Gabarito

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – V. 7Resolva

25.01) a) 8x – 1 = 32

2 23 3 5x − =3x – 3 = 53x = 8

x = 83

b) 125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 625

5 52 4− =x

–2x = 4x = –2

c) 9x – 3 = 1243

3 32 6 5x − −=2x – 6 = –52x = 1

x = 12

d) (0,2)2x + 2 = (125)1 – x

15

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+x= (53)1 – x

5 52 2 3 3− − −=x x

–2x – 2 = 3 – 3xx = 5

e) 72 4x x− = 1

7 72 4 0x x− =

x2 – 4x = 0x' = 0x'' = 4

25.02) 22x + 1 – 3 . 2x + 2 = 32(2x)2 . 2 – 3 . (2x) . 22 = 322x = y2y2 – 12y – 32 = 0 ÷ (2)y2 – 6y – 16 = 0y' = 8y'' = –22x = 8 ⇒ x = 32x = –2 (impossível)S = {3}

25.03) Df(x) = x2 – 7x + 12xf(x) = 1

xx x2 7 12− += 1

Vamos verificar inicialmente se x = 0 ou x = 1 sãosoluções.x = 0 ⇒ 012 = 1 (falso)x = 1 ⇒ 16 = 1 (verdadeiro)Para x ≠ 0 e x ≠ 1, temos:

xx x2 7 12− + = 1

x xx x2 7 12 0− + =x2 – 7x + 12 = 0x' = 3x'' = 4S = {1, 3, 4}Soma: 1 + 3 + 4 = 8

Aula 26

26.01) a)25x + 2 > 125

5 52 4 3x + =2x + 4 > 32x > –1

x > – 12

b) 13

181

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−x x

13

13

4 12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−x x

x ≥ 4x – 1212 ≥ 3x4 ≥ x

26.02) A

18

21

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−x

≤ 0,25x – 3

2 14

3 21 3

−− −

( ) ≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x

2 232 2 6

3−− +

+

≤x

x

−32

x + 3 ≤ –2x +6

− + ≤ − +3 62

4 122

x x

x ≤ 6

Aula 25

26.03) 4x – 3 . 2x ≤ 40

( )2 2x – 3 . 2x – 40 ≤ 02x = yy2 – 3y – 40 ≤ 0

–5 ≤ y ≤ 8–5 ≤ 2X ≤ 8O valor máximo para xxxxx é aquele quetorna 2x = 8, isto é, x = 3.

Gabarito

2 Matemática A

Aula 27

27.01) a) log2 16 = x2x = 16x = 4

b) log5 125 = x5x = 125x = 3

c) log 1000 = x10x = 1000x = 3

d) log 0,001 = x10x = 0,001x = –3

e) log3 19

= x

3x = 19

x = –2

f) log2 8 = x

2x = 8

2x = 232

x = 32

27.02) a) log13

x = –2

13

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

= x

x = 9

b) logx 3 = – 13

( )x−1

3 = 3x = 3–3

x = 127

c) logx 8 = – 34

( )x−3

4 = 8

x = 843

−

x = ( )2343

−

x = 2–4

Aula 28

28.01) log 2 = 0,30; log 3 = 0,48a) log 72 = log (23 . 32) =

= 3log 2 + 2log 3 == 3 . 0,30 + 2 . 0,48 == 1,86

b) log 45 = log 3 .102

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

= 2log 3 +log 10 – log 2 == 2 . 0,48 + 1 – 0,30 == 1,66

c) log (20/9) + log (0,6) =

= log 2 1032

.⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 2 310.⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

= log 2 + log 10 – 2log 3 + log 2 + log 3 – log 10 =

= 2log 2 – log 3 == 2 . 0,30 – 0,48 == 0,12

d) log 2 45 , =

= log 3 210

315.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= 15

. [log 3 + 3log 2 – log 10] =

= 15

0 48 3 0 30 1. , . ,+ −[ ]=

= 15

. 0,38 =

= 0,07628.02) log a = 2; log b = 3; log c = –3

log a bc

3 2

65

. =

= 15

. [3log a + 2log b – 6log c] =

= 15

. [3 . 2 + 2 . 3 – 6 . (–3)] =

= 15

. 30 =

= 6

x = 116

d) log32 x = 35

3235 = x

( )2535 = x

23 = xx = 8

e) x = eIn 2 + In 3

x = eIn 2 . eIn 3

x = 2 . 3x = 6

f) x = 9 2 35 2log . log

x = 32 2 53 2. log . log

x = 3 322 2 5log . log

⎡⎣ ⎤⎦

x = 22 52. log

x = ( )log2 2 5 2

x = 52 = 25

Gabarito

3Matemática A

Testes

Aula 25

25.01) a)16 x – 1 = 128

2 24 4 7x − =4x – 4 = 74x = 11

x = 114

b) 1125

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− x

= 25

5 56 3 2− + =x

–6 +3x = 23x = 8

x = 83

c) 27x – 3 = 1243

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− x

3 33 9 15 5x x− − +

=3x – 9 = –15 + 5x–2x = –6x = 3

d) 36x + 1= 216x – 1

6 62 2 3 3x x+ −=2x + 2 = 3x – 3–x = –5x = 5

e) ( , )1 03 2 5 22x x− + = 1

( , ) ( , )1 03 1 032 5 2 02x x− +

=2x2 – 5x + 2 = 0

x' = 2; x'' = 12

f) 32x – 3 = 10243( )x

2 25 1510

3xx

− =

5x – 15 = 103

x

15x – 45 = 10x5x = 45x = 9

g) 4x – 2x = 2(2x)2 – 2x – 2 = 0; 2x = yy2 – y – 2 = 0y' = 2; y'' = –12x = 2 ⇒ x = 12x = –1 (impossível)

