Matrizes determinantes-sistemaslineares

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MATRIZESMATRIZES

Uma matriz do tipo m x n , é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas . As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||

EXEMPLOS

−−

=

12

36

28

13

02

A

−−

=313

524B

5x22x3

A = (a ij) mxn

Notação Condensada• Construir a matriz A = (a ij)3x2, em que

aij = 3i – j.

a32a31

a22a21

a12a11

A =

� aij = 3i – j

a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1

a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4

a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

78

45

12

A =

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ QUADRADA (A n)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DIAGONAL PRINCIPAL

i = j

DIAGONAL SECUNDÁRIA

i + j = n + 1

TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por A t

049

132A2x3 = A t

3x2 =

01

43

92

085

813

532A =

SIMÉTRICA

A = A t

08-5

803-

5-30A =

ANTI SIMÉTRICA

A = - A t

MATRIZ IDENTIDADE (I n)

100

010

001

DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM

DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO

I3 =

ASSINALE V OU F

O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

UFSC - 2003 ( )F

UFSC - 2005 V( )

UFSC - 2009 ( )V

UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a

soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L t).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO

DE MATRIZES

A.I = AB.I = BC.I = C

ASSINALE V OU F UFSC - 2005

( )F

OPERAOPERAÇÇÕESÕESADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRA ÇÇÃOÃO

nxmnxmnxmCBA =±

−+

124

016

842

123

=

926

139

� Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

� Comutativa: A + B = B + A

� (A + B)t = At + Bt

MULTIPLICAMULTIPLICA ÇÇÃO ÃO DE UM NDE UM NÚÚMERO MERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ

23

1–2M =

3.M =3.23.3

3.13.–2

=69

3–63.M


OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES

PRODUTO DE MATRIZES

pxmpxnnxm CB.A =

nn=

OPERAOPERAÇÇÕESÕES

4

1

–22

0–3

6–2

53

2–1

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

4

1

–22

0–3

6–2

53

2–1

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6

−=

1214

16A.B

PRODUTO DE MATRIZES

pxmpxnnxm CB.A =nn=

Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.

.00

11

=

−10

10 0 0

0 0

Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A .

A.I = I.A = A

A2 = A.A

OPERAOPERAÇÇÕESÕES

( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é d o tipo 3 x 6, assinale o que for correto.

01. n.r = m.p02. m = r + 104. p = 2m08. n = r16. n + r = p + m

GABARITO: 18


DETERMINANTES DETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO

DETERMINANTESDETERMINANTESCÁLCULO – 2ª ORDEM

a22

a12

a21

a11= a11 . a22 – a12 . a21

15

32� det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13

4–1

2–5� det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18

GABARITO: 05

DETERMINANTESDETERMINANTESCÁLCULO – 3ª ORDEM

a33a32a31

a23

a13

a22a21

a12a11

a32a31

a22a21

a12a11

Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

31–2

0

2

24

–31

A =

31–2

0

2

24

–31

1–2

24

–31

6 + 0+ 8 + 8 – 0 + 36

det A = 58

det A =

( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz

−

x0x

0x2

021

é positivo se:

a) x > −4b) x < 0c) x < 2d) x < −4 ou x > 0e) x > −2 ou x < −6

CÁLCULO – 3ª ORDEM

a33a32a31

a23

a13

a22a21

a12a11

a32a31

a22a21

a12a11

Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33


DETERMINANTES DETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES

1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO

0 3 9

0 8 3

0 4 1

0− =

0

241

2104

152

=

0

141

383

939

=−

0

743

189

431

=−

Fila de elementos Igual a zero

2 Filas paralelasIguais

2 Filas paralelas proporcionais

Uma das filas é a soma de duas outras

2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o det erminantetrocará de sinal.

3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determ inante serámultiplicado por esse número.

4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n

det (k.A) = k n. det A

Gabarito: -48

5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de su atransposta.

6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produt o dos elementos da diagonal principal.

Gabarito: 70

7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinan te do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo d eterminante da matriz B, ou seja:

det(A.B) = det(A).det(B)

Gabarito: 70

IFSC - 2013

Após assistir a uma aula sobre determinantes de matri zes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através d os determinantes abaixo:

10000

01000

00400

00020

00003

D

20168

1284

3342

2021

C

1000

11200

32830

25171

B

121

213

421

A−

−

=

−−−−−−

=−−

==

Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente àproposição correta ou à soma das proposições correta s.

01. A senha possui dois dígitos nulos.02. A senha possui seis dígitos.04. O último dígito da senha é zero.08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.16. A + B +C + D = 45 .32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.

