Mec Do Continuo

MECANICA DO CONTINUO APLICADA

FUNDAMENTOS E ILUSTRACOES USANDO OPROGRAMA MATLAB

Marco Lucio BittencourtProfessor Associado

Departamento de Projeto MecanicoFaculdade de Engenharia Mecanica

UNICAMP

Campinas/SP2006

MECANICA DO CONTINUO APLICADA

FUNDAMENTOS E ILUSTRACOES USANDO OPROGRAMA MATLAB

Marco Lucio BittencourtProfessor Associado

Departamento de Projeto MecanicoFaculdade de Engenharia Mecanica

UNICAMP

Campinas/SP2006

PREFACIO

Aspectos Iniciais

A descricao e a analise de fenomenos fısicos da natureza sempre foram de interesse da hu-manidade, em particular o movimento dos corpos. Varios cientistas famosos ao longo dos ultimosseculos estudaram o movimento e a deformacao dos corpos. O objetivo principal foi o estudodo comportamento de corpos submetidos a solicitacoes quaisquer, determinando-se os esforcosinternos e os estados de deformacao e tensao.

Atualmente, os problemas de engenharia tem apresentado um carater multidisciplinar. Istopode ser justificado em parte pela propria evolucao do conhecimento humano, mas principal-mente devido a disponibilidade de recursos computacionais eficientes para a simulacao de prob-lemas. Desta forma, torna-se essencial ao engenheiro dominar os conceitos fundamentais demecanica, sendo capaz de lidar com varios tipos diferentes de problemas.

Do ponto de vista do ensino de engenharia, este fato demonstra a necessidade de se adotaruma abordagem que enfatize estes conceitos basicos e fundamentais de mecanica. Tal abordagemdevera oferecer ao engenheiro uma visao ampla dos problemas de mecanica no que se refere asformulacoes, sendo capaz por exemplo de tratar problemas de solidos e fluidos atraves de umamesma base conceitual.

Isso constitui no ponto de partida para a aplicacao do computador na solucao de problemasreais de engenharia. O desconhecimento da formulacao de um problema resulta na impossibil-idade de se compreender, de forma clara, as hipoteses fundamentais e as limitacoes do modelomecanico considerado. Tal fato torna altamente provavel a obtencao de solucoes computacionaisque nao representem o comportamento real do problema. Assim, conhecer o modelo mecanicoe o ponto fundamental de partida para a aplicacao efetiva e confiavel de tecnicas de simulacaocomputacional.

Este enfoque mais abrangente de se estudar a formulacao de problemas de mecanica toma porbase os conceitos desenvolvidos na disciplina de Mecanica do Contınuo, a qual esta fundamentadana nocao de meios contınuos e consequentemente no conceito de infinitesimal. E exatamentepor este motivo que os cursos de engenharia, em geral, possuem nos seus currıculos disciplinasde Calculo Diferencial.

No entanto, a forma usual de se ministrar os cursos basicos de engenharia, tais como Re-sistencia dos Materiais e Mecanica dos Fluidos, nao costuma fazer a devida ligacao entre oCalculo Diferencial e as discilplinas basicas de engenharia atraves da Mecanica do Contınuo.Em geral, apresentam-se conceitos particulares obtidos a partir da aplicacao dos princıpios fun-damentais da Mecanica do Contınuo com aplicacoes a problemas relativamente simples.

Isto cria uma lacuna na formacao do engenheiro, pois o mesmo, ao se deparar com problemascomplexos de engenharia, nao sera capaz de identificar em que pontos as hipoteses que resultaramnas teorias simplificadas dos cursos tradicionais de engenharia devem ser alteradas para tratar osproblemas reais. Observa-se que este metodo tradicional de ensino esta totalmente desvinculado

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dos problemas de engenharia contemporaneos e do uso da simulacao computacional.Dessa maneira, o uso de computadores nesse contexto teve o efeito de requerer do engenheiro

uma base conceitual mais solida, como podera ser comprovado a partir da leitura do texto nasecao seguinte. Essa base so pode ser adquirida atraves do estudo dos fundamentos de Mecanicado Contınuo.

Esse texto tem por objetivo apresentar os fundamentos basicos de Mecanica do Contınuo,ilustrando os mesmos com exemplos no programa Mathematica. Isso permitira ao leitor teruma visao do significado dos conceitos. O programa Mathematica e empregado para manip-ulacao simbolica em varias areas do conhecimento. O objetivo aqui nao e fazer uma introducaoao Mathematica, mas sim emprega-lo como ferramenta de auxılio para o estudo de Mecanicado Contınuo. Alguns livros citados na bibilografia podem ser utilizados como introducao aoMathematica.

Um outro aspecto do texto e utilizar como ponto de partida conceitos de calculo diferencialja estudados pelos leitores. Para isso, o texto faz uma revisao de calculo de funcoes de uma emais variaveis, antes de introduzir o conceito de tensores e calculo tensorial e posteriormente oselementos principais de Mecanica do Contınuo, tais como cinematica e deformacao. Procura-seainda na introducao de novos fundamentos sempre explorar a intuicao e a analogia com conceitossimilares ja estudados.

A secao seguinte apresenta o discurso A Revolucao na Mecanica Aplicada, proferido peloProf. John Tinsley Oden da Universidade do Texas em Austin na cerimonia de condecoracaocom a medalha Timoshenko, concedida no jantar da Divisao de Mecanica Aplicada da ASME noCongresso Internacional de Engenharia Mecanica (IMECE) e publicado na Applied MechanicsNewsletter em seu numero do verao de 1997. A traducao foi realizada pelo Prof. Jose Roberto deFranca Arruda do Departamento de Mecanica Computacional da FEM/UNICAMP e publicadona Revista Brasileira de Ciencias Mecanicas. Esse discurso e aqui transcrito devido a suafundamental importancia no contexto de Mecanica Computacional e os objetivos que esse textose insere.

A Revolucao na Mecanica Aplicada

A Divisao de Mecanica Aplicada da ASME estabeleceu a medalha Timoshenko em 1957 parareconhecer o merito de trabalhos na area. O primeiro condecorado com ela foi o proprio StephenP. Timoshenko, um indivıduo que contribuiu enormemente para o prestıgio e a vitalidade damecanica neste paıs e uma legenda que eu, como jovem estudante em mecanica, olhava como umheroi especial, uma pessoa a ser admirada e imitada. Ser honrado com a Medalha Timoshenkopela AMD e para mim um evento muito especial pelo qual eu serei eternamente grato. Eu voudar o melhor de mim para porta-la no nıvel da honra deste premio e para manter o alto padraoexemplificado pelos que a receberam antes de mim.

Eu comeco esta apresentacao com a observacao um tanto conspıcua de que, durante minhacarreira em mecanica aplicada, uma revolucao especial ocorreu, que mudou para sempre a areae que vai afetar permanentemente a maneira como toda a ciencia e feita. Falo, e claro, dosurgimento do computador: a computacao acrescentou um pilar aos dois classicos pilares dometodo cientıfico, teoria e experimento, um pilar que abrange os dois tradicionais mas que osexpande de formas nunca sonhadas nos dias de Timoshenko.

Antes de eu comentar mais esta revolucao e meu papel nela eu vou, primeiramente, como ecostume nestes eventos, falar de alguns fatos pessoais que tracaram os caminhos que me troux-eram ate aqui. Quando eu era jovem, uma pneumonia me deixou um ano atrasado na escola.Quando cheguei a Universidade, eu prometi a mim mesmo recuperar o tempo perdido e, entao,

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terminei um curso de cinco anos (154 horas semestrais) em tres e um Ph.D. em mais tres. Comvinte e cinco anos eu comecei uma carreira em pesquisa em mecanica e engenharia de com-putacao. Minha iniciacao no lado computacional moderno da engenharia aconteceu no inıciodos anos 60. De posse de um recente diploma de Ph.D. em mecanica da engenharia tradicionalda Oklahoma State, eu entrei para a divisao de Pesquisa e Desenvolvimento da General Dy-namics, em Fort Worth, em 1963, onde fui trabalhar com Gilber C. Best no desenvolvimentode um programa de computador baseado no metodo dos elementos finitos, uma nova tecnologiapromissora que GD pensava ser util na analise e projeto de estruturas aeronauticas. Trabal-har com Gil era uma honra que poucos tinham na ”fabrica do bombardeiro.”Um auto didatacom inteligencia superior, ele silenciosamente me introduziu no seu trabalho no grande projetoque, nos pensavamos, revolucionaria a mecanica estrutural na companhia. Apesar de ambostermos no inıcio apenas parcos conhecimentos de FORTRAN, nos lancamos num projeto quehoje eu nao comecaria sem uma equipe de dez ou mais colaboradores, com Ph.D.s em tres ouquatro areas diferentes. Em cerca de dez meses, trabalhando longas horas, desenvolvemos o C-28, um dos primeiros programas de elementos finitos de uso geral desenvolvidos na industriaaeronautica nos anos 60. Foi um teste de fogo; trabalhando muitas horas cada semana, nosdesenvolvemos um catalogo de elementos finitos para placas, cascas, corpos tridimensionais ecompositos laminados; desenvolvemos analise modal de vibracoes estruturais, dinamica estrutu-ral transitoria, otimizacao estrutural, elementos hıbridos baseados na energia complementar eprincıpios de Reissner, muitos destes desenvolvimentos representando resultados que so apare-ceriam na literatura quinze anos depois. Nos recebemos um pouco de reconhecimento interno erecompensas pelo nosso trabalho, mas eu, e penso que Gil tambem, ficamos perplexos com o fatode que alguns dos nossos esquemas simplesmente nao funcionavam.

Taxas de convergencia eram impossıveis de prever e as bases matematicas reais de nossosesquemas eram obscuras para nos. Nos precisavamos saber mais sobre as bases matematicassubjacentes que, nesta epoca, eram desconhecidas.

Em 1964 entrei para o Instituto de Pesquisa da Universidade do Alabama em Huntsville, ondefica o Marshall Space Flight Center e o Comando de Mısseis do Exercito, um cadinho de cienciae tecnologia com um novo programa de pos-graduacao em mecanica da engenharia (”engineeringmechanics”). Nao havia um curso de graduacao, apenas mil e cem excelentes alunos de pos-graduacao, que tinham que aprender o suficiente para por um homem na lua em um prazo decinco anos e um corpo docente de cerca de vinte e cinco a trinta pessoas. Eu ensinava quase tudo,de equacoes diferenciais parciais, analise complexa e mecanica do contınuo ate os primordios daanalise funcional e teoria de aproximacoes, incluindo um primeiro curso completo, com notaspessoais, de elementos finitos e outro de elementos finitos aplicados a mecanica do contınuo naolinear. Gerry Wempner era um colega la e ele me dava conselhos e crıticas em relacao ao meutrabalho, pelos quais serei sempre grato. Foi entao que eu comecei a entender e desvendar aspropriedades matematicas subjacentes ao metodo dos elementos finitos e a aplica-las a problemasem mecanica do contınuo nao linear, particularmente em elasticidade finita e, comecando porvolta de 1970, escoamentos viscosos incompressıveis, a equacao de Navier-Stokes. Me mudei parao Texas em 1973 e, desde entao, tenho trabalhado la nestes assuntos e outros relacionados; masminha investigacao das bases matematicas da computacao me levaram tambem a me aventurarno lado matematico da mecanica teorica.

Com a explosao da mecanica computacional no inıcio dos anos 60, veio uma era em quea computacao era vista com suspeicao e desconfianca por parte da comunidade de mecanica;as novas metodologias e dispositivos de calculo, puseram nas maos de gente destreinada e in-experiente ferramentas poderosas que podem ser facilmente mal usadas e que, numa primeiraimpressao, poderiam reduzir a dignidade e importancia desta ciencia. Entretanto, enquanto os

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abusos sempre sao possıveis, uma avaliacao mais amadurecida revela que a computacao esten-deu o escopo da mecanica a fronteiras muito alem das de ontem, limites ainda desconhecidos enao bem definidos. Eu deveria dizer que a Divisao de Mecanica Aplicada reconheceu o valor damecanica computacional; de fato, outros mecanicos computacionais ja foram agraciados com aMedalha Timoshenko: Sir Richard Southwell, em 1959, e talvez outros.

Eu acho que esta muito claro que a mecanica computacional criou uma visao muito maisbasica e fundamental da mecanica do que se pensava tradicionalmente possıvel. Ela forcou acomunidade de mecanica a reavaliar as bases do assunto como uma ferramenta de engenharia ea ser consciente do papel maior representado pela modelagem matematica na pratica da engen-haria. Afora algum valor sentimental, muitas das teorias aproximadas da mecanica, apreciadasquando voces e eu eramos estudantes, foram reduzidas em sua importancia em comparacaoa duas decadas atras, quando nao se tornaram rapidamente obsoletas. Pode levar mais umageracao ou duas para que este fato fique evidente nos cursos de graduacao em mecanica.

O mecanico da engenharia de sucesso (”engineering mechanician”), nos nossos dias, deve terum conhecimento mais fundamental da mecanica basica do que seus predecessores. Hoje, os en-genheiros devem compreender e lidar com os conceitos fundamentais de cinematica, deformacao,tensao, escoamento, camada limite, recirculacao, comportamento de materiais, efeitos termicos,etc.; e devem ter o ferramental matematico para caracterizar e lidar com estes conceitos paraconstruir aproximacoes numericas confiaveis. Portanto, a computacao, esta nova ferramenta,nos forcou a desenvolver uma ideia mais clara e melhor dos processos que precisamos utilizarpara fazer mecanica. A teoria do comportamento mecanico dos solidos e fluidos prove a basepara o desenvolvimento de modelos matematicos e a compreensao das propriedades qualitati-vas destes modelos e de sua aproximacao numerica exerceu, compreensivelmente, uma maiordemanda no nosso uso da matematica e, talvez surpreendentemente, aumentou, ao inves dediminuir, a necessidade de uma matematica mais aprofundada e de uma maior obediencia aorigor matematico.

Timoshenko frequentemente pregava a importancia da matematica como um fio entrelacado,inseparavel do tecido da mecanica. Seu trabalho demonstrou muitas vezes a interconexao damodelagem matematica de eventos mecanicos com o uso da matematica, nao apenas como lin-guagem para comunicar o pensamento cientıfico, mas tambem como um guia para experimentosfısicos para a medida do comportamento dos corpos materiais sob a acao de forcas.

Em minha propria experiencia, a matematica transcendeu o seu papel classico de mera lin-guagem usada para descrever modelos da natureza, emergindo de um modo quase espiritual, queda um ”insight”das proprias regras que a natureza impoe na maneira como os eventos fısicosocorrem. Eu experimentei este fenomeno muitas vezes; fico constantemente impressionado comele, mas acho difıcil explica-lo ou racionaliza-lo. Como podem estes eventos fısicos que se mani-festam a nossa volta e que dependem das forcas e do conteudo material do universo fısico estaremsubordinados de qualquer modo que seja a regras matematicas abstratas que sao puros produtosda mente humana? Esta questao, vejam, eleva o papel da matematica muito alem de um mero”script”que usamos para traduzir elucubracoes mentais sobre como esperamos que se comporte anatureza em modelos, um papel onde ela de fato dita os padroes dos modelos que sao necessariospara retratar eventos fısicos.

Talvez seja porque a mecanica teorica tenha ela mesmo influenciado a matematica. Istocertamente era verdade um seculo ou mais atras, mas a influencia esta menos presente hoje doque foi nos dias da filosofia natural, quando a mecanica e a matematica eram tao estreitamenteentrelacadas, quase indistinguıveis. As solidas teorias fundamentais da mecanica, aquelas quesobreviveram o debate, o estudo, o escrutınio e o teste, as que fazem as bases do assunto e forampassadas para as geracoes seguintes, formam o padrao de medida com o qual os bons modelos

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matematicos sao aferidos. O fato interessante e frequentemente inesperado e que uma vez que amatematica fica estabelecida, ela, por sua vez, passa a prover a estrutura de sustentacao sobre aqual as novas teorias mecanicas devem se assentar. O que e menos reconhecido, mas de grandeimportancia, e que a implementacao destes modelos, para ter exito, tambem deve se conformara estrutura matematica estabelecida por pesquisas desenvolvidas a duras penas ao longo de meioseculo ou mais.

A nocao do papel da matematica e da computacao na matematica e, pelo que posso avaliar,bem conhecida, mas ela emergiu, na minha propria experiencia, de formas que eu nao podiaantever. Posso citar varios exemplos, mas um que frequentemente me vem a mente surgiu de meutrabalho sobre modelos de atrito para o contato dinamico em mecanica dos solidos. O problemade Signorini da elasticidade linear, por exemplo, prove um modelo classico bastante razoaveldo contato de um corpo elastico com uma fundacao rıgida. Este e um modelo perfeitamentesatisfatorio para se estudar uma variedade de fenomenos de contato e provou se util por mais demeio seculo. Entretanto, quando voce acrescenta ao problema o fenomeno de atrito governadopela lei de Coulomb, uma extensao que pode parecer muito natural para estudantes principiantesem mecanica classica, o modelo degenera completamente! A propria existencia de uma solucaoe questionavel, e este foi um problema matematico que ficou aberto por 25 anos. Nos agorasabemos que, para certas condicoes de contorno ideais e certos carregamentos, algumas dassolucoes de problemas de contato com atrito usando a lei de Coulomb que encontramos naliteratura estao provavelmente corretas, ainda que nao sejam fisicamente realistas, mas tambemtemos resultados concretos de nao-existencia: de fato, nao existe solucao em alguns casos que,na superfıcie, podem parecer fisicamente realısticos, e isto sublinha o fato de que a caracterizacaofeita por Coulomb deve, em geral, ser usada com muito cuidado ou nao ser usada de maneiranenhuma.

Para desenvolver um modelo de contato dinamico com atrito que esteja coberto por umateoria de existencia tratavel, a caracterizacao matematica do atrito e do contato tiveram queser mudadas. Eu nunca vou esquecer a excitacao que experimentei quando percebi que as mod-ificacoes no modelo suficientes para permitir a existencia de solucoes e, de certa forma, a boacolocacao do problema matematico, eram precisamente aquelas observadas em muitos experimen-tos de laboratorio. Uma vez que esta conexao foi abservada, e claro, toda a mecanica subjacenteao conceito de contato dinamico com atrito em superfıcies elasticas foi desvendada e ficou ex-posta e compreendida: o ”insight”fısico, ou pode ter sido um ”hindsight”, prevaleceu, e velhosparadoxos e conflitos entre teoria e experimento foram resolvidos, tudo consistentemente como chamado julgamento de engenharia. Mas a solucao dos paradoxos foi encontrada partindoprimeiro de um argumento matematico, seguido de cuidadosas simulacoes em computador emlarga escala e, entao, experimentos fısicos.

Alias, nao confundam o que eu estou dizendo sobre mecanica matematica com qualquer en-dosso da tentativa de axiomizar a mecanica, um objetivo que remonta a Aristoteles e que foiapaixonadamente seguido nos anos 60; um empreendimento que, alguns dizem, fracassou. Eunao concordo necessariamente com esta avaliacao; so estou apontando aqui o fato que a mecanicateorica, e mesmo toda a fısica teorica, esta baseda em teorias que sao geralmente descritas emuma estrutura matematica que permite a construcao dos chamados modelos matematicos. Estassao abstracoes matematicas que descrevem idealizacoes dos fenomenos fısicos. Esta modelagem,de novo um produto de um processo intelectual puramente humano, moldado por anos de de-senvolvimento cientıfico e experiencia, produziu benefıcios incontaveis a ciencia moderna e atecnologia e ajudou a humanidade a exercitar seu controle do meio ambiente e seu conhecimentode alguns dos segredos da natureza. Existe, na aplicacao destes modelos, um conjunto definidode regras, um dogma rıgido que deve ser seguido para que os modelos funcionem, e isto esta

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baseado na matematica. Sua aplicacao de exito a problemas relevantes exige cada vez mais umaciencia e tecnologia computacionais implementadas corretamente.

Onde esta revolucao do metodo cientıfico esta nos levando? Eu oscilei ao longo dos anosna resposta a esta pergunta: a comunidade de mecanica esta superestimando ou subestimando apoder e a utilidade da mecanica computacional? Correndo o risco de ofender alguns, eu vou afir-mar que, se a sua visao da mecanica computacional e representada pelos ”softwares”comerciaisatuais de mecanica dos solidos e dos fluidos, entao as possibilidades, tao dramaticas, uteis e sig-nificativas sejam elas, estao provavelmente superestimadas por muitos usuarios e marketeiros;mas, se a mecanica computacional e vista no contexto das capacidades em rapido desenvolvi-mento da ciencia da computacao e da computacao de alto desempenho, entao o poder e a utilidadeestao significativamente subestimadas pela maioria da comunidade. Em 1946, o Foniac era capazde fazer 5000 operacoes de ponto flutuante por segundo; pelos meados da decada de 60, o CDC6600 fazia cerca de 1 milhao de operacoes por segundo, o CRAY Y X-MP, 440 milhoes no finaldos anos 80, e, hoje, os computadores rotineiramente fazem 25 bilhoes de operacoes por segundo.Em 1998 esperamos ter velocidades de teraflops, um trilhao por segundo, e armazenamento tipoBeta, com 1000 trilhoes de bytes de informacao armazenadas e disponıveis para simulacoes emlarga escala.

O que seremos capazes de fazer com estes recursos sem precedentes de velocidade e memoria:Ja existem trabalhos em andamento visando explorar estas capacidades em aplicacoes mecanicasvitais. Novamente, consideracoes matematicas serao, como sempre, o guia para o uso apropriadoe efetivo destas ferramentas.

Nos nossos dias existe uma crescente literatura sobre metodos para selecionar o proprio mod-elo matematico. Eu vejo isso como um dos mais importantes desenvolvimentos na mecanica nonosso seculo. Isto incorpora um metodo cientıfico que enfrenta as questoes mais fundamentaisem mecanica aplicada, ou mesmo em fısica matematica: que modelo matematico escolher paraestudar de forma efetiva uma classe bem definida de fenomenos mecanicos? Que escalas tempo-rais e espaciais na micromecanica afetam os resultados observados de forma substancial? Comoestes fenomenos em escala micro interagem para produzir observacoes em escala macro?

A solucao destas questoes reside na nocao de modelagem hierarquica, de estimacao ”a pos-teriori”de erros de modelagem, de modelagem adaptativa, nocoes matematicas que surgem nat-uralmente em problemas importantes da mecanica teorica e aplicada quando colocadas na es-trutura matematica apropriada, mas que, quando apropriadamente implementadas, vao requerertambem uma ciencia da computacao de ponta. Trata-se de um assunto que, por exemplo, revisaracompletamente a maneira como lidamos com materiais compositos, escoamentos multi-fasicos,mecanica do dano e, eventualmente, mesmo a turbulencia. Este e um tema de grande interessepara mim, no qual estou ativamente envolvido hoje, e um tema que, estou convencido, tera umimpacto fundamental na mecanica teorica e aplicada no futuro.

Enquanto reflito sobre estes eventos e ideias, compartilho os sentimentos de um recentecontemplado com a medalha de Timoshenko, John Lumley, que disse que a medida em que eleficava mais velho, ele achava a si mesmo ”supervisionando outros, que sao os que ficam com todaa diversao.”Ainda assim, existem novas, excitantes, compensadoras e desafiadoras oportunidadesdemais para deixarmos que os outros tenham toda a diversao. Eu admito que eu tive um destinoparecido. Mas eu planejo encontrar tempo para me envolver em algumas das grandes coisasguardadas para o futuro da Mecanica Aplicada.

Mais uma vez quero agradecer a Divisao de Mecanica Aplicada por esta honra singular. Seique estes premios nao acontecem acidentalmente; antes, requerem o apoio generoso de amigos eindivıduos da comunidade de mecanica. Para estes anonimos que me apoiaram eu expresso meussinceros agradecimentos. Agradeco especialmente minha esposa Barbara, cujo suporte atraves

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de nossos 32 anos juntos tornou meu trabalho possıvel, meus filhos, Lee e Walker, e meu futurogenro, Nick, cujo amor e suporte eu vou sempre prezar com carinho e minha mae, muito debil-itada para estar conosco hoje, que me amou, guiou e apoiou por toda a minha vida. Eu reiterominha promessa de persistentemente honrar esta medalha e porta-la com a dignidade identifi-cada por aquele que lhe deu o nome, Stephen P. Timoshenko. Obrigado por sua generosidade e,para todos, os meus melhores votos.

Organizacao do Texto

Esse texto esta organizado como se segue. O Capıtulo 1 traz o conceito de notacao indicialque e bastante empregada para a representacao de grandezas em fısica-matematica. Comomencionado posteriormente, a notacao indicial sera apresentada, mas o seu uso nesse trabalhosera limitado para que o leitor nao confunda a representacao de um conceito em um certo sistemade coordenadas com a sua propria definicao. Essa distincao e fundamental.

Os Capıtulos 2 e 3 apresentam uma revisao de funcoes e calculo diferencial de uma e variasvariaveis. Os conceitos serao ilustrados com exemplos no Mathematica. O Capıtulo 4 introduzo conceito de tensor e a analise tensorial. Os 4 primeiros capıtulos constituem no ferramentalmatematico basico usado em Mecanica do Contınuo.

Os Capıtulo 5 a 8 consideram, respectivamente, os conceitos de movimento e deformacao,tensao, equacoes constitutivas e princıpios integrais de mecanica. Esses topicos constituem aparte central de Mecanica do Contınuo.

Todos os capıtulos apresentam exemplos, exercıcios resolvidos e propostos e arquivos doMathematica.

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Sumario

1 NOTACAO INDICIAL 11.1 Definicao de Notacao Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Convencao de Somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Sımbolo de Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.3 Fatoracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.4 Contracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Notacao de Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 ESCALARES E FUNCOES DE UMA VARIAVEL 172.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Subconjuntos e igualdade entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Operacoes em conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Relacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Conjuntos de Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Elementos Limites de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Funcao de uma Variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Funcoes Compostas e Funcoes Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9.1 Regras de diferenciacao e derivadas de alta ordem . . . . . . . . . . . . . 332.9.2 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9.3 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9.4 Diferencial e definicao alternativa de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10 Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.11 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 VETORES, ESPACOS VETORIAIS E FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 433.1 Pontos e Vetores. Espacos Pontuais e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Subespaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Combinacao e Dependencia Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Dimensao e Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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3.5 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Sistema de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7 Componentes de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.9 Funcoes de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.10 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.11 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.12 Diferenciais e Definicao Alternativa de Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . 57

3.13 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.14 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.15 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.16 Expansao em Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.17 Interpretacao do Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.18 Gradiente de um Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.19 Divergencia de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.20 Rotacional de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.21 Laplaciano de um Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.22 Integracao de Funcoes de Varias Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.23 Integrais Curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.24 Integral de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.25 Teoremas de Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.25.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.25.2 Teorema da Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.25.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.26 Integracao por Partes Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.27 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.28 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 TENSORES 91

4.1 Definicao de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Representacao de um Tensor de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 Tensor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Tensor Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 Soma de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6 Produto de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.7 Tensor Transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.8 Tensores Simetrico e Antissimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.9 Produto Tensorial de Dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.10 Traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.11 Determinante e Tensor Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.12 Tensor Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.13 Tensor Positivo-Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.14 Vetor Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.15 Leis de Transformacao para Vetores e Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.16 Autovetores e Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.17 Valores e Direcoes Principais de Tensores Simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.18 Diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.19 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

x

4.20 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.21 Derivada das Componentes de um Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.22 Expansao em Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.23 Gradiente, Divergente, Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.23.1 Gradiente de uma funcao escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.23.2 Gradiente de uma funcao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.23.3 Divergente de uma funcao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.23.4 Divergente de uma funcao tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.23.5 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.24 Teorema da Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.25 Tensores de Alta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.26 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


5 DEFORMACAO 133

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Caracterizacao da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 Descricoes Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4 Descricao Material da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5 Descricao Espacial da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.6 Deformacao Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.7 Interpretacao das Componentes de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.8 Deformacoes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.9 Dilatacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.10 Taxa de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.11 Exercıcio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152


6 TENSAO 159

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.2 Forcas de Corpo e de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3 Princıpios das Quantidades de Movimento Linear e Angular . . . . . . . . . . . . 162

6.4 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4.1 Tensor de tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4.2 Simetria do tensor de tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.4.3 Equacao de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5 Tensoes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.6 Condicoes de Contorno para o Tensor de Tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


7 EQUACOES CONSTITUTIVAS 171

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2 Solido Elastico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.1 Solido Elastico Linear Isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3.2 Fluidos compressıveis e incompressıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3.3 Equacao da hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

xi

7.3.4 Fluido em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.3.5 Fluido newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3.6 Fluido newtoniano incompressıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8 DINAMICA DE CORPOS RIGIDOS 1818.1 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.2 Cinematica de um Meio Contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3 Cinematica de Corpo Rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.4 Sistemas de Referencia Inercial e Movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.5 Vetores de Posicao, Velocidade e Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

9 MECANICA DOS SOLIDOS LINEAR 2059.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.2 Potencias Externa e Interna e Princıpio da Potencia Virtual . . . . . . . . . . . . 206

9.2.1 Potencia externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.2.2 Potencia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.2.3 Princıpio da potencia virtual (PPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.3 Barra – Tracao e Compressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.3.1 Exercıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.4 Aspectos Gerais da Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.4.2 Taxa de deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4.3 Princıpio das potencias virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.5 Torcao em Eixos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.5.1 Exercıcio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xii

Lista de Figuras

1.1 Indices livre e repetido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Sımbolo de permutacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Diagramas de Venn [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Dois conjuntos A e B e a funcao f : A → B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Exemplo e contra exemplo de funcao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Conjunto imagem Img (f) da funcao f : A → B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 graf (f) = (x, f(x)) : x ∈ A das funcoes fi : A → Y , i = 1, 2 [5]. . . . . . . . . . 25

2.6 Relacoes dos exemplos 2.12 e 2.13 [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Classificacao de funcoes [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Composicao das funcoes f e g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9 Funcao inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10 Conceitos de limite e continuidade [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.11 Funcoes contınua e descontınua em x = x0 [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.12 Definicao de f ′(a) como o limite de f para x → a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.13 Particao do intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.14 Funcao f : X → Y e o retangulo com area A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.15 Trabalho de uma forca variavel em funcao do deslocamento. . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Pontos e vetores em uma regiao B do espaco euclidiano. . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Sistema de coordenadas cartesiano associado a B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Componentes de um vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Produtos entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Funcao de duas variaveis f(x, y) =(x2 − y2

) 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Nıveis de variaveis na regra da cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Derivada direcional na direcao u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Expansao em serie de Taylor de uma funcao de uma variavel em termos de F (ε) [1]. 64

3.9 Expansao em serie de Taylor de uma funcao de duas variaveis em termos de F (ε)[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.10 Campo vetorial do exemplo 3.24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.11 Funcoes f : <2 → < e os seus campos vetoriais gradiente correspondentes. . . . . 68

3.12 Exemplos de campos vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.13 Campos vetoriais e seus rotacionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.14 Particao de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.15 Funcao f(x, y) = x2 + y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.16 Curva parametrica C e sua particao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.17 Regiao no plano uv e superfıcie parametrica S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.18 Particao de R e imagem na superfıcie parametrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

xiii

3.19 Curvas parametricas no ponto r(ui, vi) e paralelogramo Pi. . . . . . . . . . . . . 78

3.20 Projecoes do elemento de superfıcie nos planos coordenados. . . . . . . . . . . . . 81

3.21 Orientacao positiva da curva C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.22 Campo vetorial do exemplo 3.36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.23 Superfıcie orientada usada no teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1 Espelhamento de vetores em torno de e1 atraves de T. . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Rotacoes no sentido anti-horario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Sistemas cartesianos retangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Regra da cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.5 Corpo rıgido e os sistemas de referencia inercial e movel. . . . . . . . . . . . . . . 123

4.6 Interpretacao geometrica de ∇ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.1 Deformacoes numa a) barra; b) viga; c) e d) eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Configuracao de referencia B e seu contorno ∂B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3 Campos vetoriais ut(X) e ut(x) caracterizando, respectivamente, a deformacaoft(X) e sua inversa f−1

t (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4 Barra alongada de um comprimento L0 para L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.5 Descricoes material (ut(X)) e espacial (ut(x)) da deformacao. . . . . . . . . . . . 139

5.6 Quadrado unitario OABC deformado para OAB’C’. . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.7 Interpretacao da componente de deformacao εxx: a) ∂u1∂X1

> 0, b) ∂u1∂X1

< 0. . . . . . 143

5.8 Interpretacao da deformacao de cisalhamento γxy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.9 Deformacao dos elementos dX1 e dX2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.10 Deformacao da diagonal AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.11 Alongamentos nas direcoes principais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.1 Hipotese de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2 Formal alternativa para ilustrar a hipotese de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3 Forcas de contato: a) entre superfıcies de corpos; b) entre a superfıcie de umcorpo e seu ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.4 Tetraedro infinitesimal contendo o ponto P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.5 Componentes cartesianas do tensor de tensoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.6 Diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.7 Elemento infinitesimal com as componentes de tensao. . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.8 Condicao de contorno de tensao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.1 Cinematica de um corpo solido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.2 Deformacao de um Corpo Solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.3 Rotacoes rıgidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.4 Interpretacao da rotacao rıgida de uma viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.5 Rotacao rıgida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.6 Rotacao de um retangulo de 90 graus em torno de z. . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.7 Corpo rıgido e os sistemas de referencia inercial e movel. . . . . . . . . . . . . . . 201

8.8 Rotacoes em X, Y e Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.9 Questao 4 (SHABANA, 1989). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.10 Questoes 5 e 6 (MERIAM, J.L., 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.11 Questoes 7 e 8 (MERIAM, J.L., 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.12 Questoes 9 (SANTOS, I.M., 2001) e 10 (MERIAM, J.L., 2003) . . . . . . . . . . 203

8.13 Questoes 11 e 12 (MERIAM, J.L., 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

xiv

9.1 Esquema de solucao de um problema de mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.2 Espacos V, V ′, W e W ′ e as potencias externa e interna associadas. . . . . . . . . 2079.3 Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas. . . . . . . . . 2099.4 a) Secoes transversais planas e normais ao eixo x; b) secoes transversais per-

manecem planas e normais apos a acao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . 2109.5 Relacao entre os espacos de acoes de movimento V e das taxas de deformacao W. 2119.6 Barra: a) forcas externas; b) convencao de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.7 Formulacao variacional do problema de barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2149.8 Tensao constante nos pontos de uma secao da barra: a) tracao; b) compressao. . 2149.9 Condicoes de contorno em termos de deslocamento numa barra. . . . . . . . . . . 2159.10 Barra submetida a carregamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.11 Barra: a) apoiada sobre mola; b) com folga ∆u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.12 Barra hiperestatica com dois trechos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.13 Barra: a) trecho AB; b) equilıbrio na interface; c) trecho BC. . . . . . . . . . . . 2209.14 Relacao entre os espacos de acoes de movimento V e de taxas de deformacao W. 2249.15 Esquema de solucao dos problemas de mecanica pela abordagem variacional. . . 2259.16 a) Rotacao da secao transversal do eixo; b) efeito da torcao no plano longitudinal

imaginario DO1O2C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.17 Resultante em termos de momento torcor na secao transversal do eixo (A=area

da secao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.18 Eixo: a) esforcos externos; b) convencao de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.19 Esquema da formulacao variacional do eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.20 Distribuicao da tensao de cisalhamento na secao de um eixo: a) Mx > 0; b) Mx < 0.2329.21 Eixo com secoes circulares cheia e vazada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xv

Capıtulo 1

NOTACAO INDICIAL

A notacao indicial e uma forma compacta de se representar e manipular sistemas de equacoes,combinacoes lineares e somatorios. Foi introduzida por Einstein para denotar grandezas emespacos de dimensao superior a 3.

Embora varios conceitos em Mecanica do Contınuo possam ser introduzidos empregando anotacao indicial, limita-se o seu uso neste texto. De forma geral, ao se empregar ındices, podehaver uma confusao entre a definicao do conceito e a sua representacao em notacao indicial.Por exemplo, um vetor v e dado pela diferenca de pontos do espaco euclidiano, enquanto arepresentacao em notacao indicial e indicada como vi. Logo, a definicao de vetor e independenteda sua representacao em notacao indicial. No entanto, em varias situacoes, a notacao indicial ebastante util, como por exemplo ao se trabalhar com equacoes constitutivas de materiais. Nestetexto, emprega-se a notacao direta para a definicao de conceitos, sendo a notacao indicial usadaapenas para ilustrar e operar sobre os conceitos ja definidos.

Nas secoes seguintes, definem-se os conceitos de ındices repetidos e livres e as operacoesempregando estes ındices. Este capıtulo esta baseado na referencia [4].

1.1 Definicao de Notacao Indicial

Um conjunto de variaveis x1, x2, . . . , xn e geralmente denotado como xi (i = 1, 2, . . . , n). Quandoescrito isoladamente, o sımbolo xi indica qualquer uma das variaveis x1, x2, . . . , xn. O intervalode variacao do ındice i (i = 1, 2, . . . , n) deve ser sempre dado. Este ındice pode ser denotadocomo um subscrito ou sobrescrito, ou seja, xi ou xi sao ambos validos. Um sistema de notacoesusando ındices e denominado notacao indicial.

1.2 Convencao de Somatorio

Considere a equacao de um plano no sistema de referencia cartesiano tridimensional com eixosx1, x2, x3

a1x1 + a2x2 + a3x3 = p, (1.1)

sendo a1, a2, a3 e p constantes. Usualmente, a expressao anterior e escrita como

ax + by + cz = d.

1

2 28 de junho de 2007–Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt #1

Pode-se denotar expressoes como (1.1) em termos do seguinte somatorio

3∑

i=1

aixi = p. (1.2)

Introduzindo a convencao de somatorio, denota-se a equacao anterior como

aixi = p. (1.3)

A notacao indicial permite escrever expressoes em uma forma compacta.

A convencao e a seguinte: a repeticao de um ındice em um termo representara um somatoriocom respeito a esse ındice no seu intervalo de variacao. O intervalo de variacao de um ındicee o conjunto de numeros inteiros de 1 a n. Em geral, na Mecanica do Contınuo, n sera 1, 2ou 3, respectivamente, para problemas uni, bi e tridimensionais. Como este ındice e empregadoapenas para indicar uma soma e chamado ındice falso ou repetido, pois o sımbolo usado nosomatorio se torna indiferente no resultado final. Assim, por exemplo aixi pode ser denotadocomo ajxj sem alterar o significado da expressao. Um ındice que nao e somado e denominadoındice livre e indica o numero de equacoes associado ao termo em notacao indicial. Observe osexemplos a seguir, nos quais i e k representam ındices livres, enquanto j e um ındice repetido.

Exemplo 1.1 Expandir a expressao bijcj dada em notacao indicial para i, j = 1, 2, 3.

Neste caso, j e um ındice repetido pois aparece duas vezes no termo bijcj . Aplica-se entao aconvencao do somatorio, ou seja,

bijcj =3∑

j=1

bijcj = bi1c1 + bi2c2 + bi3c3.

Por sua vez, i e um ındice nao-repetido ou livre e seu intervalo de variacao tambem e de 1 a 3.Cada valor de i correspondera a uma equacao. Logo, tomando a expressao anterior vem que

i = 1 → b11c1 + b12c2 + b13c3,i = 2 → b21c1 + b22c2 + b23c3,i = 3 → b31c1 + b32c2 + b33c3.

Portanto, bijcj representa as 3 equacoes seguintes

bijcj =

b11c1 + b12c2 + b13c3

b21c1 + b22c2 + b23c3

b31c1 + b32c2 + b33c3

.

Verifica-se ainda que as 3 expressoes anteriores indicam o produto de uma matriz [B] porum vetor c, ou seja,

bijcj = [B]c =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

c1

c2

c3

.

2

28 de junho de 2007–DRAFT DPM/FEM/UNICAMP#1 3

Exemplo 1.2 Expandir a expressao αijβjk em notacao indicial para i, j, k = 1, 2, 3.Observa-se que j e um ındice repetido e aplica-se a convencao do somatorio, ou seja,

αijβjk =3∑

j=1

αijβjk = αi1β1k + αi2β2k + αi3β3k.

Neste caso, i e k sao ındices livres e para cada ındice deve-se expandir 3 equacoes resultandonum total de 9 equacoes. Considerando o ındice i inicialmente vem que

αi1β1k + αi2β2k + αi3β3k =

α11β1k + α12β2k + α13β3k

α21β1k + α22β2k + α23β3k

α31β1k + α32β2k + α33β3k

.

Para cada um das 3 equacoes anteriores, expande-se o ındice k. Logo,

α11β1k + α12β2k + α13β3k =

α11β11 + α12β21 + α13β31

α11β12 + α12β22 + α13β32

α11β13 + α12β23 + α13β33

,

α21β1k + α22β2k + α23β3k =

α21β11 + α22β21 + α23β31

α21β12 + α22β22 + α23β32

α21β13 + α22β23 + α23β33

,

α31β1k + α32β2k + α33β3k =

α31β11 + α32β21 + α33β31

α31β12 + α32β22 + α33β32

α31β13 + α32β23 + α33β33

.

Portanto, a expressao αijβjk em notacao indicial com i, j, k = 1, 2, 3 representa as 9 equacoesanteriores, as quais podem ser denotadas matricialmente como o seguinte produto de duas ma-trizes [α] e [β] de ordem 3

αijβjk = [α][β] =

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

β11 β12 β13

β21 β22 β23

β31 β32 β33

.

2

Verifica-se, entao, que um ındice repetido faz com que a expressao se expanda na direcaohorizontal ao se aplicar a convencao do somatorio. Por sua vez, o ındice livre indica o numerototal de equacoes, fazendo com que a expressao em notacao indicial se expanda na direcaovertical. Esta ideia esta ilustrada na Figura 1.1. Nos exemplos anteriores, o ındice repetido je somado de 1 a 3 abrindo as expressoes horizontalmente. Ja os ındices livres i e k indicam onumero de equacoes na direcao vertical. No segundo exemplo, como se tem dois ındices livres (ie k), deve-se expandir cada um deles no intervalo de 1 a 3, obtendo-se um total de 9 equacoes.Considere agora mais dois exemplos.

Exemplo 1.3 Considere a expressao em notacao indicial yi = aimxm (i,m = 1, 2, 3). Observa-se que i e um ındice livre enquanto m e um ındice repetido. A expressao yi = aimxm (i,m = 1, 2, 3)representa um sistema de equacoes como pode ser visto pelo desenvolvimento dos ındices a seguir.

Expandindo o ındice livre i e aplicando a convencao de somatorio para m vem que

yi = aimxm =

y1 = a1mxm =∑3

m=1 a1mxm = a11x1 + a12x2 + a13x3

y2 = a2mxm =∑3

m=1 a2mxm = a21x1 + a22x2 + a23x3

y3 = a3mxm =∑3

m=1 a3mxm = a31x1 + a32x2 + a33x3

.


Figura 1.1: Indices livre e repetido.

A expressao anterior representa um sistema de equacoes da forma matricial y = [A]x, ouseja,

y1

y2

y3

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x1

x2

x3

.

2

Exemplo 1.4 Na expressao Tij = aimxjm (i, j,m = 1, 2, 3) tem-se que i e j sao ındices livresenquanto m e um ındice repetido. Logo, expandindo os ındices livres i e j, tem-se 9 equacoes eaplicando a convencao de somatorio para cada uma delas vem que

T11 = a1mx1m =∑3

m=1 a1mx1m = a11x11 + a12x12 + a13x13

T12 = a1mx2m =∑3

m=1 a1mx2m = a11x21 + a12x22 + a13x23

T13 = a1mx3m =∑3

m=1 a1mx3m = a11x31 + a12x32 + a13x33

T21 = a2mx1m =∑3

m=1 a2mx1m = a21x11 + a22x12 + a23x13

T22 = a2mx2m =∑3

m=1 a2mx2m = a21x21 + a22x22 + a23x23

T23 = a2mx3m =∑3

m=1 a2mx3m = a21x31 + a22x32 + a23x33

T31 = a3mx1m =∑3

m=1 a3mx1m = a31x11 + a32x12 + a33x13

T32 = a3mx2m =∑3

m=1 a3mx2m = a31x21 + a32x22 + a33x23

T33 = a3mx3m =∑3

m=1 a3mx3m = a31x31 + a32x32 + a33x33

.

As equacoes anteriores podem ser escritas na forma matricial [T ] = [A][X]T , ou seja,

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x11 x21 x31

x12 x22 x32

x13 x23 x33

.

2

Observa-se que uma equacao do tipo Tij = Tik nao tem significado em notacao indicial, poisi, j e k sao todos ındices livres, ou seja, aparecem uma unica vez nos termos do lado esquerdo edireito. Alem disso, expressoes como aibici nao sao definidas na notacao indicial, pois um ındicenunca pode ser repetido mais de uma vez. Neste ultimo caso, mantem-se o sinal de somatorio,

ou seja,3∑

i=1aibici. Verifica–se ainda que a expressao yi = aimxm (i,m = 1, 2, 3) e a mesma que

yj = ajmxm (j,m = 1, 2, 3), ou seja, a letra usada para denotar o ındice repetido nao altera o


resultado final. No entanto, ai = bj e uma expressao sem significado. O ındice livre presente emcada termo de uma equacao deve ser o mesmo, como por exemplo

ai + bi = ci,

ai + bicjdj = 0,

sendo i um ındice livre e j um ındice repetido.

1.3 Delta de Kronecker

O sımbolo δij (i, j = 1, 2, 3) e denominado delta de Kronecker e definido como

δij =

0 se i 6= j1 se i = j

. (1.4)

Como i e j sao ındices livres no termo δij e ambos variam de 1 a 3, tem-se um total de 9valores dados segundo a definicao de δij por

δ11 = δ22 = δ33 = 1,δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0.

(1.5)

Em notacao matricial, tem-se

δ11 δ12 δ13

δ21 δ22 δ23

δ31 δ32 δ33

=

1 0 00 1 00 0 1

,

ou seja, o delta de Kronecker se reduz a matriz identidade de ordem 3, podendo ser denotadocomo [δij ] = [I].

Exemplo 1.5 Empregando-se as convencoes da notacao indicial e os valores dados em (1.5),mostrar as seguintes propriedades do delta de Kronecker.

1. δii = 3.

Neste caso, i e um ındice repetido e aplicando a convencao do somatorio

δii =3∑

i=1

δii = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1 + 1 = 3.

2. δimam = ai.

Verifica-se que i e um ındice livre. Variando-se i de 1 a 3, tem-se 3 equacoes. Ja m e umındice repetido e aplica-se a convencao do somatorio. Portanto, expandindo o ındice livree aplicando a convencao de somatorio para o ındice repetido m tem-se que

δimam =

δ1mam =∑3

m=1 δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3 = a1

δ2mam =∑3

m=1 δ2mam = δ21a1 + δ22a2 + δ23a3 = a2

δ3mam =∑3

m=1 δ3mam = δ31a1 + δ32a2 + δ33a3 = a3

= ai.


3. δimTmj = Tij .

Os ındices i e j sao livres enquanto m e um ındice repetido. Logo, expandindo o ındicelivre i e aplicando a convencao do somatorio para m vem que

δimTmj =

∑3m=1 δ1mTmj = δ11T1j + δ12T2j + δ13T3j = T1j



= Tij .

Em particular

δimδmj = δij e δimδmjδjn = δimδmn = δin . (1.6)

4. δijδji = 3.

Observa-se que i e j sao ındices repetidos e deve-se aplicar a convencao do somatorio, ouseja,

δijδji =3∑

i,j=1

δijδji =3∑

j=1

δ1jδj1 + δ2jδj2 + δ3jδj3

= (δ11δ11 + δ21δ12 + δ31δ13) + (δ12δ21 + δ22δ22 + δ32δ23)

+ (δ13δ31 + δ23δ32 + δ33δ33).

Substituindo os valores dados em (1.5), tem-se que

δijδji = 3. (1.7)

5. Sejam e1, e2 e e3 sao vetores ortonormais (i.e., vetores unitarios e perpendiculares entresi). Suas componentes cartesianas sao, respectivamente,

e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

.

O produto interno ou escalar 1 destes vetores pode ser escrito como

ei · ej = δij . (1.8)

Portanto, e1 · e1 = (1)(1) + (0)(0) + (0)(0) = 1, e1 · e2 = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 eassim sucessivamente.

2

1Ver Secao 3.1.


1.4 Sımbolo de Permutacao

A Figura 1.2 ilustra os ındices i, j, k e 1, 2, 3 ordenados nos sentidos horario e anti-horario.Utilizam-se estes ındices para definir o sımbolo de permutacao eijk da seguinte forma

e123 = e231 = e312 = 1 1, 2, 3 no sentido horarioe213 = e132 = e321 = −1 1, 2, 3 no sentido anti-horarioeijk = 0 nos demais casos

. (1.9)

Em outras palavras, o termo eijk se anula sempre que os valores de quaisquer dois ındicescoincidem, como por exemplo e112 = 0. Por sua vez, eijk = 1 quando os subscritos permutamna ordem 1, 2, 3, ou seja, no sentido horario. Finalmente, eijk = −1 caso a permutacao seja nosentido anti-horario.

(a) 123 em sentidohorario.

(b) 123 em sentidoanti-horario.

(c) ijk em sentidohorario.

(d) ijk em sentidoanti-horario.

Figura 1.2: Sımbolo de permutacao.

Como exemplo de aplicacao, considere o determinante de uma matriz [A]

det[A] = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣

=a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

−a11a32a23 − a21a12a33 − a31a22a13.

A equacao anterior pode ser denotada como

|A| = eijkai1aj2ak3 =3∑

i,j,k=1

eijkai1aj2ak3 =3∑

i=1

3∑

j=1

3∑

k=1

eijkai1aj2ak3, (1.10)

sendo i, j, k ındices livres e eijk o sımbolo de permutacao.O delta de Kronecker e o sımbolo de permutacao estao associados pela seguinte identidade

(ver Exercıcio Resolvido 1.3)

eijmeklm = δikδjl − δilδjk, (1.11)

como pode ser comprovado manipulando-se os ındices.

Exemplo 1.6 Mostrar que as seguintes relacoes expressas em notacao indicial sao validas.

1. eijkejki = 6.

Neste caso, i, j e k sao ındices repetidos e aplicando a convencao do somatorio

eijkejki =3∑

i,j,k=1

eijkejki =3∑

i=1

3∑

j=1

3∑

k=1

eijkejki =3∑

i=1

3∑

j=1

eij1ej1i + eij2ej2i + eij3ej3i.


Lembrando a definicao (1.9) do sımbolo de permutacao, tem-se que eijk e igual a zeroquando pelo menos dois ındices sao iguais (por exemplo, e112 = e212 = e211 = 0). Logo,na expressao anterior o somatorio em j para cada termo do lado direito se reduz a

3∑

i,j=1

eij1ej1i =3∑

i=1

ei11e11i + ei21e21i + ei31e31i =3∑

i,ji=1

ei21e21i + ei31e31i,

3∑

i,j

eij2ej2i =3∑

i

ei12e12i + ei22e22i + ei32e32i =3∑

i=1

ei12e12i + ei32e32i,

3∑

i,j=1

eij3ej3i =3∑

i=1

ei13e13i + ei23e23i + ei33e33i =3∑

i=1

ei13e13i + ei23e23i.

Portanto, somando as 3 expressoes anteriores

eijkejki =3∑

i=1

ei21e21i + ei31e31i + ei12e12i + ei32e32i + ei13e13i + ei23e23i.

De forma analoga, expandindo o somatorio em i e mantendo apenas os termos nao-nulosdo sımbolo de permutacao (ver definicao (1.9)) vem que

eijkejki = e321e213 + e231e312 + e312e123 + e132e321 + e213e132 + e123e231

= (−1)(−1) + (1)(1) + (1)(1) + (−1)(−1) + (−1)(−1) + (1)(1)

= 6.

2. eijkajak = 0.

De forma analoga ao caso anterior, i e um ındice livre enquanto j e k sao ındices repetidos.Logo, expandindo i, empregando a convencao do somatorio para i e j e a definicao (1.9),tem-se que a expressao eijkajak e equivalente a

eijkajak =

∑3j,k=1 e1jkajak = e123a2a3 + e132a3a2 = a2a3 − a3a2 = 0



.

Logo, como resultado final tem-se que eijkajak = 0.

3. δijeijk = 0.

Lembre-se que o delta de Kronecker δij e igual a 1 apenas quando i = j. Para i = j,tem-se que δijeijk = δiieiik = (1)eiik. Mas o sımbolo de permutacao eijk e zero sempre quedois ındices sao iguais. Logo, quando i = j, tem-se que δijeijk = δiieiik = (1)(0) = 0.

2

1.5 Operacoes

A seguir apresentam-se operacoes envolvendo a notacao indicial.


1.5.1 Substituicao

Considere as seguinte relacoes

ai = Uimbm, (1.12)

bi = Vimcm. (1.13)

Observa-se que o termo b aparece nas duas relacoes mas com ındices distintos. Deseja-sesubstituir b dado em (1.13) na expressao (1.12). Para isso, muda-se o ındice livre de i para mem (1.13), obtendo-se

bm = Vmmcm.

No entanto, a expressao resultante nao e valida em notacao notacao indicial, pois o ındice m estarepetido mais de uma vez no lado direito da equacao. Para resolver este problema, lembre-se quea letra empregada para um ındice falso num termo nao afeta o resultado, ou seja, Vimcm = Vincn.Logo, alterando o ındice falso de m para n em (1.13) e o ındice livre de i para m vem que

bm = Vmncn. (1.14)

Como agora tem-se o mesmo ındice m nas expressoes (1.13) e (1.14), efetua-se a substituicao

ai = Uimbm = UimVmncn. (1.15)

Observe que (1.15) representa tres equacoes ao se variar o ındice livre i de 1 a 3. Por suavez, cada equacao resulta numa soma de nove termos no lado direito, pois os ındices repetidosm e n variam cada um de 1 a 3. Logo

ai = UimVmncn →

a1 =∑3

m,n=1 U1mVmncn =∑3

m=1

∑3n=1 U1mVmncn

a2 =∑3


m=1

∑3n=1 U2mVmncn

a3 =∑3


m=1

∑3n=1 U3mVmncn

. (1.16)

De forma geral, deve-se ter cuidado ao se fazer substituicoes convenientes, ou seja, naosubstituir ındices repetidos por livres, podendo dar origem a um somatorio inexistente na notacaoindicial.

1.5.2 Multiplicacao

Considere p e q dados, respectivamente, por

p = ambm =∑3

m=1 ambm = a1b1 + a2b2 + a3b3,

q = cmdm =∑3

m=1 cmdm = c1d1 + c2d2 + c3d3.(1.17)

O produto pq poderia ser indicado de forma errada por

ambmcmdm =3∑

m=1

ambmcmdm = a1b1c1d1 + a2b2c2d2 + a3b3c3d3.

De fato, o termo ambmcmdm nao possui significado na convencao de somatorio, pois o ındicerepetido m aparece mais de uma vez num mesmo termo. Logo, ao se efetuar o produto de termos


em notacao indicial, deve-se inicialmente compatibilizar os ındices. Nesse caso, troca-se o ındicerepetido m para n no termo q = cmdm = cndn, de tal forma que

pq =

(3∑

m=1

ambm

)(3∑

n=1

cndn

)

=3∑

m,n=1

ambmcndn = ambmcndn.

Observe que a expressao anterior e o resultado desejado, pois o produto pq e calculado como

pq = (a1b1 + a2b2 + a3b3) (c1d1 + c2d2 + c3d3) ,

Lembre-se que a letra usada para o ındice repetido e irrelevante, ou seja, para o exemplo consid-erado cmdm = cndn = cjdj = ckdk = · · ·. Portanto, o produto pq e indicado em notacao indicialcomo pq = ambmcndn.

Como exemplo, sabe-se que o produto escalar de vetores e distributivo2. Sejam os vetores ae b dados, respectivamente, por a = aiei e b = biei. Para efetuar o produto escalar destes doisvetores, altera-se inicialmente o ındice de i para j no vetor b, ou seja, b = bjej. Aplica-se entaoa definicao de produto escalar de vetores, ou seja,

a · b = (aiei) · (bjej) = aibj (ei · ej) .

Em particular, se e1, e2, e3 sao vetores ortonormais3 entre si, entao ei·ej = δij , de maneiraque

a · b = aibjδij.

Por sua vez, bjδij = δijbj = bi. Logo

a · b = aibi = ajbj = a1b1 + a2b2 + a3b3.

1.5.3 Fatoracao

Considere a seguinte expressao

Tijnj − λni = 0,

a qual define um problema de autovalor do tensor Tij, como sera visto posteriormente. Verifica-se que na expressao anterior i e j sao, respectivamente, ındices livre e repetido. Em particular,empregam-se estes dois ındices para o termo n. Para uniformizar os ındices em n e fatorar aexpressao, colocando o termo nj em evidencia, emprega-se o delta de Kronecker de tal formaque ni = δijnj. Logo, verifica-se que

Tijnj − λδijnj = 0 → (Tij − λδij) nj = 0.

Observa-se que a expressao anterior pode ser denotada matricialmente como

([T ] − λ[I])n = 0,

ou seja, tem-se a forma padrao de um problema de autovalor. De forma geral, para se fatorarum termo denotado em notacao indicial, deve-se compatibilizar os ındices empregando o deltade Kronecker ou o sımbolo de permutacao.

2Ver Secao 3.1.3Ver Secao 3.1.


1.5.4 Contracao

A operacao de igualar dois ındices distintos e somar os mesmos e conhecida como contracao.Por exemplo, Tii e a contracao de Tij, ou seja,

Tii = T11 + T22 + T33.

Considere a equacao constitutiva de um material elastico linear isotropico

Tij = λθδij + 2µEij ,

a qual sera discutida posteriormente. Logo, a contracao Tii de Tij e dada por

Tii = λθδii + 2µEii.

Lembrando-se que δii = 3, obtem-se

Tii = 3λθ + 2µEii.

1.6 Notacao de Diferenciacao

As operacoes de derivacao (gradiente, divergente e rotacional4) tambem podem ser representadasvia notacao indicial. Observe os seguintes exemplos, respectivamente, para as derivadas total eparcial de u

du

dxi= u,i , (1.18)

∂u

∂xi= u,i . (1.19)

Considere a funcao u = u(aj(xi)), ou seja, u depende implicitamente de xi atraves de aj .Nesse caso, emprega-se a regra da cadeia para obter a derivada ∂u

∂xida funcao u com relacao a

xi, ou seja,

∂u

∂xi= u,i =

∂u

∂aj

∂aj

∂xi= u,j aj,i . (1.20)

Para a funcao escalar a = a(xi), o seu gradiente em notacao indicial e denotado como

∇a =∂a

∂x1e1+

∂a

∂x2e2+

∂a

∂x3e3 = a,i ei, (1.21)

sendo ∇ o operador diferencial cujas componentes sao ∇ = ∂∂x1

∂∂x2

∂∂x3

T e T indica otransposto do vetor.

Por sua vez, o divergente de uma funcao vetorial u = u(xi) =

u1(xi) u2(xi) u3(xi)T

e expresso como

div u = ∇ · u =∂u1

∂x1+

∂u2

∂x2+

∂u3

∂x3= ui,i . (1.22)

Finalmente, o rotacional de u e dado por

∇× u =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3∂

∂x1

∂∂x2

∂∂x3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣

=∂u3

∂x2e1 +

∂u1

∂x3e2 +

∂u2

∂x1e3 −

∂u2

∂x3e1 −

∂u3

∂x1e2 −

∂u1

∂x2e3

= eijk∂uk

∂xjei = eijkuk,j ei. (1.23)

4Ver Secao4.18.


1.7 Exercıcios Resolvidos

Exercıcio 1.1 Considere as matrizes

[ai] =

102

, [Bij] =

2 3 00 5 10 2 1

, [Cij] =

0 3 11 0 22 4 3

.

Demonstrar a equivalencia das seguintes expressoes em notacao indicial e em forma matri-cial.

1. Dji = Bij︸︷︷︸

(A)

e [D] = [B]T︸︷︷︸

(B)

.

No termo (A), i e j sao ındices livres e expandindo os mesmos vem que

D11 = B11 = 2, D12 = B21 = 0, D13 = B31 = 0,D21 = B12 = 3, D22 = B22 = 5, D23 = B32 = 2,D31 = B13 = 0, D32 = B23 = 1, D33 = B33 = 1.

(i)

Por sua vez, do termo (B)

[D] = [B]T →

D11 D12 D13

D21 D22 D23

D31 D32 D33

=

2 0 03 5 20 1 1

. (ii)

Comparando-se os termos Dji em (i) e (ii), observa-se que sao iguais, demonstrando a

igualdade entre as expressoes (A) e (B), ou seja, Dji = Bij e equivalente a [D] = [B]T .

2. bi = Bijaj︸︷︷︸

(A)

e [b] = [B] [a]︸︷︷︸

(B)

.

Em (A), observa-se que i e um ındice livre enquanto j e um ındice repetido. Logo, ex-pandindo i e aplicando a convencao do somatorio para j, tem-se

b1 =∑3

j=1 B1jaj = B11a1 + B12a2 + B13a3 = (2)(1) + (3)(0) + (0)(2) = 2,

b2 =∑3

j=1 B2jaj = B21a1 + B22a2 + B23a3 = (0)(1) + (5)(0) + (1)(2) = 2,

b3 =∑3

j=1 B3jaj = B31a1 + B32a2 + B33a3 = (0)(1) + (2)(0) + (1)(2) = 2.