h) 9x – 30 . 3x + 81 = 0(3x)2 – 30 . 3x + 81 = 0; 3x = yy2 – 30y + 81 = 0y' = 27; y'' = 33x = 27 ⇒ x = 33x = 3 ⇒ x = 1

i) 2x + 2 – 2x + 1 + 2x – 1 = 202x . 22 – 2x . 21 + 2x . 2–1 = 20; 2x = y

4y – 2y + y2

= 20

8 42

402

y y y− + =

5y = 40y = 82x = 8 ⇒ x = 3

j) 32x + 1 + 32x – 1 – 9x = 63(3x)2 . 3 + (3x)2 . 3–1 – (3x)2 – 63 = 0; 3x = y

33

63 022

2yy

y+ − − =

9 3 1893

03

2 2 2y y y+ − − =

7y2 = 189

y2 = 27 ⇒ y = ± 27

3x = 27 ⇒ x = 3/2

3x = − 27 (impossível)k) 9x + 4x = 2 . 6x

96

46

x

x

x

x+ = 2

3 3

2 3

2 2

2 3

x x

x x

x x

x x

.

.

.

.+ = 2

32

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x

= 2

32

32

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−x x

= 2; 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x= y

y + 1y

= 2

yy

yy

2 1 2+ =

y2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 1 ⇒ x = 0

Gabarito

4 Matemática A

l) 25x – 9x = 025x = 9x

259

x

x= 1

259

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x= 1

259

259

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x = 0

25.02) 127

. 9x – 827

. 3x – 13

= 0

9 8 3 927

027

x x− − =.

(3x)2 – 8 . 3x – 9 = 0; 3x = yy2 – 8y – 9 = 0y' = 9; y'' = –13x = –1 (impossível)3x = 9 ⇒ x = 2

25.03) Af(x) = x2 – 8x + 12xf(x) = 1

xx x2 8 12− + = 1Verificando inicialmente x = 0 e x =1, temos:x = 0 ⇒ 012 =1 (falso)x = 1 ⇒ 15 = 1 (verdadeiro)Para x ≠ 0 e x ≠ 1, encontramos:

xx x2 8 12− + = 1

x xx x2 8 12 0− + =x2 – 8x +12 = 0x' = 6; x'' = 2S = {1, 2, 6}

25.04) 4601. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

– 3 32

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

é negativo, mas

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

2

é positivo.

02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.52 . (49!) – 2 . (49!) == 50 . (49!) == 50!

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Como 10 – 4 é negativo,

| 10 – 4| = –( 10 – 4) = 4 – 10 .08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Se x = 1, o denominador se anula.16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Se x = 2, temos:

2 . 3x = 2 . 32 = 18, mas3 . 2x = 3 . 22 = 12.

32. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.0,25 . 10–3 = 2,5 . 10–4

25.05) B

ax = 161,25 = 16125100 =

= ( )24125100 =

= 212525 =

= 25 == 32

25.06)5 1

1253 243

x y

x y

−

+

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 5

3 3

3

5

x y

x y

− −

+

==

⎧⎨⎩

x y

x y

− = −+ =

⎧⎨⎩

3

5

2x =2x = 1; y = 4Logo, (x . y)3 = 43 = 64.

25.07) 55

1125

4 12

3 8

x

x

−

+=

5 54 12 3 8 3x x− − + −=( )

x – 20 = –3x = 17

25.08) A

35

259

1 7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=− x

35

35

1 72

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −x

1 72− x = –2

1 – 7x = –4–7x = –5

x = 57

25.09) A

4x – 2 – 22 4 1x x− + = 0

2 22 4 4 12x x x− − +=2x – 4 = x2 – 4x + 10 = x2 – 6x + 5x' = 5; x'' = 1Soma: 5 + 1 = 6

25.10) D

916

129

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−x x

34

43

2 6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−x x

Gabarito

5Matemática A

34

34

2 6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −x x

2x – 6 = – x3x = 6x = 2

25.11)7 1

5 25

2

2

x y

x y

+

+

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

7 7

5 5

2 0

2 2

x y

x y

+

+

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 0

22

x y

x y

+ =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪ . (–4)

2 0

2 4 8

x y

x y

+ =− − = −⎧⎨⎩

+

–3y = –8

y = 83

; x = – 43

Logo, yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

4

48343

= (–2)4 = 16

25.12) 1232x – 4 . 3x + 3 = 0; 3x = yy2 – 4y + 3 = 0y' = 3; y'' = 13x = 3 ⇒ x = 13x = 1 ⇒ x = 001. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

s = 1 + 0 = 1 ⇒ 10s = 101 = 1008. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

p = 1 . 0 = 0 ⇒ 3p = 30 = 116. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

