UNIVERSIDADE DA REGIÃO DA CAMPANHA – URCAMPCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE CAÇAPAVA DO SUL

CENTRO DE CIÊNCIAS DA ECONOMIA E INFORMÁTICACURSO DE ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

Prof. Elcio da Rosa Lima

CAÇAPAVA DO SUL, RS - 2º SEM / 2010.

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ÍNDICE

1. RazõesRazão, como comparação entre dois números.Razões inversas e razões iguaisRazão entre duas grandezasRazões especiais

2. ProporçõesPropriedade fundamentalQuarta proporcionalProporção contínuaTransformações de uma proporçãoPropriedades usuais das proporções

3. Números ProporcionaisNúmeros diretamente proporcionaisNúmeros inversamente proporcionais

4. Grandezas ProporcionaisGrandezas diretamente proporcionaisGrandezas inversamente proporcionais

5. Regra de TrêsRegra de três simples diretaRegra de três simples inversaRegra de três composta.

6. PorcentagemPor cento e por mil

7. Noções sobre custo e vendaLucro ou prejuízo sobre o preço de custoLucro ou prejuízo sobre o preço de venda

8. Juros SimplesCálculo do capital, da taxa, do tempo, do juro.Juro simples exatoJuro simples ordinárioRegra dos banqueirosMontanteTaxas proporcionais e taxas equivalentesMétodo dos divisores fixos e multiplicadores fixos

9. Desconto SimplesDesconto Comercial e valor atual comercialDesconto racional e valor atual racional

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10. Capitalização CompostaCálculo do capital, da taxa, do tempo, do juroTaxas proporcionais e taxas equivalentesTaxas nominais e taxas efetivasCálculo do montante quando o tempo não é um número inteiro de períodos.Capitalização composta com taxa de juros variáveis. Rendas, Anuidades, Séries Financeiras.

11. Desconto CompostoCálculo do valor atual compostoCálculo do desconto compostoTaxa de descontoComparação entre desconto composto e os descontos simplesEquivalência no regime de capitalização composta.

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1 - RAZÃO

1.1 - RAZÃO COMO COMPARAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS:

Quando se diz:

- Na minha cidade há um carro para cada 5 habitantes.

A razão entre 1 : 5 é representada pela fração

- Na sala de aula há 20 moças para 15 rapazes.

A razão entre 4 : 3 é representada pela fração

- No baile de formatura havia três moças para cada dois rapazes.

A razão entre 3 : 2 é representada pela fração

- Uma caixa de pó de gelatina permite fazer 4 porções.

A razão entre 1 : 4 é representada pela fração

Razão entre dois números é o quociente indicado entre eles.

Ex. A razão entre a : b é representada pela fração

Se a e b representam dois números racionais (com b ≠ 0), então a razão entre a e b é o quociente de a por b. O primeiro número é chamado antecedente e o segundo conseqüente.

OBS.: As razões são escritas preferencialmente na forma de fração mais simples.

1.2 - RAZÕES INVERSAS:

As razões serão ditas inversas, quando o antecedente de uma é o conseqüente da outra e vice-versa.

Ex.: e O produto de duas razões inversas é sempre igual a 1.

1.3 - RAZÕES IGUAIS:

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Se as frações que representam duas razões são equivalentes, então as razões dizem-se iguais.

Ex. 12 : 8 e 6 : 4. = são frações equivalentes.

1.4 - RAZÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS:

É o quociente indicado entre os números que medem essas grandezas, numa mesma unidade.

1. A razão de 4 cm para 7 cm.

2. A razão de 3 kg para 600 g.

1.5 - RAZÕES ESPECIAIS:

1.5.1 - Escala: (1 : 1000)

Escala de um desenho é a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real medidos numa mesma unidade.

Exemplo: a escala 1 : 1000 significa que os comprimentos verdadeiros são 1.000 vezes maiores que os correspondentes comprimentos do desenho.

Assim, 5 cm no desenho equivalem a 5.000 cm no terreno, ou 50 metros.

Aplicação prática:

Num mapa a distância entre duas cidades está representada por 2,5 cm. Se a escala usada é 1 : 10.000.000 qual é, em km, a distância entre as duas cidades?

Resposta: 2,5 x 10.000.000 cm = 25.000.000 cm = 250 km.

1.5.2 – Velocidade média: (Km/h)

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Velocidade média é a razão entre um espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo.

Aplicação prática:

Um automóvel percorreu 240 km em 3 horas. Qual a velocidade média desse automóvel?

Vm = => Vm = => Vm = 80 km/h.

1.5.3 - Densidade demográfica: (hab/km²)

Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e o número que exprime a medida da superfície da região que habitam.

Aplicação prática:

Qual é a densidade demográfica de um país de área igual a 258.000 km² e que possua 32.585.400 habitantes?

Resposta: D = D = D = 126,3 hab/km².

1.5.4 - Densidade de um corpo: (d)

Densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. d = m/v

Aplicação prática:

Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm3. Qual é a sua densidade?

Resposta: d = d = d = 8,75 kg/dm3

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Exercícios:

1. Escreva a razão, sob forma de fração mais simples, das seguintes expressões:a) 7 meses para um ano. 7/12b) 300 poltronas ocupadas para 900 poltronas disponíveis. 1/3c) 10 metros para 2 dam. 1/2d) 0,8 litros para 200 cm3 (1 litro = 1 dm3) 4/1e) 10 metros para 2 dam. 1/2f) 5 metros para 0,5 km. 1/100g) a para b sendo (a e b ≠ 0) a/bh) 40 dm3 para 20 litros. 2/1i) 5 kg para 100 gramas. 50/1

2. Qual a razão igual à , cujo antecedente é igual a 8? 20

3. Qual a razão igual a , cujo conseqüente é igual a 12? 3

4. A razão entre dois números é . Qual é a razão entre os triplos desses números?

5. Qual é a razão igual a , cujo antecedente é igual a 5? 7

6. Quem tem a maior razão de acertos: Antônio, que em 40 exercícios acertou 32 ou Paulo que em 36 exercícios acertou 28? Antônio 80 Paulo 77,777. A escala de trabalho é 1 : 1.000. Responda:

a) 1 cm corresponde na realidade a quantos metros? 10 mb) 500 m correspondem na realidade a quantos quilômetros? 500 kmc) 8 mm correspondem na realidade a quantos metros? 8 m

8. Qual a densidade demográfica de um município de área igual a 258.000 km2 e que possua 32.585.400 habitantes? 126,30 hab/km2.

9. Um trem parte da cidade A às 17:45 h e chega na cidade B às 21;45 h. Se a distância da cidade A até a cidade B é de 290 km, qual a velocidade média do trem nesse percurso?

Vm = 72,5 km/h.10. Um avião voa 1.800 km em 3 horas. Qual é a razão que dá o número de quilômetros percorridos para o número de horas empregadas no vôo? 600/1

11. A distância entre São Paulo e Brasília é de 1.150 km. Qual a velocidade média de um ônibus que faz esse percurso em doze horas e meia? Vm = 92 km/h.

12. Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16 cm3. Qual a densidade dessa pedra preciosa? d = 4,2 kg/dm3

13. Calcule da densidade demográfica de Natal (RN), cuja área de 172 Km2, tinha 1989 uma população de 544.000 habitantes? Dd = 3.162,79 hab/km2

14. Na planta de uma casa cada 5 cm desenhados estão representando 5 metros. Qual é a escala empregada? 1:100

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2 - PROPORÇÕES

Proporção é a igualdade entre duas razões

Sejam os números 3, 4, 6 e 8, onde a razão dos dois primeiros (3 : 4) é igual à razão dos dois últimos (6 : 8).

Então 3 : 4 = 6 : 8 e dizemos que os números 3, 4, 6 e 8, nessa ordem, formam uma proporção

2.1 - INDICAÇÃO E LEITURA:

3 : 4 = 6 : 8 ou = ou 3 : 4 : : 6 : 8

(lê-se três está para quatro assim como seis está para oito)

Os números 3, 4, 6 e 8 são chamados termos da proporção, sendo o primeiro e o quarto os extremos e o segundo e o terceiro os meios.

Os números 3 e 6 são os antecedentes 4 e 8 os conseqüentes da proporção.

2.2 - PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

Se quatro números escritos numa certa ordem, todos diferentes de zero, são tais que o produto do primeiro pelo quarto é igual ao produto do segundo pelo terceiro, então os quatro números, nessa ordem, formam uma proporção.

Se quatro números formam uma proporção, então o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

2.3 - QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS

Se quatro números formam uma proporção, como por exemplo: 3, 4, 6 e 8, então dizemos que o quarto número, 8 é a quarta proporcional dos três primeiros números: 3, 4 e 6.

Aplicação prática:Determinar a quarta proporcional dos números 3, 5 e 12.

8

= => 3.x = 5.12 => x = => x = 20

2.4 - PROPORÇÃO CONTÍNUA

Uma proporção que apresenta meios iguais é denominada contínua.

Exemplo: 2 : 4 = 4 : 8

O meio comum (4, no exemplo) é chamado de média proporcional ou média geométrica dos extremos (2 e 8). O último termo (8) chama-se terceira proporcional dos outros dois (2 e 4)

A determinação da terceira proporcional de dois números e da média proporcional de dois números é feita aplicando-se a propriedade fundamental das proporções.

Aplicação prática:1) Calcular a terceira proporcional de 24 e 36.

Resposta: = => 24.x = 36.36 => x = => x = 54

2) Calcular a média proporcional de 4 e 16.

Resposta: = => x . x = 4.16 => x² = 64 => x = => x = 8

2.5 - TRANSFORMAÇÕES DE UMA PROPORÇÃO:

Partindo de uma proporção qualquer, como por exemplo: 2 : 3 : : 4 : 6Podemos obter novas proporções, facilmente verificáveis pela propriedade fundamental. É

possível escrever uma proporção de 8 modos diferentes, com as seguintes transformações:

1ª) Proporção dada: = 2 x 6 = 3 x 4

2ª) Permutando os meios: = 2 x 6 = 4 x 3

3ª) Permutando os extremos: = 6 x 2 = 3 x 4

4ª) Invertendo as razões: = 3 x 4 = 2 x 6

5ª) Transpondo as razões da 1ª: = 4 x 3 = 6 x 2

6ª) Transpondo as razões da 2ª: = 3 x 4 = 6 x 2

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7ª) Transpondo as razões da 3ª: = 4 x 3 = 2 x 4

8ª) Transpondo as razões da 4ª: = 6 x 2 = 4 x 3

2.6 - PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES:

2.6.1 - Propriedade da Composição:

Em toda proporção a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou quarto.