(i)

De (B)

[b] = [B] [a] →

b1

b2

b3

=

2 3 00 5 10 2 1

102

=

(2)(1) + (3)(0) + (0)(2)(0)(1) + (5)(0) + (1)(2)(0)(1) + (2)(0) + (1)(2)

=

222

. (ii)

Comparando-se os termos bi em (i) e (ii) observa-se que sao iguais, demonstrando aigualdade entre as expressoes (A) e (B), ou seja, bi = Bijaj e [b] = [B] [a].


3. Dik = BijCjk︸︷︷︸

(A)

e [D] = [B] [C]︸︷︷︸

(B)

.

Em (A), os ındices i e k sao livres os quais expandidos resultam em 9 equacoes. Aplicandoa convencao de somatorio ao ındice j, tem-se

D11 = B11C11 + B12C21 + B13C31 = (2)(0) + (3)(1) + (0)(2) = 3,D12 = B11C12 + B12C22 + B13C32 = (2)(3) + (3)(0) + (0)(4) = 6,D13 = B11C13 + B12C23 + B13C33 = (2)(1) + (3)(2) + (0)(3) = 8,D21 = B21C11 + B22C21 + B23C31 = (0)(0) + (5)(1) + (1)(2) = 7,D22 = B21C12 + B22C22 + B23C32 = (0)(3) + (5)(0) + (1)(4) = 4,D23 = B21C13 + B22C23 + B23C33 = (0)(1) + (5)(2) + (1)(3) = 13,D31 = B31C11 + B32C21 + B33C31 = (0)(0) + (2)(1) + (1)(2) = 4,D32 = B31C12 + B32C22 + B33C32 = (0)(3) + (2)(0) + (1)(4) = 4,D33 = B31C13 + B32C23 + B33C33 = (0)(1) + (2)(2) + (1)(3) = 7.

.

Efetuando a multiplicacao [D] = [B] [C] indicada em (B) vem que

[D] =

2 3 00 5 10 2 1

0 3 11 0 22 4 3

=

(2)(0) + (3)(1) + (0)(2) (2)(3) + (3)(0) + (0)(4) (2)(1) + (3)(2) + (0)(3)(0)(0) + (5)(1) + (1)(2) (0)(3) + (5)(0) + (1)(4) (0)(1) + (5)(2) + (1)(3)(0)(0) + (2)(1) + (1)(2) (0)(3) + (2)(0) + (1)(4) (0)(1) + (2)(2) + (1)(3)

=

3 6 87 4 134 4 7

.

Comparando-se os termos Dik nas expressoes anteriores, observa-se que sao iguais, demon-strando a igualdade entre as expressoes (A) e (B), ou seja, Dik = BijCjk e [D] = [B] [C] .

2

Exercıcio 1.2 Considere os seguintes vetores e matrizes

[ai] =

120

, [bi] =

023

, [Sij] =

0 1 21 2 34 0 1

.

1. Avaliar [Tij] se Tij = eijkak.

Em Tij = eijkak, i e j sao ındices livres e k e um ındice repetido. Usando a definicao dosımbolo de permutacao, tem-se as 9 equacoes abaixo

T11 = e111a1 + e112a2 + e113a3 = (0)(1) + (0)(2) + (0)(0) = 0,T12 = e121a1 + e122a2 + e123a3 = (0)(1) + (0)(2) + (1)(0) = 0,T13 = e131a1 + e132a2 + e133a3 = (0)(1) − (1)(2) + (0)(0) = −2,T21 = e211a1 + e212a2 + e213a3 = (0)(1) + (0)(2) − (1)(0) = 0,T22 = e221a1 + e222a2 + e223a3 = (0)(1) + (0)(2) + (0)(0) = 0,T23 = e231a1 + e232a2 + e233a3 = (1)(1) + (0)(2) + (0)(0) = 1,T31 = e311a1 + e312a2 + e313a3 = (0)(1) + (1)(2) + (0)(0) = 2,T32 = e321a1 + e322a2 + e323a3 = (−1)(1) + (0)(2) + (0)(0) = −1,T33 = e331a1 + e332a2 + e333a3 = (0)(1) + (0)(2) + (0)(0) = 0,


resultando na seguinte forma matricial para Tij

[Tij] =

0 0 −20 0 12 −1 0

.

2. Avaliar [Ci] se Ci = eijkSjk.

Em Ci = eijkSjk, tem-se que i e um ındice livre enquanto para j e k utiliza-se a convencaode somatorio para ındices falsos. Expandindo os ındices e utilizando apenas os coeficientesnao-nulos do termo de permutacao vem que

Ci = eijkSjk →

C1 = e123S23 + e132S32 = (1)(3) − (1)(0) = 3C2 = e213S13 + e231S31 = (−1)(2) + (1)(4) = 2C3 = e312S12 + e321S21 = (1)(1) + (−1)(1) = 0

.

Logo, [Ci] =[

C1 C2 C3

]T=[

3 2 0]T

.

3. Avaliar [di] se dk = eijkaibj e mostrar que este resultado e o mesmo que dk = (a × b) · ek.

Tomando a expressao dk = eijkaibj, verifica-se que i e j sao ındices repetidos e k e umındice livre. Expandindo k, aplicando a convencao de somatorio para i e j e mantendoapenas os termos nao-nulos do sımbolo de permutacao, tem-se que

d1 = e231a2b3 + e321a3b2 = (1)(2)(3) − (1)(0)(2) = 6,

d2 = e132a1b3 + e312a3b1 = (−1)(1)(3) + (1)(0)(0) = −3,

d3 = e123a1b2 + e213a2b1 = (1)(1)(2) + (−1)(2)(0) = 2.

Logo, [di] =[

d1 d2 d3

]T=[

6 −3 2]T

.

Por sua vez, o produto vetorial (a × b) em dk = (a × b) · ek pode ser efetuado atraves doseguinte determinante

(a × b) =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 2 00 2 3

∣∣∣∣∣∣∣

= (6e1 − 3e2 + 2e3) .

Observe que k e um ındice livre e efetuando o produto escalar por ek vem que

d1 = (6e1 − 3e2 + 2e3) · e1 = 6,

d2 = (6e1 − 3e2 + 2e3) · e2 = −3,

d3 = (6e1 − 3e2 + 2e3) · e3 = 2,

obtendo-se [di] =[

d1 d2 d3

]T=[

6 −3 2]T

comprovando a equivalencia das ex-

pressoes dk = eijkaibj e dk = (a × b) · ek.

2


Exercıcio 1.3 Verifique que eijmeklm = δikδjl − δilδjk.Todos os ındices sao livres com excecao de m que e um ındice falso no lado esquerdo da

expressao. Observa-se que os termos do sımbolo de permutacao do lado esquerdo sao nao-nulosquando i 6= j 6= m e k 6= l 6= m. Isto implica que as seguintes condicoes resultam em valoresnao-nulos no lado direito da expressao: i = l 6= m, j = k 6= m, i = k 6= m e j = l 6= m. Assim,todas as possibilidades que resultam valores nao-nulos estao dadas abaixo.

m i j k l eijmeklm δikδjl − δilδjk

1 2 3 2 3 (1)(1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

2 3 3 2 (1)(−1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

3 2 3 2 (−1)(−1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

3 2 2 3 (−1)(1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

2 1 3 1 3 (−1)(−1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

1 3 3 1 (−1)(1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

3 1 3 1 (1)(1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

3 1 1 3 (1)(−1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

3 2 1 2 1 (−1)(−1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

2 1 1 2 (−1)(1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

1 2 1 2 (1)(1) = 1 (1)(1) − (0)(0) = 1

1 2 2 1 (1)(−1) = −1 (0)(0) − (1)(1) = −1

Todas os demais combinacoes resultam em valores iguais a zero. Por exemplo, para i = j = k =l = m = 1 tem-se que

e111e111 = 0 = δ11δ11 − δ11δ11 = (1)(1) − (1)(1) = 0.

2

Exercıcio 1.4 Se Tij = −Tji, mostre que Tijaiaj = 0.Para o caso j = i tem-se Tii = −Tii. Portanto, a unica possibilidade e T11 = T22 = T33 = 0.

Usando esta condicao e aplicando a convencao do somatorio para i e j vem que

Tijaiaj = T11a1a1 + T12a1a2 + T13a1a3 + T21a2a1 +

T22a2a2 + T23a2a3 + T31a3a1 + T32a3a2 + T33a3a3

= 0a1a1 + T12a1a2 + T13a1a3 − T12a2a1 + 0a2a2 +

T23a2a3 − T13a3a1 − T23a3a2 + 0a3a3

= T12 (a1a2 − a2a1) + T13 (a1a3 − a3a1) + T23 (a2a3 − a3a2)

= 0.

2

Exercıcio 1.5 Se Tij = −Tji e Sij = Sji, mostre que TklSkl = 0.Para o caso j = i, tem-se Tii = −Tii. Portanto, novamente tem-se T11 = T22 = T33 = 0.

Logo, aplicando a convencao do somatorio para os ındices k e l vem que

TklSkl = T11S11 + T12S12 + T13S13 + T21S21 + T22S22 + T23S23 + T31S31 + T32S32 + T33S33

= (0)S11 + T12S12 + T13S13 − T12S12 + (0)S22 + T23S23 − T13S13 − T23S23 + (0)S33

= 0.

2


1.8 Exercıcios Propostos

1. Considere o vetor a e as matrizes [B] e [C] dadas no exercıcio resolvido 1.1. Pede-semostrar a equivalencia das seguintes relacoes

• Bijaiaj e s = [a]T [B] [a],

• cj = Bjiai e [c] = [B] [a],

• Dik = BijCkj e [D] = [B] [C]T .

2. Verificar que o determinante de uma matriz [A] pode ser denotado de acordo com a ex-pressao (1.10).

3. Mostre que eilmejlm = 2δij .

4. Dado que Tij = 2µEij + λ(Ekk)δij mostre que

W =1

2TijEij = µEijEij +

λ

2(Ekk)

2,

P = TjiTij = 4µ2EijEij + (Ekk)2(4µλ + 3λ2).

5. Mostrar que o rotacional de um campo vetorial u pode ser escrito como ∇×u = eijk∂uk∂xj

ei =eijkuk,j ei.

Capıtulo 2

ESCALARES E FUNCOES DEUMA VARIAVEL

Este capıtulo esta baseado nas referencias [6, 5, 3] e tem como objetivo apresentar uma revisaodos conceitos de funcao, diferenciacao e integracao para o caso de funcoes de uma unica variavel.Todos esses conceitos estao definidos para conjuntos de numeros e uma revisao inicial da teoriade conjuntos e relacoes torna-se interessante no presente contexto.

2.1 Conjuntos

De forma geral, um conjunto denota uma colecao de elementos que possuam uma caracterısticacomum. Por exemplo, banana, maca e laranja possuem como caracterıstica comum o fato deserem frutas e portanto pertencem ao conjunto das frutas. Os conjuntos podem ter um numerofinito ou infinito de elementos, sendo denominados, respectivamente, conjuntos finito e infinito.Os conjuntos serao denotados por letras maiusculas e seus elementos por letras minusculas.Dado um conjunto A, se o elemento a pertence a A, indica-se a ∈ A; se nao pertence, denota-sea 6∈ A.

Para indicar um conjunto, pode-se relacionar explicitamente os seus elementos ou indicar acaracterıstica ou propriedade comum dos seus elementos. Nesse caso, utilizam-se os seguintessımbolos:

• |: tal que;

• ∀: para todo;

• =⇒: implica (se);

• ⇐⇒: equivalente a (se e somente se);

Exemplo 2.1 Considere os seguintes conjuntos:

1. o conjunto das vogais e finito e e indicado enumerando explicitamente os seus elementos

A = a, e, i, o, u.

2. o conjunto infinito dos numeros reais x ≥ 5 e indicado expressando a propriedade comumde seus elementos da seguinte maneira:

B = x, x ∈ < | x ≥ 5,

17


sendo < o conjunto dos numeros reais.

3. o conjunto vazio ou nulo nao possui nenhum elemento, sendo denotado por ∅.

2

2.1.1 Subconjuntos e igualdade entre conjuntos

A e um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A e um elemento de B. Nessecaso, denota-se A ⊂ B. Baseado nessa definicao, um conjunto e subconjunto dele mesmo. Paraindicar o caso de subconjuntos nao sao coincidentes, diz-se que A e um subconjunto proprio deB se A e de fato um subconjunto de B e alem disso B contem elementos que nao pertencem a A.No caso que A e um subconjunto de B que possivelmente coincida com o proprio B, utiliza-se anotacao A ⊆ B. Se A nao e um subconjunto de B, indica-se A 6⊂ B. Dois conjuntos sao iguaisse A ⊂ B e B ⊂ A, denotando-se A = B.

Todo conjunto A e subconjunto do conjunto universal U que contem todos os elementos quecompartilham uma dada caracterıstica.

Exemplo 2.2 Considere os seguintes conjuntos:

1. A = 1, 3, 5 e B = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nesse caso, A e um subconjunto de B, pois todoelemento de A e um elemento de B. Logo, A ⊂ B. De fato, A e um subconjunto propriode B.

2. A = 1, 3, 5 e B = 1, 2, 4, 5, 6. Nesse caso, A nao e um subconjunto de B, pois oelemento de 3 ∈ A, mas 3 6∈ B. Logo, A 6⊂ B.

3. A = 1, 2, 3 e B = 1, 2, 3. Nesse caso, A = B, pois A ⊂ B e B ⊂ A.

4. A = x, x ∈ <, x ≥ 3 e U = <. Nesse caso, A e um subconjunto do conjunto universal Uque contem todos os numeros reais. Logo, A ⊂ U .

2

2.1.2 Operacoes em conjuntos

As operacoes usuais de conjuntos sao denotadas atraves dos diagramas de Venn, conformeilustrado na Figura 2.1. O conjunto universal U e indicado por um retangulo e os subcon-juntos sao regioes dentro desse retangulo.

A uniao de dois conjuntos A e B resulta em outro conjunto cujos elementos pertencem aqualquer um dos conjuntos A e B, ou seja,

A⋃

B = x, x ∈ A ou x ∈ B. (2.1)

A uniao de n conjuntos e expressa como

A1

⋃

A2

⋃

. . .⋃

An =n⋃

k=1

Ak. (2.2)

A interseccao de dois conjuntos A e B resulta em outro conjunto cujos elementos pertencemaos dois conjuntos A e B simultaneamente, ou seja,

A⋂

B = x, x ∈ A e x ∈ B. (2.3)


B

U

A

(a) Subconjunto (A ⊂ B).

U

A B

(b) Uniao (A⋃

B).

U

BA

(c) Interseccao (A⋂

B).

U

A B

(d) Disjuntos (A⋂

B = ∅).

U

BA

(e) Diferenca (A − B).

UA’

A

(f) Complemento A′.

Figura 2.1: Diagramas de Venn [5].

A interseccao de n conjuntos e expressa como

A1

⋂

A2

⋂

. . .⋂

An =n⋂

k=1

Ak. (2.4)

Dois conjuntos A e B sao disjuntos se a interseccao entre os mesmos resulta no conjuntovazio, ou seja,

A⋂

B = ∅. (2.5)

A diferenca A − B entre dois conjuntos A e B resulta em um conjunto cujos elementospertencem a A mas nao a B, ou seja,

A − B = x, x ∈ A e x 6∈ B. (2.6)

O complemento A′ de um conjunto A, em relacao ao conjunto universal U , e dado peladiferenca U − A, ou seja,

U − A = x, x ∈ U e x 6∈ A. (2.7)

As operacoes em conjunto anteriores estao ilustradas na Figura 2.1.

Exemplo 2.3 Considere os conjuntos A = a, e, i, o, u, B = c, d, e, i, r e C = x, y, z. Auniao de A e B resulta

A⋃

B = a, e, i, o, u, c, d, r.

A uniao de conjuntos e associativa, ou seja,

(A⋃

B)⋃

C = A⋃

(B⋃

C) = a, e, i, o, u, c, d, r, x, y, z.

A interseccao de A e B e

A⋂

B = e, i.


As diferencas entre os conjuntos A e B sao dadas por

A − B = a, o, u e B − A = c, d, r.

O complemento de A em relacao ao conjunto universal das vogais e o conjunto vazio, ou seja,A′ = ∅.

2

2.2 Produto Cartesiano

Um par ordenando (a, b) e definido pelo conjunto

(a, b) = a, a, b. (2.8)

O primeiro elemento do par ordenado e denominado parametro. Observe que os elementos doconjunto do lado direito da expressao sao tambem conjuntos.

O produto cartesiano de 2 conjuntos A e B, denotado por A × B, e o conjunto de todos ospares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B. Logo,

A × B = (a, b), a ∈ A e b ∈ B. (2.9)

Observando que

(x, y) = (a, b) ⇐⇒ x = a e y = b,

tem-se que o produto cartesiano entre dois conjuntos nao e comutativo, ou seja, A×B 6= B×A.

O produto cartesiano de n conjuntos e denotado como

A1 × A2 × . . . An = (a1, a2, . . . , an), a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An. (2.10)

Exemplo 2.4 Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = x, y. Os produtos cartesianosA × B e B × A sao dados, respectivamente, por

A × B = (1, x), (2, x), (3, x), (1, y), (2, y), (3, y),

B × A = (x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3).

Observe que A × B 6= B × A.

2

2.3 Relacoes

Uma relacao representa uma regra de correspondencia entre dois ou mais objetos. Por exemplo,na sentenca Paulo e pai de Joao, e pai de representa a relacao entre Paulo e Joao.

Uma relacao R de um conjunto A em um conjunto B e um subconjunto de A × B. Se(a, b) ∈ R, diz-se que a esta relacionado com b e denota-se aRb. Observe que R ⊆ A × B.Definem-se o domınio e a imagem da relacao R, respectivamente, como

Dom(R) = a, a ∈ A e aRb para algum b ∈ B, (2.11)

Img(R) = b, b ∈ B e aRb para algum a ∈ A. (2.12)


Exemplo 2.5 Sejam A = 1, 2, 3 e B = a, b, c. O produto cartesiano de A por B e

A × B = (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c).Considere a relacao,

R = (1, a), (1, b), (2, a), (3, a).Verifica-se que Dom (R) = 1, 2, 3 = A e Img(R) = a, b ⊂ B.

2

Seja R uma relacao definida em um conjunto A, ou seja, R ⊆ A×A. R pode ser dos seguintestipos:

1. Reflexiva: R e reflexiva se e somente se para todo a ∈ A, tem-se (a, a) ∈ R.

2. Simetrica: R e simetrica se e somente se para todo (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R. Logo, se aRb,entao bRa.

3. Transitiva: R e transitiva se e somente se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R. Logo, seaRb e bRc, entao aRc.

4. Antissimetrica: R e antissimetrica se e somente se (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R ⇒ a = b. Logo, seaRb e bRa, entao a = b.

5. Ordenamento parcial: nesse caso, R e uma relacao transitiva, reflexiva e antissimetrica.

6. Relacao de equivalencia: nesse caso, R e uma relacao transitiva, reflexiva e simetrica.

Exemplo 2.6 Considere a relacao R como ≤ no conjunto dos numeros reais. R e um ordena-mento parcial como verificado a seguir. Se a ≤ b e b ≤ c entao a ≤ c e portanto R e transitiva;R e reflexiva pois a ≤ a e verdadeiro; se a ≤ b e b ≤ a, entao a = b e R e antissimetrica.

2

2.4 Conjuntos de Numeros

O conjunto dos numeros inteiros e definido por

Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .. (2.13)

O conjunto dos numeros naturais e constituıdo dos numeros inteiros estritamente positivose denota-se

N = Z+ = 1, 2, 3, . . .. (2.14)

O conjunto dos numeros racionais Q e constituıdo por numeros que podem ser expressospela razao de dois numeros inteiros, ou seja,

Q = x, x = p/q, p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0. (2.15)

Os numeros que nao pertencem a Q sao denominados irracionais. O conjunto dos numerosreais < e constituıdo pelos numeros racionais e irracionais. Pode-se representar < atraves deuma linha infinita ou reta real, onde cada ponto da linha representa um numero real.

Os subconjuntos de < sao denominados intervalos. Dados a, b ∈ < com a ≤ b, definem-se osseguintes intervalos:


1. intervalo aberto (a, b) = x, x ∈ <, a < x < b;

2. intervalo fechado [a, b] = x, x ∈ <, a ≤ x ≤ b;

3. intervalos semi-abertos [a, b) = x, x ∈ <, a ≤ x < b e (a, b] = x, x ∈ <, a ≤ x ≤ b.

A partir das definicoes do conjunto de numeros reais e de produto cartesiano, o conjunto <2

e definido pelos seguintes pares ordenados de numeros reais

<2 = <× < = (x1, x2), x1, x2 ∈ <. (2.16)

De forma analoga a linha real, <2 pode ser representado por um plano que se estende em todasas direcoes. Os elementos de <2 sao pontos do plano cartesiano, denotados usualmente porx = (x1, x2).

O mesmo processo pode ser estendido para os conjuntos <n de dimensoes maiores de talmaneira que

<n = x = (x1, . . . , xn), xi ∈ <, i = 1, . . . , n. (2.17)

Em particular, <3 = < × < × < denota o espaco tridimensional cujos elementos ou pontossao as triplas x = (x1, x2, x3) de numeros reais, ou seja,

<3 = (x1, x2, x3), x1, x2, x3 ∈ <. (2.18)

2.5 Elementos Limites de Conjuntos

Seja R um ordenamento parcial de um conjunto B e suponha A ⊂ B. Logo,

1. a ∈ B e um limite superior de A relativo a R se e somente se xRa ∀x ∈ A.

Exemplo 2.7 Considere B = <, A = x, x ∈ <, x ≤ 5 e R =≤. Qualquer numero realmaior ou igual a 5 e um limite superior para R.

2

2. a ∈ B e o menor limite superior de A relativo a R se e somente se a e um limite superiore para todo limite superior b de A entao aRb. Denota-se o menor limite superior comoa = supA, denominado supremo de A.

Exemplo 2.8 No exemplo anterior, o supremo de A e 5.

2

3. a ∈ B e um limite inferior de A relativo a R se e somente se aRx ∀x ∈ A.

Exemplo 2.9 Considere B = <, A = x, x ∈ <, x ≥ 5 e R =≤. Qualquer numero realmenor ou igual a 5 e um limite inferior para R.

2

4. a ∈ B e o maior limite inferior de A relativo a R se e somente se a e um limite inferiore para todo limite inferior b de A entao bRa. Denota-se o maior limite inferior comoa = inf A, denominado ınfimo de A.


Exemplo 2.10 No exemplo anterior, o ınfimo de A e 5.

2

Se a = inf A ∈ A, denomina-se a como o mınimo de A, denotando-se a = min A. Analoga-mente, se a = supA ∈ A, denomina-se a como o maximo de A, denotando-se a = maxA.

Exemplo 2.11 Considere o intervalo fechado [0, 1] = x, x ∈ <, 0 ≤ x ≤ 1. Qualquer numeroa ≥ 1 e um limite superior e qualquer numero b ≤ 0 e um limite inferior. Alem disso, max [0, 1] =1 e min [0, 1] = 0.

Tomando-se agora intervalo aberto (0, 1) = x, x ∈ <, 0 < x < 1. Qualquer numero a ≥ 1 eum limite superior e qualquer numero b ≤ 0 e um limite inferior. No entanto, o intervalo naopossui maximo nem mınimo, pois 0 e 1 nao pertencem ao intervalo aberto (0, 1).

2

2.6 Funcao de uma Variavel

Uma funcao f de um conjunto A em um conjunto B, denotada por f : A → B, e uma relacaotal que

1. para todo x ∈ A existe um y ∈ B tal que x f y (le-se x esta relacionado a y por f);

2. para todo x ∈ A e y1, y2 ∈ B, se x f y1 e x f y2, entao y1 = y2.

x εB

AyεB

f: A -> B

A

Figura 2.2: Dois conjuntos A e B e a funcao f : A → B.

A Figura 2.2 mostra dois conjuntos A e B e a funcao f : A → B. Em outras palavras, f euma relacao que permite associar a cada elemento x ∈ A um unico elemento y ∈ B. Isto naosignifica que nao e possıvel que existam varios elementos x ∈ A associados a um unico y ∈ B,tal como ilustrado na Figura 2.3(a). Ja a relacao da Figura 2.3(b) nao e uma funcao, pois umelemento de A esta associado a dois elementos de B.

A seguinte notacao mais usual e empregada no lugar de x f y para denotar funcoes

y = f(x). (2.19)

Em f : A → B, o conjunto A e chamado de domınio de f e denotado por Dom(f). Por suavez, o conjunto B e chamado de contra domınio de f . A partir do que foi definido, e possıvelinterpretar uma funcao como uma relacao de valor unico, pois cada elemento de Dom(f) ocorreapenas uma vez em f . Nota-se ainda que Dom(f) 6= ∅, pois caso contrario a funcao f nao estasequer definida. O elemento y ∈ B que resulta da relacao f(x) = y e denominado imagem dex ∈ A ou valor da funcao em x.


B

f

A

(a) Relacao f entre dois conjuntos que define umafuncao.

f

BA

(b) Relacao f entre dois conjuntos que nao define umafuncao.

Figura 2.3: Exemplo e contra exemplo de funcao.

O conjunto de todos os elementos de B que sao imagens de elementos de A e chamado deconjunto imagem. Esse conjunto, usualmente denotado por Img(f), contem todas as imagensde f , i.e.,

Img(f) = f(a) : a ∈ A. (2.20)

O conjunto imagem Img(f) e um subconjunto de B como mostra a Figura 2.4.

I(f)

f: A -> B

A B

Figura 2.4: Conjunto imagem Img (f) da funcao f : A → B.

Define-se como grafico da funcao f : A → B, denotado por graf(f), ao conjunto dado pelospares ordenados

graf (f) = (x, f(x)) : x ∈ A. (2.21)

A Figura 2.5 mostra dois exemplos de graficos de funcoes. A primeira possui uma variavel eesta definida por f1 : A ⊆ < → Y como ilustrado na Figura 2.5(a). Por sua vez, f2 : A ⊆ <2 →Y , mostrada na Figura 2.5(b), e uma funcao de duas variaveis, sendo < o conjunto dos numerosreais.

Observa-se que as definicoes de funcao e grafico de uma funcao nao sao coincidentes. Noentanto, uma vez especificada uma funcao, e possıvel identifica-la a partir de seu respectivografico.

Ressalta-se ainda que os termos funcao, mapeamento, transformacao e operador sao comu-mente empregados como sinonimos. Assim, se f : A → B, diz-se que f mapeia A em B ou f euma transformacao de A em B ou f e um operador de A em B.

Exemplo 2.12 Seja < o conjunto dos numeros reais e considere a relacao

R =

(x, y), x, y ∈ <, x2 +

(y

2

)2

= 1

,

a qual define os pontos de uma elipse (ver Figura 2.6(a)).


f(A)

x

y

A

(a) f1 : A ⊆ < → Y .

f(A)

A

z

x

y

(b) f2 : A ⊆ <2 → Y .

Figura 2.5: graf (f) = (x, f(x)) : x ∈ A das funcoes fi : A → Y , i = 1, 2 [5].

Sendo assim, R nao e uma funcao, pois a cada elemento x ∈ <, associa-se um par deelementos y ∈ <. Por exemplo, (0,+2) e (0,−2) ∈ R.

2

Exemplo 2.13 Seja a relacao R dada por

R = (x, y), x, y ∈ <, y = sin(x) ,

a qual esta ilustrada na Figura 2.6(b). Esta relacao e uma funcao. Seu domınio e <, ou seja,todo o eixo x (−∞ < x < ∞). O contra-domınio tambem e < (todo o eixo y), enquanto oconjunto imagem e Img(R) = y : y ∈ <,−1 ≤ y ≤ 1. Observa-se que valores especıficos de y∈ Img(R) sao as imagens de infinitos pontos no domınio de R. Por exemplo, y = 1 e a imagemde π/2, 5π/2, 9π/2, ....

(a) Exemplo 2.12. (b) Exemplo 2.13.

Figura 2.6: Relacoes dos exemplos 2.12 e 2.13 [5].

2

Para identificar propriedades especiais de uma funcao f : A → B, costuma-se utilizar aseguinte nomenclatura:

1. Funcoes Sobrejetoras. Uma funcao f : A → B e sobrejetora se todo b ∈ B e a imagem dealgum elemento de A.


2. Funcoes Injetoras. Uma funcao f : A → B e dita injetora se e somente se para todob ∈ Img(f), existe exatamente um unico a ∈ A tal que b = f(a).

3. Funcoes Bijetoras. Uma funcao f : A → B e bijetora se e somente se e ao mesmo tempoinjetora e sobrejetora, i.e., se e somente se todo b ∈ B e a unica imagem de algum a ∈ A.

A Figura 2.7 ilustra os tipos de funcoes discutidos anteriormente. Na Figura 2.7(a), tem-se uma relacao, mas nao uma funcao, pois um dos elementos de A tem mais de uma imagemem B; na Figura 2.7(b), tem-se uma funcao, pois cada elemento de A esta associado a umunico elemento de B; na Figura 2.7(c), tem-se uma funcao sobrejetora, pois todo elemento deB e imagem de algum elemento de A; na Figura 2.7(d), tem-se uma funcao injetora, pois todoelemento na imagem de f esta associado a um unico a ∈ A; finalmente, a Figura 2.7(e) ilustraum funcao bijetora.

(a) Relacao. (b) Funcao. (c) Funcao sobrejetora.

(d) Funcao injetora. (e) Funcao bijetora.

Figura 2.7: Classificacao de funcoes [5].

Exemplo 2.14 Seja < o conjunto dos numeros reais e <+ o conjunto dos reais nao-negativos.Admita que f denote a regra f(x) = x2. Considere agora as seguintes funcoes:

1. f1 : < → <. Esta funcao nao e injetora, uma vez que tanto −x quanto x sao mapeadosnum mesmo ponto f1(x) = x2. Tambem nao e sobrejetora, pois os numeros reais nao-negativos pertencem ao contra-domınio, apesar de nao serem imagens de nenhum pontodo domınio, ou seja, nem todo numero real positivo e o quadrado de outro.

2. f2 : < → <+. Esta funcao nao e injetora, mas e sobrejetora, pois seu contra-domınio e oproprio conjunto imagem.

3. f3 : <+ → <. Esta funcao e injetora, pois cada elemento pertencente ao conjunto imagempossui um unico correspondente no domınio. No entanto, nao e sobrejetora pelo mesmomotivo apresentado no primeiro caso.

4. f4 : <+ → <+. Esta funcao e bijetora, pois e ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Note que embora a regra f(x) = x2 que define todas as funcoes f1, f2, f3 e f4 seja a mesma,as quatro funcoes sao bastante diferentes.

2


2.7 Funcoes Compostas e Funcoes Inversas

Sejam as funcoes f : X → Y e g : Y → Z definidas nos conjuntos X,Y,Z. Define-se a composicaoou funcao composta de X em Z, denotada por g f ou simplesmente gf , como g f : X → Z.A funcao composta g f pode entao ser escrita para todo x ∈ X como

(g f)(x) = g(f(x)). (2.22)

A Figura 2.8 mostra a composicao de duas funcoes f e g definidas nos conjuntos X, Y e Z.Observa-se que a imagem de f e o domınio de g estao no conjunto Y .

X

g(f(x))Z

Y

f(x)g(y)

Figura 2.8: Composicao das funcoes f e g.

Exemplo 2.15 Sejam f : < → <, f(x) = x2 e g : < → <, g(x) = 1 + x. Logo

(gf)(x) = 1 + x2,

(fg)(x) = (1 + x)2.

2

E importante notar que para f : X → Y e g : Y → Z , a composicao f g e invalida uma vezque a imagem de g esta em Z e o domınio de f esta em X. Observa-se ainda, a partir do ultimoexemplo, que mesmo no caso em que ambas as composicoes gf e f g sao validas (os conjuntosde saıda e chegada sao sempre os mesmos), tem-se em geral que a composicao de funcoes nao ecomutativa, isto e,

fg 6= gf.

Uma funcao f : X → Y e inversıvel se e somente se existe uma funcao g : Y → X tal que

1. para todo x ∈ X, se y = f(x) entao x = g(y);

2. para todo y ∈ Y , se x = g(y) entao y = f(x).

E comum denotar a funcao g, quando a mesma existe, por f−1. Nesse caso, e possıvel escrever

f−1(f(x)) = x (2.23)

e

f(f−1(y)) = y. (2.24)

O conceito de funcao inversa e ilustrado nas Figura 2.9. O elemento x e levado ao elementoy pela funcao f e entao e trazido de volta de y para x pela funcao inversa g = f−1. Damesma forma, partindo de y, prescreve-se x = g(y) e tomando-se f(x) = f(g(y)) chega-se a xnovamente.

Admitindo-se f : X → Y , e possıvel mostrar que as afirmacoes abaixo sao equivalentes:


Figura 2.9: Funcao inversa.

1. f e inversıvel;

2. f e bijetora.

De fato, funcoes bijetoras estabelecem uma correspondencia biunıvoca entre todos os ele-mentos de X e de Y . Em outras palavras, para todo y ∈ Y (f e sobrejetora) existe um unicox ∈ X (f e injetora) tal que y = f(x). Tomando-se por definicao g(y) = x, nota-se que g e umafuncao tal que g(f(x)) = x da mesma forma que f(g(y)) = y. Isso deixa claro que f deve serinversıvel.

Exemplo 2.16 Seja f : < → <+ com Dom(f) = < e Img(f) = <+ = y, y ∈ <, y ≥ 0.Suponha que f seja definida pela regra f(x) = x2, i.e., f = (x, y), x, y ∈ <, y = x2. Clara-mente, f nao possui inversa, pois nao e injetora, visto que f(−x) = x2 e f(x) = x2.

2

Exemplo 2.17 Sejam Dom(f) = <+ = x, x ∈ <, x ≥ 0 e Img(f) = < = y, y ∈ <, y = x2,ou seja, f = (x, y), x, y ∈ <, x ≥ 0, y = x2. Evidentemente, f e injetora e sobrejetora.Dessa forma, f possui uma inversa f−1. Nesse caso, f−1 e chamada funcao raiz quadradapositiva, a qual habitualmente e expressa pela notacao f−1(y) =

√y. Da mesma forma, se

f1 = (x, y), x, y ∈ <, x ≤ 0, y = x2 e f−11 (y) = −√

y e a inversa de f1, entao f−11 e chamada

funcao raiz quadrada negativa.2

Exemplo 2.18 Claramente, a funcao f(x) = sin(x) nao e injetora (por exemplo, sin(0) =sin(π) = sin(2π) = . . . = 0). Entretanto, se f for definida em <π/2 = x, x ∈ <,−π/2 ≤ x ≤π/2, a restricao f |<π/2

sera injetora e sobrejetora e portanto possuira inversa. A inversa de

f e chamada de funcao arco-seno e e denotada por f−1(y) = arcsin(y) ou sin−1(y).2

2.8 Limite e Continuidade

Nesta secao, examinam-se os conceitos fundamentais de limite e continuidade de funcoes de umavariavel de numeros reais f : < → <. Observa-se, na verdade, que o conceito de continuidadede uma funcao decorre imediatamente daquele de valor limite de uma funcao.

Seja f : < → < uma funcao definida no conjunto A ⊂ < e x0 um ponto do domınio de f .Diz-se que f possui um valor limite a no ponto x0 se, para todo ε > 0, existir um outro numeroδ > 0 tal que

|x − x0| < δ ⇒ |f(x0) − a| < ε. (2.25)


A ideia de valor limite e ilustrada na Figura 2.10(a). Se x estiver suficientemente proximo dex0, e possıvel aproximar f(x) de a tanto quanto se queira.

A Figura 2.10(b) mostra o caso em que f(x) e descontınua em x0. Claramente, para qualquerε > 0, nao existe nenhum intervalo no domınio de f(x) para o qual |f(x) − a| < ε quando|x − x0| < δ. Escolhendo x < x0, entao |f(x) − a1| < ε quando |x − x0| < δ; se x > x0, entao|f(x) − a2| < ε quando |x − x0| < δ. Assim, a1 e chamado de limite a esquerda de f(x) em x0

e a2 e chamado de limite a direita de f(x) em x0. Uma funcao f(x) tem um valor limite a emx0 se e somente se a1 = a2 = a, e escreve-se

limx→x0

f(x) = a. (2.26)

(a) Funcao contınua. (b) Funcao descontınua.

Figura 2.10: Conceitos de limite e continuidade [5].

Seja f uma funcao definida em uma vizinhanca de x0. Diz-se que f e contınua em x0 selimx→x0 f(x) existe e, alem disso, o valor do limite e f(x0). Assim, tem-se que f e contınua emx0 se

limx→x0

f(x) = f(x0). (2.27)

Uma forma alternativa para definir a continuidade de f em um ponto x0 e dizer que f satisfaztres condicoes:

1. a funcao f deve ser definida em x0, isto e, f(x0) existe;

2. o limite de f(x) existe quando x tende a x0;

3. os valores nas condicoes 1 e 2 devem ser iguais, ou seja, limx→x0 f(x) = f(x0).

Exemplo 2.19 Seja f uma funcao definida por

f(x) =1

x − 4para x 6= 4.

Como f nao e definida no ponto x 6= 4, nao e contınua nesse ponto. Alem disso, f apresenta oque se chama de descontinuidade infinita em x = 4.

2

A definicao de continuidade pode ser reescrita sem que se faca referencia a nocao de limite.Nesse sentido, uma funcao f : < ⊃ A → < e contınua no ponto x0 ∈ A (o que significaautomaticamente que f(x0) existe) se e somente se para todo ε > 0 existir um δ > 0 tal que

|f(x0) − f(x)| < ε sempre que 0 < |x − x0| < δ, x ∈ A. (2.28)


Em geral, o numero δ varia de ponto para ponto. No caso, em que δ depender apenas de εe nao de x0, diz-se que f e uniformemente contınua.

Exemplo 2.20 Considere a funcao f(x) = 2x − 1. Mostrar que f e contınua em x0 = 3.Dado ε > 0, a partir da equacao (2.28), observa-se que

|f(x) − f(x0)| = |(2x − 1) − 5| < ε.

Logo,

|(2x − 1) − 5| = |2x − 6| = 2 |x − 3| < ε.

Portanto,

0 < |x − 3| <ε

2.

Assim, dado ε > 0, basta escolher δ = ε2 . Isto ilustra que δ e em geral funcao de ε.

2

Exemplo 2.21 Uma funcao que nao e contınua em nenhum ponto de seu domınio e

f(x) =

0 x ε Q1 x ε <\Q ,

sendo Q o conjunto dos numeros racionais e <\Q o conjunto dos numeros reais excluindo osracionais.

2

A definicao anterior tem uma interpretacao geometrica simples. Para isso, considere o graficoda funcao ilustrada na Figura 2.11. Dado um numero positivo ε, tracam-se duas linhas horizon-tais paralelas ao eixo x nas alturas f(x0)+ ε e f(x0)− ε. Assim, f e contınua em x0 se e possıvelencontrar um numero positivo δ tal que o grafico de f(x) esteja dentro da banda horizontalformada por f(x0)± ε (ou seja, |f(x)− f(x0)| < ε) para todos os valores de x na banda vertical|x − x0| < δ. Logo, toda a porcao do grafico dentro da banda vertical esta contida na bandahorizontal. Isso e valido para a funcao da Figura 2.11(a) em qualquer ponto x0, independente-mente de quao pequeno ε e escolhido. Ja para a funcao da Figura 2.11(b), a mesma e contınuaem todos os pontos com excecao de x0, pois nao importa quao pequeno seja δ, sempre haverauma porcao do grafico que esta fora da banda horizontal.

Seja f : <n ⊃ A → <m uma funcao. Diz-se que f e globalmente contınua em A, ousimplesmente f e contınua em A, se e somente se f e contınua em todo ponto de A.

As seguintes leis sao validas para os limites de funcoes:

lei da constante : se f(x) ≡ C, sendo C uma constante, entao

limx→a

f(x) = limx→a

C = C. (2.29)

lei da adicao : se ambos os limites existem

limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M,

entao

limx→a

[f(x) ± g(x)] = limx→a

f(x) ± limx→a

g(x) = L ± M. (2.30)

Conclui-se que o limite de uma soma e a soma dos limites. O mesmo vale para a diferenca.


x0

0x )f(

x

εε

δδ

(a) Funcao contınua.

x

g(x)

+0g(

0

x )

x

εε

δδ

(b) Funcao descontınua.

Figura 2.11: Funcoes contınua e descontınua em x = x0 [6].

lei do produto : se existem ambos os limites

limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M,

logo,

limx→a

[f(x)g(x)] = [ limx→a

f(x)][ limx→a

g(x)] = LM. (2.31)

Dessa forma, o limite do produto e o produto dos limites.

lei do quociente : se ambos os limites existem

limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M,

e M 6= 0, tem-se que

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a f(x)

limx→a g(x)=

L

M. (2.32)

Assim, o limite de um quociente e o quociente dos limites, desde que o limite do denomi-nador nao seja zero.

lei da raiz : seja k um numero inteiro positivo e a > 0 para valores pares de k, entao

limx→a

k√

x = k√

a (2.33)

lei da substituicao : sejam

limx→a

g(x) = M e limx→M

f(x) = f(M),

entao

limx→a

f(g(x)) = f( limx→a

g(x)) = f(M). (2.34)


2.9 Diferenciacao

Nesta secao, discute-se o conceito de diferenciacao de funcoes unidimensionais de variaveis reais.Seja a um ponto de um conjunto A ⊂ < e f uma funcao definida de A em <, ou seja,

f : A → <. O numero real K e chamado de derivada de f em a se, para todo ε > 0, existir umnumero δ(ε) > 0 tal que

∣∣∣∣

f(x) − f(a)

x − a− K

∣∣∣∣ < ε sempre que 0 < |x − a| < δ, x ∈ A.

Quando o numero K existe, escreve-se K = f ′(a).Alternativamente, f ′(a) pode ser definido como o seguinte limite

limx→a

f(x) − f(a)

x − a= f ′(a). (2.35)

linha reta

a x

y

x

f(x)

f(a)

f: X -> Y

com m =f(x)-f(a)

x - a

(a) Linha com a inclinacao m = f(x)−f(a)x−a

.

linha reta com

y

x

f(a)

a

f(x) - f(a)x - a = f’(a)lim

x -> a

f: X -> Y

m = f’(a)

(b) Linha com a inclinacao m = f ′(a).

Figura 2.12: Definicao de f ′(a) como o limite de f para x → a.

Considerando x = a + ∆x, define-se

∆f(a) = f(a + ∆x) − f(a).

A partir daı, pode-se reescrever (2.35) como

f ′(a) = lim∆x→0

∆f(a)

∆x, (2.36)

que e base para a notacao classica de Leibnitz

f ′(a) =df(a)

dx. (2.37)

Se f ′(a) existe, diz-se que a funcao f e diferenciavel em a. Se f for diferenciavel em todoponto x ∈ A, entao f e diferenciavel em A.

A metodologia de definir f ′(a) como o limite do quociente f(x)−f(a)x−a e mostrado na Figura

2.12. Inicialmente, toma-se a reta secante na Figura 2.12(a), a qual tende a reta tangente noponto a ao se tomar o limite para x → a, como ilustrado na Figura 2.12(b). Logo, a derivadarepresenta o coeficiente angular da reta tangente no ponto x = a. Indica ainda a sensibilidadeda funcao em torno de x = a no sentido que se o valor da derivada e alto, ocorre uma maiorvariacao da funcao em torno do ponto x = a.


Se uma funcao f e diferenciavel num ponto a ∈ A ⊂ <, entao f e contınua em a. Nesse caso,como f ′(a) existe, a partir da lei do produto para limites tem-se que

limx→a

[f(x) − f(a)] = limx→a

(x − a)f(x) − f(a)

x − a

=(

limx→a

(x − a))(

limx→a

f(x) − f(a)

x − a

)

= (0)(f ′(a)) = 0.

Assim, limx→a f(x) = f(a), de modo que f e contınua em a.A continuidade de uma funcao nao implica necessariamente na sua diferenciabilidade, como

ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 2.22 Considere a funcao

f(x) =

1 + x, x ≤ 01 − 2x, x > 0

.

Observa-se que f e contınua em x = 0, mas nao e diferenciavel neste ponto, pois tomando-se olimite a direita de 0, tem-se

limx→0+

f(x) − f(0)

x − 0= 1.

Ja tomando-se o limite a esquerda de 0, obtem-se

limx→0−

f(x) − f(0)

x − 0= −2.

Como os valores limites sao diferentes, a funcao nao e diferenciavel.2

Se f : < → < e diferenciavel em todo ponto a ∈ A, a funcao que fornece a derivada de f paratodo a ∈ A, denotada por f ′, e chamada de funcao derivada de f ou simplesmente derivada def .

2.9.1 Regras de diferenciacao e derivadas de alta ordem

Sejam as funcoes f : < → < e g : < → <. As derivadas do produto e quociente das duas funcoessao dadas, respectivamente, por

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), (2.38)

(f(x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

g2(x). (2.39)

Pode-se definir as derivadas de ordem 2 e 3 de f , respectivamente, como

f”(x) = f (2)(x) =d2f(x)

dx2=

d

dx

(d

dxf(x)

)

=d

dxf ′(x),

f (3)(x) =d3f(x)

dx3=

d

dx

(

d2

dx2f(x)

)

=d

dxf”(x).

Generalizando a derivada de ordem n de f e dada por

f (n)(x) =dnf(x)

dxn=

d

dxf (n−1)(x). (2.40)


2.9.2 Regra da cadeia

Suponha que f seja diferenciavel em x e que g seja diferenciavel em f(x). Logo, a funcaocomposta h = g f definida por h(x) = g(f(x)) e diferenciavel em x, e sua derivada e

h′(x) =d

dx[g(f(x))] = g′(f(x))f ′(x). (2.41)

Logo, deriva-se g em relacao a y = f(x) e multiplica-se pela derivada de y = f(x) relativo a x.

Exemplo 2.23 Para f(x) = (2x + 4)12, encontrar f ′(x).

Utilizando a regra da cadeia pode-se determinar a derivada desejada. Para isso, define-sey = u12 com u = 2x + 4. Logo, y = f(x) = f(u(x)), dy

du = 12u11 e dudx = 2. Assim, a partir da

regra da cadeia, tem-se

f ′(x) =df(u(x))

dx=

dy(u(x))

dx

=dy

du

du

dx= (12u11)(2)

= 12(2x + 4)11(2) = 24(2x + 4)11.

2

2.9.3 Serie de Taylor

Considere uma funcao f : < → < que possua derivadas ate a ordem n + 1. A expansao em seriede Taylor da funcao f na vizinhanca de um ponto a e dada por

f(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f”(a)

2!(x − a)2 +

f (3)(a)

3!(x − a)3 + . . . +

f (n)(a)

n!(x − a)n +

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − a)(n+1), (2.42)

sendo ξ um numero no intervalo (a, x). A expressao anterior e tambem denominada polinomiode Taylor de grau n com resto em x = a. O ultimo termo da serie representa o termo do restopodendo ser indicado como

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − a)(n+1). (2.43)

Um dos usos da serie de Taylor e determinar valores aproximados para funcoes quaisquercomo ilustrado a seguir.

Exemplo 2.24 Considere a funcao f(x) = exp(x). Logo, f (k)(x) = exp(x) para todo k ≥ 0.Logo, a formula de Taylor para a = 0 reduz-se a

f(x) = f(0) + f ′(0)x +f”(0)

2!x2 + . . . +

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!xn+1,

Portanto,

exp(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . . +

xn

n!+

xn+1

(n + 1)!exp(ξ).


Como

limn→∞

xn

n!= 0,

tem-se que limn→∞ Rn(x) = 0 para todo x. Consequentemente, a serie de Taylor anteriorconverge para exp(x) qualquer que seja x. Logo, pode-se escrever

exp(x) =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ . . .

Essa e considerada a mais importante de todas as series de Taylor.Para x = 0 e tomando-se 10 termos da serie, tem-se

e ≈ 1 +1

1!+

1

2!+ . . . +

1

10!= 2, 7182818.

2

2.9.4 Diferencial e definicao alternativa de derivada

A serie de Taylor pode ser usada para introduzir uma definicao alternativa de derivada de umafuncao. A partir da Figura 2.12, considere x = a + d, sendo d a distancia entre os pontos a ex. Em termos da definicao de derivada (2.35), fazer o limite para x → a e equivalente a fazerd → 0.

Substituindo x = a + d na equacao (2.42), tem-se

f(x) = f(a + d) = f(a) + f ′(a)d +f”(a)

2!d2 +

f (3)(a)

3!d3 + . . . +

f (n)(a)

n!dn +

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!dn+1.

Para d pequeno, observa-se que os termos a partir de d2 tornam-se pouco relevantes no resultadofinal da expressao anterior. Alem disso, esse termos vao para zero mais rapidamente que d. Porexemplo, para d = 10−4, tem-se d2 = 10−8, d3 = 10−12 e assim sucessivamente. Denota-se asoma dos termos a partir de d2 como o(d), significando que limd→0

d2

d = 0.A partir dessa definicao, a expansao anterior pode ser reescrita para d pequeno como

f(x) = f(a) + f ′(a)d + o(d). (2.44)

Consequentemente,

∆f = f(x) − f(a) = f ′(a)d + o(d). (2.45)

Portanto, a diferenca ∆f da funcao f calculada nos pontos x e a e igual a um termo linear(proporcional) a d mais um termo que tende a zero mais rapido que d. Para d pequeno, otermo o(d) e desprezıvel e pode-se interpretar a derivada como um mapeamento que aproximaa diferenca ∆f = f(x) − f(a). Dessa maneira, as definicoes (2.35) e (2.44) sao equivalentes.

Observa-se que a expressao anterior representa uma aproximacao linear para a diferenca dafuncao f entre dois pontos, como ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 2.25 Considere a funcao f(x) = x2 + 6x. Determinar a diferenca entre os valoresda funcao nos pontos a = 2, 0 e x = 2, 1.

O valor exato dessa diferenca e dado por

∆f = f(2, 1) − f(2, 0) = 17, 01 − 16, 0 = 1, 01.


Usando a equacao (2.45) para d = 0, 1 tem-se

∆f = f ′(2, 0)d = (10, 0)(0, 1) = 1, 0.

Observa-se entao que a aproximacao linear dada pela equacao (2.45) esta muito proxima dovalor real da diferenca, sendo o erro de 1%.

Tomando-se agora a = 2, 0 e x = 2, 01, tem-se

∆f = f(2, 01) − f(2, 0) = 16, 1001 − 16, 0 = 0, 1001.

A aproximacao linear da equacao (2.45) e

∆f = f ′(2, 0)d = (10, 0)(0, 01) = 0, 1.

Nesse caso, o erro e de 0, 01%.Observa-se entao que a medida que x → a (ou d → 0), a aproximacao linear (2.45) torna-se

muito boa e a definicao alternativa de derivada e totalmente compatıvel com a definicao original.2

Para o caso de d ser um diferencial, indicado aqui por dx, o diferencial da funcao df e dadopor

df = f ′(x)dx. (2.46)

2.10 Integracao

Serao revisados a partir de agora alguns elementos fundamentais associados ao conceito deintegracao unidimensional.

Uma particao P de um intervalo I = [a, b] e uma colecao finita de subintervalos de I que naose sobrepoem e cuja uniao e o proprio I. Uma particao geralmente e descrita especificando-seum conjunto finito de numeros, i.e.,

a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn = b.

Uma particao P do intervalo I = [a, b] = [0, 1] esta ilustrada na Figura 2.13.

0 1/3 2/3 1

3a=x0 x1 x2 b=x

Figura 2.13: Particao do intervalo [0, 1].

Denotando-se os subintervalos por

Ik = [xk−1, xk], 1 ≤ k ≤ n,

a particao P pode ser expressa como

P =n⋃

k=1

Ik. (2.47)

Denomina-se raio da particao P a seguinte grandeza

ρ(P ) = maxk

|xk − xk−1| . (2.48)


Considere agora uma particao P do intervalo I = [a, b] ⊂ < e f uma funcao definida em I.O numero real

R(P, f) =n∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1), (2.49)

com xk−1 ≤ ξk ≤ xk (k variando de 1 a n), e chamado de Soma de Riemann de f correspondentea particao P = (x0, x1, . . . , xn) e a escolha dos pontos intermediarios ξk. A soma de Riemanncorresponde a soma das areas Ai dos retangulos dadas por

Ai = f(ξi)(xi − xi−1), i = 0, ..., n.

A Figura 2.14 mostra um exemplo de uma funcao f : X → Y e um retangulo com area A.

f

y

xi ξ x(i+1)

A = f * (x(i+1) - xi)(ξ)

x

f: X -> Y

A

(ξ)

Figura 2.14: Funcao f : X → Y e o retangulo com area A.

A funcao f e integravel segundo Riemann em I se para toda sequencia de particoes Pn

convergindo a zero, no sentido que ρ(Pn) → 0 e com os pontos intermediarios ξk escolhidosarbitrariamente, a sequencia correspondente de somas de Riemann convergir para um valorcomum J . O numero J , quando existe, e chamado de Integral de Riemann de f sobre [a, b] e edenotada por

J =

∫ b

af(x)dx =

∫ b

af dx. (2.50)

A funcao f e denominada de integrando de J .

Exemplo 2.26 Seja f(x) = 1 se x for racional e f(x) = 0 se x for irracional. Verifica-se que olimite das somas de Riemann nesse caso depende da escolha dos pontos ξk. Portanto, a funcaof nao e integravel no sentido de Riemann.

2

E possıvel mostrar que se f for contınua no intervalo fechado [a, b], exceto em um numerofinito de pontos, entao f sera integravel no sentido de Riemann. Obviamente, a funcao doexemplo 2.26 nao satisfaz esta condicao.

A seguir, consideram-se alguns teoremas fundamentais da teoria classica de integracao.


Teorema do Valor Medio para Integrais Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] ⊂<. Logo, existe um ponto c ∈ [a, b] tal que

∫ b

af(x)dx = f(c)(b − a). (2.51)

Primeiro Teorema Fundamental do Calculo Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] ⊂<. Logo, a funcao F (x) definida por

F (x) =

∫ x

af(s)ds (2.52)

e diferenciavel em [a, b] e F ′(x) = f(x).

Segundo Teorema Fundamental do Calculo Seja f uma funcao contınua no intervalo [a, b] ⊂< e F a sua primitiva. Logo,

∫ b

af(x)dx = F (b) − F (a). (2.53)

Uma funcao F (x) cuja derivada satisfaz F ′(x) = f(x) e chamada de funcao primitiva de f .Segue-se de forma imediata que a primitiva de uma funcao so pode ser determinada a menos deuma constante.

A integracao representa a area definida entre a funcao e o eixo x limitada em x = a e x = b.No caso da diferenciacao, tem-se o valor da inclinacao de uma reta tangente em um pontox0. Apesar dos conceitos serem diferentes, pode-se estabelecer a seguinte relacao entre as duasoperacoes

∫

f ′(x)dx = f(x). (2.54)

Exemplo 2.27 Calcule as seguintes integrais indefinidas∫

cos(x)dx = sin(x) + C,∫

(2x2 + 3)dx =2

3x3 + 3x + C,

sendo C uma constante arbitraria.

2

Exemplo 2.28 Calcule o valor da integral definida

∫ 2

0x4dx

Basta aplicar o Segundo Teorema Fundamental do Calculo, ou seja,

∫ 2

0x4dx =

[1

5x5]2

0=

1

5(25 − 05) =

32

5.

2


Exemplo 2.29 Suponha que a forca que age sobre uma partıcula e o seu deslocamento estejamsobre a mesma reta, tomada como o eixo x. Suponha ainda que o modulo da forca nao sejaconstante e dependa da posicao da partıcula, como ilustrado na Figura 2.15(a). Como a forcae variavel, trabalho realizado pela forca sobre a partıcula nao pode ser calculado simplesmenteempregando o produto de F pela distancia percorrida.

Deve-se particionar o deslocamento total da partıcula em uma serie de subintervalos delargura ∆xi. Escolhe-se um intervalo suficientemente pequeno para poder considerar a forca F (x)constante neste intervalo. Toma-se Fi(x) como o valor medio de F (x) em cada subintervalo. Oincremento de trabalho ∆Wi para qualquer intervalo i e dado por

∆Wi = Fi(x)∆xi (2.55)

Esse incremento representa a area de cada retangulo indicado na Figura 2.15(b).Para aproximar o trabalho total W quando a partıcula se move de xi ate xf , somam-se as

areas de todas as faixas entre xi e xf , como mostrado na Figura 2.15(b). Logo,

∆W = Σi∆Wi = Fi(x)∆xi. (2.56)

A equacao (2.56) e uma Soma de Riemann e representa uma aproximacao do trabalho real.Pode-se melhorar a aproximacao reduzindo a largura ∆xi das faixas ou analogamente usandoum numero maior de faixas, como ilustrado na Figura 2.15(c). No limite, faz-se ∆xi tender azero, isto e, toma-se uma quantidade infinita de faixas. Tem-se, assim, como resultado exato

W = lim∆xi→0

ΣiFi(x)∆xi. (2.57)

Este limite e a integral representada por

W =

∫ xf

xi

F (x)dx. (2.58)

Geometricamente, o trabalho de uma forca variavel e igual a area sob a curva de F (x) entreos limites xi e xf , como mostrado na Figura 2.15(d).

0

F(x)

xx i x f

(a) Forca variavel,F (X), em funcaodo deslocamento dapartıcula.

∆ x

∆ W

0

F(x)

xx i x f

F(x)

(b) Divisao do intervalo.

∆ x0

F(x)

xx i x f

(c) Divisao de area emfaixas mais estreitas.

0

F(x)

xx i x f

W

(d) Caso limite, sendo W

a area sob a curva.

Figura 2.15: Trabalho de uma forca variavel em funcao do deslocamento.

2

Em geral, emprega-se o conceito de integracao por partes para simplificar o calculo de umaintegral. Considere a regra da derivada do produto de duas funcoes reescrita (2.38) como

f(x)g′(x) = (f(x)g(x))′ − f ′(x)g(x).


Integrando a expressao anterior e usando a definicao de anti-derivada tem-se∫

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) −∫

f ′(x)g(x)dx.

Denotando du = g′(x)dx e dv = f ′(x)dx, a equacao anterior pode ser reescrita na seguinte formamais usual

∫

udv = uv −∫

vdu. (2.59)

Para empregar a integracao por partes mais facilmente, deve-se escolher adequadamente u e v.

Exemplo 2.30 Considere a funcao ln(x). Para u = ln(x) e dv = dx, tem-se du = 1x e v = x.

Logo,∫

ln(x)dx = x ln(x) −∫

dx = x ln(x) − x + C,

sendo C a constante de integracao.2


1. Tracar os graficos e calcular as raızes para as seguintes funcoes

(a) f(x) = 2;

(b) f(x) = −5x + 6;

(c) f(x) = x2 − 4x + 3.

2. Qual das expressoes abaixo define uma funcao

(a) f(x) =√

x para x ∈ <,

(b) f(x) =√

x para x ∈ <+ sendo o conjunto dos numeros reais estritamente positivos;

(c) f(x) = sin(x) para x ∈ [0, 2π];

(d) f(x) = ln(x) para x ∈ <+.

3. Representar os seguintes intervalos na reta real

(a) (−1, 1);

(b) (−1, 1];

(c) [−1, 1);

(d) [−1, 1].

4. Indicar os conjuntos domınio e imagem de cada uma das funcoes a seguir

(a) f(x) = 3x3 + 8;

(b) f(x) = 56−x .

5. Determinar a equacao da reta que passa pelos (2, 8) e (10, 4). Qual e o coeficiente angularda reta?

6. Calcular os seguintes limites


(a) limx→3 x2 + 5;

(b) limx→71−xx−5 ;

(c) limx→−2

√x2 + 2;

(d) limx→0x|x| .

7. Para as funcoes abaixo, determine os seus domınios indicando, os seus pontos de descon-tinuidade

(a) f(x) = 13−x ;

(b) f(x) = sin(x)x2 .

8. Calcule as derivadas das seguintes funcoes

(a) f(x) = x + 10;

(b) f(x) = x2;

(c) f(x) = xx+8 ;

(d) f(x) = x5 sin(2x);

(e) f(x) = exp(3x4);

(f) f(x) = 1(2+x)4/3 .

9. Determinar os valores maximos e mınimos absolutos das funcoes nos intervalos fechados

(a) f(x) = 5x − 10 em [−2, 6];

(b) f(x) = x2 + 6 em [1, 5];

(c) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x em [0, 6].

10. Calcular as seguintes integrais

(a)∫ ba f ′(x)dx;

(b)∫ 20 (4x + 5x2)dx;

(c)∫ 3−2 (x + 1)4dx;

(d)∫ π/40 sin(x) cos(x)dx;

(e)∫

ln(x)dx;

(f)∫

xe−xdx;

(g)∫

x sin(x)dx.


Capıtulo 3

VETORES, ESPACOS VETORIAISE FUNCOES DE VARIASVARIAVEIS

Nesse capıtulo, definem-se os conceitos de pontos e vetores e espacos vetoriais. As operacoesenvolvendo vetores sao tambem apresentadas. Posteriormente, considera-se a revisao de calculodiferencial de funcoes de varias variaveis, enfatizando os conceitos fundamentais de derivada eintegral. Discutem-se ainda os conceitos de gradiente, divergencia e rotacional.

