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Formas indeterminadas e a Regra de L’Hôspital Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc12010_2.html

Material(online:(h-p:// ... · Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito

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Formas  indeterminadas  e  a  Regra  de  L’Hôspital  

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Regra  de  L’Hôspital  

Considere a função F (x) =lnx

x− 1

Como calcular ?  limx→1

F (x)

Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo  

limx→a

f(x)

g(x)0

0

Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que   limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0

Exemplo:   limx→1

x2 − x

x2 − 1= lim

x→1

x(x− 1)

(x+ 1)(x− 1)= lim

x→1

x

x+ 1=

1

2

limx→0

sinx

x= 1

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Regra  de  L’Hôspital  

Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que  

Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo  

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

g(x) = ±∞

limx→±∞

f(x)

g(x)∞∞

Exemplo:   limx→∞

lnx

x− 1= ?  

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Regra  de  L’Hôspital  

Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que  

e  

e  

ou  

Então   se o limite das derivadas existir.  

Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito.  

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Forma indeterminada do tipo  0

0

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Forma indeterminada do tipo  ∞∞

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente:  

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar!  

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

Forma indeterminada do tipo  0

0

Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente:  

limx→0

2 · secx · ddx [secx]

6x= lim

x→0

2 · sec2 x tanx6x

=1

3limx→0

sec2 x · limx→0

tanx

x=

1

3limx→0

tanx

x

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez:  

1

3limx→0

tanx

x=

1

3limx→0

sec2 x

1=

1

3

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Regra  de  L’Hôspital  

Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e  limx→a

f(x) = 0 limx→a

g(x) = ±∞

Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo  

limx→a

f(x) · g(x)

0 ·∞

Observe que , onde neste caso teremos uma forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital.  

limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x)1

g(x)

0

0

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

lnx

Forma indeterminada do tipo  0 ·∞

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Regra  de  L’Hôspital  

Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e  

Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo  

Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente.  

limx→a

f(x) = ∞ limx→a

g(x) = ∞

limx→a

[f(x)− g(x)]

∞−∞

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

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Regra  de  L’Hôspital  

Definição: Potências indeterminadas:  

e  

e  

e  

tipo  

tipo  

tipo  

Estratégia: Tome o logaritmo natural:  

 

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Regra  de  L’Hôspital  

Exemplo:  

Quando ,   e  

Aplicando a Regra de L’Hôspital:  

= elimx→0+ ln y