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Matemática Aplicada e Estatística
Henrique 01/08/2011
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Sumário Gráficos no plano Cartesiano ................................................................................................................................. 3
Retas e suas equações .............................................................................................................................................. 4
Equação da reta........................................................................................................................................................... 6
Funções .......................................................................................................................................................................... 9
Funções: Notação e valor numérico .................................................................................................................. 11
Tipos de funções. ...................................................................................................................................................... 13
Taxa média de variação ......................................................................................................................................... 21
Estatística .................................................................................................................................................................... 24
Tipos de variáveis. ................................................................................................................................................... 24
Organização de dados. ............................................................................................................................................ 25
Dados qualitativos ................................................................................................................................................... 26
Dados quantitativos ................................................................................................................................................ 28
Construção de distribuições ................................................................................................................................ 28
Gráficos de frequências .......................................................................................................................................... 33
Medidas de posição ................................................................................................................................................. 39
Mediana ........................................................................................................................................................................ 39
Moda .............................................................................................................................................................................. 40
Separatrizes ................................................................................................................................................................ 44
Medidas de dispersão ............................................................................................................................................. 47
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Gráficos no plano Cartesiano
Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares,
sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O
plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num
determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes,
mostrados na figura a seguir:
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado
por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada.
Exemplos:
a) Localize no plano Cartesiano os pontos: A(1,2), B(0, 0), C(-2, 3), D(2, -1), E(-2, -2).
b) Marque no plano Cartesiano todos os pontos dos seguintes conjuntos:
x
y
4
R = *(x, y) x ∈ ℜ e y ∈ ℜ| y = x+
S = *(x, y) x ∈ ℜ e y ∈ ℜ| y = -x}
T = *(x, y) x ∈ ℜ e y ∈ ℜ| y = 2x+1+
U = *(x, y) x ∈ ℜ e y ∈ ℜ| y = -2x -1}
V = *(x, y) x ∈ ℜ e y ∈ ℜ| y = 2x -1}
Exercícios
1. Marque no plano Cartesiano todos os pontos dos seguintes conjuntos:
a) A = *ℜxℜ| x < 1 e y > 1+
b) B = *ℜxℜ| x ≥ y e y < 1+
c) C = *ℜxℜ| y ≤ x e y ≤ -x}
d) D = *ℜxℜ| y < x e y > -x}
Retas e suas equações
A equação de uma reta é do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e c, são números reais. Essa
equação é chamada de equação geral da reta.
Quando b ≠ 0, podemos escrever a equação na forma reduzida, que é y = ax + b.
Coeficiente angular
Defini-se coeficiente angular da reta o valor o obtido calculando a tangente do ângulo
formado pela reta e o eixo das abscissas.
m= tg , com ≠ 90
x
y
5
Determinação do coeficiente angular
1º Caso: Quando são conhecidos dois pontos da reta.
Sejam os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), temos o coeficiente angular:
=
=
2º Caso: Quando é conhecida a equação da reta:
a) Para a equação geral da reta, temos m = -a
b
b) Para a equação reduzida da reta, temos m = a
3º Caso: Quando o ângulo de inclinação é conhecido.
Dada uma reta, onde o ângulo ( ) de inclinação é conhecido, o coeficiente angular da reta
é m = tg .
Exemplos:
a) Desenhe no plano cartesiano as retas, x + y +1 = 0 e y = -x +2
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Equação da reta
Para determinar a equação da reta devemos ter o coeficiente angular da reta e pelo menos
um ponto pertencente a reta.
Exemplos:
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(1,2) e possui um
coeficiente angular igual a 2 (m=2).
Resolução.
Sabemos que a equação reduzida da reta é do tipo y = ax + b, e que o número a = m, logo
a = 2.
Então, y = 2x +b, aplicando o ponto A na equação podemos determinar o valor de b.
2 = 2.1 + b
b = 1
Portanto a equação reduzida da reta é y = 2x + 1
b) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,2) e B(1,0).
Resolução.
x
y
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c) Determine as equações das retas r, s, t e u:
Exercícios
1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(-1, 0).
2. Determine a equação reduzida da reta que passa por A(3,-2) e tem um ângulo de
inclinação de 135°.
3. Determine o valor de k para que a equação kx – y – 3k + 6 = 0 represente uma reta que
passa pelo ponto (5, 0).
4. Qual é a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(-3, 4) e cujo coeficiente
angular é
.
5. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(-1, -2).
6. Determine a equação geral da reta representada no gráfico a seguir.
8
7. Determine o coeficiente angular da reta representada no gráfico a seguir.
8. Dona Maria vende salgadinho para complementar sua renda, ela vende cada dúzia de
salgadinho por R$ 6,00, mas Dona Maria tem dificuldade de calcular o valor a ser cobrado
quando a quantidade não é múltiplo de doze. Ajude a Dona Maria saber quanto deverá
cobrar por uma quantidade qualquer de salgadinho, Ou seja, construa a equação e o
gráfico.
9. Um avião fez uma viagem partindo da origem com três escalas, como mostra o gráfico a
seguir, determine a direção (ângulo) em que o avião deve seguir desde a origem até o
destino final. E qual deveria ser a direção se o avião fizesse a viagem sem escalas.
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Funções
Dados dois conjuntos não-vazios, dizemos que a relação f de A em B é função se e somente
se:
a) O domínio de f é A, isto é, D(f) = A
b) Dado um elemento a ∈ A, existe um único elemento b ∈ B, tal que f(a) = b.
