Material sobre tensão e deformação8.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE

CONCRETO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2003

Fundamentos da análise de estruturas de concreto pelo método doselementos finitos

1 - Modelos constitutivos dos materiais1.1 – Introdução1.2 – Comportamentos reológicos básicos2 – As leis constitutivas dos materiais: o concreto e o aço2.1 – Introdução2.2 – As propriedades básicas do concreto e do aço2.2.1 - O concreto2.2.1.1 - O concreto sob carregamento uniaxial2.2.1.2 – O concreto sob carregamento biaxial2.2.1.3 – O concreto sob carregamento triaxial2.2.2 – O aço3 - A aderência entre o concreto e a armadura4 - A fissuração do concreto5 - O modelo de elementos finitos5.1 - Elementos finitos para o concreto5.2 - Elementos finitos para a armadura5.3 - Algoritmos de solução6 - Aplicações

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC/UFRGS 1

1 - MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS

1.1 - Introdução

Para a análise do comportamento de uma estrutura, é essencial oconhecimento das equações constitutivas dos materiais que compõem estaestrutura. Estas equações constitutivas são expressões que relacionam astensões, as deformações e o tempo. Estas equações são estudadas, por um ramoda Física, chamado de Reologia. Existem três tipos básicos de comportamentoreológico: o elástico, o plástico e o viscoso. O comportamento dos materiaisreais pode ser descrito com maior ou menor precisão pela combinação destestipos básicos, dando origem aos chamados modelos conjugados.

Como, em geral, o comportamento reológico dos materiais reais ébastante complexo, é comum procurar associar aos mesmos vários modelosreológicos, de modo que cada um deles descreva satisfatoriamente ocomportamento do material real em determinadas circunstâncias. Embora sejapossível estabelecer um único modelo para todas as situações possíveis, asimplificação que se obtém com a decomposição é quase sempre vantajosa.


1.2 - Comportamentos reológicos básicos

O primeiro modelo reológico básico é o elástico. O modelo elásticoapresenta a propriedade da elasticidade, que é o fenômeno do aparecimento dedeformações imediatas e reversíveis. As deformações imediatas são aquelas queaparecem simultaneamente com as tensões correspondentes e que permanecemconstantes ao longo do tempo se as tensões correspondentes tambémpermanecerem. As deformações reversíveis são aquelas que se anulam ao seanularem as tensões correspondentes, ou seja, aquelas que desaparecemintegralmente no descarregamento.

O diagrama tensão-deformação de um material elástico se caracteriza pordeformações imediatas, por deformações que não variam com o tempo quando atensão permanecer constante e por uma curva de descarga que coincide com acurva de carga. Conforme a Fig. 1.1, na elasticidade linear existeproporcionalidade entre tensões e deformações. Na elasticidade não linear, nãoexiste está proporcionalidade, porém existe uma função que dá univocamente ovalor da tensão para cada valor de deformação.

εε

σ σ

(a) elástico linear (b) elástico não-linear

Figura 1.1 - Relações constitutivas elásticas

O segundo modelo reológico básico é o plástico. Este modelo apresenta apropriedade da plasticidade, que é o fenômeno do aparecimento de deformaçõesimediatas não reversíveis, ou seja, deformações imediatas, que não desaparecemna descarga. Conforme a Fig. 1.2, a partir da tensão σy (tensão de escoamento),começam a aparecer as deformações plásticas. A descarga ocorre semreversibilidade das deformações.


εε

σ σ

yσyσ

(a) plástico perfeito (b) plástico com endurecimento

Figura 1.2 – Relações constitutivas plásticas

O modelo viscoso é o terceiro modelo reológico básico. Este modeloapresenta viscosidade que é a propriedade do aparecimento de deformações nãoimediatas. As deformações não aparecem simultaneamente com as tensõescorrespondentes e não permanecem constantes ao longo do tempo, mesmo queas tensões correspondentes o façam.

Conforme a Fig. 1.3, no instante em que é aplicada uma tensão σ, apareceuma velocidade de deformação ε& , tal que εησ &= , com η sendo a constante deviscosidade do material. No instante de aplicação de σ, a deformação ε é nula.No entanto, como aparece velocidade de deformação ε& , surgirão, no decorrer dotempo, deformações ε.

εσ

0σ

t tFigura 1.3 – Relação constitutiva viscosa

Caso σ permaneça constante e igual a σ0, a velocidade de deformação seráconstante e dada por ησε /0=& . Partindo do instante t=0, integrando estaexpressão com a condição inicial ε(0)=0, obtém-se tt ησε /)( 0= , que comprovaque no transcurso do tempo surgirão deformações.


Os materiais reais tem seu comportamento descrito por combinaçõesdestes três tipos básicos, dando origem aos chamados modelos conjugados. Porexemplo, o concreto, na região de compressão, os ensaios têm indicado que suasdeformações não lineares são basicamente inelásticas, visto que na descargasomente uma parcela destas deformações pode ser recuperada. A respostatensão-deformação do concreto pode ser separada em uma componenterecuperável elástica e uma componente irrecuperável plástica. O comportamentorecuperável é tratado pela teoria da elasticidade, enquanto que a parteirrecuperável é baseada na teoria da plasticidade. Tal separação é essencial paratratar uma descarga (Fig. 1.4). Contudo, para situações em que a carga aumentamonotonicamente, um modelo baseado na elasticidade pode ser suficiente.

εεε pe+=

ε p ε eε

σ

Figura 1.4 – Comportamento elastoplástico do concreto comprimido


2 - AS LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS: O CONCRETO E O AÇO

2.1 - Introdução

Para uma análise precisa de uma estrutura de concreto armado, énecessário descrever realisticamente a relação entre tensões e deformações nosmateriais. Desta maneira, as equações constitutivas, que traduzam ocomportamento dos materiais, são de importância fundamental.

Antes de apresentar estas leis constitutivas, serão descritas aspropriedades típicas do concreto e do aço, conforme foi apresentado por Chen(1982). Estas propriedades são essenciais para o desenvolvimento de um modelomatemático, que reproduza o funcionamento dos materiais.

2.2 - As propriedades básicas do concreto e do aço

2.2.1 - O concreto

O concreto pode ser idealizado como um sistema de duas fases: umamatriz (a pasta de cimento endurecido) envolvendo um conjunto de partículas deagregado. A presença de microfissuras, especialmente na interface da pasta decimento e dos agregados, é fundamental para o seu comportamento mecânico. Apropagação destas microfissuras, durante o carregamento, produz ocomportamento não-linear do concreto.


