Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Lema (determinante de matriz bloco-triangular)

Suponha que M =

[A B0 D

]ou M =

[A 0C D

], com A e D

matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D).

Observação

Considere M =

[A BC D

], com A, B, C e D matrizes

quadradas. De forma geral,det(M) 6= det(A) det(D)− det(B) det(C).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Lema (determinante de matriz bloco-triangular)

Suponha que M =

[A B0 D

]ou M =

[A 0C D

], com A e D

matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D).

Observação

Considere M =

[A BC D

], com A, B, C e D matrizes

quadradas. De forma geral,det(M) 6= det(A) det(D)− det(B) det(C).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Exemplo

Calcule os valores de λ tais que det M = 0.

M =

2 − λ 1 3 −1 1

1 λ 2 1 −20 0 λ 1 10 0 1 λ 20 0 0 0 3 + λ

. Definindo

M1 =

[2 − λ 1

1 λ

], M2 =

[λ 11 λ

], M3 = 3 + λ,

M =

M1 ∗ ∗0 M2 ∗0 0 M3

. det(M) =

det(M1) det(M2) det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3 + λ) = 0.As raízes são 1,−1,−3.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Exemplo

Calcule os valores de λ tais que det M = 0.

M =

2 − λ 1 3 −1 1

1 λ 2 1 −20 0 λ 1 10 0 1 λ 20 0 0 0 3 + λ

. Definindo

M1 =

[2 − λ 1

1 λ

], M2 =

[λ 11 λ

], M3 = 3 + λ,

M =

M1 ∗ ∗0 M2 ∗0 0 M3

. det(M) =

det(M1) det(M2) det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3 + λ) = 0.As raízes são 1,−1,−3.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Exemplo

Calcule os valores de λ tais que det M = 0.

M =

2 − λ 1 3 −1 1

1 λ 2 1 −20 0 λ 1 10 0 1 λ 20 0 0 0 3 + λ

. Definindo

M1 =

[2 − λ 1

1 λ

], M2 =

[λ 11 λ

], M3 = 3 + λ,

M =

M1 ∗ ∗0 M2 ∗0 0 M3

. det(M) =

det(M1) det(M2) det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3 + λ) = 0.As raízes são 1,−1,−3.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Matriz bloco-triangular

Exemplo

Calcule os valores de λ tais que det M = 0.

M =

2 − λ 1 3 −1 1

1 λ 2 1 −20 0 λ 1 10 0 1 λ 20 0 0 0 3 + λ

. Definindo

M1 =

[2 − λ 1

1 λ

], M2 =

[λ 11 λ

], M3 = 3 + λ,

M =

M1 ∗ ∗0 M2 ∗0 0 M3

. det(M) =

det(M1) det(M2) det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3 + λ) = 0.As raízes são 1,−1,−3.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Introdução

Quando v e Tv são paralelos?Qual direção é preservada por T?

Exemplo

T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).

Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = −(0, 1)

}⇒ direções preservadas

T (1, 1) = (1,−1)T (2, 3) = (2,−3)

}⇒ direções não preservadas

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x , y) = (y ,−x).

Incluir Figura: rotação de 90 graus

Nenhuma direção é preservada!

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x , y) = (y ,−x).

Incluir Figura: rotação de 90 graus

Nenhuma direção é preservada!

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x , y) = (y ,−x).

Incluir Figura: rotação de 90 graus

Nenhuma direção é preservada!

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autovalor e Autovetor

Definição

Seja T : V → V TL. Dizemos que0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λse Tv = λv.

Observação

λ pode ser zero, mas v não!(Se v = 0, então Tv = λv ∀λ.)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autovalor e Autovetor

Definição

Seja T : V → V TL. Dizemos que0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λse Tv = λv.

Observação

λ pode ser zero, mas v não!(Se v = 0, então Tv = λv ∀λ.)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autovalor e Autovetor

Definição

Seja T : V → V TL. Dizemos que0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λse Tv = λv.

Observação

λ pode ser zero, mas v não!(Se v = 0, então Tv = λv ∀λ.)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Autoespaço

Se Tv = λv então Tv − λv = Tv − (λI)v = 0.

Logo (T − λI)v = 0.

Portanto v ∈ Nuc(T − λI).

Definição

O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).

Observação

autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaços?

Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).

Mas como encontrar um autovalor λ?

Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒

Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0

De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaços de

T (x , y) =

[1 −1

−1 1

] [xy

].

1 det(A − λI) = det[

(1 − λ) −1−1 (1 − λ)

]= (1 − λ)2 − 1

= (λ− 0)(λ− 2).2 Calculando autoespaço para λ = 0:

Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.3 Calculando autoespaço para λ = 2:

Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Polinômio Característico

Definição

p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamadopolinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual àdimensão do espaço.

