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PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE Departamento de Matemática MATERIAL DIDÁTICO ELENICE VAZ Fevereiro / 2008

Material Didatico SACIR - Gestão Escolar · Andando por uma estrada, um estudante contou, à sua direita, 30 árvores. Na volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também

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PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE Departamento de Matemática

MATERIAL DIDÁTICO

ELENICE VAZ

Fevereiro / 2008

2

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE Departamento de Matemática

MATERIAL DIDÁTICO:

Coletânea de Atividades com Utilização da

Metodologia de Resolução de

Problemas

Elenice Vaz

Material didático elaborado, com orientação da Profª

Ms. Magna Natalia Marin Pires, como um dos

critérios de avaliação do PDE – Programa de

Desenvolvimento Educacional.

Fevereiro/ 2008

3

“Dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em que

temos que resolver um problema de teoremas ou funções quadráticas, mas

o que os estudantes podem e deveriam ter, como conseqüência de sua

educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e eficientemente

os recursos à sua disposição quando defrontados com problemas em suas

próprias vidas”. (Krulik e Reys, 2005, p. 22)

4

SUMÁRIO

1. Ficha de identificação.................................................................................. 05

2. Introdução ................................................................................................... 06

3. Figuras Sugestivas ..................................................................................... 09

4. Problemas Não-Convencionais.................................................................... 12

5. Problemas com Dados do IBGE .................................................................. 18

6. Atividades com o Jornal ............................................................................... 23

7. Problemas Diversos ..................................................................................... 26

8. Multiplicações ..............................................................................................29

9. Problemas com o sistema monetário ........................................................... 42

10. Problemas da 2ª Olimpíada das Escolas Públicas para o Ensino Médio ...47

11. Área Máxima e Função Quadrática ......................................................... 52

12. Seqüência de Fibonacci............................................................................. 57

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1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE 1. Nome da Professora PDE: Elenice Vaz

2. Disciplina/Área: Matemática

3. IES: UEL – Universidade Estadual de Londrina

4. Orientadora: Magna Natalia Marin Pires

5. Caracterização do objeto de estudo: Estudo da Metodologia de Resolução de

Problemas com destaque na valorização dos erros como caminho para a

aprendizagem de estudantes do Estado do Paraná.

6. Título da Produção Didático-Pedagógica: Coletânea de Atividades com Utilização

da Metodologia de Resolução de Problemas.

7. Justificativa da Produção: Pensando-se na proposta de intervenção, e de acordo

com os estudos feitos no decorrer do 1º e 2º períodos desse programa de ensino,

foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer do ano de 2008.

Em todas elas, procurou-se partir sempre da Resolução de Problemas,

considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie os

estudantes a pensarem matematicamente, resgatando o prazer da descoberta.

8. Objetivo da Produção: O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com

que os estudantes, por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela

Matemática, correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. Como são

sugeridas, em diversos momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procura-

se com que, dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e

reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem

seus conhecimentos, de forma significativa.

9. Tipo de produção didático-pedagógica: Coletânea de atividades, a serem

desenvolvidas com a utilização da Metodologia de Resolução de Problemas.

10. Público-alvo: Estudantes da 5ª série do Ensino Fundamental e do 1º ano do

Ensino Médio.

Apucarana, fevereiro / 2008.

Secretaria de Estado da Educação – SEED Superintendência da Educação - SUED

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPE Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

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2. INTRODUÇÃO

O presente material é uma coletânea de atividades direcionadas para a 5ª

série do Ensino Fundamental e para o 1º ano do Ensino Médio.

Para a elaboração dessas atividades, procurou-se sempre partir da

Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite, a

todo instante, que o professor desafie os estudantes a pensarem matematicamente,

resgatando o prazer da descoberta.

No decorrer de sua aplicação, pretende-se tratar o erro não como uma

incapacidade do estudante, mas como uma etapa, muitas vezes necessária, dando-

se mais importância aos procedimentos do que aos resultados. Por meio da

valorização do erro na resolução de problemas, procurar-se-á dar um novo sentido à

Matemática, fazendo com que o estudante sinta que a disciplina é algo inerente à

sua história, que os erros fazem parte do processo, e são, quase sempre, o caminho

para a aprendizagem efetiva.

O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes,

por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela Matemática,

correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. São sugeridas, em diversos

momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procurando com que, dessa forma,

os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos

conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem seus conhecimentos,

de forma significativa.

Em relação à 5ª série do Ensino Fundamental, foram abordados os

seguintes conteúdos:

• As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

• Operações inversas.

• Cálculo mental.

• Medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita, composição e

decomposição de numerais, valor posicional de um algarismo.

• Possibilidades.

• Seqüências numéricas.

7

• Sistema monetário.

• Frações: representação, leitura e escrita, adição, subtração e frações

equivalentes.

No material direcionado para o 1º ano, foram contemplados os seguintes conteúdos:

• Cálculo de perímetro e área.

• Teorema de Pitágoras, teorema de Tales e fórmula de Herão.

• Revisão dos conteúdos de Ensino Fundamental (operações com

números racionais, equações do 1º e do 2º graus, sistemas de equações,

proporcionalidade, operações com polinômios, comprimento e área da

circunferência).

• Seqüência de Fibonacci, número phi, retângulo áureo.

8

ATIVIDADES PARA A

5ª SÉRIE

DO

ENSINO FUNDAMENTAL

9

3. FIGURAS SUGESTIVAS

3.1 Objetivos

• Elaborar problemas.

• Resolver as quatro operações fundamentais.

• Desenvolver a confiança nos estudantes.

3. 2 Conteúdos abordados

As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

3. 3 Metodologia

Resolução de Problemas.

3.4 Materiais

Figuras que sugerem situações de consumo, e, em conseqüência, cálculos

matemáticos.

3.5 Desenvolvimento da Aula

Propor aos alunos que inventem um problema a partir da observação da

figura a seguir:

Observe a figura e formule um problema. Seja criativo (a):

Foto: http://www.k2fitness.com.br/instalacoes/images/lanchonete.jpg

10

3. 5. 1 Procedimentos no decorrer da aula

É importante que cada aluno tenha a liberdade para criar seus problemas,

não havendo necessidade de direcionar a atividade para uma das operações

específicas.

A seguir, algumas sugestões de atividades que podem ser feitas a partir dos

problemas formulados pelos alunos:

• sortear alguns dos problemas e propor para a classe resolvê-los;

• trocar os problemas entre os alunos para que um resolva o do outro;

• montar uma coletânea com todos os problemas dos alunos e propor

sua resolução;

• escolher um problema que esteja incompleto ou mal formulado, para

trabalhar com o texto, reelaborando em conjunto com toda a classe, tomando

cuidado para não constranger o autor;

É interessante que cada problema, ao ser disponibilizado para os demais

estudantes, contenha o nome do autor.

3. 5. 2 Demais atividades sugeridas

1. Elabore problemas a partir dos cálculos dados:

a) R$ 23,50 + R$ 18,40

b) 2 x R$ 0,80 + 4 x R$ 0,50

2. Observe a figura abaixo e formule um problema relacionado com ela:

Foto: arquivo da autora.

11

3. 6 Considerações sobre a atividade

Segundo PARANÁ (1998),

essa tarefa de formular problemas permite ao aluno perceber o que é importante na

elaboração e resolução de uma dada situação; que relação há entre os dados

apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta; como articular o texto, os

dados e a operação a ser usada, etc. Mais que isso, ao formular problemas, os

alunos sentem que possuem controle sobre o fazer matemático, que podem

participar desse fazer e desenvolvem interesse e confiança frente a situações-

problema.

