A)
fa
cm
B) 15 cm
8/17/2019 Matemáticas UC
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D) 42 cm
E)
56 cm
C
19) En la figura adjunta, AB y eD son dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia de centro O, no
siendo ninguna de ellas un diámetro. De las igualdades siguientes, ¿cuál(es) es(son) correcta(s)?
1)
AE . EB = CE . ED
Ir)
AB . DC
=
CE . ED
III) CE· ED = (AB)'
Sólo
Sólo Ir
Sólo III
A)
B)
e
D) Sólo 1 y III
E) Sólo II y III
20) En la figura adjunta,
O
es el centro de la circunferencia de diámetro eE. Si DE =
3'
cm, AD =
4
cm
y
DB =5 cm, entonces el radio r de la circunferencia mide
D
C
) 4cm
B) 4,5 cm
C) 5 cm
-¡
10
:i
D) - cm
3
29
E)
~cm
6
330
E.
C)
20 cm
Al
~
1-
0C
D) 25 cm
E) 30 cm
B
23) ¿A qué distancia 'del centro de una circunferencia se encuentra un punto ubicado en el interior de ella,
sabiendo que su potencia es de 16 cm'
y
el radio de la circunferencia mide 5 cm?
A) 2
cm
B) 3
cm
C) 4
cm.
D) 5
cm
E) Falta información para determinarlo
24) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro O
y
el triángulo ABD es rectángulo en A. .Si
AB = 15cm y Be
=
9cm, entonces AD =
,A)
12 cm
B)
16 cm
.C) 20 cm
D) 25 cm
E) Falta información para determinarlo
- '( <: ;D
B
331
PSU.
Cuaderno
de
Ejercicios,
Matemática
25) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta; A. B Y e son puntos tales que
AB = Be = 15 cm y AC = 24cm, Entonces el radio de la circunferencia mide
9cm
12.5 cm
16 cm
25 cm
\ '
de
'K
27 cm
A)
B)
C
D
E)
I;l
26) En la figura adjunta. la potencia del punto M respecto de la cÍrcu¿ferencia' de centro O y radio r es
.12 cm
2
Si MA
=
2 cm. entonces el radio de la circunferencia mide
A) 2 cm
B) 4 cm
'e) 6
cm
M
TERCER EJETEMÁ TICO
I
Test N 11. PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
, l · 29) En la figura adjunta. O es el centro de la circunferencia, AT es tangente a la circunferencia en el
punto
T
y
AO = Be '
Se puede determinar la I?ngitud del radio de la circunferencia
si:
(1) AT
=
5 J3cm
(2) BT = 5cm
A)
(1)
por sí sola
B) (2)
por sí sola
e)
Ambas juntas. (1)
y
(2)
D)
Cada una por sí sola.
(1)
ó (2)
El Se 'requiere información adicional
A
~I
x
Ic
30) En la circunferencia de la f igura adjunta. MN
=
9 cIp, Se puede determinar.la medida de RS si:
(1) NP = 2, PM
(2) MNJ. RS
M
8/17/2019 Matemáticas UC
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D) 10
C m
E) Falta información para determínarlo
27) En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 'adjunta. ATes tangente en el punto T y AB
es una secante, Si AT = m. entonces una ecuación que permite calcular la longitud de l segmento
externo de la secante es
A) 2rx
2
-
m = O
B)
2rx-m=O
e
x' + 2rx - m ,= O
ni
iB
D) x
2
- 2r x - .m' = O
E)
x' + 2 r x - m' = O
28) Para determinar la potencia del punt o P respecto de la:circunferencia de ceniro O
y
radio r = 5 cm se
sabe que:
(1) .La distancia de Pa la circunferencia es igual a la mitad del radio,
(2) P está en el exterior de la circunferencia,
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola
e)
Ambas juntas. (1)
y
(2)
D) Cada una por si sola. (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
332
A) (1) por sí sola'
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas; (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola. (1) Ó (2)
E) Se requiere información adicional N
RESPUESTAS CORRECTAS
333
~
1 ' 1
1 I
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
1 1'
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEI; ESPACIO
Test N° 12: Geometría del espacio
1)
De los conceptos presentados a continuación, ¿cuál es el único de ellos que no corresponde a un
concepto básico o primitivo?
.A) punto
B) recta
C)
plano
D) espacio
E) poliedro
2) Un plano, en.el espacio, queda completamente determinado por
1 )
Tres puntos. no colineales (no: alineados)
T I ) Una recta y unpunto exteriora dicha recta
1lI) Dos rectas secarites
IV) Dos rectas paralelas
De acuerdo a los postulados 'de la Geometría .del espacio acerca de la determinación de un plano, de
las afirmaciones' anteriores, es(son) verdadera(s): .
I
¡
1 ;
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N 12, GEOMETRÍA DEL ESPACIO
\.
5) La intersección entre 'dos planos cualesquiera, no necesariamente distintos'; en el espacio puede ser
1)
El conjunto vacío
Il) Un punto'
III) Una recta
IV) Un plano
De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s):
A) Sólo I
y
III
B) Sólo II, ID Y IV
C) Sólo ID
y
IV
D) Sólo
1 ,
III
Y
IV
E) Sólo I, II
Y
III
6) ¿Cuánto; poliedros regulares existen cuyas caras sean triángulos equiláteros?
A) l
B) 2
'Ij
8/17/2019 Matemáticas UC
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I
I I
A)'
Sólo I
y
III
B ) Sólo T I , III Y IV
C )
Sólo
T I
y
IV
D) Sólo I, III y . IV
E) Todas
3) Una escalera de tres patas, -dispuestas en forma de triángulo equilátero, es más estable
y
segura que
una de' cuatro patas debido a que:
1)
Un tríángulo es siempre plano, en cambio un cuadrilátero no siempre lo' es
.II) Tres puntos no alineados determinan un plano
'III) Es falso que una' escalera de tres patas sea más segura que una de cuatro
De las afirmaciones anterioi:es, es(son) verdadera(s):
A)
B)
C
D
E) Ninguna. de las anteriores
4) Se dan dos 'planos. perpendiculares a
y ~.
Entonces, con r especto a ese hecho,. es correcto af irmar
que:
A) No necesariamente' se' cortan
B) Todas las rectas de a son perpendiculares a ~ y viceversa
C) Toda recta perpendicular a la intersección de a y ~ , debe estar contenida en uno de ellos
D) Toda recta paralela a a es paralela' a.~
y
viceversa
. E) Todo plano perpendicular a la intersección de a
y ~ ;
es perpendicular. a ambos
Sólo I
Sólo
Il
Sólo ID
Sólo I ó II
Para los
aspectos
teóricos de este contenido el cual es nuevo en
relación
a las pruebas anteriores P.A.A. y
p.e.E.
se recomienda nuestro Manual de Preparación
. P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile
Sexta
Edición Marzo de 2006. .
334
C) 3
D) 4
E) 5
7) La suma de todas las aristas deun cubo es 120 cm, . El área total del cubo
y
el volumen son;
respectivamente
A) 600
cm ' y
1.900
cm
B) 600 cm y 1.728 crrr'
C) 800 cm? y 1.000 crrr'
D) 400
cm'
y 1.728 cm
3
E) 100 cm y 1..000 cm
3
8) Las tres aristas. que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo recto rectangular son entre sí
como 12 : 4 :' 3. Si la diagonal interior mide 26 cm, ¿cuánto mide la superficie total del paralelepípcdo?
A) 144 cm?
B)
192 cm'
C
278 cm
D) 384 cm'
E) 768 cm
335
.PSU. Cuaderno de
Ejercicios,
Matemática
9) Una cuña en forma de prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es de
6
fi cm.
