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Unidade 1 - Introdução

Material Mecânica dos Fluidos 1

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Page 1: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 1 - Introdução

Page 2: Material Mecânica dos Fluidos 1

O projeto de meios de transportes, estruturas e sistemas

hidráulicos, requerem o conhecimento e a aplicação dos

princípios da Mecânica dos Fluidos, entre outros, abaixo,

exemplificam-se tais estruturas:

• Aeronaves, barcos, navios, hover-craft, veículos terrestres;

• Edifícios, pontes, estádios, chaminés industriais, canais,

sistemas de tubulações etc.

Escopo da Mecânica dos Fluidos

1

Page 3: Material Mecânica dos Fluidos 1

Definição de Fluido

• É a substância que se deforma de maneira continua ao

sofrer uma tensão de cisalhamento.

• Neste caso, encontram-se os líquidos e os gases.

• A diferença entre um fluido e um sólido fica clara

quando aplica-se a cada um deles uma tensão de

cisalhamento.

2

Page 4: Material Mecânica dos Fluidos 1

Tipos de Fluido

2

Page 5: Material Mecânica dos Fluidos 1

Tipos de Fluido

• A: Fluido ideal, inviscido, ou seja, a tensão de cisalhamento é

nula em qualquer ponto. Considerado em modelos simples de

escoamentos.

B: Dilatante, característico de algumas soluções de açúcar e de

amidos. A viscosidade aumenta com o aumento da taxa de

cisalhamento.

• C: Newtoniano, fluidos mais comuns, água, ar, soluções aquosas,

óleos etc.

D: Pseudo-plásticos, a viscosidade diminui com o aumento da

taxa de cisalhamento. Exemplos: alguns produtos alimentícios,

massas de cerâmica e de cimento.

2

Page 6: Material Mecânica dos Fluidos 1

Tipos de Fluido

• E: Fluido plástico com características de aumento da

viscosidade com aumento da taxa de cisalhamento.

F: O plástico de Bingham, fluido newtoniano com uma

tensão inicial maior que zero. É o comportamento

aproximado de produtos alimentícios com alto teor de

gordura (chocolate, manteiga, margarina); pasta de

dente e massa de modelagem.

• G: Fluido de Casson mostra características plásticas,

com redução da viscosidade no aumento da taxa de

cisalhamento. Exemplo: sangue e iogurtes.

2

Page 7: Material Mecânica dos Fluidos 1

Propriedades Físicas dos Fluidos

• Massa especifica e densidade

A massa específica é a relação entre massa e o volume ocupado por um fluido,

= mf/vf (Kg/m3)

d l = l / H2O

d g = g / ar

• Compressibilidade

É a propriedade que tem a matéria de reduzir seu volume sob a ação de pressões externas. Os líquidos são pouco compressíveis, já os gases são bem mais compressíveis.

• Elasticidade

Líquidos e gases diminuem ou aumentam de volume quando experimentam aumentos ou diminuições de pressão.

3

Page 8: Material Mecânica dos Fluidos 1

Propriedades Físicas dos Fluidos

• Viscosidade

É a propriedade que os fluidos têm em resistir às deformações e, em

conseqüência, ao escoamento, transformando energia cinética em calor.

• Coesão e tensão superficial

A formação de uma gota d’água deve-se a coesão.

A tensão superficial é devida aos líquidos tenderem a adotar formas que

minimizam sua área superficial. E neste caso, uma menor área com uma

mesma força de coesão entre as moléculas, dá origem a tensão

superficial capaz de suportar o peso de certos corpos.

4

Page 9: Material Mecânica dos Fluidos 1

Propriedades Físicas dos Fluidos

• Solubilidade

Os líquidos dissolvem os gases. Por exemplo, a água dissolve

o ar, em proporções diferentes entre o oxigênio e o nitrogênio,

pois o oxigênio é mais solúvel.

• Tensão de vapor

A temperatura de vaporização de um líquido depende da

pressão, a qual este está submetido. Quanto maior for a

pressão, maior será a temperatura de vaporização.

5

Page 10: Material Mecânica dos Fluidos 1

Noções Básicas Equações

• Conservação da Massa;

• Variação da quantidade de Movimento;

• Segunda lei de Newton;

• Equação de estado de gás ideal.

• Sistema, Volume e Superfície de controle

• Sistema de controle – certa quantidade fixa e definida de massa fluida.

• Volume de controle – volume arbitrário do espaço através do qual o fluido escoa.

• Superfície de controle – contorno geométrico do volume de controle.

Método diferencial X Método integral

• Detalhamento do problema X Análise Global 6

Page 11: Material Mecânica dos Fluidos 1

Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades

7

• Denominam-se grandezas básicas as seguintes quantidades físicas:

- Comprimento;

- Massa;

- Tempo;

- Temperatura.

- As unidades são nomes arbitrários que dão magnitude as medidas das grandezas, por exemplo:

- Um tubo com 20 m de comprimento;

- É o mesmo tubo com 65,6 pés.

Page 12: Material Mecânica dos Fluidos 1

Grandezas, Unidades, Medidas e Sistemas de Unidades

8

•Sistemas de Unidades

SI – Sistema Internacional

É o legalmente aceito na maioria dos países.

No SI as unidades das grandezas básicas são as seguintes:

- Massa (Kg);

- Comprimento (m);

- Tempo (s);

- Temperatura (K).

A força é uma grandeza derivada cuja unidade é o Newton (N),

1 N = 1 Kg.m/s2

Além do SI, ainda existem outros sistemas como:

- CGS (sistema métrico absoluto) – g, cm, s, K;

- Sistema Inglês – lbf, lbm, pé, s, Rankine.

