Mec^anica Geral · 2008-02-27 · Analiticamente podemos determinar o m¶odulo e a dire»c~ao usando a Lei dos Cosenos e a Lei dos Senos. Assim se F1 = 300 N, F2 = 500 N e

Mecanica Geral

Prof. Evandro Bittencourt (Dr.)Engenharia de Producao e Sistemas

UDESC

27 de fevereiro de 2008

Sumario

1

Prof. Evandro Bittencourt - Mecanica Geral - 2007 2

1 Introducao

1.1 Princıpios Fundamentais da Mecanica

1. Lei do Paralelogramo para Adicao de ForcasDuas forcas atuantes sobre um ponto material podem ser substituıdas por uma unicaforca, chamada de resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo formado pelasforcas.

R = F1 + F2

©©©©©©©©©©©©©©©©©©*

-£££££££££±F1

F2

R

............

.......................................................

...................................... β

£££££££££££££

2. Princıpio da transmissibilidadeCondicoes de equilıbrio nao se alteram se uma forca que atua num dado ponto do corporıgido for substituıda por outra de mesma intensidade, direcao e sentido, mas que atuaem um ponto diferente, desde que as duas tenham a mesma linha de acao.

3. Primeira Lei de Newton (Lei da Inercia)Se a intensidade da forca resultante que atua sobre um ponto material e zero, estepermanecera em repouso ou permanecera com velocidade constante e em linha reta.

4. Segunda Lei de Newton (F = m · a)Se a forca resultante que atua sobre um ponto material nao e zero, este tera umaaceleracao proporcional a intensidade da resultante e na direcao desta, com o mesmosentido.

5. Terceira Lei de Newton (Acao e Reacao)As forcas de acao e reacao entre corpos em contato tem a mesma intensidade, mesmalinha de acao e sentido opostos.

6. Lei de Gravitacao de NewtonDois pontos materiais de massas M e m sao mutuamente atraıdos com forcas iguais eopostas F e -F de intensidade F dada pela formula:

F = GMm

r2

r = distanciaG = Constante de Gravitacao

g =GM

R2= 9, 81 m/s2

M = massa da terraR = Raio da terra

P = mg


1.2 Sistemas de Unidades

Unidades Absolutas: m : metro (distancia)kg : quilograma (massa)s : segundo (tempo)

Aceleracao: m/s2

A forca de 1 N aplicada num corpo com 1 kg de massa provoca aceleracao de 1 m/s2

Forca: kg · m/s2 = N (Newton)A aceleracao da gravidade (9,81 m/s2 aplicada num corpo com 1 kg de massa provoca forca(Peso) de 9,81 N.


2 Estatica dos pontos materiais

2.1 Resultante de duas forcas

As forcas (ou cargas) em estruturas, maquinas, moveis, etc. sao representadas por vetores,possuindo uma linha de acao, sentido e modulo.

Quando temos duas forcas atuando num mesmo ponto material, podemos obter a suasoma pelo Criterio do Paralelogramo.

Exemplo:Graficamente determinamos retas formando o paralelogramo, a diagonal e a forca resul-

tante:R = F1 + F2

©©©©©©©©©©©©©©©©©©*

-£££££££££±F1

F2

R

............

.......................................................

...................................... β

£££££££££££££

Analiticamente podemos determinar o modulo e a direcao usando a Lei dos Cosenos e aLei dos Senos.

Assim se F1 = 300 N, F2 = 500 N e β = 75o, analisando o triangulo:

©©©©©©©©©©©©©©©©©©*

-£££££££££±300 N

500 N

R

......................................................................................................................................................................

105o

............

.............................α

Pela Lei dos Cosenos:

R2 = 3002 + 5002 − 2 · 300 · 500 · cos 105o

R = 646 N

Pela Lei dos Senos:

646

sen105o=

300

senαα = 26, 7o


2.2 Componentes

A soma de forcas pode ser realizada atraves da soma das suas componentes cartesianas.Exemplo: Componentes de uma forca no plano.

£££££££££± 300 N

Fx

Fy

...........................................

