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MATRIZES E DETERMINANTES BIOGRAFIAS & EXERCÍCIOS Anderson Douglas Annekeyte Miranda Karla Daniele Aranha Leonardo Ferreira Virgínia Leite

Matrizes e Determinantes

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MATRIZES E DETERMINANTESBIOGRAFIAS & EXERCÍCIOS

Anderson DouglasAnnekeyte Miranda

Karla Daniele AranhaLeonardo Ferreira

Virgínia Leite

GOIANA/PE

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Anderson DouglasAnnekeyte Miranda

Karla Daniele AranhaLeonardo Ferreira

Virgínia Leite

MATRIZES E DETERMINANTESBIOGRAFIAS & EXERCÍCIOS

Trabalho a ser entregue ao professor Genival Almeida da disciplina de Matemática Elementar II, como pré-requisito do 1º Exercício do 2º Período do Curso de Licenciatura em Matemática.

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Outubro/2007

Sumário

CAPÍTULO IApresentação.................................................................................................................04

CAPÍTULO IIBiografias......................................................................................................................05

CAPÍTULO IIIResolução de exercícios

Matrizes.............................................................................................................12Determinantes....................................................................................................20

CAPÍTULO IVConsiderações Finais.....................................................................................................37Anexo I – Origem das Matrizes....................................................................................38Anexo II – Origem dos Determinantes.........................................................................49Referências Bibliográficas............................................................................................41

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Apresentação

Estamos apresentando "MATRIZES E DETERMINANTES – BIOGRAFIAS & EXERCÍCIOS". Não se trata propriamente de um entendimento específico, porém todo o conteúdo representa um resumo significativo dessa parte da Matemática.

Nos primeiros capítulos, destacamos pequenas biografias de alguns dos grandes matemáticos que trabalharam nesse campo da teoria das matrizes e dos determinantes. Não há, em nosso trabalho, uma pesquisa complexa, cada biografia focada representa uma história completa e independente.

Os capítulos finais tratam da resolução de algumas questões matemáticas, referentes aos determinantes e as matrizes.

Objetivo Geral

Pesquisar a respeito das matrizes e dos determinantes.

Objetivos Específicos

Conhecer a história de alguns matemáticos que se dedicou ao estudo das matrizes e dos determinantes.Resolver problemas que envolvam matrizes e determinantes.

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CAPÍTULO II

BIOGRAFIAS

No inicio do século XVIII, durante pesquisas realizadas com o objetivo de encontrar processos que facilitassem a resolução de um sistema de equações lineares, verificou-se ser possível associar a cada matriz quadrada um único número real, que mais tarde veio a se chamar determinante da matriz.

Entre aqueles que se interessaram pelo estudo dos determinantes, podemos citar:

Sarrus

Pierre Sarrus (1798-1861) matemático francês, nascido em Saint-Afrrique. Professor da Universidade de Estrasburgo (1826-1856) foi membro da Academia de Ciências de Paris e obteve o Prêmio da Matemática de 1842.

Escreveu numerosas obras sobre resoluções das equações numéricas (1832) e formulou uma regra para resolver determinantes de ordem três (Regra de Sarrus), além de compreender as direções das órbitas e dos cometas.

Vandermonde

Alexandre Théophile Vandermonde nasceu no dia 28 de fevereiro de 1735 em Paris, França, e morreu no dia 1º de janeiro de 1796, também em Paris. Seu primeiro amor de foi a música, e ele se voltou para a Matemática somente quando tinha 35 anos de idade.    Vandermonde estudou a teoria das equações e trabalhou com determinantes, apesar dos determinantes, nomeados depois dele, por Lebesgue, não aparecem em seu trabalho publicado. Ele também trabalhou na solução matemática de um problema denominado knight's tour problem. O total de contribuições dele para a Matemática foram quatro memórias escritas entre 1771 e 1772, que contém importantes resultados e métodos.