Page 13: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 2 – Estática dos Fluidos

Page 14: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

9

•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em repouso

Nessas condições a variação de pressão é proporcional ao peso específico do fluido e à altura da coluna fluida,

p – p0 = -g(z-z0) = g(z0-z), sendo z0-z = h

p = p0 + gh p - p0 = h (Lei de Stevin)

g = peso específico

gdz

dp

z

z

p

p 00

gdzdp

Page 15: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

10

•Equações Básicas – Variação da pressão em fluido incompressível e em repouso

A relação pressão altura é usada para resolver problemas de manometria. Nesse caso, as seguintes regras são úteis:

1. Dois pontos quaisquer, situados à mesma cota e no mesmo líquido em repouso, estão sujeitos à mesma pressão;

2. A pressão aumenta para baixo e ao longo da coluna líquida (pense num mergulho).

Page 16: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

11

•Exercício 1 - No manômetro diferencial da figura, o fluido A é água, B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, qual é diferença de pressão pB – pA? Dados: ƔH2O = 10.000N/m³; ƔHg = 136.000N/m³; Ɣóleo = 8.000N/m³.

Page 17: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

12

Pressões Absoluta e Manométrica

Pressões são expressas em relação a um nível de referência.

Pabsoluta = Pmanométrica +Patmosférica

•Atmosfera-Padrão

- Pressão (P) = 101,3 kPa;

- Temperatura (T) = 288 K (15°C);

- Massa Específica () = 1,225 kg/m3;

- Viscosidade () = 1,781 (Pa.s).

Page 18: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

13

• Empuxo Hidrostático

• Projetos de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos, tais como: Comportas, Válvulas, Barragens, Reservatórios, etc. Necessitam da determinação do empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície submersa.

y

Centro de pressão

Page 19: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

14

• Empuxo Hidrostático

dF = p.dA = .h.dA= .y.sen.dA

é o momento da área em relação à interseção 0.

F = senA sen =

F = A

A A

ydAsendAsenydFF

A

ydA

A

yAydA

y h

h

y

Page 20: Material Mecânica dos Fluidos 1

Estática dos Fluidos

15

• Determinação do centro de pressão

A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.

Onde I é o momento de inércia em relação a 0. Aplicando o teorema de Huygens,

I = I0 + A 2, tem-se que

yyA

Iyy 0

p

Page 21: Material Mecânica dos Fluidos 1

16

•Exercício 2 – Uma caixa d’água de 800 litros mede 1,0 x 1,0 x 0,8. Determinar o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e o seu ponto de aplicação.

Page 22: Material Mecânica dos Fluidos 1

17

Exercício 3 – Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma

lâmina d’água máxima de 9 m. Considerando a seção transversal mostrada

na figura a seguir, com a barragem tendo largura unitária, pede-se

determinar:

a) O empuxo hidrostático sobre a barragem; e

b) A posição do centro de pressão.

Page 23: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 3 – Dinâmica dos Fluidos

Page 24: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Princípio de Conservação da Massa

(kg/s) - fluxo de massa ou vazão mássica

m = Vol m = AL

18

0dt

dM

sistema

21 mm

dt

AdLm

AVm

Page 25: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Princípio de Conservação da Massa

Se o fluido é incompressível, o princípio de conservação da massa resulta em,

*Nota – todas as velocidades das expressões acima são médias nas seções.

Dinâmica dos Fluidos

19

21 mm 222111 AVAV

cteAVAVAV 332211

Page 26: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

20

• Vazão Volumétrica (Q) é o produto da velocidade média pela área ou quociente entre o volume pelo tempo.

ou (m3/s)

Onde:

v– velocidade média (m/s);

V – volume (m3),

A – área (m2);

t – tempo (s).

v.AQ t

VQ

Page 27: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

21

Exercício 4 – Considere o movimento permanente da água ( = 1000 kg/m3) através do dispositivo da figura. As áreas são: A1 = 0,02 m2, A2 = 0,05 m2 e A3 = A4 = 0,04 m2. A massa fluida que sai pela seção 3 vale 57 kg/s. O volume que entra pela seção 4 é de 0,03 m3/s, e V1= 3 î m/s. Admitindo que as propriedades do fluido sejam uniformes em todas as seções, determinar a velocidade média do escoamento na seção 2.

Page 28: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

22

- Exercício 5 – No tubo redutor da figura há uma vazão de 10 ft3/s. Calcule a vazão em m3/s, bem como as velocidades médias nos tubos de 300 mm e 200 mm.

- Exercício 6 – Um tubo de 0,3 m de diâmetro dividi-se em Y em dois ramos de 200 e 150 mm de diâmetro. Se a vazão na linha principal for igual a 0,3 m3/s e se a velocidade média no tubo de 200 mm for igual a 2,5 m/s. Pergunta-se:

a) Qual a velocidade na linha principal?

b) Qual a vazão no tubo de 200 mm?

c) Qual a vazão e a velocidade no tubo de 150 mm?

Page 29: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

23

Exercício 7 – Um depósito cilíndrico de diâmetro D = 0,3 m é drenado por um orifício no fundo. No instante em que a profundidade da água é 0,6 m, a vazão média saindo do tanque é de 4 kg/s. Determinar a taxa de variação do nível d’água e o tempo necessário para que o tanque esvazie-se.

Page 30: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

24

•Equações Diferenciais - Conservação da Massa

Através do volume de controle diferencial em coordenadas retangulares da figura abaixo.

E o princípio de conservação da massa representado pela seguinte equação.