Se = então = ou =

Exemplo:

Se = então = ou =

Aplicação prática:

Os volumes de dois cubos estão entre si assim como 3 está para 4. Calcular o volume de cada cubo, sabendo-se que a soma desses volumes é 21 dm3.

= => = => a = => a = 9

Como a + b = 21 vem: 9 + b = 21 => b = 21 – 9 => b = 12

2.6.2 - Propriedade da decomposição:

Em toda proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim com a diferença dos dois últimos está para o terceiro ou quarto.

Se = então = ou =

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Exemplo: Se = então = ou =

Aplicação prática:

Calcular dois números sabendo-se que a diferença entre eles é 20 e a razão é 7 : 3.

Temos: => => b = => b = 15

Como a – b = 20, temos: a – 15 = 20 => a = 20 + 15 => a = 35

2.6.3 - Propriedade dos Antecedentes e Conseqüentes, relativa à soma:

Em toda proporção a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como um antecedente está para o seu conseqüente.

Para a > c e b > d.

Se = então = = ou = =

Exemplo:

Se = então = = ou = =

Essa propriedade é também verdadeira se as razões iguais forem mais de duas.

= = => = = =

Aplicação Prática:Calcular os valores de x, y, z, de modo que:

=> => => x =

40

=> y = => y = 60

=> z = => z = 80

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2.6.4 - Propriedade dos Antecedentes e Conseqüentes, relativa ao produto:

Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Se então

Exemplo: então

Conseqüência: Em toda proporção, os quadrados de seus termos também formam uma proporção.

Assim: Se então

Exemplo: Se então e

Aplicação Prática:Quais são os dois números que estão na razão 4 : 5 e cujo produto é 180?

(pm) aplicar a 4ª propriedade.

=> => a2 = => a2 = 144 => => a = 12

Se a = 12, então 12 . b = 180 => b = 180 : 12 => b = 15.

Exercícios:1. Determine a quarta proporcional dos seguintes números:

a) 4, 6 e 8 b) 6, 19 e 18 c) 3, 5 e 15 d) 4, e 5

e) 0,3; 1,2 e 3,8 f) 0,2; 0,5 e 0,7

2. Calcule a terceira proporcional dos seguintes números:

a) 4 e 8 b) 2,4 e 5,4 c) e d) 1 e 0,4

12

e) 10 e 100 f) e 6

3. Calcule a média proporcional dos números:a) 8 e 2 b) 6 e 24 c) 0,2 e 0,8 d) 40 e 160

e) e f) e

4. Determine dois números sabendo-se que a razão entre eles é 1/3 e a soma de seus quadrados é 90. (3 e 9)5. Determine as dimensões de um retângulo sabendo-se que elas estão na razão 4/3 e que a área desse retângulo é igual a 48 m2. (16 e3)6. O produto de dois números é 60. A razão entre eles e 3/5. Determine esses números. (12 e 5)7. Determine a base e a altura de um triângulo cujo produto é igual a 48 m 2, sabendo-se que a razão entre elas é 3. (12 e 4)8. A área de um triângulo retângulo é 600 cm2 e seus catetos estão entre si como 3 está para 4. Calcule os catetos. (30 e 40)9. Um salão de festas, de forma retangular, tem área de 1.000 m2. Calcule as dimensões do salão, sabendo-se que estão na razão de 5 : 8. (25 e 40)10. Os ângulos de um quadrilátero estão entre si como os números 2, 3, 5 e 8. Determine os valores desses ângulos, sabendo-se que a soma deles é igual a 360°. (40, 60, 100, 160)

3 - NÚMEROS PROPORCIONAIS:

3.1 - NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Seja uma sucessão de números: 5 8 10Multiplicado por um mesmo número (2 por exemplo), obtém-se uma nova sucessão:

10 16 20

Observe que a razão entre os números dessas sucessões é sempre a mesma.

= = = (razões iguais)

Nestas condições, dizemos que os números dessas sucessões são diretamente proporcionais. A razão igual (1/2 no exemplo) entre dois números correspondentes é denominada fator de proporcionalidade.

Aplicação prática:

Sabendo-se que os números das sucessões e são diretamente proporcionais e que o

fator de proporcionalidade é 1/4 determinar os valores de a e d.

=> => a = 2

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=> => d = 12

3.2 - NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Sejam as duas sucessões de números: │4 6 8 │12 8 6

Esses números, que não são diretamente proporcionais pois ( ≠ ≠ ), têm uma propriedade

comum: o produto do antecedente pelo seu conseqüente é sempre o mesmo (48).

4 x 12 = 6 x 8 = 8 x 6

Nestas condições, dizemos que os números 4 6 8 12 8 6

São inversamente proporcionais e que o produto comum (48) é o fator de proporcionalidade.

Aplicação prática:

Determinar a e b na sucessão de números inversamente proporcionais:│52 a 13│1 26 b

Como os números são inversamente proporcionais, temos:

52 x 1 = a x 26 = 13 x b => a x 26 = 52 => a = => a = 2

b x 13 = 52 => b = => b = 4

Exercícios:1. Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 8.

2. Repartir 92 em partes diretamente proporcionais a , e .

3. Repartir 144 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12.

4. Repartir 2.500 em partes inversamente proporcionais a , e .

5. Repartir 3.900 em partes inversamente proporcionais aos números 1, e 0,2.

Exercícios de recapitulação:

1. Determine a forma mais simples de cada uma das seguintes razões:

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a) 12 : 120 b) 0,3 : 0,33 c) d)

2. Marcelo tinha 1,57 m de altura na 5ª série e agora na 6ª série mede 1,61 m. Determine a razão da altura atual para a do ano anterior. 3. Se numa prova de 15 questões Lúcia acertou 12 e numa de 20 questões Ana acertou 18, quem teve a maior razão de acertos?4. Na planta de uma casa 2 cm representam 4 m. Qual a escala empregada?5. Num baile havia 3 homens para cada 2 mulheres. Se havia 90 homens, quantas eram as mulheres? Quantas pessoas havia no baile?6. Dois cubos são tais que a resta de um é a terça parte da aresta do outro. Calcule as razões entre os volumes. 7. Desenhe numa escala 1:100 um canteiro retangular de 3 m de comprimento e 2,5 m de largura. 8. Desenhe numa escala 1:30 um canteiro circular de 1,5 m de raio. 9. Num guia rodoviário, uma estrada que liga duas cidades x e y tem 12,8 cm de comprimento. Se a escala usada foi de 1:1.000.000, qual é a distância real entre as duas cidades?10. Um carro percorreu 600 km em 8 h. Qual foi a sua velocidade?11. Calcule a densidade demográfica de uma sala de aula de 8 m de comprimento por 6 m de largura, freqüentada por 41 alunos mais o professor. 12. Numa cidade A, o último censo registrou 58.000 habitantes e numa outra B, registrou 28.000. Qual tem maior densidade demográfica se a primeira tem 50.000 km2 e a segunda 6.000 km2?13. Calcule o valor de x em:

a) b)

14. Calcule a 4ª proporcional dos seguintes números:

a) 5, 2 e 1 b) , 3 e .

15. Calcule a 3ª proporcional dos seguintes números:

a) e b) 0,3 e

16. Calcule a média proporcional dos seguintes números:a) 2 e 0,18 b) 4 e 2 (com aprox. 0,001)

c) 1 e 5 (com aprox. 0,01) d) e (com aprox. 0,01).

17. Decomponha 175 em duas parcelas tais que estejam entre si como 8 está para 27. 18. Calcule o volume de um cone, sabendo-se que sua altura está para o raio da base assim como

8 está para 5 e a diferença entre essas dimensões é de 9 cm. (V cone = ; π = 3,14).

19. A área de um retângulo é 126 cm2. Calcule suas dimensões, sabendo-se que estão entre si como 2 : 7.

20. Divida 51 em partes diretamente proporcionais a , 8 e 12.

21. Divida 3.800 em partes inversamente proporcionais a , e .

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22. Dois amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com R$ 38.000,00 e o segundo com R$ 62.000,00. No fim de três meses lucraram R$ 25.000,00. Que parte desse lucro coube a cada um?23. Determine a medida de cada um dos ângulos de um triângulo, sabendo-se que a soma deles é 180° e que essas medidas são inversamente proporcionais aos números 1, 6 e 3. 24. Foram repartidos 62 lápis entre três crianças em partes inversamente proporcionais às idades de cada uma (9 anos, 3 anos e 12 anos respectivamente) e diretamente proporcionais ao número de irmãos de cada uma (1, 2 e 1 respectivamente). Quanto recebeu cada uma

4 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS

4.1 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:

Duas grandezas dizem-se diretamente proporcionais ou simplesmente proporcionais quando aumentando (ou diminuindo) uma delas de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra também aumenta (ou diminui) de duas, três, quatro, etc. vezes o respectivo valor.

Consideremos as grandezas: Comprimento do tecido custo

Se 3 metros custam R$ 18,00então 6 metros custarão R$ 36,00e 9 metros custarão R$ 54,00

Logo, quando o comprimento do tecido torna-se duplo, triplo, etc., o mesmo acontece com o respectivo custo e as duas grandezas diz-se que são diretamente proporcionais.

A propriedade que caracteriza a existência de grandezas diretamente proporcionais é a seguinte:

Em duas grandezas diretamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

Assim, no exemplo citado, as flechas indicam que as razões resultaram de grandezas diretamente proporcionais. Temos, portanto:

=> =

=>

16

=>

4.2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Duas grandezas, dizem-se inversamente proporcionais quando aumentando (ou diminuindo) uma delas de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminui (ou aumenta) de duas, três, quatro, etc. vezes o respectivo valor.

Sejam as grandezas: N° de operários tempo

Se 5 operários fazem certo trabalho em 12 diasentão 10 operários farão o mesmo trabalho em 6 diase 15 operários farão o mesmo trabalho em 4 dias.

Logo, quando o número de operários torna-se duplo, triplo, etc., o tempo empregado para realizar o mesmo trabalho torna-se a metade, um terço, etc. e as duas grandezas são inversamente proporcionais.

