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Questões Complementares Matemática São Paulo, março de 2011 Prezado (a) Professor (a), A Editora Saraiva investe em material didático de qualidade, com informações atualizadas, propostas adequadas ao aluno e ao trabalho do professor. Os nossos autores-professores preocupam- se em tornar o livro um grande aliado na prática de sala de aula. É por isso que estamos entregando a você uma lista de exercícios criteriosamente selecionados e organizados por assunto. Essa é uma amostra, pois há mais opções em nosso Portal de Matemática. Acesse- o pelo endereço abaixo e preencha o seu cadastro: http://www.editorasaraiva.com.br/portalmatematica/ Agradecemos a sua confiança em utilizar o nosso material didático. Conte com a nossa estrutura de atendimento para assessorá-lo no que for preciso! Telefone: 0800-0117875 E-mail: [email protected] Bom trabalho para você e até breve!

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Questões ComplementaresMatemática

São Paulo, março de 2011

Prezado (a) Professor (a),

A Editora Saraiva investe em material didático de qualidade, com informações

atualizadas, propostas adequadas ao aluno e ao trabalho do professor. Os nossos

autores-professores preocupam-se em tornar o livro um grande aliado na prática de

sala de aula.

É por isso que estamos entregando a você uma lista de exercícios criteriosamente

selecionados e organizados por assunto. Essa é uma amostra, pois há mais opções

em nosso Portal de Matemática.

Acesse- o pelo endereço abaixo e preencha o seu cadastro:

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Agradecemos a sua confiança em utilizar o nosso material didático.

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Equipe da Editora Saraiva

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Sumário

Conjuntos Numéricos………………………………………………………………………..3.Função………………………………………………………………………………………...4.Função Afim…………………………………………………………………………………..6.Função quadrática……………………………………………………………………………7.Função Modular………………………………………………………………………………8.Função Exponencial………………………………………………………………………….9.Função Logarítmica………………………………………………………………………….11.Progressões…………………………………………………………………………………..13.Noções de matemática financeira………………………………………………………….15.Semelhanças de triângulo…………………………………………………………………..17.Trigonometria no triângulo retângulo………………………………………………………19.Resolução de triângulos…………………………………………………………………….22.Ciclo trigonométrico………………………………………………………………………….23.Razões trigonométricas na circunferência………………………………………………..24.Relações entre razões trigonométricas…………………………………………………...25.Funções circulares…………………………………………………………………………..27.Transformações……………………………………………………………………………..28.Equações e inequações trigonométricas…………………………………………………29.Funções trigonométricas…………………………………………………………………...30.Matrizes………………………………………………………………………………………31.Determinantes……………………………………………………………………………….33.Sistemas lineares…………………………………………………………………………...35.Áreas de figuras planas…………………………………………………………………….36.Geometria espacial de posição……………………………………………………………39.Análise combinatória………………………………………………………………………..40.Probabilidade………………………………………………………………………………..42.Binômio de Newton…………………………………………………………………………43.Poliedros……………………………………………………………………………………..44.Prismas………………………………………………………………………………………45.Pirâmide……………………………………………………………………………………...46.Cilindro……………………………………………………………………………………….47.Cone………………………………………………………………………………………….49.Esfera………………………………………………………………………………………...51.Troncos………………………………………………………………………………………54.O ponto……………………………………………………………………………………..55.A reta………………………………………………………………………………………..56.A circunferência…………………………………………………………………………..58.As cônicas………………………………………………………………………………….61.Números complexos……………………………………………………………………..63.Polinômios…………………………………………………………………………………66.Equações algébricas e polinomiais……………………………………………………68.Estatística…………………………………………………………………………………..70.

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Conjuntos Numéricos

01. (UECE – 2005) O carro x percorre 38km com 4l de combustível, o carro y percorre 63km com 6l, o z percorre 52km com 5l e o t 78km com 7l. Quanto ao consumo de combustível, o carro mais econômico é:

a) xb) yc) zd) t

02. (UECE – 2006) Os subconjuntos X, Y e Z do conjunto dos números inteiros positivos são constituídos pelos múltiplos de 6, 10 e 15, respectivamente. O conjunto

é constituído pelos múltiplos inteiros positivos de:

a) 30 b) 31 c) 60 d) 62

03. (UECE – 2007) Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy (x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades), que são divisíveis por 15. O número de elementos de X é

a) 6b) 7c) 8d) 9

04. (UECE – 2007) Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n3. O número de elementos do conjunto das partes de X é:

a) 64b) 128c) 256d) 512

05. (UNESP 2003) Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, dentre os idosos que nunca freqüentaram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo(perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se dentre 2000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é:

a) 680.b) 400.c) 240.d) 168.e) 68.

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Funções

06. (UFMA – 2003) Sendo f uma função par e g, uma função ímpar, e sabendo-se que e , pode-se concluir que é igual a:

a) b) c) d) e)

07. (UFMA – 2006) Seja definida por:

O valor de f(0) – f(1) é:

a)

b)

c)

d) -

e) -

08. (UFCE – 2004) Se f é a função definida por , o valor de

é:

a) 0,5

b) 1,0

c) 1,5

d) 2,0

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09. (UECE – 2004) Considere a função f: R R definida por f(x) =

O valor de f(f(f(5))) é:

a) 0,1

b) 0,12

c) 0,125

d) 0,15

10. (UECE – 2005) O número de pontos de interseção do gráfico da função f(x) = x5 – 8x3 –9x com os eixos coordenados é:

a) 1b) 2c) 3d) 4

11. (UECE – 2006) Sejam uma função real de variável real e a

função inversa de . Então o valor de é igual a:

a) 3 b) 5c) 7d) 9

12. (UECE – 2006) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e f a função definida por: f(1) = 4; f(2) = 1; f(3) = 3; f(4) = 5 e f(5) = 2. Se, para n > 1, f n(x) = f( fn - 1 (x)) então o valor de f 2006(4) é:

a) 1b) 4c) 2d) 5

13. (UECE – 2006) A função g é a composta g = f f, em que a expressão de f é

, para os valores admissíveis de x em R. O número de elementos do

conjunto {x R | g(x) = 1} é:

a) 0b) 1c) 2d) 3

Função Afim

14. (UNESP 2003) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função,

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cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

a) 6 horas.b) 5 horas.c) 4 horas.d) 3 horas.e) 2 horas.

15. (UNESP 2010) Observe o gráfico da função f(x) e analise as afirmações a seu respeito.

I. Se x1, x2 Dom(f) e x2 > x1, então f(x2) > f(x1).II. Se x > 1, então f(x) < 0.III. O ponto (2, –2) pertence ao gráfico de f(x).

IV. A lei de formação de f(x) representada no gráfico é dada por .

A alternativa que corresponde a todas as afirmações verdadeiras é:

a) I e III.b) I, II e III.c) I e IV.d) II, III e IV.e) II e IV.

16. (UNESP 2004) Seja f uma função de 1.º grau que passa pelos pontos (–1, –1) e (2, 0). Determine:

a) a taxa de variação entre x1 = –1 e x2 = 2;b) a equação da função f.

17. (UNESP 2008) Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2 planos diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura inclui 200 minutos mensais de ligações telefônicas. Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto. No plano alternativo, a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o tempo de cada

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chamada desse plano é acrescido de 4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos adicionais no plano alternativo custam R$ 0,04. Os custos de assinatura dos dois planos são iguais e não existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que todas as ligações durem 3 minutos, qual o número máximo de chamadas para que o plano básico tenha um custo menor ou igual ao do plano alternativo?

18. (UNESP 2006) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m³ de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m³.

Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m³, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m³.

Função Quadrática

19. (UFCE – 2004) O valor de m para o qual o gráfico da função linear g(x) = mx contém o vértice da parábola que configura o gráfico da função quadrática f(x) = x2 – 6x – 7 é:

a) -

b) -

c) -

d) -

20. (UFMA – 2003) Os zeros da função f(x) = x² - Kx – K² (K )são x1 = a e x2 = b . Então ( a4b² + a²b4) vale:a) –K6

b) 3K²

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c) 3K4

d) 3K6

e) –K²

21. (UECE – 2004) Na figura abaixo estão construídos os gráficos de uma reta e de uma parábola, contendo os pontos indicados. Os pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2) são as intersecções das duas linhas representadas. O valor do produto x 1 .y1 .x2 .y2 é:

22. (UECE – 2006) O ponto V(1, −2) é o vértice da parábola que configura o gráfico da função quadrática f(x) = ax² + bx . Se os pontos ( 2 , y1 ) e ( 1 , y2 ) pertencem ao gráfico de f, então o valor de y1 + y2 é:

a) 19b) 20c) 21d) 22

Função Modular

23. (UECE – 2005) Em relação à equação é possível afirmar-se, corretamente, que ela

a) admite exatamente duas soluções reaisb) admite exatamente uma solução, que é realc) admite duas soluções, sendo uma real e uma complexa (não real)d) não admite soluções reais

24. (UECE – 2006) Se é a função definida por f(x) =

a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = -2, em unidades de área, é igual a:a) 4 b) 3,5 c) 3 d)2,5 25. (UECE – 2006) Num plano munido de um Sistema Cartesiano usual, a medida, em unidade de área, da área da região do plano determinada por 2| x | + 3| y | 6 é:

a) 12b) 14c) 16d) 18

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a) 3.430

b) 4.340

c) 43.400

d) 34.300

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26. (UECE – 2007) Sobre o conjunto M dos pontos de interseção dos gráficos das funções definidas por f(x) = | 2x - 1| e g(x) = x + 1 é possível afirmar, corretamente, que M

a) é o único conjunto vazio.b) é um conjunto unitário.c) possui dois elementos.d) possui três elementos

Função Exponencial

27. (UNESP 2002) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(-0,1)t sendo q0 quantidade inicial de água no reservatório eq(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?a) 5.b) 7.c) 8.d) 9.e) 10.

