Material de Estatística 2

7/26/2019 Material de Estatstica 2

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ApostilaDe

Estatstica

Professores: Wanderley Akira Shiguti

Valria da S. C. Shiguti

Braslia,200

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UNIDADE VIII INTRODUO TEORIA DA PROBABILIDADE

EXPERIMENTO ALEATRIO OU NO DETERMINISTICO - E

Definio:

1. o processo de observao ou medida de um determinado fenmeno em estudo.

2. o experimento que repetido sob as mesmas condies, conduz a resultados, em geral, distintos.

Exemplos:

E1 lanamento de um dado e observar o nmero na face superior.

E2 lanamento de uma moeda e observar o valor na face superior.

E3 lanamento de um dado e uma moeda, nesta seqncia, observar os valores nas faces superiores.

E4 um casal deseja ter trs filhos e observar o sexo, de acordo com a ordem de nascimentos das crianas.

ESPAO AMOSTRAL - S

Definio:

Um espao amostral um conjunto de todas as ocorrncias possveis de um determinado experimentoaleatrio E.

Exemplos: Considere os experimentos aleatrios apresentados anteriormente:

No E1 - S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

No E2 - S={k, c}, onde k=cara, C=coroa.

No E3 - S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c}

No E4 - S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF}

EVENTOS (qualquer letra maiscula do alfabeto)

Definio:

Um evento qualquer subconjunto de ocorrncias de um determinado espao amostral S.

Exemplo: Considere o experimento aleatrio E3, com seu respectivo espao amostral S:

S={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c}

Determine os seguintes eventos:

A = ocorrncia de valor cara (K)

B = ocorrncia de valor par

C = ocorrncia de valor coroa (C)

D = ocorrncia de valor mpar

E = ocorrncia de nmero primo

F = ocorrncia de valor maior que 4

G = ocorrncia de valor menor ou igual a 3

H = ocorrncia de valor par ou cara (K)

I = ocorrncia de valor par ou mpar


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J = ocorrncia de valor par ecara (K)

K = ocorrncia de valor par empar

L = ocorrncia de valor maior que 7

TIPOS DE EVENTOS

EVENTO CERTO

Definio:

aquele evento que se igual ao espao amostral S.

Exemplo: O evento Iacima um evento certo.

EVENTO IMPOSSVEL

Definio:

aquele evento que no possui elemento algum.

Exemplo: Os eventos K e Lacima so eventos impossveis.

EVENTOS MUTUAMENTES EXCLUSIVOS

Definio:

Dois eventos A e B quaisquer so chamados de mutuamente exclusivos, se eles no podem ocorrersimultaneamente, isto ,

AB =

Exemplo: Considere os eventos descritos acima:

Os eventos Ae Cso mutuamente exclusivos, pois AC = .

Os eventos Be Dso mutuamente exclusivos, pois BD = .

Os eventos Ce Jso mutuamente exclusivos, pois CJ = .

Os eventos He Jno so mutuamente exclusivos, pois HJ .

EVENTOS COMPLEMENTARES

Definio:

Dois eventos A e B quaisquer so chamados de complementares se:

AB =

AB = S

Exemplo: Considere os eventos descritos no exemplo acima:

Os eventos Ae Cso complementares, pois AC = e AC = S.

Os eventos Be Dso complementares, pois BD = e BD = S.

Os eventos He Jno so complementares, pois HJ e HJ S.

Os eventos Fe Kno so complementares, pois FK apesar de FK = S.

Os eventos Ce Jno so complementares, pois CJ S apesar de CJ = .


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PROBABILIDADE:

Enfoque Terico

A probabilidade de ocorrncia de um evento A, P(A), um nmero real que satisfaz as seguintescondies:

a) 0 P(A) 1

b) P(S) = 1

c) Se A e B so eventos mutuamente exclusivosento P(AB) = P(A) + P(B)

d) Se A1, A2, ...,A , ... So mutuamente exclusivos, dois a dois, ento:

Principais teoremas:

I) P( A ) = 1 - P(A)

II) Se A um evento impossvel de ocorrer (A=), ento P(A) = P() =0.

III) Se A e B so eventos quaisquer, ento: P(AB) = P(A) + P(B) - P(BA).

CLCULO DA PROBABILIDADE

A probabilidade dever ser calculada a partir da frmula: P(A) =n(S)

n(A)

Exemplo:

Seja o Experimento E o lanamento de um dado e o seu espao amostral dado por: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qual aprobabilidade do evento A Nmeros maiores e iguais a 2?

O Evento A pode ser descrito na forma: A ={2, 3, 4, 5, 6}

n(A) = 5 e n(S) = 6. Logo a probabilidade do evento A P(A) =n(S)

n(A) = 5/6.

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Ilustrao:

Seja o experimento aleatrio E: lanar um dado e o evento A = {sair o nmero 3}. Ento:

P(A) =6

1

Seja o evento B = {sair o nmero impar} = {1, 3, 5}

Podemos estar interessados em avaliar a probabilidade do evento A estar condicionado ocorrncia do evento B,designado por P(A|B), onde o evento A o evento condicionado e o evento B o condicionante.

Assim P(A|B) =3

1

Formalmente a probabilidade condicionada definida por:

Dado dois eventos quaisquer A e B, denotaremos P(A|B), por.


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( ) ( )( )

( )( )Bn

BAn

BP

BAPBAP

=

= ,

Com P(B)0, pois B j ocorreu.

TEOREMA DO PRODUTO

A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois eventos quaisquer A e B, do mesmo espao amostra, igual ao produto da probabilidade de ocorrncia do primeiro deles pela probabilidade condicional do outro,dado que o primeiro ocorreu.

Assim:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )BAPBPBAPBP

BAPBAP =

=

INDEPENDNCIA ESTATSTICA

Um evento A considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A igual probabilidade condicional de A dado B, isto , se:

( ) ( )BAPAP =

Considerando o teorema do produto podemos afirmar que:

( ) ( ) ( )BPAPBAP =

TEOREMA DE BAYES

Suponha que os eventos A1, A2, ...,An formam uma partio de um espao amostral S; ou seja, oseventos Aiso mutuamente exclusivos e sua unio S. Seja B outro evento qualquer. Ento:

B = SB = (A1A2...An) B = (A1B) (A2B) ... (AnB)Onde os AiB so tambm mutuamente exclusivos.

