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MATEMÁTICA LÚDICA UNIASSELVI-PÓS Autoria: Evandro Felin Londero Indaial - 2020 2ª Edição

Matemática Lúdica

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MATEMÁTICA LÚDICA

UNIASSELVI-PÓS

Autoria: Evandro Felin Londero

Indaial - 2020

2ª Edição

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CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCIRodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito

Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SCFone Fax: (47) 3281-9000/3281-9090

Reitor: Prof. Hermínio Kloch

Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol

Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD: Carlos Fabiano FistarolIlana Gunilda Gerber CavichioliJóice Gadotti ConsattiNorberto SiegelJulia dos SantosAriana Monique DalriMarcelo Bucci

Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais

Diagramação e Capa: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Copyright © UNIASSELVI 2020Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

L847m

Londero, Evandro Felin

Matemática lúdica. / Evandro Felin Londero. – Indaial: UNI-ASSELVI, 2020.

120 p.; il.

ISBN 978-65-5646-043-7 ISBN Digital 978-65-5646-044-4

1. Matemática. - Brasil. 2. Ludicidade. - Brasil. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

CDD 372.2Impresso por:

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Sumário

APRESENTAÇÃO ............................................................................5

CAPÍTULO 1O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA ...............................7

CAPÍTULO 2QUADRADOS MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOSGEOMÉTRICOS .............................................................................37

CAPÍTULO 3CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS ECONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS ................................................81

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APRESENTAÇÃO“O livro do mundo está escrito em linguagem matemática”.

Galileu Galilei

“A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela”.Albert Einstein

Caro pós-graduando, seja bem-vindo à disciplina Matemática Lúdica. Este livro se propõe a motivá-lo a utilizar atividades lúdicas na prática pedagógica como alternativa metodológica de motivação e impulsionadoras da compreensão de estruturas algébricas. Com esse objetivo, acreditamos que as exemplificações que apresentaremos possam gerar em você uma motivação extra no uso do lúdico em sua prática pedagógica e que o ajudem na tarefa constante de agente de transformação do processo educativo.

A realidade escolar e os resultados de diversas pesquisas, na área da educação, apresentam um desempenho dos alunos abaixo do desejado. Nos diversos contextos em que as pesquisas são realizadas e no senso comum da sociedade, a Matemática sempre está no ápice dos debates educativos. Entre esses, a unanimidade de que esta área é fundamental para a educação confronta-se com o porquê das dificuldades apresentadas pelos alunos. Na tentativa de minimizar esses resultados negativos, esta disciplina se propõe a apresentar diferentes estratégias e alternativas metodológicas para o ensino da Matemática por meio da ludicidade.

Neste livro, enfatizaremos o lúdico por meio de jogos e desafios, na perspectiva de que eles se mostrem importantes quando se tornam meios para a compreensão de conceitos e desenvolvimento de novas aptidões cognitivas. No ensino da Matemática, a utilização dessa estratégia como recurso didático para a abordagem de conceitos, aliados às estruturas algébricas correlatas, parece um caminho eficaz na contribuição da motivação dos alunos no processo de ensino-aprendizagem.

Por meio do diálogo e da constante construção do processo, sempre dinâmico e ativo, esperamos que a presente disciplina contribua para a sua prática pedagógica no ensino de Matemática, motivando-o a estabelecer relações entre as variadas atividades lúdicas e o processo de sistematização algébrico dos conceitos matemáticos.

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CAPÍTULO 1

O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA

A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes objetivos de aprendizagem:

• Conceituar o lúdico no contexto educacional.• Reconhecer o lúdico como importante instrumento de motivação.• Analisar a proposta de uma aprendizagem auxiliada pela ludicidade em

contraponto ao ensino tradicional.• Discutir a possibilidade de inserção de atividades lúdicas na prática pedagógica.

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

1 CONTEXTUALIZAÇÃOEm muitos momentos da prática educativa, docentes respaldam-se nas suas

vivências e/ou em modelos propostos por educadores para redimensionarem sua metodologia. Você deve lembrar-se do tempo em que passou pelos bancos escolares, enquanto aluno, de que determinado professor utilizou uma estratégia metodológica diferenciada que o (des)motivou. Com essas experiências, procuramos não repetir aquilo que consideramos inadequado, pressupondo, como professor ou pesquisador, que nossos alunos terão a mesma percepção. Nesse caso, o risco que corremos ao evitar certas metodologias é de que elas poderiam surtir um efeito positivo não esperado.

Limitar nossas ações metodológicas àquelas que nos agradam é ser muito simplista, mas ter o cuidado em aplicar aquilo que nos parece equivocado é fundamental. Na educação, esse processo é sempre muito relevante. Partimos de experiências bem ou malsucedidas para adequar os processos a cada nova realidade.

Nunca deixe de tentar realizar desafi os matemáticos aos alunos. No entanto, é importante que você seja prudente com relação à avaliação de atividades lúdicas, tendo como pressuposto a motivação dos estudantes, tanto dos que atingem os objetivos propostos quanto daqueles com difi culdades nas atividades.

Perceba que a efetivação de atividades lúdicas premia o desenvolvimento do raciocínio lógico e da abstração, dois eixos fundamentais para a compreensão dos conceitos matemáticos. Aplicadas de forma criteriosa, essas atividades tendem a estimular os alunos, cada um a seu tempo, a buscarem mais subsídios teóricos que os tornem mais competentes.

A busca da superação é da natureza humana. Quando somos desafi ados e não conseguimos desvendar a solução de um problema, geralmente lutamos para superar as difi culdades. Se não damos uma resposta à altura de forma imediata, geralmente fi camos “intrigados” e lutamos para superar as difi culdades em encontrar a resposta. Mesmo que esta seja dada por outro, analisamos até nos convencermos de sua veracidade.

Uma das perspectivas deste livro é motivá-lo a utilizar atividades lúdicas na sua prática pedagógica. Para tanto, procuramos elucidar algumas questões relativas a cada contexto e orientar a aplicação de acordo com a fase de atuação.

Como muitas atividades lúdicas superam os limites previstos e/ou impostos pelo currículo e por parâmetros que estão presentes no modelo que se efetiva

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na maioria das unidades escolares do país, desejamos muito sucesso ao utilizar cada proposta de atividade na sua prática pedagógica.

2 O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA

O lúdico está presente em nosso cotidiano, em nossas relações e em nosso modo de pensar. Ele nos ajuda a viajar por mundos imaginários em alguns instantes e retornar à realidade na mesma intensidade de tempo. Agora, imagine você o que essa dimensão pode signifi car em termos educativos e, em especial, na abordagem de conceitos matemáticos.

Para contextualizar o lúdico, apresentaremos neste capítulo algumas questões teóricas e um exemplo clássico da literatura. As fundamentações estão focadas no processo do conhecimento, nas diretrizes educacionais, no educando, no educador e nos conceitos matemáticos. A ênfase de cada tópico é reforçar o lúdico como importante instrumento metodológico e estimular você a buscar mais subsídios teóricos que o motivem e o auxiliem no uso de atividades na prática pedagógica. Leia atentamente os tópicos e utilize os conceitos apresentados para compreender melhor o processo da ludicidade.

2.1 O CONHECIMENTO COMO PROCESSO

Tratar a questão da construção do conhecimento como processo e não apenas como conteúdo parece o caminho necessário para que o homem tenha assegurada sua singularidade e torne-se corresponsável da transformação. Esse estágio da evolução exige novas relações na convivência com o outro e na organização social como um todo, ligando as sensações vitais do homem às novas aptidões cognitivas.

O desenvolvimento humano passa pela necessidade da análise geral do contexto social, econômico e cultural no qual está inserido. Espera-se, dessa forma, que a ação humana esteja na direção do saber construído pela própria essência da vida, esta que rege não só o homem, mas todo o universo que está diante de uma diversidade de modelos que devem ser respeitados pelo homem para que ele próprio não sucumba.

Nesse contexto, é importante que você compreenda que a educação tem um papel fundamental e seus atores podem contribuir de forma signifi cativa, pois têm a competência de organizar novas metodologias que priorizem a criação de estratégias, de argumentação e favoreçam a criatividade, a iniciativa pessoal,

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

o trabalho coletivo e o estímulo à autonomia, por meio do desenvolvimento da autoestima.

Para que a educação adquira essa competência toda, a comunidade escolar deve mostrar-se, deixar transparecer sua fi losofi a de vida e de pensamento. Seus agentes devem conduzir-se à libertação dos mecanismos que difi cultam sua busca de conhecimento e de felicidade. Conscientes de seus limites e procurando não absolutizar seus conhecimentos, mas produzi-los, podem assumir um posicionamento crítico que lhes permitirá perceber que a formação do saber historicamente construído é elaborada através do acúmulo de experiências individuais e/ou coletivas.

A educação, de modo geral, não tem sido orientada para o desenvolvimento de competências e habilidades nos alunos, mas, sim, para a “tarefa de absorção” de conteúdos, sejam eles factuais, conceituais e/ou processuais.

No modelo de educação baseado apenas na “absorção” de informações, a aprendizagem é medida pela apresentação de resultados previsíveis e mais ou menos automáticos, sem que haja preocupação com os conceitos, com a motivação ou com o fato de que ela pode ser agradável. O aluno tem que reproduzir processos que se acredita que sejam efi cientes na retenção de conteúdos. Esse reducionismo do objetivo da educação provoca momentos de angústia, tanto para docentes como para alunos. Mediados sobre o paradigma de que os conteúdos apresentados são necessários para a vida e que o modelo como eles devem ser absorvidos é o mais fácil de ser colocado, professores e alunos formam um ‘pacto silencioso’ de conivência com todo o processo já hegemônico.

Acesse o YouTube e assista ao documentário da BBC com o título “A linguagem do Universo”. O vídeo é dublado e apresenta interessantes aspectos da história da Matemática. Disponível em:

https://www.youtube.com/watch?time_continue=490&v=JqfH_Yq-zaw&feature=emb_logo.

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1 Você percebe esse tipo de “pacto silencioso” no contexto educacional? E na sua prática? Esse tipo de conivência de processos está presente em outros espaços da sociedade? Relate sua opinião.

R.:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Para que nosso aluno desenvolva o conhecimento, adquira autonomia intelectual e tenha capacidade de reflexão crítica, os processos educativos devem premiar vivências e situações desafi adoras. O aluno deve descobrir por si e não só conhecer. Ele deve se sentir cidadão, ser crítico, responsável, competente e respeitar os limites da vivência na comunidade. Quando o educando é estimulado a utilizar suas competências investigativas e/ou criativas, minimiza-se o processo de reprodução dos conteúdos, favorecendo a aprendizagem sustentável.

No ensino de Matemática, em particular, a educação restrita à apresentação de conteúdos formalizados em livros-texto e/ou que exigem do aluno a reprodução de processos para a resolução de atividades, provoca a concepção de que a Matemática se restringe a cálculos e fórmulas. Isso, invariavelmente, reforça a desmotivação dos alunos. Nesse sentido, as pesquisas em Educação Matemática têm apontado para a efi cácia do desenvolvimento de atividades que premiem um contexto de “descoberta”. De forma individual ou em equipe, a provocação de situações que apresentem aspectos lúdicos e recreativos surge como elementos motivadores na abordagem dos conceitos matemáticos. Quando a aprendizagem é prazerosa, torna-se um processo relativamente simples. Os alunos, quando motivados, têm sua curiosidade despertada e o aprender torna-se algo natural.

Compreenda que, como construção lógico-dedutiva, como exercício de pensamento ou como auxiliar na experiência humana, o conhecimento matemático está impregnado na linguagem e nas práticas cotidianas. Para alguns desperta interesse, para outros pode ser indiferente; mas, para muitos a assimilação (ou não) do conhecimento matemático, realizada no contexto escolar, pode gerar difi culdades, rejeição e pouco aproveitamento.

Além disso, caro pós-graduando, questiona-se, frequentemente, tanto os limites da aquisição como as formas de apropriação desse conhecimento.

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Várias difi culdades de aprendizagem estão fundadas em crenças como de que o conhecimento matemático é por demais abstrato e por isso mais difícil de ser adquirido que os demais ou, ainda, que são necessários dons especiais para adquirir tal conhecimento. Estas, dentre tantas outras crenças que permeiam o senso comum, podem estar refletindo verdades a respeito do conhecimento matemático e os motivos que levam (ou não) a sua expansão.

Peter Drucker, no livro As Novas Realidades, coloca de maneira muito propícia aspectos que merecem destaque.

Nós sabemos que diferentes pessoas aprendem de maneira diferente; sabemos que, na realidade, o [estilo de] aprendizado é tão pessoal quanto uma impressão digital. Não há duas pessoas que aprendam da mesma maneira. Cada um tem uma velocidade diferente, um ritmo diferente, um grau de atenção diferente. Se lhe for imposto um ritmo, uma velocidade, ou um grau de atenção estranho, haverá pouco ou nenhum aprendizado. Haverá apenas cansaço e resistência. Nós sabemos que pessoas diferentes aprendem matérias diferentes de maneira diferente. A maioria de nós aprendeu a tabuada através da repetição e dos exercícios. Mas os matemáticos não “aprendem” a tabuada: eles a “captam”, por assim dizer. Da mesma forma, os músicos não aprendem a ler uma partitura: eles a “percebem”. E nenhum atleta nato jamais teve que aprender como pegar uma bola. Algumas coisas de fato têm que ser ensinadas - e não apenas valores, percepções e signifi cados. Um professor é necessário para identifi car os pontos fortes do aluno e para direcionar um talento a sua realização. Nem mesmo um Mozart teria se tornado o grande gênio que foi sem seu pai que era um verdadeiro mestre [...] A nova tecnologia [...] é uma tecnologia de aprendizagem, e não de ensino [...]. Não resta dúvida que grandes mudanças irão ocorrer nas escolas e na educação - a sociedade instruída irá exigi-las e as novas teorias e tecnologias de aprendizagem acabarão por efetivá-las (DRUCKER, 1991, p. 212-215).

A aprendizagem baseada na compreensão tem caráter pessoal e único. O conhecimento organizado no interior de cada um está relacionado a fatos, estruturação de ideias e organização da informação. Estes têm íntima relação com a sociedade e com hábitos. A Matemática, assim pensada, toma um caráter empirista e construtivista. Nessa perspectiva, o aluno deve ser levado a acreditar em sua intuição e lógica, para que a abstração e o rigor, tão necessários ao desenvolvimento cognitivo, tornem-se mais prazerosos.

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Para relembrar, caro acadêmico, a matemática empirista é aquela em que nunca se coloca a necessidade de argumentar e estruturar os argumentos de um ponto de vista lógico, e a construtivista é aquela em que o indivíduo constrói ou se apropria de signifi cados em resposta às experiências nos contextos sociais.

2.2 O ESPAÇO DA IMAGINAÇÃOQual a sua compreensão acerca da importância dos brinquedos e desafi os

para seus alunos? Saiba que, para a criança, o brinquedo desperta a curiosidade, o desafi o e a estimula a desenvolver seus sentidos. Ao tatear um objeto, ela descobre formas e texturas. Com olhares atentos ela constrói imagens, ora familiares, ora desafi adoras. Ao perceber os diferentes sons, ela identifi ca, materializa ou fi ca ansiosa sobre o (des)conhecido. Todas essas sensações podem e devem ser exploradas no contexto escolar, independente da fase de estudo.

A motivação através dos sentidos imprime signifi cados importantes na construção do conhecimento. Este, primeiro intuitivo, tem sua formalização mais intensa no ambiente escolar, e o educador é o principal agente (cor)responsável nessa efetivação.

O ensino utilizando meios lúdicos criaria ambiente gratifi cantes e atraentes servindo como estímulo para o desenvolvimento integral da criança. Por isso, no âmbito do universo lúdico, foram criadas as brinquedotecas, os jogos educativos, os brinquedos pedagógicos e outros materiais (MENEZES, 2001).

Acredita-se que a utilização de atividades lúdicas tem importância signifi cativa nesse processo. As mais comumente utilizadas na escola são aquelas que se baseiam em situações-problema. Estas desencadeiam determinada curiosidade e buscam a observação do modo de construção lógico-dedutiva, porém, a atividade lúdica pode ser mais espontânea. Ela pode aparecer nas mais inusitadas situações, quando o aluno se estimula com determinado conhecimento e usa sua imaginação.

O aluno, de forma geral, gosta de brincar com o conhecimento. Em determinado momento, ele observa, reflete e tenta buscar algo familiar

O aluno, de forma geral, gosta de brincar com o conhecimento.

Em determinado momento, ele

observa, reflete e tenta buscar algo familiar ou uma justifi cativa para o que está

aprendendo.

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ou uma justifi cativa para o que está aprendendo. Se não encontra o que buscou, ele imagina uma situação, fi ca frustrado, ou aguarda “os novos acontecimentos”. Aqui, a intervenção do professor é fundamental.

• Que viagem você está fazendo?• Estou me imaginando no Egito, subindo as pirâmides de bicicleta.• Você conseguiu chegar ao topo?• Sim. A vista do alto é muito legal, mas o melhor vai ser descer a toda velocidade.

Isso poderia muito bem ter acontecido em diversos momentos da aula de Matemática, de Física, de História etc., como no estudo do Teorema de Pitágoras, Teorema de Tales (proporções), sólidos geométricos, velocidade, história antiga etc. Situações similares a esta ocorrem com frequência na sala de aula. O importante é que o professor não iniba a “viagem” do aluno e tente tornar o ato da construção do conhecimento mais interessante. Ele também não pode esquecer a importância do desenvolvimento das habilidades de observação, processo de análise, da provocação da síntese e interpretação dos fatos e das situações. Na situação da “descida de bicicleta”, o professor pode dialogar com o aluno e estimulá-lo a perceber vários conceitos, através de leituras e atividades relacionadas ao tema.

Na prática pedagógica, deixamos aflorar a imaginação do aluno? Estimulamos ou inibimos?

De acordo com o tema, o incentivo de uma leitura, pesquisas na Web, um fi lme, seriam estratégias muito boas para melhor explorar a situação.