La altura del prisma es de 10 c m . Entonces, la superficie lateral del prisma mide
A)
80 cm'
B)
120 cm'
C
160 cm'
D) 240 cm' .
E) 480 cm'
10) 'El número total de diagonales de un cubo 'como el de la figura' adjunta es de
A) 4
B) 6
C)10
D) 12
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO .
14) Si a un cubo de arista «a» le quitamos (o extraemos) una pirámide que tiene por arista tres aristas del
cubo y tres diagonales de las caras del cubo, entonces el volumen del sólido 'que queda es igual a:
A)
2-a3
6
B)
. 5
_a
3
6 .
.C)
1 5
3
D
J 6
3
E)
1 •
' 3
a
'
15) La superficie lateral de un cono circular recto es de 65
cm .
Su altura mide 12 cm. Su volumen
es de
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 168/195
A) 5: 6
A) 10 %
¡ ¡
B) 5:
9
B) 12 %
I
C)'4: 9
C)
2Q
I
D) 1: 2
D) 30 %
E) 25: 24
E) 33,1
336
337
i :
~
E), 16
11) El volumen de un paralelepípedo recto rectangular, cuya base y caras laterales tienen 15, 10
Y
6
centímetros cuadrados respectivamente,' es de
A} 900 crrr'
B)
300
cm
C)
150 cm?
D) 90 cm'
E) 30 cm'
12) Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide
A) 5 dm
.E)
6,25 dm
ci
10 dm
D) is dm
. E) 50 dm
13) Las alturas de dos conos están en la razónde 5 : 4 y los radios de sus bases' están en la. razón de 2: 3.
Luego, Sl\S volúmenes están en la razón
A)
0,1 lt drrr'
B)
0,42lt dm
C
lt cm'
D)
lO1tcm
3
E)
624lt crrr'
16) En la figura adjunta, A es un punto fuera del plano P. L es una recta del plano P, es decir, está
totalmente contenida en él.
AH 1.. P, AB 1..
L
Y M
es un punto de la recta L distinto de
B.
Entonces, con respecto a las longitudes
AB, AH
Y
AM,
es correcto afirmar que:
.
.,
A)
AH < Atv <
AB
B) AH <AB<AM
C) AB < AM:< AH
D) AM< AH-;:AB
E) AM <AB<AH
A'
~
17) Cada una de las aristas de un cubo metálico se incrementa, por ~fec(os de la dilataciÓ~ lineal, en un
10%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en su volumen? .
PSU. Cuaderna deEjercicios Matemática
ii: '
~
'~ TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N° 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO
'¡ .
22) Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construir
un cono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo- los lados rectos del sector.
¿Cuál de los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?
18) Se da un cubo de 3 drn de ari sta. Usando como arista la diagonal interior de dicho cubo se construye
.ot ro cubo cuyo volumen es igual al del primero multiplicado por el factor
A)
3
B) ..fj
C 2 .. fj
D) 3..fj
E)
ifj
19) Se tiene una e~ferade 20 cm de diámetro. Se corta dicha esfera por un plano que determina una
- circunferencia de 8 cm de: radio. ¿A qué distancia se encuentran los centros de la circunferencia y de
la esfera?
A) -8 cm
B) 7'cm
C) 6 cm
8/17/2019 Matemáticas UC
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A)
B}
D) 5
cm
E) 4 cm
-- - - . . •
-
C) ,
D
20) Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Encontrar el área de la sección que resulta al cortar el
tetraedro por un plano que pasa por una arista cualquiera y el punto medio de la arista opuesta.
A) 2
m
2
B)
. J 2 m
2
C) .
m
2
D) 2..fj m2
E) 3 . J 2 m
2
21) ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que el número que exprese su superficie sea igual
al que exprese su volumen?
. ..
-- ti~~~~~~
• .• -- -----
n 4c¡n--'
2
A) -
3
B)
I
E)
4
C) '3
D 2
I
E)
3
339
- ,
I
338
PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática
23) El gráfico que mejor representa la relación entre la arista x de un cubo, y su superficie total y, es:
I r
~
TERCER EJE TEMÁTICO /Test N' 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO
24) Para que el volumen de un cubo aumente al doble, la ari sta debe aumentar, aproximadamente, en un
A) 24%
B)
25%
C) 26%
D)
2.7%
E) Se requiere conocer la medida de la arista .
Un recipiente en' forma de cono circular recto cuyas dimensiones son 10 cm de radio basa
y
10cm de
. altura puede contener alrededor de 1 litro de agua si se llena casi hasta el borde. Si quisiéramos
1
reducir su capacidad de ta l modo de que sólo pudiera contener
'8
de litro, mediante una sección
hecha por un plano paralelo a la base del cono, entonces, ¿a qué distancia de la cúspide tendríamos
que trazar el plano?' .
A) a 1,25 cm
B) a 2,5 cm
e) a 3,75 cm
y
6
25)
A)
X
Y
6
B)
8/17/2019 Matemáticas UC
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D) a 5 cm
E) .a 7,5 cm
26) Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80
cm, formándose un cier to só lido geométrico. En seguida se hace g irar en torno al lado de 60 cm
formándose otro sólido. La razón entreel volumen del primer sólido
y
el segundo es de
X
y
e
X
y
6
D
o
X
E
6X
y
1
340
A) 3: 4
B) 1: 2
C) :2: 3
D) 4: 3
E) 3: 2
. 27) Un cilindro circular recto que tiene diámetro
y
altura de igual longitud está inscrito en un cono
circular recto. El cono' tiene diámetro 10 y altura 12 y los ejes del cono y' del cilindro coinciden. En
tales condiciones, el radio
«rx
del cilindro es igual a . .
A l
8
3
30
E)
-
11
.~12
e
3
~ ~ ~ m ~
5
D
-
8
7
E) -
2
341
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
28) .Se desea calcular o determinar el volumen de un recipiente esférico cuyo radio no se conoce .. Sin
embargo se sabe que:
(1)
La esfera puede inscribirse exactamente en un cilindro de radio basal
10
cm.
(2) Al sumergir la es fe ra en un recipiente lleno de agua, el agua desalojada por la esfera es
de 4:000 7t cm'
3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29) Se necesita determinar el número de aristas de un cierto poliedro regular. Para ello se tiene que:
. (1) El número de caras del poliedro es 20
(2) El número de vértices del poliedro es 12
A) (1) por sí sola
TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y Ee. VECTORlAL DEL PLANO
CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS
y
PLANOS
Test N° 13: Vectores: ecuación vect orial de la recta
y
ecuación vectorial del plano
1) Los puntos A(2, O), E(O, 2) y C(3, 3) forman un triángulo
A) escaleno.
B) isósceles,
C) rectángulo.
. D) isósceles rectángulo.
E) . equilátero.
2) En el triángulo con vértices en los puntos A(J, 2), B(S, 4 ) y C(3, 6), la mediana paralela a AB está
dada por el. vector
A) (1, 2)
B) (2, l)
C) ( -1,
-2)
8/17/2019 Matemáticas UC
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B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)
6'
(2)
E) ~e requiere información adicional
30) Se desea saber si un cierto poliedro e s regular. Para ello se dispone de la siguiente información:
(1) Sus caras son polígonos regulares todas congruentes entre sí
(2) Sus ángulos diedros y/o triedros son congruentes entre sí
A) (l) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1 ') y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
:i~
r
if
l
11
~
, 1
RESPUESTAS CORREcTAS·
342
__ _
._---
D) (-2, l)
E) (2, -l)
3) I (x,2) + (-x, 2) I
=
A) 2
B) 4
C x
D) 2x
E)
o
4) Si
la 1 =
módulo de
a
y
l b I =
mÓdulo
b ,
de las operaciones siguientes, la(s) que cárecem) de
sentido e s( son):
1).
