MATEMÁTICA 8. ANO - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · 1- Efetue as operações de soma entre os números inteiros: Os números −13e +13são simétricos! MATEMÁTICA –8.°ANO

MATEMÁTICA – 8.° ANO 1


MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLAYTON BOTAS NOGUEIRA

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

GIBRAN CASTRO DA SILVA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

ESCOLA MUNICIPAL _________________________________________________________________________________________ TURMA ______________

NOME: ____________________________________________________________________________________________________________________________

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA):

E.M. ALICE DO AMARAL PEIXOTO

E.M. ÁLVARO ALVIM

E.M. BÉLGICA

E.M. CÂNDIDO PORTINARI

E.M. DEODORO

CIEP ENG. WAGNER GASPAR EMERY

E.M. GASTÃO PENALVA

E.M. GUILHERME TELL

E.M. JOAQUIM NABUCO

CIEP MARGARET MEE

E.M PROF. HELTON A. VELOSO DE CASTRO

E.M. PROF.ª ZELIA CAROLINA DA SILVA PINHO

E.M. RIBEIRO COUTO

E.M. TATIANA CHAGAS MEMÓRIA

E.M. TENENTE RENATO CÉSAR


Bem-vindo ao 8.º Ano! Neste ano, vamos estudar os

seguintes assuntos:

Números racionais

Dízimas periódicas

Números irracionais

Arredondamento de números

Comparação e ordenação

Ângulos suplementares, complementares e congruentes

Expressões algébricas

Assinale, no decorrer das aulas, os conteúdos que você

aprender.

a) −9 + −3 = ___________________________________________________

b) −4 + +3 = ___________________________________________________

c) +5 + −2 = ___________________________________________________

d) +13 + +7 = ___________________________________________________

e) −20 + +10 = __________________________________________________

f) −22 + +25 = __________________________________________________

g) −13 + +13 = __________________________________________________

Vamos iniciar o 8.° Ano com uma revisão sobre números

inteiros e racionais.

Observe o conjunto dos números inteiros:

Z= … ,−2,−1,0,1,2, …

Multirio

Esse conjunto contém os inteiros

positivos, os inteiros negativos e o zero!

NÚMEROS INTEIROS

Alguns desses números podem aparecer,

por exemplo, em temperaturas e em saldos

bancários.

Para somar números inteiros, precisamos lembrar de dois

casos:

• Para somar números inteiros com mesmo sinal, adicionamos

os valores absolutos e repetimos o sinal:

• Para somar números inteiros com sinais diferentes,

subtraímos os valores absolutos (o maior, menos o menor) e

colocamos o sinal do número de maior valor absoluto.

−7 + −2 = −9 +3 + +5 = +8

−7 + +5 = −2 +3 + −12 = −9

+7 + −5 = +2 −1 + +4 = +3

Você sabe o que é valor

absoluto de um número?

Relembre com seu(sua)

Professor(a)!

1- Efetue as operações de soma entre os números inteiros:

Os números −13 e +13 são simétricos!


Na próxima atividade, vamos subtrair números inteiros.

Precisamos lembrar a seguinte regra:

O resultado da subtração de dois números inteiros é a

soma do primeiro número com o oposto do segundo.

+11 − +𝟓 = +11 + −𝟓 = +6

−2 − −𝟕 = −2 + +𝟕 = +5

O número inteiro (+5) foi substituído pelo seu

oposto (−5) e a subtração se transformou em

uma soma. Observe outros exemplos:

−20 − −𝟏𝟑 = −20 + +𝟏𝟑 = −7

a) −5 − −2 = _________________________

b) +4 − +2 = ____________________

c) +3 − −9 = ____________________

d) −20 − +22 = ______________________

e) −32 − −55 = ______________________

f) +45 − −23 = _____________________

2- Efetue as subtrações de números inteiros:

Multirio

Você se lembra da regra dos sinais para a

multiplicação de números inteiros?

• O produto de dois números de mesmo sinal

é positivo.

• O produto de dois números de sinais

diferentes é negativo.

Nos produtos abaixo, foi aplicada a regra dos sinais.

Observe como exemplo:

a) −3 ⋅ −2 = ________________________________

b) −5 ⋅ +3 = ________________________________

c) +7 ⋅ −9 = ________________________________

d) +10 ⋅ +4 = ________________________________

e) −12 ⋅ −11 = _______________________________

f) +20 ⋅ −3 = ________________________________

g) −13 ⋅ −22 =________________________________

h) +32 ⋅ +4 = _________________________________________

3- Efetue:

−7 ⋅ +5 = −35 +4 ⋅ −3 = −12

−8 ⋅ −3 = +24AGORA,

É COM VOCÊ!!!


Para efetuar a divisão de números inteiros, também

usamos a regra, vista na página anterior, para a multiplicação.

Observe os exemplos:

−8 : +2 = −4 −30 : −5 = +6

+22 ⋅ −2 = −11

a) −12 : −3 = ___________

b) −18 : +2 = _________

c) +42 : −7 = ___________

4- Realize as operações de divisão:

Quando a base é

positiva, o resultado é

sempre positivo!

Para calcular a potência de números negativos, precisamos

lembrar que as potências de índice par apresentam resultados

positivos e as potências de índice ímpar apresentam resultados

negativos. Observe:

−3 3 = −27 −3 4 = +81−3 2 = +9

A raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao

quadrado. Lembre-se de que os números negativos não possuem

raiz quadrada nos números inteiros:

+3 3 = +27 +3 4 = +81

16 = 4 pois 42 = 16

5- Encontre o valor das potências:

6- Resolva as raízes quadradas:

7- Peça ajuda a seu(sua) Professor(a), se precisar, e encontre o

resultado das expressões:

Mu

ltir

io

Atenção! Calculamos as multiplicações e divisões

antes das somas e das subtrações!

a) −2 3 = _____________________

b) −2 4 = _____________________

c) −5 2 = _____________________

a) 36 = ________________________

b) 100 = ______________________

c) 49 = _______________________

a) −5 − (+3) ⋅ (−2) =

b) −35 : +7 + −6 ⋅ (−3) =

c) −5 3 − +54 : (+9) =


Leia as situações apresentadas a seguir:

NÚMEROS RACIONAIS

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

Uma receita que utiliza Τ3 4

de farinha de trigo.

Um túnel que possui altura

máxima de 4,2 metros.

Os números 4,2 e3

4são exemplos de números racionais. Esses

números representam inteiros e partes de inteiros. Podem ser

representados de duas formas: a fracionária e a decimal.

Escreva esses números por extenso:

3

4→__________________________________________

4,2 →_________________________________________

Observe que a forma fracionária não é única. Isto é, várias

frações podem representar o mesmo número racional. Junto com

seu(sua) Professor(a), complete:

3

4=6

8=

9=12

16=

20

Chamamos de frações equivalentes as frações que

representam o mesmo número racional!

Quando temos um número na forma fracionária, podemos

encontrar a forma decimal desse número. Para isso, basta encontrar

o quociente entre o numerador e o denominador desse número,

efetuando a divisão representada pela fração. Complete o exemplo

da fração3

4.

3 40

20

00,75

A forma decimal do número3

4é igual a ______. Podemos,

também, realizar o processo inverso: obter a forma fracionária através da

forma decimal. Para isso, utilizaremos as frações decimais (frações

com denominador 10, 100, 1 000 etc.). Um exemplo:

Escrevendo o número racional 0,3 por extenso, vamos

encontrar uma fração decimal. Veja:

0,3 → três décimos

A palavra décimo significa uma fração de denominador 10,

assim como centésimo e milésimo representam frações com

denominador 100 e 1000, respectivamente. Dessa forma, temos:

0,3 =3

10

De forma similar, podemos encontrar a forma fracionária de

qualquer número decimal:

1,5 → um inteiro e cinco décimos ou quinze décimos.

1,5 = 15

10=15

10

Mu

ltir

io

A forma 15

10é chamada de número misto, pois

1 é a parte inteira e 5

10a parte fracionária!

4,2m

0,05 =5

1000,008 =

8

1000

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Simple_Measuring_Cup.jpg


Vamos encontrar a forma fracionária do número −0,45?

−0,45 → quarenta e cinco centésimos negativos

−0,45 = −45

100Neste exemplo, podemos simplificar a fração, isto é, encontrar

uma forma mais simples, dividindo numerador e denominador por um

mesmo número:

−0,45 = −45

100= −

9

20

Nesse caso, as frações acima são equivalentes e ambas

equivalentes ao número na forma decimal −0,45.

a)7

2= _______________

b) −13

5= ____________

c)72

10= ______________

2- Escreva os números na forma fracionária. Simplifique o máximo

possível:

Dividir por 5

Dividir por 5

1- Efetue as divisões e escreva os números na forma decimal.

a) 0,9 = ______________________________________________

b) 10,24 = _____________________________

c) −0,75 = __________________________________________

d) 0,25 = _____________________________

Para somar ou subtrair frações, precisamos usar frações

equivalentes que possuam o mesmo denominador. Observe o

exemplo:

5

3−1

2=

10

6−3

6=

7

6

Multirio

Precisamos de denominadores iguais

antes de efetuar as operações.