Lema

O polinômio característico independe da base escolhida:det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Polinômio Característico

Definição

p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamadopolinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual àdimensão do espaço.

Lema

O polinômio característico independe da base escolhida:det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Definição Polinômio Característico

Definição

p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamadopolinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual àdimensão do espaço.

Lema

O polinômio característico independe da base escolhida:det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Prova: polinômio independe da base

Prova

Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.

Se P = [I]β←γ , então PAP−1 = B. Assim,

det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)= det(PAP−1 − P(λI)P−1)

= det(P(A − λI)P−1)

= det(P) det(A − λI) det(P−1)

= det(P) det(P−1) det(A − λI)= det(A − λI)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Resumo do Cálculo

Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0para achar autovalores;Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0para determinar os autovetores v .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Resumo do Cálculo

Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0para achar autovalores;Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0para determinar os autovetores v .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovetores de

T (x , y , z) =

3 −1 01 1 01 0 −1

xyz

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcular autovalores e autovetores de uma projeção e deuma reflexão

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Note que uma rotação não possui autovalores reais. Istoindica que NENHUMA direção é preservada. (Exceto paramúltiplos de π radianos.)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definidapor Tv = v ′.Qual autovetor (chamada também de autofunção)associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v,v ′ = 3v?v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definidapor Tv = v ′.Qual autovetor (chamada também de autofunção)associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v,v ′ = 3v?v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definidapor Tv = v ′.Qual autovetor (chamada também de autofunção)associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v,v ′ = 3v?v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definidapor Tv = v ′.Qual autovetor (chamada também de autofunção)associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v,v ′ = 3v?v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Multiplicidade

Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra)

Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (nãonecessariamente distintas) sobre o corpo dos complexos,isto é, existem números complexos, λ1, . . . , λn, tais que

n∑k=0

akλk = an(λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn) ∀λ,

onde λk ’s são números complexos. Esta fatoração é única(a menos da ordem).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Multiplicidade

Agrupando-se termos repetidos, temos

n∑k=0

akλk = an(λ− λ̃1)m1 · · · (λ− λ̃p)mp ∀λ,

onde λ̃1, . . . , λ̃p são raízes distintas e mk é a multiplicidadeda raiz λ̃k .

Definição (Multiplicidade (Algébrica))

Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômiocaracterístico de T , pT

c , diz-se que λ1 é autovalor demultiplicidade λ1 de T .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Multiplicidade

Agrupando-se termos repetidos, temos

n∑k=0

akλk = an(λ− λ̃1)m1 · · · (λ− λ̃p)mp ∀λ,

onde λ̃1, . . . , λ̃p são raízes distintas e mk é a multiplicidadeda raiz λ̃k .

Definição (Multiplicidade (Algébrica))

Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômiocaracterístico de T , pT

c , diz-se que λ1 é autovalor demultiplicidade λ1 de T .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Definição

Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β talque [T ]β é uma matriz diagonal.

Teorema

T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possuiuma base de autovetores de T .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Definição

Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β talque [T ]β é uma matriz diagonal.

Teorema

T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possuiuma base de autovetores de T .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Definição

Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β talque [T ]β é uma matriz diagonal.

Teorema

T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possuiuma base de autovetores de T .

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Lema

Autovetores associados a autovalores distintos sãolinearmente independentes, ou seja,se 0 6= vk e Tvk = λkvk , k = 1, . . . , p, com λk ’s distintos,então {v1, . . . , vp} é LI.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

Vamos provar para três autovetores {v1, v2, v3} com trêsautovalores (distintos) já ordenados por módulo:|λ1| > |λ2| > |λ3|.Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3) = 0.α1(λ1)

2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)

2v3 = 0.Aplicando T várias vezes:α1(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0.Dividindo por (λ1)

n:α1v1 + α2(λ2/λ1)

nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Prova

α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)

nv3 = 0.Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.Logo α1 = 0. Voltando a equação0(λ1)

nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)

nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:

α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.

Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.Logo α2 = 0.Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,o que implica que autovetores são LIs.É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (vejao livro para outra prova).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.

Para diagonalizar uma TL em dimensão n:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovaloresdistintos é diagonalizável.

2 Encontrar bases para autospaços(resolver sistemas homogêneos)

3 Juntar os vetores de todas as bases: se foremsuficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, casocontrário, não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.

Para diagonalizar uma TL em dimensão n:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovaloresdistintos é diagonalizável.

2 Encontrar bases para autospaços(resolver sistemas homogêneos)

3 Juntar os vetores de todas as bases: se foremsuficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, casocontrário, não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.

Para diagonalizar uma TL em dimensão n:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovaloresdistintos é diagonalizável.

2 Encontrar bases para autospaços(resolver sistemas homogêneos)

3 Juntar os vetores de todas as bases: se foremsuficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, casocontrário, não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.