Além dessas contribuições, a experiência com esse tipo de atividade tem me

mostrado que os estudantes se sentem muito valorizados quando utilizo o termo

“autor”; eles se sentem importantes e capazes de também produzir

matematicamente, verificam que a Matemática não é apenas algo pronto

disponibilizado exclusivamente em livros didáticos, ao contrário, ela faz parte do

nosso cotidiano.

3. 7 Avaliação

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando não apenas a

resolução dos algoritmos, mas também a habilidade de redigir problemas e

interpretá-los.

Não se espera que os alunos elaborem problemas muito complexos, mas,

na medida em que eles se defrontarem com esse tipo de atividade em diversos

momentos, com certeza a capacidade e a criatividade serão acentuadas, e, em

conseqüência, os problemas serão mais bem elaborados.

3. 8 Referências Bibliográficas

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.

Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:

SEED/DEPG, 1998.

12

4. PROBLEMAS NÃO-CONVENCIONAIS

4.1 Objetivo

Despertar o interesse dos estudantes por meio de problemas que fogem dos

padrões tradicionais, estimulando o gosto pela Matemática.

4.2 Conteúdos abordados

Cálculo mental, medidas de tempo, operações inversas.

4.3 Metodologia

Resolução de Problemas.

4.4 Materiais

Problemas propostos, os quais serão entregues 3 para cada grupo.

4.5 Problemas

Os alunos ficarão em grupos de 4 ou 5 e serão propostos os seguintes

problemas:

Grupo 1

1. Isabela e Mariana têm, juntas, 15 filmes. Quantos filmes têm cada uma?

2. Andando por uma estrada, um estudante contou, à sua direita, 30 árvores. Na

volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas

árvores o estudante viu na estrada?

3. O menino está olhando os patos nadando no lago. Um deles nada na frente de

dois outros, um nada entre dois e um nada atrás de dois. Quantos eram os patos?

Grupo 2

1. Sabemos o preço de um objeto e a quantia que levamos para comprar. Como

acharemos o número de objetos que podemos comprar?

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2. Você pilota um avião. Ele passa sobre sete montanhas e sobre sete lagos, se

escondendo atrás das nuvens às 3 horas da tarde. Qual a idade do piloto?

3. Se 10 raposas comem 10 galinhas em 10 minutos, duas raposas comem 2

galinhas em quantos minutos?

Grupo 3

1. Quantos quilogramas de carne come, por semana, uma onça que pesa 100

quilos?

2. Uma lesma está no fundo de um poço de 6m de altura. Ela sobe 2m por dia, pára

um pouquinho, e cai 1 metro. Quantos dias ela levará para chegar ao topo do poço?

3. O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em 1 hora ela está

cheia. Quando estará pela metade?

Grupo 4

1. Que dados necessito para saber se tive lucro ao vender uma bicicleta?

2. Um trem leva 80 minutos para ir de uma cidade a outra, mas para voltar leva 1

hora e 20 minutos. Por quê?

3. Um senhor de 80 kg e suas duas filhas com 40 kg cada uma precisam atravessar

uma ilha com um barco. Só que há um problema, o barco só suporta 80 kg. Como

farão para atravessar?

Grupo 5

1. Um menino subiu na cama e ficou da altura de seu pai. Qual a diferença entra a

altura do pai e a do menino?

2. São sete irmãs, cada uma delas tem um irmão. Quantos filhos são ao todo?

3. Se um tijolo pesa 1 kg e meio tijolo, quanto pesa um tijolo inteiro?

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Grupo 6

1. Um pedaço de madeira foi cortado em três partes; uma das partes medindo 80cm

de comprimento e as outras duas têm o mesmo comprimento. Qual é a medida de

cada parte?

2. Quanta terra tem um buraco de 1 metro de profundidade por 2 metros de largura e

2

1 metro de comprimento?

3. Uma garrafa e uma rolha custam R$11,00 quando vendidas juntas. Se vendidas

separadamente, a garrafa custa R$10,00 a mais do que a rolha. Quanto custa a

rolha?

Grupo 7

1. Sabendo-se o ano atual e a idade de uma pessoa, como devemos proceder para

saber seu ano de nascimento?

2. Se juntarmos as alturas de José e Luís acharemos a altura de Carlos. Qual dos

três é mais alto?

3. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos.

Quantos gatos têm na casa?

Grupo 8

1. Há certo número de passageiros para serem transportados. Querendo calcular o

número de viagens que deverão ser feitas, que precisamos saber?

2. Em dezembro, um bancário recebe o dobro de seu ordenado mensal. Que fazer

para saber quanto recebe por mês?

3. Existem quatro pessoas para receber quatro maçãs que estão numa cesta.

Reparta as maçãs de forma que cada pessoa receba uma fruta inteira e ainda fique

uma na cesta!

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4. 6 Procedimentos

Deverá ser disponibilizado algum tempo para que os integrantes do grupo

possam pensar sobre as situações propostas.

Em seguida, cada grupo vai compartilhar com o restante da turma os seus

problemas e ficará responsável, de na aula seguinte ou na próxima semana,

apresentar para os demais as soluções; e, como estas, não necessariamente,

estarão corretas, todos terão a tarefa de pensar sobre as situações propostas pelos

colegas.

No decorrer da apresentação das respostas para o grupo, é necessário que

os alunos tenham a liberdade para se expressar e oportunidades de errar sem ser

ridicularizados por seus erros.

Quando as questões colocadas estiverem com respostas erradas, o

professor deve fazer questionamentos com o grupo e com a turma toda, por meio

dos quais os levarão a pensar sobre as situações e propor a solução correta.

É importante que os alunos apresentem não apenas a respostas, mas, os

caminhos que os levaram àquela solução. Nesse momento convém o professor

aproveitar para mostrar que um problema pode ser resolvido de diversas maneiras,

valorizando sempre as idéias apresentadas.

4. 7 Considerações sobre a atividade

No modelo tradicional de aulas, os alunos cultivam a opinião fixa de que

problemas matemáticos somente são resolvidos com a aplicação e memorização de

regras e técnicas de cálculo. Em muitas situações, os alunos sequer lêem o

problema, apenas procuram fazer cálculos envolvendo os números que aparecem.

Como para pensar matematicamente é necessário muito mais do que isso, é

preciso, de acordo com Paraná (1998), cultivar nos estudantes a aptidão para

resolver problemas de qualquer natureza, por meio da compreensão da situação, da

análise e seleção dos dados, da formulação de estratégias de maneira organizada e

da validação dos resultados. Portanto, os problemas não convencionais são ótimas

oportunidades para desenvolver essas habilidades.

Os problemas conhecidos como “pegadinhas” ou desafios matemáticos,

estimulam o gosto pela Matemática, são estímulos para resolução de futuros

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problemas mais articulados e de maior dificuldade. O fato interessante é que envolve

os demais familiares dos estudantes, pois freqüentemente, os mesmos, por acharem

interessantes, compartilham com outras pessoas.

4. 8 Sugestão de outros problemas

1. Um macaco caiu no fundo de um poço com 30 metros de profundidade. Todos os

dias ele sobe 3 metros e escorrega 2. Neste ritmo quando atingirá a beirada do

buraco?

2. Qual a operação que pode substituir uma adição cujas parcelas são iguais?

3. Numa árvore pousam pássaros. Se poupassem dois pássaros em cada galho,

ficará um galho sem pássaro. Se pousar um pássaro em cada galho, ficará um

pássaro sem galho. Calcule o número de pássaros.

