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Matrizes e Determinantes

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AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formao de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educao de Goiana

MATRIZES E DETERMINANTESBIOGRAFIAS & EXERCCIOS

Anderson Douglas Annekeyte Miranda Karla Daniele Aranha Leonardo Ferreira Virgnia Leite

GOIANA/PE Anderson Douglas Annekeyte Miranda Karla Daniele Aranha Leonardo Ferreira Virgnia Leite

MATRIZES E DETERMINANTESBIOGRAFIAS & EXERCCIOS

Trabalho a ser entregue ao professor Genival Almeida da disciplina de Matemtica Elementar II, como pr-requisito do 1 Exerccio do 2 Perodo do Curso de Licenciatura em Matemtica.

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Outubro/2007

Sumrio

CAPTULO I Apresentao.................................................................................................................04 CAPTULO II Biografias......................................................................................................................05 CAPTULO III Resoluo de exerccios Matrizes.............................................................................................................12 Determinantes....................................................................................................20 CAPTULO IV Consideraes Finais.....................................................................................................37 Anexo I Origem das Matrizes....................................................................................38 Anexo II Origem dos Determinantes.........................................................................49 Referncias Bibliogrficas............................................................................................41

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Apresentao

Estamos apresentando "MATRIZES E DETERMINANTES BIOGRAFIAS & EXERCCIOS". No se trata propriamente de um entendimento especfico, porm todo o contedo representa um resumo significativo dessa parte da Matemtica. Nos primeiros captulos, destacamos pequenas biografias de alguns dos grandes matemticos que trabalharam nesse campo da teoria das matrizes e dos determinantes. No h, em nosso trabalho, uma pesquisa complexa, cada biografia focada representa uma histria completa e independente. Os captulos finais tratam da resoluo de algumas questes matemticas, referentes aos determinantes e as matrizes. Objetivo Geral Pesquisar a respeito das matrizes e dos determinantes. Objetivos Especficos Conhecer a histria de alguns matemticos que se dedicou ao estudo das matrizes e dos determinantes. Resolver problemas que envolvam matrizes e determinantes.

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CAPTULO II BIOGRAFIASNo inicio do sculo XVIII, durante pesquisas realizadas com o objetivo de encontrar processos que facilitassem a resoluo de um sistema de equaes lineares, verificou-se ser possvel associar a cada matriz quadrada um nico nmero real, que mais tarde veio a se chamar determinante da matriz. Entre aqueles que se interessaram pelo estudo dos determinantes, podemos citar:

SarrusPierre Sarrus (1798-1861) matemtico francs, nascido em Saint-Afrrique. Professor da Universidade de Estrasburgo (1826-1856) foi membro da Academia de Cincias de Paris e obteve o Prmio da Matemtica de 1842. Escreveu numerosas obras sobre resolues das equaes numricas (1832) e formulou uma regra para resolver determinantes de ordem trs (Regra de Sarrus), alm de compreender as direes das rbitas e dos cometas.

Vandermonde

Alexandre Thophile Vandermonde nasceu no dia 28 de fevereiro de 1735 em Paris, Frana, e morreu no dia 1 de janeiro de 1796, tambm em Paris. Seu primeiro amor de foi a msica, e ele se voltou para a Matemtica somente quando tinha 35 anos de idade. Vandermonde estudou a teoria das equaes e trabalhou com determinantes, apesar dos determinantes, nomeados depois dele, por Lebesgue, no aparecem em seu trabalho publicado. Ele tambm trabalhou na soluo matemtica de um problema denominado knight's tour problem. O total de contribuies dele para a Matemtica foram quatro memrias escritas entre 1771 e 1772, que contm importantes resultados e mtodos.

