Mecanica Do Continuo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:

Uma Abordagem Moderna ,

por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

2

LUCAS MÁXIMOALVES




MARÇO – 2007

3

LUCAS MÁXIMOALVES



Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Adriano Scremin Orientador: Prof. Dr.


MARÇO – 2007

4

Dedicatória

Dedico,

5

Agradecimentos

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com

que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

6

Epígrafe

“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)

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Sumário

Apresentação ............................................................................................................................18 Capítulo – I ...............................................................................................................................19 INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO .......................................................................19 1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................19 1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo....................................................................................19 1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo.............................................................................20 Capítulo – II..............................................................................................................................23 TENSORES..............................................................................................................................23 2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................23 2. 2 – Introdução.......................................................................................................................23 2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial .........................................................................................24 2. 4 - Parte – B: Tensores .........................................................................................................40 2. 5 - Parte – C: Cálculo Tensorial ...........................................................................................91 2. 6 - Parte – D: Coordenadas Curvilineas .............................................................................126 2. 7 – Teoremas Integrais .......................................................................................................151 2. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 2. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................161 Capítulo – III ..........................................................................................................................162 CINEMÁTICA DO CONTÍNUO ..........................................................................................162 3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................162 3. 2 - Introdução .....................................................................................................................162 3. 3 – O Movimento................................................................................................................163 3. 4 – Descrição do Movimento de um Meio Contínuo .........................................................164 3. 5 – Descrição Material e Descrição Espacial .....................................................................168 3. 6 – Derivada Material .........................................................................................................170 3. 7 – Aceleração da Partícula em um Meio Contínuo...........................................................172 3. 8 – O Campo de Deslocamento ..........................................................................................176 3. 9 – Equação Cinemática do Movimento de Corpo Rígido.................................................177 3. 10 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................179 3. 11 – Exercícios e Problemas...............................................................................................180 Capítulo – IV ..........................................................................................................................181 DEFORMAÇÃO NO CONTÍNUO .......................................................................................181 4. 1 – Objetivos do capítulo....................................................................................................181 4. 2 – Introdução.....................................................................................................................181 4. 3 – Gradiente de Deformações ...........................................................................................182 4. 4 – Deformações.................................................................................................................187 4. 5 – Deformações Infinitesimais..........................................................................................189 4. 6 – Significado Geométrico de E........................................................................................192 4. 7 – Deformações Principais................................................................................................196 4. 8 – Dilatação.......................................................................................................................197 4. 9 – Tensor Rotação Infinitesimal........................................................................................199 4. 10 – Taxa de Variação de um Elemento Material ..............................................................201 4. 11 – Tensor Taxa de Deformação.......................................................................................203 4. 12 – Taxa de Variação Volumétrica de um Elemento Material .........................................207 4. 13 – Tensor de Rotação e Velocidade Angular ..................................................................209 4. 14 – Equações de Conservação da Massa ..........................................................................210

8

4. 15 – Condição de Compatibilidade para o Tensor E ..........................................................212 4. 16 – Condição de Compatibilidade para o Tensor de Deformação....................................214 4. 17 – O Gradiente de Deformação .......................................................................................215 4. 18 – Deslocamento de Corpo Rígido..................................................................................216 4. 19 – Deformação Finita ......................................................................................................217 4. 20 – Teorema da Decomposição Polar ...............................................................................222 4. 21 – Cálculo do Tensor de Estiramento a partir do Gradiente de Deformação..................223 4. 22 – O Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green ..................................................225 4. 23 – O Tensor Lagrangeano de Deformação......................................................................227 4. 24 – O Tensor Esquerdo de Deformação de Cauchy-Green ..............................................230 4. 25 – O Tensor de Deformação de Euler .............................................................................234 4. 26 – Condição de Compatibilidade para as Componenetes do Tensor de Deformação Finito ..............................................................................................................................239 4. 27 – Variação de Área devido a Deformação.....................................................................240 4. 28 – Variação de Volume devido a Deformação................................................................244 4. 29 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................247 4. 30 – Exercícios e Problemas...............................................................................................248 Capítulo – V ...........................................................................................................................249 TENSÃO NO CONTÍNUO....................................................................................................249 5. 1 – Objetivos do Capítulo...................................................................................................249 5. 2 – Introdução.....................................................................................................................249 5. 3 – Vetor Tensão de Cauchy ..............................................................................................251 5. 4 – Componentes do Tensor de Tensão de Cauchy............................................................254 5. 4 – Simetria do Tensor de Tensão de Cauchy ....................................................................256 5. 5 – Tensão Principais..........................................................................................................259 5. 6 – Máxima Tensão de Cisalhamento.................................................................................263 5. 7 – Equação de Movimento de um Meio Contínuo Sujeito a Um Campo de Tensão........268 5. 8 –Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff..............................................................................273 5. 4 – Equação de Movimento escrito na Configuração de Referência..................................277 5. 4 – Potência de Tensão .......................................................................................................280 5. 4 – Taxa de Fluxo de Calor por Condução.........................................................................284 5. 4 – Equação da 1ª Lei da Termodinâmica ..........................................................................286 5. 4 – Desigualdade de Entropia.............................................................................................288 5. 9 - Exemplos e Aplicações ................................................................................................289 5. 10 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................290 Capítulo – VI ..........................................................................................................................291 O SÓLIDO ELÁSTICO .........................................................................................................291 6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................291 6. 2 - Introdução .....................................................................................................................291 6. 3 – A Teoria da Elasticidade...............................................................................................292 6. 4 – Propriedades Mecânicas ...............................................................................................293 6. 5 – O Sólido Elástico Linear ..............................................................................................295 6. 6 – Equação da Teoria da Elasticidade Infinitesimal .........................................................307 6. 7 – Princípio da Superposição ............................................................................................309 6. 8 – Onda Plana Irrotacional ................................................................................................311 6. 9 – Onda Plana Equivolumial.............................................................................................313 6. 10 – Extensão Simples........................................................................................................316 6. 11 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................345 6. 12 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................346 Capítulo – VII.........................................................................................................................347

9

O FLUIDO VISCOSO NEWTONIANO ...............................................................................347 7. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................347 7. 2 - Introdução .....................................................................................................................347 7. 3 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................348 7. 4 - Exercícios e Problemas .................................................................................................349 Capítulo – VIII .......................................................................................................................350 FORMULAÇÃO INTEGRAL DE PRINCÍPIOS GERAIS...................................................350 8. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................350 8. 2 - Introdução .....................................................................................................................350 8. 3 – Teoremas Integrais .......................................................................................................351 8. 4 – Teorema de Gauss ........................................................................................................352 8. 5 – Teorema de Stokes........................................................................................................353 8. 6 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................354 8. 7 - Exercícios e Problemas .................................................................................................355 Capítulo –IX ...........................................................................................................................356 FLUIDO NÃO-NEWTONIANO ...........................................................................................356 9. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................356 9. 2 - Introdução .....................................................................................................................356 9. 3 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................357 9. 4 - Exercícios e Problemas .................................................................................................358 Capítulo –X ............................................................................................................................359 A TEORIA DA PLASTICIDADE .........................................................................................359 10. 1 - Objetivos do capítulo ..................................................................................................359 10. 2 - Introdução ...................................................................................................................359 10. 3 - Plasticidade .................................................................................................................360 10. 4 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................372 10. 5 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................373 Capítulo –XI ...........................................................................................................................374 INTRODUÇÃO AOS PROBLEMAS NÃO LINEARES......................................................374 11. 1 - Objetivos do capítulo ..................................................................................................374 11. 2 - Introdução ...................................................................................................................374 11. 3 – Alguns Problemas Não-Lineares ................................................................................375 11. 4 – Problemas Estruturais Não-Lineares ..........................................................................376 11. 5 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................383 11. 6 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................384 Bibliografia.............................................................................................................................385

10

Lista de Figuras

Figura - 1. 1. .............................................................................................................................22 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................33 Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.................35 Figura - 2. 3. Figura - 1. 1. .............................................................................................................................22 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................33 Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.................35 Figura - 2. 3. Transformação Linear Vetorial de um vetor a em c . ......................................40 Figura - 2. 4. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 5. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 6. .............................................................................................................................44 Figura - 2. 7. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 8. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 9. .............................................................................................................................48 Figura - 2. 10. ...........................................................................................................................50 Figura - 2. 11. ...........................................................................................................................50 Figura - 2. 12. ...........................................................................................................................66 Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................66 Figura - 2. 14. ...........................................................................................................................68 Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................70 Figura - 2. 16. ...........................................................................................................................81 Figura - 2. 17. ...........................................................................................................................81 Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................83 Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 Figura - 2. 20. ...........................................................................................................................91 Figura - 2. 21. Função potencial e o seu gradiente. ..................................................................99 Figura - 2. 22. Função potencial e o seu gradiente. ................................................................101 Figura - 2. 23. Isotermas de um campo escalar. .....................................................................106 Figura - 2. 24. Isotermas de um campo escalar. .....................................................................108 Figura - 2. 25. .........................................................................................................................109 Figura - 2. 26. .........................................................................................................................151 Figura - 2. 27. .........................................................................................................................158 Figura - 3. 1 ............................................................................................................................163 Figura - 3. 2. ...........................................................................................................................165 Figura - 3. 3. ...........................................................................................................................167 Figura - 3. 4. ...........................................................................................................................168 Figura - 3. 5. ...........................................................................................................................169 Figura - 3. 6. ...........................................................................................................................172 Figura - 3. 7. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 3. 8. ...........................................................................................................................185 Figura - 3. 9. ...........................................................................................................................186 Figura - 3. 10. .........................................................................................................................188 Figura - 4. 1. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ...........................................................................................................................250 Figura - 4. 3. ...........................................................................................................................251 Figura - 10. 1. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 2. .........................................................................................................................360

11

Figura - 10. 3. .........................................................................................................................362 Figura - 10. 4. .........................................................................................................................365 Figura - 10. 5. .........................................................................................................................366 Figura - 10. 6. .........................................................................................................................367 Figura - 10. 7. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 8. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 9. .........................................................................................................................369 Figura - 10. 10. .......................................................................................................................371 Figura - 11. 1. a) ruptura elástica b) polielasticidade c) elasticidade não-linear d) plasticidade................................................................................................................................................376 Figura - 11. 2. Flambagem em haste delgada com excentricidade nula.................................376 Figura - 11. 3. Flambagem em haste delgada com excentricidade e não nula .......................377 Figura - 11. 4. Flambagem em articulações com inversão do estado e recuperação de estabilidade .............................................................................................................................377 Figura - 11. 5. Flambagem em superfícies com inversão do estado.......................................377 Figura - 11. 6. Flambagem multimodal em articulações ........................................................378 Figura - 11. 7. Flambagem localizada em haste estruturais....................................................378 Figura - 11. 8. Flambagem em superfícies sujeitas a um carregamento.................................378 Figura - 11. 9. Grandes deslocamentos em a) vigas engastadas e b) em cabos áereos sujeitos ao prório peso. ........................................................................................................................379 Figura - 11. 10. Problema de grandes deslocamentos com elipsização do diâmetro tubos em tubulação aérea. ......................................................................................................................379 Figura - 11. 11. Grandes deslocamentos em articulações de guindastes e robôs ...................379 Figura - 11. 12. Plastidade com Histerese Disipativa.............................................................380 Figura - 11. 13. Viscoelasticidade com deformação não linear..............................................380 Figura - 11. 14. Materiais com não linearidade constitutiva a) revestimento de aeronaves b) matriz óssea ............................................................................................................................381 Figura - 11. 15. Fratura e plasticidade na ponta da trinca. .....................................................382 ..................................................................................................................................................40 Figura - 2. 4. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 5. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 6. .............................................................................................................................44 Figura - 2. 7. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 8. .............................................................................................................................48 Figura - 2. 9. .............................................................................................................................50 Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................165 Figura - 3. 2. ...........................................................................................................................185 Figura - 3. 3. ...........................................................................................................................186 Figura - 3. 4. ...........................................................................................................................167 Figura - 3. 5. ...........................................................................................................................168 Figura - 3. 6. ...........................................................................................................................169 Figura - 3. 7. ...........................................................................................................................172 Figura - 4. 1. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ...........................................................................................................................250 Figura - 4. 3. ...........................................................................................................................251 Figura - 10. 1. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 2. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 3. .........................................................................................................................362 Figura - 10. 4. .........................................................................................................................365 Figura - 10. 5. .........................................................................................................................366

12

Figura - 10. 6. .........................................................................................................................367 Figura - 10. 7. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 8. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 9. .........................................................................................................................369 Figura - 10. 10. .......................................................................................................................371

13

Lista de Tabelas

14

Lista de Siglas

15

Lista de Símbolos

16

Resumo

17

Abstract

18

Apresentação Esta apostila de Introdução a Mecânica do Contínuo é resultado da digitação das

aulas do curso ministrado pelo professor Dr. Adriano Scremin e de estudos pessoais do

estudante de doutorado M. Sc. Lucas Máximo Alves, do Programa de Pós-Graduação de

Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.

19

Capítulo – I

INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO

RESUMO

Neste capítulo será dada uma visão geral da teoria do contínuo e suas aplicações.

Em particular a definição de um meio contínuo dentro do contexto matemático e físico, no

que diz respeito a constituição atômica da matéria. Neste último contexto os limites de escala

inferior e superior são estabelecidos como uma forma de preservar o conceito matemático

abstrato.

1. 1 – Objetivos do capítulo

i) Entender a definição de um meio contínuo

ii) Reconhecer os diferentes contextos e áreas da ciência onde o conceito de

contínuo se aplica.

iii) Saber formular a idéia do contínuo para diferentes situações de interesse.

1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo

A matéria na realidade é formada de moléculas, átomos e partículas subatômicas,

portanto não é contínua, ou seja, é discreta. Contudo existem muitas situações da experiência

diária que a teoria fenomenológica do comportamento dos mateiriais utilizada não considera

a estrutura atômica ou molecular da matéria.

A teoria que ------------ ao descrever relações entre fenômenos ---------------,

desprezando a estrutura da matéria em uma pequena escala, é conhecida como a teoria do

contínuo. A teoria do contínuo considera a matéria como indefinidamente divisível. Nesta

20

teoria, aceita-se a idéia de um volume infinitesimal de matéria referente a uma partícula no

contínuo, e em toda vizinhança de uma partícula existem sempre partículas vizinhas. A teoria

do contínuo é justificada ou não dependendo da situação.

A aproximação do contínuo descreve adequadamente o comportamento de

materiais reais em muitas circunstâncias. Ela fornece resultados que estão de acordo com as

observações experimentais na propagação de ondas de comprimento de onda

extrememamente pequenas.

Por outro lado, um gás perfeito pode ser adequadamente descrito por um contínuo

em certas circuntâncias. Em todo o caso é correto justificar a abordagem do contínuo com

base no número de moléculas em um dado volume. Além do que em um volume infinitesimal

no limite não contém moléclas no seu interior. Também não é necessário inferir que

quantidades que ocorrem na teoria do contínuo devem ser interpretadas como certas médias

estatíticas particulares. Nesta situação considera-se o limite termodinâmico para as médias

estatísticas em torno de 1510 particulas (átomos, moléculas, etc).

De fato, sabe-se que a mesma equação contínua pode ser obtida por diferentes

hipóteses a respeito da estrutura molecular e por definições de variáveis ....... Enquanto que a

teoria estatística molecular, se disponível, não melhora o entendimento da teoria do contínuo.

O ponto a ser pensado é simplesmente que se a teoria do contínuo é justificada em uma dada

situação, isto é, um assunto do teste experimental e não de filosofia. É suficiente dizer que

mais do que cem anos de experiência tem justificado tal teoria em uma larga variedade de

situações.

1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo

A mecância do contínuo estuda a resposta dos materiais a diferentes condições de

carregamento. Sem assunto pode ser dividido em duas partes:

(1) Princípios gerais comuns a todos os meios

(2) Equações constitutivas que definem materiais idealizados.

Os princípios gerais são axiomas considerados serem auto-evidentes a partir de

nossa experiência como o mundo físico, tais como:

- Conservação da Massa

- Balanço do Momentum Linear (Conservação da Quantidade de Movimento)

- Balanço de Momento Angular (Momento de Momentum)

- Balanço da Energia (Conservação Energia)

21

- Lei da Inegualdade da Entropia (2ª Lei da Termodinâmica).

Matematicamente existem duas formas dos princípios gerais:

(1) Forma Integral, formulada para um volume finito de matéria no contínuo.

(2) As equações de campo para um volume diferencial de matéria (partícula) em

todo ponto do campo de interesse.

Equações de campo são frequentemente derivadas a partir da forma integral. Elas

podem ser também derivadas diretamente a partir do corpo livre de um volume diferencial.

Esta última abordagem é adequada para iniciantes.

Neste livro-texto as abordagens são apresentadas, com a forma integral dada na

direção do fim do texto. As equações de campo são importantes se as variações das variáveis

no campo são também de interesse por elas mesmas ou são necessárias para se obter as

informações desejadas.

Por outro lado, as formas integrais das leis de conservação ------ elas mesmas .......

prontamente a certas soluções aproximadas.

A segunda maior parte da teoria da mecânica do contínuo e concernente a

“equações constitutivas” as quais são usadas para definir o material idealizado. Materiais

idealizados representam certos aspectos do comportamento dos materiais naturais. Por

exemplo, para muitos materiais sob condições restritas, a deformação causada pela aplicação

de cargas desaparece com a remoção das cargas. Este aspecto do comportamento do material

é representado pela equação constitutiva de um corpo elástco.

Sob condições mais restritas, o estado de tensão em um ponto depende

linearmente das variações dos comprimentos e dos ângulos (mútuos) sofridas pelos elementos

de volume no ponto medido a partir do estado onde as forças externas e internas se

desvanecem. A expressão acima define um sólido linearmente elástico.

Um outro exemplo, é fornecido pela definição clássica de viscosidade a qual é

baseada na superposição que o estado de tensão depende linearmente das taxas instantâneas

de variação dos comprimentos e ângulos mútuos do elemento de volume. Tal equação

constituiva define um fluido linearmente viscoso.

O comportamento mecânico dos materiais reais varia não somente de material

para material para material, mas também com diferentes condições de carregamento para um

dado material. Este leva a formulação de muitas equações constitutivas que definem os muitos

diferentes aspectos do comportamento material.

22

Neste texto, nós apresentaremos quatro modelos idealizados e estudaremos o

comportamento que eles representam por meio de algumas soluções de simples problemas de

valor de contorno. Os materiais idealizados escolhidos são:

(1) O sólido elástico linear isotrópico e anisotrópico

(2) O sólido elástico não-linear isotrópico e incompressível

(3) O fluido linearmente viscoso incluindo o fluido não-viscoso e

(4) O fluido não-newtoniano incompressível

Um importante requerimento que deve ser satisfeito para todos as quantidades

usadas na formulação de uma lei física é que elas são coordenadas invariantes. No capítulo

seguinte, nós discutiremos tais quantidades.

Figura - 1. 1.

23

Capítulo – II

TENSORES

RESUMO

Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial. As propriedades

fundamentais dos tensores serão demonstradas preparando o estudante para a sua aplicação na

teoria da elasticidade, na mecânica dos sólidos e na teoria da viscosidade.

2. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender o conceito geral de tensor e suas propriedades.

ii) Saber reconhecer um tensor.

iii) Saber expressar um vetor e/ou um tensor em diferentes sistemas de

coordenadas.

iv) Saber realizar cálculos vetoriais e tensoriais.

2. 2 – Introdução

Como foi mencionado na introdução, todas as leis da mecânica do contínuo deve

ser formulada em termos de quantidades que são independentes das coordenadas. Esta é a

proposta deste capítulo, introduzir tais entidades matemáticas. Nós começaremos pela

introdução de uma notação abreviada e enxuta, a notação indicial. Na parte A deste capítulo,

que será seguida pelo conceito de tensor introduzido como uma transformação linear na parte

B. O campo básico de operações necessárias para fomulações do contínuo são apresentadas na

parte C e suas representações em coordenadas curvilineas na parte D.

