MATHEUS HENRIQUE DO NASCIMENTO OLIVEIRA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

MATHEUS HENRIQUE DO NASCIMENTO OLIVEIRA

VIGAS-PAREDE: MÉTODOS DE ANÁLISE E CRITÉRIOS DE

PROJETO

NATAL-RN

2019

MATHEUS HENRIQUE DO NASCIMENTO OLIVEIRA

VIGAS-PAREDE: MÉTODOS DE ANÁLISE E CRITÉRIOS DE

PROJETO

Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio B. da Nóbrega

Coorientadora: Prof.ª Dr.ª Selma Hissae Shimura da Nóbrega

NATAL-RN

2019

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262

Oliveira, Matheus Henrique do Nascimento.

Vigas-parede: Métodos de análise e critérios de projeto / Matheus Henrique do Nascimento Oliveira. - 2019.

117f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil,

Natal, RN, 2019.

Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega.

Coorientadora: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega.

1. Concreto Armado – Monografia. 2. Vigas-parede - Monografia. 3. Bielas e Tirantes - Monografia. 4. Elementos

especiais - Monografia. I. Nóbrega, Petrus Gorgônio Bulhões da.

II. Nóbrega, Selma Hissae Shimura da. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.4

Matheus Henrique do Nascimento Oliveira

Vigas-parede: métodos de análise e critérios de projeto

Aprovado em 17 de junho de 2019:

_______________________________________________

Prof. Dr. Petrus Gorgônio B. da Nóbrega - Orientador

_______________________________________________

Prof.ª Dr.ª Selma Hissae S. da Nóbrega - Coorientadora

_______________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador externo

_______________________________________________

Eng. Civil Sóstenes Filipe Lima de Medeiros – Examinador externo

NATAL-RN

2019

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel

em Engenharia Civil.

AGRADECIMENTOS

Ao meu pai, Emanuel Peregrino, e à minha mãe, Francisca de Paula, que sempre me

amaram e apoiaram incondicionalmente e a quem devo tudo. À minha irmã Nathalia, minha

parceira que é quase igual a mim.

A toda a minha família, em especial aos meus avós Lula e Zezita, pelo exemplo, aos

meus tios Chico, Lene e Luzia, que me viram crescer e participaram da minha educação.

À minha namorada, Joyce Rodrigues, por tudo que compartilhamos há 6 anos.

A todos os meus amigos. De Emaús, da Facex, do IFRN, da UFRN e aos demais.

A todos os colegas da graduação que repartiram as dúvidas e certezas, aflições e

comemorações: só nós de pé.

À Construtora Ramalho Moreira, nas figuras de José Flávio, Dyego e Raonir, e à RC3

Engenharia, em nome de Linhares, Fernandes e Pedro, por me assistirem no meu aprendizado

prático de engenharia.

Aos professores Marcelo Siqueira, Paulo Alysson, Fagner França, Rubens Ramos,

Osvaldo Neto, José Neres, Joel Neto e Micheline Dias, cujas lições e provocações me

instigaram a aprender ao longo da jornada da graduação.

Finalmente, aos meus orientadores Petrus Nóbrega e Selma Nóbrega, pela dedicação

ao ensinar, disponibilidade, incentivos, orientações e conselhos que tornaram este trabalho

possível.

RESUMO

Vigas-parede: métodos de análise e critérios de projeto

As vigas-parede são elementos estruturais ditos especiais, cuja distribuição não linear

de tensões e deformações deve ser considerada. Desse modo, a hipótese de Euler-Bernoulli não

pode mais ser aplicada, e, por conseguinte, os critérios simplificados muitas vezes utilizados

por softwares de cálculo, baseados nessa hipótese, não representam o comportamento real

dessas vigas. Assim, é incumbência do engenheiro a aplicação de metodologias de análise e

dimensionamento adequados a esse tipo de estrutura, dentre os quais se destacam o Método dos

Elementos Finitos (MEF) e o Método das Bielas e Tirantes (MBT). Neste trabalho foram

analisadas por meio dos softwares ADINA e ATENA algumas vigas estudadas

experimentalmente por Leonhardt e Mönnig (1986) e dimensionadas duas vigas seguindo

critérios do ACI 318-14 e da NBR 6118:2014. A primeira viga foi dimensionada pelo MBT e

concluiu-se que os critérios de verificação do MBT utilizados pelas normas são comparáveis,

exceto quando considerado o coeficiente 𝛾𝑛 previsto pela NBR 8681:2003 e pela NBR

6118:2014, que conduzem a maiores áreas de bielas, tirantes e regiões nodais. Além disso, as

taxas de armadura distribuídas mínimas adotadas pela NBR 6118:2014 estão aquém do

utilizado em outras normas internacionais e do apontado pela literatura como necessárias para

se garantir as condições últimas e de serviço. A segunda viga foi dimensionada adicionalmente

pelo modelo de viga convencional e os resultados foram comparados, concluindo-se que a

classificação pode conduzir a dimensionamentos significativamente diferentes.

Palavras-chave: Concreto Armado, Viga-parede, Elementos Especiais, Bielas e Tirantes

ABSTRACT

Deep beams: analysis methods and design criteria

Deep beams are called by the Brazilian stardard NBR 6118:2014 “special structural

elements”, whose nonlinear distribution of stresses and strains should be considered. Thus,

Bernoulli's hypothesis can no longer be applied and, therefore, the simplified criteria often used

by design softwares, based on this hypothesis, do not represent the real behavior of these beams.

Thus, the engineer is responsible for the application of analysis and design methodologies

appropriate to this type of structure, among which the Finite Element Method (FEM) and the

Strut and Tie Method (STM) stand out. In this work, some of the beams experimentally studied

by Leonhardt and Mönnig (1986) were analyzed by means of the softwares ADINA and

ATENA, and two beams were dimensioned following the criteria of ACI 318-14 and ABNT

NBR 6118:2014. The first beam was designed by the MBT and it was concluded that the

verification criteria for STM used by both the standards are comparable, except when

considered the coefficient 𝛾𝑛 provided by NBR 8681:2003 and NBR 6118:2014, which lead to

larger areas of struts, ties and nodal regions. In addition, the minimum distributed reinforcement

ratios adopted by NBR 6118:2014 are lower than those used in other international standards

and those indicated in the literature as needed to guarantee the ultimate and service conditions.

The second beam was additionally dimensioned by the conventional beam model and the results

were compared, concluding that the classification can lead to significantly different designs.

Keywords: Reinforced Concrete, Deep beam, Special elements, Strut and Tie

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 13

1.1. TEMA E MOTIVAÇÃO ................................................................................................... 13

1.2. OBJETIVOS ...................................................................................................................... 15

1.3. ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA ........................................................................... 15

1.4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 16

2. VIGAS-PAREDE: CONCEITOS BÁSICOS. ............................................................... 19

2.1. REGIÕES ESPECIAIS DE CONCRETO ......................................................................... 19

2.2. CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DA VIGA-PAREDE .......................................... 21

2.3. MECANISMOS DE RUPTURA DAS VIGAS-PAREDE ................................................ 25

3. MÉTODOS DE ANÁLISE ............................................................................................. 28

3.1. MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES (MBT) ............................................................... 28

3.1.1. DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DO MBT ........................................................... 29

3.1.2. DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES ................................................................. 32

3.1.3. VERIFICAÇÃO DAS BIELAS ................................................................................... 33

3.1.4. VERIFICAÇÃO DOS NÓS ......................................................................................... 37

3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ........................................................................ 38

3.2.1. ADINA ......................................................................................................................... 41

3.2.2. ATENA ......................................................................................................................... 42

3.3. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE VIGAS –PAREDE .............. 44

4. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGAS-PAREDE .................... 57

4.1. PRESCRIÇÕES DA NBR 6118:2014 .......................................................................... 57

4.2. PRESCRIÇÕES DO ACI 318-14 ................................................................................. 59

4.3. PRESCRIÇÕES DO EUROCODE EN 1992-1-1:2004 ............................................... 60

4.4. PRESCRIÇÕES DO CSA A23.3-14 ............................................................................ 61

4.5. COMPARAÇÃO ENTRE AS NORMAS E CONSIDERAÇÕES

COMPLEMENTARES ............................................................................................................ 62

5. APLICAÇÃO NO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ............................................. 68

5.1. VIGA COM RELAÇÃO 𝓵/𝐡<2 E CARREGAMENTO CONCENTRADO NA FACE

SUPERIOR ............................................................................................................................... 68

5.1.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA .................................................................................. 68

5.1.2. DIMENSIONAMENTO COM MODELO DE BIELAS E TIRANTES (CRITÉRIOS

ACI 318-14) .............................................................................................................................. 69


NBR 6118:2014) ...................................................................................................................... 82

5.1.4. COMPARAÇÕES ENTRE OS DIMENSIONAMENTOS OBTIDOS ....................... 89

5.2. VIGA COM RELAÇÃO 𝓵/𝐡=3 E CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO NA FACE

SUPERIOR ............................................................................................................................... 92

5.2.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA .................................................................................. 92

5.2.2. DIMENSIONAMENTO COMO VIGA COMUM ...................................................... 92


ACI 318-14) .............................................................................................................................. 96


NBR 6118:2014) .................................................................................................................... 101

5.2.5. COMPARAÇÕES ENTRE OS DIMENSIONAMENTOS OBTIDOS ..................... 105

6. CONCLUSÕES ............................................................................................................. 107

7. REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 109

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Aviso do TQS ao encontrar uma viga com dimensões de viga-parede .................... 14

Figura 2: Situações típicas de regiões “D” ............................................................................... 20

Figura 3: Variação da distribuição de tensões para diferentes relações 𝓵/𝒉 de vigas de tramo

único, quais sejam, 𝓵/𝒉=4, 𝓵/𝒉=2, 𝓵/𝒉=1 e 𝓵/𝒉>1. .............................................................. 23

Figura 4: Viga comumente classificada como viga convencional pelos códigos..................... 24

Figura 5: Ruptura por flexão em viga-parede com carga distribuída (a) e com cargas

concentradas (b) ........................................................................................................................ 25

Figura 6: Rupturas por cisalhamento do tipo fendilhamento (a) e compressão diagonal (b) ... 26

Figura 7: Ruptura por flexão-cisalhamento em uma viga-parede. Os números ao lado das

fissuras indicam sua ordem de aparecimento. .......................................................................... 26

Figura 8: Vigas-parede biapoiada (a) e biengastada (b) sob o efeito de ruptura local. Os números

ao lado das fissuras indicam sua ordem de aparecimento. ....................................................... 27

Figura 9: Composição do modelo de bielas e tirantes .............................................................. 29

Figura 10: Determinação do caminho de cargas por meio do MEF. Tensões principais de

compressão (a), tração (b) e o modelo de bielas e tirantes formado. ....................................... 30

Figura 11: Configurações das bielas de compressão: a) fan-shaped b) bottle-shaped e c)

parallel. .................................................................................................................................... 33

Figura 12: Dimensionamento de bielas em garrafa: a) taxa de armadura em função de b/a e

𝝈𝒄𝒅/𝒇𝒄𝒅, b) geometria do campo de tensões, c) modelo de bielas e tirantes e distribuição da

armadura transversal ................................................................................................................. 34

Figura 13: Classificação dos nós para determinação dos coeficientes de minoração de

resistência: (a) CCC, (b) CCT e (c) CTT. ................................................................................ 36

Figura 14: Discretização de uma viga-parede .......................................................................... 39

Figura 15: Elemento sólido 2D para diferentes quantidades de nós. ....................................... 42

Figura 16: Distribuição de tensões ao longo da seção transversal para diferentes relações l/h de

vigas. ......................................................................................................................................... 44

Figura 17: Malha, condições de contorno e carregamento das vigas modeladas no ADINA: (a)

l/h=4, (b) l/h=2, (c) l/h=1, (d) l/h=0,83 .................................................................................. 45

Figura 18: Malha, condições de contorno e carregamento das vigas modeladas no ATENA: (a)

l/h=4, (b) l/h=2, (c) l/h=1, (d) l/h=0,83 .................................................................................. 46

Figura 19: Comparação do perfil de tensão e valores pela análise de Leonhardt e Mönnig (a) e

a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=4. .................................. 49


a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=2 ................................... 50


a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=1 .................................... 51


a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=0,83. ............................. 52

Figura 23: Trajetória de tensões principais nas vigas-parede com relação l/h=1 apresentado por

Leonhardt (a), malha da viga no ATENA (b) e resultado obtidos para as tensões principais de

tração 𝝈𝑰 (c) e de compressão 𝝈𝑰𝑰 (d). ..................................................................................... 54

Figura 24: Trajetória de tensões principais nas vigas-parede com relação l/h=1 apresentado por

Leonhardt (a), malha da viga no ATENA (b) e resultado obtidos para as tensões principais de

tração σ_I (c) e de compressão σ_II (d).................................................................................... 55

Figura 25: Distribuição das armaduras em uma viga parede biapoiada conforme NBR

6118:2014 ................................................................................................................................. 58

Figura 26: Armadura de controle de fissuras de acordo com o CSA A23.3-14 ....................... 62

Figura 27: Relação entre o esforço cortante último e vão de cisalhamento/altura ................... 64

Figura 28: Razão entre taxa de armadura distribuída horizontal e carga última associada à

relação a/d ................................................................................................................................. 65

Figura 29: Razão entre taxa de armadura distribuída vertical e carga última associada à relação

a/d ............................................................................................................................................. 66

Figura 30: Viga-parede analisada (problema 1) ....................................................................... 69

Figura 31: Tensões principais de compressão (a) e de tração (b) na viga dimensionada obtidas

pelo ATENA. ............................................................................................................................ 70

Figura 32: Possíveis configurações de modelos de bielas e tirantes, considerando (a) ou não (b)

a contribuição das armaduras transversais na resistência à tração ........................................... 71

Figura 33: Obtenção da altura da treliça equivalente para o MBT ........................................... 71

Figura 34: Modelo de bielas e tirantes e cargas axiais (b) para a viga a ser dimensionada. .... 72

Figura 35: Nó A ........................................................................................................................ 74

Figura 36: Resolução da região nodal com mais de 3 forças ................................................... 75

Figura 37: Nó G resolvido ........................................................................................................ 76

Figura 38: Ancoragem considerando zona nodal estendida ..................................................... 81

Figura 39: Zona nodal estendida e comprimento para ancoragem disponível para o nó A ..... 81

Figura 40: Ancoragem em apoio extremo, com a utilização de ganchos e grampos ............... 88

Figura 41: Viga-parede analisada (2) ....................................................................................... 92

Figura 42: Tensões principais de compressão e de tração na viga dimensionada. ................... 96

Figura 43: Modelo simplificado (a) e refinado, considerando contribuição da armadura de

controle de fissuras (b) ............................................................................................................. 97

Figura 44: Obtenção da altura da treliça equivalente para o MBT ........................................... 97

Figura 45: Modelo de bielas e tirantes (a) e cargas axiais (b) para a viga dimensionada ........ 98

Figura 46: Região nodal correspondentes aos nós A e B ......................................................... 99

Figura 47: Zona nodal estendida para o nó A ......................................................................... 103

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Intervalos permitidos para o ângulo θ entre as diagonais comprimidas e a armadura

longitudinal no modelo de bielas e tirantes .............................................................................. 35

Tabela 2: Coeficientes de Roark para tensões máximas e mínimas nas vigas-parede ............. 48

Tabela 3: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=4) ................................ 49

Tabela 4: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=2) - Leonhardt ............ 50

Tabela 5: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=2) – Roark .................. 50

Tabela 6: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=1) - Leonhardt ............ 51

Tabela 7: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=1) - Roark ................... 51

Tabela 8: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=0,83) ........................... 52

Tabela 9: Classificação e taxas de armadura distribuídas de acordo com as diferentes normas

.................................................................................................................................................. 63

Tabela 10: Taxas de armadura para VP em normas internacionais .......................................... 65

Tabela 11: Comparação entre as resistências das regiões nodais ............................................. 89

Tabela 12: Armaduras obtidas no dimensionamento (l/h=1,95) .............................................. 90

Tabela 13: Armaduras obtidas no dimensionamento (l/h=3) ................................................. 106

13

1. INTRODUÇÃO

1.1. TEMA E MOTIVAÇÃO

A evolução dos computadores transformou a Engenharia de Estruturas à medida que

possibilitou um aumento sem precedentes na produtividade dos engenheiros. Essa

transformação, derivada da maior capacidade de processamento e do desenvolvimento de

programas com maiores potencialidades, possibilitou não só a diminuição do tempo gasto com

os cálculos inerentes à análise estrutural e ao dimensionamento dos elementos, como também

facilitou os desenhos e detalhamentos e permitiu a resolução de estruturas com maiores

complexidades de geometria e diferentes carregamentos.

As facilidades trazidas pelos computadores, no entanto, não dispensam o engenheiro

de estruturas do conhecimento pleno dos conceitos e hipóteses que estão sendo utilizados pelos

softwares em seus cálculos numéricos. Ademais, os conceitos de Engenharia continuam sendo

aprimorados e é seu dever estar a par destas novidades. Negligenciar tais conhecimentos podem

trazer consequências graves para a utilização da estrutura e até mesmo para a segurança de seus

utilizadores, não faltando exemplos no Brasil e no mundo de acidentes em decorrência do mau

uso dos softwares. Assim, o projetista deve ser capaz de prever ou estimar os resultados que o

software fornecerá e deve ser capaz de verificá-los manualmente a fim de validá-los.

Na análise de edifícios, os softwares normalmente utilizam modelos de pórticos

formados por elementos de barra, nos quais as vigas convencionais ou esbeltas obedecem à

hipótese de Euler-Bernoulli. De acordo com essa hipótese, as seções planas, perpendiculares à

superfície neutra do elemento, permanecem planas, existindo proporcionalidade linear nas

tensões conforme as fibras se afastam dessa superfície. Essa hipótese é facilitadora à medida

que se pode admitir que as deformações ao longo da altura da seção variam linearmente, mas

deixa de representar o comportamento real para alguns tipos de elementos, os ditos especiais,

os quais contêm as denominadas regiões “D”, que devem ser dimensionadas adequadamente

quando o software apontar sua incapacidade de fazê-lo.

14

Figura 1: Aviso do TQS ao encontrar uma viga com dimensões de viga-parede

Fonte: autor

No contexto das regiões e elementos especiais, este trabalho contemplará as vigas-

parede. Estas são chapas, isto é, estruturas laminares solicitadas em seu próprio plano,

geralmente com apoios descontínuos, como os pilares. A NBR 6118:2014 em seu item 22.4.1.

caracteriza as vigas-parede como “as vigas altas em que a relação entre o vão e a altura 𝑙/ℎ é

inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas”. O uso desse tipo de estrutura

decorre principalmente das paredes dos reservatórios e das paredes portantes de concreto. De

acordo com Leonhardt e Mönnig (1978, p. 20), em termos de esforços, elas se diferem das vigas

esbeltas pelo fato das componentes 𝜎𝑦 e as tensões tangenciais 𝜏𝑥𝑦 devidas aos esforços

externos não serem mais desprezíveis, sendo o eixo y convencionado como na direção da altura.

A norma brasileira é relativamente breve quanto às considerações para análise e

dimensionamento desse tipo de viga. Assim, serão comparadas as prescrições normativas

observadas em algumas normas estrangeiras, em relação ao preconizado pela brasileira, tanto

no que se refere à análise quanto ao dimensionamento. A análise das vigas será feita utilizando

o Método dos Elementos Finitos, utilizando os softwares comerciais ADINA e ATENA, e pelo

Método das Bielas e Tirantes (MBT) considerando as observações das normas canadense e

americana, respectivamente a CSA A23.3-14 e o ACI 318-14.

15

1.2. OBJETIVOS

O objetivo geral deste trabalho é o estudo do comportamento das vigas-parede (VP),

bem como do seu dimensionamento por outras referências normativas, haja visto que a NBR

6118:2014 é relativamente breve no tema.

