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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba Gerência de Ensino Departamento Acadêmico de Matemática (DAMAT)
MATEMÁTICA I – Notas de aulas Sistemas de coordenadas, matrizes, determinantes e sistemas lineares
Profª: Silvana Heidemann Rocha
Curitiba, 2007
2
ÍNDICE
1. Sistemas de coordenadas p. 3 1.1) Sistema unidimensional de coordenadas ou sistema linear 1.2) Sistema bidimensional de coordenadas
1.2.1) Sistema de coordenadas retangulares ou sistema cartesiano no plano 1.2.2) Sistema de coordenadas oblíquas 1.2.3) Sistema de coordenadas polares
1.3) Sistema tridimensional de coordenadas 1.3.1) Sistema de coordenadas retangulares no espaço 1.3.2) Sistema de coordenadas cilíndricas 1.3.3) Sistema de coordenadas esféricas
1.4) Translação de eixos
2. Matrizes p. 20 2.1) Pré-requisitos 2.2) Definição de matriz 2.3) Representação de matriz 2.4) Conversão de tabelas de dados em matrizes 2.5) Igualdade entre matrizes 2.6) Tipos de matrizes 2.7) Operações com matrizes 2.8) Propriedades das operações com matrizes
3. Determinantes p. 42 3.1) Introdução 3.2) Permutação 3.3) Inversão de uma permutação 3.4) Propriedade das permutações 3.5) Definição de determinante 3.6) Propriedades de determinantes 3.7) Determinante menor e cofator de uma matriz 3.8) Expansão do determinante de uma matriz em relação a uma linha ou a uma coluna 3.9) Matriz adjunta
4. Sistemas lineares p. 51 4.1) Equação linear
4.2) Sistema linear 4.3) Classificação dos sistemas lineares em relação aos termos independentes 4.4) Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções 4.5) Sistemas equivalentes 4.6) Operações elementares 4.7) Sistemas na forma triangular 4.8) Resolução de um sistema linear pelo método de eliminação 4.9) Notação matricial de um sistema linear 4.10) Matriz linha equivalente 4.11) Matriz linha reduzida à forma escada ou matriz escalonada 4.12) Resolução de um sistema linear pela sintetização do método de eliminação
4.13) Posto de uma matriz 4.14) Nulidade de uma matriz e grau de liberdade de um sistema linear
4.15) Solução de um sistema linear homogêneo
4.16) Notação vetorial de sistemas lineares 4.17) Método prático para encontrar a inversa de uma matriz 4.18) Sistemas lineares e matrizes inversas
3 1) SISTEMAS DE COORDENADAS Conceito:
Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma correspondência recíproca entre
pontos geométricos e números reais. Esses sistemas são usados para investigação analítica1 de propriedades
geométricas, como por exemplo determinar a equação de uma curva geométrica, muitas vezes interpretada como a
descrição da trajetória de um ponto em movimento.
Histórico:
Dentre muitos homens2 que influenciaram o pensamento científico moderno, pode-se citar por exemplo
Leonardo da Vinci (1452-1519), Nicolau Copérnico (1473-1543), Francis Bacon (1561-1626), Galileu Galilei
(1564-1642), J. Kepler (1571-1630), Renné Descartes (1596-1650), Isaac Newton (1642-1727). Esses homens
viveram numa época em que, para entender a natureza das coisas, a idéia de movimento conflitou-se com a de
estática. Foi um momento histórico em que homens heréticos arredondaram a Terra, desbravadores como Cristóvão
Colombo (1450-1506) aniquilaram os monstros marinhos do além da costa terrestre e novos filósofos instigaram
um outro método para se pensar o mundo.
No estudo do sistema solar, por exemplo, ao se procurar entender o movimento de corpos celestes, Isaac
Newton percebeu que a localização ou a trajetória de um ponto no plano ficaria melhor descrita por sua direção
angular e sua distância em relação a um ponto fixo. Esse esquema atualmente é denominado sistema de
coordenadas polares.
Por outro lado, ao estudar o movimento de um ponto no plano, Renné Descartes inquietou-se em determinar
as propriedades geométricas de curvas planas relacionando variáveis como x e y. Esse tipo de estudo proporcionou
a criação do sistema de coordenadas retangulares ou sistema cartesiano3
1 Que procede por análise. 2 Sobre a participação das mulheres na ciência moderna, em especial na matemática, ver GARBI, Gilberto G. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Livraria da Física, 2006. 3 Tradução de Descartes para o latim cartesius. Segundo VENTURI, o sistema cartesiano não foi proposto por Renné Descartes, mas por Pierre de Fermat. Ver VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. Curitiba: UFPR, s/d, 6 ed, p. 15.
4 1.1) Sistema unidimensional de coordenadas ou sistema linear:
Conceito:
Neste sistema, os pontos podem se mover livremente sobre uma reta (ou espaço unidimensional)4.
Para proceder a localização dos pontos sobre uma reta, é necessário primeiramente orientá-la. Usualmente,
a orientação positiva de uma reta horizontal é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O
ponto O é denominado origem do sistema orientado e a reta orientada é denominada eixo. É usual denominar o
eixo horizontal por eixo x ou eixo das abscissas.
A distância de um ponto P à origem é x vezes a unidade de medida de comprimento adotada para a escala
do eixo. Se P localiza-se à direita da origem O, x é positivo. Se P localiza-se à esquerda de O, x é negativo.
Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, dizemos que:
• P tem coordenada (x). Geralmente escreve-se o ponto P e sua coordenada, juntos, assim P(x); 5
• P é a representação geométrica ou gráfica do número real x;
• a coordenada (x) é a representação analítica de P;
• há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real, ou seja, a cada número real
corresponde um e único ponto sobre o eixo e a cada ponto sobre o eixo corresponde um e único número
real;
• a reta assim obtida, denominada reta real, é a representação geométrica do conjunto dos números reais (R).
A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A correspondente à unidade de comprimento adotada para
escala tem coordenada 1.
Geometricamente, tem-se:
1.1.1) Comprimento de segmento retilíneo orientado:
Num sistema linear de coordenadas, o comprimento do segmento retilíneo orientado 21PP determinado por
dois pontos dados )( e )( 2211 xPxP é obtido, tanto em grandeza como em sinal, subtraindo-se a coordenada do
ponto inicial P1 da coordenada da extremidade P2. Assim:
21PP = x2 – x1
4 Neste texto, os termos espaço unidimensional e espaço bidimensional estão sendo usados da mesma forma quando nos referimos ao espaço tridimensional para designar o lugar onde vivemos, ou seja, são apenas recursos metalingüísticos. O sentido do termo espaço aqui é o de lugar ou de extensão indefinida. 5 Não confuna o valor x da coordenada de P com o rótulo, o símbolo x que representa o eixo.
A O P
0 1
x
x
5 1.1.2) Distância entre dois pontos no sistema linear:
A distância d entre dois pontos dados )( e )( 2211 xPxP é definida como o valor absoluto do comprimento do
segmento retilíneo determinado por estes dois pontos. Assim:
d = 1221 xxPP −=
1.2) Sistema bidimensional de coordenadas:
Conceito:
É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições de um plano (ou espaço
bidimensional).
Para localizar um ponto no plano, é necessário um sistema de coordenadas. Aqui será dado maior enfoque
ao sistema de coordenadas cartesianas retangulares (ou sistema cartesiano ortogonal) e ao sistema de coordenadas
polares.
1.2.1) Sistema de coordenadas retangulares ou sistema cartesiano no plano:
Este sistema é representado usualmente por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados,
perpendiculares entre si. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. A
origem pode ser fixada em qualquer ponto do plano. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrantes,
numerados conforme a figura 1.
O eixo horizontal Ox ou mais comumente eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical Oy ou
eixo y é o eixo das ordenadas. A orientação positiva do eixo x é para a direita. A orientação positiva do eixo y é
para cima.
Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto A, correspondente a unidade de comprimento
do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O, marca-se o ponto B, correspondente a unidade
de comprimento do eixo y. Os comprimentos OBOA e , que representam a escala utilizada respectivamente no
eixo x e no eixo y, não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que x e y geralmente representam
grandezas distintas como, por exemplo, tempo e velocidade, tempo e deslocamento, lado e área. Como em
Matemática x e y são grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados.
Embora possa parecer estática a representação desse sistema de coordenadas, deve-se entender que esse
referencial pode ser transladado de sua posição inicial ou mesmo rotacionado em relação à origem. Vide figuras 2 e
3 a seguir.
6 Cada ponto P pode ser inequivocadamente localizado no plano mediante um par ordenado (x, y), onde x é
a abscissa de P e y é a sua ordenada. No par ordenado (x,y) x e y não podem ser trocados de lugar, pois há uma
relação de ordem no par. O módulo da abscissa x representa a distância que P está do eixo y e o módulo da
ordenada y representa a distância que P está do eixo x.
Nessa correspondência entre o ponto P e o par ordenado de números reais (x,y), dizemos que:
• P tem coordenada (x,y). Geralmente escreve-se o ponto P e sua coordenada, juntos, assim P(x,y);
• P é a representação geométrica ou gráfica do par ordenado (x,y);
• a coordenada (x,y) é a representação analítica de P;
• x e y são as componentes da coordenada de P;
O x
y
P(x,y)
Px
Py xPxP eixo o sobre ponto do ortogonal projeção= yPyP eixo o sobre ponto do ortogonal projeção=
α
1 A
B
y
x O
1º Q (+,+)
2º Q (-,+)
3º Q (-, -)
4º Q (+,_)
1
Figura 1
α
y
x O
Figura 2 Translação de eixos
u
v
P
u
α
y
x O
Figura 3 Rotação de eixos
v
7 • há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e par ordenado (x,y), ou seja, a cada par
ordenado (x,y) corresponde um e único ponto sobre o plano e a cada ponto sobre o plano corresponde um e
único par ordenado (x,y) de números reais;
• um plano com as caracterísitcas anteriormente descritas, denominado plano cartesiano, é a representação
geométrica do conjunto R2 ou R X R, isto é, do produto cartesiano6 de R por R.
Os pontos cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo x e os pontos cujas abscissas são zero
localizam-se sobre o eixo y.
Distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Exercício:
Localize num plano cartesiano dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y2), onde x1, x2, y1 e y2 são números reais
quaisquer, e determine a distância entre P1 e P2.
Solução:
No triângulo 21MPP tem-se: 121 yyMP −= e 122 xxMP −= .
O estudante deve estar atento ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional, para
não tomar o segmento MP1 como negativo, uma vez que neste caso .012 <− yy
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
2
12 PP = 2
1MP +2
2MP ⇒ 2
12 PP = 212 yy − + 2
12 xx − ⇒
2
12 PP = 212 )( xx − + 2
12 )( yy − , pois Raaa ∈∀= ,22 . Fazendo d = 2112 PPPP = , vem:
212
212 )()( yyxxd −+−= .
6 Definição de produto cartesiano: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B ao conjunto A X B (lê-se: A cartesiano B) cujos elementos são todos pares ordenados (x,y), onde o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B. Em símbolos: A X B = (x, y) / x∈A e y ∈B. Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. Assim, R2 = R X R= (x, y) / x, y∈R é representado geometricamente pelos pontos de um plano.
1P
2P
x
y
O 1x 2x
2y
1y
⇒
1P
2P
x
y
O 1x 2x
2y
1y
M
Observação: Neste caso, tem-se:
0 e 0 , 1221 <>< xxxx
0y e 0 , 1212 ><< yyy
8 Translação de eixos:
Localize num plano cartesiano xOy um ponto P(x, y). Translade esse referencial para uma origem
),( 000 yxP de modo a obter um sistema vuP0 , conforme a figura abaixo. Qual a coordenada de P no referencial
vuP0 ? Qual a relação entre x e u e entre y e v? Mostre que a relação entre x e u e entre y e v é válida quando P0
estiver em qualquer um dos quadrantes.
Solução:
Rotação de eixos:
Localize num plano cartesiano xOy um ponto P(x, y). Rotacione no sentido anti-horário esse referencial em
relação à origem O de um ângulo πθ 20 << , de modo a obter um sistema uOv , conforme a figura abaixo. Qual a
coordenada de P no referencial uOv ? Qual a relação entre x e u e entre y e v? Determine uma matriz de rotação.
Solução:
α
y
x O
u
v
P0
u
α
y
x O
v
θ
9 1.2.2) Sistema de coordenadas cartesianas oblíquas:
Se o ângulo entre os eixos x e y for diferente de 90º, o sistema cartesiano é denominado sistema cartesiano
oblíquo. Pode-se renomear os eixos x e y para u e v, respectivamente.
A localização de um ponto P é dada pelo par ordenado (u,v), onde os números reais u e v são denominados
coordenadas oblíquas de P.
Ex: 1.2.3) Sistema de coordenadas polares:
Esse sistema é utilizado por exemplo no acompanhamento do movimento dos planetas e dos satélites, na
identificação e localização de objetos em telas de radar, nos projetos de antenas e na trajetória de um ponto em
órbita em relação a um ponto fixo.
O sistema de coordenadas polares tem como referenciais uma semi-reta orientada fixa denominada eixo
polar e um ponto fixo O denominado pólo, localizado na origem do eixo polar. Vide figura a seguir:
A cada ponto P do plano pode-se associar um par de números reais r e θ denominados coordenadas
polares de P. Denota-se P(r,θ ), onde r é a coordenada radial (raio) de P ou distância de P ao pólo e θ é a
coordenada angular ou ângulo polar.
O ângulo polar θ de um ponto P(r,θ ) mede a abertura entre o eixo polar e o raio OP . Essa abertura é
obtida considerando-se numa posição inicial o raio OP sobre o eixo polar e abrindo-se o raio até a medida dada
de θ . Assim, o eixo polar é o lado origem e o segmento OP é o lado extremidade do ângulo. Vide figura a seguir:
O Eixo polar
P(r,θ )
r
θ O
O u
v
P(u,v)
Pu
Pv uP
uP eixo o sobre ponto do oblíqua projeção=
vPv
P eixo o sobre ponto do oblíqua projeção=
10 Como θ é um número real, θ deve ser medido em radianos eθ é positivo se medido no sentido anti-
horário e negativo se medido no sentido horário.
Se o raio r for positivo, então ele deve ser marcado sobre o lado extremidade do ângulo polar. Se r for
negativo, então ele deve ser marcado sobre o sentido oposto do lado extremidade do ângulo polar, na mesma
distância igual ao valor absoluto do raio.
Veja se você consegue marcar sobre o sistema polar a seguir os pontos P(3, )4
5π, Q(-3, )
4
π e S
−
3,1
π e
T(-2, )3
π
As coordenadas polares do pólo é (0,θ ) para qualquer θ real.
No sistema polar, cada par de coordenadas polares (r,θ ) determina um e único ponto no plano coordenado. No
entanto, um mesmo ponto P(r,θ ) pode ter como coordenadas os pares (r,θ +2kπ ) ou (-r,θ +kπ ) para qualquer k Z∈ .
Assim, para que haja uma correspondência biunívoca entre um ponto geométrico e um par de números reais, convenciona-se
que r 0> e πθ 20 <≤ . Mas se o ponto for o pólo, então não haverá correspondência biunívoca entre par ordenado
e ponto. Assim, se r =0, então θ pode assumir qualquer valor real, decorrendo daí que o ponto correspondente ao par (0, θ )
é o pólo.
11 Relação entre coordenadas polares e coordenadas retangulares:
Pode-se sobrepor o sistema de coordenadas cartesianas ao sistema de coordenadas polares de tal forma que
o eixo positivo das abscissas coincida com o eixo polar e a origem do sistema cartesiano coincida com o pólo. Vide
figura a seguir:
Assim, as coordenadas retangulares (x, y) de P e suas coordenadas polares (r,θ ) se relacionam de modo que
x = rcosθ ; y = rsenθ ; r2 = x2 + y2 e tgθ =x
y, com 0≥r e πθ 20 <≤ .
Distancia entre dois pontos no sistema de coordenadas polares:
Localize num sistema de coordenadas polares os pontos P1(r1, θ 1) e P2 (r2, θ 2) e determine a distância
entre P1 e P2, sendo r1, r2, 1θ e 2θ números reais quaisquer.
Solução:
x
y
θ
),(
),(
yx
rP
θ
x
y r
12 1.3) Sistema tridimensional de coordenadas:
Conceito:
É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições no espaço tridimensional.
O espaço tridimensional aqui é entendido como o espaço ocupado pelos seres humanos.
Para localizar um ponto no espaço tridimensional, é necessário um sistema de coordenadas. Aqui serão
estudados os sistemas de coordenadas retangulares no espaço, de coordenadas cilíndricas e de coordenadas
esféricas, embora existam outros (por exemplo, sistema de coordenadas oblíquas no espaço).
1.3.1) Sistema de coordenadas retangulares no espaço:
Esse sistema tem como referencial três planos mutuamente perpendiculares que se interceptam em três
retas mutuamente perpendiculares e num ponto comum O. Os planos mencionados são denominados planos
coordenados, as retas são denominadas eixos coordenados e o ponto O é a origem do sistema. Os planos
coordenados dividem o espaço em oito regiões denominadas octantes.