Laplace5

O famoso matemtico francs Jean d'Alembert no deu a menor importncia ao jovem de dezoito anos que o procurava. O rapaz enviara vrias cartas de recomendao de cientistas e de polticos, e isso j bastava para deixar d'Alembert irritado. Mas ele no contava com a teimosia de Pierre Simon Laplace que, em pouco tempo, escreveu um pequeno tratado sobre os princpios gerais da Matemtica e enviou-o ao professor. Agora d'Alembert teria de mudar de opinio. Leu o trabalho do jovem Laplace e dois dias mais tarde mandou cham-lo, dizendo-lhe: "No costumo dar crdito a recomendaes, e voc no precisa delas. Voc demonstrou que digno de ser conhecido e eu lhe darei o meu apoio". Laplace conseguira a oportunidade que queria; da em diante ele mostraria ao mundo cientfico que era, realmente, "digno de ser conhecido". O menino Pierre Simon Laplace revelou logo em Beaumont-en-Auge, cidadezinha da Normandia onde nascera em Maro de 1749, extraordinria inteligncia. Por isso um tio seu, padre levou-o para completar os estudos numa abadia beneditina. Da Pierre seguiu para um colgio de Caen, onde se acentuou seu interesse pela Matemtica. Aos dezoito anos, vai para Paris e, com a ajuda de d'Alembert, em pouco tempo, consegue o cargo de professor de Matemtica na Escola Militar. Comea a realizar pesquisas, sobretudo em Astronomia, que impressionam a Academia de Cincias. Estudou a fundo um dos problemas ento mais atuais: a perturbao dos movimentos planetrios. Temia-se, na poca, que um planeta pudesse aproximar-se demais de outro, provocando uma catstrofe. Mas, com base em clculos, Laplace demonstrou em uma srie de trabalhos apresentados Academia de Cincias que no havia motivo para tais temores, pois as irregularidades do sistema solar se corrigiram por si, durante tempos infinitamente longos. Esses trabalhos, alm de outros sobre assuntos similares, tornaram respeitado o nome de Laplace. Convidado a participar de vrias academias e a lecionar nas melhores escolas, aceitava. Mas continuava estudando: dedicou-se Qumica, Fsica e at Medicina, sem abandonar a Matemtica e a Astronomia. Muitas de suas teorias at hoje so vlidas. Contudo, freqentes descobertas que anunciou eram baseadas em trabalhos de outros cientistas, e Laplace escondia esse fato. Isso no desmente em nada o seu gnio, confirmado por descobertas autnticas e bastante importantes; mas revela o carter ambicioso desse homem, que usava de todos os meios para obter fama e, com ela, honras e posio social. Laplace servia-se dos grandes e os adulava. Assim, conseguiu atravessar, coberto de glrias, um tumultuado perodo da Histria francesa. O prefcio das sucessivas edies de suas obras mostra que ele fazia qualquer coisa para conseguir o beneplcito de quem estava no poder. Num prefcio de 1796, dedica seus trabalhos ao Conselho dos Quinhentos; em 1802, cobre de louvores figura de Napoleo - que havia suprimido o Conselho - e por isso distinguido com vrios cargos polticos, entre os quais o de ministro do Interior. Mas Napoleo cai em 1814, e agora Laplace dirige suas reverncias aos Bourbons, que ocupam o trono, e isso lhe vale o ttulo de marqus, conferido por Lus XVIII. 6

Mas era capaz tambm de gestos de bondade, tanto assim que ajudou vrios pesquisadores pobres. Ao morrer, a 5 de maro de 1827, Laplace tinha conseguido seu objetivo: era famoso e deixara uma obra importante. A herana do gnio No "Tratado de Mecnica Celeste", Laplace reuniu tudo o que havia de esparso em trabalhos de vrios cientistas, sobre as conseqncias da gravitao universal. Em outros livros, estudou os movimentos da Lua, de Jpiter e de Saturno. famosa a sua hiptese sobre a origem dos mundos (a "Teoria de Laplace"). Explicou a formao do Universo a partir de uma nebulosa inicial, girando sobre seu prprio eixo, da qual se desprenderam arremessados, os planetas do sistema solar. Embora hoje em dia esta seja considerada uma colocao ingnua do problema, na poca serviu para despertar interesse e levantar debates. Na Matemtica, fez estudos profundos sobre os determinantes e a teoria das probabilidades - na obra "Teoria Analtica das Probabilidades" - e foi quem primeiro demonstrou integralmente o teorema de d'Alembert sobre as razes das equaes algbricas. Como fsico, deixou estudos sobre refrao, pndulos, efeitos capilares, medidas baromtricas, velocidade do som e dilatao dos corpos slidos. E, com seu colega Lavoisier, construiu um calormetro (instrumento para medir o calor especfico dos corpos).

