of 12 /12
Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 36, n. 1, 1505 (2014) www.sbfisica.org.br Mec´anicacu´anticafundamental,unapropuestadid´actica (Fundamental quantum mechanics, a didactic proposal) JhonnyCastrill´on 1 , Olival Freire Jr. 2 , Boris Rodr´ ıguez 1 1 Instituto de F´ ısica, Universidad de Antioquia, Medell´ ın, Colombia 2 Instituto de F´ ısica, Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA, Brasil Recebido em 20/6/2013; Aceito em 6/10/2013; Publicado em 26/2/2014 La mec´anica cu´antica fundamental (MCF) es una exposici´on comentada de los experimentos y conceptos fundamentalesdela mec´anicacu´antica, que es la teor´ ıa f´ ısicadel dominio cu´anticode fen´omenos: el principio de superposici´on y el entrelazamiento cu´antico se proponen como el fundamento te´orico de la descripci´on cu´antica. De estas nociones base se presenta su formalismo para sistemas de dos niveles. Tambi´ en se exponen las ideas de probabilidad, evoluci´ on (din´amica) y medici´on con el fin de plantear el problema de la medici´on. Finalmente, esta construcci´on te´orica es contextualizada en experimentos emblem´ aticos del dominio cu´antico: la doble ren- dija, el experimento de Stern-Gerlach y el interfer´ ometro de Mach-Zehnder, y en aplicaciones tecnol´ogicas, como la teletransportaci´on y la criptograf´ ıa cu´anticas. Adem´as, la MCF es una propuesta did´actica, materializada en seis secuencias did´acticas, dirigida a profesores en formaci´on lo mismo que a estudiantes de secundaria. Palabras-clave: ense˜ nanza de la mec´anica cu´antica, fundamentos de mec´anica cu´antica, secuencias did´acticas. Fundamental quantum mechanics (FQM) is a commented presentation of fundamental experiments and con- cepts of quantum mechanics, the physical theory of the quantum phenomena domain: superposition principle and quantum entanglement become the cornestone of the theoretical foundation of the quantum description. The formalism of these basic notions, for two-level systems, is presented. Also, the quantum measurement problem is stated through the discussion of the ideas of probability, evolution (dynamics) and measurement. Finally, this theoretical construction is contextualized in emblematic experiments of the quantum domain: the two slit expe- riment, the Stern-Gerlach experiment and the Mach-Zehnder interferometer, and in technological applications, such as quantum teleportation and quantum cryptography. Besides, the FQM is a pedagogical proposal, formed by six didactic sequences, for high school teachers and students. Keywords: quantum mechanics teaching, foundations of quantum mechanics, didactic sequences. 1. Introducci´on La mec´anica cu´antica fundamental (MCF) es una pro- puesta did´actica para la teor´ ıa cu´antica, dirigida a profesores y estudiantes de secundaria, as´ ı como a pro- fesores en formaci´on. 2 El problema doble que enfrenta la propuesta es (1) presentar la mec´anica cu´antica (MC) como descripci´on f´ ısica del dominio cu´antico de fen´omenos y (2) dise˜ nar materiales did´acticos que exhi- ban los fen´omenos cu´anticos a la manera de situaciones problema, y que expongan c´omo la MC los estudia y soluciona. El primer momento se refiere al aspecto disciplinar o los contenidos a estudiar, y el segundo al did´actico o las estrategias a implementar en el aula. 3 La ense˜ nanza de la MC introductoria es todav´ ıa un campo en formaci´on [1–9]; no obstante, cabe reconocer en las propuestas cuatro rasgos generales conectados, a saber, (1) la elecci´on epistemol´ogica o interpretaci´ on que dan a la MC , (2) una perspectiva o acercamiento para abordarla, (3) cierto uso de la historia y la filosof´ ıa de las ciencias (HFC) para contextualizar la MC, y (4) 1 E-mail: [email protected] Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil. 2 En general, va dirigida a una audiencia con la alfabetizaci´on propia, en matem´aticas y geometr´ ıa, de un estudiante de secundaria. En esta medida puede servir para introducir a estudiantes universitarios de primeros semestres de ciencias e ingenier´ ıa, as´ ı como a profesionales de cualquier ´area interesados en la materia. En concreto, se trata de una planeaci´on de lecturas y actividades para un curso de 64 horas, que puede dictarse en un semestre acad´ emico de 16 semanas, con intensidad de 4 horas por semana. 3 Si bien la propuesta a´ un no ha sido llevada al aula, raz´on por la cual no es posible valorar su impacto en los alumnos, la pertinencia de este art´ ıculo radica en la justificaci´on que hace de los contenidos seleccionados como fundamentales para un primer acercamiento a la MC. As´ ı, no se trata tanto de reportar resultados de una pesquisa en ense˜ nanza de la f´ ısica, sino de la presentaci´on de nuevos pro- ductos y materiales did´acticos. En particular, de la manera en que se construyeron secuencias did´acticas para algunos de los contenidos modernos de los fundamentos de la mec´anica cu´antica, y de la planeaci´on de actividades para su estudio, al t´ ermino del cual se espera que los alumnos adquieran una perspectiva b´asica de lo que es la f´ ısicacu´antica.

MECANICA CUANTICA

Embed Size (px)

DESCRIPTION

TRATADO SOBRE MECANICA

Text of MECANICA CUANTICA

  • Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 36, n. 1, 1505 (2014)www.sbsica.org.br

    Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica(Fundamental quantum mechanics, a didactic proposal)

    Jhonny Castrillon1, Olival Freire Jr.2, Boris Rodrguez1

    1Instituto de Fsica, Universidad de Antioquia, Medelln, Colombia2Instituto de Fsica, Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA, BrasilRecebido em 20/6/2013; Aceito em 6/10/2013; Publicado em 26/2/2014

    La mecanica cuantica fundamental (MCF) es una exposicion comentada de los experimentos y conceptosfundamentales de la mecanica cuantica, que es la teora fsica del dominio cuantico de fenomenos: el principio desuperposicion y el entrelazamiento cuantico se proponen como el fundamento teorico de la descripcion cuantica.De estas nociones base se presenta su formalismo para sistemas de dos niveles. Tambien se exponen las ideas deprobabilidad, evolucion (dinamica) y medicion con el n de plantear el problema de la medicion. Finalmente,esta construccion teorica es contextualizada en experimentos emblematicos del dominio cuantico: la doble ren-dija, el experimento de Stern-Gerlach y el interferometro de Mach-Zehnder, y en aplicaciones tecnologicas, comola teletransportacion y la criptografa cuanticas. Ademas, la MCF es una propuesta didactica, materializada enseis secuencias didacticas, dirigida a profesores en formacion lo mismo que a estudiantes de secundaria.Palabras-clave: ense~nanza de la mecanica cuantica, fundamentos de mecanica cuantica, secuencias didacticas.

    Fundamental quantum mechanics (FQM) is a commented presentation of fundamental experiments and con-cepts of quantum mechanics, the physical theory of the quantum phenomena domain: superposition principleand quantum entanglement become the cornestone of the theoretical foundation of the quantum description. Theformalism of these basic notions, for two-level systems, is presented. Also, the quantum measurement problemis stated through the discussion of the ideas of probability, evolution (dynamics) and measurement. Finally, thistheoretical construction is contextualized in emblematic experiments of the quantum domain: the two slit expe-riment, the Stern-Gerlach experiment and the Mach-Zehnder interferometer, and in technological applications,such as quantum teleportation and quantum cryptography. Besides, the FQM is a pedagogical proposal, formedby six didactic sequences, for high school teachers and students.Keywords: quantum mechanics teaching, foundations of quantum mechanics, didactic sequences.

