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INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

MECÂNICA APLICADA II

Engenharia Civil – 2º ANO

Apontamentos Teóricos

Mário Nuno Moreira Matos Valente

Ano lectivo 2005/2006

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA – Engenharia Civil

Mecânica Aplicada 2 – Conceito de Tensão

Mário Nuno Valente – Setembro 2004 1/9

Conceito de Tensão

Índice Breve Revisão dos Métodos da Estática 1

Tensões em Elementos Estruturais 2

Análise e Dimensionamento 3

Esforço Axial; Tensão Normal 4

Princípio de Saint-Venant 5

Tensão Tangencial 6

Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial 7

Exercício Resolvido 9

Bibliografia 9

Breve Revisão dos Métodos da Estática

Considere a estrutura representada na figura que foi

concebida para suportar uma carga de 30 kN. Esta estrutura

é constituída por:

- uma escora AB (barra bi-articulada sujeita a

compressão) de secção transversal rectangular cujas

dimensões são de 30x50 mm,

- um tirante (barra bi-articulada sujeita à tracção) cuja

secção circular tem 20 mm de diâmetro.

A escora e o tirante encontram-se ligados por uma

articulação no ponto B e são suportados por apoios fixos em

A e C.

O primeiro passo para análise desta estrutura é o traçado do diagrama de corpo livre da estrutura. Para tal

isola-se a estrutura dos seus apoios em A e C, e representa-se a acção que estes apoios exercem sobre a

estrutura (reacções de apoio). Note-se que a representação da estrutura foi simplificada omitindo-se todos

os detalhes supérfluos. Nesta altura é possível inferir que as barras AB e BC estarão sujeitas apenas a

esforço axial (pois trata-se de um sistema articulado plano).




Este facto não será tomado em conta na determinação das

reacções de apoio, assumindo-se que a direcção da reacção em

cada ponto é desconhecida. Cada uma das reacções será então

representada pelas suas componentes verticais e horizontais.

Podem escrever-se três equações de equilíbrio:

- 0 0.6 30 0.8 0 0C x xM A A= ⇔ × − × = ⇔ =∑

- 0 0 40x x x x x xF A C C A C kN= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −∑

- 0 30 0 30y y y y yF A C A C= ⇔ + − = ⇔ + =∑

A quarta equação de equilíbrio será escrita para a articulação B:

- 0 0.8 0 0corpo ABB y yM A A= ⇔ − × = ⇔ =∑

(Estes resultados poderiam ter sido obtidos de uma forma mais simples aplicando o Método dos Nós ao nó

B)

Conclui-se que para equilibrar uma carga vertical de 30 kN em B surge um esforço axial de tracção de 50

kN na barra BC e um esforço axial de compressão de 40 kN na barra AB. Estes resultados embora

necessários, não fornecem qualquer informação acerca da segurança da estrutura face à carga aplicada. O

facto de o tirante BC, por exemplo, ceder ou não sob a acção da carga aplicada depende não só do valor

encontrado para o esforço axial FBC, mas também da área da secção transversal do tirante e do material

que o constitui.

Tensões em Elementos Estruturais

O esforço FBC determinado anteriormente, representa, na

verdade, a resultante das forças internas que se encontram

distribuídas em toda a área A da secção transversal da barra

BC, e a intensidade média dessas forças distribuídas é igual à

força por unidade de área.

A força por unidade de área, ou intensidade das forças distribuídas sobre uma dada secção, é designada

por tensão nessa secção e é denotada pela letra grega σ (sigma). A tensão num elemento da área da

secção transversal A sujeito a um esforço axial P é então obtida através do quociente do valor P do esforço

pela área A:

PA

σ = (sinal positivo indica tracção e sinal negativo compressão)

+




Dado que foram utilizadas as unidades do Sistema Internacional com P expresso em newtons (N) e A em

metros quadrados (m2), a tensão σ é expressa em N/m2 (Pa – Pascal). Apresentam-se de seguida a

conversão para o SI de outras unidades também utilizadas.

- 2 2 2

1 4.4481 6.8951 0.02540

lb Npsi kPain m

= = = (psi = pound per square inch)

- 1 100bar kPa=

Análise e Dimensionamento

Considere-se novamente a estrutura anterior e assuma-se que o tirante BC é constituído por aço cuja

máxima tensão admissível é admσ = 165 MPa. Poderá o tirante BC suportar com segurança a carga a que

vai estar sujeito? 0 valor da força FBC no tirante foi encontrado anteriormente e é igual a 50 kN. Recordando

que o diâmetro do tirante é 20 mm:

( )2 2

50 3 159 6 1590.02 / 2

P E N E Pa MPaA m

σπ

+= = = =

Dado que o valor obtido para σ é menor que o valor admσ da tensão admissível do aço utilizado, conclui-se

que o tirante BC pode suportar com segurança a carga a que vai ser submetido. Para ser completa, a

análise desta estrutura deveria incluir, também:

- a determinação da tensão de compressão na escora AB,

- uma investigação das tensões desenvolvidas nas articulações,

- determinar se as deformações induzidas pela solicitação são aceitáveis,

- uma análise adicional, necessária para elementos sujeitos a compressão, envolvendo a estabilidade

do membro, i. e., a sua capacidade para suportar uma dada carga sem que haja urna mudança

súbita na sua configuração.

Para além da análise de estruturas e máquinas existentes sujeitas a dadas condições de carregamento, é

também importante o dimensionamento de novas estruturas e máquinas, ou seja, a selecção de

componentes apropriados para desempenhar uma dada tarefa.

Como exemplo de dimensionamento, considere-se novamente a estrutura anterior e admita-se que se

pretende utilizar alumínio cuja tensão admissível é admσ = 100 MPa. Dado que o esforço na barra BC é,

ainda, P = FBC = 50 kN para o mesmo carregamento, tem-se:

250 3 500 6100 6adm

adm

P P E NA E mA E Pa

σσ

= ⇔ = = = −




12.62 3 12.62Ar E m mmπ

= = − =

Conclui-se que será adequado um tirante de alumínio com, pelo menos 26 mm de diâmetro.

Esforço Axial; Tensão Normal

Como já foi indicado anteriormente, o tirante BC do exemplo precedente é um elemento de treliça, logo a

força FBC é dirigida segundo o eixo da barra. Diz-se então que a barra está sujeita a esforço axial.

Voltando à barra BC, recorde-se que o plano de seccionamento através

da barra para determinar o esforço axial no elemento e a tensão

correspondente, é perpendicular ao eixo da barra. O esforço axial é

portanto normal à secção transversal e a correspondente tensão é

denominada por tensão normal. Então, a seguinte equação exprime a

tensão normal num membro submetido a esforço axial:

PA

σ =

Note-se que nesta equação, obtém-se σ dividindo o valor P (força

resultante do esforço axial distribuído na secção transversal) pela área A.

σ representa então o valor médio da tensão na secção transversal, e

não a tensão num ponto específico da mesma.

Para definir a tensão num dado ponto Q da secção

transversal considere-se uma área elementar AΔ .

Dividindo o módulo de FΔ por AΔ obtém-se o

valor médio da tensão sobre AΔ . Fazendo AΔ

tender para zero, obtém-se a tensão no ponto Q:

0limA

FA

σΔ →

Δ=

Δ

De um modo geral, o valor obtido para a tensão σ no ponto Q é diferente do valor da tensão média dado

pela equação P Aσ = , e verifica-se que σ varia ao longo da secção transversal.




Na prática, assume-se que a distribuição de tensões normais em

peças sujeitas a esforço axial é uniforme, excepto na vizinhança dos

pontos de aplicação das cargas. O valor da tensão σ é então igual a

médioσ . No entanto, chama-se a atenção para o facto de que quando é

assumida uma distribuição uniforme de tensões na secção, i.e.,

quando é assumido que as forças internas estão uniformemente

distribuídas sobre a secção transversal, resulta da estática elementar, que a resultante P das forças

internas tem que ser aplicada no centróide C da secção.

Isto significa que uma distribuição uniforme da

tensão apenas é possível se a linha de acção das

cargas concentradas P e P’ passar através do

centróide da secção considerada. A este tipo de

solicitação chama-se carregamento centrado e

assume-se que ocorre em todas as barras de eixo

recto existente em treliças, tal como a considerada.

Princípio de Saint-Venant

Se forem aplicadas cargas concentradas num modelo de borracha conforme

ilustrado na figura, os elementos na vizinhança imediata dos pontos de

aplicação das cargas estão submetidos a tensões muito elevadas, enquanto

os outros elementos na proximidade da extremidades da barra praticamente

não são afectados pelas cargas.