Page 31: Material Mecânica dos Fluidos 1

25

•Equações Diferenciais - Conservação da Massa

Pode-se aplicar o balanço de massa em uma das direções coordenadas. Toma-se, então, a direção “x” e aplica-se a equação anterior,

x

u

x

)x(u)xx(ulim

x

)x(u)xx(u

)tzyx()x(tyzu)xx(tyzu

0x

Page 32: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

26

•Equações Diferenciais - Conservação da Massa

E por analogia nas outras direções, tem-se:

Resta agora, avaliar, a variação de massa no interior do volume de controle, também no tempo t. Neste caso, tem-se:

z

w e

y

v

t

t

)t()tt(lim

t

)t()tt(

)tzyx()t(zyx)tt(zyx

0t

Page 33: Material Mecânica dos Fluidos 1

27

•Equações Diferenciais - Conservação da Massa

E assim, somando-se todas as parcelas deduzidas, tem-se a equação da conservação da massa ou da continuidade em coordenadas cartesianas,

0tz

w

y

v

x

u

Page 34: Material Mecânica dos Fluidos 1

28

Exercício 8 – O amortecedor pneumático da suspensão de um automóvel é cheio de gás e comporta-se como um conjunto pistão-cilindro. No instante t = 0, o pistão está a L = 0,15 m distante da extremidade fechada do cilindro e a massa específica do gás é uniforme e igual a = 18 kg/m3. Repentinamente, o pistão começa a distanciar-se da extremidade fechada com velocidade V = 12 m/s. O movimento do gás é unidimensional e proporcional à distância dessa extremidade. A velocidade varia linearmente de 0 (zero) na extremidade a u = V no pistão. Determinar a expressão da massa específica em função do tempo e sua variação no instante t = 0.

Page 35: Material Mecânica dos Fluidos 1

29

Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à Equação de Bernoulli 1D

- Direção X

Neste caso a segunda lei de Newton pode ser escrita da seguinte maneira

(1)

Onde, pela regra da cadeia, tem-se

, , ,u u x y z t , , , ,v v x y z t e , , ,w w x y z t

xdu

dF dmdt

u u u udu dx dy dz dt

x y z t

Page 36: Material Mecânica dos Fluidos 1

30

A qual, derivada em relação a t, torna-se

(2)

Sendo,

(3)

(4)

dFmx=xyzg (5)

Então, aplicando-se um balanço de forças de superfície no cubo diferencial apresentado a seguir,

x

dua

dt x

u u u ua u v w

x y z t

dm x y z

sxx mxdF dF dF

Page 37: Material Mecânica dos Fluidos 1

31

Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à Equação de Bernoulli 1D

(6)

xx xx

s yx yx

zx zx

x x y z x y z

dF y y x z y x z

z z x y z x y

Page 38: Material Mecânica dos Fluidos 1

32

Assim, substituindo (6) e (5) em (4) e depois (4), (3) e (2) em (1) e dividindo por xyz, tem-se

Fazendo x,y e z 0, tem-se

yx yxxx xx zx zxy y yx x x z z z

x y z

x

u u u ug u v w

x y z t

yxxx zxx

u u u ug u v w

x y z x y z t

Page 39: Material Mecânica dos Fluidos 1

33

E reaplicando-se a metodologia apresentada para as direções y e z, respectivamente, tem-se

- Equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos (Água e Ar)

xy yy zy

y

v v v vg u v w

x y z x y z t

yzxz zzz

w w w wg u v w

x y z x y z t

2 2 2

2 2 2x

u u u u p u u uu v w g

t x y z x x y z

2 2 2

2 2 2y

v v v v p v v vu v w g

t x y z y x y z

2 2 2

2 2 2z

w w w w p w w wu v w g

t x y z z x y z

E reaplicando-se a metodologia apresentada para as direções y e z, respectivamente, tem-se

- Equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos (Água e Ar)

Page 40: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

34

Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à Equação de Bernoulli 1D

- Equação de Euler

Considerando-se nas equações de Navier-Stokes: fluido incompressível e invíscido (=0), este último também chamado de fluido ideal ou perfeito; e regime permanente, tem-se as Equações de Euler, que aqui é apresentada somente na direção x,

x

u u u pu v w g

x y z x

Page 41: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

35

- Equação de Bernoulli

x

u pu g

x x

x x

u dpu g dx

x x

xudu g dx dp 0 xg dx dp udu

2

2x

p ug x cte

2

ou2

p vgz cte

Tomando a coordenada vertical z, tem-se:

Page 42: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

36

Da Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 3D à Equação de Bernoulli 1D

- Equação de Bernoulli

Válida para :

-Regime permanente;

-Escoamento de fluido incompressível;

-Escoamento invíscido;

-Escoamento ao longo de uma linha de corrente. Tubos se aproximam bem disso.

-Uma das principais aplicações da equação de Bernoulli é sobre dois pontos de uma linha de corrente

2

2

p vgz cte

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p V p Vgz gz

Page 43: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

37

• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação

Exercício 9 – Um tubo em U funciona como sifão. A curva deste tubo está a 1 m acima da superfície da água e a saída situa-se a 7 m abaixo da mesma superfície. Se o escoamento, em primeira aproximação, processa-se com atrito nulo, e o jato de saída é livre à pressão atmosférica, determinar a velocidade do jato livre e a pressão absoluta do fluido ao escoar pela curva.

Page 44: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

38

• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação

Exercício 10 – Água flui sob uma comporta instalada à entrada de um canal de leito horizontal. Na face a montante, o nível d’água está a 1,5 ft de altura e a velocidade é desprezível. Na seção contraída, sob a comporta, as linhas de corrente são retas e a profundidade d’água mede 2 in. A pressão distribui-se hidrostaticamente e o escoamento pode ser considerado uniforme em cada seção. O atrito é desprezível. Determinar a velocidade do escoamento a jusante da comporta e a vazão por unidade de largura.