2.2.1.1 - O concreto sob carregamento uniaxial

(a) (b)

Figura 2.1 - Relações típicas da tensão de compressão com as deformaçõesaxial, lateral e volumétrica

A Fig. 2.1(a) mostra uma relação tensão-deformação típica para oconcreto comprimido axialmente. A curva apresenta um comportamento linearaté cerca de 30% da tensão máxima de compressão fc . A partir deste ponto,gradualmente, aumenta a sua inclinação, até atingir o valor de fc. Após este pico,a curva tensão-deformação passa a um ramo descendente, até atingir adeformação última εu em que o esmagamento ocorre.

Na Fig. 2.1(b), está apresentada a relação da tensão com a deformaçãovolumétrica, εv = ε1 + ε2 + ε3. Inicialmente, a mudança de volume é quase linear,até cerca de 0,75 a 0,9 fc. Neste ponto, o sentido da variação de volume éinvertido, resultando em uma dilatação nas proximidades de fc. A tensão, na quala deformação volumétrica, εv é um mínimo, é chamada de tensão crítica.

As formas das curvas, mostradas na Fig. 2.1, estão intimamenterelacionadas com os mecanismos internos de microfissuração progressiva. Paraas tensões, até cerca de 30% de fc as fissuras existentes no concreto antes deentrar em carga (causadas por segregação, retração ou efeitos térmicos)permanecem inalteradas. Isto significa que a energia interna disponível é menorque a energia necessária para criar novas microfissuras.

Para tensões entre 30 e 50% de fc as microfissuras junto aos agregadoscomeçam a se estender. Nesta etapa, as fissuras na matriz continuamdesprezáveis. A energia interna disponível é gasta na formação das fissuras junto


aos agregados. A propagação da fissuração é estável, isto é, as fissuras alcançamrapidamente o seu comprimento final, quando a tensão é mantida constante.

Para tensões entre 50 e 75% de fc algumas das fissuras junto aosagregados começam a ligar-se através da matriz. Quando a tensão excede 0,75de fc as fissuras continuam a propagar-se, mesmo se for mantida constante acarga. A energia interna disponível é maior do que a necessária para formar asfissuras, isto é, o sistema está instável. Neste nível de tensão, a tensão crítica éatingida.

A ruptura progressiva do concreto, nas proximidades de fc é causada pelamicrofissuração da matriz. Estas fissuras, ligadas às fissuras junto aosagregados, formam zonas internas microfissuradas. Com o aumento dadeformação de compressão, segue o esmagamento do concreto e entra-se noramo descendente do diagrama tensão-deformação. Nesta região, aparecemfissuras macroscópicas.

Conforme aparece na Fig. 2.2, as curvas tensão-deformação, para oconcreto tracionado são lineares até altos níveis de tensão. Suas formas sãosemelhantes às das curvas de compressão. Isto era de esperar, pois aqui oaparecimento das microfissuras também é fundamental. Porém existem algumasdiferenças.

Figura 2.2- Curvas tensão-deformação para o concreto sob tração


Para tensões menores do que 60% da tensão fct o aparecimento demicrofissuras pode ser desconsiderado. A partir deste nível de tensão, asmicrofissuras junto aos agregados, começam a crescer. Esta etapa, contudo, émais breve do que no caso de compressão. Quando a tensão de tração atinge75% de fct a propagação de fissuras torna-se instável.

A direção de propagação de fissuras para tração uniaxial é transversal àdireção da tensão. O aparecimento e o crescimento de cada nova fissura reduz aárea resistente, causando um aumento nas tensões e uma rápida propagação dafissuração.

2.2.1.2 - O concreto sob carregamento biaxial

Nos últimos anos, muitos estudos foram realizados sobre as propriedadesmecânicas do concreto sob carregamento biaxial. Têm-se disponíveis diversosresultados experimentais considerando resistência, deformação e ocomportamento das microfissuras do concreto sujeito a tensões biaxiais. AsFigs. 2.3 a 2.5 apresentam resultados obtidos por Kupfer (1973).

Figura 2.3 - Curvas tensão-deformação para o concreto sob compressão biaxial


Figura 2.4 - Curvas tensão-deformação para o concreto

sob tração-compressão biaxial

Figura 2.5 – Curvas tensão-deformação para o concreto sob tração biaxial


Destes resultados, observa-se que a resistência máxima à compressãoaumenta no estado de compressão biaxial. Este aumento e máximo, em torno de25%, para a relação entre tensões σ2/σ1 = 0,5. Para σ2/σ1 = 1, este aumento sereduz para 16%. Sob tração-compressão biaxial, a resistência a compressãodiminui quase linearmente, a medida que a tensão de tração é aumentada. Sobtração biaxial, a resistência é aproximadamente a mesma da tração uniaxial,conforme aparece na Fig. 2.6, de resultados experimentais de Kupfer (1973).

Figura 2.6 - Envoltória de resistência biaxial do concreto

A ductilidade do concreto sob tensões biaxiais tem valores diferentes, se oestado de tensão é de compressão ou de tração. Segundo a Fig. 2.3, paracompressão uniaxial ou biaxial, o encurtamento máximo é de cerca de 3‰ e oalongamento máximo varia de aproximadamente 2‰ a 4‰. A ductilidade émaior sob compressão biaxial do que sob compressão uniaxial. Sob tração-compressão biaxial, os valores de ruptura das deformações principais de tração ecompressão diminuem (Fig. 2.4). Sob tração uniaxial e biaxial (Fig. 2.5), adeformação principal máxima é da ordem de 0,08‰.


Figura 2.7 - Curvas da variação de volume do concretosob compressão uniaxial e biaxial

Conforme mostra a Fig. 2.7, nas proximidades da ruptura, ocorre umaumento de volume do concreto. Em geral, atribui-se esta dilatação aoprogressivo crescimento das microfissuras do concreto.

2.2.1.3 - O concreto sob carregamento triaxial

Figura 2.8 - Relação tensão-deformação triaxial para o concreto

A Fig. 2.8 mostra curvas tensão-deformação típicas para o concreto,obtidas em ensaios triaxiais por Balmer, conforme Chen (1982). Observa-se quea resistência axial cresce com o aumento das tensões confinantes. Para tensõesconfinantes elevadas, resistências extremamente altas são alcançadas.