10

6−3

6

Fração

equivalente

Fração

equivalente

Tendo as frações o mesmo denominador, efetuamos os

numeradores e repetimos os denominadores:

5

3−1

2

a)13

4+

5

3= ___________________________________

b) 25,56 − 13,4 = ______________________

c)16

10−

1

2= ____________________________

3- Efetue com números racionais:

Já para somar e diminuir com números,

na forma decimal, basta armar a conta,

posicionando vírgula embaixo de vírgula e

completando as casas vazias com zero.

Observe, ao lado, a operação 2,5 + 3,75.

2,50

6,25

+3,75

NÚMEROS RACIONAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

AGORA,É COM VOCÊ!!!


Para efetuar uma multiplicação entre dois números na forma

fracionária, basta multiplicar numeradores e denominadores:

2

3⋅5

7=10

21

Na divisão entre frações, trocamos a segunda fração pela

fração inversa e transformamos a operação em uma

multiplicação. Observe:4

5∶

2

10=

4

5⋅10

2=

40

10

Multiplicar

Multiplicar

Fração inversa

Para multiplicar números na forma

decimal, é preciso somar a quantidade de

casas decimais de cada um dos fatores.

No exemplo ao lado, o resultado

apresenta 3 casas decimais.

7,83

1566

X 0,2

2 casas

1 casa

𝟏, 𝟓𝟔𝟔

Já na divisão, para que o resultado seja correto, basta

igualar o número de casas decimais, antes de efetuar a divisão.

Por exemplo, para encontrar o valor de 2,56: 0,5, basta

dividir 2,56 por 0,50, sem se preocupar com as vírgulas do divisor

e do dividendo:

256 050

5,1260100

0

Se precisar, tire as dúvidas com o(a) seu(sua) Professor(a),

para realização das próximas atividades.

4- Efetue as operações com números racionais:

a)12

5⋅2

3=

b)7

8:3

4=

c) −1

5⋅ +

7

4=

d) 0,45: 0,9 =

e) 2,3 ⋅ 1,4 =

f) −7,7 ⋅ −2,1 =

5- Encontre o valor das expressões numéricas com números

racionais:

a) 10,3 − 5,2 ⋅ 1,5 = _______

b)2

5⋅1

4+

3

10:2

7=

c) −3,1 : +0,2 − −5,5 ⋅ −3,2 = ________

d)3

4:1

2−

5

2⋅2

3=

e) 13,2 ⋅ 0,9 +4

5:2

5=

NÚMEROS RACIONAIS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO


Já estudamos que os números racionais possuem duas

representações: a fracionária e a decimal. Podemos encontrar a forma

fracionária dividindo o numerador pelo denominador Observe:

NÚMEROS RACIONAIS: DÍZIMAS PERIÓDICAS

1 30

10 0,333

10

1

40 50 0,8

Encontrando a forma decimal de4

5,

dividimos 4 por 5 até que não sobre resto.

Observe como representamos uma dízima periódica:1

3= 0,333…

O período dessa dízima é formado pelo algarismo 3.

Vamos, agora, encontrar a forma decimal do número50

11, efetuando

a divisão de 50 por 11:

50 11

60 4,545454

50

60

50

60

50

60

50

11= 4,545454…

Como o período da dízima

periódica 4,545454… é 54, podemos

usar a forma simplificada para

representar a dízima: 4, 54

a)20

3= _______________________________

b)4

11= _______________________________

c)1

7= ________________________________

d)17

9= _______________________________

e)6

11= _______________________________

1- Encontre as dízimas periódicas e indique o período de cada

uma delas:

Para encontrar a forma fracionária, usamos a representação decimal

e simplificamos, caso necessário. Veja:

0,8 → oito décimos →8

10=

4

5

Veremos que alguns números possuem uma representação

decimal diferente da que estudamos até agora: as dízimas periódicas.

Veremos, agora, as representações da forma decimal e da forma

fracionária das dízimas periódicas.

Primeiramente, vamos encontrar a forma decimal da fração1

3:

Essa divisão sempre apresenta resto diferente de zero. O quociente

será um número com representação decimal infinita, chamado de

dízima periódica. Os algarismos que se repetem infinitamente na

parte decimal formam o que chamamos de período.


2- Realize os cálculos necessários e complete de forma adequada:

a) Para encontrar a forma decimal da fração1

9, precisamos dividir

o número ____ pelo número ____. Assim, encontramos o

resultado____________ , que possui período ______.

b) A dízima periódica da fração13

99é ________________ e tem

período ______.

c) Dividindo a fração7

9, encontramos o decimal

________________ que possui ____________casas decimais.

Além disso, o período é _______.

d) A dízima da fração25

99é ______________________ e o período

é_______.

3- Baseado na atividade anterior, tente encontrar as dízimas abaixo

sem fazer contas:

a)8

9= __________________________

b)74

99= _________________________

c)234

999= ____________________________

4- Que conclusões podemos tirar sobre as representações decimais

das frações que possuem denominadores 9, 99, 999,...? Converse

com o(a) seu(sua) Professor(a), se considerar necessário:

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Agora, vamos descobrir como encontrar a representação fracionária

de uma dízima periódica. Chamamos essa representação fracionária

de fração geratriz.

Como exemplo, vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,555….

Iniciamos, chamando a fração que queremos encontrar de 𝑥:

Em seguida, vamos encontrar outra igualdade, multiplicando a

igualdade acima por 10. Observe:

FRAÇÃO GERATRIZ

𝒙 = 0,555…

10𝒙 = 5,555…

𝒙 =5

9

9𝒙 = 5

10𝒙 = 5,555…−𝒙 = 0,555…9𝒙 = 5, 𝟎𝟎𝟎…

Multiplicar um número decimal

por 10 é andar com a vírgula

para a direita.

Assim, pudermos observar que, nas duas equações, os

períodos dos decimais infinitos são os mesmos. Vamos, agora,

subtrair as equações termo a termo:

Observe que o resultado é uma equação que apresenta um

decimal infinito no segundo membro. As infinitas casas decimais

são todas iguais a 𝟎, ou seja, representam um número inteiro:

Assim, a fração geratriz de 0,555 é5

9.


Procedemos do mesmo modo para encontrar a fração

geratriz de uma dízima que possui período composto por 2 ou

mais algarismos. Leia:

Vamos encontrar a fração geratriz de 0,636363…

Nesse caso, para que as casas decimais fiquem iguais,

precisamos multiplicar a equação por 100:

Em seguida, subtraímos e encontramos um número inteiro

no segundo membro.

Lembre-se sempre de que é necessário simplificar a fração

geratriz. Observe:

Dizemos que63

99e

7

11são frações geratrizes equivalentes da

dízima periódica 0,636363…

𝑥 = 0,636363…

100𝑥 = 63,636363…

100𝑥 = 63,636363…− 𝑥 = 0,636363…99𝑥 = 63, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎…

99𝑥 = 63

𝑥 =63

99=

7

11

Neste procedimento, precisamos

eliminar as infinitas casas

decimais através da subtração.

1- Encontre a fração geratriz dessas dízimas periódicas:

a) 0, ത7

b) 0,45454545…

c) 0,222…

d) 0, 81

e) 0,180180180…


Vamos observar as formas fracionárias e decimais infinitas

de alguns dos exemplos que já estudamos:

0,636363… =63

99

0,234234234… =234

999

0,555… =5

9

0,888… =8

9

Nesses casos, o denominador é sempre composto apenas

do algarismo 9 e o numerador é igual ao período de repetição da

parte decimal da dízima.

a)19

99=_______________________________

b)103

999= _____________________________

c)31

99=_______________________________

2- Sem fazer contas, indique a dízima periódica das seguintes

frações:

a) 0,212121… =

b) 0, 32 =

c) 0,693693693… =

Atenção! Existem dízimas periódicas que possuem parte

inteira ou uma parte decimal não periódica como por exemplo:

Nesses casos, procederemos como no exemplo da página

anterior, porém com algumas diferenças. Observe, por exemplo,

como encontrar a fração geratriz do número 0,1333…:

3- Encontre a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas

apresentadas a seguir:

0,1333…4,545454…

𝑥 = 0,1333…

10𝑥 = 1,3333…

10𝑥 = 1,3333…− 𝑥 = 0,1333…9𝑥 = 1,2𝟎𝟎𝟎…

9𝑥 = 1,2

𝑥 =12

90=

2

15

Multiplicamos por 10

Multiplicamos por 10 para

tornar os números inteiros

90𝑥 = 12

No caso do número 4,545454…, podemos separar a parte

inteira da parte decimal, encontrar o resultado da nova dízima e

somar os resultados:

4,545454… = 4 + 0,545454…

Trabalhando com frações...