    1. Introduccion

    La mecanica cuantica fundamental (MCF) es una pro-puesta didactica para la teora cuantica, dirigida aprofesores y estudiantes de secundaria, as como a pro-fesores en formacion.2 El problema doble que enfrentala propuesta es (1) presentar la mecanica cuantica(MC) como descripcion fsica del dominio cuantico defenomenos y (2) dise~nar materiales didacticos que exhi-ban los fenomenos cuanticos a la manera de situacionesproblema, y que expongan como la MC los estudia y

    soluciona. El primer momento se reere al aspectodisciplinar o los contenidos a estudiar, y el segundo aldidactico o las estrategias a implementar en el aula.3

    La ense~nanza de la MC introductoria es todava uncampo en formacion [1{9]; no obstante, cabe reconoceren las propuestas cuatro rasgos generales conectados,a saber, (1) la eleccion epistemologica o interpretacionque dan a la MC , (2) una perspectiva o acercamientopara abordarla, (3) cierto uso de la historia y la losofade las ciencias (HFC) para contextualizar la MC, y (4)

    1E-mail: [email protected]

    Copyright by the Sociedade Brasileira de Fsica. Printed in Brazil.2En general, va dirigida a una audiencia con la alfabetizacion propia, en matematicas y geometra, de un estudiante de secundaria.

    En esta medida puede servir para introducir a estudiantes universitarios de primeros semestres de ciencias e ingeniera, as como aprofesionales de cualquier area interesados en la materia. En concreto, se trata de una planeacion de lecturas y actividades para uncurso de 64 horas, que puede dictarse en un semestre academico de 16 semanas, con intensidad de 4 horas por semana.

    3Si bien la propuesta aun no ha sido llevada al aula, razon por la cual no es posible valorar su impacto en los alumnos, la pertinenciade este artculo radica en la justicacion que hace de los contenidos seleccionados como fundamentales para un primer acercamiento ala MC. As, no se trata tanto de reportar resultados de una pesquisa en ense~nanza de la fsica, sino de la presentacion de nuevos pro-ductos y materiales didacticos. En particular, de la manera en que se construyeron secuencias didacticas para algunos de los contenidosmodernos de los fundamentos de la mecanica cuantica, y de la planeacion de actividades para su estudio, al termino del cual se esperaque los alumnos adquieran una perspectiva basica de lo que es la fsica cuantica.

  • 1505-2 Castrillon et al.

    la relaciones que establecen entre fsica cuantica y fsicaclasica.

    En lo que respecta a la MCF, es una propuesta que:

    1. Interpreta las entidades cuanticas como sistemasfsicos reales plenamente descritos por vectores deestado. La realidad de los sistemas es el con-junto de representaciones que establecen los es-tados cuanticos con sus cantidades fsicas obser-vables, tanto a nivel formal como experimental.Estos estados cuanticos, as mismo, proveen todala informacion fsica relevante de su sistema aso-ciado [10].

    2. Ofrece una perspectiva para la MC [11], basadaen conceptos fundamentales (superposicion y en-trelazamiento cuantico), que provee los terminospara plantear sus problemas (por ejemplo, el dela medicion), as como para comprender sus reali-zaciones basicas, como las experimentales (expe-rimento de la doble rendija y de Stern-Gerlach,por ejemplo) y algunas aplicaciones de interesmoderno (en informacion cuantica). Todo estoenunciando el signicado fsico de los objetos ma-tematicos principales de la MC, a saber, los espa-cios vectoriales complejos y los operadores linea-les.

    3. En cuanto al uso de la HFC, abandona el estilohistorico dominante, que inaugura la MC con laradiacion de cuerpo negro de Planck, pasa por elefecto fotoelectrico de Einstein, el modelo atomicode Bohr, y naliza en la ecuacion de Schrodin-ger; en provecho de una historia crtica [4, 12],que toma como lecciones historicas los trabajos defsicos inconformes con la interpretacion estandarde la MC, y que puede ordenarse desde el famosoartculo EPR, pasando por los comentarios que lehizo Bohm, y que encuentra en el teorema de Bell,y en los experimentos que le siguieron, una nu-eva agenda para los fundamentos de la mecanicacuantica.4

    4. Por ultimo, relaciona los dominios cuantico yclasico de fenomenos, como coexistentes aunqueirreductibles. Esta postura tiene la intenciondidactica de enfatizar la nueva fsica que exhibeel dominio cuantico, que no puede ser descrita enterminos clasicos; pero sin olvidar la autonomadel mundo clasico: entre los dominios hay puesuna frontera y no tanto una barrera [14]. En lapractica, y siguiendo las recomendaciones de [9],la propuesta evita lo mas posible referencias aconceptos clasicos, como hablar de las propieda-des posicion (q) y momentum (p), es decir, de la

    idea de trayectoria; o de los modelos de onda opartcula, que no obstante su ecacia descriptivade fenomenos clasicos, al da de hoy no hay clari-dad en cuanto a su estatus en el mundo cuantico.5

    La siguiente seccion es una descripcion de los conteni-dos de la MCF y de como son implementados en lassecuencias didacticas, usando los criterios previos. Latercera seccion resume las seis secuencias que confor-man la propuesta. En la seccion cuatro se describenen detalle las secuencias sobre superposicion y entrela-zamiento. Por ultimo, se presentan las perspectivas yconclusiones.

    2. El dominio cuantico de fenomenos ysu teora fsica

    En el aula, donde la propuesta es puesta en practica,los aspectos disciplinares y didacticos son una unidad.Cada disciplina, al menos en lo que tiene de singular,merecera una didactica ajustada a su problematica.Las secuencias que componen la MCF son pensadaspara formular los fundamentos de la mecanica cuanticacomo un solucionador de problemas. En otras pala-bras, la misma red de relaciones conceptuales llamada\mecanica cuantica" sirve para comprender fenomenoscuanticos y para aprender a plantear y resolver situa-ciones problema del dominio cuantico: comprender yaprender, en esta propuesta, son un mismo objetivo.

    El dominio cuantico de fenomenos es como un espaciopoblado de acontecimientos a los que puede asignarserasgos cuanticos para su comprension. La MCF tiene laforma de un relato sobre lo que ocurre en este dominiofsico. En primer lugar, sobre como los objetos queah se encuentran (los sistemas cuanticos) tienen unasmaneras de ser (superposicion de estados) y unas pro-piedades medibles (las magnitudes fsicas observables),que exigen una nueva intuicion para ser comprendidos.Estos objetos son cosas, conocibles en virtud de suspropiedades, pero de una naturaleza sin equivalenteclasico. Esta naturaleza cuantica exige el abandono deciertas maneras clasicas de conocer, y por lo tanto, laelaboracion de una intuicion cuantica adecuada al sercuantico de las cosas.

    >Como se logra pensar esta novedad? La buena no-ticia es que las matematicas (el algoritmo cuantico)se ajustan tan bien a esta intuicion, que no solo dancuenta de las relaciones posibles entre los objetos y suspropiedades medibles, sino que ademas revelan otramanera de unir los objetos entre s y con su entorno(entrelazamiento cuantico).

    4La propuesta de [13] exhibe otro uso crtico de la historia, muy afn a la MCF, en la que tambien puede decirse que prima lajerarqua conceptual sobre el orden cronologico.

    5Vease por ejemplo la interesante propuesta de [15], y el debate que provoco en [16], [17] y [18].

  • Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica 1505-3

    Avanzando en la descripcion cuantica aparece un pro-blema (el problema de la medicion): mas alla de losretos propios de las matematicas y de los experimentos,hay una dicultad conceptual en reconciliar dos mane-ras diferentes en que evolucionan o cambian los sistemascuanticos (linealidad del algoritmo y no-linealidad delcolapso). As mismo, debates en torno al signicadode la MC, como el de la medicion, posibilitaron el sur-gimiento de una nueva ciencia, en la que conuyen lamecanica cuantica y las ciencias de la computacion (in-formacion cuantica).

