UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIENCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE BACHARELADO EM MATEMATICA

ALGEBRAS

TRABALHO DE CONCLUSAO DE CURSO

Matheus Bordin Marchi

Santa Maria, RS, Brasil2015

ALGEBRAS

Matheus Bordin Marchi

Trabalho de Conclusao de Curso apresentado ao Curso de Bacharelado em Matematicada Universidade Federal de Santa Maria, como requisito parcial para a obtencao do grau

deBacharel em Matematica

Orientador: Prof. Joao Roberto Lazzarin

Santa Maria, RS, Brasil2015

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Ciencias Naturais e ExatasCurso de Bacharelado em Matematica

A Comissao Examinadora, abaixo assinada, aprova o trabalho de conclusaode curso

ALGEBRAS

elaborada porMatheus Bordin Marchi

como requisito parcial para a obtencao do grau deBacharel em Matematica

COMISSAO EXAMINADORA:

Joao Roberto Lazzarin, Prof. Dr.(UFSM)

(Presidente/Orientador)

Saradia Sturza Della Flora, Profa. Dra.(UFSM)

Daiana Aparecida da Silva Flores, Profa. Dra.(UFSM)

Fidelis Bittencourt, Prof. Dr.(UFSM)(Suplente)

Santa Maria, 17 de dezembro de 2015.

Agradecimentos

Agradeco a famılia, principalmente a meus pais, formada pela minha mae Naira BordinMarchi, pai Regis Razeira Marchi e irma Maura Bordin Marchi, que apos o segundosemestre do curso me apoiaram e estiveram sempre ao meu lado, e especialmente ao meupadrinho Sergio Augusto de Castro Marchi por ser quem me incentivou e encorajou acursar matematica. Agradeco ao meu orientador Joao Roberto Lazzarin por me apresentarao longo do curso esta area da matematica chamada algebra, a qual quero seguir estudandoao longo da vida, e tambem por me orientar ao longo deste trabalho com paciencia esabedoria. Agradeco aos professores Maurıcio Fronza da Silva, que acreditando em mimincentivou-me a participar de um intercambio, e Joao Batista Peneireiro por me guiar naparte mais complicada do curso, os primeiros semestres.

RESUMO

Trabalho de GraduacaoUniversidade Federal de Santa Maria

ALGEBRASAUTOR: MATHEUS BORDIN MARCHI

ORIENTADOR: JOAO ROBERTO LAZZARINLocal e Data da Defesa: Santa Maria, 02 de dezembro de 2015.

Neste trabalho apresentaremos duas definicoes para uma estrutura algebrica conhecidacomo algebra utilizando-se de ferramentas tais como somas diretas e produtos tensoriaissobre modulos. Para tanto apresentaremos inicialmente alguns resultados referentes aaneis comutativos e outros mais sobre modulos definidos sobre estes aneis.

Palavras-chave: Algebras. Modulos. Produto Tensorial.

ABSTRACT

Undergraduate Final ProjectUniversidade Federal de Santa Maria

ALGEBRASAUTHOR: MATHEUS BORDIN MARCHIADVISOR: JOAO ROBERTO LAZZARIN

Defence Place and Date: Santa Maria, December 02nd, 2015.

In this final project we will give two definitions of an algebraic structure called algebrausing concepts such as direct sums and tensor products over modules. Therefore, to startwe will present some results of commutative rings and also of modules defined over theserings.

Keywords: Algebras. Modules. Tensor Product.

Sumario

Sumario i

Introducao 1

1 Preliminares 2

1.1 Aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Homomorfismo de aneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Submodulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Homomorfismos de A-modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Produto tensorial e Algebras 11

2.1 Produto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Uma releitura da definicao de modulo via diagrama . . . . . . . . . 16

2.2 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Algebras sobre um anel comutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Referencias Bibliograficas 23

i

Introducao

Um anel (A,+, ·) que tem estrutura de espaco vetorial sobre um corpo k (mais geral-mente, tem estrutura de modulo sobre um anel comutativo com unidade B), e chamadode algebra se satisfaz a condicao de compatibilidade λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb), paratodo λ ∈ k, a, b ∈ A.

As algebras sao uteis em diversas areas do conhecimento, tais como as algebras de ma-trizes que sao eficazes na modelagem linear (ver [3]); as algebras de funcoes que resolvemproblemas da analise, como por exemplo, as algebras das funcoes contınuas, as algebrasdas funcoes derivaveis e a das funcoes C∞ (ver [4]), e mais especificamente, as algebrasde polinomios que sao importantes na geometria. Ainda, e possıvel obter a partir decertas algebras, novas algebras, tais como as algebras obtidas por somas diretas, produtosdiretos, produtos tensoriais, etc (ver [6]). Uma ferramenta importante em nosso texto,sera o produto tensorial entre espacos vetoriais (ou mais precisamente entre modulos). Oproduto tensorial e bem conhecido na literatura e e largamente utilizado no intuito deresolver um “defeito” que a operacao multiplicacao

M : A× A −→ A(a, b) 7−→ ab

apresenta numa algebra A, que e o fato de que apesar desta aplicacao M ser k-bilinear,ela nao e uma transformacao linear. Assim, o produto tensorial A⊗A e definido de formaa fornecer uma (unica) aplicacao

m : A⊗ A −→ Aa⊗ b 7−→ ab

que seja k-linear, permitindo assim, a transferencia de resultados validos para espacosvetoriais as algebras, e com isso permitir que possamos redefinir algebra nao mais apartir de propriedades que seus elementos devem cumprir, mas sim, de propriedades quem devera cumprir, ganhando com isso uma linguagem categorica (ver [9]), onde cadaalgebra e um objeto na categoria das algebras, e a aplicacao m e um morfismo entre osobjetos A⊗ A e A.

Neste trabalho de conclusao de curso, pretendemos introduzir as definicoes basicasde modulo, produto tensorial e algebra, e apresentar exemplos de todas estas estruturas.Para tanto, sera necessario uma revisao de alguns topicos de aneis e homomorfismos.

O trabalho esta dividido em 2 capıtulos. No primeiro capıtulo apresentamos os con-ceitos e algumas propriedades de aneis e modulos. No segundo, introduzimos a definicaode produto tensorial, assim como as duas definicoes de algebra, a classica e a via diagra-mas comutativos e verificamos a equivalencia destas, e finalizamos apresentando algunsexemplos desta estrutura algebrica.

1

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo, sera apresentado o conceito de modulo; submodulos com seus morfismos

e propriedades. Para uma melhor compreensao, revisaremos algumas das propriedades

basicas de aneis.

1.1 Aneis

Os aneis com unidade fazem o papel do corpo dos escalares quando generalizamos

a definicao de espaco vetorial sobre um corpo, portanto faremos uma breve revisao dos

conceitos mais importantes sobre aneis. As seguintes propriedades e exemplos foram

obtidos principalmente a partir de [7] e [11].