28. (UNESP 2005) Dada a inequação , o conjunto verdade V,

considerando o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por

a) V = {x R | x .3 ou x 2}b) V = {x R | x .3 e x 2}.c) V = {x R | .3 x 2}.d) V = {x R | x .3}.e) V = {x R | x 2}.

29. (UNESP 2006) O sistema de equações

Tem solução única (x, y) se e somente se

a) α = β.b) α ≠ β.c) α² – β² ≠ 1.d) α² + β² = 1.e) α² + β² ≠ 1.

30. (UNESP 2008) A função f(x) = 2lnx apresenta o gráfico seguinte.

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Qual o valor de ln100?

a) 4,6.b) 3,91.c) 2,99.d) 2,3.e) 1,1109.

31. (UNESP 2002) Sejam e constantes reais, com 0 e 0, tais que log = 0,5 e log = 0,7.

a) Calcule log , onde indica o produto de e .

b) Determine o valor de x IR que satisfaz a equação

32. (UNESP 2003) Considere função dada por f(x) = 32x + 1 + m 3x + 1.

a) Quando m = – 4 determinem os valores de x para os quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m +1 não tem solução real x.

33. (UNESP 2006) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) ºC (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x) = (0,01)×2(0,05)x, com t(x) em ºC e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3 ºC. (Use as aproximações log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3).

34. (UNESP 2007) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs(1 parsec é aproximadamente 3×1013 km). A magnitude aparente e absoluta de uma estrela é muito útil para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5log3(3d-0,48) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta − 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.

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35. (UNESP 2008) As estradas (oficiais e não oficiais) na Amazônia têm um importante papel na evolução do desmatamento: análises mostram que o risco de desmatamento aumenta nas áreas mais próximas às estradas. A função

fornece, aproximadamente, a probabilidade de desmatamento de

uma área na Amazônia em função da distância d da estrada, em quilômetros (INPE, Anais do XIII Simpósio de Sensoriamento Remoto, 2007 – modificada). Com base nessa função, determine para qual distância d a probabilidade de desmatamento é igual a 0,8. Use a aproximação log32 = 0,6.

36. (UNESP 2003) Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x.

a) 7(x – 3) + 7(x – 2) + 7(x – 1) = 57

b)

37. (UNESP 2004) Em relação à desigualdade: 3x² -5x + 7 < 3,

a) encontre os valores de x, no conjunto dos reais, que satisfaçam essa desigualdade;b) encontre a solução da desigualdade para valores de x no conjunto dos inteiros.

38. (UNESP 2005) Dado o sistema de equações em R × R:

a) Encontre o conjunto verdade.b) Faça o quociente da equação (2) pela equação (1) e resolva a equação resultante para encontrar uma solução numérica para y, supondo x ≠ 1.

Função Logarítmica39. (UFMA – 2004) O maior intervalo, contendo o ponto x 0 em que a expressão log(cos(x) sen(x)) está definida, é:

a)

b)

c)

d)

e)

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40. (UECE – 2004) Se log qp = 0,2222 e log qn = 0,3333 então o valor de log q

é:

a) 0,4444

b) 0,5555

c) 0,7777

d) 0,9999

41. (UECE – 2005) As soluções da equação logarítmica 3 – logx2. log2x – logx(4x-1) = 0 são:

a) 3 + e 3 - b) 2 + e 2 - c) 3 + e 3 - d) 2 + e 2 -

42. (UECE – 2005) Se log210 = t, então log102 é igual a:

a) 2t

b) 10t

c)

d)

43. (UECE – 2006) Seja f a função real de variável real definida por f(x) = 10 – log2x4 – logx16, x > 0 e x 1, e x1, x2 R tais que f(x1) = f(x2) = 0. O valor de x1x2 é:

a) b) 2c) 3d) 4

44. (UECE – 2007) Se x = p é a solução em R da equação 2 logx2 – log2x = 0, então:

a)

b)

c)

d)

45. (UECE – 2007) Se os números p e q são as soluções da equação (2 + log2 x)² - log2 x9 = 0, então o produto p.q é igual a:

a) 16

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b) 32c) 36d) 48

46. (UECE – 2008) Se f, g: R → R são funções definidas por f(x) = log7 (x² + 1) e g(x) = 7x. O valor de g(f(1)). g(f(0)) é:

a) 0.b) 1.c) 2.d) 7.

Progressões

47. (UFMA – 2004) O casal Silva tem 5 filhos. Sabendo que a diferença entre a idade de cada um e a idade do seu antecessor é constante, que o produto da idade do mais novo pela idade do mais velho é igual a 240 e que a soma das idades dos outros três filhos é igual a 48 anos, é correto afirmar que a soma das idades do filho mais novo e do mais velho é igual a:

a) 30 anos.b) 31 anos.c) 33 anos.d) 32 anos.e) 34 anos.

48. (UFMA – 2006) Três empresas de ônibus possuem linhas saindo do terminal da Praia Grande, em São Luís, com as seguintes freqüências: de 5 em 5 minutos, de 7 em 7 minutos e de 10 em 10 minutos. Se três ônibus dessas empresas saem simultaneamente às 6 horas e 30 minutos, então a próxima coincidência no horário desses ônibus ocorrerá:

a) às 8 horasb) às 7 horas e 30 minutosc) às 7 horas e 50 minutosd) às 7 horas e 40 minutose) às 7 horas e 20 minutos

49. (UFCE – 2004) O valor da soma 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 +... + 3 – 1 é igual a:

a) 100b) 75c) 50d) 25

50. (UFCE – 2004) Sejam P e Q, respectivamente, os conjuntos constituídos com os múltiplos positivos de 2 e 3. Se os elementos de PQ são dispostos na ordem crescente, então o elemento 2004 de PQ ocupa a:

a) 330ª posiçãob) 334ª posição

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c) 338ª posiçãod) 340ª posição

51. (UFCE – 2004) A soma S = 1+ sen2 x + sen4x + sen6x +..., com senx 1, é igual a:

a) tg²xb) cotg²xc) sec²xd) cossec²x

52. (UECE – 2004) A seqüência 1, 5, 9,. . . , p é uma progressão ari tmética na qual p é o maior valor possível menor do que 2004. O termo médio desta seqüência é divisível por:

a) 7, 11 e 13

b) 3, 5 e 13

c) 5, 7 e 11

d) 3, 5 e 7

53. (UECE – 2006) Se m e n são, respectivamente, o 2005º e o 2006º termos da

seqüência 2, -5, 8, -11, 14, -17, 20, ... e se então:

a) p < - 1b) –2 < 2p < -1c) – 2 < 4p < -1d) –1 < 4p < 0

54. (UECE – 2006) Tomando p = 32 + 16 + 8 + 4 +... , o número é igual a:

a) 1b) 2c) 3d) 4

55. (UECE – 2007) Se n é um número inteiro positivo, o produto de todos os números

positivos da forma é

a) 5b) 25c) 1/5d) 1/25

56. (UECE – 2007) Os números 1.458 e 39.366 são termos de uma progressão geométrica (a1, a2, a3,…, an,…), cujo primeiro termo é 2 e cuja razão é um número natural primo. Assim, a soma a1 + a3 + a5 + a7 é igual a:

a) 1460b) 1640c) 1680

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d) 1860

57. (UECE – 2008) A seqüência a1, a2, a3, a4,… é constituída por números reais e é

definida por a1 = e, para n > 1, an = . Se S é a soma dos termos da seqüência,

então log2 S é igual a:

a) 3−1 .b) 1.c) 0.d) -1.