Usualmente só se representa o primeiro octante, não havendo consenso entre os autores quanto à
enumeração dos demais. Neste texto, será adotada a seguinte enumeração dos octantes, conforme a localização do
paralelepípedo retângulo auxiliar:
x
y
z
1º octante x
y
z
2º octante 3º octante x
y
z
4º octante x
y
z
x
y
z
5º octante
x
y
z
6º octante 7º octante
y
z
x
8º octante
y
z
x
13 Há duas formas de representar o sistema de coordenadas retangulares no espaço. Vide a figura a
seguir. No entanto, a mais comum é o sistema dextrogiro.
O eixo coordenado Ox ou simplesmente eixo x é denominado eixo das abscissas, o eixo y é o eixo das
ordenadas e o eixo z é o eixo das cotas.
Um ponto P de coordenadas (x,y,z) tem abscissa x, ordenada y e cota z. As coordenadas x, y e z são
marcadas sobre os respectivos eixos coordenados. O módulo de x indica a distância que P está do plano
coordenado yz. O módulo de y indica a distância de P ao plano coordenado xz e o módulo de z representa a
distância de P ao plano xy.
Acima do plano xy a cota z é positiva e abaixo do plano xy a cota z é negativa. À direita do plano xz os
valores de y são positivos e à esquerda do plano xz os valores de y são negativos. À frente do plano yz os valores
de x são positivos e atrás do plano yz os valores de x são negativos. Assim, no primeiro octante, as coordenadas x,
y e z de um ponto P são todas positivas.
As escalas dos eixos x, y e z não precisam ser iguais, pois x, y e z podem representar grandezas diferentes.
Em Matemática, é usual adotar a mesma escala, uma vez que essas grandezas não estão identificadas, são apenas
grandezas genéricas.
Um referencial de coordenadas retangulares com as características descritas anteriormente, representa
geometricamente o R3 (ou R2 X R ou, ainda, R X R X R)
Cada ponto geométrico no sistema de coordenadas retangulares no espaço corresponde uma e única terna
ordenada (x,y,z) e a cada terna ordenada (x,y,z) corresponde um único ponto. Assim, há uma correspondência
biunívoca entre cada ponto geométrico e uma terna ordenada de números reais.
Sistema dextrogiro
x
y
z
O
Sistema sinistrogiro
P(x,y,z)
z
x
y
14 Distância entre dois pontos no sistema de coordenadas retangulares no espaço:
Localize no sistema em estudo dois pontos quaisquer P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) e determine a distância
entre eles. (Dica: Desenhe o referencial e observe bem a definição de distância entre dois pontos no sistema
unidimensional)
Solução:
1.3.2) Sistema de coordenadas cilíndricas:
Esse sistema tem como referencial os três planos perpendiculares entre si, as três retas perpendiculares
entre si e a origem O, tal como no sistema de coordenadas retangulares no espaço. No entanto, cada ponto P no
sistema de coordenadas cilíndricas fica determinado por duas medidas lineares (r e z) e um ângulo θ , onde r e θ
são os parâmetros utilizados no sistema plano de coordenadas polares.
O ângulo θ é a abertura entre o eixo coordenado Ox e o segmento OM , onde M é a projeção ortogonal
do ponto P no plano coordenado xy. O eixo Ox é o lado origem de θ e o segmento OM é o lado extremidade. θ
é positivo se medido no sentido do eixo x para o eixo y.
15
O segmento OM representa a coordenada radial (raio) de P e z representa sua cota. Vide figura a
seguir:
Cada terna ordenada (r,θ , z) representa um e único ponto no sistema de coordenadas cilíndricas. No
entanto, é necessário restringir r 0> e πθ 20 <≤ para que cada ponto geométrico corresponda também a uma
única terna ordenada (r,θ , z), havendo assim correspondência biunívoca entre cada ponto geométrico e uma terna
ordenada de números reais. Nessas condições a cota z pode assumir qualquer valor real. Mas se o ponto for a
origem do sistema ou o ponto estiver sobre o eixo z, então não haverá correspondência biunívoca entre terna
ordenada e ponto. Assim, se r = 0, então θ pode assumir qualquer valor real, decorrendo daí que o ponto
correspondente à terna (0, θ , 0) é a origem do sistema. Analogamente, um ponto sobre o eixo z tem coordenadas
(0, θ , z), com πθ 20 <≤ e Rz ∈ .
A denominação coordenadas cilíndricas de um ponto P se deve ao fato de que o movimento de P no
espaço, segundo um raio fixo r, uma cota variável z e um ângulo θ que varre o intervalo [0, 2π ) determina uma
superfície cilíndrica ou simplesmente um cilindro.
Relações entre as coordenadas retangulares e as coordenadas cilíndricas de um ponto qualquer no espaço:
Se fizermos corresponder as coordenadas cilíndricas (r,θ , z) de um ponto P com suas coordenadas
retangulares (x, y, z), teremos:
x = rcosθ ; y = rsenθ ; r = 22 yx + ; tgθ =x
y e z = z , com 0≥r e πθ 20 <≤
As quatro primeiras relações anteriores são obtidas a partir do triângulo retângulo OMN contido no plano
xy. Vide figura anterior.
x
y
z
r
M
O
),,(),,( zyxPzrP ⇔θ
N
16 1.3.3) Sistema de coordenadas esféricas:
Esse sistema tem como referencial os três planos perpendiculares entre si, as três retas perpendiculares
entre si e a origem O, tal como no sistema de coordenadas retangulares no espaço. No entanto, cada ponto P no
sistema de coordenadas esféricas fica determinado por uma medida linear ρ e dois ângulos θ e φ , onde ρ , θ e
φ são os parâmetros do sistema. Vide figura a seguir:
O parâmetro ρ , denominado raio do ponto P, representa a medida do segmento OP . O ângulo θ ,
denominado longitude, mede a abertura entre o eixo coordenado Ox e o segmento OM , onde M é a projeção
ortogonal de P no plano coordenado xy. Como no sistema de coordenadas cilíndricas, o eixo Ox é o lado origem
de θ e o segmento OM é o lado extremidade, sendo que θ é positivo se medido no sentido do eixo x para o eixo
y. O ângulo φ , denominado colatitude, mede a abertura entre o eixo coordenado Oz e o segmento OP , sendo o
eixo Oz o lado origem do ângulo e o segmento OP o lado extremidade.
Cada terna ordenada ( φθρ ,, ) representa um e único ponto no sistema de coordenadas esféricas. No
entanto, é necessário restringir ρ > 0 , πθ 20 <≤ e πφ ≤≤0 para que cada ponto geométrico corresponda
também a uma única terna ordenada ( φθρ ,, ), havendo assim correspondência biunívoca entre cada ponto
geométrico e uma terna ordenada de números reais. Mas se o ponto for a origem do sistema ou o ponto estiver
sobre o eixo z, então não haverá correspondência biunívoca entre terna ordenada e ponto. Assim, se ρ = 0, então
θ e φ podem assumir quaisquer valores reais, decorrendo daí que o ponto correspondente à terna (0, θ , φ ) é a
origem do sistema. Analogamente, um ponto sobre o eixo z, exceto a origem, tem coordenadas ( θρ , , 0) ou
( πθρ ,, ), com πθ 20 <≤ e 0>ρ .
θ
φ
ρ
r
),,(
),,(
φθρP
zyxP ⇔
M
O
17 A denominação coordenadas esféricas de um ponto P se deve ao fato de que o movimento de P no
espaço, segundo um raio fixo ρ , um ângulo θ que varre o intervalo [0, 2π ) e um ângulo φ que varre o
intervalo [0, π ] determina uma superfície esférica ou simplesmente uma esfera. Vide figura a seguir.
Relações entre as coordenadas retangulares e as coordenadas esféricas de um ponto qualquer no espaço:
Se fizermos corresponder as coordenadas esféricas ( φθρ ,, ) de um ponto P com suas coordenadas
retangulares (x, y, z), teremos:
Essas relações anteriores são obtidas a partir do triângulo retângulo OPM em que OM = r = x2 + y2 e o
ângulo P mede φ .
Relações entre as coordenadas cilíndricas e as coordenadas esféricas de um ponto qualquer no espaço:
Se fizermos corresponder as coordenadas cilíndricas (r,θ , z) de um ponto P e suas coordenas esféricas
( φθρ ,, ), teremos:
r = φρ sen ; θ =θ ; z = φρ cos ; 22 zr +=ρ ; z
rtg =φ , com 0≥r ; πθ 20 <≤ e πφ ≤≤0
Essas relações anteriores são obtidas a partir dos triângulos retângulos OPM e OMN, onde O é a origem do
sistema, P é o ponto no espaço, M é a projeção ortogonal de P no plano xy e N é a projeção ortogonal de M sobre o
eixo .Ox
θ
φ
ρ
r
),,(
),,(
φθρP
zyxP ⇔
O
N M
x = φθρ sencos ; y = φθρ sensen ; z = φρ cos ; 222 zyx ++=ρ ; tgθ =x
y ,
com 0≥r ; πθ 20 <≤ e πφ ≤≤0
18 EXERCÍCIOS:
01) Dê uma coordenada polar e sua correspondente coordenada cartesiana para os pontos assinalados no sistema de
coordenadas polares a seguir:
02) Represente graficamente o conjunto de pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas:
a) 2
0 e 21π
θ <≤≤≤ r b) 4
e 23π
θ =≤<− r c) 4
e 0rπ
=θ≤ d) 6
π=θ
e) 6
5
3
2
π≤θ≤
π f) r = 2 g) r 1≥
h) r = -1 e π≤θ≤0 i) 2
0 e 2r1π
≤θ≤≤≤ j) r = θ , 0 ≥θ . k) r = θ , 0 ≤θ .
03) Ache a distância entre os pontos cujas coordenadas polares são )3
(2, e )6
,3(ππ
.
04) Ache a área do triângulo cujos vértices em coordenadas polares são (0, 0), )3
(2, e )6
5,1(
ππ.
05) Substitua cada equação polar por uma equação cartesiana equivalente. Represente graficamente cada curva:
a) r.sen θ = 0 b) r .cos θ = 2 c) r = 3 d) r2 = 4rcos θ
06) Substitua a equação cartesiana por uma equação polar equivalente. Identifique os gráficos:
a) x = 7 b) x = y c) y = 4x2 d) x2 + y2 = 5 e) (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4
07) Classifique quanto aos lados e quanto aos ângulos o triângulo de vértices A(3, -1, 4), B(-2, 0, 5) e
C(2, -4, -2). Represente-o num sistema de coordenas retangulares.
19 08) Determine as coordenadas esféricas e as coordenadas cilíndricas de cada ponto abaixo, sendo dadas as
suas coordenadas retangulares. Desenhar o sistema de coordenadas em questão.
a) (4, -4, 4 6 ) b) (0, 1, 1) c) (0, 2, 0) d) (-5, 5, 6)
09) Em cada item, uma equação é dada em coordenadas esféricas. Expresse a equação em coordenas retangulares e
esboce o gráfico: a) 3=ρ b) 3
πθ = c)
4
πφ =
10) Em cada item, uma equação é dada em coordenadas cilíndricas. Expresse a equação em coordenadas
retangulares e esboce o gráfico: a) r = 3 b) 4
πθ = c) r2 + z2 = 1
11) Em cada item, uma equação é dada em coordenadas retangulares. Determine uma equação em coordenadas
cilíndricas e em coordenadas esféricas. Esboce o gráfico: a) z = 3 b) y = 2 c) x = -5
12) Desenhe um cilindro equilátero de raio 10 cm e centro na origem do sistema de coordenadas retangulares.
Suponha que esse cilindro gire 3 rotações por minuto em torno do eixo z. No instante t=0s, um besouro no ponto
(0, 10, 0) começa a andar diretamente para cima da face do cilindro a uma taxa de 0,5cm/min. Determine:
a) as coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas do besouro no instante t= 2 min.
b) as coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas do besouro no instante t = 1,5 min.
13) Acessar na internet sítios de busca e digitar a expressão “sistema de coordenadas”, para se ter idéia da
aplicação prática deste conteúdo matemático. Busque imagens também. Clicar sobre algumas imagens que lhe
chamem a atenção e leia o conteúdo. Procure analisar se o órgão ou entidade que fornece a informação é digno de
confiança quanto ao que informa.
20 2) MATRIZES
2.1) Pré-requisitos:
a) Definição de corpo:
Um corpo (mais especificamente, um corpo comutativo) é um conjunto F munido de duas operações sobre
os elementos de F, adição e multiplicação, que satisfaz as seguintes condições:
F1) FyxFyx ∈+⇒∈∀ )( , (F é fechado em relação à adição)
F2) FxyFyx ∈⇒∈∀ )( , (F é fechado em relação à multiplicação)
A1) x + y = y + x Fyx ∈∀ , (comutativa aditiva)
A2) x + (y + z) = (x + y) + z Fzyx ∈∀ , , (associativa aditiva)
A3) x + 0 = x único é 0 que em Fx ∈∀ (elemento neutro aditivo)
A4) x + (-x) = 0 único é - que em , xF-xx ∈∀ (elemento oposto ou simétrico aditivo)
M1) xy = yx Fyx ∈∀ , (comutativa multiplicativa)
M2) (xy)z = x(yz) Fzyx ∈∀ , , (associativa multiplicativa)
M3) 1x = x nulo-não e único é 1 que em Fx ∈∀ (elemento neutro multiplicativo)
M4) único é e nulo não é que em 1
, 11
. 1-1- xxFxx
xx
x ∈=∀= (elemento inverso multiplicativo)
D1) x(y + z) = xy +xz Fzyx ∈∀ , , (distributiva da multiplicação em relação à adição).
Observações:
• ∀ significa para todo e o símbolo ) em implica :( :Ex. . significa baselêbaemimplica −⇒⇒
• Os conjuntos Q, R e C, respectivamente conjuntos dos números racionais, reais e complexos, são
considerados corpos (aliás, Q e R são subcorpos de C. Subcorpo e um subconjunto de um corpo e que
também satisfaz todas as condições de corpo: fechamento, aditivas, multiplicativas e distributiva).
• O conjunto Z dos números inteiros não é um subcorpo de C, pois para um inteiro n, nem sempre n
1 é
inteiro. Logo Z não satisfaz a propriedade M4 da definição de corpo. E o conjunto N dos números naturais
é um subcorpo de C? Justifique.
• Cada elemento de um corpo é denominado escalar ou número.
• Deve-se sempre ter em mente o contexto(universo) em que se está trabalhando. Por exemplo, número
enquanto elemento do conjunto Z (dos inteiros) ou número enquanto elemento de um corpo. Analogamente
pode se ter vetor enquanto um representante de uma classe de eqüipolência ou vetor enquanto elemento de
um espaço vetorial. Os conceitos de vetor, classe de eqüipolência e espaço vetorial serão introduzidos no
decorrer do curso.
21 b) Definição de produto cartesiano:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B ao conjunto
A X B = (x, y) / x∈A e y ∈B.
Observações:
• A X B lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B.
• A X φφ = , φ X B = φ , φ X φ = φ .
• R2 = R X R= (x, y) / x, y∈R
• A AB ⇒≠ X B B≠ X A.
• Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A X B é um conjunto finito com
mn elementos.
• Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A X B é um conjunto infinito.
c) Definição de relação binária (R):
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se relação binária de A em B, denotada por BA →:R ou
BA R→ , todo subconjunto R de A X B. Em símbolos, escreve-se: BA →:R ⇔ R ⊂ A X B.
Observações:
• Neste contexto, R não é o conjunto dos números reais, mas uma relação R de A em B.
• BA →:R (lê-se: R está definida de A em B).
• Domínio de BA →:R é o conjunto D (R)= R ),/( ∈∈ yxAx .
• Contradomínio de BA →:R é o conjunto CD = B.
• Imagem de BA →:R é o conjunto R),/()Im( ∈∈= yxByR .
• Decorre da definição de domínio e de imagem de BA →:R que BAD ⊂⊂ Im e
22 d) Definição de função real de variável real:
Uma função f definida de A em B, denotada por BAf →: ou mais explicitamente )(
:xfyx
BAf=
→a
, é uma
relação binária em que ,Ax ∈∀ ∃ fyxBy ∈∈ ),( / .
Observação:
• ∃ significa existe um único.
• Toda função é composta de três partes: o conjunto domínio, o contradomínio e a regra (sentença
matemática ou lei de correspondência) que permite associar, de modo bem determinado, cada elemento do
domínio a um único elemento do contradomínio.
• )(
:xfyx
BAf=
→a
lê-se: f é uma função definida de A em B, tal que f associa cada Ax ∈ a um único
Bxfy ∈= )( .
• Outras notações para função: f: Bxf
Ax )( →a
ou Bxf
Ax
f
)( →a
• Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num ponto
x do seu domínio.
• Domínio de BAf →: é o conjunto D (f) = A
• Contradomínio de BAf →: é o conjunto CD = B.
