MATEM+üTICA FINANCEIRA HP 12C

Matemática Financeira Aplicada

MATEMÁTICA FINANCEIRA E COM HP-12C

Profº: SEVERINO GOMES DOS SANTOS

São Paulo/2007

1


Sumário

1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C.............................................................................................................. 4

1.1 TECLA [ON] .............................................................................................................................................. 4

1.2 TECLA [ . ] ................................................................................................................................................ 4

1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO ..............................................................................................................4

1.3.1 TESTE Nº 1 (USANDO AS TECLA [ON] E [X]). ....................................................................................4

1.3.2 TESTE Nº 2 (USANDO AS TECLA [ON] E [+]). ....................................................................................5

1.3.3 TESTE Nº 3 (USANDO AS TECLAS [ON] E [:]) ...................................................................................5

1.4 TECLADO ................................................................................................................................................. 6

1.4.1 A TECLA [F] ........................................................................................................................................... 6

1.4.2 TECLA [G], ............................................................................................................................................. 6

1.4.3 TECLADO BRANCO .............................................................................................................................. 6

1.5 LIMPEZA DE REGISTRO ........................................................................................................................ 7

1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( USANDO AS TECLAS [ON] E [-] .........................................................................7

1.5.2 LIMPEZA DO VISOR ............................................................................................................................. 7

1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” A “ 6 ”) ...............................................................7

1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM....................................................................................................................... 7

1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS ........................................................................................7

1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS ................................................................................................8

1.6 TECLA [CHS] OU CHANGE SIGNAL ......................................................................................................8

1.7 TECLA [STO] OU (STORE) ...................................................................................................................... 8

1.8 TECLA [RCL] OU (RECOLL) .................................................................................................................... 8

1.9 TECLA [YX]................................................................................................................................................ 8

1.9.1 POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................................... 9

1.9.2 RADICIAÇÃO : ....................................................................................................................................... 9

1.10 TECLA [1/X] ........................................................................................................................................... 9

1.11 TECLA [%T] E [X><Y] ............................................................................................................................ 9

1.12 TECLA [%] .......................................................................................................................................... 10

1.13 TECLA [%] ............................................................................................................................................ 11

1.14 CÁLCULO EM CADEIA,........................................................................................................................ 11

2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA..................................................................................12

2


2.1 CONCEITOS BÁSICOS ......................................................................................................................... 12

2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS .......................................................................................12

2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA ........................................................................................................13

2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS..............................................................................................................13

2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ............................................................................................................14

3. JUROS SIMPLES ...................................................................................................................................... 15

3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES ......................................................................................................15

3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL ..................................................................................................19

3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES ...............................................................................................20

3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS...............................................................................................................21

4. JUROS COMPOSTOS............................................................................................................................... 24

4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS ................................................................................................24

4.2 VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE (M) .........................................................................................24

4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ..................................................25

4.4 FUNÇÃO “C” NA HP 12C, TECLAS [STO] E [EEX]..............................................................................25

4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)............................................................................................26

4.6 PRAZO (N)............................................................................................................................................... 27

4.7 FUNÇÃO [FRAC] E [INTG] .....................................................................................................................27

4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS ...............................................................................28

4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS........................................................................................29

4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS..............................................................................................................29

5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS...................................................................................................32

5.1 TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................ 32

5.1.1 PROGRAMA PARA TAXA EQUIVALENTE COM HP 12C .................................................................33

5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE..................................................................................................................34

5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (COM TAXAS VARIÁVEIS) ..............................................................35

5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS........................................................................................................................ 36

5.5 TAXA REAL DE JUROS.......................................................................................................................... 36

5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS...................................................................................................38

6. DESCONTOS............................................................................................................................................. 39

6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO” .....................................................................39

6.2 DESCONTO BANCÁRIO, OU COMERCIAL OU “POR FORA ..............................................................39

6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS:..............................................................................40

3


6.3.1 PRAZO MÉDIO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOS..............................................................................41

6.4 DESCONTO COMPOSTO ...................................................................................................................... 42

6.4.1 RELAÇÃO EM TAXAS DE DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO ...................................................42

6.5 EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO ........................................................................................................43

7. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS ..............................................................................................44

7.1 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO “POSTECIPADA” .........................................44

7.2 VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE “POSTECIPADA” ................................................................45

7.3 NÚMERO DE PRESTAÇÕES DE UMA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO “POSTECIPADA”......45

7.4 CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME “POSTECIPADA”....................46

7.5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS “ANTECIPADOS”....................................................................46

7.5.1 FÓRMULAS PARA SÉRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS........................................................46

7.5.1.1 FÓRMULA DO VALOR PRESENTE..................................................................................................46

7.5.1.2 FÓRMULA DA PRESTAÇÃO ...........................................................................................................46

7.6 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME......................................................................................47

7.7 EXERCÍCIO SOBRE SÉRIES DE UNIFORME DE PAGAMENTOS .......................................................48

8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .........................................49

8.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) .............................................................................49

8.2 SISTEMA PRICE (OU FRANCÊS) DE AMORTIZAÇÃO ........................................................................49

9. APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ..............................................................................50

9.1 TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) ....................................50

9.2 VALOR DA PRESTAÇÃO DE LEASING.................................................................................................51

9.3 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA PELO CONCEITO DO VALOR ATUAL .....................................52

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................. 53

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1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C

Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou seja, estaremos mostrando os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática financeira.

1.1 TECLA [ON]

Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora permanecer ligada sem uso, será desligada automaticamente entre 7 e 8 minutos aproximadamente.

1.2 TECLA [ . ]

Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e padrão dólar. Vamos considerar o seguinte exemplo:

R$ 1.425,56 (padrão brasileiro)US$ 1,425.56 (padrão dólar)

Esta conversão será feita da seguinte forma:

a) mantenha a calculadora desligada;

b) pressione a tecla [.] e segure;c) pressione a tecla [ON] e solte.

Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e vice-versa.

1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO

A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento, uma espécie de controle de qualidade, que permite ao usuário uma maior confiabilidade do produto.

1.3.1 TESTE N.º 1 (usando as tecla [ON] e [x]).

Procedimentos:1) mantenha calculadora desligada;2) pressione a tecla [ON] e segure;3) pressione a tecla [x] e segure;4) solte a tecla [ON];5) solte a tecla [x].

Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando, significando que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no visor o seguinte:

Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de reparos, mas se o resultado for exatamente o resultado do TESTE Nº 1, a calculadora estará pronta para o uso.