Encontre o valor de 4 + 0,545454… na forma fracionária:


Até aqui, vimos diversas representações de números racionais.

Observe:

NÚMEROS IRRACIONAIS

http

://co

mm

on

s.w

ikim

ed

ia.o

rg/w

iki/F

ile:P

i-sym

bo

l.svg

decimal finito

𝟒, 𝟓𝟒𝟓𝟒𝟓𝟒…

𝟎, 𝟑

decimal infinito: dízimas periódicas

decimal finito

𝟕

𝟓

𝟎, ഥ𝟕

Agora que aprendemos a encontrar a fração geratriz, todos esses

números podem ser escritos na forma de fração:

𝟒, 𝟓𝟒𝟓𝟒𝟓𝟒…𝟓𝟎

𝟏𝟏

𝟎, 𝟑 =𝟑

𝟏𝟎

𝟕

𝟓

𝟎, ഥ𝟕 =𝟕

𝟗

Então, podemos definir os números racionais da seguinte

maneira: números racionais são todos os números que podem ser

escritos na forma de fração.

Os números que não podem ser escritos na forma de fração são

chamados de números irracionais. O número Pi é um destes números:

Na Matemática, a letra grega Pi é usada para

representar um número irracional. Esse número é a

proporção entre o perímetro e o diâmetro de uma

circunferência. O valor de Pi pode ser encontrado

apenas computacionalmente, mas sabemos que é

um número que apresenta infinitas casas decimais:

𝜋 = 3,1415926535897932...

Observe o número irracional Pi e um número racional que

possui decimal infinita. Por exemplo40

11:

𝜋 = 3,1415926535897932...

40

11= 3,6363636363636363...

Observe que, embora o número Pi, assim como todos os

números irracionais, apresente uma representação decimal infinita,

não é uma dízima periódica, porque não possui período.

Os números racionais, na forma decimal, possuem período

de repetição (alguns algarismos que se repetem, infinitamente, em

sequência, nas casas decimais).

Abaixo, vemos exemplos de números com decimais infinitos e

suas classificações:

Mu

ltirio

A dízima da fração 40

11tem

como período 63.

3,1415926535897932...

3,6363636363636363...

1,4142135623730950...

1,414141414141414...

2,7182818284590452...

Não apresenta período (irracional).

Não apresenta período (irracional)

Não apresenta período (irracional)

Período 63: (racional)

Período 41: (racional)


Multirio

Onde podemos encontrar o

número 𝜋?

Multirio

Ele aparece no perímetro

de uma circunferência.

Podemos encontrar valores aproximados de Pi, realizando

um pequeno experimento.

2,7 cm

htt

p:/

/ww

w.b

cb

.go

v.b

r

• Procure, em sua casa ou em sua sala de aula, objetos que

tenham a forma de uma circunferência perfeita, como

moedas ou discos.

• Corte um pedaço de barbante que seja do mesmo tamanho

do contorno da circunferência (perímetro) do objeto.

• Meça esse pedaço de barbante com uma régua.

• Também, com a régua, encontre, agora, a medida do

diâmetro desse objeto.

• Em seguida, anote, na tabela ao lado, as medidas que você

encontrou, como no exemplo dado (moeda de 1 real).

Depois, divida a medida do perímetro pelo diâmetro,

utilizando, se necessário, uma calculadora.

Multirio

A moeda de 1 real tem 2,7 cm de

diâmetro e 8,5 cm de contorno.

Objeto Perímetro Diâmetro Divisão

Moeda 8,5 cm 2,7 cm 3,148148...

A que conclusão chegamos? Você encontrou algum resultado da

divisão igual ou parecido com outro?

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

Os quocientes parecem estar perto de algum número?

______________________________________________________

______________________________________________________


Pense junto com seus colegas e com o(a) seu(sua)

Professor(a): qual deve ser o lado de um quadrado para que ele tenha

área igual a 2?

É o número que, elevado ao quadrado, é igual a 2, ou seja, 2.

Agora, encontraremos outros números irracionais, usando as raízes

quadradas não exatas. Primeiro, vamos entender a operação que

utilizamos para extrair a raiz quadrada.

Para encontrar a área de um quadrado, basta multiplicar o

comprimento e a largura, que são iguais. E como elevar ao quadrado é o

mesmo que multiplicar um número por ele mesmo, teremos:

Por exemplo, encontrando a área de um quadrado com 3 centímetros

de lado:

Assim, para encontrar a área de um quadrado, elevamos o seu lado

ao quadrado.

Vamos tentar encontrar o lado do quadrado que possui área igual a 4?

𝑨 = 𝒍𝟐 𝒍

𝒍

𝒍 𝑨 = 𝒍𝟐

Elevar ao quadrado

𝑨 𝟑

𝟑

𝟑 𝑨 = 𝟑𝟐 = 𝟗

Elevar ao quadrado

𝟒 ?? 𝑨 = 𝟒

Qual o número que elevado ao

quadrado é igual a 4?

?

Multirio

Esse número é a raiz

quadrada de 4: o número 2!

𝒍 = 𝟒 = 𝟐

𝑨 = 𝒍𝟐 = 𝟐𝟐 = 𝟒

Portanto, encontrar a raiz quadrada de um número é

procurar um outro número que, multiplicado por ele mesmo,

tenha, como resultado, o número inicial.

1- Como no exemplo, explique o valor de cada uma das raízes

quadradas exatas:

a) 49 = 𝟕 porque 𝟕𝟐 = 𝟒𝟗

b) 81 =_________________________

c) 1 = __________________________

d) 100 =________________________

e) 36 =_________________________


Encontre o valor das raízes quadradas exatas dos números na

forma fracionária:

a)4

9= ______________________

b)16

25= _____________________

𝟐 ?

? 𝑨 = 𝟐

Qual o número que elevado ao

quadrado é igual a 2?

? 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒: ( 2)² = 22² = 2


O número 2 é um número irracional que possui infinitas

casas decimais, sem período. Com a ajuda de uma

calculadora, podemos encontrar um valor aproximado para 2.

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

Para encontrar o valor de

uma raiz quadrada na

calculadora, basta digitar o

número e, em seguida, o botão

, como no destaque acima.

Usando a calculadora, encontre os valores das raízes,

escreva-os abaixo e classifique cada um deles como racional ou

irracional.

1 = 1 Número racional.

2 = 1,4142135… Número irracional.

3 = _____________________ Número ____________.

4 = _____________________ Número ____________.

5 = _____________________ Número ____________.

6 = _____________________ Número ____________.

7 = _____________________ Número ____________.

8 = _____________________ Número ____________.

9 = _____________________ Número ____________.

Um outro número importante no estudo da Matemática é a

Constante de Euler, representada pela letra 𝒆. A representação

pela letra 𝑒 faz referência ao matemático Leonhard Euler.

Esse número aparece em situações do cotidiano, quando

estudamos, por exemplo, o crescimento de colônias de bactérias

ou os juros compostos de um empréstimo bancário.

Abaixo, temos a representação infinita do número de Euler:

𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗…

De acordo com essa representação, responda:

1 – No número 𝑒, podemos observar um período de repetição dos

seus algarismos nas casas decimais?

_______________________________________________________

2. Como podemos classificar esse número?

_______________________________________________________

NÚMERO DE EULER (𝒆)

htt

ps:/

/uplo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

Leonhard Paul Euler (foto)

é considerado um dos maiores

matemáticos de todos os

tempos. Foi responsável,

também, por avanços em

diversas áreas da Física.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Calculator.kodabar.jpg

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Calculator.kodabar.jpg


Conheceremos, agora, um novo conjunto numérico: os números

reais. Esse conjunto possui todos os números racionais e irracionais.

Vamos relembrar os conjuntos numéricos que já estudamos e

conhecer os seus símbolos?

Vejamos alguns exemplos:NÚMEROS REAIS

• NÚMEROS RACIONAIS (ℚ): possuem forma de razão, de fração.

Exemplos:4

3, − 4,5 = −

45

10, 0,222… =

2

9, 10 =

10

1.

• NÚMEROS INTEIROS (ℤ): são os números inteiros negativos, o

zero e os números inteiros positivos, sem casas decimais.

Exemplos: –2, 0, 10.