• Imagem de BAf →: é o conjunto ),/(Im fyxBy ∈∈= .
• Se x )( fD∈ , dizemos que f é definida em x ou que f(x) existe. A expressão f não é definida em x significa
que x )( fD∉ .
23 2.2) Definição de matriz:
Uma matriz A do tipo m x n sobre um corpo F é uma função do conjunto
X = nj1 ,1/ X ),( ≤≤≤≤∈ miNNji em F.
Ex.: A função jiaji ij
RXA+=
→ ),(
:a
, onde X = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), é uma matriz do tipo 2x3 sobre R, em que
A(1,1)=2, A(1,2)=3, A(1,3)=4, A(2,1)=3, A(2,2)=4, A(2,3)=5.
Para facilitar a notação dispõem-se as imagens aij (ou elementos da matriz) em uma tabela com m linhas e
n colunas delimitada por colchetes, cabendo à imagem do par (i,j) a i-ésima linha e a j-ésima coluna. A matriz é
então identificada com esta tabela, embora a tabela seja apenas uma representação da matriz.
No exemplo anterior, a matriz A é representada por 32
543
432
x
A
= .
De maneira geral, chamando ija à imagem, por A, do par (i,j), escreve-se ][ ijaA = mxn para denotar a
matriz A. Assim, tem-se:
A = [ ]mxnija
mxnmnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
=⇔
...
...
...
321
2232221
1131211
MMMMM
A i-ésima linha de A é [ 1ia 2ia 3ia ... ina ] , com i = 1, 2, 3, ... , m
A j-ésima coluna de A é
mj
j
j
a
a
a
M
2
1
, com j = 1, 2, 3, ..., n.
A notação em forma de tabela em comparação com a linguagem das funções é muitas vezes mais vantajosa
pois:
• ressalta as imagens ija (os elementos da matriz),
• facilita as operações algébricas entre matrizes,
• caracteriza perfeitamente o conjunto X quando se conhece o tipo (ou dimensão) da matriz.
24 2.3) Representação de matrizes:
As matrizes são representadas por letras maiúsculas e os elementos são representados por letras minúsculas
do nosso alfabeto. Os elementos podem estar representados entre colchetes, parênteses ou traços verticais duplos.
Ex:
mnmmm
n
n
mnmmm
n
n
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
...
A ou
...
...
...
ou
...
...
...
321
2232221
1131211
321
2232221
1131211
321
2232221
1131211
MMMMMMMMMMMMMMM=
=
=
2.4) Conversão de tabelas de dados em matrizes:
Uma tabela de dados também pode ser representada através de uma matriz.
Ex.:
Distâncias de vôo entre as cidades indicadas, em milhas inglesas
Londres Madri Nova York Tóquio
Londres 0 785 3469 5959
Madri 785 0 3593 6706
Nova York 3469 3593 0 6757
Tóquio 5959 6706 6757 0
Fonte: Kolman, Bernard., 1998, p. 11.
2.5) Igualdade entre matrizes:
Definição:
Duas matrizes de mesma ordem, A = [ ]mxnija e B = [ ]
mxnijb , são iguais se aij = bij para todo
i = 1, 2, 3, ..., m e j= 1, 2, 3, ..., n.
Se as matrizes A e B são iguais, então elas são de mesma ordem e todos seus elementos correspondentes são
iguais.
Ex.: Dadas as matrizes A =
− 112
314
05,07
x
, B =
wz
y
2
31
05,07
e C =
− 22
14
5,07
e D =
wz
y
2
11
034
, tem-se:
• A= B somente se x = 2, y = 4 e w = 11.
• A C≠ , pois A e C não têm a mesma ordem
• ≠B D, pois os elementos de mesma posição em B e D não são iguais.
L M NY T
0675767065959
6757035933469
670635930785
595934697850
L
M
NY
T
ou
25 2.6) Tipos de matrizes:
a) Matriz linha:
É uma matriz do tipo 1 x n.
Ex.: M = [ 2 -4 8 7]1x4, N = [10 1]1x2, P = [-8 3 2 5 ]1x3, R = [ 11a 12a ... na1 ]1xn
b) Matriz coluna:
É uma matriz do tipo m x 1.
Ex.: S = 12
0
1
x
−, V =
13
3
3
8
2
x
, U =
11
21
11
mxmu
u
u
M.
c) Matriz transposta:
Definição:
A matriz AT = [ ]Tija , denominada transposta de A = [ ]
mxnija , é uma matriz do tipo n x m onde jiTij aa = ,
com i = 1, 2, ..., m e j=1, 2, ..., n.
Na prática, a transposta da matriz A é obtida permutando-se ordenadamente as linhas e as colunas de A.
Ex.:
23
2
1
32
2
1
35
9
01
390
51
x
T
x
AA
−
=⇒
−=
d) Matriz nula (O):
Definição:
Se [ ]mxnijaA = , com aij = 0 para todo i= 1,2, ...,m e j=1, 2,...,n., então A é uma matriz nula.
A matriz nula é denotada pela letra O e todos os seus elementos são nulos. Para evitar confusão,
geralmente explicita-se a ordem da matriz nula. Assim, Omxn .
26 e) Matriz oposta:
Definição:
A matriz oposta de A = [ ]mxnija , denotada por A− , é uma matriz do tipo m x n tal que A− = [ ]
mxnija− ,
com i = 1, 2, ..., m e j=1, 2, ..., n.
Ex.: 3232
1005
321
1005
321
xx
AA
−
−−=−⇒
−
−=
f) Matriz quadrada:
Uma matriz é denominada quadrada quando m = n, ou seja, quando o número de linhas é igual ao número
de colunas. Nesse caso, dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Ex: [ ]11 =A ,
−=
3
16
022B ,
−=
5,091
724
501
3C .
Uma matriz quadrada de ordem n tem diagonal principal e diagonal secundária.
A diagonal principal é formada pelos elementos aij, com i=j, ou seja, a11, a22, a33, ..., ann.
A diagonal secundária é formada pelos elementos aij, com i+j=n+1, ou seja, a1n, a2(n-1), a3(n-2), ..., an1.
Se A = [ ]ija nxn , então o traço de A, denotado por Tr(A), é definido como a soma de todos os elementos da
diagonal principal de A, ou seja, Tr(A) = ∑=
n
iiia
1
.
g) Matriz diagonal:
Definição:
Se [ ]nxnijaA = , com aij = 0 para i ≠ j, então A é uma matriz diagonal.
Ex.:
−=
10
02G , H =
000
020
001
Numa matriz diagonal, todos os elementos fora da diagonal principal são nulos.
27 h) Matriz escalar:
Definição:
Se [ ]nxnijaA = , com
=
≠=
jic
jiaij se ,
se ,0 , com Rc ∈ , então A é uma matriz escalar.
Ex.:
−
−=
20
02P e I =
100
010
001
.
Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais.
i) Matriz identidade(I):
Definição:
Se [ ]nxnijaA = , com
=
≠=
ji
jiaij se ,1
se ,0, então A é uma matriz identidade.
Ex: [ ]1I1 = ,
=
10
01I2 , I3 =
100
010
001
, ..., In =
10......00
01......00
0...0100
0......010
0......001
MMOMMM
Uma matriz identidade é uma matriz escalar em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
28 j) Matriz triangular:
Definição1:
Se [ ]nxnijaA = , com aij = 0 para todo i>j, então A é uma matriz triangular superior.
Se [ ]nxnijbB = , com bij = 0 para todo i<j, então B é uma matriz triangular inferior.
Numa matriz triangular, todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
A matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos e é triangular
inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Definição2:
Se [ ]nxnijaA = , com aij = 0 para todo i ≥ j, então A é uma matriz triangular estritamente superior.
Se [ ]nxnijbB = , com bij = 0 para todo i ≤ j, então A é uma matriz triangular estritamente inferior.
Ex.:
A =
−−−
nn
nnnn
n
n
n
a
aa
aaa
aaa
aaaa
0......00
0...00
...00
......0
......
)1()1)(1(
33433
22322
1131211
MMOMMM B =
−
−−−−
nnnnnn
nnnn
bbbb
bbb
bbb
bb
b
)1(21
)1)(1(2)1(1)1(
333231
2221
11
......
0......
0...0
0......0
0......00
MMOMMM
l) Matriz simétrica:
Definição:
Se [ ]nxnijaA = , com aij=aji. para todo i e j, então A é uma matriz simétrica.
Ex.: A =
−
08111
8795
1913
11532
Numa matriz simétrica, os elementos eqüidistantes da diagonal principal são iguais.
Teorema: (Demonstre).
A matriz A é simétrica se e somente se AT=A, onde AT é a transposta de A.
Matriz triangular superior Matriz triangular inferior
29 m) Matriz anti-simétrica:
Definição:
Se [ ]nxnijaA = , com aij=-aji. para todo i e j, então A é uma matriz anti-simétrica.
Ex.: A =
−−
−
−−
−
04111
405,015
15,001
111510
Numa matriz anti-simétrica, os elementos eqüidistantes da diagonal principal são opostos.
E na diagonal principal, como são os elementos? Analise a definição.
Teorema: (Demonstre).
A matriz A é anti-simétrica se e somente se AAT −= , onde AT é a transposta de A e A− é a oposta de A.
n) Matriz inversa clássica
Definição:
A matriz An é inversível classicamente se existir uma matriz 1−A , denominada inversa clássica de A, tal
que nAAAA I11 == −− , onde In é a matriz identidade de ordem n.
Se A é inversível classicamente então A é quadrada. (Verifique).
Se não existir uma tal matriz 1−A , dizemos que A é singular ou não-inversível.
Alguns autores denominam, ainda, uma matriz inversível classicamente de regular ou não-singular.
Quando uma matriz quadrada não possui inversa clássica, ainda assim ela pode admitir inversa generalizada
(aproximada). Aqui só será tratado do estudo da inversa clássica.
30 o) Matriz ortogonal|:
A matriz quadrada A é denominada ortogonal se a sua transposta é igual a sua inversa clássica, ou seja,
1−= AAT .
Teorema: (Demonstre).
Se A é uma matriz ortogonal, então o determinante de A deve ser 1 ou -1.
p) Matrizes semelhantes:
Duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz P inversível classicamente tal que BPPA 1−= .
Teorema: (Demonstre).
Se A e B são semelhantes, então det(A) = det(B).
Observe que a recíproca do teorema não é verdadeira.
q) Matriz idempotente:
Uma matriz An é idempotente, se A2 = A.
r) Matriz nilpotente:
Uma matriz An é nilpotente se Ak = On para algum inteiro positivo k, onde On é a matriz nula de ordem n.
O valor de k para o qual Ak = On mas Ak - 1 O≠ n é chamado índice de nilpotência de A.
s) Matriz adjunta:
A matriz adjunta de An=[aij], denotada por adjA, é a transposta da matriz dos cofatores de A, onde o cofator
Aij do elemento aij é definido por Aij=(-1)i+j det(Mij) em que Mij é a submatriz de ordem (n-1) de A, obtida
eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
31 2.7) Operações com matrizes:
a) Adição:
Definição:
Se A = [ ]ija e B = [ ]ijb são matrizes m x n, a soma de A e B, denotada por A + B, é uma matriz C = [ ]ijc
do tipo m x n definida por cij= aij + bij, com i = 1, 2, ..., m e j=1, 2, ..., n.
b) Multiplicação de matriz por um escalar:
Definição:
Se A = [ ]ija é uma matriz m x n e k é um número real, então o múltiplo escalar de A por k, denotado por
kA, é a matriz B = [ ]ijb do tipo m x n definida por bij= kaij , com i = 1, 2, ...,m e j=1, 2, ..., n.
c) Diferença:
Definição:
Se A = [ ]ija e B = [ ]ijb são matrizes m x n, a diferença de A e B, nesta ordem, denotada por
A – B, é uma matriz C do tipo m x n dada por C = A + (-1)B.
A matriz –B = [ ]ijb− é denominada oposta de B.
d) Transposição de uma matriz:
Definição:
Se A = [ ]ija é uma matriz m x n, a matriz transposta de A, denotada por AT = [ ]Tija , é uma matriz do tipo
n x m onde jiTij aa = , com i = 1, 2, ..., m e j=1, 2, ..., n.
Observação:
• AT = [ ] ≠T
ija [ ]Tija = [ ]jia .
• Tija é um símbolo. Pode-se fazer, caso queira, AT = [ ]T
ija = B =
ijb = [ ]jia .
32 e) Multiplicação de matrizes:
Definição:
Seja A = [ ]ija uma matriz m x p e B = [ ]ijb uma matriz p x n, então o produto de A por B, nesta ordem,
denotado por A.B, é uma matriz C= [ ]ijc do tipo m x n definida por
cij= ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + aip . bpj = ∑=
p
kkjik ba
1
, com i = 1, 2, ..., m e j=1, 2, ..., n.
Na matriz C=AB, o elemento cij é igual ao somatório do produto dos elementos da i-ésima linha de A pelos
correspondentes elementos da j-ésima coluna de B. Assim, tem-se também:
cij = [ ai1 ai2 ... aip].
pj
j
j
b
b
b
M
2
1
= linhai (A). colunaj (B)
A multiplicação de uma matriz A = [ ]ija mxp por uma matriz coluna B = [ ]ijb px1 pode ser decomposta
utilizando-se matrizes colunas. Assim:
mpmm
ipii
p
p
aaa
aaa
aaa
aaa
...
...
...
...
21
21
22221
11211
MMMM
MMMM.
1
21
11
pb
b
b
M=
1
1
21
11
m
i
a
a
a
a
M
M.b11 + 21
2
2
22
12
.b
a
a
a
a
m
i
M
M+...+ 1
2
1
. p
mp
ip
p
p
b
a
a
a
a
M
M=b11col1(A)+b21 col2 (A) + ...+ bp1colp(A).
É possível concluir então que o produto de Amxp por Bpx1 pode ser escrito como uma combinação linear7
das colunas de A, onde os coeficientes são os elementos correspondentes de B.
f) Potenciação de matrizes:
Definição:
Se A é uma matriz quadrada e p é um inteiro positivo, então 43421 Lfatores
....p
p AAAAA = .
Por definição também tem-se A0 = In, onde A é uma matriz n x n.
7 Combinação linear das colunas de uma matriz A é uma soma de produtos dessas colunas por constantes (números reais).
33 g) Inversão clássica de matrizes:
g.1) Matriz inversa à esquerda de A e matriz inversa à direita de A:
Definição:
Seja A uma matriz m x n. Uma matriz B n x m é dita inversa à esquerda de A se BA=In e é dita inversa à
direita de A se AB=Im.
Ex1: Calcule, se existir, a inversa à esquerda de A e a inversa à direita de A, sendo A =
− 111
201.
Ex2: Calcule, se existir, a inversa à esquerda de A e a inversa à direita de A, sendo A =
− 11
01
Ex3: Calcule, se existir, a inversa à esquerda de A e a inversa à direita de A, sendo A =
22
32
Teorema: (Demonste)
Seja Amxn uma matriz retangular (m n≠ ). Se m < n, A não possui inversa à esquerda. Se m > n, A não
possui inversa à direita.
Teorema: (Demonstre)
Se existirem as inversas à esquerda e à direita de uma matriz quadrada A, elas serão iguais e esta inversa é
única.
g.2) Matriz inversa clássica:
Definição:
A matriz An é inversível classicamente se existe uma matriz A-1 n x n , denominada inversa clássica de A,
tal que AA-1 = A-1A = In..
A definição informa que somente se existirem inversas à esquerda e à direita da matriz A é que A pode ser
dita inversível classicamente.
Teorema: (Demonstre)
Se uma matriz tem uma inversa clássica, essa inversa é única.
34 2.8) Propriedades das operações com matrizes:
a) Propriedades da adição de matrizes:
Se A, B e C são matrizes do tipo m x n, então tem-se:
a) A + B = B + A (comutativa aditiva) Demonstre
b) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa aditiva) Demonstre
c) A + Omxn = A. (elemento neutro aditivo) Demonstre
d) A + (-A) = Omxn, (elemento inverso aditivo) Demonstre
b) Propriedades da multiplicação de matriz por escalar:
Se r e s são números reais e A e B são matrizes têm os tamanhos apropriados para a existência das somas e
produtos abaixo, então tem-se:
a) r(sA) = s(rA) = (rs)A (comutativa multiplicativa) Demonstre
b) (r + s)A = rA + sA (distributiva da soma em relação à multiplicação) Demonstre
c) r(A + B) = rA + rB (distributiva da multiplicação em relação à soma) Demonstre
d) A(rB) = r(AB) = (rA)B (associativa multiplicativa) Demonstre
e) 0.Amxn = Omxn . Demonstre
f) (–1)A = -A Demonstre
c) Propriedades da multiplicação de matrizes:
Se A, B e C têm os tamanhos apropriados para a existência das somas e produtos abaixo, então tem-se:
a) A(BC) = (AB)C (associativa multiplicativa) Demonstre8
b) A(B+C) = AB + AC (distributiva à esquerda da multiplicação em relação à soma) Demonstre
c) (A+B)C = AC + BC (distributiva à direita da multiplicação em relação à soma) Demonstre
d) I.A = A (elemento neutro multiplicativo à esquerda) Demonstre
e) A.I = A (elemento neutro multiplicativo à direita) Demonstre
f) Omxp.Apxn = Omxn e Amxp.Opxn = Omxn . Demonstre
8 Veja apêndice A, o conceito de somatório e suas propriedades.
35 Observações a respeito da multiplicação de matrizes:
• A multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. Veja:
Sejam A uma matriz m x p e B uma matriz p x n. A matriz AB, resultante do produto de A por B,
nesta ordem, será uma matriz m x n.