Definicao 1.1.1. Um conjunto nao vazio A e chamado de anel associativo, se em A

estao definidas duas operacoes, denotadas por + e · respectivamente, tal que para todo a,

b, c em A, valem:

i) a+ b = b+ a;

ii) (a+ b) + c = a+ (b+ c);

iii) Ha um elemento 0 em A tal que a+ 0 = a;

iv) Para cada a ∈ A, existe um elemento −a ∈ A tal que a+ (−a) = 0;

v) a(bc) = (ab)c;

vi) a(b+ c) = ab+ ac e (b+ c)a = ba+ ca.

Observacao 1.1.2. Dizemos que A e um anel com unidade se existe um elemento

1 ∈ A tal que 1a = a1 = a, para todo a ∈ A.

2

Observacao 1.1.3. Dizemos que A e um anel comutativo se ab = ba, para todos

a, b ∈ A.

Definicao 1.1.4. Um corpo A e um anel comutativo com unidade se A satisfaz as

condicoes de i) a vi) e todo elemento diferente do elemento 0A ∈ A possui inverso mul-

tiplicativo.

Exemplo 1.1.5. Os conjuntos dos numeros inteiros, racionais, reais e complexos munidos

de soma e multiplicacao usuais, sao exemplos aneis comutativos com unidade. Dentre estes

aneis, o unico que nao e um corpo e o anel dos inteiros, pois os unicos elementos inteiros

que possuem inversos inteiros sao o 1 e o −1.

Exemplo 1.1.6. O conjunto dos quaternios Quat = {ai+ bj + ck + d; a, b, c, d ∈ R, i2 =

j2 = k2 = −1 e ij = k, jk = i, ki = j} munido com soma pontual (ai + bj + ck + d) +

(ei + fj + gk + h) := (a + e)i + (b + f)j + (c + g)k + (d + h) e multiplicacao seguindo

as regras de multiplicacao de i, j, k acima, isto e (ai + bj + ck + d)(ei + fj + gk + h) :=

(ah+ bg+de− cf)i+(bh+ ce+df −ag)j+(ch+af +dg− be)k+(dh−ae− bf − cg) e um

exemplo de anel em que falha apenas a propriedade da comutatividade da multiplicacao

para ser um corpo. Por exemplo, para cada elemento nao nulo x = ai+bj+ck+d ∈ Quat,

temos que y = (d− ai− bj − ck)/(a2 + b2 + c2 + d2) ∈ Quat e tal que xy = yx = 1, isto

e, y e o elemento inverso de x.

Exemplo 1.1.7. O conjunto formado por todos os inteiros pares, denotado por 2Z, e um

anel comutativo, sem divisores de zero, mas que nao possui unidade.

Exemplo 1.1.8. O conjunto de todas as matrizes n × n sobre um anel arbitrario A,

denotado por Mn(A), e um anel.

Uma classe de subconjuntos importantes na teoria de aneis sao os ideais de um anel. O

leitor pode estudar tais topicos mais detalhadamente em [7]. Dizemos que um subconjunto

I ⊂ A e um ideal a esquerda de A se I e um subconjunto nao vazio de A fechado

em relacao a subtracao e a multiplicacao, e para todo i ∈ I, e todo a ∈ A, ai ∈ I.

Analogamente, podemos definir ideal a direita. Quando I ⊂ A e ideal a esquerda e

a direita, dizemos apenas que I e um ideal de A. Uma importante aplicacao destas

subestruturas e na obtencao dos chamados aneis quocientes, que sao obtidos a partir da

seguinte relacao de equivalencia: Se I e um ideal de um anel A, dados a, b ∈ A dizemos que

a se relaciona com b se a− b ∈ I, com as propriedades de I, facilmente se prova que esta

relacao e reflexiva, simetrica e transitiva, portanto obtemos um conjunto quociente que

geralmente e denotado por A/I. As classes de equivalencia sao dadas pelos subconjuntos

a + I = {a + i; i ∈ I} para cada a ∈ A. Podemos munir A/I com operacoes de soma

dada por (a+ I) + (b+ I) := (a+ b) + I e multiplicacao (a+ I).(b+ I) := (ab) + I, para

todo a, b ∈ A, que devido as propriedades do ideal estarao bem definidas. Por exemplo,

3

a multiplicacao (a + I).(b + I) := (ab) + I esta bem definida, pois se (a + I) = (x + I)

(b+ I) = (y + I) entao ab− xy = ab− xb+ xb− xy = (a− x)b+ x(b− y) ∈ I desde que

a− x ∈ I e b− y ∈ I e b e x sao arbitrarios em A.

Exemplo 1.1.9. Seja n um numero natural fixado. O conjunto nZ ⊂ Z e um ideal de

Z. De fato, nZ e um conjunto nao vazio, pois 0 = n.0 ∈ nZ, nx − ny = n(x − y) ∈ Z e

nxy = n(xy) ∈ Z para todo x, y ∈ Z. Vale observar que todo ideial de Z e da forma nZpara algum n natural (ver [7]).

Exemplo 1.1.10. Tomando A = Z e I = nZ ⊂ A, temos que esta bem definido o anel

quociente A/I = Z/nZ = {a + nZ; a ∈ Z} = {0 + nZ, 1 + nZ, ..., (n − 1) + nZ} com

exatamente n elementos.

Observacao 1.1.11. Um conjunto nao vazio G munido de uma operacao binaria + :

B × B → B satisfazendo os itens ii), iii) e iv) da Definicao 1.1.1 e uma estrutura

algebrica conhecida como grupo. Alem disso, G e dito ser um grupo abeliano se for

um grupo e satisfazer o item i). Um subconjunto nao vazio H ⊆ G e dito subgrupo

de G se e fechado em relacao a operacao +, e o inverso de todo elemento de H esta

contido em H. Ainda, um subgrupo H de G e dito ser um subgrupo normal em G

se Hx := {h + x;h ∈ H} = {x + h;h ∈ H} =: xH, para todo x ∈ G. Por exemplo, Se

tomarmos na estrutura de um anel (A,+, .) apenas (A,+) temos um grupo abeliano onde

portanto, todo subgrupo e normal.

1.1.1 Homomorfismo de aneis

Sejam A e B aneis. Denotaremos as operacoes desses aneis pelos sımbolos + e ·, 0A

o elemento neutro de A e por 0B o elemento neutro de B. Se A e B possuem unidade,

denotaremos por 1A a unidade de A e 1B a unidade de B.

Definicao 1.1.12. Uma funcao f : A −→ B diz-se um homomorfismo de aneis se

verifica, para todo a, b ∈ A:

i) f(a+ b) = f(a) + f(b);

ii) f(ab) = f(a)f(b).