Consequentemente,

P(B) = P(A1B) + P(A2B) +... +P(AnB)

Assim pelo teorema da multiplicao,

P(B) = P(A1)P(B\ A1)+ P(A2)P(B\ A2)+...+ P(AN)P(B\ AN)

Por outro lado, para qualquer i, a probabilidade condicional de Aidado B definida como


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P(Ai\B) =P(B)

B)P(A i

Nesta equao, usamos (1) para substituir P(B) e P(AiB) = P(Ai)P(B\ Ai) para substituir P(AiB),obtendo assim o:

Teorema de Bayes:Suponha A1, A2, ...,An ser uma partio de S e B, um evento qualquer. Ento, para qualqueri,

)A\)P(BP(A...)A\)P(BP(A)A\)P(BP(A

)A\)P(BP(AB)\P(A

nn2211

iii

+++=

Exemplos:

Trs mquinas, A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente do total de peas de uma fbrica.As percentagens de produo defeituosa destas mquinas so 3%, 4% e 5%. Se uma pea selecionadaaleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Suponha agora que uma pea selecionada

aleatoriamente seja defeituosa. Encontre a probabilidade de ela ter sido produzida pela mquina A

EXERCCIOS

1. Lance um dado e uma moeda um aps o outro nesta seqncia.

a) Construa o espao amostralb) Enumere os resultados seguintes

I. A ={coroa marcada por par}II. B = {cara marcada por mpar}III. C = {Mltiplo de 3}

c) Expresse os eventosI. B complementarII. A ou B ocorremIII. B ou C ocorremIV. A ou B complementar

c) Calcule as probabilidades abaixo:

P(A), P(B), P(C), P( A ),P( B ), P(A B) e P(BC)

2. Um revendedor de carros tem dois carros, corsas 1996, na sua loja para serem vendidos, interessa-nos saberquanto cada um dos dois vendedores vender ao final de uma semana. Como representar o primeiro vendedorno vende nenhum carro e depois o segundo vendedor vende ao menos um dos carros.

3. Se A o evento Um estudante fica em casa para estudar. E B o evento o estudante vai ao cinema,P(A) = 0,64 e P(B) = 0,21. Determine:

P(Ac), P(Bc), P(B/A)

4. Se P(A) = ; P(B) = e A e B so mutuamente exclusivos ento:a) P(Ac)b) P(Bc)c) P(AB)

5. Se P(A) = ; P(B) = 1/3 e P(AB) = calcule P(AUB).

6. Quantas comisses de trs pessoas podem formar com um grupo de 10 pessoas?


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7. A probabilidade de trs jogadores acertarem um pnalti so respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada umcobrar uma nica vez, qual a probabilidade de:a) Todos acertaremb) Ao menos um acertarc) Nenhum acertar

8. Qual a probabilidade de duas pessoas aniversariarem no mesmo dia da semana?

9. Sr Ray Moon Dee, ao dirigir-se ao trabalho, usa um nibus ou o metr com probabilidade de 0,2 e 0,8, nessaordem. Quando toma o nibus, chega atrasado 30% das vezes. Quando toma o metr, atrasa-se 20% dosdias. Se o Sr Ray Moon Dee Chegar atrasado ao trabalho em determinado dia, qual a probabilidade delehaver tomado um nibus?

10. Em certo colgio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais que 1,80m de altura. Por outro lado, 60%dos estudantes so homens. Se um estudante selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura,qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?


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UNIDADE IX - VARIVEIS ALEATRIAS

CONCEITOS

SejaXum valor numrico que depende um resultado de uma experincia; comoXassocia um resultadoa um nmero, X uma funo cujo domnio o conjunto de resultados e a imagem o conjunto dos nmerosreais. Essa funo X conhecida como Varivel Aleatria. O que Eqivale a descrever os resultados de umexperimento aleatrio por meio de nmeros em vez de palavras, possibilitando um tratamento Estatstico.

As v.a. podem ser Unidimensional Discreta ou Contnua e Bidimensional Discreta e Contnua.

VARIVEIS ALEATRIAS UNIDIMENSIONAIS DISCRETAS

As v.a. unid. Discretas so aquelas que fazem uso de uma nica varivel no estudo, e como sodiscretas trabalham com valores inteiros.

FUNO DE PROBABILIDADE

Quando utilizamos uma v.a.xpara transformar os valores de um espao amostral S em um novo espaoamostral constitudo de nmeros reais, em geral modificamos tambm a funo de probabilidade associada a esteespao amostral. A funo de probabilidade ser representada por p(X=x) ou p(x).

Onde:p(x) = 1 ep(x) poder ser expresse por uma tabela, grfico ou frmula:

EXEMPLO:

E lanamento de duas moedas

X nmero de caras obtidas

S = {(c,c) (c,k) (k,c) (k,k)}

ATABELA:

OGRFICO

xi 0 1 2

p(xi) 0,25 0,5 0,25


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AFRMULA

p(x) =

x

2

4

1, para x = 0, 1, 2

OBS: Qualquer funo de uma v.a. tambm uma v.a. isto sex uma v.a., entoy=(x) tambm ser.

EXEMPLO:

x v.a. pontos de um dado;y=x+x v.a. soma dos pontos de dois lanamentos;z= Max{(x1,x2)} onde (x1,x2) pontos de dois dados.

A distribuio de probabilidade dex ser:

A distribuio deyser:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

6,6...2,66,1

3,6...2,33,1

2,6...2,22,1

1,6...2,11,1

S

M

yi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p(yi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36A de z ser:

zi 1 2 3 4 5 6

p(zi) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Exemplo:

No lanamento de dois dados a v.a. x anota a diferena dos pontos das faces superiores. Determine osvalores dexe a funo de probabilidade associada.