Este efeito pode ser verificado observando-se que os maiores

deslocamentos, e logo as maiores tensões e deformações ocorrem perto dos

pontos de aplicação das cargas, enquanto que nos cantos não se observam

deformações.

No entanto, à medida que se consideram secções mais afastadas das extremidades nota-se uma

progressiva igualização das deformações envolvidas, logo uma distribuição de deformações e tensões

quase uniforme na secção transversal.

Este fenómeno está ilustrado na figura seguinte, em que estão representadas as distribuições de tensões

em várias secções transversais de um placa rectangular fina submetida a cargas concentradas, obtidas com

métodos matemáticos baseados na teoria da elasticidade.




Verifica-se que a uma distância b de cada extremidade, sendo b a largura da placa, a distribuição de

tensões é quase uniforme na secção, podendo admitir-se que o valor da tensão yσ em qualquer ponto

dessa secção é igual a médioσ . Por outras palavras, à excepção da vizinhança imediata dos pontos de

aplicação das cargas, pode admitir-se que a distribuição das tensões é independente do modo de aplicação

das cargas. Esta afirmação é conhecida pelo princípio de Saint-Venant (1797-1886).

Tensão Tangencial

As forças internas e as correspondentes tensões discutidas

anteriormente eram normais à secção transversal considerada.

Quando duas forças P e P’ são aplicadas perpendicularmente ao

eixo de uma barra AB, surgem tensões de um tipo distinto

Seccionando a barra AB no ponto C, entre os pontos de aplicação das

cargas, obtém-se o diagrama da parte AC. Conclui-se que têm de existir

forças internas no plano da secção e que a sua resultante é igual a P.

Estas forças internas distribuídas são denominadas tensões tangenciais

ou tensões de corte e o valor da sua resultante, P, é a força de corte na

secção.

Dividindo a forca de corte, P, pela área A da secção transversal, obtém-se a tensão tangencial média na

secção. Indicando a tensão tangencial pela letra grega τ (tau), tem-se:

medioPA

τ =

Note-se que o valor obtido é o valor médio da tensão tangencial ao longo da totalidade da secção. Ao

contrário do que foi assumido anteriormente para a tensão normal, a distribuição de tensões tangenciais ao

longo da secção não pode admitir-se como sendo constante. O valor real da tensão tangencial, τ , varia




entre zero nas superfícies da peça até ao valor máximo, maxτ , sobre uma determinada linha situada no

interior da secção transversal, podendo ser significativamente superior ao valor médio.

Ligação entre duas chapas com um parafuso sujeito ao

corte

Tensão num plano inclinado sujeito a esforço axial

Foi visto anteriormente que:

- forças axiais aplicadas numa barra originam tensões

normais,

- forças transversais exercidas sobre parafusos e cavilhas

provocam aparecimento de tensões tangenciais nas

ligações.

A razão apontada para a dependência entre as forças axiais e as tensões normais por um lado, e as forças

transversais e as tensões tangenciais, por outro, consistiu no facto de as tensões terem sido determinadas

apenas em planos perpendiculares ao eixo da barra ou da ligação.

Como será discutido neste capítulo, forças axiais provocam tanto tensões normais como tensões

tangenciais em planos que não são perpendiculares ao eixo da peça. De modo análogo, forças transversais

exercidas sobre um parafuso ou rebite originam tanto tensões normais corno tensões tangenciais em planos

que não sejam perpendiculares ao eixo do parafuso ou rebite.




Considere a barra da figura ao lado, sujeita à acção das forças axiais P e P’.

Seccionando a barra por um plano que faz um ângulo θ com o plano

normal ao eixo da peça (figura a) e desenhando o respectivo diagrama de

corpo livre da parte esquerda (figura b) conclui-se, através das equações de

equilíbrio, que as forças distribuídas que actuam na secção têm de ser

equivalentes à força P.

Decompondo a força P nas componentes F e V, normal e tangencial à

secção, respectivamente (figura c), pode escrever-se:

cosF P θ= V Psenθ=

A força F representa a resultante das forcas normais distribuídas sobre a

secção e a força V a resultante das forças tangenciais.

Os valores médios das correspondentes tensões normais e tangenciais são obtidos pela divisão de F e V

pela área Aθ da secção, e observando na figura c que 0 cosA Aθ θ= , obtém-se:

2

0 0

cos cos

cos

F P PAA Aθ

θσ θ

θ

= = = 0 0

sin sin cos

cos

V P PAA Aθ

θτ θ θ

θ

= = =

Pode observar-se através da primeira equação, que a máxima tensão

normal, ocorre para θ = 0, i.e., quando o plano da secção transversal é

perpendicular ao eixo da peca, e que tende para zero quando θ tende

para 90°.

A segunda equação mostra que a tensão tangencial é nula quando

0ºθ = e 90ºθ = , e que atinge o seu valor máximo para 45ºθ = .

Constata-se que o mesmo carregamento pode produzir tanto tensões

normais sem gerar qualquer tensão tangencial ou provocar tensão normal

e tangencial com o mesmo valor absoluto, dependendo da orientação da

faceta considerada.




Exercício Resolvido

Duas peças de madeira com uma secção transversal rectangular uniforme de 90 x 140 mm são unidas

através de uma emenda simplesmente colada, como é indicado. Sabendo que a máxima tensão tangencial

admissível na cola é de 500 kPa, determine o valor da máxima carga axial, P, que pode ser aplicada em

segurança.

Resolução

- Da decomposição da força P em componentes normais e

tangenciais ao plano da emenda, sabe-se que V Psenθ= ;

- Observando a figura sabe-se que 0 cosA Aθ θ= ;

- A tensão tangencial provocada pela força P é de VAθ

τ = .

0 0

sin 0.090 0.140sin cos 500 500 3 19.6 3sin 20º cos 20º

cos

P P kPa P E P E NA Aθτ θ θ

θ

×= = ≤ ⇔ ≤ × ⇔ ≤

×

Bibliografia

Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T., 2003. Mecânica dos Materiais, 3ª edição,

McGraw-Hill, Portugal

20ºθ = A = 90x140 mm


Mecânica Aplicada 2 – Teoria do Estado de Tensão


Teoria do Estado de Tensão

Índice 1 Introdução 1

2 Conceito de Meio Contínuo 2

3 Forças 3

4 Princípio da Objectividade 4

5 Princípio de Euler e Cauchy 4

6 Tensão devida a um carregamento genérico. Componentes de Tensão 6

7 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada. Equação de Cauchy 8

8 Tensões em reservatórios de parede fina 10

8.1 Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão 11

8.2 Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão 13

9 Estados planos particulares definidos em tensões principais 14

1 Introdução

A Mecânica dos Meios Contínuos tem por objectivo geral estudar a forma como evoluem, sob a acção de

forças ou de calor, os sólidos, os líquidos e os gases. No âmbito do programa da disciplina de Mecânica

Aplicada 2, apenas nos concentraremos no estudo da Mecânica dos Sólidos sob acção de forças. Este

estudo incidirá então no comportamento dos sólidos submetidos a acções exteriores, do que diga respeito

a:

- Estudo de Tensões: distribuição e transferência de forças no interior dos corpos

- Estudo das Deformações: caracterizar e medir as deformações (ou deslocamentos relativos entre

partes do mesmo corpo)

Na Mecânica Aplicada 2, trataremos de materiais com propriedades “ideais”. Todos os métodos de análise e

equações estabelecidas daqui em diante são válidos apenas para estes materiais.

- Materiais deformáveis

- Materiais contínuos

- Materiais homogéneos

- Materiais isotrópicos




Material Isotrópico - Material com as mesmas características em todas as direcções ou, expresso de outra maneira,

material com características simétricas em relação a um plano de orientação arbitrária. O aço e o betão constituem

exemplos de materiais que podem ser considerados isotrópicos.

Material monotrópico - Material com características simétricas relativamente a planos paralelos e a planos

perpendiculares a um eixo, que constitui a direcção de monotropia do material. A madeira constitui um exemplo de

material monotrópico, sendo a direcção de monotropia a direcção das fibras, pois apresenta propriedades simétricas

relativamente a planos paralelos às fibras e a planos perpendiculares às mesmas. Outros exemplos são materiais

constituídos por camadas alternadas de dois ou mais materiais desde que a sua espessura seja suficientemente

pequena para que se possa considerar o material contínuo na direcção perpendicular às camadas.

Material ortotrópico - Material com características simétricas relativamente a três planos ortogonais. Como por exemplo

pode citar-se um material isotrópico reforçado por fibras dispostas ortogonalmente ou de maneira a terem-se três

planos de simetria ortogonais.