58. (UECE – 2007) Se f : {1, 2, 3, ..., n } R é a função definida por f(x) = 4(2x – 1), então a soma de todos os números que estão na imagem de f é

a) 4(2n – 1)²b) 4(2n)²c) 4(2n + 1)²d) 4n²

Noções de Matemática Financeira

59. (UFMA – 2004) Sobre o salário bruto do empregado X incide um desconto de 11% referente ao INSS. Se o salário bruto de X é igual R$ 1.760,00, então esse desconto em reais é de:

a) 176,00b) 193,60c) 139,60d) 163,90e) 173,60

60. (UFCE – 2004) O metalúrgico Dirceu começou a trabalhar em uma empresa de Santo André/SP no dia 1º/01/2000. Pelo contrato de trabalho, a empresa aumentaria 10% no salário de Dirceu a cada dia 1º de janeiro dos anos subseqüentes. O salário de Dirceu em janeiro de 2003 teve um aumento total, com relação ao salário inicial, de:

a) 21,0%b) 21,1%c) 30,0%d) 33,1%

61. (UECE – 2005) Um comerciante vendeu dois eletrodomésticos pelo mesmo valor. Um deles foi vendido com prejuízo de 30% e o outro com lucro de 30%, em ambos os casos sobre o preço de aquisição desses bens. No total, em relação ao capital investido (custo dos eletrodomésticos), o comerciante:

a) lucrou 13%b) lucrou 9%

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c) teve prejuízo de 9%d) nem lucrou e nem perdeu

62. (UECE – 2006) Uma companhia de aviação alugou uma aeronave de 100 lugares para uma excursão dos alunos da Faculdade MCF. Cada aluno deve pagar R$ 800,00 por sua passagem. Além disso, cada um dos passageiros deve pagar uma taxa de R$ 16,00 por cada lugar não ocupado do avião. Nesta transação a quantia máxima que a companhia pode receber é:

a) R$ 80.000,00b) R$ 90.000,00c) R$ 116.000,00d) R$ 128.000,00

63. (UECE – 2007) As ações da Empresa MCF valiam, em janeiro, R$ 1.400,00. Durante o mês de fevereiro, houve uma valorização de 10% e, no mês de março, uma baixa de 10%. Após esta baixa, o preço das ações ficou em:

a) R$ 1.352,00b) R$ 1.386,00c) R$ 1.400,00d) R$ 1.426,00

64. (UECE – 2007) A prestação da casa própria de João consome 30% do seu salário. Se o salário é corrigido com um aumento de 25% e a prestação da casa com um aumento de 20%, a nova percentagem que a prestação passou a consumir do salário do João é

a) 22,5%b) 24,5%c) 26,8%d) 28,8%

65. (UECE – 2007) Gilberto é agricultor e deseja aumentar a área de sua roça, que tem a forma de um quadrado, em 69%. Se a roça, depois de ampliada, continua tendo a forma de um quadrado, então a medida do lado do quadrado da roça inicial deve ser aumentada em:

a) 18%b) 22%c) 26%d) 30%

66. (UECE – 2008) Uma fatura foi paga com acréscimo de 12% sobre o seu valor nominal, porque o pagamento foi efetuado após o vencimento. Se o valor pago foi R$ 1.209,60, então o valor nominal da fatura estava entre:

a) R$ 1.030,00 e R$ 1.045,00.b) R$ 1.045,00 e R$ 1.060,00.

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c) R$ 1.060,00 e R$ 1.075,00.d) R$ 1.075,00 e R$ 1.090,00.

67. (UNESP – 2002) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de

a) 24 000.b) 30 000.c) 136 000.d) 160 000.e) 184 000.

Semelhanças de Triângulos

68. (UECE – 2007) Os vértices do triângulo XYZ são os pontos médios dos lados do triângulo equilátero MPQ, cujos lados medem 2m, como mostra a figura:

Se h1 e h2, respectivamente, são as alturas dos triângulos XYZ e MPQ, então o produto h1h2 é, em m², igual a

a) 2/3b) 3/4c) 4/3d) 3/2

69 – (UNESP 2003) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.

17

Page 18: Matriz CD a Em

A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é:

a) 30.b) 35.c) 40.d) 45.e) 50.

70. (UNESP 2006) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm², é

a) 84.b) 96.c) 120.d) 150.e) 192.

18

Page 19: Matriz CD a Em

Trigonometria no triângulo retângulo

71. (UECE – 2004) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10m. Se é um dos

ângulos agudos do triângulo e cos = , então a área do triângulo, em m2, é:

a) 20b) 24c) 36d) 48

72. (UNESP 2006) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é

a) 2,5.b) 7,5.c) 10.d) 15.e) 30.

73. (UNESP 2004) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é

a) 44,7.b) 48,8.c) 54,6.d) 60,0.e) 65,3.

19

Page 20: Matriz CD a Em

74. (UNESP 2004) Um rio de largura 60 m, cuja velocidade da correnteza é vx = 5 m/s, é atravessado por um barco, de velocidade vy = 5 m/s, perpendicular às margens do rio, conforme a figura.

O ângulo do movimento em relação à perpendicular da correnteza, a velocidade resultante VR e a distância CB do ponto de chegada em relação ao ponto aonde o barco chegaria caso não houvesse correnteza são, respectivamente:

a) 30º, 5 m/s, 20 m.b) 30º, 5 m/s, 60 m.c) 45º, 10 m/s, 60 m.d) 60º, 10 m/s, 60 m.e) 60º, 10 m/s, 60 m.

75. (UNESP 2005) Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que:

I. X, Y e Z são colineares;II. As retas WX e YZ são perpendiculares;III. X é um ponto exterior ao segmento YZ;IV. À distância YZ é de 90 cm;V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45° e 60°.

Então, a distância ZX é aproximadamente igual a (adote )

a) 30,3 cm.b) 70,9 cm.c) 123,3 cm.d) 212,8 cm.e) 295,0 cm.

76. (UNESP 2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, consideraram-se o pombal como a origem O de um sistema de coordenadas

20

Page 21: Matriz CD a Em

cartesianas e os eixos orientados Sul-Norte (SN) e Oeste-Leste (WL). Algumas aves foram liberadas num ponto P que fica 52 km ao leste do eixo SN e a 30 km ao sul do eixo WL. O ângulo azimutal de P é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da semirreta ON até a semirreta OP. No experimento descrito, a distância do pombal até o ponto de liberação das aves, em km, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto é respectivamente:Dado: .

a) 42,5 e 30.b) 42,5 e 120.c) 60 e 30.d) 60 e 120.e) 60 e 150.

77. (UNESP 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen () = , calcule a distância x.

b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou exatamente para 2, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol.

Resolução de triângulos

21

Page 22: Matriz CD a Em

78. (UECE -2004) A medida do lado de um tr iângulo equi látero inscri to na circunferência x 2 + y 2 + 2x – 4y = 0, em u.c. (unidades de comprimento), é:

a) u.c.

b) u.c.

c) u.c.

d) u.c.

79. (UECE – 2005) Uma escada de 25m está encostada na parede vertical de um edifício de modo que o pé da escada está a 7m da base do prédio. Se o topo da escada escorrega 4m, quantos metros irá escorregar o pé da escada?

a) 10m

b) 9m

c) 8m

d) 6m

80. (UECE – 2006) Se 5, 12 e 13 são as medidas em metros dos lados de um triângulo, então o triângulo é:

a) Isóscelesb) Eqüiláteroc) Retângulod) Obtusângulo

81. (UECE – 2007) Se, na figura, os triângulos VWS e URT são eqüiláteros, a medida, em graus, do ângulo é igual a:

a) 30°b) 40°c) 50°d) 60°

Ciclo trigonométrico

22

Page 23: Matriz CD a Em

82. (UFMA – 2005) Seja x um arco do ciclo trigonométrico tal que |sen x| cos x|. Nessas condições, é CORRETO afirmar que cotg2x é igual a:

a)

b) 1c) d) 0e) -

83. (UECE – 2006) Se na figura XY é um diâmetro da circunferência e é a medida do ângulo

podemos afirmar, corretamente, que:

a)

b)

c)

d)

84. (UNESP 2004) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:a) b) c) d) e)

Razões trigonométricas na circunferência

23

Page 24: Matriz CD a Em

85. (UFMA – 2007) Considere uma circunferência de raio r > 0 e a medida do ângulo MÔP, como na figura abaixo.

Assim, é correto afirmar que:

a) r cos ( ) = b e r sen ( ) = -bb) r sen ( ) = -b e r cos ( ) = ac) r cos ( ) = a e r sen ( ) = bd) r sen ( ) = b e r cos ( ) = -ae) r cos ( ) = b e r sen ( ) = a

86. (UECE – 2007) Se x e y são arcos no primeiro quadrante tais que

então o valor de sen(x + y) + sen(x – y) é:

a)

b)

c)

d)

87. (UNESP 2003) Observe o gráfico.

24

Page 25: Matriz CD a Em

Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é

a) –2 cos (3x).b) –2 sen (3x).c) 2 cos (3x).d) 3 sen (2x).e) 3 cos (2x).

