MÓDULO II – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Web viewANTONIO C. CAMACHO Colégio CosmosAula ... é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. ... 1. Definição

COLÉGIO COSMOS

POTENCIAÇÃO,RADICIAÇÃO

PRODUTOS NOTÁVEIS E

FATORAÇÃO

PROF. ANTONIO C. CAMACHO Colégio Cosmos Aula Suplementar

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Este módulo é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão.

1ª PARTE: POTENCIAÇÃO

1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3 .3 .3 .3

pode ser indicado na forma 34. Assim, o símbolo a

n, sendo a um número inteiro e n um

número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:an=a .a. a . . .. . a⏟

n fatores- a é a base;- n é o expoente;- o resultado é a potência.

Por definição temos que: a0=1 e a1 =a

Exemplos:

a) 33 ¿ 3⋅3⋅3 ¿ 27

b) (−2 )2 ¿ −2⋅−2 ¿ 4

c) (−2 )3 ¿ −2⋅−2⋅−2 ¿ −8

d)( 3

4 )2

¿ 34⋅3

4¿ 9

16

CUIDADO !! Cuidado com os sinais. Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:(−2 )4¿¿(−3 )2¿¿

Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:

Ex. 1: (−2 )3¿¿4 ¿¿−8

Se x=2 , qual será o valor de “−x2 ”?

Observe: −(2 )2¿¿, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.


(ab )

−n=(ba )

n

(a .b )n=an .bn

(ab )

n=an

bn ; com b≠0

−x2=−(2 )2=−4 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.

2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Quadro Resumo das Propriedadesam .an=am+n

am

an =am−n

(am )n=am⋅n

m√an=anm

a−n=1an

A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:

a) am⋅an¿¿ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potências de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.

Ex. 1.: 2x⋅22¿¿

Ex. 2.: a4⋅a7 ¿¿

Ex. 3.: 42⋅34

neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.

42⋅34 ¿¿

Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos.

Assim: am⋅an¿¿ ou a

m+n¿¿ Exemplo: a7+n¿¿

b)

am

an ¿¿ Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potências de

bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.

Ex. 1:

34

3x ¿¿

Ex. 2:

a4

a5 ¿¿

Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,am

an ¿¿ ou a

m−n¿¿ Exemplo:a4−x=a4

ax


c) (am )n¿¿ Nesta propriedade temos uma potência elevada a outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes.

Ex. 1: ( 43 )2¿¿

Ex. 2: (bx )4 ¿¿

Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja,

(am )n¿¿ ou a

m⋅n¿¿ Ex.: 34 x=(34 )x ou (3x )4

(d)m√an¿¿ Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado

numa potência de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente.

Ex. 1: √ x¿¿Ex. 2:

3√ x7¿¿

Ex. 3: 251

2 ¿ √25 ¿ 5

Ex. 4: x8

3 ¿3√x8

Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou sejam√an¿¿ ou a

nm ¿¿ Ex.: a

52=√a5

e)( a

b )n¿¿

Ex. 1: ( 2

3 )2¿¿

Ex. 2: ( 1

5 )2¿¿

Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

( ab )

n¿¿

ou

an

bn ¿¿ Ex.:

√2√3

=21

2

31

2

=(23 )

12=√ 2

3

f) (a⋅b )n ¿¿

Ex. 1: ( x⋅a )2¿¿


Ex. 2: (4 x )3 ¿¿

Ex. 3: (3√ x )4¿¿Obs. Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

(a⋅b )n ¿¿ ou an⋅bn¿¿ Ex.: √ x⋅√ y=x

12⋅y

12=( x⋅y )

12=√x⋅y

g) a−n¿¿Ex. 1:

a−3¿¿Ex. 2:

( 23 )

−2¿¿

Ex. 3: (−4 )−1¿¿

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja a−n¿¿ ou

1an

¿¿

Ex.: a)

1x2

=x−2

b)

23 x3

=23⋅ 1

x3=2

3⋅x−3

CUIDADO !!!

(−2 )−3 ¿¿

(3 )−3 ¿¿

( 1

a )−3

¿ ( a1 )

3¿ a3

13 ¿ a3

Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.


O sinal negativo no expoente indica que a base da potência

deve ser invertida e simultaneamente devemos

eliminar o sinal negativo do expoente.

Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente

invertendo a base.

EXERCÍCIOS1) Calcule as potências:a) 62

b) (-6)2

c) -62

d) (-2)3

e) -23

f) 50

g) (-8)0

h) ( 32 )

4

i) (−32 )

4

j) (− 32 )

3

k) 028

l) 132

m) (-1)20

n) (-1)17

o) (−35 )

2

2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:a) 16b) 8c) 6d) 4e) 2

3. Qual é a forma mais simples de escrever:a) (a . b)3 . b . (b . c)2

b)

x3 . y2 . y5 .x .x4

y7

4. Sendo a=27 . 38 . 7 e b=25 . 36, o quociente de a por b é:

a) 252b) 36c) 126

d) 48e) 42

5. Calcule o valor da expressão:

A=( 23 )

−2

−(12 )

−1

+(−14 )

−2

6. Simplificando a expressão

3 .(−12 )

2+ 1

4

3.(−13 )

2−3

2 , obtemos o número:

a)−6

7

b)−7

6

c)6

7

d)7

6

e)−5

7

7. Quandoa=− 1

3e b=−3

, qual o valor numérico da expressão a2−ab+b2

?8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:

a) 2-3 =b) 10-2 =c) 4-1 =


Exemplos mais complexos:

