Matemática Básica - Católica Virtualservicos.catolicavirtual.br/.../gd_disciplinas/matematica_basica.pdf · 3 Matemática Básica UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA Reitor Prof

Matemát ica Bás ica

3

Matemática Básica

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA Reitor

Prof. Msc. Pe. José Romualdo Desgaperi

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA VIRTUAL

Diretor Geral da UCB Virtual Prof. Dr. Francisco Villa Ulhôa Botelho

Diretoria de Cursos de Graduação a Distância Profª. MSc. Bernadete Moreira Pessanha Cordeiro

Diretoria de Pós-graduação a Distância

Profª. MSc. Ana Paula Costa e Silva

Coordenação de Produção Profª Esp. Edleide E. de Freitas Alves

Coordenação de Pólos e Logística

Profª Esp. Núbia Aparecida Rosa

Coordenação de Informática Prof. Esp. Weslley Rodrigues Sepúlvida

Coordenação de Secretaria Acadêmica

Esp. Benedito Lyra F. Junior

Coordenação de Atendimento ao Estudante e Relacionamento Profª. MSc. Sandra Mara Bessa

Equipe de Produção Técnica

Conteudista Prof. Adolfo Dani Analistas José Eduardo Pires Campos Júnior Viviane de Melo Resende Viviane Cristina V. Sebba Ramalho Yara Dias Fortuna Montagem Acyr Frederico Leocádio Anderson Macedo da Silveira Bruno Marques Beça da Silva Olávia Cristina Gomes Bonfim

Edição de Conteúdo Kelly Kareline de Oliveira Torres Márcia Regina de Oliveira

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Matemática Básica Sumário

Sumário

1. Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................... 7 1.1. Conjunto dos Naturais ............................................................................................................................. 7 1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos .................................................................... 7 1.3. Conjunto dos Racionais ........................................................................................................................... 7 1.4. Conjunto dos Irracionais ......................................................................................................................... 7 1.5. Conjunto dos Reais .................................................................................................................................. 7

2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais ................................................... 9 2.1. Sinais Resultantes nas Operações .......................................................................................................... 9

2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração ........................................................... 9 2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão .................................................... 9 2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. ............................. 10

3. Operações e Suas Inversas ........................................................................................................... 17 3.1. Regra das Operações Adição e Subtração .......................................................................................... 17 3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão ................................................................................... 18 3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação .................................................... 19

4. Prioridades nas Operações ........................................................................................................... 23

5. Relações e Funções ........................................................................................................................ 25 5.1. Plano Cartesiano .................................................................................................................................... 25 5.2. Função do 1º Grau .................................................................................................................................. 26 5.3. Função do 2º grau ou quadrática ......................................................................................................... 30 5.4. Função Exponencial ............................................................................................................................... 34 5.5. Função Logarítmica................................................................................................................................ 36 5.6. Funções Trigonométricas ...................................................................................................................... 37

6. Soluções de Sistemas de Equações ............................................................................................ 39

7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias ................................................ 43 7.1. Razão ........................................................................................................................................................ 43 7.2. Proporção ................................................................................................................................................ 43 7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas. ............................................................ 43

7.3.1. Diretamente Proporcionais ................................................................................................................... 43 7.3.2. Inversamente Proporcionais ................................................................................................................. 44 7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. .................................. 46 7.3.4. Porcentagens ........................................................................................................................................ 47 7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) .................................................................................................................. 47 7.3.4.2. Porcentagem .................................................................................................................................... 47

7.4. Média ........................................................................................................................................................ 49 7.4.1. Média Aritmética Simples .................................................................................................................... 49 7.4.2. Média Aritmética Ponderada ................................................................................................................ 49 7.4.3. Média Geométrica ................................................................................................................................ 49

8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais ............................................................ 51 8.1. Adição e subtração de expressões ...................................................................................................... 51 8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. .................................. 51

8.2.1. Produtos Notáveis ................................................................................................................................ 52 8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais ................................................................................ 53 8.4. Fatoração e Simplificação .................................................................................................................... 54

9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo ............................................... 57 9.1. Relações Trigonométricas ..................................................................................................................... 57 9.2. Relações Métricas ................................................................................................................................... 58

6

Matemática Básica Sumário

10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações .............................................. 61 10.1. Grandezas Físicas ................................................................................................................................... 61 10.2. Fenômenos Físicos ................................................................................................................................. 61 10.3. Medição .................................................................................................................................................... 61 10.4. Sistemas de Unidades ............................................................................................................................ 61 10.5. Fatores que interferem na medição ................................................................................................... 62 10.6. Precisão de um Instrumento de Medida ............................................................................................. 62 10.7. Algarismo significativo .......................................................................................................................... 62 10.8. Arredondamentos ................................................................................................................................... 62

10.8.1. Operações com Algarismos Significativos ...................................................................................... 63 10.8.1.1. Adição e Subtração .......................................................................................................................... 63 10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: ................................................................................................................. 63

10.9. Notação Científica ................................................................................................................................. 63 10.10. Ordem de grandeza. ......................................................................................................................... 64 10.11. Grandezas Físicas .............................................................................................................................. 64

10.11.1. Grandezas Escalares ........................................................................................................................ 64 10.11.2. Grandezas Vetoriais ........................................................................................................................ 64 10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais ............................................................................................ 65 10.11.2.1.1. Adição ........................................................................................................................................ 65 10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 65 10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 66 10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana ........................................................................................... 66 10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença .............................................................................................................. 67 10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 67 10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 67 10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana ......................................................................................... 68

7

Matemática Básica Aula 01

Matemática Básica Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, palavras, frases, vírgulas,

pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos algarismos, números, símbolos, sinais,

prioridades e propriedades nas operações para que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos

tão necessários em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a

calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado

destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos.

1. Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas básicos de nosso

quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos:

1.1. Conjunto dos Naturais

{ },...4,3,2,1,0=N

1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos { }...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z

1.3. Conjunto dos Racionais

{ }...3...2...1...0...1...2...3... −−−=Q

29−

23− 2,0 25,2

...555,0− 1.4. Conjunto dos Irracionais

}{ ......3...2...2... π−=I 1.5. Conjunto dos Reais Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que:

RI

QZN⊂

⊂⊂

ou RIQ ⊂∪ )(

está contido

N

Z

Q

I

R

Obs.: Não conseguimos escrever na forma de fração

Obs.: Conseguimos escrever na forma de fração decimal exatas, dizimas periódicas simples e compostas.