Como objetivos específicos estão:

• Estudar a teoria que norteia o tema e produzir uma base teórica;

• Comparar a análise linear obtida utilizando softwares comerciais de MEF com

os resultados apresentados na literatura;

• Compilar algumas prescrições normativas internacionais e compará-las com a

brasileira;

• Dimensionar uma viga classificada como VP por todas as normas analisadas;

• Dimensionar uma viga classificada como VP por outras normas, mas não pela

brasileira, e verificar sua segurança;

1.3. ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA

A monografia será composta por 6 capítulos. O capítulo 1 apresenta o tema, lista os

objetivos, a organização do texto e introduz brevemente algumas das referências que serão

utilizadas.

O capítulo 2 trata dos conceitos básicos das vigas-parede, como a introdução das

regiões e elementos especiais, os métodos de classificação das vigas-parede segundo as normas

internacionais, bem como uma discussão inicial acerca desses limites classificatórios e por fim

trata dos mecanismos de ruptura das vigas-parede.

No capítulo 3 serão tratados os métodos de análise das vigas-parede, quais sejam, o

Método das Bielas e Tirantes (MBT), com o dimensionamento correspondente, e o Método dos

Elementos Finitos, considerando uma análise elástico-linear.

No capítulo 4 serão discutidas e comparadas as prescrições normativas das normas

NBR 6118:2014, ACI 318-14, Eurocode EN 1992-1 (2004) (também chamada Eurocode 2) e

CSA A23.3-14.

16

No capítulo 5 serão dimensionadas duas vigas-parede, considerando critérios do ACI

318-14 e da NBR 6118:2014 bem como discutidas as diferenças e suas repercussões para o

comportamento da viga.

No capítulo 6 são apresentadas as conclusões da pesquisa.

1.4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Schlaich et al. (1987) propuseram a sistematização do modelo de bielas e tirantes

(strut-and-tie model) para resolver os problemas de descontinuidade generalizada, baseado no

modelo de treliça generalizada proposto por Ritter e Mörsch. O modelo será explanado com

maior completeza no item 3.1, mas basicamente consiste na adoção de bielas e tirantes seguindo

o caminho das tensões ao longo da estrutura, de tal modo que as bielas correspondam às tensões

de compressão e os tirantes às tensões de tração. Ainda de acordo com Schlaich et al., na época,

a falta de consistência e sistematização eram as principais causas de falhas nas regiões “D”, já

que nessas estruturas o dimensionamento era feito por “boas práticas” e “experiência”.

Anteriormente à importante contribuição de Schlaich et al. no sentido de uma solução

sistematizada de regiões especiais de concreto, Leonhardt e Mönnig (1978) já enumeravam

estratégias para resolver os problemas de descontinuidade nas estruturas, em particular das

vigas-parede: Teoria das chapas com funções de Airy, Método dos Elementos Finitos, análise

de modelos experimentais e a proposição de superposição de W. Schleech. Nesse trabalho as

observações de Leonhardt e Mönnig para a análise estrutural das vigas-parede serão avaliadas

pelo Método dos Elementos Finitos.

Em 1986, Rogowsky et al. realizaram testes experimentais em vigas-parede contínuas,

além de vigas biapoiadas, com diferentes configurações de armadura longitudinal, transversal

e de distribuição. Os pesquisadores concluíram que vigas com alta taxa de armadura vertical se

rompiam de maneira dúctil, ao passo que aumentar a armadura de distribuição horizontal não

contribuía com a carga máxima suportada e as vigas mantinham a ruptura abrupta. Rogowsky

e MacGregor (1986) produziram no mesmo ano um trabalho subsequente no qual tratam

exclusivamente do projeto de vigas-parede.

Kong (1990), com a contribuição de diversos autores, publicou a primeira edição do

livro com grande abrangência de assuntos acerca das vigas-parede. O livro trata do

17

comportamento, dos fatores que influenciam o comportamento e dos diferentes métodos de

análise e dimensionamento para vigas-parede biapoiadas, contínuas, com flange e esbeltas.

No Brasil, vários pesquisadores contribuíram com o estudo experimental de vigas-

parede, a partir dos anos 1980 na PUC-Rio. Santos (1999) apresentou o dimensionamento das

37 vigas ensaiadas na PUC-Rio, comparando os resultados obtidos no dimensionamento com o

resultado experimental.

Souza (2004) apresentou uma tese com a temática “Análise e Dimensionamento de

Elementos com Descontinuidades”. Na tese, Souza discute o Método dos Elementos Finitos,

método corda-painel e das bielas e tirantes e aplica este último para vigas-parede, como caso

bidimensional, e para blocos de fundação, como caso tridimensional. No trabalho, Souza

realizou análise elástico-linear da estrutura por meio do MEF com o software DIANA para

determinar o encaminhamento das cargas no interior da estrutura; de posse do fluxo das tensões,

utilizou o programa CAST (Computer Aided Strut and Tie) para constituir dois modelos de

bielas e tirantes, fez a análise estrutural de um dos modelos escolhidos com o próprio programa,

adotou as armaduras e por fim realizou a análise não linear.

Araújo (2010) no seu livro Curso de Concreto Armado (v. 4) apresenta os conceitos

iniciais acerca do tema, com considerações quanto aos esforços e tensões em conformidade com

o descrito por Leonhardt e Mönnig em 1978 (v. 2), inclusive o referenciando. Apresenta o

dimensionamento e detalhamento das armaduras principais em conformidade com os

requerimentos da norma brasileira de 2003. Finalmente, aponta o dimensionamento para as

armaduras de suspensão, no caso de vigas com solicitações na face inferior e para o

esmagamento dos apoios, que não estão considerados na norma.

Franco (2015) elaborou um trabalho compreendendo o dimensionamento de vigas-

parede por diferentes metodologias de cálculo (Método das Bielas e Tirantes (MBT) e Método

Corda-Painel (MCP)) das vigas-paredes estudadas experimentalmente por Leonhardt e Walther

(1966) e numericamente por d’Ávilla (2003). Franco concluiu que para a carga experimental

última, o MBT conduzia a armaduras longitudinais superiores a 170% a quantidade utilizada

por Leonhardt e Walther, e o MCP a áreas mais compatíveis; por outro lado, o MCP conduziu

a até dez vezes a área de armaduras utilizadas no ensaio, ao passo que pelo MBT o valor

calculado foi o mesmo do ensaio.

18

Mello (2015) apresentou o dimensionamento de vigas-parede por meio do Método

Biela-Painel (MBP) utilizando uma abordagem manual, em detrimento da computacional.

Mello comparou os resultados obtidos por meio do MBP com o MBT e com o modelo de viga

convencional da NBR 6118:2014, inferindo que o MBP é uma alternativa viável. Ademais,

Mello realizou análises não-lineares de estruturas utilizando os softwares SPanCAD e ATENA

2D.

A NBR 6118:2014 é relativamente omissa quanto ao assunto das vigas-parede. Limita-

se a definir o parâmetro de classificação das vigas-parede, dizer que para estes casos são

admitidos modelos planos elásticos lineares e não lineares, baseados em métodos numéricos

adequados, como o MEF, ou ainda bielas e tirantes para o estado-limite último. Quanto ao

detalhamento, trata da distribuição da armadura de flexão para vigas biapoiadas e vigas

contínua, daté os apoios e das armaduras verticais de distribuição. Esses aspectos serão

discutidos com maior profundidade em um capítulo dedicado.

A norma americana ACI 318-14 (Building Code Requirements for Structural

Concrete) é similar à brasileira. Também classifica as vigas-parede e guia para o modelo de

bielas e tirantes. Prescreve limites dimensionais associados com o valor do esforço cortante, de

modo a limitar a fissuração e prescreve a armadura mínima e seu detalhamento.

A norma canadense CSA A23.3-14 apresenta a classificação, armadura de malha e

permite a utilização do MBT. Para o cálculo das vigas-parede, a norma requer ainda que sejam

feitas considerações quanto à distribuição não-linear de tensões, flambagem lateral e às maiores

ancoragens demandadas por esse tipo de viga.

19

2. VIGAS-PAREDE: CONCEITOS BÁSICOS.

2.1. REGIÕES ESPECIAIS DE CONCRETO

Schlaich et al. (1987, p. 77-78) mostram que é possível dividir os elementos estruturais

em regiões “B” e “D”, aquelas como sendo as regiões nas quais a hipótese de Euler-Bernoulli

é aplicável e estas as nas quais não é aplicável. “B” estaria associado a beam ou Bernoulli,

enquanto “D” a disturbance ou discontinuity, que é a mesma nomenclatura utilizada atualmente

na norma brasileira.

Conforme dito no capítulo anterior, a adoção da hipótese de Euler-Bernoulli é

facilitadora à medida que se pode admitir que as deformações ao longo da altura da seção

variam linearmente e desprezam-se as deformações devidas à distorção em função do esforço

cortante. Além disso, de acordo com ensaios experimentais de Ali (1997), a hipótese de Euler-

Bernoulli pode ser aplicada satisfatoriamente para vigas elaboradas de qualquer espécie de

material, especialmente quando o comprimento da viga é muito maior do que a altura da seção

transversal (apud SOUZA, 2004, p. 5).

A hipótese de Euler-Bernoulli, portanto, é satisfatória quando a flexão é preponderante

em relação ao esforço cortante. Isso não ocorre, todavia, nas vigas com razão entre o

comprimento e a altura pequena, e nas vigas com as descontinuidades supramencionadas.

As perturbações decorrem do princípio de Saint-Venant o qual estabelece que se

existirem dois sistemas estaticamente equivalentes de forças sendo aplicados na mesma região

de um contorno, em corpos diferentes, mas geometricamente idênticos, as diferenças ocorridas

nas tensões serão desprezíveis em regiões suficientemente afastadas da área de aplicação das

cargas. No entanto, imediatamente abaixo do ponto de aplicação das cargas, surgirão diferenças

significativas de tensão. Em outras palavras, pode-se dizer que cargas concentradas geram

perturbações na vizinhança do ponto de aplicação que só se uniformizam em regiões

suficientemente afastadas (aproximadamente da altura da seção).

20

Figura 2: Situações típicas de regiões “D”

Fonte: ABNT NBR 6118 (2014, p. 180)

Como se pode observar na Figura 2, as descontinuidades estão presentes em diversos

elementos estruturais corriqueiros e que merecem tanta atenção quanto os demais elementos

ditos convencionais. Estas descontinuidades são classificadas na NBR 6118:2014, no item 22.2,

como:

a) descontinuidade geométrica;

b) descontinuidade estática;

c) descontinuidade geométrica e estática.

Conforme os nomes sugerem, as descontinuidades geométricas derivam de variações

de seção, as estáticas da aplicação de cargas ou da presença de apoios (e por conseguinte de

cargas) e a última em decorrência de ambas.

As perturbações nas vizinhanças dessas descontinuidades podem ser facilmente

demonstradas por uma análise de tensões utilizando métodos numéricos, como o Método dos

Elementos Finitos.

21

Existem ainda elementos nos quais essas perturbações são tão presentes que seu todo

é composto por regiões “D”, quando são chamadas “zonas de descontinuidade generalizada”.

Esse é o caso, por exemplo, das vigas-parede e dos blocos de fundação. Essas peças são

atualmente dimensionadas a partir do Método das Bielas e dos Tirantes e do Método dos

Elementos Finitos.

O Método das Bielas e dos Tirantes é mais amplamente difundido como método de

análise para os elementos especiais de concreto do que o Método dos Elementos Finitos. O

Método dos Elementos Finitos aparece geralmente mencionado como uma alternativa de

análise, mas são oferecidas poucas recomendações que auxiliem seu uso, ao passo que para a

análise por bielas e tirantes há mais recomendações.

2.2. CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DA VIGA-PAREDE

As vigas-parede têm aplicações diversas na engenharia de estruturas, dentre as quais

se destacam: estruturas de fachadas de edifícios, paredes de reservatórios como caixas d’água

e silos, vigas de transição (suportando carga de pilares), como elementos de contenção em

subsolos etc.

A NBR 6118:2014 no item 22.4.1. caracteriza as vigas-parede como “as vigas altas em

que a relação entre o vão e a altura ℓ/ℎ (vão teórico sobre altura) é inferior a 2 em vigas

biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas”. Essa regra geral é apresentada por Leonhardt e

Mönnig (1978, p. 19). Schlaich et al. (1987, p. 83), no entanto, afirmam que regras simples

como relações ℓ/ℎ podem levar a classificações indevidas, sendo necessário considerar tanto a

geometria quanto o carregamento quando na classificação de vigas-parede.

Ainda no contexto da classificação, o Eurocode 2 (2004, p. 57) preconiza que são

vigas-parede aquelas com ℓ/ℎ < 3, sendo, portanto, mais abrangente e conservadora que a

norma brasileira. O ACI 318-14 (2014, p. 151), por exemplo, define as vigas-parede como

membros cuja relação ℓ0/ℎ ≤ 4 (vão livre sobre altura) ou nos quais exista uma carga

concentrada com uma distância de até 2ℎ entre duas cargas concentradas ou entre uma carga e

um apoio. Desse modo, a norma considera a região “D” com perturbação na vizinhança dos

22

apoios e requer que essas regiões sejam dimensionadas considerando a distribuição não linear

ao longo da altura da viga.

Conforme exposto anteriormente, as vigas-parede se diferem das vigas convencionais

por não obedecerem à hipótese de Euler-Bernoulli das seções planas permanecerem planas após

se deformarem. De fato, não existe consenso acerca de uma relação mínima ℓ/ℎ para a qual as

vigas se comportam como vigas-parede.

Segundo Kong (1986), para propósitos de projeto, esta transição é geralmente

considerada ocorrer a uma relação vão/altura em torno de 2,5 (apud KONG (2003), p. 2). A

partir dessa proporção, conforme se aumenta a altura em relação ao vão, mais as tensões

divergem de uma distribuição linear e mais a linha neutra se aproxima da face inferior da viga.

Na Figura 3 é possível observar a maneira como se distribuem as tensões normais à

seção transversal para diferentes relações de ℓ/ℎ em vigas simplesmente apoiadas a cargas

uniformemente distribuídas. Para a viga com ℓ/ℎ = 4 pode-se verificar que a distribuição de

tensões é linear, pois as seções planas permanecem planas, e a posição da linha neutra é de h/2.

Para ℓ/ℎ = 2, a distribuição de tensões já não é mais linear e a posição da linha neutra cai a

0,4h. Para ℓ/ℎ = 1, mantém-se a tendência de distribuição não-linear e novamente a linha neutra

cai, agora para 0,28h. Finalmente, para ℎ > ℓ, observa-se que existe tensão apenas na região

com altura ℎ ≅ 𝑙 a partir da face inferior, criando na região superior a chamada “zona morta”.

Percebe-se que diferentes razões ℓ/ℎ resultam em diferentes distribuições de tensões, mesmo

para um único tipo de carregamento, o que se constitui em mais uma dificuldade ao

dimensionamento das vigas-parede.

23

Figura 3: Variação da distribuição de tensões para diferentes relações

𝓵/𝒉 de vigas de tramo único, quais sejam, 𝓵/𝒉=4, 𝓵/𝒉=2, 𝓵/𝒉=1 e

𝓵/𝒉>1.1

Fonte: adaptado de Leonhardt e Mönnig (1978, p. 21)

A distribuição de tensões ao longo da seção transversal bem como a grandeza dessas

tensões observada por Leonhardt e Mönnig no estádio I foi avaliada utilizando os softwares de

elementos finitos ADINA e ATENA, no item 3.2.

De acordo com Kuehn (2002), a dificuldade de dimensionamento das vigas passa

por: a) a posição do carregamento (superior ou inferior) e do bordo onde está aplicado; b) a

espessura da viga; c) a presença ou não de enrijecedores de apoio, de engrossamentos locais e

da existência de pilares nas extremidades; e d) a resistência do concreto utilizado e as taxas e

distribuições das armaduras na peça (apud FRANCO, 2015, p. 22).

Embora o parâmetro ℓ/ℎ seja geralmente apontado como o determinante na

classificação e no comportamento de vigas como vigas-parede, também foi notada grande

1 Cabe salientar que embora a Figura 3 use d, trata-se de overall depth ou altura total, e não altura útil

como o leitor pode ser induzido a pensar. A simbologia d pode se tratar desta ou daquela definição, a depender do

autor, local e tempo. Neste trabalho foram convencionados ℎ como altura total e 𝑑 como altura útil.

24

influência na relação vão de cisalhamento/altura2 por Kong e Signh (1972) (apud SANTOS,

1999, p. 9).

Figura 4: Viga comumente classificada como viga convencional pelos códigos.

Fonte: SOUZA (2004)

Se observamos tão somente o critério adotado pela NBR 6118:2014, a viga calculada

por SOUZA (2004, p. 168), e apresentada na Figura 4 do presente trabalho, deveria se

comportar como uma viga esbelta, uma vez que para essa viga a relação ℓ/ℎ é 3. No entanto,

ao considerarmos o princípio de Saint-Venant, é possível concluir que a viga se comporta como

uma região de descontinuidade generalizada, isto é, viga-parede. A esse respeito, Souza (2004,

p. 211) declara:

No entanto, a NBR 6118 (2003) e a maioria dos códigos acaba não capturando este

efeito pois levam em consideração a relação l/h para classificar uma viga em comum

ou parede. Dessa maneira, uma viga que deveria ser dimensionada como parede acaba

sendo dimensionada como se fosse comum e um dimensionamento inseguro pode ser

gerado.

SOUZA (2004, p. 187) verifica, que dentre os métodos de cálculo utilizados para

dimensionar a viga em questão, quais sejam, Modelo de Chapa, Corda-Painel, Bielas e Tirantes

e Modelo de Viga, o Modelo de Viga, conforme preconiza a NBR 6118:2014, é o que conduz

aos menores valores de aço para o tirante da viga, resultando em um dimensionamento contrário

à segurança. O MBT foi o método que resultou na maior área de aço para o tirante e,

concomitantemente, na menor taxa de armadura em kg/m³ considerando também a armadura

transversal.

2 a/d sendo a relação vão de cisalhamento (shear span) por altura útil, tal que o vão de cisalhamento é a

distância entre uma carga concentrada e a face do apoio para vigas contínuas e da carga concentrada ao eixo do

apoio para vigas biapoiadas. (ACI, 2014, p. 15)

25

O resultado observado por Souza denota a importância da consideração da relação

vão de cisalhamento/altura na consideração do efeito de chapa em uma viga, que é utilizado na

ACI 318-14, mas não na NBR 6118:2014.

2.3. MECANISMOS DE RUPTURA DAS VIGAS-PAREDE

A análise e dimensionamento de vigas-parede requerem o conhecimento dos seus

mecanismos de ruptura. Esses mecanismos foram descritos com bastante completeza por

SANTOS (1999, p. 10):

a) Ruptura por flexão

Caracterizada principalmente pelo escoamento da armadura de flexão. Geralmente a

ruptura decorre somente do escoamento da armadura e, só em casos raros, com o esmagamento

do concreto. Para vigas-parede biengastadas, este modo de ruptura não é, praticamente,

considerado. Geralmente, é assumido que estas vigas têm resistência adequada contra a flexão

pura (SANTOS, 1999).

Figura 5: Ruptura por flexão em viga-parede com carga distribuída (a) e

com cargas concentradas (b)

Fonte: SANTOS (1999)

b) Ruptura por cisalhamento

A ruptura por cisalhamento depende da localização e distribuição das cargas aplicadas.

No caso de cargas concentradas, a ruptura tem início na vizinhança do apoio e se forma em

direção à carga mais próxima. Já no caso de cargas distribuídas também saem do apoio, mas se

dirigem a um ponto que dista do apoio aproximadamente 1/3 do vão.

26

A ruptura por cisalhamento pode ser ainda dita como por Fendilhamento (ou Tração

Diagonal) ou por Compressão Diagonal. No primeiro modo, em função da compressão da biela,

surgem tensões de tração transversais às bielas, em um mecanismo semelhante ao ensaio de

tração por compressão diametral. No segundo, após o aparecimento da primeira fissura de

cisalhamento entre o apoio e o ponto de aplicação da carga, surgem novas fissuras paralelas a

primeira, formando uma biela comprimida, que é esmagada.