A propriedade que caracteriza a existência de grandezas inversamente proporcionais é a seguinte:

Em duas grandezas inversamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual

ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

Agora as flechas são de sentido contrário. Logo:

=>

=>

=>

4.3 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS OUTRAS:

Diz-se que uma grandeza é proporcional a várias outras, se é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma delas, quando as demais não variam. Exemplo:

O tempo empregado para se efetuar a escavação de um buraco é diretamente proporcional ao volume de terra extraída e inversamente proporcional ao número de homens empregados. De fato, basta observar que:

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Se 4 homens em 12 dias extraem 100 m3 de terra Então 8 homens em 6 dias extrairão 100 m3de terra

e 8 homens em 12 dias extrairão 200 m3de terra.

Isto é, não variando nas duas primeiras linhas, a grandeza volume (100 m3), as grandezas número de homens e tempo são inversamente proporcionais e não variando, na terceira linha, a grandeza número de homens (8), as grandezas tempo e volume são diretamente proporcionais.

A propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza diretamente proporcional a várias outras é a seguinte:

Se uma grandeza é diretamente proporcional a várias outras, os valores que exprimem sua medida são diretamente proporcionais aos produtos dos valores correspondentes das outras.

No caso das grandezas serem inversamente proporcionais, a mesma propriedade será aplicada em relação aos inversos dos valores correspondentes às medidas das outras.

Exercícios:

Verificar se as grandezas são (duas a duas) diretamente ou inversamente proporcionais:1. A quantidade de veludo empregado para fabricar uma fita em relação ao seu comprimento e em relação à sua largura. 2. O número de pessoas em relação ao tempo gasto para terminar uma obra e o número de horas empregadas por dia. 3. A quantidade de trabalho efetuada em relação ao número de pessoas e em relação ao tempo gasto.

5 - REGRA DE TRÊS

5.1 - REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA:

É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas grandezas diretamente proporcionais.

Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra.

Se as grandezas são diretamente proporcionais, a regra de três diz-se direta. A técnica para resolver problemas consiste em obter com os três dados e a incógnita

procurada uma proporção e dela tirar o valor desejado.

Exemplo:

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Se 15 m de certo tecido custam R$ 90,00, quanto custarão 32 m desse tecido?

Indicando por x o preço dos 32 m de tecido, temos a seguinte disposição prática:

↓ 15 -------------- 90 ↓↓ 32 -------------- x ↓

Como neste exemplo as grandezas comprimento e custo são diretamente proporcionais, assinalamos essa variação na disposição prática mediante flechas no mesmo sentido.

A proporção resultante é:

onde x = => x = 192

Logo, os 32 m de tecido custarão R$ 192,00

5.2 - REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA:

É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas grandezas inversamente proporcionais.

Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra.

Se as grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três diz-se inversa.

Exemplo:Se 6 operários levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol,

quantos operários seriam necessários para levantar o muro em 3 dias.

Como o tempo necessário para efetuar uma obra é inversamente proporcional ao número de operários empregados, temos a seguinte disposição prática, agora assinalada com flechas de sentidos contrários:

↓ 6 operários------------------ 10 dias ↑↓ x operários ----------------- 3 dias ↑

Invertendo a segunda razão (10 / 3), resultará a seguinte proporção:

onde x = => x = 20

Portanto, são necessários 20 operários para levantar o muro em 3 dias.

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Exercícios:1. Cinco operários fazem um serviço em 8 dias. Se forem contratados mais 3 operários, em

quantos dias ficaria pronto o serviço? 2. Se uma torneira enche 1/6 de um tanque em uma hora, quanto tempo levará para encher o

tanque todo?3. Calcule a altura de um edifício que projeta uma sombra de 19,60 m. no mesmo instante

em que um bambu de 3,8 m, plantado verticalmente, projeta uma sombra de 4,90 m.4. Uma roda dá 2.376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1 h 27 min?5. Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de 40

km/h. Se triplicar a velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o tempo do percurso?

6. Cinco homens, em 8 dias, ganham US$ 480,00. Quantos dias seriam necessários para 9 homens ganharem US$ 2.376,00?

7. Para alimentar uma família de 6 pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros de leite. Para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes duas pessoas, quantos litros de leite serão necessários?

5.3 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

É uma técnica de cálculo empregada para resolver problemas que envolvemmais de duas grandezas.

A grandeza cujo valor é procurado pode ser diretamente ou inversamente proporcional a todas as outras ou ainda diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a outras.

Aplicação Prática:

1. Em 6 dias de trabalhos aprontam-se 720 uniformes escolares fazendo funcionar 16 máquinas de costura. Em quantos dias de podem aprontar 2.160 uniformes escolares, fazendo funcionar 12 máquinas iguais às primeiras?

Temos a seguinte distribuição prática:

Dias Uniformes Máquinas↓ 6 720 ↓ 16 ↑↓ x 2.160 ↓ 12 ↑

Invertendo os valores correspondentes à 3ª grandeza:

20

Lembrando a propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza diretamente proporcional a várias outras (os valores que exprimem sua medida são diretamente proporcionais aos produtos dos valores correspondentes das outras), vem:

=> => x = 24 dias

2. Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de brim de 0,82 m de largura. Quantos metros de brim de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?

Quilos Comprimento Largura↓ 24 120 m ↓ 0,82 m ↑↓ 30 x ↓ 1,23 ↑

=> => x = 100 m

Exercícios:1) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m. de tecido. Quantos dias, de 6 horas levaria para fazer 2.000 m de um tecido que apresenta dificuldade igual a ¾ do primeiro?

(20 dias)2) Foram empregados 36 kg de fio para tecer 126 m de tecido com 0,60 m de largura. Pergunta-se: quantos metros de tecido de 0,72 m de largura se podem tecer com 48 kg do mesmo fio?

(140 m)3) Uma equipe de mineiros composta de 15 homens extraiu, em 30 dias, 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 homens, em quanto tempo será extraída a mesma quantidade de carvão? (22,5 d)4) Se três homens podem arar um campo de 8 ha em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos dias 8 homens poderão arar 192 ha trabalhando 12 horas diárias? (30 d)5) Para o piso de uma sala empregaram-se 750 tacos de madeira de 45 cm de comprimento por 8 cm de largura. Quantos tacos, de 40 cm de comprimento por 7,5 de largura, são necessários para um piso cuja superfície é o dobro da anterior? (1800 t)6) Três operários trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários trabalhando 9 dias? (1.400 peças)7) Duas máquinas produzem 32 peças de um certo produto em 4 dias. Quantas peças produzirão 5 máquinas iguais as primeiras em 3 dias? (60 peças)8) Um motociclista percorre 120 km em 2 dias, durante 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 km rodando 5 horas por dia? (5 dias)9) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para produzirem 1.200 m do mesmo tecido em 8 dias? (8 horas por dia)10) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho? (32 operários)11) Em 30 dias uma frota de 25 táxis consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumirá 240.000 litros de combustível? (50 dias)

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12) Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho foram contratados 100 operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas de trabalho determine quantos operários a mais devem ser contratados? (50 operários)13) Um edifício é construído em 18 meses por 20 operários trabalhando 10 horas por dia. Em quanto tempo esse edifício seria construído, se fossem demitidos 5 operários e o restante trabalhasse com um jornada de 12 horas por dia? (20 meses)14) Um folheto enviado pela Corsan informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados? (250 litros)15) Meia dúzia de datilógrafos prepara 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade, prepararão 800 páginas? (15 dias)16) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários serão necessários para produzir 600 pares de calçado por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? (32 op)17) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90.000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135.000 peças? (75 dias)18) Dois carregadores levam caixas de um depósito para um caminhão. O primeiro leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O segundo leva 6 caixas por vez e demore 5 minutos para ir e voltar. Mantendo o mesmo ritmo, enquanto o primeiro leva 240 caixa, quantas caixas leva o segundo? (216 cx)19) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de ração serão necessários para alimentar 30 vacas durante 75 dias? (3.750 Kg)20) Em uma granja, 120 galinhas produzem em média 100 dúzias de ovos em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 80 galinhas em 18 dias? (120 duz)

6 - PORCENTAGEM

Porcentagem é a razão que tem 100 por conseqüente.

= 50% (lê-se “50 por cento”)

= 15% (lê-se “15 por cento”)

Se uma loja estiver dando 30% de desconto para qualquer mercadoria, então o valor desse desconto é chamado porcentagem.

O cálculo da porcentagem é feito aplicando-se a técnica da “Regra de Três Simples”.

Aplicação prática:

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1. Ao comprar uma camisa de R$ 120,00, obtive 20% de desconto no preço. De quanto foi esse desconto (porcentagem)?

120 ------------ 100%

x ------------ 20% x = x = 24,00

2. Vendi um relógio por R$ 170,00 com 15 % de prejuízo. Quanto havia pago por ele?

170 ----------- 85%

x ----------- 100% x = x = 200,00

3. Vendi um terreno por R$ 4.800,00 com 20% de lucro. Quanto eu havia pago por ele?

4.800 ---------- 120

x ---------- 100 x = x = 4.000,00

Exercícios:1. Determine quanto por cento é R$ 500,00 de R$ 2.500,00.

2. Uma pessoa vende sua casa por R$ 55.200,00 tendo um lucro de 15%. Quanto pagou pela casa?

3. Papai comprou um terreno à vista e obteve um abatimento de 20%, equivalente a R$ 3.000,00. Quanto pagou por ele?

4. Numa certa excursão participaram 27 rapazes. Sabendo que 46% dos excursionistas são moças, quanto por cento de rapazes participou dessa excursão e qual o total de excursionistas?

5. Uma casa foi comprada por R$ 48.000,00 e vendida por R$ 53.760,00. Qual foi a taxa de lucro dessa transação?

6. Na última avaliação de minha classe, faltaram: 5% dos alunos por doença e 5% por motivo de viagem. Quantos alunos fizeram a avaliação, se a classe tem 40 alunos?

7 - NOÇÕES SOBRE CUSTO E VENDA

Os problemas envolvendo porcentagem estão relacionados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, veremos a seguir como fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo e de venda de mercadorias.

Chamamos de preço de custo, o quanto um revendedor paga por um produto.Chamamos de preço de venda, o valor que é estabelecido para ser vendido.

