MDC e MMC Matematica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

Mximo Divisor Comum (M.D.C.)

&

Mnimo Mltiplo Comum (M.M.C.)

DANIELA GUERRA

HANNAH LACERDA

WESLEY S. V. BATISTA

WILLIAN VALVERDE

Curitiba

2011

SUMRIO

Introduo......................................................................................................................................................02

1. Mltiplos e Divisores............................................................................................................................03

1.1 - Critrios de Divisibilidade..............................................................................................04

2. Nmeros Primos.....................................................................................................................................07

3. Fatorao de um Nmero em Primos............................................................................................10

3.1 - Nmero de divisores de um nmero natural.........................................................11

4. Mximo Divisor Comum (m.d.c.).....................................................................................................13

5. Mnimo Mltiplo Comum (m.m.c.)..................................................................................................15

6. Relao entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois nmeros..................................................................17

7. Problemas Envolvendo m.m.c. e m.d.c..........................................................................................18

8. Plano de Aula............................................................................................................. ..............................22

Concluso.......................................................................................................................................................26

Bibliografia....................................................................................................................................................28

2

INTRODUO

Esta apostila contm um material terico abordando os conceitos de

divisibilidade e multiplicidade em ( ); uma introduo aos nmeros primos;

fatorao de nmeros naturais em fatores primos; Mximo Divisor Comum (m.d.c.),

suas propriedades e aplicaes; Mnimo Mltiplo Comum (m.m.c.), suas propriedades

e aplicaes; relaes entre m.m.c. e m.d.c. de dois nmeros.

Todos os conceitos abordados nesta apostila sero construdos dentro do

conjunto dos nmeros naturais = {0, 1, 2, 3, ...}.

uma apostila elaborada para professores de matemtica da educao bsica,

visando ser uma referncia terica e prtica para as aulas dos contedos abordados

nela, seja no ensino fundamental ou mdio.

Tomamos o cuidado de mostrar mais de uma forma de se entender e calcular

os conceitos vistos aqui, ficando a cargo do professor a escolha de mtodos e

definies utilizados em sala de aula.

Esta apostila contm tambm um plano de aula, visando atividades, no to

triviais, envolvendo o contedo da mesma, alm de alguns exerccios resolvidos.

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1. MLTIPLOS E DIVISORES

Um nmero divisvel por outro quando, ao ser dividido, o resultado sempre exato,

ou seja, o resto sempre igual a 0. Observe as divises abaixo:

As trs primeiras divises tm resto zero. So as chamadas divises exatas.

Nesses casos, dizemos que o nmero que est sendo dividido mltiplo do nmero que est dividindo e que o nmero que est dividindo divisor do nmero que est sendo dividido.

Nos exemplos acima temos que 10 mltiplo de 2, ou seja, 2 divisor de 10. Temos que 12 mltiplo de 3, ou seja, 3 divisor de 12. Tambm temos que 15 mltiplo de 3 e 3 divisor de 15.

Observe tambm:

Aqui temos que 10 mltiplo de 2 pois o resto da diviso de 10 por 2 0. Note

que o resultado desta diviso 5. Portanto 10 tambm mltiplo de 5, uma vez que o resto da diviso de 10 por 5 tambm zero, sendo 2 o resultado.

No entanto 9 no mltiplo de 2, conseqentemente 2 no divisor de 9, nem 15 mltiplo de 4, como 4 no divisor de 15.

Obs: Note que 3 divisor tanto de 15 quanto de 12 (e de outros nmeros

tambm). Ou seja, um nmero pode ser divisor de vrios outros. Note tambm que um nmero pode ter mais que um divisor, por exemplo, 4 e 10 so divisores de 20.

Notao: Vamos denotar por M(a) o conjunto dos mltiplos de a e por D(a) o

conjunto dos divisores de a.

Exemplos: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... } M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

4

Obs: O conjunto dos mltiplos de um nmero (diferente de 0) infinito. O

conjunto dos divisores de um nmero finito. O primeiro mltiplo de qualquer nmero 0. O primeiro divisor de qualquer nmero 1.

1.1 - CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE Os critrios de divisibilidade so regras utilizadas para verificar se um nmero

mltiplo ou divisor de outro sem efetuar a diviso. Essas regras so teis principalmente quando os nmeros so muito grandes. Divisibilidade por 2

Observe o conjunto:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... } Note que todo mltiplo de dois par, portanto para saber se um nmero

mltiplo de dois, ou se dois um divisor de um determinado nmero, basta verificar se seu ltimo algarismo par.

Exemplo: 21 368 mltiplo de 2 pois termina em 8, que par.

Divisibilidade por 3

Observe o conjunto: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...} Podemos observar que a soma dos algarismos mltiplos de 3 um nmero

mltiplo de 3. Ento basta somar os algarismos de um nmero e verificar se o resultado mltiplo de 3.

Exemplo: 25641 mltiplo de 3 pois 2 + 5 + 6 + 4 + 1 = 18, que mltiplo de 3. Aplicando o mesmo critrio em 18, temos 1 + 8 = 9, que mltiplo de 3. Divisibilidade por 4

Observe o conjunto: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... } Um nmero mltiplo de 4 se o nmero formado pelos seus dois ltimos

algarismos mltiplo de 4.