No âmbito desta cadeira, considerar-se-á ainda:

- Comportamento linear material – a relação entre forças e deslocamentos sofridos é constante

- Comportamento linear geométrico – as deformações dos corpos são lineares.

2 Conceito de Meio Contínuo

Ao nível microscópico, a matéria é formada por partículas. Nas aplicações práticas, o engenheiro é

confrontado com volumes de matéria cujas dimensões são muito superiores às das suas partículas

constituintes.

Diz-se que nos colocamos à escala macroscópica quando preferimos uma resposta global média em

detrimento duma análise da estrutura particular da matéria. A matéria perde então o seu carácter

descontínuo e admite-se uniformemente distribuída no domínio em estudo.

Meio Contínuo - Material que não contem cavidades ou descontinuidades, isto é, enche completamente o espaço que

ocupa sendo por outro lado as suas propriedades descritas através de funções contínuas.

O conceito de meio contínuo deriva da matemática em que podemos dizer por exemplo que o corpo dos números reais

é contínuo, ou seja, entre dois números reais distintos quaisquer existe sempre um número infinito de números reais.

Podemos aqui generalizar o conceito para a matéria e suas partículas constituintes.

Esta abstracção matemática é no entanto aplicável à mecânica dos sólidos se os fenómenos em estudo se passam a

dimensões superiores à estrutura elementar (moléculas) da matéria, caso contrário tratar-se-á de um problema da

física das partículas.

Num meio contínuo, as forças, as tensões, as deformações e a energia são funções contínuas no domínio do corpo.

Consideremos, por exemplo, um volume V de matéria de massa m, em volta de um ponto P de um corpo

Ω . Diminuamos V, se o limite 0

limV

mV

ρ→

= for bem definido em todos os pontos P de Ω , a massa diz-se

distribuída continuamente em V.




Figura 2-1

Pode-se definir da mesma forma outras quantidades tais como forças, tensões, deformações, energias, etc.,

que são também funções contínuas das coordenadas. A noção de meio contínuo conduz a teorias que

fornecem resultados concordantes com as observações experimentais. Os corpos estudados devem ter

dimensões largamente superiores às das suas partículas constituintes elementares.

3 Forças

As forças interiores são forças que actuam entre as partes do corpo, por exemplo, esforços internos numa

viga.

Figura 3-1

Na mecânica dos meios contínuos, distinguem-se dois tipos de forças exteriores:

- Forças de volume que actuam sobre os elementos de volume dV (ou de massa) de um corpo, tais

como as forças gravíticas, electromagnéticas ou de inércia. Definem-se por unidade de volume.

- Forças de superfície que são forças que actuam sobre a superfície A que limita o corpo, tais como a

pressão da água ou a sucção do vento. Definem-se por unidade de área.

É de notar que as forças concentradas são, em princípio, excluídas da mecânica dos meios contínuos,

porque provocam singularidades no local de aplicação. No entanto, representam uma modelação prática de

certos fenómenos, e por isso podem ser aceites se o seu efeito local for ignorado, mas devem ser ignoradas

num estudo localizado (por exemplo no equilíbrio de um pequeno elemento).




4 Princípio da Objectividade

Ser objectivo, é ser invariante aquando de uma mudança de referencial, ser independente do sistema de

eixos ou do observador. A massa, a energia e a lei de comportamento de um material devem ser objectivas.

5 Princípio de Euler e Cauchy

Considere-se um corpo sólido sujeito à acção de forças em equilíbrio. Imagine-se esse corpo dividido em

duas partes através do corte indicado na figura. Na superfície do corte que pertence à parte esquerda estão

instalados esforços internos que traduzem a acção da parte direita sobre a parte esquerda. Da mesma

maneira, e para que se verifique equilíbrio, actuam na superfície de corte pertencente à parte direita, forças

que equilibram os referidos esforços.

Figura 5-1

Na superfície de corte, designa-se por dA um elemento de área, chamado faceta, e por n%

a sua normal

exterior unitária. A interacção entre a matéria da parte esquerda e a da parte direita manifesta-se pelo

aparecimento de forças internas que se exercem através do conjunto das facetas dA que compõem a

superfície de corte.

A natureza das forças internas, transmitidas através de uma superfície de corte por um fragmento do corpo

sobre o outro é definida pelo seguinte conceito, aceite como um postulado:

Princípio das tensões de Euler e Cauchy: em toda a secção de corte de um corpo existe um campo

de vectores tensão ( )nσ%

, semelhantes a forças de superfície, de modo a que a associação das forças

elementares ( )ndF dAσ= ×r

% correspondentes a cada elemento de área dA asseguram a

transmissão global das forças que uma parte do corpo exerce sobre a outra.

A orientação da superfície infinitesimal (faceta) num sistema cartesiano de referência pode ser definida por

um vector n%

, de comprimento unitário, perpendicular ao plano da faceta e com o sentido que aponta para

fora da parte considerada. Este vector designa-se por versor da faceta e fica completamente definido pelos

cossenos directores dos ângulos que faz com os sentidos positivos dos eixos de referência, os cossenos

directores da faceta, que são as componentes do vector n%

.

n%




( )( )( )

cos ,cos ,cos ,

x

y

z

n n xn n yn n z

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

e como o vector tem comprimento unitário, tem-se 2 2 2 1x y zn n n+ + =

As componentes de ( )nσ%

sobre n%

(versor normal a dA ), e sobre um plano que lhe é perpendicular (plano

que contém dA ), são chamadas tensão normal Nσ e tensão tangencial τ .

- Tensão normal Nσ : componente do vector tensão na direcção da normal nr à superfície da faceta

dA .

- Tensão tangencial τ : componente do vector tensão no plano da faceta dA .

Figura 5-2

O vector tensão ( )nσ%

varia de ponto para ponto: o conjunto dos vectores tensão caracteriza o estado de

tensão ( da secção, do corpo...) e constitui um campo de tensões.

Num determinado ponto o vector tensão varia igualmente com a orientação da faceta dA , ou o que é

equivalente, com a orientação de n%

. Em consequência, o estado de tensão num ponto de um corpo sólido

não pode ser definido unicamente através do vector tensão ( )nσ%

. O estado de tensão num ponto é uma

grandeza vectorial mas a um nível superior.

N dAσ ⋅dAτ ⋅

( )n dAσ ⋅%

n%

dA




6 Tensão devida a um carregamento genérico. Componentes de Tensão

Considere-se um corpo sujeito a várias cargas P1, P2, etc. Para

compreender o estado de tensão criado por estas cargas num ponto

genérico Q localizado no interior do corpo, seccione-se este através de

um plano paralelo ao plano yz e que inclua Q. A parte do corpo à

esquerda da secção é sujeita a algumas das cargas originais e a

esforços normal e transverso aplicados na secção.

Figura 6-1

Denote-se por xFΔ e xVΔ as forças normal e

tangencial que actuam numa área elementar AΔ na

vizinhança do ponto Q. Note-se que o sobrescrito x é

utilizado para indicar que as forças xFΔ e xVΔ

actuam numa superfície perpendicular ao eixo x. Figura 6-2

Enquanto que a força normal xFΔ tem uma direcção perfeitamente definida, a força xVΔ pode ter

qualquer direcção no plano do seccionamento. Decomponha-se, então, xVΔ nas duas componentes, xyVΔ

e xzVΔ , nas direcções paralelas aos eixos y e z, respectivamente.

Dividindo agora o módulo de cada força pela área AΔ e fazendo AΔ tender para zero, definem-se as três

componentes da tensão mostradas na figura anexa:

0lim

x

x A

FA

σΔ →

Δ=

Δ

0lim

xy

xy A

VA

τΔ →

Δ=

Δ

0lim

xz

xz A

VA

τΔ →

Δ=

Δ

Note-se que o primeiro índice em xσ , xyτ e xzτ Figura 6-3




indica que as tensões consideradas actuam numa superfície perpendicular ao eixo x. O segundo índice em

xyτ e xzτ identifica a direcção da componente da tensão.

A tensão xσ será positiva se a direcção em que actua coincidir com a direcção positiva do eixo x, isto é, se

o corpo estiver traccionado, e negativa se estiver comprimido. Do mesmo modo, as componentes da tensão

tangencial xyτ e xzτ serão positivas se a direcção em que actuam coincidir com as direcções positivas dos

eixos y e z, respectivamente.

