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Formas indeterminadas e a Regra de L’Hôspital
Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Regra de L’Hôspital
Considere a função F (x) =lnx
x− 1
Como calcular ? limx→1
F (x)
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo
limx→a
f(x)
g(x)0
0
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que limx→a
f(x) = limx→a
g(x) = 0
Exemplo: limx→1
x2 − x
x2 − 1= lim
x→1
x(x− 1)
(x+ 1)(x− 1)= lim
x→1
x
x+ 1=
1
2
limx→0
sinx
x= 1
Regra de L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo
limx→±∞
f(x) = limx→±∞
g(x) = ±∞
limx→±∞
f(x)
g(x)∞∞
Exemplo: limx→∞
lnx
x− 1= ?
Regra de L’Hôspital
Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que
e
e
ou
Então se o limite das derivadas existir.
Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito.
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Forma indeterminada do tipo 0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Forma indeterminada do tipo ∞∞
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente:
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar!
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Forma indeterminada do tipo 0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente:
limx→0
2 · secx · ddx [secx]
6x= lim
x→0
2 · sec2 x tanx6x
=1
3limx→0
sec2 x · limx→0
tanx
x=
1
3limx→0
tanx
x
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez:
1
3limx→0
tanx
x=
1
3limx→0
sec2 x
1=
1
3
Regra de L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e limx→a
f(x) = 0 limx→a
g(x) = ±∞
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo
limx→a
f(x) · g(x)
0 ·∞
Observe que , onde neste caso teremos uma forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital.
limx→a
f(x) · g(x) = limx→a
f(x)1
g(x)
0
0
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
lnx
Forma indeterminada do tipo 0 ·∞
Regra de L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada do tipo
Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente.
limx→a
f(x) = ∞ limx→a
g(x) = ∞
limx→a
[f(x)− g(x)]
∞−∞
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Regra de L’Hôspital
Definição: Potências indeterminadas:
e
e
e
tipo
tipo
tipo
Estratégia: Tome o logaritmo natural:
Regra de L’Hôspital
Exemplo:
Quando , e
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
= elimx→0+ ln y