2.3 A EDUCAÇÃO LÚDICAEntende-se educação lúdica como aquela que acontece quando alguém

consegue interiorizar o conhecimento de forma prazerosa, muito além do meramente superfi cial. Esse prazer parece-nos ter ligação intrínseca com a realização de brincadeiras, passatempos e/ou jogos, que carregam um imenso potencial educacional. O ato educativo por meio de jogos não é restrito à formalização acadêmica, mas à formação da personalidade e desenvolvimento do raciocínio. “O lúdico deve ser constante na vida dos seres humanos, desde o início de suas vidas até a velhice” (SANTOS, 2000, p. 35).

A abstração é extremamente importante na formação humana, porém, considerar uma educação centrada na formalidade puramente abstrata é negar o potencial das relações naturais com a vivência do cotidiano do educando.

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A verdadeira educação é aquela que motiva o desenvolvimento intelectual, que provoca a observação e organiza a sistematização do conhecimento. Jean Piaget era um entusiasta do lúdico. Para ele, os jogos lúdicos auxiliam na representação simbólica da realidade, que está estritamente associada às necessidades individuais. Essa concepção exige que os processos educacionais forneçam subsídios para que os alunos assimilem as realidades intelectuais (SANTOS, 2000).

De acordo com Santos (2000, p. 37), “o comportamento lúdico não é um comportamento herdado, ele é adquirido pelas infl uências que recebemos no decorrer da evolução dos processos de desenvolvimento e aprendizagem”.

Todos, de alguma forma, em diferentes intensidades, exercem atividades lúdicas. O lúdico aparece como um caminho de mão dupla entre a objetividade e a subjetividade, em que a autonomia, a incerteza e a criatividade se mostram essenciais para que a ação se torne prazerosa. É na educação que se tem um espaço privilegiado para o exercício do lúdico, pois ele estimula a transformação, um dos objetivos principais do ato de educar.

1 Faça uma pesquisa na internet sobre a teoria das situações didáticas e adidáticas de Guy Brosseau. Brousseau as classifi ca em quatro tipos: ação, formulação, validação e institucionalização. Contextualize estes tipos no contexto da ludicidade.

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.4 A MATEMÁTICA LÚDICAComo você, pós-graduando, pode fazer a diferença no ensino de Matemática?

O professor que desejar participar da mudança de um ensino tradicional, vigente na maioria das instituições de ensino, para uma forma que motive o educando, pode começar pelo debate com seus colegas e pela realização de atividades lúdicas clássicas, como o tangram e o origami. Após analisar as reações e sentindo-

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se seguro, você pode aprofundar a aplicação de novas estratégias baseadas no lúdico, buscando estimular o raciocínio, a criatividade, a autoconfi ança e a abstração. Acredita-se que o uso de processos atrativos motivará mais os alunos, despertando o interesse deles no estudo de conceitos matemáticos.

O lúdico na educação matemática aproxima o educando ao conhecimento científi co, introduzindo uma linguagem “que pouco a pouco será incorporada aos conceitos matemáticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e ao criar signifi cados culturais para os conceitos matemáticos e estudo de novos conteúdos” (MOURA, 2009, p. 95).

Vale lembrar que os problemas com a motivação no estudo não são restritos ao ensino de Matemática, eles acontecem em praticamente todas as disciplinas. No entanto, o discurso da difi culdade de aprendizagem tem, quase sempre, como ‘carro-chefe’ a Matemática. Essa ciência, que tem como suporte principal a lógica e busca relacionar grandezas numéricas e geométricas, sempre sofreu com o paradigma da ’ciência mais difícil’. Isso até os alunos chegarem ao Ensino Médio, em que a concorrência começa a ser grande (Física, Química...), mas parece que as difi culdades no estudo da Matemática tomaram uma força social tão grande que é difícil tirá-la do posto de vilã número 1.

Além disso, todos aceitam o fato da importância da Matemática no contexto social e busca-se massifi car o seu ensino de forma a tornar seus conceitos mais populares, porém, parece estar evidente que a forma tradicional de ensinar, baseada na transmissão do conteúdo, não favorece esse objetivo.

O educador que estiver comprometido com mudanças no modelo tradicional deve se conscientizar da importância de que a metodologia a ser adotada está intimamente relacionada com a realidade escolar, com a fundamentação teórica que a sustenta e com as suas limitações.

No uso de metodologias que colocam o aluno como o sujeito da aprendizagem, o planejamento e o acompanhamento das atividades exigem uma dedicação muito grande do professor. Apesar de todas as difi culdades que os professores têm que superar para exercer suas funções, percebe-se que muitos têm se esforçado para que o ensino de Matemática passe a atrair os alunos não só pela necessidade do uso diário, mas também como atividade prazerosa.

O professor pode motivar seus alunos em atividades simples, como destaca Kishimoto (2001, p. 125), “o brinquedo denominado quebra-cabeça toma-se um jogo educativo quando se lhe associa o ensino, quando se pretende ensinar formas geométricas de uma forma lúdica para manipulação desse objeto”.

O discurso da difi culdade de

aprendizagem tem, quase sempre,

como ‘carro-chefe’ a Matemática.

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Nesse contexto, defendemos que as atividades lúdicas, no ensino da Matemática, têm papel muito importante na motivação do estudo dos conceitos matemáticos e, sobretudo, na estrutura formal algébrica. Os conceitos são coordenados e sustentados pela Álgebra, e talvez por isso o seu estudo é tido como o principal motivo das difi culdades dos educandos. Acreditamos que o fator principal dessas difi culdades é a necessidade constante de abstração, sem que se consiga perceber de imediato uma aplicação prática e/ou uma associação direta com o cotidiano do aluno. Esse fato impulsiona aplicações práticas, porém estas nem sempre são fáceis de serem inseridas na prática.

Sugerimos a leitura do livro de Manoel Oriosvaldo de Moura, “A séria busca no jogo: do lúdico na matemática”.

FONTE: MOURA, M. O. de. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática. São Paulo: Cortez, 2009.

No site da biblioteca digital da USP: https://teses.usp.br/, digite na busca simples “Matemática Lúdica” e acesse as publicações mais recentes.

No site da UFRGS: www.ufrgs.br, digite na busca “jogos educativos na área da matemática”. Você encontrará vários artigos sobre o uso de jogos e análise de softwares educativos. No mesmo endereço, pesquise sobre mídias digitais para o ensino de Matemática http://mdmat.mat.ufrgs.br/.

3 EXEMPLOS MOTIVADORES PARA O LÚDICO NA MATEMÁTICA

A seguir, apresentaremos exemplos clássicos para que o lúdico na Matemática seja motivador de ações educativas. A diversidade de atividades lúdicas passa, necessariamente, pelo critério do professor para adaptá-las à realidade e identifi car a fase mais adequada a serem aplicadas.

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3.1 O PROBLEMA DOS ABACAXISIndependentemente do nível de difi culdade, toda atividade que proporcione

o desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da abstração e provoque um estímulo na busca da sua solução, facilita em muito a intervenção do professor no desenvolvimento de conceitos matemáticos.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais incentivam o uso de problemas e situações reais e de divertimentos matemáticos.

Para exemplifi car, apresentaremos um problema clássico, escrito pelo Professor Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan), sempre referenciado quando se fala do lúdico. Para fi car mais claro, o texto será adaptado a nossa atual unidade monetária, isto é, ao real.

Dois camponeses, A e B, encarregaram um feirante de vender duas partidas de abacaxis. O camponês A entregou 30 abacaxis, que deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 real; B entregou, também, 30 abacaxis para os quais estipulou preço um pouco maior, isto é, à razão de 2 por 1 real.

Era claro que, efetuada a venda, o camponês A devia receber 10 reais e o camponês B, 15 reais. O total da venda seria, portanto, de 25 reais.

Ao chegar, porém, à feira, o encarregado sentiu-se em dúvida.— Se eu começar a venda pelos abacaxis mais caros, pensou,

perco a freguesia; se início o negócio pelos mais baratos, encontrarei, depois, difi culdade para vender os outros. O melhor que tenho a fazer é vender as duas partidas ao mesmo tempo.

Chegado a essa conclusão, o atilado feirante reuniu os 60 abacaxis e começou a vendê-los aos grupos de 5 por 2 reais. O negócio era justifi cado por um raciocínio muito simples:

— Se eu devia vender 3 por 1 real e depois 2 também, por 1 real, será mais simples vender, logo, 5 por 2 reais, isto é, à razão de 40 centavos cada um.

Vendidos os 60 abacaxis, o feirante apurou 24 reais.Como pagar os dois camponeses se o primeiro devia receber 10

reais e o segundo, 15 reais?Havia uma diferença de 1 real que o homenzinho não sabia

como explicar, pois tinha feito o negócio com o máximo cuidado.

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E, intrigadíssimo com o caso, repetia dezenas de vezes o raciocínio feito, sem descobrir a razão da diferença:

— Vender 3 por 1 real e, depois, vender 2 por 1 real é a mesma coisa que vender logo 5 por 2 reais!

E o raio da diferença a surgir na quantia total! O feirante ameaçava a Matemática com pragas terríveis.

A solução do caso é simples e aparece, perfeitamente indicada, na fi gura a seguir. No retângulo superior estão indicados os abacaxis de A e no retângulo inferior, os de B.

O feirante só dispunha – como a fi gura mostra – de 10 grupos que podiam ser vendidos, sem prejuízo, à razão de 5 por 2 reais, em outras palavras, 10 grupos de 5 abacaxis, totalizando 50 unidades. Vendidos esses 10 grupos, restavam 10 abacaxis que pertenciam exclusivamente ao camponês B e que, portanto, não podiam ser vendidos senão a 50 centavos cada um.

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

A

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

B

FONTE: Adaptado de Souza (2001, p. 9)

Este problema pode ser aplicado com variados elementos e valores.

O problema dos abacaxis provoca, no mínimo, a curiosidade na justifi cativa do “sumiço” do 1 real. Esse tipo de situação facilita ao professor a abordagem formal de vários conceitos, como: proporções, equações lineares e sistemas.

No caso de sistemas lineares, pode-se perguntar quantos abacaxis cada feirante possuía, dados a proporção de abacaxis, o montante que receberiam e o total de abacaxis vendidos. Os livros-textos apresentariam algo como: um feirante recebeu 60 abacaxis para vendê-los em duas proporções diferentes: uma quantidade na razão de três por um real e o restante na razão de dois por um real. Sabendo-se que o total arrecadado foi de R$ 25,00, determine a quantidade vendida em cada proporção.

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

É evidente que este novo problema é forçar uma adaptação e não há muito estímulo em se encontrar a resposta, a não ser como exercício algébrico. No entanto, ele aponta para uma variedade muito grande de situações em diversos contextos, já que a resolução de sistemas é muito comum e importante em várias áreas do conhecimento. Neste momento, é importante ressaltar que o objetivo da aplicação de problemas como o dos abacaxis não objetiva a aplicação da formalização acadêmica de conteúdos matemáticos e, sim, desenvolver no aluno aptidões cognitivas. Estas certamente auxiliarão na compreensão e estruturação de conteúdos formais, sem a necessidade de que o professor force situações como a exemplifi cada.

Um problema publicado na Agência Nacional de Segurança (NSA) dos Estados Unidos pode ser muito útil em vários contextos. Vamos apresentá-lo na íntegra.

Treze homens e um carregamento

Após sua última viagem, os 13 piratas do navio Turing se reúnem em sua taberna favorita para discutir como irão dividir um baú de moedas de ouro. Depois de muito debate, o capitão Códigus diz: “Arrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrgh, o carregamento precisa ser distribuído igualmente entre nós”. E assim é feito. O capitão dá as moedas, uma por uma, e cada pirata aguarda ansioso sua recompensa. Conforme o capitão se aproxima do fi nal da pilha, porém, ele percebe que há três moedas a mais.

Após um silêncio breve e constrangedor, um dos piratas diz: “eu mereço uma moeda extra porque eu carreguei o navio enquanto o resto de vocês dormia”. Outro afi rma: “Bem, eu mereço uma moeda extra porque cozinhei toda a comida ao longo da viagem”. Logo começa uma intensa troca de chutes, socos e garrafadas pela posse do dinheiro restante. O dono do estabelecimento, irritado com a bagunça, expulsa um pirata particularmente violento que havia quebrado uma mesa, e ele é obrigado a devolver todas as suas moedas para o grupo. É dado o aviso: “ou vocês fi cam em paz ou todos serão expulsos daqui!”.

Os piratas voltam a seus lugares e o capitão, que fi cou com apenas 12 piratas, continua a distribuir as moedas. “Uma para você... Outra para você”. Agora, quando a pilha está próxima do fi m, ele percebe que há cinco moedas sobrando. Irrompe uma nova briga. O capitão, com medo de que eles sejam expulsos do local, manda o pirata mais estressado embora. Agora, com apenas 11 membros, a

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divisão dá certo, cada um recebe a mesma quantidade de moedas e todos vão dormir em paz.

Considerando que houvesse menos de 1000 moedas, quantas moedas os piratas dividiram entre si? Só há uma resposta possível para um valor abaixo de 1000.

Há, na verdade, infi nitas soluções para o problema, mas só uma se o valor for menor que 1000.

O número de moedas só pode ser 341, e a solução pode ser encontrada fazendo a análise de trás para frente. Para encontrá-la, precisamos primeiro analisar quais possíveis quantidades de moedas que 11 piratas poderiam dividir igualmente sem sobras. Na prática, qualquer múltiplo de 11, como 22, 33, 44 e por aí vai.

Agora pegamos esses números e dividimos todos por 12. Só serão possíveis candidatos à resposta os que deixarem 5 como resto. Chegamos assim aos valores 77, 209, 341 e 473.

Todos preenchem os pré-requisitos: são perfeitamente divisíveis por 11 e deixam 5 de resto quando divididos por 12. Agora, basta dividir esses números por 13 e ver qual deles deixa 3 moedas de resto. Você descobrirá que 341 é a única possibilidade.

1 Outro problema clássico do livro “O homem que calculava” é o caso dos 35 camelos.

Nesta passagem, Beremiz e seu colega de jornada encontraram três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.

Por entre pragas e impropérios gritavam, furiosos:— Não pode ser!— Isto é um roubo!— Não aceito!O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como

heranças esses 35 camelos. Segundo vontade de nosso pai devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça parte e o mais moço, Harin, deve receber apenas a nona parte do lote de camelos. Contudo, não sabemos como realizar a partilha, visto que ela não é exata.

— É muito simples — falou o Homem que Calculava. Encarrego-

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

me de realizar, com justiça, a divisão se me permitirem que junte aos 35 camelos da herança este belo animal, pertencente a meu amigo de jornada, que nos trouxe até aqui.E, assim foi feito.

— Agora — disse Beremiz — de posse dos 36 camelos, farei a divisão justa e exata.Voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

— Deverias receber a metade de 35, ou seja, 17, 5. Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

— E tu, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, ou seja, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

Por fi m, disse ao mais novo:— Tu, segundo a vontade de teu pai, deverias receber a

nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, ou seja, 4. Teu lucro foi igualmente notável.E, concluiu com segurança e serenidade:

— Pela vantajosa divisão realizada, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo, e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobraram, portanto, dois. Um pertence a meu amigo de jornada. O outro, cabe por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

— Sois inteligente, ó Estrangeiro! — exclamou o mais velho dos irmãos. Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!

A questão é: Qual a explicação matemática para a partilha realizada por Beremiz, de tal forma que além de conceder vantagens aos irmãos, ainda fez sobrar um camelo para si?

R.:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos por R$ 60,00, entregando, em pagamento, uma nota de R$ 100,00. O sapateiro, que no momento não dispunha de troco,

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mandou que um de seus empregados fosse trocar a nota numa confeitaria próxima. Recebido o dinheiro, deu ao freguês o troco e o par de sapatos que havia adquirido.

Momentos depois, surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução do dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a devolver os cem reais que havia recebido.

Surge, afi nal, uma dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve nesse negócio?

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4 TRAVESSIASOs problemas que envolvem travessias motivam a todos com facilidade, pois

eles sempre são contextualizados de maneira a instigar quem o resolve a buscar sua solução. Eles motivam o raciocínio lógico, fundamental para o aprendizado da Matemática.

São problemas que mesmo que não consigamos resolver nas primeiras tentativas e até desistamos de buscar a solução, eles fi cam em nossa memória. Você já deve ter passado por essa situação, um problema que não lhe “sai da cabeça”. Estamos contando carneiros para dormir e eles começam a atravessar um rio, fugindo de um lobo ou de um caçador.

Você pode procurar, na Web, softwares que ilustram as travessias. Não indicaremos nenhum endereço específi co desses softwares, pois alguns que já acessamos ou desapareceram ou tinham problemas de acesso. Outros funcionam bem, mas não temos confi ança em indicá-los por conta dessas instabilidades.

Exemplo 1: Camponês, lobo e carneiro

Dos problemas que tratam de travessias, este parece o mais simples e o mais conhecido:

Um camponês precisa atravessar um rio transportando um lobo, um carneiro e um maço de feno. Como o único barco disponível só pode levar o camponês e um dos animais ou o maço de feno, pergunta-se: como será possível fazer a travessia com segurança para todos os personagens? É claro que o lobo e o carneiro não podem fi car juntos numa margem enquanto o camponês leva o maço

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

de feno para o outro lado, pois o lobo almoçaria o carneiro. Nem o carneiro pode fi car sozinho com o maço de feno enquanto o camponês leva o lobo, pois ele comeria o feno. A solução está ilustrada na sequência. O que o camponês deve fazer é: leva a ovelha – volta sozinho – leva o feno – deixa o feno e traz a ovelha – leva o lobo – deixa o lobo com o feno – volta para buscar a ovelha.

Exemplo 2: Férias de família

A família do Sr. Borba Gato estava em férias em uma fazenda que tinha um rio sem ponte. Neste tinha uma canoa que era usada para atingir a outra margem, que permitia o acesso a uma linda cachoeira. A canoa só suportava levar, no máximo, 75 kg. Você deve criar a estratégia para fazer uma travessia segura, sabendo que:

• O pai pesa 72 kg.• A mãe pesa 63 kg.• O fi lho João pesa 32 kg.• A fi lha Maria pesa 28 kg.• A fi lha Cristina pesa 21 kg.• Todos sabem remar, menos Cristina.• Cristina não pode fi car sozinha em nenhuma das margens.• João e Maria devem remar o mesmo número de vezes.