Figura 6-4

A mesma análise pode ser feita tomando a parte do corpo localizada à direita

do plano vertical que passa em Q. As mesmas magnitudes, mas com

direcções opostas, são obtidas para as forças normal e transversais. Por

conseguinte, são obtidos valores idênticos para as correspondentes

componentes da tensão, mas, dado que a secção está agora voltada para o

lado negativo do eixo x, o sinal positivo de xσ indicará que a direcção

positiva é segundo a direcção oposta ao eixo x. De modo análogo, xyτ e xzτ

serão positivas se a direcção em que actuam coincidir com as direcções

negativas dos eixos y e z, respectivamente, como se mostra na figura ao

lado.

Passando uma secção paralela ao plano xz através do ponto Q, poder-se-ão definir de modo semelhante as

componentes yσ , yzτ e yxτ . Finalmente ao seccionar o corpo com um plano paralelo a xy através do ponto

Q resultarão as componentes da tensão zσ , zxτ e zyτ .

Figura 6-5

A fim de facilitar a visualização do estado de tensão no ponto Q, considere-se o cubo elementar de lado a,

com centro no ponto Q, solicitado pelas respectivas tensões em cada uma das seis faces do cubo. As




componentes da tensão indicadas na figura são xσ , yσ e zσ , que representam a tensão normal em faces

perpendiculares aos eixos x, y e z, e as seis componentes da tensão tangencial xyτ , xzτ , yzτ , yxτ , zxτ e

zyτ . Recorde-se que de acordo com a definição de componente da tensão tangencial, xyτ representa a

componente segundo y da tensão tangencial exercida sobre a face perpendicular ao eixo x, enquanto yxτ

representa a componente segundo x da tensão exercida sobre a face perpendicular ao eixo y.

Note-se que apenas três faces do cubo são visíveis na figura e que nas três faces invisíveis actuam

componentes da tensão iguais mas opostas. As tensões que actuam nas faces do cubo são ligeiramente

diferentes das tensões que actuam no ponto Q, mas o erro envolvido é pequeno, anulando-se quando a

dimensão do lado a do cubo tende para zero.

7 Tensões numa faceta arbitrariamente orientada. Equação de Cauchy

Vimos anteriormente que para descrever o estado de tensão num ponto é necessário conhecer o vector

tensão em três facetas paralelas aos planos coordenados que passem pelo ponto. Recapitulando, a

descrição do estado de tensão num ponto faz-se através da identificação de nove componentes. Estas

componentes podem ser guardadas numa matriz onde cada linha corresponde a um vector tensão numa

faceta.

[ ] [ ]1 2 31 2 3

11 12 13

21 22 2300

31 32 33

ij X X XX X X

σ σ σσ σ σ σ σ

σ σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Os termos ijσ são as componentes dos três vectores tensão num ponto em três facetas ortogonais duas a

duas. Esta matriz é designada por tensor das tensões e identifica o estado de tensão num ponto em estudo,

descrito no referencial 1 2 30 X X X⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Figura 7-1

ijσ - Tensão actuante na faceta perpendicular ao eixo i segundo a direcção j




Mas como determinar, num ponto Q de um sólido, o vector tensão que actua sobre uma faceta de

orientação qualquer relativamente aos eixos coordenados?

Figura 7-2

Para o efeito consideremos um tetraedro infinitesimal, no qual três faces

são paralelas aos planos coordenados e a quarta é inclinada

relativamente a estes.

Seja n%

a normal exterior unitária à faceta oblíqua [ ]ABC de área AΔ .

As suas componentes ( )1 2 3; ;n n n são co-senos directores. Assim, a

área de uma faceta paralela a um plano coordenado pode ser obtida

através da relação: i iA A nΔ = Δ ⋅ sabendo que ( )cos ,i in n x= .

Com efeito, o ângulo formado entre dois planos é definido pelo ângulo entre os respectivos vectores

normais.

Utilizando o conceito de corpo livre aplicado ao corpo é sempre possível considerar apenas forças

exteriores no equilíbrio de qualquer das suas partes, pois as forças interiores não alteram o estado de

movimento ou de repouso do corpo.

No estabelecimento das equações de equilíbrio do tetraedro infinitesimal não são consideradas as acções

das forças de massa, porque são da ordem do volume e, portanto, desprezáveis face às forças de

superfície. Além disso supomos que as dimensões do tetraedro são tão pequenas que o vector das tensões

se pode considerar constante em todos os pontos da mesma face.

Nestas condições, as densidades de força a considerar no equilíbrio são as representadas na figura: Forças

superficiais.

Figura 7-3

3x

2x

1x

( )nσr

1( )nσ− r

2( )nσ− r

3( )nσ− r

1x

2x

3x

2AΔ

3AΔ

1AΔ




O equilíbrio obtém-se multiplicando as tensões em cada face pela respectiva área e constituindo a seguinte

equação vectorial:

31 2 ( )( ) ( )( )1 2 3 0nn nn A A A Aσ σ σ σ⋅Δ − ⋅Δ − ⋅Δ − ⋅Δ =

rr r r r

Atendendo a que:

i iA A nΔ = Δ ⋅

Substituindo na equação anterior:

31 2 ( )( ) ( )( )1 2 3 0nn nn A A n A n A nσ σ σ σ⋅Δ − ⋅Δ ⋅ − ⋅Δ ⋅ − ⋅Δ ⋅ =

rr r r r

Donde resulta finalmente:

31 2 ( )( ) ( )( )1 2 3

nn nn n n nσ σ σ σ= ⋅ − ⋅ − ⋅r r r r

ou ( )n nσ σ= ⋅% %

(Fórmula de Cauchy)

ou

11 12 13 1( )

21 22 23 2

31 32 33 3

n

nnn

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

%

A fórmula de Cauchy é uma relação vectorial pela qual se conclui que o vector das tensões relativo a uma

direcção genérica se pode obter como uma combinação linear dos vectores das tensões relativas a três

facetas que passem pelo ponto de normais paralelas aos eixos.

Mais uma vez se conclui que a condição necessária e suficiente para definir completamente o estado de

tensão num ponto qualquer é o conhecimento das nove componentes ijσ .

8 Tensões em reservatórios de parede fina

Os reservatórios de parede fina sob pressão constituem uma importante aplicação da análise de estados

planos de tensão. Atendendo que as paredes têm uma rigidez de flexão desprezável, pode assumir-se que

as forças internas exercidas sobre um elemento da parede são tangentes à superfície do reservatório.

Figura 8-1

A presente análise de tensões em reservatórios de parede fina sob pressão será limitada aos dois tipos de

reservatórios mais frequentemente encontrados: reservatórios cilíndricos sob pressão e reservatórios

esféricos sob pressão.




8.1 Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão

Figura 8-2

Considere-se o reservatório cilíndrico de raio interior r e

espessura da parede t contendo um fluido sob pressão. O

objectivo da presente análise será a determinação das tensões

exercidas num pequeno elemento da parede com lados

paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro,

respectivamente.

Devido à axissimetria do reservatório e do seu conteúdo, é evidente que não se exerce qualquer tensão

tangencial sobre o elemento. As tensões normais 1σ e 2σ mostradas na figura acima são por conseguinte

as tensões principais. A tensão 1σ é conhecida por tensão circunferencial, e a tensão 2σ é denominada

tensão longitudinal.

A fim de determinar a tensão circunferencial 1σ , destaque-se uma parte do reservatório de parede fina e do

seu conteúdo, delimitada pelo plano xy e por dois planos paralelos ao plano yz a uma distância xΔ entre si.

Figura 8-3

As forças paralelas ao eixo z actuantes no diagrama de

corpo livre definido desta forma consistem nas forças

internas elementares 1 Aσ ⋅Δ nas secções da parede e nas

forças de pressão elementares p A⋅Δ exercidas na porção

de fluido incluída no corpo livre. Note-se que p denota a

pressão interna do fluido, isto é, o excesso da pressão no

interior relativamente à pressão atmosférica exterior.

A resultante das forças internas 1 Aσ ⋅Δ é igual ao produto de 1σ pela área da secção transversal 2t xΔ da

parede, enquanto que a resultante das forças de pressão p AΔ é igual ao produto de p pela área 2r xΔ .

Escrevendo a equação de equilíbrio 0zF =∑ , tem-se

0zF =∑ : ( ) ( )1 2 2 0t x p r xσ ⋅ Δ − ⋅ Δ =

E resolvendo para a tensão circunferencial 1σ ,

1prt

σ =




Para determinar a tensão longitudinal 2σ , seccione-se o cilindro perpendicularmente ao eixo x e considere-

se o diagrama de corpo livre da parte do reservatório de parede fina e do seu conteúdo localizada à

esquerda da secção.

