Matemática para CG - PUCRSsmusse/FCG/PDFs/BackgroundMath.pdf38 • Ângulo entre dois vetores (b e c)– Mais importante aplicação do produto escalar Vetores > –Produto Escalar

1

Matemática para CG

Soraia Raupp Musse

2

Sumário

• Introdução

• Revisão Matemática

– Vetores

– Matrizes

3

Introdução

• Em CG, trabalha-se com objetos definidos em um mundo 3D

• Todos os objetos têm forma, posição e orientação

• Precisamos de programas de computador que descrevam esses objetos e como a luz interage com eles, de forma que o valor do pixels possam ser computados

4

• Dois conceitos matemáticos ajudam enormemente em CG:

– Análise e álgebra vetorial

– Transformações

• Com estas duas diciplinas saberemos:

– Como descrever os objetos geométricos de uma cena

– Como converter idéias geométricas para números

• Como resultado tem-se uma coleção de algoritmos úteis em CG

Introdução

5

Revisão Matemática - Vetores

• Por que vetores são tão importantes para CG?

– Utilizados para resolver problemas que seriam dificilmente resolvidos via outro método

– Aritmética vetorial provê uma maneira unificada de se expressar idéias geométricas algebricamente

– Ray-Tracing

6

Exemplos – Ray-Tracing

Fonte: www.povray.org

7

Rendering

reflexão especular

refração

sombraseye

image

Principais fenômenos que podem acontecer na

interação entre luz e objetos

reflexão difusa

Olho virtual

8

Mais Exemplos

9

10

11

Mais Exemplos

12

Exemplos – Ray-Tracing

13

• SRs mão direita e mão esquerda


14

• Geometricamente, vetores são objetos com comprimento e direção

• Podem representar diversas entidades físicas, como força e velocidade

• Notação matemática (seta ou bold)

• Applet http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/applets.html


Q

Pv

l)dimensiona -n(Vetor ),...,,(

Ponto) vetor (Ponto

vetor)um é pontos dois de (Diferença

21 nvvvv

PvQ

QPv

http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/applets.html

15

Vetores Especiais

i

j

k

i

j

k

azkayjaxia

azkayjaxia

a

16

• Vetores unitários padrões

Vetores – Produto Escalar

kjiv

kcjbiaa,b,c

,,k,,,j, ,,i

152)1,0,0(1)0,1,0(5)0,0,1(2)1,5,2( :Ex

)100()010()001(

17


i

j

k

i

j

k

azkayjaxia

azkayjaxia

a

Inversão de vetores: MULT(-1)

azkayjaxia

.1

Como ficaria -1.a?

18


• Magnitude, tamanho (sempre positivo) ou módulo do vetorDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

...

),...,,(

22

2

2

1

21

m

m

vvvv

vvvv

Dedução matemática!!!

19



• Origem em Pitágoras

...

),...,,(

22

2

2

1

21

m

m

vvvv

vvvv

ax

ay

az

a=axi+ayj+azk

20



• Origem em Pitágoras

...

),...,,(

22

2

2

1

21

m

m

vvvv

vvvv

ax

ay

az

a=axi+ayj+azk

222 azayaxa

2

3

2

2

2

1

2 lllh

21

• Vetor Unitário (magnitude = 1)

– Algumas vezes é interessante normalizar um vetor, tornando-o unitário


1ˆ ,5

4,

5

3ˆ e 5 ),4,3( :Ex

ˆ

aaaa

a

ax

a

ay

a

ax

a

aa

22

Para você fazer:

:a tário vetor Unido Módulo

:a unitárioVetor

:a de Módulo

:)matemática notação a com (escreva calcule ),3,2( Sendo a

23

Resultado:

:a tário vetor Unido Módulo

:a unitárioVetor

:a de Módulo

:)matemática notação a com (escreva calcule ),3,2( Sendo a

1ˆ

83,0,55,0 6055,3

3,

6055,3

2ˆ

6055,3 31

)3,2(

a

a

a

a

24


• Operações Básicas:– Soma de Vetores

)5,8,7()1,5,2()6,3,5()(

)7,2,3(

)1,5,2(

)6,3,5(

baba

ba

b

a

bx by bzbax ay aza

25

• Operações Básicas:

– Soma de Vetores


)5,8,7()1,5,2()6,3,5()(

)7,2,3(

)1,5,2(

)6,3,5(

baba

ba

b

a

bx by bzbax ay aza

(5,3)

(-2,-5)

(3,-2)

(7,8)

26


– Soma de Vetores


Lei do paralelograma:•Transporta paralelas•Diagonal=Soma

(5,3)

(-2,-5)

(3,-2)

27


– Multiplicação por Escalar


)36,30,12(.6

)6,5,2(

a

a

28

• Combinação Linear

– Utilizado para splines e representações paramétricas


escalares. são ,...,, onde , ... 212211 mmm aaavavavav

29

• Soma de Vetores

– Propriedades da adição: a,b,c (vetores) e k,l (escalares)


vaDistributibkakbak

vaDistributialakalk

aAssociativaklalk

aAssociativcbacba

Comutativaabba

30

Com você outra vez…

bkak

alak

alk

cba

ba

, - e l),k,,(c

b),,(a

:responda15120

),2,1,5(,342 Sejam

31

Respostas:

)5,15,35()(

)12,16,8()(

)15,20,10(

)2,5,7(

)1,3,7(

:responda15120

),2,1,5(,342 Sejam

bakbkak

lkaalak

alk

cba

ba

, - e l),k,,(c

b),,(a

32

• Produz um escalar

– Ex: v = (2, 3, 1), w = (0, 4, -1) = 11

• Propriedades– Comutativa: a.b = b.a

– Distributiva: (a+c). b= a.b +c.b

– Associativa: (sa).b = s(a.b)

– Produto Escalar de b com ele mesmo é o quadrado do comprimento de b

Entre Vetores – Produto Escalar

n

i

ii

nn

wvwvd

wwwwvvvv

1

2121

. .

),,...,,( e ),...,,(

bbb

.2

33

• Uma aplicação interessante é achar o cosseno do ângulo entre 2 vetores.

– Exemplo de aplicação


34

• Ângulo entre dois vetores (b e c)

– Mais importante aplicação do produto escalar


Dedução matemática!!!

35




bb bbybbx

bybxb

doLei

sin cos

:cosseno

alpha

bx

by

36




bcbc

bcbc

cc

bb

bb

cbcb

cbcbcb

ccc

bbb

bbybbx

bybxb

doLei

sinsincoscos.

sinsincoscos.

)sin,cos(

)sin,cos(

sin cos

:cosseno

37




bcbc

bcbc

cc

bb

b

cbcb

cbcbcb

ccc

bbb

bbx

bybxb

doLei

sinsincoscos.

sinsincoscos.

)sin,cos(

)sin,cos(

cos

:cosseno

cb

cbcb

cbcb

bababa

bc

ˆ.ˆcos

c) e b entre ângulo( cos.

)cos(.

temos),sin()sin()cos()cos()cos( Como

38




bbbc

bbbc

cc

bb

b

cbcb

cbcbcb

ccc

bbb

bbx

bzbybxb

doLei

sinsincoscos.

sinsincoscos.

)sin,cos(

)sin,cos(

cos

:cosseno

cb

cbcb

cbcb

bababa

bc

ˆ.ˆcos

c) e b entre ângulo-( cos.

)cos(.

temos),sin()sin()cos()cos()cos( Como

O cosseno do ângulo entre dois vetores é o produto escalar

destes vetores normalizados

39

• Calcule o ângulo entre os vetores:

Para você fazer...

)2,5( e )4,3( cb

40


• Ex:

• Conversão de graus em radianos e radianos em graus?