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Então, o preço de custo será representado por Co preço de venda será representado por Vo lucro por Le o prejuízo por P

=> Quando o preço de venda é maior que o preço de custo tem-se o lucro, logo: L = V – C

=> Se o preço de venda for menor que o preço de custos tem-se um prejuízo, logo: P = C - V

7.1 - LUCRO OU PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO:

Para se calcular o lucro ou o prejuízo, o custo corresponde a 100%, observando-se os casos abaixo:

1° Caso: Se for dado o preço de custo – aplica-se sobre este, a taxa de lucro ou prejuízo que se pretende determinar.

Aplicação prática:a) Um comerciante deseja lucrar 20% sobre o preço de custo de um produto que foi adquirido por R$ 1.200,00. Por quanto deve vendê-lo?

=> x = => x = 240,00 => lucro

Como V = C + L V = 1.200 + 240 V = 1.440 ou R$ 1.440,00

b) Se tivesse havido prejuízo de 20% sobre o preço de custo, na situação colocada no problema anterior, qual seria o preço de venda?

Neste caso V = C – P V = 1.200 – 240 V = R$ 960,00

2° Caso: Se não for dado o preço de custo - Neste caso o preço de venda dado é igual ao custo mais a porcentagem sobre o custo no caso de lucro, ou menos a porcentagem sobre o custo no caso de prejuízo. Isto é:

V = C + L (lucro) e V = C – P (prejuízo)

Como C = 100%, temos:

V = 100% + i (lucro) e V = 100% - i (prejuízo)

Aplicação prática:

24

a) Um comerciante vende um produto por R$ 350,00, com um lucro de 10% sobre o preço de custo. Qual o valor do lucro?

V = 100% + i V = 100% + 10% V = 110%

=> C = => C = 318,18

L = V – C L = 350 – 318,18 L = 31,82

b) No problema anterior, calcule o prejuízo se o produto tivesse sido vendido com um prejuízo de 10% sobre o custo?

V = 100% - i V = 100% - 10% V = 90%

=> C = => C = 388,88

P = C – V P = 388,88 – 350 P = 38,88

7.2 - LUCRO OU PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA:

Para se calcular o lucro ou o prejuízo sobre o preço de venda, o preço de venda corresponde a 100%, observando os casos abaixo:

1° Caso: Se for dado o preço de custo – Neste caso precisamos determinar o preço de venda. O custo é igual a venda mais a porcentagem sobre a venda (no caso de lucro) ou menos a porcentagem sobre a venda (no caso de prejuízo). Isto é:

C = V – L (lucro) e C = V + P (prejuízo)

Como V = 100%, temos:

C = 100% - i (lucro) e C = 100% + i (prejuízo)

Aplicação prática:a) Um comerciante adquire um produto por R$ 250,00 e o vende com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Por quanto vende o produto?

C = 100% - i C = 100% - 20% C = 80%

=> V= => V = 312,50

L = V – C L = 312,50 – 250 L = 62,50

25

b) No problema anterior, se o produto tivesse sido vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda, qual o valor do prejuízo?

C = 100% + i C = 100% + 20% C = 120%

=> V = => V = 208,33

P = C – V P = 250 – 208,33 P = 41,67

2° Caso: Se for dado o preço de venda – aplica-se sobre esta a taxa de lucro ou de prejuízo que se pretende calcular.

Aplicação prática:a) Um produto que está a venda por R$ 150,00 dá ao comerciante um lucro de 25% sobre o preço de venda. Por quanto foi adquirido o produto?

=> x = => x = 37,50

C = V – L C = 150 – 37,50 C = 112,50

b) Se tivesse havido prejuízo sobre o preço de venda, os cálculos seriam os mesmos, só que seria determinado o prejuízo. C = V + P C = 150 + 37,50 C = 187,50

Exercícios:

1) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo-se que esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda? (R$ 180,00)

2) Uma casa custando R$ 240.000,00 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule por quanto foi vendida? (R$ 200.000,00)

3) Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 250,00, só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 8% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu o relógio? (R$ 230,00)

4) Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o valor apurado na venda? (R$ 498,21)

5) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? (R$ 240,00)

6) Comprei uma mercadoria por R$ 480,00. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último? (R$ 600,00)

7) Um terreno foi comprado por R$ 50.000,00 e vendido por R$ 65.000,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? (30%)

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8) Quanto custou um objeto vendido por R$ 2.480,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? (R$ 3.100,00)

9) Um imóvel foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? (R$ 54.648,00)

10) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 165,00. Por quanto deverá revendê-la para obter um lucro de 30%? (R$ 214,50)

11) Um relógio foi vendido por R$ 300,00. Qual o lucro obtido, sabendo-se que o mesmo foi calculado na base de 25%? (R$ 60,00)

12) Um objeto comprado por R$ 800,00 foi revendido por R$ 1.040,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? (30%)

13) Um objeto foi vendido com prejuízo de 20%, pelo preço de R$ 48,000. Quanto havia custado? (R$ 60,00)

14) Uma geladeira duplex foi vendida por R$ 850,00. Sabendo-se que na venda houve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou essa geladeira? (R$ 977,50)

15) Vendi por R$ 15.000,00 uma mercadoria que custou R$ 12.000,00. Qual foi a taxa do meu lucro sobre o preço de venda? (20%)

16) Um corretor de imóveis recebe 4,5% de corretagem pela venda de imóveis. Quanto recebe de comissão pela venda de um imóvel que custa R$ 16.250,00? (R$ 731,25)8 - JURO SIMPLES:

8.1 - CAPITAL: (C) - Será usado no sentido restrito de dinheiro, quer seja emprestado ou tomado por empréstimo.

8.2 - TAXA: Na prática financeira, a grandeza do juro é definida por um coeficiente denominado taxa. São duas as taxas habitualmente usadas:

►Taxa unitária (i) – que representa o juro da unidade de um capital num determinado período tomado para unidade de tempo. Ex.: Se o juro do capital 1 real em 1 ano é 5 centavos (R$ 0,05), diz-se que a taxa unitária anual de juro é 0,05. De acordo com a Notação Universal, representaremos por “i” essa taxa.

►Taxa percentual (r) – que representa o juro do capital 100 no período tomado para unidade de tempo. Ex.: Se o capital 100 reais rende 5 reais em um ano, diz-se que a taxa anual de juro é cinco por cento (5%). Concluímos, então, que a taxa percentual é igual a 100 vezes a taxa unitária correspondente.

8.3 - TEMPO: (t) - É o período pelo qual o capital foi emprestado ou aplicado. (dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).

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8.4 - JURO: (j) - Representa a soma em dinheiro que deve ser paga pelo direito de se dispor temporariamente de um capital, sendo, portanto um prêmio em dinheiro que o emprestador recebe, além da restituição integral do capital cedido.

Ou ainda, juro é o “aluguel” ou o “prêmio” que se paga ou se recebe sobre o dinheiro que se toma emprestado ou que se empresta.

Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 1.000,00 e após um ano recebe a quantia emprestada mais R$ 120,00 como prêmio por esse empréstimo, diremos que esses R$ 120,00 representam o juro do capital emprestado e correspondem a 12% de seu valor em um ano.

Podemos então observar que o juro é uma grandeza variável, diretamente proporcional:

à quantia emprestada que é denominada capital (C); ao tempo pelo qual esse capital foi emprestado (t); à taxa (i) que é a razão por cento entre a compensação (j) e a quantia

emprestada (C), numa unidade de tempo (d, m, a).

Exemplo:

Se um capital 100 rende i em 1 ano, quanto de j renderia o capital C em t anos?

Capital Juro Tempo

=> =>

j .100 = C.r.t => j = mas não queremos taxa percentual (r) e como a taxa unitária

(i) é igual a r/100, temos que j = Cit.

Exemplo: 12% ao ano, equivale a uma taxa unitária de 0,12 a.a.

8.5 - FÓRMULA PARA CÁLCULO DO JURO:

j = Cit

Onde:j = Juro que remunera o capital expresso monetariamente.C = Capital emprestado expresso monetariamentei = taxa unitária da transação expresso em %t = tempo expresso em dia, mês, ano, etc.

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Nota:Com esta fórmula podemos resolver qualquer problema sobre juros simples, desde que a taxa

(i) e o tempo (t) estejam na mesma unidade de tempo.

Por exemplo: Se a taxa for 1% ao ano, o tempo deverá estar em anos; se for 1% ao mês, o tempo deverá também estar em mês.

Técnica de redução da unidade de tempo:

1°) Reduzir 5 anos em meses.1 ano = 12 meses 5 anos = 5 x 12 m = 60 meses

2°) Reduzir 3 meses em anos. 1 mês = 1/12 do ano 3 meses = 3 x 1/12 a 3/12 a 1/4 ano.

3°) Reduzir 100 dias em meses. 1 dia = 1/30 do mês 100 dias = 100 x 1/30 m 100/30 m 10/3 meses.

4°) Reduzir 1 ano 5 meses 10 dias em meses.Sugestão: reduza tudo para a menor unidade (dias) e depois para a unidade pedida.

1 x 360 d + 5 x 30 d + 10 d = 520 dias520 d = 520 x 1/30 m 520/30 m 52/3 meses.

Aplicação prática:1. Calcular o juro produzido por um capital de R$ 30.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 1 ano. .

j = ? (Sendo a taxa (i) ao mês devemos reduzir o tempo (t) para meses).C = 30.000 1a = 12 mi = 3% /100 = 0,03 usar sempre taxa unitária (r/100 = i)t = 1 a = 12 meses.