(1)

(4 xy 3 )−1

x2 ¿¿

(2)

( x . y3 )−2¿ ( 1

xy 3 )2

¿ 12

x2 . ( y3)2¿ 1

x2 . y3. 2 ¿ 1x2 . y6

(3)( 1

a4 . b3 )−3

¿ ( a4 . b3

1 )3

¿(a4 )3 . ( b3 )3

13 ¿ a4 .3 .b3. 3

1¿ a12 . b9

(4)

(−a4 . y3 )−2¿ (− 1

a4 . y3 )2

¿ ⟨

(−1 )2

( a4 )2 . ( y3)2¿ 1

a4. 2 . y3.2¿ 1

a8 . y6

ou¿¿

fica positivo .

→( 1a4 y3 )

2= 12

a4⋅2 y3⋅2= 1

a8 y6¿¿

(5)

(8 . y2 .a )−2¿ ( 1

8. y2 .a )2

¿ 12

(8 . y2 .a )2¿ 12

82 . ( y2 )2 . a2¿ 1

64 . y 4 . a2

Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses.

(6)(2+ 1

4 )−3

(2+ 14 )

−3¿ ( 8+1

4 )−3

¿ ( 94 )

−3¿ ( 4

9 )3

¿ 43

93 ¿ 64729

(7)(c+ 1

2 )2

¿ ( 2 c+12 )

2¿

(2 c+1 )2

22 ¿(2 c+1 )⋅(2 c+1 )

4¿ 4 c2+2c+2 c+1

4¿ 4 c2+4 c+1

4ou

(c+ 12 )

2¿ (c+ 1

2 )⋅(c+ 12 ) ¿ c2+c⋅1

2+ 1

2⋅c+ 1

2⋅1

2¿


¿ c2+ c2+ c

2+ 1

4¿ c2+ 2c

2+ 1

4¿ c2+c+ 1

4¿ 4 c2+4 c+1

4

EXERCÍCIOS9. Efetue:a) a6 . a4=

b)a8

a3 =

c)( 2 ab2

c3 )2

⋅( a2 cb )

3

=

d)

( 3 x2 ya3b3 )

2

( 3 xy 2

2 a2b2)3=

e) (3 x )4=

f) ( x3 )5=

g) (2 x2 )3=

h) (5 a2 b3 )3=

i) ( 3 ab2 )

4=

j)( 2 ab3

5x 4 )−2

=

k) (− 13 a2 )

−4=

10. Sabendo que a=(−2+ 4

5 )−2

, determine o valor de a.

Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões:2n⋅4

3√8⋅23 n+1=

Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por

22 e 3√8 por 2 .

2n⋅22

2⋅23 n+1 =Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.

2n+2

21+3 n+1 ¿ 2n+2

23 n+2 ¿ 2n+2− ( 3n+2 ) ¿ 2n+2−3 n−2 ¿2−2 n

ou

122n

EXERCÍCIOS


Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.

11. Simplifique as expressões:

a) E=3n+2⋅3n

3⋅3n+1 b) E=4n⋅2( n−1 )

4 (n+1 )c)

G=25n+2⋅√1005n+1

2ª PARTE: RADICIAÇÃO

1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO.

A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever:

n√a¿¿

Ex. 1: √4 ¿¿

Ex. 2: 3√8¿¿

Na raiz n√a , temos:

- O número n é chamado índice;- O número a é chamado radicando.

2. CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO

2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS

a)n√ap ¿¿

Ex. 1: 3√2¿¿

Ex. 2: √43¿¿

Ex. 3: 5√62¿¿

Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido

contrário, ou seja, ap

n=n√ap (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice

do radical).


Exemplo: 23

5=5√23 .

b)n√an ¿¿ Ex.:

3√23¿¿

c)n√a⋅b¿¿ Ex.:

3√a3⋅b6 ¿3√a3⋅

3√b6 ¿ a3

3⋅b6

3 ¿ a⋅b2

d)

n√ ab¿¿

Ex.: √ a6

b5 ¿ √a6

√b5¿ a

62

b5

2

¿ a3

b5

2

ou a3

√b5

e)( n√b )m ¿¿

Ex.: (√5 )3¿¿

f)n√m√a¿¿ Ex.:

3√ 2√3¿¿

EXERCÍCIOS12.Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:

a) √ 1100

=

b)−√ 1

16=

c) √ 49=

d) −√0 , 01=e) √0 , 81=f) √2 ,25=

13. Calcule a raiz indicada:

a) 9√a3

b) 3√48

c) √ t7

d) 4√ t12

14.Escreva na forma de potência com expoente fracionário:

a) √7=

b)4√23=

c)5√32=

d)6√a5=

e)3√ x2=

f)

1√3

=

g)1

3√4=

h)3

5√a3=

15. Escreva na forma de radical:


Devemos fatorar 144

14432

332222

139

183672

144

24 Forma fatorada de 144

2433

33333

1392781243

5 Forma fatorada de 243

Resultados possíveis

a) 215=

b) 423=

c) x14=

d) 8−

12=

e) a57=

f) (a3b )14=

g) (m2n )−

15=

h) m−

34=

16.De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?

a) 10−1 b)10−2

c)10−3 d)10−4

e) 1−10

2.2 RAÍZES NUMÉRICAS

Exemplos:

a) √144 = √24⋅32 =√24⋅√32 =

24

2⋅32

2 =22⋅31=4⋅3=12

b)3√243¿¿

3√33⋅3√32¿¿

33

3⋅32

3

3⋅32

3

ou

3⋅3√32

ou3⋅3√9

Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.

