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Matemáticas UC

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r

INTRODUCCIÓN

.El

presente manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para la

PSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparación

PSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno de

ejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. Su

. creación obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc para

la prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:lnivel apropiado de extensión y

profundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesores

dedicados casi en forma exclusiva , a l a preparación de dicha prueba.

De acuerdo anuestra experiencia de varios años como profesores enla preparación para  

las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes de

lo importante que es 'la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los'

conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemática una disciplina abstracta por

excelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ella

es lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte,

tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el enten-

dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe ser

llevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Sepuedendesarrollar

músculos con sólo leer un libro de gimnasia. No estamos exagerando la importancia que

tiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, ya

sean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la r ealidad mate-

mática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selección

universi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos:

1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 3

0

medio, (ojalá desde antes) y ,

2°) debe 'destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática.

De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de30

ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la

P~u.

Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a través

de la incorporación de nuevos test. ' .

Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temático

más anexo, con el objetivo de facilitar al a lumno una dejas formas de desarrollar orde-

nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje.

A pesar de'que el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, para

potenciar el hecho decompartir ideas.buscar soluciones enconjunto a los problemas más

difíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala-

bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad.

El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalan

los planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios

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t est para los temas de l a PSU Mat emática, con sus correspondient es respuestas, Hemos

procur ado, dent ro de lo po sible, ord enar los e je rc ic ios que aparecen en los tes t, en orden

de complej idad o d ificul tad crecien te . No s iemp re es f ác il ponerse de acuerdo en los c ri te -

rios para reali zar el ordenamient o pedagógico. Para tener éxito en la PSU, l os alumnos y

'las a lumnas deben resolve rtodos los test , ya que enéstos, s e plan tean e je rc ic ios simi lar es ,

a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora.

Además, pa ra f ac il it ar la labor de todos los u suarios de l texto, hemos decidido colocar las

. respuestas de los ejercicios en la misma pági na dohde termina el respect ivo test. De esta

, manera, si un al umno o alumna utili za un determinado test como evaluaci ón diagnóstica

en un tema , entonces puede conocer su resul tado inmediatamente.

Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de

, Ed ic iones DC, por la pos ibi lidad que' no s ha dado de concre ta r este impor tante t raba jo, 'que

nuestros al umnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también al

Sr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor de

diseño y diagramación del text o. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta.

.G ladys Briones Tor res, por la e labo ración de a lgunos de los d ibujos de l tex to. Deseamos

expresa r también nuest ros agradecimien tos más s inceros para nuest ro amigo y colega ,

el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que él

mismo ayudó apreparar .

Si este texto puede servir a un gran número de usuarios, entonces nuestra t area se habrá

cumplido a cabalidad.

Como siempre, deseamos a nuest ras alumnas ya nuestros al umnos, desde ya, el mejor de

los éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitar ias.

1

I

I

I  

1 :

Los autores

Santiago de Chile,.2009

r

ALF ABETO GRIEGO

Mayúsculas

Minúsculas

Nombre

A

o.

alfa

B

~

beta

y

gama

/',

5

,delta

E

 

épsilon

Z 1;

zeta

H

11

eta

e

e, ,}

theta

1

I

iota

K

K

kappa

1\,

x lambda

M

~

rnu o m i

N

v

nu o n i

-

S

xi

O

o

ó micron

n 1t

pi

p

p

rha

L

fJ,~ sigma

T

r

tau

y

v

ípsilon

<t >

'1 '

phi

X

X

ji

'l'

\jI

psi

.' U

w

ome g a

~

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1 1

1 ,

I

SIM1WLOGÍA MATEMÁTI(:A

LISTA DE SÍMBOLOS Y NOTACIONES MATEMÁTICAS

SÍMBOLOS USADÚS EN LÓGICA MATEMÁTICA

SÍMBOLOS USADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS

Símbolo

Significado Lectura

p, q,

t

s, .. ,

pr op osi cio nes

p e

CU  

-e re   e se ...

-p, -p, p, N(p) ne g aci ón d e p

no p, es falso que p, etc.

p

1\

q

conjunoón pyq

pvq disyunc ión,

poq

P . : : . Q

disyunció n, excluyente,

p o q, pero no am bas

P ,=> q

impl icanc ia simple o condicional Si p entonc es q, p i mplica q

p ee q

implica ncia doble o bicondic ional p si Y sólo si q , p equiva lente con q

ss i si Y s ól o si

si y sólo si

=> 0=

pr oposición contradictoria'

contrad icción

'ti

cuantifica do r un iversal

p ar a t od o, par a c ua lq uier

3

cu ant ifica dor existendal

exis te , existe al menos un(o ) o un a

cu antificado r existenda l es tricto exi,té un (a ) únic o( a)

Símbolo

Significado,

Lectura

A , B , e , . ..

co nj u nt os

a, be, ce, ...

a, b, e , .. . . elementos

a  be  ce , .. .

(a)

co njunto de 'un so lo e le men to

sin gleto n de a

( a, b )

c on ju nt o de elementos a Y b

c on ju nt o de e lemen tos a Y b

E

relac ión de pertenencia

está en, es un 'e le me nt o d e

e

negación de p e rt e nenc ia

no e st á en, no e s un elemento de '

A -S relació n de igualdad

A es igua l a S

e relación

de in clus ión estricta

es subconjunto propio de

¡;;

rel ac ión de incl usión

es tá in clui do en

: :> relaci ón de inc l us ió n i nversa

inc luye a,

o :

negación d e i nclusió n estricta

no e s sub conjunto propio de

peA ) o 2' conjun to p ot en cia de A

conjunto po tencia de A

# Y # A -

cardinalida d

ca rd inalidad de A

u

un ió n

un ió n

n in tersección

,

in tersección

-

dif erencia

m en o s

 

A ' o

K

co mpleme nto

co mpl emento del co njunto' A

00{

co n ju n to vado o co n jun to nu lo .

fi

U co n ju n to u niversal o u n ive rso

conjunto

u n iv er sa l o un iverso

( a , b )

Pa r ord enado de elementos a y b

par or denado de elemen tos a y b

AxS

producto car tesiano entr e A y B

A cr uz S

-

A6S difer encia simétrica en tre A y B

A delta B

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _i - - - - - - - - - -

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r

 

SÍMBOLOS USA.DOS EN ARITMÉTICA.

SÍMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLÁSICA ELEMENTAL

Símbolo Significado  Lectura

IN c on ju n to d e l os n ú me ro s n at ur al es

ene

IN ,

conjunt o

de-los

números cardinales

e n e s u b c er o

Z

c on ju n to d e l os n ú me ro s e n te ro s

zeta

Q

c on ju n to d e l os n ú me ro s

racionales

cu

Q'

01

 c o nj u n to d e l o s n ú m er o s i rr ac io n al e s

c u p r im a o i

IR

c o nj un to d e lo s n úm e ro s r ea le s erre

e

c on ju nt o d e l os

números

complejos

ce

,+

ad ic ión

m ás

-

sustracción

me no s

multiplicadón

m u lt ip li ca d o p o r

:

división

. d iv id id o p or

 l.

t an to p o r ' c ie n to o p or c en ta je

t a n to p o r ci e n to

'lo.

tan to p or m il tan to p or ¡nil

s i gn o r a d ic a l r a í~ c u a dr a d a

~

s ig n o d e i gu a ld a d.

e s i g uá l a

'

,

signo d e desigualdad es distin to de

=

signo d e identidad e s idéntico a

/

ta l q ue ta l que

>

s ig n o d e c o mp a ra c ió n

m a yo r q ue

<

s ig n o d e c o mp a ra c ió n

m e no r q u e

;,

signo d e compa radón mayor o igua l

< . s i gn o d e c o mp a ra ci ó n

 

m e no r o i gu al

«

s i gn o d e c o mp a ra ci ó n

m u ch o m e no r q ue

»

s ig n o d e c o mp a ra ci ó n

m u ch o m ay or q u e

r

Símbolo

Significado Lectura

n

n úme r o na turatcualquiera ene

'2n n úm er o n at ur al p ar

d o s

en e

2n - 1

n ú me ro n a tu r al i mp ar

d os e ne m en o s u n o

z

numero

c omp t e je c u a qu ie r a

zeta

z

c on ju ga do d el c om pl ej o z

z e t a c o n ju g a do

1 a I

v al or a bs ol ut o d e u n n úm e ro real

v a lo r a b solu to o m ódulo de a

I z I

v al or a bs ol ut o d e u n c om pl ej o

v al or a bs ol ut o o m ó du lo d e z et a

ee

e

proporcionalidad

es directamente p rop orc iona l  a

..

cons ecuenc ia

p o r l o t an to, po r cons igu ien te ,

f(x )~ a x + b

b in o mi o d e p ri me r

qradc

e fe d e e qu is e s i gu al a a eq ui s

más

be

f(x)

=

ax' + bx + e trino mio de se gun do g ra do

e fe de e qu is e s i gu al a a eq uis a l

c ua dr ad o m ás b ee qu is m ás c e

±

s um a o r es ta m á s m e no s

a'

,

p ote nc ia e né si ma d e a

a

ele vado a

ene

lag

o p e ra d o r l o g ar t tm i c o

logarit mo d ec im al o d e B ri gg s

In ope rador loga ritm ico

l og ar it mo n at ur al o 'd e N e p er

,

I~~ I

d et er mi na nt e d e d os p or d os

d et er min an te a , b , c , d

r

b

e l

e

f

det erminant e  de

tres-por

tres

d et er mi na n te a b

e,

d, e

f,

g h,

i'

g h

i

[ ~ ~ 1

matriz d e d os p or d os

m at ri z a , b ,

e,

d

[ a

b

e l

el

m atr iz a , b, e ; d, e , 1 , g , h , i

g

h

i

m a tr iz d e t re s p or t re s

L

siqma

mayúscula

sumatoria

rr

pi

mayúscula

pitatorie

o m u l t ip l i ca t o ri a

[a , b

1

i nt er va lo t er ra do d e e xt re m os a y b

i nt erv al o ce rr ad o a c om a b

1 a, b [

i nt er va lo a bi er to d e e xt re mo s a y b in te rv alo abier to a c oma b

[a , b [

,

'i~tervato sem icerrado o sem iab ierto in terva lo s em icerrado a com a b

1

a, b J

i n te rv a lo s e mi ce r ra d o o semiabierto

  i nte rv al o s em ic er ra do a c om a b

  ~

~.

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1 . .

SÍMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA

Símbolo

Significado

Lectura

n olll

factorial

ene factoríal o fa et or ia l de ene

P (n) p ermutación pe rm u ta c ión de e r ie e l em ent os

vañaci ón o arreg lo

vari ac ión.de ene

e lement os tom ado s de a . erre

. r

l : J

combinacíóo

com b inac ión

de

ene e lem ent os to ma do s d e erre en erre

I

,

 

SÍMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES

Significado Lectura

ímbolo

lím

. . : . .

n-t-  n

probabilidad free ueneial timit e de la razón ene sub i part id o p or e ne c ua nd o

en e t ie n de a in fi ni to

SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Símbolo

Significado. Lectura

f f r e c u e n c ia

efe

x

oM.A.

m e di a a ri tm ética o m ed ia

med ia o prom edio aritmétic~.

Me mediana

mediana

M o moda

moda

;

c r

des v iación

s t an d ar d sigma (minú scula)

~~

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA CLÁSICA ELEMENTAL

Símbolo

Significado

Lectura

A, B , e , ....

pu nt os a, be , ce, ...

< l:: A BC ángu lo A Be ángulo AB C

m (<l::ABC )

med id a d el' á ng ul o A SC

medida del á ng ul o A se

PO segmen to PO

se gm e nt o cu yo s extremos so n P   J  

PO o m (PO ) longitud long itud o medida del segm ento PO

L L L e tc

líneas rectas

rect a L t, L  ete

1 1

'parale lismo es pa raleloa

J.

, pe rp endieularidad es perpe ndicular a

n

pla no plano pi

P (A ,S ,C)

pla no plano qu e pas a pod as

pu ntos no eolineales A, B ye

I

tr iángul o triángulo

h., h , Y h,

alturas de u n t riángul o ABC haehe sub a; hae he sub b y ha che sub e

b  b

a

y b. -,

bisec triees d e un triá ngulo AB C b~ sub alfa, be sub beta y be sub gam a

t, t  y t,

tran sve rsales de gra vedad de un te sub a, te sub b

y

te sub e

trián gu lo A Be

S .' S , Y S ,

simetrales de un triángulo AS e ese sub a, ese sub b y ese sub e

mi  mbym

c

. med ianas de u n t riángulo AB e

em e sub a, ~ me s ub b

y

eme su b e

H

ortocentro

ortoc ent ro

1

in ce ntr o incen tro

G

cen tro de gra vedad

centro de gra vedad

O   c i r c u n ce n t r o cir cun centro

py q

proyecci ones de lo s eat etos sobre la pe

y

eu

hip ot en us a

uy v

seg mentos en que la bisectriz by u y uve

divi de al la do e

.

equ iva lend a es equ iva len te con

-

co ng rue ncia

es co~.~.ruente co n

-

sem ej an za

es se m e j a n te co n

C(O,r)

circu n fer encia

circun fer en cia de cen tro O

y

radio r

C(P,O.R)

c i r c u n f e ren c i a

cir cu nf eren cia

que

pa sa

por los

pun tos no col ineales P,

Q

Y R

'I\B

arco de circunferen cia

arco AB

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1  ,

l '

I

l'

I

SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL,

S ím bolo

S ignificado

Lect ur a

sen~

raz ón entre el cateto opuest o a ~ y la h ipo ten usa

seno de b et a

co sp raz on en tre .el cateto adyacente a

} j

y l a m po tenusa

coseno de b eta

tgP

, razón en tre el cateto opuesto a P y el cateto ady ace nte a

p

tangen te de be ta

cotp raz ón ent re el ca t et o a dyacen te a J ) y el cate to opuesto a p

cotangen te de bet a

se cp ra zón entre la hipote nusa y el cateto a dy ac ent e a ~

sec ante de beta

co secf3

razón entre la h ipotenusa y el ca teto op ue sto a 13

co se cante de be ta

-

SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA

Símbolo S igni ficado

Lectura

flx

no tac ió n delt a

~

delt a equis

m

pend iente de una ' re cta pend iente

6 .' 1

pe nd ien te de una recta

del ta ye part ido por de lta eq uis

l 1 X

',

y= mx

ecuaci ón de una rec t a p or el or ige n

ye e s igual a eme equ is

y = mx

+

n

ec uac ión pr in cipa l de la rect a

ye es igual a en ie equis más en e

A Y . + By + e = o

ec uac ió n ge neral de la rec ta

ae quis má s bey má s ce ig ual a cero

y - Yo

=

m(x - x

o

)

ec uación punto- pend ient e ,

ye men os ye sub ce ro es ig ual a eme facto r

de equis me no s eq uis su b cero

_x_

.•-L=1

ec uaci ón d,e segme nto s de la recta equis par tido p or a má s ye pa rt ido po r be es

a.

b ,

igu al a un o

x

2

+

y 2 = rl

ec ua ción de la c ircunfer en ci a con

equis al cuadrad o má s ye al cuadr ad o

cen tro en el orige h y rad io erre

es igual a erre al cuad rad o

(x - h) '

+ (y -

k) '

=

r '

ecua ción de la ci rc unf erencia con

equ is m e no s h a che al cu adrado más ye

cent ro en ha che c om a ea y radi o

me nos ea al cua drado es igua l a erre al

er re cuad rado

/ ¡

~

1

:1

1

'

,1

f

TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA

*

'H AB ILIDADE S

INTELECTU AL ES

TOT AL

EJE S

TEMÁT ICO S

, o

 _

o ~

o ,

'E ~

~~

ID .~

  E

'~~ e

o u u

:~~~

o> •

.8~~

~ o

..

~.2

é

o ' 

• o

0.>

~~

'ü o III

o O e

~~

2~

i~~

-2

c..

O '

e . 2

ID ~ •

~

e

O>

>c..

,

O •

~ e

-o ;;

u •

•• O

  O •

~~~ 

'¡ ;; ~ 'u

~

~

~~~

H l

•• O

~ s ~

:i ~ ~ g

.. '  ._

.~ o  tJ._

  '

~o

:o

u •.••g

c..

Q.~~

O

'U e ~

-cc..

¿~~~

f-

11

-

29

-

21

I

I

~

6

20 122

2,

Álgebra y funciones

3,

Geometrjo

y Trigonometría

Fueme: Documento oficial. Proceso

de

Admisión 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.

l. . Números y proporcionalidad

4. Estadistica y probabilidad

I

1 -

\:

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r

¡

¡

1

I

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

ALFABETO GRIEGO

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA

TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MATEMÁTICA

PRIMER EJE T EM Á

neo.

N Ú M E R O S

Y

P RO P O RC I O N AL I D AD

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1 .ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS ENTEROS ( Z)

T es t N ° 1 N úm e ro s e nt er os:

22

26

I

I

I

t

¡

 

¡

1

1

.

 

I

CAPÍTULO 2. ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS RACIONALES (

Q)

Tes t N 2 : Números rac iona le s 1

Test N 3: Números racionales Il

31

CAPÍTULO 3. ELCONJUNTO DELOS NÚMEROS REALES ( R)

Test N 4: Números reales .

45

CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES

51

Test N 5: Razones

y

proporciones

CAPÍTULO~. PROPO~CIONALIDAD

Test N 6: Proporcionalidad

CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTERÉS

57

63

Test N 7: Porcentajes 1

Test ¡ ¡ O 8 : Porcentajes II

CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS

74

Test N 9; Regularidades numéricas

BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICA

Primer Eje Temático: NÚMEROS yPROPORCIONALIDAD

S EG U ND O E JE T EM Á TI CO : Á L GE B RA Y F U N CIO N ES

79,

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN ALLENGUAJE ALGEBRAICO

82

88

Test N°1: Lenguaje algebraico

1

Test N 2: Lenguaje algebraíco

Il

CAPÍTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN

y

FRACCIONES ALGEBRAICAS

102

I

I

~

Test N 3: Productos notables,

factorizocion. y

fracciones algebraicas

C~ÍTULO 3. ECUACIONES DEPRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111

Tes t N 4 : Ecuac ione s deprimer grado

y

problemas con enunciado verbal

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL

120

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1

1 : [

l i t

1

'.·

1 ,

1 ' 1 1

, ' 1

I '

(

Tes t N°5 : Problemas dep lan teo con enunc iado verba l

C A P ÍT U L O 5 . D E S I GU A L D A D E S E I N EC U A C IO N E S L I NE A L E S

Test N°6: Desigualdades, inecuaciones

y

sis temas de inecuaciones lineale

C A P ÍT UL O 6 . G EO M ET Rí A A N A L ÍT IC A B Á SI CA

Test N 7: Geometria Analí tica básica

C A P ÍT UL O 7 . E C UA C IÓ N C A R TE S IA N A D E L A R E CT A

Test N

 

8: Ecuac ión car te siana de la rec ta

C A P ÍT UL o 8 . S IS TE M A im EE C UA C IO N ES L IN E A LE S

Test N°9: Sistemas de ecuaciones lineales'

C AP Í TU LO  t. PO TENCIACIÓN

Test N°IO: Potencias

C A P ÍT UL O 1 0. R A D IC A C IÓ N

Test trn Raíces

C A P ÍT UL O 1 1. F UN C IO N ES : C O NC Ep tO S F UN D A M E NT A LE S

, Test N°12: Funciones: Conceptos fundamentales

C A P Í Tu L O 1 2 . F U N C IÓ N A F ÍN , F U NC IÓ N V A L OR A B S OL U TO y F uN C IÓ N P A R TE E N TE R A

Tes t N°l3: Función a fín, f unción valor absoluto y función par te ent era

C A P Í TU L O 1 3 . F U N C IÓ N C UA D R Á T IC A

Test N°14: Función cuadrática

CAPÍTUL014 . E C U AC IÓ N C U ADR Á T IC A

TesiN°15: Ecuación cuadrática

. C A P Í TU L O 1 5. F UN C I ON E S P O T EN C IA , E X PO N E NC I A L

y

LO G AR Í TM IC A

TeStN°16: Funciones potencia, exponencial

y

logarítmica

C A P Í TU L O 1 6 . E C UA C I O NE S I R RA C I O NA L E S

Test N°17: Ecuaciones irracionales

C A P ÍT UL O 1 7. E C U AC IO N E S E X PO N E N C IALE S

Tes t N°18: Ecuaciones exponenciales

C A P Í TU L O 1 8. L O G A R IT M A C IÓ N

Test N'19: Logaritmos

B IB L IO GR AF Í A E SPE C ÍF IC A

S e gu n do E je T em á ti co : Á L G EB R A Y F UN C I ON E S

T ER CE R E JE T EM ÁT IC O: G EO M ET RÍ A Y T RIG ON OM ET RÍ A

EJERCIC IO S R ESUELTOS

C A P ÍT UL o 1 . Á N GU L OS Y T R I ÁN G UL O S

Test N°I: Ángulos

y

triángulos

C A P ÍT UL 0 2. C O NG R UE N CI A .

Test N°2: Congruencia

C AP Í TUL0 3. C U A D RI LÁ TE R OS Y P OL ÍG ON O S

Tes t N°3 : Cuadr ilát eros y Poligonos

C A P Í TU L O 4 . T R A N S FO R M A C IO N E S I S OM É T RI C A S

T es f N ° 4: Transformaciones isometricas

C A P Í TU L O 5 . Á N G UL O S E N L A C I RC U N FE R E NC I A

275

Test N°5: Ángulos en la circunferencia

C A P ÍT UL O 6 . P ER ÍM E TR O S Y Á RE A S

283

Test N°6: Perímetros y áreas

C A P ÍT UL 0 7. S EM E JA N ZA

291

Test N°7:.Semejanza

C A P Í TU L O 8 . G E OM E T R ÍA D E P R O P OR C IÓ N

299

Test N°B: Geometría de proporción

C AP Í TU LO 9 . TR IÁ N GU LO R E c rÁ l 'l G ULO :TE O R EM ASDE E U C L IDE SYDE P ITÁ G O R AS

Test N°9: Triángulo rectánguloi .Teoremas deEuclides

y

de Pitágoras

C A P Í TU L O 1 0 . T R I GO N O M ET R ÍA P L A N A

  9

317

Test N°lO.: Trigonometría plana

C A P Í TU L O 1 1 . S E G M E N TO S P R O P OR C IO N A L E S E N E L C Í RC U L O

326

Test N°1l: Proporciones en el Círculo

C A P ÍT UL O 1 2. G EO M ET R ÍA D E L E S P A C IO

Test N°12: Geometría del espacio

C A P Í TU L O 1 3 . V E C T O R ES : R E C TA S yPLAN O S

334

.343

Tes t N°l3: Vee to re s, e cuac ión vee to rial de la recta

y

ecuaci6n veetorial del plano

B I BL I O GR A F ÍA E S P EC ÍFI CA

T er ce r E je T em á ti co : G E OM E T R ÍA Y T R IG O N O M ET R ÍA

C UA R TO E JE T EM Á

rrco.

E STAD Í ST IC A

y

PR O B AB IL IDAD

351

. E JE R C IC I OS R E S UE L T OS

C A P Í TU L O 1 . E S T A D Í S T IC A D E S C R IP T IV A

354

357

Test N°}: Estadística Descriptiva

C A P Í TU L O 2 . P R O B A B IL I D A D

Tes t N 2 : Probabi li dad l

B IB L IO G R AF Í A E SPE C ÍF IC A

C u ar to E je T em á ti co : E S T A D ÍS T IC A Y P R O B A B IL I D A D

366

376

A N E XO : S UF IC IE NC IA D E D A T O S

E JE R C IC IO S R E SU E LTO S

378

383

e st N°1 de S uf iciencia de datos

JFi :

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/

Page 11: Matemáticas UC

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¡ i :

1 ' 1

I

PSU:Cuader no de E jercicios, Matemática

EJERCICIOS RESUELTOS

PRIMER EJE TEMÁTICO: NÚMEROS yPROPORCIONALIDAD

1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada y

dos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduce

enun cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compró

Gladys en total?

1

A)

-

4

1

B)

-

2

C) 1

D)

1 -

~

3

Solución:

. ' ~ : ' ; '

\ ~

r

1

s

-\-2..-1-

4

PRIME R EJE TEMÁTICO

I

Ejercicios Resueltos

2) Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades

expresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?

1) a:b:c=6:8:9

11) a: e = 2 : 3

1I1)

a + b +

C

a

--

23 6

A) Sólo 1 y Ir

B) Sólo II

y

III

C) Sólo 1 y III

D) 1, II Y II I

E) Ninguna de las tres

Solución:

_-\

Z

t I

Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, y

como además con la razón b e = 8 : 9 tenemos el elemento  b .en común, podemos escribir la

proporción continuada a b c : e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta.

Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos  a y c , sacadas dela proporción anterior y tendremos:

a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual II

también es correcta.

. Finalmente para la tercera, aplicamos lapropiedad fundamental de toda seriede razones igua les y no s

a +b +

C

a . .

queda: =- (hemos compar ado col). laprimera razón pues es' l a que figura en el segundo

6 + 8 + 9 6

\~t

~ Z\

- . .. .-.\;()'--;/f

~

; : : ; ~

t

L

. a+b+c

miembro de la proporción), lo cual se reduce a: -----

también es correcta. 23

a

-. Por lo tanto, la proporción III

6

Este sencillo ejercicio sereduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que semencionan'

y, en seguida, sumarlas y restar la s según e l caso .

Tendremos:

1 3. 1 I 2

-+-+2 - -=-+-+2

2

4 4 2

4

1

1

- + - + 2

2 ..

2

+ 2

. 3 1

(resolvemos pnmero- - -

4 4

tienen igual denominador) .

2

-, aprovechando que

4

Observaciones y comentarios:

Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado de una constante de

proporcionalidad  k .

Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática PSU, capítulo de

proporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica de Chile en su octava

edición, febrero de 2008.

Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertas

razones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. mediana

dificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entonces

a. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el concepto

de razón.

Respuesta correcta: alternativa D .

(simplificando la fracción ~ )

4

G

+

±

=

l J

= 3

Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos de yarJ,le en total.

Observaciones y comentarios:

Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se deben

traducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operaciones

correspondientes. Se considera un ej ercicio fácil.

Respuesta correcta: alternativa E

22 23

. .

.

..

_--

1 ::; .

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1 1 1

1

, : . .

o o .

i

F

i

r

i

¡

i

I

I

I

I

¡

I

~

i

I

I

,

I

I

t

I

¡

1

I

1

1 :

I

I

24 ..

L_

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

9

1, -

8

25 36

, - , - , el cuarto término de ella es

32 64

3) Dada la siguiente sucesión: . . '

2

A)

8

9

5

6

D). ~

2

.8)

C)

I

I

. .

E) No se puede determinar pues faltan datos

Solución:

I

1

I

Puesto que una suces ión es una función de N a R, entonces e l problema se reduce a encontrar una

función, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de n  para el cálculo de las

imágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada,

identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es el

primer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. .

1

1

2

a

= -

=-

1 2 ·i

a

2

= l :

(puede escribirse de una infinidad de formas)

9

3

2

a = -

= -

l 8

i

. a.

=

? (es el término que ,se busca)

25

52

a =- =-

5 32 2

5

36

6

2

a =~ =-

6 64 . 2

6

l '

Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general o

enésimo de la sucesión viene dado por la expresión:

PRlMER EJE TEMÁTICO

I

Ejercicios Resueltos

n

2

a =- 'v'neN

n 2

n

 

En efecto, según esta fórmula, elsegundo término (n

2 ) sería:

2

2

a

2 =

 ' es decir: a

2

=

1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado.

2

De tal modo que el t érmino solicitado, el cuarto (n

= 4),

est~ dado por:

I

4

2

- ,es decir:

2

4

4

a

4

Observaciones y comentarios:

'En este tipo de ejerc ic ios , d eben darse en el enunciado la sufic iente cantidad de términos (ininimo

tres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemática-

que permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos es

imposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema sería

ambiguo y habrían muchas (en general infin itas ) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos,

se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dos

términos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmé tica ), o bien, si la razón en tre dos

. términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, .

Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es.

decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definición

de una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que t al hecho no pueda ocurrir. De hecho, en

una sucesión oscilante, del tipo a

n

= (-1)   ; todos los términos par es son iguales entre sí y tienen por

valor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí

y

tienen por valor - L

Respuesta correcta: alternativa A

,

2S

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1,

I 1 ,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emática

1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4

=

CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)

. Test N' 1: Números enteros

~ -20

Q , :1

- . 2 . . ~ ---o, ,

13

~ '\ e a

- 2-

)

-Z -

1

, lO

C l - 2

17

D)

-Z -

E)

16

2) ¿Cuál (es) de las s igu ientes p ropos ic iones es( son) verdadera (s) ?

I) 3· (-2) = 6/ III) -5 < -1 V

Ir) 3 . (-2)

> _52 /

IV) O,>~3 ,Y

-

.

. : . ,

' .

 

.

./

A) S610 Ir y III

B) S610 II y IV

.C) S610 III y IV

,~ S610II, III y IV

E) S610 III, IV Y V

.'3) -3 - 3· 3.; 3

+

3

=

, . . : : : ,- ' - ' >

) - 6

~ -3

C) O

D) 3

E) 6 /  

4) El valor de - [~1 - H/+1) -1 - (-1

+

1) - 1 ] es

A) -3 - G

'\lt-~- ,,\\-'\ \,+,.~--,-()-

r

B) -2

C 1

- 7 ' \ _ \ - / \ . ~ '\

D 2

~ 3

~.

~\~,

.~

t <

(v..;;' 0

~, 5)

- '3-\(:_

-00 -'c

- z . - = i

. : - S

;.

'6) El valor de la expresión 18 - (~45) : (_3)2+ (-2) '(_1)' es

: ~ 2 5 , ' - . t - : \ 5 ~ ? 1 ' .f . 1; . . ~ ;

B) 9 ó o I - \. -'.'\\

C) -5 '\ ü-

,, - c b

I

- + - L .\

D) -9

E) 5

\2> '-\ -

26

~ '::. :.\-  :i,

-eS

TIEMPO MÁXIMO PARA

CADA TEST: 1 HORA

V) -10 >

~i

VI) 3

2

< 2

  21

r

 

7)

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 1. NÚMEROS ENTEROS

Si a

=

-2 ; b = -3 ; e

=

-1 Y d

= -4,

entonces [a - b • (d - e)] - a

=

~ -'-9

B) - 7

C) -4

D) 7

E 9

[ : - 1 -

-+ : :, • (-

q -\- '\

'(:i n,

1 : '. '\

l..'¿,-I -

~ . .- J . ~

-J .

_': _ _ ;c

J\\ )

y

~ 8)

e .

,

A l

~B)

C)

D)

'-~

9)

Si a ' -2, entonces .a

2

- 1\'

=

-12 '

1 ; . : \~

(-l'i.

?

-4 -

(.~l)-

( - - ;1 ~ t

1\ -e -

2

-2 ~-\ '\ i , ; \

L

2 ~\. ~ ¡

~~C   ~

7 . - - . - \ - ~ 1

4 _ /\ ' ?- - \,\ -

á , ' J ., -1

--~ -r: _.\ \.j

Si 1 a 1 representa el Valor absoluto de a, indi que cuál de las' s iguientes alternativas es falsa:

E l r ectángulo de la figura representa una car tul ina en la que se desea pegar fo togr afías cuadradas de

igua l tamaño hasta cub ri rla exactamente, ¿Cuá l e~ la mayor longi tud de l lado de las fotog ra fías que

cumplen esta condición? J o,

A) 2 {\ ~.\J

= - q , - ¡-;\ ' , '0 ~

r- -\Q .

~ 3 - ' ~   ) + - > ,L ,_  

C) 4 'b

, . .S\~ C   ,-

D) 5 - 1\,;:5-- .

E) 6 /'

A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;.

B) -21 < 8

 : ¡ i 1-71> 171

D) -5 < O

'E) 1-91 >1-8 1

l Ü) ~23 + 5°+ 3

2

-

4' =

A) -6

~ , \ -t

Q, - 4

'B)

-4

. .

5 ·

l

-2

t

D)

O

-L

E)

2

~ 11)

12) Tres números enteros consecutivos suman cero, ¿Cuánto vale el mayor de ellos?

A) -2

,B) -1

C) O

j 1

E) 3

, , - - - - 1 _ - { - o

]

¡' ,

9 1 . - .: : ~ _

15

A) NP OM

1~ MOPN

C)

MONP

D) N'PM O

E) N M PO

1,~7

7

<) ;00 LZ?.

13) Si

M , N,

O YP son números enteros tales que

M > N , o >..P,

N

< P y o <

M, El orden decreciente de estos

números es

,7., /

7 1: 1

UJ <, L__ ;

 1\ .~.   2 . \ . \

\~,

. -

2~)

~ '-J

L ~

< 7 '7 ,

I L.. ••••.

1.

1); LL

27

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1 :

1 , :

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemáiíca

14) Si X E Z y X < ':'1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) mayortes) que 1?

1)

x'

1I)

2x

A) S610 1

B) S610 II

C) S610 n y III

D) S610 1 y n

¡ fj )

Sóló 1 y III

15) Se define: Dos números p y q son compatibles, si el cuociente

'entre

el mayor y el menor es un

. número entero múltiplo de 3 . .

De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números p y q ~on compatibles?

Ill)

_x

3

[ 1

,

.

A l 56 Y 7

B) 24 Y 12

C) 12 y 3

D) 72 Y 9

~. 54 6 ,', . .'

t; ~16) El valor :e  x en'la siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 + x ) 1 }

=

O , es

1

1  

,A) -2 -\ L

 ' Z x.

.  B) -1

1

I :', C) O -

1 \ ~

.0\

; :W D) 1 -  1

11 ~ 2 ',,:: ..

?

c  

1:1) Si b es el sucesor de a, entonces (a+ b)(a - b) - (a

-b)'

es

::. A) 2a + 2

' 1 .

::1 B) -2a + 2

· 1 C) -4a - 2

  D) -6a- 2

~. -2a-2

18) Sean a, by e números enteros. Si

~,;:>

b, b » e y b = O,¿cuál de l as siguientes relaciones es falsa?

A)

a' e

< O ,/. 2\

'O,',.').;,J V;;; .

B) b: a

=

O

C) a' b

=

b

~ b+ c c O

\,i( .

E) a-c > O

  '( 1 9)

:>Lb

>;j

. )

'   ' / >

... J

Si a + b

+

e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces el valor numérico de la expresión

p'(p - a)(p -b)(p -

e)

es .

A) -24

B) 24

C) 84

D) 96

~ 108

'f , . 20) La temperatura mínima de un día fue de dos gradosCelsius bajo cero y la máxima de ocho grados

Celsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de latemperatura en el día?

A) ~IO·C

B) -6·C

g 6 ·C~

~. 10 ·C~

E) .11 °C'

-L

~f3

\¡O~\U:~; ,

 .....

'   f · [   (, ~ } . l . '1 r /: . ,- . .  

1

\0

r:

\ 0 . \ : _ / . . ( ~ ~ _

l'

I

28

..i.L

r

L

1

¡

I

I

I

 

1

l

I

1 ,

I

I

I

1

l'

 '

t ,

.'\

I

~

¡ -,

I

I

1

1

¡;

 .

1

1

~

f

l .

1

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS

21) Si p Y q son enteros consecutivos tales, que p < q , entonces siempre es cierto que

1) P - q = -1

~ S6lo 1

B)

S6lo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) S6lo II y m.

Il) p : q = p  + 1

IIl)

p: q

=-1

') '. -a, /

~ ~.

.... -.f\

22) M

=

12C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué vaiores puede tenerel dígito

C para que se cumpla la divisibilidad?

A) { 1,2,3 }

,  

\1.5 L \

b-:.

2')

12 

L{ ' f e ; - ~   ~ ' ,

B){A,

6, 9 }

1 L .  -

é'.,-,u: j

C) {3, 6, 9 }

:;'2 -

J

0{

2, 5, 8)

G . \ . \

,

' 7 ~

?v,

E) {5, 6, 7 }

'1./

23) Sean'X, Y , Z tres números enteros distintos, tales que X > Y » O, 'Z = O . ¿Cuál de las siguientes

proposiciones es falsa?

  J 1

LI-r-s-\-l.

)

Z Y-

X)

=

O

, Y -X+Z> O

C) XY +Z>O

D) X(Y +Z »O

E) Y Z+ X> O

24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A . Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuánto

le falta-para completar la suma deseada?'

A) A + B -

e

  I J J J C+A':'.,

C)-A- (C-B)

D) A-'(B+C)

E) B -C

+

A

25) Se sabe que  n'' es múltip lo ¡ le 3. Entonces , ¿cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?

1) n  es múltiplo de 3/ II) ·12n es múltiplo de 3 / . IlI) n + 27 es múltiple de 3

A) Sól61 / '.

B) Sólo

m'<

»>

C) S6lo 1y nI 

D) S6lo II y

m '<

.>'

~ 1, By III ','//

(\

Q

)

\

. . • . . - ,

v.

')1 \

~

  '.0

o

. - :{

,_0

/.-

. . . •

\ ~ . 1 '

) ]

:--'-_--=~,.

lO

J

<)

 

-- '

_.~.,-------

29

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PSU, Cuaderno de Ejercicios , Matemática

26 ) La r elac ión a > b» e, con a, b, C E Z se cumple si:

(1)

a>e

y b

> c/ .

(2 ) a ~ b ya> O

A) (1) por sí sol a /

B) (2) por sí solav'

$. \~ ') Ambas juntas, (1 ) y (2 ) < . /

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) /

E) Se requiere información adicional x,

27)

Dado que

X.E Z.

¿Es

x

positivo?

(1)

X

Z

es positivo.

.(2) 2x es 'positivo /

A) (l) por sí sola

~ (2)

po r s í sola

C). Ambas junt as, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó

(2)

E) Se requiere inf.1mación adicional

'. ~ ,-',= ~/

28)

Si a, b

E Z,

¿es a

+

impar?

(1)' a - = -

t r e s

'frrl:par/

(2) a.: b ' ,

. 6 . . - - - :

A)

(1)

po r sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas jun tas, (1) y (2 )

~ Cada una por s í sola,

(1)

ó (2)

E) Se requiere información adicional

_V l' '

9) ¿Cuál es el valor numérico de l a e xpresión x'

-r -

x? ~

'y ' .

'Z ,L _ ~ ')

(1)

; 2 - 4 = · 0

t: ' - J . . . ?   : ; . 1 - - \ X:::.;2  r>«

. ' < f,\

(2) x'

=

-8 ::.I~ x .. . (J -::(j

A) (1) por s í so la

< 0

(2) .por sí sola

C) Ambas juntas, (ll.y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó (2 )

E) Serequiere información adicional

30) Podemos de te rminar e l número total de personas, ent re damas y varones, que asi ste a una fiesta si :

(1) es posib le formar quince parejas entre los presentes y quedarían nueve varones sin dama.

(2) cuando todos los hombres quieren bailar, faltan nueve damas.

.• (1) por s í sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas jun tas, .(1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

l '

I

RESPUESTAS CORRECTAS

' r

I

i

t

PRIMER EJE TEMÁTICO I Tes t N  2, NÚMEROS RACIONALES 1

CAPÍTULO 2, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)

Test N 2 : Números racionales 1 .

1)

~ ( % - ~ J =

A) J . . .

1-

65

1

r

B) 35

1

, . . '  

t

25

-~

__= '~--'-~

~c.\ I

- , r

:.J _;

.-.,c:~

. . . . •

'

J

t· ,

~\

~~\

¡

I

I

 

I

1 9

I

D) -

I

15

¡

E) 1

. '4 2) Una fracción de términos P/ {~os aumenta $U ,vator si:

1

1

1) el numerador aumenta,

I I) el denominador aumenta.

. III) el numerador disminuye. /

  ' IV) el denominador disminuye V r\}'

1, .

A) Sólo

1

B) Sólo 1 y II

.C) Sólo 1y II I

I '~ ) Sólo 1 y IV

I E) Sólo II y IV

l

j

-<

\\

~\~

~T

\ I

~\~

.r-::

~\'

- - - -

. . . . J

\

\

  - - . . . . . 5

~

_. 5

-'

,\:

~.J.\

 0~,

3) En un curso de 40 alumnosIos ~ son niñas, Si a mediados deaño ent ran a lcur so 5 niñas más, ¿cuá l

8

será aho ra la f racc ión de n iños de l total de a lumnos de l cur so? ,

1

A)

'4

2

B)

' 9

5

C)

'9

1

D) 2 :

1

E)

'3

4). Una barra de alumini o' mide 0,5 m. Por efecto de los cambios de temperatura, a las 16 h se ha

dilatado en una cent ésima parte de su longit ud. ¿Cuánto mide alas. 16 h?

I ,

I

30

1

31

I

, -

r

I

t

.. 1

A)

0,51 m

B) 0,55 m

C) 0,505 m

D) 0,555 m

E),O,5005m

Page 16: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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1 1

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica

5) Si n es un número entero negativo distinto de -1, ¿cuál de las s iguientes fracciones es la mayor?

.

¡

A)

-

-

n

-L

1 .-

;; : -

- - q -

1

e) -

n'

l

D) -

n-l

n

E)

-

A

6) Si a = .  .

b

2

verdaderats)?

l) a+ b c c

~ Sólo l

B) Sól~ II

'e)

Sólo III

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r,

II Y UI ,

-- , -- I~  {:

.2

J-

'3: 

J ~ <,

2.. ~_,_ .' :::: .

Z, •  ',

- 1 ' :7   \ '

\?

-; 1 '

. ,' 0 . - - ;

-r.~ -t t.,~

. .. :: '

'~ y e = ~ , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)

7 ~  .

¡ I r

, I

e

b

- <a'

e

i  .~;.. : ± ~ ~

I) b < e • a

2

III)

  -

i

j

7) En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen un noveno su

medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante

A) aumenta en un noveno.

B) disminuye en un noveno.

-C) aumenta en un décimo.

D)

aumenta en un quinto.

E)

aumenta en dos novenos

8) En un ó .

ARe,

un ángulo interior mide x  , el segundo mide lO  más que la 'mitad del anterior y el

último mide un quinto de lo que mide el primero. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor

ángulo interior?

  ¡

  '

A)

B)

C)

D)

E)

100°

20°

80°

40°

60°

9)

Un estanque'tiene ocupadas sus tres octavas part es con agua. Si agregándole 500 litros el agua ocupa

hasta la mitad del estanque, ¿cuál es ,su capacidad?

A) 8.000 litros

B) 4.000 litros

C) 3.600 litros

D) 2.000 litros

E) 1.000 litros

; : 1

l '

32

I

__

'~

PRIMER EJE TEMÁ

rrco I

Test N ° 2. NÚMÉROS RACIONALES 1

10) Un par tido de fútboi se desarrolla en dos -tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del

partido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?

2

A)

-

9

4

B)

-

9

5

e)

-

9

\

5

D)

1 8

13

E)

18

11)

Enun gr~po de madres, ~ de ellas no han tenido hijas, un sexto. t~vo melliz~s

y

las 26restantes tienen

, 5,:,;,'

só lo una hija. ¿Cuántas madr es hay en el grupo? ':', 

?

2 . . .

A)

260

B) 120

C) '60

 

30

E) No se puede determinar

' - = '.

i\:?

\ ¡~ ;

\

• . .

. R__  

\ 3

.

2

En un curso, un día faltaron a clases los 5

cuántos alumnos se componía el curso?

12)

de los alumnos. Si ese día asistieron 24 alumnos, ¿de

' 2 .

2.: ..\';:'.

_ ,V . . : ;

  _   _ ~  

~11

.~: ;... . . . • \ -

.....:.-

-

~) 36

B) 38

  r- :

C) 40

.. 1

D) 42

E) 44

\.

~~

,,1

;,.~

13) ¿QUé' precio tiene una mercadería si los~ de losl de ella val en $7.500?

. . ,3 4

A) $9.000

,B) $12.500

C) $15,000

D)

$17:500

E)

$24,000

Te~emos 6 botellas llenas y 4 a mitad de,capacidad, todas de lit, que contienen aceite. Para envasar

1 . 4

dicho aceite en botellas de - litro ocuparemos  

2 , '

14)

A)

B)

C)

D

E)

.'

5 botellas

6 botellas

10 botellas'

11 botellas

12 botellas

33

Page 17: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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I: i,

1 ) 1 1 :

;  

PSU. Cuad erno de Ej ercicios.  Matemática

15) Una persona compró dos séptimos de 3+ docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

A) 2 docenas

B) 1+ .

docenas

C) 1 docenas

D) 1

docena

E) 1. naranja

16) Si a cinco enteros un medio se l e suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene

A) 4 1 . ;

B) 4~

C) 4 1

D) 5~

  l

E) 51 .

Y

42 70 56

. i\ . . .

.  ( 17) Si a = -; b = -; c = -, entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es

, 147 245· 159 . ,   '

'A) a c c c b 117~\' ¡U~

-r>

?~' ~(1):Zll.c:>::.

B) b>

a'> e

'1

~ \ . . - \  

C) c o b c- a .. ,(~

D)

a+c=b

~'\C) ,

E)

a =,b -cc ,,: > ';9 · ,

18) L

. l ,3 5 7 7 d d d   ,

os raciona es -, -, -, - or ena os e mayor a menor son

4 6 8 9

¡I

¡ I I o

 1

1

1

i l1 :

A 3 5 7 7

) 4' 6'9'8

B 7 73 5

) 8' 9' 4' 6

.;.....: ..--¡

' ) -  ¡

I -

.

' -'\-

, . . . . .  

~

757 3

8' 6' 9',4'

-r

775 3

9'8' 6' 4

E) 7 . . . , 7 . . . ~ ~

9' 8' .4' 6

'J;..,

D)

3  

19) ¿Cuántos paquetes de

4'

kg de azúcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?

A)

B)

~

E)

90

120

160

210

280

.'

)

~

i(0

. . c - - -

'2

? : :

, _,'o.

34

, Q,

» :

PRIMER EJE TEMÁTICO/Tesl N° 2, NÚMEROS RACIONALES 1

20) En

un estanque de

estanque?

A) 8t

B) 9t

C ) 8+

D)

9 +

E) 8t

17t litros de capacidad, faltan

8 - il i

litros parallenarlo. ¿Cuántos litros tenía el

equivale a

.7 -1

, 1 '

 o

i' 

'\

\~I

1

2+-

, 3

21) -1

1 - ~

3

S

A)

4

4

B) S

3

C) -

4

49

D)

5

5

E) 49

5 - . .

, __ 3

1+ ~

3

- , \

.. : . ... : - ~ _ . . . .-

.

-

~-

' J

Il

3,

~).

~

, L

,]

.. . , . .

,

... c.

_. __ 1. c . . . . )

 -

1) (p + q)(p - q)

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C) S610 III

D) Sólo 1I

y

III

E)r',IIyIII

<.

o :.

- y~::

j¿ ;

\

 

\ L ¡

-:

:J

 .~

-: ) .

iC ; .. : .. _

z,

\ . . l .

22) ¿Cuánto, es la mitad del recíproco de 4?

1

A) '2

B) 2

1

C) 8

D) 8

El 1

. 2

23 )

Si p=-

Y

'3

entero?

1 '

q =-, entonces, de las siguientes expresiones, ¿cuá1 (es) equivaletn ) a un número

4

 

,

II) 6pq

.8p

III) 3q

/

1

35

U A l .. .

Page 18: Matemáticas UC

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1   ~

  ,

PSU  Cuaderno de Ejercicios Matemática

24) El valor de

3 2

_4__ 5_ es

7 8

10· 15

r

I

PRIMER EJE TEMÁTICO

I

Test

N

2, NÚMEROS RACIONALES I

27) -Si a, b

y

e son tres númerosracionales.positivos, ¿cuál es el menor?

1 '

4

9

A)

-

28

21

B)

-

10

6

C)

-

5

D)

2

1

E) -4

25) Un basquetbolista convierte In tiros y falla n. ¿Qué fracción de sus lanzamientos convierte?

m

Al

m+ n

m-vn

. B)

m+ n

x

-

C)

y

m

-

m-n

m

E)

-

n

1

26) ¿Cuánto vale

  2

kilo de durazno s?

(1) 3+ kg valen $\.950 .

(2) 2 durazno s valen $200

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

cr

Ambas juntas, (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

(l)a-b=

.1

(2) a - e = -2

  I

I

l

'1

1

36

¡

¡ .

A) (1) por sí sota

B) (2)

por sí sola

. C)

Ambas juntas,

(1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

28). La fracción 1 : es negativa. si:

q

(1 ) P +

q<

O

(2 )

p>

O

A) (1)por sí sola

B) (2)poi sí sola

C) Ambas juntas,

(1) y (2)

D)

Cada una por sí sola,

(1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

9

Si a+c .7·. .

2) 1 -- =-,¿cuál es el.valor de a?

c 3

(1) 3a = 4c

3

2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

  2)

e =

30) Seanx e y enteros no nulos. La fracción 2 ' . representa un número entero positivo, si:

y

(1) le e

y

tienen el mismo signo

(2) y> O

1\

X es múltiplo positivo de y

A) (1) por s í sola .

. B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (l) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

.E) Se requiere. información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

37

  ¿e§  

Page 19: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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1 , :

l'

1 ,

 

I

i

l ·

i

r

¡,

I  

L

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

TEST N° 3: Números racionales II

1) '2 . + ~ + ~ =

10 100 1.000

A ) 0,58 '

31

B) 1.000

e) 0,327

D)

0,427

E)

3,28

. 2n

2) Si n es un número natural, entonces la expresión 2n + 1 representa siempre

A) un número impar.

B) un número par.

e) una fracción impropia.

D). un número mixto.

E) una fracción irreducible.

3), ¿Guáles de las siguientes fracciones son equivaientes?

T I )

4

16

2'

8

IV)

I) O,2~

A) Sólo .I yII

B) Sólo II y III '

C). Sólo III y IV

D) Sólo II, III Y IV,

E) I, II, III Y IV

4)

-'(5 . ~

+ 1 ) ] - 3 ' :

2 =

III)

51

4

67

4

69

8

15

4

3

8

5) 0,000002 5 . 10 =

A)

B)

C)

E)

A)

500.000,2

B) 10,0.

e) 2,5

D)

1,0

E)

0,1

;38

8

32

r

PRIMER EJE TEMÁTICO' Test

N03,

NÚMEROS RACIONALES

[1

6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y ' 1t veces la edad de María. ¿Qué parte de

la edad de Pablo .es la edad de María?

3

A)

-

8

B) 2+

e) 3{ -

D)

6

E) 6t

1 1

7) 3 ' - 1 2

1

4

I

I

'4

A) -'9 ¡

E)

O

1

e)

-

4

D)

1

5

E)

-

3

8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los c inco sextos de la misma, se debe

pagar

A) $10.000

B)

$8.000

C)$12.000

D)

$7.250

E) $9.000

9)

0,875: 0,625 =

A) 1,6

B) 1,5

C) 1,4

D)

1,3

E)

,1,2

10) Si, P = 0,001; Q = 0,01 Y R = .0,1; entonces el valor de P

+

QR es

A) 0,00101

B) 0,0101

C) 0,0022

D) ,0,002

E) 0,0012

39

Page 20: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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1 , :

t ' :

i

j t

1 I

1:

1:

~

,

I ¡

1 1

r

,

~

PSU. Cuaderno de · jercicios  Matemática

11) 0 , 4 2

=

14

A) -

33

21

B) -

 

33

C), 14

19

 5

 

S

E)

1 9

12)'1- 2

5,- _4_

3 - . 

3

8

3

3

B ) -

2

7

C) '2

4

D)-;¡

A)

3

E)

' 7

13) ¿Cuántas veces 0;01 es igua la 1,01?

A)

100

B)

101

C) 110

D)

1,01

E) 0,101

i4) 1 :

 0,125t

l

A) un octavo

B) un cuarto

'C) un medio

D) cuatro

E) ocho

40 '

r

I

I

I

I

PRIMER EJE TEMÁTICO I TeSI N 3, NÚMEROS RACIONALES II

15) En una liquidación de temporada, los ~ de los ~ del preciode una camisa son $1.500, Entonces, el

, de Ia cami 3 14 '

recio e a camisa, en pesos, es

A) 3,500

4,500

B) -:;

13.750 '

C-7-

D)

5,000

E) Otro valor

16) ¿Cuá1(es) de los siguientes números .es(son) racional(es)?

1)

-2,73

TI )

0,123

A) S610 Ly IV

B) Sólo I yII

C) S610 II y III

D) Sólo I, II Y III

E) I, II, III YIV

III) 4,0156

IV) 5,01001000100001..,

1 '

I

 

I

2

17) Un cordel se corta en cuatro pártes: la primera es

15

del total, la segunda es

tercera es

2 .

del total. Si sobraron 80 cm, entonces todo el cordel medía

5

A) 360,cm

B)' 3,2m

C) 0,0018 km

D)

2,700 rn m

E)

0,0018

m

'2

'9

del total, la

18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que

Al

8

-

10

6

Bl

-

10

1

C) 20,

D)

1

-

5

E)

5

11) Si n . 10-

3

= 10-4, entonces el valor de n es

A) 0,0000001

B)'

0,000001

C) , 0,00001

D)

0,001

E) 0,1

41  

Page 21: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

20) Un bidón contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de él 2,5 litros,

o 5 _

quedan - de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle

. 12 ,

A) 10 litros

5 _

B)

6 ' litros

C)

2+ l it ros

D)

4t litros

E)

5i litros

1

1 ,

21) Se derrumba una pared de ladril los quedando sól o de una al tura de 36 cm. Se nos dice que l a part e

derrumbada es ~ de sualtura original. ¿Cuántos centímetros de ladrillo habrá que levantar para dar le

8 .

a la pared su

altura

original?

r

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N 3, NÚMEROS RACIONALES 11

24)

Si ~ = 2 ., entonces ¿cuá l de las expresiones s igu ientes es igual a cero?

b 2 .'