25.13) C2x – 1 – 2x + 2 = –562x . 2–1 – 2x . 22 = –56; 2x = y

y2

– 4y = –56

y y− = −82

1122

–7y = –112y = 162x = 16 ⇒ x = 4

25.14) 5x + 1 + 5x + 5x – 1 = 7755x . 5 + 5x + 5x . 5–1 = 775; 5x = y

5y + y + y5

= 775

25 5 15

38755

y y+ + =

31y = 3875y = 1255x = 125 ⇒ x = 3

25.15) D

16 645

x + = 4x + 1

(4x)2 + 64 = 5 . 4x . 4; 4x = yy2 + 64 = 20yy2 – 20y + 64 = 0y' = 16; y'' = 44x = 16 ⇒ x = 24x = 4 ⇒ x = 1

25.16) C

3 32x x = 127

3 3 32 3. ( ) = −x x

3 3x x. = 3–3

3 32 3x( ) = −

3x = 3–3

x = –325.17) A

5y – 1 = 255 5

3

5y – 1 = 5

5 5

23

12.

5y – 1 = 5

5

23

32

5y – 1 = 523

32

−

5y – 1 = 54 9

6−

5y – 1 = 556

−

5y – 1 = 556

12−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5 515

12y −−

=

y – 1 = – 512

12y – 12 = –512y = 7

y = 712

Gabarito

6 Matemática A

25.18) C(0,5)3y – 6x = 4x = 81 – y

I. (0,5)3y – 6x = 4x

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−3 6y x = 22x

2 23 6 2− + =y x x

–3y + 6x = 2xII. 4x = 81 – y

22x = 23 – 3y

2x = 3 – 3yIgualando I e II, temos:

− + = −3 6 3 3y x y

x = 12

; y = 23

Logo x . y = 12

. 23

= 13

< 23

= y

25.19) D9|x – 1| – 10 . 3|x – 1| = –9(3|x – 1|)2 – 10 . 3|x – 1| + 9 = 0; 3|x – 1| = yy2 – 10y + 9 = 0y' = 9; y'' = 13|x – 1| = 9 ⇒ |x – 1| = 2x – 1 = 2 ou x – 1 = –2x = 3; x = –13|x – 1| = 1 ⇒ |x – 1| = 0x – 1 = 0x = 1S = {3, –1, 1}Soma: 3 – 1 + 1 = 3

25.20) B

9 431

x

x

−

−−

12 = –1

9x . 9− 1

2 – 43 31. −x

= –1

( ) .39

4 33

2x x− + 1 = 0; 3x = y

y y2

343

− + 1 = 0

y y2 4 33

03

− + =

y2 – 4y + 3 = 0y' = 1; y'' = 33x = 1⇒ x = 03x = 3 ⇒ x = 1Soma: 0 + 1 = 1

25.21) A4x + 6x = 2 . 9x ÷ (6x)

46

66

2 96

x

x

x

x

x

x+ = .

2 22 3

1 2 3 32 3

x x

x x

x x

x x

..

. ..

+ =

23

1 2 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

x x

.

23

1 2 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−x x

. ; 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= y

y + 1 = 2y–1

y + 1 = 2y

y2 + y – 2 = 0y' = –2; y'' = 1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x = –2 (impossível)

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x = 1 ⇒ x = 0

25.22) A

3 3 33 2 2 3− − + −=x x x.

3 33 2 2 3− − + −=x x x

3 2 2 32 2

− − +( ) = −( )x x x (*)

3 – x – 2 3 2− +x x. + x + 2 = 2x –3

5 – 2 3 6 22x x x+ − − = 2x – 3

8 – 2x = 2 − + +x x2 6 ( ÷2)

(4 – x)2 = ( − + +x x2 6 )2

16 – 8x +x2 = –x2 + x + 62x2 – 9x + 10 = 0

x' = 52

; x'' = 2

Verificando em *, concluímos que:S = ∅

25.23) 2y + 1 – 72 1y −

+ 2y – 2 = 12 2y −

2y . 2 – 72 2 1y . −

+ 2y . 2–2 = 12 2 2y . −

2y = x

2x – 7 24

4.x

xx

+ =

8 564

164

2 2x xx x

− + =

9x2 = 72x2 = 8

x = ± 8

2y = – 8 (impossível)

2y = 8 ⇒ y = 32

Gabarito

7Matemática A

25.24) D4x – 3x – 0,5 = 3x + 0,5 – 22x – 1

4x – 3x . 3– 0,5 = 3x . 30,5 – 22x . 2– 1

4x – 33

x = 3x . 3 – 4

2

x

4x + 42

x = 3 . 3x + 3

3

x

2 4 42

3 3 33

. .x x x x+ = +

3 42

4 33

. .x x=

43

83 3

x

x=

43

2

3 3

3

1

x

x=

.12

43

2

3

232

32

x

x= ( )

43

43

32⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x = 32

25.25) C

e1 + 3sen x – 2 e sen x2 4+ + e1 + sen x = 0

e1 . (esen x)3 – (2 1 2 2e sen x+ ) + e1 + sen x = 0

e . (esen x)3 – 2e1 + sen x + e1 + sen x = 0e(esen x)3 – 2 . e(esen x)2 + e . esen x = 0esen x = yey3 – 2ey2 + ey = 0y . (ey2 – 2ey + e) = 0⇒ y = 0 ouey2 – 2ey + e = 0 ( ÷ e)y2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1.esen x = 0 (impossível)Logo, esen x = 1Assim, 2esen x = 2 . 1 = 2.

