Matemática e a vacina contra o Coronavírus

Secretaria Adjunta de Gestão Educacional - SAGE

Aprendizagem Conectada

Atividades Escolares

2° ano do Ensino Médio

Matemática - Carga horária mensal 12 horas

Códigos das Habilidades Objetos de conhecimentos

EM13MAT301 EM13MAT310

- Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de

outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares

simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem

apoio de tecnologias digitais.

- Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo

agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos

princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias

diversas, como o diagrama de árvore.

Nome da Escola:

Nome do Professor:

Nome do estudante:

Período: ( ) vespertino ( ) matutino ( ) noturno Turma 2° ano ___

Matemática e a vacina contra o

Coronavírus.

O sequenciamento do Coronavírus possibilita o desenvolvimento de vacinas. As

cientistas brasileiras, Ester Sabino, diretora do Instituto de Medicina Tropical da USP e

Jaqueline Goes de Jesus, pós-doutoranda na USP, em apenas 48 horas sequenciaram o

genoma do Coronavírus (COVID-19) do primeiro caso da doença confirmado no Brasil. E

para entender mais sobre esse sequenciamento do Coronavírus, o Blog da Saúde

conversou com duas pesquisadoras que fazem parte do grupo, a Dra. Camila Malta

Romano, pesquisadora científica dos LIMs (Laboratórios de Inteligências Múltiplas) do

Hospital das Clinicas e do Instituto de Medicina Tropical e a professora Dra. Maria Cássia

Jacintho Mendes Corrêa, Professora Associada do Departamento de Doenças Infecciosas

(USP) e coordenadora do Ambulatório de Hepatites Virais do Hospital das Clínicas (USP),

para entender melhor esse assunto. Confira:

Inicialmente vamos explicar o que seria um sequenciamento de genoma.


Sequenciamento é a leitura do genoma de um organismo. Todos os organismos

vivos são compostos por DNA ou RNA. Tanto um como outro são formados por um conjunto

de letras (bases nitrogenadas) que funcionam como um código (palavras). Por exemplo,

cada trinca de bases nitrogenadas – letras - representam um aminoácido, que nada mais é

do que um bloquinho utilizado para construir as proteínas de um organismo. Portanto, como

analogia, entenda-se que o genoma é o conjunto de palavras de um livro, que só pode ser

lido se cada letra de cada palavra for corretamente identificada. No caso do Coronavírus,

seu genoma é de RNA.

Agora apresentamos de que forma é feito um sequenciamento.

Há diversas formas, atualmente, de sequenciar um genoma, ou parte dele. Uma das

maneiras mais básicas e utilizadas por várias plataformas de sequenciamento utiliza

marcadores acoplados às bases (letras) chamados de fluoroforos. Basicamente, fazemos

uma cópia do DNA a ser sequenciado, utilizando para a síntese dessa cópia essas bases

com marcadores no lugar das bases (letras) comuns que estão sendo copiadas. Após feita

a cópia utilizando marcadores coloridos/fluorescentes, um aparelho “escaneia” esse DNA

marcado, e interpreta as cores dos marcadores utilizados para sintetizar esse DNA. Essa

interpretação, portanto, nos retorna qual é a sequência certinha das bases nitrogenadas

(letras) que compunham o DNA copiado.

Atividade 1

Pensando na necessidade de identificar cada letra de um

conjunto de palavras que formam o genoma. Seria possível

identificar esse conjunto de palavras por meio de

expressões matemáticas?

Atividade 2

Qual expressão matemática é semelhante a esse processo

de sequenciamento?


A importância da descoberta do sequenciamento do Coronavírus.

Para o desenvolvimento de vacinas e drogas para tratamento, é fundamental saber

qual é a real diversidade do patógeno. Por exemplo, o HIV sofre mutações no seu genoma

muito facilmente, o que dificulta não somente o desenvolvimento de uma vacina (outros

fatores também estão envolvidos na dificuldade em produzir uma vacina para o HIV) mas

também o de drogas eficientes.

Não é incomum pacientes com HIV desenvolverem “resistência” ao medicamento.

Isso ocorre não porque o paciente ficou resistente, mas sim o vírus!

