MATEMÁTICA III – CONGRUÊNCIA E PONTOS NOTÁVEIS

NÍVEL 1

01. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B – Baricentro; C – Circuncentro; I – Incentro e O – Ortocentro. Preencha os parênteses: a) ( ) Ponto de encontro das medianas. b) ( ) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo. c) ( ) Ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo d) ( ) Ponto de encontro das retas suportes das alturas. e) ( ) Ponto que divide cada mediana numa razão de 2 para 1. f) ( ) Centro da circunferência inscrita num triângulo. g) ( ) Centro da circunferência circunscrita a um triângulo. h) ( ) Ponto do plano de um triângulo e equidistante dos vértices desse triângulo.

02. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, M é o ponto médio do lado BC e AM=MC. Então a medida de 𝛼, em graus, é

a) 80º b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º

03. Na figura, M é o ponto médio do lado BC, CN é a bissetriz interna e BM=AM. Então a medida 𝛼, em graus, é:

a) 80º b) 75º c) 70º d) 65º e) 60º

04. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a bissetriz interna, AM é mediana e BM=AM. Então, a medida de 𝛼, em graus, é

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

05. Um triângulo ABC têm ângulos 𝐴 = 40° e 𝐵 = 50°. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º

06. Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus vértices? a) baricentro b) incentro c) circuncentro d) ortocentro e) ex-incentro.

07. O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado a) Mediana b) Mediatriz c) Bissetriz d) Altura e) Base.

08. O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana

09. Dada a figura

Sobre as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) são todas falsas. e) são todas verdadeiras.

10. A altura AH e a mediana AM traçadas do vértice A do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um ângulo de 24°. Sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são: a) 33° e 57° b) 34° e 56° c) 35° e 55° d) 36° e 54° e) 37° e 53°

NÍVEL 2

01. No triângulo escaleno ABC, as bissetrizes AD e BE se intersectam em I. Sabendo que o ângulo BÎD = 70°, calcule o ângulo interno C desse triângulo. a) 30°. b) 40°. c) 50°. d) 60° e) 70°

02. Em um triângulo ABC, a bissetriz interna em B intersecta a bissetriz externa de C no ponto L. Por L, é traçada uma paralela ao lado BC, que intersecta AB no ponto M e AC no ponto N. Calcule MN, sabendo que MB = 8 cm e NC = 6 cm. a) 1 cm. b) 1,5 cm. c) 2 cm. d) 2,5 cm. e) 3 cm.

03. (CMRJ) No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e M pertencem, respectivamente, aos lados AC e BC. Sabe-se que AB = BD, que D𝐵)C = 48° e que A𝐵)D = M𝐴*C = B𝐶*A = 𝛼.

Nessas condições, podemos afirmar que a medida do menor ângulo formado pelas retas AM e BD é igual a a) 60°. b) 76°. c) 78°. d) 81°. e) 84°.

04. Sobre os triângulos ABC e DEF são feitas as seguintes afirmativas. I. Se AB = DE, BC = EF e 𝐴* = 𝐷., então, eles são congruentes. II. Se AB = DE, BC = EF e 𝐵) = 𝐸) , então, eles são congruentes. III. Se AB = DE, BC = EF, 𝐴* = 𝐷. e BC > AB, então, eles são congruentes. Qual(is) a(s) afirmação(ões) verdadeira(s)? a) Apenas II. b) Apenas I e II. c) Apenas II e III. d) Apenas I e III. e) Todas são verdadeiras.

05. Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. Prolonga-se AB de um segmento BD = 2 e traça-se DF, um segmento perpendicular à reta BC no ponto F. Calcule o ângulo FÂC a) 75°. b) 90°. c) 105°. d) 120°.

06. ABC é um triângulo escaleno, com  = 60°. Sobre os lados AB e AC, marcam-se os pontos D e E, respectivamente, tais que BD = CE = 10 cm. M, N e P são os pontos médios de DE, BE e CD, respectivamente. Qual é o perímetro de MNP? a) 5 cm. b) 10 cm. c) 15 cm d) 20 cm. e) 30 cm.