25.26) Lembre: xa = 3 ⇒ x = 31a

xxx�

= 3

x = 3

1

xx�

Mas, como xxx�

= 3, então:

x = 313

x = 33

26.01) a)43x > 16x + 1

4 43 2 2x x> +

3x >2x + 2x > 2

b) 12

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −4 1 2 1x x

4x + 1 ≥ 2x – 12x ≥ –2x ≥ –1

c) 22x + 1 > 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−4

2 22 1 4x + >2x + 1 > 42x > 3

x > 32

d) ( , )0 12x x− > 1

( , ) ( , )0 1 0 12 0x x−

>x2 – x < 0

0 < x < 126.02) B

251 – x < 15

5 52 2 1− −<x

2 – 2x < –1–2x < –3 . (–1)2x > 3

x > 32

Aula 26

Gabarito

8 Matemática A

26.03) D

18≤ 2–x

2 23− −≤ x

–3 ≤ –x . (–1)3 ≥ x

26.04) Bf(x) = 4x + 1

g(x) = 4x

f(x) > g(2 – x)

4 41 2x x+ −>x + 1 > 2 – x2x > 1

x > 12

26.05) 2x + 2 – 3x – 1 > 3x – 2x – 1

2x . 22 – 3x . 3–1 > 3x – 2x . 2–1

4 . 2x + 22

x > 3x + 3

3

x

8 2 22

3 3 33

. .x x x x+ > +

9 22

4 33

. .x x>

23

827

x

x>

23

23

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

> ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

x < 3Números naturais: 0 + 1 + 2 = 3

26.06) 0 < a < 1

a2x + 1 > 1 3

a

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

a ax x2 1 3+ − +>2x + 1 > – x + 33x < 2

x < 23

26.07) E2–x . 4x < 8x + 1

2–x . 22x < 23x + 3

2 23 3x x< +

x < 3x + 3–3 < 2x

– 32

< x

26.08) D81–1 < 32n + 1 < 27

3 3 34 2 1 3− +< <n

–4 < 2n + 1 < 3

–5 < 2n < 2

– 52

< n < 1

Soma dos inteiros: –2 – 1 + 0 = –326.09) B

164

< 4n – 1 < 16

4 4 43 1 2− −< <n

–3 < n – 1 < 2–2 < n < 3Soma dos inteiros: –1 + 0 + 1 + 2 = 2

26.10) E

2 2 121x x+ −+ é real se:

2x + 2x + 1 – 12 ≥ 02x + 2x . 2 – 12 ≥ 03 . 2x ≥ 122x ≥ 4

2 22x ≥

x ≥ 226.11) E

y = 1

4 42x x− −−Domínio: 4x – 2 – 4–x > 0

4 42x x− −>x – 2 > –x2x > 2x > 1

26.12) C

y = 1

13

243⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

x

Domínio: 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

– 243 > 0

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

> 243

3 35− >x

–x > 5 . (–1)x < –5

26.13) D

52 3 2x x− + > 1

5 52 3 2 0x x− + >

x2 – 3x + 2 > 0

x < 1 ou x > 126.14) E

32 1x − < 27

Gabarito

9Matemática A

3 32 1 3x − <

x2 – 1 < 3x2 – 4 < 0

–2 < x < 226.15) D

9x ≤ 32x

3 32 2x x≤

2x ≤ x2

–x2 + 2x ≤ 0

x ≤ 0 ou x ≥ 226.16) C

(3 + 2 )x > –2

Como (3 + 2 )x é positivo para qualquer xxxxx real, asolução é R.

26.17) B5x > 1

5 5 0x >x > 0Já 5x – 1 > 0 é verdadeiro para todo x ∈R.

26.18) Dx2x – 1 < x3

Se 0 < x < 1, temos:

x xx2 1 3− <2x – 1 > 32x > 4x > 2Impossível, já que partimos da hipótese 0 < x < 1.Se x > 1, temos:

x xx2 1 3− <2x – 1 < 32x < 4x < 2Conclusão: 1 < x < 2

26.19) C32 – x + 32 + x > 1832 . 3– x + 32 . 3 x > 18

93x

+ 9 . 3x > 18 ÷ (9)

13x

+ 3x > 2; 3x = y

1y

+ y – 2 > 0

1 22+ −y yy

> 0

Como y = 3x, yyyyy é sempre positivo. Assim, bastafazermos y2 – 2y + 1 > 0.

y < 1 ou y > 13x < 1 ⇒ 3x < 30 ⇒ x < 0

3x > 1 ⇒ 3x > 30 ⇒ x > 0Dessa forma, sempre teremos x2 > 0.