I
a l
b
+
I
ti la
II) ¡ a I + ¡ ¡ ; ¡ + a + b
III) liilxlii¡+za-ii
Al Sólo 1
B) Sólo
T I
C) Sólo III
D) Sólo 1
y
II
E) Sólo II y III
Para los aspectos -teóricos de e ste contenido, el cual es nu ev o, en relaCión a la s p ruebas anteriores (P.A.A. y p.e. E.), se recomienda nuestro Manual de Preparación
P .S .U . e ditado por Ediciones Universidad Católica de
Chile,
Sexta E di ció n, Mar zo d e 2006.
343
PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática
5) Si ¡¡ = (1, O) Y ti =(2,-1), entonces 11 ; ¡ 1 a +
¡;
1 =
A)
l O
B) 3
e) . J 8
1»4
E) 2
6) Si A = (2, 3) Y B = (3, -2), entonces BA =
A) (-1,5)
B) (1,-5)
, C) (5, 1)
D) (1, 5)
\,
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test
N °
13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTOíUAL DEL PLANO
9) La diferencia entre los vectores (2, 3) Y (-3, 2) tiene la misma dirección del vector
A).
(2, 5)
B) (5,2)
C) (-10, -2)
D) (4,3)'
E) (5,
-1)
10)
La suma de los vectores (4, 7) Y (~l,
-1)
no tiene la misma dirección del vector
A) (3, 6)
B) (3, 8)
el (l,~ )
D) (9, 24)
.E) (-3,-8)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 172/195
E) (-1,-5)
7) Si P Y Q son dos puntos del plano cartesiano entonces PQ + QP
A) 2PQ
B)2QP
e o
. D) P - q
E) q - P
8}El inverso aditivo del vector (3, -4) sumado con el inverso aditivo del vector .(-3, 4) es
A) (3, 4)
B) (-3, -:-4 )
e)
(-3,4)
D ) (O, O )
E) (3, 4)
344
11) Dados los vectores
¡ ;
=
(3, 2), q
=
(2 , -3)
Y ;: =
(4, 6) ,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) verdadera(s)?
. 1) P - q está en la dirección de. q - r
Il) P
+
q
+ ;
no está en la dirección de
3 q ,
1lI) P
+
q tiene sentido contrario al del vector (-,10, 2).
A) Sólo 1
B) Sólo TI
C) Sólo III
D) Sólo 1
y n
E l
Sólo Il
y
III
12) La ecuación (x, 2)+ (- x, 1)= (0,3) tiene
A) una solución.
B) dos soluciones,
C) infinitas soluciones,
D) ninguna solución,
E) un número de soluciones que depende del valor de x.
345
PSU: Cuaderno deEjercicios. Matemática
13) Si i ='(1, O) y 1 = (O, l) son los vectores dirección de los ejes X e Y del plano cartesiano,
entonces es verdadero que
A) (x, y) = yi-]
E) (x,y)=yj-xi
C) (x , y) = -x i:- y 1
D)'
(x, y)
=
xi
+
y 3
E)
(x, y)
=
x'
i+
y'J
,
(
14) La eduac ión (x, 2)
+ (-
x, 1)=(O, x) tiene
A) una solución.
E) solución x
=
o .
e),
infinitas soluciones.
TERCER EJE TEMÁTICO
I
Test N 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA YEC . VECTORJAL DEL PLANO
17) L
. .'. x-2
a recta cuyas ecuaciones continuas son _, _
, 1
A) (x , y , z) = (-2, -6, -4) ;: k(l, 2, -3)
E) (x ,
y,
z) = (2, 6 , 4) - k(1, 2, -3)
e) (x, y,z) =
(2,-6, 4) + k(-l, -2, -3)
D)
(x,
y,
z)
= (-2, 6 -4) - k(3,2, 1)
E) (x ,
y,
z)
=
(4, 6, 2)
+
k(-:-3,2, 1)'
1'8) La ecuación vectorial de la recta 'que pasa por los puntos '(2, 3) Y (3, -5), no corresponde a
y- 6
2
z-4 . ión vectorial
- tiene por ecuacton vecton a
-3 .
A)
(x,
y)
=
(2, 3)
+
a(l, -8)
B) (x,y) = (3, -5) + a (1, -8)
C) (x, y) = (2,3) -- a(-l, 8)
D)
(x, y) ;,
(3,-5)
+
a(-2, 16)
E)
(x.iy) =
(2, 3).
+
a(J,-7)
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 173/195
D) ninguna solución.
E) un número de sol uciones que depende del valor de x.
.15) Un vector .d ireccíón de la recta que pasa por los puntos (1, 1) Y (1, 5) es
A) (O, 1)
E) (1, O)
e) (2, O)
D) (3, O)
E) (2, 6)
16) La recta que pasa por (2, 6) Y tiene por dirección al vector(l, 2), no pasa por el punto
A) (4, 10)
E) (1, 4)
C) (2, 6)
D) (O, 1)
E) (5, 12)
346
19) De los siguientes vectores, el que no es vector dirección de la r ecta que pasa po r (3, -1) Y (4, -3) es
A) (-1,2)
B) (2,-4)
e) (3,-6)
b j
(2, -5)
E) (1,-2)
20) Los puntos P(3, 6), Q(5, 10) Y R(-3, 4) per tenecen al plano I R ' . La recta que pasa por el punto medio
de PQ
y
tiene la dirección de RQ, tiene por ecuación
A) x-4 _ y-8
6 -~
8
B) x-4 = y-8
8 ~
6
e)
x+4 _
y~8
-6 - -8-
D)
x-4._ y+8
-6
- - - = s
E) x-:-6
8
y-8
6
347
8/17/2019 Matemáticas UC
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PSU. Cuaderno de
Ejercicios,
Matemática
28)
Para determinar las coordenadas del vector a se sabe que:
(L) Su magnitud es 5 cm.
(2) Su dirección ese = 45 .
A) (1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C). Ambas juntas,
(1)
y
(2).
D) Cada una por s í sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
. 29)
Para determinar una ecuaciónvectorial de la recta que pasa por el punto A(I,
3)
se sabe que:
(1) T
· l .
di . , . Id' , .
2 1
lene a: misma reccioü que a recta e ecuacrcn y = - x - -
3 3
(2) Pasa por los puntos P(4; 2) Y Q(2, -1).
A)
(1)
por sí sola
i l
~
TERCER EJE TE MÁTICO. BIBLIOGRAFíA ESPECÍFICA
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
J
1)
Autor:
Título:
Editorial:
2) Autor:
Título:
Editorial:
3)
Autor:
Título:
Editorial:
4)
Autor:
Título:
Editorial:
5) Autor:
Título:
Tercer Eje Temático:
GEOMETRÍA
y
TRIGONOMETRÍA
Baldor,
J.
Aurelio
Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría
Compañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S. A. Edic ione s y d istribuciones
Códice, S. A. Madrid. Edición 1988.
Bruño, G.M.
Geometría Superior
Bruño. Madri d, 1964.
Cano,Omer
Geometría:
2
0
y
3
0
año de Humanidades
La Salle, Santiago de Chile, 1966.
Cano,Omer
Geometría: 4
0
, 50 Y
6
0
año de.Humanidades
La Salle, Santiago d~ Chile, 1966.