1,4159

9


2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais

2.1. Sinais Resultantes nas Operações

2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração ( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: + 3 + 4 = 7

Obs. Quando é positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta.

( - ) com ( - ) dá ( - ). Veja: - 3 - 4 = - 7

(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:

=+=−+−=−+

2213253

( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja:

−=+−=+=+−

1232253

2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão

( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja:

=+=÷=+÷+=+=⋅=+⋅+

3326)2(66623)2(3

Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e

divisão.

( - ) com ( - ) dá ( + ). Veja:

=+=−÷−=+=−⋅−

5,15,1)2(366)2(3

( + ) com ( - ) dá ( - ). Veja:

−=−÷+−=−⋅+

3)2(66)2(3

( - ) com ( + ) dá ( - ). Veja:

−=+÷−−=+⋅−

3)2(66)2(3

10


Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar:

−=

−

⋅==÷=⋅=

−

ba

ba

bababaabbaaxb

1/

2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. 1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1). Veja:

120 = ; ( ) 12 0 =− ; 153 0

=

; ( ) 12

0=

2º) Não tem divisão de número por zero Veja:

?07

= (impossível, confira na calculadora).

3º) Zero dividido por qualquer número dá zero. Veja:

070

= (confira na calculadora).

4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos.

Ran ∉−

R∉− 4

Não pertence ao conjunto dos Reais

Não tem solução em R

Índice (2) não se escreve

Índice par

10 =a

)(0

impossívela=

00=

a

Divisão

Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver, sempre no numerador.

Multiplicação

11


R∉−4 4 Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja:

283 −=− 5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo.

expoente par Maior que zero (positivo) Veja: ( ) ( ) ( ) 44222 2 =+=−⋅−=− ( ) 813 4 =− Cuidado: ( ) 22 22 −≠−

É diferente, pois: ( ) ( ) ( )

−=⋅−=−

=−⋅−=−

42224222

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− (número negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica negativo). 6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes. Veja:

158

54

325

4

32

32

32

32

−

−⋅

−

=

=

7º)Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou descendo para o denominador.

Veja:

a) 33

212 =−

b) 55 3

31

=−

Índice impar

Índice par

( ) nmnm aa ⋅=

nn

aa −=

1 nn

aa 1

=−

( ) 0>− na

12


8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração.

Veja:

916

34

43 22

=

=

−

; 812

21 33

=

=

−

9º) Equivalência - potenciação - radiciação (como tirar do radical e retornar)

Veja:

a) 25

2 5 33 =

b) 73

7

3

32

32

=

c) 55 151

777 == 10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja:

a) 54

42

+

Achando o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim:

522

15

124

Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 20 é o m.m.c de 4 e 5. 2÷

1013

0262

201610

54

42

=////

=+

=+

2÷

nnnn

ab

baou

ab

ba

=

=

−−

nm

n m aa =

13


Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc.

Ao simplificar

2026 você deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo número.

b) 6023

603512

127

153 −

=−

=−

m.m.c de 15 e 12:

5322

136

12

15

15

Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60

c) 542

23

+− lembre que 122 −

=− logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é:

52

111512

Logo: m.m.c = 2 ∙ 5 = 10

103

1082015

542

23

=+−

=+−

11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo denominador. Veja:

a) 158

54

32

=⋅

b) 724

738 −

=⋅−

Lembre que 188 −

=−

4÷

c) 15

1064

41

32

52 −

=///−

=⋅

−

⋅

4÷

14


12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja: 2÷

a) 65

2101

45

32

54

32

=////

=⋅=÷ ou 65

2101

45

32

5432

=////

=⋅=

2÷

b) 2

15253

523 =

−

⋅=

−

÷ lembre que 133 =

c) ( )152

31

523

52

=

−

⋅−

=−÷− lembre que -3 =

13−

13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes

nmnm aaa ⋅=⋅ (a = base; m e n = expoentes). Veja: a) 127575 3333 ==⋅ +

b) 15151

15109

32

53

32

53

222222 ====⋅−

−−

c) 23

23

32

32

32

32

32 2

121

212

211

211

=

=

=

=

=

⋅

−+−+−−

d) 10122122 10101010 −−− ==⋅ 14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes

nmnm aaa −=÷ (a = base; m e n = expoentes). Veja:

a) 91

313333 2

27575 ====÷ −−

b) 10373

7

5555 −−−

−

==

c) 152

151210

54

32

54

32

54

32

32

32

32

32

32

32

=

=

=

=

÷

+−+

−

−

−−−−

d) 5151015

10

10101010 −− ==

15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja:

15


a) →= 4,052 tem uma casa decimal (casa depois da vírgula)

b) →= 25,041 tem duas casas decimais

c) →353,2 tem três casas decimais Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos:

• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula. • Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais (casas

depois da vírgula). Veja:

a) 52

0144,0 =///

=

b) 41

0015225,0 =/////

=

c) 10002353353,2 =

16º) Dízima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá exata e logo depois da vírgula aparece um número que se repete, denominado de período. Veja: a) 0,33... Também representado por 3,0 b) 0,272727...ou 27,0 c) 2,444... ou 4,2 Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos: Numerador: Colocamos o período (parte que se repete) Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período. Veja:

a) 31

9333,0 =//

=

b) 113

339

9927...272727,0 ===

c) 923

9518

952...555,02...555,2 =

+=+=+=

Parte inteira não entra na regra.

16


17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e depois da vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de um período (parte que se repete). Veja: Parte não periódica (que não se repete) (4) a) 0,4333... Parte periódica (que se repete) (3) Não periódica (23) b) 2,23717171... Periódica (71) Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta, fazemos:

Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a parte não periódica. Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja:

Parte não periódica Periódica Parte não periódica

a) 3013

0993

90443...4333,0 =

////

=−

=

Parte não periódica (23) Período (71)

b) 24755872

24755872

059447112

009984322

99002323712...23717171,2 +⇒+=

////////

+=////////

+=−

+=

Parte inteira não entra na regra (2) 24755537

24755874950

=+

Um zero só, pois a parte não periódica só é constituída de um algarismo que é o 4. Um nove só, pois a parte periódica só é constituída de um algarismo que é o 3.

