Embed Size (px)
Citation preview
ISSN : 21791732
Universidade Federal de ViçosaDepartamento de Matemática
Cálculo Diferencial eIntegral I
Rosane Soares Moreira VianaLaerte Dias de CarvalhoJaques Silveira Lopes
05
Universidade Federal de Viçosa Reitora
Nilda de Fátima Ferreira Soares
Vice-Reitor Demétrius David da Silva
Conselho Editorial
Andréa Patrícia Gomes João Batista Mota
José Benedito Pinho José Luiz Braga
Tereza Angélica Bartolomeu
Diretor Frederico Vieira Passos
Prédio CEE, Avenida PH Rolfs s/n
Campus Universitário, 36570-000, Viçosa/MG Telefone: (31) 3899-2858
Fax: (31) 3899-3352
Ficha catalográfica preparada pela seção de catalogação da Biblioteca Central da UFV
Moreira, Rosane Soares, 1969- M838c Cálculo diferencial e integral I [recurso eletrônico] / 2012 Rosane Soares Moreira, Jaques Silveira Lopes e Laerte
Dias de Carvalho. – Viçosa, MG : UFV/CEAD, 2012. 197p. : il. (algumas col.) ; 29cm. (Conhecimento, ISSN
2179-1732 ; n.5) Livro eletrônico. Bibliografia: p. 196. 1. Cálculo diferencial. I. Lopes, Jaques Silveira, 1975-.
II. Carvalho, Laerte Dias de, 1964-. III. Universidade Federal de Viçosa. Coordenadoria de Educação Aberta e a Distância. IV. Título.
CDD 22. ed. 515.33
VIANA, Rosane; CARVALHO, Laerte e LOPES, Jaques - Cálculo Diferencial e Integral I. Viçosa, 2012
Layout: Pedro Eni Lourenço Rodrigues Capa: Pedro Eni Lourenço Rodrigues Gráficos e imagens: Rosane Soares Moreira Viana Editoração Eletrônica: Pedro Eni Lourenço Rodrigues Revisão Final: João Batista Mota
SUMÁRIO CAPÍTULO 1. REVISÃO DE FUNÇÃO 7 CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES 14
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 14 2.2 DEFINIÇÃO DE LIMITE 19 2.3 PROPRIEDADES DOS LIMITES 23 TESTE O SEU CONHECIMENTO 25 2.4 LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS 29 2.5 CÁLCULO DE LIMITES 37 TESTE O SEU CONHECIMENTO 41 2.6 LIMITES FUNDAMENTAIS 43 2.7 FUNÇÕES CONTÍNUAS 46 2.8 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 51 TESTE O SEU CONHECIMENTO 58
CAPÍTULO 3. DERIVADA 60 3.1 RETA TANGENTE A UMA CURVA 60 3.2 O CONCEITO DE DERIVADA 69 3.3 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 77 TESTE O SEU CONHECIMENTO 87 3.4 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 95 3.5 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 100 3.6 DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS 104 3.7 TABELA GERAL DE DERIVADA 109 TESTE O SEU CONHECIMENTO 110
CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES DA DERIVADA 113 4.1 TAXA DE VARIAÇÃO 113 4.2 TAXAS RELACIONADAS 119 TESTE O SEU CONHECIMENTO 125 4.3 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 126 4.4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 131 4.5 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 139 4.6 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 146 4.7 ESBOÇO DE GRÁFICOS 149 4.8 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 151
CAPÍTULO 5. INTEGRAÇÃO 154 5.1 INTEGRAL INDEFINIDA 154 5.2 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 157 5.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (OU MUDANÇA DE VARIÁVEIS) 159 5.4 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 162 TESTE O SEU CONHECIMENTO 167 5.5 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA. 168 5.6 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 171 5.7 SUBSTITUIÇÕES DIVERSAS 177 TESTE O SEU CONHECIMENTO 179
5.8 ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA 180 5.9 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 183 5.10 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 185 5.11 CÁLCULO DE ÁREAS 189 5.12 CÁLCULO DE VOLUMES 191 TESTE O SEU CONHECIMENTO 193 BIBLIOGRAFIA 195
PREFÁCIO Esta obra intitulada CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I foi construída para ser
a referência básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do Curso de Licenciatura em Matemática – Modalidade a Distância oferecido pela Universidade Federal de Viçosa. Entretanto, por conter, em detalhes, os principais tópicos da Teoria de Cálculo de funções de uma variável independente, além de algumas importantes aplicações, este texto pode ser utilizado nas disciplinas de Cálculo oferecidas para os demais Cursos de Graduação.
O trabalho de produzir um material deste tipo, cujo conteúdo abordado é muito extenso e bastante minucioso, exigiu grande dedicação da equipe de autores. E o fato da disciplina em tela ser oferecida para alunos que, na maioria das vezes, não tem a disposição uma boa biblioteca faz com que o material seja, em certa medida, suficiente para o aluno compreender os conceitos abordados.
O texto desenvolvido terá, aqui na UFV, o suporte e a complementação de outras mídias (como por exemplo: vídeo aulas e aulas narradas) disponibilizadas na plataforma de interação PVANet, que é um ambiente virtual de aprendizagem. Além do PVANet, a disciplina quando oferecida contará com todos os elementos que esta modalidade de ensino exige: tutores presenciais e a distância; coordenadores de pólos; professores coordenadores de disciplinas; coordenador de tutores; comissão coordenadora de curso etc.
Os gráficos que aparecem ao longo do texto foram construídos pela Professora Rosane, uma das autoras do livro, utilizando o software gratuito Geogebra. E a confecção de tantos gráficos custou muitas horas de trabalho e contou com a habilidade e paciência da autora.
De uma maneira um tanto quanto clássica, os assuntos estão divididos em capítulos e seções, partindo da importante revisão das noções básicas de funções e introduzindo, na sequência, os conceitos de Limite e Continuidade de funções. A Teoria de Derivadas, bem como suas aplicações, aparecem à frente da Teoria de Integrais, simplesmente por uma conveniência didática, pois a ordem aí não era fundamental. Algumas demonstrações são omitidas no decorrer do texto, isto pela complexidade de algumas delas, mas na maioria das vezes pelo fato de que o foco do livro é apresentar as técnicas e as aplicações do Cálculo.
7
CAPÍTULO 1. REVISÃO DE FUNÇÃO Para o estudo da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I estamos interessados
no estudo de funções reais a uma variável. Faremos uma breve revisão do conceito de função real e sua representação gráfica. Você também deve estar familiarizado
com os conjuntos numéricos N , , , e RI e noções gerais sobre intervalos,
inequações e valor absoluto.
O conceito de função e as suas diversas representações permitem estabelecer conexões entre os diferentes ramos da Matemática e dela com outras ciências. O reconhecimento de variáveis em situações do cotidiano e o estabelecimento de relações entre elas permitem expressar leis matemáticas.
As funções aparecem em muitas situações em que o valor de uma variável pode depender do valor de uma outra variável. Neste contexto, quando uma grandeza
depende de uma grandeza de modo que cada valor determine exatamente um único valor , então dizemos que é função de . Neste caso, chamamos de
variável independente e de variável dependente.
Por exemplo: A área de uma circunferência depende de seu raio . A regra, que relaciona
e a área , é dada pela equação . Assim, a cada número positivo
corresponde exatamente um valor de . Então dizemos que é função de .
Suponhamos que determinada mercadoria esteja sendo vendida a 501R$ , o
quilo. Então quilos dessa mercadoria, custarão x501R$ , . Denotando por o preço
desses quilos, então 2
3501 xxp == , . Temos aqui duas grandezas, e , que
estão relacionadas entre si. Dizemos que é função de porque a cada valor de
corresponde um valor de .
Para modelar essas situações, são utilizadas funções do tipo , sendo
a variável independente e a variável dependente.
Formalmente,
Z Q I
yx x
y y x x
y
A r
r A 2rA π= r
A A r
x p
x x p
p x x
p
)(xfy = x
y
8
Definição 1: Sejam e subconjuntos de RI (conjunto dos números reais). Uma
função real é uma correspondência (regra ou lei) que, a cada elemento
associa exatamente um elemento .
Saiba Mais: O conceito de função pode ser estendido a outros conjuntos que não
são, necessariamente, subconjuntos de RI . Para conhecer melhor as funções, consulte uma das referências listadas na Bibliografia (Veja, por exemplo, MEDEIROS, et. al., 2006).
Observação 1: Comumente utiliza-se o valor da função no ponto (imagem
de ) por e a notação para indicar a função com os conjuntos e
relacionados. Ou ainda,
)(:
xfyxBDf
=→→
(i) O conjunto , que também pode ser denotado por ou , é o
domínio da função , isto é, o conjunto em que a função é definida.
(ii) O conjunto é o contradomínio da função , isto é, conjunto em que a função
toma valores.
(iii) Dado , é o valor da função no ponto ou imagem de por
.
(iv) Simbolicamente, é função , ;
Definição 2: O conjunto de todos os valores assumidos por uma função é
chamado conjunto imagem de , representado por , Mais precisamente, a
imagem de uma função real é o subconjunto de pontos para os quais
existe pelo menos um tal que :
{ } { }DxxfyxfDxByfIm ∈==∈∈= ; )()(com existe| )(
Observação 2: Para não confundir o conceito de uma função e do valor da
função podemos pensar intuitivamente uma função como uma “máquina”.
D Bf Dx∈
By∈
xx )(xf BDf →: D
B
D )( fDom )( fD
f
B f
Dx∈ Bxfy ∈= )( f x x
f
BDf →: ⇔ Dx∈∀ !∃ By∈ )(xfy =
f
f )( fIm
BDf →: By∈
Dx∈ yxf =)(
f
)(xf
9
Quando inserimos um elemento do domínio de (matéria-prima disponível) na
máquina (que faz papel da função ), a máquina produzir o valor da função
correspondente (produto) conforme ilustra a figura abaixo.
Figura 1: Representações esquemáticas da ideia de função
Assim, o mais correto é dizer “seja a função ” em vez de “seja a função
, muito embora, frequentemente, prefira-se essa última maneira de falar.
Exemplo 1: Considere { } RIRIf →− 2: a função definida por .
Neste caso, o domínio da função real é { }2−RI , o contradomínio é RI e a lei de
definição é . Podemos reescrever , para , como
, pois . Assim:
, , ,
,
Observação 3: Observe que uma função consta de três partes: domínio,
contradomínio e a lei de correspondência )(xfx → . É usual uma função ser dada
pela sua expressão sem especificação do seu domínio. Neste caso, assumimos que o domínio é o maior subconjunto dos números reais para os quais a expressão faz sentido (assume um valor real), isto é, os números com os quais podemos efetuar as operações indicadas na referida expressão. Assim, o domínio de , chamado
domínio natural de , é dado por
{ }RIxfRIxfDom ∈∈= )( | )( .
Neste caso, o contradomínio é .
x f
f
)(xf
f
)"(xf
242
−−
=x
xxf )(
f
242
−−
=x
xxf )( )(xf 2≠x 2+= xxf )(
)()( 2242 −+=− xxx
( ) 20 =f25
221
21
=+=
f 121)1( +=+−=− xxxf 2)( 22 += ttf
hxhxxfhxf =+−++=−+ )()()( 22 1==−+
hh
hxfhxf )()(
f
f
R
10
Exemplo 2: Seja a função definida por .
Esta função não está definida para e . Logo,
{ } { }3e1|3,1)( ≠≠∈=−= xxRIxRIgDom .
Exemplo 3: Considere a função . Assim, o domínio de são
todos os números reais que satisfazem a desigualdade . Logo,
{ } [ ]1,11e1|)( −=≤−≥∈= xxRIxhDom .
Exemplo 4: Desejamos construir uma caixa aberta a partir de uma folha retangular de papelão com 30cm de comprimento e 22cm de largura recortando quadrados idênticos (de por cm) de cada canto da folha e dobrando as abas resultantes. Assim, a expressão que fornece o volume da caixa em função de é dada por cujo domínio é o intervalo fechado , pois não podemos ter medida e nem volume negativo.
Figura 2: Esquematização do problema
Observação 4: As funções também podem ser definidas por expressões
distintas em partes do seu domínio. Estas funções são denominadas funções definidas por partes.
Exemplo 5: O custo de uma corrida de táxi em determinada área
metropolitana é tabelado da seguinte maneira: qualquer corrida inferior a 2km custa R$3,75; após os 2km, o passageiro paga um adicional de R$1,50 por km. Assim, para uma corrida de 5km o custo é , ou seja, R$ 8,25.
g)3()1(
1−−
=xx
xg )(
1=x 3=x
21 xxh −=)( h
01 2 ≥− x
x xV x
xxxxV )222()230( −−=)( [ ]110,x V
)25(51753 −+ ,,
11
De modo geral, se é o custo total de uma corrida de taxi de km, então o
valor de é:
Definição 3: Seja uma função. O gráfico de , denotado por é o
conjunto de todos os pontos de , onde , isto é
Observação 5: Uma dada curva no plano representa o gráfico de uma
função quando qualquer reta vertical tem, no máximo, um ponto de interseção com essa curva.
Observação 6: Através do gráfico de também podemos determinar o
domínio e a imagem de . O domínio de é a projeção ortogonal do gráfico sobre
o eixo e a imagem sobre o eixo , conforme ilustrado abaixo.
Figura 3: Representação do domínio e imagem de
Exemplo 6: Considere a função definida por . O gráfico de é
esboçado na figura 4. Note que RIfDom =)( e RIfIm =)( .
)(xf x)(xf
>−+≤≤
=2se)2(51753
20se753xx
xxf
,,,
)(
BDf →: f )( fGraf
))(,( xfx 2RRRBD =×⊂× )( fDomx∈
{ } { })(|))(,()(|),()( fDomxxfxxfyBDyxfGraf ∈==×∈=
xy
f
f f
x y
f
f 12 −= xxf )( f
12
Figura 4: Gráfico da função
Exemplo 7: Considere a função definida por . O gráfico de é
esboçado na figura 5. Note que e
Figura 5: Gráfico da função
Exemplo 8: Considere a função definida por
.
O gráfico de é esboçado na figura 6. RIhDom =)( e ]4,()( −∞=gIm .
12 −= xxf )(
g 2+= ttg )( g
),[)( +∞−= 2gDom ))( +∞= [0,gIm
2+= ttg )(
h
>+−≤<+−
≤+=
4se12240se44
0se42
ttttt
ttth )(
h
13
Figura 6: Gráfico da função
Note que RIhDom =)( e ]4,()( −∞=gIm .
h
14
CAPÍTULO 2. LIMITES DE FUNÇÕES
2.1 Noção Intuitiva de Limite O conceito de limite é base fundamental de todos os conteúdos de Cálculo
Diferencial e Integral. Portanto, será o ponto de partida para o estudo da teoria do cálculo.
Para iniciarmos nosso estudo sobre limites, vamos considerar alguns modelos ilustrativos.
Exemplo 1: Seja a função definida por .
Observe que existe para todo , exceto . Investiguemos o comportamento de quando se aproxima de , porém excluindo o . Neste caso, dizemos que tende a e usaremos a notação . Observemos que existem duas possibilidades para se aproximar de :
(i) se aproxima de por valores superiores a e, neste caso, diremos que
tende para pela direita (notação: )
3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
…
5 4,5 4,1 4,01 4,001 4,0001 4,00001 4,000001
…
(ii) se aproxima de por valores inferiores a e, neste caso, diremos que
tende para pela esquerda (notação: )
1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
…
3 3,5 3,9 3,99 3,999 3,9999 3,99999 3,999999
…
Note que, em ambas as tabelas, à medida que fica cada vez mais próximo de , tanto pela direita, quanto pela esquerda, os valores de tornam-se cada vez
mais próximo de .
Por outro lado, e se , temos que .
Logo, podemos cancelar o fator comum e reescrever . Assim, o gráfico de
será a reta , com o ponto excluído. Observando o gráfico de
{ } RIRIf →− 2:242
−−
=x
xxf )(
)(xf x 2=x)(xf x 2 2
x 2 2→xx 2
x 2 2
x 2 +→ 2x
x
)(xf
x 2 2
x 2 −→ 2x
x
)(xf
x2 )(xf
4
2)2()2(
242
−+−
=−−
=x
xxx
xxf )( 2≠x 02 ≠−x
2+= xxf )(
)(xf 2+= xy )42( ,
15
, figura1, vemos que quanto mais próximo de estiver , mais próximo de
estará .
Figura 1: Gráfico da função
Assim, podemos tornar tão próximo de quanto desejarmos, bastando
para isso tomarmos suficientemente próximo de . Daí, dizemos que existe o limite de
quando tende a e seu valor é . Simbolicamente, escrevemos
o qual deve ser lido como "o limite de quando tende a é igual a ".
O limite, portanto, estabelece qual o comportamento da função na vizinhança de um ponto, sem que este pertença necessariamente ao seu domínio.
Isto nos leva a seguinte ideia geral:
Definição informal de limite: Seja uma função definida em todo um intervalo
aberto contendo um número real , exceto possivelmente no próprio . Dizemos
que o limite de quando tende a existe e vale , e escrevemos
, se à medida que se aproxima de por ambos os lados, com ,
tem-se que se aproxima de .
)(xf 2 x 4
)(xf
242
−−
=x
xxf )(
)(xf 4
x 2
242
−−
=x
xxf )(
x 2 4
4242
2=
−−
→ xx
xlim
)(xf x 2 4
f
a a)(xf x a L
Lxfax
=→
)(lim x a ax ≠
)(xf L
16
A aproximação de deve ser considerada por ambos os lados, ou seja, aproximar de por valores maiores do que e por valores menores do que . Assim, se restringimos a aproximação por apenas um dos lados, podemos definir o limite lateral à esquerda e à direita.
Definição (limite lateral à direita): Seja uma função definida em um intervalo
aberto . Dizemos que o limite de quando tende a pela direita é , e
escrevemos , se à medida que se aproxima de , com , tem-se
que se aproxima de .
Analogamente, temos:
Definição (limite lateral à esquerda): Seja uma função definida em um
intervalo aberto . Dizemos que o limite de quando tende a pela
esquerda é , e escrevemos , se à medida que se aproxima de ,
com , tem-se que se aproxima de .
Observação 1: Quando o limite lateral à direita é igual ao limite lateral à esquerda,
ou seja, , dizemos que existe e escrevemos . Caso
contrário, dizemos que não existe o e escrevemos ∄ .
Nos exemplos a seguir podemos obter o limite diretamente fazendo uma observação do comportamento gráfico da função.
Exemplo 2: Para a função definida por cujo gráfico é
esboçado na figura 2, podemos observar que .
aa a a
f),( ca )(xf x a L
Lxfax
=+→
)(lim x a ax >
)(xf L
f),( ad )(xf x a
M Mxfax
=−→
)(lim x a
ax < )(xf M
ML = )(lim xfax→
Lxfax
=→
)(lim
)(lim xfax→
)(lim xfax→
f 32 += xxf )(
3320
=+→
)(lim xx
17
Figura 2: Gráfico da função
Exemplo 3: Para a função definida por
cujo gráfico é esboçado na figura 3, podemos observar que e
.
Como , não existe e escrevemos ∄ .
Figura 3: Gráfico da função
32 += xxf )(
g
>−=<
=0se20se10se3
xxxxx
xg )(
03
00==
−→−→xxg
xxlim)(lim
2200
=−=+→+→
)(lim)(lim xxgxx
)(lim)(lim xgxgxx +→−→
≠00
)(lim xgx 0→
)(lim xgx 0→
g
18
Exemplo 4: Seja a função definida por .
Notemos que não está definida para . Além disso, para , e para , .
Assim, e seu gráfico está esboçado na figura 4.
Figura 4: Gráfico da função
A partir do gráfico podemos observar que,
e .
Como os limites laterais existem, mas são diferentes, concluímos que ∄ .
Notemos que a determinação de um limite a partir do gráfico da função exige o trabalho de esboçar tal gráfico, o que pode não ser muito simples sem a utilização de recursos computacionais ou técnicas mais sofisticadas de cálculo. Vejamos, por
exemplo, o gráfico da função , esboçado na figura 5, gerado utilizando
o software geométrico GeoGebra.
h||
)(22
−−
=xxxh
h 2=x 2>x22 −=− xx || 2<x )(|| 22 −−=− xx
<−>
=2se12se1
xx
xh )(
h
1122
−=−=−→−→
)(lim)(limxx
xh 1122
==+→+→ xx
xh lim)(lim
)(lim xhx 2→
xxxf 1sen)( =
19
Figura 5: Gráfico da função
Podemos observar no gráfico da função que e
, daí . Mais adiante utilizaremos resultados teóricos
para a determinação deste limite sem a utilização do recurso gráfico.
Observação 2: Uma abordagem teórica de limites não é o objetivo deste
texto. Entretanto, uma definição formal será apresentada para que não exista uma lacuna entre o que foi exposto até aqui e as várias técnicas de cálculo de limites que veremos posteriormente.
2.2 Definição de Limite
Definição formal de limite: Seja uma função definida para todo número em
algum intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio número . O
limite de quando tende a será , escrevemos , se a seguinte
afirmação for verdadeira: Dado qualquer número , existe um tal que se
, , então , ou simbolicamente
, , tal que .
xxxf 1sen)( =
xxxf 1sen)( = 010
=
+→ xx
xsenlim
010
=
−→ xx
xsenlim 01
0=
→ xx
xsenlim
f
a a
)(xf x a L Lxfax
=→
)(lim
0>ε 0>δ( )δδ +−∈ aax , ax ≠ ( )εε +−∈ LLxf ,)(
0>∀ε 0>∃δ δ<−< ax0 ⇒ ε<− Lxf )(
20
Figura 1: Ilustração gráfica da definição de limite
Observação 1: Notemos que a escolha de na definição acima geralmente
deverá depender de e não poderá depender da variável . Além disso, o valor de
, dado um , não é único. Na visualização da definição de limite, figura
acima, o valor de foi escolhido como sendo o maior que irá garantir que se
, , então .
Exemplo 1: Para mostrar, por definição, que devemos mostrar
que, para cada , existe tal que se , (ou seja,
), então . Assim, para um dado , podemos
escolher . Essa escolha funciona, pois se então
,
como queríamos demonstrar.
Observação 2: Vejamos, por exemplo, tomando um número
apropriado tal que para todo , , implica que
é .
δε x
0>δ 0>εδ
( )δδ +−∈ aax , ax ≠ ( )εε +−∈ LLxf ,)(
5)12(3
=−→
xxlim
0>ε 0>δ ( )δδ +−∈ 33 ,x 3≠x
δ<−< || 30 x ε<−− 5)12( x 0>ε
2εδ = δ<−< 30 x
εεδ ==<−=−=−−=−2
2232625)12(5 xxxxf )(
010,=ε δ
( )δδ +−∈ 33 ,x 3≠x
0105)12( ,|| <−−x 00502
,==εδ
21
Notemos que é o maior valor de que irá garantir que se
então . Qualquer valor positivo menor que
também serviria como escolha do .
Veremos, nos exemplos a seguir, alguns limites que servirão de base para determinação de limites de expressões mais complexas.
Exemplo 2: Limite de uma função constante. Dado e a função
definida por , , temos que . Para mostrar, por
definição, que devemos mostrar que, para cada , existe tal
que se , (ou seja, ), então .
Assim, para um dado , podemos tomar qualquer . Essa escolha funciona,
pois se então , como queríamos
demonstrar.
Exemplo 3: Limite da função identidade. Seja a função definida por
, então . Para mostrar, por definição, que
devemos mostrar que, para cada , existe tal que se
, (ou seja, ), então .
Assim, para um dado , podemos escolher . Essa escolha funciona, pois se
então , como queríamos demonstrar.
Teorema (Unicidade do limite): Se e , então . Em
outras palavras, se o limite existe, então ele é único.
Demonstração: Desejamos mostrar que sabendo-se que e
. Da definição formal de e , temos que dado
qualquer , existem os números e tais que
e .
0050, δδ<−< || 30 x 0105)12( ,|| <−−x 0050,
δ
RIk∈ f
kxf =)( RIx∈∀ kkxfaxax
==→→
lim)(lim
kkax
=→
lim 0>ε 0>δ
( )δδ +−∈ aax , ax ≠ δ<−< || ax0 ε<− kxf )(
0>ε 0>δδ<−< ax0 ε<=−=− 0)( kkkxf
f
xxf =)( RIx∈∀ axxfaxax
==→→
lim)(lim
axax
=→lim 0>ε 0>δ
( )δδ +−∈ aax , ax ≠ δ<−< || ax0 ε<−=− axaxf )(
0>ε εδ =
δ<−< ax0 εδ =<−=− axaxf )(
Lxfax
=→
)(lim Mxfax
=→
)(lim ML =
ML = Lxfax
=→
)(lim
Mxgax
=→
)(lim Lxfax
=→
)(lim Mxgax
=→
)(lim
0>ε 01 >δ 02 >δ
10 δ<−< ax ⇒ ε<− Lxf )( 20 δ<−< ax ⇒ ε<− Mxf )(
22
Assim, tomando o número como sendo o menor valor entre os números e
tem-se que e . Portanto, se então
e .
Daí, para o dado valor de , existe tal que se então
Pela arbitrariedade do número positivo , podemos tomar tão pequeno
quanto queiramos e, da desigualdade , segue que
,
como queríamos demonstrar.
δ 1δ
2δ 1δδ ≤ 2δδ ≤ δ<−< ax0
10 δδ ≤<−< ax ⇒ ε<− Lxf )( 20 δδ ≤<−< ax ⇒ ε<− Mxf )(
0>ε 0>δ δ<−< ax0
εεε 2
0
=+<−+−=
−+−≤−+−=−≤
MxfLxf
MxfxfLMxfxfLML
)()(
)()()()(
ε ε
ε20 <−≤ ML
0=− ML ⇒ 0=− ML ⇒ ML =
23
2.3 Propriedades dos Limites
Teorema (Propriedades dos Limites): Suponhamos que e que
.
P1 (LIMITE DA SOMA): ;
P2 (LIMITE DA DIFERENÇA):
;
P3 (LIMITE DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO): ,
para qualquer ;
P4 (LIMITE DO PRODUTO): ;
P5 (LIMITE DO QUOCIENTE):
, desde que ;
P6 (LIMITE DA N-ÉSIMA POTÊNCIA):
, para qualquer inteiro positivo ;
P7 (LIMITE DA RAIZ N-ÉSIMA):
, desde que e é qualquer inteiro
positivo ou e é qualquer inteiro positivo ímpar;
Observação 1: As propriedades listadas acima podem ser demonstradas
utilizando a definição formal de limite. Mas, no momento, o principal objetivo é a utilização destas propriedades para o cálculo de limites.
Observação 2: As propriedades de limites continuam válidas se substituirmos
por ou .
Lxfax
=→
)(lim
Mxgax
=→
)(lim
[ ] MLxxxx gfgfaxaxax
+=+=+→→→
)(lim)(lim)()(lim
[ ] MLxgxfxgxfaxaxax
−=−=−→→→
)(lim)(lim)()(lim
[ ] Lcxfcxfcaxax
⋅=⋅=⋅→→
)(lim)(lim
RI∈c
[ ] MLxgxfxgxfaxaxax
⋅=⋅=⋅→→→
)(lim)(lim)()(lim
ML
xg
xf
xgxf
ax
ax
ax==
→
→
→ )(lim
)(lim
)()(
lim 0≠=→
Mxgax
)(lim
[ ] nLxxn
ax
n
axff =
=
→→)(lim)(lim n
nnax
n
axLxfxf ==
→→)(limlim )( 0≥=
→Lxf
ax)(lim n
0<=→
Lxfax
)(lim n
ax → +→ ax −→ ax
24
Exemplo 1: Se , e são números reais, então ,
pois utilizando os limites básicos vistos nos exemplos 2 e 3 (seção 2.2) juntamente com as propriedades P1 e P3, temos que
Usando os mesmos argumentos, podemos mostrar que para números reais ,
, ... , , temos que
para todo . Segue então, que:
• se é uma função polinomial do tipo , para
todo , então .
• se é uma função racional do tipo , sendo , funções polinomiais,
então .
Observação 3: Nos exemplos acima de limites com tendendo a , tivemos
sempre no domínio de e Quando isto ocorre, dizemos que é
contínua no ponto . Falaremos mais adiante sobre estes tipos especiais de funções.
Exemplo 2: Para a função definida por temos que
Exemplo 3: Para a função definida por , temos que
ob 1b a ooaxbabbxb +=+
→11 )(lim
ooaxaxoaxaxoaxbabbxbbxbbxb +=+=+=+
→→→→→1111 limlimlimlim)(lim
nb
1−nb 1b ob
on
nn
non
nn
naxbabababbxbxbxb ++++=++++ −
−−
−→
11
111
1 )(lim
2≥n
p on
nn
n bxbxbxbxp ++++= −− 1
11 )(
0≥n )()(lim apxpax
=→
f)()()(
xqxpxf = p q
)()()(
)()(lim)(lim af
aqap
xqxpxf
axax===
→→
x a
a f )()(lim afxfax
=→
f
a
f )()()( 165 −+= xxxf
41612625
165165165
Polinomial Função
22
)P( ePropriedad
2
)P( ePropriedad
2
47
==−⋅+=
−⋅+=−+=−+→→→→
)().(
)(lim)(lim))((lim))((lim xxxxxxxxxx
f2
3
35
)()(
+
−=
xxxxf
131115
3
5
35
2
3Polinomial Função
21
31
P( ePropriedad
2
3
1
)5=
+
−=
+
−=
+
−
→
→
→
.)(lim
)(limlim
x
xx
xxx
x
x
x
25
Teste o seu conhecimento 1. Indique, como no exemplo anterior, as propriedades utilizadas no cálculo do limite abaixo:
( )6
483
4168
3
12
83
12
83
12
83
12
234
4
44
23
44
4
44
23
44
4
4
234
4234
4
−=−
−=
−
−+
=
−
−+=
−
−+
=−
−+
→
→
→
→→
→→
→→
→
→
→
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
lim
limlim
limlim
limlim
limlim
lim
limlim
26
Observação 4: Vale ressaltar que a propriedade não é aplicável se o limite
do denominador for zero. Entretanto, se o numerador e o denominador ambos aproximam-se de zero quando aproxima-se de , então o numerador e o denominador poderão ter um fator comum (neste caso, o limite poderá ser obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns, conforme ilustram os exemplos 4 e 5) ou poderá ocorrer outras situações nas quais iremos abordar mais adiante.
Exemplo 4: Para achar
não podemos utilizar a
propriedade , pois o limite do denominador é zero. No entanto, o limite do
numerador também é zero e daí eles compartilham um fator comum . Portanto o limite pode ser obtido da seguinte maneira:
Desde que estamos apenas supondo que o valor de esteja aproximando-se do valor
, não é igual a , ou seja, . Assim podemos utilizar a simplificação algébrica
que não tem efeito no cálculo do limite, quando se aproxima de . Daí, posteriormente,
podemos aplicar a propriedade .
Observação 5: No caso de e é comum dizer que
tem uma indeterminação do tipo . Nesta situação, nada se pode afirmar
de imediato sobre . Dependendo das funções e o limite do quociente
pode assumir qualquer valor real ou não existir. No exemplo 4 verificamos que
o limite existiu e seu valor foi .
5P
x aax −
xxxxx
x 332
23
3
3+
+++−→
lim
5P
3+x
310
310
1
13
133
33
3
235P
2
3
2
32
23
3
−=−
=+
=
+=
+++
=+
+++
−→
−→
−→
∗
−→−→
x
x
xx
xxxx
xxxxx
x
x
xxx
lim
)(lim
)(lim)(
))((limlim)(
)(∗ x 3−x 3− 03 ≠+x
x 3−
5P
0=→
)(lim xfax
0=→
)(lim xgax
)()(lim
xgxf
ax→ 00
)()(lim
xgxf
ax→f g
)()(
xgxf
310
−
27
Exemplo 5: Para achar não podemos utilizar a propriedade ,
pois o limite do denominador é zero. No entanto, o limite do numerador também é
zero ou seja, temos uma indeterminação do tipo . Para analisarmos esta
indeterminação vamos proceder da seguinte forma:
Exemplo 6 (Cálculo de um limite com mudança de variável): Para o caso
novamente temos uma indeterminação do tipo . Para analisarmos
esta indeterminação, façamos a mudança de variável . Daí, temos e
quando tende a 8, tende a 2 (em símbolos: se , então ). Portanto,
Exemplo 7: Para calcular utilizamos a mudança de variável
, conforme o exemplo 6, ou a mudança de variável (se
então ). Daí,
.
Outro resultado importante no cálculo de limites é o seguinte teorema:
93
9 −−
→ xx
xlim 5P
00
( ) ( )
61
3
1
31
399
3933
93
9
9
9
99
00
9
=+
=+
=
+−
−=
+−
+−=
−−
→
→
→
→→
→
)(lim
limlim
lim)()()()(limlim
xx
xxx
xxxx
xx
x
x
x
xxx
823
8 −−
→ xx
xlim
00
3 xy = xy =3
x y 8→x 2→y
121
42
1P
421
4222
82
82
22
25
22
2232
0
0
3
8
=++
=++
=
++−−
=−−
=−−
→
→
→
→→→
)(lim
limlim
)()(limlimlim
yyyy
yyyy
yy
xx
y
y
y
yyx
hh
h
283
0
−+→
lim
3 8 hy += hx += 8 0→h
8→x
12limlim 128
823
8
3
0=
−
−=
−+→→ xh
h xxh
28
Teorema do Confronto (ou Teorema do "Sanduíche"): Sejam , e funções
definidas em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em . Se
para todo e , então .
Figura: Ilustração gráfica do Teorema do Confronto
Observação 6: A ideia deste resultado é que podemos determinar o limite da função bastando para isso conhecer os limites das funções e que delimitam
nas proximidades do ponto .
Observação 7: O teorema do Confronto é também válido se substituirmos
por e .