Coxeter, Harold Scott Mcüonald'
Fundamentos de Geometría
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 175/195
B) (2) por' sí sola'
C) Ambas jUÍ1t~, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E). Se requiere información adiciorial
30) Se quiere determinar la ecuac ión de un plano.
(1)
Se conocen la ecuaciones d e dos rectas paralelas contenidas en él.
(2) Se conocen las coordenadas fe dos puntos que pertenecen a. él.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E)' Se requiere información adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
350
Editorial:
6)
Autor:
Título:
Editorial:
7)
Autor:
Título:
Editorial:
8)
Autor:
Título:
Editorial:
9)
Autor:
Título:
Editorial:
10)
Autor:
Título:
Editorial:
11)
Autor:
Título:
Editorial:
12)
Autor-
Título:
Editorial:
13)
Autor:
Título:
Editorial:
t Fallecido el 31 de marzo de 2003
351
Limusa Wile y, Mé xico,1971.
Dokiani, Mary P.
Geometr ía Moderna: Estructura
y
Método
Publicaciones Cultural. México, 1971.
E ves , Howard
Estudio de las Geometrías. Volumen
I.
Uteha . Méx ico, 1972.
F.G-M.
Exercices de Géométrie
LibrairieArmandMarné. París, 1920. C*)
F.G-M.
Exercices de Trigonométrie
Librairie Armand.Marné. París: 1920. C*)
Keedy -Nelson
Geometría una moderna introducción
Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima CCECSA). México, 1968.
Lehmann, Charles
Geometría analítica
Uteha. México, 1972.
Lidvinenko, V. YMordkóvich A.
.Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría ..
Editorial Mir, Moscú, 1989.·
Moise-Downs
Geometría Moderna
Addison-Wesley. Estados Unidos, 1966.
I
PSU-.Cuaderno de Ejercicios Matemática
14)
Autor:
-Murdoch, D. C,
Título:
Geometría Analítica, con vectores y matrices
Editorial:
Lirnusa Wiley. México, 1968.
15)
Autor:
Nichols y Garland
Título:
Trigonometría Moderna
Editorial:
Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima (CECSA). México, 1970.
16)
Autor:
Oakley, Cletus O.
Título:
Geometría Analítica
Editorial:
..Compañía Editorial Continental Sociedad .Anónima (CECSA). México, 1969.
17)
Autor:
Pendlebury, Charles
TítiIlo:
Elementary Trigonometry
Editorial:
George Bell
&
Sons. Londre s, 1895. (*)
18) Autor: Poenísch, Ricardo. . .
Título:
Geometría: 2°.y 3° año de Humanidades
Editorial:
Editorial Universitaria,. Santiago, 1956,
19)
Autor:
Poenísch, Ricardo
,Título:
Geometría: 4°, 5°y 6° año de Humanidades.
Editorial:
Editorial Universitaria, Santiago, 1956. :
20) Autor:
Ritch, Bamett
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 176/195
Título:
Geometría Plan a con Coordenadas
Editorial'
McGraw Hill. Colombia, 197 L Colección
Schaum.:
21) Autor:
Taylor,.Howard E.
y
Wade, Thornas L.
Título:
Geometría Analítica Bidimensional, Subconjuntos del plano
Editorial:
Limusa Wiley, México, 1974.
22)
Autor:
Une Réunion de Professeurs
Título: Cours de Géoinétrie élémentaire (N' 266 E)
Editorial:
Librairie Générale de l' enseignement libre. París, 1947.
(*)
23)
Autor:
Une.Réunion de Professeurs
Título:
Exercices de Géométrie élémentaire (N' 266 M)
Editorial:
Librairie Générale de l'ens ei gnemen t libre'. París, 1947.
(*)
24) Autor:
Une Réunion de Professeurs
Título:
Cours de Trigonométrie (N' 269 E)
EditoriaL
Librairie Générale de l'enseignement libre .. París, 1~57.
(*)
25) Autor:
Une Réunion de Professeurs
Título:
Exercices de Trigono'métrie
(No
269 M)
Editorial:
Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1957.
(*)
26) Autor:
Wexler, Ch';les
Título:
Geometría Analítica, un enfoque vectorial
Editorial:
Montaner y Simon. España, 1972.
(*)
27) Autor:
Wylie,C.R.
l '
Título:
Fundamentos de Geometría
I
Editorial:
Troquel.' Buenos Aire s, 1968.
;
352
PSU
Cuaderno de Ejercicios Matemática
EJERCICIOS RESUELTOS
CUARTO EJE TEMÁTICO: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1) Dado el conjunto P = {l, 2, 3 ,4 ,5, 6;J, 8, 9 }. S i se elige un número a laza r, ¿cuál es la probabilidad
de obtener un cubo perfecto?
A)
1
-
9
B)
2
-
9
3
C) -
9
4
,D)
-
9
S
E)
-
éUARTO EJETEMÁrrco I Ejercicios Resueltos
2) Las notas de Cónstanza en Matemática, en un cierto trimest re , son 6, 6, 6 Y x. Se sabe también que
la desviación típica o estándar de sus not as es O . Con respecto a esos da tos, se hacen las siguientes
aseveraciones:
1) el promedio de sus notas en ese trimestre es igual a 6
Il) la mediana tiene el mismo valor que la moda
III) x=
De las afirmaciones anteriores,es(son) correctats) :
A) Sólo
1
B) Sólo 1 y II
C) S610
II
y
III
D) Sólo 1
y III
E) 1,.Il Y III
Solución:
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 177/195
I
1 :
9
Solución:
Los cubos .pe rf ec tos son aquellos
núm eros
naturales que corresponden a la tercera po tenc ia de ot ros
números naturales. En este caso son: 1 = 1
3
Y 8 = 2
3
. Luego hay sólo dos casos favorables sobre un
i
total de nueve casos posibles. De tal modo que la probabilidad buscada es:
2
P = -
9
Observaciones y comentarios:
Este un sencillo y directo ejerci cio de probabilidades que sólo requiere la definición misma del concepto
en su acepción clásica.
Respuesta correcta: alternativa B
354
Puesto que la desviación estándar e de un conjunto' Xi de n datos está dada por:'
iX i _ ; ¿ ) 2
(J
=
I I . .. i:: . - . . . . I _
n
Calculemos , paso a paso,lo que necesitamos.
Primero se calcula la media
X
de l os datos:
6+6+6+x
.X
= ----:-----
4
X
=
18 + X
4
Ahora se calcula la diferencia entre cada valor del conjun to de da tos y la inedi a, es decir, Xi - x , Y
se obtiene:
6 _ 18
+
x
24 18 - X
6 x
4
4
(este resultado es válido para los otros dos datos si guientes, pues .son iguales)
-
Ahora calculamos la di ferencia entre el último dato x y la media x y se obtiene:--
355
PSU. Cuaderno deEjercícios, Matemática
x -
18 + X
4
4 X - 18 - X
4
3 X -' 18
4
Introduciendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
a
'1~J
+ e x ~,18J
4
Efectuando los cálculos y,simplif icando (hágal os Ud. ), se obtiene para l a desvi ación est ándar la
, expresión: '
a = ~ I Y l
Pero, como por hipótesis , la desviación estándar vale cero
a
=O ) ,
entonces:
CUARTO EJE TEMÁTIc:O I Test N° l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Test N° 1: Est adística descript iva I
'1) La edades de los i ntegrantes de un grupo scout son:
io -
15 - 8 - 12 - 14 - 16 -13 _ 12 - 11 - 9
TIEMPO MÁXIMO PARA
CADA TEST: 1 HORA
La di ferencia ent re l a media aritmética y la moda del conj unto de edades es
A)
°
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
2) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, es(son) siempre verdaderars):
1) La media aritméti ca de un conj unto de datos es el valor que se encuentra al c entro cuando
se
ordenan los da to s de menor
a
mayor o de mayor a menor. '
II)
La moda es
.el
da to con mayor fr ecuenc ia absol
uta.
rtl) La mediana ,es lo mismo que e l segundo cuart il .