1.3.2 TESTE N.º 2 (usando as tecla [ON] e [+]).

5

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,

USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM


Procedimento:1) mantenha a calculadora desligada;2) pressione a tecla [ON] e segure;3) pressione a tecla [+] e segure;4) solte a tecla [ON];5) solte a tecla [+];6) pressione e solte qualquer tecla, exceto a tecla [ON].

Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na duração de execução, que é indeterminado, portanto, para completar o teste é necessário cumprir o procedimento nº “6”, logo após aparecerá o seguinte:

Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido.

1.3.3 TESTE Nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])

Procedimento:

1) mantenha a calculadora desligada;2) pressione a tecla [ON] e segure;3) pressione a tecla [:] e segure;4) solte a tecla [ON];5) solte a tecla [:].6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita , de cima para baixo, ou

seja, a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+]. Lembre-se, deve-se pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será pressionada duas vezes, tanto na linha 3, bem como na linha 4.

Após o procedimento concluído , aparecerá no visor o nº “12”, assim como nos testes anteriores, a calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento não for realizado corretamente, aparece à expressão “ERRO 9”. Neste caso a calculadora necessita de conserto.

6

- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,

USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM


1.4 TECLADO

O teclado da calculadora HP-12C, é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá ser utilizada de três maneiras.

1.4.1 A TECLA [f]

A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas:

1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as funções em amarelo da calculadora;

2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número, será apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor.

Veja o exemplo:

Digite o número 2,428571435 e siga os procedimentos:

Procedimento (teclas)

Visor

[f] e [9] 2,428571435[f] e [8] 2,42857144[f] e [7] 2,4285714[f] e [6] 2,428571[f] e [5] 2,42857[f] e [4] 2,4286[f] e [3] 2,429[f] e [2] 2,43[f] e [1] 2,4[f] e [0] 2,[f] e [9] 2,428571435

1.4.2 TECLA [g]

Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL.

1.4.3 TECLADO BRANCO

Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade tudo o que é mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, como vimos para funções em amarelo e azul.

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1.5 LIMPEZA DE REGISTRO

Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou informações, que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora.

1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( usando as teclas [on] e [-] )

Procedimento:1) mantenha a calculadora desligada;2) pressione a tecla [ON] e segure;3) pressione a tecla [-] e segure;4) solte a tecla [ON];5) solte a tecla [-].

Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão “PR ERROR” indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas foram apagados, ou seja, a calculadora ficará zerada. Portanto, devemos tomar muito cuidado ao executar este procedimento.

1.5.2 LIMPEZA DO VISOR

A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será limpo.

1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” a “ 6 ”)

Com a seqüência de teclas [f] [] estaremos processando a limpeza dos registros estatísticos, ou seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], [2], [3], [4], [5] e [6].

1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM

Procedimento:1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação;2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa;3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação.

Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração de um programa, ou seja, um programa não pode ser destruído sem a menor proteção.

1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS

Registros Financeiros:a) [n] prazo;b) [ i ] taxa;c) [PV] Present Value ou Valor Presente;d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação;e) [FV] Future Value ou Valor Futuro.

A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN].

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1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS

Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, de “ 0 ” a “ 9 ”, e “.0 ” a “.9 ” e os registros financeiros, ficando apenas os programas sem serem apagados.

1.6 TECLA [CHS] ou CHANGE SIGNAL

Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o sinal negativo para o positivo e vice-versa.

1.7 TECLA [STO] ou (STORE)

Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias diretas; “0” a “9” = 10 e “.0” a “.9” = 10.

Para introduzir um número na memória é muito simples.

Vamos considerar que o numero 145 deve ser guardado na memória, e que decidimos guardar na memória “5” . Como fazer?.

Procedimento:1) digite o número 145;2) digite [STO];3) digite [5].

1.8 TECLA [RCL] ou (RECOLL)

Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos verificar sua aplicação com base nos dados do item 1.7.

Procedimento:1) digitar [RCL];2) digitar [5].

1.9 TECLA [YX]

Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de radiciação.

9


1.9.1 Potenciação:

1.9.2 Radiciação :

1.10 TECLA [1/x]

Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número.

1.11 TECLA [%T] e [x><y]

A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo.

a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais:

moradia R$ 450,00 educação R$ 500,00 combustível R$ 150,00 alimentação R$ 200,00 lazer R$ 250,00

Total R$ 1.550,00

Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos gastos.

Solução:

1.550 [ENTER]450 [%T] 29,03%

[x><y] 500 [%T] 32,26%

10

b) 1,056

1,05 [ENTER]6 [yx]1,340096...

a) 23

2 [ENTER]3 [yx]8

c) 1,045 270/360

1,045 [ENTER]270 [ENTER]360 [:] [yx]1,033564...

a) = 9

9 [ENTER]1 [ENTER]2 [:] [yx]3

b) 3 = 27

27 [ENTER]3 [ENTER]5 [:] [yx]7,224674...

c) 360 = 1,6

1,6 [ENTER]360 [ENTER]30 [:] [yx]281,474977...

a) 1/8

8 [1/x]0,125

b) 1,05

1,05 [ENTER]12 [1/x] [yx]1,0004074


[x><y] 150 [%T] 9,68%[x><y] 200 [%T] 12,90%[x><y] 250 [%T] 16,13%

100,00%

1.12 TECLA [%]

Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números.

a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 em jan/XX, em fev/XX o preço desse produto passou para R$ 155,71. Qual foi o percentual de aumento desse produto?

Dados:Preço em jan/XX: R$ 132,75Preço em fev/XX: R$ 155,71

Solução:132,75 [ENTER]155,71 [%]17,30%

b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 141,00. Qual foi o percentual de desconto?

Dados:Preço fev/XX: R$ 155,71Preço mar/XX: R$ 141,00

Solução155,71 [ENTER]141,00 [%]-9,45%

1.13 TECLA [%]

Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem.

a)Calcular 5% de R$ 10.450,00

Solução:10.450 [ENTER]5 [%]R$ 522,50

1.14 CÁLCULO EM CADEIA

a) soma25,82 + 1.852,25 + 156,68 = 2.034,7525,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,75 [STO] 1

b) subtração

11


250 – 91,82 – 5,81 = 152,37250 [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 [STO] 2

c) multiplicação21 x 18,41 x 1,0562 = 408,3421 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 [STO] 3

d) divisão1.750,25 : 1,08 = 1.620,601.750,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60 [STO] .5

e) adição, subtração, multiplicação e divisão(memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .5)[RCL] 1[RCL] 2 [-][RCL] 3 [x][RCL] .5 [:]

474,30

Observação:

As demais funções e teclas da calculadora HP-12C, serão demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira.