88. (UNESP 2008) Dado o triângulo retângulo ABC, cujos catetos são: AB = sen x e BC = cos x, os ângulos em A e C são:

a) A = x e C =

b) A = e C = x

c) A = x e C =

d) A = e C = x

e) A = x e C =

Relações entre as razões trigonométricas

89. (UNESP 2003) Se cos(x) = a, para , e assumindo que a 0 e

a 1 , o valor de tg(2x) é:

a)

b)

c)

d)

e)

90. (UNESP 2005) Considere o ângulo , sendo . O valor da

é igual a:

25

Page 26: Matriz CD a Em

a)

b)

c)

d)

e) 1

91. (UNESP 2006) Se , em que a > b > 0 e 0º < x < 90º, então o valor de

sen(x) é

a)

b)

c)

d)

e)

92. (UNESP 2002) Numa fábrica de cerâmica, produzem-se lajotas triangulares. Cada peça tem a forma de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm, e o ângulo da base tem medida x, como mostra a figura.

a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x) de cada peça, em função de sen x e cos x.b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50 cm².

Funções circulares

93. (UNESP 2006) Considere os gráficos das funções y = sen(x) e y = sen (2x) em um mesmo plano cartesiano. O número de interseções desses gráficos, para x no intervalo [0, 2 ], é

26

Page 27: Matriz CD a Em

a) 3.b) 4.c) 5.d) 6.e) 7.

94. (UNESP 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.

Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completa ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 l/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é:

a)

b)

c)

d)

e)

Transformações

95. (UECE – 2006) As medidas dos ângulos internos , , e de um quadrilátero convexo estão em progressão aritmética, sendo 45º a menor medida. O valor da soma de sen + sen + sen + sen é:

a)

b)

27

Page 28: Matriz CD a Em

c)

d)

96. (UECE – 2004) O valor de tg 35° + tg 55° é:

a)

b)

c)

d)

97. (UNESP 2007) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q).Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y.

Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3tg α = 4tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:

a)

b)

c) 30.d) 40.e) 50.

Equações e inequações trigonométricas

98. (UFCE – 2004) Se a igualdade tgx + cotgx = 4 é verdadeira para alguns valores de x, então, para estes mesmos valores de x, sen2x é igual a:

a) 0,2b) 0,4c) 0,3d) 0,5

99. (UECE – 2004) Sejam a = logcos, b = logsen e c = log2 e a + b + c = 0. Os logaritmos são decimais e 0o 90o. Podemos afirmar, corretamente, que o ângulo está situado entre:

28

Page 29: Matriz CD a Em

a) 50° e 60°b) 30° e 40°c) 40° e 50°d) 20° e 30°

100. (UECE – 2004) Se n é o número de soluções da equação 1 – 2cos2x + senx = 0 no intervalo , então n é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

101. (UECE – 2005) Se f:R → R é definida por f(x) = 2cos(2x) + cosx + 4, o menor valor que f pode assumir é:

a)

b)

c)

d)

102. (UECE – 2006) A soma das soluções da equação no intervalo é:

a)

b) c)

d)

Funções trigonométricas

103. (UECE – 2006) O conjunto imagem da função dada por , isto é, o conjunto , é o

intervalo:

a) b) c) d)

29

Page 30: Matriz CD a Em

104. (UECE – 2006) No desenho abaixo há uma representação gráfica parcial da

função , definida no intervalo [0, [ , e um trapézio retangular OPQR

sombreado, no qual os vértices P e Q pertencem ao gráfico de f(x).

Sabendo que o vértice R tem ordenada , a área do trapézio, em unidades de área, é:

a)

b)

c)

d)

105. (UECE – 2006) Os gráficos das funções f, g : R R definidos por f(x) = cos x e

g(x) = , se x 0, e g(0) = 0, se interceptam

a) duas vezes.b) quatro vezes.c) oito vezes.d) infinitas vezes.

106. (UECE – 2007) O conjunto-imagem da função f: R→R, definida por f(x) = 2cos2x + cos²x, é o intervalo:

a) [-2,1]b) [-2,3]c) [-2,2]d) [-2,0]

107. (UECE – 2008) Se p e q são, respectivamente, o valor máximo e mínimo da

função real de variável real definida por f(x) = 2 – , então o produto p.q é igual

a:

a) 2.b) 3.

30

Page 31: Matriz CD a Em

c) .

d) .

Matrizes

108. (UECE – 2004) Os valores de x e y que satisfazem a equação matricial

satisfazem, também, a relação:

a) x2 + y2 = 2

b) x2 + y2 = 4

c) x2 + y2 = 8

d) x2 + y2 = 16

109. (UECE – 2005) Sejam as matrizes

Sobre a igualdade P.Q = R.S é possível afirmar-se corretamente:

a) nunca se verificab) verifica-se somente se x = y = z = tc) verifica-se sempre que x = z = 1 e y = td) verifica-se quando x z e y t

110. (UECE – 2006) O valor de k para o qual a equação matricial X² - kX² – Y² = 0, é

igual a matriz identidade, sendo e , é:

a) –2b) –1c) 0d) 1

111. (UNESP 2004) Considere as matrizes , e ,

com x, y, z números reais. Se A× B = C, a soma dos elementos da matriz A é:

a) 9.b) 40.c) 41.d) 50.e) 81.

31

Page 32: Matriz CD a Em

112. (UNESP 2006) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.

A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no

referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

a)

b)

c)

d)

e)

Determinantes

113. (UFMA 2006) Considere a matriz A = (aij) com i, j {1, 2, 3,..., 180}, definida por

onde j° significa j graus.

Nessas condições, é correto afirmar que do valor do det(A) + é:

a) 1

b)

c) -1d) 0

e)

32

Page 33: Matriz CD a Em

114. Se o determinante do produto das matrizes e é igual a – 1, então

dois dos possíveis valores de x são números:

a) positivosb) negativosc) primosd) irracionais

115. (UFMA – 2005) Considere a matriz A = (aij)3×3, definida por

e seja D = det (A). Então o valor de é:

a)

b)

c)

d) 1e) 0

116. (UECE – 2006) O determinante da matriz é nulo para um valor

de x situado no intervalo:

a) b)c)d)

117. (UECE – 2007) Considere a matriz M = . A soma das raízes da

equação det(M²) = 25 é igual aa) 14b) – 14c) 17d) – 17

118. (UECE – 2007) Seja X = M + M² + M³ + ··· + Mk , em que M é a matriz e k

é um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de k² + 3k – 1 é:a) 207b) 237

33

Page 34: Matriz CD a Em

c) 269d) 377

119. (UECE – 2008) A matriz M é dada por M = P.Q, em que P = e

Q = . O determinante da matriz M é:

a) sen(2x).b) cos(2x).c) sen2x.d) cos2x.

120. (UNESP – 2002) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se

A = e B é tal que B–1 = 2A, o determinante de B será:

a) 24.b) 6.c) 3.d) 1/6.e) 1/24.

Sistemas lineares

121. (UECE – 2007) O valor de h para que o sistema

tenha a solução não nula é:

a) 5b) 6c) 7d) 8

122. (UECE – 2007) Pedro recebeu a quantia de R$ 2.700,00, em cédulas de R$ 10,00, de R$ 20,00 e de R$ 50,00. Sabendo que a quantidade de cédulas de R$ 20,00 é 20 vezes a de cédulas de R$ 10,00, então o número de cédulas de R$ 50,00 que Pedro recebeu foi:a) 15b) 14c) 13d) 12

123. (UNESP – 2002) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi:a) 1 800.b) 1 500.c) 1 400.

34

Page 35: Matriz CD a Em

d) 1 000.e) 800.

124. (UNESP 2007) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é:a) 11.b) 12.c) 13.d) 17.e) 38.

125. (UNESP 2008) Numa campanha de preservação do meio ambiente, uma prefeitura dá descontos na conta de água em troca de latas de alumínio e garrafas de plástico (PET) arrecadadas. Para um quilograma de alumínio, o desconto é de R$ 2,90 na conta de água; para um quilograma de plástico, o abatimento é de R$ 0,17. Uma família obteve R$ 16,20 de desconto na conta de água com a troca de alumínio e garrafas plásticas. Se a quantidade (em quilogramas) de plástico que a família entregou foi o dobro da quantidade de alumínio, a quantidade de plástico, em quilogramas, que essa família entregou na campanha foi

a) 5.b) 6.c) 8.d) 9.e) 10.

Áreas de figuras planas

126. (UFMA – 2004 ) Na figura abaixo, os retângulos ABCD e APQN são tais que a razão entre os lados BC e PQ é igual à razão entre os lados CD e QN. O segmento MN é bissetriz do ângulo AMD que mede exatamente 30º e o segmento AM mede 10 cm. Além disso, o triângulo AMD possui área igual a 20 cm². Qual a razão entre a área do retângulo menor e a área do retângulo maior?

35

Page 36: Matriz CD a Em

a)

b)

c)

d)

e)

127. (UECE – 2004) Se o retângulo PQRS abaixo tem área igual a 756 m 2 e é formado por 7 retângulos congruentes então o perímetro de PQRS, em m, é:

128. (UECE – 2005) Um quadrado é transformado em um retângulo aumentando-se um de seus lados de p% e diminuindo o outro em p%. Se sua área é então diminuída em 1%, o valor de p é:

a)

b) c) d)

04. (UECE – 2006) Na figura,

36

a) 114

b) 112

c) 110

d) 105

Page 37: Matriz CD a Em

A área da região sombreada é igual a:

a) 0,85 m2

b) 1,15 m2

c) 1,50 m2

d) 1,75 m2

129. (UECE – 2006) Na figura, o retângulo ABCD foi dividido nas 4 partes X, Y, Z e W.

