Professores:
Darlan K. E. de Carvalho (Dr.)
Paulo Roberto Maciel Lyra (PhD.)
Esttica dos Fluidos 2.6 Manometria
Manmetros so equipamentos utilizados para medir a presso relativa (ou manomtrica) entre fluidos.
2.6.1 Manmetro de Coluna Piezomtrica ou Piezmetro
Consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao reservatrio no qual desejamos medir a presso, conforme mostra a figura a seguir:
Figura 2.6. Manmetro de coluna piezomtrica ou piezmetro.
Esttica dos Fluidos Para o piezmetro da figura 2.6, a equao que relaciona a coluna de lquido
com a presso manomtrica dada por:
logo:
(equao manomtrica )
Observaes:
A altura h, para presses elevadas e para lquidos de baixo peso
especfico, muito grande.
Exemplo: gua e
(de coluna de gua!!!).
ABS ATMp p h
4 310 /N m 5 2 5 410 / 10 10 10ATMp p N m h m
(2.33)
(2.34)MANp h
Esttica dos Fluidos No possvel medir a presso de gases, pois estes escapam sem formar
uma coluna h.
No possvel medir presses manomtricas negativas, pois, neste
caso, haveria a entrada de ar para o reservatrio.
2.6.2 Manmetro com Tubo em U
Consiste num tubo em U, ligado ao reservatrio no qual se deseja medir a presso.
Estes manmetros podem conter um fluido auxiliar (manomtrico) de peso especfico, em geral, elevado (ex.: mercrio), que permite, inclusive, a
medida da presso de gases.
Esttica dos Fluidos
OBS: Os manmetros de tubo em U ligados a dois reservatrios (ao invsde terem um dos ramos aberto) so chamados de Manmetros
Diferenciais, pois fornecem a diferena de presso entre dois reservatrios.
Esttica dos Fluidos Equao Manomtrica: Para a obteno da equao manomtrica
(equao que relaciona presses e cotas) em manmetros com tubo em U
interessante que sigamos as seguintes regras prticas:
1) Dois pontos quaisquer, na mesma cota, em um volume contnuo de fluido
esto mesma presso;
2) A presso cresce medida que se desce na coluna de fluido.
Exemplo: Determinar a diferena de presso PA PB entre os doisreservatrios da figura.
Esttica dos Fluidos
Notando que , e , e utilizando o Teorema da Stevin, podemos escrever:
1 Ap p 5 Bp p
2 1 1Ap p h
4 2 2 2p p h
4 3 3Bp p h
2 3p p
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Esttica dos Fluidos Somando (2.35) e (2.36) , temos:
Finalmente, somando (2.38) com (2.37) , chegamos a:
4 1 1 2 2Ap p h h
1 1 2 2 3 3( )B Ap p h h h
(2.38)
(2.39)
Esttica dos Fluidos OBS:
1) Para medir baixas presses (ex. Presso sangunea), utiliza-se um fluido manomtrico leve como a gua.
2) O fluido manomtrico deve ser imiscvel com o fluido que est diretamente em contato com ele.
3) Na medida de pequenas variaes de presso pode-se usar o manmetro com tubo inclinado.
Esttica dos Fluidos 2.6.3 Manmetro de Bourdon
Apesar dos manmetros com coluna de lquido serem muito utilizados, elesno so adequados para a medio de presses muito altas ou presses que
variam muito rapidamente com o tempo.
Existem diversas alternativas aos manmetros de coluna lquida. A maiscomum o Manmetro de Bourdon.
Esttica dos Fluidos Manmetro de Bourdon
O princpio de funcionamento deste manmetro envolve um tubo elsticocurvado (tubo de Bourdon) conectado a fonte de presso. Este tubo tende a
ficar reto quando a presso interna no tubo aumenta. Esta deformao
ento transformada em movimento num ponteiro associado a um mostrador,
conforme mostrado na figura 2.9.
Figura 2.9. Manmetro de Bourdon.
Esttica dos Fluidos Note que, no Manmetro de Bourdon, a presso medida a presso relativa
entre a presso interna do fluido no tubo e a presso atmosfrica local.
Existem outros medidores de presso que permitem o monitoramento contnuo da presso (ex. num processo qumico). Estes dispositivos so
denominados transdutores (sensores) de presso.
Esttica dos Fluidos Barmetro de Torricelli: O barmetro um
equipamento utilizado para medir a presso
atmosfrica.
Exitem basicamente dois tipos de barmetro: 1. O de Mercrio: Consiste basicamente num tubo de vidro
cheio de mercrio, invertido em uma cuba. A presso
atmosfrica equilibra uma coluna de 760mm de mercrio ao
nvel do mar (p=101,325 kPa)
2. O aneride: Os sistemas anerides usam um micrmetro
para medir a deflexo de um diafragma colocado sobre uma
cuba de vcuo parcial. Depois de aferidos com um
barmetro de mercrio, estes so os preferidos, pois tm
grande sensibilidade e so bastante portteis. Por este
motivo so muito usados em estaes mveis e nos
altmetros de avies.