Em outras palavras, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um único
correspondente em B.
Exemplos:
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Exercícios.
1)Dados A={1,2,3,4} e B = {2,4,6,8,10}, verifique quais das relações representadas pelos
conjuntos são funções de A em B. Justifique sua resposta.
a) R = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}
b) R = {(1,2),(1,4),(2,6),(3,8),(4,10)}
c) R = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}
d) R = {(2,4),(3,6),(4,8)}
e) R = {(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)}
f) R = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10)}
Domínio, contra-domínio e imagem de uma função.
1
2
3
2
3
4
f é função, pois todos os
elementos de A tem um
único correspondente em B
f A
B
1
2
3
4
2
3
4
f não é função, pois o
elemento 4 A, não tem um
correspondente em B
f A
B
1
2
3
2
3
4
f não é função, pois o
elemento 1 A tem dois
correspondentes em B
f A
B
11
Uma função definida por f: D → C, podemos perceber que a função consta de três partes:
D : é um conjunto, chamado de domínio da função.
C : é um conjunto, chamado de contra-domínio da função.
F : é uma lei que associa elementos do domínio a elementos do contra-domínio.
O conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do
domínio, é chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem".
Funções: Notação e valor numérico
Podemos escrever uma função f: A B através de suas variáveis x (independente) e y
(dependente).
Exemplos:
y = 3x² + 4x ou f(x) = 3x² + 4x
Valor numérico de uma função
Chamamos de valor numérico de uma função o valor que y assume, quando atribuímos a x
um valor.
Exemplo:
DOMÍNIO Imagem
f
12
Seja f(x) = 2x + 1
Quando x = 1, o valor numérico é f(1) = 2.1 + 1 = 3
Exercícios
1. Seja f: ℜ → ℜ, tal que, f(x) = -x² + 3x –2, determine:
a) f(0)
b) f(2)
c) f(-1)
d)
3
2f
e) 2f
2. Dada a função f : → definida por f(x) = x³ - x, determine:
a) f(2)
b) f(-2)
c) f(-1)
d) f(3) + f(-3)
3. Seja g(x) = x² - 3x uma relação definida de A={0,1,2,3,4} em B={-2,0,1,3,5}. Construa o
diagrama de setas e verifique se essa relação é uma função de A em B
4. Determine a notação das funções abaixo definidas de em :
a) f associa cada número real ao seu triplo mais 1.
b) g associa cada número real ao seu quadrado adicionado ao seu triplo menos 1.
5. Use as tabelas para definir suas funções:
a)
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 5 3 1 -1 -3 -5
b)
x -2 0 2 4 6 8
g(x) -1 0 1 2 3 4
6. Uma locadora de automóveis cobra o aluguel da seguinte forma, R$ 50,00 mais R$ 0,75
por quilômetro rodado, e uma segunda locadora cobra, R$ 120,00 mais R$ 0,35 por
quilômetro rodado.
a) Se você deseja fazer uma viagem de 150 quilômetros, em qual locadora o aluguel sai
mais em conta?
b) A partir de quantos quilômetros a segunda locadora passa a ser mais vantajosa?
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7. A troposfera, que a primeira camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a
altitude de 40000 pés; nela a temperatura diminui 2°C a cada aumento de 1000 pés na
altitude. Suponha que num ponto A, situado ao nível do mar, temperatura seja de 20°C.
a) Qual a função que representa a relação altura x em função da temperatura t?
b) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura é de 0°C?
c) Qual a temperatura a 35000 pés acima do ponto A?
Tipos de funções.
Função constante.
Função constante é toda função do tipo y = f(x) = k, onde k é uma constante real.
Exemplo: Dada a função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 4, essa é uma função constante, onde
f “leva” qualquer número real x a constante 4.
O gráfico da função é:
Função linear.
Função linear é toda função do tipo y = f(x) = ax, onde a é uma constante real não nula.
Exemplo: Dada a função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 2x, é uma função linear, e seu gráfico
é:
x
y
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Observação: o gráfico da função linear sempre passa pelo ponto P(0,0). E o valor do
coeficiente a é coeficiente angular da reta.
Função afim.
Função afim é toda função do tipo y = f(x) = ax + b, onde a e b são constante reais não
nulos.
Exemplo: dada a função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 2x + 1, é uma função afim e seu
gráfico é:
Observação: a constante b também é o intercepto vertical.
Função quadrática.
x
y
x
y
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Função quadrática é toda função do tipo y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são
constantes reais, e a ≠ 0.
Exemplo: Dada a função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = x² +2x -1, é uma função quadrática e
seu gráfico é:
Observação: o gráfico da função quadrática é uma parábola, e sua concavidade será para
cima quando o valor do coeficiente “a” for positivo e para baixo quando “a” for negativo.
Vértice da parábola, ou ponto de máximo ou mínimo da função quadrática.
O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) e será o ponto de máximo da função caso a
concavidade da parábola seja voltada para baixo e será o ponto de mínimo da função caso
a concavidade da parábola seja voltada para cima.
O vértice da parábola pode ser determinado pela fórmula:
2. ,
4. , =
2. =
4.
Função exponencial.
Função exponencial é toda função do tipo y = f(x) = ax, onde a > 0 e a ≠ 1.
Exemplo: Dada a função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 2x, é uma função exponencial e seu
gráfico é:
x
y
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Uma aplicação importante a área econômica da função exponencial é o cálculo de juros
compostos.