24

2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial

2.A1 – Convenção de Soma e Somatório e os Índices Mudos ou Fictícios

Considere a soma abaixo (que pode ser a forma de um produto escalar de dois

vetores ba. cuja representação em termos das suas componentes ai e xi é respectivamente)

nn xaxaxaxas ...332211 (2A1. 1)

Nós podemos escrever a equação (2A1. 1) de uma forma compacta usando o sinal de

somatório:

3;1

nxasn

iii (2A1. 2)

É obvio que as seguintes equações possuem exatamente o mesmo significado que a Eq.(2A1.

2)

)...,3,2,1(1

njxasn

jjj

(2A1. 3)

e

)...,3,2,1(1

nmxasn

mmm

(2A1. 4)

etc.

O índice i na equação (2A1. 2), ou j na equação (2A1. 3), ou m in equação (2A1.

4) é um índice mudo no senso de que a soma é independente da letra usada.

Nós podemos ainda simplificar a escrita da equação (2A1. 1) se nós adotarmos a

seguinte convenção: Quando acontecer de um índice aparecer repetido uma vez, este é um

índice mudo que indica que a somatório com o índice percorre os valores inteiros de 1,2, ..., n.

Esta convenção é conhecida como convenção de soma de Einstein. Usando a

convenção a equação (2A1. 1) se encurta para a notação

25

; 1, 2,3i iíndicesmudosoufictíctios

s a x i (2A1. 5)

Nós também notamos que:

... jjmmii xaxaxa (2A1. 6)

Portanto, na notação indicial de Einstein nós podemos simplesmente escrever:

1

1, 2,3...n

i i i ii índice mudo

s a x s a x i

(2A1. 7)

que pode representado a decomposição de um vetor s com componente ai, decomposto em

termos dos vetores de uma base xi, ou o produto escalar de dois vetores a e x expresso em

termos de suas componentes ai e xi.

Deve-se enfatizar que as expressões tais como aibixi não são definidas dentro desta

convenção. Isto é, um índice nunca deve ser repetido mais do que uma vez, quando a

convenção de soma de Einstein é usada. Portanto, uma expressão da forma:

1

n

i i i i i ii

s a b x a b x

( )forma errada (2A1. 8)

estaria errado e portanto deve-se reter seu sinal de somatório. A forma correta de se escrever

esta soma seria:

1 1 2 2 3 31

1 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3

n

i j j i j j ij

s a b x a b x a b x b x b x

a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x

(2A1. 9)

De agora em diante nós devemos sempre tomar n igual a 3 tal que, por exemplo,

332211

332211

332211

eeeei aaaaaaaaa

xaxaxaxaxa

i

mmii

mmii

(2A1. 10)

A convenção de soma de Einstein obviamente pode ser usada para expressar uma dupla

soma, uma soma tripla, etc. Por exemplo, nós podemos escrever:

26

2

3 3

1 13 9

ij i ji j

termos

S a x x

(2A1. 11)

Simplesmente como

ij i jS a x x (2A1. 12)

Expandindo totalmente, a expressão (2A1. 12) da uma soma de nove termos, i.e.,

333323321331

322322221221

311321121111

332211

xxaxxaxxaxxaxxaxxa

xxaxxaxxa

xxaxxaxxaxxa iiiiiijiij

(2A1. 13)

Para iniciantes, este é provavelmente melhor executar a expansão acima em duas

etapas, primeiro, a soma sobre i e então a soma sobre j (ou vice-versa), isto é,

jjjjjjjiij xxaxxaxxaxxa 332211 (2A1. 14)

onde

333323321331

322322221221

311321121111

31132121111

xxaxxaxxaxxaxxaxxa

xxaxxaxxa

xxaxxaxxaxxa jjjij

(2A1. 15)

Similarmente, a soma tripla

3

3 3 3

1 1 1

3 27

ijk i j ki j k

termos

S a x x x

(2A1. 16)

Simplesmente será escrita como

ijk i j kS a x x x (2A1. 17)

A expressão (2A1. 15) representa a soma de 27 termos.

Nós enfatizamos novamente que as expressões tais como jjiii xxxa or

kjiiijk xxxxa não são definidas na convenção de soma de Einstein, logo elas não representam

as seguintes expressões:

27

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1ou

i j kkjiiijk

i jjjiii xxxxaxxxa (2A1. 18)

2A2 - Índices Livres

Considere a seguinte sistema de três equações

3/'2/'

1/'

3332321313

3232221212

3132121111

ipxaxaxaxipxaxaxax

ipxaxaxax (2A2. 1)

Usando a convenção de soma a equação (2A2. 1) pode ser escrita como:

3/'2/'

1/'

33

22

11

ipxaxipxaxipxax

mm

mm

mm

(2A2. 2)

A qual pode ser reduzida para

3,2,1,' ixax mimlivresíndices

i (2A2. 3)

representando um sistema de equações lineares que matricialmente fica:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

'''

xxx

aaaaaaaaa

xxx

(2A2. 4)

Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação tal como

o índice i na equação (2A2. 3) é chamado de um “índice livre”. Um índice livre toma valores

sobre números inteiros 1,2 ou 3 um de cada vez. Então a equação é (2A2. 3) é abreviada para

três equações cada uma tendo a soma de três termos sobre seu lado direito (isto é, equação

(2A2. 1))

Um exemplo a mais é dado por

3,2,1,ˆ' ieQe mmii (2A2. 5)

Representando

28

3332231133

3322221122

331221111

ˆˆˆ'ˆˆˆ'

ˆˆˆ'

eQeQeQeeQeQeQe

eQeQeQei

(2A2. 6)

Nós notamos que mjmj xax ' , j = 1,2,3 é o mesmo que a equação (2A2. 3) e

mmjj eQe ˆ'ˆ , j = 1,2,3 é o mesmo que a (2A2. 4). Contudo,

ji ba (2A2. 7)

É uma equação sem significado.

OBS:

O índice livre que aparece em cada termo de uma equação deve ser o mesmo.

Então as seguintes equações são sem significado.

i i ia k c 1, 2,3

0i i j j

i

a b c d

, 1,2,3i j (2A2. 8)

o certo seria

3,2,1 icba iii (2A2. 9)

Se existem dois índices livre que aparecem em uma equação tal que:

3,2,13,2,1 jiAAT jmimij (2A2. 10)

Então a equação é uma ...... escrita de 9 equações; cad uma tem uma soma de 3 termos no lado

direito. De fato,

29

3333323231313333

2333223221312332

1333123211311331

3323322231213223

2323222221212222

1323122211211221

3313221231113113

2313221221112112

1313121211111111

AAAAAAAATAAAAAAAAT

AAAAAAAAT

AAAAAAAATAAAAAAAAT

AAAAAAAAT

AAAAAAAATAAAAAAAAT

AAAAAAAAT

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

(2A2. 11)

Novamente, equações tais como:

ij ikT T (2A2. 12)

Não tem significado

Veja ainda o exemplo correto de equações com dupla somatória

kijkij xaT (2A2. 13)

possui 09 equações.

A notação indicial também aceita a mudança de índices.

lkijklkijkij vvaxaT (2A2. 14)

Para

lkijklmijmij vvaxaT (2A2. 15)

2A3 – Delta de Kröenecker

O delta de Kroenecker, denotado por é definido como:

jisejise

ij 01

(2A3. 1)

Isto é:

30

01

323123211312

332211

(2A3. 2)

Em outras palavras, a matriz do delta de Kröenecker corresponde a matriz identidade, isto é:

100010001

333231

232221

131211

ijij II

(2A2. 16)

onde nós observamos as seguintes propriedades:

(a)

3111332211 ii (2A3. 3)

(corresponde ao traço da matriz identidade)

(b)

)3/()2/(

)1/(

3332321313

3232221212

3132121111

ipaaaaipaaaa

ipaaaa

mm

mm

mm

(2A3. 4)

ou de forma geral:

)3,2,1( iaaa iiiimim (2A3. 5)

que são três possiveis termos:

(c)

mjmmjmmjmmjim TTTT 321 (2A3. 6)

ou

)3/(

)2/(

)1/(

3332321313

3232221212

3132121111

ipTTTT

ipTTTT

ipTTTT

jjjmjm

jjjmjm

jjjmjm

(2A3. 7)

ou ainda de forma geral:

ijmjim TT (2A3. 8)

Matricialmente temos:

31

333231

232221

131211

333231

232221

131211

100010001

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

(2A3. 9)

Particularmente temos outras propriedades:

333322221111

332211

T

T jijijimjim

(2A3. 10)

ou

ijmjim (2A3. 11)

e para o caso

ijnjmnim

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nmnmnmnmnmnm

nmnmnmnmnmnm

nmnmnmnmnmnmnjmnim

njmnmnjmnmnjmnmnjmnim

....333323331333

323222321232

313121311131

332323231323

322222221222

312121211121

331323132313

321222122212

311121111111

332313

322212

312111

321

(2A3. 12)

32

d) Seja 321 ˆ,ˆ,ˆ eee uma base de vetores unitários perpendiculares um ao outro (base

ortonormal), então o produto escalar:

ijji ee ˆ.ˆ (2A3. 13)

pode ser expresso como:

00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ



313131

212121

111111

eeeeee

eeeeee

eeeeee

(2A3. 14)

e




323232

222222

121212

eeeeee

eeeeee

eeeeee

(2A3. 15)

e finalmente




333333

232323

131313

eeeeee

eeeeee

eeeeee

(2A3. 16)

2A4 – Símbolo de Permutação ou Tensor de Levi-Civita

O símbolo de permutação, denotado por ijk é definido por:

1 1, 2,30 1,2,3

1 1,2,3ijk

se formam permutação par ou cíclica dese não formamuma permutação dese formam permutação ímpar ou não cíclica de

(2A3. 17)

Este também é conhecido como o tensor de Levi-Civita. Vejamos como fica:

33

123 231 312

132 321 213

111 112 113

221 222 223

331 332 333

121 313 212

232 211 323

122 133 131

311 322 233

11

0000000

com permutação

sem permutacão

(2A3. 18)

Nós notamos que:

jikkjiikjkijjkiijk (2A3. 19)

Podemos observar também o numero de permutações:

1413121110

312

132

231

213

123

(2A3. 20)

Veja que:

1) As permutações pares (0,2,4) ou cíclicas: 123, 231, 123 no sentido horário possui como

resultado o valor +1

2) As permutações ímpares (1,2,3) ou não-cíclicas: 132, 321, 213 no sentido anti-horário

possui como resultado o valor -1

3) As não-permutações pares possui como resultado o valor 0.

conforme mostra a Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1.

34

Seja 321 ˆ,ˆ,ˆ eee uma tríade de vetores que formam uma base ortonormal positiva,

onde:

0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ

ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ

332211

231123312

213132321

eeeeee

eeeeeeeeeeeeeeeeee

(2A3. 21)

que pode ser escrito de forma resumida como:

kkijkjkikijkji eeeee ˆˆˆˆˆ (2A3. 22)

Desenvolvemos temos:

0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆˆ

ˆ0ˆ0ˆ)1(ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ0ˆ0ˆ1

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ0ˆ)1(ˆ0ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ0ˆ1ˆ0

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ)1(ˆ0ˆ0ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ1ˆ0ˆ0

ˆˆˆˆˆˆ

332211

1

321

3323232213213223

1

321

3233223212312332

2

321

3133213211311331

2

321

3313231213113113

3

321

3213221212112112

3

321

3123212211211221

eeeeeee

eeeeeeeee

eeee

eeeeeee

eeeeeeeee

eeee

eeeeeee

eeeeeeeee

eeee

eeeeee

kk

kk

kk

kk

kk

kk

(2A3. 23)


35

Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.

Agora, sejam a e b

vetores com representação na base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee dada por:

iiii ebbeeaa ˆˆ (2A3. 24)

Então o que seria o produto vetorial ? ba

kijkjijijijjii ebaeebaebeaba ˆ)ˆˆ()ˆ()ˆ( (2A3. 25)

Isto é:

kijkji ebaba ˆ (2A3. 26)

que possui 27 termos.

As seguintes identidades úteis podem ser provadas (veja o Problema – 2A7)

Identidades Importantes

i)

6pqrpqr (2A3. 27)

ii)

ijpqjpqi 2 (2A3. 28)

iii)

jkiljlikpklpij (2A3. 29)

36

Provando a propriedade (i)

37

2A5 – Manipulações com a Notação Indicial

a) Substituição

Se

mimi bua (2A3. 30)

e

nnmmmi

mi cvb . (2A3. 31)

Então a ordem para substituir os bi’s em (ii) para dentro de (i) é: nós primeiro mudamos o

índice livre em (ii) de i para m, necessariamente, e o índice mudo m para alguma outra letra,

como n por exemplo, tal que:

nmnm cvb . (2A3. 32)

Agora, (i) e (ii) fornece

)( nmnimi cvua (2A3. 33)

Logo

nmnimi cvua (2A3. 34)

Agora (2A3. 34) representa três equações cada uma tendo a soma de nove termos

em seu lado direito.

É errado, por exemplo, simplesmente substituir:

( )i im im ma u v c (2A3. 35)

obtendo

i im im ma u v c (2A3. 36)

b) Multiplicação

Se

mmbap (2A3. 37)

e

38

mmdcq (2A3. 38)

Então

nnmm dcbapq (2A3. 39)

É importante notar que:

mmmm dcbapq (2A3. 40)

De fato, o lado direito desta expressão não é mesmo definido na convenção de

soma e, além disso, é obvio que:

mmmm

m dcbapq

3

1 (2A3. 41)

Desde que o produto de vetores é distribuitivo, portanto, se

iiii ebbeeaa ˆˆ (2A3. 42)

Se em particular, se 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e sào vetores unitários perpendiculares um ao outro, então

ˆ ˆ.i j ije e tal que:

332211

)ˆ.ˆ()ˆ).(ˆ(.

bababababa

baeebaebeaba

jjii

ijjijijijjii

(2A3. 43)

c) Fatoração

Se

0 ijij nnT (2A3. 44)

Então, usando o delta de Kröenecker, nós podemos escrever:

jiji nn (2A3. 45)

Tal que (2A3. 44) usando-se a equivalência (2A3. 45), torna-se:

0 jijjij nnT (2A3. 46)

Então

39

0 jijij nT (2A3. 47)

d) Contração de Índices Livres (índices livres índices mudos)

A operação de identificação de dois índices e tal soma sobre eles é conhecida

como contração. Por exemplo, Tii é a contração de Tij.

332211 TTTTT iiij (2A3. 48)

OBS: só se contrae índices livres.

Se

ijijijT 2 (2A3. 49)

Então

iiiiiiiiT 232 (2A3. 50)

outros exemplos. Se

332211

332211

332211

332211

iiiikkijk

iiiijjijk

jjjijiijk

kkjiikijk

AAAAA

AAAAA

AAAAA

AAAAA

(2A3. 51)

ou ainda

);(

);(

),;(

332211

332211

332211

iljkBBBBB

jlikBBBBB

jlkijBBBBB

iiiiiiijjiijkl

iiiiiiijijijkl

iiiiiiiijjijkl

(2A3. 52)

40

2. 4 - Parte – B: Tensores

2B1 – Tensor – Transformação Linear(1)

Seja T uma transformação linear, a qual transforma qualquer vetor em um outro

vetor. Se T transforma a em c e b

em d

nós escrevemos:

ca T e db

T (2B1. 1)

Se T possui as seguintes propriedades lineares:

baba TTT (2B1. 2)

e

aa TT (2B1. 3)

onde a e b

são dois vetores arbitrários e é um escalar arbitrário então T é chamado de

uma Transformação Linear. Este é também chamado de Tensor de Segunda Ordem ou

simplesmente um Tensor. Uma definição alternativa e equivalente de uma transformação

linear é dada por uma única propriedade linear.

baba TTT (2B1. 4)

onde a e b

são dois vetores arbitrários e e são escalares arbitrários.

Figura - 2. 3. Transformação Linear Vetorial de um vetor a em c .

T: tensor de 2ª ordem ou simplesmente tensor

Se dois tensores T e S, transforma qualquer vetor arbitrário a de uma forma

idêntica, então estes tensores são iguais um ao outro, isto é:

1 Linear Inversível (Reversível); Não-linear Não-Inversível (Irreversível)

41

caa ST (2B1. 5)

logo

ST (2B1. 6)

Example 2B1.1

Seja T uma transformação a qual transforma todo vetor em um vetor fixo n . Ë

esta uma transformação tensorial?

Solution

Seja a e b

dois vetores quaisquer, então pela definição de T,

na ˆT , nb ˆ

T (2B1. 7)

e

nba ˆT (2B1. 8)

Claramente vemos que:

baba TTT (2B1. 9)

Portanto, T não é uma transformação linear. Em outras palavras, este não é um tensor

+ Escalares e vetores são algumas vezes chamadas de tensores de ordem zero e

primeira ordem respectivamente. Mesmo pensando que eles podem ser definidos

algebricamente, em termos de certas regras operacionais, nos escolhemos não fazer isto. O

conceito geométrico de escalares e vetores, que nós supomos que os estudantes estão

familiarizados com eles, é igualmente suficiente para a nossa proposta.

42

Exemplo 2B1.2

Seja T uma transformação a qual transforma todo vetor em um vetor que é k vezes

o vetor original. É esta uma transformação tensorial?

Solução

Seja a e b

dois vetores arbitrários e e escalares arbitrários, então por

definição de T, temos:

aka T e bkb

T (2B1. 10)

e

bakba T (2B1. 11)

Claramente vemos que:

bkak

bkak

bakba

T

(2B1. 12)

Logo

baba TTT (2B1. 13)

Então, pela Equação (2B1.2), T é uma transformação linear. Em outras palavras, ele é um

Tensor

No exemplo prévio, se k = 0 então o tensor T transforma todos os vetores em

zero. Este é o tensor zero e é simbolizado por O

.

43

Exemplo 2B1.3

Considere uma transformação T que transforma todo vetor em sua imagem

espelho com respeito a um palno fixo. É T um tensor.

Figura - 2. 4.

Solução

Considere um paralelogramo no espaço com seus lados representados pelos

vetores a e b

e sua diagonal representada pela resultante ba

. Uma vez que o

paralelogramo permanece um paralelogramo após a reflexão, a diagonal (o vetor resultante)

do paralelogramo refletido é claramente )( ba

T , o refletido )( ba

, e bTaT

, a soma

do refletido de a e de b

. Isto é, baba TTT )( . Também, para um escalar qualquer

, a reflexão de a , e obviamente a mesma que vezes a reflexão de a (Isto é,

aa TT )( ) porque ambos os vetores tem a mesma magnitude dada por vezes a

magnitude de a e a mesma direção. Então, pelas Equações (2B1.1) T é um tensor.

Figura - 2. 5.

44

Exemplo 2B1.4

Quando um corpo rígido sofre uma rotação sobre algum eixo, os vetores

descrevem em geral variações em suas direções. Isto é, a rotação transforma vetores descritos

no corpo rígido em outros vetores. Denote esta transformação R. É R um tensor?

Solução

Considere um paralelogramo imerso no corpo rígido com seus lados

representando vetores a e b

e sua diagonal representadndo a resultante ba

. Desde que o

paralelogramo pemanece um paralelogramo após a rotação sobre qualquer eixo, a diagonal (o

vetor resultante) do paralelo rotacionado é claramente ambos )( ba

R , o rotacionado

( ba

), e ba RR , a soma do rotacionado a e o rotacionado b

. Isto é

baba RRR )( . Um argumento similar como aquee usado no exemplo prévio

conduz a )()( aa RR . Então R é um tensor.

Figura - 2. 6.

45

Exemplo 2B1.5

Seja T um tensor que transforma os vetores específicos a e b

de acordo com a

seguinte regra.

baa 2T ; bab

T (2B1. 14)

Dado um vetor bac

2 , ache cT

Solução

baa 2T (2B1. 15)

e

bab

T (2B1. 16)

Usando a propriedade de linearidade dos tensores temos:

babac TTTT 2)2( (2B1. 17)

ou

)()2(2 babac

T (2B1. 18)

logo

babac

3)2(TT (2B1. 19)

46

2B2 – Componentes de um Tensor

Seja uma base ortonormal positivamente orientada de vetores

Figura - 2. 7.