    Paralela a la construccion del dominio cuantico, la MCFnarra la existencia de otro dominio, el clasico, cuyosobjetos tambien tienen estados y propiedades fsicasmedibles, y una comprension basada en modelos ma-tematicos, pero nada de esto resulta problematico por-que los estados clasicos, a diferencia de los cuanticos, seajustan muy bien a la logica clasica del sentido comun.Esta distincion de dominio se aprecia en la incompati-bilidad de ciertas propiedades cuanticas, que da origena las famosas relaciones de indeterminacion de dichaspropiedades: la imposibilidad fundamental de deter-minar simultaneamente sus valores en una medicion.Este importante resultado y la no-localidad observadaen sistemas entrelazados, son evidencias de que la re-alidad de los sistemas cuanticos es de una naturalezamuy diferente a su contra parte clasica.6

    Estos son, a grandes rasgos, los contenidos desarrolla-dos en la propuesta. Ahora interesa justicarlos. >Porque estos y no otros? Como gua al lector, la Tabla 1tiene los ttulos y resumenes de las seis secuencias, cada

    una especializada en un concepto o resultado cuantico;pero en referencia directa con las demas.7

    En la primera secuencia, Superposicion, se evidenciala necesidad de este concepto para dar cuenta de losresultados de experimentos que involucran propiedadesincompatibles. Pero es solo tras la presentacion de suexpresion formal que es posible comentar su signicadofsico, en particular, su funcion de representar cualquierestado cuantico, va el principio de superposicion. Paratal n, en la secuencia Algoritmo, estados y propie-dades se modelan, respectivamente, mediante corres-pondencias con vectores y operadores auto-adjuntosen un espacio de Hilbert. En particular, se estudiansistemas cuanticos de dos niveles, esto es, el espaciode Hilbert de dos dimensiones, y operadores-matrices2 2 actuando sobre el.8 Por otro lado, el uso de lasmatematicas le da a la mecanica cuantica uno de losrasgos de su cienticidad: la modelacion matematicaes esencial en el estudio del dominio cuantico, antetodo porque las correspondencias matematicas expre-san relaciones seguras entre las propiedades fsicas, loque permite proponer la teora fsica cuantica como lamejor descripcion posible para el dominio cuantico.

    La secuencia Entrelazamiento, por su parte, es unademostracion de lo no adecuado de las ideas del rea-lismo local para predecir el entrelazamiento cuantico.Aunque hay referencias a la expresion formal del estadoentrelazado, y a su signicado, el enfasis de la secuenciaconsiste en hacer maniesta la novedad conceptual deeste fenomeno.

    Tabela 1 - Secuencias didacticas de la MCF.

    No. Ttulo Palabras Clave1 Superposicion Propiedad fsica, Estado cuantico, Sistema cuantico, Incompatibilidad, Indeterminacion.2 Algoritmo Vector, Operador, Espacio de Hilbert, Correspondencia, Superposicion. (Se estudia el caso particular

    del formalismo para sistemas de dos niveles).

    3 Entrelazamiento Sistemas compuestos, Realismo local, Desigualdad de Bell, No-localidad, Imagen cuantica del mundo.

    4 Medicion Probabilidad epistemica y frecuentista, Evolucion (lineal) determinista, Evolucion no-determinista(Colapso), Determinismo estadstico, Esquema de mediciones cuanticas ideales, El problema de lamedicion.

    5 Experimentos Doble rendija, Stern-Gerlach, Interferometro de Mach-Zehnder, \Borrador cuantico."

    6 Aplicaciones La MC como teora fsica fundamental, tecnologas de origen cuantico, Informacion cuantica (crip-tografa, teletransportacion, algoritmo de Deutsch-Jozsa).

    6Gesche Pospeich [8] declara que la mayora de las dicultades para comprender la mecanica cuantica estan arraigadas en la ex-periencia cotidiana segun la cual los objetos tienen propiedades denidas y en la percepcion que las cosas estan separadas entre s yde su entorno. En esta propuesta se muestra lo inadecuado de estas concepciones clasicas, y se da el lugar a la superposicion y elentrelazamiento como soluciones cuanticas a estas nuevas maneras de ser y de unirse.

    7Las versiones ntegras de las seis secuencias, as como sus Lecturas o textos de apoyo correspondientes, conforman un texto completoque recibe el mismo ttulo de este artculo, y que esta disponible para el lector mediante comunicacion con los autores. Actualmente eldocumento se encuentra en preparacion para publicarlo como un libro de texto.

    8Si bien los sistemas de dos niveles son los mas simples, y esto es una ventaja didactica, expresan plenamente la naturaleza cuantica;ademas, su uso generalizado en las investigaciones de Fundamentos de Mecanica Cuantica, ha resultado en que la mayora de bibliografadisponible en el tema haga referencia explcita a estos sistemas

  • 1505-4 Castrillon et al.

    El entrelazamiento conrma la independencia de losdominios clasico y cuantico, tambien comentada en laprimera secuencia a proposito del principio de indeter-minacion. Dicha independencia se debe a la irreductibi-lidad de los fenomenos cuanticos: la nueva fsica reque-rida en la comprension de su comportamiento no puedereducirse a ningun resultado de las teoras previas a lamecanica cuantica. Antes bien, la superposicion y elentrelazamiento se presentan como resultados formales(nuevos) que expresan la naturaleza de los sistemascuanticos, en particular, nuevas maneras de ser y deunirse.

    El criterio de predictibilidad para los resultados de me-diciones de propiedades en sistemas cuanticos se basaen la nocion fsico-matematica de amplitud de proba-bilidad. En efecto, concordando con la sugerencia deMichel Paty [19] de extender el signicado de probabi-lidad en el dominio cuantico, esta ya no remite a unaignorancia sobre eventos posibles ni solo a una frecuen-cia relativa en experimentos repetidos, sino a una nuevapropiedad fsica. As, la amplitud de probabilidad queaparece en el estado de superposicion expresa que di-cho estado es una combinacion de posibilidades fsicas,que puede ser contextualmente actualizado en una me-dicion. As mismo, aunque en terminos netamenteinstrumentales, Asher Peres [20] acu~na la expresion de-terminismo estadstico para caracterizar la prediccionen MC: en un prueba cuantica se predicen con certeza(aspecto determinista) las probabilidades de ocurrenciade los resultados posibles (aspecto estadstico). La MCpredice probabilidades, lo que constituye otro rasgodistintivo respecto de las teoras clasicas.

    Estas sutilezas conceptuales, tal vez las mas contro-versiales del ideario cuantico, se discuten con algo dedetalle en la secuencia Medicion, complementando lasreferencias previas de Paty y Peres con las presen-taciones de [13], [21] y [22] sobre el problema de lamedicion, que formalmente surge de que hay dos tiposde evolucion (cambios de estado debido a interacciones)irreconciliables que desarrollan los sistemas cuanticos:la evolucion lineal de la ecuacion de Schrodinger (en laque superposiciones evolucionan a superposiciones) y elcolapso o reduccion de estado (en la que una superpo-sicion se proyecta a uno de sus estados posibles). Estadoble forma de evolucionar de los sistemas cuanticosencuentra su expresion formal en el esquema de medici-ones cuanticas ideales, en que se modela la interacciondel sistema con el aparato mediante su entrelazamiento,lo que produce que la naturaleza cuantica del sistemase amplique al aparato.