.......... 75o

-

6

Fx = 300 · cos 75o Fy = 300 · sen 75o

Fx = 77, 6 N Fy = 289, 8 N

2.3 Adicao

O uso das componentes pode simplificar a adicao de forcas principalmente quando temosvarias forcas envolvidas.

Exemplo: Adicao de forcas usando as componentes. R = 300 N + 500 N

-£££££££££± 300 N

500 N...................................................................

...................................... 75o

300 N

Fx

Fy

-

6

Rx = Fx + 500 Ry = Fy

Rx = 300 · cos 75o + 500 Ry = 300 · sen 75o

Rx = 577, 6 N Ry = 289, 8 N

Com as resultantes cartesianas (Rx e Ry) calculamos a resultante (modulo, direcao):

R2 = Rx2 + Ry2 arc tg α =Ry

Rx

R2 = 577, 62 + 289, 82 arc tg α =289, 8

577, 6

R = 646 N α =26, 6o


2.4 Exercıcio:

Calcule a resultante das forcas:

F1 = 550 N F2 = 400 N F3 = 500 N F4 = 450 N

-

Á

?

HHHHHHHHHHHHY

F1

F2

F3

F4

............

........................................................

.............. 55o

............

.............................

28o

3 Equilıbrio de um ponto material

Um ponto material se encontra em equilıbrio quando a resultante de forcas aplicadas e nula.ExemploCalcular a forca de tracao nos cabos AC e BC.Desenho esquematico

@@

@@

@@

@@@´

´´

´´

´´

´´

´´

´6

?

-¾-¾

3 m

3 m 4 m

100 N

A B

C

O ponto C em equilıbrio sera utilizado para analise.


Ponto material

?

@@

@@@I

´´

´´

´3

@@

@@

@@

@@@´

´´

´´

´´

´´

´´

´6

?

-¾-¾

3 m

3 m 4 m

100 N

FACFBC

C

Para a resultante do ponto em equilıbrio ser nula, as duas componentes ortogonaistambem devem ser iguais a zero (Rx = 0, Ry = 0), desta maneira montamos um sistema deequacoes considerando as componentes das forcas envolvidas:

{Rx = 0Ry = 0

{FBCx − FACx = 0

FBCy + FACy − 100 = 0

FBC · 45

− FAC√2

= 0

FBC · 35

+FAC√

2− 100 = 0

FBC = 71, 4 N

FAC = 80, 8 N

3.1 Exercıcios

1. O barco esta seguro pelos dois cabos AB e CB, sabendo que o rio faz uma forca de15 kN no barco, calcular a forca de tracao nos cabos.


¡¡

¡

@@

@

½½

½½

½½

½½

½½

½½

BBBBBBBBB

6

?

6

?

-¾-¾

30 m

30 m

30 m 10 m

A

B Barco

C

Rio -

Figura 1: Exercıcios 1 e 2

2. (Desenho anterior) Sabendo que o cabo AB esta sujeito a uma forca de 10 kN, calculara forca no cabo CB e no barco pelo rio.

4 Momento de uma forca

Uma forca, alem de provocar um movimento de translacao nos corpos rıgidos, tambemprovoca uma acao de rotacao num determinado ponto material do corpo rıgido que esta forada linha de acao da forca.

Esta acao de rotacao e chamada de momento de uma forca em relacao a um ponto. Sendoresultado do produto do modulo da forca e a distancia entre a linha de acao da forca e oponto onde estamos calculando o momento, medida esta feita na projecao ortogonal do pontosobre a linha de acao.

O momento provocado pode ser anti-horario ou horario, no plano define-se o sinal positivopara o momento anti-horario (Regra da Mao-Direita).

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

s

?

@@

@@

@@R

@@

-¾

¡¡

¡¡

¡¡µ¡

¡¡

¡¡

¡ªF1

F2

d1

d2

A

ΣMA = M1 + M2

ΣMA = F1 · d1 − F2 · d2

Figura 2: Momento de uma forca em relacao a um ponto


4.1 Exercıcios

1. A manivela esta sujeita a forca vertical indicada.

(a) Calcular o momento no eixo da manivela (A).