4. Um pastor diz para o outro: “Dê um de seus carneiros que ficamos com igual

número de carneiros”. O outro responde: “Nada disso, dê-me um de seus que ficarei

com o dobro dos seus”. Quantos carneiros tem cada um?

5. Um alfaiate tem 1 peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele

tira um pedaço de dois metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em

que dia ele fará o último corte?

6. Num jarro estão 7 amebas, elas se multiplicam tão rapidamente que dobram o seu

volume a cada minuto. Se para encher o jarro, elas levam 40 minutos, quanto tempo

levará para encher metade do jarro?

7. Se três gatos comem três ratos em três minutos, cem gatos comem cem ratos em

quantos minutos?

8. Se 2 velas queimam em duas horas, quanto tempo levará para queimar 8 velas?

4. 9 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo instante, verificando se os alunos estão

interpretando e analisando os problemas com mais cuidado e se os mesmos estão

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superando comportamentos como considerar que os problemas são sempre

numéricos, sempre têm solução e que todos os dados estão disponíveis.

4. 10 Referências Bibliográficas

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.

Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:

SEED/DEPG, 1998.

18

5. PROBLEMAS COM DADOS DO IBGE

5.1 Objetivos

• Solucionar problemas envolvendo adição e subtração.

• Compreender os diferentes valores posicionais que um algarismo pode

ocupar.

• Fazer a leitura e escrita de números.

5.2 Conteúdos abordados

Valor posicional de um algarismo, adição e subtração, leitura e escrita de

números.

5.3 Metodologia

Resolução de problemas.

5.4 Materiais

Recortes de jornais.

5.5 Desenvolvimento da Aula

Observe a notícia publicada no Jornal Tribuna do Norte, do dia 06 de

outubro de 2007:

POPULAÇÕES DE APUCARANA E ARAPONGAS

AUMENTAM

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) divulgou ontem os números definitivos do censo 2007.

A finalização dos dados mostra que os dois maiores Municípios da região, Apucarana e Arapongas, registraram crescimento maior do que o divulgado em agosto.

Em Apucarana, dados preliminares apontavam população de 113.507. Número final é de 115.323 habitantes.

Em Arapongas, os primeiros dados eram de uma população de 95.859. Consolidação resultou em população de 96.669 habitantes.

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5. 5.1 Questões propostas:

1. De quanto foi o aumento da população apucaranense em relação aos dados

apresentados em agosto de 2007?

2. E em Arapongas, de quanto foi esse aumento?

3. Quantos habitantes, Apucarana tem a mais do que Arapongas?

4. Coloque, em ordem crescente, os números que aparecem no texto:

5. Quantas pessoas faltam para Arapongas ter uma centena de milhar de

habitantes?

6. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, podemos escrever qualquer

número. Por exemplo, utilizando apenas os algarismos 6 e 9, podemos escrever 69,

96, 669, 996, 696, 969, 6996, 9669, etc.

a) Escreva um outro número utilizando apenas os algarismos 6 e 9:

b) Observe o número escrito por um dos seus colegas. Vocês escreveram números

iguais?

c) No número 96.669, os números 9 e 6 ocupam diferentes valores de acordo com a posição que eles ocupam. Quais são esses valores? Complete:

9 6 6 6 9

= _______

= _______

= _______

= _______

= _______

d) Faça o mesmo com o número 66.996:

7. Escreva como se lê os números 96.669 e 66.996:

8. (POSITIVO, 2006) Dependendo da posição que o algarismo ocupa em um

número, o valor que ele assume é diferente. Essa posição é chamada de ordem e

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cada ordem recebe um nome. Observe, nessa tabela, o nome de cada uma das

ordens que compõem o número 115.323 e algumas maneiras de decompô-lo:

1 1 5 3 2 3

centenas

de milhar

dezenas

de milhar

unidades

de milhar

centenas dezenas unidades

1x100000 + 1x10000 + 5x 1000 + 3x 100 + 2 x 10 + 3 x 1

100.000 + 10.000 + 5000 + 300 + 20 + 3

a) Quais os diferentes valores que assumem nesse número os algarismos:

1? ____________________________

3? ____________________________

b) Escreva como se lê o número 115.323:

5. 5. 2 Considerações sobre a Atividade

Espera-se que a partir de uma situação de interesse dos alunos (o número

de população de seu município), ocorra a reflexão sobre a ordem e o valor

posicional dos algarismos. As demais questões surgem, de forma natural, sendo que

essas podem ser propostas tanto pelo professor como pelos alunos, de acordo com

a notícia do jornal.

As pesquisas feitas pelo IBGE apresentam outros dados que podem ser

utilizados, como: o número de homens e mulheres, os moradores da zona rural e

urbano, o índice de escolaridade, entre outros, e, a partir daí inúmeros problemas

podem ser formulados, assim como a exploração dos números relacionados com as

situações. Na internet, é possível acessar o site, clicando sobre o link:

http://www.ibge.gov.br/home/.

Se os estudantes apresentarem dificuldades, é possível fazer um trabalho

com o Material Dourado, por meio do qual ele poderá ter uma melhor compreensão

de conceitos como unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, etc.

5. 5. 3 Sugestão de outras questões

1. Para chegar a 100.000, quanto você deverá adicionar a:

a) 90.000? __________

b) 90.009? __________

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c) 99.000? __________

d) 99.990? __________

e) 99.999? __________

2. (POSITIVO, 2006) Continue multiplicando com 1, 10, 100 ou 1000 até encontrar o

número cem mil:

a) 10 x 10 x ____________________________________ = 100.000

b) 100 x 10 x ___________________________________ = 100.000

c) 1000 x ______________________________________ = 100.000

d) 10.000 x ____________________________________ = 100.000

e) 100.000 x ___________________________________ = 100.000

3. Qual dos números abaixo tem o algarismo cinco na dezena?

a) 151

b) 5700

c) 305

d) 7045

4. Desafio!!!! (VASCONCELOS, 2002)

Leia as dicas e adivinhe o número:

5. 6 Avaliação

A avaliação pode ser feita por meio da observação dos estudantes, tanto nas

atividades feitas nos cadernos, como no decorrer da resolução no quadro.

� Sou maior de 800 e menor do que 900.

� Sou um número natural e um dos meus algarismos é 4.

� Sou um número ímpar e a soma dos meus algarismos é 15.

22

É possível haver uma troca de cadernos em que cada estudante fica

responsabilizado pela correção da atividade do colega. Dessa forma, os estudantes

se acostumam a prestar mais atenção na hora das conclusões e generalizações

apresentadas pela turma.

5. 7 Referências Bibliográficas

POSITIVO, Apostila da 3ª série. Ordens e Valor Posicional, 2006.

SAVICKI, Adriana. Populações de Apucarana e Arapongas aumentaram. Jornal

Tribuna do Norte. Em 6 de outubro de 2007, ano XVI, n° 5003, p. A5.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo, Editora do Brasil, 2002.

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6. ATIVIDADES COM O JORNAL 6. 1 Objetivos

• Elaborar problemas.

• Resolver as quatro operações fundamentais.

• Desenvolver o hábito da leitura e da pesquisa.

6.2 Conteúdos abordados

As quatro operações fundamentais (adição, subtração, divisão e

multiplicação), medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

6.3 Metodologia

Atividade de Investigação e Resolução de Problemas.

6.4 Materiais

Reportagens de jornal.