No entanto, o produto de B por A, nesta ordem, pode nem estar definido, por exemplo, quando
n m≠ .
Mas ainda que n seja igual a m e o produto BA exista, BA pode ser diferente de AB, ou porque não
possuirão o mesmo tamanho (exemplo: p )m≠ ou porque seus elementos correspondentes podem ser
diferentes (ainda que AB e BA sejam do mesmo tamanho, ou seja, quando p=m).
• É possível ter AB = O sem que A = O ou B = O, onde O é uma matriz nula.
Ex.: A =
− 01
02, B =
30
00 e AB =
00
00
• É necessário que se preste atenção na ordem em que as matrizes estão sendo multiplicadas, para que se
evitem absurdos. Por exemplo, numa igualdade de matrizes X = Y do tipo m x n, pode-se pré-multiplicar
os dois lados da igualdade por uma matriz Ppxm , assim PX = PY e não assim PX=YP, ainda que esta
última igualdade possa ser eventualmente verificada. Analogamente, pode-se pós-multiplicar X = Y por
uma matriz Qnxp, assim XQ = YQ e não assim XQ=QY.
Ex.: Para encontrar uma matriz X tal que AX = B, existindo uma matriz P tal que PA=I, faz-se:
P(AX)=PB PBXPBXPB(PA)X =⇒=⇒=⇒ I
d) Propriedades da transposição de matriz:
Se r é um escalar e A e B são matrizes com tamanhos apropriados para a existência das somas e produtos
abaixo, tem-se:
a) (AT)T = A Demonstre
b) (A + B)T = AT + BT Demonstre
c) (AB)T = BT.AT Demonstre
d) (rA)T = rAT Demonstre
e) Propriedades da potenciação de matriz:
Se A é uma matriz quadrada e p e q são inteiros não-negativos, tem-se:
a) ApAq = Ap+q
b) (Ap)q =Apq mas (AB)p ≠ ApBp se AB BA≠
36 f) Propriedades da inversão clássica de matriz:
Se A e B são matrizes inversíveis classicamente e com tamanhos apropriados para a existência dos
produtos abaixo, tem-se:
a) (A-1)-1 = A Demonstre
b) (AB)-1 = B-1.A-1 Demonstre
c) (AT)-1 = (A-1)T Demonstre
Corolário:
Se A1, A2, ..., Ak são matrizes n x n inversíveis classicamente, então a matriz produto A1. A2 . ... .Ak é
inversível classicamente e (A1. A2 . ... .Ak)-1 = 1
11
211
1 .... −−−−
− AAAA kk L .
EXERCÍCIOS:
01) Escreva na forma de tabela as matrizes reais:
a) jiaji ij
RXA2 ),( 2
:−=
→a
, com X = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4).
b) B = [ ]23xijb , onde bij = i – j c) M = [ ]
51xijm , onde mij = i – j2
02) Represente em forma de tabela as seguintes matrizes: a) O3x2 b) I4
03) Classifique quanto ao tipo as seguintes matrizes:
a) I = [ ]44xijδ , onde
≠
==
ji
jiij se ,0
se ,1δ b) O = [ ]
33xijσ , onde ),( 0 jiij ∀=σ
c) S3 = k.I3, onde k é um número real e I3 é a matriz identidade de ordem 3.
04) Assinale V para verdadeira e F para falso. Justifique as sentenças falsas:
a) ( ) A matriz O3 é uma matriz diagonal.
b) ( ) a matriz I4 é uma matriz triangular superior.
c) ( ) toda matriz escalar é triangular inferior.
37 05) Utilize diagramas de Venn para verificar quais conjuntos estão inclusos em quais conjuntos, dentre:
A é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n.
B é o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem n.
C é o conjunto das matrizes escalares de ordem n.
D é o conjunto das matrizes diagonais de ordem n.
E é um conjunto cujo elemento é In
F é um conjunto cujo elemento é On.
06) (Ecologia) Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos daninhos. Entretanto, parte do pesticida é
absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros que comem essas plantas. Para determinarmos
a quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos analisar a seguinte situação:
Suponha que temos três tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas. Passe a tabela de dados a seguir para a
notação matricial, denotando por aij a quantidade do pesticida i que foi absorvida pela planta j.
Quantidade, em miligramas, de pesticida absorvida por uma planta,
segundo o tipo de pesticida e de planta:
Tipo de planta Tipo do
pesticida A B C D
1 2 3 4 3
2 3 2 2 5
3 4 1 6 4
Fonte: Kolman, Bernard, 1998, p. 18.
Suponha, agora, que temos três herbívoros. Passe a tabela de dados a seguir para a notação matricial,
denotando por bij o número de plantas do tipo i que um herbívoro do tipo j como por mês.
Número de plantas que um herbívoro consome mensalmente
Tipo de herbívoro Tipo de planta
Herb.1 Herb.2 Herb.3
A 20 12 8
B 28 15 15
C 30 12 10
D 40 16 20
Fonte: Kolman, Bernard, 1998, p. 18.
38
Utilizando operações com matrizes, responda:
a) Qual a quantidade de pesticida de tipo 2 que o herbívoro de tipo 3 absorveu?
b) Como calcular a quantidade de pesticida de tipo i que o herbívoro de tipo j absorveu?
c) O que representam, respectivamente, as matrizes A.B e B.A?
07) Sejam as matrizes
−
−−
−
=
012
123
111
A e
=
321
642
321
B . Determine:
a) A+B b) A-B c) -2B d) AB e) BA f) A2
08) Seja A =
− 012
2 2
x
x. Se AT = A, então x = _____.
09) Complete as sentenças de modo a torná-las verdadeiras:
a) Se A é uma matriz simétrica, então A – AT = ________________
b) Se A é uma matriz triangular superior, então AT é uma matriz ________________
c) Se A é uma matriz triangular inferior, então AT é uma matriz ________________
d) Se A é uma matriz diagonal, então AT é uma matriz _________________.
e) A soma e a diferença de duas matrizes diagonais são uma matriz ________.
f) A soma e a diferença de duas matrizes escalares são uma matriz ________.
g) A soma e a diferença de duas matrizes triangulares superiores são uma matriz ________.
h) A soma e a diferença de duas matrizes triangulares inferiores são uma matriz ________.
i) O produto de duas matrizes diagonais é uma matriz ____________________
j) O produto de duas matrizes escalares é uma matriz ______________________
l) O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz _______________
m) O produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz _______________
n) A inversa de uma matriz invertível triangular superior é uma matriz ______________.
o) A inversa de uma matriz invertível triangular inferior é uma matriz ______________.
39 10) Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique as sentenças falsas, podendo ser através de um
contra-exemplo:
a) Sejam A e B matrizes tais que o produto AB esteja definido. Se AB = O, então A = O ou B = O, onde O é uma
matriz nula.
b) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Se AB = O, então BA = O.
c) Seja Anxn . Se AX = O, então A = O para toda matriz-linha X de dimensão n.
d) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA..
e) Se A e B são matrizes diagonais n x n , então AB=BA.
f) Se A ≠ O e AB=AC, então B=C. (Ou seja, vale a lei do cancelamento para multiplicação de matrizes?)
g) Se A=C, então AB=CB, para toda matriz B.
h) Se A ≠ O e AB=AC e, ainda, se existe uma matriz Y, tal que YA = I, onde I é a matriz identidade, então B=C.
i) Se A é uma matriz n x n, então A + AT é uma matriz simétrica.
j) Se A é uma matriz n x n, então A - AT é uma matriz anti-simétrica.
l) Seja a matriz Anxn e k um escalar. Se kA = Onxn, então k = 0 ou A = Onxn
m) A matriz In e On são matrizes idempotentes.
n) A matriz
000
00
0
c
ba
é nilpotente de índice 3.
11) Explique por que, em geral, (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2 e (A + B).(A – B) ≠ A2 – B2
12) Quais as condições necessárias para que
a) (A + B).(A – B) = A2 – B2 ? b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
13) Dadas as matrizes A, B e C tais que AB=BA=O, AC=A e CA=C, mostre que:
a) ACB=CBA b) A2 – B2 = (A-B).(A+B) c) 222)( BABA +=±
14) Se A =
−
−
34
23, ache a matriz B, de modo que B2 = A.
40 15) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que
aij = 1, na matriz a seguir, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, e aij = 0 significa que a
transmissão da estação i não alcança a estação j.
A =
01000
10100
01010
01101
11110
a) Qual o significado da diagonal principal nula?
b) Qual o significado da matriz A2?
c) Calcule B =A2.
d) Qual o significado de b13 = 2?
e) Discuta o significado dos termos nulos, dos iguais a 1 e dos maiores que 1 na matriz A2.
f) Qual o significado das matrizes A + A2, A3 e A + A2 + A3?
g) Se A fosse simétrica, o que significaria?
16) Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo aij da
matriz A, a seguir, é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando
comprar um carro novo.
a) O que significa os termos aii da diagonal principal?
b) Qual o significado da matriz A2?
c) Calcule A2 e interprete-a.
17) Dados A =
32
12 e X =
1
1, encontre um escalar k tal que AX = kX.
18) Encontre uma matriz B 2O≠ e B 2I≠ , tal que AB=BA, onde A = .12
21
Quantas matrizes existem com essas
propriedades?
J P U
2,04,04,0
2,05,03,0
1,02,07,0
U
P
J
41 19) Sejam A e B matrizes diagonais n x n. Apresente uma regra concisa para calcular o produto AB
rapidamente. Fica claro que AB = BA? Explique.
20) Se A =
dc
ba, mostre que:
a) A2 = (a+d)A – (ad-bc)I2 b) A3 = (a+d)A2 – (ad-bc)A c) A4 = (a+d)A3 – (ad-bc)A2 .
Essas relações permitem calcular potências de uma matriz A2x2 sem uma multiplicação matricial explícita.
Utilize esses resultados para calcular A5 da matriz A =
21
12
21) Se três matrizes A, B e C são tais que o produto ABC está definido, segue-se que o produto CBA está definido?
22) Sejam A, B e C matrizes quadradas, tais que AB = I =CA. Segue-se que B=C?
23) Sabendo que PA=BQ=I, ache X em AXB=C
24) Dê um exemplo de matriz anti-simétrica. Quais as condições necessárias para que uma matriz seja anti-
simétrica?
25) Seja a função f: 2222
)( xx M
XfM
X→a
definida por f(X) = 2X2 –5X + 7. Calcule f(A), sendo A =
−
03
21.
26) Explique o teorema:
Teorema:
Seja Amxn uma matriz retangular (m n≠ ). Se m < n, A não possui inversa à esquerda. Se m > n, A não possui
inversa à direita. Dê exemplos numéricos que representem essas situações.
42 3) DETERMINANTES
3.1) Introdução:
Resolva os sistemas lineares abaixo nas incógnitas x, y e x, y, z:
a)
=+
=+
22221
11211
byaxa
byaxa b)
=++
=++
=++
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
Solução:
Para fins de praticidade na análise, vamos considerar, inicialmente, os coeficientes *Raij ∈ . A discussão
completa de um sistema linear, quanto ao seu número de soluções, será feita num tópico específico sobre sistemas
lineares.
a) Escrevendo o sistema linear como um produto matricial e, a seguir, calculando x e y, vem:
⇒
=
⇒
=+
=+
32132144 344 21
tesindependentermosdosmatriz
x
incógnitasdasmatriz
x
escoeficientdosmatriz
xb
b
y
x
aa
aa
byaxa
byaxa
122
1
12
222221
1211
22221
11211 .
−
−=
−
−=
⇒
−+− →
+−→
21122211
211112
21122211
122221
21111222112112
11211
, ,
22221
11211
02111212
aaaa
ababy
aaaa
ababx
ababaaaa
baa
baa
baaLaLaL
ampliadamatrizapenasouampliadaescoeficientdosmatriz
M
M
444 3444 21M
M.
Analogamente, tem-se:
b) ⇒
=
⇒
=++
=++
=++
133
2
1
1333333231
232221
131211
3333231
2232221
1131211
.
xxxb
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaa
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
M
M
M
−−−++
−−−++=
−−−++
−−−++=
−−−++
−−−++=
⇒
312213322311332112322113312312332211
211233211231221221133112232211
312213322311332112322113312312332211
231133113233211211333311231231
312213322311332112322113312312332211
221333312232231231233213233221
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aabaabaabaabaabaabz
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aabaabaabaabaabaaby
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aabaabaabaabaabaabx
43 Pode-se constatar que os denominadores das incógnitas x e y , do primeiro sistema linear, ou x, y e z,
do segundo sistema linear, estão associados à matriz dos coeficientes nos respectivos sistemas.
É possível constatar, ainda, que os índices dos fatores das parcelas que compõem os numeradores e
denominadores anteriores, permutam-se. Dessa forma, foi necessário descobrir se havia um critério mediante o
qual essas permutas aconteciam. Dessa investigação, resultou o conceito de determinante enquanto um número
associado à uma matriz.
3.2) Permutação:
Definição:
Seja S = 1, 2, 3, ..., n o conjunto de todos os números inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente.
Uma outra ordem n ... jjjj 32 1 dos elementos de S é chamada uma permutação de S.
3.3) Inversão de uma permutação:
Uma permutação n ... jjjj 32 1 de Sn = 1, 2, 3, ..., n tem uma inversão se um inteiro jr precede um inteiro
menor js.
Uma permutação é denominada par se o número total de inversões é par.
Uma permutação é denominada ímpar se o número total de inversões é ímpar.
Ex1: Seja S4= 1, 2, 3, 4. A permutação (4, 1, 3, 2), que representaremos por 4132, tem 4 inversões: o 4
antes do 1, o 4 antes do 3, o 4 antes do 2, o 3 antes do 2. Portanto, a permutação 4132 de S4 é uma permutação par,
pois tem um número par de inversões.
Ex2: Seja S2 = 1, 2. A permutação 12 não tem nenhuma inversão. Logo, é uma permutação par. Já a
permutação 21 é uma permutação ímpar, pois tem apenas uma inversão, o 2 antes do 1.
Observação:
• Se n 2≥ , pode-se mostrar que o número de permutações pares e de permutações ímpares de Sn são
iguais a n!/2
44 3.4) Propriedade das permutações:
Se trocarmos dois números, um pelo outro, na permutação n ... jjjj 32 1 então o número de inversões é
aumentado ou diminuído de um número ímpar.
Ex.: Seja S4 = 1, 2, 3, 4. Consideremos a permutação 3, 2, 1, 4 com 3 inversões. Trocando os algarismos
3 e 4, temos a seguinte permutação: 4, 2, 1, 3 com 4 permutações. Houve o aumento de uma inversão.
3.5) Determinante:
Definição:
Seja A = [aij]nxn. Define-se determinante de A, denotado por det(A) ou |A|, como
det(A) = |A| = ∑ ±nnjjjj aaaa .321 321
..)( L , onde o somatório é tomado sobre todas as permutações n ... jjjj 32 1 do
conjunto Sn = 1, 2, 3, ..., n. O sinal do termo correspondente à permutação n ... jjjj 32 1 é + se ela for par e – se
ela for ímpar.
Pode-se constatar que cada termo do det(Anxn) é um produto de n elementos de A, contento exatamente um
elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Os índices relativos às linhas estão na sua ordem natural (1,
2, ..., n), enquanto que os índices relativos às colunas estão na ordem n ... jjjj 32 1 . Como a permutação n ... jjjj 32 1
consiste nos números de 1 a n em uma ordem diferente da usual, ela não tem repetição. Assim, o det(A) tem n!
termos.
Ex: Calcule, usando a definição, o determinantes da matriz A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
. Confira o resultado pela regra de
Sarrus.
Solução:
Pela definição de determinante, tem-se: det(A) = .)(321 321∑ ± jjj aaa
Como S3 = 1, 2, 3, então as permutações são 123, 132, 213, 231, 312, 321 com, respectivamente, 0, 1, 1,
2, 2, 3 inversões. Assim,
det(A) = 312213322113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−− =
= 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
45 3.6) Propriedades de determinantes9:
i) det(AT) = det(A).
ii) Se B é uma matriz obtida permutando-se duas linhas (ou duas colunas) de A, então .det(B) = -det(A),
iii) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais ou, ainda, se A possui uma linha ou uma coluna nula,
então det(A) = 0.
iv) Se B é uma matriz obtida multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um número real k, então
det (B) = k det(A). Conseqüentemente, det (kB) = kndet(A) se Anxn.
v) Se substituirmos uma linha r (ou coluna r) pela soma dos elementos de r com os correspondentes
elementos de uma linha s (ou coluna s) multiplicada por uma constante k não nula, com r ≠ s, obtendo-se
assim uma matriz B, então det(B) = det(A).
vi) Se A é uma matriz triangular superior ou inferior, então det(A) = a11. a22 . ... .ann
vii) det(AB)= det(A).det(B).
viii) det ( ))det(
11
AA =− , se A é inversível e det(A) 0≠ .
