MECANICA CUANTICA II 2018 - facet.unt.edu.ar · MECANICA CUANTICA II – 2018 (LICENCIATURA EN FÍSICA) 6 horas semanales de clases. Unidad 1: Atomos multielectrónicos. El modelo

Cátedra de Mecánica Cuántica

Mecánica Cuántica II

Dpto. de Física FACET / UNT

Año 2018

1

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

MECANICA CUANTICA II – 2018 (LICENCIATURA EN FÍSICA)

6 horas semanales de clases.

Unidad 1: Atomos multielectrónicos.

El modelo de partícula independiente. Funciones de onda antisimétricas y principio de

exclusión de Pauli. Potencial efectivo. Interpretación de Potencial efectivo. Método de

Hartree. Hartree-Fock. Átomos multielectrónicos. Aproximación de orden cero.

Aproximación de campo central. Configuración electrónica. Correlación electrónica y

estructura fina. Acoplamiento electrónico Russell-Saunders (L-S). Ordenación de los

términos y niveles. Reglas de Hund. Obtención de los términos y niveles en el acoplamiento

L-S. Resolución de Problemas.

Unidad 2: Teoría de la dispersión

Introducción. Dispersión y SecciónTransversal. Amplitud de dispersión de partículas sin espín. Procesos de colisión. Dispersión elástica. Formalismo. Límite asintótico de la función de onda. Aproximación de Born de primer orden. Validez de la

Aproximación de Born de 1er orden. Potencial de simetría esférica. Potencial de Yukawa. Método de ondas parciales. Método de ondas parciales para dispersión elástica. Método de ondas parciales para dispersión inelástica. Dispersión de partículas idénticas. Series de Born. Ejemplos. Aplicaciones. Resolución de Problemas.

Unidad 3: Interacción de la radiación con la materia Las representaciones de la Mecánica Cuántica: Representaciones de Schroedinger, de Heisenberg y de Interacción. Ecuación de movimiento para los operadores. Perturbaciones dependientes del tiempo. Transición de probabilidad. Transición de probabilidad para una perturbación constante. Transiciones dentro de un continuo de estados finales. Transición de probabilidad para una perturbación armónica. Aproximaciones adiabáticas y súbitas.Ejemplos. Interacción de radiación con átomos. Tratamiento clásico de la radiación incidente. Cuantificación del campo electromagnético. Rapidez de Transición para Absorción y Emisión. Rapidez de

Transición dentro de la Aproximación de Dipolo Eléctrico. Reglas de Selección de Dipolo Eléctrico. Emisión espontánea. Aplicaciones: LASER y MASER. Resolución de Problemas. Unidad 4: Mecánica Cuántica relativista

Introducción. Ecuación de Klein – Gordon. Análisis de la ecuación de continuidad. Interacción con campos electromagnéticos externos. Interpretación de Feynman. Ecuación de

Dirac. Interpretación de las ecuaciones de onda relativistas. El electrón y su momento

magnético. Explicación de la estructura fina del átomo de hidrógeno. Actividades: realización

de seminarios a cargo de alumnos en temas de interés. Resolución de problemas.




Año 2018

2

Bibliografía recomendada:

_ Baym, G., Lectures on Quantum Mechanics, W.A. Benjamin Inc., New York, 1969.

_ Cohen, C., Diu, B. Y Laloe, F., Mecanique Quantique, vols. 1 y 2, , París, Hermann, 1973.

_ Dicke, R.H. and Wittke, J.P., Introduction to Quantum Mechanics, Reading MA: Addison-

Wesley, 1960.

_ Feynman, R.P:, Leighton, R.B and Sands, M., The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3:

Quantum Mechanics, Reading, MA: Addison-Wesley, 1965.

_ Galindo, A. Y Pascual, P., Problemas de Mecánica Cuántica, Madrid, Eudema, 1989.

_ Griffiths, D.J., Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey, 1995.

_ Sakurai, J.J., Modern Quantum Mechanics, Editor: San Fu Tuan, The Benjamin/Cummings

Pub. Co., California, 1985.