Figura 8-4

As forças que actuam sobre o corpo livre consistem nas forças internas elementares 2 Aσ ⋅Δ na parede e

nas forças de pressão elementares p AΔ exercidas na porção de fluido incluída no corpo livre. Notando-se

que a área da secção de fluido é 2rπ e que a área de secção de parede pode ser obtida multiplicando o

perímetro da circunferência do cilindro, 2 rπ , pela espessura da sua parede, t, escreve-se a equação de

equilíbrio:

0xF =∑ : ( ) ( )22 2 0rt p rσ π π⋅ − ⋅ =

E resolvendo para a tensão longitudinal 2σ ,

2 2prt

σ =

Conclui-se que a tensão circunferencial 1σ é o dobro da tensão longitudinal 2σ , 1 22σ σ= .

Figura 8-5

Desenhando a circunferência de Mohr que passa nos pontos A e

B, os quais correspondem, respectivamente, às tensões principais

1σ e 2σ e sabendo que a máxima tensão tangencial no plano é

igual ao raio desta circunferência, tem-se:

max ( ) 212 4no plano

prt

τ σ= =

Esta tensão corresponde aos pontos D e E e é exercida sobre um

elemento obtido através de uma rotação do elemento original

igual a 45º contida no plano tangente à superfície do reservatório.




A máxima tensão tangencial na parede do reservatório é, no entanto, superior a esta. É igual ao raio do

círculo OA e corresponde a uma rotação de 45º em torno de um eixo longitudinal e fora do plano da tensão.

Tem-se:

max 2 2prt

τ σ= =

Deve ser observado que, enquanto a terceira tensão principal é nula na superfície exterior do reservatório, é

igual a –p na superfície interior, e é representada por um ponto C (-p,0) no diagrama do círculo de Mohr.

Assim, junto à superfície interior do reservatório, a tensão tangencial máxima é igual ao raio do círculo CA, e

tem-se:

( )max 11 1 12 2 2

pr r t pr tp pt t r t r

τ σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para um reservatório de parede fina, no entanto, o termo tr é pequeno, e pode ser negligenciada a

variação de maxτ ao longo da espessura da secção de parede. Esta conclusão também se aplica a

reservatórios esféricos sob pressão.

8.2 Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão

Figura 8-6

Considere-se agora um reservatório esférico de parede fina de raio interior r e

parede de espessura t, contendo um fluido submetido a uma diferença de

pressão interna p. Por razões de simetria, as tensões exercidas sobre as

quatro faces de um pequeno elemento de parede têm de ser iguais. Por

conseguinte:

1 2σ σ=

Para determinar o valor dessas tensões, seccione-se o

reservatório através de um plano que passe através do seu

centro C, e considere-se o diagrama de corpo livre que consiste

na parte do reservatório e do seu conteúdo localizado à

esquerda da secção.

Figura 8-7

A equação de equilíbrio deste corpo livre é a mesma que a equação respeitante à figura 8-4. Conclui-se

assim que para um reservatório esférico,

1 2 2prt

σ σ= =




Figura 8-8

Atendendo a que as tensões principais 1σ e 2σ são iguais, a

circunferência de Mohr para a transformação de tensões no plano

tangente à superfície do reservatório reduz-se a um ponto;

conclui-se que a tensão normal no plano é constante e que

máxima tensão tangencial no plano é zero. A máxima tensão

tangencial nas paredes do reservatório, no entanto, não é zero; é

igual ao raio do círculo de diâmetro OA e corresponde a uma

rotação de 45º fora do plano da tensão. Assim,

max 112 4

prt

τ σ= =

9 Estados planos particulares definidos em tensões principais

Se 1σ e 2σ são tensões de compressão, o círculo de Mohr situa-se inteiramente à esquerda do eixo dos

τ , este caso é ideal para materiais que resistem mal à tracção (pedra, betão, etc.).

Se 1σ é uma tracção e 2σ uma compressão, o círculo é atravessado pelo eixo dos τ , existem duas

facetas para as quais 0σ = (pontos E e F).




Tem-se um estado de tracção pura se 1 0σ > e 2 0σ = .

Tem-se um estado de compressão pura se 2 0σ < e 1 0σ = .

Tem-se um estado de tensão esférico ou hidrostático se 1 2σ σ σ= = , o círculo reduz-se a um ponto, o seu

centro e todas as suas facetas encontram-se submetidas a uma única tensão puramente normal σ .




Finalmente, se as tensões principais são iguais e de sinais contrários 1 2σ σ σ= − = , o círculo é centrado

na origem dos eixos e trata-se de um estado de corte puro. Nas facetas inclinadas a 45º a partir das

direcções principais (pontos E e F), as tensões normais são nulas e as tensões tangenciais valem τ σ= ± .

ESTIG – Mecânica Aplicada 2

Introdução à Mecânica dos Materiais



Índice Comportamento reológico dos materiais ..........................................................1

Relação Tensão-Deformação......................................................................2

Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial ........................2

Materiais dúcteis .....................................................................................4

Materiais frágeis......................................................................................5

Características de cedência de materiais dúcteis ...................................5

Ensaios de compressão..........................................................................6

Lei de Hooke ...............................................................................................7

Comportamento elástico e comportamento plástico de um material.......8

Tipos de avaria de materiais........................................................................9

Deformações elásticas..........................................................................10

Deformações plásticas..........................................................................10

Deformação por fluência.......................................................................11

Rotura por Fadiga .................................................................................11

Rotura de elementos fendilhados .........................................................12

Bibliografia.................................................................................................13

Comportamento reológico dos materiais

Os materiais têm uma natureza discreta, pois são constituídos por átomos e moléculas, se se tratar de

líquidos ou gases, ou, se se tratar de sólidos, também por fibras, cristais, grânulos, associação de diferentes

materiais, etc.. As interacções físicas entre estes constituintes determinam o comportamento dos materiais.

À Mecânica dos Materiais interessa fundamentalmente o comportamento reológico, isto é, a maneira como

o material se deforma quando sujeito à acção de forças.

A influência das referidas interacções no comportamento macroscópico do material é estudada por ciências

como a Física do Estado Sólido e está em grande parte esclarecida, pelo menos qualitativamente. O

esclarecimento quantitativo, depara porém com dificuldades até agora inultrapassadas, que se prendem

com a complexidade dos fenómenos físicos envolvidos. Por este motivo, a quantificação do comportamento

reológico dos materiais por via dedutiva, isto é, a partir do comportamento dos constituintes, só tem sido

possível nos materiais compostos, que resultam da associação de dois ou mais materiais, como o betão

armado, em que a reologia do compósito pode ser deduzida a partir do comportamento reológico dos

materiais constituintes.

Nos outros materiais o comportamento reológico é idealizado através de modelos físicos e matemáticos,

que reproduzem os resultados obtidos por via experimental. É a chamada via fenomenológica.




Relação Tensão-Deformação

Um aspecto da análise e do dimensionamento de estruturas está relacionado com as deformações que as

cargas aplicadas provocam na estrutura. Percebe-se facilmente que se devem evitar deformações de tal

forma elevada que se torne impossível à estrutura cumprir os objectivos para que foi concebida. Mas a

análise da deformação pode também ser útil na determinação das tensões. De facto, nem sempre é

possível determinar os esforços nos elementos estruturais aplicando exclusivamente os princípios da

estática. A estática baseia-se na hipótese de que as estruturas não se deformam, isto é, são rígidas.

Considerando as estruturas deformáveis e analisando as deformaçóes nos seus elementos é possível

calcular forças que são estaticamente indeterminadas.

A distribuição de tensões num dado elemento também é estaticamente indeterminada, mesmo quando se

conhecem as forças que sobre ele actuam. Para determinar a distribuição de tensões num elemento, torna-

se necessário analisar as deformações que nele ocorrem.

Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial

Considere-se uma barra BC, de

comprimento L e secção

transversal uniforme de área A,

suspensa na extremidade B. Ao

aplicar-se uma carga P à

extremidade C, a barra aumenta

de comprimento.

Representando graficamente a evolução da carga P com o alongamento δ , obtém-se um determinado

diagrama carga-alongamento. Este diagrama apesar de conter informação útil para a análise da barra em

consideração não pode ser usado directamente para obter o alongamento de uma barra do mesmo material

mas de diferentes dimensões.

De facto pode observar-se que, se a carga P der

origem a um alongamento δ na barra BC, é

necessário introduzir uma carga 2P para causar o

mesmo alongamento numa barra B’C’, com o

mesmo comprimento L, mas com área da secção

transversal 2A. (note-se, no entanto, que nos dois

casos o valor da tensão é o mesmo P Aσ = ).




Por outro lado a uma barra B’’C’’, com a mesma área da secção transversal A

mas com comprimento 2L, dá origem a um alongamento 2δ nessa barra.