M = C.(1+i)t
Observação: se o valor de “a” estiver entre zero e um, (0 < a < 1) a função é decrescente. (veremos melhor, funções crescentes e decrescentes mais adiante)
Função logarítmica.
Função logarítmica é a função inversa da função exponencial, e é do tipo
f(x) = loga x, com a > 0 e a ≠ 1, é chamada de função logarítmica de base a.
Exemplo: Dada a função f: ℜ++ → ℜ definida por f(x) = log x é uma função logarítmica e
seu gráfico é:
x
y
x
y
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Observação: ℜ++ significa, números reais estritamente positivos, ou seja, todos os
números reais maiores que zero.
Funções crescentes e decrescentes.
Função crescente.
Uma função é denominada crescente num intervalo I se para qualquer x1 e x2 pertencente
a I, tal que I ⊂ D(f), e x1 < x2 então f(x1) < f(x2).
Função decrescente.
Uma função é denominada decrescente num intervalo I se para qualquer x1 e x2
Pertencente a I, tal que I ⊂ D(f), e x1 < x2 então f(x1) > f(x2).
Exemplos:
Observe o gráfico, e determine os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou
constante.
Função dada por várias sentenças
Função definida por partes é toda função onde para cada intervalo do domínio de f(x)
existe uma função g(x).
Exemplo:
Para x ≤ -2, temos f(x) = 2x
Para -2 < x ≤ 1, temos f(x) = x²
Para x > 1, temos f(x) = 3
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Essa função pode ser escrita da seguinte forma:
f: ℜ → ℜ
( ) =
2 , ≤ 2
², 2 < ≤ 13, > 1
Matemática na Economia: Função Custo, Função Receita, Função
Lucro, Função Demanda e Função Oferta.
Função Custo
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria, loja, na
produção ou aquisição de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma fixa e
outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x)
= Cf + Cv, onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável
Função Receita
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do
número de vendas de determinado produto.
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
Função Lucro
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração
entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
Exemplo
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo
mensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc.
Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos,
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja
equivalente a R$ 120,00 , monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do
lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser
vendidas para que se tenha lucro.
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
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Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41000
L(1000) = 120.000 – 41950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00.
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças.
Função Procura (ou Função Demanda)
A função procura ou Função Demanda representa a relação entre o preço de mercado de
um bem e a quantidade procurada desse mesmo bem. À representação gráfica da função
procura é dada a designação de curva da procura. Geralmente, verifica-se uma relação
negativa entre a quantidade procurada e o preço do bem, de onde resulta uma curva da
procura negativa, o que significa que quanto mais elevado é o preço do bem, mais baixa
será a quantidade procurada e vice-versa.
São duas as razões encontradas pela Teoria Econômica para esta relação negativa entre
o preço e a quantidade procurada: uma é o efeito de substituição que reflete a
substituição de um bem pelo outro similar quando o preço do primeiro aumenta; outra é
o efeito rendimento que traduz a perda de poder de compra quando o preço do bem
aumenta.
Representação algébrica da Função Procura:
Qd(x) = D = ax + b
em que "a" e "b" são constantes e "Qd(x)" significa "quantidade procurada do bem x"
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Função Oferta
A função oferta representa a relação entre o preço de mercado de um bem e a
quantidade desse mesmo bem que os produtores estão dispostos a produzir e a vender.
À representação gráfica da função oferta é dada a designação de curva da oferta. A
relação que se verifica entre o preço e a quantidade oferecida é por norma positiva,
resultando daí uma curva da oferta com inclinação positiva, o que significa que quanto
maior é o preço, maior é a quantidade do bem que os produtores querem produzir e
vender. A explicação para esta relação positiva encontra-se no fato dos produtores
concluírem que é mais lucrativo afetar maior quantidade de fatores produtivos à
produção do bem sempre que o seu preço aumente, situação que se deve à Lei dos
Rendimentos Marginais Decrescentes. Em termos muito simples, a Lei dos Rendimentos
Marginais Decrescentes explica o fato de que os acréscimos de produção são cada vez
menores à medida que se acrescentam sucessivamente mais unidades dos fatores
produtivos - desta forma, para conseguir novos acréscimos de produção é necessário
que os acréscimos de fatores produtivos sejam cada vez maiores pelo que os acréscimos
de custos para produzir sucessivamente mais unidades do bem também sejam cada vez
maiores. Tal faz com que o preço exigido pelos produtores para produzirem e venderem
sucessivamente mais unidades também seja cada vez maior de forma a compensar os
crescentes acréscimos de custos.
Representação algébrica da Função Oferta:
Qs(x) = S = a + bx
em que "a" e "b" são constantes e "Qs(x)" significa "quantidade oferecida do bem x"
Ponto de equilíbrio Dado duas funções f(x) e g(x), o ponto de equilíbrio é ponto E=(xe, f(xe)), tal que, f(xe) =
g(xe).
Exemplo: Determine o ponto de equilíbrio das funções f(x) = -4x e g(x) = 2x + 30
Devemos determinar x, tal que f(x) = g(x)
-4x = 2x + 30
x = -5
Portanto o ponto de equilíbrio é E = (-5, 20)
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Ponto de equilíbrio (do inglês break-even-point), é a denominação dada ao estudo, nas
empresas, principalmente na área da contabilidade, onde o total das receitas é igual ao
total das despesas. Neste ponto o resultado, ou lucro final, é igual a zero.
O ponto de equilíbrio das funções demanda e oferta é chamado de equilíbrio de mercado.