• NÚMEROS NATURAIS (ℕ): são os números que usamos para

contar (positivos, incluindo o zero).

Exemplos: 0, 1, 23, 125,...

• NÚMEROS IRRACIONAIS (𝕀): possuem representação decimal

infinita e sem período.

Exemplos: 2, 𝜋, 𝑒.

O conjunto dos NÚMEROS REAIS é representado pela letra ℝ e

nele estão todos os números que conhecemos até agora.

𝕀ℝ = ℚ ∪ 𝕀

ℚ

ℕℤ

3 ∈ ℕ3 é um número

natural.

−1 ∉ ℕOs números negativos não

são naturais.

2

5∉ ℤ

O número 𝟐

𝟓= 𝟎, 𝟒 não é inteiro.

0 ∈ ℤ

O número zero é um

número inteiro.

0,555… ∈ ℚ 0,75 ∈ ℚ

𝟎,𝟕𝟓 é racional, pois

possui forma de

fração: 𝟑

𝟒.

𝟎,𝟓𝟓𝟓… é racional,

pois possui forma

de fração: 𝟓

𝟗.

5 ∉ ℚ

𝟓 não é racional,

pois é uma raiz

não exata.

0,212121… ∉ 𝕀 0,75 ∉ 𝕀

𝟎,𝟕𝟓 não é irracional,

pois possui forma de

fração: 𝟑

𝟒.

𝟎,𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏… não é

irracional, pois

possui forma de

fração: 𝟕

𝟑𝟑.

5 ∈ 𝕀

𝟓 é irracional pois,

possui um decimal

infinito sem

período.

Todos os números que conhecemos até agora são NÚMEROS REAIS.

0,555… ∈ ℝ 5 ∈ ℝ 0,75 ∈ ℝ2

5∈ ℝ−1 ∈ ℝ

• ∈ - pertence: usamos quando queremos afirmar que um número

pertence a um determinado conjunto.

• ∉ - não pertence: usamos quando querermos afirmar que um

número não pertence a um determinado conjunto.


g)4

2_______ℤ _________________

h) −3

5_______ℚ

i)4

2_______ℚ

j) −2

3_______𝕀

k) 1,7320508… _______𝕀 ____________________

l) 6,363636… _______𝕀 _________________

m) 7_______𝕀 _________________

n) 9_______𝕀 _________________

1- Complete as lacunas com os símbolos de pertence ou não

pertence. Se necessário, justifique sua resposta, como no

exemplo:

a) 4_______ℕ

b) −10_______ℕ

c) −7_______ℤ

d) 12_______ℤ

e) −1,2_______ℤ

f)4

5_______ℤ

∈ pois 4 = 2.

A mãe de Pedro é engenheira e, observando os cálculos feitos pela

mãe, Pedro viu a seguinte operação:

3,605551275463989 × 6,6666666

Para realizar esse cálculo, a mãe de Pedro vai usar valores

aproximados. Ela explicou ao filho como fazer o arredondamento de

números.

ARREDONDAMENTO

Esses números possuem muitas

casas decimais. Vamos trabalhar

apenas com 1 casa decimal.

Para eliminar as casas decimais, precisamos seguir certas regras.

Observamos a primeira casa decimal eliminada:

• Se for 0, 1, 2, 3, ou 4, repetimos o número sem as outras casas.

Exemplo: 3,6𝟎5551275463989 ≅ 3,6

• Se for 5, 6, 7, 8, ou 9, adicionamos uma unidade à casa anterior.

Exemplo: 6,6𝟔66666 ≅ 6,7

Primeiro algarismo descartado → 0


O símbolo ≅ significa

aproximadamente. Continua


Assim, o calculo da mãe de Pedro se torna mais simples,

como podemos ver abaixo:

Ajude Pedro a encontrar o resultado da multiplicação com os

números arredondados:

3,6 × 6,7 =__________

Observe mais alguns exemplos de arredondamento:

3,605551275463989 × 6,6666666

3,6 × 6,7

Multirio

Agora, a multiplicação

ficou mais simples!



Arredondar o número 12,53739 para 2 casas decimais:

Arredondamos para cima: 12,53739 ≅ 12,54

Arredondar o número 0,81818181… para 3 casas decimais:

Arredondamos para baixo: 0,818181… ≅ 0,818

1- Efetue os arredondamentos para 1 casa decimal:

a) 0,456456… ≅

b) 90,111213… ≅

c) 7,72553 ≅

d) 0,49495 ≅

e) 17,9972 ≅

f) 0,38383838… ≅

2- Efetue os arredondamentos para 2 casas decimais:

3- Efetue os arredondamentos para 3 casas decimais:

a) 0,456456… ≅

b) 90,111213… ≅

c) 7,72553 ≅

d) 0,49495 ≅

e) 17,9972 ≅

f) 0,38383838… ≅

a) 0,456456… ≅

b) 90,111213… ≅

c) 7,72553 ≅

d) 0,49495 ≅

e) 17,9972 ≅

f) 0,38383838… ≅


Para comparar dois números reais, na forma decimal,

precisamos comparar seus algarismos casa a casa. Observe:COMPARAÇÃO DE NÚMEROS REAIS

Veremos, agora, como comparar dois números reais na forma

decimal.

Comparar, nesse sentido, é dizer se, ao serem apresentados dois

números qual é o maior, o menor ou se são iguais. Para isso, devemos

utilizar três sinais:

• > maior que

• < menor que

• = igual

Observe alguns exemplos:

𝟗 < 𝟏𝟑 → Lemos: nove é menor que treze.

−𝟐 > −𝟓 → Lemos: dois negativo é maior que cinco negativo.

𝟑

𝟒= 𝟎, 𝟕𝟓 → Lemos: três quartos é igual a setenta e cinco centésimos.

Mu

ltir

io

Para comparar com frações, basta efetuar a

divisão que elas representam.

3 4

𝟎, 𝟕𝟓

𝟎𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎

Comparar os números

12,125 e 9,888…

12,125 > 9,888…

Nesse caso, as casas inteiras não

são iguais. Assim, o maior é o que

possui a maior parte inteira.

Para comparar os números 4,545454… e

4,547, que possuem parte inteira igual, procuramos

a primeira casa decimal diferente:

4,545454… < 4,547

Na terceira casa decimal, temos 5 < 7 e esse

será o sinal de comparação entre esses

números.

4,545454… 4,547

==

<

Continua

Quanto maior o valor absoluto dos números

negativos, menores eles são.


Quando temos números com quantidades diferentes de casas

decimais, como 7,777… e 7, por exemplo, precisamos lembrar que as

casas decimais que não aparecem são zeros!

7,777… > 7

Qual é o maior número entre 0,14142135… e 0,18?

0,14142135… < 0,18

Apesar de apresentar uma representação infinita, o número

0,14142135… é menor que 0,18.

0,14142135… 0,18

=<

7,777… 7, 𝟎

>

Ao comparar números negativos,

o sinal de comparação se inverte.

Exemplo: −9,983 e −9,963.

−9,983 < −9,963

−9,983 −9,963

=>

1- Efetue as divisões representadas pelas frações e complete as

sentenças com >, < ou =:

a)2

3_____

3

4

b)15

2_____

23

3

c)34

7_____

19

4

d)6

10_____

21

35

e)1

3_____

3

10

f) −7

8_____ −

8

9

g) −5

6_____

4

5

Mu

ltirio

Lembre-se!

Quanto maior o

valor absoluto

dos números

negativos,

menores serão

esses números.


2- Complete com os símbolos de comparação:

a) 5,4 _____ 5,39

b) 0,81818181… _____ 0,82

c) −1,35 _____ −1,355

d) 1,4142135… _____ 1,414141…

e) −3,1622…_____ −3,16

f) 4,343434… _____ 3,434343…

g) −2,222… _____ −2,19

h)7

9_____ 0,75

i) 0,555… _____6

11

Observe a seguinte desigualdade:

0,9 > 0,12Algumas vezes, a forma como lemos os números pode nos

enganar nas comparações. É o caso desses números, que

podemos ler assim:

Zero vírgula nove e zero vírgula doze. Porém, o primeiro número

se trata de décimos e o segundo de centésimos!

APROXIMAÇÃO DE RAÍZES NÃO EXATAS

Primeiro, vamos relembrar alguns números que são quadrados

perfeitos, ou seja, que têm raízes quadradas exatas:

0 → 0 = 0

1 → 1 = 1

4 → 4 = 2

9 → 9 = 3

16 → 16 = 4

25 → 25 = 5

36 → 36 = 6

49 → 49 = 7

64 → 64 = 8

81 → 81 = 9

100 → 100 = 10

121 → 121 = 11

Existem números que não são quadrados perfeitos e suas raízes

quadradas são números irracionais. Podemos encontrar essas raízes

usando uma calculadora e arredondando os resultados. Observe:

15 = 3,8729833… ≅ 3,87

Podemos, também, aproximar essas raízes para números inteiros.