A) Sólo r
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 178/195
~ I
X :
6 1 =
O, de donde x
=
6
Este últ imo valor 'nos dice que las cua tto notas de Constanza son todas iguales , Po r lo tan to, todos los
indicadores de tendencia central: media aritmética, mediana
y
moda son también i guales ent re sí e
' igua lesa 6. ' ,
De ahí que los incisos 1, II Y I II son correctos.
.observaciones'y' comentaríos;
Es
un
e je rc ic io de mediana di ficu ltad . Ahor a bien, s i s e t ienen los concep tos c la ros , no es necesar io
efectuar los cálculos anteriores para responderlo correctamente.
Respuesta correcta: alternativa E
356
B) Sólo 1y II
'C) Sólo 1 y III
D) Sólo n y III
E) 1 II Y I II
3) El gr áfico de la' figur a muest ra la info rmac ión r ecogida' por' una empresa de estud ios de mercado
a través de una encuesta telefónica realizada
a
30 f ami lias , respecto de l números de automóviles
qne han comprado en l os últimos 10 años. ¿Cuál (es) de las siguient es aseveraciones es(son)
verdadera(s)? . '
frecuencia
Número
deautos
4) La media ari tmét ica de seis números es 6. Si se resta-S de cuatro de los números, 'la nueva media
aritmética es
1) La mediana es 3.
10
II) La moda es 3 .
III) La media aritmética es 3,4.
Al
Sólo i
B) Sólo II
C) Sólo III
D)Sólo n y III
E) I,n y III
A) 1t
B) 2
C) 3
D) 4
E
4 .L
2
,ll
357
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
5) Una violinista practica 1 hora diaria, de lunes a viernes, ¿Cuántas horas debe practicar el sábado,
para que el promedio de horas de práctica para los 6 días sea 2 horas?
A) 2 horas
B 4 horas
C) 5 horas
D)
6
horas
E) 7 horas
6) Si la media aritmética de x
+
2, x
+
4 y' x
+
6'es O, entonces x
=
A) -4
B) , -3
C - 2
D - 1
E)
O
7),En un curso de contabilidad hay 12 hombres y 18 mujeres, Si en la primera prueba 'el promedio
del curso fue 90 y elpromedio de los hombres fue 87, ,¿cuál fue el promedio de las mujeres en
esta prueba?
A)
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
10) ,¿Cuál deIas siguientes proposiciones es verdadera?
A) Una desviación estándar igual a cero significa que la media aritmética de los datos es cero,
,B)
La mediana de un conjunto de datos
no
puede tener el mismo valor que el mayor de los datos
del conjunto,
C) Si todos los datos de un conjunto son iguales, entonces el rango y la desviación estándar
tienen el mismo valor.
D) En cualquier distribución el promedio de las diferencias de los datos respecto de la mediana
es cero,
E ) 'Si los datos de un conjunto son e, e - a, y e + a, entonces su desviación estándar es . J ; ; 2
11) El gráfico siguiente muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de un curso, De
acuerdo con esta información, ¿cuántos alumnos tiene este curso?
88,5
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 179/195
B)
C
D
E)
8~ En la tabla siguiente se muestran las contribuciones de 15 personas a una obra de caridad, ¿Cuál
es la diferencia entre la mediana y la me dia aritmética de las contribuciones?
91
92
93
94,5
1 ,
12)
A) $5,000
B) $4,000
C) $3,000
D) $2,000
E) $1.000
, Contribución
Número de personas
$10,000
4
$15',000
~
$20.000
2
$25:000
4
$30.000
2
9) Si la media aritmética' de los valores de la variable en la tabla de distribución de frecuencias
siguiente es ~, entonces ,el valor de 'k es
A) O
B) 1
C) 2
D)
~) 4
358
De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencia de temperaturas máximas de 10 días, ¿cuál es la
temperatura media de esos 10 días?'
A) 26°
B ) 2(0
C) 28°
D) 29°
E) 30°
x ,
32°
30°
25 23°
f,
2
2
4 2
13) Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son:
4- 5- 7- 5- 3- 5- 4- 5- 5- 2
¿Cuál de las. siguientes alternativas se' deduce como correcta a partir de dicha información?
A) La media aritmética es igual a 4,2
B) Las modas son 4 y 5
C) La mediana es iguala 3'
D) Mo=Me=',j'
E) Ninguna de las anteriores,
359
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 180/195
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
21) En la siguiente tabla faltan algunos datos:
'y;
n
,
f;
N ; H;
3 3 0,06
3
v
4
4
Y
7
0,14
5
x
0,14 14
0,28
6
20
0,4 z
0,68
7 16 0,32
50
1
Los valores de x, y,'z y v son, respectivamente:
A)7 - 0,08 - 34 - 0,06
B) 4 - 0,06 - 32 - 0,28
C) 6 - 0,2 ,.- 42 - 0,05
D) 3 - 0,05 - 24 - 0,03
. E) Ninguna de las, anteriores
22) El siguiente gráfico muestra el número de árboles plantados en un parque el año 2004 ..,
CUARTO EJE TEMÁTICO
I
Test
W
l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
24) Para un estudio, algunos estudiantes registraron las temperaturas de 6 días de octubre. Los datos
obtenidos se muestran en la tabla siguiente:
Temperaturas de octubre
Feeha
Temperatura (OF)
Oct. 1
45
-
Oct.
2
52
o«. 3
48
Oct. 4
50
.Oct. 5
61
Oct. 6 43
¿ Cuáf de los siguientes gráficos corresponde. a los datos de la tabla?
A
D
Tempe r tau ras de :oct t lbre
emperaturas de oc tub re
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 181/195
¿Cuál de las siguientes afirmaciones relativas a los 'datos del gráfico no es verdadera?
A) Se plantaron un total de 37 árboles.
B) La media del número de árboles plantado es 7,4'.
C) Los peumos que se plantaron son 3 más que los robles plantados.
D) La mediana del número de árboles plantados es 11.
E) El árbol moda es el pino.
. 23) En una ciudad del Sur, en 5 de 6 días de lluvia se registraron las siguientes cantidades de agua
caída, en milímetros: 0:9 ; 1,6 ; 0,6; 2,0 ; 1,4. Si la media aritmética del agua eaída en los 6 días
es de l,2.mm, entonces el.agua caída en el día que no se registró fue
A) 0,1
B) 0,7
C) 1,2
D) 1,25
E)
1,3
362
i
)
lililí
.' ¡ : - - - - . - . - '- . - . - ' - . -:-- .~ --.¡•
: ~ t - - - ~ . - _ . j
20:- -
. 10 - . __ . _ . i
L
·~¡;:;:, ;;:, 0 ;- ce,s . ,-: I
Fecltl
B)
E)
'temperaturas deoctubre
em p erat ur as d e o c tub re
~~:I --~
n p ~ · = = = ¡
. - 1
Pct
f Od 2· Oc:t30ct 4
0cCS:, oct e
F••••
C
Temperaturas.ée octubre
i
I
X '
X
X
_ X
X
X
X
X X X
X
X X
X
X
~X
X
X
X
X X
oe.r
0
OOU Oc. 4
Col.
oe,e
363
-1.