Taxa média de variação
Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Dada uma função f(x), a taxa média de variação num intervalo [a,b] é:
T.M.V = ( ) ( )
Exemplo: Calcule a T.M.V no intervalo [1,6] da função do gráfico a seguir:
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Exercícios:
1. Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante. Sabendo que ele
sai do km 15 e duas horas depois passa pelo km 175, faça o que se pede:
a. determine a velocidade desse automóvel;
b. escreva a função que representa esse movimento;
c. faça um tabela relacionando o tempo transcorrido e o km em que ele se encontra;
d. faça o gráfico dessa função.
2. Numa fábrica de bichos de pelúcia, o custo para produção de um determinado modelo
é de R$ 12,50 por unidade, mais um custo fixo de R$ 250,00.
a. Escreva a fórmula da função que representa o custo total da produção.
b. Faça o gráfico dessa função.
c. Determine o custo de produção de 50, 80 e 100 unidades do produto.
3. Um teatro está apresentando Dom Casmurro, de Machado de Assis. A peça é oferecida a
grupos de x estudantes pelo preço individual de p = (30 – 0,1x) reais.
a) Qual é a fórmula da receita R recebida pelo teatro numa sessão à qual comparecem x
estudantes?
b) Numa sessão em que foram arrecadados R$ 2000,00, quantos estudantes
compareceram?
Faço o gráfico da arrecadação e diga quantos estudantes devem comparecer para que a
receita seja máxima, e qual é essa receita máxima.
4. Numa cultura de bactérias, o número delas é dado pela função y = 1000. 30,5. x , onde x é
o tempo decorrido em horas, e y a quantidade de bactérias após determinado tempo.
Construa a tabela que mostra a evolução dessas bactérias e em seguida seu gráfico.
5. O custo C em reais para se produzir x uidades de um componente eletrônico é dado por
C(x) = 18x + 4500.
a) Qual é o custo para se produzir 1000 unidades desse produto ?
b) Quando obtiver um lucro de 20% sobre o valor de custo, qual deverá ser o preço de
cada componente eletrônico ?
6. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: Uma parte
fixa, no valor de R$ 900,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do
total de vendas que Le fez durante ao mês.
a) Expressar a lei da função que representa seu salário mensal.
b) Calcule o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu
R$ 5000,00 em produtos.
7. O custo total da fabricação de determinado artigo depende do custo de produção, que é
de R$ 45,00 por unidade fabricada, mais um custo fixo de R$ 2000,00. Pede - se:
a)Função que representa o custo total em relação à quantidade fabricada.
b)O custo total da fabricação de 10 unidades.
c)O número de unidades que deverão ser fabricadas para o custo total seja de R$3800,00.
d)O gráfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores.
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8. Uma fábrica de bolsas tem um custo mensal de R$ 5000,00. Cada bolsa fabricada custa
R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$
4000,00 , ela deverá fabricar e vender mensalmente X bolsas. Qual é o valor de X ?
9. Suponha que I(x) que fornece o imposto de renda em função da renda tributável R$ x
seja dada da seguinte forma: para 0 ≤ x ≤ 900 o contribuinte é isento de imposto, e para
900 < x ≤ 1800 o valor do imposto será de 15% sobre o valor que exceder R$ 900,00 e
para x > 1800, será 15% de R$ 900,00 mais 27,5% sobre o valor que exceder a R$
1800,00. Determine a função I(x) e construa o gráfico.
10. Considere a função M: ℜ → ℜ, tal que M(x): maior inteiro menor que x. Construa
o gráfico da função M(x) e determine a imagem da função M(x).
11. A função custo total de um monopolista é dada por C = 3q+65, para 0 ≤ q ≤
100. A demanda de mercado é dada por D = 100 – 5P.
a. Calcular o valor de q para um lucro de R$ 265,00 e o respectivo preço de venda.
b. O valor de q para que se obtenha lucro máximo e o correspondente valor máximo, e o
respectivo valor de venda.
12. Os economistas definem a renda anual disponível de um indivíduo pela equação
D = (1 – r)T, onde T é a renda total e r é a alíquota do imposto de renda a ser pago. Qual a
renda disponível para um indivíduo cuja total é de R$ 60000,00 sobre a qual incide uma
alíquota de 28%?
13. Há uma lenda sobre o jogo de xadrez, segundo essa lenda, um rei empolgado
com as tramas possíveis de serem construídas com esse jogo, pede ao sábio responsável
por sua invenção que escolha qualquer coisa do seu reino como forma de gratificação pelo
trabalho. O sábio pede como prêmio grãos de trigo. O rei, bastante surpreso pela
simplicidade do pedido, pergunta imediatamente qual é a quantidade desejada. O sábio -
deixando o rei ainda mais assustado e intrigado - pede ao soberano que coloque no
tabuleiro 1 grão de trigo na primeira casa, 2 grãos na segunda, 4 grãos na terceira, 8 grãos
na quarta, 16 na quinta, e assim por diante, dobrando sempre o número de grãos de trigo
na passagem de cada casa. Sabendo que cada metro cúbico de trigo contém cerca de 15
milhões de grãos.
a) Determine uma função para essa relação.
b) Quantos metros cúbicos de trigo o rei deverá pagar para o sábio?
14. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição
bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.
a) Qual será o saldo no final de 12 meses?
b) Qual será o montante final?
15. Em 1970 a população do Brasil era de aproximadamente 70 milhões de
habitantes, em 2010 a população era de cerca de 190 milhões de habitantes, calcule a taxa
média de crescimento entre 1970 até 2010.