07. No triângulo ABC de lados AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, a reta que passa pelo seu incentro e é paralela a BC intersecta os lados AB e AC nos pontos X e Y, respectivamente. Dessa forma, o perímetro de AXY, em cm, é igual a a) 8. b) 10. c) 12. d) 15. e) 16.

08. Um triângulo ABC é equilátero, e, sobre o prolongamento de BC, marca-se P, tal que o ângulo A𝑃)B = 20°, com B entre P e C. Sobre o segmento AP, toma-se Q, tal que o triângulo QPC é isósceles. Calcule a medida do ângulo B𝑄)C a) 20°. b) 30°. c) 40°. d) 50°. e) 60°.

09. Em um triângulo ABC, AB = 9 cm e AC = 13 cm. Seja M ponto médio de BC, e X o pé da perpendicular de B na bissetriz interna de A. Calcule o segmento XM. a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm.

10. ABCD é um quadrilátero convexo, com ângulos internos A = 80° e B = 40°, e com AD = BC. Sobre o lado CD, externamente ao quadrilátero, constrói-se o triângulo CPD equilátero. Calcule o perímetro do triângulo APB, sabendo que AB = 9 cm e CD = 4 cm: (Dica: prove que os triângulos ADP e BCP são congruentes.) a) 24 cm. b) 25 cm. c) 26 cm. d) 27 cm. e) 28 cm.

NÍVEL 3

01. No triângulo ABC, e . As alturas AD e BE cortam-se em H e o ponto M é médio de HA. O ângulo mede a) b) c) d) e)

= !ˆ 66B = !ˆ 38CˆMED

54!

58!

62!

68!

72!

02. No triângulo ABC, D é o ponto médio de AB e E é o ponto de BC tal que . Dado que os ângulos e são iguais, encontre o ângulo . a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120°

03. Um ponto P está no interior de um triângulo ABC e é tal que e . Sobre o ponto P é possível afirmar que a) é o incentro de ABC b) é o baricentro de ABC c) é o circuncentro de ABC d) é o ortocentro de ABC e) nada se pode afirmar.

04. (CN 1991) Sejam os triângulos e onde os lados e são, respectivamente, congruentes aos lados e Sabendo que os ângulos internos e possuem a mesma medida, considere as seguintes afirmativas. I. Os triângulos e possuem o mesmo perímetro. II. Os triângulos e possuem a mesma área. III. Os ângulos e podem ser suplementares. Logo, pode-se afirmar que a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) Apenas I e II são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras.

05. No triângulo ABC, AD é bissetriz interna do ângulo A. Sendo assinale o ponto P sobre AD tal que . Se e , determine o ângulo PBD. a) b) c) d) e)

06. As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que . As bissetrizes externas dos ângulos e cortam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que , determine o ângulo de a) 12° b) 24° c) 30° d) 36° e) 60°

07. Seja um triângulo ABC, onde as alturas AP, BQ e CR se interceptam no ponto H interno ao triângulo. Sabendo-se que H é o ponto médio de AP e que CH é o dobro de HR, pode-se afirmar que a medida do ângulo é a) O triplo da medida de b) O dobro da medida de

= ×2BE ECˆADC ˆBAE ˆBAC

= ˆˆABP ACP =ˆ ˆCBP CAP

ABC ' ' 'A B C AB AC' 'A B ' '.A C B 'B

ABC ' ' 'A B CABC ' ' 'A B C

C 'C

= 2BC a=AP a Ð = o60ABC Ð = o80BAC

5!!10!15!20!30

< < <! ˆˆ ˆ 90A B CA C

= =AP CQ AC ˆ.B

ˆABCˆ .ACRˆ .CAP

c) Um terço da medida de d) Metade da medida de e) O dobro da medida de

08. Sabendo-se que dois ângulos internos do triângulo formado pelos pés das alturas do triângulo ABC acutângulo são e , pode-se afirmar que a medida do maior ângulo externo do triângulo ABC pode ser a) b) c) d) e)