3.1 Pontos e Vetores. Espacos Pontuais e Vetoriais

O espaco geometrico em consideracao no estudo da Mecanica do Contınuo e o espaco Euclidianotridimensional E , sendo seus elementos denominados pontos. Como, intuitivamente, a soma dedois pontos nao possui nenhum significado, o espaco E nao e um espaco vetorial (vide definicaode espaco vetorial abaixo). Entretanto, a diferenca entre dois pontos x e y e definida como umvetor v, ou seja,

v = y − x, x,y ∈ E . (3.1)

v e um elemento do espaco vetorial V associado a E , como mostrado na Figura 3.1 para umaregiao B de E . O espaco vetorial V formado por todas as diferencas entre pontos pertencentes aE sera chamado de espaco vetorial (real) V (V ≡ <3). Da mesma forma, a soma entre um pontoe um vetor, e definida como um novo ponto, i.e.,

y = x + v, x ∈ E , v ∈ V. (3.2)

Observa-se que v ∈ V ≡ <3 e usualmente denominado vetor algebrico.De forma geral, um espaco vetorial V e um conjunto de elementos de qualquer natureza no

qual as operacoes basicas de soma e multiplicacao por escalar estao definidas, isto e, a soma dedois vetores e um vetor e a multiplicacao de um vetor por um numero real resulta em um vetor.Essas propriedades podem ser expressas como

u + v ∈ V, u,v ∈ V,αu ∈ V, u ∈ V, α1 ∈ <,

(3.3)

ou de forma conjunta,

αu + βv ∈ V, u,v ∈ V, α, β ∈ <. (3.4)

43


Figura 3.1: Pontos e vetores em uma regiao B do espaco euclidiano.

A propriedade anterior de soma u + v satisfaz os seguintes axiomas para todo u, v, w ∈ V

• Associatividade: (u + v) + w = u + (v + w);

• Identidade: existe um elemento nulo denotado por 0 ∈ V tal que u + 0 = u para todou ∈ V;

• Inverso: para todo u ∈ V existe um elemento inverso denotado por −u tal que u+(−u) =0;

• Comutatividade: u + v = v + u.

Por sua vez, a propriedade anterior de produto escalar αu satisfaz os seguintes axiomas paratodo u, v ∈ V e α, β ∈ <

• Associatividade: (αβ)u = α(βu);

• Distributividade em relacao aos parametros escalares: (α + β)u = (αu) + (βu);

• Distributividade em relacao aos vetores: α(u + v) = αu + αv;

• Existe o elemento identidade denotado por 1 tal que (1)(u) = u. Da mesma forma, existeo elemento nulo 0 tal que (0)(u) = 0.

Exemplo 3.1 O conjunto V ≡ <3 = (x, y, z) | x, y, z ∈ < e um espaco vetorial quandoas operacoes de soma e multiplicacao por escalar sao definidas de forma usual, i.e., dadosu = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2)

u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2);αu = α(x1, y1, z1) = (αx1, αy1, αz1).

2

Usualmente, empregam-se espacos vetoriais cujos elementos nao sao vetores algebricos, comopor exemplo os espacos vetoriais de funcoes contınuas e polinomios.

Exemplo 3.2 O conjunto Pn = a0 + a1t + a2t2 + . . . + antn; ai ∈ < de todos os polinomios

de grau ≤ n e um espaco vetorial considerando as operacoes usuais de soma entre polinomios emultiplicacao destes por constantes, ou seja,

(p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t);(αp1)(t) = αp1(t).

2


3.2 Subespaco Vetorial

Seja V um espaco vetorial e W um subconjunto nao vazio de V. O subconjunto W e denominadoum subespaco vetorial de V, se W e um espaco vetorial em relacao as operacoes de adicao emultiplicacao por escalar definidas em V e dadas em (3.3). E possıvel identificar subespacosvetoriais W de V se o elemento nulo de V pertence a W, a soma de dois elementos de W e amultiplicacao por escalar de um elemento de W resultam ainda em um elemento de W, ou seja,

W e um subespaco de V ⇐⇒ (i) 0 ∈ W,(ii) u,v ∈ W =⇒ αu + βv ∈ W, ∀α, β ∈ <.

(3.5)

Exemplo 3.3 O conjunto <2 e um subespaco vetorial de <3. Dados os vetores u = (x1, y1, 0) ev = (x2, y2, 0), a soma u+v = (x1+x2, y1+y2, 0) e a multiplicacao por escalar αu = (αx1, αy1, 0)resultam em vetores de <2. O elemento nulo 0 = (0, 0, 0) de <3 e tambem o elemento nulo de<2.

2

Exemplo 3.4 Sejam V ≡ <3 e S = (x, y, z) | ax + by + cz = 0;x, y, z ∈ < um plano qualquerpassando pela origem. Verifique que S e um subespaco vetorial de <3.

Com efeito, para u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) ∈ S, a equacao do plano dada e satisfeita,ou seja,

ax1 + by1 + cz1 = 0;ax2 + by2 + cz2 = 0.

Somando as duas expressoes anterior, tem-se que

a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + c(z1 + z2) = 0.

Isso mostra que

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∈ S,

uma vez que u + v satisfaz a equacao ax + by + cz = 0.Por outro lado,

αu = (αx1, αy1, αz1) ∈ S,

pois, se ax1 + by1 + cz1 = 0, entao

a(αx1) + b(αy1) + c(αz1) = α(ax1 + by1 + cz1) = α0 = 0.

Isso mostra que αu satisfaz a equacao ax + by + cz = 0. Finalmente, o elemento nulo (0, 0, 0)de <3 satisfaz a equacao do plano. Logo, S e um subespaco vetorial de <3.

2

3.3 Combinacao e Dependencia Lineares

A partir das operacoes basicas de adicao e multiplicacao por escalar que caracterizam o espacovetorial V, e imediato definir o conceito de combinacao linear de vetores. Assim, considere umconjunto ui de V. Diz-se que o vetor w e uma combinacao linear de ui se

w =∑

iαiui, ui ∈ V, αi ∈ <. (3.6)


Um conjunto de vetores ui = u1,u2, . . . ,un e dito linearmente independente se a com-binacao linear

n∑

i=1

αiui = α1u1 + α2u2 + . . . + αnun = 0 (3.7)

resulta no vetor nulo 0 se e somente se α1 = α2 = α3 = . . . = αn = 0. Se a condicao anteriore valida para qualquer αi 6= 0, entao o conjunto de vetores e dito linearmente dependente, ouseja, a condicao (3.7) se verifica para algum αi 6= 0.

Exemplo 3.5 Sejam u = (1,−2, 1), v = (2, 1,−1) e w = (7,−4, 1) vetores de <3. Mostre queesses vetores sao linearmente dependentes.

Toma-se uma combinacao linear desses vetores e iguala-se ao vetor nulo, usando comoincognitas os escalares α1, α2 e α3. Logo,

α1(1,−2, 1) + α2(2, 1,−1) + α3(7,−4, 1) = (0, 0, 0).

Aplicando as definicoes de soma e multiplicacao por escalar de vetores, obtem-se

(α1,−2α1, α1) + (2α2, α2,−α2) + (7α3,−4α3, α3) = (0, 0, 0),

ou ainda

(α1 + 2α2 + 7α3,−2α1 + α2 − 4α3, α1 − α2 + α3) = (0, 0, 0).

Igualando as componentes em ambos os membros, chega-se ao seguinte sistema de equacoeslineares homogeneo com incognitas α1, α2 e α3

α1 + 2α2 + 7α3 = 0−2α1 + α2 − 4α3 = 0

α1 − α2 + α3 = 0.

Da terceira equacao, obtem-se α1 = α2 − α3. Substituindo essa relacao na segunda equacao,tem-se α2 = −2α3 e consequentemente α1 = −3α3. Substituindo agora as duas relacoes ante-riores na primeira equacao do sistema, chega-se a 0α3 = 0. Logo, essa expressao e valida paravalores de α3 diferentes de zero. Isso contraria, a definicao anterior de independencia linear.Assim, os vetores iniciais sao linearmente dependentes.

2

3.4 Dimensao e Base

O span de um conjunto de vetores ui = u1,u2, . . . ,un, denotado como spanui, e osubespaco W de V consistindo de todas as combinacoes lineares dos elementos ui. Logo,

w ∈ W ⇒ w =n∑

iαiui. Diz-se que W e gerado por ui ou que ui gera W.

O espaco V e dito tridimensional, ou seja, tem dimensao tres, pois nesse conjunto nao epossıvel obter um subconjunto com mais de tres vetores linearmente independentes. Daı seconclui que qualquer elemento de V pode ser expresso como uma combinacao linear unica destestres vetores. Assim, diz-se que qualquer conjunto de tres vetores linearmente independentesgera V. Tais conjuntos sao chamados de base de V. De forma geral, a dimensao de um espacovetorial e o numero de vetores linearmente independente de sua base.


Exemplo 3.6 Sejam u1 = (1, 2, 3), u2 = (0, 1, 2) e u3 = (0, 0, 1) vetores de <3. Mostre que oconjunto B = u1,u2,u3 forma uma base para <3.

Para tanto, e preciso provar que B e linearmente independente e ainda gera o <3. Paraprovar a primeira condicao considere uma combinacao linear dos vetores de B igual ao vetornulo, i.e.,

α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0.

Essa relacao resulta no sistema linear

α1 + 2α2 + 3α3 = 0α2 + 2α3 = 0α3 = 0

,

cuja unica solucao e α1 = α2 = α3 = 0. Logo, B e linearmente independente.Para provar a segunda condicao, deve-se mostrar que qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ <3 pode

ser escrito como combinacao linear dos vetores de B. Portanto, fazendo a combinacao linear deu com os vetores dados, ou seja,

u = α1u1 + α2u2 + α3u3.

Em termos de componentes

(x, y, z) = α1(1, 2, 3) + α2(0, 1, 2) + α3(0, 0, 1).

A ultima relacao resulta no sistema linear

α1 = x2α1 + α2 = y3α1 + 2α2 + α3 = z

,

o qual admite solucao para quaisquer valores de x, y, z. Portanto, todo vetor u = (x, y, z) e umacombinacao linear dos vetores de B. Resolvendo esse sistema, chega-se a

(x, y, z) = x(1, 2, 3) + (−2x + y)(0, 1, 2) + (x − 2y + z)(0, 0, 1).

Dessa maneira, fica provado que B e uma base para <3.2

3.5 Produto Interno e Norma

Em adicao as operacoes basicas de soma e multiplicacao por escalar com seus respectivos ax-iomas, pode-se definir para o espaco vetorial V a operacao de produto interno, denotada por〈·, ·〉, associando a um par de elementos u,v ∈ V, um escalar α, ou seja,

〈·, ·〉 : V × V −→ <u,v −→ α = 〈u,v〉 . (3.8)

Um produto interno qualquer satisfaz as propriedades de simetria, distributividade, positivi-dade e elemento nulo expressas, respectivamente, para todo u, v, w ∈ V e α1, α2 ∈ < como

〈u,v〉 = 〈v,u〉 ; (3.9)

〈αu + βv,w〉 = α 〈u,w〉 + β 〈v,w〉 , α, β ∈ <; (3.10)


〈u,u〉 > 0; (3.11)

〈u,u〉 = 0 se e somente se u = 0. (3.12)

A partir dessas propriedades, diferentes tipos de produtos internos podem ser definidos. Oproduto interno usual de vetores algebricos em V ≡ <3, denominado produto escalar e denotadocomo (·, ·), e definido por

(u,v) = u · v =3∑

i=1

uivi = uivi, (3.13)

sendo ui e vi as componentes dos vetores u e v, respectivamente.

Exemplo 3.7 No espaco vetorial V = <2 = (x, y) | x, y ∈ <, a operacao que associa a cadapar de vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) o escalar 〈u,v〉 = 3x1x2 +4y1y2 e um produto interno.De fato, a definicao anterior satisfaz as propriedades (3.9) a (3.12) como demonstrado a seguir

• 〈u,v〉 = 3x1x2 + 4y1y2 = 3x2x1 + 4y2y1 = 〈v,u〉;

• Se w = (x3, y3), entao

〈α1u + α2v,w〉 = 3(a1x1 + a2x2)x3 + 4(a1y1 + a2y2)y3

= a1(3x1x3 + 4y1y3) + a2(3x2x3 + 4y2y3)

= α1 〈u,w〉 + α2 〈v,w〉 ;

• 〈u,u〉 = 3x1x1 + 4y1y1 = 3x21 + 4y2

1 > 0;

• 〈u,u〉 = 3x21 + 4y2

1 = 0 ⇐⇒ x1 = y1 = 0. Portanto, u = (0, 0) = 0.

2

Do exemplo anterior, observa-se que varios produtos internos podem definidos para ummesmo espaco vetorial.

Quando o produto interno entre dois vetores e nulo, diz-se que os mesmos sao ortogonais,denotando-se

〈u,v〉 = 0 =⇒ u ⊥ v. (3.14)

O modulo ou comprimento de um vetor u ∈ V ≡ <3 pode ser obtido calculando-se a suanorma Euclidiana definida por

‖u‖ =√

〈u,u〉 =√

(u · u). (3.15)

Nesse caso, diz-se que a norma anterior e induzida pelo produto interno.O conceito de norma pode ser estendido para qualquer espaco vetorial cujos elementos nao

sao necessariamente vetores algebricos. Nesse sentido, a norma de um elemento u do espacovetorial V e uma operacao que associa a u um numero real positivo, denotado por ‖u‖, de talforma que

‖·‖ : V −→ <u −→ ‖u‖ ,


e satisfazendo, respectivamente, as condicoes de multiplicacao por escalar, desigualdade trian-gular, positividade e elemento nulo expressas por

‖αu‖ = |α| ‖u‖ , α ∈ <, (3.16)

‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ , (3.17)

‖u‖ > 0, (3.18)

‖u‖ = 0 se e somente se u = 0. (3.19)

De forma analoga ao produto interno, pode-se definir mais de uma norma no mesmo espacovetorial como ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 3.8 Considere V ≡ <2 e um vetor u = (x1, x2) de V. As seguintes normas sao validasem <2

‖u‖ =√

(u,u) =√

x21 + x2

2,

‖u‖ = |x1| + |x2| .A primeira norma e denominada Euclidiana e provem do produto escalar de vetores. A segundanorma nao e induzida por nenhum produto interno. As duas normas satisfazem as condicoes(3.16) a (3.19).

2

O produto escalar dado pela relacao (3.13) pode ser escrito em termos das normas dos vetoresalgebricos u e v da seguinte maneira

(u,v) = u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ, 0 ≤ θ ≤ π, (3.20)

sendo θ o angulo entre os vetores u e v.

Exemplo 3.9 Considere o produto escalar usual em <3. Deseja-se determinar o angulo entreos vetores u = (2, 1,−5) e v = (5, 0, 2).

Para isso, calculam-se as normas dos vetores u e v e o produto escalar entre esses doisvetores, ou seja,

‖u‖ =√

22 + 12 + (−5)2 =√

30,

‖v‖ =√

52 + 22 =√

29,

(u,v) = 2(5) + 1(0) − 5(2) = 0.

O angulo entre u e v e dado por

cos θ =(u,v)

‖u‖ ‖v‖ =0√

30√

29= 0.

Portanto, θ = π2 . Observa-se que se θ = π

2 , entao u ⊥ v.2

A partir das definicoes de ortogonalidade entre vetores e subespaco, pode-se escrever

u⊥ = u | u · v = 0 (3.21)

para o subespaco de V consistindo de todos os vetores perpendiculares a v.


Exemplo 3.10 A partir da base B = v1,v2,v3 de <3 dada por v1 = (1, 1, 1), v2 = (−2, 1, 1) ev3 = (0,−1, 1), pode-se obter uma base ortonormal em relacao ao produto interno usual (produtoescalar).

De fato, normalizando-se os vetores da base B chega-se a

u1 =v1

‖v1‖=

(1, 1, 1)√1 + 1 + 1

= (1√3,

1√3,

1√3), (3.22)

u2 =v1

‖v2‖=

(−2, 1, 1)√4 + 1 + 1

= (− 2√6,

1√6,

1√6), (3.23)

u3 =v1

‖v3‖=

(0,−1, 1)√0 + 1 + 1

= (0,− 1√2,

1√2). (3.24)

A partir daı, e facil verificar que

u1 · u1 = u2 · u2 = u3 · u3 = 1,u1 · u2 = u2 · u3 = u1 · u3 = 0.

Portanto,

ui · uj = δij .

2

3.6 Sistema de Referencia

Observa-se que a definicao de todos os conceitos anteriores e independente da escolha de umsistema de referencia. Essa nocao sera abordada a seguir. E importante separar a definicao deum conceito da sua representacao em um sistema de referencia.

Um sistema de referencia (ou de coordenadas) e caracterizado por uma base v1,v2,v3 deV e uma origem, dada por um ponto arbitrario O de E , a partir do qual serao definidos osvetores da base.

Uma base e1, e2, e3 e denominada ortonormal se o produto escalar entre seus vetoressatisfaz

ei · ej = 1 i = jei · ej = 0 i 6= j

→ ei · ej = δij . (3.25)

Logo, em uma base ortonormal, os vetores sao ortogonais e possuem modulo unitario.

Um sistema de coordenadas ortogonal consiste de uma base ortonormal e1, e2, e3 junta-mente com o ponto O. Assume-se daqui em diante que um sistema de coordenadas cartesianofixo para uma regiao B e dado como ilustrado na Figura 3.2.

3.7 Componentes de um Vetor

Dada a base ortonormal e1, e2, e3, qualquer vetor u ∈ V pode ser escrito de forma unica comoa combinacao linear dos vetores da base

u = u1e1 + u2e2 + u3e3 =3∑

i=1

uiei = uiei. (3.26)


Figura 3.2: Sistema de coordenadas cartesiano associado a B.

Nesse caso, o modulo ‖u‖ de u e dado por

‖u‖ =√

u21 + u2

2 + u23. (3.27)

Dividindo-se u pelo seu modulo ‖u‖, tem-se o vetor unitario eu na direcao de u, ou seja,eu = 1

||u||u.Considere o produto escalar de u por e1, ou seja,

u · e1 = u1(e1 · e1) + u2(e2 · e1) + u3(e3 · e1).

Como a base e ortonormal, tem-se que

u1 = u · e1 = ||u|| cos α,

sendo α o angulo entre os vetores u e e1, conforme ilustrado na Figura 3.3. Analogamente,obtem-se,

u2 = u · e2 = ||u|| cos β,

u3 = u · e3 = ||u|| cos γ.

Logo, u1, u2 e u3 representam as projecoes do vetor u nas direcoes x, y e z, conforme ilustradona Figura 3.3. As projecoes sao usadas para a representacao de um vetor em uma base. Noentanto, um vetor e definido pela diferenca de pontos como explicado na Secao 3.1.

Figura 3.3: Componentes de um vetor.


3.8 Produto Vetorial

Alem do produto escalar, define-se ainda uma outra operacao entre vetores de V denominadaproduto vetorial. Enquanto o produto interno de dois vetores u e v fornece um escalar, o produtovetorial de u e v fornece o vetor w, indicado como w = u × v. A magnitude de w e dada por

‖w‖ = ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin θ, 0 ≤ θ ≤ π, (3.28)

sendo θ o angulo entre u e v. Observa-se que w e perpendicular ao plano determinado por u ev, de tal maneira que u, v e w formam um sistema orientado segundo a regra da mao direita.A Figura 3.4 ilustra os produtos escalar e vetorial entre dois vetores u e v.

(a) Produto escalar. (b) Produto vetorial.

Figura 3.4: Produtos entre vetores.

O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades

u× v = − (v × u) , (3.29)

u× (v + w) = u× v + u× w, (3.30)

u× u = 0, (3.31)

e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0, (3.32)

e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2, (3.33)

ku× v = u × kv = k (u× v) , (3.34)

u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u), (3.35)

sendo k ∈ < e 0 o vetor nulo.Em termos das componentes de u = uiei e v = viei, tem-se que o produto vetorial w = u×v

e dado pelo seguinte determinante

w = u×v =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

= (u2v3 − u3v2) e1+(u3v1 − u1v3) e2+(u1v2 − u2v1) e3.(3.36)

Observa-se que as seguintes relacoes em notacao indicial sao validas

ei × ej = eijkek, (3.37)

a × b = (aiei) × (bjej) = aibj (ei × ej) = aibjeijkek. (3.38)


Exemplo 3.11 Procura-se o vetor w perpendicular a ambos os vetores u = 2e1 + 3e2 − e3 ev = e1−2e2 +3e3, dados em termos da base ortonormal e1, e2, e3 de <3. Em seguida, calculeo volume V do paralelepıpedo gerado pelos vetores u, v e o vetor unitario n = − 1√

3e1 − 1√

3e2 −

1√3e3.

O vetor perpendicular a u e v simultaneamente e dado pelo produto vetorial w = u×v. Emtermos de componentes, tem-se

w = (2e1 + 3e2 − e3) × (e1 − 2e2 + 3e3).

Pelas propriedades do produto vetorial, indicadas anteriormente, tem-se

w = −4e1 × e2 + 6e1 × e3 + 3e2 × e1 + 9e2 × e3 − e3 × e1 + 2e3 × e2,

ou ainda

w = −4e3 − 6e2 − 3e3 + 9e1 − e2 − 2e1 = 7e1 − 7e2 − 7e3.

O volume do paralelepıpedo gerado pelos vetores u, v e o vetor unitario n e dado pelo produtomisto

V = n · (u× v) = n ·w =

(

− 1√3e1 −

1√3e2 −

1√3e3

)

· (7e1 − 7e2 − 7e3) .

Pelas propriedades do produto escalar vem que

V = − 7√3

+7√3

+7√3

=7√3.

2

3.9 Funcoes de Varias Variaveis

A partir das nocoes basicas definidas no capıtulo anterior para o caso de funcao de uma variavel,trata-se agora do caso de funcoes de varias variaveis.

Considere o ponto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ <n. Analogamente ao caso unidimensional, afuncao f : <n → < e uma relacao que associa a cada elemento x ∈ <n um unico elemento de <.Uma funcao f de n variaveis possui x1, x2, . . . , xn como variaveis independentes. Denomina-sef como uma funcao escalar ou funcional, pois a mesma assume valores reais.

De forma geral, seja f : <n → <m uma funcao definida no conjunto A ⊂ <n. De formaequivalente, f pode ser identificada como uma funcao vetorial de m componentes, i.e., f =(f1, f2, . . . , fm), sendo cada componente fi uma funcao escalar de n variaveis reais definida emA.

Nesse capıtulo, o interesse esta principalmente em funcoes de varias variaveis em <2 e <3. Ografico das funcoes em <2 sao representadas por superfıcies, como ilustrado na Figura 3.5 para

a funcao f(x, y) =(x2 − y2

) 12 .

3.10 Limite e continuidade

A definicao e as propriedades basicas de limites de funcoes de varias variaveis sao essencialmenteas mesmas do caso de funcoes de uma variavel.


−2−1.5

−1−0.5

00.5

11.5

2

−2

−1

0

1

2−2

−1

0

1

2

xy

f(x,

y)

Figura 3.5: Funcao de duas variaveis f(x, y) =(

x2 − y2) 1

2 .

Seja f : A ⊂ <n → <m uma funcao definida no conjunto A ⊂ <n e x0 um ponto do domıniode f . Diz-se que f possui um valor limite a ∈ <m no ponto x0 se, para todo ε > 0, existir umoutro numero δ > 0 tal que

‖ x− x0 ‖< δ ⇒‖ f(x0) − a ‖< ε.

Na expressao anterior, ‖ x− x0 ‖ indica a norma do vetor x− x0. Frequentemente, emprega-sea norma Euclidiana.

Se x estiver suficientemente proximo de x0, e possıvel aproximar f de a tanto quanto sequeira. Nesse caso, denota-se como

limx→x0

f(x) = a.

A funcao f e contınua no ponto x0 ∈ A (o que significa automaticamente que f(x0) existe)se e somente se para todo ε > 0 existir um δ > 0 tal que

‖ f(x0) − f(x) ‖< ε sempre que 0 <‖ x− x0 ‖< δ, x ∈ A. (3.39)

Se a equacao anterior e valida para todo x0 ∈ A entao a funcao e contınua em A. Alem disso,se δ nao depender de x0, entao f e uniformemente contınua.

Em termos da definicao de limite, tem-se que f e contınua no ponto x0 se f(x0) e f(x) tendepara f(x0) quando x tende para x0. Logo,

limx→x0

f(x) = f(x0).

Exemplo 3.12 Seja A o disco circular consistindo dos pontos (x, y), tais que x2 + y2 ≤ 1 eseja f(x, y) = 1 para todo ponto (x, y) ∈ A. Logo, f e contınua em A, pois o limite de f(x, y)em cada ponto de A e 1.

Tomando-se agora a seguinte funcao

g(x, y) =

f(x, y) se (x, y) esta em D0 caso contrario

.

Nesse caso, g nao e contınua em <2. Por exemplo, o limite de g(x, y) para (x, y) → (1, 0) naoexiste, pois existem nao so pontos interiores a A arbitrariamente proximos de (1, 0), nos quaisg tem o valor 1, como tambem pontos exteriores arbitrariamente proximos de (1, 0) nos quais gtem o valo 0. Logo, g(x, y) nao pode tender para um valor unico quando (x, y) → (1, 0).

2


As leis de limite para funcoes de varias variaveis sao analogas aquelas das funcoes de umavariavel. Para isso, sejam as funcoes f : <n → < e g : <n → < de tal forma que

limx→x0

f(x) = a e limx→x0

g(x) = b.

Nesse caso, as leis de soma, produto e quociente para limites sao dadas, respectivamente, por

limx→x0

[f(x) + g(x)] = a + b, (3.40)

limx→x0

[f(x)g(x)] = ab, (3.41)

limx→x0

[f(x)

g(x)

]

=a

bse b 6= 0. (3.42)

Considere um polinomio de grau n nas duas variaveis x e y, denotado como Pn(x, y) e dadopor

Pn(x, y) =n∑

i,j=1

aijxiyj.

Usando as leis de soma e de produto anteriores, tem-se que

lim(x,y)→(x0,y0)

Pn(x, y) = P (x0, y0).

Logo, todo polinomio de duas ou mais variaveis e uma funcao contınua.

3.11 Derivadas parciais

Seja a funcao de uma variavel y = f(x). Como foi visto no capıtulo anterior, a derivada primeirade f representa a taxa instantanea de variacao de y em relacao a x.

No caso de uma funcao de duas variaveis z = f(x, y), deseja-se uma interpretacao semelhantepara a taxa de variacao de z quando x e y variam. Como ha duas variaveis independentes,tomam-se variacoes independentes de x e y, o que permite definir o conceito de derivada parcial.

Fazendo y fixo e variando x de ∆x, obtem-se a taxa de variacao de f em relacao a x, denotadapor ∂f

∂x ou fx, e dada por

fx(x, y) =∂f

∂x(x, y) = lim

∆x→0

f(x + ∆x, y) − f(x, y)

∆x. (3.43)

O valor do limite anterior, se existir, e chamado derivada parcial de f em relacao a x. Analoga-mente, a taxa de variacao de f em relacao a y, denotada por ∂f

∂y ou fy, e a derivada parcial def em relacao a y e dada por

fy(x, y) =∂f

∂y(x, y) = lim

∆y→0

f(x, y + ∆y) − f(x, y)

∆y. (3.44)

Omitindo o sımbolo y na equacao (3.43), a expressao resultante e a derivada de uma funcaode uma variavel. Portanto, pode-se calcular fx como uma derivada simples em relacao a x,considerando y como uma constante no processo de diferenciacao. Analogamente, calcula-sefy como a derivada simples de uma funcao de y, mantendo x como uma constante durante adiferenciacao.


Exemplo 3.13 Determine as derivadas parciais da funcao f(x, y) = y3 + x2y + 3x.Para calcular a derivada parcial de f em relacao a x, considera-se y como uma constante e

diferencia-se a expressao em x normalmente. Logo,

fx = 2xy + 3.

Analogamente, para calcular a derivada parcial em relacao a y, mantem-se x fixo. Portanto,

fy = 3y2 + x2.

2

As derivadas parciais de primeira ordem fx e fy constituem-se em funcoes e portanto podemser derivadas em relacao a x e y. Isso permite obter as derivadas parciais de alta ordem. Porexemplo, as derivadas parciais de fx(x, y) e fy(x, y) sao denominadas derivadas parciais desegunda ordem. Nesse caso, ha quatro possibilidades na ordem de diferenciacao

(fx)x = fxx =∂fx

∂x=

∂

∂x

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2,

(fx)y = fxy =∂fx

∂y=

∂

∂y

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x,

(fy)x = fyx =∂fy

∂x=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y,

(fy)y = fyy =∂fy

∂y=

∂

∂y

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2.

Observa-se que as derivadas parciais mistas fxy e fyx sao iguais se forem contınuas. De formaanaloga, definem-se as derivadas parciais de terceira e quarta ordens, nao importando a ordemdas diferenciacoes, desde que todas as derivadas consideradas sejam contınuas.

Exemplo 3.14 Seja f(x, y, z) = x2 +y +cos(y2z). Logo, tem-se as seguintes derivadas parciais

fx = 2x;

fy = 1 − 2yz sin(y2z);

fz = −y2 sin(y2z);

fxx = 2;

fyy = −2z sin(y2z) − 4y2z cos(y2z);

fzz = −y4 cos(y2z);

fxy = fyx = 0;

fxz = fzx = 0;

fyz = fzy = −2y sin(y2z) − 2y3z cos(y2z).

2

No caso geral de uma funcao f : <n → < de n variaveis com valores escalares, as derivadasparciais de primeira ordem em relacao a cada uma das variaveis independentes xi (i = 1, . . . , n)sao dadas de forma geral como

fxi(x1, . . . xn) =∂f

∂xi(x1, . . . xn) = lim

∆xi→0

f(x1, . . . , xi + ∆xi, . . . , xn) − f(x1, . . . , xn)

∆xi.(3.45)


Para as derivadas parciais de ordem superior e usual empregar a seguinte notacao

Dαf =∂|α|f∂xα

,

sendo α = (α1, . . . , αn), denominado multi-ındice, tal que os sımbolos |α| e ∂xα sejam entendidosda seguinte forma

|α| = α1 + α2 + . . . + αn,

∂xα = ∂x1 . . . ∂x1︸︷︷︸

α1

∂x2 . . . ∂x2︸︷︷︸

α2

. . . ∂xn . . . ∂xn︸︷︷︸

αn

.

O numero |α| e chamado de ordem da derivada.

Exemplo 3.15 Considere uma funcao f(x, y). As derivadas parciais de segunda ordem saoindicadas em notacao de multi-ındices como α = (α1, α2) e |α| = 2. As combinacoes de ındices(2, 0), (0, 2) e (1, 1) indicam, respectivamente, as derivadas parciais fxx, fyy e fxy = fyx.

2

3.12 Diferenciais e Definicao Alternativa de Derivadas Parciais

O diferencial de uma funcao f de uma variavel foi definido em (2.46). Este conceito permiteinterpretar a derivada da funcao f como a diferenca dos valores assumidos pela funcao entredois pontos que estao suficientemente proximos.

Considere agora a funcao de duas variaveis f(x, y). Deseja-se determinar a variacao dafuncao quando as variaveis independentes variam simultaneamente, ou seja,

∆f = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y). (3.46)

Tomando-se inicialmente apenas a variacao em x com y constante, tem-se o caso analogo auma funcao de uma variavel. Emprega-se fx(x, y) para calcular a variacao da funcao como

∆f = f(x + ∆x, y) − f(x, y) ≈ fx(x, y)∆x. (3.47)

Analogamente, mantendo x fixo e variando y, obtem-se

∆f = f(x, y + ∆y) − f(x, y) ≈ fy(x, y)∆y. (3.48)

Assim, considerando ∆x e ∆y pequenos, as derivadas parciais fx e fy podem ser interpretadascomo aproximacoes para as variacoes dos valores funcao nas direcoes x e y, respectivamente,quando as variaveis independentes sao perturbadas.

Variando x e y simultaneamente, espera-se que a soma de (3.47) e (3.48) seja uma boaaproximacao para o incremento total da funcao dado em (3.46). Logo, define-se o diferencialtotal da funcao f(x, y) como

df = ∆f ≈ fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y. (3.49)

Exemplo 3.16 Considere a funcao f(x, y) = 2x2 + 5xy + 3y2. Determinar a diferenca entreos valores da funcao nos pontos (1,2) e (1,01, 2,01).

A diferenca real entre os valores da funcao nos dois pontos e

∆f = f(1, 01, 2, 01) − f(1, 2) = 24, 311 − 24 = 0, 311.


As derivadas parciais sao dadas por

fx(x, y) = 4x + 5y e fy(x, y) = 5x + 6y.

Empregando (3.49), obtem-se

∆f = fx(1, 2)∆x + fy(1, 2)∆y = (14)(0, 01) + (17)(0, 01) = 0, 310

Observa-se que a aproximacao obtida por (3.49) para o incremento da funcao e muito boa.2

Para um ponto fixo (a, b), a equacao (3.49) resulta em

df ≈ fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y,

a qual e uma funcao linear em ∆x e ∆y e representa uma aproximacao linear do incrementoreal da funcao ∆f .

Para ∆x e ∆y representado pelos seus respectivos diferenciais dx e dy, a equacao (3.49) ereescrita para um ponto generico (x, y) como

df = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

=∂f(x, y)

∂xdx +

∂f(x, y)

∂ydy. (3.50)

Para o caso de uma funcao de n variaveis f : <n → <, o seu diferencial e dado por

df =∂f

∂x1dx1 + . . . +

∂f

∂xndxn, (3.51)

sendo dx1, . . . , dxn os incrementos nas variaveis independentes x1, . . . , xn.

3.13 Regra da Cadeia

Considere a funcao de duas variaveis f(x, y) e x e y como funcoes de uma unica variavel t, de talforma que x = g(t) e y = h(t). A funcao composta f(g(t), h(t)) depende implicitamente apenasda variavel t. Por outro lado, tomando f(x, y), observa-se que f depende explicitamente de x ey e implicitamente de t.

Deseja-se determinar a derivada de f em relacao a t. Para isso, aplica-se a regra da cadeia,de tal forma que

df

dt=

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt. (3.52)

A equacao anterior pode ser denotada em notacao funcional como

Dt [f(g(t), h(t)] = fx(g(t), h(t))g′(t) + fy(g(t), h(t))h′(t). (3.53)

Denomina-se f como variavel dependente, x e y como variaveis intermediarias e t comovariavel independente. O lado direito da equacao (3.52) contem dois termos, sendo um para cadavariavel intermediaria. De forma geral, ha um termo em (3.52) para cada variavel intermediaria.Pode-se representar as variaveis dependente, intermediaria e independente em um diagramade 3 nıveis como ilustrado na Figura 3.6(a), com a variavel dependente no topo e a variavelindependente na base. Cada variavel depende explıcita ou implicitamente das variaveis que estaoabaixo do seu nıvel. Observe que como na equacao (3.52) ha apenas uma variavel independente,emprega-se a notacao de derivada total d

dt para expressar as derivadas que envolvem t. Asderivadas em termos de x e y empregam a notacao de derivada parcial.


variável independente

variáveis intermediárias

variável dependentef

y z

t

x

(a) Tipos de variaveis.

x

xxx

x

x

fff

t t

f

x xx

t13

3t2t1

t11

1t2

2t22

x3x2

x1

1 2

321

(b) Duas variaveis independentes.

Figura 3.6: Nıveis de variaveis na regra da cadeia.

Exemplo 3.17 Para f(x, y) = sin(xy), x = t e y = t2, determinar dfdt pela regra da cadeia.

Como

∂f

∂x= y cos(xy),

∂f

∂y= x cos(xy),

dx

dt= 1,

dy

dt= 2t,

a expressao (3.52) fornece

df

dt= (y cos(xy))(1) + (x cos(xy))(2t) = t2 cos(t3) + 2t2 cos(t3) = 3t2 cos(t3).

Escrevendo f explicitamente em funcao de t, tem-se

f(t) = sin(t3),

cuja derivada resulta em f ′(t) = 3t2 cos(t3) e portanto coincide com a expressao obtida pela regrada cadeia.

2

Para o caso geral de uma funcao f de n variaveis intermediarias x1, . . . xn, sendo cada umadelas dependente das variaveis independentes t1, . . . , tn, tem-se uma expressao semelhante a(3.53) para cada variavel independente ti com i = 1, . . . , n, ou seja,

∂f

∂ti=

∂f

∂x1

∂x1

∂ti+

∂f

∂x2

∂x2

∂ti+ . . . +

∂f

∂xn

∂xn

∂ti. (3.54)

Observa-se que as derivadas de f em relacao as variaveis independentes estao denotadas pelosımbolo de derivada parcial, pois f e uma funcao de n variaveis.

Como exemplo, considere o caso de tres variaveis intermediarias e duas variaveis indepen-dentes, ou seja, f(x1, x2, x3) e x1(t1, t2), x2(t1, t2) e x3(t1, t2). Nesse caso, a expressao (3.54)fornece as tres derivadas parciais seguintes

∂f

∂t1=

∂f

∂x1

∂x1

∂t1+

∂f

∂x2

∂x2

∂t1+

∂f

∂x3

∂x3

∂t1,

∂f

∂t2=

∂f

∂x1

∂x1

∂t2+

∂f

∂x2

∂x2

∂t2+

∂f

∂x3

∂x3

∂t2,

∂f

∂t3=

∂f

∂x1

∂x1

∂t3+

∂f

∂x2

∂x2

∂t3+

∂f

∂x3

∂x3

∂t3.

A relacao entre as variaveis esta ilustrada na Figura 3.6(b).


3.14 Vetor Gradiente

Considere a funcao de tres variaveis f : <3 → <. O vetor formado pelas tres derivadas parciaisde f calculadas no ponto generico (x, y, z) e denominado vetor gradiente ∇f e dado por

∇f =∂f

∂xe1 +

∂f

∂ye2 +

∂f

∂ze3, (3.55)

sendo (e1, e2, e3) os vetores da base cartesiana.

Exemplo 3.18 Seja f(x, y, z) = x2yz + 3yz3. Determinar o vetor gradiente de f e calcula-lono ponto P (1, 1, 1).

Usando a definicao (3.55) para a funcao f dada, tem-se

∇f = 2xyze1 + (x2z + 3z3)e2 + (x2y + 9yz2)e3.

Particularizando para o ponto P (1, 1, 1), tem-se

∇f = 2e1 + 4e2 + 10e3.

2

Considere a funcao f(x, y, z). A diferenca dos valores da funcao calculada nos pontos Q(x +∆x, y + ∆y, z + ∆z) e P (x, y, z) e dada por

∆f = f(Q) − f(P ). (3.56)

Usando (3.51), a aproximacao linear para essa diferenca e expressa como

∆f =∂f

∂x∆x +

∂f

∂y∆y +

∂f

∂z∆z. (3.57)

A partir da definicao de vetor gradiente em (3.55), a expressao (3.56) e reescrita como

∆f = ∇f(P ) · v, (3.58)

sendo v = ~PQ = (∆x,∆y,∆y) o vetor deslocamento de P a Q.

Para uma funcao de n variaveis f : <n → <, o vetor gradiente e definido como

∇f =∂f

∂x1e1 +

∂f

∂x2e2 + . . . +

∂f

∂xnen. (3.59)

3.15 Derivada Direcional

As derivadas parciais fx, fy e fz quando calculadas em um ponto P com coordenadas (x, y, z)fornecem as taxas de variacao de f nas direcoes x, y e z, respectivamente. Deseja-se agoradeterminar a taxa de variacao de f no ponto P em uma direcao arbitraria caracterizada por umvetor unitario u.

Considere o ponto Q que dista ∆s unidades de P na direcao u, conforme ilustrado na Figura3.7. A taxa media de variacao de f em relacao a distancia ||v|| = | ~PQ| entre P e Q e

f(Q) − f(P )

||v|| =∆f

∆s. (3.60)


Substituindo (3.58) em (3.60) vem que

∆f

∆s=

∇f(P ) · v||v|| = ∇f(P ) · u, (3.61)

com u = v||v|| o vetor unitario na direcao de P a Q. A taxa instantanea de variacao e obtida

tomando-se o limite da relacao anterior para ∆s → 0, ou seja,

df

ds= lim

∆s→0

∆f

∆s= ∇f(P ) · u. (3.62)

Define-se a derivada direcional de f em (x, y, z) na direcao u como

Duf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · u. (3.63)

x

z

y Q

u ∆s

P

Figura 3.7: Derivada direcional na direcao u.

Exemplo 3.19 Considere a funcao f(x, y, z) = xy + y2z. Determinar a derivada direcional def no ponto P (1, 1, 1) na direcao v = (1, 0, 1).

Como v e um vetor unitario, deve-se normaliza-lo. Logo,

u =v

||v|| =1√2(1, 0, 1).

O gradiente de f dada e dado por

∇f = ye1 + (x + 2yz)e2 + y2e3.

No ponto P (1, 1, 1), tem-se

∇f = e1 + 3e2 + e3.

Aplicando (3.62) vem que

Duf(1, 1, 1) =1√2(1 + 3 + 1) =

5√2.

2


Para generalizar o conceito de derivada direcional, seja f : <n → <m uma funcao definidano conjunto A ⊂ <n. De forma equivalente, f pode ser identificada como uma funcao vetorialde m componentes, i.e., f = (f1, f2, . . . , fm), sendo cada componente fi uma funcao escalarde n variaveis reais definida em A, isto e fi : <n → <. Considere agora os pontos P e Qcom coordenadas x = (x1, x2, . . . , xn) e x + εu = (x1 + εu1, x1 + εu2, . . . , xn + εun) com u =(u1, u2, . . . , un) ∈ <n um vetor unitario, ou seja,

u21 + u2

2 + . . . + u2n = 1.

O limite para o numero real ε > 0

limε→0,ε>0

fj(x + εu) − fj(x)

ε,

quando existe, e chamado de derivada direcional da j-esima funcao componente fj no ponto xsegundo a direcao u. O parametro ε permite avaliar como f varia na direcao de u.

Assim, f nao tem somente uma derivada no ponto x como no caso unidimensional, mas ovalor da derivada depende da direcao u.

Usualmente, denota-se essa derivada por

Dfj(x)[u] =d

dε

∣∣∣∣ε=0

fj(x + εu). (3.64)

A derivada direcional da funcao vetorial f em x segundo a direcao u e definida como

Df(x)[u] = limε→0,ε>0

f(x + εu) − f(x)

ε= (Df1(x)[u],Df2(x)[u], . . . ,Dfm(x)[u]). (3.65)

A derivada direcional, como definida acima, satisfaz as propriedades usuais da derivadaunidimensional. Tais propriedades sao listadas a seguir:

1. Derivada de uma soma: se f(x) = f1(x) + f2(x) entao

Df(x)[u] = Df1(x)[u] + Df2(x)[u];

2. Regra do produto: se f(x) = f1(x) · f2(x), com · indicando qualquer tipo de produto, entao

Df(x)[u] = Df1(x)[u] · f2(x) + f1(x) · Df2(x)[u];

3. Regra da cadeia: se f(x) = f1(f2(x)), entao

Df(x)[u] = Df1(f2(x))[Df2(x)[u]].

Exemplo 3.20 Sejam f(x, y) =∣∣x2 − y2

∣∣12 e x0 = (x0, y0) = (0, 0). Considere a direcao v =

(cos θ, sin θ) e φ(ε) = f(ε cos θ, ε sin θ). A derivada direcional de f em x0, se existir, e dada porDf(x0)[v] = φ′(0). Mas

φ(ε) =∣∣∣ε2 cos2 θ − ε2 sin2 θ

∣∣∣

12 = |ε|

∣∣∣cos2 θ − sin2 θ

∣∣∣

12 .

Se cos2 θ = sin2 θ, entao φ(ε) = 0 para todo ε e φ′(0) = 0. Se cos2 θ 6= sin2 θ, entao φ naopossui derivada em ε = 0, pois d

dε |ε| nao existe no ponto ε = 0. Assim, a derivada direcional de

f em x0 = (x0, y0) e zero nas quatro direcoes (±√

2/2,±√

2/2). Em qualquer outra direcao v,a derivada direcional de f nao existe.

2


Exemplo 3.21 A funcao f(x, y) =(x2 − y2

) 12 no ponto x0 = (x0, y0) = (0, 0) tem um numero

indefinido de derivadas direcionais. A Figura 3.5 mostra esta funcao e algumas direcoes possıveis.

2

Quando o vetor unitario u que define a derivada direcional de fj e tomado segundo a direcaoparticular de um dos eixos coordenados, por exemplo ei, essa derivada, se existir, recebe o nomede i-esima derivada parcial da j-esima funcao componente fj no ponto x. Assim, denota-se aderivada parcial por

Dfj(x)[ei]. (3.66)

Alternativamente, pode-se definir a derivada parcial de uma funcao componente fj em relacaoa coordenada xi no ponto x = (x1, . . . , xi, . . . , xn) como

lim∆xi→0

fj(x1, . . . , xi + ∆xi, . . . , xn) − fj(x1, . . . , xi, . . . , xn)

∆xi=

∂fj

∂xi(x). (3.67)

Desse modo, verifica-se que ambas as notacoes empregadas anteriormente sao equivalentesentre si, ou seja,

Dfj(x)[ei] =∂fj

∂xi(x). (3.68)

De forma geral, a funcao vetorial

∂f

∂xi=

(∂f1

∂xi, . . . ,

∂fm

∂xi

)

(3.69)

e identificada como a derivada parcial de f com respeito a i-esima coordenada.

Considere a funcao f : <n → <n. Pode-se aplicar a regra da cadeia para calcular a derivadadirecional de f no ponto x0 na direcao u como

Df(x0)[u] =d

dε

∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu)

=n∑

i=1

∂f

∂xi

∣∣∣∣xi=x0,i

d(x0,i + εui)

dε

∣∣∣∣ε=0

(3.70)

=n∑

i=1

ui∂f

∂xi

∣∣∣∣xi=x0,i

= [K(x0)]u.

Como f = (f1, f2, . . . , fn) e uma funcao vetorial, a matriz tangente [K] e dada por

[K] =

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2. . . ∂f1

∂xn∂f2

∂x1

∂f2

∂x2. . . ∂f2

∂xn...

... . . ....

∂fn

∂x1

∂fn

∂x2. . . ∂fn

∂xn

. (3.71)

No caso particular do funcional f : <n → f , a expressao se reduz a

Df(x0)[u] = ∇f(x0) · u. (3.72)


Exemplo 3.22 Considere a funcao f(x, y, z) = 0, 1x2+0, 3y2+0, 2z2 descrevendo a temperaturaem graus Celsius nos pontos de seu domınio. Qual sera a taxa de variacao da temperatura queuma abelha localizada no ponto P (0, 1, 0) ira sentir ao atingir o ponto Q(1, 2, 1)? A distanciaindicada em Km?

O gradiente de f e

∇f = 0, 2xe1 + 0, 6ye1 + 0, 4ze3.

Para o ponto P (0, 1, 0), tem-se

∇f = 6e1.

O vetor unitario u na direcao ~PQ e

u =1√3(1, 1, 1).

Aplicando (3.72), a taxa de variacao da temperatura entre os pontos P e Q e

Df(P ) = 0, 6 graus/Km.

2

Como no caso das funcoes de uma unica variavel, funcoes que prescrevem em todo ponto xuma derivada parcial ou direcional nestes mesmos pontos sao chamadas de funcoes derivadasparciais ou direcionais de f .

Seja f : <n → <m uma funcao definida no conjunto A ⊂ <n. Diz-se que f e de classe Ck(Ω)se todas as suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a k existem e sao contınuas em Ω.Os sımbolos C0(Ω) ou C(Ω) sao reservados para a classe de funcoes que sao apenas contınuasem Ω.

x

0 1 2 3

x

f (x )

f

ε0 u

0

(a) Funcao f(x).

ε

2 1 0

F (0)

F ( )

ε

(b) Funcao F (ε).

Figura 3.8: Expansao em serie de Taylor de uma funcao de uma variavel em termos de F (ε) [1].

3.16 Expansao em Serie de Taylor

Considere a funcao vetorial f : <n → <n. Deseja-se avaliar o comportamento de f em tornodo ponto x0 ∈ <n na direcao de u. Como a expressao de f pode ser complexa e altamentenao-linear, a maneira de realizar a sua expansao em serie de Taylor nao e tao obvia.


Para contornar esse problema, introduz-se a seguinte funcao F de uma variavel ε ∈ <

F(ε) = f(x0 + εu). (3.73)

As Figuras 3.8 e 3.9 ilustram as funcoes f e F para os casos de uma e duas variaveis.

Fazendo a expansao para ε → 0 e equivalente a considerar o comportamento de f em tornode x0. Logo, usando a serie de Taylor padrao, tem-se que

F(ε) = F(0) +dF(ε)

dε

∣∣∣∣ε=0

+1

2

d2F(ε)

dε2

∣∣∣∣∣ε=0

+ . . . . (3.74)


f(x0 + εu) = f(x0) + εd

dε

∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu) +ε2

2

d2

d2ε

∣∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu) + . . . . (3.75)

x

f (x,y)

f

y

x

u0

ε

(a) Funcao f(x, y).

2 1 0

F ( )ε

ε

(b) Funcao F (ε).

Figura 3.9: Expansao em serie de Taylor de uma funcao de duas variaveis em termos de F (ε)[1].

Considerando ε → 0, os termos a partir da segunda ordem podem ser desprezados. Portanto,pode-se reescrever (3.75) como

f(x0 + εu) − f(x0) = εd

dε

∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu). (3.76)

Dividindo ambos os lados da equacao anterior por ε e tomando o limite para ε → 0, obtem-se aexpressao da derivada direcional (3.64), ou seja,

limε→0

f(x0 + εu) − f(x0)

ε=

d

dε

∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu) = Df [u](x0). (3.77)

A expressao (3.76) permite interpretar a derivada direcional de uma funcao f no ponto x0

como uma aproximacao linear da variacao da funcao entre dois pontos que estao suficientementeproximos.


3.17 Interpretacao do Vetor Gradiente

Seja um funcional f : <n → <. O vetor gradiente de f em um ponto P indica a direcao na quala derivada direcional de f em P assume o valor maximo.

Para isso, considere o produto escalar indicado na equacao (3.72), ou seja,

Duf(P ) = ∇f(P ) · u = ||∇f(P )|| cos φ, (3.78)

lembrando que ||u|| = 1. O valor maximo de cos φ e 1 para φ = 0. Isso ocorre se u = ∇f(P )||∇f(P )|| ,

ou seja, se u esta na direcao do vetor gradiente. Nesse caso,

Duf(P ) = ||∇f(P )||. (3.79)

Exemplo 3.23 Seja f(x, y) = 2x2 + 3y3. Determinar a direcao de maior variacao de f noponto P (1, 1).

Essa e a direcao do gradiente no ponto dado, ou seja,

∇f = 4xe1 + 9y2e2 = 4e1 + 9e2.

Normalizando essa direcao, tem-se

u =1√97

(4e1 + 9e1).

2

3.18 Gradiente de um Campo Escalar

A funcao f : <n → < define um campo escalar, pois fornece um numero real quando calculada emcada ponto do seu domınio. Por sua vez, a funcao f : <n → <m define um campo vetorial, poisao avalia-la em qualquer ponto do seu domınio, tem-se um vetor. Por exemplo, para f : <3 → <3

calculada no ponto (x, y, z) escreve-se

f(x, y, z) = f1(x, y, z)e1 + f2(x, y, z)e2 + f3(x, y, z)e3, (3.80)

sendo f1, f2, f3 as funcoes componentes do campo vetorial f .

Exemplo 3.24 Considere o campo vetorial f(x, y) = xe1+ye2. E comum esbocar um campo ve-torial como uma colecao de vetores f(x, y), representados por uma seta de comprimento ||f(x, y)||a partir do ponto (x, y).

Para o campo vetorial dado, f(x, y) e seu vetor posicao apontando a partir da origem e comcomprimento

||f(x, y)|| = ||xe1 + ye2|| =√

x2 + y2 = r,

igual a distancia da origem ao ponto (x, y). A Figura 3.10 ilustra o campo vetorial dado.2

Seja f (x) um campo escalar, i.e., uma funcao que associa a cada ponto do espaco EuclidianoE um numero real. A variacao de f num dado ponto x0 e numa direcao arbitraria u, pode serdefinida atraves do vetor gradiente ∇f (x0) da seguinte maneira

∇f (x0) · u =Df (x0) [u] . (3.81)


−3 −2 −1 0 1 2 3−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

xy

Figura 3.10: Campo vetorial do exemplo 3.24.

As componentes do gradiente de f no ponto x0 podem ser obtidas usando-se a definicao dederivada direcional (3.77), ou seja,

∇f (x0) · u =d

dε

∣∣∣∣ε=0

f(x0 + εu) =3∑

i=1

∂f

∂xi

∣∣∣∣ε=0

d(x0,i + εui)

dε

∣∣∣∣ε=0

=3∑

i=1

ui∂f

∂xi

∣∣∣∣xi=x0,i

,(3.82)

ou de forma equivalente, considerando-se os vetores unitarios ui= ei (i = 1, 2, 3),

∇f (x0) · e1 = Df (x0) [e1] =∂f

∂x1= (∇f)1 ,

∇f (x0) · e2 = Df (x0) [e2] =∂f

∂x2= (∇f)2 ,

∇f (x0) · e3 = Df (x0) [e3] =∂f

∂x3= (∇f)3 .

Nota-se que as componentes do vetor gradiente sao as proprias derivadas parciais do campoescalar f .

Assim, o gradiente de um campo escalar f (x) : R ⊂ E −→ < e o vetor

∇f(x) =3∑

i=1

∂f(x)

∂xiei (3.83)

cujas componentes sao dadas por

(∇f (x))i =∂f (x)

∂xi. (3.84)

Em notacao indicial de diferenciacao, tem-se

∇f (x) = f (x),i ei. (3.85)

Observa-se que ∇f define o campo vetorial gradiente da funcao f . O operador ∇ defineum operador diferencial vetorial, pois quando aplicado a funcao escalar f fornece o seu campovetorial gradiente ∇f .

O campo vetorial gradiente e linear. Dados os campos escalares f1 e f2 e α1, α2 ∈ <, tem-seque

∇(α1f1 + α2f2) = α1∇f1 + α2∇f2. (3.86)


Alem disso, a seguinte relacao e valida

∇(f1f2) = f1∇f2 + f2∇f1. (3.87)

Para toda superfıcie de nıvel f = c, sendo c uma constante, tem-se Df (x) = 0 para qualquervetor u tangente a essa superfıcie. Assim, ∇f (x) · u = 0 e ∇f e normal a superfıcie de f = c.

Exemplo 3.25 Dado o campo escalar ϕ = xy + z, encontrar o vetor unitario n normal asuperfıcie constante ϕ passando por (2, 1, 0).

O gradiente de ϕ e dado por

∇ϕ =∂ϕ

∂xe1 +

∂ϕ

∂ye2 +

∂ϕ

∂ze3 = ye1 + xe2 + e3.

Para o ponto (2, 1, 0), tem-se ∇ϕ = e1 + 2e2 + e3. Logo,

n =1√6

(e1 + 2e2 + e3) .

2

Como ja visto anteriormente com o vetor gradiente, o campo vetorial gradiente, tem umimportante significado geometrico, pois aponta, em cada ponto, para a direcao de maior cresci-mento de f (x) como mostra a Figura 3.11.

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

−0.5

0

0.5

x

A função f1(x,y) = x*exp(−x²−y²)

y

f(x,

y)

−2 −1 0 1 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2O campo vetorial gradiente da função f1(x,y)

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

A função f3(x,y) = x²

y

f(x,

y)

−2 −1 0 1 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2O campo vetorial gradiente da função f3(x,y)

Figura 3.11: Funcoes f : <2 → < e os seus campos vetoriais gradiente correspondentes.

3.19 Divergencia de um Campo Vetorial

Dado um campo vetorial f que possui derivadas de primeira ordem em, o divergente de f edefinido como o campo escalar dado por

div f = ∇ · f =∂f1

∂x1+

∂f2

∂x2+

∂f3

∂x3=∑

i

∂fi

∂xi.

Em notacao indicial

div v = vi,i.


Exemplo 3.26 Seja v o campo vetorial representando a velocidade de um gas. O divergentede v representa a taxa da expansao volumetrica de fluxo do gas. Na Figura 3.12(a), os vetoresrepresentam o campo vetorial v : <2 → < tal que v(x, y) = x + y. Os vetores estao saindo daorigem. Por isso, o divergente div v e maior que zero pois

div v =dv1

dx+

dv2

dy= 1 + 1 = 2 > 0.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) Campo vetorial div v =x + y.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b) Campo vetorial div v =−x − y.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(c) Campo vetorial div v =−y + x.

Figura 3.12: Exemplos de campos vetoriais.

Na Figura 3.12(b), os vetores representam o campo vetorial v : <2 → < tal que v(x, y) =−x − y. Os vetores estao na direcao da origem. Por isso, o divergente div v e menor que zeropois

div v =dv1

dx+

dv2

dy= −1 − 1 = −2 > 0.

Na Figura 3.12(c), os vetores representam o campo vetorial v : <2 → < tal que v(x, y) =x−y. Os vetores representam cırculos concentricos em torno da origem, movendo-se em sentidoanti-horario. Por isso, o divergente div v e igual a zero pois

div v =dv1

dx+

dv2

dy= 1 − 1 = 0.

2

Expressoes analoga a (3.86) e (3.87) sao validas para a divergencia de campos vetoriais, ouseja,

∇ · (α1f1 + α2f2) = α1(∇ · f1) + α2(∇ · f2) (3.88)

∇ · (f1 + f2) = f1(∇ · f1) + (∇f1 · f2). (3.89)

3.20 Rotacional de um Campo Vetorial

O rotacional de um campo vetorial f , denotado por rot f , e definido como o campo vetorial coma seguinte propriedade

rot f = ∇× f . (3.90)

Desenvolvendo o produto vetorial anterior, tem-se

(rot v) =

(∂v3

∂x2− ∂v2

∂x3

)

e1 +

(∂v1

∂x3− ∂v3

∂x1

)

e2 +

(∂v2

∂x1− ∂v1

∂x2

)

e3.


Seja dV um volume infinitesimal em um campo vetorial f . O rotacional rot (f) representa aintensidade e o eixo de rotacao de dV . Quando rot (f) = 0, f e irrotacional. Nota-se que rot (f)e um vetor e div (f) e um escalar.

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5−1

−0.5

0

0.5

1

(a) Campo vetorial v1(x, y, z) = (−y, x, 0).

−1.5−1

−0.50

0.51

1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b) Campo vetorial v2(x, y, z) = −(x, y, z).

Figura 3.13: Campos vetoriais e seus rotacionais.

Exemplo 3.27 Seja v1(x, y, z) = (−y, x, 0) o campo vetorial, mostrado na Figura 3.13(a). Orotacional do campo vetorial v1 e rot v1 = (0, 0, 2).

Seja v2(x, y, z) = (x, y, z) o campo vetorial mostrado na Figura 3.13(b). O rotacional docampo vetorial v2 e rot v2 = (0, 0, 0).

2

Expressoes analoga a (3.86) e (3.87) sao validas para o rotacional, ou seja,

∇× (α1f1 + α2f2) = α1(∇× f1) + α2(∇× f2), (3.91)

∇× (f f1) = (f)(∇× f1) + (∇f) × f2. (3.92)

Seja a funcao f(x, y, z) com derivadas parciais de segunda ordem contınuas. Logo, o rota-cional do gradiente e f e 0, ou seja,

rot (∇f) = 0.

Por isso, o campo vetorial v1 da Figura 3.13(a) nao e o gradiente de uma funcao. Na Figura3.13(b) nao e possıvel determinar se o campo vetorial v2 e o gradiente de uma funcao, apesarde rot (v2) = 0.

3.21 Laplaciano de um Campo Escalar

Seja Φ um campo escalar ou vetorial de classe C2. O Laplaciano de Φ e definido por

∆Φ = div∇Φ. (3.93)

Em componentes, o Laplaciano de Φ e dado por

∆Φ =∑

i

∂2Φ

∂x2i

. (3.94)

Se ∆Φ = 0, entao Φ e dito harmonico.


3.22 Integracao de Funcoes de Varias Variaveis

O mesmo conceito de integracao de Riemann de funcao de uma variavel pode ser estendido parao caso de funcoes de varias variaveis.

O caso mais simples consiste da integral dupla da funcao contınua f(x, y) definida noretangulo R = [a, b] × [c, d] = (x, y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d no plano xy. Deseja-se deter-minar a integral sobre a curva definida por f , ou seja,

V =

∫

Rf(x, y) dA.

Uma aproximacao para V e obtida pela soma de Riemann. Para isso, constroi-se umaparticao P de R consistindo de sub-retangulos R1, R2, . . . , Rn obtidos pelas particoes de [a, b] e[c, d] da seguinte forma

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xm = b;

c = y0 < y1 < y2 < . . . < yn = d,

conforme ilustrado na Figura 3.14. Para cada retangulo Ri, seleciona-se um ponto arbitrario(x∗

i , y∗i ). A soma |P | da particao P e definida como a maior diagonal de todos os retangulos Ri.

y

x a b

c

d

R

R

)ii ,y(x* *

i

Figura 3.14: Particao de R.

Denotando por ∆Ai a area de cada retangulo Ri, a soma de Riemann e dada por

n∑

i=1

f(x∗i , y

∗i )∆Ai. (3.95)

A integral dupla da funcao f sobre o retangulo R e definida tomando-se o limite quando anorma da particao tende a zero, ou seja,

∫

Rf(x, y)dA = lim

|P |→0

n∑

i=1

f(x∗i , y

∗i )∆Ai. (3.96)

Uma definicao semelhante de integral e valida para regioes R nao retangulares.