(b) Calcular a forca horizontal aplicada em C necessaria para produzir o mesmo mo-mento da forca vertical.

(c) Calcular a forca vertical aplicada em B necessaria para produzir o mesmo mo-mento.

(d) Determinar a direcao e a menor forca aplicada em C necessaria para produzir omesmo momento.

s

s

r

©©©©©©©©©©©©©©©

.........

.........

.............................

30o

?K.........................................................................................................................

...........................

.......................................................

........................................................

........................................................

...................................................

........................................................

........................................................

........................................................

................................................................

?AA

A

AA

A

AA

A

©©©©©©*©©©©©©©©©*

©©©©©©¼

©©©©©©©©©¼15 cm

25 cm

A

C

B 150 N

Figura 3: Exercıcio 1

2. Calcular o momento na prateleira fixa na parede:

?

6

?

-¾ - -¾ ¾20 cm 10 cm 10 cm

50 N

60 N

30 N

4.2 Momento de um Conjugado (Binario)

A acao de duas forcas com o mesmo modulo, linhas de acao paralelas e sentido contrario eum momento igual ao modulo multiplicada pela distancia entre as linhas de acao.


?

6

-¾

F1 F1’

d1

M = F1 · d

Figura 4: Momento de uma conjugado

O momento de um conjugado e um vetor ”livre”, tendo o mesmo efeito em todos ospontos materiais do corpo rıgido.

4.2.1 Exercıcios

1. Calcular a forca exercida em cada parafuso usado para fixar a prateleira na parede(posicao A e B):

?

6

?

-¾ - -¾ ¾

6

?

20 cm 10 cm 10 cm

50 N

60 N

30 N

3 cm

A

B


5 Centroide e Baricentro

O calculo de centro de areas (centroide) e centro de forcas (baricentro) de uma figura qualquere realizado usando o conceito de momento.

5.1 Centroide de Figuras Conhecidas

Retangulo

6

?

-¾

6

?

-¾

ch

b

h

2

b2

Triangulo reto

.............................................................................................................................................................................................................................................

6

?

-¾

6

?

-¾

ch

b

h3

b3

Cırculo

.............

.........................................................

.........................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................

-¾

-¾

c

d

d2

Semi-Cırculo

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-¾

-¾

c

d2

2·d3·π

Quarto de Cırculo

.................................................................................................................................................................

-¾

-¾

6

?

c

d2

2·d3·π

2·d3·π

5.2 Calculo do centroide

O centroide de uma figura qualquer pode ser determinado pela divisao desta em figurasconhecidas. Apos a fixacao de eixos de referencia, estes sao usados para o calculo do momentodas areas das diversas figuras divididas que por sua vez deve ser igual ao momento da figuratotal em relacao ao mesmo eixo. Assim o calculo da posicao do centroide em relacao aos


eixos de referencia sao calculados:

x =

n∑i=1

xi · Ai

n∑i=1

Ai

y =

n∑i=1

yi · Ai

n∑i=1

Ai

Exemplo:

6

?

-¾

c160

30

.............................................................................................................................................................................................................................................

-¾

c2

30

Posicionando os eixos de referencia no canto inferior esquerdo da figura temos:

1 2x 15 40y 30 20A 1800 900

Calculando x:

x =15 · 1800 + 40 · 900

1800 + 900= 23, 33

Calculando y:

y =30 · 1800 + 20 · 900

1800 + 900= 26, 67

5.3 Exercıcio

Posicionar de forma adequada no tampo da mesa os pes no formato de um triangulo equilaterode 120 cm:


-¾

6

?

6

?

100 cm

80 cm

80 cmTampo

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-¾ 80 cm

h h

h

Pes

-¾ 120 cm


6 Equilıbrio de um corpo rıgido

Um corpo sujeito a um conjunto de forcas se mantem em equilıbrio quando, alem da re-sultante das forcas for nula, a somatoria de momentos das forcas em relacao a um pontodeterminado for tambem igual a zero.