A) 2a - b

B) -2a - b

C) 2a+ b

D)

a -

2b

E) a

+

2b

25)

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

falsafs)?

A) 12

B) 24

C)

36

D) 48

E) 60

22) 0,555 ... + 0,777 ...

=

A) 0,12

B) 1,2

C) 1}

D) 1,32

E) lt

23) Una deuda de $a se cancela con $b a lcontado y e l saldo en 12cuotas iguales . ¿Cuál de las s iguientes

alternativas representa el valor de cada cuota?

A) a - ~

12

B) ~-b

o 12

C) a _ ab

12

D) a ~ b

12

E)

~ab

12

42

1)

(-0,9)2 < 0,1

A) Sólo 1

B)

Sólo' II

C) Sólo III

D) ~ólo II

y

III

E) 1, II Y III

II) 0,01 > 10-

2

III) 0,009' 0,1 .;. 1,1 • 10-

2

26) En un curso mixto de 40 alumnos, ¿cuántas niñas hay?

(1) Hay 8 niñas más que niños .

(2)

Los n iños son los 3 . de las niñas.

3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,

(1)

y

(2)

D) Cadauua por s í sola.Tl)ó (2)

E) Se requiere información adicional

27) ¿Qué fracción dei triángulo equilátero ABC está sombreada en la f igura adjunta?

- (1) AE = BE

(2). DE

J. .

AB

A) (1) por sí sola

B )(2) por sí sola

C) Ambas j untas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiei:e información adicional

~B

D

28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que:

)

1 _ 2 .

(1 3 x - ~

1

(2) x·

- 1, siendo x O

x

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas j unt as, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

43

Page 22: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

29) ¿Cuántas personas t raba jan en una fábrica?

30)

4'

(1) Los - son varones,

, 7

(2) Hay 210 mujeres,

Al (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

El Se requiere información adicional

La fr acción ~ no sepuede simp li fica r s i:

b

(1) a yb son primos entre sí.

(2) el máximo común divisor entre a y b es uno,

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

PRIMER EJE TEMÁTICO I Tes t W 4, NÚMEROS REALES

CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)

Test N° 4: Números reales

1} El número

(..f i :

J3)' es

A) un número entero

B) un decimal fini to

C) una fr acción impropia

D) un decimal periódico

E) un decimal inf ini to noperiódico

,2 )' Un número raciona l comprendido ent re .J 3 y

1 5

es

A)

.J 3 +

1 5

, 2

B)

. J 3 -

1 5

2

C) .J4 ,

D) 1,7

E) 2,3

3) Sea Q el conjunto de l os números racional es, I el conjunto de los números i rracional es y IR el

, conjunto de lo s números reales, ¿Cuá l(es) de las a fi rmaciones s iguien tes es(son ) verdadera (s) ?

l) Q

Í\

I=IR

H)

QuI=IR

I1I)

lRnI=

A) Sólo I.

I

B) Sólo H,

C) Sólo

III.

D) Sólo 1 y H,

E) Sólo

II y III.

RESPUESTAS CORRECTAS

4) En la espi ral de raíces cuadradas que se muest ra en l a figura adjunta, con los datos indi cados en

e lla, ¿cuál (es) de los s iguien tes segmentos t iene(n ) como medida

u n

número irracional?

l) AB

II)

AC

III) AD

A) Sólo 1 y n.

B) Sólo II y III.

C) Sólo l y III,

D) l, II Y HI.

E) Ninguna de l as tres.

y

2

D

44

2 X,

45

Page 23: Matemáticas UC

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P SU. C ua der no d e E jercicios

Matemática

5) El número

Jl2

puede interpretarse como:

1) La altur~ de un triángulo equilátero de lado 4

II) Una solución de la ecuación x' =a 12

Ill)

Un número i rrac iona l comprendido entre 2 y

3

A) Sólo I

B) Sólo II

e) Sólo m

D) Sólo

1

y

II '

E) Sólo IIy. III

6). Sea  p  un número primo. De las siguientes expresiones:

1) p . J2

II) 3N

III)

JP . JP

¿CiIál(es) corresponde(n) a

número fs)

irracional(es)?

A) Sólo 1

B)

Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo

r. Y

II

E)· Sólo I y III

I

i l

li

¡ ¡

  ¡

7)

Dado que

x

A)

x'

B)

x'

+

e) x' - x

D)x' ~

1

E) x' - 2x

- . j: : ¡ + 1., entonces ¿cuál de los siguientes números no es irracional?

8) Si «a» es un número irracional, entonce s ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) ~

verdaderats)? .

1 ) (-a)' es positivo

II) (¡es racional

III) -a es irracional

1 : .

A) Sólo I

B)

Sólo II

e) Sólo I yII

D) S'ólo I y III

E) 1, II Y III

.

.

9) ¿euál(es) de los siguientes números es(son) irracioIÍa1(es)?

. II)

.. fi

+

7 .. fi

.J6

1) .J2 .-.Jl8

III) --

. . . J 2 1 6

A) Sólo 1

B) Sólo' II

e) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II

y

III

46

r

PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N  4, NÚMEROS REALES

10) Sean a =-2 y b = - . .r : ; . , ¿cuál de los números siguientes pertenece a lR-?

A)

ab

B)

-(a)(-b)

el b~a

r» (-bl -

(-a)

- a

El -b

11 l ¿Cuál es el inverso aditivo de -n ; In . x ?

Al - 1

B l O

el 1

D)

-mnx

El . mnx

12l Un número irracional comprendido entré

O

y 1 es

Al

. J 2

2

B l ~ . J 2 ~ J 3

1

el

  7

Dl

0,5

El 0,999

13 l El hecho que, para todo par de números reales my n se cumpla que m

+

n

=

n + m se llama

A) propiedad aditi va.

. B) propiedad conmutativa de la adición en IR.'

el clausura para la adición en IR.

D)

ley de cancelación para la adición en IR.

El propiedad asocia tiva de la adición en IR.

14) Dados los númer~~ reales a

= / J 3

-1/,

b =¡

~

= ¡ 3 ( . J 2 - - J 3 ) ¡ .

El orden creciente entre

ellos es

A)

a

< b <

e

B)

a

<

e

<

b

C)

b<c<a

D) c

cb c a

E) c.c a

<

b

15) Si P Y

Q

son dos números reales ubicados en la recta numérica de la figura adjunta, entonces el

producto PQ es otro número real ubicado

A)

a la izquierda del

O.

1

1

1

1

• • •

) . entre Oy P..

O

p

Q

) entre

P

y Q.

r» entre Q y 1.

El

a la derecha del .1.

47

Page 24: Matemáticas UC

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¡

, r

I

1 :

I

,

, 1

i'

: 1

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

6) El

:

'd

l éri l l l i ó

(x-2)(x-4) ,

d

'f'

1 conjunto e va ores num ncos rea es para os cuales a expresi n

2   Q

esta e

1-

, ',x -36

nida' es: '

A) (6)

B) (2,4)

C) (-6)

D) (-6. 2. 4, 6 )

E) (-6,6 i

,

17) Si el radio de una circunferencia se mide por un número racional. el lado deJ cuadrado inscrito está

dado po r un número:

A) racional.

B) irracional.

C) entero,

D) cuadrado perfecto.

E) ninguno de éstos.

18) El primer conjunto del cual es elemento la expresión - (2 -. J5 ) es

A), IN

B) Z

C)

Q

D) IR

E) Otro

19)

Si x

=5 .

10'. entonces x'

=

A)

la· 10

6

B) 10

ó

 O 

C) 25·  O'

D) 25' la'

E) 25 '10

6

20)

¿Cuál de los siguientes números no es racional?

A) .. f 9 O O

B) ')0.04

, 2

C) (~)

D)

.J3

.fíi

E)

)0,999 ...

l' ,

r

i

l

J

21) ¿Cliál(es) de las' siguientes expresiones es(son) equivalentets) a la quinta parte de 0,05?

1) (0,05)' II) 10-

1

I1I)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II

y

III

48

r

PRIMER EJETEMÁ TIeO I Tesl N 4. NÚMEROS REALES

22) Dado que la altura de un triángulo equilátero está medida por un número racional, ¿cuál(es) de 'las

siguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) también por un número racional?

1) El perímetro del triángulo

II) El diámetro de la circunferencia circunscrita' al triángulo.

IJI) El área del triángulo.

A) Sólo I

B) Sólo II

C)

Sólo

III

D) Sólo 1

II

E) Sólo I y III

23)

¿Cuál de las expresiones siguientes es equivalente a 5,033f

A) 50

2

+

33

B) 5· 10 +30 + 3

C) 5· lO + 33 . la'

D) 5'10'+3'10+3

E) ,50 . la' + 33 . 10

24) Si a =

J u J  

¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse «a» para dar como resultado

un número racional?

1 )

Fa

A) Sólo por 1

B) Sólo por

Il

O)

Sólo por III

D) Sólo por

I

ó

II

El Por I,Il ó III

II) -J W

I1I)

10

25) 0,000000672

=

A) 672· 10-

B) 67,2 10-

6

C) 6,72 10-<>

D) '67,2 10-

7

,E) 6,72 10-

7

26) ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes 'da(n) como resultado un número irracional?

.fi+J2

)

  f i+

z-Ii

II),ifi ifi

III)

f i   f i   f i

A) Sólo 1

B) Sólo II

0,01

I

C), Sólo

III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo II y III

49

;fiEb . . _

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. PSU.

Cuaderno

de Ejercicios, Matemática 

S

· b ' I 1 '

. r a

'1 .

27) 1 a, y e son numeros rea es, entonces a

ex presión -

representa un numero rea SI:

, b·c

(1) a es no negativo.

(2) b Y e son distintos' de cero.

A) (1) por sí sola

B) . (2) por

s í

sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una poi sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

28) Para determinar si el número x es un número irracional' se sabe que:

(1)' x tiene un' desarrollo decimal infinito.

(2) x es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado'.

A) . (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

. Cl' Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (I) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) Para determinar el valor del producto de l os números reales a

y

b se sabe:

(1) el inverso aditivo de a' es a y 2b = 1.

(2) b es un número racional posiiivo

y

a no tiene inverso multiplicativo.

A) (1) por si sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D  Cada una por sí sola; (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

39) ¿Está el número x = a : . 10  escrito en notación científica?

(1) 1:S;a

<

10

(2) ne Z

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D)' Cada una por sí sola, (1) -ó (2)

E) Se requiere información adicional

r

I

,

1 •

50

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test W 5, RAZONES Y PROPORCIONES

CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES

Test N° '5: Razones y proporciones

1) Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del padre?

A) 3:.4

B) 3: S 

C) 3: 6

D) 3: 7.

E) 3: 8

2) Las masas de dos personas están en la razón de 2 :'3. Si unade ellas tiene 23 kilogramos más de masa.

que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?

A) 36 kg

B) 46 kg.

C) S6 kg

D) 64 kg

E)

69

kg

3) Dos ángulos suplementarios están en la razón 3 : S. ¿Cuál es la diferencia p~sitiva'entre sus medidas?

A) 22,S·

B) 30·

C), 4S·

D) 67,So

E) 90·

4) Un kilógramo de queso  La Vaquita: salada  cuesta $7.200. ¿Cuánto se debe pagar por 125 gramos de'

estequeso? .

A) $450

B) $720

C) $800

D) $900.

E) $1.800

,5) En un mapa  a  centímetros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden b  centí-

metros del mapa?

A) ~

3.000

B) 3.000

ab

C) _a'

3.000b

D) 3.000a

b

E) 3.000b

a

-~

  1

  o _ _

A .~ _

'

•....

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PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

6)' En un liceo mixto de 1.540 alumnos, 880 son varones. ¿Cuál es la razón entre el número de

damas y el de varones?·

A) 1 : 2

B) 1: 3

C) 2: 3

D) 3: 4

E) 3: 5

7) Dos números enteros están en la razón

2 : 7.

Si la suma de ellos es

-36,

¿cuáles son los números?

A) -7 Y 29

. B) 7 Y -29

C) -8y -28

D) 8 Y -28

El -lO.y -26

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test N  5, RAZONES Y PROPORCIONES

11) Si 5m = p ; 5q = 2r

A) 0,25

B) 0,5

C)1

D) 2

E) 4

y

p

=

r, entonces m: q

=

8) Sean a, b y e números enteros tales que e es la quinta parte de a y a  ese  doble de b , La

relación correcta entre b y e es:

A) Sb = 2c

B) 2b

=

lSe

e b

e   2 : 15

D) b

5 = e : 2

E) b

e = 1 : 10

9) Si ~

m

2' m

~6 Y

3 .

= ~ ,entonces de las igualdades siguientes es'(s;n) verdadera(s):

p

4 . .

III) p   2q

12) La media proporcional geométri ca entre 18 y 72 es

A)

18

B)

27

C) 36

D) 45

E) 5:1

13) Si se tiene la proporción ~

b

2,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes proporciones se deduce(n)

3 ' .

1) n=p

II) n   q

A) Sólo l.

B) Sólo n.

C) Sólo 1Il.

D) Sólo 1 y III.

E) 1, II Y Ill.

10) Si x :

y =

1 : 4, ¿cuál es el valor de (x

+

y) cuando y = 1?

.5

A)

'4

5

B) 2 :

3

C -

4

D . .

2

E) 5

como correcta(s)?

... a

5

b

a 2a 10

a-b

1

1) -. -

=--

II)

-=-

III)

- =-

IV)

-=-

b-a 2

3 5 3b 9

a:+ b 4.

A) Sólo III

Bl

Sóio 1I

y

III

C) S610 1

y

IV

D) Sólo 1, II Y IV

E) Todas

14) En un estante, los tarros de salsa de tomate con champiñones y los de salsa de tomate con pollo

están en la razón de 9 : 10. Si' se retiran del estante 38 tarros de salsa con pol lo, la razón se

, invierte. En tal caso, los tarros de salsa de tomate con pollo qu.e había antes del ret iro, en el

estante, eran

A) 20

B) 100

e) '162

D) 180

E) 200 .

15) Miguel y Oscar tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a: b. Si Oscar tiene

15 estampillas más de las que tiene Miguel,

y

éste tiene a estampillas, entonces

1(1

cantidad de

estampillas que tiene Oscar es

A)a

+

15

B) b- 15

15a

e) -

a-b

15a

D) b-a

53

lSb

E  a-b

52

\ I  

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PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática 

16) Alberto, Bernardo

y

Carlos forman' una sociedad. El capita] aportado por Carlos está con el

capital aportado por Alberto

y

Bernardo en la razón 1 :

1

y

además se sabe que Alberto aportó

$1.400.000

y

Bernardo' $1.600.000. Entonces el capitaltotal de esta sociedad es de '

A) $1.500.000

B) $3.000.000

C)

$6.000.000

D $8.000.000

E)

$9.000.000

I ¡

ti

1 1

I ·J

q

  l

  i l

1

1 :

~

17) La suma de dos números es 108

Y.

ellos se encuentran en la razón de 1

5.

¿Cuáles son ios

números? .

A

8

Y

100

B  18·· y. 90

C)

21,6

Y

76,4

48

 

60

El

28

Y

80

18) ¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse s.s. para' obtener dos números que

. estén en la razón 3 :.4?

A) '1

B) 2

C 3

D) 4

E 5

19) Si 3p - 2'= q

 y

p:. q= 1 : -2, entonces ¿cuál es el valor de p?

2

A)   3

B) ~

2

C) 2

D) 4

E  6

1

20) Al restarse.16 del quíntuplo de un número, se obtiene otro que está con el original en la razón-3: 1 .

¿Cuál es el número 'original?

A)

19

B) 8

C 5

D)2

E) ~8

21) En un mapa, la distancia, entre dos ciudades es de' 36 cm

y

Ia distancia real es de 288 .km. ¿A qué

- escala fue diseñado el mapa? .

A). 1 : 800

B) 1 8.000

C) 1: 80.000

D) 1 800.000

E) 1: 8.000.000

 s4

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test N' 5, RAZONES Y PROPORClONES

22) En un mapa 2,5 cm representan 30 km. ¿Qué área representa un cuadrado de 10 cm de lado?

A) 144 km'

B)

1.440 km'

C) 14:400 km'

D) 1.480 km'

E) 1.448 km'

23) Un árbol de 3 m de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene la razón altura/sombra, la

sombra de un árbol de 4

ID

'Será

A) 20 cm

B)

64 cm

C l

80 cm

D)

106,6 cm

E) . 160 cm

24) El perímetro de un rectángulo es 120 cm. Si los Iados están en la razón 1 : 2, ¿cuál es su área?

A) 80 cm'

B)

800 cm'

C)

3.200

cm?

Dj 320 cm'

E) 1.600 cm'

25) Las edades de Paula y Francisca están en la razón 7 9. Si Francisca tiene 18 años, entonces en

dos años más, la razón .entre sus edades será

A) 7: 9

B) . 9 : 11

C) 1: 2

,D  7: 10

. E) 4.: 5

26) En una canasta conteniendo 80 huevos entre 'blancos

y

de color, los huevos blancos

y

los huevos

.de color están en la razón de 2 : 3. El número de huevos blancos que falta para igualar el número

total de h~vos blancos

y

de color es:

A) 12

B)

16

C) 32 

D)

40

.E) 48.

55·

__ __ Sf: 

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PSU. Cuaderno de Ejercicios,

Matemática

27) Si 2a

=

3b Y 5b

=

7c, entonces ,¿cuál es el valor de e?'

(1)

I

a = -

5

r

I

PRIMER EJE TEMÁ nco

 

Test N 6, PROPORCIONALIDAD

CAPÍTULO S. PROPORCIONALIDAD

Test N° 6: Proporcionalidad

10

21

. . . .

1) La docena de manzanas cuesta $1;200. ¿Cuánto hay que pagar por 54 manzanas?

A) $3,240

B)

$3,600

C) $4,800

D)

$5.400

E) $6.000

2) ¿En' cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las variables x e  y son directamente' pro-

porcionales? ' . ,

A) xy

=

k

B) 2x - 3y = O

C) x - y = x

+

y

D) x+.y': -I ,

E) Sx -

6y

= I

3)

Si para hacer una torta,se necesitan

9

huevos de 120 g, ¿cuántos huevos de 80

g

se necesitarían?

A) 6 .'

B) 13t •

12

D) 15

E) 15t

4) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e

y,

-donde x es directamente proporcional con

y.

¿Cuáles son los valores de P y Q? • '

(2) .:

a

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

e)

Ambas juntas, (1)

y

(2)

¡ ;: i)

Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

28) La razón entre el número de hombres y mujeres en un curso es 5 : 2, ¿cuántos varones hay?

(1)

El curso tiene 42 alumnos,

,(2) Las niñas del curso son 12.

A)

 1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C)

Ambas juntas,

(1)

y

(2)

D) ,

Cada una por sí sola,

(1) Ó (2)

E) Se requiere info'rmación adicional,

29) Las aristas de la caja de la figura miden a, b

y

e

CID,

¿Cuál es el área de la cara sombreada?

(1)

a:

b :

é  

5 ; 7 : 3,

(2) 'El volumen de la caja es 840 cm',

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola,(l) ó (2)

E) Se requiere información adicional

( , l e

b

l

A) P = 40 Y Q =

13

B) P=18 Y Q=17

C) P,=20 Y Q= 18

D) P

= 40

Y

Q = 18

, 16

E) P = 18 Y Q '= -

9.

~

~

30) Con respecto a sus ángulos interiores, ¿qué clase de triángulo es el D . ABC?

(1) Sus ángulos interiores están en la razón 3 : 7 : 8

(2)' El mayor de los ángulos interiores mide 80°

y

el menor de los ángulos exteriores, mide 100°

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una .por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información ,adiciorial

 

R máquinas demoran N horas en hacer un trabajo. Entonces 3 de las mismasmáquinas demoran

NR

A) ~

3N

B)

R

3R

e) N

N

D  3R

R

E  3N

57

6

 

r

Page 29: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU . Cuaderno ¡ feE je rc ic io s, Matemática

6) a es i nversamente proporcional al cuadrado de b. Si a   5 cuando b = 2,

b

= l? .

A) .5

B) 10

C) 15

D)20

E) 25

  cuánto vale a cuando

7 ) ~ i s l ,

~ f ~ [ L

~ ¡ ' b l ; l ~ i : '

W i ~ 7 : k

X X .: X· X

A) Sólo 1

B) Sólo III

C) Sólo IV

D) Sólo I y IV

.~

E) Sólo I, II Y IV

8) En la tabla siguien te se muest ran los valor es de x e y, donde x es inversamente propo rc iona l con y.

¿Cuáles son los valores de A y B?

A) A = 27

8

Y

B.= -

9

B) A = 18

Y

.B= 3

C) A= 3

y

B=

18

12 9

D) A= - Y

B=-

. 3

. 2

E) A = 27

Y

B= 18

x

9 A

2

Y

4

12

B

9) Un auto recorre. una distancia d con una r apidez cons tante Y, y demora un t iempo t. ¿Cuál es la

rapidez a l a q ue deberá ir si quiere demorar la mit ad del tiempo en recorrer la misma distancia?

A)

 

B)

v

2

v

C -

4

D) 2v

E) 4v

58

f '

PRIMER EJE TEMÁTICO  Test W 6, PROPORCIONALIDAD

Un bus recorre normalmente una distancia de k kilómetros en h' horas. ¿Cuál sería su rapi dez

medi a en krn/h, si ·e stuvier a autor izado y l legara a' su destino con una hora de retraso?

A) * - 1

k - 1

Bl

 -h

k - 1

C) h _ 1

k

D) h

+

1

k

E) h-=1

. c . .

11) El consumo de electricidady de una estufa eléct rica es directamente proporcional al' t iempo x

durante el cual se encuentra encendi da. Si k es una constante distinta de cero, entonces ¿cu 'ál de

las siguientes expresiones matemáticas podría corresponder al enunciado?

A)

y

¡= k, x

k

B) Y=-

x

C)

y

=

k, x'

D)

y

=

k

X

E) y =x : k

12) ¿En cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las var iables x e y son inversamente proporciona-

les?

A) xy = 1

B) 3x

+

2y= 6

C)

x -

y = O

D) x

-l- y =

10

E)' 5x - 2y=0

13) La fuerza centrí peta (f,) que actúa sobre un cuerpo en rot ación es direct ament e proporcional a la

masa (m) del cuerpo, al cuadrado de la vel ocidad (v), e inversamente proporcional al radio (r) de

la c ir cunf erenc ia que desc ribe . ESÚI ley se expr esa matemát icamente pq, r medio de la fórmula: '

A)

f,

=

kmv

r

B)

f, = kmv

2

r

C

f, =

km

2

v

r

D) f, = kmv

r

2

E)

f = kmv

e

-;:z

59

: ; ..  

Page 30: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cua derno de Ejercicios Matemática

14) Una familia compuesta de 4 personas consume $360.000 en 30 días. A ese mismo ritmo de

consumo, ~para cuántos días le alcanzarán $4S0.000 a una familia de 6 personas?

A) 15

B)

26%-

C) 33¡

D) 60

E) 65

15) 8 trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajado-

.res más se necesitarán?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E)

10'

)(5)

3 niños comen 6 pasteles en 2 minutos. Para comer 4 pasteles, ¿cuántos minutos demorará un.

. niño?

17)

A) 1

B) 2

C) 3·

D) 4

E) 6

Se sabe que A es inversamente proporcional al cuadrado de B. Si A

=

100 cuando B

=

5, entonces,

¿cuánto vale A. Cuando B = lO?

A) 50

B) 25

C) 20

D) 15

E)

10

PRIMER EJE TEMÁ

rico 

Test N 6, PROPORCIONALIDAD

. 21) Una máquina puede imprimir 45.000 tarjetas en 12 horas. ¿Cuántas horas necesitaría si el pedido

3 .'

aumenta en sus -?

10

A) 15 h

B)

15

h 6

min

C) 15 h30 min

D) 15 h 36 min

E) 15 h 45 min

22) Se emplean 12 máquinas pata realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de 3 máquinas menos,

¿cuántos días más se emplearán en hacer igual trabajo?

A)

B)

E)

111 .:

4

5

15

is

20

18)

Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿cuántas nueces come una ardilla en un día?

A) 0,01

B) 0,5

C)

0,1

D) 1

E)

10

23) En ciertas recetas de cocina, 1

t

copas de vino pueden sustituirse por una copa de cognac, ¿cuántas

copas de vino se deben usar en una receta que requiere 1t copas de ccgnac?

A) 1

B) 2

C 2¡

D  lt

E)

1.1

4

24) En un circuito eléctrico, la c orriente

y

la resistenc ia son inversamente. proporcionales (si el voltaje es

constante). Si un circuito tiene una resistencia de '200 ohmsy una corriente de 1 1 amperes, encuentre

la corriente, expresada en amperes, cuando la resistencia es 500 ohms.

A)

3

 

5

B)

7.1

,

C)

 

3

4

-

15

E)

3

1

4

25) Si tres ';ecreta~ias pueden tipear seis manuscritos en doce días, ¿cuántos días tomaría a dos secretarias

tipear tres de tales manuscritos?

A) 4

B) 9

e) 1 1 2

D) 16

E) 36

61

I 1

 

Para embaldosar el piso de una cocina se ocupan 48 baldosas cuadradas

¿Cuántas baldosas' de 40 cm de lado se' ocuparían en un piso equivalente?

A) '21

B) 36

C 54

D) 64

E) 66.

Diez libros valen $75.000, luego doce de los mismos libros costarán

A) $6.250

B) $85.000

. C) $62.500

D) $80.000

E) $90.000

19)

de 30 cm de lado.

20)

60

, ,

Page 31: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática

26) Si 10 caballos consumen 50 fardos de pasto en 3 días. entonces ~l número de fardos de pasto que

consumen 15 caballos durante 1 semana. bajo el mismo. patrón de consumo es

50 . 15 . 10

A) ---

7 . 3

50 . 7 -, 15

B)~

I

j

50 . '10 . 3

C)

]T:7

I

50 . 15 . 3

D) 10 . 7

50 . 10 . 7

E) ~

27) ¿Cuáles de las parejas de variables siguientes son directamente proporcionales?

A) El área de un cuadrado y su

lado.

B) Li.

longitud' de una circunferencia

y

su radio.

C), El volumen deun cubo

y

su arista.

r» La estatura de una persona y su edad ..

E) E, Mea de un círculo y su radio., .

28) ¿Cuántos días necesitarán ,5 hombres. trabajando 6 horas diarias para hacer' 60 metros de la

misma obra? '

(1) 3 hombres trabajando 8 horas diarias han realizan 80 metros de la obra en 10 días.

(2) Más hombres demoran menos días en hacer el mismo trabajo.

A)

(1)

por sí sola

B)

(2) por sí sola'

C) , Ambas juntas. (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola. (1)

6

(2)

E) Se requiere información adicional

Podemos determinar si A y B son directam~nte proporcionales si:

(1)

Cuando A aumenta.

B

aumenta.

(2) Cuando

B

disminuye. A disminuye.'

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas.

(1)

y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

X e Y son inversa mente proporcionales si:

(1) X . Y = K 11 K es una constante.

(2) El gráfico de la relación entre Xe y esuna h ipérbola equilátera

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por· sí sola

C) Ambas juntas. (l} y (2)

D) Cada una por sí sola. (I ),ó (2)

E)

Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

29)

1

I

¡ I

30)

I

  .

H  

' 1

~

6

r

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

TestN 7, PORCENTAJES I

CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTER~S

Test

N 7:

Porcentajes

1

1  El

18% de 150 es

A) 2,7

B) 27

C  75

D) 108

E) 270

2) ¿Qué tanto por ciento es 52,5 de, 350?

A)

1.5%

B)6.6%

C)

15%

D) 66.6%

E)

183.570/0

3)

Una persona tiene $500 y gasta el 25%. ¿Con cuánto se queda?

A) $125

B) $375

C) ,

$475

D) $625

E) $275

4) El 25 % de p sumado a

p

se expresa

A) 5p

4

125

B)

100 +

P

C)

p

+ 25

100

D) P + 25p

100

E) l25p

5) En una familia de 8 personas. el 25% de ellas están resfriadas. Las personas no resfriadas son

, ,

A  2

B) 4

C  5

D) 6

E) 8

6) El 40% de un número es 260. El 70% del mismo número es

A) 104

B)

182

C) 260

D )

455

E)

650

63

Page 32: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática

7) Un niño aumenta su masa de 15 kg a 18 kg. El porcentaje en que aumentó su masa es de un

Al 30%

1

B) 6%

. .

I

D) 20%

I

13)

E) 25%·

8) Un supermercado ofrece un

producto

rebajado en un 20% a $280. El precio original era

A)

.$70

B) $268,8

C $280

D) $336

E) $350

9) Un ;Utféulo fue comprado en $800

y

vendido en $1. 000. La ganancia es de un

A)

20%

B) 25%

C).40%

D) 80%

E) 125%

10) Un artículo cuesta $p, y se vende obteniéndose e115% de ganancia. El precio de venta es

PRIMER EJE TEMÁTICO ITest N 7. PORCENTAJES 1

12) Una secretaria que escribía 60 palabras por minuto aumenta a 72 palabras por minuto. ¿Cuál es

el porcentaje de aumento?

A)

7,2%

B) 12%

C) 18,5%

D) 20%

E) 60%

Si María tuviera un 15% menos de Ía edad que tiene, tendría 34 años.   Cuál essu edad actual?

A)

28 años

B)30 años'

C) 36 años

D) 40años

E) 49 años

14) Tenía 30 lápices. Di a mi hermano el 30%, a mi primo el 20% ya un amigo el 10%. ¿Con

cu ántos

lápices me quedé? .

A) 10

B) 12

C) 16

D) 18

E)

20

15) En un curso, 30 alumnos rindieron el examen' de matemática. De ellos, 8 obtuvieron la nota. máxima, 12

obtuvieron un 5, además 7 obtuvieron un 4, y el resto fue reprobado. ¿Cuál es el porcentaje de-reprobados?

A)

0,9%

B) 3%

C) 10%

D) 12%

E) 30%

16) De una caja de 80 lápices, 30 son negros

y

los restantes son verdes. Entonces, el porcentaje de lápices

verdeS es .

A)

30%

B  37,5%

.C) 50%

D) 62,5%

E) 80%

17) El 40% de 80

=

30% de 60

+

Z, entonces

z =

A  6

B) 8

C)

14

D)

30

E  42

18) En una promoción de 550 estudiantes, el 42% desea continuar estudios universitarios. ¿Cuántos

alumnos quieren estudiar en la universidad?

A) 13

B) 23

C  77

D)' 210

E) 231

65

A) p. +

.. E .

15

B)

p

+

150p

P + 150

C) ---¡o¡¡ -

D)

p

+ 1~0

15p

p   100

 

11) De una deuda de $ p se cancela el 30% y el saldo se divide en 6 cuotas iguales. El valor de cada cuota

es

30p . 6

A )

.100'

·p-30. 6

B) 100'

70p . 6

C)

100'

300p _ P

D) 600 .

p-30'

2

E)

100'

~;

Page 33: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno  de Ejercicios. Matemática

19) En un curso de 20 niños y 28 niñas. ¿qué', porcentaje son niñas?

A) 41.7

E ) 48

C) 58t

D

70

E) 71

20)

Un, hombre ahorra $24.000 que equivalen a un 371 % de' su salario semanal. ¿Cuáles su salario

. semanal?

A) $40.000

B) $46.000

C) $64.000

D)' $88.000

E) $90.000 ,

21) Fresia deposita'$700.000 en un banco. el cual paga un 3% de interés anual. ¿Cuánto dinero ,tendrá

ahorrado al f ina l del año? ' ,

A) $21.000

~) $679.000

C) $702.100

D) $721-.000

E)' $910.000

22) ,¿Cuánto dinero deberá invertir un hombre a u na tasa de 5% anual, para tener $1.470.000a fin de año?

A) $70.000

B)$700,OOO

C) $1.400.000

D) $1.462.650

E) $1.540.000

23) Don Pepe recibe un sueldo mensual de $600.000 más un 5% de todas sus ventas si ellas exceden a

$1.000.000 y un bono 'especial de $50.000 si sus ventas exceden $2.000.000. ¿Cuánto fueron

'sus ingresos un mes en que vendió $2.100.000?,

A) $605.000

B) $650.000

e ) $655.000

D) $750.000

E) $755.000

24) Si el perímetro de un cuadrado se duplica, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

A) 100%

B) 200%

C) 300%

D) 400%

E) 500%

25) De' un curso de danza de 70 alumnas, un día asistieron sólo 49 alumnas. Ese día. el porcentaje de

ínasístencía fue de '

A) 21%

B) 30%

C) 35%

D) 49%

E) 70%

 i .

I

66

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test W 7, PORCENTAJES 1

26) Una cantidad  A  aumenta a  B .El porcentaje de aumento fue

A) 100B

A

100A

B) B

100(B-A)

C  A

D) 100B

B-A

AB

E) 100

27) El 15% de un número es x. Por lo tanto, el 90% del mismo número es

A) 3x

B) 6x

C) 9x

D) 12x

E) 15x

28) Si a es el 150% de

b yb

es el 140% de c. entonces ¿cuál es el valor de e?

(1) a es igual al 20% de 1.

'(2)

a

es.el

210% de

c:

A)

 1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C)

Ambas juntas.

 1) y

(2)'

D)

Cada una 'por sí sola. (1) Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

29) ¿Cuál es el 32% de un número?

(1) Su 60% es el triple de su quinta parte,

(2) Su 45% excede

a

su 28%en 34.

A)

 1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

3 O)

Dadas las cantid~des a. b

y

c; podemos, afirmar que a es el 25% de b si:

(1) e = 4a.

(2) e =b.

A)

 l

por sí sola

B) (2) por sí Sola

C)

Ambas juntas. (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E) Se.requiere información adiCional,

RESPUESTAS CORRECTAS

67

Page 34: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno d e Ejercicios, Matemática

 

Test N° 8: Porcentajes II

n Si el 32% de 50 es m y el 40% 'de 5 es n, ¿qué tanto por ciento es n de m?

A) 87,5%

B)

80%

e  800%

D) 12,5%

E) 700%'·

2) En una liquidación todos los productos están rebajados en un 20%. Si una persona paga $28.400 por su

compra, ¿cuárlto dineroahorró en la liquidación?

Á) $5.680

B) .$7.100

e)

$6.816

D) $6.500

. E) $6.100

3) .Un examen de admisiÓn a un. instituto profesional lo rindieron 1.250 personas, de las cuales fueron

aceptadas el 80%. Si el 20% de tos aceptados son mujeres, ¿cuántos hombres más que mujeres fueron

aceptados en el instituto? .

A) .50

B) 200

'450

D) 600

E) L050

4) Un libro cuyo costo fue de $6.400 se vendió en un cierto lugar en $11.200. ¿Qué porcentaje de utilidad

se obtuvo? .

A) 20%

B) 40%

e  50%

D) 65%

E) 75 

5) Una persona debe realizar un trabajo especializado en 8 día s t rabajando cantidades iguales todos los

días. ¿Qué porcentaje del trabajo lleva realizado después de t día de trabajo?

A)

0,5%

B)

6,25%

.12,5 '

D) 25%·

El 50%

6) Una mercadería costó $m y se vende ganando el x%, ¿cuál es la ganancia?

A) ~

100

i

 

;

i i

m

B)

IOx

i'

J ;'

x

e  10m

D)

1000m

x

E)

100mx

68

PRIMER EJE TEMÁTICO¡Test N 8, PORCENTAJES II

7) Un bus emplea 4 horas en recorrer x kilómetros. ¿Qué porcentaje del camino recorre en

15

minutos viajando con la misma rapidez?

A)'

0,5%

B) 6,25%

C) 12,5%

D) 18,75%

E ) 25%

8) Una persona percibe un' sueldo líquido mensual de $360.000 y logra ahorrar e15% de su sueldo. Si en

tres meses ha ahorrado $x, ¿cUál e s el valor de x?

A) StO.800

B) $18.000

C)

$24.0010

D) $36.000

E) . $54.000

9)

Enuna bolsa hay 36bolitas, entre blancas y negras. Si las bolitas negras corresponden al 75% del total,

¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderats)? .

1) Las bolitas blancas son 9.

lI)

Las bolitas 'negras duplican a las blancas.

III) Las bolitas negras son 8 más que las blancas.

A) Sólo 1

B) Sólo Ir

e) Sólo' III

D) Sólo Ir y III

E) Sólo 1 y III

10) De los s operarios de una fábrica,

h

son hombres . ¿Cuál es el porcentaje de mujeres que trabaja en

dicha fábrica?

(s -h)

A) -s-o %

B) (100 - ~) %

(100(S -

h

l  .

C) , %

s

rOO(S -

h ) )

)

%.

h

. ,

E) (lOOh J%

s- h

11) Dos artículos se compran en.$60.000 y $80.000, respectivamente. Si a elloshay que agregarles eI18%'

de impuesto, entonces el preció to ta l a pagar es

A) $10.800

E) $14.400

e ) $140.000

D) $144.400

E) .$165.200

69

¡~

;¡/

~,

Page 35: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU.  Cuadernode Ejercicios. Matemática

12) Una mercadería se vendió en $m con p,% de pérdida, ¿euál fue el precio de compra?

100m

A--

100 -

P

lOOp

B) 10 _

in

100(100 - p]

e) -'-

,m

100(100 - m)

D) --

P

E) p+m

13) Dos descuentos' sucesivos del 10% son equivalentes a un descuento único del

A) 19%

B)

20%

C) 22,5%

D) 25%

E) 30%

14) Las dimensiones de un rectángulo son

8 0

m de largo por 50 m de ancho, Si el largo aumenta en

un 5% y el ancho disminuye en un 20%, ¿qué variación experimenta su área?

A) Aumenta en un 30% ..

B)

 Disminuye en uri 25% ~

e) Aumenta en un 22,5%

D) Disminuye en un'16%

E) Disminuye en un 84% ,

15) Los tres ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 5 : 6 : 9, Si el ángulo menor aumen-

taen un 20%, el ángulo del medio permanece igual  y el ángulo 'mayor disminuye en.11,IIL,%,

entonces la' razón en que están los nuevos ángulos es de '

Al 2: 3: 4

B) 1: 2 : 3

C) 3:3:4

D) 5: 9 : 4

E) 9: 2: 3

16) Si el radio de un círculo aumenta en un 100%, entonces .su área aumenta en un

A) 100%

B) 200%

e) 300%

D) 400%

E) 500%

70

PRIMER EJE

TEMÁ

rico  T~st  8 ,PORCENTAJES II

1'7) En los últimos cinco años, el precio de un nuevo modelo de automóvil se incrementó en 30%, Si

se estima que el porcentaje de incremento para los próximos cinco años será el mismo, entonces

el porcentaje de incremento para este período completo de diez años será

A) 15%

B)

JO%

e) 39%

D) 60%

E) 69%

18) Si a 25 litros de una solución de alcohol al 20~ se le agregan 50 litros de agua, '¿cuál será el

porcentaje de alcohol en la nueva solución?

A) 5%'

B)

6t%

C)

10%

D) 13t%

E). 20%

19) Una tienda vende un reloj con una utilidad de un 25 % sobre el precio de costo, ¿Qué porcentaje

del precio de 'venta del reloj es la utilidad de la tienda?

A) 12,5%

B)

20%

C)

25%

D) 50%

E)

75%

20) El stock de un almacén disminuye su valor en un 20%, ¿En qué porcentaje deberá incrementarse

este stock para volver a su valor inicial?

A) 15 

B) 20%

e) 25%

D) 30%

E) 40%

21) La población de un pueblo aumenta en 50% cada 50 años, Si la población en 1950 era 810

habitantes  ¿en qué año la población era de 160 habitantes?

A) 1.650

B) 1.700

C) 1.750

D)

1.806

E) 1.850

7 1

PSU uaderno de Ejercidos. Matemáüca

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test N 8.. PORCENTAJES 1I

Page 36: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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22) Una mujer compra lO cajas de tomates a un costo total de $80.000 . Si ella pierde 2 cajas, ¿a qué

precio 'debería vender cada una de las cajas restantes, para obtener una ganancia de un 25% del

costo total?

A) $10.000

B)

$12.500

C) $15.000

O),

$100.000

E) $120.000

23) Se deposita $100.000.000 a un 10% de interés simp le anual, ¿cuánto se podrá retirar al cabo de

5 años?' '

, 'A) $155.000.000

B)

$150.000.000

C) $145.0QO.000

O)

$140.000.000

E)

$105.000.000

24), Si la' arista de un

cubo

se duplica, ¿en qué porcentaje' aumenta su vol~men?

A) 100%

B) 200%

C) 400%

O)

700%

El

800%

. 25) ¿Qué capital se debe depositar a un 5% de interés compuesto anual para que al cabo de 5 años se

transforme en $ 66 .550?

66.550

A) s

(1,05)'

B)

$ 66.550 . (1,05.)'

/66.550

C) $ {J.05

(66.550)'

0)$ ~

66.55Q

E) ,$ ~

26) Un líquido se evapora a razón de un.5% cada diez minutos. De Ilitro de este líquido, ¿cuánto

quedará al cabo de una hora? ' ,

 A l 700 cm'

',B) 750 cm'

C) 1.600' (0,95)' cm'

O)

1.000· (1,05)' cm'

E) 1000· (0,05)' cm'

7

27) Una persona ganó $480.000 al depositar un capital a plazo en un banco. Si retira '$15.480.000 al

final del período, entonces el tanto por ciento de interés pagado es

A) 32,2%

B) 31,2%

C)

7,4%

D)

3,2%

E)

3,1%

28) Una persona mantuvo un depósito de $100.000 un cierto período de tiempo, al término del' cual, retiró'

todo (su capital). Si el banco, le pagó un k% de interés compuesto anual después de agregarle un 12%,

al valor inicial del depósito  por concepto del alza del costo de 'la vida, entonces el dinero que retiró fue

(1) El tiempo de depósito fueron 5 años.

(2)

El

de

IDO

es

6.

A) (1) por s í sola

B)

(2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere' información adicional

29) En una figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de diámetro AB. Podemos

determinar qué porcentaje del círculo es el área del triángulo si:

(l)

El triángulo es rectángulo escaleno de hi potenusa 5 cm.

(2)

AC =

4

cm y

Be

=

3

cm.

A) (1) por sí sola

B)

(2) por s í sola

C) Ambas juntas; (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola,

(1)

ó (2)

E)

Se requiere información adicional

3O) ¿En qué porcentaje varía el volumen de un globo esférico que se está inflando?

,(1) El radio inicial era 10 cm,

(2) El radio final es 15 cm.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola,

(1)

Ó (2)

E)

Ser equiere información adicional 

RESPUESTAS CORRECTAS

73

PSU. Cuaderno de Ejercicios.

Matemática

PRIMER EJE TEMÁTICO

 

Test N 9.: REGULARIDADES NUMÉRICAS

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8/17/2019 Matemáticas UC

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CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS

Test N° 9: Regularídades numéricas

1)

El octavo término de la secuencia:

A)

10-

l

B) 10-

6

C) 10-

7

D) 10-

8

E)

10-

9

2) De acuerdo a la siguiente secuencia

1 ;0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... es

123

~,~,~

~ 2   ~ ' * '

7) La cifra de las unidades de 3 es

A) 3

B  9

C 7

D) 1

E) Ninguna de las anteriores

8) En la secuencia:

 

fig. 1 fig.2

fig. 3

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderats)?

l)m + n~20 .

1I).2p=q=12 8 .

.nn

El octavo térmirio es

t

6 24

A) Sólo. III .r .'

. B)

Sólo

1

yIl

. C)

Sólo

1

y III

D) Sólo II y III

E) 1, Il Y III

3) ~n la sucesión:

1 , 5 ,7 ,11 , 13 ,

a,

19.,

b , ... , los valores de a y

b

'Son, respectivamente:

A) 17 Y 24

B) 17y 23

C)

17 Y 22

D) 16. Y 23

E) 15 Y 21

4) En la serie: 8 , 2 ,-4 , -10 , . .. , el término que ocupa el lugar diecinueve es

A) -150

B) -100

C) 100

D) 150

E)

16.0

5) a' - a, a

2

_ 13., al -' 3a, son los tres primeros términos de una su~esión. Si a   -2, entonces el

quinto término es

A)

-42

B)

-22

. C) -6.

D) 22

E) 42

6.) Escondiendo huevi tos de pascua, Juan oculta un huevo en un primer escondite; en el segundo, el

.'doble de huevos que en el primero; en el tercero, el triple que en el segundo; en el cuarto.. el

cuádruplo que en el tercero, y así sucesivamente, ¿cuántos huevos ocultará en' el séptimo escon-

dite?

A) 28

B) 120

C) 128

D) 720

E) 5.040

Para lo s a spectos

teóricos

de este conteoido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores  P.A.A. y p.e.E. , se recomienda nuestro Manual de Prepara-

ción P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile , S exta Edición, Marzo de 2006.

74

. el número de puntos en la décima figura es

A 6. 3

B) 80

C)

99

D) 120

E  1 43

9) El término que ocupa el.noveno lugar de la siguiente secuencia es

J 2 2 2 J2  

4,

4 J2  

'A)

8J 2

B)

1O J2

Ó

16J 2

D) 32J2

E)

64J 2

En la siguiente secuencia de figur as formadas con palitos de fósforos, ¿con cuántos palitos se constru-

ye la décima figura? . .

A)2·

3'0'

B) 2· 3'

C)

2.3

8

D) 2' 3

7

E) 6

10)

»<

  c  

~

11  En la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, S, ... , cada término, a partir ctel tercero, se obtiene

 

sumando l os dos anteriores. ¿Cuál de los siguientes términos debe ser un número impar?

A) 21 

B) 4S 

C) 363

D)

44 2

E  6. 96 

12) En la secuencia: 1,

-2,

3,

-4,

S, ... , la diferencia entre el ?écimo y el noveno término es

A) 19

B) 1

C  - 1

D· -19

E) -20

75

Page 38: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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~i

PSU

Cuaderno de Ejercicios,

Matemática

PRIMER EJE TEMÁTICO / BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Page 39: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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~ ¡ ¡

, 1 '

ij

r

I

25) El quinto término de la s ecuencia: 10, 18, 34, 66, ... , es

A)

82

B)

98

C)

106

D)

114

E)

130

26) El término que ocupa .el lugar 10 en la secuencia: -0,6 ; 1 ,2 ; - 2,4 ; 4,8 ; ... , es.

A) 1.228,8

B)

307,2

C).-153,6

D

~307,2

E)-6l4,4

27) De acuerdo a la figura sig uiente,

x'

=

28)

A) 1

B 5

C)

625.

D) 5'

E)

1.024

¿Cuál es el término ubicado en el l ugar 30 de una secuencia dada?

(1)

Los primeros dos términos son 1

y '' '

. 2

(2) Cada término, a partir del segundo, se

7 15 6

1 3 ~ 1 l - - 3

x 8 12

1 4 ~ 1   \   Y

1'

2

10

encuentra sumando _ . . , al anterior.

2

A) (1) por sí sola

B)

( 2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola,

 1)

ó (2)

E)

Se requi er e información adiciana

29) En la secuencia de triángulos de la f igura, podemos determinar el área del enésimo triángulo si cono-

cemos que:

(1) El primer triángulo. tiene lada 1 cm

y

cada siguiente triángulo tiene lado igual a la altura del

anterior.

(2) Todos las triángulos son equiláteros.

A) (1) por s í s al a

 

) (2) par sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2) .

D) Cada una par sí so la, (1) ó (2) '.,

E) Se requiere información adicional

30) Podemos determinar el noveno término. de una lista de números naturales si:

(1) Los números de la lista son cuadrado s per fe ct os.

(2) El primer número de l a l ista es l.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una pür sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS COR RECTAS

78.

1) Autor:

Título:

Editorial:

2)

Autor:

Título:

Editorial:

3)

Autor:

'Título:

Editorial:

4)

Autor:

Título:

Editorial:

5) Autores:

Título:

Editorial:

6)

Autores:

Título.:

Editorial:

7)

Autores:

Título:

Editorial:

Notas:

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Primer Eje Temático 

NÚlVillROS

y

PROPORCIONALIDAD

Álvarez Díaz, Eugenio.

Problemas de Aritmética.y Álgebra sobre temas de Mitología.

México, D. F., 1944, (*)

Baldar, Aurelio.

Aritmética Teórico-Práctica.

EditorialCódice

S,

A, Madrid, 1990.

D olc iani ,

Mar;,

P.

Matemáticas Modernas para escuelas secundarias.

Editorial Cultural. México, 1972.

Nichol s,

Eugene D.

Matemáticas,

Editorial Interamericana.

M éx ico  

1977.

Petersen John

A. y Hashisaki, Joseph.

Teoría de la Aritmética,

Editürial Limusa Wiley, México; 1969.

'I'afemalcher, Augusto

y

Poensich, Ricardo

E lemento s de Matemáticas

Imprenta

y

Litografía Univer so . Santi ago. de Chi le ,

1911.

(*)

Taylor, Howard E. yWade, Thomas L.

Matemáticas Básicas

Limusa Wiley.

Mé xico ,

1971.

1) Los textos destacados (ennegrecidos) corresponden a literatura ¡natemática de autores chilenos.

2) Los textos destacados con asterisco

(*)

corresponden a libros fuentes , cercanas a nosotros, d e la información

matemática,

Comentar-ios sobre la bibliogr af ía matemát ica

Puesto que laMatemática es una disciplina internacional y universal, recalcamos nuevamente en este punto la

importancia que tiene una buena bibliografía para trabajar, .no necesariamente en

es pañol .vpu es

l os ejerc icios y

problemas de Matemática trascienden las barreras del idioma, del espacio

y

del tiempo. De esta forma, al colocar

bibliografía en otros idiomas y de otros tiempos est amos acercando alos alumnos y las alumnas estudiosas y, por qué

'no decirlo también, a nuestros propios colegas, al encuentro con las raíces de la disciplina misma. También los

estamos acercando a las fuentes del conocimiento y dernostrándoles con ello que, problemas que parecen ser muy

recientes, en realidad, son tan antiguos como la Mat emát ic a misma, El mensaje que pretendemos mostrar le o i ncul carle

a nuestros alumnos y a nuestras alumnas. es que ellos mismos deben ser capaces dé encontrar

y

-descubrir su propia

bibliografía, tal cual lo ha hecho uno de los autores, profesor Miguel' Ormazábal

D íaz -M uñoz .

Cabe hacer notar que

hemos indicado también, en esta bibliografía, una importante ~antidad de'literatura matemática chilena, literatura

'de la cual est amos muy orgullosos, por su alt o n ivel

y

cali dad académ ica, aunque lo pedagógico pudiese ser discutible.

En efecto, las diferentes formas de enseñar Matemática varían en el t iempo, según los lugares geográficos

y

según

sea el público a quien va dirigida la enseñanza,'supunto de partida o nivel de conocimientos previos, necesidades e

intereses, etc. Actualmente la Didáctica de la Matemática es toda una disciplina en la que trabajan los especialistas,

79

•..__ ~ _  ~

. .

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PSU  Cuaderno de Ejercicios, Matemática

l.. 9'

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS

SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA YFUNCIONES .

1)

Óscar efectúa la división

( X 2 - 1):

(x -

1),

siendo x un número entero pos it ivo mayor que

1,

obten iendo . como resu ltado el binomio x

+

l. Para comprobar que el resultado anterior es correcto,

. Óscar podría: .

1)

efectuar la d ivisión entre el d ivid¡mdo

y

el cuociente para obtener el d ivisor

II) multiplicar el divisor por el cuociente 'para ob tene r el d ividendo

ID). darle valores numéricos para  x  a ambas expresiones, excepto para x =1

De las verificaciones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo TI

B)

Sólo

1 y

TI

C) Sólo. II Y ID

D)

Sólo

1

y III

. E) 1,. TI Y III

no ·está definida. Sea entonces, x

=

9. En tal caso, el primer miembro de la división (~) tiene

- x - 1

9

2

-

I 80· .

por valor: -. --

= - = ID

9- 1 8

Yel segundo miembro de la división ex

+

1) tiene por valor 9 .

+ '1 =

10

¡Son iguales , por lo tanto el resultado es tá comprobado.

A modo de ejercicio, compruébelo Ud. para otro valor numérico.

Luego II I es correcto.

Observaciones

y

comentarios:

Este es un ejercicio muy in teresant e po r su valor conceptual, ya que apunta a ·105 mecanismos' de

comprobación de una división

al geb raica,

Como se puede apreciar a través del ejemplo, los mecanismos

de comprobación son variados y diversos. .

Respuest a cor re ct a: alternativa

E

Solución:

2)

,El perímetro de un rectángulo es de

46

cm. Si el l argo disminuyeen

3

cm y el ancho aumenta en

2

cm,

.el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia entre el l argo y e lancho originales

es de .

Para comprobar e l cuocien te de una d iv is ión a lgebrai ca, excep tuando , por supuesto, l a .división por

cero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III s irven para tal propósito. En

efecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:

x

2

- 1

x

+I

ex

+ 1) (x'- 1)

x  

1

=

x - 1, es decir, el divisor

La simplificación anter ior por e factor ex

+ 1)

está garantizada pues, por hipótesis, ex

* -1),

ya

que x  e sun

núme ro

entero positivo. Luego , 1es correcto.