Page 45: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

39

• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação

Exercício 11 – Um tubo de Pitot é utilizado para medir a velocidade do fluxo de ar (em CNTP) em uma tubulação. A inserção do tubo é feita de modo que fique apontado para montante, medindo, portanto, a pressão de estagnação. A pressão estática é medida na mesma seção de escoamento por meio de uma tomada na parede. Se a diferença dessas pressões for de 30 mm de mercúrio, determinar a velocidade do escoamento.

Page 46: Material Mecânica dos Fluidos 1

Dinâmica dos Fluidos

40

• Equação de Bernoulli – exercícios de aplicação

Exercício 12 – Em movimento permanente água escoa verticalmente por um tubo de 0,1 m de diâmetro e sai por um bocal com 0,05 m de diâmetro descarregando na atmosfera. A velocidade da corrente à saída do bocal deve ser de 20 m/s. Calcular a pressão manométrica necessária na seção 1, supondo que os efeitos do atrito possam ser desprezados.

Page 47: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 4 – Escoamento em Condutos

Forçados

Page 48: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Número de Reynolds

Na década de 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britânico, estudou a transição entre o escoamento laminar e o turbulento em um tubo. Ele descobriu a seguinte relação chamada de Número de Reynolds,

Re = VD/ = VD/, sendo = /

onde:

Re – número de Reynolds (-);

- viscosidade dinâmica (N.s /m2);

- viscosidade cinemática (m2/s);

De maneira geral,

Re = VL/

Sendo L, o comprimento característico descritivo do campo do escoamento.

O número de Reynolds é a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.

Grandes números de Reynolds caracterizam escoamentos turbulentos.

Pequenos números de Reynolds caracterizam escoamentos laminares.

41

Page 49: Material Mecânica dos Fluidos 1

Escoamentos em Condutos Forçados

42

• Escoamento laminar – é aquele em que o fluido escoa em lâminas ou camadas; não ocorre mistura macroscópica de camadas adjacentes de fluido.

• Escoamento Turbulento – é aquele em que as partículas do fluido têm trajetórias irregulares, causando uma transferência de quantidade de movimento entre as camadas fluidas, fazendo com que estas desapareçam.

A diferença qualitativa entre os dois escoamentos supracitados, pode ser observada através da experiência de Reynolds mostrada esquematicamente a seguir,

Page 50: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perda de carga em dutos circulares

Um fluido, ao escoar, transforma parte de sua energia em

calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de

energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se

perda de carga, expressa por unidade de massa de fluido

escoante (J/kg) ou por (m).

• Cálculo da perda de carga

A perda de carga total, ht, é a soma das perdas de carga

contínuas, hc, devidas ao atrito, mais as perdas de carga

localizadas, hl, devidas a acessórios e mudanças de

seção.

Perda de Carga

43

Page 51: Material Mecânica dos Fluidos 1

•Perdas de carga contínuas

- Escoamento laminar

(J/kg) ou (m)

- Escoamento Turbulento – Equação Universal

(J/kg) ou (m)

Perda de Carga

44

D2Re

VL64h

2

cgD2Re

VL64h

2

c

D2

VLfh

2

cgD2

VLfh

2

c

Re

64f arminla

Page 52: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito - Diagrama de Moody

45

Page 53: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito

- Fórmula de Swamee e Jain

Perda de Carga

46

Page 54: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais

47

Page 55: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito - Rugosidade dos materiais

48

Page 56: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito

• Natureza das paredes dos tubos

Analisando-se a natureza ou rugosidade das paredes dos tubos,

devem ser considerados:

a) O material empregado na fabricação dos tubos;

b) O processo de fabricação, rebitado ou soldado;

c) O estado e conservação das paredes dos tubos;

d) A existência de revestimentos especiais;

• Alterações na superfície interna do tubo

Perda de Carga

49

Page 57: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Determinação do fator de atrito

• Influência do envelhecimento dos tubos

Com o decorrer do tempo e em consequência dos fatores já

apontados, a capacidade de transporte de água das tubulações de

ferro fundido e aço (sem revestimentos especiais) vai diminuindo.

Os tubos não metálicos costumam apresentar capacidade

constante ao longo do tempo, a menos que ocorra algum

fenômeno de incrustação específica, o mesmo ocorrendo com os

tubos de cobre.

Perda de Carga

50

Page 58: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas

Adicionalmente às perdas de carga contínuas, que ocorrem ao

longo das tubulações, têm-se perturbações localizadas,

denominadas perdas de carga localizadas, causadas por curvas,

junções, válvulas, reduções, medidores, etc.

Nas instalações hidráulicas prediais, a perda de carga localizada é

mais importante do que a perda de carga contínua, devido ao

grande número de conexões e aparelhos, relativamente ao

comprimento da tubulação. Entretanto, no caso de tubulações

muito longas, com vários quilômetros de extensão, como nas

adutoras, a perda carga localizada pode ser desprezada. As

perdas de carga localizadas podem ser expressas por:

(J/kg) ou (m)

Perda de Carga

51

2

VKh

2

l g2

VKh

2

l

Page 59: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas

O coeficiente K é dado para cada tipo de acidente. As

perdas localizadas podem também ser expressas por:

(J/kg) ou (m)

Perda de Carga

52

D2

VLfh

2e

l gD2

VLfh

2e

l

Page 60: Material Mecânica dos Fluidos 1

•Perdas de carga localizadas com valores de K e Le

53

Page 61: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le

Perda de Carga

54

Page 62: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le

Perda de Carga

55

Page 63: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le

56

Page 64: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Perdas de carga localizadas com valores de K e Le

57

Page 65: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Cálculo da perda de carga em tubulações

• Balanço de energia via equação de Bernoulli

Onde:

ht – perda de carga total (m) - ht = hc + hl.