Figura 2.9 - Superfície de ruptura esquemática do concretono espaço de tensões tridimensionais

Sob carregamento triaxial, os ensaios indicaram que o concreto tem umasuperfície de ruptura bem definida, que e função das três tensões principais. Se oconcreto é considerado um material isotrópico, o limite de elasticidade e o limitede ruptura podem ser representados como superfícies no espaço de tensõesprincipais tridimensionais (Fig. 2.9).

2.2.2 - O aço

Devido à forma de utilização do aço nas peças de concreto armado, ésuficiente conhecer o seu comportamento uniaxial. Basicamente, o diagramatensão-deformação dos aços (Fig. 2.10) consta de um primeiro trecho retilíneo,com uma inclinação de 210000 MPa (módulo de deformação longitudinal).Neste trecho, o aço comporta-se como um material perfeitamente elástico.

Segue-se um trecho, em que as deformações são grandes para pequenosacréscimos no valor da tensão limite de elasticidade. Este escoamento do açosegue até uma deformação da ordem de 2%. Neste ponto, o diagrama toma umaforma curva, com grandes deformações, até atingir a ruptura, com deformaçõesda ordem de 20%. As curvas tensão-deformação dos aços são praticamenteiguais à tração e à compressão.

Nos aços encruados a frio, ao contrário dos aços com dureza natural, opatamar de escoamento não é bem definido. Eles apresentam, a partir do limitede elasticidade, um diagrama curvilíneo, continuamente crescente até a ruptura.


Figura 2.10 - Diagramas tensão-deformação dos aços


CRITÉRIOS DE RUPTURA PARA O CONCRETO

Com base nas características da superfície de ruptura do concretoobservadas experimentalmente (ver anexo A), diversos critérios de ruptura têmsido propostos. A maioria destes critérios foram classificados, por Chen (1982),conforme o número de constantes do material, que aparecem na expressão docritério de ruptura. Assim, os critérios foram classificados com sendo de um atécinco parâmetros. Alguns dos modelos mais utilizados estão apresentados nafigura seguinte.

Os modelos de um parâmetro, como os de Tresca e de von Mises,idealizados como critério de ruptura para metais, foram utilizados nas primeirasanálises por elementos finitos para concreto sob tensões de compressão. Estetipo de superfície de ruptura é independente da pressão hidrostática. Paraconsiderar a baixa resistência à tração do concreto, estas superfícies de rupturasão associadas a um truncamento à tração (tension cutoff).

Entre os critérios de dois parâmetros, os de Mohr-Coulomb e de Drucker-Prager são as mais simples superfícies de ruptura dependentes da pressãohidrostática. Estes critérios com linhas retas como meridianos são inadequadospara descrever a ruptura do concreto especialmente sob altas tensões decompressão.

A superfície de Bresler-Pister é um modelo de três parâmetros, que admiteuma relação parabólica entre τoct e σoct, mas tem seções transversaisindependentes de θ. A primeira versão de superfície de três parâmetrosdesenvolvida por Willam-Warnke apresenta uma relação linear entre τoct e σoct,porém as seções transversais apresentam dependência de θ.

Os modelos de quatro parâmetros de Ottosen e Hsieh-Ting-Chen e omodelo refinado de cinco parâmetros de Willam-Warnke têm relação parabólicade τoct e σoct e dependência de θ. Estes modelos mais refinados reproduzem todasas mais importantes características da superfície de ruptura do concreto eapresentam ótimas aproximações com os dados experimentais disponíveis.


Critérios de ruptura para o concreto


Critério de ruptura de Tresca (critério da máxima tensão de cisalhamento)

τσσσσσσ máxkmáx ==

−−− 133221

21

,21

,21

0231

sen),( =−

+= krrf πθθ

este critério é independente da pressão hidrostática (ξ); a superfície correspondea um prisma que tem por base um hexágono regular

r

ξ

curva em uma plano meridianoσ 1

σ 2 σ 3

seção transversal em um plano desviador

σ 1

σ 2

curva no plano σ1, σ2


Critério de ruptura de von Mises (critério da máxima energia de distorção)

( ) kJJf 222 −=

ky 3=σeste critério é independente de ξ e θ; a superfície de ruptura é um cilindro quetem o eixo hidrostático como eixo

r

ξ

curva em um plano meridianoσ 1

σ 2 σ 3


σ1

σ2



Critério de ruptura de Mohr-Coulomb

0cos6sen3

cos3

1sen3sen2),,( =−++++=

φφ

πθπθφξθξ crrrf

com 30 πθ ≤≤ ; a superfície de ruptura é uma pirâmide de base hexagonal; é

o critério de ruptura mais simples para o concreto

r

ξ

curva em um plano meridianoσ

1

σ2

σ3


σ 1

σ 2



Critério de ruptura de Drucker-Prager

026),( =−+= krrf αξξ

a superfície de ruptura é um cone; este critério apresenta, para o concreto, duasdeficiências: a relação linear entre ξ e r e a independência do ângulo θ

r

ξ

curva em um plano meridianoσ 1

σ 2 σ 3


σ 1

σ 2



Critério de ruptura de Ottosen

( )

( )

≤

−−

≥

=

=−++=

03cos,3cosarccos31

3cos

03cos,3cosarccos31

cos

01),,(

21

21

122

221

θθπ

θθλ

λθ

parakk

parakkcom

fIb

fJ

fJaJIf

ccc

a, b, k1, k2 são parâmetros calculados a partir dos seguintes valores:• resistência à compressão uniaxial fc;• resistência à tração uniaxial ft;• resistência à compressão biaxial f2c

• um estado de ruptura no meridiano de compressão

o critério de ruptura de Ottosen apresenta todas as características observadasexperimentalmente para a superfície de ruptura do concreto

Meridianos da superfície de ruptura de Ottosen


seções transversais da superfície de ruptura de Ottosen



O MODELO CONSTITUTIVO PARA O CONCRETO, PROPOSTO POROTTOSEN

1 - Fundamentos do modelo

O modelo constitutivo para o concreto, proposto por Ottosen (1979), ébaseado na elasticidade não-linear, usando valores secantes dos parâmetros domaterial. Este modelo apresenta uma série de aspectos positivos:

• inclui os efeitos dos três invariantes de tensão;

• considera a dilatação;

• as curvas tensão-deformação obtidas são contínuas;

• prevê realisticamente as tensões na ruptura;

• o modelo é aplicável a todos estados de tensão, inclusive nos que ocorremtensões de tração.

Adicionalmente, este modelo é de simples utilização e requer paracalibragem unicamente resultados experimentais, obtidos de ensaios uniaxiaistradicionais. Os valores calculados com o modelo têm boa concordância com osresultados experimentais, abrangendo uma ampla faixa de estados de tensão ediferentes tipos de concreto.