Quanto a resistência ao cisalhamento, Smith e Vantsiotis em 1982 ensaiaram 52 vigas-

parede biapoiadas e submetidas a cargas concentradas aplicadas a 1/3 e 2/3 do vão. Eles

observaram que há um decréscimo na carga que leva à fissura inclinada e na carga última, com

o aumento da relação a/d, em que “a” é o vão de cisalhamento e “d” a altura útil da viga (apud

Santos, 1999). Pode-se perceber que, conforme a viga-parede se aproxima de uma viga esbelta,

ela perde capacidade resistente de cisalhamento.

Figura 6: Rupturas por cisalhamento do tipo fendilhamento (a) e compressão diagonal

(b)


c) Ruptura por flexão-cisalhamento

Figura 7: Ruptura por flexão-cisalhamento em uma viga-parede. Os números ao lado das

fissuras indicam sua ordem de aparecimento.


27

A ruptura por flexão-cisalhamento decorre do escoamento do aço, seguido do

esmagamento das bielas de concreto, porém com a resistência ao cisalhamento sendo atingida

antes do esmagamento total do concreto.

d) Ruptura por esmagamento ou local;

A ruptura por esmagamento ou local decorre de um estado de tensões no qual as

regiões de apoio e de recebimento de cargas concentradas estão submetidas a tensões tão

elevadas que podem ser esmagadas. Para contornar esse problema, nas regiões supracitadas é

necessário um detalhamento ou reforço.

Figura 8: Vigas-parede biapoiada (a) e biengastada (b) sob o

efeito de ruptura local. Os números ao lado das fissuras

indicam sua ordem de aparecimento.

Fonte: Adaptado de Santos (1999)

Vigas-parede de concreto armado com apoios extremos biengastados são

particularmente vulneráveis a uma ruptura local sob a zona de aplicação da carga concentrada.

A configuração de apoios biengastados confere uma grande resistência quanto aos outros

mecanismos de ruptura, de modo que a viga fica vulnerável à ruptura local antes que haja outro

tipo de ruptura.

Em 1980, Guimarães determinou para uma taxa geométrica de armadura principal de

tração bem distribuída e ancorada, a resistência à flexão de uma viga-parede é sempre superior

à de cisalhamento (apud NEPOMUCENO, 2012, p. 8), de modo que a verificação ao

cisalhamento na viga-parede se torna preponderante. Além disso, a ruptura por cisalhamento é

usualmente frágil ou abrupta de modo que a verificação ao cisalhamento deve ser feita ainda

mais cautelosamente.

Os pesquisadores Fafitis e Won em 1994 (apud SANTOS, 1999, p. 11) comentam que,

dos quatro mecanismos, os dois mais importantes modos de ruptura são Flexão-Cisalhamento

e Fendilhamento Diagonal, embora a Ruptura Local citada acima não seja rara.

28

3. MÉTODOS DE ANÁLISE

3.1. MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES (MBT)

Na década de 1980 houve uma ampla difusão do chamado Método das Bielas e

Tirantes com as publicações dos pesquisadores Schäfer e Schlaich (1987; 1991), os quais

propuseram a sistematização do modelo de bielas e tirantes (strut-and-tie-model) para resolver

os problemas de descontinuidade aplicados a diversos elementos estruturais. O método é

baseado na analogia clássica da treliça de Ritter e Mörsch, essa elaborada ainda no século XX.

De acordo com Schlaich et al., até então (1987), a falta de consistência e sistematização eram

as principais causas de falhas nas regiões “D”, já que nessas estruturas o dimensionamento era

feito por “boas práticas” e “experiência”.

Para Santos e Giongo (2008), o modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de

suas vantagens a generalidade, ou seja, é capaz de representar, de modo aproximado, porém

realista e sistemático, grande parte dos elementos de concreto estrutural da atualidade.

O embasamento teórico para validar o MBT reside no teorema do limite inferior da

Teoria da Plasticidade. Esse teorema preconiza que, para determinar a capacidade resistente de

materiais elasto-plásticos perfeitos, as tensões devem satisfazer às condições de equilíbrio e de

contorno e que nenhum elemento é carregado ou deformado além da sua capacidade. Além

disso, a estrutura deve ter ductilidade suficiente para fazer a transição do comportamento

elástico para o plástico, isto é, as bielas não devem ser esmagadas antes do escoamento do aço.

No método, as bielas são equivalentes à resultante das tensões de compressão em uma

região, resistidas pelo concreto, e os tirantes são representados por campos de tensão de tração,

geralmente resistidos pela armadura, mas que podem ser resistidas pelo concreto desde que

assegurada a resistência à tração do concreto. Os nós, responsáveis por ligar as bielas e os

tirantes e receber as cargas concentradas, são envolvidos por um volume de concreto, designado

como zona nodal pela NBR 6118:2014. Finalmente, a treliça deve ser isostática e as reações de

apoio são obtidas previamente por análise linear ou não linear.

29

3.1.1. DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DO MBT

Figura 9: Composição do modelo de bielas e tirantes

Fonte: Santos e Giongo (2008)

Os modelos de escoras (ou bielas) e tirantes são idealizados por meio do processo do

caminho de carga e algumas estruturas possuem modelos padronizados. Caso se disponha das

tensões elásticas e de suas direções principais obtidas através de uma análise elástica, o

desenvolvimento do modelo é imediato (SOUZA, 2004, p. 96).

O trabalho de Silva (1991) traz modelos padronizados para diversos elementos

estruturais, compilados a partir de outras referências, dentre os quais modelos para vigas-parede

e vigas com aberturas. Os casos para vigas-parede são mais bem aplicáveis a situações usuais

de projeto, enquanto os de vigas com abertura geralmente requerem a utilização de um modelo

único, possivelmente proveniente de análise numérica.

A análise elástica por métodos numéricos como o MEF permite uma visualização

direta de como as tensões estão distribuídas na estrutura, o que permite a aplicação do método

de caminho das cargas.

30

Figura 10: Determinação do caminho de cargas por meio do MEF. Tensões

principais de compressão (a), tração (b) e o modelo de bielas e tirantes

formado.

Fonte: Adaptada de Souza (2004, p. 170-171)

Na Figura 10, adaptada de Souza (2004), uma vez que se saiba a escala de cores que

representam a magnitude das tensões, é imediata a observação de como se dirigem as tensões

de compressão e tração e, por conseguinte, como devem estar dispostas as bielas e os tirantes.

Paralelamente, ainda a partir da Figura 10, é possível observar a constatação feita

anteriormente de que nas proximidades das descontinuidades existem picos de tensões e que a

viga parede de fato resulta em uma zona de descontinuidade generalizada, já que é possível

31

observar que as tensões não se uniformizam ao longo de uma seção, como ocorre nas vigas

esbeltas.

A utilização de análises elásticas é mais conservadora à medida que não esgota a

capacidade plástica do material. Quando analisado apenas elasticamente, o modelo cumpre

tanto as condições de serviço quanto de estado limite último. Se um modelo é orientado pelas

tensões elásticas, as deformações plásticas necessárias para a redistribuição dos esforços serão

facilmente toleradas pelo material e serão de ordem de grandeza similar à deformação de uma

análise linear elástica com elementos finitos (PEREIRA, 2017, p. 29).

A análise não-linear também é uma possibilidade e promove resultados mais próximos

do encontrado na prática, uma vez que considera a capacidade última da estrutura com a

redistribuição das tensões. Segundo SOUZA (2004, p. 104), como desvantagem, esse tipo de

análise requer maior experiência do projetista para a obtenção de bons resultados e é mais

demorada que a análise linear.

Para os casos em que não se dispõe de uma análise por métodos numéricos, Silva

(1991, cap. 2 p. 11-12) recomendam o seguinte procedimento para determinação da geometria

do modelo:

1. Divisão da estrutura em regiões B e D;

2. Isolar a região D;

3. Determinar os esforços solicitantes no contorno da região D;

4. Processo do caminho das cargas ou métodos numéricos para determinação do

modelo;

5. Dimensionamento dos Tirantes;

6. Verificação das tensões nas bielas e nós;

7. Determinação do tipo e comprimento de ancoragem;

8) Detalhamento dos tirantes e armaduras secundárias.

Como alternativa final, existem ainda programas computacionais como o CAST

(Computer Aided Strut-and-Tie), desenvolvido pela Universidade de Illinois e gratuito, o qual,

de posse das condições de carregamento e contorno, permite determinar automaticamente o

modelo e os esforços e fazer a verificação da capacidade resistente das escoras e dos nós,

32

assistido por uma interface gráfica. O software AStrutTie3, por sua vez pago, produz também a

geometria, podendo ou não ser baseada nos modelos (templates) prontos, além de produzir o

memorial de cálculo e apresentar o fluxo de tensões e realizar as verificações usuais por meio

das normas americanas e europeia.

3.1.2. DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES

As forças atuantes nos tirantes são usualmente absorvidas pelas armaduras. Tirantes

de concreto só deverão existir nos casos em que o equilíbrio do modelo só acontece com tirantes

em locais em que, por razões práticas, é inviável o posicionamento de armaduras (SILVA,

2000).

No item 22.3 que trata do MBT, a NBR 6118:2014 não traz nenhuma consideração

acerca desse caso particular da necessidade de tirantes de concreto. Todavia, no item 24.5.2.1,

a norma diz que a tensão máxima no concreto submetido à tração deve ser baseada no valor

característico inferior da resistência a tração, isto é, 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓/𝛾𝑐. Além disso, segundo o

item 24.5.2.1, 𝛾𝑐 = 1,2 ∙ 1,4, para os casos com tirantes de concreto. Portanto:

𝐴𝑐 =𝐹𝑠𝑑𝑓𝑐𝑡𝑑

=𝐹𝑠𝑑

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓𝛾𝑐

Já nos casos usuais, nos quais o tirante é a armadura discretizada, o dimensionamento

é dado por:

𝐴𝑠 =𝐹𝑠𝑑𝑓𝑦𝑑

Para as vigas-parede em particular, a NBR 6118:2014 diz que os tirantes de tração não

podem ser concentrados em uma ou poucas camadas de armadura, mas cobrir toda a zona

efetivamente tracionada, conforme o modelo de cálculo adotado. No item 574.1 deste trabalho

estão explanadas com maior completeza as prescrições da norma brasileira quanto às

armaduras.

3 http://astruttie.aroad.co.kr/

http://astruttie.aroad.co.kr/

33

3.1.3. VERIFICAÇÃO DAS BIELAS

As bielas são, por sua vez, os campos de tensão de compressão, resistidos pelo

concreto. As bielas podem ser classificadas de maneiras distintas a partir do modo como se

distribuem as tensões.

Figura 11: Configurações das bielas de compressão: a) fan-shaped b) bottle-shaped e

c) parallel.

Fonte: SCHLAICH E SCHÄFER (1991, p. 115).

a) Biela em leque ou com distribuição radial de tensões (“fan-shaped”): é a idealização

de um campo de tensão com curvatura desprezível e que não desenvolve tensões transversais

de tração;

b) Biela em garrafa ou com distribuição com afunilamento de tensões (“bottle-

shaped”): a trajetória de tensões com afunilamento produz tensões transversais de compressão

no gargalo e tensões de tração na extremidade oposta. Essas tensões podem produzir fissuras

longitudinais e causar uma ruptura prematura, de modo que é necessário o reforço no sentido

transversal;

c) Biela prismática ou com distribuição paralela de tensões (“parallel”): campo de

tensão que se distribui uniformemente, sem perturbação, e que não produz tensões transversais.

Pode ser considerado um caso particular das duas anteriores.

Os campos de tensões em formato de leque e de garrafa são típicos de regiões “D”, ao

passo que o tipo paralelo é de regiões “B”. Os campos de leque ocorrem com a propagação do

efeito de cargas concentradas e os de garrafa com o caminhamento das cargas para os apoios.

34

O dimensionamento de bielas em garrafa pode considerar um aumento na resistência do

concreto em função da compressão em uma ou ambas as direções transversais, conferindo

confinamento à biela, ou ainda uma diminuição na resistência quando a biela for atravessada

por um ou mais tirantes. O dimensionamento das bielas em garrafa pode ser feito por meio de

diagramas simplificados, conforme Figura 12.

Figura 12: Dimensionamento de bielas em garrafa: a) taxa de armadura

em função de b/a e 𝝈𝒄𝒅/𝒇𝒄𝒅, b) geometria do campo de tensões, c) modelo

de bielas e tirantes e distribuição da armadura transversal

Fonte: Silva (1991, cap. 2 p. 116) adaptado de Schlaich e Schäfer (1991)

Schäfer e Schlaich (1991, p. 116) propuseram os seguintes valores de resistência à

compressão reduzidos para o dimensionamento prático:

𝑓𝑐𝑑∗ = 1,0 𝑓𝑐𝑑, para tensões sem perturbações;

𝑓𝑐𝑑∗ = 0,8 𝑓𝑐𝑑, para tensões de compressão com fissuras paralelas à direção da tensão;

𝑓𝑐𝑑∗ = 0,6 𝑓𝑐𝑑, para tensões de compressão com fissuras inclinadas;

O Eurocode 2 (2004, p. 107) distingue as bielas apenas em bielas sem tensão

transversal e com tensão transversal, em que o primeiro grupo é dimensionado com o valor

integral de 𝑓𝑐𝑑 e o segundo com 𝑓𝑐𝑑∗ = 0,6 ∙ (1 − 𝑓𝑐𝑘/250) ∙ 𝑓𝑐𝑑.

A NBR 6118:2014 (p. 181) distingue a capacidade resistente das bielas em:

𝑓𝑐𝑑1 = 0,85 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (bielas prismáticas ou nós CCC);

35

𝑓𝑐𝑑2 = 0,60 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (bielas atravessadas por mais de um tirante, ou nós CTT ou

TTT);

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72 ∙ 𝛼𝑣2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (bielas atravessadas por tirante único, ou nós CCT);

Onde:

𝛼𝑣2 = (1 − 𝑓𝑐𝑘/250)

Pode-se notar que é possível comparar diretamente os valores de resistência e a NBR

6118:2014 adota valores mais conservadores, considerando que 𝛼𝑣2 é sempre menor que 1.

Existe ainda uma limitação quanto ao ângulo formado pela biela em relação ao tirante

longitudinal, de modo que quanto menor for esse ângulo formado, menor a capacidade

resistente da biela. Os ângulos observados por diferentes pesquisadores e normas foram

compilados por Franco (2015, p. 52) na Tabela 1. O ângulo é limitado indiretamente pela norma

brasileira no item 22.3.1, associando valores limites para a tangente destes ângulos, quais sejam,

0,57 a 2. O valor presente no ACI corresponde ao do estudo de Rogowsky e MacGregor (1986,

p. 57).

Tabela 1: Intervalos permitidos para o ângulo θ entre as diagonais comprimidas e a

armadura longitudinal no modelo de bielas e tirantes

Fonte: Franco (2015)

As nomenclaturas CCC, CCT, TTT e CTT dizem respeito a quantas barras do modelo

que confluem em um nó são de compressão (C) ou de tração (T). A ACI 318-14 usa o mesmo

conceito, cuja ilustração pode ser observada na Figura 13:

36

Figura 13: Classificação dos nós para determinação dos coeficientes de minoração de

resistência: (a) CCC, (b) CCT e (c) CTT.

Fonte: American Concrete Institute (2014, p. 391)

Já o ACI 318-14 propõe a equação de projeto como sendo:

𝜙𝐹𝑛𝑠 ≥ 𝐹𝑢𝑠

Onde:

𝜙 é um fator de redução da resistência, definido de acordo com a tabela 21.2.1 do código

(p. 341), sendo 0,75 para bielas, tirantes e zonas nodais;

𝐹𝑢 está associado à carga na combinação última;

𝐹𝑛 está associada à carga resistente.

O sufixo s diz respeito às bielas (struts).

No item 23.4.1, o ACI 318-14 (p. 392) apresenta a capacidade resistente das bielas,

𝐹𝑛𝑠, calculada por:

a. 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠, para bielas sem reforço longitudinal

b. 𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠 + 𝐴𝑠′𝑓𝑠′, para bielas com armadura longitudinal

Onde:

𝑓𝑐𝑒 resistência à compressão efetiva, calculada por:

𝑓𝑐𝑒 = 0,85𝛽𝑠𝑓𝑐′

𝐴𝑐𝑠 é a área da seção transversal da biela;

37

𝛽𝑠 é um coeficiente da biela, que varia em conformidade com o tipo da biela, podendo

ser obtido pela tabela 23.4.3. do código;

𝑓𝑐′ é a resistência à compressão característica;

𝐴𝑠′ é a área de aço;

𝑓𝑠′ é a tensão de escoamento característica do aço.

3.1.4. VERIFICAÇÃO DOS NÓS

Os nós são representações de mudanças de direções nos caminhos das cargas e também

podem receber cargas concentradas e ligar as bielas aos tirantes.

Segundo Schlaich e Schäfer (1991, p. 116), os nós dos modelos de bielas e tirantes

podem ser de dois tipos:

Nós singulares ou concentrados (“concentrated” ou “singular”): são nós onde forças

concentradas são aplicadas e o desvio da força é feito localizadamente. Estes nós são críticos e

devem ter as suas tensões verificadas, a fim de equilibrar as forças oriundas das bielas e dos

tirantes sem produzir deformações excessivas capazes de provocar fissuração. Para o

dimensionamento, é necessário se dispor da geometria do nó, do estado de tensões ao qual está

submetido, da resistência do concreto e das condições de ancoragem das armaduras.

Nós contínuos (“continuous” ou “smeared”): nestes nós o desvio da força ocorre em

comprimentos satisfatórios, em que as armaduras podem ser ancoradas sem maiores problemas.

Desde que os critérios de ancoragem sejam verificados, estes nós usualmente não são críticos,

não necessitando de verificações adicionais.

A norma brasileira dimensiona os nós e as bielas igualmente. Outras normas trazem

dimensionamentos diferenciados para nós e bielas. Na maioria delas, os valores são

comparáveis, seguindo critérios de diminuição da capacidade resistente similares ao da norma

brasileira. Uma exceção notável é a norma espanhola EHE (2011, p. 186) que permite, para

estados de tensão triaxial de compressão, no qual os nós estão conectados, adotar 𝑓3𝑐𝑑 =

3,30𝑓𝑐𝑑 em função do confinamento conferido à região nodal, mas que não se aplica às VPs, já

38

que estão submetidas usualmente a um estado de tensões biaxiais. Neste caso, a EHE utiliza

para 𝑓2𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑑.

Do item 23.9 do ACI 318-14 temos que a capacidade resistente dos nós é dada por:

𝐹𝑛𝑛 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑛𝑧

Onde:

𝑓𝑐𝑒 = 0,85𝛽𝑛𝑓𝑐′

𝐴𝑛𝑧 é a menor área entre (a) face da zona nodal perpendicular à linha de ação de 𝐹𝑢𝑠 e

(b) área da seção perpendicular à linha de ação da força resultante na seção.

𝛽𝑛 é um coeficiente da biela, que varia em conformidade com o tipo da biela, podendo

ser obtido pela tabela 23.9.2. do código. Em suma: 1,0 para confluência de bielas, 0,8 para um

tirante ancorado ao nós e 0,6 para dois ou mais tirantes;

𝑓𝑐′ é a resistência a compressão característica.

3.2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Método dos Elementos Finitos é apresentado nas normas geralmente como uma

alternativa ao MBT na análise de estruturas e regiões especiais. A NBR 6118:2014 cita que a

análise de vigas-parede pode ser feita por “métodos numéricos, como o método dos elementos

finitos”. Também em 2014, o ACI 318-14 (p. 64, 81), incluiu o MEF explicitamente como um

método que pode ser usado na análise de estruturas4, desde que o modelo seja apropriado para

o propósito destinado. A CSA A23.3-04 já incluía recomendações acerca do uso do MEF para

obtenção dos efeitos do carregamento, também observando que devem ser consideradas as

diferenças de comportamento de diferentes tipos de estrutura na modelagem. O Eurocode 2

(2004, p. 53) aponta o MEF como um meio de análise especial para quando se deseja obter mais

que os esforços internos da estrutura, mas também tensões, deformações e deslocamentos.