PSU Cuaderno de Ejercicios
Matemática
25) Para calcular la nota final de una asignatura, las tres 'pruebas del semestre se ponderan con un
30%, 30% Y40%, respect ivamente. Isabel t iene un 5 y un 4 en las dos primeras. Si su not a final
fue 5,1 ent onces en la tercera prueba obtuvo un
A) 5,0
B) 5,1
e) 5,2
D) 6,0
E) 6,3
26) El gráfi co muestra el t iempo, en minutos, que t oma a un grupo de alumnos realizar el t rayecto del
colegio a sus casas. ¿Cuántos al umnos deben vi ajar por más de 10 minut os?
1
¡ '
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N 1,ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
29) De acuerdo a l gr áfico adjunto, se puede de te rminar e l número de t raba jado res corr espondientes
a l sec to r agropecuario s i se sabe que:
( 1) El ángulo del sec to r c ircular cor respondiente a l sec tor agropecuario mide 45° .
( 2) Al sec tor agropecuario corr esponde un 12,5% del total .
. ~
A) (O p 'or sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)'
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) .
E) Se requier e información adicional
I ndus t r i a l
A)
2
1 9 e
B)
5
~~
_
. 8.4. +
,C)
7
. ~3
~ 2
D
8
z 1
0.1 .
E)
15 0 ·5
6 \0:,:. ti,~
5
1 6 0 : .20 :
30)
Agropecua r i o
Se qui ere determinar la moda de un conjunto de datos correspondient es a las remuneraciones de
los trabajadores de una empresa.
8/17/2019 Matemáticas UC
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27) En l a si guiente tabl a se muestra el resul tado del estudio: Número de t íos (x) de los alumnos de
un curso . De acuerdo a l a i nformación .d e la tabla, ¿cná l( es) de las s igu ientes propo siciones
es(son) verdadera(s)?
I) La moda deí número de tíos es 2 :
Il) 'La mediana del número de tíos es 3.
IlI) La media del número de tíos es aproximadamente 2,8
A)
Sólo 1
B). Sólo Il
e
. Sólo 1Y I I
D)
Sólo
1
III
E)
1 , II Y I II
x
f
O
2
1
4
2
8
3
6
4
5
5
5
28)' Para calcul ar la media aritméti ca de un curso en una prueba de mat emáti ca se sabe que:
(I ) La media de las niñas delcurso, que son 15, fue 6,1.
(2) El total de alumnos del curso es 25 y la media de los niños fue 5,8.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requier e info rmac ión adiciona
i. 1
364
l
los trabajadores de una empresa.
(l) La mayor frecuencia absolut a corresponde a un suel do de $ 250.000.
(2) La mediana de los dat os es $ 250.000.
Á) (1) por sí sol a
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
·E) Se r equier e información adiciona l'
RESPUE:>TAS CORRECTAS
365
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 183/195
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
7) Se lanzan dos monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los mismos valores?
1
A)
4
1
B) 3
1
C)
2
2
D)
3
3
E)
4
8) Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma igual a 3?
,
1
'A) 36
1
B) 1 8
CUARTO EJE TEMÁTICO
Tes tN 2, PROBABILIDAD
10) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de' obtener 3 sellos?
A) 8
r
. 1
B -
4
3
C -
8
1
D) -
2
3
E)
4
11) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores alternados?
A)~
8
1
B -
4
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 184/195
1
C 9
5
r »
36
1
E) -
, 6
9) Si se lanzan tres monedas normales al aire, ¿cuál es la pro,babilidad de obtener 2 caras y l sello?
3
A) 4
5
B) ' 8
1
'c)
2
3
Ú)
' 8
1
E)
3
308
3
C -
8
1
D -
2
3
E) -
4
.12) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados normales se obtenga, al menos, un número
par?
3
A) 4
25
B) 36
2
e
3
1
D) 2
1
E)
3
·369
-----_
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
13) Se elige al azar un número entero de dos dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que en el número
elegido, sus dígitos sumen l O? '
1
A) 100
9
B) 100
1
C) 10
1
D 9
E)
11
9 0
14) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola
blanca? .
1
A 5
2
CUARTO EJE TEMÁTICO I TeSl N 2, PROBABILIDAD
16) En una urna hay 14 fichas, 'en total, de colores blanco, rojo y negro, Si hay 5 fichas blancas y la
probabilidad de sacar una ficha blanca'
o
negra es ~ entonces ¿cuántas fichas son negras?
, 7
A) 2
E)
C 4
D
E) 7
17) Se extrae una pelota al azar de una caja que contiene 3 rojas, 2 blancas y 4 azules, ¿Cuál es la
probabilidad de que la pelota que se saque no sea roja?
1
A)
5
1
B)
'4
1
C
3 '
1
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 185/195
B) 5
1
C ' 2
3
D) 5
2
E)
3 '
15) Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo experimento 'aleatorio E, Si las probabilidades de
ambos sucesos A y B son pfA)
=
a y p(B)
=
b, entonces se afirma que:
1) O :::;
a ::: ;
1
Il) O:::;b:::;I'
IlI)
O : : : ; a + b :: : ; l
De las desigualdades anteriores, es (son) correcta(s}:
A) Sólo 1
B) Sólo II
C) S610 III
D) Sólo 1 y II
E) 1 II Y III
370
O)
' 2
2
E)
3 '
18) Una ,bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras', Si se extrae una bola al azar,
-¿cuál es la' probabilidad de que sea blanca o roja? '
l
A) 5
1
B)'4
1
e)
20
9
D) 2Q,
11
E) 20
371
------~------------_._-_ ..._
..
,-,._~
PS J. Cuaderno de Ejercicios Matemática
19) Se tienen 2 cajas, una con 4 bolas blancas y 2 negras y la otra con 3 blancas y 5 negras. Si se
saca una bola de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
1
A)
6
1
B) '5
1
C) 4
1
D)
4
1
E) 2
20) Al lanzar dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un 2 . ó un 6 en uno de
ellos si la suma de los números es 7?
1
A)
6
1
CUARTO EJE TEMÁTICO
I
Test N' 2, PROBABILIDAD
22) Se tiene un dado normal, es decir, no cargado, una de cuyas caras se encuentra en blanco y el
resto están todas uumeradas del 1 a15. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar el
dado, se obtenga un número par?
1
A)
'3
2
B)
'5
1
C 2
3
D)
'5
2
E)
'3
23)' De un grupo de 20 'personas que ,gustan de Ias empanadas, sólo a. 5 de ellas le gustan COQ ají: Si
se eligen dos personas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que a ambas les gusten las empanadas
con ají? .
1
A)
1 6
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 186/195
B)
'3
1
C)
2
2
D)
'3
5
E)
6
21) Si lanzamos simultáneamente 4 monedas normales al aire, la probabilidad de obtener 4 caras en
'el lanzamiento es: .: . ....
372
1
B) -
4
4
C) 19
1
D) 1 9
1
E) 20
Se lanzan al aire simultáneamente dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de que la
su;na' de los números .que f iguren en sus caras sea igual a su producto?
1
A) 2
1
B) '3
1
C)
6
1
D) 18
1
E) 36
373
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 187/195
i~
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11 1 ·
PSU. Cuaderno de Ejercicios ¡ v fatemá i~a
1)
Autor:
Título:
Editorial:
2) Autor:
Título:
Editorial:
3)
Autor:
Título:
Editorial:
4)
Autor:
Título:
Editorial:
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFJCA
Cuarto
Eje Temático:
ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD
Dickson, Le onard Eugene
College Algebra
John Wiley and Sons.-Nueva York, 1902
Lipschutz, Seyrnour
Probabilidad
McGraw-Hill. Bogotá, Colombia, 1971. Colección Schaum,
Willougby , S tephen S.