Esttica dos Fluidos
2.7 Foras Hidrostticas sobre Superfcies Submersas
Para determinarmos completamente a resultante das foras que atuam sobre uma superfcie submersa, devemos especificar:
1. A intensidade da fora;
2. O sentido da fora;
3. A linha de ao da fora;
Esttica dos Fluidos 2.7.1 Fora Hidrosttica sobre Superfcies Planas Submersas
Considerando a superfcie plana submersa da figura a seguir:
Figura 2.10. Superfcie submersa plana.
Esttica dos Fluidos A fora de presso atuando sobre um elemento da face superior dada
por:
onde, o vetor rea normal a superfcie e com sentido contrrio ao de
Integrando a equao (2.40), obtemos a fora resultante, como:
dA
dF pdA
RA
F pdA
.dF
dA
(2.40)
(2.41)
Esttica dos Fluidos Pela figura (2.10), temos que e, usando o Teorema de Stevin,
isto , , temos:
Figura 2.10. Superfcie submersa plana.
h ysen
0p p h
0( )RA
F p ysen dA (2.42)
Esttica dos Fluidos Assumimos que p0=patm , p0 atua em ambos os lados da superfcie, no
contribuindo para a fora lquida sobre a superfcie, sendo, portanto,
cancelada. Neste caso, temos:
Lembrando que . A intensidade de dada por:
RA
F sen ydA
| |R RA
F F sen ydA
cte RF
(2.43)
(2.44)
Esttica dos Fluidos Mas igual ao momento esttico da superfcie com
respeito ao eixo x. yc a coordenada y do centride da superfcie, e A o
valor algbrico de sua rea. Desta forma, temos:
ou ainda, com :
A equao anterior permite calcular diretamente (sem integrao!) a
intensidade da fora resultante sobre uma superfcie plana submersa.
R CF y sen A
X C
A
I ydA y A
R C C cF h A p A p presso no centride
C Ch y sen
(2.45)
(2.46)
Esttica dos Fluidos A linha de ao de pode ser determinada, lembrando-se que o momento
da fora resultante com respeito a qualquer eixo igual ao momento da
fora distribuda com relao ao mesmo eixo. Neste caso, temos:
Onde (vetor posio do ponto de aplicao de
(vetor posio de um ponto qualquer na superfcie plana) e
R Rr F r dF r pdA
,RFr x i y j r xi yj .dA dAK
RF
(2.47)
Esttica dos Fluidos Avaliando a equao vetorial acima, temos:
Igualando as componentes, temos:
( ) ( )
( ) ( )
R
A
R R
A
x i y j F K xi yj pdAK
x F j y F i xpdA j ypdA i
R
A
R
A
x F xpdA
y F ypdA
(2.48)
(2.49)
RodrigoLine
RodrigoLine
RodrigoLine
RodrigoLine
Esttica dos Fluidos Substituindo , chegamos a:
Lembrando que, o momento de inrcia, e
o produto de inrcia da superfcie, e, ainda que, , (Eq. 2.45)
temos:
2
'
'
R
A
R
A
x F sen xydA
y F sen y dA
x sen Cy A sen XYI
y sen Cy A sen XXI
XY
C
Ix
y A XX
C
Iy
y A
2
XX
A
y dA I XYA
xydA I
R CF sen y A
(2.50)
(2.51)
p h ysen
Esttica dos Fluidos Do Teorema dos Eixos Paralelos (TEP), temos que
e , onde e so o momento e o produto de inrcia
com respeito aos eixos centroidais, e, xc e yc so as coordenadas do
centride.
Portanto, as coordenadas do ponto de aplicao a fora so dadas por:
XY
C
C
Ix x
y A '
XX
C
C
Iy y
y A
2XXXX CI I Ay
XYXY C CI I Ax y
XXI XYI
(2.52)
Esttica dos Fluidos 2.7.2 Fora Hidrosttica sobre Superfcie Curva Submersa
Sempre possvel obter a fora hidrosttica resultante em qualquersuperfcie submersa por integrao, porm, o procedimento trabalhoso e
no possvel obter equaes simples e gerais.
Para efeito de simplificao, consideraremos o equilbrio de um volume defluido delimitado pela superfcie curva de interesse (barragem, tubulao,
tanque, etc) e pelas suas projees horizontal e vertical.
Esttica dos Fluidos Considerando a seo curva BC do tanque aberto mostrado na figura 2.11.
Nesta figura, tambm mostramos um diagrama de corpo livre de uma
poro de fluido limitado pelas faces AB, BC e AC.
As foras , que resultam da ao do restante do fluido sobre o volume considerado, a fora peso W, aplicada no centro de g