6.1 Tipos de apoios

O calculo do equilıbrio dos corpos rıgidos e feito considerando a conexao deste com seusistema atraves de apoios, sendo que a acao do corpo rıgido sobre o sistema e resultado dasreacoes nos apoios.

Os apoios restringem determinados movimentos, a cada movimento impedido esta rela-cionado uma reacao. Assim os tipos de apoios estao divididos dependendo do numero e tipode reacao que ele fornece.

6.1.1 Apoio simples

O apoio simples impede o movimento de translacao na direcao perpendicular do apoio, sendosubstituido por uma reacao nesta direcao.

±°²¯

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

A6

RA

6.1.2 Apoio rotulado

O apoio rotulado impede o movimento de translacao nas duas direcoes ortogonais, sendosubstituıdo por duas reacoes.

@@

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

A6

RAy

-RAx

6.1.3 Apoio fixo (engastado)

O apoio engastado alem de impedir totalmente a translacao, impede tambem o movimentode giro, sendo substituıdo por duas reacoes e uma reacao de momento.


¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

A 6

RAy

-RAx..............................

...........................................ªMA

6.2 Tipos de cargas

Alem das cargas concentradas, podemos ter outros tipos de carregamentos como cargasdistribuıdas, uniforme ou nao, momentos aplicados e outros.

6.2.1 Carga distribuıda

A carga distribuida pode ser uniforme:

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

???????????????????????????

200 N/m

-¾ 4 m

O valor da carga distribuıda e fornecido por unidade de comprimento: 200 N/m. Parao calculo do equilıbrio do corpo rıgido a carga distribuıda e substituıda por uma cargaconcentrada posicionada no centroide da carga distribuıda com o mesmo valor da area dacarga distribuıda. Assim para o exemplo: 4 · 200 = 800 N.

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

?

800 N

-¾ 4 m


A carga distribuıda pode ser triangular ou ainda parabolica.

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

??????????????????????????

150 N/m

-¾ 3 m

Substituindo por uma carga concentrada:3 · 150

2= 225 N.

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

?

225 N

-¾ 2 m -¾ 1 m

6.2.2 Momento aplicado

Os corpos rıgidos podem estar sujeitos ao efeito de momentos aplicados, provenientes deconjugados ou algum eixo submetido a um momento torcor.

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

r

................................

...............................................................................................................................................................................................

100 N.mR

-¾ 2 m -¾ 1 m

6.3 Exemplos

Os exemplos a seguir sao baseados principalmente em vigas, mas a condicao de equilıbrioserve para todos os outros tipos de corpos rıgidos.

1. Calcular as reacoes de apoio da viga:


@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

??????????????????????????????????????????

500 N/m

-¾ 6 m

A B

Substituindo os apoios pelas reacoes correspondentes, alem da carga distribuıda poruma concentrada equivalente (P = 500 · 6 = 3000 N):

?

3000 N

-¾ 3 m -¾ 3 m

6

RAy

6

RBy

-RAx

Aplicando as condicoes de equilıbrio:

ΣFx = 0ΣFy = 0ΣMA = 0

RAx = 0 (1)RAy + RBy − 3000 = 0 (2)RBy · 6− 3000 · 3 = 0 (3)

Da (3) resulta RBy = 1500 N, aplicando o valor na (2) temos RAy = 1500 N.

2. Calcular as reacoes de apoio da viga engastada:

@@@@@@@@

????????????????????????????????????????????

100 N/m

-¾ 3 m -¾ 2 m

Substituindo os apoios pelas reacoes correspondentes, alem das cargas distribuıdas porcargas concentradas equivalentes:


?

225 N

?

200 N

-¾ 2 m -¾ 2 m -¾ 1 m

6

RBy

¾RBx

r

.................................................

..............................................................................................................................................................................

MAR


ΣFx = 0ΣFy = 0ΣMB = 0

RBx = 0 (1)RBy − 425 = 0 (2)

225 · 3 + 200 · 1−MA = 0 (3)

Da (2) resulta RBy = 425 N, e da (3) MA = 875 N·m.