Cayley7

Arthur Cayley foi um matemtico britnico. As suas contribuies incluem a multiplicao de matrizes e o teorema de Cayley, nasceu em Richmond, Surrey, Inglaterra, em 16 de Agosto de 1821 e morreu em Cambridge, Cambridgeshire, Inglaterra, em 26 de janeiro de 1895. Vindo de uma famlia de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negcios da famlia, porm em 1835 ingressou no Kings College School onde sua aptido para a matemtica se tornou mais aparente, assim seu pai resolveu envi-lo para Cambridge. Em 1838 comeou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842. Em 1843 trabalhou fundamentalmente em lgebra, mas, tambm trabalhou em geometrias no-euclideanas e geometria n-dimensional, usando determinante como elemento essencial. A partir de 1849 trabalhou catorze anos como advogado, ele desistiu da docncia, pois continuar nela implicaria em tomar hbitos religiosos. Embora muito hbil nessa carreira, a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemtica. Durante esses catorze anos publicou aproximadamente 250 trabalhos matemticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes algbricos. Durante a conferencia de Hamilton sobre os Quatrnios que foi assistir em Dublin, conheceu Salmon, com quem trocou idias matemticas por muitos anos. Outro amigo era Sylvester, um advogado com quem trabalhava junto e durante os dias de trabalho conversavam sobre matemtica. Ele considerado, junto com Sylvester, o fundador da teoria dos invariantes. Foi um dos primeiros matemticos a estudar matrizes, definindo a idia de operarmos as matrizes como na lgebra. Descobriu a lgebra das matrizes em 1857. As matrizes surgiram para Cayley ligadas s transformaes lineares do tipo: Onde a, b, c, d so nmeros reais, e que podem ser imaginados como aplicaes que levam o ponto (x,y) no ponto (X,Y) . Quando se criou em Cambridge, em 1863 a cadeira sadleriana, est lhe foi oferecida. Assim Cayley aceitou reg-la abandonando a carreira da lei. Tornando-se professor de matemtica pura em Cambridge. Em 1881 foi convidado a dar um curso sobre funes abe lianas e funes teta, na Johns Hopkins University nos EUA, onde seu amigo Sylvester era professor. Cayley ocupa o terceiro lugar entre os escritores de matemtica mais prolferos em toda histria desta cincia, perdendo apenas para Euler e Cauchy. Em Colete Matemtica Papeis de Cayley h 966 artigos, num total de treze volumes com cerca de 600 pginas cada um, abordando todas as reas da matemtica. Foi neste que Cayley deu construes pioneiras

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geometria analtica, teoria das transformaes, teoria das curvas e superfcies, o estudo de formas binrias e ternrias. Charles Dermite registrou as seguintes palavras talento de Cayley se caracterizou pela clareza e extrema elegncia da forma analtica; reforando por uma capacidade incomparvel de trabalho...

Cauchy

At o inicio do sculo XIX, o que se sabia a respeito dos determinantes era muito pouco. Coube a Augustin Louis Cauchy (1789-1857), considerado o primeiro dos grandes matemticos franceses da idade moderna, a contribuio decisiva para o progresso dos determinantes ao apresentar um trabalho onde desenvolvia os princpios fundamentais dessa teoria. Isso aconteceu no ano de 1812. A partir da, outros matemticos deram prosseguimento ao trabalho de Cauchy.