Proposicao 1.1.13. Sejam A e B aneis e f : A −→ B um homomorfismo de aneis.

Entao, f(0A) = 0B e f(−a) = −f(a).

Demonstracao. Note que f(0A) = f(0A + 0A) = f(0A) + f(0A). Somando o simetrico de

f(0A) em ambos os lados, temos que f(0A) = 0B.

Agora, se a ∈ A temos 0B = f(0A) = f(a+ (−a)) = f(a) + f(−a), logo f(a) e o simetrico

de f(−a).

4

Exemplo 1.1.14. Claramente a funcao constante zero de A para B e a funcao identidade

de A para A sao homomorfismos de aneis.

Exemplo 1.1.15. A funcao f : C→ Quat tal que f(a+bi) = a−bj e um homomorfismo de

aneis. De fato, f((a+bi)+(c+di)) = f((a+c)+(b+d)i) = a+c−(b+d)j = (a−bj)+(c−dj),e f((a+bi)(c+di)) = f((ac−bd)+(ad+bc)i) = (ac−bd)− (ad+bc)j = (a−bj)(c−dj) =

f(a+ bi)f(c+ di).

Exemplo 1.1.16. Seja F o anel das funcoes munido com soma e multiplicacao pontuais.

A funcao φ : F→ R tal que φ(f) = f(1) e um homomorfismo sobrejetor de aneis. De fato,

φ(f +g) = f +g(1) = f(1) +g(1) = φ(f) +φ(g), e φ(fg) = fg(1) = f(1)g(1) = φ(f)φ(g).

Para ver que φ e sobrejetor observemos que dado r ∈ R temos que φ((x− 1)2 + r) = r.

1.2 Modulos

Em um espaco vetorial, o conjunto dos escalares estao em um corpo e age nos vetores

pela multiplicacao escalar sujeita a certos axiomas tais como a distributividade. Em um

modulo, os escalares somente precisam estar em um anel. Dessa forma, o conceito de

modulo e uma generalizacao de espaco vetorial. Uma boa parte da teoria de modulos

consiste em estender as propriedades de espacos vetoriais aos modulos sobre um anel

comutativo com unidade. Nao e possıvel estender todas propriedades de espacos vetoriais

aos modulos; por exemplo, nem todos modulos possuem uma base.

Por questao de simplicidade, desta parte do trabalho em diante, a menos que avise-

mos previamente, quando falarmos sobre um anel A fica subentendido que A e um anel

comutativo com unidade 1A.

Definicao 1.2.1. Seja A um anel. Diz-se que um conjunto nao vazio M e um modulo

a esquerda sobre A (ou um A-modulo a esquerda) se M e um grupo abeliano em relacao

a uma operacao que denotaremos por +, e esta definida uma lei de composicao externa

que a cada par (a,m) ∈ A×M associa um elemento am ∈M , tal que, para todo a, b ∈ Ae para todo m,n ∈M , verificam-se:

i) a(bm) = (ab)m;

ii) a(m+ n) = am+ an;

iii) (a+ b)m = am+ bm;

iv) 1Am = m.

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Observacao 1.2.2. De forma analoga, definimos um A-modulo a direita, considerando-

se a multiplicacao a direita por um elemento do anel A. Pode-se tambem definir um

modulo para aneis sem unidade. Neste caso, omite-se o item iv) da definicao acima.

Notemos que, no caso de A ser um anel comutativo, todo A-modulo a esquerda e um

A-modulo a direita (e vice-versa), definindo ma = am.

Observacao 1.2.3. Novamente, por uma questao de simplicidade, um A-modulo a es-

querda sera chamado apenas de A-modulo, ou ainda, modulo, quando nao ha ambiguidade

sobre o anel A.

Exemplo 1.2.4. Se k e um corpo, entao o conceito de espaco vetorial sobre k e k-modulo

sao identicos.

Exemplo 1.2.5. Todo grupo abeliano e um modulo sobre o anel dos inteiros Z, via

am := 0, se a = 0, ainda, am := m + m + m + ... + m (a vezes), se a>0 e finalmente,

am := (−a)(−m), se a<0. Nao e difıcil ver que valem os axiomas da Definicao 1.2.1, por

exemplo, para verificar que i) vale observemos que para a, b inteiros positivos (ab)m =

m+m+ ...+m (ab vezes). Por outro lado a(bm) = bm+ bm+ ...+ bm (a vezes), e onde

cada bm = m + m + ... + m (b vezes), daı, a(bm) = ((m + ... + m)a vezes + (m + ... +

m)a vezes + ... + (m + ... + m)a vezes)b vezes = (m + m + ... + m)ab vezes e do mesmo modo

provamos para os outros casos.

Exemplo 1.2.6. Todo anel A e um modulo sobre si mesmo, e e denotado por AA. Este

exemplo da uma ideia de como a teoria pode ser aplicada ao estudo da estrutura de aneis.

Se A e nao comutativo, AA e um A-modulo a esquerda e AA um A-modulo a direita.

Exemplo 1.2.7. Se I e um ideal a esquerda de A, entao I e um A-modulo, bastando

para isso definir x.i = xi para todo x ∈ A e todo i ∈ I, onde xi denota a multiplicacao

do anel A.

Exemplo 1.2.8. Dados A e B aneis com unidades 1A e 1B respectivamente, tais que

existe um homomorfismo de aneis h : A −→ B onde h(1A) = 1B. Podemos definir uma

estrutura de A-modulo sobre B via x.b = h(x)b para todo x ∈ A e b ∈ B. De fato

x.(a + b) = (h(x)(a + b)) = h(x)a + h(x)b; (x + y).b = h(x + y)b = h(x)b + h(y)b;

(xy).b = h(xy)b = (h(x)h(y))b = (h(x))(h(y)b) = h(x)(y.b) = x.(y.b) e finalmente 1A.b =

h(1A)b = 1Bb = b para todo x, y ∈ A,a, b ∈ B. Um exemplo particular deste caso e quando

tomamos A = Z,Q,R ou ainda, A = C e B = Mn(C) com , h(x) =

x 0 · · · 0

0 x. . .

......

. . . . . . 0

0 · · · 0 x

.

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1.2.1 Submodulo

Nesta secao, iremos apresentar a definicao e alguns exemplos de submodulo. Na

algebra linear estudamos espacos e subespacos vetoriais. Com o intuito de estender ao

maximo possıvel as propriedades destes conceitos aos modulos, apresentaremos agora a

definicao de submodulo, que e o analogo a subespaco vetorial.

Definicao 1.2.9. Seja M um A-modulo. Um subconjunto N ⊂ M diz-se um A-

submodulo de M se:

i) N e nao vazio, e para todo a, b ∈ N , a+ (−b) ∈ N ;

ii) N e fechado em relacao a multiplicacao por escalares.

Exemplo 1.2.10. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo k. Um subconjunto S ⊂ V

e um k-submodulo se, e somente se, S e um subespaco de V .