Ahora, si multiplicamos el divisor por el cuociente obtenemos, aplicando el producto notable suma por

su diferencia: . .

(x - 1) (x + 1) = x

2

1 , que ~s el dividendo

A) 5cm

B) 7cm

e)·

8cm

D) IOcm

E) 12 cm

Solución:

Este es eltípico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales,

. Sean lee y las dimensiones del rectángulo' original. Hagamos un dibujo de la situación, en los dos casos

a los que se alude en el enunciado:

  --

- - v - - . /

x '

Luego TI es correcto.

Por último, si le damos valores numéricos a la indeterminada x  enambos lados de la igualdad, también

podremos verificar que la divis ión está correcta. La única excepción es x

=

1pues l ad ivisión por cer o

82

.y

+ 2

y

~ - - - - - - - - - - ~~====~==~

x -

83

PSU. Cuaderno de Ejercicios.

Matemática

SEGUND O E JE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

Page 42: Matemáticas UC

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Nuestra primera info~ación es que el perímetro del rectángulo original es de 4 6 cm, con lo cual

nuestra primera ecuación a plantea r es: '

2

x

+ 2y = 46

(1)

3) El' trinomio de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a X2 + b

x

+

e

t iene como raíces o'

soluciones Xl = I Y x

2

= -1, siendo a > , O . El gráfico que mejor representa a dicho trinomio es:

A)

Ob~ervaciones y comentarios:

1

'E)

'Como se puede apreciar , e ste problema tiene una seri e de et apas para su resolución, las que deben

llevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.

De acuerdo a l~ segunda información del enunciado, el área del rectángulo es 'la misma en el primer

,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuación a planteares:

x

y =

( x

-r- 3) (y

+

2)

.Resolviendo los paréntesis y simpli ficando (hágalo Ud.), se obti ene la ecuación:

ix-3y-6=O

(2)

B)

C)

De las ecuaciones (1) y (2); formamos el sist ema de ecuaciones lineales:

2

x

+ 2 y  = 46. },  

2 X - 3y - 6 = O .

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incógnita  x y se obtiene:

5 Y

+

6= 46, de donde:

y = 8

D)

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuacione s del sis tema , po r e jemplo en (1 ), obtenemos

x = 15.

De tal modo que hls dimensiones del rectángulo original son:

x

= 15 cm

e

y

=

8 cm

y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es:

x -

y =

,15 cm - 8 cm

=

7 cm

Respuesta correcta: alternativa B

84

x

x

x

X'

x

85

PSU. Cuaderno

 

Ejercicios, Matemática

SEGUNDO EJE T EMÁTICO I Ejercicios Resueltos

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Solución:

Si el trinomio dado tiene como raíces o soluciones

XI = 1 Y

x

2

= -1,

entonces significa que su

gráfica - que es una p ar ábola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los números dados'

~I Y 1,

ubicándolos de izquierda a derecha en la rec ta numérica, respectivamente.

Ahora bieri, como~nel enunciado se nos d ic e que a >

O ,

entonces las famas de la parábola abren

hacia arriba (parábola sonriente o, como se dice en lenguaje técnico, cóncava hacia arriba).

,Finalmente, la ecuación del eje de simetría de la parábola está dada por:

Xv

XI +

x

2

2

-1

+

l

2

O

Esto nos dice que el eje de sime tría de la parábola es el eje

Y .

De acuerdo a 10an terior, la opción que responde a todos los requerimientos anteriores es la C.

Observaciones

y

comentarios:

[

Este es un típico problema de encontrar la parábo la que mejor representa a una c ie rt a función cuadrática,

dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo de

gráficos. '

,Si se sigue el análisis de la situación , paso a paso, e lp roblema no ofrece dificultad alguna.

Respuesta correcta: alternativa

e

4) Se da la función logarítmica y = f(x) = log x. Con respecto a ella se plantean las siguientes

igualdades:

1 )

f(l)

= O

ll) f(2) + f(5)

=

f(10)

llI) f(2) •

f(5)

=

1

De la:s,igualdad~s anteriores, es(son) cor rectaís):

A) S610 1

B) Sólo 1 yIL

C) ,Sólo II Y III

D) Sólo 1 Y III

E) 1, II Y III

86

Solución:

Veamos la validez de cada una de las tres opc ione s que se nos ofrecen:

1) f(l) = log 1

=

O , pues, de acuerdo a la definición de logaritmo se debe cumplir que: 10°

lo cuaÍ es correcto. Por lo tanto,

1

s verdadera. '

1,

Il) f(2)

+

f(5) = log

2 +

log 5

log

(2 •

5), según la propiedad del logaritmo de un producto

log 10, efectuando la multiplicación

1, pues,por definición de logaritrno se debe cumplir que: 10

1

  =

10, lo cual es

correcto. Por lo tanto, II e sverdadera.

III) f(2). {{S) = lag 2 • lag 5

Ahora bien, como la función logarítmica es creciente, es~o es, s i X e

y

son números reales positivos tales

que

x < y ~

log

x <

lag y , 'entonces podemos aprovechar este hecho para e st ablecer la s iguiente

'desigualdad. Puesto qu e 1 < 2

<

10 ~ log 1 < log 2< lag 10, es decir: O < log 2

<

1. Por lo

tanto, ellogaritrno de dos es un número real comprendido entre cero yuno. Análogamente se puede

demost rar (hágalo Ud. ) que e llogaritmo de cinco también es un número rea l comprendido 'entre cero

y ,

uno. Por consiguiente, hemos demostrado las dos desigualdades siguientes:

O <

log2

<

O <

10g

5 <

}

Multiplicándolasmiembro a

m iem bro ,

tenemos que:

O <

10g.2 • log 5, <

1 ,

lo que nos indica que

el producto de ambos logaritrnos es un número real comprendido entre cero y uno, pero en ningún-caso

es igual a uno. Por lo tanto, III es falsa.  

Obseryaciones

y

comentarios:

Este es un ejercicio int egrador, pues combina el.tema de las funciones, específicamente su lenguaje

operacional, con el tema de los logaritmos. La s t resopciones son directas, a excepción, probablemente

de la última (IlI), pues allí se trata dedemostrar que la igualdad es incorrecta, mediante consideraciones

referentes a desigualdades y , obviamente, sin el conocimiento numérico de los logaritmos.

Respuesta correcta: alternativa B

',87

PSU. Cuaderno de Ejercicios,

Matemática

{f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 1, LENGUAJEALGEBRAICO I

Page 44: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 44/195

CAPÍTULO 1. IN'tRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAleO

, Test N  1: Lenguaje algebraico 1

TIEMPO M,>Í.XIMOPARÁ

CADA TEST: 1 HORA

1) El 'número de términos de que consta la expresión algebraica -7x' + 5y  + 2z es

A) 7

B) 5

e}

3

D} 2

E)

2}El valor numérico de la expresión': -7a'b', si a = -1 Y b = 3, es

A) -63

'B)

-21

o

D),21

E)

63

:3 )

Si a = 2, b

=

,~4 Y e

= -1,

e l v alor numérico de la expresión a'b + be - 5c' es

A) -17

B) -15

C), -9

D)

- 7

E

17

4) Si x = -2, .el valor de la expresión (x  - 3x

+

2) :

r s -

6:c

+

x') es

A)-2

B)

O

C

D)  2

E

4

5)

Si

C,= -3

y d ='10, entonces el valor

de

la expresión _c'_

+ ~

es

, c+rí d-c

A) -3

B  -1

C) O

D) I

E) 10

6) Si a, b y e son números reales tales 'que a + b + e = O, entonces el valor numérico de la expresión

a b

c a c

b

- + - + - + '- + -, + ~ es '

b e

a e

b

a

A) -3

B) -1

D)

3

E) 6

,7) Laexpresión 9(2a, - 3)' es equivalente a

A) (18a - 27)'

B)

36a' - 81

C

12a'

+

81

D)

36a'

+

8.1

E) (6a - 9)

8) La cuarta parte de (8z

4

+ 4) es igual a

A) '2z' + l

B} 2z' + 1

C)

2z'

+ 4

D)

2z'

,E) 2z'

9) Si un automóvil ha recorrido (x

+ 1)

Km en  a horas, ¿cuál es su rapidez promedio, en kilóme-

'tras/hora?

A)

(x

+ l)a '

x-l

-

a

x+l

C) -

a

 D) ~

x+l

a

E)

x-l

10) La sernidiferencia entre 3a + 4b Y a - 2b es

A) 2a + 6b

B)

a +

3b

'C) a s- b

D) a + 2b

E) 4a

+

2b

~ I M

c.

PSU. Cudderno de Ejercicios. Matemática

r

SEGUNDO EJE TEMÁ TIeO

I

Test W l. LENGUAJE ALGEBRAICO 1

Page 45: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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,11 ,3

11) Al reducir términos semejantes en - -a + -b + 2a - 3b - -a

, . 2 3' 4

ne como  resultado

, 3 ',17 1

A) - ¡a-

(5b

+ ¡

B)

< }

17 1

-a - -b+ -

464

~a

-~b + ~

464

~a.:17b_~

4 6 4

1 ,3 1 ,

-b

+

-4 ' - 2 . ' '

se

obtie-

6

15) Sia,byc E IR,entonceslaexpres'ión: a'''':' b{b+c[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)J} es equi-

valente a

A)

a ,

B)

2b'

C) a

+

b

D) a -

b

2

El O

16) El valor numérico de la' exp re sión a'(b' -

e )

+ b

2

(c' - a') + c

2

(a  -

b') sab iendo que

a  

-8,

b = 9 Y

e

=

10 es

A) O

B)64

C)

,81

D) 100

E)

152

17) Si le restamos 6a

+

5b a la suma de 2a

+

9by 3a - 2b, la diferencia será

A) 5a

+

7b

B) a

+

2b

C) 2b- a

D) b - 2a

.E )

2a +

b

18) ¿Cuál es la diferencia entre 3z' - 2z + 3 Y 2z' - 3z?

A) _Z2 - Z - 3

B)

5z

2

- 5z

+3

,C)'

z'

+

z +

3

D) z,

+

z - 3

E)

z' - z +

3

19) (-2x:y')(3x'y')' =

A)

18x'y'

B) ,-18x'y7

C)

-18x'y6

D)

36x'y7

'E) 36 )[6

y

10

20) El producto de los binomios (4x - 3y) Y (2y + 5x) es

A)

20)[' - 23y'

B)

20x' + 7xy- 6y2

C) 20x' - 7xY - 6y2'

D)

20x

2

- 7xy

+

6y'

E) 20x' - 6y'

 

91

D)

9171

E) -

-a-

-b

< 1 - -

4 ,6 4

12) 5+5,[2-4(x-6)1=

A)

65 - IOx

B J

-115 - 20x

e)

-220 - 4x

D)

260 - 40x

E),

135 - 20x

13) x(x + y)

r-

y(x - y) =

A)

(x

+ y)(.x - y)

B)

'y2 _

x'

C)

x' - 2xy +

y'

D) x  + 2xy _ y'

E)

+ y

[

, 1  ] 

14) ~,-3(a-b) + '3(-6a-9b)=

A)

2a

+

3b

B) 5a

e a

D)

-a

E)

-5a

90,

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

~<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N

i,

LENGUAJE ALGEBRAICO 1

Page 46: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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21) Para que (y - 3) sea un factor del trinomio y2

+

2y

+

e, el valor de e debe ser

A) -15

B ) O

C) 5

D) 8

E) 15

22) ¿Para qué valor

de k,

(x

+

4 ) es un factor del trinoniio x

2

+ kx -

12?

A) -4

r

B) -3

C) ~2

D) -1

E) 1

23) Al dividir (x' - 81) por(x - 3) se obtiene

A) X

2

+

3x

+ 9

'B) x' +3x

2

+

9x

+

27

,Cl x' - 3x

2

+ 9x - 27

D) x

2

+ 6x + 9

'E)

x + 27

24) El rest o o residuo que resulta al efectuar la div isión (x

5

+

243) :'

(x

+

3) es

A) -243

B) ~8.1

C) O

D) 81

E) 243

25) El' área de un cuadrado es 4x

2

'- 12x + 9.. Si cada lado se aumenta en 2 unidades, ¿en cuánto

. aumenta la superficie del cuadrado? .

A) 8x + 8

B) 8x - 8

C) .Bx

D) 8

E)

-8x

26) Si la longitud de un

rectángulo

es (38 + 2t)

Y

su perímetro es (lOs + ót), entonces el ancho del

rectángulo está representado por:

A) 2s

+

t

B) 7s

+

4t

C) 4s

+

2t

,D) 3,5s

+

2t

E) 2t

+

s

92

27) Sea x

>

5 un número real positivo y supongamos que (x? - 25) representa el área de un rectángu-

lo, siendo (x

+

5 ) uno de los lados, El otro lado está dado por

A) x + 5

B)

x -

5

C) x

+

5

D) x - 5

E)

x -

125

28) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a

2

bo,siendo a y b distintos de cero?

(1) a

=

10

(2) b

=

5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,

(1)

y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se ~equiere información adiciona l

29) ¿Cuál es el grado de la expresión a lgebr aica : xmy yP?

(I j m

e

n s-p.

(2)

n

+'p

=

3,

A)

(I)

por sí sola

B) (2) por 'sí sola

C)

Ambas juntas,

(1)

y (2)

D)

Cada, una por sí sola,

(L)

ó (2)

E) Se requiere información adicional

30) En una biblioteca hay 180 libros, de los cual~s 3n   10 son de Física

y'

3n - 5 de Biología .

¿Cuántos son los restantes?

(1) Hay 15 libros más de Física que de Biología.

(2) n = 3,

A) (1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)

Ambas juntas,

(1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola,

(1)

ó (2)

E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

93

Page 47: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

.~~

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, LENGUAJE ALGEBRAICO I I

Page 48: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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1O)2p - [ q - (p - 2q) ]

=

A) 3(p

+

q)

B)

2(p -

q)

e) 3(p - q)

D)2(Pfq)

3

E) -

2

11) 3y' - 5y - 2(1 _ Y + y')  

A)

5y'

+

7y - 2

B)

y  +

3y - 2

e) y' - 3y - 2

D) 3y' - y - 2

E) 3y' - y

+

2

12)1 - { -1 - [1 -

x - (-x +

1)])

=

A) -2

B)  ':1

e  o

D) 1

E) 2

a

-

, 13) S abiendo que a '= -4

y

b

=

8,entonces _b_

=

  a b,

- +-

b   a

A) -5

1

B) 10

e

1

5

 14)

Si 4x - '3 = '2x

+ 5,

¿cuál(es) de las siguientes expresiones esíson) igual(es) a

16?

I) (2x - 4) 

II)

x

III)

x3 _ 4x + 16

A) Sólo I '

B) Sólo l Y II

e) Sólo l y III

D) l, II yIII

E) Ninguna,

a  .a .

15) Si

b =

e ~ b

= ti

siendo b, e

y

d distintos de cero entonces se verifica corno correcta la

relación

A) e =-d

B) e

=

d

e)

e

= bd

D) b = cd

E) d=b+c

3a

2

b

8

16)

El producto entre --

y - es

2

ab

2

A) 8a

b

24a

B)

-

b

3a

e)

b

b

D) -

12a

E) 12a

b

17) En la multiplicación de monomios axm

y

3 , x'y

mente

ax

8

y

9

Ios valores de   m y   n  son, respectiva- 

D)

2

5

A) 2 Y 3'

B) 2 y , 6

,e) 4 y 3

D) 4 Y 6

E) 6 Y 4  

97

E)

1

 2

96

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II

Page 49: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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18) Si. P(x) = 2x - 1 Y Q(x) =. 1- 2x, entonces P(x)· Q(x) =

A ) O

B) 4x

2

- 1

C)

-4x

2

-

1

D) -4x

2

+4x - 1

E) 4x - 4x + 1

19) ¿En qué se.transformala

expresión

(a - x)a +

bx

si x,= a  +

ab s- b ?

A) a''':' b 

B)

+ b 

e)

E) á b 

20} La. suma de tres números naturales consecutivos

es

3n. ¿Cuál es el producto de los dos números

extremos?

A) n  -.n

,B) n  - n

C) n -l

D)

n  - 1

E) n  +

n :

21) l+x+ic

2

+x

3

=

I) (1 + x)(l + x)

A)

Sólo

1

B)

Sólo II

C)

Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo II yIII

II)

l-x

l- x con x

 t

1

III)

(1 -

x)(l - x')

m

22) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a -; siendo n.;t O?

A)

m+I

n+l

B)

m-l

n-l

C)

2m~1

2n+l

D)

2m

-

2n

E)

( : r

·23)  Si

e  t

O , entonces la fracción a - b es equivalente

a:

- c

A)

a +b

e

B)

b - a

e

C)

_ b - a

e

D)

b +a

- c

E)

l : J - a

- c

24) Si Ignacio tenía (y-

10)

años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 años

con respecto a su edad actual?

.A)

y -

20

B) y-ID

C Y

D) Y

+

10

E) 10y - 10

98 99

.._- -- ...•---~---

,):

t.

PSU. Cuaderno deEjercicios. Matemática

. ¡ :~ ,

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test W 2, LENGUAJE ALGEBRAlCO

ti

Page 50: Matemáticas UC

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:1

iJ

'j

 

, ¡ 

~ i

11 '

 

:1

 

,

 

:: i

'1

,

;i

~ J

~~

25) Si X

;t.

z,entonces - x- y es equivalente a:

x-z

-x-y

A)

z-x

-x+y

E)

x+z

x-y

C

x-z

-x+y

__ o

-x+z

E)

x- y

z - x

26) El valor de 5x-2y 5y-2x

~-~es,

A)

5x 4y

3z

E  O

, 7x-3y

C) --

3z

D) 7x+3y

3 z

E)

7x-7y

3 : i

27) Si P representa un número par, ¿cuál es 'la expresión simbólica que corresponde a la razón entre

el

sucesor par y el sucesor impar de p?

I

 

A)

E) P

C) P

+

3

p+l

D) -

p+2

E) p+2

p+l

100

28) Se quiere determinar si el valor de x en la ecuación x

+

a

=

b es un entero positivo.

(1) a y b son enteros positivos.

(2)

a

ybson

enteros y b

>

a.

A)  (l)

por sí sola

B) .(2) por sí sola

C) ,Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola, (l)ó

(2)

E)

Se requiere información adicional'

29) ¿Cuál es el valor de m

+

2n?

. (1)

m

-2p

 

23,1

(2) n

+

¡i = -44,08

A) (1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

30)

¿Es x

2

- y2

=

X +.y ? _

(1) x e y son enteros consecutivos, s iendo x > y.

(2)

x =

y

+

l

A) (1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) ,S:ada una por sí sola, (1) '6 (2)

E)

Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

101

PSU. Cuaderno

 de

Ejercicios,

Matemática:

CAPÍTULO 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

  í 

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 3. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Page 51: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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Test N° 3: Productos notables, factorización

y

fracciones algebraicas

x _y (x-,y)  ,

1)

Si

x

* - y, entonces el valor de -- + --- ~

(x -

y)

, , x-y x-y ,

A)

x - y

B) x + y

e) -x

+

y

x- y

D) --

x+y

E) 2x+ y

2) Sabiendo que x  + ~ = 3 ; entonces x + J.

x

x

A) 27

. 8  

18

C)

9

D) 7

E)

2

\

3) Al factorizar totalmente la expresión al

+

a'

+

b

l

- b' se obtiene

A) (a

+ b)(a' + ab +

b'

+ a

+

b)

B)

(a + b)(a' - ab + b' + a - b)

e) (a-

b)(a' - ab

+

b'

+ a...:

b)

D)

(a - b)(a' + ab + b' + a - b)

E)

(a - b)(a' + ab + b' + a + b)

4) Un factor común a 'x' - 3x - 54, x' - x - 42 Y x' - 2x - 48 es

6) El máximo común divisor (rn.c.d.) de las expresiones algebraicas siguientes: (x

+

2), (x' _ 4) Y

(x' - x -

6)

es:

A)

B) 2

C)

x -

3

D)x +2

E) x - 4

 X12 _ 12

7) Siendo x * y, el cuociente ~

x -y

A) x'

+

y

B) x  + x'y' + y'

e) x - xy 

+

y'

D) x' - x'y'4 _ y'

E) x - y

8) ¿euál(es) 'de las siguientes fracciones es(son) equivalente(s) a la fracción ~, y

* - O?

  , y

1 )

mx

-, con m e O '

.rny

A) x + 6

B) x - 9

e)

x

+

7

D) x - 8,

E) x - 5

mx  + nx ,

---- , con mx +

n* -O

rnxy +ny

5)

Un binomio que d iv ide exactamente a x' - 2x -

15,

Xl

+'

27

Y

x' -

9

es

A)

x

+ 3

B)

x -

3

e)

x

+

5

D) x-S

E) x - 9,

102

, III)

mx+ny ,

my + nx   (m

*

O Y n O )

A) Sólo I.

B) S610 H.

e)

S610 III,

D) S610 1

y

H,

E) S610 1

y

III.

9)

f

1

f

'6 5z+ 8y , , 1 denorni 'l

setrans orma a racci n --- en otra equivalente cuyo enorninador es e' trínomio

4z-5 '

12z - 19z + 5, entonces el numerador de esta última es

A) 15i  - 5z - 24y + 8

B) 15z' + 5z + 24yz - 8

e) 15z' - 5z + 24yz - 8y

D) 15z' - 5z

+

24yz + 8y

E) 15z' + 5z - 24yz - 8y

e

103

Page 52: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuadernode Ejercicios, Matemática

17) '¿euál(es) 'de los' siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x' +

t'

para completar el

I I D' I ' ,p o

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N  3, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

8xy

Page 53: Matemáticas UC

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 '1

1 1

1

, 1

desarrollo del cuadrado de, un binomi o?

1) -4x

2

H) 4x III) 4x2

A) Sólo L

'B) Sólo H.

C)   Sólo III.

D) Sólo 1y IIt

E) Sólo  I y III.

1-

x

-- + 1

18) Al simplificar la fracción compuesta ~~~' se obtiene

- -'1

l+x

A)

-1

1

.B)

--

l-x

1

C)

--

X

2-x

D)

-

-x

.l=x

E)

--

l+x

x+1

x-l

--

---

19)

Simplificando la fracción compuesta x

1'1

x + 1 obtenemos

1

-- +--

x+l

x-l

A) 4x

B) 2x

e) 2

1

D)

-

2

E)

X ,

1 6

20 )

La fracción 3 3  (con xy

'# O );

reducida a su mínima expresión es

4x y+4xy

2xy

A) x2y+xy2

B)

xy

2

e), x+y

2

D)

x

2

+y2

2

E) X-y

X\2

_x

2

y

21) Al simplificar la expresión

6 •

,con x '  y obtenemos

x

-y

x2y2

A) (x

2

+xy+y2)(X

2

_xy+y')

y .

B ~

x

y

C)

x-y

D), xy

(X2+ xy+y2 )(X2 -xy + v  )

E)y -

x

1 7

rso. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

22)

a + b

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N  3. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZAClÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS

5

3 ( '

z

Page 54: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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a

3

+.b

3

- (a+ b) 

A)

1

-

3ab

1

B

2a +ab+2b

2

1

2a  ~ab+2b 

D)

1

--

3ab

E

1

--

2ab

23)

:3

2

2

----+--

y+l  Y

 

+y

A

y- 4

y +y

5y.+4

B- -

y +y

y+-4

• .

y +y

3

D)

y +y

1

y +l

24) P p+2) .4+2p

lOp  . ,._p-

A) p+2

4

B) (p+2)3

p'

C)'p+2

D)

(p+2)' :4(p+2)

2p ,

p+2

E) 4p'

(

X -1) ( 2x-1 )

25) ~ : x.j.2x+l. =

2x - 1

Al  2x' _ 1

B)

x  -

1

2x - 1

C  x-l

',D) _x

2

E)

x '

  108

a

3

b

'

,

26) _-_ a  -ab+ b 

a

+

b

3

  a-b·

2

A).a+ab+b 

a+

b .

. B)

a

2

-ab+b 

a-b

.C)

+ab+ b 

a-b

D)

a

2

-ab+ b 

a+b

109  

PSU. Cuaderno deEjercicios, Matemática

)S

'1 f ió 2x'+8x+6, ival denomi d

 ~.

SEGUNDO ErE TEMÁTICOrres, N 

4,

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

CAPÍTULO 3, ECUAeIONES DE PRIMER GRADO O LINEÁLES y PROBLEMAS VERBALES

Page 55: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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27 l a racci n es equiva ente a otra. cuyo enomma or es

, x+3 . ,

rador de la segunda fracción?

A) 2x' - 6x - 8

B) x, - Sx + 8

 c) x' - 3x

D) 2x'-16x + 5'

É)

2x'

t

6x+

4

( < ' + 2), ¿cuál es el nume-

28) ¿Es x' igual a xy?

. (1)

x' -

y =

(x

+

S)(y- 5)

(2) x = y

A) (1) por sí sola

B) (2) por .sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) Se puede determinar el valor de la fracción xy - 3x +y -

3

si se sabe que:

' 'xy+2y-3x-6

(1)

x =

1

e

y   3

(2) X;é -2 e y =4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí .sola

C) .Ambas juntas, (1), y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

30) ¿Es (m - n)' = m' + n'?

(1 ) m = O

(2)

n=

O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

110

Test

N° 4:

Ecuaciones

de

primer grado y problemas con ennnciado verbal

, 1) ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones esíson) de primer grado en x?

I)

(x

+ 7)' =

(x

+ S)(x + 8)

H) (x - 3)' = (x +9)(x- 9)

III) (2x + a)(x - ~) ;  x(2x - a) _ x'

A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo III.

D) Sólo I

yn.

E) I, H Y

ur .

3 .

2) Si 1 - - =. 9; entonces x =

x' .

A)

9

2

2

B) - 9

3 '

e)

- : 8

8

D)

-

3

9

E)

-

2

3). ¿Para qué valor de  x  la expresión 5(x - 3) - 4(x - 2) es igual a cero?

A) 2

B) 3

e)

4

D) 5

E) 7

4) ¿Para qué valor de  x se tiene que las expresiones (x + l)(x + 2) Y (x - l.)(x - 2) son iguales?

A) -2

B)  -1

e)

O

D) 1

E) 2

111

i

 

pspo

  uaderno

de

Ejercic ios  J~atemálica

5) Dada la ecuación en

 x :

(0,222 ... )

x +

0,777 ...

=

(2,333 ... ) x. El valor de

x

es

SEGUNDO EJE TEMÁTIcorrest N  4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

2

Page 56: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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___ • _ __ -o dWi  

A)

7

19

B)

2

3

3

4

'  

8

15

E) no se puede determinar'

5x - 4 ; entonces el valor de x es

5x  

6) Si 10 ..., 7x

6 +; 7x

A) 56

 B) 35

C

11

D)

7

E)

3

 7) Si

a

 bson números reales, se tiene la ecuación en la incógnita

x:

ax + b   bx + a, Con respecto

a ella es correcto afirmar que:  

1) Si a

 ;t

b, entonces l a ecuación tiene por única solución x

=

l.

II) Si a = b, entonces la ecuación es una identidad que se verifica para todo x real.

lII)

Si x

=

1, entonces la ecuación es una identidad que se cumple para todo a

y b.

De las afirmaciones  anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo 1y n.

B) Sólo II y lIl.

C) Sólo 1

y

III.,

D) 1, II Y III.

E)

Ninguna de ellas.

8) El conjunto solución de la ecuación l-x

x-I

-1 es

A) [-1 }

B) [1}

e) IR

D) IR - [ 1 }

E)   l

  2

9)

Alresolver la ecuación ~

.-(3 -

0,6)

2,

5  

0,1

(0,1)' _ 1 ' se obtiene. x =

A)

11

4

B)

11

4

C)

4

11

4

11

E) Ninguna de las anteriores.

S' P

0)

1-

q-x

A) 2

B)

P - q.

C)

p+q

'q  

--, entonce s si endo p

q, el valor de x es

p-x  

D)

p'+

q

, p-q

E)

p'+

p+ q

(

,

11) Dado que ~

p

A)

q-h

B)

q(l ~ ;)-

C  q

D) q(l

+ ;)

b

E) 'q - '---

a -

a

b ' O . .

+ -, cona e .-p

;t °

y q ;é O, entonces al d espejar la variable p resulta p =

q p

113

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

12) Si

n '

O Y

n '

1, entonces el valor de

x

en la ecuación

.  . +

_n_

x + n es

,j}

SBGUNDO EJE TEMÁTICOrrest N 4, ECUÁCIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIAD~ VERBAL

, 5x-7

,16) Dada la relación

y

= --,_

4

Page 57: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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n n+ x

nx

3x+4

A)

x  

4y

+ 7

5-3y

B) x=5y+7

4-3y

e) x = 4y-7

5+3y

D)

x= 5y-7

3y+4

E)' x =

4y+3

5'1+7 '

con x '  -- al despejar  x en términos de  y se obtiene

3

17)

La diferencia entre el quíntuple del sucesor de a

y

el antecesor del cuadrado del doble de

b,

corresponde aIa expresión

A) Sea

+

1) - [(2b)' - 1]

B)   e a + 1)- [2(b - 1)]'

e)

Sea

+

1) - (2b - 1)'

D) 5(a

+

1) -

2(b' -

1)

E)

  e a

+ 1) -

2b'-

1

18) La diferencia entre el cuadrado de un número x, y el semiproducto de él con su tercio es igual a

j

115

~

N~

2

x

'B)

-

6

~2

  ~~

I

2

=3

x

D)

-

3

2~

m~

A) n

1

,- B) '2

n

,~ 2(n-l)

r

D) n

2

-1

E)

n

n= -I

13) Si a

y

b son números reales, la ecuación 3x - 5 + a = bx + 1 tiene una única solución para x,

A) Cualesquiera que sean los números a

y

b

B) Sólosi a 7  2b

e) Sólo si a '  6

D) Sólo si b 7  O

E) Sólo si b 7 3

14)

Siendo a

y.

b números reales con a ' 

O ,

b ' 

O y

a '

b,

el conjunto 'solución de la ecuación

J

i

j

x x

a

-+--=--es'

a b-a  b-a

A) {O}

B) {1}

e

{ ~ }

D { a

2

b_a

3

}

) ab-s b' ,

E)

I'l

15) La solución de la ecuación 2,/ x / - 8 = -/ x /

+

1 está dada' por:

1) x =-3

1I)

x =-2

A) Sólo I.

'B) Sólo H,

e)

Sólo IlI,

D) Sólo 1 y H,

E) Sólo 1 y IlI,

114

PSíl  Cuaderno deEjercicios. Matemática

19) Si  a  es un número real positivo, la expresión aJi puede interpr,etarse geométricamente como:

' ¡ '

;i  

,

SEGUNDO EJE TEMÁTlCOrrest N° 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

Page 58: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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2 .  

1 ) El lado del cuadrado inscrito en un c írculo de radio ~

2

II) La mitad de la diagonal de un cuadrado de lado  a .

1Il) La longitud de un cateto de un triángulo rectángulo isósceles cuya.hípotenusa es  a .

A) Sólo

rr.

. B), Sólo 1 y Ir.

C) Sólo 1I y lII.

D) Sólo 1

y

lII.

E) I, n y IIL

:j

20) Si e y b son números reales positivos, con e > b, la expresión  lc  ~ b' puedeinterpretarse

verbalmente como:

La ra íz cuadrada de

-la

diferencia entre 'los cuadrados de

e

y

b .

La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre e y b.

Un cateto de un trián~ulo rectángulo cuya hipotenusa es  e   y cuyo cateto conocido es  b ,

Sólo t.

Sólo n.

Sólo III.

Solo 1 y,IIL

Sólo II

y

1Il.

El enunciado:  el cuadrado de la suma de los núm er os e y

d

aumentado en el cuadrado de la

diferencia entre los mismos' números es igual al doble de la suma de los cuadrados de .escs

mismos, números , se expresa ,por

F ~

n

1 :

1I)

: 1

U n

: 1

A)

B)'

 ,

q

 

I.

i .

m

. 21)

A) (e  + d') +  e

i

  d') = 2(2{; - 2d)

B)

(e

+ d ) +

(e -

d ) = 2(c + d )

C) (e

+

d)

+ (e  -

el )

= 2(c'+

d )

D)

(e

+ d)

+ (e

-d) 

= 2(c

+ d) 

E) (e + d)' + (e - d)' = 2(e' +d')

Si al doble de mi edad 'actual le resto el. triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual,

Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella?

A) 3(x ., 6) - 2x = x

B) (3x - 6) - 2x=

x

C) 2x - 3(x - 6) =

x

D) 2x - 3x - 6 = x

E) 2x - 3x + 6 =x

22)

116

23) La expresión

J :  

(b - a)' puede decodificarse como:

A) La raíz cuadrada de la diferencia entre el recíproco del cuadrado de e y el cuadrado de la

diferencia entre b y a ..

.B) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de .c y la di ferencia entre

b y a.

C) La raíz cuadrada de la diferencia 'entre el recíproco del .cuadrado de c y la diferencia entre

los 'cuadrados de b

y

a.

, ,

D) La raíz cuadrada del recí proco de l a diferencia de ·10s cuadrados entre e y la diferencia

entre b y a. .

E) La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia entre el recíproco de c y la diferencia entre

bya. .

24) El enunciado:

  a

la tercera parte dei antecesor de un número natural  n  se le suma el sucesor del

mismo número dado y se obtiene el exceso del doble del mismo número original sobre 2 , se

expresa matemáticamente por:

A)

~ - 1

+ ~ +

1

= 2n - 2

3

3

B)

~ + ~ +

1

= 2n - 2

3

C)

~ + ~ +

1

= 2 - 2n

.3

3

D)

~ + n

+

1= 2 - 2n

3

E)

~ + n

+

1 = 2n - 2

3

25) Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho está encerr ado por x metros de cerca

para protegerlo. El área en términos de x es:

'  

A)

2

B) 2x'

2X2

C)

9

x

D)· 18

x

2

l

E  72

 117

PSU. Cuaderno de Ejercicios,

Matemática

26) Si la ganancia que se obtiene de la venta de un artículo que cuesta C pesos y. se vende en S pesos

. .

~

SEGUNDO EJE TEMÁTICOrresl N' 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL

29) Si x e

y

son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?

Page 59: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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1 .

es G

=-

e, entonces la ganancia está dada por

n. .

1

A) G = _ .- S

n-1

1

B) G = -

S

n

C) G = _n_·S

n+ I

D) G

=

_1_

S

n+1 .

E)

G= ~S

n-1

27) ¿Cuál es el número de tus discípulos? se le preguntó un día a Pitágoras.  La mitad, respondió él,

estudian Matemáticas, un ·cuarto· los misterios de la N at ur aleza , un séptimo medi tan en s ilencio. y

además hay tres mujeres . ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? .

A) 3

B) 7

C) 14

D) 21

E)

22

28) ¿Es x +

y

+ z = l ?

(l)x+y=l

(2) y

+

z

=

1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e)

Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó m

E) Se requiere ·información adicional

, .

118

(1) ~ = 2°

Y

(2 )

2x+2y

= O

4

A) (1)

por sí sola

B) ·(2)

por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

30) ¿Cuánto .tiempo demoran Susana y su madre en pin tar una muralla?

(1).

Susana, trabajando sola, pinta la muralla en

3

horas.

(2) Su madre, trabajando sola, demora 4 horas.

A) (l) por sí sola

B) (2)

por sí. sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola,

(1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

119

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VERBAL

. Test N° S: Problemas' de planteo con ,enunciado verbal f

·

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 5, PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO'VERBAL

~ 6).L,ili,~,¡,  , d, pO; 0'   ,ci,  re  1,di  ,   00;; po, '= . Sil. di  ,  ·

cia total recorrida por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió el camión?

Page 60: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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 1) Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos años

estarán enla razón de cinco es a dos?

¡

A) 8

B) 10

C) 13

D) 15

E)

Nunca'

2) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. El producto entre el menor y el

,mayor es . '.

. A) 195

B)

221

C) 323

D) 3,57

. E) ~99 ,

3) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18° más que 'el ángulo menor. ¿Cuánto mide el

ángulo exterior basa]'?' .

A)

48°

B)66°

C) 114°

D) 132°

E) , 144°

4) Entre Susanay Roberto forman una sociedad. De las ganancias,' Susana recibe Sm más que

Roberto. Si u p día ganaron $n, ¿cuánto le corresponde a Roberto?

A)

600 Km

B) 450 km

e) 250 km

D)

150 km

E) ·100 ,km

7) Francisca es seis años mayor ' lue Valentina. La suma de sus edades es 48, ¿Qué edad tenía

.Francisca hace 6 años?

A)

27 años

B) 24 años

 e) 21 años

D) 15 años

E)

12.años

8) Claudia, Luz María, y Trinidad fueron a comer. Si cÍividieroll' la cuenta en parte~' iguales

y

el-

monto total con el 10% de propina fue de $15.67?, ¿cuánta propina dio cada una?

A)

$522,5

B)$475

 e) $450'

D) $425

E

$375

9) .La suma de dos números es 17. Si el número más grande es c in co unidades mayor' que el doble

, del más pequeño, entonces los números son:

A) 2. Y

15.

B) 3 Y 14

q 4 Y 13

D) 5 Y 12

E) 6 Y

11

10) La fábrica, de bicicleias Ciclos produce 10.000 bicicletas al año. Si quiere aumentar la

produc-

'ción a razón de 1.250 unidades más por año, hasta fabricar 25.000 bicicletas anualmente, ¿cuán-

to

tiempo le tomará alcanzar su

m eta?

A)

B)

e

D)

E) 14' años .

11) La edad de

A

es el triple de la de

B

y dentro de 20 años será el doble. Hallar la 'edad' actual de

A.

A) 20

B) 40

e)

60

D)

80

E) 100 .

ID

años

11 años

l? años

1 3 años

121

n

A) '2-m

n-m

B)

-

2

n

C) '2 + m

n-m

2

E)

n-m.

- m'

5) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro. ¿Cuál es el

número?

A) 6

B) -6

C}

9

í»

-9

E) -12

120

p s u  

Cuadernode Ejercicios, Matemática

12) De acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones de

caridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada una

de las instituciones de caridad, la Cruz- Roja y el Hogar de ancianos A ta rdecer. Si la herencia es

SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N°

S  

PROBLEMAS DE PLANTEO CONENUNC(ADO

VERil

AL

17) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto l.

¿Cuáles son estos números?

Page 61: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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A) 12

A

7

B) 15

,

B)

8

C) 30

C)

-8

D) 42

D) -28

E) 45

E) -32

de $240.000.000, ¡.cuánto recibirá cada nieta?

A) $40.000.000

B) $45.000.000

C) $60.000.000

D) $65.000.000

E) $80.000.000

13} Si un obrero cobra $400por cortar verticalmente un tubo metálico en d9S partes, ¿cuánto cobra-

.rá IJar cortarlo en 4 partes?

A) $400

B) $600

C)$800

D) $1.000

E) $1.200

14) En cada día, de lunes a v ie rnes, g ané $600 más de lo que gané el día anterior, Si el viernes gané

$5.000, ¿cuánto gané el día lunes? .

A) $600·

B) $1.800

C)

$2.000

D) $2.600

E) $3.200

15) Se ha repartido $642.000 entre dos personas, Javiera y Sofía de manera que Javiera recibe

$36.000 más que Sof ía . ¿Cuánto recibe Sofía?

A) $36.000

B)

$267.000

C) $303.000

D) $321.000

E) $339.000

16) En un curso hay 60 alumnos. Si hay 15 niñas más que el duplo de varones, ¿cuántos varones hay

en el curso? . .

122

A)

13

Y 4

B) 14 Y 7

C)

15

Y 6

D)

16

y 5

E)

19

y 6

18) Los

3 .

de las gallinas de un agricultor son blancas,

. .

son negras y las 20 restantes son castella-

53·

nas. ¿Cuántas gallinas tiene el agricultor?

A)

28

B) 30

C  35

D)

60

E) 75

19) Se reparten $180.000 entre A, B Y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio

de la de C. ¿Cuánto recibe B? . .

. A) $20.000

B) $30.000

C) $40.000

D) $60.000

E) $90.000

:20) lfna sala tiene doble largo que ancho, S i el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en

4 m, la superficie de la sala no varía. Hall ar el largo inicial.

A) 12 m

B)

20

m

C) 22

m

D)

24

m

E)

26 m

21) Si el promedio de seis números es -6, y la suma de cuatro de ellos es 20, ¿cuál es el promedi o de

los otros dos números?

123

  S \i

PS U. Cuaderno de

Ejercicios

Matemática

, 22) Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de, fútbol

a un costo total de $M. Después de una discusión 2 socios se retiran. ¿En cuántos pesos se

' f '

t SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N  5. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VER:BAL

1 . 27) U, p f, ,,~ tr ~ • ,, ,,, ,. d, 01  , pre, ,  ,   .I ,m   ,  ,,  ,d0;1 El ,, ,o ·

, diante responde: si toma el doble del número que somos y lo divide por cuatro

y

además me,

cuenta a mí, somos exactamente 25. ¿Cuántos estudiantes eran?

Page 62: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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M-20

A) -2-

M

B) 40

I

28)

C) 9

M

D) -

2

E) 2M

A)

60°

B)

75°

C 90°

[ 29)

D) 100°

E)

105°

incrementa el costo-correspondiente a cada uno deIos 'restantes socios?

23) Dos.ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45° al mayor, ¿cuánto mide

este último? .

24}

Dos ángulos son complementarios y están en la razón de

2 :

3. ¿Cuánto mide el menor de ellos?

A) 18°

B)

25°

,C) 32°

D) 36°

E) 54°

25) Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x,

¿cuánto vale x? '

'A) -2

B  - 1

C) O

. D) I

E) 2

26) Sea  a  un número. Si el doble de este número excede en 1 a su cuadrado, ¿cuál de las siguientes

igualdades corresponde a ese enunciado?

A) 2 . (a +

1)

= a'

B) 2a + I = a 

C) 2a - 1 = (2a - 1) 

D) 2a

=

+

1

E),. 2a = (a

+1)2

1 ;

: J

i

: 1

,

I 1

:1 '

 

\ ¡

11

'jl'

'1

124

A) 24,

B) 25

C) 48

D) 49

E) IDO

Se puede conocer el 'valor de x si:

(1) La quinta parte de x es 2.

(2) L a diferencia entre el doble de x y -lOes igual a x.

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se, requiere información adicional

Se 'quiere determinar cuánto tardarán dos' hermanos en pintar una habitación trabajando juntos:

(1) Trabajando solo, .el hermano mayor demora 3 horas

(2) Trabajando solo, el hermano menor demora 1,5 veces lo que tarda el mayor

. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

'D) Cada una por sí-sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

30) Sea N = 10d

+

uun número de dos cifras en el sistema decimal, siendo  d  la cifra de las decenas

y  u  la cifra de las unidades. ¿Es N par?

(1) (d

+

u) es un número par

(2) u es dígito par'

A) (1) 'por sí sola

B) (2) por. sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D). Cada una por

sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional ,

RESPUESTAS CORRECTAS

125

PSU.Cuaderno de Ejercicios , Matemática

CAPÍ'fULO S. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES

Test N 6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas' de ínecuacíones l in ea les

SEGUNDO EJETEMÁTICO / Test N 6, DESIGUALDADES, iNECUACIONES

y

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

2x-1 <3x+2

6) La solución de l siguiente sistemas de inecuaciones , ( I es e l conjunto

, 5x+222 x+4)

Page 63: Matemáticas UC

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1) La máxima velocidad v permitida en carretera es de 120 km. Al expresar matemáticamente ' esta

h

proposición se tiene

A) O < v

s:

120

B) O

<

v

< 120

C) 0<vS:119

D) v>120

El v 2120

2) El doctor indicó al Sr. Juan Gordillo que, co'nsiderando su peso actual (p,), y su peso ideal (p),

, debería bajar por lo menos 8 kg. La expresión matemática para esta relación es

A)p. - PiS: 8

B) Pi + 82 p.

. C) P, s : P

a

- 8

D) 8 - Pa s : P,

E} P

i

- P, s : 8

3) ,¿A lo más, cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandí a de $1.800 se pueden comprar con

un billet e de $20.000?

A)

88

Bl 89

C) 90

D)

91

E) 92

4)

En un L '. ABC, cua lquier a, AB

= 6

cm

y

BC

= 9

cm. ¿Cuál de las siguientes desigualdades debe

verificarse para el tercer lado?

A) 6 cm < AC < 9 cm

B) 6cm < AC < 15 cm

C) 3 cm < AC < 9 cm '

D) 3 cm < AC < 15 cm

E)

9cm

<

AC

<

15cm

5) El intervalo soiuci ón de la inecuación 3x -,14 < 7x - 2 es

A) [-3,

+ =I

B)

,]-=, -

3[

C) ]-00, - 3]

D) ]-3,

+

=I

E) ]3, +

=I

126

A) {x E llt / x > - 3 }

B) {x E llt

I

x 2 - 3 }

C) {xEllt/x>2}

D) {x Ellt I x 2 2 }

E) {x E

lFU-

3 <x s:2 }

7) La soluc ión gráfica de la inecuación 2x _ ~ > x + 10 es

3 3

A)

~

7

B)

~

 (

,  

7

D)

,

7

E)

7

8) La soluci ón gráfi ca de l a inecuación (x _'1)'._ 7 2 (x. - 2)2 es

~

) , 5

B)

C)

~

5

~

5

Ew

'

D)

5

E)

5

127

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

, 5x-4>7x-16

9) Al expresar gráficamente y como intervalo el conjunto solución del sistema I Se

8-7x<16-15x

v  

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I,TeS N' 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

12) El conjunto solución de la inecuación -5 > 2x

+

1~ -13 es

A) {xEIltI-3>x~-7}

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obtiene

A)

(~

]-00

1[

1

B)

~~

]~, 1)

1

C

~

] 1, =I

1

D)

~

[1,

o o [

1 ,

E)

,  4~}

  - 00 1 [ u) 1, 00[ ,

10) El intervalo solucióndel siguiente sistema es ,

,

A) T h t

B) [3,4 [

C) ] ~ ,4 [

D)  -004 [

E) [3,

00[

x~3

x<4

2(x-1»5

11) La soluéión del siguiente sistema está dada por el intervalo

A) 'J3,3-:l-JU]4,o:.[

B)[3¡,4[

C) ]-oo ,3t]v ]4 ,oo[

D) ]-oo,3[u4,oo [

E)

¡l

128

5(x-3)~~2+x

3x>2x+4

x<3

B) {x E Ilt

1 3::;

x

< -

7}

C) [x E Ilt

1 3 >

x ]

O) [x E Ilt   x ~ - 7}

El

¡l

13) Se quiere poner 24 libros. en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros'

'.y en l a inferior, menos del doble qne en la superior, pero más de

13,

¿Cuántos libros se podrán

'poner en la parte superior del estante?

A) Más de 9

B)Menos de la

e) 9 ó más

D) 10

Ó

menos

E) 9 Ó 10

14) Al resolverla inecuaciónl 9 -

61\

I

>

3 se obtiene como solución

A) jr, 2 [

B) ] - 00 1) u)2,00[

C) [1,2 [ , \

D) ) -;:-00 I[ u 2, 00[.

, E)

Ilt

15) La solución' de Ja inecuación 1 1 - xl   . . es el conjunto

2

A) [ ~ , % ]

B) [ ~ , o o [

C ) J - o o , % J

D ) [ 0 , % ]

' J l J   [ 3 [

) ~ 2 u2 co

129

PSU. Cuaderno de Ejercicios,

Matemática

16) ¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?

1

Va effi : .

) a+- ?: :2 ,

~'<

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES

y

SISTEMAS DEINECUACIONES LINEALES

x+3 < 5

2

se obtiene como solución

0) Al resolver el siguiente sistema de inecuaciones

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a .

a:i 1

Vá elR ,;

I) --:>-

1

+

a 2'

III) (1 + a}(1 + b) 2: 4, s i a > O, b > Oy ab = 1

A) Sólo

r

B) Sólo 1 y T I

C) Sólo 1 y I1I

D) Sólo II y III

E)

r,

II Y III

17) ¿Qué números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones síguíentes o

1)' el doble del número más 3 es menor que 11:

Il) el triple del número más 2 es mayor que 5:

A) cualquier entero positivo.

B) cualquier entero positivo mayor que .l.

C) sólo el 2 y 'el 3.

D) los enteros positivos menores que 4.

E) no existen números enteros que cumplan las condiciones dadas.

18) En un teatro con capacidad para 500 personas se iecaudaron más deS2.000.000 el día del estre- .

no. de una obra dramática. Si la entrada valía $6.000, ¿cuántos espectadores 'asistieron ese día a

la función? .

A) 500 espectadores.

B) Menos de' 500 espectadores.

C) El número de asistentes es mayor que 333 y menor o igual que 5QO.

D) 333 espectadores.

E)

334

espectadores ..'

19) ¿A cuál- intervalo pertenecen los números reales que son mayores que su cuadrado?

A) ]~, l[

B) ]0, l[

C) ]0,

=I

D) [O, 1]

E) ]-1.,O[

13 

2 x

2 - -:-:; O

7

A)

]-00,

7[

B) [7,

+=I

C) {7}

. D)

I R , .

E)  il

21) La.esfinge de Tebas  amenazó a un caminante con matarlo si no respondía correctamente a.Ia

siguiente pregunta:  Hace 500 años mi edad no era superior a la mitad de la que tengo ahora, y

dentro. de 1.000 años no será mayor que el doble. ¿Cuál es mi edad? . Si el caminante sobrevivió

a la prueba, ¿cuál fue su: respuesta?

A) 500 años

B) 750 años

C)· 800 años

D)' 900 años

E) 1.000 años

22) El conjunto solución de la inecuación

. ¡. -

1 2:O

A)

]-00,

-1]

u [1,

oo[

B)

]-00,

-1]

C) [1,

oo[

D) (-1, 1]

E)

I R ,

23) Los números reales que satisfacen la inecuación x' - 6x + 8 < O pertenecen al intervalo

A) ]-oo,2[

B) ]4, =I

il

D)

I R

E) ]2,4[

. 24) El conjunto solución de la inecuación x' + 6x + 9 > O es

A)

B) ]~oo, ~3[

C) . ]-3, =I

D) {-3}

E) I R - {-3)

131

PSU ;Cuaderno de Ejercicios.

Matemática

25) Al resolver la inecuación x'

+

x

+

l <

O

se' obtiene' como solución

A) I R .

B) i 1 J

r

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 

6,

DESIGUALDADES, INECUACIONES y SISTEMAS

DE

INECUACIONES LINEÁLES

30) Después' de un viaje,

a

Francisca le sobraron algunos dólares

y

algunos, francos, Si por aquel

entonces una moneda de 1 dólar equivalía a $420 y, un franco equivalía a $9Ó, ¿cuántos francos

tenía Francisca?

Page 66: Matemáticas UC

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C) [-1, 1]

D) I R . +

E)

I R . ,

6 El' ió n de Ia i i ó 2x +

1

3

) r conjunto solución eIa mecuaci n ---  <, es

, x+2

(1) Francisca tenía ¡'a mitad de monedas de un dólar que de un franco.

(2) El valor en pesos de los dólares

y

francos que tenía estaba entre $5,500

y

$5,900.

A) (1) por sí sola

B)

(2)

por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) ,

O )

Cada tina por sí sola, (1) ó

(2)

E) Se requiere información adicional

\

133

A) l+=. -5[

.Bl ]-2,

= I

C) ]-=, -5[ u]-2,

C o [

D) ]-5, -2[

E)

W ,

x+3

27) Al resolver la inecuación --

3

4

x+2

> l se obtie~e ecmo solución el intervalo

3

A)

]-=,

-2[ u2,=[

. B) ]-2,2[

C)

}-=,

-2[

D) ]2,

=[

E) ]-=, -2] u-2; =I

28), Si un cjradrado tiene lado a y esta longitud se .incrementa en x%, ¿se incrementa el área del

cuadrado en más de un 10%?

(1)

x <

10%

(2) x> 5%

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) ,Cada una por sí sola, (1) ó

(2)

E) Se requiere' información adicional

29) Se pide encontrar la longitud del mayor de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que está

medida por un número entero.

(1) Dos de los lados del triángulo miden 2 cm

y

9 cm,

 2 

t;  

ABC esescaleno

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

132

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA

Test W 7: Geometría Analítica básica

¡ , ;

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

f

Test' N  7. GEOMETRÍA ANALíTICA BÁSICA

5) ¿Cuál es el área de' un círculo que tiene un diámetro con extremos A (-3,3)

y

B (3 , -3) ?

A) 24n:

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1) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado con su centro en el origen Oy de lados paralelos a los

ejes X e Y. Si las coordenadas de l vé rt ice C son ( 4 , 4 ) , ¿cuáles son las coordenadas del vértice A?

A)

( - 4 0 /2 , - 4 - 1 2 )

B) ( - : - 4 - 1 2 ; ~ )

C)'

(' -4 , -4)

D) (~,4)

E)

( 4 , - 4 )

y.

D

e

o

B

2)· Si el punto A tienecoordenadas (1, 2) y.el punto B tiene coordenadas (9,8), ¿cmí.l e s la distancia entre

A y B?

A) 10

B) 9

C  8

D) 7

E) 6

3) La 'distancia entre los puntos A(-5, 4) Y B(7, -1) es

A) 5

B) 17'

C) 13

D) 18

E),

600,

4) ¿Cuál es el perímetro de un t riángulo cuyos vértices tienen coordenadas (1 ,4);

(1 ,

7)y (4 ;4) ?

A)

3+.J2

B)

3 - 1 2 .

