ME623APlanejamento e Pesquisa

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Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)Na última aula, testamos os seguintes

contrastes

TratamentoDosagem (mg)

Coeficientes para Contrastes Ortogonais

0 (placebo) −2 0

50 (nível 1) 1 −1

100 (nível 2) 1 1

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Contrastes Ortogonais (Exemplo Ansiedade)Calculando o valor dos contrastes e suas

SS:

Na Tabela ANOVAContrastesC1 e C2 são significativos

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Método de SchefféExperimentador pode estar interessado

em mais de a – 1 possíveis comparaçõesScheffé (1953) propôs um método que

permite investigar qualquer e todos os possíveis contrastes das médias dos tratamentos

Controla o nível de significância geralα dos testes simultaneamente

Se estamos testando apenas pares de médias, o teste de Tukey é preferível.

Mas no caso geral, quando muitos ou todos contrastes são de interesse, o método de Scheffé é melhor.

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Método de SchefféSuponha que um conjunto de m contrastes

tenha sido determinado

Em termos das médias amostrais:

No caso balanceado, o erro padrão desse contraste é:

E no caso não balanceado:

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Método de SchefféO valor crítico de nível α é dado por:

Para cada hipótese , rejeita-se H0 se

IC de nível pelo menos 100(1 – α)% para Γu é:

ou reescrito como

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Método de Scheffé (Exemplo Ansiedade)

Nesse exemplo, testamos os dois contrastes:

Já vimos que o valor números desses contrastes são:

E o erro padrão de cada contraste é dado por:

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Método de Scheffé (Exemplo Ansiedade)

Para α=0.05, temos os seguintes valores críticos:

Conclusões:

As conclusões desse teste são as mesmas que as obtidas com o teste F para contrastes ortogonais

Exercício: calcule e compare os IC para os dois contrastes acima obtidos pelo teste t e pelo Método de Scheffé

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Correção de Bonferroni para Comparações de Pares de Médias

Vimos anteriormente que o problema em usar testes t individuais de nível α para comparar todos os r=a(a – 1)/2 pares de médias é o fato de não controlar o nível de significância geral dos testes simultaneamente.

Isso é o que acontece com o teste LSDBonferroni propõe usar nível de

significância α/r em vez de α para cada um dos r teste t

Com isso, a probabilidade do erro do tipo I é no máximo α quando fazemos as comparações simultaneamente

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Determinar o Tamanho AmostralDiscutiremos técnicas para determinar o

número de replicações em experimentos com um único fator

No entanto, tais técnicas podem ser usadas em experimentos mais complexos também

Quanto menor o efeito que queremos detectar, maior será o número de replicações necessárias

Iremos determinar o tamanho amostral por dois métodos

1. Curva Característica Operacional (CO)

2. Intervalo de Confiança

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Determinar o Tamanho AmostralCurva CO: Para um determinado n, é o

gráfico da P(erro tipo II) de um teste contra um parâmetro relacionado à hipótese alternativa H1

Considere a probabilidade do erro tipo II no modelo de efeitos fixos no caso balanceado:

Então, precisamos saber a distribuição de F0 quando H0 é falsa. Pode-se mostrar que:

em que δ é o parâmetro de não-centralidade

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Determinar o Tamanho AmostralCurvas CO no Apêndice V do livro

mostram o gráfico de β contra o parâmetro Φ, sendo:

Para especificar o parâmetro Φ, o experimentador pode, por exemplo, escolher valores das médias para as quais ele gostaria de rejeitar H0 com probabilidade alta

Também precisamos de uma estimativa de σ2. Isso pode vir de conhecimento prévio do problema, teste preliminar ou simplesmente um chute

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Curva Característica OperacionalAnálise de Variância com Modelo de Efeitos Fixos

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Determinar o Tamanho AmostralNo exemplo da fibra sintética, suponha

que a engenheira está interessada em rejeitar H0 com probabilidade de no mínimo 0.90 se as médias dos tratamentos são:

Então . Por que? Ela quer usar α=0.01 e sabe que o desvio

padrão da resistência não é maior σ=3. Portanto,

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Determinar o Tamanho AmostralUsando a Curva OC, temos a seguinte

tabela:

Ela precisa de pelo menos n=6 replicações para obter um teste com poder de 0.90

O problema nesse procedimento é a dificuldade em selecionar os valores das médias dos tratamentos

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Determinar o Tamanho AmostralUma alternativa é especificar a diferença

máxima entre dois pares de médias para qual H0 não seja rejeitada

Se a diferença entre duas médias é tão grande quanto D, pode-se mostrar que o valor mínimo de Φ2 é:

O tamanho amostral obtido aqui é conservador, isto é, garante que o poder seja no mínimo tão grande quanto o especificado

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Determinar o Tamanho AmostralNo exemplo da fibra sintética, suponha

que a engenheira está interessada em rejeitar H0 com probabilidade de no mínimo 0.90 se qualquer par de tratamento difere por 10 ou mais.

Assumindo σ=3, como anteriormente, e para α=0.01, o valor mínimo de Φ2 é:

Como a equação é a mesma, podemos usar a mesma tabela e concluir que n=6

replicações são necessário para obter o poder desejado

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Determinar o Tamanho AmostralIntervalo de ConfiançaPodemos usar o conceito de IC para

determinar o tamanho da amostraA idéia é especificar a margem de erro,

dada por

Ainda no exemplo da fibra sintética, suponha a engenheira quer, com 95% de confiança, que a diferença da resistência média para duas % de algodão seja no máximo 5psi.

A estimativa do desvio padrão é σ=3. Então uma estimativa do MSE é 9.

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Calculamos a margem de erro para vários números de replicações:

Ela precisa de no mínimo n=4 replicações para ter a acurácia/margem de erro desejada

Determinar o Tamanho AmostralIntervalo de Confiança

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Vamos trabalhar... No exemplo da fibra sintética, suponha que antes de

realizar o experimento, a engenheira determinou o seguinte conjunto de comparações

1. Os contrastes são ortogonais? Se sim, use o teste F e acrescente esses contrastes na tabela ANOVA

2. Teste os contrastes usando o Método de Scheffé. As conclusões coincidem com as obtidas no item 1?

3. Construa ICs de 95% para os contrastes pelo teste t e usando o método de Scheffé. Compare os resultados.