Para diagonalizar uma TL em dimensão n:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovaloresdistintos é diagonalizável.

2 Encontrar bases para autospaços(resolver sistemas homogêneos)

3 Juntar os vetores de todas as bases: se foremsuficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, casocontrário, não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Diagonalização

Corolário

Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovaloresdistintos então T é diagonalizável.

Para diagonalizar uma TL em dimensão n:1 Calcular os autovalores

(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovaloresdistintos é diagonalizável.

2 Encontrar bases para autospaços(resolver sistemas homogêneos)

3 Juntar os vetores de todas as bases: se foremsuficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, casocontrário, não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Decomposição Espectral

Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal comautovalores e P matriz com autovetores nas colunas,AP = PD.Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD étambém uma matriz onde cada coluna é λivi .Como autovetores formam base LI, P é invertível.Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral deA.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Decomposição Espectral

Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal comautovalores e P matriz com autovetores nas colunas,AP = PD.Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD étambém uma matriz onde cada coluna é λivi .Como autovetores formam base LI, P é invertível.Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral deA.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Decomposição Espectral

Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal comautovalores e P matriz com autovetores nas colunas,AP = PD.Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD étambém uma matriz onde cada coluna é λivi .Como autovetores formam base LI, P é invertível.Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral deA.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Decomposição Espectral

Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal comautovalores e P matriz com autovetores nas colunas,AP = PD.Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD étambém uma matriz onde cada coluna é λivi .Como autovetores formam base LI, P é invertível.Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral deA.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Decomposição Espectral

Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal comautovalores e P matriz com autovetores nas colunas,AP = PD.Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD étambém uma matriz onde cada coluna é λivi .Como autovetores formam base LI, P é invertível.Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral deA.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis

Exemplo

A =

[−2 2

0 2

]. A =

3 1 −20 7 40 0 2

. A =

5 0 01 −4 62 0 2

.

A =

1 0 1 23 5 3 40 0 7 30 0 02

.

TODAS possuem no. autovalores distintos iguais adimensão da matriz.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis

Exemplo

A =

[−2 2

0 2

]. A =

3 1 −20 7 40 0 2

. A =

5 0 01 −4 62 0 2

.

A =

1 0 1 23 5 3 40 0 7 30 0 02

.

TODAS possuem no. autovalores distintos iguais adimensão da matriz.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis

Exemplo

A =

[−2 2

0 2

]. A =

3 1 −20 7 40 0 2

. A =

5 0 01 −4 62 0 2

.

A =

1 0 1 23 5 3 40 0 7 30 0 02

.

TODAS possuem no. autovalores distintos iguais adimensão da matriz.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis

Exemplo

A =

[−2 2

0 2

]. A =

3 1 −20 7 40 0 2

. A =

5 0 01 −4 62 0 2

.

A =

1 0 1 23 5 3 40 0 7 30 0 02

.

TODAS possuem no. autovalores distintos iguais adimensão da matriz.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis

Exemplo

A =

[−2 2

0 2

]. A =

3 1 −20 7 40 0 2

. A =

5 0 01 −4 62 0 2

.

A =

1 0 1 23 5 3 40 0 7 30 0 02

.

TODAS possuem no. autovalores distintos iguais adimensão da matriz.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.

Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).Base do autoespaço do 1: w = (1,−2, 0).Três autovetores LI’s: É diagonalizável.

A = PDP−1 com P =[

v1 v2 w]

D =

22

1

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.

Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).Base do autoespaço do 1: w = (1,−2, 0).Três autovetores LI’s: É diagonalizável.

A = PDP−1 com P =[

v1 v2 w]

D =

22

1

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.

Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).Base do autoespaço do 1: w = (1,−2, 0).Três autovetores LI’s: É diagonalizável.

A = PDP−1 com P =[

v1 v2 w]

D =

22

1

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.

Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).Base do autoespaço do 1: w = (1,−2, 0).Três autovetores LI’s: É diagonalizável.

A = PDP−1 com P =[

v1 v2 w]

D =

22

1

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 1 −2−2 0 4

0 0 2

.

Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).Base do autoespaço do 1: w = (1,−2, 0).Três autovetores LI’s: É diagonalizável.

A = PDP−1 com P =[

v1 v2 w]

D =

22

1

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Ou, A = PDP−1 com P =[

w v1 v2]

D =

12

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v1 w v2]

D =

21

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v2 w v1]

D =

21

2

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Ou, A = PDP−1 com P =[

w v1 v2]

D =

12

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v1 w v2]

D =

21

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v2 w v1]

D =

21

2

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Ou, A = PDP−1 com P =[

w v1 v2]

D =

12

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v1 w v2]

D =

21

2

.

Ou, A = PDP−1 com P =[

v2 w v1]

D =

21

2

.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 −1 01 1 01 0 −1

.

Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: (3, 3, 1). Base do autoespaço do−1: (0, 0, 1).Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possuidecomposição espectral.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 −1 01 1 01 0 −1

.

Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: (3, 3, 1). Base do autoespaço do−1: (0, 0, 1).Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possuidecomposição espectral.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 −1 01 1 01 0 −1

.

Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: (3, 3, 1). Base do autoespaço do−1: (0, 0, 1).Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possuidecomposição espectral.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Encontre a decomposição espectral de

A =

3 −1 01 1 01 0 −1

.

Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaçospara saber se é diagonalizável!Base do autoespaço do 2: (3, 3, 1). Base do autoespaço do−1: (0, 0, 1).Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possuidecomposição espectral.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T projeção ortogonal na reta r = 〈w〉. Determinedecomposição espectral.Se v é perpendicular à reta r , T v = 0 = 0v e Tw = 1w.São autovalores 0 e 1 com autovetores associados w e v.

T = PDP−1 com P =

↑v↓

↑w↓

D =

[0

1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T projeção ortogonal na reta r = 〈w〉. Determinedecomposição espectral.Se v é perpendicular à reta r , T v = 0 = 0v e Tw = 1w.São autovalores 0 e 1 com autovetores associados w e v.

T = PDP−1 com P =

↑v↓

↑w↓

D =

[0

1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T projeção ortogonal na reta r = 〈w〉. Determinedecomposição espectral.Se v é perpendicular à reta r , T v = 0 = 0v e Tw = 1w.São autovalores 0 e 1 com autovetores associados w e v.

T = PDP−1 com P =

↑v↓

↑w↓

D =

[0

1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

T projeção ortogonal na reta r = 〈w〉. Determinedecomposição espectral.Se v é perpendicular à reta r , T v = 0 = 0v e Tw = 1w.São autovalores 0 e 1 com autovetores associados w e v.

T = PDP−1 com P =

↑v↓

↑w↓

D =

[0

1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Teorema Espectral

Teorema

Se A = At (dizemos que a matriz A é simétrica) então existeuma base ortogonal de autovetores que diagonaliza A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Calculando potência de matrizes

Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcularfacilmente Ak .por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado doselementos da diagonal.outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.de forma geral, Ak = PDkP−1.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de potência

Exemplo

Calcule A10 para A = 14

[1 −3

−3 1

].

O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1, 1)〉. O autoespaçoassociado ao 1 é 〈(1,−1)〉.

Portanto, P =

[1 11 −1

]com D =

[−1/2

1

].

Calculando a inversa de P determinamos que

P−1 = 12

[1 11 −1

]. Como D10 =

[1/210

1

],calculando

o produto PD10P−1 obtemos que

A10 = 1211

[210 + 1 1 − 210

1 − 210 210 + 1

].

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Raiz Quadrada de Matrizes

Podemos de forma similar calcular raiz quadrada dematrizes diagonalizáveis.Se A = PDP−1, definimos

√A = P

√DP−1, onde

√D

significa tomar raiz dos elementos da diagonal.(√

A)2 = (P√

DP−1)(P√

DP−1) = P√

D√

DP−1 =P(√

D)2P−1 = PDP−1 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Raiz Quadrada de Matrizes

Podemos de forma similar calcular raiz quadrada dematrizes diagonalizáveis.Se A = PDP−1, definimos

√A = P

√DP−1, onde

√D

significa tomar raiz dos elementos da diagonal.(√

A)2 = (P√

DP−1)(P√

DP−1) = P√

D√

DP−1 =P(√

D)2P−1 = PDP−1 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Raiz Quadrada de Matrizes

Podemos de forma similar calcular raiz quadrada dematrizes diagonalizáveis.Se A = PDP−1, definimos

√A = P

√DP−1, onde

√D

significa tomar raiz dos elementos da diagonal.(√

A)2 = (P√

DP−1)(P√

DP−1) = P√

D√

DP−1 =P(√

D)2P−1 = PDP−1 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33

Autovalores eAutovetoresDeterminante deMatrizbloco-triangular

Motivando comGeometria

Definição

Calculando

Diagonalização

Teorema Espectral:A = AT

Potência/Exponencialde Matriz

Exemplo de raíz quadrada

Exemplo

Calcule√

A para A =

[−6 −30

5 19

].

O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2, 1)〉. O autoespaço

associado ao 4 é 〈(−3, 1)〉. Portanto, P =

[−2 −3

1 1

]com

D =

[9

4

]. Calculando a inversa de P determinamos

que P−1 =

[1 3

−1 −2

]. Como

√D =

[3

2

], calculando

o produto P√

DP−1 =√

A obtemos que

B =√

A =

[0 −61 5

].

Verifique diretamente que B2 = A.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33