C 6

6+3F2

E) 9+3.fi

l '

J '

,\

x

B) l8n:

C) l2n:

D  9n:

E

4n:

,6)

Si

A (

0,

a).

B

(O ,-4) :C(2 , -1 )

Y D

(2,2)

son los vértices de un paralelógrarno, entonces a

 

A) -8

B) -7

C) -6

D)-2

E)-l

7) El área de la figura que resulta al unir consecutivamente los puntos ~ (-1,-2), B(3,-2), C(5,2)

y

D(I,'2) es

.A) 4 5

B)

1612

C) 2 5

D) 16

E sF2

8) El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4), B(-3,-I~ y C(I,-3)' es

A) 16

, .Jl3. J6 í

B) --

2

.Jl3.~

C) 2

D) 12

E) 10

135

PSU. Cuaderno de Ejercicios.

Matemática

9) El cuadrilátero ABCO es un trapecio isósceles con An·  BC y vértices A{3,O) , B(2,3).y

C

(-2,3). Las coordenadas del vértice

D

son

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁS C~'

13)

Si·

M (-3,

O) es el punto medio del trazo

AB,

con

A (

4,6) . entonces las coordenadas de B' son

A) (-ID. -6)

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A) (-1,0)

B) (-2,0)

e)

(-3,0)

D)

(~4,0)

E) (7,0)

lO) Tres de los cuatro vértices de unparalelógrarno tienen coordenadas: (O ,-2) , (-1, O ) y (-2 , -2 ). Las'

coordenadas del cuarto vértice pueden ser:

1)

(-3,0)

II)

(1, 0 )

De las afirmaciones anteriores, esíson) verdaderats):

A) Sólo 1

B)

Sólo

TI

e) Sólo ID

D) Sólo 1

y

II

E) 1, II YID

11) El triángulo que tiene vérti ces en los puntos A(0,3), B(7,6) y C(2,8) es

A)

escaleno

B) equilátero

e) re~táng\llo

escaleno

. D)' rectángulo isósceles

E) obtusángulo

12) Las coordenadas del punto medio del trazo que· tiene por extremos los puntos

Q(2,5 ; 1,6) son

A) (3,8;

4,0)

B) (1,9;2,0)

e) ,(3,8; 2,0)

O) (1,9; 4,,0) . ,

E)

(1,8; 2,5) .

136

-<

ID) (-1,-4)

B) ( i , 3 )

e) (11. 12)

O)

( i .3 )

E) (-:-5. -3) .

14) Si el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos P(m.2) y Q(3m,~4) tiere

coordenadas

( -6 , -1 ),

entonces m =

A  - 4

B) -3

e) -2

. 3

D) --

2

E) 2

15 ) Si A(-2 ,0) , B(1O ,8 ) Y e( 0 ,8 ) son los vértices de un triángulo. ento~ces, la ~edida de la longitud

c e

la transversal dé gravedad

t,

es

A) 4 .[2

B)

. J 2 9

e) 2 16

p (1 , , 3 ; 2 ,4 ) Y

t

D) 215

E)

4 .

 

117

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

16) Si A(-2,S), B(-4,1) , C(-2,-3)y D(O,I) son los vértices de un cuadrilátero, ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) verdaderaís)?

1 ) ABCO es un rombo

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N  7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA

19) En la figura adjunta, el área del triángulo ABC es 24, ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?

A)  W ,-2)

l'j¡

Page 69: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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U) Perímetro de ABCO es 8.)5

Ill)

Área de ABCD es 32

A) Sólo

1 '

B)

s e re r y n

C) Sólo Iy III

,O) , Sólo

II y

III

'E) 1,U Y III

l7)

La distancia ent re los puntos

P

[a,b)

y

Q

(b,

a) es siempre igual a

,A) °

B) a+b

C) 2a+2b

O) (b-a)$

E)

l b ..   a l . J 2

18) ¿Cuál(es) de las siguientes PíOPosicion~s relativas al triángulo de vértices D(4,1), E(-l,-l)

y

F(2,-4) es(son) verdaderars)?

1) 6, OEF es isósceles con base EF

7 . J 2

II) La altu ra r especto al lado EF mide --

  2

rm

'El áfea del 6, DEFes

E

, 2

A) S610 1

B) S610 II

C) Sólo 1

y

U

O) S610 1 y III

E) , 1,

II Yni

138

 

E) (10,2)

<;:(2,4)

C)

(2,6)

° 1

b

~B

X

O) (8,-2)

A(2,-2)

E) Falta información para .determinarlas.

 L

20) Si ,A(-2,-i) Y B(2,-2) son dos vértices del triángulo equilátero ABC, entonces las coordenadas,

del vértice C pueden ser:

1) (0,2(F-:-l))

II) (0,-2(,.}3+1))

III) (0,0)

A) Sólo 1

B) S6lo n

C) S6lo III

D) Sólo 1 y n

E) I , II Y

ID

21) En la fi gura adjunta. ¿cuál es el área 'de la superficie achurada?

y

A) 5,5

3

B) 5.0

2

C) 4.5

O), 3,0

'E) 2,5

UI

1 2

3

X

,22) Si A(-6,0). B(O,O) y C(0,8)' son los vért ices de un triángulo. la medida de la longitud de la

mediana que es paralela al lado AC es

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) i o

139

PSU . Cua de r no  de Ejercicios; Matemática

23) Si el  '- PMN de la figura adjunta, es isósceles con base PM, entonces ,se puede afirmar que las

coordenadas del vértice M son

A) (O,2b)

Y .

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

J

Test N° 7. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSIC~',

26) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a una circunferencia con centro en el o rigen y radio

107

l) (8,6)

,Il) (-sfi, -sfi)

'IlI)  - 25 1 ,4 )

Page 70: Matemáticas UC

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25) ¿Cuáles son las coordenadas del.vértice B del triángulo OAB de la figura adjunta?

I

(2) El círculo tiene su centró en el origen

y

pasa por el punto de coordenadas   - 1 , 2 . J 3 ) .

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,

(1) y (2)'

D), Cada una por sí sola, (1) ó (2) .

E) Se requiere informaci ón adi cional

29) Se quiere determinar I<\ Scoordenadas del vértice B de un t riángulo equilátero ABC del cual se con ocen:

A(-:-6 ;O )

y

C (O ,.6) .

B) (2b,i)

I

Wb,c)

C) (2c,a)

P(O,a)t'J

'>M

D)

(2b,a)

° 1

X

E) (2a,2b)

24) En la figura del ejercicio anterior, ¿cuáles sonIas coordenadas de la, imagendel punto N, 'como

resultado de' una reflexión respecto de la recta PM 7

A)(b,

-c)

B) (-b,c)

I

I

C) (b,a-c)

D)

(b

J

2il+c)

E) (b,2a-c)

( O a J 3 )

A) '3

( o 2 a J 3 )

y,

B) '3

C)

( O , 2 a )

B

D) ( O , ~ )

E) ( o , ~ )

A(a,O)

140

x

A)

se ier

B)Sólo rr

C) 'Sólo ly II

D

Sólo l yIlI

El l, TI

r

lIT

27) Si

A(

-2,3),

B( 5,3) , C(

a,

7) y D(l,7 )

son los

vértices

del paralelógramo ABCO, entonces la

diagonal.

AC

mide

A)

n

B) ,2J 29

C)

6 . J 3 ,

D) 10

E f i

28)

Para determinar el área de un círculo se sabe que:

(1)

Los puntos de coordenadas (3,2)

y

(-3,-2) son los ext remos de un diámetro del círculo,

(1)

B es un punto del cuarto cuadrante ..

(2) B es un punto de la bisectriz del segundo

y

cuarto cuadrante.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

111

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

30) Para determinar las coordenadas del baricentro G de un triángulo ABe se sabe que:

(1) Sus vérti ce s son:

A(-5,2),

B  3 ,0) y

C(I,6).

~r'f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECIA

CAPÍTULO '7. ECUACIÓN CARTES IANA DE LA RECTA

Test N° 8: Ecuación cartesiana de la recta

1) Dados los puntos A(2, S ) , B(3, 4) Y CC-l, x). ¿Qué valor debe tener x para que los puntos A,B

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(2) Los puntos medios de los lados tienen coordenadas:

(-1,.1), (2,3) Y (-2,4).

A)

(1)

por sí sola

B) ·(2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola,

(1) Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

142

y

e sean colineales?

A) -1

B  O

el

D) 4

E)

2) Si, e l punto

Q,

cuya ordenada es -7, pertenece a la recta cuya ecuación cartesiana es ,6x - Sy

=

iJ,

entonces la abscisa de

Q

es: '

Al -3

Bl -2

el O

D) 1

E) 7

3) El punto Míx, x

+

1) es el punto medio del segmentocuyos extremos son los puntos A(-x

+

3; 5; Y

B(5x - 1, 3x - 2l,'entonces x =

Al -5

Bl -1

e)

3

D) 7

E) 9

4) El punto P, de abscisa -2, es un punto' de la recta de ecuación cartesiana 3y'- 2x

=

19. Entonces

, l a o rdenada' de

P

es

Al

B)

3

,e) ,

- 2

23

D)

3'

El

25

2 .

S) La ecuación cartesiana que representa a la recta de la figura es

A) -3x

- l o

2y   O

Bl3x-2y+2=O

e)

2x-3y+2=O

D) -2x + 3y + 6 = O

E) 2x - 3y

+

6

=

O

-3

o

x

~3

PSU. Cuaderno de

Ejercicio s,

Matemática

6) La ecuación que representa a la recta de la figura es

A) 2x + 3y - 6a = O

B) 3x+2y-6a=0

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test

W

8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RICTA

\.1) La pendiente de la recta de ecuación: 3ic - 9 y - 4 = O es

A)

3

B)

- 3

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'e) 3x - 2y - 6a = O

D) 3x

+

2y

+

6a =0

E), 3x - 2y + 6a = O

7)

La recta de la figura está ,mejor representada por la ecuación

A)

x -

2

=

O

E)

y -

2 = O

C) x+y-2:=0

D ) x + y +2 = O

E)

x-y+2=0

8) La recta de la. fj~ura está mejor representada por la ecuación

A)

X-

1

=

O

B) x + 1 = O

C) y~l=O

D)

y

+

1

=

O

E) x + y + '1   O

,9)

La ecuación' de la recta de la figura es

A) x

+

y + '2 = O

E) x

+

y ~ 2   O '

e)

x -

y

+ 2   O

D)

x - y -

2

='0

E)

x'-y=O

10)

La ecuación cartesiana que representa a 'la recta .de la figura es

A) 2x -

3y

= O

B) 2x

+

3y = O

e) 3x + 2y =

O

D) 3x - 2y

 

O

E )

3x

+ y = O

144

,Y

2

.1

o

1

y

2

1 -

-1

o

I -1

2

.x

x

x

x

1

e)

--

3

1

-

3

E)

4

9

12) La pendiente de la recta de ecuación: x   4y _ 8 es

1

4

B) 4

e) 1

D) 8

E) 2

A)

13)

Para' que la recta de ecuación: 3kx

+ y - 10

= O tenga una 'pendiente

6,

el valor de k debe ¡er

A) 2

B  - 2

e) 3

D) -3

E)6

14) Una recta paralela a la recta de ecuación: 5y = 12x + 20 es

A) Y = 12x + I

B) y ,,;-sx - 2

C) Y =

4x +

8

12

D) 5y= s-x-l

E) ,10y = 24x

15)

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5,

,2)

Y Q(2,

-1)

es'

A) 3x

+

7y + 1 = O

B)

x +

2y = O

C) 3x

+

8y

-r

1 = O

D)

4x

+ 7y -

1

=

O

E ) 2x + 5y = O

145

PSU. Cuaderno de Ejercic ios  Mar emá tica

16) La recta L del gráfico de la figura siguiente tiene por ecuación:

'j.•

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N  8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

I . .  

20) La rectal pasa por el origen del sistema de coordenadas

y

es perpendicular a la recta

y

= x - 2.

La ecuación de l es

A) Y

=

x

y

A) x

+

y

= 2

3

L

,

 -

B) x - i - y

 

3

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\1 ··· . ·

1 ,

i~,

,

I t ·

~

~

I

~

~

J 7 )

¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la nieta 5x - 10y

+

8 , ; , O ? .

'. . ' , . 3

,18) La recta que pasa por el punto (-3,2) Y que es paralela a la recta y=-

x+2

es

.   . . 2

A)

x - 2y +

7

=

O

B }

Jx -

2y + 13 = O '

C) 3 x + 2y ~ 2 = O

D) 3x  :

2y -

5 = O

E) 2x +

3y -

1   O.

19) Si las rectas L, : 4x - 3y = p, Y' L

2

:-2x + ky = 15 son paralelas, entonces el valor de k, es:

B)

y

=-x

C)

y

 

x

+ 2

D) y=-x+2

E)

y

= -x - 2

2.1) La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (-2, O) Y es perpendicular a la recta

3x + y   2es:

A)

y

=

x +

2

B) Y =

2x +

3

1

e) y=-x+2

3

1

D)

y=-x-2

3

1 1 -

E) y=-x+-

3 3

22) La ecuación que representa a la recta L de lafigura adjunta es:

Al -x - '3

=

Y

E) x - 3 = Y

C) x + 3 = Y

D )

x -

3y - 3 = O

E) 3 x - 1 =

3y

L

3

x

y

3

2

-3 -2 -1

A)

- 3

l.3)

. ;.

3

B)

-   2

2

C)

-

3

3

D)

-

2

E)

3

o

2

Dados los puntos M(7, -1) YN(-2, 8),en¿ontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen

de . sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta. MN.

A)

x

+

y

=0

E) x -

y '=

O

C ) 4x -:-y = O

D)

x

+ 4y = O

E) 7x - y

=

O

147

<;

2

C) 2x - y = l

~ ~ I

D) x + 2y = 2 • ,

0 1

2 ' -- -

X

1

) 2x'¡' y ' = 2

A) Sx - 2y

+ 4

= O

B) x -

2y -i -

16

=

O

I

8

C) x + 10y +.'-'- = O

i

. 5

I

.   1

8 .

D )

x - lOy +- =

O

5

~

I~

1

8

~

. El x + 2y

+ -

= O

~

5

 .

1 4 6

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

~

I

24) La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (5, O)

Y

(O, 2) respectivamente,.

es:

A) 2x -5y

 

10

l

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA

~.

28)

Se pi de determinar la ecuación de' una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas;

Para ello se sabe, además que: ' '

(1) pasa por el punto (1, 2)

(2) tiene pendien te 2

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\

l .

2 .

B) y=--x+l

5.

2 .

C) x =l--y

5

D) 5x

+

2y

=

10

El 2x + 5y

=

10

25) El perímetro del triángulo determinado por la recta ~ +

'i .. . =

1,

Y

los ejes de coordenadas es:

.4' 3 '

A) 5

B  6

C  7

D) 9

E) 12

26) En la figura adjunta, la ecuación de la recta L, es

y

=

%

x , ;la ecuación de la recta L

2

es

y

= ~

x

+

2 ,

y

L,

El área del triángulo OI'Q mide, en. unidades, cuadradas:

A) 1

Bl' 2

C 3

D) 4

E) 6

27) Si se hace rotar en 90°, enel sentido antihorario, la recta x

+

y

 

O en torno al origen del sistema

. de coordenadas, en tonces la ecuación de la recta así retada será:

1)

Il)

III)

A)

B)

C)

D)

E)

-x -

y

=

O

x   y =O

-x +

y  

O

Sólo 1

.sólo II

Sólo III

Sólo II y III

Ninguna de las anteriores

148

x

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) Dada la recta cuya ecuación es 2x +

ky -

7

 

0, se pide hallar la ecuación de la recta paralela a

ella si se sabe que:

(1) pasa por el origen del sistema de coordenadas

(2) k = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sol a, ( 1) ó (2),

E) Se requiere información adicional

30) Una recta corta a los ejes de coordenadas X e Y en los puntos P y Q, respectivamente, Se pide

determinar la pendiente de la recta PQ y para ello se. da la siguiente información:

(1) P(4, O)

(2) Q(O, 3)

.A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

149

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EéuACIONES LINEALES

Test N° 9: Sistemas de ecuaciones lineales

1)

Si u = v, y 4u = 2v - 6, entonces' u =

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6)

Dado el sistema

13x-lly =17

1

, los valores de (x + y), y de (x-y) son respectivamente

llx-13y=7 .

A) 5 Y

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A) -12

B) , -6

C) -4

D) ,:-3

E) - 2

'2) Dado que x = 5 - 3y, y' x = 9

+

y, entonces ,«y» es igual a

A  - 7

, B) ,-2

C) -1

7

E)

8

3)

Si 2x - Y = 5, Y x + 2y = 25, 'entonces x =

A)

25

B)

9

C)

7

D)

3

35

E) 4

4) Si x + 3y

=

15, y «x» es el doblede «y», entonces los valores de «x» y de «y» son, respectivamente

A) 6 y.3

B) 4 Y 2

C) 2 Y 1

D) 10 y 5

E) 8 Y 4

5)

Si 3x -

10y

= 40,

y

A) -7

B) 3~5

e)

6'

D) 7

E) 14.

4x + 3y =

9 ,

entonces x - y =

150

B - 1 Y 5

C) 1 y 5

D) -5 Y-1

E) -1 Y-5

7)

Dado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente

x+2y=0

x:y=2:3

El conjunto solución del sistema es

A) {(O, O) }

B) ((-2, l)'}

C) ((2, 3) }

D)

(H

-3) }

E) < 1 >

8)

La solución del siguiente sistema está dada por dos números enteros consecutivos

y

positivos

x

e y

tales que x > y:  

x+.y =k I

x-y=k-2

entonces el valor de «k» es

A) O

E) 1

C  2

D) 3

E  4

)

2x-3y=8

9) Dado el sistema ,' , 1 , entonces la solución es

6y-4x=9

A)

x

=4, Y= °

  2

B) x=O,y=3 

C)

-x

  O, Y   °

D) no hay solución.

E) hay un número infinito de soluciones.

151

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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

18) ¿Para cuál, de los s iguien te-s pares de valores de u y v las rectas L¡: 5x - 2y-l0 = O, y

L, : .15x - uy- v

=

O son paralelas no coincidentes?

u

v

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

22l En un rombo la suma de las díagonales es 14 cm y se sabe que el área no varí a cuando la diagonal

más corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. El

per ímetro del,rombo es de

Al 14 cm

E)

Page 77: Matemáticas UC

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A) 3 6

E) 3 30

Cl

6 10

D 6

30

E

10 20

l ·

19) La 'suma de dos números es 27. Dividi endo el mayor por el menor se obtiene un cuoci ente igual a 2

y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números?

Ál 19

y

8

E)'

20 y7

C) 22 y 8

D) 11

y 10

E) 18 y 11

Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, menos un año. En dos años más, el padre tendrá el

doble de la edad de su hijo más nueve años. ¿Cuál es la edad actual del padre  f del h ijo

respectivamente? .

20)

Al 23 y

8

El 29

Y

10

Cl

56 y 19

r » 35 y

12

El

59 Y 20

21 1 El denominador de una fracción excede al numerador en 5 unidades. Si el denominador se aumentara.

en 7, el val or de la fracción sería ~. ¿Cuál es la fracción?

2

2

Al -

. 7

1

El '2

12

C) . 17

22

r» 27

32

E) 37

154

C) 16 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

23

1

Una lancha recorre 6 km en 40 minutos en favor de la corrient e; el viaje de regreso l e t oma 1 h ora.

Encont ra r la rapidez de la lancha en agua t ranqu ila, en ki f¡

h

Al 1,5

Bl 3

C) 4,5

D) 6

E)

7,5

24) La suma de 'los dígit os de un ci erto numero menor que ci en es once. Si los dígitos se inviert en,

entonces 'el 'numero disminuye en nueve unidades. La diferencia positiva entre las cif ras del número

original es

A)

O

E)

C) 2

D) 3

E 9

25) En la' figur a adjunta,

MN ..L OM Y PN..L O P.

Si R es el punto de intersección de la recta

L¡ : x - y = O con la recta L

2

:

3x +

y -

3a = O.¿Cuá l es la razón ent re las á reas de l t riángulo OMR

y el cuadr ilátero OMNP?

y

A) 1: 8

E) 1:6

C) 1:4

D) 1:3

V

~b

I

E)

3:8

Jl\~

X

155

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

En una bolsa hay bolitas blancas y negras, 'La quinta parte de las blancas equivale a la tercera parte

de las negras y el promedio del total de boJitas excede en seis a la mitad de las blancas, S.í b es el

número de boJitas blancas y n el número de bolitas negras, el sistema que nos permite calcular b y n

es:

26)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES

28) El siguiente sistema tiene una única solución para las incógnitas  x e  y  si:

ax+by ec

dx+ey=f

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t

i

¡

:i  

~

~

~

 

\1

1 :

t ,

l '

 

i.

I

~

i

 

¡ :

¡

e: I

¡,

¡ l

I

~i 

I

11

~

b

n

--

3

A)

b~=~+6

2

2

b

n

--

5

B)

b+n=~+6

_2_ 2

b

n

-

-

3

e)

b~=~_6

L

2

b

n

--

5

b+ n _ ~ + 6

2-

'

~=~

_ 5

3

E  

b~=~_6

2

2

2x

-'-,6y'=. 3

27) Si el siguiente sistema px + lOy = q

depyqson

10 15

A) P=~3' q=-3

6

B) P=-s

9

q=-S

10 9

,C) P=-3' q

= -S

9

q=-

5

6

D) p=-S

6

E) P=S'

t

I

Ü

9

q=-S

156

 

tiene un número infinito de soluciones. entonces los valores'

(1)

a

b

-;é-

d ' e

(2)

c;é f

A)

(1)

por sí sola

B) (2)

por sí sola

C) Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó

(2)

E) ,Se requiere información, adicional

'29) Se pueden determinar las ed~des de Ignacio y Francisca si se sabe que:

(1) La edad de Francisca excede' en 7 años a la tercera parte de la edad de Ignacio,

(2) La edad-de Ignacio es ig~a1 al tri;le de la de Francisca disminuid~ e~ 21.

A) (1) por . s f sola

B)

(2) por sí sola,

C), Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (I), ó (2)

E)

Se requiere información adicional

30) ¿Cuál es el valor de x

e-

y?

(1) a-b = 12

(2) ax + by-ay-bx = 24

A) (1) por sí sola

B) , (2) por sí sola

C) 'Ambas juntas. (1) y (2)

D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)

E), Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

157

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

CAPíTULO 9. POTENCIACIÓN

Test N° 10:' Potendas

,1) De acuerdo a la d~finición inductiva  n de potencia para basé r eal y exponente natural, la expre-

sión a'

+ ,

es igual a' ,

f

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N' 10. POTENCIAS

6) El número más grande que se puede escribir utilizando exactamente tres veces la cif ra t re s, sin

usar signos de operación, es '

A) 333

B) 33

3

Page 79: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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3' - 3

3

equivale a

A)

3'

B) 15

t

11)

C) 3

3

',2

3

D) 3

3

.2

4

5

E)

3

3

'1) a' + , . a

O

II) a  a III) a' -, . a'

A) Sólo L

B) Sólo

n..

e)

,Sólo III.

D) Sólo I Y,II.

E) 1, II't IlL

2) La, potencia 9

6

1)

A)

B)

e)

D

E)

tiene el mismo valor que lafs) potencia(s)

II)

81'

Sólo I

y n.

Sólo

n y

III.

Sólo I y 111. '

1,

u y

III.

1Il)

Ninguna.

3)2'+11'=

A)

53

B)

13

z

C) 13

3

D)

13'

E) 22

3

4) 7

3

_ '10'=

A) (-W

)3) (_3)3

e)

(-3)'

D

3'

E)

3'

5)

• Para la d efinición inducuva del concep to de potencia de bas e

rea fy expon en te

natur al. consultar-nuestro Manua l de Pr epara ción P.S .U. Ma temá tica editado po r

Ediciones Un ive rsidad Ca tólic a

de

Chile  Sex ta Ed ición  Marzo d e2006   pág ina 188.  

158

729'

C)- 3

33

D) (3

3

)3

E) 3

13'l ,

7) l

>

(-1)'

_(_1)0.

(-1)':

(-1)3

 

A) -2

13) -1

C) O

D) 1

E) 2,

8) ¿Cuál es la cifra de las unidades del

núme ro

36O?

A) O

B) 1

e) 3

D) 7

E  9

9) (-2)' + 2-'

A) O

B) 1

C) 4

D) 4

E) indeterminado

10) 3' .

2 7

=

A)

B)

3

22

C)

81'

D

81 

E)

81

a s

La cuarta potencia del doble del cubo de cinco se escribe simbólicamente como

A) 4.2.5

3

B) 4· (2 . 5)3

C) 2· (53)'

O)

(2' 5

3

) 4

E) (2

3

• 5

3

)4

159,

1

,

:

PSU. Cuaderno de

Ejercicios, Matemática

12) (n-

I

+

n-')n'

 

A) n-'

+

n-<;

B)

n-'

e) n'

6

: w  

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

TeS  N ID, POTENCIAS

17) Si 3' = a,

y 2'

= b, entonces

3'+1 . 2 '+ 1

=

A) 6ab

13) ab?

e)

(ab)'

Page 80: Matemáticas UC

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D)

n-

E) n(n

+ 1)

13)

. 2

2  

Al simplificar la expresión ~ se obtienecomo resultado

2 ( 2 2 )

A) 2-'

-E) 2-

1

e) 2

0

D)2

E) 2'

14) El promedio de las 'potencias 2 '0 y 2' es

¡,

A)

2

60

B ) 2

30

e)

1

30

i

D) 2

10

+ 2

20

:.

E)

21' + 239 '

s n

. -5   -1

15) Siendo  n  un número natural, al simplificar la expresión . se obtiene

sn+l . S  . , 5 -1

A) 1

5

B) 1

C) 2

n

D) 1

n+

2n -1

2n

l

3

4

.3

3

.3-

2

16)

-T

73-.

3 70 - .

3

71

A) 3'

B) 3

6

C) 3'

D) 3'

E)

}3

160

D) 5ab

E) 6ab'

( , ) 3 ( 3 )  

18) Si ab *·0, al simplifi car l a expresión a b

6

((ab )').

A)

B) ab .

C)

(ab(

D) a'b'

E) a'b

3

(3')   + ( 3

3

) + (3,) 6

19)' ,

.(3')

A) 3 

B)

3 '4

e 3

D) l

E)

 

. 3

6

3

' +6 

20 ) '6 +6'  

A) 6'

B) 6

3

e) 6'

D) 6 

E) 6 

21) (2 ,1 - 1)'

A) 2 ,+3

+

1

B)

2 +' +

1

e) 2 ,·+ 1 + l

D ) 2 ,,+2 _ 2 '+ ' - + - 1

E) 2  + ' - 2 '+1 + 1

se obt iene

161

Page 81: Matemáticas UC

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PSU.Cuaderno de Ejercicios Matemática

30) ¿Cuál es el valor de a, siendo. a un número entero?

(1)

a

4

=1

(2) a

3

+ 1

=

°

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 11, RAÍCES

CAPÍTULO 10. RADICACIÓN

Test N° 11: Raíces

1) 1 - 6~ =

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C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí .sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS ,

164

1

A) --

8.

1

B) -¡

1

C)

~2

1

D)

-

8

1

E)

-

4

2) ;0,0196

=

A) 0,014.

B)

0,104

C)

0.,14

D) 1,04

E)

1,4'

3)

 ;169-25

=

Al 8

B) 12

C)

144

D)

f8

E)

Jfi

4)

.Jf6 9 - E s =

, A) 8

B)

12

C)

144

D)

{8

E)

Jfi

165

Page 83: Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno

  e

Ej~rcicios, Matemásíca

13)

(J 8 +

..fi)

A) 10

E) 16

C) 18

~,.,

1 ' .

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N ° 11. RAÍCES

18)

Si a ~

1,

entonces

(.,¡;:;¡ - ~f -

.A) -2

E) 2

e 2a

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D)

100

E) 10 + 2h

14)

La expresión

  5 J 3 -

J 2 f

es igual a

A).13

E)

73·

e) ·73 - 5 1 6

D) 73 - 1OJ6

E) 77- 1OJ6

z

15) Si (5 + 2 J 3 ) =.a +

b J 3 ,

entonces los valores de a Y~ son, t~spectivamente

a

b

A)

37 2 0

E)

37 10

C)

31 20

,

D)

3.1

10

1 ,

E)

147

O

16) (h - l)(h + 1 ) '

A) 1

E)

3

e)

8

D)

h +

1

E)

3+

2h

17)

(3h + 2)(312 - 2)

A)

5

E) 10

C) 14

D) 18

E)

3h

168

D) -2~

E) ~(a~~a'-1)

19) Si.  n  es un número· natural, entonce·s . J 9   - 2 . 3  + 1

A) 3' -.1

E) 3'

+

1

e)

9'

D) 9' +

. E) 9' - 3 

··1 1_

20) 15 - 1

15

+ 1 -

A) O

E)

0,25

e) 0,5

D) 1

1.

E) 2 J 5

21) Si n es un entero positivo, entonces la expresión (hr .

 fir

A) 2'

+

2

E) 2'

+

1

e) 20 + 2

D) 20+ '

E) 2'

.169

\

  __

o __

' - =  

PSl: . Cuaderno de Ejercicios

M~temálica

?< . '

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test W 11,' RAíCES

2 6 ) Si   2 j f + 3 J f J = 5. -\- x , ent onces x

A) .   2 . + 2

1 6

, 6

  i   i

22)

J7 -

1 -

J7

+ 1

A) O

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B) ,  2 +

-. /6

6

e)

5

+

2 -. / 6

D)

2

+ 2 -. /6

6  

E)

2 0 + 2 1 6

3

27) J 3 J 2 =

,A)

-. /6

Bl

11 8

e)

 J6

D)

Fa

E) ifl8

28) Si a es. un número real, entonces para que se verifique la igualdad .,Ja = a, se debe ~umplir:

(1) a = O

,(2)

a=

1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29)

. ; J x +

J 9 ,

=

fi5

se verifica si y sólo sí:

(1) x = 16

m

x=4

A) (1) por 'sí sola

B) (2) por sí sola

e) .Ambas juntas, (1) y (2)

'n)

Cada una por. sí sola: (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

, 170 171

J2

B) 3

1

e)

'3

1

D '6

;fj

,E)

2'

, , 1 +_1_

23)' La expresión 1 - 1 _ - J 3 ,1 + - J 3

A)

1 B)

- - J 3

e) - J3

D) 1 -

- J 3

E) 1+.Jj

24) Si

. J x

+' 2 = 3, entonces x

A) -1

B)

2

D) 3

E) 4

25) r x + 2 = 3, entonces x

A) -1

Bl

e), 5

7

E)

9

PSU.

  ~ademo

de Ejercicios  Matemática

30) EnOC, la igualdad ( . r x f = [ x [ se verifica si:

(1 )

x z

O

(2)

X <

O

- A) (1) por sí sola

t

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N ° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

CAPíTULO 11 FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Test N° 12: Funciones:

conceptos

fundamentales

1)

¿euál(es)-de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en

B?

I) A~B - -lI) A~B I1I) A~B

Page 86: Matemáticas UC

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I

L...__

,E) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí

sola, (1)

ó

(2)

.E) Se requiere información adicional

r

i

I

,- ,

 1

i

172

I

,

A)

Sólo

L

B) Sólo n.

e) Sólo I I I .

D) Sólo 1 y m.

E) Sólo T I y ID ;

2) Siendo A

= (

2,_3,5} Y B

= {

1,7 }. ¿cuál de los s iguient es conjuntos define una función de B hacia A?

. A) ((1,2)}

B) {(1,3),0,5) }

e) ((1,5), (7, 3) }

D) ((1, 2), (1, 3), (1,5), (7,2), (7,3), (7, 5)}

E) ((1, 1), (7,

- j 2 X ' + 1

3) Si f(x) = -

x-4 .

si x >

si x s

1

entonces se afirma que:

I)

f(3)=7

De estas igualdades,

estson) verdaderajs):

A) Sólo L

B) Sólo H.

e) Sólo 1

y

lI.

D) Sólo H

y .m .

E) Todas las anteriores.

4) La fun ci ón f de N a N que le hace corresponder a ~ada número natural «ene» el triple del cuadrado

de su sucesor está dada por la fórmula matemática:

A) f(n)

=

3(n + 1)'

B)

f(n)

=

3n'; -

1

e) [en) = 3(n'

+ ~)

D) f(n) = (3n); 4: l

E)

[en)  

(3n + 1)'

H) f(1)

- 3

ID) feO)

=

-4

 173

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ ~ a = s•~   ~ ~ _

p su   Cuaderno de Ejercicios Matemática

5) Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5

J

y B = ( a, b, e, d

J

y una cierta función f :A -7B definida

como s igue f (l)

=

b; f(2) = a; f(3) =

e y

f(5) = a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son)

verdadera(s)

1) «a» es la imagen de 2 y de 5

Il) la preimagen de ' b» es 1

· . 1

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N 12. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

8) Dada la función f(x)

A) -8

B  - 6

C) O

D  6

x

2

-

4 ,entonces el valor de f(1) + f(-I)

Page 87: Matemáticas UC

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III) el 'conjunto A es el dominio de. la función

IV) el conjunto B es el recorrido de la función

A) Sólo IDy IV.

B) Sólo 1.

.el.

Sólo 1, TI Y III.

D)

Todas.

E) Ninguna de las an teriores.

6)

El gráfico de la función y = f(x),. donde

x

es

ia

longitud del lado de un cuadrado y f(x) es la mitad

del perímetro respectivo es ..

A

E  

Y

e)

¡-

YT- fr'¡T l

I v e   :

i'

Y I- 1 T f 1 T

fT1

-l - r  O T - r :r -   :

 

¡tí

1 1

i ¡ i.i   l.

- ,¡ , i

rr+rt

d : : : : : : 1

¡.

x

x

D)

E)

. Y t J i ¡ - . . - .- . ' -   . . . • .

i

¡

i i

i:

i

y f~ T :-~-rT r

1;

  l·

- í i j

x

x

.7) Sean f: Z -7 Z

f(g(IO))

=

A) 60

B) 202

. e)

262

D) 828

E) 848

definida por f(x) = = 4x +

20

Y g:

Z '

-7

Z

definida por' g(x) ~

2X2

+

2 ;

entonces

1 7 < t.

i I

x

E) 8

9) Sean las funciones enteras f

y

h definida s deZ en Z por las fórmulas f(x)

entonces al calcular

3.. f(-'I)

+.

5 .

h(2) resulta

x' -

3 ,

y h(x)

x

+ 4

A) - 6

B) 12

e) 20

D) 24

E) 36

10)

Si f(x) =x' -

 

, entonces f(-2) -

f(-3)

A) -24

B) -4

e) O

D) 4

E) 12

11)

Sea la función real f: llt-7lRdefinida por f(x)

=5 ..

Entonces: f(-I)

+

f(l)

. A) -1'

B) o

e)

D) 5

E) 10

x -

2

,12)

La expresión.

x' +

8

A)

-8

B) -2

C)

O

D)

2

E).

8

no está definida cuando x toma uno de los valores siguientes:

175

PSU. Cuaderno de E jercicios Matemática

'13)

Sea la función real definida por

f(x)

3

_ , V x

c f   O, Entonces

2,

f

(1) , f (2)

X f(1)+f(2)

1

A)

' 4

  l

~r

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N  12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

16) Dada la función f

(x)

=

kx '- 2kx + 8 ,Si

f  -1 

=

O, entonces k

=

A) -8

8

3

)

Page 88: Matemáticas UC

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1

B) '2

C)

2

3

D  2

E  4

14)'Si

f(x) =

2x' -5x + a ,entonces al calcular el valorde J(a+b)-f(a) seobtiene

2b

A)

(a+b)'

b

1

B) -

2

C) 2(a + b)'

D) 2a + b

5

E) 2a+b--

2

15) Dado el polinornio p(x)

A) p(-1)

E) p(O)

el

p G J

D) p(1)

El p(2)

6x

2

-

5x + 1. Entonces

p f ~

J =

176

C) O,

8,

3

)

E)

,8

, si x ~

O

,si x

< O

Entonces f(2) + f(

-2)

 

A) O

E) 2

4

D) 5

E) 7

18) Dada la función '

f:~ -7 ~

definida por f(x) = 7x -9, Entonces, para elementos distintos a

y

b de

17) Dada la función real f : ~

-7 ~

definida por: f(x); { x ' +,3

x-l

su dominio se tiene que'

f(b) - f(a)

b - a '

A) -9

B) -7

C) O

D  7

E) 9

19) El dominio de la función real dada por la fórmula f(x)=:lx

2

+1 es

',Al

bomf={;E~ X>O)

E)

Domf= xE~/x,~O)

e)

Dorn

f e

{XE ~/x>-l}

D) Domf={xE,~/?l~-l}

E) Dom f= ~

 -

-

,.,.

-----_

.. . .

_-'-----'---

177

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

, . ¡

. :  

20) Se da la función f : A ~ B definida por el diagrama adjunto ..

Entonces el valor de la expresión

f(4)· f(2) - f(I)· f(3)

f(2)...:f(l)

f

A)

f(2)-f(l)

.\~

J~

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES

l'

24) Sean las funciones

h : I R ~ I R

y f:1R

'-7 I R

definidas por las fórmulas

h(x) =

2x + 5

Y

f(x:)

= 3x + 11.

f , ¡

l.

Entonces .el par ordenado que pertenece a I r y f es

'.

A) (-6,-7).

B) (1, O)

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. . . a -b

f(4)'

21) Sea la función f:N~lRdefinidapor

f(n)=--.- con

e b. Entonces -

a- b f(2)

B) f(4)+f(3)

C) f(2)-f(4)

. D)

f(3)-f(2)

E) f(2)+f(4)

.r a'

+ b

2

A) Sólo 1.

B)

Sólo

H.

e)

Sólo

m .

D) Sólo I y H.

E) Sólo' H

y

Ill.

22) El domini o de la función real dada por la fórmula g(x):=..Jx -1 es .

A) Domg= (XE IR /x >O)

B) Dom'g= {XE IR /x~O }

e) Dom g = {x E I R

t

x » l]

D) Domg= (XE IR /x~

1)

E) Dom g = I R

H)

a'

+ ab + b

23)

El dominio de la función real dada por

la

fórmula

h(x) = .. J x -7 - ,1 7 - x

es

A)

.Dom

Ir

=

{x E

I R

I x ~ 7 )

B) Dom h .,

(x

E I R Ix 5, 7)

e) Dom h = (7)

D) Dom Ir

= I R

E) Dom h = <J l

178

JIl) a' - ab + b'

C) (3, O)

D)

(:-6,

-1).

E). (-7, -6)

25) Si f: A -? I R , con A = {-2, -1,0,4) está definida por f(x:)

el conjunto

x

3

- 1, entonces el recorrido de f es.

A) Rec f

=

{-'l,O, 7, 63 }

B)Recf=

{-9, -2, :-1,63}

C)

Rec

f = {-2, -1, O,4} .

D)

Recf= {- 8,

-1,

D,

63}

E)

Recf

= {-8, O,

1, 64 }

26) Sea la función r

.~C •••

en

I R

definida por la fórmula f'(x)

=

ax

+

10. Si f(-3) = -2, entonces f(-2) =

A) -3

B) -2

e) -1

D)

o

E) 2

. '. . T1J)' )

f(n+l} N

27) Una función del conjunto

N

al. conjunto ~ es tal que f(1

=2 y - __ =

3, vn

E

I . En tal

caso

f(5) = . .

f(n)

A) 6

. B)18

e)

54

D) 162

E) 486

179

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test W 13, FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOÚJTO, FUNCIÓN PARTE ENTERA

28) . ¿Es

f;1R

--- 7

IR

una función?

(1) El dominio de f es IR

(2) El recorri<i~ de f es IR

A)

(1)

porsí sola

CAPÍTULO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

. Y FUNCIÓN PARTE ENTERA

Test N  13: Función afin, función valor absoluto ~ función par te entera

1) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función que

permite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas

es

A) C(n)   (15.000

+

22.500) . n

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B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) La expresión

(1) b*2

h(x) =~ ,con a

y

b números reales, define una. función de

IR

en

IR

si;

b -2

B) C(n)   (l5.000 + 22.500)

n

C) C(n)

 

15.000 + 22.500n

D)

C(n)

 

15.000n

+

22.500

E) C(n)   22.500 + 15.00

n

2) Un excursionista estima que el tiempo que demora en sub ir una .colina en una. cierta: región está

dado por

T(h) =

2

+ _._h_

horas, donde

h

es la altura de la' colina en metros. ¿Cuál es' la altura

. . . 1.600 .

de una colina si demora 4 horas en subiría?

A) 3.200 m

B) 30400 m

C) 3.500 m

D) 4.000 m

. E) 5.200 m

3) Una compañía de t..léfonos cobra mensualmente $7.000 por arriendo de equipos y $45 por mi-

nuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor 'cuya cuenta mensual asciende a

  26A40? . .

A)

743

B) 622

Cl 532

D) 432

E) 332

4) María José, agente promocional de-una compañía de teatro, gana un salario semanal de US $300

. más US $3.por cada entrada que vende. Su salario mensual se puede representar como

s =

300 ,. 3n.

Se le ofrece la oportunidad de cambiar su plan salarial. Con el nuevo plan, ganaría un salario

semanal de US $400 más US .$2por cada entrada que venda.'Su salario semanal con el nuevo

plan se puede representar como s = 400

+

2n. ¿Cu'ántasentradas tendría que vender en una

semana para que su salario sea el mismo

ba jo

ambos planes? .

A)

B)

C

D)

E) .'

140

I D O

80

50

2.0

(2 )

a *

O

I

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Arribas juntas, (1) Y (2)

D)

Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E l Se requiere información adicional

30) Se desea conocer el valor de f(3) si f(x.)

(1)

feO) =

b Y a

=

2

(2 ) f(1) = S Y f(-l) =

ax +

b.

Para los aspectos teóricos de este contenido  el cual es nuevo en relación a las pruebas anteriores  P.A.A. y p.e.E. , se recomienda nuestro Manual de Preparación

P.sy . editado por E diciones Universidad Católica de Chile  Sexta E di ción Marzo de 2 006

181

i

A)

(1)

por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas

juntas; (1) y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

Ej. Se requiere información adicional

RESPUESTAS' CORRECTAS

i

\

L

180

PSU. Cuaderno de Ejercidos Matemática

5) Los biólogos han observado que la frecuencia del canto 'de los grillos de una cierta especie está

relacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos por

minuto a 70°F y 168 por minuto a 80°F.

L a

función afín que relaciona la temperatura  t y el

número 'de sonidos por minuto es

A .) f(t) = 75t + 144

B) f(t) =150t + 288

SEGUNDO EJE T EMÁTICO

I

Test W

t

3. FUNCIÓN AFÍN. FUNCIÓN VALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

(

si En una cierta ciudad se puede arrendar un automóvil pagando $1.000 más $75 por kilómetro

recorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar un auto por un día, si

se recorren x kilómetros es

A) f(x) = 1.000x + 75x

B)

f(x) = 75x - 1.000

C) f(x) =1.000 + 75x

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C) f(t) = 24

t

: '

216

, 5

D)

f(t) = 144t + 75

E) f(t) = 2l6t

-1  

24

, 5

6) El señor y la señora Herrera planean instalar un sistema de seguridad en su casa: Han red~cido

sus 'opciones a dos compañías de seguridad, Moneywell

y

Doile. El sistema de Moneywell cuesta

$336.000 de instalación y $1.700 semanales. El sistema equival ente en Doile cuesta s610 $226,OQO

de

instalación, pero su tarifa semanal es de $2.800, Si las tarifas semanales no cambian, ¿dentro

de .cuántas semanas se igualarían los cos tos de ambos sistemas?

A)

10

B-)

20

é)

35

D) 44

E l 100

  7) Un colegio está conside rando la compra de uno de dos sis temas 'computacionales. En el sistema

A, el computador principal cuesta US $3,600 y los termina1es US $400 cada uno. En el sistema

B, el computador princi pal cuesta US $2.400 y los terminales US $600 cada uno. Representando

esta situación con e l s is tema de ecuac iones .

e = 3.600 + 400n

e = 2.400 + 600n

en que e es el costo total y n  es el número de terminales, ¿Cuál es el número de terminales

para el cual ambos sistemas cuestan lo mismo? '

A)

<}

B) 8

l

q

7i ·

'1,

D) 6

E) 5

/

~

~i 

- '   - - '

182.

D) f(x) = 75x - 1.000

(

l.OOO)x'

E)

f(x)

=

  75

9) El punto donde el gráfico de f(X)=-~X+() intersectaal eje X es

A) (O, 6)

B) (16, O )

C) (6, O)

D)

(O,

16)

E)

( - % ,

6 )

l O) L(x) es una funci

i

aíín

con

L f-í)

sistema

{4a+b =2

A)

2a+2b =-1

B)

¡

2 ; + b . 4

--a+b=l

2

C)

{ + 4 b = , 2

a+b=-- 2

{ a+4b=2

D)   ,

2a-2b=-1

¡ ± > + 4 b = 2

EJ.¡

a+b=--

2

1

2 Y L(l) = --, Para encontrar Líx) podemos resolver.el

2

183

¡¡--,

j

p s u  

Cuaderno de Ejercicios Matemática

11)

El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios, Tienen.la idea de hacer un

periódico semanal,

y

averiguan que si se hacen  n  periódicos, el costo por semanario viene

dado por la fórmula:

C=2 (40

+

10,~)

dondeC = costo y n =' número de periódicos. ¿Cuál es el costo de cada periódico, si deciden

:: ¡{

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 13, FUNCIÓN AFIN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, FUNCIÓN PAR TE' ENTERA

Paula

y

Mónica comienzan su recorrido cuando se encuentran a cierta distancia de un pueblo. El

gráfico muestra el movimiento de sus autos, donde

d

representa la distancia de los autos al pue-

blo

y

t el tiempo que llevan de -viaje,

A par ti r de la información del gráfico,

15)

se puede afirmar que:

d(km)

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imprimir 500 ejemplares?

A)

 80

B) 100

C)  UO

D)

 120

E)

 130

12) El punto de, intersección de las rectas de ecuación x =

-3

e

y   7

es

A) (4, -ID)

E) (3, -7)

C)

(-3,7)

D) (7,-3)

E) (-7, -3)

13)

Si E(x) es la función  Parte Entera  que asigna a cada a número real x él mayor número entero

que es menor o igual que

x,

entonces, '¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre

verdadera(s)? .

1) VXE IR:E(~) = E;X)

Il) VnEZ:E(n)

=

n

1Il) E(-1,5)

 

-1

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo 1y II

E) Sólo II y m

14) Si E(x) es la función Parte Entera, ¿cuál de las proposiciones siguientes es falsa?

, ,

A) -E(O) = O

B) E(5) - E(4)

=

1

CJ. E(l,72) - E(I)

=

0,72

. E(2,5) 1

D) E(2) =

E) E(- 1,34)

= -

2

184

 

250

200

, ,150

100

50

Paula

 

. 800

A)

 200

600

,

E

B)  300

400

. C)

 400

D)

 510

200

E)  600

Mónica

,2 t(hr)

A)

ambas recorreri

IS O

km en una hora.

B) en una hora de viaje, los dos autos alcanzan la mi sma velocidad.

C)

el auto de Paula va

m á s

rápido que el de Mónica durante todo el viaje.

D)ambos autos recorren la misma distancia hasta el final del viaje

E) el auto de Mónica es más antiguo que el, de Paula..

16) En la recepciónde encomiendas de la oficina de correos de-cierta ciudad disponen de gráficos como

el siguiente para

e

ular el costo de envío .de encomiendas, ¿Cuál es el precio de una 'encomienda

que pesa 425 gramos'?

17)

El conjunto de la(s} solución(es) de la ecuación

I -3¡¡ I

=

36,

es

A) {12}

B) {'::'12,12}

C) 0

D) IR

E)   {-12}

100'

300 500 .

.g ramo s

185,

X

t : 1

C) c= -(25+s)

50

P Sll, Cuaderno de Ejercicios  Matemática

l8).El gráfico siguiente podría corresponder al- de la función:

y

 t{;j

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N' 13, FUNCIÓN AFíN. FUNCIÓN VALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA

A) f(x:) = - I 2x I

B) f(x) =3 -Ix + 2 I

C) f(x)

=

3 + I x . ..;. 2 I

D) f(x) = -2

+

I x - 3 I

23) La comisión c de un corredor de bolsa' es de US$25 más 2%' del valor de la venta,

- s ;

por lo tanto,

su comisión es. una función de las ventas que está dada por la ecuación

A) e = 25 + D ,D2 s

B)

e = 25.+ 2s

.O

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D) e = 25s + 0,.02

E) e = (25

+ -

D, D2) s

E) f(x) = -2 + 1

x

+ 3 I

24) La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo es una función del número de

patinadores po: semana,. n. La función que aproxima la ganancia es

p

=

f(n)

=

8n - 60.0, para .O ~ n ~ 4 .0 .0

Si una semana la gananc ia fue 1..080, ¿cuántos fueron los .patinádores en esa semana?

A) 8 . .04 .0

B) 4 ..02 .0

e)

21.0

D) 6Ó

E) 5 .0_

25) El largo de un rectángulo es el doble del ancho, La función que permite calcular el perímetro del

rectángulo si' se' conoce su ancho x es

A)

f'(x)

=

2x

B)

f(x) = 4x

C)

f(x)

= 6x

D) f(x) ~ 8x

E)

f'(x) = IOx

26)

¿Cuál de las funciones siguientes corresponde a una función afín?

A)

f = (

(-1, 1),

( . O ,

O).(1, l)}

B) f = { r-i, 1),  .0, 2), (1, 4»)

e)

f = f (..;.1, 1),  .0 ,2 ), (1, 3»)

D)

f

= ( (_1, 1),

 D ~

1), (1,

2»)

E) f = ( (-1, 1),

 .0,3),

(1, 6»)

. '27) Si f(x) = 2x ya>

  O  

entonces el perímetro del triángulo rectángulo sombreado de la

A13a

B) 6a

figura es

19)

¿euál(es) de las proposiciones siguientes es(son)

verdaderaís)

para todo número real

x?

I)N=

x

II) Ixl =N

Ill) 12-x I ~ ~(X_2)2

A)S610 1

E) Sólo II

e) Sólo

III

D) Sólo 1 y II

E)

Sólo

II

y

III

2.0) Los gráficos de las funciones f(x) = l x l - 1, .; g(x)

2. se intersectan en el(los) punto(s):

y

f(x)

A) (3, . O )

E) (-3,

. O )

e) (-3, 2) Y(3, 2)

D) (2• .O ) Y (3, .O )

E) ' (-2, 2) Y ( 2, 2)

21) ¿En cuál de las siguientes alternativas, las variables tienen una relación definida por.una función

lineal? . '.

Volumen de una esf er a

H

Radio de la esfera

Diagonal de un cuadrado

H

Lado del cuadrado

Volumen de un cilindro

H

.Radio de la base del cilindro

Area de un cuadrado

·H

Lado del cuadrado

Área de un 'círculo

H

Radio del círculo

A)

E).

C)

D)

E)

22) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes. es verdadera respecto de la función valor absoluto?

A) Su dominio es el conjunto de los números reales no negativos.

B) Su recorrido es el conjunto de los números reales.

C)' Es una función decreciente en todo su dominio.

D) Es una función de segundo grado.

E) Tiene un mínimo valor.

186.

e) 3a(1 + J5)

D) a(3 ~ J5)

x.

E) 3a + J 5

. ,

187

PSU. Cuaderno de

Ejercicios Mille~tica

28) ¿Es la función f lineal?

'( 1) SU gráfico es una recta con pendiente positiva que pasa por el origen.

(2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0)

y

Q(0,5).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

; ¡¡. ; .

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Tes t N  14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA

~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~~~~~~~~~~~~~~~==~~

¡.

CAPÍTULO 13. FUNCIÓN CUADRÁ  rICA

Test N°, 14: Función cuadrática

1) ¿Cuál/es) de las s iguientes funciones estson) cuadrática(s)?

1)

f(x) = (1-x)(x+3)

lI) g(x)=5-3x-x'

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el Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una, por sí 'sola, (1) ó (2)

E)

Se requiere informacióu adicional

29) Ixl =

 1) R= 3

(2) I xl' = 9

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e)

Ambas juntas, (1)

y

(2}

D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)

E)

Se, requiere información adicional'

30) La parte entera del número entero x (Eíxj), se puede determinar si se sabe q~e:

(1) ,...3~

xc

O ,

(2)

x'

= 4.

A) (1) por sí sola

B) (2)

por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por si sola, (1) ó (2)

E)

Se requi ere i nformación adicional

I

i

; 1

1

RESPUESTAS CORRECTAS

IU)

h(x)

x3-3x2+2x+l

~x

Al

S6lo

B) Sólo II

C) Sólo III

D)

Sólo

1

y II

,E) S610 1 ,y III

,2)

¿Cual(es) de las gráficas siguientes corresponde(n) a función(es)'de segundo grado en la variable x?

,III)

x

-6

-4,

~2

o 2

4

6

-2

-4

188

1)

,'6 -4

189

I1 ) ,.

L

  -6 -4 ,-2

~

4'

-2

'-4

Al Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1

y

II

D)

S610 1 Y III'

E) I,n y III

PSU. Cuaderno de  Ejercicios Matemática

3) El gráfico de la función f(x) =x

2

- X

-6, intersecta al eje Y en el(los) pun tots) de coordenada(s):

A) (O, 6)

B) (3, O ) Y (-2, O)

e) (-6, O)

D) (O,-6)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N  14. FUNCIÓN CUADRÁTICA

J;

r  ,: '

7) La ecuación del eje de simetría de la parábola y= 3 (x - sf + 2 es

A) x-3';'0

B) x-5=0

e) x-2=0

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1

1

1 :

1

. .