Sylvester9

James Joseph Sylvester nasceu no dia 3 de setembro de 1814 em Londres, Inglaterra e morreu no dia 15 de maro de 1897 tambm em Londres. Professor e matemtico ingls nascido em Londres, um dos criadores da lgebra moderna e publicou numerosos trabalhos, notadamente sobre polinmios. Freqentou duas escolas primrias em Londres, e teve a instruo secundria na Royal Institution em Liverpool. Entrou (1833) e fez graduao no St. John's College, em Cambridge e teve como colegas dois outros matemticos famosos: Duncan Gregory e George Green. Para obter o grau era necessrio para um estudante assinar um juramento religioso para a Igreja de Inglaterra, mas como ele era judeu, e de temperamento irrequieto e irreverente, recusou-se a fazer o juramento necessrio e, assim, no pde se formar e, tambm, no pode ganhar o Smith's prize nem o Fellowship. Foi ensinar fsica na University of London (1838) onde seu professor De Morgan tambm ensinava, um dos poucos lugares que no o vetaram por causa da sua religio, l permanecendo durante trs anos. Eleito Fellow da Royal Society (1839), foi ensinar na Universidade da Virgnia (1841), onde ficou apenas trs meses, fugindo para Nova Iorque depois de bater em um estudante que o tinha insultado, e voltando para a Inglaterra. No perodo seguinte (1841-1850), formou-se em direito e trabalhou como aturio e advogado, mas deu instruo de matemtica. Ento, conheceu Cayley, que tambm era um advogado, opostamente um sujeito de temperamento dcil. Ambos trabalharam nos tribunais da Pousada de Lincoln em Londres e tornaram-se grandes amigos e resolveram abandonar as leis para se dedicarem a matemtica. Foi o primeiro a usar o termo matriz para indicar uma tabela retangular de nmeros. Em particular ele usou a teoria das matrizes para estudar a geometria de alta dimenso. Ele tambm contribuiu para a criao da teoria dos divisores elementares das matrizes Aps De Morgan, que foi o primeiro presidente da Sociedade de Matemtica de Londres, Sylvester se tornou o segundo presidente dessa sociedade.

Bzout

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tinne Bzout (1730 - 1783), matemtico francs da escola de Mzires, nascido em Nemours, Seine-et-Marne, consagrado pela publicao da coleo Cours de mathmatique, em seis volumes cobrindo toda a matemtica elementar at a de alto nvel conhecida at ento, com nfase para a mecnica e a navegao (1764-1769), que teve vrias reedies e verses em outras lnguas, inclusive adotada em West Point. Filho de um magistrado da cidade de Nemours, Pierre Bzout, e de Hlne-Jeanne Filz, por tradio familiar deveria seguir a carreira do pai e do av. Porm ao tomar contato com os trabalhos de Leonard Euler, ele resolveu se dedicar a matemtica. Sua primeira publicao foi uma memria, Dynamique (1756). No ano seguinte publicou Quantits diffrentielles e em seguida Rectification des courbes (1758), ambos sobre integrao. Foi nomeado adjunto em mecnica da Acadmie des Sciences (1758) e, no mesmo ano, como censor real. Depois foi designado o examinador do Gardes de la Marine (1763), onde passou a escrever importantes livros de ensino projetados especialmente para a matemtica pedaggica dos estudantes, como o Cours de mathmatiques l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, em quatro volume (1764-1767). Com a morte de Camus (1768) substituiu-o como examinador do Corps d'Artillerie, do exrcito e comeou a produzir outro livro de ensino de matemtica: Cours complet de mathmatiques l'usage de la marine et de l'artillerie, em seis volumes (1770-1782). Este foi um livro de ensino de muito sucesso e por muitos anos foi o livro empregado pelos estudantes que esperavam entrar na cole Polytechnique. Morreu em Basses-Loges, prximo a Fontainbleau, Frana, e de vasta produo publicou tambm Histoire de l'acadmie royale, (1764), e um importante tratado sob o ttulo Thorie gnrale des quations algebriques (1779), tratando especialmente sobre solues de equaes lineares com o emprego de determinantes.

CAPTULO III RESOLUO DE EXERCICIOS: MATRIZES

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RESOLUO DE EXERCCIOS: DETERMINANTES

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RESOLUO DE EXERCCIOS: DETERMINANTES

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RESOLUO DE EXERCCIOS: DETERMINANTES

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CAPTULO IV

CONSIDERAES FINAIS

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Observamos que ao longo da histria da Matemtica, sempre existiu um especial interesse na descoberta de solues para os sistemas lineares, assim surgiu as matrizes e os determinantes. Mostramos um resumo do que h nos clssicos e citamos as obras de maior divulgao de cada personagem, onde cada biografia focada representa uma histria completa e independente. Ao mesmo tempo, acumulamos conhecimentos para a resoluo de questes prticas que abordam as teorias sobre as Matrizes e os Determinantes.

