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UFS Curso de Economia Prof. Msc. Patrícia Pugliesi Carneiro Material Didático de Apoio Página 1 Material Didático de Apoio INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS 1.1 INTRODUÇÃO Podemos compreender o conceito de derivadas como sendo as alterações da variável dependente de uma função originada por cada unidade de variação na variável independente, calculadas a partir de intervalos infinitesimais desta última. Sua aplicação na economia se da tanto nas análises acerca das relações entre as variáveis econômicas quanto nos exercícios de estática comparativa. Taxa média de variação Seja uma função definida num conjunto D e 0 e 0 + dois pontos de D. Quando a variável passa do valor 0 para o valor 0 + sofrendo uma variação , o correspondente valor da função passa de ( 0 ) para o valor ( 0 + ) sofrendo, portando, uma variação. = ( 0 + ) - ( 0 ) 1.2 SÍMBOLOGIAS OU NOTAÇÕES Como em um estágio inicial de aprendizado, trataremos apenas de funções de uma variável e visando facilitar o entendimento do aluno, as funções dessa parte da obra serão apresentadas na forma y em função de x, ou seja, = () . Assim a notação utilizada será ou ()que significam a 1ª derivada da função. No entanto é relevante o discente assimilar que simbologia da função derivada pode ser apresentar de diferentes formas: ( notação de Leibniz) ()Todas essas simbolizando a primeira derivada. Ou ainda na forma “marginal” (Mg), comum na economia aplicada, a exemplo: CMg = custo marginal ( 1ª derivada do custo total) RMg = receita marginal ( 1ª derivada da receita total) Razão Incremental

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Material Didático de Apoio

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE DERIVADAS

1.1 INTRODUÇÃO

Podemos compreender o conceito de derivadas como sendo as alterações da variável

dependente de uma função originada por cada unidade de variação na variável independente,

calculadas a partir de intervalos infinitesimais desta última.

Sua aplicação na economia se da tanto nas análises acerca das relações entre as variáveis

econômicas quanto nos exercícios de estática comparativa.

Taxa média de variação – Seja uma função definida num conjunto D e 𝑥0e 𝑥0 + ∆𝑥 dois

pontos de D. Quando a variável 𝑥 passa do valor 𝑥0 para o valor 𝑥0 + ∆𝑥 sofrendo uma

variação ∆𝑥 , o correspondente valor da função passa de 𝑓(𝑥0) para o valor 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥)

sofrendo, portando, uma variação.

∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) - 𝑓(𝑥0)

1.2 SÍMBOLOGIAS OU NOTAÇÕES

Como em um estágio inicial de aprendizado, trataremos apenas de funções de uma

variável e visando facilitar o entendimento do aluno, as funções dessa parte da obra serão

apresentadas na forma y em função de x, ou seja,𝑦 = 𝑓(𝑥) . Assim a notação utilizada será 𝑦′ ou 𝑓(𝑥)′ que significam a 1ª derivada da função.

No entanto é relevante o discente assimilar que simbologia da função derivada pode ser apresentar

de diferentes formas:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 ( notação de Leibniz)

𝑦′ 𝑓(𝑥)′

Todas essas simbolizando a primeira derivada.

Ou ainda na forma “marginal” (Mg), comum na economia aplicada, a exemplo:

CMg = custo marginal ( 1ª derivada do custo total)

RMg = receita marginal ( 1ª derivada da receita total)

Razão Incremental

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O quociente ∆𝑦

∆𝑥=

𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)

∆𝑥 recebe o nome de taxa média de variação da função

quando 𝑥passa do valor 𝑥0 para o valor 𝑥0 + ∆𝑥 e expressa a variação média pelos valores da

função entre estes dois pontos, permitindo avaliar a variação de 𝑦 dada a variação de 𝑥 .

∆- variação; 𝒙𝟎- valor inicial; 𝒙𝟏- valor final; f(x) - função

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1.3 REGRAS BÁSICAS DE DERIVADAS

1.3.1 – REGRA DA FUNÇÃO CONSTANTE

A derivada de uma função constante, a qual não possui nenhuma variável, é zero.