5

Exemplo: 7916 mltiplo de 4 pois 16 mltiplo de 4.

Divisibilidade por 5 Observe o conjunto: M(5)= {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...} Note que todos os mltiplos de 5 terminam em 0 ou 5. Exemplo: 45 785 mltiplo de 5 pois termina em 5.

Divisibilidade por 6 Observe o conjunto:

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...} A soma dos algarismos de um nmero mltiplo de 6 mltipla de 3 e o

nmero par. Exemplo: 24 132 mltiplo de 6 pois 2 + 4 + 1 + 3 + 2 = 12 , que mltiplo de

3 24 132 par.


Para saber se um nmero mltiplo de 7, devemos subtrair o dobro do seu

ltimo algarismo do nmero formado sem seu ltimo algarismo, e repetir o mesmo processo at encontrar 7 ou um mltiplo dele.

Exemplo: 165928 Ento devemos efetuar: 16592 (nmero sem o ltimo algarismo de 165928) -16 (dobro do ltimo algarismo, de165928)

16576 Repetindo o processo: 1657 -12 1645

6

164 -10 154 15 -8 7 Conclumos que 165928 mltiplo de 7.

Divisibilidade por 8 Para saber se um nmero mltiplo de 8 basta verificar se seus trs ltimos

algarismos so mltiplos de 8. Exemplo: 6144

Efetuando apenas 144:8 temos 18 como resultado e resto igual a 0. Ento 6144

mltiplo de 8.


Observe o conjunto:

M(9) = {0, 18, 27, 36, 45, 56, 63, 72, 81, 90, 99, 108 ...} Observe que a soma dos algarismos dos mltiplos de 9 mltiplo de 9. Exemplo: 8910 mltiplo de 9 pois 8 + 9 + 1 + 0 = 18, que mltiplo de 9. Divisibilidade por 10 Observe o conjunto: M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}

Todo mltiplo de 10 termina em 0. Exemplo: 352 450 mltiplo de 10 pois termina em 0. Obs: Existem outros critrios de divisibilidade no citados aqui.

7

2. NMEROS PRIMOS Dizemos que um nmero primo quando ele divisvel somente por 1 e por

ele mesmo. Observe os conjuntos: D(4) = {1, 2, 4} D(7) = {1, 7} D(15) = {1, 3, 5, 15} D(19} = {1, 19} Observe que 4 e 15 possuem mais divisores que 1 e ele mesmo, portanto esses

nmeros no so primos. No entanto, 7 e 19 possuem s dois divisores, 1 e o prprio nmero, ento

dizemos que esses nmeros so primos. O nmero 1 primo? Essa uma pergunta que no tem uma resposta precisa. H literaturas que

consideram o nmero 1 como primo e outras que no. No certo ou errado

considerar ou desconsiderar 1 como tal, o errado ser incoerente usando-o como

primo em alguns momentos e no o usando em outros.

Mais adiante, veremos alguns conceitos como fatorao de um nmero em

primos, m.m.c. e m.d.c.. Se considerarmos 1 como primo, perderemos a unicidade da

fatorao, a no ser que tomemos certos cuidados ao defini-la. Podemos tambm ter

certos problemas no clculo do m.m.c., se no tomarmos os devidos cuidados.

Por outro lado, utilizando a fatorao, teremos dificuldades em calcular o

m.d.c. de nmeros primos entre si, se desconsiderarmos 1 como primo. Mas isso

tambm pode ser resolvido tomando os devidos cuidados na definio de m.d.c..

Aqui no vamos considerar 1 como primo, mas faremos as observaes

necessrias aos conceitos se o utilizarmos como tal.

8

Tabela dos nmeros primos

O matemtico grego Eratstenes (276 194 a.C.) percebeu um processo para

determinar todos os primos at 100. Observe a tabela:

Processo: Risque o nmero 1 (se no for consider-lo como primo) Risque os mltiplo de 2, com exceo dele prprio.

Risque os mltiplos de 3, com exceo dele prprio. Risque os mltiplos de 5, com exceo dele prprio. Risque os mltiplos de 7, com exceo dele prprio.

Os nmeros que no foram riscados (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97) so primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

40 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

9

Obs: O conjunto dos nmeros primos infinito. A tabela acima, conhecida como Crivo de Eratstenes, mostra somente os primos menores que 100.

Reconhecimento de um nmero primo Para sabermos se um nmero primo devemos verificar se ele no mltiplo

de nenhum nmero primo menor que ele. Para fazer isso, dividimo-lo pelos primos, seguindo sua seqncia (2, 3, 5, 7, etc.), verificando se alguma diviso possui resto 0.

Se o resto de alguma diviso for 0, ento o nmero no primo, se nenhum diviso tiver resto 0 ento o nmero primo.

Obs: No necessrio dividir o nmero por todos os primos menor que ele, a

partir do momento em que o quociente da diviso for menor que o divisor, no mais necessrio efetuar divises.