Portanto, saber como o Coronavírus se comporta em nível genômico pode ajudar a

desenvolver drogas eficientes. Além disso, através do genoma dos vírus é possível saber

qual a rota de transmissão (por exemplo, se os vírus que chegaram aqui são provenientes

da China, da Itália, da Alemanha) pois, após um vírus entrar numa determinada população,

eles vão acumulando mutações, e aos poucos vão os diferindo da população da qual ele

saiu.

Então, comparando vírus de populações diferentes, podemos traçar sua rota de

dispersão. Esta descoberta pode ajudar o Brasil e o Mundo no combate ao Coronavírus.

Pois, o conhecimento do genoma do vírus possibilita o desenvolvimento de vacinas e

medicamentos que possam ser utilizados na prevenção e no tratamento desse vírus. Além

disso possibilita conhecer as rotas de transmissão desse vírus.

Nesse contexto, podemos perceber a importância de entender como é a estrutura do

DNA para que possamos estudar matematicamente possibilidades de desenvolver a vacina

contra o Coronavírus.

Para tanto temos a seguinte informação:

No mês de junho de 2000, dois grandes

empreendimentos científicos concluíram

simultaneamente, a primeira e mais importante

fase de um projeto comum: o projeto Genoma.

Esse projeto, de interesse científico para toda a

humanidade, visa mapear o DNA (ácido

desoxirribonucleico), molécula que contém o que

podemos chamar de código da vida. Nela estão

registradas todas as informações relativas a

características físicas e genéticas, propensão a

doenças e funcionamento do organismo de cada

um de nós. É sem dúvida, nossa mais completa

carteira de identidade Figura: 1


O nível de conhecimento do DNA já

possibilitou, por exemplo, o desenvolvimento de

testes que permitem a identificação de

paternidades e soluções de dúvidas criminais e

legais que antes permaneciam sem reposta.

Deve-se à J. Watson e F. Crik a proposição inicial

do modelo do DNA na década de 50, o que lhes

valeu o Prêmio Nobel de Medicina.

Esses Cientistas propuseram um modelo

que explicava a constituição da molécula do

DNA. Era o modelo de uma dupla hélice,

contendo em cada cadeia uma sequência de

bases nitrogenadas, denominadas: adenina (A),

timina (T), citosina (C) e guanina (G).

As duas hélices que formam

a molécula de DNA ligam-se uma à

outra pelos pares específicos

dessas bases. Assim, a adenina

liga-se sempre à timina (A – T ou T

– A) e a citosina liga-se à guanina

(C – G ou G – C).

A Partir da molécula do DNA se dá a síntese do RNA (ácido ribonucleico),

substância responsável pela síntese de proteínas na célula.

Quando a dupla hélice do DNA se abre para que ocorra a produção de uma molécula

de RNA, a sequência de bases nitrogenadas existentes em uma cadeia determina a

sequência que terá o RNA. Podemos dizer que um RNA produzido contém a mensagem do

DNA. Como o RNA vai promover a síntese das proteínas a partir dos 20 tipos de

aminoácidos existentes e como a mensagem contida no RNA vem do DNA, podemos dizer

que é este último que determina a sequência de ligações dos aminoácidos, de forma a

sintetizar uma proteína.


Cada aminoácido, dos 20 existentes, é codificado por

uma sequência de três bases nitrogenadas, “escolhidas”

entre as quatro bases, A, T, G e C. É fácil entender a

necessidade de três bases para cada aminoácido. Com duas

bases (AA, AT, TA, TT, GG, GC, etc), só poderíamos

codificar 16 aminoácidos (42 = 16). Como são 20 os tipos de

aminoácidos que podem fazer parte da construção das

proteínas celulares, precisamos de sequências de três bases

nitrogenadas.

É interessante notar que existem 64 arranjos

possíveis para apenas 20 aminoácidos. Isso nos leva à

conclusão de que muitos arranjos de três bases se repetem

para um mesmo aminoácido, de tal maneira a denotar a

existência de um código que relacione esses trios de bases

com cada aminoácido.

Essas e outras combinações e recombinações

traduzirão um conjunto de informações que, de acordo com

os trabalhos publicados em junho de 2000, já chegaram a

mais de 3 bilhões de características relativas ao código da

vida humana. Esse número, segundo os cientistas do projeto

Genoma, constituem a identificação de aproximadamente

97% do mapeamento completo do DNA.