_ Wichmann, E.H., Quantum Physics, vol 4 (Berkeley Physics Course), N.Y., McGraw-Hill,

1971.

Para apoyo matemático:

• Arfken, George. Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, New York, London,

1966.

• Boas, Mary. Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2nd. Ed., New York: John

Wiley & Sons, 1983.

OTRA BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

• D. Bohm, “Quantum Theory”, Editorial Dover.

• P. A. M. Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics”, Oxford at the Clarendon Pres,

1959.

• R.P. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, 'The Feynman Lectures on Physics', vol. 3,

'Mecánica Cuántica', edición bilingüe: inglés-español. Ed. Fondo Educativo Interamericano.

• C. S. Johnson y L. G. Pedersen, “Problems and solutions in Quantum Chemistry and

Physics”, Editorial Dover.

• L. D. Landau y E. M. Lifshitz, “Mecánica Cuántica (Teoría no-relativista)”, Editorial

Reverté.

• Messiah, “Mecánica Cuántica”, Editorial Tecnos.

• F. Mandl, “Quantum Mechanics”, Editorial Wiley.

• L. I. Schiff, “Quantum Mechanics”, Editorial McGraw.

• G. L. Squires, “Problems in Quantum Mechanics with solutions”, Cambridge University

Press, 1996.

• B. Thaller, “Visual Quantum Mechanics”, Springer, 2000

• Artículos de revistas tales como PHYSICS WORLD - PHYSICS TODAY – AMERICAN

JOURNAL OF PHYSICS - PERSPECTI VES IN PHYSICS

Dra. Magdalena Mechetti

Profesora Titular


Dpto. de Física – FACET




Año 2018

3

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

Átomos Multielectrónicos

Palabras claves: Método variacional. Átomos multielectrónicos. Principio de exclusión de

Pauli. Determinante de Slater. Métodos de Hartree y Hartree-Fock.

1) Responda las siguientes cuestiones, en lo posible ANTES de la clase de Trabajos Prácticos

a) ¿Qué establece el postulado de simetrización y para qué tipo de partículas es válido?

b)¿Qué establece el principio de exclusión de Pauli?

c) Un electrón que se mueve en un campo central puede ser descripto por los números

cuánticos n, l ,ml y ms. ¿de cuál o cuáles de éstos números depende, generalmente, la energía

de este electrón?

d) El método variacional se basa en dos teoremas que simbólicamente se expresan como:

I) 0 ˆ EEH y II) 0EE

En esencia, se busca el estado base y su energía resolviendo el problema variacional

0 E . ¿Qué es necesario para ello?; ¿en qué radica el éxito del método?; ¿qué garantiza

el teorema II?

e) ¿Cuál es el número cuántico principal y el número cuántico de momento angular orbital

de un electrón 3d?

f) ¿Cuántos electrones son necesarios para llenar las capas 1s, 2p y 3d ? ¿y el nivel n = 3?

g) ¿Cuántos electrones son necesarios para llenar los niveles n =1, n =2 y n = 3?

h) El átomo de Litio tiene una carga nuclear Z = 3. ¿Cuáles son las primeras tres

configuraciones de energías más bajas?

2) Escriba las 12 funciones completas satisfactorias correspondientes al estado excitado 1s2p

del átomo de Helio. Indique los estados tripletes y singulete.

3) El estado fundamental del Li tiene configuración electrónica (1s)2(2s)1. Escribir el

determinante de Slater correspondiente a este estado en el caso ms = ½ (ms: número cuántico

total de espin) y luego la función de onda en su forma desarrollada.




Año 2018

4

4) En la figura se muestra la densidad de probabilidad radial total P(r) para el átomo de

Argón (Z=18), que se obtiene de un cálculo tipo Hartree. En la misma figura se muestra,

indirectamente, el potencial neto obtenido por el mismo método, a través de la cantidad Z(r)

por medio de la relación:

r

rZerV

)(

4)(

0

2

A partir de la figura, estime los valores

de Z(rn), donde rn es el valor promedio

de r en la capa n, para el átomo de

argón y utilice estos valores para

estimar la energía de los electrones en

cada una de las tres capas que se

encuentran ocupadas en el estado base

de dicho átomo.