Aplicando a fórmula: j = Cit j = 30.000 x 0,03 x 12 j = R$ 10.800,00

2. Um certo capital à taxa de 36% ao ano rendeu R$ 6.240,00 de juro, durante 5 meses. Determinar o valor desse capital.

j = 6.240C = ?I = 36% ou 0,36 aat = 5 m ou 5/12 a

Aplicando a fórmula:

j = Cit 6.240 = C x 0,36 x 5/12 0,15C = 6.240 C = R$ 41.600,00

Exercícios:

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1. Calcule os juros produzidos por:a) R$ 8.000,00 à taxa de 32% ao ano, em 2 anos. (R$ 5.120,00)b) R$ 3.500,00 à taxa de 46% ao ano, em 18 meses. (R$ 2.415,00)c) R$ 48.600,00 à taxa de 4% ao mês, durante 90 dias. (R$ 5.832,00)d) R$ 25.000,00 à taxa de 2.3/4% ao mês, durante 2 a 6 m 12 d. (R$ 20.900,00)

2. Determine o capital que produziu os juros de:a) R$ 50.000,00, à taxa de 25% ao ano, durante 2 anos. (R$ 100.000,00)b) R$ 26.400,00, à taxa de 2% ao mês, durante 1 a 10m. (R$ 60.000,00)c) R$ 75.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 1 ano. (R$ 250.000,00)d) R$ 13.650,00, à taxa de 2,6% ao mês, durante 5 meses. (R$ 105.000,00)

3. Qual a taxa:a) por ano, que faz um capital de R$ 50.000,00 render R$ 38.500,00 em 2 anos? (38,5% aa)b) por mês, que faz um capital de R$ 24.000,00 render R$ 15.120,00 em 18 meses? (3,5% am)c) por mês, que faz um capital de R$ 48.000,00 render R$ 30.720,00 em 1 a 8 m? (3,2% am)d) por ano, que faz um capital de R$ 500.000,00 render R$ 304.000,00 em 2 anos? (30,4% aa)

4. Calcule o tempo empregado pelo capital de:a) R$ 48.000,00 que, à taxa de 2,8% ao mês, rendeu R$ 67.200,00 de juros. (50 meses)b) R$ 180.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 145.800,00 de juros. (2 a 3 m)c) R$ 60.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 129.600,00 de juros. (6 anos)d) R$ 100.000,00 que, à taxa de 40% ao ano, rendeu R$ 200.000,00 de juros. (5 anos)

8.5.1 - Caso em que o tempo não é um número inteiro de períodos.

Quando o prazo não é um número inteiro de períodos, adota-se universalmente a seguinte

convenção: t =

J = Ci . j = Ci .

Ou quando o prazo é composto de uma parte inteira e outra fracionária: t = m +

J = Cim + Ci .

8.6 - JURO SIMPLES EXATO – ANO CIVIL

Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve-se contar o tempo em seu número exato de dias. Assim, o juro de um capital colocado de 17 de março a 21 de junho do mesmo ano é calculado sobre 96 dias, número exato de dias decorridos entre as duas datas.

30

Sendo, então, n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples à taxa i, obtém-se esse juro fazendo-se t = n/365 na fórmula J = Cit, o que dá:

J =

ou se o ano considerado é bissexto t = n/366 e J = Cin/366.

Denominaremos o juro, assim calculado, juro simples exato.

8.7 - JURO SIMPLES ORDINÁRIO – ANO COMERCIAL.

Seguindo-se a convenção do ano comercial, deve-se, logicamente, computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto é, considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17 de março a 21 de junho do mesmo ano, devem-se contar 94 dias, como indica o cálculo seguinte:

De 17 de março a 17 de junho....................................................90 dias (3 meses) De 17 de junho a 21 de junho.................................................... 4 diasTotal .......................................................................................... 94 dias

Representemos, então, por n o número de dias decorridos entre duas datas, e calculado pelo processo acima. O juro de um capital C, colocado à taxa i durante esse prazo, é obtido fazendo-se t = n/360 na fórmula j = Cin, do que resulta:

J =

Denominaremos o juro, assim calculado, juro simples ordinário.

8.8 - REGRA DOS BANQUEIROS:

Na prática bancária, onde as operações são raramente feitas a prazo superior a 120 dias, usa-se com freqüência o ano comercial, tomando-se, todavia, para n o número exato de dias.

Exercício:

O capital R$ 1.200,00 esteve colocado a juros simples à taxa de 5% a.a. de 17 de março a 21 de junho do mesmo ano. Calcular o juro simples exato, o juro simples ordinário e o juro avaliado pela regra dos banqueiros.

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a) Sendo 96 o número exato de dias decorrido entre as duas datas, o juro simples exato é:

j = j = R$ 15,78

b) Sendo 94 o número de dias decorridos entre as duas datas segundo a convenção do ano comercial, o juro simples ordinário é:

j = j = R$ 15,67

c) Pela regra dos banqueiros o juro é:

j = j = R$ 16,00

8.9 - MONTANTE DE UM CAPITAL.

Se um capital é colocado a juro durante certo prazo, chama-se montante ou valor final desse capital a soma do capital e do juro por ele produzido durante esse prazo.

M = C + J M = C + Cit M = C(1+it)

M = C(1+it)

Por exemplo, se o capital R$ 1.000,00 foi colocado a juros, à taxa de 4% a.a., durante um ano e meio, o montante desse capital no fim desse prazo é:

M = 1.000 (1+ 0,04 x 1,5) M = R$ 1.060,00

Exercícios:

1. A que taxa foi depositado o capital de R$ 12.000,00 que, em 6 meses, produziu R$ 1.500,00 de juros? (2,08% a.m.)

2. Qual o capital que aplicado a 24% ao ano produz R$ 7.500,00 de juros em 10 meses? (R$ 37.500,00)

3. Qual o capital que, aplicado a 36% ao ano, produz R$ 6.000,00 de juros em 14 meses? (R$ 14.285,71)

4. Uma pessoa toma emprestado de um Banco R$ 154.000,00 e após 6 meses devolve R$ 200.000,00. A que taxa foi tomado o empréstimo? (4,97% a.m.)

32

5. Por quanto tempo se deve emprestar, a 12,5% ao ano, uma certa quantia para que a mesma duplique? (8 anos)

6. Uma indústria compra uma máquina por R$ 59.500,00 e dá de entrada R$ 9.500. O restante irá pagar a 12% ao ano durante 3 anos. Quais os juros pagos por essa dívida? (R$ 18.000,00)

7. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% ao ano, ela triplique?(16a 7m 27d)

8. A que taxa anual um capital qualquer produziria, em 2 anos, 1/5 do seu valor? (10 % a.a.)

9. Qual o rendimento de R$ 16.000,00, a 5% ao ano, em 2 anos e 6 meses? (R$ 2.000,00)

10. A que taxa anual o capital de R$ 14.400,00, em 2 meses e 15 dias, renderia R$ 330,00 de juros? (10,8 % a.a.)

11. Qual o capital que se deve emprestar a 9% ao ano, para se receber, no fim de 1 ano e 8 meses, R$ 4.500,00 de juros? (R$ 30.000,00)

12. Qual o juro de R$ 120.000,00, aplicado durante 3 meses, à taxa de 0,3% a.d. (R$ 32.400,00)

13. Determine o tempo necessário para que R$ 40.000,00, aplicados a 48% ao ano rendam R$ 38.400,00 de juros? (2 anos)

14. A que taxa semestral foi aplicado o capital de R$ 3.500,00 que, em 6 meses, rendeu R$ 700,00 de juros? (20 % a.s.)

15. Qual o tempo necessário para que R$ 10.000,00 a taxa de 0,2% ao dia, possa render R$ 2.000,00? (100 dias)

16. Qual o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? (R$ 8.000,00)

17. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 2.800,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? (R$ 5.060,00)

18. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 2.960,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples? (R$ 1.720.93)

19. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 720,00, entregando ao credor uma nota promissória de R$ 972,00, com vencimento para daí a 10 meses. Determine a taxa de juros anual cobrada. (42% a.a)

20. Qual o tempo a ser aplicado o capital de R$ 800,00, à taxa de juros de 16% ao ano, para obtenção de um montante de R$ 832,00? (3 meses)

21. Qual o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? (R$ 8.000.00)

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22. Uma pessoa aplicou R$ 4.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 9.000,00. Qual foi a taxa anual? (20% a.a)

23. Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 20.000,00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 2.400,00? (8 meses)

24. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? (1a 9m)

8.10 - TAXAS PROPORCIONAIS:

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, estão expressos na mesma unidade:

Por exemplo, a taxa semestral de 4.1/2% e a taxa quadrimestral 3% são proporcionais porque:

0,045 ----- 6

0,03 ----- 4 ou

Generalizando: onde t e t1 devem estar na mesma unidade.

Por exemplo, a taxa mensal proporcional à taxa anual 6% é:

6 ---- 12

i ---- 1 => i = => i = => i = % ou 0,5% ao mês.

Nota-se que o juro de um capital à taxa de ½% ao mês durante 12 meses é igual ao juro do mesmo capital à taxa de 6% ao ano durante 1 ano. Diz-se, então, que as taxas ia e im são equivalentes.

Aplicação prática:

1. Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. 30 ----- 12

i ----- 1 i = i = 2,5% a.m.

2. Calcule a taxa anual proporcional a 2,5% ao mês. 2,5 ----- 1

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i ----- 12 i = i = 30% a.a.

3. Calcule a taxa diária proporcional a 2,4% ao mês.2,4 ----- 30

i ----- 1 i = i = 0,08% a.d

4. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. 0,08 ----- 1

i ----- 30 i = i = 2,4% a.m.

5. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 8 ----- 1

i ----- 4 i = i = 32% a.a.

8.11 - TAXAS EQUIVALENTES:

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período produzem o mesmo juro.

Exemplo: Calcule os juros produzidos pelo capital de R$ 1.200,00:a) à taxa de 4% a.m., durante 6 meses. b) à taxa de 12 % a.t., durante 2 trimestres.

a) C = 1.200 J = Cit j = 1.200 . 0,04 . 6 j = R$ 288,00i = 4% a.m.

t = 6 m

b) C = 1.200 J = Cit j = 1.200. 0,12 . 2 j = R$ 288,00i = 12% a.t.t = 2 trim.

Como os juros produzidos são iguais dizemos que 4% ao mês e 12% ao trimestre são taxas equivalentes. Concluímos, assim, que no regime de capitalização simples as taxas proporcionais são também equivalentes.

Exercícios:

1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano? (2,5% ao mês)

2) Qual é a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia? (2,4% ao mês)

3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre? (32% ao ano)

4) Calcule os juros produzidos pelo capital de R$ 1.200,00:

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a) à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses. (R$ 288,00)b) à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. (R$ 288,00)

5. Um capital de R$ 24.000,00 é aplicado durante 10 meses à taxa de 25% a.a. Calcule o juro obtido. (R$ 5.000,00)

6. Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 1.850,00, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. (R$ 1.572,50)

7. Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 3.250,00, a taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. (R$ 146,25)

8. Calcule os juros de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juros simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. (R$ 2.400,00)

8.12 - CÁLCULO DO JURO SIMPLES PELO MÉTODO DOS DIVISORES FIXOS:

Da fórmula J = fazendo ∆ = 360 / i e n = d (dias) resulta

j =

Seja, por exemplo, calcular o juro do capital R$ 2.000,00, à taxa de 4% ao ano, durante 54 dias.