4 “Finite element analysis was introduced in the 2014 Code to explicitly recognize a widely used analysis

method.” (ACI, 2014, págs. 64 e 81)

39

Embora os trabalhos clássicos que originaram o método tenham origem na década de

1950, seu maior desenvolvimento e viabilidade só se deram com o surgimento e

desenvolvimento dos computadores, que puderam fornecer respostas progressivamente mais

rápidas para o grande número de cálculos envolvidos, com estruturas cada vez mais complexas

(SOUZA, 2004, p. 17).

O MEF se baseia na divisão de um problema considerado complexo e contínuo em um

número finito de partes menores, de onde deriva o nome do método. Em outras palavras, o

problema físico é descrito de forma diferencial e as equações de compatibilidade entre os pontos

são resolvidas numericamente.

De acordo com RAO (2004, p. 10-13), a solução de um problema estático de

engenharia de estruturas por meio do MEF passa por 6 passos, os quais serão brevemente

explanados a seguir:

i. Discretização da estrutura:

Consiste em dividir a estrutura, contínua, em elementos. Nessa etapa são definidos o

tipo de elemento, sua dimensão, quantidade e arranjo.

Figura 14: Discretização de uma viga-parede

Fonte: Nguyen (2013)

Na Figura 14 acima é possível visualizar como na modelagem de uma viga-parede foi

utilizado um modelo plano, com elementos quadrilaterais para o concreto (em azul escuro) e

40

elementos lineares (em azul claro) para a armadura. É esperado que elementos menores tendam

a soluções mais precisas, ao custo de um processamento computacional maior.

ii. Seleção de um modelo adequado de deslocamento ou interpolação;

Uma vez que o resultado para o deslocamento de uma estrutura complexa sob um

carregamento específico não pode ser determinado com exatidão, são admitidas soluções

adequadas para que se aproxime da resposta desconhecida. Essas devem ser simples, de um

ponto de vista computacional, mas devem satisfazer critérios de convergência e são geralmente

descritas na forma polinomial. Para um material elástico, por exemplo, é possível admitir uma

variação linear do deslocamento axial que concorde com a lei de Hooke.

iii. Obtenção de matrizes de rigidez dos elementos e dos vetores de carga;

Do modelo de deslocamento admitido, são derivadas a matriz de rigidez 𝐾(𝑒) e o vetor

de carga �⃗� (𝑒) do elemento usando as equações de equilíbrio ou princípios variacionais

adequados.

iv. Montagem dos elementos em uma matriz global para obtenção das equações

de equilíbrio;

As matrizes de rigidez locais são utilizadas para a formação da matriz de rigidez global,

que descreve a estrutura como um todo. Isso é feito por meio da superposição das matrizes,

considerando todos os elementos que podem influenciar um único nó. A matriz de rigidez pode

então ser equacionada com os carregamentos externos ou deslocamentos prescritos que possa

haver.

[𝐾] ∙ {𝑑} = {𝑓}

Onde:

[𝐾] é a matriz de rigidez global;

{𝑑} é o vetor de deslocamentos da estrutura;

{𝑓} é o vetor de forças nodais atuantes na estrutura;

v. Solução dos deslocamentos desconhecidos;

41

No MEF, o vetor {𝑑} pode ser obtido através de dois métodos disponíveis para a

resolução dos sistemas equações lineares: os métodos diretos e os métodos iterativos. Os

métodos diretos são métodos que utilizam um número finito de operações aritméticas para

encontrar a solução do problema, como o Método de Eliminação Gaussiana e o Método de

Cholesky. Já os métodos iterativos usam uma aproximação inicial e fazem iterações sucessivas

para obter soluções mais refinadas, como Gauss-Seidel e Newton-Raphson. (SOUZA, 2004, p.

21).

vi. Cálculo das tensões e deformações nos elementos;

A partir dos deslocamentos, é possível encontrar as deformações, e por conseguinte,

as tensões que aparecem em cada um dos elementos por meio das equações da mecânica dos

sólidos e das estruturas.

3.2.1. ADINA

O ADINA5 é um software cujo desenvolvimento foi iniciado pelo Dr. K. J. Bathe, um

dos maiores pesquisadores da análise por elementos finitos no mundo, autor de muitos livros e

artigos. Bathe iniciou o desenvolvimento em 1974 e em 1986 fundou a ADINA R&D, Inc para

alavancar o programa enquanto ele era docente do Massachussets Institute of Technology.

O software é bastante abrangente quanto às aplicações das engenharias, podendo

realizar análises estruturais, térmicas, eletromagnéticas e de mecânica dos fluidos. Por isso, é

utilizado em uma diversidade de indústrias, como a da construção, aeroespacial, biomédica,

militar, óleo e gás etc.

O ADINA é composto por três módulos principais: o pré-processador, o processador

e o pós-processador, embora o pré-processamento possa ser terceirizado por outros softwares

compatíveis. O programa é acompanhado por muitos documentos, dentre os quais quatro

volumes do Theory and Modeling Guide, cinco volumes do Command Reference Manual e o

Primer, com 68 aplicações do ADINA para a solução de problemas diversos de engenharia.

Nesse trabalho, as referências principais serão os volumes 1 do Theory and Modeling Guide e

do Command Reference Manual, os quais se referem ao tratamento de sólidos e estruturas. A

5 Mais informações disponíveis em: http://www.adina.com/

http://www.adina.com/

42

versão utilizada foi a v. 9.4., com possibilidade de utilização de até 900 nós, disponibilizada

pela ADINA R&D, Inc.

Para sólidos e estruturas, o programa permite análises lineares, ou não-linear

geométricas e/ou de material; e carregamento, estáticas, dinâmicas, condições de contato entre

estruturas diferentes etc.

O elemento escolhido para modelar as vigas foi o two-dimensional solid element, ou

sólido 2D. Esse tipo de elemento pode estar condicionado a cinco subtipos ou condições

cinemáticas: Estado Plano de Tensões, Estado Plano de Deformações, axissimétrico, Estado

Plano de Deformações generalizado e Estado Plano de Tensões 3D (membrana). Para o

problema em análise, a condição mais adequada é a do estado plano de tensões.

Figura 15: Elemento sólido 2D para diferentes

quantidades de nós.

Fonte: ADINA (2018)

O elemento para compor a malha poderia ser composto por 3, 4, 6, 7, 8 e 9 nós, sendo

escolhido o do tipo retangular de 9 nós para tornar o modelo tão discreto quanto possível, dentro

da limitação de 900 nós. A malha foi composta por elementos de 10x10cm, com exceção da

viga l/h=4, na qual foi utilizada malha de 10x20cm (altura x largura).

3.2.2. ATENA

O ATENA for non-linear finite element analysis of reinforced concrete structures, ou

apenas ATENA6, é um software de elementos finitos com ênfase na análise de estruturas de

concreto. O programa é desenvolvido pela Červenka Consulting e tem diversas potencialidades

6 Mais informações disponíveis em: https://www.cervenka.cz/products/atena/

https://www.cervenka.cz/products/atena/

43

e vantagens no estudo de estruturas de concreto, sendo utilizado com frequência na literatura

acadêmica de engenharia civil.

O programa fornece uma biblioteca com modelos que fornecem valores default

coerentes para a avaliação do comportamento do concreto simples e do concreto armado. São

inclusos diferentes modelos constitutivos de concreto que consideram critérios de fissuração,

plasticidade, perda de rigidez, espaçamento de fissuras, esmagamento, escoamento do aço e

problemas dependentes do tempo, como fluência e análise dinâmica.

A instalação do ATENA acompanha o software de pré e pós-processamento GiD (que

pode exportar para o ANSYS e para o SAP2000, por exemplo), enquanto o ATENA em si tem

função de processador e também pós-processador. É acompanhado ainda de um manual do

usuário, que apresenta as funções do programa, e do texto teórico que fundamenta seus cálculos.

A versão utilizada foi a v. 5 DEMO.

O ATENA tem uma abordagem mais direta que o ADINA quando da definição do

elemento constitutivo do material da estrutura. Enquanto o ADINA é mais “genérico” e, por

conseguinte, mais versátil, dando mais liberdade ao usuário para alterar os parâmetros e

determinar a mecânica do material, o ATENA tem modelos mais restritos e típicos para o estudo

das estruturas de concreto. Os tipos de materiais presentes no programa são o elástico, aço,

concreto, solo-rocha e armadura unidimensional (solid elastic, solid steel, solid concrete, solid

soil-rock, 1d reinforcement) sendo possível ainda definir o contato entre dois materiais. Dentre

os tipos de materiais, há ainda diferentes modelagens para um mesmo material, a depender da

aplicação que se queira. O tipo de análise, no caso em questão, por estado plano de tensões, é

definido na janela do material. Maiores detalhes acerca dos materiais podem ser encontrados

no manual teórico do programa.

Quanto à malha, em um modelo 2D, pode-se escolher dentre elementos triangulares,

quadrilaterais. Foram escolhidos elementos quadrilaterais, em conformidade com a geometria

do problema. Os elementos quadrilaterais podem ser de 4 ou 9 nós, sendo utilizado o de 4 nós,

em função da maior restrição da versão demonstrativa do ATENA, que permite até 300 nós. As

malhas foram compostas por elementos de 10x5cm (largura x altura) nas vigas com l/h=0,83 e

l/h=1, 20x5cm na viga com l/h=2 e 40x5cm na viga com l/h=4. A ideia na composição da

malha foi manter o mesmo número de nós do ADINA (cujos elementos possuem 9 nós, contra

4 nós do ATENA) no eixo vertical, essencial a elaboração do gráfico.

44

3.3. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE VIGAS –

PAREDE

Para Leonhardt e Mönnig (1978, p. 20), no dimensionamento de chapas de concreto

armado, como são as vigas-parede, seria suficiente conhecer aproximadamente as tensões no

Estádio I, no qual o concreto não fissurou, associado a fórmulas empíricas e critérios de

distribuição de armadura. Embora o uso de fórmulas empíricas tenha sido descartado em

detrimento de métodos racionais como o MBT a partir da difusão do método por Schlaich et al.

em 1987, a análise linear continua um método consistente no projeto de vigas-parede.

Para demonstrar que a análise linear seria suficiente, os autores mostram que, mesmo

para um material perfeitamente elástico, as seções planas não permanecem planas e, portanto,

a expressão 𝜎 = 𝑀 ∙ 𝑦/𝐼 da resistência dos materiais não mais se aplica. A Figura 16 a seguir

mostra como seriam as distribuições de tensões ao longo da seção intermediária de vigas-parede

com diferentes relações ℓ/ℎ, bem como valores calculados por Leonhardt e Mönnig para as

tensões máximas e mínimas.

Figura 16: Distribuição de tensões ao longo da seção transversal para diferentes relações

l/h de vigas.

Fonte: adaptado de Leonhardt e Mönnig (1978, p. 21)

As vigas com a mesma relação ℓ/ℎ foram analisadas pelo ADINA (Figura 17) e

ATENA (Figura 18) com o objetivo de observar esse tipo de comportamento na seção

intermediária na análise linear, para um material elástico-linear.

45

Figura 17: Malha, condições de contorno e carregamento das vigas modeladas no ADINA:

(a) l/h=4, (b) l/h=2, (c) l/h=1, (d) l/h=0,83

Fonte: Elaborado pelo autor

46

Figura 18: Malha, condições de contorno e carregamento das vigas modeladas

no ATENA: (a) l/h=4, (b) l/h=2, (c) l/h=1, (d) l/h=0,83

Fonte: elaborado pelo autor

47

O material foi considerado elástico e isotrópico, com módulo de elasticidade de 27 GPa,

coincidente com o módulo de elasticidade secante 𝐸𝑐𝑠 de um concreto com 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎 e

com coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,2.

A vigas tinham vão teórico de modo a coincidir com os exemplos de Leonhardt e foram

consideradas como tendo ℎ = 100 𝑐𝑚 e 𝑏 = 20 𝑐𝑚.

O carregamento foi do tipo pressure na superfície superior da viga, de modo que ao

adotar 100 kN/m em uma viga com espessura 20 cm, a carga distribuída deve ser 0,5 MN/m².

Por ser um requisito do software quando na análise de estado plano de tensões, as vigas

foram modeladas no plano y-z, de modo que o eixo y corresponde ao comprimento da viga e z

sua altura. Por conseguinte, as tensões 𝜎𝑦𝑦, 𝜎𝑧𝑧 e 𝜎𝑦𝑧 são respectivamente, as tensões normais

a seção transversal, normais à carga e as tensões de cisalhamento.

De maneira análoga ao realizado com o ADINA, também foram modeladas as vigas

de Leonhardt com o ATENA, seguindo as mesmas condições de carregamento e contorno.

Diferentemente do ADINA, o ATENA não requer a disposição da viga no plano y-z, de modo

que ela foi modelada no plano x-y, como convencional. O carregamento foi do tipo linear line

load, com valor de 0,1 MN. As condições de contorno foram um apoio de segundo gênero e um

de primeiro gênero, um em cada extremidade da face superior da viga. O material escolhido

para esta análise linear foi o solid elastic, que obedece à Lei de Hooke. Os parâmetros

necessários para a definição do material foram os mesmos.

O ambiente de pós-processamento do ATENA não possibilita a criação de gráficos, mas

permite que os valores de tensão nos pontos sejam exibidos na janela de output e copiados na

forma de texto. Os valores foram então tratados no Microsoft Excel, por meio do qual foram

criados os gráficos. Já o ADINA permite mais facilmente a criação de gráfico, de modo que foi

mais vantajosa a utilização dos próprios gráficos fornecidos pelo programa.

Dos valores de tensão máxima e mínima obtidos, que são os críticos para

dimensionamento, foram calculados os valores de erro relativo a serem apresentados nas tabelas

3 a 8, calculados conforme a seguinte fórmula:

𝐸𝑟 =(𝐴𝐷𝐼𝑁𝐴 𝑜𝑢 𝐴𝑇𝐸𝑁𝐴)

𝐿𝑒𝑜𝑛ℎ𝑎𝑟𝑑𝑡− 1 (%)

48

Desse modo, valores positivos significam que o método gerou valores em módulo

maiores em relação às análises de Leonhardt, e, portanto, favoráveis à segurança. Por outro

lado, deve-se atentar aos valores negativos por serem contrários à segurança.

Para os casos que foram possíveis, os valores foram também comparados aos

fornecidos pelas equações de Roark para vigas com grande altura em relação ao vão (Young e

Budynas, 2001, p. 168). Na Tabela 2 constam os coeficientes a serem multiplicados pelos

valores de Navier-Bernoulli para obtenção das tensões nas vigas-parede:

Tabela 2: Coeficientes de Roark para tensões

máximas e mínimas nas vigas-parede

Fonte: adaptado de Young e Budynas (2001, p. 168)

O erro relativo, portanto, foi adaptado para:

𝐸𝑟 =(𝐴𝐷𝐼𝑁𝐴 𝑜𝑢 𝐴𝑇𝐸𝑁𝐴)

𝑅𝑜𝑎𝑟𝑘− 1 (%)

49

CASO I – l/h=4

Figura 19: Comparação do perfil de tensão e valores pela análise de Leonhardt e Mönnig

(a) e a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=4.


Tabela 3: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=4)

l/h=4 (MPa)

Leonhardt ADINA Er ATENA Er

-6,000 -6,111 1,85% -5,550 -7,50%

6,000 6,105 1,75% 5,553 -7,45%


50

CASO II – l/h=2


(a) e a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=2


Tabela 4: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=2) - Leonhardt

l/h=2 (MPa)


-1,500 -1,545 3,00% -1,408 -6,13%

2,250 1,657 -26,36% 1,541 -31,51%


Tabela 5: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=2) – Roark

l/h=2 (MPa)

Roark ADINA Er ATENA Er

-1,533 -1,545 0,78% -1,408 -8,15%

1,674 1,657 -1,02% 1,541 -7,94%


51

CASO III – l/H=1


(a) e a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=1


Tabela 6: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=1) - Leonhardt

l/h=1 (MPa)


-0,210 -0,233 10,95% -0,229 9,05%

0,800 0,997 24,63% 0,936 17,00%


Tabela 7: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=1) - Roark

l/h=1 (MPa)

Roark ADINA Er ATENA Er

-0,225 -0,233 3,55% -0,229 1,78%

1,021 0,997 -2,35% 0,936 8,32%


52

CASO IV – l/h=𝟎, 𝟖𝟑


(a) e a obtida por meio do ADINA (b) e do ATENA (c) para relação l/h=0,83.


Tabela 8: Comparação dos valores de tensão máxima e mínima (l/h=0,83)

l/h=0,83 (MPa)


-0,200 -0,236 18,00% -0,232 16,00%

0,800 0,992 24,00% 0,931 16,38%


As análises tiveram correlação satisfatória quanto a distribuição de tensões na seção

intermediária. Nesse sentido, as tensões tiveram variação em conformidade com o disposto em

Leonhardt. De fato, na análise do ATENA, a linha neutra das vigas passou em 0,50h, 0,47h,

53

0,25h e 0,25h, enquanto a mesma referência prevê, respectivamente, valores de 0,5h, 0,4h,

0,28h e 0,28h, que são aproximações razoáveis.

Em se tratando da comparação dos valores absolutos, o ADINA teve melhores

resultados para os casos I, II e III (comparados às expressões de Roark), enquanto o ATENA

teve os menores erros para os casos III (comparado a Leonhardt) e IV.

Para o caso I, que se trata de uma viga que obedece a Navier-Bernoulli, o ADINA foi

bem melhor, com erro máximo de apenas 1,85%.

No caso II, foi possível perceber que os programas se aproximaram de Navier-

Bernoulli, ao passo que as tensões de trações observadas por Leonhardt eram significativamente

maiores, com erros de 26,36% e 31,51%. Considerando as fórmulas de Roark, no entanto, o

erro máximo para o mesmo caso foi de apenas 1,02% para o ADINA.

O caso III apresentou resultados similares ao caso II, com grandes divergências entre

o MEF e Leonhardt e Mönnig, porém com convergência quando comparados às fórmulas de

Roark, com erros relativos médios de 4%.

O caso IV apresentou os piores resultados, com erros de 16,00% a 24,00%,

consistentemente maiores que os de Leonhardt.

Cabe salientar que os programas concordaram entre si, mesmo quando os valores

divergiram mais significativamente de Leonhardt e Mönnig, com erro máximo entre os

programas de apenas 10,11% no caso I, considerando o ADINA como benchmark.

O pior desempenho do ATENA possivelmente se deu em função da menor capacidade

do programa causada pela limitação de nós, que resultou em uma malha com elementos

quadrilaterais alongados, quando o ideal seria manter elementos mais próximos de quadrados.

A diferença entre os softwares e Leonhardt e Mönnig pode decorrer da utilização das

fórmulas simplificadas empíricas utilizadas pelos pesquisadores ou da utilização de apoios

pontuais que geravam grandes perturbações na região do nó, ou ainda da combinação de ambos.

Não foram encontrados outros parâmetros de comparação na literatura além de Young e

Budynas, haja visto que as vigas-parede falham menos por flexão em relação aos outros

mecanismos e, por conseguinte, o estudo das tensões normais na seção intermediária não é tão

aprofundado quanto nas vigas esbeltas.

54

A melhor aproximação dos resultados deste trabalho para com os resultados de Young

e Budynas (2001) provavelmente se deve à fundamentação numérica utilizada na determinação

das equações utilizadas no trabalho dos autores, uma vez que metodologias similares devem

conduzir a resultados mais próximos.

Feita a análise, no ambiente de pós-processamento, é possível obter, além das tensões

que atuam em um determinado eixo, também as tensões principais que atuam na viga e suas

trajetórias. Esse estudo da trajetória das tensões principais é possivelmente o principal produto

da análise linear com o MEF, uma vez que é o instrumento por meio do qual podem ser

elaborados os modelos de bielas e tirantes. As trajetórias de tensões obtidas utilizando o

ATENA podem ser comparadas à trajetória de tensões proposta por Leonhardt e Mönnig (1978)

para a mesma viga com relação l/h=1. Na Figura 23, as isolinhas da trajetória apresentada pelos

autores foram superpostas ao gradiente de isotensões obtidas no ATENA para facilitar a

avaliação da correlação do direcionamento das tensões.