EXERCCIO

A urna Acontm 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. A urna Bcontm 5 bolas brancas e1 bola preta. Uma bola retirada ao acaso de cada urna e a v.a. xanota o nmero de bolas

brancas obtidas. Determine os valores dexe a funo de probabilidade.

xi 1 2 3 4 5 6

p(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6


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MEDIDAS DE POSIO E VARIABILIDADE DA V. ALEATRIAUNIDIMENSIONAL DISCRETA.

OVALOR ESPERADO DA V.A.

A v.a. ser utilizada para estabelecer modelos tericos de prob. Com a finalidade de descreverpopulaes. A mdia, a varincia, o desvio padro, representaro parmetros destas populaes e serodenotados por , 2(x) e (x), respectivamente.

Sex uma v.a. dada por:

xi x1 x2 x3 ... xn

p(xi) p(x1) p(x2) p(x3) ... p(xn)

= xi *p(xi) tambm conhecido como E(x)

AVARINCIA DA V.A.VAI SER:2(x) = (xi- )

2* p(xi) ou 2(x) = E(x2) [E(x)]2

EO DESVIO PADRO:____

(x) = 2(x)

Exemplo:

No lanamento de uma moeda, a v.a. anota o n de caras obtido. Calcule a mdia a varincia e o desviopadro da v.a.x.

EXERCCIO:

Calcule a mdia a varincia e o desvio padro da v.a.xdada abaixo.

xi 2 5 8 10

p(xi) 0,3 0,4 0,2 0,1

VARIVEL ALEATRIA UNIDIMENSIONAL CONTNUA

Se uma v.a. assume todos os valores de um intervalo real, ento x denominada uma v.a. contnua.Essas v.a. surgem de processos definidos a partir de medidas.

Ex: Considere o intervalo real de [2,10] e a funo que associa a cada ponto deste intervalo sua distncia aoponto 2.

A v.a.x assumir valores no intervalo[0,8] sendo portanto uma v.a. contnua.

FUNO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (F.D.P.)

Quando definimos a v.a. discreta associamos a cada ponto xido espao amostral um valor real p(xi)com:


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1. 0 p(xi) 12. p(xi) = 1

Para a v.a. contnua no poderemos usar tal processo, pois no existe uma funo que associa cadaponto p de um intervalo um valor real.

Para a v.a. contnua definiremos:

1. f(xi) 02. A rea da regio compreendida sobre o grfico da funo e o eixo ox igual a 1.

MEDIDAS DE POSIO E DE VARIABILIDADE DE UMA V.A.UNIDIMENSIONAL CONTNUA.

VALOR ESPERADO:

E(x) =

f(x)dxx E(x2) =

f(x)dxx 2

VARINCIA E DESVIO PADRO

( ) ( )[ ]222 xE)E(xx = e o D.P. = ( ) ( )xx 2 =

VARIVEL ALEATRIA BIDIMENSIONAL

Exemplo: Considere E, que consiste no lanamento de dois dados. Sejaxa v. a. que anota o nmero de pontos da

face superior do primeiro dado, e sejaya v.a. que anota o nmero de pontos da face superior do segundo dado.

Y

X

1 (1 1) (1 2) ... (1 6)

2

3 ...

4 ...

5

6 (6 1 ) ... (6 6)

1 2 3 4 5 6


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A tabela de Probabilidade :

Logo a funo de probabilidade conjunta :

P(X = xi, Y = yj) satisfazendo as condies.

Discreta Contnua1. p(xi,yj) 0 1. f(x,y) 0

2.

=

=

=1 1

ji 1)y,p(xi j

2. 1y)dxdyf(x, =

ADISTRIBUIO MARGINAL DE PROBABILIDADE

Dada uma v.a. bidimensional e sua distribuio conjunta pode-se determinar a distribuio de X semconsiderar Y, ou vice-versa. So as chamadas distribuies marginais.

Se (X,Y) discreta; ento:

Distribuio Marginal de X:

==


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Distribuio Marginal de X:

==


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EXEMPLO:Dada a distribuio de probabilidade conjunta de (X,Y) pela tabela abaixo. Verificar se X e Y so independentes.

Soluo: Para todo i, j; i=0, 1, 2 e j=0, 1, 2

P(xi,yj) = p(xi)p(yj)Para o par (0,0) tem-se:

P(0,0) = 0,10 e p(x=0). P(y=0) = 0,2. 0,5 = 0,10.

Para o par (0,1) tem-se:P(0,1) = 0,04 e p(x=0). P(y=1) = 0,2. 0,2 = 0,04.

Continuando todos os clculos se verificar que todos sero satisfeitos e por isso conclumos que X e Y soindependentes.

y\x 0 1 2 p(yj)

0 0,1 0,2 0,2 0,5

1 0,04 0,08 0,08 0,2

2 0,06 0,12 0,12 0,3

p(xi) 0,2 0,4 0,4 1


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MEDIDAS DE POSIO E DE VARIABILIDADE DE UMA V.A. BIDIMENSIONALDISCRETA E CONTNUA.

A mdia ou esperana matemtica deve ser calculada usando as frmulas:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

==

==

==

dxdy)yx(yxxyE)yp(xyxxyE

dy)y(yyE)p(yyyE

dx)x(xxE)p(xxxE

jijjiji

jjj

iii

f

f

f

i

j

i

A varincia, o desvio padro, a covarincia e o coeficiente de correlao sero calculados a partir dasfrmulas abaixo.

( ) [ ]

( ) [ ]( ) ( ) ( ) }( ) ( ) ( )} tesindependenforemyexQuandoyxyx

quaisquerforemyexqueemcasooPara)xycov(2yxyx

contnuoediscretocasooParaE(y)-)E(yy

E(x)-)E(xx

222

222

222

222

+=

+=

=

=

( ) ( )xx 2 =

E(y)E(x)-E(xy)Cov(xy) =

( ) ( )yxcov(xy)

(xy)

Exerccios Resolvidos.