Como exemplo, vamos encontrar a aproximação do número 23.

16 < 23 < 25

Primeiro, encontramos números que são raízes exatas

próximas de 23:

16 é raiz exata

menor que 2325 é raiz exata

maior que 23

Como 23 está entre esses números, o número 𝟐𝟑 estará

entre as raízes deles, que são números inteiros. Veja:

16 < 23 < 25

4 < 23 < 5

Assim, o número 𝟐𝟑 está entre 4 e 5.


3 3,1 43,93,83,73,63,53,43,33,2

1- Faça a aproximação dos números irracionais por números inteiros:

a) 30

b) 76

Podemos realizar cálculos mentais, envolvendo as raízes não

exatas, através das aproximações dessas por números naturais. Por

exemplo, vamos encontrar o valor aproximado de:

15 + 10

Vamos aproximar 𝟏𝟓 de 𝟏𝟔 e 𝟏𝟎 de 𝟗:

15 + 10 ≅ 16 + 9 = 4 + 3 = 7

15 + 10 ≅ 7

2- Efetue os cálculos mentalmente:

a) 80 − 10 ≅

b) 99 + 65 ≅

ORDENAÇÃO DE NÚMEROS REAIS

Colocar os números em ordem nada mais é do que comparar os

números e escrevê-los do menor para o maior, isto é, em ordem

crescente, ou do maior para o menor, isto é, em ordem decrescente.

Vamos ver um exemplo:

𝜋 = 3,14159…

Ordenar os números em ordem decrescente:

Incialmente, encontramos as formas decimais das frações,

efetuando as divisões. Em seguida, observamos as casas

decimais de cada um dos números.

7

2

11

3

𝜋 = 3,14159…

𝜋 = 3,14159… <7

2= 3,5 <

11

3= 3,666…

7

2= 3,5

11

3= 3,666…

Finalmente, ordenamos os números de acordo com os

algarismos das casas decimais:

Ainda podemos localizar esses números, na reta numérica,

de acordo com suas aproximações:

𝜋

7

2

11

3


5,7 5,8 6,76,66,56,46,36,26,165,9

Vamos a mais um exemplo:

6,4

Coloque em ordem crescente os números:

Dividimos as frações:

33

5

35

6

33

5= 6,6

Organizamos do menor para o maior, de acordo com as

casas inteiras e decimais:

Localizando os números na reta numérica:

6

35

6= 5,8333… 6,0

35

6= 5,8333… < 6,0 < 6,4 <

33

5= 6,6

35

6 6 6,4

33

5

Multirio

Se precisar relembrar, volte para a

página de COMPARAÇÃO DE

NÚMEROS REAIS.

1- Use o sinal de menor que (<) e arrume os números em ordem

crescente:

a)

b)

7

90,7

7

11

−4,7958… −4,6−50

11

2- Observe os números representados pelas letras:

Coloque-os em ordem crescente e, depois, represente-os na reta

numérica:

A=50

9B=

11

2C= 5,2 D= 5,4772…

6,4

5,7 5,8 65,95 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6


Multirio

Vamos a algumas atividades de

revisão sobre o que já

estudamos até agora?

1- Qual das opções representa a resposta correta para a

expressão abaixo?

1

6⋅3

2+7

2:2

3

(A)11

4.

(B)11

2.

(C)5

4.

(D)5

2.

5- Qual dos números, apresentados no quadro, não é equivalente

aos outros?

(A)2

3

(B) 0,666…

(C) 2,3

(D)6

9

2

30,666…

2,36

9

3- Qual das alternativas representa a fração geratriz da dízima

periódica 0,72727272…?

(A)72

100.

(B)72

10.

(C)8

9.

(D)8

11.

4- Efetuando a divisão, qual a forma decimal da fração5

3?

(A) 0,555…(B) 1,666…(C) 5,3(D) 5,333…

2- Observe o número apresentado a seguir:

7 = 2,645751311…

De acordo com sua representação decimal infinita e não

periódica, podemos classificá-lo como um número

(A) inteiro.

(B) natural.

(C) racional.

(D) irracional.


6- Leia a reta numérica:

(A)80

9.

(B)25

3.

(C)17

2.

(D)40

5.

8- Enquanto calculava uma despesa na calculadora, apertei, por

engano, o botão e encontrei o número 𝟒, 𝟏𝟐𝟑𝟏𝟎𝟓𝟔𝟐𝟓…. Posso

classificar, corretamente, este número como

(A) irracional, pois não apresenta período de repetição.

(B) racional, com decimal infinito de período 12.

(C) racional e está apresentado na forma fracionária.

(D) inteiro, pois não possui decimais.

9- Para trabalhar com dinheiro, precisamos calcular apenas a parte

inteira (reais) e duas casas decimais, que são os centavos.

Qual o arredondamento correto do número 4,123105625… para duas

casas decimais?

(A) 4,11.

(B) 4,12.

(C) 4,13.

(D) 4,14.

7- Observe os números apresentados no quadro:

Marque a opção que representa, de forma adequada, a ordem

crescente para esses números:

A= 7,8 B=15

2

C= 50 ≅ 7,071067 D=20

6

(A) 𝐶 < 𝐴 < 𝐵 < 𝐷.

(B) 𝐶 < 𝐷 < 𝐵 < 𝐴.

(C) 𝐷 < 𝐶 < 𝐵 < 𝐴.

(D) 𝐷 < 𝐶 < 𝐴 < 𝐵.

10- Sabemos que o número 120 é irracional, pois o número 120 não

é um quadrado perfeito. Porém, podemos afirmar que o número que

corresponde a 120 encontra-se entre

(A) 6 e 7.

(B) 7 e 8.

(C) 9 e 10.

(D) 10 e 11.

8,7 8,8 98,98 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6

P

Assinale a opção que contém o número que pode ser corretamente

representado como o ponto P, nessa reta numérica:


o Ângulo agudo – mede entre 0° e 90º. Por exemplo, 60°:

o Ângulo reto – mede, exatamente, 90º:

o Ângulo obtuso – mede entre 90º e 180º. Como exemplo, temos o

ângulo de 135°:

o Ângulo raso ou de meia volta – mede, exatamente, 180º.

180º

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Começaremos, relembrando o que são ângulos e suas medidas.

• Ângulo – é a abertura existente entre duas semirretas que possuem

a mesma origem.

• Grau - é a medida padrão utilizada para medir ângulos.

ÂNGULOSMariana observou, em sua sala de aula, que podia encontrar

ângulos nos esquadros, como podemos observar na situação

apresentada a seguir:

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/

com

mons/2

/29/E

kie

rki.sv

g

Mu

ltir

io

Os esquadros possuem

ângulos retos e agudos.

Com a ajuda de sua Professora,

Mariana desenhou uma

representação dos esquadros e

classificou os ângulos. Veja:

Ângulos agudos

Ângulo reto

Faça como Mariana: procure objetos que tenham ângulos,

represente-os no quadro abaixo e, com a ajuda de seu(sua)

Professor(a), classifique-os:


Para reconhecer, com exatidão, a medida angular de um ângulo,

utilizamos uma ferramenta chamada transferidor:

Dizemos que dois ângulos são complementares quando a soma

deles é igual a 90°. Isso significa que esses ângulos, juntos, formam

um ângulo reto. Veja o exemplo:

Semirreta Vértice

Ângulo

(origem das

semirretas)

Usamos o transferidor em dois passos:

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

htt

ps:/

/pix

abay.c

om

O ângulo acima tem medida angular de 48°. Lemos: 48 graus.

A seguir, conheceremos as classificações de pares de ângulos,

de acordo com suas propriedades.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES E ÂNGULOS COMPLEMENTARES

𝟔𝟎°

𝟑𝟎°

Já os ângulos suplementares formam um ângulo raso, ou seja,

juntos, somam 180°. Observe:

Os ângulos 30° e 60° são

complementares, pois, juntos,

formam um ângulo reto.

30° + 60° = 𝟗𝟎°

𝟏𝟑𝟎°𝟓𝟎°

Os ângulos 50° e 130° são suplementares, pois sua soma

resulta em 180°:

50° + 130° = 𝟏𝟖𝟎°

Dizemos que o ângulo 30° é o ângulo complementar de

60° e que 60° é o complementar de 30°.

Nesse caso, 50° é o ângulo suplementar de 130° e

vice-versa.

• Posicionamos o centro dele no vértice

do ângulo e a marcação de 0° em uma

das semirretas que forma o ângulo.