Exemplo 8: Seja a função definida por . Vimos, pelo gráfico
de , que . Uma alternativa para o cálculo deste limite, sem o
conhecimento do gráfico de , é utilizar o Teorema do Confronto, como segue:
Sabemos que para todo . Assim,
f g hI a ax =
)()()( xhxgxf ≤≤ Ix∈ Lxhxfaxax
==→→
)(lim)(lim Lxgax
=→
)(iml
g f hg a
ax → +→ ax −→ ax
gxxxg 1sen)( =
g 010
=
→ xx
xsenlim
g
111 ≤≤−x
sen 0≠x
29
• para temos que . Como e
segue, pelo Teorema do Confronto, que .
• para temos que ou, equivalentemente,
para . Como e , segue, pelo
Teorema do Confronto, que .
Portanto, como e , temos que .
2.4 Limites no Infinito e Limites Infinitos Até o momento estudamos os limites do tipo onde e
representam números reais. Entretanto, podemos considerar outras situações: Vejamos os exemplos abaixo:
Exemplo 1: Considerando a função definida por .
Investiguemos o comportamento de , quando cresce indefinidamente.
Novamente vamos fazer o uso de uma tabela de valores:
10 100 1000 10000 100000 1000000 …
1,25 1,02 1,002 1,0002 1,00002 1,000002 …
Note que à medida que cresce indefinidamente os valores de tornam-se
cada vez mais próximo de 1.
Por outro lado, observando o gráfico de abaixo, vemos que quanto maior o
valor de , mais próximo de 1 estará .
0>x xx
xx ≤≤−1sen 0
0=−
+→)(lim x
x0
0=
+→x
xlim
010
=
+→ xx
xsenlim
0<x xx
xx ≥≥−1sen
xx
xx −≤≤1sen 0<x 0
0=
−→x
xlim 0
0=−
−→)(lim x
x
010
=
−→ xx
xsenlim
010
=
+→ xx
xsenlim 01
0=
−→ xx
xsenlim 01
0=
→ xx
xsenlim
Lxfax
=→
)(lim a L
f2−
=x
xxf )(
)(xf x
x)(xf
x )(xf
fx )(xf
30
Figura1: Gráfico da função
Assim, podemos tornar tão próximo de 1 quanto desejarmos, bastando
para isso tomarmos valores para suficientemente grandes. Usaremos a notação para representar o crescimento indefinido de Daí, dizemos que existe o
limite de quando tende a e seu valor é1. Simbolicamente,
escrevemos o qual deve ser lido como "o limite de quando
tende a é igual a 1".
Investiguemos agora o comportamento de quando se aproxima de 2 por
valores superiores a2 ( ).
Novamente vamos fazer o uso de uma tabela de valores:
2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 …
5 21 201 2001 20001 200001 …
Note que à medida que fica cada vez mais próximo de 2, por valores superiores a 2, os valores de ficam arbitrariamente grande.
Por outro lado, observando o gráfico de , figura 1, podemos tornar tão
grande quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos suficientemente próximo de 2, por valores superiores a 2. Para indicar este tipo de comportamento exibido
usamos a notação .
2−=
xx
xf )(
)(xf
x∞+→x x
2−= x
xxf )( x ∞+
12=
−∞+→ xx
xlim )(xf x
∞+
)(xf x
+→ 2x
x)(xf
x)(xf
f )(xf
x
∞+=−+→ 22 xx
xlim
31
Analogamente, podemos investiguemos tanto o comportamento de ,
quando decresce indefinidamente (notação: ) quanto o comportamento de
quando se aproxima de 2 por valores inferiores a 2 ( ). Para esta
função podemos ainda indicar estes comportamentos usando a notação:
e .
Observação 1: Convém ressaltar que o símbolo não é numero real e,
consequentemente, não podem ser manipulados usando regras de álgebra.
Por exemplo, não é correto escrever . Dizer que um
determinado limite de uma função existe significa dizer que o valor do limite é um número real único. No caso acima,
é simplesmente uma forma particular da não existência do limite. No entanto, escrever que
é uma informação adicional que, além de dizer que o limite não existe, estamos
informando que, se então os valores ficam arbitrariamente grandes.
Pode suceder também que, quando se torna muito grande se torna
muito grande, ou muito negativo. No primeiro caso, indica-se e, no
segundo, . Além desses, temos de considerar ainda
e .
Daremos a seguir as definições dos símbolos de diversos tipos de limites. Ao invés de procurar decorá-las, você deve intuí-las geometricamente. Faça a ilustração gráfica de cada definição.
Símbolo Definição
)(xf
x ∞−→x)(xf x −→ 2x
f
12=
−∞−→ xx
xlim ∞−=
−−→ 22 xx
xlim
∞
0=+∞−+∞ )()(
∞+=−+→ 22 xx
xlim
∞+=−+→ 22 xx
xlim
+→ 2x )(xf
x )(xf
∞+=∞+→
)(lim xfx
∞−=∞+→
)(lim xfx
∞+=∞−→
)(lim xfx
∞−=∞−→
)(lim xfx
32
, , tal que .
, , tal que .
, , tal que .
, , tal que .
, , tal que .
, , tal que
, , tal que
, , tal que
, , tal que
, , tal que
, , tal que
, , tal que
, , tal que
Tabela: Definições formais dos casos de limites de funções
Observação 2: As propriedades de limites listadas na seção 2.3 continuam
válidas se substituirmos por ou .
Observação 3: Para o cálculo de limites infinitos e limites no infinito
utilizaremos o seguinte teorema, cuja demonstração segue das definições listadas acima.
Teorema: Se é um número inteiro positivo qualquer, então
Lxfax
=→
)(lim 0>∀ε 0>∃δ δ<−< ax0 ⇒ ε<− Lxf )(
Lxfax
=+→
)(lim 0>∀ε 0>∃δ δ+<< axa ⇒ ε<− Lxf )(
Lxfax
=−→
)(lim 0>∀ε 0>∃δ axa <<−δ ⇒ ε<− Lxf )(
Lxfx
=∞+→
)(lim 0>∀ε 0>∃N Nx> ⇒ ε<− Lxf )(
Lxfx
=∞−→
)(lim 0>∀ε 0<∃N Nx< ⇒ ε<− Lxf )(
+∞=+→
)(lim xfax
0>∀M 0>∃δ δ+<< axa ⇒ Mxf >)(
−∞=+→
)(lim xfax
0<∀M 0>∃δ δ+<< axa ⇒ Mxf <)(
+∞=→
)(lim_
xfax
0>∀M 0>∃δ axa <<−δ ⇒ Mxf >)(
−∞=→
)(lim_
xfax
0<∀M 0>∃δ axa <<−δ ⇒ Mxf <)(
∞+=+∞→
)(lim xfx 0>∀M 0>∃N Nx> ⇒ Mxf >)(
∞−=+∞→
)(lim xfx
0<∀M 0>∃N Nx> ⇒ Mxf <)(
∞+=−∞→
)(lim xfx
0>∀M 0<∃N Nx< ⇒ Mxf >)(
∞−=−∞→
)(lim xfx
0<∀M 0<∃N Nx< ⇒ Mxf <)(
ax → +∞→x −∞→x
n
33
, , ,
Observação 4: Vale ressaltar que podemos intuir os resultados do teorema
acima observando o comportamento dos gráficos:
Figura 2: Gráfico de Figura 3: Gráfico de
Exemplo 2: Para achar façamos
Do teorema anterior segue que , , tendem a zero quando se torna muito
grande. Além disso, utilizamos também as propriedades de limites dadas na seção 2.3.
Exemplo 3: Para achar , façamos
01=
+∞→ nxxlim 01
=−∞→ nxx
lim ∞+=+→
nxx1
0lim
∞−∞+
=−→ ímpar é se
par é se10 n
n
xx nlim
ímpar ,1 nx
xfn
=)( par ,1 nx
xfn
=)(
110327
4
4
+−
−∞+→ xx
xxlim
37
00307
1103
27
1103
27
110327
43
4
434
44
4
4=
+−−
=+−
−=
+−
−
=+−
− ∗
∞+→∞+→∞+→
)(limimlim l
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
)(∗ 42x 3
10x 4
1x
x
xxx
x 10327
4
2
−
−∞−→
lim
34
Do teorema anterior segue que e tendem a zero quando se torna muito
negativo. Além disso, utilizamos também as propriedades de limites dadas na seção 2.3.
Observação 5: O Teorema do Confronto é também válido se substituirmos
por ou . Vejamos os exemplos.
Exemplo 4: Para achar não podemos utilizar a propriedade ,
pois o limite do denominador não é um número real ( ). Além disso,
observe também que não existe , ou seja, ∄ (Para se convencer
deste fato, observe o comportamento do gráfico da função , quando cresce indefinidamente).
Para resolver devemos utilizar o Teorema do Confronto. Vejamos,
sabendo que para todo , tem-se que para todo
. Como e , segue que .
Exemplo 5: Para calcular façamos
( ) ( )xxxx
xxxxxxxxxx
xxxx ++=
++−+
=++
++⋅−+=−+
+∞→+∞→+∞→+∞→ 11
11
1111 limlimlimlim .
Agora vamos utilizar o Teorema do Confronto para resolver
.
Vejamos, para temos que
, .
0370
103
271
103
27
10327
3
2
2
34
22
4
2=⋅=
−
−⋅=
−
−
=−
− ∗
∞−→∞−→∞−→
)(limlimlim
x
xx
xx
xx
xxx
xxx
)(∗ 21
x 310x
x
ax → ∞+→x ∞−→x
xx
x
senlim∞+→ 5P
∞+=∞+→
xxlim
xx
senlim+∞→
xx
senlim+∞→
xxf sen)( = x
xx
x
senlim∞+→
11 ≤≤− xsen RIx∈xx
xx
11≤≤−
sen
0>x 01=−
+∞→ xxlim 01
=+∞→ xx
lim 0=∞+→ x
xx
senlim
( )xxx
−+∞+→
1lim
xxx ++∞+→ 11lim
0>x
01 >++ xx ⇒ 011
>++ xx
0>∀ x
35
Por outro lado,
, ,
, .
Portanto, para todo , temos
.
Uma vez que e segue que
.
Observação 6: Na prática, para calcular
procedemos da seguinte maneira: Como e crescem indefinidamente
quando cresce temos que cresce indefinidamente, quando cresce.
Assim, quando cresce,
tende a zero, isto é, .
Observação 7: No caso de e é comum dizer que
tem uma indeterminação do tipo . Nesta situação, nada se
pode afirmar de imediato sobre . Dependendo quais são as funções
e o limite da diferença pode assumir qualquer valor real ou não existir. No
exemplo 5 verificamos que o limite existiu e seu valor foi zero. Vejamos mais um exemplo do caso de indeterminação do tipo
em que o valor do limite existe e
não é igual a zero.
Exemplo 6: Para calcular procedemos da seguinte
forma:
xx >+1 0>∀ x ⇒ xxxxx 21 =+>++ 0>∀ x
⇒xxx 2
111
<++
0>∀ x
0>x
xxx 21
110 <++
<
00 =+∞→x
lim 02
1=
+∞→ xxlim
( ) 0111 =++
=−+∞+→∞+→ xx
xxxxlimlim
xxx ++∞+→ 11lim
1+x x
x xx ++1 xx
xx ++11 0
11
=++∞+→ xxx
lim
+∞=→
)(lim xfax
+∞=→
)(lim xgax
( ))()(lim xgxfax
−→
∞−∞
( ))()(lim xgxfax
−→
f g
∞−∞
)(lim 224 xxxx
−+∞+→
36
[ ]
21
111
1
111
11
222
2
22
4
2
224
424
224
224224224
=++
=
++
=
+
+
=++
−+=
++
++⋅−+=
−+
∞+→∞+→
∞+→∞+→
∞+→
∞−∞
∞+→
xxx
x
xx
x
x
xxx
xxxxxx
xxxxxxxxx
xx
xx
xx
limlim
limlim
)(limlim
37
2.5 Cálculo de Limites Em termos de cálculos de limites, as seguintes formas são consideradas
indeterminadas: , , , , , , .
Na resolução do cálculo de limite de expressões que envolvem essas formas de indeterminações é comum o uso de fatorações, simplificações, artifícios algébricos ou conhecimentos de limites especiais que possam eliminar as indeterminações e avaliar corretamente os limites estudados.
Para orientar o cálculo de limites no infinito daremos a seguir uma tabela sobre o procedimento a serem seguidos. Ao invés de procurar decorar as propriedades você deve utilizar a intuição, desde que não tenha um caso de indeterminação.
)(lim#
xfx→ )(lim
#xg
x→ )(lim
#xh
x→
1 2 3 (?) indeterminação 4 5 6 7 8 9
10 0 (?) indeterminação
11 )()( xgxf 0
12 )()( xgxf (?) indeterminação
13 )()( xgxf 14 )()( xgxf 15 )()( xgxf 16 )()( xgxf 17 )()( xgxf (?) indeterminação
Tabela: Principais casos envolvendo limites infinitos e limites no infinito
Nesta tabela: • o símbolo # pode ser substituido por , , , , .
• o símbolo significa que o limite da função é zero, todavia se aproxima de zero por valores positivos para #.
• o símbolo significa que o limite da função é zero, todavia se aproxima de zero por valores negativos para #.
Vejamos mais alguns exemplos:
00
∞
∞∞−∞ ∞×0 00 0∞ ∞1
)(xh
∞+ ∞+ )()( xgxf + ∞+∞− ∞− )()( xgxf + ∞−∞+ ∞+ )()( xgxf −
∞+ k )()( xgxf + ∞+∞− k )()( xgxf + ∞−∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞−∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞−∞± )()( xgxf ⋅
k ∞±∞± ∞±
0>k +0 ∞+
∞+ +0 ∞+
0k > −0 ∞−
∞+ −0 ∞−
0 0
a +a −a ∞+ ∞−+0→x
−0→x
38
Exemplo 1: Para achar façamos
Utilizamos a propriedade 8 do quadro acima, pois quando se torna muito negativo, se
torna muito grande, e o quociente se aproxima de .
Exemplo 2: pois quando tende a 2 pela esquerda, isto é,
tende a 2 por valores menores que 2, o numerador tende a 2, que é positivo. O denominador, por sua vez, tende a 0, por valores negativos, pois se .
Logo, quando está próximo de 2 pela esquerda e torna-se muito
negativo à medida que se aproxima de 2 pela esquerda.
Exemplo 3: , pois quando tende a 2 pela direita, isto é,
tende a 2 por valores maiores que 2, o numerador tende a 2, que é positivo. O
denominador, por sua vez, tende a 0, mantendo-se positivo. Daí, e torna-
se arbitrariamente grande desde que esteja suficientemente próximo de 2, mas mantendo-se maior que 2.
Exemplo 4: Para achar analisamos os limites laterais,
1231
4
6
++
−∞−→ xx
xxlim
∞+=++
−⋅=
++
−
=++
− ∗
∞−→∞−→∞−→
)(limlimlim
43
62
434
66
4
6
123
11
123
11
1231
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
)(∗ x 2x
43
6
123
11
xx
x
++
−0
31>
∞−=−−→ 22 xx
xlim x x
02 <−x 2<x
02
1<
−xx
x
+∞=−+→ 22 xx
xlim x x
02>
−xx
x
22 4 xx
x −→lim
39
e .
Considerando que os limites laterais não foram representados pelo mesmo símbolo,
escrevemos .
Observação: Nos cálculos de limites no infinito, quando
e , escrevemos .
Analogamente, quando
e
escrevemos .
Convém ressaltar que, em ambos os casos, não existe (lembre-se que
a existência de um limite significa dizer que o valor do limite é um número real
único). Escrever, por exemplo, que é uma informação adicional que,
apesar do limite não existir, estamos informando que os valores crescem
arbitrariamente independentes de como aproximamos de .
Exemplo 5: Para achar vamos calcular os limites laterais:
e .
Considerando que os limites laterais foram representados pelo mesmo símbolo,
escrevemos .
Exemplo 6: Para calcular procedemos da seguinte forma:
+∞=+−
=− −→−→ ))((
limlimxx
xx
xxx 224 222
−∞=−+→
22 4 xx
xlim
22 4 xx
x −→∃ lim/
∞+=+→
)(lim xfax
∞+=−→
)(lim xfax
∞+=→
)(lim xfax
∞−=+→
)(lim xfax
∞−=−→
)(lim xfax
∞−=→
)(lim xfax
)(lim xfax→
∞+=→
)(lim xfax
)(xfa
23 31
)lim
( −→ xx
+∞=−−→
23 31
)lim
(xx+∞=
−+→23 3
1)
lim(xx
∞+=−→ 23 31
)lim
(xx
52
522 −
+∞−→ x
xxlim
40
Como temos que . Assim, . De forma análoga,
quando temos que e portanto . Daí resulta que
.
22
252
52
52
52
52
52
52
52
52
52
52
52
22
222
22
2
−=−=
−
+−
=
−⋅−
+⋅
=
−⋅
+⋅
=
−⋅
+⋅
=
−⋅
+⋅
=−
+
∞−→∞−→
∗
∞−→∞−→∞−→∞−→
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xxxx
lim)(
lim
||limlimlimlim
)(
)(∗ −∞→x 0<x xxx −== ||2
+∞→x 0>x xxx == ||2
252
522
=−
+∞+→ x
xxlim
41
Teste o seu conhecimento 1. Faça o que se pede:
1.1. Um estudante afirma que se e implica . Você concorda ou discorda? Justifique apresentando os cálculos.
1.2. Prove, usando a definição, que .
2. Prove, por definição, que
3. Prove que , mostrando que para todo , existe um número real ,
tal que se então .
4. Nos exercícios abaixo, calcule os limites:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
10 ≤< δ δ<+< || 20 x δ522 <−+ || xx
222
=+−→
)(lim xxx
221
−=−→ xx
lim
015
2=
−∞+→ xxlim 0>ε 0>N
Nx > ε<−−
015
2x
134
2 −+
→ xx
xlim
2652
2 +++
→ xxx
xlim
34
32 +→
xxlim
432
2 −−
→ xxx
xlim
( )2
4 3
1 ++
−→ xx
xlim
5
21 2
4x
x
x
+
→lim
242
2 −−
→ xx
xlim
16116
2
23
1 −
−+−→ x
xxxxlim
12167485
23
23
2 −+−−+−
→ xxxxxx
xlim
( )x
xx
162 4
0
−+→
lim
xx
x
220
−+→
lim
482 2
4 ++−
−→ xxx
x
)(lim
113
1 −−
→ xx
xlim
033
≠−−
→a
axax
ax;lim
022
22
0>
−+
−+→
babbx
aaxx
,;lim
11
4
3
1 −
−→ x
xxlim
( )233 2
1 112
−
+−→ x
xxxlim
xx
x −−
+−→ 51
534
lim
xxx
x
−−+→
110
lim
852
+−
+∞→ xx
xlim
24532
5
3
−
+−−∞→ x
xxxlim
74
342 −
++∞→ x
xxlim
74
342 −
+−∞→ x
xxlim
−+
+∞→xxx
x12lim
−−+
+∞→11 22 xx
xlim
−+
+∞→xxx
x2lim
−+
+∞→xx
x
3 3 1lim
+−+
−∞→
3 33 3 1xxxxlim
1+++
+∞→ xxxx
xlim
112
2
3
−+−
−∞→ xxx
xlim
33 −+→ xx
xlim
33 −−→ xx
xlim
21
2 −+→ xxlim
21
2 −−→ xxlim
[ ])(ln)(lnlim xxx
−++∞→
1
42
5. Calcule os limites, se existirem. Se não existir, justifique a sua não existência.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6. ; .
5.7. ;
5.8. ;
6. Encontre para as seguintes funções:
6.1.
6.2. 6.3.
6.4.
7. Para cada uma das seguintes funções ache .
7.1. 7.2.
4628
2
3
2 ++
+−→ xx
xxlim
22
−→
xx
lnlim
xx
x
||lim0→
( )xxx
coslim −
+∞→2
→ 3
40
1x
xx
coslim
hxfhxf
h
)()(lim −+→0
3 xxf =)(
)(lim 44
−→
xfx
<+≥
=0 se 1
0 sexx
xexfx
)(
)(lim xgx 0→
≤
>=0 se
0 se12
xx
xx
senxxg )(
( ) ( )h
xfhxf
h
−+
→ 0lim
( ) 2xxf =
( ) 3xxf =xxf 1
=)(
( ) xxf =
( ) ( )2
22 −
−→ x
fxfxlim
( ) 0,1≠= x
xxf ( ) 153 2 −+= xxxf
43
2.6 Limites Fundamentais Existem determinados limites que são chamados Limites Fundamentais e que
vamos utilizá-los para o cálculo de outros limites. São eles:
LF1) (indeterminação do tipo ).
LF2) (indeterminação do tipo ), onde é o número irracional
neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459045...
LF3) (indeterminação do tipo ).
LF4) (indeterminação do tipo ).
Saiba Mais: Para provar a veracidade do limite fundamental LF1 consulte uma das
referências bibliográficas listadas abaixo. Quanto a LF2 e LF3 a demonstração é muito trabalhosa e utiliza conceito de séries.
Utilizando o software GeoGebra (encontra-se disponível em www.geogebra.org)
podemos esboçar os gráficos das funções e e observar o
comportamento dessas funções para verificar os limites fundamentais LF1, LF2 e LF3.
O gráfico de , esboçado na figura 1, mostra que se aproxima de ,
quando se aproxima de zero.
Figura 1: Gráfico da função
10
=→ x
xsenxlim
00
e=
+
∞+→
x
x x11lim ∞1 e
e=
+
∞−→
x
x x11lim ∞1
( )1010
≠>=−
→aaa
xa x
x,lnlim
00
xxxf sen)( =
x
xxg
+= 11)(
xxxf sen)( = )(xf 1
x
xx
xfsen
)( =
44
Já, o gráfico de , esboçado na figura 2, mostra que tende
para o número quando tende para ou infinito.
Figura 2: Gráfico da função
Justificativa de LF4
Quanto a veracidade da afirmação
utilizamos a mudança de variável e, nesse caso, . Daí,
, ou seja, . Como temos que
. Assim, quando então e, portanto,
Exemplo 1: Para calcular façamos a mudança de variável .
Daí, temos e, quando tende a zero, tende a zero (em símbolos: se ,
então ). Portanto, vemos que
x
xxg
+= 11)( )(xg
e x )(+ )(−
x
xxg
+=
11)(
( )1010
≠>=−
→aaa
xa x
x,lnlim
1−= xay ya x += 1)(log)(log ya a
xa += 1 )(loglog yax aa +=⋅ 1 1=aalog
)(log yx a += 1 0→x 0→y
aa
y
yyy
yy
xa
ay
ya
ya
ya
yay
x
x
lnloglog
)(limlog
)(log
lim)(log
lim)(log
limlim
===
+
=
+
=+
=
+=
−
→
→→→→
ee1
1
1
1
1
111
11
LF2
1
0
10000
xx
x
)(senlim 30→
xu 3=
3ux = x u 0→x
0→u
45
.
Exemplo 2: Para calcular , sendo procedemos
conforme o exemplo anterior. Façamos a mudança de variável e verificamos
que se , então . Assim, .
Exemplo 3: Para calcular façamos
Portanto, .
Exemplo 4: Para calcular analisamos os limites laterais
e . Em ambos os casos, façamos a mudança de variável
e utilizamos os limites fundamentais LF2 e LF3. Note que se , então
e, se , então . Daí,
e
Portanto, .
Exemplo 5: Para calcular , sendo , façamos e
verificamos que se , então . Assim,
31333
3
3 LF1
0000=⋅=⋅=⋅==
→→→→ uu
uu
uu
xx
uuux
senlimsenlimsenlim)(senlim
axax
x
)(senlim0→
{ }0−∈ RIa
axu =
0→x 0→u 1LF1
00==
→→ uu
axax
ux
senlim)(senlim
hh
h
10
−→
coslim
00111
11
1111
LF1
0
2
0
2
000
=⋅−=
+
⋅−=+
−=
+−
=
++
−
=−
→→
→→→
)(cos
sensenlim)(cos
senlim
)(coscoslim
coscoscoslimcoslim
hh
hh
hhh
hhh
hh
hh
hh
hh
hhh
010
=−
→ hh
h
coslim
( ) xx
x1
01+
→lim
( ) x
xx
1
01+
+→lim ( ) x
xx
1
01+
−→lim
xu 1= +→ 0x
+∞→u −→ 0x −∞→u
( ) e=
+=+
∞+→+→
u
ux
x ux 111
1
0limlim ( ) e=
+=+
∞−→−→
u
ux
x ux 111
1
0limlim
( ) e=+→
xx
x1
01lim
x
x xa
+
∞+→1lim { }0−∈ RIa
xau =
+∞→x 0→u
46
Portanto, .
Exemplo 6: Para calcular sendo fazemos:
Portanto, .
Utilizamos as propriedades de limites, o limite fundamental LF1 e .
Observação: Podemos mostrar que se então
procedendo analogamente
conforme o exemplo 6. Deixamos este fato como exercício.
Exemplo 7: Para calcular façamos:
Portanto, .
2.7 Funções Contínuas Na linguagem cotidiana, usamos a palavra contínuo para nos referirmos a uma
situação que não se interrompe ou ininterrupta. Por exemplo, dizemos que o tempo é
( ) ( ) ( ) aa
u
u
au
u
ua
u
x
xuuu
xa e
4 Exemplo1
0
1
001111 =
+=
+=+=
+
+→+→+→∞+→limlimlimlim
ax
x xa e=
+
∞+→1lim
hxfhxf
h
)()(lim −+→0
( ) xxf sen=
xxx
xh
hsenhhx
hxhsenhx
hxxhsenhx
hxsenhxsen
hxfhxf
hh
hhh
coscossen
coscossenlimcos)cos(senlim
sencoscossenlim)(lim)()(lim
=⋅+⋅=
⋅+
−⋅=
+−=
−+=
−+=
−+
∗
→→
→→→
10
11
)(
00
000
xh
xsenhxsenh
cos)()(lim =−+
→0
)(∗ 010
=−
→ hh
h
coslim
( ) xxf cos=
xh
xhxh
xfhxfhh
sen)cos()cos(lim)()(lim −=−+
=−+
→→ 00
xba xx
x
−→0
lim
=
⋅=
−
⋅=
−
=−
→→→ ba
bab
x
ba
bx
bab
xba
x
xx
x
xx
x
xx
xlnlnlimlimlim 0
000
11
=
−→ b
ax
ba xx
xlnlim
0
47
contínuo. Também, é de senso comum que um objeto em movimento não pode, em um só instante, desaparecer de uma posição e reaparecer em outra. Desta forma, seu movimento descreve uma trajetória bem comportada, sem falhas ou buracos.
Antes de apresentarmos o conceito de continuidade, vamos analisar alguns gráficos de funções:
(i) (ii) (iii)
Figura 1: Ilustração gráfica de algumas funções
Observe que: • em (i), não está definida;
• em (ii), e , mas ou seja,
;
• em (iii), existem e , mas .
Definição: Dizemos que uma função é contínua em um número se satisfaz as seguintes condições: • existe ou seja, pertence ao domínio de ; • existe ;
• Se uma das três condições acima não for satisfeita dizemos que é descontínua em
e o ponto é chamado ponto de descontinuidade de .
Observação 1: Ao utilizar a definição para mostrar que uma função é contínua em um número basta verificar a condição (iii), porque com isto, as duas primeiras condições já ficam analisadas.
Observação 2: Note que se é contínua em então a propriedade (iii) nos diz que .
)(afLxf
ax=
−→)(lim )()(lim afxf
ax=
+→)(lim)(lim xfxf
axax +→−→≠ )(lim/ xf
ax→∃
)(af )(lim xfax→
)()(lim afxfax
≠→
f a
)(af a f)(lim xf
ax→
)()(lim afxfax
=→
fa a f
f
f a)lim()(lim xfxf
axax →→=
48
Observação 3: Nas ilustrações gráficas das funções listadas na figura 1 todas as funções são descontínuas em .
Exemplo 1: A função definida por é contínua em
. De fato, pela definição de função contínua, temos:
(i) , ou seja, pertence ao domínio de ;
(ii) e . Daí, como os limites
laterais à esquerda e à direita são iguais, temos que .
(iii)
Figura 2: Gráfico da função
Exemplo 2: Seja a função definida por .
Note que é descontínua em . De fato,
e
e desta forma , ou seja, a condição (iii) da definição de continuidade
não é satisfeita.
ax =
f
≥−<−
=1se11se1
xxxx
xf )(
1=x
01 =)(f 1 f
0111
=−=−→−→
)(lim)(lim xxfxx
0111
=−=+→+→
xxfxxlim)(lim
01
=→
)(lim xfx
)()(lim 101
fxfx
==→
f
g
=
≠−−
=2se6
2se242
x
xx
x
xg )(
g 2=x
422
2224
22
2
22=+=
−+−
=−−
=→→→→
)(lim))((limlim)(lim xx
xxx
xxgxxxx
62 =)(g
)()(lim 22
gxgx
≠→
49
Figura 3: Gráfico da função
Exemplo 3: Considere a função definida por .
Vamos mostrar que é descontínua em e contínua em .
(i) é descontínua em . Com efeito, analisando os limites laterais temos:
e
Daí, concluímos que não existe , ou seja, a condição (ii) da definição de
continuidade não é satisfeita. (ii) é contínua em . De fato, de maneira análoga, é necessário analisarmos os limites laterais. Vejamos:
e
Daí, resulta que e como temos que .
Figura 4: Gráfico da função
g
h
>−−
≤<−
≤+
=
2se23
4
20se2
0se12
xx
xxxx
xh )(
h 0=x 2=x
h 0=x
1100
=+=−→−→
)(lim)(lim xxhxx
02
2
00=
−=
+→+→
xxhxxlim)(lim
)(lim xhx 0→
h 2=x
22
2
22−=
−=
−→−→
xxhxxlim)(lim 2
23
422−=
−−
=+→+→
xxhxxlim)(lim
22
−=→
)(lim xhx
22 −=)(h )()(lim 22
hxhx
=→
h
50
Definição: Dizemos que:
• é contínua à direita em ;
• é contínua à esquerda em ;
• é contínua em um intervalo aberto se for contínua em cada ponto de ;
• é contínua em um intervalo fechado aberto se for contínua em , contínua à
direita em e à esquerda em ;
• é contínua se for contínua em cada ponto de seu domínio.
Observação: De forma análoga, podemos definir uma função contínua nos intervalos , , , , , , . A figura abaixo ilustra o gráfico de funções definidas num intervalo fechado .
(i) (ii) (iii)
Figura 5: Ilustração gráfica de algumas funções definidas em
• A função (i) é descontínua à direita em e contínua à esquerda em ; • A função (ii) é contínua à direita em e descontínua à esquerda em ; • A função (iii) é contínua à direita em e à esquerda em .
Exemplo 4: Para mostrar que a função definida por é
contínua devemos mostrar que é contínua em cada ponto de seu domínio que é
dado por , ou seja, necessitamos investigar a continuidade de no intervalo
aberto e a continuidade à direita no extremo . De fato,
• é contínua à direita em pois .
• é contínua em pois para qualquer tem-se que
.
f a ⇔ )()(lim afxfax
=+→
f b ⇔ )()(lim bfxfbx
=−→
f ),( ba ),( ba
f ],[ ba ),( ba
a bf
),[ ba ],( ba ),( +∞−∞ ),[ +∞a ),( +∞a ],( b−∞ ),( b−∞],[ ba
],[ ba
ax = bx =ax = bx =ax = bx =
f 62 −= xxf )(
f
),[ +∞3 f
),( +∞3 3=x
f 3=x )(lim)(lim 306233
fxxfxx
==−=+→+→
f ),( +∞3 ),( +∞∈ 3c
)(lim)(lim cfcxxfcxcx
=−=−=→→
6262
51
2.8 Propriedades das Funções Contínuas Daremos a seguir alguns resultados de funções contínuas que seguem da
definição e das propriedades de limite vistas anteriormente.
Teorema 1: Se as funções e são contínuas em um número , então:
• é contínua em ;
• é contínua em ;
• é contínua em ;
• é contínua em , desde que .
Teorema 2: • Toda função polinomial é contínuas para todo número real;
• Toda função racional é contínuas em todo o seu domínio;
• As funções trigonométricas são contínuas em todo o seu domínio.
• As funções exponencial e logarítmica são contínuas em todo o seu domínio.
O conhecimento de quais funções são contínuas nos capacita a calcular de maneira mais rápida alguns limites, como no exemplo a seguir:
Exemplo 1: Para calcular
podemos observar que é uma função racional cujo
domínio é . Do teorema 2 sabemos que é contínua. Portanto,
f g a
gf + a
gf − a
gf ⋅ a
gf a 0≠)(ag
xxx
x 2632 23
1 −++
−→lim
xxxxf26
32 23
−++
=)(
}{3−RI f
21
12631211
2632 23
1
23
1=
−−+−⋅+−
===−
++−→−→ )(
)()()()(limlim fxfx
xxxx
52
Exemplo 2: Considere a função
sendo uma constante real. Vejamos se é possível determinar um valor de de modo que a função seja contínua. Note que, para temos que e
portanto é contínua. Por outro lado, se temos que e da mesma
forma é contínua. Daí, para analisar a continuidade de , basta analisar a
continuidade em . Como
e
temos que para que exista é suficiente que . Daí, é contínua em
pois . Portanto, para que seja contínua o valor de
deve ser igual a 2.
Teorema 3: Se e é contínua em , então
. Se é contínua em e é contínua em então é contínua em ,
ou seja,
Exemplo 3: Para justificar que a função é contínua observamos
que , sendo e . Como e
são funções contínuas para todo número real segue, pelo teorema 3, que a composta é contínua.