2.3 RAÍ ZES L IT ERA IS


a) √ x9 ¿ x92

Escrever o radical √ x9na forma de expoente fracionário x

92

não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma:

9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.Assim teremos:

√ x9 ¿ √x8+1 ¿ √ x8⋅x1 ¿ √ x8⋅√ x ¿ x8

2⋅√x ¿ x4⋅√x

b)3√ x14 ¿

3√ x12+2 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).

¿3√ x12⋅x2

¿3√ x12⋅

3√x2

¿ x12

3⋅3√ x2

¿ x4⋅3√ x2

Outros Exemplos:

a) 3√27 . x6 ¿ 3√27⋅

3√x6

¿3√33⋅x

63 ( pois 6 é divisível por 3)

¿ 33

3⋅x2

¿ 31⋅x2

¿ 3 x2

b) 3√48⋅x4⋅y6 ¿ 3√48⋅

3√x4⋅3√ y6

¿3√23 . 6⋅

3√ x3+1 underbracealignl pois 4 ¿⏟não é ¿

divisível ¿ por 3 ¿⋅y6

3¿ ¿ ¿3√23⋅3√6⋅

3√ x3⋅x⋅y2 ¿ ¿ 2⋅3√6⋅3√ x3⋅3√x⋅y2 ¿ ¿ 2⋅3√6⋅x⋅3√x⋅y2 ¿ ¿ 2xy 2⋅3√6⋅3√ x ¿ ¿ 2 xy 2⋅3√6 x ¿¿

EXERCÍCIOS17.Calcule:


27931

|

333

33=27

27931

|

333

33=27482412631

|

22223

/23 . 2.3=23 .6=48

a)3√125=

b)5√243=

c) √36=

d)5√1=

e)6√0=

f)1√7=

g)3√−125=

h)5√−32=

i)7√−1=

18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:

a)3√32=

b)3√25=

c)4√27=

d)7√81=

e)8√512=

f)8√625=

19. Calcule a raiz indicada:

a) √4 a2=

b) √36 a2 b6=

c) √ 49

a2b4=

d) √ x2

100=

e) √16 a10

25=

f)4√100 x2=

g)8√121=

h)5√1024 x5 y10=

i)4√ 1

25=

j)

3√ a6

b3=

k) √16 x4

y2 z6 =

20. Simplifique os radicais:

a)5√a10 x=

b) √a4 b2 c=c) √a3 b=

d) √25 a4 x=e)

3√432=

f)13 √45=

3. OPERAÇ ÕES CO M RAD IC AI S

3.1. Adição e Subtração

Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.Exemplos:

1) √3+4 √3−2√3¿¿

2)

2 5√3+3 5√3−2 5√3¿=¿ (2+3−2 )underbracealignl fatores ¿⏟externos ¿

⋅5√3 =3 5√3 ¿


Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma.

3) 4 √2−2√2+3√5−6√5¿¿4) 3√2+7−5√2−4¿¿

EXERCÍCIOS

21. Simplifique 12√10−6√10−8√10 :

22. Determine as somas algébricas:

a)73

3√2−2 3√2−54

3√2=

b)√56

+ √52

−√55

− √53

=

c) 5 3√2−8 3√3+2−4 3√2+8 3√3=

d) 8 5√7+ 4√6−12 5√7−10 4√6=

23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:a) 5√28−3√20−2√63+2√45=

b) 8√2−5√8+13√18−15√50−9√72=c) 6√45−12√48+6√108−10√20=

d)32 √90−1

4 √250−14 √10=

e)4√96+ 4√486−2 4√6+9 4√243=

f)5 3√32− 2

53√256+ 3√16−2 3√2+ 8

53√4=

g)5√64−5√486−5√2=

h)4 3√81

64+81 3√375

729−10 3√24

125=

24. Calcule as somas algébricas:a) −10√ x+4√ x+6√x−√x=b) √4 a−√81 b−6√9 a+8√144 b=

c)3√27−3√8 a−3√1000 a=

d) −2 a4√a5−12a 4√a+3

4√a 9=

e) √a2 x−a√4 x+3√a3−4 a√a=

f)4√a−5√b−3 4√a−8√b=

g) √ x2 y4

−x √ y9+√ x

100−√81 x=

h)

4√a4 c2

−4√b4 c5

8−a 4√ c

16=

25. Considere a=√9 m, b=2√100 m , c=−8√36m e determine:

a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c=

26. Simplifique a expressão−

4√a2 y 4−(12

y 6√a3−10√a5 y10) .

3.2 Multiplicação


42

Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um:

1 º CASO : Radicais têm raízes exatas.Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:

Exemplo: √16⋅3√−8¿¿

2 º CASO : Radicais têm o mesmo índice.Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido.

Exemplos: a) √3⋅√5¿¿

b) 3√ x⋅y⋅

3√ x2⋅3√ y4 ¿¿ ¿ 3√ x3⋅y5

pode parar aqui!

Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:

3√ x3⋅y5¿=3√x3⋅

3√ y5 ¿ x⋅3√ y3+2 ¿ x⋅

3√ y3⋅y2 ¿ x⋅3√ y3⋅

3√ y2 ¿ x⋅y⋅3√ y2 ¿

c) 2√2⋅3√5¿¿

3 º CASO : Radicais têm índices diferentes.