Seja T um tensor

As componentes de um vetor dependem da base de vetores usadas para descrever

as componentes. Isto também será verdade para os tensores. Seja 3,21 ˆ e ˆ,ˆ eee os vetores

unitários da base nas direções dos eixos 321 ,, xxx respectivamente, de um sistema de

coordenadas cartesianas retangulares (base ortonormal). Sob uma transformação T, estes

vetores, 3,21 ˆˆ,ˆ eee tornam-se 1eT , 2eT e 3ˆ eT . Cada um destes )3,2,1(ˆ ieiT sendo um

vetor, pode escrito como:

3332231133

3322221122

3312211111

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

eTeTeTeeTeTeTe

eTeTeTe

TTT

(2B2. 1)

conforme mostra a Figura - 2. 8

Figura - 2. 8.

47

ou em notação indicial temos:

jjii

ii

eTeeTeˆˆ

TT

(2B2. 2)

Multiplicando-se escalarmente a (2B2. 2) por ie é claro que:

333323321331

322322221221

311321121111

;;;;

;;

eeTeeTeeTeeTeeTeeT

eeTeeTeeT

TTTTTT

TTT

(2B2. 3)

São 9 componentes de T na base ie , ou

kiiki

kjjiik

jkjiik

jjikik

Tee

TeeeeTeeeTeee

T

TTT

ˆ

ˆ

(2B2. 4)

Logo de forma geral temos:

jiij eeT T (2B2. 5)

que são as componentes de um tensor.

As componentes ijT nas equações acima são definidas como as componentes do

tensor T. Estas componentes podem ser posta em uma matriz como segue:

333231

232221

131211

321

TTTTTTTTT

T

eee TTT

(2B2. 6)

Este tensor de 2ª ordem possui 32 = 9 elementos. Esta matriz échamada de matriz do tensor T

com relação à série dos vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ou ie abreviamdamente. Nós notamos

que, a forma com que nós temos escolhido para denotar as componentes de transformação dos

vetores da base, os elementos da primeira coluna são as componentes do vetor 1eT , aqueles

48

da segunda coluna são componentes do vetor 2eT , e aqueles da terceira coluna são as

componentes do vetor 3eT .

Exemplo 2B2.1

Obtenha a matriz para o tensor T o qual transforma os vetores da base da seguinte

forma:

3213

3212

3211

ˆ1ˆ3ˆ1ˆ3ˆ0ˆ2ˆ0ˆ1ˆ4

eeeeeeeeeeee

TTT

(2B2. 7)

Solução

Pela equação (2B2. 7) é claro que:

130301124

T (2B2. 8)

Exemplo 2B2.2

Seja T uma transformação linear que transforma todo vetor em sua imagem

espelhada em relação a um plano fixo. Se 1e é normal ao plano de reflexão ( 2e e 3e são

paralelos a este plano). Ache a matriz do tensor T.

Figura - 2. 9.

49

Solução

Uma vez que a normal ao plano de reflexão é transformada em seu negativo e

vetores paralelos ao plano não são alterados, temos:

3213

3212

3211

ˆ1ˆ0ˆ0ˆ0ˆ1ˆ0

ˆ0ˆ0ˆ1

eeeeeeee

eeee

TTT

(2B2. 9)

Pela equação (2B2. 10) é claro que:

ie

T

ˆ100010001

(2B2. 10)

Nós notamos que este é somente uma das inifitas matrizes do tensor T, cada uma

depende de uma escolha particular da base de vetores. Na matriz acima, a esolha de ie é

indicada no canto inferior esquerdo da matriz. Se nós escolhemos 1'e e 2'e estar sobre um

plano perpendicular ao espelho conforme mostra a Figura - 2. 9 e 3'e apontando diretamente

para fora do papel. Então nós temos:

3213

3212

3211

'ˆ1ˆ0ˆ0''ˆ0'ˆ0'ˆ1''ˆ0'ˆ1ˆ0'

eeeeeeeeeeee

TTT

(2B2. 11)

Então, em relação a ie , a matriz do tensor é:

ie

T

'ˆ100001010

(2B2. 12)

Por todo este livro, nós denotaremos a matriz de um tensor T em relação a base ie

por T ou ijT e em relação a base ie'ˆ por 'T ou ijT ' . A última duas matrizes não deve

ser confundida com 'T , o qual representa a matriz do tensor T' com relação a base ie .

50

Exemplo 2B2.3

Seja R correspondente a uma notação positiva de um corpo rígido sobre o eixo x3

por um ângulo . Ache a matriz de R.

Figura - 2. 10.

Solução

A partir da Figura - 2. 10 é claro que:

3213

3212

3211

ˆ1ˆ0ˆ0ˆ0ˆcosˆsen

ˆ0ˆsenˆcos

eeeeeeee

eeee

RRR

(2B2. 13)

Então,

ie

R

ˆ1000cossen0sencos

(2B2. 14)

Figura - 2. 11.

51

2B3 – Componentes de um Vetor Transformado

Dado um vetor a e um tensor T, nós desejamos calcular as componentes de

ab T a partir das componentes de a e das componentes de T. Sejam as componentes de

a em relação a base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee dado por 321 ,, aaa , isto é:

332211 ˆˆˆ eaeaeaa (2B3. 1)

ou na notação indicial de Einstein temos:

iieaa ˆ (2B3. 2)

e

jjebb ˆ

(2B3. 3)

Logo

332211332211 ˆˆˆˆˆˆ eaeaeaeaeaeaab TTTTT

(2B3. 4)

ou

iiii eaeaab ˆˆ TTT

(2B3. 5)

Então

)ˆ.ˆ()ˆ.ˆ()ˆ.ˆ(.ˆ



33323213133

32322212122

31321211111

eeaeeaeeabeb

eeaeeaeeabeb

eeaeeaeeabeb

TTT

TTT

TTT

(2B3. 6)

ou

ijiiiiiiii eTaeaeaebb ˆˆ)ˆ(ˆ TT

(2B3. 7)

Pela equação (2B2. 5), nós temos:

3332321313

3232221212

3132121111

aTaTaTbaTaTaTb

aTaTaTb

(2B3. 8)

52

que corresponde a multiplicar escalarmente ambos os membros da equação (2B3. 7) por ke , e

obter:

kiik

jkjiiiki

kijiikiikiikiik

Tab

Tab

eeTaeeaeeaeebeb

ˆ.ˆˆ.ˆˆ).ˆ(ˆ.ˆˆ. TT

(2B3. 9)

ou

jiji aTb (2B3. 10)

Nós podemos escrever as três equações acima na forma de matriz como:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

aaa

TTTTTTTTT

bbb

(2B3. 11)

ou

jiji aTb

aTb

(2B3. 12)

Nós podemos concisamente derivar a equação (2B3. 8) usando a notação indicial

como segue:

iieaa ˆ (2B3. 13)

nós obtemos:

iiii eaeaa ˆˆ TTT (2B3. 14)

que corresponde a (2B2. 2) portanto

kiik

jkjiiiki

kijiikiikiikiikk

Tab

Tab

eeTaeeaeeaeebebb

ˆ.ˆˆ.ˆˆ).ˆ(ˆ.ˆˆ. TT

(2B3. 15)

A equação (2B3. 15) nada mais é do que a equação (2B3. 8) em notação indicial.

Nós vemos que a equação tensorial ab T , existe uma equação matricial corresponde

53

exatamente da mesma forma, isto é ]][[][ ab T . Esta é a razão pela qual nós adotamos a

convenção de que 3312211111 ˆˆˆ eTeTeTe T , etc. Se nós tivéssemos adotado a convenção

3132121111 ˆˆˆ eTeTeTe T , então nós teríamos obtido ][][][ ab T

T para a equação

tensorial ab T , a qual não seria natural.

Exemplo 2B3.1

Dado um tensor T que transforma a base de vetores como segue:

3213

3212

3211

ˆ2ˆ1ˆ2ˆ1ˆ4ˆ3ˆ4ˆ6ˆ2

eeeeeeeeeeee

TTT

(2B3. 16)

Como este tensor transforma o vetor:

321 ˆ3ˆ2ˆ1 eeea (2B3. 17)

Solução

Usando a equação (2B3. 11) temos:

852

321

214146232

3

2

1

bbb

(2B3. 18)

Ou

321 ˆ8ˆ5ˆ2 eeeb

(2B3. 19)

54

2B4 – Soma de Tensores

Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer. A soma de T com S,

denotada por ST , é definida por:

aaa STST , a (2B4. 1)

Pode-se ver facilmente que esta definição ST é realmente um tensor (porque é uma

trnsformação linear).

Para achar as componentes de ST , seja W o tensor soma de T com S ,

STW , a (2B4. 2)

Usando as equações ( ) e ( ), as componentes de W são obtidas ser:

ii

ii

eeeeˆˆˆˆ

STSTW

(2B4. 3)

onde

jiji

jji

ji

jiij

eeee

eeeee

eeW

ˆ.ˆˆ.ˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ST

STST

W

(2B4. 4)

isto é:

ijijij STW (2B4. 5)

Este resultado é devido a propriedade distributiva do operador linear.

Em notação matricial, nós temos que:

][][][ STW (2B4. 6)

55

2B5 – Produto de dois Tensores

Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer, então TS e ST, são

definidos ser as transformações (facilmente visto ser tensores)

aa STTS (2B5. 1)

e

aa TSST (2B5. 2)

onde

iieaa ˆ (2B5. 3)

Chamando de TSX , então as componentes de TS são:

jijiij eeeeX ˆ.ˆˆ.ˆ STX (2B5. 4)

isto é:

mjimij

immj

innmmj

minmmj

mnmmji

mimj

mmji

mmji

jijiij

STWTSTS

eeTS

eTSeeeSeSeeSe

eeeeTS

ˆˆ

ˆˆ

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ

ˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆ

TT

T

STTS

(2B5. 5)

isto é:

mjimij STTS (2B5. 6)

Portanto de forma análoga temos:

mjimij TSST (2B5. 7)

De fato a equação a equação ( ) é equivalente a equação matricial

56

]][[][ STTS (2B5. 8)

onde, a equação ( ) é equivalente a equação matricial

]][[][ TSST (2B5. 9)

Os dois produtos de matrizes são em geral diferentes. Então, é claro que em geral o tensor

produto não é comutativo, isto é:

STTS (2B5. 10)

Se T ,S e V são três tensores, então:

aaaa VTSVSTSVTSVT (2B5. 11)

e

aaaa SVTVSTSVTTSV (2B5. 12)

isto é

VTSSVT (2B5. 13)

Fica como exercício provar que:

mjnminij VSTTSV (2B5. 14)

57

Então o produto tensorial é associativo. Isto é, portanto, natural definir as potências positivas

integrais de uma transformação por estes simples produtos, tal que:

n vezes

3

2

...

:

TTTT

TTTT

TTT

n

(2B5. 15)

É a definição da potência de tensores.

Exemplo 2B5.1

(a) Seja R um tensor correspondente a uma rotação de corpo rígido sobre o eixo- 3x para a

direita. Ache a matriz de R.

(b) Seja S um tensor correspondente a uma rotação de corpo-rígido sobre o eixo- 1x , para a

direita. Ache a matriz de S.

(c) Ache a matriz do tensor que corresponde a rotação (a) e então a rotação (b).

(d) Ache a matriz do tensor que corresponde a rotação (b) e então a rotação (a).

(e) Considere um ponto P cujas coordenadas iniciais são (1,1,0). Ache a nova posição deste

ponto depois das rotações da parte (c). Ache também a nova posição deste ponto depois das

rotações da parte (d).

Solução

a) Para o tensor R: (90º/x3)

Para esta rotação a transformaçào dos vetores da base é dada por:

2

2

3

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

1

1

1

e ee ee e

RRR

(2B5. 16)

tal que:

0 1 01 0 00 0 1

R (2B5. 17)

b) Para o tensor S: (90º/x1)

58

De forma similar ao iem (a) a transformaçào dos vetores da base é dado por:

1

2 3

2

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

1

1

e ee ee e

SSS

(2B5. 18)

tal que:

1 0 00 0 10 1 0

S (2B5. 19)

c) Uma vez que a aS R SR , a rotação resultante é dada pela simples transformação SR

cujas componentes sào dadas pela matriz:

1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 00 1 0 0 0 1

SR (2B5. 20)

logo

0 1 00 0 11 0 0

SR (2B5. 21)

d) De maneira similar ao item (c) a notação resultante é dada pela simples transformação RS

cujas componentes são dadas pela matriz.

0 1 0 1 0 01 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0

RS (2B5. 22)

logo

0 0 11 0 00 1 0

RS (2B5. 23)

e) Seja r a posição inicial do ponto P. Seja *r e r** a posição rodada de P depois da rotação

da parte (c) e (d) respectivamente. Então

59

0 1 0 1

* 0 0 1 11 0 0 0

r r

SR (2B5. 24)

Logo

1

* 01

r

(2B5. 25)

Isto é:

1 3ˆ ˆ*r e e (2B5. 26)

e

0 0 1 1

** 1 0 0 10 1 0 0

r r

RS (2B5. 27)

Logo

0

** 11

r

(2B5. 28)

Isto é:

2 3ˆ ˆ**r e e (2B5. 29)

Este exemplo ilustra que a ordem das rotações é importante, porque SR RS , ou seja o

produto nào é comutaivo.

60

2B6 – Transposto de um Tensor

Sejam T e TT dois tensores. O transposto de um tensor T, denotado por TT, é

definido ser um tensor que satisfaz a seguinte identidade para todos os vetores a e b

:

. . ,Ta b b a a b T T (2B6. 1)

Pode ser visto facilmente que TT é um tensor.

A partir da definição acima, nós temos que as componentes do tensor TT no

sistema de coordenadas ie é dada por:

ˆ ˆ ˆ ˆ. . Ti j j ie e e eT T (2B6. 2)

Então

Tij ijT T (2B6. 3)

ou matricialmente temos:

TTT T (2B6. 4)

Isto é a matriz de TT é o transposto da matriz de T.

Nós também notamos que pela Equação (2B6. 1) vale a pena observar que:

. . ,TT Ta b b a a b T T

(2B6. 5)

Então

. . ,Ta b b a a b T T (2B6. 6)

Vejamos que:

. . 0TTb a b a T T

(2B6. 7)

ou

0

. 0TTb a a

T T

(2B6. 8)

para 0b

temos que:

61

0TT a a

T T (2B6. 9)

Vejamos que:

0

0TT a

T T

(2B6. 10)

Logo para 0a temos que:

0

0

TT

TT

T T

T T

(2B6. 11)

Portanto,

TT T T (2B6. 12)

Pode-se também ser estabelcido que:

T T TTS S T (2B6. 13)

(veja o problema 2B13) Esta é uma relação que não é trivial.

Sabendo que:

im mjijTS T S TS (2B6. 14)

e

T Tjm mijiij

T T T Tmj im im mj

TS TS T S

T S S T

TS (2B6. 15)

Portanto,

T T TTS S T (2B6. 16)

Isto é, o transposto de um produto dos tensores é igual ao produto dos tensores transpostos na

ordem reversa. Generalizzando temos:

... ... ... ...T T T T T T T TABCD TS Z Z S T D C B A (2B6. 17)

62

2B7 – Produto Diádico de dois Vetores

Sejam dois vetores a e b

quaisquer. O produto diádico de vetores a e b

,

denotado por ab ou a b

é definido ser a transformação na qual transforma um veotr

arbitrário c de acordo com a seguinte regra:

. . , , ,diádico

a b c b c a c b a a b c

(2B7. 1)

Veja que o produto diádico ab é linear, ou seja, agora, para quaisquer

, ,c d e , nós temos, a partir da definição acima que:

( )

.

. .

. .

Linearidade

a b c d a b c d

a b c b d

b c a b d a

a b c d a b c a b d

(2B7. 2)

Portanto, o produo diádico ab é um tensor.

Verificando quais são as componentes do produto diádico ab , temos:

Seja W ab um tensor onde suas componentes são dadas por:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . .ij i j i j i jW e We e a b e e ab e (2B7. 3)

Usando a definição de diádico temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ. .

ˆ ˆ. .

ij i j i j

i n n j

i m m n nj

m i m j m im j

i jij

W e ab e e a be

e a b e e

e a e b

a e e b a b

a b a b

(2B7. 4)

Portanto,

63

ij i jW a b (2B7. 5)

Na notação matricial a Equação (2B7. 5) é

1 1 1 1 2 1 3

2 1 2 3 2 1 2 2 2 3

3 3 1 3 2 3 3

a a b a b a bW a b b b a b a b a b

a a b a b a b

(2B7. 6)

Veja que em particular, as componentes do produto diádico dos vetores da base ie , são:

1 1

1 1 0 0ˆ ˆ 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0e e

(2B7. 7)

e

1 2

1 0 1 0ˆ ˆ 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0e e

(2B7. 8)

Então está claro que ualquer tensor T pode ser representado da seguinte forma:

11 1 1 12 1 2 33 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ....Tensores Tensores TensoresUnitários Unitários Unitários

T e e T e e T e e T (2B7. 9)

ou

11 1 1 12 1 2 33 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ....T e e T e e T e e T (2B7. 10)

isto é:

ˆ îj i jT e eT (2B7. 11)

Nós notamos que há uma outra notação comumente usada para o produto diádico de ea b e

ab a b (2B7. 12)

Portanto,

ˆ îj i jT e e T (2B7. 13)

64

2B8 – Traço de um Tensor

O traço de um tensor produto diádico (díade) ab é definido como:

.tr ab a b (2B8. 1)

Além disso o traço é um operador linear, isto é, satisfaz a seguinte relação:

tr ab cd tr ab tr cd (2B8. 2)

Obs: Todo tensor é um operador linear mas nem todo operador linear é um tensor.

O traço de um tensor é:

11 22 33

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ.

ij i j

ij i j

ij i j

ij ij

ii

tr T tr T e e

T tr e e

T e eT

tr T T T T T

(2B8. 3)

Matricialmente o traço de um tensor e a soma dos elementos da diagonal principal da matriz

do tensor.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T TT T T T

T T T

(2B8. 4)

e

11 22 33tr T T T T (2B8. 5)

É óbvio que:

Ttr T tr T (2B8. 6)

e

Tij jiT T (2B8. 7)

Logo

T Tij iitr T T T (2B8. 8)

65

2B9 –Tensor Identidade e Tensor Inverso

Seja a um vetor qualquer, o tensor identidade (I) é tal que:

,a a a I (2B9. 1)

em particular as componentes de I são dadas por:

ˆ î ie eI (2B9. 2)

onde

ˆ ˆ ˆ ˆ.ij i j i jI e e e e I (2B9. 3)

logo

ij ijI (2B9. 4)

ou

1 0 00 1 00 0 1

I

(2B9. 5)

Matricialmente [I] é a matriz identidade.

É óbvio que:

TI TIT T

(2B9. 6)

e que

a a

a a a

TI T

TI I T T

(2B9. 7)

veja que essa operação é comutativa sempre para qualquer que seja o tensor T.

Dado um tensor T, se existir um tensor S tal que:

ST I (2B9. 8)

então S é o tensor inverso de T

1S T (2B9. 9)

matricialmente

66

S T I (2B9. 10)

onde

1S T (2B9. 11)

S existe desde que o determinante seja diferente de zero:

0T (2B9. 12)

Quando um tensor é inversível, então existe um mapeamento unívoco entre os

vetores a e b

a bT (2B9. 13)

e

1b a T (2B9. 14)

Se 1 T , 0T então

Figura - 2. 12.

Se 1 T , 0T então

Figura - 2. 13.

67

Exercícios

1)

1 1 TT T T I (2B9. 15)

Mas não é tão óbvio que:

2)

1 1 TT T T (2B9. 16)

pois

1 T T I (2B9. 17)

transpondo o produto temos:

1 TT T T I (2B9. 18)

multiplicando os dois lados por 1T T temos:

1 11 TT T T I

T T T T

(2B9. 19)

Logo

11 T T T T (2B9. 20)

3) Provar que:

1 1 1T ST T S (2B9. 21)

68

2B10 – Tensor Ortogonal

Seja a e b

dois vetores quaisquer. Define-se o tensor ortogonal como aquele que

preserva o angulo e os comprimentos dos vetores a e b

Figura - 2. 14.

onde

a Qa e b Qb

(2B10. 1)

Por definição temos que:

. . eQa Qb a b a b (2B10. 2)

transpondo temos:

. . . .Tb Q Q a Qa Qb b a a b (2B10. 3)

e

. .Tb Q Q a a b I (2B10. 4)

logo

TQ Q I (2B10. 5)

e

TT TQ Q I (2B10. 6)

e

TQQ I (2B10. 7)

Mas ainda que:

69

1TQ Q (2B10. 8)


T TQ Q Q Q I (2B10. 9)

Em notação indicial temos:

Tim mj mi mj ijQ Q Q Q (2B10. 10)

Por outro lado temos:

Tim mj im jm ijQ Q Q Q (2B10. 11)

Portanto,

im mj im jm ijQ Q Q Q (2B10. 12)

e o determinante de Q é:

1Q (2B10. 13)

Veja que:

1T TQ Q Q Q (2B10. 14)

como

TQ Q (2B10. 15)

logo

2 1TQ Q Q (2B10. 16)

Portanto,

11

1

Q rotaçãoQ

Q reflexão especular

(2B10. 17)

70

2B11 – Matriz de Transformação entre dois Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Figura - 2. 15.