ANEXO 01

ORIGEM DAS MATRIZES

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O estudo das matrizes tem origem de meados do sculo XIX e est ligado ao campo da Matemtica e da Fsica abrangendo vrios aspectos, inclusive o campo da computao. O conceito de matizes desenvolvido pelos matemticos ingleses Cayley e Sylvester ocorreu num dos perodos mais revolucionrios em termos de avanos matemticos. Sylvester (1814-1897) viveu nessa idade urea da Matemtica e desempenhou papel importante nos avanos cientficos da poca, apesar dos embaraos criados na carreira por sua personalidade impaciente. Ligado ao Direito durante alguns anos, voltou-se para os estudos matemticos e dedicou especial ateno lgebra. Entre outras contribuies, criou o hoje chamado mtodo dialtico de Sylvester. Juntamente com Cayley, desenvolveu a teoria das formas, ou qunticas. Embora tambm meream destaque as contribuies de matemticos como Hamilton e Boole, Cayley e Sylvester foram os principais responsveis pela lgebra moderna.

ANEXO 02

ORIGEM DOS DETERMINANTES

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Em 1683, paralelamente a Leibniz, o Oriente resolvia sistemas lineares por intermdio do matemtico japons Kowa, de forma parecida com a usada hoje. No sculo XVIII outros matemticos, como Bzout, Vandermonde e Laplace, deram sua contribuio para aperfeioar esse estudo, consolidado no sculo XIX por Cauchy e Jacobi. O francs Pierre Laplace (1749-1827) viveu num sculo em que a Europa respirava o clima revolucionrio, em particular seu pas de origem envolvido com a Revoluo Francesa. o clima de guerra leva a Igreja e o Exrcito a chamar a si homens da Cincia. Laplace por exemplo, foi um dos matemticos indicados por Napoleo para ocupar postos administrativos. No conjunto de suas realizaes, Laplace contribuiu de forma significativa para a Matemtica. Seu objetivo maior, porm,foi a Astronomia. Sua obra principal a Mecnica Celeste. Nesse percurso precisou solucionar alguns problemas matemticos, que acabaram por se tornar valiosssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial. Esses trabalhos fizeram dele uma dos principais matemticos de seu tempo.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS:DOLCE, Osvaldo e POMPEU, Jos Nicolau, Fundamentos da Matemtica Elementar vol. 4, 7 edio, So Paulo: Atual, 1993. BIANCHINI, Edward e PACCOLA, Herval, Matemtica vol. 2: verso beta, 2 edio So Paulo: Moderna, 1995.

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SANTOS, Manoel Heleno Rodrigues do, Princpios e Filsofos da Matemtica, 1 edio, Recife: Oficinas Grficas do Unio Cursos, 1997. Disponvel em: http:/www.smatemtica.com.br/matrizes. Acesso em 26/08/07 s 10h18min Disponvel em: http:/www.smatemtica.com.br/determinantes. DOLCE, Osvaldo e POMPEU, Jos Nicolau, Fundamentos da Matemtica Elementar vol. 9, 7 edio, So Paulo: Atual, 1993. BIANCHINI, Edward e PACCOLA, Herval, Matemtica vol. 2: verso beta, 2 edio So Paulo: Moderna, 1995. SANTOS, Manoel Heleno Rodrigues do, Princpios e Filsofos da Matemtica, 1 edio, Recife: Oficinas Grficas do Unio Cursos, 1997. Disponvel Disponvel em:http:/www.smatemtica.com.br/polgonos regulares. Acesso em 26/08/07 s 10h18min em: http:/www.smatemtica.com.br/quadrilteros. Acesso em 26/08/07 s 11h05min

Acesso em 26/08/07 s 11h05min

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