Exemplos:

𝒚 = 𝟏𝟎

𝒚′ = 𝟎

𝒚 = −𝟕

𝒚′ = 𝟎

𝑪𝑭 = 𝟎,𝟓

𝑪𝑭′ = 𝟎

1.3.2 – REGRA DA FUNÇÃO POTÊNCIA

A derivada de uma função cuja variável está elevada a um expoente diferente de zero

(função exponencial) é obtida descendo o valor do expoente para a frente da função que fica

multiplicado pela variável elevada ao mesmo expoente subtraído de uma unidade.

Exemplos:

𝑦 = 𝑥3 𝑦′ = 3𝑥2

𝑦 = 𝑥−6

𝑦′ = −6𝑥−7

𝑦 = 𝑥1

2

𝑦′ =1

2𝑥−1

2

𝑦 = 𝐾 𝑦′ = 0

𝒚 = 𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒏 ∗ 𝒙𝒏−𝟏

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1.3.3 – REGRA DA POTÊNCIA COM UMA CONSTANTE MULTIPLICATIVA

É uma variante da regra anterior apenas contendo um escalar a ser multiplicado pela

potência ao descer para frente da variável. Segue a regra anterior.

Exemplo:

𝑦 = 5𝑥4

𝑦′ = 20𝑥3

𝑦 = −3𝑥−4

𝑦′ = 12𝑥−5

1.3.4 – REGRA DO PRODUTO

Dado o produto entre duas funções (polinomiais). Identifica-se uma função f(x) como

primeira (1ª) e a outra função g(x) como segunda função (2ª). Então a função derivada é

obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra mais a 1ª função na

íntegra, vezes a derivada da 2ª função.

Exemplos:

𝑦 = 9𝑥2 − 2 ∗ (3𝑥 + 1)

𝑓 𝑥 = 9𝑥2 − 2 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 1

𝑓 ′ 𝑥 = 18𝑥 𝑔′ 𝑥 = 3

𝑦′ = 18𝑥 ∗ 3𝑥 + 1 + 9𝑥2 − 2 ∗ (3)

𝑦′ = 54𝑥2 + 18𝑥 + 27𝑥2 − 6

𝑦′ = 81𝑥2 + 18𝑥 − 6

𝒚 = 𝑲𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒌 ∗ 𝒏𝒙(𝒏−𝟏)

𝒚 = 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈 (𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈′(𝒙)

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1.3.5 – REGRA DO QUOCIENTE

Dada uma função racional. Identifica-se a função do numerador, f(x), como primeira

(1ª) e a outra função do denominador, g(x), como segunda função (2ª). Então a função

derivada é obtida pela operação: derivada da 1ª função vezes a 2ª função na íntegra menos a 1ª

função na íntegra, vezes a derivada da 2ª função, tudo isso dividido pela 2ª função elevada ao

quadrado.

Exemplo:

𝑦 =(2𝑥 − 3)

(𝑥 + 1)

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑓 ′ 𝑥 = 2 𝑔′ 𝑥 = 1

𝑦′ =2 ∗ 𝑥 + 1 − 2𝑥 − 3 ∗ 1

𝑥 + 1 2=

2𝑥 + 2 − 2𝑥 + 3

𝑥 + 1 2

𝑦′ =5

𝑥 + 1 2

1.3.6 – REGRA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função derivada de uma função exponencial de base será obtida pelo produto entre a

derivada a função que se encontra no expoente pela própria base elevada a função na íntegra.

𝒚 =𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)

𝒚′ =𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒈 𝒙 − 𝒇 𝒙 ∗ 𝒈′(𝒙)

𝒈 (𝒙) 𝟐

𝒚 = 𝒆𝒇(𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒆𝒇(𝒙)

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Exemplo:

𝑦 = 𝑒3𝑥

𝑦′ = 3𝑒3𝑥

1.3.7– REGRA DA FUNÇÃO ln

A derivada de uma função ln é uma função racional no qual o numerador é a derivada

da função e o denominador é a função na íntegra.

