Matéria: Matemática Assunto: Porcentagem Prof. Dudano.estudaquepassa.com.br/aula/257/7780_Porcetagem_Dudan.pdf11. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens

Matéria: MatemáticaAssunto: Porcentagem

Prof. Dudan

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Matemática

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Porcentagem

DEFINIÇÃO: A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando “por cento”, “a cada centena”) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).

Taxa Unitária

Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária.

A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira.

Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.

Como Fazer Agora é sua vez

1010% 0,101002020% 0,20

10055% 0,05

1003838% 0,38

1001,51,5% 0,015100230230% 2,3100

= =

= =

= =

= =

= =

= =

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

Dica:A porcentagem vem sempre associada a um elemento, portanto, sempre multiplicado a ele.

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Exemplos:

I. Calcule:

a) 20% de 450

b) 30% de 300

c) 40% de 400

d) 75% de 130

e) 215% de 120

f) 30% de 20% de 50

g) 20% de 30%de 50

Exemplo Resolvido

II. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

8% de 75 = 8100

.75 = 600100

= 6

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

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Exemplos:

2. Calcule

a) b) (20%)²c) (1%)³

3. A expressão (10%)2 é igual a

a) 100%.

b) 1%.

c) 0,1%.

d) 10%.

e) 0,01%

4. Uma mercadoria que custava US$ 2.400 sofreu um aumento, passando a custar US$ 2.880. A taxa de aumento foi de:

a) 30%

b) 50%

c) 10%

d) 20%

e) 15%

5. Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por Direito?

a) 50%.

b) 20%.

c) 10%.

d) 6%.

e) 5%.

6. Uma certa mercadoria que custava R$ 10,50 teve um aumento, passando a custar R$ 11,34. O percentual de aumento da mercadoria foi de:

a) 1,0%


b) 10,0%

c) 10,8%

d) 8,0%

e) 0,84%

7. Se uma prova de matemática de 40 questões objetivas, um candidato ao vestibular errar 12 questões, o percentual de acertos será:

a) 4,8%

b) 12%

c) 26%

d) 52%

e) 70%

8. Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já tem emprego?

a) 60%

b) 40%

c) 30%

d) 24%

e) 12%

9. O preço de um bem de consumo é R$100,00. Um comerciante tem um lucro de 25% sobre o preço de custo desse bem. O valor do preço de custo, em reais, é

a) 25,00.

b) 70,50.

c) 75,00.

d) 80,00.

e) 125,00.

10. Numa melancia de 10 kg, 95% dela é constituída de água. Após desidratar a fruta, de modo que se eliminem 90% da água, pode-se afirmar que a massa restante da melancia será, em kg, igual a

a) 1,45

b) 1,80



c) 5

d) 9

e) 9,5

11. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a percentagem de homens na sala passe a ser 98%?

a) 1

b) 2

c) 10

d) 50

e) 60

Fator de Capitalização

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual o novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.

Como vimos no tópico anterior (taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.

Fator de Captalização = 120100

= 1,2

O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar.

Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00.

CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

• Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 • Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2


ENTENDENDO O RESULTADO:

Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2.

Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00

COMO FAZER:

Agora é a sua vez:

Acréscimo Cálculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

Fator de Descapitalização

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto?

Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo:

O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial.

Conforme dito anteriormente, podemos calcular o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.



Fator de Captalização = 80

100 = 0,8

O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar.

Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.

CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

• Desconto de 45% = 100% - 45% = 55% = 55/ 100 = 0,55 • Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

ENTENDENDO O RESULTADO:

Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor desse produto por 0,80.

Exemplo:

Um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00

COMO FAZER:

AGORA É A SUA VEZ:

Desconto Cálculo Fator

15%

20%


4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

Acréscimo e Desconto Sucessivos

Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse tipo. O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.

Exemplo resolvido 1:

Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em:

a) 50%b) 30%c) 150%d) 56%e) 20%

Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).

Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 100,00, logo após um acréscimo teremos:

100,00 x 1,3 = 130,00

Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:



130,00 x 1,2 = 156,00

Ou seja, as tarifas estão 56,00 mais caras que o início do ano.

Como o valor inicial das tarifas era de R$ 100,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%, e não de 50% como parecia inicialmente.

Como resolver a questão acima de uma forma mais direta:Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3:

• Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3

• Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2

1,3 x 1,2 = 1,56

logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%

DICA: Dois aumentos sucessivos de 10% não implicam num aumento final de 20%.

COMO FAZER

Exemplo Resolvido 2:

Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% sobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:

a) 10% maiorb) 10 % menorc) Acréscimo superior a 5%d) Desconto de 84%e) Desconto de 16%

Resolução:

Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:1 – 0,84 = 0,16

Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial.Alternativa E



O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do concurso público da CEF. Após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte conseguindo perder 20% do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é:

a) 8% maiorb) 10% maiorc) 12% maiord) 10% menore) Exatamente igual

Resolução:Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1

Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início.Alternativa E


O mercado total de um determinado produto, em número de unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003,

a) 24 %.b) 28 %.c) 30 %.d) 32 %.e) 60 %.



Resolução:

Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente dividido entre o produto D (80%) e o produto G (20%):

2003 2004

Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96

Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28

TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24

Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um aumento de 24% de um ano para o outro.Alternativa A


Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas de Lúcia teve um crescimento de:

a) 35%.b) 45%.c) 50%.d) 60%.e) 65%.

Resolução:

Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada vendedora.

Maio Junho

Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2

Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em junho = 1,2 * 1,25 = 1,5

Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5), houve um aumento de 50%.Alternativa C


12. Um trabalhador recebeu dois aumentos sucessivos, de 20% e de 30%, sobre o seu salário.Desse modo, o percentual de aumento total sobre o salário inicial desse trabalhador foi dea) 30%b) 36%c) 50%d) 56%e) 66%

13. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

14. Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será dea) 2%.b) 4%.c) 20%.d) 21%.e) 121%.e) 25%

15. Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou, no dia seguinte uma remarcação com desconto de 50% em todos os preços. O desconto realmente concedido em relação aos preços originais foi de:a) 40%b) 36%c) 32%d) 28%e) 25%

16. Um revendedor aumenta o preço inicial de um produto em 35% e, em seguida, resolve fazer uma promoção, dando um desconto de 35% sobre o novo preço. O preço final do produto éa) impossível de ser relacionado com o preço inicial.b) superior ao preço inicial.c) superior ao preço inicial, apenas se este for maior do que R$ 3.500,00.d) igual ao preço inicial.e) inferior ao preço inicial.

Gabarito: 1. * 2. * 3. B 4. D 5. D 6. D 7. E 8. A 9. D 10. A 11. D 12. D 13. C 14. D 15. E 16. E

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