2 - O índice de não-linearidade

O índice de não-linearidade é uma medida da proximidade do estadocorrente de carregamento com a superfície de ruptura. É importante observarque o termo ruptura, empregado aqui e ao longo deste item, refere-se a rupturalocal do ponto considerado e não à ruptura global da peça. Assim, mesmo após oestado de tensão de um ponto atingir a superfície de ruptura, este ponto podealcançar o equilíbrio, com uma redução do valor das componentes de tensãonele aplicadas. Esta redução será compensada pelo aumento de tensão nospontos adjacentes.

Para se determinar o índice de não-linearidade, primeiro é necessáriodefinir a qual estado de ruptura, o estado de tensão corrente deve serrelacionado. A fim de ilustrar de forma simples este problema, adota-se ocritério de ruptura de Mohr, mostrado na Fig. 1.


Figura 1 - Diagramas de Mohr: (a) diferentes maneiras de alcançar a ruptura;(b) definição do índice de não-linearidade β

Conforme aparece na Fig. 1 (a), onde o estado corrente de tensão é dadopor σ1 e σ3 (σ1>σ2>σ3), a ruptura pode ser alcançada, aumentando-se o valor deσ1 (círculo I) ou mantendo-se fixo o valor médio (σ1+σ3)/2 (círculo II). Emambos os casos, ficam envolvidas tensões de tração. Uma avaliação de umestado de tensão de compressão uniaxial, por exemplo, envolveria a resistência àtração; o que não seria conveniente. Uma terceira possibilidade, dada pelocírculo III, onde todas as tensões são alteradas proporcionalmente, também éafastada, porque dependendo da forma da curva de ruptura, a ruptura pode nãoser obtida, para alguns estados de tensão de compressão, localizados junto aoeixo hidrostático. Contudo, a ruptura pode ser sempre obtida, diminuindo-se ovalor de σ3 como mostra o círculo IV. Este é o procedimento adotado nestemodelo.

Como medida do estado corrente de tensão, adotou-se no modelo, oquociente da tensão corrente σ3, pelo valor correspondente da tensão de rupturaσ3f (failure), mantendo-se constantes σ1 e σ2 como mostra a Fig. 1(b). Ou seja, oíndice de não-linearidade é dado por

σσβ

f3

3= (1)

Assim, β<1, β=1 e β>1 correspondem a estados de tensão localizados dentro,sobre e fora da superfície de ruptura, respectivamente.

Quando ocorrem tensões de tração, é necessário alterar a definição doíndice de não-linearidade. O comportamento do concreto é tanto mais linear,quanto mais o estado de tensão envolva tensões de tração. Com este propósito,


transforma-se o estado corrente de tensão (σ1,σ2,σ3), onde ao menos σ1 é umatensão de tração, superpondo uma pressão hidrostática -σ1, obtendo-se um novoestado de tensão dado por (σ1',σ2',σ3')=(0,σ2-σ1,σ3-σ1), isto é, um estado decompressão biaxial. Neste caso, β é definido como

´´

3

3

σσβ

f

= (2)

onde, σ3f' é o valor de ruptura de σ3', com σ1' e σ2' constantes, isto é, o estado detensão (σ1',σ2',σ3f') satisfaz o critério de ruptura.

3 - As relações tensão-deformação

Pode-se aproximar a curva tensão-deformação para um carregamento decompressão uniaxial através da expressão

( )

( )

+−−

−+−

=−

εε

εε

εε

εε

σ

cc

cc

c DA

DA

f 2

2

21

1

(3)

Figura 2 - Controle do comportamento pós-ruptura por meio do parâmetro D


As tensões de tração e os alongamentos são considerados positivos; εc é adeformação correspondente à fc (resistência cilíndrica à compressão uniaxial). Oparâmetro A é definido por A = E0/Ec (A>4/3), em que Ec = fc/εc. Os módulos dedeformação longitudinal E0 e Ec são o módulo inicial e o secante, correspondenteà tensão fc. O parâmetro D determina, principalmente, o comportamento doramo descendente da curva tensão-deformação (fase de pós-ruptura). A Eq.(3)depende de quatro parâmetros: fc, εc, E0 e D. Assim, a inclinação da curva é E0

na origem e nula na ruptura, onde (σ,ε) = (fc,εc) satisfaz a Eq.(3).

O ramo descendente da curva tensão-deformação não pode ser obtido doensaio padrão de compressão uniaxial; é necessário realizar um ensaio comdeformação controlada. O parâmetro D pode ser arbitrado dentro de certoslimites: (1 -A/2)2 < D < 1 + A (A - 2), quando A < 2; 0 < D < 1, quando A > 2.Deve-se observar, que quanto maior o valor de D, mais dúctil será ocomportamento pós-ruptura. Conforme aparece na Fig. 2, este parâmetro nãoafeta de maneira significativa o ramo ascendente do diagrama tensão-deformação. Valores típicos de D estão entre 0 e 0,2.

Pode-se obter o valor secante do módulo de deformação ES da Eq.(3).Nesta expressão, a tensão corrente aparece sempre na razão -σ/|fc|. No caso decompressão uniaxial, β = -σ/|fc|. Desta forma, pode-se generalizar a expressão deES para a compressão triaxial. Assim,

( )[ ]112

1

2

1

2

1

2

1 200

2

00 −−+−−±−−=

ββββ DEEEEEEEE fffS (4)

onde, utiliza-se o sinal positivo ou negativo para o ramo ascendente oudescendente da curva tensão-deformação, respectivamente.

O valor do módulo de deformação longitudinal secante Ec, correspondenteà tensão de compressão uniaxial fc, é substituído por Ef, módulo de deformaçãolongitudinal secante na ruptura para estado triaxial de tensão. O valor de Ef podeser determinado através da expressão

( )κ141 −+=

AE

E cf (5)

A variável κ representa a dependência do carregamento corrente e é dada por

312 −

=

fJ

c f

κ (6)


onde o invariante ( )fJ c f2 é calculado para o estado de tensão de ruptura,

dado por (σ1,σ2,σ3f) ou (σ1',σ2',σ3f') conforme o caso. O valor de κ é maior ouigual a zero. Quando κ=0, tem-se Ef =Ec; se κ>0, então Ef <Ec.