Exemplo: Vamos verificar se 113 primo. 113 no mltiplo de 2, pois seu ltimo algarismo no par. 113 no mltiplo de 3, pois 1 + 1 + 3 = 5, que no mltiplo de 3. 113 no mltiplo de 5 pois seu ltimo algarismo no 0 ou 5. Vamos agora efetuar a diviso de 113 por 7: 113 : 7 = 16 resta 1

O quociente maior que o divisor, ento vamos efetuar a diviso de 113 por 11 113 : 11 = 10 resta 3 O quociente menor que o divisor, ento no mais necessrio efetuar

divises e 113 primo.

Para o professor:

Uma diviso no exata com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero primo.

Este mtodo funciona porque equivalente a testar se um nmero a primo

ou no dividindo ele por todo primo p , tal que, ap .

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3. FATORAO DE UM NMERO EM PRIMOS Fatorar, ou decompor, um nmero em fatores primos o mesmo que express-

lo atravs de um produto de nmeros primos. Esta fatorao, ou decomposio nica.

Por exemplo, podemos escrever o nmero 60 como: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 Da mesma forma temos: 15 = 3 . 5 24 = 2 . 2 . 2 . 3

Obs: Aqui, se considerarmos 1 como primo, ao inclu-lo na fatorao, esta deixa

de ser nica, por exemplo, 15 pode ser fatorado como: 15 = 1 . 3 . 5 ou 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 3 . 5 Note que a quantidade de vezes que multiplicamos o 1 pelos demais nmeros

no altera o valor do produto. Podemos resolver essa questo excluindo o 1 da fatorao por definio ou definindo que ele deva aparecer somente uma vez na mesma.

Obtendo a fatorao de um nmero em primos Para obtermos a forma fatorada de um nmero em um produto de primos,

devemos dividi-lo pelo menor primo divisor do mesmo, e aplicar esta mesma idia ao quociente da diviso at que este seja 1. A forma fatorada ser a multiplicao de todos os primos que dividiram o nmero e/ou os quocientes.

Por exemplo, vamos fatorar o nmero 120. O menor primo que divide 120 2, assim temos: 120 : 2 = 60 60 tambm divisvel por 2:

60 : 2 = 30 30 tambm divisvel por 2: 30 : 2 = 15 15 no divisvel por 2, ento partiremos para o prximo primo, 3. 15 divisvel por 3, ento: 15 : 3 = 5

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5 no divisvel por 3, ento partiremos para o prximo primo, 5. 5 divisvel por 5, ento 5 : 5 = 1 Ento a forma fatorada de 60 em primos 2 . 2 . 2 . 3 . 5 que igual a 60 Obs: se o conceito de potenciao j for conhecido, podemos fatorar 60 como

2 . 3 . 5 Podemos tambm decompor um nmero em primos, utilizando a mesma idia,

da seguinte forma:

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 forma fatorada. Todos os fatores so primos.

Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores primos.

3.1 NMERO DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NMERO NATURAL

Quantos so os divisores positivos de 120 ?

Os divisores positivos de 120 sero: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24,

30, 40, 60 e 120, num total de 16 divisores.

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Vamos mostrar uma forma de encontrar o nmero de divisores positivos de

120, utilizando um raciocnio conhecido com Princpio Fundamental da Contagem:

Fatorando o nmero 120, teremos: 120 = 8 . 3 . 5 = 2 . 3 . 5 = 2 . 3 . 5

Observe que sendo 120 = 2 . 3 . 5, claro que os divisores de 120 tero que

necessariamente serem nmeros da forma: 2 x . 3 y . 5 z , onde:

x = 0, 1, 2 ou 3;

y = 0 ou 1 ;

z = 0 ou 1.

Portanto, existem 4 valores possveis para x, 2 valores possveis para y e 2

valores possveis para z. Pelo Princpio Fundamental da Contagem, o nmero total de

possibilidades ser ento dada pelo produto 4 x 2 x 2 = 16.

Resposta: 120 possui 16 divisores positivos.

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4. MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Observe os conjuntos dos divisores de 16 e 24. D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Note que 1, 2, 4 e 8 so divisores tanto de 16 quanto de 24. Destes, 8 o maior

nmero, ento dizemos que 8 o mximo divisor comum (m.d.c.) de 16 e 24. Notao: m.d.c.(a, b) = mximo divisor comum de a e b.

Definio: quando o m.d.c. de dois nmeros for 1, dizemos que estes so primos entre si.

Clculo do m.d.c. de dois ou mais nmeros 1 mtodo: Uma forma de calcular o m.d.c. de dois ou mais nmeros a forma j vista no

exemplo anterior, observando o conjunto dos divisores de cada nmero, notando quais os divisores comuns entre eles e dentre estes qual o maior.

Exemplo: vamos calcular o m.d.c. de 20, 30 e 40.

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Os divisores comuns de 20, 30 e 40 so 1, 2, 5 e 10. Destes o maior 10. Ento, m.d.c.(10, 20, 30) = 10 2 mtodo: Outra forma de calcular o m.d.c. entre dois nmeros atravs da fatorao dos

mesmos. Tendo sido fatorados os nmeros, o m.d.c. o produto dos fatores primos comuns a todas as fatoraes.

Exemplo: vamos calcular o m.d.c. de 90, 135 e 180. Observe as fatoraes: 90 = 2 . 3 . 3 . 5 135 = 3 . 3 . 3 . 5 180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5

14

Note que o 3 e o 5 aparecem em todas as fatoraes, sendo que o 3 aparece pelo menos duas vezes em cada uma.