>≤−
=1 se1 se35
3 xkxxx
xf )(
k kf 1<x 35 −= xxf )(
1>x 3kxxf =)(f
1=x
23511
=−=−→−→
)(lim)(lim xxfxx
kkxxfxx
==+→+→
3
11lim)(lim
)(lim xfx 1→
2=k f
1=x kfxfx
===→
211
)()(lim f k
bxgax
=→
)(lim f b
)())(lim())((lim))((lim bfxgfxgfxgfaxaxax
===→→→
g a f bag =)( gf a
))(())(())(lim())((lim))((lim agfagfxgfxgfxgfaxaxax
====→→→
xexh sen)( =
))(()( xgfxh = xexf =)( xxg sen)( = xexf =)( xxg sen)( =
gfh =
53
Observação 1: O conhecimento do teorema 3 nos permite justificar, por
exemplo, as seguintes propriedades de limites:
• , para qualquer inteiro positivo ;
• , desde que e é qualquer inteiro
positivo ou e é qualquer inteiro positivo ímpar;
• , desde que ;
• , desde que exista ;
• , desde que exista ;
• , desde que exista .
Teorema 4: Seja uma função contínua num intervalo . Seja . Se
admite uma função inversa , então é contínua em todos os pontos
de .
Observação 2: Com auxílio do teorema 4 podemos justificar a continuidade de
várias funções inversas, como por exemplo, , , ,
.
Teorema 5 (Teorema do Valor Intermediário - TVI): Se é contínua em um
intervalo fechado e se é um número entre e então existe ao
menos um número em tal que .
[ ]n
ax
n
axxfxf
=
→→)(lim)(lim n
nax
n
axxfxf )(limlim )(
→→= 0≥
→)(lim xf
axn
0<→
)(lim xfax
n
=
→→)(limln)]([lnlim xfxf
axax0>
→)(lim xf
ax
=
→→)(limcos)]([coslim xfxf
axax)(lim xf
ax→
=
→→)(limsen)]([senlim xfxf
axax)(lim xf
ax→
)(lim)(lim
xfaxxf
axee →
→= )(lim xf
ax→
f I )Im( fJ = f
IJfg →= − :1 g
J
xy ln= xy arcsen= xy arccos=
xy arctg=
f
],[ ba w )(af )(bf
c ],[ ba wcf =)(
54
Figura 1: Ilustração gráfica do Teorema do Valor Intermediário
Observação 3: O teorema afirma que quando varia de até a função
contínua assume todos os valores entre e . Graficamente, para
qualquer número entre e , a reta intercepta o gráfico de em
pelo menos um ponto. Daí concluímos que o gráfico de funções contínuas podem ser traçados sem retirar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico.
Uma infinidade de problemas pode ser reduzida a encontrar raízes da equação . Um procedimento para aproximação de raízes está baseado na seguinte
consequência do Teorema do Valor Intermediário:
Teorema 6 (Teorema de Bolzano): Se é uma função contínua num intervalo
fechado e (isto é, e são diferentes de zero e tem
sinais opostos) então existe ao menos um número entre e tal que ,
isto é, tem um zero em .
Figura 2: Ilustração gráfica do Teorema de Bolzano
x a bf )(af )(bf
w )(af )(bf wy = f
0=)(xf
f
],[ ba 0<⋅ )()( bfaf )(af )(bf
c a b 0=)(cf
f ],[ ba
55
Exemplo 4: Para mostrar que tem um zero entre
e observamos inicialmente que é uma função polinomial e portanto contínua
para todo número real, em particular, será contínua no intervalo . Uma vez que
e , o Teorema de Bolzano garante a existência
de um número entre e tal que
.
Note que, o Teorema de Bolzano não informa qual é o valor deste número e nem garante a unicidade. No caso deste exemplo, podemos mostrar que também existe uma raiz entre e já que é contínua no intervalo e
. O gráfico abaixo ilustra a localização das raízes às quais mostramos a
sua existência.
Figura 3: Gráfico da função
Observação 4: Este exemplo ilustra um esquema para a localização de raízes
reais de um polinômio. Utilizando um método de aproximações sucessivas, podemos aproximar cada zero do polinômio com qualquer grau de precisão bastando enquadrá-los em intervalos cada vez menores.
Uma forma equivalente do Teorema de Bolzano é a seguinte resultado:
Teorema de Bolzano (Forma equivalente): Se uma função é contínua num
intervalo fechado e não tem zeros neste intervalo, então ou ou em
todo intervalo.
3262 345 −+−+= xxxxxf )(
1 2 f
],[ 21
041 <−=)(f 172 =)(f ( )021 <⋅ )()( ffc 1 2
03262 345 =−+−+= cccccf )(
c
1− 0 f ],[ 01−
001 <⋅− )()( ff
3262 345 −+−+= xxxxxf )(
f
0>)(xf 0<)(xf
56
Podemos utilizar este resultado para estudar o sinal de uma função , isto é, encontrar, se existirem, os intervalos onde , os intervalos onde e os pontos em que , conforme veremos no próximo exemplo.
Exemplo 5: Para estudar o sinal da função definida por
observamos, inicialmente, que é uma função racional, logo contínua em
.
Assim, temos que é descontínua somente em .
Além disso, é a única raiz de . Portanto, é contínua nos intervalos abertos
, e . Analisemos o sinal de no intervalo . Como,
neste intervalo, é contínua e não tem zeros então, pela forma equivalente do Teorema de Bolzano, ou ou em todo intervalo. Daí, basta analisar o sinal de em um único ponto teste deste intervalo, como por exemplo, em . Assim, como tem-se que
, .
Analogamente, concluímos que
0>)(xf ,
∈∀ 2,
32x e 0<)(xf , ( )+∞∈∀ ,2x
já que, por exemplo, e . Para simplificar, é comum utilizarmos o diagrama abaixo para representar o sinal da função:
Figura 4: Diagrama do sinal da função
f0<)(xf 0>)(xf
0=)(xf
f
3
2
3233126
)())(()(
xxxxxf
−
+−+−=
f
−=
32RIfD )(
f32
=x
2=x f f
∞−
32,
2
32 , ( )+∞,2 f
∞−
32,
f0>)(xf 0<)(xf
f 0=x00 <)(f
0<)(xf
∞−∈∀
32,x
01 >)(f 03 <)(f
3
2
32
33126
)(
))(()(
x
xxxxf
−
+−+−=
57
Exemplo 6: Vejamos os gráficos I e II da figura 5:
Figura 5: Gráfico I Gráfico II
Observe que, no gráfico I, a função muda de sinal em que é um “zero” da função. Já no gráfico II, a função muda de sinal no ponto que é um ponto de descontinuidade da função.
Podemos concluir que se uma função muda de sinal em , então ou ou é descontínua em . Isto é, os únicos pontos em que uma função
pode mudar de sinal são aqueles onde ela se anula ou onde é descontínua.
aa
f ax =0=)(af f a
58
Teste o seu conhecimento Nos exercícios abaixo você deve justificar todas as respostas explicitando o raciocínio utilizado.
1. Utilizando os limites fundamentais, encontre os limites abaixo:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2. Encontre para as seguintes funções:
2.1. 2.2. 2.3.
3. Encontre, quando existir, os pontos de descontinuidade de e faça um esboço do gráfico de em cada caso:
3.1. 3.2. 3.3.
4. Determine o(s) valor(es) de , caso exista(m) para que a função seja contínua.
4.1.
4.2. 4.3.
4.4.
xx
x
coslim −→
10
xxsen
x 75
0
)(lim→
x
x x
+
∞+→
21lim
x
x x
−
∞+→
31lim
x
xx
x
320
−→
lim
( ) ( )h
xfhxf
h
−+
→ 0lim
( ) xxf cos= ( ) xaxf = ( ) xxfa
log=
ff
3−=
||)(
xxxf
||)(
xxxxf
33
2 +
+=
>+
≤+= 4se167
4se32x
x
xxxf )(
k
>≤−
=1se1se7
2
2
xkxxxxf )(
>+≤
=2se22se2
xkxxkxxf )(
=
≠−+
=0se
0se283
xk
xx
x
xf )(
≤
>
=0se
0se32
2
xxk
xx
xsen
xf
)(
)(
59
5. Determine, se possível, os valores das constantes e de modo que a função abaixo seja contínua em .
6. Seja uma função real de variável real.
6.1. Escreva como uma função definida por partes;
6.2. Faça um esboço do gráfico de ;
6.3. Encontre e , se eles existirem. A função é contínua em ?
6.4. Encontre e , se eles existirem. A função é contínua em ?
7. Mostrar que tem uma raiz entre e .
8. Prove que tem pelo menos uma solução em , sendo .
9. Mostre que possui pelo menos uma raiz real.
10. Estude o sinal da função definida por .
a b f),( +∞−∞
>
+
=
<+
=
+
0se2
1
0se2
0se1
23
xx
xa
xbxx
xf
xx
sen
)(
211+
+−
=||
||)(xxxf
f
f
)(lim xfx +−→ 1
)(lim xfx −−→ 1
f 1−=x
)(lim xfx +→0
)(lim xfx −→0
f 0=x
xxxf −= 2sen)(4π
−2π
1−=)(xf ),( 12 −− 423 +−= xxxf )(
4467 +−+= xxxxf )(
f 3
252
24143)(
)()()(−
−+=
xxxxf
60
CAPÍTULO 3. DERIVADA
3.1 Reta Tangente a uma Curva O desenvolvimento do cálculo foi estimulado, em grande parte, por dois
problemas geométricos:
Problema das Tangentes: Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto dado , veja figura 1.
Problema das Áreas: Calcular a área da região sob o gráfico de uma função de até , veja figura 2.
Tradicionalmente, a parte do cálculo que estuda o problema das tangentes é chamada de cálculo diferencial e a parte que estuda o problema das áreas é chamada de cálculo integral. Estes dois problemas estão relacionados através do conceito de limite.
Figura 1: Reta tangente à curva no ponto Figura 2: Área da região limitada .
A partir de agora estudaremos as idéias e as técnicas desenvolvidas para resolver esses problemas e as aplicações originadas deles.
Antes, porém, lembremos como determinar o coeficiente angular (ou
inclinação) da reta que passa pelos pontos e . Para isso, basta
observar que a inclinação de uma reta é definida por e utilizar a definição
de tangente de um ângulo obtendo , conforme ilustrado na
figura 3.
P
1x 2x
P R
m
r ),( 11 yx ),( 22 yx
αtg=m
α12
12xxyy
xym
−−
=∆∆
== αtg
61
Figura 3: Inclinação de uma reta
Daí, obtemos uma equação da reta dada por
ou .
Note que essas equações conduzem a uma única equação na forma reduzida
que é dada por , sendo .
Você Sabia? Na Roma Antiga, a origem da palavra calculus era uma pedra de
pequena dimensão utilizada para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou a significar "figurar", "computar", "calcular". Atualmente o cálculo é um sistema de métodos para resolver problemas quantitativos como, por exemplo, no cálculo de probabilidades, cálculo tensorial e cálculo das variações.
Passamos agora ao estudo do problema da reta tangente. Lembramos que, em uma circunferência, uma reta tangente seria aquela que intercepta a circunferência em apenas um ponto. Porém, para curvas em geral, essa definição pode falhar, pois como na figura 4, a reta que "supostamente" é tangente no ponto intercepta à curva em mais de um ponto.
Figura 4 Reta tangente à curva no ponto P
r
)( 11 xxmyy −=− )( 22 xxmyy −=−
bmxy +=2211 mxymxyb −=−=
P
62
Eis que Fermat, grande matemático do século XVII, generalizou o conceito de reta tangente à curvas quaisquer. Veja um exemplo ilustrando a técnica desenvolvida por Fermat.
Exemplo 1: Para encontrar a equação da reta tangente à cúbica no ponto devemos encontrar o coeficiente angular desta
reta a qual denotaremos de reta . A dificuldade está em termos somente um ponto , sobre a reta , ao passo que para calcular o coeficiente angular são necessários dois pontos, como vimos anteriormente.
Para calcular uma aproximação de escolhemos um ponto ,
próximo a sobre a cúbica e calculamos a inclinação da reta secante
.
Figura 5: Reta secante à curva
Daí, escolhendo , o coeficiente angular desta reta secante é, evidentemente:
.
As tabelas abaixo mostram os valores de para alguns valores de próximos de 1 (à direita e à esquerda).
0 1 2 1
0,5 0,25 1,5 0,25
0,9 0,01 1,1 0,01
0,99 0,0001 1,01 0,0001
0,999 0,000001 1,001 0,000001
Tabela: Análise do coeficiente angular da reta secante
21 3 +−= )()( xxf ),( 21P mt P
t
m ))(,( xfxQ
),( 21P PQm
QP
21 3 +−= )()( xxf
1≠x
11
1221
12 33
−−
=−
−+−=
−−
=xx
xx
xxfmPQ
)()()(
PQm x
x PQm x PQm
63
Observe que, quanto mais próximo estiver de 1 (à direita ou à esquerda), estará próximo de zero. Note que, dizer que tende a 1 equivale a dizer que o ponto variável se aproxima de ao longo da curva. Isso sugere que a inclinação da reta tangente deve ser . Assim, a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes e expressamos isso simbolicamente escrevendo:
ou, equivalentemente,
.
Daí, a equação da reta tangente é dada por
ou seja, a reta tangente à cúbica no ponto é a reta
horizontal de equação .
A Figura 6 ilustra o processo de limite que ocorre neste exemplo. À medida que tende a ao longo da cúbica, as retas secantes correspondentes giram em torno
de e tendem à reta tangente.
Figura 6: Retas secantes aproximando da tangente
Vamos generalizar agora o procedimento realizado no exemplo 1 para uma curva arbitrária , dada pelo gráfico de uma função , em um ponto fixo do
gráfico. Para isso, vamos considerar sobre este gráfico dois pontos distintos , conforme a figura 7.
x PQm
xQ P
0=m
mmPQPQ=
→lim
011
1 21
3
1=−=
−−
==→→→
)(lim)(limlim''
xxxmm
xxPQPQ
210211 =⇔−=−⇔−=− yxyxxmyy )()(
21 3 +−= )()( xxf ),( 21P
2=y
Q P
P
C f
))(,())(,( xfxQafaP e
64
Figura 7: Reta secante à curva
Observação 1: O símbolo (correspondente a letra "d" maiúscula do alfabeto
grego denominado delta) quando escrito na frente de uma variável significa a diferença entre dois valores desta variável. Este artifício notacional é conveniente em todas as partes da Matemática e em outras ciências. Assim, a notação padrão para representar a variação de uma variável (leia-se delta ), de modo que
representa a variação em ao se passar do primeiro valor para o
segundo. Um fato importante que devemos observar é que não é o produto de um
número por um número , mas um único número, que poderá ser positivo ou negativo, denominado variação de ou incremento de .
Consideramos agora a reta secante que passa pelos pontos
Observe que o coeficiente angular dessa reta é
.
Então, mantendo o ponto fixo, fazemos o ponto aproximar-se de ,
passando por sucessivas posições , ao longo da curva . Logo, a
secante assumirá as posições , aproximando visivelmente da
tangente em como sua posição limite, conforme a figura 8.
)(xfy =
∆
xx Ǝ x
12 xxx −=∆ x
x∆∆ x
x x
))(,())(,( xfxQafaP e PQm
axafxf
xymPQ −
−=
∆∆
=)()(
P Q P
,,, 321 QQQ CPQ ,,, 321 PQPQPQ
P
65
Figura 8: Reta secante aproximando da tangente (o ponto está à direita de ).
Intuitivamente, o coeficiente angular da secante se aproxima de um determinado valor , à medida que o ponto se aproxima de . O modo de
aproximar-se consiste em fazer se aproximar de (ou,
equivalentemente, se aproximar de zero). Observe que na figura 8 fizemos se aproximar de pela direita o que equivale a tomar positivo. Note
que, quando se aproxima de pela esquerda é negativo e o
coeficiente angular da secante também se aproxima do valor . Isso acontecendo,
definimos a reta tangente à curva no ponto como sendo aquela que passa por e cujo coeficiente angular é .
Considerando o conceito de limite podemos expressar mais adequadamente na forma
.
Observação 2: Outra expressão para a inclinação da reta tangente é
considerar a mudança de variável . Assim, e, quando
temos que . Daí, se o limite existe, temos:
Com o intuito de simplificar a notação é comum utilizar a letra no lugar de
e, neste caso, podemos escrever
(se o limite existir).
Q P
m Q PPQ de x a
axx −=∆Q P axx −=∆
Q P axx −=∆
mC P
P m
axafxf
xymm
axxPQPQ −−
=∆∆
==→→∆→
)()(limlimlim0
axx −=∆ xax ∆+= ax →0→∆x
xafxaf
axafxfm
xax ∆−∆+
=−−
=→∆→
)()(lim)()(lim0
hx∆
hafhaf
axafxfm
hax
)()(lim)()(lim −+=
−−
=→→ 0
66
Definição 1: Suponhamos que é uma curva dada pelo gráfico de uma função ,
contínua em um ponto . Definimos a reta tangente a em um ponto
como sendo: A reta que passa por com coeficiente angular (inclinação) dado por
desde que esse limite exista.Neste caso, a equação da reta tangente é dada por
A reta vertical de equação se
Exemplo 2: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto devemos inicialmente observar que o ponto
pertence ao gráfico de . Agora, vamos determinar o coeficiente angular da reta
tangente, utilizando a definição 1. Daí,
Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto é
dada por: .
Exemplo 3: Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente à
parábola num ponto arbitrário procedemos segundo a definição 1.
Daí, ou, se
preferir, podemos determinar a inclinação da reta tangente da seguinte forma:
C fa C ))(,( afaP
P
xafxaf
axafxfm
xax ∆−∆+
=−−
=→∆→
)()(lim)()(lim0
)()( axmafy −=− ax =
)()()(lim)()()(lim ∞−∞+=−−
∞−∞+=−−
−→+→oueou
axafxf
axafxf
axax
34 −= xxf )( ),( 33P ),( 33P
f
32
64
3944
3944
394394394
394933433
0
00
000
==++
=
++=
++
++−+=
−+=
−−+=
−+=
→
→→
→→→
h
hhh
hhhh
hh
hh
hfhfm
h
hh
hhh
lim
)(lim
)())((lim
lim)(
lim)()(lim
34 −= xxf )( ),( 33P
1323
323 +=⇔−=−⇔−=− xyxyaxmafy )()()(
m2xxf =)( ),( 2aaP
aaxax
axaxaxax
axafxfm
axaxaxax2
22=+=
−−+
=−−
=−−
=→→→→
)(lim))((limlim)()(lim
67
Agora, sabendo-se que o coeficiente angular é , podemos encontrar a
equação da reta tangente à parábola no ponto arbitrário que é
dada por
.
Em particular, se então e a equação da reta tangente à
parábola no ponto é dada por . Note que, em qualquer
outro ponto desta parábola, a tangente terá um coeficiente angular diferente. Por exemplo, no ponto e a equação da reta tangente é dada por
.
Observação 3: Você deve observar que a reta tangente e seu coeficiente
angular são objetos diferentes.
Exemplo 4: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto observamos que
e
Daí, de acordo com a definição 1 (parte ii), podemos concluir que a reta
tangente à curva no ponto é a reta vertical de equação .
A figura 9 ilustra a reta tangente ao gráfico de no ponto .
axax
xaxx
axxaax
axax
afxafm
xx
xxx
222
2
00
222
0
22
00
=∆+=∆
∆+∆=
∆−∆+∆+
=∆
−∆+=
∆−∆+
=
→∆→∆
→∆→∆→∆
)(lim)(lim
)(lim)(lim)()(lim
am 2=
2xxf =)( ),( 2aaP
22 22 axayaxaayaxmafy −=⇔−=−⇔−=− )()()(
1=a 212 == .m2xxf =)( ),( 11P 12 −= xy
632,93 =⋅=m),(
96 −= xy
3 1−= xxf )( ),( 01P
∞+=−
=−−−
=−−
−→−→−→ 3 21
3
11 1
11
011
1
)(limlim)()(lim
xxx
xfxf
xxx
∞+=−
=−−−
=−−
+→+→+→ 3 21
3
11 1
11
011
1
)(limlim)()(lim
xxx
xfxf
xxx
3 1−= xxf )( ),( 01P 1=x
34 −= xxf )( ),( 01P
68
Figura 9: Reta tangente vertical ao gráfico de em
Observação 4: Lembramos que duas retas são paralelas se e
são perpendiculares, em um dado ponto, se os
coeficientes angulares das retas , respectivamente.
Definição 2: A reta normal a uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à
reta tangente à curva neste ponto. Neste caso, a equação da reta normal ao gráfico
de no ponto é dada por , sendo o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Exemplo 5: Para encontrar a equação da reta normal ao gráfico de
no ponto basta utilizar o resultado do exemplo 2 e a definição
2. Daí, e a equação da reta normal é dada por
Exemplo 6: Para encontrar a equação da reta tangente e normal à curva
no ponto devemos inicialmente calcular o coeficiente angular
da reta tangente a essa curva neste ponto. Assim,
3 1−= xxf )( ),( 01P
nt e nt mm =
ntnt mmmm esendo,1−=⋅
nt e
f ))(,( afaP )()( axm
afy −−=−1 0≠m
f ))(,( afaP
34 −= xxf )( ),( 33P
32
=m
215
233
233 +−=⇔−−=− xyxfy )()(
31−
=x
xf )( ),( 14P tm
69
Por outro lado, o coeficiente angular da reta normal é dado por
.
Assim, as equações das retas tangente e normal são dadas, respectivamente, por:
3.2 O conceito de Derivada O limite
não é útil
apenas para se obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de mas
tem outras aplicações em uma grande variedade de situações. Um nome especial é dado a este limite. É chamado derivada de e é representada por
. Isto nos conduz à seguinte definição:
Definição 1: Seja uma função definida em . Então, a derivada de no ponto
, denotada por (lê-se: linha de ), é dada por
,
desde que este limite exista. Neste caso, dizemos que é derivável (ou
diferenciável) em .
11
1111
11
1134
144
44
00
0004
−=+
−=+
+−
=
−+=
−−+=
−+=
−−
=
→→
→→→→
)(lim
)(
lim
limlim)()(lim)()(lim
hhhh
hh
hh
hh
fhfx
fxfm
hh
hhhxt
nm
1111=
−−
=−
=t
n mm
3411
5411
e
−=⇔−=−
+−=⇔−−=−
xyxy
xyxy
)(
)(
hafhaf
xafxaf
axafxf
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim −+=
∆−∆+
=−−
→→∆→ 00
f
af em
axdxdyaf
=
′ ou)(
f a f
a )(af ′ f a
hafhaf
xafxaf
axafxfaf
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim)( −+=
∆−∆+
=−−
=′→→∆→ 00
f
a
70
Resumo: Com esta definição e conforme vimos na seção anterior, temos que a
derivada da função no ponto representa geometricamente o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de no ponto , isto é,
,
desde que este limite exista. Neste caso, as equações das retas tangente e normal à curva no ponto podem ser reescritas, respectivamente, na forma:
Exemplo 1: Para o caso do exemplo 3, seção 3.1, o resultado pode ser
expresso da seguinte forma: Se .
Quando a função possui derivada em todos os pontos de um conjunto
podemos considerar a função derivada, conforme a definição que segue.
Definição 2: Seja uma função que possui derivada em todos os
pontos do conjunto . A derivada de é a função , que associa a
cada a derivada , dado por
. Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) se é derivável em cada
ponto do seu domínio.
Observação 1: Se podemos utilizar outros símbolos para denotar a
derivada de , a saber: .
f ax =
f ))(,( afaP
hafhaf
xafxaf
axafxfafm
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim)( −+=
∆−∆+
=−−
=′=→→∆→ 00
)(xfy = ))(,( afaP
.0 ,1que desde
e
≠′−′
−=−
−′=−
)()()(
)(
)()()(
afaxaf
afy
axafafy
aafxxf 2então2 =′= )()(
f
RIX ⊂
RIRIXf →⊂:
X f RIRIXf →⊂′ :
Xx∈ )(xf ′
hxfhxf
xxfxxfxf
hx
)()(lim)()(lim)( −+=
∆−∆+
=′→→∆ 00
f
)(xfy =
f yDdxdyxfy x==′=′ )(
71
Você Sabia? Se a notação que representa a derivada de foi criada
por Leibniz (1646-1716), um dos invetores da derivada. Para explicar esta notação,
Leibniz escreveu o quociente na forma
. Assim, .
Exemplo 2: Para o cálculo da derivada da função procedemos como
o exemplo 3, seção 3.1 apenas realizando o cálculo na variável , conforme segue:
xhxh
hxhh
xhxhxh
xhxh
xfhxfxf
hh
hhh
222
2
0
2
0
222
0
22
00
=+=+
=
−++=
−+=
−+=′
→→
→→→
)(limlim
lim)(lim)()(lim)(
Podemos também escrever:
Exemplo 3: Para determinar façamos,
Portanto, .
Exemplo 4: Para determinar a derivada da função trigonométrica
definida por , façamos
Justificado no exemplo 6 da seção 3.6
)(xfy =dxdy f
xxfxxf
∆−∆+ )()(
)()( xfxxfyxy
−∆+=∆∆∆
sendoxyxf
dxd
dxdy
x ∆∆
==→∆ 0
lim)(
2xxf =)(
x
xxdxd 22 =)(
xxfxf 1
se =′ )()(
200000
1111
xhxxhxhxh
hhxxhxx
hxhx
hxfhxfxf
hhhhh−=
+−
=+
−=
++−
=−
+=−+
=′→→→→→ )(
lim)(
lim)()(
limlim)()(lim)(
211
xxdxd
−=
],[: 11−→RIf ( ) xxf sen=
xh
xhxh
xfhxfxfhh
cossen)(senlim)()(lim)()(∗
→→=
−+=
−+=′
00
)(∗
72
Portanto, .
Exemplo 5: Para determinar a derivada da função trigonométrica definida por , façamos
Justificado na observação da seção 2.6
Portanto, .
Exemplo 6: Para determinar a derivada da função exponencial
definida por , façamos
)(ln1limlim1lim)1(lim
limlim)()(lim)(
)(
0000
000
aah
aah
aah
aa
haaa
haa
hxfhxfxf
xh
hx
h
hx
h
hx
h
xhx
h
xhx
hh
∗
→→→→
→
+
→→
=−
⋅=
−⋅=
−=
−⋅=
−−+=′ =
Utilizamos que e o limite fundamental LF4.
Portanto, .
Em particular, se o número irracional neperiano, então
Exemplo 7: A função modular não é derivável em já que
calculando os limites laterais:
( ) xxdxd cossen =
],[: 11−→RIf ( ) xxf cos=
xh
xhxh
xfhxfxfhh
sencos)(coslim)()(lim)()(−=
−+=
−+=′
∗
→→ 00
)(∗
( ) xxdxd sencos −=
),(: +∞→ 0RIf
( )10 ≠>= aaaxf x ,)(
)(∗ 100
==→
aaxhlim
( ) )(ln aaadxd xx =
ee sendo,=a
( ) xxx
dxd eeee == )(ln
xxf =)( 0=a
73
temos que . Daí, não existe e,
portanto não é derivável em . Note que não admite reta
tangente em .
Figura 1: Gráfico de
Este exemplo nos motiva a seguinte definição:
Definição 3: Seja uma função definida em . Então, a derivada à direita de
, denotada por , é dada por
,
caso este limite exista a derivada à esquerda de , denotada por , é
dada por , caso este limite exista.
Observação 2: Uma função é derivável (ou diferenciável) em , quando as derivadas laterais (derivada à direita e à esquerda) existem e são iguais no ponto , e neste caso, seu valor é o valor comum das derivadas laterais, isto é,
.
110
00
110
00
0000
0000
e
===−
=−−
−=−=−
=−
=−−
+→+→+→+→
−→−→−→−→
xxxx
xxxx
xx
xx
xfxf
xx
xx
xfxf
limlimlim)()(lim
)(limlimlim)()(lim
00
00
00 −−
≠−−
+→−→ xfxf
xfxf
xx
)()(lim)()(lim0
00 −
−→ x
fxfx
)()(lim
xxf =)( 0=a xxf =)(
),( 00
||)( xxf =
f a
af em )(af+′
hafhaf
axafxfaf
hax
)()(lim)()(lim)( −+=
−−
=′+→+→
+0
af em )(af−′
hafhaf
axafxfaf
hax
)()(lim)()(lim)( −+=
−−
=′−→−→
−0
aa
)()()( afafaf +− ′=′=′
74
Observação 3: De forma análoga ao que foi visto para funções contínuas, podemos definir função derivável nos seguintes intervalos:
.
Exemplo 8: Para verificar que a função não é
derivável em devemos calcular as derivadas laterais em . Vejamos:
Como a derivada lateral à direita não existe, temos que não é derivável em . Note que, neste exemplo, também é descontínua em .
Figura 2: Gráfico de
Exemplo 9: Para verificar que a função não é
derivável em devemos calcular as derivadas laterais em . Vejamos:
),(,],(,),(,),[,),(,],(),[],[),( bbaababababa −∞−∞+∞+∞+∞−∞,,,
>−−≤+
=0se 10se1
2
2
xxxxxf )(
0=a 0=a
∞−=−−
=−−−
=−−
=′
===−+
=−−
=′
+→+→+→+
−→−→−→−→−
xx
xx
xfxff
xx
xx
xx
fxff
xxx
xxxx
2110
00
0110
00
2
0
2
00
0
2
0
2
00
e
limlim)()(lim)(
limlimlim)()(lim)(
f 0=af 0=a
f
>≤+−
= − 1se 1se2
1
2
xxxxxxg )(
1=a 1=a
75
Como as derivadas laterais existem, mas são diferentes, então não existe . Daí, não é derivável em . Note que, neste exemplo, é contínua em .
Figura 3: Gráfico de
Observação 4: Nos exemplos 7 e 9 vimos que as funções , definidas por
,
não são deriváveis em . Porém, essas funções são contínuas neste ponto. Isto mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste ponto. Portanto, uma função ser contínua em um ponto não implica ser derivável neste ponto. A recíproca, entretanto, é verdadeira conforme o resultado a seguir:
Teorema 1: Se for derivável em então será contínua em .
Demonstração: Se é derivável em então existe, isto é,
1111
11
1
11
111
0111
112
111
11111
1
2
1
2
11
e
−=
−=
−−−
=−−
=−
−=
−−
=′
=−−=−−−
=−
−+−=
−−
=′
+→+→+→+→+→+
−→−→−→−→−
xxxx
xxx
xx
xgxgg
xxx
xxx
xgxgg
xxxxx
xxxx
lim)()(lim
)(limlim)()(lim)(
)(lim)(limlim)()(lim)(
)(1g ′g 1=a g 1=a
g
gf e
>≤+−
== − 1se 1se2
1
2e
xxxxxxgxxf )()(
0=a
f a f a
f a )(af ′
axafxfaf
ax −−
=′→
)()(lim)(
76
é um número real e, portanto, também existe. Como
Então ,
ou seja, é contínua em .
Forma Equivalente do Teorema 1: Se é descontínua em então não é
derivável em .
Exemplo 10: Outra forma de mostrarmos que a função
não é derivável em é utilizar a Forma Equivalente do Teorema 1. Para
isso, basta mostrar que esta função é descontínua em . De fato, não existe
já que pois,
.
Observação 5: A existência da derivada em um ponto implica a existência de
uma reta tangente neste ponto. Porém, uma função pode não ter derivada em um ponto e admitir reta tangente neste ponto. Conforme vimos no exemplo 4, seção 3.1,
a função não é derivável em mas admite uma tangente vertical no
ponto .
)(af
[ ] ,,00 se axafaxax
afxfaxax
afxfafxfaxaxaxax
≠=⋅′=−⋅−−
=−⋅−−
=−→→→→
)()(lim)()(lim)()()(lim)()(lim
[ ] [ ] )()()(lim)()(lim)()()(lim)(lim afafafafxfafafxfxfaxaxaxax
=+=+−=+−=→→→→
0
f a
f a f
a
>−−≤+
=0se 10se1
2
2
xxxxxf )(
0=a0=a
)(lim xfx 0→
)(lim)(lim xfxfxx +→−→
≠00
1111 2
00
2
00e −=−−==+=
+→+→−→−→)(lim)(lim)(lim)(lim xxfxxf
xxxx
3 1−= xxf )( 1=a),( 01P
77
Figura 4: Reta tangente ao gráfico de em
Resumo: Uma função pode deixar de ser derivável em um número por
uma das seguintes razões:
• quando a função for descontínua em ; • quando a função for contínua em e o gráfico de tem uma reta tangente
vertical no ponto ; • quando a função for contínua em e o gráfico de não tem uma reta tangente no ponto .
3.3 Técnicas de Derivação O cálculo de derivada utilizando a definição é bastante demorado e trabalhoso
para a maioria das funções. Agora vamos desenvolver algumas regras formais que nos capacitaremos a derivar de forma mais rápida e eficiente a derivada de uma função. O processo utilizado para encontrar a derivada de uma função chama-se derivação ou diiferenciação.
Regras de Derivação:
Derivada de uma constante: Se é uma constante e para todo , então
, ou equivalentemente, Em palavras, "a derivada de uma constante
é igual a zero".
Para provar essa regra seguimos a definição de derivada e que para
todo . Daí,
Derivada de uma potência: Se é um inteiro positivo e , então
, ou equivalentemente, . Em palavras, "a derivada de é
obtida baixando o expoente e tomando-o como um coeficiente de uma nova
potência de cujo expoente obtemos subtraindo 1 de ".
3 1−= xxf )( ),( 01P
f a
f af a f
))(,( afaf a f
ax =
c cxf =)( x
0=′ )(xf 0=cdxd
cxf =)(
x 00000
==−
=−+
=′→→→ hhh h
cch
xfhxfxf limlim)()(lim)(
n nxxf =)(
1−=′ nnxxf )( 1−= nn nxxdxd nx
nx n
78
Para provar essa regra seguimos a definição de derivada e usamos a Fórmula do Binômio de Newton que diz: Se é um inteiro positivo então
.