26.20) A

2 44

3 22x x+ + ≥

2 24

3 2 22x x+ + ≥

43 2

22x x+ +

≥

23 2

12x x+ +

≥

23 2

1 02x x+ +

− ≥

2 3 23 2

02

2

− − −+ +

≥x xx x

− −+ +

≥x xx x

2

2

33 2

0

y1 = –x2 – 3x

V = {x ∈R/–3 ≤ x <–2 ou –1 ≤ x < 0}26.21) C

0 < α < 1

α2x . 12 2

α⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

< 1

α2x . α−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12

2 2x

< α0

α α α2 02x x. − <

α α2 02x x− <2x – x2 > 0 . (–1)x2 – 2x < 0

0 < x < 2

Gabarito

10 Matemática A

26.22) 3901. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

e4x + 1 = 2e2x

(e2x)2 + 1 = 2e2x; e2x = yy2 + 1 = 2yy2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1e2x = 1

e ex2 0=2x = 0x = 0

02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.3x + 1 + 3x – 3x – 1 > 333x . 31 + 3x – 3x . 3– 1 > 33; 3x = y

3y + y – y3

> 33

9 33

993

y y y+ − >

11y > 99y > 93x > 9

3 32x >x > 2

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

e e e e

e e e e

x y x y

x y x y

− = ⇒ =− = ⇒ =

⎧⎨⎩

− −

− −

0

02 3 2 3( )

(e–y)2 = e–3y

e ey y− −=2 3

–2y = –3yy = 0x = 0

08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.f(x) = ex; g(x) = x2

Um ponto de encontro e f(x) = g(x) tem únicasolução.

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

e ee e

x y

x y

+− −

= ey – x

ex + ey = ey – x . (ex – e–y)

ex + e y = e y – e–x

ex + e–x = 0Não existe xxxxx que satisfaça essa sentença, jáque ex e e–x são sempre positivos.

32. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.A(t) = e–3t

B(t) = e–4t + 1

Sendo ttttt o número de dias, temos, após o pri-meiro dia, t > 1.–3t > –4t +1e–3t > e–4t + 1

A(t) > B(t), isto é, após o primeiro dia semprehaverá mais bactérias submetidas à droga Aque à B.

Aula 27

27.01) a) log4 64 = x4x = 64x = 3

b) log3 81 = x3x = 81x = 4

c) log 1000000 = x10x = 1000000x = 6

d) log 0,00001 = x10x = 0,00001x = –5

e) log12

8 = x

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 8

2–x = 23

x = –3

f) log7 343 = x

7x = 343

7x = 732

x = 32

27.02) a) log15

x = –3

15

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

= x

x = 125

b) logx 2 = – 15

Gabarito

11Matemática A

x−1

5 = 2x = 2–5

x = 132

c) logx 49 = 23

x23 = 49

x = 4932

x = 7232( )

x = 73 = 343

d) log243 x = 25

24325 = x

( )3525 = x

32 = x9 = x

e) eln ln8 2− = x

x = ee

ln

ln

8

2

x = 82

x = 4

f) x = 8 5 27 5log . log

x = ( )log . log23 5 72 5

x = 23 5 72 5. log . log

x = 2 255 3 7log . log( )

x = 5 3 75log

x = 5 5 7 3log( )x = 73

x = 34327.03) C

S = log 0,001 + log 100 == –3 + 2 == –1

27.04) B

log 0 1, = x

10x = 0 1,

10x = 10 1−

10x = 1012

−

x = – 12

x2 = 14

27.05) A

log13

9 = a

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a

= 9

3–a = 32

a = –2log16 a

2 = log16 4 = x16x = 442x = 42x = 1

x = 12

27.06) Separadamente, temos:

log2 8 = x

2x = 8

x = 32

log913

= x

9x = 13

32x = 3–1

x = – 12

log625 5 = x625x = 5

5 54 1x =

x = 14

Assim, obtemos:

log2 8 – log913

+ 16 . log625 5 =

= 32

– −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+1

216 1

4. =

= 2 + 4 == 6

27.07) CSeparadamente, temos:log3 1 = x3x = 1x = 0log10 0,01 = x10x = 0,01x = –2

log21

64 = x

2x = 164

x = –6

log4 8 = x

Gabarito

12 Matemática A

4x = 8

22x = 232

x = 34

Assim, obtemos:

log log ,

log . log3 10

2 4

1 0 011

648

+ =

= 0 2

6 34

3

2

+ −

−

( )

. =

= −−

292

=

= 49

27.08) C

log15

x = –2

15

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

= x

x = 25logy + 1 9 = 2(y + 1)2 = 9y2 + 2y + 1 = 9y2 + 2y – 8 = 0y' = –4 (Descartado, pois torna a base negativa.)y" = 2log2 0,125 = z2z = 0,125

2z = 18

2z = 2–3

z = –3Assim, temos:x + y – z = 25 + 2 – (–3) = 30

27.09) 3 . loga a5 + loga 1 – 4 . loga a =

= 3 . 5 + 0 – 4 . 12

=

= 15 – 2 == 13

27.10) C

N = loglog

9

93 3( ) =

= (log9 3)2 =

= 12

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= 14

Assim, log2 N = log214

= –2.

27.11) BlogB N = LBL = N

27.12) D

log93 x = 0,75

x = ( ) ,93 0 75

x = 323

34⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x = 312

x = 3

27.13) loga 3 = – 17

a−1

7 = 3a = 3–7

7b = –3

b = – 37

Assim, ab = ( )3 737−

−

= 33 = 27.