09. No triângulo , tem-se e a bissetriz interna traçada a partir do vértice intersecta em um ponto tal que . O valor do ângulo é a) b) c) d) e)

10. Em um triângulo , tem-se e . Seja um ponto sobre e um ponto sobre a altura traçada a partir do vértice tal que . O ângulo em função de é dado por a) b) c) d) e) não depende de

GABARITO

NÍVEL 1

1 – B, C, I, O, B, I, C, C, I 2 - A 3 - B 4 - B 5 - D 6 - E 7 - D 8 - D 9 - E 10 – A

NÍVEL 2

1 – B 2 - C 3 - E 4 - C 5 - B 6 - C 7 - B 8 - D 9 - B 10 – D

NÍVEL 3

1 – C 2 – D 3 – D 4 – C 5 – B 6 – D 7 – C 8 – A 9 – E 10 – D

ˆ .AHCˆ .BACˆ .ABH

°22 °78

130°°128°170°139°141

ABC = × ˆˆ 2B C A BCD =AB CD A

30!!36!48!60!72

ABC =AB AC a=ˆBAC ¹P B AB QA =PQ QC ˆQPC a

2aa32aa2ˆQPC a

GABARITO COMENTADO NÍVEL 3

01. Como ÐC = 38o então ÐEBC = 52o. Logo, ÐBHD = 38o, ÐMHE = 38o e como ,

ÐMEH = 38o.

Como ÐB = 66o então ÐBAD = 90o – 66o = 24o. Como o quadrilátero ABDE é inscritível, ÐBED = ÐBAD = 24o. Logo, ÐMED = 38o + 24o = 62o.

RESPOSTA: C

02.

Construímos inicialmente .

Dessa forma, BC é mediana do .

Como , E é o baricentro do .

Logo, AE’ também é mediana do .

Notando agora que D é ponto médio de AB e C é ponto médio de AA’, então e

. Logo, o é isósceles e .

RESPOSTA: D

EM MH=

CA ' CA=

ABA 'D

BE 2 EC= × ABA 'D

ABA 'D

DC BA'!

ˆ ˆABA' ADC= = q AE 'BD AE ' BE '=

180 2ˆ ˆˆAE 'A ' 2 E 'A 'A E 'AA ' 902- q

Þ = qÞ = = = -q!

!

( )ˆ ˆ ˆBAC BAE' E'AA' 90 90Þ = + = q+ -q =! !

03.

Tracemos o círculo circunscrito ao triângulo ABC. Seja K a interseção do prolongamento de BP com o círculo.

Então e , pois subentendem o mesmo arco. Logo,, consequentemente .

Analogamente, prova-se que o prolongamento de é perpendicular a e, portanto, que P é o ortocentro do triângulo.

REFERÊNCIA: International Mathematics Tournament of The Towns – Junior A – Outono 2002

RESPOSTA: D

04. Os dois triângulos possuem dois lados, respectivamente, congruentes e um ângulo congruente

que não está entre os dois lados. Essa situação não configura um dos casos de congruência de triângulos.

Observe a construção a seguir na qual os triângulos e satisfazem as condições do enunciado, mas não são congruentes.

A figura acima constitui um contra exemplo para as afirmações (I) e (II), e mostra que a situação

ˆˆABK ACK= ˆˆCBK CAK=( )APC AKC A.L.A.D º D PK AC^

AP BC

1ABC 2ABC

descrita em (III) é possível.

Para confirmar isso, vamos aplicar a lei dos senos aos triângulos e :

e .

Como , e , então .

Portanto, temos:

(I) FALSA

(II) FALSA

(III) VERDADEIRA

RESPOSTA: C

05.

Seja M o ponto médio de BC. Seja E o ponto onde a reta BP encontra AC. Como e

então ACMP é um trapézio e, portanto, MP é paralelo a AC. Como M é médio de BC então P é médio de BE. No triângulo ABE, AP é bissetriz e . Logo, e a mediana AP é

também altura. Como o ângulo APB é reto e então .