3.7) Determinante menor e cofator de uma matriz:
Seja A = [aij]nxn . Seja Mij a submatriz (n-1) x (n-1) de A obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima
coluna de A. O determiante det(Mij) é denominado de determinante menor de aij. O cofator Aij de aij é definido por
Aij = (-1)i+j det(Mij).
9 Essas propriedades podem ser demonstradas a partir da definição de determinantes.
46 3.8) Expansão do determinante de uma matriz em relação à uma linha ou uma coluna:
Teorema: (Demonstre)
Seja A uma matriz n x n. Então, para cada ni ≤≤1 ,
det(A) = ininiiiiii AaAaAaAa ++++ ...332211 (expansão do det(A) em relação à i-ésima linha)
e, para cada nj ≤≤1 ,
det(A) = njnjjjjjjj AaAaAaAa ++++ ...332211 (expansão do det(A) em relação à j-ésima coluna).
Observação:
• É preferível expandir o determinante em relação a uma linha ou a uma coluna que tenha o maior número
de zeros, a fim de não precisar calcular os cofatores Aij dos elementos aij=0.
• Caso o determinante a ser calculado não tenha elementos nulos, podemos utilizar as propriedades de
determinantes a fim de anular alguns elementos.
Ex.: Calcular o determinante
3202
3003
3124
4321
−
−
−
−
.
Solução:
Neste caso, é preferível expandir o determinante em relação à segunda coluna ou à terceira linha. Optando
pela expansão em relação à terceira linha, tem-se:
333
13202
3003
3124
4321
LL →−
−
−
−
= 3
4413202
1001
3124
4321
ccc →+−
−
−
−
= 3
5202
0001
1124
5321
−
−−
−
= 3.1.(-1)3+1
112
1520
112
532
cc →−
−
−
=
= 3.2.
221520
111
531
LLL →+−−
−
−
= 6520
640
531
−
−
−
= 6.1.(-1)1+152
64
−
− = 6.(20-12) = 48.
47 Teorema:
Se A = [ ]nxnija , então: ,0...332211 =++++ kninkikiki AaAaAaAa se i k≠ e
,0...332211 =++++ nknjkjkjkj AaAaAaAa se j k≠ .
Esse teorema diz que se somarmos os produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna) com os
cofatores correspondentes de qualquer outra linha (ou coluna), obtemos zero.
3.9) Matriz adjunta:
Seja A = [ ]nxnija .A matriz adjunta de A, denotada por adj A, é a matriz n x n cujo elemento (i, j) é o cofator
Aji de aji, ou seja, a matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A.
adj A = [ ] [ ]== jiT
ij AA
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
...
...
...
21
22212
12111
MMMM.
Ex.: Obtenha a matriz adjA, sendo A =
−
−
301
265
123.
Solução:
A11 =(-1)1+1 1830
26−=
− A12 =(-1)1+2 17
31
25=
− A13 =(-1)1+3 6
01
65−=
A21 =(-1)2+1 630
12−=
−
− A22 =(-1)2+2 10
31
13−=
− A23 =(-1)2+3 2
01
23−=
−
A31 =(-1)3+1 1026
12−=
− A32 =(-1)3+2 1
25
13−= A33 =(-1)3+3 28
65
23=
−
Assim, Aij =
−−
−−−
−−
28110
2106
61718 e adj A = [Aij]
T =
−−
−−
−−−
2826
11017
10618.
48 Teorema:
Se A = [ ]nxnija , então A (adjA) = (adjA)A = det(A).In.
Demonstração:
i) A(adjA) =
nnnn
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
MMMM
L
L
21
21
22221
11211
.
nnjnnn
nj
nj
AAAA
AAAA
AAAA
LL
MMMMMM
LL
LL
21
222212
112111
.
O elemento (i, j) na matriz produto A(adjA) é dado por
≠
==++++
ji
j i AAaAaAaAa jninjijiji se 0,
se ),det(...332211 . Isso implica em:
A(adjA) = nA
A
A
A
I).det(
)det(00
0)det(0
00)det(
=
L
MMMM
L
L
ii) (adjA)A =
nnjnnn
nj
nj
AAAA
AAAA
AAAA
LL
MMMMMM
LL
LL
21
222212
112111
.
nnnn
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
MMMM
L
L
21
21
22221
11211
.
O elemento (i, j) na matriz produto (adjA)A é dado por:
≠
==++++
ji
ji AaAaAaAaA njnijijiji se 0,
se ),det(...332211 . Isso implica em:
(adjA)A = nA
A
A
A
I).det(
)det(00
0)det(0
00)det(
=
L
MMMM
L
L
.
49 Corolário:
Se A é uma matriz n x n e det(A) 0≠ , então A-1 = )()det(
1adjA
A.
Demonstração:
Se A(adjA) = (adjA)A = det(A).In e det(A) 0≠ , então
AnAadjA
AadjA
AI)(
)det(
1)(
)det(
1=
=
(1)
Pela definição de matriz inversa, tem-se:
nIAAAA == −− 11 (2)
Comparando (1) e (2), vem:
)()det(
11 adjAA
A =− .
Teorema:
A matriz Anxn é inversível classicamente se e somente se det(A) 0≠ .
Demonstração:
Se A é inversível classicamente, então AA-1 = A-1A = In.
Assim, det(AA-1) = det(A-1A) = det(In) 1)det()det()det().det( 11 ==⇒ −− AAAA . Portanto det(A) 0≠ .
50 EXERCÍCIOS:
1) Calcule, usando a definição, o determinante de cada matriz. Confira o resultado por algum método já conhecido:
a) A = [ ]11a b) A =
2221
1211
aa
aa c) A =
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.
2) Calcule os seguintes determinantes, utilizando suas propriedades:
a) =
10900
8700
6500
4321
b) =
0300
4000
8702
6510
c) =
641
520
300
d) =
−−
−−−
−
2340
3112
3340
1332
e) =
−−
−−−
−−−
3232
2321
1113
1110
f) =
−
−
−−
4133
3124
2311
1111
03) A matriz quadrada A é denominada ortogonal se AT = A-1. Mostre que o determinante de tal matriz deve ser 1
ou –1.
04) Duas matrizes A e B são semelhantes se A=P-1BP para uma certa matriz inversível P. Mostre que se A e B são
semelhantes, então det(A) = det(B).
05) Mostre que uma matriz anti-simétrica de ordem 3 tem determinante nulo.
06) Encontre uma matriz A anti-simétrica de ordem 2 tal que det(A) 0≠ .
07) Utilizando a igualdade )()det(
11 adjAA
A =− , encontre se existir a inversa clássica da matriz
A = ,
22
11
01
2
2
x
x
x
com .0≠x
51 4) SISTEMAS LINEARES
4.1) Equação linear
Uma equação linear nas incógnitas nxxx ,...,, 21 é uma equação que pode ser posta na forma padrão
bxaxaxa nn =+++ ...2211 onde naaa ,...,, 21 e b são constantes. A constante ak é denominada coeficiente de xk
e b é a constante independente.ou termo independente.
Uma solução da equação linear bxaxaxa nn =+++ ...2211 é uma n-upla ordenada de números reais
( nsss ,...,, 21 ) que satisfaz a equação dada quando substitui-se as incógnitas nxxx ,...,, 21 por seus respectivos valores
nsss ,...,, 21 .
Se numa equação linear os coeficientes ai forem simultaneamente nulos, a equação é degenerada.
Ex.: bxxx n =+++ 0...00 21
Teorema: (Demonstre)
Seja a equação linear degenerada bxxx n =+++ 0...00 21
i) Se 0≠b , a equação não tem solução;
ii) Se 0=b , qualquer n-upla real ( nsss ,...,, 21 ) é solução.
Numa equação linear não degenerada bxaxaxa nn =+++ ...2211 a incógnita principal é a primeira
incógnita com coeficiente diferente de zero.
Ex1.: Na equação 7212 =−+ zyx a incógnita principal é x.
Ex2.: Na equação 0530 =++ zyx a incógnita principal é y.
52 4.2) Sistema linear:
Um sistema linear de m equações e n incógnitas é uma coleção de m equações lineares cada uma delas
envolvendo n incógnitas. Genericamente, representa-se um sistema linear por:
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
MMMMMM
Pode-se utilizar os índices i e j para indicar respectivamente a equação e a incógnita que está sendo
considerada. Assim, a i-ésima equação, denotada por Ei, é dada por ininii bxaxaxa =+++ ...2211 , a j-ésima
variável é dada por xj. e a constante aij representa o coeficiente da variável xj na i-ésima equação.
No sistema anterior, aij e bi (i=1,2,...,m; j=1,2,..,.n) são números reais dados e xj são as incógnitas a serem
determinadas.
4.3) Classificação dos sistemas lineares em relação aos termos independentes
a) Sistema homogêneo:
É um sistema linear em que as constantes independentes são todas iguais a zero (bi = 0).
Ex.:
=++++
=++++
=++++
=++++
0...
0...
0...
0...
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
MMMMMM
b) Sistema não-homogêneo:
É um sistema linear em que as constantes independentes não são simultaneamente nulas:
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
MMMMMM
, com 01
2 >∑=
m
iib .
53 4.4) Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
Para que um sistema linear tenha solução, a solução x1=s1, x2=s2,...,xn = sn de uma das equações lineares
deve satisfazer todas as equações do sistema.
De acordo com o número de soluções, um sistema linear pode ser:
• Compatível (ou consistente ou possível): se possui solução.
o Compatível e determinado: se possui uma única solução;
o Compatível e indeterminado: se possui infinitas soluções.
• Incompatível (ou inconsistente ou impossível): se não possui solução.
Aqui está se tratando do número de soluções exatas de um sistema linear. A determinação de soluções
aproximadas para um sistema linear ou a discussão sobre sistemas malcondicionados foge ao objetivo deste
trabalho. Caso deseje, consulte POOLE, 2006 e BURDEN et FAIRES, 2003.
4.5) Sistemas equivalentes:
Definição:
Dois sistemas de equações lineares envolvendo as mesmas variáveis são ditos sistemas equivalentes se têm
o mesmo conjunto solução.
4.6) Operações elementares
Existem três operações, denominadas operações elementares, que podem ser efetuadas sistematicamente
em um sistema linear para se obter um sistema equivalente mais fácil de solucionar, a saber:
o Permutação de duas equações Ei e Ej quaisquer. Essa operação é indicada por i jE E↔ .
o Multiplicação de uma equação Ei por uma constante k não nula. A equação resultante pode ser utilizada
em lugar de Ei. Essa operação é indicada por i ikE E→ .
o Adição de uma equação Ei. à outra equação Ej. previamente multiplicada por uma constante k não
nula. A equação resultante pode ser utilizada em lugar da equação Ei. Essa operação é indicada por
i j iE kE E+ → .
54 4.7) Sistemas na forma triangular:
Definição:
Um sistema n x n, ou seja, com o número de equações igual ao número de variáveis, está em
forma triangular se, na k-ésima equação, os coeficientes das k-1 primeiras variáveis são todos nulos e o coeficiente
de xk é diferente de zero, com k=1, 2,..., n.
Ex.:
=
=++
=+++
=++++
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
33333
22323222
11313212111
MM
4.8) Resolução de um sistema linear pelo método de eliminação ou processo de substituição retroativa
Para resolver um sistema linear pelo método de eliminação, utiliza-se as três operações elementares
anteriormente definidas a fim de reduzir o sistema dado a um sistema equivalente triangular. Depois, faz-se a
substituição de baixo para cima encontrando o valor de todas as incógnitas.
Ex.:
=+
=−
5
032
yx
yx
=
=⇒
=
=−⇒
−=−
=−⇒
−=−
=−⇒
−=−−
=−⇒
2
3
2y
032
105
032
1050
032
1022
032
y
xyx
y
yx
yx
yx
yx
yx
Como x=3 e y =2 satisfazem todas as equações do sistema dado, então o par ordenado (3,2) é solução do
sistema. Dessa forma, o conjunto solução é dado por S= (3,2) .
Observe que a solução (3,2) satisfaz quaisquer um dos sistemas obtidos a partir de
=+
=−
5
032
yx
yx. Assim,
todos esses sistemas são equivalentes.
No entanto, o método de eliminação para resolver sistemas lineares pode ser sintetizado utilizando-se a teoria
matricial. Para isso, precisamos de alguns novos conceitos, a serem tratados a seguir.
55 4.9) Notação matricial de um sistema linear
Seja o sistema linear m x n
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
MMMMMM
.
Tomando-se as matrizes A =
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
......
......
......
......
321
321
22232121
11131211
MMMMMMM
MMMMMMM, X =
n
j
x
x
x
x
x
M
M
3
2
1
e B =
m
i
b
b
b
b
M
M
2
1
,
então AX =B representa o sistema linear dado, onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é a matriz
dos termos independentes.
Assim, o sistema linear anterior pode ser dado na forma matricial por:
⇒
=
43421
M
M
4321
M
M
4444444 34444444 21
MMMMMMM
MMMMMMM
tesindependentermos
dos
1
2
1
incógnitasdas
1
3
2
1
321
321
22232121
11131211
.
......
......
......
......
matriz
mxm
i
matriz
nxn
j
escoeficientdosmatriz
mxnmnmjmmm
inijiii
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
444444444 3444444444 21
M
M
M
M
M
M
M
M
MMMMMMM
MMMMMMM
ampliadamatriz
nmxm
i
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
b
b
b
b
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
)1(
2
1
321
321
22232121
11131211
......
......
......
......
+
A matriz m x (n+1), dada anteriormente, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos
independentes é denominada matriz ampliada ou matriz expandida ou matriz aumentada.
Entendendo que as linhas da matriz ampliada representam apenas os coeficientes das incógnitas juntamente
com os respectivos termos independentes do sistema linear dado, pode-se realizar nas linhas dessa matriz as três
operações elementares definidas anteriormente. Dessa forma, obtêm-se novas matrizes representativas de sistemas
lineares equivalentes ao sistema dado.
56 As operações elementares aqui serão denominadas operações elementares nas linhas de uma matriz A,
e são:
o Permutação de duas linhas Li e Lj de A. Essa operação é indicada por i jL L↔ .
o Multiplicação de uma linha Li por uma constante k não nula. A equação resultante será utilizada no
lugar de Li. Essa operação é indicada por i ikL L→ .
o Adição de uma linha Li. à outra linha Lj. previamente multiplicada por uma constante k não nula. A
equação resultante será utilizada em lugar da linha Li. Essa operação é indicada por i j iL kL L+ → .
Para resolver um sistema linear, utilizam-se quantas vezes forem necessárias as operações elementares
sobre as linhas de A, a fim de obter-se uma matriz B que represente o sistema linear dado e que possa facilmente
fornecer os valores das incógnitas. Essa matriz B é uma matriz linha equivalente de A.
4.10) Matriz linha equivalente
Definição:
Se A e B são matrizes m x n, dizemos que B é linha equivalente a A ou equivalente por linhas a A, denotada
por A BAB ~ou → , se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares nas linhas de A.
Um sistema linear é facilmente solucionado se a matriz B linha equivalente de A representar um sistema na
forma triangular ou se B estiver reduzida à forma escada por linha( matriz escalonada por linha).
4.11) Matriz linha reduzida à forma escada ou matriz escalonada:
Definição:
Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada ou reduzida à forma escada por linha ou matriz
escalonada, se:
i) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
ii) Todas linhas nulas, se existirem, ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas.
iii) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros
elementos iguais a zero.
iv) Se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna j, então o primeiro elemento não-nulo da
linha i + 1 ocorrerá à direita da coluna j, ou seja, numa coluna j + k, com k = 1, 2, ..., n-j.
57 Quando uma matriz está na forma escada reduzida por linhas, os primeiros coeficientes das linhas não-
nulas formam uma escada. Por isso, a denominação matriz reduzida à forma escada.
Ex.: Assinale as matrizes que estão na forma escada reduzida por linhas e justifique as que não estão:
a)
−
−
21000
00000
20210
b)
−
00000
21000
20210
c)
−
0100
0110
0001
d)
−
000
301
110
e)
00000
21000
20010
Solução:
Somente as matrizes dos itens b), e) estão escalonadas por linhas.
A matriz do item a) não atende aos itens i), ii) da definição.
A matriz do item c) não atende ao item iii) da definição
A matriz do item d) não atende ao item iv) da definição.
Teorema:
Toda matriz não nula m x n é equivalente por linhas a uma única matriz em forma escada reduzida por
linhas.