Figura: 2

Atividade 3

A imagem da Figura: 2, nos lembra uma sequência que estudamos

anteriormente. Represente a sequência que podemos identificar nessa

figura.

Nota-se que os arranjos e combinações dos aminoácidos se repetem. Para

você existe alguma expressão matemática que pode nos ajudar a identificar

cada possibilidade de arranjo, ou de combinação?


Desafio 1: Considerando o arranjo dos aminoácidos com duas bases (AA, AT, TA, TT,...).

Explique qual o significado da palavra ANAGRAMA.

Desafio 2: Apresente os anagramas da palavra MATEMÁTICA.

Desafio 3: Apresente os anagramas do seu primeiro nome.

Sequenciamento: Arranjos e Combinações.

Vimos que o sequenciamento é a leitura do genoma de um organismo. Pois, cada

um dos organismos vivos é formado por um conjunto de letras (bases nitrogenadas) que

funcionam como um código (palavras). Dessa forma, podemos compreender que no caso

do Coronavírus, seu genoma é formado de RNA (ácido nucleico formado a partir de um

molde de DNA e que está relacionado com a síntese de proteínas). Assim, podemos

entender porque o teste rápido tem como princípio a identificação do RNA. Para que seja

identificado o genoma viral é preciso realizar o sequenciamento, ou seja, a leitura desse

genoma. O teste rápido possibilita identificarmos o RNA e assim, com a síntese das

proteínas envolvidas é possível a produção do medicamento que irá combater o vírus em

questão.

Pensando matematicamente, notamos que para todo o processo exposto acima é

necessário à realização de diversos arranjos e combinações. Em matemática, temos a

Análise Combinatória que pode contribuir para facilitar os arranjos e combinações em

cada situação, necessária à compreensão da síntese de proteína relacionada.

Historicamente, um dos primeiros matemáticos a elaborar estudos sobre o número de

Atividade 4

Em Matemática existem muitas representações que utilizam letras do

alfabeto:

a. Nesse sentido, quais são as letras que representam cada um dos

20 tipos de aminoácidos que existem?

b. A representação encontrada no item a lembra o conteúdo de qual

disciplina? O que isso significa para você?


combinações possíveis para um determinado fenômeno foi o italiano NiccoloTartaglia

(1500-1557), que confeccionou uma tabela contendo o número de combinações possíveis

no lançamento de dois dados. Porém, somente no século XVII, Blaise Pascal (1623-1662)

e Pierre de Fermat (1601-1665) sistematizaram a Análise Combinatória.

Hoje, a Análise Combinatória é uma ferramenta bastante importante em muitas áreas

da matemática nas quais é necessário obter o número de configurações ou permutações

possíveis em uma dada situação problema, bem como em outras áreas, como na genética.

A Análise Combinatória envolve alguns tipos de cálculos que é preciso realizarmos para a

efetiva resolução de situações problemas que posteriormente iremos precisar resolver.

Primeiramente, precisamos compreender o termo Fatorial, pois é a partir do Fatorial é que

iniciaremos os estudos de Análise Combinatória.

O Fatorial é o produto de números inteiros positivos consecutivos. Assim, seja n um

número natural, chama-se fatorial de n e representa-se por n! o produto de todos os

números naturais de n até 1. Dessa forma tendo n = 3 seu fatorial será:

3! = 3 . 2 . 1 = 6

Também é importante destacar que o desenvolvimento de um fatorial pode ser

representado utilizando um outro fatorial. Veja:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Ou podemos simplificar como abaixo, lembrando que a simplificação fatorial você

deve conhecer o valor onde parou.

5! = 5 . 4 . 3!

Analogamente, podemos ter:10! = 10. 9! = 10 . 9 . 8! = 10 . 9 . 8 . 7!

Dessa forma, em termo geral, teremos: n! = n(n – 1)! = n(n – 1)(n – 2)! =...

Essas características são bem úteis para a simplificação de cálculos que envolvem

fatoriais. Veja:

a) 5!

3! =

5 . 4 . 3!

3! = 5 . 4 = 20

b) (𝑛+1)!

(𝑛−1)!=

(𝑛+1) . 𝑛 . (𝑛−1)!