17


inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

inversa

3. Operações e Suas Inversas

Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou variáveis

necessitamos conhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim temos:

Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para trocar de

membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que trocamos de sinal quando

passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos operação inversa.

3.1. Regra das Operações Adição e Subtração

Veja os exemplos: a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o ( x ) para o segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo: x = 12 – 4

Adição

Subtração

Multiplicação Divisão

Potenciação Radiciação Logaritmação

1º Membro à esquerda da igualdade

2º Membro à direita da igualdade. =

inversa

inversa

Adição

Subtração

18


inversa

x = 8 b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde estará somando fazendo assim operação inversa. Logo: x = 17 + 7 x = 24 c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa subtraindo. 20 - x = 30 - x = 30 – 20 - x = 10 Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos multiplicar por (- 1) os dois membros da igualdade. - x = 10 (-1) x = -10 3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão

Veja os exemplos: a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o segundo membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo.

Logo: 7214

−=⇒−

= xx

b) 43

2=

x isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro multiplicando,

operação inversa. Veja: 122432 =⇒⋅= xx e o 2 que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo, operação inversa.

62

12=⇒= xx

c) 28

443

2−

−=

+− xx achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois

122 =

Multiplicação Divisão

19


inversa

inversa

inversa

inversa

3222

11

1248

13

Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24

⇒−−

=+−

24481212

24168 xx

⇒−−−=−− 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e os

números para o 2º membro fazendo operações inversas.

⇒−=− 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos. 7620 −=− x (-1) ⇒= 7620x Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo

e depois simplificamos: 5

190183

0267

=////

=////

=x

3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação

Determinar (b) é calcular o logaritmo (log)

cab = Determinar o (c) é calcular a potência Determinar o (a) é calcular a raiz

(isola a potência)

Radiciação⇒=⇒= bb cxcx (isola a base) Aplicando radiciação ( )b c em ambos os membros para isolar o x, temos:

bb b cx =/ de onde obtemos: b cx =

ãoLogaritmaçloglog

⇒=⇒=abxba x (isola o expoente)

Mesmo denominador em ambos os membros podemos simplificar.

oPotenciaçã⇒= bax

Potenciação Radiciação Logaritmação

20


Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: ba x loglog = onde, usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever bax loglog = de onde obtemos:

abx

loglog

= .

Propriedades dos logaritmos. Quando a base é 10, não representamos. AA loglog10 = Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo. a) Potência822223 ⇒=⇒⋅⋅=⇒= xxx b) ⇒=⇒= 32282 xx Mesma base igualamos os expoentes. Fatorando (8)

32222

1248

⇒

Logo: x = 3 ⇒ Logaritmo c) ⇒=⇒= 333 28 xx Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: raiz2 ⇒=x . Obs. 8 (fatorando) 328 == Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a calculadora cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora cientifica. a) x=32

8=x b) 82 =x

2log8log

=x

3=x

1) yxyx logloglog +=⋅

2) yxyx logloglog −=

3) xmxm loglog =

Tecla: 2 Tecla: yx ou ∧ Tecla: 3 Tecla: =

Tecla: log ou ln Tecla: 8 Tecla: ÷ Tecla: log ou ln Tecla: 2 Tecla: =

21


Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de calculadoras. Pode usar a calculadora padrão do Windows (Iniciar > Executar > Calç). Configure para ter opções da calculadora científica (no menu Exibir > Científica) c) 83 =x

3 8=x 2=x

Resolvendo outros exemplos: d) x=5,12

...828427,2=x e) x=− 5,12 f) 7,45,2 =x ou 5,2 7,4=x

g) 32 =x ou ...584962,12log3log

==x

h) 7,195,1 =x

35,75,1log7,19log

==x

Tecla: 2 Tecla: yx ou ∧ Tecla: 1,5 Tecla: =

Tecla: 2 Tecla: ∧ ou xy Tecla: 1,5 Tecla: ± Tecla: =

Tecla: 2,5 Tecla: 2ndF ou Shift Tecla: x Tecla: 4,7 Tecla: =

Tecla: log Tecla: 3 Tecla: ÷ Tecla: log Tecla: 2 Tecla: =

Tecla: log Tecla: 19,7 Tecla: ÷ Tecla: log Tecla: 1,5 Tecla: =

Tecla: 3 Tecla: 2ndF ou Shift Tecla: x Tecla: 8 Tecla: =

22


i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter fórmulas. Dada a fórmula do montante no sistema de capitalização composta tiCM )1( += M = Montante no final do período de aplicação C = Capital i = Taxa t = Tempo de aplicação Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas. 1º) Para calcular o (M) a fórmula já está pronta, pois o mesmo já está isolado: tiCM )1( += 2º) Para calcular (C) passamos ti)1( + que está multiplicando o C para o outro lado (membro)

dividindo. Logo: tiMC

)1( +=

3º) Para calcular o (t) que é expoente, usamos logaritmos. Em tiCM )1( += passamos o (C) que

está multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim: ( )tiCM

+= 1 . Agora aplicamos

logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja: )1log(

log

iCM

t+

=

4º) Para calcular o (i) que é base, usamos radiciação. Em tiCM )1( += passamos o (C) para o

outro lado, ficando assim: ( )CMi t =+1 . Agora aplicamos radiciação isolando o (i). Veja:

11 −=⇒=− ttCMi

CMi

Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais usada no mundo dos juros e montante composto.

23


4. Prioridades nas Operações

(Quem resolver primeiro?).