Figura 23: Trajetória de tensões principais nas vigas-parede com relação l/h=1

apresentado por Leonhardt (a), malha da viga no ATENA (b) e resultado obtidos para as

tensões principais de tração 𝝈𝑰 (c) e de compressão 𝝈𝑰𝑰 (d).

Fonte: elaborado pelo autor, adaptado de Leonhardt e Mönnig (1986, p. 22).

55

Foi possível observar o direcionamento das tensões de compressão para os apoios e

que as maiores tensões de tração ocorreram somente em uma região muito restrita da viga, da

ordem de 15% da altura, conforme recomenda a norma quando preconiza que as armaduras

principais inferiores devem ser distribuídas ao longo de 0,15h, no item 22.4.4.1, a contar da

face inferior da viga, para as vigas-parede biapoiadas.

Foi também modelada uma viga da mesma Figura 2.3 de Leonhardt & Mönnig, com

as mesmas proporções e particularidade de ter a carga distribuída aplicada na face inferior

(pendurada), conforme a Figura 24.

Figura 24: Trajetória de tensões principais nas vigas-parede com relação l/h=1

apresentado por Leonhardt (a), malha da viga no ATENA (b) e resultado obtidos para as

tensões principais de tração σ_I (c) e de compressão σ_II (d)


56

Embora intuitivamente seja possível pensar que as linhas da trajetórias de compressão

correspondem aparentemente as tensões principais de tração e vice-versa, já que no primeiro

caso as tensões principais e as trajetórias eram paralelas, vale ressaltar que as linhas tratam da

trajetória das tensões, ao passo que o gradiente de cores corresponde a intensidade das tensões.

Assim, elas se relacionam pela densidade de linhas em uma determinada região: conforme a

densidade de linhas aumente, as tensões aumentam, uma vez que as cargas confluem para

aquela determinada zona.

57

4. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE VIGAS-PAREDE

4.1. PRESCRIÇÕES DA NBR 6118:2014

A NBR 6118:2014 dedica o capítulo 22 ao dimensionamento de elementos especiais e

o item 4 do mesmo capítulo às vigas-parede. Nele, a Norma classifica as vigas-parede utilizando

tão somente a relação ℓ/ℎ (vão teórico/altura total), conforme mencionado anteriormente, tal

que para as vigas biapoiadas esta relação é inferior a 2 e para as vigas contínuas é inferior a 3.

A Norma trata também do comportamento estrutural deste tipo de viga, destacando

sua ineficiência tanto à flexão quanto ao cisalhamento, em comparação com as vigas

convencionais. Além disso, em função de sua altura, as vigas-parede podem ter problemas de

instabilidade lateral e de rigidez, de modo que enrijecedores e travamentos podem ser

demandados para garantia da estabilidade. Finalmente, diz que devem ser consideradas

perturbações como cargas concentradas, aberturas e engrossamentos.

Quanto aos modelos de cálculo permitidos, menciona modelos elásticos lineares e não

lineares, baseado em método dos elementos finitos ou modelos de bielas e tirantes com as

verificações de bielas em conformidade com o exposto neste trabalho no item 2.2.4.

a. Armaduras em vigas-parede biapoiadas:

As armaduras de tração não podem estar concentradas apenas nas fibras inferiores da

viga-parede e sim em toda a zona efetivamente tracionada, conforme o modelo de cálculo. Para

as vigas biapoiadas, a NBR 6118:2014 preconiza essa região como de altura 0,15h, conforme a

Figura 25 abaixo:

58

Figura 25: Distribuição das armaduras em uma viga parede

biapoiada conforme NBR 6118:2014

Fonte: NBR 6118 (2014, p. 183)

b. Armaduras em vigas-parede contínuas

Nas vigas-parede contínuas a armadura negativa deve ser distribuída em três faixas de

alturas distintas, excluindo-se a região em que ℎ > ℓ, já que a região em questão se trata da

chamada “zona morta”, a qual não contribui para a resistência do elemento. Assim, temos a

seguinte distribuição da armadura negativa em vigas-parede contínuas:

- 20% superior de h: 𝐴𝑠1 = (ℓ/2ℎ − 0,50) ∙ 𝐴𝑠

- 60% centrais de h: 𝐴𝑠2 = (1,5 − ℓ/2ℎ) ∙ 𝐴𝑠

- 20% inferiores de h: 𝐴𝑠3 = 0

Para uma viga com ℎ=2,00 m e dois vãos livres, sendo cada um com ℓ=5,00 m, na

região dos 20% superior (40 cm) a armadura corresponde a 0,75 𝐴𝑠; na região dos 60% centrais

(120 cm) tem-se uma a armadura igual a 0,25 𝐴𝑠; e para os 20% inferiores (40 cm) não será

disposta armadura negativa.

Ademais, cabe lembrar que, para efeito de cálculo, deve-se considerar ℎ ≤ ℓ. Como

segundo exemplo, considerando esta condição, para uma viga com ℎ=2,40 m e dois vãos livres,

cada um com ℓ=2,00 m, na região da face superior até ℎ=2,00 a armadura seria corresponde a

59

0; para 2,00 ≤ ℎ < 1,60𝑚 a armadura novamente é 0; para 1,60𝑚 ≤ ℎ ≤ 0,40𝑚 a armadura

corresponde a 𝐴𝑠; e para os 40cm finais não seria disposta armadura negativa.

c. Armaduras distribuídas

A armadura horizontal mínima, no intuito de combater a fissuração em elementos de

grandes dimensões, é de 0,075% ∙ 𝑏 por face, por metro.

A armadura vertical também tem taxa mínima de 0,075% ∙ 𝑏 por face, por metro, e

caso o carregamento se dê na região inferior da viga, esta deve ser capaz de suspender a carga

aplicada em sua totalidade ou haver uma armadura específica adicional.

No capítulo 13, a Norma preconiza condições em que as aberturas podem ser feitas

dispensando a verificação. Nos casos em que esses limites não sejam atendidos, recomenda o

método das bielas e tirantes. No caso dos furos na direção da altura, considera um limite

dimensional para o diâmetro do furo de 1/3 da largura da viga, distante no mínimo 5 cm da face

ou 2 vezes o cobrimento. Deve ser verificada a redução da capacidade portante ao cisalhamento

e à flexão.

4.2. PRESCRIÇÕES DO ACI 318-14

O American Concrete Institute classifica as vigas-parede como aquelas com relação

vão livre por altura (ℓ0/ℎ) menor que 4 ou com cargas concentradas em uma distância de até

2ℎ para a face dos apoios. Antes da revisão de 2002, o código era ainda mais abrangente, com

as relações supracitadas sendo de respectivamente 5 e 2,5.

A norma requer que as vigas-parede sejam calculadas considerando a análise não-

linear ou por modelos de bielas e tirantes. A norma dedica seu capítulo 23 ao dimensionamento

utilizando modelo de bielas e tirantes, conforme apresentado no capítulo 2 do presente trabalho.

A força cortante resistente última, de acordo com o item 9.9.2.1 foi limitada a:

𝑉𝑢 ≤ 𝜙0,83√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑

Onde,

𝑉𝑢 é a força cortante resistente última;

60

𝜙 é um fator redutor de capacidade para cisalhamento, de acordo com a tabela 21.2.1;

𝑓𝑐′ é a resistência a compressão do concreto;

𝑏𝑤 é a largura da alma da viga;

𝑑 é altura útil da viga;

Fórmula calibrada para entrada em MPa.

Esse limite dimensional foi estabelecido de modo a controlar a fissuração sob

combinações de serviço e prevenir falhas devido a compressão diagonal.

A área mínima de aço submetido a flexão é dada por:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ≥

{

0,25√𝑓𝑐

′

𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑

1,4

𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑

Onde 𝑓𝑦 é a tensão de escoamento característica do aço em MPa.

A norma requer ainda armaduras de distribuição vertical e horizontal. A vertical 𝐴𝑣 é

dada por 𝐴𝑣 = 0,0025 ∙ 𝑏𝑤𝑠, onde 𝑠 é o espaçamento da armadura transversal. Já a horizontal

𝐴𝑣ℎ é dada por 𝐴𝑣 = 0,0025 ∙ 𝑏𝑤𝑠2, em que 𝑠2 é o espaçamento da armadura longitudinal,

sendo que os espaçamentos 𝑠 e 𝑠2 não podem ser inferiores ao menor entre 𝑑/5 e 12 polegadas.

4.3. PRESCRIÇÕES DO EUROCODE EN 1992-1-1:2004

O Eurocode 2 (2004), item 5.3.1.3 classifica as vigas-parede como sendo as vigas com

relação vão livre/altura ℓ/ℎ < 3, sendo assim mais abrangente que a norma brasileira.

A norma prevê uma malha ortogonal de reforço em cada uma das faces com área

mínima 𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛. O valor de 𝐴𝑠,𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 pode variar entre os países componentes da União

Europeia, com valores sugeridos de 0,001𝐴𝑐 e de no mínimo 150 mm²/m, por face, em cada

direção.

O espaçamento 𝑠 entre duas barras adjacentes não deve ser inferior ao menor valor

entre 2𝑏𝑤 e 300mm.

61

A armadura correspondente aos tirantes no modelo estrutural deve estar

completamente ancorada para promover equilíbrio nos nós. Para tanto, pode-se dobrar a barra

na região dos nós, usar alças em formato de U (grampos) ou por outros dispositivos de

ancoragem. Isso pode ser dispensado caso haja comprimento de ancoragem 𝑙𝑏 suficiente.

4.4. PRESCRIÇÕES DO CSA A23.3-14

O CSA A.23.3-14 classifica as vigas-parede como os elementos de flexão com razão

𝑙0/ℎ < 2. São requeridas a consideração da distribuição não linear de deformações,

instabilidade lateral e requisitos maiores de ancoragem. É recomendado o método das bielas e

tirantes na análise para procedimentos mais acurados.

É requerida uma armadura de pele longitudinal mínima para elementos cuja altura seja

maior que 750mm, distribuída nas faces laterais para uma distância 0,5ℎ − 2(ℎ − 𝑑), tais que

ℎ é a altura total e 𝑑 é a altura útil.

Para as armaduras de pele, a área das armaduras é dada por 𝜌𝑠𝑘 ∙ 𝐴𝑐𝑠, tal que 𝐴𝑐𝑠 é a

área das faixas externas da viga, com altura 0,5ℎ − 2(ℎ − 𝑑) e largura de 2 vezes a distância

do centro de gravidade da armadura de distribuição até a face externa da viga (com limitação

máxima de 𝑏𝑤/2). 𝜌𝑠𝑘 = 0,008 para ambientes internos e 0,010 para ambientes externos. O

espaçamento máximo dessa armadura é 200mm e deve se considerar sua contribuição quando

for feita compatibilização de deformações para determinar a tensão nas barras individualmente.

A armadura de distribuição (controle de fissuras) é composta de uma malha ortogonal,

com relação entre área de aço e área de concreto de até 0,002 em cada direção e com

espaçamento entre as barras menor que 300mm.

62

Figura 26: Armadura de controle de fissuras de acordo com o CSA A23.3-14

Fonte: adaptado de Chaallal e Lachemi (2010, p. 33)

4.5. COMPARAÇÃO ENTRE AS NORMAS E CONSIDERAÇÕES

COMPLEMENTARES

As normas apresentadas acima têm em comum a apresentação de métodos de

classificação e determinação de taxas de armadura distribuída. Ademais, apontam para a

utilização do Método das Bielas e Tirantes, cada qual com sua observação quanto ao cálculo da

capacidade resistente das bielas, tirantes e regiões nodais. Nesse sentido, as outras três normas,

quando comparadas à brasileira, são mais extensas ao apontar a capacidade dos elementos que

compõem o MBT e apontar indicações para a obtenção da região nodal.

Quanto à classificação, percebe-se que para as vigas-parede biapoiadas, a NBR é a

menos conservadora. Uma viga com relação ℓ/ℎ = 2 só não é considerada viga-parede na

NBR 6118:2014, dentre as 4 normas comparadas. A classificação e as taxas de armadura

distribuídas foram compiladas na Tabela 9. Os valores podem ser diretamente comparados

(exceto para a CSA), e é possível perceber que novamente a norma brasileira é a menos

conservadora, sendo 75% do indicado pelo Eurocode e apenas 30% do ACI.

63

Tabela 9: Classificação e taxas de armadura distribuídas de acordo com as diferentes

normas

Classificação 𝝆𝒗,𝒎𝒊𝒏/𝒉 𝝆𝒉,𝒎𝒊𝒏/𝒉

NBR 6118:2014 ℓ/ℎ < 2

ℓ/ℎ < 3∗

0,075% ∙ 𝑏 0,075% ∙ 𝑏

ACI 318-14 ℓ0/ℎ < 4

ou 𝑎/𝑑 < 2

0,0025 ∙ 𝑏𝑤 0,0025 ∙ 𝑏𝑤

EUROCODE 2

(2004)

ℓ/ℎ < 3 > {

0,001𝑏𝑤150𝑚𝑚2/𝑚

> {0,001𝑏𝑤

150𝑚𝑚2/𝑚

CSA A23.3-

2014

ℓ0/ℎ < 2 0,002 ∙ 𝐴𝑐 0,008 ∙ 𝐴𝑐𝑠7

0,010 ∙ 𝐴𝑐𝑠8

≥ 0,002𝐴𝑐

*classificação para vigas-parede contínuas


No sentido de avaliar a importância da taxa de armadura distribuída, podemos apontar

para Rogowsky et al. (1986, p. 617). Em ensaios experimentais com vigas-parede biapoiadas e

vigas contínuas submetidas a cargas concentradas e apoios descontínuos (pilares), com

diferentes condições de armadura distribuída, observou-se que as vigas com grande quantidade

de estribos verticais (𝜌𝑣 = 0,0060) falharam de maneira dúctil. Por outro lado, as vigas com a

taxa mínima (a saber, 𝜌𝑣 = 0,0015) ou sem estribos verticais tiveram uma ruptura abrupta, com

pouca ou nenhuma deformação plástica. No mesmo estudo (p. 617), os pesquisadores

concluíram que a armadura distribuída horizontal teve pouco ou nenhum impacto no aumento

da resistência.

7 Taxa para ambientes internos. 8 Taxa para ambientes externos.

64

Figura 27: Relação entre o esforço cortante último e vão de cisalhamento/altura

Fonte: Rogowsky et al. (1986)

Da figura acima de Rogowsky et al., verifica-se que as vigas do tipo BM5/XX,

plotadas como quadrados, que contavam com armadura vertical distribuída máxima, tiveram

consistentemente uma relação 𝑉𝑢/√𝑓𝑐′ de aproximadamente 0,8, mesmo para vigas com relação

entre o vão de cisalhamento (distância da carga concentrada ao apoio) e a altura maiores. Ainda

de acordo com Rogowsky et al. (p. 618), a resistência ao cisalhamento esperada para vigas

esbeltas seria de 0,17√𝑓𝑐′ MPa, de modo que as vigas-parede seriam também mais eficientes

quando submetidas a esse tipo de esforço.

Ainda se tratando da taxa de armadura distribuída, Birrcher (2006, p. 113) compilou

as taxas de armadura disponíveis em diferentes normativos conforme Tabela 10, que, embora

parcialmente desatualizados, servem de balizadores. Nesse ínterim, o ACI, por exemplo (p.

151) aumentou sua taxa 𝑝ℎ de 0,0015 para 0,0025.

65

Tabela 10: Taxas de armadura para VP em normas internacionais

Fonte: Birrcher (2006, p. 113)

No mesmo estudo, Birrcher (p. 114-115) relaciona também as taxas de armadura à

resistência ao esforço cortante em vigas-parede por meio de uma compilação de vários estudos

experimentais com VP, variando as relações vão de cisalhamento/altura útil:

Figura 28: Razão entre taxa de armadura distribuída horizontal e carga última associada

à relação a/d


66

Figura 29: Razão entre taxa de armadura distribuída vertical e carga última associada à

relação a/d


A esse respeito, Birrcher declara que é evidente que o aumento da taxa de armadura

horizontal tem pouco ou nenhum efeito no aumento da resistência ao esforço cortante, em

consonância com o observado por Rogowsky et al. (1986), sendo observado inclusive

correlação inversa, possivelmente por uma diminuição da taxa de armadura vertical com o

aumento da horizontal.

Já para a taxa de armadura vertical, há um aumento negligenciável para relações a/d

menores ou igual a 1,5 quando se aumenta a taxa de armadura vertical. Para relações maiores

que 1,5, para as quais a viga se aproxima das vigas de Euler-Bernoulli esse efeito de aumento

da resistência é mais evidente. É possível concluir da importância da armadura distribuída de

que ela é necessária para resistir às tensões transversais nas bielas, de modo que aumentar a

taxa para além do requerido para resistir a essas tensões não aumenta significativamente a

resistência da viga.

Birrcher conclui (2006, p. 141-142) do seu estudo que, em vigas-parede, desde que

fornecida uma taxa de armadura de 0,2%, não houve diferenças significativas na performance

67

das vigas quanto a ruptura, independente da proporção da disposição dessas armaduras na

horizontal ou na vertical.

Em termos de condições de serviço, a abertura das fissuras foi proporcional a

quantidade de armadura distribuída, com os espécimes com taxa de 0,3% tendo performance

significativamente superior às com taxa de armadura de 0,2%, e a partir de 0,3% o aumento da

taxa não resultou em mudanças significativas na diminuição da abertura das fissuras.

Desse modo, a fim de atender as condições últimas e de serviço, o ideal seria a

utilização de taxas de 0,3% em cada direção, ao passo que a norma brasileira usa 0,075%.

68

5. APLICAÇÃO NO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS

Conforme explanado anteriormente, as vigas biapoiadas com relação ℓ/ℎ = 2 e

ℓ/ℎ = 3 se configuram como vigas-parede em outras normas, a exemplo do ACI e do

Eurocode, mas não na NBR 6118:2014. A norma brasileira considera somente a relação entre

vão e altura, enquanto o ACI utiliza também a relação entre o vão de cisalhamento e a altura,

em observância ao Princípio de Saint-Venant.

Esse capítulo será dedicado ao dimensionamento de vigas com essas relações. A priori,

será dimensionada uma viga biapoiada com relação ℓ/ℎ < 2, considerando o MBT, para os

critérios preconizados na NBR e no ACI 318-14.

Em seguida, será dimensionada uma segunda viga biapoiada com relação ℓ/ℎ = 3,

que de acordo com a NBR é uma viga comum. Essa viga será, portanto, dimensionada como

viga comum e novamente pelo MBT com os critérios do ACI e da NBR. Desse modo, os

múltiplos dimensionamentos permitirão verificar se ocorrem divergências significativas no

dimensionamento da viga para as diferentes classificações.

5.1. VIGA COM RELAÇÃO 𝓵/𝒉<2 E CARREGAMENTO CONCENTRADO

NA FACE SUPERIOR

5.1.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

O primeiro problema analisado trata-se de uma viga com relação ℓ/h<2=1,95,

aproximadamente no limite dimensional requerido para ser classificada como viga-parede. O

problema propõe uma situação similar a uma viga de transição, na qual um pilar descarrega

diretamente sobre a viga a fim de evitar a presença do pilar em uma posição indesejada no

pavimento inferior.

69

Figura 30: Viga-parede analisada (problema 1)


Dados complementares:

• 𝑏𝑤 = 30 𝑐𝑚;

• 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎;

• 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎;

• 𝑞 = 2000 𝑘𝑁 → 5000𝑘𝑁

𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 40 𝑐𝑚.9

5.1.2. DIMENSIONAMENTO COM MODELO DE BIELAS E TIRANTES

(CRITÉRIOS ACI 318-14)

A NBR 6118:2014 aponta para o dimensionamento de elementos especiais utilizando

o MBT, mas é breve quanto ao procedimento de dimensionamento, limitando-se a definir os

parâmetros de resistência para bielas, regiões nodais e tirantes. Por isso, será utilizado o

procedimento apontado pelo ACI 318-14. Essa, por outro lado, dedica o capítulo 23 aos

modelos de bielas e tirantes e tem uma referência de exemplos de resolução de problemas de

MBT, o SP-208.