6.4 Exercıcios

1. Calcule as reacoes de apoio da viga.

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

????????????????????????????????

500 N/m

-¾ 6 m -¾ 2 m

A B

2. Calcule as reacoes de apoio da viga.

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

??????????????????????

100 N/m

?

200 N

-¾ 2 m -¾ 2 m -¾ 4 m

A B


7 Esforcos em Vigas

Em uma viga, submetida a um determinado carregamento, aparecem dois tipos de esforcos,o momento fletor e o esforco cortante (cisalhamento).

..............................................µ

..............................................I

M M..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Momento Fletor (M)?

6

Q

Q

Esforco Cortante (Q)

7.1 Combate aos esforcos

Os esforcos em vigas de madeira, aco e outros materiais sao combatidos atraves da deter-minacao de geometria e propriedades adequados.

7.2 Relacao entre cargas aplicadas e esforcos

Existe uma relacao diferencial entre as cargas aplicadas e os esforcos nas vigas. Dada umaviga submetida a uma carga distribuıda qualquer:

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

???????????

- ¾∆x

????

q

- ¾∆x................................................................................................

µ

...........................................................................................

.....

IM M+∆M

?

6

Q

Q+∆Q

rP


{ΣFy = 0ΣMP = 0

{Q + ∆Q−Q− q ·∆x = 0 (1)

Q ·∆x + q ·∆x · ∆x

2+ M + ∆M −M = 0 (2)

Da Equacao (1):

q =∆Q

∆xAplicando limite ∆x → 0


q = lim∆x→0

∆Q

∆x

q =dQ

dx

Da Equacao (2):

Q =−q · ∆x2

2−∆M

∆xAplicando limite ∆x → 0

Q = lim∆x→0

−q · ∆x

2−∆M

∆x

Q = −dM

dx

7.3 Metodo de determinacao dos esforcos

Dentre os diversos metodos, a analise dos esforcos ao longo de uma viga pode ser feita gener-icamente, formando as funcoes que descrevem momento fletor e esforco cortante, utilizandodiversas secoes (Metodo das Secoes).

Ou ainda, utilizando o Metodo dos Pontos, onde se determina o momento fletor e esforcocortante nos pontos principais da viga.

7.3.1 Metodo das secoes

A determinacao de onde e quantas secoes devam ser utilizadas depende do tipo de carrega-mento, a cada variacao de carga distribuıda uniforme, ou carga e momento concentrado,determinamos uma nova secao.

Exemplo:

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

??????????????????????

100 N/m

?

200 N

-¾ 2 m -¾ 2 m -¾ 4 m

A B

S1 S2 S3

7.4 Exemplos

1. Dada a viga, determinar os esforcos:


@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

?

800 N

-¾ 2 m -¾ 2 m

Determinacao das reacoes e secoes:

?

800 N

-¾ 2 m -¾ 2 m

6400 N

6400 N

S1 S2

Esforcos na Secao S1, considera-se as cargas a esquerda da secao e os esforcos a direita:

-¾x

6400 N

S1

............................................................................................

....I

M6Q

Calculando o equilıbrio na Secao S1:

{ΣFy = 0ΣMS1 = 0

{Q + 400 = 0

M − 400 · x = 0

{Q = −400M = 400 · x

A funcao Q na Secao S1 e valida para 0 < x < 2, devido a descontinuidade causadapelas forcas concentradas no esforco cortante.

Por outro lado, a funcao M na Secao S1 e valida para 0 ≤ x ≤ 2, ja que, somentemomento aplicados causam descontinuidade no momento fletor.


Esforcos na Secao S1, considera-se as cargas a esquerda da secao e os esforcos a direita:

?

800 N

-¾ 2 m

-¾ x

6400 N

S2

............................................................................................

....I

M6Q

{Q + 400− 800 = 0

M − 400 · x + 800 · (x− 2) = 0

{Q = 400 (2 < x < 4)M = 1600− 400 · x (2 ≤ x ≤ 4)

Note, que a condicao da relacao diferencial Q = −dM

dx, pode ser utilizada para en-

contrar a funcao esforco cortante a partir da funcao momento fletor pela derivada, oude outro modo, encontrar a funcao momento fletor a partir da funcao esforco cortantepela integral.