1 11 1 21 2 31 3

2 12 1 22 2 32 3

3 13 1 23 2 33 3

ˆ ˆ ˆ ˆ'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ'

ˆ ˆ ˆ ˆ'i i mi m

e Q e Q e Q ee Qe Q e e Q e Q e Q e

e Q e Q e Q e

(2B11. 1)

onde Q é um tensor ortogonal o qual:

im jm mi mj ijQ Q Q Q (2B11. 2)

e

T TQ Q Q Q I (2B11. 3)

ou

T TQQ Q Q I (2B11. 4)

e

ˆ ˆ ˆ ˆ. . 'ij i j i jQ e Qe e e (2B11. 5)

logo

ˆ ˆcos . 'ij i jQ e e (2B11. 6)

É a matriz dos cosenos diretores entre os vetores da base ˆ ˆî je e

71

2B12 – Leis de Transformações das Componentes de um Vetor

Seja um vetor a com componentes na base ie

î ia a e (2B12. 1)

na base ie temos:

ˆ' 'i ia a e (2B12. 2)

Onde

ˆ ˆ ˆ' . ' . .i i mi m mi m mi ma a e a Q e Q a e Q a (2B12. 3)

Logo

'i mi ma Q a (2B12. 4)

Matricialmente

1 11 21 31 1

2 12 22 32 2

3 13 23 33 3

'''

a Q Q Q aa Q Q Q aa Q Q Q a

(2B12. 5)

ou

' Ta Q a (2B12. 6)

Transformação inversa:

'i mi ma Q a (2B12. 7)

E

'km

ki i ki mi m kQ a Q Q a a

(2B12. 8)

Logo

'i ij ja Q a (2B12. 9)

Matricialmente

72

1 11 21 31 1

2 12 22 32 2

3 13 23 33 3

'''

a Q Q Q aa Q Q Q aa Q Q Q a

(2B12. 10)

ou

'a Q a (2B12. 11)

73

2B13 – Leis de Transformações das Componentes de um Tensor

Seja T um tensor, com componentes na base ïe e

ˆ ˆ.ij i jT e Te (2B13. 1)

A representação de T em ˆ 'ie :

ˆ ˆ' ' . 'ij i jT e Te (2B13. 2)

Sabendo que:

ˆ ˆ'i mi me Q e (2B13. 3)

temos:

ˆ ˆ' .ˆ ˆ.

ij mi m nj n

mi nj m n

T Q e TQ eQ Q e Te

(2B13. 4)

Logo

'ij mi nj mnT Q Q T (2B13. 5)


' TT Q T Q (2B13. 6)

Transformação Inversa


Logo

ln

ln

'km

ki lj ij ki lj mi nj mn

km mn kl

Q Q T Q Q Q Q T

T T

(2B13. 8)

Portanto,

'ij im jn mnT Q Q T (2B13. 9)


' 'T TT Q T Q T Q T Q (2B13. 10)

74

Para algumas componentes

ˆ ˆ' ' . 'ij i jT e Te (2B13. 11)

e

ˆ

ˆ

ˆ ˆ' ' ' .

iï

ij i j

componentesde e nabase e

T e T e (2B13. 12)

75

2B14 –Definição de um tensor pelas Leis de Transformação

Quando as componentes de um vetor ou tensor em relação a ie são conhecidas,

então suas componenetes em ˆ 'ie são unicamente determinadas. Por exemplo:

Sejam a e b

tais que:

' 'i i mi m mi ma b Q a Q b (2B14. 1)

Logo

0mi m mQ a b (2B14. 2)

Mutiplicando ambos os membros por:

0

00

ri mi m m

mn m m

m m

Q Q a b

a ba b

(2B14. 3)

Portanto,

m ma b (2B14. 4)

Logo podemos definir um tensor em termos de sua lei de transformação:

Tensor de Ordem 0 (ou escalar)

' (2B14. 5)

Tensor de Ordem 1 (ou vetor)

'i mi ma Q a (2B14. 6)

Tensor de Ordem 2 (ou matriz)


Tensor de Ordem 3 (ou supermatriz)

'ijk mi nj rk mnrT Q Q Q T (2B14. 8)

Tensor de Ordem 4 (ou hipermatriz)

'ijkl mi nj rk sl mnrsT Q Q Q Q T (2B14. 9)

:

:

76

Tensor de Ordem n (ou Nmatriz)

... ...' ...ijkl mi nj rk sl mnrsT Q Q Q Q T (2B14. 10)

Seja T um tensor de 3ª ordem

2

ˆ

ˆ

a

i

i iTensorde ordemassociadoadireção e

T e T (2B14. 11)

e

ˆ î k imk mT e T e (2B14. 12)

Multiplicando os dois lados por ˆ je temos:

ˆ ˆ ˆ ˆ. .j i k j imk m

imk jm

e T e e T eT

(2B14. 13)

Logo

ˆ ˆ ˆ.ijk j i kT e e e T (2B14. 14)

Concluimos portano que,

Um um Tensor de Ordem n associa a um vetor (tensor de ordem 1) um Tensor de Ordem n-1.

ou ainda

Um um Tensor de Ordem n associa a um tensor de ordem r um Tensor de Ordem n - r.

a) Regra da Adição de Tensores

Seja Tij e Sij são componentes de 2 tensores, então ij ijT S são componentes de

um tensor

'

'' '

ij mi nj mn

ij mi nj mn

ij ij mi nj mn mn

T Q Q TS Q Q S

T S Q Q T S

(2B14. 15)

77

b) Regra da Multiplicação

Por exemplo seja a e b

vetores:

ia e ib (componenetes de a e b

no sistema ie ) e 'ia e 'ib (componenetes de

a e b

no sistema ˆ 'ie )

' 'i j mi m nj n mi nj pk m ma b Q a Q b Q Q Q a b (2B14. 16)

Logo i ia b é um tensor de 2ª ordem

3

' ' 'a

i j k mi m nj n pk n mi nj pk m n p

Tensor de ordem

a a b Q a Q a Q b Q Q Q a a b

(2B14. 17)

Contraindo i j k i i ka a b a a b temos:

1 ( )

' ' '

' ' 'a

i i k mi m ni n pk p

mi ni pk m n p

mn pk m n p

i i k pk n n p

Tensor de ordem vetor

a a b Q a Q a Q bQ Q Q a a b

Q a a ba a b Q a a b

(2B14. 18)

c) Regra do Quociente

Sejam ia os componentes de um vetor e ijT as componentes de um tensor

arbitrário (de 2ª ordem) onde i ij ja T b é válida para qualquer sistema de coordenadas. Então

ib são as componentes de um vetor.

i ij pvetor Tensor vetor

a T b (2B14. 19)

Logo

'i mi ma Q a (2B14. 20)

e

'ij im jn mnT Q Q T (2B14. 21)

Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos:

78

' 'im m im jn mn jQ a Q Q T b (2B14. 22)

A equação i ij ja T b vale para qualquer sistema de coordenadas. Portanto,

' ' 'm mn na T b (2B14. 23)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

' ' 'im mn n im jk mn jQ T b Q Q T b (2B14. 24)

Multiplicando os dois lados por ikQ temos:

' ' 'mn km

ik im mn n ik im jn mn jQ Q T b Q Q Q T b

(2B14. 25)

e

' ' 'kn n jn kn jT b Q T b (2B14. 26)

Então

' ' 0kn n jn jT b Q b (2B14. 27)

Para ' 0knT

'n jn jb Q b (2B14. 28)

Que é um tensor de 1ª ordem (vetor)

79

2B15 – Tensor Simétrico e Tensor Antisimétrico

Um tensor T é dito ser simétrico se

TT T (2B15. 1)

Ou

Tij ij jiT T T (2B15. 2)


11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

TT T T T T TT T T T T TT T T T T T

T (2B15. 3)

Ou seja

11 12 13 11 21 31

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 23 33

T T T T T TT T T T T TT T T T T T

T (2B15. 4)

Um tensor T é dito ser antissimétrico se

T T T (2B15. 5)

Ou

Tij ij jiT T T (2B15. 6)


12 13 12 13

21 23 21 23

31 32 31 32

0 00 0

0 0

TT T T TT T T TT T T T

T (2B15. 7)

Ou seja

12 13 21 31

21 23 12 32

31 32 13 23

0 00 0

0 0

T T T TT T T TT T T T

T (2B15. 8)

Qualquer tensor T de 2ª ordem pode ser decomposto na soma de um tensor

simétrico com um antissimétrico.

80

S A T T T (2B15. 9)

onde:

2

TS

T TT (2B15. 10)

e

2

TA

T TT (2B15. 11)

onde

2 2

Tij ij ij jiS

ij

T T T TT

(2B15. 12)

Se o próprio tensor T for simétrico temos:

22

ijSij ij

TT T (2B15. 13)

e

2 2

Tij ij ij jiS

ij

T T T TT

(2B15. 14)

Se o próprio tensor T for antissimétrico temos:

22 2

ij ji ijAij ij

T T TT T

(2B15. 15)

Exercício:

Mostre que esta decomposição é única.

81

2B16 – Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico

Seja T um tensor antisimétrico. Define-se o dual de T como:

,Aa t a a T (2B16. 1)

Figura - 2. 16.

Figura - 2. 17.

Componentes do vetor dual:

ˆ ,ˆ

,

A Aljk i j k

kj j k

Akj j ljk l j

Akj ljk l

t a t a e aT a e

T a t a a

T t

(2B16. 2)

então

2

2 2

2il

A A Aijk kj ijk ljk l il l i

Aijk kj ijk jk i

T t t t

T T t

(2B16. 3)

então

2ijk kjA

i

Tt

(2B16. 4)

ou

82

ˆ2ijk kjA

ï

Tt e

(2B16. 5)

Portanto,

1 23

2 31

3 12

A

A

A

t Tt T

t T

(2B16. 6)

83

2B17 – Autovalor e Autovetor de um Tensor

Sendo T um tensor de 2ª ordem

a aT (2B17. 1)

O vetor a é o valor escalar que verificam a igualdade acima são denominados

auto-vetor e auto-valor, respectivamente do tensor T.

Figura - 2. 18.

Qualquer vetor // a a também é auto-vetor.

a a a T T (2B17. 2)

Exemplo:

onde 1 ,a a a I (2B17. 3)

Como determinar os auto-valores e auto-vetores.

Seja n um auto-vetor unitário

ˆ ˆ ˆn n n T I (2B17. 4)

e

ˆ 0n T (2B17. 5)

onde

0ij ij jT (2B17. 6)

ou

84

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0

0

0

T T T

T T T

T T T

(2B17. 7)

A solução trivial é:

1 2 3 0 (2B17. 8)

para não seja válida só a solução trivial devemos ter:

det 0 T I (2B17. 9)

ou

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

Equação característica doTensor T

T T TT T TT T T

T I

(2B17. 10)

a equação característica do tensor T que fornece os auto-valores .

85

2B18 – Valores Principais e Direções Principais de um Tensor Real Simétrico

Os auto-valores de um tensor simétrico real são também reais. Para tensor

simétrico real existem sempre, pelo menos, 3 auto-vetores também chamados de direções

principais. Os correspondentes auto-valores são chamados valores principais.

Sejam 1n e 2n auto-vetores de 1 e 2 , respectivamente:

1 1 1

2 2 2

ˆ ˆˆ ˆn nn n

TT

(2B18. 1)

Multiplicando uma equação por 1n e a outra por 2n

2 1 1 2 1

1 2 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. .n n n nn n n n

TT

(2B18. 2)

e

1 2 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . .Tn n n n n n n n T T T (2B18. 3)

Fazendo ( ) – ( ):

1 2 1 2ˆ ˆ. 0n n (2B18. 4)

Se 1 2 , então 1 2ˆ ˆn n . Logo as direções principais são mutuamente ortogonais.

Suponha que 1 2ˆ ên n são auto-vetores de um mesmo auto-valor.

1 1 1

2 2 2

ˆ ˆˆ ˆn nn n

TT

(2B18. 5)

onde é valido a seguinte combinação linear

1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn n n n n n T T (2B18. 6)

temos:

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆn n n n T (2B18. 7)

Logo, qualquer combinação linear entre 1 2ˆ ên n também um auto-vetor de .

Suponha que 1 e 2 3 e associado a 1 temos o auto-vetor 1n . Pode-se

mostrar que os auto-vetores associados a 2 3ˆ ên n estão em um plano 1n .

86

Figura - 2. 19.

Portanto, é possível tomar 1 2 3ˆ ˆ ˆ, en n n mutuamente ortogonais.

Suponha que 1 2 3 os auto-vetores associados a eles são quaisquer

direção.

Portanto, para em tensor simétrico real as direções principais são sempre

mutuamente ortogonais.

87

2B19 – Matriz de Tensor em relação as Direções Principais

Considerando que:

ˆ ˆ.ij i jT n n T (2B19. 1)

satisfazendo

ˆ ˆ.ˆ ˆ.

ˆ ˆ.ij

ij i j

i j j

j i j

j ij

T n nn n

n n

T

(2B19. 2)

onde Tij é uma matriz diagonal

ij iT (2B19. 3)

ou seja

11 1 1 1 1 1 1

12 1 2 1 2 2

13 1 3 1 3 3

22 2 2 2 2 2 2

23 2 3 2 3 3

33 3 3 3 3 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0

:ˆ ˆ ˆ ˆ. .

T n n n nT n n n nT n n n nT n n n nT n n n n

T n n n n

TTTTT

T

(2B19. 4)

Formando então a seguinte matriz diagonal

1

2

3

0 00 00 0

inT

(2B19. 5)

Seja ˆ 'íe uma base qualquer. Então,

3 11 22 33 1' ; ' , 'T T T (2B19. 6)

Desde que:

1 1 2 3

3 1 2 3

max , ,

min , ,

(2B19. 7)

88

Prova:

Seja

1 2 3

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ'

1ie n n n

(2B19. 8)

onde

2 2 211 1 1 1 2 3ˆ ˆ' ' . 'T e e T (2B19. 9)

e

2 2 2 2 2 21 1 1 2 3 11

2 2 2 2 2 23 3 1 2 3 11

'

'

T

T

(2B19. 10)

Portanto,

3 11 1'T (2B19. 11)

89

2B20 – Invariantes Escalares de um Tensor

Dada a equação característica:

0ij ijT (2B20. 1)

Esta é uma equação cúbica em que pode ser escrita como:

3 21 2 3 0I I I (2B20. 2)

Observe que os auto-valores são independentes da base ie . Portanto, os coeficientes I1, I2,

I3, são invariantes independentes da base ie utilizada no cálculo, onde

1 iiI T tr T (2B20. 3)

e

22 23 11 1311 122

32 33 31 3321 22

T T T TT TI

T T T TT T

(2B20. 4)

ou

2 22

1 12 2ii jj ij jiI T T T T trT tr T (2B20. 5)

e

3 detI T (2B20. 6)

Representando T na base das direções principais temos:

1

2

3

0 00 00 0

inT

(2B20. 7)

onde

1 1 2 3I (2B20. 8)

e

2 1 2 2 3 1 3I (2B20. 9)

e

90

3 1 2 3I (2B20. 10)

91

2. 5 - Parte – C: Cálculo Tensorial

2C1 – Funções Tensoriais de um Escalar

Seja tTT uma função tensorial de um escalar t (tal como o tempo).

Figura - 2. 20.

1) A derivada de T com respeito a t é definida ser um tensor de segunda ordem dao por:

t

tTttTdtdT

t

0

lim (2C1. 1)

na forma indicial a derivada de cada elemento da matriz é dado por:

dtdT

ttTttT

dtdT

ij

ijij

tij

0lim

(2C1. 2)

As seguintes identidades podem ser facilmente estabelecidas.

2)

dt

STddt

STd

(2C1. 3)

ou

ijijij

ijST

dtd

dtSTd

dtSTd

(2C1. 4)

logo

92

dt

dSdt

dTdt

STddt

STd ijijij

ij

(2C1. 5)

3)

dt

Ttddt

Ttd

(2C1. 6)

ou

dt

Ttddt

Ttddt

Ttd ijij

ij

(2C1. 7)

e

ijijij T

dttd

dtdT

tdt

Ttd

(2C1. 8)

Portanto,

Tdt

tddtdTt

dtTtd

(2C1. 9)

4)

dtTSd

dtTSd

(2C1. 10)

e

mjimij

ijST

dtd

dtTSd

dtTSd

(2C1. 11)

e

dt

dST

dtdS

TSTdtd mj

immj

immjim (2C1. 12)

Portanto,

93

dtdST

dtdSTTS

dtd

(2C1. 13)

5)

dtTad

dtTad

(2C1. 14)

e

jijij

ijaT

dtd

dtTad

dtTad

(2C1. 15)

e

dt

dTa

dtda

TaTdtd ij

jj

ijjij (2C1. 16)

Portanto,

dtadT

dtadTaT

dtd

(2C1. 17)

Para provar a equação (2C1. 17), nós usamos a definição (2C1. 1)

t

tatTttattTaTdtd

t

0

lim (2C1. 18)

Somando e subtraindo o termo ttatT temos:

t

ttatTttatTtatTttattTaTdtd

t

0

lim

(2C1. 19)

e

t

tatTttatTttatTttattTaTdtd

t

0

lim (2C1. 20)

Ou

t

tattatTttatTttTaTdtd

t

0

lim (2C1. 21)

94

Ou

t

tattatTt

ttatTttTaTdtd

tt

00

limlim (2C1. 22)

Então

dtadTa

dtdTaT

dtd

(2C1. 23)

6)

dtTd

dtdT TT

(2C1. 24)

e

dtTd

dtTd

dtdT T

ijTij

ij

T

(2C1. 25)

e

Tij

Tij

dtdT

dtTd

(2C1. 26)

Portanto,

TT

dtdT

dtTd

(2C1. 27)

95

Exemplo 2C1.1

Mostre que em coordenadas cartesianas as componentes de dtdT / isto é,

ijdtdT

são dadas pelas derivadas das componentes

dtdTij

Solução

Sendo ijT dada por:

jiij eeT ˆˆ T (2C1. 28)

Desde que os vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee são fixos temos:

0ˆˆˆ 321

dted

dted

dted (2C1. 29)

Então

ji

ji

jiij edtde

dted

edt

eeddt

dTˆˆ

ˆˆ

ˆˆ TTT (2C1. 30)

Logo

jiij e

dtde

dtdT

ˆˆ T (2C1. 31)

Portanto,

ij

ij

dtdT

dtdT

(2C1. 32)

96

Exemplo 2C1.2

Mostre que para um tensor ortogonal tQ , TQdtdQ

é um tensor antisimétrico.

Solução

Desde que IQQT , nós temos:

0dt

IdQdtdQ

dtdQQ

dtQQd T

TT

(2C1. 33)

Isto é:

TT

QdtdQ

dtdQQ (2C1. 34)

Sendo

TT

dtdQ

dtdQ

(2C1. 35)

(Veja a equação 2C1.2e) Então:

TT

QdtdQ

dtdQQ

(2C1. 36)

Mas

TT

T

QdtdQ

dtdQQ

(2C1. 37)

(Veja a equação 2C1.2e) Portanto,

dtdQQQ

dtdQ TT

T

(2C1. 38)

Ou seja, sendo TQdtdQA / então

AAT (2C1. 39)

97

Exemplo 2C1.3

Uma rotação de um corpo rígido dependente do tempo ao redor de um ponto fixo

pode ser representado por um tensor rotação tR , tal que um vetor posição or

é

transformado por meio da rotação em um vetor ortRtr . Derive a equação:

rdtrd

(2C1. 40)

onde

é o vetor dual do tensor antissimétrico TRdtdR / .