Uma solução para esta travessia é:

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

1 Três missionários precisam atravessar um rio na companhia de três canibais e dispõem de um barco que leva apenas duas pessoas de cada vez. Como fazer a travessia, se os missionários não podem fi car em minoria em nenhuma das margens?

R.:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2 Um pelotão do exército estava fazendo exercícios de rotina em uma zona rural onde havia um rio. Eles foram transportados por um helicóptero e, após realizar as atividades previstas, deveriam retornar ao quartel a pé. Quando tentaram regressar, perceberam que não havia ponte sobre o rio. O Capitão da tropa percebeu que dois meninos brincavam com um barco próximo de onde estavam. Então ele pediu o barco emprestado aos meninos. No entanto, como fazer a travessia se o barco comporta apenas um soldado ou os dois meninos?

R.:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

5 CRIPTOGRAFIAA criptografi a, de origem grega (kripto = escondido, oculto; grapho = grafi a),

é utilizada para escrever mensagens em códigos. Ela é muito antiga, já foi encontrada em hieróglifos egípcios e utilizada pelos romanos. Atualmente, ainda é utilizada, porém com técnicas muito sofi sticadas.

Por exemplo, por volta de 60 a.C., o romano Júlio César utilizava a técnica de trocar cada letra da mensagem pela letra que fi cava três posições a frente, na ordem alfabética. Por exemplo, a palavra MATEMÁTICA fi caria PDWHPDWLFD.

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Relatos antigos apontam que persas e gregos, no século V a.C. utilizavam mensagens escondidas em tabletes de madeira cobertos por cera. Muito tempo depois mensagens secretas que trocavam letras por símbolos mostraram-se muito frágeis.

Durante as guerras é muito comum o envio de mensagens secretas. Em particular, na Segunda Guerra Mundial, a decodifi cação destas mensagens foi fundamental para a vitória dos aliados. Muitos matemáticos e linguistas debruçaram-se neste desafi o, mas um teve destaque especial: Alan Turing.

Turing nasceu em Londres, em 23 de junho de 1912. Em 1931, foi admitido pelo King’s College, em Cambridge, e aos 26 anos elaborou a teoria das máquinas, base para os primeiros computadores. Após ser humilhado em público, por ser homossexual, entrou em depressão e suicidou-se em 1954.

Turing, seguindo pistas indicadas por Marian Rejewski e com a ajuda de funcionários de um departamento de decodifi cação do governo britânico, conseguiu desvendar o modo como era gerado o código Enigma, utilizado pela equipe de Hitler.

Sugestão de atividade para os alunos: pesquisar métodos de criptografi a, principalmente, antes dos processos computacionais.

Neste tópico, vamos apresentar dois processos, no mínimo, interessantes: o método de Hill e o de Viginère.

6 MÉTODO DE HILLConforme Godinho et al. (2011), a cifra de Hill surge por volta de 1929

inventada por Lester S. Hill. Este processo utiliza a matemática por meio de matrizes para codifi car uma mensagem.

Associamos cada letra do alfabeto a um número, gerando uma sequência numérica que será representada na forma de matriz. Esta matriz deve ser multiplicada por uma matriz chave, gerando uma matriz codifi cada. A descrição detalhada do processo está exemplifi cada no exemplo 1.

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

QUADRO 1 – CIFRA DE HILL

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

FONTE: O autor

Vamos apresentar dois exemplos. O primeiro com o detalhamento do processo.

1) Procedimento para codifi car a palavra MATEMÁTICA. a) Defi nir a sequência numérica. M A T E M Á T I C A 13 1 20 5 13 1 20 9 3 1

b) Escolher uma matriz cifradora, Anxn , e calcular sua inversa. Como exemplo usaremos uma matriz A2x2 .

c) Dispor a sequência numérica, associada à mensagem, em uma matriz de ordem nxm. Os números da sequência serão dispostos em colunas, seguindo a ordem em que se relacionam com as letras, ou seja:

Observação: se necessário, completamos a matriz com o número “zero”. Veremos este fato no exemplo 2.

d) Multiplicamos a matriz cifradora A pela matriz M.

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Assim, a mensagem recebida teria a seguinte sequência numérica:29 15 55 30 29 15 67 38 9 5

e) O receptor da mensagem pode decifrá-la utilizando a matriz inversa de A, pois M = A-1 (A.M).

Assim, temos a sequência 13 1 20 5 13 1 20 9 3 1, ou seja: MATEMÁTICA.

2) Codifi car a mensagem “PRODUTO DE MATRIZES”

a) PRODUTO DE MATRIZES = 16 18 15 4 21 20 15 4 5 13 1 20 18 9 26 5 19

Observe que completamos a matriz com o “zero”.

b) Matriz chave e sua inversa:

c)

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

Mensagem cifrada: 66 100 49 68 83 124 49 68 28 46 23 44 63 90 83 114 57 76

d) Para decifrar a mensagem, o receptor deverá multiplicar a matriz inversa de A por AM.

1 Utilizando o método de Hill, resolva o que se pede em cada item.

a) Codifi que a palavra CRIPTOGRAFIA:R.:____________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

b) Codifi que a expressão: LÓGICA MATEMÁTICA:R.:____________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

2 Decifre as mensagens criadas pelo método de Hill.

a) Considerando a matriz chave

−=

1321

A , decifre a mensagem cifrada:

23 15 27 17 22 81 0 63 0 49R.:____________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________

b) Considerando a matriz chave

=

1253

A , decifre a mensagem cifrada:

93 41 65 41 96 29 59 37 82 43 98 21 60 33 52 23 17 9 37 13 82 43 99 24 115 30 9 79 41 26 18

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R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7 O MÉTODO DE VIGINÈRENo século XVI, o francês Blaise de Viginère criou uma técnica que

permaneceu indecifrável por três séculos. Publicado em 1586, seu sistema baseava-se no quadro a seguir.

QUADRO 2 – QUADRO DE VIGINÈRE

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A2 C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I

10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y26 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

FONTE: Adaptado de Revista Galileu (2003)

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

Na primeira linha está o alfabeto e nas linhas seguintes o alfabeto é repetido com seu início deslocado em uma letra. Por exemplo, para codifi car a letra E, usando a linha 5, teremos a letra J. Para saber qual linha deve ser usada, o que envia a mensagem e o receptor devem combinar uma palavra-chave.

Exemplos1) Vamos supor que a palavra seja soma e a mensagem codifi cada seja

“matemática lúdica”.Para codifi car a mensagem, escreve-se as letras da palavra-chave quantas

vezes for preciso acima da frase.

S O M A S O M A S O M A S O M AM A T E M Á T I C A L Ú D I C A

Para codifi car as letras da mensagem, usamos a linha de cada letra da palavra-chave. Por exemplo, para S usamos o alfabeto da linha 18. Assim, substituímos a letra M por E. Para a letra O, usamos a linha 14 e substituímos a letra A por O. Seguindo este raciocínio teremos:

S O M A S O M A S O M A S O M AM A T E M Á T I C A L Ú D I C AE O F E E O G I U O X U W Y O A

Assim: Matemática Lúdica fi caria Eeofeeogiuo Xuwyoa. Para descodifi car a mensagem, use o caminho inverso.

2) Decifre a mensagem UHMHDARQVIADMTVY, sabendo que a palavra-chave é ENIGMA.

Para decifrar a mensagem, devemos seguir o caminho inverso da codifi cação, ou seja, procuramos na linha de cada letra da palavra-chave a letra correspondente da mensagem. Por exemplo, na linha da letra E, de enigma, procuramos a letra U, primeira letra da mensagem, e encontraremos a letra correspondente da coluna, a letra Q. O quadro a seguir apresenta a decodifi cação da mensagem.

E N I G M A E N I G M A E N I G

U H M H D A R Q V I A D M T V Y

Q U E B R A N D O C O D I G O S

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Usando o quadro de Viginère, resolva as questões a seguir:

1 Codifi que as seguintes mensagens:

a) Usando a palavra-chave MATRIZ codifi que a expressão “Quadrados Mágicos”.

b) Usando a palavra-chave MENOS codifi que a expressão “Jogos em Grupo”.

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Decodifi que as seguintes mensagens:

a) Sabendo que a palavra-chave é LÚDICO, decifre a mensagem a seguir:

M F D Q U S O Y Y Q I V Y Y U M

b) Sabendo que a palavra-chave é JOGO, decifre a mensagem a seguir:

A O F O X A A F N A

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ALGUMAS CONSIDERAÇÕESNesse capítulo procuramos enfatizar a importância do lúdico no contexto

educacional, na perspectiva de fundamentar e orientar você nos demais capítulos deste livro. Esperamos que as leituras sugeridas tenham motivado você a buscar outras fontes e que consiga relacionar os fundamentos teóricos apresentados com as atividades que serão apresentadas nos próximos capítulos.

Lembre-se de que um importante destaque deste capítulo é a compreensão de que a utilização do lúdico nas atividades educativas tem seu suporte na

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O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1

compreensão que temos de educação e de ludicidade. Na educação, em especial no ensino de Matemática, muitos processos metodológicos fi cam centrados na compreensão operacional de técnicas que auxiliam na resolução de expressões algébricas. Já atividades lúdicas não devem ter esta ênfase. Elas devem estar acima do modelo tradicional de memorização de processos e apenas estar associadas ao desenvolvimento da lógica e da abstração.

Nos demais capítulos, apresentaremos a você algumas possibilidades de aliar o lúdico, com sua ênfase lógica, às estruturas formais do ensino da Matemática e ajudá-lo a implementar as atividades na fase mais apropriada.

REFERÊNCIASDRUCKER, P. F. As novas realidades. São Paulo: Pioneira, 1991.

GODINHO, D. S. et al. Criptografi a: a importância da álgebra linear para decifrá-la. Revista iTEC, v. 2, n. 2, p. 26-31, jul. 2011.

KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. 11. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

MENEZES, E. T. de. Dicionário Interativo da Educação Brasileira - Educabrasil. São Paulo: Midiamix, 2001. Disponível em: https://www.educabrasil.com.br/ludico/. Acesso em: 10 jan. 2020.

MOURA, M. O. de. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática. São Paulo: Cortez, 2009.

REVISTA GALILEU. Eureca: a matemática divertida e emocionante. São Paulo: Globo, 2003.

SANTOS, S. M. P. dos. Brinquedoteca: a criança, o adulto e o lúdico. Petrópolis, RJ: Vozes, 2000.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Jogos de Matemática de 1º ao 5º. Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental. Porto Alegre: Artmed, 2007.

SOUZA, J. C. de M. Matemática divertida e curiosa. 15. ed. Rio de Janeiro: Record, 2001.

TAHAN, M. O homem que calculava. 46. ed. Rio de Janeiro: Record, 1998.

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CAPÍTULO 2

QUADRADOS MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS

A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes objetivos de aprendizagem:

• Reconhecer padrões algébricos nos quadrados mágicos.• Construir quadrados mágicos. • Identifi car e organizar conceitos matemáticos em jogos.• Analisar o potencial de jogos na prática educativa.• Identifi car o ano escolar mais adequado para a aplicação de atividades lúdicas.• Adaptar enunciados de problemas ao ano em que eles forem aplicados.• Desenvolver conceitos geométricos por meio de jogos e desafi os.• Estimular os alunos à aprendizagem da geometria por meio de atividades

lúdicas.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

1 CONTEXTUALIZAÇÃOOs jogos educativos são muito difundidos pela literatura, mas pouco

explorados nos anos fi nais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Nessa perspectiva, apresentaremos algumas atividades lúdicas para que você avalie suas possíveis aplicações e tenha motivação de buscar e/ou criar novas.

Com esse propósito, este capítulo se propõe a motivá-lo a desenvolver atividades com o uso de jogos para o ensino de Matemática, mostrando alguns exemplos, sugerindo que procure redimensionar suas aplicações com adaptações criativas e busque dinamizar a abordagem de conceitos geométricos.

Independentemente do tipo de abordagem metodológica, o uso de atividades lúdicas favorece o estímulo ao estudo da geometria e auxilia na compreensão das propriedades relacionadas às estruturas geométricas. Equacionar, relacionar e comparar propriedades geométricas se torna muito mais interessante quando somos motivados por brincadeiras e desafi os. Parece que as justifi cativas algébricas e/ou geométricas, sempre importantíssimas de serem buscadas, tornam-se mais simples e elegantes.

2 QUADRADOS MÁGICOSOs quadrados mágicos sempre motivaram muito os matemáticos. Há

registros em obras de arte, na Bíblia, no misticismo e em talismãs.

2.1 PRIMEIROS QUADRADOS MÁGICOS

A origem dos quadrados mágicos divide historiadores. Alguns citam o quadrado Loh Shu (registro no casco de uma tartaruga), entre 2200 e 2800 a.C., utilizado como talismã pelos chineses. Outros autores datam como primeiro registro entre 3000 e 5000 a.C. A seguir, apresentaremos alguns destes registros.

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FIGURA 1 – O QUADRADO DE LOH SHU

FONTE: <http://2.bp.blogspot.com/-rxNIbYpcN2k/Ua01kkPHvCI/AAAAAAAAAFk/D3W1IU-JJQI/s1600/Lo+shu.bmp>. Acesso em: 28 jan. 2020.

FIGURA 2 – A TARTARUGA SAGRADA E O LOH SHU

FONTE: <http://1.bp.blogspot.com/-CF2KoebwGL8/T-dG6fGZ-jI/AAAAAAAABQw/UvhyFHvTcQ8/s1600/LO-SHU03.gif>. Acesso em: 28 jan. 2020.

FIGURA 3 – NA GRAVURA “MELANCOLIA” DE ALBRECHT DÜRER (1471-1528), ENCONTRAMOS UM QUADRADO MÁGICO

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

FONTE: <http://fi lhosdehiran.blogspot.com/2013/03/o-quadrado-magico-de-albrecht-durer.html>. Acesso em: 28 jan. 2020.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

FIGURA 4 – AMULETO SOLAR BABILÔNICO. APRESENTA UM QUADRADO MÁGICO 6 X 6 EM QUE O RESULTADO É SEMPRE 111

FONTE: <http://mathluiz.blogspot.com/2015/09/post-sexcentesimo-sexagesimo-sexto.html>. Acesso em: 28 jan. 2020.

2.2 QUADRADO TRADICIONALNa forma tradicional, o quadrado é construído de modo que os números de

cada linha, cada coluna e cada diagonal tenham sempre a mesma soma. Esta soma é denominada de constante do quadrado e o número de casas de cada linha é chamado de módulo. O menor quadrado é o de ordem 3, com 9 casas. Veja os exemplos apresentados a seguir.

FIGURA 5 – QUADRADOS MÁGICOS DE MÓDULO 3, CUJA CONSTANTE É IGUAL A 15

2 9 4

7 5 3

6 1 8

4 9 2

3 5 7

8 1 6

FONTE: Adaptada de Gardner (1967)

FIGURA 6 – QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 4, CUJA CONSTANTE É IGUAL A 34

FONTE: O autor

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

15 10 3 6

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1 A tabela representa um quadrado mágico aditivo. Encontre os valores de: a, b, c, d, e.

1 a 8 13

b 15 c 10

11 2 14 d

16 5 9 e

R.:

2.3 CONSTRUÇÃO DE UM QUADRADO DE ORDEM ÍMPAR

Um método para determinar um quadrado mágico de ordem ímpar foi desenvolvido pelo matemático francês Bachet, no século XVII. Para facilitar o entendimento do método, será utilizado um quadrado de ordem 3 como exemplo.

1ª Etapa: construir o quadrado dividido em nove casas com acréscimo de uma casa em cada lado, conforme a fi gura a seguir.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

2ª Etapa: a partir do novo “quadrado”, numerar os “quadradinhos” com os algarismos de 1 a 9, conforme a fi gura:

3

2 6

1 5 9

4 8

7

3ª Etapa: os algarismos que fi caram de fora do “quadrado”, 1, 3, 7 e 9, serão inseridos nos lados opostos do quadrado, porém mantendo-os nas mesmas linhas ou colunas que se encontram. Dessa forma, será obtido o quadrado a seguir.

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Não importa com qual número começamos, desde que mantenhamos a ordem de crescimento de uma unidade em cada “quadradinho” e a ordem nas diagonais. A seguir, apresentaremos a confi rmação do método, considerando um número genérico “n”.

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MATEmáTiCA LÚDiCA

n+2

n+1 n+5

n n+4 n+8

n+3 n+7

n+6

n+1 n+6 n+5

n+8 n+4 n

n+3 n+2 n+7

Soma das linhas: Soma das colunas:n+1+n+6+n+5 = 3n+12 n+1+n+8+n+3 = 3n +12n+8+n+4+n = 3n+12 n+6+n+4+n+2 = 3n +12n+3+n+2+n+7 = 3n+12 n+5+n+n+7 = 3n + 12

Soma das diagonais:n+1+n+4+n+7 = 3n + 12n+3+n+4+n+5 = 3n + 12

Observação: este método também é válido se forem invertidas a ordem de “crescimento de n”.

n

n+1 n+3

n+2 n+4 n+6

n+5 n+7

n+8

n+1 n+8 n+3

n+6 n+4 n+2

n+5 n n+7

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

Quadrados bimágicosOs quadrados bimágicos são aqueles que continuam mágicos

após terem seus números elevados ao quadrado. O menor destes quadrados tem dimensão 8.

56 34 8 57 18 47 9 31 260

33 20 54 48 7 29 59 10 260

26 43 13 23 64 38 4 49 260

19 5 35 30 53 12 46 60 260

15 25 63 2 41 24 50 40 260

6 55 17 11 36 58 32 45 260

61 16 42 52 27 1 39 22 260

44 62 28 37 14 51 21 3 260

260 260 260 260 260 260 260 260 260 260

3136 1156 64 3249 324 2209 81 961 11180

1089 400 2916 2304 49 841 3481 100 11180

676 1849 169 529 4096 1444 16 2401 11180

361 25 1225 900 2809 144 2116 3600 11180

225 625 3969 4 1681 576 2500 1600 11180

36 3025 289 121 1296 3364 1024 2025 11180

3721 256 1764 2704 729 1 1521 484 11180

1936 3844 784 1369 196 2601 441 9 11180

11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180

FONTE: <www.multimagie.com>. Acesso em: 28 jan. 2020.