O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).

Exemplos: a) √3⋅4√2 ¿ 312⋅2

14 ¿ 3

12

¿2¿2⋅2

14 ¿ 3

24⋅2

14 ¿

4√32⋅4√21 ¿

4√32⋅2 ¿ 4√18

b) 3√a⋅4√x ¿ a

13⋅x

14 ¿ a

13

¿ 4¿ 4⋅x

14

¿ 3¿ 3 ¿ a

412⋅x

312 ¿

12√a4⋅12√ x3 ¿

12√a4⋅x3

ATENÇÃO:

- √2+√2¿¿, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.

- √2⋅√2¿¿ por que? √2⋅√2¿¿ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de

potência, então:


A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)

Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!

√2⋅√2¿=¿21

2⋅21

2 ¿⃗ regra de ¿ potenciação →21

2+1

2 = 21+1

2 =222 =21= 2 ¿

3.3Divisão

A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:

1 º CASO : Os radicais têm raízes exatas.

Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.

Exemplo: √81: 3√27¿¿

2 º CASO : Radicais têm o mesmo índice.

Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.

Exemplos: √ x3 :√xy ¿¿3√20 :3√10¿¿

3 º CASO : Radicais com índices diferentes.O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .

Exemplo:

√2: 3√2 ¿ √23√2

¿ 212

213

¿ 212−1

3 ¿ 23−2

6 ¿ 216 ¿ 6√2

4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:

1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:4√3

¿¿


Conservamos a base e somamos os expoentes.

O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.

232

72

373372

73737

2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:

(a)

23√x Temos que multiplicar numerador e denominador por

3√ x2, pois 1 + 2 = 3.

23√x

⋅3√x2

3√x2¿ 2⋅

3√x2

3√ x1⋅x2¿ 2⋅

3√ x2

3√x1+2¿ 2⋅

3√ x2

3√x3¿ 2⋅

3√ x2

x

(b)

15√x2

Temos que multiplicar numerador e denominador por 5√ x3

, pois 2 + 3 = 5.1

5√x2⋅

5√ x3

5√ x3¿

5√x3

5√x2⋅x3¿

5√ x3

5√x2+3¿

5√ x3

5√ x5¿

5√ x3

x

3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:2

√7−√3= 2

(√7−√3 )⋅

(√7+√3 )(√7+√3 )

=2 (√7+√3 )

(√7 )2−(√3 )2=

2 (√7+√3 )7−3

=2 (√7+√3 )

4=

(√7+√3 )2

EXERCÍCIOS

27. Calculea) 6√7+5√7−3√7=

b) 5√2+3√50−2√18=

c) 2 3√81+ 3√24+5 3√3=

d) 4 √5⋅3√2=e) 3 5√2⋅5√2=

f) 4 √3⋅2√3=

g)

8√102√5

=

h)5−√52−4 .1 .4

2=

i)6+√62−4 .1 .5

2=

28. Simplifique os radicais e efetue:


a) 2√2 x3−x√8 x+√8 x3=

b) 4 3√343−2 3√3−3√24+ 3√192=

c) 4 y √x+3√ y2 x+3 x √x−5√ x3=

29. Efetue:

a) 3 a√ x−2x √ x−√4 a2 x+√9 x3=

b) 5√a5+√4 a3−a√4 a3−√a=c) 2√4 x+8−3√25 x+50+4 √16 x+32=

d) −3 b√a+7√b2 a−3a √a−√a3=

30. Escreva na forma mais simplificada:

a) √ x .√x=

b) 3√ x+√x=

c) √a−7√a=

d)

3√x√x

=

e)x3

x2 =

f) x−3 . x−4=

g) √ x . x7=

h)3√a⋅

3√a4=

i)4√a⋅√a=

j) (√a )3⋅a2=

k) √52⋅b4=

31. Efetue as multiplicações e divisões:

a)3√a5 .√ab .

4√a2 b2=

b)3√4 a2 x .√4 a 2 x2=

c)10√x3 .√ x=

d) √ xy .3√ x2 y2.√ x3 y=

e) √a⋅3√a⋅4√a=

f)

3√a5

√a3=

32. Efetue:

a)

4√a2

8√a3=

b)

6√a 3 b2

4√a5 b=

c)

4√x2 y3

3√xy=

d)

2⋅6√274√9

=

e)3√b⋅5 3√b⋅1

34√b=

f)

3. 6√1255. 4√25

=

33. Quando x=−2

3 , o valor numérico da expressão 3 x2−x−2 é:

a) 0b) 1c) –1

d)

13

e)−2

3

34. Se x=36 e y=93

:


a) x é o dobro de y;b) x− y=1c) x= y

d) y é o triplo de x;e) x+ y=1

35. Racionalize as frações:

a)

1√x

b)

2√x+√4

c)

31−√ x

d)

43√x

RESPOST AS DO S EXERCÍ CI O S

1ª Questão:a) 36 h) 81

16o) 9

25b) 36 i) 81

16c) –36 j) -27

8d) –8 k) 0e) –8 l) 1f) 1 m) 1g) 1 n) -1

2ª Questão:d)

3ª Questão:a) a3 b6 c2 b) x8

4ª Questão:a)

5ª Questão:

A =654

6ª Questão:a)