________________________

Densidad de probabilidad radial total P(r) del átomo de

Argón y la cantidad Z(r) que especifica su potencial neto




Año 2018

5


Átomos Multielectrónicos: acoplamientos

Palabras claves: Reglas de Hund. Métodos de Hartree y Hartree-Fock. Términos espectrales;

acoplamientos.

1) Considere el acoplamiento de momentos magnéticos, angular y de espin, de electrones

(suma de momentos) en un átomo. Discuta los posibles “modos” de acoplarse y cuáles serían

los buenos números cuánticos en cada caso.

2) Considere un átomo de Germanio (Z = 32) en su estado fundamental.

a) Escriba su configuración electrónica.

b) ¿Cuál es la degeneración de esta configuración? Justifique.

c) ¿Cuál de los acoplamientos vistos en clases teóricas y prácticas se ajustaría mejor a este

caso? Justifique.

Suponiendo que este átomo obedece al acoplamiento seleccionado en c), indique:

d) ¿qué tipo de interacción es más fuerte y cómo se produce el acoplamiento entre los

electrones? Explique.

e) ¿cuáles términos espectroscópicos (compatibles con Pauli) se presentan y cuál es el

estado de menor energía?

4) El átomo de Pb (Z = 82), en el estado fundamental, tiene dos electrones en su última capa.

a) ¿Cuál es su configuración electrónica? ¿Cuál es su degeneración?

b) ¿A qué tipo de acoplamiento obedece? Justifique.

c) ¿Cuáles son los posibles términos espectrales para esta configuración electrónica?

d) Indique cuál es el estado de menor energía.


Dispersiones. Método de ondas parciales




Año 2018

6

Palabras claves: dispersiones, amplitud de dispersión, sección eficaz diferencial, sección

eficaz, método de ondas parciales, defasaje.

1) En la construcción de los autoestados k(r), en clase se obtuvo la función de Green:

r

em

k

kei

ir

mkrG

ikrikr

222 22)2(

2),(

,

como onda emergente. Verificar que la misma resuelve la ecuación:

)(),()2

( 322

rkrGEm

k

2) Partículas que viajan a lo largo de la dirección z, son dispersadas por un potencial de corto

alcance. Si la función de onda de las partículas a grandes distancias del potencial puede

expresarse de la forma:

)exp(,1

)exp( ikrfr

ikzu

muestre que la sección transversal diferencial de dispersión es:

2,

f

d

d

3) En el análisis de las dispersiones producidas por un potencial, considere el método de

Ondas Parciales y analice en qué consiste este método y en qué casos es conveniente

aplicarlo.

4) Considere la dispersión producida por un potencial tipo esfera dura:

a

a

r

r 0)V(r

a) Suponiendo que sólo la onda s es afectada por la dispersión, calcule el desfasaje 0.

b) Considere el límite de bajas energías ( 1ka ). Calcule la amplitud de dispersión f(), la

sección transversal diferencial d

d, y la sección transversal total .

c) Analice el límite de altas energías. Calcule .

5) Considere la dispersión producida por un potencial esférico:

ar

a rVV(r)

0

0

a) Encuentre la función de onda radial Ao (r) para l = 0




Año 2018

7

b) Evalué la dependencia del defasaje 0 (onda s) con V0. Analice todas las situaciones

posibles. Es decir, si E es la energía de la partícula dispersada, discuta los casos:

i) E > V0 y V0 < 0 (potencial atractivo)

ii) E > V0 > 0

iii) V0 > E (potencial repulsivo)

c) Considere el límite de bajas energías. Calcule el defasaje 0 y la sección transversal total

.

________________________


Dispersiones. Aproximación de Born

Palabras claves: dispersiones, amplitud de dispersión, sección eficaz diferencial, sección

eficaz, aproximación de Born, potencial de Yukawa.




Año 2018

8

1) En el análisis de las dispersiones producidas por un potencial, considere la aproximación de

Born y analice en qué consiste esta aproximación y en qué casos es conveniente aplicarlo.