Exemplo:

𝑦 = ln( 3𝑥2 + 2𝑥)

𝑦′ =6𝑥 + 2

(3𝑥2 + 2𝑥)

1.3.8 – REGRA DA CADEIA OU REGRA DA FUNÇÃO COMPOSTA

A regra da cadeia é um método de resolução, um artifício a ser utilizado nos seguintes

casos:

Funções compostas;

Polinômios elevados a expoentes altos;

Raiz de polinômios;

Funções racionais.

A idéia básica consiste em chamar parte da função por uma outra variável qualquer (ex:u)

a fim de utilizar as regras básicas da derivação.

Para o caso das funções compostas, tem-se:

𝒅𝒛

𝒅𝒙=𝒅𝒛

𝒅𝒚∗𝒅𝒚

𝒅𝒙

A derivada de Z em relação a variável x corresponde a derivada de Z com relação a y

vezes a derivada de y com relação a x.

𝒚 = 𝐥𝐧 𝒇(𝒙)

𝒚′ =𝒇′(𝒙)

𝒇(𝒙)

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Dadas às funções 𝑧 = 𝑓 𝑦 𝑒𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝒅𝒛

𝒅𝒙=𝒅𝒛

𝒅𝒚∗𝒅𝒚

𝒅𝒙

Ex: Dado 𝑧 = 3𝑦2 𝑒 𝑦 = 2𝑥 + 5, achar 𝑑𝑧

𝑑𝑥:

𝑑𝑧

𝑑𝑦= 6𝑦;

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2

𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦∗𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 6𝑦 ∗ (2)

Substitui o valor de 𝑦 no resultado da equação: 6𝑦 ∗ 2 = 12𝑦 , sendo 𝑦 = 2𝑥 + 5 ,

logo 𝑑𝑧

𝑑𝑥= 12 ∗ (2𝑥 + 5) .

Para os demais casos, chama-se parte da função de u .

Passos:

I. Chama parte da função de u

II. Reescreve a função em termos de u

III. Deriva a função em termos de u usando as regras básicas iniciais

IV. Multiplica pela derivada da parte da função que se chama de u .

𝒅𝒛

𝒅𝒙=𝒅𝒛

𝒅𝒖∗𝒅𝒖

𝒅𝒙

Ex: Dado 𝑧 = 4𝑥3 − 5)4 , achar 𝑑𝑧

𝑑𝑥 :

𝑢 = 4𝑥3 − 5; 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 12𝑥2 𝑧 = 𝑢4;

𝑑𝑧

𝑑𝑢= 4𝑢3

𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑢∗𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 12𝑥2 ∗ 4𝑢3

Substituindo o valor de u no resultado da equação temos: 12𝑥2 ∗ 4(4𝑥3 − 5)3

48𝑥2(4𝑥3 − 5)3

1.3.9 – FUNÇÃO INVERSA

A derivada da função inversa é a inversa da derivada da função

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Ex: achar 𝑑𝑥

𝑑𝑦 de 𝑦 = 𝑒2𝑥2

𝑦 ′ = 4𝑥𝑒2𝑥2, logo

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 1

4𝑥𝑒2𝑥2

1.4 REGRAS TRIGONOMÉTRICAS

1.4.1 – FUNÇÃO SENO

A derivado da função sin𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥)e cos 𝑓(𝑥).

Ex: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 5)

𝑦′ = 3cos(3𝑥 + 5)

1.4.2 – FUNÇÃO COSSENO

A derivada da função cos 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥) e 𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥)

Ex: 𝑦 = cos(4𝑥 + 1)

𝑦′ = −4 cos(4𝑥 + 1)

1.4.3 – FUNÇÃO TANGENTE

A derivada da função tg 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥) e 𝑠𝑒𝑐2𝑓(𝑥) .

𝒅𝒙

𝒅𝒚=

𝟏𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒇(𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒇(𝒙)

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒇(𝒙)

𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝒇(𝒙)

𝒚 = 𝒕𝒈 𝒇(𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒇(𝒙)

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Ex: 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥2 + 1)

𝑦 ′ = 2𝑥𝑠𝑒𝑐2(𝑥2 + 1)

1.4.4 – FUNÇÃO COTANGENTE

A derivada da função 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑓(𝑥).

