MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento Cap. 15

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e

Quantidade de Movimento

Cap. 15

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de movimento.

Estudar a conservação da quantidade de movimento para pontos materiais.

Analisar a mecânica de colisões.Introduzir o conceito de impulso angular e momento

angular.

Objetivos


15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

A equação de movimento para um ponto material de massa

pode ser escrita como:

(15.1)

onde e são medidas num ref. inercial. Rearranjando e

integrando entre os limites , e 1 1 2

m

dm m

dt

t

vF a

a v

v v

1

2

1 1

2 1

, :

ou:

(15.2)

2

2t

2

t

t

tdt

t

dt

m

d

m

m

v

vv

F v

F

v



12 1 (15.2)

.

Proporciona um meio direto para cálculo de a partir

de sem necessidade do cálculo da aceleração.

2t

t

2

1

princípio do impulso e quantidade de moviment

dt

o

m m

F v

v

v

v


15.1 * - Quantidade de Movimento


15.1 * - Impulso


15.1 * - Impulso

1

O módulo do impulso pode ser representado

pela área sombreada da curva força versus tempo:

2t

tdtI F



12

2

1

1

1

(15.3)

a quantidade de movimento do ponto no instante mais

a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é

igual a quantidade de movimento do ponto no instante

2t

t

t

t t

t

m dt m

v F v

2.


15.1 * - Equações Escalares

1

1

1

1 2

1 2

1 2

(1 5 .4)

2

2

2

t

x x xt

t

y y yt

t

z z zt

m v F dt m v

m v F dt m v

m v F dt m v


Ao engradado de 50 lb aplica-se uma força de intensidade

variável 20 lb, onde é dado em segundos.

Determine a velocidade do engradado 2 após o início da

aplicação da força. A velocidade inicial do

P t t

s

1

engradado é

3 pés/s, plano abaixo, e o coeficiente de atrito cinético

entre o engradado e o plano é 0.3.c

v

Exemplo 15.2


Exemplo 15.2 - Solução



Diagrama de corpo livre

ax

1.5528 slugs



ax

1.5528 slugs


Exemplo 15.2 – Solução cinemática

2

0

2

2

3 0

20 0.3 43.301 50sen 30 1.5528

12.880 7.7342

Sendo:

12.88

44.2 p

0 7.7342

és/s

v

x x

t a

a t

dv adt dv t

F

v

m

t

a

d

ax

1.5528 slugs


15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais

A equação de movimento para um sistema de pontos

materiais de massa pode ser escrita como:

(15.5)

onde são medidas num ref. inercial.

As forças internas aparecem aos pares e

i

ii i

i

i m

dm

dt v

F

v

se anulam ao serem somadas, não

aparecendo na eq. (15.5).



1

1

1 2

Rearranjando a eq. (15.5) e integrando entre

os limites , e , :

(15.6)

a quantidade de movimento do sistema

no instante mais a somatória dos impulsos

das

2t

i i i i it

1 1 2 2

m dt m

t

forças e

t

er

t

xt

v

v v

v F

1 2

2

aplicados no intervalo

a é igual a quantidade de movimento

do sistema no instante .

t

n s

t

t

a



O centro de massa G do sistema é determinado por

, onde é a massa total do

sistema. Então a derivada temporal nos fornece:

equação que estabelece que a quantidade

de movimento tota

G i i i

G i i

m m m m

m m

r r

v v

l do sistema é

equivalente à quantidade de movimento

de um ponto material fictício de massa

igual à massa total do sistema e de posição

igual ao do centro de massa do sistema.



1

1 2

1

Substituindo a eq. anterior em (15.6):

(15.7)

a quantidade de movimento do

de massa no instante

mais a somatória dos impulsos das

aplicados

2t

G it

i

G

ponto

fictício

forças externa

m

m

m

m

t

d

s

t

v F v

1 2

2

no intervalo

a é igual a quantidade de

movimento do ponto no instante .

t t

t


Um operário de 180 lb está preso por um sistema

de segurança. Determine a

desenvolvida na corda quando o operário cai se a

a corda AB tem uma folga de 4 pés. D

tens

espr

ão impul

eze o

tam

siv

anh

a m

o

édia

do operário e suponha uma duração de

0.6 s para o impulso (frenagem proporcionada

pela pequena elasticidade da corda).

Problema 15.4


Problema 15.4 - Solução

2

Diagrama cinemático da queda livre:

32.2 m/s

180

32.25.5900 slugs

g

m m

5.5900 slugs

0 0v

5.5900 slugs

1v

y

4 pésg



0 1

2 20

0 0 1 1

0 1 1 0

1

21 1

Princípio do Trabalho e Energia:

Trabalho do Peso:

180 4

1 1720

2 21

0 720 5.59

720 lb.pés

16.050 pés/s002

W

W

W

T U T

U W y

U U

U

m

y

mv

v

U

v

v

5.5900 slugs

0 0v

5.5900 slugs

1v

y

4 pésg


12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante

0

20 0

2 20 0

1

2

2

c

c

c

c

a a

v v a t

s s v t a t

v v a s s



0

2 20

1

0

21

16.050 pés/s

0.4984

Fórmulas de aceleração constante:

0 2 32.2 4

16.050 0 32.2

4 s

2

c

c

v v a t

v v a s s

v

v

t

t

5.5900 slugs

0 0v

5.5900 slugs

1v

y

4 pésg



12

2

1

1

1

(15.3)

a quantidade de movimento do ponto no instante mais

a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é

igual a quantidade de movimento do ponto no instante

2t

t

t

t t

t

m dt m

v F v

2.



Diagrama das quantidades de movimento e

impulso proporcionado pela corda: 5.5900 slugs

1 16.050 pés/sv

y

F

Altura desprezível

1 0t

5.5900 slugs

2 0v

2 0.6 st

180 lb

5.5900 slugs



11 2

Princípio do Impulso e Quantidade de

Movimento:

5.5900 16

330 l

.050 180 0.6 0.6 0

89.7195 108 0

b

.6

2t

x x xtm v

F

F

F dt m

F

v

5.5900 slugs

1 16.050 pés/sv

y

F

5.5900 slugs

2 0v

0.6 st

180 lb

5.5900 slugs



1

1

Diagrama de corpo livre e dinâmico:

180 5.5900 32.2

No início do da corda

a tensão na mesma é nula.

No final ela é igual ao peso do

operário. Durante o a

tensão vari

0

a, t

y y

F

estiramento

es

F

tiramento

a

F

m

endo o valor médio ,

calculado.

F

5.5900 slugs

y

F

Altura desprezível

1 0t

5.5900 slugs

180 lb2 0.6 st

180 lb

180 lb

1F5.5900 slugs

180 lb

yag

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MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento Cap. 15