27.14) D

log10 mm

1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = R1 – R2

log10 mm

1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 8 – 6

log10 mm

1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2

102 = mm

1

2

27.15) EI0 = 10–12

N = 140I = ?

N = 10 . log II0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

140 10= . log I10 12−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14 = log I10 12−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1014 = I10 12−

Gabarito

13Matemática A

1014 . 10–12 = I102 = I100 = I

27.16) C

f(x) = log5 53 (x4)

x = 5

f(5) = log5 53 54 = y

(5 53 )y = 54

(5 . 513 )y = 54

( 543 )y = 54

43y = 4

y = 3 (centenas) = 300 indivíduos27.17) E

logx(ax + b) = 2x = 3 ⇒ log3 (3a + b) = 2 ⇒ 9 = 3a + b (I)x = 4 ⇒ log4 (4a + b) = 2 ⇒ 16 = 4a + b (II)Montando um sistema com I e II, temos:

3 9

4 16

1a b

a b

+ =+ =

⎧⎨⎩

−. ( )

− − = −+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪⊕

3 9

4 16

a b

a b

a = 7; b = –1227.18) C

log25 log2 (x – 4) = 12

2512 = log2(x – 4)

5 = log2(x – 4)25 = x – 432 = x – 4x = 36

27.19) Dlogx – 2(x

2 – 3x – 4)

x xI

2 3 4 0− − >( )

x < –1 ou x > 4

xII

− >2 0( )

x > 2

xIII

− ≠2 1( )

x ≠ 3Com base em I, II e III, concluímos:

x > 427.20) logx – 1(2x2 – 7x + 7) = 0

(x – 1)0 = 2x2 – 7x + 71 = 2x2 – 7x + 70 = 2x2 – 7x + 6x' = 2 (Inadequado, pois torna a base igual a 1.)

x" = 32

S = 32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

27.21) E(log x)2 = 9log x = 3103 = xoulog x = –310–3 = x

27.22) E

x – y = 33 ; x + y = 3log3(x

2 – y2) = log3(x – y) . (x + y)

= log3 33 . 3 =

= log3 313 . 3

12 =

= log3 32 3

6+

=

= log33

56 =

= 56

27.23) E2x = 12log2 2

x = log2 12x = log2(2

2 . 3)x = 2log2 2 + log2 3x = 2 + log2 3

27.24) Df(x) = ax; g(x) = loga (2x2 – 3x + 2) == f[g(–2)] = f[loga(8 + 6 + 2)]= f[loga 16] =

= a alog 16 == 16

27.25) C

2 3 2log (log )x = 12

Gabarito

14 Matemática A

2 23 2 1log (log )x = −

log3 (log2 x) = –13–1 = log2 x

23 1−

= x

213 = x

x3 = 227.26) D

n = 82 15 452 2log log− =

= ( ) log log23 2 15 452 2− =

= 26 15 3 452 2log log− =

= ( )( )

log

log

22

2

2

5 6

45 3=

= 545

6

3=

= 59 5

6

3 3. = 5

9

3

3

27.27) L(x) = a . ebx

a) x = 1; L(x) = 60x = 2; L(x) = 30

a e

a e

I

II

b

b

.

.

( )

( )

==

⎧⎨⎪

⎩⎪

60

302

Dividindo II por I, temos:

a ea e

b

b

..

2 3060

=

eb = 12

loge eb = loge

12

b = loge 2–1

b = –In 2Voltando em I, encontramos:

a . e In− 2 = 60

( )eIn 2 1− = 60a . 2–1 = 60

a . 12

= 60

a = 120b) L(x) = 15

L(x) = a . ebx

15 = 120 . e In x( )− 2

15120

2= −( )eIn x

18

= 2–x

2 23− −= x

x = 3

27.28) Q(t) = log10 10

1

k

t +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a) t = 0 ⇒ Q(t) = 1

1 = log10 100 1

k

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

10 = 10k

k = 1b) Q(t) = 0

0 = log10 10

1

1

t +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

100 = 101t +

t + 1 = 10t = 9

27.29) E

a = log4 2 70

20sen o

ocos⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= log4 2 20

20

cos

cos

o

o

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

= log4 2 =

= 12

log2 a = log2 12

= –1

27.30) Blog0,9 0,95 = 0,5Vinicial = 1π . R2 . h = 1 (I)Vfinal = 0,9π . r2 . h = 0,9 (II)Dividindo I por II, obtemos:

ππ

. .. . ,R hr h

2

2

10 9

=

r2 = 0,9R2

log0,9 r2 = log0,9 (0,9R2)

2 log0,9 r = log0,9 0,9 + 2 log0,9 R2 . (log0,9 r – log0,9 R) = 1

log0,9rR

= 12

log0,9rR

= 0,5

log0,9rR

= log0,9 0,95

rR

= 0,95

r = 0,95R

r = 95100

R

(redução de 5%)

Gabarito

15Matemática A

Aula 28

28.01) log 2 = 0,30; log 3 = 0,48a) log 144 = log 32 . 24 – 2log 3 + 4log 2 =

= 2 . 0,48 + 4 . 0,30 == 2,16

b) log 225 = log 9004

= log 3 102

2 2

2

.