Ex: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥2 + 𝑥 + 4)

𝑦′ = 2𝑥 + 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥2 + 𝑥 + 4)

𝒚 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒇(𝒙)

𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒇(𝒙)

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1.4.5 – FUNÇÃO SECANTE

A derivada da função sec 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de 𝑓(𝑥) ,a sec𝑓(𝑥) e a 𝑡𝑔 𝑓(𝑥) .

Ex: 𝑦 = sec( 𝑥3 + 𝑥2)

𝑦′ = 3𝑥2 + 2𝑥 ∗ sec( 𝑥3 + 𝑥2) ∗ 𝑡𝑔 (𝑥3 + 𝑥2)

1.4.6 – FUNÇÃO COSSECANTE

A derivada da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑓(𝑥) é o produto entre a derivada de – 𝑓(𝑥), a 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑓(𝑥) e a

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑓(𝑥).

Ex: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (5𝑥2 + 2𝑥 + 10)

𝑦′ = 10𝑥 + 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 5𝑥2 + 2𝑥 + 10 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(5𝑥2 + 2𝑥 + 10)

1.5 DERIVADAS SUCESSIVAS

A segunda derivada é a função derivada obtida a partir da função primeira derivada.

Notações:

𝑓 ′′ 𝑥 ou 𝑦′′ ou 𝑑2𝑓

𝑑𝑥 2 ou

𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2 2ª derivada

𝑓 ′′′ (𝑥) ou 𝑦′′′ ou 𝑑3𝑓

𝑑𝑥 3 ou 𝑑3𝑦

𝑑𝑥 3 3ª derivada

𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒇(𝒙)

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 ∗ 𝐬𝐞𝐜 𝒇(𝒙) ∗ 𝒕𝒈 𝒇(𝒙)

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒇(𝒙)

𝒚′ = −𝒇′ 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒇 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒇(𝒙)

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1.6. APLICAÇÃO PRÁTICA EM ECONOMIA [A. P. E]

As decisões econômicas têm sido cada vez mais orientadas pela matemática, em face

de uma imensa quantidade de dados estatísticos, dependendo de centenas ou mesmo milhares

de variáveis. Nós economistas temos buscado ajuda em métodos matemáticos para descrever

o que está acontecendo, para prever os afeitos de várias políticas alternativas e decidir sobre

estratégias razoáveis entre um enorme número de possibilidades.

A seguir veremos alguns exemplos da aplicabilidade das derivadas dentro da realidade

econômica.

Após aprendermos o conteúdo de Derivadas em termos de matemática pura (MP) é

chegada a hora de visualizarmos onde e como o instrumental de derivadas é utilizado nas

abordagens econômicas de outras disciplinas.

Elasticidade

A elasticidade mede quanto uma variável pode ser afetada por outra, mais

especificamente, é um número que nos informa a variação percentual que ocorrerá em uma

variável como reação a um aumento de um ponto percentual em outra variável. Por exemplo,

a elasticidade-preço da demanda mede quanto a quantidade demandada pode ser afetada por

modificações no preço.

Dada uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥, em dado intervalo

𝑎, 𝑏 , é dada pela relação:

𝐸 =

∆𝑦

𝑦

∆𝑥

𝑥

, 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏

que mede a variação percentual de 𝑦 em relação à variação percentual de 𝑥 . A

elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 é uma maneira de medir a resposta de 𝑦 a variação de 𝑥 , no

intervalo considerado.

Uma dificuldade apresentada pela fórmula é que a elasticidade pode variar para

diferentes pontos do intervalo. Por outro lado, um mesmo ponto 𝑥,𝑦 apresenta elasticidades

distintas, dependendo do intervalo escolhido.

Uma maneira de resolver o problema é tomar o limite de 𝐸 quando ∆𝑥 → 0.

lim∆𝑥 →0

𝐸 = lim∆𝑥→0

𝐸

∆𝑦

𝑦

∆𝑥

𝑥

= lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥∗𝑥

𝑦

Se 𝑦 é derivável no ponto 𝑥, a expressão:

𝐸𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥∗𝑥

𝑦

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Mede a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥, 𝑦 . Pelo fato de ser um valor

marginal,𝐸𝑥 mede a tendência da resposta de 𝑦 a variação de 𝑥.

