Material Base - Parte 1

7/21/2019 Material Base - Parte 1

http://slidepdf.com/reader/full/material-base-parte-1 1/15

Universidade Federal de Pelotas

Instituto de Física e Matemática

Curso de Licenciatura em Matemática a Distância

Eixo Modelagem: Derivadas parciais–

continuação

Na semana passada, estudamos as funções de duas ou mais variáveis e

iniciamos o estudo das derivadas parciais. Nesta semana, estudaremos regras de

derivação, gradiente e derivada direcional.

1 Regra da Cadeia

Pode acontecer a seguinte situação: temos uma função de duas variáveis

),( y x f e, por sua vez, as variáveis x e y são funções de uma outra variável

independente t . Neste caso, teremos uma versão da regra da cadeia:

Teorema 1.1: (Regra da cadeia: uma variável independente) Seja

),( y x f z uma função com primeiras derivadas parciais contínuas. Se )(t x x e

)(t y y são funções deriváveis de t , então z é uma função derivável de t e

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

.

Exemplo 1.1: Seja 22 y y x z , onde t x sen e t y e . Vamos encontrardt

dz

quando 0t . Pela regra da cadeia para uma variável independente temos

.e2senecossene2

e)e2sen(cos)e)(sen(2

e)2(cos2

22

2

2

t t t

t t t

t

t t t

t t t

y xt y x

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Quando 0t , resulta que 2dt

dz .

As regras da cadeia apresentadas aqui nos fornecem técnicas alternativas para






resolver diversos problemas de cálculo de uma variável. Assim, no exemplo

anterior, poderíamos ter usado as técnicas de uma variável para encontrardt

dz ,

escrevendo inicialmente z como uma função de t :

t t t t t t y y x z 222222 esene)e()e()sen(

e depois derivando: .e2senecossene2 22 t t t t t t dt

dz

A regra da cadeia pode ser estendida para três ou mais variáveis: por exemplo,

se ),,( z y x f w e x , y e z são funções deriváveis de t , então

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

.

Exemplo 1.2: Vamos encontrar

s

w

e

t

w

para y xw 2 , onde 22 t s x e

t

s y . Começamos substituindo 22 t s x e

t

s y na equação y xw 2 :

st

t

s

t

st s y xw

322 2)(22 .

Agora, calculamost

t st

t

s

s

w 222 2632

e

2

23

2

322

2t

st s s

t

s

t

w

.

O teorema a seguir dá um método alternativo para calcular as derivadas parciais

no exemplo anterior, sem escrever explicitamente w como função de s e t .

Teorema 1.2: (Regra da cadeia: duas variáveis independentes) Seja

),( y x f z onde f é uma função com primeiras derivadas contínuas de x e y .

Se ),( t s x x e ),( t s y y tais que as primeiras derivadas parciais s

x

,

t

x

,

s

y

e






t y todas existem, então

sw e

t w existem e estão dadas por

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

e

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

.

Exemplo 1.3: Usando a regra da cadeia, vamos encontrar s

w

e

t

w

para

y xw 2 , onde 22 t s x et

s y . Temos que

t

t s

t

t s

t

s

t t s s

t

s

t x s y

s

y

y

w

s

x

x

w

s

w

22

222

22

26

224

12)2(2

12)2(2

2

32

2

232

2

23

2

22

2

22

224

224

2)2(2

2)2(2

t

s st

t

st s st

t

st s s

t

st st

t

s

t

s xt y

t

y

y

w

t

x

x

w

t

w

A regra da cadeia pode ser estendida de uma forma bem geral para qualquer






número de variáveis: Se ),,,( 21 n x x x f w

onde cada i x é uma função derivável

de m variáveis1t , 2t ,, mt , temos que

Exemplo 1.4: Vamos encontrar s

w

e

t

w

quando 1 s e 2t para

z x z y y xw sendo que t s x cos , t s y sen e t z . Então temos

e quando 1 s e 2t , resulta que 1 x , 0 y e 2 z . Assim

2)0)(21()1)(20(

s

w.

Para a outra variável temos que

e quando 1 s e 2t , resulta que

22)1)(10()1)(21()0)(20(

t

w.