1. Uma carta retirada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas, e a v.a.Xanota o nmero dedamas obtidos nessa retirada. Determinar os valores deXe a funo de probabilidade associada.Soluo

Seja So espao amostral da retirada de uma carta do baralho S = { AO, 2O, ..., 10O, ..., JO, DO, KO, AP,2P, ..., 10P, ..., JP, DP, KP, AE, 2E, ..., 10E, ..., JE, DE, KE, AC, 2C, ..., 10C, ..., JC, DC, KC}

Onde: AO a carta s de Ouro 2O a carta 2 de Ouro e assim sucessivamente

A v.a. Xanota o nmero de damas obtido, veja que aqui no foi mencionado o naipe, logo estamos

interessados somente se sai (1) ou no (0) uma carta de damas. As probabilidades bem como os valores que av.a.Xpode assumir esto discriminados na distribuio de probabilidade abaixo.X 0 1

p(x) 48/52 4/52

2. A tabela a seguir d as probabilidades de um oficial de justia receber 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, relatrios deviolao de liberdade condicional em um dia qualquer.

X 0 1 2 3 4 5p(x) 0,15 0,25 0,36 0,18 0,04 0,02


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a) Encontre a mdia e o desvio padro deX.Soluo

A mdia pode ser denotada por E(x) ou por , assim:E(x) = xi.p(xi) = 0.(0,15) + 1.(0,25) + 2.(0,36) + 3.(0,18) + 4.(0,04) + 5.(0,02) = 1,77

Para calcularmos o Desvio padro, que ser denotado por D.P. ou por (x),deveremos antes encontra avarincia que ser:

Var(x) = 2(x)= E(x2) [E(x)]2

OndeE(x2) = xi

2.p(xi) = 02.(0,15) + 12.(0,25) + 22.(0,36) + 32.(0,18) + 42.(0,04) + 52.(0,02) = 4,45

Assim a varincia de x ser:

2(x)= E(x2) [E(x)]2= 4,45 [1,77]2= 1,32

Como estamos interessados no desvio padro teremos que tirar a raiz quadrada da varincia. Logo:

(x)= 1,14

3. A tabela abaixo fornece a probabilidade de que um sistema de computao fique fora de operao umdado perodo por dia durante a fase inicial de instalao do sistema. Calcular:

a) O nmero esperado de vezes que o computados fique fora de operao por diab) O desvio padro desta distribuio de probabilidade.

Soluo

a) E(x) = 6,78b) 2(x)= E(x

2) [E(x)]2= 47 [6,78]2= 1,032(x)= 1,016

4. O trem do metr para no meio de um tnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel decontrole. Se o defeito for na antena, o conserto poder ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no painel, oconserto poder ser feito em 15 minutos. O encarregado da manuteno acredita que a probabilidade de odefeito ser no painel de 60%. Qual a expectativa do tempo de concerto?Soluo

Se o defeito for na antena o conserto dever ser feito em 5 minutos.Se o defeito for no painel estima-se um conserto em 15 minutos. Logo a distribuio de probabilidadeser:

X 5 15p(x) 0,4 0,6

E(x) = 5. (0,4) + 15.(0,6) = 11 minutos a expectativa do tempo de conserto

5. Uma v.a. assume os valores 2, 3, 5, com probabilidades de 0,3, 0,5 e 0,2 respectivamente. Calcule ovalor esperado e o desvio padro da v.a. Y = 2x + 5.Soluo

Nmero de perodo X 4 5 6 7 8 9

Probabilidade p(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06

Nmero de perodo X 4 5 6 7 8 9 Total

Probabilidade p(x) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06 1

x.p(x) 0,04 0,4 1,74 2,94 1,12 0,54 6,78

x^2.p(x) 0,16 2 10,44 20,58 8,96 4,86 47


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Y = 2x + 5E(y) = E(2x) + E(5) =E(y) = 2E(x) + 5 = ?

Calculando a esperana de x e a esperana de x2teremos:X 2 3 5

p(x) 0,3 0,5 0,2

E(x) = 2.(0,3) + 3.(0,5) + 5.(0,2) = 3,1

Logo E(y) = 2(3,1) + 5 = 11,2

Descubra como encontrar a Var(Y)!!!!!!!

6. Seja ( ) ( )

,0

1x0,12

3 2

=

contrriocaso

xxf

a)

f(x) uma legitima Funo Densidade de Probabilidade (f.d.p)?b) Encontre a mdia e o Desvio padro da v.a.x.Soluo

Para que uma funo f(x) seja uma legitima f.d.p. ela dever satisfazer as seguintes condies:

1. f(x) 0

2. a 1)(1

0

= dxxf Observe que a funo foi definida no intervalo de [0,1] e recebe o valor 0 para qualquer outro intervalo.

Logo a 1condio j foi verdadeira. Para provar a Segunda deveremos resolver a integral:

( ) ( ) 132

2

3

3

x

-2

3

12

3

112

31

0

31

0

1

0

21

0

2

=

=

=== xdxxdxx

Logof(x) uma legtima f.d.p.

Para achar a Mdia faremos:

E(x) = 1)(.1

0

= dxxfx = ( ) ( )8

3

4

1

2

3

4

x-

22

3

2

311

2

3.

1

0

41

0

21

0

31

0

2 =

=

===

x

dxxxdxxx

E(x2) =

1)(.

1

0

2

= dxxfx = ( ) ( ) 51

15

315

2

2

35

x-32

32

3112

3.

1

0

51

0

31

0

421

0

22

==

=

===

xdxxxdxxx

Logo a varincia ser: 2(x)= E(x2) [E(x)]2= 1/5 [3/8]2= 19/320 = 0,0594

7. Considere a seguinte distribuio conjunta de probabilidade. Encontre as marginais de X e Y everifique seX e Yso independentes.Soluo

O clculo das marginais deX e Y feito da seguinte forma:

x

y

1 0,05 0,08 0,05

3 0,2 0,15 0,05

5 0,25 0,07 0,1

p(x)

2 4 6 p(y)


18/37

80

Para saber seX e Yso independentes devemos verificar para todos os casosse P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y =yj), ento:

1. (x = 2 e y = 1) 0,05 0,5 . 0,182. (x = 2 e y = 3) 0,2 = 0,5 . 0,43. (x = 2 e y = 5) 0,25 0,5 . 0,424. (x = 4 e y = 1) 0,08 0,3 . 0,4...