Compare con el método de ondas parciales analizado en práctico anterior

2) Analizar las condiciones de validez y probar la siguiente expresión para la dispersión de

partículas por un potencial V(r):

0

2

)1()1( )( 12

)()',( drqrsenrVrq

mfkkf

(Aproximación de Born)

3) Calcule el valor ak. para electrones de energía eVE 04,0 que son dispersados por un

potencial con dimensión característica

A 1a .

4) Considere el potencial creado por una carga puntual Q ubicada en el centro de una cáscara

esférica de radio a y carga Q .

a) Usando la aproximación de Born, obtenga la sección eficaz diferencial para dispersión

de electrones por este potencial.

b) Obtenga el límite de bajas energías incidentes.

c) Obtenga el límite de energías incidentes altas.

5) Considere una dispersión producida por el potencial Gaussiano central de la forma:

2

2

4

4)(

a

r

o eV

rV

a) ¿Qué método de resolución conviene aplicar para este potencial? Justifique

b) A partir del método seleccionado, obtenga la sección transversal diferencial para

dispersión de electrones por este potencial.

6) Encuentre la amplitud de dispersión para el caso de una dispersión de baja energía

producida por un potencial de esfera blanda:

R

R

r 0

r V)V(r

0

En la segunda aproximación de Born.

________________________




Año 2018

9


Potenciales dependientes del tiempo

Palabras claves: Potenciales dependientes del tiempo. Perturbaciones dependientes del

tiempo.




Año 2018

10

1) Considere un sistema de dos niveles de energía, con autoestados 1 y 2 . La diferencia

entre sus autovalores de energía es E2 – E1 = 21 . En el tiempo t = 0, cuando el sistema está

en el estado 1 , se aplica una perturbación W que no cambia con el tiempo.

Dado los siguientes elementos de matriz 011 W , 02112 WW y

2122 W :

Usando la aproximación de primer orden de la teoría de perturbaciones dependientes de t,

calcule la probabilidad de encontrar el sistema en el tiempo t en el estado 2 .

2) Resuelva el problema anterior de forma exacta. ¿Qué condiciones deben cumplirse para

poder aplicar la solución aproximada?

3) Un sistema de átomos de Hidrógeno en su estado fundamental está contenido entre las

placas de un capacitor de placas paralelas. Un pulso de tensión se aplica al capacitor de modo

que produce un campo eléctrico homogéneo E tal que

E(t) =

0 0

0 /

t

teE to

a) Encuentre la probabilidad de que, después de un tiempo grande (t ), el átomo se

encuentre en el estado 2p (m = 0). Exprese dicha probabilidad en términos del radio de Bohr,

la diferencia de energía entre el estado 2p y el estado fundamental y las constantes E0 y .

b) Repita el apartado anterior para el estado 2s.

4) Un oscilador armónico unidimensional de frecuencia angular 0 y carga q, se encuentra,

para el tiempo t = 0, oscilando en su estado fundamental a lo largo de la dirección x. Se le

aplica un campo eléctrico itEE )(ˆ durante un intervalo de tiempo de la forma:

E(t) =

tt

tE

y 0 0

0

a) Calcular la probabilidad de transición (en primer orden) al estado n = 1.

b) Mostrar que la transición n = 2 es imposible.


Potenciales dependientes del tiempo. Interacción de la radiación con la materia

Palabras claves: Interacción de la radiación con la materia. Aproximación de dipolo

eléctrico. Absorción y emisión de luz. Coeficientes de Einstein.




Año 2018

11

1) Defina los coeficientes de Einstein de emisión espontánea A y de emisión estimulada B

2) Un conjunto de átomos idénticos, que poseen dos estados k y j, con energías Ek y Ej (Ek >

Ej), se encuentran en una caja cuyas paredes se mantienen a temperatura constante. Si las

cantidades de átomos en ambos niveles se encuentran en equilibrio térmico, demuestre que

3c2π

3jk,

ω

B

A

Donde A y B son los coeficientes de Einstein de transición espontánea y estimulada,

respectivamente, y jk,ω = Ek - Ej.