    En la secuencia Experimentos se describen los monta-jes experimentales listados (ver Tabla 1), as como elsistema cuantico, la propiedad que quiere determinarsey/o el rasgo cuantico que quiere observarse. Se buscaevidenciar que un tratamiento apropiado para com-prender la interaccion del sistema con el instrumento,y sus resultados, requiere de la estructura conceptualmecanico-cuantico estudiada en las secuencias anteri-ores: se aplicaran entonces la superposicion, el entre-lazamiento; la indeterminacion, la incompatibilidad yla probabilidad; la evolucion lineal y el colapso. Enotras palabras, se trata de ver en los montajes experi-mentales lo que se comprende en estos conceptos. Ensegundo lugar, se busca explicitar la equivalencia deestas pruebas cuanticas entre s: hacer maniesto quese utiliza el mismo esquema conceptual para compren-der el comportamiento de los sistemas, as las pruebassean diferentes, y que esto es posible, de nuevo, graciasal principio de superposicion como representante gene-ral del estado cuantico. De este modo podemos ver lamecanica cuantica como el procedimiento intelectualpara dar sentido fsico a las observaciones experimen-tales.

    La ultima de las secuencias describe algunas de lasAplicaciones de la MC. Aplicaciones conceptuales ytecnologicas que sirven de criterio de versatilidad delconocimiento cuantico. Primero en la ciencia: la MCsirve para describir una vasta gama de fenomenos a to-das las escalas y en diversas areas de la fsica, la qumicay la biologa, desde partculas elementales hasta cosmo-loga del universo temprano.9 Segundo, se destaca laimportancia de la MC para el desarrollo de tecnologasque cambiaron radicalmente el mundo: el transistor yel laser en otros.

    Pero la aplicacion tecnologica y conceptual central esla de informacion cuantica. Esta eleccion tiene que vercon que la hoy establecida area de informacion cuanticaemerge a instancias del prolongado debate iniciado porEinstein y Bohr sobre el signicado fsico del estadocuantico, y en general sobre la validez descriptiva de lamecanica cuantica. As vista, la informacion cuantica esel resultado de una controversia intelectual (cientca,pero tambien losoca) en la que es posible distinguirla crtica como criterio cientco de trabajo: las ideastienen una historia, son producidas en el seno de unacomunidad, son una actividad cultural, y las cientcasen particular expresan el pensamiento crtico en su evo-lucion. Es esta crtica justamente la que promueveemergencias y modicaciones en los programas de in-vestigacion. En el caso de la informacion cuantica unode sus conceptos clave es el entrelazamiento, que fue

    9A este respecto la secuencia hace eco de la exposicion del primer captulo de [23] sobre la mecanica cuantica como teora fundamental,y en la que estas aplicaciones son presentadas de una manera accesible a la gran audiencia.

    10Es decir, como un objeto tecnologico, particularmente en el procesamiento de informacion. A este respecto ver [25] y el captulo 9de [13].

  • Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica 1505-5

    concebido inicialmente como una \misteriosa accion adistancia" [24] y que es visto hoy como un recurso.10

    Otra razon para la eleccion de esta \aplicacion" es me-todologica: a pesar de su sosticacion, formal y expe-rimental, ha habido notables esfuerzos en divulgarla.11

    3. Secuencias didacticas

    La funcion de las secuencias es proponer y ordenar unaserie de actividades para ser implementadas en el aula,con el objetivo propiciar el aprendizaje de la nociono procedimiento que trata cada una; ademas, permitehacer seguimiento continuado de este aprendizaje me-diante actividades de evaluacion: preguntas, ejerciciosy problemas. Cada secuencia remite a una Lectura otexto de apoyo que sirve de base para las discusiones yactividades en el aula.

    Cada actividad esta pensada para realizarse en unahora de aula. En procura de una participacion activadel aprendiz, los contenidos han sido presentados a lamanera de situaciones problema, en orden ascendentede complejidad, cuya solucion es esencial para poderavanzar en el desarrollo de la secuencia, es decir, enel aprendizaje de dichos contenidos. A los aprendicescorresponde leer, escribir y exponer, individualmente yen grupo, las situaciones que van encontrando en su ex-ploracion del mundo cuantico. Por su parte, el docentepropone discusiones a partir de reexiones que hace dela lectura del texto de apoyo, y presenta las situacionesproblema, y los terminos para su solucion. En ninguncaso le corresponde a el resolverlas.

    La forma de las secuencias se basa en las Unidades deEnsino Potencialmente Signicativas (UEPS)12 idea-das por Marco Moreira. Con todo y que la escriturade las secuencias ha tratado de ser el a su losofa, yen la medida de lo posible implementa sus principiosprogramaticos, no son, propiamente hablando, UEPS.Hara falta un estudio mas profundo de sus teoras deaprendizaje subyacentes. En cualquier caso, son apro-ximaciones a dichas UEPS, y tienen el mismo objetivode ordenar los contenidos de la materia de ense~nanzaen provecho de un proceso de aprendizaje exitoso.

    De otro lado, las Lecturas son adaptaciones de textosdivulgativos o textos gua de mecanica cuantica que sehan organizado en secuencias de situaciones problemade complejidad creciente, tratando as de convertirseen materiales de ense~nanza.13

    Por ultimo, la Fig. 1 es un mapa conceptual de la pro-puesta.

    3.1. Superposicion

    En la seccion 4.1. se muestra en detalle esta secuenciadidactica.

    3.2. Algoritmo

    3.2.1. Objetivo

    Estudiar las matematicas usadas en el algoritmocuantico, para sistemas de dos niveles, en funcion desu signicado fsico. Esto es posible enfatizando queel formalismo expresa ante todo relaciones entre con-ceptos fsicos. Si bien es importante ejercitarse en suoperatividad, y esto es tenido en cuenta en las activi-dades propuestas, esa operatividad deviene en apren-dizaje toda vez que exprese apropiadamente su sentidofsico, que en este caso sirve de base para la \intuicioncuantica" pendiente de la secuencia anterior. Por otrolado, el nivel de exposicion es el propio de un estudiantede secundaria: el aprendiz no requiere de conocimientossosticados para iniciarse en el estudio de la mecanicacuantica.

    3.2.2. Descripcion

    Esta secuencia consta de dos partes, Modelos ma-tematicos, que tiene siete actividades y Algoritmocuantico, que tiene cinco, incluida la evaluacion nal.La primera parte es una presentacion de las ideas devector, espacio vectorial y operador, y sus operacionesprincipales. Los ejemplos usados, y las actividades pro-puestas, son en el espacio vectorial real, con todo, secomenta el hecho que el espacio general es complejo. Amedida que van surgiendo nuevas deniciones, se intro-duce su signicado fsico, es decir, las correspondenciasmediante las cuales es posible expresar el mundo fsicocon entidades matematicas. A este respecto, la secuen-cia inicia con una reexion del uso que la fsica hace delas matematicas: ante todo sirven para expresar rela-ciones, y no tanto para hacer cuentas, o \resolver ecua-ciones". Esta reexion es retomada en la segunda parte,donde se establecen con mas rmeza las corresponden-cia que en la primera solo fueron enunciadas. De estemodo la superposicion encuentra su expresion formal ysu signicado fsico: expresa cualquier estado cuanticoen terminos de los autoestados de algun operador ob-servable.Dos referencias claves en la presentacion del formalismocuantico para el nivel deseado fueron [9] y el captulo 2de [21].

    11En particular, la secuencia hace uso del libro de Anton Zeilinger [26], concebido para exhibir el comportamiento de los fotones atodo publico.

    12www.if.ufrgs.br/~moreira/UEPSport.pdf13Ver nota al pie 7.

  • 1505-6 Castrillon et al.

    Figura 1 - Mapa conceptual de la MCF.

    3.3. Entrelazamiento

    En la seccion 4.2. se muestra en detalle esta secuenciadidactica.