E assim sucessivamente. Podemos ver que como a condio P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y = yj) no foi satisfeita

para todos i e j diremos que X e Y no so independentes.

8. Considere a seguinte distribuio conjunta deX e Y.

a) Achar as distribuies marginais deXe Y;b) Calcular E(x), E(y) e E(x,y);c) Calcular a covarincia deXe Y;d) Calcular a correlao deXe Y.e)

Xe Yso independentes?

Soluo

X

Y

1 0,05 0,08 0,05 0,05+0,08+0,05=0,18 P(Y=1)

3 0,2 0,15 0,05 0,45 0,25 0,07 0,1 0,42

p(x) 0,5 0,3 0,2 1

P(X=2)

2 4 6 p(y)

Probabilidade

Conjunta

de X e Y

X

Y Probabilidade

1 0,05 0,08 0,05 0,05+0,08+0,05=0,18 P(Y=1) Marginal

3 0,2 0,15 0,05 0,4 de Y quando yj = 1

5 0,25 0,07 0,1 0,42

p(x) 0,5 0,3 0,2 1

Probabilidade

P(X=2) Marginal

de X quando xi = 2

p(y)

P(X = 2 , Y = 1)

2 4 6

X

Y

1 0,1 0,2 0 0,3

2 0,2 0,1 0,1 0

p(x)

5 p(y)-2 -1 4

X

Y

1 0,1 0,2 0 0,3 0,6

2 0,2 0,1 0,1 0 0,4

p(x) 0,3 0,3 0,1 0,3 1

Distribuio y 1 2 Total

de Probabilidade p(y) 0,6 0,4 1 A varincia de y :

de X e sua Marginal y.p(y) 0,6 0,8 1,4 E(y) Var(y) = E(yy) - [E(y)]2

y^2.p(y) 0,6 1,6 2,2 E(y2) Var(y) = 2,2 - (1,4)

2= 0,24

D.P. = 0,49

Distribuio x -2 -1 4 5 Total A varincia de x :

de Probabilidade p(x) 0,3 0,3 0,1 0,3 1 Var(x) = E(x2) - [E(x)]

2

de Y e sua Marginal x.p(x) -0,6 -0,3 0,4 1,5 1 E(x) Var(x) = 10,6 - (1)2=9,6

x^2.p(x) 1,2 0,3 1,6 7,5 10,6 E(x2) D.P. = 3,09

5 p(y)-2 -1 4


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81

A E(x,y) = xi.yj. p(xi , yj)E(x,y) = (-2) . (1). (0,1) + (-2) . (2) . (0,2) + ... +(5) . (2) . (0) = 0,9

A Covarincia dada por Cov(x,y) = E(x,y) E(x) . E(y) = 0,9 [1,4 . 1] = - 0,5

A Correlao ser: ( ) ( )

( ) ( )yx .

yx,Covyx, = = 0,3-

3,09.49,0

5,0=

Se utilizarmos P(X=xi,Y = yj) = P(X=xi).P(Y = yj) verificaremos que em alguns casos ela no ser satisfeita paraalgum i e j, logoX e Y no so independentes.


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82

Exerccios

1. Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante intervalos aleatoriamenteescolhidos de 10 minutos, segue uma distribuio de probabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o nmeroesperado de chegada de clientes por intervalo de 10 minutos, e calcule tambm o desvio padro das

chegadas.

2. A venda de uma revista mensal em uma banca segue uma distribuio de probabilidade dada na tabelaabaixo. Calcule o valor esperado e a varincia.

3. Um vendedor determinou as probabilidades referentes a vendas dirias visitando 10 possveis compradores,as probabilidades esto apresentadas na tabela abaixo. Calcule o nmero esperado de vendas e o desviopadro

4. Dada a v.a.

Calcule a mdia e o desvio padro da v.a. Y = 3-3

4x

5. Uma v.a. discreta tem distribuio de probabilidade dada por:

P(x) = 75,3,1,xpara,x

K=

a) Calcule o valor de K b) Calcule P(x = 5)

6. Verifique se a funo abaixo uma legtima f.d.p.

=contrriocaso0,

1x0se,2

1)(

xxf

Nmero de chegadas X 0 1 2 3 4 5

Probabilidade p(x) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05

Respostas E(x) = 2 e Var(x)= 1,9

Nmero de revistas em

Milhares X

probabilidade de X 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1

Respostas E(x) = 17,8 e Var(x)= 1,66

18 201915 16 17

Nmero de vendas X 1 2 3 4 5 6 7 8

Probabilidade p(x) 0,04 0,15 0,2 0,25 0,19 0,1 0,05 0,02

Respostas E(x) = 4 e Var(x)= 2,52

x -1 2 5 8

p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1


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83

7. Verifique se X e Y so independentes para a distribuio conjunta de probabilidade dada abaixo.

8. Sejam M e N duas v.a. aleatrias independentes com as seguintes distribuies de probabilidade

a) Achar a distribuio conjunta de probabilidade de M e N;

b) Calcular E(m) e E(n)c) Calcule a covarincia de M e Nd) Encontre a correlao de M e N

9. As v.a. X e Y admitem a seguinte distribuio conjunta de probabilidade.

Encontre a e b para que as v.a. X e Y sejam independentes.

10. Utilizando a Funo Densidade de Probabilidade do exerccio % encontre a mdia e a varincia.

11. Suponha que X e Y tenha distribuio conjunta dada pela tabela abaixo.

a) Encontre a cov(X,Y)b) Ache a Correlao de X e Yc) Verifique se x e Y so independentes.

