MATRIZES, DETERMINANTES

ESISTEMAS LINEARES

MATRIZES, DETERMINANTES

ESISTEMAS LINEARES

Elaborado Por:Cristiano De Angelis

IntroduçãoIntrodução

Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam, problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria, logaritmo, e uso de softwares.

Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se possível material de apoio.

Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do software como recurso didático.

1. Matrizes1. Matrizes

Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplo:

534

463 1a linha

2a linha

1a coluna2a coluna3a coluna

A = B =

710

345

230

1a coluna2a coluna3a coluna

1a linha2a linha3a linha

A indicação do número de linhas e colunas é chamada de ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).

O elemento que está na linha i e coluna j é representado por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é representada por:

anmananan

maaaa

maaaa

...321

......

2...232221

1...131211

A =

1.1 Matrizes Com Denominações 1.1 Matrizes Com Denominações EspeciaisEspeciais

Matriz Linha Matriz Coluna Matriz Quadrada

* Diagonal principal de uma matriz quadrada

* Diagonal secundária de uma matriz quadrada Matriz Nula Matriz Diagonal Matriz Identidade ou Unidade Matriz Transposta Matriz Simétrica Matriz Oposta Matriz Escalar

Exercícios Exercícios

1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3 definida por aij = i + j.

2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e b ij = aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3 definida por aij = i-j.

3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz identidade de ordem n?

4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de AT.

1.2 Igualdade De Matrizes1.2 Igualdade De Matrizes Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e somente se, os elementos que ocupam a mesma posição são iguais.SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM.

Exemplo:

4

2

x

8

4

2

1

y

nm

yx

54

27

54

27

nm

yx

b) =

serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8

A = B =

a) Estas matrizes, A e B:

2. Operações Com Matrizes2. Operações Com Matrizes

Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de exemplos:

A = B = C =

a) A - 2.B = - =

b) A . C = . = =

c) A . B = . = =

10

21

11

20

201

011

10

21

22

40

12

21

10

21

201

011

200010

400121

201

413

10

21

11

20

1010

2220

11

42

d) B . A = . = =

e) A . I = . = =

11

20

10

21

10

21

1201

2000

11

20

10

01

1000

2001

10

21

A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).

Em geral A.B B.A (não comutativa).

Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C (distributiva).

Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C (associativa).

ExercíciosExercícios

1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são dadas pela seguinte matriz A:

A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B =

Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para aprovação.

0 7 8

7 8 0

7 0 8

6 6 6

10 4 0

0 4 10

2

3

5

2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,

500 1000 1100 300distribuiçãoSalário

Aluguel, água, luz,etc matéria prima

Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,

112 1 02 1 05 110, , , ,

A =

B =

Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final, alegando que o custo aumentou 12%.

3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados num restaurante:

1

3

2

C =

arroz

carne

salada

A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante:

2 1 1

1 2 1

2 1 0

P =

Prato P1

Prato P2

Prato P3

A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é:

7

9

8

4

4

4

9

11

4

2

6

8

2

2

4

(A) (B) (C) (D) (E)

4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ” e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0

A = P1

P2

P3

P4

P5

Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?

(A) P1

(B) P2

(C) P3

(D) P4

(E) P5

3. Matriz Inversa3. Matriz Inversa

A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz representada por tal que : =

Exemplo:

A1

AA1 I

15

16A

1

65

11

15

16 .

65

11 =

6555

6656 =

10

01

A = tem = como inversa, pois

4. Determinantes e Sistemas 4. Determinantes e Sistemas LinearesLineares

4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na forma

matricial.Exemplo:

A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.

Dado o sistema

3

2874

132

yx

zyx

zyx

,

podemos colocá-lo na forma:

011

874

321

.

z

y

x

=

3

2

1

, ou seja, A . X = B.

A X B

4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2

Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:

feydx

cbyax

bfbeydbx

cebeyaex

afaeyadx

cdbdyadx

bfcexbdae )( afcdyaebd )(

bfcex afcdy afad bdae aebd aebd

bdafy bdae

bdae

bfce

bdae

cdaf

(* -1)

Assim temos:

x = e y =

Observamos que denominadores são iguais nas duas expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução (divisão por zero).

Desta forma, é este denominador que determina a existência e a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que determina?

Vamos definir e representar o determinante da matriz por

Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

ed

ba

ed

ba = det (A) = ae - bd

4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes

Nas expressões encontradas para x e y observamos que os numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.

Exemplo:

feydx

cbyax

ed

ba *

y

x =

f

c

bdae

bfce

bdae

cdaf

x = e y =

Chamando = det (A) = ae - bd,

,cdaffd

cayebfce

ef

bcx temos:

yye

xx

Esta regra, válida apenas se , é chamada de REGRA DE CRAMMER.

0

4.4 Discussão de Um Sistema 2x2 Um sistema pode ser de três tipos:

DETERMINADO: possui uma única solução. INDETERMINADO: possui mais de uma solução. IMPOSSÍVEL: não possui solução.

x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado.

x = 1 e y = 1,x = 2 e y = 0 ex = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado.

não tem solução: Impossível.

Podemos classificar um sistema analisando os determinantes. A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso , nos induz à discussão do sistema.

Vamos, por exemplo, considerar que:

0

2

0

0

2

0

0

existe e é único

não está definido

tem infinitas respostas

Assim, temos:

0 Determinado

00

0

0

youx

yx

eIndeterminado

Impossível

4.5 Determinantes De Ordem n

Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2. Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2, bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De forma análoga, podemos obter determinantes de ordens superiores a 2.

a) DeterminanteDeterminante DeDe OrdemOrdem 33::

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Dada a matriz A = , temos:

det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13

-a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11

Exemplo:

112

140

321 -4 - 4 + 0- 24 - 0 - 1 = -33

=

* No sentido da diagonal secundária

troca-se o sinal.

No cálculo do det(A) observamos o seguinte:

* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3).* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.

* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna.

* A metade das parcelas tem o sinal trocado.

* A soma de n! parcelas.* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz.

* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna.

* A metade das parcelas tem o sinal trocado.

b) DeterminateDeterminate DeDe OrdemOrdem nn:

Com base no que foi observado no cálculo do determinante de ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:

Vamos calcular o determinante através do baixamento de ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então, calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento aij da matriz A:

cij é o produto de pelo determinante da matriz obtida da A eliminando-se a linha i e a coluna j.

1 ji

( )

Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma:

(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz.(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu

co-fator.(3) Soma-se todos os produtos obtidos.

4.6 Propriedades Dos Determinantes

As propriedades dos determinantes são decorrentes da definição de determinante. As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma matriz quadrada A. Contudo, são válidas também para as colunas.

(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal.

(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0

(5) det(A.B) = det(A).det(B)(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k.

(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos: substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.

Exemplo:

321

111

cba

Sabendo que = 2, calcular 222

311

333 cba

a b c 3 3 3

1 1 1

1 2 3

Tocar a segunda linha pela terceira.

Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por uma constante (3) somada com a primeira linha.

a b c 3 3 3

1 2 3

1 1 1

Multiplicar a terceira linha por uma constante (2).a b c 3 3 3

1 2 3

2 2 2

Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4

4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2

Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da seguinte forma:

(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição.(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal.

(3) Dividir todos os elementos por det(A).

Resolução De Exercícios Com Resolução De Exercícios Com Auxílio de SoftwareAuxílio de Software

ConclusãoConclusão

O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão, descobrindo novas possibilidades de uso do material numa aplicação à sala de aula.

Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume 2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.

GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a 208.

MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a edição, p. 109 a 126.

TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares, p. 1 a 86.