Click here to load reader

MEC2344 Mecânica dos Fluidos I - fluidos-lfa. ...fluidos-lfa. · PDF filePontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica MEC2344

  • View
    250

  • Download
    11

Embed Size (px)

Text of MEC2344 Mecânica dos Fluidos I - fluidos-lfa. ...fluidos-lfa. · PDF...

  • Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro / PUC-Rio

    Departamento de Engenharia Mecnica

    MEC2344Mecnica dos Fluidos I

    Notas de AulaProf. Luis Fernando Azevedo

    ([email protected])

    Rio de Janeiro, 02 de agosto de 2010

  • Sumrio

    1 Introduo 11.1 Mecnica do Contnuo Teoria Cintica dos Gases . . . . . . . . . . . . 1

    2 Reviso de Anlise Vetorial 32.1 Escalares e Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Operaes com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Notao Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Clculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Rotao de Coordenadas e Definio de Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Tensores Cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Sistemas de Coordenadas Curvilneas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Teoremas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Cinemtica dos Meios Deformveis 353.1 Descrio Material e de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Trajetria, Linha de Corrente e Linha de Tinta . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Dilatao e Derivada Material da Dilatao . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Derivada Material da Dilatao J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Teorema de Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Cinemtica da Deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Resumo das Sees Anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    4 Dinmica dos Meios Deformveis 624.1 Conservao da Quantidade de Movimento Linear . . . . . . . . . . . . . 634.2 Prova da Simetria do Tensor das Tenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 Aplicaes da Equao de Cauchy para o Movimento . . . . . . . . . . . . 714.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Exerccio Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5 Equao da Energia 78

    6 Segunda Lei da Termodinmica 836.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    7 Equaes Constitutivas 867.1 Algumas Consideraes sobre , e k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

  • iv SUMRIO

    8 Equaes Governando o Escoamento de Fluidos Newtonianos 938.1 Derivao da Equao da Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    9 Modelos para Escoamentos Reais 1009.1 Fluido Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 Escoamentos Barotrpicos de Fluidos Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . 1019.3 Escoamentos Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.4 Escoamentos Potenciais Bi-dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.5 Potenciais Complexos e Velocidade Complexa . . . . . . . . . . . . . . . 1059.6 Soluo de Alguns Problemas Clssicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.7 Cinemtica da Vorticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.8 Teorema de Kelvin para Circulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    10 Aplicaes 12910.1 Escoamento Viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2 Escoamento Lento (Creeping Flow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

  • Referncias Bibliogrficas

    Currie, Fundamental Mechanics of Fluids, McGraw Hill, 1974

    Aris, R., Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics, PrenticeHall, 1962

    Batchelor, Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge University Press, 1980

    Panton, R. L., Incompressible Flow, John Wiley, 2nd Ed., 1996

    Lista de Smbolos

    Smbolo Descrio Seo Pgina

    ~A Notao de vetor 2.2 3a Vetor unitrio 2.2 4cos( ~A, ~B) Cosseno do ngulo entre os vetores ~A e ~B 2.2 4i, j, k Vetores unitrios nas direes dos eixos x, y, z 2.2 4e1, e2, e3 Representaao alternativa para os vetores i, j, k 2.2 4~A . ~B Produto escalar entre os vetores ~A e ~B 2.2 5~A ~B Produto vetorial entre os vetores ~A e ~B 2.2 5ij Delta de Kronecker 2.3 9ijk Smbolo de permutao 2.3 10~() Operador gradiente 2.4 13~ Gradiente de um campo escalar 2.4 13div ~A Divergente de um vetor 2.4 162() Operador Laplaciano 2.4 18rot ~A Rotacional de um vetor 2.4 19 Circulao 2.4 20

  • Smbolo Descrio Seo Pgina

    =T Notao de tensor 2.6 25=I Tensor identidade 2.6 25D()/Dt Derivada material 3.1 40()/t Derivada local 3.1 40~u . ~() Derivada convectiva 3.1 40J = V/V0 Dilatao 3.3 44=D Tensor de deformao 3.6 52= Tensor de rotao ou de vorticidade 3.6 52~w Vetor vorticidade 3.6 58=T Tensor das tenses 4.1 63p Presso hidrosttica 4.3 71= Tensor das tenses viscosas 4.3 73 Energia interna por unidade de massa 5 78~q Vetor densidade de fluxo de calor 5 78S Entropia do material 6 83s Entropia por unidade de massa 6 83k Coeficiente da Lei de Fourier 7 86 Segundo coeficiente de viscosidade 7 86 Viscosidade dinmica 7 86 Viscosidade global 7.1 91p Tenso normal mdia 7.1 92K Fator de compressibilidade isotrmica 8 93 Coeficiente de expanso volumtrica 8 93 Viscosidade cinemtica 8.1 98 Potencial de velocidade 9.3 104 Potencial de velocidade 9.4 105F (z) Funo analtica 9.5 105Re Nmero de Reynolds 10.1 130Ec Nmero de Eckert 10.1 131Pr Nmero de Prandtl 10.1 131Re Pr Nmero de Pclet 10.1 131Gr Nmero de Grashof 10.1 131Nu Nmero de Nusselt 10.1 132C Nmero de Cavitao 10.1 132Fr Nmero de Froude 10.1 132W Nmero de Weber 10.1 132cf Coeficiente de atrito de Fanning 10.1 136CD Coeficiente de arraste 10.2 149Re Nmero de Reynolds reduzido 10.2 154