Passe-se agora ao estudo da teoria de integracao elementar em mais de uma dimensao.


A nocao de integracao segundo Riemann pode ser generalizada para o caso de funcoes es-calares em <n. Se (ai, bi) i = 1, . . . , n denota um intervalo aberto em <n, o produto cartesiano

σ = (a1, b1) × . . . × (an, bn) ⊂ <n

e chamado cubo (aberto) em <n.Assume-se por simplicidade que seja dada uma funcao f : <n → < definida num cubo

E ⊂ <n. Entende-se por uma particao P de E uma famılia finita de cubos σ ⊂ E, dois a doisdisjuntos (i.e., cuja interseccao e vazia), tal que

E ⊂ ∪σ, σ ∈ P

sendo que σ denota o fecho de σ, ou seja,

σ = [a1, b1] × . . . × [an, bn] ⊂ <n.

Se um unico raio de cubo for definido como

r(σ) =

(n∑

i

(bi − ai)2

) 12

,

entao o raio de uma particao sera definido por

r(P ) = maxσ∈P

r(σ).

Escolhendo um ponto (intermediario) arbitrario ξσ de cada cubo σ ∈ P , define-se a soma deRiemann como

R = R(P, ξ) =∑

σ∈P

f(ξσ)m(σ),

sendo m(σ) a medida (area, volume, hiper-volume) do cudo σ definida por

m(σ) = (b1 − a1)(b2 − a2) . . . (bn − an).

A funcao f mencionada acima e dita integravel no sentido de Riemann sobre E se e somentese, para toda sequencia Pk de particoes tal que

r(Pk) → 0

e para uma escolha arbitraria de pontos intermediarios ξσ, a correspondente sequencia de so-mas de Riemann converge para um valor comum J . O numero J , quando existe, e chamadonovamente de integral de Riemann de f sobre E e e denotada por

J =

∫

Ef dE =

∫

Ef(x)dx =

∫

Ef(x1, . . . , xn)dx1 . . . xn.

A integracao no caso bidimensional e mostrado no exemplo seguinte.

Exemplo 3.28 Seja f(x, y) = x2 + y2 conforme a Figura 3.15 e a regiao de integracao R =[−1, 1] × [0, 1]. Obtem-se a area entre f e o plano xy integrando primeiro em x e depois em y.

∫

A(x2 + y2)dxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

−1(x2 + y2)dx

)

dy =

∫ 1

0

[1

3x3 + y2x

]1

−1dy

=

∫ 1

0(2

3+ 2y2)dy =

[2

3y +

2

3y3]1

0=

4

3.

2


−5

0

5

−5

0

50

10

20

30

40

50

Figura 3.15: Funcao f(x, y) = x2 + y2.

3.23 Integrais Curvilıneas

Considere a curva suave C entre os pontos A e B ilustrada na Figura 3.16(a) e definida de formaparametrica como

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b], (3.97)

sendo t o parametro da curva de tal forma que t = a e t = b correspondam, respectivamente,aos pontos A e B.

z

y

x

CB

A

(a) Curva C.

z

x

y

B

0P

1P2P

n−1P

iP

Pi−1

si∆

A=

(b) Particao da curva.

Figura 3.16: Curva parametrica C e sua particao.

Suponha que se deseja calcular a integral da funcao contınua f(x, y, z) ao longo de C. Paraisso, particiona-se C introduzindo n pontos Pi (x(ti), y(ti), z(ti)) com i = 1, . . . , n, conformeilustrado na Figura 3.16(b).

O comprimento do arco ∆si entre os pontos Pi−1 e Pi e dado por [3]

∆si =

∫

tti−1

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt. (3.98)

Aplicando o teorema do valor medio para integrais, tem-se

∆si =√

[x′(t∗i )]2 + [y′(t∗i )]

2 + [z′(t∗i )]2∆t, (3.99)

com t∗i ∈ [ti−1, ti] e ∆t = ti − ti−1.


A soma finitan∑

i=1

f(x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i ))∆si (3.100)

fornece uma aproximacao da integral de f ao longo de C.Define-se a integral curvilınea de f ao longo de C como o limite da soma anterior para

∆t → 0. Logo,

∫

Cf(x, y, z)ds = lim

∆t→0

n∑

i=1

f(x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i ))∆si (3.101)

A integral curvilınea pode ser expressa em termos do parametro t substituindo o comprimentods do elemento diferencial por

ds =√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt. (3.102)

Logo,

∫

Cf(x, y, z)ds =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t))

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt. (3.103)

Exemplo 3.29 Determine a massa de um fio de densidade ρ = 2z com geometria dada pelacurva parametrica

x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ [0, π].

A massa do fio e dada por

m =

∫

Cdm =

∫

Cρds.

O diferencial de comprimento ds e dado por

ds =√

(− cos t)2 + (sin t)2 + (1)2dt =√

2dt.

Logo,

m =

∫ π

02t√

2dt =√

2π2 = 13, 96.

2

Pode-se considerar o incremento ∆si dado em (3.99) atraves de suas componentes (∆xi,∆yi,∆zi).Denota-se ∆xi atraves da seguinte aproximacao de primeira ordem

∆xi = x(ti) − x(ti−1) = x′(t∗i )∆t.

Analogamente, para ∆yi e ∆zi. A integral curvilınea de f ao longo de C em relacao a x edefinida como

∫

Cf(x, y, z)dx = lim

∆t→0

n∑

i=1

f(x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i ))∆xi, (3.104)

de tal forma que

∫

Cf(x, y, z)dx =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t))x′(t)dt (3.105)


Analogamente, as integrais curvilıneas de f em relacao a y e z sao definidas, respectivamente,por

∫

Cf(x, y, z)dy =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t))y′(t)dt, (3.106)

∫

Cf(x, y, z)dz =

∫ b

af(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt. (3.107)

Em geral, as integrais (3.105) a (3.107) ocorrem conjuntamente. Considere f1, f2 e f3 funcoescontınuas das variaveis x, y e z. A seguinte relacao e valida

∫

Cf1dx + f2dy + f3dz =

∫

Cf1dx +

∫

Cf2dy +

∫

Cf3dz. (3.108)

Expressando C atraves de sua forma parametrica (x(t), y(t), z(t)), a equacao anterior e calculadacomo

∫

Cf1dx + f2dy + f3dz =

∫ b

a[f1(x(t), y(t), z(t))x′(t)

+ f2(x(t), y(t), z(t))y′(t) + f3(x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt. (3.109)

Exemplo 3.30 Sendo C a curva parametrica x = t, y = t2, z = t3 com t ∈ [0, 1], calcule aseguinte integral curvilınea

∫

Cydx + zdy + xdz

Como dx = dt, dy = 2tdt e dz = 3t2dt, tem-se

∫

Cydx + zdy + xdz =

∫ 1

0t2dt + t3(2tdt) + t(3t2dt) =

89

60.

2

Caso a orientacao da curva C seja invertida, o valor da integral curvilınea em (3.101) naose altera. Como as integrais (3.105) a (3.107) envolvem x′(t), y′(t) e z′(t), ha uma inversao desinal. Logo,

∫

−Cfds =

∫

Cfds,

∫

−Cf1dx + f2dy + f3dz = −

∫

Cf1dx + f2dy + f3dz.

Pode-se empregar integrais curvilıneas para calcular o trabalho de um campo vetorial de forcaf = f1ex + f2ey + f3ez ao longo de uma curva C definida entre os pontos A e B e parametrizadapor

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez.

Apesar de fisicamente nao representar uma velocidade, a taxa de variacao de r(t) com o parametrot e denominada vetor velocidade e dada por

v =dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez. (3.110)


Esse vetor e tangente a cada ponto da curva C. Assim, o vetor tangente unitario e definidocomo

t =v

||v||dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez. (3.111)

A norma do vetor velocidade e dado em funcao do comprimento de arco da curva C como

||v|| =ds

dt. (3.112)

Considere a particao da curva C ilustrada na Figura 3.16. Para determinar o trabalho docampo de forca f ao longo de C, inicialmente determina-se o trabalho da forca entre os pontosPi−1 e Pi. Para isso, basta multiplicar a componente da forca na direcao tangente em um pontogenerico (x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i )) entre Pi−1 e Pi pela distancia ∆si. A componente tangente da forcae dada pela projecao de f na direcao de t, ou seja, toma-se o produto escalar f · t. Logo, otrabalho da forca entre Pi−1 e Pi e calculado aproximadamente por

∆Wi ≈ f(x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i )) · t(t∗i )∆si.

O trabalho total W e aproximado pela soma de cada uma das parcelas para os n pontos consid-erados, ou seja,

W ≈n∑

i=1

∆Wi =n∑

i=1

f(x(t∗i ), y(t∗i ), z(t∗i )) · t(t∗i )∆si.

Tomando o limite da soma de Riemann anterior, tem-se que o trabalho total e dado pela seguinteintegral curvilınea

W =

∮

Cf · tds. (3.113)

Substituindo as expressoes de f e t na relacao anterior, obtem-se

W =

∮

Cf · tds =

∮

Cf1dx + f2dy + f3dz. (3.114)

Exemplo 3.31 Considere o campo vetorial de forca f = yex + zey + xez. Calcular o trabalhodessa forca para mover uma partıcula entre os pontos (0, 0, 0) e (1, 1, 1) ao longo da curvaindicada no exemplo 3.30.

Da equacao (3.114), tem-se

W =

∮

Cf · tds =

∮

Cydx + zdy + xdz =

89

60.

2

3.24 Integral de Superfıcie

O grafico de uma funcao f(x, y) representa a sua superfıcie. Deseja-se agora definir uma su-perfıcie parametrica de forma analoga a uma curva parametrica. Para isso, considere a regiaoR do plano uv mostrada na Figura 3.17(a). Os parametros da superfıcie sao u e v. Considerea funcao ou transformacao r definida sobre R e com valores <3, ou seja, r : R → <3. Umasuperfıcie parametrica e a imagem de r e toma valores no espaco <3, como mostrado na Figura3.17(b). A imagem de cada ponto (u, v) de R e o ponto (x, y, z) com vetor posicao

r(u, v) =< x(u, v), y(u, v), z(u, v) > . (3.115)


u

R

(u,v)

v

(a) Regiao R.

(u,v)s

x

y

z

r

(b) Superfıcie parametrica.

Figura 3.17: Regiao no plano uv e superfıcie parametrica S.

Admite-se que as funcoes componentes de r tenham derivadas parciais contınuas em relacaoa u e v. Assume-se ainda que os seguintes vetores sejam nao-nulos e nao-paralelos em todos ospontos interiores de R

ru =∂r

∂u= < xu, yu, zu >=

∂x

∂uex +

∂y

∂uey +

∂z

∂uez, (3.116)

rv =∂r

∂v= < xv, yv, zv >=

∂x

∂vex +

∂y

∂vey +

∂z

∂vez. (3.117)

Exemplo 3.32 O grafico de uma funcao z = f(x, y) pode ser considerado como uma superfıcieparametrica com parametros x e y. Nesse caso, a transformacao r do plano <2 (x, y) para<3 (x, y, z) tem as funcoes componentes

x = x, y = y e z = f(x, y). (3.118)

Analogamente, o grafico de uma funcao z = g(r, θ) em coordenadas cilındricas descreve umasuperfıcie parametrica com parametros r e θ. A transformacao r do plano rθ para o espaco<3 (x, y, z) e dada por

x = r cos θ, y = r sin θ e z = g(r, θ). (3.119)

2

Deseja-se agora determinar a area de uma superfıcie parametrica geral. Para isso, particiona-se a regiao R em retangulos Ri (i = 1, . . . , n), com dimensoes ∆u e ∆v, sendo (ui, vi) o cantoesquerdo inferior de Ri, conforme ilustrado na Figura 3.18(a). A imagem Si de Ri atraves der nao sera em geral um retangulo no espaco, mas uma superfıcie curvilınea de area ∆Si, comoindicado na Figura 3.18(b). As curvas parametricas r(u, vi) e r(ui, v) estao sobre a superfıcie Se com origem no ponto r(ui, vi). Os vetores tangentes a essas curvas no ponto de intersecao saoindicados como ru(ui, vi) e rv(ui, vi), conforme ilustrado na Figura 3.19(a). O produto vetorialdesses vetores resulta no vetor normal a S no ponto ru(ui, vi), ou seja,

N(ui, vi) = ru(ui, vi) × rv(ui, vi). (3.120)

Substituindo (3.116) e (3.117) e efetuando o produto vetorial indicado, obtem-se

N(ui, vi) =

∣∣∣∣∣∣∣

ex ey ez∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣∣

= (y,uz,v − z,uy,v) ex+(z,ux,v − x,uz,v) ey+(x,uy,v − y,ux,v) ez.(3.121)


u

R v

R

u

v

∆

ii ,v )(u

i ∆

(a) Retangulo Ri.

y

x

z

s

r (ui i,v )

i

(b) Imagem de Ri.

Figura 3.18: Particao de R e imagem na superfıcie parametrica.

z

y

x

u

v

r(u ,v)i

r (u ii ,v )r(u ,v )

rn = r vu

r

r

i

(a) Vetores tangentes e curvas parametricas.

z

y

x

rv Pi

iSrur )ii(u ,v

(b) Paralelogramo Pi.

Figura 3.19: Curvas parametricas no ponto r(ui, vi) e paralelogramo Pi.


Para ∆u e ∆v pequenos, a area ∆Si sera praticamente igual a area ∆Pi do paralelogramocom lados ru(ui, vi)∆u e rv(ui, vi)∆v, conforme ilustrado na Figura 3.20(b). Logo,

∆Si ≈ ∆Pi = ||ru(ui, vi)∆u × rv(ui, vi)∆v|| = ||N(ui, vi)||∆u∆v. (3.122)

A area da superfıcie S pode ser aproximada pelo soma das areas de cada uma das n superfıciesSi, ou seja,

a(S) ≈n∑

i=1

||N(ui, vi)||∆u∆v. (3.123)

Tomando-se o limite da soma de Riemann anterior para n → ∞, tem-se que a area dasuperfıcie parametrica S e dada pela seguinte integral

a(S) =

∫

R||N(ui, vi)||dudv =

∫

R

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣ dudv. (3.124)

Para uma superfıcie z = f(x, y) na regiao R do plano xy, as funcoes componentes de r saodadas por (3.118) com parametros x e y. Nesse caso, o vetor normal e dado por

N =

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

1 0 ∂f∂x

0 1 ∂f∂y

∣∣∣∣∣∣∣

= −∂f

∂xex − ∂f

∂yey + ek. (3.125)

Logo, a expressao (3.124) se reduz a

a(S) =

∫

R

√

1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy. (3.126)

Exemplo 3.33 Uma regiao cilındrica R de raio unitario e dada pela expressao x2 + y2 = 1.Deseja-se determinar a area de intersecao dessa superfıcie com o plano z = 2x + 2y + 1.

A area de R e dada por∫

R(x2 + y2)dxdy =

∫

R(1)dxdy = π.

A area de intersecao com o plano e dada a partir da equacao (3.126), ou seja,

A =

∫

R

√

1 + 22 + 22dxdy = 3π.

2

Dada uma funcao f : <3 → <, deseja-se calcular a sua integral ao longo da superfıcieparametrica S, de maneira analoga as integrais curvilıneas. Especificamente, deseja-se determi-nar

I =

∫

Sf(x, y, z)dS. (3.127)

Usando a particao da regiao R em n retangulos como indicado na Figura 3.18(a), obtem-seuma aproximacao para a integral em () multiplicando o valor de f(r(ui, vi)) em r(ui, vi) pelaarea ∆Pi de cada paralelogramo Pi e somando a contribuicao para todos os n paralelogramos,ou seja,

I ≈n∑

i=1

f(r(ui, vi))∆Pi =n∑

i=1

f(r(ui, vi))||N(ui, vi)||∆u∆v. (3.128)


Tomando o limite da soma de Riemann anterior para n → ∞, tem-se que a integral de superfıcieda funcao f sobre a superfıcie S e dada por

∫

Sf(x, y, z)dS = lim

n→∞

(n∑

i=1

f(r(ui, vi))||N(ui, vi)||∆u∆v

)

=

∫

Rf(r(ui, vi))||N(ui, vi)||dudv

=

∫

Rf(r(ui, vi))

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣ dudv. (3.129)

Para calcular a integral de superfıcie I, utiliza-se a parametrizacao r para expressar asvariaveis x, y e z em termos de u e v e substitui-se formalmente o elemento de area de superfıciedS por

dS = ||N(ui, vi)||dudv =

∣∣∣∣

∂r

∂u× ∂r

∂v

∣∣∣∣ dudv. (3.130)

Tomando o caso de uma superfıcie S dada por z = g(x, y) em uma regiao R do plano xy, asvariaveis x e y sao os proprios parametros, como visto anteriormente. Nesse caso, o elemento dearea de superfıcie fica dado por

dS =

√

1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2

dxdy. (3.131)

A partir daı, a integral de superfıcie pode ser escrita como

∫

Sf(x, y, z)dS =

∫

Sf(x, y, g(x, y))

√

1 +

(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2

dxdy. (3.132)

Uma aplicacao das integrais de superfıcie e o calculo das coordenadas do seu centroide e dosmomentos de inercia de uma superfıcie. Se a massa da superfıcie for m e a densidade em cadaponto for expressa pela funcao ρ(x, y, z), as coordenadas (x, y, z) do centroide e os momentos deinercia (Ix, Iy, Iz) em relacao aos eixos x, y e z, sao dados por

x =1

m

∫

Sxρ(x, y, z)dS, y =

1

m

∫

Syρ(x, y, z)dS, z =

1

m

∫

Szρ(x, y, z)dS. (3.133)

Ix =1

m

∫

S

(y2+z2)ρ(x, y, z)dS, Iy =1

m

∫

S

(x2+z2)ρ(x, y, z)dS, Iz =1

m

∫

S

(x2+y2)ρ(x, y, z)dS.(3.134)

Exemplo 3.34 Determinar o centroide da superfıcie hemisferica de densidade unitaria z =√

a2 − x2 − y2 com x2 + y2 ≤ a.Por simetria, x = y = 0. Observa-se que ∂z

∂x = −xz e ∂z

∂y = −yz . Da equacao (3.131),

obtem-se

dS =

√

1 +

(x

z

)2

+

(y

z

)2

dxdy =a

zdxdy.

Portanto

z =1

2πa2

∫

Rza

zdxdy =

a

2.

2


O vetor normal unitario pode ser expresso como a seguinte combinacao linear dos co-senosdiretores

n =N

||N|| = cos αex + cos βey + cos γez, (3.135)

sendo α, β e γ os angulos entre a normal e os eixos coordenados conforme ilustrado na Figura??. Comparando as expressoes (3.121) e (3.135), verifica-se que

cos α =1

||N|| (y,uz,v − z,uy,v) , (3.136)

cos β =1

||N|| (z,ux,v − x,uz,v) , (3.137)

cos γ =1

||N|| (x,uy,v − y,ux,v) . (3.138)

A partir daı, as projecoes do elemento de area dS nos planos cartesianos sao dados de acordocom a Figura ?? por

dxdy = dS cos γ, dxdz = dS cos β, dydz = dS cos α. (3.139)

y

x

z

n

dxdz

ds

dydx

dz

dy

(a) Co-senos diretores.

n

γ

βα

z

y

x

(b) Projecao do elemento de superfıcie.

Figura 3.20: Projecoes do elemento de superfıcie nos planos coordenados.

3.25 Teoremas de Integracao

3.25.1 Teorema de Green

O teorema de Green permite estabelecer uma relacao entre uma integral curvilınea ao longo deuma curva fechada plana C e a integral dupla sobre a regiao plana R delimitada por C. Admite-se que C seja uma curva suave por partes. Isso significa que a curva tem um vetor tangenteunitario em todos os seus pontos, com excecao de um numero finito de pontos descritos pelosseus vertices, conforme ilustrado na Figura 3.21. O sentido positivo da curva C e determinadopela sua parametrizacao r(t) de C de tal forma que a regiao R esteja sempre a esquerda quandose percorre C no sentido positivo de sua parametrizacao. Se as funcoes P (x, y) e Q(x, y) saocontınuas com derivadas parciais de primeira ordem tambem contınuas em R entao o teoremade Green estabelece que

∮

CPdx + Qdy =

∫

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

. (3.140)


Esquerda Direita

C

R

Figura 3.21: Orientacao positiva da curva C.

Exemplo 3.35 Calcule a integral curvilınea∮

C3xydx + 2x2dy

sendo C a fronteira delimitada acima pela reta y = x e abaixo pela parabola y = x2 − 2x.Considerando P = 3xy e Q = 2x2, tem-se(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

= 4x − 3x = x.

Logo,∮

CPdx + Qdy =

∫

RxdA =

∫ 3

0

∫ x

x2−2xxdydx =

27

4.

2

Pode-se expressar o teorema de Green de forma vetorial. Para isso, considere o campovetorial arbitrario F = Mex + Ney, podendo representar um campo eletrico, gravitacional oude velocidade. Considere a curva parametrica C ilustrada na Figura ??. O vetor tangente t emcada ponto da curva e dado por

t =1

v

(dx

dtex +

dy

dtey

)

=dx

dsex +

dy

dsey, (3.141)

com v = dsdt . O vetor n normal a curva e determinado como

n = t × ez =

(dx

dsex +

dy

dsey

)

× ez =dy

dsex − dx

dsey. (3.142)

O fluxo de F ao longo da direcao normal a curva C e dado por∮

CF · nds =

∮

C(Mex + Ney) ·

(dy

dsex − dx

dsey

)

=

∮

C−Ndx + Mdy. (3.143)

Aplicando o teorema de Green a integral curvilınea anterior com P = N e Q = M , tem-se∮

CF · nds =

∫

R

(∂M

∂x+

∂N

∂y

)

dA. (3.144)

Observa-se que o integrando do lado direito da expressao e igual a divergencia de F, ou seja,

div F = ∇ · F =

(∂M

∂x+

∂N

∂y

)

. (3.145)


Substituindo a relacao anterior na equacao (3.144), tem-se a forma vetorial do teorema de Green,ou seja,

∮

CF · nds =

∫

R∇ · FdA. (3.146)

3.25.2 Teorema da Divergencia

O teorema da divergencia ou de Gauss e o analogo do teorema de Green para superfıcies.Basicamente, expressa-se uma integral ao longo de uma superfıcie em uma integral de volume.

Uma superfıcie parametrica e contınua ou suave por partes se consiste de um numero finito desuperfıcies parametricas suaves, com possıveis curvas angulosas que separam as superfıcies. Umasuperfıcie e fechada se constitui uma fronteira de uma regiao limitada do espaco. A superfıciede cubo constitui uma superfıcie parametrica suave por partes e fechada.

Assim, seja S uma superfıcie fechada suave por partes que delimita a regiao R do espaco.Considere tambem um campo vetorial f = f1ex + f2ey + f3ez, cujas funcoes componentes(f1, f2, f3) possui derivadas parciais de primeira ordem contınuas em R. Dado o campo vetorialnormal unitario n a superfıcie S de R, o teorema da divergencia estabelece que

∫

SF · ndA =

∫

R∇ · FdV. (3.147)

Usando a relacao (3.145) e as componentes do vetor normal, a expressao anterior pode serescrita em forma de componentes como

∫

S(f1 cos α + f2 cos β + f3 cos γ) dS =

∫

R

(∂f1

∂x+

∂f2

∂y+

∂f3

∂z

)

dV, (3.148)

ou ainda,∫

Sf1 cos α dydz + f2 cos β dzdx + f3 cos γ dxdy =

∫

R

(∂f1

∂x+

∂f2

∂y+

∂f3

∂z

)

dV, (3.149)

Exemplo 3.36 Considere a regiao R = x2 + y2 ≤ 1, cuja superfıcie S e parametrizada como(x = cos t, y = sin t), e o campo vetorial v = (y3, x5) mostrado na Figura 3.22.

Pelo teorema da divergencia, tem-se

∫

Sv · ndA =

∫

Rdiv vdV =

∂(y3)

∂x+

∂(x5)

∂y= 0 + 0 = 0.

Logo, a integral na direcao normal n e 0. Isto nao significa que a integral da regiao R e 0.

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

Figura 3.22: Campo vetorial do exemplo 3.36.


3.25.3 Teorema de Stokes

Uma outra forma do teorema de Green envolve o rotacional de um campo vetorial sendo de-nominada teorema de Stokes.

Uma superfıcie orientada e aquela que possui um campo vetorial normal associado contınuoe com contorno descrito por uma curva C fechada no espaco. A orientacao positiva de C e dadapelo vetor tangente unitario t, de tal forma que o vetor n× t sempre aponta para dentro de S,conforme ilustrado na Figura 3.23.

Seja S uma superfıcie orientada, limitada e parcialmente suave no espaco com contorno Corientado positivamente. Suponha que o campo vetorial f seja tal que as suas funcoes com-ponentes tenham derivadas parciais de primeira ordem contınuas no espaco que contem S. Oteorema de Stokes estabelece que

∮

Cf · tds =

∫

S(rot f) · ndS. (3.150)

Logo, o teorema de Stokes estabelece que a integral curvilınea ao longo de C da componentetangencial de f e igual a integral de superfıcie da componente normal do rotacional de f .

S

nt

n t

x

y

z

C

Figura 3.23: Superfıcie orientada usada no teorema de Stokes.

Exemplo 3.37 2

3.26 Integracao por Partes Multidimensional

Seja Ω um conjunto aberto do <n cuja fronteira ∂Ω e suave por partes. Sejam ainda f, g : <n → <duas funcoes escalares contınuas com derivadas primeiras parciais tambem contınuas. Logo, aseguinte relacao e valida

∫

Ωf

∂g

∂xidΩ =

∫

∂Ωfgni d(∂Ω) −

∫

Ω

∂f

∂xig dΩ, i = 1, . . . , n (3.151)

sendo n = (n1, . . . , nn) o vetor unitario normal externo a fronteira ∂Ω.



Exercıcio 3.1 Seja V = f : [0, 1] → <; f e contınua o espaco vetorial das funcoes contınuasno intervalo [0, 1]. Pede-se

• Mostrar que 〈f, g〉 =∫ 10 f(t)g(t)dt define um produto interno em V .

• Determinar 〈h1, h2〉 e 〈h1, h1〉 quando h1(t) = t e h2(t) = t2.

Para mostrar que 〈f, g〉 =∫ 10 f(t)g(t)dt define um produto interno em V , e preciso verificar

se este operador obedece as 4 propriedades do produto interno dadas por (3.9) a (3.12). Assim,

1. 〈f, g〉 =∫ 10 f(t)g(t)dt =

∫ 10 g(t)f(t)dt = 〈g, f〉 ,

2. Sejam f, g, h ∈ V e α, β ∈ <. Logo

〈αf + βg, h〉 =

∫ 1

0(αf + βg)(t)h(t)dt =

∫ 1

0(αf(t) + βg(t))h(t)dt

= α

∫ 1

0f(t)h(t)dt + β

∫ 1

0g(t)h(t)dt

= α 〈f, h〉 + β 〈g, h〉 .

3. 〈f, f〉 =∫ 10 f(t)f(t)dt =

∫ 10 f2(t)dt ⇒ 〈f, f〉 > 0,

4. 〈f, f〉 = 0 ⇒ ∫ 10 f2(t)dt = 0 ⇐⇒ f ≡ 0.

Portanto, 〈f, g〉 =∫ 10 f(t)g(t)dt e um produto interno de V .

Calcula-se agora 〈h1, h2〉 e 〈h1, h1〉 como

1. 〈h1, h2〉 =∫ 10 h1(t)h2(t)dt =

∫ 10 (t)(t2)dt =

∫ 10 t3dt =

[t4

4

]1

0= 1

4 ;

2. 〈h1, h1〉 =∫ 10 h1(t)h1(t)dt =

∫ 10 (t)(t)dt =

∫ 10 t2dt =

[t3

3

]1

0= 1

3 .

Exercıcio 3.2 Seja V = <3. Mostre que W e subespaco de V, sendo

• W = (a, b, 0) : a, b ∈ <, isto e, W e o plano xy, constituıdo por aqueles vetores cujaterceira componente e 0;

• W = (a, b, c) : a + b + c = 0, isto e, W consiste nos vetores com a propriedade de que asoma de suas componentes e 0.

Para mostrar que os conjuntos W sao subespacos, deve-se verificar se o elemento nulo e acombinacao de dois elementos quaisquer estao em W. Assim, para o primeiro conjunto, tem-se

1. 0 = (0, 0, 0) ∈ W, pois a terceira componente de 0 e 0.

2. Para quaisquer vetores v = (a, b, 0), w = (c, d, 0) em W, e quaisquer escalares (numerosreais) k e k′

kv + k′w = k(a, b, 0) + k′(c, d, 0) = (ka, kb, 0) + (k′c, k′d, 0) = (ka + k′c, kb + k′d, 0).

Assim, kv + k′w ∈ W . Logo, W e subespaco de V .


Para o segundo conjunto, tem-se

1. 0 = (0, 0, 0) ∈ W pois 0 + 0 + 0 = 0.

2. Suponha que v = (a, b, c), w = (a′, b′, c′) pertencem a W, isto e, a+b+c = 0 e a′+b′+c′ = 0.

Assim, para quaisquer escalares k e k′,

kv + k′w = k(a, b, c) + k′(a′, b′, c′) = (ka, kb, kc) + (k′a′, k′b′, k′c′)

= (ka + k′a′, kb + k′b′, kc + k′c′).

Alem disso,

(ka + k′a′) + (kb + k′b′) + (kc + k′c′) = k(a + b + c) + k′(a′ + b′ + c′) = k0 + k′0 = 0.

Assim, kv + k′w ∈ W. Logo, W e subespaco de V.

Exercıcio 3.3 Escreva o polinomio vt = t2 + 4t− 3 como combinacao linear dos polinomiosde base e1 = t2 − 2t + 5, e2 = 2t2 − 3t e e3 = t + 3.

Escreve-se v como combinacao linear dos ei usando as incognitas x, y e z, ou seja, v =xe1 + ye2 + ze3. Logo

t2 + 4t − 3 = (t2 − 2t + 5) + y(2t2 − 3t) + z(t + 3)

= xt2 − 2xt + 5x + 2yt2 − 3yt + zt + 3z

= (x + 2y)t2 + (−2x − 3y + z)t + (5x + 3z).

Fazendo os coeficientes das mesmas potencias de t iguais entre si vem que

x + 2y = 1−2x − 3y + z = 45x + 3z = −3

.

Reduz-se o sistema linear, na forma escalonada, isto e,

x + 2y = 1y + z = 6−10y + 3y = −8

.

ou

x + 2y = 1y + z = 613z = 52

.

Note que o sistema e consistente e portanto tem solucao. Resolvendo em relacao as incognitas,obtem-se x = −3, y = 2, z = 4. Assim, v = −3e1 + 2e2 + 4e3.

Exercıcio 3.4 Seja V o espaco vetorial dos polinomios de grau ≤ 3. Determine se u,v,w ∈ Vsao linearmente independentes ou dependentes, sendo

u = t3 − 3t2 + 5t + 1,

v = t3 − t2 + 8t + 2,

w = 2t3 − 4t2 + 9t + 5.


Considere uma combinacao linear dos polinomios u, v e w e iguale ao polinomio nulo,usando x, y e z como coeficientes da combinacao linear, isto e, faca xu+ yv + zw = 0. Assim,

x(t3 − 3t2 + 5t + 1) + y(t3 − t2 + 8t + 2) + z(2t3 − 4t2 + 9t + 5) = 0.

Expandindo a relacao anterior vem que

xt3 − 3xt2 + 5xt + x + yt3 − yt2 + 8yt + 2y + 2zt3 − 4zt2 + 9zt + 5z = 0,

ou ainda

(x + y + 2z)t3 + (−3x − y − 4z)t2 + (5x + 8y + 9z)t + (x + 2y + 5z) = 0.

Os coeficientes das potencias de t devem ser iguais a 0, ou seja,

x + y + 2z = 0−3x − y − 4z = 05x + 8y + 9z = 0x + 2y + 5z = 0

.

Resolvendo o sistema homogeneo acima, obtem-se somente a solucao nula x = 0, y = 0,z = 0. Portanto u, v e w sao linearmente independentes.


1. Seja V o espaco dos polinomios de grau p ≤ 2, com produto interno dado por 〈p1, p2〉 =∫ 10 p1(t)p2(t)dt. Sejam p1(t) = t + 2 e p2(t) = t2 − 2t− 3. Encontre (i) 〈p1, p2〉 e (ii) ‖p1‖.

2. Seja V = <3. Mostre que W nao e subespaco de V, sendo

(i) W = (a, b, c) : a ≥ 0, isto e, W consiste dos vetores cuja primeira componente e naonegativa;

(ii) W = (a, b, c) : a2 + b2 + c2 ≤ 1, isto e, W consiste dos vetores cujo comprimento naoexcede 1;

(iii) W = (a, b, c) : a, b, c ∈ Q, isto e, W consiste dos vetores cujas componentes saonumeros racionais.

3. Sejam U e W os seguintes subespacos do <4

U = (a, b, c, d) : b + c + d = 0,W = (a, b, c, d) : a + b = 0, c = 2d.

Encontre a dimensao e uma base de (i) U , (ii) W e (iii) U ∩ W .

4. Encontre o vetor coordenada de v em relacao a base (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) do <3 noscasos

(i) v = (4,−3, 2),

(ii) v = (a, b, c).


5. Demonstre a propriedade da soma que satisfaca os seguintes axiomas para todo u, v,w ∈ V (i) Associatividade,

(ii) Identidade,

(iii) Inverso,

(iv) Comutatividade.

6. Demonstre as propriedade de produto escalar αv que satisfaca os seguintes axiomas paratodo u, v ∈ V e α, β ∈ < (i) Associatividade,

(ii) Distributividade em relacao aos parametros escalares,

(iii) Distributividade em relacao aos vetores,

(iv) Elemento identidade denotado por 1,

(v) Elemento nulo 0.

7. Encontre o trabalho W realizado pela forca F ao mover uma partıcula do ponto P aoponto Q em linha reta.

• F = i− 3k; P (0, 0, 0), Q(4, 5, 0);

• F = 2i − 4j + 6k; P (3, 5,−3), Q(0,−2, 5).

8. Ache o domınio das seguintes funcoes

• f(x, y) = 2y√x−y2

;

• f(x, y) = x2 − y2 + z2;

• f(x, y) = sen(√

x2 + y2);

9. Calcule as seguintes derivadas parciais

• f(x, y) = 4x + 5y2;

• f(x, y) = exp(x2+y2);

• f(x, y) = 2x exp−xy;

• f(x, y) = 2x sin(x + y) + cos(xy);

10. Utilizando do conceito da regra da cadeia para o caso multidimensional, encontre asderivadas para as seguintes funcoes

• w = exp(−2x2 + 3y2), x = t, y = t1/2;

• w = 2u2+v2 , u = cos(3t), v = ln(3t);

• w = xyln(2u + v), u = (x2 + y2)2/3, v = (x3 + 2y3)1/2.

11. Determine o vetor gradiente no ponto P indicado

• f(x, y) = exp(−2x2 − 4y2); P (0, 0);

• f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2; P (1, 2, 5);

• f(x, y) = exp(x) sin(xy); P (0, π/4).

12. Calcule a taxa de variacao para as seguintes funcoes


• f(x, y, z) = 20 + xy + 3y2 + 2xz + 4x2 no ponto P (1, 2, 3) na direcao do vetor v =i + 2j + 2k.

• f(x, y) = ex sin(2y) no ponto P (0, π/4) na direcao do vetor v = 2j + 3k.

13. Ache area da regiao no plano xy delimitadas pelas curvas dadas.

• y = 3x + 2y, y = 6x − 4x2.

• y = x2, y = 16 − x2.

• y = x2 + 1, y = 2x2 − 6.

14. Determine o volume do solido delimitado pelos paraboloides.

• z = x2 + 4y2 e z = 12 − 4x2 − 3y2

• z = 25x2 − x2 − y2 e o plano xy

15. Ache o volume por integracao tripla para as seguintes equacoes.

• 4x = 6y + z = 3, x = 0, y = 0, z = 0.

• y + z = 2, y = 4 − x2, y = 0, z = 0.

• z = x2, y = 4 − z, y = 0, z = 0.

16. Aplique o teorema de Green para calcular as seguintes integrais curvilıneas.

• ∮C x2ydx + xy2dy, sendo C a fronteira da regiao entre as duas curvas y = x2 ey = 8 − x2.

• ∮C y + exdx + (2x2 + cos y)dy, sendo C a fronteira dos vertices (0, 0), (1, 1) e (2, 0).

17. Determine a integral de superfıcie para os casos seguintes.

• f(x, y, z) = xyz e S e a parte do primeiro octante do plano x + y + z = 1.

• f(x, y, z) = x + y e S e a parte do plano z = 2x + 3y interior ao cilindro x+y2 = 9.

18. Use o teorema da divergencia para calcular as integrais de superfıcie e volume sendof = xex + yey + zez e S e a superfıcie esferica x2 + y2 + z2 = 1.

19. Aplique o teorema de Stokes para f = 3yex−2xey +xyzez sendo S a superfıcie hemisfericaz =

√

4 − x2 − y2 com vetor normal unitario superior.


Capıtulo 4

TENSORES

Esse capıtulo apresenta o conceito de tensores, suas principais operacoes e propriedades, o prob-lema de autovalor associado e analise tensorial (diferenciacao e integracao). Um tensor e um entematematico comumente empregado na Mecanica do Contınuo. Pode-se definir escalares e vetorescomo tensores de ordem zero e um, respectivamente. O interesse principal nesse capıtulo estanos tensores de segunda ordem. No entanto, definem-se tambem tensores de alta ordem, poisas equacoes constitutivas de materiais empregam tensores de quarta ordem. Na secao seguinte,define-se formalmente os tensores de segunda ordem. De forma analoga aos vetores, deve-seseparar a definicao de um tensor da sua representacao, a qual e valida somente apos a definicaodo sistema de coordenadas. Esse capıtulo esta baseado nas referencias [2, 4, 1].

4.1 Definicao de Tensores de Segunda Ordem

Usa-se o termo tensor de segunda ordem ou simplesmente tensor como um sinonimo para trans-formacao linear do espaco vetorial algebrico V nele mesmo. Logo, um tensor T e uma trans-formacao linear que associa a cada vetor u, um outro vetor v atraves da operacao

T : V → Vu → v = Tu.

(4.1)

Como T deve ser uma transformacao linear, as seguintes condicoes devem ser satisfeitas

T (u + v) = Tu + Tv ∀u,v ∈VT (αu) = αTu ∀v ∈V, ∀α ∈ < . (4.2)

De forma geral, dados os vetores u1,u2, . . . ,un e escalares α1, α2, . . . , αn as relacoes anteriorespodem ser resumidas como

T (α1u1 + α2u2 + . . . + αnun) = α1Tu1 + α2Tu2 + . . . + αnTun = T(αiui) = αiTui.(4.3)

O conjunto de todos os tensores forma o espaco vetorial Lin se a adicao e a multiplicacaopor escalar forem definidas ponto a ponto, ou seja, S + T e αS (α ∈ <) sao os tensores definidospor

(S + T)v = Sv + Tv, (4.4)

(αS)v = α (Sv) . (4.5)

91


A forma que se definiu o conceito de tensor permite que se faca uma associacao biunıvocaentre tensores e matrizes. Dessa maneira, as operacoes matriciais equivalentes as duas ultimasoperacoes tensoriais sao, respectivamente, a soma e o produto por escalar usualmente conhecidosdo estudo de matrizes.

4.2 Representacao de um Tensor de Segunda Ordem

Dado um vetor u e uma base ortonormal qualquer e1, e2, e3, pode-se expressa-lo atraves daseguinte combinacao linear dos vetores da base

u = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei. (4.6)

Os coeficientes u1, u2 e u3 da combinacao linear representam as componentes de u. Essassao obtidas atraves do produto escalar de u com cada um dos vetores da base, ou seja,

u · e1 = u1e1 · e1 + u2e2 · e1 + u3e3 · e1,u · e2 = u1e1 · e2 + u2e2 · e2 + u3e3 · e2,u · e3 = u1e1 · e3 + u2e2 · e3 + u3e3 · e3.

Lembrando a ortonormalidade da base, isto e,

ei · ej = δij ,

tem-se que as componentes do vetor em relacao a essa base sao dadas por

u1 = e1 · uu2 = e2 · uu3 = e3 · u

→ ui = ei · u.

Aplicando-se o tensor T ao vetor u, tem-se um outro vetor v = Tu que, pela linearidade deT, pode ser escrito como

v = Tu = T (u1e1 + u2e2 + u3e3) = u1Te1 + u2Te2 + u3Te3 = uiTei.

As componentes de v sao obtidas pelo produto escalar com os vetores da base de formaanaloga ao caso anterior. Logo

v1 = e1 · v = u1e1 · Te1 + u2e1 ·Te2 + u3e1 ·Te3



→ vi = ujei ·Tej . (4.7)

Nesse caso, termos como e1·Te1 = T11 e e2·Te1 = T21 sao interpretados como as componentesdo vetor Te1 nas direcoes e1 e e2 respectivamente. De uma forma geral, define-se Tij como sendoas componentes do tensor T, em relacao a base e1, e2, e3. Logo

Tij = ei · Tej. (4.8)

A partir daı, a equacao dada por (4.7) pode ser escrita na forma de componentes como

v1 = T11u1 + T12u2 + T13u3

v2 = T21u1 + T22u2 + T23u3

v3 = T31u1 + T32u2 + T33u3

→ vi = Tijuj .


A relacao anterior pode ainda ser representada na seguinte forma matricial

v1

v2

v3

=

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

u1

u2

u3

→ v = [T] u ,

com [T] denominada matriz do tensor de segunda ordem T relativa a base e1, e2, e3.Observa-se que os termos nas colunas de [T] sao, respectivamente, as componentes dos

vetores Te1, Te2 e Te3. Portanto,

Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3

Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3

Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3

→ Tei = Tjiej . (4.9)

Verifica-se que as componentes de T, assim como as de um vetor v, dependem do sistemade coordenadas adotado atraves dos vetores unitarios da base e1, e2, e3. Assim, um tensortera uma matriz para cada base considerada. Por exemplo, tomando-se duas bases ortonormaisdefinidas por e1, e2, e3 e e′1, e′2, e′3, tem-se respectivamente, as matrizes [T] e [T]′ para ascomponentes do tensor T.

Exemplo 4.1 Numa dada base, a transformacao T : V → V e a multiplicacao de vetores pelamatriz

[T] =

1 0 −22 3 7

−1 0 0

.

Aplicar T a um vetor u = e1 − 2e2 + e3.

Aplicar T a um vetor u significa multiplicar esse vetor pela matriz associada [T], ou seja,

v = [T]u

1 0 −22 3 7

−1 0 0

1−2

1

=

−13

−1

= −e1 + 3e2 − e3.

2

Figura 4.1: Espelhamento de vetores em torno de e1 atraves de T.


Exemplo 4.2 Dado que T espelha todo vetor com respeito a um plano fixo, encontrar umamatriz para T e mostrar que T e um tensor.

Seja e1 perpendicular ao plano de reflexao como ilustrado na Figura 4.1. Logo,

Te1 = −e1, Te2 = e2, Te3 = e3.

Como representacao matricial de T em relacao a base e1, e2, e3, tem-se

[T] =

−1 0 00 1 00 0 1

e1,e2,e3

.

Tomando-se agora um novo conjunto de vetores de base e′1 = e2, e′2 = e3, e′3 = e1, tem-se

Te′1 = e′1, Te′2 = e′2, Te′3 = −e′3.

Portanto, como mencionado anteriormente, as componentes de um tensor dependem da baseadotada. Assim, a matriz das componentes de T na base e′1, e′2, e′3 e

[T]′ =

1 0 00 1 00 0 −1

e′

1,e′

2,e′

3

.

O fato que T e um tensor esta ilustrado na Figura 4.1. Observa-se que

T (u + v) = Tu + Tv e T (αu) = αTu.

2

Exemplo 4.3 Se T transforma todo vetor num vetor unitario com uma direcao fixa, mostrarque T nao e um tensor.

Seja n o vetor unitario resultante da aplicacao de T. Portanto, para todos os vetores u e v,tem-se

Tu = n, Tv = n e T (u + v) = n.

Portanto, T nao e um tensor pois nao e uma operacao linear como verificado a seguir

T (u + v) = n 6= Tu + Tv = n + n = 2n.

2

4.3 Tensor Nulo

O elemento nulo do espaco de tensores Lin e o tensor nulo 0 que transforma qualquer vetor novetor nulo, ou seja,

0v = 0, ∀v ∈V. (4.10)

As componentes do tensor nulo sao dada por

0ij = ei · 0ej = ei · 0 = 0. (4.11)

Logo, como esperado, todas as componentes do tensor sao nulas. A forma matricial associada aesse tensor e aquela cujos coeficientes sao todos nulos em qualquer base, ou seja,

[0] =

0 0 00 0 00 0 0

.


4.4 Tensor Identidade

O tensor identidade I em Lin e definido como aquele que transforma todo vetor v nele mesmo,ou seja,

Iv = v, ∀v ∈V. (4.12)

Em particular para os vetores da base e1, e2, e3, tem-se

Ie1 = e1, Ie2 = e2, Ie3 = e3.

Logo, as componentes do tensor identidade sao

Iij = ei · Iej = ei · ej = δij , (4.13)

sendo δij o delta de Dirac.A representacao matricial associada a esse tensor em qualquer base ea matriz identidade

[I] =

1 0 00 1 00 0 1

.

Os tensores nulo e identidade sao exemplos de tensores isotropicos, pois as suas componentessao as mesmas para qualquer base.

4.5 Soma de Tensores

A soma de dois tensores S e T e dada por (4.4), podendo-se observar que (S + T) e um tensor.Por sua vez, as suas componentes sao expressas como

(S + T)ij = ei · (S + T) ej = ei · Sej + ei ·Tej = Sij+Tij . (4.14)

Como esperado, as componentes do tensor (S + T) e a soma das componentes dos tensoresS e T. Em forma matricial,

[S + T] = [S] + [T] . (4.15)

Exemplo 4.4 Considere os tensores S e T cujas componentes em relacao a uma base ortonor-mal sao dadas, respectivamente, por

[S] =

1 0 30 4 54 2 2

e [T] =

1 2 34 5 67 8 9

.

A soma desses tensores e dada por

[S + T] = [S] + [T] =

2 2 64 9 11

11 10 11

.

2


4.6 Produto de Tensores

O produto ST de dois tensores S e T e o tensor que define a transformacao composta

ST = S T, (4.16)

ou seja,

(ST)v = (S T)v = S (Tv) , ∀v ∈ V. (4.17)

As componentes de ST sao obtidas a partir de (4.8) e (4.17) como

(ST)ij = ei · (ST) ej = ei · S (Tej) = ei · STmjem = Tmj (ei · Sem) = SimTmj .

Empregando a relacao (4.9) para Tej e novamente (4.8) vem que

(ST)ij = ei · STmjem = Tmj (ei · Sem) = SimTmj .

Analogamente, obtem-se

(TS)ij = TimSmj .

As expressoes anteriores podem ser escritas matricialmente como

[ST] = [S] [T] e [TS] = [T] [S] . (4.18)

Portanto, de forma geral, o produto de tensores nao e comutativo, i.e.,

ST 6= TS.

Tomando os tensores S, T e V verifica-se, com base na associatividade do produto entrematrizes, que

(S (TV))v = S ((TV)v) = S (T (Vv)) = (ST) (Vv) ⇒ S (TV) = (ST)V. (4.19)

Portanto, o produto entre tensores tambem e associativo.

Exemplo 4.5 Um corpo rıgido e girado de 90 em torno de um eixo no sentido anti-horario.Encontrar uma matriz representando esta rotacao.

Seja e1, e2, e3 uma base de vetores unitarios, segundo a regra da mao direita, com e3 oeixo de rotacao, como ilustrado na Figura 4.2a). Sendo R a transformacao, tem-se

Re1 = e2, Re2 = −e1, Re3 = e3.

Logo,

[R] =

0 −1 01 0 00 0 1

ei

ei

2


e1

e

e

2

3

a)

Re2

Re1

(a) 90o¯ em torno de e3.

e1

e

e

2

3

2Se

Se 3

b)

(b) 90o¯ em torno de e1.

Figura 4.2: Rotacoes no sentido anti-horario.

Exemplo 4.6 Considerando o corpo anterior, suponha que o mesmo e girado de 90 em tornodo eixo e1 no sentido anti-horario. Encontrar a matriz das rotacoes resultantes.

Neste caso, esta segunda rotacao S, mostrada na Figura 4.2b), e dada por

Se1 = e1

Se2 = e3

Se3 = −e2

⇒ [S] =

1 0 00 0 −10 1 0

.

A rotacao resultante e dada por S (Rv) = (SR)v, ou em notacao matricial,

[SR] = [S] [R] =

1 0 00 0 −10 1 0

0 −1 01 0 00 0 1

=

0 −1 00 0 −11 0 0

.

2

Exemplo 4.7 Dado um ponto P (1, 1, 0), encontrar a sua posicao apos as duas rotacoes dosexemplos anteriores.

Sendo r e r′ os vetores posicao inicial e final do ponto P, tem-se que

r′

= [SR] r =

0 −1 00 0 −11 0 0

110

⇒ r′ = −e1 + e3.

2

Exemplo 4.8 Encontre a posicao de P ao se reverter as rotacoes.Neste caso, sendo r′′ a posicao final de P, tem-se r′′ = R (Sr) = (RS) r, ou ainda,

r′′

= [R] [S] r =

0 −1 01 0 00 0 1

1 0 00 0 −10 1 0

110

=

0 0 11 0 00 1 0

110

=

011

.

Logo, r′′ = e2+e3.2


4.7 Tensor Transposto

O tensor transposto de S, denotado por ST , e definido como o unico tensor satisfazendo apropriedade

(Su) · v = u ·(

STv)

, ∀u,v ∈ V. (4.20)

Da definicao anterior, tem-se a seguinte relacao entre as componentes de S e ST em formamatricial

Sji = ej· (Sei) = ei·(

STej

)

= STij ⇒ Sji = ST

ij ⇒ [S]T =[

ST]

.

Exemplo 4.9 Considere a seguinte representacao matricial do tensor T,

[T] =

2 2 54 6 −10 3 −3

.

Logo,

[

TT]

= [T]T =

2 4 02 6 35 −1 −3

e a forma matricial associada a TT .2

Verifica-se ainda que as seguintes propriedades sao validas

(S + T)T = ST + TT , (4.21)

(ST)T = TTST , (4.22)(

ST)T

= S. (4.23)

Exemplo 4.10 Demonstre a propriedade (S + T)T = ST + TT .Considere S ,T ∈ Lin e u,v ∈ V. Verifica-se que

(S + T)T u · v = u · (S + T)v

= u · Sv + u ·Tv

= STu · v + TTu · v= (STu + TTu) · v= (ST + TT )u · v.

Deixando os dois termos do lado direito da equacao, tem-se

(S + T)T u · v − (ST + TT )u · v = 0,

ou ainda,[

(S + T)T − (ST + TT )]

u · v = 0.

Como u, v sao arbitrarios, para que a expressao anterior seja nula, o termo entre colchetes deveser nulo e portanto

(S + T)T = ST + TT .

2


Exemplo 4.11 Demonstre que (ST)T = TTST .Considere S, T ∈ Lin e u, v ∈ V arbitrario. Logo,

(ST)Tu · v = u · (ST)v

= u · S(Tv)

= STu ·Tv

= TT (STu) · v= (TTST )u · v.

Logo,

(ST)Tu · v − (TTST )u · v = 0,

ou seja[

(ST)T − (TT ST )]

u · v = 0.


(ST)T = TTST .

2

Exemplo 4.12 Demonstre a propriedade (ST )T = S.Considere S ∈ Lin e u, v ∈ V arbitrarios. Logo, tem-se

Su · v = u · STv =(

ST)T

u · v.

Portanto,

Su · v −(

ST)T

u · v = 0,

ou ainda,

[S−(

ST)T

]u · v = 0.

Como u, v sao arbitrarios, para que a expressao anterior seja nula, o termo entre colchetesdeve ser nulo e portanto

S =(

ST)T

.

2

4.8 Tensores Simetrico e Antissimetrico

Um tensor S e chamado simetrico se

S = ST . (4.24)

Assim, as componentes de um tensor simetrico possuem a propriedade

Sij =(

ST)

ij= Sji,


ou ainda, S12 = S21, S13 = S31 e S23 = S32.Por sua vez, S e dito anti-simetrico se

S = −ST . (4.25)

Logo, as componentes desse tensor satisfazem a relacao

Sij = −(

ST)

ij= −Sji,

o que implica em S12 = −S21, S13 = −S31, S23 = −S32 e S11 = S22 = S33 = 0.

Exemplo 4.13 Considere o tensor T tal que

[T] =

2 1 51 6 −15 −1 −3

.

E facil observar que

[

TT]

= [T] =

2 1 51 6 −15 −1 −3

.

Logo, T e simetrico.Ja o tensor U

[U] =

0 1 5−1 0 −2−5 2 0

e anti-simetrico.2

Todo tensor S pode ser expresso, de forma unica, como a soma de um tensor simetrico E eum tensor anti-simetrico W, ou seja,

S = E + W, (4.26)

sendo

E =1

2

(

S + ST)

, (4.27)

W =1

2

(

S− ST)

. (4.28)

De fato, verifica-se que E e W sao tensores simetrico e anti-simetrico, pois

ET =1

2

(

ST + S)

=1

2

(

S + ST)

= E,

WT =1

2

(

ST − S)

= −1

2

(

S − ST)

= −W.

Os tensores E e W sao chamados, respectivamente, partes simetrica e antissimetrica de S,podendo ser indicados, respectivamente, por SS e SA.


Exemplo 4.14 Considere a seguinte matriz do tensor T

[T] =

2 2 64 6 −40 8 −6

.

A parte simetrica de [T] e dada por

[TS] =1

2

(

T + TT)

=

2 3 33 6 23 2 0

.

A parte antissimetrica de [T] e dada por

[TA] =1

2

(

T − TT)

=

0 −1 31 0 −2

−3 2 0

.

2

4.9 Produto Tensorial de Dois Vetores

O produto tensorial a ⊗ b de dois vetores a e b e definido como uma transformacao que associaa cada vetor v o vetor (b · v)a, ou seja,

(a ⊗ b)v = (b · v) a. (4.29)

Para qualquer u, v ∈V e α, β ∈ <, verifica-se a partir da definicao (4.29) que

(a ⊗ b) (αu+βv) = [b· (αu+βv)]a = [α (b · u) +β (b · v)]a

= α (b · u)a+β (b · v)a = α (a ⊗ b)u+β(a ⊗ b)v.

Dessa forma, observa-se que a ⊗ b satisfaz as propriedades basicas de uma transformacaolinear sendo, portanto, um tensor. Por sua vez, as componentes desse tensor com respeito a umabase ortonormal e1, e2, e3 sao as seguintes

(a ⊗ b)ij = ei· (a ⊗ b) ej = ei· [a (b · ej)] = ei· (abj)

= (ei·a) bj = aibj.

Portanto,

(a ⊗ b)ij = aibj . (4.30)

Em notacao matricial,

[a ⊗ b] =

a1b1 a1b2 a1b3

a2b1 a2b2 a2b3

a3b1 a3b2 a3b3

, (4.31)

ou ainda,

[a ⊗ b] =

a1

a2

a2

b1 b2 b3

= abT . (4.32)


A partir daı, e possıvel verificar que

[e1⊗e1] =

1 0 00 0 00 0 0

, [e1⊗e2] =

0 1 00 0 00 0 0

, [e1⊗e3] =

0 0 10 0 00 0 0

,

[e2⊗e1] =

0 0 01 0 00 0 0

, [e2⊗e2] =

0 0 00 1 00 0 0

, [e2⊗e3] =

0 0 00 0 10 0 0

,

[e3⊗e1] =

0 0 00 0 01 0 0

, [e3⊗e2] =

0 0 00 0 00 1 0

, [e3⊗e3] =

0 0 00 0 00 0 1

.

A seguinte propriedade e valida

∑

i

ei ⊗ ei = ei ⊗ ei = I. (4.33)

Os tensores obtidos a partir dos produtos tensoriais ei ⊗ ej (i, j = 1, 2, 3) sao linearmenteindependentes e constituem uma base para o espaco Lin. Desse modo, qualquer tensor T podeser expresso atraves da seguinte combinacao linear da base ei ⊗ ej

[T] = T11 [e1 ⊗ e1] + T12 [e1 ⊗ e2] + T13 [e1 ⊗ e3]

+ T21 [e2 ⊗ e1] + T22 [e2 ⊗ e2] + T23 [e2 ⊗ e3]

+ T31 [e3 ⊗ e1] + T32 [e3 ⊗ e2] + T33 [e3 ⊗ e3] . (4.34)

Em notacao indicial,

T = Tij (ei⊗ej) . (4.35)

Exemplo 4.15 Utilizando a relacao (4.35), demonstrar que a componente de um tensor e dadapela equacao (4.8).

Substituindo (4.35) em (4.8), obtem-se

ei · Tej = ei ·

3∑

l,m=1

Tlmel ⊗ em

ej

= ei ·

3∑

l,m=1

Tlm(ej · em)el

= ei ·

3∑

l,m=1

Tlmδjmel

=3∑

l,m=1

Tlmδjmδil

= Tij .

2


O produto tensorial de dois vetores possui as seguintes propriedades

(a ⊗ b)T = (b ⊗ a) ,(a ⊗ b) (c ⊗ d) = (b · c) a ⊗ d.

(4.36)

Exemplo 4.16 Demonstre a relacao (a ⊗ b)T = (b ⊗ a).Dados a, b, u, v ∈ V, tem-se

(a ⊗ b)Tu · v = u · (a ⊗ b)v

= u · (b · (v)a

= (u · a)b · v= (b ⊗ a)u · v.

Reescreve-se a expressao anterior como

(a ⊗ b)Tu · v − (b⊗ a)u · v = 0,

ou ainda,

[(a ⊗ b)T − (b⊗ a)]u · v = 0.


(a ⊗ b)T = b⊗ a.

2

Exemplo 4.17 Mostre que (a ⊗ b) (c ⊗ d) = (b · c) a ⊗ d.Dados a, b, c, d, v ∈ V, tem-se

(a ⊗ b)(c ⊗ d)v = (a ⊗ b)(d · v)c

= (d · v)(b · c)a= (b · c)(a ⊗ d)v.

Comparando os dois lados da expressao anterior, mostra-se que

(a ⊗ b) (c⊗ d) = (b · c)a ⊗ d.

2

4.10 Traco

O traco de um produto tensorial de dois vetores (u ⊗ v) e definido como um escalar dado poru · v, ou seja,

tr (u ⊗ v) = u · v. (4.37)

Como consequencia direta dessa definicao, tem-se a propriedade de linearidade do traco, ouseja,

tr [(αu + βv) ⊗ w] = (αu + βv) · w = α (u · w) + β (v ·w) = αtr [u⊗ w] + βtr [v ⊗ w] .


Tomando as componentes cartesianas de u e v, ou seja, u = uiei e v = viei, verifica-se que

tr (u⊗ v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 = uivi = (u⊗ v)ii .

Como qualquer tensor T pode ser escrito na forma T = Tij (ei⊗ej), o traco de T e obtidocomo

tr T = tr (Tijei⊗ej) = Tij tr (ei⊗ej) = Tij (ei·ej) = Tijδij = Tii = T11 + T22 + T33.

Logo, o traco de um tensor e bem definido atraves da relacao

tr T = Tii. (4.38)

Verifica-se que o traco de um tensor possui ainda as seguintes propriedades

tr TT = tr T, (4.39)

tr (ST) = tr (TS) . (4.40)

Observa-se tambem que o espaco de tensores Lin possui um produto interno natural definidopor

S · T = tr(

STT)

, (4.41)

que em termos de suas componentes tem a seguinte forma

S · T = SijTij . (4.42)

Exemplo 4.18 Demonstre que tr TT = tr T.

Pela definicao de traco, tem-se

tr TT = tr [Tij(ei ⊗ ej)]T

= tr [Tij(ej ⊗ ei)]

= Tijtr (ej ⊗ ei)

= Tij(ej · ei)

= Tijδij = Tii = tr T.

2

Exemplo 4.19 Demonstre a propriedade tr (ST) = tr (TS).

De acordo com a definicao de traco e as propriedades do produto tensorial, tem-se

tr (ST) = tr [Sik(ei ⊗ ek)Tkj(ek ⊗ ej)]

= SikTkj tr [(ei ⊗ ek)(ek ⊗ ej)]

= SikTkj tr (ei ⊗ ej) = SikTkjδij = SikTki

= TkiSik = TkiSir(ek ⊗ ei)(ei ⊗ er)]

= tr [Tki(ek ⊗ ei)Sir(ei ⊗ er)]

= tr (TS).

2


4.11 Determinante e Tensor Inverso

Define-se o determinante de um tensor S como sendo o determinante de sua matriz associada[S],ou seja,

detS = det [S] , (4.43)

sendo esta definicao independente da escolha da base.

Um tensor S e inversıvel se existe um tensor S−1, chamado inverso de S, tal que

S−1S = SS−1= I.

Segue que um tensor e inversıvel se e somente se detS 6= 0. Sao validas as seguintes identi-dades

det (ST) = (detS) (detT) ,detST = detS,

det(S−1

)= (detS)−1 ,

(ST)−1 = T−1S−1,(

S−1)T

=(

ST)−1

.