~

l

i

t i

l'

¡I

ti

~

f

 

t

,

t

. (1 o )

E) 2'

4)· ¿euál(es) de los siguientes puntos pertenecem) ál gráfic~ de la función f(x)

=

_x

2

+ 1

?

l) (0,1)

II)

(1,0)

rnl( -1 , O ) ,

A)Só~o l

B)Sólo TI

e) Sólo l y II

D) Sólo 1 y

ID

E) r, II Y ~TI

5) ¿euál(es) de las siguientes relaciones está(n) dada(s) por una [unción cuadrática?

1) Diagonal de un cuadrado y ·el área del mismo.

II) Lado de un triángulo equilátero y área: del

ITÚSffiO.

III) Superficie de un cubo y volumen del mismo.

A} Sólo I

B) Sólo TI

e) Sólo

ID

D) Sólo l y II

E) Sólo l y

ID

6) El vértice de la parábola cuya ecuación es

y=-2x

2

+4x+10

·es el punto de coordenadas

A) (1,0)

B) (1,10)

C) (1;12 )

D) (-I+F6 ,- I-F6 )

E) (-1,4)

190

D)

x+3~0

E)

x+5 =0

8) El vértice de la parábola y = -(x

+

1)2 -2 es el punto de coordenadas

A)

(-1 ,-2)

B) (1 ,-2)

e)

(- 1 ,2)

D) (1,2)

E)

(-2 ,-1 )

9) .Respecto del gráfico de la: función

f(x)

=

x

2

+

4x

+

1, es correcto afirmar que:

1)

tiene un mínimo valor en el punto. de abscisa -2.

II)

es simétrico respecto de la recta de ecuación y = -2 .

ID )

intersecta al eje Y en el punto de coo rdenadas .(0,1).

A) Sólo 1

B) Sólo II

e)

Sólo III

D) Sólo 1 Y TI

E)

Sólo 1 Y III

10)·

Si el vért ice de la parábola de ecuación

f(x)

=

x

2

+

kx +36 es un punto del eje X, entonces el(los)

'. valorfes) de k es(son)

A)

±4

B)

±6

e)

9.

D) ±1 2

36

-'---,----

191

PSU. Cuadernode Ejercicios  Matemática

11) El gráfico de la función [(x)

A)

5 - 2x - x

2

es

D)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N' 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA

.I~¡ ..

13)

¿euál(es) de las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x) = 2x

2

+12x+

16

es(son)

verdaderats)?

1) Tiene un máximo .valor en el punto

(-3,

-2),

II) Su dominio es el

co njunto

de los números reales

(IR ).

Page 96: Matemáticas UC

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i

i

. .

i

I i ;

i l

I U

A) Sólo 1

·3

·6

-4

- ¡

- ,f

2

\ 4

S •

I

,

B)

Sólo II

.a

-6

-4

- ,

l o

  < /4

6 sl

I

C) Sólo ID

l

D) Sólo 1 y III

B)

E)

El .

l.:

I

Y

III

-8

-6

-4

1\

 

~I

1

-

-6

-4

e)

, r

C\

s

 

-K

-ú  

-4

-2

12) Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y=2x

2

es

1

1 1

h

f

i

j .,

¡ ll '

A~ y=-2x2

1

z

B)

Y = 2

x

e)y=x'+2

D) y=-2(x+I(1-3

E) y=2(x-I)2+3

19,2

ID) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que -2.

14)

Si la ecuación de una parábola es y=3-2x-3x'. entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

1) La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados.

Ii) La parábola corta ambos ejes coordenados,

ID) La parábola corta al eje

X

en dos. puntos distintos.

A)

Sólo

1

B) Sólo II,'

e)

Sólo III

D) Sólo 1 y II

E ) Sólo II y ID

15) Un

intervalo en el cual la función dada por f(x)= _x

2

+

8x- 3

es estrictamente creciente es

'A)

]-'00,13[

B) ]-4,+oo[

e) ]4 ,

+00[

D) ]-  ,4 [

E)

]-00,-4[

,

16)

'¿Cuál debe ser elvalor de k para que la parábola y=x

2

+kx+S

tenga su vértice en el pu~to, (2,:-1)?

A  ~6

B  - 4

e)

-3

D  2

E) 4

193

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

17l La ecuación de la parábola que t iene l a misma forma que y = x' pero con vértice en (-3,2) es

Al y=-3x

2

+2

.B)

Y=(X-3)2+2

Cl Y=(X-3)2- '2

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test

W

14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

21 ) ¿Cuál de los s iguien tes podr ía ser e l gr áfico de la func ión que exp resa la re lac ión ent re e lcateto de un

triángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo?

.

.

Al 2l )i . ............ • / • ) •

B)

2tX ..:......  . . . . .

 . ' '

Page 97: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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D) Y=(X+3)2_2

El Y=(X+3)2 +2

18l S i se lanza una pied ra vert icalmente hacia a rr iba , ésta sube hasta un c ie rto pun to y luego empieza a

caer. La rel ación que exi st e entre el t iempo t, en segundos, que la piedra ll eva en el aire cuando se

encuentra a una al tura y, viene dada por la fórmula y = - 5 e +20t + 10. ¿Cuándo alcanzará el punto

más alto?

Al A los 0,5 segundos. '

B) A 1 segundo.

C)

A los 1,5 segundos.

Dl A los 2 segundos.

El A los 5 segundos.

19l Al hacer un estudio de mercado de relojes con teléfono incorporado, una compañía f in landesa obtuvo

las s igu ientes funciones de o fe rtay demanda de d icho produc to en func ión de su pr ec io:

1

z

2 2

demanda: y=--x +7.000.000 oferta: y=-x

5 ~

siendo

x

e l precio de un r eloj -teléfono, en UM (unidades monetarias)

y

l a cant idad de r elojes -

teléfono que se demandan o se o frecen en un año. ¿A qué p recio, en un idades mone ta rias (UMl se

deber ían vender los relojes-teléfono para que la demanda iguale a la oferta?

Al 7.000

Bl 6.500

Cl 6.000

D) 5.500

El 5.000

20l De entre todos los rectángulos' que tienen un per ímetro de 20 cm, el de mayor área tiene dimensiones:

Al 1 cm

y

9 cni

.Bl 2 cm

y

8 cm

C) 3 cm

y

7 cm

D) 4 cm

y 6 cm.

E) 5 cm

y 5 cm

194

,

x

 

I

 

O

: 1

:2

 3

O

 1

:2

 3

Dl4Y..

, 1+ - . . · . . . . . ¡ . . . . . · · · . . ~ · · · · · . .. . . . . .

· 4 . . . . .. · . .. .. .. . ..

¡ .. .. .. .. . . . . . . .

x

I

I

,

 2 ' 3

O

  1 2 3

x

x

El 2 + < L .

x

  1 : 2

 3

22) Se arro ja una pelota desde e l sue lo y laa l tur a, en metros , v iene dada por y = ~5t' + 1al, siendo

t

el

t iempo en segundos . ¿Cuá l es la a ltura máxima que a lcanza?

Al 10

m

B) 7,5 m

C) 5m

r» 2,5 m

E) 1m

195

  su Cuaderno de Ejercicios Matemática

23) La ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto

(2, 3)

y que pasa por el punto

(3, 5)

es

A) y=2x

2

-:-8x,+1l

B) y=2x

2

+8x+1I

C) y=-2x

2

-8x+1l

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

I

Test N 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA

,~ 27) El valor máximo de la funciónf (x) = 3

+

4x' - x  es

¡ :

A) 6

B) 7

C) 8

D) 10

E) 12

Page 98: Matemáticas UC

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D)

y'=-2x

2

+8x-ll

E)

y= 2x

2

+8x-ll

24) . La efecti vidad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un e spectador. Después

de algunos experimentos.. una agencia de publicidad ·determinó que si la efectividad E se mide en una

escala del O al 10, entonces

2 1 .

2

-n

E (n) = 3

n

-

90

donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial, Para que éste tenga una

efectividad máxima, ¿cuántas· veces deberá verlo ·un espectador?

A) 60

E)

50

C)

40

D)

30

20

25). Dos números cuya suma es -24 y cuyo producto es máximo son

A) ~36

Y

12

El -24

Y

O

C) ~14

Y

-10

D) -12

Y

-12

El -6

y

-18

26) Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál

. es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canalera de máxima capacidad?

A l

7,5 cm

. Bl

10cm

1<-30- ¡

~

¡

C) 12,5 cm

,

,

.~,

D) 15 cm

,

,

 

El 17',5 cm

,

.

,

,

,

,

ty=

x

196

I .. .____--_

28) ¿Es f (x ) una función cuadrática?

(1) El gráfico ·de f(x) tiene dos intersecciones con el eje X.

. (2) El gráfico de f(x) tiene simetría respecto del eje

Y.

A) (1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) La altura de 'una pelota en vuelo está dada por h(t)

=

At -.Et2 , con

t > O .

Poderrios determinar la

altura máxima que alcanza la pelota si se conoce que:

(1)

El' gráfico de h(t) es simétrico respec to de la recta cuya ecuación es

t = 5.

(2)

h(l)

='18.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).;

E) Se requiere información adicional

3

O )

Se puede determinar la ecuación de una parábola' de la forma f (x)

=

ax

2

+ bx + e, si se sabe que:

(1) Pasa por los puntos (0,0)

y

(8,0)

(2) Tiene un mínimo valor en e¡ punto (4,~12)

A)

(i)

por sí .sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (l) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6(2)

El Se requiere información adicional

PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática

CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~A

Test N°15:Ecuación cuadrática

1 ) ¿euá l( es ) de las s iguientes ecuaciones es(son ) de segundo gr ado en la incógni ta «x»?

1)

(x+1)' =(x2+7)(x+l)

H) (2X_S)2 =(2X+S)(2x-S)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

S)

D

d

1

 a+b X ° b 'al' .

a a ecuacion ------= ,en que a

y

representan numeros re es pOSItIVOS,ntonces la(s)

x

a+b '

solución(es) para x es(son):

A) O  

B) a+ b

e) -(a + ti)

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ID ) (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x

2

A) Sólo l.

B) Sólo 1

y

H.

e) Sólo TI ,y III.

D)

Sólo 1

y ID .

E) 1, H Y III.

2) La soluc ión de la ecuación x

2

+ 16 = 2S es x =

A) -3

B)  3

e)

-9

D) 9

E) -3 Y 3 .

3), E l c?njunto soluc ión de la ecuac ión ,_4x

2

= -64 es

A) {16}

B) {-4}

C) {4}

D) {-4, 4 }

E) {-2, 2 }

4) El va lor de k requerido para que x= -1 sea soluc ión de la ecuac ión x

2

_ 2kx = k + x es

A) -2,

2

3

B)

e o

2

3

2

D

E)

198

D a- b

E) ±(a + b)

6)

Si x

2

, - 8x = O, entonces x

A)

O

Y

8 .

B)

2

Y

4

e)

  - 8

y

8

D

O

Y -8

E)

-8 Y

8

7)

Si (x - 6)(x + 8) = O, entonces x

A) -6

Y

8

B) -6

Y -8

e) 6 y

8

D 6

y-8

E)

Sólo 6

8)

En la ecuación

x

2

+ 99 x - 100

A) -100

B)

-9 9

100

99

D) 99

E) 100

C)

O, l a suma de su s r aíces (o soluc iones) es

9) El va lo r de «m» en la ecuación x -r- 3x

=

m para ,que la di fe renc ia de las ra íces sea 2, 'debe ser

A) -1,2S

B)

0,2S

e) O, S

D) 2

E) 2,S

199

.~

 

P SU . C uadern o   Ejercicios M atemática  

i

 .

: I

i,

~

10)

La suma de las raíces de la ecuación

=

1 vale

x-a x+b

A) a - b

B) b -

a

: 1

i

 

a

C)

b

I  J .

¡ \

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

¡ 4) ¿Qué valor debe tener «p» en la: ecuación x'-(2p - 1) x + p2 = O para que sus raíces difieran

en la unidad?

A)

B

e

-1

O

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~ 1

¡

. 1

1

,

e

a

E)-ab

. 1

11) Sean x, T X

2

las raíces de la ecuación x

2

,

+

36 = px . Para que se cumpla la condición x,

el parámetro «p» debe valer

i ¡

, I

I  ,

A) - 4

 B) -2

e)

o

D

2

E) 6

'

12) En la ecuación 2x

2

-5x

+

4(k-2)

=

O, para que una de las raíces sea igual a l valor recíproco

de la otra, k debe ser igu,al a

A) O

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) Ninguna 'de las anteriores.

13) ¿Qué valor debe tener «m» en la ecuación mx'

+

x

+

(3m 2)'=0 para que sus raíces sean

inversas multiplicativas lá una de la otra?'

A) ,1

B)

2

3

C)

3

2

D

2

3

3

E)-2

200

-x

2

,

O

1

4

E)

4

, 15) Sia

y ~

son las raíces de la ecuación ax

2

+

bx

+

e

=

O , el valor de a

2

[ 3 .

+

a ~2, es. '

b

A)

e

B)

bc

~

C)

be

2  

a

O

ab

2

, e

e

E)

b

16) Si x,

y

x

2

son las raíces de' x   - 7x

=

3, entonces el valor de (x, +

1)(

x

2

+

1)

A  

, -3

B) ,

1

C) 4

D

5

E)

7

17) Los valores de k para los cuales la ecuación 2x

2 -

kx

+

.x

+

8

=

O tiene raíces reales: e iguales son

A) 9 Y -7

B) solamente '-7

C) 9 Y 7

O) - 9 Y - 7

E) solamente 9

~

 

l•

.

,

201

·PSU  Cuaderno de Ejercicios

Matemática

18) Si XI 'y X

2

son las raíces de' 3X2 - 10x + 5

O, entonces el valor de la expresión

_X~I_ + 2L- .

XI - 1 x

2

_ 1 es Igual a

A)

10

3

. ,

ti

SEGUNDO EJE TEMkTICO

 

Test N 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

22) Si las raíces de una

ecuación

cuadrática son

x,

= X, = ~, entonces ella es

2

2

 .

1

A)

X

-¡x-¡=O

B)

4X2

+x+-l

eO

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1

B

1

2

e

O

5

3

I

  .

E)

10

3

. .

19) El valor de

k

para que la ecuación x

2

-8x + 2(k-2) =

O ,

tenga una sola raíz real es'

A)-3

B) 2

C 4

D

6

E) 10

20) El discriminante de la ecuación x2+2.J3x+3=0 es cero, entonces sus raíces son

A) reales. e iguales.

B) racionales e iguales.

e) racionales y distintas.

D) irracionales y distintas.

E)

números no reales.

21) Un valor de k para que la ecuación x2+(k+4)x+16=0 lt?nga una sola raíz real es

A) -4

B)

O

3

D

4

E) 12

202

e)

  x ~J

=0

D) 1+4x-x =O

E) 4x

2

.-4x+l=0

23) Si XI' Y x

2

' son las raíces de la ecuáción

x

2

-2x+3=0, ¿cuál es la ecuación cuyas raíces son

. ~

. 1

Y -?

x

2

A)

3x

2

-2¡¡:+1=O

B)

'1+2x-3x

2

=O

C)

3x

2

+2x+l=O.

D ) 3x

2

+2x-l=O

E) Ninguna de las anteriores.

24) Si

a

yb son números reales t ales que b2:0, la ecuación cuadrática cuyas raíces son a+.Jb

y

a-Jb, es

A)

a

2

x

2

-

b

=

O

B) (x-a)'=b

e) x

2

+(b-a

2

)x+2a=0

D) x

2

-(2a+b)x+a' =0.

E) b

2

x' -a =0

25) En la' ecuación bicuadrada

x  

-5x

2

+4 = : O , los valores de

x

son

A) ±5, ±4

B) ±4, ±2 .

e) ±4, ±1

D) ±3, ±

E) ±2, ± 

203

 ¡s :   __

__o  _   ___  _

·   s u   Cuaderno de Ejercidos Matemática 

26) La(s) solución(es) de la ecuación x'+a=x+a', donde «a  es un número real cualquiera, es (son)

1 )

a

II)

o

IIl) l-a

AY Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test N  15, ECUACIÓN CUADRÁTICA

3'0) Se puede determinar el área de un triángul o rectángulo si se sabe que:

(1)

Su hipotenusa mide

13

cm,

(2) La' diferenc ia de las longitudes de los catetos es 7  cm.

A)

(1)

por sí sola

B) (2)por s í sola

C) Ambas juntas, (1) y

(2)

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E) Sólo 1

y

III

27) Las raíces de la ecuación x' - 2x

=

O se 'pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los

, puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par

A) y=x', y=2x

B) y= x

2

-2x, y = O

 C)

y

= x;

y =

x - 2

D) Y = x

2

-2x + 1 , Y = 1

E) y=x

2

-1. y=2x~1

28) Se pueden determinar las raíces de la ecuación'2x'+kx-15 =

O

si se sabe que:,

(1) (2,7) es un punto del gráficode y=2x' +kX-15

(2) Su producto,es -1;5.

A)

(1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D)Cada una po r sísola,(1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

29) Si a, b y c son ~úineros rea~es, con a ' O , ¿son números reales las 'raíces de la ecuación ax + bx

+

e = O ?

(1) b'

-4ac

¿

O

(2) E l gr áfico de f'(x)

= =

ax

2

+ bx + e int ersecta al eje X en dos puntos distintos.

AY (1) por sí sola

B) (2) por sí' sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, el) ó (2)

E) Se requiere información adicional

204

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó(2)

E)

Se requiere información adicional

205

1 1

PSU _

Cuaderno

de

Ejercidos 

Ma temá tic a

CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

Test N° 16: Funciones potencia, exponencial

y

logarítmica

1); ¿euál(es) de las siguientes func iones cor respondem) a func ión(es) potencia?

1 ) f(x)

=

3

2

II) h(x)

=

Ji)'

1lI) p(x) = X'

A)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test N' 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOOARíTMICA

,~

5) Si el gráfico de la figura es el de la función

y

= x   entonces ¿cuál de las alternativas muestra el'

gráfico de y

=

< J x ?

~

y

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A) Sólo 1

B)

Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y. II

E) Sólo

1

y m

2) Si V(x) es la función que permite calcular el volumen de un cubo en términos de su arista,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdaderaís)?

 1) El dominio de la función es el conjunto delos núineros reales positivos (IR').

'Il) El recorrido de la función es to~o el conjunto de los números reales (IR).

TII) El' gráfico de la función tiene simetría respecto del origen del sistema «0,0)).

A) Sólo 1

B)

Sólo

1

y II

e) Sólo' I

y

III

D) Sólo II y III  -

E)

I,II

Y

III

3) Si n E IN Y n es par, entonces ¿cuáLde las siguientes afirmac iones relativas a la función f(x) = x es'

falsa?

A) El dominio de f es IR

B) El recorrido de f es IR+ v {O}

C) El gráfico de f tiene un mínimo valor

D) El gráfico de f tiene simetría respecto al eje Y

E) 'lfXEIR: fe-x) = -f(x)

4) Si en la figura se tieneel gráfico de una función del tipo f(x)

=

ax , ¿cuál(es) dejas siguientes

proposiciones 'estson)' siempre verdadera(s)?

1) a < O.

II)

III)

A)

B)

E)

n es par mayor que 2.

a E Z.

Sóio .I

Sólo, II

I

.-6

  - 4

- ~J \ 2

4

 6

Sólo 1 y II

Sólo 1

y

III

1

1 - 4

Sólo II

y

III

206

6) La figura muestra los gráfi cos de las funciones potencia: f(x)

=

x , g(x)

=

x  y

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1)

n

<

m

< p.

11) n, m y p son números enteros impares.

I1I) ID - n:= p - m = 1.

A) Sólo 1

B) Sólo rr

C) Sólo III

D) Sólo 1 y III

E) Sólo 1

y

Il

B)

y , .

207

y

h(x) = x

p

.

0.5 '

¡,5

·0.5

¡

¡ . s .

-0.5

.¡,

 1 5

Page 104: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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I ¡

i

I

PSU  Cuaderno de Ejercicios Matemática

16)

Una pareja de 'conejos se deja en una isla, en condiciones tales que su .número se triplica cada.ó

meses. ¿Cuál es la función que representa el número de conejos (y) después de 'transcurridos  x 

años? .

~

20)

¿eual(es) de las siguientesafirrriaciones relativas a la función f(x)

1) Es decreciente en t odo su dominio. ,

II) El gráfico de f pasa por e t origen del sistema de coordenadas.

III) El gráfico de' f no corta al eje X.

A) Sólo 1

B)

Sólo II

e) Sólo III

~  SEGUNDO EJE TEMÁTICO

¡T es;

N  16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENC1AL

y

LOGARÍTMICA

1 {

1 - 2' es(son) verdaderars)?

A) Y

=

2 ,3 

B) Y

=

2, 3'

C) Y

=

2 . 3

t

D

=

6

2

' .

Page 105: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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\

 

J

t ,

fea )

f(b)

D)Sólo

1 y

II

El Sólo II y III

22) El dominio de la función f(x) = : log(3x - 1) es

A) ]~,

+ o o [

B) H ,+ o o [

C) . ]0 , +oo [

D) [-~, +

o {

E) IR 

21) ¿euál(es) de las siguientes características

relativas

a la función logarítrnica f(x)   = log.(x), siendo

«b» un número real positivo distinto de uno, es(son) siempre .verdadera(s)?

 1 ) Si log.(x) = 16g

b

(y) entonces x = y.

II) Los logaritmos de números negativos son negativos.

I1I) f(b')

=

x.

A) Sólo 1

B) Sólo II

e) Sólo III

D) Sólo 1 y 11

E) Sólo

1 y

III

2

E} Y

=

12x

17) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente' modo: correrá:cadadía el

. doble de lo que corrió el día' anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número

de metros que corre el día x, si el primer. día corrió 1.000 metros?

A) 1.000' 2(x - 1)'

B )

1.000,

2 <

·.e)

1.000, 2'-1

D)

1.000, 2'·1

 E) 1.000· 2x

i

) Un cierto tipo de bacteria es .tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo se deja una de

estas bacterias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veidact'er¡¡(s)7.

1) En 10 días habrá 2 4 bacterias.

II) Transcurridas 20 horas habrá 4 bacterias.

III) .En 2n días el número de bac te rias será 2'.

A) Sólo

B}

Sólo

1

y II

e) Sólo

1

y III

D) Sólo II

y

III

E) 1, II Y III

19)

Dada la función exponencial f(x) =( ~ J ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

córrecta(s)?

1)

f( : u) =

(f(U»-I.

IJ) f(m

+

n) = f(m) , f(n)

IlI)

f ( ~

J

A) Sólo 1 y II

B) Sólo 1 y III

e) Sólo II y m

D) 1, ti

y

III

E) Ninguna de las tres

PSU  Cuaderno de Ejercicios  Matemática

A)

23) Si la base b es un número real pos it ivo mayor que 1, ¿cuál de los siguientes corresponde al

gráfico de,

y

= 3 + 10gb(X- 2)?

~

  ~

2

4

6  \

~

 

~ ~

2

SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡'Tes, N'16, FUNCIONES POTENCIA. EXPONENCIAL

y

LOGARfTMlCA

,

. 1

1

25) Para' que la función

f(x) =

a', de base real,' corresponda a una función exponencial, 'debe ocurrir que:

(1)

 a debe ser r ea l, positiva

(2) a ~ 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó

(2)

Page 106: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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~ r

1

~

¡ ,

1 ·

I

~t

I

I 44 I I

26)

B)

 1

t,v  

x

-6

4

O 2

4

6

, -2

4

C)

y

¡

2

x

-6 ,

-4 -2

O

2

4

6 '

-2

-4

E)

,

..

y

4

2

x

-6,

4

  -2

O

4 6

-2

 ~

4

24) ¿Cuál debe ser el valor de a en el gráfico adjunto para que la' función representada sea f(x) = log,(x)? '

A) 4

B) 2

C

1

D)   4

1

E)   2

2 2

y

O

x

E) Se requiere información adicional

Para que la función f(x)

=

log.(x), de base real,

y

con argumento positivo

x,

corresponda a una

función logarítmica, debe ocurrir que:

(1)  a  debe ser real positiva

(2)

a ~

I

A) (1) por sí sola

B) (2)por sí sola

.ci Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó

(2)

El Se requiere información adicional

i : _ •

Dada la ecuación Iogarítmica 10g( x: 9)

incógnita

x

satisface la(s) condición(es)

(1 ) x + 9

>

O

(2)

x>

O

'A) (1) por sí sola

B) (2)

por sí sola

el

Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó

(2)

E),

Se requiere' información adicional'

28) Sabiendo que lag 10 = lag 'i o o . entonces la igualdad anterior tiene lugar si y sólo si, la relación

:\ y . .

entre las bases

x

e

y

es:

27)

log(x +9) + log

(x),

ella se satisface si

y

sólo si, la:

1

,

1 1  

(1) Y = 2x

  2) y

=

x

2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e). Ambas juntas, (1) y (2)

D)  Cada una por sí sol a, (1), ó (2)

E) Se requiere 'información adicional

213

, I '

~

,

 PSU  u ad er no ·de Ejercicios Matemática

29) Si

X

e

y

son números rea le s positivos, entonces dada la igualdad 10g(~) = O, ella se satisface si

y

s610 si, la relación entre

,x.

e y es

(l)x-y=O

(2) ~ == 1

Y

A) (1) por sí sola

:~ 

.i  

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test

W

17. ECUACIONES IRRACIONALES,

CAPÍTULO 16. ECUACIONES

IRRACIONALES

Test N° p:Ecuaciones írr-acíonales

\

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes es(son) irracional(es)?

I) x +

 fi

=  fi II)

rx+2

=  fi

A) Sólo L

B)

S610 u

ID).rx

  .J 2  fi

Page 107: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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I

J

t

~

í

h

1 ,

~

f ¡

1

~

¡ -

1:

l

~

1I

¡

1

1

B) (2)

po r

sí sola

C) Ambas juntas, (1) X (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó'(2)

E) Se requiere información' adicional

30), Da'da la ecuación logarí;mica log(x)=- 10g(~), para resolverla, se transforma en tin'a equivalente

a ella en que la(s) condicióntes) p~ra la

in cógnita

x esíson): '

(l}x>O

(2)

1

x== -

x

 

A) (1) por sí sola

B)(2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sísola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

RESPUEST AS CORRECTAS'

2 4

C)

S610

IlI .

D) Sólo

II

y

III.

E) Sólo, 1

y

IIL

2) Si -F x - 2 = -3, entonces el valor de x es igual a

A) - 1

B) 1

e) 2

D) 3

E  4

3)

Si

.rx +  i

: J 5 - ,

entonces el, valor de x e s igual a

A) ,O

B) ,1

e)

5 + 216

D) 5 -

216

E) Ninguna de las anteriores

4)

Si

.rx = - -1,

entonces ~i(los) valor(es) de x es(son):

A) Solo el+-I

B) Sólo el

C) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) Sin solución para

x

5) Si ~ + 1 = O , entonces el(los) valor(es) de

x

es(son):

A) Sólo el -1

B) Sólo el l

e) Ambos -1 y

D) Ni -1 ni l

E) 'Si n solución para x

215

6) Dada l~ ecuación irracional 5

+ ~'=

12. la solución para x es

PSU Cuadétno-de Ejercicios  Matemática   SEGUNDO EJE TEMÁTICO/Test N 17, ECUACIONES IRRACIONALES

f

¡

i

,1

j j

¡i

11

¡

I

A) 1,627

B) 345

C)

343

D)

125

E) ,9

7) La ecuaciónirracional 6 + ~ = 9 admite como solución para x el valor

11) Se afirma que la(s) solución(es) de la ecuación

x+l=~

es(son)

A) Sólo el

-i.

B)

Sólo el

O

C) Sólo el  1

D) Sólo el' -1

y

el O

E)

Sólo el O y el 1

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ii

j

I

;~ 

A) ,

6,561

B) 6,557

C) 5,267

D} 83

E) 81

8) Dado que 1 - '~ = 1, entonces x

A)

- 2

B

-1

e

o

D)

1

E)

2

9) Par~ que

~ = 7 , x debe ser

A)

-53

 

B)

3

e

10

D)

13

E)

45

 

l O) Al resolver la ecuación 16 -

'3 x =

12. resulta x=

A)

24

B)

16

32

-

3

16

o)

-

3

I

E)

4

I

I  

216

l

12) La (s ) solución(es) deja ecuación ~

A) Sólo el

O

,B) Sólo el

e) Sólo

O

y

D)

Sólo el

2

E) Sólo el I.y el 2

13)

Si

. J 4 x

2

-

3x ~l

1 - x

es(son)

2x

1 , entonces el valor de x es

A) 9

B) 4

C) 3

D) 2

E)

14) Al resolver la ecuación x

2

21

+ ~.

se encuentra que su(s) solución(es) es(son)

1)

- 5

'Ir)

5

IlI)

25

A) Sólo

B) Sólo Ir

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) Sólo Ir y III

15) Si

x » a (siendo aE IR ). entonces la ecuación i rracional ~

A)

O

B)

a(a -

1 ) ,

C)

.a -

a

2

D 2a

2

E)

a(a

+ 1 )

a

tiene comosolución x =

2 7

PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática

16) El conjunto solución de la ecuación ~ - ~2(x - 1 )

o es

A) <\ l

B ) { O }

C) {~ }

SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Tes t N' 17, ECUACIONES IRRACIONALES

20) La solución de la ecuación ~

=

~,en el conjunto IR, es

5

A) x

=

2

B)

2

x=-

5

C

Sin solución

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- -

D) {1 }

E) {2}

17) Si ,,/2 +

Fx =

2, entonces

x

A) - 2

B) -1

e) o

D

E) 2

18)

Si

,[s-2.J2x-4

A)

o

B) 2

C 4

D 8

5

E)

2

1

,entonces

.x

19) Si 16,J45-

12.J1~x -

7

7

A)

1 2

E)

48, entonces el valor' de x es

4

C)3

214

D} 297

E) Ninguna de las anterior es

2 8

D)

x=O

E)

Ninguna de las anteriores

21) En IR, la ecuación irracional

Fx

Al - 2

B)

O

e

2

D) Ningún valor de x

E)

Ninguna de las anteriores

~ se satisface para x

22) La ecuación irracional' x

+

'~= 7 tiene como solución(es):

1) x =.4

Il)

x

= 5

A) Sólo 1

B)

Sól o Il

e) Sólo I II

D) Sólo' 1 Y Il

E) Sólo Il y III

IlI) x=l O

23) La(s) solución(es) de la ecuación

EX+ l,

+

 I x

1) O Il)

4

A) Sólo 1

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1

y

II

E) Sólo 1

y

III

24) La ecuación irracional

.,Jx+22 ,- r x + u = 1

condición:

1 es(son):'

IlI) 5

t iene una sol ución «x. que satisface la

A)

O

< x < 9 

B) 10' < x< 14

'C) e l . antecesor de x es un número pr imo.

D) la ecuación anter ior no tiene solucióI\ '

E) la ecuación anteriortiene más de una solución.

2 9

Page 110: Matemáticas UC

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PSU Cuaderno de Ejercicios Matemática

CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES

Test N° 18: Ecuacíones exponenciales

SEGUNDO EJE TEMÁTICO   Test N  18, ECUACIONES EXPONENCIALES

fj

6) Si se sabe que 2

- I

A l [6)

B) [9)

C) [11)

D) [6, 11 )

E) \ l

7) Dado que 7

X

- 2

4s , entonces el conjunto solución de esta ecuación es

1,entonces x

1) ¿euál(es) de las ecuaciones siguientes

estson)

exponencial(es).?

1)

x

2

=

3

A) Sólo 1.

B) Sólo H.

II) 2

x

= 3

III)

(- 2 ) '

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¡ f

i

27 . 27 ,entonces x

A ) -'2

B)

O

e)

1

. D)

2

E)

7

8) Si x

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

9) Si 3

x

A)5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

3, Y

x

n

-

1

243, entonces n

'.

223

ii

:f

t,

;1

¡¡ ~ ,

e) Sólo III.

D). Sólo IIy III.

E) Sólo 1 y n.

2)

Si 2

n

. +

2 =

128; entonces 2

n

-

I

A) 127

B) 126

C  64

D)

32

E)

16

3) Si T

n

2 = 16  entonces n

A) -2

B)

2

e)

4

D)

6

E)

8

4) Si 3

x

=

81, entonces x

A) -4

-2

C)

O

D)

2

E) . 4

.,

1 ,1

, i

5) Sabiendo que

2x + ,2

=

4; eritonces x

A)

- 2

B) -1

C)

O

D  1

2

222

rsu.Cua~eni.o

  Ejercicios Matemática

(

)

 + 3

.~ admite como solución a x =

27

11) La ecuación exponencial 9-

3

x

A) -6

: 8) - 3

e)

o

D  3

E)

6

~:~(

SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N  18, ECUACIONES EXPONENCIALES

1S) El valor de x dado por la ecuación 100'

A) 0,0001

B) 0,001

C) - 0,01

D) .-1

E) - 2

0,01

es

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12) Si

.10  Y =

25, entonces 10.-

Y

1

A}

-5

1

- E ) 625

1

e)

-

s o

1

D) 25

1

E)

-

5

V I V J

1

3) Si) '.) =) ,entonces e l valor de x es

A) -1

B)

O

C) 1

2

1

E)

-

2

14) (0,25)'= 16: entonces x

A) -4

B) -:-2

C) 2

4

E)

16

224

I

16) Dada la ecuación

( _ I _ J  

125 25

3

,

el valor de

x

es

A) -6

B)

-3

e)

-2

D) -1

E) 2

17) El valor de x dado por la ecuación (_~)- 

. 7

2.401 . (-7)

es

A) -5

B) -4

e)

~3

D  4

E) S

. . ~

18) En -la ecuación exponericial

4-'

~, el valor de la incógnita x es

2

A)

-2

B)

-1

. 1

e) --

2

1

D)

-

2

E)

2

19) Si 9'

+ 2 =

240 + 9 , entonces el valor de x es

A) 0,1·

B) 0,2

. C) 0,3

D) OA

E) ·0,5

225

PSU  Cuaderno de Ejercicios 

Matemática

(

S

) 0 . 8 X

20) El conj unto solución de la ecuación .

¡

64

125

está dado por

~

A ) { _ 1 : }

{ ,2}

B) -5

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test N 18, ECUACIONES EXPONENCIALES

I~\

24) Si a E IR · Y a;rl,e~tonceslasolucióll,delaecuaciónexponencial a

x

-

2

=

a

2

-'es

A) - 2

B) O

e) I

D) 2

E) a

25) Si «a  es .un número real positivo y distinto de uno, entonces la solución de la ecuación exponencial

a

2x

- 2 = a

3

. a es

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e)

r : }

D) L ~ }

E)

L 5

2

}

21)

Si

4  = 0,125 Y 125

z

verdadera(s)?

. J 5 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son)

A) '-3

B) -1

C)

1

3

5

E) '2

26) Si (2

n

r

2 .

(2 ) ,

entonces el(los) valor(es) de

«n.

que satisface(n) la ecuación ariterior es(son)

1)

x +

Z

= -1}

H)

x + z = -:,I}

IIl)

x z =. -0,25

A) Sólo I.

B) Sólo H,

e) Sólo IIL

D)

Sólo

1 y

H.

E) I, Il

Y

HI.

22) Si 4

x

_ 4

x

-

1 ,:

24, entonces (2x r es igual a

A) . J 5

B) 5   J 5

C) 2 5 .J 5

D)

25

E) . 125

13) El valor de x que satisface la ecuación 3

x

+ 3' -1 + 3' - 2 '. + 3

x

- 3 + 3' - 4 ,= 363 es

A) 1

B) 2

3

D) 4

E) 5

226

1)

o

Il)

2

A) Sólo' 1 .

B)

Sólo II.

e)

SóloIIl.

D) Sólo 1 y  I.

E) 

Sólo Il y lII.

ID) 4

27) Si 2

x

+ 4 x = 72, entonces el conjunto solución de esta ecuación es

A)

S i l

B) {l}

e) {2}

D) {3}

E) {4}

28) Sabiendo que

10'

= 100', entonces para que se cumpla la igualdad anteiior es necesario y basta

que:

(1) y = 2

x

(2) y =x

2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas,

(1)

y (2)

D) Cada una por sí sola,

(1)

ó (2)

E) Se requiere información adicional

227

PSU  Cuaderno de Ejercicios  Matemática

29) Se pide hallar el valor numérico de x en la ecuación exponencial a 

b. Para ello se sabe que:

(1) a E IR .+ ya*, l

(2) b ~ a

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

.~

SEGUNDO EJE TEMÁTICO

 

Test

W

19. LOGARITMOS

C~PÍTULO 18. LOGARITMACIÓN

Test N· 19: Logaritmos

1) ¿euá1(es) deIas siguientes ecuaciones conduce(n) al concepto de Iogaritrno para el despeje 'de

las variables involucradas?

1) 2' = 8 JI)

x

2

=

9

III)

)'+,

A) Sólo 1.

B)' Sólo

u.

e) Sólo III .

Page 114: Matemáticas UC

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. E} Se requiere información adicional

30) Se da-la ecuación exponencial a 

= =

b Y se pide el valor numérico de x. La información de que se

dispone para ello es que:

(1) a = 10

(2) b >10 , con n

E

IN.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

 2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

D) Sólo 1 y n.

E) Sólo I III.

2) log,(125) =

A)· 2

B)

3

4

D  5

E) 25

3). Si a, b y   son números reales positivos, .con al menos uno de ellos distinto de Uno, entonces la

ecuación

log,

a =

e

es equivalente a

A)

a

b

=

t

B) a' =b

e) b'

=

a

D)b' =

e

E) lb

=

a

4) log,o'(1.000.000)

A) 2

B) 3

e) 4

D) 5

E) 6

81

5) log.-

116

A) -4

B)

- 3

e)

- 2

D

2

E)

4

..229

---=..-- --_ ...- -

  s u   Cuaderno de Ejercicios  Matemática

6) logo.ol0,00 1 =

A) -2·

B) -1,5

e) -1

D)

-0,5

E) 1,5

7) ¿

Cuál

es el logaritmo de 3 con respecto a la base 3 J 3 ?

SEGUNDO EJE TEMÁTICO   Test N  19, LOGARITMOS

ID)

¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)?

1) log

lO

2 = 5

4 :

1I)

log  81 = 3 '

A)

Solo

1.

B)

Sólo II

y

lIl.

e) Sólo

1 ,

III

Y

IV.

III) log¡ 56 = - 3

IV) log.¡¡8 =

-4

Page 115: Matemáticas UC

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1

A) 3 '

1

B)

2

2

C 3 

3

D  ' 4

3

E)

2

8) log,,,   i . J 3  

A) -2

B) -1

C  O

E) 2

9) De las siguientes afirmaciones, es(son) verdaderais):

1) log, 27 = - 3

J

1II) log,olOO = 2

1

1I) log  7 = 2 '

A) Sólo' n.

B) Sólo 1II y IV.

e) Sólo I y IV.

D) Sólo n. III

Y

IV.

E) Todas.

IV)

1

log'6

2

= '4

230

D) Sólo Ir, III Y IV.

E) Sólo IV.

('25 . 625) .

11) El valor de

ío g ,

-2-.5- es Igual a

A)

3.125

B)

725

C)

7

D)

6

E)

'5

12) log,I6 + logJ4lJ7 =

A)

37

12

7

B)

-

4

e)

3

-

2

4

D)

-

3

1

E)

-

6

13) Si log , 16 = ~ log,16, entonces x

, x

A)

- 4

B)

0,25

; .

. e)

0,5

 

l

E)

16

231

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Page 117: Matemáticas UC

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p s u

Cuaderno de Ejercicios Matemática

30) ¿Corresponde la figura adjunta al gráfico de y

=

10g2

x

?

(1) La curva pasa por él punto de coordenadas (1, O).

(2) La curva de la figura

y

la curva dey = 2' son simétricas respecto de la recta y = x.

.

y

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

SEGUNDO EJE TEMÁTICO   BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

,BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

Segundo Eje Temático:

ÁLGEBRA y FUNCIONES

1) Au to r:

Allendoerfer Car¡'B. y Oakley, Cletus

Tí tu lo : Fundamen to s de Mat emát ic as Uni ve rsi ta ria s.

Editorial:

Ediciones del Castillo. Madrid', 1966.

2)

Autor:

Allendoerfer Carl B.

y

Oakley, Cletus

Título:

Fundamentos dé Álgebra:

Editorial:

Editorial Mcflraw-HillvColombia, 1971.

Page 118: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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E) Se requiere información adicionalj

ol?/ .~I

236

3) Aut or :

Ayres, Frank

Título: Álgebra Moderna

Editorial:

Editorial Mcflraw-Hill. Colombia, 1969.

4) Autor: Ba1dor, J. Aurelio

Título:

Álgebra Elemental.

Editorial:

Compañía Edi to rial Cul tu ra l. Madrid, 1985.

5)

Autor: Cano.Omer

Título:

Álgebra : 3°

y

4° año de Humanidades

Editorial:

Edi to rial La Sal le, Santia,go s/f

6)

Autor:

Cano,Omer

Título:

Álgebra e lemental : 4°, 5° Y 6° año de Hnmanidades

. Editorial:

Ed it ori al La S al le . San tia go, s lf

7)

Autor:

Chrystal, George

Título:

A text book ofAlgebra.

Editorial:

_Che lsea Pnb . Nueva York, 1927. (*)

8)

Autor: Dolci ani , Mar y P .

Título:

Álgebra Moderna: Estructura

y

Método, L ib rosI y

n.

Editorial:

Publicaciones Cultural. México, 1972.

9)

Autor:

F.G-M

Título:

Exercices d'Algébre,

Editorial:'

Librairie Armand Marné. París, 1912. (*)

  O)

Autor:

Hali,H.S.

Título: School Algebra.

E di to ri al: McMi ll an. Londres, 1923. (*)

11)

Autor:

Hal l, H . S .

y

Knight, S.R.

Título:

Álgebra elemental.

Edi tor ial : Mon ta ne r y Simon . Esp añ a, 19 72 . ( *)

12)

Autor:

HaÚ, H. S . y Knight, S.R.

Título:

Álgebra Superior.

Editorial: Uteha, México, 1972. (*)

13)

Autor: Hue, Th. y N. Vagnier

Título:

Algebre

Editorial:

Librairie Delagrave, París, 1922.

14)

Autor: Lehmann, Charles

Título:

Álgebra.

Ed it or ial : Limus a Wi le y, Est ados Uni dos , 19 72.

237

______ ~ CW? _ _  ~   _

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

15) Au to r:

Título:

Editorial:

16)

Autor:

Título:

Editorial:

17)

Autor:

Título:

Editorial:

18)

Autor:

Título:

Lidvinenko, V.

y

Mordkóvich A: ,

Prácticas para resolver problemas matemáticos. Álgebra y Trigonometría.

Editorial Mir, Moscú, 1989.:

Mor f C . y Tzaut S.

Exercices et problernes d'Algébre, recueil gradué.

Librairie F. Rouge & Cie . L ib ra ir ie de L 'Unive rs it é. Qua tr ieme edi tion , 1906. (*)

Proschle, Francisco

Álgebra: 4°,5° y6° año de Humanidades

San tiago de Chi le , 1967

. Ritch, Barnett

Álgebra Elemental Moderna.

Page 119: Matemáticas UC

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Editorial:

19)

Autor:

Título:

Editorial:

20)

Autor:

__ ítl O:

Editorial:'

21)

Autor:

Título:

Editorial:

22)

Autor:

Título:.

Editorial:

23)

Autor: .

Título:

Editorial:

24)

Autor:

Título:

Editorial:

25)

Autor:

Título:

Edi to rial : .

26)

Autor:

Título:

Editorial:

27) Aut or :

Título:

Editorial: .

2 8) Aut or :

Título:

Editorial:

2 9) Aut or :

Título:·

Editorial:

McGraw-Hill . Colombia, 1971. Colección Schaum.

Robledo Herrera,' Alamiro

Lecciones· de Álgebra Elemental Moderna,' en tres tomos.

Unive rs it ar ia . San tiago de Chi le , 1973.

Rojo, Armando

Álgebra.

E l Ateneo .. Buenos Aires, 1975.

Schons, N.

J.

Traité

d

Algebre.

Namur LaProcure . Par ís , 1936. (*)

Smith, Charles

A t reat ise en Álgebra .

McMilIan. Londres, 195i (*)

Spiegel, Murray R.

Álgebra Superior

McGraw-Hill . Colombia, 1971. ColecciónSchaum.

S tahl F . und Meyer F .

Algebra. Aufgabensammlung (colección de problemas)

Orell Füssli Verlag Zürich.

(*)

Une Réunion de Professeurs

Cours d 'A lgebre é lémentai re (N° 264 E)

Libra ir ie Générale de l 'enseigneÍnent l ib re . Par ís , 1947. (*)

Une Réunion de Professeurs

Exerc ices d 'A lgebre é lémentai re (N° 264 M)

Librairie Générale de l 'enseignement libre. París, 1947. C* )

Une Réunion. de Professeurs

Complements d'Algebre (N 263 E)

Libra ir ie Générale de l 'enseignement l ib re . Par ís , 1947. (*)

.Une Réunion de Professeurs

Complements d 'A lgebrc ; solut ions (N° 263 M)

Librairie Générale de l 'enseignement libre. París, 1947.

(*)

yáñez Bravo, Mardoqueo

Matemáticas

Soci edad Impr en ta y Li to gr af ía Un iv er so . San ti ag o d e Ch ile , 19 18 .

23 8

Contiene una can tidad muy impor tante de e je rc ic ios y muy bien graduados .

~ ~

1 5U  

Cuaderno de Ejercicios. Matemática

EJERCICIOS RESUELTOS

TERCER EJE TEMÁTICO: GEOlVIETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

1) Se tiene un triángulo rectánguloAlsC de lados BC = 3 cm y CA = 4 cm y cuya altura es CD = he'

. Se hace giraren 180° en tomo a la altura CD, hacia la derecha, formándose el triángulo B'A'C (rio

dibujado en la f igura), En tal caso, la distancia B'B mide

A)

1,8 cm

~ : A .

TERCEREJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos

Observaciones y comentarios:

En apariencia, este es un problema dificil pero nosotros lo hemos mostrado como un problema accesible

y fácil de resolve r mediante los recursos de las imetría, tan ímportante ahora en el actual programa de

Geometría para la E. M, En Geometría Euclidiana es muy importante el  darse cuenta de lo que

ocurre con un ejercicio. Hacer un muy buen dibujo a la manera clásica (eón regla y compás), o con

recursos más reciéntes (mediante alguna herrainienta computacional) también ayuda

a

que a uno se

le ocurrael mét odo para la solución e incluso la solución misma. Aunque también recalcamos que el

dibujo no demuestra absolutamente nada. La demostración o solución del mismo debe estar basada en

axiomas, postulados

O'

teoremas conocidos.

Page 120: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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B)

2,4

cm

C) 3,2

C m

D)

3, 6 cm

E)

4, 0

cm

Solución:

~B

A D

Al.interpretar el enunciado del problema.iel dibujo correspondiente sería el siguiente:

A~Á

B' D B '

Debido al giro del triánguloABC en tomo a la altura CD, para formar el nuevotriángulo B' A'C, resulta

que /), ABC

'=

/) A'B'C. Por lo tanto, al ser BC

: =

B'C, resulta que eltriángulo B'BC es isósceles

de baseB'B (que es la distancia pedida), Luego, dicha distancia es igual al doble de l segmento DB, ya

que la altura CD en el t riángulo isósceles B'BC es, al mismo tiempo, transversal de gravedad y, por lo

tanto , llega al punto medio de la base B'B, El cálculo del segmento DB = P se efectúa con el t eorema

deEuclides del cateto:

: ¡ .

ti

,a2,

=.

c.p

Como a= 3 cm y c. = 5 cm, (triángulo pitagórico clásico), reemplazando los valores numéricos

en la fórmula, tendremos que:

3

2

= 5 p, de donde p

~ = 1, 8 cm

5

240

Finalmente, la distancia buscada mide B'B

2p

2 • 1,8 cm 3,6 cm

Respuesta correcta: alternativa

D

2) En la figura adjunta, tenemos una circunferencia de centro O. Con los datos indicados en ella, el ángulo

x mide

A) 138 °

B) 107°

C) 10 4°

D)

86 °

\

y\.

/

142~E

1 I

E)

76 °

Solución:

El arco BD mide

62°,

el doble del ángulo inscrito BAD que subtiende dicho arco.

El ángulo ADC, que es el ángulo exterior del triángulo AED, mide la suma de los ángulos interiores no

adyacentes a él:

31 °

y

42 °,

es decir, mide

73 °.

Por lo tanto, la medida angular del. arco

AC

es el doble

de 73°, o sea, 146°. Aplicando el teorema del ángulo interior al ángulo x, que es el ángulo buscado,

obtenemos la ecuación:

 

14 ,6° + 62 ° , es decir:

x = 2

x

= 104°

Obser~aciones y comentarios:

Este e jercicio puede resolverse usando solamente teoremas referentes a las medidas de los ángulos en

una circunferencia. En cambio , nosotros 10 hemos resuelto usando en forma combinada teoremas de

ángulos en la circunferencia y de ángulos e n el triángulo,

Es muy importante descubrir, para cada, unode los alumnos yde las alumnas, cuál es el método más

expedito para llegar correctamente a la solución y, en el menor tiempo po sibl e .

Respuesta correcta: alternativa C

241

PSU. Cuaderno de  Ejercicios. Matemática

TERCER EJETEMÁTICO

I

Ejercicios Resueltos

3) En la f igur a adjunta, ABCD es un cuadrado cuyo lado es 2a . Las f igu ras d ibujadas ene l inter ior de é l

son dos semicircunferencias de diámetros iguales a dos lados opuestos del cuadrado dado. El área de la

región achurada está dada por la expresión:

A)

4 a

2

B)

2 a

2

C) 41t a

2

.~

Observaciones y comentados:

Esmuy importante notar que este ejercicio seharesuelto con el máximo derazonamiento y el mínimo de'

cálculos, aprovechándose las ideas de las imet ría para de te rmínar, por e jemplo, qué parte de l cuadr ado .

es la zona achur ada , De esta manera lasoluc ión f luyó por sí sola. I nc lu so podemos deci r que, tal vez;

ni siquiera era necesario t rasladar e lcuadrante de arriba hacia aba jo. Bas taba con darse cuenta que la

zona achurada era igual a lazona enblanco.

Respuesta cor recta: a ltern at iva B

Page 121: Matemáticas UC

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D)

21t a

2

I

l '

4)

E)

2 2   1 2

a -

- 1

a

2

Solución:

Para el d esa rro llo de este e je rc ic io, debemos aprovechar la simetr ía que éste nos o fr ece. Debemos

r ecordar que los e je rc ic ios de cálcu lo de áreas que involucran cuadrado s, t riángulos equi lá te ros ,

c ír culos, e tc . poseen s imetría con respecto a su s e jes, 10 cual favorece el cálculo respectivo. En. este

caso, basta con trasladar el cuadrante achurado de la par te super ior izquierda de laf igura al cuadrante

que. está en blanco en la par te infer ior derecha, para obtener la f igura siguiente:

-.

Do ;C

De laobservac ión de esta nueva figura ; no s damos cuenta que el la es equiva lente ala primera, es decir ,

tiene la mi sma área, por est ar formada por partes congruent es. De ahí deducimos que él área de la

zona achur ada , que es equiva lente a la que está ahora en blanco, cor responde a la mi tad .de l á rea del

cuadrado. Luego, el áreaachurada mide:

  2 a y

2

2 a

2

En el cubo de ari st a igual a 10 cm, de la fi gura adj unt a, se tiene una sección .plana que pasa por dos

vértices opuestos de la b ase y por unvértice super ior. El ángulo diedro que forma esteplano con elp lano

de labase del cubo es alfa (u) . Podemos calcular este ángulo alfa por medio de la(s) ecuación(es):

2

I) sen ex

= 16

1I) cos ex ~

J2

16

J2

Comencemos por enumera r los vért ices de l cubo y tamb ién e l cent ro de labase del cubo.

El triánguloHAO es rectángulo enA pues la arista EA es perpendicular a la diagonal AC de la base.

Los catetosde dicho triángulo rectángulo son: HA= 10 cm

y

AO = 5 ficm ,pues AO m ide la mitad

de la diagonalAC. Por lo tan to. Ia hípo tenu sa OHmide , por e l teoremadePi tágor as , OH =

5 . J 6

cm.

Entonces para calcular la medida del ángulo alfa, podemos usar las principales razones trigonométricas

de dicho ángulo en el triángulo HAO.