24
Estatística
Estatística é o ramo da matemática que estuda os modelos de obtenção, coleta e
organização de dados, bem como o processamento e análise de informações relevantes de
maneira que se possa concluir, deduzir ou predizer propriedades, eventos ou estados
futuros.
Tipos de variáveis.
As variáveis são divididas em dois tipos: Qualitativas e Quantitativas.
Variáveis qualitativas.
As variáveis qualitativas são aquelas que expõem uma qualidade do fenômeno.
Exemplo: Nacionalidade das pessoas, sexo, escolaridade, etnia.
Variáveis quantitativas.
As variáveis quantitativas são aquelas que expressam propriedades mensuráveis de um
evento, elas podem ser discretas ou contínuas.
Variáveis discretas são aquelas usadas para enumerar os elementos de um conjunto.
Exemplo: o número de alunos em uma escola, a quantidade de hóspedes em um hotel, a
quantidade de empréstimos realizados por uma instituição financeira em um ano.
Variáveis contínuas são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo.
Exemplo: o tempo médio de uma viagem, o peso de pessoas, o valor médio dos
empréstimos.
Exercícios
1. Qual o objetivo da estatística?
2. O que são variáveis?
25
3. Qual a diferença entre variáveis quantitativas e qualitativas?
4. Qual a diferença entre variáveis contínuas e discretas?
Organização de dados.
Após uma coleta de dados, sejam eles quantitativos ou qualitativos, vejamos como
poderemos organizar esses dados.
Dados em tabelas e gráficos.
Após o levantamento dos dados, a informação obtida de cada elemento da população é
registrada e apresentada na ordem em que as entrevistas ou medidas foram realizadas.
Esses dados que ainda não foram organizados são chamados de dados brutos.
Exemplo:
Tabela 1
Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 Usuários Particulares
KWH(quilowatts-hora)
58 62 80 57 8 126 136 96 144 19
90 86 38 94 82 75 148 114 131 28
66 95 121 158 64 105 118 73 83 81
50 92 60 52 89 58 10 90 94 74
9 75 72 157 125 76 88 78 84 36
O inconveniente de dados brutos é que dificulta uma visualização rápida do
comportamento das unidades analisadas.
Como se pode ser observado no exemplo, as cifras estão dispostas de forma desordenada.
Em razão disso, pouca informação se consegue obter inspecionando os dados anotados.
Mesmo uma informação tão simples como a de saber os consumos máximo e mínimo
requer um certo exame dos dados da tabela.
Então o conveniente é organizarmos esses dados em forma de tabela e/ou gráficos.
26
Dados qualitativos
Na maioria das vezes os dados qualitativos são apresentados em gráfico de barras ou
setores. Em um gráfico de barras a frequência da categoria é dada pela respectiva altura.
Em gráfico de setores (ou de pizza) a referida frequência é dada pela área.
Em termos estatísticos, o número de observações em cada categoria é denominado de
frequência absoluta, e a frequência relativa é o quociente entre as frequência absolutas e o
total de observações, e costuma ser apresentada em porcentagens.
Exemplo: em uma pesquisa com 100 pessoas foi perguntado qual o parque de diversões
preferido, (B) Beto Carrero Word, (P) Parque da Mônica, (H) Hopi Hari e (T) Terra
Encantada, e foram obtidos os seguintes dados:
Vamos organizar esses dados em uma tabela.
Parque preferido Número de respostas
(fi)
Em porcentagem (fri)
Beto Carrero Word 45 45%
Parque da Mônica 15 15%
Hopi Hari 30 30%
Terra Encantada 10 10%
B P B B T B H B B B
H B H P H T B H P H
P H B T B P H P B B
B T H B B H P B H P
B H B H P T B H B B
P B H P B H B H B H
B T B H H H B T H P
B B B H B B H B T B
H T B B H B T H B B
P B H B P P H B H B
27
Total 100 100%
Observe que afora ficou mais fácil a interpretação dos dados, é fácil perceber qual é o
parque com maior ou menor preferência.
Também podemos representar essa tabela em forma de gráficos.
Gráfico de barras.
Gráfico de setores.
0
10
20
30
40
50
Beto Carrero Parque da Mônica
Hopi Hari Terra Encantada
Parque preferido
Frequência
Parque preferido (%)
Beto Carrero
Parque da Mônica
Hopi Hari
Terra Encantada
28
Dados quantitativos
Os dados quantitativos normalmente são apresentados em tabela com intervalos, a tabela
que apresenta esses dados são chamadas de tabelas de frequências, também podemos
usar gráficos como histogramas e gráfico poligonal.
Exemplo: Uma pesquisa realizada com 500 famílias, onde foi perguntado qual o valor da
renda familiar.
Faixa de renda Número de famílias (fi)
0 ⊢ 2000 98
2000 ⊢ 4000 201
4000 ⊢ 6000 123
6000 ⊢ 8000 52
8000 ⊢ 1000 26
Total
Construção de distribuições
Para construirmos uma distribuição de frequência a partir de dados brutos, devemos
definir o número de intervalos, os limites, pontos médios e as frequência absolutas e
relativas.
Esse processo é chamado de tabulamento de dados.
Número de intervalos
Para determinarmos a quantidade de intervalos (classes) podemos usar uma as duas
regras:
1ª Raíz quadrada.
Para um total n de dados, o número de classes k é:
=
2ª Regra de Sturges.