Estadística
y
Probabilidad
Publicaciones Cultural. México, 1969.
Wisniewski, Piotr Marian
Velasco Sotomayor, Gabriel
Probl emar io de probabilidad
Thornpson. México, 2001
Observación:
En est os temas de Estadística y p robabilidad, generalmente los textos existentes en el mercado est án orientados hacia los
.estudiantes universitarios. No existe una gran
variedad
d e
literatura,
a nivel básico
corno
en las otras
1:l nidade s
temáticas.
8/17/2019 Matemáticas UC
http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 188/195
376
1
1 1
, .
M
1 1
, tI
1 1
1
PSU. Cuaderno deE je rcicios, Matemática
EJERCICIOS RESUELTOS
.ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS
1) El número N = du es un número de dos dígi tos en e l sistema decimal. d es la c ifra de las decenas
y
u
es la cifra de las unidades. ¿Es
N
divisible por
27
(1)
Il;' es cero o cifra-par
(2) (d + u) es un número par
A) (1) po r sí sola
:B) (2)
po r sí sola
C) Ambasjuntas,(I) y (2) .
D) Cada una por s í so la ,
O)
ó (2)
ID Se requiereinformación adicional
Solución:
Con la información I, sabemos que el número N es par y, por lo tanto, divisible por 2 .
ANEXO
I
Ejerc ic ios Resueltos
2) En el conjunto de los números reales: IR , se da la siguiente ecuación de p rimer grado en la incógnita x
y con parámetro m : m
2
x + 2 = m (x + 2) . .Ella tendrá una solución única siempre y cuando se
cumpla que
(1)
m * ' O
(2) m*,1
A) (l) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) Y (2 )
D)
Cada una po r sí sola,
(1)
ó
(2)
E) Se requiere información adicional
Solución:
Puesto que en el enunciado se especifica claramente que la incógnita es x ,ye l pa rámetro es m,
entonces debemos despejar la
x
de la ecuación dada, en términos de
m .'
m
2
x + 2 = m (x + 2)'
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Luego, la condición Ies necesaria y suf iciente, es decir, con ella basta.
En cambio, con la información Il, no se g arantiza que el número N sea divisible por 2, pues si d
=
u = 1,
el número 11 es impar y, poi: lo tanto, no es divisible por 2. '
Luego, I I no es su ficiente.
Observaciones y comentarios:
Este eje rc ic io apunta directamente al conocimiento de laregla de divisibilidad por 2. Por lo tanto, es un
ejercicio netamente conceptual que no debería of rece r ninguna dificultad,
Respuest a correcta: alternativa A
. ..
378
/
m
2
X
+
2=
mx + 2m
m
2
x - mx 2m - 2
mx(m - 1)
2 (m - 1), de donde:
2 ( m
1)
x=
m (m
1)
Nótese que en ningún hemos cancelado o simplificado por el factor (m - 1) .
Ahora bien, para que la ecuación anter ior tenga exactamente una sola solución, d ebe cumplirse que, el
denominador de la expresión resolvente sea dist in to de cero. Esto es:
m (m - 1) * '
O ,
lo que es equ iva lente a:
m *' O, Y m*,1
Luego la condición del ejercicio se cumple si y sólo si se. verifican ambas condiciones
(1)
y (2) .
379
PSU.Cuaderno de Ejercicios Matemática
Observaciones y comentarios:
En una ecuación como la propuesta, de incógnita
x
y de parámetro m , la s ituación podría haber
sido perfectamente al revés, es decir, la incógnita podr ía haber sido m y el parámetro podría haber
sido x . Deahí la importancia de especificar muy bien el papel de los términos en una ecuación.
Dejamos como inquietud para nuestros estudiantes, resolver él problema planteado al revés, o sea..
como incógnita m y como parárnetro
x ,
¿Cuál' ser ía el análisis y la discusión en tal caso?
.Respuestacorrecta: alternativa e
3) Se necesita conocer la longitud de la circunferencia de centro O de la figÚra adjunta.· Para ello se
dispone de la siguiente información:
(1)
.
.
la cuerda AB es el lado. del hexágono regular inscrito en ella
(2)
el área 'del triángulo equilátero ABO mide
. J 3 .
cm
2
A)
B)
C
D)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (l) y (2)
Cada una por s í sola, (1) Ó (2)
ANEXO
E jerc ic io s Resu elt o s
Observaciones y comentarios:
Cuando en un ejercicio corno este se pide encontrar la longitud de una circunferencia se ent iende que es
su valor numérico. Efectiv amente para hallar la longitud de una circunferencia se r equiere, es-decir, es
necesario y suficiente el dato de su radio( o su diámetro), pues la fórmula depende de ello:·
L~
=
21t
r .
Sin embargo, para saber qué tan grande o pequeña es una' circunferencia necesitamos la' longitud o
medida de su radio .
Respuesta correcta: alternativa B
4) Un montañista sube hasta lacima deun cer ro yluego desciende, enambos casos, con rapidez constante.
Se pide determinar ~urapidez media en t odo el trayecto.
(1)
. . . . km
la rapidez media de su ascenso es de 3 -
h
A)
la rapidez media de su descenso es de 6 km
.' . . h
(l ) por sí sola
(2)
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E)
Se requiere información adicional
o
B
..
Solución:
I ~ l
n
1
'
Con la información 1 podemos saber que la cuerda
A . i3
es igual al. radio de la 'drcunferencia pero
aún no sabemos su medida y, por lo tanto, tampoco la de la circunferencia. Luego, 1 por sí sola no es
suficiente. . . . . . . .
Con la información Il, dada el área de l triángulo equilátero ABO, se puede determinar la medida del
lado de dicho triángulo, es decir, la medida. de la cuerdaAB. Y teniendo la medida de la cuerda AB se
tiene la medida delradio OA, (o bien OE) de dicha circunferencia. Luego II por sí sola es suficiente.
380
B)
C)
D
E)
(2)
por sí sola
Ambas juntas, (l) y (2)
Cada una por sí sola, (1)
ó
(2)
Se requiere información adicional
Solución:
Para déterminar la rapidez media (v m ) del montañista en todo el trayecto, necesitamos saber la distancia
total recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, independientemente del valor de la distancia. En
efecto, sea I la distancia recorrida por el montañista desde la base hasta la cima, expresada en
kilómetros. •
La distancia total recorrida es, claramente, d + d
=
2 d',
De la fórmula del movimiento uniforme: v
=
~,deducimos que el nempo t es:
t '
d
t =
v·
Por lo tanto , el tiempo de ascenso (t
a
),
expresado en horas, es igual a:
ta
d.
3
381
psu . Cuaderna
de E je rcicios. Matemática
y el tiempo de descenso. (td ), también expresado en horas, está dado por;
t
d
d
6
Luego; e l t i empo total en el recorrido
está
dado por:
t
=
ta
+
t~, es decir:
d
-
3
d
6
d
2
t =
ASÍ, la rapidez media el todo el recorrido es igual a:
V
m
2d
-,-, esto es:
- d
2
='4 km
h
V
m
Observaciones
y
comentarios:
ANEXO
I
Test N .1, SUFICIENCIA DE DATOS
ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS
Test N° 1: Suficiencia de datos
1)
¿Cuál es e lporcentaje
de
inciemento en el valor. de un jarrón de gran antigüedad en el período que va
desde el 1 de enero de 2,004 has ta el 31 de diciembre de 2.005?