@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

???????????????????????????

100 N/m

-¾ 4 m


???????????????????????????

100 N/m

-¾ 4 m

6200 N

6200 N

S1

Esforcos na Secao S1:


???????????

100 N/m

-¾ x

6200 N

S1

............................................................................................

....I

M6Q

{Q = 100 · x− 200 (0 < x < 4)M = 200 · x− 50 · x2 (0 ≤ x ≤ 4)


@@¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

j¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

r

................................

...............................................................................................................................................................................................

100 N.mR

-¾ 2 m -¾ 2 m


r

................................

...............................................................................................................................................................................................

100 N.mR

-¾ 2 m -¾ 2 m

6-25 N

625 N

S1 S2


-¾x

6-25 N

S1

............................................................................................

....I

M6Q


{Q = 25 (0 < x ≤ 2)M = −25 · x (0 ≤ x < 2)


r

................................

...............................................................................................................................................................................................

100 N.mR

-¾ 2 m

-¾ x

6-25 N

S2

............................................................................................

....I

M6Q

{Q = 25 (2 ≤ x < 4)M = 100− 25 · x (2 < x ≤ 4)

E importante notar os intervalos para o momento fletor, que tem uma descontinuidadeno ponto onde o momento e aplicado, sendo portanto indefinido neste ponto (x = 2), omesmo nao acontece para o esforco cortante que e independente do momento aplicado.


8 Forcas e Tensoes

A forca atuante geralmente e considerada para efeito de dimensionamento como um forcadistribuıda por unidade de area, chamada de Tensao, dada em N/m2, ou em Pascal (Pa =N/m2).

Para o dimensionamento, as tensoes atuantes sao comparadas com as tensoes admissıveispara o material considerado.

8.1 Tensoes Axiais

Quando a area considerada para o calculo da tensao e perpendicular ao eixo da forca temosuma tensao axial, que pode ser de Tracao ou de Compressao.

As tensoes axiais sao representadas pela letra grega σ.

σ =F

A

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................

........................................

........................................

............................

........................................

........................................

........................................

........................................

............................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

- F

A

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................

........................................

........................................

............................

........................................

........................................

........................................

........................................

............................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-------

-------

-------

-------

-------

σ

8.2 Tensoes de Cisalhamento

Quando a area considerada para o calculo da tensao e paralela ao eixo da forca temos umatensao de cisalhamento.

As tensoes de cisalhamento sao representadas pela letra grega τ .

τ =F

A

8.3 Tensoes na Flexao

Uma peca flexionada apresenta uma configuracao de tensoes axiais.Para o momento fletor positivo, temos a parte inferior da peca sofrendo tracao e a parte

superior sofrendo compressao.


..............................................µ

..............................................I

M M..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Tracao

Compressao

6

?

Sendo assim, existe um ponto intermediario na secao flexionada, onde o esforco e nulo.


9 Momento de Inercia de Figuras Planas

O Momento de Inercia da area A em relacao a um eixo e um propriedade das figuras planas

Ix =

∫

A

y2dA Iy =

∫

A

x2dA

-

6

O x

y

6

?

-¾ x

yA

dA

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.......................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

9.1 Exemplo

-

6

O x

y

6

?

b

hyA

dAdy

Ix =

∫

A

y2dA =

∫ h

0

y2 (b dy) = b

[y3

3

]h

0

=b h3

3


9.2 Teorema dos Eixos Paralelos

Ix = Ix′ + d2A

A

x’

x

6

?

d

C

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.......................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

9.3 Exemplo

-

-

x

x’

b

hA

Ix′ = Ix −(

h

2

)2

(b h) =b h3

3− b h3

4=

b h3

12


9.4 Momento de Inercia de Figuras Conhecidas

Retangulo

-

6

x’

y’6

?

-¾

6

?

-¾

ch

b

h

2

b2

Triangulo reto

.............................................................................................................................................................................................................................................