A partir da equação bem conhecida na cinemática do corpo rígido, nós podemos

identificar

com a velocidade angular do corpo.

Solução

A partir de ortRtr temos:

ordtdR

dtrd (2C1. 41)

mas or

pode ser escrito a partir de:

ortRtr (2C1. 42)

como

oI

TT rtRtRtrtR

(2C1. 43)

logo

trtRr To

(2C1. 44)

Substituindo (2C1. 44) em (2C1. 41) temos:

trtRdtdR

dtrd T (2C1. 45)

Mas TRdtdR / é um tensor antissimétrico (veja Exemplo 2C1.2) tal que:

98

rtrRdtdR

dtrd T

(2C1. 46)

onde

é o vetor dual do tensor antissimétrico TRdtdR / .

99

2C.2 – Campo Escalar, Gradiente de uma Função Escalar

Seja um ponto P, localizado por um vetor r a partir de uma origem O de um

sistema de coordenadas, formado pela base de vetores ortogonais, 321 ˆ,ˆ,ˆ eee , conforme mostra

a Figura - 2. 21.

Figura - 2. 21. Função potencial e o seu gradiente.

Seja r uma função de um valor escalar da posição do vetor r

escalarcampovetorescalar

rr : (2C3. 1)

Isto é, para cada posição r , r dá o valor de um escalar, tal como a densidade,

temperatura ou potencial elétrico no ponto. Em outras palavras, r descreve um campo

escalar. Associado com um campo escalar, existe um campo vetorial, chamdo de gradiente de

, o qual é de considerável importância

O gradiente de em um ponto r é definido ser um vetor (denotado por grad, ou

por r ) tal que seu produto com rd fornece a diferença dos valores do escalar em

rdr e r , isto é,

vetorvetorescalar

definido rdrdrrdrd . (2C3. 2)

r : é um vetor dado pela regra do quociente.

chamando de

redrrd ˆ (2C3. 3)

100

onde rddr

Se dr denota a magnitude de rd , e re é um vetor unitário na direção de rd (note

que: drrde /ˆ ), então a equação acima dá para rd na direção re ,

.ˆ.

d r dr

d r dr e

(2C3. 4)

ou

ˆ.

d rdrd r edr

(2C3. 5)

Isto é, a componente de r na direção de e dá a taxa de variação de naquela direção (a

derivada direcional).

Seja uma base ortonormal ie . Em particular, as componentes de r na

direção de 1e é dada por:

1

111

ˆ.na direçãoê

dr edr x

(2C3. 6)

De forma semelhante para as demais direções temos:

2

222

ˆ.na direçãoê

dr edr x

(2C3. 7)

e

3

333

ˆ.na direçãoê

dr edr x

(2C3. 8)

Portanto, as componentes cartesianas de r são:

1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆr e r e r e

(2C3. 9)

isto é:

101

1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ.d r e r e r e e

dr

(2C3. 10)

Do cálculo de variação de funções temos:

1 2 31 2 3

d dx dx dxx x x

(2C3. 11)

Logo, comparando (2C3. 11) com (2C3. 4) vemos que:

1 2 31 2 3d r dx r dx r dx

(2C3. 12)

Portanto, de (2C3. 12) e (2C3. 4), temos que, no sistema de coordenadas

cartesiano o vetor gradiente é dado por:

1 2 31 2 3

ˆ ˆ ˆr e e ex x x

(2C3. 13)

Significado do Vetor Gradiente

O vetor gradiente possui uma interpretação geométrica simples. Por exemplo, se

r descreve um campo de temperatura, então, sobre uma superfície de temperatura

constante (i. e. sobre uma superfície isotérmica), uma constante . Seja r um ponto sobre

esta superfície. Então para toda e qualquer vizinhança do ponto r dr sobre a mesma

superfície isoterma, 0d . Então

. 0d r dr (2C3. 14)

Suponha uma curva onde constante , conforme mostra a Figura - 2. 22.

Figura - 2. 22. Função potencial e o seu gradiente.

102

ˆ. rd r edr

(2C3. 15)

como

ˆne (2C3. 16)

temos:

ˆ ˆ.n rd e edr (2C3. 17)

ou

ˆ ˆcos ,d n rdr (2C3. 18)

Como ˆ ˆ ˆr ne e e

ˆ ˆ ˆ.n nd e e edr (2C3. 19)

logo

1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ. .n n nd e e e edr

(2C3. 20)

A derivada direcional é máxima para ˆ ˆcos , 1n r , logo nesta direção teremos:

ddr (2C3. 21)

ou seja, para a direção perpendicular a cte .

Portanto, se

ˆ. 0rd r edr

(2C3. 22)

para uma cte . Então é um vetor perpendicular a superfície no ponto r , ou seja

e (2C3. 23)

e

103

ˆ// e (2C3. 24)

Por outro lado, o produto escalar de .r dr é máximo quando dr está na

mesma direção de . Pois sendo

. 0d dr (2C3. 25)

O vetor aponta na mesma direção de máxima variação de . Logo

ˆ ˆ.d n dr r (2C3. 26)

ou

ˆ ˆ ˆ ˆ. cos ,d dr n r dr n r (2C3. 27)

para ˆ ˆ, 0n r temos d que é o valor máximo que d pode assumir. Logo o

gradiente representa a direção e sentido de máxima variação de d .

cosd dr (2C3. 28)

Em outras palavras, para 0 , o é o maior valor se dr é normal a superfície

constante, e neste caso,

ddr (2C3. 29)

104

Exemplo 2C2.1

Se 1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x , ache o vetor unitário n normal a superfície de uma

constante passando ponto 1 2 3, , 2,1,0P x x x

Solução

Sendo

1 2 31 2 3

ˆ ˆ ˆr e e ex x x

(2C3. 30)

para

1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x (2C3. 31)

Logo

2 1 1 2 3ˆ ˆ ˆ1r x e x e e (2C3. 32)

No ponto 1 2 3, , 2,1,0P x x x temos:

1 2 3ˆ ˆ ˆ1 2 1r e e e (2C3. 33)

Então

1 2 3

2,1,0 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 12,1,0 6

n e e e

(2C3. 34)

105

Exemplo 2C2.2

Se q denota o vetor fluxo de calor (taxa de calor/por área), a lei de condução de

Fourier estabeelce que:

q k (2C3. 35)

Onde é o campo de temperatura e k é a condutividade térmica. Se 2 21 22 x x , ache

em 1,0A e 1/ 2,1/ 2B . Esboçe as curvas de constante (isotermas) e indique os

vetores q nos dois pontos.

Solução

Desde que:

1 2 31 2 3

ˆ ˆ ê e ex x x

(2C3. 36)

para

2 21 22 x x (2C3. 37)

temos:

1 1 2 2 3ˆ ˆ ˆ4 4 0x e x e e (2C3. 38)

Portanto,

1 1 2 2 3ˆ ˆ ˆ4 0q k x e x e e (2C3. 39)

No ponto 1,0A temos:

14Aq ke (2C3. 40)

e no ponto 1/ 2,1/ 2B

1 2 3ˆ ˆ ˆ2 2 0Bq k e e e (2C3. 41)

Claramente, as isotermas, mostrada na Figura - 2. 41, são circulos e o fluxo de calor está na

direção do vetor radial voltado para dentro.

106

Figura - 2. 23. Isotermas de um campo escalar.

107

Exemplo 2C2.3

Uma lei de condução de calor mais geral pode ser dada na seguinte forma:

q K (2C3. 42)

onde K é um tensor conhecido como tensor condutividade térmica.

a) Qual é o tensor K que corresponde a lei de Fourier para a condução de calor mencionada

no exemplo anterior?

b) Se é conhecido que K é simétrico, mostre que existem no mínimo três direções nas quais o

fluxo de calor é normal à superfície de temperatura constante.

c) se 1 22 3x x e

2 1 01 2 0

0 0 3K

(2C3. 43)

Solução

a) Claramente vemos que para o exemplo anterior onde K era um escalar (ou pseudo-escalar)

o tensor correspondente pode ser escrito como:

kK I (2C3. 44)

tal que:

q k k I (2C3. 45)

b) Para o tensor K simétrico, nós sabemos da secção 2B.18 que existem no mínimo três

direções principais, 1 2 3ˆ ˆ ˆ, e n n n tal que:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

n k nn k nn k n

KKK

(2C3. 46)

onde 1 2 3, e k k k são os auto-valores de K . Então, para na direção de 1n temos:

1 1

1 1 1

ˆ

ˆ ˆq n

n k n

K K

K

(2C3. 47)

108

Mas 1n , sendo na mesma direção que , é perpendicular à superfície de constante. Então

1q é normal a superfície de temperatura constante. De forma similar, 2q é norma a superfície

de temperatura constante, etc.

Nós notamos que se 1 2 3, e k k k são todos distintos, as equações indicam que

diferentes condutividades térmicas nas três direções principais.

c) Desde que:

1 22 3x x (2C3. 48)

e

1 2 3ˆ ˆ ˆ2 3 0e e e (2C3. 49)

Nós temos:

2 1 0 2 11 2 0 3 4

0 0 3 0 0q

(2C3. 50)

i. e.

1 2 3ˆ ˆ ˆ1 4 0q e e e (2C3. 51)

o qual está claramente em uma direção diferente da normal

Figura - 2. 24. Isotermas de um campo escalar.

109

2C.3 – Campo Vetorial, Gradiente de um Campo Vetorial

Seja um ponto P, localizado por um vetor r a partir de uma origem O de um

sistema de coordenadas formado pela base de vetores ortogonais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , conforme mostra a

Figura - 2. 25.

Figura - 2. 25.

Seja v r uma função vetorial de um valor vetorial r da posição do vetor r ,

descrevendo, por exemplo, o deslocamento ou um campo de velocidades

:vetorvetor campo

vetorial

v r v r

(2C3. 52)

Isto é para cada posição r , v r dá o valor de um vetor, tal como a velocidade, a aceleração,

ou a deformação no ponto, etc. Em outras palavras, v r descreve um campo vetorial.

Associado com o campo vetorial v r , existe um campo tensorial v r , chamado de

gradiente de v r , o qual é de importância considerável.

O gradiente de v (denotado por v ou grad v ) é definido ser o tensor de

segunda ordem no qual, quando operado sobre dr dá a diferença de v em r dr e r . Isto é,

.definido

Tensor vetorvetor

dv r v r dr v r dv r v dv (2C3. 53)

v : é um tensor de 2ª ordem dado pela regra do quociente, e

ˆdr dre (2C3. 54)

onde dr dr . Se dr denota a magnitude de dr e e é um vetor unitário na direção de dr

(note ˆ /e dr dr ), então a equação acima dá para dr na direção e ,

110

ˆ ˆdv vdre dr ve (2C3. 55)

logo

ˆ

dv vdrdv v edr

(2C3. 56)

Portanto, dv é a variação de v na direção de e . Isto é, a componente de v na direção de e

dá a taxa de variação de v naquela direção.

Seja uma base ortonormal ie . Em particular, as componentes de v na direção

1e é dada por:

1

1 111

ˆ

ˆ ˆ.nadireçãoe

dv vv v e na direção edr x

(2C3. 57)

De forma semelhante para as demais direções temos:

2

2 222

ˆ

ˆ ˆ.nadireçãoe


(2C3. 58)

e

3

3 333

ˆ

ˆ ˆ.nadireçãoe


(2C3. 59)

De forma geral temos:

ˆ

ˆ.nadireçãoe

dv v edr

(2C3. 60)

Então o tensor de segunda ordem v transforma o vetor unitário e no vetor que descreve a

taxa de variação de v naquela direção. Então as componentes de v em coordenadas

cartesianas são:

1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆv v e v e v e

(2C3. 61)

isto é:

111

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ˆˆ ˆ

ˆ

n

t

v v v edv v e v v v edr

v v v e

(2C3. 62)

Logo as componenetes na diagonal principal da matriz é:

ˆ

ˆ ˆ. ( )

i

i inadireção ie

dv v v e na direção edr x

(2C3. 63)

ou

ˆ .ˆ ˆ ˆ ˆ. . . ii i i iij

i i

e vvv e ve e ex x

(2C3. 64)

e

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

i j j

iji

j i j

i

j ij

i

iij

i

e v ev

x

v e ex

vx

vvx

(2C3. 65)

As componentes fora da diagonal principal da matriz é dada por de forma geral como:

ˆ

ˆ.

j

jnadireção je

dv v v edr x

(2C3. 66)

ou

ˆ .ˆ ˆ ˆ ˆ. . . ii j i iij

j j

e vvv e ve e ex x

(2C3. 67)

e

112

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

i k kij

j

k i j

j

k ik

j

iij

j

e v ev

x

v e ex

vx

vvx

(2C3. 68)

Portanto, a matriz v é dada por:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

v v vx x xv v vvx x xv v vx x x

(2C3. 69)

é o tensor gradiente de um campo vetorial v .

A interpretação geométrica de v será dada posteriormente em conexão com a

cinemática da deformação. O que se pode adiantar é que:

i i

j j

v xx x t

(2C3. 70)

trocando a ordem das derivadas temos:

i i

j j

v xx t x

(2C3. 71)

Como iij

j

xx

é uma “deformação” então

ijiij

j

vx t

(2C3. 72)

ou seja ijv esta relacionado com a taxa de deformação, normal para os elementos da

diagonal principal principal da matriz e tangencial, para os elementos fora da diagonal

principal.

113

Generalizando o gradiente para um campo tensorial temos:

12 1

.Tensor Tensor Vetorde ordem de Tensorn vetor ordem de ordem

n n

dT dr

T (2C3. 73)

114

2C.4 – Divergência de um Campo Vetorial e Divergência de um Campo Tensorial

Seja v r um campo vetorial. A divergência de v r é definida ser um campo

escalar dado pelo traço do gradiente de v . Isto é,

ii

div v tr v

v

(2C4. 1)

com referência a uma base de coordenadas cartesianas retangulares, os elementos da diagonal

de v são, 31 2

1 2 3

, e vv vx x x

, então:

31 2

1 2 3

vv vdiv vx x x

(2C4. 2)

ou

m

m

vdiv vx

(2C4. 3)

Interpretação Física do Divergente

Seja uma partícula de um meio contínuo envolta por um elemento de volume

infinitesimalmente de dimensões, 1 2 3, ,dx dx dx , conforme mostra a

Figura - 2. 26.

Tomando o fluxo, de v na superfície de norma n , definido como:

ˆ.v ndS (2C4. 4)

para cada face (elemento de superfície) do elemento de volume.

115

Figura - 2. 27.

O div v é o fluxo líquido de v pela superfície do paralelepípedo, ou seja, é o

balanço de quanto fluxo saiu e quanto fluxo entrou no elemento de volume, por unidade de

volume, ou seja,

ddiv vdV

(2C4. 5)

ou

ˆ.ddiv v v ndSdV

(2C4. 6)

Portanto, o divergente determina matematicamente qual é a origem do campo

vetorial. Observe o exemplo do campo gravitacional.

Tomando-se o fluxo, , do campo gravitacional, g ao redor de uma massa de

geometria esférica, temos:

Figura - 2. 28.

116

ˆ.g ndS (2C4. 7)

para um campo g constante ao longo de toda a superfície S que envolve a massa M, temos:

ˆ ˆ.g r ndS (2C4. 8)

e

cos

cos

g dS

gS

(2C4. 9)

Sendo 24S r e cos 1 para 0 temos:

24 gr (2C4. 10)

Tomando a derivada do fluxo, , de g em relação ao volume temos:

24d grddV dV

(2C4. 11)

Para o módulo do campo gravitacional dado por 2

Mg Gr

, o fluxo é

4 GM (2C4. 12)

derivando em relação ao volume fornece a densidade de massa que é o divergente do campo

g , ou seja:

. 4 4dMgdV

(2C4. 13)

117

Divergência de um Campo Tensorial

Seja T r um campo tensorial de segunda ordem, A divergência de T é definido

ser um campo vetorial, denotado por divT , tal que para qualquer vetor a , tem-se:

. T T

vetor vetorvetor matriz

escalarescolar escalar

div T a div T a tr T a

(2C4. 14)

Para achar as componentes cartesianas do vetor divT , seja b divT

, então a

partir da (2C4. 14), temos que:

0

ˆ ˆ.

ˆ ˆ

i i i

T Ti i i

b b e div T e

b div T e tr T e

(2C4. 15)

Note que ˆ 0ïe para coordenadas cartesianas, logo

ˆ ˆ0

ˆ

T Ti i mi m

T imi mi m

m

b div T e div T e

Tb div T ex

(2C4. 16)

logo

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ î i i i

i i ii

b div T e T e T eT T Tbx x x

(2C4. 17)

comparando com o div v temos:

32

1 2 3

i mi

m

v v vvbx x x x

(2C4. 18)

Em outras palavras, em um sistema de coordenadas cartesianos as componentes ib

do divT são dadas por:

îmi

m

Tdiv ex

T (2C4. 19)

118

Observe que:

Se

iidiv tr T T T (2C4. 20)

Então

. T Tdiv a div T a tr T a T (2C4. 21)

logo

. T Ttr a tr T a tr T a T (2C4. 22)

O gradiente levanta a ordem de um tensor de ordem n para a ordem n+1.

O divergente abaixa a ordem de um tensor de ordem n para a ordem n-1.

119

Exemplo 2C4.1

Se r e a a r mostre que:

.div a div a a (2C4. 23)

Solução

Seja b a , Então i ib a e

i ii

i i i

b adivb ax x x

(2C4. 24)

E

.div b div a a (2C4. 25)

Portanto,

.div a div a a (2C4. 26)

120

Exemplo 2C4.2

Dado r e T r , mostre que

div T T divT (2C4. 27)

Solução

Nós temos, a partir da Equação (2C4. 19) que:

ˆ ˆ îj ij

i ij i ij j j

T Tdiv T e T e e

x x x

(2C4. 28)

mas

îj ij

T e Tx

(2C4. 29)

e

îji

j

Te divT

x

(2C4. 30)

Portanto, o resultado desejado segue:

div T T divT (2C4. 31)

121

Operador Laplaciano

Seja v um vetor onde v x . Seja a derivada de v em relação as coordenadas

i

j

vvx

(2C4. 32)

Define-se o Laplaciano como:

2

j i

uux x

(2C4. 33)

onde u é escalar, ou seja

u u x (2C4. 34)

e

i

uvx

(2C4. 35)

Fazendo a contração de i com j temos:

2 2 22

2 2 21 2 3i i

u u u uux x x x x

(2C4. 36)

ou seja

2

i i

uux x

(2C4. 37)

122

Algumas Propriedades dos Operadores Diferenciais

i)

.div v div v v grad (2C4. 38)

ii)

. .div u v v rot u u rot v (2C4. 39)

iii)

. .rot u v v grad u u grad v udivv vdivu (2C4. 40)

iv)

. . .grad u v u grad v v grad u u rot v v rot u (2C4. 41)

Lembrando que:

1 2 31 2 3

. ii i

grad v grad v v v vx x x x x

(2C4. 42)

123

2C.5 – Rotacional de um Campo Vetorial

Seja v r um campo vetorial. O rotaional de v é definido ser o campo vetorial

dado por duas vezes o vetor dual da parte anti-simétrica do tensor v . Isto é:

2 Arot v t (2C5. 1)

Onde At

e o dual de Av .

Portanto, rot v é um campo vetorial. Em um sistema de coordenadas

cartesaianas retangulares as componentes i, j do vetor anti-simétrico do tensor v são dadas

por:

31 2 1

2 1 3 1

31 2 2

2 1 3 2

32

3 2

1 102 2

1 102 2

1 1 02 2

A

vv v vx x x x

vv v vvx x x x

vv v vx x x x

(2C5. 2)

ou

1 12 2

A j Tiij

j iTensor antissimétricodo gradiente de v

vvv v vx x

(2C5. 3)

Por definição temos:

2 AAi ijki ij

rot v t v (2C5. 4)

ou

12

12

12

jiijki

j i

jiijk ijk

j i

jijk ijk

k

vvrot vx x

vvx x

vx

(2C5. 5)

Portanto,

124

jijki

k

vrot v

x

(2C5. 6)

Logo

j kijk ijki

k j

v vrot vx x

(2C5. 7)

Então

ˆkijk i

j

vrot v ex

(2C5. 8)

Portanto,

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

1 1ˆ ˆ ˆ22 2

A v vv v v vrot v t e e ex x x x x x

(2C5. 9)

125

Significado Físico do Rotacional de um Campo Vetorial

Considere o movimento de rotação de um corpo rígido no plano.