4.12) Resolução de um sistema linear pela sintetização do método de eliminação
O método de solucionar sistemas lineares através da redução da matriz ampliada A à uma matriz B linha
equivalente de A, em que B represente um sistema na forma triangular, é conhecido como método de Gauss ou
eliminação gaussiana com substituição retroativa.
O método de resolução através da redução da matriz ampliada A à uma matriz B escalonada é conhecido
como método de Gauss-Jordan.
Ex.: Dado o sistema
=+
=++−
=++
12
53 0y
02
z y x -
zx
zyx
equivalente a
−
−
121
301
121
.
=
1
5
0
z
y
x
, tem-se:
58 a) Método de redução de Gauss:
−
−
1121
5301
0121
M
M
M
−
→+−→
+→
1040
5420
0121
313
212
M
M
M
LLLLLL
→+→
11800
5420
0121
323 2
M
M
M
LLL. Fazendo a substituição de baixo para
cima, vem:
=
−=
−=−
−−=
⇒
=
−=
=++
8
114
1
8
7
8
11
4
1.2
8
118
4452
02
z
y
x
z
y
zyx
−−=⇒
8
11,
4
1,
8
7S
b) Método de redução de Gauss-Jordan (ou escalonamento de matriz):
−
−
1121
5301
0121
M
M
M
−
→+−→
+→
1040
5420
0121
313
212
M
M
M
LLLLLL
→
+→
→
118002
5210
0121
323
22
22
1
M
M
M
LLL
LL→
−
−−
→
→
+−→
+−→
8
11100
4
1010
5301
33
232
121
8
14
12
M
M
M
LL
LLL
LLL
−
−
→+→
8
11100
4
1010
8
7001
131 3
M
M
M
LLL
=
−=
−=
⇒
8
114
18
7
z
y
x
−−=⇒
8
11,
4
1,
8
7S
4.13) Posto de uma matriz:
Definição:
Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz linha equivalente a A reduzida à forma escada por linha. O posto
de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B.
As linhas não nulas de uma matriz são denominadas também de linhas independentes e as linhas nulas são
denominadas linhas dependentes. Assim, o posto de uma matriz A indica o número de linhas independentes no
sistema linear que A representa.
Numa matriz, uma linha dependente é obtida através da soma de produtos de outras linhas por constantes,
ou seja, uma linha dependente é uma combinação linear de outras linhas da matriz.
59 4.14) Nulidade de uma matriz e grau de liberdade de um sistema linear:
Definição:
A nulidade de uma matriz Amxn é o número n – p, onde p é o posto de A .
Assim, a nulidade de A é a diferença entre o número de colunas de A e o seu posto.
Como a nulidade de A depende do posto p de A e p é obtido a partir de uma matriz escalonada, então a
nulidade também será obtida a partir de uma matriz escalonada.
Na solução de um sistema linear, a matriz que é escalonada é a matriz dos coeficientes contida na matriz
ampliada do sistema. Assim, a nulidade representa a diferença entre o número de incógnitas (n) e o número de
equações independentes do sistema dado, ou seja, a nulidade representa o número de variáveis livres no sistema.
Esse número é denominado grau de liberdade do sistema.
Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada (pa) é igual
ao posto da matriz dos coeficientes (pc).
ii) Se a matriz ampliada e a matriz dos coeficientes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, haverá n - p incógnitas livres, e as outras p incógnitas serão
dadas em função destas.
4.15) Solução de um sistema linear homogêneo:
Dado um sistema linear homogêneo AX = O, onde O é uma matriz-coluna nula, a solução
x1 = x2 = ... = xn = 0 é chamada de solução trivial.
Uma solução de um sistema homogêneo onde nem todos os xi são nulos é uma dita solução não-trivial.
Como um sistema linear homogêneo tem sempre a solução trivial, então ele é sempre compatível (possível).
Teorema:
Um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas sempre tem uma solução não-trivial quando
m < n.
60 4.16) Notação vetorial de sistemas lineares:
Seja o sistema linear m x n
=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
MMMMMM
que na forma matricial é representado por
mxnmnmjmmm
inijiii
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
......
......
......
......
321
321
22232121
11131211
MMMMMMM
MMMMMMM.
1
3
2
1
nxn
j
x
x
x
x
x
M
M =
1
2
1
mxm
i
b
b
b
b
M
M.
Como a matriz X das incógnitas e a matriz B dos termos independentes são matrizes-colunas, então elas podem ser
representadas, respectivamente, pelos vetores x =
n
j
x
x
x
x
x
M
M
3
2
1
e b =
m
i
b
b
b
b
M
M
2
1
.
No decorrer deste texto, vetor será conceituado na perspectiva da geometria analítica (vetor enquanto
representante de uma classe de eqüipolência), bem como na perspectiva da álgebra linear (vetor enquanto elemento
de um espaço vetorial). Por enquanto, vetor aqui deve ser entendido apenas como representação de uma matriz-
coluna.
Assim, pode-se denotar o sistema linear dado na forma vetorial por Ax=b.
61
A matriz ampliada
)1(
2
1
321
321
22232121
11131211
......
......
......
......
+
nmxm
i
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
b
b
b
b
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
M
M
M
M
M
M
M
M
MMMMMMM
MMMMMMM é denotada por [AM b], onde A é
a matriz dos coeficientes e b é o vetor coluna dos termos independentes.
Observação:
• Para representar um vetor, utilizam-se letras minúsculas em negrito ou letras minúsculas com uma seta em
cima.
• Uma matriz linha 1 x n também pode ser chamada de um vetor linha de dimensão n ou simplesmente vetor
linha.
Ex.: u = u = [ 2 1], v = [ -1 3 5], a = [ a1 a2 a3 ...an], onde u é um vetor linha de
dimensão 2, v é um vetor linha de dimensão 3 e a é um vetor linha de dimensão n.
• Analogamente, uma matriz coluna m x 1 também pode ser chamada de um vetor coluna de dimensão m ou
simplesmente vetor coluna.
Ex.: u =
1
2, v =
−1
0
5
, b =
1
2
1
mxmb
b
b
M, onde u é um vetor coluna de dimensão 2, v é um vetor coluna de
dimensão 3 e b é um vetor coluna de dimensão m.
“[...] Devido principalmente a razões tipográficas, escrevemos às vezes o vetor coluna, de dimensão n, a =
na
a
a
M
2
1
por
a = (a1, a2, ..., an). Ou seja, (a1, a2, ..., an) é simplesmente outra notação para o vetor coluna com elementos a1, a2, ..., an
que não se deve confundir com o vetor linha [a1 a2 ... an].
Assim, (3, 2, 1) = ≠
1
2
3[3 2 1], pois as duas matrizes têm tamanhos diferentes (apesar de terem os mesmos
elementos).” (Cf. PENNEY, David; EDWARDS Jr, C. H. Introdução à algebra linear. Rio de Janeiro: PHB, 1998, p.
29.)
62 4.17) Método prático para encontrar a inversa de uma matriz:
Ex: Determine, se existir, a inversa clássica da matriz A =
−
−
113
123
211
.
Solução:
Seja a matriz A-1 =
ihg
fed
cba
, tal que A.A-1 = A-1.A = I3. Então:
A.A-1 =I3 ⇒
−
−
113
123
211
.
ihg
fed
cba
=
100
010
001
⇒
−+−+−+
+−+−+−
++++++
ifchebgda
ifchebgda
ifchebgda
333
232323
222
=
100
010
001
⇒
=−+
=+−
=++
03
023
12
gda
gda
gda
,
=−+
=+−
=++
03
123
02
heb
heb
heb
,
=−+
=+−
=++
13
023
02
ifc
ifc
ifc
Na forma matricial, esses sistemas são dados por:
−
−
113
123
211
.
=
0
0
1
g
d
a
,
−
−
113
123
211
.
=
0
1
0
h
e
b
e
−
−
113
123
211
.
=
1
0
0
i
f
c
.
Como a matriz A é igual nos três sistemas, a matriz reduzida à forma escala equivalente por linhas a matriz
A é a mesma nas três situações em que aplicarmos o método de Gauss-Jordan para solucionar os sistemas. Assim,
pode-se aplicar esse método simultaneamente fazendo uma matriz ampliada 3 x 6:
−
−
100113
010123
001211
M
M
M
É necessário entender que cada coluna desta matriz I3, à direita na matriz 3 x 6, representa os termos
independentes de cada um dos três sistemas lineares.
Se os três sistemas forem possíveis e determinados, obtém-se então A-1 =
ihg
fed
cba
.
63 Genericamente, tem-se:
Dada uma matriz A n x n, determinar a matriz inversa de A é encontrar uma matriz A-1=X n x n tal
que A X= XA = In.
Solução:
Fazendo AX = In, vem:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
xxx
xxx
xxx
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
L
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
. =
100
010
001
L
MMMM
L
L
.
Nosso objetivo é determinar os valores dos elementos incógnitos xij de X. Para isso, é preciso resolver os n
sistemas lineares associados às matrizes
=
0
0
1
.
1
21
11
21
22221
11211
MM
L
MMMM
L
L
nnnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
,
=
0
1
0
.
2
22
12
21
22221
11211
MM
L
MMMM
L
L
nnnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
, ...,
=
1
0
0
. 2
1
21
22221
11211
MM
L
MMMM
L
L
nn
n
n
nnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
.
Para resolver esses sistemas pelo método de Gauss-Jordan, forma-se as matrizes aumentadas [ MA e1],
[ MA e2], ..., [ MA en], onde ej =
0
0
1
0
0
M
M
, vetor representativo das colunas de In , tem o elemento ejj = 1 na j-ésima linha
(i=j).
No entanto, a matriz dos coeficientes de cada um desses n sistemas lineares é sempre A, de modo que pode-
se resolver todos esses sistemas simultaneamente, através de uma matriz n x 2n:
[ M A e1 e2 ... en] = [ M A In], ou seja,
1000
010
001
21
22221
11211
MMMM
L
L
M
M
M
M
L
MMMM
L
L
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
, onde cada coluna desta matriz In, à direita
na matriz n x 2n, representa os termos independentes de cada um dos n sistemas lineares.
64 Obtendo uma matriz equivalente por linhas a A na forma escada reduzida por linhas, o problema de
encontrar uma matriz n x n X= A-1 tal que AX = In é equivalente ao problema de encontrar n vetores colunas n x 1
x1, x2, x3, ..., xn tais que Axj =ej , com j =1, 2, ..., n, onde os vetores xj =
nj
ij
j
j
x
x
x
x
M
M
2
1
representam as colunas de In .
Se a matriz C equivalente por linhas a A na forma escada reduzida por linhas for igual a In, então, na matriz
n x 2n, a matriz à direita do traço de ampliação será a inversa de A. No entanto, se C ≠ In, então A é singular, ou
seja, não admite inversa clássica.
4.18) Sistemas lineares e matrizes inversas:
Se A é uma matriz n x n, então o sistema linear AX = B é um sistema de n equações e n incógnitas.
Suponha que A é invertível classicamente. Então A-1 existe e é possível multiplicar AX =B por A-1 de ambos
os lados, obtendo-se:
A-1(AX) = A-1B
(A-1A)X = A-1B
InX= A-1B
X= A-1B
onde X é uma solução do sistema linear dado. Portanto, se A é invertível classicamente, o sistema AX = B é
possível e determinado.
Teorema:
Se A é uma matriz n x n, então o sistema homogêneo AX = O tem uma solução não-trivial se e somente se A
é singular.
Teorema:
Se A é uma matriz n x n, então A é invertível classicamente se e somente se o sistema linear AX=B tem uma
única solução para qualquer matriz Bnx1.
65 EXERCÍCIOS:
01) Escreva os sistemas na forma matricial e resolva-os pelo método de Gauss-Jordan (escalonamento de matriz).
Dê o posto da matriz dos coeficientes (pc), o posto da matriz ampliada (pa) e a nulidade do sistema quando pc= pa.
Classifique o sistema quanto ao número de soluções. Se o sistema for compatível e indeterminado, descreva o
infinito conjunto-solução em termos de parâmetros arbitrários (t, r, s etc):
a)
=−
−=−
762
73
yx
yx b)
=+
−=−
=+
2653
422
102
yx
yx
yx
c)
=+
−=−
=+
2053
422
102
yx
yx
yx
d)
=−
=−
963
642
yx
yx e)
=−+
−=−+
432
432
zyx
zyx f)
=++
=+−
−=−+
632
14232
23
zyx
zyx
zyx
g)
=−
=+−
=++
33
82
932
zx
zyx
zyx
h)
=++−++
=++−+
=++−++
=+−+
934963
4232
3232
232
654321
65421
654321
5421
xxxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxx
i)
−=−−
=+++
=+++
62
11753
5432
wzx
wzyx
wzyx
j)
=−+
=++−
=++
022
023
032
zyx
zyx
zyx
l)
=++
=+
=+++
02
0
0
zyx
wx
wzyx
02) Represente geometricamente os sistemas lineares dos itens a) ao f) do exercício anterior. Compare a solução
algébrica com a solução geométrica. Para desenhar cada plano dos itens e) e f) determine a interseção de cada
plano com os planos coordenados do sistema R3 ou, ainda, desenhe um plano a partir de suas curvas de níveis.
03) Explique, por meio de um raciocínio geométrico, por que o sistema homogêneo
=+
=+
0
0
22
11
ybxa
ybxa tem ou uma
única solução ou infinitas soluções.
04) Considere o sistema
=++
=++
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa.
a) Explique, por meio de um raciocínio geométrico, por que tais sistemas têm sempre ou nenhuma solução ou
infinitas soluções.
b) Explique por que o sistema tem necessariamente infinitas soluções se d1 = 0 =d2.
66
05) O sistema linear
=+
=+
=+
333
222
111
cybxa
cybxa
cybxa
de equações não degeneradas, representa a interseção de três retas s, r e t
do plano xy. Descreva para cada uma das configurações abaixo o conjunto-solução do sistema, classificando-o
quanto ao número de soluções:
a) b) c)
d) e) f)
06) Considere o sistema linear
=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
de equações não degeneradas. Cada equação representa um
plano no espaço xyz.
Descreva em cada caso o conjunto solução do sistema, classificando-o quanto ao número de soluções:
a) Os três planos são paralelos e distintos.
b) Os três planos são coincidentes.
c) Dois planos são coincidentes e paralelos ao terceiro plano.
d) Dois planos se interceptam em uma reta t que é pararela ao terceiro plano.
e) Dois planos se interceptam numa reta t que está contida no terceiro plano.
f) Dois planos se interceptam numa reta t que, por sua vez, intercepta o terceiro plano num único ponto.
s t
r
s t
r
P
s t
r
P
Q
s t
r
r=s=t
t
r=s
P
67 07) Justifique cada uma das afirmações do teorema a seguir:
Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada (pa) é
igual ao posto da matriz dos coeficientes (pc).
ii) Se a matrizes ampliada e a matriz dos coeficientes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, haverá n - p incógnitas livres, e as outras p incógnitas serão
dadas em função destas.
08) Sendo p o posto de uma matriz A do tipo m x n, por que não pode-se ter p > n?
09) Justifique os seguintes teoremas:
Teorema1:
Se A é m x n e o sistema homogêneo AX = O tem apenas a solução trivial, então m ≥ n.
Teorema2:
Se A é m x n e o sistema homogêneo AX = O tem uma solução não trivial, então m < n.
10) Discuta os seguintes sistemas lineares, ou seja, determine os valores de a e b de modo que cada sistema
i) não tenha solução, ii) tenha uma única solução, iii) tenha uma infinidade de soluções:
a)
=−+
=+
ayax
yx
)8(
32
b)
=−++
=++
=++
azayx
zyx
zyx
)5(
32
2
2
c)
=−+
=++
=++
abzabyxb
abzybx
zaayx
32
2
1
1
d)
=++
−=+−
=−+
abzyax
aazyx
azayx2
11) Encontre uma solução não-trivial do sistema homogêneo (-4I3 –A)X = O, sendo A =
− 410
111
501
.
68
12) Encontre uma matriz-coluna X de dimensão 2 tal que AX= 4X, onde A =
20
14.
(Sugestão: Coloque a equação matricial AX = 4X na forma 4X – AX = (4I2 –A)X = O).
13) Classifique o sistema AX = B quanto ao número de soluções, sabendo que sua matriz aumentada é equivalente
por linhas a uma matriz em forma escada reduzida por linhas que tem uma linha cujos n primeiros elementos são
nulos e cujo (n + 1)-ésimo elemento é 1.
14) Seja A =
dc
ba. Mostre que A é equivalente por linhas a I2 se e somente se ad - bc 0≠ .
15) Mostre que o sistema linear homogêneo AX = O tem apenas a solução trivial se e somente se ad - bc 0≠ , sendo
A =
dc
ba.
16) Escreva o sistema
=−+
=−+
0462
186
zyx
zyx na forma matricial.
a) Verifique que a matriz X =
−
=
0
3/1
1
z
y
x
é uma solução para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda matriz solução é da forma X = Rtt
z
y
x
∈∀
−
+
=
,
0
3/1
1
1
2
4-
. .
c) Resolva o sistema homogêneo
=−+
=−+
0462
086
zyx
zyx associado ao sistema dado.
d) O que você conclui dos itens a, b e c?