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2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

2.1 CONCEITOS BÁSICOS

A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. (prof. Carlos Shinoda).

A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e Prof. José Nicolau Pompeu).

A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima Puccini).

A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do dinheiro em função do tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Branco).

2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS

CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( VP ) ou Presente Value ( PV ) ou PRINCIAL ( P ): é o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira.

Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto de definições apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor aplicado, etc.

JURO ( J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista:

a) de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc.

b) de quem recebe: podemos entender como sendo; rendimento, receita financeira, ganho, etc.

TAXA ( i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C ), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “ i “ vem do inglês interest, que significa juro.

PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n ): é o tempo necessário que um certo capital ( C ) aplicado a uma taxa ( i ) necessita para produzir um montante ( M ) . Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo:

a) período inteiro : 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias ), etc.b) período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.

Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão do tipo: 1 período de 15 dias, 1 período de 30 dias, etc.

MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( VF ) ou Future Value ( FV ) ou SOMA ( S ): é a quantidade monetária acumulada resultante de uma transação financeira após um determinado período de tempo.

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2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

Definimos fluxo de caixa como movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um período de tempo.

(+) entradas

tempo (n) (-) saídas

2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS

As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal ou unitária, veja um exemplo.

EXEMPLO Nº 1 : Faça a transformação das seguintes taxas:

Taxa percentual

Taxas decimal ou

Unitária25%5%

1,5%0,5%

0,0250,02

0,001815

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Na HP-12C, poderemos usar as taxas na forma percentual.

Nas fórmulas, somente poderemos usar as taxas na forma decimal ou unitária.


2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “ COMPOSTO” ou método de capitalização linear e exponencial, respectivamente. Vejamos um exemplo;

EXEMPLO Nº 2 : Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta?

Regime de Capitalização Simplesn Capital

AplicadoJuros de cada período Valor

Acumulado1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,002 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,003 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.200,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES M = R$ 1.300,00

C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00

C = R$ 1.000,00

Regime de Capitalização Compostan Capital


Acumulado1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,002 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,003 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00

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3. JUROS SIMPLES

Podemos entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, conforme foi demonstrado no item 2.3 (regimes de capitalização).

No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente nas situações em que os períodos não são inteiros.

3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES

Faremos várias operações envolvendo juros simples, ou seja, efetuaremos cálculos de juros, capital, taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, dividimos as fórmulas em três grupos.

Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado1 J = FV – PV Fórmula de juros 2 FV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro3 PV = FV – J Fórmula do capital ou valor presente

EXEMPLO Nº 3 : Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido um capital de R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75?

Dados:PV = R$ 1.250,18FV = R$ 1.380,75J = ?

Solução 1:J = 1.380,75 – 1.250,18J = R$ 130,57

EXEMPLO Nº 4 : Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78?

Dados:J = R$ 78,25PV = R$ 1.568,78FV = ?

Solução 1:FV = 1.568,78 + 78,25FV = R$ 1.647,03

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Solução 2: HP-12C

1380,75 [ENTER]1250,18 [-]R$ 130,57

Solução 2: HP-12C

1568,78 [ENTER]78,25 [+]R$ 1.647,03


EXEMPLO Nº 5 : Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25?

Dados:FV = R$ 1.500,00J = R$ 378,25?PV = ?

Solução 1:PV = 1.500,00 – 378,25PV = R$ 1.121,75

Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado4 J = PV x i x n Fórmula de juros simples5 PV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 6 i = J / PV x n Fórmula da Taxa7 n = J / PV x i Fórmula do prazo

EXEMPLO Nº 6 : Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês.

Dados:PV = R$ 1.250,23n = 5 meses ou 150 diasi = 5,5% a.m.

Solução1:J = 1.250,23 x ,055 x 5J = R$ 343,81

17

Solução 2: HP 12C

1500 [ENTER]378,25 [-]R$ 1.121,75

Solução 2: HP-12C

1250,23 [ENTER]0,055 [x]5 [x]R$ 343,81

Solução 3: HP-12C

1250,23 [ENTER]5,5 [%]5 [x]R$ 343,81

Solução 4: HP-12C

[f] FIN1250,23 [CHS] [PV]150 [n]66 [i][f] INTR$ 343,81


EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% a.m?

Dados:PV = ?i = 2,5% ao mêsn = 11 mesesJ = R$ 342,96

Solução 1:PV = 342,96 / 0,025 x 11PV = 342,96 / 0,275PV = R$ 1.247,13

EXEMPLO Nº 8 : Pedro pagou ao Banco Panamericano S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado pelo banco?

Dados:J = R$ 2,14n = 1 diaPV = R$ 537,17i = ?

Solução 1:

i = 2,14 / 537,17 x 1i = 2,14 / 537,17i = 0,003984 x 100i = 0,3984% ao diaimensal = 0,3984 x 30imensal = 11,95% ao mês

EXEMPLO Nº 9 : Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que gerou rendimentos de R$ 351,00 com uma taxa de 1,8% ao mês?

Dados:n = ?PV = R$ 1.500,00i = 1,8% ao mêsJ = R$ 351,00

Solução 1:n = 351 / 1.500 x 0,018n = 351 / 27n = 13 meses

Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado8 FV = PV ( 1 + i x n ) Fórmula do montante ou valor futuro9 PV = FV / ( 1 + i x n ) Fórmula do capital ou valor presente

10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmula da taxa acumulada

18

Solução 2: HP-12C

342,96 [ENTER]0,025 [ENTER]11 [x] [:]R$ 1.247,13

Solução 2: HP-12C

351,00 [ENTER]1500 [ENTER]0,018 [x] [:]13 meses

Solução 2: HP -12C

2,14 [ENTER]537,17 [ENTER]1 [x] [:]100 [x]30 [x]11,95% a.m.


EXEMPLO Nº 10 : Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.000,00 aplicados em um CDB de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês.

Dados:FV = ? PV = R$ 105.000,00i = 1,92% ao mêsn = 90 dias ou (3 meses)

Solução 1:FV = 105.000 ( 1 + 0,0192 x 3 )FV = 105.000 ( 1 + 0,0576)FV = 105.000 ( 1,0576 )FV = R$ 111.048,00

EXEMPLO Nº 11 : Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.