• Observamos onde a outra semirreta

encontra as marcações do transferidor.

Essa será a medida do ângulo. Veja:


𝟒𝟖°

𝒙

Vamos ver exemplos de como encontrar ângulos complementares e

suplementares:

Chamando esse ângulo de

𝑥, temos que:

48° + 𝑥 = 90°𝑥 = 90° − 48°

𝑥 = 42°

Qual é o ângulo complementar de 48°?

Digamos que o ângulo 𝑦 é

o ângulo suplementar de 63° .

Logo:

63° + 𝑦 = 180°𝑦 = 180° − 63°

𝑦 = 117°

Encontrar o suplemento de 63°:

𝟔𝟑°

Qual o ângulo que é suplementar ao seu dobro?Se chamamos esse ângulo

de 𝑧, o seu dobro é 2𝑧. Assim,

podemos escrever:

𝑧 + 2𝑧 = 180°3𝑧 = 180°

𝑧 =180°

3𝑧 = 60°

𝟐𝒛𝒛

1- Leia os desenhos abaixo. Em seguida, indique quais dos

ângulos desconhecidos são complementares ou suplementares.

Indique seus valores:

a)

b)

c)

𝒂

𝟏𝟎𝟎°

𝒃

𝟑𝟑°

𝒄𝟒𝟏°

𝒚


ÂNGULOS CONGRUENTES E

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Vamos estudar duas propriedades dos 4 ângulos formados

(ෝ𝒂, 𝒃, ො𝒆, ෝ𝒐) na interseção de duas retas (neste exemplo 𝒓 e 𝒔), como no

esquema a seguir:

1.ª propriedade

Nesse esquema, dois ângulos adjacentes são sempre

suplementares, somam 180°.

Ângulos adjacentes são ângulos que possuem o

mesmo vértice e uma semirreta em comum.

ෝ𝒂

ෝ𝒐

ෝ𝒂 + ෝ𝒐 = 𝟏𝟖𝟎°

Semirreta

em comum

Observe os exemplos a seguir:

2.ª Propriedade

Dois ângulos que estejam opostos pelo vértice (OPV) são

congruentes:

Ângulos congruentes possuem a

mesma medida angular.

ො𝒆 = ෝ𝒐

ො𝒆ෝ𝒐

Vértice

Qual o valor de 𝑥 no esquema abaixo?

Como 𝑥 e 30° são

adjacentes e formam um

ângulo raso, temos:

30° + 𝑥 = 180°𝑥 = 150°

𝒙

𝟑𝟎°

𝒓

𝒔

𝒓

𝒔

𝒓

𝒔

ෝ𝒂

ෝ𝒐ො𝒆

𝒃

𝒓

𝒔


Calcule a medida angular de 𝑦:

Estes ângulos são OPV,

isto é, opostos pelo

vértice. Assim, são

congruentes:

𝑦 = 100°2- Nos esquemas abaixo, temos os quatro ângulos formados por

duas retas. Encontre o valor de todos os ângulos desconhecidos:

c)

𝟏𝟎𝟎°

𝒚

1- Identifique se os ângulos são adjacentes ou opostos pelo

vértice. Indique seus valores:

ො𝒄

ෝ𝒂

𝒃

𝟕𝟓°

𝒅

𝒇

𝟏𝟓𝟐°

ො𝒆

95°

â

ô

82°

a)

b)

Ƹ𝑒

120°

a)

b)

𝒓

𝒔

𝒖

𝒕


RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Retas paralelas são retas em um mesmo plano que possuem a

mesma inclinação. Além disso, mesmo que as retas sejam prolongadas

infinitamente, não se encontrarão em nenhum ponto.

Observe, agora, um método para construir retas paralelas,

usando um par de esquadros. A ilustração abaixo encontra-se no site

https://www.geogebra.org, no qual são apresentadas diferentes formas

de se desenharem retas paralelas.

http

s://w

ww

.ge

og

ebra

.org

/m/A

2H

MjM

xd

Iniciamos posicionando os

esquadros, como na figura, e

traçando a primeira reta 𝒓 pelo

esquadro móvel.

Sem movimentar o outro esquadro, deslizamos o esquadro móvel

para cima, apoiado no outro. Finalmente, traçamos a reta 𝒔. As duas

retas construídas dessa forma são retas paralelas.

𝒓

𝒔

𝒓

Vamos estudar os ângulos formados por uma reta transversal a

duas retas paralelas. Isto é, uma reta que intersecta duas paralelas,

Observe o esquema abaixo:

𝒓 𝒔 𝒕

𝒓 e 𝒔 são paralelas. Podemos escrever: 𝒓//s. E 𝒕 é concorrente a

elas, porque encontra cada uma das retas em um único ponto, nesse

caso, os vértices dos ângulos.

Como as retas paralelas possuem a mesma inclinação, os

ângulos formados pela reta transversal serão congruentes. Veja as

propriedades relacionadas:

1.ª Propriedade

Ângulos que ocupam posições correspondentes são congruentes:

ෝ𝒂 = ො𝒆

ෝ𝒂

ො𝒆𝒓 𝒔 𝒕

𝒓//s

https://www.geogebra.org/

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkgwdoCfPKPD4VlJt


2.ª Propriedade

Ângulos que ocupam posições adjacentes são suplementares:

ෝ𝒂 + ෝ𝒐 = 𝟏𝟖𝟎°

ෝ𝒂

ෝ𝒐

𝒓 𝒔 𝒕

𝒓//s

Exemplo: Determinar os valores dos ângulos 𝑥 e 𝑦:

𝑥 é congruente a 120°

𝑥 = 120°

120°

𝒙

𝑦

𝒕

𝒓

𝒔

𝒓//s

𝑦 é suplementar a 120°

𝑦 + 120° = 180°𝑦 = 180° − 120°

𝑦 = 60°

1- Em cada um dos esquemas apresentados a seguir, utilize as propriedades

que estudamos e encontre as medidas angulares desconhecidas:

a)

b)

c)

𝑟

𝑠

𝑡

27°

𝑧

𝑟 𝑠

𝑡

𝑟

𝑠

𝑡

𝑦

𝑥

155°

97°

𝒓//s

𝒓//s

𝒓//s

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkgsM31tNmFN6JMr-


2- No quadro, podemos observar dois ângulos adjacentes que,

juntos, formam um ângulo raso de 180°:

Assim, podemos classificar os ângulos 135° e 45° como ângulos

(A) complementares.

(B) suplementares.

(C) congruentes.

(D) opostos.

3- Os ângulos marcados são opostos pelo vértice. Assim,

podemos dizer que o valor do ângulo 𝒙 é igual a

(A) 120°.

(B) 90°.

(C) 60°.

(D) 30°.

4- Sabendo-se que as retas r e s são paralelas e a reta t é

transversal a elas, marque a alternativa que representa o valor do

ângulo 𝒚:

(A) 40°.

(B) 50°.

(C) 100°.

(D) 130°.

5- De acordo com o desenho, podemos afirmar que os ângulos 𝛼e 𝛽 são

(A) suplementares.

(B) congruentes.

(C) adjacentes.

(D) retos.

𝒓//s

ᵅ


8- Se os ângulos destacados na figura são OPV (opostos pelo

vértice), podemos afirmar que o valor de 𝒙 é igual a

(A) 35°.

(B) 40°.

(C) 55°.

(D) 70°.

9- De acordo com o esquema abaixo, qual a medida angular do

ângulo?

(A) 25°.

(B) 65°.

(C) 85°.

(D) 155°.

6- Após fazer uma dobradura de papel na aula de origami, um

aluno encontrou os dois ângulos que aparecem marcados abaixo:

Podemos dizer que esses dois ângulos são

(A) complementares.

(B) suplementares.

(C) agudos.

(D) retos.

78°102°

7- Sabendo-se que, na figura, as retas r e s são paralelas, qual o

valor do ângulo 𝑥?

(A) 17°.

(B) 73°.

(C) 107°.

(D) 253°.

110°

𝑥 + 40°

𝑟 𝑠𝑡

25°

𝑦

𝒓//s


Álgebra é o ramo da Matemática que trata de operações com

letras, que representam números desconhecidos ou que podem variar,

isto é, que podem representar vários números.

Vamos ver um exemplo:

ÁLGEBRA Observe o próximo exemplo:

Uma pizzaria trabalha com rodizio de pizza, apresentando os

seguintes preços:

a) De acordo com as informações acima, responda:

Quanto terá que pagar a pessoa que for a essa pizzaria e consumir,

além do rodízio, dois copos de suco?

_______________________________________________________

b) Uma pessoa que não consumir nenhum copo de suco, quanto

pagará nesta pizzaria?