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Laplace

O famoso matemático francês Jean d'Alembert não deu a menor importância ao jovem de dezoito anos que o procurava. O rapaz enviara várias cartas de recomendação de cientistas e de políticos, e isso já bastava para deixar d'Alembert irritado. Mas ele não contava com a teimosia de Pierre Simon Laplace que, em pouco tempo, escreveu um pequeno tratado sobre os princípios gerais da Matemática e enviou-o ao professor. Agora d'Alembert teria de mudar de opinião. Leu o trabalho do jovem Laplace e dois dias mais tarde mandou chamá-lo, dizendo-lhe: "Não costumo dar crédito a recomendações, e você não precisa delas. Você demonstrou que é digno de ser conhecido e eu lhe darei o meu apoio". Laplace conseguira a oportunidade que queria; daí em diante ele mostraria ao mundo científico que era, realmente, "digno de ser conhecido".

O menino Pierre Simon Laplace revelou logo em Beaumont-en-Auge, cidadezinha da Normandia onde nascera em Março de 1749, extraordinária inteligência. Por isso um tio seu, padre levou-o para completar os estudos numa abadia beneditina. Daí Pierre seguiu para um colégio de Caen, onde se acentuou seu interesse pela Matemática. Aos dezoito anos, vai para Paris e, com a ajuda de d'Alembert, em pouco tempo, consegue o cargo de professor de Matemática na Escola Militar. Começa a realizar pesquisas, sobretudo em Astronomia, que impressionam a Academia de Ciências. Estudou a fundo um dos problemas então mais atuais: a perturbação dos movimentos planetários. Temia-se, na época, que um planeta pudesse aproximar-se demais de outro, provocando uma catástrofe. Mas, com base em cálculos, Laplace demonstrou em uma série de trabalhos apresentados à Academia de Ciências que não havia motivo para tais temores, pois as irregularidades do sistema solar se corrigiram por si, durante tempos infinitamente longos. Esses trabalhos, além de outros sobre assuntos similares, tornaram respeitado o nome de Laplace. Convidado a participar de várias academias e a lecionar nas melhores escolas, aceitava. Mas continuava estudando: dedicou-se à Química, à Física e até à Medicina, sem abandonar a Matemática e a Astronomia.

Muitas de suas teorias até hoje são válidas. Contudo, freqüentes descobertas que anunciou eram baseadas em trabalhos de outros cientistas, e Laplace escondia esse fato. Isso não desmente em nada o seu gênio, confirmado por descobertas autênticas e bastante importantes; mas revela o caráter ambicioso desse homem, que usava de todos os meios para obter fama e, com ela, honras e posição social. Laplace servia-se dos grandes e os adulava. Assim, conseguiu atravessar, coberto de glórias, um tumultuado período da História francesa. O prefácio das sucessivas edições de suas obras mostra que ele fazia qualquer coisa para conseguir o beneplácito de quem estava no poder. Num prefácio de 1796, dedica seus trabalhos ao Conselho dos Quinhentos; em 1802, cobre de louvores à figura de Napoleão - que havia suprimido o Conselho - e por isso é distinguido com vários cargos políticos, entre

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os quais o de ministro do Interior. Mas Napoleão cai em 1814, e agora Laplace dirige suas reverências aos Bourbons, que ocupam o trono, e isso lhe vale o título de marquês, conferido por Luís XVIII. Mas era capaz também de gestos de bondade, tanto assim que ajudou vários pesquisadores pobres.

Ao morrer, a 5 de março de 1827, Laplace tinha conseguido seu objetivo: era famoso e deixara uma obra importante.

A herança do gênio

No "Tratado de Mecânica Celeste", Laplace reuniu tudo o que havia de esparso em trabalhos de vários cientistas, sobre as conseqüências da gravitação universal. Em outros livros, estudou os movimentos da Lua, de Júpiter e de Saturno. É famosa a sua hipótese sobre a origem dos mundos (a "Teoria de Laplace"). Explicou a formação do Universo a partir de uma nebulosa inicial, girando sobre seu próprio eixo, da qual se desprenderam arremessados, os planetas do sistema solar. Embora hoje em dia esta seja considerada uma colocação ingênua do problema, na época serviu para despertar interesse e levantar debates.