6. 5 Desenvolvimento da Aula

A Matemática está presente em tudo em nossa vida, devendo ser vivenciada

num ambiente desafiador, despertando sempre a curiosidade dos estudantes,

estimulando sua participação, valorizando seus conhecimentos já trazidos e

ampliando-os.

Os jornais trazem constantemente notícias que envolvem números, quantias

e percentuais que podem ser utilizados no decorrer do processo de ensino e

aprendizagem. Inúmeros problemas podem ser criados a partir de reportagens,

indicativos econômicos, previsões do tempo, classificados, entre outros.

6.5. 1 Procedimentos no decorrer da aula

É possível propor que os estudantes, em grupo, façam pesquisas sobre

determinados assuntos abordados no jornal.

6.5. 2 Formulação de atividades referentes às informações:

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Ainda divididos em grupos, os estudantes têm a tarefa de formular questões,

e estas, após serem corrigidas, podem ser impressas e solucionadas por todos.

6.6 Considerações sobre a atividade

Vários problemas podem ser construídos a partir do texto pesquisado pelos

estudantes. Para se utilizar a atividade sem o recorte do jornal, podem-se fazer

diversas perguntas sobre esse animal e estimular os estudantes a pesquisar sobre

ele.

6.7 Utilização do jornal:

O jornal é uma fonte inesgotável de problemas, basta verificar a situação, e

a partir dela ou de investigações relacionadas com a reportagem, inúmeras

situações matemáticas podem ser apresentadas.

A seguir, de acordo com Cançado (2002), algumas atividades que podem

ser propostas aos estudantes após a leitura de jornais:

• cálculo de preços de compras à vista e a prazo, com identificação da

porcentagem de aumento nas compras a prazo;

• comparação de preços de determinados produtos em vários anúncios;

• cálculo com medidas de tempo a partir de notícias de esportes;

• análise de custos com transportes e alimentação para realizar um

trabalho;

• organização de orçamentos para uma festa, procurando preços em

jornais;

• discussões sobre as contribuições oferecidas pela leitura dos

classificados, bem com a formulação de diversos problemas relacionados com os

anúncios;

• leitura e interpretação de gráficos;

• simulações de vendas de produtos anunciados, calculando descontos e

prestações;

Além dessas atividades, outras podem realizadas, como:

• cálculo de temperaturas médias;

• construção de plantas de casas a partir de anúncios dos classificados;

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• análise crítica referente às oscilações sofridas pelo dólar;

• problemas relacionados com os indicativos econômicos;

6.8 Avaliação

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando se estudantes

estão demonstrando interesse nas investigações referentes ao tema, se elaboram

problemas coerentes com o estudo em questão, se interpretam corretamente as

informações para poder solucionar os problemas propostos e finalmente, se estão

utilizando corretamente os algoritmos.

6.9 Referências Bibliográficas

CANÇADO, Dinorá Couto. Oficina Pedagógica do Projeto Cultural: “Vamos Ler

Apucarana”. Jornal Tribuna do Norte, 2002.

26

7. PROBLEMAS DIVERSOS 7.1 Objetivos

• Resolver as quatro operações fundamentais.

• Solucionar problemas.

7.2 Conteúdos abordados

Interpretação de problemas, operações fundamentais (adição, subtração,

multiplicação e divisão), seqüências numéricas, raciocínio lógico e sistema

monetário.

7.3 Metodologia

Resolução de Problemas.

7.4 Desenvolvimento da Aula

� Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos

problemas a seguir:

1. (OBMEP 2005) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de um litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias trocas?

2. Um coelho comeu 40 cenouras em um período de 5 dias. Em cada dia o coelho comeu 2 cenouras a mais que no dia anterior. Quantas cenouras ele comeu em cada dia? 3. Em julho de 1994, Romário estava com 28 anos, Branco com 30 anos e Márcio Santos com 24 anos. Depois de quantos anos a soma das três idades será igual a 100 anos? 4. Rita pretende comprar um presente no valor de 60 reais. Decidiu economizar 1 real na 1ª semana, 2 reais na 2ª semana, 4 reais na 3ª

27

semana e, assim sucessivamente, sempre dobrando o valor economizado na semana anterior. Após 6 semanas de economia, Rita poderá comprar o presente e qual quantia ainda lhe sobrará? � Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo

possam pensar sobre a situação recebida;

� Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e

discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo problema;

� Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução,

podendo-se utilizar de dramatização, desenhos ou a forma como preferirem;

7.5 Considerações sobre a atividade

No decorrer da aula de resolução de problemas, é muito importante que os

estudantes tenham tempo suficiente para poder pensar; o trabalho em grupo é muito

produtivo, considerando que dessa forma, eles têm oportunidade de discutir,

argumentar, expor seus pontos de vista, e, principalmente ouvir.

Diante de uma resposta incorreta, é necessário fazer questionamentos, com

o objetivo que o estudante por si próprio perceba seu erro e faça as correções. É

preciso valorizar as soluções apresentadas e saber se fazer presente, não tirando

dos estudantes a oportunidade de pensar e ao mesmo tempo incentivando-os a

chegar à solução por meio de uma pergunta, uma dica ou mesmo uma restrição.

7.6 Avaliação

A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento das

duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da atividade;

também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os estudantes

argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.

Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas o

levantamento de hipóteses, as discussões, as tentativas e a busca pela resolução do

problema.

28

7.7 Referências Bibliográficas

OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Brasília,

2005.

29

8.MULTIPLICAÇÕES

8.1 Objetivos

• Compreender o processo da construção da tabuada.

• Solucionar problemas envolvendo a multiplicação.

• Perceber que a Matemática é uma ciência em construção.

8.2 Conteúdos abordados

Tabuada, algoritmo da multiplicação e propriedades da multiplicação.

8.3 Metodologia

Resolução de problemas.

8. 4 Materiais

Papel quadriculado.

8. 5 Desenvolvimento da Aula

Trabalhando com matérias manipuláveis e explorando jogos e situações

diversas, os estudantes poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos

fundamentais que compõem a multiplicação. O ideal seria que o estudante chegasse

na 5ª série compreendendo a tabuada, mas, como para a maior parte, isso não

ocorre, cabe ao professor desta série, propiciar oportunidades, por meio de

atividades diversas, de os estudantes compreenderem e memorizarem a tabuada.

8. 5. 1 Construindo a tabuada

Por meio de desenhos e conjuntos, os estudantes poderão fazer as

seguintes representações:

Tabuada do 2

2 x 1 ♥ ♥ 1 + 1 2

2 x 2 ♥♥ ♥♥ 2 + 2 4

30

2 x 3 ♥♥♥ ♥♥♥

3 + 3 6

2 x 4 ♥♥♥♥ ♥♥♥♥

4 + 4 8

M M M M M

Tabuada do 3 3 x 1

♣ ♣ ♣ 1+1+1 3

3 x 2 ♣♣ ♣♣ ♣♣

2+2+2 6

3 x 3 ♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣

3+3+3 9

3 x4 ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣

4+4+4 12

M M M M M M

É importante que o estudante perceba que a multiplicação pode ser

entendida como adição de parcelas iguais e, de acordo com a necessidade, é

possível ir fazendo os conjuntos até que os estudantes compreendam a tabuada.

8.5.2 Sistematizando a tabuada

Após a construção, feita por meio de conjuntos, é possível que os

estudantes construam uma tabuada:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

31

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Completando a tabela, diversas seqüências e regularidades podem ser

exploradas, e, espera-se que neste momento, os estudantes percebam que, por

exemplo, 5x3 é a mesma coisa que 3x5; portanto, é possível explorar a propriedade

comutativa da multiplicação. Caso os estudantes não percebam, é possível propor a

seguinte pergunta:

� Quais os números da linha 2?