Daí,
Observação 1: Essa regra pode ser generalizada para potências reais, isto é,
se e
Exemplo 1: Vejamos alguns casos particulares desta regra:
(provada também por definição na seção anterior)
(provada também por definição na seção anterior)
Exemplo 2: Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto lembramos que a derivada no ponto , dada por , fornece o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto . Neste caso,
n
nnnnnnn babnbannnbannbnaaba +++−−
+−
++=+ −−−− 133221
621
21
))(()()(
1
1223210
1332210
1332210
0
621
21
621
211
621
211
−
−−−−−
→
−−−−
→
−−−−
→
→
=
+++
−−+
−+=
+++
−−+
−+=
−+++
−−+
−++=
−+=′
n
nnnnnh
nnnnnh
nnnnnnnh
nn
h
xn
hxhnhxnnnhxnnnx
hxhnhxnnnhxnnhnxh
xhxhnhxnnnhxnnhnxxh
hxhxxf
))(()(lim
))(()(lim
))(()(lim
)(lim)(
RI∈α 1então −=′= αα α xxfxxf )()(
1=′/⇒= )()( xfxxf
xxfxxf 22 =′/⇒= )()(
45 5xxfxxf =′/⇒= )()(
221 11
xxxfx
xxf −=−=′/⇒== −− )()(
xxxfxxxf
21
21 2
12
1==′/⇒==
−)()(
2xxf =)(
),( 93 a aaf 2=′ )(f ))(,( afa
79
considerando que temos que a equação da tangente é
dada por
96)3(69)()()( −=⇒−=−⇒−′=− xyxyaxafafy .
Exemplo 3: Para encontrar a equação da reta normal ao gráfico de
que seja paralela à reta de equação observamos inicialmente
que o coeficiente angular da reta normal, , é igual a , já que as retas e
são paralelas e . Note que, neste exemplo, temos o coeficiente angular da
reta normal ao gráfico de , mas não temos o ponto do gráfico por onde ela passa.
Para determinar este ponto, sendo
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto
(já que as retas são perpendiculares), temos que
. Assim,
. Daí,
é o ponto do gráfico de em que a reta normal deverá passar. Portanto, a
equação da reta normal é dada por
.
Figura 1: Reta tangente ao gráfico de em
69,3 e =′== )()( afafa
n
xxf =)( r 4=+ yx
nm 1− r n
1−=rmf
aafmt 2
1=′= )(
t f
1e −=⋅ nt mmafa ))(,( nt e
112
1−=−⋅ )(
a
21
41
41
e === )(afa
21
41 ,
f
n
43
411
21
+−=⇒
−−=−⇒−=− xyxyaxmafy n )()(
xxf =)(
2
1
4
1,
80
Derivada do produto de uma constante por uma função: Sejam uma função
derivável e uma constante.
Se , ou equivalentemente, .
Em palavras, "a derivada de uma constante por uma função é a constante pela derivada da função".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
)()()(lim
)()(lim)()(lim)()(lim)(
xfch
xfhxfc
hxfhxfc
hxcfhxcf
hxyhxyxy
h
hhh
′=−+
=
−+
=−+
=−+
=′
→
→→→
0
000
Exemplo 4: Vejamos alguns exemplos:
(i) (ii) (veja exemplo 4, seção 3.2)
(iii) (veja exemplo 6, seção 3.2)
Derivada de uma soma: Sejam funções deriváveis. Se ,
então , ou equivalentemente, . Em palavras, "a
derivada da soma é a soma das derivadas".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
f
c
)()()( xfcxyxfcy ′=′= então [ ] [ ])()( xfdxdcxfc
dxd
=
45 102 xxfxxf =′/⇒= )()(xxfxxf cos)(sen)( 33 =′/⇒=
244421
24 lnln)()( xx
xxfxf =⋅⋅=′/⇒=
gf e )()( xgxfy +=
[ ] [ ] [ ])()()()( xgdxdxf
dxdxgxf
dxd
+=+
[ ] [ ]
[ ] [ ]
)()(
)()(lim)()(lim)()()()(lim
)()()()(lim)()(lim)(
xgxfh
xghxgh
xfhxfh
xghxgxfhxfh
xgxfhxghxfh
xyhxyxy
hhh
hh
′+′=
−++
−+=
−++−+=
+−+++=
−+=′
→→→
→→
000
00
81
Observação 2: Esta regra se aplica para um número finito de funções, isto é,
o resultado pode ser aplicado diversas vezes e assim a derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.
Exemplo 5: Vejamos alguns exemplos:
(i)
(ii)
Exemplo 6: Para achar o ponto da parábola , no qual
a tangente é horizontal lembramos que retas horizontais têm coeficiente angular
igual a zero. Desta forma, como devemos ter , ou
seja, . Note que este resultado está de acordo com o que foi visto no Ensino
Médio que é denominado de abscissa do vértice da parábola e denotado por
. Como
aaacb
aacbb
ca
ba
abca
bba
baxfy vv
444
442
2422222
2
2
22
∆−=
−−=
+−=
+−=+
−+
−== )(
o ponto da parábola no qual a tangente é horizontal é o vértice da
parábola de coordenadas .
Exemplo 7: Considere a parábola e o ponto não
pertencente à parábola. Para encontrar uma equação de cada uma das retas que passa pelo ponto A, que sejam tangentes à parábola vamos inicialmente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto arbitrário . Sabemos
que a equação desta reta é dada por , e como e
, temos
74181597263 24235 +++=′/⇒++++= xxxxfxxxxxf )()(
3 23
3
122x
xfxxf xx +=′⇒+= ee )()(
0,2 ≠++= acbxaxxf )(
baxxf +=′ 2)( 02 =+=′ baxxf )(
abx
2−=
abxv 2
−=
),( vv yxV
∆
−−aa
b42
,
12 2 −= xxf )( ),( 134A
f ))(,( afa
))(()( axafafy −′=− 12 2 −= aaf )(
aaf 4=′ )(
124412 22 −−=⇒−=−− aaxyaxaay )()(
82
isto é, é a equação da reta tangente ao gráfico de 12)( 2 −= xxf
em um ponto arbitrário .
Agora, procuramos uma reta que seja tangente ao gráfico de no ponto
e que passe pelo ponto . Daí, o ponto deverá satisfazer a
equação da reta tangente, ou seja, . Simplificando esta equação
obtemos cujas raízes são ou . Portanto,
• se a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto do
gráfico e pelo ponto , não pertencente ao gráfico, é dada por
.
• se a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto do
gráfico e pelo ponto , é dada por
A figura 2 apresenta um esboço da parábola com as equações de cada uma das retas tangentes à parábola, passando pelo ponto .
Figura 2: Retas tangentes ao gráfico de que passa pelo ponto
Observação 3: Veremos a seguir que a regra do produto não é o produto das
derivadas. De fato, para se convencer deste fato considere as funções dadas
por . Então
e daí . Por outro
lado, e, desta forma, . Portanto,
.
124 2 −−= aaxy))(,( afa
f
))(,( afa ),( 134A ),( 134A
124413 2 −−⋅= aa
0782 =+− aa 1=a 7=a
1=a f))(,( 111 fP ),( 134A
341124124 22 −=⇒−⋅−=⇒−−= xyxyaaxy
7=a f))(,( 772 fP ),( 134A
992817274124 22 −=⇒−⋅−⋅⋅=⇒−−= xyxyaaxy
),( 134A
12 2 −= xxf )( ),( 134A
gf e
1423 e +=+= xxgxxf )()(
211121423 2 ++=++=⋅ xxxxxgxf )()()()( [ ] 1124 +=′⋅ xxgxf )()(
43 e =′=′ )()( xgxf 12=′⋅′ )()( xgxf
[ ] )()()()( xgxfxgxf ′⋅′≠′⋅
83
Derivada do produto: Sejam funções deriváveis. Se , então
, ou equivalentemente,
.
Em palavras, "a derivada do produto é a derivada da primeira pela segunda, mais a primeira, pela derivada da segunda".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
Utilizamos o fato que, sendo derivável, então é contínua. Daí,
.
Exemplo 8: Vejamos alguns exemplos:
16830
16123631234
32223
+++=
++++=′⇒++=
xxx
xxxxxxfxxxxf )()()()()()()(
Observação 4: Do mesmo modo que a derivada do produto não é igual ao
produto das derivadas, a derivada do quociente não é igual ao quociente das derivadas.
gf e )()( xgxfy ⋅=
)()()()()( xgxfxgxfxy ′⋅+⋅′=′
[ ] [ ] [ ])()()()()()( xgdxdxfxgxf
dxdxgxf
dxd
⋅+⋅=⋅
[ ] [ ]
[ ] [ ]
)()()()(
)()(lim)(lim)(lim.)()(lim
)()()(lim)()()(lim
)()()()()()(lim
)()()()()()()()(lim
)()()()(lim)()(lim)(
)*(xgxfxgxf
hxghxghxfxg
hxfhxf
hxghxghxfxg
hxfhxf
hxghxghxfxgxfhxf
hxgxfxghxfxghxfhxghxf
hxgxfhxghxf
hxyhxyxy
hhhh
hh
h
h
hh
′⋅+⋅′=
−+⋅++
−+=
−+⋅++⋅
−+=
−+⋅++⋅−+=
⋅−⋅++⋅+−+⋅+=
⋅−+⋅+=
−+=′
→→→→
→→
→
→
→→
0000
00
0
0
00
)(∗ f f
)()(lim)(lim xfhxfhxfhh
=
+=+
→→ 00
1124423143 142314231423
+=+++=
′++++′+=′⇒++=xxx
xxxxxfxxxf)()(
)()()()()()()()(
[ ]xxxxxfxxf xxxx cossen)ln(cossen)ln()(sen)( +=+=′/⇒= 222222
84
Derivada do quociente: Sejam funções deriváveis. Se
, então ,
ou, equivalentemente, .
Em palavras, "a derivada do quociente é o quociente entre a derivada da primeira pela segunda, menos a primeira, pela derivada da segunda e o quadrado da segunda".
Para provar essa regra usaremos a definição de derivada. De fato,
Utilizamos o fato que, sendo derivável, então é contínua. Daí,
Exemplo 9: Vejamos alguns exemplos:
gf e
0 , com ≠= )()()( xg
xgxfy
[ ]2)()()()()()(
xgxgxfxgxfxy
′⋅−⋅′=′
[ ] [ ]
[ ]2)(
)()()()(
)()(
xg
xgdxdxfxgxf
dxd
xgxf
dxd ⋅−⋅
=
[ ]2
00
0000
0
0
000
1
1
)()()()()(
)(lim)(lim
)()(lim)(lim)(lim.)()(lim
)()(
)()()()(.)()(
lim
)()()()()()()()()()(lim
)()()()()()(lim)(
)()()(
lim)()(lim)(
)*(
xgxgxfxgxf
hxgxgh
xghxgxfxgh
xfhxfhxgxg
hxghxgxfxg
hxfhxf
hxgxghxgxfxgxfxgxfxghxf
h
hxgxghxgxfxghxf
hhxgxf
hxghxf
hxyhxyxy
hh
hhhh
h
h
hhh
′⋅−⋅′=
+⋅
−+⋅−
−+
=
+
−+⋅−
−+
=
+
+−+−+=
+
+−+=
−++
=−+
=′
→→
→→→→
→
→
→→→
)(∗ g g
)()(lim)(lim xghxghxghh
=
+=+
→→ 00
2211101xx
xxfx
xf −=⋅−⋅
=′⇒= )()(
85
Note que, neste caso, é mais conveniente considerar a função e
derivar utilizando a regra da potência.
Exemplo 10: Para derivar a função devemos utilizar as
regras do quociente e do produto. Vejamos:
Exemplo 11 (Derivadas das funções trigonométricas): Vejamos as
derivadas das outras funções trigonométricas:
• Se então, usando o fato de que e a regra do quociente, temos
Portanto,
• Se então, usando o fato de que e a regra do quociente,
obtemos
11 −== xx
xf )(
( )
( )
3
3
2
4
2
4
22
4
2222
2
2
15
122121
1221211
1222121
112212
12
)(
)()()()(
)()()()()(
)()()()(
)()()()()(
)()(
−−
=
−
⋅−+−−⋅−=
−
⋅−+−−⋅−−=
−
−⋅−+−−⋅−=
−
′+−⋅−+−−⋅′−+
=′/⇒−−+
=
xx
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxf
xxxxf
xxxf
x
sen)()( 35 +
=e
( )
( )
( )[ ]x
xxxx
xxxxx
xxxxxxf
x
xxx
xx
2
2
2
3585
35535
3535
sencos)(sen
)(sencos)(sen)(
)(sen))(sen(sen)()(
+−+=
+−++=
′+−′
+=′/
e
eee
ee
xy tg=xxx
cossentg =
xxx
xxx
xxxxy 222
22
21 sec
coscossencos
)(cos)sen(sencoscos
==+
=−−
=′
( ) xx 2sectg =′
xy cotg=xxx
sencoscotg =
86
xx 2cossec)(cotg −=′
• Se então, usando o fato de que e a regra do quociente,
obtemos
Portanto,
• Se então, usando o fato de que e a regra do
quociente, obtemos
xy sec=x
xcos
sec 1=
xxxx
xxx
xxxy tgsec
cossen
coscossen
)(cos)sen(cos
=⋅==−⋅−⋅
=′110
22
xxx tgsec)(sec =′
xy seccos=x
xsen
seccos 1=
xxx cotgcossec)sec(cos −=′
87
Teste o seu conhecimento 1. Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.
2. Encontre a equação da reta tangente à curva que seja paralela à reta .
3. Ache uma equação de cada reta tangente à curva que é perpendicular à reta .
4. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função , definida e derivável em tal que
. O que este valor significa?
5. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função , definida e derivável em tal que
, para todo . O que este valor significa?
6. Mostre que é contínua em , mas não é derivável neste ponto.
Esboce o gráfico de .
7. Achar os valores de tais que seja derivável no ponto , sendo
8. Seja . Verifique se:
a) é derivável em .
b) é contínua em .
9. Seja . Verifique se é derivável em . Determine a função
derivada e seu domínio.
10. Mostre, usando a definição de derivada, que:
a)
102464 23 +−+= xxxy
32 2 += xxf )(038 =+− yx
xxy 33 −=09182 =−+ yx
f RI01 =′ )(f
f RI0>′ )(xf x
>+−≤+
=1se41se12
xxxx
xg )( 1=x
g
ba e f 1=x
>≤+
=1se1se
2
3
xbxxaxxxf )(
<≥−
=1se1se12
2 xxxx
xf )(
f 1=x
f 1=x
>+≤−−
=0se10se1
2
2
xxxxxf )( f 0=x
f ′
( ) 23 3xxdxd
=
88
b)
11. Derive as funções dadas:
a)
b)
c)
12. Sabendo que (seno hiperbólico de ) e (cosseno
hiperbólico de ), mostre que:
a) .
b) .
13. Derive cada uma das seguintes funções de duas maneiras: derivando antes de multiplicar e multiplicando antes de derivar e verifique que as respostas coincidem:
a)
b)
14. Derive as funções abaixo e as simplifique o tanto quanto for possível
a)
b)
c)
15. Ache dxdy de duas maneiras distintas: dividindo e derivando (sem usar a regra do quociente) e
depois usando a regra do quociente. Verifique que as respostas coincidem.
a)
( )x
xdxd
−−
=−3213
xxxf xx seccos)( ee +=
xxxxf tgcossen)( +=
xxxxf
tg)(tg)(
11 ++=
2
xxx
−−=
eesenh x2
xxx
−+=
eecosh
x
( ) xxdxd coshsenh =
( ) xxdxd senhcosh =
)()( xxxxf 23 24 +=
))(()( 321 2 −−+= xxxxg
1
1
−
−
−
+=
xxxxxf )(
1212
2
2
+−
++=
xxxxxf )(
23
2
+=
xxxf )(
2
39x
xy −=
89
b)
16. Estenda a regra do produto para três funções mostrando que:
17. Derive as funções:
a)
b)
435
xxy −
=
dxdwvuw
dxdvuwv
dxduwvu
dxd
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ )(
xxxf x tg)( ⋅⋅= 23
xxxxg e⋅⋅= sen)(
90
Vimos que, para derivar a função podemos expandir o binômio e
obter a função polinomial cuja derivada é .
Por outro lado, se a potência fosse maior, como por exemplo, , o
procedimento usado acima é inviável. Neste caso, podemos observar que a função
é uma função composta. De fato, se tomarmos e
então podemos escrever . O resultado que
enunciaremos a seguir é uma das mais importantes regras de derivação, denominada Regra da Cadeia, que nos possibilitará derivar uma função composta.
Derivada da função composta – Regra da Cadeia: Sejam funções tais
que se pode considerar a função composta . Se é derivável em é
derivável em então .
Utilizando a notação de Leibniz podemos reescrever a Regra da Cadeia da seguinte forma:
Fazendo temos que e assim
. Daí,
Em palavras, a derivada da composta , tal que é a derivada
da função externa calculada na função interna vezes a derivada da função
interna .
( ) ( )
interna função da derivada
interna função na calculada
externa função da derivada
interna função na calculada externa função
)( )( )( xgxgfxgfdxd ′⋅′=
A prova da Regra da Cadeia é um pouco mais técnica em relação às regras anteriores e por isso será omitida.
312 )( += xy16128 23 +++= xxxy 62424 2 ++=′ xxy
103712 )( += xy
103712 )( += xy 1037xxf =)(12 += xxg )( ))(())(( xgfxgfy ==
gf e
gf g fx e
)(xg )())(()()( xgxgfxgf ′⋅′=′
)(xgu = )(ufy =
dxdyxgf
dudyxgfuf
dxduxg =′=′=′=′ )()())(()()( , e
dxdu
dudy
dxdyxgxgfxgf ⋅=⇔′⋅′=′ )())(()()(
gf ))(())(( xgfxgf =
f g
g
91
Observação 5: Cuidado com as notações e .
A notação é o valor que a derivada de assume calculada em ,
enquanto .
Exemplo 12: Para derivar tomamos .
Daí, podemos escrever . Como temos,
pela regra da cadeia, que
Note que o resultado está de acordo com a conclusão realizada na observação 4
pois .
Outra forma de derivar é utilizar a regra da cadeia na notação de
Leibniz. Desta forma, chamando , temos . Portanto,
.
Exemplo 13: Para derivar procedemos de maneira análoga ao
exemplo 12 fazendo . Daí, . Como
temos, pela regra da cadeia, que
Exemplo 14: Para derivar podemos também proceder da
seguinte forma: Escrevemos . Daí, utilizando a
regra da cadeia, temos
.
))(( xgf ′ [ ] [ ]))(())(( xgfdxdxgf =′
))(( xgf ′ f )(xg
[ ] [ ] )())(())(())(( xgxgfxgfdxdxgf ′⋅′==′
312 )( += xy 12e3 +== xxgxxf )()(
))(())(( xgfxgfy == 23 e2 =′=′ )()( xgxxf
[ ] 222 126212323 )()()()())(()()( +=⋅+=⋅=′⋅′=′=′ xxxgxgxgfxgfy
62424126 22 ++=+=′ xxxy )(
312 )( += xy
12 +== xxgu )( 3uy =
223 1262312 )()()( +=⋅=+⋅=⋅= xuxdxdu
dud
dxdu
dudy
dxdy
103712 )( += xy
12e1037 +== xxgxxf )()( ))(())(( xgfxgfy ==
21037 e1036 =′=′ )()( xgxxf
10361036 1220742121037 )()()())(()()( +=⋅+=′⋅′=′=′ xxxgxgfxgfy
−= xy
2πsen
uufyxxgu sen)()( ==−== e2π
xxxxudxdu
dudy
dxdy sensensencoscoscos)()(cos −=
+−=
−−=−⋅=⋅=
2221 πππ
92
Como , acabamos de mostrar que
.
Consequências da Regra da Cadeia:
Se α é um número real qualquer e é uma função derivável então
[ ] [ ] )()()( 1 xgxgyxgy ′⋅=′⇒= −αα α .
Alternativamente, se , então
A justificativa deste resultado é imediata. De fato, se tomarmos
então podemos escrever . Como
então, pela regra da cadeia, segue que
.
Essa consequência é útil para calcular a derivada da potência de uma função. Na prática, podemos omitir a substituição , conforme o exemplo 16.
Exemplo 15: Para derivar podemos proceder alternativamente
utilizando a consequência 1 da regra da cadeia com e .
Daí,
[ ]10361036
110371
1220742121037
12121037
)()(
)()()()(
+=⋅+=
+⋅+=′⋅=′ −−
xx
xdxdxxgxgy αα
Exemplo 16: Para derivar escrevemos e
usamos a consequência 1 com . Daí,
[ ] ( ) ( )
( ) .)163(
)1(2163)1(2
6616331)()(
3 2232
2
131
21
++
+=+++=
+⋅++=′⋅=′
−
−−
xx
xxxx
xxxxgxgy αα
Algumas vezes, para derivar determinadas funções podemos ter à disposição mais de um método de derivação, como veremos no exemplo 17.
xxxxy coscossencossensen =−=
−=
222πππ
xx sen)(cos −=′
g
)(xgu = uuu ′⋅=′ −1αα α)(
)()( xguxxf == eα ))(())(( xgfxgfy ==
1−=′ αα xxf )(
[ ] )()()())(()()( xgxgxgxgfxgfy ′⋅=′⋅′=′=′ −1αα
)(xgu =
103712 )( += xy
12 +== xxgu )( 1037=α
3 2 163 ++= xxy ( ) 312 163 ++= xxy
16331 2e ++== xxxg )(α
93
Exemplo 17: Para derivar , podemos optar pelos seguintes
métodos de derivação:
Método 1: Aplicar a regra do quociente e depois a regra da cadeia.
[ ]
52
82
32
82
4242
)27()72(12
)27()72()27(430
)27()27(3)27()3(
+−−−
=
+−−⋅+−⋅⋅−
=
+−
′+−⋅−+−⋅′=′
xxx
xxxxx
xxxxxxy
Método 2: Aplicar a regra da derivada de uma constante por uma função e
depois a regra da cadeia.
Inicialmente escrevemos
.
Daí,
.
Agora, retornamos nas consequências da regra da cadeia:
Se é uma função derivável, então .
Alternativamente, se , então .
Exemplo 18: Para derivar podemos proceder diretamente pela
consequência2 da regra da cadeia sendo . Daí,
.
Similarmente, supondo uma função derivável, podemos deduzir outras
consequências da regra da cadeia, a saber:
42 273
)( +−=
xxy
4242 273
273 −+−=+−
= )()(
xxxx
y
[ ] [ ] 525242
277212722712273)()()()()(
+−−−
=−⋅+−−=′+−⋅=′ −−
xxxxxxxxy
g [ ] [ ] )()(cos)(sen xgxgyxgy ′⋅=′⇒=
)(xgu = uuu ′⋅=′ )(cos)(sen
xy sen=
xxgexxg
21
=′= )()(
[ ] xx
xgxgy cos)()(cos2
1=′⋅=′
)(xgu =
94
1) uuyuy ′⋅−=′⇒= )sen(cos
2) uuyuy ′⋅=′⇒= )(sectg 2
3) uuucyuy ′⋅⋅=′⇒= )tg(sesec
4) uuyuy ′⋅−=′⇒= )cossec(cotg 2
5) uuuyuy ′⋅⋅−=′⇒= )cotgcossec(cossec
6) uaayaaay uu ′⋅⋅=′⇒≠>= )ln()1 , 0(
7) uyy uu ′⋅=′⇒= )(ee
Observação 6: Em todas as consequências da regra da cadeia mencionadas
acima aparecem um fator multiplicativo no final da regra de derivação. Além disso, quando as regras de derivação se simplificam obtendo as derivadas
das funções elementares vistas anteriormente. Assim, as consequências da regra da cadeia nos fornecem uma generalização das derivadas das funções elementares.
Observação 7: Outras consequências da regra da cadeia, semelhantes às
vistas anteriormente, serão apresentadas em uma Tabela Geral de Derivadas que veremos posteriormente.
A regra da cadeia pode ser usada repetidamente, como veremos no exemplo 19 e exemplo 20 que seguem.
Exemplo 19: Para derivar utilizamos os seguintes passos:
• Façamos e utilizamos a consequência 9 da regra da cadeia para derivar
, em relação a . Daí, . • Façamos, agora, e utilizamos a consequência 3 da regra da cadeia para
derivar , em relação a . Assim, .
Unindo os dois passos de derivação obtemos:
.
u′xxgu == )(
xy cose=
xu cos=uy e= x )(coscos ′⋅=′⋅=′ xuy xu ee
xv =
vcos xx
xvvv2
1⋅−=′−=′ )sen()sen()(cos
xxsen
xxsenxuy
xxxu
221 cos
coscos )()(cos eeee ⋅−=⋅−⋅=′⋅=′⋅=′
95
Observação 8: No caso do exemplo 19 fizemos duas substituições, a saber,
. Com um pouco de prática, podemos dispensar as substituições
indicadas, tendo presente na memória, porém sem escrevê-las, e proceder, de forma
direta, o processo de derivação. Desta forma, para derivar procedemos da
seguinte forma:
Exemplo 20: Para derivar vamos utilizar as consequências 1 e 4
mantendo as devidas substituições na memória, sem escrevê-las, isto é,
3.4 Derivação Implícita As funções dadas até agora foram descritas expressando-se uma variável
explicitamente em termos de outra como, por exemplo,
que expressa em termos da variável , denominada forma explícita de uma
função. Vimos também regras para derivar funções definidas nesta forma. Entretanto, muitas funções não são expressas na forma explícita e sim através de uma equação que envolve as variáveis , tais como
.
Nesse caso, a variável é definida implicitamente como função de . Em
geral, se uma função for dada sob a forma , então, dizemos que está na
forma explícita. Porém, se uma função for expressa por uma equação da forma
dizemos que está na forma implícita ou que a função é definida
implicitamente pela equação . Neste caso, substituindo tem-se
uma identidade.
xvxu == ecos
xy cose=
xxsen
xxsenx
dxdy
xxxx
221 cos
coscoscos )()(cos eeee ⋅−=⋅−⋅=′⋅=
=′
35xtgy =
[ ] [ ]3234223243
332433435335
1535
55
xxtgxxxxtg
xxxtgxtgxtgxtgxtgy
sec)(sec)(
)()(sec)()()()(
⋅⋅=⋅⋅=
′⋅⋅=′⋅=′=′
=′
)(cos xfyxxyxxy ==++= ouou 32 1
y x
yx e
06016 ouou 3322 ==+=−+ ),( yxfxyyxyx
y x
)(xfy = f
f
0=),( yxF )(xfy =
0=),( yxF )(xfy por
96
Exemplo 1: A equação define implicitamente a função
, pois substituindo na equação ,
obtemos a identidade
.
Neste caso é possível resolver a equação isolando como uma (ou até
mais de uma) função explícita de . Por exemplo, podemos resolver esta equação
escrevendo que são duas funções explícitas de
que satisfazem a equação dada. Assim, se temos, pela consequência 1
da regra da cadeia, ou, equivalentemente,
.
Note que, se escolhemos a função (forma explícita) temos que
ou, equivalentemente, .
Devemos observar que existem várias outras funções na forma explícita que
satisfazem também a equação , por exemplo, a função , definida por
.
e sua derivada também é dada por sendo .
No entanto, nem sempre é fácil encontrar, quando existir, a forma explícita de uma função definida implicitamente por uma equação. Por exemplo, se fosse para
explicitar como uma função de em , a tarefa seria bem
complicada. Com o uso do software GeoGebra podemos traçar a curva descrita por
esta equação . Esta curva é denominada Fólio de Descartes, veja
figura 1.
1622 =+ yx
216 xxf −−=)( 216 xy −−= 1622 =+ yx
161616 222
22 =−+=
−−+ xxxx
1622 =+ yx yx
22 16 16 ou xyxy −−=−= x
216 xy −=
22 162
162
1
x
xxxdx
dy
−−=−⋅
−= )(
yx
dxdy
−=
216 xy −−=
22 162
162
1
x
xxxdx
dy
−−−=−⋅
−−= )(
yx
dxdy
−=
1622 =+ yx h
≤<−−
≤≤−−=
40se16
04se16
2
2
xx
xxxh )(
yx
dxdy
−= )(xhy =
y x xyyx 1833 =+
xyyx 1833 =+
97
Figura 1: Gráfico da curva
Observe no gráfico da curva que existem funções que
satisfazem a equação dada.
Assim, para o cálculo de derivadas de funções implícitas vamos utilizar um método conhecido como derivação implícita que descrevemos a seguir:
Método de derivação implícita: Dada uma equação na qual se
estabelece implicitamente como função derivável de , calcula-se do
seguinte modo: Passo 1: Derive ambos os membros da equação em relação a . Tenha em mente
que é encarado como uma função de e, portanto, ao derivar, você deverá
utilizar as regras de derivação (regra da soma, produto, quociente, regra da cadeia, etc.).
Passo 2: O resultado do passo 1 será uma equação nas variáveis . Escreva
todos os termos que envolvem no 1º membro desta equação e os outros
termos no 2º membro.
Passo 3: Coloque em evidência e explicite em função de .
Vimos no exemplo 1 que ao passarmos da forma implícita para a forma explícita podemos calcular a derivada. Vamos mostrar no exemplo 2 que, utilizando o método
xyyx 1833 =+
xyyx 1833 =+ )(xfy =
0=),( yxF
y xdxdyy =′
xy x
yyx ′ , e
dxdyy =′
dxdyy =′
dxdyy =′ yx e
98
de derivação implícita descrito acima, podemos também calcular sem
necessidades de passar para a representação explícita.
Exemplo 2: Considere a equação . Vamos calcular, por derivação
implícita, admitindo que define implicitamente uma função derivável de
. Seguindo os passos do método descrito acima, temos:
[ ] [ ] [ ] [ ] 022016 2222 =⋅+⇒=+⇒=+dxdyyxy
dxdx
dxd
dxdyx
dxd
xdxdyy 22 −=⋅⇒ y
xyx
dxdy
−=−=⇒22
que corresponde a derivada de cada função f , definida por )(xfy = que satisfaz a
equação (compare com o exemplo 1). Observe que a derivada está
expressa em termos de , mas isto não é uma desvantagem porque, na maioria dos
problemas, estamos interessados em calcular apenas em alguns pontos.
Observação: Observe que, para calcular a derivada de , em relação a ,
admitindo uma função derivável de , usamos a regra da cadeia para obter
. No exemplo 2 utilizamos este resultado com .
Exemplo 3: Suponhamos que a relação define uma função
e que essa função é derivável em um determinado intervalo. Para
determinar em termos de derivamos em relação a , com o auxílio da
regra da cadeia e regra do produto, ambos os lados da equação e
isolamos em função de . Vejamos,
dxdyy =′
1622 =+ yx
dxdyy =′ y
x
1622 =+ yxy
y′
ny x
y x
[ ]dxdyyny
dxd nn ⋅⋅= −1 2=n
xyyx 1833 =+
)(xfy =
dxdyy =′ yx e x
xyyx 1833 =+
dxdyy =′ yx e
99
Assim, conseguimos calcular sem a necessidade de explicitar como
uma função de .
Exemplo 4: Para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto podemos utilizar que , conforme vimos no exemplo
3. Daí, que é o coeficiente angular da reta tangente
ao Fólio de Descartes em . Portanto, a equação da reta tangente é dada por
.
Figura 2: Tangente à curva .
Exemplo 5: Suponhamos que a equação define uma
função derivável em um determinado intervalo. Para encontrar a equação
da reta tangente e da reta normal ao gráfico da equação dada no ponto
[ ] [ ]
.
)(
xyxyy
xyyxy
xyyxyy
yxyyyxxydxdyx
dxd
183318
318183
318183
18183318
2
2
22
22
2233
−
−=′⇒
−=′−⇒
−=′−′⋅⇒
′+=′⋅+⇒=+
dxdyy =′ y
x
xyyx 1833 =+
),( 84Pxy
xyy183318
2
2
−
−=′
54
12096
41883438184 2
2==
⋅−⋅
⋅−⋅=′ )(y
),( 84P
524
544
548444 +=⇔−=−⇔−′=− xyxyxffy )())(()(
),( 8418 em33 Pxyyx =+
xyxy 443 24 −=− sen
)(xfy =
),( 01
100
utilizaremos o método de derivação implícita. Assim, para determinar em
termos de derivamos em relação a , com o auxílio da regra da cadeia e regra
do produto, ambos os lados da equação dada e isolamos em função de .
Vejamos,
[ ] [ ]
yxyyxyyxyyxy
yyxyxyyxdxdyxy
dxd
cossensen)cos(
)cossen(sen
⋅−−⋅
=′⇒−⋅=′⋅−⇒
−=′⋅⋅+⋅−′⋅⇒−=−
2323
2324
12424212
4212443
Daí, o coeficiente angular da reta tangente à curva dada no ponto é
. Logo, a equação da reta tangente é dada por .
Já o coeficiente angular da reta normal à curva dada no ponto vale
e, portanto, a equação da reta normal é dada por .
3.5 Derivadas de Ordem Superior Se é uma função derivável, então também é uma função que pode ter
sua própria derivada. Se for derivável, a derivada de é denominada derivada
segunda de , e representada pelo símbolo . Daí,
ou .
De modo análogo, podemos definir a derivada de , denominada derivada
terceira de , representada por .
ou .
Continuando o processo, obtemos derivadas de ordem superior de . A
derivada de ordem ou enésima derivada de representada por , é
obtida derivando a derivada de ordem , ou seja,
dxdyy =′
yx e x
dxdyy =′ yx e
),( 01
41 =′ )(y 44140 −=⇔−=− xyxy )(
),( 0141
−
41
411
410 +−=⇔−−=− xyxy )(
f f ′
f ′ f ′
f f ′′
[ ])()( xfdxdxf ′=′′ 2
2notação
dxyd
dxdy
dxd
dxydy =
=
′=′′
f ′′
f f ′′′
[ ])()( xfdxdxf ′′=′′′ 3
3notação
2
2
dxyd
dxyd
dxd
dxydy =
=′′
=′′′
f
n ,f n
nn
dxydy =)(
1−n
101
.
sendo , ou seja, a derivada de ordem zero de uma função é a própria
função. Existem várias formas de representar derivadas de ordem superior, como vemos a tabela a seguir.