Na Matemática, fez estudos profundos sobre os determinantes e a teoria das probabilidades - na obra "Teoria Analítica das Probabilidades" - e foi quem primeiro demonstrou integralmente o teorema de d'Alembert sobre as raízes das equações algébricas. Como físico, deixou estudos sobre refração, pêndulos, efeitos capilares, medidas barométricas, velocidade do som e dilatação dos corpos sólidos. E, com seu colega Lavoisier, construiu um calorímetro (instrumento para medir o calor específico dos corpos).

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Cayley

Arthur Cayley foi um matemático britânico. As suas contribuições incluem a multiplicação de matrizes e o teorema de Cayley, nasceu em Richmond, Surrey, Inglaterra, em 16 de Agosto de 1821 e morreu em Cambridge, Cambridgeshire, Inglaterra, em 26 de janeiro de 1895. Vindo de uma família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém em 1835 ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente, assim seu pai resolveu enviá-lo para Cambridge.

Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842. Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas, também trabalhou em geometrias não-euclideanas e geometria n-dimensional, usando determinante como elemento essencial.

A partir de 1849 trabalhou catorze anos como advogado, ele desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em tomar hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemática. Durante esses catorze anos publicou aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes algébricos.

Durante a conferencia de Hamilton sobre os Quatérnios que foi assistir em Dublin, conheceu Salmon, com quem trocou idéias matemáticas por muitos anos. Outro amigo era Sylvester, um advogado com quem trabalhava junto e durante os dias de trabalho conversavam sobre matemática. Ele é considerado, junto com Sylvester, o fundador da teoria dos invariantes. Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a idéia de operarmos as matrizes como na álgebra. Descobriu a álgebra das matrizes em 1857. As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo: Onde a , b , c , d são números reais, e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto (x,y) no ponto (X,Y) .

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Quando se criou em Cambridge, em 1863 a cadeira sadleriana, está lhe foi oferecida. Assim Cayley aceitou regê-la abandonando a carreira da lei. Tornando-se professor de matemática pura em Cambridge. Em 1881 foi convidado a dar um curso sobre funções abe lianas e funções teta, na Johns Hopkins University nos EUA, onde seu amigo Sylvester era professor. Cayley ocupa o terceiro lugar entre os escritores de matemática mais prolíferos em toda história desta ciência, perdendo apenas para Euler e Cauchy. Em Colete Matemática Papeis de Cayley há 966 artigos, num total de treze volumes com cerca de 600 páginas cada um, abordando todas as áreas da matemática. Foi neste que Cayley deu construções pioneiras à geometria analítica, teoria das transformações, teoria das curvas e superfícies, o estudo de formas binárias e ternárias.

Charles Dermite registrou as seguintes palavras “talento de Cayley se caracterizou pela clareza e extrema elegância da forma analítica; reforçando por uma capacidade incomparável de trabalho...”

Cauchy

Até o inicio do século XIX, o que se sabia a respeito dos determinantes era muito pouco. Coube a Augustin Louis Cauchy (1789-1857), considerado o primeiro dos grandes matemáticos franceses da idade moderna, a contribuição decisiva para o progresso dos determinantes ao apresentar um trabalho onde desenvolvia os princípios fundamentais dessa teoria. Isso aconteceu no ano de 1812. A partir daí, outros matemáticos deram prosseguimento ao trabalho de Cauchy.