∆ = = 9.000 j = j = R$ 12,00

8.13 - CALCULO DO JURO SIMPLES PELO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES FIXOS:

Uma variante deste método, denominada método dos multiplicadores fixos, consiste em calcular o juro pela fórmula J = CdM onde M (multiplicador fixo) é o inverso do divisor fixo da taxa.

Para o exemplo anterior teríamos M = M = M = 0,00011111

E portanto j = 2.000 x 54 x 0,000111111 j = R$ 12,00 aproximadamente.

36

9 - DESCONTO SIMPLES.

9.1 - INTRODUÇÃO:

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.

Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, pode ser antecipadamente resgatado, obtendo-se com isso um abatimento denominado desconto.

O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juros.

9.2 - TÍTULOS DE CRÉDITO:

Em operações financeiras é comum a utilização de títulos de crédito, tais como: a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

► Nota promissória – é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.

► Duplicata – é um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica) para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

► Letra de câmbio – é, também, como a nota promissória, um comprovante de aplicação de um capital com vencimento predeterminado; porém é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

9.3 - DESCONTO:

Com relação aos títulos de crédito pode ocorrer:► que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado, beneficiando-se com

um abatimento correspondente ao juro que houvesse gerado esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento;

► que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título a um terceiro. É justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantias, obtido de comum acordo, chamado desconto.

Às operações citadas acima denominamos operações de desconto e o ato de efetuá-las, chamamos descontar um título.

Chamamos:

► ao dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação: dia do vencimento;► ao valor indicado no título, que é a importância a ser paga no dia do vencimento: valor nominal (valor de face, valor futuro ou valor de resgate);

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► ao valor líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: valor atual (valor descontado);► ao número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento, incluindo o primeiro, porém, não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro: tempo ou prazo.

Assim:Desconto (D) é a quantia a ser abatida do valor nominal, (N) isto é, a diferença entre o

valor nominal e o valor atual (A). D = C – A.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal (N) ou o valor atual (A). No primeiro caso é denominado desconto comercial e no segundo, desconto racional.

9.4 - DESCONTO COMERCIAL: (D)

Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora, ao equivalente ao juro simples do valor nominal do título, à taxa estipulada pelo Banco, durante o tempo que decorre da data da transação ao vencimento do mesmo. Para o calculo do desconto usamos a seguinte fórmula:

D = Nin

Onde:D = Desconto comercialN = Valor nominali = taxa estipulada (unitária)n = tempo antes do vencimento

Valor atual comercial: (A)

O valor atual (A) é igual a diferença ente o valor nominal (N) e o desconto (D).

A = N – D => A = N – Nin => A = N(1- in)

A = N(1- in)

Exemplo:1) Se um título de valor nominal R$ 24.360,00 sofre um desconto bancário, à taxa de 6% ao ano, 90 dias dantes de seu vencimento, qual o valor do desconto?

Pela fórmula D = Nin D = 24.360 . 0,06 . 1/4 D = 365,40Valor Atual A = N – D A = 24.360,00 – 365,40 A = 23.994,60Pela fórmula A = N(1-in) A = 24.360(0,985) A = 23.994,60

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2) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, qual será:a) o valor do desconto comercial?b) o valor atual comercial?

a) D = Nin D = 6.000 x 0,021x 1,5 D = 189,00b) A = N(1-in) A = 6.000 x 1 – 0,0315 A = 6.000 x 0,9685 A = 5.811,00

Exercícios Resolvidos:

1) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. D = Nin 828 = 6900.0,04.n 276n = 828 n = 828/276 n = 3 meses.

2) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000,00 foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?D = Nin D = 2000x0,30/12x2 D = 100,00

3) Um título no valor nominal de R$ 840,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 10/07. Se a taxa de juros contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor do desconto comercial?D = Nin D = 840x0,54/360x98 D = 123,48

4) Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. D = Nin 324 = 4800x0,324/360xn 4,32n = 324 n = 324 / 4,32 n = 75 dias.

9.5 - DESCONTO RACIONAL: (D’)

Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título que é saldado n períodos antes do seu vencimento. Lembrando que:

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal; Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.

Chamaremos de: D’ ao desconto racionalA’ ao valor atual racional ou valor descontado racional.

Pela definição de desconto racional, temos: D’ = A’in

Sendo: A’ = N – D’

Então, substituindo A’ em: D’ = A’in temos D’ = (N – D’). in D’ = Nin – D’in

D’ + D’in = Nin D’(1+in) = Nin D’ =

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Nos dá o valor do desconto racional em função do valor nominal.

Valor Atual racional: (A’)

Por definição o valor atual é igual a diferença entre o valor nominal e o desconto.

Ou seja: A’ = N – D’

Substituindo-se D’ por , tem-se: A’= N – (mmc)

A’(1+in) = N(1+in) – Nin => A’ = =>

A’ =

A’ =

Obs.; O desconto racional é menor que o desconto comercial.

Exemplo:

1) Se um título de valor nominal R$ 24.360,00 sofre um desconto racional, à taxa de 6% ao ano, 90 dias antes de seu vencimento, qual o valor do desconto?

Pela fórmula D’ = D’ = D’ = 360,00

Valor Atual A’ = N – D’ A’ = 24.360,00 – 360,00 A’ = 24.000,00

Pela fórmula A’ = A’ = A’ = 24.000,00

2) Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, qual será: a) o valor do desconto racional? b) o valor atual racional?

40

a) D’= D’= D’ = 183,23

b) A’= A’ = A’ = 5.816,77

Exercícios Resolvidos:

1. Um título de R$ 6.000,00 foi resgatado 9 meses e 15 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial foi de 28% ao ano, qual foi o desconto e qual o valor atual comercial?

D = Nin D = 6000. D =1.330,00;

A = N(1-in) A = 6000(1-0,22166666) A = 6000 x 0,77833333 A = 4.670,00

2. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00?

D = Nin 750 = 20000. 750 = 16,66666n n = 45 dias

3. Um título a vencer no dia 15/10 foi descontado no dia 20/08. Se o desconto comercial fosse de R$ 1.470,00 e a taxa de juros fosse de 27% ao ano, qual seria o valor nominal do título?

D = Nin 1470 = N. 0,04125N = 1470 N = 35.636,36

4. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% ao ano?

A = N(1-in) 14195 = N. 0,835N = 14195 N = 17.000,00

5. O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu valor nominal. Qual será a taxa de desconto comercial anual, se o prazo de antecipação do resgate for de 8 meses?

A = N(1-in) 0,25 =1 1- = 0,25 - = -0,75 (x-1) i =

i = 0,75 x 3/2 i = 1,125 (x 100) i = 112,5% a.a.

6. Determine o valor atual racional e o desconto racional dos seguintes casos:a) Capital R$ 3.000,00; taxa 26% a.a; prazo 3 meses e 20 dias; (A’=2.779,21; D’=220,79)b) Capital R$ 6.420,00; taxa 30% a.a; prazo 8 meses; (A’=5.350,00; D’=1.070,00)c) Capital R$ 8.200,00; taxa 20,5% a.a; prazo 1ano 2 meses. (A’= 6.617,35;D’=1.582,65)

7. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto comercial é R$ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor nominal do título, se a taxa de juros empregada nos descontos for de 24% ao ano?

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Nin = => = => 0,1N= (mmc)

0,11N = 0,10N + 154 => 0,11N – 0,10N = 154 => 0,01N = 154

N = N = 15.400,00

8. Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, qual será:a) o valor do desconto racional. (R$ 183,23)b) o valor atual racional. (R$ 5.816,77)

9. Qual o valor do desconto e o valor atual racional de um título de R$ 500,00 disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês? (R$ 19,23 e R$ 480,77)

10. Um título de R$ 6.000,00 foi resgatado 9 meses e 15 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial foi de 28% ao ano, qual foi o desconto e qual o valor atual comercial? (1.330,00 e 4.670,00)

11. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00? (45 dias)

12. Um título a vencer no dia 15/10 foi descontado no dia 20/08. Se o desconto comercial fosse de R$ 1.470,00 e a taxa de juros fosse de 27% ao ano, qual seria o valor nominal do título?

(R$ 35.000,00)

13. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% ao ano?

(R$ 17.000,00)

14. O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu valor nominal. Qual será a taxa de desconto comercial anual, se o prazo de antecipação do resgate for de 8 meses? (112,5% ao ano)

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10 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Diz-se que um capital está colocado a juros compostos ou no regime de capitalização composta, se, no fim de cada período financeiro, previamente estipulado, o juro produzido é adicionado ao capital e passa a render juro.

Seja, então, (C) um capital, colocado a juros compostos à taxa unitária (i), relativa a um certo período. Sendo Ci o juro produzido por C no fim do primeiro período, o montante do fim desse período será:

C1 = C + Ci = C(1+i)

Este resultado mostra que se obtém o montante do fim de um período multiplicando-se o capital frutífero do início desse período pelo fator de capitalização 1 + i.

Como, de acordo com a definição do regime de capitalização composta, o montante no fim de um período torna-se o capital frutífero no período imediato, o capital frutífero do segundo período é o montante C1 no fim do primeiro período. Então, em virtude do que foi dito, o montante no fim do segundo período será:

C2 = C1(1+i)

ou substituindo C1 pelo seu valor C(1+i) temos: C2 = C(1+i) (1+i) C2 = C(1+i)2

10.1 – CÁLCULO DO MONTANTE:

Se C1 = C + Ci = C1= C(1+i)e C2 = C(1+i) (1+i) C2 = C(1+i)2

e C3 = C(1+i)(1+i)(1+i) C3 = C(1+i)3

então:

Cn = C(1+i)n

Onde: Cn = Montante ou valor futuroC = Capital inicial ou valor presentei = taxan = tempo

10.2 – CÁLCULO DO CAPITAL APLICADO:

Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n

Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn

O que multiplica no 1° passa a dividir no 2°

10.3 – CÁLCULO DO TEMPO:

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Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n

Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn

O C passa dividindo (1+i)n =

Ao transformar-se em log, n passa multiplicando n.log(1+i) = log

Como queremos o tempo, isolamos n

10.4 – CÁLCULO DA TAXA:

Toma-se a fórmula inicial Cn = C(1+i)n

Invertem-se os termos C(1+i)n = Cn

Passa o C para o segundo membro (1+i)n =

Expoente passa sinal como raiz 1+i =

Elimina-se a raiz 1+i =

Como queremos a taxa, 1 passa com sinal (-)

10.5 – CÁLCULO DO JURO:

Sabe-se que o juro é igual montante – capital j = Cn – CSubstitui-se o valor de Cn j = C(1+i)n – CPõe o C em evidência j = C[(1 +i)n] – 1

Exercícios Resolvidos:

1. Uma pessoa toma emprestada a juros de 1,7% ao mês R$ 14.000,00 pelo prazo de 8 meses. Qual o montante a ser devolvido?