)(54,0

)(deg325.31cos85422.0ˆ.̂

)3714.0,9285.0(ˆ ,5

4,

5

3ˆ

385.5 ,5

)2,5( e )4,3(

radianos

reescb

cb

cb

cb

radianosgraus 1416,3180

41

• Ex:

• Sinal de b.c e Perpendicularidade


325.31cos85422.0ˆ.ˆ

)3714.0,9285.0(ˆ ,5

4,

5

3ˆ

385.5 ,5

)2,5( e )4,3(

cb

cb

cb

cb

0 b.c 90 se 0cos

0 b.c 90 se 0cos

0 b.c 90 se 0cos

b.c>0

b.c=0 (Perpendiculares)

b.c<0

42

• Produz como resultado um vetor perpendicular aos dois vetores operandos

• Válido para 3D

Vetores – Produto Vetorial

zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

bbb

aaa

kji

ba

kbabajbabaibababa

ba,,b,bbb ,,a,aaa

43


• Válido para 3D


zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

bbb

aaa

kji

ba

kbabajbabaibababa

ba,,b,bbb ,,a,aaa

(aybz-azby)i

44


• Válido para 3D


zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

bbb

aaa

kji

ba

kbabajbabaibababa

ba,,b,bbb ,,a,aaa

-(axbz-azbx)j(-axbz+azbx)j(azbx-axbz)j

45


• Válido para 3D


zyx

zyx

xyyxzxxzyzzy

zyxzyx

bbb

aaa

kji

ba

kbabajbabaibababa

ba,,b,bbb ,,a,aaa

(axby-aybx)k

46

• Normal de um Plano– Importante aplicação do produto vetorial

– P1, P2 e P3 sempre determinam um plano

• a = P2 – P1

• b = P3 – P1

– axb = Vetor normal ao plano

– Ordem influencia:

• axb<>bxa


47

Rendering

reflexão especular

refração

sombraseye

image

Principais fenômenos que podem acontecer na

interação entre luz e objetos

reflexão difusa

Olho virtual

48

Matrizes

• Arranjo retangular de elementos

• Matriz com m linhas e n colunas é dita matriz mxn

• Matriz Quadrada: m=n– Exemplo (2x2, 3x3, 4x4)

• Matriz Identidade:

• Vetor Linha: 1xn

• Vetor Coluna: nx1

100

010

001

I

1

1

1

111

C

L

49

• Scale:– Multiplica cada elemento

da Matriz por um fator de escala

• Soma:– Se duas matrizes têm o mesmo número de

linhas e colunas, elas podem ser somadas (mesma forma)

Matrizes - Operações

121266

541836

0486

301218

6A

141477

632142

0567

351421

6AA

34

2211

936

081

523

A

50

• Matriz Transposta:– Troca linhas por colunas

(útil para calcular a matriz inversa)

• Matriz Inversa:– B.B-1=I


43

2905

21382

1613

TA

34

2211

936

081

523

A

218.25.1det

212.85.1det

58

21

52

81

T

T

B

B

B

B

51

• Produto:– Definido somente se matrizes são conformes

• Número de colunas de A(mxn) = Número de linhas de B(nxp), resultando em matrix C que será de dimensão (mxp)

– Propriedades (A,B,C são conformes)• (AB)C = A(BC)

• A(B+C) = AB+AC

• (A+B)C = AC+BC

• (AB)T=BT AT


2011

1311

1415

85

13

11

26

1750

0418

3602

:Ex

52

• Produto:

– Definido somente se matrizes são conformes

• Número de colunas de A(mxn) = Número de linhas de B(nxp), resultando em matrix C que será de dimensão (mxp)

2.6+0.-1+6.3+-3.-5=12+0+18+15=45

2.2+0.1+6.1+-3.8=4+0+6-24=-14

8.6+1.-1+-4.3+0.-5=48-1-12+0=35

8.2+1.1+-4.1+0.8=16+1-4+0=13

0.6+5.-1+7.3+1.-5=0-5+21-5=11

0.2+5.1+7.1+1.8=0+5+7+8=20


2011

1335

1445

85

13

11

26

1750

0418

3602

:Ex

53

Vamos trabalhar de novo? ☺

1

2

1

644

105

312

54

Resultado:

10

4

1

1

2

1

644

105

312

55

De novo? AB=CCalcule C

425

301

43

12

B

A

56

Resultado

25823

223

425

301

43

12

C

B

A

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