-

6

x’

y’

6

?

-¾

6

?

-¾

ch

b

h3

b3

Ix′ =b h3

12Iy′ =

h b3

12Ix′ =

b h3

36

Cırculo

.............

.........................................................

.........................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................

-

6

x’

y’

-¾

-¾

c

d

d2

Semi-Cırculo

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-

6

x’

y

-¾

-¾

c

d2

2·d3·π

Quarto de Cırculo

................................................................................................................................................................. -

6

x

y

-¾

-¾

6

?

c

d2

2·d3·π

2·d3·π

Ix′ = Iy′ =π r4

4Ix′ = Iy =

π r4

8Ix = Iy =

π r4

16

9.5 Calculo do Momento de Inercia

O Momento de Inercia de uma figura qualquer pode ser determinado pela divisao desta emfiguras conhecidas. Apos o calculo do centroide o Momento de Inercia e calculado usando oteorema dos eixos paralelos e somando a contribuicao de cada subfigura.

Exemplo:


6

?

-¾

c16,0 m

3,0 m

.............................................................................................................................................................................................................................................

-¾

c2

3,0m

Posicionando os eixos de referencia no canto inferior esquerdo da figura temos:

1 2x 1,5 4,0y 3,0 2,0A 18,0 9,0

Calculando x:

x =1, 5 · 18, 0 + 4, 0 · 9, 0

18, 0 + 9, 0= 2, 333 m

Calculando y:

y =3, 0 · 18, 0 + 2, 0 · 9, 0

18, 0 + 9, 0= 2, 667 m

Calculando Ix′ :

Ix′ = I1 + I2

Ix′ =3 · 63

12+ (3− 2, 667)2(3 · 6) +

3 · 63

36+ (2, 0− 2, 667)2(1, 5 · 6)

Ix′ = 78, 00 m4

Calculando Iy′ :

Iy′ = I1 + I2

Iy′ =6 · 33

12+ (1, 5− 2, 333)2(3 · 6) +

6 · 33

36+ (4, 0− 2, 333)2(1, 5 · 6)

Iy′ = 55, 50 m4

9.6 Exercıcio

Calcular o Momento de Inercia das figuras:


1.

5,0 m

1,0 m

4,0 m

4,0 m

2.

1,0 m

5,0 m

2,0 m 2,0 m

5,0 m

3.

-¾

6

?

6

?

100 cm

80 cm

80 cm

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

-¾ 80 cm

9.7 Produto de Inercia

O Produto de Inercia da area A em relacao as eixos coordenados e um propriedade dasfiguras planas


Pxy =

∫

A

yxdA

-

6

O x

y

6

?

-¾ x

yA

dA

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.......................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

O valor para o Produto de Inercia de figuras simetricas e zero.

9.8 Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inercia

Pxy = Px′y′ + dx · dy · A

A

x’

x

yy’

6

?

dy

-¾ dx

C

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.......................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


9.9 Eixos e Momentos Principais de Inercia

Os momentos de inercia para eixos u e v podem ser calculados considerando o angulo derotacao φ do sistema x e y.

-

6

O x

y

6

?

-¾ x

yA

dA

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

.......................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................»»»»»»»»»»»»»»»:

CCCCCCCCCCCCCCCO

u

v

v

u

CCCCCC

»»»»»»»:»»»»»»»9

»»

CCCCOCCCCW

x

y

Iu =Ix + Iy

2+

Ix − Iy

2cos 2φ− Pxy sen 2φ

Iv =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2φ + Pxy sen 2φ

Puv =Ix − Iy

2sen 2φ + Pxy cos 2φ

Fazendo Puv = 0 oudIu

dφ

= 0

tg 2φm = − 2Pxy

Ix − Iy

Imax,min =Ix + Iy

2±

√(Ix − Iy

2

)2

+ P 2xy

Documents

Mec^anica Geral · 2008-02-27 · Analiticamente podemos determinar o m¶odulo e a dire»c~ao usando a Lei dos Cosenos e a Lei dos Senos. Assim se F1 = 300 N, F2 = 500 N e