_______________________________________________________

c) É possível escrever uma expressão que represente a conta de

um consumidor, sem saber quantos copos de suco ele consumiu?

Como ficaria a expressão?

_______________________________________________________

_______________________________________________________

RODÍZIO DE

PIZZA APENAS

R$ 19,00

Rafael está pesquisando um serviço de streaming para

assistir séries na internet. Ele encontrou dois serviços

disponíveis. No site A, ele pagaria R$ 12,00 de taxa mensal,

mais R$ 0,25 para cada episódio que assistisse. Já no site B, ele

pagaria R$ 21,00 por mês para assistir aos episódios de forma

ilimitada, sem pagar a mais.

Com essas informações, Rafael fez alguns cálculos para

ver qual seria a melhor escolha para ele, isto é, a escolha de

menor preço.

Ajude o menino, respondendo às perguntas abaixo:

a) Nos meses em que Rafael está em aulas, ele assiste a 28

episódios por mês; Nesta situação, quanto ele gastaria, por mês,

em cada um dos sites que pesquisou?

____________________________________________________

____________________________________________________

b) Quando Rafael está de férias, ele assiste a 44 episódios em

um mês. Neste caso, quanto ele pagaria no site A e no site B?

____________________________________________________

____________________________________________________

Streaming é a transmissão de vídeos ou áudios

diretamente da internet.

Durante as férias, eu

tenho mais tempo para

assistir a séries!

Continua

RODÍZIO DE

PIZZA APENAS

R$ 19,00

Suco da fruta

R$ 3,00

(cada copo)


Seguem, agora, algumas expressões em linguagem materna,

isto é, em língua portuguesa, e também em linguagem

algébrica (expressões que usam letras para representar

quantidades desconhecidas). Observe:

c) Que conclusões você pode tirar dos valores de cada um dos

sites de streaming que Rafael pesquisou? Qual deles é mais

barato para o menino?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

d) Que diferenças podem ser observadas no modo de cobrança do

site A para o site B?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

e) Você pode escrever uma expressão para descrever a fatura

mensal de uma pessoa que assistiu a 𝒔 episódios em um mês, em

cada um dos sites?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

1- Faça, como nos exemplos anteriores, e escreva a expressão

algébrica de cada uma das frases:

a) O antecessor de um número: __________________________

b) O triplo de um número: _______________________________

c) A metade de um número: _____________________________

d) O dobro de um número somado a dois:__________________

e) A diferença entre dois números:________________________

f) A terça parte de um número somado a quatro: ____________

g) O quociente entre dois números: _______________________

2- Agora, faça o contrário: tente encontrar a frase que pode

representar cada uma das expressões:

a) 2𝑥 − 3 _________________________________________

b) 𝑛2 _________________________________________

c) 2𝑦 + 1 _________________________________________

Linguagem materna Linguagem algébrica

O dobro de um número 2𝑥

O sucessor de um número 𝑛 + 1

A quarta parte de um número𝑦

4

A soma de dois números 𝑎 + 𝑏


Expressões algébricas são aquelas que representam operações

entre números e letras: as variáveis. Observe este exemplo:

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESSÕES

O serviço de táxis de uma cidade não cobra a bandeirada: a

taxa fixa em cada uma das corridas. O preço das viagens é

calculado da seguinte forma: R$ 1,00 por quilômetro rodado, mais

R$ 3,00 por hora de duração da corrida. Assim, podemos organizar

esses dados na seguinte expressão algébrica:

1 ⋅ 𝑞 + 3 ⋅ ℎ ou ainda

𝑞 + 3ℎ

Onde 𝑞 representa a quantidade de quilômetros rodados e ℎ a

quantidade de horas que durou a corrida.

Assim, para sabermos quanto uma pessoa gasta com esse táxi,

vejamos esta situação:

Se o táxi percorrer 24 km e a corrida durar 2 horas, basta

substituir os valores 𝑞 = 24 e ℎ = 2.

Observe:

𝑞 + 3ℎ para 𝑞 = 24 e ℎ = 2

𝑞 + 3ℎ

24 + 3 ⋅ 2

24 + 6

30

Logo, essa pessoa vai pagar um valor de R$ 30,00 por essa

corrida.

1- Utilizando a expressão algébrica, como na situação ao lado,

calcule o que se pede:

a) O valor de uma corrida em que a pessoa percorreu 120

quilômetros e que durou 3 horas:

b) Uma viagem com duração de uma hora, em que foram

percorridos 80 quilômetros:


c) Calcule o valor da corrida de uma pessoa que percorreu,

neste táxi, 7,2 quilômetros em meia hora:


Vamos rever a situação já apresentada, para entendermos a

ideia de equação:

Claro!!! Para isso, vamos usar a expressão que representa o

valor da conta de uma pessoa que consumiu 𝑥 copos de suco:

19 + 3𝑥

Nesse caso, queremos encontrar o valor de 𝑥 quando a

expressão acima recebe o valor de 31, ou seja, queremos resolver a

equação:

19 + 3𝑥 = 31

Para isso, isolamos a incógnita 𝑥. Relembre com o exemplo

abaixo:

19 + 3𝑥 = 313𝑥 = 31 − 19

3𝑥 = 12

𝑥 =12

3𝑥 = 4

Assim, uma pessoa que pagou R$ 31,00 tomou, nesta pizzaria,

4 copos de suco.

EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

RODÍZIO DE

PIZZA APENAS

R$ 19,00Suco da fruta

R$ 3,00

(cada copo)

Se uma pessoa foi a esse

rodízio e pagou, no total, R$ 31,00,

é possível dizer quantos copos de

suco ela consumiu?

1- Observando a mesma situação do exemplo anterior, encontre

a quantidade de copos de suco de quem teve a conta total de

R$ 40,00:

2- O Professor escreveu no quadro a seguinte charada:

Encontre uma equação que defina o problema. Em seguida,

encontre a resposta para a equação (número misterioso).

“Pensei em um número. O dobro

desse número menos 3 é igual ao

próprio número mais 4.”

3- Resolva as equações:

a) 4𝑥 + 12 = 𝑥 − 3

b) 7𝑦 − 20 = 2𝑦

c) 4𝑧 − 1 = 2𝑧 + 6

4- Combine com o(a) seu(sua) Professor(a) e elabore situações-

problema para os seus colegas resolverem. Que tal uma

competição?


7- Leia a situação:

Marcela e seu irmão Jonas colecionam carrinhos de brinquedo.

Marcela possui 27 carrinhos a mais que Jonas. Além disso, os

dois, juntos, possuem 129 carrinhos.

Assinale a opção que pode representar, corretamente, essa

situação:

(A) 𝑥 + 2 = 129

(B) 𝑥 − 27 = 129

(C) 27 + 129 = 𝑥

(D) 𝑥 + 27 + 𝑥 = 129

Mu

ltir

io

Nas próximas atividades, faremos uma revisão

de Álgebra. Com atenção, realize todas os

cálculos, antes de marcar a opção correta.

8- Resolva a equação:

3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 8

Qual das opões representa essa equação?

(A) 4.

(B) 5.

(C) 8.

(D) 12.

5- Um parque de diversões cobra R$ 30,00, de entrada, por

adulto, e R$ 18,00, por criança. De acordo com esta situação,

resolva as questões propostas:

a) Escreva uma expressão algébrica que represente o valor que

uma família pagaria de entrada neste parque:

b) Se uma família tinha 3 adultos e 5 crianças, qual o total que

eles pagariam pela entrada nesse parque?

c) Uma família com 2 adultos pagou um total de 168 reais para

a entrada nesse parque. Quantas crianças havia nessa

família?


6- Encontre o valor da equação:

4𝑥 −1

3= 3𝑥 +

3

4


9- A Professora de Luíza escreveu, no quadro, a seguinte

expressão:

Em seguida, pediu aos alunos que calculassem seu valor para

𝑥 = −1 e 𝑦 = 3 . Se Luiza respondeu acertadamente, qual a

resposta que Luiza deu à sua professora?

(A) −25.

(B) −17.

(C) 17.

(D) 25.

10- Um ônibus levava uma determinada quantidade de

passageiros. No primeiro ponto, saltaram 5 passageiros. Já no

segundo, subiram mais 2. O ônibus ficou, assim, com 13

passageiros.

Qual das equações representa a situação narrada?

(A) 𝑥 − 5 = 13

(B) 𝑥 + 2 = 13

(C) 𝑥 − 3 = 13

(D) 3𝑥 − 5 = 13

Nas Olimpíadas de 2020, o skate entrará como esporte olímpico,

pela primeira vez, nesses Jogos.

11-Em uma determinada competição de

skate a nota de um competidor é dada pelo

valor de dificuldade das manobras que ele

realiza e são retirados 500 pontos para cada

erro que ele comete.

