Mdulo 1 - Centros de Estudos de Jovens e Adultos | Rede seus conhecimentos de potenciao, radiciao e equaes do primeiro ... Eles tinham um sistema de numerao prprio e deixaram muita

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  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 1

    Mdulo 1 Unidade 4

    Equaes do segundo grau Para incio de conversa...

    Nesta unidade, vamos avanar um pouco mais nas resolues de equa-

    es. Na unidade anterior, voc estudou sobre as equaes de primeiro grau.

    Desta vez, vamos focar nas equaes do segundo grau. Esses tipos de equaes

    ajudaro a resolver problemas como este:

    Um operrio foi contratado para construir uma calada em volta de dois

    lados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo

    O terreno mede 20m por 30m e a calada deve ter sempre a mesma lar-

    gura em ambos os lados. Sabendo que o operrio dispe de 72m2 de lajotas

    para fazer a obra, qual deve ser a largura da calada?

    Perceba que, nesse caso, a primeira coisa que precisamos organizar o pro-

    blema de tal forma que possamos encontrar a medida procurada. A organizao,

    desta vez, cair em uma equao do segundo grau. Tente encontrar a equao e

    se voc j sabe como resolv-la, v em frente. Se no souber, no se preocupe, ao

    final de unidade retornaremos a esse problema e voc ver que no h segredos.

  • Mdulo 1 Unidade 42

    Objetivos de aprendizagem Reconhecer equaes do segundo grau.

    Resolver equaes do segundo grau completas e incompletas.

    Utilizar equaes do segundo grau, para resolver problemas.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 3

    Seo 1 E agora? O x est elevado ao quadrado

    As equaes do segundo grau so aquelas que apresentam sua incgnita com grau (expoente) igual a 2. Elas

    podem aparecer de quatro formas:

    1. ax2=0

    2. ax2+c=0

    3. ax2+bx=0

    4. ax2+bx+c=0

    Nessas equaes, a, b e c representam nmeros, denominados coeficientes da equao. Veja alguns exemplos

    de equaes do segundo grau:

    1. 2x2=0

    2. x2-4=0

    3. 3x2+3x=0

    4. x2-5x+6=0

    Inicialmente, vamos resolver equaes do segundo grau, nas quais a letra x s aparece na forma x2, como nos casos

    1 e 2 (2x2=0 e x2 4=0), mostrados acima. Utilizaremos a mesma ideia do princpio da igualdade, j vista anteriormente.

    Para comear, considere a seguinte equao:

    x =2 25 0

    Somando 25 em ambos os lados da igualdade teremos:

    x =2 25

    Observe que o valor de x procurado aquele que elevado ao quadrado tem como resultado 25. O primeiro nme-

    ro que nos vem mente seria 5. Mas no podemos nos esquecer que ( ) =25 25 ; logo, 5 tambm um possvel valor.

    Assim, teramos duas possveis solues: x = 5 e x = 5.

    Poderamos ainda utilizar o seguinte raciocnio:

    x =2 25 0

    Somando 25 em ambos os lados da igualdade teremos

    x =2 25

  • Mdulo 1 Unidade 44

    Se estamos procurando um valor para x que elevado ao quadrado d 25, podemos pensar que o valor procu-

    rado nada mais do que a raiz quadrada de 25, que 5. No entanto, temos de considerar que a raiz quadrada de um

    nmero ao quadrado o mdulo desse nmero. Assim:

    x =2 25 e, como x =2 |x|, temos que:

    | x |= 25 (L-se mdulo de x igual a 25 )

    x = 25

    ou

    x = 5

    Logo, teramos duas possveis solues: x = 5 e x = 5.

    Mdulo

    O mdulo de um nmero x representado por |x| e temos:

    x se x 0|x| =

    -x se x

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 5

    Papiro de Moscou

    Os dois documentos mais importantes de que dispomos para o estudo da Matemtica egpcia so: o papiro Rhind e o papiro de

    Moscou, este ltimo de autoria desconhecida.

    Utilizando seus conhecimentos de potenciao, radiciao e equaes do primeiro

    grau, resolva as equaes.

    a. x =22 200 0

    b. x + =25 20 25

    c. 9 x2 18 = 0

    Para realizar essa atividade, voc pode utilizar sua calculadora para encontrar os valores aproximados das razes quadradas.

    Perceba que nem todas as razes tero como resultado n-meros inteiros. Nesse caso, voc poder optar por deixar o resultado na forma de raiz mesmo.

    Razes quadradas de nmeros negativos no pertencem ao conjunto numrico que estamos considerando agora. Portanto, toda vez (aqui, nesse contexto) que isso ocorrer, considere a equao como insolvel, ou seja, equao no tem soluo. Isto : no existem valores de x que satisfaam a igualdade. Nesse caso, a equao insolvel no conjunto dos nmeros Reais !!!

  • Mdulo 1 Unidade 46

    Seo 2 Resolvendo equaes do segundo grau, colocando um fator comum em evidncia

    Observe os retngulos abaixo, suas medidas e suas reas:

    Agora observe os mesmos trs retngulos dispostos de outra forma:

    Podemos ento dizer que x.a x.b x.c x.(a b c)+ + = + + . O processo de passagem da primeira representao

    para a segunda o que denominamos fatorao, ou seja, a escrita de uma expresso ou nmero em forma de multi-

    plicao. No caso mostrado acima, o processo de fatorao utilizado denominado fator comum em evidncia, que

    corresponde a multiplicar a expresso dada pelo fator comum, no caso, x.