Na fissuração, admite-se um comportamento frágil. O comportamentopós-ruptura para estados intermediários de tensão, onde estão presentespequenas tensões de tração, mas não ocorrem nem fissuração, nemesmagamento do concreto, é obtido através de um processo híbrido. Na ruptura,este estado intermediário de tensão corresponde a um índice de não-linearidadeβf determinado pela Eq.(2), que é menor do que a unidade. Como mostra a Fig.3, a curva pós-ruptura AB é obtida pela translação do segmento MN, do braçodescendente da curva original, paralelamente ao eixo horizontal. O valor secantede ES, correspondente a algum valor corrente de β, será dado, então, por

( )EEEEEEEE

EAMMNfMA

MAMNS

−+=

βββ

(7)

onde EMN é o valor secante ao longo da curva de pós-ruptura original, obtidapor meio da Eq. (4), usando o sinal negativo. As constantes EA e EM são tambémdeterminadas da Eq. (4), usando-se os sinais positivo e negativo,respectivamente, e o valor do índice de não-linearidade na ruptura, isto é, β=βf.

Figura 3 - Comportamento pós-ruptura para estados de tensão intermediários


Figura 4 - Determinação de ES no caso de descarga no concreto

Mesmo para carregamentos monótonos, pode ocorrer, eventualmente,uma redução no valor das componentes de tensão, que atuam em um ponto doconcreto, antes de atingir-se a superfície de ruptura. Isto acontece, por exemplo,quando surgem deformações de fluência ou de retração em peças armadas deconcreto. Ao considerar-se, em tais situações, o comportamento do concretocomo elástico, conforme o modelo de Ottosen, corre-se o risco de descreverinadequadamente o seu funcionamento real, em especial para níveis de tensãoelevados. Nestes casos, adota-se para o módulo de deformação secante doconcreto, o valor dado pela expressão

EEE

E

P

P

S

00

1111

+

−

=

ββ

(8)

onde E0 é o módulo de deformação inicial do concreto; β é o índice de não-linearidade, correspondente ao estado corrente de tensão; βP e EP são valoresreferentes ao estado de tensão anterior à descarga (ponto P), conforme a Fig. 4.

Para se determinar o valor secante do coeficiente de Poisson, νS, deve-seobservar que, tanto para um carregamento de compressão uniaxial, comotriaxial, o comportamento volumétrico é uma compactação, seguida por umadilatação. Assim, têm-se

νν 0=S , quando β<βa (9)


( )

−−

−−−=βββ

ννννa

affS

11

2

0 , quando β>βa (10)

onde ν0 é o coeficiente de Poisson inicial; νf é o valor secante do coeficiente dePoisson na ruptura. Utiliza-se βa=0,8 e νf=0,36 para todos tipos de concreto ecarregamento.

Figura 5 - Variação do valor secante do coeficiente de Poisson

A Eq. (10) só é válida até a ruptura. Pouco é conhecido sobre ocomportamento de νS na região de pós-ruptura, mas há uma constataçãoexperimental de que a dilatação continua nesta fase. Desta forma, este aumentode νS é aproximado pelo seguinte procedimento: com dois valores consecutivosconhecidos de ES (i, i+1 simbolizam dois estados de tensão sucessivos) e com ovalor conhecido de νS,i admite-se que os módulos volumétricos correspondentespermanecem constantes. Assim, calcula-se νS,i+1 da relação

( ) ( )νν 1,

1,

,

,1,,

21313 +

++

−=

−==

iS

iS

iS

iSiSiS

EEKK (11)

O valor de νS deve ser menor do que 0,5.

Resumindo, o modelo é calibrado por seis parâmetros: os parâmetroselásticos iniciais E0 e ν0, os dois parâmetros de resistência fc e fct, o parâmetro deductilidade εc e o parâmetro de pós-ruptura D.


A ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO

1 - Generalidades

O comportamento carga-deslocamento do concreto armado é fortementeinfluenciado pela interação dos seus dois componentes: o concreto e o aço. Aaderência entre estes materiais é que torna possível a transmissão de esforços.Pode-se dividir os mecanismos de aderência em três componentes: a adesãoquímica, o atrito e o engrenamento mecânico entre o aço e o concreto.

O efeito da aderência evidencia-se a partir da fissuração do concreto. Noestado não-fissurado, o carregamento produz tensões principais de tração ecompressão nos materiais. Com o aumento da carga, atinge-se a resistência àtração do concreto. Neste momento, ocorre uma ruptura local do material e afissura se forma. Após a fissuração, as tensões de tração normais à fissura, queeram inicialmente transmitidas pelo concreto, passam a ser transmitidas pelaarmadura. A transferência das tensões do concreto para o aço é feita pelosmecanismos de aderência.

A qualidade da aderência é decisiva para a distribuição e para a aberturadas fissuras. Ela depende das características das barras da armadura(conformação superficial e diâmetro), da resistência do concreto, da história decarga (especialmente se ocorrerem cargas cíclicas) e das tensões normais àsuperfície da barra.

A incorporação da aderência nos cálculos, através do método doselementos finitos, depende da forma de conectar os elementos de aço aos deconcreto. Existem duas maneiras distintas para se modelar esta ligação. Naprimeira, usam-se elementos especiais de aderência. Nestes, as propriedades daaderência são modeladas por suas relações tensões-deslocamentos. Da segundamaneira, os elementos de aço e de concreto são ligados diretamente. Neste caso,admite-se completa compatibilidade de deformações entre aço e concreto, emodifica-se a lei do material (concreto ou aço), para considerarem-se osmecanismos de interação.

A escolha da forma de modelar a aderência depende do problemaespecífico a ser analisado. O uso de elementos especiais de aderência requergrande esforço computacional. Portanto seu emprego só se justifica nos casosem que as tensões de aderência são de particular interesse (por exemplo, estudode zonas de ancoragem). Em geral, no cálculo de estruturas completas, admite-se completa compatibilidade de deformações entre o concreto e a armadura, emodela-se o efeito da aderência indiretamente, incrementando-se a rigidez àtração.


Figura 1 - O elemento “ligação de aderência”

2 - Os elementos de aderência

Neste item, descreve-se, brevemente, os três tipos básicos de elementos deaderência encontrados na literatura.

O elemento de aderência mais simples é o elemento “ligação deaderência” (bond link), desenvolvido por Ngo e Scordelis (1967). Este elemento,que é mostrado na Fig. 1, conecta um nó do elemento de concreto com um nó doelemento de aço adjacente. O elemento não tem dimensão física, ou seja, ascoordenadas dos nós ligados coincidem.