Caso 1 – L, Q e D dados e P ?

Exercício 13 - Água flui de uma bomba através de um tubo

comercial de aço de 0,25 m de diâmetro, por uma distância de 5

km a partir da descarga de uma bomba, para um reservatório

aberto à atmosfera. O nível da água no reservatório está a 7 m

acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no

tubo é de 3 m/s. Calcular a pressão na descarga da bomba.

Perda de Carga

58

t2

222

1

211 hZ

g2

VPZ

g2

VP

Page 66: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Caso 2 – P, Q e D dados e L ?.

Exercício 14 – Petróleo escoa através de um oleoduto de

ferro galvanizado numa vazão de 1,6 milhão de barris/dia

(1 barril = 42 galões). O diâmetro interno do duto é de 48

pol. A pressão máxima permissível é de 1200 lbf/pol2 e a

pressão mínima requerida é de 50 lbf/pol2. O petróleo cru

tem = 930 Kg/m3 e µ = 3,5 x 10-4 N.s/m2. Determine a

distância máxima até a próxima estação de

bombeamento. Considere: 1 galão = 3,8 L, 1 pol = 25,4

mm, 1 lbf/pol2 = 6.895 Pa e 1 m3 = 1000 L.

Perda de Carga

59

Page 67: Material Mecânica dos Fluidos 1

Caso 3 – L, P e D dados e Q?.

Exercício 15 – Calcular a vazão de água num conduto de

ferro fundido, sendo dado D = 10 cm, = 0,7x10-3 e

sabendo-se que dois manômetros instalados a uma

distância de 10 m indicam respectivamente, 0,15 Mpa e

0,145 Mpa.

Perda de Carga

60

Page 68: Material Mecânica dos Fluidos 1

Caso 4 – P, L, Q dados e D?.

Exercício 16 – Certa indústria nova requer a vazão

d’água de 5,7 m3/min. A pressão manométrica na

tubulação principal, situada na rua, a 50 m da indústria, é

de 800 kPa. A linha de suprimento exigirá a instalação de

4 cotovelos (Le/D = 120). A pressão manométrica exigida

na indústria é de 500 kPa. Determinar o menor diâmetro

comercial dos tubos lisos e novos a serem instalados?

Perda de Carga

61

Page 69: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Fórmulas empíricas

• Fórmula de Darcy

J = hc = KQ2 (m/m)

Válida para tubos de ferro e aço, transportando água fria.

Perda de Carga

62

Page 70: Material Mecânica dos Fluidos 1

Fórmula de Hazen-Williams

Onde,

J – Perda de carga contínua (m/m);

C – Coeficiente de perda de carga (-);

Q – Vazão (m3/s);

D – Diâmetro (m).

Essa fórmula tem sido largamente empregada. Seus

limites de aplicação vão de diâmetros de 50 a 3 500 mm

e velocidades de até 3 m/s, cobrindo, em geral, os casos

comumente encontrados no dia a dia.

Perda de Carga

63

87,485,1

85,1

DC

Q64,10J

Page 71: Material Mecânica dos Fluidos 1

Perda de Carga

64

Page 72: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Fórmulas empíricas de cálculo

• Exercício 17 – A população de uma cidade é igual a 6

700 habitantes. A cidade já conta com um serviço de

abastecimento de água, localizando-se o manancial na

encosta de uma serra. O diâmetro da linha adutora

existente é de 150 mm, sendo os tubos de ferro fundido

com bastante uso. A diferença de cotas entre o

manancial e o reservatório de distribuição de água é igual

a 36 m e o comprimento da linha adutora é igual a 4 240

m. Verificar se a vazão atual do sistema é adequada para

o abastecimento da cidade, admitindo um consumo

individual médio igual a 200 litros por habitante por dia e

que nos dias de maior calor a demanda é cerca de 25%

maior que a média.

Perda de Carga

65

Page 73: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 5 – Orifícios, Bocais

e Vertedores

Page 74: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Escoamento em orifícios Orifícios são perfurações, geralmente de forma geométrica definida, feitos abaixo da superfície livre do líquido em paredes de reservatórios, tanques, canais ou tubulações.

Orifícios

66

Page 75: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema de

Torricelli

São considerados pequenos os orifícios cujas dimensões são muito

menores que as profundidades em que se encontram: dimensão

vertical igual ou inferior a um terço da profundidade.

Se o orifício for circular – d h/3.

- Paredes delgadas

Orifícios

67

Page 76: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema

de Torricelli

Nesse caso, aplicando-se a equação de Bernoulli às

seções 1 e 2 da primeira figura do slide anterior, tem-se,

Onde Vt é a velocidade teórica calculada a partir do

teorema de Torricelli. Entretanto, esta velocidade não leva

em conta as perdas por atrito e na realidade,

V2 = Cv. Vt

Orifícios

68

gh2v t

Page 77: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Orifícios pequenos em paredes delgadas: Teorema

de Torricelli

Onde Cv = 0,985, é um coeficiente de correção da

velocidade.

Seguindo as correções devido as perdas, o cálculo da

vazão dá-se por,

Sendo,

h – altura da superfície livre até o centro do orifício (m);

A – área do orifício (m2);

Cd – coeficiente de descarga (Cd = 0,61).