(4.44)

Tomando 3 vetores linearmente independentes u, v, w, a magnitude do escalar u · (v × w)representa o volume do paralepıpedo P determinado por u, v, w. E possıvel mostrar que

detS =Su · (Sv × Sw)

u · (v × w)→ |detS| =

vol(S(P))

vol(P),

sendo S(P) a imagem de P atraves de S e vol o volume do paralepıpedo P. Esta relacao forneceuma interpretacao geometrica para o determinante de um tensor S.

Exemplo 4.20 Demonstre a seguinte propriedade de determinantes det (ST) = (detS) (detT).

Para demonstrar essa propriedade e importante remeter-se ao conceito de matrizes ele-mentares. Uma matriz elementar n×n e uma matriz obtida da matriz identidade In aplicando-seuma, e somente uma, operacao elementar.

Denota-se por Eij a matriz elementar obtida trocando-se a linha i com a linha j da matrizidentidade In, Ei(α) e a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha i da matriz In peloescalar α 6= 0 e Eij(α) a matriz elementar obtida da matriz In, somando-se a linha j α vezes alinha i. Como exemplos de matrizes elementares 2 × 2, tem-se

E1,2 = E2,1 =

[

1 00 0

]

, E1(α) =

[

α 00 1

]

, E2(α) =

[

1 00 α

]

com α 6= 0,

E1,2(α) =

[

1 0α 1

]

, E2,1(α) =

[

1 α0 1

]

.

Sejam E1 =

10...0

, E2 =

01...0

, . . . , En =

00...1

matrizes m × 1.


Admite-se que S e inversıvel e portanto a mesma pode ser escrita como o produto de matrizeselementares, S = E1 . . . Ek. Assim,

det(ST) = det(E1) . . . det(Ek) det(T)

= det(E1 . . . Ek) det(T)

= det(S) det(T).

2

Exemplo 4.21 Prove que detST = detS.

Usa-se tambem o conceito de matrizes elementares para efetuar a demonstracao. Admite-seque S e inversıvel e portanto

det(ST ) = det(ETk ) . . . det(ET

1 )

= det(Ek) . . . det(E1)

= det(E1 . . .Ek) =⇒ det(S).

2

Exemplo 4.22 Demonstre a seguinte propriedade da inversa (ST)−1 = T−1S−1.

Mostra-se que a inversa de (ST) e S−1T−1, ou seja, os produtos (ST)(S−1T−1) e (S−1T−1)(ST)sao iguais a matriz identidade I,

(ST)(S−1T−1) = S(TT−1)S−1

= SIS−1

= SS−1 = I.

2

Exemplo 4.23 Mostre que(S−1

)T=(

ST)−1

.

Deseja-se mostrar que a inversa de ST e (S−1)T , mostrando que o produto das duas matrizessao iguais a matriz identidade I

ST (S−1)T = (S−1S)T = IT = I

(S−1)TST = (SS−1)T = IT = I.

2

4.12 Tensor Ortogonal

Um tensor ortogonal e uma transformacao linear na qual os vetores transformados preservamseus comprimentos e os angulos entre si. Seja Q um tensor ortogonal, entao ||Qu|| = ||u|| ecos (u,v) = cos (Qu,Qv). Consequentemente, Q preserva o produto interno, ou seja,

Qu · Qv = u · v, ∀u,v ∈ V. (4.45)

Da definicao de tensor transposto, tem-se

Qu ·Qv = u ·QTQv.


Assim,

u · v = u · QTQv ⇒ u · Iv = u ·QTQv ⇒ u ·(

I − QTQ)

v = 0.

Como u e v sao arbitrarios, segue-se que

QTQ = I.

Por outro lado, o transposto do tensor identidade e o proprio tensor identidade. Portanto,

(QTQ)T = IT ⇒ QQT = I.

Logo, a condicao necessaria e suficiente para que Q seja ortogonal e

QQT = QTQ = I, (4.46)

ou seja,

QT = Q−1. (4.47)

Em representacao matricial,

[Q] [Q]T = [Q]T [Q] = [I] .

De forma geral, a partir de (4.46), verifica-se que

det(

QQT)

= det (I) ⇒ det (Q) det(

QT)

= 1 ⇒ (detQ)2 = 1 ⇒ detQ = ±1

Se detQ = +1, entao, Q e uma rotacao. Por outro lado, se detQ = −1, Q e uma reflexao.

Todo tensor ortogonal e uma rotacao ou o produto de um rotacao por −I. Se R 6= I e umarotacao, entao, o conjunto de todos os vetores v tais que

Rv = v

forma um subespaco unidimensional de V chamado eixo de R. Em outras palavras, uma rotacaoR se da em torno do eixo gerado pelo vetor v.

Exemplo 4.24 Uma rotacao plana de um angulo θ no sentido anti-horario e obtida aplicando-se a rotacao R em torno do eixo z a um vetor v, ou seja, multiplicando o vetor v pela matriz[R] que tem a seguinte forma geral

[R] =

cos θ sen θ 0−sen θ cos θ 0

0 0 1

.

Observe que

detR = det [R] = cos2 θ + sen2θ = 1 > 0,

o que mostra que R e de fato uma rotacao.

2


Exemplo 4.25 Verificar que os tensores dos Exemplos 4.2 e 4.5 sao ortogonais e constituem-se,respectivamente, uma reflexao e uma rotacao.

No primeiro caso, tem-se que,

[T] [T]T =

−1 0 00 1 00 0 1

−1 0 00 1 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

,

revelando que T e um tensor ortogonal e como detT = −1, tem-se que T e uma reflexao.

Ja no segundo exemplo, verifica-se que

[R] [R]T =

0 1 0−1 0 0

0 0 1

0 −1 01 0 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

,

Como consequencia, R e o ortogonal e de fato num rotacao, pois detR = 1.

2

4.13 Tensor Positivo-Definido

Um tensor S e positivo-definido se

v · Sv >0 (4.48)

para todos os vetores v 6= 0.

Exemplo 4.26 Considere a transformacao A cuja forma matricial para o sistema de coorde-nadas corrente seja a seguinte

A =

2 0 00 4 00 0 3

Observe que

x · Ax =2x21 + 4x2

2 + 3x23 > 0,

exceto para x = 0. Dessa forma, o tensor A e positivo-definido.

2

4.14 Vetor Axial

Existe uma correspondencia biunıvoca entre vetores e tensores antissimetricos. Para todo tensoranti-simetrico W existe um unico vetor w, denominado vetor axial, tal que

Wv = w × v, ∀v ∈ V. (4.49)

As componentes de w podem ser encontradas tomando-se Wej = w × ej , pois

Wij = ei·Wej = ei· (w × ej) = w· (ej × ei) .


Lembrando que ej×ei = −ei×ej e W e anti-simetrico, tem-se que Wij = −Wji, as componentesnao nulas de W estao relacionadas as componentes de w como

W32 = −W23 = e3·We2 = w· (e2 × e3) = w · e1 = w1,W13 = −W31 = e1·We3 = w· (e3 × e1) = w · e2 = w2,W21 = −W12 = e2·We1 = w· (e1 × e2) = w · e3 = w3.

Portanto, tem-se que

w = W32e1 + W13e2 + W21e3 ou w = − (W23e1 + W31e2 + W12e3) .

Somando as duas equacoes anteriores, obtem-se a seguinte expressao

2w = (W32 − W23)e1 + (W13 − W31)e2 + (W21 − W12)e3,

a qual pode ser reescrita em termos do sımbolo de permutacao como

2w = −eijkWjkei.

Observa-se que para um tensor anti-simetrico W, com componentes

[W] =

0 −γ βγ 0 −α

−β α 0

,

corresponde o vetor axial w com componentes w1 = α, w2 = β e w3 = γ.

Exemplo 4.27 Dada a representacao matricial do tensor T

[T] =

1 2 34 2 11 1 1

decompor o mesmo em partes simetrica S e antissimetrica W, encontrando o vetor axial de W.Verificar que Wa = w × a para a = e1 + e3.

Tem-se que [T] = [S] + [W] para

[S] =1

2

(

[T] + [T]T)

=1

2

1 2 34 2 11 1 1

+

1 4 12 2 13 1 1

=

1 3 23 2 12 1 1

,

[W] =1

2

(

[T] − [T]T)

=1

2

1 2 34 2 11 1 1

−

1 4 12 2 13 1 1

=

0 −1 11 0 0

−1 0 0

.

As componentes do vetor axial w associadas a W sao dadas por

w = W32e1 + W13e2 + W21e3 = 0e1 + 1e2 + 1e3 = e2 + e3.

Tomando agora b = Wa, tem-se

b =

0 −1 11 0 0

−1 0 0

101

=

11

−1

⇒ b = e1 + e2 − e3.

Da mesma maneira, verifica-se que

w × a = (e2 + e3) × (e1 + e3) = e1 + e2 − e3 = b.

2


4.15 Leis de Transformacao para Vetores e Tensores

A Figura 4.3 ilustra dois sistemas de coordenadas cartesianos formados pelos vetores unitariose1, e2, e3 e e′1, e′2, e′3. Partindo-se de suas configuracoes originais, e possıvel fazer e′1, e′2, e′3coincidir com e1, e2, e3 atraves de uma rotacao rıgida, no caso em que os sistemas possuem amesma orientacao, ou de uma rotacao seguida de uma reflexao, no caso em que suas orientacoessao distintas.

e1

e2

3

1e’e’

e

e’3

2

Figura 4.3: Sistemas cartesianos retangulares.

Dessa forma, observa-se que e′1, e′2, e′3 e e1, e2, e3 estao relacionados por um tensor or-togonal Q da seguinte maneira

e′i = QTei = Qmiem →

e′1 = Q11e1 + Q21e2 + Q31e3

e′2 = Q12e1 + Q22e2 + Q32e3

e′3 = Q13e1 + Q23e2 + Q33e3

, (4.50)

sendo QmiQmj = QmiQjm = δij , ou ainda, QTQ = QQT = I. Verifica-se que Qmi = em·QTei =em · e′i = cos (em, e′i).

Tomando-se agora um vetor a qualquer, as suas componentes nos dois sistemas de coorde-nadas sao escritas, respectivamente, como ai = ei·a e a′i = e′i·a. Uma vez que a′i = e′i·a =Qmiem · a, tem-se

a′i = Qmiam, (4.51)

ou em notacao matricial

a′1a′2a′3

e′i

=

Q11 Q21 Q31

Q12 Q22 Q32

Q13 Q23 Q33

ei

e′i

a1

a2

a3

ei

→ a′ = [Q]T a . (4.52)

As expressoes anteriores constituem-se na lei de transformacao das componentes de ummesmo vetor com respeito a diferentes bases cartesianas. E importante observar que a′ = ae′ie a = aei

sao representacoes matriciais do mesmo vetor em bases distintas. Assim, a

expressao (4.52) nao corresponde a transformacao linear a′ = QTa, a qual indica que a′ e ovetor transformado de a atraves de QT (a e a′ sao dois vetores diferentes enquanto que a ea′ sao representacoes do mesmo vetor).


Considerando agora um tensor T, suas componentes em relacao as bases e1, e2, e3 ee′1, e′2, e′3 sao, respectivamente, Tij = ei·Tej e T ′

ij = e′i·Te′j . Lembrando que e′i = Qmiem,tem-se

T ′ij = e′i·Te′j = Qmiem ·TQnjen = QmiQnj (em ·Ten) .

Logo,

T ′ij = QmiQnjTmn. (4.53)

Matricialmente,

[T]′ = [Q]T [T] [Q] ,

ou de forma expandida,

T ′11 T ′

12 T ′13

T ′21 T ′

22 T ′23

T ′31 T ′

32 T ′33

e′i

e′i

=

Q11 Q21 Q31

Q12 Q22 Q32

Q13 Q23 Q33

ei

e′i

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

ei

ei

Q11 Q12 Q13

Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

e′i

ei

.

De maneira analoga,

Tij = QimQjnT ′mn, (4.54)

ou ainda,

[T] = [Q] [T]′ [Q]T . (4.55)

A equacao (4.53) e a lei de transformacao que relaciona componentes de um mesmo tensorcom respeito a diferentes bases. Portanto, [T] e [T]′ sao diferentes representacoes para o mesmotensor T.

Uma vez que as componentes de um vetor ou tensor sao conhecidas em e1, e2, e3, aplicando-se as equacoes (4.51) e (4.53), determinam-se suas componentes em relacao a qualquer outrabase ortonormal e′1, e′2, e′3.

Exemplo 4.28 Dado a representacao do tensor T na base e1, e2, e3

[T]eiei

=

0 1 01 2 00 0 1

,

encontrar as suas componentes em relacao a base e′1, e′2, e′3 obtida pela rotacao de 90 emtorno de e3.

Para a rotacao dada, as seguintes relacoes sao validas para os vetores das duas bases

e′1 = e2 e′2 = −e1 e′3 = e3

Portanto, as unicas componentes nao-nulas de Q sao

Q12 = e1 · e′2 = −1 Q21 = e3 · e′3 = 1 Q33 = e1 · e′2 = 1

Matricialmente, tem-se

[Q] =

0 −1 01 0 00 0 1

.


Por sua vez, tem-se as componentes de T na base rotacionada sao obtidas por

[T]′ = [Q]T [T] [Q] =

0 1 0−1 0 0

0 0 1

ei

e′i

0 1 01 2 00 0 1

ei

ei

0 −1 01 0 00 0 1

e′i

ei

=

2 −1 0−1 0 0

0 0 1

.

2

4.16 Autovetores e Autovalores

Dado um tensor S, seja u um vetor transformado por S num vetor paralelo a u, isto e,

Su = λu, (4.56)

entao u e um autovetor de S e λ e o seu autovalor correspondente.Verifica-se que se (λ,u) e um autopar de S, entao qualquer vetor paralelo a u tambem e um

autovetor de S com mesmo autovalor λ. Com efeito, tomando-se um escalar α tem-se que

S (αu) = αSu = α (λu) = λ (αu) .

Um autovetor como definido a partir de (4.56) tem um tamanho arbitrario. Para evitar esteinconveniente, convenciona-se tomar os autovetores como tendo comprimento unitario. Assim,pode-se redefinir (4.56) como a seguir

Se = λe, (4.57)

sendo e um vetor unitario. Como λe = λIe, tem-se

(S−λI) e = 0,

com

e · e = 1.

Escrevendo e como uma combinacao linear dos vetores da base e1, e2, e3, obtem-se e =αiei. Assim, as expressoes anterioriores, em termos de componentes, sao dadas por

(Sij − λδij)αj = 0 →

(S11 − λ) α1 + S12α2 + S13α3 = 0S21α1 + (S22 − λ) α2 + S23α3 = 0S31α1 + S32α2 + (S33 − λ)α3 = 0α2

1 + α22 + α2

3 = 1

. (4.58)

Para que o sistema homogeneo (4.58) nao tenha apenas a solucao trivial (α1 = α2 = α3 = 0),o determinante da matriz desse sistema deve ser nulo, ou seja,

det (S−λI) = 0 ⇒

∣∣∣∣∣∣∣

S11 − λ S12 S13

S21 S22 − λ S23

S31 S32 S33 − λ

∣∣∣∣∣∣∣

= 0. (4.59)

Para um dado tensor S, uma vez conhecidas as suas componentes Sij numa certa base, aexpressao anterior e uma equacao cubica em λ, denominada equacao caracterıstica de S. Asraızes λ1, λ2, λ3 dessa equacao sao os autovalores de S. Os respectivos autovetores de S saodeterminados substituindo cada um destes autovalores em (4.58) e resolvendo o sistema deequacoes obtido. Deve-se observar que as raızes do polinomio (4.59), ou seja, os autovalores deS, podem ser:


• reais e distintas;

• reais, sendo algumas repetidas;

• reais (distintas ou repetidas) e complexas;

• apenas complexas.

O espaco caracterıstico de S correspondente a cada λ e o subespaco de V que consiste detodos os vetores v que satisfazem a equacao

Sv = λv.

Se este espaco tem dimensao n, entao diz-se que λ tem multiplicidade n.

Verifica-se ainda que os autovalores do tensor S sao independentes da base escolhida. De fato,dado o tensor S escrito em uma base e1, e2, e3, seus autovalores λ e autovetores e satisfazema relacao (4.57). Em forma matricial, tem-se

[S]e =λe. (4.60)

Representando S e e em uma outra base e′1, e′2, e′3 e utilizando as leis de transformacaopara vetores e tensores, nota-se que

[S]′ e′ = [Q]T [S] [Q] [Q]T e.

Lembrando que [Q] [Q]T resulta atraves (4.46) no tensor identidade e que S satisfaz (4.60),tem-se

[S]′ e′ = [Q]T [S] e = λ [Q]T e.

Assim, empregando-se novamente a lei de transformacao para vetores, chega-se a

[S]′ e′ = λ e′ .

Observa-se portanto que os autovalores λ sao os mesmos qualquer que seja a base escolhidapara se representar o tensor S, enquanto os autovetores podem ser transformados entre as duasbases de forma convencional usando a equacao (4.52).

Exemplo 4.29 Considere a representacao matricial de um tensor [T] relativa a uma basee1, e2, e3

[T] =

2 0 00 3 40 4 −3

.

Determinar os autovalores e os autovetores correspondentes.

A equacao caracterıstica correspondente e

|T − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣

2 − λ 0 00 3 − λ 40 4 −3 − λ

∣∣∣∣∣∣∣

= (2 − λ) (λ2 − 25) = 0.

Logo, ha tres autovalores distintos dados por λ1 = 2, λ2 = 5 e λ3 = −5.


Substituindo λ1 no sistema [T − λI] v = 0, tem-se

0v1 = 0v2 + 4v3 = 04v2 − 5v3 = 0v21 + v2

2 + v23 = 1

.

Assim, v2 = v3 = 0 e v1 = ±1. Portanto, o autovetor correspondente a λ1 = 2 e v1 = ±e1.Repetindo o procedimento para λ2 = 5, tem-se

−3v1 = 0−2v2 + 4v3 = 04v2 − 8v3 = 0v21 + v2

2 + v23 = 1

.

Logo, v1 = 0, v2 = 2/√

5, v3 = 1/√

5 e o autovetor correspondente e

v2 = ± 1√5

(2e2+e3) .

Para o ultimo autovalor λ3 = −5, repetindo o mesmo procedimento anterior, tem-se que oautovetor v3 e dado por

v3 = ± 1√5

(−e2+2e3) .

2

Dado um tensor S, e possıvel mostrar que o determinante de S−λI admite a representacao

det (S−λI) = −λ3 + ι1 (S) λ2 − ι2 (S) λ + ι3 (S) ∀λ ∈ <, (4.61)

sendo

ι1 (S) = S11 + S22 + S33,

ι2 (S) =

∣∣∣∣∣

S11 S12

S21 S22

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

S22 S23

S32 S33

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

S11 S13

S31 S33

∣∣∣∣∣,

ι3 (S) =

∣∣∣∣∣∣∣

S11 S12 S13

S21 S22 S23

S31 S32 S33

∣∣∣∣∣∣∣

.

Como os autovalores de S nao dependem da base adotada, os coeficientes da equacao (4.61)devem ser os mesmos qualquer que seja a base. Dessa forma, o conjunto

JS = (ι1 (S) , ι2 (S) , ι3 (S))

e chamado lista dos invariantes principais. Sao chamados invariantes, pois se mantem constantesno caso de mudancas de coordenadas atraves de uma rotacao de S. Em termos do traco e dodeterminante, os invariantes sao dados por

ι1 (S) = trS,

ι2 (S) = 12

[

(trS)2 − tr (S)2]

,

ι3 (S) = detS.


No caso de S ser simetrico, pode-se mostrar que

ι1 (S) = λ1 + λ2 + λ3,ι2 (S) = λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3,ι3 (S) = λ1λ2λ3.

Exemplo 4.30 Para o tensor do Exemplo 4.29, determinar seus invariantes escalares e emseguida determinar seus autovalores a partir de (4.61).

A matriz do tensor e a seguinte

[T] =

2 0 00 3 40 4 −3

e portanto seus invariantes sao

ι1 (T) = 2 + 3 − 3 = 2,

ι2 (T) =

∣∣∣∣∣

2 00 3

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

3 44 −3

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

2 00 −3

∣∣∣∣∣= −25,

ι3 (S) =

∣∣∣∣∣∣∣

2 0 00 3 40 4 −3

∣∣∣∣∣∣∣

= −50.

Estes valores fornecem a equacao caracterıstica

λ3 − 2λ2 − 25λ + 50 = 0

ou

(λ − 2) (λ − 5) (λ + 5) = 0.

A partir daı, obtem-se λ1 = 2, λ2 = 5 e λ3 = −5.

2

4.17 Valores e Direcoes Principais de Tensores Simetricos

Entre os varios tipos de tensores estudados na Mecanica do Contınuo, destacam-se os tensoressimetricos, tais como os tensores de deformacao e tensao. Neste caso, o seguinte teorema evalido.

Teorema 4.1 Dado um tensor simetrico com componentes reais, tem-se

1. Seus autovalores sao numeros reais.

2. Seus espacos caracterısticos gerados por seus autovetores sao mutuamente ortogonais.


Logo, para um tensor simetrico real sempre existem pelo menos 3 autovetores reais denom-inados direcoes principais. Para mostrar que as direcoes principais de um tensor simetricosao mutuamente perpendiculares, considere os autovetores n1 e n2 de um tensor S com seusrespectivos autovalores λ1 e λ2. Assim,

Sn1 = λ1n1

Sn2 = λ2n2.

Fazendo o produto escalar das equacoes anteriores, respectivamente, por n2 e n1 vem que

λ1n1 · n2 = n2 · Sn1 (4.62)

λ2n1 · n2 = n1 · Sn2 (4.63)

Pela definicao de tensor transposto, tem-se n1 · Sn2 = n2 · STn1. Como S e simetrico, vemn1 · Sn2 = n2 · Sn1. Subtraindo (4.63) de (4.62) segue-se que

(λ1 − λ2)n1 · n2 = 0

A partir daı, se λ1 6= λ2, entao n1 ·n2 = 0, ou seja, n1 e n2 sao ortogonais entre si. Portanto,se os autovalores sao distintos, entao as 3 direcoes principais sao mutuamente perpendiculares.

Supondo agora que n1 e n2 sao autovetores com mesmo autovalor λ, tem-se Sn1 = λn1

e Sn2 = λn2. Tomando-se escalares α e β, pode-se escrever S (αn1 + βn2) = αSn1 + βSn2

= λ (αn1 + βn2). Portanto, a combinacao linear αn1 + βn2 e tambem um autovetor de S comautovalor λ. Assim, se existem dois autovetores com o mesmo autovalor, entao existem infinitosautovetores (os quais formam um plano) que correspondem ao mesmo autovalor λ. Esta situacaoocorre quando a equacao caracterıstica possui uma raiz repetida (ou multipla). Dessa forma,embora nao unicas, existem ainda tres direcoes principais mutuamente perpendiculares.

Finalmente, no caso em que existam 3 autovalores identicos, e possıvel mostrar que qualquervetor e um autovetor de S. Logo, para qualquer tensor simetrico real S, sempre existe pelomenos um conjunto de 3 vetores perpendiculares entre si.

Considerando os autovetores e1, e2, e3 de S como vetores unitarios nas direcoes principais,as componentes do tensor S em relacao a base e1, e2, e3 sao dadas por

S11 = e1 · Se1 = e1 · (λ1e1) = λ1, S12 = e1 · Se2 = e1 · (λ2e2) = 0 = S21,

S22 = e2 · Se2 = e2 · (λ2e1) = λ2, S13 = e1 · Se3 = e1 · (λ3e3) = 0 = S31,S33 = e3 · Se3 = e3 · (λ3e3) = λ3, S23 = e2 · Se3 = e2 · (λ3e3) = 0 = S32.

Logo,

[S]e1,e2,e3=

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

,

ou seja, a matriz do tensor S na base de autovetores e diagonal contendo os autovalores de S.O teorema seguinte resume os resultados anteriores.

Teorema 4.2 Seja S simetrico. Logo, existe uma base ortogonal para V consistindo inteira-mente de autovetores de S. Alem disso, nesta base e1, e2, e3 o tensor S tem a forma diagonal

S =∑

i

λiei⊗ei

com λ1, λ2, λ3 sendo os autovalores de S.


4.18 Diferenciacao

Nessa secao, sera introduzido um conceito suficientemente geral de diferenciacao que incluafuncoes escalares, pontuais, vetoriais ou tensoriais cujos argumentos sao escalares, pontos, ve-tores ou tensores.

Sejam U e W espacos vetoriais normados, respectivamente, com normas ‖·‖U e ‖·‖W . Con-sidere uma funcao f definida numa vizinhanca de zero em U e com valores em W. Diz-se quef (u) se aproxima de zero mais rapido que u se

limu→0,u6=0

‖f (u)‖W‖u‖U

= 0. (4.64)

Denota-se a relacao anterior como um termo de ordem de u, ou seja,

f (u) = o (u) (4.65)

Da mesma maneira, para duas funcoes f e g, a expressao f (u) = g (u) + o (u), significa quef (u) − g (u) = o (u).

Exemplo 4.31 Considere, por exemplo, a funcao ϕ : < → < , ϕ (t) = tα. Portanto,

limt→0,t6=0

‖ϕ (t)‖‖t‖ =

|t|α|t| = |t|α−1

Logo, ϕ (t) = o (t) se e somente se α > 1. Caso contrario,

|t|α−1 =1

|t|1−α → limt→0,t6=0

1

|t|1−α → ∞.

2

Seja g (t) uma funcao escalar, pontual, vetorial ou tensorial cujo domınio e um conjunto realaberto D, ou seja, t ∈ D ⊂ <. A derivada g (t), se existir, e definida como

g (t) =d

dtg (t) = lim

α→0

1

α[g (t + α) − g (t)] (4.66)

Se g (t) for uma funcao pontual, g (t + α)− g (t) e uma diferenca de pontos, sendo portantoum vetor. Dessa forma, a derivada de uma funcao pontual e um vetor (por exemplo a derivadade uma funcao posicao e uma funcao velocidade). De maneira similar, a derivada de uma funcaovetorial e um vetor e a derivada de uma funcao tensorial e um tensor. Diz-se ainda que g (t) esuave se g (t) existe para ∀t ∈ D e se a funcao g (t) e contınua em D.

Seja g (t) diferenciavel em t. Portanto, (4.66) implica que

limα→0

1

α[g (t + α) − g (t) − αg (t)] = 0,

ou seja, o termo g (t + α) − g (t) − αg (t) se aproxima de zero mais rapido que α. Da definicao(4.65), tem-se que

g (t + α) = g (t) + αg (t) + o (α) . (4.67)

Claramente αg (t) e um termo linear em α. Logo, g (t + α)−g (t) e igual a um termo linearem α, mais um termo que se aproxima de zero mais rapido que α. Em outras palavras, pode-sedefinir a derivada como uma transformacao linear que aproxima g (t + α)−g (t) para α pequeno.


A definicao mais util de derivada para funcoes de domınios de dimensao maior que um e baseadano resultado anterior.

Para isso, sejam U e W espacos vetoriais normados de dimensao finita, D um subespacoaberto de U e uma funcao g

g : D → W.

Diz-se que g e diferenciavel em x ∈D se a diferenca

g (x + u) − g (x)

e igual a uma funcao linear mais um termo que se aproxima de zero mais rapido que u. Deforma precisa, g e diferenciavel em x se existe um transformacao linear

Dg (x) : U → W (4.68)

chamada derivada de g em x, tal que

g (x + u) = g (x) + Dg (x) [u] + o (u) (4.69)

quando u → 0. Se a transformacao Dg (x) existe entao e unica pois

Dg(x)[u] = limα→0,αu6=0

1

α[g(x + αu) − g(x)] =

d

dαg(x + αu)

∣∣∣∣α=0

. (4.70)

Alguns comentarios podem ser feitos a partir da definicao anterior

• como em espacos de dimensao finita, quaisquer duas normas sao equivalentes, verifica-seque Dg(x) e independente da escolha das normas em U e V;

• se g e diferenciavel em x, entao Dg denota o mapeamento x → Dg(x) cujo domınio e De com contradomınio o espaco das transformacoes lineares de U em V. Este espaco e dedimensao finita e pode ser normado numa forma natural. A partir daı, faz sentido falarsobre diferenciabilidade e continuidade de Dg;

• a funcao g e de classe C1 ou suave, se g e diferenciavel em todo ponto de D e Dg econtınua. Da mesma forma, g e de classe C2 se g e de classe C1 e Dg e suave;

• o espaco euclidiano pontual E nao e um espaco normado. Portanto, quando o domınio D deg estiver contido em E , a definicao anterior permanece valida substituindo U pelo espacovetorial V associado a E . Da mesma maneira, quando g tem valores em E , substitui-se Wpor E .

Quando o domınio D de g esta contido em <, tem-se que

Dg (t) [α] = αg (t) ∀α ∈ < (4.71)

como pode-se observar comparando-se (4.67) e (4.69).

Muitas vezes, o modo mais simples de se calcular derivadas e aplicar diretamente a definicao,como ilustrado nos exemplos seguintes.


Exemplo 4.32 Considere a funcao descrevendo o produto escalar de vetores

ϕ : V → <v → ϕ (v) = v · v .

Logo,

ϕ (v + u) = v · v+2v · u + u · u = ϕ (v) + 2v · u+o (u) ,

sendo

Dϕ (v) [u] = 2v · u.

2

Exemplo 4.33 Seja a funcao tensorial

G : Lin → LinA → G (A) = A2 .

Verifica-se que

G (A + U)= A2+AU + UA + U2 = G (A) + AU + UA+o (U) .

Logo,

DG (A) [U] = AU + UA.

2

Exemplo 4.34 Seja L : U → W uma funcao linear. Logo,

L (x + u) = L (x) +L (u) .

A partir daı,

DL (x) = L.

2

4.19 Regra do Produto

Frequentemente, e necessario calcular a derivada do produto π (f ,g) de duas funcoes f e g. Naanalise tensorial ha entretanto diferentes tipos de produtos. Por exemplo, alem do produto entredois escalares ϕ e ξ

π (ϕ, ξ) = ϕξ,

tem-se

• o produto de um escalar ϕ e um vetor v: π (ϕ,v) = ϕv

• o produto interno de dois vetores: π (u,v) = u · v

• o produto tensorial entre dois vetores: π (u,v) = u⊗ v

• a acao de um tensor sobre um vetor: π (S,v) = Sv


Estes produtos tem com caracterıstica comum a bilinearidade, ou seja, sao lineares em cadaum dos argumentos

π (u + a,v) = π (u,v) + π (a,v) , (4.72)

π (u,v + a) = π (u,v) + π (u,a) . (4.73)

Define-se a regra do produto a seguir. Sejam U , F , G e W espacos vetoriais normados dedimensao finita e D ⊂ U um subconjunto aberto. O produto h =π (f ,g) de duas funcoes

f : D → F g : D → G

e a funcao

h : F × G → W

definida por

h (x)=π (f (x) ,g (x)) , ∀x ∈D.

Se f e g sao funcoes diferenciaveis em x ∈D, entao o produto h =π (f ,g) e diferenciavel emx, sendo a derivada dada por

Dh (x) [u] = π (f (x) ,Dg (x) [u]) + π (Df (x) [u] ,g (x)) , ∀u ∈ U . (4.74)

Exemplo 4.35 Sejam ϕ, v, w, S e T funcoes contınuas num subconjunto aberto de < com ϕescalar; v e w vetoriais; S e T tensoriais. Entao,

˙(ϕv) = ϕv+ϕv,

˙(v · w) = v · w + v · w,

˙(T + S) = T + S,

˙(ϕT) = ϕT+ϕT,

˙(Tv) = Tv + Tv,

(

TT)

=(

T)T

,

˙(TS) = TS + TS,

˙(T · S) = T · S + T · S.

2


Figura 4.4: Regra da cadeia.

4.20 Regra da Cadeia

Sejam U , F , G espacos vetoriais normados de dimensao finita com D ⊂ U e C ⊂ G subconjuntosabertos. Considere as funcoes g : D → G e f : C → F , com a imagem de g contida em C comoilustrado na Figura 4.4.

Seja g diferenciavel em x ∈ D e seja f diferenciavel em y = g (x). Logo, a composicao,

h = f g = f (g (x))

e diferenciavel em x, sendo a derivada dada por

Dh (x) = Df (y) Dg (x) .

De maneira menos abreviada,

Dh (x) [u] = Df (g (x)) [Dg (x) [u]] , ∀u ∈ U .

Exemplo 4.36 Considere as funcoes g (x, y) =(x2 + 1, y2

)e f (u, v) =

(u + v, u, v2

). Calcule

a derivada da composicao h = f g

h (x, y) = f (g (x, y)) = f (g1 (x, y) , g2 (x, y)) = f(x2 + 1, y2) = (x2 + y2 + 1, x2 + 1, y4).

Aplicando a definicao de derivada, obtem-se

f (u + u1, v + v1) =(

u + u1 + v + v1, u + u1, (v + v1)2)

= (u, v) + (u1 + v1, u1, 2vv1) +(

0, 0, v21

)

= f (u, v) + Df (u, v) [u1, v1] + o (u1, v1) .

Reescrevendo a expressao anterior matricialmente

Df (u, v) [u1, v1] = (u1 + v1, u1, 2vv1) =

1 11 00 2v

[

u1

v1

]

.

Da mesma maneira,

g (x + x1, y + y1) =(

(x + x1)2 + 1, (y + y1)

2)

= (x, y) + (2xx1, 2yy1) +(

x21, y

21

)

= g (x, y) + Dg (x, y) [x1, y1] + o (x1, y1) .


Matricialmente,

Dg (x, y) [x1, y1] = (2xx1, 2yy1) =

[

2x 00 2y

] [

x1

y1

]

.

Logo,

Dh (x, y) [x1, y1] = Df (y) Dg (x) [x1, y1] = Df(g (x)) [Dg (x) [x1, y1]] ,

= Df(x2 + 1, y2) [Dg (x) [x1, y1]] =(

2x + 2y, 2x, 4y3)

.

Pode-se escrever a expressao anterior de forma matricial como

Dh (x, y) = Df (y) Dg (x) =

1 11 00 2v

[

2x 00 2y

]

=

2x 2y2x 00 4y3

.

2

4.21 Derivada das Componentes de um Tensor

Como se sabe, as componentes cartesianas de um tensor T sao dadas por

Tij = ei·Tej .

Determinam-se as componentes da derivada de T a partir da regra do produto como

dTij

dt=

dei

dt·Tej + ei·

d (Tej)

dt.

Verifica-se que deidt = 0. Portanto,

dTij

dt= ei·

d (Tej)

dt= ei·

dT

dtej =

(dT

dt

)

ij.

Exemplo 4.37 Dado um tensor ortogonal Q (t), mostrar que (dQ/dt)QT e um tensor anti-simetrico.

Como Q (t) e ortogonal, tem-se que QQT = I. Portanto,

d

dt

(

QQT)

=dQ

dtQT + Q

dQT

dt= 0 → Q

dQT

dt= −dQ

dtQT .

Para dQT

dt =(

dQdt

)T, tem-se que

Q

(dQ

dt

)T

= −dQ

dtQT .

Mas,

Q

(dQ

dt

)T

=

(dQ

dtQT

)T

.

Logo,

dQ

dtQT

T

= −dQ

dtQT .

2


Figura 4.5: Corpo rıgido e os sistemas de referencia inercial e movel.

Exemplo 4.38 A Figura 4.5 ilustra os sistemas de referencia inercial I (x, y, z) e movel B (x′, y′, z′)associado a um corpo rıgido B. Deseja-se determinar a equacao da velocidade do ponto B de B.

Da Figura 4.5, o vetor posicao do ponto B pode ser escrito como

rIOB = rI

OA + rBAB. (4.75)

Expressa-se o vetor rAB no sistema inercial como rBAB = TrI

AB, sendo T um tensor derotacao. Substituindo a expressao anterior em (8.83) e derivando, tem-se que

d

dtrIOB =

d

dtrIOA +

d

dt

(

TrIAB

)

=d

dtrIOA +

dT

dtrIAB + T

drIAB

dt.

Como B e rıgido, tem-se quedrI

ABdt = 0. Portanto,

vIOB = vI

OA +dT

dt

(

TTrIAB

)

.

Do exemplo anterior, dTdt TT e um tensor anti-simetrico e tomando ωI como seu vetor axial,

tem-se que

vIOB = vI

OA + ωI × rIAB.

2

4.22 Expansao em Serie de Taylor

Seja f uma funcao vetorial dependente das variaveis x, y e z, ou seja, f = f(x) = f(x, y, z).Desta maneira, f tem componentes nas direcoes x, y e z. Logo,

f(x) =

fx(x)fy(x)fz(x)

. (4.76)

Expandindo f em torno do ponto x, tem-se que

f(y) = f(x) + ∇f(x)d+O(‖d‖2), (4.77)

sendo d =(y − x) o vetor diferenca entre as posicoes y = (x+∆x, y+∆y, z+∆z) e x = (x, y, z).A norma euclidiana de d e indicada por ‖d‖ e ‖d‖2 = ∆x2 + ∆y2 + ∆z2. Assim, O(‖d‖2) e umtermo de ordem ‖d‖2.


Nesse caso, o gradiente de f(x) e dado por

∇f(x) =[

∂f(x)∂x

∂f(x)∂y

∂f(x)∂z

]

. (4.78)

Por sua vez como f e uma funcao vetorial, cada um dos componentes do lado direito daequacao (8.8) e um vetor analogo ao da equacao (8.4). Expandindo cada um dos componentesvem que

[∇f(x)] =

∂fx(x)∂x

∂fx(x)∂y

∂fx(x)∂z

∂fy(x)∂x

∂fy(x)∂y

∂fy(x)∂z

∂fz(x)∂x

∂fz(x)∂y

∂fz(x)∂z

, (4.79)

Assim, o gradiente de uma funcao vetorial f dependente do vetor posicao x = (x, y, z) e arepresentacao matricial do tensor de segunda ordem ∇f(x) segundo o sistema cartesiano. Essetensor e denominado gradiente da funcao f .

4.23 Gradiente, Divergente, Rotacional

Serao consideradas agora funcoes definidas sobre um conjunto aberto R no espaco euclidianoE (≡ <3

). Uma funcao sobre R e denominada um campo escalar, vetorial, tensorial ou pontual

se seus valores sao escalares, vetores, tensores ou pontos.

4.23.1 Gradiente de uma funcao escalar

Seja ϕ (x) uma funcao escalar de um vetor posicao x ∈ R. Portanto, ϕ fornece um valorescalar, como densidade, temperatura ou potencial eletrico nesse ponto. Em outras palavras,ϕ (x) e um campo escalar. Logo, para cada x ∈ R, Dϕ (x) [u] e uma transformacao linear de Vem <, sendo portanto um funcional linear. Nesse caso, a expansao (4.69) tem a forma

ϕ (x + u) = ϕ (x) + ∇ϕ (x) · u + o (u) . (4.80)

Como ϕ e um campo escalar, a operacao Dϕ (x) [u] deve resultar em um escalar. Como u eum vetor, tem-se que Dϕ (x) deve ser tambem o vetor, tal que Dϕ (x) [u] e o seguinte produtointerno

Dϕ (x) [u] = ∇ϕ (x) · u (4.81)

e ∇ϕ (x) e chamado gradiente de ϕ em x.Desprezando o termo o (u), na vizinhanca de u, tem-se que o gradiente de ϕ e dado pela

diferenca dos valores escalares em x + u e x, ou seja, ∇ϕ(x) · u = ϕ (x + u) − ϕ (x).Seja e o vetor unitario na direcao de u, isto e, e = αu com α = 1/|u|. Logo, a partir de

(4.80) verifica-se que

ϕ (x + αe) = ϕ (x) + ∇ϕ (x) · αe + o (αe) .

Tomando o limite quando α → 0, tem-se

∇ϕ (x) · e = limα→0

ϕ (x + αe) − ϕ (x)

α= Dϕ (x) [e] .

Recupera-se assim a definicao de derivada direcional anterior. Logo, a componente ou projecaode ∇ϕ na direcao de e fornece a taxa de variacao de ϕ na direcao e.


Figura 4.6: Interpretacao geometrica de ∇ϕ.

Considerando, respectivamente, os vetores unitarios e = e1, e = e2 e e = e3, recupera-se oconceito de derivada parcial, ou seja,

Dϕ (x) [e1] = ∇ϕ (x) · e1 =∂ϕ

∂x1= (∇ϕ)1 ,

Dϕ (x) [e2] = ∇ϕ (x) · e2 =∂ϕ

∂x2= (∇ϕ)2 ,

Dϕ (x) [e3] = ∇ϕ (x) · e3 =∂ϕ

∂x3= (∇ϕ)3 .

Para u = αei, tem-se

ϕ (x + αei) = ϕ (x) + ∇ϕ (x) · αei + o (αei) .

Logo,

∇ϕ (x) · ei = limα→0

ϕ (x + αei) − ϕ (x)

α=

∂ϕ (x)

∂xi.

Portanto, o gradiente de uma funcao escalar ϕ (x) : R ⊂ E → < e o vetor de componentes

(∇ϕ (x))i =∂ϕ (x)

∂xi, (4.82)

ou seja,

∇ϕ (x) =∂ϕ (x)

∂x1e1 +

∂ϕ (x)

∂x2e2 +

∂ϕ (x)

∂x3e3 =

∂φ(x)

∂xiei. (4.83)

Seguindo a notacao indicial de diferenciacao, tem-se

∇ϕ (x) = ϕ (x),i ei. (4.84)

O vetor gradiente possui uma interpretacao geometrica simples. Para toda superfıcie de nıvelϕ = c, com c uma constante, tem-se Dϕ (x) = 0 para qualquer vetor u tangente a superfıcie.Assim, ∇ϕ (x) · u = 0 e ∇ϕ e normal a superfıcie de ϕ = c, como ilustrado na Figura 4.6.


Exemplo 4.39 Dado o campo escalar ϕ = xy + z, encontrar o vetor unitario n normal asuperfıcie constante ϕ passando por (2, 1, 0).

O gradiente de ϕ e dado por

∇ϕ =∂ϕ

∂xe1 +

∂ϕ

∂ye2 +

∂ϕ

∂ze3 = ye1 + xe2 + e3.

Para o ponto (2, 1, 0), tem-se ∇ϕ = e1 + 2e2 + e3. Logo,

n =1√6

(e1 + 2e2 + e3) .

2

O campo vetorial gradiente, ou seja, a funcao que a cada ponto x associa o vetor ∇ϕ (x)tem ainda um importante significado geometrico: este vetor mostra em cada ponto a direcao demaior crescimento de ϕ (x).

4.23.2 Gradiente de uma funcao vetorial

O gradiente de uma funcao vetorial e definido de maneira similar ao gradiente de uma funcaoescalar. Se v e um campo vetorial (ou pontual) suave em R, entao para cada x ∈ R, Dv (x) euma transformacao linear de V em V, sendo portanto um tensor. Dessa forma, existe um tensor∇v (x) tal que

Dv (x) [u] = ∇v (x)u (4.85)

e o tensor ∇v (x) e o gradiente de v em x.No caso de uma funcao vetorial, a expansao (4.69) assume a forma

v (x + u) = v (x) + ∇v (x)u + o (u) . (4.86)

Assim, de forma analoga ao campo escalar ϕ, o gradiente de v quando opera sobre u fornecea diferenca dos valores de v em x + u e x, na vizinhanca de u, ou seja,

v (x + u) − v (x) = ∇v (x)u + o (u) .

Novamente, tomando o vetor unitario e = αu na direcao de u e o limite para α → 0 vemque

∇v (x) e = limα→0

v (x + αe) − v (x)

α= Dv (x) [e] .

Desta maneira, o tensor ∇v transforma um vetor unitario e em outro vetor Dv (x) [e] de-screvendo a taxa de mudanca de v na direcao e. Logo, para e = ei, tem-se que

Dv (x) [ei] = (∇v) ei = limα→0

v (x + αe) − v (x)

α=

∂v

∂xiej.

Em outras palavras, ∇v (x) e o tensor com componentes

(∇v)ij = ei· (∇v) ej = ei·∂v

∂xj=

∂

∂xj(ei·v) =

∂vi

∂xj, (4.87)

ou seja,

[∇v] =

∂v1∂x1

∂v1∂x2

∂v1∂x3

∂v2∂x1

∂v2∂x2

∂v2∂x3

∂v3∂x1

∂v3∂x2

∂v3∂x3

. (4.88)

Em notacao indicial

∇v = vi,j. (4.89)


4.23.3 Divergente de uma funcao vetorial

Dado um campo vetorial suave v sobre R, o divergente de v e o campo escalar dado por

div v = tr (∇v) . (4.90)

Com uma base cartesiana tem-se a partir de (4.88) que

div v =∂v1

∂x1+

∂v2

∂x2+

∂v3

∂x3=∑

i

∂vi

∂xi. (4.91)

ou, em notacao indicial

div v = vi,i. (4.92)

4.23.4 Divergente de uma funcao tensorial

No caso de um campo tensorial suave S, o divergente de S e o unico campo vetorial com aseguinte propriedade

(div S) · a = div(

STa)

(4.93)

para qualquer vetor a. Desenvolvendo o lado direito da igualdade (4.93), tem-se

div(

STa)

= div

S11a1 + S21a2 + S31a3

S12a1 + S22a2 + S32a3

S13a1 + S23a2 + S33a3

.

Aplicando a definicao de divergente de uma funcao vetorial vem que

div(

STa)

=∂

∂x1(S11a1 + S21a2 + S31a3) +

∂

∂x2(S12a1 + S22a2 + S32a3)

+∂

∂x3(S13a1 + S23a2 + S33a3) =

(∂S11

∂x1+

∂S12

∂x2+

∂S13

∂x3

)

a1

+

(∂S21

∂x1+

∂S22

∂x2+

∂S23

∂x3

)

a2 +

(∂S31

∂x1+

∂S32

∂x2+

∂S33

∂x3

)

a3

= (div S) · a.

Assim, em termos de componentes o divergente do tensor S e dado por

div S =

∂S11∂x1

+ ∂S12∂x2

+ ∂S13∂x3

∂S21∂x1

+ ∂S22∂x2

+ ∂S23∂x3

∂S31∂x1

+ ∂S32∂x2

+ ∂S33∂x3

. (4.94)

Em notacao indicial,

div S = Sij,j. (4.95)

Teorema 4.3 Sejam φ, v,w e S campos suaves, respectivamente, com valores escalares (φ),vetoriais (v,w) e tensoriais (S). Logo, as seguintes relacoes sao validas

∇(φv) = φ∇v + v ⊗∇φ,

div(φv) = φdivv + v · ∇φ,

∇(v ·w) = (∇w)Tv + (∇v)T w,

div(v ⊗ w) = vdivw + (∇v)w,

div(STv) = S · ∇v + v · divS,

div(φS) = φdivS + S∇φ.


4.23.5 Rotacional

O rotacional de v, denotado por curlv, e o unico campo vetorial com a propriedade(

∇v−∇vT)

a = (rot v) × a (4.96)

para todo vetor a. Logo, rot v e o vetor axial correspondente ao tensor anti-simetrico ∇v−∇vT .Assim, considerando ∇v dado em (4.88), tem-se que

[

∇v −∇vT]

=

0 −(

∂v2∂x1

− ∂v1∂x2

)∂v1∂x3

− ∂v3∂x1

∂v2∂x1

− ∂v1∂x2

0 −(

∂v3∂x2

− ∂v2∂x3

)

−(

∂v1∂x3

− ∂v3∂x1

)∂v3∂x2

− ∂v2∂x3

0

.

Se W for a parte antissimetrica de ∇v, obtem-se de (4.28)

[W] =1

2

[

∇v−∇vT]

. (4.97)

Dessa forma,

2Wa = (curl v) × a. (4.98)

4.24 Teorema da Divergencia

De maneira simplificada, uma regiao regular e uma regiao fechada R com contorno ∂R suavepor partes (ou seja, e possıvel integrar uma funcao sobre ∂R). E importante notar que R podeser limitada, sendo neste caso vol(R) o volume de R, ou nao-limitada.

Seja R uma regiao regular limitada e seja ϕ : R → <, v :R → V e S :R → Lin campossuaves. Entao,

∫

∂Rϕn dA =

∫

R∇ϕ dV,

∫

∂Rv · n dA =

∫

Rdiv v dV,

∫

∂RSn dA =

∫

Rdiv S dV,

com n o campo vetorial normal unitario saindo de ∂R.

4.25 Tensores de Alta Ordem

Como sera visto posteriormente os estados de deformacao e tensao em um ponto de um meiocontınuo sao descritos por tensores de segunda ordem. As medidas de deformacao e tensaoestao relacionadas atraves das equacoes constitutivas dos materiais, as quais sao representadaspor tensores de quarta ordem. Assim, torna-se necessario estender o conceito de tensores alemda segunda ordem.

De forma analoga a um tensor de segunda ordem, um tensor de terceira ordem A e umatransformacao linear que ao operar sobre um vetor resulta em um tensor de segunda ordem, ouseja,

A : V → Linu → Au = T

. (4.99)


Assim como o produto tensorial de dois vetores resulta em um tensor de segunda ordem, oproduto tensorial de tres vetores resulta em um tensor de terceira ordem. De forma analoga a(4.29), dados os vetores a, b, c e v, tem-se

(a ⊗ b⊗ c)v = (c · v) (a ⊗ b) . (4.100)

Dada uma base ortonormal ei (i = 1, 2, 3), os 27 tensores de terceira ordem obtidos pelosprodutos tensoriais ei ⊗ ej ⊗ ek constituem uma base de tal forma que os tensores de terceiraordem podem ser escritos pela seguinte combinacao linear

A =3∑

i,j,k=1

Aijkei ⊗ ej ⊗ ek. (4.101)

As componentes do tensor podem ser obtidas por um procedimento similar ao indicado noExemplo 4.15 como

Aijk = (ei ⊗ ej) · (Aek). (4.102)

Uma outra forma de definir um tensor de terceira ordem e atraves do produto interno dotensor de terceira ordem e do tensor de segunda ordem que resulta do produto tensorial de doisvetores. Essa operacao deve resultar em um vetor, ou seja,

A · (u⊗ v) = (Av)u. (4.103)

Para um tensor de segunda ordem T e vetores u e v, as seguintes propriedades sao validas

(T ⊗ v)u = (u · v)T, (4.104)

(v ⊗ T)u = v ⊗ (Tu). (4.105)

Exemplo 4.40 O sımbolo de permutacao definido no Capıtulo 1 constitui-se em um tensor deterceira ordem denominado tensor de permutacao E. O mesmo quando aplicado a um vetor axialw resulta no tensor anti-simetrico de segunda ordem associado W de tal forma que

Ew = −Ww. (4.106)

As componentes de E sao obtidas a partir de (4.102) como

Eijk = (ei ⊗ ej) · (Eek)

= −(ei ⊗ ej) ·Wek

= −ei · (Wekej)

= −ei · (ek × ej)

= ei · (ej × ek).

Logo, observa-se que o produto triplo anterior e nulo se quaisquer dos ındices e repetido, 1 se apermutacao e anti-horaria e -1 se a permutacao e horaria, como visto no Capıtulo 1.

Assim, o tensor E pode ser expresso atraves da seguinte combinacao linear

E = e1 ⊗ e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e3 ⊗ e1

−e3 ⊗ e2 ⊗ e1 − e1 ⊗ e3 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 ⊗ e3. (4.107)

2


A aplicacao recursiva de (4.99) permite definir tensores de qualquer ordem. Por exemplo,um tensor de quarta ordem C e uma transformacao linear que quando aplicada a um vetor uresulta em um tensor de terceira ordem A tal que

Cu = A. (4.108)

De forma analoga a (4.100), o produto tensorial de quatro vetores resulta em um tensor dequarta ordem e

(a ⊗ b ⊗ c ⊗ d)v = (d · v) (a ⊗ b⊗ c) . (4.109)

Para A um tensor de terceira ordem, S e T tensores de segunda ordem e u e v vetores, asseguintes relacoes sao validas

(A⊗ u)v = (u · v)A, (4.110)

(u ⊗A)v = (u ⊗ (Av), (4.111)

(T ⊗ S)v = T ⊗ (Sv). (4.112)

O tensor C de quarta ordem pode ser tambem definido atraves do produto interno com umtensor de segunda ordem obtido pelo produto tensorial de vetores u e v como

C · (u⊗ v) = (Cv)u. (4.113)



1. Seja T uma transformacao que opera sobre um vetor a e fornece a seguinte relacao Ta =a/‖a‖, sendo ‖a‖ a magnitude de a. Mostre que T nao e uma transformacao linear.

2. Seja T um tensor que transforma todo vetor a em Ta = m × a, sendo m um vetorespecıfico. Prove que T e uma transformacao linear.

3. Um tensor T transforma a base dos vetores e1 e e2 em

Te1 = e1 + e2

Te2 = e1 − e2.

Se a = 2e1 + 3e2 e b = 3e1 + 2e2, use a propriedade linear de T para encontrar

(a) Ta;

(b) Tb;

(c) T(a + b);

4. O tensor T na base ei e definido como

T =

1 5 −55 0 0−5 0 1

Encontre T ′11, T ′

12 e T ′13 na base e′1, sendo que e′1 esta na direcao de e2 + 2e3 e e′2 esta na

direcao de e1.


5. Dado um tensor T representado por

T =

1 2 34 5 67 8 9

.

(a) Encontre a parte simetrica e anti-simetrica de T;

(b) Encontre o vetor axial da parte anti-simetrica de T.

6. Demonstrar a relacao (4.102).

7. Demonstrar as relacoes (4.104) e (4.105).


Capıtulo 5

DEFORMACAO

5.1 Introducao

De maneira geral, as forcas aplicadas sobre um corpo provocam deformacao num solido e fluxono caso de um fluido, sendo a determinacao dos mesmos um dos principais objetivos na analisede problemas de mecanica. Neste capıtulo, pretende-se apresentar o conceito de deformacao paracorpos solidos, sem se preocupar com a natureza das forcas envolvidas, as quais serao abordadasposteriormente.

Nas Figuras 5.1a) e b), ilustram-se, respectivamente, o estiramento de uma barra e a flexao deuma viga. Nestes dois casos, observam-se apenas variacoes nas dimensoes dos corpos envolvidos,caracterizando um alongamento ou deformacao normal. Ja nas Figuras 5.1c) e d), tem-se,respectivamente, um torque aplicado a um eixo e a forma como os elementos longitudinais doeixo se comportam. Observa-se, neste caso, uma deformacao de cisalhamento ou distorcao, dadapor uma variacao angular representada por α.

Figura 5.1: Deformacoes numa a) barra; b) viga; c) e d) eixo.

No caso de um corpo solido, verifica-se a presenca de deformacoes normal e de cisalhamento.Como sera discutido ao longo deste capıtulo, a deformacao, no caso geral, sera descrita porum tensor. A partir da definicao da cinematica, descrita por um campo de deslocamentos ouvelocidades, obtem-se as suas componentes de deformacao derivando a cinematica dada.

133


Assim, o principal objetivo deste capıtulo e apresentar um conceito de deformacao suficien-temente geral, podendo ser aplicado a varios problemas de mecanica. Para isso, inicialmente,caracterizam-se os conceitos de corpo, deformacao, campo de deslocamentos e gradientes envolvi-dos. A partir daı, consideram-se as descricoes material e espacial de problemas de mecanica,deduzindo medidas de deformacao dadas, respectivamente, pelos tensores de Green e Almansi.

Assumindo que a ordem de grandeza dos deslocamentos e de seus gradientes e pequena,chega-se ao conceito de deformacao infinitesimal, a qual e caracterizada por um tensor simetrico,alem de definir uma rotacao rıgida local. Finalmente, discutem-se as deformacoes principais,dilatacao e taxa de deformacao.

5.2 Caracterizacao da Deformacao

Todo corpo tem como caracterıstica fısica o fato de ocupar regioes do espaco euclidiano E .Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regioes em tempos distintos. Embora ne-nhuma destas regioes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,denominada configuracao de referencia B, identificando pontos do corpo com as suas posicoesem B. Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regiao regular de E , sendo os pontos X ∈ Bdenominados pontos materiais. Qualquer subregiao regular limitada de B e chamada parte.Estes conceitos estao ilustrados na Figura 5.2.

Figura 5.2: Configuracao de referencia B e seu contorno ∂B.

Como um corpo pode ocupar diferentes regioes ao longo de um movimento, torna-se necessarioa introducao de um parametro t ∈ [t0, tf ], designando uma certa configuracao Bt do corpo.Observa-se que em varios problemas t nao representa necessariamente o tempo.

A partir daı, um corpo e deformado atraves de uma aplicacao ft mapeando uma configuracaoB numa outra Bt,

ft : B → Bt

X → x = ft(X)(5.1)

ou seja, levam-se pontos materiais X ∈ B em pontos espaciais x ∈ Bt.

No entanto, a aplicacao ft deve satisfazer algumas condicoes para caracterizar uma de-formacao, tais como:

• nao deve haver interpenetracao de material, implicando que ft e biunıvoca;


• deve-se evitar que um corpo de volume nao-nulo passe a ter um volume nulo apos adeformacao. Verifica-se que det∇ft representa localmente o volume apos a deformacaopor unidade original de volume. Logo, tem-se que det∇ft > 0.

Assim, entende-se como uma deformacao de um corpo, ao passar da configuracao B para Bt,como a aplicacao biunıvoca (5.1), satisfazendo,

det∇ft > 0 ∀x ∈ Bft (B) = Bt

ft (∂B) = ∂Bt

(5.2)

Descreve-se a deformacao a partir de um campo vetorial ut, definido a partir das posicoesque uma partıcula ocupa antes e depois da deformacao, sendo valido para todos pontos do corpoB. Tomando-se a Figura 5.3, observa-se que,

ut = ut (X) = ft (X) − X = x −X

ou ainda,

ft(X) = X + ut(X) (5.3)

O campo ut e denominado campo de deslocamentos relativo a configuracao B, devendo sa-tisfazer certas restricoes para garantir que as condicoes (5.2) sejam validas. Define-se, entao, otensor Ft(X) = ∇ft(X) como gradiente da deformacao. Logo, a partir de (5.3) tem-se que,

Ft(X) = ∇ft(X) = ∇X+∇ut(X) = I+∇ut(X) (5.4)

sendo I o tensor identidade.

Figura 5.3: Campos vetoriais ut(X) e ut(x) caracterizando, respectivamente, a deformacao ft(X)e sua inversa f−1

t (X).

Por sua vez, o tensor ∇ut(X) e o gradiente de deslocamentos, sendo dado em componentescartesianas como,

[∇ut] =

∂u1∂X1

∂u1∂X2

∂u1∂X3

∂u2∂X1

∂u2∂X2

∂u2∂X3

∂u3∂X1

∂u3∂X2

∂u3∂X3

(5.5)


Uma deformacao e homogenea se o seu gradiente e constante. Demonstra-se que toda de-formacao homogenea f , com F = ∇f , admite a seguinte representacao,

f(X) = f(Y) + F(X −Y) ∀X,Y ∈ B (5.6)

Como exemplos de deformacao homogenea tem-se a translacao, alem de uma rotacao e umestiramento em relacao a um ponto fixo. No primeiro caso, f(X) e uma translacao se,

f(X) = X + u

onde u e um vetor constante, indicando uma translacao, e ∇f = I.Por sua vez, f(X) e uma rotacao em torno de um ponto fixo Y se

f(X) = Y + R(X −Y)

sendo R um tensor de rotacao constante e portanto antissimetrico. Da mesma maneira,

f(X) = Y + U(X − Y)

constitui um estiramento a partir de Y, sendo U um tensor simetrico e positivo-definido.Supondo agora uma deformacao ft(X) geral, nao necessariamente homogenea, e efetuando

uma expansao de ft numa vizinhanca proxima de um ponto Y ∈ B arbitrario vem que,

ft(X) = f t(Y) + Ft(Y)(X − Y)+o(X− Y) (5.7)

Assim, em torno de uma vizinhanca de Y, com erro da ordem o(X −Y), uma deformacaogeral comporta-se como uma deformacao homogenea.

5.3 Descricoes Material e Espacial

Considere a barra ilustrada na Figura 5.4 deformada de um comprimento inicial L0 para umcomprimento final L. Como medida deste alongamento ou deformacao empregam-se as seguintesexpressoes,

ε = L−L0L0

ε′ = L−L0L (5.8)

Estas relacoes adimensionais eliminam a influencia dos comprimentos absolutos L0 e L namedida de deformacao. Observa-se que numericamente as expressoes anteriores sao diferentes,pois para L = 2 e L0 = 1, tem-se ε = 1 e ε′ = 1

2 . No entanto, para L = 1.01 e L0 = 1.00, vemque ε = ε′ = 0.01. Assim, para alongamentos infinitesimais, as medidas em (5.8) sao iguais. Noentanto, para alongamentos finitos, as expressoes resultam em valores diferentes.

A partir de (5.8), verifica-se que a deformacao ε e medida em relacao ao comprimento inicialL0 da barra, enquanto que ε′ e calculada tomando-se o comprimento final L apos o alongamento.As grandezas ε e ε′ sao, respectivamente, as descricoes material e espacial do alongamento dabarra. De forma geral, estas descricoes sao utilizadas no estudo da deformacao e do movimentoem problemas de mecanica.

Basicamente, na descricao material, observa-se o comportamento dos pontos materiais X ∈ Bao longo do tempo. Tomando-se um ponto X ∈ B e a expressao (5.1) vem que,

x = ft(X) = f t(X,t) = x(X,t) (5.9)


Figura 5.4: Barra alongada de um comprimento L0 para L.