243

•••

 

242

III) tg ex =

Es(son) correcta(s):

A)

Sólo I

B)

Sólo I Y II

C)

Sólo II y III

D) Sólo

J

y III

E) I, IIy III

Solución:

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

E

TERCER EJE TEMÁ'rrCQ I Test N  1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CAPÍTULO 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Test N ° 1:_ Ángulos

y

triángulos

TIEMPO MÁXIMO PARA

CADA TEST: 1HORA

1) En la figura adjunta, los ángulos AOB

y

~OC miden cinco tercios

y

cuatro tercios de un ángulo,

recto, respectivamente.' Entonces el ~ x formado por sus bisectrices mide

A) 1150

B)

120

0

0

Page 122: Matemáticas UC

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Así tendremos:

I r  

e

sen

o :

AH,

HO

10 cm

SV6cm

2

. J 6

Análogamente se obtiene para el coseno y la tangente:

cos o :

AO_

HO

5 fi cm

5 . J 6

cm

 fi

- 16

y

Luego vemos que con cualquiera de las tres razones trigonométricas podemos calcular la medida del

- ángulo alfa (e) ,

tg o: =HA

AO

10 cm

5 fi

cm

 fi

Observaciones y comentarios: _

Nuevamente observamos que para poder resolver con éxito un ejercicio como éste, la clave está en

un muy buen dibujo, En él identificamos el t riangulo rectánguloque nos conviene para determinar el

ángulo pedido, en nuest ro caso, el ángulo alfa

 a ,

Cuando el ángulo es agudo, como en este caso, en

reali dad, con cualquiera de las t res razones trigonométricas se puede calcular el valor del ángulo,

i

Respuest a correcta: alternativa E

;1

44

C  121,5

A

D) 135

0

:'~~B

)' 150

0

2) En la figura adjunta, L, // L, Y T, -LT  La medida de <Cx +~y

+~

z es

TI

A) 90

0

B) 180

0

C) 240

0

D)

150

0

E)

120

0

(bU

)

Z \ )

L,

I  X ..I

3) En la figura adjunta, AB//DC y AD//BC, AB = BC, ¿Cuál es la medida del ángulo x?-

l i

,. .

 ,  he

A)

4 S O

B)

55°

C) 50°

D) 65°

E)

60

0

4) En la figura adjunta, L, // L  EA = EB,

~'=

1100~entonces x :

+ y =

E

A) 220

 

B) 200

0

C) . 140

0

D) 70

0

E) 55

0

LJ(

A \

(Y\C

LI

1 \

,

(

lA

).t )

L2

245

-\ ..

----

A) 10°

B) 40°

C)

50°

D) 80°

E) 90°

11) Si

<l:

U = 50° Y

LI/I

L

2

,

¿cuállto mide-e; x?

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

1 . .

5) Si en l a figura adjunta, U

= - ~ ,

¿cuánto mide el ángulo a. ?

4

'. . '/

~L.....----'.

A)

18°

B

22,5°

C)

36°

45°

E)

6) Si en la figura adjunta, LI

 

L2' entonces 4:x =

40 '

1 ' ;

~

I~

TERCER EJE TEMÁ

neo I

Test

W

1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

10) En la figura adjunta, U

=

80·, L, /1 L 

L,.L

L, Y L, es bisectriz de U, ¿cuánto mide el <r:x?

L 4 &

.' L

2

.

.. . . ... . L,

.~\, . . . . ./

\\., 2.' ••••••.

:

\ .

 

Page 123: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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A)

30°

LI

¡

B) 40°

e) 50·

~

D)

60°

L2

1,

E)

90°

A l 100°

B) 120°

C)

130°

D) 140°

E) 150°

7)

s i  

U=

¡¡ +

45° Yel complemento de Umide 20°, entonces o

A)

25°

B)

45°

e) 65°

D)

70·

E)

115°

8) En la figura adjunta,

LI / 1 L

2

Y U: ) = 1 : 2. El valor de 4: x es

A) 145°

B) 110°

e)

75°

.D)

70°

E)

35°

x

/' r L¡

  \ 

://aJ (P \ L

2

9) Si. en la figura adjunta, LI

11 L  ¡.t

=

4~

y ¡¡

=

80°. ¿euál(es) de las siguientes igualdades es(son)

verdadera(s)?

I) Y = 20°

A) Sólo

Il y IV

B) Sólo

I, Il

Y

IV

C) Sólo

III y IV

D) I,Ii, III YIV

E)' Ninguna

Il) x=

¡¡

IV)

y=1 3

Il)x=¡.t

\ ,( L¡

  __ 1 .. •  7

  Il y

~I L2

246

12) En. la figura adjunta, L, //L  AE Y BE bisectrices. Si 8 ~ 120°, entonces, ¿cuál de los siguientes

ángulos podría determinarse exactamente sin conocer la medida del ángulo o?

,

A) U

B) ~

e

Y

D) Todos pueden determinarse

E) Ninguno de los anteriores

f ~V

L

2

~ , ( 1 . ,

13) En la figura adjunta,

L , // L

2

,4: 1 35° ,4: 2 45°, entonces 4: x

A)

80~

B) 90°

e) 100°

D) 135·

E) No. se 'puede determinar

L¡ 7

L

2

I~  .

.

.

14) Un triángulo 'cualquiera tiene un ángulo que mide '52°

y

el segundo mide el triple del tercero. Luego

el segundo y el tercer ángulo miden, respectivamente

~)32°

Y

96°

1\)39 

Y

)30

e) 75°

y

25°

D) 96°

Y

32°

E) 13°

Y

19°

247

PSU. Cuaderno deEjercicios Matemática

15) En l a fi gura adjunta, la medida del ángul o z di sminuida en la medida del ángulo x es

A) 16°

B) 34°

e) 52°

D) 62,°

E) 68°

16) Si se sabe que en la figura adjunta, se cumpl e que x : y

entre

x

e y es

A) 5°

~

~

8 : 7, entonces el doble, de la diferencia

TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 1 , ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

20) Si los ángulos i nteriores de un tri ángul o están en r azón de 3 : 4 : 5, ent onces el triángulo es

A) acutángulo

B) rectángulo

C) isósceles

D) obtusángulo

E) equilátero

21) Si se sabe que los _ángu los inter ior es de un t riángu lo están en la razón de _x : y : Z ,con x

=

y, y

además

x

+y < Z, entonces se puede afi rmar que e l t riángulo es

Al rectángulo' escaleno

Page 124: Matemáticas UC

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B) 7°

C) 10°

D) 14°

E) 60°

75°

17) Si en la figura adjunta, el ~ x mide el 75% de la medida del<1;'y , entonces la razón x : y : Z, es

A) 11: 4 : 3

B) 3: 7 : 11

e)

4: 3 :

11

D)' 3,: 4 :

11

E) No se puede calcul ar

18) , Si en un ' .ABe se sabe que uno de su s ángulos interiores mide 20° más que ot ro de e llos y 35° menos

que' el tercero, entonces es verdadero, que

A) el.A ABe es acut ángulo

B) el ángulo mayor mide 70°

e) el ' . ABe es rectángulo

D) el angula menor mide 55°

,E) Ninguna de las anter ior es_

19) En un t riángulo rectángulo l os ángulos agudos están en razón de I : 4, luego el mayor de el los mide

B) isósceles rectángulo

C) acutángulo isósceles

D) equilátero rectángulo

E) isósceles obtusángulo

22 ) En la figura ad jun ta,ABCD es un' cuadrado

y

Be

=

eE , luego el < l: (X mide

E

AliSO

B) 22,5°

C)

27,5°

D) 45°

E) 60°

A)

18°

B) 40°

C) 72°

D

80°

E) 144°'

248

23) El A ABC de l a figura adjunta es i sóscel es rectángulo en C. La medida dcl<C x es

A)

60°

B)

75°

C) 90°

D) 105°

E) Falta información para determinaría

C

  \ ~~   'B

24) En la figura, el <l: x mide el 75% de l amedida del <tAeB, Ae = Be = AD, Luego, ,el-<tACB mide

,

,

A) 90°

B) 85°

C)

80°

D) 75°

E)

Faltan datos

A

\

  B

D

249

••

PSU. C uadern o de E je rcicios Matemática

25) En la figura, AB

=

BD Y B es el punto medio de AC. La medida del <t x es

A)

45

0

B)

60°

C)

90

0

D) 100

0

E l 120

0

A

lit-

u. ,) ~

26 ) De acuerdo a la f igur a adjunta, Cl) 1. .AB. CE es bisect riz de l ángu lo ACB. Entonces «x =

A)

50

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

29) En el tri ángul o ABe de l a figura adjunta, ¿es CD l a alt ura relativa al lado AB?

(1) HE

CD y H es e l or tocent ro del ;: ' ABe

C

(2) D es el punto medio de AB

A)

(1)

por sí sola

B) (2) porsí sola

G :) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

El Se requiere información adicional

I \B

A

D

Page 125: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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B) 10°

e

150

D)'

20

0

E) 22,5

0

~

. A DE'

27) En la figura adjunta, se tiene que: BC 1. DE

y'

AC 1.BE, entonces X - Y=

A) UO

O

B) 120

0

e) 140°

D)

150

0

E) 160

0

C

A

28) Dados los ángulos ex y ~. ¿Es exe l complemento de ' ~

?

( 1), ex y ~ son agudos

(2)

ex + ~.= 900

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí : sol a.

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) eada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

250

30) ¿Es ABe un tri ángul oisósceles de base AB, siendo A(--:4, O) Y B(4, O)?

(1) El vértice e está en el eje Y

. (2) La altura Cl)

=

h,. está en el ej eY

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas j unt as, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional

I L .

RESPUESTAS CORRECTAS

251

••

PSU. Cuaderno de   jercidos Matemática

CAPÍTULO 2, CONGRU~NCIA

Test, N° 2: Congruencia

1) Dos triángulos son congruentes cuando

A) tienen la misma área,

B) tienen los mismos ángulos,

C) tienen el mismo perímetro.

D) tienen 'Ia misma forma,

E).

tienen la misma forma

y

el mismo tamaño,

2) Si 'los, triángulos .de la figura son congruentes, ¿cuál es el valor de

xi

1

TERCER EJE TEMÁ

neo /

Test N' 2, CONGRUENCIA

 i

l

; 5) Si se cumple que , MNO ~ , PQR, entonces tambié n secumple '1'

A) MN=PR

B) ON = RP

C) <1:MON '  <1:PQR

D) <1:NMO  ,<1: QPR

E). <1:NOM ' <1:RPQ

6) En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias estson) conecta(s)?

1)  J.ABC ' J.ADB

Page 126: Matemáticas UC

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. 1

' I  

¡ ¡

:1

1

,

¡ ' ,

i

I  

¡

¡ ¡

¡ .

~

i'

 

u

¡I

 J

I [¡

¡ (

,  

u

  I

L _

A) 45°

B) 50

0

6

D

C) 55

0

6 '

 

D) 65

0

50· .

.75·

E) 75

0

6

,

1 ,

 

3) ¿Cuál f igura muestra dos triángulos que no son necesariamente congruentes?

€7

CLll

'

  ·

A)

E ) A

B)

&

)

  \ x ~

4)'Si en la f igura AC ,BD'

y

AD ,BC, entonces, ¿cuál, de los siguientes postulados puede ser

usado para demostrar que

t , . .

OCA ' J.CDB?

A) Lado - Lado - Lado

B) Lado - Ángulo - Lado

C) Ángulo - Lado - Ángulo  

D) Lado - Lado - Ángulo

E) Ángulo - Angula

1><\..

. C

25 2

Il) J. AMB ' J.CMB

III)  J.·ABC '  J.A,DC

,A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) 1, II Y III .

  . . AC

AV .

7) En la figura: BC '  CD ; AC '  CE . ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempre

-verdadera/s)

?

1) GC '  FC

nr <1:BAC  ,-<l:DEC

III) GC

1.

AB Y CF

1.

DE

A) 'Sólo 1

B) .Sólo II

C) Sólo Iy Il

,D) Sólo

T I

y III

E) 1, Il Y III

A

E

8) De acuerdo a la figura, si  J.ABC '  J.DBE, ¿cuál es el ancho AC del río?

A) 20 m

A

-

B) 18

ID

C) 1'6 m

' - - - - o

-

) 14 m

e

E 12

m

F

253

PSU.

CucUtern o 

de

Ejercicios,

Matemática

9) S i la altura CD del triángulo ABC divide a éste en dos triángulos congruentes, entonces, se

'cumple que:

1)

D es punto medio de AB,

Ir) AC es simétrico de BC respecto de CD.

IlI) 11 ACD es rectángulo en C.

De las afirmaciones anteriores, es(son) siempre verdaderars):

A) Sólo 1

, B) Sólo II

(

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test W 2, CONGRUENCIA

12) En el triángulo ABCde la figura: D, E Y F son .los puntos medios de los lados respectivos.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1)

t : , . ADF

=

t :, . FEC.

II) FDEC es un paralelógramo.

IU) ADEF es un paralelógrarno congruente con el paralelógramo BDFE.

A) Sólo

1

B) Sólo II

C) Sólo 1 y II

D) Sólo

1

y

III

e

,( '\/.  B

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C) Sólo m

D) $ólo (yIl

E) 1,U

y

III

1Q) ¿Cuál de los siguientes triángulos no es congruente con el triángulo ABC?

,~.  C'

2,4

A

37  .

3,2 B

E)

3,2

~

~ ,

11) Si en el cuadrilátero ABCD se cumple que I1.ADC :i 11CBA, entonces se puede afirmar que

- ~r n~w  

A) Trapecio isósceles

B) Cuadrado

C) Rectángulo

D) Rombo

E) Romboide

  I

i

;

.A)~' ,

2,4

. 90'

3,2 '

q,J

L J

,4

3,2

B)~

D)~

.53~

 5 

E) r : Ir y III

13) En la f igura adjunta, ~CD es un 'parale ógramo, entonces ¿cuál de, las siguientes proposiciones

es siempre 'verdadera?

 ,

.

~

A) FE s GE

B)

AE = :; DE

C) EC = EG

- -

D) AD

= : ;

DC

E) FD

= :;

GC

14) Son siempre congruentes:

1) dos triángulos con igual área.

Il) dos circunferencias con igual diámetro.

, III)

dos cuadrados con igual perímetro.

A), Sólo II

B) Sólo 1 y II

cj Sólo Il y III

D) Sólo r y III

E) .1; Ir .y III

15) ¿En cuál(es) de los siguiente~ cuadriláteros se forman dos paresde trÚngulos congruentes al

dibujar sus diagonales? '

¡ ¡ ¿   <   l e

A   B

1) Rombo.

II) Cuadrado.

III) Del toide.

,A) Sólo II

B) Sólo 1 y II

C )

Sóló II y III

D) Sólo 1 y III

El r, Ir y III

255

¡ ¡

¡

I

  I

L

r

¡

I

1 1

I

¡

  s u 

Cuaderno de Ejercicios  Mate mática

16) En el

Ó.

ABe, si <tAeD ==<tBeD, entonces ¿cuár(es) de las siguientes condiciones es(son)

necesaria(s) para

que-se

cumple que

Ó.

AeD ==ó. BeD ?

l)

eD.LAB

- -

1I) AD ==.BD

III) <t eAD == c eBD

A) Sólo 1

'B) Sólo III

e) Sólo 1

y

III

D) Sólo

1

y

II ,

I \

\B

e

'ff

TERCER EJE TEMÁ

rtco,

Test W 2. CONGRUENCIA

20) En el cuadrado ABeD de lado

a,

se hace AE= DE = DF = CF =

a,

¿Cuál(es) de las siguientes'

proposiciones es(son) verdadera(s)?

F

1)

AC

= EF

Il) B, E Y F son plintos colineales

1Il) <t;AEF ==<t BCF

A) Sólo 1

e

B) Sólo 1

y

II

e) Sólo

l

y

III

a

D) Sólo

n y

III

E) I,

n,

III

K \

 le

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I 1

f

I

f

t ·

¡

 

¡

¡

B

I

l) Reflexión.

r

Il) Rotación.

I - .

,

,

III) Traslación.

,

,

 .

..

,

,

,

. .

,

A) Sólo

I

.. ,

)

,

.

,

. .

B)

Sólo l y II

,

..

. .

,,

.• .

e)

Sólo r y m

,

..

. .

,

..

. D)Sólo II y III

E

l, II YIII

.,

E) l,

II

Y

III

17)

En la figura: ABeD' es un paralelógramo

y

E es un punto en la prolongación' de AB tal que

BE= AB. ¿euál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?

)~

A B . E

A)

B)

E)

ABFD es un trapecio,

F es punto medio de BG.

E. es la imagen de. D bajo una reflexión con centro en F,

E

es la imagen de e bajo una reflexión respecto de DE.

L\BEF ==ó.eDF

18) Si ABeD es un trapecio isósceles, ¿qué información adicional puede ser usada para demostrar

que los triángulos en la figura son congruentes?~

1', 1

~,i

~',

l

i

.\

1 ;

[ 1

[ , .¡ :,

L

1 :

 

t i ;

  j

 

'

r, l ' ¡

1 ,'

li;:

~

' 1

L '

'J-,

1

A)

DEIICF

B) <t EDe y <t FCD son suplementarios

e) DE =CF

- -

D) DE.L AB Y CF.L AB

E)

<t DEA ==<t eFE

\

Al E -

19) Dos polígonos congruentes son siempre:

l) semejantes,

II) equivalentes,

IlI) simétricos.

¿Cuál(és) de las a fi rmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?

A) Sólo 1

B) Sólo n

C) Sólo III

D) Sólo

ly

II

E) Sólo 1 y III

;  

256

'A

v 'B

21) Sea el triángulo ABe no isósceles, en el cual se traza la transversal de gravedad CM prolongándose

en una longitud MD = CM. Si se une D con A

y .8,

¿cuál(es) de. las siguientes afirmaciones

'estson) verdaderais)?

I)BD

Ij AC

Il) <t BeD ==

-c

ADC

III) ADBe es un paralelógrarno

A) Sólo

1

B) Sólo II .

e) Sólo 1

y

n

D) Sólo I 'y rr r

E) 1,n·y

III

A <   : . ) , '0 B

D

22) Los cuatro triángulos que se forman al dibujar las diagonales de un cuadrado son congruentes

por: '

¡l'

257

díS

-. , '

PSU. Cuaderno de Ejercicios

Matemática

23) En la figura, los triángulos ABC y A'B'C' son simétricos respecto de la recta L . ¿Cuál(es) de las

siguientes proposiciones es (son) siempre verdaderats)?

i)L'>ABC

=

L'>A'B'C'

Il) CBB'C' es un trapecio isósceles

'S

~.

A  . .

.. . • . . . . . . /

'.

e '

IlI) El ángulo que fo~tnan las rectas AB y A'B'

tiene su vértice' en. L.

A) Sólo

1 .

Bl

Sólo

1

y II

C) .Sólo

1

y III

L

TERCER EJE TEMÁ

nco I

Test N 2, CONGRUENCIA

26) En el cuadrado PQRS de la f igura adjunta, cuyo lado mide 5 cm, el vértice P yace sobre una recta

AB que no corta al perímetro del cuadrado. Si ST = 3 cm y QV = 4 cm, ¿cuánto mide la distancia

RU?

R

A)

5 cm

 I

B)

6 cm

C)

7

cm

D) 12 cm

E)

5 .J i

cm

-, A

T

U

P

V

8

27) En la figura: ABCD es un cuadrado de lado- a; AE = a y GF .1AC. ¿Cuál(es) de las siguientes

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D) Sólo II y III

E) '. 1, II Y III

24) Si sobre los 'Iados del triángulo

is

ó s ce les ABC se construyeron cuadrados, ¿cuál(es) de las

 siguientes proposiciones

esíson)

siempre verdad'era(s)? .

1) Cuadrado ACFG es la imagen del cuadrado BDEC bajo una rotación con centro 'en C y

ángulo de medida igual a lá' del <t:ACE:

Il) ~ AKH = 45°.

III) . FB .1EA

A) Sólo 1

B) Sólo 1 y II

GC

H(',/\,\

~D

C) Sólo I y III

A

B

D) S610U Y III

E) 1,

U

y III

25) ~n la figura adjunta, el triángulo APQ es congruente con el triángulo ABC. Si el punto

Q

está I  .

sobre el lado BC, entonces la medida del ángulo. BAP, en función del ángulo ~, es

i

,

1 :

 

1

1 .

, 1, :

 : :

A)

. ~

2

B)

90° - ~

2

e )

180° - 2~

90° - ~

E)

90°

+ ~

. Ae---: J\

I

2

  p

' 1 ' : _

' i;

, 1

1

' 1

258

proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1) G y F son puntos medios de los lados DC y BC  respectivamente.

1I) ó AEF = ó ABF

III) CF : FE = .Ji :

A) SÓlo 1

B) S?lo II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo II y III

o ' -- ;: '

F

B'

28) Podemos afirmar que el óABC es isósceles con base AB si:

(1) D es punto medio de AB y CD es altura.

(2) CD es bisectriz del ángulo ACB ; ~ ADC y ~ BDC son suplementarios

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional 

29) El cuadrilátero convexo ó ABCD es un

paralelóg ra mo

si:

(1) AE=EC y DE=EB

(2) óDCE

= '

L'>BAE

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,' (1)

Y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

_E) Se requiere información adicional

P < 7 C

E -

'A B'

259

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

30) Si. el cuadrilátero ABCD es un paralelógramo, ¿es ABCD un cuadrado?

(1) t e. .

ABC

= t e . .

CDA

(2) te . . DAB es s imétrico del A BCD respecto de. la diagonal BD

A) (1) 'por

sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, ( 1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

·E) Se requiere información adicional

i'

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS

CAPÍTULO 3. CUADRILÁTEROS

y

POLÍGONOS

Test N·

3:

Cuadriláteros

y

polígouos

1). En el paralelógramo ABCD de la figura 'adjunta, .¿cuántos grados mide x?

A)

20

B)

10

C)

5

D) 25

7

J \. .

.B

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'1

' 1

lj

': 1

RESPUESTAS CORRECTAS

260

/,'

7

E)

5

-

2

2) ¿En .cuélde los siguientes polígonos se cumple que la suma de sus ángulos interiores es' igual ala

suma de sus ángulos exteriores?

A) Triángulo

B) Cuadrilátero

ClPentágono

D) Hexágono.

E) . En ningún polígono se cumple esta relación

3) La razón entre las medidas de los ángulos interior

y

exterior de un cierto polígono regular es de 3 : 2 ,

¿cuántas diagonal es tiene dicho polígono?

A) 2

B) 3

C 4

D) 5

E),6

,

4) En el cuadrado ABCo de la figura adjunta, AE

=

AC. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A 45 ·

B) 60·

C) 67,5·

D) 70·

E) 75·

~ [ 2 ñ E

.

261

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

5) En la figura adj unta, ABCD es un cuadrado, AC es di agonal

y

el

ó.

ABE. es equilátero. La medida

del ángulo x es .

Al

60°

D ~ ~ J

)

67,5°

C)

75°

. X

D) 90°

E) 105°

A B

6} Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. El mayor de sus 'ángulos

interiores mide

Al

85°

TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO

S

11) Desde un vért ice de un pol ígono regu la r se pueden t raza r 27 diagona l es. ¿Cuánto mide cada ángu lo

exterior de este polígono? .

A) 24°

B) 15°

C)

168°

D) 30°

E) 12°

12 ) En la f igur a adjunta, ABCD es un para le lógramo. Con los da to s indicados , la medida del ángu lo x es

A) 60°

D

C

) 80°

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B)

90°

ci 100°

r» 120°

E) 125°

7) Al uni r los pun tos medios de los lados de un t rapezoide en forma consecut iva se ob tiene s iempre

A} un trapezoide

B) un trapecio

C) un paralelógramo

D) un cuadr ado

E) no se puede determinar

8 l ' ¿Cuántas diagona les se pueden t raza r en un oc tógono?

Al 8

Bl 20

C) 40

D)

16

El 24

9) E l ángu lo interior de un pol ígono regular mide 144° , ¿qué pol ígono regu la r es?

A) Eneágono

B} Octógono

C) Decágono

D) Heptágono

E) Dodecágono

10) ¿Qué polí gono es tal que el número de susdi agonales esigual al número de sus l ados?

A) Octógono

B) Hexágono

C) Pentágono

D) Cuadrado

E) No exi st e t al pol ígono

L[S1

Cl 30°

D) 40°

A

E

B

El 50°

1: :\ ) En la figura adjun ta , ABCD es un para le lógr amo ..Dadas las condiciones expresadas en la figura,

¿qué tipo de paralelógramo es?

Al Rectángulo

Bl 'Trapecio

C) Rombo

D) Rcmboide

El Cuadrado

 k----.~--:?C

14l En la figura adjunt a, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . La medida del ángulo x es

Al 70°

Bl 120°

C) 140

0

40°

E) Falta información para determinarlo

 

A B

15l Según los da to s en la figur a adjun ta , ¿qué t ipo de cuadr iláter o es e l ABCD?

Al Rombo

I

B) Romboide

D

C

C) Trapecio

D) Cuadrilátero cualquiera

El Delto ide

A

k.~_~_

262 263

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PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

24 ) En la figura ad junta, ABCD es un rombo. Si D, B Y E son colineales, AB

=

BE Y '4:DAB

=

a., ¿cuánto

mide

el

4: DEC en términos de a.?

A) 90°- ~

2

B) 45

0

C) a

D)90° - a.

E)

45

0

_ ~

4

25) Con respecto a la figura adjunta; siempre se cumple que

D C

  \

E

~

 

e ,

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 3, CUADRILÁTEROS

Y

POLÍGONO S

28) Se puede determinar la medida del ángulo y del cuadrilátero de la figura adjunta si se sabe q~e:-

(1)

ABCD es un paralelógramo y triángulo ABD es equilátero

(2) El 4: DABmide 60

0

)  ,C

A) (1) por sí sola

B) '(2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por ~í sola, (1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

29) Se puede determinar el perímetro del trapecio ABCD de la figura adjunta si se conoce:

Page 133: Matemáticas UC

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A)

P=x /\ <l >= y

Jl)

p+ x=<l> '+y

C) P+( j>=x+y

D)

p+ y = <l >+ x

E) ~= y /\ <1> x

26) ¿Cuál de las siguientes propiedades cumplen siempre los cuadriláteros inscritos en una circunferencia?

A) Sus' lados opuestos son congruentes.

B) Sus 'ángulos interiores son rectos.

C) Sus ángulos adyacentes son complementarios.

D) Sus ángulos .opuestos son suplementarios.

E) Sus diagonales son perpendiculares.

27) En' el paralel6gramo ABCD de la figura adjunta, se dibujó la diagonal AC

y

se unió el, vértice D con

. . _'. , AP

el punto medio M del lado AB. Si ambas rectas se intersectan en P, ¿cuál es el valor de la razón --?

. .   AC

A) 1

3

l'

B) 1

2

¡ ,

C) 2 3

 [

,.

D) 3

4

r

E) 3

2

I

I

I

l ~  

266

I

  .

.L

l :i?7

C

A M B

(1) DC = 25 cm

(2) AD

=

10cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

¡

e

~

A

B

30) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?

(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

(2) Sus ángulos exteriores suman 360

0

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

267

PSU. Cuaderno

de-Ejercicios.

Matemática

CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Test

N° 4:

Transformaciones isométr icas

1), ¿Cuál de las siguientes transformaciones no corresponde a una isometría o. movimiento rígido.

del plano? .

A) Reflexión respecto de una recta dada.

E)

Rotación en torno a un punto en un ángulo dado.

el .Homotecia con centro en un punto dado y razón 2.

D) Traslación en un vector dado.

E) Reflexión respecto de un punto dado,

2)'

¿euál(es) de las figuras siguientes tiene(n) dos ejes de simetría?

~

~

I~

TERCER EJl3 TEMÁTICO

f

Test N' 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICS.S

5) La figura está formada por triángulos equiláteros congruentes. Si la traslación T es tal que la

imagen del punto D es el punto

.B,

entonces si aplicamos T al punto H, se obtiene' el punto

 

1

1  

A) J

B) G

el F

D) M

E) A

  iiii)

L M N

o

P

6)

Si la T es una traslación

tal

que

T:

(2,

-3) ~ '(0, O),

entonces T:

(1,2) ~

A) H,O)

Page 134: Matemáticas UC

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n < : >

ombo

IlI)Q

Elipse

1 ) 1 · . . ' 1

Rectángulo

A) Sólo I

E) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo l y IÍ

E)

t, n y

III

3) Dado el 6. ABC', rectángulo en C, ¿cuál(es) .de las figuras siguientes se pueden obtener siempre a

partir del triánguloABe mediante isometrías o composiciones de isometrías?

e

1) Rectángulo de lados a

y

b

II) Rombo de lado e

Ifl) Paralelógramo de lados b

y

e,

A) Sólo I

B) S610 II

e) ·Sólo III

D) Sólo 1 y II

E) r, n y III

A~B

e

4)

En la figura adjunta: la recta L es un eje de simetría, A, G, D Y E: G, B son tríos de puntos

colineales. Si

4: GBe

=

30°

y·4:K.AG

=

58°, entonces la medida del

4:

AKE es

. K < \ ) 4 L

E

124°

 

B)

'C)

D)

120°

100°

90°

64°

Pa ra los aspectos teóricos de este contenido el cual es nuevo   en relac ión a las pruebas anteriores

(P.A.A.

y

p.e.E.),

se re com ienda nu estr o Man ual de Preparacién .

P.S.U. editado

por

Ediciones Universidad

Ca tólica de Chile. Sexta

Edición.

Mano de 20 06

268

  -- --------------------_.

B) (1, 2)

e) (0, O)

D) (-1,5)

E) (-2, 3)

7) Si k Y n son dos e jes de simetría del octágono regular de la figura, entonces la imagen . de l p u nto

D bajo la composición de reflexiones

r, °

r, es

A) F

B)B·

: [

X

J :

) H

D) G

E) D

8) Si P es el punto en que se intersectan las diagonales del cuadrado ABCD de la figura, entonces

¿cuál es 'la imagen del' punto D bajo una rotación con centro en

P y

ángulode 270

0

en sentido

contrario a los punteros del reloj?

A) A

D [ J C

) B

e ) e

D  D

A . B

E) P

9) Las coordenadas del punto de reflexión P que transforma al punto (-6, 1) en el punto (2, -3) son

A) (-2,-2)

B) (-2, O)

e) H,-2)

D) (-2,-1)

E) (-1, O)

269

Page 135: Matemáticas UC

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i

[ :

 

PSU.

Cuader~~

de

Ejercicios

Matemática

17) Los ejes de simetría' de la figura siguiente son

, ¡

I

I

A) 2

B) 4

C)

6

D) 8

E) 12

O

 ·'

. '. .

18)

El segmento A'B' es la imagen del segmento

AB

bajo una rotación con centr o en un punto

O

y'

.co n un - .ángulo dado, Para encontrar el centro de rotación O, basta

A) dibujar las simetrales de AA~ y BB'

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1

 

22) ¿Cuál(es) de los siguientes polígouos tienem) simetría respecto a sus diagonales?

1)

El rombo

11)

El romboide

I1I ) E l rectángulo

A) Sólo 1

B )

Sólo

ir  

e) Sólo III

D)

Sólo

1 y II I

E) S6lo 1

y

n

23) ¿euál es la preirnagen del punto r 2  4) bajo una rotación con centro en el origen

y

en 270

0

en

sentido antihorario?

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E) , encontrar el simétrico de A respecto de ,larecta BB'

19)

El problema de cubrir completamente (teselar) el plano con polígonos regulares de n lados tiene

solución sólo para n

=

B) trazar la bisectriz del ángulo que forman las rectas AB

y

A B

1 ,

I

I

' ¡

'C) dibujar las rectas, AA  Y BB'

D) dibujar paralelas

a

AB

y

A'B'

ti

I

: ,'

1

/

': . ,

\ ~

A) 3, 4y 5

B) 3, 4y 6

C) 3,4

y

8

D) 3,5 Y 8

E) 4, 6 Y 8

20) Si a un triángulo escaleno ABC, se le aplica una reflexión con respecto al - la do AB, la figura

AC'Be que resulta es

A) un romboide

B) un trapecio

C) un deltoide

D) un rectángulo

E) un cuadrado

21) La imagen del pun to (-'2, 3) bajo la transformación F: (x, y)  -? (x - 2, Y - 3) es

I

A) (-4, O)

B) (O, O)

C)(-4, -6)

D) (O, 6)

E) (-4,6)

272

--._-p-  ----- -~

A) (-4,2)

B) (4,-2)

e) (-4, O) ,

D) (O; 2)

E) (-4, -2)'

24) Dadas la transformacionesT: (x,

y) ~

(x - 1, Y

+

1) Y

T,:

(x,

y)

~,(-x,

-y).

al aplicar la

transformación

T,

o

TI

al punto

M(2, -1)

se obtiene el punto de coordenadas

A) (-3,2)

E )

(1, O)

e) (-1, O)

D) (-1,2)

E) (3, -2)

25) Mediante una reflexión, el punto (3,4) se transformó en el punto (-3,

4),

La ecuación del eje de

reflexi ón es '

A ) Y = O

B ) x = O

e) y

=

4

,D) x = 4

E) Y =-x

26)

En la figura, ABeDE es un pentágono regular. El ángulo de la rotación de centro O que permite

pasar del vértice

e

al vértice A, mide

(

D

A)

180

 

'E ~ t

)

144

 

156

0

D

216

0

E) -216

0

,

'A

B

273

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

27) Al aplicar a L i una reflexión con respecto al eje Y de un plano cartesiano, seguida de una

ref lexión respecto del origen' 0(0, O) , ella se transforma en .

A) D .

B)

< :=

C)

q

D)

L i

E)

r?

28) Dado un pol ígono regular, ¿es posible recubrir el pl ano con él?

(1) La suma de sus ángul os ext eriores es 360°.'

(2) Su ángul o int erior mide 120°.

TERCER EJETEMÁTICO / Test N 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Tes t N° 5: Ángu los en la c ir cunf erenc ias

1) A las 11 en punto, los punteros del rel oj forman nn ángulo que mide

A) 12°

B) 30°

C) .32,72°

D)

45°

E) 60°

2) Si en la figura adjunta, O es el centro de la circunferenci a, <I:ABÓ

=

35°

Y

AC es un diámetro,

entonces la medida del ángu lo BOe es

A

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A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se r equiere información' adicional

29) Para determinar l a imagen B' del

vérticeB

del Ó. ABC, equi lá te ro, b ajo una isometría se conoce

que:

(1) La isornetría es una 'rotación con cent ro en A.

(2) La imagen de

e

bajo esta i sometría es el vértice B.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se r equiere info rmac ión adicional

30) Se quiere determinar qué ti po de cuadrilátero es el cuadri látero ABeD.

(1) Tiene .s imetría respecto de sus diagonales.

(2) Tienejl ejes de simetría.

A) (1) por sí sola

B) (2) po~ sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada nna por sí sola, (1)· ó (2)

E) Se r equiere información adiciona l

RESPUESTAS CORRECTAS

274

A) 17,5°

B) . 35°

e 70°

D)

90°

E)

110°

e

3 ) En la figur a adjunta, O es e l cen tro de la c ircunfe renc ia . S i<I:PSR

= '

50° y<I: PTQ

=

20° , entonces el

arco R Q mide

A) 15°

B) 30°

i

 

/

A O

S

) 45°

D) 60°'

E) 80°

T

4) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AC es diámetro, <t ABD

=

40° Y

<I:BCA =30°, entonces x

+

y - z =

A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

42 ~i

~

IX~C

E) 60°

275

  :

I

l ,

»su. Cuaderno de Ejercicios .Matemática

9) Si un lado de un triángulo mi de 12 cm y el ángulo opuesto a est e l ado mide 30°, ¿cuál es el' diám~tro

de la circunferencia circunscrita, a este, triángulo? '

TER'CER EJE TEMÁTICO I Test N 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

f.

 :

1 :

5) 'En la figura adjunta, la recta R. es tangen te a la circunferencia en C, Si

B e

=150° Y<tABC =40° 

entonces

x + Y ' =

A) 18 cm

A) 105°

.

B) l2.J3 cm

B) 110°

C) 24 cm

)

115°

D) 36 cm

 

D) 120°

E)

2 4 . J 3 cm

) 125°

6)'

En la circunferencia de centro O

y

radio r de la figura adjunta, el

A

ABC es isósceles de base' AB ,Si

AB

= =

r

y

CD es bisectriz del <t ACB , entonces la medida del <t OBC ,es

10) Si en la figura adjunta, ABC es un triángulo' inscrito en la circunferencia,

y

P,

Q

y

R son los puntos .de

intersección de las bisectrices

.de

los ángulos interiores con la circunferencia; entonces la med ida del

ángulo PQR es '

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~ 1

ll¡

¡ ¡

1 I

~ I

t ,

t i

¡ ,

,

n

¡

I

' : ' 1'

-

 l

n

i:j

~I

r

 

)j e

i

r

,

A)

10°

B)

15°

C  25°

D)

30°

E) 35°

D) a +

1 )

4

E) ~(a

+ 1 ) )

3

A )

a +

1 )

B) a + 1 )

2

C) 2

(a +

1

,   , D

'7) En la circunferencia de centro O de l~ figura adjunta, <t BOC =60

0

y

<t' ECD ;= 5'0

0

• ¿Cuánto mide el

<tBEC?

A)

30°

B) 50°

A l

\ D

60°

D)

80°

E) 120°

11) En la figura adjunta, O eselcentro de la semicircunferencia

y

B e = 3 EA , ¿Cuánto mi de el ángulo

ACO?

A)

z z . s -

B)

30°

e

45°

D)

67,5°

E)

75°

  ~ :>I

B

8) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado inscrito en la c ircunferencia,

y

E es un punto cualquiera

del arco e n , enton~es a + p =

A) 45°

B)

90°

e)

105°

D) 125°

E) 135°

12) Si 'las cuerdas AB, Be, CD, DE

y'

EA son todas congruentes, entonces a + 'Y+ 8 =

A) 36°

D

~

B)

72°

C) 108°

D) 120°

E) 180°

276

277

-----_._--- . -

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

13) Con los dat os indicados en la fi gura adjunt a, si O es el centro de la ci rcunferencia circunscrita al

t1

ABC, ¿cuánto mide el 4: AOB?

A) 20°

B)

30°

C) 40°

D) 50°

E) 100°

14) En la fi gura adjunta, AB 'es tangen te a la c ir cunf erenc ia de cent ro O en e l punto B y AD es secante,

~ 1

CB mide. '5 de la circunferencia. El 4: BAD mide

1

El arco BD mide 3 ' de la circunferencia y el arco

TERCER EJE TEMÁTICO Test N 5, ÁNGULOS EN LA:CIRCUNFERENCIA

17) En l a circunferencia de centro O de la figura adjunt a, AD y BE son diámetros, Si BE J CD y

4: 0= 72° , ¿cuánto mide el 4: a1

A) '108°

: 8

72°

C)

36°

D)

18°

E) 9°

18) En la c ir cunf er enc ia de la figura adjun ta, PT y PQ son tangent es a l a circunferencia en .P y Q,

respectivamente, Si <l:PQT = 63°, entonces X

+ Y =

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A) 24°

B) 36°

C) 45°

D)

48° A

E)

60°

B

15 ) En la Semici rcunf erencia de diámetro AB de la figura adjunta, se trazó una cuerda ACtal que el

<t:BAC mide 20°, Si la tangente XDY es paralela a AC, entonces los ángulos ADX y BDY

miden, respectivamente. .

I 'il· ·~ i,

  1

l.

 

y

A) 30'0

Y

60°

B) 35°

Y

55°

)\

C) 55° y

35°

D) 60°

Y

30°

A~

': ,I

B

E) Falt a informaciónpara determinarlo

,

 

.

l i

li

il  

1 :

I ' ¡  

' ';i

t i ,

¡ i¡

11 '

I '

f i

,

1 ,

1 ,

L

 

16) ¿Cuál(es) de los siguientes cuadr iláteros es(son) siempre inscr ip tible(s)en una circunferencia?

I) Cuadrado

II) Rombo

II I) Trapecio isó sceles

A) Sólo l

B) Sólo II

CJ Sólo l y II

D) Sólo l

y

III

E) l, II Y III

  8

L

A) 117°

B) 126°

C) 135°

D) 171 °

E) 180°

N ...-/

  p

19) S i en la c ircunfe renc ia de cent ro O de la f igur a adjunta, AB es un d iámetro y <t:ABD =.,,7° , entonces

e l< t:DCB mide

A)

254°

B) 198°

C) 161°

M

  > 1 B

D) 143°

E) 127°

20) Si en la circunferencia de la fi gura adj unta, MN es t angente en T y

f A Á B B T

entonces la medida del 4: MTB es

5 : 6 : 7 ,

M

A) 110°

B) 100°

C

70°

D) 60°

E) 50°

N

279

Page 140: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de Ejercicios. Mateln:ática

29) El radio.de la circunferencia de centro O. de la figura adjunta. mide 8 cm. ¿Cuánto mide la cuerda

AB?

(1) T

es el punto medio de AB

'~:'¡

TERCER EJE TEMÁ TrCO / Test N 6. PERfMETROS y ÁREAS

CAPÍTULO 6. PERÍMETROS Y ÁREAS

Test N° 6: Perímetros y áreas

1)

El área del rectángulo de la figura adjunta es,

A) 40 cm'

E )

48 cm'

C)

50 cm'

D)

80 cm'

E) 100 cm'

 2) OTl.AB

y OT=6

cm

A)

(1)

por

sola.

B)

(2)

por sí sola.

C) Ambas juntas.

(1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E)

' S e

requiere información adicional.

30)' Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta

y

BD y AC' son diámetros. Es posible

  ,

. .

10

c~/'-

 /

. -

...,,'

8cm

2) Un pasi ll o embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12

ID

de

ancho. El área del pasi llo m ide ' ,

A)

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A)

200 cm'

~

F

B) 400 cm'

  I I J I

\c

B

I

,

C)

800 cm'

.

D )

1.200 cm'

'E) 1.600 cm'

: i

1

1

determinar la medida del ángulo ACB si se conoce que: '

(1) B e

=2· ,ij3

(2)

a

=

120°

D

68 m'

B) 120 m'

C) 144 m'

D) 150 m'

E) 160 m'

3) EÍJ la figura: ABCD' es un cuadrado cuyo lado mide 40 cm y t1 DCE es equilátero. El área achurada

mide

E

A

lB

4) En la figura adjunta se t iene una circunferencia de centro O y radio r. El área achurada mide

A) 1 r

2

12

A) (1) por sí sola.

B)

(2)

por sí sola.

C) Ambas juntas. (1) y (2).

D) Cada una por sí sola,

(1)

6 (2).

E) Se requiere información adicional.

B)

1 r

2

-

1

9

[1

1 1

- ,

1H

2

C

l i

C)

-

j l

8

2

 ~

'D) 1 .f

¡ l  

.

6

A

1

RESPUESTAS CORRECTAS

1

1tr

2

E)

-

4

1

t:1 H

I

V V

I ~,·'t.L I J

  (l

I U

II

la

U

I J e

1   1 U

 L

1 a

'9

1

V,

I V'v I a'E

oz I HI I

~

.

282

283

PSU. Cuaderno de Ejercicios.Matemática

5) Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su área resulta igual

a

81 cm', entonces ¿cuánto mide

el perímetro del. cuadrado original?

A) 48 cm

B)

44 cm

C) 36 cm

D) 24 cm

E) 12 cm

6) Si en la figura adjunta todos ios 'ángulos son re ctos, entonces su área, en términos de x , s e puede

obtener mediante:

TERCER EJE TEMÁ -rICO I Test N  6, PERÍMETROS Y ÁREAS

9)

ABCD es un cuadrado de lado 2 cm, Los cuatro arcos.

de

circunferencia se dibujaron con centro en

el punto medio de cada lado .del cuadrado, El, área sombreada mide

A)

(2 1 i -

4) cm'

D

B) ,(4.- : i

4

1t) cm'

C)

(1t - 1 ) cm'

D)

(27t - 2)

cm'

E) 2 cm'

1) (8x '3x) +(2x

'x)

+ (4x ' 2x)

T I )

(IOx' 5x) -[(2x)'-i- 2 (2x' 3x)]

I

lO)

4x

l HI iIi IIIi lII

¿Cuál es el área de 'un triángulo cuyos lados miden 15 cm, 15 cm

y

24 cm?

A)

·54 cm'

Page 142: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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• . .

l i r  

[(7x' 5x) - (3x' 2X)]

+

83x)'_(2x)']

A) '$ólo 1

x

B) Sólo II

2x

_ n

3)(

'C) Sólo III

8x

D) Sólo I,Y II

h

11)

E) 1, n y In

, ',

I

1 ;

7) En la figura adjunta, las dimensiones del rectángulo inscrito en la circunferencia son 16 cm y 12 cm ,

¿Cuánto mide el á re a achurada?

o: '

A)

196  - 192

cm?

B)

144  --192 cm?

C)

1211t - 192 cm?

D)

100  -

192 cm'

E) 81lt - 192 C¡p2

8) Si en la figura adjunta, el paralelógramo ABCD tiene ár ea igual

a

48 cm'

y

AE

=

2, E B , entonces

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1 ) - Área(tlDEC) ~ 24 cm'

II ) Área(tlEBC)=8cm'

III) Área(tlEFB) = 6cm'

A) Sólo

1

B) Sólo II

C)Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, n y 1lI

~\ . ;;¡e

A~ Y }~

F

284

,B)

108

cm-

C) 180 cm'

D) 216 cm':

E)

240 cm'

¿C~ál es el 'área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 8 cm?

A)

16,J3 cm ?

B) 96.fj

cm'

C)

128 J3

cm ?

D)

192.J3

cm'

E)

2 0 8 1 3 cm 

ill, ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° en ella es 31<?

A) 214

B) 18

C) 12

D) 8

E  6

13) Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados miden a ~ 35

mm,

b

=

53 rnrn Y

e =

66

mm,

Desde el vértice

C se trazauna recta

CD

que divide al triángulo en otros ,dos.de igual ¡J~rímetro, Los segmentos AD

y DB miden, respectiVamente

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

14) Si en el paralelógramo. ABeD de la figura adjunta. E

y

F son los puntos medios de AB

y

Be.

respectivamente. ·¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

1)

Área achurada

=

2.Área(L\ AED}

Il)

Área achurada = 2 Área (L \ FCD)

ID) Área achur~da = Área

  L \

AED) +Área

{ L \

FCD)

A) Sólo

I

B)

Sólo n

C)· Sólo ID

D)

Sólo

I y II

E) I.IIyID

A L -   - - - - -  

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test·N 6; PERÍMETROS Y ÁREAS

(

17) En la figura adjunta. si el área del paralelógramo ABeD es n, y si la longitud de DE es n + . .   .. . •

entonces la longi;ud de AB

es .

n

A)

n

B) _1_.

+ 1

C

I

. e)

n +

1

,

D) .z.,

A E

B

n

+

1

E)

n'

~

Page 143: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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J

15)'

El perímetro de un rectángulo es

6x.

Si uno de sus lados mide'::' • ¿cuál es el área del rectángulo?

·2 .

I

I

l.

I

A) x'

4

B)

5x

2

-

4

e

5x'

-

2'

D) l1x

2

4

E) .1lx'

2

16) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de .la figura?

A) 21

B) 24

e)

2 4

+

J2

D) 18

+

6.fi

E) 24.fi

286

6

A\

12 I

18)

Si el área de un círculo es ·64n cm'. entonces la longitud desu circunferencia es

A)

8ncm

B)

16ncm

C)

321tCm

D) 64ncm

E) 128n cm

19) En la figura.

L \

ABC es rectángulo en C. D y E son puntos medios de AB. y CA. respectivamente y

Ae

=

BC

=

2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones esíson) verdadera(s)? .

I) El triángulo CDE es isósceles.

TI) El ~ea del triángulo CDE es 0.5 cm'.

III) El perímetro del triángulo CDE .es (2

+ J2 )

cm.

B

A) Sólo

l

B) Sólo

Ir

C) Sólo ID

D) Sólo 1 y Ir

E) l. II Y ID

D

e E A

20) Si el área del rectángulo ABCD de la figura adjunta mide 48 cm'. ¿cuál es el área del triángulo ABE?

.

.

A)

12 cm'

B)

24 cm'

C) 30 cin  

D) 48 cm'

E) 60 cm'

287

PSU  C~aderno de E jerc icios   Matemática

21) En la figura adjunta, ABCD

y

AEFG son rectángulos. EB =AG = 8 cm, FC

=

la cm

y

FD =2JlO cin.

El área de la superficie achurada es r  F

 ~ .

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 6, PERíMETROS Y ÁREAS

25) Cuatro palos redondos -de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico .como se .

muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?

A) .

24 + 61t cm

A) 28cm

2

B) 30cm'

 

B)

48+121t

cm

C) 32cm'. e)

12.+ 31t

cm

D) 34cm'

C

D)

36

+

91];

cm

E) 36cm'

B E)

24

+

121t .cm

22) En la figura, ABCD es un cuadrado y

6

ABE es equilátero. ¿Qué parte dei á re a del

cuadrado

es el

área achurada? .

1

A) ¡

26) En un círculo de radio r se dibujan los diámetros perpendiculares PQ

y

R S ,

y

haciendo centro en P

y radio PS se tr aza el cuadrante de circunferencia PRS. El área de la superficie achur ada mide.

1 2

A) ¡t

r

Page 144: Matemáticas UC

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i

I

¡

I

1 :

1 :

¡:

  ¡

~;

~I

; 1

¡'I

 ...

1

'B)

'3

1

C) '2

2

D)

3

3

E)¡

)..., =-C

Ir

 B

23) En la figura, ABeD es un rectángulo. Si AC es una semicircunferencia de radio

3

cm

y

  ,1

<l:

BAC

mide 30

0

, entonces el área achurada mide

A) rt cm-

B)  2n cm' .

C)

 3n cm'

D) 4n cm'

E)

5n cm'

24)

El

triángulo ABC es rectángulo en. C. Se han construido sobre los catetos los cuadrados

Ent rc y

ACDE. Si Á .B = la cm, ¿cu~to m ide el. área achurada?' .~

D

'A) la cm'

E) 20 cm'

q

50 cm'

D) 100

cm'

E) No se puede determinar

• 288

E)

( 2 : -

1}'

, . 2

C) 1t

r'

D)

r'

1 ,

R

E) '2 1t r

27) El área de un cuadrado que tiene igual perímetro que un triángulo equilátero cuya altura mide

~.f3

. . . 4

cm es

A)

36a'

cm'

9a'

B)

- cm-

4

9a'

e)

- cm'

16

9a'

D) - cm ?

64

a'

. E)

-- cm'

576

H

289

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

28) ¿Cl áI

e s

el área del trapeci o ABCD de la figura adjunta?

(1) El trapecio es isósceles y Ab =10 cm.

(2) La mediana del trapecio mide 12 cm y su altura 8 cm.

A)

(1)

por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas,

(1)

y

(2).

D) Cada una por sí sola,

(1).

ó

(2).

E) . Se requiere información adicional,

L 6 , m . ~

A 18 cm B

29) En el ó. ABC de la figura: CD es bisectriz del4:ACB

y

AC

=

BC. ¿Cuál es el perímetro del

L l ABC?

I~ .

TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7. SEMEJANZA

CAPÍTULÓ 7. SEMEJANZA

Test

N° 7: Semejanza

1)

Si dos polígonos son semejantes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

siempre verdaderat s)?

1) .Los polígonos tienen ángulos correspondientes de igual. medida.

II) Sus lados correspondientes son proporcionales.

IU)  Los polígonos tienen la misma forma.

A) Sólo 1

B) Sólo 1

y

II

el

Sólo 1

y

III

D) Sólo U y III

E) .r, II Y III

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(1) AD

=

3 cm y BC= 5 cm

(2) CD = 4 cm

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola ..

C) Ambas juntas, (1)

y

(2).

D) .Cada una por sí sola, (1) ó

(2).

E) Se requiere información adicional.

e

J - t

D 'B

30) Dos lados de un triángulo miden 6 cm

y

8 cm.· Se puede calcular su área s i:

(1) El triángulo es isósceles.

(2) El tr iángulo no es rectángulo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1)

y

(2) .

. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) .Se requiere información adicional.

RESPUESTAS CORRECTAS

29 0

2)

La razón entre. la altura del triángulo

ABe y

la altura correspondiente del triángulo

MNP

es

7 : 10. Si los dos triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?

A) 7 ·10

B) 10 7 ,

e).

49 100

D)

343 1.000

E) 1.000

343.