Quando as (sete) 7 operações estão aparecendo em parte ou todas numa mesma expressão numérica ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de resolução: 1º ( ), 2º [ ], 3º { }, e dentro de cada um desses símbolos, ou mesmo na ausência deles, devemos resolver na seguinte ordem: (1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da esquerda para a direita. (2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem. (3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem. Exemplos: a) 33 8100log4425242 −−−÷+⋅− 1º lugar (potenciação, radiciação, logaritmação)

224285242 −⋅−−÷+⋅− 2º lugar (multiplicação, divisão)

375,17282625,082 −=−−−+− 3º lugar (adição e subtração) b) 24538log416243 22 ÷⋅−−−÷−÷+ 1º lugar

24539031,01642432 ÷⋅−−−÷−÷+ 2º lugar

1531,31039031,025,029 −=−−−−+ 3º lugar

2 9 0,25 -10

4 16 0,9031

0,625 8 8

2 2 8

24


c) ( )[ ]{ }342423543 2 −÷−−−⋅−⋅ 1º lugar (parênteses)

( )[ ]{ }35,0229543 −−⋅−−⋅−⋅ ( )[ ]{ }35,049543 −−−−⋅−⋅ ( )[ ]{ }35,4543 −−⋅−⋅

2º lugar (colchetes)

[ ]{ }35,2243 −−⋅−⋅ { }3903 −⋅

3º lugar (chaves)

{ } 261873 =⋅

d)

+

+

−−+ 162

81

32

413224

m.m.c de 3 e 8 é 24

+

+

−

−+ 16224

316413224

+

+

−+ 162

2413

413224

+

+−+ 162

96133224

m.m.c de 1; 96;1 é 96

+

+−

+ 1696

19213307224

+

///+ 16

69325124

484211

48960325120

48325116

4832514 =

+=+=

++

25


5. Relações e Funções

As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia a dia. Todo o

controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia, estatística, enfim, tudo o que

envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma relações e funções. O que a matemática denomina

de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c => coeficientes, as outras áreas do conhecimento atribuem outros

nome. Veja um exemplo só:

⇒+= baxy Função do 1º grau em matemática

escoeficientba ⇒, ⇒yx, variáveis

)(livreteindependenx ⇒ dependentey ⇒ (depende de x)

As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas diversas áreas de conhecimentos.

⇒+= oVatV Função da velocidade no MRUV

⇒+= oSVtS Função da posição no MRU

⇒+= baPD Função demanda de mercado

⇒+= baPS Função oferta de mercado

⇒+= baqC Função custo Etc., etc., etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no nosso quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no plano cartesiano. 5.1. Plano Cartesiano

O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) (abscissas) e eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as coordenadas de cada ponto. Ordenada (y) (a, b) Coordenadas do ponto (P) Abscissa (x)

a

b P

y

x

26


Vejamos a localização de alguns pontos.

5.2. Função do 1º Grau

É uma relação do tipo baxy += cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta. a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x ) b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y )

⇒−

=abx raiz, onde a reta corta o eixo ( x )

-4 -6

-3 0

-5

4

2

4

6

y

x

A ( 0 ,0 )

B ( 4 , 2 )

C ( 0, 4 )

F ( -4 , 0)

E ( -6 , -5)

D ( -3, 6 )

b

x

a < 0

decrescente x

y

P ( x , y )

x b

crescente x

y

a > 0 b

y

x

a = 0

constante

27


Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a seguir: 1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os valores de y (método da tabela) 2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção com os eixo (x) e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir. 1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos: Exemplo (1) 62 −= xy b = - 6 a = 2 1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores (pontos)

46126602

46

10

−=−⋅=⇒−=−⋅=⇒

−−

yy

yx

Ou escolha outros que achar mais fácil e útil e determine os correspondentes em (y). 2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos. Em ⇒+= baxy O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o eixo (y) Em 662 −=⇒−= bxy Em ⇒+= baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de intersecção da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo:

baxy += 0=+ bax

⇒−

=⇒−=abxbax raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x.

Em

−==

⇒−=6

262

ba

xy

( )

⇒=−−

=−

= 32

6abx raiz

y x

-4 -6

(0,-6)

(1,-4)

28


Intersecção com o eixo (y)

Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico a = 2 > 0 função crescente pois: x => cresce y => cresce Note que: y = ax + b y = 2x - 6 a = 2 > 0 => indica que a função é crescente Exemplo (2) y = -3x + 8 1º Método

2º Método:

baxyxy+=

+−= 83

⇒+=−−

=−

=

⇒=

...66,238

8

abx

b

⇒<−= 03a Função decrescente, pois:

x => cresce y => decresce

x 3

-6

y

y

x

8

-1

3

(0,8)

(3,-1)

Intersecção com o eixo (x) ou raiz

8/3

8

y

x

2,66...

18338803

18

30

−=+⋅−=⇒=+⋅−=⇒

− yy

yx

29


Exemplo (3) 044 +=⇔= xyxy 1º Método:

4144)1(4

44

11

=⋅=−=−⋅/=→

→−−

yxy

yx

2º Método:

baxyxy

+=+= 04

⇒=−

=−

=

⇒=

040

0

abx

b

⇒>= 04a Função crescente, pois:

x => cresce y => cresce Exemplo (4) 606 +=⇔= xyy 1º Método:

66106600

66

10

=+⋅=→=+⋅=→

yy

yx

Intersecção com o eixo (x) raiz

x

y

-1 1

-4

y4

6

y

x 0 1

Intersecção com o eixo (y)

0 x

y

30


2º Método: y = 6 ou y = 0x + 6

⇒−

=−

=

⇒=

)(06

6

impossívelabx

b

Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x), É paralela a este eixo

⇒= 0a função constante pois: x => cresce y => constante (valor sempre 6) 5.3. Função do 2º grau ou quadrática

É uma relação do tipo: cbxaxy ++= 2 cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva denominada de parábola. c => indica onde a parábola corta o eixo (y) a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = Concavidade Voltada para Baixo.

Fórmula de Báscara onde x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que denominamos de raízes.

abxV 2

−=

ayV 4

∆−=

6

y

x

CVB CVC

⇒∆±−

==a

bxx2

"' cab ⋅⋅−=∆ 42

Intersecção (y)

31


(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola.

Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos. 1º Método: Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y. 2º Método: Método dos pontos importantes e propriedades. Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos. Exemplo (1)

cbxaxy ++= 2

62 −+= xxy

−===

611

cba

1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos pontos. E este método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo da parábola.

x’ xv

c

y

yv

x” x

32


764)3(062)2(

660)0(462)2(

664)4(

70

64

6

32024

2

2

2

2

2

=−+=→

=−+=→

−=−+=→−=−−−=→

=−−−=→

−−−

−

yyy

yy

yx

1º Método: Os pontos importantes e propriedades

cbxaxy ++= 2

62 −+= xxy

−===

611

cba

a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y) b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x)

cab ⋅⋅−=∆ 42 25)6(1412 =−⋅⋅−=∆

⇒∆±−

==a

bxx2

"'

=+−

=

−=−−

=⇒

±−=

⋅±−

=2

251"

32

51'

251

12251

x

xx

c) vértice:

25,6425

1425

4

5,021

121

2

−=−

=⋅

−=

−∆−

=

−=−

=⋅

−=

−=

ay

abx

V

V

6

2 3

-4

y

7

-2 -4

x

33


d) a = 1 > 0: CVC Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola.