X

Y

0 0,1 0,2 0,21 0,04 0,08 0,08

2 0,06 0,12 0,12

p(x)

0 1 2 p(y)

M 1 3 N 5 10 12

p(m) 0,6 0,4 p(n) 0,3 0,5 0,2

X

Y

4 0,2 0,15 b

5 a 0,15 0,15

p(x)

1 2 3 p(y)

X

Y

-1 0 1/5 0

0 1/5 1/5 1/5

1 0 1/5 0

1-1 0


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84

UNIDADE X DISTRIBUIO DISCRETA

INTRODUOVARIVEISALEATRIAS

Quando na prtica desejamos investigar algum fenmeno, estamos na realidade interessadosem estudar a distribuio de uma ou mais variveis. Do ponto de vista prtico, desejvel que se defina umavarivel aleatria (v.a.) associada a uma amostra ou experimento, de tal modo que seus resultados possveissejam numricos. Por exemplo, a jogada de uma moeda tem dois resultados - cara (k) ou coroa (c) - que no sonumricos. Poderamos ento considerar como nossa varivel aleatria o nmero de carasnuma jogada, quetem os valores numricos possveis 0 e 1. Para uma moeda jogada duas vezes, nossa varivel aleatria poderiaser nmero de caras em duas jogadas, como os valores numricos 0, 1 e 2. Outro exemplo de varivelaleatria seria o nmero de fregueses que entram numa grande loja num intervalo de 20 minutos: 0, 1, 2, ....Ainda outro exemplo de varivel aleatria seria a altura dos estudantes numa sala de aula de uma universidade,

com um mbito contnuo que iria, digamos, de 1,5 a 2,0m.Para todos os exemplos aqui descritos, atribumos a um ponto amostral um nico valor real,

conhecido como varivel aleatria unidimensional. Porm, na maioria das vezes, h interesse em atribuir, paraum mesmo ponto amostral, duas ou mais caractersticas numricas. Assim, por exemplo, podemos estarinteressados em investigar, ao mesmo tempo, a altura (h) e o peso (p) de uma pessoa em uma certa populao.Neste caso, temos o par (h, p), que dito como varivel aleatria bidimensional.

As varveis aleatrias podem ser do tipo:

Discreta:uma varivel aleatria considerada discreta se toma valores que podem ser contadas. Exemplosde variveis aleatrias discretas so

nmero de acidentes de carro por semana;

nmero de defeitos em sapatos produzidos;

nmero de terremotos;

nmero de livros em uma estante.

Contnua1: uma varivel aleatria considerada contnua quando pode tomar qualquer valor de umdeterminado intervalo. Alguns exemplos de v.a. contnua so apresentados a seguir:

pesos de caixas de laranja;

alturas de rvore;

durao de uma conversa telefnica.

DISTRIBUIES DISCRETAS

PROVAS INDEPENDENTES.FRMULA DE BERNOULLI.

A frmula de Bernoulli designada atravs dos ensaios de Bernoulli, que na realidade soensaios independentes repetidos, cada um deles com apenas dois resultados possveis e cujas probabilidadespermanecem constantes durante toda a realizao dos ensaios. usual denotarmos as duas probabilidades por pepor q = 1-p, e nos referimos ao resultado que tem probabilidade pcomo umsucessoSe qcomo umfracasso F.

1

Este tipo de varivel ser abordado na prxima unidade.


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85

Obviamente pe q0e que p+q = 1. O espao amostral associado a cada ensaio individualmente formado porum dos dois pontos.

EXEMPLO:

Suponhamos o lanamento de uma moeda (honesta), ocorre sucesso quando aparecer cara. Ento oespao amostral ser S ou F, para um lanamento.

( ) ( )( ) ( )

====

====

FPqp10xP(F)coroa""lorocorrer vase,0

SPp1xP(S)cara""lorocorrer vase,1X

ento:

( ) ( ) x1x p1pxXP ==

para x = 0, 1, que conhecida como Distribuio de Bernoulli, com parmetros 1 e p:

Xi~ Bernoulli(1,p)

Sabemos que:

Esperana matemtica: E(x) = p

Varincia: Var(x) = p(1-p) = pq.

Suponhamos agora n ensaios de Bernoulli. O espao amostral associado contm 2npontos ousucesso de nsmbolos Sou F, cada um deles representando um resultado possvel do experimento. Como osensaios so independentes, suas probabilidades se multiplicam. Em outras palavras, a probabilidade de qualquerseqncia especificada o produto obtido quando substitumos os smbolos S ou F por p e q, respectivamente.Dessa forma:

P(SSFSFF...FS) = ppqpqq...qp.

EXEMPLO 1:

Suponhamos o lanamento de uma moeda honesta 3 vezes, onde a ocorrncia de cara, corresponde aosucesso. Ento o nmero de elementos do espao amostral ser 23= 8. Abaixo est indicado o espao amostralcom suas respectivas probabilidades:

=

32

22

22

23

qFFFpqSFF

pqFFSqpSFS

pqFSFqpSSF

qpFSSpSSS

tralEspaoAmos


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86

EXEMPLO 2:

Supor que em certa comunidade a probabilidade de uma pessoa ter problemas de psicose seja igual a0.01. Se definimos:

= contrriocasose,0

psicosetemcomunidadedapessoacertaumase,1Y

Teremos ento que Y uma v.a de Bernoulli e sua distribuio dada por:

y 0 1

P(Y=y) 0,99 0,01

DISTRIBUIO BINOMIAL

Vamos supor que estamos interessados em calcular a probabilidade de se obter exatamenteduas faces 4 em trs lanamento de um dado.

possvel descrever este procedimento atravs das seguintes combinaes:

(44N) ou (4N4) ou (N44)

em termos de probabilidade ficaria:

P[(44N) (4N4) (N44)]

Como esses trs eventos so mutuamente exclusivos, ento:

P[(44N) (4N4) (N44)] = P(44N) + P(4N4) + P(N44)]=(65

61

61

61

65

61

61

61

65 ++ )

As probabilidades destes trs casos so iguais podendo ser escritas da seguinte forma:

=3232

6

5

6

1

onde o nmero 3 tambm poder ser escrito como a

( ) ( ) !3!23!3

x!!x-n

!n32

==C

Quando observamos uma sucesso de nensaios de Bernoulli, estamos interessados apenas nonmero total de sucessos e no na ordem em que eles ocorrem. O nmero de sucessos poder ser qualquer umdos nmeros 0, 1, 2, 3,..., k. Em n ensaios h ocorrncia de n-k fracassos. E isto pode acontecer de tantas

maneiras quantas so as formas de distribuirmos as kletras Sem nposies, ou seja, nk

maneiras diferentes de

ocorrer k sucessos, a cada maneira associarmos a probabilidade pkqn-k. Considerando o exemplo anterior, parak=2 (sucessos):

maneiras32

3

k

n

2k

3n

qpFSS

qpSFS

qpSSF

2

2

2

=

=

=

=

=


25/37

87

Da,

( ) 1212 32

32 qpqpxP =

==

n...,3,2,1,ionde

ensaiosimo-inofalhaocorrerse,0

ensaiosimo-inosucessoocorrerse,1X i

=

=

Se Xi ~ Bernoulli(1,p), ento a seqncia (X1, X2, ..., Xn) poder obter 2n resultados do tipo

(0,0,1,1,...,0), (0,0,...,1,1), (1,1,...,1).

Se X = Xi, ento X = nmero de sucessos nos n ensaios, da,

( )

( )

( ) knk

1n1

0n0

qpk

nkxP

qp1

n1xP

qp0

n

0xP

==

==

==

K

para k = 0, 1, 2, ... , n.

Neste caso dizemos que:

X ~ Binomial(n,p)

Se x = x1+ x2+ ... + xn, onde cada xi ~ Bernoulli(1,p) apresenta, respectivamente, uma esperanamatemtica e varincia E(xi) =p e Var(xi) =p(1-p), ento, para a distribuio binomial teremos:

Esperana matemtica: E(x) = np

Varincia: Var(x) = p(1-p) = npq.

CARACTERSTICAS DA DISTRIBUIO BINOMIAL

1) As repeties do experimento so independentes,

2) uma soma de Bernoulli,

3) A v.a X, conta o nmero de sucessos nas n repeties do experimento. (ensaios de Bernoulli),

4) Existe P(Sucesso) = p constante e consequentemente q = P(F) = 1-p, tambm constante.

Em particular a probabilidade de que no ocorra sucesso :

( ) ( ) nn0 qp1p0xP ===


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88

E a probabilidade de que ocorra pelo menos um sucesso :

( ) ( ) ( ) nq10xP11xP11xP ===


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89

UNIDADE XI DISTRIBUIO CONTNUA

DISTRIBUIO NORMAL

uma das mais importantes distribuies de probabilidades, sendo aplicada em inmerosfenmenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento terico da inferncia estatstica. tambmconhecida como distribuio de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.

Seja X uma v.a. (varivel aleatria) contnua. X ter distribuio normal se:

( )f x e xX

=

< <

1

2

1

2

2

,

onde os parmetros e 2

so respectivamente a Mdia e a Varincia.A notao utilizada :

X ~ N ( , 2 )

que lida da seguinte forma: a v.a. X se aproxima a uma distribuio normal com mdia e varincia 2.

Para o clculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas: primeiro, para a integraodef(x), pois para o clculo necessrio o desenvolvimento em srie; segundo, seria a elaborao de uma tabelade probabilidades, poisf(x)depende de dois parmetros, fato este que acarretaria um grande trabalho para tabelaressas probabilidades considerando-se as vrias combinaes de e 2.

Os problemas foram solucionados por meio de uma mudana de varivel obtendo-se, assim, adistribuio normal padronizada ou reduzida.

VARIVEL NORMAL PADRONIZADA

A varivel Z dada por:

X

onde X uma varivel normal de Mdia e varincia 2.

Ento a esperana matemtica e a varincia de Z ser respectivamente:

E[z] = 0

Var[z] = 1

Ento sua funo ser:

( )z ez

=

1

2

1

22

A notao utilizada :

X ~ N ( 0 , 1 )

que lida da seguinte forma: a v.a. X se aproxima a uma distribuio normal padronizada com mdia 0 e

varincia 1. As probabilidades, isto , as reas sob esta curva esto tabeladas.


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90

PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL

O grfico da funo densidade de uma varivel normal tem a forma de um sino e simtricoem relao mdia . Fixando-se a mdia, verificamos que o achatamento est diretamente ligado ao valorde . Ou seja,

Analisando os grficos da distribuio normal padro, poderemos destacar as seguintespropriedades:

1. f(x) simtrica em relao origem X= ou (z) simtrica em relao origem z=0;

2. f(x) possui um ponto de mximo para x = ou (z) possui um ponto de mximo para z=0 e, neste caso, sua

ordenada vale1

20 39

, .

3. f(x) tende a zero quando x tende para ou (z) tende a zero quando z tende para ;

4. f(x) tem dois pontos de inflexo cujas abcissas valem + e - ou (z) tem dois pontos de inflexocujas abcissas valem -1 e +1.


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91

Stevenson, William J.Estatstica aplicada administrao.Harper & Row do Brasil, So Paulo, 1986, p.461


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92

Exemplos:

1. Para cada item abaixo monte a curva normal, pinte a rea e encontre a probabilidade.

a)

P(0 < z < 1)b) P(-2,25 < z < 1,2)

c) P(z > 1,93)

2. As alturas dos alunos de determinada escola so normalmente distribudas com mdia 1,60m e desviopadro de 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) Entre 1,5 e 1,8m

b) Mais de 1,75

c) Menos de 1,48

d)

Qual deve ser a medida mnima para escolhermos 10% dos mais altos?


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UNIDADE XII ESTIMAO

INTRODUO

O processo de estimao tem por finalidade avaliar parmetros de uma distribuio.Podemos utilizar um nico nmero real para avaliar um parmetro. Neste caso estamos procedendo a uma

estimao pontual.O valor da mdia amostral uma estimao por ponto. Da mesma forma o valor da varincia, desvio

padro e proporo amostrais so estimativas por ponto dos parmetros varincia, desvio padro e proporopopulacionais, respectivamente.