Logo, a expressao anterior descreve a trajetoria da partıcula X ao longo do tempo t, ou seja,o conjunto de posicoes x ∈ Bt ocupadas por X, com x(X, to) = X onde to indica o tempo inicial.Considerando todo o corpo B, tem-se que

Bt = x(B, t) (5.10)

representa o movimento do corpo B, isto e, o conjunto de regioes Bt do espaco euclidiano Eocupado por B ao longo do tempo.

Tomando-se X e x em termos de componentes, ou seja, X = X1e1 + X2e2 + X3e3 e x =x1e1 + x2e2 + x3e3, expressa-se (5.9) como,

x1 = x1(X1,X2,X3, t)x2 = x2(X1,X2,X3, t)x3 = x3(X1,X2,X3, t)

→ xi = xi(X1,X2,X3, t) (5.11)

Quando um corpo esta em movimento, grandezas associadas ao mesmo, tais como tem-peratura e velocidade, variam com o tempo. Estas variacoes podem ser descritas de formasmaterial e espacial. Dada uma certa grandeza Φ, observam-se as seguintes caracterısticas destasdescricoes:

• material: neste caso, Φ e expresso em funcao das partıculas ou pontos materiais X ∈ B,dados pelas coordenadas materiais X1, X2 e X3. Logo,

Φ = Φ(X1,X2,X3, t)

Esta descricao tambem e conhecida como Lagrangeana ou de referencia.

• espacial: a grandeza Φ e dada em funcao de uma posicao espacial fixa e do tempo, ouseja,

Φ = Φ(x1, x2, x3, t)

Assim, observa-se como Φ varia numa posicao fixa, definida por coordenadas espaciais(x1, x2, x3). As posicoes espaciais sao ocupadas por diferentes partıculas ao longo dotempo. Esta descricao e tambem conhecida como Euleriana.

No caso da deformacao de corpos, a expressao (5.1) e a descricao material, sendo o campo dedeslocamento associado dado por (5.3). Como ft(X) e biunıvoca, existe a funcao inversa f−1

t (x),

f−1t : Bt → B

x → X = f−1t (x)

(5.12)


Neste caso, o campo vetorial ut(x) associado e descrito como,

X = x − ut(x) ⇒ f−1t = x − ut(x) (5.13)

Verifica-se que as descricoes material e espacial estao relacionadas pelo movimento. Logo, seo movimento e conhecido, uma descricao pode ser obtida a partir da outra.

Exemplo 5.1 Seja o movimento de um corpo

x1 = X1 + ktX2 x2 = X2 x3 = X3 (5.14)

e o campo de temperatura dado pela descricao espacial

θ = x1 + x2 (5.15)

1. Encontrar a descricao material da temperatura.

2. Expressar a taxa de troca de temperatura nas descricoes material e espacial.

Solucao:

1. Substituindo (5.14) em (5.15), obtem-se,

θ = x1 + x2 = X1 + (kt + 1)X2

2. Para uma certa partıcula material Xi, a taxa de troca de temperatura e dada por,

∂θ

∂t

∣∣∣∣Xi fixo

= kX2 = kx2

Nota-se que embora a descricao espacial da temperatura e independente do tempo, cadapartıcula experimenta variacao em temperatura, pois a partıcula flui de uma posicao espacialpara outra.

5.4 Descricao Material da Deformacao

Como mencionado anteriormente, a expressao (5.1) consiste na descricao material da deformacao.Deseja-se agora determinar uma medida da deformacao. Para isso, considere a Figura 5.5 ondeum elemento dX da configuracao de referencia B, na vizinhanca de X, e deformado para oelemento dx em Bt. Substituindo X = X + dX e Y = X em (5.7) e desprezando o termo deordem o (·), vem que,

ft (X + dX)−ft (X) = Ft (X) (X + dX− X) ⇒ x+dx−x = Ft (X) dX ⇒dx = FtdX(5.16)

Logo, o comprimento da fibra dx e dada por,

dx · dx = FtdX ·FtdX = FTt FtdX · dX (5.17)

Desta maneira, uma medida da deformacao da fibra dX ao ser deformada para dx e calculadacomo,

dx · dx − dX · dX = FTt FtdX · dX− dX · dX =

(

FTt Ft − I

)

dX · dX = 2E∗dX · dX (5.18)


Figura 5.5: Descricoes material (ut(X)) e espacial (ut(x)) da deformacao.

onde E∗ e denominado tensor de deformacao de Green e dado por,

E∗ =1

2

(

FTt Ft − I

)

(5.19)

Substituindo (5.4) em (5.19), verifica-se que,

E∗ =1

2

[

(I + ∇ut)T (I + ∇ut) − I

]

=1

2

(

∇ut + ∇uTt + ∇uT

t ∇ut

)

(5.20)

Assim, as componentes de E∗, com respeito a um sistema cartesiano, sao dadas por,

E∗ij =

1

2

(

∂ui

∂Xj+

∂uj

∂Xi+

∂uk

∂Xi

∂uk

∂Xj

)

(5.21)

5.5 Descricao Espacial da Deformacao

De forma analoga a secao anterior, pode-se deduzir uma medida de deformacao considerandouma descricao espacial. Para isso, seja F−1

t (x) = lim gradf−1t (x) o gradiente da deformacao

inversa f−1t , mapeando pontos espaciais x ∈ Bt em pontos X ∈ B. Logo, a partir de (5.13)

verifica-se que,

F−1t (x) = lim gradf−1

t (x) = lim gradx− lim gradut(x) = I − lim gradut(x) (5.22)

sendo lim grad a notacao para o gradiente em relacao a variavel espacial x.

Alem disso, tem-se por analogia com (5.7),

f−1t (x) = f−1

t (y) + F−1t (y)(x − y) + o(x− y) (5.23)

Observando a Figura 5.5, substituindo x = x + dx e y = x na expressao anterior e despre-zando o(x − y) vem que,

f−1t (x + dx)−f−1

t (x) = F−1t (x) (x + dx − x) ⇒ X+dX−X = F−1

t (x) dx ⇒dX = F−1t dx(5.24)

Assim, a medida de deformacao e dada por,

dx.dx − dX.dX = dx.dx −F−Tt F−1

t dx·dx = (I − F−Tt F−1

t )dx·dx = 2Edx · dx (5.25)


onde E e o tensor de deformacao de Almansi , ou seja,

E =1

2

(

I − F−Tt F−1

t

)

(5.26)

Substituindo (5.22) em (5.26), tem-se que,

E =1

2(lim gradut + lim graduT

t − lim graduTt lim gradut) (5.27)

ou em termos de componentes cartesianas,

Eij =1

2

(

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi− ∂uk

∂xi

∂uk

∂xj

)

(5.28)

Exemplo 5.2 Dadas as componentes de deslocamento

u1 = kX22 u2 = u3 = 0

Pede-se:

1. Esbocar a forma deformada de um quadrado unitario OABC, onde o ponto O esta naorigem e com os lados OA e OC alinhados com os eixos x e y, respectivamente.

2. Determinar os vetores deformados (i.e., dx1 e dx2) dos elementos materiais dX1 = dX1e1

e dX2 = dX2e2 localizados no ponto C.

3. Determinar a razao entre os comprimentos deformados e nao-deformados dos elementosdiferenciais (chamado alongamento) e a variacao do angulo entre os elementos do itemanterior.

Solucao:

Figura 5.6: Quadrado unitario OABC deformado para OAB’C’.

1. Seguindo o esquema da Figura 5.6, para a linha material OA, X2 = 0 e portanto u1 =u2 = u3 = 0. Logo, a linha OA nao sofre deslocamento. Para a linha material CB,X2 = 1, u1 = k e portanto a linha e deslocada de k unidades para a direita. Para as linhasmateriais OC e AB, u1 = kX2

2 e as linhas assumem uma forma parabolica. A forma finale dada entao por OAB′C ′ na Figura 5.6.


2. Para o ponto material C, a matriz gradiente do deslocamento e

[∇ut] =

0 2kX2 00 0 00 0 0

=

0 2k 00 0 00 0 0

X2=1

Portanto,

dx1 = FtdX1 = (I + ∇ut)dX1

[dx1] =

1 2k 00 1 00 0 1

dX1

00

=

dX1

00

⇒ dx1 = dX1e1

e,

dx2 = FtdX2 = (I + ∇ut)dX2

[dx2] =

1 2k 00 1 00 0 1

0dX2

0

=

2k dX2

dX2

0

⇒ dx2 = 2k dX2e1 + dX2e2

3. A partir dos resultados do item anterior, tem-se,

|dx1||dX1| = 1 |dx2|

|dX2| =√

(1 + 4k2) cos θ = dx1|dx1| ·

dx2|dx2| = 2k√

(1+4k2)

Se γ denota o decrescimo no angulo, inicialmente reto, entre dX1 e dX2, entao,

cos θ = cos

(π

2− γ

)

= sin γ =2k

√

(1 + 4k2)⇒ γ = sin−1 2k

√

(1 + 4k2)

2

5.6 Deformacao Infinitesimal

Em varios problemas praticos, a deformacao de um corpo e tal que as componentes ∂ui∂xj

e∂uj

∂xi

do gradiente de deslocamento sao bem menores que 1, por exemplo da ordem 10−4. Assim,supondo que os deslocamentos e seus gradientes sao suficientemente pequenos, ou seja,

‖ut‖ , ‖∇ut‖ , ‖lim gradut‖ < ξ (5.29)

onde ξ > 0 e um valor pequeno, pode-se desprezar os termos de maior ordem ∇uTt ∇ut e

lim graduTt lim gradut nos tensores de Green e Almansi frente aos termos ∇ut e lim gradut,

respectivamente.

Assim, igualando os termos do lado direito das expressoes (5.18) e (5.25) e empregando (5.16)vem que,

E∗dX·dX = Edx·dx = E(FtdX) · (FtdX) = FTt EFtdX·dX → E∗ = FT

t EFt (5.30)


Logo, substituindo (5.4) na equacao anterior, obtem-se

E∗ = FTt EFt = (I + ∇ut)

T E(I + ∇ut) = E + ∇uTt E + E∇ut + ∇uT

t E∇ut = E + o(E)

Desta maneira, sob a hipotese (5.29), os tensores de Green e de Almansi diferem por termosde ordem superior. Desprezando estes termos, conclui-se que ∇ = lim grad, ou seja, os gradientesmaterial e espacial coincidem. Portanto,

E∗ = E =1

2(∇ut + ∇uT

t ) = E = (∇ut)s (5.31)

sendo E o tensor de deformacao infinitesimal. Observa-se ainda que E e igual a parte simetricade ∇ut, ou seja, E = (∇ut)

s. Neste caso, a equacao (5.18) pode ser reescrita como,

dx.dx − dX.dX = 2EdX.dX = 2dX.EdX (5.32)

As componentes de E com respeito a um sistema cartesiano sao dadas por,

Eij =1

2

(

∂ui

∂Xj+

∂uj

∂Xi

)

(5.33)

ou ainda matricialmente,

[E] =

∂u1∂X1

12

(∂u1∂X2

+ ∂u2∂X1

)12

(∂u1∂X3

+ ∂u3∂X1

)

12

(∂u1∂X2

+ ∂u2∂X1

)∂u2∂X2

12

(∂u2∂X3

+ ∂u3∂X2

)

12

(∂u1∂X3

+ ∂u3∂X1

)12

(∂u2∂X3

+ ∂u3∂X2

)∂u3∂X3

(5.34)

A partir de (5.31), observa-se que a deformacao infinitesimal sera rıgida se a medida dedeformacao dada pelo tensor E for nula. Como consequencia, tem-se ∇ut = −∇uT

t , ou seja,o gradiente do campo de deslocamentos correspondente a uma deformacao rıgida e um tensorantissimetrico. Denomina-se Ω =1

2(∇ut −∇uTt ) como tensor de rotacao infinitesimal.

A partir daı, e possıvel introduzir a seguinte definicao: um campo de deslocamento infinite-simal e rıgido se o seu gradiente, denotado por um tensor W = ∇ute constante e antissimetrico.Logo, a partir de (5.6),

ut(X) = ut(Y) + W(X − Y) ∀X,Y ∈ B

Tomando o vetor axial ω associado a W vem que,

ut(X) = ut(Y) + ω × (X− Y) ∀X,Y ∈ BConsiderando um campo de deslocamentos ut satisfazendo (5.29), tem-se a partir de (5.7),

ut(X) = ut(Y) + ∇ut(X − Y) + o(X − Y) ∀X,Y ∈ B (5.35)

Decompondo o gradiente do campo de deslocamentos na suas partes simetrica E = 12(∇ut +

∇uTt ) e antissimetrica W = 1

2(∇ut −∇uTt ), a expressao anterior pode ser reescrita como,

ut(X) = ut(Y) + E(X− Y) + W(X − Y) + o(X − Y) ∀X,Y ∈ B (5.36)

Logo, na vizinhanca de Y com erro o(X − Y), um campo de deslocamentos infinitesimalconstante de uma parte correspondente a deformacao e a rotacao rıgida local em cada ponto docorpo.


5.7 Interpretacao das Componentes de Deformacao

As componentes do tensor de deformacao infinitesimal (5.34) possuem uma interpretacao geometricasimples. Tomando, inicialmente, os termos da diagonal de E, seja dX = (dS)n um elementomaterial, na direcao especificada pelo vetor unitario n, de tamanhos original dS e deformadods. A partir de (5.32), tem-se que,

(ds)2 − (dS)2 = 2 (dS)2 n.En (5.37)

Para pequenas deformacoes, verifica-se que,

(ds)2 − (dS)2 = (ds − dS)(ds + dS) ≈ 2dS(ds − dS)

e susbtituindo em (5.37) tem-se

ds − dS

dS= n.En (5.38)

Assim, a variacao no comprimento (ds − dS) por unidade de comprimento inicial dS, co-nhecida como alongamento unitario ou deformacao normal, de um elemento material dX edeterminada a partir do tensor de deformacao E. Para n = e1,n = e2 e n = e3, a equacao(5.38) fornece,

E11 = e1.Ee1 =∂u1

∂X1= εxx

E22 = e2.Ee2 =∂u2

∂X2= εyy

E33 = e3.Ee3 =∂u3

∂X3= εzz

ou seja, tem-se, respectivamente, os alongamentos ou extensoes unitarios nas direcoes X1, X2,X3 ou x, y, z. A Figura 5.7 ilustra o alongamento εxx para um elemento infinitesimal dX,considerando ∂u1

∂X1> 0 e ∂u1

∂X1< 0, assim como u2 = u3 = 0.

Figura 5.7: Interpretacao da componente de deformacao εxx: a) ∂u1∂X1

> 0, b) ∂u1∂X1

< 0.

Para interpretar os termos fora da diagonal principal do tensor E, considere os elementosmateriais dX1 = (dS1)m e dX2 = (dS2)n, onde os vetores unitarios m e n sao perpendicularesentre si, implicando que dX1 · dX2 = 0. Logo, a partir de (5.32) vem que,

(ds1) (ds2) cos θ = 2 (dS1) (dS2)m.En (5.39)


onde θ e o angulo entre os elementos deformados dx1 e dx2.Tomando θ = π/2 − γ, entao γ e a medida do decrescimento do angulo entre dx1 e dx2,

conhecido como deformacao de cisalhamento. Como cos (π/2 − γ) = senγ e para pequenasdeformacoes senγ ≈ γ, ds1

dS1≈ 1, ds2

dS2≈ 1, tem-se a partir de (5.39),

γ = 2m · En (5.40)

Considerando m = e1 e n = e2, vem que,

γ = 2e1 · Ee2 = 2E12 =∂u1

∂X2+

∂u2

∂X1= γxy

Assim, 2E12 representa o decrescimento do angulo entre os elementos materiais dX1 e dX2

nas direcoes X1 e X2. Analogamente, para as componentes E13 = γxz e E23 = γyz. A Figura 5.8ilustra a deformacao γxy, observando que as derivadas ∂u1

∂X2e ∂u2

∂X1indicam, respectivamente, as

inclinacoes nas direcoes vertical e horizontal. As componentes γxy, γxz e γyz sao denominadasdeformacoes de cisalhamento ou distorcoes, indicando uma deformacao angular.

Figura 5.8: Interpretacao da deformacao de cisalhamento γxy.

Exemplo 5.3 Dadas as componentes de deslocamento

u1 = kX22 u2 = u3 = 0 k = 10−4

1. Obter o tensor E de deformacao infinitesimal.

2. Usando o tensor de deformacao E, determinar o alongamento unitario para os elementosmateriais dX1 = dX1e1 e dX2 = dX2e2 no ponto C (0, 1, 0) da Figura 5.6. Determinartambem a variacao no angulo entre estes dois elementos.

3. Comparar os resultados com aqueles do Exemplo 5.2.

Solucao:

1. A partir da cinematica dada, o gradiente do campo de deslocamentos e dado por,

[∇ut] =

0 2kX2 00 0 00 0 0


Logo,

[E] =1

2

[

∇ut + ∇uTt

]

= [∇ut]S =

0 kX2 0kX2 0 00 0 0

2. No ponto C, X2 = 1, entao,

[E] =

0 k 0k 0 00 0 0

Para os elementos dX1 = dX1e1 e dX2 = dX2e2, , os alongamentos unitarios sao E11 = 0e E22 = 0. O decrescimo no angulo e dado por 2E12, isto e, 2k = 2 × 10−4.

3. Dos resultados do Exemplo 5.2, tem-se,

|dx1|−|dX1||dX1| = 0 |dx2|−|dX2|

|dX2| =√

(1 + 4k2) − 1 senγ = 2k√(1+4k2)

Como k = 10−4, tem-se,√

(1 + 4k2) − 1 ' 1 + 2k2 − 1 = 2k2 = 2 × 10−8

e senγ = 2k = 2 × 10−4 e assim γ = 2 × 10−4. Como 10−8 e desprezıvel se comparado a10−4, ve-se que os resultados do Exemplo 5.2 se reduzem a estes valores para k pequeno.

2

Exemplo 5.4 Dado o campo de deslocamentos

u1 = k(

2X1 + X22

)

u2 = k(

X21 − X2

2

)

u3 = 0

onde k = 10−4.

1. Determinar os alongamentos unitarios e a variacao do angulo para os dois elementosdX1 = dX1e1 e dX2 = dX2e2 que se originam da partıcula material X = e1 − e2.

2. Determinar a posicao deformada para os dois elementos dX1e dX2.

Solucao:

1. Avalia-se [∇ut] em X1 = 1, X2 = −1, X3 = 0 como,

[∇ut] = k

2 −2 02 2 00 0 0

Logo, a matriz de deformacao e a seguinte

[E] = k

2 0 00 2 00 0 0

Como E11 = E22 = 2k, ambos os elementos tem um alongamento unitario de 2 × 10−4.Alem disso, como E12 = 0, estas linhas permanecem perpendiculares entre si.


2. A partir de

dx = FtdX = (I + ∇ut) dX

tem-se,

[dx1] = ([I] + [∇ut]) [dX1] =

1 + 2k −2k 02k 2k + 1 00 0 1

dX1

00

= dX1

1 + 2k2k0

De maneira similar,

[dx2] = dX2

−2k1 + 2k

0

A posicao deformada desses elementos esta representado na Figura 5.9, podendo-se obser-var que,

α ' tan α ' 2kdX1

dX1= 2k

e

β ' tan β ' 2kdX2

dX2= 2k

Portanto, como obtido previamente, nao ha nenhuma variacao no angulo entre dX1 e dX2.

2

Exemplo 5.5 Num cubo unitario, com lados paralelos aos eixos coordenados, e aplicado ocampo de deslocamentos,

u1 = kX1 u2 = u3 = 0 k = 10−4

Deteminar o aumento no comprimento da diagonal AB (ver Figura 5.10),

1. utilizando o tensor de deformacao;

2. geometricamente.

Solucao:

1. O tensor de deformacao e facilmente calculado como sendo,

[E] =

k 0 00 0 00 0 0


Figura 5.9: Deformacao dos elementos dX1 e dX2.

Figura 5.10: Deformacao da diagonal AB.


Como a diagonal AB estava originalmente na direcao n =√

2/2 (e1+e2), seu alongamentounitario e dado por

E(n)(n) = n · En =[ √

2/2√

2/2 0]

k 0 00 0 00 0 0

√2/2√2/20

=

k

2

Mas AB =√

2 e seu alongamento ∆AB e o seguinte,

∆AB =

(k

2

)√2

2. Geometricamente,

AB′ − AB =

1 + (1 + k)21/2

−√

2

ou

∆AB =√

2

[(

1 + k + k2/2)1/2

− 1

]

Utilizando o fato de k ser pequeno, expande-se o primeiro termo como,

(

1 + k +k2

2

)1/2

= 1 +1

2

(

k +k2

2

)

+ · · · ' 1 +k

2

Logo, de acordo com o item 1,

∆AB =

(k

2

)√2

2

5.8 Deformacoes Principais

Como o tensor de deformacao infinitesimal E, dado em (5.30), e simetrico, existem pelo menos 3direcoes mutuamente perpendiculares n1, n2, n3 tal que a matriz de E, relativa a estas direcoes,e diagonal. Logo,

[E]n1,n2,n3=

E1 0 00 E2 00 0 E3

(5.41)

Geometricamente, isto significa que os elementos infinitesimais dXi nas direcoes ni (i =1, 2, 3), denominadas direcoes principais de deformacao, permanecem mutuamente perpendicu-lares apos a deformacao. Por sua vez, os alongamentos unitarios (E1, E2, E3) sao os autovaloresou deformacoes principais de E.

As deformacoes principais sao determinadas a partir da equacao caracterıstica de E, ou seja,

λ3 − I1λ2 + I2λ − I3 = 0

onde os invariantes escalares I1, I2 e I3 sao dadas por,

I1 = E11 + E22 + E33 I2 =

∣∣∣∣

E11 E12

E21 E22

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

E11 E13

E31 E33

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

E22 E23

E32 E33

∣∣∣∣

I3 =

∣∣∣∣∣∣

E11 E12 E13

E21 E22 E23

E31 E32 E33

∣∣∣∣∣∣


5.9 Dilatacao

Considere 3 elementos materiais, segundo as direcoes principais, com comprimentos iniciais dS1,dS2 e dS3. Estes elementos formam um paralelepıpedo cujos lados sao alongados, passando a terdimensoes (1 + E1)dS1, (1 + E2)dS2 e (1 + E3)dS3, respectivamente, como ilustrado na Figura5.11, sendo E1, E2, E3 as deformacoes principais.

Figura 5.11: Alongamentos nas direcoes principais.

A variacao no volume material dV e dada por,

4(dV ) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) − (dS1)(dS2)(dS3)

= (dV )(E1 + E2 + E3 + E1E2 + E1E3 + E2E3 + E1E2E3)

= (dV )(E1 + E2 + E3 + o(Ei))

onde o termo de ordem o(Ei) contem produtos entre as componentes E1, E2, E3. Para pequenasdeformacoes o(Ei) e desprezıvel e portanto,

εv =4(dV )

dV= E1 + E2 + E3 = E11 + E22 + E33 = Eii (5.42)

Desta maneira, o primeiro invariante escalar I1 representa a variacao unitaria do volumematerial εV , sendo denominada dilatacao ou deformacao volumetrica. Observa-se que,

Eii =∂ui

∂xi= lim divu (5.43)

5.10 Taxa de Deformacao

Seja dx um elemento material localizado em x no tempo t. Deseja-se calcular a derivada material(D/Dt)dx, isto e, a taxa de variacao do comprimento e da direcao de dx ao longo do tempo. Apartir da expressao do movimento x = x(X, t) vem que,

dx = x(X + dX, t) − x(X, t) (5.44)

Logo,

D

Dt(dx) = v(X + dX, t) − v(X, t) = ∇vdX (5.45)


Na expressao anterior, tem-se a derivada (D/Dt)dx numa descricao material. Observa-se quev(X, t) e a velocidade do ponto material que ocupa a posicao x no instante t. Empregando-seuma descricao espacial, tem-se que a velocidade e escrita como v = v(x, t). Portanto,

d

dt(dx) = v(x + dx, t) − v(x, t) = lim gradvdx (5.46)

onde lim gradv e o gradiente espacial da velocidade. Em termos de coordenadas cartesianas, ascomponentes de lim gradv sao dadas por,

[lim gradv] =

∂v1∂x1

∂v1∂x2

∂v1∂x3

∂v2∂x1

∂v2∂x2

∂v2∂x3

∂v3∂x1

∂v3∂x2

∂v3∂x3

(5.47)

Tomando-se dois pontos proximos x,y ∈ Bt e realizando uma expansao em torno de y vemque,

v(x, t) = v(y, t) + lim gradv(y, t)(x − y) + o(x − y) ∀x,y ∈ B (5.48)

Supondo que lim gradv seja antissimetrico, denotando W = lim gradv e desprezando o termoo(x − y), a equacao anterior se reduz a,

v(x, t) = v(y, t) + W(x − y) ∀x,y ∈ B (5.49)

A partir do vetor axial ω associado a W vem que,

v(x, t) = v(y, t) + ω × (x − y) ∀x,y ∈ B (5.50)

e, portanto, um gradiente de velocidade antissimetrico representa a velocidade angular ω de umarotacao rıgida local.

Considerando um tensor geral e denotando L = lim gradv, tem-se que L pode ser escritocomo uma soma de tensores simetrico D e antissimetrico W, ou seja, L = D + W, sendo

D = 12(L + LT ) W = 1

2(L − LT ) (5.51)

Observa-se que D e denominado tensor taxa de deformacao e W e o tensor taxa de rotacao.Substituindo L = D + W em (5.48) vem que,

v(x, t) = v(y, t) + W(y, t)(x − y) + D(y, t)(x − y) + o(x − y) ∀x,y ∈ B (5.52)

Assim, na vizinhanca de y e com erro o(x − y), o campo de velocidade e a soma de umcampo de velocidade rıgido, caracterizado por W(y, t)(x − y), e de um campo de forma, dadopor D(y, t)(x − y). Alem disso, o vetor axial ω de W e a velocidade angular daquela parte domovimento representando uma rotacao de corpo rıgido.

Em termos de componentes, D e W sao expressos como,

[D] =

∂v1∂x1

12

(∂v1∂x2

+ ∂v2∂x1

)12

(∂v1∂x3

+ ∂v3∂x1

)

12

(∂v1∂x2

+ ∂v2∂x1

)∂v2∂x2

12

(∂v2∂x3

+ ∂v3∂x2

)

12

(∂v1∂x3

+ ∂v3∂x1

)12

(∂v2∂x3

+ ∂v3∂x2

)∂v3∂x3

(5.53)

[W] =

0 12

(∂v1∂x2

+ ∂v2∂x1

)12

(∂v1∂x3

+ ∂v3∂x1

)

−12

(∂v1∂x2

+ ∂v2∂x1

)

0 12

(∂v2∂x3

+ ∂v3∂x2

)

−12

(∂v1∂x3

+ ∂v3∂x1

)

−12

(∂v2∂x3

+ ∂v3∂x2

)

0

(5.54)


Pode-se mostrar que o tensor D esta associado ao quadrado da taxa de variacao de umafibra infinitesimal dx, na configuracao Bt, a partir do ponto y e no instante t. Para isso, sejadx = (ds)n, onde n e o vetor unitario na direcao de dx. Logo,

dx·dx =(ds)2

e

d

dt(dx·dx) =

d

dt(ds)2 → 2dx· d

dt(dx) =2ds

d

dt(ds)

Substituindo (5.46) na expressao anterior tem-se que,

dx · ( lim gradv)dx =dsd

dt(ds)

ou ainda,

(ds)2n · ( lim gradv)n =dsd

dt(ds) → 1

ds

d

dt(ds) = n ·Dn + n ·Wn

Atraves das definicoes de tensores transposto e antissimetrico, vem que,

n · Wn = n · WT n e n · Wn = −n · Wn

Portanto, n · Wn = 0 e

1

ds

d

dt(ds) = n ·Dn (5.55)

Desta forma, n ·Dn fornece a taxa de variacao de (d/dt)(ds) por unidade de comprimentooriginal (ds), sendo denominado taxa de deformacao, para um elemento material na direcao n.Assim, D11, D22 e D33 dao as taxas de deformacao para os elementos nas direcoes x1, x2, x3.Por sua vez, 2D12 e a taxa de decrescimento do angulo de dois elementos nas direcoes e1 e e2,conhecido como taxa de cisalhamento.

Da mesma maneira, o primeiro invariante do tensor taxa de deformacao D determina a taxade variacao de volume por unidade de volume, ou seja,

4 =1

dV

D

Dt(dV ) = D11 + D22 + D33 =

∂v1

∂x1+

∂v2

∂x2+

∂v3

∂x3=

∂vi

∂xi

Como D e simetrico, existem pelo menos 3 direcoes mutuamente perpendiculares (autovaloresde D), com as respectivas taxas de alongamento (autovalores de D), incluindo os valores mınimoe maximo de alongamento.

Exemplo 5.6 Dado o campo de velocidades

v1 = kx2 v2 = v3 = 0

1. Determinar a taxa de deformacao e o tensor de rotacao.

2. Determinar a taxa de deformacao dos elementos materiais,

dx1 = (ds1) e1 dx2 = (ds2) e2 dx = dl (e1 + 2e2)

3. Determinar as taxas de deformacao maxima e mınima.


Solucao.

1. A matriz do vetor gradiente e dada por

[∇v] =

0 k 00 0 00 0 0

Logo,

[D] = [∇v]S =

0 k2 0

k2 0 00 0 0

e

[W] = [∇v]A =

0 k2 0

−k2 0 00 0 0

2. O elemento material dx1 esta na direcao e1 e entao sua taxa de extensao e igual a D11 = 0.De maneira similar, a taxa de extensao de dx2 e igual a D22 = 0.

Para o elemento dx = (ds)n, onde n =(

1/√

5)

(e1 + e2) e ds =√

5dl, tem-se

1

ds

D

Dt(ds) = n ·Dn =

1

5

[

1 2 0]

0 k2 0

k2 0 00 0 0

120

=

2

5k

3. A partir da equacao caracterıstica

|D−λI| = −λ(

λ2 − k2/4)

= 0

determinam-se os autovalores do tensor D como λ = 0,±k/2. Entao, k/2 e a maxima

e −k/2 e a mınima taxa de extensao. Os autovetores n1 =(√

2/2)

(e1 + e2) e n2 =(√

2/2)

(e1 − e2) dao as direcoes dos elementos tendo estiramentos maximo e mınimorespectivamente.

2

5.11 Exercıcio Resolvido

Dado o campo de deslocamentos,

u = [(20X21X2)e1+10(X2

2 + X23 )e2+(X1 + 3X3

3 )e3]×α(cm)

Pede-se:

1. se α = 10−2, a matriz gradiente do campo de deslocamento [∇ut];


2. o tensor de Green E∗, incluindo termos lineares e nao-lineares ∇uTt ∇ut, comparando a

contribuicao que os termos nao-lineares trazem para os componentes do tensor;

3. para α = 10−4, calcule o tensor de Green E∗ com os termos nao-lineares e faca a mesmacomparacao do item anterior;

4. calcule, assumindo pequenas deformacoes, o tensor de Cauchy E = 12 (∇uT

t + ∇ut);

5. calcule, o tensor de rotacoes infinitesimais Ω e o vetor rotacao ω;

6. calcule a dilatacao cubica para o tensor linear de Cauchy εV ;

7. escreva o tensor deviatorico ED = E− εV3 I;

8. particularize os resultados acima para o ponto P(1,1,1);

9. para α = 10−2, determine a componente do deslocamento na posicao (2,0,1) (original) nadirecao e =0.6e1+0.8e2.

Solucao:

1. Dado o campo de deslocamentos,

u = [(20X21X2)e1+10(X2

2 + X23 )e2+(X1 + 3X3

3 )e3]×α(cm)

a matriz do gradiente do campo de deslocamentos e dada por (5.5),

[∇ut] =

∂u1∂X1

∂u1∂X2

∂u1∂X3

∂u2∂X1

∂u2∂X2

∂u2∂X3

∂u3∂X1

∂u3∂X2

∂u3∂X3

= α

40X1X2 20X21 0

0 20X2 20X3

1 0 9X23

Considerando o ponto P (1, 1, 1), tem-se que,

[∇ut] = 10−2

40 20 00 20 201 0 9

2. O tensor de Green incluindo termos nao-lineares e calculado a partir de (5.20). Logo,

E∗ =1

2(∇ut + ∇uT

t + ∇uTt ∇ut) → [E∗] =

1

2([∇ut] + [∇ut]

T + [∇ut]T [∇ut])

[E∗] =1

2

α

40X1X2 20X21 0

0 20X2 20X3

1 0 9X23

+ α

40X1X2 0 120X2

1 20X2 00 20X3 9X2

3

+ α2

40X1X2 0 120X2

1 20X2 00 20X3 9X2

3

40X1X2 20X21 0

0 20X2 20X3

1 0 9X23

[E∗] =1

2

α

80X1X2 20X21 1

20X21 40X2 20X3

1 20X3 18X23

+ α2

1600X21 X2

2 + 1 800X31X2 9X2

3

800X31 X2 400(X4

1 + X22 ) 400X2X3

9X23 400X2X3 400X2

3 + 81X43


Particularizando para o ponto P (1, 1, 1)

[E∗] =1

2

α

80 20 120 40 201 20 18

+ α2

1601 800 9800 800 4009 400 481

[E∗] =

0, 40 0, 10 0, 0050, 10 0, 20 0, 100, 005 0, 10 0, 09

+

0, 08005 0, 0400 0, 000450, 04000 0, 0400 0, 02000, 00045 0, 0200 0, 02405

Logo, para α = 10−2 as componentes nao-lineares possuem uma ordem de grandezaproxima dos valores lineares, nao podendo ser desprezadas. Por exemplo, para o termoE∗

11 observa-se que,

E∗11 = 0, 40 + 0, 08005 = 0, 48005 → 0, 08005

0, 40≈ 20%

3. Considerando agora α = 10−4 e o ponto P (1, 1, 1) vem que,

10−4

40 10 0, 510 20 100, 5 20 9

+ 10−8

800, 5 400 4, 5400 400 2004, 5 200 240, 5

Neste caso, a parte nao-linear pode ser desprezada, pois a sua contribuicao nao e significa-tiva. Por exemplo, tomando a componente E∗

11 novamente vem que,

E∗11 = 40 × 10−4 + 8, 005 × 10−6 = 40, 008 × 10−4 → 8, 005 × 10−6

40 × 10−4≈ 0, 2%

4. O tensor de Cauchy para pequenas deformacoes e dado por (5.31). Portanto,

E =1

2(∇ut + ∇uT

t ) → [E] =1

2([∇ut] + [∇ut]

T )

[E] =1

2

α

40X1X2 20X21 0

0 20X2 20X3

1 0 9X23

+ α

40X1X2 0 120X2

1 20X2 00 20X3 9X2

3

[E] = α

40X1X2 10X21 0, 5

10X21 20X2 10X3

0, 5 10X3 9X23

Para o ponto P (1, 1, 1) e α = 10−4 verifica-se que,

[E] =

0, 004 0, 001 0, 000050, 001 0, 002 0, 001

0, 00005 0, 001 0, 0009


5. O tensor de rotacoes infinitesimais e definido como,

Ω =1

2(∇ut −∇uT

t ) → [Ω] =1

2([∇ut] − [∇ut]

T )

[Ω] =1

2

α

40X1X2 20X21 0

0 20X2 20X3

1 0 9X23

− α

40X1X2 0 120X2

1 20X2 00 20X3 9X2

3

[Ω] = α

0 10X21 −0, 5

−10X21 0 10X3

0, 5 −10X3 0

Para o ponto P (1, 1, 1) e α = 10−4 verifica-se que,

[Ω] =

0 0, 001 −0, 00005−0, 001 0 0, 0010, 00005 −0, 001 0

O vetor de rotacao ω e o vetor axial associado ao tensor antissimetrico Ω. Logo,

ω =Ω32e1 + Ω13e2 + Ω21e3 → ω = −10αX3e1 − 0, 5αe2 − 10αX21e3

Para o ponto P (1, 1, 1) e α = 10−4,

ω = −0, 001e1 − 0, 00005e2 − 0, 001e3

6. A dilatacao e dada simplesmente pelo traco do tensor de pequenas deformacoes. Assim,

εV = lim trE = Eii → εV = (40X1X2 + 20X2 + 9X23 )α

Para o ponto P (1, 1, 1) e α = 10−4,

εV = (40 + 20 + 9) × 10−4 = 0, 0069

7. O tensor deviatorico e expresso como,

ED = E − εV

3I →

[

ED]

= [E] − εV

3[I]

Portanto,

[

ED]

= α

40X1X2 − εV3α 10X2

1 0, 510X2

1 20X2 − εV3α 10X3

0, 5 10X3 9X23 − εV

3α


Tomando o ponto P (1, 1, 1) e α = 10−4, tem-se que,

[

ED]

=

0, 004 − 0, 0023 0, 001 0, 000050, 001 0, 002 − 0, 0023 0, 001

0, 00005 0, 001 0, 0009 − 0, 0023

[

ED]

=

0, 0017 0, 001 0, 000050, 001 −0, 0003 0, 001

0, 00005 0, 001 −0, 0014

8. A posicao deformada do elemento material inicialmente no ponto P (2, 0, 1) para α = 10−2

e dada por,

x = X + u →

x1

x2

x3

=

X1

X2

X3

+

u1

u2

u3

=

X1 + 20αX21X2

X2 + 10α(X22 + X2

3 )X3 + α(X1 + 3X3)

3

=

20, 11, 05

Por sua vez, o deslocamento u associado e o seguinte,

u = x− X ⇒ u =

0 0, 1 0, 05T

O valor do deslocamento d na direcao e = 0, 6e1 + 0, 8e2 e obtido pela projecao de u aolongo de e. Portanto,

d = u · e =

0 0, 1 0, 05

0, 60, 80

= 0, 08


1. Dado o seguinte campo de pequenos deslocamentos:

u = [(3x2 + y)e1+10(3y + z2)e2+(2z2)e3]×10−3(cm)

a) Determine os tensores de deformacao e rotacao infinitesimal, bem como o vetor rotacao.Particularize para o ponto P(2,1,3).

b) Se um corpo sofre uma pequena rotacao dada pelo vetor

ω =0.002e1+0.005e2−0.002e3(rad)

qual e o tensor de rotacao infinitesimal Ω correspondente.

2. Dado o campo de pequenos deslocamentos

u = [(6y + 5z)e1+(−6x + 3z)e2+( − 5x − 3y)e3]×10−3(cm)

Mostre que este campo induz somente uma rotacao de corpo rıgido

a) Determine o vetor de rotacao ω do corpo,

b) Calcule o tensor de deformacao E em dilatacao cubica εv.


3. Dado o campo de pequenos deslocamentos

u = [(x3 + 10)e1+3yze2+(z2 − yx)e3]×10−3(cm)

Pede-se:

a) a translacao de corpo rıgido do corpo, tomando a origem como ponto de referencia;

b) o tensor de deformacoes E;

c) o tensor de rotacoes infinitesimais Ω;

d) a dilatacao cubica εv e o tensor diviatorico ED = E − εV3 I;

e) particularize os resultados acima para o ponto P(2,1,0).


Capıtulo 6

TENSAO

6.1 Introducao

No capıtulo anterior, considerou-se o estudo da deformacao de corpos. Assim, definida acinematica do corpo, ou seja, as componentes do campo de deslocamentos, e possıvel deter-minar as componentes do tensor de deformacao. No entanto, nao se levou em conta as forcasque causam o movimento e a deformacao do corpo. Neste capıtulo, discute-se a forma de repre-sentar as forcas internas presentes num corpo, submetido a uma deformacao causada por esforcosexternos.

De forma geral, aceita-se que a materia e constituıda de moleculas, as quais por sua vezconsistem de atomos e partıculas subatomicas. Apesar de na realidade haver espacos entreas moleculas de um corpo, a mecanica do contınuo esta baseada na hipotese que a materia econtınua. Assim, desprezam-se as descontinuidades entre as moleculas, aceitando-se a ideia deque a materia pode ser representada por um meio contınuo. E possıvel, entao, falar de umapartıcula, caracterizada por um volume infinitesimal de materia. Por sua vez, o conjunto devarias partıculas constitui um corpo. Esta hipotese tem se mostrado valida no estudo de variosproblemas de mecanica.

A partir daı, as forcas internas sao aquelas presentes entre as partıculas de um corpo. Nateoria classica de mecanica do contınuo, as forcas internas sao introduzidas atraves das forcasde corpo e de superfıcie. Como sera visto neste capıtulo, descreve-se a forca de superfıcie numponto como um vetor de tensao, nao considerando a curvatura da superfıcie neste ponto. Estahipotese e conhecida como o teorema de Cauchy, constituindo-se num dos axiomas classicos damecanica do contınuo.

6.2 Forcas de Corpo e de Superfıcie

Durante o movimento, as interacoes entre as partes de um corpo ou entre o corpo e seu ambientesao descritas por forcas, as quais podem ser classificadas como:

• forcas de corpo ou volume presentes nos pontos interiores de um corpo e impostas peloseu ambiente;

• forcas de contato entre partes separadas de um corpo;

• forcas de contato exercidas sobre o contorno de um corpo pelo seu ambiente.

159


No primeiro caso, o ambiente aplica forcas no interior do corpo B. Exemplos classicos saoas forcas de gravidade e eletromagnetica, as quais sao representadas por um campo vetorial bsobre a trajetoria T = (x, t). Logo, b(x, t) indica a forca por unidade de volume exercida peloambiente em x no instante t. Daı vem a denominacao de forca de corpo ou volume. Tomandouma parte P de B, tem-se que,

∫

Pt

b(x, t) dVx =

∫

Pt

b dV (6.1)

Para caracterizar as forcas de contato, emprega-se a hipotese de Cauchy, a qual constituinum dos mais importantes axiomas da mecanica do contınuo. Cauchy assumiu a existencia deuma densidade de forca s(n,x, t) definida para cada vetor unitario n e todo ponto (x, t) ao longoda trajetoria T do movimento.

Para ilustrar esta hipotese, considere a Figura 6.1a), onde tem-se uma superfıcie orientada Sna configuracao Bt, com normal unitaria positiva n em x. Distinguem-se dois lados da superfıcieS atraves da normal n, tomando-se como positivo, o lado para o qual a normal aponta. Assim,s(n,x, t) e a forca por unidade de area sobre o material do lado negativo de S exercida pelomaterial do lado positivo, ao longo da superfıcie S. A hipotese de Cauchy e bastante solidacomo mostrado na Figura 6.1b). Sendo C uma outra superfıcie orientada tangente a S em x ecom mesma normal unitaria n, tem-se que a forca por unidade de area em x e a mesma em Ccomo em S.

Figura 6.1: Hipotese de Cauchy.

Uma outra forma de mostrar a hipotese de Cauchy pode ser vista na Figura 6.2, onde toma-se uma superfıcie fechada S num corpo ocupando a configuracao Bt. Considera-se, entao, umelemento de area ∆S sobre a superfıcie S, alem de um vetor normal unitario n, num ponto x de∆S, apontando para fora de ∆S. O lado positivo de ∆S exerce uma forca ∆F sobre a outraparte localizada no lado negativo da normal. Esta forca ∆F depende da localizacao e tamanhoda area ∆S, assim como da orientacao da normal n.

Assume-se entao que quando ∆S tende a zero a relacao ∆F/∆S tende para um limitedefinido dF/dS, e ainda que o momento da forca agindo em ∆S em relacao a qualquer pontodentro da area se anula. Logo, o vetor limite e escrito como,

s(n,x, t) = lim∆S→0

∆F

∆S=

dF

dS(6.2)

O vetor limite s(n,x, t) e denominado tracao ou vetor tensao, representando a forca porunidade de area agindo na superfıcie S no ponto x e no instante t.


Figura 6.2: Formal alternativa para ilustrar a hipotese de Cauchy.

De forma geral, para determinar a forca de contato entre duas partes P e D, ilustradas naFigura 6.3a), no instante t, basta integrar s sobre a superfıcie de contato St = Pt ∩ Dt, ou seja,

∫

St

s(nx,x, t) dAx =

∫

St

s(n) dA (6.3)

indicando a forca exercida em P por D no instante t. Observa-se que nx e a normal unitariaexterna a ∂Pt em x.

Figura 6.3: Forcas de contato: a) entre superfıcies de corpos; b) entre a superfıcie de um corpoe seu ambiente.

Para pontos no contorno de Bt, a densidade s(n,x, t), com normal unitaria n no ponto xem ∂Bt, fornece a forca por unidade de area aplicada pelo ambiente no corpo, sendo esta forcausualmente referida como tracao superficial . Logo, para qualquer parte P de B, como mostradona Figura 6.3b), a forca de contato total exercida em P no instante t e dada por,

∫

Pt

s(n) dA (6.4)

A partir dos conceitos discutidos, seja N o conjunto de todos os vetores unitarios. Por umsistema de forcas para um corpo B durante um movimento com trajetoria T , entende-se o parde funcoes (s,b),

s : N × T → V b : T → V

com


1. s(n,x, t), para cada n ∈ N e t, uma funcao suave de x em Bt, sendo s denominada forcade superfıcie;

2. b(x, t), para cada t, uma funcao contınua de x em Bt, conhecida como forca de corpo oude volume.

6.3 Princıpios das Quantidades de Movimento Linear e Angular

Dado o sistema de forcas (s,b) para um corpo B, define-se a forca f(P, t) e o momento m(P, t),em relacao a origem o, em uma parte P no tempo t, respectivamente, como

f(P, t) =

∫

∂Pt

s(n) dA +

∫

Pt

b dV, (6.5)

m(P, t) =

∫

∂Pt

r× s(n) dA +

∫

Pt

r× b dV, (6.6)

sendo n a normal unitaria em ∂Pt e r = r(x) = x− o o vetor posicao.Por sua vez, considerando um movimento x = x(X, t) de B, definem-se as quantidades de

movimento linear l(P, t) e angular a(P, t) (em torno da origem o) da parte P no tempo t,respectivamente, como

l(P, t) =

∫

Pt

vρ dV, (6.7)

a(P, t) =

∫

Pt

r× vρdV, (6.8)

Demonstra-se ainda que as seguintes relacoes sao validas [?]:

l(P, t) =

∫

Pt

vρ dV, (6.9)

a(P, t) =

∫

Pt

r× vρdV, (6.10)

Assumindo que B e limitado, tem-se que a sua massa m(B) e finita. Logo, o cento de massaα(t) no tempo t e o ponto no espaco definido por

α(t) − o =1

m(B)

∫

Bt

rρ dV. (6.11)

Diferenciando a expressao anterior em relacao a t, obtem-se

α(t) =1

m(B)

∫

Bt

vρ dV. (6.12)

Logo, α representa a velocidade media do corpo.Substituindo (6.12) em (6.7) vem que

l(B, t) = m(B)α(t) (6.13)

Portanto, a quantidade de movimento linear de um corpo B limitado e a mesma que aquelade uma partıcula de massa m(B) colocada no centro de massa de B.


Os axiomas basicos relacionando forca e movimento, ou seja, as equacoes (6.5) e (6.6) com(6.7) e (6.8), constituem-se nos Princıpios de Conservacao das Quantidades de Movimento Lineare Angular, respectivamente. Logo, para toda a parte P e tempo t, verificam-se os seguintesbalancos dos movimentos linear e angular

f(P, t) = l(P, t), (6.14)

m(P, t) = a(P, t), (6.15)

Como consequencia direta de (6.13) e (6.14), tem-se

f(B, t) = m(B)α(t), (6.16)

desde que B seja limitado. Assim, a forca total de um corpo finito e igual a sua massa vezes aaceleracao do seu centro de massa.

Em virtude das expressoes (6.5), (6.6), (6.9) e (6.10), as leis de balanco da quantidade demovimento (6.14) e (6.15) podem ser reescritas, respectivamente, como

∫

∂Pt

s(n) dA +

∫

Pt

b dV =

∫

Pt

vρ dV, (6.17)

∫

∂Pt

r× s(n) dA +

∫

Pt

r× b dV =

∫

Pt

r× vρdV. (6.18)

Por sua vez, a forca de corpo total, a qual inclui a forca de inercia −ρv, e dada por

b∗ = b − ρv.

Denotando,

f∗(P, t) =

∫

∂Pt

s(n) dA +

∫

Pt

b∗ dV, (6.19)

m∗(P, t) =

∫

∂Pt

r× s(n) dA +

∫

Pt

r× b∗ dV, (6.20)

entao as equacoes (6.14) e (6.15) sao simplificadas como

f∗(P, t) = 0 m∗(P, t) = 0. (6.21)

Uma outra caracterizacao menos direta das leis de balanco de momento e dada pelo Princıpiode Trabalho Virtual para o equilıbrio de corpos. Observa-se que um deslocamento infinitesimalrıgido w e caracterizado como,

w(x) = wo + W(x − o)

sendo wo um vetor e W um tensor antissimetrico.

Teorema do Trabalho Virtual : Seja (s,b) um sistema de forcas de um corpo B duranteum movimento. Logo, uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balanco demovimento sejam satisfeitas, para qualquer parte P e tempo t, e dada por

∫

∂Pt

s(n) · w dA +

∫

Pt

b∗ · w dV = 0 (6.22)

para qualquer deslocamento rıgido infinitesimal.


6.4 Teorema de Cauchy

Um dos principais resultados da Mecanica do Contınuo e dado pelo teorema de Cauchy, estab-elecendo que o vetor de tensao s(n) e linear em n.

Teorema de Cauchy : Seja (s,b) um sistema de forcas de um corpo B durante um movimento.Portanto, uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balanco de momentosejam satisfeitas e que exista um campo tensorial T, denominado tensor de tensoes ou deCauchy , tal que,

1. para qualquer vetor unitario n,

s(n) = Tn; (6.23)

2. T e simetrico;

3. T satisfaz a equacao de movimento

divT + b = ρv (6.24)

Nas proximas 3 secoes, as condicoes do teorema de Cauchy serao mostradas.

6.4.1 Tensor de tensao

Seja T uma transformacao tal que, se n e um vetor normal unitario, o vetor de tensao e dadopor (6.23). Deseja-se mostrar, aplicando para isso a lei de balanco de momento linear (6.16),que T e um tensor.

Considere entao um pequeno tetraedro isolado do corpo B, contendo um ponto P ∈ B comoum de seus vertices, conforme ilustrado na Figura 6.4. Pretende-se, entao, fazer com que otamanho do tetraedro va para zero, de tal forma que no limite o plano inclinado ABC passe porP. A partir da expressao (6.23), tem-se que o vetor de tensao na face PAB, cuja normal esta nadirecao de −e1, e dada por,

s(−e1) = s−e1 = −s(e1) = −se1 = −Te1 (6.25)

Analogamente, para as faces PBC e PAC, tem-se, respectivamente,

s(−e2) = s−e2 = −s(e2) = −se2 = −Te2 (6.26)

s(−e3) = s−e3 = −s(e3) = −se3 = −Te3 (6.27)

Denotando por ∆A1, ∆A2, ∆A3 e ∆An, respectivamente, como as areas nas faces PAB,PBC, PAC e ABC, tem-se aplicando-se (6.16),

f(·, t) = l(·, t) → s−e1(∆A1) + s−e2(∆A2) + s−e3(∆A3) + s(n)(∆An) = (∆m)α (6.28)

Substituindo (6.23) e (6.25) a (6.27) na expressao anterior vem que,

−Te1(∆A1) − Te2(∆A2) − Te3(∆A3) + Tn(∆An) = (∆m)α (6.29)

A massa ∆m = ρ∆V e proporcional ao volume ∆V do tetraedro, o qual por sua vez ecalculado em funcao das dimensoes ∆x1, ∆x2 e ∆x3, ou seja, ∆V = 1

6 (∆x1∆x2∆x3). Assim,verifica-se que quando o tamanho do tetraedro aproxima-se de zero (∆xi → 0), o lado direito da


Figura 6.4: Tetraedro infinitesimal contendo o ponto P.

equacao anterior tende a zero de forma mais rapida, podendo-se desprezar o termo envolvendoa aceleracao α. Portanto, da expressao (6.29),

−Te1(∆A1) − Te2(∆A2) −Te3(∆A3) + Tn(∆An) = 0 (6.30)

O vetor normal unitario do plano inclinado ABC e dado por,

n = n1e1 + n2e2 + n3e3 (6.31)

Por sua vez, as areas ∆A1, ∆A2 e ∆A3 sao projecoes de ∆An, ou seja,

∆A1 = n1∆An ∆A2 = n2∆An ∆A3 = n3∆An (6.32)

Substituindo as relacoes anteriores em (6.30) e simplificando vem que,

T(n1e1 + n2e2 + n3e3) = n1(Te1) + n2(Te2) + n3(Te3) (6.33)

Portanto, T e uma transformacao linear, sendo denominado tensor de tensao. A partir daequacao (6.23), as componentes de s estao relacionadas aquelas de T e n como,

si = Tijnj (6.34)

ou matricialmente,

s = [T]n (6.35)

Desta maneira, se a matriz [T] e conhecida, o vetor tensao em qualquer plano inclinado,definido por sua normal n, e calculado a partir da expressao (6.35). Conclui-se, entao, queo estado de tensao num ponto e unicamente determinado pelo tensor de tensoes. Alem disso,conhecida uma matriz para T, atraves de uma transformacao de coordenadas, obtem-se qualqueroutra matriz representando T, como por exemplo no caso da determinacao das tensoes principais.

As componentes do tensor de tensao no ponto P estao mostradas na Figura 6.5a). Ascomponentes T11, T22 e T33, tambem indicadas como σxx, σyy e σzz, sao denominadas tensoesnormais, respectivamente, nas direcoes X1, X2 e X3. Os demais termos (T12, T13, T21, T23,T31 e T32) sao as componentes tangenciais, sendo conhecidas como tensoes de cisalhamento.Usualmente, indicam-se as mesmas como τxy, τxz, τyx, τyz, τzx e τzy, respectivamente, comoilustrado na Figura 6.5b). Como as componentes de tensao representam forca por unidade dearea, as unidades empregadas sao do tipo N/m2, Kgf/cm2, dentre outras.


Figura 6.5: Componentes cartesianas do tensor de tensoes.

6.4.2 Simetria do tensor de tensoes

Aplicando o princıpio de momento angular (6.15) para um elemento diferencial de um corpo,torna-se possıvel mostrar que o tensor de tensoes e geralmente simetrico.

Figura 6.6: Diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal.

Considere, entao, o diagrama de corpo livre de um paralelepıpedo isolado de um corpo B,como ilustrado na Figura 6.6. Calculando o momento das forcas em relacao a um eixo, paraleloa X3, passando pelo ponto central A, vem que,

mx3A = T21(∆X2∆X3)

(∆X1

2

)

+ (T21 + ∆T21)(∆X2∆X3)

(∆X1

2

)

− T12(∆X1∆X3)

(∆X2

2

)

− (T12 + ∆T12)(∆X1∆X3)

(∆X2

2

)

Desprezando os termos contendo grandezas pequenas de alta ordem, tais como ∆T21∆X1∆X2∆X3,tem-se

mx3A = (T21 − T12)∆X1∆X2∆X3 (6.36)

Pelo balanco de momento angular para o elemento infinitesimal plano, tem-se,

mx3A = TIω (6.37)


onde TI e o tensor de inercia e ω e a aceleracao angular. Para o elemento infinitesimal da Figura6.6, o termo do lado direito da expressao anterior se reduz a TI33 ω3. Por sua vez, tem-se para omomento de inercia TI33 = ρ∆X1∆X2∆X3

[(∆X1)

2 + (∆X2)2], onde ρ e a densidade.

Assim, a partir da equacao (6.36),

(T21 − T12)∆X1∆X2∆X3 = ρ∆X1∆X2∆X3[(∆X1)2 + (∆X2)

2]ω3 (6.38)

Simplificando a expressao anterior e desprezando o termo de ordem superior [(∆X1)2 +

(∆X2)2], vem que T12 = T21. Analogamente, T13 = T31 e T23 = T32. Desta forma, o tensor de

tensoes T e simetrico, pois Tij = Tji ou ainda T = TT .

6.4.3 Equacao de movimento

Deseja-se agora determinar as equacoes diferenciais de movimento para qualquer meio contınuoem movimento. A condicao basica e que cada partıcula deve satisfazer a lei de balanco demomento linear.

A Figura 6.7 mostra um cubo elementar isolado de um meio contınuo na vizinhanca de X,estando os vetores de tensao agindo nas seis faces.

Figura 6.7: Elemento infinitesimal com as componentes de tensao.

Sejam b = biei a forca de corpo, ρ a densidade em X e v = viei a aceleracao da partıculacorrentemente na posicao X. Pela lei de balanco linear (6.16),

f(·, t) = l(·, t)[(

se1(X1 + ∆X1,X2,X3) − se1(X1,X2,X3)

∆X1

)

+

(se2(X1,X2 + ∆X2,X3) − se1(X1,X2,X3)

∆X2

)

+

(te3(X1,X2,X3 + ∆X3) − se3(X1,X2,X3)

∆X3

)]

∆X1∆X2∆X3 +

b∆X1∆X2∆X3 = (ρv)∆X1∆X2∆X3

Dividindo-se por ∆X1∆X2∆X3 e tomando-se o limite para ∆Xi → 0, obtem-se,

∂se1

∂X1+

∂se2

∂X2+

∂se3

∂X3+ b = ρv


Como sej = Tej = Tijei vem que,

∂(Ti1ei)

∂X1+

∂(Ti2ei)

∂X2+

∂(Ti3ei)

∂X3+ b = ρv

Lembrando que ei e uma direcao fixa, verifica-se que a expressao anterior e satisfeita se,

∂Tij

∂Xjei + biei = ρviei →

(

∂Tij

∂Xj+ bi − ρvi

)

ei = 0 (6.39)

Observa-se que∂Tij

∂Xjindica as componentes do divergente de T. Assim, a expressao anterior

pode ser reescrita como,

divT + b = ρv (6.40)

Estas equacoes sao validas para qualquer meio contınuo, seja solido ou fluido, em movimento,sendo denominadas equacoes de movimento de Cauchy . Se a aceleracao se anula, observa-se que,

divT + b = 0 (6.41)

ou ainda,

∂Tij

∂xj+ bi = 0 (6.42)

Figura 6.8: Condicao de contorno de tensao.

6.5 Tensoes Principais

Como o tensor de tensoes T e simetrico, existem pelo menos 3 direcoes n1, n2, n3 mutuamenteperpendiculares definidas pelos seus autovetores. Os planos tendo como normais estas direcoessao denominados planos principais. Nestes planos, nao existem tensoes de cislhamento, sendoo vetor de tensao normal ao plano. Desta maneira, as tensoes normais sao conhecidas comotensoes principais. A matriz do tensor T e representada neste caso como,

[T]n1,n2,n3=

T1 0 00 T2 00 0 T3

(6.43)


Para obter as tensoes principais, basta resolver a equacao caracterıstica de T, ou seja,

λ3 − I1λ2 + I2λ − I − 3 = 0

onde I1, I2 e I3 sao os invariantes escalares do tensor de tensao.

6.6 Condicoes de Contorno para o Tensor de Tensoes

No caso onde se aplicam forcas distribuıdas ao longo do contorno do corpo, tambem conhecidascomo tracoes superficias, pode-se obter uma relacao destas tracoes com o campo de tensoespresente no interior do corpo.

Tomando-se um tetraedro elementar, cujo lado inclinado coincide com a superfıcie de con-torno, obtem-se, de forma analoga a secao 6.4.1,

t = Tn (6.44)

onde n e o vetor unitario normal, T e o tensor de tensoes calculado no contorno e t e a forca porunidade de area ou tracao superficial. Por sua vez, a expressao (7.33) e denominada condicaode contorno de tensao, estando mostrada na Figura 6.8.



Capıtulo 7

EQUACOES CONSTITUTIVAS

7.1 Introducao

Os conceitos de deformacao e tensao apresentados anteriormente sao validos para qualquer meiocontınuo. Na apresentacao destes conceitos, nenhuma hipotese foi feita sobre o comportamentodo material. Neste capıtulo, apresentam-se as principais caracterıtiscas de dois tipos de materi-ais, especificamente o solido elastico linear e o fluido newtoniano.

7.2 Solido Elastico Linear

Todo corpo apresenta uma certa deformacao quando submetido a esforcos externos. Quandoo comportamento do material do corpo e tal que a deformacao desaparece totalmente quando ocarregamento e removido, este material e denominado elastico ou ainda que possui a propriedadede elasticidade. Os materiais metalicos a temperatura ambiente comportam-se como elasticospara pequenas deformacoes.

As propriedades caracterısticas dos materiais elasticos sao os modulos de elasticidade lon-gitudinal (modulo de Young) e transversal, o coeficiente de Poisson e o modulo volumetrico.Estas propriedades elasticas sao determinadas para cada material atraves de ensaios, tais comoo ensaio de tracao.

Estes ensaios utilizam corpos de prova cortados de um bloco de material. Quando os valoresdas propriedades sao independentes da orientacao do corpo de prova relativo ao bloco, o materiale denominado isotropico. Quando o comportamento depende da direcao do corpo de prova, omaterial e denominado anisotropico.

Alem da possıvel dependencia da orientacao, as propriedades elasticas podem variar em umavizinhanca para outra. Neste caso, o material e nao-homogeneo. Se as propriedades sao asmesmas em todos os pontos do corpo, o material e homogeneo.