Se X e Y são quadrados de áreas 81m2 e 144m2, respectivamente, e Z é um triângulo com 102m2 de área, então a área da região W é:

a) 327m2

b) 316m2

c) 309m2

d) 282m2

130. (UECE – 2007) No retângulo XYZW, os lados XY e YZ medem, respectivamente, 8m e 6m.

37

1m

1m 1m

1m 1m

1m

X

YZ

W

A B

CD

Page 38: Matriz CD a Em

Se M é o ponto médio do lado XY, então a medida, em m², da área da região sombreada é

a) 22b) 20c) 18d) 16

131. (UECE – 2007) Em um retângulo XYWZ, seja M, o ponto médio do lado XY, e seja N, o ponto de interseção da diagonal XW com o segmento ZM. Se a medida da área do triângulo XMN é 1m², então a medida da área do retângulo XYWZ é igual a:

a) 16m²b) 14m²c) 12m²d) 10m²

132. (UECE – 2007) As diagonais de um losango medem 12m e 16m. A medida da área do quadrilátero, cujos vértices são os pontos médios dos lados do losango, é igual a:

a) 32 m2

b) 36 m2

c) 42 m2

d) 48 m2

Geometria espacial de posição

133. (UECE – 2005) Num sistema ortogonal de eixos, se os pontos (0,0), (1,c) e (x,1) são vértices de um triângulo com área igual a 18,50 u.a., sendo c>0 e x<0, então x é igual a:

a)

b)

c)

38

Page 39: Matriz CD a Em

d)

134. (UNESP 2006) Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q = (2,5) e R = (x0,4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:

a) 8.b) 9.c) 10.d) 11.e) 12.

135. (UNESP 2002) Aumentando em 2 cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216 cm², em relação à do cubo C1.

Determine:

a) a medida da aresta do cubo C1;b) o volume do cubo C2.

Análise combinatória

136. (UFCE – 2004) Seja P o conjunto cujos elementos são os números inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispomos os elementos de P em ordem crescente, o número de ordem de 43928, é: a) 58b) 57c) 59d) 60

137. (UECE – 2004) Um cubo de madeira, cuja aresta mede 4cm, está pintado de azul. Realizam-se cortes paralelos às faces dividindo-o em 64 cubinhos cada um deles com aresta medindo 1cm. A quantidade destes cubinhos que tem exatamente duas faces azuis é:a) 48b) 40c) 32d) 24

39

Page 40: Matriz CD a Em

138. (UECE – 2004) Dos 21 vereadores de uma Câmara Municipal, 12 são homens e 9 são mulheres. O número de Comissões de vereadores, constituídas com 5 membros, de forma a manter-se sempre 3 participantes de um sexo e 2 do outro, é igual a:a) 10.364

b) 11.404

c) 12.436

d) 13.464

139. (UECE – 2004) O número de divisores posit ivos do número 75.600 é:

a) 4! + 5!

b) 2! + 3! + 4!

c) 4!

d) 5!

140. (UECE – 2004) Em um cubo, a quantidade de conjuntos dist intos formados por duas arestas paralelas é igual a:

a) 6b) 8c) 12d) 18

141. (UECE – 2005) A quantidade de números inteiros positivos maiores que 99 e menores que 999, com exatamente dois algarismos repetidos, é:

a) 230b) 233c) 240d) 243

142. (UECE – 2006) O número 5131 é formado por quatro algarismos cujo produto é 15. A quantidade de números inteiros, entre 2002 e 9009, cujo produto de seus algarismos é 15, é igual a:a) 6b) 12c) 24d) 48

143. (UECE – 2006) Bruno fez 1(um) jogo na SENA, apostando nos 6(seis) números 8, 18, 28, 30, 40 e 50. Automaticamente, Bruno também estará concorrendo à quina (grupo de 5 números), à quadra (grupo de 4 números) e ao terno (grupo de 3 números), a partir do grupo inicialmente apostado. Se n é o número de quinas, q o número de quadras e p o número de ternos incluídos na aposta de Bruno, então n + q + p é igual a:

a) 12b) 41c) 60d) 81

40

Page 41: Matriz CD a Em

144. (UECE – 2006) O número n = abc está escrito no sistema decimal utilizando três algarismos a, b e c, diferentes entre si e nenhum nulo. Os algarismos podem variar, mantendo a soma constante a + b + c = 8. A soma S de todos os números de três algarismos, que podem ser escritos atendendo as condições acima, é:

a) 2336b) 2886c) 3442d) 3552

145. (UECE – 2007) Dois dados, cada um com seis faces numeradas de 1 a 6, são lançados, simultaneamente, sobre uma mesa. Podemos ler nas faces viradas para cima, os números x e y. O número de possíveis valores para a soma x + y é:

a) 13b) 12c) 11d) 10

146. (UECE – 2007) Se um conjunto X possui 8 elementos, então o número de subconjuntos de X que possuem 3 ou 5 elementos é

a) 23 + 25

b) 27 – 27

c) 23 × 25

d) 27/ 24

147. (UECE – 2007) Utilizando apenas os algarismos 2 e 3, a quantidade de números inteiros positivos e menores que 1.000.000 (incluindo-se aqueles com algarismos repetidos) que podem ser escritos no sistema decimal é:

a) 125b) 126c) 127d) 128

148. (UNESP – 2002) Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a chapa é:

a) 18.b) 12.c) 8.d) 6.e) 4.

Probabilidade

149. (UFMA-2003) Três vestibulandas deixaram as suas bolsas em uma determinada sala em que prestaram exame vestibular. No dia seguinte, o fiscal devolveu uma bolsa para cada uma delas de maneira aleatória, pois não se recordava a quem pertencia

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cada bolsa. Qual a probabilidade de que as bolsas tenham sido devolvidas corretamente, cada uma à sua dona?

a) 1/4b) 1/3c) 1/5d) 1/6e) 1/8

150. (UFMA – 2007) Considere que os pontos destacados na circunferência abaixo são os vértices de um eneágono regular.

Qual é a probabilidade de se escolher um triângulo eqüilátero dentre os possíveis triângulos formados pelos pontos destacados acima?

a) 1/84b) 3/28c) 0d) 1/3e) 1/28

151. (UECE – 2006) O conjunto X possui seis elementos pertencentes ao intervalo [−2, −1] e o conjunto Y possui oito elementos pertencentes ao intervalo [5, 7]. De quantos modos é possível escolher quatro elementos em X Y cujo produto seja positivo?

a) 495b) 500c) 505d) 510

152. (UNESP -2002) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:

a) 0,06.b) 0,14.c) 0,24.d) 0,56.e) 0,72.

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Binômio de Newton

153. (UFMA – 2005) No binômio , a soma dos coeficientes dos três primeiros

termos é igual a 37. O termo central do desenvolvimento do binômio é igual a:

a) 56x8 b) 70x-4 c) 56x4 d) 56x-4

e) 70x4

154. (UFMA – 2007) O termo racional do desenvolvimento de é:

a) 1.120b) 480c) 560d) 360e) 280

155. (UECE – 2004) O termo médio no desenvolvimento de é:

a) 126

b) 126x5

c) 252

d) 252x5

156. (UECE – 2005) No desenvolvimento do binômio (2x + 3y)n há oito parcelas (ou termos). A soma dos coeficientes destes termos é igual a: a) 71.825b) 72.185c) 72.815d) 78.125

157. (UECE – 2008) O termo independente de x, no desenvolvimento de

é:a) 249.b) 270.c) 720.d) 924.

Poliedros

158. (UECE – 2006). Se f é o número de faces, v o número de vértices e a o número de arestas de um paralelepípedo retângulo, então a soma f + v + a é igual a:

a) 20b) 22c) 24

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Page 44: Matriz CD a Em

d) 26

159. (UNESP 2010) Considere um cubo de aresta a. Seja B um poliedro de oito faces triangulares, cujos vértices são os centros das faces do cubo. Determine a razão entre os volumes desse cubo e do poliedro B.

160. (UNESP 2010) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano.As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa.

Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume.

Prismas

161. (UFMA – 2005) Conta uma lenda que a cidade de DELOS, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1m, então o valor em que a mesma deveria ser aumentada era:

a) b) 1c) - 1

d) - 1

e) 1 -

162. (UECE – 2007) Um cubo é seccionado por um plano que passa pelos pontos M e N, pontos médios de duas arestas paralelas de uma das faces do cubo, e por um dos vértices da face oposta à face que contém o segmento MN. O cubo é, então, dividido em duas partes (sólidas), cuja razão entre o volume da menor destas partes e o volume da maior é:

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Page 45: Matriz CD a Em

a)

b)

c)

d)

163. (UECE – 2008) A área da superfície total de um prisma reto com 10 m de altura, cujas bases paralelas são triângulos eqüiláteros, cada um deles com 30 m de perímetro, é:

a) m².

b) m².

c) m².

d) m².