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Sylvester

     

James Joseph Sylvester nasceu no dia 3 de setembro de 1814 em Londres, Inglaterra e morreu no dia 15 de março de 1897 também em Londres. Professor e matemático inglês nascido em Londres, um dos criadores da álgebra moderna e publicou numerosos trabalhos, notadamente sobre polinômios. Freqüentou duas escolas primárias em Londres, e teve a instrução secundária na Royal Institution em Liverpool. Entrou (1833) e fez graduação no St. John's College, em Cambridge e teve como colegas dois outros matemáticos famosos: Duncan Gregory e George Green. Para obter o grau era necessário para um estudante assinar um juramento religioso para a Igreja de Inglaterra, mas como ele era judeu, e de temperamento irrequieto e irreverente, recusou-se a fazer o juramento necessário e, assim, não pôde se formar e, também, não pode ganhar o  Smith's prize nem o Fellowship. Foi ensinar física na University of London (1838) onde seu professor De Morgan também ensinava, um dos poucos lugares que não o vetaram por causa da sua religião, lá permanecendo durante três anos.

Eleito Fellow da Royal Society (1839), foi ensinar na Universidade da Virgínia (1841), onde ficou apenas três meses, fugindo para Nova Iorque depois de bater em um estudante que o tinha insultado, e voltando para a Inglaterra. No período seguinte (1841-1850), formou-se em direito e trabalhou como atuário e advogado, mas deu instrução de matemática. Então, conheceu Cayley, que também era um advogado, opostamente um sujeito de temperamento dócil. Ambos trabalharam nos tribunais da Pousada de Lincoln em Londres e tornaram-se grandes amigos e resolveram abandonar as leis para se dedicarem a matemática. Foi o primeiro a usar o termo matriz para indicar uma tabela retangular de números.   Em particular ele usou a teoria das matrizes para estudar a geometria de alta dimensão. Ele também contribuiu para a criação da teoria dos divisores elementares das matrizes     Após De Morgan, que foi o primeiro presidente da Sociedade de Matemática de Londres, Sylvester se tornou o segundo presidente dessa sociedade. 

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Bézout

  Étiènne Bézout (1730 - 1783), matemático francês da escola de Mézières, nascido em Nemours, Seine-et-Marne, consagrado pela publicação da coleção Cours de mathématique, em seis volumes cobrindo toda a matemática elementar até a de alto nível conhecida até então, com ênfase para a mecânica e a navegação (1764-1769), que teve várias reedições e versões em outras línguas, inclusive adotada em West Point. Filho de um magistrado da cidade de Nemours, Pierre Bézout, e de Hélène-Jeanne Filz, por tradição familiar deveria seguir a carreira do pai e do avô. Porém ao tomar contato com os trabalhos de Leonard Euler, ele resolveu se dedicar a matemática. Sua primeira publicação foi uma memória, Dynamique (1756). No ano seguinte publicou Quantités différentielles e em seguida Rectification des courbes (1758), ambos sobre integração. Foi nomeado adjunto em mecânica da Académie des Sciences (1758) e, no mesmo ano, como censor real. Depois foi designado o examinador do Gardes de la Marine (1763), onde passou a escrever importantes livros de ensino projetados especialmente para a matemática pedagógica dos estudantes, como o Cours de mathématiques à l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, em quatro volume (1764-1767). Com a morte de Camus (1768) substituiu-o como examinador do Corps d'Artillerie, do exército e começou a produzir outro livro de ensino de matemática: Cours complet de mathématiques à l'usage de la marine et de l'artillerie, em seis volumes (1770-1782). Este foi um livro de ensino de muito sucesso e por muitos anos foi o livro empregado pelos estudantes que esperavam entrar na École Polytechnique. Morreu em Basses-Loges, próximo a Fontainbleau, França, e de vasta produção publicou também Histoire de l'académie royale, (1764), e um importante tratado sob o título Théorie générale des équations algebriques (1779), tratando especialmente sobre soluções de equações lineares com o emprego de determinantes.