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MATEmáTiCA LÚDiCA

1 Construa um quadrado mágico de ordem 5. Para isso, pesquise como construir quadrados mágicos de ordem par.

Temos várias obras que descrevem métodos para a construção de quadrados mágicos, porém, muitas das referências encontradas na internet contêm propagandas e links não relacionados com o tema. Sugerimos o artigo publicado na Revista do Professor de Matemática, de Lenimar Nunes de Andrade, cujo link é http://www.rpm.org.br/cdrpm/41/3.htm. Esta página apresenta médodos interessantes para a construção de quadrados mágicos.

2.4 QUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO

Outro tipo de quadrado mágico é aquele cujo produto dos elementos de uma linha, ou coluna, ou diagonal é sempre o mesmo. Para encontrar estes quadrados podemos utilizar a seguinte fórmula:

a.b² 1 a².b

a² a.b b²

b a².b² a

Esta fórmula foi determinada a partir das matrizes A e B, que contêm os expoentes de “a” e “b”.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

Exemplos:

a) Fazendo a=2 e b=3 o produto será 216

18 1 12

4 6 9

3 36 2

b) Fazendo a=3 e b=4 o produto será 1728

48 1 36

9 12 16

4 144 3

1 Observe que os elementos de A e B (0, 1 e 2) foram distribuídos na matriz de forma que não houvesse repetição em nenhuma linha ou coluna. Ainda, perceba que foram trocadas apenas as colunas 1 e 3. Agora, utilize as matrizes de cada item a seguir para verifi car se o quadrado resultante mantém a propriedade multiplicativa (não esqueça de verifi car o produto dos elementos das diagonais).

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R.:

2 Construa duas outras matrizes A e B com “os expoentes” 1, 2 e 3 e

verifi que o que acontece.R.:

2.5 QUADRADO MÁGICO ESPECIALOutro tipo de quadrado mágico é bastante interessante. Observe a fi gura:

FIGURA 7 – QUADRADO MÁGICO ESPECIAL DE MÓDULO 64

17 15 19 27 13

9 7 11 19 5

11 9 13 21 7

8 6 10 18 4

13 11 15 23 9

FONTE: Adaptada de Gardner (1967)

Aparentemente, ele não segue nenhuma regra, porém, pode-se encontrar uma propriedade “mágica”. Escolha, ao acaso, um número, anote-o e ‘elimine’ os números da linha e da coluna onde ele se encontra. Repita o processo escolhendo outros números, até que reste apenas um número. No caso do quadrado apresentado, serão cinco números a serem escolhidos e a soma deles será sempre 64.

Este tipo de quadrado é gerado por dois conjuntos de números: 5, 3, 7, 15, 1 e 12, 4, 6, 3, 8. A soma desses números é 64. Escrevendo o primeiro grupo acima da primeira linha e o segundo ao lado da primeira coluna, podemos construir um quadrado cujos elementos são resultantes da soma dos números escritos acima da primeira linha com os que estão ao lado da primeira coluna. Você consegue perceber essa regra, notando que o número 17 é a soma de 5 e 12, o 15 é a soma de 3 e 12 e assim sucessivamente. Seguindo essa regra, determinam-se todos os outros elementos da tabela.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

FIGURA 8 – ELEMENTOS DA TABELA

5 3 7 15 1

12 17 15 19 27 13

4 9 7 11 19 5

6 11 9 13 21 7

3 8 6 10 18 4

8 13 11 15 23 9

FONTE: Adaptada de Gardner (1967)

Adotando-se um modelo com números genéricos e, para simplifi car, utilizando um quadrado 4 x 4, temos:

FIGURA 9 – QUADRADO GENÉRICO 4X4

a b c d

e a+e b+e c+e d+e

f a+f b+f c+f d+f

g a+g b+g c+g d+g

h a+h b+h c+h d+h

FONTE: O autor

A “mágica” pode ser verifi cada com mais facilidade na Figura 10. Por exemplo, escolhendo-se o elemento “c + f” e eliminando-se os demais da linha e coluna, onde está este elemento, eliminamos todas as demais letras ‘c’ e ‘f’.

FIGURA 10 – ‘ELIMINAÇÃO’ DA LINHA E COLUNA DO “C+F”

a b c d

e a+e b+e c+e d+e

f a+f b+f c+f d+f

g a+g b+g c+g d+g

h a+h b+h c+h d+h

FONTE: O autor

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Escolhendo outro elemento, como ‘a+e’ e eliminando os demais elementos da linha e coluna onde ele está, eliminamos da tabela todas as letras ‘a’ e ‘e’:

FIGURA 11 – ‘ELIMINAÇÃO’ DA LINHA E COLUNA DO ‘A + E’

a b c d

e a+e b+e c+e d+e

f a+f b+f c+f d+f

g a+g b+g c+g d+g

h a+h b+h c+h d+h

FONTE: O autor

Seguindo esta regra, a soma dos elementos escolhidos será sempre “a + b + c + d + e + f + g (Figura 12).

FIGURA 12 – SOMA DOS ELEMENTOS

a b c d

e a+e b+e c+e d+e

f a+f b+f c+f d+f

g a+g b+g c+g d+g

h a+h b+h c+h d+h

FONTE: O autor

Observação: faça outras ‘escolhas’ no quadrado e certifi que-se de que a regra proposta funciona sempre.

Como vimos, não importa quais números escolhemos para a, b, c, d, e, f, g. Veja dois exemplos:

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

Quadrado cujo número mágico é 20 Quadrado cujo número mágico é 72

1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

2 4 6 8

10 12 14 16 18

12 14 16 18 20

14 16 18 20 22

16 18 20 22 24

2.6 DETERMINAÇÃO DE UM QUADRADO MÁGICO ESPECIAL A PARTIR DE UM VALOR

Uma atividade interessante é o desafi o de construir um quadrado mágico especial que resulte em determinado número. Para construir o quadrado, proceda da seguinte forma:

• Determine o número de “casas” de cada linha e coluna (4x4, 5x5,...).• Peça para alguém escolher um número maior do que 30.• Mentalmente, subtraia esse número de 30 e divida o resultado pelo

número de casas.• Coloque o resultado da divisão em uma das “casas” do quadrado.• Preencha a linha (toda) com os números da sequência numérica (sempre

aumentando uma unidade a mais, a partir do resultado da divisão), em qualquer ordem.

• Preencha as outras linhas, continuando a sequência na mesma ordem de crescimento numérico da primeira.

Por exemplo, suponha que o número escolhido foi 75. Subtraindo de 30 e dividindo por 4, teremos 11,25. O quadrado fi cará:

16,25 15,25 17,25 18,25

12,25 11,25 13,25 14,25

20,25 19,25 21,25 22,25

24,25 23,25 25,25 26,25

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Para não utilizar números decimais e/ou fracionários, deve-se acrescentar, ao maior número de cada coluna, uma quantidade de unidades que “compense” a eliminação da parte decimal e/ou fracionária (0,25 + 0,25 + 0,25+ 0,25 = 1) . No exemplo dado, teríamos:

16 15 17 18

12 11 13 14

20 19 21 22

25 24 26 27

1 Se o número escolhido for menor do que 30, você encontrará números negativos. Isso mantém a “mágica”, mas deverá ser evitado caso a aplicação seja feita com alunos que desconheçam esses números. Elabore um quadrado com um número menor do que 30 para perceber esse fato.

R.:

2 Construa um quadrado com número mágico igual a 74.R.:

3 Determine outros quadrados mágicos, aditivos, multiplicativos e especiais.

R.:

3 ATIVIDADES EM GRUPOAs atividades pedagógicas realizadas por meio de jogos estão muito além

de serem consideradas como passatempo. Elas são, no mínimo, estimuladoras da socialização, da criatividade e do desenvolvimento intelectual. O exercício destas áreas facilita a condução do complexo processo de interiorização do conhecimento, desenvolvendo percepções e instintos.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

Muitos jogos auxiliam na abordagem das operações elementares e facilitam o processo de abstração dos conhecimentos sistematizados. Essa perspectiva está baseada no fato de que os jogos, e o processo dinâmico que eles promovem, favorecem a construção e a socialização do conhecimento.

Quando os jogos são realizados em grupo, consegue-se melhorar o espírito de cooperação, estimular a criatividade e promover a responsabilidade na busca de objetivos comuns. Assim, ainda que fi que caracterizada uma competição, os jogos promovem o espírito de corresponsabilidade e de respeito entre os jogadores.

A contribuição do jogo no processo educativo passa pela intencionalidade do professor. A escolha do tipo de jogo deve estar relacionada com o principal objetivo da sua aplicação. Se você quiser abordar determinado conteúdo, o jogo deve conter elementos de associação e/ou relacionados a esse conteúdo. Se a aplicação não tiver o foco em um conteúdo, você deve privilegiar atividades que despertem o interesse no conhecimento geral, na abstração e/ou na lógica.

Com uma pesquisa em publicações impressas e na internet você poderá encontrar diversos jogos. Hoje temos que ter muito cuidado para sugerir sites, pois eles contêm muitos patrocinadores e links para acesso de outros temas. Às vezes estes links podem não ser adequados ao nível dos alunos ou provocar problemas institucionais e paternais.

Para justifi car que os jogos são importantes instrumentos metodológicos e para motivar você a usá-los na sua prática, apresentaremos algumas atividades que poderão ser adaptadas a diversas fases.

3.1 ADIVINHAÇÃO DE UM NÚMEROEsta brincadeira é muito útil para se introduzir conceitos de sentenças

matemáticas. Primeiro, pede-se para que alguém pense em um número. Depois se orienta para que sejam efetuadas várias operações mentais com este número, até que se descubra o valor dele. As operações deverão estar associadas ao conhecimento que o aluno já possui e ao objetivo da ação pedagógica.

Por exemplo, ao pedir para que os alunos pensem em um determinado número, você pede para que eles façam o seguinte procedimento: acrescentem 3, subtraiam 10, acrescentem 7, subtraiam 10, acrescentem 6, acrescentem 4 e acrescentem 10. Após pedir a cada aluno a resposta depois de todas essas operações, você “adivinha” todos os números, basta subtrair o número que cada

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um disse de 10, que é o resultado de todas as somas. Esse procedimento permite dar um exemplo de soma de números inteiros e motivar os alunos a descobrirem a “mágica”.

Na abordagem de expressões algébricas este “jogo” é muito útil. Nesse caso, estimula-se o uso dos sinais gráfi cos e operações. Novamente, você pede aos alunos que pensem em algum número, multipliquem esse número por 3, adicionem 8, multipliquem por 5, somem 9, multipliquem por 6 e subtraiam o resultado de 294. Após cada aluno dizer o número resultante, você, de posse de uma calculadora ou mentalmente, divide o número dito por 90 e “adivinha” o número pensado por cada aluno. Após você provar que “é mágico”, peça aos alunos que escrevam a sentença que representa todas as operações e percebam como o truque funciona, ou seja:

{6. [5. (3x + 8) + 9] – 294}

Desenvolvendo, temos:

{6.[15x + 40 + 9] – 294 = 90.x + 294 – 294 = 90x

Após os alunos entenderem com funciona o truque, em outras palavras, a “mágica”, você pode sugerir que os alunos se reúnam em pares e proponham uma nova sequência de cálculos, anotando a sentença e desafi ando outros alunos. Você também pode aumentar o nível de difi culdade, desenvolvendo sentenças e operações mais complexas. Esse tipo de atividade é extremamente versátil e permite a você explorar várias operações.

3.2 NÚMERO MÁGICOEsta é uma brincadeira que encerra propriedades numéricas muito

importantes e auxilia na aprendizagem da subtração. A brincadeira consiste no seguinte: peça a alguém que pense em um número de três algarismos distintos, inverta-o e subtraia o maior do menor. A seguir, peça para que a pessoa diga o último algarismo do resultado e adivinhe o número obtido desta subtração. Como? A regra é que, no resultado da subtração solicitada, o número do centro é sempre 9 e a soma do 1º e do 3º também é sempre 9. Assim, se o algarismo dito for 5, o primeiro será 4 e o número resultante será 495. Pode-se incrementar a brincadeira solicitando que, após a primeira inversão e subtração, sejam efetuadas uma nova inversão e uma soma, obtendo-se, sempre, 1089.

Exemplo: número pensado: 641; invertido: 146; subtraindo: 641-146 = 495; invertendo de novo: 594; somando: 495 + 594 = 1089.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

Esse jogo foi sugerido por Paulo Nunes Almeida (1994) e pode ser uma boa alternativa para alunos que estão aprendendo a subtração, pois nessa operação alguns alunos têm difi culdade na subtração do ‘9 para o 9’.

3.3 A MAIOR VENCETendo como referência a proposta de Smole (2007), este jogo é de simples

execução, mas tem uma aplicação importante na comparação e na escrita de quantidades numéricas. Para tanto, você deve elaborar um conjunto de cartas com números que deseja que seus alunos saibam comparar. Forme duplas e distribua para cada aluno um conjunto de cartas.

Os alunos posicionam suas cartas em um monte, com todas viradas para baixo. Os dois viram, simultaneamente, a primeira carta de seu monte e comparam seus valores para ver quem venceu. O vencedor da rodada fi ca com as cartas. O jogo prossegue até que as cartas de cada monte inicial acabem e quem fi car com o maior número de cartas é o vencedor.

Os jogadores devem anotar as cartas de cada rodada e preencher uma tabela que o professor dispõe no quadro, ou entrega impressa.

FIGURA 13 – TABELA DO JOGO ‘A MAIOR VENCE’

Rodada Jogador 1 Jogador 2 Maior Número1ª2ª3ª

FONTE: O autor

As cartas podem ser elaboradas em uma folha de ofício e conter muitas variações. Como ilustração, apresentamos algumas cartas.

FIGURA 14 – CARTAS DO JOGO ‘A MAIOR VENCE’

35 -15 2/5 1/10 Cos 30º

0,01 Log 2 2% de 10 0,01 π

FONTE: O autor

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Conforme a fase, você deverá elaborar um conjunto apropriado de cartas. O número de cartas deve ser dimensionado de acordo com o tempo disponível para que todas as partidas acabem e o professor possa fazer suas considerações. Além disso, para fazer uma abordagem geral, você pode, ao fi nal do jogo, escrever os números das cartas no quadro e, com os alunos, colocá-las em ordem crescente e/ou de equivalência.

Esse jogo é muito útil para o caso dos números inteiros. Ainda, os tipos de cartas apresentados na opção “c” mostram o seu potencial, pois os alunos, tanto do oitavo ano quanto do Ensino Médio e da graduação, têm difi culdade em estabelecer equivalências de forma rápida.

Uma incrementação interessante é construir cartas com operações, equações e números. Nesse caso, os alunos deverão resolver as questões e compará-las com as do colega. Assim, percebe-se que esse jogo pode ser aplicado no Ensino Fundamental, Médio ou Superior, motivando e facilitando o aprendizado.

Uma variante desse jogo, para as séries iniciais, é o uso de um baralho comum, do qual são distribuídas as cartas do Ás até o 9, para cada aluno. Novamente, com as cartas viradas para baixo, os jogadores viram a carta superior de seus montes e as colocam na mesa. Na sua vez de jogar, cada um tenta completar um total de 10, com a sua carta e outras que estão na mesa. Após todos virarem todas as cartas dos seus montes, vence aquele que tiver “capturado” mais cartas (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2007).

O jogo fi ca mais interessante se o aluno tiver que compor uma combinação de operações elementares para obter o mesmo valor de sua carta. Por exemplo, após apresentar a carta 7 e estando na mesa as cartas 1,3, 5 e 8, o aluno pode apresentar a equivalência 7 = 3.5 – 8, conservando consigo estas cartas. Nessa variante, você pode fazer várias adaptações, como sugerir que os alunos retirem mais cartas de uma só vez, compondo números maiores. Por exemplo, de posse das cartas 3, 4 e 5, o aluno deverá encontrar o número 345. Na medida em que as operações se tornarem mais complexas, sugerimos que você permita o uso da calculadora.

3.4 JOGO DOS “PONTINHOS”Um jogo muito tradicional entre estudantes é o jogo dos pontinhos. Nele, os

jogadores se intercalam e unem dois pontos adjacentes na horizontal ou vertical. Quando o jogador completar um quadrado ele coloca a letra inicial do seu nome, porém podemos incrementar o jogo colocando valores nos possíveis quadrados e será o vencedor aquele que, após o término das possibilidades de “fechar” os

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quadrados, acertar a soma ou multiplicação, critério preestabelecido, dos valores que estão nos quadrados com a letra do seu nome.

Apenas como exemplo, considere que os números em vermelho representem um jogador e os números em azul o outro.

Outra possibilidade:

3.5 O REMADOREste jogo é muito interessante, pois permite que todos os alunos tenham

participação efetiva na solução de vários exercícios. Ainda, pela dinamicidade, ele promove a concentração e o espírito de cooperação nos grupos.

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Você deve formar os grupos com a quantidade de alunos equivalente ao número de questões a serem aplicadas. Sugere-se que esse número seja no máximo igual a 6, e que se entregue um número de 1 a 6 a cada participante do grupo. Caso não consiga que todos os grupos tenham o mesmo número de alunos, cuide para que não fi que apenas um grupo com um número maior.

Entregue a todos os alunos que tiverem o número 1 a questão “x”, aos que tiverem o número 2 a questão “y” e assim sucessivamente. Os alunos começam a resolver as questões e o professor determina um tempo limite para cada aluno resolver. Pode ser 1 ou 2 minutos. Após o término desse tempo, o aluno passa a sua questão para o colega da direita, até que a questão retorne àquele que a começou. Este, então, deverá fazer uma síntese de tudo o que foi escrito.

Após as sínteses, os alunos reúnem-se em novos grupos que tenham as mesmas questões. Esses grupos farão a síntese fi nal de cada questão e apresentarão suas respostas.