(𝑛−1)! = (𝑛 + 1) . 𝑛

c) Calcule o valor de n na expressão (n+2)! + (n+1)! = 15n!. Aplicando o fatorial:

(n+2)(n+1)n! + (n+1)n! = 15n! simplificando, temos:

(n+2)(n+1) + (n+1) = 15 resolvendo a expressão, teremos:


n2 +4n -12 = 0 resolvendo a equação, temos:

n = 2 ou n = -6 consideramos somente o valor positivo, logo:

n = 2

O termo Contagem é o segundo conhecimento matemático que precisamos para

promover a utilização da Análise Combinatória e esse termo está diretamente relacionado

ao Princípio Fundamental da Contagem, que estabelece de quantas maneiras dois ou

mais eventos correlacionados podem ocorrer. Assim, se um evento A pode ocorrer de m

maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras, um segundo evento B pode

ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras que esses eventos podem

Atividade 5

Quatro pessoas, Ana, Bruno, Carlos e Davi chegaram ao

mesmo tempo em uma agência bancária que possui apenas um

atendente. De quantas maneiras podemos formar uma fila entre

eles, determinando assim a ordem em que eles serão

atendidos?

Determine o valor das seguintes expressões:

a) 20!

18! =

b) 10!

7! 3! =

c) (𝑎+3)!

(𝑎+1)! =

d) (𝑎+2)!

𝑎! = 20


ocorrer, um seguido do outro, é dada por (m .n).Vamos analisar a seguinte questão.

Quantos números naturais, de três algarismos distintos, podemos escrever utilizando os

algarismos 3, 4, 5 e 7?

Considerando que não podemos contar números com algarismos repetidos, tais

como 355, 447 ou 777, montamos o diagrama abaixo.

O diagrama apresenta 24 pontos terminais, indicando que é possível escrever 24

números distintos utilizando os algarismos dados. Agora, observe o diagrama e note que é

possível resolver o problema utilizando o quadro de possibilidades. Para a Centena

, temos apenas 4 possibilidades, para a dezena temos 3 possibilidades, pois cada

número escolhido para centena, restarão apenas 3 números e para a unidade

temos somente 2 possibilidades, pois se escolhemos um número para a centena e outro

número para a dezena, então restarão apenas 2 números. Dessa forma, podemos resolver

por meio do produto entre essas possibilidades. Veja:

C D U TOTAL

4 3 2 24

De modo geral, podemos representar o número de possibilidades de um acontecimento

por:


p1 .p2 .p3, ... , pn

Os Anagramas são palavras obtidas a partir de uma outra quando se trocam as

posições de suas letras, não importando se essas palavras tenham significados. Assim

quantos são os anagramas da palavra AMIGA?

Considerando que na palavra AMIGA a letra A repete duas vezes, teremos a

seguinte solução:

5!

2! =

5 . 4 . 3 . 2!

2! = 5 . 4 . 3 = 36 anagramas.

Desafio 4: Em um almoxarifado, a identificação dos materiais é feita através de plaquetas

onde aparecem duas vogais distintas e três algarismos distintos. Qual o maior número

possível de itens do almoxarifado que podem assim serem identificados?

Desafio 5: Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto.

Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem

posar para tirar a foto?

Desafio 6: De quantas formas podemos escolher os símbolos de uma placa de carro,

sabendo que ela deve ser composta por 3 letras (escolhidas de um alfabeto com um total

de 26 letras) e 4 dígitos (cada um no intervalo de 0 a 9)?

Atividade 6

Quantos são os anagramas da palavra AMIGO?

Quantos são os anagramas da palavra ABACATE?

Com os algarismos 0, 1, 3 e 5 vamos achar quantos números de

três algarismos?

Quantos números pares de quatro algarismos podemos escrever

utilizando os seguintes algarismos 2, 3, 4, 5 e 7?


Referências:

http://www.blog.saude.gov.br/index.php/perguntas-e-respostas/54104-confira-a-entrevista-

sobre-o-sequenciamento-do-coronavirus acessado em 04/05/2020.

NOVAIS, Vera Lúcia Duarte de. Ozônio: aliado e inimigo. São Paulo: Scipione, 1998.

QUADROS, Sérgio. A invenção das máquinas térmicas. São Pulo: Scipione, 1996.

SOUZA, Maria Helena Soares de, SPINELLI, Walter. Guia prático para cursos de

laboratório. São Paulo: Scipione, 1997.

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