O elemento consiste de duas molas, uma paralela e uma normal ao eixolongitudinal da barra de armadura. A mola paralela relaciona as tensões locaisde aderência com o deslizamento. A sua rigidez kb, chamada de módulo dedeslizamento, é estimada a partir de valores experimentais de ensaios dearrancamento, podendo seguir leis lineares ou não-lineares. A mola normal aoeixo da armadura transmite o esforço normal entre a armadura e o concreto. Éimportante para modelar o efeito de pino da armadura. Em problemas em queeste efeito pode ser negligenciado, toma-se um valor grande para kc. Casocontrário, a rigidez kc deve ser determinada experimentalmente.

Nilson, em (1971), sugeriu um refinamento para este elemento,distinguindo entre elementos dentro da massa de concreto e elementos próximosà face de uma fissura, que exibem comportamentos significativamentediferentes.

A segunda maneira de modelar a aderência, no cálculo por elementosfinitos, é empregando “elementos de contato” (contact elements), desenvolvidospor Schäfer (1975). Estes elementos (Fig. 2) ligam os nós de um elemento deaço com os nós correspondentes do elemento de concreto adjacente.


Figura 2 - O elemento de contato linear

O elemento de contato tem ao menos dois nós duplos e o mesmocomprimento que o elemento conectado de armadura. Entre os nós duplos,estabelece-se uma função de interpolação para os deslocamentos relativos. Paraum elemento de contato com dois nós duplos, esta função é linear, para três nósduplos é quadrática. Formulações de ordem superior são possíveis, mas não sãogeralmente usadas. Naturalmente, a ordem do elemento de contato deve sercompatível com a ordem dos elementos conectados de concreto e de armadura.

Para estabelecer a matriz de rigidez, tanto do elemento de contato, comodo elemento de ligação, pode-se empregar uma função constante ou uma quedependa não-linearmente do deslizamento ou de outros fatores. Isto permite aconsideração da influência da tensão no concreto adjacente, da fissuração e deoutras não-linearidades.

A previsão "exata" dos valores das tensões de aderência pode ser feitaapenas nos nós. As tensões de aderência entre os nós dependem, além dosvalores nodais, da função de interpolação (linear ou quadrática) do elemento.

O terceiro grupo de elementos de aderência é o dos chamados “elementosda zona de aderência” (bond zone elements), desenvolvidos por Groot, Kusters eMonnier (1981). Estes elementos (Fig. 3) modelam o concreto na vizinhança dabarra de armadura, adotando uma lei para o material que considera aspropriedades especiais desta zona de aderência.

Neste modelo, a tensão de aderência τ é considerada como a soma daresistência ao deslizamento τ0 e do engrenamento mecânico τk.


Figura 3 - O elemento da zona de aderência

3 - Modelos sem os elementos especiais de aderência

Quando a tensão principal de tração no concreto atinge a sua resistência àtração, ocorre uma ruptura local, formando-se uma fissura. O concreto entre asfissuras continua resistindo a esforços de tração. Estes esforços são transmitidosao concreto pelos mecanismos de aderência. Negligenciar esta capacidade decarga implica em subestimar significativamente a rigidez pós-fissuração a níveisde carga de serviço. Portanto, na análise de estruturas de concreto armado sobcargas de serviço, é fundamental a consideração da capacidade resistente doconcreto entre as fissuras.

Em geral, este efeito é considerado indiretamente, modificando-se a leimaterial para o concreto ou para o aço. Algumas maneiras de fazer isto são:

• ajustando uma relação momento curvatura média;

• considerando uma armadura virtual adicional;

• introduzindo um ramo descendente suave na relação tensão-deformação doconcreto sob tração;

• calculando as tensões na armadura em função de suas deformações médias.

Estes métodos indiretos são utilizados quando os elementos de concreto eaço são ligados diretamente nos nós. Este modo de considerar a rigidez à traçãonão permite qualquer previsão sobre deslizamento ou tensão de aderência.


O MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

1 – Elementos finitos para o concreto

Para o estudo das estruturas de concreto são utilizados os mesmoselementos finitos empregados em qualquer análise através do método doselementos finitos. Estes elementos podem ser bi ou tridimensionais, permitindoa análise de situações de estado plano de tensão ou deformação, flexão de placa,cascas, etc.

No Boletim No. 159, do Comité Euro-International du Béton (1983),encontram-se relacionados mais de cem trabalhos de aplicações do método doselementos finitos à análise de estruturas de concreto. Neste Boletim, sãoapresentados a referência completa do trabalho, incluindo autores, tipo deestrutura analisada, tipo de elemento empregado para o concreto e para aarmadura, modelo constitutivo para os materiais e superfície de ruptura para oconcreto, modelo de aderência e modelo de fissuração.

2 – Elementos finitos para a armadura

A armadura pode ser introduzida no modelo de elementos finitos de trêsformas distintas:

(i) Modelo contínuo equivalente: conveniente no caso de placas e cascas comarmadura densamente distribuída, onde se usa uma discretização emcamadas.

(ii) Modelo discreto: a armadura é representada por elementosunidimensionais, tipo treliça, cujas matrizes de rigidez são superpostas àsdos elementos de concreto. Este modelo é, em geral, empregado com os“elementos especiais de aderência”. Tem a desvantagem de limitar amalha de elementos finitos de concreto em função da distribuição daarmadura.

(iii) Modelo incorporado: a barra de armadura é considerada como uma linhade material mais rígido no interior de um elemento de concreto. Pode-seTer dentro de cada elemento quantas barras se desejar. Supõe-se, emgeral, que exista aderência perfeita entre o aço e o concreto (varia-se arigidez do concreto tracionado para incorporar a degradação daaderência). Os deslocamentos ao longo da barra de armadura sãoexpressos em função dos deslocamentos nodais do elemento de concreto.Com isto, obtém-se para a armadura uma matriz de rigidez de mesmasdimensões que a matriz de rigidez do concreto. A matriz de rigidez doelemento de concreto armado vai ser a soma das matrizes de rigidez daarmadura e do concreto.


ALGORITMOS PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA NÃO-LINEAR

A análise por elementos finitos de uma estrutura de concreto envolve asolução de um problema do tipo

{ }( )[ ] { } { }FUUK =onde

{ }( )[ ]UK é a matriz de rigidez global do sistema, que é função do estado dedeformação da estrutura.

{ }U é o vetor de deslocamentos nodais.

{ }F é o vetor de forças nodais equivalentes externas.

Este problema é não-linear, pois, para determinar-se { }U , é necessário

conhecer-se [ ]K , que, por sua vez, é uma função de { }U .

Existe uma infinidade de algoritmos para resolver problemas destanatureza.