1.1 Derivação parcial implícita

Vejamos uma aplicação da regra da cadeia. Suponha que temos x e y

relacionadas pela equação 0),( y x F e que y é uma função diferenciável de x :

)( x f y . A regra da cadeia fornece uma alternativa para o cálculo dedx

dy:

Consideremos ))(,(),( x f x F y x F w . Então aplicando o teorema 1.1, obtemos

dxdy y x F y x F

dxdy

y F

dxdx

x F

dxdw y x

),(),( ,

e como 0),( y x F w , entãodx

dy y x F y x F

dx

dw y x ),(),(0 . Da última igualdade

podemos tirar em evidênciadx

dy e conseguir

),(

),(

y x F

y x F

dx

dy

y

x .

Este resultado pode ser estendido para encontrar as derivadas parciais de

funções de várias variáveis que estão definidas implicitamente. Resumimos estas

observações no seguinte teorema:

Teorema 1.3: (Regra da cadeia: derivação implícita)

a. Se a equação 0),( y x F define y implicitamente como uma função

derivável de x , então

),(

),(

y x F

y x F

dx

dy

y

x , sempre que 0),( y x F y .

b. Se a equação 0),,( z y x F define z implicitamente como uma função de x

e y com primeiras derivadas contínuas, então

),,(),,(

z y x F z y x F

dx z

z

x

e

),,(

),,(

z y x F

z y x F

dy z

z

y

sempre que 0),,( z y x F z .






Exemplo 1.5: Vamos encontrardxdy para 045

223 x y y y . Fazemos

45),( 223 x y y y y x F . Então

x y x F x 2),( e 523),( 2 y y y x F y .

Usando o teorema 1.3, temos que523

2

523

)2(

),(

),(22

y y

x

y y

x

y x F

y x F

dx

dy

y

x .

Exemplo 1.6: Vamos encontrar x

z

e

y

z

para 05323 3222 yz z y x z x .

Fazemos 5323),,( 3222 yz z y x z x z y x F . Então

226),,( xy xz z y x F x , z y x z y x F y 32),,( 2 e y z x z y x F y 363),,( 22 .

Usando o teorema 1.3, temos que

y z x

xz xy

y z x

xy xz

z y x F

z y x F

x

z

z

x

363

62

363

26

),,(

),,(22

2

22

2

e

y z x

z y x

y z x

z y x

z y x F

z y x F

y

z

z

y

363

32

363

32

),,(

),,(22

2

22

2

.

2. Gradiente e Derivada Direcional

Imagine a seguinte situação: Você está em pé sobre uma colina representada

por ),( y x f z e quer determinar a inclinação da colina na direção ao eixo z .

Você já sabe como determinar as inclinações em duas direções: a inclinação na

direção x está dada por ),( y x f x e a inclinação na direção y está dada por

),( y x f y . Vamos utilizar estas derivadas para encontrar a inclinação em qualquer

direção.






Figura 2.1: Representação gráfica da superfície de uma colina.

Para determinar a inclinação num ponto sobre a superfície, vamos definir um

novo tipo de derivada denominada derivada direcional. Seja ),( y x f z uma

superfície e ),( 00 y x P um ponto no domínio de f e uma "direção" dada por um

vetor unitário jiu sencos)sen,(cos , onde é o ângulo que o vetor

forma com a direção positiva do eixo x como mostra o lado esquerdo da figura

abaixo:

Figura 2.2: Lado esquerdo: uma superfície ),( y x f z , um ponto ),( 00 y x P e

uma "direção" u ; lado direito:






Para calcular a inclinação desejada na direção u , reduzimos o problema a um deduas dimensões intersectando a superfície com um plano vertical que passa pelo

ponto P e paralelo a u , como é mostrado no lado direito da figura anterior. Esse

plano vertical intersecta a superfície numa curva C . A inclinação da superfície no

ponto ),(,, 0000 y x f y x na direção de u é definido como a inclinação da curva C

nesse ponto. Omitindo cálculos intermediários, passamos diretamente à

definição:

Definição 2.1: (Derivada direcional)

Seja f uma função de duas variáveis x e y e seja jiu sencos um vetor

unitário. Então a derivada direcional de f na direção de u , denotada por

f Du define-se comot

y x f t yt x f f D

t

),()sen,cos(lim

0

u desde que tal limite

exista.