164 – (UNESP 2005) Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5 cm e a área lateral igual a 60 cm².

a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados.b) Calcule o volume do prisma.

Pirâmide

165. (UECE – 2005) Um triângulo eqüilátero, cuja medida do lado é 6m, é a base de uma pirâmide regular cuja medida de uma aresta lateral é m. O volume desta pirâmide, em m3, é:

a) 9b) 10

c)

d)

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166. (UECE – 2006) Um pedaço de cartolina na forma de um quadrado ABCD é dobrado ao longo da diagonal AC de modo que os lados AB e AD formem um ângulo de 60º. A seguir, ele é colocado sobre uma mesa, apoiado sobre estes lados.

Nestas condições, o cosseno do ângulo (agudo) que o segmento AC forma com o plano horizontal é igual a:

a)

b)

c)

d)

167. (UNESP 2008) Na periferia de uma determinada cidade brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado, que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de 12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m. Considere os dados, apresentados em porcentagem na tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos no Brasil e no México.

Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado, determine o volume aproximado de plásticos e vidros existentes na pirâmide de lixo brasileiros e quantos metros cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam nessa mesma pirâmide, caso ela estivesse em território mexicano.

168. (UNESP 2006) Cada aresta de um tetraedro regular de vértices A, B, C e D mede 1 dm. M é um ponto da aresta AB, e N é um ponto da aresta CD.

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a) Calcule a área total da superfície do tetraedro.b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas. Obtenha o valor dessa distância mínima.

Cilindro

169. (UFMA – 2007) O fornecimento de água de uma cidade era feito a partir de uma caixa d’água, na forma de um cilindro circular reto com volume V , que abastecia a cidade satisfatoriamente. Dez anos depois, com o crescimento da população, fez-se necessário construir uma nova caixa d’água, também na forma de um cilindro circular reto, para funcionar simultaneamente com a primeira, com altura h2

e raio r2 igual à metade de r1. Sabendo-se que o crescimento da população nesse período foi de 10% e o consumo de água por pessoa continuou o mesmo, então a altura h2 deveria ser, no mínimo:

a) 60% maior que h1

b) 60% menor que h1

c) 40% maior que h1

d) 40% menor que h1

e) 50% menor que h1

170. (UECE – 2007) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4cm.

Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é:

a) cm³b) cm³c) cm³d) cm³

171. (UNESP – 2002) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo.

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Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é

a) .b) 7.

c) .

d) 8.

e) .

172. (UNESP 2003) Se quadruplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a sua altura, o volume do cilindro fica multiplicado por

a) 16.b) 12.c) 8.d) 4.

e) 4 .

173. (UNESP 2008) Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite “longa vida” mostrou-se conveniente para ser utilizada como manta para subcoberturas de telhados, com a vantagem de ser uma solução ecológica que pode contribuir para que esse material não seja jogado no lixo. Com a manta, que funciona como isolante térmico, refletindo o calor do sol para cima, a casa fica mais confortável. Determine quantas caixinhas precisamos para fazer uma manta (sem sobreposição) para uma casa que tem um telhado retangular com 6,9 m de comprimento e 4,5 m de largura, sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontado (e ter o fundo e o topo abertos), toma a forma aproximada de um cilindro oco de 0,23 m de altura e 0,05 m de raio, de modo que, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemos um retângulo. Nos cálculos, use o valor aproximado π = 3.

Cone

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174. (UECE – 2004) De uma chapa circular de raio 10cm e de centro em O foi retirado o setor circular MOP de 108o, disto resultando a chapa vista na figura.

O volume do cone obtido da junção de com , em cm3, é:

a)

b)

c)

d)

175. (UECE – 2007) Um sólido S é tal que sua base é a região plana limitada por uma circunferência com raio que mede m. Existe um diâmetro D, da base do sólido, tal que a interseção de S com qualquer plano perpendicular a D é um triângulo eqüilátero. Dentre estes triângulos, chamemos de T o de maior área. A medida da área de T é:

a)

b)

c) d)

176. (UNESP 2005) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

49

OM

P

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Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm³ = 1

ml, e usando a aproximação = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,a)l20.b)150.c) 160.d) 240.e) 360.

177. (UNESP 2008) Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h, a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de altura h do cone seja 2?

a)

b)

c)

d)

e)

178. (UNESP 2003) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura 2).

Sendo R e r os raios mostrados nas figuras,

a) determine R e o volume do líquido no cone em cm³ (figura 1), como múltiplo de π.

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b) dado que , determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2.

(Use a aproximação ).

Esfera

179. (UECE – 2006) Na figura, vista em corte, a esfera de raio r está colocada no interior do cilindro circular reto de altura h e cujo raio da base é também igual a r.

O volume interior ao cilindro e exterior à esfera é igual ao volume da esfera quando:

a) h = 2r

b) h =

c) h = 3r

d) h =

180. (UECE – 2006) Uma esfera, com raio medindo 5 cm, está circunscrita a um cilindro circular reto cuja altura mede 8 cm. Chamou-se de X a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro. Dentre as opções abaixo, assinale a que apresenta o valor mais próximo de X.

a) 1,71b) 1,91c) 2,31d) 3,14

181. (UNESP 2004) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico.Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm³, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando = 3, é:

a) 1 618 ×103.b) 1 618 ×104.c) 5 393 ×10².d) 4 045 ×104.e) 4 045 ×105.

182. (UNESP 2006) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).

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Page 52: Matriz CD a Em

O volume do cilindro, em cm³, é

a) .b) .c) .d) .e) .

183. (UNESP 2007) Um cubo inscrito em uma esfera de raio R tem o seu lado dado

por . Considere R = 2 cm e calcule o volume da região interior à esfera e que é

exterior ao cubo.

184. (UNESP 2007) O raio da base de um cone é igual ao raio de uma esfera de 256π cm² de área. A geratriz do cone é 5/4 do raio. A razão entre o volume do cone e o volume da esfera é

a)

b)

c)

d)

e)

185. (UNESP 2002) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura.

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Page 53: Matriz CD a Em

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4R² cm², determine, em função de e de R:

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);b) quantos cm² de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia.

186. (UNESP 2005) Com um recipiente de vidro fino transparente na forma de um paralelepípedo reto-retângulo, que tem como base um quadrado cujo lado mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia montou um enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior desse recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm de diâmetro cada e completou todos os espaços vazios com um líquido colorido transparente. Desprezando-se a espessura do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a aproximação π = 3,

a) dê, em cm², a área lateral do recipiente e a área da superfície de cada bola.

b) dê, em cm³, o volume do recipiente, o volume de cada esfera e o volume do líquido dentro do recipiente.

Troncos

187. (UNESP 2006) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por um tronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo, justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor do tronco de pirâmide medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam, e a altura mede 12 dam.

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Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 23 100 dam3, o que correspondia a 3/4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do sólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu.

188. (UNESP 2007) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.

Por outro lado, numa praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: 1 000 cm³ = 1 litro.

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O ponto

189. (UECE – 2006) Num sistema cartesiano utilizado no plano, o ponto P é a interseção das retas 2x – y – 7 = 0 e x – 2y + 7 = 0, o ponto Q é o centro da circunferência x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0 e r é o raio dessa circunferência. A distância entre os pontos P e Q é igual a:

a) 2rb) 3rc) 4rd) 5r

190. (UNESP – 2002) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é:

a) equilátero.b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.

191. (UNESP 2002) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é

a) equilátero.b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.

192. (UNESP 2004) Considere os pontos do plano (0,0), (0,1), (2,1), (2,3), (5,3) e (7,0). Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-os por meio de segmentos de retas obedecendo à seqüência dada, após ligar o último ponto ao primeiro obtém-se uma região limitada do plano. Se a unidade de medida é dada em centímetros, a área dessa região, em cm², é:

a) 9.b) 10.c) 13.d) 14.e) 15.

193. (UNESP 2004) O valor da área S do triângulo de vértices A, B e C no plano cartesiano, sendo A = (6, 8), B = (2, 2), C = (8, 4), é igual a

a) 5,4.b) 12.c) 14.d) 28.e) 56,3.

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Page 56: Matriz CD a Em

194. (UNESP 2006) Sejam P = (a,b), Q = (1,3) e R = (–1,–1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares.