Ento o m.d.c.(90, 135, 180) = 3 . 3 . 5 = 45 Obs: Se o conceito de potenciao j for conhecido, podemos considerar o m.d.c.

de dois ou mais nmeros, como o produto dos fatores comuns a todos os nmeros, cada

qual com seu menor expoente.

Podemos tambm, utilizando a fatorao, calcular o m.d.c. da seguinte forma:

Ento o m.d.c.(80, 40) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 Aqui fizemos um processo em que, de certa forma, fatoramos os nmeros

simultaneamente, dividindo eles pelos primos que eram divisores de todos e repetindo o processo com os quocientes da diviso at que os mesmos no fossem divisveis pelo mesmo primo em comum.

Obs: Se no considerarmos 1 como sendo primo, ele no aparecer na fatorao dos nmeros, ento, quando tivermos nmeros primos entre si, no teramos nem um fator em comum, fazendo-se assim necessrio definir que quando

isso ocorre, o m.d.c. dos nmeros em questo 1, e conseqentemente, eles so primos entre si.

Exemplo: calcular o m.d.c. entre 9 e 14 pela fatorao, sem considerar 1 como

primo: 9 = 3 . 3 14 = 2 . 7

No h fatores em comum na fatorao de 9 e 14, ento, m.d.c.(9, 14) = 1 Da segue que 9 e 14 so primos entre si.

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5. MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)

O mnimo mltiplo comum (m.m.c.), de dois ou mais nmeros, o menor

nmero, diferente de 0, que mltiplo de todos eles. Observe os conjuntos: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...} Note que 0, 6, 12, 18, 24, ... so mltiplos tanto de 2 quanto de 3, destes, o

menor valor, diferente de 0, 6.

Ento dizemos que 6 o m.m.c. de 2 e 3. Notao: m.m.c.(a,b) = mnimo mltiplo comum de a e b. Clculo do m.m.c. de dois ou mais nmeros 1 mtodo: Uma forma de calcular o m.m.c. de dois ou mais nmeros a forma j vista no

exemplo anterior, observando o conjunto dos mltiplos de cada nmero, notando quais os mltiplos em comum entre eles e dentre estes qual o menor, diferente de 0.

Exemplo: vamos calcular o m.m.c. de 15, 20 e 30: M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135,...} M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...} M(30) = {0, 30, 60, 90, 120, 150, ...} Temos que 0, 60, 120, ... so mltiplos comum de 15, 20 e 30, destes, o de

menor valor, diferente de 0, 60. Ento, m.m.c.(15, 20, 30) = 60. 2 mtodo:

Outra forma de calcular o m.m.c. entre dois ou mais nmeros atravs da

fatorao. Tendo sido feita a fatorao dos nmeros, basta multiplicar todos os fatores diferentes que aparecem nas fatoraes. Caso um nmero aparea mais que uma vez em alguma fatorao, multiplicamos o mximo de vezes que ele aparece em uma nica fatorao.

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Obs: Se o conceito de potenciao j for conhecido, podemos considerar o m.m.c.

de dois ou mais nmeros, como o produto dos fatores comuns a todos os nmeros, cada

qual com seu maior expoente.

Exemplo: vamos calcular o m.m.c. de 5, 8 e 12. Fatorando os nmeros temos: 5 = 5 8 = 2 . 2 . 2 12 = 2 . 2 . 3 Note que apareceram 2, 3 e 5 nas fatoraes, sendo que a maior quantidade de

vezes que o 2 aparece trs vezes, na fatorao de 8. E 3 e 5 aparecem somente uma

vez. Ento, m.m.c. (5, 8, 12) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120

Podemos tambm, utilizando a fatorao, calcular o m.m.c. da seguinte forma:

Ento o m.m.c.(20, 40) = 2 . 2 . 2 . 5 = 40 Aqui, fizemos um processo em que, de certa forma, fatoramos os nmeros

simultaneamente. Observamos qual o menor primo que divide pelo menos um deles, ento dividimos ele por este primo, e o(s) outro(s) tambm, caso sejam divisveis. Repetimos o processo para os quocientes at que todos os quocientes sejam iguais a 1. Observaes:

Note que no consideramos aqui 1 como sendo primo, caso 1 seja considerado como tal, devemos tomar o cuidado de exclu-lo deste mtodo de clculo do m.m.c., caso contrrio, ficaramos dividindo os nmeros por 1 infinitamente.

Dados dois ou mais nmeros, se um deles mltiplo de todos os outros, ento ele o m.m.c. dos nmeros dados.

Dados dois nmeros primos entre si, o m.m.c. deles o produto desses nmeros.