    3.4. Medicion

    3.4.1. Objetivo

    Enunciar el problema de la medicion en mecanicacuantica. Interesa particularmente estudiar el vnculoque establecen modelos teoricos y resultados experi-mentales, y su objetivo comun de comprender el mundofsico. Esta manera fsica de conocer vale tanto para eldominio clasico como para el cuantico, y el proceso ge-neral que la rige es la medicion. Con todo, la naturaleza

    cuantica irreductible al mundo clasico (superposiciony entrelazamiento) hace que su proceso de mediciondescalique la creencia en que los sistemas fsicos po-seen propiedades independientes de su observacion (me-dicion). Se busca as hacer maniesto el contraste entreesta percepcion infundada, por la experiencia cotidiana,y el concepto de medicion que hay que comprender enel dominio cuantico.

    3.4.2. Descripcion

    Tanto en fsica clasica como en mecanica cuantica, elproceso de medicion consiste en estudiar la interaccionentre el sistema fsico (cuyas propiedades quieren me-dirse) y el aparato de medicion. Este estudio comporta

  • Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica 1505-7

    a la vez los aspectos teoricos y experimentales de dichainteraccion, cuyo vnculo principal es la vericacion delas predicciones del primero en los resultados del se-gundo. En esta secuencia se proponen lecturas y acti-vidades dirigidas a enfatizar el contraste entre la ideacorriente (clasica) de medicion, segun la cual es un pro-ceso que \revela" el valor de las propiedades medidas(vision a su vez sustentada en la impresion cotidianaque atribuye valores determinados a dichas propieda-des), y su contra parte cuantica, que antes de basarseen impresiones cotidianas, se erige como un concepto.Para construir este concepto de medicion, llamado es-quema de mediciones cuanticas ideales se revisa pri-mero la idea de probabilidad, identicando la trans-formacion que sufre dicha nocion, respecto a los usosque de ella hace la fsica clasica, cuando aparece comopropiedad fsica de los sistemas cuanticos y que es pre-dicha por el principio de superposicion. Seguido se pre-sentan los dos tipos de evoluciones cuanticas, a saber,la dinamica lineal de Schrodinger y el colapso de vonNeumann, y el conicto entre ellas, que da lugar al fa-moso problema de la medicion en mecanica cuantica.Problema con cuyo planteamiento termina la secuen-cia, mostrando una nueva perspectiva para apreciar lanovedad de los sistemas cuanticos y la descripcion quede ellos hace la mecanica cuantica.

    3.5. Experimentos

    3.5.1. Objetivo

    Contextualizar los principios y conceptos cuanticos dis-cutidos en las secuencias anteriores, en cuatro montajesexperimentales. En cada uno de ellos se logra identi-car el sistema y sus propiedades de interes, as comoel instrumento de medicion y sus registros, de los queson obtenidos los resultados experimentales. Los expe-rimentos crean las condiciones materiales que permitenver el fenomeno cuantico; pero estas \imagenes" ca-recen de sentido fsico sin el formalismo que deja leerdicho fenomeno. Por eso las descripciones ofrecidas deestos experimentos traen tambien sus expresiones for-males. Por ultimo, las correspondencias entre el ver yel leer se logran mediante los conceptos, con los cualeses posible comprender el fenomeno: superposicion, me-dicion, indeterminacion, entrelazamiento, entre otros.

    3.5.2. Descripcion

    La fsica es una ciencia experimental. Todas sus teoras,la mecanica cuantica incluida, se basan en conceptoscuyo sentido y signicado dependen de observacioneso mediciones, o en general, de experimentos. Quizasera esto lo que Asher Peres quera expresar en uno desus aforismos mas famosos: Los fenomenos cuanticosno ocurren en un espacio de Hilbert, ocurren en un la-boratorio. El texto de apoyo de dichas actividades se

    esmera en describir los montajes y resultados de cuatroexperimentos fundamentales de la mecanica cuantica:el experimento de la doble rendija, el experimento deStern-Gerlach, el interferometro de Mach-Zehnder, yuna modicacion de este ultimo en el que se observael fenomeno de borrado cuantico. Todos estos experi-mentos se realizan sobre una coleccion grande de sis-temas cuanticos individuales, o mas exactamente, cadaexperimento consiste en una coleccion de experimen-tos identicos, uno por cada sistema cuantico individual:solo as es posible evidenciar el determinismo estadsticomecanico-cuantico.

    3.6. Aplicaciones

    3.6.1. Objetivo

    Describir usos y tecnologas relacionadas con lamecanica cuantica desde tres perspectivas: la mecanicacuantica como una teora fundamental, tecnologas deorigen cuantico e informacion cuantica.

    3.6.2. Descripcion

    Las aplicaciones son materializaciones del campo de co-nocimientos al que remiten. Generalmente, son disposi-tivos o practicas con funciones especcas. La mecanicacuantica, cuyos conceptos y experimentos fundamenta-les han sido estudiados en las actividades pasadas, tienetambien una importante coleccion de aplicaciones, quehan modicado para siempre nuestra vida cotidiana yque aspira a seguir transformandola, por ejemplo, con lanueva teora cuantica de la informacion. En esta ultimasecuencia de actividades se describen tres diferentes cla-ses de aplicaciones la mecanica cuantica: como herra-mienta de conocimiento, como recurso para el dise~node dispositivos (el transistor, el laser y la resonanciamagnetica nuclear en el diagnostico medico), y comoinformacion (criptografa cuantica, teletransportacioncuantica y algoritmo de Deutsch-Josza).

    4. Superposicion y entrelazamiento endetalle

    En esta seccion se presentan las secuencias didacticassobre la idea de superposicion y el fenomeno de entre-lazamiento tal como aparecen en el texto completo dela MCF.14

    4.1. Secuencia didactica Superposicion

    Las actividades de esta secuencia son recomendacio-nes sobre como presentar y discutir los contenidos deltexto de apoyo, tambien titulado Superposicion (a cadaseccion en el texto corresponde una actividad en estasecuencia). En el texto hay preguntas y ejercicios quesirven para orientar al aprendiz en la busqueda de los

    14Ver nota al pie 7.

  • 1505-8 Castrillon et al.

    nuevos conocimientos.15

    El proposito principal de la secuencia es propiciar unaprendizaje signicativo del concepto cuantico de su-perposicion, proponiendo situaciones problema, en or-den ascendente de complejidad, en las que la super-posicion aparece como solucion o conocimiento de undominio especco de fenomenos, a saber, el domi-nio cuantico. Que dicho aprendizaje sea signicativodepende de que el aprendiz desee y logre posicionarla superposicion en la estructura conceptual llamada\Mecanica Cuantica" como el principio que dene lossistemas cuanticos como objetos fsicos: entidades a lasque es posible asociar un estado cuantico (de superpo-sicion) que representa su naturaleza fsica.

    4.1.1. Actividad 1: Bloques logicos

    Esta actividad es sobre la percepcion cotidiana segunla cual los objetos tienen propiedades jas, que no de-penden, en particular, de su observacion. Todava no essobre fsica cuantica, pero sirve para introducir la nuevaclase de propiedades que poseen los objetos cuanticos:mas precisamente, aquellos rasgos que no compartencon los objetos no-cuanticos. Esta distincion de obje-tos, o mejor, de la naturaleza de los atributos de dichosobjetos, sirve a su vez para denir dos mundos o do-minios: el clasico y el cuantico, lo cual conducira, pos-teriormente, a la necesidad de una teora fsica nuevapara el cuantico, en la medida que el clasico resulta ina-decuado para describirlo. El objetivo de la actividad esacordar con el aprendiz que un objeto fsico (los bloqueslogicos) puede ser conocido en virtud de sus propieda-des (forma, color). Especcamente, por el valor deestas propiedades (este es un bloque de forma circular,este es de color rojo). El nucleo de la actividad consisteen realizar una secuencia de tres de \experimentos" conlos bloques logicos:

    1. Seleccionar (forma) los bloques que sean circula-res y triangulares.

    2. Seleccionar (color) los bloques que sean azules yrojos.

    3. Seleccionar, por ultimo (forma y color), los blo-ques comunes a las selecciones previas.

    Un resultado importante de estos \experimentos" esque las propiedades de los bloques logicos pueden serdeterminadas simultaneamente: este bloque es de formacircular y es de color rojo. Resultado tecnicamente co-nocido como compatibilidad. As mismo, selecciones

    adicionales que se hagan del ultimo conjunto muestranque las propiedades de los bloques son jas: si entrelos crculos, por ejemplo, selecciono los rojos, una se-gunda seleccion de forma resultara, invariablemente,en que todos son crculos. Convencerse de estos resul-tados triviales sera importante al momento de ejecutarexperimentos de seleccion equivalentes sobre objetoscuanticos: se vera entonces que sus propiedades nocumplen la logica de atribucion de los bloques (ni deningun objeto clasico en general).