Os experimentos empregados para se levantar as propriedades de materiais elasticos possuemas seguintes caracterısticas comuns:

• a relacao entre o carregamento aplicado e a quantidade medindo a deformacao e linear,

• a taxa de aplicacao de carregamento nao influencia o comportamento do material,

• as deformacoes desaparecem completamente quando o carregamento e removido,

• as deformacoes sao pequenas.

171


As caracterısticas anteriores serao empregadas para formular a equacao constitutiva de ummaterial ideal denominado solido elastico linear ou solido elastico de Hooke. A equacao con-stitutiva relaciona a tensao com as quantidades relevantes de deformacao. Neste caso, comoas deformacoes sao pequenas e a taxa de aplicacao do carregamento nao tem efeito, a relacaotensao-deformacao pode ser escrita da seguinte forma

T = T(E) (7.1)

onde T e o tensor de tensoes de Cauchy e E e o tensor de deformacao infinitesimal com T(0) = 0.Se alem disso, o comportamento e linear, tem-se a seguinte forma em termos de componentes,

T11 = C1111E11 + C1112E12 + . . . + C1133E33

T12 = C1211E11 + C1212E12 + . . . + C1233E33 (7.2)

...

T33 = C3311E11 + C3312E12 + . . . + C3333E33

As equacoes anteriores podem ser escritas na seguinte forma compacta

Tij = CijklEkl (7.3)

Como Tij e Eij sao componentes de tensores de segunda ordem, tem-se que Cijkl sao com-ponentes de um tensor de quarta ordem denominado tensor de elasticidade. Se o corpo ehomogeneo, ou seja, as propriedades mecanicas sao as mesmas para cada partıcula, entao ascomponentes Cijkl sao constantes (independentes da posicao). A seguir considera-se apenas ocaso de corpos homogeneos.

A equacao (7.3) possui 81 coeficientes. Como tensor de deformacao e simetrico (Eij = Eji),torna-se possıvel sempre combinar termos como C1112E12 + C1121E21 em apenas um termocomo (C1112 + C1121)E21 de tal forma que (C1112 + C1121) torna-se um unico coeficiente. Deforma equivalente, toma-se simplesmente C1112 = C1121. Logo, devido a simetria do tensor dedeformacao tem-se

Cijkl = Cijlk (7.4)

A relacao anterior permite reduzir o numero de coeficientes independentes Cijkl de 81 para 54.Considera-se ainda apenas os casos onde o tensor de tensoes e simetrico, ou seja,

Tij = Tji (7.5)

e como consequencia

Cijkl = Cjikl (7.6)

A expressao anterior permite reduzir em 18 o numero de coeficientes. Logo, para o caso geralde corpo elastico linear o numero maximo de coeficientes e 36.

Assume-se que o conceito de elasticidade e associado com a existencia de uma funcao deenergia de deformacao U(Eij) tal que

Tij =∂U

∂Eij(7.7)

Neste caso, pode-se mostrar ainda que

Cijkl = Cklij (7.8)

o que permite reduzir o numero de coeficientes de 36 para 21.


7.2.1 Solido Elastico Linear Isotropico

Um material e isotropico se as suas propriedades mecanicas podem ser descritas sem referenciaa direcao. Para um solido elastico linear com respeito as bases ei e e

′

i tem-se respectivamenteque

Tij = CijklEkl (7.9)

T ′ij = C ′

ijklE′kl (7.10)

Se o material e isotropico, as componentes do tensor de elasticidade devem permanecer asmesmas independentes de como as bases retangulares sao rotacionadas ou refletidas. Logo,

Cijkl = C ′jikl (7.11)

para qualquer tranformacao ortogonal de base. Um tensor que possui as mesmas componentescom respeito a toda base ortonormal e denominado tensor isotropico. Um exemplo simples eo tensor identidade I, cujas componentes dadas em funcao do delta de Kronecker δij , sao asmesmas para qualquer base Cartesiana.

A partir de δij , pode-se definir 3 tensores isotropicos de quarta ordem dados por

Aijkl = δijδkl

Bijkl = δikδjl (7.12)

Hijkl = δilδjk

Pode-se mostrar que qualquer tensor isotropico de quarta ordem pode ser representado comouma combinacao linear dos tensores anteriores. Logo, para um material elastico linear isotropico,o tensor de elasticidade Cijkl pode ser escrito como a seguinte combinacao linear de Aijkl, Bijkl

e Hijkl

Cijkl = λAijkl + αBijkl + βHijkl (7.13)

onde λ, α e β sao constantes. Substituindo (7.13) em (7.9) vem que

Tij = (λAijkl + αBijkl + βHijkl)Ekl (7.14)

Observa-se que

AijklEkl = δijδklEkl = δijEkk = δije

BijklEkl = δikδjlEkl = Eij (7.15)

HijklEkl = δilδjkEkl = Eji = Eij

A partir daı

Tij = λeδij + (α + β)Eij (7.16)

Denotando (α + β) como 2µ tem-se que,

Tij = λeδij + 2µEij (7.17)


ou em notacao direta

T = λeI + 2µE (7.18)

onde e = Ekk = E11 + E22 + E33 e denominada dilatacao.Em forma expandida, as relacoes anteriores sao dadas por

T11 = λ(E11 + E22 + E33) + 2µE11

T22 = λ(E11 + E22 + E33) + 2µE22

T33 = λ(E11 + E22 + E33) + 2µE33 (7.19)

T12 = 2µE12

T13 = 2µE13

T23 = 2µE23

Estas expressoes sao as equacoes constitutivas para um solido elastico linear isotropico. Asduas constantes de material λ e µ sao conhecidas como coeficientes ou constantes de Lame.Como as componentes Eij sao adimensionais, λ e µ possuem as mesmas dimensoes do tensor detensao, ou seja, forca por unidade de area. Para um dado material as constantes de Lame saodeterminadas atraves de experimentos adequados.

Adicionando as componentes de tensao T11, T22 e T33 dadas previamente verifica-se que

T11 + T22 + T33 = (2µ + 3λ)E11 + E22 + E33

Tkk = (2µ + 3λ)Ekk = (2µ + 3λ)e (7.20)

A partir daı, a expressao (7.18) pode ser invertida como

E =1

2µT − λ

2µeI =

1

2µT − λTkk

2µ(2µ + 3λ)I (7.21)

ou em forma de componentes

Eij =1

2µ

[

Tij −λ

3λ + 2µTkkδij

]

(7.22)

onde e =(

12µ+3λ

)

Tkk e a dilatacao volumetrica.

Se o estado de tensao e tal que apenas uma componente de tensao normal e nao zero,denomina-se o mesmo como estado uniaxial de tensao. O estado uniaxial de tensao e uma boaaproximacao para o estado de tensao numa barra cilindrıca para no ensaio de tensao. Tomando-se como e1 a direcao axial e supondo que T11 6= 0 e todas as outras componentes Tij = 0, tem-sea partir de (7.22)

E11 =1

2µ

[

T11 −λ

3λ + 2µT11

]

=λ + µ

µ(3λ + 2µ)T11 (7.23)

E22 = E33 = − λ

2µ(3λ + 2µ)T11 = − λ

2(λ + µ)E11 (7.24)

E12 = E13 = E23 = 0 (7.25)


A relacao T11/E11, correspondente a razao σ/εa do teste de tensao, e o modulo de Young oude elasticidade E. Assim, da expressao anterior para E11 vem que

E =µ(3λ + 2µ)

λ + µ(7.26)

A razoes −E22/E11 e −E33/E11, correspondente a razao entre as deformacoes axial εa etransversal εd do teste de tracao, e denominado coeficiente de Poisson. A partir de (7.24) vemque

ν =λ

2(λ + µ)(7.27)

Utilizando as expressoes para E e ν em (7.20) obtem-se as equaoes constitutivas comumenteusadas em engenharia

E11 =1

E[T11 − ν(T22 + T33)]

E22 =1

E[T22 − ν(T33 + T11)]

E33 =1

E[T33 − ν(T11 + T22)] (7.28)

E12 =1

2µT12

E13 =1

2µT13

E23 =1

2µT23

Observa-se que apesar das equacoes anteriores utilizarem tres constantes (µ, ν, E), apenasduas delas sao independentes para material isotropico. Eliminado λ a partir das expressoes paraE e ν vem que,

µ =E

2(1 + ν)(7.29)

Utilizando esta relacao em (7.22) vem que

Eij =1

E[(1 + ν)Tij − νTkkδij ] (7.30)

Se o estado de tensao e tal que apenas um par de tensoes de cisalhamento e nao zero,denomina-se o mesmo como estado de tensao de cisalhamento simples. Este estado de tensaopode ser descrito por T12 = T21 = τ e a partir de (7.29)

E12 = E21 =τ

2µ(7.31)

Definindo o modulo de cisalhamento G como a razao da tensao de cisalhamento τ pelodecrescimo do angulo entre elementos que inicialmente estao nas direcoes e1 e e2 tem-se que

τ

2E12= G (7.32)

Comparnado-se as duas expresoes anteriores, observa-se que o coeficiente de Lame µ etambem o modulo de cisalhamento G.


7.3 Fluido Newtoniano

7.3.1 Fluidos

A principal caracterıstica de um fluido e apresentar uma deformacao contınua quando sub-metido a tensoes cisalhantes. Por exemplo, ao se colocar agua entre duas placas paralelas,estando uma delas fixa e a outra submetida a uma tensao cisalhante, a agua ira se deformarindefinidamente com o tempo, se a tensao cisalhante nao for removida.

Desta forma, define-se um fluido como uma classe de materiais idealizados, os quais quandoem movimento de corpo rıgido (sendo o repouso um caso particular) nao resistem a qualquertensao cisalhante.

Matematicamente, quando um fluido esta em movimento de corpo rıgido, o vetor tensao tnum ponto do fluido, segundo um plano qualquer, e normal a este plano. Logo, sendo T o tensorde tensoes, tem-se para qualquer vetor normal n,

t = Tn = λn (7.33)

E possıvel mostrar que a magnitude λ do vetor de tensao e a mesma para qualquer planopassando sobre o ponto considerado. Desta maneira, em todos estes planos, nao apenas atensao cisalhante e nula, mas tambem as tensoes normais sao as mesmas. Denota-se esta tensaonormal como −p, denominando-se a mesma como pressao hidrostatica. Logo, para um fluidoem movimento de corpo rıgido, verifica-se que,

T = −pI (7.34)

7.3.2 Fluidos compressıveis e incompressıveis

Alguns fluidos, tais como a agua e o mercurio, sao denominados lıquidos, apresentando comoprincipal propriedade o fato que a densidade permanece a mesma para um grande intervalode valores de pressao. A partir daı, define-se um fluido incompressıvel como aquele onde adensidade ρ das partıculas permanece a mesma em qualquer tempo, independente do estado detensao. Logo, a seguinte relacao e valida,

Dρ

Dt= 0 (7.35)

onde D/Dt indica a derivada material.Sendo v o campo vetorial da velocidade do fluido, a equacao de conservacao da massa e dada

por,

Dρ

Dt+ ρdiv v = 0 (7.36)

Logo, substituindo (7.35) em (7.36), tem-se para um fluido incompressıvel,

div v = 0 (7.37)

Se a densidade ρ do fluido e constante em todas as partıculas, denomina-se o mesmo comofluido homogeneo. Todos os fluidos incompressıveis nao precisam ter uma densidade espacialuniforme. Por exemplo, a concentracao de sal na agua nos oceanos varia com a profundidade.Neste caso, tem-se um fluido nao-homogeneo.

Finalmente, substancias, tais como o ar e o vapor, onde a densidade varia com a pressao saotratados como fluidos compressıveis. No entanto, observa-se que em certas situacoes, pode-setratar a agua e o ar, respectivamente, como fluidos compressıvel e incompressıvel.


7.3.3 Equacao da hidrostatica

A equacao de equilıbrio estatico de um meio contınuo, em termos do tensor de tensao T, edada por (??). Tomando b como o campo vetorial das forcas de corpo por unidade de massavem que

div T + ρb = 0 (7.38)

Substituindo (7.34) na expressao anterior, obtem-se a equacao da hidrostatica,

∇p = ρb (7.39)

ou na forma de componentes,

∂p

∂xi= ρbi (7.40)

No caso onde bi sao as componentes do peso por unidade de massa e tomando x3 como oeixo vertical positivo para baixo, tem-se que,

∂p∂x1

= 0 ∂p∂x2

= 0 ∂p∂x3

= ρg (7.41)

As duas primeiras relacoes indicam que p e uma funcao apenas de x3. A ultima expressaofornece a diferenca de pressao entre dois pontos 1 e 2 no lıquido, ou seja,

p2 − p1 = ρgh (7.42)

sendo h a profundidade do ponto 2 relativa ao ponto 1. Logo, a pressao estatica no lıquidodepende apenas da profundidade. A pressao e a mesma para qualquer partıcula sobre ummesmo plano horizontal num fluido.

7.3.4 Fluido em movimento

Se o fluido esta se movimentando como um corpo rıgido, a equacao (7.38) deve incluir aaceleracao a. Logo,

div T + ρb = ρa (7.43)

Da mesma maneira, substituindo (7.34), vem que,

∇p + ρb = ρa (7.44)

O movimento da partıcula material X e dado pelas posicoes x ocupadas por X ao longo dotempo t, ou seja,

x = x(X, t) com x(X, to) = X

onde to e o tempo inicial. A partir daı, a velocidade v da partıcula X no tempo t e dada pelaseguinte derivada,

v =

(∂x

∂t

)

Xfixo

(7.45)


A aceleracao de uma partıcula e a taxa de variacao da velocidade v da partıcula. Portanto,a aceleracao e a derivada material da velocidade mantendo o ponto material X fixo, ou seja,

a =

(∂v

∂t

)

Xfixo

(7.46)

Observa-se que na expressao (7.43), considera-se uma descricao espacial da aceleracao, ouseja, a = a(x, t). Assim, deve-se tomar a derivada material ou total em (8.93), obtendo-se,

a =∂v

∂t+ (∇v)v (7.47)

Substituindo a expressao anterior em (7.43), vem que,

div T + ρb = ρ

[∂v

∂t+ (∇v)v

]

(7.48)

7.3.5 Fluido newtoniano

Quando uma tensao de cisalhamento e aplicada a um solido elastico, o mesmo se deformade sua configuracao inicial e alcanca um estado de equilıbrio com uma deformacao nao-nula, aqual desaparece quando a tensao e removida.

No caso de um fluido sobre a mesma condicao de carregamento, o mesmo se deformarade sua configuracao inicial atingindo, eventualmente, um estado de equilıbrio, onde o fluido sedeforma continuamente com uma taxa de deformacao nao-nula, a medida que a tensao vai sendoaplicada. Quando a tensao e removida, o fluido permanece exatamente no estado deformadoque se encontrava antes da remocao da forca.

Desta maneira, o estado de tensao num fluido, ao longo de um movimento cisalhante, eindependente da deformacao, mas e dependente da taxa de deformacao cisalhante. Para fluidosdeste tipo, nenhuma tensao de cisalhamento e necessaria para manter uma dada deformacao.Mas esta tensao dever estar presente para manter uma taxa de deformacao de cisalhamentoconstante.

O estado de tensao num fluido em movimento de corpo rıgido e dado pelo tensor isotropico(7.34). No caso de um movimento geral, decompoe-se o tensor de tensoes em duas partes,

T = −pI + T′ (7.49)

onde as componentes de T′ dependem apenas da taxa de deformacao, sendo nulas quando o fluidoestiver em movimento de corpo rıgido; p e um escalar cujo valor nao depende explicitamente dataxa de deformacao, sendo denominado pressao.

Define-se uma classe de materiais idealizados, denominada fluidos newtonianos ou fluidosviscosos lineares, atraves das seguintes hipoteses:

1. para qualquer ponto material, as componentes de T′, em qualquer tempo, dependemlinearmente das componentes do tensor taxa de deformacao

D =1

2

(

∇v + ∇vT)

em qualquer tempo e de nenhuma outra quantidade cinematica, tais como taxas mais altasde deformacao.


2. o fluido e isotropico em qualquer configuracao.

A partir destas hipoteses, pode-se escrever o tensor de tensao viscosa T′ como,

T′ = λ∆I + 2µD (7.50)

onde ∆ = tr D = D11 + D22 + D33, λ e µ sao constantes do material, possuindo unidades de(Forca)(Tempo) / (Comprimento)2. O coeficiente µ e a viscosidade do material, enquanto o

termo(

λ + 23µ)

representa a viscosidade volumetrica.

Logo, substituindo a expressao anterior em (7.49), tem-se a equacao constitutiva para umfluido newtoniano,

T = −pI + λ∆I + 2µD (7.51)

ou em forma de componentes

Tij = −pδij + λ∆δij + 2µDij (7.52)

ou ainda

T11 = −p + λ∆ + 2µD11

T22 = −p + λ∆ + 2µD22

T33 = −p + λ∆ + 2µD33

T12 = 2µD12

T13 = 2µD13

T23 = 2µD23

7.3.6 Fluido newtoniano incompressıvel

Para um fluido incompressıvel, a relacao (7.37) e valida, implicando que ∆ = tr (D) = 0.Assim, a partir de (7.51), a equacao constitutiva para um fluido newtoniano incompressıvel edada por,

T = −pI + 2µD (7.53)

Tomando-se o traco em ambos os lados da equacao anterior e lembrando que o fluido eincompressıvel (tr (D) = 0), vem que,

p = −1

3tr (T) (7.54)

Logo, para um fluido viscoso incompressıvel, a pressao possui o siginificado de tensao nor-mal media de compressao. O valor de p nao depende explicitamente de qualquer quantidadecinematica, sendo o seu valor indeterminado tomando-se apenas o comportamento mecanico dofluido. Desta maneira, como o fluido e incompressıvel, pode-se superpor qualquer pressao sob omesmo, sem afetar o seu comportamento mecanico. Assim, a pressao num fluido incompressıvel


e frequentemente conhecida como pressao indeterminada. Mas num dado problema, se condicoesde contorno para pressao estiverem prescritas, o campo de pressao sera determinado.

Em termos de componentes, a equacao constitutiva (7.53) e dada por,

T11 = −p + 2µ∂v1

∂x1

T22 = −p + 2µ∂v2

∂x2

T33 = −p + 2µ∂v3

∂x3

T12 = µ

(∂v1

∂x2+

∂v2

∂x1

)

T13 = µ

(∂v1

∂x3+

∂v3

∂x1

)

T23 = µ

(∂v2

∂x3+

∂v3

∂x2

)

Capıtulo 8

DINAMICA DE CORPOSRIGIDOS

Nesse capıtulo, apresentam-se conceitos de Dinamicas de Corpos Rıgidos (DCR) obtidos a partirdo enfoque da Mecanica do Contınuo. A DCR pode ser dividida no estudo da Cinematica eCinetica de corpos e partıculas. No caso da cinematica, o enfoque principal esta na descricaodo movimento, considerando apenas aspectos geometricos do sistema, sem se preocupar com ascausas do movimento. Na cinetica, considera-se o equilıbrio dinamico do sistema provenientedos esforcos aplicados e da forca de inercia.

Uma partıcula e considerada como um corpo cujas dimensoes nao sao relevantes para oestudo do problema, podendo ser tratada como um ponto do espaco Euclidiano. O tratamentode um corpo atraves de uma partıcula depende do objetivo desejado na descricao do movimento.

Inicialmente, considera-se uma revisao da serie de Taylor aplicada para funcoes escalarese vetoriais. Posteriormente, caracteriza-se a cinematica de um meio contınuo tridimensional eo caso particular do movimento de corpos rıgidos. A partir daı, apresentam-se os sistemas decoordenadas inercial e movel e as matrizes de transformacao de coordenadas entre esses sistemas.Derivam-se, entao, as expressoes da velocidade e aceleracao de partıculas e corpos rıgidos.

8.1 Serie de Taylor

Seja f(x) uma funcao da variavel x. Assim, para cada valor de x, f(x) fornece um numero realou escalar. Por exemplo, f(x) pode representar o deslocamento axial num problema de barra, ouainda o deslocamento transversal num problema de flexao de vigas. Pode-se expandir a funcaof na vizinhanca de x utilizando a serie de Taylor, ou seja,

f(y) = f(x) +df(x)

dxd +

1

2

d2f(x)

dx2d2 + . . . +

1

n!

d(n)f(x)

dx(n)dn +

1

(n + 1)!dn+1

= f(x) +df(x)

dxd + O(d2), (8.1)

sendo d = (y−x) e O(d2) um termo de ordem d2. Isso significa que quando y se aproxima de x,ou seja, quando d = (y − x) vai para zero, d2 tende a zero mais rapidamente. Logo,

limy→x

d2

y − x= lim

y→x

(y − x)2

y − x= lim

y→x(y − x) = 0. (8.2)

Suponha agora que f e uma funcao que fornece valores escalares, mas depende das variaveisx, y e z. Pode-se dizer que f depende do vetor posicao x = (x, y, z) de um ponto do corpo solido,

181


denotando-se como f = f(x) = f(x, y, z). Utilizando-se a serie de Taylor, pode-se expandir fem torno de x da seguinte maneira

f(y) = f(x) + ∇fT (x)d+O(‖d‖2), (8.3)

sendo d =(y − x) o vetor diferenca entre as posicoes y = (x′, y′, z′) e x = (x, y, z). A normaeuclidiana de d e indicada por ‖d‖ e ‖d‖2 = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 + (z′ − z)2. Assim, O(‖d‖2) eum termo de ordem ‖d‖2.

Como f e agora uma funcao de 3 variaveis, a primeira derivada dfdx em (8.1) e substituıda

pelo vetor gradiente de f , ou seja

∇f(x) =

∂f(x)∂x

∂f(x)∂y

∂f(x)∂z

. (8.4)

Por sua vez, o termo O(‖d‖2) significa que o mesmo vai para zero mais rapidamente do quea norma ‖d‖quando y tende a x, isto e,

limy→x

‖d‖2

‖y − x‖ = limy→x

‖y − x‖2

‖y − x‖ = limy→x

‖y − x‖ = 0. (8.5)

Seja f agora uma funcao vetorial dependente das variaveis x, y e z, ou seja, f = f(x) =f(x, y, z). Desta maneira, f tem componentes nas direcoes x, y e z. Logo,

f(x) =

fx(x)fy(x)fz(x)

. (8.6)

Expandindo f em torno do ponto x, tem-se que

f(y) = f(x) + ∇f(x)d+O(‖d‖2). (8.7)

Nesse caso, o gradiente de f(x) e dado por

∇f(x) =[

∂f(x)∂x

∂f(x)∂y

∂f(x)∂z

]

. (8.8)

Por sua vez como f e uma funcao vetorial, cada um dos componentes do lado direito daequacao (8.8) e um vetor analogo ao da equacao (8.4). Expandindo cada um dos componentesvem que

[∇f(x)] =

∂fx(x)∂x

∂fx(x)∂y

∂fx(x)∂z

∂fy(x)∂x

∂fy(x)∂y

∂fy(x)∂z

∂fz(x)∂x

∂fz(x)∂y

∂fz(x)∂z

, (8.9)

Assim, o gradiente de uma funcao vetorial f dependente do vetor posicao x = (x, y, z) e umamatriz de ordem 3. Na verdade a equacao (8.9) e a representacao matricial do tensor ∇f(x)segundo o sistema cartesiano. Observe que ao se multiplicar a representacao matricial do ten-sor ∇f dada em (8.9) por um vetor v com componentes cartesianas (vx, vy, vz), tem-se comoresultado um outro vetor, ou seja,

∂fx

∂x∂fx

∂y∂fx

∂z∂fy

∂x∂fy

∂y∂fy

∂z∂fz

∂x∂fz

∂y∂fz

∂z

vx

vy

vz

=

∂fx

∂x vx + ∂fx

∂y vy + ∂fx

∂z vz∂fy

∂x vx +∂fy

∂y vy +∂fy

∂z vz∂fz

∂x vx + ∂fz

∂y vy + ∂fz

∂z vz

.


Torna-se importante aqui estabelecer o conceito de tensor. De forma analoga ao caso devetores, tem-se uma definicao formal do conceito de tensor. Apenas quando se utiliza umsistema de coordenadas, pode-se falar das componentes de um tensor. Assim, formalmente,define-se um tensor T como uma transformacao linear do espaco vetorial V em V denotando-secomo

Tu = v. (8.10)

Isto implica que ao se aplicar o tensor T num vetor qualquer u, tem-se como resultado o vetorv. Como a transformacao e linear, as seguintes propriedades sao validas

T(u + v) = Tu + Tv, (8.11)

T(αu) = α(Tu), (8.12)

sendo α um numero escalar.As equacoes (8.10) e (8.12) definem um tensor. Utilizando um sistema de coordenadas com

uma base e1, e2, e3, definem-se as componentes de T como

Tij = eı · Tej.

Desta maneira, em termos de componentes

[T] = [Tij ] =

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

.

8.2 Cinematica de um Meio Contınuo

Considere um corpo tridimensional B e um sistema de referencia cartesiano ilustrados na Figura8.1. Seja P1 um ponto qualquer do corpo B com coordenadas (x, y, z) segundo o sistema dereferencia adotado, denotando-se P1(x, y, z). Sendo ex, ey, ez uma base ortonormal do sistemade referencia, o vetor posicao rP1 do ponto P1 e definido como

rP1 = xex + yey + zez.

Suponha agora que o corpo B sofra um deslocamento. Neste caso, o ponto P1 assume a posicaofinal P ′

1(x′, y′, z′) e o respectivo vetor posicao e dado por

rP ′

1= x′ex + y′ey + z′ez.

Define-se o vetor deslocamento u do ponto P1 como a diferenca entre as suas posicoes final(x′, y′, z′) e inicial (x, y, z), ou seja,

u = rP ′

1− rP1 = (x′ − x)ex + (y′ − y)ey + (z′ − z)ez. (8.13)

Observa-se que u = (x′−x), v = (y′−y) e w = (z′−z) sao, respectivamente, as componentes dovetor deslocamento u nas direcoes x, y e z. Logo, a expressao anterior pode ser reescrita como

u =uex + vey + wez , (8.14)

ou em forma matricial,

u =

uvw

. (8.15)


Figura 8.1: Cinematica de um corpo solido.

Devido a hipotese de meio contınuo, o corpo B possui infinitos pontos. Cada um destes pontosapresenta um vetor deslocamento u quando o corpo se move. Logo, a cinematica de um corposolido e descrita por infinitos vetores deslocamentos iguais ao vetor (8.15). Estes infinitos vetoresdefinem um campo vetorial de deslocamento u(x, y, z). Assim, ao se substituir as coordenadas(x, y, z) de um ponto arbitrario P1, u(x, y, z) fornece o respectivo vetor de deslocamentos u doponto de acordo com (8.15). Assim, a cinematica de um corpo solido e dada pelo campo vetorialde deslocamentos

u(x, y, z) = u(x, y, z)ex + v(x, y, z)ey + w(x, y, z)ez =

u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)

. (8.16)

Deseja-se agora caracterizar a variacao de distancia entre dois pontos arbitrarios do corposolido antes e depois da acao de deslocamento. Isto permitira definir o que se entende pordeformac ao do corpo solido. Considere os pontos arbitrarios P1(x, y, z) e P2(x+∆x, y+∆y, z+∆z) ilustrados na Figura 8.2 e seus respectivos vetores posicao

rP1 = xex + yey + zez (8.17)

e

rP2 = (x + ∆x)ex + (y + ∆y)ey + (z + ∆z)ez.

De acordo com a Figura 8.2, a distancia d entre os pontos P1 e P2 e dada pela diferencaentre o seus vetores posicao, ou seja,

d = rP2 − rP1 = ∆xex + ∆yey + ∆zez.

Apos a acao de deslocamento do corpo de acordo com a cinematica (8.16), os pontos P1 e P2

assumem, respectivamente, as posicoes finais P ′1(x

′, y′, z′) e P ′2(x

′ + ∆x′, y′ + ∆y′, z′ + ∆z′) comos seguintes vetores posicao

rP ′

1= x′ex + y′ey + z′ez (8.18)

e

rP ′

2= (x′ + ∆x′)ex + (y′ + ∆y′)ey + (z′ + ∆z′)ez. (8.19)


Portanto, a distancia d′ entre os pontos P1 e P2 apos o deslocamento do corpo e dada por

d′ = rP ′

2− rP ′

1= ∆x′ex + ∆y′ey + ∆z′ez.

Figura 8.2: Deformacao de um Corpo Solido

A partir da Figura 8.2 e adotando procedimento analogo ao utilizado na obtencao da equacao(8.16), tem-se que os vetores deslocamento dos pontos P1 e P2 entre as configuracoes inicial efinal sao dados, respectivamente, por

u(x) = rP ′

1− rP1 = u(x)ex + v(x)ey + w(x)ez ,

u(x′) = rP ′

2− rP2 = u(x′)ex + v(x′)ey + w(x′)ez,

sendo x = (x, y, z) e x′ = (x + d) = (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z).A partir destas expressoes, pode-se escrever os vetores posicao dos pontos P ′

1 e P ′2 em funcao

de seus vetores deslocamento, ou seja,

rP ′

1= rP1 + u(x)

= [x + u(x)] ex + [y + v(x)] ey + [z + w(x)] ez,

rP ′

2= rP2 + u(x′)

=[x + ∆x + u(x′)

]ex +

[y + ∆y + v(x′)

]ey +

[z + ∆z + w(x′)

]ez.

Portanto, expressa-se d′ como

d′ = rP ′

2− rP ′

1= (∆x + ∆u)ex + (∆y + ∆v)ey + (∆z + ∆w)ez , (8.20)

sendo a diferenca dos deslocamentos entre os pontos P1 e P2 nas direcoes x, y e z dados por

∆u = u(x′) − u(x) = u(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − u(x, y, z),

∆v = v(x′) − v(x) = v(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − v(x, y, z),

∆w = w(x′) − w(x) = w(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − w(x, y, z).

Finalmente, a variacao de distancia ∆d e dada por

∆d = d′ − d =∆uex + ∆vey + ∆wez. (8.21)


Expandindo u(x) na vizinhanca de x de forma analoga a equacao (8.7) vem que (nesse caso,assume-se ‖d‖ pequeno)

u(x + d) = u(x) + ∇u(x)d+O(‖d‖2), (8.22)

sendo ∇u(x) o tensor gradiente do campo de deslocamentos calculado em x, cuja representacaono sistema cartesiano e dada por

[∇u] =

∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∂v∂x

∂v∂y

∂v∂z

∂w∂x

∂w∂y

∂w∂z

. (8.23)

Observe que o tensor gradiente do campo de deformacao pode ser escrito como

∇u =1

2∇u +

1

2∇u

=1

2∇u +

1

2∇uT +

1

2∇u− 1

2∇uT (8.24)

=1

2[∇u + ∇uT ] +

1

2[∇u−∇uT ]. (8.25)

Neste caso, ∇uT e o tensor transposto de ∇u. Para se obter a representacao matricial de ∇uT

no sistema cartesiano, basta trocar as linhas pelas colunas em (8.23), ou seja,

[∇uT ] =

∂u∂x

∂v∂x

∂w∂x

∂u∂y

∂v∂y

∂w∂y

∂u∂z

∂v∂z

∂w∂z

. (8.26)

Definem-se os tensores de deformacao E(x) e rotacao Ω(x) infinitesimais, respectivamente,como

E =1

2[∇u + ∇uT ], (8.27)

Ω =1

2[∇u−∇uT ]. (8.28)

A representacao matricial do tensor de pequenas deformacoes E no sistema cartesiano eobtida substituindo (8.23) e (8.26) em (8.27). Efetuando as operacoes indicadas vem que

[E)] =

∂u∂x

12

(∂v∂x + ∂u

∂y

)12

(∂w∂x + ∂u

∂z

)

12

(∂u∂y + ∂v

∂x

)∂v∂y

12

(∂w∂y + ∂v

∂z

)

12

(∂u∂z + ∂w

∂x

)12

(∂v∂z + ∂w

∂y

)∂w∂x

. (8.29)

As componentes cartesianas de E representam as componentes de deformacao em cada pontodo corpo solido. E comum escrever o tensor de deformacao infinitesimal da seguinte maneira

[E] =

εxx γxy γxz

γyx εyy γyz

γzx γzy εzz

. (8.30)

As componentes da diagonal principal εxx, εyy e εzz representam as deformacoes especıficas nasdirecoes x, y e z calculadas no ponto x. As componentes fora da diagonal principal sao as


componentes de deformacao cisalhante ou distorcao. A primeira letra em γxy indica o plano x,enquanto o subscrito y indica a direcao da deformacao. Analogamente, para γxz e γyz.

O tensor E e simetrico pois

γxy = γyx, γxz = γzx, γyz = γzy . (8.31)

Em geral, a simetria de um tensor T e definida como

T = TT . (8.32)

Em termos de componentes, isto implica que

T12 = T21, T13 = T31, T23 = T32 , (8.33)

ou de forma geral

Tij = Tji, i, j = 1, 2, 3 . (8.34)

Analogamente, obtem-se as componentes do tensor de rotacao infinitesimal Ω substituindo(8.23) e (8.26) em (8.28). Logo,

[Ω] =

0 12

(∂u∂y − ∂v

∂x

)12

(∂u∂z − ∂w

∂x

)

−12

(∂u∂y − ∂v

∂x

)

0 12

(∂v∂z − ∂w

∂y

)

−12

(∂u∂z − ∂w

∂x

)

−12

(∂v∂z − ∂w

∂y

)

0

. (8.35)

Pode-se escrever o tensor Ω da seguinte maneira

[Ω] =

0 −Ωz Ωy

Ωz 0 −Ωx

−Ωy Ωx 0

, (8.36)

pois Ωx, Ωy e Ωz indicam as rotacoes infinitesimais de cada ponto x em torno dos eixos cartesianosx, y e z respectivamente.

Para verificar que isto e verdadeiro, considere o elemento diferencial de um meio solidosofrendo uma distorcao γ1 no plano xy, conforme mostrado na Figura 8.3a. Observe que adiagonal do elemento apresenta uma rotacao Ω1 em torno do eixo z no sentido anti-horario. Dosangulos indicados na Figura 8.3(a), as seguintes relacoes sao validas

2β = 2α + γ1 ⇒ β = α +1

2γ1, (8.37)

β + Ω1 = α + γ1. (8.38)


α +1

2γ1 + Ω1 = α + γ1 ⇒ Ω1 =

1

2γ1. (8.39)

Considerando agora que o elemento sofra uma distorcao γ2, mostrada na Figura 8.3(b), tem-se que a diagonal do elemento apresenta uma rotacao Ω2 em torno de z no sentido horario e,portanto, de valor negativo. Da Figura 8.3(b),

2β = 2α + γ2 ⇒ β = α +1

2γ2, (8.40)


β − Ω2 = α + γ2, (8.41)

e substituindo (8.40) em (8.41)

Ω2 = −1

2γ2. (8.42)

Para o caso geral, onde o elemento sofre uma distorcao total γ1 + γ2 (ver Figura 8.3(c)), adiagonal apresenta uma rotacao rıgida local Ωz dada por

Ωz = Ω1 + Ω2. (8.43)

Substituindo (8.39) e (8.42) em (8.43) e lembrando que γ1 = ∂v∂x e γ2 = ∂u

∂y vem que

Ωz =1

2

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)

. (8.44)

Analogamente, para os demais planos (ver Figuras 8.3(d) e 8.3(e)), tem-se que

Ωx =1

2

(∂v

∂z− ∂w

∂y

)

, (8.45)

Ωy =1

2

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)

. (8.46)

Observe ainda de (8.36) que o tensor Ω e anti-simetrico. De forma geral, um tensor T eanti-simetrico se

T = −TT . (8.47)

Em termos de componentes, isto implica que

T12 = −T21, T13 = −T31, T23 = −T32 , (8.48)

T11 = T22 = T33 = 0, (8.49)

ou de forma geral, para i, j = 1, 2, 3

Tij = −Tji, i 6= j , (8.50)

Tij = 0 i = j . (8.51)

Substituindo (8.27) e (8.28) em (8.25) tem-se que

∇u = E + Ω, (8.52)

ou seja, o tensor gradiente de deslocamento e dado pela soma de um tensor simetrico E e umtensor anti-simetrico Ω. Esta decomposicao e valida para qualquer tensor A. Logo,

A = AS+AA, (8.53)

sendo as partes simetrica AS e anti-simetrica AA de A dadas, respectivamente, por

AS =1

2(A + AT ), (8.54)

AA =1

2(A − AT ). (8.55)


Diz-se assim que E e Ω representam, respectivamente, as partes simetrica e anti-simetricado gradiente de u, denotando-as da seguinte forma

E = ∇Su, (8.56)

Ω = ∇Au. (8.57)

Substituindo agora (8.52) em (8.22) vem que

u(x + d) = u(x) + E(x)d + Ω(x)d+O(‖d‖2). (8.58)

Esta relacao e bastante importante, pois mostra que o campo de deslocamentos de ummeio contınuo tridimensional contem uma parcela relativa a deformacao infinitesimal, dada pelotensor E, e outra compreendendo uma rotacao infinitesimal, dada pelo tensor Ω. Logo, apenasas componentes de deformacao em E nao sao suficientes para levar um corpo da sua configuracaooriginal ate a sua configuracao deformada. Uma rotacao rıgida infinitesimal ocorre na vizinhancade cada ponto do corpo.

Para ilustrar este fato considere a viga em balanco tratada como uma chapa, conformeilustrado na Figura 8.4(a). Suponha que a viga seja construıda de chapas unidas atraves depinos. A Figura 8.4(b) ilustra a geometria deformada da viga conforme esperado. Removendoos pinos da parte superior e fletindo cada chapa separadamente, observa-se que, se a rotacaorıgida nao estiver presente, a geometria deformada obtida nao e correta (ver Figura 8.4(c)), amenos que exista uma rotacao rıgida local em torno de cada ponto. Logo, este exemplo simplesmostra que a parcela da rotacao infinitesimal (8.58) esta sempre presente quando um corpo sofreuma deformacao.

Considerando agora que os pontos y = x + d e x estejam bem proximos, tem-se que a normado vetor d e bem pequena. Assim, na equacao (8.58), despreza-se o termo O(‖d‖2) e obtem-sea seguinte expressao para o campo de deslocamentos infinitesimal na vizinhanca de y = x + d

u(x + d) = u(x) + E(x)d + Ω(x)d, (8.59)

ou ainda,

u(x + d) = u(x) + ∇u(x)d. (8.60)

8.3 Cinematica de Corpo Rıgido

Um corpo rıgido e aquele para o qual a distancia entre dois pontos quaisquer nao varia paratoda acao de movimento. Assim, como nao ha deslocamentos relativos entre os pontos, ascomponentes de deformacao do tensor E sao todas nulas. Alem disso, as componentes do tensorde rotacao infinitesimal Ω sao constantes para todos os pontos do corpo. De fato, como sera vistoadiante, o tensor Ω e a parte anti-simetrica de um tensor de rotacao. A partir daı, a equacaode deslocamento de um meio contınuo dada em (8.59) reduz-se no caso de corpos rıgidos a

u(x + d) = u(x) + Ωd. (8.61)

Observe entao que no caso de uma deformacao rıgida, o gradiente do campo de deslocamen-tos ∇u e constante e reduz-se ao tensor Ω. Denomina-se deformacao homogenea aquela cujogradiente do campo de deslocamento ∇u e constante para todos os pontos x do corpo. Observa-se que nesse caso o termo O(‖d‖2) em (8.58) e nulo, pois sendo ∇u constante, os demais termosda serie de Taylor sao automaticamente iguais a zero.


Associado a todo tensor anti-simetrico Ω, existe um vetor axial ω, tal que

Ωd = ω × d, (8.62)

para todo vetor d = d1 d2 d3T . Nesse caso, as componentes do vetor ω sao Ωx, Ωy e Ωz, ouseja, as rotacoes rıgidas em torno dos eixos x, y e z. Para verificar isto, basta expandir os doislados da expressao anterior, isto e,

Ωd =

0 −Ωz Ωy

Ωz 0 −Ωx

−Ωy Ωx 0

d1

d2

d3

=

d3Ωy − d2Ωz

d1Ωz − d3Ωx

d2Ωx − d1Ωy

, (8.63)

ω × v =

ex ey ez

ω1 ω2 ω3

d1 d2 d3

d1

d2

d3

=

d3ω2 − d2ω3

d1ω3 − d3ω1

d2ω1 − d1ω2

. (8.64)

Portanto,

ω1 = Ωx

ω2 = Ωy

ω3 = Ωz

. (8.65)

Fisicamente, as componentes do vetor ω representam os angulos de orientacao do corpo emrelacao aos eixos x, y e z.

Com base nesses resultados, pode-se reescrever (8.61) como

u(x + d) = u(x) + ω × d. (8.66)

Considere agora o caso particular de uma translacao a partir de uma posicao. Como todosos pontos do corpo sofrem o mesmo deslocamento, tem-se

u(x + d) = u(x). (8.67)

Substituindo esta relacao em (8.66) vem que

ω × d = 0. (8.68)

Como d e a distancia entre dois pontos arbitrarios do corpo, entao a expressao anterior e nulase o vetor axial e nulo, ou seja,

ω = 0, (8.69)

o que era esperado, pois trata-se de uma translacao.Dessa forma, tem-se que o campo de deslocamentos u0 para uma translacao e constante para

todos os pontos do corpo, denotando-se

u(x) = u(x + d) = u0 =

u0

v0

w0

, (8.70)

sendo u0, v0 e w0 as componentes de translacao nas direcoes x, y e z.Considere agora uma rotacao rıgida do corpo em torno do ponto P1. Alem disso, suponha

que o sistema de referencia cartesiano esteja centrado em P1, conforme ilustrado na Figura 8.5. Nesse caso, o deslocamento u(x) do ponto P1 na equacao (8.58) e nulo. Portanto,

u(x + d) = ω × d. (8.71)


Exemplo 8.1 Seja Q um tensor de rotacao e m um vetor unitario na direcao do eixo derotacao. Mostrar que o vetor axial ω associado a parte anti-simetrica QA de Q e paralelo a m.

Como m e paralelo ao eixo de rotacao, tem-se

Qm = m. (8.72)

Portanto, (QTQ)m = QT m. Como QTQ = I, vem que

QTm = m. (8.73)

Subtraindo (8.73) de (8.72), obtem-se

(Q − QT )m = 0.

Como o tensor (Q − QT ) e anti-simetrico, tem-se Subtraindo (8.73) de (8.72), obtem-se

(Q − QT )m = 2ω × m = 0.

Para que o produto vetorial anterior seja nulo, o vetor axial ω deve ser paralelo a m.2

Como mencionado anteriormente, no caso de cinematica de corpo rıgido, o tensor Ω e igual aparte anti-simetrica de um tensor ortogonal Q.

Exemplo 8.2 Considere a seguinte representacao matricial de um tensor ortogonal Q que cor-responde a rotacao em torno do vetor e3 de um angulo θ no sentido anti-horario, ou seja,

[T] =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

.

Mostrar que o vetor axial associado a parte anti-simetrica de T e dado por ω = (sin θ)e3.A parte anti-simetrica de T e dada por

[TA] =1

2

(

[T] + [TT ])

=

0 − sin θ 0sin θ 0 0

0 0 0

.

A partir daı, o vetor axial e dado por

ω = (sin θ)e3 = 0 0 sin θT .

De forma geral, para rotacao em torno de um eixo m e ω = (sin θ)m.2

Para ilustrar o exemplo anterior, considere a rotacao de um retangulo de 90 graus em tornodo eixo z, como ilustrado na Figura 8.6. O vetores posicao inicial e final da diagonal do retangulosao, respectivamente, rOA = a b 0T e rOA′ = −b a 0T . Esse ultimo vetor e obtido por

cos(90o) sin(90o) 0− sin(90o) cos(90o) 0

0 0 1

ab0

=

−ba0

,

ou ainda,

ω × rOA =

0 0 sin(90o)T

×

a b 0T

=

−b a 0T

.


Um movimento geral de corpo rıgido sera dado pela superposicao dos movimentos de translacaoe rotacao, expressos por (8.70) e (8.66). Assim, uma acao rıgida geral pode ser escrita como

u(x) = u0 + ω × d. (8.74)

Como esperado, um corpo tridimensional tem 6 movimentos rıgidos, correspondentes as 3translacoes nas direcoes x, y e z e 3 rotacoes em torno dos eixos x, y e z. No caso do movimentode partıculas no espaco, considera-se apenas as 3 translacoes em x, y e z.

8.4 Sistemas de Referencia Inercial e Movel

Para facilitar a descricao de movimentos rıgidos complexos de partıculas e corpos, torna-sefundamental trabalhar com um sistema de referencia fixo, denominado inercial, e varios sistemasmoveis de referencia. A ideia basica e decompor o movimento geral em varias acoes simples demovimento, as quais sao descritas nos sistemas moveis de referencia. Esses movimentos simplessao entao superpostos de forma conveniente para se obter o movimento absoluto do sistema.

O sistema inercial esta fixo em um ponto O do espaco e sera denotado por I(x, y, z) com baseeI

x, eIy, e

Iz. Os sistemas moveis estarao fixados aos corpos, o que significa que acompanharao

o movimento dos mesmos, e serao indicados por Bi(xi, yi, zi) com bases eBix , eBi

y , eBiz , sendo i

o numero do sistema movel. A Figura 8.7 ilustra um corpo rıgido e os sistemas de referenciainercial e movel.

Torna-se essencial estabelecer relacoes entre os sistemas de referencia moveis empregados emuma analise e o sistema inercial. Isso permitira representar grandezas em quaisquer um dossistemas utilizados. Para isso, empregam-se as matrizes de transformacao de coordenadas, asquais sao representacoes matriciais de tensores ortogonais. As matrizes permitirao transformarum vetor de um sistema de coordenadas para outro qualquer. Para obter as matrizes de trans-formacao, consideram-se os casos particulares nos quais o sistema movel esta transladando erotacionando em relacao ao sistema de coordenadas inercial.

Quando o sistema movel Bi translada em relacao ao sistema inercial I, os vetores das basesdos dois sistemas permanecem paralelos. Consequentemente,

eIx = eBi

x , eIy = eBi

y , eIz = eBi

z .

De forma matricial, tem-se

eBix

eBiy

eBiz

=

1 0 00 1 00 0 1

eIx

eIy

eIz

. (8.75)

Portanto, quando o sistema movel de referencia esta transladando em relacao ao inercial, amatriz de transformacao de coordenadas reduz-se a matriz identidade de ordem 3, a qual econstante no tempo.

Logo, pode-se transformar o vetor rI expresso no sistema inercial para o movel Bi e vice-versa, respectivamente, por

rBi = IrI e rI = I−1rBi = IrBi . (8.76)

Considere agora que o sistema movel Bi esta girando de um angulo α em torno do eixo zdo sistema inercial no sentido anti-horario e que a origem dos dois sistemas coincidam, comoilustrado na Figura 8.8(a). Observe que o angulo α pode variar com o tempo, o que e expresso


como α = α(t). Tomando a projecao dos vetores da base Bi na direcao dos vetores da baseinercial I (ver Figura 8.8(b)), obtem-se

eBix = cos αeI

x + sin αeIy + 0eI

z,

eBiy = − sin αeI

x + cos αeIy + 0eI

z,

eBiz = 0eI

x + 0eIy + 1eI

z .

Matricialmente, denota-se

eBix

eBiy

eBiz

=

cos α sin α 0− sin α cos α 0

0 0 1

eIx

eIy

eIz

. (8.77)

A partir daı, pode-se transformar o vetor rI expresso no sistema inercial para o movel Bi evice-versa, respectivamente, por

rBi = TαrI e rI = T−1

α rBi = TTαrBi . (8.78)

Empregou-se na relacao anterior o fato da matriz de transformacao Tα ser um tensor de rotacaoe portanto T−1

α = TTα .

Para o caso que o sistema movel Bi esta girando de um angulo β = β(t) anti-horario emtorno do eixo y do sistema inercial, como ilustrado na Figura 8.8(c), a projecao dos vetores dabase Bi na direcao dos vetores da base inercial I (ver Figura 8.8(d)) resulta

eBix = cos βeI

x + 0eIy − sin βeI

z,

eBiy = 0eI

x + 1eIy + 0eI

z ,

eBiz = sin βeI

x + 0eIy + cos βeI

z.


eBix

eBiy

eBiz

=

cos β 0 − sinβ0 1 0

sin β 0 cos β

eIx

eIy

eIz

. (8.79)


rBi = TβrI e rI = T−1

β rBi = TTβ rBi . (8.80)

Finalmente, para o caso que o sistema movel Bi esta girando de um angulo γ = γ(t) anti-horario em torno do eixo x do sistema inercial, como ilustrado na Figura 8.8(e), a projecao dosvetores da base Bi na direcao dos vetores da base inercial I (ver Figura 8.8(f)) resulta

eBix = 1eI

x + 0eIy + 0eI

z ,

eBiy = 0eI

x + cos γeIy + sin γeI

z,

eBiz = 0eI

x − sin γeIy + cos γeI

z.


eBix

eBiy

eBiz

=

1 0 00 cos γ sin γ0 − sin γ cos γ

eIx

eIy

eIz

. (8.81)



rBi = TγrI e rI = T−1

γ rBi = TTγ rBi . (8.82)

As matrizes de rotacao anteriores variam com o tempo e permitem transformar um vetorrepresentado no sistema inercial para o sistema movel de referencia. Ja as transpostas dessasmatrizes transformam vetores dos sistemas moveis para o inercial.

8.5 Vetores de Posicao, Velocidade e Aceleracao

Considere o vetor po A Figura 8.7 ilustra os sistemas de referencia inercial I(x, y, z) e movelBi(xi, yi, zi) associado a um corpo rıgido B. Da Figura 8.7, o vetor posicao do ponto B podeser escrito como

rIOB = rI

OA + rIAB (8.83)

Como o vetor rAB esta sob o corpo B, e mais conveniente expressa-lo na base Bi. Paraisso, emprega-se a matriz de transformacao T entre os sistemas movel Bi e inercial I comorIAB = TTrBi

AB . Substituindo a expressao anterior em (8.83), obtem-se

rIOB = rI

OA + TT rBiAB (8.84)

Deseja-se agora determinar a equacao do vetor de velocidade absoluta do ponto B. Nessecaso, deriva-se (8.84) em relacao ao tempo, ou seja,

d

dtrIOB =

d

dtrIOA +

d

dt

(

TT rBiAB

)

=d

dtrIOA +

dTT

dtrBiAB + TT drBi

AB

dt. (8.85)

Para se obter a velocidade absoluta de B, deve-se representar todos os vetores no sistema dereferencia inercial. Logo, substituindo rBi

AB = TrIAB vem que

d

dtrIOB =

d

dtrIOA +

dTT

dtTrI

AB + TT drBiAB

dt.

Como mostrado no exemplo abaixo, o tensor dTT

dt T e anti-simetrico. Usando o vetor axial ωI

associado a dTT

dt T, pode-se escrever a forma final da equacao da velocidade absoluta do pontoB como

vIB = vI

A + ωI × rIAB + vI

rel, (8.86)

sendo vIrel = TT dr

BiABdt o vetor de velocidade relativa entre os pontos A e B expresso no sistema

inercial. Esse termo e obtido derivando-se o vetor posicao rBiAB no sistema movel de referencia

Bi e depois multiplicando o vetor resultante por TT para ter a sua representacao no sistemainercial. O vetor ωI representa a velocidade angular absoluta do sistema movel Bi em relacaoao sistema inercial. Para rotacoes positivas em tornos dos eixos inerciais x, y e z, os respectivosvetores sao ωI = α 0 0T , ωI = 0 β 0T e ωI = 0 0 γT . O vetor vI

A representa a velocidadeabsoluta com que o ponto A do sistema movel esta transladando em relacao ao sistema inercial.

A expressao anterior e valida para o caso de partıculas. Como B e rıgido, a distancia entre

dois pontos quaisquer nao varia com o tempo e portantodr

BiABdt = 0. Logo,

vIB = vI

A + ωI × rAB . (8.87)


Exemplo 8.3 Dado um tensor ortogonal Q (t), mostrar que(

dQT /dt)

Q e um tensor anti-

simetrico.Como Q (t) e ortogonal, tem-se que QTQ = I. Portanto,

d

dt

(

QTQ)

=dQT

dtQ + QT dQ

dt= 0 → dQT

dtQ = −QT dQ

dt. (8.88)

Como dQT

dt =(

dQdt

)T, tem-se que

(dQ

dt

)T

Q = −QT dQ

dt.

Mas,

(

QT dQ

dt

)

=

(

dQ

dt

T

Q

)T

.

Logo,

(dQ

dt

)T

Q = −[(

dQ

dt

)T

Q

]T

.

Analogamente, observa-se que QT dQdt e tambem anti-simetrico, pois

dQT

dtQ =

(

QT dQ

dt

)T

.

Substituindo a relacao anterior em (8.88) tem-se

QT dQ

dt= −

(

QT dQ

dt

)T

.

Portanto, QT dQdt e anti-simetrico.

Dado um vetor v qualquer e os vetores axiais ω1 e ω2 vem que[(

dQ

dt

)T

Qv

]

= ω1 × v,

(

QT dQ

dt

)

v = ω2 × v.

A partir de (8.88), tem-se que

ω1 × v = −ω2 × v → ω1 = −ω2. (8.89)

2

Exemplo 8.4 Considere a matriz de transformacao dada por (8.77). Mostrar que(

dTTα/dt

)

Tα

e anti-simetrica e que o vetor axial correspondente representa a velocidade angular do sistemamovel.

Observe que(

dTTα/dt

)

Tα e anti-simetrico pois

(

dTTα

dt

)

Tα =

−α sin α −α cos α 0α cos α −α sinα 0

0 0 0

cos α sin α 0− sin α cos α 0

0 0 1

=

0 −α 0α 0 00 0 0

.

O vetor axial associado e ωI = 0 0 αT que corresponde a velocidade angular absoluta dosistema movel expressa no sistema inercial.

2


Para obter a aceleracao absoluta do ponto B, deriva-se (8.85) em relacao tempo. Logo,

d2

dt2rIOB =

d2

dt2rIOA +

d

dt

(

dTT

dtrBiAB

)

+d

dt

(

TT drBiAB

dt

)

, (8.90)

ou ainda,

aIB = aI

A +d2TT

dt2rBiAB + 2

dTT

dt

drBiAB

dt+ TT d2rBi

AB

dt2, (8.91)

Os vetores vBirel =

drBiABdt e aBi

rel =d2r

BiAB

dt2 representam a velocidade e a aceleracao relativasentre os pontos A e B expressas no sistema movel Bi. Esses vetores sao expressos no sistemainercial, respectivamente, como vI

rel = TTvBiAB e aI

rel = TTaBiAB. Substituindo essas relacoes e

rBiAB = TrI

AB em (8.91) vem que

aIB = aI

A +d2TT

dt2TrI

AB + 2dTT

dtTvI

rel + aIrel. (8.92)

Lembrando que dTT

dt T e um tensor anti-simetrico e usando o vetor axial ω associado, tem-seque

aIB = aI

A +d2TT

dt2TrI

AB + 2ω × vIrel + aI

rel. (8.93)

O termo 2ω×vIrel corresponde a aceleracao de Coriolis e resulta da variacao da direcao do vetor

de velocidade relativa vIrel ao girar com uma velocidade angular ωI .

O segundo termo da expressao anterior pode ser reescrito a partir da seguinte relacao

d

dt

(

dTT

dtT

)

=d2TT

dt2T +

dTT

dt

dT

dt=

d2TT

dt2T +

(

dTT

dtT

)(

TT dT

dt

)

.

Logo,

d2TT

dt2T =

d

dt

(

dTT

dtT

)

−(

dTT

dtT

)(

TT dT

dt

)

.

A partir da relacao anterior vem que

d2TT

dt2TrI

AB =

[

d

dt

(

dTT

dtT

)]

rIAB −

(

dTT

dtT

)(

TT dT

dt

)

rIAB.

Usando (8.88) e os vetores axiais ωI e −ωI (ver (8.89)), associados respectivamente a dTT

dt T e

TT dTdt , tem-se que

d2TT

dt2TrI

AB = ωI × rIAB + ωI ×

(

ωI × rIAB

)

.

A partir daı, a expressao final da aceleracao absoluta do ponto B e dada por

aIB = aI

A + ωI × rIAB + ωI ×

(

ωI × rIAB

)

+ 2ωI × vIrel + aI

rel. (8.94)

O termo aIA representa a aceleracao linear absoluta do ponto A, onde o sistema movel esta

localizado, representada no sistema inercial; o termo ωI × rIAB e dado pelo produto vetorial

da aceleracao angular absoluta do sistema movel de referencia pelo vetor posicao rIAB e esta

diretamente relacionado a aceleracao tangencial, proveniente do fato do vetor ωI variar no tempo

enquanto rIAB esta fixo; o termo ωI ×

(

ωI × rIAB

)

representa um produto vetorial duplo e esta

relacionado a variacao de direcao do vetor velocidade(

ωI × rIAB

)

ao girar de uma velocidade

angular ωI ; 2ωI × vIrel representa a aceleracao de Coriolis; aI

rel e a aceleracao relativa entre ospontos A e B expressa no sistema inercial.



1. Por que usar sistemas moveis de referencia?

2. Deduza atraves do uso de vetores, as matrizes de rotacao para giros em torno de x, y e z.

3. Suponha que uma partıcula gire em torno de x com uma velocidade angular de θ e em tornodo eixo y com uma velocidade angular β. Escreva a aceleracao angular dessa partıcula nosistema inercial.

4. Para o sistema ilustrado na Figura 8.9 pede-se:

(a) A velocidade absoluta do ponto P;

(b) a aceleracao absoluta do ponto P.

5. A barra AB da Figura 8.10(a) gira em torno de uma faixa limitada para o angulo β, e suaextremidade A faz com que a barra com ranhura AC gire tambem. No instante represen-tado, onde β = 60 e β = 0, 6 rad/s constante, determine os valores correspondentes de r,r, θ e θ.

6. Um pino A da Figura 8.10(b) se move em um cırculo com raio de 90mm a medida queuma manivela AC gira com uma taxa constante β = 60 rad/s. O braco com ranhura giraem orno do ponto O conforme a haste conectada a A se desloca para dentro e para forada ranhura. Para a posicao β = 30, determine r, r, θ e θ.

7. O robo da Figura 8.11(a) esta sendo usado para posicionar uma peca representada peloponto P. Calcule o modulo da aceleracao absoluta deste ponto para o instante em queβ = 30 se β = 10 graus/s e β = 20 graus/s2. A base do robo esta girando com umavelocidade angular constante de ω = 40 graus/s. Durante o movimento os bracos AO eAP mantem-se perpendiculares.

8. O cursor P pode se movimentar no interior do braco devido a corda S, enquanto o bracocom ranhura gira em torno do ponto O. A posicao angular do braco e dada por θ =0, 8t − t2/20, onde θ e expresso em radianos e t em segundos. o cursor esta em r = 1, 6mquando t = 0 e, depois disso, adquire uma velocidade constante para dentro de 0, 2 m/s.Determine o modulo e a direcao (expressa pelo angulo α relativo ao eixo x) da velocidadee da aceleracao do cursor quando t = 4 s.

9. Tanto o disco como o braco da Figura 8.12(a) giram com uma velocidade angular constante( α e β sao constantes).

(a) Defina a velocidade angular absoluta das bases B1, B2 e B3, ou seja, ω1, ω2 e ω3,representando-as nas suas respectivas bases;

(b) Calcule a velocidade relativa da partıcula E em relacao a base movel B3, represen-tando esta velocidade relativa na propria base B3;

(c) Calcule a velocidade relativa da partıcula E em relacao a base movel B2, represen-tando esta velocidade relativa na propria base B2;

(d) Calcule a velocidade relativa da partıcula E em relacao a base movel B1, represen-tando esta velocidade relativa na propria base B1;


(e) Calcule a velocidade relativa da partıcula E em relacao a base inercial I , represen-tando esta velocidade relativa na propria base inercial. O que se pode concluir sobrevelocidade relativa de E em relacao a base inercial?

10. A base da escada do caminhao da Figura 8.12(b) de bombeiros gira em torno de um eixovertical que passa por O com uma velocidade angular constante Ω = 10 graus/s. Nomesmo instante, a escada OB se eleva a uma taxa constante de φ = 7 graus/s, e a secaoAB da escada se estende em relacao a secao OA com uma taxa constante de 0, 5 m/s. Noinstante em consideracao, φ = 30, OA = 9 m e AB = 6 m, determine os modulos davelocidade e da aceleracao da extremidade B da escada.

11. O cilindro hidraulico da Figura 8.13(a) D aumenta a distancia OA, a uma taxa de50 mm/s. Calcule a velocidade do pino C em sua guia horizontal para o instante emque θ = 50.

12. O helicoptero da Figura 8.13(b) esta voando na direcao horizontal x com uma velocidadev = 200 km/h, e o plano de rotacao do rotor de 9 m de diametro e inclinado de 10

em relacao ao plano horizontal xy. As pas do rotor gira com uma velocidade angularΩ = 800 rpm. Escreva as expressoes vetoriais das velocidades absolutas das extremidadesA e B das pas para o instante indicado.


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 8.3: Rotacoes rıgidas.


(a) (b)

(c)

Figura 8.4: Interpretacao da rotacao rıgida de uma viga.

Figura 8.5: Rotacao rıgida.

x

OA’

u

OAr

O

aA’

A

−b

b

a

y

r

Figura 8.6: Rotacao de um retangulo de 90 graus em torno de z.