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6. RELAO ENTRE O M.D.C. E O M.M.C. DE DOIS NMEROS

O produto de dois nmeros igual ao produto de seu m.d.c. pelo seu m.m.c. Exemplo: Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 14 e 21 m.d.c.: D(14) = {1, 2, 7, 14} D(21) = {1, 3, 7, 21} Os divisores comum de 14 e 21 so 1 e 7, estes o maior 7. Ento, m.d.c.(14, 21) = 7 m.m.c.: M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, ...} M(21) = {0, 21, 42, 63, 84, 105, ...} Os mltiplos comuns de 14 e 21 so: 0, 42, 84, ..., destes, o menor, diferente de

0, o 42. Ento, o m.m.c.(14, 21) = 42 Vamos calcular agora o produto do m.d.c.(14, 21) pelo m.m.c.(14, 21): 7 . 42 = 294 Vamos calcular tambm o produto de 14 por 21. 14 . 21 = 294 Com isso temos que vale a seguinte propriedade:

m.d.c.(a,b) . m.m.c.(a,b) = a . b

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7. PROBLEMAS ENVOLVENDO M.M.C. E M.D.C.

1) Um carpinteiro deve cortar trs tbuas de madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3 m respectivamente, em pedaos iguais e de maior comprimento possvel. Qual deve ser o comprimento de cada parte? Transformando as medidas em centmetros, vem: 240, 270 e 300 cm. Agora basta calcular o m.d.c. entre estes nmeros. Teremos, ento: m.d.c. (240, 270, 300) = 30. Logo, o carpinteiro dever cortar pedaos de madeira de 30 cm de comprimento.

2) Sabe-se que o m.d.c. (mximo divisor comum) de dois nmeros igual a 6 e

o m.m.c. desses mesmos nmeros igual a 60. Calcule o produto desses nmeros. Uma propriedade bastante conhecida :

Dados dois nmeros inteiros e positivos a e b , vlido que: m.m.c.(a,b) . m.d.c.(a,b) = a . b Da, vem imediatamente que: a . b = m.m.c.(a,b) . m.d.c.(a,b) = 6 . 60 = 360

3) Numa linha de produo, certo tipo de manuteno feita na mquina A a cada 3 dias, na mquina B, a cada 4 dias, e na mquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuteno nas trs mquinas, aps quantos dias as mquinas recebero manuteno no mesmo dia. Temos que determinar o m.m.c. entre os nmeros 3, 4 e 6.

m.m.c. (3, 4, 6) = 2 x 2 x 3 = 12 Conclumos que aps 12 dias, a manuteno ser feita nas trs mquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

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4) Qual o nmero de divisores positivos de 3200?

Fatorando o nmero 3200, vem: 3200 = 27 x 52 . Portanto, o nmero de divisores positivos de 3200 ser igual a: (7+1) . (2+1) = 8 x 3 = 24. Portanto, 3200 possui 24 divisores positivos. Nota: o nmero de divisores positivos de am . bn dado pelo produto (m + 1).(n + 1) .

5) A passagem conjunta de dois cometas pela terra acontece a cada 2.280 anos. Se o perodo de um deles de 120 anos, ento qual poderia ser o perodo do outro.

2280/120 = 19 O perodo do outro cometa poderia ser de 19 anos.

Mas existem outras solues para este problema, para isso necessrio saber por quais nmeros 120 divisvel, fazendo a decomposio:

120 | 2 ..60 | 2 ..30 | 2 ..15 | 3 ....5 | 5

....1 120 = 2 x 3 x 5 Ento 120 divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 (alm de 1 e 120). Para calcular outros perodos para o 2 cometa, basta multiplicar 19 pelos nmeros divisveis por 120. 19 x 1 = 19 anos (aquele que foi calculado anteriormente) 19 x 2 = 38 anos 19 x 3 = 57 anos 19 x 4 = 76 anos 19 x 5 = 95 anos 19 x 6 = 114 anos

19 x 8 = 152 anos 19 x 10 = 190 anos 19 x 12 = 228 anos 19 x 15 = 285 anos 19 x 20 = 380 anos 19 x 24 = 456 anos 19 x 30 = 570 anos 19 x 40 = 760 anos

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19 x 60 = 1.140 anos

19 x 120 = 2.280 anos Estes so os outros perodos para o 2 cometa.

6) Na fila da bilheteria de um teatro h menos de 50 pessoas. Contando essas

pessoas de 6 em 6 sobram 5. Contando de 7 em 7 tambm sobram 5. Quantas pessoas esto na fila nesse momento? Seja x o nmero de pessoas na fila. Temos que )5( x mltiplo de 6, pois se contarmos essas pessoas de 6 em 6 sobram

5.

Temos tambm que )5( x mltiplo de 7, pois se contarmos essas pessoas de 7 em

7 sobram 5.

Ento vamos considerar yx )5( , ento y mltiplo de 6 e de 7.

Calculando o mnimo mltiplo comum de 6 e de 7 teremos: m.m.c.(6, 7) = 2 x 3 x 7 = 42. Agora vamos considerar 42y , com isso temos: 42)5( yx 425 x

542x 47x

Como o enunciado diz que h menos de 50 pessoas na fila, a nica soluo possvel

47x

7) Esto participando da gincana da escola 80 meninos e 60 meninas. A professora quer formar equipes masculinas e femininas com o maior nmero possvel de alunos. Quantas equipes sero formadas? Quantos alunos ter cada equipe? Primeiramente vamos calcular o m.d.c.(80, 60) m.d.c.(80, 60) = 20, agora sabemos que o maior nmero de alunos para cada equipe ter que ser 20, pois o mximo divisor comum a 80 e 60. Temos que 80 + 60 = 140, ou seja no total teremos 140 alunos.