Se 𝐸𝑥 = 1, diz-se que a elasticidade de 𝑦 em relação a 𝑥 é unitária.

Se 𝐸𝑥 > 1 , diz-se que a curva examinada é elástica em relação ao fator 𝑥.

Se 𝐸𝑥 < 1, a curva é inelástica em relação a este fator.

Ex: Calcular e interpretar o valor da elasticidade da procura:

𝑞 = 12 − 0,4𝑝, ao nível de preço 𝑝 = 5,00

Solução: 𝐸𝑝 =𝑑𝑞

𝑑𝑝∗𝑝

𝑞 , onde

𝑑𝑞

𝑑𝑝= −0,4

Como 𝑝 = 5 → 𝑞 = 12 − 0,4 ∗ 5 = 10

Portanto: 𝐸𝑝 = −0,4 ∗5

10 ou 𝐸𝑝 = −0,2

Interpretação: A tendência da procura é diminuir em 20% a alteração ocorrida no

preço, a partir do nível 𝑝 = 5,00.

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Funções marginais

a. Produto marginal: É o volume de produção adicional gerado ao acrescentar uma

unidade de determinado insumo.

Ex(produção)

: seja 𝑝 = 1,05𝐾2 + 10𝐾 − 0,02𝐾3 a produção (𝑝) de uma empresa em

função do insumo capital (𝐾). Calcular o produto marginal 𝑑𝑝

𝑑𝐾 e interpretar em valor ao nível

𝐾 = 10.

Solução: 𝑑𝑝

𝑑𝐾= 2,1𝐾 + 10 − 0,06𝐾2

Para encontrar o produto marginal é necessário substituir o nível de k na função

produção: 𝑑𝑝

𝑑𝐾= 2,1 10 + 10 − 0,06(10)2

𝑑𝑝

𝑑𝐾= 25

Interpretação: Ao nível 𝐾 = 10, a tendência da produção é aumentar 25 vezes o

acréscimo em 𝐾.

b. Custo marginal: às vezes definido como custo incremental, é o aumento de custo

ocasionado pela produção de uma unidade adicional de produto. Uma vez que o custo

fixo não apresenta variação quando ocorrem alterações no nível de produção da

empresa, o custo marginal é apenas o aumento no custo variável ou o aumento do

custo total ocasionado por uma unidade extra de produto.

Ex(custo)

: seja 𝐶𝑡 = 5000 + 90𝑞 + 30𝑞2 + 4𝑞3 o custo total do mês de uma empresa

com o nível mensal de produção 𝑞. Calcular o custo marginal 𝑑𝑐𝑡

𝑑𝑞 e interpretar esse

resultado ao nível 𝑞 = 100

Solução:

𝑑𝑐𝑡𝑑𝑞

= 90 − 60𝑞 + 12𝑞2

Substituindo valores: 𝑑𝑐𝑡

𝑑𝑞= 90 − 60 ∗ 100 + 12 ∗ (100)2

𝑑𝑐𝑡𝑑𝑞

= 114090

Interpretação: A tendência do custo ao nível q=100 é aumentar 114090

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c. Receita marginal: é o acréscimo na receita total devido à venda de uma unidade

adicional do produto.

𝐸𝑥(𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 ): Seja 𝑅 = 𝑥2 + 200𝑥 + 20 a receita total da venda de x unidades de um produto.

Calcule a receita marginal para 𝑥 = 20.

𝑅′ 𝑥 = 2𝑥 + 200

𝑅′ 20 = 2 ∗ 20 + 200 = 240

Interpretação: Se houver a venda de 21 produtos a receita total aumenta em aproximadamente

R$ 240,00.

d. Lucro marginal: é a variação do lucro devido ao acréscimo de uma unidade na

produção.

𝐸𝑥(𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 ): Seja receita na venda de x unidades do produto: 𝑅 = −0,4𝑞2 + 400𝑞 e Custo de

produção de x unidades do produto: 𝐶 = 80𝑞 + 28000. Calcule o lucro marginal para

𝑥 = 300.

𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜

𝐿 = −0,4𝑞2 + 400𝑞 − 80𝑞 − 28000

𝐿 = −0,4𝑞2320𝑞 − 28000

𝐿′ = −0,8𝑞 + 320

𝐿′ 300 = −0,8 ∗ 300 + 320 = −240 + 320 = 80

Interpretação: Se houver a venda e a produção de 301 unidades do produto o lucro aumenta

em aproximadamente R$ 80,00.

Taxa marginal de substituição

Entende-se por taxa marginal de substituição (TMS) a variação necessária da quantidade

de um bem que compensa a variação da quantidade de outro bem, para que se mantenha

constante o nível de satisfação ou de utilidade do consumidor. Em suma, a necessidade de

compensação entre perdas e ganhos de utilidade, ao se modificarem as combinações dos bens

que nos leva a uma noção de taxa marginal de substituição.

Como essa taxa procura mostrar um sentindo de compensação e como, por hipótese, a

combinação dos bens indica a possibilidade de substituição, para que se mantenha a utilidade

constante, à medida que 𝑦 perde participação, deve-se, reciprocamente, aumentar a

participação de 𝑥. Assim sendo, a taxa marginal de substituição vai sempre relacionar duas

variações, uma delas, porém representando um decréscimo e a outra um acréscimo.

Símbolo: 𝑇𝑀𝑆𝑥𝑦 →𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝑈𝑀𝑔𝑥 / 𝑈𝑀𝑔𝑦𝑜𝑢 𝑇𝑀𝑆 = −

Δ𝑦

Δ𝑥

Onde: −∆𝑦- decréscimo de participação do bem 𝑦 na combinação.

+∆𝑥 - acréscimo da participação do bem 𝑥 na combinação.

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Página 16

I.C: Havendo um sinal negativo no numerador e um positivo no denominador, toda relação passa

a ter sinal negativo, o que representa a inclinação negativa da curva de indiferença.

Ex: Dada a função utilidade 𝑈 = 𝑥 + 𝑦, determine a taxa marginal de substituição de 𝑦 por 𝑥.

Solução: 𝑇𝑀𝑆𝑥𝑦 →𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝑈𝑀𝑔𝑥 / 𝑈𝑀𝑔𝑦 , logo

𝑇𝑀𝑆 = 1 0,5𝑦−0,5

𝑇𝑀𝑆 = 𝑦2

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Página 17

1.7 A RELAÇÃO ENTRE DERIVADAS E OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES DE UMA

VARIÁVEL: MÁXIMOS E MÍNIMOS

1.7.1 – INTRODUÇÃO

Abordagem sobre otimização: escolher a melhor alternativa disponível com base em

critério especificado.

Otimização: Maximização e Minimização

Ex:. aplicação na microeconomia

1.7.2 – INTERVALOS DE CRESCIMENTO E CONCAVIDADE

Obs: Para funções de 2º Grau (Quadráticas).

Para 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Com a > 0, Admite ponto mínimo e concavidade para cima.

Para 𝑦 = −𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Com a < 0, Admite ponto máximo e concavidade para baixo.

1.7.3 – PONTO EXTREMO

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Extremo Absoluto X Extremo Relativo

Ou é um ponto relativo ou um extremo relativo da função – conhecendo todos os pontos

relativos bastará selecionar o mais acentuado entre eles.

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Referência local: o ponto representa um extremo apenas na vizinhança imediata do ponto.

1.7.4 – TESTE DA 1ª DERIVADA

É a CN = Condição Necessária

A 1ª derivada indica a inclinação.

Pontos extremos relativos somente podem ocorrer onde a 1ª derivada for zero. Se o ponto é

extremo significa que uma reta tangente o intercepta neste ponto, então não há declividade.

Não há inclinação nestes pontos.

Ex.: Nos pontos C e D.

𝑓 ′ 𝑥 = 0

Classificação:

- Será um máximo: se o sinal da derivada f’(x) mudar de positivo para negativo da esquerda

para direita imediata.

- Será um mínimo: se o sinal da derivada f’(x) mudar de negativo para positivo da esquerda

para a direita imediata.