17) Sejam U e V matrizes-colunas soluções do sistema linear homogêneo AX = O.
a) Classifique o sistema quanto ao número de soluções.
b) Mostre que U + V é uma solução
c) Mostre que U – V é uma solução
d) Mostre que rU é uma solução qualquer que seja o escalar r.
e) Mostre que rU+sV é uma solução quaisquer que sejam os escalares r e s.
f) Dê exemplos numéricos para ilustrar este exercício.
69 18) Mostre que, se U e V são soluções do sistema linear AX= B, então U – V é uma solução do sistema
homogêneo associado AX=O. Classifique os sistemas dados quanto ao número de soluções e dê exemplos
numéricos para ilustrar este exercício.
19) Quantos átomos de hidrogênio e de oxigênio precisamos para formar uma molécula de água?
20) Faça o balanceamento das reações químicas?
a) HF + SiO2 → SiF4 + H2O (dissolução do vidro em HF)
b) N2O5 → NO2 + O2 (decomposição térmica do N2O5).
c) (NH4)2CO3 → NH3 + H2O + CO2
21) (Aplicação: Planejamento de produção): Uma fábrica de plásticos produz dois tipos de plásticos: o normal e o
especial. Cada tonelada de plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B. Cada
tonelada de plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A está
disponível 8 horas por dia e a máquina B, 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser
produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas?
22) Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A
contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B
contém 3 unidades de proteínas, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidratos. Cada grama do alimento C
contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos. Se a refeição precisa conter
exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de
cada tipo de comida devem ser usados?
70 23) Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10
minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro
leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar
leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para
lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana e a bancada para envernizar,
18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam
plenamente utilizadas?
24) Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de combustível com
baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos no setor de refinaria. Cada tonelada
de combustível com alto teor de enxofre necessita de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de
refinaria. Se o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de
cada tipo de combustível devem ser produzidas de modo que esses dois setores não fiquem ociosos?
25) Uma editora publica um best-seller em potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e
encadernação de luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de 1 minuto para a costura e de 2 minutos para a
cola. Cada exemplar de cada dura necessita de 2 minutos para a costura e de 4 minutos para a cola. Cada exemplar
com encadernação de luxo necessita de 3 minutos para a costura e de 5 minutos para a cola. Se o local onde são
feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível 11 horas por dia, quantos
livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
26) (Ecologia – Poluição) Um fabricante faz dois tipos de produtos P e Q em cada uma de duas fábricas, X e Y.
Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais
poluentes. As quantidades de poluente produzidas são dadas pela tabela A e o custo diário para remover cada quilo
de poluente é dado pela tabela B:
Tabela A- Quantidade, em quilos, de poluente produzido
na fabricação dos produtos P e Q
Produto Dióxido de
enxofre Óxido nítrico Partículas
P 300 100 150
Q 200 250 400
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
Tabela B- Custo, em dólares, para remover cada quilo de poluente, por fábrica
Poluente Fábrica X Fábrica Y Dióxido de enxofre 8 12 Óxido nítrico 7 9 Partículas 15 10
71 27) Uma empresa que trabalha com material fotográfico tem lojas em cada uma das seguintes cidades: Nova
York, Denver e Los Angeles. Uma marca particular de máquina fotográfica está disponível nos modelos
automático, semi-automático e não-automático. Além disso, cada câmara tem um flash correspondente e é vendida,
geralmente, junto com este flash. Os preços de venda da máquina e do flash são dados (em dólares) pela tabela 1 e
o número de conjuntos (máquina fotográfica e flash) disponíveis em cada loja é dado pela tabela 2:
Tabela 1- Preço, em dólares, de venda de câmara e flash, Tabela 2- Número de conjuntos (máquina fotográfica e flash)
segundo o modelo da máquina fotográfica disponíveis em cada loja, segundo o modelo
Modelo
Item Automático Semi-
automático
Não-
automático
Câmara 200 150 120
Flash 50 40 25
a) Qual o valor total das câmaras em Nova York?
b) Qual o valor total das unidades de flash em Los Angeles?
28) (Programação linear): Formule matematicamente os problemas a) e b). Não é necessário resolvê-los:
a) Um fundo de investimentos está planejando aplicar até R$ 6000,00 em dois tipos de títulos: A e B. A é mais
seguro do que B e paga juros de 8%, enquanto que B paga juros de 10%. Suponha que as regras do fundo estipulem
que não podem ser aplicados mais do que R$ 4000,00 em B, e que pelo menos R$ 1500,00 têm que ser aplicados
em A. Quanto o fundo deve aplicar em cada título para maximizar o rendimento?
b) Uma companhia de remoção de lixo industrial leva o lixo em recipientes selados em sua frota de caminhões.
Suponha que cada recipiente da Empresa Silva pesa 3 quilos e tem um volume de 84000 cm3, enquanto cada
recipiente da Empresa Souza pesa 6 quilos e tem um volume de 28000 cm3. A companhia cobra, por recipiente, R$
0,30 da Empresa Silva e R$ 0,60 da Empresa Souza. Se um caminhão não pode carregar mais de 9000 quilos nem
mais de 50,4 m3, quantos recipientes de cada cliente a companhia deve levar em cada caminhão para maximizar a
receita por viagem?
Loja Modelo
Nova York Denver Los Angeles Automático 220 180 100 Semi-automático 300 250 120 Não-automático 120 320 250
72 29) (Grafos): Obtiveram-se os dados a seguir estudando um grupo de seis indivíduos durante uma pesquisa
sociológica: Carlos influencia Solange e Gilda. Gilda influencia João. Solange é influenciada por Pedro. Renata é
influenciada por Carlos, Solange e Gilda. Pedro é influenciado por Renata. João influencia Carlos e Renata.
Solange influencia João. Carlos é influenciado por Pedro. Pedro influencia João e Gilda.
a) Represente a situação anterior por um digrafo no qual os vértices representam as pessoas e cada aresta
orientada ligando dois vértices indica a influência de uma pessoa sobre outra.
b) Apresente a matriz de adjacência.
c) Quem influencia mais pessoas?
d) Quem é influenciado por mais pessoas?
30) Considere uma rede de comunicação entre cinco pessoas que tem a matriz de adjacência
01100
00011
01000
10100
00010
.
a) P3 pode mandar uma mensagem para P5 em no máximo dois estágios?
b)Qual o número mínimo de estágios que garante que qualquer pessoa pode mandar uma mensagem para outra
pessoa qualquer (diferente)?
c) Qual o número mínimo de estágios que garante que qualquer pessoa pode mandar uma mensagem para outra
pessoa qualquer (incluindo ela mesma)?
31) (Cadeias de Markov) Um novo sistema de transporte de massas começou a funcionar. As autoridades fizeram
estudos que previram o percentual de pessoas que mudarão para esse sistema de transporte de massas (M) ou que
continuarão a dirigir seus automóveis (A). Foi obtida a seguinte matriz de transição:
Esse ano Próximo ano
M A
M 0,7 0,2
A 0,3 0,8
Suponha que a população da área permanece constante e que, inicialmente, 30% das pessoas usam o
transporte de massa e 70% usam seus carros.
a) Qual a percentagem das pessoas que estarão usando o transporte de massa depois de 1 ano? E depois de 2 anos?
b) Qual a percentagem das pessoas que estarão usando o transporte de massa em um futuro mais longínquo?
73 32) (Mínimos quadráticos): Uma firma obtém os dados a seguir relacionando o número de vendedores à venda anual:
Número de vendedores
(x) 5 6 7 8 9
10
Vendas anuais
(em milhões de dólares)
(y)
2,3 3,2 4,1 5,0 6,1 7,2
33) O distribuidor de um carro novo obteve os seguintes dados:
Número de semanas depois
do lançamento do carro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Receita bruta por semana
(em milhões de dólares) 0,8 0,5 3,2 4,3 4,0 5,1 4,3 3,8 1,2 0,8
a) Encontre o polinômio de mínimos quadráticos de segundo grau para esses dados.
b) Use a equação obtida em (a) para estimar a receita bruta 12 semanas após o lançamento do carro.
34) Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam, como
ilustra a figura a seguir. A média do número de veículos por hora que entram e saem dessa seção durante o horário
de rush é dada no diagrama. Determine a quantidade de veículos entre cada um dos quatro cruzamentos.
x4
380
450 x1 430
x2
420
400 x3 540
420
470
a) Encontre a reta de mínimos quadráticos relacionando x e y. b) Use a equação obtida em (a) para estimar as vendas anuais quando existirem 14 vendedores.
74 35) Determine a corrente no circuito a seguir:
36) Encontre, se existir, a inversa clássica das matrizes, utilizando o método prático de obtenção da inversa:
a)
− 62
31 b)
155
320
111
c)
−−
−
−
325
121
321
d)
−
6195
1121
2131
1111
37) Considere o sistema homogêneo AX = O. Dê a solução do sistema se:
a)
=
155
320
111
A b)
−−
−
−
=
325
121
321
A
38) Considere o sistema homogêneo AX = O, onde A é uma matriz n x n. Se A é invertível classicamente,
classifique o sistema quanto ao número de soluções e descreva o conjunto solução do sistema.
39) Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique as sentenças falsas:
a) Se A é invertível classicamente, então AX = O tem apenas a solução trivial.
b) Se A é invertível classicamente, então AX =B tem uma única solução qualquer que seja a matriz Bnx1.
c) Se A é invertível classicamente, então A é equivalente por linhas a In.
40) Utilizando a teoria sobre inversão clássica de matrizes, indique quais dos sistemas a seguir tem uma solução
não-trivial. Justifique sua resposta.
a)
=+−
=++
=++
03
02
02
zyx
zyx
zyx
b)
=+−
=+
=+−
0222
02
0
zyx
yx
zyx
c)
=+−
=−+
=+−
04
0323
052
zyx
zyx
zyx
16V i1
2 Ω
2 Ω
3 Ω
i2
i4
A B
75 41) Utilizando a teoria sobre inversão clássica de matrizes, encontre a matriz X de entrada de dados para cada
uma das matrizes resposta B abaixo, sendo a matriz do processo industrial dada por
−=
112
123
312
A :
a)
10
20
30
b)
14
8
12
42) Utilizando as propriedades de matriz inversa clássica, responda:
a) Toda matriz simétrica é sempre invertível classicamente?
b) A inversa clássica de uma matriz simétrica invertível é sempre simétrica? Explique.
43) Mostre que a matriz A =
dc
ba é invertível classicamente se e somente se ad-bc 0≠ . Se essa condição é
válida, mostre que
−
−
−=−
ac
bd
bcadA .
11 .
44) Uma matriz n x n A é a raiz quadrada de uma matriz Bnxn se A2 = B. Assim, encontre a raiz quadrada de a) I4
b)
000
000
001
c)
00
10
76 GABARITOS: Respostas dos exercícios – Sistemas de coordenadas 01) Fazendo x=rcosθ e y = rsenθ , vem: 02) a)
Coordenadas polares (r, θ ) Coordenadas retangulares (x, y) P(6, 0) P(6, 0)
Q(3, 6
π) Q( )
2
3,
2
33
R(4, 2
π)
R(0, 4)
S(5, 4
3π) S( )
2
25,
2
25−
T(2, 3
4π) T(-1, 3− )
V(1, )3
5π V( )
2
3,
2
1−
2b) c) d) e) f) g)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
77 h) i) j)
03) 3613− 04) 1 5) a) b) c) d) 07)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7
x=2
x
y
y = 0
x
y
x2 + y2 = 9
x
y
Como 222
ABACBC +> , o triângulo é obtusângulo em Â.
Como ABACBC ≠≠ , o triângulo é escaleno.
(x-2)2 + y2 = 4
x
y
06) a) rcosθ =7 (reta paralela ao eixo y)
b) 4
πθ = ou
4
5πθ = , ∀ r 0≥ (bissetriz dos quadrantes ímpares)
c) r = 4
secθθtg (parábola com vértice no pólo e concavidade para cima)
d) r = 5 (circunferência com centro na origem O(0,0) e raio r= 5 )
e) 06)cos6sen2(2 =+−+ θθrr (circunferência com centro em
C(3,-1) e raio r=2)
A(3, -1, 4), B(-2, 0, 5), C(2, -4, -2)
x
y
z
B
A
C
78 08)
Item (x,y,z) (r, θ ,z) ( φθρ ,, ) a) (4, -4, 64 ) )64,
4
7,24(
π )
6,
4
7,28(
ππ
b) (0, 1, 1) )1,
2,1(π
)4
,2
,2(ππ
c) (0, 2, 0) )0,
2,2(π
)2
,2
,2(ππ
d) (-5, 5, 6) )6,
4
3,25(
π )
6
25,
4
3,86( arctg
π
09) a) b)
c) 10) a)
x2 + y2 + z2 = 9
x
y
z
Rzyx ∈∀=− ,03
x y
z
22 yxz +=
Rzyx ∈∀=+ ,922
79 10) b) c) 11) a) b)
x-y=0, Rz ∈∀
yx
z
x2 + y2 + z2 = 1
Coord. Cilíndricas: r=2cossecθ , ( ) Rzr ∈∈≥∀ ,,0 ,0 πθ
Coord. Esféricas: θφρ seccosseccos2= , ( ) ( )πθπφρ ,0,,0,0 ∈∈≥∀
Obs.: 1.2e+09 = 1,2 . 109
Coord. Cilíndricas: z=3, [ )πθ 0,2 ,0 ∈≥∀ r
Coord. Esféricas: φρ sec3= ,
∈≥∀
2,0,0π
φρ , [ )πθ 2,0∈
yx
z
80 c)
12) Tempo (min) (x,y,z) (r, ), zθ ( φθρ ,, )
t=2 (0, 10, 1) (10,2
π ,1) ( )10,2
,101 arctgπ
t=1,5 (0,-10, )
4
3 )
4
3,
2
3,10(
π )3
40,
2
3,
4
1609( arctg
π
Respostas dos exercícios - Matrizes
1)
a) Como A(1,1) = -1; A (1,2) = -3; A(1,3) = -5; A(1,4) = -7; A(2,1) = 2; A(2,2) = 0; A(2,3) = -2; A(2,4) = -4, então
424202
7531
x
A
−−
−−−−= .
b)
−
=
12
01
10
B c) [ ]2415830 −−−−=M
2) a)
=
00
00
00
O b)
=
1000
0100
0010
0001
I4
3) a) Matriz identidade b) matriz nula c) matriz escalar
Observação: Uma matriz pode receber mais que um nome (classificação). Assim, utiliza-se o nome mais específico para que
não haja confusão.
4) a) V b) V c) V
Coord. Cilíndricas: r=-5secθ , Rzr ∈
∈≥∀ ,
2
3,
2,0
ππθ
Coord. Esféricas: ( )πφππ
θρφθ
ρ ,0,2
3,
2,0,
sen.cos
5∈
∈≥∀
−= .
xy
z
81 5)
6)
434614
5223
3432
x
A
=
34201640
101230
151528
81220
x
B
=
a) linha2(A).coluna3(B) = =+++=∑=
4324332323221321
4
132 bababababa
kkk 3.8 + 2.15+2.10 +5.20 = 174 mg.
b) Seja [ ]33xijcABC == . Então cij=linhai(A).colunaj(B) = jijijiji
kjik bababababa 44332211
4
13 +++=∑
=
, com
i = 1,2,3 e j=1,2,3.
c) A matriz
33187199448
174170376
161165364
.
x
BA
= representa a quantidade de pesticida do tipo i (com i =1,2,3)consumida por um
herbívoro do tipo j (com j=1,2,3). Já a matriz
44208312172208
190204124136
219232129161
15215292108
.
x
AB
= não tem sentido no problema, embora o
produto matricial tenha sido possível.
Observação:
Pode-se trabalhar com as matrizes transpostas de A e B, por exemplo:
Quantidade, em miligramas, de pesticida absorvida por uma planta, segundo o tipo de planta e de pesticida
Tipo de pesticida Tipo de planta
1 2 3
A 2 3 4
B 3 2 1
C 4 2 6
D 3 5 4
Fonte: Kolman, Bernard, 1998, p. 18.
e
A
B
D
F C E
82 Número de plantas que um herbívoro consome mensalmente
Tipo de planta Tipo de
herbívoro A B C D
1 20 28 30 40
2 12 15 12 16
3 8 15 10 20
Fonte: Kolman, Bernard, 1998, p. 18.
de onde vem:
34453
624
123
432
x
TA
= e
432010158
16121512
40302820
x
TB
= .
Pode-se constatar que embora o produto TTT ABBA ).(
280190219152
312204232152
17512412992
208136161108
. =
=
seja possível, ele não tem sentido no problema. No entanto, o produto TTT BAAB ).(
187174161
199170165
448376364
. =
= é possível e
tem sentido no contexto analisado, pois este produto representa a quantidade de pesticida j consumida pelo herbívoro i.