7ª Questão:739

8ª Questão: a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25

9ª Questão:


a) a10 d) 8x3y4

g) 8x6 j) 25x8

4a2 b6

b) a5 e) 81x4 h) 125 a6 b9 k) 81 a8

c) 4 a8 bc3

f) x15 i) 81 a4

b8

10ª Questão:

a =2536

11ª Questão:a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 212ª Questão:a) 1

10c) 2

3e) 9

10b) −1

4d) -1

10f) 15

1013ª Questão:a) 3√a b) 2⋅3√6 c) t3⋅√t d) t3

14ª Questão:a)

712

c)3

25

e)x

23

b)2

34

d)a

56

f)3

−12

15ª Questão:a) 5√2 c) 4√ x e) 7√a5 g) 1

5√m2 n

b) 3√42 d) 1√8

f) 4√a3 b h) 14√m3

16ª Questão:c)

17ª Questão:a) 5 c) 6 e) 0 g) -5b) 3 d) 1 f) 7 h) –2

i) -1

18ª Questão: a)

253

c)3

34

e)2

37

g)2

98

b)5

23

d)5

34

f)3

47

h)5

12

19ª Questão:


a) 2a d) x10

g) 4√11 j) a2

bb) 6ab3 e) 4a5

5h) 4xy2 k) 4x2

yz3

c) 23⋅ ab2 f) √10 x i) √ 1

520ª Questão:a) a2 5√x c) a⋅√ab e) 6⋅3√2b) a2b√c d) 5 a2 √x f) √5

21ª Questão:−2√10

22ª Questão:a) −11

12⋅3√2 b) 2

15 √5 c) 3√2+2 d) −4 5√7−9 4√6

23ª Questão:a) 4 √7 c) −12√3−2√5 e) 3⋅4√6+27⋅4√3 g) −2⋅5√2b) −92√2 d) 3√10 f) 10⋅3√4 h) 44⋅3√3

24ª Questão:a) −√ x c) 3−12⋅3√a e) −a√ x−a√a g) x

6.√ y−89

10.√ x

b) −16√a+87 √b d) (a2−12a )⋅4√a f) −2⋅4√a−13√b h) −bc8

⋅4√c

25ª Questão:a) −25√m b) 31√m c) −65√m d) 71√m

26ª Questão:− y

2 √a

27ª Questão:a) 8√7 c) 13⋅3√3 e) 3⋅5√4 g) 4 √2b) 14√2 d) 12√10 f) 24 h) 1

i) 5

28ª Questão:a) 2 x√2 x b) 28 c) (7 y−2 x )√x

29ª Questão:a) (a+x )√ x b) (3 a2+2 a−1 )√a c) 5√ x+2 d) 4 √a(b−a )

30ª Questão:


a) x d) 16√ x

g)x

152

j)a

72

b) 4 √x e) x h)a

5 3

k) 5b4

c) −6√a f) x -7 i)a

34

31ª Questão:a)

a83⋅b

c) x

45

e) a⋅12√a

b) 2 ax⋅3√4 a2 x d) x2 y⋅

3√ x2 y2 f) 6√a

32ª Questão:a)

a18

c)x

16⋅ y

512

e) 5 b 12√b

b)a

−34⋅b

112 d) 2 f) 3

5

33ª Questão:a)

34ª Questão:c)

35ª Questão:a) √x

xb) 2√ x−2√4

x−4c) 3+3√x

1−xd) 4⋅

3√ x2

x


5. PRODUTOS NOTÁVEIS

Resumo sobre produtos notáveis:

Quadrado da soma de dois termos

(a+b )2=a2+2ab+b2

Quadrado da diferença de dois termos

(a−b )2=a2−2 ab+b2

Produto da soma pela diferença

(a+b ) (a−b )=a2−b2

Observação: Existem fórmulas para o cálculo do cubo da soma e da diferença entre dois termos.

(a+b )3=a3+3a2 b+3 a b2+b3

(a−b )3=a3−3a2 b+3 a b2−b3

1 – Resolva:

a) (r+4 s )2

b) (10 x+ y )2

c) (3 y+3a )2

d) (−5+n )2

e) (−3 x+5 )2

f) (a+ab )2

g) (2 x+xy )2

h) ( x+0,5 )2

i) (a2+1 )2

j) ( y3+3 )2

k) ( y3+1 )2

l) ( 4 x2+7 )2

m) (2 x3+3 y2 )2

n) (a2+b2 )2

o) ( x+2 y3 )2

p) (m n2+4 )2

q) ( xy+z3 )2

r) ( x2 y+x y2 )2

s) (x+ 12 )

2

t) (a+23 )

2

u) (a2+ 14 )

2

v) (2 x+ 12 )²

w) (m2

+3)²

( x2+ y

2 )2


2 – Resolva:

a) (r−4 s )2

b) (10 x− y )2

c) (3 y−3 a )2

d) (−5−n )2

e) (−3 x−5 )2

f) (a−ab )2

g) (2 x−xy )2

h) ( x−0,5 )2

i) (a2−1 )2

j) ( y3−3 )2

k) ( y3−1 )2

l) ( 4 x2−7 )2

m) (2 x3−3 y2 )2

n) (a2−b2 )2

o) ( x−2 y3 )2

p) (m n2−4 )2

q) ( xy− z3 )2

r) ( x2 y−x y2 )2

s) (x−12 )

2

t) (a−23 )