    Metodologa: exposicion del docente, acompa~nado debloques logicos para hacer los \experimentos". Al nalpuede mencionarse la existencia de otro mundo, en elque sus objetos tambien pueden ser conocidos por suspropiedades, pero de comportamiento muy diferente.

    4.1.2. Actividad 2: Experimentos con qubits

    En esta actividad se denen los sistemas fsicoscuanticos que se estudiaran en todo la propuesta: losqubits. El qubit es un sistema cuantico de dos niveles:sus propiedades fsicas solo pueden tomar dos valores.En particular, se estudian las propiedades espn z yespn x, cuyos valores posibles16 son +1 y 1. El obje-tivo de la actividad es presentar la naturaleza cuanticade los qubits, a saber, el estado cuantico, a la luz deunos esquemas experimentales con los que se determi-nan sus propiedades.17 Por ejemplo, en el analisis deresultados del esquema de la Fig. 2, llamado Com-plementariedad, se enuncia el principio de indetermi-nacion, segun el cual no es posible, por razones fun-damentales, determinar simultaneamente los valores depropiedades cuanticas incompatibles.

    Figura 2 - Propiedades complementarias. No podemos predecircon certeza las mediciones espn z de qubits preparados en algunvalor de espn x (jx+i en la gura). Solo podemos prever es-tadsticamente que la mitad de los qubits seran preparados enjz+i y la mitad restante en jzi.As mismo, de la secuencia de esquemas de la Fig. 3 seconcluye que no es posible asegurar que una propiedadde los qubits permanezca ja cuando otra propiedad esdeterminada: aunque en el primer experimento se esta-blece que los 100 qubits tienen espn jz+i, el segundo,

    15Gran parte del texto de este apoyo es una adaptacion del primer captulo de [21].16En este punto de la discusion no se hace referencia al signicado del espn ni a sus unidades. El espn funciona como propiedad

    generica de los qubits, que a su vez son el nombre generico de los sistemas de dos niveles.17Estos esquemas son simplicaciones de experimentos para determinar los valores de espn (z o x) de los qubits, solo hacen referencia

    al instrumento que hace la medicion y al sistema medido, pero no a la interacion especca entre ellos. Pero la secuencia Experimentos,justamente, describe dichas interacciones para cuatro montajes diferentes.

  • Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica 1505-9

    que enva los 50 qubits preparados en jx+i de nuevo auna medicion de espn z, borra la determinacion inicial,porque el resultado es que no todos estos qubits estanen jz+i. Es decir, un comportamiento muy diferenteal que se haba encontrado para los objetos clasicos(bloques logicos). En el analisis de los esquemas ex-perimentales se presenta la ocasion de introducir, sinprofundizarlo, el termino Probabilidad, como el gradode posibilidad de la ocurrencia de un evento. Los even-tos en cuestion son que en un experimento los qubitsresulten con uno u otro de los dos valores posibles que seles puede atribuir, esto es, sus dos estados (cuanticos)posibles.

    Metodologa: tras la exposicion del docente, en la quese enfatiza la diferencia de resultados de experimen-tos equivalentes para cada clase de objetos, cuanticos yclasicos, se pide a los aprendices que listen las diferen-cias y semejanzas que encuentran de dichos resultados.Y tambien que traten de \solucionar" la discrepancia.Esto con el n de motivar la discusion, y para adver-tirles de una tentativa erronea de solucion: que existanotros experimentos posibles que reproduzcan los resul-tados clasicos. Hay que enfatizar que estos resultadosexpresan nuevas maneras de ser, y que es por eso quehay que buscar nuevas formas de entenderlos, y que esesto, precisamente de lo que trata la mecanica cuantica.(Experimentos I - V del texto de apoyo).

    4.1.3. Actividad 3: Interferometro de espines

    Consiste de una secuencia de cinco esquemas experi-mentales realizados sobre un interferometro de qubits.Los experimentos discutidos en la actividad anteriorson la base para entender estos, que aumentan encomplejidad. As mismo, refuerzan lo hallado en losanteriores: que la determinacion clasica de propiedadesno aplica para describir los resultados de experimentoscon sistemas cuanticos (qubits).

    Metodologa: sea este el momento de enfrentar a losaprendices con las situaciones problema (esquemas ex-perimentales) que se estudian en la actividad, todoslos cuales son variaciones del Interferometro de qubits,descrito en el texto de apoyo. El docente debe limi-

    tarse a describir el principio de funcionamiento del in-terferometro, y a lo sumo su Calibracion. El tiemporestante de la clase sera dedicado a los cuatro experi-mentos propuestos en el texto de apoyo (ExperimentosVI - IX). El docente debera abstenerse de dar respues-tas: ahora debe fomentar preguntas.

    4.1.4. Actividad 4: Superposicion: la maneracuantica de ser

    El objetivo de la actividad es conducir al aprendiza la necesidad de comprender una nueva manera de\ser de las cosas" para los objetos cuanticos: la su-perposicion. En particular, convencerlo de que no hayopciones clasicas para decir de un qubit que es estoo aquello, que es pertinente idear una denicion queexprese lo propio de los resultados de los experimen-tos sobre los qubits, de nuevo, lo que esta llamada aproveer la superposicion. No obstante, en el espritudel curso esta \naturalizar" lo mas posible este y otroscontenidos mecanico cuanticos, es decir, promover enel aprendiz una \intuicion cuantica" para orientarse enla fenomenologa de este dominio fsico. Y he aqu quela gua que resulta mas conveniente se encuentra en elformalismo matematico cuantico, y esto en virtud de laefectividad de las matematicas para expresar relacionesabstractas, que es el tipo de relaciones que mejor seajustan lo que ocurre a los qubits respecto de sus pro-piedades fsicas. Por tal razon la denicion \completa"de superposicion debe postergarse hasta despues de in-troducir al aprendiz en los rudimentos del formalismocuantico, que se hace en la secuencia siguiente.

    Metodologa: la actividad se inicia con la revision delos resultados esperados por los aprendices de los ex-perimentos de la clase anterior. Con atencion especialal Experimento VIII, cuyos resultados sirven para laejemplicar la superposicion, y al mismo tiempo paramostrar su naturaleza cuantica irreducible a cualquierintuicion clasica. A este respecto, el paragrafo Experi-mento VIII revisado, en el texto de apoyo, es un analisisde sus resultados en el que se descartan una a una lasopciones logicas clasicas, sugiriendo as la necesidad deuna nueva opcion para darle sentido a los resultados delexperimento: la superposicion cuantica.

    Figura 3 - Medidas secuenciales. Medimos el espn x de 100 qubits inicialmente preparados en jz+i. De este resultado, medimos denuevo el espn z de los qubits jx+i. Al medir el espn x se destruye la informacion jz+i inicial, por eso los resultados de la segundamedicion espn z: 25 qubits jz+i y 25 jzi.

  • 1505-10 Castrillon et al.

    4.1.5. Actividad 5: Revision

    Evaluacion escrita de los contenidos de las actividadesprevias. Ver ultima seccion del texto de apoyo.