Estas observações conduzem à introdução do conceito de extensão: define-

se extensão longitudinal numa barra submetida a esforço normal como o

alongamento por unidade de comprimento da barra. Denotando a extensão

longitudinal por ε (letra grega epsilon) obtém-se:

Lδε =

Representando graficamente a tensão P Aσ = em função da extensão Lε δ= , obtém-se uma curva

que é característica das propriedades do material e que não depende das dimensões do provete utilizado.

Esta curva denomina-se diagrama tensão-deformação.

Para obter o diagrama tensão-deformação, efectua-se habitualmente um ensaio de tracção num provete

desse material. O provete é colocado numa máquina de ensaio onde se aplica uma carga centrada P. À

medida que a carga P aumenta, o comprimento do provete também aumenta e o alongamento δ do

provete é registado para vários valores de P. Para cada par de leituras P e δ , calcula-se a tensão σ

dividindo P pela área inicial da secção transversal do provete, e a extensão longitudinal ε dividindo o

alongamento δ pelo comprimento inicial do provete. Pode então obter-se o diagrama tensão-deformação

representando ε em abcissas e σ em ordenadas.

Esta máquina é utilizada para ensaiar provetes à tracção.

Os diagramas tensão-deformação de vários

materiais apresentam diferenças consideráveis entre

si, e diferentes ensaios de tracção efectuados com o

mesmo material podem também dar origem a

resultados diferentes, dependendo da temperatura

do provete e da velocidade de carregamento. É

possível, contudo, distinguir algumas características

comuns entre os diagramas tensão-deformação de

vários grupos de materiais, que se podem dividir em

duas grandes categorias com base nessas

características: os materiais dúcteis e os materiais

frágeis.




Materiais dúcteis

Os materiais dúcteis, nos quais se inclui o aço estrutural e outros metais, caracterizam-se por entrar em

cedência a temperaturas ambientes. Quando o provete é submetido a uma carga crescente, o comprimento

aumenta linearmente com a carga, a uma taxa reduzida.

Em consequência, o troço inicial do diagrama tensão-deformação é constituído por uma linha recta com um

declive elevado.

No entanto, depois de se atingir um determinado valor da tensão, cσ , o provete sofre um grande aumento

de deformação devido a um aumento relativamente pequeno da carga aplicada. Esta deformação é

causada pelo escorregamento do material ao longo de superfícies inclinadas e deve-se, principalmente, a

tensões de corte.

Como se pode verificar nos diagramas tensão-deformação de dois materiais dúcteis típicos, o alongamento

do provete após ter entrado em cedência poder ser 200 vezes superior ao alongamento obtido antes de se

atingir a cedência.

Depois de se ter atingido um valor máximo de carga, o diâmetro de uma

parte do provete começa a diminuir, devido a um fenómeno de instabilidade

local. Este estrangulamento da secção transversal denomina-se estricção.

Após o início deste estrangulamento são necessárias cargas menores para

se dar o aumento do alongamento do provete, até que este finalmente

rompe. Verifica-se que a rotura ocorre ao longo de uma superfície em forma

de cone que faz aproximadamente um ângulo de 45º com a superfície

original do provete.

cσ

uσ

Cedência

Endurecimento

Estricção

Rotura 450

300

150

σ (Mpa)

(a) Aço com baixo teor de carbono

rσ

(b) Liga de alumínio

Rotura

rσ

uσ450

cσ300

150

σ

(Mpa)




Este facto permite concluir que a rotura de materiais dúcteis se dá por corte, e que, sob a acção do esforço

normal, as tensões de corte máximas actuam em superfícies que fazem um ângulo de 45º com a direcção

da carga.

cσ - tensão de cedência ( cσ - yield strength) – tensão correspondente ao início da cedência

uσ - tensão última – tensão máxima aplicada no provete

rσ - tensão de rotura

Materiais frágeis

Os materiais frágeis, nos quais se inclui o ferro

fundido, o vidro e a pedra, caracterizam-se pelo

facto da rotura ocorrer sem se observar nenhuma

modificação prévia assinalável na variação do

alongamento. Em consequência, para materiais

frágeis, não existe diferença entre tensão última e a

tensão de rotura.

Também se verifica que a deformação obtida na rotura é muito menor em materiais

frágeis do que em materiais dúcteis. Na figura pode constatar-se a ausência de

qualquer estrangulamento do provete no caso de um material frágil e observa-se que

a rotura se dá segundo uma superfície perpendicular à direcção da carga. Desta

observação conclui-se que a rotura de materiais frágeis é provocada por tensões

normais.

Características de cedência de materiais dúcteis

Fractura típica de um aço dúctil

Da observação dos diagramas tensão-deformação dos dois

materiais apresentados, pode concluir-se que o aço estrutural

e o alumínio, embora ambos sejam materiais dúcteis, exibem

características de cedência diferentes.

Rotura u rσ σ=




No caso do aço estrutural, obtém-se um patamar de cedência em que a tensão se mantém constante para

um grande intervalo de valores da extensão depois do início da cedência. A seguir, tem de se aumentar a

tensão para poder continuar a deformar o provete, até se atingir o valor máximo de tensão uσ . Este facto

resulta de uma propriedade do material denominada endurecimento.

No caso do alumínio, e em muitos outros materiais dúcteis, a

curva tensão-deformação não apresenta um patamar de

cedência. Em vez disso, a tensão continua a aumentar –

embora não linearmente – até se atingir a tensão última.

Verifica-se então o início da estricção que acaba por

conduzir à rotura. Para estes materiais admite-se que a

tensão de cedência cσ é igual à tensão limite convencional

de proporcionalidade a n%, que se define como a tensão

que provoca uma extensão residual de n%.

Ensaios de compressão

Até este momento só foram analisados ensaios de tracção. Se um provete constituído por um material dúctil

for submetido a compressão, a curva tensão-deformação obtida é essencialmente a mesma que se obtém

para a tracção, desde a parte inicial rectilínea até ao patamar de cedência e ao início da zona de

endurecimento. Verifica-se igualmente que para um determinado aço a tensão de cedência à tracção e à

compressão é a mesma. Para valores superiores da extensão, as curvas tensão-deformação à tracção e à

compressão divergem, com a particularidade de não ocorrer a estricção no ensaio de compressão.

Para a maioria dos materiais frágeis, obtém-se uma tensão de rotura à compressão muito superior à tensão

de rotura à tracção. Este facto deve-se à presença de defeitos, tais como microfissuras ou cavidades, que

tendem a enfraquecer o material quando traccionado, embora não afectem significativamente a sua

resistência à compressão.

O betão, cujo diagrama tensão-defomação se

representa na figura ao lado, é um exemplo de

um material frágil que exibe propriedades

diferentes quando é submetido a tracção e a

compressão. Note-se que o módulo de

elasticidade, que é representado pela tangente

da curva tensão-deformação na sua parte

linear, é o mesmo para a tracção e para a

compressão. Este resultado confirma-se para a

maioria dos materiais frágeis.

Rotura

cσ




Lei de Hooke

A maioria das estruturas de engenharia é dimensionada para suportar deformações relativamente

pequenas, envolvendo unicamente a parte linear do diagrama tensão-deformação correspondente. Para

essa parte inicial do diagrama, a tensão é directamente proporcional à extensão e pode escrever-se

Eσ ε= .

Esta relação é conhecida como lei de Hooke, em memória do matemático inglês Robert Hooke (1635-1703).

O coeficiente E é denominado módulo de elasticidade do material ou também módulo de Young, em

memória do cientista inglês Thomas Young (1773-1829).

Dado que a extensão é uma quantidade adimensional, o módulo E é expresso nas mesmas unidades que a

tensão. O maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke se pode aplicar num dado material denomina-se

tensão limite de proporcionalidade desse material. No caso de materiais dúcteis que possuem um ponto de

cedência bem definido, a tensão limite de proporcionalidade coincide com a tensão de cedência.

Para outros materiais, a tensão limite de proporcionalidade não pode ser definida tão facilmente, dado que é

difícil determinar com precisão o valor da tensão relativamente ao qual a relação σ ε deixa de ser linear.