Se cada equipe ser formada por 20 alunos, ento teremos 140/20 = 7 que ser o nmero de equipes formadas. R: so 7 equipes formadas cada uma por 20 alunos.

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8) Seja P o nico ponto de passageiros que comum nas duas linhas circulares

de nibus. Dois nibus, A e B, com velocidades mdias iguais, circulam ininterruptamente. O percurso feito pelo nibus A tem 6Km de extenso, enquanto o percurso feito pelo nibus B tem 15Km. Se eles partirem ao mesmo tempo do ponto P, a prxima oportunidade de se encontrarem novamente no ponto P ser depois que o nibus A tiver completado quantas voltas? Vamos calcular o m.m.c. de 6 e 15, m.m.c.(6, 15) = 30. Agora sabemos que at eles se encontrarem novamente no ponto P, o nibus A ter dado 5 voltas em seu percurso enquanto o nibus B ter dado apenas 2 voltas. R: O nibus A ter dado 5 voltas.

9) Sempre que determinada pessoa anda 650cm, 800cm e 1000cm, ela d um nmero exato de passos. Qual o maior comprimento possvel de cada passo dado por essa pessoa?

Para resolver este problema basta calcular o m.d.c. entre 650, 800 e 1000. Vamos decompor esses nmeros em fatores primos: 650 = 2 x 5 x 5 x 13 800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 1000= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 Agora multiplicamos os fatores primos comuns aos trs nmeros:

m.d.c.(650, 800, 1000) = 2 x 5 x 5 = 50 R: O maior comprimento possvel de cada passo de 50 cm.

10) Determine o menor nmero inteiro positivo de trs algarismos, que divisvel, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

Ser divisvel por 4, 8, 12 ser mltiplo. Desta forma procuramos o m.m.c.

m.m.c. (4, 8, 12) = 24

Como 24 no tm trs algarismos, o nmero procurado dever ser mltiplo de 24 que tenha trs algarismos.

Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120 O menor mltiplo positivo de 24 de trs algarismos 120, que deste modo

o nmero procurado.

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8. PLANO DE AULA Contedo: m.m.c. e m.d.c. Durao: Duas aulas. Materiais: Quadro e giz. Objetivos Gerais:

Compreenso do problema, pensando sobre qual a incgnita, quais so os dados fornecidos, e os artifcios de que dispomos para a resoluo dos problemas;

Estabelecimento de um plano para a resoluo dos problemas, pensando se algo semelhante j foi visto e/ou conexes com situaes parecidas;

Comparao de maneiras diferentes de resolver problemas, compreendendo

os conceitos de m.m.c. e m.d.c. como instrumentos para a resoluo dos mesmos;

Aps a resoluo dos problemas, verificao do resultado, pensando se

possvel chegar a ele por outro caminho. Qual o melhor caminho? Objetivos Especficos:

Execuo do plano para a resoluo de problemas aplicando os conceitos de m.m.c. e m.d.c.

Metodologia: Resoluo de Problemas. Segundo Maria Ignez Diniz (2001), a Resoluo de Problemas como processo de aplicar conhecimentos previamente adquiridos a situaes novas, traz o enfoque no caminho para se chegar resposta, que no simplesmente o objetivo final. Ela

completa dizendo que, dessa forma, nos preocupando em ensinar a resolver problemas, os alunos aprendem Matemtica. Para que essa metodologia seja eficaz, no podemos adotar apenas problemas convencionais que, com o tempo, podem levar o aluno a uma fragilidade frente desafios maiores, afirma Diniz (2001). Portanto, os problemas devem apresentar situaes que no apresentem solues evidentes e que exijam que aluno combine seus conhecimentos e faa a escolha por um determinado caminho para se chegar resposta. Diniz (2001) afirma ainda que o aluno deve participar da elaborao das ideias, construindo o conhecimento. Dessa forma, o caminho no s de ida. Aps o fim da resoluo, deve-se pensar sobre os resultados obtidos, e fazer novos questionamentos.

Aulas: Pensando nos objetivos gerais e na metodologia, propomos retomar os

contedos de m.m.c. e m.d.c. atravs da Resoluo de Problemas. Para isso, necessrio que o professor estimule os alunos a proporem ideias e a construir resolues. As perguntas podem ser encaminhadas para se chegar aos clculos do m.m.c. e do m.d.c. como estratgias finais.

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Problema 1 - Numa linha de produo, certo tipo de manuteno feita na mquina A, a cada 3 dias, na mquina B, a cada 4 dias, e na mquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuteno nas trs mquinas, aps quantos dias as mquinas recebero manuteno no mesmo dia?

O que a gente procura? Procuramos saber o prximo dia de manuteno comum s trs mquinas. Podemos observar um calendrio e encontrar os dias de manuteno de cada

uma das mquinas.

DEZEMBRO

Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado Domingo

01 02

(A,B,C) 03 04

05

(A)

06

(B) 07

08 (A,C)

09 10 (B)

11 (A)

12 13 14

(A,B,C)

15 16 17 (A)

18 (B)

19 20

(A,C) 21

22 (B)

23 (A)

24 25 26

(A,B,C) 27 28

29 (A)

30 (B)

31 ...