    Vamos agora utilizar este processo, para resolver algumas equaes do segundo grau. Observe.

    x x =2 6 0

    Vamos colocar o x em evidncia:

    x.( x ) =6 0

    Observe que temos uma multiplicao de x por (x 6). Essa multiplicao deve ter zero como resultado. Para que

    isso ocorra, temos duas possibilidades: ou x igual a zero ou (x 6) igual a zero. Isso nos levar aos possveis valores para x:

    x = 0

    Ou

    x =6 0 x = 6

    Logo, temos duas possveis solues: x = 0 e x = 6.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 7

    Vamos agora utilizar o fator comum em evidncia, para resolver as equaes do

    segundo grau a seguir:

    a. 3x2 x = 0

    b. 2x2 + 23x = 0

    c. 5x2 56x = 0

  • Mdulo 1 Unidade 48

    Seo 3 Resolvendo equaes do segundo grau, utili-zando outro caso de fatorao

    Observe o quadrado a seguir:

    H duas formas de representar sua rea:

    1. A primeira seria fazendo (a + b) . (a + b). Ou seja, (a + b)2.

    2. A segunda seria a partir da soma das suas partes fazendo a2 + 2.ab. + b2.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 9

    Podemos ento dizer que ( )a b a ab b+ = + +2 2 22 ou ( )a ab b a b+ + = + 22 22 .

    A primeira forma de escrita, ( )a b a ab b+ = + +2 2 22 , um produto notvel conhecido com o nome de qua-drado da soma de dois termos.

    A segunda igualdade, ( )a ab b a b+ + = + 22 22 , uma fatorao j que transforma uma expresso algbrica em um produto e leva o nome de trinmio quadrado perfeito.

    Vamos comear resolvendo a seguinte equao:

    (x + 3)2 =0

    Para que a igualdade seja verdadeira, necessrio considerar que (x + 3) deve ser um valor que elevado ao

    quadrado tem zero como resultado. Ora, apenas o prprio zero satisfaz. Logo:

    x + 3 = 0

    Ento,

    x = 3

    Portanto, neste caso, teramos apenas um resultado possvel para x.

    Utilizando a ideia de produtos notveis, podemos perceber que:

    ( x ) x x+ = + +2 23 6 9

    Dessa forma, poderamos resolver a equao:

    x x+ + =2 6 9 0

    Substituindo x x+ +2 6 9 por ( x )+ 23 , assim:

    ( x )+ =23 0

    O que nos levaria ao resultado x = 3, como calculado anteriormente.

    Resolva agora as seguintes equaes do segundo grau:

    a. (x 4)2 = 0

    b. (x + 5)2 = 0

    c. (x 9)2 = 0

  • Mdulo 1 Unidade 410

    Desenvolva os seguintes produtos notveis:

    a. (x 4)2 =

    b. (x + 5)2 =

    c. (x 8)2 =

    Utilizando as fatoraes vistas anteriormente, resolva as seguintes equaes:

    a. x2 8x + 16 = 0

    b. x2 + 10 x + 25 = 0

    c. x2 16 x + 64 = 0

    Seo 4 Uma frmula para resolver equaes do se-gundo grau

    Os mtodos que vimos anteriormente so maneiras rpidas de resolvermos equaes do segundo grau que

    possuem caractersticas especiais. No entanto, h uma frmula que nos auxilia na resoluo de qualquer tipo de

    equao do segundo grau, inclusive as anteriormente citadas. A frmula para equaes do tipo a.x b.x c+ + =2 0 , a

    seguinte:

    b b acx

    a

    =2 4

    2

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 11

    No Brasil, essa frmula conhecida como Frmula de Bskara. Machado (2003), no entanto, afirma que

    essa denominao exclusividade do Brasil. Em outros pases, ela conhecida simplesmente como a

    frmula geral para resoluo da equao do segundo grau, sem qualquer referncia a Bskara, que foi

    um matemtico indiano do sculo XII. A descoberta da frmula costuma ser atribuda aos babilnios

    antigos e sua formalizao ao matemtico persa Al-Khowarizmi.

    Uma demonstrao dessa frmula:

    2

    2

    2 2

    2

    2 2 2

    2 2

    2

    0

    (4 )( ) (4 ).0

    4 4 4 0

    (2 ) 2(2 ) 4

    (2 ) 2(2 ) 4

    (2 ) 4

    | 2 | 4

    ax bx c

    a ax bx c a

    a x abx ac

    ax ax b ac

    ax ax b b ac b

    ax b b ac

    ax b b ac

    + + =

    + + =

    + + =

    + =

    + + = +

    + =

    + =

    Pela definio de mdulo, temos:

    2

    2

    2

    2 4

    2 4

    4

    2

    ax b b ac

    ax b ac b

    b b acx

    a

    + =

    =

    + =

    2

    2

    2

    2 4

    2 4

    4

    2

    ax b b ac

    ax b ac b

    b b acx

    a

    + =

    =

    =

    Portanto,

    2

    2

    2

    41 42

    242

    2

    b b acx r b b acax x

    ab b acx r

    a

    + = = =

    =

    Vamos resolver uma equao, utilizando a Frmula:

    x x + =2 5 6 0

    Considerando a representao a.x b.x c+ + =2 0 , temos, nesse caso, os seguintes valores: a = 1; b = 5; c = 6.

    Substituindo esses valores na frmula teremos:

    ( ) ( ) . .x

    .

    =

    25 5 4 1 6

    2 1

  • Mdulo 1 Unidade 412

    Resolvendo:

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