(1)
El valor del jarrón al
1,
de enero de 2.004, era de 5.000 euros
(2) El valor del jarrón al 31 de diciembre de 2.005, era de 8.000 euros
A) (1) por sí sola
B) (2)
por s ísola
C)
Ambas juntas,
(1)
y (2)
'O)
Cada una por sí sola,
(1)
ó (2)
E) Se requiere informaciÓn adicional
2) Si un total de 84 estudiantes están inscritos en un curso de cálculo en dos secciones, ¿ cuán tos de los
84 estudiantes son niñas? ' .
(1) el 25% de los estudiantes de la primera sección son niñas
(2) el 50% de los estudiantes de la segunda sección son varones
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
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En realidad, no era, necesario resolver el ejercicio para darse cuenta que se necesitaban ambos datos
para su solución. Sin embargo, lo hemos hecho, dado que en es te ejercicio está presente el concepto de
la media armónica. La media armónica
(H)
entre dos números reales positivos a
y
b está dada por.
H=
Úb
a +
b
La rapidez media en todo
d i
trayecto del montañista es l a media armónica entre l~ rapidez d
1
scenso y .
la de descenso. Como a = 3 y b = 6,. entonces la rapidezmedia es igual a:
V
m
2 • 3 • 6 , de donde:
3 +6
km
v =
4 -, como antes
m' h '
Recalcamos nuevamente que, en estos ejercicios de suficiencia, de datos, el objetivo no es resolver
el ejercicio, sino decidir si con la información entregada en los incisos (1) y (2) es posibl e l legar a la
solución.
Respuesta correcta: alternativa e
I
I
¡ ¡
i
1 .
382
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
l
3) ¿Corresponde la expresión 1
+ -
a un número mixto, sabiendo que x es un número entero?
x
(1) x es' número natural
(2) x *
A) (1) por sí sola, .
B) . (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
· (2)
O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
4) Si x es un número real tal que x *
O,
¿es x
+
y
=
O?
(1) x es el opuesto de
y
(2) x
*
l
A) (1) por-sí sola
B) •(2) por
sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Sé requiere información adicional
383
I
I
I
¡
I
PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática
5) Si a, b
y
e son números reales, '¿es a = e?
(1) a-b=b-c
(2) a-2c=c-2b
A) (1) por sí sola
B) • (2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (l).ó (2)
E) Se requiere información adicional
'1
1
I .
I
\ .
I
I
~
f
~.
,
í
•
~
I
r
I
. ,
6) 'Si «a» es un número entero, .¿cuál es el valor de a?
(1)
a'
(2 ) a
3
+
1 ~ O
: ) (I~
por sí sola
E) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)
E) Se requiere información adicional
ANEXO I Test N l. SUFICIENCIA DE DATOS
9) ¿Es X menor que y? .
(1) x-y+l<O
(2) x-y-I<O
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) .
E)' Se requiereiriformación adicional
10) ¿Cuál es el primer término de una sucesión?
(1) El segundo término es 43
(2) El segundo térmiIl;o es cuatro veces el primero, y el tercero es dos veces el segundo
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sf sola, (1) ó (2)
E) Se requiere ,información adicional
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t
7) .Si e es la cif ra de' las centésimas en el número decimal d = O,2c6, ¿cuál es el valor de d,
aproximado a la décima? '
1
(1) d<-
4
(2)
e
< 5
A) (1) por sí sola
E) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
8) ¿Es x un número entero par?
(1) x es el cuadrado de un número entero ..
(2) xes el cubo de un número entero.
A) (1) por sí sola
E) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola,(l) ó(2)
E) Se requiere información adicional
38 4
11) Una persona en cinco meses ha ahorrado $a. Se puede determinar el valor de a si:
(1) Mensualme~te gana $4oo.000.y ahorra el 6% de su sueldo
(2) En tres meses' ha reunido $72.000 lo que representa el 60% de lo que ahorra en 5 meses
'A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) . Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
E) Se requiere información adicional
12) .Una bolsa contiene 20 bolas rojas
y
10 bolas azules. Si se sacan 9 bolas, ¿cuántas bolas rojas quedan
en la bolsa? .
(1) De las bolas que se sacaron se sabe que la razón entre rojas
y
azules es 2: 1.
(2) Cuatro de las seis primeras bolas sacadas son rojas.
.A) (1) por sí sola
E) (2) por si sola
C) .Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (l) ó (2)
E) Se requiere información adicional
385
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PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática
21) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. El ángulo
x
mide:
~ 1 .~
(1) arco AB = larco BC
D
(2) a = 120
0
A) (1) por s í sola
B)(2) por sí sola
C)· Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cad~ una por sí sola, (I~ ó (2)
E)' Se requiere información adicional.
22) Si a,
b
e
IR+'
ambos dist intos de uno, se puede determinar el valor de logba si se. conoce que:
B
(1)
~=b
(2) b'=a
A) (1) por sí sola
'B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,
ti) y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requier e información adicional
~
I
ANEXO I Test W \ SUFICIENCIA DE DATOS
25) ¿Cuál es la capacidad 'de un estanque cilíndrico?
(1)
La base es equivalente a un cuadrado de lado
5
m
(2). Su altura es igual al diámetro de la base.
A) (1) por sí sola
B)
(2)
por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)
E)
Se requ ie re información adicional
l·
26) 50% de las ofici nas de cierta ciudad .ti enen computador y aire acondicionado. ¿Qué porcentaje de las
oficinas de_esta ciudad tienen computador pero no aire acondicionado?
(1) Si se escoge una ofic ina a l azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga aire acondicionado
7
es-
-10
(2)
Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga computador
3
es -
5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
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23) Se puede determinar la ecuació~ de la recta e de la f igur a adjun ta si:
(1) a:b=2:3
(2) b-a;=l
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) .Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) . Se requiere información adicional
x
.y,
b· ---- -
o
24) Si a. es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de sen a.?
(1) sen
2
a.=1-cos
2
a.
3
cosa.
=-
5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
(2)
3118
I
i
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27) El comité X y el comité Y, que no tienen integrantes comunes, se fusionan para formar el comité Z.
Para saber si el comité X tiene más integrantes que el comité Y, se sabe gue:
(1) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité X es 25 años y la de los integrantes
del comité Y es 29 años.
,(2) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité Z es de 26 años.
A) (1) por sí sola
B). (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
. D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
38 9
FSíl Cuadernode Ejercicios Matemática
28) Se tienen dos cursos A y B del nivel 4° medio de un colegio. Se desea saber en cuál de ellos se
presenta.la mayor dispersión de edades.
(1) la desviación estándar de las edades del curso A es 2,5
(2) la desviación estándar de las edades del curso. B es 3,5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) .
D)
Cada una por sí sola, (1) ó
(2)
E) Se requiere información -adicional
\
29)
¿Es el rango de l os números en un conj unto A, mayor que el rango
de
los números en un conjunto B?
(1)
La desviación estándar del conjunto A es may~rque la desviación estándar de B
(2)
La probabilidad de que un- número seleccionado al azar del conjunto A sea mayor que un
número seleccionado al azar del conjur ito B es l
. A) (1) por sí sola
B) (1) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D). Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
I
I
8/17/2019 Matemáticas UC
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30) Si se seleccionan 'al azar y con reemplazo, dos estudiantes de un curso mixto, ¿cuál es la probabilidad
de que dos hombres o dos mujeres sean seleccionados?
(1) Hay 50 hombresen el curso.
(2) La probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer es 21
. '50
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información adicional
I
I
j .
RESPUESTAS CORRECTAS
9
l ·
; .
I .
L