Exemplo 1.2.11. Se G e um grupo abeliano, entao os Z-submodulos de G sao os seus

subgrupos.

Exemplo 1.2.12. Os A-submodulos de AA sao os seus ideais a esquerda.

Como sabemos, todo espaco vetorial possui uma base. Isto nao acontece no geral em

modulos. Veremos agora algumas conceitos necessarios para o entendimento do que seja

uma base para modulos em geral. Seja M um A-modulo e X um subconjunto de M . O

menor submodulo de M contendo X e dado por {a1x1 + ... + akxk; ai ∈ A, xi ∈ X} que

e denotado por AX e chamado de submodulo de M gerado por X. Dizemos que X

gera M se AX = M . Agora, para arbitrarios e dois a dois distintos x1, x2, ..., xk ∈ X,

se a1x1 + ... + akxk = 0, onde ai ∈ A, implicar que ai = 0 para todo ındice i, entao X e

dito linearmente independente. Finalmente, dizemos que X e uma base de M se X

e linearmente independente e gera M .

Quando um A-modulo a esquerda M possui uma base (as vezes chamada A-base) ele

e chamado um A-modulo livre.

Assim, todo k-modulo em k corpo e livre (ver [8] ou [4]). No entanto, ZZ6 nao e livre. De

fato, suponha que ZZ6 seja livre e que a pertenca a base de Z6, temos 6a = 0, isto e, {a}nao e linearmente independente, o que e uma contradicao. Portanto ZZ6 nao e livre.

Agora, seja M um A-modulo e N ⊂M um A-submodulo de M . Considerando apenas

a estrutura de grupo aditivo abeliano de M , N e portanto subgrupo normal, e assim

podemos construir o grupo quociente M/N = {m + N | m ∈ M} cuja lei de composicao

interna e definida por:

(m1 +N) + (m2 +N) = (m1 +m2) +N .

7

Alem disso, podemos munir M/N com uma estrutura de A-modulo via multiplicacao por

escalares de A associando ao par (a,m + N) ∈ A ×M/N o elemento am + N ∈ M/N ,

sendo bem definida pois m1 −m2 ∈ N ⇒ am1 − am2 = a(m1 −m2) ∈ aN ⊂ N .

Definicao 1.2.13. O A-modulo M/N construıdo acima chama-se o modulo quociente

do modulo M pelo submodulo N .

Exemplo 1.2.14. Se I e um ideal a esquerda de um anel A, entao o quociente A/I e um

A-modulo.

1.2.2 Homomorfismos de A-modulos

Analogamente as transformacoes lineares entre k-espacos vetoriais, apresentaremos a

definicao de homomorfismo de modulos sobre um anel A.

Definicao 1.2.15. Sejam M e N A-modulos. Uma funcao f : M −→ N diz-se um

homomorfismo de A-modulos (ou um A-homomorfismo) se para todo m,n ∈ Me todo a ∈ A se verifica:

i) f(m+ n) = f(m) + f(n);

ii) f(am) = af(m).

De modo analogo, definimos um homomorfismo de A-modulos a direita. Defini-se

ainda os conjuntos Im(f) = {n ∈ N ; existe m ∈M com f(m) = n} e Ker(f) = {m ∈M ;

f(m) = 0}, chamados de imagem e nucleo da f , respectivamente.

Observacao 1.2.16. Se f e injetora, f e chamada monomorfismo Se f e sobrejetora,

f e chamada epimorfismo. Se f e simultaneamente monomorfismo e epimorfismo, f e

chamada isomorfismo, e neste caso M e N serao ditos isomorfos.

Observacao 1.2.17. Im(f) e Ker(f) sao A-submodulos de N e M , respectivamente.

Exemplo 1.2.18. Se k e um corpo, os k-homomorfismos sao as funcoes lineares entre

espacos vetoriais sobre k.

Exemplo 1.2.19. Os homomorfismos de grupos abelianos sao precisamente os Z-

homomorfismos.

Exemplo 1.2.20. Dado M um A-modulo. A funcao identidade de M , 1M : M −→ M ,

isto e, m 7−→ m e um A-homomorfismo.

Exemplo 1.2.21. Seja M um A-modulo. Para cada elemento a ∈ A pode-se definir uma

funcao fa : M −→ M por fa(m) = am, para todo m ∈ M . Tal funcao e chamada de

homotetia. Ainda, temos que se a ∈ Centro(A) = {a ∈ A | ax = xa; para todo x ∈ A},entao fa e um A-homomorfismo.

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1.3 Soma direta

Nesta secao vamos apresentar algumas maneiras de construir novos exemplos de A-

modulos. Para isto, veremos primeiramente as definicoes de soma direta interna e soma

direta externa.

Definicao 1.3.1. Seja A um anel e considere {Mi; i ∈ I} uma famılia de A-modulos

a esquerda indexada por um conjunto arbitrario de ındices I. Definimos como sendo a

soma direta externa de todos os Mi, ao A-modulo M cujos elementos sao todas as

sequencias (ai) onde ai = 0 com excecao de um numero finito de ındices, munido com

soma e multiplicacao por escalar pontuais, isto e, munido com soma e multiplicacao dadas

por

(ai)I + (bi)I = (ai + bi)I ,

r(ai)I = (rai)I

Em geral M e denotado por⊕i∈IMi.

Definicao 1.3.2. Seja A um anel e considere {Mi; i ∈ I} uma famılia de A-submodulos

a esquerda de um A-modulo R, indexada por um conjunto arbitrario de ındices I. Um

A-submodulo M de R e dito ser uma soma interna destes submodulos Mi se para cada

x ∈ M , existirem ındices i1, ..., in ∈ I tais que x = xi1 + ... + xin, para certos xij ∈ Mij ,

com j = 1, 2, ..., n. Alem disso, diremos que M e uma soma interna direta se a escrita

x = xi1 + ... + xin acima for unica. Em geral, a M e denotado por∑i∈IMi, e quando esta

soma for direta, usamos a mesma notacao usada na soma direta externa.

Exemplo 1.3.3. Sejam I = {1, 2, 3, 4} e Mi = {(x, ix);x ∈ R} R-modulos (retas no

plano passando pela origem). A soma direta externa⊕i∈IMi e isomorfa ao R4, enquanto

que a soma interna (que nao e direta) e isomorfa ao R2.

Um conceito que sera usado para definir produto tensorial e o de funcao A-bilinear de

modulos.

Definicao 1.3.4. Dados os A-modulos M , N e P , e A um anel comutativo. Uma funcao

f : M × N −→ P diz-se A-bilinear se e A-linear em cada variavel, isto e, se para todo

a, b ∈ A, m,m′ ∈M e n, n′ ∈ N .

i) f(am+ bm′, n) = af(m,n) + bf(m′, n);

ii) f(m, an+ bn′) = af(m,n) + bf(m,n′).