= 2log 3 + 2log 10 – 2log 2 == 2 . 0,48 + 2 . 1 – 2 . 0,3 == 2,36

c) log 458

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ log 0,8 =

= log 9016

+ log 810

=

= log 3 102

2

4

. + log 210

3

=

= 2log 3 + log10 – 4log 2 + 3log 2 – log10 =

= 2log 3 – log 2 == 2 . 0,48 – 0,30 == 0,66

d) log 3 67 , =

= log 3610

17⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

= log 2 310

2 217.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= 17

. [2log 2 + 2log 3 – log 10] =

= 17

. [2 . 0,30 + 2 . 0,48 – 1] =

= 17

. 0,56 =

= 0,0828.02) log a = 3; log b = 5; log c = 2

log a bc

5 7

54

. = 14

. [5log a + 7log b – 5log c] =

= 14

. [5 . 3 + 7 . 5 – 5 . 2] =

= 14

. 40 =

= 1028.03) A

log 2 = 0,30; log 3 = 0,47log 60 = log (2 . 3 . 10)= log 2 + log 3 + log 10 == 0,30 + 0,47 + 1== 1,77

28.04) Blog 2 = 0,301; log 7 = 0,845log 28 = log (22 . 7)= 2log 2 + log 7 == 2 . 0,301 + 0,845 == 1,447

28.05) Elog 2 = 0,301; log 3 = 0,477

log 7 23 , = log 7210

3

= log 2 310

3 213.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= 13

. [3log 2 + 2log 3 – log 10]

= 13

. [3 . 0,301 + 2 . 0,477 – 1]

= 13

. 0,857

≅ 0,28528.06) log10α = 0,5

100,5 = αlog10

β = 0,7

100,7 = β

a) log10α .β = log10 100,5 . 100,7 = log10 101,2 =1,2

b) α β.10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= (α .β )2

10 1010

0 5 0 7, ,.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x

= (100,5 . 100,7)2

(100,2)x = (101,2)2

10 100 2 2 4, ,x

=0,2x = 2,4x = 12

28.07) log 2 = 0,30; log 3 = 0,47; log 5 = 0,69x = 100 . (log 12 – log 5)= 100 . (log [3 . 22] – log 5) == 100 . (log 3 + 2 log 2 – log 5) == 100 . (0,47 + 2 . 0,30 – 0,69) == 38

28.08) Blog x = 0,1; log y = 0,2; log z = 0,3

log x yz

2 1. − = 2log x – log y – 1

2 . log z =

= 2 . 0,1 – 0,2 – 12

. 0,3 =

= –0,1528.09) D

log a = 48

Gabarito

16 Matemática A

x = log a a

a a

3 5

3 54

.

. =

= log a a

a a

352

13

54

12

.

.

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

=

= 12

. 3 52

13

54

log log log loga a a a+ − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= 12

. 3 48 52

48 13

48 54

48. . . .+ − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= 12

. [144 + 120 – 16 – 60] =

= 9428.10) log c = 45

2log b = log c2log b = 45

log b = 452

log a = 6log b

log a = 6 . 452

log a = 135

y = log a bc

3 4

25

. =

= 15

. [3log a + 4log b – 2log c] =

= 15

. 3 135 4 452

2 45. . .+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =

= 15

. [405] =

= 8128.11) A

C(x) = In (x2 + 4x)x = 10C(10) = In (102 + 4 . 10) == In (140) == In (22 . 5 . 7) == 2In 2 + In 5 + In 7

28.12) A[H+] = 5,4 . 10–8; log 2 = 0,30; log 3 = 0,48pH = –log [H+] == –log (5,4 . 10–8) == –log (54 . 10–9) == –log (2 . 33 . 10–9) == –(log 2 + 3 log 3 – 9 log 10) == –(0,30 + 3 . 0,48 – 9 . 1) = 7,26

28.13) EI. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. PropriedadeII. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Para a = b = 5, log 10 ≠ log 5 + log

5.III. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. Propriedade

28.14) a = 2; b = 27; c = 144

log y = 2 . log 2 + log 273

– log1442

log y = log 22 + log 273 – log 144

log y = log 4 312.

log y = log 1log y = 0100 = yy = 1

28.15)a b

a b

I− =− =

⎧⎨⎩

48

22 2log log

( )

log2 ab

= 2

22 = a/ba = 4bSubstituindo a = 4b em I, temos:a – b = 484b – b = 483b = 48b = 16; a = 64a + b = 16 + 64 = 80

28.16) a) x y

x y

I+ =

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

15

124 4log log

( )

log4xy

= 12

412 = x

y

2 = xy

x = 2ySubstituindo em I, encontramos:x + y = 152y + y = 153y = 15y = 5; x = 10

b) 52x – 5x + 1 + 4 = 0(5x)2 – 5x . 5 + 4 = 0 (5x = y)y2 – 5y + 4 = 0y' = 4; y" = 15x = 1 ⇒ x = 05x = 4 ⇒ x = log5 4

28.17) E

log log3 3

3

2

3 81

x yx y

− =

=

⎧⎨⎪

⎩⎪+

log3

3 4

2

3 3

xy

x y

=

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

+

Gabarito

17Matemática A

9

34

=

+ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

xy

x y

x y

xy

=

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

⇓

9

34

93y + y = 4

4y = 4y = 1; x = 9(x, y) = (9, 1)