Notações para Derivadas de Ordem Superior
Derivada primeira
Derivada segunda
Derivada terceira
Derivada quarta
Derivada enésima
Exemplo 1: Dado que vamos determinar
4,0)(
0)(
,18)()(
,1218)()(
,1129)()(
)(
)4(
)3(
)2(
2)1(
≥∀=
=
=′′′=
−=′′=
+−=′=
nxf
xf
xfxf
xxfxf
xxxfxf
n
Exemplo 2: Seja . Vamos encontrar
Vejamos:
1, para1
1≥
==
−
−n
dxyd
dxd
dxydy n
n
n
nn)(
ydx
ydy == 0
00)(
y′ )(xf ′dxdy [ ])(xf
dxd [ ]yDx
y ′′ )(xf ′′2
2
dxyd [ ])(xf
dxd
2
2[ ]yDx
2
y ′′′ )(xf ′′′3
3
dxyd [ ])(xf
dxd
3
3[ ]yDx
3
)(4y )()( xf 44
4
dxyd [ ])(xf
dxd
4
4[ ]yDx
4
)(ny )()( xf nn
n
dxyd [ ])(xf
dxd
n
n[ ]yD n
x
xxxxf +−= 23 63)(
.,),()( NInnxf n ∈≥ ,1 todo para
11313
1 −+=+
= )()( xx
xf ., fff ′′′′′′ e
102
Exemplo 3: Dado que vamos determinar
Vejamos:
ou, equivalentemente, .
Exemplo 4: Seja . Para encontrar procedemos da
seguinte forma:
• para ;
• para ;
• para temos que aplicar a definição. Como pois,
decorre que não existe .
Portanto, a função é definida por .
De forma análoga, para determinar procedemos da seguinte forma:
• para ;
13
16213162313(318
,13
18131831323
,13
33131
444
333
22
)()())()(
)()()()()()(
)()()(
+−
=+−=⋅+⋅−⋅=′′′
+=+=⋅+⋅−⋅−=′′
+−
=⋅+−=′
−−
−−
−
xxxxf
xxxxf
xxxf
xxf sen)( =
.,),()( NInnxf n ∈≥ ,1 todo para
xxfxf
xxfxf
xxfxf
xxfxf
cos)()(
sen)()(
cos)()(
sen)()(
)(
)(
)(
)(
−=′′′=
−=′′=
=′=
==
3
2
1
0
=−=−==
=
,,,;cos,,,;sen
,,,;cos,,,;sen
)()(
11731062951840
nxnxnxnx
xf n
NInxnxf n ∈
+= ,
2πsen)()(
>≤
=1se11se2
xxxxf )( ff ′′′ e
xxfxxfx 21 2 =′⇒=< )()(,011 =′⇒=> )()(, xfxfx
1=x )()( 11 +− ′≠′ ff
00111
111
211
1111
111
111
11
2
11
e
==−−
=−−
=′
=+=−
+−=
−−
=−−
=′
−→+→+→+
−→−→−→−→−
xxx
xxxx
xxfxff
xx
xxx
xx
fxff
limlim)()(lim)(
)(lim))((limlim)()(lim)(
)(1f ′
f ′
><
=′1012
sese
xxx
xf )(
f ′′
221 =′′⇒=′< )()(, xfxxfx
103
• para ;
• para temos que não existe pois não é derivável em .
Portanto, a função é definida por .
Exemplo 5: Considere a equação . Vamos calcular, por derivação
implícita, admitindo que define implicitamente uma função duas vezes
derivável de . Vejamos,
Assim, conseguimos calcular expressa em termos de . Agora,
repetimos o método de derivação implícita na nova equação . Observe que,
inicialmente, para o cálculo da derivada do quociente , aplicamos a regra do
quociente e, para a potência , a regra da cadeia. Daí,
Portanto, é a derivada segunda expressa em termos de .
Utilizamos a relação já encontrada para a derivada primeira expressa em termos de
que vale .
001 =′′⇒=′> )()(, xfxfx1=x )(1f ′′ f 1=x
f ′′
><
=′′1012
sese
xx
xf )(
163 44 =+ yx
2
2
dxydy =′′ y
x
[ ] [ ]
3
3
3
3
3344
3124
0124163
yx
yxy
yyxdxdyx
dxd
−=
−=′⇒
=′⋅+⇒=+
dxdyy =′ yx e
3
3
3yxy −
=′
3
3
3yx−
3y
[ ] ( ) ( ) ( )( )
+−=−
−=
−⋅+
−=′′⇒
′+
−=
′+−=′′⇒
′⋅⋅−−⋅−=′′⇒
−=′
∗
7
442
7
6
3
2
3
3
4
3
3
2
4
3
3
2
6
2332
23
2332
3
3
33
33
999
3
9333
yxyx
yx
yx
yx
yx
yxy
yyx
yx
yyyxyxy
y
yyxyxyyx
dxdy
dxd
)(
+−=′′ 7
442
33
yxyxy yx e
)(∗
yx e 3
3
3yxy −
=′
104
3.6 Derivadas de Funções Inversas Nas seções 3.2 e 3.3, aprendemos como derivar a função exponencial e as
funções trigonométricas. Agora, aprenderemos uma regra para derivar a inversa de uma função derivável e aplicaremos tal regra para encontrar a derivada da função logarítmica (inversa da função exponencial), bem como as derivadas das funções trigonométricas inversas.
Teorema 1 (Regra da derivada da função inversa): Seja uma função definida
em um intervalo aberto . Suponhamos que admite uma função inversa , isto
é, se, e somente se, . Se é derivável em e ,
então é derivável e vale
, ou equivalentemente, .
Demonstração: Considerando que é a inversa de (isto é,
) temos, derivando implicitamente em relação a , a equação
, .
Como e então , e . Daí,
ou, equivalentemente, .
Exemplo 1: Se é a função definida por , sabemos que sua
inversa é a função definida por . Como
para todo temos que, se tomarmos sendo um intervalo aberto que não
contenha a origem, como por exemplo , a derivada de é
f
I f g)(xfy = )(ygx = f I Ixxf ∈∀≠′ ,0)(
1−= fg
))(()(
ygfyg
′=′ 1
)())(()(
xfxff
′=′− 11
g f
)()( ygxxfy =⇔= x
)(ygx = [ ] [ ]dxdy
ygdxdyygyg
dxdx
dxd 11 =′⇔′=⇔= )()()(
)(xfy = )(ygx = )(xfdxdy ′= )(yg
dydx ′= ))(()( ygfxf ′=′
dxdydy
dx 1=
))(()(
ygfyg
′=′ 1
f 38xxfy == )(
1−= fg 321 yygx == )( 024 2 ≠=′ xxf )(
0≠x I
),( +∞= 0I 1−= fg
Iyy
yygygf
yg ∈∀=
==′
=′ − ,61
2124
124
11 322
32
/
)]([))(()(
105
Observação 1: A letra do alfabeto utilizada para representar a variável de
uma função não é relevante. No exemplo 1, é comum dizermos que a inversa da
função é a função cuja derivada é dada por
, onde usamos como variável, a letra no lugar de .
Teorema 2 (Derivada da função logarítmica): Se então
.
Demonstração: Sabemos que se então . Derivando
implicitamente em relação a a equação e utilizando a consequência 8 da
regra da cadeia temos
Em particular se temos a função e a derivada será
.
Teorema 3 (Derivada da função inversa do seno): Se , então
.
Demonstração: Sabemos que a função inversa da função seno é definida por
. Derivando implicitamente em relação a
a equação obtemos
.
38xxf =)( 321 xxg =)(
Ixxxg ∈∀=′ − ,61 32 /)( x y
),,log 10( e ≠>= aaxy a
axy
ln⋅=′
1
xy alog= xa y =
x xa y =
[ ] [ ]axaadx
dydxdyaax
dxda
dxd
yyy
lnln)ln(
⋅=
⋅=⇒=⇒=
111
e=a xxy lnlog == e
xexy 11
==′ln
xy arcsen=
21
1
xy
−=′
22e
ππ≤≤−=⇔= yxyxy senarcsen x
xy =sen
[ ] [ ]y
yyyxdxdy
dxd
cos)(cossen 11 =′⇒=′⇔=
106
Precisamos, agora, escrever em função de . Para isso, usaremos a
relação trigonométrica que resulta . Uma vez
que temos que . Daí, e como ,
então .
Portanto, , ou seja,
Teorema 4 (Derivada da função inversa do cosseno): Se , então
.
Demonstração: Sabemos que a função inversa da função cosseno é definida
por .
Derivando implicitamente em relação a a equação obtemos
.
Uma vez que temos que . Daí,
.
Portanto, ou seja, .
Teorema 5 (Derivada da função inversa da tangente): Se , então
.
ycos x
1sen22 =+ yycos yy 21 sencos −±=
22ππ
≤≤− y 0≥ycos yy 21 sencos −+= xy =sen
21 xy −=cos
21
11
xyy
−==′
cos 21
1
xx
dxd
−=)(arcsen
xy arccos=
21
1
xy
−
−=′
π≤≤=⇔= yxyxy 0ecosarccos
x xy =cos
[ ] [ ]y
yyyxdxdy
dxd
sen)sen(cos 11 −
=′⇒=′−⇔=
π≤≤ y0 0≥ysen
22 11 xyy −=−+= cossen
21
11
xyy
−
−=
−=′
sen 21
1
xx
dxd
−
−=)(arccos
xy arctg=
211x
y+
=′
107
Demonstração: Sabemos que a função inversa da função tangente é definida
por . Derivando implicitamente em relação a
a equação obtemos
[ ] [ ]y
yyyxdxdy
dxd
22
sec11)(sectg =′⇒=′⇔= .
Uma vez que yy 22 tg1sec += e xy =tg , segue que
222 11
tg11
sec1
xxyy
+=
+==′
ou seja, 211)(arctgx
xdxd
+= .
Observação 2: De forma análoga, podemos derivar a função inversa da
secante, cossecante e cotangente.
Supondo uma função derivável, podemos deduzir também outras
consequências da regra da cadeia relacionadas com as funções inversas, a saber:
(1)
(2)
(3)
(4)
Exemplo 2: Para derivar aplicamos a regra
, juntamente com a regra do quociente. Daí,
.
22e
ππ<<=⇔= − yxyxy tgarctg x
xy =tg
)(xgu =
[ ] uu
udxd ′⋅=
1ln
[ ] uu
udxd ′⋅
−=
21
1arcsen
[ ] uu
udxd ′⋅
−−=
21
1arccos
[ ] uu
udxd ′⋅
+= 21
1arctg
3xy arcsen=
[ ] uu
udxd ′⋅
−=
21
1arcsen
[ ] ( )6
23
233
1
3
1
1
x
xxx
xdxd
−=′⋅
−=
)(arcsen
108
Exemplo 3: Para derivar aplicamos as regras e
. Daí,
Exemplo 4: Para derivar aplicamos a regra
, juntamente com a regra do quociente. Daí,
4422
33
4242
22
22
22
2222
22
22
22
22
222
2
2
2
22
2
12
224
)1(
22222121
)1(
)1(
2)1()1(2
)1()1()1(
)1(2)1()1(2
)1()1(1
111
111
1
1
1arctg
xx
xx
x
xxxxxxxx
x
x
xxxx
xxx
x
xxxx
xxx
x
xxx
xdxd
+
−=
+
−=
+
+−−−⋅
+−++++=
+
−−+−⋅
−++
+=
+
−−+−⋅
+
−+
=′
+
−⋅
+
−+
=
+
−
Agora, vamos apresentar um resumo das principais fórmulas de derivadas vistas até o momento.
21 xy += ln [ ] uu
udxd ′⋅=
1ln
[ ] uuudxd ′⋅= −1αα α
[ ] ( )
[ ] 22221
22
2121
22
22
2
11121
21
1
1
1121
1
111
11
xx
xx
xxxx
xxx
xx
xdxd
+=
+⋅+=⋅+⋅⋅
+=
′+⋅+⋅⋅+
=′
+⋅
+=
+
−
−
)(
ln
+−
= 2
2
11
xxy arctg
uu
udxd ′⋅
+= 21
1)(arctg
109
3.7 TABELA GERAL DE DERIVADA Na tabela que se segue são funções deriváveis de e são
constantes reais.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
vu, x ac , , α
0=′⇒= ycy
1=′⇒= yxy
ucyucy ′⋅=′⇒⋅=
vuyvuy ′+′=′⇒+=
vuvuyvuy ′⋅+⋅′=′⇒⋅=
2vvuvuy
vuy
′⋅−⋅′=′⇒=
)(, 01 ≠′⋅=′⇒= − αα αα uuyuy
),(,ln 10 ≠>′⋅⋅=′⇒= aauaayay uu
uyy uu ′⋅=′⇒= ee
),(,ln
log 101≠>′⋅
⋅=′⇒= aau
auyuy a
uu
yuy ′⋅=′⇒=1ln
uuyuy ′⋅=′⇔= )(cossen
uuyuy ′⋅−=′⇔= )sen(cos
uuyuy ′⋅=′⇔= )(sectg 2
uuucyuy ′⋅⋅=′⇔= )tg(sesec
uuyuy ′⋅−=′⇔= )cossec(cotg 2
uuuyuy ′⋅⋅−=′⇔= )cotgcossec(cossec
uu
yuy ′⋅−
=′⇔=21
1arcsen
uu
yuy ′⋅−
−=′⇔=
21
1arccos
uu
yuy ′⋅+
=′⇔= 211arctg
110
Teste o seu conhecimento 1. Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal.
2. Encontre supondo que a equação dada determina implicitamente como uma função
derivável de .
2.1.
2.2.
2.3. 3. Encontre a derivada das seguintes funções:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
4. Esboce os gráficos de e .
4.1. ;
)sen( xy 3=
dxdy y
x
yxyyx cossen)ln( =−+ 42
( ) xyxx −=+ 453 3arctg
433 6)(sen −=+ xy ye
( ) ( ) 578 −−= xxf
( )( )42 1−
=x
xxf
( )3
7643
−+
=xxxf
( ) ( ) 32
2 892−
+−= xxxf
( ) ( ) ( )422 23132 ++−= xxxxf
( ) 324 2 ++= xxxf
( )( )3 243
1
−=
xxf
( )6
2 37
++= xxxf
( ) ( ) ( )3 225 2314 ++= xxxf
( ) )( 752 −= xxf e
( ) )sen 37( 3−= xxf e
( ) ( )32 += xxf ln
( ) ( )75 5 −= ttf cos
( ) ( )xxf etg=
( ) ( )xxf lncos=
( ) ( )75 −= xxf sen
( ) xxf 3sen=
( ) 3xxf sen=
( ) 33 xxf sen=
( ) ( )( )xxxf 2
2coscos
=
( ) ( )xexf x 432 sen+=
−
= 212
tttf ln)(
21 ttf += arctg)(
[ ]2xxf arctgln)( =
f f ′
xxxf 2=)(
111
4.2. .
5. Determine, se existir, a derivada da função nos pontos indicados , e . Caso não exista, justifique.
5.1. ;
5.2. ;
5.3. ;
5.4.
5.5.
6. Encontre os valores de para os quais a derivada das seguintes funções é igual a zero.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7. Dada a função abaixo determine , e
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
>−≤+
=1se151se32
xxxxxf )(
f a b c
( )
>≤≤−
<−=
232032
032
xxx
xxxf
,,,
120 === cba ,,
( )
>≤≤+
<+
=23
201
0122
xxx
xx
xf,,
,
120 === cba ,,
( )
≥+
<+=
01
012
3
xx
xxxf
,
,330 =−== cba ,,
( ) 42 −= xxf 522 ==−= cba ,,
( ) 5−= xxf 305 −=== cba ,,
x
( ) 73104 23 −+−= xxxxf
( ) xxf e=
( ) xxf cos=
( ) xxf tg=
f ( )fD ( )xf ′ ( )fD ′
( ) 5−= xxf
( )x
xfln1
=
( )
>
≤=
0
022 xx
xxxf
,
,
( ) xxf 215=
( )
−≥+−<−
=1 se 321 se 2
xxxxxf
112
8. Seja a função definida por . Verifique se
8.1. é derivável no intervalo ;
8.2. é derivável no intervalo ;
9. Calcule das seguintes funções:
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
10. Calcule das seguintes funções:
10.1.
10.2.
11. Verifique os intervalos onde as derivadas de segunda ordem das seguintes funções são positivas e negativas.
11.1.
11.2.
11.3.
12. Dada a função determine:
12.1. os valores de para os quais ;
12.2. intervalos onde e ;
12.3. os valores de para os quais ;
12.4. intervalos onde e ;
f ( ) xxf −= 4
[ ]40,
f [ ]31,
( )xf ′′
( ) ( )72 67 xxxf +=
( ) xxsenxf 22 cos+=
( ) xxf −= 1e
( )4
1−
=x
xf
( ) ( )12 += xxf ln
( )33
2−
=x
xxf
( )( )xf 4
( ) 45 47 xxxf −=
( ) xxf 43 −=
( ) xxf 2e=
( ) 73104 23 −+−= xxxxf
( ) 42 2 −= xxf
( ) ( )31−= xxf
x ( ) 0=′ xf
( ) 0>′ xf ( ) 0<′ xf
x ( ) 0=′′ xf
( ) 0>′′ xf ( ) 0<′′ xf
113
CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES DA DERIVADA
4.1 Taxa de Variação Vimos que a interpretação geométrica da derivada de uma função em um
ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em .
Agora veremos que a derivada de uma função pode ser interpretada como uma
“taxa de variação de em relação a ” em um ponto . Veremos que
existem muitas aplicações práticas da taxa de variação, como por exemplo, velocidade, aceleração, taxa de crescimento de uma população e outras.
A taxa de variação pode ser de dois tipos: taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Para introduzirmos essas taxas e analisarmos a diferença entre elas, necessitamos de definições e algumas notações específicas.
Relembramos que o símbolo (delta) quando escrito na frente de uma variável significa a diferença entre dois valores desta variável. Assim, a notação padrão para representar a variação de uma variável (leia-se "delta "), de
modo que (valor final de menos o valor inicial de ) representa a
variação em ao se passar do primeiro valor para o segundo. Também vale ressaltar
que não é o produto de um número por um número , mas um único número, que poderá ser positivo ou negativo, denominado variação de ou incremento de . Podemos considerar também .Se e a variável independente
muda de para então podemos definir e da seguinte maneira:
e
Note que, neste caso, o valor de depende de e de .
Figura 1: Representação gráfica de e
f
))(,( afaP f Pf
f x ))(,( xfx
∆
xx Ǝ x
o1 xxx −=∆ x x
x
x∆ ∆ xx x
xxx ∆+= o1 )(xfy =
ox xxx o ∆+=1 x∆ y∆
ooo xxxxxx −∆+=−=∆ )(1 )()()()( ooo xfxxfxfxfy −∆+=−=∆ 1
y∆ ox x∆
x∆ y∆
114
Vamos agora analisar o comportamento de uma partícula que se move no plano numa trajetória qualquer, retilínea ou não. Seja o espaço percorrido pela partícula
até certo instante de tempo . Como é uma função do tempo, escreveremos
. Agora vamos considerar o movimento durante um intervalo de tempo ,
isto é, entre um intervalo de tempo e outro instante subsequente .
Consequentemente, o espaço sofrerá uma variação correspondente . Essa
variação, dada por , é o espaço percorrido desde o instante até o
instante . A velocidade média , nesse intervalo de tempo que vai de a
, é definida como sendo igual ao quociente da variação do espaço percorrido
pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é, .
Exemplo 1: A função , definida por , , fornece a distância,
em km, em linha reta, que um motorista de caminhão se encontra do local de partida
após horas. Assim,
• no intervalo de a horas a taxa média de variação no espaço é
km/h que é a velocidade média no intervalo de
2,8 a 3 horas. • no intervalo de a horas a taxa média de variação no espaço é
km/h que é a velocidade média no intervalo de
2,9 a 3,0 horas. • no intervalo de a horas a taxa média de variação no espaço é
km/h que é a velocidade média no intervalo
de 3,0 a 3,2 horas.
Sabemos que a velocidade do carro varia durante o percurso, isto é, o carro tem sua velocidade aumentada ou diminuída durante o intervalo de tempo considerado. Daí, a velocidade média pode não ser igual à velocidade mostrada no
velocímetro no instante (velocidade instantânea). Por exemplo, como podemos saber exatamente qual é a velocidade (velocidade instantânea) do carro no instante
? Para isso vamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada
vez menores e próximos de . Vejamos alguns dados em uma tabela.
Intervalo de tempo t∆ (h) s∆ (km) tsvm ∆
∆= (km/h)
38,2 ≤≤ t 0,2 11,6 58
st s
)(tss = t∆t tt ∆+
s s∆)()( tsttss −∆+=∆ t
tt ∆+ mV ttt ∆+
ts
ttsttsvm ∆
∆=
∆−∆+
=)()(
s 210tts =)( 40 ≤≤ t
t
82,=t 3=t
5820
47890823
823=
−=
−−
=∆∆
,,
,),()( ss
ts
92,=t 3=t
5910
47890923
923=
−=
−−
=∆∆
,,
,),()( ss
ts
3=t 23,=t
6220
904102323
323=
−=
−−
=∆∆
,,
,)(),( ss
ts
t
3=t t∆3=t
115
39,2 ≤≤ t 0,1 5,9 59
399,2 ≤≤ t 0,01 0,599 59,9
39992 ≤≤ t, 0,001 0,05999 59,99
2,33 ≤≤ t 0,2 12,4 62
1,33 ≤≤ t 0,1 6,1 61
01,33 ≤≤ t 0,01 0,601 60,1
001,33 ≤≤ t 0,001 0,060 60,01
Com base na tabela acima, podemos observar que, quanto menor for o valor de
, a velocidade média tsvm ∆
∆= , em intervalos de tempo do tipo [ ]t∆+3,3 ou
[ ]3,3 t∆− , torna-se cada vez mais próxima de km/h. Assim, a estimativa para
velocidade exata (velocidade instantânea) no momento horas será
km/h.
Em geral, para caracterizarmos o estado do movimento num dado instante ,
vamos imaginar intervalos de tempo cada vez menores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar informações cada vez mais precisas do que se
passa neste instante. A velocidade média torna-se cada vez
mais próxima da velocidade instantânea, , no instante , quanto menor for o
valor . Assim, , e essa aproximação será cada vez melhor quanto menor for
o valor . Isto nos leva ao conceito de velocidade instantânea, , no instante
, como sendo , isto é, a velocidade
instantânea no instante ou, simplesmente, velocidade no instante , é a derivada
do espaço em relação ao tempo no instante .
Exemplo 2: A função , definida por , , fornece a distância,
em km, em linha reta, que um motorista de caminhão se encontra do local de partida
após horas. Para obter a velocidade exata em (velocidade instantânea),
observamos os valores da velocidade média nas vizinhanças de , com intervalos
cada vez menores, isto é, quando t∆ se aproxima de zero ( ). O valor exato da
velocidade no instante é dado por .
0>∆t
603=t
603 ≈∆∆
≈tsv )(
tt∆
ts
ttsttsvm ∆
∆=
∆−∆+
=)()(
)(tvv = t
t∆tsv
∆∆
≈
t∆ )(tvv =
t )(lim)()(lim)( tsdtds
ts
ttsttstv
tt′==
∆∆
=∆
−∆+=
→∆→∆ 00
t tt
s 210tts =)( 40 ≤≤ t
t 3=t3=t
0→∆t
3=t ttststv
t20
0=′=
∆∆
=→∆
)(lim)(
116
Logo, para tem-se que km/h.
Este resultado está de acordo com o que vimos no exemplo 1.
Observamos que a velocidade média é a razão entre duas variações, que denominamos de taxa de variação média, conforme definição a seguir.
Definição 1: Se , a taxa de variação média de em relação a no
intervalo é dada pela razão das variações, isto é
Figura 2: Taxa de variação média
Definição 2: Se , a taxa de variação instantânea ou, simplesmente, taxa
de variação de em relação a em um ponto é dada pela seguinte
expressão:
Exemplo 3: Sabemos que a inclinação da reta que passa pelos pontos
),( oo yx e ),( 11 yx é dada por xy
xxyy
xym
o
o
de variação de variação
1
1 =−−
=∆∆
= .
3=t 60320330
=⋅=′=∆∆
=→∆
)(lim)( stsv
t
)(xfy = y x
[ ]xxx oo ∆+,
xxfxxf
xy oo
∆−∆+
=∆∆
=)()(
média variação de Taxa
)(xfy =
y x ))(,( xfx
xxfxxf
xy
xx ∆−∆+
=∆∆
=→∆→∆
)()(limlim00
variação de Taxa
r
117
Então é possível expressar a inclinação de uma reta como quociente de dois incrementos. Ao fazermos isto estamos considerando a inclinação de uma reta como uma taxa de variação média de em relação a . Note que αm tg= , conforme
ilustra a figura 3.
Figura 3: Inclinação de uma reta
Em particular, a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto
))(,( oo xfx é a taxa de variação instantânea de uma variável em relação à outra, no
ponto ))(,( oo xfx e isto é exatamente a derivada de , calculada em .
Observação 1: Nos problemas práticos, é importante definir a unidade que
será utilizada para medir a taxa de variação. Uma taxa de variação do tipo é
sempre medida em “unidades de ” por “unidades de ”. Assim, por exemplo, se
é medido em quilômetros e é medido em horas, é medido em quilômetros por
hora. Também é conveniente usar com sendo a variável independente, em lugar de , quando a variável independente está relacionada com o tempo.
Exemplo 4: Em 2010, a população mundial era de 6,908 bilhões de habitantes,
conforme dados divulgados pelo Fundo de População das Nações Unidas. A projeção feita para 2050 é de que habitarão o planeta 9,1 bilhões de pessoas. Determine a
taxa de variação média da população mundial em relação a t , tP∆∆
, no intervalo
[ ]2050,2010 .
y x
)(xfy =
f ox
xy
∆∆
y x y
xxy
∆∆
tx
118
Solução: Como a população mundial em 2010 era de 6,908 bilhões e a
projeção para 2050 é de 9,1 bilhões, então a variação da população será dada por
e a variação do tempo será .
Portanto, a taxa de variação média da população mundial em relação a , no
intervalo , é dada por bilhões/ano.
Exemplo 5: Numa experiência controlada, a área total utilizada para certa
cultura é anotada a cada hora. Um estudante obtém experimentalmente a seguinte tabela:
Área de criação (cm2) 320 500 600 540 504
tempo (hora) 0 12 24 36 48
No intervalo de tempo de a a taxa média de variação na área é
15012320500
=−−
=∆∆
ty
cm2/h
No intervalo de tempo de a a taxa média de variação na área é
52436600540
−=−−
=∆∆
ty
cm2/h
O significado da taxa de variação negativa indica que a quantidade desta cultura está diminuindo.
Observação 2: Uma aplicação comum da taxa de variação média é a
determinação da velocidade média de um corpo que está se movendo em linha reta.
Temos é uma taxa média de
variação. Quando passamos ao limite com obtemos a velocidade instantânea
ou velocidade no instante . que é uma taxa de variação
instantânea.
Exemplo 6: Uma pedra é lançada verticalmente do solo, para cima, com
velocidade inicial de 112m/s. Após segundos, sua distância do solo é dada por
.
1922908619 ,,, =−=∆P 4020102050 =−=∆t
t
[ ]20502010, 050401922 ,,
==∆∆
tP
0=t 12=t
24=t 36=t
ts
∆∆
==tempo do variação
distância da variaçãomédia velocidade
0→∆t
tdtds
ts
t=
∆∆
=→∆ 0
velocidade lim
t294112 ttts ,)( −=
119
Determine:
• a velocidade da pedra, quando segundos; • o instante em que a velocidade da pedra é zero; • a velocidade da pedra ao atingir o solo.
Solução: Sabemos que . Portanto, m/s
é a velocidade da pedra quanto segundos.
Basta resolver a equação cuja solução é
segundos.
Inicialmente, devemos determinar os instantes em que ,
ou seja, segundos. Daí, a velocidade da pedra ao
atingir o solo é dada por m/s.
O significado da velocidade negativa indica que a pedra está descendo e atinge
o solo à velocidade de m/s.
Observação 3: Observe a relação existente entre o sinal da derivada e o
crescimento ou decrescimento de uma função. Note que, se uma função é crescente então sua derivada é positiva ou zero, ou seja, a “taxa de variação” é positiva ou zero e sendo decrescente sua derivada é negativa ou zero. Este fato será estudado posteriormente com maiores detalhes.
4.2 Taxas Relacionadas O problema que relaciona duas ou mais variáveis que dependem de outra
variável independente, por exemplo, o tempo , é chamado de problema de taxas relacionadas.
Exemplo 1: O raio de uma circunferência cresce à taxa de 21 cm/s. Determine
a taxa que aumenta o comprimento da circunferência.
Solução: Sejam o raio da circunferência, em
centímetros (cm), o tempo, em segundos (s) e o
v 3=t
tdtdstv 89112 ,)( −== 6823 ,)( ==
dtdsv
3=t
089112 =−== tdtdstv ,)( 411,=t
094112 2 =−= ttts ,)(
922ou0094112 ,),( ==⇔=− tttt
112922922
−=== ,
),(tdt
dsv
112
t
rt C
120
comprimento da circunferência, em cm. Observe que, à medida que o tempo passa, o raio e o comprimento aumentam, de modo que o raio e são dados
em função de . Sabemos que as variáveis e estão relacionadas por
meio da fórmula . Além disso, a informação que o raio cresce à taxa de
21 cm/s, significa que cm/s. Precisamos determinar a que taxa aumenta o
comprimento da circunferência, isto é, dtdC
. Derivando implicitamente, em relação a
, a equação , encontramos uma nova equação que envolve as taxas de
variação, isto é, ( as taxas estão relacionadas).
Agora, considerando que , temos cm/s,
isto é, a taxa com que o comprimento da circunferência aumenta é de, aproximadamente, 131,95 cm/s e independe, neste caso, do raio.
Diretrizes para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. • Passo 1: Desenhe, se possível, uma figura e identifique as variáveis e as
constantes. Use para tempo. Considere que todas as variáveis são funções deriváveis de ;
• Passo 2: Expresse todas as informações numéricas dadas em termos dos símbolos que você escolheu;
• Passo 3: Expresse o que você deseja determinar, geralmente uma taxa, em termos da derivada;
• Passo 4: Obtenha uma equação que relacione as variáveis do problema. Talvez você possa combinar duas ou mais equações para conseguir uma única,
• Passo 5: Derive implicitamente, em relação a , a equação encontrada no passo 4. Neste caso, será encontrada uma nova equação que envolve as taxas de variação (taxas relacionadas);
• Passo 6: Expresse a taxa que você deseja determinar em termos das taxas e variáveis cujos valores são conhecidos;
• Passo 7: Substitua as informações numéricas dadas na equação obtida no passo 6 para encontrar a taxa desconhecida. Estes valores numéricos devem ser introduzidos somente no estágio final do processo de resolução do problema.
Exemplo 2: Quando uma chapa metálica circular é aquecida, seu raio aumenta
a uma taxa de 0,01cm/min. Determine a que taxa a área da chapa aumenta quando seu raio é de 50cm.
)(trr = )(tCC =
t )(trr = )(tCC =
)()( trtC π2=
21=dtdr
t )()( trtC π2=
dtdr
dtdC π2=
21=dtdr 9513114342422122 ,, =⋅≈=⋅== πππ
dtdr
dtdC
tt
t
121
Solução: Inicialmente, identificamos no problema as
variáveis e as constantes. Sejam o tempo, em minutos, o
raio, em cm, e a área, em cm2, da chapa metálica
circular. Observe que, à medida que o tempo passa, o raio e a
área aumentam, de modo que o raio e são
funções de relacionadas pela equação .
Além disso, a informação que o raio cresce à taxa de 0,01cm/min, significa que
cm/min. Precisamos determinar a que taxa aumenta a área da chapa
quando seu raio é de 50 cm, isto é, . Derivando implicitamente, em
relação a , a equação , encontramos uma nova equação que envolve as
taxas de variação, isto é, (as taxas estão relacionadas).
Agora, considerando que , temos cm2/min.
Observe que, neste caso, a taxa de variação da área depende, não apenas da taxa de variação do raio, mas também, do próprio raio.
Exemplo 3: Uma escada com 25m de comprimento está apoiada em uma
parede vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente, afastando da parede à taxa de 3m/s, com que velocidade o topo da escada está deslizando, quando sua base está a 15m da parede?
Solução: Inicialmente, vamos identificar as variáveis e as constantes do problema. Denotemos por o tempo medido em segundos, a variável como sendo a distância, em metros, do chão ao topo da escada e por
a distância, em metros, da base da escada à parede.
Pelas informações dadas no problema, podemos
escrever m/s. Precisamos determinar . Pelo Teorema de Pitágoras
podemos relacionar as variáveis e pela equação .
t r
A
)(trr = )(tAA =
t [ ]2)()( trtAA π==
010,=dtdr
)(tAA =50=rdt
dA
t 2rA π=
dtdrr
dtdA π2=
010,=dtdr ππ =⋅⋅=
=),()( 010502
50rdtdA
ty
x
3=dtdx
15=xdtdy
)(txx = )(tyy = 22225 yx +=)(
122
Derivando implicitamente, em relação a , encontramos
ou, equivalentemente,
Substituindo as informações numéricas dadas
m/s.
Exemplo 4: Um reservatório tem a forma de um cone circular reto invertido,
com 16m de altura e 4m de raio da base. Se a água entra no reservatório a uma taxa de 2m3/min, com que velocidade o nível da água estará subindo quando a profundidade é de 5m?