Esquemas com um exemplo em que os grupos diferem na quantidade de alunos:

Fase I Fase IIGrupo 1: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 1: 1, 1, 1, 1, 1Grupo 2: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 2: 2, 2, 2, 2, 2Grupo 3: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 3: 3, 3, 3, 3, 3Grupo 4: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Grupo 4: 4, 4, 4, 4, 4Grupo 5: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Grupo 5: 5, 5, 5, 5, 5 Grupo 6: 6, 6

Para avaliar o desempenho individual, você pode recolher todas as sínteses e observar as contribuições de cada aluno. Você também pode atribuir uma “premiação” para as questões corretas, desde que toda a turma receba a mesma “pontuação”. Isso seria uma boa variante de um trabalho em grupo, pois envolveria a responsabilidade de cooperação de toda a turma.

3.6 JOGOS COM ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

O uso de desafi os e jogos na prática educativa faz parte de estratégias que visam inserir, no contexto das diversas áreas do conhecimento, o entusiasmo, a motivação e o prazer de fazer e aprender. Nas aulas de Matemática, o uso de jogos signifi ca uma mudança no processo ensino-aprendizagem baseado na resolução de exercícios padronizados e repetitivos.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

O elemento jogo, que torna divertida a matemática recreativa, pode tomar vários aspectos: um quebra-cabeça a ser resolvido, um jogo de competição, uma mágica, paradoxo, falácia ou simplesmente Matemática com um toque qualquer de curiosidade ou diversão. Serão esses exemplos de matemática pura ou aplicada? É difícil dizer. Em um certo sentido a Matemática recreacional é matemática pura, não contaminada pela utilidade. Por outro lado, não deixa de ser matemática aplicada, pois vai ao encontro da universal necessidade humana de distração (GARDNER, 1967, p. 13).

3.7 JOGO DAS FIGURAS PLANASEste jogo tem como objetivo principal desenvolver a memorização e a

percepção visual e pode ser aplicado em vários contextos.

No quadro-negro, você desenha e apaga fi guras geométricas e seus respectivos nomes. Ao terminar, pede que os alunos reproduzam, em uma folha, o que foi escrito e na mesma ordem.

A atividade pode ser individual ou em grupo e deve ter regras bem defi nidas. Por exemplo, esperar alguns segundos antes de apagar cada fi gura, determinar um tempo máximo para que o aluno reproduza os desenhos e atribuir uma pontuação de avaliação. Esta pontuação pode ser como a sugerida no quadro.

QUADRO 1 – QUADRO PARA O JOGO DAS FIGURAS

Jogador/Grupo

Desenho e nome corretos, na ordem

correta(+5 pontos)

Desenho e nome corretos, fora de

ordem(+2 pontos)

Desenho correto e nome incorreto, na

ordem correta(-1 ponto)

Desenho incorreto e nome incorreto

(-2 pontos)

FONTE: O autor

Com criatividade, você pode adaptar esse jogo para quase todos os conteúdos. Por exemplo, pode-se exercitar as propriedades da potenciação, da radiciação, do Teorema de Tales, do Teorema de Pitágoras, entre outros.

3.8 BINGOJogos baseados no princípio do popular bingo são muito utilizados,

principalmente, na Educação Infantil e séries iniciais do Ensino Fundamental,

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mas, com adaptações, eles poderiam ser aplicados em séries mais avançadas.

O exemplo que apresentaremos tem como objetivo principal mostrar a variedade de possibilidades que podem ser criadas. Inicialmente, constroem-se dois dados de papel com nomes e propriedades de fi guras geométricas ou usa-se colando etiquetas.

Triângulo Quadrilátero Quatro lados

Três lados

Quatro vértices

Retângulo

Exatamente um eixo de

simetria

Pelo menos dois lados

iguais

Todos os lados

diferentes

Pelo menos um ângulo

reto

Quatro ângulos retos

Dois lados

paralelos

Depois se constrói um “tabuleiro” que contenha fi guras geométricas com as propriedades que constam nos dados.

Os alunos jogam em duplas e cada um lança os dois dados simultaneamente. Observando o que diz nas faces voltadas para cima, o aluno coloca uma “fi cha” na fi gura que combine com as informações dos dois dados. Se não encontrar esta fi gura, ele passa a vez para o outro.

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MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2

A regra para determinar o vencedor pode conter variações. Por exemplo:

Vence aquele que “preencher” primeiro uma linha, ou coluna, ou diagonal (como no jogo da velha).

Vence aquele que colocar mais fi chas consecutivas em uma linha ou coluna.

Este jogo pode ser utilizado em vários contextos, pois a adaptação está apenas na mudança do que está escrito nas faces dos dados. Isso permite que seja utilizado em outras áreas do conhecimento e repetido para a mesma turma em vários momentos. Ainda, pode-se eliminar o “tabuleiro” e pedir aos alunos que desenhem uma fi gura que satisfaça as propriedades. Neste caso, o jogo pode ser aplicado a toda turma de forma simultânea, facilitando a observação do professor quanto ao desempenho de cada aluno.

Uma variante desse jogo é a confecção de cartas com fi guras geométricas e propriedades, elaboradas pelos próprios alunos. Neste caso, o número de participantes pode aumentar para quatro ou mais, como em jogos tradicionais. A diferença é que ao invés de formarem “sequências numéricas” ou “ternas de números”, deve-se formar pares que combinem a forma da fi gura com a propriedade. A estrutura é clássica, cada um recebe três cartas e as demais fi cam sobre um monte, com as faces que contêm as informações voltadas para baixo. No ritmo do “pesque do monte e solte uma carta”, vence aquele que primeiro fi car sem cartas ou com o menor número de cartas após todas as cartas do monte serem retiradas.

Como já expusemos anteriormente, este jogo pode ser utilizado em vários contextos, como no estudo da tabuada, de frações, de produtos notáveis, das funções e de matrizes. Variantes que dependem apenas da criatividade do professor.

1 Na lógica do jogo do bingo, desenvolva dois dados com propriedades diferentes para serem aplicados após a abordagem de um conteúdo escolhido por você.

R.:

2 Pesquise outros jogos em grupos e também softwares educativos. No caso de softwares, prefi ra utilizar aqueles disponibilizados por instituições de ensino e que sejam freewares.

R.:

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4 ATIVIDADES LÚDICAS NA GEOMETRIA

O estudo de geometria tem uma importância além dos conceitos matemáticos, pois estimula e orienta conhecimentos e relações do cotidiano. No nosso dia a dia percebemos como é importante conhecer as estruturas geométricas básicas e suas propriedades.

Vivemos em meio a um mundo geométrico. Analisando alguns exemplos, temos, na bandeira nacional, as formas do losango, do retângulo, do círculo. Na arquitetura de alguns monumentos históricos, como as pirâmides, por exemplo, percebemos o triângulo em suas faces e, em sua base, o quadrado. Além disso, nas camisas sociais masculinas, as golas têm a forma do trapézio. Temos, ainda, cones de fi os, cones utilizados para sinalizar o trânsito. Pensemos: por que as latas de creme de leite ou de molho de tomate de diferentes marcas são cilíndricas? Por que os contêineres são paralelepípedos retângulos? Por que muitas estruturas, como as utilizadas em estádios de futebol, são mais estáveis quando formadas por triângulos?

É inquestionável a importância do estudo da geometria e muitos estudos apresentam uma variedade grande de metodologias. Entre elas, destacam-se: o uso de softwares, a utilização de materiais concretos e o desenvolvimento de atividades lúdicas.

4.1 DESAFIOS LÚDICOS COM PALITOS

Apresentaremos alguns desafi os que se tornaram populares por sua simplicidade aliada ao interesse em buscar sua solução. Destes, esta seção destaca as “charadas” com palitos de fósforo. Este modo lúdico de estimular o raciocínio torna-se muito efi caz para o processo educativo, que preza pelo estímulo do educando na busca da compreensão de conceitos formalizados, pelas diversas áreas do conhecimento.

Este tipo de brincadeira é muito comum na escola e em reuniões de amigos. Os desafi os são variados, desde brincadeiras sem contexto lógico matemático até estruturas próprias do ensino de geometria. Como exemplos de atividades que não estão relacionadas com propriedades geométricas e/ou algébricas, apresentaremos três desafi os.

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4.1.1 DESAFio 1: TirA E PÕERetire três palitos, acrescente dois e obtenha uma fi gura idêntica à original.

Veja os passos para a solução a seguir (ver próxima imagem). Note que é mais uma questão textual do que matemática, você retira três e depois repõe os dois que sobraram. Os alunos costumam chamar este tipo de desafi o de “pegadinha”, mas é muito interessante, pois exige uma abstração em torno da exclusão. Quando é dito para retirar três, poderíamos imaginá-los “fora de ação”.

4.1.2 DESAFio 2: NÃo moVA NENHum PALiTo E TorNE A EXPrESSÃo VErDADEirA

Este desafi o, a princípio, entra na classe dos contraditórios. Com posso não mover nenhum palito de uma expressão falsa e obter uma verdadeira?

Para que a identidade se torne verdadeira, basta a colocarmos em frente a um espelho ou virarmos a folha ‘de cabeça para baixo’. Veja a resposta:

A ideia deste desafi o é muito boa, pois se não podemos mover nenhum palito, a única alternativa é movermos a folha. Se os alunos não estiverem conseguindo resolvê-lo, uma boa dica é orientá-los para que desenhem a estrutura em uma folha, pois apenas com a presença dos palitos reais fi ca mais difícil perceber o

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truque. Como você pôde perceber, este desafi o pode ser aplicado em qualquer fase após a abordagem dos números romanos.

4.1.3 DESAFio 3: A SENTENÇA A SEGuir APrESENTA umA iGuALDADE FALSA. MoVA DoiS PALiToS, TorNANDo-A VErDADEirA

Para quem não se contenta enquanto não descobrir a solução, este desafi o pode ser uma tortura, pois difi cilmente associa-se questões com movimentos em fi guras com palavras. A resposta está logo a seguir, mas tente resolvê-lo sem olhá-la.

Independente da fase em que for aplicado esse desafi o, se a resposta não for descoberta, deve-se orientar os alunos de que não se trata de uma operação algébrica. Se ainda não descobrirem, pode-se dizer que a solução é pensar num número e como ele é escrito.

Como já dissemos anteriormente, o desafi o não deve ser objeto de reprimenda, ou seja, quando aplicamos um desafi o aos alunos não estamos querendo “apostar” com eles, queremos desafi á-los a raciocinar de formas variadas e não os limitar a modelos predeterminados.

Os desafi os com palitos permitem vários tipos de abordagem, mas deve-se priorizar a brincadeira como uma atividade lúdica. Como toda atividade desse tipo não importa se estão ou não relacionadas com algum conteúdo específi co. Assim, quando você propor um destes desafi os, motive os alunos a buscarem e/ou criarem novos desafi os.

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4.1.4 DESAFio 4: ESCrEVA 100 Com 6 PALiToS

Este desafi o serve como motivador para que você crie muitos outros na mesma lógica durante a abordagem de números romanos. Além disso, você pode formar grupos e realizar entre eles uma competição, em que cada grupo deverá resolver todos os desafi os elaborados pelos outros grupos.

Apresentaremos duas soluções de como escrever 100 com 6 palitos:

4.1.5 DESAFio 5: DESAFioS A PArTir DE umA ESTruTurA QuADrADA

A partir desta fi gura é possível propor vários desafi os. Veja mais exemplos a seguir. Note que o nível de difi culdade deve ser dosado de acordo com a fase em que for aplicado.

Exemplo 1: mova apenas dois palitos e obtenha seis quadrados.

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Exemplo 2: retire dois palitos e forme dois quadrados.

Exemplo 3: mova quatro palitos e obtenha dez quadrados.

Essas atividades podem ser aplicadas dividindo a turma em grupos. A motivação da descoberta fi ca associada a uma competição, de forma saudável. Esse procedimento ajuda aos que tiverem difi culdades a não desistir. Mesmo que eles se omitam no grupo, por qualquer motivo, certamente estarão atentos à solução e desenvolverão seus próprios conceitos.

Outra questão importante nesse desafi o é a percepção da dimensão dos quadrados, pois muitos podem tentar construir quadrados do mesmo tamanho. Esse é um dos motivos que geram esse tipo de desafi o, esperar que o aluno perceba fi guras semelhantes em dimensões diferentes, no mesmo contexto.

4.1.6 DESAFio 6: A CASA DE PALiToS

Nestes próximos desafi os, a disposição inicial dos palitos tem forma de uma “casa”. A partir dela resolva os seguintes desafi os.

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Exemplo 1: Construa 11 quadrados movendo apenas dois palitos.

Exemplo 2: Construa 15 quadrados movendo apenas quatro palitos.

O desafi o da “casa” merece todas as observações feitas no desafi o anterior, cuja estrutura inicial é um quadrado, com uma ênfase maior na questão do “tamanho” dos quadrados. Nesse desafi o é importante avisar que as respostas não terão mais a forma de “casa”.

Desafi os destes tipos podem ser facilmente criados, sem a necessidade de sua solução ser muito difícil. Pode-se começar desde o mais básico como: construa um quadrado com 4 palitos e ir evoluindo até estruturas mais complexas. Você não necessita fi car preso a modelos já prontos. A partir de uma estrutura que deseje chegar, é só ir desconstruindo-a até formar uma primitiva ou simplesmente propor a construção a partir de palitos avulsos.

Deve-se observar que quando conhecemos a resposta, tudo parece fácil, fi cando aquela sensação de que não vale a pena aplicar a atividade. No entanto, em termos de educação, desde o desafi o mais simples até o mais complexo, buscamos, através do lúdico, desenvolver competências cognitivas que não são mensuráveis pelo simplista padrão de análise “fácil versus difícil”.

4.2 DESAFIOS DOS NÚMEROS

Neste tipo de brincadeira, caso os alunos demorem muito a perceber do que se trata, a sugestão é que você esclareça que é apenas uma identidade numérica.

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Convém evidenciar novamente, que devemos evitar o “estresse” excessivo do aluno, senão o lúdico acaba não cumprindo a sua fi nalidade.

a) Desafi o 1: mova apenas dois palitos e torne a igualdade verdadeira.

Resposta:

b) Desafi o 2: troque um fósforo de lugar para que a igualdade a seguir seja realmente uma igualdade.

Respostas:

Ou

Estes dois desafi os podem ser aplicados nas séries iniciais do Ensino Fundamental e servem como modelos para o desenvolvimento de outros similares. Podem ser muito simples, como: movendo um palito, torne a expressão a seguir verdadeira.

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1 Desenvolva uma atividade utilizando palitos para ser aplicada com seus alunos, observando os seguintes critérios:

a) Indicação do objetivo da atividade.b) Identifi cação da(s) série(s) preferencial(ais) a ser(em) aplicada(s)

à atividade.R.:

2 Movimente quatro palitos e obtenha apenas três triângulos equiláteros, sem deixar palitos avulsos (que não pertencem a nenhum triângulo).

R.:

3 Na fi gura a seguir, mova apenas dois palitos e retire a “sujeira” da pá.

R.:

4 A partir da fi gura a seguir, mova 2 palitos e obtenha 4 quadrados iguais.

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R.:

5 Considere a estrutura:

a) Mova 3 palitos e obtenha 3 quadrados.b) Mova 4 palitos e obtenha 3 quadrados.R.:

6 Mova 2 palitos e obtenha 5 quadrados iguais.

R.:

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4.3 DESAFIOS GEOMÉTRICOSA literatura apresenta uma grande diversidade de atividades lúdicas que

envolvem elementos geométricos. Anteriormente, apresentamos alguns exemplos com o uso dos palitos. Na sequência, apresentaremos desafi os mais clássicos, na tentativa de motivá-lo a implementar outros.

4.3.1 DESAFioS No rETÂNGuLo1) Um retângulo foi dividido em 40 quadrados. Abaixo de uma das diagonais

(veja a fi gura a seguir), temos 14 quadrados inteiros e 12 quadrados incompletos. Juntando-se estes 12 incompletos, quantos quadrados inteiros eles formariam?

Resposta: 6 quadrados. O retângulo tem o total de 40 quadrados. Como a diagonal o divide ao meio, devemos ter 20 quadrados acima e 20 abaixo da diagonal. Abaixo da diagonal encontramos 14 quadrados completos, em amarelo. Assim, os “pedaços de quadrados”, abaixo da diagonal, devem somar 6 quadrados.

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2) Se a área do retângulo dado é 12 unidades de área, qual a área do trecho sombreado?

Resposta: Observe que a parte sombreada é igual a não sombreada. Assim, a área da região sombreada é a metade da do retângulo, isto é, 6 unidades de área.

4.3.2 DESAFioS NA CirCuNFErÊNCiA1) Na fi gura a seguir, o ponto O é o centro da circunferência. Qual a medida

do segmento ?

Resposta:

Observe que a diagonal AB é equivalente ao raio OP, ou seja 10 unidades.

2) (ENEM 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio r, conforme fi gura a seguir. A sua largada foi dada na

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posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o próprio atleta.

Se θ é a medida do ângulo que AF faz com FC, qual o valor em graus de θ, no momento da corrida em que o segmento AC medir r?

Resposta: Note que o segmento AF é um raio da circunferência, assim, quando AC medir r, o triângulo FAC será equilátero, ou seja, θ=60.

4.3.3 OuTroS DESAFioS rELACioNADoS Ao TEmA Do CAPÍTuLo

1) Faça apenas dois cortes na fi gura, junte os “pedaços” e forme um quadrado.

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Resposta:

2) A fi gura mostra dois bules de café que têm a mesma secção transversal. O segundo é mais alto que o primeiro. Qual deles pode conter mais café?

Resposta: Os dois podem conter a mesma quantidade de café, pois os bicos estão na mesma altura.

3) Para uma festa na escola os alunos receberam 12 bandeiras para disporem ao redor da quadra, de forma que cada lado contivesse 4 bandeiras, conforme fi gura a seguir.

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Um professor propôs a eles que tentassem dispor as 12 bandeiras, visto que cada lado tivesse 5 ou 6 bandeiras. Como seria a distribuição nestes casos?

Respostas: Com 5 bandeiras em cada lado.

Com 6 bandeiras em cada lado.

4) Com apenas três cortes, divida o bolo da fi gura em oito pedaços do mesmo tamanho.

Resposta:

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5 A SOCIEDADE SECRETA DE PITÁGORAS

Pitágoras nasceu em uma colônia grega chamada Samos e viveu entre 580 a 500 a.C., aproximadamente. Em uma de suas viagens, em Crotona, sudoeste do que hoje é a Itália, fundou uma sociedade secreta cuja base era o estudo da Matemática e da Filosofi a. Relatos históricos apontam que Pitágoras e seus discípulos criaram desafi os para quem quisesse participar da sociedade. A seguir, apresentaremos três destes desafi os.