28.18) C

log log log2 2 212

7

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

log . log2 212

7

x y

x y

=+ =

⎧⎨⎩

x y

x y

. =+ =

⎧⎨⎩

12

7

x = 4 e y = 3 ou x = 3 e y = 428.19) C

x > 1

y = 4 3 24 4 2

3 2

5 4 2

log log loglog log log

x x xx x x

+ ++ +

=

= 12 6 220 16 4

log log loglog log log

x x xx x x+ ++ +

=

= 20

40

log

log

x

x= (log x ≠ 0)

= 12

28.20) C

log 12

+ log 23

+ log 34

+ ... + log 99100

=

= log 12

23

34

43

99100

. . . . ... .⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

log 1100

= –2

28.21) Elog 5 = 3m; log 3 = m

1002x = 1353

log 1002x = log 1353

2x . log 100 = log 27 53 .

2x . 2 = 13

. [log 33 . 5]

4x = 13

. [3 . log 3 + log 5]

4x = 13

. [3 . m + 3n]

4x = m + n

x = m n+4

28.22) Elog 2 = 0,30; log 7 = 0,84C = xi = 12% = 0,12M = C(1 + i)t

2 x = x . (1 + 0,12)t

2 = 1,12t

log 2 = log 1,12t

0,30 = t . log 112100

0,30 = t . log 7 2100

4.

0,30 = t . [log 7 + 4 . log 2 – log 100]0,30 = t . [0,84 + 4 . 0,30 – 2]0,30 = t . 0,04

30100

4100

= t .

t = 304

t = 152

anos

t = 152

126

.

t = 90 mesest = 7 anos e 6 meses

28.23) Elog 2 = 0,30; log 3 = 0,48M = C(1 + i)t

3 x = x . (1 + 0,20)t

3 = (1,20)t

log 3 = log (1,20)t

0,48 = t . log 3 210

2.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0,48 = t . [log 3 + 2 . log 2 – log 10]0,48 = t . [0,48 + 2 . 0,30 – 1]0,48 = t . 0,08

48100

8100

= t .

t = 6 anos28.24) B

I0 = 10–12

β = 10 . log II0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Gabarito

18 Matemática A

Há risco de danos quando β ≥ 90.

90 1010 12

≤ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

. log I

9 ≤ log I – log 10–12

9 ≤ log I + 12–3 ≤ log I10–3 ≤ IConclusão: Como 1,0 . 102 ≥ 10–3 e 1,0 ≥ 10–3,as duas fontes – turbina e amplificador de som –estão na faixa de risco.

28.25) P.G. xq

x xq, ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

log xq

+ log x + log xq = 3

log xq

x xq. .⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= 3

log x3 = 3

3 log x = 3log x = 1x = 10

xq

+ x + xq = 35

10q

+ 10 + 10q = 35 ÷ (5)

2q

+ 2 + 2q = 7

2 2 2 72+ + =q qq

qq

2q2 – 5q + 2 = 0

q' = 2; q" = 12

Para q = 2 ⇒ (5, 10, 20)

Para q = 12

⇒ (20, 10, 5)

28.26) P.G. (x, x , log2 (10x)); x ≠ 0

( x )2 = x . log2 (10x)

x = x . log2 (10x)1 = log2 (10x)

2 = 10x ⇒ x = 15

P.G. 15

15

1, , , ...⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Razão: q =

1515

1515

55

= =

a5 = a1 . q4 = 1

5 . 5

5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

5 . 5

5

4

2 = 5

28.27) 22P(t) = 30000 . (0,9)t

Hoje: P(0) = 3000001. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

P(2) = 30000 . (0,9)2 =

= 30000 . 910

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= 30000 . 81100

=

= 2430002. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

P(1) = 30000 . (0,9)1

P(2) = 30000 . (0,9)2

P(3) = 30000 . (0,9)3

�P.G. com razão q = 0,9

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

15000 30000= . (0,9)t

12

= (0,9)t

log 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= log (0,9)t

log 1 – log 2 = t . log (0,9)

log loglog ( , )

1 20 9− = t

08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Não existe t ∈ R tal que P(t) = 30000. (0,9)t se anule.

16. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.P(t) – P(t – 1) == 30000 . (0,9)t – 30000 . (0,9)t – 1 == 30000 . (0,9)t . [1 – (0,9)–1] =

= 30000 . (0,9)t . 1 109

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= 30000 . (0,9)t . 110⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

= 30000 . (0,9)t . [10%] == [10%] . P(t)

28.28) E

y3 – 12

. xy2 = 0

y2 . y x−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 0

y2 = 0y = 0ou

y – x2

= 0

y = x2

Gabarito

19Matemática A

Para y = 0, temos:

2x . 4y = 34

2x . 40 = 34

2x = 34

log2 2x = log2

34

xlog2 2 = log2 3 – log2 4x = –2 + log2 3

Para y = x2

, encontramos:

2x . 4y = 34

2x . 42x

= 34

2x . 2x = 34

22x = 34

log2 22x = log2

34

2x . log2 2 = log2 3 – log2 42x = –2 + log2 3

x = –1 + log2 32