Se um competidor tem sua nota de

dificuldade igual a 2 800 pontos e comete uma quantidade 𝒆 de

erros, qual a expressão que pode representar sua nota final?

(A) 2 800 + 500𝑒

(B) 2 800 − 500𝑒

(C) 2 800𝑒 + 500

(D) 2 800𝑒 − 500

12- Resolva a equação:

4𝑥 − 1 = 𝑥 + 1

Qual o número racional que encontramos como resposta?

4𝑥-7y

https://pixabay.com

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

(A) 0,4

(B) 0,6

(C) 0,333…

(D) 0,666…


Vamos, agora, aplicar o que ESTUDAMOS sobre equações para

resolver algumas situações de GEOMETRIA. Observe:

EQUAÇÕES COM ÂNGULOS

CASOS DE ÂNGULOS CONGRUENTES

CASOS DE ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Opostos pelo vértice Posições correspondentes

Ângulos adjacentes Posições adjacentes

Possuem a mesma medida angular.

As medidas angulares somam 𝟏𝟖𝟎°.

Leia dois exemplos de como organizar e resolver as equações

em cada um dos casos. Observe o primeiro esquema OPV (ângulos

opostos pelo vértice):

𝟑𝒙 + 𝟑𝟎°

𝟓𝒙 − 𝟐𝟎°

Como os ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes

e possuem a mesma medida angular. Assim, obteremos a seguinte

equação:5𝑥 − 20° = 3𝑥 + 30°5𝑥 − 3𝑥 = 30° + 20°

2𝑥 = 50°

𝑥 =50°

2= 25°

𝑟

𝑠

𝑡

2𝑦 + 5°

3𝑦 − 25°

𝑟//s

Neste outro caso, os ângulos são suplementares e devemos

montar a equação, somando as expressões e igualando-as a 180°:

3𝑦 − 25° + 2𝑦 + 5° = 180°3𝑦 + 2𝑦 = 180° + 25° − 5°

5𝑦 = 200°

𝑦 =200°

5𝑦 = 40°

𝑣

𝑧

𝑡𝑠𝑟

𝑟//s

𝑣

𝑧𝑟//s

𝑡𝑠𝑟

𝑣

𝑧


1- Encontre o valor das incógnitas nos esquemas a seguir: 2- Observe o esquema:

Marque a equação que pode representar, corretamente, esse

esquema:

(A) 3𝑥 − 1° + 2𝑥 + 46° = 180°

(B) 3𝑥 − 1° + 2𝑥 + 46° = 90°

(C) 3𝑥 + 46° = 2𝑥 − 1°

(D) 2𝑥 + 46° = 3𝑥 − 1°

a)

4𝑧 + 27°

6𝑧 − 7°

4𝑦 − 20°

3𝑦 − 10°

5𝑥 − 70° 3𝑥 + 10°

3- Sabendo-se que estes ângulos são opostos pelo vértice, qual o

valor da incógnita 𝑥?

(A) 30°.

(B) 45°.

(C) 75°.

(D) 120°.𝑥 + 45° 2𝑥 − 30°

𝑣 𝑧

𝑡

𝑠

𝑟

𝑟//s

𝑟

𝑟

𝑠

𝑠

3𝑥 − 1°

2𝑥 + 46°

𝑟

𝑠

𝑡

𝑟//s

b)

c)


Vamos trabalhar, agora, atividades que envolvam análise

de gráficos e tabelas.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

1- [ENEM/2013] A cidade de Guarulhos (SP) tem o

8° PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da

América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais

cresce em indústrias, de acordo com este gráfico:

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença

entre o maior e o menor centro em crescimento, no polo das

indústrias?

(A) 75,28.

(B) 64,09.

(C) 56,95.

(D) 45,76.

2- [ENEM/2012 Adaptada] O dono de uma farmácia decidiu colocar, à

vista do público, o gráfico mostrado a seguir, que representa a evolução

do total de vendas (em Reais) de certo medicamento, ao longo do ano de

2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a

maior e a menor venda absolutas, em 2011, foram

(A) agosto e setembro.

(B) junho e setembro.

(C) março e agosto.

(D) junho e agosto.

3- [ENEM/2012 - Adaptada] O gráfico mostra a variação da extensão média

de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando

dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007.

Com base no gráfico, podemos

afirmar que o ano que teve o

maior derretimento de gelo foi

(A) 1998.

(B) 2000.

(C)2005.

(D)2007.


4- [ENEM/2012 - Adaptada] Em um blog de variedades, foram

postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes

poderiam opinar, assinalando “Divertido”, “Assustador” ou

“Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou o acesso a

essa postagem de 500 visitantes distintos.

Leia o gráfico que apresenta a opinião dos visitantes:

Assinale a opção que representa uma afirmativa verdadeira, de

acordo com os visitantes que opinaram sobre a postagem:

(A) Menos de 50 pessoas consideraram os contos de halloween

chatos.

(B) Mais de 250 pessoas consideraram os contos de halloween

divertidos.

(C) Menos de 100 acessaram o blog mas não opinaram sobre

contos de halloween.

(D) Mais de 100 pessoas acessaram o blog e consideraram os

contos de halloween assustadores.

5- [ENEM/2012] Uma pesquisa realizada por estudantes da

Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os

jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a

semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana

(sábado e domingo). Leia a tabela apresentada a seguir, que

apresenta os resultados da pesquisa:

De acordo com essa pesquisa, quantas horas de seu tempo

gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de

segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?

(A) 20.

(B) 22.

(C) 27.

(D) 35.

OP

INIÃ

O

VISITANTES

52%

15%

12%

21%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

DIVERTIDO

ASSUSTADOR

CHATO

NÃO OPINARAM

CONTOS DE HALLOWEEN

Opinião dos visitantesRotina juvenil Durante

a

semana

No fim de

semana

Assistir à televisão 3 3

Atividades

domésticas

1 1

Atividades

escolares

5 1

Atividades de lazer 2 4

Descanso, higiene

e alimentação

10 12

Outras atividades 3 3


1- Observe os quatro números apresentados nos quadros:

Apenas um desses números não é equivalente aos outros.

Marque a opção que representa esse número.

(A)1

3

(B) 0,333…

(C) 1,3

(D)3

9

2- O número Pi está representado abaixo:

Em relação à sua classificação, podemos afirmar que é um

número

3- Observe a dízima periódica:

0,63636363…

Marque a opção que representa a fração geratriz dessa dízima

periódica:

4- Qual dos números racionais apresentados a seguir pode ser

corretamente representado como o ponto A da reta numérica

abaixo?

1

30,333… 1,3

3

9

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

(A) irracional, pois não apresenta período de repetição.

(B) racional, com decimal infinito de período 14.

(C) racional e se encontra na forma fracionária.

(D) inteiro, pois não possui decimais.

(A)63

100

(B)63

11

(C)7

9

(D)7

11

(A) −1

7

(B) −5

3

(C) −5

9

(D) −7

11

–1,3 –1,2 –1–1,1– 2 –1,9 –1,8 – 1,7 –1,6 –1,5 –1,4


5- Abaixo, temos a representação infinita de um número racional,

uma dízima periódica:

5

11= 0,45454545…

Para esse número, qual o arredondamento correto para duas

casas decimais?

6- Observe o esquema e assinale a opção que representa a

equação para a situação apresentada.

(A) 0,44.

(B) 0,45.

(C) 0,46.

(D) 0,47.8- Leia o quadro:

4𝑥 − 20°

3𝑥 + 10°

(A) 𝐵 < 𝐴 < 𝐶 < 𝐷.

(B) 𝐵 < 𝐶 < 𝐷 < 𝐴.

(C) 𝐶 < 𝐵 < 𝐷 < 𝐴.

(D) 𝐶 < 𝐴 < 𝐵 < 𝐷.

(A) 3𝑥 + 10° + 4𝑥 − 20° = 180°

(B) 3𝑥 + 10° + 4𝑥 − 20° = 90°

(C) 3𝑥 + 10° = 4𝑥 − 20°

(D) 3𝑥 − 20° = 4𝑥 + 10°

(A) −7.

(B) −6.

(C) +6.

(D) +7.

𝐴 =54

5𝐵 = 9,898989…

𝐷 = 10,7𝐶 =21

2

Estes números, em ordem crescente, apresentam-se na

seguinte sequência:

7- Marque a opção que representa a solução da seguinte

equação:

4𝑥 + 13 = 2𝑥 − 1


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MATEMÁTICA 8. ANO - rioeduca.net PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · 1- Efetue as operações de soma entre os números inteiros: Os números −13e +13são simétricos! MATEMÁTICA –8.°ANO