Estimador Estimativa por ponto Parmetrox x = 20

s2(x) s2(x) = 5 ( )x2 s(x) s(X) = 2 ( )x

p p = 0,3 p

Fazendo uso da estimativa por ponto encontramos uma dificuldade a de que amostras diferentesconduzem normalmente a estimativas diferentes. A variabilidade no pode ser controlada neste processo.

O controle estatstico desta variabilidade nos leva ento a fixar a estimao atravs de um intervalo.

INTERVALO DE CONFIANA

um intervalo real, centrado na estimativa pontual que dever conter o parmetro com determinadaprobabilidade. Esta probabilidade ser conhecida como nvel de confiana associado ao intervalo.

A notao mais usual para o nvel de confiana 1- .Se pensarmos em uma diferena entre o valor estimado e o parmetro, j que diferentes amostras

conduzem a valores diferentes de estimadores, estaremos calculando o erro-padro de estimativa.

e= |estimativa parmetro |

O controle da preciso se resumir na determinao do erro-padro da estimativa.

DISTRIBUIO AMOSTRAL DAS MDIAS

Considere a seguinte populao x={2, 3, 4, 5}.

Esta populao apresenta ( ) ( ) 12,1x25,1x3,5 2 === Se ns considerarmos todas as amostras de tamanho n=2 que podemos obter com reposio teremos:

A1= (2,2) A6= (3,4)A2= (2,3) A7= (3,5)A3= (2,4) A8= (4,4)A4= (2,5) A9= (4,5)A5= (3,3) A10= (5,5)

Cada uma destas amostras possui um valor mdio:

2x1= 3,5x 6=

2,5x 2= 4x 7 =

3x 3= 4x8=

3,5x 4= 4,5x 9 = 3x 5= 5x10=


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94

Podemos calcular a mdias das mdias bem como a sua varincia e o seu desvio-padro, assim:( ) ( ) 87,0x75,0x3,5x 2 ===

Note que:

A mdia das mdias igual a mdia populacional : x= ;

A varincia das mdias amostrais mantm com a varincia populacional a seguinte relao :

( ) ( )

n

xx

22 =

No exemplo: ( ) ( )

n

xx

22 = = 75,0

2

1,25=

Estes resultados so concluses gerais dos seguintes teoremas:

1. Se a varivel aleatria xadmite distribuio Normal de probabilidade com mdia e desvio padro

( )x , ento a distribuio amostral das mdias tambm normal com mdia x= e desvio padro

( ) ( )n

xx2

2 = ;

2. Se uma varivel aleatria x tem mdia e desvio padro ( )x , ento distribuio amostral dasmdias se aproxima de uma distribuio normal com mdia x= e com desvio-padro

( ) ( )

n

xx

22 = , a medida que o nmero n de elementos tende a infinito.

EXEMPLO:

1. Uma v.a. xtem distribuio normal com mdia 20 e desvio-padro de 3. Calcule a probabilidade de que umaamostra de 20 elementos selecionada ao acaso tenha mdia maior que 21.

OINTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA POPULACIONAL

Como j foi estudado para se transformar uma distribuio Normal x em uma distribuio Normal z

utilizamos a mudana de varivel( )x

-xz=

A transformao da distribuio x na distribuio z , por analogia:( )x

x-xz= como foi visto

anteriormente x= e ( ) ( )n

xx

22 = , logo:

( )

n

x-x

z= .

Em termos de distribuio normal z o nvel de confiana a probabilidade de o intervalo conter o

parmetro estimado, isto representa a rea central sob a curva normal entre os pontos2

2

zez- ,


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95

Observe que a rea total sob a curva normal unitria. Se a rea central 1- ., a notao

z-2

representa o valor de zque deixa a sua esquerda

2 , e a notao

2

z representa o valor de zque deixa a

sua direita a rea2 . Desta forma:

P( z-2

< z

=

rparmetro:H

rparmetro:H

a

0 2Tipo -

=

b:H

b:H

a

0

A regio crtica (de Rejeio RR) :( )

n

x

-xz=

2Teste

59.Soluo:

>

=

59:H

59:H

a

0

Ao nvel de 5% de significncia, a regio crtica para a hiptese nula :

O valor de zt= 1,64 proveniente da tabela normal onde no corpo podemos procurar o valor de 0,5 - 0,05.O valor de zc dado por:

( )n

x

-xzc =

=

40

3

59-60

= 2,11

Como o valor de zc= 2,11 est na regio de rejeio para a hiptese H0. No temos motivos para aceitar H0.

2. Uma amostra aleatria de 20 elementos selecionados de uma populao normal com varincia 3 apresentoumdia 53. Teste ao nvel de significncia de 5% a hiptese =50.Soluo

=

50:H

50:H

a

0

Ao nvel de 5% de significncia, a regio crtica para a hiptese nula :

O valor de zc dado por:

( )n

x

-xzc =

=

20

1,73

50-53

= 7,755

Como o valor de zc= 7,755 est na regio de rejeio para a hiptese H0. No temos motivos para aceitar H0.


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Exerccios

1. Uma agncia de empregos alega que os candidatos por elas colocados nos ltimos 6 meses tm salrios deR$9.000,00 anuais, em mdia. Uma agncia governamental extraiu uma amostra aleatria daquele grupo,encontrando um salrio mdio de R$8.000,00, com desvio-padro de R$1.000,00 com base em 50 empregados.

Teste a afirmao da agncia, contra a alternativa de que o salrio mdio inferior a R$9.000,00, ao nvel designificncia de 0,05.

2. A DeBug Company vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no mnimo. Umaanlise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma mdia de eficincia de 380 horas. Teste a alegao dacompanhia, contra a alternativa que a durao inferior a 400 horas, ao nvel de 0,01, se o desvio-padro 90 horas.

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