Dados:PV = ?FV = R$ 84.248,00i = 1,77% ao mês.n = 3 meses

Solução 1:

PV = 84.248 / ( 1 + 0,0177 x 3 )PV = 84.248 / ( 1 + 0,0531 )PV = 84.248 / ( 1,0531 )PV = R$ 80.000,00

19

Solução 2: HP-12C

105000 [ENTER]1 [ENTER]0,0192 [ENTER]3 [x] [+] [x]R$ 111.048,00

Solução 3: HP-12C

[f] FIN105000 [CHS] [PV]90 [n]1,92 [ENTER] 12 [x] [ i ][f] INT [+]R$ 111.048,00

Solução 4: HP-12C

105000 [ENTER]1,92 [%] 3 [x] [+]R$ 111.048,00

Solução 2: HP-12C

84248 [ENTER]1 [ENTER]0,0177 [ENTER]3 [x] [+] [:]R$ 80.000,00


EXEMPLO Nº 12 : Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses, Salim resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?

Dados:PV = R$ 15,00FV = R$ 23,75n = 6 mesesi(ac) = ?imensal = ?

Solução 1:i(ac) = {(23,75/15) –1} x 100i(ac) = {1,5833 –1} x 100i(ac) = 0,5833 x 100i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre)

imensal = 58,33 : 6imensal = 9,72% a.m.

3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL

Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.

No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e sendo assim, um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias.

EXEMPLO Nº 13 : Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em 15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato e comercial pago nesta operação.

Dados:PV = R$ 1.500,00i = 60% ao anoVencimento da Prestação: 01/02/01Data do Pagamento: 15/03/01

Solução:[f] 601.022001 [ENTER]15.032001 [g] [DYS]42 dias

a) J.E. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56b) J.C. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00

Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas

3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES

20

Solução 2: HP-12C

23,75 [ENTER]15 [:]1 [-] 100 [x]58,33% a.p.

6 [:]9,72% a.m.

Solução 3: HP-12C

15 [ENTER]23,75 [%]58,33% a.p.

6 [:]9,72% a.m.

Solução 2: HP-12C

1500 [ENTER]0,6 [x]42 [x] [365] [:]R$ 103,56

1500 [ENTER]0,6 [x]42 [x] [360] [:]R$ 105,00


Considerar o ano comercial ( 360 dias)

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 875,00

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2756,31. Determine a taxa correspondente. Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês

3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunte-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano

4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo.Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos

5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em um ano? Resposta: R$ 2.827,38

6) Um empréstimo de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros.Resposta: 5,32% ao mês

7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 72 dias.Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66

8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. Resposta: R$ 9.834,51

9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento. Resposta: R$ 52.340,95

10)Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu valor? Resposta: 33 meses e 27 dias

3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS

OS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL, COMPLEMENTAR OS EXEMPLOS APRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOS.

21


1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses.Resposta: R$ 8.400,00

2) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa anual.Resposta: 60% ao ano.

3) Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado.Resposta: R$ 53.204,42

4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultantes da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano., durante 13 meses?Resposta: R$ 31.271,48

5) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?Resposta: R$ 156.500,00

6) Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00?Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses

7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivos entre as duas datas.Resposta: R$ 16.722,22

8) Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia 21/07/XX por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação?Resposta: 4,5% ao mês.

9) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses, produz um montante de R$ 600.000,00.Resposta: R$ 281.162,14

10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ 18.600,00 de juros? Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias

11)Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?Resposta: 66% ao ano.

12)Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?Resposta:2,0833 anos ou 25 meses.

13)A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do seu valor?

22


Resposta: 2,5% ao mês.

14)Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante.Resposta: R$ 220.720,00

15)Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês?Resposta: 128 dias.

16)Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre.Resposta: R$ 420.000,00

17)A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcular a taxa anual.Resposta: 84% ao ano.

18)Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros.Resposta: R$ 285,71

19)Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00, por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês.Resposta: R$ 639.000,00

20)Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00.Resposta: R$ 400.000,00

21)Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$ 117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros.Resposta: 5,9% ao mês.

22)Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à taxa de 7,2% ao mês?Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.

23)A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de 177.320,00 no final de 186 dias?Resposta: R$ 124,8% ao ano.

A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas).

23


4. JUROS COMPOSTOS

4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o montante, conforme estamos demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo.

Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.

Regime de Capitalização CompostaN Capital


Acumulado ou Montante1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,002 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,003 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA OREGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00

4.2 VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M)

EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.

Dados:FV = ?PV = R$ 5.000,00i = 4% ao mêsn = 5 meses

4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos.

24

FV = PV ( 1 + i ) n

Solução 1

FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5

FV = 5.000 ( 1,04 ) 5

FV = 5.000 (1,216653...)FV = R$ 6.083,26

Solução 2 : HP 12C

5000 [ENTER]1 [ENTER]0,04 [+]5 [yx] [x]R$ 6.083,26

Solução 3 : HP 12C

[f] FIN5000 [CHS] [PV]4 [i]5 [n][FV] R$ 6.083,26


Juros Simplesa. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. Compostos ) 30

b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. Compostos ) 30

c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. Compostos ) 30

Juros Compostosa) n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00c) n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50

4.4 FUNÇÃO “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]

Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Vamos comprovar:

EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.

Dados:PV = R$ 1.450.300,00i = 15% ao anon = 3,5 anos.

Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê?

1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) pelo regime de juros compostos.

FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01

2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo regime de juros simples.

25

Solução 1:

FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5 R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C com “C” no visor.

[f] FIN1450300 [CHS] [PV]15 [i]3,5 [n]FVR$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C sem “C” no visor.

[f] FIN1450300 [CHS] [PV]15 [i]3,5 [n]FVR$ 2.371.154,39


J (meio ano) = ( 2.205.725,01 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38

3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos)

FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39

4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)

EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Dados:FV = R$ 2.000,00i = 4% ao mêsn = 24 mesesPV = ?

4.6 PRAZO (n)

ou ou n =

EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês.

26

Solução 1:

PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 / (1,04) 24

PV = 2.000 / 2,563304...PV = R$ 780,24

Solução 2:

PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24

PV = 2.000 x 1 / 2,563304...PV = 2.000 x 0,390121...PV = R$ 780,24

Solução 3: HP-12C

2000 [ENTER]1 [ENTER]0,04 [+]24 [yx] [:]R$ 780,24

Solução 4: HP-12C

[f] FIN2000 [CHS] [FV]4 [i]24 [n]PV R$ 780,24

PV = FV / ( 1 + i ) n

n =


Dados:n = ?PV = R$ 24.278,43FV = R$ 41.524,33i = 3% ao mês

4.7 FUNÇÃO [FRAC] e [INTG]

Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte fracionária.

Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira.