3) Investigue sobre el modelo de aproximación de dipolo eléctrico para el tratamiento de la

interacción de la radiación con la materia. Analice e indique cuáles son los supuestos para su

aplicación. (Puede recurrir a la bibliografía sugerida para la asignatura que se detalla en esta

Guía de Trabajos Prácticos)

4) A partir de la expresión para el coeficiente de Einstein de emisión espontánea, en la

aproximación de dipolo eléctrico:

23

jk,3

0

2

kr j ω c

1

ε 4π

e

3

4 A

demuestre que, para una transición de dipolo eléctrico hacia el estado fundamental del átomo

de Hidrógeno, la fracción de átomos que emiten espontáneamente, por unidad de tiempo es

del orden de k,j 3, donde

c ε 4π

eα

0

2

es la constante de estructura fina ( 0,007).

5) Una lámpara de mercurio emite radiación de longitud de onda 254 nm, con / = 10-5. Si

el flujo de salida es de 1 kWm-2, estimar la razón entre el proceso de emisión estimulada y el

proceso de emisión espontánea en la lámpara.

________________________


M. Cuántica Relativista

Palabras claves: Mecánica cuántica relativista; transformadas de Lorentz; ecuación de Klein

Gordon. Partículas relativistas.




Año 2018

12

1) Encontrar las expresiones de j y para el caso en que la ecuación escalar contiene términos

debido a un campo electromagnético.

2) Demuestre que para el caso de los potenciales A y Ф independientes del tiempo, las

coordenadas espacio y tiempo en la ecuación de Klein-Gordon pueden ser separadas y la

función de onda puede escribirse como:

t

Ei

ertr

)(),(

3) Encuentre la función de onda de una partícula libre descripta por la ecuación de Klein-

Gordon usando para la normalización la expresión para la densidad . Muestre que, en el caso

relativista, es la densidad de carga y no la densidad de partícula.

4) Probar que para << c la densidad de carga , proveniente de la ecuación de Klein –

Gordon, se reduce a la no relativista.

5) A partir de la definición de:

),(),(),(0 trtrie

ttr

,

a fin de discutir el aspecto físico de la ecuación de Klein-Gordon, transforme la misma en dos

ecuaciones cada una de ellas en 1er orden en el tiempo.

6) En el marco de la ecuación de Klein-Gordon, realice el análisis de un paquete de ondas

formado por soluciones de energía positiva.


M. Cuántica Relativista

Palabras claves: Mecánica cuántica relativista; partículas relativistas; ecuación de Dirac.




Año 2018

13

1) Probar que las matrices n tienen propiedades similares a las de Pauli (anti conmutación y

cuadrado)

2) Evaluar el producto i.j

3) a) A partir de la ecuación de Dirac, encuentre la función de onda para un electrón libre que

se mueve a velocidades relativistas en la dirección z

. Discuta sus resultados.

b) Demuestre que las funciones obtenidas son también auto funciones de z.

4) Si π es el operador momento generalizado ( Ac

ep ˆˆˆ ), demuestre que: B

c

ei ˆˆˆ

5) a) A partir de la ecuación de Dirac para un electrón “lento” en un potencial

electromagnético (potencial escalar y potencial vectorial) encuentre la llamada ecuación de

Pauli, que describe una partícula no relativista con espín ½.

b) La ecuación de Dirac ¿reproduce el valor correcto del momento magnético del

electrón?, ¿con qué aproximación?

6) Verifique que la ecuación de Dirac para un electrón en un campo electromagnético

(ecuación de onda fundamental de la teoría relativista del electrón), es invariante ante

transformada de Lorentz. (Sugerencia: consulte el libro de Dirac, The principles of Quantum

Mechanics”. En la 4ta. Edición, reimpresa del año 1958, es el punto 68 del capítulo XI ).

Documents

MECANICA CUANTICA II 2018 - facet.unt.edu.ar · MECANICA CUANTICA II – 2018 (LICENCIATURA EN FÍSICA) 6 horas semanales de clases. Unidad 1: Atomos multielectrónicos. El modelo