- Ponto de inflexões: Nem máximo, nem mínimo. Se o sinal se mantiver o mesmo tanto na

esquerda imediata quanto na direita imediata.

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Obs: um ponto estacionário pode ser um extremo relativo ou um ponto de inflexão. A

importância para as questões de otimização em economia está nos pontos extremos.

Exemplos

I. Achar os extremos relativos de 𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 7 e construir o gráfico:

𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 7

𝑦 ′ = −4𝑥 + 8

𝐶𝑁: − 4𝑥 + 8 = 0

4𝑥 = 8

𝑥 = 2

Substituindo para achar y

𝑦 = −2 ∗ (2)2 + 8 ∗ 2 + 7

𝑦 = −8 + 167 = 15

II. Achar o extremo relativo de 𝑦 = 5𝑥2 + 𝑥 e construir o gráfico:

𝑦 = 5𝑥2 + 𝑥

𝑦 ′ = 10𝑥 + 1

𝐶𝑁: 10𝑥 + 1 = 0

10𝑥 = −1

𝑥 = −1

10= −0,1

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Substituindo para achar y

𝑦 = 5 ∗ − 1

10

2

+ −1

10

𝑦 = −5

100−

1

10= −

5

100−

10

100= −

15

100= −0,15

III. Achar os extremos relativos da função e construir o gráfico:

𝑦 = 𝑥3 − 12𝑥2 + 36𝑥 + 8

𝑦′ = 3𝑥2 − 24𝑥 + 36

𝐶𝑁: 3𝑥2 − 24𝑥 + 36 = 0

𝑥 =24 ± (24)2 − 4 ∗ 3 ∗ (36)

6=

24 ± 576 − 432

6=

24 ± 144

6

𝑥 =24 ± 12

6

𝑥1 = 6 𝑒 𝑥 2 = 2 Substituindo para achar y

Para 𝑥 = 6: (6)3 − 12 ∗ (6)2 + 36 ∗ 6 + 8

= 216 − 432 + 216 + 8 = 8

Para 𝑥 = 2: (2)3 − 12 ∗ (2)2 + 36 ∗ 2 + 8

= 8 − 48 + 72 + 8 = 40

1.7.5 – TESTE DA 2ª DERIVADA

𝑓 ′′ 𝑥 𝑜𝑢 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

Mede a taxa de variação da função e informa sobre a curvatura do gráfico. Na verdade a

𝑓 ′′ (𝑥) mede a taxa de mudança da função original.

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É a CS = Condição Suficiente

Se 𝑓 ′′ (𝑥) < 0; concavidade voltada para baixo

Côncava e admite ponto máximo

Se 𝑓 ′′ (𝑥) > 0; concavidade voltada para cima

Convexa e admite ponto mínimo

Exemplos

I. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar:

𝑦 = 𝑥2 − 10

𝑦′ = 2𝑥

𝐶𝑁: 2𝑥 = 0

𝑥 = 0 Substituindo e achando y

𝑦 = (0)2 − 10

𝑦 = −10

𝑦′′ = 2

𝐶𝑆: 2 > 0, logo é um ponto mínimo relativo.

II. Achar as coordenadas do ponto extremo e classificar:

𝑦 = −2𝑥2 + 8𝑥 + 25

𝑦′ = −4𝑥 + 8

𝐶𝑁: − 4𝑥 + 8 = 0 4𝑥 = 8

𝑥 = 2

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Substituindo e achando y

𝑦 = −2 ∗ (2)2 + 8 ∗ 2 + 25

𝑦 = −8 + 16 + 25 = 33

𝑦′′ = −4𝐶𝑆:−4 < 0, logo é um ponto máximo relativo.

Guia Prático

1º: Achar a 1ª derivada

2º: Aplicar a CN: 𝑦 = 0

3º: Achar o(s) valor(es) de x

4º: Substituir para achar y

5º: Aplicar a CS: 𝑦′′2

2 Obs.: Se necessário substituir o valor de x na 2ª derivada.

Se 𝑦′′ > 0 → 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

Se 𝑦′′ < 0 → 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Informações no gráfico:

Valor de x: no Dm (eixo x)

Valor de y: na Im (eixo y)

“c” é o valor no qual o gráfico cota o eixo y. Ponto correspondente às coordenadas do Extremo e auxilia

para traçar a trajetória do gráfico.