Vamos comprovar:

Tomando como base o EXEMPLO Nº 18, temos que o prazo foi de 18,156731...meses, observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial).

Solução Única.

Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a seguir:

[g] FRAC 30 [x]4,701928 dias

27

Solução 1:

n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43)LN (1,03)

n = 10,634035... – 10,097344... 0,029559...

n = 0,536691... 0,029559...

n = 18,156731... meses

Solução 2:

n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)}LN (1,03)

n = LN (1,710338) LN (1,03)

n = 0,536691... 0,029559...

n = 18,156731... meses

Solução 3: (HP 12C)

41.524,33 [g] LN24.278,43 [g] LN [-]1,03 [g] LN [:]n = 18,156731...


41.524,33 [ENTER] 24.278,43 [:] [g] LN 1,03 [g] LN [:]n = 18,156731...

Solução 5: HP-12C

[f] FIN41524,33 [CHS] [FV]24278,43 [PV]3 [i][n]19 meses


no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer que a resposta do EXEMPLO Nº 18, seja 18 meses e 5 dias.

Para o mesmo EXEMPLO Nº 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG.

4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS

EXEMPLO Nº 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados:i = ?PV = R$ 10.210,72FV = R$ 14.520,68n = 210 dias

28

i ={QQ/QT – 1} x 100

Onde:QQ = Quanto eu QueroQT = Quanto eu Tenho

Solução 1:

i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100i = {1,051592 – 1} x 100i = {0,051592} x 100i = 5,16% ao mês.

Solução 2: HP-12C

14520,68 [ENTER]10210,72 [:]30 [ENTER] 210 [:] [yx]1 [-] 100 [x]5,16% ao mês

Solução 3: HP-12C

10210,72 [CHS] [PV]14520,68 [FV]7 [n][i]5,16% ao mês.


4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS

1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.

Resposta: R$ 144.504,39

2) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.

3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23.Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses).

4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses?Resposta: R$ 769.461,37

4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS

1) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.Resposta: R$ 1.708.984,38

2) Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ 500.000,00.Resposta: 9 meses

3) Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo

4) A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?Resposta: 4,162% ao mês.

5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês.Resposta: 11 meses.

6) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.

Resposta: R$ 396.288,79

7) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.

29


8) No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor:

a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,35 meses)b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses)

9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias?Resposta: 638,07

10)Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00?Resposta: R$ 3.584,32

11)A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano.

12)Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação?Resposta: 308,41dias ou 309 dias

13)A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros.Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.

14)Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual equivalente.Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.

15)Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa operação de capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano como sendo 360 dias).Resposta: 9,66% a.p.

16)Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente?Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.

17)Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de 15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dólar), antes do Imposto de Renda.Resposta: US$ 549,47

18)Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de R$ 10.000,00 efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 10.968,42?Resposta: 3,24% a.m.

19)Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês?Resposta: 703 dias

30


20)Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.Resposta: R$ 9.842,40

Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados , do livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª edição, Editora Atlas e dos Professores Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeu, Matemática Financeira – métodos quantitativos, 4ª edição, Editora Atual.

31


5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemática financeira.

5.1 TAXAS EQUIVALENTES :

As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo período, geram o mesmo rendimento.

Onde:

i(EQ) = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho.

EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas.

Taxa Conhecida Taxa Equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 mêsb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5% ao mês 105 diasd) 0,5% ao dia 1 anoe) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias)

32

i(eq) ={ ( 1 + ic)QQ/QT – 1} x 100

Solução 1:

a) i(EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês

b) i(EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 – 1} x 100 = 65,35% ao semestre

c) i(EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 – 1} x 100 = 9,03% ao período

d) i(EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 – 1} x 100 = 502,26% ao ano

e) i(EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 – 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato)

Solução 2 (HP 12C)

a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 5% ao mêsb) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao semestrec) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao períodod) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao anoe) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato)


5.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C

[ f ] [ P/R ][ f ] [ PRGM ][ X<> Y][ : ][ X<> Y][ 1 ][ 0 ][ 0 ][ : ][ 1 ][ + ][ x<>y ][ yx ][ 1 ][ - ][ 1 ][ 0 ][ 0 ][ x ][ f ] [ P/R ]

UTILIZANDO O PROGRAMA

27 [ENTER]360 [ENTER]30 [R/S]2,01% a.m.

33

Este programa foi extraído do livro do professor Carlos Shinoda, matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, editora Atlas.


5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE: A taxa over equivalente, é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão de mercado financeiro). Nas empresas em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.

Onde:

TOE = taxa over equivalenteic = taxa de juros conhecidaQQ = nº de dias efetivos da operaçãoQT = nº de dias referente à taxa conhecida ( ic )ndu = nº de dias úteis no período da operação.

EXEMPLO Nº 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para uma aplicação de 30 dias, considerando 19 dias úteis.

Dados:ic = 80%QQ = 30 diasQT = 360 diasndu = 19 dias

34

TOE ={ [( 1 + ic) QQ/QT ] 1/ ndu - 1} x 3.000

Solução 1

TOE ={ [ ( 1 + 0,80) 30 / 360 ] 1 / 19 - 1 } x 3.000TOE ={ [ ( 1 ,80) 0,083333.... ] 0,052632 - 1 } x 3.000TOE ={ [ 1 ,050202... ] 0,052632 - 1 } x 3.000TOE ={ 1 ,002581... - 1 } x 3.000TOE = 0,002581... x 3.000TOE = 7,74% ao mês.

Solução 2: HP-12C

1 [ENTER] 0,8 [+] 30 [ENTER] 360 [:] [yx ]19 [1/x] [yx] 1 [-] 3000 [x]7,74% ao mês

Solução 3: HP-12C

100 [CHS] [PV]80 [i]30 [ENTER] 360 [:] [n]

[FV]100 [-] (5,02% a.p)

[i]1 [ENTER] 19 [:] [n]

[FV]100 [-] (0,258134 % a.d.u.)30 [x] (7,74% a.m)


5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (com taxas variáveis):

A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de correções de contratos, como por exemplo atualização de alugueis, saldo devedor da casa própria, etc.

EXEMPLO Nº 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variação do IGPM-FGV acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001.

Últimas variações dos índices de inflação:

IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGEMaio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01Junho/200 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58Maio/2001 0,86 - - 0,17 -Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61

Dados:IGMP (jan/2001) = 0,62%IGMP (fev/2001) = 0,23%IGMP (mar/2001) = 0,56%IGMP (abr/2001) = 1,00%IGMP (mai/2001) = 0,86%

35

i(ac) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) – 1] x 100

Solução 1:

i(ac) = [(1 + 0,0062) x (1 + 0,0023) x (1 + 0,0056) x (1 + 0,01) x (1,0086) – 1] x 100i(ac) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086) – 1] x 100i(ac) = [1 ,033113... – 1] x 100i(ac) = [0 ,033113...] x 100i(ac) = 3,31% ao período.