3) Si en la 'figura adjunta t; ABC - t;DEF , entonces x _ y =

A) 1,5

B) 2.0.

e) 2,5

D) 3,0

E) 3,5

e

~

A 7 .B

F

~

.. E

12m

~2m

. 4)

En la figura, los triángulos son semejantes. La altura del árbol es

A)

6m

B)

8m

C)

12

m

D)

18 m

E

24 m

~~~

4m

1 )·

I

~

291

PSU. Cua de rno de Ejercicios  Matemática

5) Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 Y 15. Las longitudes de los lados de otro triángulo

son 12, 18

Y

22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) Los triángulos ti enen sus áreas

en

la razón 2:'

3.

B) Los triángulos son semejantes por el postulado Lado-Lado-Lado.

C) Los triángulos son semejantes por homotecia.

D) Los triángulos no son semejantes.'

E) Ambos triángulos son rectángulos.

6) De acuerdo

a

la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1) BE:

CD =

2,: 7

I1 )

perímetro del

A

ACD =

2

, perímetro del

A

ACD

1

e

TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7, SEMEJANZA

8)

Si a un cuadrado ABCD le aplicamos una homotecia concentro en A y razón

-1,: 2 secbtiene

otro cuadrado A'B'C'D'. La figura que mejor rep~esenta esta situación es,

A ' l i T

D

e'

E)

  t E J

e'

, .

A =A' B' B

D

e

D A=A' B

A=,A' B B'

Page 146: Matemáticas UC

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f

~

t

I

,

F

' , 1

I

~

~

~

d

  I

1,

¡ i

l i

I

I

~

t

l '

1

1

1 1

1 :

área del

A

ABE

1

Jr r )

área del

A

APC = 9

A} Sólo

r

B) Sólo

II

C) Sólo

1

y

rr

D)Sólo

II yI II

E) r, II Y III

d J  A

  p e

: b J e

' ,B

D B

e'

D

B'

e'·

'~

9) Si a un pentágono de perímetro 24 cm se le apl ica una homotecia de razón k

=

3 1, ¿cuánto

mide el perímetro del pentágono resultante? '

A) 4

cm

B) 6 cm

C) 8

cm

D) 72 cm

fl) 96

cm

10) Se llama semejanza al movimiento obtenido por

A) traslaciones

B),

rotaciones

C)

reflexiones

D) simetrías deslizantes

E) hómotecias

11), Silos triángulos de la figura son semejantes, entonces el perímetro y área del triángulo A'B'C'

son, respectivamente

7)

A un triángulo con vértices en los puntos

A(

-2,

-1),

B(2, ~

1) Y ecO,

4), se le aplica una homotecia

con centro en el origeny. razón

3 :

2. Las coordenadas de los vértices del triángulo que se obtiene

son

A ) A ' ( - 3 , - % } B ' ( 3 : - % } C (O ,6)

B)

A ' ( - . . .   . ) B , ( 2 2 . )

c , ( i

2 . l . 1

2'2' ,2'2' 2'2)

A) 18 cm y 13,5 cm'

B) 12 cm y

6

cm'

C) 8 cm y 4 cm'

A A~'

3,:~ 4.5= .. '

4cm e 'B'

e:

A '(

- t   -   }

B ' ( ~ , - ~ } C ' ( - ~ , ~ )

D ) A ( 3 , n B   t 3 , ~ }

C'(O,-6)

E)

A , ( _ i - ~ ) B , ( i : - ~ )

c ' ( o

ª - )

3 ,   3 3   3   , 3

D) 8 cm y 2f cm'

E) 18 cm y 9 cm'

,

,

292

293

1 :

. ,

PSU. Cuaderno d e E jercicios  Matemática

,¡ I

:I~

11

1

1

J2) La pizzería  don Vitto ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $1.800, ¿a qué

precio deberá vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero' con 45

cm de diámetro?

A) $3.600

B)

$5.400

C) $7.200

D) $iO.800

E) $16,200

13) ¿CuáJ(es)de las siguientes parejas de triángulos es(son) semejantes?

1)

7 A ? l .  

,A

?

21

1

6 8, ~

, , 3t

*

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 7, SEMEJANZA

16) En la figura, AC .LBD

y

ED .L AB , ¿cuá1(es) de las siguientes alternativas es(son) verdadera(s)?

1) FD FE= FA . Fe

Il) AC' ED = AB . BD

III) FD'

FA = FC. FE

A)

Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y II

El

Sólo

1 y III

o

e

AL E  B

17)

E n

la figura: CE = 2 cm, DE = 6 cm y AB = 12 cm, entonces la medida de AC es

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~

A) Sólo

1

B)

Sólo

II

C) Sólo

III

D)

SóloJ

y III

E) Sólb II y III,

~

G

· 

10

III)

.A  30

~

14)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A) Dos.polígonos congruentes son ',siempre semejantes.

El) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes,

C) Dos cuadrados son siempre semejantes,

D) Dos círculos son siempre ,semejantes.

E) 'Dos rectángulos son siempre semejantes.

15) Los perímetros de dos figuras 'semejantes son 30 cm y 18 cm. ¿En qué razón están los lados?

A) 25 : 9

B) 10: 9

C) 6:2

D) 5: 3

E) 5: 2

i I

~

1 ,

I

i

~

294

e

A) 3 cm

B) 4 cm

~E

C), 5 cm

D) 6 cm

E 8 cm

a  ....  

'B

1 8) Si l i . ABe ~ l i .

DEF,

¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a AB?

1)

BeDE ' EF·AC AC·DE

I~

Il)

--

I1I)

EF'

Be

DF

A) Sólo

1

B)

Sólo

II

C) Sólo III

D) Sólo 1y II

E) Sólo 1 y III

i

9) La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjeta

original. El valor de x es

Al

5

B)

10

E l l I J

  . ,

C), 15

D) 20

)

10 10 10 10

E)

30

295

PSU Cuaderno de EjercícíosvMatemútica

20) De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera/s)?

1)

PQ

= 8

II) <l: OPQ =

90°

III) '  SOR - ' QOP

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo 1 y II

D) .Sólo 1 y III

E) (TI Y III

s

R

21) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. D es el punto medio de AB. DE es

perpendicular a AB. Si AC = 12 Y

A B

= 20, el área del triángulo DBE es

Q

TERCER EJE TEMÁTiCO I Test N 7, SEMEJANZA

24) Si DoABC - ' JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es

verdadera?

'A) BC· OT

=

AC . JT

B) AB· JO = AC . JT

C) AB· JT = BC . OT

D) AC· OT

=

BC . JT

E)AC • OT

=

AB .' JO

25) ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es siempre verdadera?

A) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

B) Dos triángulos is6sceles son semejantes cuando tienen igual el ángulo del vértice.

C) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcio-

nales. . .

D) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen Iashípotenusas iguales ..

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I

I

,

~

~

1

 

~

~

~

f '

J

I

~

~

~

~

.

~

~

~

~

~

(

r

t

r

~

·c

A) 30

.

B) 35

C) 37,5

A

u)

48

E) 58,5

.E

/ 1 '>.8

22) En el triángulo is6sceles PQR de la figura, PR'= QR; PS es bisectriz del ángulo en P. ¿Cuá1(es)

de las afirmaciones siguientes es( son) verdadera(s)?

1) Los triángulos PQS y PRQ son isósceles .

II) El triángulo PQR es semejante al triángulo QSP.

·x 3 .

R

III) 3'

=

x-3

A)

B)

C

'E)

Sólo 1

.

,

Sólo II

Sólo 1 y II

Sólo II y III

1, I I Y III

pV ~ la

23)

Dos octógonos regulares tienen lados cuyas longitudes son

6

fjy

9.

La razón de sus áreas es

l.

l

i

l'

A) 4: 3

B)

2 [j:

3

C) 2:.[3

D)

Ms:9

É)

2: 1

29 6.

E) . Dos

triángulos

son semejantes cuando

tienen

sus lados respectivamente paralelos.

26) En el triángulo ABC, rectángulo en B: EFI/BC, AF = Fe = 5 cm

y

AB =.6 cm. Si la mediana del

trapecio BCFE mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de este trapecio?

. A) 12 cm

B)

l5cm

C)

l8·cm

D) 20 cm

E) 24 cm

A~.··F·'···

E .

C

27) En. l a f igura: ABCD es un paralelógramo. El valor de

x+y

es

A)

14,4 cm

B)

10,0 cm

C)

9,0 cm

D)

8,0 cm

E)

7;6 cm

A

28) ¿Es el

<t

PSR congruente. con el <l:TQR?

16

(1) <t

SPR ' =

<t:

QTR

PR SR

(2) TR

=

QR

 

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D)Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se re·quiere. información adicional

p

Q

297

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

29) Se puede determinar la medida del segmento WZ si:

(1) RW

=

15, ZR;= 10 Y SZ

=

8.

(2) 4:SRZ

:=

4: WZS

w

'{ TERCER EJE TEMÁ rtco I Test W 8.GEOMETRíA DE PROPORCIÓN

~

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~~~~~~~~~~~~~~- - ~~~~~~

 

'~I

CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

Test N° 8: Geometría de proporción

1 )

Dado un trazo AB

= 8 0 cm

'y un número real

A . = ~,

entonces dividir armónj~amente dicho trazo AB

en la razón

i

significa 3

. AC 5

1)

Encontrar un punto

e

entre A y B tal que ' _

'. CB

3

II)

Encontrar un punto D en la prolongación de AB, a la derecha de B, tal que AD

. . DB

A)

(l)

por sí sola

B) (2) por sí sola

e)

Ambasjuntas,

(1) y (2)

D)

Cada

-un a

por sí sola,

(1)

ó

(2)

E) Se requiere información adicional

R

 

'JZ·

III) Encontrar un punto D. en la prolongación de AB  ala izquierda de A  tal que AD

= ~

DB 3

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correcta(s)?

A), Sólo

30)

Con respecto a la figura adjuntavpodemos determinar el valor de y - x si sabemos que:

 1) EDIl AB

Page 149: Matemáticas UC

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i

1

:

¡ t i

¡

B

B) Sólo

T I

C) ,Sólo III

D) Sólo

1

y

TI

E) 'Sólo 1 y III

2) Se tiene un segmento AB de 95 cm. Al 'dividirlo interiormente por dos puntos dados P

y

Q tales que

AP : PQ ': QB ;=3 : 5 : 11, la diferencia entre el mayor y e r menor de los segmen tos que resultan de tal

división es

A) 15 cm

B) 25 cm

C) 40 cm

D) 55 cm

E) 60

c m

3) Cuando se divide un cierto trazo, AB, armónicamente en la razón de l . . . . : . 4, la distancia entre los

punto s de división interior y exterior es de 48 cm. La medida del trazo AB es

A)

12 cm

B) 14

cm

C) 18 cm

D) 24

cm

E) 28 cm

(2)

CD

= 14

A

4) En la figura adjunta,

ABIiCD 

Si OA;= 10 cm, AC .; 8 cm y BD;= 12 cm, entonces OB;=

O

A) '9,6 cm

B) 10 cm

C) 14 cm

D)

15

cm

E) 16 cm'

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola'

C)

Ambas juntas,

(1)

y (2)

D) Cada

una por sí sola,

(1) 6 (2) .

E) Se requiere 'inforrnaclón adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

29 8

299

PSU - Cuaderno de

Ejercicios 

Matemática

, 5)

En

  la

figura adjunta se muestra un trazo AB de 20 cm, M es el punto memo de .AB, Los puntos C

y

D dividen al trazo AB, el primero interiormente

y

el segundo exteriormente, en la razón

7 : 3,

f

A

B

D

e

.Al respecto

-se'

plantean las' siguientes afirmaciones:

1) M A

2

MC 'MD

II)

2

AB

1 1

 

AC 'AD

III) Los puntos B

y

A dividen armónicamente al trazo CD en la razón 2 : S

,

,

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctaís)?

TERCER,EJETEMÁTICO

I

Test N 8, GEOMETRJA DE PROPORCIÓN

8) En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, se han dibujado sus diagonales AC

y

BD, las cuales se

' cortan en P. ,Se trazan DM

/1

Be

y

eN

1 /

AD. En tales condiciones se afirma que

CP

N P

D

1)

-=-

PA PD

M I >

DP

T I )

-=-

,PC PB

1Il)

MN// AB

De las afirmaciones anteriores,

¿cuál(es) de ellas es(son) correctá(s)?

A) Sólo 1

B) Sólo

T I

Page 150: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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A ) Sólo 1

y

TI

B) Sólo II y m

C) Sólo 1

y

III

D) Sólo III

E) Todas

6) En la figura adjunta,

AB/I

CD

/1

EF, Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación se

miden con la misma unidad de medida  u ,

y

si AC

=

6u, CE

=

4u

y

DF

=

6u, entonces BF

=

A) 4u

B) 9u

C)

12u

D) lSu

F

E)

18u

7) En la figura adjunta se cumple que

CDII

AB, OA ~ 12 cm, OD

=

18 cm

y

eB

=

35 cm. El segmento

oe mide

A)

12 cm

B)

14 cm

C) 15

cm

D)

'16 cm

E)

21 cm',

300

C)~m

 

D) Sólo r y TI A B

E) Todas

9) Los lados de un triángulo ABC miden BC = 8 cm, Cs: = 10 cm

y

AB

=

12 cm. Se dibuja un~ paralela

MN al

lado AB de tal modo que el perímetro del triángulo MNC sea igual al perímetro del trapecio

ABNM. Él valor de MN es  ,

A) 10 cm

B)

8

cm

C)

6 cm'

20

D)

'3

cm

25

E)

3cm

10;

¿En cuál de los casos -síguientespodemos afirmar que dos triángulos son semejantes?

1)

,Tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

TI ) Tienen un ángulo respectivamente congruente comprendido entre .lados proporcionales.

IlI) Tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?

A) 'Sólo TI

B)

Sólo III

e)

S610 T I

y

III

D) S610 1 y T I

E) 1, II Y III

301

PSU. Cuaderno d e Ejercicios  Matemática

11) Se da un triángulo ABC rectángulo en C. ¿Con cuál de los Procedimientos siguientes podemos

asegurar que se obtiene, a l menos, un. triángulo semejante al triángul o ABC?

I)

Trazando una paralela DE a la hipotenusa.

ir ) Dibujando la altura CD = he relativa a la hipotenusa.

Ill) Trazando la bisectriz del ángulo recto;

De los procedimientos anteriores, ¿cuál(es) de ellos esfson) correcto(s)?

A) S610

r

B) S610 II

C) S610 III

D)S610 l y II

E) Sólo l y III

12) La media proporcional geométrica entr e dos trazos de 6 cm y de 24 cm es un trazo de

A) 9,6 cm

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N  8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

15) Cuando dos circunferencias son tangentes exteriormente, ocurre que l a longitud del segmento de

tangente común exterior es igual a lamedia proporcional geométrica entre sus diámetros, Según esta

propiedad, '¿cuánto mide la longitud de la tangente común exterior a las dos circunferencias tangentes,

exteriormente de la fi gura adjunta de radios r = 4 cm y R '  9 cm? '

A)

6cm

B)

6,5

cm

C) 12 cm

D) 13 cm

E) 14 cm

16) ¿En cuál(es) de los siguientes casos secumple que la medida del segmento indicado es media

proporcional geométrica entre las 'medidas pe los otros dos segmentos?

Page 151: Matemáticas UC

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'B) 12 cni.

C) 13 cm

. D) 14 cm

E)

15 cm

13) En el t ri ángulo rectángulo ABC de la' figura adjunta, rectángulo en C, BC ' a

y

CA ' b ' 2a.

CD =he es la altura relativa a la hipotenusa, entonces CD '

1

A) -'

-a

215

115 

) - 5 a

5

C) ~15 a

2

e

l ·

. 5 Ir

D) -...;5

a

, 2

E) 3.15 a

5 ,

En un cierto triángulo rectángulo ocurr e que l a suma de la medida de la h ipotenusa con la med ida de

uno de los catetos es 25 cm, mientras que la diferencia entre las medidas 'de ambos es. de 9 cm.

Entonces la medida del otro .cateto es de

o \B

A  D

14)

A)

8cm

,B)

9 cm

C) 12 cm

D) 15 cm

E)

16 cm

302

1) La altura de un triángulo 'rectángulo y los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

II) Un cateto de un triángulo rectángulo con respecto a su proyección sobre la hipotenusa

y

la

hipotenusa entera.

1lI) La tangente trazada a una cb:cunferencia desde un punto exterior y los dos segmentos de

una secante trazadas por el mismo punto exterior: el segmento ínterior y el segmento exterior

De las afirmaciones -anteriores, ¿cuál (e s) de e ll as e s (s on ) correcta(s)?

Si

A) Sólo I

B) S610 II

C) SóloIII

D) Sólo 1 y II

E)' Sólo l,

y

III

17) En la figura siguiente, siendo ABC un triángulo rectángulo en

e,

ocurre que el área del cuadrado

BHIC es idéntica al área delrectángulo BDEG. Este hecho. geométrico ilustra mejor el teorema de

, 1

A) Euclides de la altura

B) Euclides del cateto

C) Pitágoras

D) los paralelogramos complementarios

E) no corresponde a ningún teorema en

espe~ial

18) 'Las diagonalesde un rombo miden 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto 'mide el radio de la 'circunferencia

inscrita

e n

él? '

A) 12 cm

B) 15 cm

C) 18 cm

D) 21 cm

E) 25 cm

,,----_ ~

Á

303

I

I

~,

e 'Al2pq ~

B) pq

h.

e)

p2 + q , . . E

Aé y ~B I D) q2 _p 

'~D~'

q p, . q p

E) (p+ q) h

e

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

19) En la figur a adjunta, los catetos del triángulo

ABe,

rectángulo en

e,

miden a = 3 cm y b = 4 cm. La

razón en que están los segmentos p y q, proyecciones de a y b respectivamente, sobre la hipotenusa, es

13

A) 2

3

B)   4

9

e) 1 6

81

D)

2 5 6

4

El   3

TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

22) En el triángulo

ABC,

rectángulo en

e,

indicado en la figura adjunta, se traza la altura CD =

he  

la que

determina sobre la hipotenusa dos segmentos de longitudes p y q. En seguida se trazan DE.L Be y

- - . 2

DF .LAC. En tal caso, EF

23) En la f igura adjunta, PT es tangente a la circunferencia de centro O y la recta PB es secante a dicha

Page 152: Matemáticas UC

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A) 24 cm

  1

B) 28 cm

e) 32 cm

II

D) 40 cm

1

E) 60 cm

~~

~

1

305

304

J

r

 

r

~

I

1

~

~

r

~

I

I

circunferencia yno pasa por el centro. Si construimos un cuadrado cuyo lado es PT , entonces él

ser á eql.\ivalente a un rectángulo cuyos lados son los segmentos de medidas:

1)

PAy AB

, II)

PA YPB

III)

AB

YPB

IV)

(PO

+

OT)y (PO - OT)

De las expresiones anteriores,

Q I

/

\

  >p

¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

A) Sólo 1 y m

B'

B) Sólo II

e) Sólo IV

D) Sólo II y IV

E) S610 I, T I Y m

20) Dado el triángulo rectángulo ABC -con todos sus elementos, indicado .en.Ia figura adjunta, . Si 'se

construye otro triángulo rectángulo cuyos cateto s sean la suma de los catetos del triángulo .dado y la

a ltur a de l t riángulo dado, entonces la hipotenusa sería: .

A)

a

+ b + he

e

B)

e + he

AA,

1 : ,

e

a·+

b

+ e

a + he

E

b + he

 <....... . --v- D_-----------

e

21) En un cierto triángulo rectángulo

ABe,

rectángulo en

e,

lahipotenusa mide 15' cm y su altura

correspondiente mide

6

cm, La longitud del cateto mayor es de

A) 6 : . J 5

.8) 5 :. J 5

C)

4 :. J 5

I

24)

r » 3 . : . J 5

E)

2 :. J 5

P es el punto de i n te rsec ci ón de las tangentes exter iores a las circunferencias de centros' O yO', Si el

radio de la circunferencia menor es r

=

3,5 cm, el radio de la circunferencia mayor es R = 14 ' cm y-la

distanc ia AP = 8 cm, entonces PB =

PSU. Cuaderno

de  

Ejercicios  Matemática

.25) Dos cuerdas AB y .CD se cortan en un punto P de un círculo cuyo centro es 0, tal como se muestra

en la figura adjunta.

A

c.

B

Si con algunas pare jas de los trazos determinados en la' figura anterior se construyen dos rectángulos,

éstos resultan ser equivalentes. La opción que ,nos indica los rectángulos que siempre son equivalentes

es

~

'

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N  8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN

26 )

Enel triángulo ABC de la figura adjunta,

EF //

AB. Además

EF

= a, AB =

1 ,4 a

y el área del triángulo

ABC es 98 cm . El área del triángulo EFC es

C

A) 35 cm ?

B) 42

cm?

C) ~9 cm 

El '>, F

I

D) 50

cm  

E)

56

cm?

Al

 B

27) En un trapecio ABCD, de bases AB

y

CD, se trazan las diagonales AC

y

BD, las cuales se c ortan

enO, El área del triángulo COD es de9 m2y el área del triángulo ABO es de 16 m

2

,

Elárea del

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306

 

A)

B

D

p

p

C

p

p

B

p

D

A

'B)

p

e

A

C)

p

B

A

D)

D

E)

P .

B

trapecio' es igual

a' .

A )

49 m

2

B) 37 m'

C) 28 m '

D) 25 m

2

A :

T • -= Z V I T

R

E) . Faltan datos

7

28) Se' desea dividir armónicamente un trazo AB = 40 cm en la razón  

=

'3 ' Para ello es necesario y

suficiente

(1) Dividirlo interiormente en la r azón  

(2) Dividirlo exteriormente en la razón

 

A) (1) por 'sí soiit

B)' (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (l)y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó

(2)

'E) Se requiere info rmación adicional

. .

307

A

B

P

p

B

C

PSU. Cuaderno deEjercicios Matemática

29) Con respecto a las medidas de los t razos de la figura adj unta, se cumpl e entre ellos l a relaci ón

AO BO

OD = OC' Para que ocurr a la propor ción anterior debe cumplirse necesariamente que:

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test

N'

9,

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DEEUCLIDES

y

DE PITÁGORAS

CAPÍTULO 9 . TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES

y

DE PITÁGORAS

Test N° 9: Triángulo rectángulo: Teoremas de Euclides y de Pítágoras

(1) e l / / e ,

  I

Il

1)

  = =: , A

e l

 

(2)

tl

ABO - ,t . DCO

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

o

C) Ambas juntas, (1) y (2)

 

: D

e

2

 

) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

30) En e l t riángulo ABC de la f igu ra adjunta, la a ltur a CD = h, cae en el interior del trazo AB , dividiéndolo

En la figura adjunta, e l t riángu lo ABC es rectángulo en e l vé rt ice C. E l va lor de x es

A

3M

B)

3 0 . J 5

B

C)

4M

I

~x

.30

D)

SM

,E)

I O . J 5

C

60

 A

Page 154: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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en dos' segmentos p

y.

q tales que p + q = c . Ent re las longit udes de los segment os p, q

y

h, se

cumple la r e lación h; .~ P q , Esta relación es válida si

C

(1) El triángulo ABC es rectángulo en C

(2) E l t riángulo ABC es isósce les de base . AB

A) (1) por sí sola

B)

(2) por sí so la '

C) Ambas juntas, (1) y (2)

AC:y:

 X y > B

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

q

D

p

l'

e I

E)

Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

V 'DE

a

'91

;).'\,  a '1

308

 

2) ·En el t riángulo ABC de la figura adjunt a, rectángulo en A, la medida del lado AB es

G

)

±2

~

B)

. -.fi

C

D)

.f i

A

D

  \ . B

xE)

2

¡ ;. .. -

3) En el triángulo rectángulo de la figura adjunta, l a medida de BC es

A)

7

B) /

8

C

11

D) 12

E)

Jl94

.~,

A 13

4) De acuerdo a . los datos en la figura adjunt a, el val or de x es

A)

7l-

5

B)

g o l

3

C

10±

D)

11

E)

IS

C

A~B

x

309

..._--_

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

. 5)

Eltriangulo ABC de la figura es rectángulo en C. Si CD es la altura respecto de la hipotenusa,

AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces Ia medida del segmento AD es

6../5

3../5

2../5

.6 ~

.D) -,,5

5

E)

'   : . . . . / 5

3

A)

B)

C)

cm

cm

.~

A. x D . B

'~

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N  9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES

y mi

PlTÁGORAS

cm

9) El perímetro de la figura adjunta es

 ~'

A) 28 cm

B) 32 cm

C)36 cm

D) 37 cm

E) 39 cm

3cm

n

0m

cm

cm

10) En la figura adjunta, el triángnlo ABC es rectángulo en C y CD es la. altura respecto de la

hipotenusa. Si AD = 8 cm

y

CD = 16 cm, entonces la longitud d~ BC es

A) 16)5 cm

B)

32  cm

6) Enelrriángulo ABC, rectanguloen C, AB = 20 cm y AD = 4 cm. La medida de la altura CD es

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.~

C)

1 6 J 3

cm

D) 1 6 J 2 cm

A D B

E)

8)5 cm

,

~-.

.

,. ... 11) De acuerdo a.los datos de la fi gura adjunta, el perímetro del triángulo ABC es

i

r

 

_ .

A)

8 + 12)5 cm

e  . .

B) 20 + 12$ cm

4~~

) 16 + 10)5 cm

D) . 16 + 12)5 cm

A 4cm D B

E)

30 + 4)5 cm

.~ .

D B

A)

6 cm

B)

sJ2 cm

C)

8 cm

D).

4../5 cm

E)

10 cm

7) El triángulo ABC es rectángulo en B e is6sceles. Si

AB es

A)

9J2 cm

B)

11 cm

C)

10 cm.

D)

9 cm

E)

· 4 J 2

cm

AC = 18 cm, entonces la longitud del lado

A ¿ J C

B

12) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdaderars)?

1)

AC=)5. cm.

I1)

<r ADC= 90°.

III)

<r:BCD = 90° .

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 1 y II

D) Sólo 1 y m

E) 1, II Ym

'C

  , \B

A 2cm

8) En la figura adjunta, ABCD

y

CEFG son cuadrados. Si el área de CEFG es 36 cm2,¿cuál es el área

de ABCD? .

Q.

A)

6 c m

2

B) 6J2 cm?

LJ~

)F

C)

9 cm'

D)

18cm

2

E)

24

cm-

A.

B

i l

I

I

I

310

311

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

13) Si todos los triángulos de la figura son rectángulos e isósceles y OA = 1 cm, entonces la longitud

de EO es

A) 4fi cm

B) 4 cm

e) 3J2 cm

~B

¡

I~

i  l  

D) 3 cm

E) 2J2 cm

E

o 1 A

14)

En la figur a adjunta, Ae

=8

cm, BC

= 4

cm y BD

= fi.

¿euál es la longitud de AB?

A) 4J2 cm

e'

TERCER EJE TEMÁTico

I

Test N  9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAs DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS

17) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos cuyas

longitudes son entre sí como

1 : 9.

Si la longitud

-de

la altura es

9

cm, entonces la longitud de la

hipotenusa es

A) 10cm.

B) 20cm

e) 30cm,

D) 40cm

E)

50cm

18) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos

segmentos cuyas longitudes son 5 cm y 45 cm. ¿euál es la longitud de la altura?

A)

llcm

B)

12cm

e) 13cm

D) 14cm

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15)

En la figura adjunta, el t.ABC es equilátero de perímetro 24 cm, AD =

8 1 3

cm y AB

 

DE .

¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero DECA?

C

A)

12(3 + -13)

cm

B)

8 ( 6 +-13)

cm

 

\ 8

C)

4(17 + 7-13)

cm

72-13

I \ I

20)

f~

D  cm

E)

8 (3 +

11-13)

cm

J  

lE

D

16)

De' acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál es la longitud de DB?'

1

~'

B)

4-13 cm

 l

4 . [ 5 cm)

D) .fi4 cm

A

E)

4 . J 7

cm

J j

A)

13m

B  11m

C) 9

m

·: : 1:

7 m

5 ' m

i r  ;I . :

312

,.

~

¡ ¡ ;

A

Lh

6m D ,B

m

IScm

19) Si en la figura adjunta, AC =13 cm y BC =

J 6

cin, entonces ¿cuál(es) de las siguientes

proposiciones es(son)

correctats)?

1) AB=3 cm

1I )

CD

=12

cm

.. .

A D

IlI) Área(t. DBe)=vIz cm'

A) Sólo 1

B) Sólo 1

y

TI

 C)

Sólo

1

y

III

D) Sólo II y III

E) 'I, II Y III

Si se construye un 'rombo con .lado igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado

d e

lado p,

entonces la mayor de las diagonales del rombo tiene longitud

Al2p

2 1 - -

) 2

p

J2 . . ,,/-,_,/

e)

P . J 5 p . . ,/

D) -

2p.[5 , __, /

E)

p~4 2J2  /

313

PSU. Cuaderno de Ejercicios 

Matemática

21) Si MNPQ es un rectángulo y QR -LMP , entonces, de acuerdo a los datos de la figura, QR

=

m

2

n

2

A)

m

2

+ n

2

mi + n

2

Q.

P

B)

--

mn

rnn '

, I

. \ .

../ 

In

C)

.Jm

2

+ n

2

,I/R,

I N

~

)

M

m

m

2

+'n

2

E)

)

m2

u:

n2

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES

y

DE PITÁGORAS

24) Si en la figura adjunta, BD= De ,,;6 cm y AB =2' Be, ¿cuál es la longitud de AD

 t :

A)

6J2 cm

/Ve

)

9

cm

C)

12 cm

D) 12J2 cm

 : 1  

A

' B

E)

18 cm

25) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura adjunta?

B

A)

  J

cm'

B)

  cm'

Page 157: Matemáticas UC

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A) 3J2 cm

27)

R

B) 3J3 cm

P~Q

C) 3-J6 cm

D)

s. Ii

cm

E)

3M cm

22) La altura correspondiente a I~hipotenusa de ,un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentos

cuyas longitudes son 6, cm y 21 cm, ¿cuáles son las lon~itudes, de los catetos?

A)

9J2 cm y

9 fi

cm

B)

3-J6cm, y 3m

cm

C)

is cm

y 56

cm

D)

3-/14 cm

y

6

cm

3-/14 cm

y

21

cm

23) Si en la figura adjunta, eltriángulo PQR es réctángulo en R iRQ = 6 cm, entonces la longitud de

RS es

314

sJ 5 cm'

D)

20 cm'

E)

40 cm'

26) ¿Cuál es la longitud de B e en la figura adjunta?

A) lOcm

B)

l6cm

C) 18cm

D)

20cm

E)

24cm

 

A

e

Si el triángulo ABC de la figura adjunta, es rectángulo en el vértice e, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? '

1) (AC)' +'(BC)2 =(AB)' ;

II)' (BE)' + (AD)2 =(AB)' +(ED)'

ill) CE,DB=CD,EA

A) S610 1

B) Sólo III

C) Sólo 1 y 11

D) Sólo 1 y III

E) I, TI YIII

I~B

315

' í

. .e

.,~ :

.. ; ;,

PSU. Cuaderno de Ejercicios Maremática

28) En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en C; a

2

+b

2

=

(1) P = 3

cm y

q = 4

cm

(2)

a·b=7·h,

e

/h

q

D P'.

A) (1) por sí sola.

B) (2)

por sí sola:

C) , Ambas juntas,

(1)

y

(2).

D) .Cada una por sí sola, (1)

ó

(2).

E) Se requie re información adicional.

. .

29) Si en.la figura adjunta se cumple' que AD =DC .' Se puede afirmar que el triángulo' ABC es

rectángulo en 'C si:

(1) Triángulo ADC es rectángulo en D

(2)

AD=DB

B

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 

¡Ó ,

TRIGONOMETRÍA PLANA

1\,

CAPÍTULQ 10. TRIGONOMETRÍA PLANA

Test W 10: Trigonometría plana

1) Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura adjunta, de catetos Be

=

a

=

20 cm y C,A

=

b

=

21 cm,

los valores de' sen

a, c os: a

y tan

a

son, respectivamente:

l.

; .

A) 20

3 ..   .

20,

29' 29 Y 21

21

20

20

B)

29' 21

y

29

20 20 21.

C) 21 29 Y 29

20. 20 ,21

D) 29' 21

y

29

AL

a) ,'\,

B

C

j

 

¡

i~:

Page 158: Matemáticas UC

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. A) (1) por sí sola.

B) (2)por sí sola.

e) Ambas juntas,

(1)

y (2).

D) Cada una por sí sola, (1)ó (2).

E) Se requiere información adicional.

D

C

 

'>A

~

1

I 1

  1

j

30) ,¿Cuánto miden los catetos de un t riángulo rectángulo?

(1) La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 ,

Y

21 cm. '.

(2) La hipotenusa mide 27 cm.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, '(1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

, 1

r

l

,

¡ .

  6

; 2120 20

1 ; , ,E) 29' 29 Y 21

~.

2) El valor exacto de la expr esión sen 30  + sen 60' - sen 90 =

A) O

B) ~

2

 

1 1,

 

C) ~ - 1 3

2

í

1 '

P ) ~ ( - 1 3 - 1 )

E)

3) En el triángulo rectángulo ABe, rectángulo en C, de la figura adjunta, se tiene que eB = 6

- 1 3

'cm'

y

el ángulo ABC mide 60 °. En tal caso, la altura CD = he mide

A)

1 2 - 1 3

cm

_ C

B)

9 - 1 3

cm

C)

3 - 1 3 cm

D)

9 cm

E)

6

cm

A

/' O \ B

 

7

PSU  

Cuaderno

de

Ejercicios Matemática 

4) Si

o .

corresponde a la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces, ¿cuál de las'

.condiciones siguientes debe verificar necesariamente sen a ?

A) seno. > O

B)

seno. <

1

e) Ay B

D) la función sen

a

puede asumir cualquier valor 'numérico

E) la

función

sen

a

sólo puede asumir valores racionales

5) De las expresiones dadas a continuación, para up ángulo dado

a :

1)

sen? a

+

cos «

ll)

sec  a

+

tan'

o .

ID) cosec? a. - cotan

2

a:

¿euál(es) de ellas tiene(n) por valor l? .

TERCER EJE TEMÁ

neo

I

Test N'

t O ,

TRIGONOMETRíA PLANA

7) Dadas las siguientes parejas de 'funciones trigonométricas:

1) seno y coseno

Il) .

tangente

y

cotangente

III) secante y cosecante

¿euál(es) de ellas ea(son), 'a la vez, recíproca(s) y cofunción(es)?

A )

Sólo

TI

B) Sólo 1 y ID

e) Sólo

T I

y ID

D) Sólo 1 y

T I

E) .1, II Y ID

8) En el rectángulo ABeD de la figura adjunta, con los datos indicados en e lla, el lado AB mide

2

  A) 3 

Page 159: Matemáticas UC

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A) Sólo

B) Sólo II y III

e) Sólo 1 y

T I

D) Sólo 1 y III

E) 1,

T I Y

ID

6) En la figura adjunta, tenemos un cuadrado AISCD de lado 1. M es el punto medio del lado BC  En

tales condiciones, tan a =

1

A)

-

2

1

B)

. J 5

2

C)'

. J 5

. J 5

D)

-

2

E)

. J 5

318

DC

M

B

2.J3

Bl-3-

e) 2.J3

D  3

J3

E)

2'

D

e

¡

51

A

  30°

t

I

2

D)

sec- a.

tan' a.

B

9) En, un rombo ABeD de lado 10 cm, .dicho lado forma un ángulo de 20° con la diagonal mayor AC,

Las expresiones trigonométricas que ~ejor representan las longitudes de las diagonales AC y BD

son, respectivamente:

A)' 10 cos 20°; 10sen 20°

'B) 20 cos 2.0°; 20 sen 20°

e) lOcos 40°; 10 sen 40°

.D) 20 cos 40°; 20 sen 40°

E)

10 cos 10°; 10 sen 10°

10) ¿Cuál de las siguientes. es un ejemplo de identidad trigonométríca?'

A)

sec

a:

cosec

a: ~

E) sec a:+ cos .c ~

e) sec

a: -

cos

a: ~

El cos' a . - sen' a. =

A,e ~

I

319

PSU. Cuadernode Ejercidos 

Matemática

11) ¿Cuál e~ el valor de cos' 30°

+

cos' 45°

+

cos' 60°?

5

A)

-

8

3

B)

-

'4

5

e)

> ' 4

3

-

2

.7

E)

-

4

12) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones correspondetn) al valor exacto de sen 60°?

1)- . 2 sen 30°'

14) La expresión sen 60° cos 30°

+

sen 30°cos 60° tiene por valor

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N' lO, TRIGONOMETRIA PLANA

1

A)

- ' -

4

1

B)

-

2

i J ]

2

3

D)

-

4

E)

1

15) Un posible valor de x que satisface la ecuación 3 sen (x) - 4·

sen (x) - 3, es

1 :

  1

1)

x

= 2 ' II )

x

= 30°

ID)

x

=~

radianes

6

Page 160: Matemáticas UC

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Il)

 2 se n

30°

cós

30°

IlI)

1

2'sen1200

De las expresiones anteriores, es(son) correcta(s):

A) Sólo 1

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

E) Sólo 1 ó II

13) En la figura adjunt a, ABCD es un cuadrado de lado 2. AM es la tr~nsversal de gravedad

correspondiente al lado BC' del triángulo ABC. Con los datos angulares indicados en la figura, la

relación correcta entre las tangentes de los ángulos o: y ~ es:

A)

tan ~ = tan

20:

D

C

B)

tanp. = tan

a

C)

tan~. =

2

tan

a

l '

/

~M

1 '

D)

tan~'= -tan

20:

2 '

~

,

'B

, :1

1

A'

)

tan ~ = - tan o:

, 2

I

¡

320

A) Sólo

B) Sólo Il

C) Sólo ID

D) Sólo 1 ó III

El Sólo Il ó ID

B)

J]

A) 3

1.6) Sea el rectángu lo ABeD de la figura adjunta, Con el dato lineal

y

los da tos angulares indicados en

ella, él área del triángulo BED, en centímetros cuadrados, mide:'

) e

K ¡

16

)

D) 2J ]

E) 3J]

Al ~B

17) Dado que sec o: - tan o:

=

2, entonces el valor de sec o:

+

tan o:

=

A)

0,1

B) 0,2

e)

0,3

D) 0,4

. E)

0,5

E

'3cm

. 321

PSU. Cuaderno de Ejercicios

Matemática

18) Al factorizar completamente la expresión tan'  3 - tan 13 se obtiene

A)

tan 13(tan'- 3 - 1 )

B)

tan' 13(tan

1 3 -

1)

e

tan

1 3

(1- tan

1 3 )

(1 + tan13)

D)

tan

1 3 (1-

tan'

1 3 )

E)

tan 1 3 (tan 1 3 -1)(tan 3

+

1)

19) Si el ángulo

a

es un

ángulo

agudo en un triángulo rectángulo, entonces la expresión

cos? a

sena + --'-

=

sena

A)

B)

cosec n

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N° 10, TRIGONOMETRÍA PLANA

22) Si

X

= sec e e

y

= cosec

e,

entonces x' +

y2

A) (x +

y )

B)

( x _

y)'

e) x'

i

.D)

x y

I

B)   2

Page 161: Matemáticas UC

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e)

cos a

D)

sec a

E)

sen a

20)

Al expresar en su.forma más simple la fracción sen' e - cos' e ,(con sen () ' cos e), obtenemos

se n? e - cos ',e

A)

B) 1+-sene cose

e) sen e cose

D) sen' e cos' e

E) cos? e - sen' e

ti) En la figura adjunta, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia unitaria. Entonces las.

coordenadas de dicho punto P, en funció~ del ángulo e , están dadas- por:

322

3

e)   2

D) 3·

E) no se puede determinar

24) En la figura adjunta, se tiene que: AB

11

CD, BC ..1

AC

y BD .1 CD. Si AB

= 1

Yel ángulo

. , BAe

=

X,

entonces' eD

=

B

A) sen

x

B) cos x

D

C) sen ' X

D)cos

2

X

E) tan x

AL

 : : :

25)

Dado el cubo de arista unitaria de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las razones trigonornétricas que

aparecen a continuación nos sirve(n) para determinar el ángulo agudo a .entre la diagonal interior y

la diagonal de la cara?

1 .fi 1

I) sen a = - II) cos a = - III) tan a = r;;

~ ~ ~2

.A A

A) Sólo l y II

X I B) Sólo II y m

C) Sólo l

y

III

D) Sólo II

E) l, II Y III ,. l,//~

323

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

26) Dado el teorema trigonornétrico:  El área de cualquier triángulo plano está dada por el serniproducto

de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman , Al aplicar dicho teorema a un tr iángulo

equilátero ABC de lado Ha , como el de la figura adjunta, se obtiene como expresión para el área:

A) (a

+

a)sen30

0

1 '

B)

-(a

+

a)sen60°

2

e

C)

(a   a)

sen 30

0

1

D)2 (a ' a) sen30°

.' 'B

, 1

E)

2

(a ' 'a) sen 60

0

27)  Para todos los valores de x para J;~cuales se cumple que tan(x)

>

O, si log (tan (x))

= ID,

entonces

1 1 ' ,

TERCEREJE TEMÁTICO I Test N 10, TRIGONOMETRÍA PLANA

,

,i

29) En el triángulo 'rectángulo ABe de la figura adjunta, rectángulo en e, se tiene qúe sen

IX =

sen ~,

Para que ocurra lo anterior, entonces debe cumplirse que:

(1) e es el punto medio del arco·ÁB

(2) /';,ABC es isósceles de base

AB

A) (1) por s í sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se requiere información adicional

e

11-'

\lB

 

30) Ei triángulo ABC de la figura adjunta es rectángulo en C. Para poder determinar eliperímetro del

triángulo ABe tenemos

(1) el cateto eB

=

5 ID

r '

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log (cot(x») =

A)·~

m

B) -m

e) I

-r

m

D)'-~

\ : '

m

E) m - l

28) Se necesita determinar el ancho de un ríoypara ello se sabe que un ·árbol que c rece exactamente en

su ribera, a una cierta hora del día, arroja una sombra sobre el río de igual medida que el ancho del

mismo: Por lo tanto, el ancho del río se puede conocer si .

( 1) en el momento indicado, el ángulo de elevación de la sombra con respecto a la cúspide del

árbol es de

45·

(2) a esa hora del día, la sombra del árbol es de 15 metros

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

. e) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí s ol a, (1) 6 (2)

E) Se requiere información adicional

324

I

(2) tan ~

=

2,4

A~B

JU;SPUEST AS CORRECTAS

A) (1) por sí .sola

B) .,<2) por sí s ol a

e) Ambas juntas, (1) Y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)

E) Se requiere información adicional

..

,

y

\

325

PSU. Cuaderno deEjer ci cios, Matemática

CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO

Test

N° 11:

Proporciones .en ;el círculo

1)

En la circunferencia de la figura adj unta, PA = 10 cm,

AJ 3 = 6

cm

y

PC

= 8

cm, entonces CD

=

p

A)

4,8 cm

B) 7,5 cm

C) 12 cm

D) 16 cm

E) 20 cm

D

2) En una circunferencia de centro 0, las cuerdas RS y TU se intersectan en P. Si RP

=

15 cm,

PS =18 cm,

y

TÍ' : PU= 3: 10, ent?ncesoPU

=

I

,   i

'~

TERCER EJE TEMÁTICO / Test

W

11,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

5) Si en' la circunferencia de,centro O de la figura adjunta:OA 1. Be. Si OM = 8 cm

y

OA = 17 cm;

¿cuánto mide la cuerda BC?

A)

30 cm

15 cm

•  1

lA

O

)

  J 

cm

D) )14 5 cm

~

 

m cm

6). En la circunferencia de la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia en

T,

PB =

16

cm

y

PT

=

8 cm. ¿Cuánto mide el segmento externo de la secante?

A)

2 cm

4 cm

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A)

3 cm

B)

9

cm

e). 20-H cm

D) 25n cm

E)

30 cm

3) En la f igura adjunta, AB es tangente a la circunferencia' en el punto B . ¿euál(es) de las siguientes

proposiciones es(son) .siempre verdadera(s)?

1) <t:BDe:= <t:ABe

II)  ;DBC es isósceles con base BD

In)

(AB)2=AD.Ae

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo 1 y In

E) 1, II Y III

4) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, la medida de la cuerda ABes

A)

4 cm

B)

.7 cm

e)

8 cm

D) 12 cm

E) 16 cm

326

A

e)

6cm

O)' 8 cm

B\

  Á

  p

E) 48 cm

7) En la ci rcunferencia de centro °

y

radio 4

cm

de la figura adjunta, PA = 8 cm

y

PC = 9 cm ,

entonces PD

=

A)

12 cm

P

B) 14~ cm

9

e)

17,8 cm

O

18cm

E)

135 cm

D

8) En la circunferencia de la figura. adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en M. Sabiendo que

AM

=

8 cm, MB

=

6 cm y CM = 12 cm, entonces MD =

A) 4 cm

B) 3 cm

e) 2cm

O) 1, 5 cm

E

1 cm

C

327 .

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

9) En una circunferencia, los segmentos de, una de dos cuerdas que se cortan miden 8 y 9 cm,'

respectivamente. Sabiendo que uno mide el doble que el otro, las medidas de los segmentos de la

otra cuerda son

A) 5 cm y 10 cm

B) 7 cm y 10 cm

C) 8 cm y 16 cm

D) 6 cm y 12 cm

E) 7 cm y 14 cm

10) En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB

y

CD se cortan en P. Sabiendo que

AP= x

+

4, 'PB =

x ,

CP.   = 3 cm

y

PD =·4 cm ,el valor de

x

es

D

A)

4 cm

B)

3 cm

:2 cm

TERCER EJE TEMÁTICO

I

TestN° 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

13) Desde el punto P se han trazado la tangente PT

y

la secante PB a la circunferencia de centro O.

¿Cuál de las ecuaciones siguientes permite determinar cor rectamente el valor de PA?

A) (PT)2 = PA . PB

B)

(PT)2 = PA . AB

• C) (PT)' ';'AB . BP

(

A

\ ~P

D) (PA)2 =PT . AB

E) (PB)2 = PA . PT

~

14) En la figura adjunta, NQ es tangente a la circunferencia de centro O

y'

desde N se ha trazado la

secante NP que pasa por el centro. Si NM = 4 cm y NQ = 12 cm, entonces el radio de la

circunferencia mide

Page 164: Matemáticas UC

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D) 1,5

cm

A\

'1

/B

; E) -6 cm

11) En la figura adjunta, PD = 40, CD = 10 Y PB = 60, entonces AB

C

20

A)

-

3

B)

15

F

C)

20

D)

40

E)

45

12) En la figura adjunta, PB

y

PD son dos secantes a la c ircunferencia de centro O. Sabiendo que

PA = 1cm, AB = Scm y PD = ·12 cm, entonces los segmentos pe y CD miden,

respectivamente:

A) 0,5 cm y 11,5 cm

B) 0,5 cm y, U cm

C) 6 cm

y 12 cm

D) 1 cm

y ncm

E)

1,5 cm y 12 cm

 . 328

í

.D

,p

A) 8 cm

B) 10 cm

/'

I

-lP

e) 16 cm

D) 18 cm

N

E) 32 cm

15) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro B, AC =  :l'cm, Be =

3

cm

y

  ..

BCE es

rectángulo en e . Entonces el perímetro del triángulo EeD, en cm, es

.......-----... E

) 6 + 2.Js

B) 6 + 2m

(

,, 1

  Dl

e

8 +

S..Jj

D) 10+

S..Jj

~

E) 10+ 4..Jj

16) En l a figura adjunta, O es el cent ro de l a circunferencia. Si Be = AE = 3 cm y De = EB = 4cm,

entonces ED = E

A) 1 cm

lB

= - - - c

B) 2 cm

O

) 3 cm

D) 5 cm

- - - - - - - - - - -

329

E) 6 cm

PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

17) En la figura adjunta se tiene: AB > BC. Si Ae

=

29 cm, BE = 14cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la

medida de AB?

A) 21 cm

B)

20 cm

e) 18 cm .

D) 12 cm

E}

8 cm

18) En lafigura adjunta, la tangente' AB mide 28 'cm y desde A se ha trazado la secante Ae que no pasa

por el centro

O .

Si

g~

=

3.

entonces AC mide

A) 14 cm

B)'2lcm

ci2~ cm

TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N ¡l,PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

21 ) En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia de diámetro AB.. Si CD ..L AB,

- - -

DE..l oe, AD = 8cm y DB = 2cm, entonces EC mide

A) 1,6 cm

B) 1,8 cm

C)

3,2 cm

Di 3,6

cm

E)

4,0 cm

e

\'  : b lB

22) En la figura adjunta, CM

y

eN son tangentes a la circunferencia de centro O. Si AO

Me= 20 cm, entonces BC =

15 cmy

A

I

,A)

fa

cm

B) 15 cm

Page 165: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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D) 42 cm

E)

56 cm

C

19) En la figura adjunta, AB y eD son dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia de centro O, no

siendo ninguna de ellas un diámetro. De las igualdades siguientes, ¿cuál(es) es(son) correcta(s)?

1)

AE . EB = CE . ED

Ir)

AB . DC

=

CE . ED

III) CE· ED = (AB)'

Sólo

Sólo Ir

Sólo III

A)

B)

e

D) Sólo 1 y III

E) Sólo II y III

20) En la figura adjunta,

O

es el centro de la circunferencia de diámetro eE. Si DE =

3'

cm, AD =

4

cm

y

DB =5 cm, entonces el radio r de la circunferencia mide

D

C

) 4cm

B) 4,5 cm

C) 5 cm

10

:i

D) - cm

3

29

E)

~cm

6

330

E.

C)

20 cm

Al

~

1-

0C

D) 25 cm

E) 30 cm

B

23) ¿A qué distancia 'del centro de una circunferencia se encuentra un punto ubicado en el interior de ella,

sabiendo que su potencia es de 16 cm'

y

el radio de la circunferencia mide 5 cm?

A) 2

cm

B) 3

cm

C) 4

cm.

D) 5

cm

E) Falta información para determinarlo

24) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro O

y

el triángulo ABD es rectángulo en A. .Si

AB = 15cm y Be

=

9cm, entonces AD =

,A)

12 cm

B)

16 cm

.C) 20 cm

D) 25 cm

E) Falta información para determinarlo

- '( <: ;D

B

331

PSU.

Cuaderno

de

Ejercicios,

Matemática

25) En la circunferencia de centro O de la figura adjunta; A. B Y e son puntos tales que

AB = Be = 15 cm y AC = 24cm, Entonces el radio de la circunferencia mide

9cm

12.5 cm

16 cm

25 cm

\ '

de

'K

27 cm

A)

B)

C

D

E)

I;l

26) En la figura adjunta. la potencia del punto M respecto de la cÍrcu¿ferencia' de centro O y radio r es

.12 cm

2

Si MA

=

2 cm. entonces el radio de la circunferencia mide

A) 2 cm

B) 4 cm

'e) 6

cm

M

TERCER EJETEMÁ TICO

I

Test N 11. PROPORCIONES EN EL CÍRCULO

, l · 29) En la figura adjunta. O es el centro de la circunferencia, AT es tangente a la circunferencia en el

punto

T

y

AO = Be '

Se puede determinar la I?ngitud del radio de la circunferencia

si:

(1) AT

=

5 J3cm

(2) BT = 5cm

A)

(1)

por sí sola

B) (2)

por sí sola

e)

Ambas juntas. (1)

y

(2)

D)

Cada una por sí sola.

(1)

ó (2)

El Se 'requiere información adicional

A

 

~I

x

Ic

30) En la circunferencia de la f igura adjunta. MN

=

9 cIp, Se puede determinar.la medida de RS si:

(1) NP = 2, PM

(2) MNJ. RS

M

Page 166: Matemáticas UC

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D) 10

C m

E) Falta información para determínarlo

27) En la circunferencia de centro O y radio r de la figura 'adjunta. ATes tangente en el punto T y AB

es una secante, Si AT = m. entonces una ecuación que permite calcular la longitud de l segmento

externo de la secante es

A) 2rx

2

-

m = O

B)

2rx-m=O

x' + 2rx - m ,= O

 

ni

iB

D) x

2

- 2r x - .m' = O

E)

x' + 2 r x - m' = O

28) Para determinar la potencia del punt o P respecto de la:circunferencia de ceniro O

y

radio r = 5 cm se

sabe que:

(1) .La distancia de Pa la circunferencia es igual a la mitad del radio,

(2) P está en el exterior de la circunferencia,

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola

e)

Ambas juntas. (1)

y

(2)

D) Cada una por si sola. (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

332

A) (1) por sí sola'

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas; (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola. (1) Ó (2)

E) Se requiere información adicional N

RESPUESTAS CORRECTAS

333

~

1 ' 1

1 I

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

1 1'

CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEI; ESPACIO

Test N° 12: Geometría del espacio

1)

De los conceptos presentados a continuación, ¿cuál es el único de ellos que no corresponde a un

concepto básico o primitivo?

.A) punto

B) recta

C)

plano

D) espacio

E) poliedro

2) Un plano, en.el espacio, queda completamente determinado por

1 )

Tres puntos. no colineales (no: alineados)

T I ) Una recta y unpunto exteriora dicha recta

1lI)  Dos rectas secarites

IV) Dos rectas paralelas

De acuerdo a los postulados 'de la Geometría .del espacio acerca de la determinación de un plano, de

las afirmaciones' anteriores, es(son) verdadera(s): .

I

¡

1 ;

TERCER EJE TEMÁTICO I Test N  12, GEOMETRÍA DEL ESPACIO

 \.

5) La intersección entre 'dos planos cualesquiera, no necesariamente distintos'; en el espacio puede ser

1)

El conjunto vacío

Il) Un punto'

III) Una recta

IV) Un plano

De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s):

A) Sólo I

y

III

B) Sólo II, ID Y IV

C) Sólo ID

y

IV

D) Sólo

1 ,

III

Y

IV

E) Sólo I, II

Y

III

6) ¿Cuánto; poliedros regulares existen cuyas caras sean triángulos equiláteros?

A) l

B) 2

'Ij

Page 167: Matemáticas UC

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I

I I

A)'

Sólo I

y

III

B ) Sólo T I , III Y IV

C )

Sólo

T I

y

IV

D) Sólo I, III y . IV

E) Todas

3) Una escalera de tres patas, -dispuestas en forma de triángulo equilátero, es más estable

y

segura que

una de' cuatro patas debido a que:

1)

Un tríángulo es siempre plano, en cambio un cuadrilátero no siempre lo' es

.II) Tres puntos no alineados determinan un plano

'III) Es falso que una' escalera de tres patas sea más segura que una de cuatro

De las afirmaciones anterioi:es, es(son) verdadera(s):

A)

B)

E) Ninguna. de las anteriores

4) Se dan dos 'planos. perpendiculares a

y ~.

Entonces, con r especto a ese hecho,. es correcto af irmar

que:

A) No necesariamente' se' cortan

B) Todas las rectas de a son perpendiculares a ~ y viceversa

C) Toda recta perpendicular a la intersección de a y ~ , debe estar contenida en uno de ellos

D) Toda recta paralela a a es paralela' a.~

y

viceversa

. E) Todo plano perpendicular a la intersección de a

y ~ ;

es perpendicular. a ambos

Sólo I

Sólo

Il

Sólo ID

Sólo I ó II

Para los

aspectos

teóricos de este contenido  el cual es nuevo en

relación

a las pruebas anteriores P.A.A. y

p.e.E. 

se recomienda nuestro Manual de Preparación

. P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile 

Sexta

Edición  Marzo de 2006. .

334

C) 3

D) 4

E) 5

7) La suma de todas las aristas deun cubo es 120 cm, . El área total del cubo

y

el volumen son;

respectivamente

A) 600

cm ' y

1.900

cm  

B) 600 cm   y 1.728 crrr'

C) 800 cm? y 1.000 crrr'

D) 400

cm'

y 1.728 cm

3

E) 100 cm  y 1..000 cm

3

8) Las tres aristas. que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo recto rectangular son entre sí

como 12 : 4 :' 3. Si la diagonal interior mide 26 cm, ¿cuánto mide la superficie total del paralelepípcdo?

A) 144 cm?

B)

192 cm'

C

278 cm  

D) 384 cm'

E) 768 cm  

335 

.PSU. Cuaderno de

Ejercicios,

Matemática

9) Una cuña en forma de prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es de

 6

fi cm.

La altura del prisma es de 10 c m . Entonces, la superficie lateral del prisma mide

A)

80 cm'

B)

120 cm'

C

160 cm'

D) 240 cm' .

E) 480 cm'

10) 'El número total de diagonales de un cubo 'como el de la figura' adjunta es de

A) 4

B) 6

C)10

D) 12

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO .

14) Si a un cubo de arista «a» le quitamos (o extraemos) una pirámide que tiene por arista tres aristas del