1.7.6 – APE – PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Condições para maximizar o lucro

𝜋 = 𝑅 𝑄 − 𝐶 𝑄 𝑜𝑢 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

1ª derivada: é a condição necessária para ser um ponto extremo. 𝑑𝜋

𝑑𝑄= 𝜋′ = 𝑅′ 𝑄 − 𝐶 ′ 𝑄 = 0

𝑅′ 𝑄 → 𝑅𝑀𝑔

𝐶′(𝑄) → 𝐶𝑀𝑔

2ª derivada: é a condição suficiente e para ser máximo a 2ª derivada < 0.

𝑑2𝜋

𝑑𝑄2= 𝜋′′ = 𝑅′′ 𝑄 − 𝐶′′ 𝑄 < 0

𝑅′′ (𝑄) < 𝐶′′ (𝑄)

Ex.: Dados 𝑅 𝑞 = 1000𝑞 − 2𝑞2 e 𝐶 𝑞 = 𝑞3 − 59𝑞2 + 315𝑞 + 2000 . Achar o valor de 𝑞

e do lucro máximo:

𝜋 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞 𝜋 = 1000 − 2𝑞2 − 𝑞3 + 59𝑞2 − 315𝑞 − 2000

𝜋 = −𝑞3 + 57𝑞2 − 315𝑞 − 2000

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1ª Condição: 𝑑𝜋

𝑑𝑞= 0 → −3𝑞2 + 114𝑞 − 315 = 0

=−114 ± (114)2 − 4 ∗ −3 ∗ (−315)

−6=−114 ± 12996 − 3780

. 6

=−114 ± 96

−6

𝑞1 = 35 𝑒 𝑞2 = 3 Substituindo para achar o lucro:

Para 𝑞 = 3: 𝜋 = (−3)3 + 57 ∗ (3)2 − 315 ∗ 3 − 2000

𝜋 = −27 + 513 − 945 − 2000 = −2459 prejuízo

Para 𝑞 = 35: 𝜋 = (−35)3 + 57 ∗ (35)2 − 315 ∗ 35 − 2000

𝜋 = −42875 + 69825 − 11025 − 2000 = 13925 lucro

2ª condição

𝑑2𝑞

𝑑𝑞2= −6𝑞 + 114 < 0

Para 𝑞 = 3: − 6 ∗ 3 + 114 = −18 + 114 = 96

Para 𝑞 = 35:−6 ∗ 35 + 114 = −96

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APÊNDICE A TEOREMA DE L’HOSPITAL:

A regra de L'Hospital, também por vezes denominada regra de Cauchy, tem por

objetivo calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações, ou seja, calcular

limites de formas indeterminadas.

Forma Indeterminada do tipo 𝟎

𝟎 e

Seja 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) e funções diferenciáveis, se 𝑓 𝑥 = 0 𝑒 𝑔 𝑥 = 0 ou lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ∞ e

lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = ∞ .

Diremos que o limite tem a forma indeterminada , se o quociente de funções reais está

definido em um conjunto da forma I – {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou

ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x ≠ a, e .

Diremos que o limite tem a forma indeterminada , se o quociente de funções reais está

definido em um conjunto da forma I – {a} (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou

ponto interior de I), e são contínuas e deriváveis para x ≠ a, e .

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Referências Bibliográficas BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática. São Paulo: Moderna, 1989.

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Janeiro: Elsevier, 2006.

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CRUM, W. L.; SCHUMPETER, Joseph A. Elementos de Matemática para

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GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada:

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MEDEIROS DA SILVA, Sebastião. Matemática para os Cursos de Economia,

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MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a

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TAN, S. T. Matemática Aplicada a Administração e Economia. 2. ed. São Paulo:

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VERAS, Lília L. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, 2011.

WAGNER, Eduardo. Matemática. - Rio de Janeiro: Editora FGV, 2011.