Solução 2: HP-12C

1 ,0062 [ENTER]1,0023 [x]1,0056 [x]1,01 [x]1,0086 [x]1 [-] 100 [x]3,31% ao período.


5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS

A taxa média de juros tem como base teórica, o conceito de estatística da média geométrica. É normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas.

Onde, n = número de taxas analisadas.

EXEMPLO Nº 23: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 22, calcular a taxa média.

Dados:IGMP (jan/2001) = 0,62%IGMP (fev/2001) = 0,23%IGMP (mar/2001) = 0,56%IGMP (abr/2001) = 1,00%IGMP (mai/2001) = 0,86%

5.5 TAXA REAL DE JUROS

A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou custo de oportunidade.

EXEMPLO Nº 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano. Determine a taxa real de juro.

Dados:ir = ?

ijuros = 9,5% ao ano

iinflação = 5,8% ao ano

5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS

36

i(média) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) ] 1/ n – 1 }x 100

Solução 2: HP-12C

1 ,0062 [ENTER]1,0023 [x]1,0056 [x]1,01 [x]1,0086 [x]5 [1/x] [yx]1 [-] 100 [x]0,65% ao mês.

Solução 1:

i (média) = [(1 + 0,0062)x(1 + 0,0023)x(1 + 0,0056)x(1 + 0,01)x(1,0086)] 1 / 5 –1 x 100i(média) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086)] 1 / 5 –1 x 100i(média) = [1 ,033113... ] 0,2 –1 x 100i(média) = 0,0065... x 100i(média) = 0,65% ao mês.

ir = [(1 + ijuros ) / ( 1 + iinflação )] – 1 x 100

Solução 1:

ir = [(1 + 0,095 ) / ( 1 + 0,058)] – 1 x 100ir = [(1,095 ) / ( 1,058)] – 1 x 100ir = [1,034972...] – 1 x 100ir = 0,034972... x 100ir = 3,50% ao ano.Solução 2: HP-12C

1 [ENTER] 0,095 [+]1 [ENTER] 0,058 [+] [:]1 [-] 100 [x]3,5% ao ano.


1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.Reposta: 26,82% ao ano

2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.Resposta: 4% ao mês.]

3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia.Resposta: 101,22% ao ano.

4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos.Resposta: 5% ao trimestre

5) Uma determinada revista de informações financeira apresentou os seguintes taxas de CDI’s: Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69%; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se:

a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mês)b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao período)

6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 94.340,57. Qual a taxa média desta aplicação?Resposta: 5,65% ao mês.

7) O senhor “Dúvida”, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicação no “Banco dos Palmeirenses S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias úteis, Suponha que o “Banco dos Corinthianos S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a), e encontra-se em período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos

8) Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.000,00 e em janeiro de 1999 foi de R$ 3.300,00, o índice de preço correspondente foi de:Resposta: 10% ao período.

9) Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 50,00 e nos três meses subseqüente seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, respectivamente. Obter a inflação acumulada.Resposta: 77% ao período.

10)Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de 19% ano. Qual a taxa real de juros?Resposta: 1,68% ao ano.

37


6. DESCONTOS

A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso.

6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES ou “POR DENTRO”.

Onde: DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual.

EXEMPLO Nº 25: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?

Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao mês.DR = ?

6.2 DESCONTO BANCÁRIO, ou COMERCIAL ou “POR FORA”

Onde:DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido.

EXEMPLO Nº 26: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário?

Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao mês.DR = ?

EXEMPLO Nº 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do

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DR = VN - VA VA = VN / (1 + i . n) DR = VN x i x n / (1 + i . n)

DB = VN . i . n VL = VN - DB

Solução 1

DR = 25.000 x 0,025 x 2(1 + 0,025 x 2)

DR = 1.250 1,05

DR = R$ 1.190,48

VA = 25.000 – 1.190,48VA = R$ 23.809,52

Solução 1

DB = 25.000 x 0,025 x 2DB = R$ 1.250,00

VL = 25.000 – 1.250VL = R$ 23.750,00


título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?

Dados:VN = R$ 25.000,00n = 2 mesesi = 2,5% ao mêsiADM = 1%(IOF) = 0,0041% ao diai= 2,8% a.m (empréstimo)

VL = ?DB =?DIOF =?DADM =?

Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos:

i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 3,12% ao mês25.000 x 2 50.000

Ou seja, na verdade o empréstimo seria a melhor opção.

6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS:

EXEMPLO Nº 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa?

Borderô de CobrançaDuplicata Valor

(R$)Prazo

(vencimento)A 2.000,00 30 diasB 4.000,00 65 diasC 8.000,00 82 dias

Solução 1DPL nº A: DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00DPL nº B: DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00DPL nº C: DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00

Total R$ 976,00

Valor Líquido Recebido: R$ 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00

39

Solução 1

VL = VN – DB - DIOF -DADM

a) DB = 25.000 x ,025 x 2 = R$ 1.250,00b) DADM = 25.000 x 01 = R$ 250,00c) DIOF = 25.000 x 0,000041 x 60 = R$ 61,50

VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50VL = R$ 23.438,50


6.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos

EXEMPLO Nº 29: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 28, e utilizando-se do conceito do prazo médio, achar o valor líquido .

Solução 1:

PM = (2.000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82)2.000 + 4.000 + 8.000

PM = 60.000 + 260.000 + 656.0002000 + 4.000 + 8.000

PM = 976.000 14.000

PM = 69,714286 dias..

Assim temos:

DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30DB = R$ 976,00

VL = 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00

40

Pm = ( VN1 . n1 + VN2 . n2 + ... + VNn . nn )/ ( VN1 + VN2 + ... + VNn )

Solução 2: HP-12C

[f]

30 [ENTER] 2.000 [+]65 [ENTER] 4.000 [+]82 [ENTER] 8.000 [+][g] [XW]69,714286 dias

0,03 [x] 14.000 [x]30 [:]R$ 976,00

[CHS] 14.000 [+]R$ 13.024,00


6.4 DESCONTO COMPOSTO

O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro.

e

Onde: DC = Desconto composto.

EXEMPLO Nº 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00, 120 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.

