Mathcad Trabalho 2 Buck Boost

4 - MODELAGEM DO CONVERSOR CC-CC BUCK-BOOST EQUIVALENTE

O conversor CC-CC flyback pode ser representado pelo conversor buck-boostequivalente para facilitar o estudo do seu comportamento.

4.1 - Conversor Flyback

4.1.1 - Projeto do conversor

Especificaes do conversor flyback:

Vi 150:= [V]

Vo 48:= [V]

Po 200:= [W]

IoPoVo

:= [A]

[A]Ii

PoVi

:=

As consideraes de projeto so:

Ii Ii 10 %:= [A]

Vc Vo 0.5 %:= [V]

fs 20 103

:= [Hz]

D 0.35:=

Dl 1 D( ):=

nVo 1 D( )

Vi D:=

4.1.2 Dimensionamento do circuito de potncia

Indutor Magnetizante

LmVi D

Ii fs:= [H]

Capacitor de Sada

CoIo D

fs Vc:= [F]

Resistncia de Carga

RoVoIo

:= []

Resistncia Srie do Capacitor de Sada

RseVc

Ii

2

:= []

4.2 - Conversor Buck-Boost Equivalente

Para simplificar a anlise do conversor flyback utilizado o modelo do conversorbuck-boost equivalente referido para o lado secundrio do transformador. A topologia doconversor buck-boost equivalente mostrada na Figura 55.

+

oC. inV oR

D

mL

S

+

+

+

Figura 55 - Topologia do modelo do conversor buck-boost equivalente.

4.2.1 - Projeto do Conversor Equivalente

Especificaes do conversor boost equivalente:

Vieq n Vi:= [V]

fseq fs:= [Hz]

Deq D:=

Dleq 1 Deq:=

IieqPo

Vieq:= [A]

4.2.2 - Dimensionamento do Circuito de Potncia

Capacitor de Sada Equivalente

Coeq Co n2

:= [F]

Resistncia Srie Equivalente do Capacitor de Sada

RseqVcIieq

2

:= []

O valor do capacitor de sada escolhido foi de 330uF:

Co2 330 106

:= [F]

Rse2 0.5:= []

4.3 - Conversor Buck-Boost Equivalente com o Modelo da Chave PWM

A Figura 56 mostra a topologia do conversor buck-boost equivalente com a inserodo modelo da chave PWM.

iv

seRoR

osC1

o

v

+

msL

D

1

.

DV dD

ci

ai

cI d

+

Figura 56 - Topologia do conversor com a insero da chave PWM.

Consideraes sobre o modelo para a razo cclica constante:

ia D ic= 1( )

vcp D vap= 2( )

Consideraes sobre o modelo com pertubaes em todos os parmetros::

ia D ic Ic d+= 3( )

vapvcpD

VDD

+= 4( )

Aplicando as Leis das tenses e das correntes de Kirchhoff no modelo, obtem-se as seguintesequaes:

ia ic ip+= 5( )

Para D constante:

vo D vo+ s Li iL+ vi D+ 0= 6( )

Para perturbaes em todos os parmetros:

vovo

D+

s Li ic

D

viD

+VDD

d+ 0= 7( )

Para efeito de simplificao considera-se as seguintes igualdades:

VD Vi:= [A]

Ic Iieq Io+:= [A]

Rci Rse2:= []

Ci Co2:= [F]

4.4 - Funes de Transferncia do Conversor Buck-Boost Equivalente

4.4.1 - Funo de Transferncia para controlar a tenso de sada variando a tensode entrada.

0

?

o

i d

v

v=

=

A Figura 57 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razocclica igual a zero (d=0), ou seja, razo cclica constante.

ivseR

oR

osC1

o

v

+

msL

D

1

ci

ai

+

Figura 57 - Modelo do equivalente conversor.

Clculo da Funo de transferncia (Gvo1=vo/vi), a partir do modelo equivalente.

Aplicando a Lei das tenses de Kirchhoff:

vo vo D+ s Lm ic+ vi D+ 0=

iLmvo

Dl Z=

vo vo D s Lmvo

Dl Z

+ vi D+=

vo Dls Lm

Z Dl

vi D=

vo

vi

D Dl Z

Z Dl2

s L=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

Assim,

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ro D Dls Rse Co 1+( ) Ro Dl2 s Lm s Co Rse Ro+( ) 1+

=

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ro D Dls Lm s Co Rse Ro+( ) 1+ s Rse Co 1+( ) Ro Dl2+

=

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ro D Dls( )2 Lm Co Rse Ro+( ) s Lm Rse Ro Co Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia (Gvo1=vo/vi) apresentada a seguir:

Gvo1 w( )Co2 Rse2 j w( ) 1+ Ro Deq Dleq

Co2 Lm Ro Rse2+( ) j w( )2 Lm Rse2 Ro Co2 Dl2+ j w( )+ Ro Dleq2+:=

FTMAvo1 w( ) Gvo1 w( ):=

Valor obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo1:

Ax

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

5.64583349499999983.8042773859999999

1.65269140620.11894964

34.38494005999999847.25661219999999958.39377813000000167.122537300000005

76.3246369779.9331739

173.6308167162.4052902999999965.62344568999999719.00860782000000217.77497574999999927.78774802999999946.70590725999999662.737585410000001

141.6273606145.53622480000001

:=

Freq1 Ax 0

:= Ganho1 Ax 1

:= Fase1 Ax 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)

Figura 58 - Diagrama de bode da funo FTMAvo1(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.2 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a razocclica.