O cálculo das derivadas direcionais por esta definição é pouco prático. Por isso,

temos um resultado importante:

Teorema 2.1: Se f é uma função com primeiras derivadas contínuas, então a

derivada direcional de f na direção do vetor unitário jiu sencos é

sen),(cos),( y x f y x f f D y x u .

Existem infinitas derivadas direcionais de uma superfície num dado ponto - uma

para cada direção especificada por u , como mostra a figura abaixo:






Figura 2.3: Existem infinitas derivadas direcionais num ponto dado, uma para

cada direção.

Observe que:

a. se 0 , i jiu 0sen0cos , e temos que

),(0sen),(0cos),( y x f y x f y x f f D x y x i .

b. se2

, j jiu

2sen

2cos

, e temos que

),(2

sen),(2

cos),( y x f y x f y x f f D y y x

j .

Exemplo 2.1: Vamos encontrar a derivada direcional de 22

4

14),( y x y x f em

)2,1( na direção de jiu

3sen3cos

. Temos que x y x f x 2),( e

2),( y

y x f y . Aplicando o teorema 2.1,

sen2

cos2sen),(cos),( y

x y x f y x f f D y x u .

Se3

, 1 x e 2 y , temos que a igualdade anterior fica

866,12

31

2

3

2

12

3sen

3cos2)2,1(

f Du .






Figura 2.4: Ilustração da derivada direcional do exemplo.

Observe que, de acordo com a figura 2.4, a derivada direcional pode ser

interpretada como a inclinação da superfície no ponto )2,2,1( na direção do vetor

unitário u .

As direções utilizadas até agora estão dadas por um vetor unitário u . Quando a

direção está dada por um vetor cujo comprimento não é 1, devemos normalizar

o vetor antes de aplicar o teorema 2.1.

Exemplo 2.2: Vamos encontrar a derivada direcional de )2sen(),( 2 y x y x f em

2,1

na direção do vetor jiv 43 . Temos que )2(sen2),( y x y x f x e

)2(cos2),( 2 y x y x f y que são contínuas. Agora, encontramos um vetor unitário na

direção de v : ji jiv

vu sencos

5

4

5

3 . Usando este vetor unitário,

temos que

sen)2(cos2cos)2(sen2sen),(cos),( 2

y x y x y x f y x f f D y x u .

Assim,

5

4)2(

5

30

5

4)(cos2

5

3)(sen2

2,1

f Du , ou seja,






58

2,1

f Du

.

2.1 O gradiente de uma função de duas variáveis

O gradiente de uma função de duas variáveis é um função vetorial de duas

variáveis. Esta função tem usos importantes, algumas das quais vão ser

descritas aqui.

Definição 2.2: (Gradiente de uma função de duas variáveis)

Seja ),( y x f z uma função de duas variáveis tal que x f e y f existe. Então o

gradiente de f , denotado por ),( y x f é o vetor

ji y ),(),(),( y x f y x f y x f x .

Outra notação para o gradiente é ),(grad y x f . Observe que ),( y x f é um vetor

no plano (não um vetor no espaço, pois não tem componente em z )

Exemplo 2.3: Vamos encontrar o gradiente de 2ln),( y x x y y x f no ponto

)2,1( . Primeiro, vemos que 2),( y x

y y x f x e xy x y x f y 2ln),( , e assim

ji

ji y

xy x y x

y

y x f y x f y x f x

2ln

),(),(),(

2

e no ponto )2,1( , o gradiente é

ji ji 462121ln21

2)2,1( 2

f .

Podemos observar que

ji ji yu sencos),(),(sen),(cos),( y x f y x f y x f y x f f D x y x ,






ou seja, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente e o vetordirecional. Apresentamos isto na forma de um teorema

Teorema 2.2: Se f é uma função de x e y com primeiras derivadas parciais

contínuas, então a derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é

uu ),( y x f f D .