9 Considerando-se carga de projeto.

70

Para a norma americana, o processo de projetar um modelo de bielas e tirantes para

suportar as forças atuantes em regiões “D”, o processo é composto por quatro passos:

i. Definir e isolar cada região “D”;

ii. Calcular as forças resultantes nos limites das regiões “D”;

iii. Selecionar o modelo e computar as forças nas bielas e tirantes para transferir as

forças da região “D” para as regiões “B”. Os eixos das bielas e tirantes devem ser escolhidos

de modo a aproximadamente coincidir com os eixos dos campos de compressão e tração;

iv. Dimensionar as bielas, tirantes e zonas nodais de modo que tenham resistência

suficiente.

Como as vigas-parede constituem-se em elementos que, por definição, são regiões “D”

generalizadas, isto é, a viga como um todo é uma região “D”, os passos i e ii não precisam ser

feitos.

Figura 31: Tensões principais de compressão (a) e de tração (b) na viga dimensionada

obtidas pelo ATENA.

Fonte: elaborado pelo autor.

De posse do panorama de distribuição de tensões atuantes na viga em questão, é

possível construir o modelo de bielas e tirantes. Nesse contexto, a norma canadense CSA

A23.3-14 apresenta duas possibilidades quando da construção do modelo: um simplificado, o

71

qual abrange tão somente as bielas e tirantes com maiores tensões; e um modelo refinado, no

qual são adicionados tirantes que representam as armaduras de controle de fissuração e

contribuem na resistência à tração do elemento.

Figura 32: Possíveis configurações de modelos de bielas e tirantes, considerando (a) ou

não (b) a contribuição das armaduras transversais na resistência à tração

Fonte: adaptado de CSA A 23.3-14 (2014, p. 86)

Das isotensões presentes no gráfico das tensões principais da viga, foi possível estimar

graficamente valores razoáveis para as larguras das bielas e para o tirante do modelo

simplificado, quais sejam, 0,50m e 0,30m, respectivamente. O tirante foi adotado também

considerando a regra da NBR que determina a distribuição das armaduras principais de tração

em uma altura de 0,15h a contar da face inferior da viga.

A carga foi lançada conforme o observado na Figura 32, com duas forças concentradas

a 10 cm do eixo de simetria. Já o braço de alavanca que resulta na altura da treliça equivalente

foi obtido utilizando o eixo das bielas e tirantes, conforme Figura 33. Foi considerado uma

região de 5 cm correspondente ao cobrimento, estribo e eixo da armadura inferior como sendo

não contribuinte na resistência à tração.

Figura 33: Obtenção da altura da treliça equivalente para o MBT


72

Desse modo, o modelo de bielas e tirantes refinado foi o que consta na figura a seguir:

Figura 34: Modelo de bielas e tirantes e cargas axiais (b) para a viga a ser dimensionada.


Para esta primeira viga serão retomados alguns dos conceitos já discutidos no item 3.1

deste trabalho, bem como serão tratados outros que se considerem oportunos, produzindo o

procedimento completo do dimensionamento. Em função disso, a outra viga a ser objeto de

estudo será tratada de maneira mais expedita.

i. Avaliação dimensional

O ACI 318-14 fornece um limite dimensional para as vigas-parede tal que o seguinte

equacionamento seja verdadeiro:

𝑉𝑢 ≤ 𝜙10√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑

Do apêndice B do código, temos que a expressão calibrada para o SI é a seguinte:


Onde:

𝑉𝑢 é o esforço cortante na combinação última;

𝑑 é admitido preliminarmente com a viga tendo 3 camadas de barras 𝜙 = 25𝑚𝑚 que

abrangem os 15% da altura, conforme recomendação da NBR:

𝑑 ≅ ℎ − (𝑐𝑜𝑏 + 𝜙𝑡 + 𝜙𝑙 + 𝑠𝑣 +𝜙𝑙2)

73

𝑠𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 3 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 30 𝑐𝑚

𝑑 ≅ 200 − (3 + 0,5 + 2,5 + 12,5 + 1,25) ∴ 𝑑 ≅ 180,25 ≅ 180𝑐𝑚

Portanto:

2000 𝑘𝑁 ≤ 0,85 ∙ 0,83√30 ∙ 0,30 ∙ 1,80 𝑀𝑁

2000 𝑘𝑁 ≤ 2086,7 𝑘𝑁 𝑜𝑘!

ii. Verificação das zonas nodais

A verificação das zonas nodais se dá por meio do item 23.9 do ACI (p. 397). Da treliça,

pode-se admitir que existem quatro regiões nodais a serem verificadas, quais sejam, os nós A e

G e seus simétricos, D e H. Os nós B e E são ditos “contínuos” ou “smeared”, de modo que a

ausência de mudança direção abrupta permite o desvio da força em comprimento satisfatório,

bastando a verificação das bielas associadas a esses nós e garantir que haja ancoragem

suficiente. Como os nós não estão na extremidade da viga, isto é, não há um comprimento de

ancoragem limitado, é assumida ancoragem suficiente. Os demais nós são verificados por

simetria.

A partir da maneira como as barras da treliça confluem para os nós é possível

classificá-los em CCC (nó G), CCT (nós E e A) e CTT (nó B).

Verificação do Nó A:

Para o nó A, aplicar-se-á o coeficiente 𝛽𝑛 de 0,8, para os nós CCT, que consta na tabela

23.9.2 da norma. 𝜙 é um fator de redução de resistência que varia conforme o tipo de estrutura,

disponível na tabela 21.2.1. (p. 341). Para as bielas, tirantes, regiões nodais e regiões de cargas

concentradas (bearing zones) dimensionadas pelo MBT, esse valor é de 0,75:

𝜙𝐹𝑛𝑛 ≥ 𝐹𝑢𝑛

𝜙 ∙ 𝐹𝑛𝑛 = 𝜙 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑛𝑧

𝑓𝑐𝑒 = 0,85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0,85 ∙ 0,8 ∙ 30 ∴ 𝑓𝑐𝑒 = 20,4 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑛𝑧 é o menor valor entre (a) a área da face do nó perpendicular ao eixo da carga

externa ou (b) perpendicular à força resultante na seção. A Figura 35 é a representação gráfica

do nó A, tal que o comprimento de 30 cm é correspondente ao tirante, os 50 cm são referentes

74

ao apoio e o comprimento z’ é a projeção da face da região nodal perpendicular à linha de ação

da biela, obtida graficamente.

Figura 35: Nó A


O nó é então verificado quanto às três cargas atuantes em suas seções, respectivamente

da reação, da biela e do tirante:

a) Reação


0,75 ∙ 2,04 ∙ 50 ∙ 30 ≥ 1000

2295 ≥ 1000 𝑂𝑘!

b) Biela


0,75 ∙ 2,04 ∙ 57 ∙ 30 ≥ 1241,1

2616,3 ≥ 1241,1 𝑂𝑘!

c) Tirante


0,75 ∙ 2,04 ∙ 30 ∙ 30 ≥ 830,9

1377 ≥ 830,9 𝑂𝑘!

75

Verificação do Nó G:

Para os casos nos quais mais de três forças convergem para um nó, como é o caso do

nó G, a norma recomenda que sejam substituídas duas das forças de modo que resultem apenas

3 ao todo, conforme Figura 36.

Figura 36: Resolução da região nodal com mais de 3 forças

Fonte: adaptado de ACI 318-14 (2014, p. 388)

No nó G, atuam as bielas EG e BG, de modo que o procedimento supramencionado

foi adotado. Assim, pelo princípio da superposição dos efeitos, as forças foram somadas

vetorialmente, com a resultante conforme a Figura 37:

76

Figura 37: Nó G resolvido


Para o nó G, aplica-se o coeficiente 𝛽𝑛 de 1,0, para os nós CCC, portanto:

𝑓𝑐𝑒 = 0,85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0,85 ∙ 1,0 ∙ 30 ∴ 𝑓𝑐𝑒 = 25,5 𝑀𝑃𝑎

a) Carga externa


0,75 ∙ 2,55 ∙ 20 ∙ 30 ≥ 1000

1147,5 ≥ 1000 𝑂𝑘!

b) Biela horizontal


0,75 ∙ 2,55 ∙ 50 ∙ 30 ≥ 1186,6

2868,8 ≥ 1186,6 𝑂𝑘!

c) Biela inclinada


0,75 ∙ 2,55 ∙ 52 ∙ 30 ≥ 1532,2

77

2983,5 ≥ 1532,2 𝑂𝑘!

iii. Verificação das bielas

No item 23.4.1 (p. 392), o ACI 318-14. apresenta a capacidade resistente das bielas,

𝐹𝑛𝑠, calculada por:

𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠


𝛽𝑠 é obtido por meio da tabela 23.4.3 do ACI 318-14 e varia conforme o tipo biela. Para

bielas do tipo garrafa, como é o caso da viga analisada, são previstas duas condições: 𝛽𝑠 =

0,75, para bielas com armaduras distribuídas que atravessam a biela; 𝛽𝑠 = 0,60𝜆, tal que 𝜆 é

um coeficiente redutor de resistência para concretos leves. O caso estudado é o primeiro,

portanto:

𝑓𝑐𝑒 = 0,85 ∙ 0,75 ∙ 30 ∴ 𝑓𝑐𝑒 = 19,1 𝑀𝑃𝑎

Biela AE

Da equação de dimensionamento:


𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠

𝐹𝑛𝑠 = 1,91 ∙ 52 ∙ 30 ∴ 𝐹𝑛𝑠 = 2979,6 𝑘𝑁

𝜙 = 0,75 (𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎𝑠, 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑑𝑎𝑖𝑠)

0,75 ∙ 2979,6 ≥ 1241,1

2237,6 ≥ 1241,1 𝑂𝑘!

Bielas EG e BG

Da verificação do nó G, foi possível observar a disponibilidade de 52 cm para a

confluência das bielas EG e BG. Nesse sentido, quando no dimensionamento de estruturas com

nós contínuos, nos quais não é possível determinar nó a nó a largura da biela, o SP-208 (p. 135)

78

aponta para o dimensionamento das bielas por meio do cálculo da largura da biela requerida

(𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞) e deve-se comparar com a disponibilidade geométrica na estrutura (𝑤𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣).

𝐴𝑐,𝑟𝑒𝑞 ≥𝐹𝑢𝜙𝐹𝑛

𝐴𝑐,𝑟𝑒𝑞 =𝐹𝑢

0,75 ∙ 𝑓𝑐𝑒=

𝐹𝑢

0,75 ∙ 1,91 𝑘𝑁/𝑐𝑚²∴ 𝐴𝑐,𝑟𝑒𝑞 =

𝐹𝑢1,43

𝐴𝑐,𝑟𝑒𝑞 = 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 ∙ 𝑏𝑤 = 30 ∙ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 =𝐹𝑢

1,43 ∙ 30∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 =

𝐹𝑢42,9

Biela EG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 =992,9

42,9∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 23,14 𝑐𝑚

Biela BG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 =616,9

42,9∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 14,38 𝑐𝑚

Como a soma das larguras requeridas é menor do que a disponibilidade geométrica, a

verificação está ok.

iv. Dimensionamento do Tirante

Analogamente, a equação de dimensionamento dos tirantes é dada por (item 23.7 do

ACI 318-14):

Tirante BC:

𝜙𝐹𝑛𝑡 ≥ 𝐹𝑢𝑡

𝐹𝑛𝑡 = 𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑡𝑝(𝑓𝑠𝑒 + ∆𝑓𝑝)

(𝐴𝑡𝑝 = 0 para elementos não protendidos)

𝜙𝐴𝑡𝑠 ∙ 𝑓𝑦 ≥ 𝐹𝑢𝑡

79

𝐴𝑠𝑡 ≥𝐹𝑢𝑡𝜙 ∙ 𝑓𝑦

=1186,6

0,75 ∙ 50

𝐴𝑠𝑡 ≥ 31,64 𝑐𝑚2 → 7𝜙25𝑚𝑚 = 34,37𝑐𝑚²

Tirante BE:


=459,3

0,75 ∙ 50

𝐴𝑠𝑡 ≥ 12,25 𝑐𝑚2

Essa área pode ser distribuída uniformemente ao longo da biela, isto é, da face do pilar

da carga externa, a face do pilar de apoio. Essa região tem um comprimento de 1,5m.

𝐴𝑠𝑡𝑠=12,25

1,5∴𝐴𝑠𝑡𝑠= 8,17𝑐𝑚2/𝑚 → 𝜙12,5 𝑐/15 = 8,33 𝑐𝑚2/𝑚

Adota-se para o tirante AB a armadura do tirante BC, uma vez que não se justifica

detalhar e fazer traspasse de uma nova armadura para atender aquele tirante. Desse modo, tem-

se que a armadura é disposta de extremidade a extremidade.

v. Armadura de malha reforçando bielas de garrafa

Para bielas do tipo garrafa com armação, para concretos de até 6000 psi

(aproximadamente 41 MPa), a norma determina no item 23.5.3. o cálculo da área de armadura

como sendo:

∑𝐴𝑠𝑖𝑏𝑠𝑠𝑖

𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖 ≥ 0,003

Tal que:

𝐴𝑠𝑖 é a área total de armadura distribuída em um dado espaçamento 𝑠𝑖;

𝑏𝑠 é a largura da biela;

𝑠𝑖 é o espaçamento ao longo da direção i, sugerindo i=1 para vertical e i=2 para

horizontal;

𝛼𝑖 é o ângulo formado entre o eixo da biela e a direção i.

A biela AE forma um ângulo com a horizontal de 49º e com a vertical de 41º. Assim,

temos:

80

A armadura distribuída é então obtida por:

∑𝐴𝑠𝑖𝑏𝑠𝑠𝑖

𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑖 ≥ 0,003

𝐴𝑠𝑣𝑏𝑠𝑠

𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑣 +𝐴𝑠ℎ𝑏𝑠𝑠

≥ 0,003

A norma não direciona acerca de quais taxas usar para cada direção. Do cálculo do

tirante BE, já foi obtida uma taxa de armadura vertical de 8,33 cm²/m:

8,33

30 ∙ 100𝑠𝑒𝑛(41) +

𝐴𝑠ℎ30 ∙ 200

𝑠𝑒𝑛(49) ≥ 0,003

𝐴𝑠ℎ ≥ (0,003 − 0,0018) ∙ 30 ∙200

𝑠𝑒𝑛(49)∴ 𝐴𝑠ℎ = 9,54 𝑐𝑚

2 → 4,77 𝑐𝑚2/𝑚

com

𝑠𝑣 ≤ {𝑑

5=

195

5= 39 𝑐𝑚

12 𝑖𝑛 = 30,48 𝑐𝑚 ok!

𝑠2,𝑚𝑖𝑛 ≥ {

1 𝑖𝑛 = 25,4 𝑚𝑚 ≅ 2,5 𝑐𝑚𝑑𝑏 = 25 𝑚𝑚 = 2,5 𝑐𝑚

4

3𝑑𝑎𝑔𝑔 =

4

3∙ 19 𝑚𝑚 ≅ 2,5 𝑐𝑚

ok!

A armadura distribuída mínima, no entanto, deve atender:

𝐴ℎ,𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 ≥ 0,0025𝑏𝑤𝑠

𝐴ℎ𝑠=𝐴𝑣𝑠≥ 0,0025 ∙ 30 = 7,5 𝑐𝑚2/𝑚

Sendo adotado, portanto

𝐴𝑣/𝑠 = 8,33 𝑐𝑚2/𝑚

𝐴ℎ/𝑠 = 7,50 𝑐𝑚2/𝑚

v. Comprimento de ancoragem

A ancoragem de tirantes geralmente demanda uma atenção especial nas regiões nodais

adjacentes aos apoios de vigas-parede. A armadura deve ser ancorada em uma região delimitada

81

pelo comprimento ℓ𝑎𝑛𝑐, obtido de modo que, em zonas nodais ancorando um ou mais tirantes,

esse comprimento é dado da extremidade da armadura até o ponto em que centroide das

armaduras longitudinais sai da zona nodal estendida.

Figura 38: Ancoragem considerando zona nodal estendida

Fonte: American Concrete Institute (2014, p. 397)

Para o nó A, temos:

Figura 39: Zona nodal estendida e comprimento para

ancoragem disponível para o nó A


Para o comprimento de ancoragem, são permitidos o uso de ganchos, dispositivos

mecânicos, headed bars, confinamento adicional ou o uso de barras menores de modo a

82

aumentar a superfície de contato. Não foi possível encontrar o comprimento necessário de

ancoragem para barras com gancho ajustado para as unidades do SI, de modo que será utilizado

o comprimento de ancoragem da NBR 6118 e que será calculado a posteriori.


(CRITÉRIOS NBR 6118:2014)

De posse do procedimento inicial do MBT executado para os critérios do ACI 318-14,

com a análise linear preliminar, observação do caminhamento de tensões principais e escolha

do modelo de bielas e tirantes, foram verificados os nós e as bielas e dimensionados os tirantes

em consonância com os critérios preconizados pela NBR 6118:2014.

Desse modo, vale ressaltar que foi utilizado o mesmo modelo utilizado no item

anterior, bem como as mesmas condições de carregamento e apoios. As cargas às quais estão

submetidos os nós, bielas e tirantes serão multiplicadas por um coeficiente 𝛾𝑛 em conformidade

com o item 22.2. da NBR 6118:2014 (p. 180) e do item 5.3.3. (p. 15) da NBR 8681:2003. O

coeficiente 𝛾𝑛 é dado da seguinte forma:

𝛾𝑛1 ≤ 1,2 em função da ductilidade de uma eventual ruína;

𝛾𝑛2 ≤ 1,2 em função da gravidade das consequências de uma eventual ruína.

Conforme dito anteriormente Rogowsky et al. (1986) concluiu por meio de resultados

experimentais que as vigas com grande quantidade de estribos verticais (𝜌𝑣 = 0,0060)

falharam de maneira dúctil. Por outro lado, as vigas com a taxa mínima (a saber, 𝜌𝑣 = 0,0015)

ou sem estribos verticais tiveram uma ruptura abrupta, com pouca ou nenhuma deformação

plástica. Assim, considerando que a taxa de armadura de malha mínima especificada pela norma

brasileira (𝜌𝑣 = 0,075%) corresponde à metade da armadura da norma americana de então, é

prudente considerar que a viga-parede pode ter uma ruptura abrupta, com graves consequências

na ruína, com 𝛾𝑛 = 1,2 × 1,2 ∴ 𝛾𝑛 = 1,44.

i. Verificação das zonas nodais

83

As regiões nodais que serão verificadas são as mesmas, e com as mesmas

classificações, quais sejam, as dos nós A e G, cuja representação gráfica está disponível na

Figura 35 e na Figura 37 deste trabalho (p. 74).

Verificação do nó A:

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72 𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 (bielas atravessadas por tirante único, ou nós CCT)

𝛼𝑣2 = (1 −𝑓𝑐𝑘250

) = (1 −30

250) ∴ 𝛼𝑣2 = 0,88

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72 ∙ 0,88 ∙30

1,4∴ 𝑓𝑐𝑑3 = 13,58 𝑀𝑃𝑎

𝛾𝑛𝐹𝑠𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝐴𝑧𝑛

a) Reação

1,44 ∙ 1000 ≤ 1,36 ∙ 50 ∙ 30

1440 ≤ 2040 𝑂𝑘!

b) Biela

1,44 ∙ 1241,1 ≤ 1,36 ∙ 57 ∙ 30

1787,18 ≤ 2325,6 𝑂𝑘!

c) Tirante

1,44 ∙ 830,9 ≤ 1,36 ∙ 30 ∙ 30

1196,49 ≤ 1224 𝑂𝑘!

Verificação do nó G:

Para o nó G, é utilizada a resistência 𝑓𝑐𝑑1:

𝑓𝑐𝑑3 = 0,85 𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 (bielas prismáticas ou nós CCC)

𝑓𝑐𝑑3 = 0,85 ∙ 0,88 ∙30

1,4∴ 𝑓𝑐𝑑3 = 16,02

a) Carga externa

84

1,44 ∙ 1000 ≤ 1,60 ∙ 20 ∙ 30

1440 ≤ 960 Não ok!