    4.2. Secuencia didactica Entrelazamiento

    Los fsicos reportan sus investigaciones en artculos, ysu escritura, evaluacion y estudio es parte esencial desu trabajo; por lo general son textos de pocas paginas,auto-contenidos, no obstante con referencias a otrosartculos o libros. Esta secuencia es una lectura crticadel artculo divulgativo Entrelazamiento.18 Desde elpunto de vista didactico queremos diversicar los ma-teriales de estudio: no solo con libros se aprende.Queremos explotar la riqueza didactica y comunica-tiva de los artculos. En cuanto a lo disciplinar, en elfenomeno de entrelazamiento dos sistemas pueden estartan ntimamente conectados entre s que la medicionde uno instantaneamente cambia el estado cuantico delotro, sin importar cuan separados esten. Como ve-remos, esta conexion sin equivalente clasico modicopara siempre nuestra imagen del mundo. Hemos com-plementado el artculo con algunas preguntas, ejerciciosy problemas con el n aanzar las ideas principales dela exposicion de Zeilinger.

    El objetivo de la secuencia es exponer el fenonomenode entrelazamiento, y el intento fallido del realismo lo-cal por describirlo. Un aprendizaje signicativo de estanocion es posible dotando al aprendiz de las herramien-tas intelectuales que le permitan apreciar su signicadoy novedad. Y esto se logra describiendo un esquemaexperimental donde se observa entrelazamiento y se-guido, evidenciando la imposibilidad del realismo localpara construir una imagen cuantica del mundo, es decir,para predecir el fenomeno de entrelazamiento. Expone-mos entonces las tesis del realismo local, que argumentaque las propiedades de los objetos pre-existen as no lasmidamos, y que las medidas de objetos distantes no seinuencian entre s. Estas tesis encuentran su expresionformal en la desigualdad de Bell, que ejemplicamos conuna situacion clasica en la cual las tesis del realismo lo-cal son \auto-evidentes". No obstante esta \obviedad"la naturaleza cuantica no cumple la desigualdad de Bell,y por lo tanto, no es posible \visualizarla" en base alrealismo local.

    4.2.1. Actividad 1: Resumen, Palabras clave eIntroduccion

    Aqu presentamos el fenomeno de entrelazamiento. Elartculo inicia describiendo su contexto historico, enparticular, comentando la crtica que los fsicos AlbertEinstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen hicieron de

    la descripcion mecanico cuantica de la realidad: escri-bieron un artculo, conocido desde entonces como elartculo EPR (por sus iniciales), en el que imaginaronun experimento de entrelazamiento cuyos resultados,tal como son predichos por la mecanica cuantica, es-taran en contra de la idea de realidad denida porestos autores. Para la epoca de la crtica, 1935, nohaba condiciones experimentales para comprobar susituacion fsica imaginada; pero fue su curiosidad laque motivo investigaciones que en los a~nos 1970 ter-minaron en experimentos reales, cuyos resultados, a suvez, fueron el germen de la nueva ciencia de informacioncuantica. Despues de la crtica de EPR y antes de losexperimentos que dirimieron su objecion, aparece en1964 un artculo del fsico irlandes John Bell en el quededuce una expresion muy simple, la desigualdad deBell, a partir de la cual fue posible idear los experimen-tos ulteriores.

    Metodologa: esta es la primera actividad sobre en-trelazamiento, entonces hay que hacer un introducciongeneral del tema y del artculo. El docente entrega ypresenta el artculo. Primero, deniendo el tema de quetrata: fenomeno de entrelazamiento, y su procedencia:Ttulo, Autor, Publicacion, A~no. Seguido presentacada una de las partes del artculo: Resumen, Palabrasclave, Introduccion, los ttulos de las secciones y lasconclusiones: esta presentacion da una idea general delmaterial de estudio para la secuencia. Pero en esta ac-tividad basta con leer cuidadosamente las tres primeraspartes, previa descripcion, por parte del docente, de susfunciones, a saber:

    Resumen Es un breve texto que contiene los objetivos,hipotesis y resultados del artculo.Palabras clave Son las deniciones o ideas que hay queaprender al nal de la lectura, y tambien sus ideasprincipales.Introduccion En una presentacion general de lashipotesis, resultados y conclusiones mas importantesdel artculo. Tambien sirve para contextualizar al lec-tor, explicarle el tema y la materia que lo estudia.

    Despues que los aprendices hayan ledo estas tres par-tes, el docente puede iniciar la discusion, por ejemplo,pidiendo que escriban y/o expongan las Palabras clavetal y como las entendieron.

    4.2.2. Actividad 2: Correlaciones perfectas yEinstein, Podolsky, y Rosen

    Esta actividad es de fundamentacion. Ofrece a losaprendices los terminos en los cuales se estudia el en-trelazamiento. En ese sentido es un marco teorico.Ademas plantea el problema de interes: las hipotesis y

    18En realidad se trata de una adaptacion del texto Entanglement, a quantum puzzle for everybody, de Anton Zeiliger, que aparece enel apendice de [26].

  • Mecanica cuantica fundamental, una propuesta didactica 1505-11

    el esquema experimental donde se observa el fenomeno,ver Fig. 4. En este esquema se describen pares de siste-mas (A y B), que son sub-sistemas del \par" provenientede una fuente (S), y a los que interesa determinar losvalores de tres de sus propiedades (x, y, z), cada unacon dos valores posibles (+ y ). Las correlaciones per-fectas hacen referencia al hecho que cuando en ambossub-sistemas se mide la misma propiedad, el resultadoes siempre el mismo: esto es un tipo de entrelazamiento.Por ultimo, nos presenta un conicto entre el fenomenode entrelazamiento, tal y como lo predice la mecanicacuantica, y las ideas de realismo local de EPR.

    Figura 4 - Montaje para la observacion experimental del entrela-zamiento. Una fuente S emite pares de sistemas entrelazados. Unsistema es registrado por la estacion de medicion A, el otro por laestacion de medicion B. Usando un interruptor en cada estacionde medida, los experimentadores pueden decidir que propiedad,x, y o z, se mide a los respectivos sistemas. Los resultados de lamedicion para cada posicion de los interruptores tiene solo dosposibilidades, + o .Metodologa: tras la lectura de esta seccion, los apren-dices, en grupos, haran exposiciones del esquema expe-rimental y del modelo del realismo local que pretendeexplicar dicho experimento. Al nal de la seccion hayun problema propuesto que puede tambien trabajarseen grupo.

    4.2.3. Actividad 3: Desigualdad de Bell parano-fsicos

    La desigualdad de Bell permite hacer predicciones demodelos que se basan en las hipotesis del realismo lo-cal. En esta seccion deducimos dichas prediccionespara una situacion clasica en la que interesa establecerproporciones entre observaciones de caractersticas deuna muestra de gemelos identicos. En particular, trescaractersticas (de dos valores) que son, color de ojos(azules o negros), de cabello (pelinegros o rubios), yaltura (altos o bajos): estas son las propiedades delos gemelos como sistemas clasicos. La desigualdadas obtenida es traducida a los pares de sistemas en-trelazados del esquema experimental de la actividadanterior, as que tenemos una prediccion clasica (rea-lismo local) para sistemas entrelazados. En cuanto a lodidactico, esta parte del artculo es la descripcion de unmodelo para predecir, clasicamente, un fenomeno. No

    hay referencias directas a la mecanica cuantica, porquelo que interesa es buscar una prediccion alternativa adicha teora, que recordemos, esta en conicto con lashipotesis del realismo local.

    Metodologa: la deduccion de la desigualdad de Bellpara los gemelos identicos, y su ulterior traducciona sistemas entrelazados, requiere de unas operacionesbasicas, suma y comparacion de conjuntos. El artculoexpone dicha deduccion en forma con ecuaciones sim-ples y con gracas. Al nal de la seccion hay un ejercicioque sirve para evaluar la recepcion de la desigualdad deBell en los aprendices.