7) a)
−
−
331
561
412
b)
−−−
−−−
−−
313
725
230
c)
−−−
−−−
−−−
642
1284
642
d)
000
000
000
e)
−−
−−
−−
1611
21222
1611
f)
−−
−−
−
345
567
222
8) 1
9)
a) matriz nula b) triangular inferior c) triangular superior d) diagonal
e) diagonal f) escalar g) triangular superior h) triangular inferior
i) diagonal j) escalar l) triangular superior m) triangular inferior
n) triangular superior o) triangular inferior
10)
a) F, vide exercício 1 d) b) F, vide exercício 1 d), e)
83 c) F, pois o produto nem está definido. Vetor linha aqui refere-se à uma matriz linha, ou seja, do tipo 1 x p. E se x fosse
um vetor coluna como ficaria a afirmação: “Se Anxn x = O, então A = O para todo vetor coluna x de dimensão n” ?
d) F, veja o contra-exemplo: A=
32
21 e B=
−
−
03
32.
e) V
f) F, pois CBICIBACAABAACAB =⇒=⇒=⇒= −− 11 . Portanto, somente vale a lei de cancelamento se A for
inversível.
g) V h) V i) V j) V l) V m) V n) V
11) pois geralmente BAAB ≠ (Dica: desenvolva os produtos indicados, aplicando as propriedades das operações de
matrizes).
12) a) AB=BA b) AB=BA
14)
−
−
12
11,
−
−
12
11,
−
−
222
22 ou
−
−
222
22
15)
a) Uma estação não transmite para si mesma
b) Sejam as matrizes A=[aij]5x5 e A2=B=[bij]5x5. Do produto de matrizes decorre que
∑=
=+++==5
1552211 ...)().(
kkjikjijijijiij aaaaaaaaAcolunaAlinhab . Portanto, o elemento ijb de A2 representa o número de
possibilidades de uma estação i transmitir para uma estação j, passando por uma estação intermediária k.
c) B=A2 =
10100
02010
11201
22220
13211
d) ∑=
==+++==5
1315315231213113113 2...)().(
kkk aaaaaaaaAcolunaAlinhab significa que há duas possibilidades da estação 1
transmitir para a estação 3 passando por uma estação intermediária, a saber a estação 2 e a estação 4.
e) Os termos nulos significam que não há possibilidade alguma de uma estação i transmitir para a estação j passando apenas
por uma estação k. Os termos iguais a 1 significam que há uma possibilidade de uma estação i transmitir para a estação j
passando apenas por uma estação k. Os termos maiores que 1 significam que há mais de uma possibilidade de uma estação i
transmitir para a estação j passando apenas por uma estação k.
84 f) Na matriz A+A2 = C = [cij]5x5 , o elemento cij representa o número de possibilidades que a estação i pode transmitr
para a estação j passando por no máximo uma estação intermediária k. A matriz A3 = A2.A = D = [dij]5x5 onde
∑∑==
==+++==5
1
5
1552211
2 ))().((...)().(k
kjkik
kjikjijijijiij aAcolunaAlinhaababababAcolunaAlinhad significa que a estação i pode
transmitir para a estação j, passando por duas estações intermediárias.
Na matriz A+A2+A3 = E = [eij]5x5 , o elemento eij representa o número de possibilidades que a estação i pode
transmitr para a estação j passando por no máximo duas estações intermediárias.
g) Se A fosse simétrica( isto é, jiij aa = ) significaria as estações i e j podem transmitir uma para outra.
16)
a) A probabilidade do dono do carro ficar com a mesma marca.
b) Sejam as matrizes A=[aij]3x3 e A2=B=[bij]3x3. Do produto de matrizes decorre que
∑=
=++==3
1332211)().(
kkjikjijijijiij aaaaaaaaAcolunaAlinhab Portanto, o elemento ijb de A2 representa a probabilidade do
sujeito trocar um carro da marca i por um outro da marca j na segunda compra.
c)
=
16.036.048.0
17.039.044.0
13.028.059.02A , interprete de forma análoga ao exercício 9 b)
17) Não exite k real.
18) Faça
=
dc
baB e do sistema linear decorrente do produto AB=BA, onde
=
12
21A , tem-se a matriz
=
xy
yxB ao se
fazer a=x e b=y. Portanto, como o sistema linear é indeterminado, então existem infinitas matrizes B que satisfazem a
igualdade dada.
19) Sejam as matrizes [ ] [ ]nxnijnxnij bBaA == e tais que
≠
==
j i
j icaij se,0
se , e
≠
==
j i
j idbij se,0
se ,, com Rdc ∈ , .
Pela definição de produto de matrizes, vem:
nxnijmMAB ][== tal que
≠
===+++== ∑
=ji
jicdbabababaBcolunaAlinham
n
kkjiknjinjijijiij se ,0
se ,...)().(
12211 .
nxnijnNBA ][== tal que
≠
===+++== ∑
=ji
jidcababababAcolunaBlinhan
n
kkjiknjinjijijiij se ,0
se ,...)().(
12211 .
Portanto, se A e B são matrizes diagonais, então [ ]
≠
====
ji
jicdmmBAAB ijij se ,0
se , que tal
85
21) Não. Contra-exemplo: O produto pxqnxpmxn CBA está definido, mas CBA não está, se nq ≠ por exemplo.
22) Sim. Utilize as propriedades das operações com matrizes para provar.
23) X = PCQ. Utilize as propriedades das operações com matrizes para determinar X.
25) f(A) =
−−
−
59
68
Respostas dos exercícios - Determinantes
2) a) 0 b) 24 c) -6 d) 8 e) -30 f) 114
07) Determinando, primeiramente, os cofatores Aij , vem:
2
2
211
112
1)1( x
x
xA −=−= + 2
2
221
122
1)1( x
x
xA =−= + 0
22
11)1( 31
13 =−= +A
xx
xA 2
2
0)1( 2
1221 =−= + xx
x
xA 2
2
1)1( 2
222
22 −=−= + 222
01)1( 32
23 −=−= +A
xx
xA −=−= +
213
31 1
0)1( xx
x
xA +−=−= + 2
223
32 1
1)1( 1
11
01)1( 33
33 =−= +A
Daí,
−
−−
−−
=
−−
−−
−
=
120
2
2
1
222
0
222
2
2
2
22
xxxxx
xxx
xxx
xxx
xx
Aadj
T
.
Como 22
23
2
2
2
2232
1
2
2
2
2 )2(22
222
00
01
22
11
01
22
11
01
det xx
Ax
x
xx
x
x
x
x
x
x
LLL−=−== →=
→+−, vem
−
−−−
−
=
−
−−
−−
−=−
22
222
2
21
120
121
121
120
2
21
xx
x
x
x
xxx
xxxxx
xxx
xA
86 Respostas dos exercícios – Sistemas lineares
01)
a) φ=⇒
=+
−=−⇒
−−→
−
−−⇔
−=
−
−V
yx
yx
y
x
2100
73
00
731
762
731
7
7.
62
31
21M
M
M
M.
2 ;1 == ac pp , onde pc = posto da matriz dos coeficientes e pa = posto da matriz ampliada. Como ac pp ≠ o sistema é
impossível.
b) (2,4)V 4
2
y
xou
4y
2
000
410
201
...
2653
422
1021
26
4
10
.
53
22
21
=⇒
=
=
=⇒
→→
−−⇔
−=
−x
y
x
M
M
M
M
M
M
2 ;2 == ac pp . Como 2=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p=n, onde n é o número de colunas da matriz
dos coeficientes (= número de incógnitas), então o sistema possível é determinado, ou seja, a nulidade n-p=0. Portanto, não
há variáveis livres no sistema.
c) φ=⇒
=+
=
=
⇒
−
−
→→
−−⇔
−=
− V
-60y0x
4y
10-
600
410
1001
...
2053
422
1021
20
4
10
.
53
22
21 x
y
x
M
M
M
M
M
M
3 ;2 == ac pp . Como ac pp ≠ o sistema é impossível.
d)
R ) ,23(,Portanto
. com ,0
3
1
2
y
x ainda, ou,
23
000
32
000
321...
963
642
9
6.
63
42
∈∀+=
∈
+
=
=
+=⇒
=+
=−⇒
−→→
−
−⇔
=
−
−
tttV
Rttty
tx
yx
yx
y
x
M
M
M
M
1 ;1 == ac pp . Como 1=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p<n, onde n é o número de colunas da matriz dos
coeficientes (= número de incógnitas), então o sistema possível é indeterminado, ou seja, a nulidade n-p=2-1=1. Portanto,
há uma variável livre no sistema.
e)
R )4(4V Portanto,
0
4
4
1
1
1
4
4
-4z-y
4z-
4110
4101...
4312
4321
4
4.
312
321
∈∀++=
−+
=
⇒
=
+−=
+=
⇒
=
=⇒
−−
−→→
−
−−⇔
−=
−
−
tt, tt, -
t
z
y
x
tz
ty
txx
y
x
M
M
M
M
2 ;2 == ac pp . Como 2=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p<n, onde n é o número de colunas da matriz dos
coeficientes (= número de incógnitas), então o sistema possível é indeterminado, ou seja, a nulidade
n-p=3-2=1. Portanto, há uma variável livre no sistema.
f) )3,2,1(
3100
2010
1001
...
6321
14232
2113
−=⇒
−→→
−
−−
V
M
M
M
M
M
M
87 3 ;3 == ac pp . Como 3=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p=n, onde n é o número de colunas da matriz
dos coeficientes (= número de incógnitas), então o sistema possível é determinado, ou seja, a nulidade n-p=3-3=0 indica
que não há variáveis livres no sistema.
g) )3,1,2(
3100
1010
2001
...
3103
8112
9321
−=⇒
−→→
−
− V
M
M
M
M
M
M
3 ;3 == ac pp . Como 3=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p=n, onde n é o número de colunas da matriz dos
coeficientes (= número de incógnitas), então o sistema possível é determinado, ou seja, a nulidade
n-p=3-3=0 indica que não há variáveis livres no sistema.
h)
R ts, r, t)t,-2 s, 2t,-1 r, t,3s(-2rV Portanto,
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2-
0
0
1
0
0
3
1
1-
0
2-
0
1
x
x
x
x
x
x
ainda, ou,
2
21
23
0000000
2110000
1200100
0103021
...
9349163
4123021
3213121
2013021
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
∈∀++=
+
+
+
=
=
−=
=
−=
=
−+=
⇒
−−
→→
−
−
−
−
rst
tx
tx
sx
tx
rx
rstx
M
M
M
M
M
M
M
M
3 ;3 == ac pp . Como 3=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p<n, o sistema possível é indeterminado, ou seja,
a nulidade n-p=6-3=3 indica que há três variáveis livres no sistema.
i) φ=⇒
=+++
=++
=
⇒
−−−
→→
−−−
V
wzyx 10000
63w2zy
-72w-z- x
10000
63210
72101
...
62101
117531
54321
M
M
M
M
M
M
3 ;2 == ac pp . Como ac pp ≠ o sistema é impossível.
j) )0,0,0(
0100
0010
0001
...
0212
0231
0321
=⇒
→→
−
− V
M
M
M
M
M
M
3 ;3 == ac pp . Como 3=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p=n, o sistema possível é determinado, ou seja, a
nulidade n-p=3-3=0 indica que não há variáveis livres no sistema.
l)
R t 1) 1,- 1, t(1,V ainda, ou, R t t)t,- t,(t,V Portanto,
. com
1
1
1
1
w
z
y
x
ainda, ou,
0
0 w-y
0w- x
01100
01010
01001
...
00121
01001
01111
∈∀=∈∀=
∈
−=
=
−=
=
=
⇒
=+
=
=
⇒
−→→
Rtt
tw
tz
ty
tx
wzM
M
M
M
M
M
3 ;3 == ac pp . Como 3=== ppp ac o sistema é possível. Como, ainda, p<n, o sistema possível é indeterminado, ou seja,
a nulidade n-p=4-3=1 indica que há uma variável livre no sistema.
88 02) a) b)
c) d)
e) f)
x
y
x - 3y= -7
2x -6y= 7 x
y
x
y
x+2y=10
2x-2y=-4
3x+5y=26
y
x
x
y
x
y
x+2y=10
2x-2y=-4
3x+5y=20
x
y
y
x
3x-6y=9
2x-4y=6
x
y
x + 2y - 3z = - 4
2x + y - 3z = 4
y
x
z
x
y
z
z
y
x
2x - 3 y + 2 z =14
x +2 y +3 z =6
3x + y – z = - 2
89 05)
a) φ=S . Sistema impossível.
b) S=P. Sistema possível e determinado
c) φ=S . Sistema impossível.
d) φ=S . Sistema impossível.
e) S=P. Sistema possível e determinado
f) S=r ou s ou t, com , 333222111 cybxa, tcybxascybxar =+==+==+= . Sistema possível e indeterminado.
06)
a) φ=S . Sistema impossível.
b) S=α ou β ou π , onde , , 333322221111 dzcybxadzcybxadzcybxa =++==++==++= πβα .
Sistema possível e indeterminado.
c) φ=S . Sistema impossível.
d) φ=S . Sistema impossível.
e) S=t. Sistema possível e indeterminado.
f) S = P, onde P é o ponto de interseção da reta t com o terceiro plano. Sistema possível e determinado.
10)
a) Sistema possível e indeterminado se a=3; Sistema impossível se a = -3
Sistema possível e determinado se 3≠a e 3−≠a
b) Não há valor real de a para que o sistema seja possível e indeterminado.
Sistema impossível se 6ou 6 −== aa ; Sistema possível e determinado se 6≠a e 6−≠a .
c) Sistema possível e indeterminado se a=0 e b=0 ou a=1 e b=1; Sistema impossível se 0 e 0 ≠= ba
d) Sistema possível e indeterminado se 1 e 1ou 1 e 2 −=−=−== baba
Sistema impossível se 1 e 1ou 1 e 2 −≠−=−≠= baba ; Sistema possível e determinado se 2≠a e 1−≠a .
11) RX ∈
−
= r com ,
1
0
1
r 12) RX ∈
= tcom,
0
t 13) Sistema impossível
16) a) Dica: Escreva o sistema na forma AX=B e substitua X dado na equação matricial. Se satisfizer a equação, então X
dado é uma solução para o sistema.
17) a) Se VU ≠ o sistema é possível e indeterminado.
90
19) R. tcom
1
2/1
1
2z2y
2z2x 222 ∈
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=⇒→+ t
z
y
x
tz
ty
tx
OzHyOxH Ou seja, se z=1, então x= 1 e y =1/2.
20) a) ⇒
=
=
=
=
⇒
−
−
−
→→
−
−
−
−
⇒
=
=
=
=
⇒+→+
tw
tz
ty
tx
OwHzSiFySiOxHF2/
2/
2
00000
02/1100
02/1010
02001
...
01020
00110
00401
02001
w2y
zy
4zx
2wx
242
M
M
M
M
M
M
M
M
R. tcom
1
2/1
2/1
2
∈
=
⇒ t
w
z
y
x
Caso se deseje t=3, por exemplo, então x=6, y=1,5 , z=1,5 e w=3.
b) R tcom
1
4
2
4
2
0410
0201...
0225
0012
2z25x
y2x 2252 ∈
=
⇒
=
=
=
⇒
−
−→→
−−
−⇒
+=
=⇒+→ t
z
y
x
tz
ty
tx
yzOyNOOxN
M
M
M
M
c)
⇒
=
=
=
=
⇒
−
−
−
→→
−−
−
−−
−
⇒
+=
=
+=
=
⇒++→
tw
tz
ty
tx
w
zywCOOzHyNHCONHx
2
00000
01100
02010
01001
...
02103
01001
00238
00012
2wz3x
x
238x
y2x
)( 223324
M
M
M
M
M
M
M
M
Rtt
w
z
y
x
com
1
1
2
1
∈
=
⇒
91 REFERÊNCIAS
Cap. 1 Sistemas de coordenadas
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000, V 2, 6 ed.
LEHMANN, Charles H. Geometria analítica. Rio de Janeiro: Globo, 1987, 6 ed.
RIGHETTO, Armando. Vetores e geometria analítica. São Paulo, IBEC, 1982, 5 ed.
Cap. 2 - Matrizes
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3 ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
HOFFMAN, Kenneth; KUNZE, Ray. Álgebra linear. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1979.
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear. 6 ed. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
KRAUSE, Décio. Álgebra linear: matrizes. Apostila. 197_.
LIMA, Elon Lages. Curso de análise. V 1. 5 ed. Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, 1976.
PENNEY, David E.; Jr EDWARDS, C. H. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
Cap. 3 - Determinantes
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3 ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear. 6 ed. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
PENNEY, David E.; Jr EDWARDS, C. H. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
Cap.4 – Sistemas lineares
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3 ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear. 6 ed. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
KRAUSE, Décio. Álgebra linear: matrizes. Apostila. 197_.
LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
PENNEY, David E.; Jr EDWARDS, C. H. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: PHB, 1998.
POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