Orifícios

69

gh2ACQ d

Page 78: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Orifícios afogados pequenos em paredes

delgadas

Neste caso, a expressão de Torricelli pode, ainda ser

aplicada, mas sendo que a altura h = (h1-h2),

conforme figura abaixo,

Orifícios

70

Page 79: Material Mecânica dos Fluidos 1

•Perda de carga em orifícios, adufas e comportas

Nesses casos, a perda de carga corresponde à diferença de

energia cinética,

Orifícios

71 http://www.saneamento10.hpg.ig.com.br/CompAduf.htm

Page 80: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Escoamento com nível variável: cálculo do tempo de esvaziamento através de orifícios Nos casos já considerados, a altura da superfície livre do líquido foi considerada constante. Porém, a altura varia, devido ao escoamento pelo orifício. O problema que se apresenta na prática consiste em determinar o tempo necessário para o esvaziamento de um tanque ou recipiente.

Sendo,

A – área do orifício (m2);

AR – área da superfície do reservatório (m2);

O tempo de esvaziamento aproximado, t (s), é dado pela seguinte fórmula,

Exercício 18 – Em uma estação de tratamento de água, existem dois decantadores de 5,50 x 16,50 e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo do decantador. A espessura da parede é de 0,25 m. Calcular a vazão inicial na comporta e determinar o tempo aproximado necessário para o esvaziamento do decantador.

Orifícios

72

hg2AC

A2t

d

R

Page 81: Material Mecânica dos Fluidos 1

São constituídos por peças tubulares adaptadas aos orifícios, servindo para dirigir

o jato e com perdas de carga menores que as dos orifícios.

Análise dos bocais em parede espessa, segue a mesma linha dos orifícios.

Os bocais costumam ser classificados em:

Cilíndricos – Interiores ou reentrantes e

Exteriores

E

Cônicos – Convergentes ou divergentes

• Velocidade, vazão e perda de carga nos bocais

Bocais

73

gh2ACQ dV2 = Cv. Vt

Page 82: Material Mecânica dos Fluidos 1

.

74

Page 83: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Definição e aplicações

Pode-se definir vertedores como simplesmente, orifícios

sem a borda superior. São usados como medidores de

vazão em pequenos cursos d’água, condutos livres,

galerias e canais. E também, como estruturas que dão

vazão ao excesso de água em pequenas barragens.

Vertedores

75

Page 84: Material Mecânica dos Fluidos 1

Terminologia

A borda horizontal denomina-se crista, ou soleira;

As bordas verticais denominam-se faces do vertedor;

A carga do vertedor, H, é a altura atingida pelas águas a contar da soleira.

Vertedores

76

Page 85: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Classificação quanto a:

- Forma

a) Simples (retangulares, trapezoidais, triangulares, etc.);

b) Compostos (seções combinadas).

- Altura relativa da soleira

a) Completos ou livres (p>p’);

b) Incompletos ou afogados (p<p’).

- Natureza da parede

a) Delgada (chapas ou madeira chanfrada);

b) Espessa (e > 0,66H).

77

Page 86: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Classificação quanto a:

- Largura relativa

a) sem contrações laterais (L = B);

b) contraídos (L < B).

Vertedor contraído é aquele cuja largura é menor que a

do canal de acesso.

78

Page 87: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Contraídos e sem contrações

Vertedores

79

Page 88: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Vertedores Retangulares de paredes delgadas e sem

contrações

• Determinação da vazão

- Fórmula de Francis

Q = 1,838 LH3/2

- Influência das contrações

Francis, após muitas experiências, concluiu que a largura é

reduzida pelas contrações e esta redução é proporcional a carga

H do vertedor. Assim,

Para uma contração, L’ = L –0,1H

Para duas contrações, L’ = L – 0,2H

Logo, a fórmula de Francis para duas contrações torna-se,

Q = 1,838 (L-0,2H)H3/2

A fórmula anterior válida com as seguintes restrições H/p < 0,5 e

que H/L < 0,5.

Vertedores

80

Page 89: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Vertedor Triangular

Os vertedores triangulares são indicados para medidas de pequenas vazões, pois possibilitam maior precisão.

Na prática, os mais utilizados são os isósceles a 90o.

Vertedores

81

Page 90: Material Mecânica dos Fluidos 1

• De parede Espessa retangulares sem contrações

• Determinação da vazão

Q = 1,71LH3/2

Vertedores

82

Page 91: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Vertedores extravasores de barragens

No projeto desses vertedores, é privilegiada a forma que

dê passagem a vazão máxima, mais que também

impeça efeitos prejudiciais à estrutura, tais como o

vácuo parcial, as pulsações da veia que podem provocar

vibrações, etc.

• Determinação da vazão

Q = 2,2LH3/2

Vertedores

83

Page 92: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Importantes práticas para medidas de vazão com uso de

vertedores

• A lâmina de água deve ser livre;

• A soleira deve ser bem talhada e ficar na posição horizontal;

• Não deve ocorrer passagem de liquido pelas laterais do vertedor;

• Deve ser instalado num trecho o mais retilíneo possível;

• A carga H deve ser medida a montante (antes) do vertedor, a uma

distância compreendida entre 5H e 10H, porém nunca inferior a

2,5H; sobre uma estaca nivelada com a soleira ou com o vértice

do vertedor;

• Não deve ocorrer represamento da água a jusante (depois do

vertedor);

• Não deve ocorrer turbilhonamento da água próximo ao ponto de

medição.

Vertedores

84

Page 93: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Exercício 19

Está sendo projetado o serviço de abastecimento de água para uma pequena cidade de 5.600 habitantes. O volume médio de água por habitante é de 200 l/dia, sendo 25% o aumento de consumo previsto para os dias em que este é maior. Pensou-se em captar as águas de um igarapé que passava às proximidades da cidade e, para isso, procurou-se determinar a sua vazão numa época desfavorável do ano, tendo sido empregado um vertedor retangular com duas restrições, executado em madeira chanfrada e com 0,80 m de largura. A água elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira. Verificar se esse manancial é suficiente; adote um coeficiente de segurança igual a 3, pelo fato de se ter apenas uma medida de vazão.