(i) Método das aproximações sucessivas (rigidez secante)

(a) calcula-se a matriz de rigidez inicial secante, [ ]K S0 , em função do estado de

deslocamentos iniciais, { }U 0 ; iteração inicial 1=i .

(b) determina-se uma estimativa para os deslocamentos, correspondentes àsforças nodais { }F por

{ } [ ] { }FKU Sii 1

1

−−=

(c) verifica-se a convergência

{ } { } { }UUU ii 1−−=∆

{ } { }{ } { } ε<

∆∆UU

UU

iiT

T


(d) calcula-se a matriz de rigidez secante [ ]K Si , correspondente ao estado de

deslocamento { }U i ; incrementa-se )1( += iii e volta-se ao passo (b).(ii) Método da rigidez tangente (Newton-Raphson)

(a) calcula-se a matriz de rigidez inicial tangente, [ ]KT0 , em função do estado de

deslocamentos iniciais, { }U 0 .

(b) estabelece-se que o vetor inicial de forças não equilibradas { }F∆ 0 é o

próprio vetor de forças nodais { }F ; iteração inicial 1=i .

(c) determina-se o incremento de deslocamentos por

{ } [ ] { }FKU iTii ∆=∆ −−

−11

1

(d) determina-se a nova estimativa de deslocamentos

{ } { } { }UUU iii ∆−= −1

(e) verifica-se a convergência por

{ } { }{ } { } ε<∆∆

UUUUii

Tii

T

(f) determina-se o vetor de forças nodais equilibradas por

{ } { } { }dVBFV

Teqi ∫= σ

(g) determina-se o novo vetor de forças nodais não equilibradas

{ } { } { }FFF eqii −=∆

(h) teste alternativo de convergência

{ } { }{ } { } ε<∆∆

FFFFii

Tii

T


(i) calcula-se a matriz de rigidez tangente [ ]KTi , correspondente ao estado de

deslocamento { }U i ; incrementa-se )1( += iii e volta-se ao passo (c).

(iii) Método da rigidez inicial

Substitui-se a expressão do item (c) do algoritmo de rigidez tangente por

{ } [ ] { }FKU iT

i ∆=∆ −−

10

1

Não é necessário, no passo (i), calcular [ ]KTi .

Ø Variações:

• Quando incrementa-se { } { } { }FFF ∆+= , calcula-se [ ]KT em função de

{ }U da última iteração da etapa anterior.

• Calcula-se [ ]KT na 2ª iteração de cada etapa de carga ou a cada n iterações.


ANEXO A -FUNDAMENTOS SOBRE O CRITÉRIO DE RUPTURA PARA OCONCRETO

A.1 - Generalidades

Um critério de ruptura de um material isotrópico deve ser uma função doestado de tensão, independente da escolha do sistema de coordenadas em que atensão esta definida. Um modo de representar tal função e através do uso dastensões principais, ou seja,

0),,( 321 =σσσf (A.1)

Uma forma mais conveniente de expressar o critério de ruptura éutilizando os invariantes de tensão. Assim, por exemplo, tem-se

0),,( 321 =JJIf (A.2)

onde I1 é o primeiro invariante do tensor de tensão σij e J2, J3 são o segundo e oterceiro invariantes do tensor de tensão anti-esférico sij. Estes três invariantespermitem uma interpretação simples, independente das propriedades domaterial.

Neste anexo, serão apresentados os elementos básicos para a formulaçãode um critério de ruptura para o concreto, conforme estudo de Chen (1982).

A.2 - Os invariantes de tensão

Por definição, as tensões tangenciais em um ponto são nulas sobre umplano principal. Este plano é definido pela direção principal ni de uma tensãoprincipal σ. Assim, a direção do vetor de tensões, Ti, neste ponto, deve ser amesma da normal ni ou seja, Ti = σ ni. Desta forma, tem-se para cada direção

0)( =− jijij nδσσ (A.3)

onde o tensor de tensão, σij, está relacionado com o vetor Ti pela fórmula deCauchy, nT jiji σ= , δδ jiij = é o delta de Kronecker, cujo valor é 1, se i=j e 0, sei≠j. A Eq. (A.3) é um sistema de três equações lineares homogêneas (n1,n2,n3).


Este sistema tem solução, se e somente se o determinante dos coeficientes énulo.

0|| =− ijij δσσ (A.4)ou

0=−

−−

σστττσστττσσ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(A.5)

A Eq. (A.5) pode ser escrita na forma

0322

13 =−+− III σσσ (A.6)

ondeσσσσ iizyxI =++=1 (A.7)

σστττσσσσσσ ijijzxyzxyxzzyyx II21

21

)( 21

2222 −=−−−++= (A.8)

III jiijkijkij

zzyzx

yzyyx

xzxyx3113

61

21

31

+−== σσσσσστττστττσ

(A.9)

Usando as tensões principais, têm-se

σσσ 3211 ++=I (A.10)

)( 1332212 σσσσσσ ++=I (A.11)

σσσ 3213 =I (A.12)

As quantidades I1, I2, I3 não dependem do sistema de coordenadas e sãochamadas de invariantes de tensão σij.

Pode-se expressar o tensor de tensão σij como a soma de uma tensãohidrostática (esférica) σm e um desvio do estado hidrostático sij. Assim,

ijij mij s δσσ += (A.13)

onde


Iiizyxm 131

31

)(31 ==++= σσσσσ (A.14)

A tensão hidrostática σm representa atensão média ou a tensão hidrostática pura. O tensor de tensão anti-esférico sij

representa um estado de cisalhamento puro.

Os invariantes do tensor anti-esférico sij são obtidos de forma análoga aanterior. Desta maneira, tem-se

0|| =− δ ijij ss (A. 15)ou

0322

13 =−−− JsJsJs (A.16)

onde01 =++== ssssJ zyxii (A.17)

( ) ( ) ( )[ ] τττσσσσσσ 2222222

61

21

zxyzxyxzzyyxjiij ssJ +++−+−+−== (A.18)

ss

s

sssJ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

kijkij

ττττττ

==31

3 (A.19)

Da expressão (A.13), conclui-se que as direções principais de σij e sij sãoas mesmas. Assim, quando os eixos coordenados coincidem com as direçõesprincipais, têm-se

03211 =++= sssJ (A.20)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]σσσσσσ 132

322

2122

322

212

61

21

−+−+−=++= sssJ (A.21)

( ) ssssssJ 32133

32

313

31 ++=++= (A.22)

Às vezes, é conveniente expressar as tensões em relação ao planooctaédrico. Este plano forma ângulos iguais com cada uma das direçõesprincipais de tensão. A tensão normal, neste plano, chamada tensão normaloctaédrica, σoct, é igual a tensão normal média σm.