Figura 8.7: Corpo rıgido e os sistemas de referencia inercial e movel.


z

yx

z

y

x

i

α

ii

α

(a) Rotacao em Z.

x

y

e

ee

e

y

x

α

I

i xB

i

i

xI

α

i yBy

(b) Rotacao em Z (vista plana).

z

x

z

y

x

y

β

i

β

i

i

(c) Rotacao em Y.

x

e

e

e

e

x

z

z

x

β

β

i

i

B xi

B zi

I x

I

(d) Rotacao em Y (vistaplana).

x

z

y

z

y

x i

γ

i

i

γ

(e) Rotacao em X.

y

e

e

e

z

e

y

z

γ

z

i

B zii

B yiγ

I y

I

(f) Rotacao em X (vista plana).

Figura 8.8: Rotacoes em X, Y e Z.

1L

θ3

2θ

θ1

P

3L

L2

Figura 8.9: Questao 4 (SHABANA, 1989).


(a) (b)

Figura 8.10: Questoes 5 e 6 (MERIAM, J.L., 2003)

(a) (b)


(a) (b)

Figura 8.12: Questoes 9 (SANTOS, I.M., 2001) e 10 (MERIAM, J.L., 2003)


(a) (b)


Capıtulo 9

MECANICA DOS SOLIDOSLINEAR

9.1 Introducao

Os metodos e os princıpios variacionais sao importantes tanto na mecanica teorica como aplicada.Isto se deve ao fato que a formulacao variacional e a maneira mais natural e rigorosa de denotaras leis que governam o comportamento dos meios contınuos. Alem disso, esta abordagem induz,tambem de maneira natural, o metodo de solucao e sua aproximacao, permitindo obter solucoesaproximadas muitas vezes de facil implementacao computacional.

De maneira geral, para se resolver os problemas de mecanica a partir da abordagem varia-cional, adotam-se as seguintes etapas ilustradas esquematicamente nas Figuras 9.1 e 9.2:

1. Definicao das hipoteses cinematicas: neste caso, define-se para o problema consid-erado o conjunto de acoes possıveis que o corpo pode estar submetido. Este modelocinematico constitui o espaco V das acoes de movimento possıveis. Em geral, as acoes demovimento devem satisfazer certas restricoes representadas pelas condicoes de contornoimpostas ao problema. Dessa forma, determina-se o subconjunto Kinv de V das acoes demovimento cinematicamente admissıveis, respeitando os vınculos fısicos do problema.

2. Taxas de deformacao: a partir da cinematica, obtem-se a taxa de deformacao compatıvelcom o modelo cinematico admissıvel adotado. Tem-se entao o operador D, o qual aplicadosobre as acoes de movimento determina as componentes do tensor taxa de deformacao D.O conjunto de todos os tensores simetricos D define o espaco W das taxas de deformacao.

3. Caracterizacao dos movimentos rıgidos: conhecidas as acoes de movimento e as taxasde deformacao, obtem-se o subconjunto das acoes rıgidas de movimento, ou seja, as acoesque nao causam deformacoes. Este conjunto sera denotado por N (D).

4. Expressao para a potencia interna: no caso de corpos deformaveis, para se conhecero estado dos esforcos internos, utiliza-se o conceito de potencia interna, relacionando osespacos de taxas de deformacao W e de esforcos internos W ′.

5. Aplicacao do Princıpio da Potencia Virtual (PPV): com este prıncipio, relacionam-se as potencias interna e externa para uma acao de movimento virtual, determinando umaexpressao integral para a solucao do problema.

205


6. Caracterizacao dos esforcos externos: a partir do PPV e do conceito de potenciaexterna, relacionando os espacos das acoes de movimento V e dos esforcos aplicados aocorpo V ′, e possıvel caracterizar os esforcos externos presentes no problema considerado.Determinam-se ainda as equacoes constituindo a solucao do enunciado integral do proble-ma, caracterizando o operador D∗, alem das condicoes de equilıbrio para as acoes rıgidas.

7. Aplicacao das equacoes constitutivas: tomando-se as equacoes constitutivas, tem-se uma relacao entre tensoes e deformacoes, permitindo obter, no caso de um materialelastico, as equacoes do problema em termos de deslocamentos.

Figura 9.1: Esquema de solucao de um problema de mecanica.

Deve-se observar que com excecao da terminologia usada acima, relacionada principalmentecom problemas estruturais, a mesma abordagem variacional pode ser utilizada em campos difer-entes da mecanica, tais como em problemas de Mecanica de Fluidos, Transferencia de Calor,etc.

9.2 Potencias Externa e Interna e Princıpio da Potencia Virtual

9.2.1 Potencia externa

Uma das maiores dificuldades ao longo da historia da mecanica foi definir um modelo mecanico-matematico adequado para representar as acoes entre corpos. Um esquema empregado comexito e de representar a acao atraves de vetores de forca ou campos vetoriais de forcas. Destamaneira, o conceito de forca surge como um conceito pre-definido, sendo totalmente independenteda cinematica adotada para modelar o problema.

No entanto, apesar do inegavel exito desta esquematizacao, existe uma outra maneira derepresentar o conceito de acao entre corpos. Neste caso, a acao ou forca que um sistema exercesobre outro nao surge como conceito inicial, mas atraves de um elemento em dualidade a umadeterminada acao de movimento. Esta dualidade e colocada partindo-se do conceito de potenciaou trabalho virtual externos.

Esta segunda abordagem e tao antiga como a propria mecanica. Observa-se que a partirdos primeiros passos objetivando alcancar uma estrutura matematica precisa para a mecanica,


Figura 9.2: Espacos V, V ′, W e W ′ e as potencias externa e interna associadas.

o conceito de potencia surgiu como algo basico e fundamental. Alem disso, esta forma de es-quematizar as forcas atuando sobre um corpo e mais natural que atraves de vetores, expressandouma experiencia fısica muito comum. Por exemplo, para se conhecer o peso de um objeto, nor-malmente, levanta-se o mesmo ligeiramente e determina-se o seu peso pela potencia ou trabalhorealizado para executar esta acao de movimento. Logo, o efeito e introduzir um movimentovirtual , retirando o objeto do seu estado de movimento natural em que se encontrava, no casoo repouso.

Como ja apresentado anteriormente, o sistema de forcas f atuando sobre o corpo B noinstante t e caracterizado por um funcional linear e contınuo sobre o conjunto das acoes demovimento V, cujo valor, para cada v ∈ V, e um numero real, representando a potencia virtualPe do sistema de forcas f para a acao de movimento v. Logo,

Pe =< f ,v > (9.1)

O conjunto de todos os funcionais lineares e contınuos em V, define o espaco vetorial V ′,denominado espaco vetorial das forcas externas, constituindo-se o espaco dual de V. A partesuperior da Figura 9.2 ilustra os espacos V e V ′, assim como a potencia externa associada.

9.2.2 Potencia interna

Como apresentado na secao anterior, devido as acoes de movimento de um corpo, tem-se umapotencia externa associada, a qual depende apenas destas acoes e nao da deformacao presente nocorpo. Portanto, se for realizada uma acao rıgida, ou seja, uma acao nao produzindo deformacaono corpo em analise, nenhuma resposta sera obtida acerca do estado interno do corpo, dado pelasforcas de ligacoes entre as partıculas. Um exemplo deste fato e a correia de um motor. Deve-serealizar uma acao que deforma a correia para avaliar se a mesma esta ou nao tensionada. Umaacao de deslocamento rıgido nao permite avaliar a tensao na correia.

Com base nessa constatacao, pode-se formular o seguinte conceito: a potencia interna (istoe a resposta do estado interno do corpo as acoes de movimento) e um funcional (no sentidode que fornece um numero a partir de uma acao de movimento) definido por uma densidadede potencia interna pi por unidade de volume (de area num caso plano; de comprimento se o


problema e unidimensional). Assim, a potencia interna Pi e a integral de uma densidade, sendoportanto uma funcao escalar. Logo,

Pi =

∫

Bt

pi dBt (9.2)

onde o sinal − e introduzido simplesmente por comodidade. Atraves de experimentos comono caso da correia, verifica-se que a densidade de potencia se relaciona linearmente com adeformacao associada a acao de movimento.

De forma analoga a potencia externa, tem-se que a potencia interna e funcao do tensor taxade deformacao D. Como a relacao deve ser linear, a potencia interna e dada pela seguinteintegral do produto interno de tensores,

Pi = (T,D) = −∫

Bt

T · D dBt (9.3)

sendo T o tensor de tensoes de Cauchy caracterizando os esforcos internos no corpo.Dada a cinematica v(x) do problema em estudo, e possıvel determinar o tensor taxa de

deformacao atraves do gradiente de v(x), ou seja,

D =1

2

(

gradv + gradvT)

= grad v (x)s = Dv (9.4)

onde considera-se o operador D apenas para facilitar a notacao.Verifica-se que para pequenas deformacoes, as posicoes inicial e deformada, respectivamente

descricoes material e espacial do movimento, sao coincidentes. Logo,

D = grad v (x)s ≈ ∇v (X)s

A partir daı, tem-se o espaco vetorial W cujos elementos sao todos os tensores simetricosdefinidos a partir da configuracao atual Bt. Desta maneira, os esforcos internos podem serobtidos por dualidade, atraves do funcional linear dado pela potencia interna Pi. Denota-sepor W ′, o espaco vetorial dos tensores simetricos T representando os esforcos internos. Esteselementos estao representados na parte inferior da Figura 9.2.

Observa-se ainda que, de forma geral, o produto interno de dois tensores S e T e dado por,

S · T = tr(ST T) = tr

S11 S21 S31

S12 S22 S32

S13 S23 S33

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T31 T32 T33

= S11T11 + S21T21 + S31T31 + S12T12 + S22T22

+ S32T32 + S13T13 + S23T23 + S33T33 = SijTij (9.5)

9.2.3 Princıpio da potencia virtual (PPV)

Enunciado Geral : para todo referencial inercial e para cada instante de tempo t, tem-seque o corpo B se encontra em equilıbrio (estatico) na configuracao Bt, livre de restricoescinematicas e sob a acao do conjunto de cargas aplicadas f , se,

• a potencia virtual das forcas externas Pe que atuam sobre o corpo na configuracaoBt e nula para toda acao de movimento virtual rıgida v ∈ N (D), ou seja,

Pe = 〈f , v〉 = 0 (9.6)


• a soma das potencias virtuais externa Pe e interna Pi e nula para toda acao demovimento virtual v ∈ V. Logo,

Pi + Pe = − (T,Dv) + 〈f , v〉 = 0 (9.7)

para toda acao de movimento virtual v.

A segunda parte do PPV permite estender a definicao de equilıbrio para acoes de movimentonao necessariamente rıgidas, incluindo a primeira parte como caso particular, ja que por hipoteseadmite-se que Pi = 0 para toda acao de movimento virtual rıgida. Alem disso, estabelece-seuma relacao de equilıbrio, entre os esforcos externos e internos para o corpo em estudo.

9.3 Barra – Tracao e Compressao

A barra e um elemento estrutural cuja principal caracterıstica geometrica e possuir o compri-mento maior que as dimensoes da secao transversal. Assim, considera-se a barra como um ele-mento unidimensional, analisando o seu comportamento ao longo da direcao paralela a dimensaolongitudinal, conforme mostrado na Figura 9.3. Neste texto, assume-se o caso de pequenas de-formacoes e material elastico linear. Na abordagem variacional, a formulacao do problema debarras segue as etapas apresentadas na secao 9.1.

Figura 9.3: Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas.

1. Definicao da cinematica do problema: o modelo cinematico consiste em supor que asacoes de movimento possıveis sao tais que a secao transversal permaneca plana e normalao eixo x (alinhado com a direcao longitudinal da barra), como mostrado na Figura 9.4.Logo, as acoes de movimento sao descritas por um campo de velocidades dado por,

v = v (x) =

v1 (x)00

(9.8)

ou seja, tem-se um vetor constante em todos os pontos de uma secao transversal x nadirecao do eixo x.

Assim, define-se o espaco vetorial V de todas as acoes de movimento cinematicamentepossıveis de acordo com o modelo cinematico adotado como,

V = v| v (x) = v1 (x) , x ∈ (0, L) , v1 suave

constituindo-se o espaco de todas as funcoes escalares suaves definidas sobre o domıniounidimensional (0, L). Para os casos onde a barra esta apoiada em x = 0 e em ambas


Figura 9.4: a) Secoes transversais planas e normais ao eixo x; b) secoes transversais permanecemplanas e normais apos a acao de movimento.

extremidades, os respectivos subespacos de acoes cinematicamente admissıveis Kinv saodados por,

Kinv = v| v (x) = v1 (x) , v1(0) = 0, x ∈ (0, L) , v1 suave

Kinv = v| v (x) = v1 (x) , v1(0) = v1(L) = 0, x ∈ (0, L) , v1 suave

Para uma barra livre, todas as funcoes v ∈ V sao tambem acoes admissıveis, pois nao havınculos fısicos (restricoes cinematicas). Quando alguma restricao esta presente, as acoesde movimento cinematicamente admissıveis sao dadas por funcoes que respeitam estasrestricoes, constituindo o subconjunto Kinv de V. E importante ressaltar que apenas umadessas acoes admissıveis realmente ocorre, ou seja, e a acao de movimento real, enquantoas demais, pelo fato de nao ocorrerem necessariamente, sao denominadas virtuais.

2. Taxa de deformacao: para v(x) dado por (9.8), a unica componente nao-nula do tensortaxa de deformaao e D11. Logo,

D = dv1dx = D11 = E11 = εxx onde E11 = εxx = du1(x)

dx(9.9)

sendo u1 e E11 as componentes de deslocamento e deformacao longitudinal na direcao x.Observa-se que, devido a cinematica adotada para a barra, a componente u1 e funcaoapenas da coordenada x, ou seja, u1 = u1(x).

Define-se como W o espaco tensorial de todas as taxas de deformacao relacionadas as acoesde movimento pertencentes ao espaco V. Neste caso, W e constituıdo por funcoes escalaresD = εxx (x) chamadas taxas de deformacao longitudinais. Tem-se ainda o operador D :V −→ W relacionando a cinematica com a deformacao,

Dv = D =dv1

dx⇒ D =

d (·)dx

(9.10)

3. Movimentos rıgidos: neste caso, as acoes de movimento de corpo rıgido sao tais que avelocidade v1 (x) = v1 e constante para todo x ∈ (0, L), induzindo uma taxa de deformacaonula,

Dv = dv1dx = 0 → v1 constante


Figura 9.5: Relacao entre os espacos de acoes de movimento V e das taxas de deformacao W.

Assim, o movimento de corpo rıgido e uma translacao da barra ao longo do eixo x. Oconjunto das translacoes forma o conjunto N (D) = v ∈ V | Dv = 0, v1 constante. Arelacao entre os conjuntos V, W e N e mostrada na Figura 9.5.

4. Potencia interna: a partir da expressao (9.3) e da taxa de deformacao (9.9), calcula-sea potencia interna associada a deformacao da barra como,

Pi = −∫

VT11D11 dV = −

∫

Vσxxεxx dV (9.11)

onde σxx e uma funcao escalar representando a tensao na direcao x. Como εxx e constanteem todos os pontos de uma secao transversal , tem-se que,

Pi = −∫ L

0

(∫

Aσxx dydz

)

εxx dx

Em particular,

Nx =

∫

Aσxx dydz (9.12)

e chamado esforco normal. Assim,

Pi = −∫ L

0Nxεxx dx = −

∫ L

0Nx

dv1

dxdx (9.13)

5. PPV: considere o conjunto de esforcos externos f aplicado a barra. Logo, a partir de(9.13) e do PPV expresso em (9.7), tem-se que para qualquer acao de movimento virtualv ∈V,

Pe = −Pi ⇒ 〈f , v〉 =∫ L0 Nx

dv1dx dx ∀v ∈V (9.14)


Supondo que Nx seja suficientemente regular, pode-se integrar por partes o lado direitode (9.14), obtendo-se ∀v ∈V,

〈f , v〉 = Nxv1|L0 − ∫ L0

dNxdx v1 dx = [Nx(L)v1(L) − Nx(0)v1(0)] −

∫ L0

dNxdx v1 dx (9.15)

Este e o enunciado integral descrevendo o equilıbrio da barra livre de restricoes, fornecendoainda uma representacao das forcas compatıveis com o modelo da barra.

6. Caracterizacao dos esforcos externos: as forcas externas compatıveis com a repre-sentacao (9.15), inclusive com a hipotese de Nx ser regular, sao caracterizadas por,

f :

P0 → forca axial aplicada em x = 0PL → forca axial aplicada em x = Lp → densidade de forca axial por unidade de comprimento

(9.16)

A partir de (9.16), obtem-se a expressao da potencia externa das forcas f para qualqueracao virtual v ∈V

Pe = 〈f , v〉 = P0v1 (0) + PLv1 (L) +

∫ L

0pv1 dx (9.17)

Combinando o enunciado do PPV (9.15) e a expressao da potencia externa (9.17), tem-se∀v ∈V

[Nx(L)v1(L) − Nx(0)v1(0)] −∫ L0

dNxdx v1 dx = P0v1 (0) + PLv1 (L) +

∫ L0 pv1 dx

ou ainda,

− [Nx (0) + P0] v1 (0) + [Nx (L) − PL] v1 (L) −∫ L

0

(dNx

dx+ p

)

v1 dx = 0 (9.18)

Para que a equacao (9.18) seja verdadeira para toda acao virtual v ∈ V deve-se ter,

dNx(x)dx + p(x) = 0 em x ∈ (0, L)

Nx (L) = PL em x = LNx (0) = −P0 em x = 0

(9.19)

definindo-se o respectivo operador D∗ como,

D∗ =

− ddx(·) em x ∈ (0, L)

− (·)|x=0 em x = L(·)|x=L em x = 0

(9.20)

O conjunto de expressoes (9.19) define a equacao diferencial e as condicoes de contornodo problema da barra livre de restricoes. Resolvendo-se a equacao diferencial deduzida,obtem-se o esforco normal Nx = Nx(x) ao longo do eixo x da barra. Um valor positivoindica que a barra esta sob tracao, enquanto que um valor negativo representa uma forca


Figura 9.6: Barra: a) forcas externas; b) convencao de sinais.

de compressao. As Figuras 9.6a) e b) ilustram, respectivamente, os esforcos externoscompatıveis com a cinematica da barra e a convencao de sinais.

Se v for uma acao de movimento virtual rıgida, entao a condicao (9.7) do PPV estabeleceque ∀v ∈ N (D),

Pe = 〈f , v〉 = 0 → P0v1 (0) + PLv1 (L) +

∫ L

0pv1 dx = 0

Como colocado anteriormente, as acoes rıgidas sao as funcoes v ∈ V de valor constante em(0, L). Logo,

〈f , v〉 =

(

P0 + PL +

∫ L

0p dx

)

v1 = 0

A partir daı, obtem-se a condicao de equilıbrio da barra, estabelecendo que a resultantedas forcas externas deve ser nula,

P0 + PL +

∫ L

0p dx = 0 (9.21)

A forma esquematica da formulacao do problema de barra e mostrada na Figura 9.7.

7. Aplicacao da equacao constitutiva: tomando-se a lei de Hooke, expressam-se as com-ponentes de deformacao em funcao das componentes de tensao para um material elasticoisotropico linear. Devido a acao de movimento adotada, a unica componente de tensaopresente numa barra e T11. Logo, a partir da lei de Hooke vem que,

E11 =1

E[T11 − ν(T22 + T33)] → εxx =

σxx

E

E22 =1

E[T22 − ν(T11 + T33)] → εyy = −ν

σxx

E(9.22)

E33 =1

E[T33 − ν(T11 + T22)] → εzz = −ν

σxx

EE12 = E13 = E23 = 0

onde E e ν sao, respectivamente, o modulo de Young e o coeficiente de Poisson do material.


Figura 9.7: Formulacao variacional do problema de barra.

Partindo-se de (9.12), como a tensao σxx e constante em cada secao x da barra, tem-seque,

Nx(x) = σxx(x)

∫

Adydz = σxx(x)A(x)

sendo A(x) a area da secao transversal x. Logo, a partir da componente εxx em (9.22)vem que,

Nx(x) = E(x)A(x)εxx = E(x)A(x)du1(x)

dx(9.23)

Procurando generalizar a formulacao, assumiu-se tambem que o modulo de elasticidadepode variar em funcao de x, ou seja, E = E(x), como no caso de uma barra constituıda departes com materiais distintos. Observa-se, entao, que a tensao σxx e constante em cadasecao x, como ilustrado na Figura 9.8.

Figura 9.8: Tensao constante nos pontos de uma secao da barra: a) tracao; b) compressao.

Substituindo a relacao (9.23) na expressao (9.19), tem-se a equacao diferencial em termosde deslocamentos,

ddx

(

E(x)A(x)du1(x)dx

)

+ p(x) = 0 em x ∈ (0, L) (9.24)


Para o caso onde o modulo de elasticidade e a area da secao sao constantes, obtem-se,

EAd2u1(x)dx2 + p(x) = 0 em x ∈ (0, L) (9.25)

Observa-se que as condicoes de contorno dependem das vinculacoes presentes nas extremi-dades da barra, como ilustrado na Figura 9.9. Por sua vez, estas restricoes serao incluıdasna definicao do espaco de acoes admissıveis Kinv.

Figura 9.9: Condicoes de contorno em termos de deslocamento numa barra.

Tomando-se uma area A constante, a tracao superficial σxx, ou seja, a tensao presente nasextremidades da barra, da origem a uma forca P em ambas as faces de magnitude,

P = σxxA (9.26)

Sendo L o comprimento inicial da barra e ∆L o seu alongamento apos a deformacao,tem-se a partir de (9.22) e (9.26),

σ =P

A= Eεxx = E

∆L

L→ ∆L =

PL

AE(9.27)

Supondo que a barra possui secao circular com diametro inicial d, a variacao ∆d apos adeformacao e dada pelas componentes εyy e εzz em (9.22). Logo,

εyy = εzz =∆d

d= − ν

E

P

A→ ∆d = −ν

Pd

AE(9.28)

onde o sinal − indica a contracao realmente esperada quando a barra esta sob tracao.

Para verificar se uma barra permanece na fase elastica, basta comparar se σxx < σ, onde σ ea tensao normal admissıvel do material. Para dimensionar uma barra, impoe-se a condicaoque σxx = σ, determinando-se a area da secao mınima para que a barra permaneca na faseelastica, ou seja,

A =P

σ(9.29)


Figura 9.10: Barra submetida a carregamentos.

9.3.1 Exercıcios resolvidos

1. Considere a barra com o carregamento ilustrada na Figura 9.10. Pede-se tracar os diagra-mas da forca normal, dos deslocamentos, deformacoes e tensoes axiais.

(a) Equacao do carregamento: q(x) = q0 < x − 0 >0 −F2 < x − 1 >−1 +F3 < x − 2 >−1

(b) Condicoes de contorno: Nx(x = 0) = −F1 = −100N u(x = 3) = 0

(c) Integracao da equacao diferencial

E(x)A(x)d2u(x)dx2 = −q(x) = −q0 < x − 0 >0 +F2 < x − 1 >−1 −F3 < x − 2 >−1

• 1a integracao: forca normalNx(x) = EAdu(x)

dx = −q0 < x − 0 >1 +F2 < x − 1 >0 −F3 < x − 2 >0 +C1

• 2a integracao: deslocamento axialEAu(x) = − q0

2 < x − 0 >2 +F2 < x − 1 >1 −F3 < x − 2 >1 +C1x + C2

(d) Determinacao das constantes de integracao

Nx(x = 0) = 0 + 0 − 0 + C1 = −F1 → C1 = −F1

u(x = 3) = − q0

2 (3)2 + F2(3 − 1) − F3(3 − 2) − 100(3) + C2 = 0 → C2 = 250

(e) Equacoes finais

• forca normal: Nx(x) = −q0x + F2 < x − 1 >0 −F3 < x − 2 >0 −F1

• deslocamento: u(x) = 1EA(−50x2+350 < x−1 >1 −200 < x−2 >1 −100x+250)

(f) Diagrama da forca normal


Nx(x → 0+) = −100N Nx(x → 1−) = −200NNx(x → 1+) = 150N Nx(x → 2−) = 50NNx(x → 2+) = −150N Nx(x → 3−) = −250N

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Nx(x)[N]

x[m]

(g) Reacao de apoio

RAx = Nx(x = 3) = −100(3) + 350 − 200 − 100 = −250N

(h) Deslocamento, deformacao e tensao: neste caso, toma-se A = 10−4m2 e E = 100GPa

• trecho 0 < x < 1

u(x) = 1EA(−50x2 − 100x + 250) →

u(x → 0+) = 2, 5 × 10−5

u(x → 1−) = 1, 0 × 10−5

εxx(x) = du(x)dx = 50×10−7(−2x−2) = −10−5(x+1) →

εxx(x → 0+) = −10−5

εxx(x → 1−) = −2 × 10−5

σxx = Eεxx = −106(x + 1) →

σxx(x → 0+) = −1MPaσxx(x → 1−) = −2MPa

• trecho 1 < x < 2

u(x) = 1EA(−50x2 + 350(x − 1) − 100x + 250) →

u(x → 1+) = 1, 0 × 10−5

u(x → 2−) = 2, 0 × 10−5

εxx(x) = du(x)dx = 50 × 10−7(−2x + 5) →

εxx(x → 1+) = 1, 5 × 10−5

εxx(x → 2−) = 0, 5 × 10−5

σxx = Eεxx = −106(x + 1) →

σxx(x → 1+) = 1, 5MPaσxx(x → 2−) = 0, 5MPa

• trecho 2 < x < 3u(x) = 1

EA(−50x2+350(x−1)−200(x−2)−100x+250) = 50×10−7(−x2+x+6)

u(x) =

u(x → 2+) = 2, 0 × 10−5

u(x → 3−) = 0

εxx(x) = du(x)dx = 50 × 10−7(−2x + 5) →

εxx(x → 2+) = −1, 5 × 10−5

εxx(x → 3−) = −2, 5 × 10−5

σxx = Eεxx = −106(x + 1) →

σxx(x → 2+) = 1, 5MPaσxx(x → 3−) = 2, 5MPa


A seguir ilustram-se os graficos dos deslocamentos e deformacao ao longo da barra.

-5e-06

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

2.5e-05

3e-05

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

u(x)[m]

x[m]

-3e-05

-2.5e-05

-2e-05

-1.5e-05

-1e-05

-5e-06

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

E(x)[m]

x[m]

2. As Figuras 9.11a) e b) ilustram barras com uma extremidade fixa e apoiada sobre umamola (fundacao flexıvel) e com uma folga ∆u. Deseja-se determinar a expressao para aforca normal e deslocamento axial em ambos os casos.

Figura 9.11: Barra: a) apoiada sobre mola; b) com folga ∆u.

• Barra apoiada sobre mola

(a) Equacao de carregamento: q(x) = 0

(b) Condicoes de contorno: u1(x = 0) = 0 Nx(x = L) = −ku1(L)

(c) Integracao da equacao diferencial: EAd2u1(x)dx = −q(x) = 0

– 1a integracao: forca normalNx = EAdu1(x)

dx = C1

– 2a integracao: deslocamento axialEAu(x) = C1x + C2

(d) Determinacao das constantes de integracaou(x = 0) = C1(0) + C2 = 0 → C2 = 0Nx(x = L) = C1 = −ku1(L)

(e) Equacoes finais

– forca normal: Nx(x) = −ku1(L)


– deslocamento axial: u1(x) = 1EA(−ku1(L)x) = −ku1(L)

EA x

• Barra com folga ∆u

(a) Equacao de carregamento: q(x) = 0

(b) Condicoes de contorno: u1(x = 0) = 0 u1(x = L) = ∆uL

(c) Integracao da equacao diferencial: EAd2u1(x)dx = −q(x) = 0

– 1a integracao: forca normalNx = EAdu1(x)

dx = C1

– 2a integracao: deslocamento axialEAu(x) = C1x + C2

(d) Determinacao das constantes de integracaou1(x = 0) = C1(0) + C2 = 0 → C2 = 0u1(x = L) = C1L + 0 = ∆uL → C1 = ∆uL

L

(e) Equacoes finais

– forca normal: Nx(x) = ∆uLL

– deslocamento axial: u1(x) = 1EA

∆uLL x = ∆uL

EALx

3. Determine as forcas normais (N1,N2) atuando em cada parte da coluna bi-engastadailustrada na Figura 9.12 e sujeita a uma forca F = 1kN . As secoes transversais dasbarras sao circulares com diametros d1 = 50mm e d2 = 125mm. Dados: L1 = 300mm;L2 = 400mm; E1 = 1, 5E2.

Figura 9.12: Barra hiperestatica com dois trechos distintos.

Para a solucao deste problema, considera-se a os trechos AB e BC da barra, assim comoo equilıbrio da interface entre os dois trechos, como ilustrado respectivamente nas Figuras9.13a), c) e b).

Barra 1 (0 < x < L1): neste caso tem-se como incognitas as constantes de integracaoC1, C2, assim como a forca normal N1 interface dos dois trechos.

• Equacao diferencial: E1A1d2u1dx2 = 0

• Condicoes de contornou1 (x = 0) = 0 Nx1 (x = L1) = N1

– primeira integracao: forca normal

Nx1 = C1

– segunda integracao: deslocamento axial

E1A1u1 = C1x + C2


Figura 9.13: Barra: a) trecho AB; b) equilıbrio na interface; c) trecho BC.

• Determinacao de C1 e C2

Nx1 (x = L1) = C1 = N1 → C1 = N1

E1A1u1 (x = 0) = C1(0) + C2 = 0 → C2 = 0

• Equacoes finais

– forca normal: Nx1 (x) = N1

– deslocamento axial: u1 (x) = N1E1A1

x

Barra 2 (L1 < x < L2): neste caso tem-se como incognitas as constantes de integracaoD1,D2, assim como a forca normal N2 interface dos dois trechos.

• Equacao diferencial: E2A2d2u2dx2 = 0

• Condicoes de contornou2 (x = L1 + L2) = 0 Nx2 (x = L1) = N2

– primeira integracao: forca normal

Nx2 = D1

– segunda integracao: deslocamento axial

E2A2u2 = D1x + D2

• Determinacao de D1 e D2

Nx2 (x = L1) = D1 = N2

E2A2u2 (x = L1 + L2) = D1 (L1 + L2) + D2 = 0 → D2 = −N2 (L1 + L2)

• Equacoes finais

– forca normal: Nx2 (x) = N2

– deslocamento axial: u2 (x) = 1E2A2

[N2x − N2 (L1 + L2)]

Equilıbrio da descontinuidade : onsidera-se o equilıbrio da forca normal presente nainterface dos trechos AB e BC, como mostrado na Figura 9.13b). A condicao deequilıbrio e a seguinte:

∑

Fx = 0 : −N1 + F + N2 = 0 → N1 − N2 = F (9.30)

Condicao de compatibilidade : tem-se que os deslocamentos axiais u1 e u2 devem seriguais. Logo,

u1 (x = L1) = u2 (x = L1)

Tomando as equacoes anteriores determinadas para os deslocamentos u1 e u2, vemque,

N1

E1A1L1 =

1

E2A2[N2L1 − N2L1 − N2L2]


N1 = −E1A1

E2A2

L2

L1N2 = −kN2 (9.31)

Substituindo (9.31) em (9.30) vem que,

−kN2 − N2 = F → N2 (1 + k) = −F → N2 = − F

1 + k

Logo,

N1 = −k

(

− F

1 + k

)

→ N1 =k

1 + kF

Calculando k, tem-se que,

k =E1

E2

A1

A2

L2

L1=

1, 5E2

E2

(π4 d2

1

)

(π4 d2

2

)L2

L1= 1, 5

d21

d22

L2

L1→ k = 1, 5

502

1252

400

300= 0, 32

Portanto,

N1 =

(0, 32

1 + 0, 32

)

1 = 0, 24KN

N2 = −(

1

1 + 0, 32

)

1 = −0, 76KN

9.4 Aspectos Gerais da Formulacao Variacional

A abordagem exemplicada na secao anterior para o estudo de barras pode ser generalizadapara problemas mais gerais de mecanica estrutural. Entretanto, antes de considerar outroscasos particulares e interessante apresentar o procedimento geral da formulacao variacional,de maneira que juntamente com o exemplo de barra seja possıvel aplicar mais facilmente talprocedimento a diferentes problemas.

De maneira geral, a formulacao de problemas pela abordagem variacional consiste em es-tabelecer, inicialmente, as hipoteses cinematicas para modelar o corpo em questao. A partirdaı, constroi-se o espaco das acoes cinematicas possıveis V de acordo com modelo cinematicoadotado. A partir desse espaco, obtem-se o espaco das taxas de deformacao W e o operadorD : V → W, relacionando os espacos V e W.

Desta relacao, determinam-se as acoes em V nao causando deformacoes no corpo, ou seja, asacoes de movimento rıgidas. Tais acoes, constituindo o conjunto N (D), sao uteis apenas paraanalisar o equilıbrio (como por exemplo determinar as reacoes nos apoios), nao permitindo obterinformacoes sobre o estado interno do corpo.

Na maioria dos casos, o corpo estara sujeito a restricoes cinematicas, devido aos vınculosfısicos do problema, ou seja, a forma e tipo dos apoios da estrutura. As acoes possıveis quesatisfazem estas restricoes sao denominadas admissıveis, definindo o subconjunto Kinv de Vdas acoes de movimento cinematicamente admissıveis.

Para acoes nao rıgidas, tem-se uma potencia interna Pi associada, cuja forma pode serobtida analisando-se as hipoteses cinematicas do problema. Com isso, chega-se ao espaco W ′

dos esforcos internos, pois a potencia interna relaciona os espacos W e W ′.Aplicando-se o Princıpio das Potencias Virtuais (PPV), obtem-se um enunciado integral

relacionando os esforcos internos e externos. Como a forma dos esforcos internos e conhecidaatraves da expressao da potencia interna, determina-se entao o conjunto de esforcos exter-nos compatıveis com as hipoteses cinematicas e os vınculos fısicos do problema. A partir daı,


determinam-se, no caso geral, as equacoes diferenciais de equilıbrio, em termos dos esforcos in-ternos, e as respectivas condicoes de contorno. Introduzindo a forma constitutiva do material,deduzem-se equacoes diferenciais em funcao do campo de deslocamentos.

Alguns aspectos desta formulacao, tais como cinematica, taxa de deformacao e princıpio dostrabalhos virtuais, serao discutidos nas proximas secoes.

9.4.1 Cinematica

A principal caracterıstica fısica dos corpos e a de ocupar diversas regioes do espaco pontualeuclidiano E em diferentes instantes de tempo. Apesar de nenhuma desta regioes estar intrinsi-camente relacionada ao corpo, pode-se selecionar qualquer uma delas, denominada configuracaode referencia e designada por B. Estabelece-se, entao, uma relacao biunıvoca entre as posicoesdas partıculas do corpo em qualquer instante em relacao a referencia B.

Com esta identificacao, o corpo passa a ser formalmente uma regiao B de E . Esta regiao eselecionada de maneira a facilitar a analise do problema. Por exemplo, quando se deseja estudara deformacao de um corpo, geralmente adota-se a geometria nao-deformada como configuracaode referencia.

Devido as acoes de movimento, o corpo passa a ocupar uma serie de configuracoes denotadasBt, onde t ∈ [t0, ti] e um parametro, nao necessariamente o tempo, estabelecendo uma ordemde precedencia para as configuracoes. Do ponto de vista fısico, ocorre deformacao sempre queo corpo passa de sua configuracao original B para outra configuracao Bt. O conjunto de todasas configuracoes possıveis que o corpo pode tomar constitui o espaco vetorial U . Por exemplo,a barra foi definida como um corpo cujo comprimento e a dimensao geometrica predominante,determinando o espaco U como o conjunto de configuracoes ao longo do eixo x alinhado com adimensao longitudinal da barra.

Observa-se que dada uma configuracao Bt ∈ U , a mesma pode ser obtida a partir de umcampo de deslocamentos ut definido sobre B, ou seja ut : B → Bt. Tem-se entao uma relacaobiunıvoca entre campos de deslocamentos ut definidos sobre B e configuracoes possıveis Bt ∈ U .Assim, torna-se indiferente falar da configuracao Bt ou ut.

Considere entao uma configuracao ut ∈ U . A cada movimento a partir de ut correspondera,no instante t = τ , um campo de velocidades espacial v chamado de acao de movimento a partirde ut. Esta acao de movimento e dada por,

v = v (x, t) =∂u

∂t(X,t)

∣∣∣∣X=X(x,t)

=∂u

∂t(x,t)

O conjunto de todas as acoes de movimento possıveis a partir da configuracao ut ∈ U defineo espaco vetorial V, constituıdo por todos os campos de velocidades possıveis de se imprimir aocorpo em ut. Como se pode notar, o campo de velocidades real (que ocorre de fato) no instantet e um elemento do espaco vetorial V. Os demais sao campos virtuais de velocidades.

Em geral, o corpo devera satisfazer certas restricoes cinematicas devidos aos vınculos fısicosdo problema. As configuracoes possıveis, ao longo do movimento, satisfazendo estas restricoessao denominadas configuracoes admissıveis. Considere, por exemplo, uma barra com uma ex-tremidade engastada. Todas as configuracoes admissıveis sao aquelas onde tal extremidadepermanece com deslocamento nulo. O subconjunto de U formado por todas as configuracoesadmissıveis e indicado por Kinu, ou seja,

Kinu = u;u ∈ U ,u configuracao cinematicamente admissıvel (9.32)


Todo movimento a partir da configuracao admissıvel ut ∈ U , cuja sequencia de configuracoesseja formada sempre por configuracoes possıveis, terminando numa configuracao tambem ad-missıvel, e chamado de movimento admissıvel. A cada movimento admissıvel a partir deut ∈ Kinu correspondera uma acao de movimento v ∈ V chamada de acao de movimentocinematicamente admissıvel. O conjunto de todas as acoes de movimento cinematicamente ad-missıveis constitui o subconjunto Kinv ⊆ V,

Kinv = v;v ∈ V,v cinematicamente admissıvel

Em particular, diz-se que ut ∈ Kinu e uma configuracao com restricoes cinematicas seKinv ⊂ V, quer dizer, Kinv e um subconjunto proprio1 de V, ou seja, quando Kinv nao e oproprio V. Na secao anterior, onde a barra estava livre de restricoes cinematicas, foi obtido queKinv ≡ V como esperado.

A observacao da natureza mostra a existencia de diferentes tipos de restricoes cinematicas,sendo consideradas neste texto apenas dois casos:

sem restricoes : neste caso, tem-se simplesmente Kinv ≡ V. Logo, toda acao de movimentopossıvel e cinematicamente admissıvel.

restricoes bilineares sem atrito : sao restricoes de direcao, ou seja, se o movimento estaimpedido em um sentido tambem estara no sentido oposto, daı o nome bilateral. Por suavez, nas direcoes onde o movimento e permitido, o movimento se realiza sem ter que vencernenhum tipo de resistencia.

Uma terceira categoria de restricoes bastante importante, mas que nao sera abordada nessetexto, e chamada de restricao unilateral sem atrito e sem aderencia. Neste caso, se a acao demovimento esta impedida num sentido, nao esta impedido no sentido oposto. Encontra-se estetipo de restricao em quase todo componente mecanico, sendo exemplos tıpicos os problemas deconformacao e de contato. O tratamento desse tipo de restricao apresenta, entretanto, certadificuldade pois tais restricoes sao nao-lineares. Por esse motivo, as restricoes unilaterais naoserao consideradas aqui, sendo importante lembrar que nem todos os tipos de restricoes podemser convenientemente modeladas com restricoes bilaterais.

9.4.2 Taxa de deformacao

A partir do conhecimento do campo de velocidades v, define-se o campo tensorial das taxas dedeformacao D como,

D =1

2

(

grad v + grad vT)

= (grad v)s (9.33)

Pode-se assim introduzir o espaco vetorial W, cujos elementos sao todos os campos tensoriaissimetricos que podem ser definidos na configuracao atual. Da propria definicao (9.33), verifica-seque nem todo D ∈W esta associado a algum campo de acao de movimento v ∈V. Baseado nessaassociacao, introduz-se o operador D (para facilitar a notacao) tal que,

D = (grad v)s = Dv (9.34)

1Dado um conjunto A 6= ∅ e B um subconjunto de A, ou seja B ⊂ A. Assim, B e um subconjunto proprio deA quando B 6= ∅ e B 6= A, sendo indicado B ⊆ A.


Em particular, se dado D ∈W existe v ∈Kinv tal que (9.33) se verifique, tem-se que D euma taxa de deformacao compatıvel cinematicamente admissıvel. Por sua vez, o conjunto detodas as acoes de movimento possıveis rıgidas v ∈V constituem o subespaco vetorial N (D) deV chamado espaco nulo do operador taxa de deformacao,

N (D) = v;v ∈ V,Dv = 0, ∀x ∈Bt (9.35)

Figura 9.14: Relacao entre os espacos de acoes de movimento V e de taxas de deformacao W.

Em resumo, o estudo da cinematica dos corpos deformaveis permite introduzir os seguinteselementos (mostrados na Figura 9.14):

• o espaco vetorial V de acoes de movimento possıveis;

• o operador (linear) taxa de deformacao D = (grad)s;

• o espaco vetorial W de taxas de deformacao;

• o subespaco N (D) ⊂ V de acoes rıgidas de movimento;

• o subconjunto Kinv de V de acoes de movimento cinematicamente admissıveis, isto e,compatıveis com os vınculos. Como ja foi visto, dependendo do tipo de vınculo, Kinv

pode ser o proprio V ou um subconjunto proprio V.

9.4.3 Princıpio das potencias virtuais

O conceito de potencia externa foi apresentado no Capıtulo ??, no contexto do estudo dascondicoes de equilıbrio de corpos rıgidos. A potencia externa Pe do sistema de forcas f atuandonum corpo durante uma acao de movimento v e expressa por (9.1), onde Pe e um escalar. Logo,a potencia externa e um funcional linear contınuo definido sobre V, podendo ser expressa porum produto interno. O conjunto de todos os sistemas de forcas f , relacionadas as acoes demovimento v ∈ V pela expressao da potencia define o espaco vetorial V ′ das forcas externas.

Como a potencia externa nao carrega nenhuma informacao sobre o estado interno do corpo,a forma dos sistemas de forcas f compatıveis com a cinematica do problema no caso de corpos


deformaveis, e portanto o espaco V ′, nao podem ser obtidos diretamente. Sua determinacaosomente pode ser feita a partir do Princıpio das Potencias Virtuais, relacionando as potenciasexterna e interna.

No item 9.2.2 foi apresentado o conceito de potencia interna, dada pelo escalar Pi (9.3),definindo, de maneira analoga, a potencia externa, um funcional linear sobre W expresso peloproduto interno entre os tensores T e D. Como a forma do tensor D e conhecida (pois foiobtida das hipoteses cinematicas do problema), obtem-se da expressao da potencia interna aforma do tensor T compatıvel com o modelo cinematico do problema. Assim, determina-se oespaco vetorial dos esforcos internos W ′.

Como apresentado no item 9.2.3, o Princıpio da Potencia Virtual estabelece que,

Pe + Pi = 0

Dessa forma, tem-se que,

〈f ,v〉 =

∫

Bt

T ·D dBt (9.36)

Como a forma funcional do lado direito de (9.36) e conhecida, bem como a cinematica v, entaoestabelece-se a partir da expressao anterior a forma funcional dos sistemas de forcas compatıveiscom o modelo cinematico do problema, determinando entao o espaco de forcas externas V ′.

A equacao (9.36) estabelece uma relacao entre os espacos de esforcos externos V ′ e internosW ′, definindo o operador D∗ equacionando os esforcos externos aplicados ao corpo com osesforcos internos resultantes. Daı pode-se obter a equacao diferencial e as condicoes de contornodo problema ou obter a solucao diretamente da forma variacional (9.36).

Todo o procedimento para a solucao de problemas de mecanica via abordagem variacionalesta ilustrada na Figura 9.15. Observa-se que neste esquema nao se introduz o comportamentodo material. Assim, as equacoes obtidas representam apenas o equilıbrio do corpo deformado,sendo valido para qualquer material. Introduzindo-se a equacao constitutiva estabelece-se arelacao entre tensoes e deformacoes.

Figura 9.15: Esquema de solucao dos problemas de mecanica pela abordagem variacional.


9.5 Torcao em Eixos Circulares

Como no caso de barras, o eixo tambem e um elemento estrutural com uma dimensao longitudinalpredominante. Assume-se nesta formulacao que os eixos sao prismaticos circulares ou tubularesde secao constante. O interesse no estudo de eixos esta relacionado apenas a acoes de movimentooriginando torcao das secoes em torno da dimensao longitudinal. Na abordagem variacional, aformulacao do problema de deformacao de eixos segue as mesmas etapas do caso de barra.

1. Definicao da cinematica do problema: no caso da torcao de eixos com secoes transver-sais circulares ou tubulares, as seguintes hipoteses cinematicas sao feitas em relacao asacoes de movimento possıveis:

• as secoes transversais planas de um elemento circular permanecem planas e normais aoeixo longitudinal x, como no caso da barra. Assume-se ainda que secoes transversaisparalelas permanecem a uma distancia constante entre si, nao havendo deformacaolongitudinal.

• as acoes produzem uma rotacao nos pontos de uma secao transversal, crescendo lin-earmente a partir de zero no centro da secao e atingindo o valor maximo na periferia.Em outras palavras, cada secao transversal sofre uma rotacao rıgida constante, comomostrado na Figura 9.16a). Esta hipotese significa que dado um plano imaginarioDO1O2C, ilustrado na Figura 9.16b), este se move para D′O1O2C sob a acao darotacao.

Figura 9.16: a) Rotacao da secao transversal do eixo; b) efeito da torcao no plano longitudinalimaginario DO1O2C.


Como cada secao sofre uma rotacao rıgida em torno do eixo longitudinal x, entao a ve-locidade de rotacao θ e constante para todos os pontos da secao. Dessa forma, θ e funcaoescalar da coordenada x, ou seja, θ = θ (x) = ω (x). Logo, um ponto A de coordenadas(x, y, z), pertencendo a secao transversal mostrada na Figura 9.16a), sob acao da rotacaoω(x), esta sujeito a seguinte acao de movimento v,

v =

v1(x)v2(x)v3(x)

=

0−‖v‖ senβ‖v‖ cos β

=

0−ω (x) rsenβω (x) r cos β

(9.37)

sendo ‖v‖ = ω (x) r e r =√

y2 + z2 e a distancia entre o centro da secao e o ponto comcoordenada longitudinal x, como indicado na Figura 9.16a). Deve-se ter RI ≤ r ≤ RE ,onde RI e RE sao, respectivamente, os raios interno e externo da secao transversal. Se oelemento for circular solido RI = 0.

Da geometria do problema, conclui-se que senβ = zr e cos β = y

r , os quais substituidos em(9.37) resulta,

v =

0−ω (x) zω (x) y

(9.38)

Define-se, entao, o conjunto V das acoes cinematicamente possıveis como os campos develocidades v da forma (9.38), onde ω (x) e uma funcao suave apenas de x. Portanto,

V =v;v :<3 → <3| v1 = 0, v2 = −ω (x) z, v3 = ω (x) y;

ω (x) funcao escalar suave de x e RI ≤√

y2 + z2 ≤ RE , RI e RE constantes

Para um eixo livre, todos os elementos v ∈ V sao tambem acoes admissıveis, pois naoha vınculos fısicos, impedindo o movimento a torcao nas extremidades. Quando algumarestricao esta presente, somente o subconjunto Kinv de V, formado pelas funcoes respei-tando as restricoes, constitui as acoes de movimento admissıveis.

2. Taxa de deformacao: como definido anteriormente, D = grad v (x)s. Para problemasde elasticidade linear, entretanto, faz-se a hipotese de pequenas deformacoes. Assim, asdescricoes material e espacial, respectivamente configuracoes original e deformada, estaomuito proximas, podendo-se calcular o tensor taxa de deformacao como D = ∇v (X)s,como indicado em (9.2.2). Em outras palavras, tomam-se as componentes do tensor taxade deformacao em relacao as coordenadas originais dos pontos do eixo. Logo,

D =1

2

0 −z dωdx y dω

dx

−z dωdx 0 0

y dωdx 0 0

=

1

2

0 −zγ yγ−zγ 0 0

yγ 0 0

(9.39)

onde dωdx = γ e chamado taxa de deformacao angular. O espaco W e definido como o espaco

dos tensores simetricos da forma (9.39), com γ = γ (x) uma funcao escalar suave.


3. Movimentos rıgidos: a expressao (9.39) define o operador D : V → W do problemacomo D = grad(·)s. Portanto, N (D) e o conjunto das acoes onde γ = dω

dx = 0, ou seja,com ω constante. Isso significa que as acoes de movimento rıgido sao aquelas onde todasas secoes transversais sofrem a mesma rotacao rıgida. Define-se, entao, o conjunto N (D)como,

N (D) = v;v ∈ V | ω (x) = ω constante (9.40)

4. Potencia interna: a partir das expressoes (9.3), (9.5) e (9.39), calcula-se a potenciainterna associada a deformacao do eixo da seguinte forma,

Pi = −∫

VT ·D dV = −

∫

V(−T12zγ + T13yγ) dV

Como γ e funcao apenas de x, vem que,

∫

V(−T12zγ + T13yγ) dV =

∫ L

0

(∫

A(−T12z + T13y) dA

)

γ dx

Em particular,

Mx =

∫

A(−T12z + T13y) dA (9.41)

e o momento longitudinal ou torcor na secao transversal, como indicado na Figura 9.17.Assim,

Pi = −∫ L

0Mxγ dx = −

∫ L

0Mx

dω

dxdx (9.42)

Figura 9.17: Resultante em termos de momento torcor na secao transversal do eixo (A=area dasecao.


5. PPV: considere o conjunto de esforcos externos f aplicado ao eixo. A partir de (9.42) eda expressao (9.3) do vem que para qualquer acao virtual ∀v ∈V,

Pe = −Pi ⇒ 〈f , v〉 =

∫ L

0Mx

dω

dxdx (9.43)

Supondo que Mx seja suficientemente regular, pode-se integrar por partes o lado direitode (9.43), obtendo-se ∀v ∈V,

〈f , v〉 = Mxω|L0 −∫ L

0

dMx

dxω dx = [Mx(L)ω(L) − Mx(0)ω(0)] −

∫ L

0

dMx

dxω dx (9.44)

Este e o enunciado integral descrevendo o equilıbrio do eixo livre de restricoes, fornecendoainda uma representacao dos esforcos externos compatıveis com o modelo cinematico doeixo.

6. Caracterizacao dos esforcos externos: os esforcos externos compatıveis com a rep-resentacao (9.44), inclusive com a hipotese de Mx ser regular, estao ilustrados na Figura9.18a) e podem ser caracterizados por:

f :

T0 → torque aplicado em x = 0TL → torque aplicada em x = Lt → densidade de torque por unidade de comprimento

(9.45)

Figura 9.18: Eixo: a) esforcos externos; b) convencao de sinais.

A partir de (9.45), obtem-se a expressao da potencia externa das forcas f na acao v,

Pe = 〈f , v〉 = T0ω (0) + TLω (L) +

∫ L

0tω (x) dx (9.46)

Combinando o enunciado do PPV (9.44) e a expressao da potencia externa (9.46) tem-se∀v ∈ V,

[Mx(L)ω(L) − Mx(0)ω(0)] − ∫ L0

dMdx ω dx = T0ω (0) + TLω (L) +

∫ L0 tω dx


ou ainda,

− [Mx (0) + T0] ω (0) + [Mx (L) − TL] ω (L) −∫ L

0

(dMx

dx+ t

)

ω dx = 0 (9.47)

Para que a equacao (9.47) seja valida, tomando-se qualquer acao v ∈ V, deve-se ter,

dMx(x)dx + t(x) = 0 em x ∈ (0, L)

Mx (0) = −T0 em x = 0Mx (L) = TL em x = L

(9.48)

definindo o operador associado D∗ como,

D∗ =

− ddx(·) = 0 em x ∈ (0, L)− (·)|x=0 em x = L

(·)|x=L em x = 0

(9.49)

O conjunto de expressoes (9.48) define a equacao diferencial do eixo e as condicoes decontorno do problema livre de restricoes. Resolvendo-se esta equacao, determina-se afuncao Mx = Mx(x) descrevendo o momento torcor ao longo do eixo, estando a convencaode sinais para Mx ilustrada na Figura 9.18b).

No caso de uma acao de movimento virtual rıgida, o PPV estabelece que v ∈ N (D) ,

Pe = 〈f , v〉 = 0 → T0ω (0) + TLω (L) +

∫ L

0tω dx = 0

As acoes rıgidas sao as funcoes ω de valor constante em (0, L). Logo,

〈f , v〉 =

(

T0 + TL +

∫ L

0t dx

)

ω = 0

de onde obtem-se que a resultante dos esforcos externos deve ser nula, ou seja,

T0 + TL +

∫ L

0tdx = 0 (9.50)

Deve-se observar que o problema da torcao de eixos, uma vez equacionado, e algebrica-mente identico ao problema da tracao/compressao de barras. A Figura 9.19 ilustra aformulacao variacional do problema de torcao.

7. Aplicacao da equacao constitutiva: devido a cinematica adotada para o eixo, observa-se que as unicas componentes de deformacao presentes sao as componentes de cisalhamentoE12 e E13 dadas, respectivamente, por,

E12 =1

2

(∂u1

∂x2+

∂u2

∂x1

)

E13 =1

2

(∂u1

∂x3+

∂u3

∂x1

)


Figura 9.19: Esquema da formulacao variacional do eixo.

Associado ao campo de velocidades dado em (9.38), tem-se as componentes de desloca-mento u1 = 0, u2 = −θ(x)z e u3 = θ(x)y, as quais substituıdas nas expressoes anterioresresultam em,

E12 = −1

2

dθ

dxz E13 =

1

2

dθ

dxy (9.51)

Da lei de Hooke, as componentes de tensao de cisalhamento T12 e T13 estao relacionadas,respectivamente, a E12 e E13 atraves do modulo de cisalhamento µ,

T12 = 2µE12 = −µdθ

dxz T13 = 2µE13 = µ

dθ

dxy (9.52)

Substituindo estas expressoes na equacao do momento torcor (9.41), verifica-se que,

Mx =

∫

Aµ

(dθ

dxz2 +

dθ

dxy2)

dA = µdθ

dx

∫

A

(

y2 + z2)

dA → dθ

dx=

Mx

µIp(9.53)

onde Ip =∫

A

(

y2 + z2)

dA e o momento de inercia polar da secao transversal. Para secaocircular de diametro d tem-se Ip = πd4/32.

A partir daı, subtituindo esta relacao na equacao diferencial do momento torcor, obtem-se,

d

dx

(

µIpdθ(x)

dx

)

+ t(x) = 0 (9.54)

Para um eixo de secao transversal constante de um mesmo material, verifica-se que,

µIpd2θ(x)

dx2+ t(x) = 0 (9.55)


constituindo-se na equacao diferencial do eixo em termo do angulo de torcao θ(x). Ascondicoes de contorno, neste caso, sao analogas ao caso de barra, ou seja, o angulo detorcao pode ser nulo nas extremidades.

Combinando as expressoes em (9.52) com (9.53), vem que,

T12 = −Mx

Ipz T13 =

Mx

Ipy (9.56)

verificando-se uma variacao linear das componentes de cisalhamento na secao transversal.

Para um eixo de secao circular com diametro d, como o sistema de referencia esta colocadoao longo do centro de gravidade da secao, tem-se que as componentes T12 e T13 sao iguaisem modulo. A tensao de cisalhamento τ ao longo da direcao circunferencial, ilustrada naFigura 9.20, e dada por,

τ =√

T 212 + T 2

13 =Mx

Ip

√

y2 + z2 =Mx

Ip

d

2(9.57)

Figura 9.20: Distribuicao da tensao de cisalhamento na secao de um eixo: a) Mx > 0; b) Mx < 0.

A expressao anterior pode ser reescrita como,

τ =Mx

Ip2d

=Mx

Wx(9.58)

definindo o modulo de resistencia a torcao da secao transversal do eixo, contendo todos osatributos geometricos relativos a secao.

Para dimensionar um eixo, basta determinar Wx, impondo-se que τ = τ , onde τ e a tensaode cisalhamento admissıvel do material do eixo. Logo,

τ =Mx

Wx= τ → Wx =

Mx

τ(9.59)

e o diametro e dado por,

Wx =Ipd2

=πd4

32d2

→ d =

(16Wx

π

)1/3

(9.60)

Por sua vez, para verificar se o eixo permanece na fase elastica, basta comparar se τ < τ .


9.5.1 Exercıcio resolvido

1. Considere o eixo ilustrado na Figura 9.21 de secao circular com diametro d submetidoao carregamento indicado. Pede-se: a) determinar o diametro mınimo d para que o eixopermaneca na fase elastica; b) determinar a equacao do angulo de torcao; c) suponhaagora que a secao do eixo seja circular vazada com diametros interno di e externo de, comdi/de = 0, 8. Pede-se determinar os diametros di e de; d) para esta nova secao, determinara equacao do angulo de torcao; e) baseado nos resultados obtidos, determinar qual eixo emais pesado e qual sofre a maior rotacao. Dados: L = 2m, Mt = 1000Nm, τ = 50MPa,G = 80GPa, to = 1600Nm/m.

Figura 9.21: Eixo com secoes circulares cheia e vazada.

(a) Equacao do carregamento: t(x) = t0 < x − L2 >0

(b) Condicoes de contorno: θ(x = 0) = 0 Mx(x = L) = Mt

(c) Integracao da equacao diferencial: GIpd2θdx2 = −t(x) = −t0 < x − L

2 >0

• 1a integracao: momento torcorMx(x) = GIp

dθ(x)dx = −t0 < x − L

2 >1 +C1

• 2a integracao: angulo de torcaoGIpθ(x) = − t0

2 < x − L2 >2 +C1x + C2

(d) Determinacao das constantes de integracao

GIpθ(x = 0) = (0) + C1(0) + C2 = 0 → C2 = 0

Mx(x = L) = −t0 < L − L2 >1 +C1 = Mt → C1 = Mt + t0

L2

(e) Equacoes finais

• momento torcorMx(x) = −t0 < x − L

2 >1 +Mt + t0L2 = −1600 < x − 1 >1 +2600

• angulo de torcaoθ(x) = 1

GIp(− t0

2 < x − L2 >2 +Mt + t0

L2 x) = 1

GIp(−800 < x − 1 >2 +2600x)

(f) Diagrama do momento torcor

Mx(x → 0+) = 2600Nm Mx(x → 1−) = 2600Nm


Mx(x → 1+) = 2600Nm Mx(x → 2−) = 1000Nm

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mx(x)[N]

x[m]

(g) Secao mais solicitada: Mx(x → 0+) = 2600Nm

(h) Dimensionamento

• Secao circularmomento de inercia da secao: Ip = πd4

32

dimensionamento a tensao: τ = (MxIp

)(d2 ) = Mx

16πd3 = τ → d = (Mx

16πτ )

13 =

6, 42cm

• Secao circular vazada (d1, d2= diametros interno e externo)dimensionamento a tensao: τ = (Mx

Ip)(d2

2 ) = MxWx

= τ

modulo de resistencia a torcao: Wx = Mxτ = 5, 2 × 10−5m3

Portanto,Wx =

Ipd22

= π32(d4

2 − d41)

2d2

= π16d2

(d42 − d4

1)

Por sua vez, a relacao entre os diametros e dada por d1d2

= 0, 8. Substituindo naexpressao anterior vem que,Wx = π

16d2[d4

2 − (0, 8d2)4] = 5, 2 × 10−5

Logo, d2 = 7, 65cm e d1 = 6, 12cm.

(i) Equacao do angulo de torcao

• Secao circularmomento de inercia: Ip = πd4

32 = π32 (6, 42 × 10−2)4 = 1, 67 × 10−6m4

Por sua vez, tem-se que GIp = 133422, 78. Logo,θc(x) = 7, 49 × 10−6(−800 < x − 1 >2 +2600x)

• Secao circular vazadamomento de inercia: Ip = π

32 (d42−d4

1) = π32 [(7, 65×10−2)4− (6, 12×10−2)4 =

1, 98 × 10−6m4

Neste caso, GIp = 158811, 51. Portanto,θv(x) = 6, 30 × 10−6(−800 < x − 1 >2 +2600x)

Abaixo ilustram-se os graficos dos angulos de torcao para os casos de secao cheia e


vazada.

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

du(x)/dx[rad]

x[m]

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

du(x)/dx[rad]

x[m]

(j) Relacao entre os pesos

As massas mc e mv dos eixos de secoes circulares cheia e vazada sao dadas, respec-tivamente, por mc = ρVc e mv = ρVv, sendo ρ a densidade do material; Vc e Vv osvolumes das secoes. Desta maneira, a relacao entre as massas e a seguinte,

mc

mv=

Vc

Vv=

L(π4 )d2

L(π4 )(d2

2 − d21)

=d2

(d22 − d2

1)=

6, 422

7, 652 − 6, 122= 1, 95

onde L e o comprimento dos eixos. Desta maneira, como esperado, a massa do eixode secao cheia e superior a do eixo com secao vazada.

(k) Relacao entre as rotacoes

A partir das expressoes para as rotacoes tem-se a seguinte relacao:

θc

θv=

7, 49

6, 30= 1, 19

Assim, apesar da massa do eixo com secao cheia ser superior ao eixo vazado, a suarotacao e cerca de 20% superior.


Referencias Bibliograficas

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