Dados:FV= R$ 18.000,00n = 120 dias (4 meses)i = 2,5% ao mêsPV = ?DC = ?

6.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto

EXEMPLO Nº 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de desconto fixa de 5% ao mês e calcular a taxa real simples e composta.

Prazo em dias Prazo em mesesDesconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0

Taxa mensal simples

5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0

Taxa mensal composta

5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 0

6.5 EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO

1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa 2,5% ao mês?Resposta: R$ 150,00

41

PV = FV (1 – i)n

Solução 1

PV = 18.000 (1 – 0,025) 4

PV = 18.000 (0,975) 4

PV = 18.000 x 0,903688PV = R$ 16.266,38

DC = 18.000 – 16.266,38DC = R$ 1.733,62

Solução 1: HP-12C

18.000 [ENTER]1 [ENTER]0,025 [-] 4 [yx] [x]R$ 16.266,38

[CHS] 18.000 [+]R$ 1.733,62

DC = FV -PV


2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?Resposta: 3% ao mês.

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicas descontas a 5% ao mês conforme o borderô a seguir:A 5.000 15 diasB 3.500 35 diasC 1.500 65 diasResposta: R$ 9.508,33

4) Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente:Resposta: R$ 64.330,00

5) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano.Resposta: 63 dias

6) Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% ao mês.Resposta: R$ 21.944,57

42


7. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

Ate agora, estudamos situações envolvendo apenas dois pagamentos, ou seja, valor futuro (FV) e valor presente (PV).

Neste capítulo, estudaremos operações envolvendo pagamentos periódicos.

A série de pagamentos uniforme pode ser de dois tipos; POSTECIPADA e ANTECIPADA:

7.1 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO “POSTECIPADA”

Onde:PMT = prestação ou pagamentos.

EXEMPLO Nº 32: Determinaremos o valor de um financiamento a ser quitado através de quatro pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 5,5 a.m. a taxa contratual.

Dados:PV = ?n = 4 mesesi = 5,5% ao mês.PMT = R$ 5.000,00

43

PV = PMT

Solução 1

PV = 5.000

PV = 5.000

PV = 5.000

PV = 5.000

PV = 5.000 PV = R$ 17.525,75

Solução 3: HP- 12C

[f] FIN5000 [CHS] PMT4 [n]5,5 [i]PVR$ 17.525,75

Solução 2: HP-12C

5.000 [ENTER]1,055 [ENTER]4 [yx]1 [-]1,055 [ENTER]4 [yx]0,055 [x] [:] [x]R$ 17.525,75


7.2 VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE “POSTECIPADA”

EXEMPLO Nº 33: Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 1.200,00. Qual deve ser o valor da prestação na venda em três prestações mensais iguais e sem entrada, se o custo financeiro do lojista é de 4% ao mês?

Dados:PV = R$ 1.200,00i = 4% ao mêsn = 3 mesesPMT = ?

7.3 NÚMERO DE PRESTAÇÕES DE UMA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO “POSTECIPADA”

EXEMPLO Nº 34: Com base nos dados do exemplo 32, achar o prazo da operação.

Dados:PV = R$ 17.525,75PMT = R$ 5.000i = 5,5% ao mês

44

PMT = PV

Solução 1

PMT = 1.200 = R$ 432,42

Solução 2: HP-12C

[f] FIN1.200 [PV]3 [n]4 [i]PMT R$ 432,42

n =

Solução 1

n = -

n = - = 4 meses

Solução 2: HP-12C

[f] FIN17.525,75 [PV]5.000 [CHS] [PMT]5,5 [i]n4 meses


7.4 CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME “POSTECIPADA”

Para o cálculo da taxa de juros, aconselha-se usar somente a HP 12C, tendo em vista que o cálculo algébrico é muito complexo.

EXEMPLO Nº 35: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 33, achar a taxa de juros.

Dados:PV = R$ 1.200,00n = 3 mesesPMT = R$ 432,42i = ?

7.5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS “ANTECIPADOS”

Esta é uma metodologia aplicada em situações de financiamento com prestações ou pagamentos iguais e com entrada.

7.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados

Na HP 12C, o procedimento é semelhante ao efetuado nas séries de pagamentos postecipados, porém, a calculadora deve conte a expressão BEGIN no seu visor, para tanto, basta pressionar a seqüência teclas [g] [BEG]

7.5.1.1 Fórmula do valor presente

7.5.1.2 Fórmula da prestação

45


[f] FIN1.200 [PV]432,42 [CHS] [PMT]3 [n]i4% ao mês.

PV = PMT

PMT = PV


7.6 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME

EXEMPLO Nº 36: Qual é o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% ao mês, no final de cada mês?

Dados:PMT = R$ 1.500,00i = 4,5% ao mês.n = 12 mesesFV = ?

Solução 1:

46

FV = PMT

Solução 1:

FV = 1.500

FV = 1.500

FV = 1.500 FV = R$ 23.196,05

Solução 2: HP-12C

[f] FIN1.500 [CHS] [PMT]4,5 [i]12 [n][FV]R$ 23.196,05


7.7 EXERCÍCIO SOBRE SÉRIES DE UNIFORME DE PAGAMENTOS

1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00, durante 5 meses, à taxa de 5% ao mês. (série postecipada).Resposta: R$ 5.525,63

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos.Resposta: R$ 53.349,26

3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o prazo é de quatro meses.Resposta: R$ 265,82

4) Um automóvel custa a vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.Resposta: R$ 453,07

5) Paulo deseja presentear seu filho Marcos com um carro que hoje custa aproximadamente R$ 13.000,00, desde que Marcos consiga aprovação no vestibular, sabemos que a idade de Marcos hoje é de 12 anos, e se tudo correr bem com 18 anos ele estará ingressando na Faculdade. Quanto Paulo deverá economizar por mês, considerando uma previsão de inflação de 7% ao ano.Resposta: R$ 220,30

6) No exercício nº 4, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular o valor da prestação.Resposta: R$ 340,28

7) Uma loja “A” oferece uma televisão por R$ 630,00 em 3 vezes iguais (1 + 2) ou com 5% de desconto para pagamento avista. Na loja “B”, considerando o mesmo preço á vista, a mesma televisão é comercializada em 24 pagamentos iguais de R$ 47,69 sem entrada. Determine a taxa de juros praticados pelas lojas “A” e “B”.Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.

8) Marcelo paga uma prestação de R$ 375,25 por mês por conta do financiamento de seu apartamento, sabendo-se que a taxa do financiamento é 6,1678% ao ano e que o valor do imóvel foi estimado pelo Agente Financeiro em R$ 50.000,00. Pergunta-se: Em quantos meses foi financiado o apartamento de Marcelo?Resposta: 220 meses.