Para um total n de dados, o número de classes k é:
29
= 1 + 3,3. log
Observação: k deve ter no mínimo 5 o no máximo 20 classes, 5 ≤ k ≤ 20.
Limites de classes
Os extremos dos intervalos são seus limites inferiores e superiores, apontados por P e T
(piso e teto).
Pontos médios das classes
O ponto médio da classe é obtido através da média aritmética simples.
= +
2
Amplitudes
Amplitude é a diferença entre os valores dados. Para o total dos dados a amplitude é dada
por:
=
Para as classes da distribuição a amplitude é dada por:
=
Frequências
Frequência simples
Frequência acumulada
Absoluta (fi)
Relativa (fri ou fri%)
Absoluta (Fi)
Absoluta (Fri ou Fri%)
30
Frequência Simples Absoluta (fi)
É o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.
=
Frequência Simples Relativa (fri ou fri%)
Representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma classe, em
relação ao número total de observações.
=
% =
. 100
Frequência Absoluta Acumulada (Fi)
A frequência acumulada “abaixo de” uma classe ou de um valor individual é a soma da
frequência simples absoluta dessa classe ou desse valor com as frequências simples
absolutas das classes ou dos valores anteriores.
Frequência Relativa Acumulada (Fri ou Fri%)
Acumulando as frequências simples relativas de acordo com a definição de frequências
acumuladas
Ajustes
Quando o número de decimais da amplitude das classes for maior que a dos dados,
convém efetuar os seguintes ajustes:
a. Tomar o valor imediatamente superior, considerando o número de decimais dos dados.
Exemplos:
= 12,25 e os dados são número inteiros, então = 13
= 51,235 e os dados possuem duas casas decimais, então = 51,24
b. Definir a amplitude total convencionada como = .
: amplitude total convencionada.
: amplitude das classes convencionadas.
31
c. Dividir a diferença = , da seguinte forma, se o for par, dividir por 2, se
for ímpar, decompor em partes desiguais, mas conveniente.
Exemplo:
= 9, é ímpar, então podemos decompor em 5 e 4.
d. Obtidas as partes convenientes de , centralizar a amplitude total convencionada
subtraindo uma delas do piso e adicionando a outra no teto da distribuição, o que define
qual se deve tirar e qual se deve somar é a harmonia da distribuição.
Exemplo: Se o piso é P = 259 e o teto T = 565, e = 9
Temos a decomposição de 9 em 5 e 4.
Logo é conveniente subtrairmos 4 do piso e somarmos 5 no teto, ficando P = 255 e T =
570.
As frequências relativas simples podem exigir arredondamento, uma vez que, a soma é
100. Em primeiro momento, basta fazer os arredondamentos convencionais (o último
digito é abandonado quando esse for menor que 5, ou antes do abandono, somamos uma
unidade no penúltimo algarismo se o último algarismo for maior ou igual a 5). Depois,
verifica-se se as somas dos valores resultam em 100, caso a soma não seja 100, devemos
fazer ajustes, primeiro com o último algarismo dos maiores valores.
Exemplo1: Faça o tabulamento dos dados.
Espectadores das apresentações de uma peça teatral.
473 405 212 412 370 466 312 408 428 422 473 240 308 427 376
403 270 353 453 413 355 463 435 472 352 541 365 459 510 452
410 395 420 431 459 560 458 460 450 452 495 399 400 401 359
290 535 480 451 458 562 452 482 415 465 356 298 458 475 444
425 486 295 250 350 391 580 521 462 448 432 495 504 581 400
523 329 285 459 221 594 495 512 395 356 465 487 429 468 481
492 361 239 394 553 465 431 495 416 485 229 468 481 423 395
239 554 231 481 442 456 438 495 386 421 402 495 520 429 433
32
1º Determinar o número de classes
Para o total de dados n = 120, temos
= = 120 10,9
= 11
Portanto temos 11 classes.
2º Amplitude
= = 580 212 = 368
Temos então a amplitude das classes.
= =368
11 33,45
= 34
3º Ajustes
Como = .
= 11.34 = 374
= = 374 – 368 = 6, é par, podemos dividir por 2, temos então duas pares
iguais a 3.
Temos a seguinte tabela:
Complete a tabela.
33
Classes de
espectadores
fi pm fri fri% Fi Fri Fri%
209 ⊢ 243 7 226 0,058 5,8 7 0,058 5,8
243 ⊢ 277 2 0,017 1,7 9 0,075 7,5
277 ⊢ 311
311 ⊢ 345
345 ⊢ 379
Total 120
Gráficos de frequências
Vejamos agora como fazer a representação gráfica de uma tabela.
Histograma.
Nos histogramas, as amplitudes das classes correspondem às larguras das colunas, e a
frequências, as suas alturas.
A altura h é dada por:
=
Polígono de frequência
34
O polígono de frequência é um gráfico formado por segmentos de retas ligando os pontos
médios das classes.
Exemplo.
Exercícios.
1. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de uma faculdade:
Calcule:
a) a amplitude amostral;
b) o número de classes;
c) a amplitude de classes;
d) os limites de classes;
e) as frequências absolutas da classes;
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
35
f) as frequências relativas;
g) os pontos médios da classes;
h) as frequências acumuladas;
i) o histograma e o polígono de freqüência;
Classes das alturas
médias
fi pm fri fri% Fi Fri Fri%
Total
36
2. A tabela abaixo representa os empréstimos em milhões de reais de 100 empresas. Monte uma distribuição de frequência com Classes, histograma e o polígono de frequência.
fi pm fri fri% Fi Fri Fri%
2,01 2,08 1,96 3,04 2,01 3,18 1,94 2,19 2,24 2,18
2,59 1,96 2,29 3,18 2,09 1,96 2,06 2,18 2,05 2,04
2,43 1,56 1,94 3,15 2,35 2,08 2,56 2,17 1,93 1,59
2,22 2,34 2,24 1,95 2,01 3,12 3,03 3,12 2,04 1,66
1,87 2,49 3,12 2,24 1,76 3,20 2,38 1,58 1,89 1,98
1,89 1,71 2,42 1,62 1,97 2,18 1,69 3,14 2,18 3,06
2,40 1,96 3,01 2,19 2,25 1,45 1,93 2,06 1,83 1,84
1,91 2,11 1,78 2,36 2,33 3,17 2,03 1,87 3,11 2,17
1,72 1,62 1,99 1,64 1,54 2,26 1,86 2,09 1,74 1,92
2,36 1,82 2,02 2,25 1,75 3,15 3,18 1,99 1,76 2,51
37
Total
3. Os dados a seguir representam os gastos em reais com serviço de quarto de 45
hospedes em um hotel, faça o tabulamento dos dados o histograma e o polígono de
frequência:
25,2 45,5 53,2 54,4 60,5 58,9 40,3 38,9 94,9 30,0 55,0 63,5 65,2 57,6 64,0 69,3 71,2 28,4 51,9 34,9 81,0 89,6 77,6 68,5 52,1 54,0 86,1 44,4 48,9 72,4 59,7 45,0 55,5 62,0 55,9 57,8 61,2 47,9 48,6 55,6 53,2 50,6 47,8 45,3 56,6
38
fi pm fri fri% Fi Fri Fri%
Total
39
Medidas de posição
Média aritmética simples
Para dados brutos, a média aritmética simples é a razão entre as somas das medidas
observadas pela quantidade de medidas.
=
Média aritmética para dados tabulados é dada por:
= .
Observação: Para o arredondamento da média, deve considerar uma casa decimal a mais
que os dados originais.
Exemplo:
Classes fi pm f.pm
37⊢46 3
46⊢55 4
55⊢64 8
64⊢73 11
73⊢82 19
82⊢91 10
91⊢100 4
100⊢109 1
Total: N
Mediana
Para dados brutos
A mediana (Md) é uma medida que se localiza no centro da distribuição. Os dados da
distribuição devem estar em ordem crescente ou decrescente (ROL).
A posição da mediana em uma distribuição é dada por: + 1
2
40
Observações: Quando a quantidade de valores for ímpar, a mediana é exatamente o termo
central da distribuição. Quando a quantidade de valores for par, considerar um valor
intermediário aos dois termos centrais.
Para dados tabulados
A mediana para dados tabulados é dada por:
= +
2
Onde,
( )
ê
ê
Exemplo: determine a mediana para a distribuição.
Classes fi Fi
40 ⊢ 50 1
50 ⊢ 60 3
60 ⊢ 70 5
70 ⊢ 80 20
80 ⊢ 90 11
90 ⊢ 100 8
100 ⊢ 110 2
Total: (N)
Moda
Para dados brutos a moda ( ), é o valor que mais se repete.
Exemplo: Qual é a moda para o conjunto de dados a seguir:
12 10 15 12 13 9 12 10 11 12 10 9 13 12
A moda Mo = 12, veja que o número 12 repete cinco vezes.
41
Para dados tabulados, A moda pode ser estimada pela fórmula dea moda de Pearson, que
é:
= 3. 2.
Onde,
Md: Mediana.
M : média aritmética.
Exemplo: Encontre a moda para a seguinte tabela:
Classes fi pm f.pm Fi
37⊢46 3
46⊢55 4
55⊢64 8
64⊢73 11
73⊢82 19
82⊢91 10
91⊢100 4
100⊢109 1
Total: N
Exercícios.
42
1. A tabela abaixo apresenta os dados correspondentes ao número de e-mails diários
recebidos em um departamento:
Classes fi pm f.pm Fi
35⊢47 3
47⊢59 9
59⊢71 15
71⊢83 22
83⊢95 27
95⊢107 43
107⊢119 28
119⊢131 11
Total: N
Calcule:
a) Média aritmética
b) Mediana
c) Moda
43
2. A tabela abaixo apresenta a frequência de hospedes em um determinado hotel.
Classes fi pm f.pm Fi
30⊢37 4
37⊢44 7
44⊢51 9
51⊢58 19
58⊢65 34
65⊢72 23
72⊢79 14
79⊢86 5
Total: N
Calcule:
a) Média aritmética
b) Mediana
c) Moda
44
3. A tabela a seguir apresenta as quantidades diárias de clientes atendidos em certo
departamento, durante um determinado período.
Classes fi pm f.pm Fi
62 ⊢68 5
68 ⊢74 13
74 ⊢80 21
80 ⊢86 50
86 ⊢92 67
92 ⊢98 41
98 ⊢104 28
104 ⊢110 10
Total: N
Calcule:
a) Média aritmética
b) Mediana
c) Moda
Separatrizes
Separatriz (ou quartil) é a medida de posição que divide uma distribuição em partes
iguais.
Das medidas de posição, destacamos, agora, as quatro separatrizes, a mediana e os três
quartis.
A mediana divide uma distribuição em duas partes iguais, cada uma com 50% dos dados.
Os 3 quartis divide a distribuição em quatro partes iguais, cada uma delas com 25% dos
dados.