85

Page 94: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 6 – Semelhança ou Similaridade

e Análise Dimensional

Page 95: Material Mecânica dos Fluidos 1

O uso e a confiança nos modelos têm crescido continuamente:

- O engenheiro aeronáutico obtém dados a partir de modelos testados em túneis de vento;

- O engenheiro naval testa modelos de navios em tanques;

- O engenheiro mecânico testa modelos de turbinas e bombas e prevê o desempenho das máquinas;

- O engenheiro civil trabalha com modelos de estruturas hidráulicas, rios, estuários e até prédios.

A similaridade entre fenômenos de escoamentos existe não só entre um modelo e seu protótipo, como também entre diversos fenômenos desde que certas leis de semelhança sejam satisfeitas.

Existem três tipos básicos de similaridade, sendo que os três devem existir para que se tenha similaridade completa em fenômenos envolvendo fluidos.

- Similaridade geométrica;

- Similaridade cinemática;

- Similaridade dinâmica.

Para a solução de alguns problemas práticos em engenharia, o uso da similaridade dinâmica é suficiente. Nesse caso, com base na história da mecânica dos fluidos, existe um conjunto de números adimensionais usados na descrição da similaridade dinâmica. Estes números são os seguintes:

Similaridade

87

Page 96: Material Mecânica dos Fluidos 1

Na relação de semelhança, quando predominar a força da gravidade, deve-se utilizar o Número de Froude.

Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de inércia e pressão, deve-se utilizar o Número de Euler.

Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de inércia e viscosidade, deve-se utilizar o Número de Reynolds.

Similaridade

88

lg

VFr

P2VEu

vlRe

Page 97: Material Mecânica dos Fluidos 1

Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de

inércia e elasticidade, deve-se utilizar o Número de Cauchy.

Onde E é a elasticidade.

Na relação de semelhança, quando predominarem as forças de

inércia e de tensão superficial, deve-se utilizar o Número de Weber.

Onde sigma é a tensão superficial.

Similaridade

89

E

vCa

2

2lvWe

Page 98: Material Mecânica dos Fluidos 1

Problemas Ilustrativos Exercício 20 – Água a 0°C escoa numa tubulação horizontal de 75 mm de

diâmetro a uma velocidade média de 3 m/s. A queda de pressão através de 10 m

da tubulação é de 14,0 kPa. Calcule a velocidade de escoamento do querosene a

20°C através de uma tubulação geometricamente similar de 25 mm de diâmetro

para que os escoamentos sejam dinamicamente similares. Qual a queda de

pressão estimada através de uma distância de 3 m do tubo de diâmetro 25 mm.

Despreze o atrito.

Exercício 21 – Um navio de 120 m de comprimento deve ser testado por meio de

um modelo de 3 m de comprimento. Se o navio move-se a 56 km/h, calcule a

velocidade com que o modelo deve mover-se para que haja similaridade dinâmica

entre o modelo e o protótipo.

Exercício 22 – Sobre um vertedor hidráulico liso, ocorre um transbordamento

com vazão igual a 600 m3/s. Calcule a vazão necessária para se fazer um modelo

quadrado desta estrutura na escala 1:15 afim de que haja similaridade dinâmica

entre os dois, desprezando-se o efeito da viscosidade.

Similaridade

91

Page 99: Material Mecânica dos Fluidos 1

Outra ferramenta útil na Mecânica dos Fluidos, que está intimamente ligada ao princípio da similaridade, é a chamada análise dimensional – que é a análise matemática das dimensões das grandezas físicas e das equações.

Os métodos da análise dimensional baseiam-se no princípio da homogeneidade dimensional, formulado por Fourier em 1822, segundo o qual toda equação que exprime um fenômeno físico deve ser dimensionalmente homogênea, isto é, as dimensões em todos os membros de uma equação devem ser as mesmas.

Afim de ilustrar as etapas matemáticas num problema dimensional simples, considere a equação familiar da estática dos fluidos,

p =h

Análise Dimensional

90

Page 100: Material Mecânica dos Fluidos 1

Suponha que as dimensões de e h sejam conhecidas e as de p

desconhecidas. As dimensões de p só podem ser uma combinação

de M, L, T, e esta combinação pode ser descoberta escrevendo-se

a equação dimensionalmente como,

(Dimensões de p) = (Dimensões de ) x (Dimensões de h) ou

Onde a, b e c são incógnitas. Aplicando-se o princípio da

homogeneidade dimensional, conclui-se que o expoente em cada

dimensão fundamental deve ser igual em ambos os membros da

equação, donde resulta

a = 1, b = -2 + 1 e c = -2

Portanto,

(Dimensões de p) =

Análise Dimensional

91

LTL

MTLM

22

cba

2

21

LT

MTML

Page 101: Material Mecânica dos Fluidos 1

92

Page 102: Material Mecânica dos Fluidos 1

Unidade 7 – Introdução à Transferência

de Calor e Massa

Page 103: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Conceito

A transferência de calor (ou calor) é o trânsito de energia provocado

por uma diferença de temperatura.

• Mecanismos

Transferência de Calor

94

Page 104: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Equação geral da transferência de calor

Sendo que cada um dos termos acima pode ser expresso através

de suas equações apresentadas a seguir.