47


8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

É comum verificarmos no mercado financeiro e nas operações bancárias, dúvidas quanto ao tipo de metodologia empregada no processo de amortização dos empréstimos e financiamentos. Estudaremos os sistemas mais adotados pelo mercado.

8.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Principal característica: o valor da amortização é constante.

EXEMPLO Nº 37: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a taxa de 5% ao mês pelo sistema SAC. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.

n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 1.500,00 0,00 0,00 0,001 1.200,00 300,00 75,00 375,002 900,00 300,00 60,00 360,003 600,00 300,00 45,00 345,004 300,00 300,00 30,00 330,005 0,00 300,00 15,00 315,00

1.500,00 225,00 1.725,00

8.2 SISTEMA PRICE (OU FRANCÊS) DE AMORTIZAÇÃO

Principal característica: prestação constante.

EXEMPLO Nº 38: Um produto de preço igual a R$ 1.500,00, foi financiado por 5 meses, a taxa de 5% ao mês pelo Sistema Price. Pede-se: Elabore a planilha de financiamento.

n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 1.500,00 0,00 0,00 0,001 1.228,54 271,46 75,00 346,462 943,51 285,03 61,43 346,463 644,23 299,28 47,18 346,464 329,98 314,25 32,21 346,46

-0,02 329,96 16,50 346,461.499,98 232,32 1.732,30

Solução na HP 12C[f] FIN1.500 [CHS] [PV] 5 [i] 5 [n] [PMT] = R$ 346,461 [f] AMORT 75,00 [x<>y] 271,46 [RCL] [PV] –1.228,541 [f] AMORT 61,43 [x<>y] 285,03 [RCL] [PV] - 943,511 [f] AMORT 47,18 [x<>y] 299,28 [RCL] [PV] - 644,231 [f] AMORT 32,21 [x<>y] 314,25 [RCL] [PV] - 329,981 [f] AMORT 16,50 [x<>y] 329,96 [RCL] [PV] - 0,02

48


9. APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Neste capítulo, estaremos abordando a matemática financeira como ferramenta de análise e toma de decisão.

9.1 TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) e VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV)

Este caso típico onde a calculadora HP 12C é muito útil, tendo em vista que o calculo da taxa interna de retorno é muito complexo.

EXEMPLO Nº 39: Determinar a IRR e NPV dos seguintes fluxos de caixa.

n Projeto nº 1 Projeto nº 20 R$ (50.000,00) R$ (50.000,00)1 R$ 5.000,00 R$ 14.000,002 R$ 6.000,00 R$ 13.000,003 R$ 7.000,00 R$ 12.000,004 R$ 8.000,00 R$ 11.000,005 R$ 9.000,00 R$ 10.000,006 R$ 10.000,00 R$ 9.000,007 R$ 11.000,00 R$ 8.000,008 R$ 12.000,00 R$ 7.000,009 R$ 13.000,00 R$ 6.000,0010 R$ 14.000,00 R$ 5.000,00TIR 11,38% a.a. 17,04 a.a.C.OP 15% a.a. 15% a.a.VPL (7.926,68) 3.283,28

49

Solução na HP 12C (Projeto 2)F FIN50.000 [CHS] [g] CF0

14.000 [g] CFj

13.000 [g] CFj

12.000 [g] CFj

11.000 [g] CFj

10.000 [g] CFj

9.000 [g] CFj

8.000 [g] CFj

7.000 [g] CFj

6.000 [g] CFj

5.000 [g] CFj

[f] IRR 17,04% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ 3.283,28

Solução na HP 12C (Projeto 1)F FIN50.000 [CHS] [g] CF0

5.000 [g] CFj

6.000 [g] CFj

7.000 [g] CFj

8.000 [g] CFj

9.000 [g] CFj

10.000 [g] CFj

11.000 [g] CFj

12.000 [g] CFj

13.000 [g] CFj

14.000 [g] CFj

[f] IRR 11,38% a.a. 15 [i] [f] NPV R$ -7.926,68


9.2 VALOR DA PRESTAÇÃO DE LEASING

EXEMPLO Nº 40: Uma empresa contrata uma operação de leasing de 24 meses, à taxa de juros de 2,5% ao mês. Calcule o valor da contraprestação, sabendo-se que o valor do ativo fixo é de R$ 50.000,00 e que o valor residual garantido final é de 1%.

Obs.:

Se financiarmos o valor de R$ 276,44 com a mesma taxa e prazo, encontraremos o valor de R$ 15,46. Neste caso, basta adicionar ao valor da contraprestação sem valor residual ( R$ 15,46 + R$ 2.780,18 = R$ 2.795,64), para encontrar o valor da contraprestação com valor residual incluso.

50

PMTL = .

Solução 1:

PMTL = .

PMTL = .

PMTL = . = R$ 2.780,18

Solução 2: HP- 2C

F FIN50.000 [CHS] [PV]

[ENTER]1 [%] [CHS] [FV]2,5 [i]24 [n]

[PMT] R$ 2.780,18 (contraprestação sem valor residual)0 [FV]

[PMT] R$ 2.795,64 (contraprestação com valor residual)


9.3 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA PELO CONCEITO DO VALOR ATUAL

EXEMPLO Nº 41: Calcular o preço de venda de um produto, considerando os seguintes dados:

Custo Direto R$ 200,00ICMS 18%IPI 10%PIS 0,65%Cofins 3%Margem de Contribuição 40%

51

Preço de Venda (PRV) =

Solução 1:

R$ 467,99

Referências e Citações Finais:

Alguns exercícios desta apostila foram extraídos ou adaptados das seguintes obras.- Matemática Financeira para usuários do Excel, Professor Carlos Shinoda, 2ª edição, editora Atlas.- Matemática Financeira, Professor José Dutra Vieira Sobrinho, 5º edição, Editora Atlas.


Bibliografia

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 1992.

EWALD, Luiz Carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento. Rio de Janeiro:

Fundação Getúlio Vargas, 1999.

HAZZAN,Samuel,POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 4ª edição.São Paulo: Editora

Atual, 1993.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada, 6ª edição: Saraiva,

1999.

SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuário do Excel, São Paulo: Atlas, 1998.

VIEIRA SOBRINO, José Dutra. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo: Atlas, 1996

VIEIRA SOBRINO, José Dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C. 1ª edição. São Paulo: Atlas, 1985.

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Documents

MATEM+üTICA FINANCEIRA HP 12C