Exemplo (2)

532 2 +−−= xxy Resolvendo só pelo 2º método a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y) b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x)

acb 42 −=∆ 494095)2(4)3( 2 =+=⋅−⋅−−=∆

473

)2(249)3(

2 −±

=−⋅±−−

=∆±−

=a

bx

5,2473' −=

−+

=x

1473" =

−−

=x

c) vértice

a) a = -2 < 0: Logo CVB Exemplo (3)

24xy = note que é uma função do 2º grau incompleta, pois para cbxaxy ++= 2 faltam os termos bx e c, onde concluímos que: a = 4 b = 0 c = 0

y

x -0,5

-6,25

6

2 -3

125,6849

)2(449

4

75,043

43

)2(2)3(

2

+=−

−=

−⋅−

=−

∆−=

−=−

=−

=−⋅−−

=−

=

ay

abx

V

V CVB

-2,5 -0,75 1

6,125

5

34


Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método (pontos principais e propriedades). Vamos usar o 2º método. a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y) b) Raízes: onde intercepta o eixo (x)

acb 42 −=∆ = 004402 =⋅⋅−

080

800

)4(200

2==

±=

⋅±−

=∆±−

=a

bx

c) vértice

016

0440

4

080

420

2

=−

=⋅

−=

−∆−

=

−=−

=⋅

−=

−=

ay

abx

V

V

d) a = 4 > 0 : CVC logo 5.4. Função Exponencial

É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a). Se a > 1, temos gráfico do tipo: Crescente. Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo: Decrescente.

xay =

CVC

x

y

x

y

1

y

1

x

35


Exemplo (1) xy 2=

Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y).

x y -2 0,25 25,0

41

21)2( 2

2 ====→ −y

-1 0,5 ( ) 5,0

21

212 1

1 ====→ −y

0 1 1)2( 0 ==→ y 1 2 2)2( 1 ==→ y Crescente x => cresce y => cresce Exemplo (2)

x

y

=

21 :

Usando o método da tabela temos: x y

-2 0,25 25,0

41

21)2( 2

2 ====→ −y

-1 0,5 ( ) 5,0

21

212 1

1 ====→ −y

0 1 1)2( 0 ==→ y 1 2 2)2( 1 ==→ y Decrescente x => cresce y => decresce

1

0,5 0,25

1

-2 -1

2

1

2

4

0,5

1 -1 -2

36


5.5. Função Logarítmica

É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1, obtemos gráfico do tipo: Se 0 < a < 1, obtemos gráfico do tipo: Exemplo: xxy log2log2 10 == usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para x, temos: Usando (log) na calculadora científica.

401,0log222)1(21,0log22

0)0(21log2021210log21

01,01,0

110

−==→−−=−⋅==→−

===→=⋅==→

yy

yy

yx

xy alog=

crescente y

x 1

decrescente

y

x 1

1

0,01 0,1

10

-4

-2

2

37


São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico. Vejamos só mais uma. 5.6. Funções Trigonométricas

Exemplo: )(10 xseny = Ângulo Seno Pelo método da tabela temos:

X Y 0º y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0 90º y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10 180º y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0 270º y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10 360º y = 10 sen 360º = 10 (0) 0 450º y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10 540º y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0 630º y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10 720º y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0

540 450

x

y

-10

10

360 720 630 0 270 180 90

39


6. Soluções de Sistemas de Equações

Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns às funções. Graficamente significa determinar o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano cartesiano. São inúmeras as aplicações deste campo da matemática de pontos comuns como:

• Equilíbrio oferta-demanda • Ponto de nivelamento custo-receita • Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento • Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc.

São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são: • Método da adição • Método da substituição • Método da comparação

Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano. 2x - y = 6 - x + 3y = - 2 Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2ª equação por (2) para que, somando com a 1ª, possamos eliminar uma das variáveis.

( )

⋅⇔−=+−−=−

22362

yxyx

−=+//−−=−//

⇒462

62yx

yx 2

510105 −=⇒

−=⇒−=⇒ yyy

Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x correspondente. Escolhendo a 1ª temos:

42882

262622

6)2(262

−=⇒=⇒−=

−−=−=+

−=−−−=−

xxx

xxx

yx

Logo: a solução do sistema é (-4, -2) Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º método (tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja: Usando o 2º método, isolando (y), temos:

)ª1(626262 funçãoxyxyyx ⇔+=⇒−−=−⇒−=−

)ª2(32

312323 funçãoxyxyyx −=⇒−=⇒−=+−

y

x x

y2

y1

40


⇒= 6b onde corta o eixo (y) para 1ª função

⇒−

=32b onde corta o eixo (y) para 2ª função

⇒−− )2,4( ponto comum para a 1ª e 2ª função. Exemplo (2)

⇒=−⇒=−

)ª2(22)ª1(42

yxyx

Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das equações e substituímos na outra.

=−+=⇒=−

224242

yxyxyx

Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2ª equação.

23663823284

2)42(2

−=⇒−

=⇒−=⇒−=⇒=−+

=−+

yyyyyy

yy

Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos: x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) é a solução do sistema(intersecção das retas). Para traçar o gráfico, podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde cada uma corta o eixo x)

−=⇒+−=−⇒=−

−=⇒+−=−⇒=−

222222

2214242

xyxyyx

xyxyyx

raizfunçãoabxba

raizfunçãoabxba

)º2(12

)2(2;2

)º1(4

21

)2(2;21

=−−

=−

=⇒−==

=−−

=−

=⇒−==

(0, -2) => ponto comum para a 1ª e 2ª função

6

-4

1º

2º

-2/3 -2

Isolamos (x) da 1ª equação e substituímos na 2ª

onde corta o eixo x

onde corta o eixo x

41


Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as seguintes funções de demanda e oferta.

+−=−=

pSpD

28534

ou

−=+−=+−=−=8228345534

xxyxxy

Pois

==

xpyD

D => demanda (procura, compra de bens e serviços) S => oferta (venda de bens e serviço) P => preço por unidade Resolvendo pelo método da comparação, igualamos: D = S 34 – 5p = -8 +2p -5p -2p = -8 -34 -7p = -42 P = 6 substituindo em uma das equações, temos: D = 34 – 5p D = 34 – 5 . 6 D = 34 – 30 D = 4 Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em equilíbrio para a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema.