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CAPÍTULO III

RESOLUÇÃO DE EXERCICIOS: MATRIZES

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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS: DETERMINANTES

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CAPÍTULO IV

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Observamos que ao longo da história da Matemática, sempre existiu um especial interesse na descoberta de soluções para os sistemas lineares, assim surgiu as matrizes e os determinantes.

Mostramos um resumo do que há nos clássicos e citamos as obras de maior divulgação de cada personagem, onde cada biografia focada representa uma história completa e independente.

Ao mesmo tempo, acumulamos conhecimentos para a resolução de questões práticas que abordam as teorias sobre as Matrizes e os Determinantes.

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ANEXO 01

ORIGEM DAS MATRIZES

O estudo das matrizes tem origem de meados do século XIX e está ligado ao campo da Matemática e da Física abrangendo vários aspectos, inclusive o campo da computação.

O conceito de matizes desenvolvido pelos matemáticos ingleses Cayley e Sylvester ocorreu num dos períodos mais revolucionários em termos de avanços matemáticos.

Sylvester (1814-1897) viveu nessa idade áurea da Matemática e desempenhou papel importante nos avanços científicos da época, apesar dos embaraços criados na carreira por sua personalidade impaciente.

Ligado ao Direito durante alguns anos, voltou-se para os estudos matemáticos e dedicou especial atenção à álgebra. Entre outras contribuições, criou o hoje chamado método dialítico de Sylvester. Juntamente com Cayley, desenvolveu a teoria das formas, ou quânticas.

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Embora também mereçam destaque as contribuições de matemáticos como Hamilton e Boole, Cayley e Sylvester foram os principais responsáveis pela álgebra moderna.

ANEXO 02

ORIGEM DOS DETERMINANTES

Em 1683, paralelamente a Leibniz, o Oriente resolvia sistemas lineares por intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.

No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandermonde e Laplace, deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidado no século XIX por Cauchy e Jacobi.

O francês Pierre Laplace (1749-1827) viveu num século em que a Europa respirava o clima revolucionário, em particular seu país de origem envolvido com a Revolução Francesa.

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o clima de guerra leva a Igreja e o Exército a chamar a si homens da Ciência. Laplace por exemplo, foi um dos matemáticos indicados por Napoleão para ocupar postos administrativos.

No conjunto de suas realizações, Laplace contribuiu de forma significativa para a Matemática. Seu objetivo maior, porém,foi a Astronomia. Sua obra principal é a Mecânica Celeste.

Nesse percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial. Esses trabalhos fizeram dele uma dos principais matemáticos de seu tempo.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

DOLCE, Osvaldo e POMPEU, José Nicolau, Fundamentos da Matemática Elementar – vol. 4, 7ª edição, São Paulo: Atual, 1993.

BIANCHINI, Edward e PACCOLA, Herval, Matemática – vol. 2: versão beta, 2ª edição – São Paulo: Moderna, 1995.

SANTOS, Manoel Heleno Rodrigues do, Princípios e Filósofos da Matemática, 1ª edição, Recife: Oficinas Gráficas do União Cursos, 1997.

Disponível em: http:/www.sómatemática.com.br/matrizes. Acesso em 26/08/07 às 10h18min

Disponível em: http:/www.sómatemática.com.br/determinantes. DOLCE, Osvaldo e POMPEU, José Nicolau,

Fundamentos da Matemática Elementar – vol. 9, 7ª edição, São Paulo: Atual, 1993.

BIANCHINI, Edward e PACCOLA, Herval, Matemática – vol. 2: versão beta, 2ª edição – São Paulo: Moderna, 1995.

SANTOS, Manoel Heleno Rodrigues do, Princípios e Filósofos da Matemática, 1ª edição, Recife: Oficinas Gráficas do União Cursos, 1997.

Disponível em:http:/www.sómatemática.com.br/polígonos regulares. Acesso em 26/08/07 às 10h18min

Disponível em: http:/www.sómatemática.com.br/quadriláteros. Acesso em 26/08/07 às 11h05min

Acesso em 26/08/07 às 11h05min

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