Solução: Sejam o tempo decorrido, em minutos, desde que a água começou
a entrar no reservatório, a altura, em metros, do nível de água em minutos, a
medida em metros do raio da superfície da água, em minutos e a medida, em
m3, do volume de água, em minutos. Observe que, à medida que o tempo passa, as
variáveis , e aumentam, de modo que , e são
funções de relacionadas pela equação (volume do cone). Pelos dados
do problema podemos escrever m3/min e precisamos determinar .
Por semelhança de triângulos podemos relacionar as variáveis e , obtendo a
equação . Daí, podemos escrever
Derivando implicitamente, em relação a , encontramos
Substituindo as informações numéricas dadas temos que
t
[ ] [ ]dtdx
yx
dtdy
dtdyy
dtdxxyx
dtd
dtd
⋅−
=⇔⋅+⋅=⇔+= 22025 222)(
dtdx
x
xdtdy
⋅−
−=
2625
252493
15625
15215
,)(
−=−=⋅−
−=
=xdtdy
t
h t r
t V
tr h V )(trr = )(thh = )(tVV =
t hrV 2
31π=
2=dtdV
5=hdtdh
r h
hrhr 4
1164=⇔=
32
2
4841
31
31 hhhhrV πππ =⋅
==
t
dtdV
hdtdh
dtdhh
dtdVh
dtd
dtdV
223 16
483
48 πππ
=⇔
⋅=⇔
=
123
m/min.
Exemplo 5: Um trabalhador ergue um saco de areia de cimento para uma
plataforma situada a 12m acima de sua cabeça por meio de um cabo de 24m de comprimento que passa por uma roldana na plataforma. Ele segura firmemente a extremidade da corda ao nível da cabeça e caminha a 1,5m/s, na horizontal, de
modo a se afastar do ponto que está diretamente abaixo da roldana. Com que velocidade o saco de areia está sendo levantado quando o trabalhador está a 9m do
ponto ?
Solução: Façamos um desenho para modelar o problema. Vejamos:
Figura 1: Modelagem do problema
Agora, vamos identificar as variáveis e as constantes. Usando para tempo, denotamos por a distância do saco à roldana e, por , a distância do ponto P ao
trabalhador. Observemos que e são funções de . Além disso, como
o cabo tem 24 m de comprimento, temos que a distância do saco de areia ao trabalhador é 24m. Daí, a distância da roldana ao trabalhador de , conforme
ilustra a figura 2.
Figura 2: Identificando as variáveis
ππ 25322
516
25
=⋅== )(hdt
dh
P
P
ty x
)(tyy = )(txx = t
y−24
124
Pelos dados do problema podemos escrever m/s e precisamos
determinar .Pelo Teorema de Pitágoras podemos relacionar as variáveis
e , obtendo a equação . Derivando
implicitamente, em relação a , encontramos
Expressando a taxa que você deseja determinar em termos das taxas e variáveis
cujos valores são conhecidos, temos
ou, equivalentemente,
.
Substituindo as informações numéricas dadas
m/s
Portanto, a velocidade que o saco de areia está sendo levantado quando o
trabalhador está a 9 m do ponto é de 0,9 m/s. O significado da velocidade negativa indica que a distância está decrescendo com o tempo, de acordo com a
modelagem do problema, o que indica que o saco de areia está subindo. Este problema pode ser modelado de outra forma, o que não altera a resposta do problema.
2351 == ,
dtdx
9=xdtdy
)(txx = )(txy = 222 1224 xy +=− )()(
t
[ ] [ ]dtdxx
dtdyyx
dtdy
dtd
⋅=
−⋅−⇔+=− 22421224 222 )()()(
dtdx
yx
dtdy
⋅−
−=
24
dtdx
x
xdtdy
⋅+
−=
2144
90109
23
9144
929
,−=−=
⋅
+
−=
=xdtdy
Py
125
Teste o seu conhecimento 1. Uma pedreiro deixa uma escada de 12 m de comprimento encostada na lateral de um prédio. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,8 m/s, qual a velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 7m do solo?
2. Uma bola de neve desce uma montanha e seu volume aumenta à taxa de 16dm3/min. Determine a taxa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 8 dm de diâmetro.
3. Uma móvel parte de um ponto P em direção leste a 4m/s. Um minuto depois, outro móvel parte de P e segue em direção norte a 3m/s. A que taxa está variando a distância entre eles 1 minuto depois da partida do segundo móvel?
126
4.3 Funções Crescentes e Decrescentes Vimos que a interpretação geométrica da derivada de uma função em um
ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em .
Este fato nos permite aplicar as derivadas como um auxílio no esboço de gráficos. Por exemplo, a derivada pode ser usada para determinarmos os pontos em que a reta tangente é horizontal; para encontrarmos os intervalos em para os quais o gráfico de uma função está acima ou abaixo da reta tangente, etc.
Antes de aplicarmos a derivada para traçarmos esboço de gráficos necessitamos de algumas definições e resultados.
Definição 1: Seja uma função definida em um intervalo . Então
• é crescente em se, para todo , , com tem-se que .
• é decrescente em se, para todo , , com tem-se que .
• é constante em se, para todo , , tem-se que .
Em outras palavras, é crescente em se, a medida que aumenta
ocorrer também um aumento no valor , e, é decrescente em se, à medida
que aumenta ocorrer que o valor diminui (veja figura 1).
Figura 1: é decrescente em , crescente em e constante em
f
))(,( afaP f P
f I
f I 1x Ix ∈2 21 xx < )()( 21 xfxf <
f I 1x Ix ∈2 21 xx < )()( 21 xfxf >
f I 1x Ix ∈2 )()( 21 xfxf =
f I Ix∈
)(xf f IIx∈ )(xf
f ],[ 04− ],[ 40 ],[ 84
127
Teorema 1 (Teorema de Rolle): Seja uma função contínua no intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto . Se , então existe pelo menos
um ponto , , tal que .
Em palavras, este teorema diz que sendo uma função contínua em e
derivável em tal que então existe pelo menos um número entre
e tal que a reta tangente ao gráfico de no ponto é uma reta horizontal
(tem coeficiente angular ).
Teorema 2 (Teorema do Valor Médio (TVM): Seja uma função contínua em
e derivável em . Então existe um número , no intervalo tal que:
ou, equivalentemente, .
Figura 2: Representação gráfica do TVM
Observe que é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
e e é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto . Daí, o TVM diz que existe uma reta tangente ao gráfico de
que é paralela a reta que passa pelos pontos e .
Agora, considere a figura 4.
f],[ ba ),( ba )()( bfaf =
c bca << 0=′ )(cf
f ],[ ba
),( ba )()( bfaf = c
a b f ))(,( cfc
0=′ )(cf
f
],[ ba ),( ba c ),( ba
abafbfcf
−−
=′ )()()( ))(()()( abcfafbf −′=−
abafbf
−− )()(
))(,( afa ))(,( bfb )(cf ′
f ))(,( cfc f
))(,( afa ))(,( bfb
128
Figura 3: é decrescente em , crescente em e constante em
Podemos observar que, sendo derivável em um intervalo aberto (isto é, o
gráfico de admite reta tangente em todos os pontos do intervalo aberto ). Se a
declividade da reta tangente ao gráfico de no ponto é negativa, a
função é decrescente em . Se a declividade da reta tangente é positiva, a
função é crescente em . Se a declividade da reta tangente no ponto
é zero, a função é constante em .
Formalizando o resultado acima, segue o teorema 2.
Teorema 3 (Teste da 1ª derivada para Crescimento/Decrescimento): Seja
uma função contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto
.
• Se , então é crescente em .
• Se , então é decrescente em .
• Se , então é constante em .
Demonstração: Sejam , , com . Como é contínua em e
derivável em temos, pelo Teorema do Valor Médio, que existe
tal que , ou seja, . Além
f ],[ 04− ],[ 40 ],[ 84
f If I
f ,)),(,( Ixxfx ∈
f If I
,)),(,( Ixxfx ∈ I
f
],[ ba
),( ba
0>′ )(xf ),( bax∈∀ f ],[ ba
0<′ )(xf ),( bax∈∀ f ],[ ba
0=′ )(xf ),( bax∈∀ f ],[ ba
1x ],[ bax ∈2 21 xx < f [ ]baxx ,],[ ⊂21
( )baxx ,),( ⊂21
],[ 21 xxc∈12
12
xxxfxf
cf−
−=′
)(()( )
)()()()( 1212 xxcfxfxf −′=−
129
disso, se , e então . Daí, sendo
e segue que , para todo ,. Portanto, para todo , isto é, é crescente em
.
É análoga a parte (i).
Sejam , , com . Pelo Teorema do Valor Médio aplicado a
em , existe tal que . Como ,
e então . Daí, ,
ou seja, , .
Observe a figura 4:
Figura 4: Teste da 1ª derivada
• No intervalo aberto temos que , , pois todas as retas tangentes ao gráfico de são horizontais e, portanto, é constante no intervalo fechado ;
• Nos intervalos aberto , e temos que ,
pois todas as retas tangentes ao gráfico de são inclinadas para a direita (inclinação positiva) e, portanto é crescente nos intervalos fechados
, e ; • No intervalo temos que , , pois todas as retas
tangentes ao gráfico de são inclinadas para a esquerda (inclinação negativa) e, portanto é decrescente em .
Observação 1: O teorema 3 diz que podemos obter informações sobre o
comportamento do gráfico de estudando o sinal da função (função derivada
de ). Conforme vimos no exemplo5 da seção2.8 os únicos pontos em que a função
pode mudar de sinal são aqueles onde ela se anula ou onde é descontínua. Em particular, a função pode mudar de sinal em se ou .
0>′ )(xf ),( bax∈∀ ],[],[ baxxc ⊂∈ 21 0>′ )(cf
012 >− xx 0>′ )(cf 01212 >−′=− )()()()( xxcfxfxf 1x
],[ bax ∈2 )()( 12 xfxf > 1x ],[ bax ∈2 f
],[ ba
1x ],[ bax ∈2 21 xx < f
],[ 21 xx ],[ 21 xxc∈ )()()()( 1212 xxcfxfxf −′=− 0=′ )(xf
),( bax∈∀ ],[],[ baxxc ⊂∈ 21 0=′ )(cf 01212 =−′=− )()()()( xxcfxfxf
)()( 12 xfxf = ],[, baxx ∈∀ 21
),( 21 xx 0=′ )(xf ),( 21 xxx∈∀f f
],[ 21 xx),( 32 xx ),( 54 xx ),( 65 xx 0>′ )(xf
ff
],[ 32 xx ],[ 54 xx ],[ 65 xx),( 43 xx 0<′ )(xf ),( 43 xxx∈∀
ff ],[ 43 xx
f f ′
f
f ′ ax = 0=′ )(af )(/ af ′∃
130
Observação 2: Utilizaremos os símbolos e para representar
crescimento e decrescimento de , respectivamente. Daí,
• crescente ( )
• é decrescente.( )
Exemplo 1: Para determine os valores de nos quais a função
é crescente ou decrescente vamos estudar o sinal da função
. Como é derivável em todos os pontos,
temos que poderá mudar de sinal apenas nos pontos onde , ou seja,
ou . Para ou temos que e, portanto, pelo
teste da 1ª derivada, é crescente nos intervalos e . Para
temos que e, portanto, é decrescente no intervalo
. Para simplificar, é comum utilizarmos o diagrama abaixo para representar
a relação do sinal de com o estudo de crescimento/decrescimento de .
Figura 5: Diagrama da relação de com a
Exemplo 2: Para determine os valores de nos quais a função é
crescente ou decrescente vamos estudar o sinal da função . Como
não possui raízes reais temos que poderá mudar de sinal
apenas nos pontos onde não é derivável, isto é, nos pontos ou . Mas,
para ou ou temos que e, portanto, pelo teste
da 1ª derivada, é decrescente nos intervalos , e . O
diagrama abaixo representa a relação do sinal de com o estudo de
crescimento/decrescimento de .
Figura 6: Diagrama da relação de com a
↑f ↓f
f
0>′ )(xf )(+ ⇒ f ↑f0<′ )(xf )(− ⇒ f ↓f
x
1823 −−+= xxxxf )(
f ′
−+=−+=′
3423823 2 xxxxxf )()(
f ′ 0=′ )(xf
2−=x 34=x 2−<x 34>x )()( +>′ 0xf
f ( ]2−∞− , [ )+∞,34
342 <<− x 0<′ )(xf f
[ ]342,−
f ′ f
f ′ f
x4
32 −
=x
xxf )(
f ′
22
2
443
)()()(
−+−
=′x
xxf f ′
f 2−=x 2=x
2−<x 22 <<− x 2>x )()( −<′ 0xf
f ( )2−∞− , ( )22,− ( )+∞,2
f ′
f
f ′ f
131
Uma conseqüência importante do teorema 3 é que se duas funções e tem
a mesma derivada em um intervalo aberto então e difere por uma
constante. Vamos formalizar este resultado.
Consequência do Teorema 3: Sejam e funções contínuas em e
derivável em . Suponha que . Então existe um número
tal que .
De fato, seja .
Como e são funções contínuas em e derivável em temos que
é contínua em e derivável em . Por outro lado, como
temos que , ou seja, é constante
em . Daí existe um tal que , ou seja,
.
4.4 Máximos e Mínimos
Definição 1: Dizemos que uma função
• tem um valor máximo relativo (ou máximo local) em se existe um intervalo aberto
, contendo , tal que para todo em . Neste caso, dizemos que
é um valor máximo relativo (ou, simplesmente, máximo relativo) de .
• tem um valor mínimo relativo (ou mínimo local) em se existe um intervalo aberto
, contendo , tal que para todo em . Neste caso, dizemos que
é um valor mínimo relativo (ou, simplesmente, mínimo relativo) de .
f g),( ba f g
f g ],[ ba
),( ba ( )baxxgxf ,),()( ∈∀′=′
c [ ]baxcxgxf ,,)()( ∈∀+=
[ ]baxxgxfxH ,),()()( ∈∀−=
f g ],[ ba ),( ba
gfH −= ],[ ba ),( ba
)()( xgxf ′=′ [ ]baxxgxfxH ,,)()()( ∈∀=′−′=′ 0 H],[ ba RIc∈ [ ]baxcxgxfxH ,,)()()( ∈∀=−=
[ ]baxcxgxf ,,)()( ∈∀+=
f
c
)( fDomI ⊂ c )()( xfcf ≥ x I)(cf f
c
)( fDomI ⊂ c )()( xfcf ≤ x I)(cf f
132
Figura 1: Representação geométrica de máximos e mínimos relativos de
Observando a figura 1 temos que existe um intervalo aberto , contendo ,
por exemplo, , tal que o valor .
• Isto significa que é um mínimo relativo de . Analogamente, existe um
intervalo aberto , contendo , por exemplo, , tal que o valor .
• Isto significa que é um mínimo relativo de . Também existe um
intervalo aberto , contendo , por exemplo, , tal que o valor .
• Isto significa que é um máximo relativo de . De forma análoga, temos
que é também um máximo relativo de .
Por outro lado, no intervalo temos que e
, ou seja, o valor é o menor valor de em
e é o maior valor de em . Neste caso, dizemos que, em
, é o mínimo absoluto de e é o máximo absoluto de .
Definição 2: Seja uma função definida em um intervalo tal que , )( fDomI ⊂ Dizemos que :
• tem um valor máximo absoluto (ou máximo global) em se para todo
. Neste caso, é o valor máximo absoluto (ou máximo global) de em .
• tem um valor mínimo absoluto (ou mínimo global) em se para todo
. Neste caso, é o valor mínimo absoluto (ou mínimo global) de em .
f
I 2x
),( 31 xxI = ( )312 xxIxxfxf ,),()( =∈∀≤
)( 2xf fI 4x ),( 71 xxI =
( )714 xxIxxfxf ,),()( =∈∀≤)( 4xf f
I 3x ),( 42 xxI =( )423 xxIxxfxf ,),()( =∈∀≥
)( 3xf f)( 6xf f
[ ]71 xxI ,= [ ]714 xxIxxfxf ,),()( =∈∀≤
[ ]716 xxIxxfxf ,),()( =∈∀≥ )( 4xf f
[ ]71 xxI ,= )( 6xf f [ ]71 xxI ,=
[ ]71 xxI ,= )( 4xf f )( 6xf f
f I Ic∈
fc )()( xfcf ≥
Ix∈ )(cf f Ic )()( xfcf ≤
Ix∈ )(cf f I
133
Definição 3: Os máximos ou mínimos relativos de são chamados extremos
relativos de . Os máximos ou mínimos absolutos de são chamados extremos
absolutos de .
Observação 1: Analisando a figura 1 podemos observar que se é um
extremo relativo de então ou , como veremos no próximo
teorema.
Teorema 1 (Teorema de Fermat): Se tem um máximo ou mínimo relativo em
e se existe, então .
Demonstração: Suponhamos que tem um mínimo relativo em . Assim, existe um intervalo aberto , contendo , tal que para todo , ou equivalentemente, para todo . Se existe, então existe
.
Logo, se e , então . Assim,
.
Por outro lado, se e , então . Assim,
.
Portanto, .
O caso de máximo relativo pode ser demonstrado de forma análogo.
Observação 2: A interpretação geométrica do Teorema de Fermat é que se
tem um extremo relativo em e se existe, então o gráfico de tem uma
reta tangente horizontal no ponto .
ff f
f
)(cf
f 0=′ )(cf )(/ cf ′∃
f c
)(cf ′ 0=′ )(cf
f cI c )()( xfcf ≤ Ix∈
0≥− )()( cfxf Ix∈ )(cf ′
)()()(lim)()(lim)()(lim cfcx
cfxfcx
cfxfcx
cfxfcxcxcx
′=−−
=−−
=−−
+− →→→
Ix∈ −→ cx 0<− cx
000 ≤′⇒≤−−
⇒≤−−
−→)()()(lim)()( cf
cxcfxf
cxcfxf
cx
Ix∈ +→ cx 0>− cx
000 ≥′⇒≥−−
⇒≥−−
+→)()()(lim)()( cf
cxcfxf
cxcfxf
cx
0=′ )(cf
f
c )(cf ′ f
))(,( cfc
134
Observação 3: A recíproca do Teorema de Fermat não é verdadeira, isto é,
não implica necessariamente que tem um extremo relativo em . Este
fato pode ser visualizado na figura 1 acima tomando , pois e, no
entanto, não é um extremo relativo de . Daí, se é uma função derivável,
os únicos valores possíveis de para os quais possa ter um extremo relativo serão
aqueles que .
Observação 4: Notemos também que uma função pode ter um extremo
relativo em e pode não existir. Este fato pode ser visualizado também na
figura 1 acima tomando , ou , pois e e, no entanto,
e são extremos relativos de .
Definição 4 (ponto crítico): Um número é chamado ponto crítico de uma função
quando e ou não existe.
Conclusão: Se é uma função definida em , os únicos números possíveis
de para os quais possa ter um extremo relativo são aqueles que ou
não existe. Isto é, tem um extremo relativo em então é um ponto
crítico de .
Exemplo 1: Para encontrar os pontos críticos da função
devemos inicialmente observar que . Agora, como
temos que os pontos nos quais não é derivável são e . Além disso,
.
Como os números , e pertencem ao , segue que
estes são os pontos críticos de .
Exemplo 2: Para encontrar os pontos críticos da função
devemos inicialmente observar que
0=′ )(cf f c
5xc = 05 =′ )(cf
)(cf f fx f
0=′ )(xf
f
c )(cf ′
2xc = 6xc = )(/ 2xf ′∃ )(/ 6xf ′∃
)( 2xf ′ )( 6xf ′ f
c
f )( fDomc∈ 0=′ )(cf )(cf ′
f c
c f 0=′ )(cf
)(cf ′ f c c
f
( )322 9−= xxf )(
RIfDom =)(
( )3 2
31
2
93429
32
−⋅=⋅−=′
−
x
xxxxf )(
f 3−=x 3=x
00 =⇔=′ xxf )(
3−=x 3=x 0=x )( fDom
f
92 −=
xxxf )(
135
.
Agora, como
temos que os pontos nos quais não é derivável são e , mas estes não
pertencem ao domínio de e, portanto, não são pontos críticos. Além disso,
, . Portanto, não tem pontos críticos. Como
conseqüência, não terá também extremos relativos.
Conforme vimos, os únicos números possíveis de para os quais possa ter
um extremo relativo são os pontos críticos de . Porém, se é ponto crítico de ,
não podemos afirmar que tem um extremo relativo em . O teorema a seguir
classificará estes pontos críticos para os quais terá um extremo relativo.
Teorema 2 (Teste da 1ª derivada para extremos relativos): Seja uma função
contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , exceto
possivelmente num ponto crítico de .
(i) Se , e , então tem um máximo relativo em
(ii) Se , e , então tem um mínimo relativo em .
(iii) Se possui o mesmo sinal em ambos os lados de , então não tem um
extremo relativo em .
Demonstração: (i) Se , temos, pelo teste da 1ª derivada para
crescimento/decrescimento, que é crescente em . Daí, sendo temos que .
(ii) Se , temos, pelo Teste da 1ª derivada para crescimento/decrescimento, que é decrescente em . Daí, sendo
temos que .
Daí, para todo , ou seja, tem um máximo relativo em .
(iii) Deixamos como exercícios a parte
{ } { } { }333e3092 ,;;)( −−=≠−≠∈=≠−∈= RIxxRIxxRIxfDom
( ) ( )22
2
22
2
9
9
9
29
−
+−=
−
⋅−−=′
x
x
x
xxxxf )()()(
f 3−=x 3=x
f
0≠′ )(xf )( fDomx∈∀92 −
=x
xxf )(
c f
f c f
f c
f
f
],[ ba ),( ba
),( bac∈ f
0>′ )(xf cx <∀ 0<′ )(xf cx >∀ f c
0<′ )(xf cx <∀ 0>′ )(xf cx >∀ f c
)(xf ′ c fc
0>′ )(xf cx <∀f ],[ ca cx <
)()( cfxf ≤ ],[ cax∈∀0<′ )(xf cx >∀
f ],[ cacx > )()( cfxf ≤ ],[ bcx∈∀
)()( cfxf ≤ [ ]bax ,∈ f c
136
Diretrizes para Determinar os Extremos Relativos de uma Função :
• Passo 1: Encontrar ;
• Passo 2: Encontrar ; • Passo 3: Encontrar os pontos críticos de ;
• Passo 4: Estudar o sinal de ; • Passo 5: Aplicar o Teste da derivada primeira para determinação de extremos.
Exemplo 3: Para encontrar os extremos relativos da função
vimos, pelo exemplo1, que , e os pontos críticos de
são , e .
O diagrama abaixo representa a relação do sinal de com o estudo de
crescimento/decrescimento de .
Figura 2: Diagrama da relação de com a
Aplicando o Teste da 1ª derivada para extremos relativos temos que tem um
mínimo relativo em e em e um máximo relativo em , ou seja,
é um valor mínimo relativo e é um valor máximo
relativo de .
Agora que já sabemos encontrar os extremos relativos de uma função veremos como determinar os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado.
Exemplo 4: Vejamos os extremos absolutos, se existirem de algumas funções:
f
)( fDom)(xf ′
f)(xf ′
( )322 9−= xxf )(
RIfDom =)(3 2 93
4
−⋅=′
x
xxf )(
f 3−=x 3=x 0=x
f ′
f
f ′ f
f
3−=x 3=x 0=x
033 ==− )()( ff 3 330 ⋅=)(f
f
137
em é o valor mínimo absoluto de em e não existe valor máximo absoluto de
em .
2)( xxf −= em é o valor máximo absoluto de em e não existe valor mínimo absoluto de
em . Observe que é também valor máximo relativo de em .
em
é o valor máximo absoluto de em e é o valor mínimo absoluto de em . Observe que
não existe e é também valor máximo relativo de em
, 0≠x , em ]2,2[− Não existe valor máximo absoluto e nem mínimo absoluto de em ]2,2[− .
3xxf =)( ),[ 11−)( 1−f f),[ 11−
f ),[ 11−
],( 12−)(0f f],( 12−
f ],( 12− )(0ff ],( 12−
≤<+−≤≤−
=32se14521se2
xxxxxf )(
],[ 31−
42 =)(f f],[ 31− 13 −=)(f
f ],[ 31−)(2f ′ 42 =)(f
f ],[ 31−
xxf 1=)(
f
138
Nestes exemplos podemos observar que se uma função não for contínua e/ou o intervalo não for fechado, não temos garantia da existência dos extremos absolutos. Porém, garantindo que a função é contínua e o intervalo é fechado sempre haverá máximo e mínimo absoluto e estes ocorrerão nas extremidades do intervalo ou em um ponto crítico no interior do intervalo. E quando um extremo absoluto ocorrer no interior ele também será um extremo relativo.
Teorema 3 (Teorema do Valor Extremo): Se é uma função contínua no
intervalo fechado , então tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo
absoluto em .
A demonstração do teorema do valor extremo é mais sofisticada e, portanto, não iremos demonstrar.
Diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado :
• Passo 1: Encontre os pontos críticos de em ;
• Passo 2: Calcule o valor de em cada ponto crítico encontrado no passo 1; • Passo 3: Encontre e ; • Passo 4: Compare os valores encontrados no passo 2 e no passo 3. O maior dos valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto de em .
• Exemplo 5: Encontre os extremos absolutos de ,
.
Solução: Como é um função contínua no intervalo fechado temos,
pelo teorema do valor extremo, que tem um valor máximo absoluto e um valor
mínimo absoluto em . Vamos seguir as diretrizes acima para determinar os
extremos absolutos de . Vejamos:
Daí, .
Portanto, os pontos críticos de no intervalo são , e .
Mas, ,
f
],[ ba f
],[ ba
f
],[ ba
f ],[ baf
)(af )(bf
f ],[ ba234 18163 xxxxf +−=)(
41 ≤≤− x
f ],[ 41−
f
],[ 41−
f
)()( 3412364812 223 +−=+−=′ xxxxxxxf
3 1 003412364812 ouou223 ===⇔=+−=+−=′ xxxxxxxxxxf )()(
f ],[ 41− 0=x 1=x 3=x
00 =)(f
139
Figura 3: Gráfico de em
4.5 Concavidade e Pontos de Inflexão Agora vamos obter algumas informações dadas pela derivada segunda. Vamos
mostrar que o sinal da derivada segunda dará informações úteis quanto à forma do gráfico de uma função. Isto nos auxiliará muito no esboço do seu gráfico. Além disso, fornecerá também uma outra maneira de caracterizar máximos e mínimos relativos.
Definição 1 (Concavidade): Seja uma função derivável em um intervalo aberto
.
• Quando as retas tangentes ao gráfico de no ponto , , estiver
sempre abaixo do gráfico dizemos que o gráfico de tem concavidade voltada para cima
(ou côncavo para cima) em . A concavidade para cima será indicada por . • Quando as retas tangentes ao gráfico de no ponto , , estiver
sempre acima do gráfico dizemos que o gráfico de tem concavidade voltada para baixo
(ou côncavo para baixo) em . A concavidade para baixo será indicada por .
234 18163 xxxxf +−=)( ],[ 41−
f
If ))(,( xfx Ix∈∀
f f
I ∪f ))(,( xfx Ix∈∀
f f
I ∩
140
Figura 1: Representação gráfica da concavidade
Observação 1: Observe que, quando a inclinação da reta tangente ao gráfico
de no ponto passa de negativa (inclinada para à esquerda) para positiva
(inclinada para à direira), à medida que cresce então o gráfico de tem
concavidade voltada para cima em . Isto significa que, se é crescente em
então o gráfico de tem concavidade voltada para cima em . Analogamente,
quando a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto passa de
positiva para negativa, à medida que cresce então o gráfico de tem
concavidade voltada para baixo em . Isto significa que, se é decrescente em
então tem concavidade voltada pra baixo em .
A observação 1 sugere o seguinte teorema:
f ))(,( xfx
Ix∈ f
I f ′ I
f If ))(,( xfx
Ix∈ f
I f ′ I
f I
141
Teorema 2 (Teste da 2ª derivada para Concavidade): Seja uma função
contínua no intervalo fechado e derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto
, exceto possivelmente num ponto crítico de .
• Se , , então o gráfico de tem concavidade voltada pra cima em
.
• Se , , então o gráfico de tem concavidade voltada pra baixo em
.
Demonstração: Como , , então, pelo teste da 1ª
derivada para crescimento/decrescimento aplicado à função , temos que é
crescente em . Daí, o gráfico de tem concavidade voltada para cima em
. É análoga a parte (i).
Observação 1: O teorema 2 diz que podemos obter informações sobre a
concavidade de estudando o sinal da função (função derivada segunda de ).
Definição 1 (Ponto de Inflexão): Um ponto no gráfico de é chamado
ponto de inflexão de se é contínua em e existe um intervalo aberto
contendo tal que uma das seguintes situações ocorra: • é côncavo para cima em e côncavo para baixo em .
• é côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
ou seja, um ponto do gráfico de no qual muda o sentido da concavidade.
Exemplo 1:
f],[ ba
),( ba ),( bac∈ f
0>′′ )(xf ),( bax∈∀ f
),( ba
0<′′ )(xf ),( bax∈∀ f
),( ba
[ ] 0>′′=′′ )()( xfxf ),( bax∈∀
f ′ f ′
),( ba f
),( ba
f f ′′ f
))(,( cfcP f
f f c ),( ba
cf ),( ca ),( bc
f ),( ca ),( bc
f
142
Figura 2: Representação gráfica de pontos de inflexão
Os pontos , , , e são pontos de
inflexão. O teorema a seguir fornece um modo de obter os possíveis números tais que possa ser um ponto de inflexão.
Teorema 3: Se a função tem um ponto de inflexão em então ou
ou não existe.
Diretrizes para Determinar os Pontos de Inflexão de uma Função :
• Passo 1: Encontrar ; • Passo 2: Encontrar ;
• Passo 3: Encontrar os números tais que ou não existe; • Passo 4: Estudar o sinal de e aplicar o teste da 2ª derivada para concavidade.
Verifique se muda de sinal nos pontos encontrados no passo 3. Se muda de sinal em e então é um ponto de inflexão de .
Exemplo 2: Considere a função . Determine:
• os pontos críticos de ;
• os intervalos onde é crescente ou decrescente; • os extremos relativos de , se existirem; • os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou côncavo para baixo;
• os pontos de inflexão de , se existirem.
))(,( 22 xfx ))(,( afa ))(,( bfb ))(,( cfc ))(,( 66 xfx
c))(,( cfc
f ))(,( cfc
0=′′ )(cf )(cf ′′
f
)( fDom)(xf ′′
x 0=′′ )(xf )(xf ′′)(xf ′′
)(xf ′′ )(xf ′′cx = )( fDomc∈ ))(,( cfc f
22
2
4 11x
xx
xxf +=+
=)(
ff
ff
f
143
Solução: , .
Observe que não existe, mas como temos que não é ponto
crítico de . Daí, e são os únicos pontos críticos de .
Façamos o diagrama para estudar o sinal de
.
Figura 3: Diagrama da relação de com a
Portanto, é decrescente nos intervalos , e crescente nos
intervalos , .
Pelo teste da derivada primeira para determinação de extremos, temos que
tem mínimo relativo em e também em (ou, equivalentemente, é um valor mínimo relativo de . Note que não tem um máximo
relativo em , pois este não é ponto crítico de .
Temos que . Observe que não existe, mas
.
Façamos o diagrama para estudar o sinal de :
Figura 6: Diagrama da relação de com a .
nos intervalos , . Portanto, pelo teste da 2ª derivada
para concavidade, temos que o gráfico de tem concavidade voltada para cima nos
intervalos , . não tem ponto de inflexão.
{ }0−= RIfDom )( 111022 433 ±=⇔=⇔=⇔=−=′ xx
xx
xxxf )(
)(0f ′ )( fDom∉0 0=x
f 1=x 1−=x f
3
22
3
4
31121222
xxx
xx
xxxf ))(()()( +−
=−
=−=′
f ′ f
f ( ]1−∞− , ( ]10,
[ )01,− [ )+∞,1
f
1−=x 1=x211 ==− )()( ff f f
0=x f
4
4
46262
xx
xxf +
=+=′′ )( )(0f ′′
)( fDom∉0
)(xf ′′
f ′′ f
0>′′ )(xf ( )0,∞− ( )+∞,0
f
( )0,∞− ( )+∞,0 f
144
Teorema 2 (Teste da 2ª derivada para extremos relativos): Seja um ponto
crítico de no qual e é derivável em um intervalo aberto contendo
. Então, se existe e
• se então tem um mínimo relativo em .
• se então tem um máximo relativo em .
Exemplo 3: Encontre os extremos relativos de .
Solução: Temos que .
Daí,
(único ponto crítico de
Como segue que
.
Portanto, pelo teste da 2ª derivada, temos que tem um mínimo relativo em
, ou equivalentemente, é o único valor mínimo relativo de .
Experimente aplicar o teste da 1ª derivada, será bem mais trabalhoso!
Observação 2: O teste da 2ª derivada para extremos relativos é, às vezes,
mais simples de ser aplicado do que o teste da 1ª derivada, pois não precisamos analisar o sinal da 1ª derivada e nem da 2ª derivada, basta apenas saber o sinal da derivada 2ª aplicada no ponto crítico. Porém, se é um ponto crítico de e
cf 0=′ )(cf f ′ Ic )(cf ′′
0>′′ )(cf f c
0<′′ )(cf f c
222000 xx
xf π+=)(
xx
xf π420002 +
−=′ )(
332
50020004042000π
ππ =⇒=⇒=+−
=′ xxxx
xf )(
)f
π440003 +=′′
xxf )(
0124500
40004500
40005003
3
3 >=+⋅=+
=
′′ ππππ
π
πf
f
3 500π
=x
3 500
πf f
c f
145
ou não existe, o teste falha e portanto devemos usar o teste da 1ª
derivada. Vejamos dois exemplos para mostrar que o teste falha.