Exemplo 2.3: Vamos encontrar a derivada direcional de 2233),( y x y x f em

0,4

3 na direção do ponto

0,4

3 P a )1,0(Q . Como as derivadas parciais

são contínuas, podemos aplicar o teorema 2.1. Um vetor na direção especificada

é ji ji

4

3)01(

4

30 PQ e um vetor unitário nesta direção é

jiu5

4

5

3

PQ

PQ.

Veja que

ji ji y y x y x f y x f y x f x 46),(),(),(

e o gradiente em

0,

4

3 é

ji 02

90,

4

3

f .

Assim, a derivada direcional em

0,4

3 é

10

27

5

4

5

30

2

90,

4

30,

4

3

ji jiuu f f D .






Figura 2.5: Ilustração da derivada direcional do exemplo 2.3

2.2 Aplicações do gradiente

Já vimos que existem muitas (infinitas) derivadas direcionais no ponto ),( y x

sobre uma superfície. Em muitas aplicações, poderíamos querer conhecer em

que direção a função ),( y x f cresce mais rapidamente. Esta direção chama-se

direção da maior subida e está dada pelo gradiente, como se afirma no

teorema a seguir

Teorema 2.3: (Propriedades do gradiente)

Seja f com primeiras derivadas parciais contínuas no ponto ),( y x .






a.

Se 0 ),( y x f , então 0, y x f Du para qualquer u .

b. A direção de máximo incremento de f no ponto ),( y x está dado por

),( y x f , sendo que o valor máximo de y x f D ,u é ),( y x f .

c. A direção de mínimo incremento de f no ponto ),( y x está dado por

),( y x f , sendo que o valor mínimo de y x f D ,u é ),( y x f .

Para visualizar uma das propriedades do gradiente, imagine um esquiador

descendo uma montanha. Se ),( y x f denota a altitude do esquiador, então

),( y x f indica da direção que o esquiador deve tomar para esquiar na

trajetória de máxima descida. (Lembre que o gradiente indica a direção no plano

xy ).

Exemplo 2.4: A temperatura em graus Celsius sobre a superfície de uma placa

de metal é 22420),( y x y xT , onde x e y são medidos em cm. Qual é a

direção desde )3,2( que faz com que a temperatura aumente mais

rapidamente? E qual é a taxa de incremento? O gradiente é

ji

ji y

y x

y xT y xT y xT x

28

),(),(),(

Segue que a direção de máximo incremento está dada por ji 616)3,2( T e a

taxa de incremento é 09,1729236256)3,2( T graus Celsius por cm.

Vamos enunciar os resultados para funções de três variáveis:

Se ),,( z y x f tem primeiras derivadas parciais contínuas, a derivada direcional

de f na direção do vetor unitário k jiu cba está dada por

),,(),,(),,(),,( z y x f c z y x f b z y x f a z y x f D z y x u .






O gradiente de f está definido como

k ji ),,(),,(),,(),,( z y x f z y x f z y x f z y x f z y x

As propriedades do gradiente são como segue:

a. uu ),,(),,( z y x f z y x f D .

b. Se 0 ),,( z y x f então 0),,( z y x f Du para qualquer u .

c.

A direção do máximo incremento de f está dado por ),,( z y x f . O valor

máximo de ),,( z y x f Du é ),,( z y x f .

d. A direção do mínimo incremento de f está dado por ),,( z y x f . O valor

mínimo de ),,( z y x f Du é ),,( z y x f .

Exemplo 2.5: Vamos encontrar ),,( z y x f para a função z y x z y x f 4),,( 22 e

calcular a direção de máximo incremento de f no ponto )1,1,2( . Facilmente,

vemos que k jik ji 422),,(),,(),,(),,( y x z y x f z y x f z y x f z y x f z y x . Assim,

a direção do máximo incremento em )1,1,2( é k ji 424)1,1,2( f .

REFERÊNCIAS:

ANTON, H. Cálculo Vol II. Editora Bookman, 2007.

LARSON, R. Cálculo, 10. edição, BrooksCole, 2013.

STEWART, J. Cálculo, 7. edição. BrooksCole, 2008.

Documents

Material Base - Parte 1