Thomas Young

(1773-1829)

Thomas Young was an English

physician and physicist, with a

brilliant mind and eclectic

interests. By the age of fourteen it

is said that he was acquainted

with Latin, Greek, French, Italian,

Hebrew, Arabic and Persian. He

studied medicine in London,

Edinburgh, and Göttingen and set

up medical practice in London. He was the first to realize that the eye focusses by changing

the shape of the lens. He discovered the cause of

astigmatism, and was the initiator, with Helmoltz, of the three

colour theory of perception, believing that the eye constructed

its sense of colour using only three receptors, for red, green

and blue. In 1801 he was appointed Professor of Physics at

Cambridge university. His famous double-slit experiment

established that light was a wave motion. He became very

interested in Egyptology, and his studies of the Rosetta stone,

discovered on one of Napoleon's expeditions in 1814,

contributed greatly to the subsequent deciphering of the

ancient Egyptian hieroglyphic writing. He did work in surface

tension, elasticity (Young's modulus, a measure of the rigidity

of materials, is named after him), and gave one of the earliest

scientific definitions of energy.

Robert Hooke

(1635-1703)

His name is somewhat obscure today,

due in part to the enmity of his famous,

influential, and extremely vindictive

colleague, Sir Isaac Newton. Yet

Hooke was perhaps the single

greatest experimental scientist of the

seventeenth century. His interests

knew no bounds, ranging from physics

and astronomy, to chemistry, biology,

and geology, to architecture and naval

technology. Among other accomplishments, he invented the universal

joint, the iris diaphragm, and an early prototype of the

respirator; invented the anchor escapement and the balance

spring, which made more accurate clocks possible; served as

Chief Surveyor and helped rebuild London after the Great Fire

of 1666; worked out the correct theory of combustion; devised

an equation describing elasticity that is still used today

("Hooke's Law"); assisted Robert Boyle in studying the

physics of gases; invented or improved meteorological

instruments such as the barometer, anemometer, and

hygrometer; and so on. He was the type of scientist that was

able to contribute findings of major importance in any field of

science. It is not surprising that he made important

contributions to biology and to paleontology.




No entanto, desta mesma dificuldade conclui-se que, para esses materiais, a utilização da lei de Hooke para

valores da tensão ligeiramente mais elevados que a verdadeira tensão limite de proporcionalidade não dá

origem a erros significativos.

Comportamento elástico e comportamento plástico de um material

Diz-se que um material se comporta elasticamente se as deformações, provocadas num provete por uma

dada carga, desaparecerem após a carga ser removida. O maior valor da tensão para a qual o material se

comporta elasticamente denomina-se tensão limite de elasticidade do material.

Se o material tiver um ponto de cedência bem definido:

Por outras palavras, o material comporta-se linear e

elasticamente desde que a tensão se mantenha

inferior à tensão de cedência (AB). Contudo, se este

valor da tensão (B) for atingido, dá-se início à

cedência e quando a carga é removida, a tensão e a

extensão diminuem linearmente ao longo de uma

linha CD paralela à parte linear AB do diagrama

tensão-deformação.

O facto de ε não voltar a zero após a carga ter sido removida indica que o provete fica submetido a uma

deformação plástica permanente.

Para a maioria dos materiais, a deformação plástica não depende apenas do valor máximo atingido pela

tensão, mas também do intervalo de tempo decorrido antes de se remover a carga. A parcela da

deformação plástica dependente da tensão denomina-se escoamento e parcela dependente do tempo – que

também é influenciada pela temperatura – denomina-se fluência.

Alguns resultados obtidos na análise de estruturas têm por base a hipótese de uma relação tensão-

deformação linear. Por outras palavras, admite-se que a tensão limite de proporcionalidade nunca é

excedida. Esta hipótese é aceitável no caso de materiais frágeis, que rompem sem plastificar. Contudo, no

caso de materiais dúcteis, esta hipótese implica que a tensão de cedência do material não é excedida. As

deformações permanecem no domínio elástico e o elementro estrutural recupera a sua forma original após a

remoção das cargas.

Tensão limite de

elasticidade

Tensão limite de

proporcionalidade

Tensão de cedência




Se as tensões em qualquer ponto do elemento

excederem a tensão de cedência do material, ocorrem

deformações plásticas. É possível modelar este

comportamento plástico considerando um material

elastoplásticco ideal para o qual o diagrama tensão-

deformação consiste em dois segmentos de recta

representados.

Note-se que o diagrama de tensão-deformação do aço macio nos domínios elástico e plástico é semelhante

a esta idealização. Apesar de nenhum material exibir um comportamento exactamente igual ao

representado na figura, este diagrama torna-se útil para analisar as deformações plásticas de materiais

dúcteis, tais como o aço macio.

Tipos de avaria de materiais

Os projectistas de máquinas, veículos e estruturas devem conseguir níveis aceitáveis de performance e

economia, guarantindo ao mesmo tempo que o objecto projectado seja seguro e durável.

Para assegurar performance, segurança e durabilidade, é necessário evitar deformações em excesso, isto

é, evitar que os componentes da máquina, veículo ou estrutura sejam flectidos, torcidos ou esticados. Para

além disso, a abertura de fissuras nos componentes deve ser total ou rigorosamente limitada, de forma a

não evoluir ao ponto da fractura completa.

Os tipos básicos de avaria de materiais são classificados como deformação ou fractura:

Deformação

Dependente da duração de aplicação da carga: - Elástica - Plástica

Independente da duração de aplicação da carga: - Fluência

Fractura

Carregamento Estático: - Frágil - Dúctil - Ambiental - Fluência

Fadiga: Carregamento cíclico: - alta frequência - baixa frequência - crescimento de fissuras de fadiga - fadiga de corrosão

cσ




Os átomos e moléculas dos sólidos ligam-se uns aos outros através de três tipos de ligações químicas

primárias: ligações iónicas, covalentes e metálicas. As ligações covalentes são fortes e direccionais e por

isso resistem à deformação, isto contribui para a grande resistência e fragilidade dos materiais cerâmicos e

dos vidros.

As ligações metálicas nos metais não tem essa direccionalidade e por isso deformam-se mais facilmente.

Os polímeros são compostos por cadeias de moléculas de carbono formadas por ligações covalentes,

contudo podem deformar-se facilmente por deslizamento relativo das cadeias moleculares (quando este

deslizamento só é impedido por ligações secundárias).

Deformações elásticas

Deformações que aparecem rapidamente durante o carregamento podem ser classificadas como elásticas

ou plásticas. A deformação elástica é recuperada imediatamente após o descarregamento. Quando é a

única deformação presente, a relação entre a tensão e a extensão é normalmente proporcional.

Um exemplo de avaria por deformação elástica é um edifício alto que oscila com o vento provocando

desconforto para os seus ocupantes embora o colapso da estrutura não seja de todo iminente.

Este tipo de deformação está associado com o alongamento (sem rotura) das ligações químicas entre os

átomos de um sólido. Se for aplicada uma tensão externa a um material, a distância entre os seus átomos

varia de uma pequena quantidade em função do material e da sua estrutura molecular. Estas variações de

distância quando acumuladas numa amostra de material de dimensões macroscópicas, são chamadas

deformações elásticas.

Deformações plásticas

As deformações plásticas não são recuperadas após descarregamento e são por isso permanentes.

Quando a deformação plástica tem início, um pequeno aumento de tensão provoca um aumento

relativamente grande de deformação. Este processo chama-se cedência.

Materiais capazes de suportar grandes deformações plásticas comportam-se de forma dúctil, e aqueles que

fracturam com pouca deformação plástica comportam-se de forma frágil.

O resultado da deformação plástica (cedência) a nível da estrutura do material é que os átomos mudam de

local, voltando a uma estrutura estável após o descarregamento onde o átomo vizinho é novo. De notar que

este processo é fundamentalmente diferente da deformação elástica onde a posição relativa dos átomos

não é alterada, tratando-se só de um alongamento das ligações químicas.




A deformação elástica é um processo essencialmente independente da deformação plástica, assim quando

uma tensão que causa cedência é retirada, a extensão elástica é recuperada tal como se não tivesse havido

cedência, mas a extensão plástica é permanente.

Deformação por fluência

Para além dos dois tipos de deformação instantânea já discutidos, os materiais deformam-se com

comportamentos dependentes do tempo de aplicação das cargas, chamados fluência. Sob tensão

constante, a deformação varia com o tempo. Existe uma deformação elástica inicial que aumenta

lentamente enquanto a tensão for mantida. Se a tensão for retirada, a deformação elástica é recuperada

rapidamente, uma parcela da deformação de fluência pode vir a ser recuperada com o tempo, mas a

parcela restante será permanente.

As deformações por fluência assumem grande importância a temperaturas próximas da fusão do material.

Os mecanismos físicos que a influenciam variam com o material e a temperatura.

Rotura por Fadiga

A fadiga é a rotura por carregamentos cíclicos. Em geral, uma ou mais micro-fissuras aparecem no material

e crescem até ocorrer a rotura. Um exemplo simples é a rotura de um arame ao ser dobrado repetidas

vezes em sentidos opostos. A rotura por fadiga é frágil, mesmo em materiais que se comportam

habitualmente como dúcteis.