5.1 PRIMEIRO DESAFIOPreencher todas as seções defi nidas pelos “círculos” olímpicos com um

número de 1 a 15, sem repetição. Ainda, a soma dos números de cada círculo deveria ser igual a um número primo. O total destas somas deve ser o mais alto possível. Será vencedor aquele que conseguir o valor mais alto. Qual seria a confi guração vencedora?

Resposta:

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5.2 SEGUNDO DESAFIOOs pitagóricos achavam que havia 17 tipos de alimentos proibidos e que

17 era o mais divino dos números primos. O segundo desafi o era arranjar três triângulos, sobrepostos, de maneira que formassem 17 intersecções, que seriam os locais dos alimentos proibidos. Tente vencer este desafi o, enumerando as intersecções.

Resposta:

5.3 TERCEIRO DESAFIOImagine uma plateia com 36 lugares com dois tipos de pessoas: os que usam

roupa vermelha e os que usam azul. Quatro de cada tipo devem ocupar a fi la da frente. Os de roupa vermelha preferem sentar atrás de um de roupa vermelha e outro de roupa azul. Os de azul preferem sentar atrás de dois outros de roupa azul ou dois de roupa vermelha. Fora as pessoas da primeira fi la, existem 11 de roupa azul e 17 de roupa vermelha. Como deve fi car a plateia?

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Resposta: Apresentamos duas respostas:

ALGUMAS CONSIDERAÇÕESO uso de jogos pedagógicos é sempre muito útil na abordagem dos conceitos

matemáticos. Durante o jogo, o aluno transfere a pressão do rigor matemático para o desafi o da vitória, mas, implicitamente, ele se apropria dos conceitos e torna o processo de formalização do conteúdo mais familiar.

Durante a execução dos jogos você deve mediar o processo para que este não se torne uma mera competição e desmotive aqueles que não conseguem vencer nunca. Este risco é bastante real e não existe uma “receita” para evitá-lo, porém, você deve procurar modos de ação que inibam a exclusão de alguns.

Você deve ter percebido que uma característica importante na seleção de

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jogos apresentados é o potencial que eles têm para podermos diversifi car suas aplicações atingindo vários níveis. Ainda, é fundamental perceber que as variações propostas para a formação dos grupos podem ser tomadas como referência para outras atividades que você já utilize em sua prática, como trabalhos de pesquisa e resolução de exercícios.

Lembramos sempre a você que defendemos o ensino formal e que as estruturas algébricas que coordenam e estruturam os conceitos matemáticos não devem ser colocadas de lado. O processo tradicional deve andar junto ao lúdico e sua aplicação é fundamental.

Esperamos que você tenha se estimulado a utilizar as atividades lúdicas apresentadas e que pesquise e/ou crie novas. Acreditamos que a prática pedagógica se tornará muito mais dinâmica e prazerosa, tanto para você quanto para seus alunos, quando houver um movimento em direção ao lúdico.

No aspecto das curiosidades e jogos desse capítulo, gostaríamos de reforçar que a escolha foi baseada na diversidade de suas aplicações. Qualquer professor, de qualquer área, pode utilizá-las.

É evidente que o professor deverá preparar seus alunos antes de aplicar os jogos, apresentando-lhes os conceitos básicos de cada estrutura, mas as atividades lúdicas ajudarão de forma muito intensa na compreensão deles.

REFERÊNCIASALMEIDA, P. N. de. Educação Lúdica: técnicas e jogos pedagógicos. 7. ed. São Paulo: Loyola, 1994.

BRENELLI, R. P. O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e aritméticas. São Paulo: Papirus, 1996.

GARDNER, M. Divertimentos Matemáticos. São Paulo: IBRASA, 1967.

KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. 5. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

MARQUES, J. H. da S. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos fi nais do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado). Universidade Federal do Rio Grande. Programa de Pós-Graduação em Matemática. Rio Grande, RS: FURG, 2017.

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PEGG JR., E. What are the smallest possible multiplicative squares? 2005. Disponível em: http://www.multimagie.com/English/Multiplicative.htm. Acesso em: 28 jan. 2020.

SILVA, R. J. da. Quadrados mágicos e sequências numéricas. São Paulo: [s.n.], 2018.

SMOLE, K. S. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CANDIDO, P. Brincadeiras infantis nas aulas de matemática. Porto Alegre: Artmed, 2007.

SOUZA, J. C. de M. e. Matemática divertida e curiosa. 12. ed. Rio de Janeiro: Record, 1999.

VOLPATO, G. Jogo, brincadeira e brinquedo: usos e signifi cados no contexto escolar e familiar. Florianópolis: Cidade Futura, 2002.

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CAPÍTULO 3

CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS

A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes objetivos de aprendizagem:

• Reconhecer a importância dos conceitos que regem as operações básicas.• Estimular os alunos a elaborarem desafi os numéricos.• Reconhecer padrões numéricos na Tabuada.• Estimular os alunos a pesquisarem sobre os temas apresentados.• Analisar o potencial de atividades lúdicas na prática educativa.• Adaptar enunciados de problemas na fase em que eles forem aplicados.

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

1 CONTEXTUALIZAÇÃOQuanto ao conhecimento matemático, a sociedade exige mais do que

somente saber contar e calcular. É necessário que sejam desenvolvidos o pensamento crítico e competências que favoreçam a resolução de problemas. Nesse sentido, deve-se priorizar o aluno como sujeito da aprendizagem e estimulá-lo a compreender os conceitos e técnicas matemáticas. Uma estratégia para esse fi m é o uso de desafi os lógicos, pois estes favorecem a motivação, o desenvolvimento de habilidades de observação, de análise, de interpretação, de linguagem e aptidões cognitivas.

A interiorização do conhecimento está intimamente relacionada com as representações sociais que cada um tem, relacionadas a fatos e situações do cotidiano. Nesse aspecto, o uso de atividades lúdicas, apropriadas a cada realidade e etapa da formação do aluno, favorece a aprendizagem voltada para o objetivo de promover um indivíduo autônomo. Essa aprendizagem é facilitada quando o aluno tiver espaço para expor suas ideias por meio da interação com o professor e seus colegas, deixando transparecer o modo como estrutura o conhecimento. A partir desse diagnóstico, o professor terá mais possibilidade de êxito ao propor estratégias de ação que venham a confi rmar o que os alunos assimilaram corretamente e/ou combater as difi culdades conceituais detectadas.

O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, refl exão, tomada de decisão, argumentação e organização, que estão extremamente relacionadas ao chamado raciocínio lógico (SMOLE, 2007, p. 11).

Para tanto, neste capítulo apresentaremos algumas curiosidades numéricas, atividades relacionadas a operações básicas, desafi os lúdicos, curiosidades e contextualizações algébricas. Você deve fi car atento aos detalhes que envolvem as atividades lúdicas apresentadas, para dimensionar o seu potencial e identifi car a(s) série(s) mais adequada(s) para sua aplicação. Outro fato relevante que você deve observar são as propriedades algébricas envolvidas e a necessidade de motivar os alunos a desvendá-las.

2 NÚMEROS ARÁBICOSOs algarismos que usamos no sistema de numeração são chamados de

arábicos. O nome está associado aos árabes que os popularizaram, porém, segundo a história, os fenícios já os utilizavam. No entanto, qual foi o critério

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utilizado para a escolha dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, para representar as quantidades um, dois, três…?

Os símbolos escolhidos estão relacionados com a quantidade de ângulos presentes em suas escritas primitivas.

FIGURA 1 – O SEGREDO DOS NÚMEROS

FONTE: <encurtador.com.br/fotzA>. Acesso em: 9 fev. 2020.

Essa curiosidade já rodou a lista de e-mails de muitas pessoas e de tempos em tempos ela volta a circular. Esse fato mostra que, independente da preferência ou não pelo estudo da Matemática, a maioria das pessoas se motivam e têm prazer em descobrir fatos curiosos e/ou históricos relacionados com a Matemática. Nossos alunos também gostam de sair da rotina tradicional, pelo menos de vez em quando.

2.1 NÚMEROS AMIGOSOs números amigos constituem um caso muito especial de curiosidade

matemática. Eles motivaram desde o misticismo cultural até a atenção de grandes matemáticos.

Dois números são chamados de amigos se cada um deles é igual à soma de todos os divisores próprios do outro. Lembramos que os divisores próprios de um número positivo “n” são todos os divisores inteiros positivos de “n”, exceto o próprio “n”.

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

O par de números amigos mais “apresentado” na literatura é formado pelos números 220 e 284 (SOUZA, 1999, p. 20), talvez pelo fato de serem os menores números amigos. Os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Somando esses números, obtemos 284.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142. Somando esses números, obtemos o resultado 220.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Os números amigos foram utilizados em magias, na astrologia, gravados em objetos para servirem de talismãs e, acredite, gravados em frutas que eram vendidas como afrodisíacas.

Muitos matemáticos dedicaram-se a descobrir pares de números amigos, entre eles Fermat, Euler e Descartes. Na sequência histórica, Fermat descobriu o par 17.296 e 18.416, Descartes descobriu um terceiro par, 9.363.584 e 9.437.056, e Euler encontrou mais 62 pares de números amigos.

Niccolò Paganini, um jovem italiano de 16 anos, descobriu em 1866 um par que os grandes matemáticos não tinham encontrado: o par 1.184 e 1.210.

Os primeiros 10 números amigos são:

(220,284), (1184,1210), (2620,2924), (5020,5564), (6232,6368), (10744,10856), (12285,14595), (17296,18416), (63020,76084) e (66928,66992).

No século XX, surge o conceito de “círculo de números amigos”. Esse conjunto é formado por três ou mais números, cuja soma dos divisores do primeiro é igual ao segundo, a soma dos divisores do segundo dá o terceiro, e assim por diante, até o último, cuja soma dos divisores dá o primeiro. Um exemplo é o círculo formado pelos números 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 e 14.264.

Fica evidente que o conceito de números amigos pode ser utilizado durante o desenvolvimento do conceito de números primos, mas ele pode ser aplicado como atividade lúdica em fases superiores. Você pode desafi ar seus alunos a descobrirem pares de números amigos, sem apresentar o link que dá acesso à página com os números. Após algum tempo de espera estratégica, é prudente indicar intervalos onde alguns se encontram, permitindo que usem a calculadora.

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Acesse o site da UFRN: www.ufrn.br e digite na busca: “sobre números amigáveis”, ou acesse o link:

https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/23788/1/Sobre%20n%C3%BAmeros%20amig%C3%A1veis.pdf.

2.2 NÚMERO MÁGICOUma mensagem muito comum na internet é atribuir ao número 1089 o apelido

de número mágico. Por quê? Siga os procedimentos.

• Escolha qualquer número de três algarismos distintos.• Escreva o número de trás para frente.• Subtraia o menor do maior.• Inverta o resultado da subtração.• Some o resultado da subtração com seu inverso.• O resultado sempre será 1089.

Veja que este enunciado tem problemas conceituais.

Por exemplo, 875. Escreveremos este número de trás para frente e subtrairemos o menor do maior: 875 - 578 = 297. Inverteremos esse resultado e faremos a soma: 297 + 792 = 1089 (o número mágico!)

Outros exemplos:

a) 123321 – 123 = 198198 + 891 = 1089

b) 706706 – 607 = 9999 + 99 = 198

c) 598895 – 598 = 297297 + 792 = 1089

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

d) 102201 – 102 = 9999 + 99 = 198

e) 056650 – 056 = 594594 + 495 = 1089

Perceba que os exemplos “b” e “d”, com o valor “0” na casa das dezenas, não resulta em 1089. Ainda, no exemplo “e”, apesar de o número “0” não ser signifi cativo, o resultado será 1089. Assim, o enunciado do problema deveria excluir a possibilidade do “0” na casa das dezenas.

É fácil perceber porque sempre resultará em 1089, mas o objetivo deste exemplo é evidenciar a necessidade de sempre testarmos os desafi os propostos antes de aplicá-los aos alunos ou divulgarmos como verdadeiros aos amigos.

2.3 O PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS

No livro ‘O Homem que Calculava’, encontramos o seguinte problema: “Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode fi gurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo, ou letra, ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim. etc.”.

Malba Tahan apresenta alguns números, como:

Este tipo de desafi o é muito interessante, mas deve-se ter o cuidado para qual fase ele pode ser aplicado. Por exemplo, escrever alguns números é relativamente fácil. Por exemplo:

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Entretanto, algumas soluções podem ser mais complexas. Veja outros exemplos:

Com inspiração nos exemplos dados, realize a atividade de estudo que segue.

1 Escreva os números de 1 a 20 com quatro quatros nas condições propostas.

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Como curiosidade, acesse a página do Prof. Dr. João Araújo: http://www.geomatica.eng.uerj.br/docentes/araujo/os_4_4s. Neste link, o professor apresenta quase todos os números de 0 a 104 escritos como uma combinação de quatro quatros.

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

2.4 DESAFIO NUMÉRICO NO QUADRADO

Um quadrado foi dividido em 25 quadrados. Em cada um destes devem ser colocados números, tal que, em cada linha, um número é sempre a soma dos dois que o antecedem. Qual número deve ser colocado na última casa da 5ª linha?

1 313 34

233987 6765

17711 46368

Resposta: 75025463368 – 17711 = 28657. Logo, 463368 + 28657 = 75025

1 Como exercício extra, encontre todos os números do quadrado e perceba que eles formam a sequência de Fibonacci.

R:

Sugestão de atividade para os alunos: pesquisar sobre a sequência de Fibonacci. Destaques: história; interpretação geométrica; sua relação com a natureza; o número de ouro; relação com o trabalho de Leonardo da Vinci; relação com o Triângulo de Pascal; aplicação no mercado fi nanceiro; aplicações na Arquitetura e linguagens de programação.

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Veja o Retângulo de Ouro (espiral de Fibonacci).

FIGURA 2 – ESPIRAL DE FIBONACCI NO RETÂNGULO DE OURO ASSOCIADO AO CARAMUJO

FONTE: O autor

2.5 DESAFIO DA “SOMA”Um desafi o muito difundido na internet e em redes sociais é o seguinte:

Supondo que:

1 + 4 = 52 + 5 = 123 + 6 = 21

Quanto valeria

8 + 11 =?

Considerando o símbolo de adição “+” como um operador lógico, pois os valores indicados não estão na lógica formal da soma algébrica, apresentaremos possíveis soluções.

Solução 1:

O resultado 1 + 4 = 5 está na forma padrão. Agora, 2 + 5 =12 e 3 + 6 = 21 foram obtidos somando-se o resultado anterior à forma padrão, ou seja:

1 + 4 = 52 + 5 = 7 + 5 = 123 + 6 = 9 + 12 = 21Seguindo este raciocínio, teremos:

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8 + 11 = 19 + 77 = 96

Solução 2:

Solução 3:

1+4 = 5 (1x4 = 4, 4+1 = 5)2+5 = 12 (pois 2x5 = 10, 10+2 = 12)3+6 = 21 (pois 3x6 = 18, 18+3 = 21)

Seguindo este raciocínio:

8+11 = 96 (pois 8x11 = 88, 88+8 = 96)

OBSERVAÇÕES:

a) Note que o desafi o foi construído a partir de uma operação preestabelecida. Assim, você pode criar outros desafi os de acordo com a fase em que estiver atuando. Por exemplo, a solução 3 poderia ser generalizada como:

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a * b = a x b + a, onde o símbolo do asterisco “*” representa a operação. Ainda, perceba que as primeiras e segundas “parcelas” da “soma” são números naturais sequenciais: 1,2,3,4,5,6,7,8 e 4,5,6,7,8,9,10,11. Assim, mantendo este padrão, poderíamos escrever uma nova sequência:

1 + 6 = 72 + 7 = 163 + 8 = 27, e assim sucessivamente.

Podemos alterar a operação para a * b = a x b + b, neste caso teríamos:

1 + 4 = 82 + 5 = 173 + 6 = 24, e assim sucessivamente.

Neste caso, a primeira soma não confere com o padrão: 1 + 4 = 5. Isto impacta na maneira como percebemos o desafi o, pois parece perder a “surpresa” dos demais resultados e até desmotivar a busca da solução.

b) Não é necessário manter-se a sequência das parcelas citadas com diferença de uma unidade, porém, se não mantivermos uma variação constante, a descoberta da fórmula torna-se muito mais difícil. Por exemplo, tente descobrir a operação realizada nos exemplos b1 e b2:

b1) b2)5 + 2 = 7 5 + 2 = 7 8 + 5 = 37 7 + 3 = 1711 + 8 = 85 10 + 6 = 5414 + 11 = 151 11 + 10 = 109

Nos exemplos foi utilizada a operação: a * b = a x b – (a – b), porém, parece que fi ca mais fácil descobrir a regra no primeiro grupo, pois a diferença entre as primeiras parcelas das “somas”, assim como entre as segundas parcelas, é sempre 3, enquanto que no segundo grupo esta diferença não é constante.

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1 Elabore um novo desafi o a partir das considerações apresentadas no desafi o anterior.

R.:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Uma mensagem de WhatsApp apresenta a seguinte imagem:

Tente descobrir “que bruxaria é essa”. R.:____________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.6 A TABUADAJá destacamos várias vezes a relevância de motivar os alunos e levá-los a

compreender que a Matemática pode ser interessante e divertida. As tabuadas do 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 apresentam algumas curiosidades que instigam e podem ser exploradas por você em qualquer série. Vamos exemplifi car pelas tabuadas do 2, 6 e 9.