A reta

195. (UFCE – 2004) As retas 2x – 3y + 6 = 0 e 3x – 2y – 1 = 0 se interceptam no ponto P. A distância de P à origem (0,0), considerando o cm como unidade adotada no sistema cartesiano, é:

a) 3 cmb) 4 cmc) 5 cmd) 6 cm

196. (UECE – 2005) Sobre a reta 3x + 4y – 25 = 0 e a circunferência x2 + y2 = 25 é possível afirmar corretamente:

a) A reta é tangente a circunferênciab) A reta é secante a circunferênciac) A reta pode ser secante a circunferênciad) A reta não intercepta a circunferência

197. (UECE – 2006) A equação da reta que contém o ponto (1,2) e é perpendicular à reta 2x – y + 1 = 0 é:

a) x + 2y – 5 = 0b) x + y – 3 = 0c) 2x + y – 4 = 0d) x + 3y – 7 = 0

198. (UECE – 2006) Se r é a reta cuja equação é 2x – y + 1 = 0 e s é uma reta perpendicular a r e que contém o ponto (1,2), então a equação de s é:

a) x + 2y – 5 = 0b) x + y – 3 = 0c) 2x + y – 4 = 0d) x + 3y – 7 = 0

199. (UECE – 2007) As retas r e s são paralelas, a distância entre elas é 7m e o segmento AB, com A r e B s, é perpendicular a r. Se P é um ponto em AB tal que o segmento AP mede 3m e X e Y são pontos em r e s , respectivamente, de modo que o ângulo mede 90º, a menor área possível do triângulo XPY, em m², é

a) 21b) 16c) 14d) 12

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Page 57: Matriz CD a Em

200. (UNESP 2005) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonal, o coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são respectivamente:

(A) ; x – 3y – 5 = 0.

(B) ; 2x – 3y –1 = 0.

(C) - ; x + 3y – 5 = 0.

(D) ; x + 3y – 5 = 0.

(E) - ; x + 3y + 5 = 0.

201. (UNESP 2008) Determine as equações das retas que formam um ângulo de 135º com o eixo dos x e estão à distância do ponto (– 4, 3).

202. (UNESP 2006) Fixado um sistema de coordenadas ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0), A(0, 2) e a reta r de equação y = –1.

a) Se a distância do ponto Q(x0, 2) ao ponto A é igual à distância de Q à reta r, obtenha o valor de x0, supondo x0 > 0.b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual à distância até a reta r.

203. (UNESP 2007) Determine a equação da reta que é paralela à reta 3x + 2y + 6 = 0 e que passa pelos pontos (x1 , y1) = (0 , b) e (x2 , y2) = (– 2 , 4b) com b IR.

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Page 58: Matriz CD a Em

A circunferência

204. (UFMA – 2006) Um triângulo retângulo inscrito na circunferência x² + y² = 4 tem hipotenusa paralela à reta 2x - y + = 0 e um cateto paralelo à reta x- 6 = 0. A área desse triângulo mede:

a) unidades

b) unidades

c) unidades

d) unidades

e) unidades

205. (UFCE – 2004) Na figura, temos um retângulo inscrito em um círculo. O retângulo está dividido em quatro retângulos menores e iguais. x é a medida da diagonal de um dos retângulos menores. Sabendo-se que = 10m e = = 4m, o valor de x, em m, é:

a) 8b) 9c) d)

206. (UECE – 2004) A equação da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos catetos estão sobre os eixos coordenados no plano cartesiano e a hipotenusa está sobre a reta 4x – 3y + 4 = 0, é:

a) x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0b) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0c) 9x2 + 9y2 + 6x – 6y + 1 = 0d) 9x2 + 9y2 – 6x – 6y + 1 = 0

207. (UECE – 2005) Na figura as semi-retas r e s são tangentes ao círculo de raio 1m. Se α = 60o, a área da região pigmentada é igual a:

a)

58

A Bx

DC

4m

10mm

4m

αF H

rR

R

s

G

C

Page 59: Matriz CD a Em

b)

c)

d)

208. (UECE – 2005) Para um ponto P eqüidistante da reta x + y – 2 - = 0 e da circunferência x2 + y2 –1 = 0, seja d a distância de P às duas linhas (reta e circunferência). O menor valor de d é:

a)

b)

c)

d)

209. (UECE – 2007) A equação da circunferência cujo centro é o ponto (5,1) e que é tangente à reta 4x - 3y – 2 = 0 é:

a) x² + y² + 10x + 2y + 26 = 0b) x² + y² - 10x - 2y + 17 = 0c) x² + y² + 2x + 10y - 26 = 0d) x² + y² - 2x - 10y - 17 = 0

210. (UECE – 2007) As circunferências C1 e C2 são as duas circunferências no primeiro quadrante que são tangentes aos eixos coordenados e à reta x + y - 3 = 0. A distância entre os centros de C1 e C2, em unidades de comprimento (u.c.), é:

a) 3 u.c.b) 6 u.c.c) 9 u.c.d) 12 u.c.

211. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale

59

Page 60: Matriz CD a Em

a)

b)

c)

d)

e)

212. (UECE – 2007) Sejam C1 e C2 duas circunferências com centro na origem de um sistema de coordenadas e cujos raios medem, respectivamente, 1m e 2m. A soma das medidas dos raios das circunferências simultaneamente tangentes a C1 e a C2, cujos centros têm coordenadas iguais, no mesmo sistema de coordenadas, é:

a) 3mb) 4mc) 5md) 6m

213 (UECE – 2008) O ponto P é externo a uma circunferência e sua distância ao centro da circunferência é 13 m. A secante traçada de P intercepta a circunferência nos pontos Q e R, de modo que PQ mede 9 m e PR mede 16 m. A medida do raio da circunferência é

a) 4 m.b) 5 m.c) 6 m.d) 7 m.

214. (UECE – 2008) O comprimento da corda determinada pela reta x + 7y – 50 = 0 na circunferência x2 + y2 – 100 = 0 é:

a) 2 u.c.b) 5 u.c.c) 2 u.c.d) 10 u.c.

215. (UECE – 2005) Seja K= O número de elementos de K é:a) 1 b) 2 c) 4 d) Infinito

216. (UNESP 2008) A distância do centro da circunferência x² + 2x + y² – 4y + 2 = 0 à origem é

a) 3.b)

60

Page 61: Matriz CD a Em

c)d)e) 1.

217. (UNESP 2010) Uma aeronave faz sua aproximação final do destino, quando seu comandante é informado pelo controlador de vôo que, devido ao intenso tráfego aéreo, haverá um tempo de espera de 15 minutos para que o pouso seja autorizado e que ele deve permanecer em rota circular, em torno da torre de controle do aeroporto, a 1 500 m de altitude, até que a autorização para o pouso seja dada. O comandante, cônscio do tempo de espera a ser despendido e de que, nessas condições, a aeronave que pilota voa a uma velocidade constante de Vc (km/h), decide realizar uma única volta em torno da torre de controle durante o tempo de espera para aterrissar. Sabendo que o aeroporto encontra-se numa planície e tomando sua torre de controle como sendo o ponto de origem de um sistema de coordenadas cartesianas, determine a equação da projeção ortogonal, sobre o solo, da circunferência que a aeronave descreverá na altitude especificada.

a)

b)

c)

d)

e)

As cônicas

218. (UFMA – 2003) O gráfico cartesiano da relação representada por

é um subconjunto de uma:

a) parábolab) hipérbolec) retad) elipsee) circunferência

219. (UFMA – 2008) No plano cartesiano, como se vê na figura abaixo, uma parábola intersecta a circunferência x² + y² = 1 nos pontos A e B, e passa pela origem do sistema de coordenadas. Além disso, o eixo de simetria da parábola é perpendicular ao eixo x. Se o segmento AB é o lado de um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência, qual é a equação da parábola?

61

Page 62: Matriz CD a Em

a)

b)

c)

d)

e)

220. (UECE – 2007) Se a reta r, tangente à circunferência x² + y² = 1 no ponto

, intercepta a parábola y = x² + 1 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2), então

x1 + x2 é igual a

a) – 2b) – 1c) – 1 – d) 1 –

221. (UECE – 2007) Seja f : R – {1} R, a função definida por e seja

g(x) = f(f(x)). A figura que melhor representa o gráfico da função g é:

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Page 63: Matriz CD a Em

a) b)

c) d)

222. (UECE – 2004) Sejam f:R R e g:RR funções cujos gráf icos são retas tangentes à parábola y = -x 2 . Se f(0) = g(0) = 1 então a função h(x) = f(x)g(x) é igual a:

a) 1 – 4x 2

b) 1 + 4x 2

c) 1 – 2x 2

d) 1 + 2x 2

Números complexos

223. (UFMA – 2003) Resolvendo a equação x² + (a + bi)x + (c + di) = 0, onde a, b, c e d são números reais e i a unidade imaginária, encontramos:

a) abd = c²+ b²db) abd = d² – b²cc) abd = b² + d²cd) abd = d² + b²ce) abd = b² – d²c

224. (UECE – 2004) Para os números complexos z = 3 + 4i e w = 4 – 3i, onde i2 = -1, a

soma é igual a:

a) 0

63

Page 64: Matriz CD a Em

b) 2ic) -2id) 1

225. (UECE – 2004) Seja p o produto das raízes da equação complexa z3 = i e q a soma das raízes da equação complexa z2 + (2 + i)z + 2i = 0. O valor do produto p.q é:

a) –2i – 1

b) –2i + 1

c) –2i + 2

d) –2i – 2

226. (UECE – 2005) Se o número complexo z = (-3 - 2i)2 + é posto na forma a + bi,

onde a e b são números reais, então a + b é igual a:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20

227. (UECE – 2006) Se z1 e z2 são as raízes (complexas conjugadas) da equação , então é igual a:

a) b)

c) d)

228. (UECE – 2006) Seja w = 6 + 3i um número complexo, que é representado no plano cartesiano pelo ponto P(6, 3). O conjunto solução da equação , z C, é representado no plano cartesiano por:

a) um conjunto finito de pontos.b) uma reta.c) duas retas paralelas e distintas.d) duas retas perpendiculares.