Cn = C(l+i)n C8 = 14.000(1+0,017)8 C8 = 14.000(1,017)8 C8 = 14.000 x 1,1443728 C8 = 16.021,22

2. Qual o juro pago no caso do exemplo anterior? (deduzir a fórmula do juro composto)

j = Cn – C j = C(1+i)n – C j = C[(1+i)n]-1 j = 14.000[(1+0,017)8]-1j = 14.000[1,1443728]-1 j = 14.000 x 0,1443728 j = 2.021,22

3. Qual o capital que aplicado a 3% ao mês, durante 6 meses, rende juros compostos de R$ 5.573,51?

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j = C[(1+i)n]-1 5.573,51 = C[(1,003)6]-1 5.573,51 = C[1,194052]-15.573,51 = C. 0,194052 C = 5.573,51/ 0,194052 C = 28.721,73

4. Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que, lhe proporcionarão um resgate de R$ 397.004,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital?

i = i = i = (1,2406375)1/3 – 1

i = 1,07452115 – 1 i = 0,07452115 (x100) i = 7,45% a.m.

5. Qual o tempo necessário para que um capital qualquer triplique a uma taxa mensal composta de 1,6% ao mês?

n = n = n =

n = n = 69,21819237 n = 69 meses e

0,21819237 x 30 e 6,545771073 6 dias

6. Um capital de R$ 560.000,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 15% ao mês, de juros compostos. Qual o montante final?

Cn = C(1+i)n C15 = 560.000(1+0,15)15 C15 = 560.000 x 1,1515

C15 = 560.000 x 8,137061629 C15 = 4.556.754,51

7. Qual o capital que em dois anos produz R$ 1.906,00 de juros compostos a 12,5% ao mês?

j = C[(1+i)n]-1 1.906 = C[(1,125)24]-1 C[16,89120134]-1 = 1.906C = 1.906 / 15,8912 C = 119,94

8. A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 480.000,00 para que renda de juros compostos R$ 573.586,86 em seis meses?

i = i = (1.053.586,86/480.000,00)1/6-1 i = (2,194972625)0,1666666-1

i = 1,139999994 – 1 i = 0,1399999994 (x100) i = 14% a.m.

9. Em quanto tempo o capital dobra se for colocado à taxa de 10% ao mês. a) no regime de juros compostos? b) no regime de juros simples?

a) n = n = 0,30103/0,041392685 n = 7m 8 d.

b) J = C Cin = C n = n = i n = 10 meses

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10. Calcule juro e montantes correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:

a) 240% a.a. (240.000,00 e 340.000,00)b) 120% a.s. (384.000,00 e 484.000,00)c) 60% a.t. (555.360,00 e 655.360,00)d) 20% a.m. (791.610,00 e 891.610,00)

10.6. TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES:

Já vimos que, se i é a taxa relativa a um período t, a taxa proporcional a i e relativa ao período t/m é: im = i/m

Exemplo: Qual a taxa trimestral proporcional à taxa anual 6%?i4 = 6/4i4 = 1,5% a.t.

Seja i(m) uma taxa relativa ao período t/m e tal que todo capital, colocado a juros compostos à taxa i(m), capitalizados no fim de cada período t/m, produza, no fim do período t, o mesmo montante que produziria se estivesse colocado a juros compostos à taxa i, capitalizado no fim do período t.

Diz-se então que as taxa i e i(m) são equivalentes.

i(m) = (1+i)1/m -1

Esta é a fórmula que dá a taxa equivalente ao período menor, conhecida a taxa do período maior.Por exemplo: A taxa trimestral equivalente à taxa anual 6% é:

i(4) = (1+0,06). i(4) = 1,01467 -1 i(4) = 0,01467 i(4) = 1,467

i = (1+ i(m))m -1

Esta é a fórmula que dá a taxa equivalente ao período maior, conhecida a taxa do período menor.

Exemplo: Qual a taxa anual equivalente à taxa trimestral de 1.1/2%.(:100) 0,015

i =(1+0,015)4 -1 i = 1,06134 – 1 i = 0,06134 (x100) i = 6,134%

Nota:Dadas duas taxas equivalentes, a taxa relativa ao período menor é inferior à taxa proporcional correspondente e a taxa relativa ao período maior é superior à taxa proporcional correspondente.

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Tomemos como exemplo os exercícios anteriores onde a taxa trimestral 1,467%, equivalente à taxa anual 6%, é inferior à taxa trimestral proporcional correspondente 1.1/2%, e a taxa anual 6,134%, equivalente à taxa trimestral 1,1/2%, é superior à taxa anual proporcional correspondente 6%.

Exercícios resolvidos:1. Se a taxa mensal de inflação se mantivesse sempre em 1,2%, qual seria a taxa anual de inflação?

i =(1+0,012)12 -1 i = 1,153894724 – 1 i = 15,39% a.a.

2. Se alguém lhe pedisse para corrigir um valor de R$ 20.000,00 por um ano e que a inflação do período fosse 6,44% ao mês. Qual o valor corrigido?

i =(1+0,0644)12 -1 i = 2,114746869 – 1 i = 1,1147466869 i = 111,47% a.a.Cn = C(1+ i)n Cn= 20.000(1+1,1147)1 Cn = 20.000 x 2,1147 Cn = 42.294,00.

3. Qual é a taxa equivalente anual nas seguintes hipóteses abaixo?a) 10% a.m. i = (1+0,1)12 -1 i = 3,138428 – 1 i = 213,84% a.a. b) 20% a.b. i = (1+0,2)6 -1 i = 2,985984 – 1 i = 198,60% a.a. c) 5% a.t. i = (1+0,05)4 – 1 i = 1,215506 – 1 i = 21,55% a.a. d) 0,09% a.d. i = (1+0,0009)360 -1 i = 1,382445 – 1 i = 38,24% a.a.

4. Determinada Instituição Financeira paga juros de 56,42% ao ano. Pede-se qual a taxa paga numa aplicação de 67 dias. im = (1+i)1/m -1 im = (1+0,5642)67/360 – 1 im = (1,5642)0,1861111 – 1im = 1,086825832 -1 im = 0,086825831 im = 8,68% p/67 dias

5. Em 1985 a rentabilidade das Cadernetas de Poupança foi de 31,66% ao ano. Qual a taxa de rentabilidade trimestral desse ano?

im = (1+0,3166)1/4-1 im = (1,3166)0,25-1 im = 1,071182485 – 1 im = 0,071182im = 7,12% a.t.

6. Qual a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital de R$ 100,00 produza, em um ano, o mesmo montante que produz com a taxa anual de 45%?

im =(1+0,45)1/12 -1 im =(1,45)0,083333 – 1 im = 0,031447989 im = 3,14% a.m.

7. O Produto Nacional Bruto de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual?

im =(1+2,0)1/10 -1 im =(3)0,1 – 1 im = 0,116123174 im=11,6123% a.a.

8. Em quanto tempo dobra uma população que cresce a 2,82% ao ano?

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n = n = n =

n = 24,92465555 n = 24 anos 0,92465555 x 12 = 11,09586665 e 11 meses

9. Determine as taxas equivalente a 55% ao ano, se os prazos respectivos forem:

a) 6 meses im = (1+0,55)1/2 -1 im = (1,55)0,5 -1 im = 1,24498996 – 1 im = 24,5% a.s. b)1 mês im = (1+0,55)1/12-1 im = (1,55)0,083333-1 im = 1,03719618 – 1 im = 3,72% a.m.

10. Qual é a taxa bimestral equivalente a uma inflação de 7,5% ao mês? i = (1+im)m -1 i = (1+0,075)2 -1 i = (1,075)2 -1 i = 1,155625 – 1 i = 15,56% a.b.

11. Qual a taxa anual acumulada equivalente a uma inflação de 7,5% a.m.?

i = (1+im)m -1 i = (1+0,075)12 – 1 i =(1,075)12 – 1 i = 2,3817795 -1 i = 138,18% a.a.

12. No início do mês de setembro de 1986, empreguei uma quantia à taxa de 4% ao mês, em regime de juros compostos. Depois de 5 meses, com a elevação da taxa para 12% ao mês, o meu capital ficou ainda empregado por 3 meses a essa nova taxa, quando, então, retirei o montante de R$ 170.930,97. Qual a quantia inicialmente aplicada?

Cn = C(1+i1)n1(1+i2)n2 170.930,97 = C(1+0,04)5.(1+0,12)3

170.930,97 = C x 1,216652902 x 1,404928 170.930,97 = C x 1,709309728C = 170.930,97 / 1,709309728 C = 100.000,00

13. Certo capital esteve empregado durante um ano, à taxa de juros compostos, da seguinte forma: nos 6 primeiros meses, a 10% ao mês, nos 3 meses seguintes a 15% ao mês e nos últimos 3 meses a 20% ao mês. Responda:a) a que taxa anual esteve empregado?

i =(1+i1)n1 x (1+i2)n2 x (1+i3)n3 -1 i = (1+01)6 x (1+0,15)3 x (1+0,2)3 – 1i = 1,771561 x 1,520875 x 1,728 – 1 i = 4,65578986 – 1i = 3,65578986 i = 365,58% a.a. b) qual a taxa mensal equivalente?

im = (1+i)1/m -1 im = (1+3,6558)1/12 im = (4,6558)0,0833333 – 1im =0,136753219 im = 13,68% a.m.

9.7 – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA:

É freqüente, nas diferentes formas de emprego de capital, ser indicada uma taxa anual de juros, sendo esse, todavia, pago periodicamente e em parcelas iguais, certo número de vezes durante o ano.

Tal forma de caracterizar o juro aparece usualmente nos títulos da dívida pública e nas contas correntes bancárias. Por exemplo, os bônus de guerra oferecem ao subscritor, juros anuais

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de 6%, pagos, todavia, semestralmente, em duas parcelas, correspondendo cada uma a 3% do seu valor nominal. De que já foi visto, podemos concluir que o emissor de tais títulos paga um juro anual a uma taxa superior a 6% ao ano, a saber, a taxa anual equivalente à taxa semestral de 3%. Diz-se então, que 6% ao ano é a taxa nominal conversível duas vezes ao ano e que a taxa anual equivalente, acima referida, é a taxa efetiva paga ao subscritor.

