1

Matemática

Regra de Cramer

Resumo

Título

Consideramos o sistema: ax by e

cx dy f

+ =

+ =

Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que esse sistema pode ser escrito pela forma matricial:

a b x e

c d y f

=

Esse sistema é possível determinado quando o determinante a b

Dc d

= for diferente de zero.

As soluções desse sistema através da Regra de Cramer são dadas por:

xDx

D=

yDy

D=

Onde,

x

e bD

f d= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “x” pela coluna de resultados.

y

a eD

c f= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “y” pela coluna de resultados.

Exemplo: Resolva o sistema:

1 2 2

1 1 1 8

2 1 3

D

− −

= − = −

2

Matemática

1 2 2

2 1 1 8

1 1 3

xD

− − −

= − − = −

1 1 2

1 2 1 16

2 1 3

yD

− −

= − = −

1 2 1

1 1 2 8

2 1 1

zD

− −

= − − =

81

8

162

8

81

8

x

y

z

−= =−

−= =

−

= = −−

3

Matemática

Exercícios

1. Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram

apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com

apenas 2 / 3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que

Pedro ganhou na disputa foi

a) 6.

b) 10.

c) 12.

d) 14.

2. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações

lineares:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

3. Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma

velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se

pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

• Carlos e Andreia pesam 123 kg;

• Andreia e Bidu pesam 66 kg.

O peso de cada uma deles é:

a) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

b) Andreia pesa 50 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

c) Andreia pesa 51 kg, Bidu 12 kg e Carlos 72 kg.

d) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 70 kg.

4

Matemática

4. Para que o sistema linear 2 5

2

x y

ax y b

+ =

+ = seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:

a) -1

b) 4

c) 9

d) 14

e) 19

5. Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes

numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações

possui a seguinte representação matricial:

O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes

numéricos das incógnitas.

Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no

cálculo das incógnitas do sistema.

Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações

utilizando a Regra de Cramer.

a) (1, 2, -1)

b) (1, 2, 1)

c) (1, -2, 1)

d) (-1, 2, 1)

e) (-1, 2, -1)

5

Matemática

6. Qual o conjunto solução do sistema linear?

Resolva por Regra de Cramer.

a) (0,5,-1)

b) (0,5,1)

c) (0,5,-1)

d) (5,0,-1)

e) (5,0,1)

7. Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre

sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram

ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor,

qual o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.

a) 100 sócios e 80 não sócios.

b) 80 sócios e 120 não sócios.

c) 120 sócios e 160 não sócios.

d) 120 sócios e 80 não sócios.

e) 120 sócios e 100 não sócios.

8. Qual o conjunto solução do sistema linear?

Resolva por Regra de Cramer.

a) (1/5, 3/5)

b) (3/5, 1/5)

c) (-3/5, 1/5)

d) (1/5, -3/5)

e) (-3, 1)

6

Matemática

9. Qual o conjunto solução do sistema linear?

Resolva por Regra de Cramer.

a) (3/4, 1, -5/2)

b) (-5/2, 3/4, 1)

c) (3/4, 1, 5/2)

d) (5/2, 3/4, 1)

e) (-5/2, 3/4, -1)

10. Qual o conjunto solução do sistema linear?

Resolva por Regra de Cramer.

a) (3,-1)

b) (-1, 3)

c) (3, 1)

d) (1, 3)

e) (-3, -1)

7

Matemática

Gabarito

1. A

Equacionando e resolvendo o sistema:

20

24 20

3

p a

p a

+ =

+ =

Por Cramer:

1 12 2 12 10

423 3 3 34

3

D = = − = − = −

20 140 40 60 20

2023 3 3 320

3

2

p

p

D

D

D

= = − = − = −

=

Se Pedro possuía 2 cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então este

ficou com 8 cartões ao final (4.2 = 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa.

2. B

No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

y = Dy / D

y = 62/31

y = 2

O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.

8

Matemática

3. A

Seja Andreia = A, Bidu = B e Carlos = C. Temos:

87

123

66

b c

a c

a b

+ =

+ = + =

`

Por Cramer, temos:

b = Db / D

b = 30 / 2

b = 15

b + c = 87

15 + c = 87

c = 87 – 15

c = 72

a + b = 66

a = 66 – 15

a = 51

Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

4. D

Devemos ter Dx = Dy = D = 0

2 14 0 4

2

5 110 0 10

2

14

a aa

b bb

a b

= − = =

= − = =

+ =

9

Matemática

5. A

No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

x = Dx / D

x = –8/–8

x = 1

y = Dy/D

y = –16/–8

y = 2

z = Dz/D

z = 8/–8 = –1

Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.

6. A

10

Matemática

Dx

Dy

Dz

7. D

x: sócios

y: não sócios

Por Regra de Cramer, temos:

11

Matemática

x = Dx / D

x = 600 / 5

x = 120

y = Dy / D

y = 400 / 5

y = 80

Por substituição:

Isolando x na 1ª equação:

x + y = 200

x = 200 – y

Substituindo x na 2ª equação:

5x + 10y = 1400

5 * (200 – y) + 10y = 1400

1000 – 5y + 10y = 1400

–5y + 10y = 1400 – 1000

5y = 400

y = 400/5

y = 80

Substituindo y na 1ª equação:

x + y = 200

x = 200 – y

x = 200 – 80

x = 120

No show estavam presentes 120 sócios e 80 não sócios.

12

Matemática

8. C

det(M)=2.4−3.1=5

det(My)=2.5−3.3=1

det(Mx)=3.4−5.3=−3

9. B

det(M)=−16

det(Mx)=40

det(My)=−12

13

Matemática

det(Mz)=−16

10. A

14

Matemática