Figura - 2. 29.

sendo

îjk j k iv r x e (2C5. 10)

Logo

klm l mkijk ijki

j j

l mijk klmi

j

mijk klm li

j

xvrot vx x

xrot v

x

xrot v

x

(2C5. 11)

ou

mij jm im jl li

j

ij jm im jl l jmi

xrot vx

rot v

(2C5. 12)

Logo

2 iirot v (2C5. 13)

Portanto,

2rot v (2C5. 14)

126

2. 6 - Parte – D: Coordenadas Curvilineas

2D.1 – Coordenadas Polares

Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1x e 2x

Figura - 2. 30.

onde

2 21 2r x x (2D1. 1)

e

2

1

arctan xx

(2D1. 2)

Expressando

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆcos senˆ ˆ ˆsen cos

re e ee e e

(2D1. 3)

e

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆsen cos

ˆ ˆ ˆsen cos

r

r

de e edde d e d e

(2D1. 4)

logo

ˆ ˆrde d e (2D1. 5)

analogamente

127

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆcos sen rde e e ed

(2D1. 6)

e


logo

ˆ ˆ ˆr r rr re dr rde dre (2D1. 8)

Finalmente temos:

ˆ ˆrdr rde rd e (2D1. 9)

128

I) Componentes do Gradiente de um Escalar

Seja f um campo escalar

, .f f r df f dr (2D1. 10)

e

ˆ ˆ ˆ ˆ.r rrdf f e f e dr rde rd e

(2D1. 11)

Logo

rdf f dr f rd

(2D1. 12)

Do cálculo temos que:

f fdf dr dr

(2D1. 13)

e

1

r

ffr

ffr

(2D1. 14)

Portanto,

1ˆ ˆrf ff e er r

(2D1. 15)

129

II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Polares

Vamos agora calcular as componentes de v coordenadas polares, onde esta é

dado por:

ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D1. 16)

Pela definição de diferencial de uma função vetorial temos:

dv v dr (2D1. 17)

Veja que o gradiente de um vetor é um tensor:

v T (2D1. 18)

Logo

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

dv drdre rd e

dr e rd e

TT

T T

(2D1. 19)

Onde

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

r rr r r

r r

e T e T ee T e T e

TT

(2D1. 20)

Portanto,

ˆ ˆ ˆ ˆrr r r r rdv dr T e T e rd T e T e (2D1. 21)

Ou rearranjando os termos temos:

ˆ ˆrr r r rdv T dr T rd e T dr T rd e (2D1. 22)

Recorrendo ao cálculo de funções temos:

ˆ ˆ ˆ ˆr r r rdv dv e v de dv e v de (2D1. 23)

onde

r rr

v vdv dr drv vdv dr dr

(2D1. 24)

130

Então

ˆ ˆ ˆ ˆr rr r r r

v vv vdv dv dr d e v de dr d e v der r

(2D1. 25)

Como

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

de d ede d e

(2D1. 26)

temos:

ˆ ˆr rr r r

v vv vdv dv dr v d e dr v d er r

(2D1. 27)

Coparando (2D1. 22) com (2D1. 27) temos:

1

1

rrr

rr

r

r

vTr

vT vrvTr

vT vr

(2D1. 28)

Matricialmente

1

1

r r

r

v v vr r

vv v vr r

(2D1. 29)

131

III) Componentes do Divergente de um Vetor

Observe que o traço da matriz v é o divergente de v , .div v v dado por:

1. rr

vvdiv v v tr v vr r

(2D1. 30)

IV) Componentes do Divergente de um Tensor

Pela definição do

. T TdivT a div T a tr aT (2D1. 31)

Fazendo ˆra e logo teremos:

ˆ ˆT Tr rr

divT div T e tr e T (2D1. 32)

sendo

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

r rr r rT T T

r rr r rT

r rr r r

Te T e T e

T e T e T eT e T e T e

(2D1. 33)

chamando de

ˆ ˆ ˆTr rr r rv T e T e T e

(2D1. 34)

temos:

ˆ ˆr rv v e v e (2D1. 35)

e

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

Tr rr r r

r r

div T e div T e T e

div v e v e divv

(2D1. 36)

e

1ˆT rr r

vvdiv T e vr r

(2D1. 37)

Como,

132

1ˆT rrrr rr

TTdiv T e Tr r

(2D1. 38)

e

1 1 10 0ˆ

1 01 0 1

r r

r

r

v v vr r r

ev v v

rr r

(2D1. 39)

logo

0 0

ˆ 10rer

(2D1. 40)

Portanto,

0 0

ˆ 10rr rT

rr

T Te T

T Tr

(2D1. 41)

e

0 0

ˆ Tr r

e T T Tr r

(2D1. 42)

Portanto,

ˆ Tr

Ttr e Tr (2D1. 43)

Finalmente

1 rrrrrr

TTdiv T Tr r

(2D1. 44)

Analogamente para

1r r rT T T Tdiv Tr r r

(2D1. 45)

133

V) Componentes do Rotacional de um Vetor

E o rotacional de v , obtendo a parte antissimétrica de v temos:

2 Arot v v t (2D1. 46)

é dado por:

10

12

0

r

A T

v vrt v v

vr

(2D1. 47)

Logo

31 ˆrv v vrot v v e

r r r

(2D1. 48)

VI) Exemplo - 1

Seja 1 ˆrv er

este é irrotacional 0rot v

Figura - 2. 31.

VII) Exemplo - 2

Seja ˆrv re este é rotacional 3ˆ2rot v e

Figura - 2. 32.

134

Proposição

Um campo vetorial com rotacional identicamente nulo é um campo gradiente, isto é:

v grad (2D1. 49)

Prova:

Figura - 2. 33.

ˆ. .L S

v dL n rot vdS (2D1. 50)

onde 2 1L , logo

1 1

. . . 0L

v dL v dL v dL

(2D1. 51)

implica que:

1 1

. .v dL v dL

(2D1. 52)

como 1 e 2 são quaisquer então,

1 1

. .u x v dL v dL

(2D1. 53)

Portanto,

1

1 1

01 1

ˆlimx

u x x e u xux x

(2D1. 54)

e

135

1 1 1 1 1

10 10 1

1 1

1 1 1 1 1 1

0 01 1 1

lim lim

x x x x x

x x x

x x

v dx v dx v dxux x x

(2D1. 55)

Pelo Teorema do Valor Médio

1

1 1 2 3 11 1 1 1 10

1 1

, ,lim ,x

v x x x xu x x x x v xx x

(2D1. 56)

Analogamente para 2x e 3x

ii

u v xx

(2D1. 57)

Portanto,

v x u (2D1. 58)

Figura - 2. 34.

Campo não-rotacional – campo conservativo ou campo gradiente (derivadas

exatas, sistemas holonômicos).

Um campo vetorial v é unicamente determinado(2) em uma região regular R se

seus divergente e rotacional são dados sobre todo o volume V de R, e sua componente normal

à superfície de contorno S de R é dado em S.

Figura - 2. 35.

2 A menos de uma constante

136

Tendo .v e v

o campo v é determinado.

Sejam

w rot vu div v

(2D1. 59)

Suponha que existam 1v e 2v que satisfaçam ( ) e ( ) com 1 2v v . Logo para ( )

temos:

1 2 0rot v rot v (2D1. 60)

onde

1 2 0 ,rot v v x (2D1. 61)

logo 1 2, / v v grad

De forma análoga para ( ) temos:

1 2 0div v div v (2D1. 62)

onde

1 2 0 ,div v v x (2D1. 63)

Pelo Teorema de Gauss temos:

1 2 1 2i i iiV S

v v dV n v v dSx

(2D1. 64)

ou seja

0

ii i iV S

iS

dV n dSx x x

n dS

(2D1. 65)

logo

0 , no interior deiS

n dS S R (2D1. 66)

Portanto,

constante (2D1. 67)

137

2D.2 – Coodenadas Cilíndricas

Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1 2,x x e 3x é transformado em um

sistema de coordenadas cilindricas , ,r z

Figura - 2. 36.

onde

2 21 2r x x (2D2. 1)

e

2

1

arctan xx

(2D2. 2)

Expressando

1 2

1 2


re e ee e e

(2D2. 3)

e

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆsen cos

ˆ ˆ ˆsen cos

r

r

de e edde d e d e

(2D2. 4)

logo


analogamente

1 2


(2D2. 6)

e

138


logo


Finalmente

ˆ ˆ ˆr zdr dre rd e dze (2D2. 9)

139


Seja f um campo escalar

, , .f f r z df f dr (2D2. 10)

e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.r z r zr zdf f e f e f e dr rde rd e dze

(2D2. 11)

logo

r zdf f dr f rd f dz

(2D2. 12)


f f fdf dr d dzr z

(2D2. 13)

comparando ( ) e ( )

1

r

z

ffr

ffrffz

(2D2. 14)

Portanto,

1ˆ ˆ ˆr zf f ff e e er r z

(2D2. 15)

140

II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Cilíndrincas


dado por:

ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D2. 16)


dv v dr (2D2. 17)


v T (2D2. 18)

Logo

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

dv drdre rd e

dr e rd e

TT

T T

(2D2. 19)

Onde

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

r rr r r

r r

e T e T ee T e T e

TT

(2D2. 20)

Portanto,






onde

r rr


(2D2. 24)

141

Então



(2D2. 25)

Como

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

de d ede d e

(2D2. 26)

temos:

ˆ ˆr rr r r


(2D2. 27)


1

1

rrr

rr

r

r

vTr

vT vrvTr

vT vr

(2D2. 28)

Matricialmente

1

1

r r

r

v v vr r

vv v vr r

(2D2. 29)

142



1. rr

vvdiv v v tr v vr r

(2D2. 30)

143

IV) Componentes do Rotacional de um Vetor

E o rotacional de v , 2 Arot v v t é dado por:

10

12

0

r

A T

v vrt v v

vr

(2D2. 31)

Logo

1 rv v vrot v vr r r

(2D2. 32)

V) Exemplo

144

2D.3 – Coordenadas Esféricas

Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1 2,x x e 3x é transformado em um

sistema de coordenadas cilindricas , ,r

Figura - 2. 37.

onde

2 21 2r x x (2D3. 1)

e

2

1

arctan xx

(2D3. 2)

Expressando

1 2

1 2


re e ee e e

(2D3. 3)

e

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆsen cos

ˆ ˆ ˆsen cos

r

r

de e edde d e d e

(2D3. 4)

logo


analogamente

1 2


(2D3. 6)

e

145


logo


Finalmente

ˆ ˆ ˆrdr dre rd e rsen d e (2D3. 9)

146


Seja , ,f f r uma função que corresponde a um campo escalar

, , .f f r df f dr (2D3. 10)

e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.r rrdf f e f e f e dr rde rd e rsen d e

(2D3. 11)

logo

rdf f dr f rd f rsen d

(2D3. 12)


f f fdf dr d dr

(2D3. 13)

comparando ( ) e ( )

1

1

r

ffr

ffr

ffrsen

(2D3. 14)

Portanto,

1 1ˆ ˆ ˆrf f ff e e er r rsen

(2D3. 15)

para sistemas curvilineas qualquer o livro do Prager apresenta no final do capítulo.

147

II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Esféricas


dado por:

ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D3. 16)


dv v dr (2D3. 17)


v T (2D3. 18)

Logo

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

dv drdre rd e

dr e rd e

TT

T T

(2D3. 19)

Onde

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

r rr r r

r r

e T e T ee T e T e

TT

(2D3. 20)

Portanto,






onde

r rr


(2D3. 24)

148

Então



(2D3. 25)

Como

ˆ ˆˆ ˆ

r

r

de d ede d e

(2D3. 26)

temos:

ˆ ˆr rr r r


(2D3. 27)


1

1

rrr

rr

r

r

vTr

vT vrvTr

vT vr

(2D3. 28)

Matricialmente

1

1

r r

r

v v vr r

vv v vr r

(2D3. 29)

149



1. rr

vvdiv v v tr v vr r

(2D3. 30)

150

IV) Componentes do Rotacional de um Vetor

E o rotacional de v , 2 Arot v v t é dado por:

10

12

0

r

A T

v vrt v v

vr

(2D3. 31)

Logo

1 rv v vrot v vr r r

(2D3. 32)

V) Exemplo

151

2. 7 – Teoremas Integrais

Seja V uma região convexa regular do R3 e S é a fronteira de V composta de partes

continuamente suaves.

Figura - 2. 38.

2.8.1 – Teorema de Gauss ( Teorema do Divergente)

Considere a integral sobre V do tensor genérico de ordem N, 1

...

xTijk

...

1

ijk

V

TdV

x

(2. 1)

No prisma tem-se:

* **... ... 2 3ijk ijkT T dx dx (2. 2)

mas

* * * * * * ** **2 3 1 1ˆ ˆ ˆ ˆcos .dx dx dS e n dS n dS n dS (2. 3)

Reescrevendo (2. 2) temos:

* ** * * * ** ** **... ... 2 3 ... 1 ... 1ˆ îjk ijk ijk jklT T dx dx T n dS T n dS (2. 4)

Observe que:

**1 *

1

**1**

1

...* ** *... ... 1 ...

1

xxijk

ijk ijk ijk xx

TT T dx T

x

(2. 5)

Substituindo (2. 5) em (2. 4) temos:

152

... * * * ** ** **1 2 3 ... 1 ... 1

1

ˆ îjkijk jkl

V

Tdx dx dx T n dS T n dS

x

(2. 6)

Logo

...... 1

1

ijkijk

V S

TdV T n dS

x

(2. 7)

Genericamente para uma direção é qualquer temos:

......

ijkijk i

iV S

TdV T n dS

x

(2. 8)

Observe que ...ijkT é um tensor de ordem qualquer. Portanto,

...ijkT (escalar) Tensor de ordem 0 (2. 9)

e

...ijkT v (vetor) Tensor de ordem 1 (2. 10)

e

...j

ijki

vT

x

(matriz) Tensor de ordem 2 (2. 11)

O Teorema de Gauss vale também para regiões convexas.

153

Casos Especiais Teorema de Gauss

Seja um campo escalar e v um campo vetorial, pelo Teorema de Gauss temos:

i)

ˆV S

grad dV ndS (2. 12)

ii)

ˆ.V S

div vdV v ndS (2. 13)

onde ˆ.S

v ndS é o fluxo de v na fronteira S

iii)

ˆV S

rot vdV v ndS (2. 14)

Versão bi-dimensional do teorema de Gauss

Figura - 2. 39.

......

ijkijk i

iV S

TdV T n dS

x

(2. 15)

1,2 , , , ,... 1, 2i e i j k l

154

Para um campo escalar e um campo vetorial v , pelo Teorema de Gauss temos:

i)

ˆR L

grad dS ndL (2. 16)

ii)

ˆ.R L

div vdS v ndL (2. 17)

onde ˆ.L

v ndL é o fluxo de v na fronteira L

iii)

ˆS L

rot vdS v ndL (2. 18)

155

Cálculo da Circulação de v ao longo de L

3 3j

ij ij i jiS L

vdS n v dL

x

(2. 19)

e

3ˆ.

S L

rot v dS v ndL (2. 20)

156

Teorema de Stokes

Válido para Curva e Superfícies no Espaço 3D

ˆ ˆ. .S L

rot v ndS v ndL (2. 21)

Figura - 2. 40.

157

I) Primeira Identidade de Green

2 .V S V

dV dS grad grad dVn

(2. 22)

Prova:

i i i i i iV V V

dV dV dVx x x x x x

(2. 23)

Pelo teorema de Gauss

ii i i i iS V V

n dS dV dVx x x x x

(2. 24)

e

2. .S V V

n grad dS grad grad dV dV (2. 25)

e

2.S V V

dS grad grad dV dVn

(2. 26)

158

II) Segunda Identidade de Green

Decorre da 1a Identidade de Green aplicado a e e substituindo-as

2 2

V S

dV dSn n (2. 27)

Figura - 2. 41.

159

2. 8 – Exemplos e Aplicações

2.8.1 - Exemplo de Aplicação ao Método dos Elementos Finitos

Seja o seguinte problema dado por:

1 12

2 2

em0

em

u uu u q

n

(2. 28)

Multiplicando por v e integrandoo temos:

2 0V

v udV (2. 29)

temos que:

2 0

i i i i i iV V V

u

u v u uv dV dV v dVx x x x x x

(2. 30)

Pelo Teorema de Gauss

ii i iS V

u v un v dS dVx x x

(2. 31)

e

. .V S

grad v grad udV vgradu ndS (2. 32)

ou

1 2

2.V

ugrad v grad udV v dS vq dSn

(2. 33)

No MEF toma-se / 0v v em 1 . Logo

2

2.V

grad v grad udV vq dS

(2. 34)

160

2.8.1.2 - Exemplo de Aplicação ao Método dos Elementos de Contorno

Figura - 2. 42.

1 12

2 2

em0

em

u uu u q

n

(2. 35)

Onde 1 2S e

2 0 ,0

, 0i

i

xv

x

(2. 36)

Logo

3

1iR

x dV (2. 37)

Aplicando a 2a identidade de Green para u e v temos:

1 2

2 2

V S

v uu v v u dV u v dSn n

(2. 38)

e

1 2 1 2

2 2

V V S S

v uu vdV v udV u dS v dSn n

(2. 39)

Substituindo as condições de contorno temos:

1 2 2 1

1 20iV V

v v u uu x dV v dV u dS u dS v dS v dSn n n n

(2. 40)

Logo

1 2 2 1

1 2iv v uu x u dS u dS vq dS v dSn n n

(2. 41)

161

2. 9 – Exercícios e Problemas

162

Capítulo – III

CINEMÁTICA DO CONTÍNUO

RESUMO

Neste capítulo será visto


i) Entender

ii) Descrever o movimento de partículas do contínuo.

3. 2 - Introdução

A cinemática é o estudo do movimento e da deformação sem levar em conta a sua

causa. Nós veremos imediatamente que a consideração de uma deformação finita permite que

sistemas de coordenadas alternativos sejam empregados, notadamente as descrições

associadas às coordenadas espaciais e materiais com os nomes de sistema de Lagrange e Euler

respectvamente.

Embora, nós não tratamos diretamente com efeitos inerciais, as derivadas no

tempo de várias quantidades cinemáticas enriquecem nosso entendimento e também fornecem

as bases para a formulação da expressão do trabalho virtual de equilíbrio, o qual usa a noção

de velocidade virtual e quantidades cinemáticas associadas.

163

3. 3 – O Movimento

A Figura - 3. 1 mostra o movimento geral de um corpo deformável. O corpo é

imaginado como sendo uma montagem de partículas materiais que são rotuladas pelas

coordenadas, X

, com relação à base Cartesiana IE

e suas posições iniciais no tempo 0t .

Geralmente a possição corrente destas partículas são localizadas em um tempo t t , mas as

coordenadas x com relação a um sistema de coordenadas alternativo de base ie . No restante

deste texto as bases IE

e ie serão tomadas serem coincidentes. Contudo, a distinção

notacional entre IE

e ie será mantida de forma a identificar a associação de quantidades com

configurações iniciais ou correntes. O movimento pode ser matematicamemnte descrito por

um mapeamento entre a posição inicial e corrente da partícula como,

( , )x X t (3. 1)

Para um valor fixado de t as equações acima representam um mapeamento entre os corpos

deformado e não deformado. Adicionalmente, para uma partícula fixa, X

, a equação (3. 1)

descreve o movimento ou a trajetória desta partícula como uma função do tempo. Na análise

da deformação finita nenhuma suposição é feita considerando a magnitude de x X .

Realmente o deslocamento pode ser bem da ordem ou mesmo exceder as dimensões iniciais

do corpo como é o caso, por exemplo, no forjamento de metais. Análises de Deformações

Infinitesimais o deslocamento x X é suposto ser pequeno em comparação com as

dimensões do corpo, e as variações geométricas são ignoradas.