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1 x 2 = 2 1 x 6 = 6 1 x 9 = 92 x 2 = 4 2 x 6 = 12 2 x 9 = 183 x 2 = 6 3 x 6 = 18 3 x 9 = 274 x 2 = 8 4 x 6 = 24 4 x 9 = 365 x 2 = 10 5 x 6 = 30 5 x 9 = 456 x 2 = 12 6 x 6 = 36 6 x 9 = 547 x 2 = 14 7 x 6 = 42 7 x 9 = 638 x 2 = 16 8 x 6 = 48 8 x 9 = 729 x 2 = 18 9 x 6 = 54 9 x 9 = 8110 x 2 = 20 10 x 6 = 60 10 x 9 = 90

Analisando os resultados, você percebe alguma “regra”? Observe que na tabuada do 2 a soma dos algarismos tem uma sequência de números pares seguida de números ímpares: 2, 4, 6, 8, 1 (1 +0) , 3 (1 + 2), 5 (1 +4), 7 (1 + 6), 9 (1 +8), 2 (2 + 0). Se você continuar multiplicando o 2 por 11, 12, 13, ..., essa sequência se mantém.

Na tabuada do seis também acontece uma sequência curiosa. A soma dos algarismos é 6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 12, 9, 6. A “sequência 6, 3, 9” é “quebrada” pelo 12 (8 x 6 = 48; 4 + 8 = 12), mas somando 1 + 2, resulta no 3. Continue multiplicando o 6 por 11, 12, 13, ..., e você perceberá que o padrão se mantém. Por exemplo, 2005 x 6 = 12030, cuja soma dos algarismos é 6. Já 1989 x 6 = 11934, cuja soma dos algarismos é 18 e 1 + 8 = 9.

Observe agora a tabuada do nove. Você percebe alguma “regra”? É fácil perceber que a soma dos algarismos é sempre nove. Essas curiosidades, quando descobertas pelos alunos, suscitam uma imensa motivação.

Outra curiosidade, não menos interessante, é a determinação das tabuadas do 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, a partir da tabuada do número anterior. Como exemplo, mostraremos a tabuada do 3 a partir da tabuada do 2 e a tabuada do 4 a partir da tabuada do 3. Veja como:

1x2 = 2 ; 2+1 = 3 (1x3 = 3)2x2 = 4; 4 +2 = 6 (2x3 = 6)3x2 = 6; 6 +3 = 9 (3x3 = 9)

4x2 = 8; 8 +4 = 12 (4x3 = 12)5x2 = 10; 10+5 = 15 (5x3 = 15)6x2 = 12; 12+6 = 18 (6x3 = 18)7x2 = 14; 14+7 = 21 (7x3 = 21)8x2 = 16; 16+8 = 24 (8x3 = 24)9x2 = 18; 18+9 = 27 (9x3 = 27)

10x2 = 20; 20+10 = 30 (10x3 = 30)

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1x3 =3; 3 +1 = 4 (1x4 = 4)2x3 =6; 6 +2 = 8 (2x4 = 8)

3x3 =9; 9 +3 = 12 (3x4 = 12)4x3 =12; 12 +4 = 16 (4x4 = 16)5x3 =15; 15 +5 = 20 (5x4 = 20)6x3 =18: 18 +6 = 24 (6x4 = 24)7x3 = 21: 21 +7 = 28 (7x4 = 28)8x3 =24; 24 +8 = 32 (8x4 = 32)9x3 = 27; 27 +9 = 36 (9x4 = 36)

10x3 = 30; 30 +10 = 40 (10x4 = 40)

Seguindo este processo, pode-se encontrar todas as demais tabuadas.

2.7 NÚMEROS CURIOSOSAlgumas operações realizadas com números “especiais” apresentam resultados,

no mínimo, curiosos. A apresentação dessas curiosidades estimula a imaginação dos alunos e pode ser muito útil durante a abordagem das operações elementares. Se você for atuar nas séries iniciais do Ensino Fundamental, algumas operações apresentadas aqui podem exigir muito tempo. Assim, sugerimos que você ‘libere’ o uso da calculadora, caso queira que os alunos encontrem sequências maiores. Você também pode sugerir que eles executem as operações com outros números e tentem encontrar outras curiosidades.

Os números aqui apresentados foram sugeridos por Souza (1999), mas você pode encontrar mais exemplos em Almeida (1995).

a) Potências de 11

11² = 121; 11³ = 1331; 114 = 14641

b) Potências Quadradas de 9, 99, 999, ...

9² = 8199² = 9801999² = 9980019999² = 9998000199999² = 9999800001

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c) O Número 142857

O número 142857 foi estudado por vários matemáticos e é considerado um número cabalístico. Veja algumas operações com este número.

Multiplicado por dois: 142857 x 2 = 285714Multiplicado por três: 142857 x 3 = 428571Multiplicado por quatro: 142857 x 4 = 571428 Multiplicado por cinco: 142857 x 5 = 714285 Multiplicado por seis: 142857 x 6 = 857142

Estas multiplicações resultam em um número que contém somente os algarismos do número 142857. Já, ao multiplicarmos por 7 e seus múltiplos, 14, 21, 28, etc., obtemos:

142857 x 7 = 999999.142857 x 14 = 1999998.142857 x 21 = 2999997. 142857 x 28 = 3999996.

Note que, se escrevêssemos 142857 x 7 = 0999999, a soma do primeiro com o último algarismo resulta em nove e esta propriedade continua válida para os múltiplos de 7.

Multiplicando o número 142857 por 8, obtemos 1142856. Nesse caso, o número 7 desapareceu, mas a soma do primeiro com o último dígito resulta em 7. Semelhante ocorre para 142857 x 9 = 1285713, em que desaparece o 4, que é a soma do 1 com o 3. Essa “propriedade” também acontece quando o número é multiplicado por 11, 12, 13, 15, 17 etc.

Os algarismos do número 142857 também aparecem nos períodos das dízimas 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7.

2.7.1 O NÚmEro 100A brincadeira com o número 100 consiste em escrevê-lo como uma

combinação de operações com os dígitos de 1 a 9. O primeiro desafi o é colocar sinais das operações elementares entre os dígitos de 1 a 9 que tornem a identidade a seguir verdadeira.

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

100 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Uma solução possível é: 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9

O segundo desafi o é escrever o número 100 como resultado de uma operação que contenha os dígitos de 1 a 9 sem repetição. Por exemplo:

Um terceiro desafi o é escrever o número 100 com operações entre números que sejam formados com um mesmo dígito. Por exemplo, escrever o número 100 com 4 noves:

Este tipo de atividade permite motivar os alunos a realizarem outras equivalências com outros números e com variadas operações. Almeida (1994, p. 194) salienta que, nas atividades que contemplam curiosidades numéricas, o professor deve “deixar que os alunos façam as operações e depois confi rmem os resultados, descobrindo as curiosidades e depois conversando sobre elas”. Desta conversa, além de possibilitar análises operacionais e numéricas, os alunos tendem a procurar novas curiosidades. Se esse fato ocorrer, a atividade cumpriu o importante papel da motivação.

1 Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo.

R.:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Desafi o dos nove. Usando 3 dígitos 9 e um símbolo de subtração, obtenha o número 1.

R.:________________________________________________________________________________________________________

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3 Determine o número composto de um par de algarismos 1, um par de algarismo 2 e um par de algarismo 3, de modo que entre os algarismos 1 haja um dígito, entre os 2 haja dois dígitos e entre os 3 haja três dígitos.

R.:________________________________________________________________________________________________________

4 Coloque sinais de soma, subtração, multiplicação ou parênteses nas operações indicadas a seguir, para obter cada um dos resultados apontados, de 1 a 10. Por exemplo, no caso de 11, poderíamos escrever:

4 + 3 x 2 + 1 = 11 ou 4 x 3 – (2 -1) = 11

R.:

3 MULTIPLICAÇÃO “DIFERENTE” DO PADRÃO

Após aprenderem o algoritmo da multiplicação, os alunos percebem como ele é útil em vários contextos. Aproveitando esta motivação, o professor deve fortalecer os conceitos que regem o algoritmo e explorar outras propriedades relacionadas. Neste contexto, apresentaremos algumas contextualizações.

1) Quando o aluno utiliza o algoritmo da multiplicação, geralmente, os professores ressaltam que ele deve começar a multiplicar pelo algarismo das unidades e ao multiplicar pelo algarismo das dezenas deve deixar uma casa em “branco”. É lógico que não existe lógica em deixar esta casa em branco. Assim,

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para motivar os alunos, ressalte que eles podem começar tanto pela unidade quanto pela dezena. Veja:

Ex. 75 x 69 Padrão mais utilizado

75 O correto seria: 75x69 x69675 675+ 450 - +45005175 5175

Multiplicação pela “esquerda” 75 75 x60 + x9

4500 6754500 + 675 = 5175

75x 6945006755175

Você também pode associar a multiplicação com a propriedade distributiva, a propriedade comutativa e o produto de binômios:

75 x 69 = 75 x (60 + 9) = 75x60 + 75x9 = 75x9 + 75x60 = 517569 x 75 = 69 x (70 + 5) = 69x70 + 69x5 = 69x5 + 69x70 = 517575 x 69 = (70 + 5) x (60 + 9) = 70x60 + 70x9 + 5x60 + 5x9 = 4200 + 630 + 300

+ 45 = 5175

2) Podemos utilizar o produto notável, a² - b² = (a + b).(a – b), para agilizar algumas multiplicações, bem como motivar os alunos quanto ao uso dele.

45 x 35 = (40 + 5).(40 – 5) = 40² - 5² = 1600 – 25 = 157557 x 63 = (60 – 3).(60 + 3) = 60² - 3² = 3600 – 9 = 359138 x 22 = (30 + 8).(30 – 8) = 30² - 8² = 900 – 64 = 836

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3.1 PROBLEMA DAS SOBRASVários problemas, com contextos variados, apresentam a mesma indagação:

Onde foi parar o 1? Malba Tahan propôs um destes desafi os. Depois eles foram adaptados a vários contextos, talvez o mais famoso é o caso do restaurante, onde três amigos devem dividir uma conta de 30 reais. Pesquise na internet o enunciado e a solução.

Vamos apresentar outro exemplo clássico.

Um menino queria comprar uma camisa por R$ 97,00. Como não tinha dinheiro, pegou 50 reais emprestado da sua mãe e 50 reais emprestado de seu pai. Ele comprou a camisa e, do troco, deu 1 real para seu pai, 1 real para sua mãe e fi cou com 1 real. Agora, ele deve 49 reais para sua mãe e 49 reais para o seu pai.

R$ 49 + R$ 49 = R$ 98 + R$ 1 = R$ 99

Onde foi parar o outro R$ 1,00?

Resposta:Se ele recebeu R$ 100,00 e devolveu R$ 2,00 é como se tivesse pego R$

98,00, gasto R$ 97,00 e fi cado com um real de troco. Assim ele não pode somar R$ 98,00 ao “suposto R$ 1,00 para resultar em R$ 99,00. O troco já está embutido nos R$ 98,00.

Poderíamos montar a seguinte sentença:

R$ 50 + R$ 50 (- R$ 2) = R$ 100 (- R$ 2)

R$ 49 + R$ 49 = R$ 98

R$ 49 + R$ 49 = R$ 97 + R$ 1

(onde esse “+ R$ 1” é o troco que fi cou com o menino).

1 O fi lho de um professor de matemática pediu a ele um dinheiro para comprar crédito para o seu celular. O pai disse a ele que daria a metade do que possuía em sua carteira caso ele descobrisse que valor tinha na carteira. Para tanto, ele deu as seguintes

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

informações ao fi lho: possuo menos de R$ 200,00; separados em grupos de onze, sobraria um real; contados de 9 em 9 não sobraria nenhum. Quantos reais o pai tinha na carteira?

R.:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 O som das seis badaladas do sino de uma igreja, para indicar as 6 horas, demora 5 segundos entre a primeira e a última. Quanto tempo passou entre a primeira e a quarta badalada?

R.:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3 Os espaços vazios do esquema a seguir devem ser preenchidos só com os números 0 e 1. Os algarismos colocados devem ser somados como no exemplo. Só valem as somas de cima para baixo e as da esquerda para a direita. O resultado deve ser igual aos números das casas sombreadas. Despreza-se esta soma se não houver casa sombreada a direita ou abaixo.

Exemplo

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R.:

Na Matemática, chama-se capicua ou Alfanúmero Palíndromo uma sequência de algarismos que resultam no mesmo número quando lido da esquerda para a direita ou da direita para esquerda. Exemplos: 14541, 123321.

A capicua mais famosa é aquela relacionada a horas e datas. Observe: 20h e 02min de 20 de fevereiro de 2002, quando escrito só com os algarismos, teríamos: 20 02 20 2002. Ainda, se dividirmos por 5, teremos: 10h01min do dia 10 de janeiro de 1001, ou 10 01 10 01 1001. Outra data: 11h11min do dia 11 de novembro de 1111.

Agora, observe a data: 21h21min de 12/12/2222. Neste formato não teríamos uma capicua, porém podemos escrever: 12/12/2222 às 21h21. Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Lembramos que o calendário que usamos, atualmente, é o Gregoriano, vigente desde 1585, anteriormente era o calendário Juliano. Por isso, fi ca difícil precisar se existiram outras datas com esta característica.

4 LETRAS E SÍMBOLOS POR NÚMEROS

Uma atividade bastante comum nos desafi os que envolvem as operações elementares é encontrar os valores que um conjunto de letras ou símbolos devem assumir para que as expressões se tornem verdadeiras. Este tipo de atividade é bastante simples de ser criado, porém requer muito cuidado com a apresentação de sua solução. Este alerta serve para o professor que tiver a tendência de

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

algebrista. Ele não deve se exceder na demonstração de soluções algébricas caso este não seja o objetivo da aplicação da atividade, ou seja, se o professor estiver explorando o desenvolvimento de equações ou sistemas lineares, a atividade com letras é muito útil e pode-se justifi car a utilidade das estruturas algébricas como facilitadoras na obtenção da resposta. Ainda, esta forma de apresentação permite a verifi cação da (não) unicidade da solução.

Apresentaremos, a seguir, alguns exemplos de atividades que utilizam letras ou símbolos no lugar de números.

1) Determine o valor de cada letra na multiplicação a seguir:

6 A Bx C 7

D D 4 BE 3 B

C F 7 G B

As operações deste tipo permitem uma observação importante dos critérios de compreensão do conceito de multiplicação. O aluno pode resolvê-lo tanto por “tentativas” como por deduções lógicas. Por exemplo, como a multiplicação de “6AB” por 7 resulta em DD4B, devemos encontrar um número B que multiplicado por 7 resulte em um número com unidade também B. Assim, só podemos ter 7*5 = 35, ou seja, B=5. Outra dedução é que C=1, pois “6AB * C = E3B0 (E3Bzero).”

Neste tipo de atividade é fundamental que você acompanhe a forma como os alunos deduzem os números e/ou solicite que eles relatem como procederam.

2) Uma operação de multiplicação combinada com uma adição está indicada no esquema a seguir. Substitua as letras pelos algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, para identifi car o valor de cada letra.

A BX CD E

+ F GH I

Resposta: 1 7 X 4 6 8 + 2 5 9 3

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3) Preencha os quadrados com os dígitos de 1 a 9, sem repeti-los, e obtenha os resultados indicados.

Resposta: 842 + 591 367 1800

4) Uma atividade que pode ser utilizada tanto no Ensino Fundamental como no Médio e no Superior é uma sequência de operações com fi guras no lugar de números. Por exemplo, nas sentenças que seguem, cada símbolo representa um número diferente; símbolos iguais representam o mesmo número. A soma das quatro primeiras linhas está indicada com números de verdade. Descubra o resultado da quinta, que só contém dois números.

Observe que o fato de omitirmos o sinal “+” é proposital. Escreva a sentença com os sinais para perceber como a “imagem” da sequência se transforma em nossa mente. Os mais “algébricos” já fi cam induzidos a substituir os símbolos por variáveis e resolvem o problema por meio de sistemas lineares. Aliás, este é um exercício muito bom para a introdução desse tópico tão importante.

Trocando os símbolos por letras, teríamos:

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

x + y + z + w + z = 23w + x + z + w = 26 y + z + x =12w + x + y = 17y + w = a

Resolvendo o sistema, temos y + w = 10. Ou seja, a soma 0 + Δ vale 10

5) Os emojis da soma a seguir representam números. Sabendo que

vale 8, determine o valor dos demais.

Resposta 9 2 3 8 0+ 9 2 3 8 01 8 4 7 6 0

Para obter esta resposta e facilitar a representação, substitua os emojis por letras.

a b c d e+ a b c d e f d g h k e

Observe que “e” vale zero e “f” vale um. Como “d” vale 8, temos que “k” vale 6 e “a” vale 9. Assim, temos:

9 b c 8 0+ 9 b c 8 01 8 g h 6 0

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Se c ≥ 5 temos 2b + 1 = g. Se c < 5 temos 2b = g. Assim, b ≤ 4. Como 1 e 0 já existem, sobram 2, 3 ou 4, mas 4 é absurdo, pois “g” seria 8 ou 9, que já existem. Se b = 3 levaria g = 7, pois k = 6. Neste caso, c ≥ 5, o que é absurdo, pois c = 5 leva a h = 1, c = 6 leva a h = 3, que é o valor de b, c = 7 seria o valor do “g” e c = 8 ou 9 já existem. Logo, b = 2, g= 4, c= 3 e h= 7. Se g = 5, teríamos c ≥ 5, o que conduz a absurdos.

1 Uma operação de multiplicação combinada com uma adição está indicada no esquema a seguir. Substitua as letras pelos algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, para identifi car o valor de cada letra.

A B X C D E + F G H I

R.:

2 Encontre um número de seis algarismos, sabendo que o primeiro é um 2, mas se esse 2 for passado para trás, o novo número será o triplo do primeiro.

R,:

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS

No Ensino Fundamental, os professores utilizam vários exercícios que orientam e consolidam a ordem de execução das operações e sinais gráfi cos na resolução de expressões algébricas, porém, quando estas expressões são difundidas na internet ou redes sociais, provocam dúvidas. Acreditamos ser um problema para análise de psicólogos, visto que há uma infl uência muito grande na forma de proposta do problema. Algumas expressões que antecedem estas questões infl uenciam as pessoas, como: “Polêmica”, “Nenhum matemático conseguiu explicar”, “Só superdotados conseguem resolver” etc.

Como exemplo, é comum recebermos mensagens com expressões como:

Polêmica 32 : 2x(3 +5) = 2 ou 128?

É evidente que o professor de Matemática fi ca indignado com possíveis dúvidas geradas, mas é muito comum isto acontecer.