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Observacao 1.3.5. O fato de uma funcao ser A-bilinear nao implica na linearidade dela.

Por exemplo, dado o A-modulo B, a funcao m : B×B −→ B definida por m(a, b) 7−→ ab

e A-bilinear, mas nao e A-linear sobre o A-modulo B × B (que e isomorfo a soma direta

externa B⊕

B). De fato, a funcao m e A-bilinear pois dados x, y, z, t ∈ B, e a, b ∈ A,

temos que f(ax+by, z) = (ax+by)z = (ax)z+(by)z = a(xz)+b(yz) = af(x, y)+bf(y, z),

e f(x, az + bt) = x(az + bt) = x(az) + x(bt) = a(xz) + b(xt) = af(x, z) + bf(x, t).

10

Capıtulo 2

Produto tensorial e Algebras

Aqui apresentaremos as definicoes de produto tensorial e algebras, e trabalharemos com

aneis comutativos com unidade. O livro [2] foi usado como referencia.

2.1 Produto tensorial

Apresentaremos a definicao de produto tensorial atraves de uma propriedade universal

que o caracteriza (ver [2]).

Proposicao 2.1.1. Sejam M , N e P A-modulos e f : M ×N −→ P A-bilinear. Entao

existe um unico par (M ⊗ N, g) (a menos de isomorfismo) consistido de um A-modulo

M ⊗ N e uma funcao A-bilinear g : M × N −→ M ⊗ N , com a seguinte propriedade

universal:

Dados um A-modulo P e uma funcao A-bilinear f : M ×N −→ P quaisquer, existe uma

unica funcao linear f ′ : M ⊗N −→ P tal que f = f ′ ◦ g.

Demonstracao. (Unicidade): Suponhamos que (M ⊗ N) e (M ⊗ N)′ satisfazem a

proposicao. Trocando (M ⊗ N, g) por ((M ⊗ N)′, g′), obtemos uma unica funcao

11

j : M ⊗ N −→ (M ⊗ N)′ tal que g′ = j ◦ g. Da mesma forma, trocando M ⊗ N

por (M ⊗ N)′, obtemos j′ : (M ⊗ N)′ −→ M ⊗ N tal que g = j′ ◦ g′. Cada uma das

composicoes j ◦ j′, j′ ◦ j devem ser a identidade, e portanto j e um isomorfismo.

(Existencia): Seja C o conjunto das combinacoes lineares de elementos

de M × N com coeficientes em A, isto e, os elementos da soma direta externa C =⊕(x,y)∈M×N

A(x, y) sao expressoes da forman∑

i=1

ai(xi, yi) = a1(x1, y1) + a2(x2, y2) + ... +

an(xn, yn), tal que ai ∈ A, xi ∈ M e yi ∈ N , que tera estrutura de A-modulo conforme

Definicao 1.3.1 (tomando I = M ×N e Mi = Ai para cada i = (x, y) ∈ M ×N . Seja D

o submodulo de C gerado pelos elementos de C com uma das seguintes formas:

(x+ x′, y)− (x, y)− (x′, y)

(x, y + y′)− (x, y)− (x, y′)

(ax, y)− a(x, y)

(x, ay)− a(x, y)

Segue, da Definicao 1.2.13, que C/D e um grupo (aditivo) abeliano e portanto um A-

modulo com adicao definida por [(x, y) + D] + [(x′, y′) + D)] = [(x, y) + (x′, y′)] + D e

multiplicacao por escalar definida por λ[(x, y)+D] = (λ(x, y))+D com λ ∈ A. Denotemos

o grupo quociente C/D por M ⊗A N e a classe (x, y) + D por x ⊗ y. Seja a funcao

h : M × N −→ M ⊗A N com h(x, y) = x ⊗ y. Notemos que h e A-bilinear. De fato,

h(ax+bx′, y) = ax+bx′⊗y = ax⊗y+bx′⊗y = a(x⊗y)+b(x′⊗y) = ah(x, y)+bh(x′, y), e

de forma analoga a esta, mostramos que h(x, ay+ by′) = x⊗ay+ by′ = x⊗ay+x⊗ by′ =a(x ⊗ y) + b(x ⊗ y′) = ah(x, y) + bh(x, y′). Finalmente, M ⊗A N que e gerado pelos

elementos da forma x⊗ y, satisfaz as condicoes da proposicao.

Definicao 2.1.2. O modulo M ⊗N construıdo acima e chamado de produto tensorial

de M e N e e denotado por M⊗AN , ou simplesmente M⊗N se nao houver ambiguidade

sobre o anel A.

Tambem podemos definir o produto tensorial de A-homomorfismos desta forma:

Dados M , M ′, N e N ′ A-modulos, e f : M → M ′ e g : N → N ′ A-homomorfismos, a

funcao

ϕ : M ×N →M ′ ⊗A N′

definida por ϕ(x, y) = f(x)⊗ g(y) para x ∈M , y ∈ N satisfaz

ϕ(x+ x′, y) = ϕ(x, y) + ϕ(x′, y),

ϕ(x, y + y′) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y′),

ϕ(xa, y) = ϕ(x, ay) = aϕ(x, y),

para todo x, x′ ∈M , y, y′ ∈ N , a ∈ A. Assim o homomorfismo de Z-modulo

12

h : M ⊗A N →M ′ ⊗A N′

definido por h(x ⊗ y) = f(x) ⊗ g(y) para x ∈ M , y ∈ N e unico. O homomorfismo h e

chamado de produto tensorial de f e g, e e denotado por f ⊗ g. Por definicao, temos

que

(f ⊗ g)(x⊗ y) = f(x)⊗ g(y), x ∈M , y ∈ N .

Em particular, se A e um anel comutativo, f ⊗ g e um homomorfismo de A-modulos.

Observacao 2.1.3. Da demonstracao do teorema anterior, segue-se que:

i) (x+ x′)⊗ y = x⊗ y + x′ ⊗ y para todo x, x′ ∈M e y ∈ N ;

ii) x⊗ (y + y′) = x⊗ y + x⊗ y′ para todo x ∈M e y, y′ ∈ N ;

iii) (ax)⊗ y = x⊗ (ay) = a(x⊗ y) para todo a ∈ A, x ∈M e y ∈ N ;

iv) 0⊗ y = x⊗ 0 = 0M⊗AN ;

v) Um elemento arbitrario de M ⊗ N e da forma∑xi ⊗ yi, onde somente um numero

finito dos somandos sao nao-nulos, conforme Definicao 1.3.1 da secao 1.3.