A fadiga deve ser considerada no dimensionamento de elementos estruturais e de máquinas submetidos a

cargas repetidas ou flutuantes. O número de ciclos de carregamento que pode ocorrer durante a vida útil de

um componente varia imenso. Por exempo:

- uma viga que suporta uma grua industrial pode ser carregada dois milhões de vezes em 25 anos

(cerca de 300 carregamentos por dia de trabalho),

- o veio do motor de um automóvel é solicitado cerca de 500 milhões de vezes após ter percorrido

300 000 quilómetros e

- uma lâmina de uma turbina pode ser solicitada várias centenas de milhar de milhão de vezes

durante a sua vida útil.

Alguns carregamentos são do tipo flutuante. Por exemplo, a passagem de tráfego numa ponte dá origem a

níveis de tensão que oscilam em torno de do nível de tensão resultante do peso da ponte. Uma condição

mais severa ocorre quando se verifica uma inversão total do sentido da carga durante o ciclo de

carregamento. Por exempo, as tensões num eixo de uma carruagem de caminho de ferro são

completamente invertidas após cada meia rotação da roda.




Na figura está representada uma curva nσ − típica para o

aço. Observe-se que, se a tensão máxima aplicada for

elevada, é suficiente um número relativamente pequeno de

ciclos para provocar a rotura. À medida que o valor da

tensão máxima diminui, o número de ciclos necessário para

causar a rotura aumenta, até se atingir um valor

denominado tensão limite de fadiga. Esta é a tensão para a

qual não se verifica a rotura, mesmo que se considere um

número indefinidamente grande de ciclos de carregamento.

Para um aço com baixo teor de carbono, como o aço

estrutural, a tensão limite de fadiga corresponde a cerca de

metade da correspondente tensão de rotura.

Rotura de elementos fendilhados

A presença de uma fissura num componente de uma máquina, veículo ou estrutura pode enfraquecê-la ao

ponto de provocar a rotura por fracturação em dois ou mais pedaços. Isto pode ocorrer a tensões inferiores

às de cedência, onde a rotura não é normalmente atingida.

Para além das fissuras, outro tipo de

defeitos podem rapidamente

transformar-se em fissuras, e devem

ser tratados como se destas se

tratassem. Exemplos como arranhões

profundos, vazios em soldas, inclusões

de substâncias externas em materiais

fundidos e forjados e delaminações em

materiais constituídos por camadas.

O estudo e utilização da Mecânica da

Fractura é de grande importância dada

a elevada frequência com que as

fissuras ocorrem, por exemplo,

inspecção periódica de aviões

comerciais é frequente a detecção de

várias fissuras que devem ser reparadas. Falhas deste tipo são também comuns em navios, pontes,

tubagens e veículos.

Fractura catastrófica de um depósito de combústivel de foguetão. O

invólucro fissurou numa imperfeição na soldadura durante um teste

de pressão hidrostático. A ruína ocorreu a cerca de 57% da tensão de

teste pretendida. As setas indicam a origem da fissura.




Ruínas do encontro direito

A construção da barragem de Malpasset

(60 m de altura, rio Reyran, França)

terminou em 1959. Foram vistas fissuras

na base da barragem do lado jusante,

mas estas não foram investigadas.

Semanas depois, a 2/12/1959 ocorreu o

desastre, matando cerca de 500

pessoas. Pouco restou da barragem, a

ruína foi repentina.

Se se tivessem investigado as fissuras,

poder-se-ia ter evitado o desastre? Esta

foi a principal lição retirada deste

acidente.

Em projecto, os materiais e os

pormenores de projecto podem

ser escolhidos de forma a ser

relativamente tolerantes à

presença de fissuras, e o

dimensionamento pode incluir

redundância de forma a que a

fractura de um um componente

não cause a rotura de toda a

estrutura.

Por exemplo em reservatórios de

parede fina (tubagens sob

pressão, reservatórios de água,

caldeiras) que apresentem fissuras, existem duas possibilidades:

- a fissura pode crescer gradualmente transformando-se numa fenda que atravessa a parede

provocando fugas antes da rotura;

- a rotura frágil ocorre antes do reservatório apresentar fugas.

Como a rotura frágil num reservatório de parede fina pode envolver a libertação explosiva do seu conteúdo,

uma fuga é de longe o cenário mais desejável. Note-se que uma fuga é facilmente detectada por uma perda

de pressão ou pela presença do conteúdo do reservatório num local indevido. Por isto, os reservatórios de

parede fina devem ser dimensionados de forma a apresentar fugas antes de fracturar.

Bibliografia

Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T., 2003. Mecânica dos Materiais, 3ª edição,

McGraw-Hill, Portugal

Dias da Silva, V., 1995. Mecânica e resistência dos materiais, Ediliber, Coimbra, Portugal

Dowling, Norman E., 1999. Mechanical behavior of materials: engineering methods for deformation, fracture

and fatigue, 2nd edition, Prentice-Hall, NJ, USA

Wulpi, Donald J., 1985. Understanding how components fail, American Society for Metals, USA

http://simscience.org



Mário Nuno Valente – Outubro 2004 1/4

Tensões em reservatórios de parede fina

Pode assumir-se que as forças internas exercidas sobre um elemento da parede são

tangentes à superfície do reservatório.

1.1 Reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão

Considere-se o reservatório cilíndrico de raio interior r e espessura da parede t

contendo um fluido sob pressão.

A tensão 1σ é conhecida por tensão circunferencial, e a tensão 2σ é denominada

tensão longitudinal.




0zF =∑

0xF =∑




1.2 Reservatórios esféricos de parede fina sob pressão

Considere-se agora um reservatório esférico de parede

fina de raio interior r e parede de espessura t, contendo

um fluido submetido a uma diferença de pressão

interna p. Por razões de simetria, as tensões exercidas

sobre as quatro faces de um pequeno elemento de

parede têm de ser iguais.

1 2σ σ=




Exercício

Uma conduta de aço tem 900 mm de

diâmetro exterior e liga a albufeira em A à

turbina hidráulica em B. Sabendo que o peso

específico da água é 9800 N/m3, determine a

tensão normal máxima e a tensão tangencial

máxima na conduta em condições estáticas.

Exercício

O tanque de ar comprimido indicado é fabricado a

partir de uma chapa de 6 mm de espessura e

soldada ao longo de uma hélice que forma um

ângulo 30ºβ = com a horizontal. Sabendo que a

tensão normal admissível no cordão de soldadura

é 75 MPa, determine a máxima pressão interna a

que o tanque pode ser submetido.


Mecânica Aplicada 2 – Tensões Principais numa Viga Encastrada


Tensões Principais numa Viga Encastrada


Mecânica Aplicada 2 – Tensões Principais numa Viga Encastrada


As curvas representadas por linhas a cheio definem a direcção das tensões máximas de tracção em cada ponto, e as

curvas representadas por linhas a tracejado definem a direcção das tensões máximas de compressão em cada ponto.

Estas curvas designam-se trajectórias de tensão ou isostáticas.

Um material frágil, tal como o betão, atinge a rotura por tracção ao longo de planos que são perpendiculares às

isostáticas de tracção. Por este motivo, os varões de aço de reforço, para serem efectivos, deverão ser dispostos de

forma a intersectarem estes planos.




Extensão longitudinal sob acção de carregamento axial

Lδε =

P Aσ =

Eσ ε=




Materiais dúcteis

cσ - tensão de cedência ( cσ - yield strength) – tensão correspondente ao início

da cedência

uσ - tensão última – tensão máxima aplicada no provete

rσ - tensão de rotura

(b) Liga de alumínio

Rotura

rσ

uσ450

cσ300

150

σ

(Mpa)

cσ

uσ

Cedência

Endurecimento

Estricção

Rotura 450

300

150

σ (Mpa)

(a) Aço com baixo teor de carbono

rσ




Materiais frágeis

Rotura u rσ σ=




Comportamento plástico de um material




Tipos de avaria de materiais

Rotura por Fadiga

Deformação

Independente da duração de aplicação da carga: - Elástica - Plástica

Dependente da duração de aplicação da carga: - Fluência

Fractura

Carregamento Estático: - Frágil - Dúctil - Ambiental - Fluência

Fadiga: Carregamento cíclico: - alta frequência - baixa frequência - crescimento de fissuras de fadiga - fadiga de corrosão

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MECÂNICA APLICADA II - ipb.ptmnvalente/2006-1sem/MA2/MA2-Apontamentosteoricos.pdf · INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA Escola Superior de Tecnologia e Gestão MECÂNICA APLICADA