Gabarito: 50


MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA

MATRIZ INVERSA

A . A -1 = In

detA1

detA 1 =−

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de invers ível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

ASSINALE V OU F UFSC - 2001

( )F

UFSC - 2004

( )V

UFSC - 2013 ( )V

MATRIZ INVERSA

A . A -1 = In

detA1

detA 1 =−

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V

UFSC - 2011

( )F

UEL – 2010

UDESC – 2009

Regra de Chió Abaixamento de ordem de

um determinante

A =

1 2 4 2

3 7 5 6

1 10 4 5

3 8 2 3

−

7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)

10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)

8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)

− − − − − − − − − −

det A= (-1)1+1

1 7 0

8 8 3

2 10 3

− − − −

det A = - 4

1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.

3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.

4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos.

5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante


SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES

REGRA DE CRÄMER

x = y = z = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s

∆∆∆∆y

∆∆∆∆s∆∆∆∆z∆∆∆∆s

Resolver o sistema abaixo usando a regrade Crämer

=−

=+

7y2x

142y3x

∆s = ∆x = ∆y =17

214

−12

23

− 72

143

∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7

y = ∆∆∆∆y∆∆∆∆s

x = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s

147

7

7

28

==−−=

−−=

yx

yx

Solução: {(4,1)}

=−

=+

712(4)

142(1)3(4)

De fato:

x = y = z = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s

∆∆∆∆y

∆∆∆∆s∆∆∆∆z∆∆∆∆s

Determine as raízes do sistema

S =

=+−=+−

−=−+

3zy2x

1zy

32zyx

112

110

211

−−

−∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2

113

111

213

−−

−−

= - 2

132

110

23-1 −∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4

312

110

311

−−

−= - 6

y = ∆∆∆∆y∆∆∆∆s

x = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s

3212

6

2

4

2

2

===−−=

−−=

−−=

zyx

zyx

Solução: {(1,2,3)}

z = ∆∆∆∆z∆∆∆∆s

PUC – PR

A figura a seguir mostra os cartazes da loja de ele trodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pel os cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.

UFSC – SC

Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracuj á, pelos respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-s e que ele gastou um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram men os de R$3,00, cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele co mprou?

a – acerolab – bananam - maracujá

3a + 2b + m= 69

b + m = 4m = 4 - b

3a + 2b + 4 – b= 693a + b = 65

3b65

a−=

0 < b < 4

b só pode ser 2

Então, a = 21

m = 4 - 2

m = 2 Portanto: a + b + m = 25

RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO POR ESCALONAMENTO ÃO POR ESCALONAMENTO

−=+=+−

1zy

22zyx

=++=++

=++

72zyx-

204z3y2x

6zyx

=+=+

=++

52z3x

2zy-x

1zy2x

SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)}

SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO

SISTEMA 2:

=−=++

=+

1zy

1zy2x

1yx

=−=−

=+−

63z

1zy

6zyx

SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)}

SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO

SISTEMA 3:

SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO

SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)}

SISTEMA 4:

SISTEMA IMPOSSÍVELNÃO POSSUI SOLUÇÃO

SISTEMA 5:SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)}

SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO

=+

=+

62y2x

3yx

∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =26

1322

11

62

31

∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0

=−

=+

7y2x

142y3x

∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =17

214

−12

23

− 72

143

∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7

=+

=+

54y4x

3yx

∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =45

1344

11

54

31

∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7

Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....}

Solução: {(4,1)}

Não há solução

POSSÍVEL

IMPOSSÍVEL

Admite solução

Não admite solução

DETERMINADO

INDETERMINADO

∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0

Sistema Possível Determinado

Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível

RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO POR CRAMER ÃO POR CRAMER

( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é:

=++=++

=++

32zyx

2azyx

14z3yx

0

211

a11

431

= a = 2

POSSÍVEL

IMPOSSÍVEL

Admite solução


DETERMINADO

INDETERMINADO

∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0

( UEPG-PR ) O sistema linear é:

=++

=++

=++

b4z2y3x

33zyax

2zyx

01. impossível para a ≠≠≠≠ 2 e b = 502. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 504. possí vel e determinado para

a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R08. possí vel e indeterminado para

a = 2 e b = 516. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2

GABARITO: 26

POSSÍVEL

IMPOSSÍVEL

Admite solução


DETERMINADO

INDETERMINADO

∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0

∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0

EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F

( ) UFSC – 2005 O par ordenado ( 5, 2) é a única solução do sistema

=+=+

276y3x

92yxFF

( ) UFSC – 2012 FF

( ) UFSC - 2012FF

POSSÍVEL

IMPOSSÍVEL

Admite solução


DETERMINADO

INDETERMINADO

GABARITO: 09

RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO ÃO NNººEQUAEQUAÇÇÕES ÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS

GABARITO: 11

SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS

GABARITO: 09

(ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, a nalise as afirmações a seguir.

=+−+−=−−+−

=−−−−=−+++=+−+−

0aw2z3y2x2v

0wzyx3v

0wzyxv

0wzyxv

0wzyxv I. O sistema é homogêneo.II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a.III. O sistema não admite a solução trivial.IV. O sistema será possí vel e determinado para a = - 2

GABARITO: A

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