Figura A.1 - Decomposição das tensões no espaço das tensões principais

σσ moct I == 131

(A.23)

A tensão transversal, neste plano, chamada tensão tangencial octaédrica,τoct, é dada por

Joct 232

=τ (A.24)

A direção da tensão transversal octaédrica é definida pelo ângulo θ, dadopor

τθ

3323cos

oct

J= (A.25)

A representação geométrica mais simples do estado de tensão é obtidausando-se as três tensões principais σ1, σ2, σ3 como coordenadas de um ponto noespaço de três dimensões. Na Fig. A.1, o vetor {OP} representa um estado detensão.


Figura A.2 - Projeção no plano desviador dos eixos coordenados σ1, σ2 e σ3

Pode-se definir, neste espaço, o eixo hidrostático como a diagonal d, quedista igualmente dos três eixos (σ1=σ2=σ3). O vetor unitário, que direciona estadiagonal, é dado por

=

1

1

1

31

}{e (A.26)

Todos os pontos sobre esta diagonal representam estados de tensãohidrostáticos, isto é, as tensões anti-esféricas são nulas. Os planosperpendiculares à diagonal d são chamados planos desviadores. O planodesviador que passa pela origem do sistema de coordenadas é chamado plano πe é expresso por

0321 =++ σσσ (A. 27)

Os pontos do plano π representam estados de cisalhamento puro comnenhuma componente hidrostática.

Como o estado de tensão pode ser representado pelo vetor {OP}, épossível decompor este vetor em duas componentes, uma na direção do eixo


hidrostático, {ON}, e outra perpendicular ao eixo hidrostático, {NP}.

O comprimento de {ON} é

{ } { } { } IeOPON t1321

31

1

1

1

31

. =

=== σσσξ (A.28)

ou

σσξ octmI 333

11 === (A.29)

A componente {NP} é determinada por

{ } { } { }

=

−

=−=

sss

ONOPNP

m

m

m

3

2

1

3

2

1

σσσ

σσσ

(A. 30)

O quadrado do comprimento de {NP} é

02 223

22

21

22 ≥=++== rJsssrNP (A.31)ou

ττ 222

2 352 octmJr === (A.32)

Desta forma, o estado de tensão, dado pelo ponto P(σ1,σ2,σ3), podetambém ser caracterizado pelas coordenadas ξ, r, θ, conforme a Fig. A.1 e a Fig.A.2.

A.3 - Os invariantes de deformação

De modo semelhante, pode-se obter os invariantes de deformação. Assim,

εεεε iizyxI =++=1́ (A.33)

εεεεεεεεεεε ijijzxyzxyxzzyyx II21

´21

)(´ 21

2222 −=−−−++= (A.34)


´61

´21

31

´ 3113 III jiijkijkij

zzyzx

yzyyx

xzxyx

+−== εεεεεεεεεεεεεε

(A.35)

ou, em termos das deformações principais

εεεε iiI =++= 3211́ (A.36)

)(´ 1332212 εεεεεε ++=I (A.37)

εεε 3213́ =I (A.38)

A deformação anti-esférica eij é obtida por

δεε ijvijije31−= (A.39)

onde εv = I´1 . Os invariantes do tensor de deformação anti-esférico são

01́ ==++= eeeeJ iizyx (A.40)

( ) ( ) ( )[ ] εεεεεεεεε 2222222

61

21

´ zxyzxyxzzyyxjiij eeJ +++−+−+−== (A.41)

ee

e

eeeJ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

kijkij

εεεεεε

==31

3́ (A. 42)

ou, em termos das deformações principais

0´ 3211 =++= eeeJ (A.43)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]εεεεεε 132

322

2122

322

212

61

21

´ −+−+−=++= eeeJ (A.44)

( ) eeeeeeJ 32133

32

313

31

´ ++=++= (A.45)


De forma análoga, define-se as deformações octaédricas como

´31

31

1Ivoct == εε (A.46)

e

´38

22

Joct =γ (A.47)

A.4 - Características da superfície de ruptura do concreto

Neste item, serão resumidas as características da superfície de ruptura doconcreto, determinadas experimentalmente. A forma de uma superfície deruptura, em um espaço de tensões tridimensional, pode ser melhor descritaatravés de suas seções transversais nos planos desviadores e de seus meridianosnos planos meridianos.

As seções transversais da superfície de ruptura são as curvas de interseçãoentre a superfície de ruptura e um plano desviador, que é perpendicular ao eixohidrostático, com ξ constante. Os meridianos da superfície de ruptura são ascurvas de interseção entre a superfície de ruptura e um plano (o planomeridiano), que contém o eixo hidrostático, com θ constante.

Se o material for isotrópico, os índices 1, 2, 3 associados aos eixoscoordenados são arbitrários. Isto resulta na tríplice simetria, que apresenta asuperfície de ruptura, conforme aparece na Fig. A.2.

Assim, torna-se necessário apenas o estudo do setor θ=00 a 600, ficandoos demais setores conhecidos por simetria. A curva de ruptura no planodesviador apresenta, segundo evidências experimentais, as seguintescaracterísticas:

• a curva de ruptura é suave;

• a curva de ruptura é convexa, ao menos para tensões de compressão;

• a curva de ruptura tem aspecto do tipo apresentado na Fig. A.2;

• a curva de ruptura é aproximadamente triangular para tensões de tração ebaixas tensões de compressão (correspondendo a valores de ξ pequenos,próximos ao plano π), ficando mais circular a medida que as tensões decompressão aumentam (crescimento dos valores de ξ).

Os meridianos determinados por valores de θ iguais a 00, 300 e 600 sãochamados, respectivamente, de meridiano de tração, de cisalhamento e decompressão.


Figura A.3 - Meridianos de compressão e de tração

Conforme aparece na Fig. A.3, as curvas de ruptura nos planos meridianosapresentam as seguintes características:

• as curvas de ruptura dependem da componente hidrostática da tensão, I1 ou ξ;

• as curvas de ruptura são suaves e convexas;

• rt/rc < 1, onde os índices t e c correspondem aos meridianos de tração ecompressão, respectivamente;

• o valor da relação rt/rc aumenta com o aumento da pressão hidrostática;

• um carregamento hidrostático não pode causar a ruptura.

Documents

Material sobre tensão e deformação8.pdf