Exemplo 4: Considere a função . Temos que
onto crítico de ). Como e, daí, ,
não podemos aplicar o teste da 2ª derivada para extremos relativos. Observe que
não tem máximo nem mínimo relativo. Esta conclusão é imediata pelo
teste da 1ª derivada.
Figura 3: Gráfico de
Exemplo 5: Considere a função . Temos que
(ponto crítico de ). Como e, daí, ,
não podemos aplicar o teste da 2ª derivada para extremos relativos. Observe que
tem um mínimo relativo em . Esta conclusão é imediata pelo teste
da 1ª derivada.
Figura 4: Gráfico de
0=′′ )(cf )(cf ′′
32xxf =)(
006 2 =⇔==′ xxxf )( f xxf 12=′′ )( 00 =′′ )(f
32xxf =)(
32xxf =)(
42xxf =)(
008 3 =⇔==′ xxxf )( f 224xxf =′′ )( 00 =′′ )(f
42xxf =)( 0=x
42xxf =)(
146
4.6 Assíntotas Horizontais e Verticais Inicialmente, vamos verificar o que pode ocorrer com o gráfico de algumas
funções:
(i) (ii)
(iii) (iv)
Figura 1: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de
Definição 1 (assíntota vertical): Dizemos que a reta é uma assíntota vertical
do gráfico de uma função se pelo menos uma das seguintes afirmações for
verdadeira:
• ∞+=
+→)(lim xf
ax
• ∞−=
+→)(lim xf
ax
• ∞+=
−→)(lim xf
ax
• ∞−=
−→)(lim xf
ax
∞+=+→
)(lim xfax
∞−=+→
)(lim xfax
∞+=−→
)(lim xfax
∞−=−→
)(lim xfax
ax = f
ax =f
147
Observação 1: Devemos ter cuidado em diferenciar o número com a reta
. Observe que uma assíntota vertical é uma reta vertical e sabemos que equação de reta vertical é da forma .
Exemplo 1: A reta é uma assíntota vertical do gráfico
pois .
Figura 2: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de
Observação 2: Observe que no exemplo 1 também ocorre .
Mas, basta que ocorra uma das condições listadas na definição 1 para concluirmos que, neste caso, é uma assíntota vertical do gráfico de .
Observação 3: Lembramos que se uma função é contínua em então
existem , , e valem . Para que a reta possa
ser uma assíntota vertical do gráfico de um dos limites laterais da definição 1 não
poderá existir e terá que ser representado pelo símbolo de ou . Daí, se a reta é uma assíntota vertical do gráfico de então é descontínua em .
Porém, se é descontínua em não podemos afirmar que é uma assíntota
vertical do gráfico de . Por exemplo, a função é descontínua em
. Porém não é uma assíntota vertical do gráfico de , pois
aax =
ax =
1−=x 211
)()(
+=
xxf
∞+=++−→ 21 11
)(lim
xx
1−=x 21
1
)()(
+=
xxf
∞+=+−−→ 211
1 )(lim
xx
1−=x f
f a
)(lim xfax→
)(lim xfax +→
)(lim xfax −→
)(af ax =
f
∞+ ∞−ax = f f a
f a ax =
f42
2 −
+=
xxxf )(
2− 2−=x42
2 −
+=
xxxf )(
148
(o limite existe).
Também pode ocorrer nos gráficos de funções a seguinte situação:
(i) (ii)
Figura 3: A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de
Definição 2 (assíntota horizontal): Dizemos que a reta é uma assíntota
horizontal do gráfico de uma função se pelo menos uma das afirmações for
verdadeira:
•
•
Exemplo 2: As retas e são assíntotas horizontais do gráfico
pois
e
41
21
222
42
22222−=
−=
+−+
=−
+=
−→−→−→−→ xxxx
xxxf
xxxxlim
))((limlim)(lim
Lxfx
=∞−→
)(lim Lxfx
=∞+→
)(lim
Ly = f
Ly =
f
Lxfx
=∞−→
)(lim
Lxfx
=∞+→
)(lim
2=y 2−=y
34
42 +
=x
xxf )(
2
431
2
4312
44
312
4
4314
4
34
4
22
222
2
−=
+
−=
+⋅
−=
+⋅
=
+⋅
=+
=
∞−→∞−→
∞−→∞−→∞−→∞−→
xxx
xx
x
x
xx
x
x
xxf
xx
xxxx
limlim
limlimlim)(lim
149
Figura 4: As retas e são assíntotas horizontais do gráfico de
4.7 Esboço de Gráficos O processo de esboçar, no plano , o gráfico de uma função contínua ligando
um número finito de pontos do seu gráfico não revela informações qualitativas, como os extremos relativos, a concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas, etc. Nosso objetivo agora é unir todas estas informações dadas até o momento para esboçar o gráfico de uma função.
Utilizaremos a terminologia “esboço completo do gráfico de uma função” ao esboço do gráfico de uma função com todas as informações qualitativas analisadas, inclusive as assíntotas, se existirem.
Exemplo1: Faça um esboço completo do gráfico da função
.
2
431
2
4312
44
312
4
4314
4
34
4
22
222
2
=
+
=
+⋅
=
+⋅
=
+⋅
=+
=
∞+→∞+→
∞+→∞+→∞+→∞+→
xxx
xx
x
x
xx
x
x
xxf
xx
xxxx
limlim
limlimlim)(lim
2−=y 2=y34
42 +
=x
xxf )(
xy
22
2
4 11x
xx
xxf +=+
=)(
150
Solução: Já vimos no exemplo 2 da seção 4.5 que não existe,
é um valor mínimo relativo de e que não tem um máximo
relativo e nem pontos de inflexão. Além disso, as informações sobre o crescimento/decrescimento e a concavidade são resumidas na tabela a seguir.
Resumo das Informações sobre a função
intervalos crescimento/
decrescimento concavidade
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Analisamos agora as assíntotas:
Como
e
não existem assíntotas horizontais.
Quanto às assíntotas verticais devemos analisar apenas se a reta é uma assíntota vertical já que o único ponto de descontinuidade de é zero. Vejamos:
é uma assíntota vertical do gráfico de .
Agora, juntando todas as informações acima, podemos obter o esboço de gráfico:
)(0f ′
211 ==− )()( ff f f
f
1−<x ↓ ∪
01 <<− x ↑ ∪
10 << x ↓ ∪
1>x ↑ ∪
∞+=
+=
+=
+=
∞−→∞−→∞−→∞−→ 42
2
44
2
4 11
111
xx
xx
x
xxxf
xxxxlimlimlim)(lim
∞+=
+=
+=
+=
∞+→∞+→∞+→∞+→ 42
2
44
2
4 11
111
xx
xx
x
xxxf
xxxxlimlimlim)(lim
0=xf
012
4
00=⇒∞+=
+=
−− →→x
xxxf
xxlim)(lim f
151
Figura 4: Esboço do gráfico de 2
4 1
x
xxf
+=)(
4.8 Problemas de Otimização Os problemas aplicados de otimização podem ser classificados de duas formas:
• Problemas que se reduzem a maximizar ou minimizar uma função contínua definida em um intervalo fechado . Neste caso, usamos as diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma função contínua em .
• Problemas que se reduzem a maximizar ou minimizar uma função contínua em um intervalo que não seja da forma . Neste caso usamos o teste da 1ª ou da 2ª derivada para extremos relativos e, se necessário, o esboço do gráfico da função.
Diretrizes para resolução de problemas de otimização: • Passo 1: Leia o problema atentamente; • Passo 2: Faça uma figura apropriada e identifique as variáveis a serem utilizadas; • Passo 3: Expresse a variável a ser maximizada ou minimizada como função de uma
variável independente; • Passo 4:.Determine o domínio da função encontrada no passo 3, levando em
consideração as restrições física do problemas; • Passo 5:.Use as técnicas do cálculo para obter, no domínio, os extremos absolutos da
função; • Passo 6:.Interprete a solução e responda a questão proposta no problema.
Exemplo 1 [Fonte: Exame Nacional de Cursos/Provão 2001] Duas cidades,
e , estão situadas em lados opostos de um rio, que tem um curso retilíneo
],[ ba],[ ba
],[ ba
X Y
152
nesse trecho, conforme a figura. As duas cidades vão ser ligadas por uma ponte AB, perpendicular ao rio, de modo que a soma das distâncias seja a menor possível. Onde deverá ser localizada essa ponte?
Solução: Para modelar o problema vamos identificar as variáveis a serem
utilizadas. Denotemos por a distância da cidade à margem do rio, por a distância da cidade à outra margem do rio, por l a largura do rio, por a
projeção de à reta, paralela ao rio, passando por , por a distância de a e, finalmente, por a distância da projeção de à margem do rio ao ponto ,
conforme ilustra a figura 1. Vale observar todas as variáveis envolvidas são não negativas.
Figura 1: Modelagem do problema
Para minimizar observamos que
, =AB e .
Assim, podemos definir a função
,
Como é uma função contínua definida no intervalo fechado temos, pelo
Teorema do Valor Extremo, que tem máximo e mínimo absoluto em . Assim,
para minimizar a função vamos utilizar as diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma função contínua em intervalo fechado. Vejamos:
BYABXA ++
a X bY P
X Y d PY x X A
BYABXA ++
22 xaXA += 22 )( xdbBY −+=
2222 )()( xdbxaBYABXAxL −++++=++= ],[ dx 0∈
L ],[ d0
L ],[ d0
L
153
e
[ ] ( )
badax
xdaxbxdaxb
xdaxbxdxxdaxdxxb
xaxdxdbxxaxdxdbx
xaxdxdbxxdb
xd
xa
xxL
+=⇔
−=⇔−=⇔
−=⇔−+−=−+⇔
+−=−+⇔
+−=
−+⇔
+−=−+⇔=−+
−−+
+⇔=′
)()(
)()()()(
)()()()(
)()(0)(
)1)((0)(
2222
222222222222
2222222
222
22
22222222
Denotaremos por este ponto. Vamos mostrar agora que . De
fato, é claro que . Por outro lado,
.
Daí, é o único ponto crítico de em . Note que
, e .
Deixamos como exercícios mostrar que e . Com isso,
podemos concluir que é o valor mínimo absoluto de em , ou seja, a
ponte deverá estar localizada a uma distância da projeção do ponto à
margem do rio ao ponto , conforme ilustra a figura 1.
22222222
1
2
12
2
2
)(
))((
)(
))(()(xdb
xd
xa
x
xdb
xd
xa
xxL−+
−−+
+=
−+
−−+
+=′
badaxo +
= ),( dxo 0∈
0>ox
dxdba
addbaadbaab o <⇒<+
⇒+<⇒+<⇒< )(0
badaxo +
= L ),( d0
+++= 22 dbaxL o )()( +++= adbL 220)( +++= bdadL 22)(
)()( 0LxL o < )()( dLxL o <
)( oxL L ],[ d0
bada+
X
A
154
CAPÍTULO 5. INTEGRAÇÃO Neste capítulo vamos introduzir o conceito de integral indefinida. Este conceito
é de grande importância para definirmos o conceito de Integral Definida que terá um papel fundamental no cálculo de áreas e volumes.
5.1 Integral Indefinida Definição 1: Dizemos que uma função é uma primitiva (ou antiderivada) de
uma função , num intervalo aberto se, e somente se, para todo
em .
Observação 1: Na definição de primitiva de uma função, quando não
explicitarmos o intervalo , admitiremos que este seja o domínio de .
Exemplo 1: Vejamos alguns exemplos:
(i) Se então uma primitiva de é dada por , uma vez que
. Note que e, portanto assumimos que
,este fato vai se repetir com muita frequência.
(ii) Se então uma outra primitiva de é dada por , uma vez
que .
(iii) Se então uma primitiva de é dada por , uma vez
que .
(iv) Se então uma primitiva de é dada por , uma vez que
.
Neste momento o leitor astuto já deve ter observado que se adicionarmos qualquer constante a uma determinada primitiva de uma função ainda teremos uma primitiva desta mesma função. De fato, é o que veremos no teorema que se segue.
Teorema 1: Se F é uma primitiva de f em um intervalo aberto I , então a função
G , definida por CxFxG += )()( , onde C é uma constante qualquer, também é uma primitiva de f em I .
Ff I )()( xfxF =′ x
I
I f
xxf 2)( = f 2)( xxF =
RIxxfxF ∈∀=′ ,)()( RIfD =)( )( fDI =
xxf 2)( = f 1)( 2 += xxFRIxxfxF ∈∀=′ ,)()(
xxf cos)( = f xxF sen)( =
RIxxfxF ∈∀=′ ,)()(
xxf
21)( = f xxF =)(
RIxxfxF ∈∀=′ ,)()(
155
Demonstração: Com efeito, dado uma constante qualquer, se é uma
primitiva de em um intervalo aberto , então sabemos pela definição de
primitiva que . Assim, ,
ou seja, também é primitiva de em . Isto conclui a demonstração.
Observação 2: Uma questão que precisa ser respondida é a seguinte: Será que
toda primitiva de uma função é da forma , onde é uma
primitiva qualquer de e uma constante qualquer? Isto é, digamos, por exemplo,
que tenhamos , sabemos que , onde é uma constante
qualquer, é uma primitiva de . A questão a ser respondida é a seguinte: Não
haveria outra função , bem diferente de , tal que . Para respondermos a
esta questão precisaremos da conseqüência do teorema 3 vista na seção 4.3. Para comodidade do leitor, vamos repetir o enunciado e demonstração desta conseqüência no teorema que segue.
Teorema 2: Seja uma função derivável em um intervalo aberto , tal que
, então é constante em .
Demonstração: Consideremos tais que . Como é uma função
derivável em , em particular, é contínua em e derivável em , então
pelo Teorema do Valor Médio, existe , tal que
.
Como , então e assim teremos
,
ou seja, . Pela arbitrariedade de , resulta
que é constante em . Isto conclui a demonstração.
Agora estamos em condições de responder a questão proposta anteriormente. É o que fará o Teorema que se segue.
C Ff I
IxxfxF ∈∀=′ ,)()( ( ) IxxfxFCxFxG ∈∀=′=′+=′ ,)()()()(
CFG += f I
f CxFxG += )()( Ff C
xxf 2)( = CxxF += 2)( Cf
G F fG =′
f I
Ixxf ∈∀=′ ,0)( f I
Iyx ∈, yx < f
I f ],[ yx ),( yx),( yxz∈
xyxfyfzf
−−
=′ )()()(
Ixxf ∈∀=′ ,0)( 0)( =′ zf
0)()(=
−−
xyxfyf
0)()( =− xfyf ⇒ )()( xfyf = Iyx ∈,
f I
156
Teorema 3: Se e são primitivas de , em um intervalo aberto , então
existe uma constante tal que , ou equivalentemente,
.
Demonstração: Considere a função auxiliar definida por
. Note que por hipótese temos que .
Assim,
.
Portanto pelo Teorema 2, é constante em , ou seja, existe uma constante
tal que .
Isto conclui a demonstração.
Observação 3: Os teoremas enunciados e demonstrados nos dizem que se é
uma primitiva particular de em , então toda primitiva de em é da forma
, onde é uma constante qualquer. Assim o problema de determinarmos as primitivas de uma função se resume a determinar uma primitiva particular de
. Isto nos leva a seguinte definição.
Definição 2: Seja uma primitiva de , a integral indefinida de , denotada por
, é definida por .
Observação 4: De acordo com nossa definição o símbolo é chamado de
sinal de integração, de função integrando e integrando. O processo
pelo qual determinamos todas as primitivas de uma função é denominado integração. Pela definição de integral indefinida, concluímos resumidamente que:
(i)
(ii) representa a família de todas as primitivas de .
F G f IC IxCxFxG ∈∀+= ,)()(
IxCxFxG ∈∀=− ,)()(
RII →:ϕ
)()()( xFxGx −=ϕ IxxfxGxF ∈∀=′=′ ,)()()(
( ) IxxfxfxFxGxFxGx ∈∀=−=′−′=′−=′ ,0)()()()()()()(ϕ
ϕ IC IxCx ∈∀= ,)(ϕ ⇒ IxCxFxG ∈∀=− ,)()( ⇒ IxCxFxG ∈∀+= ,)()(
Ff I f I
CFG += Cf
f
F f f
∫ dxxf )( CxFdxxf +=∫ )()(
∫)(xf dxxf )(
CxFdxxf +=∫ )()( ⇔ fF =′
∫ dxxf )( f
157
Exemplo 2: Vejamos alguns exemplos, onde é uma constante qualquer.
(i)
(ii)
(iii)
5.2 Propriedades da Integral Indefinida Veremos agora algumas propriedades da integral indefinida que nos permitirá
obter integrais de funções mais complexas.
Teorema 1: Sejam funções e uma constante. Então:
P1) ∫ ∫= dxxfkdxxfk )()(
P2)
Demonstração: P1) Sejam uma primitiva de ( isto é, ) e uma constante. Então
é uma primitiva de , uma vez que . Desta forma, temos
que
∫ ∫=+=+= dxxfkCxFkCxFkdxxfk )())(()()( 1
P2) Sejam e primitivas de e , respectivamente. Então, é
uma primitiva de , uma vez que . Portanto,
∫ ∫∫
+=+++=
+++=++=+
dxxgdxxfCxGCxF
CCxGxFCxGxFdxxgxf
)()(])([])([
)]()([)]()([)]()([
21
21
A demonstração com o sinal de menos é idêntica e assim a demonstração está concluída.
C
Cxdxx +=∫ 22
Cxdxx +=∫ sencos
Cxdxx
+=∫ 21
RIRIIgf →⊆:, K
∫∫ ∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
F f fF =′ KKF Kf KfFKKF =′=′)(
F G f g GF +
gf + gfGFGF +=′+′=′+ )(
158
Observação 1: Para determinarmos a integral de uma função precisamos
conhecer muito bem o processo de derivação, pois o que pretendemos realizar agora é um processo inverso que exigirá muita intuição. A seguir exibiremos uma Tabela de Integrais Imediatas a qual usaremos com muita frequência.
Tabela de Integrais Imediatas
Nesta tabela admitiremos e constantes tais que e e
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Exemplo 1: Calcule as integrais indefinidas:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
a,α C 1−≠α 0>a1≠a
∫ += Cudu
∫ += Cuduu
ln1
∫ ++
=+
Cuduu1
1
α
αα
∫ += Ca
aduau
u
ln
∫ += Cedue uu
∫ +−= Cuduu cossen
∫ += Cuduu sencos
∫ += Cuduu tgsec2
∫ +−= Cuduu cotgcossec2
∫ +=⋅ Cuduuu sectgsec
∫ +−=⋅ Cuduuu cosseccotgcossec
Cuduu
+=−∫ arcsen
11
2
Cuduu
+=+∫ arctg
11
2
Cuduuu
+=−∫ arcsec
112
∫ += Cuduu coshsenh
∫ += Cuduu senhcosh
Cxxxdxx
dxxdxxdxx
xx +++=++=
++∫ ∫∫∫ 352424 2
2165
2165
Cxexdxxdxedxxxe xxx ++=⋅+=⋅+∫ ∫∫ sec4tgsec4)tgsec4(
Cxxdxx
dxx
dxxx
++=−
+=
−+ ∫∫∫ arcsenln2
1112
112
22
Cxx
dxxdxx
dxdxxxx
xx +++=+−
+=+− ∫∫∫∫ − tg15ln
5sec15)sec5( 22
22
159
Observação 2: Para calcularmos a integral de funções mais complicadas
necessitamos de técnicas mais apuradas, não podemos confiar apenas na Tabela de Integrais Imediatas e na nossa experiência em derivação. Nosso objetivo agora é desenvolver métodos de integração para facilitar o processo de integração.
5.3 Método da Substituição (ou Mudança de Variáveis) Este método se baseia em fazer uma mudança de variáveis com o objetivo de
simplificar a integral que desejamos calcular. Sejam uma função e uma
primitiva de , isto é, .
Suponhamos que seja uma função derivável tal que podemos considerar a
função composta . Nosso problema é calcular a integral .
Sabemos pela regra da cadeia que , no
entanto, como é uma primitiva de , então podemos escrever
. Desta forma mostramos que é uma primitiva de
. Assim, podemos escrever:
Na prática procedemos da seguinte forma:
Façamos a mudança de variável e note que
Exemplo 2: Calcule a integral .
Solução:
(*) Façamos a mudança de variável e note que
f Ff fF =′
g
gF ∫ ′⋅ dxxgxgf )())((
( )xgxgFxgFxgF ′⋅′=′=′ ))((]))(([)()(
F f
)())(()()( xgxgfxgF ′⋅=′ gF
)())(( xgxgf ′⋅ CxgFdxxgxgf +=′⋅∫ ))(()())((
CxgFCuFduufdxxgxgf +=+==′⋅ ∫∫ ))(()()()())(()*()*(
)*( )(xgu = dxxgdu )(′=
dxxex∫2
2
dxxex∫2
2 )*(
=Cedue uu +=∫ )*(
= Cex +2
2xu = xdxdu 2=
160
Exemplo 3: Calcule a integral .
Solução:
Façamos a mudança de variável e note que
Exemplo 4: Calcule a integral .
Solução:
Cxxdxx
dx
dxx
dxxxdx
xxdx
xx
+−=+
−=
+−
++
=+−+
=+
∫∫
∫∫∫∫arctg
11
11
11
11)1(
1
2
22
2
2
2
2
2
Exemplo 5: Calcule a integral .
Solução:
Façamos a mudança de variável e note que
Observação 1: Um fato importante é que o nome da variável não é relevante
no processo de integração, mais especificamente, a integral
dxx
x∫ cos
dxx
x∫ cos)*(
=Cuduu +=⋅∫ sen2cos )*(
= Cx +sen
)*( xu =dx
xdu
21
=⇒
dxx
du 12 =
dxx
x∫ +12
2
)0(;22 >+∫ a
uadu
∫∫∫
+
=
+
=+ 222
222
1
1
1au
dua
aua
duua
du
)*(
=
Cwa
dwwa
dww
aa
+=+
=+ ∫∫ arctg1
111
11
222C
au
a+
= arctg1)*(
)*( auw = du
adw 1
=⇒ dwadu =
161
.
Exemplo 6: Calcule a integral
Solução:
Façamos a mudança de variável e note que
Pelo Exemplo 5 , temos o resultado.
O processo de escrever é denominado processo de “completar o quadrado”.
Exemplo 7: Calcule a integral
Solução:
dxx
x∫ +−2
62)*(
=
=+
−+⋅=
+=⋅
+ ∫∫∫ duu
uduu
uduuu
u10
10)10(210
2
210 2
2
2
2
2
=
+−=
+−
++
=+
−+⋅=
∫∫
∫∫∫
duu
du
duu
duuudu
uu
22
22
2
2
2
)10(1102
10110
10102
1010)10(2
Cuu +
−=
10arctg
10102
∫∫ ∫ ∫ === dttfdwwfduufdxxf )()()()(
∫ ++ 522 xxdx
∫∫∫ ++=
+++=
++ 2222 )1(2)12(452 xdx
xxdx
xxdx
)*(
= ∫ + 222 udu
)**(
=Cu
+
2arctg
21
)*(
=
Cx+
+
21arctg
21
)*( 1+= xu dxdu =
)**(
2222 )1(2)12(452 ++=+++=++ xxxxx
dxx
x∫ +−2
62
162
)*(
= Cxx +
−−−
1062arctg
1010622
Cxx +
−
−−=10
62arctg10622
Façamos a mudança de variável e note que
.
Além disso, temos que
5.4 Método de Integração por Partes Este método de integração consiste em escrever uma determinada integral
como uma soma de uma função com uma outra integral, na esperança que esta nova integral seja mais fácil de integrar. Vejamos com mais detalhes. Considere duas funções deriváveis em algum intervalo. Pela regra de derivação do produto entre funções temos:
Integrando ambos os lados desta última equação, obtemos
ou equivalentemente,
Observação 1: Uma observação importante é com relação à constante de
integração que omitimos na última passagem da descrição acima, procedemos assim porque aparecerão outras constantes no decorrer do processo de integração e a soma de todas elas poderá ser representado por uma única constante que introduziremos no final do processo. Após a última integração, a constante deverá ser introduzida obrigatoriamente.
)*( 62 −= xu
duudxdxx
du =⇒−
=622
2
2102
2662
222 +
=+⇒+
=⇒=−uxuxux
)()()()(])()([ xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=′⋅ ⇒ )()(])()([)()( xgxfxgxfxgxf ⋅′−′⋅=′⋅
∫∫∫ ⋅′−′⋅=′⋅ dxxgxfdxxgxfdxxgxf )()(])()([)()(
∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(
163
Observação 2: Na prática procedemos da seguinte forma . Digamos que
queremos calcular a integral
.
Então façamos e .
Portanto, podemos escrever , que é denominada de fórmula para integração por partes.
Exemplo 1: Calcule a integral
Solução:
Por integração por partes, temos
Exemplo 2: Calcule a integral dxxx∫ sen2
Solução:
dxxx∫ sen2 )1(= ∫+− dxxxxx cos2cos2 = ( )∫−+− dxxxxxx sensen2cos2
( ) Cxxxxx +++−= cossen2cos2 Cxxxx +−+= cos)2(sen2 2
)1( Por integração por partes, temos
2xu = dxxdv sen=
dxxdu 2= xv cos−=
)2( Por integração por partes, temos
∫ ′⋅ dxxgxf )()(
dxxfduxfu )()( ′=⇒= dxxgdvxgv )()( ′=⇒=
∫ ∫−= vduuvudv
dxex x∫ 3
dxex x∫ 3 )*(
=dxexe
xx ∫− 33
1 33
=dxexe xx ∫− 33
31
31
==+− Cexe xx 33
91
31
=( ) Cxe x
+−139
3
)*( xu = dxedv x3= dxdu = 3
3xev =
164
xu = dxxdv cos=
dxdu = xv sen=
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução:
Por integração por partes, temos e
Exemplo 4: Calcule a integral
Solução:
dxxe x∫ )2sen(3 )1(= ∫+− dxxexe xx )2cos(
23)2cos(
21 33
)2(=
−+− ∫ dxxexexe xxx )2sen(
23)2sen(
21
23)2cos(
21 333
)2(=
dxxexexe xxx ∫−+− )2sen(49)2sen(
43)2cos(
21 333
Aparentemente não houve evolução no processo de integração, entretanto se
denotarmos a integral que desejamos calcular por , isto é, ,
obteremos:
oxx CIxexeI +−+−=
49)2sen(
43)2cos(
21 33
Note que neste momento introduzimos uma constante aleatória , pois não iremos resolver mais integrais e todas as constantes estavam acumuladas na última
integral a ser calculada. Assim, isolando , obtemos
ox
oxx CxxeICxexeII +
−=⇒++−=+ )cos()sen()sen()cos( 2
212
43
4132
432
21
49 333
⇒ [ ] CxxeCxxeI xo
x +−=+
−= )2cos(2)2sen(3
131
134)2cos(
21)2sen(
43
134 33 ,
dxx∫ ln
dxx∫ ln )*(
= ∫ ⋅− dxx
xxx 1ln= ∫− dxxx ln
= Cxxx +−ln
)*( xu ln= dxdv 1= dxx
du 1=
xv =
dxxe x∫ )2sen(3
I dxxeI x∫= )2sen(3
oC
I
165
onde denotamos oCC134
= .
Portanto, .
)1( Por integração por partes, temos
xeu 3= dxxdv )2(sen=
dxedu x33= )2cos(21 xv −=
)2( Por integração por partes, temos
xeu 3= dxxdv )2(cos=
dxedu x33= )2(sen21 xv =
Exemplo 5: Calcule a integral
Solução:
Portanto,
Portanto,
Por integração por partes, temos
Usaremos a Relação Trigonométrica:
)*(
Cxxedxxex
x +−=∫ )]2cos()2sen(3[11
)2sen(3
3
dxxI ∫= 3sec
dxxI ∫= 3sec )1(=
dxxxxx ∫ ⋅−⋅ 2tgsectgsec )2(=
=−⋅−⋅ ∫ dxxxxx )1(secsectgsec 2
oCdxxIxxdxxxxx ++−⋅=−−⋅= ∫∫ sectgsec)sec(sectgsec 3
oCdxxIxxI ++−⋅= ∫sectgsec)3(
⇒ oCCxxIxxI ++++−⋅= 1tgseclntgsec
⇒2tgseclntgsec2 CxxxxI +++⋅= ⇒ [ ] CxxxxI +++⋅= tgseclntgsec
21
[ ] Cxxxxdxx +++⋅=∫ tgseclntgsec21sec3
)1(= xu sec= dxxdv 2sec= dxxxdu tgsec ⋅= xv tg=
)2(= 1sectgsectg1 2222 −=⇒=+ xxxx
)3(= ∫∫∫ +
⋅+=
++⋅
= dxxx
xxxdxxx
xxxdxxtgsec
tgsecsectgsec
)tg(secsecsec2 )*(
= ∫ += 1ln1 Cwdww
)*(
= 1tgsecln Cxx ++
dxxxxdwxxw )tgsec(sectgsec 2 ⋅+=⇒+=
166
Observação 3: Em todas as integrais indefinidas que havíamos visto pode ser feita uma verificação ao final do processo de integração. Para isso, usaremos o
seguinte fato
Vejamos isto neste último exemplo.
Verificação do Exemplo 5: Vimos que
.
[ ]
++⋅
++⋅=′
+++⋅
xxxxxxxxCxxxx
tgsecsectgsecsectgsec
21tgseclntgsec
21 2
32
[ ]xxxx
xxxxxxxx
sec)sec(tgsec
tgsec)sec(tgsecsectgsec
++=
++
++⋅=
22
32
2121
[ ][ ] xxxxx
xxxx
333
22
21
121
secsecsecsecsec
sec)sec(secsec
=++−=
++−=
CxFdxxf +=∫ )()( ⇔ fF =′
[ ] Cxxxxdxx +++⋅=∫ tgseclntgsec21sec3
167
Teste o seu conhecimento 1. Nos exercícios de 1 a 6, calcule as integrais e verifique sua resposta por derivação.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2. Encontre uma função tal que e .
3. Nos exercícios que se seguem calcule as integrais.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
∫ 4xdx
dxx∫ − 21
9
dxx
xxx∫ −+3
56 234
dxx
x∫ seccossec2
∫ +− dx
xx
11
2
2
∫ dxxxx
2lnln
f 0sen)( =+′ xxf 3)0( =f
∫ +dx
xx
212
∫ dxxtg
dxxxx∫ +⋅−+ )12()522( 62
dxxx∫ − 42 2
dxe
ex
x
∫ + 4
∫ +dx
xx21
arctg
∫ + 216 xdx
∫ dxxx2ln
dxxx∫ −+13
∫ +16x
x
ee
∫ ++ dx
xx
11cos
∫ ⋅ dxxx ln
∫ −− dxex x)1(
∫ dxex x2
∫ dxex x 25
dxx3sen∫dxx∫ 3seccos
∫ dxex
x1
31
∫ dxxxarctg
∫ dxxe x )4cos(3
168
5.5 Integração por Substituição Trigonométrica. Suponhamos que desejamos calcular uma integral onde o integrando contém
expressões da forma , ou , onde admitiremos .
Nestes casos, quando não for possível uma substituição simples, podemos remover o radical com substituições trigonométricas convenientes.
(i) A função integrando envolve a expressão
Neste caso, podemos fazer a substituição . Assim, , e desta forma podemos escrever:
(ii) A função integrando envolve a expressão
Neste caso, podemos fazer a substituição . Assim, , e desta forma podemos escrever:
(iii) A função integrando envolve a expressão
Neste caso, podemos fazer a substituição . Assim, , e desta forma podemos escrever:
Vejamos alguns exemplos para esclarecer o procedimento.
Exemplo 1: Calcule a integral
Solução:
dxx
x∫
−2
24 )*(
= θθθθ
θθθθ
dd cos2sen4
)sen1(4cos2
)sen2()sen2(4
2
2
2
2
∫∫−
=−
θθθθθ
θθθθ
θθ ddd ∫∫∫ === 2
2
22
2
sen4cos4cos2
sen4cos2cos2
sen4cos4
θθθθθθθ ddd )1(cosseccotg
sencos 22
2
−==
= ∫∫∫
22 ua − 22 ua + 22 au − 0>a
22 ua −
θsenau = θθ dadu cos=
θθθθ coscos)sen1()sen( 22222222 aaaaaua ==−=−=−
22 ua +
θtgau = θθ dadu 2sec=
θθθθ secsec)tg1()tg( 22222222 aaaaaua ==+=+=+
22 au −
θsecau = θθθ dadu tgsec ⋅=
θθθθ tgtg)1(sec)sec( 22222222 aaaaaau ==−=−=−
dxx
x∫ −2
24
169
∫∫ −= θθθ dd2cossec C+−−= θθcotg
Cxx
x+
−
−−=
2arcsen4 2
Façamos a substituição
Além disso, e .
Observação 1: Havendo dificuldade para retornar à variável original , faça
uso de um triângulo retângulo que satisfaz a relação ..
Exemplo 2: Calcule a integral
Solução
dxx∫ + 24)*(
= =⋅+=⋅+ ∫∫ θθθθθθ dd 2222 sec2tg44sec2)tg2(4
)**(32
2222
sec4sec2sec2
sec2sec4sec2)tg1(4
==⋅=
⋅=⋅+=
∫∫
∫∫θθθθθ
θθθθθθ
dd
dd
)**(
= [ ] C+++⋅ θθθθ tgseclntgsec2
)*(
= Cxxxx+
+++
+24ln
442
22
Façamos a substituição . Além disso, e
.
Vimos no exemplo 5 da seção 5.4, que
)*( θsen2=x ⇒ θθ ddx cos2=
xx24
sencoscotg −
==θθθ
=
2arcsen xθ
x
2hipotenusaoposto catetosen x
==θ
dxx∫ + 24
)*( θtg2=x ⇒ θθ ddx 2sec2=2
tg x=θ
24sec
2x+=θ
)**( [ ] Cxxxxdxx +++⋅=∫ tgseclntgsec21sec3
170
Observação 2: Havendo alguma dificuldade para retornar à variável original ,
faça uso de um triângulo retângulo que satisfaz a relação
.