    4.2.4. Actividad 4: Fotones entrelazados

    En la seccion pasada obtuvimos la desigualdad de Bellpara sistemas entrelazados, en esta se particularizalo anterior para el caso de fotones entrelazados. Asmismo, la situacion experimental de la seccion II estraducida al caso de los fotones, donde sus propiedadesson la polarizacion en tres direcciones perpendicula-res.19 La seccion termina entonces con la desigualdadde Bell para fotones entrelazados, y con dos preguntasmuy importantes (1) >que predice la mecanica cuanticade dichos fotones? La respuesta es que predice algodiferente a la desigualdad y (2) >cual modelo (el dela mecanica cuantica o el del realismo local) es el quemejor se ajusta a los resultados experimentales? Lanaturaleza se decide por la mecanica cuantica.20

    Metodologa: este es el punto clave de todo el artculo.Muestra que las ideas aparentemente obvias del rea-lismo local no son validas en el mundo cuantico. Trasla exposicion del docente, este debe propiciar la dis-cusion, por ejemplo, preguntando a los aprendices cuales el conicto del nal de la seccion, y que es lo queocurre en el experimento.

    4.2.5. Actividad 5: Conclusiones

    La interpretacion de este conicto entre el realismo lo-cal y el entrelazamiento cuantico aun es un problemaabierto. En esta seccion se especula sobre las posiblesfallas del realismo local, y sobre las consecuencias -losocas de dicha falla. La pregunta gua es entonces,>la MC es no-local y no-realista? En cualquier caso,la MC requiere una nueva imagen del mundo, y ladiscusion previa provee los terminos para captar estanecesidad.

    Metodologa: la exposicion del docente debe carac-terizar y diferenciar las tres diferentes \imagenes delmundo" disponibles tras el ocaso del realismo local, que

    19Se trata del caso de las tres direcciones de polarizacion que exhiben complementariedad maxima, cada una con dos valores posibles.20Es importante aclarar que no se hace el desarrollo formal de la prediccion mecanico-cuantico que viola la desigualdad. Lo importante

    a este nivel es mostrar dicha violacion de la desigualdad, y el hecho que los experimentos conrman la prediccion cuantica.

  • 1505-12 Castrillon et al.

    de acuerdo con Zeilinger [26] son: (1) La realidad de-pende de nosotros: un objeto es real despues que lomedimos, no antes, (2) el determinismo total: inclusonuestra supuesta libertad de elegir que mediciones re-alizar esta predeterminada, y (3) El espacio y tiempotienen otro signicado diferente al que pensamos. Unbuena idea es invitar a los aprendices a que tomen par-tido por alguna de las opciones y traten de argumentarsu defensa.

    5. Perspectivas y conclusiones

    La ense~nanza de la mecanica cuantica es un campo enformacion, con todo, las propuestas de su implemen-tacion deben tener en cuenta el estado controversial deesta teora, en sus conceptos y consecuencias, su granvariedad de aplicaciones y su porvenir tecnologico.En este texto se justican los contenidos de la MCF,que presenta los fenomenos cuanticos como un domi-nio fsico problematico, y recurre a su teora, esto es, lamecanica cuantica, como fuente de los conceptos funda-mentales a partir de los cuales se encuentran solucionesa tales problemas.

    Los dos pilares de la propuesta son los conceptos desuperposicion y entrelazamiento, la nueva fsica que ex-presan, y su formalismo en el caso de los sistemas massimples. En esto consisten las tres primeras secuencias,las tres restantes pueden ser vistas como consecuenciasy aplicaciones de estos fundamentos conceptuales.

    El aula de fsica esta en crisis. Entre otras cosas porquehay un desfase entre los contenidos ofrecidos y las inves-tigaciones mas activas de esta ciencia, y sus tecnologasderivadas, tambien las que mas incidencia tienen en lavida moderna. Deliberadamente, se esta excluyendoa los jovenes de secundaria de esta actividad culturalinteresante y productiva. La mecanica cuantica es unateora fundamental presente en la cultura cientca, tec-nologica y losoca actual, es un ejemplo del quehacercientco contemporaneo. De nada sirve repetir la in-fundada creencia segun la cual no es posible ofrecerla alpublico no-cientco: no es menos abstracta ni menos\difcil" que cualquier otra teora fsica, acaso s masfundamental y acorde al estado actual del pensamientocientco. El tiempo de presentarla a los jovenes en for-macion es ahora, esta es la motivacion para presentaresta primer entrega, y las por venir, de la MCF.

    Referencias

    [1] I.M. Greca e M.A. Moreira, Investigac~oes em Ensinode Cie^ncias 6, 29 (2001).

    [2] F. Ostermann e M.A. Moreira, Investigac~oes em Ensinode Cie^ncias 5, 23 (2000).

    [3] A. Pereira e F. Ostermann, Investigac~oes em Ensino deCie^ncias 14, 393 (2009).

    [4] I.M. Graca and O. Freire Jr, in International Hand-book of Research in History, Philosophy and ScienceTeaching, editado por M.R. Matthews (Springer, Ber-lin, 2014).

    [5] I.M. Graca and O. Freire Jr, Science & Education 12,541 (2003).

    [6] I.M. Graca e O. Freire Jr, in Teoria Qua^ntica: estudoshistoricos e implicac~oes culturais, editado por O. Pes-soa, J.L. Bromberg e O. Freire Jr (eduepb, Paraba,2010).

    [7] G. Pospiech, in Research in Science Education: Past,Present and Future editado por H. Behrendt, H.Dahncke et al. (Springer, Berlin, 2001).

    [8] G. Pospiech and M. Michelini, in Conference Fronti-ers of Physics Education, Opatija, 2007, editado porR. Jurdana-Sepic et al. (Udruga, Croatia, 2008), p. 85.

    [9] G. Pospiech, Physics Education 34, 311 (1999).

    [10] M. Paty, European Journal of Physics 20, 373 (1999).

    [11] J. Castrillon, in Teoria Qua^ntica: estudos historicose implicac~oes culturais, editado por O. Pessoa, J.L.Bromberg e O. Freire Jr (eduepb, Paraba, 2010).

    [12] O. Freire Jr, Studies In History and Philosophy of Sci-ence Part B: Studies In History and Philosophy of Mo-dern Physics 40, 280 (2009).

    [13] G. Greenstein and A. Zajonc, The quantum challenge:modern research on the foundations of quantum mecha-nics (Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, 2006),2nd ed.

    [14] M. Paty, Synthese 125, 179 (2000).

    [15] A. Hobson, American Journal of Physics 81, 211(2013).

    [16] R.J. Sciamanda, American Journal of Physics 81, 645(2013).

    [17] M. Sassoli de Bianchi, American Journal of Physics 81,707 (2013).

    [18] M. Nauenberg, American Journal of Physics 81, 708(2013).

    [19] M. Paty, in Stochastic Causality, editado por M.C. Ga-lavotti, P. Suppes and D. Costantini (Center for Studieson Language and Information, Stanford, 2001).

    [20] A. Peres, Quantum Theory, Concepts and Methods(Klewer, New York, 2002).

    [21] D. Albert, Quantum Mechanics and Experience (Har-vard University Press, Cambridge, 1992).

    [22] C. Isham, Lectures on Quantum Theory: Mathemati-cal and Structural Foundations (Imperial College Press,London, 1995).

    [23] S. Haroche and J.M. Raimond, Exploring the Quan-tum: Atoms, Cavities and Photons (Oxford UniversityPress, New York, 2006).

    [24] A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Physical Re-view 47, 777 (1935).

    [25] C.P. Yeang, Annals of Science 68, 325 (2011).

    [26] A. Zeilinger, Dance of the photons: from Einstein toquantum teleportation (Farrar, Straus and Giroux, NewYork, 2010).