229. (UECE – 2007) Os números complexos z e w, escritos na forma z = x + yi e w = u + vi em que x 0 e u 0, são tais que z . w = 1. A soma dos quadrados u² + v² é igual a:

a)

64

Page 65: Matriz CD a Em

b)

c)

d)

230. (UECE – 2007) Os números complexos z1, z2, z3 e z4 são representados, no plano complexo, por quatro pontos, os quais são vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e inscrito em uma circunferência de centro na origem e raio r. O produto z1 . z2 . z3 . z4 é:

a) um número real positivo.b) um número real negativo.

c) um número complexo cujo módulo é igual a .

d) um número complexo, não real.

231. (UECE – 2008) Os números complexos z1 e z2 são as raízes da equação x2 – 2x + 5 = 0. A soma |z1|+ |z2| é:

a) 2 .b) 3 .c) 3 .d) 5 .

232. (UNESP – 2002) Se = (2 + i). (1 + i). i, então , o conjugado de z, será dado por

a) – 3 – i.b) 1 – 3i.c) 3 – i.d) – 3 + i.e) 3 + i.

Polinômios

233. (UFMA – 2008) Numa empresa, o salário de um grupo de empregados é R$ 380,00, mais uma quantia variável correspondente a 1/5 da produção de um dos produtos da empresa, cuja produção foi estimada para daqui a t anos função p(t) = 50t² - 50t + 100. Daqui a quantos anos o salário deste grupo de funcionários aumentará 50% em relação ao valor atual?

a) 2 anos

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Page 66: Matriz CD a Em

b) 4 anos c) 8 anosd) 6 anose) 5 anos

234. (UECE – 2007) O número de soluções da equação é:

a) 0b) 1c) 2d) 3

235. (UECE –2008) Se a expressão x2 + 9 se escreve na forma m(x + 1)2 + p(x + 1) + q, então m – p + q é igual a:

a) 9.b) 10.c) 12.d) 13.

236 - (Unesp 2002) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm³, desta caixa é

a) 4x³ – 60x² + 200x.b) 4x³ – 60x + 200.c) 4x³ – 60x² + 200.d) 1x³ – 30x² + 200x.e) 1x³ – 15x² + 50x.

237. (UNESP 2005) Considere o polinômio p(x) = x³ + bx² + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p’(x) = 3x² + 2bx + c. Se p’(1) = 0, p’(–1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x – 1 é 2, então o polinômio p(x) é:

a) x³ – x² + x + 1.b) x³ – x² – x + 3.c) x³ – x² – x – 3.

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Page 67: Matriz CD a Em

d) x³ – x² – 2x + 4.e) x³ – x² – x + 2.

238. (UNESP 2008) 06 – (UNESP 2008) Seja x um número real positivo. O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em função de x, pelo polinômio x³ + 7x² + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x+1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:

a) x² – 6x + 8.b) x² + 14x + 8.c) x² + 7x + 8.d) x² – 7x + 8.e) x² + 6x + 8.

239. (UNESP 2004) Considere a matriz .

O determinante de A é um polinômio p(x).

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x).b) Determine todas as raízes de p(x).

240. (UNESP 2008) A altura h de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função h(t) = t³ – 30t² + 243t + 24 com h(t) em metros e t em minutos. No instante t = 3 min o balão estava a 510 metros de altura. Determine em que outros instantes t a altura foi também de 510 m.

241. (UNESP 2003) É dado o polinômio cúbico P(x) = x³ + x² – 2x, com x .

a) Calcule todas as raízes de P(x). b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x , P(x)), fazendo-o passar por suas raízes.

242. (UNESP 2010) Uma raiz da equação x³ – (2a – 1)x² – a(a + 1)x + 2a²(a – 1) = 0 é (a – 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação?

Equações algébricas e polinomiais

243. (UFMA – 2003) Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões p, q, r. Sabendo-se que a sua área total é igual a 78 m² e o seu volume 39 m³, então o valor de

é:

a) 1 m-1

b) 2 m-1

c) 3 m-1

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Page 68: Matriz CD a Em

d) 4 m-1

e) 5 m-1

244. (UFMA – 2006) Levando em conta o domínio de validade da equação

é correto afirmar:

a) ela não possui raízes reaisb) a soma de suas raízes é 1c) o produto de suas raízes é –2d) as suas raízes são opostase) ela possui apenas uma raiz

245. (UFCE – 2004) Se s e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da

equação , então:

a) s = pb) s × p é negativoc) s > pd) s < p

246. (UFCE – 2004) Se o número 2 é uma raiz de multiplicidade dois da equação ax3 + bx + 16 = 0, então o valor de a + b é:

a) -11b) 11c) -12d) 12

247. (UECE – 2004) Se as raízes da equação x3 + px2 + qx = 0 são não negativas e formam uma progressão aritmética, então podemos afirmar corretamente:a) p × q > 2

b) 1 < p × q < 2

c) 0 < p × q < 1

d) p × q < 0

248. (UECE – 2005) Se os números 2 e –3 são raízes da equação x3 – 4x2 + px + q = 0, então o resultado da divisão do polinômio x3 – 4x2 + px + q por x2 + x – 6 é:a) x – 1b) x + 1c) x – 5d) x + 5

249. (UECE – 2005) A soma de todas as raízes da equação

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Page 69: Matriz CD a Em

x2 + x + 1 = é:

a) 1b) 2c) –1d) -2

250. (UECE – 2006) A soma dos quadrados de todas as raízes da equação é igual a:

a) 12 b) 28c) 36d) 48

251. (UECE – 2006) Se o polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c é divisível por q(x) = x² - x + 1, então a² + b² + c² é igual a:

a) 3a² + 2a + 1b) a² + 2a +3 c) 2a² + 3a +1d) a² + 3a + 2

252. (UECE -2007) Se o polinômio P(x) = x4 + x3 – 5x² + 2x + é divisível por x² + 1, então é igual a:a) 3b) – 3c) 5/2d) – 5/2

253. (UECE – 2008) Os números x1, x2 e x3 são as abscissas dos três pontos de interseção do gráfico da função real de variável real, definida por f(x) = x3 – 9x, com o eixo dos x. A soma x1 + x2 + x3 é:a) 0.b) 2.c) 3.d) 6.

254. (UFMA – 2005) O valor de k, para que as raízes da equação x³ - 9x² + kx + 216 = 0 formem uma Progressão Aritmética, é:a) 1b) 72c) 23d) 54e) 0Estatística

255. (UFMA – 2008) No Para-pan Rio 2007 foi distribuídos um total de 760 medalhas. O gráfico abaixo mostra os 7 países que mais receberam medalhas nessa competição.

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Com base nesses, dados podemos afirmar que:

a) o Brasil recebeu 30% do total de medalhasb) Cuba recebeu 15% do total de medalhasc) o Canadá recebeu 20% do total de medalhas.d) a Argentina recebeu 10% do total de medalhas.e) o México recebeu 18% do total de medalhas.

256. (UECE – 2006) Durante as férias escolares, o estudante João trabalhou na Sapataria FINOCOURO, na qual havia em estoque um total de 238 pares de sapato, não havendo reposição ou incremento no estoque ao longo do período trabalhado. João elaborou o gráfico abaixo que representa a quantidade de pares de sapatos que ele vendeu no período trabalhado, identificando os pares de sapatos pelos seus tamanhos (numeração de 37 até 44):

Sabendo-se que João foi o único vendedor no período, a porcentagem de pares de sapatos que restaram no estoque é, aproximadamente:

a) 12%b) 14%c) 13%d) 15%

257. (UNESP 2006) O número de ligações telefônicas de uma empresa, mês a mês, no ano de 2005, pode ser representado pelo gráfico.

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Com base no gráfico, pode-se afirmar que a quantidade total de meses em que o número de ligações foi maior ou igual a 1 200 e menor ou igual a 1 300 é:

a) 2.b) 4.c) 6.d) 7.e) 8.

258. (UNESP 2006) O gráfico mostra as marcas obtidas, em segundos, até setembro de 2007, nos recordes mundiais e pan-americanos, em quatro modalidades esportivas: provas de 100 metros rasos, masculino, 100 metros rasos, feminino, 100 metros nado livre, masculino, e 100 metros nado livre, feminino.

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