0

?

i

o

v

v

d=

=

A Figura 59 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso deentrada igual a zero (vi=0).

seRoR

osC1

o

v

+

msL

D

1

.

DV dD

ci

ai

cI d

+

Figura 59 - Modelo do conversor considerando vi=0.

Clculo da Funo de transferncia (Gvo2=vo/d), a partir do modelo equivalente.

A partir das Equaes (3), (4) e considerando:

ia ic io+=

ic io+ D ic Ic d+=

icIc d

Dl

vo

Z Dl=


vo vo D+ s L ic VD d+ 0=

vo Dl s LmIc d

Dl

vo

Z Dl

VD d+=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=Assim,

( )

vo

d

s Lm Ic VD Dl+( )s Rse Co 1+( ) Ro

s Cso Rse Ro+( ) 1+

Dl2 s Rse Co 1+( ) Ro

s Cso Rse Ro+( ) 1+

s Lm+

=

Efetuando as devidas manipulaes matemticas encontra-se a equao:

vo

d

s2

Lm Ic Rse2 Ro Co2 s Lm Ic Ro( ) Rse2 Co2 Ro VD Dl+ + VD Ro Dl+ s2 Lm Co2 Rse2 Ro+( ) s Lm Ro Rse2 Co2 Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia (Gvo2=vo/d) apresentada a seguir:

Gvo2 w( )Ro Rse2 Lm Ic Co2 j w( )

2 j w( ) Ro Ic Lm Ro Rse2 Co2 VD Dleq+( )+ VD Dleq R+

j w( )2 Lm Co2 Rse2 Ro+( ) j w( ) Lm Ro Rse2 Co2 Dleq2+ + Ro Dleq2+:=


Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo2:

Bx

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

50.91605879000000152.77504915000000154.95005780999999736.616559520000003

22.8629562511.5404419199999992.73212215499999994.536761681999999912.10976050999999914.027242080000001

171.72882670000001158.4125423000000156.9736786200000010.54026632829999999

20.55373635999999844.23307299999999766.462359649999996

81.46756723111.6538671999999976.561349030000002

:=

Freq2 Bx 0

:= Ganho2 Bx 1

:= Fase2 Bx 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)

Figura 60 - Diagrama de Bode da funo FTMAvo2(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.3 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (exata).

0

?

i

Li

v

id

=

=

A Figura 61 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando a perturbao natenso de entrada a zero (vi=0).

seRoR

osC1

o

v

+

msL

D

1

.

DV dD

ci

ai

cI d

+

Figura 61 - Topologia do conversor com vi=0.

Clculo da Funo de transferncia (GiL1=iLi/d), funo exata, a partir do modelo equivalenteconsiderando a tenso de entrada igual a zero (vi=0).

A partir das Equaes (3), (4) e considerando:

ic ia io+=

ia D ic Ic d=

ic io+ D ic Ic d+=


vo

vo

D

s L ic

D+

VDD

d+ 0=

vo D 1( ) s L ic VD d=

Para,

ic Dl Ic dvo

Z=

vo Ic d ic Dl( ) Z=Substituindo vo na equao:

vo Dl s L iL VD d=

Ic d ic Dl( ) Z Dl s L iL VD d=

Para,

iL ic=

iL Dl2 Z s L+( ) Ic Z VD( ) d=

iLd

Ic Z VD

Z Dl2 s L+=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

Assim,

iLd

Ics Re Co 1+( ) Ro

s Co Re Ro+( ) 1+

Dl VD

Dl2s Re Co 1+( ) Ro

s Co Re Ro+( ) 1+

s L+=

Efetuando as devidas manipulaes matemticas na equao encontra-se a funo:

iLd

s Co Rse Ro Ic VD Rse Ro+( ) Ic Ro+ VDs2 Lm Co Rse Ro+( ) s Lm Rse Co Ro Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia GiL1 :

GiL1 w( )j w( ) Co2 Ro Rse2 Dleq Ic VD Rse2 Ro+( ) VD Ic Ro+( )+

Lm Co2 Ro Rse2+( ) j w( )2 Co2 Ro Rse2 Dleq2 Lm+ j w( )+ Ro Dleq2+:=

FTMAiL1 w( ) GiL1 w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 62 - Diagrama de Bode da funo FTMAiL1(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.4 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (aproximada).

0

?

o i

Lo

v v

id

= =

=

A Figura 63 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando perturbaesnas tenses de entrada e de sada iguais a zero (vi=vo=0).

msL

D

1

.

DV dD

ci

ai

cI d

+

pi

Figura 63 - Topologia do conversor com vi=vo=0.

+

msL

.DV d

Li

Figura 64 - Modelo equivalente simplificado do conversor.