Destaca-se que seria necessário aumentar a largura da viga e, por conseguinte, da

região nodal para 0,45m, o que seria demasiadamente custoso, ou realizar um reforço adicional

na interface do pilar com a viga, promovendo confinamento na região nodal. Nesse sentido, o

cálculo será continuado admitindo-se esse reforço visando o confinamento.

b) Biela horizontal

1,44 ∙ 1186,6 ≤ 1,60 ∙ 50 ∙ 30

1708,7 ≤ 2400 𝑂𝑘!

c) Biela inclinada

1,44 ∙ 1523,2 ≤ 1,60 ∙ 52 ∙ 30

2193,4 ≤ 2496 𝑂𝑘!

ii. Verificação das bielas

Do item 22.3.2 da NBR 6118:2014, para bielas atravessadas por um tirante, temos;

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 = 0,72 ∙ 0,88 ∙3,0

1,4∴ 𝑓𝑐𝑑3 = 1,36 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑠𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎

𝛾𝑛 ∙ 𝐹 ≤ 𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎

Biela AE

1,44 ∙ 1241,1 ≤ 0,72 ∙ 0,88 ∙3,0

1,4∙ 57 ∙ 30

1787,18 𝑘𝑁 ≤ 2321,69

Bielas EG e BG

Adotando procedimento análogo ao realizado para o ACI, temos:

85


𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 ≥𝛾𝑛 ∙ 𝐹

𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝑏𝑤=

1,44𝐹

1,36 ∙ 30∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,035 𝐹𝑢

Para o mesmo tipo de biela, a norma americana prescindiu de uma largura de biela de

0,023𝐹𝑢, um valor correspondente a 2/3 do necessário pela norma brasileira.

Biela EG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,035 ∙ 992,9 ∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 34,75 𝑐𝑚

Biela BG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,035 ∙ 616,9 ∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 21,59 𝑐𝑚

O valor correspondente total às duas bielas é maior do que o disponível

geometricamente na região do nó, calculado como sendo de 52 cm, de modo que contornar esse

problema é necessário ou elevar a resistência do concreto ou aumentar a largura da viga.

Adotando-se 35 cm para a viga, temos:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 ≥𝛾𝑛 ∙ 𝐹

𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝑏𝑤=

1,44𝐹

1,36 ∙ 35∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,030 𝐹𝑢

Biela EG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,030 ∙ 992,9 ∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 29,78 𝑐𝑚

Biela BG:

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 0,030 ∙ 616,9 ∴ 𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 18,50 𝑐𝑚

𝑤𝑠,𝑟𝑒𝑞 = 29,78 + 18,50 ≤ 52 𝑐𝑚 Ok!

iii. Dimensionamento do Tirante

Do item 22.3.3, a NBR 6118 determina que a área de aço do tirante é dada por:

Tirante BC:

𝐴𝑠 =𝛾𝑛𝐹𝑆𝑑𝑓𝑦𝑑

86

𝐴𝑠 =1,44 ∙ 1186,6

501,15

∴ 𝐴𝑠 = 39,30 𝑐𝑚2 → 8𝜙25𝑚𝑚 = 39,30 𝑐𝑚²

Tirante BE:

𝐴𝑠 =1,44 ∙ 459,3

501,15

∴ 𝐴𝑠 = 15,21 𝑐𝑚2 → 10,14 𝑐𝑚2/𝑚

iv. Armadura distribuída

Armadura de pele

Do item 17.3.5.2.3, temos:

𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑒

= 0,10% ∙ 𝐴𝑐,𝑎𝑙𝑚𝑎 = 0,10% ∙ 35 ∙ 200 = 7𝑐𝑚2

𝑓𝑎𝑐𝑒= 3,5 𝑐𝑚2/𝑚 → 𝜙6,3 𝑐/7,5

Armadura distribuída vertical em vigas-parede é determinada pelo item 22.4.4.3 da

NBR 6118:2014 (p. 183) como sendo 0,075% ∙ 𝑏 por face, por metro.

𝐴𝑣,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,075% ∙ 𝑏 = 0,075% ∙ 35 = 2,62𝑐𝑚2

𝑚→ 𝜙5𝑐/7,5

Como a armadura de pele tem taxa maior que a armadura distribuída horizontal

mínima para as vigas-parede, conforme o disposto no item 22.4.4.1 (p. 182), será adotada a

armadura de pele como sendo a armadura horizontal.


Comprimento de ancoragem básico

ℓ𝑏 =𝜙

4

𝑓𝑦𝑑

𝑓𝑏𝑑≥ 25𝜙

𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1𝜂2𝜂3𝑓𝑐𝑡𝑑

𝜂1 = 2,25 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠);

𝜂2 = 1,0 (𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 → 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 30𝑐𝑚 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)

87

𝜂3 = 1,0 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 32𝑚𝑚)

𝑓𝑐𝑡𝑑 =𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓

𝛾𝑐=0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚𝛾𝑐

= 0,7 ∙ (0,3𝑓𝑐𝑘

23 )/𝛾𝑐

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,7 ∙ (0,3 ∙ 3023)/1,4 ∴ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,45 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑏𝑑 = 2,25 ∙ 1,0 ∙ 1,0 ∙ 1,45 ∴ 𝑓𝑏𝑑 = 3,26 𝑀𝑃𝑎

ℓ𝑏 =0,025

4

500

1,15 ∙ 3,26≥ 25 ∙ 0,025

ℓ𝑏 = 0,83 ≥ 0,625 ∴ ℓ𝑏 = 0,83𝑚

Comprimento de ancoragem mínimo

ℓ𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ {0,3ℓ𝑏 = 0,3 ∙ 0,83 = 0,25𝑚

10𝜙 = 0,25𝑚100 𝑚𝑚 = 0,10 𝑚

Comprimento de ancoragem necessário

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼 ∙ ℓ𝑏 ∙𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐

𝐴𝑠,𝑒𝑓

𝛼 = 0,7 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 0,83 ∙39,30

39,30∴ ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,58 𝑚 (NBR 6118:2014)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 0,83 ∙31,64

35,00∴ ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,525 𝑚 (ACI 318-14)

No ACI 318-14, conforme dito anteriormente, há a ocorrência de uma zona nodal

estendida, na qual é possível admitir que começa a ancoragem. Conforme a Figura 39, o

comprimento disponível nessa zona nodal estendida é de 62 cm, de modo que a ancoragem de

acordo com esta norma é suficiente.

Na NBR 6118:2014 não há indicação da possibilidade de utilização de um mecanismo

análogo ao da zona nodal estendida, de modo que o comprimento disponível seria a largura do

pilar menos o cobrimento, com um valor de 47 cm, sendo, portanto, o comprimento disponível

88

insuficiente. Em função disso, é necessária a utilização de armaduras longitudinais

complementares que exerçam a mesma função, que seriam os grampos (vide Figura 40).

Figura 40: Ancoragem em apoio extremo, com a utilização de ganchos e grampos

Fonte: Bastos (2018)

Para tanto, calcula-se uma área corrigida 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 correspondente a área de aço cujo

perímetro atenderia o comprimento requerido:

𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 =0,7 ∙ ℓ𝑏ℓ𝑏,𝑒𝑓

𝐴𝑠,𝑎𝑛𝑐

𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 =0,7 ∙ 0,83

0,47∙ 39,30 ∴ 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 = 48,58 𝑐𝑚²

A área do grampo, necessária para garantir a ancoragem, portanto, é a área corrigida

menos a área efetiva:

𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 − 𝐴𝑠,𝑒𝑓

𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 48,58 − 39,30 ∴ 𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 9,28 𝑐𝑚²

Considerando que cada grampo contribui com dois ramos e que serão utilizados quatro

grampos, temos que a seção transversal de cada grampo deve ter

9,28

2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 ∙ 4 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠= 1,16 𝑐𝑚²

89

A área da barra necessária corresponde a uma bitola de 12,5 mm, com área 1,22 cm².

Além disso, o comprimento longitudinal do grampo deve ser de no mínimo 95𝜙𝑔𝑟, isto é, 118

cm.

O espaçamento vertical entre os grampos deve atender:

𝑎𝑣,𝑚𝑖𝑛 ≥ {

2 𝑐𝑚𝜙𝑔𝑟 = 1,25 𝑐𝑚

0,5 𝑑𝑚𝑎𝑥,𝑎𝑔𝑟 = 0,95 𝑐𝑚= 2 𝑐𝑚

5.1.4. COMPARAÇÕES ENTRE OS DIMENSIONAMENTOS OBTIDOS

De posse dos dimensionamentos para o caso de uma viga com carga concentrada, é

possível tirar algumas conclusões quanto às diferenças obtidas seguindo os preceitos das

diferentes normas.

Embora a NBR seja menos conservadora ao classificar as vigas em vigas-parede,

quando no dimensionamento, ela pode acabar sendo bem mais conservadora na verificação das

bielas, tirantes e regiões nodais. Adicionalmente à carga obtida pela combinação última, a

norma majora ainda de um coeficiente 𝛾𝑛, cuja obtenção segue critérios objetivos (tipo de

ruptura) e subjetivos (gravidade de uma eventual ruptura) e pode aumentar as cargas atuantes

em um coeficiente de até 1,44.

Embora menos significativo, mas que também contribui para uma certa disparidade

nos resultados obtidos, é o fato de que as resistências equivalentes para bielas e regiões nodais

têm resistências menores:

Tabela 11: Comparação entre as resistências das regiões nodais


20 25 30 35 40 45 50

11,17 13,66 16,03 18,28 20,40 22,40 24,29

7,89 9,64 11,31 12,90 14,40 15,81 17,14

9,46 11,57 13,58 15,48 17,28 18,98 20,57

20 25 30 35 40 45 50

12,75 15,94 19,13 22,31 25,50 28,69 31,88

7,65 9,56 11,48 13,39 15,30 17,21 19,13

10,20 12,75 15,30 17,85 20,40 22,95 25,50

fc' (MPa)

fck (MPa)

NBR 6118:2014

ACI 318R-14

90

Cabe salientar, no entanto, que o valor 𝑓𝑐′ é determinado estatisticamente utilizando

uma distribuição gaussiana de eventos, tal que exista uma probabilidade de 5% da resistência

real ser inferior à resistência nominal, com uma confiança de 90%, calculado como 𝑓𝑐′ = 𝑓𝑐𝑚 −

𝐾 ∙ 𝑆, em que S é o desvio-padrão e K é um coeficiente de modificação que varia com a

quantidade de ensaios, com o valor de 1,645 para uma quantidade infinita de ensaios,

correspondente a um ambiente extremamente controlado, como uma fábrica de pré-moldados.

Por outro lado, a NBR 12655 já admite esse mesmo coeficiente para um lote de 20 exemplares.

Para 20 exemplares, por exemplo, o coeficiente K é de 2,208, o que configura o ACI como mais

conservador. Desse modo, é possível concluir que só é possível admitir 𝑓𝑐′ = 𝑓𝑐𝑘 para um

número infinito de amostras e que as maiores resistências apresentadas pelo ACI 318-14 na

Tabela 11 são justificadas.

Os tirantes para aços de 500 MPa têm resistência de projeto de 434 MPa e 375 MPa,

respectivamente, para a NBR e ACI. Quando considerado o coeficiente 𝛾𝑛 no incremento da

carga, a norma brasileira mais uma vez se configura como mais conservadora.

Combinando o acréscimo do coeficiente majorador 𝛾𝑛 com as resistências inferiores,

as bielas com as mesmas dimensões e submetidas às mesmas cargas tiveram margens de

segurança menores ou mesmo resistência insuficiente, demandando um aumento na largura da

viga para atender às verificações. Nesse sentido, a NBR 6118:2014 orienta também para um

dimensionamento em favor da segurança quando comparado ao ACI 318-14.

Na prática, foram obtidas as seguintes armaduras com o dimensionamento:

Tabela 12: Armaduras obtidas no dimensionamento (l/h=1,95)

Longitudinal

requerida Malha vertical Malha

horizontal

MBT/ACI 318-14 31,64 cm² 8,33cm²/m 7,50 cm²/m

MBT/NBR 6118:2014 39,30 cm² 10,14 cm²/m 3,5 cm²/m


A norma brasileira apresenta uma taxa de armadura distribuída mínima

significativamente menor quando comparada ao ACI. Caso não fosse utilizado um modelo

refinado, calculando uma armadura distribuída vertical para reforçar o tirante, a malha vertical

seria de 2,62 cm²/m. Conforme dito anteriormente, Birrcher (2006, p. 142) concluiu que é

necessário 0,2% de taxa de armadura para que haja performance adequada para resistência

última e 0,3% para limitar a abertura de fissuras, ao passo que a norma brasileira aponta para

91

0,075%, com uma discrepância significativa que pode levar a dimensionamentos inseguros e

rupturas abrupturas, de acordo com o observado por Rogowsky et al. (p. 617).

Quanto às ancoragens, o ACI 318-14 prescindiu de qualquer armadura suplementar

para garantir a ancoragem devida, ao passo que pela NBR 6118:2014 foram necessários

grampos adicionais a fim de atender o comprimento necessário.

92

5.2. VIGA COM RELAÇÃO 𝓵/𝒉=3 E CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO

NA FACE SUPERIOR

5.2.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

O segundo problema analisado trata-se de uma viga com relação ℓ/h=3, que é o limite

dimensional para se classificar como viga-parede pelo Eurocode 2 e é abrangida sob a mesma

classificação no ACI 318-14, porém não na NBR.

Figura 41: Viga-parede analisada (2)


Dados complementares:

• 𝑏𝑤 = 30 𝑐𝑚;

• 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎;

• 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎;

• 𝑞 = 300 𝑘𝑁/𝑚.10

5.2.2. DIMENSIONAMENTO COMO VIGA COMUM

Armadura mínima

A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo:

𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 𝑊0𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝

10 Considerando-se carga de projeto.

93

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 1,3 ∙ 0,3𝑓𝑐𝑘23 = 1,3 ∙ 0,3 ∙ 30

23 ∴ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 3,77 𝑀𝑃𝑎

𝑊0 =𝐼

𝑦=𝑏 ∙ ℎ3

12∙1

𝑦=30 ∙ 2003

12∙1

50∴ 𝑊0 = 400 000 𝑐𝑚³

𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 ∙ 400 000 ∙ 0,377 ∴ 𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 120 640 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 1206,4 𝑘𝑁.𝑚

𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 < 𝑀𝑑 = 1350 𝑘𝑁.𝑚

Para C30, a taxa mínima de armadura 𝜌𝑚í𝑛 é de 0,15%

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,15%𝐴𝑐 = 0,15% ∙ 200 ∙ 30 ∴ 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 9,0 𝑐𝑚²

Armadura de pele

𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,10%𝐴𝑐 = 0,10% ∙ 200 ∙ 30

𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 6 𝑐𝑚2 →3𝑐𝑚2

𝑚𝑓𝑎𝑐𝑒

→ 𝜙6,3 𝑐/10

Armadura longitudinal de flexão

Da análise, temos:

𝑀𝑑 =𝑞𝑙2

8= 3𝑘𝑁/𝑐𝑚 ∙

(600𝑐𝑚)2

8∴ 𝑀𝑑 = 135 000

𝑑 = ℎ − (𝑐𝑜𝑏 + 𝜙𝑡 + 𝜙𝑙 + 𝑠𝑣 +𝜙𝑙2)

𝑑 = 200 − (3 + 0,5 + 2,5 + 12,5 + 1,25) ∴ 𝑑 = 180,25

𝑠𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 3 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 30 𝑐𝑚

𝑥 = 1,25𝑑 ∙ [1 − √1 −𝑀𝑑

0,425 ∙ 𝑏 ∙ 𝑑2𝑓𝑐𝑑]

94

𝑥 = 1,25 ∙ 180,25 ∙

[

1 − √1 −135 000

0,425 ∙ 30 ∙ 180,252 ∙3,01,4]

𝑥 = 17,83

𝐴𝑠 =𝑀𝑑

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥)

𝐴𝑠 =135 000

501,15

∙ (180,25 − 0,4 ∙ 17,83)∴ 𝐴𝑠 = 17,94 𝑐𝑚2 → 6𝜙20𝑚𝑚 = 18,84

Armadura longitudinal de flexão máxima

𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 4% 𝐴𝑐

𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,04 ∙ 30 ∙ 200 ∴ 𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 240 𝑐𝑚²

Armadura Transversal para Força Cortante

Modelo de Cálculo I

𝑉𝑠𝑑 = 900 𝑘𝑁

a) Verificação das diagonais de compressão

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑣 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤𝑑

𝛼𝑣 = 1 −𝑓𝑐𝑘250

= 1 −30

250∴ 𝛼𝑣 = 0,88

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 0,88 ∙3,0

1,4∙ 30 ∙ 180

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 0,88 ∙3,0

1,4∙ 30 ∙ 180 ∴ 𝑉𝑅𝑑2 = 2749,37 𝑘𝑁

𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2

900 ≤ 2749,37

95

b) Cálculo da armadura transversal

𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤

𝑉𝑠𝑤 = (𝐴𝑠𝑤/𝑠) ∙ 0,9𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)

𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

𝑉𝑐0 = 0,6𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤𝑑

𝑓𝑐𝑡𝑑 =𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓

𝛾𝑐=0,7 ∙ 0,3𝑓𝑐𝑘

23

1,4∴ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,448 𝑀𝑃𝑎

𝑉𝑐0 = 0,6 ∙ 0,145 ∙ 30 ∙ 180 ∴ 𝑉𝑐0 = 469,80 𝑘𝑁

𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑐0 + 𝑉𝑠𝑤 ∴ 𝑉𝑠𝑤 ≥ 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐0 = 900 − 469,80

𝑉𝑠𝑤 = 430,20 𝑘𝑁

𝐴𝑠𝑤/𝑠 =𝑉𝑠𝑤

0,9𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)

𝐴𝑠𝑤𝑠=

430,2

0,9 ∙ 180 ∙ 43,5 (𝑠𝑒𝑛90 + 𝑐𝑜𝑠90)∴

𝐴𝑠𝑤𝑠= 0,061 𝑐𝑚2 = 6,1

𝑐𝑚2

𝑚→ 𝜙6,3 𝑐/10 (2 𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠)

96


(CRITÉRIOS ACI 318-14)

O mesmo procedimento seguido em 5.1.2 será reproduzido para o dimensionamento

dessa viga. A princípio, foi modelada a viga no ATENA para se realizar a análise linear e

verificar a trajetória de tensões para construção do modelo de bielas e tirantes. Foi possível

observar das tensões principais na Figura 42: Tensões principais de compressão e de tração na

viga dimensionada. que as tensões de tração atuando transversalmente na biela não são tão

evidentes quanto o observado na Figura 31, apontando para a possibilidade da formação de uma

biela prismática.

Figura 42: Tensões principais de compressão e de tração na viga dimensionada.

Fonte: elaborado pelo autor.

Das isotensões presentes no gráfico das tensões principais da viga, foi possível estimar

graficamente valores razoáveis para as larguras das bielas e para o tirante do modelo

simplificado, quais sejam, 0,60m e 0,30m, respectivamente. O tirante obedece também à regra

da NBR 6118:2014 que considera a distribuição das armaduras principais de tração a uma altura

de 0,15h.

97

Figura 43: Modelo simplificado (a) e refinado, considerando contribuição

da armadura de controle de fissuras (b)


Considerando que a carga distribuída do modelo real não pode ser aplicada diretamente

na treliça idealizada, foram aplicadas cargas nodais equivalentes em cada terço do vão teórico.

Uma alternativa seria a utilização de quatro cargas nodais equivalentes aplicadas a cada quinto

do vão. Um procedimento similar pode ser consultado no exemplo 1a do SP-208 (p. 65). Neste

trabalho foi considerado o modelo simplificado de modo a verificar a influência da utilização

de um modelo com ausência de tirantes que atravessam as bielas e as reforçam

transversalmente.

O braço de alavanca foi obtido conforme mencionado anteriormente e ilustrado na

Figura 44.

Figura 44: Obtenção da altura da treliça equivalente para o MBT


Desse modo, o modelo de bielas e tirantes simplificado foi o que consta na figura a

seguir:

98

Figura 45: Modelo de bielas e tirantes (a) e cargas axiais (b) para a viga dimensionada


ii. Avaliação dimensional


1800 𝑘𝑁 ≤ 0,83√30 ∙ 0,30 ∙ 1,80 𝑀𝑁

1800 𝑘𝑁 ≤ 2086,7 𝑘𝑁 𝑜𝑘!

ii. Verificação das zonas nodais

Da treliça, pode-se admitir que existem duas regiões nodais a serem verificadas: a zona

de aplicação da carga concentrada e o nó no qual confluem a biela e o tirante, no banzo inferior.