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução:
Façamos a substituição Além disso,
e .
Vimos no exemplo 5 da seção 5.4, que
e
Observação 3: Havendo alguma dificuldade para retornar à variável original
, faça uso de um triângulo retângulo, construa o triângulo retângulo com a informação de que
.
x
2adjacente catetooposto cateto xtg ==θ
dxx∫ − 42
dxx∫ − 42)*(
= =⋅⋅−=⋅⋅− ∫∫ θθθθθθθθ dd tgsec2)1(sec4tgsec24)sec2( 22
=⋅=⋅⋅= ∫∫ θθθθθθθ dd 22 tgsec4tgsec2tg4
=−=−⋅= ∫∫ θθθθθθ dd secsec4)1(secsec4 32
=−= ∫∫ θθθθ dd sec4sec4 3
[ ] =++−++⋅= Cθθθθθθ tgsecln4tgseclntgsec2
[ ] C++−⋅= θθθθ tgseclntgsec2)*(
= Cxxxx+
−+−
−2
4ln4
4222
)*( θsec2=x ⇒ θθθ ddx tgsec2 ⋅=2
4tg2 −
=xθ
2sec x
=θ
)**( 1tgseclnsec Cxxdxx ++=∫[ ] Cxxxxdxx +++⋅=∫ tgseclntgsec
21sec3
x
2adjacente catetohipotenusa
cos1sec x
===θ
θ
171
5.6 Integração por Frações Parciais Inicialmente, lembremos que uma função racional é, por definição, o quociente
entre duas funções polinomiais, isto é,
onde e são funções polinomiais. Vale ressaltar que algumas funções
racionais simples podem ser resolvidas por processos de integração vistos anteriormente, como, por exemplo, as integrais
, , e
Nesta seção vamos apresentar um método de integração, denominado “Integração por Frações Parciais”. Este método se baseia em escrever a função racional como soma de frações mais simples, na esperança de facilitar a integração, integrando as frações mais simples. Para isto, usaremos um resultado da Álgebra, que é dado no teorema que se segue.
Teorema 1: Todo polinômio, com coeficientes reais, pode ser escrito como um
produto de fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis, todos com coeficientes reais.
Demonstração: Não veremos a demonstração neste curso para não desviarmos
de nosso objetivo imediato que são as técnicas de integração. Não obstante, o estudante verá a demonstração em um curso de álgebra mais adiante. Dividiremos o
nosso estudo em quatro casos, dependendo de como o denominador , da função
racional , seja decomposto. Admitiremos no que segue que o grau de
é menor que o grau de , isto é, , se isso não ocorrer,
façamos a divisão inicialmente, e desta forma voltaremos aos casos tradicionais. Mais
precisamente, se então existem polinômios e tais que
, onde , assim obtemos
, onde
.
Outra simplificação útil em nosso estudo é admitir que o polinômio possui
coeficiente do termo de mais alto grau igual a , se isto não ocorrer divida o
)(xp )(xq
dxx∫ 21 dx
x∫ +161
2 dxx
x∫ + 422 dx
xx∫ ++ 1361
2
)(xq
)()()(
xqxpxf =
)(xp )(xq )()( xqxp ∂<∂
)()( xqxp ∂≥∂ )(xm )(xr)()()()( xrxmxqxp +⋅= )()( xqxr ∂<∂
∫ ∫∫∫ ∫ +=+⋅
== dxxqxrdxxmdx
xqxrxmxqdx
xqxpdxxf
)()()(
)()()()(
)()()(
)()( xqxr ∂<∂
)(xq1
172
numerador e o denominador da função racional por este fator.
Passemos aos casos.
(Caso 1) é um produto de fatores lineares distintos.
Neste caso podemos escrever na forma ,
desta forma o Teorema das frações parciais estabelece que existem constantes
tais que
Estas constantes serão determinadas conforme o exemplo abaixo. Daí teremos:
Exemplo 1: Calcule a integral
Solução:
• Para , temos que
)()()(
xqxpxf =
)(xq
)(xq )())(()( 21 naxaxaxxq −−−=
nAAA ,,, 21 n
n
axA
axA
axA
xqxpxf
−++
−+
−==
2
2
1
1
)()()(
∫∫∫ =−
++−
+−
== dxax
Aax
Aax
Adxxqxpdxxf
n
n2
2
1
1
)()()(
=−
++−
+−
= ∫∫∫ dxax
Adxax
Adxax
An
n2
2
1
1
dxax
Adxax
Adxax
An
n∫∫∫ −++
−+
−=
111
22
11
CaxAaxAaxA +−++−+−= 332211 lnlnln
dxxxx∫ −+− 6116
123
dxxxx
dxxxx ∫∫ −−−
=−+− )3)(2)(1(
16116
123
)*(
= =−
+−−
+−∫ dx
xxx 32
1
21
12
1
=−
+−
−−
= ∫∫∫ dxx
dxx
dxx 3
121
21
11
21
Kx
xxCxxx +−
+−=+−+−−−=
234ln3ln
212ln1ln
21 2
)*( 321)3)(2)(1(1
−+
−+
−=
−−− xC
xB
xA
xxx⇒ 1)2)(1()3)(1()3)(2( =−−+−−+−− xxCxxBxxA
1=x2112 =⇒= AA
173
• Para , temos que
• Para , temos que
Desta forma, podemos escrever
Note que, neste caso, não é aconselhável multiplicar os fatores e fazer identificação de polinômios, daria mais trabalho. Não obstante, se assim procedermos, obteríamos o mesmo resultado.
Exemplo 2: Calcule a integral
Solução: Como o grau do numerador, , é maior que o grau do
denominador, , efetuamos inicialmente a divisão dos polinômios, para obter:
Assim,
Kx
xxxx+
−+−
++2
34ln42
22
(Caso 2) é um produto de fatores lineares distintos, alguns dos quais repetidos.
Se um determinado fator linear de , digamos , tem multiplicidade ,
a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma
Estas constantes podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
2=x 11 −=⇒=− BB
3=x2112 =⇒= CC
32
1
21
12
1
)3)(2)(1(1
−+
−−
+−
=−−− xxxxxx
dxxxx
xxxx∫ −+−−+−−
61162338132
23
234
)(xp
)(xq
1)6116)(4(2338132 23234 +−+−+=−+−− xxxxxxxx
=−+−
+−+−+=
−+−−+−− ∫∫ dx
xxxxxxxdx
xxxxxxx
61161)6116)(4(
61162338132
23
23
23
234
=−+−
++=−+−
+−+−+= ∫∫ dx
xxxxdx
xxxxxxx
61161)4(
61161)6116)(4(
2323
23
∫ ∫ −+−++= dx
xxxdxx
61161)4( 23
1Exemplo
=
)(xq
)(xq ax − k
k k
k k
a x A
a x A
a x A
a x A
) ( ) ( ) ( 1 1
2 2 1
− +
− + +
− +
− − − ���
174
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução: O primeiro passo é decompor o denominador da função racional.
Vejamos, . Desta forma o denominador é um produto
de fatores lineares distintos, alguns dos quais repetidos. Assim,
dxxxx
xx∫ −+−+−
485573
23
2
= dx
xxxx∫ −−+−
2
2
)2)(1(573
= dx
xxxx
∫ −−+−
2
2
)2)(1(573
dxx
dxx
dxx ∫∫∫ −
+−
+− 2)2(
132
121
1
K
xxx +
−−−+−=
232ln21ln
Kx
xxx +−
−−+−=2
3485ln 23 .
• Para , temos que • Para , temos que • Para , temos que
Portanto, podemos escrever
(Caso 3) é um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem.
Neste caso, para cada fator quadrático irredutível ( ) da forma
, corresponderá uma fração parcial da forma Estas constantes
podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
Exemplo 4: Calcule a integral
Solução: O primeiro passo é decompor o denominador da função racional.
Vejamos, . Desta forma, o denominador é um
produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis. Assim,
dxxxx
xx∫ −+−+−
485573
23
2
223 )2)(1(485 −−=−+− xxxxx
)*(
=
)*( 22
2
)2(21)2)(1(573
−+
−+
−=
−−+−
xC
xB
xA
xxxx ⇒
573)1()2)(1()2( 22 +−=−+−−+− xxxCxxBxA
1=x 1=A2=x 3=C3=x 271121122 =⇒−=⇒=++ BBCBA
22
2
)2(3
22
11
)2)(1(573
−+
−+
−=
−−+−
xxxxxxx
)(xq
042 <−=∆ cb
cbxx ++2
cbxxBAx++
+2
dxxxx
xx∫ −++++
31
23
2
)32)(1(3 223 ++−=−++ xxxxxx
175
Fazendo a identidade dos polinômios, obtemos o sistema:
cuja solução é dada por . Portanto, podemos escrever
(Caso 4) é um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem.
Neste caso, para cada fator quadrático irredutível ( ) da forma
, que se repete com multiplicidade , corresponderá uma soma de frações parciais da forma
Estas constantes podem ser determinadas conforme o exemplo que se segue.
Exemplo 5: Calcule a integral
dxxxx
xx∫ −++++
31
23
2
= dxxxx
xx∫ ++−++
)32)(1(1
2
2 )*(
= ∫ =
+++
+−
dxxx
xx 32
11
121
2
∫∫ =++
++
−= dx
xxxdx
x 3222
41
11
21
2 =++++− Kxxx 32ln411ln
21 2
Kxxx +++⋅−= 4 2 321ln
)*( 31
23
2
−++++xxx
xx =)32)(1(
12
2
++−++
xxxxx
321 2 +++
+−
=xxCBx
xA
⇒ 1))(1()32( 22 ++=+−+++ xxCBxxxxA
⇒ 1)3()2()( 22 ++=−++−++ xxCAxCBAxBA
111
32
===
−+−
+
CACBA
BA
21
=== CBA3
123
2
−++++xxx
xx
+++
+−
=32
11
121
2 xxx
x
)(xq
042 <−=∆ cbcbxx ++2 k
kkk
cbxxBxA
cbxxBxA
cbxxBxA
)()( 22222
211
+++
++++
++
+++
dxxxxxx
xxx∫ −+−+−−++
12224
2345
24
176
Solução: O primeiro passo é decompor o denominador da função racional.
Vejamos, . Desta forma o denominador é
um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis que se repetem. Assim,
dxx
xx∫
++
+− 22 )1(
321
1
∫∫∫ ++
+−
=
++
+−
= dxx
xdxx
dxx
xx 2222 )1(
321
1)1(32
11 ∫∫∫ +
++
+−
= dxx
dxx
xdxx 2222 )1(
13)1(
21
1
24
)()()2()()(24
234
−++=
−−++−+−++−+++−++⇒
xxx
ECAxEDCBxDCBAxCBxBA
Fazendo a identidade dos polinômios, obtemos o sistema:
Cuja solução é dada por , , e . Portanto, podemos
escrever
Fazendo a substituição trigonométrica
222345 )1)(1(122 +−=−+−+− xxxxxxx
dxxxxxx
xxx∫ −+−+−−++
12224
2345
24
= dxxx
xxx∫ +−−++
22
24
)1)(1(24 )*(
=
−+
−−=1
11ln 2
)**(
xx oK
xxx +
++
1arctg
23
2
)*( 12224
2345
24
−+−+−−++
xxxxxxxx = 22
24
)1)(1(24
+−−++
xxxxx = 222 )1(11 +
++
++
+− x
EDxx
CBxx
A
⇒ =+−++−+++ ))(1()1)(1)(()1( 222 EDxxxxCBxxA 24 24 −++ xxx
⇒ 24))(1()1)(()12( 242324 −++=+−+−+−++++ xxxEDxxxxxCBxxxA
−=−−=+−+−=+−+
=+−=+
2142
01
ECAEDCB
DCBACBBA
1=A 0== CB 2=D 3=E
222222345
24
)1(32
11
)1(1112224
++
+−
=++
+++
+−
=−+−+−
−++x
xxx
EDxx
CBxx
Axxxxx
xxx
)**( ∫ +dx
x 22 )1(1 )#(
= =+
=== ∫ ∫∫∫ θθθθθθθ
θθ dddd2
2cos1cossec
1sec
sec 224
2
ooo Kx
xxKK ++
+=+⋅+=++=12
1arctg21cossen
21
22sen
41
2 2θθθθθ
θθθ ddxx 2sectg =⇒=
177
5.7 Substituições Diversas Nesta seção veremos algumas substituições especiais que podem ser usadas
para resolvermos determinadas integrais. Veremos vários exemplos onde usaremos algumas dessas substituições.
Exemplo 1: Calcule a integral
Solução:
dxxduxu cossen =⇒=
Exemplo 2: Calcule a integral dxx∫ 4sen .
Solução:
∫∫∫∫ +−=
−
== dxxxdxxdxxdxx )2cos2cos21(41
22cos1)(sensen 2
2224
Neste exemplo não fizemos nenhuma substituição, procedemos de maneira direta. No processo de integração é importante adquirir tal habilidade.
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução:
dxx∫ 5cos
∫∫∫ ⋅−=⋅= dxxxdxxxdxx cos)sen1(cos)(coscos 22225)*(
=
∫∫∫ ⋅−=⋅= dxxxdxxxdxx cos)sen1(cos)(coscos 22225)*(
=
)*(
= =+−−=−−=− ∫∫ Cuuuduuuduu 534222
51
32)21()1(
)*(
= Cxxx +−− 53 sen51sen
32sen
)*(
= ∫∫∫∫ =+−=+
+− dxxdxxdxdxxx 4cos812cos
21
83)
24cos12cos21(
41
Cxxx ++−= 4sen3214sen
41
83
dxx∫ 3tg
178
Observação: Quando temos uma integral da forma , isto é,
o integrando é uma função racional de e , devemos fazer a seguinte
substituição .
Além disso, como
e .
Assim, quando utilizamos esta substituição podemos fazer uso das fórmulas
.
Vejamos esta substituição no exemplo que se segue.
Exemplo 4: Calcule a integral
Solução:
Fazendo a substituição . Além disso, temos
e . Resolvendo a integral pelo método de
frações parciais, temos
=−⋅=−⋅=⋅= ∫∫∫∫ dxxxxdxxxdxxxdxx tgsectg)1(sectgtgtgtg 2223
Cxxdxxdxxx +−=−⋅= ∫∫ cosln2
tgtgsectg2
2
∫ dxxxR )sen,(cos
xsen xcos
dtt
dxtxxt 212arctg2
2tg
+=⇒=⇒=
22 1
2sen
2tg1
2tg2
senttxx
x
x+
=⇒+
= 2
2
2
2
11cos
2tg1
2tg1
costtxx
x
x+−
=⇒+
−=
dtt
dx 212+
= 212sen
ttx
+= 2
2
11cos
ttx
+−
=
xdxcos53+∫
xdxcos53+∫
)*(
= dtt
tt 2
2
2 12
1153
1+
⋅
+−
+∫ =
−−=
−= ∫∫ dt
tdt
t 41
282
22
)**(
= CttC
tt
+−+
=++−
−22ln
41
22ln
41 )*(
= Cx
x
+−
+
22
tg
22
tgln
41
)*( dtt
dxtxxt 212arctg2
2tg
+=⇒=⇒=
212sen
ttx
+= 2
2
11cos
ttx
+−
= )**( dtt∫ − 4
12
Cttdt
t+
+−
=−∫ 2
2ln41
41
2
179
Teste o seu conhecimento 1. Calcule as integrais dadas.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
dxx
x∫ −2
2
29
dxxx∫ + 43 2
2
dxxx∫ −16123
dxxxx
x∫ +−−−
332
23
dxxx
xx∫ −−+
24
3
413
dxxxx
xx∫ −++++
3452
23
2
dxxxx
x∫ +++
22 )32(1
∫ ++ 2cossen xxdx
180
5.8 Área e Integral Definida Agora vamos introduzir o conceito de integral definida. Veremos as
propriedades das integrais definidas e veremos o Teorema Fundamental do Cálculo que é a peça chave de todo o Cálculo Diferencial e Integral, pois é o elo de ligação entre as operações de derivação e integração. Veremos dentro das aplicações da integral, o cálculo de áreas entre curvas e volumes de sólidos de revolução.
Considere uma função contínua e não negativa . Desejamos analisar agora o
problema de definir a área de uma região plana , delimitada pelo gráfico de ,
pelo eixo dos e pelas retas e , conforme figura 1.
Figura 1: Área sob o gráfico de , de até .
Para calcular esta área, considere uma partição P do intervalo , isto é,
uma subdivisão do intervalo em subintervalos, escolhendo os pontos
.
Com o objetivo de entender a definição, considere também
o comprimento do intervalo .
Além disso, em cada um destes intervalos , escolhemos um ponto
qualquer .
Para cada , , construímos um retângulo de base e altura .
A soma das áreas dos retângulos, que denotaremos por , é dada por
Esta soma é denominada soma de Riemann da função . Note que à medida
que n cresce muito e cada , , torna-se muito pequeno, a soma das
fA S f
x ax = bx =
f a b
],[ ba],[ ba n
bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − 1210
1−−=∆ iii xxx
],[ 1 ii xx −
],[ 1 ii xx −
ic
i ni ,,1= ix∆ )( icf
n nS
∑=
∆=∆++∆+∆=n
iiinnn xcfxcfxcfxcfS
12211 )()()()(
f
ix∆ ni ,,2,1 =
181
áreas retangulares aproxima-se do que entendemos intuitivamente como sendo a
área da região plana .
Definição 1: Seja f uma função contínua e não negativa em ],[ ba . A área sob a
curva )(xfy = , de a até b , é definida por
∑=
→∆→∆∆==
n
iiin xcfSA
10ixmáx0ixmáx
)(limlim
onde ic é um ponto aleatório do intervalo ],[ 1 ii xx − , para cada ni ,,2,1 = .
Observação 1: Podemos provar, não o faremos aqui neste curso, que o limite
da definição anterior existe e é um número não negativo.
Definição 2: Seja uma função definida no intervalo e seja P uma partição
qualquer de . A integral definida de até , denotada por , é dada
por , desde que o limite exista. Se existe,
dizemos que é integrável em .
Observação 2: O símbolo foi introduzido por Leibniz e é chamado de sinal
de integração. Na notação de integral definida, , os números e são
denominados limites de integração, mais precisamente, é denominado limite
inferior e de limite superior. Além disso, quando é integrável em ,
temos que é um número real e não depende da variável utilizada para
integração, desta forma podemos escrever, , isto é,
podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.
S
f ],[ ba
],[ ba a b ∫b
adxxf )(
∑∫=
→∆∆=
n
iii
b
axcfdxxf
10xmáx
)(lim)(i ∫
b
adxxf )(
f ],[ ba
∫∫
b
adxxf )( a b
a
b ∫b
adxxf )( ],[ ba
∫b
adxxf )(
∫∫∫ ==b
a
b
a
b
adwwfdttfdxxf )()()(
182
Observação 3: Uma observação de grande importância é que se é contínua
e não negativa em , as definições de área e integral definida coincidem e
portanto temos que , isto é, a integral definida representa a área da
região sob o gráfico de , de até .
Figura 2: Área sob , de até .
Observação 4: No que segue, quando usarmos um intervalo ,
admitiremos .
Definição 3: Suponhamos que é integrável em . Então,
(i)
(ii) Se existe, então
Teorema: Se é contínua em , então é integrável em .
Demonstração: Não será feita neste curso. Não obstante, o estudante verá
esta demonstração num primeiro curso de análise na reta que fará futuramente.
f
],[ ba
∫=b
adxxfA )(
f a b
f a b
],[ baba ≤
f ],[ ba
=∫a
bdxxf )( ∫−
b
adxxf )(
)(af 0)( =∫a
adxxf
f ],[ ba f ],[ ba
183
5.9 Propriedades da Integral Definida Agora, listaremos várias propriedades da integral definida. Não é o nosso
objetivo demonstrar estas propriedades, apenas usá-las. O leitor interessado na demonstração destas propriedades encontrará nas bibliografias listadas abaixo.
Teorema 1: Se é uma função integrável em e é um número real arbitrário, então é uma também uma função integrável em e
.
Teorema 2: Sejam e funções integráveis em , então é integrável em e
Observação: O teorema 2 pode ser generalizado para a soma de um número
finito de funções e podemos escrever
Além disso, o teorema também é válido para diferença de função
Teorema 3: Suponhamos que e é integrável em e em , então é integrável em e
Teorema 4: Seja uma função integrável em tal que , então
f ],[ ba kkf ],[ ba
∫∫ =⋅b
a
b
adxxfkdxxfk )()(
f g ],[ ba gf +],[ ba
∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
∫∫∫∫ +++=+++b
an
b
a
b
a
b
an dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf )()()()]()()([ 2121
∫∫∫ −=−b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
bca << f ],[ ca ],[ bcf ],[ ba
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
f ],[ ba ],[,0)( baxxf ∈∀≥
184
Teorema 5: Sejam e funções integráveis em tais que
, então
Teorema 6: Se é uma função contínua em , então
Teorema 7: Se é uma função contínua em , então existe um ponto entre
e tal que
Teorema 8: Se é uma função contínua em , tal que
, então
0)( ≥∫b
adxxf
f g ],[ ba
],[),()( baxxgxf ∈∀≥
∫∫ ≥b
a
b
adxxgdxxf )()(
f ],[ ba
∫∫ ≤b
a
b
adxxfdxxf )()(
f ],[ ba ca b
)()()( cfabdxxfb
a−=∫
f ],[ ba
],[,)( baxMxfm ∈∀≤≤
)()()( abMdxxfabmb
a−≤≤− ∫
185
5.10 Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre os dois
ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. O Cálculo Diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O Teorema Fundamental do Cálculo dá a precisa relação inversa entre a derivada e a integral. Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorema Fundamental do Cálculo os capacitou a computar áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário recorrer à definição diretamente.
Teorema 1: Seja uma função contínua em , então a função ,
definida por , é derivável em e ,
.
Demonstração: De fato, dado , temos
)(lim)(lim00
zfh
hzfhh →→
=
Como é contínua em , em particular o será em , então pelo Teorema 7,
existe tal que .
Além disso, como está entre e , segue que quando . Então
pela continuidade da função , temos que .
Note que se for ou , considere os limites laterais adequados. Isto completa a demonstração.
Agora, estamos em condições de estabelecer o principal teorema do cálculo integral denominado Teorema Fundamental do Cálculo.
f ],[ ba RIbaG →],[:
∫=x
adttfxG )()( ],[ ba )()()( xfdttf
dxdxG
x
a==′ ∫
],[ bax∈∀
],[ bax∈
=−+
=−
=−+
=′ ∫ ∫∫∫ ∫+
→
+
→→ h
dttfdttfdttf
h
dttfdttf
hxGhxGxG
x
a
x
a
hx
xh
hx
a
x
ahh
)()()(lim
)()(lim)()(lim)(
000
h
dttfhx
xh
∫+
→=
)(lim
0
)*(
=)**(
= )(xf
)*( f ],[ ba ],[ hxx +
),( hxxz +∈ hzfxhxzfdttfhx
x)())(()( =−+=∫
+
)**( z x hx + xz → 0→h
f )()lim()(lim00
xfzfzfhh
==→→
x a b
186
Teorema 2 (Teorema Fundamental do Cálculo): Sejam uma função contínua em e uma primitiva de em , então
.
Demonstração: Como é uma função contínua em , então pelo
Teorema 1 , segue que é uma primitiva de em . Seja
uma primitiva de em , então existe uma constante tal que
.
Note agora que e .
Assim, temos que
.
Isto conclui a demonstração.
Exemplo 1: Calcule a integral dxx∫1
0
2
Solução: . Note que, como a função é
contínua e não negativa em , resulta que a área sob o gráfico de , de a , é
igual a
Exemplo 2: Calcule a integral
f],[ ba F f ],[ ba
[ ] )()()()( aFbFxFdxxf ba
a
b−==∫
f ],[ ba
∫=x
adttfxG )()( f ],[ ba F
f ],[ ba C
],[,)()( baxCxGxF ∈∀+=
0)()( == ∫a
adttfaG ∫=
b
adttfbG )()(
∫∫ =−=−=−−+=−b
a
b
adttfdttfaGbGCaGCbGaFbF )(0)()()())(())(()()(
310
31
3
1
0
31
0
2 =−=
=∫ xdxx 2)( xxf =
]1,0[ f 0 1
.31
dxx∫2
0
cosπ
187
Solução: . Note que, como a função
é contínua e não negativa em , resulta que a área sob o gráfico
de , de a , é igual a
Exemplo 3: Calcule a integral
Solução: Neste caso, temos dois procedimentos para calcular a integral.
Vejamos em detalhes estes procedimentos.
Primeiro Procedimento: Calculamos, inicialmente, a integral indefinida
.
Façamos a mudança de variáveis . Portanto, . De
posse da primitiva de que é dada por , calculamos a
integral. Com efeito,
Segundo Procedimento: Calculamos diretamente a integral dada.
Façamos a mudança de variáveis . Portanto, Além disso,
como , então e
[ ] 101sencos 20
2
0
=−==∫ ππ
xdxx
xxf cos)( =
2,0 π
f 02π
.1
dxx
x∫ +
1
02 1
∫ +dx
xx
12
∫ +dx
xx
12
)*(
= Cuduu
+=∫ ln211
21 )*(
= Cx ++ )1ln(21 2
)*( xdxduxu 212 =⇒+= xdxdu =21
1)( 2 +=
xxxf CxxF ++= )1ln(
21)( 2
2ln2ln2102ln
211ln
212ln
21)0()1()]([
110
1
02 ==−=−=−==+∫ FFxFdx
xx
dxx
x∫ +
1
02 1
)*(
= [ ] [ ] 2ln2ln211ln2ln
21ln
211
21 2
1
2
1
==−=+=∫ Cuduu
)*( xdxduxu 212 =⇒+= xdxdu =21
1)( 2 +== xxuu 1)0( =u 2)1( =u
188
A vantagem do segundo procedimento está em não haver a necessidade de desfazermos a substituição. Por outro lado, se a integral for um pouco mais complicada, o primeiro procedimento é mais indicado.
Note também que, como a função é contínua e não negativa em
, resulta que a área sob o gráfico de , de a , é igual a
Exemplo 4: Calcule a integral
Solução: Sabemos que , vimos este fato quando
estudamos integração por partes. Assim,
.
Note que, como a função é contínua e não negativa em ,
resulta que a área sob o gráfico de , de a , é igual a .
Observação: Quanto ao método de integração por partes, na prática
procedemos da seguinte forma. Digamos que queremos calcular a integral
. Então façamos e
.
Portanto, podemos escrever , que é denominada de
fórmula para integração por partes com limites de integração.
1)( 2 +=
xxxf
]1,0[ f 0 1 2ln2ln21
=
dxxe
∫1
ln
∫ +−= Cxxxdxx lnln
[ ] [ ] 111ln1ln]ln[ln 1
1
=−−−=−=∫ eeexxxdxx ee
xxf ln)( = ],1[ ef 1 e 1
∫ ′⋅b
adxxgxf )()( dxxfduxfu )()( ′=⇒= dxxgdvxgv )()( ′=⇒=
∫∫ −=b
a
b
a
ba duvuvdvu ][
189
Exemplo 5: Calcule a integral
Solução: [ ] [ ] [ ] 1)1()0(10
1
0
1
0
1
0
1
0=−−−=−=−= ∫∫ eeexedxexedxex xxxxx
Por integração por partes, temos
5.11 Cálculo de Áreas Podemos calcular áreas de figuras planas com o auxílio da integral definida.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Determine a área limitada pela curva e o eixo dos .
Solução: Como é uma função contínua e não negativa no
intervalo , então a área procurada, que denotaremos por , é dada por
Portanto, a área é unidades de área.
Exemplo 2: Determine a área limitada pela curva e o eixo dos .
Solução: Como é uma função contínua no intervalo
,no entanto, negativa no intervalo , então a área procurada, que denotaremos
por , é dada por
Portanto, a área é unidades de área.
∫1
0
dxex x
)*( dxduxu
==
x
x
evdxedv
=
=
29 xy −= x
29)( xxfy −==
]3,3[− A
( ) 36)927(9273
9)9()(3
3
33
3
2 =+−−−=
−=−==
−−∫∫ xxdxxdxxfA
b
a
36
92 −= xy x
9)( 2 −== xxfy ]3,3[−
)3,3(−A
( ) 36)927(9273
9)9()(3
3
33
3
2 =+−−−=
−=−==
−−∫∫ xxdxxdxxfA
b
a
36
190
Exemplo 3: Determine a área limitada pela curva e o eixo dos , de
até .
Solução: Como é uma função contínua em , positiva no
intervalo e negativa em , então a área procurada, que denotaremos
por , é dada por
Portanto, a área é unidades de área.
Exemplo 4: Determine a área limitada pelas curvas e .
Solução: Sejam e . Inicialmente, vamos determinar a
interseção entre as curvas dadas. Vejamos,
. Logo, as curvas se
interceptam nos pontos de abscissa e . Note que
. Então a área procurada, que denotaremos por , é dada
por
Portanto, a área é unidades de área.
Observação: Em geral, a área limitada pelas curvas e e
pelas retas e , é dada por
xy sen= x
0 π2
xxfy sen)( == ]2,0[ π
),0( π )2,( ππA
4)11()11(][cos]cos[
sensensen)(
20
2
0
2
0
=+++=+−=
=−+=== ∫∫∫∫π
ππ
π
π
ππ
xx
dxxdxxdxxdxxfAb
a
4
2xy = 6+= xy
2)( xxf = 6)( += xxg
251
22411066 22 ±
=⇒+±
=⇒=−−⇒+= xxxxxx
2−=x 3=x]3,2[),()( −∈∀≥ xxfxg A
[ ] [ ]
6125
322
227
3812
24918
29
36
26)()(
3
2
323
2
23
2
=+=
=
+−−
−+=
−+=−+=−=
−−−∫∫ xxxdxxxdxxfxgA
6125
A )(xfy = )(xgy =
ax = bx = dxxgxfAb
a∫ −= )()(
191
Exemplo 5: Determine a área limitada pelas curvas e .
Solução: Sejam e . Inicialmente, vamos determinar a
interseção entre as curvas dadas. Vejamos,
.
Logo, as curvas se interceptam nos pontos de abscissa e . Note
que . Então a área procurada, que denotaremos por , é
dada por
Portanto, a área é unidades de área. Observe que recaímos basicamente
no Exemplo 4, o que fizemos foi transladar verticalmente para baixo, unidade, a região do Exemplo 4. É claro que, desta forma, o valor da área não se altera.
5.12 Cálculo de Volumes
Definição: Seja uma função contínua e não negativa no intervalo e seja
a região sob o gráfico de de até . A volume do sólido de revolução , gerado
pela rotação de em torno do eixo dos , é definido por
,
desde que o limite exista.
Observação: De acordo com a definição, temos a fórmula .
12 −= xy 5+= xy
1)( 2 −= xxf 5)( += xxg
251
224110651 22 ±
=⇒+±
=⇒=−−⇒+=− xxxxxx
2−=x 3=x]3,2[),()( −∈∀≥ xxfxg A
[ ] [ ]
6125
322
227
3812
24918
29
36
2)1()5()()(
3
2
323
2
23
2
=+=
=
+−−
−+=
−+=−−+=−=
−−−∫∫ xxxdxxxdxxfxgA
6125
1
f ],[ ba ℜ
f a b Tℜ x
∑=
→∆∆=
n
iii xcfV
1
2
0xmáx)(lim
i
π
dxxfVb
a)(2∫= π
192
Exemplo: Calcule o volume do sólido , gerado pela rotação da região
, limitada pela curva , o eixo e as retas e , em torno do eixo dos
Solução: Seja . Sabemos que o volume é dado por
V T ℜ2xy = x 0=x 1=x
.x
2)( xxf = V
5)(
1
0
42 πππ === ∫∫ dxxdxxfVb
a
193
Teste o seu conhecimento Calcule as integrais.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. Seja uma função contínua em , onde . Mostre que:
13.1. Se é par, então .
13.2. Se é ímpar, então .
14.
15.
16. Calcule
17. Determine a área da região limitada pelas curvas e e
dxx∫4
0
dxx
x∫ +
3
02 1
4
dxe x∫2ln
0
3
∫4
22ln xx
dx
dxx∫ +3
0
1
∫2
1
ln dxxx
dxxx )6(2
0
3∫ −+
∫3
62sen
π
πx
dx
∫2
0
2sen
π
dxx
dxx∫π2
0
sen
dxx∫ −
1
024
1
∫e
dxx1
)cos(ln
f ],[ aa− 0>a
f ∫∫−
=aa
a
dxxfdxxf0
)(2)(
f ∫−
=a
a
dxxf 0)(
∫−
π
π
dxxx tg2
∫−
−π
π
dxxe x sen2
∫ − dtedxd
xt
0
2
S 3xy = 22 xy −= .0=x
194
18. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada
pela parábola e pela reta .
19. (Desafio) Calcule a integral
x
)13(41 2xy −= )5(
21
+= xy
dxe
xx∫
−+
1
1
2
1
195
BIBLIOGRAFIA STEWART, James. Cálculo. 5 ed. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2008.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1994.
THOMAS, George B et al. Cálculo 1.1ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009. Vol. 1.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
FLEMMING, Diva M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5.ed. São Paulo, SP: Makron Books do Brasil, 1992.
LARSON, Roland E.; HOSTELER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com aplicações, 4 ed., Rio de Janeiro: LTC, 1998
MEDEIROS, Valéria Z. et. al. Pré-Cálculo, São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. v.1, São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books, 2ª edição, 1994.
GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos S.A, 2001.
BOULOS, P., Introdução ao Cálculo, vols. 1 e 2, São Paulo, Edgard Blücher, 1974.
Páginas WEB:
http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1.html
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2009.2/gma00108/index.html
http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/bvm/bvm-ufrj-disciplina.html
http://ecalculo.if.usp.br