� Quais os números da coluna 2?

� Por que eles são iguais?

Outras questões podem ser propostas, como:

� Quantos “doze” aparecem na tabela? Quais são as multiplicações que

resultam em 12?

� E quantos “quinze”? Quantos “dezesseis”? – diversos outros números

podem ser perguntados, e, para responder, os estudantes terão que explorar a

tabuada.

8. 5. 3 Curiosidades da tabuada do 9

Após os estudantes compreenderem como são feitas as multiplicações para

a tabuada, que alguns “truques” podem ser usados para adquirir os resultados mais

rapidamente, antes de os mesmos serem memorizados.

Escrevendo os resultados

Ao escrever na 1ª coluna os números de 0 a 10 na ordem crescente e na 2ª

coluna, os mesmos números, mas na ordem decrescente, obtemos os produtos

resultantes da tabuada do 9:

32

1ª coluna 2ª coluna operação

0 9 9x1

1 8 9x2

2 7 9x3

3 6 9x4

4 5 9x5

5 4 9x6

6 3 9x7

7 2 9x8

8 1 9x9

9 0 9x10

Outra maneira de se obter a tabuada do 9, de maneira bem rápida, sem

haver necessidade de uso de registro é por meio dos dedos das mãos.

Para calcular, 9 x 8, por exemplo, usa-se o seguinte procedimento:

• Com as duas mãos abertas, esconde-se o oitavo dedo;

• Os dedos que ficarem à esquerda do dedo escondido são as dezenas,

que no caso, são 7.

• Os dedos que ficarem à direita do dedo escondido são as unidades,

que no caso, são 2.

• Portanto, obtém-se, com fácil visualização, 72.

33

Multiplicações por 9:

MUltiplicação Mãos Dezenas Unidades Resultado

9 x 1

0

9

9

9 x 2

1

8

18

9 x 3

2

7

27

9 x 4

3

6

36

9 x 5

4

5

45

9 x 6

5

4

54

9 x 7

6

3

63

9 x 8

7

2

72

9 x 9

8

1

81

É importante que, de acordo com Pietro (2006), após compreendidos os

fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelos estudantes. Para

isso é oportuno utilizar jogos variados.

8. 5. 4 JOGO MULTIPLICATIVO (retirado de PARANÁ, 1998)

34

MATERIAL: cartas que podem ser de baralho, enumeradas de 2 a 9.

OBJETIVOS: trabalhar com os alunos a memorização da tabuada, a

capacidade de análise e a tomada de decisões na resolução de problemas.

REGRAS:

• O jogo pode ser feito em grupo de 2 ou mais pessoas;

• Uma pessoa do grupo escolhe 4 cartas sem que as demais vejam;

• A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as

suas cartas;

• Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: “Você

tem duas cartas cujo produto é ___ (15, por exemplo)?”;

• O jogador com as cartas na mão responde apenas sim ou não;

• Os produtos são registrados para que os jogadores possam analisar as

tentativas bem como as respostas “sim” ou “não”;

• O vencedor é aquele que conseguir em primeiro lugar quais são todas

as cartas escolhidas;

• Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar;

8. 5. 5 Algoritmo da multiplicação

É necessário mostrar aos estudantes que não existe apenas uma forma de

multiplicar, que a Matemática não é um conjunto de leis únicas que têm que ser

obedecidas. A seguir, alguns modos de multiplicar:

1º Geometricamente, em papel quadriculado:

10 5 10 10 3 3 10 5

35

1 0 0 5 0 + 3 0 1 5 1 9 5

2º Fazendo a decomposição 15 x 13 (10 + 5 ) x ( 10 + 3)

10 + 5 x 10 + 3 30 + 15

100 + 50

130 + 65

195

3º Pelo algoritmo usual

C

X

D

1

1

U

5

3

+

1

4

5

5

0

1 9 5

8. 5. 6 Outras formas de multiplicar

Além do algoritmo tradicionalmente utilizado, é possível mostrar outras

formas de multiplicar, para que os estudantes percebam que a Matemática não é

uma ciência pronta e acabada, pelo contrário, é algo dinâmico, passível de erros e

correções.

36

Esse saber historicamente construído precisa ser trabalhado com os

estudantes para que eles possam valorizar o conhecimento, sentirem-se motivados

para resolverem problemas e fazerem uma reflexão sobre o conhecimento

contemporâneo da Matemática.

Método Egípcio

Há 2000 anos, os egípcios não sabiam a tabuada, mas tinham grande

facilidade com as duplicações.

Ex: 26 x 18

O primeiro passo é construir uma tabela de dobros para 26 (ou o 18):

1 x 26 = 26

2 x 26 = 52

4 x 26 = 104

8 x 26 = 208

16 x 26 = 416

M M

Decompondo o outro número, o 18, temos 18 = 16 + 2, e, utilizando a tabela

temos: 416 + 52 = 468.

Portanto, 26 x 18 = 468.

Método utilizado na Idade Média

O Método empregado na Europa medieval era semelhante ao método

egípcio, porque também se baseava no sistema de dobros.

Para multiplicar por esse método, coloca-se os dois números lado a lado, e,

em um deles calcula-se a metade e no outro, calcula-se o dobro. Na linha que deu

metade 1, o resultado da operação está na coluna ao lado, a do dobro.

37

Ex: 16 x 14 metade Dobro

16 14

8 28

4 56

2 112

1 224

Portanto, 16 x 14 = 224.

Porém, números ímpares não têm metade exata, então, é feito da seguinte

forma: metade Dobro

26 18

13 36

6 72

3 144

1 288

Como 13 e 3 não têm metades exatas, calcula-se a sua metade,

aproximando-se para menos. O resultado seria 288, mas, nesse caso, a ele se

somam os dois números dos dobros obtidos nas divisões que não têm metade.

Portanto, 26 x 18 = 288 + 144 + 36 = 468.

Método Reticulado

Esse método existe, segundo Toledo (1997), desde, pelo menos, o século

XII e ainda é utilizado em algumas escolas da França. É também conhecido como

gelosia, que em italiano significa grade, pois se assemelha com as grades utilizadas

nas janelas da Itália.

38

Para fazer a multiplicação, basta separar os quadrados e ir fazendo as

multiplicações, semelhante à tabuada anteriormente sistematizada.

Após completar todos os quadrados, calcula-se a soma dos números

colocados em cada diagonal. No caso de a soma ser maior ou igual a 10, o

algarismo das dezenas é levado à diagonal seguinte.

8. 5. 7 Jogo com multiplicação

• Forme uma dupla com um colega;

• Cada um usa um lápis de cor diferente;

• O objetivo é formar quadrados, unindo um ponto a outro (os traços que

unem os pontos não podem passar sobre os números);

• Faz-se um sorteio para ver quem começa;

• Na sua vez, o jogador deve unir dois pontos;

• Quando um jogador traçar o quarto lado do quadrado, o número que

ficou dentro deve ser anotado, para posteriormente ser multiplicado;

• Quantos acabarem os pontos a serem unidos, é só verificar quantos

quadrados cada um anotou;

• Cada jogador multiplica todos os números encontrados nos quadrados

que formou;

• Vence aquele que obtiver o maior número;

• Os números podem ser adaptados de acordo com o grau de

dificuldades dos alunos;

39

. . . .

9 10 16

. . . .

8 14 2

. . . .

8 18 10

. . . .