No entanto, na prática, a carga é aplicada de maneira distribuída, de modo que a primeira

verificação não se faz necessária, configurando-se o nó como do tipo contínuo. Para os nós A

e B, aplica-se ao nó o coeficiente 𝛽𝑛 de 0,8, para os nós CCT, que consta na tabela 23.9.2 da

norma:


𝐹𝑛𝑛 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑛𝑧

𝑓𝑐𝑒 = 0,85 ∙ 𝛽𝑛 ∙ 𝑓𝑐′ = 0,85 ∙ 0,8 ∙ 30 ∴ 𝑓𝑐𝑒 = 20,4 𝑀𝑃𝑎

99

A Figura 46 é a representação gráfica do nó 1, tal que o comprimento de 30 cm é

correspondente ao tirante, os 40 cm são referentes ao apoio e o comprimento z’ é a projeção da

face da região nodal perpendicular à linha de ação da biela, obtida graficamente.

Figura 46: Região nodal correspondentes aos nós A e B


O nó é então verificado quanto às três cargas atuantes em suas faces: respectivamente,

a reação, a biela e o tirante:

a) Reação


0,75 ∙ 2,04 ∙ 40 ∙ 30 ≥ 900

1836 ≥ 900 𝑂𝑘!

b) Biela


0,75 ∙ 2,04 ∙ 48 ∙ 30 ≥ 1484,8

2203,2 ≥ 1484,8,3 𝑂𝑘!

c) Tirante


0,75 ∙ 2,04 ∙ 30 ∙ 30 ≥ 1180,9

100

1377,0 ≥ 1180,9 𝑂𝑘!

iii. Verificação das bielas

No item 23.4.1, o ACI 318-14. apresenta a capacidade resistente das bielas, 𝐹𝑛𝑠,

calculada por:

𝐹𝑛𝑠 = 𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠 (bielas sem reforço longitudinal)


𝛽𝑠 = 0,6𝜆 = 0,6 (𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎, 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟ç𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙)

𝑓𝑐′ = 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎;

𝑓𝑐𝑒 = 0,85 ∙ 0,6 ∙ 30 ∴ 𝑓𝑐𝑒 = 15,3 𝑀𝑃𝑎

Considerando ausência de reforço longitudinal nas bielas, temos:


𝜙𝑓𝑐𝑒𝐴𝑐𝑠 ≥ 𝐹𝑢𝑠

0,75 ∙ 1,53 ∙ 48 ∙ 30 ≥ 1484,8

1652,4 ≥ 1484,8

iv. Dimensionamento do Tirante


=1180,9

0,75 ∙ 50

𝐴𝑠𝑡 ≥ 31,49 𝑐𝑚2 → 7𝜙25𝑚𝑚 = 35𝑐𝑚²

v. Armadura distribuída

𝐴ℎ = 𝐴𝑣 = 0,0025 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑣

101

𝐴ℎ = 𝐴𝑣 = 0,0025 ∙ 30 ∙ 100 ∴ 𝐴𝑣 = 𝐴ℎ = 7,5𝑐𝑚2

𝑚→ 𝜙10𝑐/10


(CRITÉRIOS NBR 6118:2014)

i. Verificação das bielas

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑

𝛼𝑣2 = (1 −𝑓𝑐𝑘250

) = (1 −30

250) ∴ 𝛼𝑣2 = 0,88

𝐹𝑠𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑1 ∙ 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑙𝑎


1,44 ∙ 1484,8 ≤ 0,85 ∙ 0,72 ∙3,0

1,4∙ 48 ∙ 30

2138,11 𝑘𝑁 ≤ 1888,46

Novamente, a largura da viga foi insuficiente para a verificação das bielas considerando

os critérios da NBR. Aumentando a largura da viga para 35 cm, temos:

2138,11 𝑘𝑁 ≤ 2203,2

ii. Dimensionamento do Tirante

Do item 22.3.3, a NBR 6118 determina que a área de aço do tirante é dada por:

𝐴𝑠 =𝛾𝑛𝐹𝑆𝑑𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑠 =1,44 ∙ 1180,9

50/1,15∴ 𝐴𝑠 = 39,11 𝑐𝑚2 → 8𝜙25𝑚𝑚 = 40 𝑐𝑚²

102

iii. Verificação das zonas nodais

Conforme apresentado anteriormente, apenas uma região nodal da viga necessita

verificação, que é a região nodal na vizinhança do apoio. As cargas às quais ela está submetida

são as mesmas da Figura 46:

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72 𝛼𝑣2𝑓𝑐𝑑 (bielas atravessadas por tirante único, ou nós CCT)

𝑓𝑐𝑑3 = 0,72 ∙ 0,88 ∙30

1,4∴ 𝑓𝑐𝑑3 = 13,58 𝑀𝑃𝑎

𝛾𝑛𝐹𝑠𝑑 ≤ 𝑓𝑐𝑑3 ∙ 𝐴𝑧𝑛

a) Reação

1,44 ∙ 900 ≤ 1,36 ∙ 40 ∙ 35

1296 ≤ 1904 𝑂𝑘!

b) Biela

1,44 ∙ 1484,8 ≤ 1,36 ∙ 48 ∙ 35

2138,11 ≤ 2284,8 𝑜𝑘!

c) Tirante

1,44 ∙ 1180,9 ≤ 1,36 ∙ 30 ∙ 35

1757,23 ≤ 1428 𝑁ã𝑜 𝑜𝑘!

Para o caso em questão, a solução é utilizar a armadura longitudinal em uma

distribuição maior ao longo da altura, de modo a aumentar a altura da região nodal. A largura

requerida é dada por:

1,44 ∙ 1180,9 ≤ 1,36 ∙ 35 ∙ ℎ𝑠,𝑟𝑒𝑞

ℎ𝑠,𝑟𝑒𝑞 ≥1,44 ∙ 1180,9

1,36 ∙ 35∴ ℎ𝑠 = 35,7 → 40 𝑐𝑚

103

iv. Armadura distribuída

Como a determinação da armadura distribuída depende somente da geometria da seção

transversal da viga, os valores serão os mesmos que para a viga anterior.

𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒𝑓𝑎𝑐𝑒

= 0,10% ∙ 𝐴𝑐,𝑎𝑙𝑚𝑎 = 0,10% ∙ 35 ∙ 200 = 7𝑐𝑚2

𝑓𝑎𝑐𝑒= 3,5 𝑐𝑚2/𝑚 → 𝜙6,3 𝑐/7,5

𝐴𝑣,𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,075% ∙ 𝑏 = 0,075% ∙ 35 = 2,62𝑐𝑚2

𝑚→ 𝜙5𝑐/7,5


Figura 47: Zona nodal estendida para o nó A


Comprimento de ancoragem básico

ℓ𝑏 =𝜙

4

𝑓𝑦𝑑

𝑓𝑏𝑑≥ 25𝜙

𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1𝜂2𝜂3𝑓𝑐𝑡𝑑

𝜂1 = 2,25; 𝜂2 = 1,0; 𝜂3 = 1,0

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 1,45 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑏𝑑 = 3,26 𝑀𝑃𝑎

ℓ𝑏 =0,025

4

500

1,15 ∙ 3,26≥ 25 ∙ 0,025

104

ℓ𝑏 = 0,83 ≥ 0,625 ∴ ℓ𝑏 = 0,83𝑚

Comprimento de ancoragem mínimo

ℓ𝑏,𝑚𝑖𝑛 ≥ {0,3ℓ𝑏 = 0,3 ∙ 0,83 = 0,25𝑚

10𝜙 = 0,25𝑚100 𝑚𝑚 = 0,10 𝑚

Comprimento de ancoragem necessário

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼 ∙ ℓ𝑏 ∙𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐

𝐴𝑠,𝑒𝑓

𝛼 = 0,7 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 0,83 ∙17,94

18,84∴ ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,55 𝑚 (NBR 6118:2014 – Viga convencional)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 0,83 ∙31,49

34,37∴ ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,53 𝑚 (ACI 318-14)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7 ∙ 0,83 ∙39,11

39,30∴ ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,58 𝑚 (NBR 6118:2014 – MBT)

Conforme dito anteriormente, para o ACI 318-14, o comprimento necessário é

comparado ao comprimento ℓ𝑎𝑛𝑐 para determinar se a ancoragem é suficiente. Comparando o

valor necessário ao observado na Figura 47, verificamos que a ancoragem é suficiente.

Para a NBR 6118:2014, o comprimento disponível é o da extensão do pilar menos o

cobrimento, sendo de 37 cm para este caso. Assim, faz-se necessária a utilização de uma maior

área de armadura com perímetro correspondente ao necessário ou a utilização de grampos.

Novamente, serão utilizados grampos, calculados para ambas as condições:

i. NBR 6118:2014: modelo de viga

𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 =0,7 ∙ ℓ𝑏ℓ𝑏,𝑒𝑓

𝐴𝑠,𝑎𝑛𝑐

𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 =0,7 ∙ 0,83

0,37∙ 18,84 ∴ 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 = 29,58 𝑐𝑚²

A área do grampo é a área corrigida menos a área efetiva:

105


𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 29,58 − 18,84 ∴ 𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 10,74 𝑐𝑚²

Considerando que cada grampo contribui com dois ramos e que serão utilizados cinco

grampos, temos que a seção transversal de cada grampo deve ter

10,74


A área da barra necessária corresponde a uma bitola de 12,5 mm, com área 1,22 cm²,

e comprimento longitudinal de 118 cm.

ii. NBR 6118:2014: MBT

𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 =0,7 ∙ 0,83

0,37∙ 39,30 ∴ 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑟𝑟 = 61,71 𝑐𝑚²


𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 61,71 − 39,30 ∴ 𝐴𝑠,𝑔𝑟 = 22,41 𝑐𝑚²

Considerando que serão utilizados cinco grampos, temos:

22,41


A área da barra que é possibilitado com uma bitola de 16 mm, com área 2,01 cm², e

comprimento longitudinal de 95𝜙𝑔𝑟 = 1,52 𝑚.

5.2.5. COMPARAÇÕES ENTRE OS DIMENSIONAMENTOS OBTIDOS

Do dimensionamento considerando o problema 2 foi possível reforçar aspectos que já

haviam sido notados no dimensionamento do problema 1, no item 5.1.4 deste trabalho. A NBR

6118:2014 esteve em favor da segurança ao se dimensionar bielas, regiões nodais e tirantes,

mas aquém quando na determinação das armaduras distribuídas.

106

Tabela 13: Armaduras obtidas no dimensionamento (l/h=3)

Longitudinal Malha

vertical Malha

horizontal

NBR 6118:2014 (viga comum) 17,94 cm² 3,05

cm²/m/face 3,00 cm²/m

MBT/ACI 318-14 31,49 cm² 7,50 cm²/m 7,50 cm²/m

MBT/NBR 6118:2014 39,11 cm² 2,62 cm²/m 3,50 cm²/m


Além disso, foi possível observar uma diferença bastante significativa entre o

dimensionamento considerando as diferentes classificações para a viga. De acordo com os

critérios do Eurocode 2 (2004) e para o ACI 318-14, o elemento estrutural em questão trata-se

de uma VP, enquanto a norma brasileira o classifica como viga convencional, o que conduz a

diferentes procedimentos e conseguintes diferentes dimensionamentos da viga.

107

6. CONCLUSÕES

Da análise elástico-linear do comportamento de vigas-parede com carga distribuída

por meio do MEF, foi possível verificar uma boa correlação quanto ao perfil da distribuição de

tensões ao longo da seção intermediária e quando na observação da posição da linha neutra,

quando comparado ao apresentado em Leonhardt e Mönnig (1978). Os valores de tensão

máxima e mínima, no entanto, calculados pelo MEF, divergiram em média 13,85% dos

calculados por Leonhardt e Mönnig, com erros de até 31,51%, considerados inadequados. Por

outro lado, quando comparados às fórmulas de Roark (Young e Budynas, 2001) para as relações

ℓ/ℎ = 2 e ℓ/ℎ = 1 os valores divergiram, em média, de apenas 4,23%. Cabe salientar que os

resultados obtidos por Leonhardt e Mönnig foram obtidos por meio de fórmulas empíricas

derivadas de ensaios experimentais (p. 20), ao passo que os valores de Young e Budynas foram

obtidos associando análises numéricas de outras referências com análises experimentais (p.

167).

No dimensionamento, conforme apontado no item 5.1.4, foi possível observar a

inadequação da norma brasileira quanto às armaduras distribuídas quando comparada às outras

normas, com taxas significativamente inferiores e que de acordo com Birrcher (2006) não são

suficientes para garantir uma ruptura dúctil, o esforço último da viga nem tampouco as

condições de serviço de limite de abertura de fissuras.

Os parâmetros de resistência observados para a verificação de bielas, tirantes e regiões

nodais são comparáveis aos do ACI 318-14, sendo ligeiramente mais conservadores. Por outro

lado, a norma requer a utilização de um coeficiente adicional 𝛾𝑛 de até 1,44 para as cargas

atuantes, o qual, quando aplicado, requereu um aumento na seção da viga. Além disso, as

ancoragens, analisadas como suficientes pelo ACI 318-14 em ambos os casos, foram verificadas

insuficiente seguindo os critérios da NBR 6118:2014, demandando uma armadura

complementar.

Para relações entre ℓ/ℎ = 4 e ℓ/ℎ = 2 existe uma divergência entre a norma

brasileira, o ACI 318-14 e o Eurocode 2 (2004) acerca da classificação das vigas como VP.

Nesse sentido, o dimensionamento de uma mesma viga como VP por meio do MBT e como

viga comum resultou em taxas de armadura significativamente diferentes, sendo o

dimensionamento conforme a classificação atual da NBR, para os casos analisados, resultantes

108

em menores taxas de armadura longitudinal quando comparada aos critérios do MBT da NBR

6118:2014 e do ACI 318-14 e taxas de armadura distribuídas inferiores ao ACI 318-14.

109

7. REFERÊNCIAS

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YOUNG, Warren C.; BUDYNAS, Richard G.. Roark's formulas for stress and strain. 7. ed.

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113

ANEXO A

Dimensionamento da viga com relação 𝓵/𝒉 = 𝟏, 𝟗𝟓 por equilíbrio da seção

transversal – procedimento de Araújo (2010).

O procedimento adotado neste anexo segue o texto do cap. 4 do livro de Araújo (2010),

que se fundamenta no equilíbrio da seção submetida ao momento fletor levando em

consideração a distribuição não-linear de tensões por meio da variação do braço de alavanca Z.

Será dimensionada a viga com relação ℓ/ℎ = 1,95, conforme descrição no item 5.1.1. O livro

não traz funções para o braço de alavanca para relações acima de 2, de modo que o

dimensionamento da segunda viga seguindo esse procedimento fica impossibilitado.

i. Cálculo da armadura do banzo tracionado

A armadura longitudinal é obtida por meio da expressão:

𝐴𝑠 =𝑀𝑑

𝑍 ∙ 𝑓𝑦𝑑

Tal que 𝑀𝑑 é o momento de cálculo conforme determinado para vigas esbeltas. Para

vigas biapoiadas, Araújo (2010) utiliza a seguinte expressão para a determinação do

braço de alavanca Z:

𝑍 = 0,15ℎ(3 + ℓ/ℎ), 𝑠𝑒 1 < ℓ/ℎ < 2 ou

𝑍 = 0,6𝑙, 𝑠𝑒 ℓ/ℎ ≤ 1

Logo:

𝑍 = 0,15 ∙ 200 ∙ (3 + 1,95)

𝑍 = 148,5

Da análise, temos:

𝑀𝑑 =𝑝ℓ

4=1000𝑘𝑁 ∙ 390 𝑐𝑚

4∴ 𝑀𝑑 = 97500 𝑘𝑁𝑚

𝐴𝑠 =𝑀𝑑

𝑍 ∙ 𝑓𝑦𝑑=97500 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚

148,5 𝑐𝑚 ∙501,15

∴ 𝐴𝑠 = 15,10 𝑐𝑚2 → 8𝜙16𝑚𝑚 = 16 𝑚𝑚²

114

ii. Tensão nos apoios

Figura A 1: Zona nodal do apoio e suas cargas


Figura A 2: Tensões de compressão em apoio

Fonte: Araújo (2010)

Analogamente ao procedimento utilizado no item 5.1.2 deste trabalho, Araújo verifica

a zona nodal sem, no entanto, fazê-lo em separado, nem em tantas faces quanto no item

mencionado. Ou seja, são verificadas a zona nodal e a biela em conjunto. Para tanto, são obtidos

os comprimentos 𝑐 e 𝑐2 e verificadas as tensões 𝜎𝑑, do apoio, e 𝜎2𝑑, da biela. As tensões

encontradas devem ser inferiores à tensão 𝑓𝑐𝑑𝑟, dada por:

115

𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 ∙ (1 −𝑓𝑐𝑘

250) 𝑓𝑐𝑑 = 0,60 ∙ 𝛼𝑣𝑓𝑐𝑑

Não são feitas distinções quanto ao tipo de biela, utilizando-se sempre a resistência

supracitada.

Assim, temos:

𝜎2𝑑 =𝐹

𝑏𝑤 ∙ 𝑐2=1241,1

30 ∙ 57∴ 𝜎2𝑑 = 0,73 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝜎𝑑 =𝐹

𝑏𝑤𝑐=

1000

30 ∙ 50∴ 𝜎𝑑 = 0,67 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

𝑓𝑐𝑑𝑟 = 0,60 ∙ (1 −𝑓𝑐𝑘250

) ∙ 𝑓𝑐𝑑 = 0,60 ∙ (1 −30

250) ∙3,0

1,4∴ 𝑓𝑐𝑑𝑟 = 1,13 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

Empregando um concreto de 30 MPa, 𝜎2𝑑 e 𝜎𝑑 são inferiores a 𝑓𝑐𝑑𝑟 e não há

esmagamento na biela e na região do apoio.

iii. Ancoragem da armadura de flexão

O procedimento para obtenção do comprimento de ancoragem básico é o mesmo

descrito no item 5.1.3. Para 𝜙 = 16𝑚𝑚, boa aderência e 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎, esse comprimento ℓ𝑏

é de 53 cm. Com a utilização de ganchos, passa a 0,7ℓ𝑏 = 37 𝑐𝑚.

A força a ser ancorada é dita como sendo de 0,8𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑, logo, a área de aço necessária

é dada por:

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 0,7ℓ𝑏𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑐𝐴𝑠,𝑒𝑓

= 37 ∙15,10

16,00∴ ℓ𝑏 = 34,9𝑐𝑚

Como os pilares têm largura de 50 cm, é possível realizar a ancoragem.

iv. Armadura de pele

𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 0,10𝑏𝑤 = 0,10 ∙ 30 ∴ 𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 = 3,0 𝑐𝑚2/𝑚/𝑓𝑎𝑐𝑒

Na ausência de uma armadura de suspensão calculada, aplica-se a armadura de pele

tanto na vertical quanto na horizontal.

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Tabela A 1: Comparação entre os resultados obtidos por Araújo e pelos procedimentos

das normas seguindo o MBT

Longitudinal

requerida Malha vertical Malha

horizontal

MBT/ACI 318-14 31,64 cm² 8,33cm²/m 7,50 cm²/m

MBT/NBR 6118:2014 39,30 cm² 10,14 cm²/m 3,5 cm²/m

ARAÚJO (2010) 15,10 cm² 3,00 cm²/m 3,00 cm²/m


Novamente, o dimensionamento a flexão conduziu uma área de armadura longitudinal

significativamente inferior quando comparada ao MBT. As armaduras distribuídas também

resultaram inferiores à metade do ACI 318-14, com margem para os potenciais problemas já

discutidos no item 4.5; e o comprimento de ancoragem, calculado em 58 cm para os critérios

da NBR 6118:2014 e 53 cm para os do ACI 318-14, caiu a 34,9 cm.

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MATHEUS HENRIQUE DO NASCIMENTO OLIVEIRA