6

D

S

S, D

34

-8

4 P

y

x

1º f

1 4

-2

2º f

43


7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias

7.1. Razão

É uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b. Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação candidatos vagas?

Resolução: 1

8005

0004=

//////

==ba

vagacandidato

São 80 candidatos para dada vaga Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40 unidades. Qual a razão entre (A) e (B).

Resolução: 14

05002

=/////

=BA . A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a marca (A) vende

4 vezes mais que a marca B. 7.2. Proporção

É a igualdade entre duas razões. ⇒=dc

ba a está para b assim como c está para d.

Propriedade das proporções: a . d = b . c 7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas.

7.3.1. Diretamente Proporcionais São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da seqüência A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (K).

kba

ba

ba

==== ...3

3

2

2

1

1

No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão diretamente proporcionais se o aumento do valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as razões de dois valores de uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na outra.

2

1

2

11221

2

2

1

1

bb

aaoubaba

ba

ba

==⇒=

Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são grandezas diretamente proporcionais, as setas terão mesmo sentido.

44


2

1

)(

aa

AGrandeza

↓

2

1

)(

bb

BGrandeza

↓

2

1

2

1

bb

aa

= ou 1221 baba =

Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1).

Resolução: 124

20 yx== ⇒=⇒⋅=⇒=⇒ 4042024

2420 xxx 10=x

⇒⋅=⇒= 120414

20 yy 5=y

Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros? Resolução: Comprimento (m) preço (R$)

Comprimento(m) Preço (R$)

85

↓ x

80↓

Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra em metros maior será o preço)

00,128:$5

64080858085 Rxxx

x=⇒=⇒⋅=⇒=

Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2 de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 25 dias?

Dias Reboco (m2)

254

↓ x

20↓

2125

45002520420

254 mxx

x==⇔⋅=⇒=

Exemplo (4) Se a distância no mapa, medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm e a escala do mapa é 1/100000, qual a distância real entre elas?

==⇒⋅=⋅⇒== kmcmccmxxcm

realocomprimentmapaocomprimentescala 10100000010100000110

1000001

)()(

7.3.2. Inversamente Proporcionais São inversamente proporcionais quanto à razão de cada número da seqüência A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2, a3,...) pelo correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k).

45


kbababaK

b

a

b

a

b

a ......111 332211

3

3

2

2

1

1 ===⇔====

No caso de grandezas, vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se o aumento do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as razões dos valores de uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela inversa da correspondente.

2

2

1

1

11b

a

b

a= ou 2211 baba =

Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são grandezas inversamente proporcionais, as setas terão sentidos contrários.

2

1

)(

aa

AGrandeza

↓

2

1

)(

bb

BGrandeza

↑

Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as duas grandezas apontem para o mesmo sentido.

2

1

aa

↓ 1

2

2

1

1

2

bb

aa

bb

=⇒↓ ou 2211 baba =

Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente proporcionais aos números da sucessão (9, 12, 36). Resolução:

136363694

31236

1294361294

=⋅=⋅=⋅

=⋅=

⋅=⋅

⋅=⋅=⋅

yyy

xx

xyx

Exemplo (2) Três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min. Quantas torneiras de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min?

Tempo(m) nº torneias

5490

↓ x3

↑

46


Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o tempo teremos que aumentar o número de torneiras. Invertendo uma das setas para ficarem com mesmo sentido, temos:

Tempo(m) nº torneias

5490

↓ x3

↓

)(539054354

90 torneirasxxx=⇒⋅=⇒=

7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas e inversamente proporcionais. Só que agora uma grandeza varia em dependência com duas ou mais grandezas. Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas pessoas trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças? Resolução: 1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna

x

Pessoasn10

º

75

º Diasn

86

º Horasn

500400

º Peçasn

2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois comparamos esta coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se tratar de grandezas diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas inversamente proporcionais, sem olhar para os números da coluna. Só pense no comportamento da idéia da coluna.

x

Pessoasn10

º

75

º Diasn

86

º Horasn

500400

º Peçasn

Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem): Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias). Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias). Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças. 3º Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna da variável (x)

x10

↓ 57

↓ 68

↓ 500400

↓

47


4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais colunas.

⇔///⋅/⋅///⋅/⋅

=003650048710

xSimplificando

41124504510112

4511210

≅⇒=⇒⋅=⇒= xxxx

(aproximadamente 4 pessoas)

7.3.4. Porcentagens É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito utilizada no nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdência, etc. Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva.

⇒=10010%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas.

Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8.

⇒=10020%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8.

7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100

Exemplo: ipercentualtaxaunitáriataxacentesimalrazão =−=−=− )%(2)(02,0)(100

2

⇒== %202,0100

2 (lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100.

7.3.4.2. Porcentagem Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido também recebe um nome especial: porcentagem.

P = Porcentagem i = Taxa de porcentagem p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal) Exemplo (1) Quanto é 4% de 750. Resolução:

P = i . p

4

3

48


?750

04,0100

4%4

==

===

Pp

i

3075004,0 =⋅⇒⋅= piP Podemos também usar regra de três simples. Veja:

%4%100

)( mporcentageTaxa

x

mPorcentage750

3010030007504100750

4100

=∴=⇒⋅=⋅⇒= xxxx

Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse objeto?

800?

15,010015%15

==

===

Pp

i

33,5333:$15,0

80015,0800 RpppiP ==⇒⋅=⇒⋅=

Usando regra de três:

x→→

%100800%15

ou x

80010015

=

33,5333:$15

8000080010015 Rxxx =⇒=⇒⋅=⋅

Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De quantos por cento foi a multa? Resolução:

00,1800

130?

==

=

Ppi

%2,7072,018001301800130 ===⇒⋅=⇒⋅= iipiP

Ou regra de três:

%2,7%1001301800

130%1001800

=⋅=

→→

xx

x

49


7.4. Média

É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a finalidade de obter uma informação classificatória ou para comparar com outros valores similares. 7.4.1. Média Aritmética Simples Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n (quantidade destes valores).

Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética do ano?

5,54

8653=

+++=SX

7.4.2. Média Aritmética Ponderada Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos ( nppp ,...21 ) pelos seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos.

Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestres foram: 1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4

3,61063

432184635231

==+++

⋅+⋅+⋅+⋅=PX

7.4.3. Média Geométrica A média geométrica de (n) números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

nnG xxxxX ...321 ⋅⋅=

n

nnP ppp

xpxpxpX+++

++=

......

21

2211

nxxxx

X nS

...321 +++=

50


Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por: 47,15573303518137 44 ==⋅⋅⋅=GX

Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2?

64=⋅ ba A média geométrica de ba ⋅ fornece este valor: ⇒== 864GX É o quadrado de lado 8 cujo perímetro vale 32 cm.

51


8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais

As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na solução de problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento quantitativo. Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando possuírem só um tipo de variável na forma dos exemplos a seguir:

⇒x3 Monômio (um termo) ⇒+ 23x Binômio (dois termos)

⇒−+ 122 2 xx Trinômio (três termos) ⇒+−+ 2325 23 xxx Polinômio (denominação genérica).

8.1. Adição e subtração de expressões

Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal com mesmo expoente. Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy −++=−++−− Exemplo (2)

58311)642545()6425()45( 33333 −+−=++−−+−=−−+−+− yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy 8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis.

Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal. Exemplo (1)

xyyx 15)3()5( −=−⋅ Exemplo (2)

4734343)1()43( 2222222 +−+−⇒+−++−=+⋅+− yxxyxyxxxyxxyx Exemplo (3)

)2()222( 223 −⋅−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo em colunas. Obs. O (-2) e o (x2) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por semelhança para somarmos em seguida.

semelhantes

semelhantes

semelhantes

semelhantes

52


243

2

23

−−−−

xxxx

8226 23 +++− xxx

2345 43 xxxx −−−

82273 2345 ++−−− xxxxx

8.2.1. Produtos Notáveis Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja:

22222 2)()()(º1 bababbaababababa ++=+++=+⋅+=+⇒

22 2))(()()(º2 babababababa +−=−−=−⋅−⇒

22)()(º3 bababa −=−⋅+⇒ Desenvolva usando produtos notáveis. Exemplo (1)

22222 25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+ Exemplo (2) Usando o 2º produto notável

2222 44222)2( xxxxx −−=+⋅−=− Exemplo (3) Usando o 3º produto notável

9253)5()35)(35()53()53( 222 −=−=+−=+⋅+− xxxxxx

a b b2 a2 2ab

a2- 2ab + b2 a b

a2 – b2 a b a b

53


8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais

Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do numerador pelo termo do denominador. Exemplo (1)

xxxxxx

xxxx 33

421412 3

232 =

//////

=/////

=÷

Exemplo (2)

yxxyx

yxyxx

yxyxyxxyx 2222

333

38

34

34

38

34

343)844( ++=++⇒÷++

Exemplo (3)

)2()233( 23 −÷−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a divisão de polinômios. Lembre:

CR

RCBABA +⋅=⇔

A = Dividendo B = Divisor C = Quociente R = Resto

2210

512

− 22512 +⋅=

23

23

63233

xxxxx

−//−−−−//

1793

22 +−

−

xx

x

xxxx

18929

2

2

+//+−−//−

3471271

+///−−///

xx

32 Podemos provar que: 32)2()1793(233 223 +−⋅+−=−−− xxxxxx Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no quociente multiplica por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do dividendo com sinal contrário em

A resposta da divisão é 1793 2 +− xx com resto 32

54


colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo procedimento podendo sobrar no final resto diferente de zero. 8.4. Fatoração e Simplificação

Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão numérica ou algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos.

• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração) • Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que sejam

semelhantes (simplificação) • Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação) • Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração)

Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível. Exemplo (1)

1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) do denominador por ser comum a cada termo.

)1()2(3

2 −−

xyyxy

2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos.

236

33 2

=//////

=///

// /

yxyxy

yxyx

Veja denominador

122

==/

/yyx

yxy

3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e obtemos a resposta

)1()2(3

2 −/

−/xy

yyx

1)2(3

2 −−

xyx

Exemplo (2)

yyxxyxy

−−

2

2 63

55


⇒

−

9116 2a (Fatoramos) lembrando o produto notável 22)()( bababa −=−⋅+ . É só extrair a

raiz para obter os valores anteriores.

31

91

416 2

=

= aa

Logo:

−⋅

+=−

314

314

9116 2 aaa

Exemplo (3)

⇒+− 1682 xx vem de um produto notável do tipo: bababababa +−=−=−⋅− 2)()()( 22 . Para achar a e b é só extrair a raiz de x2 e 16.

xx =2 416 =

Logo: )4()4(1682 −⋅−=+− xxxx Exemplo (4)

⇒+−

−96

92

2

xxx Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos:

)3()3(92 −⋅+=− xxx

)3()3(962 −⋅−=+− xxxx

xx =2 39 =

Logo:

33

)3)(3()3)(3(

969

2

2

−+

=−−−+

=+−

−xx

xxxx

xxx

Exemplo (5) Cuidado nas simplificações numéricas.

• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser simplificados com o denominador, pois equivale a pôr em evidencia. Veja:

yxyx 845

4020+=

+ pois yxyxyx 84)2(45

)2(20+=+=

+

• Na multiplicação e divisão, é um fator do numerador com um do denominador. Veja:

xyyxyx 1601404

54020

=⋅

=/⋅

56


yx

yxyx

315

12420)124(20

−=

−=−÷ pois:

)31(5

)31(420

yy −=

−

57


9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo

A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e aplicada pelos povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias, alturas, topografia, etc. Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do triangulo retângulo. 9.1. Relações Trigonométricas

(Relações lados - ângulos)

tggenteseno

senosenoalfaângulo

⇒⇒

⇒⇒

tancoscos

)(α

ααα

αα

cos

1cos22

sentg

sen

=

=+

casen =α

⇒a cateto oposto ao ângulo )(α hipotenusac ⇒

cb

=αcos

⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α hipotenusac ⇒

batg =α

⇒a cateto oposto ao ângulo )(α ⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α

Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo (α ) e comprovar as demais relações.

α

a c

b

α

3 5

4

58


75,043

8,054cos

6,053

==

==

==

α

α

α

tg

sen

1cos22 =+ ααsen

12516

2591

54

53 22

=+⇒=

+

ααα

cossentg =

75,043

45

53

5453

43

==/

⋅/

==

O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1 (0,6) na calculadora podemos obter este valor. sen 36,86989765º= 0,6 cos 36,86989765º=0,8 tg 36,86989765º=0,75 9.2. Relações Métricas

Pitágoras A soma dos quadrados dos catetos (a2 + b2) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2)

222 cba =+ Relações secundárias

hcbanmcnmh

ncbmca

cba

⋅=⋅+=

⋅=

⋅=

⋅=

=+

2

2

2

222

h

n

α

m

b

a

c

59


Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo.