45
Para se calcular os 3 quartis, para dados tabulados, é o mesmo processo que o da
mediana, diferenciando apenas nas partes proporcionais de N.
Exercícios
1. Calcule os 3 quartis para as tabelas a seguir.
a)
Classes fi Fi
40 ⊢ 50 1
50 ⊢ 60 3
60 ⊢ 70 5
70 ⊢ 80 20
80 ⊢ 90 11
90 ⊢ 100 8
100 ⊢ 110 2
Total: (N)
b)
Classes fi Fi
37⊢46 3
46⊢55 4
55⊢64 8
64⊢73 11
73⊢82 19
46
82⊢91 10
91⊢100 4
100⊢109 1
Total: N
c)
Classes fi Fi
35⊢47 3
47⊢59 9
59⊢71 15
71⊢83 22
83⊢95 27
95⊢107 43
107⊢119 28
119⊢131 11
Total: N
47
Medidas de dispersão
Desvio médio e desvio padrão, para dados brutos
O desvio médio é a média aritmética dos desvios absolutos em relação à média aritmética
dessas medidas, e o desvio médio pode ser obtido através da fórmula:
= | |
Onde:
d = x – m (desvio das medidas x em relação a média aritmética m)
n: total de dados.
Desvio padrão é a média quadrática dos desvios das medidas em relação à média
aritmética. O desvio padrão mede a variação entre valores, ou seja, mede a variabilidade
da distribuição em relação à média.
Desvio padrão populacional
= ²
Desvio padrão amostral:
= ²
1
Desvio médio e desvio padrão para dados tabulados O desvio médio é dado por:
= . | |
Onde:
δ (delta) é desvio dos pontos médios (pm) em relação a média aritmética.
δ = pm – M
Desvio padrão populacional:
= . ²
Desvio padrão amostral:
= . ²
1
48
Variância A variância das medidas é o quadrado do desvio padrão dessas medidas.
A variância tem grande aplicação quando estudamos as dispersões de duas distibuições.
Variância populacional: Var = σ²
Variância amostral: Var = s²
Coeficiente de variação de Pearson Trata-se de uma medida relativa de dispersão, a qual é utilizada para fazermos
comparações das dispersões das distribuições e que relaciona o desvio padrão com a
média aritmética.
O coeficiente de variação populacional é:
=
. 100
O coeficiente de variação amostral é:
=
. 100
Interpretação do coeficiente de variação
Se < 15%, então há baixa dispersão
Se 15% ≤ ≤ 30%, então há média dispersão
Se > 30%, então há alta dispersão.
Exemplo1: Uma amostra de funcionários de uma empresa, aleatoriamente escolhidos,
apresentou as seguintes idades: 29, 70, 39, 56, 44, e 53. Calcule:
a) A média aritmética dessas idades.
b) O desvio médio.
49
c) Qual a interpretação do valor encontrado na letra b?
d) Calcular o desvio padrão amostral.
e) Calcular a variância.
f) Calcule o coeficiente de variação.
g) Qual a interpretação do valor encontrado na letra f ?
Exemplo2: A tabela a seguir apresenta as idades de um grupo de turistas. Calcular:
Classes f pm f.pm δ |δ| f.|δ| δ² f.δ²
8 ⊢ 14 3
14 ⊢ 20 5
20 ⊢ 26 8
26 ⊢ 32 15
32 ⊢ 38 11
38 ⊢ 44 6
44 ⊢ 50 2
50
a) Média aritmética.
b) Desvio médio.
c) Desvio padrão amostral.
d) Variância.
e) Coeficiente de variação.
Exercícios
1. Uma amostra de turistas que visitam uma cidade apresentou os seguintes gastos diário
(em reias): 167, 195, 147, 153, 149, 182, 174, 166 e 158.
51
x
167
195
147
153
149
182
174
166
158
a) Calcule a média aritmética.
b) Calcule o desvio médio.
c) Calcule o desvio padrão.
d) Calcule a variância.
e) Calcule o coeficiente de variação.
52
2. Uma amostra de contratos de empréstimos de uma financeira, apresentou os seguintes
valores em reais:
x
153,26
425,55
235,30
205,50
315,75
245,44
395,00
490,60
a) Calcule a média aritmética.
b) Calcule o desvio médio.
c) Calcule o desvio padrão.
d) Calcule a variância.
e) Calcule o coeficiente de variação.
53
3. A tabela abaixo apresenta o número de telefonemas diários recebidos pela central de
uma empresa durante um determinado período:
Classes f
115 ⊢ 135 4
135 ⊢ 155 7
155 ⊢ 175 14
175 ⊢ 195 19
195 ⊢ 215 26
215 ⊢ 235 16
235 ⊢ 255 9
255 ⊢ 275 5
275 ⊢ 295 2
a) Calcule a média aritmética.
b) Calcule o desvio médio.
c) Calcule o desvio padrão.
d) Calcule a variância.
e) Calcule o coeficiente de variação.
54
4. A tabela abaixo apresenta as idades (em anos) de um grupo de pessoas.
Classes f
30 ⊢ 38 3
38 ⊢ 46 7
46 ⊢ 54 13
54 ⊢ 62 20
62 ⊢ 70 15
70 ⊢ 78 8
78 ⊢ 86 2
a) Calcule a média aritmética.
b) Calcule o desvio médio.
c) Calcule o desvio padrão.
d) Calcule a variância.
e) Calcule o coeficiente de variação.