Na condução do calor, a equação do fluxo de calor é conhecida

como lei de Fourier aplicada a uma parede plana unidimensional,

com distribuição de temperatura T(x), conforme a seguir:

Transferência de Calor

95

0qqq "rad

"conv

"cond

Page 105: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Condução

O fluxo de calor é então,

Ou finalmente,

Onde k é a condutividade térmica do material (W/m.K).

O fluxo de calor (W/m2) é a taxa de transferência de calor por unidade de área. A taxa, no caso, de condução de calor, qx (W) através de uma parede plana de área A (m2), é então o produto do fluxo de calor pela área,

Transferência de Calor

96

Sendo

com

dx

dTkq"

x

L

TT

dx

dT 12

L

TTkq 12"

x

L

Tk

L

TTkq 21"

x

Aqq "xx

Page 106: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Convecção

Ocorre entre um fluido em movimento e uma superfície limitante,

quando os dois estão em temperaturas diferentes.

A convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do

escoamento em convecção forçada ou natural.

Transferência de Calor

97

Page 107: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Convecção

A convecção forçada existe quando o escoamento é gerado por

forças externas oriundas, por exemplo, de ventiladores, bombas ou

por ventos na atmosfera.

A convecção natural (ou livre) dá-se quando o escoamento é

provocado pelas forças do empuxo, que se originam das diferenças

de densidade devidas às variações de temperatura no fluido.

Transferência de Calor

98

Page 108: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Convecção

Independente do tipo de convecção, a equação do fluxo de calor

devido a este mecanismo, possui a seguinte forma:

q” = h (Ts - T)

ou

q” = h (T -Ts)

onde:

q” – fluxo de calor convectivo (W/m2);

Ts – temperatura da superfície;

T - temperatura do fluido;

h – coeficiente de convecção de calor (W/m2 .K).

A expressão anterior é conhecida como a lei de Newton do

resfriamento.

Transferência de Calor

99

Page 109: Material Mecânica dos Fluidos 1

Transferência de Calor

100

Page 110: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Radiação

Ocorre pela transferência de calor entre superfícies sólidas, líquidas

e gasosas através de ondas eletromagnéticas associadas a

temperatura dos corpos. Enquanto a condução e convecção

precisam de meio material para se transferirem, a radiação não. Na

realidade a transferência por radiação ocorre com maior eficiência

no vácuo.

A determinação da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre

superfícies, é, em geral, bem complicada. Um caso particular, no

entanto, que ocorre frequentemente em casos práticos, envolve a

troca líquida de radiação entre uma pequena superfície e uma outra

superfície maior, que envolve completamente a superfície menor

(figura a seguir).

Transferência de Calor

101

Page 111: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Radiação

Assim, o fluxo de calor por radiação entre a superfície e as suas vizinhanças é expressa abaixo:

onde:

- emissividade da superfície (-);

- constante de Stefan-Boltzman ( = 5,67.10-8 W/m.K4)

Transferência de Calor

102

)TT(q 4viz

4s

"

Page 112: Material Mecânica dos Fluidos 1

Exercício 23

Os gases quentes da combustão, numa fornalha,

estão separados da atmosfera ambiente e das

vizinhanças, ambas a 25°C, por uma parede de

tijolos de 0,15 m de espessura. O tijolo tem

condutividade térmica de 1,2 W/m.K e

emissividade superficial de 0,8. Nas condições de

regime permanente, a temperatura da superfície

externa é de 100°C. A convecção de calor para o

ar adjacente é caracterizada por um coeficiente h =

20 W/m2.K. Qual é a temperatura da superfície

interna do tijolo?

Transferência de Calor

103

Page 113: Material Mecânica dos Fluidos 1

É massa em trânsito como resultado da diferença de concentração

de uma espécie em uma mistura.

• Transferência de massa por difusão

Considere um recipiente em que duas espécies de gás à mesma

temperatura e pressão encontram-se separadas por uma parede.

Se a parede for removida, as espécies se difundirão em direções

contrárias.

104

Transferência de Massa

Page 114: Material Mecânica dos Fluidos 1

Uma mistura consiste em dois ou mais constituintes químicos (espécies) e a quantidade de qualquer espécie i pode ser quantificada em função de sua massa específica, que neste caso representa, concentração mássica no volume da mistura i (kg/m3) ou sua concentração molar Ci (kmol/ m3).

• A concentração mássica e a concentração molar são relacionadas pela massa molecular Mi (kg/kmol) tal que:

ρ = MiCi

• A massa específica da mistura é:

ρ =Σρi

• Analogamente, o número total de moles por unidade de volume da mistura é:

C = Σci

Composição de uma mistura

105

Page 115: Material Mecânica dos Fluidos 1

A quantidade da espécie i em uma mistura, também pode ser

quantificada em função de sua fração mássica:

• Ou sua fração molar:

• Das equações anteriores segue que:

Σmi=1 e Σxi=1

Composição de uma mistura

106

i

im

C

Cx i

i

Page 116: Material Mecânica dos Fluidos 1

• Lei de Fick

O fluxo associado à transferência de massa por difusão

da espécie A em uma mistura binária de A em B tem a

forma:

Composição de uma mistura

107

Page 117: Material Mecânica dos Fluidos 1

Exercício 28 - Hidrogênio gasoso está armazenado a

uma pressão elevada num recipiente retangular com

paredes de aço de 10mm de espessura. A concentração

molar de hidrogênio no aço na face interna do recipiente é

de 1 kmol/m3, e a concentração molar do hidrogênio no

aço, na face externa é desprezível. O coeficiente de

difusão do hidrogênio no aço é 0,26 x 10-12 m2/s. Qual é o

fluxo de Difusão, em base molar, do hidrogênio através do

aço?

108