Figura - 3. 1

164

3. 4 – Descrição do Movimento de um Meio Contínuo

Na análise da deformação finita uma cuidadosa distinção tem de ser feita entre os

sistemas de coordenadas que podem ser escolhidos para descrever o comportamento do corpo

cujo movimento está sob consideração. Rigorosamente falando, quantidades relevantes, tais

como a densidade, podem ser tratadas em termos de onde o corpo estava antes da deformação

ou onde está ele durante a deformação. O primeiro é chamado de descrição material e o

último é chamado de descrição espacial. Alternativamente estas são frequentemente referidas

como a descrição Lagrangeana e Euleriana respectivamente. Uma descrição material refere-se

ao comportamento de uma partícula material, enquanto que a descrição espacial refere-se a ao

comportamento de uma posição espacial. Portanto, independentemente da descrição

eventualmente empregada, as equações governantes devem obviamente referir a onde o corpo

está e, portanto deve primariamente ser formulada usando uma descrição espacial.

Mecânicos dos Fluidos quase exclusivamente trabalham em termos de uma

descrição espacial porque não é apropriado descrever o comportamento de uma partícula

material em uma situação de fluxo em estado estacionário, por exemplo. Mecânicos dos

Sólidos, por outro lado, geralmente em algum estágio de uma formulação terão que considerar

o comportamento constitutivo da partícula material, a qual envolverá uma descrição material.

Em muitos casos – por exemplo, fluxo de polímeros – onde o comportamento do fluxo

material pode ser dependente do tempo, estas distinções são menos óbvias.

De forma entender a diferença entre uma descrição material e espacial, consider

uma simples quantidade escalar tal como a densidade material :

a) Descrição Material: A variação de sobre o corpo é descrito com relação à coordenada

original (ou inicial) X

usada para rotular uma partícula material em um meio contínuo no

tempo 0t como,

( , )X t

(3. 2)

b) Descrição Espacial: A variação de sobre o corpo é descrito com relação à posição no

espaço, x , correntemente ocupada pela partícula material em um meio contínio no tempo

t t como,

( , )x t (3. 3)

165

Na equação (3. 2) a variação no tempo t implica que a mesma partícula material X

possui

uma densidade, , diferente. Consequentemente o interesse é focado sobre a partícula

material X

. Na equação (3. 3), contudo, a variação no tempo, t implica que uma diferente

densidade, é observada na mesma posição espacial x , agora provavelmente ocupada por

uma partícula diferente. Consequentemente o interesse é focado agora sobre a posição

espacial x .

Frequentemente é necessário transformar grandezas relevantes entre as descrições

materiais e espaciais. Por exemplo, dado uma quantidade escalar, tal como a densidade, uma

descrição material relevante pode ser facilmente obtida a partir de uma descrição espacial

usando a equação de movimento (3. 1) como

( , ) ( ( , ), )X t X t t

(3. 4)

Certas grandezas, não dependem se elas são marialmente ou espacialmente descritas, e são

naturalmente associadas com a configuração corrente ou inicial do corpo. Por exemplo, a

densidade inicial do corpo é uma grandeza material, equanto que a densidade corrente é uma

garndeza intrinsicamente espacial. Portanto, as equações (3. 2) a (3. 4) claramente mostra que

as quantidades espaciais podem, se desejadas, ser expressas em termos das corrdenadas

iniciais.

3.3.1 - Posição de uma partícula

Considere uma partícula em movimento em um meio contínuo cuja posição seja

dada pelas coordenadas espaciais:

)(trr (3. 5)

Figura - 3. 2.

166

Para n partículas, teríamos:

)(:

)()(

22

11

trr

trrtrr

nn

(3. 6)

O que torna imposível a descrição do movimento, pois em um meio contínuo nós temos um

número infinito de partículas, logo para rotular cada partícula usaremos as coordenadas das

posições iniciais das partículas dadas pelas coordenadas materiais:

)( otrX (3. 7)

Logo, a equação cinemática do movimento das partículas, é dada pela

coordenadas espaciais:

),( tXxx

(3. 8)

e a posição inicial é dada por:

XtXxx oo

),( (3. 9)

No sistema de coordenadas cartesianas:

332211 ˆˆˆˆ eXeXeXeXX ii

(3. 10)

onde X1, X2, X3 são chamada de coordenadas materiais

332211 ˆˆˆˆ exexexexx ii

(3. 11)

3.3.1 - Velocidade de uma partícula

A velocidade de uma partícula em um meio contínuo, é definida como:

t

tXxt

tXxttXxtXvt

),(),(,lim),(0

(3. 12)

Vejamos o exemplo:

167

Exemplo 3.1.3:

33

2122

2111

XxtXXXxtXXXx

(3. 13)

Figura - 3. 3.

0),(

),(

),(

33

212

2

211

1

ttXxv

XXt

tXxv

XXt

tXxv

(3. 14)

168

3. 5 – Descrição Material e Descrição Espacial

3.5.1 – Descrição Material ou Lagrangeana:

Esta descrição descreve o movimento pela especificando-o por partícula.

),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXtX

(3. 15)

E

),,,(ˆ),(ˆ 321 tXXXvvtXvv (3. 16)

E

),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXTTtXTT (3. 17)

Onde

321 ,, XXXX

(3. 18)

São as coordenadas materiais. Esta descrição é chamada de Descrição Lagrangeana ou

descrição de referência.

Figura - 3. 4.

169

3.5.2 – Descrição Espacial ou Euleriana:

Esta descrição descreve o movimento pela especificando-o por localização

espacial.

),,,(~),(~321 tXXXtX

(3. 19)

E

),,,(~),(~321 tXXXvvtXvv

(3. 20)

E

),,,(~),(~321 tXXXTTtXTT (3. 21)

Onde

321 ,, xxxx (3. 22)

São as coordenadas espaciais. Esta descrição é chamada de Descrição Euleriana.

Figura - 3. 5.

170

3. 6 – Derivada Material

É a taxa de variação de uma grandeza qualquer associada a uma partícula.

i) Descrição Material

),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXtX

(3. 23)

Onde a derivada para a mesma partícula:

)(0

),(ˆ),(ˆ),(ˆlim

fixoXt

it

tXt

tXttXDt

D

(3. 24)

171

ii) Descrição Espacial

t

ttXxttXXxDt

Dt

)),,(,(ˆ),(,ˆlim

0

(3. 25)

ou por outro lado,

),,,(~),(~321 tXXXtX

(3. 26)

E

dtt

dxx

dxx

dxx

Dfixox

espacialiaçãoi )(

var

33

22

11

~~~~~

(3. 27)

Ou

dtt

dxx

D ii

~~~ (3. 28)

Mas

dtvdxoudtvxd ii (3. 29)

Logo

dtt

dtvx

D ii

~~~ (3. 30)

Portanto,

tv

xDtD

ii

~~~

(3. 31)

Ou

localiação

x

transportemovimentoaodevido

iação

criaçãodetermo

it

vDt

D

var)(

var

~~.~

(3. 32)

172

3. 7 – Aceleração da Partícula em um Meio Contínuo

A aceleração de uma partícula em um meio conínuo é definida como:

),( tXxx

(3. 33)

Com:

),( otXxX

(3. 34)

A velocidade da partícula é dada por:

)(

0

),(),(

),(,lim),(

),(

fixoX

t

ttXxtXv

ttXxttXxtXv

txtXv

(3. 35)

Figura - 3. 6.

A aceleração da partícula é dada por:

( , ) va X tt

(3. 36)

e

173

0

( )

( , )

, ( , )( , ) lim

( , )( , )

t

X fixo

v v va X t

tv X t t v X t

a X tt

v X tv X tt

(3. 37)

i) Na Descrição Espacial:

( )

( , )

( , )i

Variaçãodevidoa posição Variação

Local

x fixo

vdv X t v dx dtt

vdv X t vdx dtt

(3. 38)

Logo

( , )Dv X t vv vDt t

(3. 39)

Válido para a descrição espacial de Euler-Lagrange.

Em coordenadas cartesianas temos:

i i ij

j

Dv v vvDt x t

(3. 40)

174

Exemplo 3.4.1

A velocidade e a aceleração deste corpo são dadas por:

i)

3 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0

v x e x e x e x ex e x e e

(3. 41)

logo

1 2 2 1 3; ; 0v x v x v (3. 42)

ii)

i ii j

j

v vva v v a vt x t

(3. 43)

Escrevendo em coordenadas cartesianas temos:

2

1

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

xv v v x

(3. 44)

e

2 1 1 21 2

1 2

v v v va v vx x t t

(3. 45)

e

1 11 2 1

20

21 1

2 22 1 2

10

22 2

3 0

v va v xx t

a x

v va v xx t

a xa

(3. 46)

Logo

175

21 1 2 2

2

ˆ â x e x e

a x

(3. 47)

176

3. 8 – O Campo de Deslocamento

Seja u o campo de deslocamento conforme mostra a Figura - 3. 7.

Figura - 3. 7.

dado por:

( , ) ( , )u X t x X t X (3. 48)

e

0( , ) ( , ) ( , )u X t x X t x X t (3. 49)

177

3. 9 – Equação Cinemática do Movimento de Corpo Rígido

3.9.1 – Translação (Corpo Rígido)

Seja uma translação de corpo rigido realizada conforme mostra a Figura - 3. 8.

Figura - 3. 8.

( , )

' ' ( ', )

x X u X t

x X u X t

(3. 50)

e

( , )

( )

x X u X t

X c t

(3. 51)

Observação:

O vetor deslocamento ( , )u X t é o mesmo para qualquer ponto do corpo rígido.

Logo ( , ) ( ', )u X t u X t c t

3.9.2 – Rotação em torno de um ponto fixo

Figura - 3. 9.

( , )x X t b R t X b (3. 52)

Onde R t é o tensor ortogonal

178

3.9.3 – Movimento Geral de Corpo Rígido

Figura - 3. 10.

Translação:

' ( )

'

x X f t

b b f t

(3. 53)

Rotação:

( , ) ' '( , ) 'x X t b R t x X t b (3. 54)

Logo

( , )x X t b f t R t X f t b f t

( , )

( , )

x X t R t X b b f t

x X t R t X b c t

(3. 55)

3.9.4 – Exemplo 3.6.2

TRT a a (3. 56)

e TR t R é antissimétrico

Tv RR x c c t

v x c c t

(3. 57)

179


180


181

Capítulo – IV

DEFORMAÇÃO NO CONTÍNUO

RESUMO


4. 1 – Objetivos do capítulo

i) Entender


182

4. 3 – Gradiente de Deformações

Uma quantidade chave na análise de deformações é o gradiente de deformação F ,

o qual está envolvido em todas as equações que relacionam quantidades antes da deformação

com quantidades correspondentes depois (ou durante) a deformação. O tensor gradiente de

deformação permite que as posições relativas de duas partículas vizinhas depois da

deformação sejam descritas em termos de suas relativas posições materiais antes da

deformação; consequentemente, é um tensor central para a descrição da deformação e

portanto do dano.

Figura - 4. 1.

Considere duas partículas materiais 1Q e 2Q na vizinhança de uma partícula

material P ; veja a Figura - 4. 1. As posições 1Q e 2Q relativas a P são dadas pelos vetores

elementares 1dX

e 2dX

como,

11 Q PdX X X

(4. 1)

22 Q PdX X X

(4. 2)

Depois da deformação das partículas materiais 1,P Q e 2Q tem deformado para a corrente

posição espacial dadas pelo mapeamento (3. 1) como,

1 1 2 2, ; , ; ,P P q Q q Qx X t x X t x X t

(4. 3)

E os correspondentes vetores elementares tornam-se

183

1

2

1 1

2 2

, ,

, ,

q P P P

q P P P

dx x x X dX t X t

dx x x X dX t X t

(4. 4)

Definindo o tensor gradiente de deformação F como,

X

F (4. 5)

Então os vetores elementares 1dx e 2dx pode ser obtida em termos de 1dX

e 2dX

como,

1 1dx dX F (4. 6)

2 2dx dX F (4. 7)

Note que F transforma os vetores da configuração inicial ou de referência em vetores da

configuração corrente e é, portanto dito ser um tensor de dois pontos.

OBS -1:

Observe que em muitos livros textos o movimento é expresso como:

( , )x x X t (4. 8)

O qual permite que o gradiente de deformação seja escrito, talvez de uma forma mais clara,

xX

F (4. 9)

Na notação indicial o tensor gradiente de deformação é expresso como,

3

, 1

ˆîI i Ii I

F e E

F (4. 10)

e

iiI

I

xFX

(4. 11)

, 1,2,3i I , onde o índice minúsculo refere-se as coordenadas espaciais e correntes, enquanto

que o índice maiúsculo refere-se às coordenadas cartesianas materiais.

184

Confinando a atenção a um simples vetor material elementar dX

, o vetor

correspondente dx na configuração espacial é convenientemente escrita como,

dx dX F

(4. 12)

O inverso de F é,

1 1Xx

F (4. 13)

O qual em notação indicial é,

31

, 1

ˆ ÎI i

ii I

X E ex

F (4. 14)

OBS - 2:

Muita literatura de pesquisa expressa a relação entre as quantidades nas configura

ções material e espacial em termos dos conceitos gerais de empurra para frente e puxa de

volta. Por exemplo, o vetor elementar dx pode ser expresso como o empurra para frente

equivalente do vetor material dX

. Este pode ser expresso em termos da operação,

*dx dX dX F (4. 15)

Inversamente, o vetor material dX

é o puxa de volta equivalente do vetor espacial dx , o qual

é expresso como (3),

1 1*dX dx dX F

(4. 16)

Observe que na equação (4. 15) a nomenclatura * implica que uma operação será

avaliada em diferentes formas por diferentesa operandos .

3 Na literatura 1

* *e sào frequentemente escrito, como ** e respectivamente

185

Exemplo:

12ektXXx (4. 17)

Figura - 4. 2.

i) Partículas incialmente distribuídas ao longo de AO

No instante to:

0,0,1XX

(4. 18)

No instante t:

3131

31

0,)0,0,0(0,0,

XXXXxXXX

(4. 19)

Logo

)0,0,(ˆ0

1

1

XXektXx

(4. 20)

ii) Partículas inicialmente distribuídas ao longo de BC

No instante to:

0,,hXX

(4. 21)

No instante t:

),,(),,(,

,

31331

31

XhhKtXXhhKthXXxhXXX

(4. 22)

Logo

186

2121

123211

12332211

12

ˆˆ)(ˆˆ0ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ehektXXektXeeheX

ektXeXeXeXektXXx

(4. 23)

Figura - 4. 3.

187

4. 4 – Deformações

Como uma medida geral de deformação, considere a variação no produto escalar

de dois vetores elementares, 1dX

e 2dX

, mostrado na Erro! Fonte de referência não

encontrada. conforme eles se deformam para 1dx e 2dx . Esta variação envolverá ambos o

estiramento (isto é a variação no comprimento) e as variações no ângulo entre os dois vetores.

Invocando a equações (4. 6) e (4. 7), o produto escalar 1 2.dx dx pode ser achado em termos

dos vetores materiais 1dX

e 2dX

como,

1 2 1 2. .dx dx dX dX C (4. 24)

Onde C é o Tensor de Deformação Direito de Cauchy-Green, o qual é dado em termos do

gradiente de deformação F como

TC F F (4. 25)

Note que em (4. 25) o tensor C opera sobre os vetores materiais 1dX

e 2dX

e

consequentemente C é chamado de quantidade tensor material.

Alternativamente o produto escalar material inicial 1 2.dX dX

pode ser obtido em

termos dos vetores espaciais 1dx e 2dx via o Tensor de Finger ou Tensor Esquerdo de

Cauchy b como (4),

11 2 1 2. .dX dX dx dx b (4. 26)

onde b é,

Tb FF (4. 27)

Observe que em (3. 16) 1b opera sobre os vetores espaciais 1dx e 2dx e consequentemente

1b , ou o próprio b ele mesmo, é uma quantidade tensorial espacial.

A variação no produto escalar pode agora ser achada em termos dos vetores 1dX

e 2dX

e o Tensor Lagrangeano ou de Green E como,

4 Em TC F F , F está no lado direito e em Tb FF , F está no lado esquerdo.

188

1 2 1 2 1 21 . . .2

dx dx dX dX dX dX E (4. 28)

Onde o tensor material E é:

12

E C I (4. 29)

Alternativamente, a mesma variação no produto escalar pode ser expressa com refer6encia

aos vetores elementares espaciais 1dx e 2dx e o Tensor de Deformação de Almansi ou

Euleriano e como,

1 2 1 2 1 21 . . .2

dx dx dX dX dx dx e (4. 30)

Onde o tensor espacial e é,

112

e I b (4. 31)

Figura - 4. 4.

189

4. 5 – Deformações Infinitesimais

Considere a Figura - 4. 5

Figura - 4. 5.

onde

( , )x X u X t (4. 32)

e

( , )x dx X dX u X dX t (4. 33)

Substraindo ( ) de ( ) temos:

var

( , ) ( , )iação deu na direção dx

dx dX u X dX t u X t

(4. 34)

logo

( , ) ( , )dx dX u X t dX u X t dX I

(4. 35)

chamando de gradiente de deslocamento ao tensor, u , onde matricialmente temos:

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

u u uX X Xu u uuX X Xu u uX X X

(4. 36)

ou

190

iij

j

uuX

(4. 37)

Fazendo

( , )u X t F I (4. 38)

Logo

dx dX F (4. 39)

Tomando o produto escalar:

. . . Tdx dx dX dX dX dX F F F F (4. 40)

Fazendo

ˆ.dx ds n (4. 41)

e

ˆ.dX dS m

(4. 42)

logo

2ˆ ˆ.dx dsds n n ds (4. 43)

que corresponde a:

2

2

.ˆ ˆ. .

ˆ ˆ.

T T

T

dx dx ds

dX dX dSm dSmdS m m

F F F FF F

(4. 44)

Portanto,

2 2 ˆ ˆ. Tds dS m m F F (4. 45)

Se T F F I ( 1T F F tensor orthogonal) então:

2 2ds dS (4. 46)

que corresponde a um movimento de corpo rígido na vizinhança da partícula.

Retornando a

191

( , ) ( , )T u X t u X t F F I I (4. 47)

logo

T TT u u u u F F I (4. 48)

Para pequenas deformações temos:

2T m m m

iji j i

u u uu uX X X

(4. 49)

Logo é possivel desprezá-lo.

2

2TT u u E

F F I I E (4. 50)

Portanto,

2T F F I E (4. 51)

Onde

12

Tu u E (4. 52)

Veja que este tensor é simétrico e é o tensor de deformação infinitesimal.

Em coordenadas cartesianas o tensor de deformação infinitesimal é:

12

j i

i j

u uX X

E (4. 53)

que matricialmente corresponde a:

31 1 2 1

1 2 1 1 3

32 1 2 2

1 2 2 3 2

3 3 31 2

3 1 2 3 3

1 12 2

1 12 2

1 12 2

uu u u uX X X X X

uu u u uEX X X X X

u u uu uX X X X X

(4. 54)

192

4. 6 – Significado Geométrico de E

Seja uma partícula P localizada em oP t e depois em P t qualquer, conforme

mostra Figura - 4. 6

Figura - 4. 6.

Para cada segmento matricial temos:

dx dX F (4. 55)

e

1 2 1 2 2 1

1 2

1 2

1 2 1 1 2

. . .

.

. 2

. 2 .

T

T

dx dx dX dX dX dX

dX dX

dX dX

dx dx dX dX dX

F F F F

F F

I E

E

(4. 56)

a) Elementos da Diagonal Principal

1 2

1 2

ˆ.ˆ

dX dX dSndx dx dsm

(4. 57)

Portanto,

21 2

22 1

.

.

dx dx ds

dX dX dS

(4. 58)

e

2 21 2 ˆ ˆ2 . 2 . 2 nndX dX dS n En dS E E

(4. 59)

Portanto,

193

2 2 22 nnds dS dS E (4. 60)

2 2

22nnds dSE

dS

(4. 61)

Logo

22nn

ds dS ds dS ds dSEdS dS

(4. 62)

porque ds dS .

varição relativa docomprimentonnalongamento ou encurtamentoEcomprimento não deformado

(4. 63)

Fazendo ˆ ˆn e ou ˆ î in e , onde ie é o sistema ortogonal cartesiano temos:

ˆ ˆ.nnE n En (4. 64)

Logo

1 11 1 11

1

ˆ ˆ. ds dSe Ee EdS

(4. 65)

e

2 22 2 22

2


(4. 66)

e

3 33 3 33

3


(4. 67)

Figura - 4. 7.