Jogador 1: ____________________

Nos dos quadrados: _____________

Multiplicação: __________________

Jogador 2: ____________________

Nos dos quadrados: _____________

Multiplicação: __________________

Vencedor: _____________________

OBSERVAÇÕES:

� Com esse jogo podem ser trabalhadas as propriedades da

multiplicação, como, por exemplo, o elemento neutro;

� Pode-se colocar o zero, para que os estudantes compreendam que a

multiplicação por zero tem sempre como resultado zero;

� Nas séries mais adiantadas, é possível trabalhar a multiplicação dos

números inteiros;

8. 5. 8 Outros problemas

1. Uma loja oferece os seguintes carros:

40

E as seguintes cores:

Preto Branco Vermelho Prata

Quantas escolhas possíveis têm um consumidor?

2. (DANTE, 2004) Calcule, do modo que quiser, e responda às questões a seguir:

a) O número de unidades em 16 dúzias:

b) O número de quilogramas em 23 arrobas:

c) O número de dias em 14 anos, incluindo 4 anos bissextos:

3. (Adaptado: IMENES, 1999) Com os dedos sobre o pescoço, a menina está

sentindo as batidas do coração. Se o coração dela dá 68 batidas por minuto,

quantas batidas vai dar em uma hora?

Foto: arquivo da autora

E o seu coração? Quantas batidas dá em uma hora?

4. (LELLIS, 1994) Entrei em um jogo com 243 figurinhas. Na primeira hora do jogo,

dobrei o número inicial e na hora seguinte consegui multiplicar por 5 o que eu já

tinha obtido. Com quantas figurinhas saí do jogo? (Observação: neste problema é

proibido escrever qualquer coisa, exceto a resposta: você deve resolvê-lo

mentalmente.)

5. (VASCONCELOS, 2002) Carla tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias. De

quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e um

par de tênis?

41

8. 6 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo o momento, observando não só as

atividades realizadas no caderno, mas principalmente os momentos das correções,

que podem ser feitas no quadro.

No decorrer das atividades podem ser dados os últimos problemas,

verificando não só se os estudantes conseguem interpretar e retirar os dados, mas

principalmente se compreenderam a tabuada e o algoritmo da multiplicação.

11. 7 Referências Bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Editora Scipione,

1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo:

Editora Scipione, 1994.

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.

Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:

SEED/DEPG, 1998.

PRIETO, Andréa Cristina Sória Prieto. A tabuada deve ser entendida ou memorizada? 2006. Disponível em http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639. Acesso: 01 de nov. 2007.

TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois: a

construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São Paulo:

Editora do Brasil, 2002.

42

9. PROBLEMAS COM O SISTEMA MONETÁRIO

9.1 Objetivos

• Solucionar problemas relacionados com nosso sistema monetário.

• Calcular e analisar criticamente compras à vista e a prazo.

• Utilizar corretamente os algoritmos da adição, subtração, multiplicação

e divisão.

9.2 Conteúdos abordados

Operações fundamentais, possibilidades leitura e escrita de números

naturais.

9.3 Metodologia

Resolução de Problemas.

9.4 Materiais

Panfletos de ofertas e folhas de cheque.

9.5 Desenvolvimento da Aula

Observe os preços e resolva as questões:

Computador / 1 Mb / MB GA - 945GZM – S2 / Memoria 512 / DDR2 / 667 / HD 80GB SATAII / Gabinete / Gravador de DVD / Monitor 17 ´

À vista

R$ 1.300,00

ou a prazo: 25x 79,00

43

9.5. 1 Questões propostas

1. Qual o preço do computador a prazo?

2. O preço a prazo é maior ou menor do que o preço à vista? Quanto?

3. Se o preço à vista pudesse ser dividido em 10 prestações, qual seria o valor

de cada parcela?

4. Negociando com o gerente da loja, o cliente conseguiu comprar pelo preço à

vista, com um cheque de R$460, 00, e o restante em três cheques de valores

iguais para serem pagos daqui a 30, 60 e 90 dias.

a) Preencha o cheque dado como entrada pelo computador:

b) Qual o valor a ser pago em cada prestação? Preencha um cheque com

esse valor:

44

5. Observe o número do cheque referente a uma das prestações:

Nele há quantas:

a) unidades de milhar? __________

b) dezenas de milhar? ___________

c) dezenas? ___________________

d) centenas? __________________

e) unidades? __________________

Caso haja necessidade, utilize a tabela abaixo:

centenas

de milhar

dezenas

de milhar

unidades

de milhar

centenas dezenas unidades

6. Caso a entrada fosse paga em dinheiro, como você pagaria essa quantia,

quais notas você usaria?

7. Compare a sua resposta com a de um colega de classe, vocês fizeram

respostas iguais?

8. A que conclusão vocês chegaram?

9.5. 2 Considerações sobre a atividade

No decorrer da aula, de acordo com a turma, é necessário que se

discuta com os estudantes qual o significado dos termos: a prazo, à vista,

entrada, prestações. A partir de perguntas, pode-se discutir o que eles

entendem por esses termos, e caso haja necessidade, intervir com explicações

mais claras ou propor que os mesmos pesquisem sobre o assunto.

A partir de operações, é possível explorar os números relacionados,

trabalhando seu valor posicional, a leitura e escrita e as ordens e classes.

9.5. 3 Sugestão de outras atividades

45

1. (LELLIS, 1994) O caixa de um banco tem em sua gaveta 25 notas de

R$50,00, 40 notas de R$10,00 e 40 notas de R$5,00. Uma pessoa está

apresentando um cheque de R$1485,00 e o caixa irá pagá-la.

a) No mínimo, quantas notas a pessoa receberá?

b) E no máximo?

2. (VASCONCELOS, 2002) Tenho R$10,00 a mais do que você. Se eu lhe der

R$2,00, com quanto ficarei a mais que você?

3. (GRASSESCHI, 1999) Escreve 15 números entre 100 e 3000:

a) Coloque-os em ordem crescente.

b) Escreva o antecessor de cada um dos números.

c) Coloque os antecessores em ordem decrescente.

9.6 Avaliação

Além da observação feita no decorrer da aula, em relação ao

preenchimento dos cheques, aos cálculos e às interpretações dos problemas, é

possível pedir aos estudantes que construam outros problemas a partir de

panfletos de ofertas e que os mesmos ou solucionem esses problemas, ou os

troquem com os colegas no decorrer da resolução.

9.7 Referências Bibliográficas

GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA,

Aparecida Borges Dos Santos. PROMAT: Projeto Oficina de Matemática. São

Paulo, FTD, 1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São

Paulo, Editora Scipione, 1994.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo, Editora do Brasil, 2002.

46

ATIVIDADES PARA O

1º ANO

DO

ENSINO MÉDIO

47

10. PROBLEMAS DA 2ª OLIMPÍADA DAS ESCOLAS PÚBLICAS PARA O

ENSINO MÉDIO

10.1 Objetivos

10.1.1. Geral

• Revisar conteúdos abordados ao longo do Ensino Fundamental.

10.1.2 Específicos:

• Efetuar operações com os números racionais.

• Solucionar equações do 1º e do 2º graus.

• Determinar a razão entre dois números.

• Reconhecer duas grandezas diretamente proporcionais.

• Calcular os termos desconhecidos em sucessões de números

diretamente proporcionais.

• Efetuar operações com polinômios.

• Compreender e calcular os produtos notáveis.

• Calcular algebricamente a área de figuras planas.

• Calcular o comprimento de uma circunferência.