Clculo da funo de transferncia (GiL2=iLi/d), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.

iLmVD d

s Lm=

iLmd

VD

s Lm=

A funo de transferncia GiL2 :

GiL2 w( )VD

j w( ) Lm:=

FTMAiL2 w( ) GiL2 w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 65 - Diagrama de Bode da funo FTMAiL2(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.5 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a correnteno indutor.

0

?

i

o

L v d

v

i= =

=

A Figura 66 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes na tenso deentrada e na razo cclica iguais a zero (vi=d=0)..

seR

oR

osC1

ov

+

msL

D

1

ci

ai

+

Figura 66 - Modelo simplificado do conversor.

Clculo da funo de transferncia (Gvo3=vo/iL), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.

vo

vo

D

s Lm iL

D 0=

vo 1 D( ) s Lm iL=

vo Dl s Lm iL=

vo

iL

s Lm

Dl=

A funo de transferncia (Gvo3=vo/iL) apresentada a seguir:

Gvo3 w( )Lm j w( )

Dleq:=


w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)


4.4.6 - Funo de transferncia para impedncia de entrada.

0in dZ =

A Figura 68 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razo cclicaigual a zero (vd=0).

iv

seR

oR

osC1

o

v

+

msL

D

1

ci

ai

+

Figura 68 - Modelo do conversor com d=0.

Clculo da funo de transferncia (GZin=vi/ia) a partir do modelo simplicado do conversor.

vi DiaD

Z=

viia

Dl2 Z s Lm

1D

=

viia

Dl2 s Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+

s Lm

1D

=

viia

Dl2

s Rse Co 1+( ) Ro D s L s Co Rse Ro+( ) 1+ Ds Co Rse Ro+( ) 1+ D2

=

GZinviia

=

s2

Lm Co Rse Ro+( ) D s Rse Co Ro D Dl2 Lm D + Dl2 Ro D+s Co Rse Ro+( ) D2 D2+

=

A funo de transferncia (GZin) apresentada a seguir:

GZin w( )Lm Co2 Rse2 Ro+( ) D j w( )2 Rse2 Co2 Ro D Dleq2 Lm D j w( )+ Ro Dleq2+

Co2 D2

Ro Rse2+( ) j w( ) D2+:=

FTMAZin w( ) GZin w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 69 - Diagrama de Bode da funo FTMAZin(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.7 - Funo de transferncia para impedncia de sada.

0 ?o vi dZ = = =

A Figura 70 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes natenso de entrada e na razo cclica iguais a zero (vi=d=0).

seR

oR

osC1

o

v

+

msL

D

1

ci

ai

+

Figura 70 - Modelo do conversor com vi=d=0.

Clculo da funo de transferncia (GZout=vo/io), funo aproximada, a partir do modelo doconversor.

vo Dl s Lm iL 0=

Para,

iL ic=io

Dl=

vo Dl s LmioDl

=

vo

io

s Lm

Dl2

=

A funo de transferncia (GZout) apresentada a seguir:

GZout w( )j w( ) Lm

Dleq2

:=

FTMAZout w( ) GZout w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 71 - Diagrama de Bode da funo FTMAZout(w): (a) ganho; (b) fase.

4.4.8 - Funo de Transferncia para controlar a tenso de entrada variando a razocclica.

0

?

o

i

v

v

d=

=

A Figura 72 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso de sadaigual a zero (vo=0).

msL

D

1

.

DV dD

ci

ai

cI d

+

ciR

1isC

fI

cii

Figura 73 - Modelo equivalente do conversor.

Clculo da funo de transferncia (Gvi=vi/d) a partir do modelo equivalente.

iLvi

Rci1

s Ci+

=

vi s Ci

s Rci Ci 1+=

vi VD d+ s Li iL 0=

vi VD d+ s Livi s Ci

s Rci Ci 1+ 0=

vi 1s2 Li Ci

s Rci Ci 1+

VD d=

vid

VD

1s2 Li Ci

s Rci Ci 1+

=

vid

VD s Rci Ci 1+( )s Rci Ci 1+ s

2 Li Ci

=

A funo de transferncia (Gvi1=vi/d) apresentada a seguir:

Gvi1 w( )VD j w( ) Rci Ci 1+

j w( )2 Lm Ci j w( ) Rci Ci+ 1+:=

FTMAvi1 w( ) Gvi1 w( ):=

Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvi1:

Cx

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

40.58733225999999736.75642265999999836.097566290000003

17.368906796.531469628

1.30987239199999998.2558355829999996

14.9712484220.37989308999999924.215182800000001

106.2240889113.3143451

47.72808934999999832.90272791999999756.87500571999999773.19965704000000581.15071525999999884.17541701000000479.813459559999998

109.6141204

:=

Freq3 Cx 0

:= Ganho3 Cx 1

:= Fase3 Cx 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)


4.5 - Resultados da Anlise em Frequncia do Conversor Buck-BoostEquivalente

As funes de transferncia do conversor buck-boost equivalente no foramvalidadas por meio da anlise em frequncia. Porm, os valores obtidos na simulaoponto-a-ponto ficaram prximos aos tericos.

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Mathcad Trabalho 2 Buck Boost