25169543 222 =+⇒=+

51654

5953

22

22

=⇒⋅=⇒⋅=

=⇒⋅=⇒⋅=

nnncb

mmmca

==+

=+

5525

516

59

cnm

4,25

12543

516

592 ==

⋅=⋅=⋅=⇒⋅= nmhnmh

12124,2543 =⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ hcba

α

m

n

b = 4

h a = 3 c = 5

61


10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações

10.1. Grandezas Físicas

Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que podemos medir ou contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um significado físico padrão também denominado de unidade. 10.2. Fenômenos Físicos

O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas científicas se traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone celular, etc. 10.3. Medição

A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física. Ex: massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança. 10.4. Sistemas de Unidades

Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física. Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas (SI) também é denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas fundamentais da mecânica. Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir.

Unidades e subunidades

1 tonelada = 1t = 1.000 kg tempo: 1h = 60 min = 3.600s Exemplos: 1 km = 1.000 m 1 kg = 1.000 g 8 h = 28.800 s 5,80 m = 580 cm

62


600 g = 0,6 kg 1 mm = 0,001 m 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000

2 km2 = 2.000.000 m2 500 = 0,5 m3

sm

sm

hkm 10

600.3600.336 ==

10.5. Fatores que interferem na medição

É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros interferem no valor da medida. 10.6. Precisão de um Instrumento de Medida

A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento. Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança graduada em dg (decigrama) tem precisão de decigrama. 10.7. Algarismo significativo

É todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento utilizado. Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor divisão oferecida pelo instrumento, são chamados de algarismos significativos. Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas até décimos

de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis com esta régua podemos obter valores como:

duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento) precisão do instrumento em (mm)

10.8. Arredondamentos

Os valores das grandezas são arredondados para manter o número de algarismos significativos da medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o seguinte: se o algarismo imediatamente à direita do último algarismo a ser conservado for inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os subseqüentes a ele, e o anterior fica como está; se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado de uma unidade.

15,32 cm

63


Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos: 10.8.1. Operações com Algarismos Significativos 10.8.1.1. Adição e Subtração O resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os tiver: Exemplos: a) b) c) 10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: O resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator que menos os tiver. Exemplos: a)

2

.2

2

.2.4

49443,492,342,15 cmcmcmcmsignsignsignif

→///=⋅

b)

mmmmsignsignsignif .3.2

2

.4

82,15975681,141,2378,4 →/=÷

10.9. Notação Científica

Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois fatores, onde o 1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10. Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s.

20,345 cm = 20,35 cm. 20,3449 cm = 20, 34 cm.

7,49 kg → 2 casas – 3,2 kg → 1 casa 4,29 kg 4,3 kg → 1 casa

8,389 m → 3 casas + 0,40 m → 2 casas 8,789 m 8,79 m → 2 casas

125,12 cm → 2 casas + 40,3 cm → 1 casa 165,42 165,4 cm → 1 casa

64


1231m = 1,231 . 103m. 0,0021g = 2,1 . 10-3g. carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb Ano-luz 9,46 . 1015 metros. N° de Avogadro 6,02 . 1023 Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas. Operações:

Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107 Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108 Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109

Divisão: 43

737 102

102104102104 ⋅=

⋅⋅

=⋅÷⋅

10.10. Ordem de grandeza.

É a potência de dez mais próxima do valor da medida. Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os seguintes passos: 1º passo: escrevemos o número em notação cientifica. 2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera 101 que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100 que não vai alterar a potência anterior. Ex.: 822 8,22 ∙ 102 101 ∙ 102 103 110 1,10 ∙ 102 100 ∙ 102 102 2,5 ∙ 104 100 ∙ 106 106

5,8 ∙ 106 101 ∙ 106 107

0,0055 5,5 ∙ 10-3 101 ∙ 10-3 10-2

10.11. Grandezas Físicas

É toda a grandeza que podemos medir. 10.11.1. Grandezas Escalares são as que ficam bem definidas quando expressas por: – um número – um significado físico (unidade) Ex.: 10.11.2. Grandezas Vetoriais são as que ficam bem definidas quando expressas por: – um número – um significado físico (unidade)

3kg, 2 s significado físico número

65


– uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de vetor.) Ex.:

3 → número (intensidade) N → Newton (unidade de força) direção: horizontal sentido: para direita 10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais 10.11.2.1.1. Adição

21 VVS

+= ou 21 VVR

+= Seja a soma dos vetores 1V

e 2V

Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante. 10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal Os vetores são postos um após o outro.

08,63712916

120cos34234

cos222

212

22

1

≅=++=

°⋅⋅−+=

−+=

R

R

VVVVR α

66


10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo Os vetores têm a mesma origem.

08,660cos34234

cos222

212

22

1

=°⋅⋅++=

++=

RR

VVVVR θ

10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana

V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5 V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598 Note que: V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o eixo ou

seja, já se encontra projetado onde: V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x) V1y = 0 (sobre o eixo y) Logo:

θ = 60º

67


08,69996,36

7496,625,30

)598,2()5,5( 22

22

≅=

+=

+=

+=

R

R

R

RRR yx

10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença

21 VVD

−= Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor. Veja:

10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal

61,3131225

60cos34234

cos222

212

22

1

≅=−=

°⋅⋅−+=

−+=

D

D

VVVVD θ

10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo

61,3

)5,0(34234

120cos222

212

22

1

=≅

−⋅⋅⋅++=

°++=

DD

VVVVD

ou

Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5 resultante sobre o eixo x Ry = V2y = 2,598

resultante sobre o eixo y

68


61,3

5,034234

60cos222

212

22

1

≅⋅⋅⋅−+=

°−+=

DD

VVVVD

10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana

V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5 V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598 Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5 Ry = V2y = –2,598

61,39996,12

7496,625,6

22

≅=

+=

+=

DD

D

RRD yx

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Matemática Básica - Católica Virtualservicos.catolicavirtual.br/.../gd_disciplinas/matematica_basica.pdf · 3 Matemática Básica UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA Reitor Prof