10. 2 Conteúdos abordados

Operações com os números racionais, regra de três, proporcionalidade,

área de figuras planas: quadrado, retângulo e triângulo, medidas de tempo,

produtos notáveis, polinômios, perímetro, teorema de Pitágoras, equações do

1º e do 2º graus, comprimento de uma circunferência.

10. 3 Metodologia

Resolução de Problemas.

10. 4 Materiais

Problemas do Banco de Questões da 2ª Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Pública.

10. 5 Desenvolvimento da Aula

48

� Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos

problemas a seguir:

1. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância

entre o terceiro e o sexto poste é de 3,3m. Qual o comprimento da cerca?

2. O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos

de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos

tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar?

3. Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite.

Na casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente; com os

tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas

noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas?

4. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio: “Compre um e

leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer

oferecendo o mesmo desconto percentual é:

a) “Leve dois e pague um”

b) “Leve três e pague um”

c) “Leve três e pague dois”

d) “Leve quatro e pague três”

e) “Leve cinco e pague quatro”

5. Um retângulo está dividido em e regiões, duas delas com áreas 24 cm2 e 13

cm2 conforme indicado na figura. Qual é a área da outra região?

6. Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte

minutos; já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8

49

braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12

h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir

o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?

7. Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a+b e o menor

lado a.

Qual a área da região em pintada?

8. O perímetro de um retângulo é 100 cm e a diagonal mede x cm. Qual é a

área do retângulo em função de x? (pág 67)

9. Se eu der duas barras de chocolate para Tião, ele me empresta sua bicicleta

por 3 horas. Se eu lhe der 12 bombons, ele me empresta a bicicleta por 2

horas. Amanhã, eu lhe darei uma barra de chocolate e 3 bombons. Por quanto

tempo ele me emprestará a bicicleta? (pág. 85)

10. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular

de raio 100m. Para percorrer aproximadamente 42 km, o número de voltas que

André precisa dar está entre:

a) 1 e 10

b) 10 e 50

c) 100 e 500

d) 500 e 1000

� Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo

possam pensar sobre a situação recebida;

50

� Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e

discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo

problema;

� Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução,

podendo-se utilizar de dramatização ou a forma como preferirem;

10. 6 Considerações sobre a atividade

É necessário que os estudantes tenham um tempo suficiente para

pensar, e, no momento em que as duplas com problemas iguais se juntam, é

preciso que os mesmos vejam a situação como reforços para se pensar sobre

o problema.

A todo o momento, o professor se faz necessário pelos grupos. Por

meio de perguntas, deve levar os estudantes a pensar sobre a situação. Em

algumas circunstâncias, uma pergunta não é suficiente, então o professor deve

ser fazer presente por meio de uma dica ou mesmo uma restrição sobre o

problema.

A riqueza de uma aula como essa, está principalmente no momento da

correção e discussão sobre os problemas, oportunidade na qual os estudantes

poderão rever conceitos, pesquisar sobre novos conteúdos e principalmente

apresentar diversos tipos de soluções para um mesmo problema, o que os

levará a perceber que os problemas são passíveis a diferentes formas de

solução.

10. 7 Avaliação

A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento

das duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da

atividade; também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os

estudantes argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.

Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas

o levantamento de hipóteses, as discussões, a boa vontade, as tentativas e a

busca pela resolução do problema.

10. 8 Referências Bibliográficas

51

OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas

Públicas.Brasília, 2005.

52

11. ÁREA MÁXIMA E FUNÇÃO QUADRÁTICA

11. 1 Objetivos

11. 1. 1 Objetivo Geral:

Reconhecer a Matemática como ferramenta de trabalho para a

resolução de problemas do dia a dia.

11.1.2 Objetivos Específicos:

• Calcular a área de diversas figuras planas;

• Utilizar o Teorema de Pitágoras e a fórmula de Herão;

• Reconhecer o número π e calcular o comprimento de uma

circunferência;

• Construir tabelas com valores para comprimento, largura,

perímetro e área do retângulo;

• Compreender a condição de existência de um triângulo;

• Calcular a área máxima de um retângulo em função do seu

perímetro;

• Escrever e interpretar a lei de formação de uma função;

• Construir gráficos;

• Localizar e calcular o vértice de uma parábola;

11. 2 Conteúdos

Possíveis conteúdos abordados, de acordo com o desenvolvimento da

aula:

• Valor máximo e valor mínimo;

• Cálculo de área;

• Comprimento, largura e altura;

• Teorema de Pitágoras;

• Fórmula de Herão;

• Função;

• Plano cartesiano;

• Construção de gráficos;

53

• Número irracional ;

• Vértice de uma parábola;

11. 3 Metodologia

Resolução de Problemas.

11. 4 Materiais

Régua, esquadro, compasso e papel quadriculado.

11. 5 Desenvolvimento

PROBLEMA: Uma escola ganhou como doação, uma tela de 60m de

comprimento. A direção resolveu, então, cercar um terreno que tivesse a maior

área possível, para fazer experiências com plantas. Como pode ser esse

terreno? Quais são as dimensões?

� Proporcionar um tempo para que os estudantes, em grupo,

possam pensar sobre a situação;

� Perguntar qual a forma que cada grupo pensou para o cercado;

� Fazer no quadro, um levantamento das possíveis formas:

triângulo, quadrado, hexágono, retângulo, círculo, etc;

� Propor para que cada grupo faça o cálculo de uma das possíveis

formas para o cercado;

� Pedir para que cada grupo compartilhe com a turma a área

encontrada;

� No decorrer do trabalho, é possível, conduzir os estudantes a

trabalharem com a classificação de triângulos, a fórmula de Herão, condição de

existência de triângulos, entre outros conteúdos. Esse processo deve ser feito

por meio de perguntas, como a que segue:

Será que com 60 m eu posso formar triângulos com quaisquer medidas?

Existe alguma condição de existência para o triângulo?

54

PROBLEMA: Em reunião realizada na escola, os professores de Ciências e

Biologia alegaram que, devido ao tipo de canteiros que eles queriam construir,

o cercado deveria ser na forma de um retângulo. Portanto, quais as medidas do

retângulo com perímetro 60m que possui a maior área?

� Cada grupo se encarregará de fazer um novo cálculo, com

valores quaisquer para o comprimento e a largura do retângulo.

� Para descobrir quais podem ser as medidas dos lados do

cercado, pode-se propor a construção de uma tabela para a sistematização dos

resultados obtidos por cada grupo. A partir da tabela, pode-se propor a

construção do gráfico, onde x representa o comprimento e y a área do

retângulo.

� Questão que pode ser proposta, para reflexão:

Um quadrado também pode ser chamado de retângulo?

� Após as discussões e a confecção do gráfico, pode-se propor a

seguinte questão:

E se já tivéssemos um muro e quiséssemos fazer um

cercado encostado nesse muro, ou seja, economizando um dos

lados do retângulo. Qual seria a nova área?

11. 6 Outros problemas

1. (OBMEP, 2006) Se os dois lados de um triângulo medem 5cm e 7cm, então

o terceiro lado não pode medir:

a) 11 cm

b) 10 cm

c) 6 cm

d) 3 cm

55

e) 1 cm

2. (DANTE, 2004) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela

fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo

total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que

R(x) = 6000x – x2 e C(x) = x2 – 2000x. Nessas condições, qual deve ser a

produção x pra que o lucro da empresa seja máximo?

3. (DANTE, 2004) Um projétil da origem O(0,0), segundo um referencial dado,

percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2,4).

Escreva a equação dessa trajetória.