Proposicao 2.1.4. Sejam M , N , P A-modulos. Entao existem isomorfismos:

i) M ⊗N → N ⊗M , via x⊗ y 7→ y ⊗ x;

ii) (M⊗N)⊗P →M⊗(N⊗P )→M⊗N⊗P , via (x⊗y)⊗z 7→ x⊗(y⊗z) 7→ x⊗y⊗z;

iii) (M ⊕N)⊗ P →M ⊗ P ⊕N ⊗ P , via (x, y)⊗ z 7→ (x⊗ z, y ⊗ z);

iv) (A⊗M)→M , via a⊗ x 7→ ax.

Todas as demonstracoes sao feitas utilizando-se a Proposicao 2.1.

Demonstracao. i) Considere ξ : M ×N → N ⊗M tal que ξ(x, y) = y⊗x e ξ′ : N ×M →M ⊗ N tal que ξ′(x, y) = y ⊗ x. Estas aplicacoes sao A-bilineares, portanto podemos

aplicar a propriedade universal do produto tensorial obtendo assim j : M ⊗N → N ⊗Me j′ : N ⊗M →M ⊗N tais que j(x⊗ y) = y⊗ x e j′(y⊗ x) = x⊗ y (ver diagrama 1 e 2

abaixo).

13

Considerando que a projecao π : M × N → M ⊗ N e bilinear e que novamente

aplicando a propriedade universal do produto tensorial obtemos que id : M⊗N →M⊗Ne j ◦ j′ satisfazem o diagrama da Proposicao 2.1, portanto pela unicidade, temos que

j ◦ j′ = idM⊗N e da mesma maneira provamos que j′ ◦ j = idN⊗M (ver diagrama 3

abaixo).

ii) Primeiramente observe que (M × N) × P = M × (N × P ). Agora, considere

ξ : M×N×P →M⊗(N⊗P ), ξ′ : M×N×P → (M⊗N)⊗P , definidas de maneira obvia.

Como estas aplicacoes sao A-bilineares temos que existem j : M⊗(N⊗P )→ (M⊗N)⊗P e

j′ : (M⊗N)⊗P →M⊗(N⊗P ) que satisfazem o diagrama da Proposicao 2.1. Utilizando-

se de raciocınio analogo ao usado no item i) acima, temos que j ◦ j′ = id(M⊗N)⊗P e

j′ ◦ j = idN⊗(M⊗P ).

iii) De forma semelhante aos dois itens demonstrados acima este item pode ser verifi-

cado.

iv) Considere ξ : M ⊗ A −→ M dada por ξ(∑mi ⊗ ai) =

∑aimi. A funcao ξ esta

bem definida pois, usando a Proposicao 2.1, temos que dados um A-modulo M e uma

funcao A-bilinear ξ′ : M ×A −→M tal que ξ′(m, a) = am (mostra-se que ξ′ e A bilinear

de forma analoga a feita Observacao 1.3.5 para a funcao m), existe uma unica funcao

linear ξ : M ⊗ A −→M , tal que ξ(m⊗ a) = am.

O diagrama acima comuta, isto e, ξ′ = ξ◦π. Agora, precisamos mostrar que ξ e A-bilinear

e um isomorfismo. A bilinearidade de ξ vem do fato que ξ(ax + bx′, y) = y.(ax + bx′) =

yax+ ybx′ = ayx+ byx′ = aξ(x, y) + bξ(x′, y), e de forma analoga a esta, mostramos que

ξ(x, ay + by′) = aξ(x, y) + bξ(x, y′).

14

A injetividade de ξ e verificada observando que, se

∑ai.mi = 0 =⇒ (

∑ai.mi)⊗ 1A = 0

=⇒∑

mi ⊗ ai.1A = 0

=⇒∑

mi.ai = 0,

pois

ξ(∑

mi ⊗ ai)− ξ(∑

mi ⊗ bi) = 0 =⇒∑

(aimi − bjmj) = 0

=⇒∑

aimi −∑

bjmj = 0

=⇒∑

aimi =∑

bjmj.

Ainda, ξ e obviamente sobrejetora, pois dado m ∈ M , existe m ⊗ 1A ∈ M ⊗ A tal que

m = ξ(m⊗ 1A).

Por ultimo, observe que ϕL(m) = m⊗ 1A e a inversa de ξ. Com efeito,

ξ ◦ ϕL(m) = ξ(m⊗ 1A) = 1Am = m,

e

ϕL ◦ ξ(m⊗ 1A) = ϕL(m) = m⊗ 1A.

Portanto M 'M ⊗ A.

Analogamente, ao considerar ϕR : M → A ⊗M dada por ϕR(m) = 1A ⊗ m, mostra-se

que M ' A⊗M . Portanto, temos M 'M ⊗ A ' A⊗M .

Observacao 2.1.5. A partir daqui, a funcao ξ sera denotada por ϕ−1L , e a inversa da

funcao ϕR de ϕ−1R .

Exemplo 2.1.6. Se m e n sao coprimos, Zm⊗Zn = 0. Denotemos por 1m e 1n as unidades

de Zm e Zn, respectivamente. Do fato de m e n serem coprimos, existem k, k′ ∈ Z tal

que mk′ − nk = 1. Assim, temos que m|kn + 1, e 1n = (kn + 1)1n. Desta forma,

1m ⊗ 1n = 1m ⊗ (kn + 1)1n = (kn + 1)1m ⊗ 1n = kn + 1 ⊗ 1n = 0 ⊗ 1n = 0. Como todo

elemento de Zm ⊗ Zn e um multiplo de 1m ⊗ 1n, segue que todos sao nulos.

Exemplo 2.1.7. Dado qualquer A-modulo M , denotamos por M [x] o conjunto de todos

polinomios de uma variavel x com coeficientes em M . Assim, os elementos de M [x] sao da

forma m0 +m1x+ ...+mnxn, com mi ∈M . Definindo o produto de um elemento de A[x]

e um elemento de M [x] de maneira obvia, M [x] ganha as propriedades de A[x]-modulo,

15

e ainda, M [x] ' A[x]⊗A M via ξ((∑aix

i)⊗m) =∑aimx

i, que esta bem definida pela

Proposicao 2.1.

2.1.1 Uma releitura da definicao de modulo via diagrama

Nesta secao veremos que a definicao de modulo dada na Definicao 1.2.1 pode ser refeita

exigindo que a aplicacao que define a multiplicacao por escalar satisfaca um certo dia-

grama. Como se pode ver em [5], existe uma definicao de A-modulo dada completamente

atraves de certos diagramas comutativos mas que nao sera dada neste texto. Estaremos

apenas interessados em mostrar que podemos fazer uma releitura dos axiomas que definem

modulos observando que esta definicao fornece ingrediente suficiente para obtermos um

diagrama comutativo. Isto nos ajudara a compreender melhor as definicoes de A-algebra

que serao apresentadas na proxima secao, assim como nos dara uma ideia de como provar

a equivalencia entre elas.