2

u) (a2− 14 )

2

v) (2 x−12 )²

w) (m2

−3)²x) ( x

2− y

2 )2

3 – Resolva:

a) (1+7 x2 ) ( 1−7 x2 )b) (3 x2−4 ) (3 x2+4 )c) (a3−1 ) (a3+1 )d) (a+xy ) (a−xy )e) (a2−b3 ) ( a2+b3 )f) (3 x2− y2 ) (3 x2+ y2 )g) (0,5+x ) (0,5−x )h) (t 3+3 ) (t 3−3 )i) (2 x3+2a ) ( 2x3−2a )j) (−3a+4 n2 )(−3 a−4 n2 )k) (a2c+d2 ) (a2c−d2)l) (mn−7 ) (mn+7 )

m) (x+ 12 )(x−1

2 )n) (x−2

3 )( x+ 23 )

o) ( y+ 67 )( y−6

7 )p) (x+ 1

2 )(x−12 )

q) (1+ x3 )(1− x

3 )r) (x2−1

7 )( x2+ 17 )

s) ( x5−1)( x

5+1)

Exercícios complementares

1 – Efetue:

a) (5 a+7 )2


b) (2n−1 )2

c) (7 x−a )2

d) (4 x+9 )2

e) (3 x+2 y )2

f) (3 a2+1 )2

g) (2 x3−5 )2

h) (8 x−7a )2

i) (6−a3)2

j) (3 a2+1 )2

k) (10 p+3q )2

l) (1+ pq )2

2 – Efetue:

a) (1+x ) (1−x )b) (a−3 m ) ( a+3m )c) (r+3 s ) (r−3 s )d) (a2−8 ) ( a2+8 )e) (2 x3−5 )(2 x3+5)f) (m3−8 ) (m3+8 )g) (3 xy+z ) (3 xy−z )h) (a2b3−1 ) (a2 b3+1 )

3 – Desenvolva:

a) ( x−1 )3

b) ( x+2 )3

c) (2 x−1 )3

d) (2 x+5 )3

e) (3 x−2 )3

f) ( x2−3m )3

4 – Desenvolva e reduza:

a) ( x−5 )2−10 xb) (5 x−2 )2+3 x−1c) ( x+1 )2−( x−1 )2

d) ( x+3 )2+( x−3 )2

e) (7 x+5 )2−(7 x−5 )2

f) (3 x−1 ) (3x+1 )−1

5 – Desenvolva e reduza:


a) (2 x−3 )2−4 ( x−1 ) ( x+1 )+5b) (5 x+2 )2−(5 x−2 )2−(5 x+2 ) (5 x−2 )c) (1+x )2+ (1−x )2+ (−1+ x )2+(−1−x )2

d) (x+ 12 )(x−1

2 )− (1−x )2

FATORAÇÃO – EXERCÍCIOS

1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples).a) ax + ay + az = b) 4m2 + 6am =c) 7xy2 – 21x2y = 2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento)a) ax + bx + am + bm = b) 2x + 4y + mx + 2my = 3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados)a) 9x2 – 16 = b) 25 – 4a2m6 = c) 0, 81b4 – 36 d) (a + 3)2 – 9 = e) (m + 1)2 – (k – 2)2 = 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitosa) x2 – 4x + 4 = b) x2 – 6x + 9 = c) x2 – 10x + 25 =d) m2 + 8m + 16 = e) p2 – 2p + 1 = f) k4 + 14k2 + 49 = g) (m + 1)2 – 6(m + 1) + 9 = 5) Fatoração da soma e da diferença de dois cubosa) a3 + b3 = b) m3 – 8n3 = c) x6 + 64 = d) y3 – 125 = 6) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis:a) m8 – 1 = b) ax3 – 10ax2 + 25ax = c) 2m3 – 18m = d) [(x -3)2 – 4(x – 3) + 4] – [(x – 3)2 + 4(x – 3) + 4] = Respostas: 1) a) a(x + y + z); b) 2m(2m 3ª); c) 7xy(y – 3x).


2) a) (a + b).(x + m); b) (x + 2y).(2 + m)3) a) (3x – 4).(3x + 4); b) (5 – 2am3.(5 + 2m3); c) (0,9b2 – 6).(0,9b2 + 6); d) a(a + 6); e) (m –

k +3).(m + k – 1)4) a) (x – 2)2 = (x – 2).(x – 2); b) (x – 3)2 = (x - ).(x – 3); c)(x – 5)2 = (x – 5).(x – 5) d)(m +

4)2 = (m +4).(m+4) e) (p – 1)2 = (p – 1).(p – 1); f) (k2 + 7)2 = (k2 + 7).(k2 + 7); g) (m – 2)2 = (m – 2).(m – 2)

5) a) (a + b).(a2 – ab + b2); b) (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2); c) (x2 + 4).(x4 – 4x2 + 16); d) (y – 5).(y2 + 5y + 25)

6) a) (m – 1).(m + 1).(m2 + 1).(m4 + 1); b) ax(x – 5).(x – 5); c) 2m(m – 3).(m + 3); d) -8.(x – 3)

EXERCICIOS DE FIXAÇÃO1) Simplifique a expressão

a) 1b) c + 3

c)

c+3c−3

d) c²e) c 3

2) Fatore:(a + 1)² + 2 (a + 1) + 1

a) a (a + 4)b) (a + 1)²c) (a + 2)²d) (a - 2)²e) (a + 1) (a + 1 + 1)