4. (OBMEP, 2006) Em um restaurante, qual família come mais pizza: aquela

que pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas médias

de 30 cm de diâmetro?

5. Qual a soma de dois lados de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é de 24

cm?

6. (DANTE, 2004) Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca. Com

ele pretendo fazer um cercado retangular de 26m2 de área. Quanto devem

medir os lados desse retângulo?

11. 7 Avaliação

A avaliação poderá ser feita de maneira contínua, a todo o momento:

presença, participação nas atividades desenvolvidas no decorrer da aula,

interesse e desempenho.

Como trabalho final, poderia ser a resolução do último problema, o qual

deve ser entregue na próxima aula, bem como um relato da aula.

11. 8 Referências Bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora

Ática, 2004.

56

OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das

Escolas

Públicas, 2006.

57

12.SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI 12.1 Objetivos

• Compreender o significado do número φ .

• Verificar a beleza e a harmonia por meio da Matemática.

• Identificar seqüências numéricas.

• Solucionar equações do segundo grau.

• Construir gráficos.

• Fazer construções geométricas com régua e compasso ou com o

software Cabri II.

12.2 Conteúdos abordados

Medidas, proporções, seqüências, equações do 2º grau, funções,

números irracionais, desenho geométrico, soma dos termos de uma seqüência,

número φ , retângulo áureo.

12.3 Metodologia

Resolução de Problemas e Atividade de Investigação.

12.4 Materiais

Livros, revistas e internet para pesquisa, régua e compasso ou o

software Cabri 2d.

12.5 Desenvolvimento da Aula

� No decorrer da aula, diversos problemas aparecem, é necessário

disponibilizar tempo para que os estudantes pensem sobre a situação, só para

então, depois, por meio de questionamentos, oferecer as soluções, caso essas

não sejam apresentadas pelos estudantes.

Seqüência de Fibonacci

58

http://cidadaodomundo./Fibonacci.gif

Leonardo de Pisa, de acordo

com Bongiovanni (1994), conhecido

como Leonardo Fibonacci (filho de

Bonacci), viveu no século XIII,

tornando-se famoso pelos seus

conhecimentos matemáticos.

Um dos seus problemas mais famoso é assim proposto:

“Um casal de coelhos torna-se produtivo depois de dois meses de

vida. A partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando

com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais teremos

ao final de um ano?”

Mês: jan fev mar abr mai jun ...

Pares: 1 1 2 3 5 8 ...

Fonte: http://www.jimloy.com/algebra/rabbits.gif

� Observe os números formados por essa seqüência, existe alguma

relação entre eles?

Os números formados pelos pares de coelho: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... formam,

nessa ordem, a seqüência de Fibonacci.

59

� Qual o próximo termo dessa seqüência? Qual sua lei de formação?

Observando atentamente essa seqüência, percebemos que, a partir do

terceiro, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, podemos

escrever a seqüência de Fibonacci até onde quisermos:

Mês jan fev mar abri mai jun jul ago set out nov dez ...

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

Esta seqüência tem uma característica especial, denominada

recursividade:

• O 1º termo somado com o 2º termo gera o 3 º termo;

• O 2º termo somado com o 3º termo gera o 4 º termo;

• O 3º termo somado com o 4º termo gera o 5 º termo;

• E assim sucessivamente...

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de

coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:

u(1) + u(2) = u(3)

u(2) + u(3) = u(4)

u(3) + u(4) = u(5)

u(4) + u(5) =

u(6)

M M M

u (n – 1) + u (n) = u

(n + 1)

Portanto, depois de um ano teremos 144 pares de coelho, sendo o

primeiro par, que deu origem e mais os 143 pares produzidos.

Será que a seqüência de Fibonacci aparece

em outras situações da vida?

São diversas as aplicações, segundo Sodré (2005), em que

encontramos a Seqüência de Fibonacci, entre elas:

• estudo genealógico de coelhos;

60

• estudo genealógico de abelhas;

• comportamento da luz;

• comportamento de átomos;

• crescimento de plantas;

• probabilidade e Estatística;

• curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho),

galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, rabo do cavalo

marinho, onda no oceano, furacão, etc.

� Na seqüência de Fibonacci existe um fato curioso! Descubra qual é essa

fato, fazendo as divisões de cada termo pelo seu antecessor:

)(

)1(

nF

nF +

Razão

1

1

1

1

2

2

2

3

1,5

3

5

1,666...

5

8

1,6

8

13

1,625

13

21

1,615

21

34

1,619

M M

Quando colocamos essas razões sucessivas em um gráfico em que o

eixo horizontal indica o elementos da seqüência de Fibonacci, fica , observe o

que acontece com a razão:

61

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como

Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela

letra grega Phi.

Phi = φ = 1.618033988749895

O número irracional Phi φ , de acordo com Teramon (2007), recebeu

esse nome em homenagem ao arquiteto e escultor grego Phidias, o qual foi

responsável pelo Pathernon.

� Agora, faça o contrário, encontre as razões entre um número da

seqüência de Fibonacci e seu sucessor. Veja o que acontece:

)(

)1(

nF

nF +

Razão

(aproximada)

1

1

1

2

1

O,5

3

2

0,666...

5

3

0,6

8

5

0,625

13

8

0,615

62

21

13

0,619

34

21

0,617

M M

Dessa vez, obtém-se a razão que se aproxima do número ϕ , que

equivale a 0.618033988749895.

ϕ = 0.618033988749895

Obtendo os números φ e ϕ geometricamente

e numericamente

Dado um segmento AB, como dividi-lo em duas partes?

Para essa pergunta, há infinitas respostas, porém, para que a divisão

seja harmoniosa, segundo Teramon (2007), é imposta a seguinte regra:

Menor

Maior

Maior

Todo=

A) Obtendo x geometricamente:

x

x

x −=

1

1

xx −= 12

xx −= 12

12 =+ xx (completando quadrados:)

4

11

4

12 +=++ xx ⇒ 2

2

2

2

11

2

1

+=

+x

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

63

22

2

2

1

2

11

+=

+ x

222acb =+ , onde 1 e

2

1 são os catetos e

2

1+x é a hipotenusa.

Construção: 1º Marcar AB= u; 2º Traçar mediatriz de AB, obtendo o ponto C; 3º Traçar perpendicular em B e transferir a medida 1/2u, marcando D; 4° Unir A e D; 5º Transportar medida 1/2u (BD) marcando E; 6º Medida AE = x

B) Obtendo x numericamente:

12 =+ xx

012 =−+ xx

2

15

2

51' −=

+−=x ⇒ ϕ== ...6180,0'x

2

15

2

15

2

51''

+=

−−=

−−=x ⇒ φ== ...6180,1"x

Retângulo de Ouro

O retângulo de ouro ou retângulo áureo, construído a partir do número

de ouro, é considerado o mais harmonioso dentre as formas retangulares, e é

utilizado em diversas obras de arte.

De acordo com Santos (2006), nas ruínas do Pathernon, templo grego

construído no século V a. C, e na mais notável e conhecida obra do pintor

italiano Leonardo da Vinci, a Mona Lisa, pode-se verificar a existência do

retângulo áureo.

64

Fotos: http://www.unicamp.br/unicamp

O retângulo de ouro obedece às seguintes proporções:

A partir de dois quadrados de lado 1, é possível fazer uma construção

com retângulos áureos, utilizando a seqüência de Fibonacci:

São construídos diversos quadrados com lados cujos comprimentos

possam ser expressos por termos sucessivos da seqüência de Fibonacci, e,

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