cubo y tres diagonales de las caras del cubo, entonces el volumen del sólido 'que queda es igual a:

A)

2-a3

6

B)

. 5

_a

3

6 .

.C)

1 5

3

 

J 6

3

 

E)

1 •

' 3

a

'

15) La superficie lateral de un cono circular recto es de 65 

cm .

Su altura mide 12 cm. Su volumen

es de

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A) 5: 6

A) 10 %

¡ ¡

B) 5:

9

B) 12 %

I

C)'4: 9

C)

2Q 

I

D) 1: 2

D) 30 %

E) 25: 24

E) 33,1  

336

337

i :

 

~

E), 16

11) El volumen de un paralelepípedo recto rectangular, cuya base y caras laterales tienen 15, 10

Y

6

centímetros cuadrados respectivamente,' es de

A} 900 crrr'

B)

300

cm  

C)

150 cm?

D) 90 cm'

E) 30 cm'

12) Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide

A) 5 dm

.E)

6,25 dm

ci

10 dm

D) is dm

. E) 50 dm

13) Las alturas de dos conos están en la razónde 5 : 4 y los radios de sus bases' están en la. razón de 2: 3.

Luego, Sl\S volúmenes están en la razón

A)

0,1 lt drrr'

B)

0,42lt dm  

lt cm'

D)

lO1tcm

3

E)

624lt crrr'

16) En la figura adjunta, A es un punto fuera del plano P. L es una recta del plano P, es decir, está

totalmente contenida en él.

AH 1.. P, AB 1..

L

Y M

es un punto de la recta L distinto de

B.

Entonces, con respecto a las longitudes

AB, AH

Y

AM,

es correcto afirmar que:

.

.,

A)

AH < Atv  <

AB

B) AH <AB<AM

C) AB < AM:< AH

D) AM< AH-;:AB

E) AM <AB<AH

A'

~

17) Cada una de las aristas de un cubo metálico se incrementa, por ~fec(os de la dilataciÓ~ lineal, en un

10%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en su volumen? .

PSU. Cuaderna deEjercicios  Matemática

ii: '

~

'~ TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N° 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO

  '¡ .

22) Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construir

un cono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo- los lados rectos del sector.

¿Cuál de los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?

18) Se da un cubo de 3 drn de ari sta. Usando como arista la diagonal interior de dicho cubo se construye

.ot ro cubo cuyo volumen es igual al del primero multiplicado por el factor

A)

3

B) ..fj

C 2 .. fj

D) 3..fj

E)

ifj

19) Se tiene una e~ferade 20 cm de diámetro. Se corta dicha esfera por un plano que determina una

- circunferencia de 8 cm de: radio. ¿A qué distancia se encuentran los centros de la circunferencia y de

la esfera?

A) -8 cm

B) 7'cm

C) 6 cm

Page 169: Matemáticas UC

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A)

B}

D) 5

cm

E) 4 cm

--   - - . . •

-

C) ,

20) Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Encontrar el área de la sección que resulta al cortar el

tetraedro por un plano que pasa por una arista cualquiera y el punto medio de la arista opuesta.

A) 2

m

2

B)

. J 2 m

2

C) .

 

m

2

D) 2..fj m2

E) 3 . J 2 m

2

21) ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que el número que exprese su superficie sea igual

al que exprese su volumen?

. ..  

-- ti~~~~~~

• .• -- -----

n 4c¡n--'

 

2

A) -

3

B)

I

E)

4

C) '3

D  2

  I

E)

3

339

- ,

I

338

PSU  Cuaderno de Ejercicios Matemática

23) El gráfico que mejor representa la relación entre la arista x de un cubo, y su superficie total y, es:

I r

~

TERCER EJE TEMÁTICO /Test N' 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO

24) Para que el volumen de un cubo aumente al doble, la ari sta debe aumentar, aproximadamente, en un

A) 24%

B)

25%

C) 26%

D)

2.7%

E) Se requiere conocer la medida de la arista .

Un recipiente en' forma de cono circular recto cuyas dimensiones son 10 cm de radio basa

y

10cm de

. altura puede contener alrededor de 1 litro de agua si se llena casi hasta el borde. Si quisiéramos

1

reducir su capacidad de ta l modo de que sólo pudiera contener

'8

de litro, mediante una sección

hecha por un plano paralelo a la base del cono, entonces, ¿a qué distancia de la cúspide tendríamos

que trazar el plano?' .

A) a 1,25 cm

B) a 2,5 cm

e) a 3,75 cm

y

6

25)

A)

 

X

Y

6

B)

Page 170: Matemáticas UC

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D) a 5 cm

E) .a 7,5 cm

26) Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80

cm, formándose un cier to só lido geométrico. En seguida se hace g irar en torno al lado de 60 cm

formándose otro sólido. La razón entreel volumen del primer sólido

y

el segundo es de

X

y

e

X

y

6

D

o

X

E

6X

y

1

340

A) 3: 4

B) 1: 2

C) :2: 3

D) 4: 3

E) 3: 2

. 27) Un cilindro circular recto que tiene diámetro

y

altura de igual longitud está inscrito en un cono

circular recto. El cono' tiene diámetro 10 y altura 12 y los ejes del cono y' del cilindro coinciden. En

tales condiciones, el radio

«rx

del cilindro es igual a . .

A l

8

3

30

E)

-

11

.~12

3

~ ~ ~ m ~

5

-

8

7

E) -

2

341

PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática

28) .Se desea calcular o determinar el volumen de un recipiente esférico cuyo radio no se conoce .. Sin

embargo se sabe que:

(1)

La esfera puede inscribirse exactamente en un cilindro de radio basal

10

cm.

(2) Al sumergir la es fe ra en un recipiente lleno de agua, el agua desalojada por la esfera es

de 4:000 7t cm'

3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

29) Se necesita determinar el número de aristas de un cierto poliedro regular. Para ello se tiene que:

. (1) El número de caras del poliedro es 20

(2) El número de vértices del poliedro es 12

A) (1) por sí sola

TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y Ee. VECTORlAL DEL PLANO

CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS

y

PLANOS

Test N° 13: Vectores: ecuación vect orial de la recta

y

ecuación vectorial del plano

1) Los puntos A(2, O), E(O, 2) y C(3, 3) forman un triángulo

A) escaleno.

B) isósceles,

C) rectángulo.

. D) isósceles rectángulo.

E) . equilátero.

2) En el triángulo con vértices en los puntos A(J, 2), B(S, 4 ) y C(3, 6), la mediana paralela a AB está

dada por el. vector

A) (1, 2)

B) (2, l)

C) ( -1,

-2)

Page 171: Matemáticas UC

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B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)

6'

(2)

E) ~e requiere información adicional

30) Se desea saber si un cierto poliedro e s regular. Para ello se dispone de la siguiente información:

(1) Sus caras son polígonos regulares todas congruentes entre sí

(2) Sus ángulos diedros y/o triedros son congruentes entre sí

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1 ') y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

:i~

r

if

l

11

~

, 1

RESPUESTAS CORREcTAS·

342

__ _

._---  

D) (-2, l)

E) (2, -l)

3) I (x,2) + (-x, 2) I

=

A) 2

B) 4

C x

D) 2x

E)

o

4) Si

la 1 =

módulo de

a

y

l b I =

mÓdulo

b ,

de las operaciones siguientes, la(s) que cárecem) de

sentido e s( son):

1).

I

a l

b

+

I

ti la

II) ¡ a I + ¡ ¡ ; ¡ + a + b

III) liilxlii¡+za-ii

Al Sólo 1

B) Sólo

T I

C) Sólo III

D) Sólo 1

y

II

E) Sólo II y III

Para los aspectos -teóricos de e ste contenido, el cual es nu ev o, en relaCión a la s p ruebas anteriores (P.A.A. y p.e. E.), se recomienda nuestro Manual de Preparación

P .S .U . e ditado por Ediciones Universidad Católica de

Chile,

Sexta E di ció n, Mar zo d e 2006.

343

PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática

5) Si ¡¡ = (1, O) Y ti =(2,-1), entonces 11 ; ¡ 1 a +

¡;

1 =

A)

  l O

B) 3

e) . J 8

1»4

E) 2

6) Si A = (2, 3) Y B = (3, -2), entonces BA =

A) (-1,5)

B) (1,-5)

, C) (5, 1)

D) (1, 5)

\,

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test

N °

13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTOíUAL DEL PLANO

9) La diferencia entre los vectores (2, 3) Y (-3, 2) tiene la misma dirección del vector

A).

(2, 5)

B) (5,2)

C) (-10, -2)

D) (4,3)'

E) (5,

-1)

10)

La suma de los vectores (4, 7) Y (~l,

-1)

no tiene la misma dirección del vector

A) (3, 6)

B) (3, 8) 

el (l,~ )

D) (9, 24)

.E) (-3,-8)

Page 172: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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E) (-1,-5)

7) Si P Y Q son dos puntos del plano cartesiano entonces PQ + QP

A) 2PQ

B)2QP

e   o

. D) P - q

E) q - P

8}El inverso aditivo del vector (3, -4) sumado con el inverso aditivo del vector .(-3, 4) es

A) (3, 4)

B) (-3, -:-4 )

e)

(-3,4)

D ) (O, O )

E) (3, 4)

344

11) Dados los vectores

¡ ;

=

(3, 2), q

=

(2 , -3)

Y ;: =

(4, 6) ,

¿cuál(es) de las siguientes proposiciones

es(son) verdadera(s)?

. 1) P - q está en la dirección de. q - r

Il) P

+

q

+ ;

no está en la dirección de

3 q ,

1lI) P

+

q tiene sentido contrario al del vector (-,10, 2).

A) Sólo 1

B) Sólo TI

C) Sólo III

D) Sólo 1

y n

E l

Sólo Il

y

III

12) La ecuación (x, 2)+ (- x, 1)= (0,3) tiene

A) una solución.

B) dos soluciones,

C) infinitas soluciones,

D) ninguna solución,

E) un número de soluciones que depende del valor de x.

345

PSU: Cuaderno deEjercicios. Matemática

13) Si i ='(1, O) y 1 = (O, l) son los vectores dirección de los ejes X e Y del plano cartesiano,

entonces es verdadero que

A) (x, y) = yi-]

E) (x,y)=yj-xi

C) (x , y) = -x i:- y 1

D)'

(x, y)

=

xi

+

y 3

E)

(x, y)

=

x'

i+

y'J

,

(

14) La eduac ión (x, 2)

+ (-

x, 1)=(O, x) tiene

A) una solución.

E) solución x

=

o .

e),

infinitas soluciones.

TERCER EJE TEMÁTICO

I

Test N  13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA YEC . VECTORJAL DEL PLANO

17) L

. .'. x-2

a recta cuyas ecuaciones continuas son _, _

, 1

A) (x , y , z) = (-2, -6, -4) ;: k(l, 2, -3)

E) (x ,

y,

z) = (2, 6 , 4) - k(1, 2, -3)

e) (x, y,z) =

(2,-6, 4) + k(-l, -2, -3)

D)

(x,

y,

z)

= (-2, 6   -4) - k(3,2, 1)

E) (x ,

y,

z)

=

(4, 6, 2)

+

k(-:-3,2, 1)'

1'8) La ecuación vectorial de la recta 'que pasa por los puntos '(2, 3) Y (3, -5), no corresponde a

y- 6

2

z-4 . ión vectorial

- tiene por ecuacton vecton a

-3 .

A)

(x,

y)

=

(2, 3)

+

a(l, -8)

B) (x,y) = (3, -5) + a (1, -8)

C) (x, y) = (2,3) -- a(-l, 8)

D)

(x, y) ;,

(3,-5)

+

a(-2, 16)

E)

(x.iy) =

(2, 3).

+

a(J,-7)

Page 173: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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D) ninguna solución.

E) un número de sol uciones que depende del valor de x.

.15) Un vector .d ireccíón de la recta que pasa por los puntos (1, 1) Y (1, 5) es

A) (O, 1)

E) (1, O)

e) (2, O)

D) (3, O)

E) (2, 6)

16) La recta que pasa por (2, 6) Y tiene por dirección al vector(l, 2), no pasa por el punto

A) (4, 10)

E) (1, 4)

C) (2, 6)

D) (O, 1)

E) (5, 12)

346

19) De los siguientes vectores, el que no es vector dirección de la r ecta que pasa po r (3, -1) Y (4, -3) es

A) (-1,2)

B) (2,-4)

e) (3,-6)

b j

(2, -5)

E) (1,-2)

20) Los puntos P(3, 6), Q(5, 10) Y R(-3, 4) per tenecen al plano I R ' . La recta que pasa por el punto medio

de PQ

y

tiene la dirección de RQ, tiene por ecuación

A) x-4 _ y-8

6 -~

8

B) x-4 = y-8

8 ~

6

e)

x+4 _

y~8

-6 - -8-

D)

x-4._ y+8

-6

- - - = s

E) x-:-6

8

y-8

  6

347

Page 174: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de

Ejercicios,

Matemática

28)

Para determinar las coordenadas del vector a se sabe que:

(L) Su magnitud es 5 cm.

(2) Su dirección ese = 45 .

A) (1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C). Ambas juntas,

(1)

y

(2).

D) Cada una por s í sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

. 29)

Para determinar una ecuaciónvectorial de la recta que pasa por el punto A(I,

3)

se sabe que:

(1) T

· l .

di . , . Id' , .

2 1

lene a: misma reccioü que a recta e ecuacrcn y = - x - -

3 3

(2) Pasa por los puntos P(4; 2) Y Q(2, -1).

A)

(1)

por sí sola

i l

 ~

TERCER EJE TE MÁTICO.  BIBLIOGRAFíA ESPECÍFICA

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

 J

1)

Autor:

Título:

Editorial:

2) Autor:

Título:

Editorial:

3)

Autor:

Título:

Editorial:

4)

Autor:

Título:

Editorial:

5) Autor:

Título:

Tercer Eje Temático:

GEOMETRÍA

y

TRIGONOMETRÍA

Baldor,

J.

Aurelio

Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría

Compañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S. A. Edic ione s y d istribuciones

Códice, S. A. Madrid. Edición 1988.

Bruño, G.M.

Geometría Superior

Bruño. Madri d, 1964.

Cano,Omer

Geometría:

2

0

y

3

0

año de Humanidades

La Salle, Santiago de Chile, 1966.

Cano,Omer

Geometría: 4

0

, 50 Y

6

0

año de.Humanidades

La Salle, Santiago d~ Chile, 1966.

Coxeter, Harold Scott Mcüonald'

Fundamentos de Geometría

Page 175: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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B) (2) por' sí sola'

C) Ambas jUÍ1t~, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E). Se requiere información adiciorial

30) Se quiere determinar la ecuac ión de un plano.

(1)

Se conocen la ecuaciones d e dos rectas paralelas contenidas en él.

(2) Se conocen las coordenadas fe dos puntos que pertenecen a. él.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

E)' Se requiere información adicional

RESPUESTAS CORRECTAS

350

Editorial:

6)

Autor:

Título:

Editorial:

7)

Autor:

Título:

Editorial:

8)

Autor:

Título:

Editorial:

9)

Autor:

Título:

Editorial:

10)

Autor:

Título:

Editorial:

11)

Autor:

Título:

Editorial:

12)

Autor-

Título:

Editorial:

13)

Autor:

Título:

Editorial:

t Fallecido el 31 de marzo de 2003

351

Limusa Wile y, Mé xico,1971.

Dokiani, Mary P.

Geometr ía Moderna: Estructura

y

Método

Publicaciones Cultural. México, 1971.

E ves , Howard

Estudio de las Geometrías. Volumen

I.

Uteha . Méx ico, 1972.

F.G-M.

Exercices de Géométrie

LibrairieArmandMarné. París, 1920. C*)

F.G-M.

Exercices de Trigonométrie

Librairie Armand.Marné. París: 1920. C*)

Keedy -Nelson

Geometría una moderna introducción

Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima CCECSA). México, 1968.

Lehmann, Charles

Geometría analítica

Uteha. México, 1972.

Lidvinenko, V. YMordkóvich A.

.Prácticas para resolver problemas matemáticos. Geometría ..

Editorial Mir, Moscú, 1989.·

Moise-Downs

Geometría Moderna

Addison-Wesley. Estados Unidos, 1966.

I

PSU-.Cuaderno de Ejercicios  Matemática

14)

Autor:

-Murdoch, D. C,

Título:

Geometría Analítica, con vectores y matrices

Editorial:

Lirnusa Wiley. México, 1968.

15)

Autor:

Nichols y Garland

Título:

Trigonometría Moderna

Editorial:

Compañía Editorial Continental Sociedad Anónima (CECSA). México, 1970.

16)

Autor:

Oakley, Cletus O.

Título:

Geometría Analítica

Editorial:

..Compañía Editorial Continental Sociedad .Anónima (CECSA). México, 1969.

17)

Autor:

Pendlebury, Charles

TítiIlo:

Elementary Trigonometry

Editorial:

George Bell

&

Sons. Londre s, 1895. (*)

18) Autor: Poenísch, Ricardo. . .

Título:

Geometría: 2°.y 3° año de Humanidades

Editorial:

Editorial Universitaria,. Santiago, 1956,

19)

Autor:

Poenísch, Ricardo

,Título:

Geometría: 4°, 5°y 6° año de Humanidades.

Editorial:

Editorial Universitaria, Santiago, 1956. :

20) Autor:

Ritch, Bamett

Page 176: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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Título:

Geometría Plan a con Coordenadas

Editorial'

McGraw Hill. Colombia, 197 L Colección

Schaum.:

21) Autor:

Taylor,.Howard E.

y

Wade, Thornas L.

Título:

Geometría Analítica Bidimensional, Subconjuntos del plano

Editorial:

Limusa Wiley, México, 1974.

22)

Autor:

Une Réunion de Professeurs

Título: Cours de Géoinétrie élémentaire (N' 266 E)

Editorial:

Librairie Générale de l' enseignement libre. París, 1947.

(*)

23)

Autor:

Une.Réunion de Professeurs

Título:

Exercices de Géométrie élémentaire (N' 266 M)

Editorial:

Librairie Générale de l'ens ei gnemen t libre'. París, 1947.

(*)

24) Autor:

Une Réunion de Professeurs

Título:

Cours de Trigonométrie (N' 269 E)

EditoriaL

Librairie Générale de l'enseignement libre .. París, 1~57.

(*)

25) Autor:

Une Réunion de Professeurs

Título:

Exercices de Trigono'métrie

(No

269 M)

Editorial:

Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1957.

(*)

26) Autor:

Wexler, Ch';les

Título:

Geometría Analítica, un enfoque vectorial

Editorial:

Montaner y Simon. España, 1972.

(*)

27) Autor:

Wylie,C.R.

l '

Título:

Fundamentos de Geometría

I  

Editorial:

Troquel.' Buenos Aire s, 1968.

;

352

PSU

Cuaderno de Ejercicios Matemática

EJERCICIOS RESUELTOS

CUARTO EJE TEMÁTICO: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1) Dado el conjunto P = {l, 2, 3 ,4 ,5, 6;J, 8, 9 }. S i se elige un número a laza r, ¿cuál es la probabilidad

de obtener un cubo perfecto?

A)

1

-

9

B)

2

-

9

3

C) -

9

4

,D)

-

9

S

E)

-

éUARTO EJETEMÁrrco I Ejercicios Resueltos

2) Las notas de Cónstanza en Matemática, en un cierto trimest re , son 6, 6, 6 Y x. Se sabe también que

la desviación típica o estándar de sus not as es O . Con respecto a esos da tos, se hacen las siguientes

aseveraciones:

1) el promedio de sus notas en ese trimestre es igual a 6

Il) la mediana tiene el mismo valor que la moda

III) x=

De las afirmaciones anteriores,es(son) correctats) :

A) Sólo

1

B) Sólo 1 y II

C) S610

II

y

III

D) Sólo 1

y III

E) 1,.Il Y III

Solución:

Page 177: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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I

1 :

9

Solución:

Los cubos .pe rf ec tos son aquellos

núm eros

naturales que corresponden a la tercera po tenc ia de ot ros

números naturales. En este caso son: 1 = 1

3

Y 8 = 2

3

. Luego hay sólo dos casos favorables sobre un

i

total de nueve casos posibles. De tal modo que la probabilidad buscada es:

2

P = -

9

Observaciones y comentarios:

Este un sencillo y directo ejerci cio de probabilidades que sólo requiere la definición misma del concepto

en su acepción clásica.

Respuesta correcta: alternativa B

354

Puesto que la desviación estándar e de un conjunto' Xi de n datos está dada por:'

iX i _ ; ¿ ) 2

(J

=

I I .   .. i:: . - .   . . . I _

n

Calculemos , paso a paso,lo que necesitamos.

Primero se calcula la media

X

de l os datos:

6+6+6+x

.X

= ----:-----

4

X

=

18 + X

4

Ahora se calcula la diferencia entre cada valor del conjun to de da tos y la inedi a, es decir, Xi - x , Y

se obtiene:

6 _ 18

+

x

24 18 - X

6   x

4

4

(este resultado es válido para los otros dos datos si guientes, pues .son iguales)

-

Ahora calculamos la di ferencia entre el último dato x y la media x y se obtiene:--

355

PSU. Cuaderno deEjercícios, Matemática

x -

18 + X

4

4 X - 18 - X

4

3 X -' 18

4

Introduciendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

a

'1~J

+ e x ~,18J

4

Efectuando los cálculos y,simplif icando (hágal os Ud. ), se obtiene para l a desvi ación est ándar la

, expresión: '

  a = ~ I Y l

Pero, como por hipótesis , la desviación estándar vale cero

  a

=O ) ,

entonces:

CUARTO EJE TEMÁTIc:O I Test N° l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Test N° 1: Est adística descript iva I

'1) La edades de los i ntegrantes de un grupo scout son:

io -

15 - 8 - 12 - 14 - 16 -13 _ 12 - 11 - 9

TIEMPO MÁXIMO PARA

CADA TEST: 1 HORA

La di ferencia ent re l a media aritmética y la moda del conj unto de edades es

A)

°

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

2) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones, es(son) siempre verdaderars):

1) La media aritméti ca de un conj unto de datos es el valor que se encuentra al c entro cuando

se

ordenan los da to s de menor

a

mayor o de mayor a menor. '

II)

La moda es

.el

da to con mayor fr ecuenc ia absol

uta.

rtl) La mediana ,es lo mismo que e l segundo cuart il .

A) Sólo r

 

Page 178: Matemáticas UC

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~ I

X :

6 1 =

O, de donde x

=

6

Este últ imo valor 'nos dice que las cua tto notas de Constanza son todas iguales , Po r lo tan to, todos los

indicadores de tendencia central: media aritmética, mediana

y

moda son también i guales ent re sí e

' igua lesa 6. ' ,

De ahí que los incisos 1, II Y I II son correctos.

.observaciones'y' comentaríos;

Es

un

e je rc ic io de mediana di ficu ltad . Ahor a bien, s i s e t ienen los concep tos c la ros , no es necesar io

efectuar los cálculos anteriores para responderlo correctamente.

Respuesta correcta: alternativa E

356

B) Sólo 1y II

'C) Sólo 1 y III

D) Sólo n y III

E) 1  II Y I II

3) El gr áfico de la' figur a muest ra la info rmac ión r ecogida' por' una empresa de estud ios de mercado

a través de una encuesta telefónica realizada

a

30 f ami lias , respecto de l números de automóviles

qne han comprado en l os últimos 10 años. ¿Cuál (es) de las siguient es aseveraciones es(son)

verdadera(s)? . '

frecuencia

Número

deautos

4) La media ari tmét ica de seis números es 6. Si se resta-S de cuatro de los números, 'la nueva media

aritmética es

1) La mediana es 3.

10

II) La moda es 3 .

III) La media aritmética es 3,4.

Al

Sólo i

B) Sólo II

C) Sólo III

D)Sólo n y III

E) I,n y III

A) 1t

B) 2

C) 3

D) 4

E

4 .L

2

,ll

357

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

5) Una violinista practica 1 hora diaria, de lunes a viernes, ¿Cuántas horas debe practicar el sábado,

para que el promedio de horas de práctica para los 6 días sea 2 horas?

A) 2 horas

B  4 horas

C) 5 horas

D)

6

horas

E) 7 horas

6) Si la media aritmética de x

+

2, x

+

4 y' x

+

6'es O, entonces x

=

A) -4

B) , -3

C - 2

D  - 1

E)

O

7),En un curso de contabilidad hay 12 hombres y 18 mujeres, Si en la primera prueba 'el promedio

del curso fue 90 y elpromedio de los hombres fue 87, ,¿cuál fue el promedio de las mujeres en

esta prueba?  

A)

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

10) ,¿Cuál deIas siguientes proposiciones es verdadera?

A) Una desviación estándar igual a cero significa que la media aritmética de los datos es cero,

,B)

La mediana de un conjunto de datos

no

puede tener el mismo valor que el mayor de los datos

del conjunto,

C) Si todos los datos de un conjunto son iguales, entonces el rango y la desviación estándar

tienen el mismo valor.

D) En cualquier distribución el promedio de las diferencias de los datos respecto de la mediana

es cero,

E ) 'Si los datos de un conjunto son e, e - a, y e + a, entonces su desviación estándar es . J ; ; 2

11) El gráfico siguiente muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de un curso, De

acuerdo con esta información, ¿cuántos alumnos tiene este curso?

88,5

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B)

C

E)

8~ En la tabla siguiente se muestran las contribuciones de 15 personas a una obra de caridad, ¿Cuál

es la diferencia entre la mediana y la me dia aritmética de las contribuciones?

91

92

93

94,5

1 ,

12)

A) $5,000

B) $4,000

C) $3,000

D) $2,000

E) $1.000

, Contribución

Número de personas

$10,000

4

$15',000

~

$20.000

2

$25:000

4

$30.000

2

9) Si la media aritmética' de los valores de la variable en la tabla de distribución de frecuencias

siguiente es ~, entonces ,el valor de 'k es

A) O

B) 1

C) 2

D)

~) 4

358

De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencia de temperaturas máximas de 10 días, ¿cuál es la

temperatura media de esos 10 días?'

A) 26°

B ) 2(0

C) 28°

D) 29°

E) 30°

x ,

32°

30°

25  23°

f,

2

4 2

13) Las calificaciones obtenidas por 10 alumnos en un control son:

4- 5- 7- 5- 3- 5- 4- 5- 5- 2

¿Cuál de las. siguientes alternativas se' deduce como correcta a partir de dicha información?

A) La media aritmética es igual a 4,2

B) Las modas son 4 y 5

C) La mediana es iguala 3'

D) Mo=Me=',j'

E) Ninguna de las anteriores,

359

Page 180: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

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PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

21) En la siguiente tabla faltan algunos datos:

'y;

n

,

f;

N ; H;

3 3 0,06

3

v

4

4

Y

7

0,14

5

x

0,14 14

0,28

6

20

0,4 z

0,68

7 16 0,32

50

1

Los valores de x, y,'z y v son, respectivamente:

A)7 - 0,08 - 34 - 0,06

B) 4 - 0,06 - 32 - 0,28

C) 6 - 0,2 ,.- 42 - 0,05

D) 3 - 0,05 - 24 - 0,03

. E) Ninguna de las, anteriores

22) El siguiente gráfico muestra el número de árboles plantados en un parque el año 2004 ..,

CUARTO EJE TEMÁTICO

I

Test

W

l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

24) Para un estudio, algunos estudiantes registraron las temperaturas de 6 días de octubre. Los datos

obtenidos se muestran en la tabla siguiente:

Temperaturas de octubre

Feeha

Temperatura (OF)

Oct. 1

45

-

Oct.

2

52

o«. 3

48

Oct. 4

50

.Oct. 5

61

Oct. 6 43

¿ Cuáf de los siguientes gráficos corresponde. a los datos de la tabla?

Tempe r tau ras de :oct t lbre

emperaturas de oc tub re

Page 181: Matemáticas UC

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones relativas a los 'datos del gráfico no es verdadera?

A) Se plantaron un total de 37 árboles.

B) La media del número de árboles plantado es 7,4'.

C) Los peumos que se plantaron son 3 más que los robles plantados.

D) La mediana del número de árboles plantados es 11.

E) El árbol moda es el pino.

. 23) En una ciudad del Sur, en 5 de 6 días de lluvia se registraron las siguientes cantidades de agua

caída, en milímetros: 0:9 ; 1,6 ; 0,6; 2,0 ; 1,4. Si la media aritmética del agua eaída en los 6 días

es de l,2.mm, entonces el.agua caída en el día que no se registró fue

A) 0,1

B) 0,7

C) 1,2

D) 1,25

E)

1,3

362

i

)

lililí

.' ¡ : - - - - . - . - '- . - . - ' - . -:-- .~ --.¡•

: ~ t - - -   ~ . - _ . j

20:-  -

. 10  - . __ . _ . i

L

  ·~¡;:;:, ;;:, 0  ;- ce,s .   ,-: I

  Fecltl

B)

E)

'temperaturas deoctubre

em p erat ur as d e o c tub re

~~:I --~

n p ~ · = = = ¡

. -  1

Pct

f   Od 2· Oc:t30ct 4

0cCS:, oct e

F••••

C

Temperaturas.ée octubre

i

I

X '

X

X

_ X

X

X

X

X X X

X

X X

X

X

~X

X

X

X

X X

oe.r

0

OOU Oc. 4

Col.

oe,e

363

-1.

PSU Cuaderno de Ejercicios

Matemática

25) Para calcular la nota final de una asignatura, las tres 'pruebas del semestre se ponderan con un

30%, 30% Y40%, respect ivamente. Isabel t iene un 5 y un 4 en las dos primeras. Si su not a final

fue 5,1 ent onces en la tercera prueba obtuvo un

A) 5,0

B) 5,1

e) 5,2

D) 6,0

E) 6,3

26) El gráfi co muestra el t iempo, en minutos, que t oma a un grupo de alumnos realizar el t rayecto del

colegio a sus casas. ¿Cuántos al umnos deben vi ajar por más de 10 minut os?

1

¡ '

CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N 1,ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

29) De acuerdo a l gr áfico adjunto, se puede de te rminar e l número de t raba jado res corr espondientes

a l sec to r agropecuario s i se sabe que:

( 1) El ángulo del sec to r c ircular cor respondiente a l sec tor agropecuario mide 45° .

( 2) Al sec tor agropecuario corr esponde un 12,5% del total .

. ~

A) (O p 'or sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)'

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) .

E) Se requier e información adicional

I ndus t r i a l

A)

2

1 9 e

B)

5

~~

  _

. 8.4. +

,C)

7

. ~3

 ~ 2

D

8

z 1

0.1  .

E)

15 0 ·5

6 \0:,:. ti,~

5

1 6   0 : .20 :

30)

Agropecua r i o

Se qui ere determinar la moda de un conjunto de datos correspondient es a las remuneraciones de

los trabajadores de una empresa.

Page 182: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 182/195

27) En l a si guiente tabl a se muestra el resul tado del estudio: Número de t íos (x) de los alumnos de

un curso . De acuerdo a l a i nformación .d e la tabla, ¿cná l( es) de las s igu ientes propo siciones

es(son) verdadera(s)?

I) La moda deí número de tíos es 2 :

Il) 'La mediana del número de tíos es 3.

IlI) La media del número de tíos es aproximadamente 2,8

A)

Sólo 1

B). Sólo Il

e

. Sólo 1Y I I

D)

Sólo

1

III

E)

1 , II Y I II

x

f

O

2

1

4

2

8

3

6

4

5

5

5

28)' Para calcul ar la media aritméti ca de un curso en una prueba de mat emáti ca se sabe que:

(I ) La media de las niñas delcurso, que son 15, fue 6,1.

(2) El total de alumnos del curso es 25 y la media de los niños fue 5,8.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requier e info rmac ión adiciona

i. 1

364

l

los trabajadores de una empresa.

(l) La mayor frecuencia absolut a corresponde a un suel do de $ 250.000.

(2) La mediana de los dat os es $ 250.000.

Á) (1) por sí sol a

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2)

·E) Se r equier e información adiciona l'

RESPUE:>TAS CORRECTAS

365

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PSU. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

7) Se lanzan dos monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los mismos valores?

1

A)

  4

1

B)   3

1

C)

  2

2

D)

  3

3

E)

  4

8) Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma igual a 3?

,

1

'A) 36

1

B) 1 8

CUARTO EJE TEMÁTICO

 

Tes tN 2, PROBABILIDAD

10) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de' obtener 3 sellos?

A) 8

r

. 1

B -

4

3

C  -

8

1

D) -

2

3

E)

  4

11) Se lanzan tres monedas no cargadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores alternados?

A)~

8

1

B  -

4

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1

C 9

5

r »

36

1

E) -

, 6

9) Si se lanzan tres monedas normales al aire, ¿cuál es la pro,babilidad de obtener 2 caras y l sello?

3

A)   4

5

B) ' 8

1

'c)

  2

3

Ú)

' 8

1

E)

  3

308

3

C  -

8

1

D  -

2

3

E) -

4

.12) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados normales se obtenga, al menos, un número

par?

3

A)   4

25

B) 36

2

e

3

1

D)   2

1

E)

  3

·369

-----_

PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática

13) Se elige al azar un número entero de dos dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que en el número

elegido, sus dígitos sumen l O? '

1

A) 100

9

B) 100

1

C) 10

1

D  9

E)

11

9 0

14) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola

blanca? .

1

A  5

2

CUARTO EJE TEMÁTICO I TeSl N 2, PROBABILIDAD

16) En una urna hay 14 fichas, 'en total, de colores blanco, rojo y negro, Si hay 5 fichas blancas y la

probabilidad de sacar una ficha blanca'

o

negra es ~ entonces ¿cuántas fichas son negras?

, 7

A) 2

E)

C  4

E) 7

17) Se extrae una pelota al azar de una caja que contiene 3 rojas, 2 blancas y 4 azules, ¿Cuál es la

probabilidad de que la pelota que se saque no sea roja?

1

A)

5

1

B)

'4

1

3 '

1

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B) 5

1

C  ' 2

3

D) 5

2

E)

3 '

15) Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo experimento 'aleatorio E, Si las probabilidades de

ambos sucesos A y B son pfA)

=

a y p(B)

=

b, entonces se afirma que:

1) O :::;

a ::: ;

1

Il) O:::;b:::;I'

IlI)

O : : : ; a + b :: : ; l

De las desigualdades anteriores, es (son) correcta(s}:

A) Sólo 1

B) Sólo II

C) S610 III

D) Sólo 1 y II

E) 1  II Y III

370

O)

' 2

2

E)

3 '

18) Una ,bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras', Si se extrae una bola al azar,

-¿cuál es la' probabilidad de que sea blanca o roja? '

A) 5

1

B)'4

1

e)

20

9

D) 2Q,

11

E) 20

371

------~------------_._-_ ..._

..

,-,._~

PS J. Cuaderno de Ejercicios  Matemática

19) Se tienen 2 cajas, una con 4 bolas blancas y 2 negras y la otra con 3 blancas y 5 negras. Si se

saca una bola de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

1

A)

  6

1

B) '5

1

C) 4  

1

D)

4

1

E)   2

20) Al lanzar dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un 2 . ó un 6 en uno de

ellos si la suma de los números es 7?

1

A)

  6

1

CUARTO EJE TEMÁTICO

I

Test N' 2, PROBABILIDAD

22) Se tiene un dado normal, es decir, no cargado, una de cuyas caras se encuentra en blanco y el

resto están todas uumeradas del 1 a15. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar el

dado, se obtenga un número par?

1

A)

'3

2

B)

'5

1

C  2

3

D)

'5

2

E)

'3

23)' De un grupo de 20 'personas que ,gustan de Ias empanadas, sólo a. 5 de ellas le gustan COQ ají: Si

se eligen dos personas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que a ambas les gusten las empanadas

con ají? .

1

A)

1 6

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B)

'3

1

C)

  2

2

D)

'3

5

E)

  6

21) Si lanzamos simultáneamente 4 monedas normales al aire, la probabilidad de obtener 4 caras en

'el lanzamiento es: .: . ....

372

1

B) -

4

4

C) 19

1

D) 1 9

1

E) 20

Se lanzan al aire simultáneamente dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de que la

su;na' de los números .que f iguren en sus caras sea igual a su producto?

1

A)   2

1

B) '3

1

C)

  6

1

D) 18

1

E) 36

373

Page 187: Matemáticas UC

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i~

¡

¡

1

1 ' 1

I

ti

i

11 1 ·

PSU. Cuaderno de Ejercicios  ¡ v fatemá i~a

1)

Autor:

Título:

Editorial:

2) Autor:

Título:

Editorial:

3)

Autor:

Título:

Editorial:

4)

Autor:

Título:

Editorial:

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFJCA

Cuarto

Eje Temático:

ESTADÍSTICA

 

PROBABILIDAD

Dickson, Le onard Eugene

College Algebra

John Wiley and Sons.-Nueva York, 1902

Lipschutz, Seyrnour

Probabilidad

McGraw-Hill. Bogotá, Colombia, 1971. Colección Schaum,

Willougby , S tephen S.

Estadística

y

Probabilidad

Publicaciones Cultural. México, 1969.

Wisniewski, Piotr Marian

Velasco Sotomayor, Gabriel

Probl emar io de probabilidad

Thornpson. México, 2001

Observación:

En est os temas de Estadística y p robabilidad, generalmente los textos existentes en el mercado est án orientados hacia los

.estudiantes universitarios. No existe una gran

variedad

d e

literatura,

a nivel básico

corno

en las otras

1:l nidade s

temáticas.

Page 188: Matemáticas UC

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376

1

1 1

 

, .

M

1 1

, tI

1 1

1

PSU. Cuaderno deE je rcicios, Matemática

EJERCICIOS RESUELTOS

.ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

1) El número N = du es un número de dos dígi tos en e l sistema decimal.  d es la c ifra de las decenas

y

 u  

es la cifra de las unidades. ¿Es

N

divisible por

27

(1)

 Il;' es cero o cifra-par

(2) (d + u) es un número par

A) (1) po r sí sola

:B) (2)

po r sí sola

C) Ambasjuntas,(I) y (2) .

D) Cada una por s í so la ,

O)

ó (2)

ID Se requiereinformación adicional

Solución:

Con la información I, sabemos que el número N es par y, por lo tanto, divisible por 2 .

ANEXO

I

Ejerc ic ios Resueltos

2) En el conjunto de los números reales: IR , se da la siguiente ecuación de p rimer grado en la incógnita  x  

y con parámetro  m : m

2

x + 2 = m (x + 2) . .Ella tendrá una solución única siempre y cuando se

cumpla que

(1)

m * ' O

(2) m*,1

A) (l) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) Y (2 )

D)

Cada una po r sí sola,

(1)

ó

(2)

E) Se requiere información adicional

Solución:

Puesto que en el enunciado se especifica claramente que la incógnita es  x ,ye l pa rámetro es  m,

entonces debemos despejar la

 x 

de la ecuación dada, en términos de

 m .'

m

2

x + 2 = m (x + 2)'

Page 189: Matemáticas UC

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Luego, la condición Ies necesaria y suf iciente, es decir, con ella basta.

En cambio, con la información Il, no se g arantiza que el número N sea divisible por 2, pues si d

=

u = 1,

el número 11 es impar y, poi: lo tanto, no es divisible por 2. '

Luego, I I no es su ficiente.

Observaciones y comentarios:

Este eje rc ic io apunta directamente al conocimiento de laregla de divisibilidad por 2. Por lo tanto, es un

ejercicio netamente conceptual que no debería of rece r ninguna dificultad,

Respuest a correcta: alternativa A

. ..

 

378

/

m

2

X

+

2=

mx + 2m

m

2

x - mx 2m - 2

mx(m - 1)

2 (m - 1), de donde:

2 ( m

1)

x=

m (m

1)

Nótese que en ningún hemos cancelado o simplificado por el factor (m - 1) .

Ahora bien, para que la ecuación anter ior tenga exactamente una sola solución, d ebe cumplirse que, el

denominador de la expresión resolvente sea dist in to de cero. Esto es:

m (m - 1) * '

O ,

lo que es equ iva lente a:

m *' O, Y m*,1

Luego la condición del ejercicio se cumple si y sólo si se. verifican ambas condiciones

(1)

y (2) .

379

PSU.Cuaderno de Ejercicios Matemática

Observaciones y comentarios:

En una ecuación como la propuesta, de incógnita

  x

y de parámetro  m , la s ituación podría haber

sido perfectamente al revés, es decir, la incógnita podr ía haber sido m  y el parámetro podría haber

sido  x . Deahí la importancia de especificar muy bien el papel de los términos en una ecuación.

Dejamos como inquietud para nuestros estudiantes, resolver él problema planteado al revés, o sea..

como incógnita  m  y como parárnetro

 x ,

¿Cuál' ser ía el análisis y la discusión en tal caso?

.Respuestacorrecta: alternativa e

3) Se necesita conocer la longitud de la circunferencia de centro O de la figÚra adjunta.· Para ello se

dispone de la siguiente información:

(1)

 

.

 .

la cuerda AB es el lado. del hexágono regular inscrito en ella

(2)

el área 'del triángulo equilátero ABO mide

. J 3 .

cm

2

A)

B)

C

D)

(1) por sí sola

(2) por sí sola

Ambas juntas, (l) y (2)

Cada una por s í sola, (1) Ó (2)

ANEXO  

E jerc ic io s Resu elt o s

Observaciones y comentarios:

Cuando en un ejercicio corno este se pide encontrar la longitud de una circunferencia se ent iende que es

su valor numérico. Efectiv amente para hallar la longitud de una circunferencia se r equiere, es-decir, es

necesario y suficiente el dato de su radio( o su diámetro), pues la fórmula depende de ello:·

L~

=

21t

r .

Sin embargo, para saber qué tan grande o pequeña es una' circunferencia necesitamos la' longitud o

medida de su radio .

Respuesta correcta: alternativa B

4) Un montañista sube hasta lacima deun cer ro yluego desciende, enambos casos, con rapidez constante.

Se pide determinar ~urapidez media en t odo el trayecto.

(1)

. . . . km

la rapidez media de su ascenso es de 3 -

h

A)

la rapidez media de su descenso es de 6 km

.' . . h

(l ) por sí sola

(2)

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E)

Se requiere información adicional

o

B

..

Solución:

I ~ l

n

1

'

Con la información 1 podemos saber que la cuerda

A . i3

es igual al. radio de la 'drcunferencia pero

aún no sabemos su medida y, por lo tanto, tampoco la de la circunferencia. Luego, 1 por sí sola no es

suficiente. . . . . . . .

Con la información Il, dada el área de l triángulo equilátero ABO, se puede determinar la medida del

lado de dicho triángulo, es decir, la medida. de la cuerdaAB. Y teniendo la medida de la cuerda AB se

tiene la medida delradio OA, (o bien OE) de dicha circunferencia. Luego II por sí sola es suficiente.

380

B)

C)

E)

(2)

por sí sola

Ambas juntas, (l) y (2)

Cada una por sí sola, (1)

ó

(2)

Se requiere información adicional

Solución:

Para déterminar la rapidez media (v m ) del montañista en todo el trayecto, necesitamos saber la distancia

total recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, independientemente del valor de la distancia. En

efecto, sea   I  la distancia recorrida por el montañista desde la base hasta la cima, expresada en

kilómetros. •

La distancia total recorrida es, claramente, d + d

=

2 d',

De la fórmula del movimiento uniforme: v

=

~,deducimos que el nempo t  es:

t '

d

t =

Por lo tanto , el tiempo de ascenso (t

a

),

expresado en horas, es igual a:

ta

d.

3

381

psu . Cuaderna

de E je rcicios. Matemática

y el tiempo de descenso. (td ), también expresado en horas, está dado por;

t

d

d

6

Luego; e l t i empo total en el recorrido

está

dado por:

t

=

ta

+

t~, es decir:

d

-  

3

d

6

d

2

t =

ASÍ, la rapidez media el todo el recorrido es igual a:

V

m

2d

-,-, esto es:

- d

2

='4 km

h

V

m

Observaciones

y

comentarios:

ANEXO

I

Test N .1, SUFICIENCIA DE DATOS

ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS

Test N° 1: Suficiencia de datos

1)

¿Cuál es e lporcentaje

de

inciemento en el valor. de un jarrón de gran antigüedad en el período que va

desde el 1 de enero de 2,004 has ta el 31 de diciembre de 2.005?

(1)

El valor del jarrón al

1,

de enero de 2.004, era de 5.000 euros

(2) El valor del jarrón al 31 de diciembre de 2.005, era de 8.000 euros

A) (1) por sí sola

B) (2)

por s ísola

C)

Ambas juntas,

(1)

y (2)

'O)

Cada una por sí sola,

(1)

ó (2)

E) Se requiere informaciÓn adicional

2) Si un total de 84 estudiantes están inscritos en un curso de cálculo en dos secciones, ¿ cuán tos de los

84 estudiantes son niñas? ' .

(1) el 25% de los estudiantes de la primera sección son niñas

(2) el 50% de los estudiantes de la segunda sección son varones

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

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En realidad, no era, necesario resolver el ejercicio para darse cuenta que se necesitaban ambos datos

para su solución. Sin embargo, lo hemos hecho, dado que en es te ejercicio está presente el concepto de

la media armónica. La media armónica

(H)

entre dos números reales positivos a

y

b está dada por.

H=

Úb

a +

b

La rapidez media en todo

d i

trayecto del montañista es l a media armónica entre l~ rapidez d

1

scenso y .

la de descenso. Como a = 3 y b = 6,. entonces la rapidezmedia es igual a:

V

m

2 • 3 • 6 , de donde:

3 +6

km

v =

4 -, como antes

m' h '

Recalcamos nuevamente que, en estos ejercicios de suficiencia, de datos, el objetivo no es resolver

el ejercicio, sino decidir si con la información entregada en los incisos (1) y (2) es posibl e l legar a la

solución.

Respuesta correcta: alternativa e

I

I

¡ ¡

i

1 .

382

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

l

3) ¿Corresponde la expresión 1

+ -

a un número mixto, sabiendo que x es un número entero?

x

(1) x es' número natural

(2) x *

A) (1) por sí sola, .

B) . (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

· (2)

O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

4) Si x es un número real tal que x *

O,

¿es x

+

y

=

O?

(1) x es el opuesto de

y

(2) x

*

l

A) (1) por-sí sola

B) •(2) por

 

sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

O) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Sé requiere información adicional

383

I

I

I

¡

I

PSU. Cuaderno de Ejercicios Matemática

5) Si a, b

y

e son números reales, '¿es a = e?

(1) a-b=b-c

(2) a-2c=c-2b

A) (1) por sí sola

B) • (2) por sí sola

e)

Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (l).ó (2)

E) Se requiere información adicional

'1

1

I .

I

\ .

I

I

 

~

f

 

~.

,

í

~

I

r

I

. ,

6) 'Si «a» es un número entero, .¿cuál es el valor de a?

(1)

a'

(2 ) a

3

+

1 ~ O

:  ) (I~

por sí sola

E) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)6 (2)

E) Se requiere información adicional

ANEXO I Test N  l. SUFICIENCIA DE DATOS

9) ¿Es X menor que y? .

(1)  x-y+l<O

(2) x-y-I<O

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) .

E)' Se requiereiriformación adicional

10) ¿Cuál es el primer término de una sucesión?

(1) El segundo término es 43

(2) El segundo térmiIl;o es cuatro veces el primero, y el tercero es dos veces el segundo

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sf sola, (1) ó (2)

E) Se requiere ,información adicional

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t

7) .Si e es la cif ra de' las centésimas en el número decimal d = O,2c6, ¿cuál es el valor de d,

aproximado a la décima? '

1

(1) d<-

4

(2)

e

< 5

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

8) ¿Es x un número entero par?

(1) x es el cuadrado de un número entero ..

(2) xes el cubo de un número entero.

A) (1) por sí sola

E) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) Cada una por sí sola,(l) ó(2)

E) Se requiere información adicional

38 4

11) Una persona en cinco meses ha ahorrado $a. Se puede determinar el valor de a si:

(1) Mensualme~te gana $4oo.000.y ahorra el 6% de su sueldo

(2) En tres meses' ha reunido $72.000 lo que representa el 60% de lo que ahorra en 5 meses

'A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

e)

Ambas juntas, (1)

y

(2)

D) . Cada una por sí sola, (1) 6 (2)

E) Se requiere información adicional

12) .Una bolsa contiene 20 bolas rojas

y

10 bolas azules. Si se sacan 9 bolas, ¿cuántas bolas rojas quedan

en la bolsa? .

(1) De las bolas que se sacaron se sabe que la razón entre rojas

y

azules es 2: 1.

(2) Cuatro de las seis primeras bolas sacadas son rojas.

.A) (1) por sí sola

E) (2) por si sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l) ó (2)

E) Se requiere información adicional

385

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PSU. Cuadernode Ejercicios. Matemática

21) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. El ángulo

x

mide:

~ 1 .~

(1) arco AB = larco BC

D

(2) a = 120

0

A) (1) por s í sola

B)(2) por sí sola

C)· Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cad~ una por sí sola, (I~ ó (2)

E)' Se requiere información adicional.

22) Si a,

b

e

IR+'

ambos dist intos de uno, se puede determinar el valor de logba si se. conoce que:

B

(1)

~=b

 (2) b'=a

A) (1) por sí sola

'B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas,

ti) y

(2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requier e información adicional

~

I

ANEXO I Test W \  SUFICIENCIA DE DATOS

25) ¿Cuál es la capacidad 'de un estanque cilíndrico?

(1)

La base es equivalente a un cuadrado de lado

5

m

(2). Su altura es igual al diámetro de la base.

A) (1) por sí sola

B)

(2)

por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (l)ó (2)

E)

Se requ ie re información adicional

26) 50% de las ofici nas de cierta ciudad .ti enen computador y aire acondicionado. ¿Qué porcentaje de las

oficinas de_esta ciudad tienen computador pero no aire acondicionado?

(1) Si se escoge una ofic ina a l azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga aire acondicionado

7

es-

-10

(2)

Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga computador

3

es -

5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

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23) Se puede determinar la ecuació~ de la recta e de la f igur a adjun ta si:

(1) a:b=2:3

(2) b-a;=l

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) .Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) . Se requiere información adicional

x

.y,

b· ---- -

o

24) Si a. es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de sen a.?

(1) sen

2

a.=1-cos

2

a.

3

cosa.

=-

5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

(2)

3118

I

i

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

27) El comité X y el comité Y, que no tienen integrantes comunes, se fusionan para formar el comité Z.

Para saber si el comité X tiene más integrantes que el comité Y, se sabe gue:

(1) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité X es 25 años y la de los integrantes

del comité Y es 29 años.

,(2) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité Z es de 26 años.

A) (1) por sí sola

B). (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

. D) Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

 

38 9

FSíl Cuadernode Ejercicios Matemática

28) Se tienen dos cursos A y B del nivel 4° medio de un colegio. Se desea saber en cuál de ellos se

presenta.la mayor dispersión de edades.

(1) la desviación estándar de las edades del curso A es 2,5

(2) la desviación estándar de las edades del curso. B es 3,5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) .

D)

Cada una por sí sola, (1) ó

(2)

E) Se requiere información -adicional

\

29)

¿Es el rango de l os números en un conj unto A, mayor que el rango

de

los números en un conjunto B?

(1)

La desviación estándar del conjunto A es may~rque la desviación estándar de B

(2)

La probabilidad de que un- número seleccionado al azar del conjunto A sea mayor que un

número seleccionado al azar del conjur ito B es l

. A) (1) por sí sola

B) (1) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D). Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

I

I

Page 195: Matemáticas UC

8/17/2019 Matemáticas UC

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-uc 195/195

30) Si se seleccionan 'al azar y con reemplazo, dos estudiantes de un curso mixto, ¿cuál es la probabilidad

de que dos hombres o dos mujeres sean seleccionados?

(1) Hay 50 hombresen el curso.

(2) La probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer es 21

. '50

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1)

Ó

(2)

E) Se requiere información adicional

 

I

I

j .

RESPUESTAS CORRECTAS

 9

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I .

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