Observacao 2.1.8. A partir de um A-modulo B podemos obter via Proposicao 2.1.4

uma funcao linear ϕ−1R , tal que:

i) A e um anel com unidade;

ii) B e um grupo abeliano aditivo;

iii) ϕ−1R : A ⊗ B → B e um isomorfismo de A-modulos tal que ϕ−1R (a ⊗ b) = ab para

todo a em A, e b em B; (a notacao ϕ−1R foi convenientemente escolhida devido a

Observacao 2.1.5).

iv) O diagrama a seguir comuta:

Onde 1B denota a funcao identidade de B, ϕ−1R : A ⊗ B −→ B esta bem definida

segundo Proposicao 2.1.4 e Observacao 2.1.5. Ainda, · : A⊗A −→ A tal que · (a1⊗a2) =

16

a1a2 e linear, obtida quando olhamos A como um A-modulo e aplicamos a propriedade

universal do produto tensorial presente na Proposicao 2.1.1.

De fato, seja B um A-modulo. Precisamos mostrar que o diagrama da propriedade

associativa comuta, portanto, sejam a1, a2 ∈ A e b ∈ B, entao

a1(a2b) = ϕ−1R (a1 ⊗ a2b) = ϕ−1R ◦ (1A ⊗ ϕ−1R )(a1 ⊗ a2 ⊗ b),

e

(a1a2)b = ϕ−1R (a1a2 ⊗ b) = ϕ−1R ( · ◦ 1B)(a1 ⊗ a2 ⊗ b).

Como B e um A-modulo, temos a1(a2b) = (a1a2)b, o que implica ϕ−1R ◦ (1A ⊗ ϕ−1R ) =

ϕ−1R ◦ ( · ⊗ 1B). Portanto o diagrama comuta.

Ainda, ϕ−1R pode ser utilizada na obtencao dos itens ii) a iv) da Definicao 1.2.1. Com

efeito,

ϕ−1R ◦ (1A ⊗ ϕ−1R )(a1 ⊗ a2 ⊗ b) = ϕ−1R ◦ (· ⊗ 1B)(a1 ⊗ a2 ⊗ b),

garantimos que a1(a2b) = (a1a2)b. A distributividade a esquerda e satisfeita observando

que

a(b1 + b2) = ϕ−1R (a⊗ (b1 + b2)) = ϕ−1R (a⊗ b1 + a⊗ b2) = ab1 + ab2,

e a direita

(a1 + a2)b = ϕ−1R ((a1 + a2)⊗ b) = ϕ−1R (a1 ⊗ b+ a2 ⊗ b) = a1b+ a2b

para todo a, a1, a2 ∈ A e b, b1, b2 ∈ B.

Finalmente, a igualdade 1Ab = b pode ser obtida apenas observado que ϕ−1R ◦ ϕR = 1B, e

assim,

1Ab = ϕ−1R (1A ⊗ b) = ϕ−1R (ϕR(b)) = (ϕ−1R ◦ ϕR)(b) = 1B(b) = b, para todo b ∈ B.

2.2 Algebras

Agora apresentamos as duas definicoes de algebra. Uma e feita de maneira classica

e outra, inspirados na Subsecao 2.1.1, sera feita via diagramas comutativos. A versao

via diagramas e a que permite, num estudo avancado, trabalhar com conceitos duais,

definindo coalgebras e outras estruturas (ver [1]).

17

2.2.1 Algebras sobre um anel comutativo

Definicao 2.2.1. (Classica) Seja A um anel comutativo. Dado um anel B e um homo-

morfismo de aneis ηB : A −→ B. Se a ∈ A e b ∈ B, definimos o produto a · b = ηB(a)b,

tal que Im(ηB) esta contida no centro de B.

Usando soma usual e multiplicacao por escalar definida como acima, o anel B fica

com uma estrutura de A-modulo. O anel B, equipado com essa estrutura de A-modulo e

dita uma A-algebra.

Como a chamada regra da compatibilidade entre as estruturas de anel e modulo e

satisfeita:

(λa)b = a(λb) = λ(ab), para todo λ ∈ A, e x, y ∈ B.

Definicao 2.2.2. (Via diagramas comutativos) Uma A-algebra (associativa, com uni-

dade) e uma tripla (B,m, ηB), em que:

i) B e um A-modulo;

ii) m : B ⊗B −→ B e ηB : A −→ B sao homomorfismos;

iii) Os diagramas a seguir comutam:

Observe que, ϕL : B −→ B ⊗ A e ϕR : B −→ A⊗ B sao isomorfismos canonicos, tais

que ϕL(b) = b⊗1A e ϕR(b) = 1A⊗b definidas na demonstracao do item iv) da Proposicao

2.1.4.

Os homomorfismos m e ηB sao chamados de multiplicacao e unidade, respectivamente.

18

Observacao 2.2.3. Por uma questao de simplicidade, quando nao ha confusao, se cos-

tuma omitir o anel A em que se esta trabalhando. Tambem se costuma omitir a tripla que

define a algebra, apenas mencionando o A-modulo B. Os morfismos ficam implıcitos no

contexto. Dessa forma, costuma-se dizer “considere uma algebra B” em vez de “considere

uma A-algebra (B,m, ηB)”. Tambem, usa-se a propriedade universal do produto tensorial

para obter m linear a partir da funcao bilinear f : B ×B −→ B, tal que f(x, y) = x · y.

Agora, sera apresentado o resultado principal do trabalho. Mostraremos que as

duas definicoes sao equivalentes.

Proposicao 2.2.4. As duas definicoes apresentadas acima sao equivalentes.

Demonstracao. Seja B uma A-algebra pela definicao Definicao 2.2.1, ou seja, B e um A-

modulo com estrutura de anel associativo com unidade. Precisamos exibir m : B⊗B → B

e ηB : A −→ B, aplicacoes tal que os digramas da segunda definicao sejam comutativos.

Definimos

ηB : A −→ B

a 7−→ a · 1B.

Claramente ηB e A-linear e ηB(1A) = 1A · 1B = 1B. Por outro lado, considere a funcao

A-bilinear (a A-bilinearidade da funcao f e verificada na Observacao 1.3.5) dada por:

f : B ×B −→ B, f(a, b) = ab, a, b ∈ B.

Pela propriedade universal do produto tensorial existe uma unica funcao A-linear

m : B ⊗B −→ B, m(a⊗ b) = ab, a, b ∈ B.

Verificaremos agora a comutatividade dos diagramas. Dados a, b, c ∈ B,

m ◦ (m⊗ 1B)(a⊗ b⊗ c) = m(m(a⊗ b)⊗ 1B(c))

= m(ab⊗ c)

= (ab)c

= a(bc)

= m(a⊗ bc)

= m(1B(a)⊗m(b⊗ c))

= m ◦ (1B ⊗m)(a⊗ b⊗ c)

Como B e um anel associativo temos (ab)c = a(bc), o que implica m ◦ (m ⊗ 1B) =

m ◦ (1B ⊗m). Portanto, o diagrama da propriedade associativa comuta.