3) Fatore x² - 4x + 4 + 3 (x - 2) (x + 1)a) (x - 2) + 3 (x - 1)b) (x - 2) (3x2 - 5)c) 5x - 7d) (x - 2) (4x + 1)e) (2x - 2) (2x - 5)

4) Fatore (x² + 9)² - 36x2a) 3 (x² - 12x² + 3)b) (x + 3)² . (x - 3)²c) (x + 3) . (x - 3)d) (x - 3)² . (x - 3)²e) (x + 3)²

5) Fatore:x² + 6x + 9


a) (x - 3)²b) (x + 3)²c) x² + 3d) (x - 9)²e) 3 (x + 3)²

6) Fatore:x4 – y4

a) (x² - y²) (x - y) (x - y)b) (x² + y²) (x + y) (x + y)c) (x² + y²) x²d) (x² + y²2) y²e) (x² + y²) (x + y) (x - y)

7) Se a² - b² = 2 . (a - b)², a diferente de b, então b =a) ab) 2ac) 3ad) 4ae) n.d.a

8) Se x² + y² = 1681 e x . y = 360 calcule x + y, sabendo que x e y são números positivos.a) 49b) 62c) 54d) 81e) 124

9) Seja a expressão P = (x -1) (x + 2) - 2 (x + 2) (x - 5).Se Q = 2 (x + 2) (x - 5), simplifique o quociente p/q.

10) Fatore a expressão E = a² + ba + 2a + 2ba) E = (a + b) (a + 2)


b) E = (a + b) (a - 2)c) E = (a - b) (a - b)d) E = (a + b) (a + b)e) E = (a + 2b) (a - 2)

11) Fatore a expressão:3xy + 3 - x - 9y

a) (x - 3) . (3y - 1)b) (x - 3) . (x + 3)c) (x + 9) . (x - 9)d) (x - 3) . (9y + 1)e) (x - 3) . (3y + 1)

12) Fatore a expressão:abd - abe + acd - ace

a) a² . (d + e) (b + c)b) a . (d + e) (b - c)c) a . (d - e) (b + c²)d) a . (d - e) (b² + c²)e) a . (d - e) (b + c)

13) Efetue o produto (x - y) . (x + y) . (x² + y²).a) x4 – y4

b) x4 + 4x²y² + y4

c) x4 - 2x²y² + y4

d) x4 + y4

e) x4 + 2x²y² + y4

14) Simplifique a expressão:

a) 78b) 16c) 4d) 24e) 64

15) O valor da expressão para a = 3,7 e b = 2,9 é:


16) Fatore:9x² - 12x + 4

a) (x + 2)²b) (6x + 3)²c) (3x - 2)²d) (3x + 2)²e) 3 (3x² - 4x)

17) Fatore:(x + y)² - 2 (x + y) + 1

a) (x + y)² - 2 (x + y)b) (x + y + 1)²c) (x - y)²d) 2 (x + y) + 12e) (x + y)² + (x - y)

18) Calcule

a) 100 . 50b) 100 . 25c) 2d) 4e) 25

19) Fatore:x² - 2xy + y² - z²

a) (x - z + z) . (x - y - z)b) (x - y)² - z²c) (x - y)²d) (x - y) (x - y - z)e) (x - y - z)²

20) Fatore:4x² - z² + 4xy + y²


a) (2x - y - z)²b) (2x + z) (2x + y)c) (2x + y + z)²d) (2x + y)² - z²e) (2x + y + z) (2x + y - z)

21) Se x = + 1, calcule x² - 2x + 1.

22) Se a . b = 3/5 e a + b = -1,2, a expressão é igual a:

a) -0,6b) -0,5c) 0,5d) 0,6e) n.d.a.

23) Desenvolva (5x - 2y)²a) 25x² - 4y²b) 25x² + 4y²c) 25x² - 10xy + 4y²d) 25x² + 10xy + 4y²e) 25x² - 20xy + 4y²

24) Simplifique .

25) Fatore:


a)(2 x−1

2 )2

b)(2 x+ 1

8 )2

c) (2x + 1)

d) 4(x2−1

2 )

e)(2 x−1

8 )2

26) Fatore 3xy²z³ + 6xyz³ - 3xz².a) 3xyz . (yz + 2yz + 1)b) 3²x²y²z . (y²z + 2yz + 1)c) 3xz² . (y²z + 2yz - 1)d) 3x³ . (y²z + 2yz - 1)e) 3xz³ . (y²z + 2yz + 1)

27) Fatore a expressão:-5x² + 25x

a) -5x² . (x² + 5)b) -5x. (x + 5)c) -5x² . (x - 5)d) -5x . (x² - 5)e) -5x . (x - 5)

28) Fatore a expressão:15xy² - 10x²y²a) 10xy (3 + x)b) 15x²y² (3 - x)c) 5xy² (3 - x)d) 5xy² (3 + x)e) 5xy (3 - x)

29) Fatore a expressão:27x³y³ + 81x²y²

a) 27x²y³ . (x + 3y)b) 27x³y³ . (x + y)c) 81xy . (x + 3y)d) 81x²y² . (x - 3y)e) 9x²y² . (x - 3y)

30) Fatore a expressão:14a²b³ + 17b³


a) b . (7a² + 17)b) b³ . (14a² + 17)c) b³ . (7a² + 17)d) b² . (14a + 17)e) b² . (2a + 17)