  • Captulo 1

    Introduo

    1.1 Mecnica do Contnuo Teoria Cintica dos Gases

    Toda matria composta de tomos ou molculas em constante movimento (funo datemperatura). Uma teoria de mecnica dos fluidos completa e rigorosa deveria conside-rar esta estrutura da matria para obter as equaes que governam o escoamento. Estetipo de enfoque, no entanto, extremamente complexo, exceto em casos especiais de gasesmonoatmicos rarefeitos. Este enfoque considerado na teoria cintica dos gases.

    Felizmente para fluidos sob condies normais de presso e temperatura existe umaformulao que tem demonstrado ser til na soluo de problemas. Trata-se do modelocontnuo do fluido. Neste modelo assume-se que qualquer propriedade local do fluido per-manece inalterada no importando o tamanho da amostra de fluido examinada.

    Por exemplo, se v um pequeno volume de fluido em algum ponto do espao, assu-mimos que a massa especfica, definida como = massa em vv , independente de v.

    Obviamente, esta hiptese vai falhar quando v se tornar da ordem do volume de umamolcula.

    Para se ter uma ideia da validade da hiptese do contnuo, considere um volume de gsde 106 cm3. Este volume certamente menor que o volume dos menores instrumentosutilizados no laboratrio para medidas locais. Um volume pequeno como este contm daordem de 1016 molculas, o que suficiente para garantir a aplicao com sucesso domodelo contnuo para o fluido.

    Este modelo contnuo de fluido falha em qualquer regio do espao onde as propriedadesmacroscpicas do fluido variem rapidamente em uma regio comparvel ao caminho livremdio entre colises ( 105 cm nas CNTP).

  • 2 CAPTULO 1. INTRODUO

    Exemplos onde o modelo contnuo pode falhar:

    ondas de choque

    arraste em um satlite na atmosfera onde o nmero de molculas por unidade devolume pequeno

    movimento de aerossis

  • Captulo 2

    Reviso de Anlise Vetorial

    2.1 Escalares e Vetores

    Existem muitas grandezas fsicas que esto associadas uma nica magnitude. Por exemplo,a massa especfica de um fluido em um ponto determinada por uma nica grandeza. Noh sentido em associar-se uma direo massa especfica. Estas grandezas so chamadasescalares.

    Se a unidade na qual a grandeza escalar expressa muda, o nmero real associado grandeza vai mudar, mas no a entidade fsica. Desta forma, a massa especfica da gua 4oC 1 g

    cm3ou 62.4 lbm

    ft3. Os dois nmeros expressam a mesma massa especfica.

    Existem outras grandezas associadas com um ponto que tm magnitude e direo. Estaquantidade fsica chamada vetor. Uma mudana de unidades muda a magnitude do vetor,da mesma forma que ocorre no caso do escalar. A direo do vetor deve ser especificada emrelao a um sistema de referncia que to arbitrrio quanto a escolha das unidades nasquais a magnitude definida. Uma rotao do sistema de referncia utilizado muda o valordos componentes do vetor no sistema de coordenadas. A entidade fsica representada pelovetor, no entanto, permanece inalterada.

    O conjunto de componentes do vetor no tem sentido se o sistema de referncia utilizadono for especificado, assim como, no caso do escalar, 62.4 no significa a massa especficaat que as unidades sejam especificadas.

    Podemos ento definir um vetor:vetor uma entidade que tem magnitude e direo e invariante com relao umatransformao de coordenadas (i.e., os componentes do vetor podem mudar mas no ovetor propriamente dito).

    2.2 Operaes com Vetores

    Soma de Dois Vetores

  • 4 CAPTULO 2. REVISO DE ANLISE VETORIAL

    ~C = ~A+ ~B

    Multiplicao de um Vetor por um Escalar

    Multiplica-se a magnitude do vetor pelo escalar mantendo-se a direo (ou revertendo-a,caso o escalar seja negativo):

    ~B = ~A

    Vetores Unitrios

    Vetor unitrio na direo de ~A:

    a =~A

    | ~A|

    Componentes de um Vetor em uma dada Direo

    As = | ~A| cos(~A, s)

    Representao de um Vetor em Termos de seus Componentes

    Usando um sistema de coordenadas formado por um conjunto de trs vetores unitrios mu-tuamente ortogonais, podemos representar um vetor ~A em termos de seus componentes:

    ~A = Ax i + Ay j + Az k

  • 2.2. OPERAES COM VETORES 5

    Para facilitar o desenvolvimento da not

Search related