19

Para o segundo diagrama dado b ∈ B e considerando os isomorfismos usuais, ϕL :

B −→ B ⊗ A e ϕR : B −→ A⊗B, temos:

(m ◦ (ηB ⊗ 1B) ◦ ϕR)(b) = m ◦ (ηB ⊗ 1B)(1A ⊗ b)

= m(ηB(1A)⊗ b)

= m(1B ⊗ b)

= b

= m(b⊗ 1B)

= m(b⊗ ηB(1A))

= m ◦ (1B ⊗ ηB)(b⊗ 1A)

= (m ◦ (1B ⊗ ηB) ◦ ϕL)(b)

Temos assim que m ◦ (ηB ⊗ 1B) ◦ϕR = m ◦ (1B ⊗ ηB) ◦ϕL, isto e, o diagrama do elemento

neutro comuta. Portanto, (B,m, ηB) satisfaz os diagramas da Definicao 2.2.2.

Para mostrar a outra equivalencia, consideremos a algebra (B,m, ηB) via Definicao

2.2.2, ou seja, B e um A-modulo, e m, ηB sao aplicacoes A-lineares tais que comutam os

diagramas da segunda definicao. A partir daqui verificaremos as propriedades de anel. A

associatividade de B e dada pela comutatividade do primeiro diagrama, ou seja, o fato

de

m ◦ (m⊗ 1B)(a⊗ b⊗ c) = m ◦ (1B ⊗m)(a⊗ b⊗ c)

nos garante que (ab)c = a(bc), isto e, B e associativo. A distributividade a esquerda e

observada fazendo

a(b+ c) = m(a⊗ (b+ c)) = m(a⊗ b+ a⊗ c) = ab+ ac, a, b, c ∈ B

e a direita

(a+ b)c = m((a+ b)⊗ c) = m(a⊗ c+ b⊗ c) = ac+ bc, a, b, c ∈ B.

O elemento ηB(1A) e a unidade 1B de B. De fato, para todo b ∈ B, valem:

ηB(1A)b = m(ηB(1A)⊗ b) = m ◦ (ηB ⊗ 1B)(1A ⊗ b) = (m ◦ (ηB ⊗ 1B) ◦ ϕR)(b) = 1B(b) = b

e

bηB(1A) = m(b⊗ ηB(1A)) = m ◦ (1B ⊗ ηB)(b⊗ 1A) = (m ◦ (1A⊗ ηB) ◦ϕL)(b) = 1B(b) = b,

onde ϕL : B −→ B ⊗ A e ϕR : B −→ A⊗B sao isomorfismos.

20

Resta verificar agora a relacao de compatibilidade, para λ ∈ A, a, b, c ∈ B

(λa)b = m(λa⊗ b)

= m(a⊗ (λb))

= a(λb),

e, pelo fato de m ser A-linear,

(λa)b = m(λa⊗ b)

= λm(a⊗ b)

= λ(ab).

Logo, as duas definicoes sao equivalentes.

Exemplo 2.2.5. Seja k um corpo tal que 1k + 1k 6= 0. Seja H4 = K〈1, x, g, g−1 : g2 =

1, x2 = 0, xg = −gx〉, isto e, a algebra gerada pelos elementos g, x sujeita as relacoes

g2 = 1, x2 = 0 e xg = −gx. Esta algebra e chamada de algebra de Sweedler.

Exemplo 2.2.6. SejaA = Mn(K) a algebra das matrizes quadradas n×n com entradas no

corpo K. Com as operacoes usuais de adicao, multiplicacao entre matrizes e multiplicacao

por escalar, observamos que, (A, ·, I), onde I = In e a matriz identidade n× n, e um anel

associativo com unidade. Neste caso, falta verificarmos se vale a compatibilidade entre as

estruturas de anel e de F -espaco vetorial. Para isso tomamos λ ∈ F e B,C,D ∈Mn(F ).

Entao,

λB · (C ·D) = B · (λC ·D) = B · (C · λD).

A compatibilidade vale pelas propriedades da multiplicacao usual de matrizes e multi-

plicacao usual de escalar por matriz.

Exemplo 2.2.7. Seja A = Pn(k) a algebra dos polinomios de grau menor ou igual a n

com coeficientes sobre o corpo k. Com as operacoes usuais de adicao, multiplicacao entre

polinomios e multiplicacao por escalar, e com unidade o polinomio 1 = 1k, temos que Pn e

um anel associativo com unidade. Quanto a compatibilidade, como no exemplo anterior,

ela e dada de maneira trivial atraves das propriedades da multiplicacao entre polinomios

e da multiplicacao por escalar usuais.

Exemplo 2.2.8. Os quaternios (ver [7]) sobre A = R formam algebra associativa sobre os

reais, mas nao sobre os numeros complexos pois estes nao estao no centro dos quaternios.

21

2.3 Conclusao

O objetivo deste trabalho foi o estudo de duas diferentes formas de se definir algebra

sobre um anel comutativo e demonstrar a equivalencia destas definicoes. Dedicamos

o primeiro capıtulo inteiramente a uma revisao de conceitos e observacoes relevantes a

serem feitas antes de apresentar o capıtulo 2. No segundo capıtulo foram apresentados

conceitos nao vistos na graduacao, como por exemplo as definicoes de produto tensorial e

algebras, e ao final do capıtulo demonstrada a proposicao que afirma que as duas definicoes

apresentadas de algebras sao equivalentes. Tais objetivos foram alcancados, abrindo assim

possibilidades para estudos futuros na area de algebra.

22

Referencias Bibliograficas

[1] ABE, E., Hopf algebras, Cambridge University Press, New York, 1980.

[2] ATIYAH, M., MACDONALD, I., Introduction to Commutative Algebra, Westview

Press, Oxford, 1969.

[3] BOLDRINI, J., Algebra linear I, Harper & Row do Brasil, Sao Paulo, 1980.

[4] BREZIS, H., Funcional Analysis, Masson, Paris, 1983.

[5] DASCALESCU, S., NASTASESCU, C., RAIANU, S., Hopf Algebras: an introduc-

tion, Marcel Dekker, New York, 2001.

[6] FELZENSZWALB, B., Algebras de Dimensao Finitas, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

[7] GONCALVES, A., Introducao a Algebra, IMPA, Rio de Janeiro, 2012.

[8] HOFFMAN, K., KUNZE, R., Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1971.

[9] MAC LANE, S., Categories for the Working Mathematician, Springer, Berlin, 1971.

[10] NATHAN HERSTEIN, I., Topics in Algebra, John Wiley & Sons, New York, 1975.

[11] POLCINO MILIES, C., Aneis e Modulos, IME-USP, Sao Paulo, 1972.

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