31) Fatore a expressão:11a³b² - 15a²b

a) ab . (11ab - 10)b) a²b² . (11ab - 15)c) a²b . (11ab - 15)d) a²b . (11ab + 15)e) a²b² . (11ab + 15)

32) Fatore a expressão:ax + a + x + 1

a) (x - 1) . (a + x)b) (x + 1) . (a + 1)c) (x - 1) . (a + 1)d) (x - 1) . (a - 1)e) (x - 1) . (a - x)

33) Fatore a expressão:3a + 6

a) 3a + 2b) 3 . (a + 1)c) 6 . (a + 2)d) 3 . ( a + 2)e) 3 . (a + 6)

34) Fatore a expressão:-2a2 - 8a

a) 2a . (a + 4)b) 2a . (a + 2)c) -2a . (2a + 4)d) -2a . (a + 4)e) -8a . (a + 4)

35) Simplifique a expressão


36) Fatore:16x4 - 25y²

a) (2x² + 5y) . (2x² + 5y)b) (2x² + 5y) . (2x² - 5y)c) (4x² + 5y) . (4x² - 5y)d) (4x² - 5y) . (4x² - 5y)e) (4x² + 5y) . (4x² + 5y)

37) Fatore:144 – h²

a) (144 - h) (144 + h)b) (144 - h) (144 - h)c) (100 - h) (44 + h)d) (12 + h) (12 - h)e) (12 + h) (12 + h)

38) Fatore:2y³ - 18y

a) (y + 3)² (y - 3)³b) (y + 3)³ (y - 3)³c) 2y . (y + 3) (y - 3)d) 2y . (y + 3)³e) 2y . (y + 3) (y + 3)

39) Fatore:2t² - 288

a) (t + 12) (t - 12)b) (t + 287) (t - 1)c) 2 . (t + 12) (t - 12)d) 2 . (t + 12) (t + 12)e) 2 . (t - 12) (t - 12)

40) Fatore:


( x + y )² – z²

a) (x + y + z)² . (x + y + z)b) (xyz)² + (x - y - z)²c) (x - z) . (y - z)²d) (x + y + z) . (x + y - z)e) (x - y - z) . (x - y - z)

41) Fatore:a² - b² + a + b

a) (a + b) . (a - b + 1)b) (a + b) . (a - b)c) (a - b) . (a - b)d) (a + b)² . (a + b + 1)²e) (a - b)² . (a - b -1)²

42) Se x e y são números reais distintos, então:a) (x²+y²)/(x-y) = x+yb) (x²-y²)/(x-y) = x+yc) (x²+y²)/(x-y) = x-yd) (x²-y²)/(x-y) = x-ye) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

43) Fatorando a² - b² obtemos:a) a. b+ 3 (a+ b+ c)b) 3. a- b. cc) (a + b) (a - b)d) a. b+ ce) n.d.a

44) Fatorando x² + 2y² + 3xy + x + y obtemos:a) (2x - y ).(x - 2y +3)b) ( x + y ) . (x + 2y + 1)c) (2x + y) . (x + y -3 )d) x + y (2. x .y)e) 2x +y (x + 2y + 1)

45) Fatorando x²y - xy² obtemos:a) y. x (2- 3)b) x (x+ 5)c) 5.x ( 3 - y )d) xy (x - y)e) N.d.a

46) Fatorando 12 a²b + 18 a b² obtemos:a) (2 .a + 2b ) . (3.a .2b)b) (a. b)( 3a. 2+ b)c) ( 2+ a. b).(3.a . 2.b)d) 2+ a. 3b (2+ a- 3.b)e) (2 .a + 3b ) . (6 a b)47) (Puc) -


Se Simplificando a expressão

Quanto vai obter?

48) Simplificando a seguinte expressão

obtemos:

a) -3b) 5c) 1d) 2e) -1

49) Fatorando 6a²b + 8a obtemos:a) 2.a ( 3ab + 4 )b) 4.a ( 6ab + 2 )c) 2.a + b. 2d) 2.a.be) 3.b (2. b+ a. 4)

50) Simplificando a seguinte expressão

obtemos:


FatoraçãoPROF. ANTONIO C. CAMACHO Colégio Cosmos Aula Suplementar

Gabarito

Questão 1 CQuestão 2 CQuestão 3 DQuestão 4 BQuestão 5 BQuestão 6 EQuestão 7 CQuestão 8 AQuestão 9 CQuestão 10 AQuestão 11 AQuestão 12 EQuestão 13 AQuestão 14 EQuestão 15 AQuestão 16 CQuestão 17 BQuestão 18 CQuestão 19 AQuestão 20 EQuestão 21 AQuestão 22 CQuestão 23 EQuestão 24 DQuestão 25 A

Questão 26 CQuestão 27 EQuestão 28 CQuestão 29 AQuestão 30 BQuestão 31 CQuestão 32 BQuestão 33 DQuestão 34 DQuestão 35 BQuestão 36 CQuestão 37 DQuestão 38 CQuestão 39 CQuestão 40 DQuestão 41 AQuestão 42 BQuestão 43 CQuestão 44 BQuestão 45 DQuestão 46 EQuestão 47 AQuestão 48 CQuestão 49 AQuestão 50 C


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MÓDULO II – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Web viewANTONIO C. CAMACHO Colégio CosmosAula ... é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. ... 1. Definição