Mas e se tivssemos mais mquinas, ou se a manuteno demorasse mais a

acontecer? Demoraramos muito construindo um calendrio e analisando cada

situao. Vamos ento procurar outro mtodo para a resoluo desse problema. Vamos pensar qual o contedo matemtico envolvido nesse problema, ou seja,

o que ele diz matematicamente. Como precisamos encontrar um dia em comum para a manuteno de todas as

mquinas, temos que encontrar um mltiplo comum a todos os intervalos de tempo para manuteno de cada mquina. Mas como queremos saber o prximo dia, esse mltiplo deve ser o menor deles, ou seja, procuramos o mnimo mltiplo comum, m.m.c..

Temos que determinar o m.m.c. entre os nmeros 3, 4 e 6. Quais so os mtodos que temos para encontrar o m.m.c.? Podemos encontrar os primeiros mltiplos de cada nmero, at um que seja

comum a todos eles. M(3)=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...

M(4)=0,4,8,12,16,20,24,... M(6)=0,6,12,... Como queremos o prximo dia, no podemos usar o zero como o m.m.c.. Dessa forma, temos que m.m.c.(3,4,6)=12. A decomposio simultnea em nmeros primos outra possibilidade:

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m.m.c. (3, 4, 6) = 2 x 2 x 3 = 12 Conclumos que aps 12 dias, a manuteno ser feita nas trs mquinas.

Portanto, dia 14 de dezembro. Problema 2 - Seja P o nico ponto de passageiros que comum nas duas linhas circulares de nibus. Dois nibus, A e B, com velocidades mdias iguais, circulam ininterruptamente. O percurso feito pelo nibus A tem 6 km de extenso, enquanto o percurso feito pelo nibus B tem 15 km. Se eles partirem ao mesmo tempo do ponto P, a prxima oportunidade de se encontrarem

novamente no ponto P ser depois que o nibus A tiver completado quantas voltas? O que procuramos? Procuramos saber quantas voltas o nibus A ter dado at que ele o nibus B se encontrem novamente no ponto P. Para isto, pensemos o seguinte: o nibus A deve dar um nmero X de voltas de modo que esse nmero coincida como o nmero de voltas que o nibus B dar.

Assim, devemos calcular o mnimo mltiplo comum de 6 e de 15. Vamos calcular o m.m.c. de 6 e 15. m.m.c.(6, 15) = 30. Assim, quando o nibus B tiver dado 2 voltas, (ou seja, 2.15 km = 30 km), o

nibus A ter que ter dado 6.x km = 30 km, ou seja x = 5 voltas.

Agora sabemos que at eles se encontrarem novamente no ponto P, o nibus A ter dado 5 voltas em seu percurso enquanto o nibus B ter dado apenas 2 voltas.

Problema 3 - Sempre que uma pessoa anda 650cm, 800cm e 1000cm, ela d um nmero exato de passos. Qual o maior comprimento possvel de cada passo dado por essa pessoa?

O que procuramos neste problema? Procuramos o maior comprimento do passo dado pela pessoa. Como fazer isso? Vamos pensar qual o contedo matemtico pode estar envolvido neste

problema. Precisamos encontrar o maior comprimento do passo, para isso, basta que

calculemos o m.d.c. entre 650, 800 e 1000. Para isso, vamos decompor cada um desses nmeros em fatores primos: 650 = 2 x 5 x 5 x 13 800 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 1000= 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5

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Agora, consideremos apenas os fatores que so comuns aos trs nmeros, ou

seja, o fator 2 aparece comum aos trs nmeros uma vez; o fator 5 aparece comum aos trs nmeros por duas vezes. Assim, multiplicamos os fatores primos comuns aos trs nmeros, que ser o m.d.c. dos nmeros procurados: m.d.c.(650, 800, 1000) = 2 x 5 x 5 = 50

Ou, seja, o maior comprimento possvel de cada passo dado pela pessoa de 50 cm.

Problema 4 - Na fila da bilheteria de um teatro h menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas de 6 em 6 sobram 5. Contando de 7 em 7 tambm sobram 5. Quantas pessoas esto na fila nesse momento?

O que procuramos? A quantidade de pessoas na fila, sabendo que essa quantidade menos 5

pessoas mltipla de 6 e de 7. Vamos ento, pensar em incgnitas. Seja x o nmero de

pessoas na fila. Temos que (x-5) mltiplo de 6, pois se contarmos essas pessoas de 6 em 6

sobram 5. Temos tambm que (x-5) mltiplo de 7, pois se contarmos essas pessoas de 7

em 7 sobram 5. Vamos considerar (x-5) = y, ento y mltiplo de 6 e de 7. Temos que encontrar um nmero que seja tanto mltiplo de 6, quanto de 7.

Existem vrias possibilidades, mas sabemos que esse nmero deve ser menor do que 50. Dessa forma, podemos calcular o menor deles.

Calculando o mnimo mltiplo comum de 6 e de 7 teremos: m.m.c.(6, 7) = 2 x 3 x 7 = 42.

Agora vamos considerar y=42, com isso temos: x-5 = y = 42 x-5 = 42 x = 42+5 x = 47 Como o enunciado diz que h menos de 50 pessoas na fila, a nica soluo possvel x=47pessoas.