Seja, então, i(m) uma taxa nominal conversível m vezes ao ano e seja i a taxa efetiva anual correspondente. Do que foi dito resulta que i é a taxa anual, equivalente à taxa i(m)/m relativa ao período 1/m do ano. Assim:

Esta fórmula nos dá a taxa efetiva i, conhecida a taxa nominal i(m).

i(m) = m[(1+ i)1/m -1]

Esta outra fórmula nos dá a taxa nominal i(m), conhecida a taxa efetiva i.

Exemplos:1. A Caixa Econômica do Rio de Janeiro paga aos depositantes de contas-correntes populares juros nominais de 4.1/2% ao ano, capitalizados semestralmente. Calcular a taxa efetiva anual paga aos depositantes?

i = 1,045506 – 1 i = 0,045506 i = 4,55%

2. A Caderneta de Poupança, além da correção monetária, paga juros de 6% ao ano. Como sabemos que a capitalização dos juros da Caderneta de Poupança é mensal, pede-se:a) Qual a taxa nominal anual de juros paga pela Caderneta de Poupança?i(m) = (1+ i)1/m -1 i(m) = (1 + 0,06)1/12 -1 i(m) = (1,06)0,0833333 -1 i(m) = 1,0048675 -1i(m) = 0,0048675 i(m) = 0,48% a.m. => i = (1+ i(m))m-1 i =(1 + 0,0048)12 -1i = (1,0048)12 -1 i = 1,0599999 – 1 i = 6%b) Qual a taxa efetiva mensal?

i = 1,0048 -1 i = 0,48% am.

c) Qual a taxa efetiva anual? i = 6,17% aa.

3. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 para pagar após 3 meses. Com juros de 8% ao ano, capitalizados mensalmente. Na data de liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 1,5% sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador do empréstimo?

4. Uma pessoa aplicou R$ 15.400,00 e após 8 meses recebeu de juros R$ 18.000,00. Pede-se:a) Qual foi a taxa mensal de juros compostos paga pelo banco? (taxa efetiva)b) Qual a taxa anual que está sendo cobrada?c) Qual a taxa anual com capitalização mensal referente à taxa encontrada?

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9.8 – DEFINIÇÃO DO MONTANTE QUANDO O TEMPO NÃO É UM NÚMERO INTEIRO:

A determinação do montante depende de como está regulamentado o período fracionário.Nesse caso, duas situações podem ocorrer:

a) Não remuneração do período fracionário;b) Remuneração do período fracionário.

Quando houver remuneração do período fracionário, esta poderá ser a juros simples ou a juros compostos. Se a remuneração for a juros simples temos o que se convencionou a chamar Convenção Linear, se a juros compostos Convenção Exponencial.

Exemplo: Suponhamos que um capital de R$ 18.000,00 esteja aplicado a juros compostos de 2,3% ao mês, por três meses e meio.

Como o período a que se refere a taxa é ao mês e temos um número não inteiro de meses precisamos adotar alguma convenção para o cálculo do montante numa situação como essa.

a) Não remuneração do capital no período fracionário. Ex: (Caderneta de Poupança).

b) Remuneração do capital também no período fracionário.

b1) Convenção linear: É aquela que remunera a juros compostos somente a parte inteira do Capital considerado e sobre o montante assim obtido, juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Fazendo-se (n = m + p/q) temos:

Cn = C(1+i)m (1+i.p/q)

Voltando ao exemplo anterior, teremos:

Cn = 18.000(1+0,023)3(1+0,023 . ½) Cn = 18.000 x 1,070599167 x 1,0115Cn = 18.000 x 1,082911057 Cn = 19.492,40

Outros Exemplos:

1. Calcular o montante pela convenção linear do capital R$ 10.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 5% ao ano, capitalizado anualmente, no fim de 7anos e 3 meses.

Cn = 10.000(1+0,05)7(1+0,05.1/4) Cn = 10.000 x 1,4071 x 1,0125 Cn = 14.246,88

2. A importância de R$ 1.000,00 foi depositada na Caixa Econômica em c/c popular, a juros de 4.1/2% ao ano, capitalizados semestralmente, no dia 30 de setembro de 1928, sendo retirados capital e juro no dia 20 de julho de 1944. Calcular o montante nessa data. p/q1 = 90 ou 90/180 m = 31 p/q2 = 20 = 20/180

Cn = 1.000(1+0,0225)31(1+0,0225.11/18) Cn = 2.020,66

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b2) Convenção exponencial: A convenção exponencial remunera a juros compostos todo o período de aplicação e usamos a seguinte fórmula:

Cn = C(1+i)m+p/q

Exemplo:1. Calcular o montante pela convenção exponencial do capital R$ 10.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 5% ao ano, capitalizado anualmente, no fim de 7anos e 3 meses.

Cn = C(1+i)m+p/q Cn = 10.000(1+0,05)7+1/4 Cn = 10.000 x 1,0529/4 Cn = 14.243,68

9.9. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA COM TAXA DE JUROS VARIÁVEIS:

Até agora tratamos a Capitalização composta com um taxa fixa para todos os períodos. Isto é uma característica das operações com taxas pré-fixadas.

No mercado financeiro são comuns operações onde a taxa é conhecida depois de apurada a inflação do período e, muito dificilmente são iguais em todos os períodos da operação. São as taxas pós-fixadas.

Considerando um capital C, aplicado a juros compostos e às taxas seguintes:i1 no 1° períodoi2 no 2° períodoi3 no 3° período.........................in no enésimo período, temos:

Cn = C(1+i(1)).(1+i(2)).(1+i(3)) ... (1+i(n))

Obs: Se i1 = i2 = i3 = ... = in = i, voltamos à formula anterior Cn = C(1+i)n

Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por três meses consecutivos às taxas mensais de 2,0%, 3,0% e 6,02%. Qual o valor a resgatar após vencido o terceiro mês? C3 = C(1+i1).(1+i2).(1+i3)C3 = 1.000(1+0,02).(1+0,03).(1+0,0602)C3 = 1.000 x 1,02 x 1,03 x 1,0602C3 = 1.113,84612C3 = R$ 1.113,85

Exemplo 2: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por três meses, no primeiro mês rendeu 6%, no segundo 4% e, ao final do terceiro mês o total de juros mais capital importava em R$ 12.400,00. A que taxa de juro mensal esteve aplicado no terceiro mês?

C3 = C(1+i1).(1+i2).(1+i3)

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12.400 = 10.000(1+0,06).(1+0,04).(1+i3)12.400 = 10.000 x 1,06 x1,04 x (1+i3)12.400 = 11.024 (1+i3)1+i3 = 12.400 / 11.024i3 = 1,124818578 – 1 i3 = 0,124818578i3 = 12,48%

Se em uma capitalização composta com taxas de juros variáveis quisermos achar a taxa total do período, podemos calcular através da fórmula:

i = (Cn/C)1/n - 1

oui = (1+i1).(1+i2).(1+i3) ... (1+in) - 1

Exemplos:Quais as taxas totais dos exercícios anteriores?

1. i = (1.113,85 / 1.000,00)1/3 – 1 i = 1,113850,333333 -1 i = 1,03659447 – 1i = 0,03659447 i = 3,66%

2. i = (12.400 / 10.000)1/3 – 1 i = 1,241/3 – 1 i = 1,074336994 – 1i = 0,074336994 i = 7,43%

Exercícios:1. Uma pessoa aplicou, em caderneta de poupança, a quantia de R$ 300.000,00 por 3 meses. Qual o seu saldo no fim desse prazo, se o rendimento do dinheiro nesses meses deu-se com base nas taxas 1,2%, 1,5% e 1, 0%? (R$ 311.235,54)2. Tomei emprestado R$ 150.000,00 pelo prazo de 4 meses, comprometendo-me a pagar juro com base nas taxas de inflação de cada período. Quanto pagarei de juros, se as taxas de inflação de cada período forem, respectivamente, 7%, 5,5%, 4% e 5%?

(R$ 34.905,60)3. Qual o montante que resulta da aplicação de um capital de R$ 45.000,00, quando aplicado a 8% ao mês, pelo prazo de 18 meses? (R$ 179.820,86)4. Um agiota emprestou a uma pessoa a quantia de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 dias, exigindo por esse empréstimo o pagamento de R$ 55.796,70 de juros. Que taxa de juro composto o agiota está cobrando? (3% ao dia)5. O preço de um objeto é R$ 1.200,00, podendo este valor ser pago daqui a 3 meses. Na compra desse objeto, a vista, dá-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação? (5,6% a.m.)6. Um objeto custa, à vista, R$ 2.000,00. Na compra a prazo dá-se R$ 700,00 de entrada e mais um pagamento de R$ 1.500,00 para 60 dias. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação? (7,41% a.m.)7. Uma pessoa aplicou, em um banco, R$ 100.000,00 no dia 01/03/99. No dia 01/06/99 foi ao banco verificar os resultados da aplicação e foi informada que os rendimentos de março, abril e maio foram baseados, respectivamente, nas taxas de 8%, 10% e 12%. Qual o montante dessa aplicação? (R$ 133.056,00)

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8. Apliquei certa quantia em um banco que me remunerou, nos 4 primeiros meses, à taxa composta de 8% ao mês e, nos 3 meses seguintes, à taxa composta de 15% ao mês. No final dos 7 meses de aplicação, retirei o montante de R$ 20.691,34. Qual era o meu capital inicial?

(R$ 10.000,00)

9.10 – RENDAS, ANUIDADES OU SÉRIES FINANCEIRAS:

Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.

Rendas são conjuntos de pagamentos periódicos destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Quando o objetivo é construir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.

Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.

Podemos classificar as Rendas em dois tipos:

a) Rendas certas ou determinísticas – São aquelas cuja duração e os pagamentos são pré-determinados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como o valor dos termos, prazos de duração, taxa de juros, etc., são fixos e imutáveis. Tais rendas são estudadas em Matemática Financeira.

b) Rendas aleatórias ou probabilísticas – Os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser aleatórias. E o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamento (mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data do recebimento. Tais rendas são estudadas em Matemática Atuarial.

Definições:

Os valores que constituem a renda

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