A importância do conhecimento das propriedades algébricas é ressaltada em várias obras, em postagens na internet, em questões de olimpíadas, através de expressões que causam certa perplexidade, motivando uma análise criteriosa. Você já deve ter lido algo como: 1=2? , 0 =1?. Vejamos alguns exemplos que podem ser usados para motivar os alunos a estudarem com mais atenção as propriedades algébricas.

a) Suponha que x = 1. Multiplicando ambos os membros por x, temos: x.x = 1.x ou x² = x.

Adicionando (-1) em cada membro, temos:

x² + (-1) = x + (-1) ou x² - 1 = x – 1 ⇒ (x+1).(x – 1) = (x – 1)

Dividindo ambos os membros por (x – 1) temos: x + 1 = 1. Como por hipótese x = 1, temos:

1 + 1 = 1 ou 2 = 1. Como pode isso? Onde está o erro?

Observação: uma variante deste exemplo é:

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x + 1 = 1 ⇒ x + 1 + (-1) = 1 + ( -1) ⇒ x = 0

Contrariando a hipótese de que x = 1. Ou seja, só seria verdade se 0 = 1.

b) Sabe-se que 1 = (- 1)² . Aplicando a raiz quadrada em ambos os membros temos: . Simplifi cando, no segundo membro, o índice 2 pelo expoente do (-1), temos 1 = -1. Onde está o erro?

c) . Onde está o erro?

d) Sabemos que, no conjunto dos números complexos, i² = -1 ou . Analise a expressão a seguir e justifi que onde está o erro. (Esta questão foi aplicada na olimpíada de matemática).

Repostas:a) Neste primeiro caso, temos algumas observações importantes.

• Quando propomos a multiplicação de uma equação por uma variável é necessário especifi car que esta deve ser diferente de zero, ou seja: multiplicando ambos os membros por x ≠ 0, temos: x.x = 1.x ou x² = x. Esta equação pode ser escrita como x² - x = 0 ou x.(x – 1) =0, onde decorre que x = 0 ou x – 1 =0. Como por hipótese x ≠ 0 temos que x – 1 = 0 ou x = 1.

• Os axiomas dos números reais apresentam duas operações: multiplicação e adição. Assim, a partir da expressão (x + 1).(x – 1) = (x – 1) deveria ser proposto: multiplicando ambos os membros por 1/(x-1) e não dividindo por (x – 1) . Neste caso, deveria ser acrescentado que x ≠ 1 . O que contraria a hipótese de que x=1.

b) A simplifi cação do índice com o expoente do radicando só é possível se a base não for negativa.

Por exemplo, um erro comum é simplifi car a expressão sem considerar (x – 1) ≥ 0. O mais correto seria aplicar a defi nição , ou seja

c) A propriedade é válida se, e somente se, a ≥ 0 , b ≥ 0 e n ≠ 0. Cabe ressaltar que vários sites e páginas da internet não fazem esta observação. Faça uma breve pesquisa na internet, inclusive no quesito “imagens”, e você encontrará a maioria das propriedades sem apontamento das restrições.

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d) Mesmo erro apontado no item c.

6 PROBLEMAS COM BALANÇASNuma feira do interior, um vendedor ainda utiliza uma balança de pratos. Um

comprador pediu duas unidades do produto B e duas do produto C. O feirante propôs ao comprador um desafi o. Ele disse que daria 20% de desconto no total da compra se descobrisse quantos quilogramas cada produto tem, sabendo que:

• Um “peso A” equilibraria a balança com os quatro produtos.• Um “peso A mais dois produtos B equilibram 4 produtos C.• O produto mais leve tem 5 quilogramas.

Quantos quilogramas têm o “peso A” e cada produto, B e C? (Veja as imagens a seguir).

OBS.: colocamos entre aspas “peso A” por causa da utilização dele no cotidiano. No entanto, sabemos que o correto seria “um objeto de massa A”.

Resposta

Pela resolução, percebemos que B é o mais leve. Assim, B = 5kg, C= 10kg e A = 30kg.

Observe que se não fosse informado que o mais leve tem 5 kg, teríamos a solução genérica A = 6B e C = 2B.

Problemas desse tipo são fáceis de serem criados. Basta que você monte um sistema com solução prevista e elabore um texto que esteja de acordo com as equações. Não se preocupe em buscar uma aplicação prática “real”. O que importa é a motivação que o problema pode criar.

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1 Um presente custou R$ 110,00. O conteúdo custa R$ 100,00 mais que a embalagem. Qual os valores do conteúdo e da embalagem?

R.:

2 Em um campeonato de futebol, o primeiro critério de desempate é o número de vitórias. Na 20ª rodada os times A e B irão se enfrentar. Se o time A ganhar, faltará mais uma vitória para que o número de vitórias seja igual ao de B. Se o time B vencer, o número de vitórias de B será o dobro do de A. Qual o número de vitórias de A e B na rodada 19ª?

R.:

3 Um feirante utiliza uma balança com defeito. Ao colocar um peso de 1kg no prato esquerdo, ele equilibra oito batatas colocadas no direito. Quando o peso é colocado no prato direito, ele equilibra duas batatas colocadas no outro. Sabendo que todas as batatas têm o mesmo peso, determine este peso.

Esse problema apresenta uma situação inusitada e ao mesmo tempo potencialmente difícil de ocorrer, porém, ele nos deixa intrigados e isto é muito bom em aplicações lúdicas. Você acha que ele tem solução?

R.:

7 DESAFIOS COMPLEMENTARESNeste tópico apresentaremos atividades em vários contextos, que podem

ser utilizadas como motivadores, sem a necessidade de estarem vinculadas a um conteúdo específi co.

Alguns problemas que motivam a observação de detalhes poderiam ser classifi cados como “pegadinhas”. Apresentaremos quatro exemplos que podem ser aplicados desde as primeiras fases do Ensino Fundamental.

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CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS Capítulo 3

1) Entrei em um ônibus que tinha 20 passageiros. Na primeira parada desceram 5 pessoas e entraram 2. Quantas pessoas fi caram no ônibus após essa parada?

Resposta: 1820 – 5 + 2 = 17 + motorista = 18

2) Meu avô tem 4 fi lhos, cada fi lho tem 4 fi lhos. Quantos primos eu tenho?Resposta: 12, pois 3 são meus irmãos.

3) Um menino achou, caído na rua, R$ 150,00 em duas cédulas, mas uma não era de R$ 50,00. Quais os valores das cédulas encontradas?

Resposta: R$ 100,00 e R$ 50,00. Uma não era de R$ 50,00, mas a outra era.

4) Qual a próxima letra na sequência a seguir?

U D T Q C S S O N ?

Resposta: D. As letras são as iniciais dos nomes dos números naturais: um, dois, ..., dez.

Outros problemas mais elaborados podem ser motivadores para anos fi nais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio.

5) O Pac-Man é uma série de jogos de videogame. O objetivo da maioria dos jogos da série é percorrer um labirinto, comendo pontos, pontos energizantes, frutas e fugindo de fantasmas. Foi criado por Toru Iwatani, da empresa Namco, e lançado em 1980. No Brasil fi cou conhecido pelo apelido de “come-come”. Vamos supor uma tabela com o Pac-Man e um morango.

Quantos caminhos diferentes o Pac-Man pode usar para chegar até o morango, sendo que ele só pode se mover uma casa para a direita ou para baixo? (O jogo real permite retornar, mas neste caso seria impossível determinar a quantidade de caminhos). Este problema pode ser encontrado com diversos

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personagens: Sonic, Frodo (Personagem de senhor dos anéis em busca do anel), personagens de Game of Thrones e a busca do trono de ferro etc. A solução deste desafi o é apresentada como uma combinação de possibilidades de movimentos horizontais (H) e verticais (V). Note que não contamos a “casa” onde o Pac-Man está, mas contamos a “casa” do morango, pois o Pac-Man deve “comê-lo”. Por exemplo:

H H H V V VH H V V H VH V H V V H...........................Determinando todas as possibilidades encontraremos um total de 20. Esta

forma de obter o resultado pode ser aplicada em diversas fases do Ensino Fundamental, Médio e Superior.

Uma forma mais elaborada de obter a resposta seria a utilização do conceito de permutações. Como são três opções H e três V, podemos calcular o total possível utilizando permutação por repetição.

6) Um problema muito difundido na internet pergunta: se um tijolo “pesa” 1 Kg mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio?

RespostaSe um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo é lógico que ele está dividido em sua

metade e se uma metade pesa 1 kg a outra também. Logo 1 tijolo e meio pesam 3 kg.

7) Um recipiente possui 8 litros de um determinado líquido. Se você dispõe de mais dois recipientes vazios de 5 litros e 3 litros, como proceder para obter, exatamente, 4 litros nos recipientes de 5 e 8 litros?

Um recipiente possui 8 litros de um determinado líquido. Você precisa obter dois recipientes com 4 litros cada, porém, você só dispõe de mais dois recipientes vazios, um de 3 e outro de 5 litros. Como proceder?

Resposta: Seguimos os seguintes passos: Enchemos a vasilha de 3 litros. Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros. Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros.

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Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1 na de 3. Esvaziamos a de 5 no barril. Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5. Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá 1+3 = 4. No barril sobram 4 litros para o outro amigo.

a) b)

8-3=5 vazia 3 litros vazia3 litros5 litros

c) d)

2 litros 3 litros 3 litros 2 litros 5 litros 1 litros

Capacidade 8 litros

Capacidade 5 litros

Capacidade 3 litros

e) f)

7 litros vazia 1 litros 7 litros 1 litros vazia

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7-3=4 1 litro 3 litros vazia4 litros4 litros

8) Na fi gura a seguir, temos uma pizza e pedaços de outra pizza. Os pedaços foram obtidos sempre cortando o pedaço anterior ao meio. Imagine que você pudesse dividir ao meio de forma infi nita, ou seja: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 ... Qual o valor desta soma infi nita?

Resposta: Apesar de ser impossível representar de forma infi nita os pedaços de pizza, os pedaços formariam outra pizza. Assim, teríamos no total 2 pizzas, ou seja:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ... = 2

9) Com três traços retos, cruze todos os pontos.. . . . Resposta

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Com quatro traços retos, cruze todos os pontos.. . .. . .. . .

Resposta

10) Em um dia chuvoso de verão, os irmãos Dylan e Austin estão se distraindo com diversos jogos enquanto o avô deles observa a brincadeira. Depois de ganhar duas partidas de xadrez, três de poker e cinco de pingue-pongue, Austin decide desafi ar Dylan para um desafi o fi nal. Austin pega um cofre cheio de moedas que está no balcão, enquanto Dylan esvazia a mesa quadrada da cozinha.

O jogo é bem simples na explicação de Austin. Os irmãos colocam, uma vez cada um, uma moeda sobre a mesa. Quem fi car primeiro sem espaço para por sua próxima moeda perde a competição. Não vale, claro, empurrar ou apertar um pouquinho. O perdedor dá ao vencedor a sobremesa do jantar. Logo antes do início do jogo, Austin pergunta a Dylan em um tom arrogante: “quem vai primeiro, você ou eu?”.

Dylan pede um conselho para seu avô. O avô sabe que ele está cansado de perder todos os jogos para seu irmão. Qual dica o avô dá para Dylan?

FONTE: <https://www.nsa.gov/news-features/puzzles-activities/puzzle-periodical/2016/>. Acesso em: 6 fev. 2020.

Resposta: Dylan precisa ser o primeiro. Fazendo isso, Dylan pode garantir a vitória

logo de cara por meio de uma estratégia deliberada. Em sua primeira jogada, ele pode posicionar uma moeda bem no centro da mesa. Como ela é quadrada,

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e, portanto, simétrica, sempre que Austin posicionar uma moeda na mesa, Dylan poderá “espelhar” o posicionamento no quadrante oposto. Por exemplo, se Austin colocar uma moeda no canto superior esquerdo da mesa, Dylan deverá por sua moeda no canto inferior direito. A estratégia assegura que sempre que Austin encontrar um espaço vazio, Dylan encontrará também. A consequência é que Austin obrigatoriamente fi cará sem espaço antes de Dylan.

11) No happy hour da fi rma, Todd propõe um desafi o a seus colegas. Bruce e Ava são escolhidos para participar primeiro. Todd põe uma nota de US$ 100 na mesa e explica o jogo. Bruce vai tirar uma única carta aleatória de um baralho comum, e Ava também. Ambos colocarão as cartas na própria testa, de forma que todos, menos o próprio possuidor da carta, possam vê-las. Os jogadores não podem trocar informações entre si de nenhuma forma.

Bruce e Ava irão, alternadamente, escrever em um papel um palpite sobre a cor de suas próprias cartas (vermelho ou preto). Se qualquer um dos dois acertar, ambos ganham US$ 50 cada um. Se ambos errarem, não ganham nada. Todd dá a Bruce e Ava cinco minutos para criar, antes de começar, uma estratégia que possa garantir que ambos sairão do bar com US$ 50 no bolso.

Qual estratégia Bruce e Ava deverão utilizar para ganhar o jogo?

FONTE: <https://www.nsa.gov/news-features/puzzles-activities/puzzle-periodical/2016/>. Acesso em: 6 fev. 2020.

Resposta:Suponha que “V” represente uma carta vermelha e “P” uma carta preta. Há

quatro possibilidades possíveis para as combinações dos dois: que as cartas de ambos sejam pretas (PP) ou vermelhas (VV), ou que elas sejam uma preta e a outra vermelha (PV) ou o inverso (VP). Basta Bruce supor que sua carta é da mesma cor que a de Ava (o que cobre os casos PP, caso a carta dela seja preta, e VV, caso seja vermelha) e Ava supor que sua carta seja diferente da de Bruce (o que cobre os casos PV e VP). Um deles necessariamente estará certo, e, se eles empregarem a estratégia corretamente, será impossível perder o jogo.

O francês Pierre de Fermat (1601-1665) estendeu a fórmula usada por Pitágoras para calcular as laterais do triângulo retângulo (a2 + b2 = c2), mas explorando outras potências (an + bn = cn).

Segundo ele, usando variáveis com números inteiros, não existiria nenhuma solução para a equação quando o valor da potência “n” fosse maior ou igual a 3. Fermat fez esta afi rmação na

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margem de um livro, em 1937, mas nunca publicou a demonstração.Muitos matemáticos tentaram construir uma prova ao longo

dos séculos, mas falharam, até que o inglês Andrew Wiles, em 1994 apresentou uma solução, provando que Fermat estava certo.

Em 2016, Wiles ganhou o prêmio Abel. Hoje, o teorema em questão é chamado de Teorema de Fermat-Wiles.

O prêmio Abel (em norueguês AbelPrisen) foi instituído em 2002, por ocasião do bicentenário do matemático Niels Henrik Abel.

1 No labirinto a seguir, só se pode passar de um número a outro se ambos estiverem ligados e forem cubos de inteiros. Por exemplo, pode-se passar de 1 a 8, mas não de 4 a 27. Nestas condições, encontre o caminho com partida e saída no número 1, conforme indicam as setas.

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FONTE: REVISTA GALILEU. Eureca: a Matemática divertida e emocionante. São Paulo: Globo, 2003.

R.:

2 Cruze todos os pontos com 6 traços retos.. . . . . . . . . . . . . . . .

R.:

3 Em grupos de WhatsApp, muitos enviam um vídeo de um menino japonês que tem que resolver um desafi o, com o seguinte texto: “A professora pediu ao aluno que corrigisse a operação 5 + 5 + 5 = 550, sem apagar nada, nem rasurar, apenas colocando um pequeno traço”. Tente resolver este desafi o.

R.:

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ALGUMAS CONSIDERAÇÕESSabemos da importância da Matemática no contexto social e temos a

responsabilidade de difundir os seus conceitos. Estes constituem ferramentas essenciais para que todos tenham condições de avaliar, comparar, dimensionar e relacionar grandezas que cercam o cotidiano.

O agente essencial para que essa dimensão se torne efetiva é o docente. Este, independente da área de atuação, tem a responsabilidade de incentivar e demonstrar que a Matemática é essencial dentro do contexto social. O agente mais efetivo nesta dimensão é o professor de Matemática. Ele é responsável pela disseminação dos conceitos matemáticos, independentemente do nível de atuação. Desde a Educação Infantil até a pós-graduação, o professor de Matemática é aquele que detém a maior responsabilidade de disseminar esses conceitos e fazê-los ter sentido aos alunos.

A principal perspectiva desse livro foi mostrar a você que o uso do lúdico pode facilitar a ação do docente no processo de conduzir os alunos a compreenderem os conceitos matemáticos.

É fundamental que você tenha compreendido que a ação docente, pautada na responsabilidade que a função exige, é facilitada quando premia a composição de estruturas formais com as lúdicas. O uso de atividades lúdicas faz com que o educando se familiarize com os conceitos de um modo menos formal e mais “tranquilo”. Essa esperada tranquilidade é sempre muito tênue, mas ajuda a derrubar o mito de que poucos privilegiados têm competências de dominar os conceitos matemáticos.

REFERÊNCIASALMEIDA, P. N de. Educação lúdica: técnicas e jogos pedagógicos. 7. ed. São Paulo: Loyola, 1994.

ARAÚJO, J. Os quatro cantos. 2007. Disponível em: http://www.geomatica.eng.uerj.br/docentes/araujo/os_4_4s. Acesso em: 6 fev. 2020.

BRENELLI, R. P. O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e aritméticas. São Paulo: Papirus, 1996.

EULER, L. Sobre números amigáveis [recurso eletrônico]. Natal, RN: EDUFRN, 2015.

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FREIRE, J. B.; VENÂNCIO, S. (orgs). O jogo dentro e fora da escola. Campinas, SP: Autores Associados, 2005.

KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. 5. ed. São Paulo: Cortez, 2001.

REVISTA GALILEU. Eureca: a matemática divertida e emocionante. São Paulo: Globo. 2003.

REVISTA SUPER INTERESSANTE. Sob o domínio de Saturno. São Paulo: Abril, 1991.

SMOLE, K. S. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007

SOUZA, J. C. de M. Matemática divertida e curiosa. 12. ed. Rio de Janeiro: Record, 1999.

VOLPATO, G. Jogo, brincadeira e brinquedo: usos e signifi cados no contexto escolar e familiar. Florianópolis: Cidade Futura, 2002.