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CONCLUSO

Aplicamos as aulas nos Colgios Estaduais Roberto Langer Junior e Lcia Bastos, em Curitiba, em duas turmas de 7 srie, e em uma turma de 6a srie do Ensino Fundamental, respectivamente. Cada turma disps de duas aulas para as atividades.

A nossa maior preocupao era com a disciplina da turma. Gostaramos que os alunos prestassem ateno na aula, se interessassem pelo assunto e tentassem resolver os problemas propostos.

Optamos ento por intrig-los, por desafi-los de tal forma que no ficasse evidente o que de fato estvamos fazendo ali. Buscvamos quebrar aquele medo j natural dos alunos de uma aula tradicional. Por este motivo, optamos por uma metodologia de resoluo de problemas.

Quando chegamos primeira sala de 7a srie, encontramos uma turma bem agitada, os alunos levaram alguns minutos para se sentarem em seus lugares. Enquanto um professor fez uma breve apresentao do grupo, outro escreveu o enunciado do primeiro problema no quadro.

Ao ler o enunciado do problema, verificou-se que boa parte dos alunos comeou a se interessar pelo mesmo, tentando encontrar alguma forma para resolv-lo.

Se tivssemos dado uma breve reviso do contedo, ou se simplesmente tivssemos dito que se tratava de um problema de M.M.C., certamente os alunos teriam mais facilidade para resolv-lo, no entanto, esse no o nosso objetivo, pois eles poderiam simplesmente aplicar o contedo sem se preocupar em entend-lo e saber por que ele se aplica quele problema.

Aps um tempo pensando, com algumas dicas e questionamentos direcionados feitos pelo professor, surgiu a idia de montar um calendrio e marcar os dias que

seriam feita manuteno nas mquinas. Sem muita dificuldade, verificou-se a resposta. No entanto, ao serem questionamos pelo professor, se esse mtodo seria o mais eficaz para encontrar a resposta caso as mquinas levassem mais tempo para que outra manuteno fosse feita, como 27, 49 e 63 dias, por exemplo, os alunos perceberam que montar um calendrio poderia ser algo muito demorado.

Ento os alunos comearam a perceber, com o auxilio do professor, quais as propriedades que estavam pro trs do problema e da soluo, e foram construdos os conceitos de mltiplos, mltiplo comum e de mnimo mltiplo comum. Ao relembrar como se calculava o M.M.C. de dois nmeros, tambm foi trabalhado o conceito de nmero primo e regras de divisibilidade.

Partimos ento, para o segundo problema. Com o auxilio do professor, inicialmente os alunos perceberam que haveria

diversas solues possveis, mas no tinham certeza que a sua soluo era de fato a maior possvel, ento analisando essas possveis solues verificou-se que elas se tratavam de divisores comuns dos nmeros em questo. Como queramos a maior soluo, bastava ento calcular o M.D.C. para se obter a resposta. Novamente, os conceitos foram construdos analisando o problema.

Fomos ento para segunda turma, a primeira aula se desenrolou da mesma forma. J na segunda aula foram passados outros dois exerccios para os alunos.

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No primeiro problema notou-se certa relutncia dos alunos em faz-lo devido

ao enunciado ser um pouco mais extenso do o que eles estavam acostumados. Com o segundo problema, com enunciado mais curto, notou-se uma maior facilidade.

Voltamos ento primeira turma para aplicarmos estes dois ltimos problemas. Percebemos que esta turma demonstrou maior interesse em solucion-los e, no geral, tiveram maior facilidade para encontrar a soluo.

No geral, os alunos mostraram um bom domnio de aritmtica, sabiam realizar as operaes necessrias e sabiam calcular os conceitos necessrios, no entanto demonstram muito dificuldade em aplicar esse conhecimento em problemas que envolviam interpretao. Isso se d devido ausncia desse tipo de problemas no cotidiano escolar dos alunos.

Nas sextas sries, o comportamento dos alunos em relao metodologia foi semelhante, no entanto houve uma dificuldade muito grande dos alunos em resolver os problemas. Verificamos que apesar de que os alunos j devessem ter certa ideia do

contedo, muitos nunca tinham sequer visto os conceitos de mltiplo, divisor, etc. Ento foi necessria uma quantidade maior de aulas para completar o plano de aula.

Conclumos que a metodologia de resoluo de problemas resgata a questo de

interpretao de problemas, e a suas solues atravs de conceitos matemticos. Alm do mais, este mtodo, quando utilizado para construir conceitos, faz com que estes faam mais sentido, assim como a matemtica como um todo.

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BIBLIOGRAFIA

SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I.. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades para

aprender matemtica. Porto Alegre: ARTMED, 2001.

POLYA, G. A.. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Intercincia, 1995.

DOS SANTOS, J. A.. Matemtica para concursos 6 parte. Acedido em: 21 de

abril de 2011.

http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos006.asp

TESTONI, P. e CARVALHO, H.. Problemas com MDC e MMC (2). Acedido em

22 de abril de 2011.

http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=2&t=5846

Klick Educao - Mltiplos e Divisores. Acedido em 20 de abril de 2011.

http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-945-

5584,00.html

SODR, U.. Ensino Fundamental: Critrios de Divisibilidade, Acedido em 20 de

abril de 2011.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm

Documents

MDC e MMC Matematica