RESPOSTA: B

ABC A'B'C '

ˆAB AC AB senBˆsenCˆ ˆ ACsenBsenC×

= Û =ˆA 'B' A 'C' A 'B' senB'ˆsenC'ˆ ˆ A 'C'senB'senC'

×= Û =

AB A'B'= AC A'C'= ˆ ˆB B'= ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsenC senC' C C' C 180 C'= Û = Ú = -!

PAC MCAÐ =ÐPA MC=

PB PE= AB AE=oADB 80Ð = oPBD 10Ð =

06. 06.

RESPOSTA: D

07.

Seja M o ponto médio de HC.

x 2y 1802 x 24 y 844x y 180

ì + =ï Þ = Ù =íï + =î

!

! !

!

x 32x x 362 2

q+ = Ûq = = !

( )RH MHˆ ˆ ˆ ˆRHA MHP RHA MHP L.A.L ARH PMH 90AH PH

º üï

º Û D º D Þ = = °ýïº þ

PM é a mediana relativa à hipotenusa do triângulo HPC, logo

RESPOSTA: C

08.

Adotando uma medida qualquer para , podemos construir o com os ângulos definidos no enunciado, conforme a figura acima, que é o triângulo órtico do triângulo .

Traçando as bissetrizes do , obtemos o ponto H incentro do triângulo órtico e ortocentro do . Assim, traçando perpendiculares às bissetrizes passando pelos vértices do , obtemos

os lados do .

é inscritível

é inscritível

Assim, o maior ângulo externo do é .

Note que os quatro triângulos , , e possuem o como triângulo órtico, mas desses, somente o é acutângulo.

RESPOSTA: A

PM MC MH HR.º º º

PM MH ˆˆ ˆMHP 45 MCP 45 ABC 45ˆPMH 90

º üïÞ = °Þ = °Þ = °ý= °ïþ

ˆAHCˆ ˆˆ ˆ ˆAHC BAP ABP BCR 45 45 45 135 ABC3

= + + = °+ °+ ° = °Þ =

KJ KJIDABC

KJIDABCD KJID

ABCD

#AKHJ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆKAH KJH 39 JAH JKH 11º A KAH JAH 39 11 50ºÞ = = ° Ù = = Þ = + = °+ ° =

#BKHI

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆKBH KIH 40º HBI IKH 11º B KBH HBI 40º 11º 51ºÞ = = Ù = = Þ = + = + =

ˆ ˆ ˆC 180º A B 180º 50º 51º 79ºÞ = - - = - - =

ABCD 180º 50º 130º- =

ABC ABH BCH ACH KJIDABCD

09.

Traça-se bissetriz do ângulo , dividindo-o em dois ângulos iguais a .

é isósceles e .

.

REFERÊNCIA: EstonianMathCompetition 2002

RESPOSTA: E

10.

Como , então a altura traçada a partir de é também bissetriz e mediatriz, logo

e .

Logo, os triângulos , e são isósceles. Denotando ,

BE B C

BECÞD BE EC=

ˆˆABE DCE AE ED e EDC EAB AÞD º D Þ = = =

Aˆ ˆˆ ˆ ˆAE ED ADE DAE DAB DE AB EDC ABC A 2C2

= Þ = = = Þ Þ = Þ =!

ABC A 2C C 180 2C 2C C 180 C 36 e A 72D : + + = Þ + + = Û = =! ! ! !

AB AC= A

ˆ ˆBAQ QAC2a

= = QB QC PQ= =

BQC BQP PQC ˆˆQBC QCB= = b

e , então (pois o é isósceles).

REFERÊNCIA: EstonianMathCompetition 2002

RESPOSTA: D

ˆ ˆQBP QPB= = g ˆˆQPC QCP= = d ˆQCA = g ABCD

ABC 2 2 180 ˆQPC2PBC 2 2 2 180

üD :a + b+ g = aïÞ = d =ýD : d+ b+ g = ïþ

!

!