Tipos de Matriz

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por caractersticas especficas.

Matriz linhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O nmero de colunas independente. Por exemplo:

1 x 3

Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O nmero de linhas independente. Por exemplo:

5 x1

Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do nmero de linhas e colunas todos os seus elementos so iguais a zero. Por exemplo:

Podendo ser representada por 03 x 2.

Matriz quadrada

Matriz quadrada toda matriz que o nmero de colunas o mesmo do nmero de linhas. Por exemplo:

Quando a matriz quadrada nela podemos perceber a presena de uma diagonal secundria e uma diagonal principal.

Matriz diagonal

Ser uma matriz diagonal, todamatriz quadradaque os elementos queno pertencemdiagonal principalsejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou no. Por exemplo:

Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela - B. Se tivermos uma matriz:

A matriz oposta a ela :

Conclumos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas podero ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

As matrizes A e B so iguais, pois seus elementos correspondentes so iguais.

Multiplicao de MatrizesA multiplicao de matrizes realizada de acordo com a seguinte condio: o nmero de colunas da 1 matriz deve ser igual ao nmero de linhas da 2 matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n.

A4x3* B3x1

A4x2* B2x3

A1x2* B2x2

A3x4* B4x3

Nesse modelo de multiplicao, os mtodos so mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita ateno na resoluo de uma multiplicao de matrizes. Vamos atravs de exemplos, demonstrar como efetuar tais clculos.A operao dever ser feita multiplicando os membros da linha da 1 matriz pelos membros da coluna da 2 matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um nico item posicional da matriz.Observe um modelo padro de multiplicao:

Exemplo 1

Realizamos uma multiplicao entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condio o nmero de colunas da 1 matriz deve ser igual ao nmero de linhas da 2 matriz, foi vlida, pois 3 = 3. O interessante que a matriz, produto da multiplicao, de ordem 2 x 2, isto , 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo nmero de linhas da 1 e o mesmo nmero de colunas da 2.

Portanto, todas essas condies so observadas na multiplicao entre matrizes. Caso alguma dessas condies no seja vlida, a operao da multiplicao estar efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar multiplicao entre matrizes, faa de forma atenciosa, desenvolvendo completamente o processo, procurando no utilizar meios diretos para obter o resultado.

Exemplo 2

Operaes com Matrizes

A operao com qualquer matriz sempre resultar em outra matriz, independentemente da operao utilizada.

Antes de falarmos da adio e da subtrao de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz formada: toda matriz tem seus elementos que so dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1 linha e 2 coluna ser representado por b12.

Adio

As matrizes envolvidas na adio devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma ser tambm outra matriz com a mesma ordem.

Assim podemos concluir que:

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim:a11+ b11= c11.

Exemplos:Dada a matriz A=3 x 3 e matriz B=3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:

+=3 x 3

Observe os elementos em destaques:

a13= - 1 e b13= - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que oc13= -6. Pois-1 + (-5)= -1 5 =- 6

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32+ b32. Pois, 3 + (-5) = 3 5 = - 2

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

Subtrao

As duas matrizes envolvidas na subtrao devem ser da mesma ordem. E a diferena delas dever dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.

Assim temos:Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim:a21 b21= c21.

Exemplos:

Dada a matriz A =3 x 3 e B =3 x 3, se subtrairmos A B, teremos:

-=3 x 3

Observe os elementos destacados:

Quando subtramos a13 b13= c13,-1 (-5)= -1 + 5 =4

Quando subtramos a31 b31= c31,- 4 (-1)= -4 + 1 =-3

Assim A B = C, onde C uma matriz de mesma ordem de A e B.

Matriz transpostaDada umamatrizA do tipo m x n, chama-setranspostade A e indica-se porAta matriz que se obtm trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operao de obteno de uma matriz transposta de A denominada transposio da matriz. Observe o exemplo:

Note que A do tipo 3 x 2 eAt do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde primeira coluna da matriz original e a segunda linha segunda coluna, tambm da matriz original.Igualdade de matrizesDuas matrizes, A e B, sero iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) so matrizes do tipo m x n, ento:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Soluo:

Adio de matrizesDadas duas matrizesde mesmo tipo, A e B, denomina-se matrizsoma(A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Soluo:

Propriedades da adioSendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades:- Comutativa: A+B = B+A- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C- Elemento neuto: A+O = O+A = AMatriz opostaChama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:Dada a matriz:

A oposta de A ser

pois:

Subtrao de matrizesDadas duas matrizesde mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferena (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Propriedades Determinante de uma MatrizAs propriedades envolvendo determinantes facilitam o clculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condies. Observe as propriedades:

1 propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna so iguais a zero, o valor do seu determinante tambm ser zero.

2 propriedade

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz ser nulo.

3 propriedade

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante ter valor igual zero. Observe a propriedade entre a 1 e a 2 linha.

4 propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um nmero K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1 linha de P foram multiplicados por 2, ento: det P = 2 * det P

5 propriedade

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um nmero real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

det (k*A) = kn* det A

6 propriedade

O valor do determinante de uma matriz R igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).

det R = ps-- qr

det Rt = ps rq

7 propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posio de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

8 propriedade

O determinante de uma matriz triangular igual multiplicao dos elementos da diagonal principal.Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so iguais a zero.

9 propriedade

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.

10 propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo nmero e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema atribudo a Jacobi.