194

b) Elementos Fóra da Diagonal Principal

1 1

2 2

ˆˆ ˆ

ˆdX dS n

m ndX dS n

(4. 68)

usando a expressão:

1 2 1 2 1 2. . 2 .dx dx dX dX dX EdX (4. 69)

onde

1 1 2 2 ˆ' 'dx ds m e dx ds n (4. 70)

Portanto,

1 2 1 2 1 2ˆ ˆcos ', ' 2 . 2 mnds ds m n dS dS m En dS dS E (4. 71)

e

1 2

1 2

2 cosnnds dsEdS dS

(4. 72)

seja 2 , logo cos sen e para pequenas deformações temos:

sen (4. 73)

Figura - 4. 8.

e ainda

1 2

1 2

1ds dsdS dS

(4. 74)

195

Logo

22nn nnE E (4. 75)

Considerando a base ie temos:

ˆ ˆ2 22ij

i j ij ij ij ije Ee E E

(4. 76)

ij é a distorção no plano ˆ î je e . Iustrando temos:

Figura - 4. 9.

2

1

1

2

dutgdXdutgdX

(4. 77)

Portanto,

1 212

2 1

u uX X

(4. 78)

196

4. 7 – Deformações Principais

Sabemos que E é simétrico de componentes reais. Logo existem 3 direções

principais mutuamente ortogonais.

Sejam 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n vetores unitários nas direções principais.

1

2

3

0 00 00 0

ni

EE E

E

(4. 79)

Matriz formada pelos auto-valores da matriz E geral.

1 2 3, eE E E são chamadas deformações principais. Logo a equação característica.

3 21 2 3 0I I I (4. 80)

onde 1 2 3, eI I I são invariantes dadas por:

1 11 22 33I E E E (4. 81)

e

11 13 22 2311 122

31 33 32 3321 22

E E E EE EI

E E E EE E

(4. 82)

e

3 detI E (4. 83)

Se 1 2 3E E E logo 3 1iiE E E .

197

4. 8 – Dilatação

Seja 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , uma base de vetores nas direções principais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n , conforme

mostra a Figura - 4. 10.

Figura - 4. 10.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

ˆdˆdˆd

dX S e

dX S e

dX S e

(4. 84)

O volume inicial:

1 2 3d ddV S dS S (4. 85)

A deformação sofrida por cada elemento:

1 11 1 1 1 1

1

2 22 2 2 2 2

2

3 33 3 3 3 3

3

d: 1d

d: 1d

d: 1d

ds SdX E ds E dSS

ds SdX E ds E dSS

ds SdX E ds E dSS

(4. 86)

A variação do volume

1 2 3 1 2 3d d d ddV s ds s S dS S (4. 87)

Logo,

198

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3

d d d d

1 1 1 d d

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

i j

dV s ds s S dS S

E dS E dS E dS S dS S

E E E dS dS dS

E E E dV

E E E E E E E E E E E E dV

E E E E E dV

(4. 88)

Logo

1 2 3 i jdV E E E E E dV (4. 89)

Portanto, a dilatação volumétrica e é dada por:

1 2 3 ii

dVe E E E tr E

dV

E (4. 90)

A dilatação volumétrica - e é portanto, dad por:

iii

i

dV ue tr E divudV X

E (4. 91)

ou

dVe tr divu

dV

E (4. 92)

199

4. 9 – Tensor Rotação Infinitesimal

Seja,

.

.

dx dX u dXdx dX E dX

(4. 93)

onde E é o tensor de deformação infinitesimal (simétrico) e é o tensor de rotação

infinitesimal (anti-simétrico).

Logo existe um vetor dual do tensor antisimétrico da rotação, dado por:

32 1 13 2 21 3ˆ ˆ Ât e e e (4. 94)

e

iij

j

uux

(4. 95)

e

3

12 2

ij ji jiij

j i

u u uuX X

(4. 96)

e

Adx dX EdX t dX (4. 97)

Figura - 4. 11.

Se dX

coincide com uma das direções principais de E:

ˆ

ˆ ˆdX dSn

EdX Edsn dSndX

(4. 98)

200

Figura - 4. 12.

201

4. 10 – Taxa de Variação de um Elemento Material

Seja a seguinte variação infinitesimal:

, ,dx x X dX t x X t (4. 99)


Figura - 4. 13.

Tomando a derivada material

, ,D D Ddx x X dX t x X tDt Dt Dt

(4. 100)

Mas

ˆ, , ,D x X dX t v X dX t v x dx tDt

(4. 101)

e

ˆ, , ,D x X t v X t v x tDt

(4. 102)

Portanto,

ˆ ˆ, , ,

, ,

D x X t v X dX t v X tDt

v x dx t v x t

(4. 103)

Logo

ˆX

X

Ddx vdXDt

Ddx vdxDt

(4. 104)

De agora em diante assumiremos apenas a representação espacial de Euler.

202

Ddx vdxDt

(4. 105)

Logo

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

iij

j

v v vx x x

vv v vv vx x x xv v vx x x

(4. 106)

203

4. 11 – Tensor Taxa de Deformação

O tensor taxa de de deformação é definido como:

12

Tv v D (4. 107)

e

12

Tv v W (4. 108)

D é a parte simétrica – tensor taxa de deformação; W é a parte anti-simétrica – tensor de

rotação, onde:

v D W (4. 109)

e

31 1 2 1

1 2 1 3 1

32 1 2 2

1 2 2 3 2

3 3 3 32

1 1 2 3 3

1 12 2

12

1 12 2

vv v v vx x x x x

vv v v vDx x x x x

v v v vvx x x x x

(4. 110)

Ou

12

jiij

j i

vvDx x

(4. 111)

e

31 1 2 1

1 2 1 3 1

32 1 2 2

1 2 2 3 2

3 3 3 32

1 1 2 3 3

1 12 2

12

1 12 2

vv v v vx x x x x

vv v v vWx x x x x

v v v vvx x x x x

(4. 112)

Ou

204

12

jiij

j i

vvWx x

(4. 113)

Significado Geométrico de D e W

Seja

ˆdx dsn (4. 114)

logo

2.dx dx ds (4. 115)

tomando a derivada material

2 . 2Ddx dxDt

Dds ds

Dt (4. 116)

e

. .

.

. .

Ddx dx dx v dxDt

dx dxdx dx dx dx

D + WD W

(4. 117)

Observe que:

. .

.. . 0

Tdx dx dx dxdx dx

dx dx dx dx

W WW

W W

(4. 118)

Portanto,

. .Ddx dx dx dxDt

D (4. 119)

Logo

ˆ ˆ ˆ ˆ.Ddsn dsn dsn dsnDt

D (4. 120)

e

205

2 ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

Dds ds ds n nDtDds ds n nDt

D

D (4. 121)

Na direção 1e :

1 1 11 1 1ˆ ˆ. De e D ds dsDt

D (4. 122)

Taxa de extensão do comprimento por unidade de comprimento na direção 1e

Na direção 2e :


D (4. 123)


Na direção 3e :


D (4. 124)


Para os comprimentos fóra da diagonal da matriz temos:

1 2 1 2 1 2ˆ ˆ. . " cosdx dx ds n ds m ds ds (4. 125)

e

1 2 1 2. cosD Ddx dx ds dsDt Dt

(4. 126)

e

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

. .

cos cos

D Ddx dx dx dxDt Dt

D D Dds ds ds ds ds ds senDt Dt Dt

(4. 127)

Supondo 90 / 2 cos 0o logo

2 1 1 2 1 2.dx v dx dx v dx ds ds (4. 128)

e

206

1 2 1 2 1 2.Tdx v dx dx v dx ds ds (4. 129)

Logo

1 2 1 22

T

D

dx v v dx ds ds

(4. 130)

e

1 2 1 22dx dx ds ds D (4. 131)

e

12 ds 2n dsD 1n ds 2ds (4. 132)

e

ˆ ˆ2n n D (4. 133)

Considerando as direções 1e e 2e temos:

122D (4. 134)

12D é a taxa de decrescimento do angulo entre os segmentos 1dx e 2dx nessas duas direções


132D (4. 135)



232D (4. 136)


207

4. 12 – Taxa de Variação Volumétrica de um Elemento Material

Considere o segunte elemento de volume infinitesimal em coordenadas

cartesianas, conforme mostra a Figura - 4. 14.

Figura - 4. 14.

1 2 3dV ds ds ds (4. 137)

e

1 2 3D DdV ds ds dsDt Dt

(4. 138)

ou

1 2 3 1 2 3 1 2 3D D D DdV ds ds ds ds ds ds ds ds dsDt Dt Dt Dt

(4. 139)

Logo

11 2 3 1 22 3 1 2 33D dV D ds ds ds D ds ds ds DDt

(4. 140)

que corresponde a:

11 22 33 1 2 3 11 22 33D dV D D D ds ds ds D D D dVDt

(4. 141)

Então:

1ii

D dV D trdV Dt

D (4. 142)

Portanto,

208

31 2

1 2 3

1 vv vD dV trdV Dt x x x

D (4. 143)

ou

1 D dV div vdV Dt

(4. 144)

O div v é a variação material do volume por unidade de volume.

Sendo D simétrico, 3 direções principais mutuamente ortogonais onde ocorrem

as taxas de deformações principais (estiramento), conforme mostra a Figura - 4. 15.

Figura - 4. 15.

209

4. 13 – Tensor de Rotação e Velocidade Angular

W é a componente antisimétrica de v , logo:

vetordual

a a W (4. 145)

onde:

23 1 31 2 12 3ˆ ˆ ˆW e W e W e (4. 146)

e o vetor velocidade angular é dado por:

rot v (4. 147)

logo

D dx vdx dx dxDt

D W (4. 148)

ou

D dx dx w dxDt

D (4. 149)

Figura - 4. 16.

210

4. 14 – Equações de Conservação da Massa

Considere o seguinte elemento de massa infinitesimal, conforme mostra a Figura -

4. 17

Figura - 4. 17.

Onde:

dm dV (4. 150)

e

0D Ddm dVDt Dt

(4. 151)

Derivando o produto temo:

0D D DdV dV dVDt Dt Dt

(4. 152)

Dividindo tudo por dV temos:

1 0D D DdV dVdV Dt Dt dV Dt

(4. 153)

Mas observe que:

1 Ddiv v dVdV Dt

(4. 154)

Logo ( ) fica:

211

0D div vDt

(4. 155)

Esta é a equação da conservação da massa ou equação da continuidade.

0i

i

vDDt x

(4. 156)

Mas

.D vDt t

(4. 157)

Logo substiutindo ( ) em ( ) temos:

. 0div v vt

(4. 158)

Esta é a equação da conservação da massa ou equação da continuidade na Descrição Espacial.

Para um material incompressível temos:

0DDt

(4. 159)

Logo a equação da continuidade fica:

0 ou 0div v div v (4. 160)

212

4. 15 – Condição de Compatibilidade para o Tensor E

Considere a seguinte transformação entre o vetores ,u v e os tensores ,E D ,

conforme esquematiza a Figura - 4. 18.

Figura - 4. 18.

Por exemplo:

211 2 22 33 12 13 23; 0E X E E E E E (4. 161)

onde

2 2111 2 1 1 2 2 3

1

22 1 3

2

,

0 ,

u E X u X X f X XXu u g X XX

(4. 162)

Desde que:

1 2

1 1

0u uX X

(4. 163)

Temos:

2 3 1 31 2

2 1

, ,2 0

f X X g X XX X

X X

(4. 164)

Portanto, funções 2 3 1 3, e ,f X X g X X que satisfaça a relação acima.

213

Teorema de Compatibilidade

Se 1 2 3, ,ijE X X X são funções contínuas e têm derivadas segundas parciais

contínuas em uma região simplesmente conexa, então as condições necessárias e suficientes

para a existência de soluções contínuas para 1 2 3, eu u u são:

2 2 211 22 122 22 1 1 2

2E E EX X X X

(4. 165)

e

2 2233 2322

2 23 2 2 3

2E EEX X X X

(4. 166)

e

2 2233 31112 2

1 3 3 1

2E EEX X X X

(4. 167)

e

223 3111 12

2 3 1 1 2 3

231 2322 12

3 1 2 2 3 1

233 23 3112

1 2 3 3 1 2

E EE EX X X X X X

E EE EX X X X X X

E E EEX X X X X X

(4. 168)

Figura - 4. 19.

214

4. 16 – Condição de Compatibilidade para o Tensor de Deformação

Considere a seguinte transformação entre o vetores ,u v e os tensores ,E D ,

conforme esquematiza a Figura - 4. 20.

12

jiij

j i

vv Dx x

(4. 169)

Figura - 4. 20.

2 2 211 22 12

2 22 1 1 2

2D D Dx x x x

(4. 170)

e

2 2233 2322

2 23 2 2 3

2D DDx x x x

(4. 171)

e

2 2233 3111

2 21 3 3 1

2D DDx x x x

(4. 172)

215

4. 17 – O Gradiente de Deformação

Considere o seguinte deslocamento conforme mostra a Figura - 4. 21.

Figura - 4. 21.

, ,dx x X dX t x X t x dx (4. 173)

Seja x F (gradiente de deformação) onde

dx dX F (4. 174)

e

x X u (4. 175)

e

dx u dX I (4. 176)

onde

u F I (4. 177)

216

4. 18 – Deslocamento de Corpo Rígido

Se F, o tensor de deformação, for ortogonal, conforme mostra a Figura - 4. 22.

Figura - 4. 22.

Então, observe que:

dX FdX

(4. 178)

Logo,

F R (4. 179)

Portanto,

T F F I (4. 180)

e

det 1F (4. 181)

217

4. 19 – Deformação Finita

Considere que F seja simétrica em um determinado instante, em um determinado

ponto.

F U (4. 182)

logo

dx dX U (4. 183)

Portanto, as direções principais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n mutuamente ortogonais.

No Espaço

Figura - 4. 23.

No Plano

Figura - 4. 24.

218

1 1 1

2 2 2

dX dX

dX dX

U

U

(4. 184)

onde 1 2, são os estiramentos principais. Nesse caso a vizinhança do ponto sofre

estiramento puro. Se

1 1 1

2 2 2

3 3 3

ˆ

ˆ

ˆ

dX dS n

dX dS n

dX dS n

(4. 185)

logo

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

dx dX dS n dS n

dx dX dS n dS n

dx dX dS n dS n

U U

U U

U U

(4. 186)

i) para 1dx temos:

11 1 1 1 1 1

1

ˆ ˆ :dsds n dS n estiramentodS

(4. 187)

principal na direção 1n

ii) para 2dx temos:

22 2 2 2 2 2

2


(4. 188)


iii) para 3dx temos:

33 3 3 3 3 3

3


(4. 189)


Figura - 4. 25.

219

Exemplo 3.20-2

Figura - 4. 26.

Sejam 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , direções principais

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

dX dX e dX e dX edx dx e dx e dx e

(4. 190)

onde

1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

dx dXdX e dX e dX e

dx e dx e dx edx e dx e dx e

UU

(4. 191)

e

1 1 1

2 2 2

3 3 3

dx dXdx dXdx dX

(4. 192)

Vejamos a interpretação geométrica:

Figura - 4. 27.

220

dx dX dX F R U (4. 193)

onde

direito esquerdo

F R U V R (4. 194)

Figura - 4. 28.

dx dX dX F V R (4. 195)

logo

T T T R F R R U R VR (4. 196)

e

TU R VR (4. 197)

Por outro lado,

T

T T

RU RR VR VRRUR V RR V (4. 198)

e

TV RUR (4. 199)

O comprimento de dx :

2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3dx dx dx dx dx dx (4. 200)

onde

221

2 2 2 2 21 2 3dX dX dX dX

(4. 201)

e

22 2231 2

1 2 3

dxdx dx

(4. 202)

Indica a equação de um elipsóide com eixos coincidentes com as direções

principais de U.

Figura - 4. 29.

222

4. 20 – Teorema da Decomposição Polar

Para cada tensor real F com determinante não nulo (i. e. 1F existe), este pode ser

decomposto no produto de tensor ortogonal com um tensor simétrico.

F RU VR (4. 203)

A decomposição existe e é única;

Seja n um auto-vetor de U, onde:

ˆ ˆn nU (4. 204)

logo

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆn n n

n n n

RU R RF R U R

(4. 205)

Por outro lado,

ˆ ˆ ˆn n n

RU VR FF V R R

(4. 206)

Portanto, nR é auto-vetor de V e é também auto-valor de V. Se n é auto-vetor

de U então nR é o auto-vetor de V.

223

4. 21 – Cálculo do Tensor de Estiramento a partir do Gradiente de Deformação

i)

F RU (4. 207)

logo

2TT T T F F RU RU U R R U U (4. 208)

Portanto,

1/ 2TU F F (4. 209)

ii)

F RU (4. 210)

logo

1 1 FU R UU (4. 211)

Portanto,

1R FU (4. 212)

iii) Se R for

F RU (4. 213)

logo

1 1 1 2 1 1 1

1 1

11 1

T

TT

I U U UU U U U U F F U

F U FU

FU FU

(4. 214)

Portanto,

TI R R (4. 215)

224

iv) Tensor de Estiramento esquerdo V.

Seja

F VR (4. 216)

logo

T T

F VRFR VRR V

(4. 217)

Portanto,

TV FR (4. 218)

por sua vez T TFR RUR , logo

TV RUR (4. 219)

Suponha um tensor U com auto-valor 0 , logo

0dsdS

(4. 220)

225

4. 22 – O Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green

Considere o seguinte tensor dado por:

2C U (4. 221)

C: é o tensor direito de deformação de Cauchy-Green

Observe que se não há deformação isto significa que:

O Tensor de Estiramento Direito é:

U I (4. 222)

Portanto, o Tensor de Cauchy-Green é dado por:

C I (4. 223)

Fica claro que:

TC F F (4. 224)

Vejamos o significado geométrico das componentes de C:

1 1

2 2

dx dX

dx dX

F

F

(4. 225)

Figura - 4. 30.

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1 2 1 2

. . .

. .

. .

T

dx dx dX dX dX dX

dX dX dX dX

dx dx dX dX

F F F F

F F C

C

(4. 226)

Fazendo:

ˆ

ˆdx dsn

dX dSn

(4. 227)

E

226

i) Para os elementos da diagonal principal

1 1 1 12

1 1 1 1 12

1 1 1

. .ˆ ˆ.ˆ ˆ.

dx dx dX dXds dS e dS e

dS e e

CCC

(4. 228)

Portanto,

2

11 1 11

1

2

22 2 22

2

2

33 3 33

3

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

dse e CdS

dse e CdS

dse e CdS

C

C

C

(4. 229)

ii) Para os elementos fora da diagonal

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆdX dS e e dx ds n

dX dS e e dx ds n

(4. 230)

e

1 1 1 1. .dx dx dX dX C (4. 231)

Logo

12

1 1 1 1

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

. .ˆ ˆ ˆ ˆcos , .ˆ ˆ ˆ ˆcos , .

C

dx dx dX dXds ds m n dS e dS e

ds ds m n dS dS e e

CC

C

(4. 232)

Portanto,

1 212

1 2

ˆ ˆcos ,ds dsC m ndS dS

(4. 233)

Se 12 ˆ ˆ0 cos , 0C m n não há distorção nas direções ˆ êm n

Figura - 4. 31.

227

4. 23 – O Tensor Lagrangeano de Deformação

O Tensor Lagrangeano é definido como:

* 12

E C I (4. 234)

C é o Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green; I é o Tensor Identidade.

Partindo de:

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

. .

.

.

.

. .

T

dx dx dX dX dX dX dX dX

dX dX dX dX

dX dX dX dX

dX dX dX dX

dx dx dX dX dX dX

F F

F F

F F

C I

C I

(4. 235)

Portanto,

*1 2 1 2 1 2. .dx dx dX dX dX dX E

(4. 236)

i) Para os elementos da diagonal principal temos:

Seja

1 1 1

1 1 1

ˆˆ

dX dS edx ds e

(4. 237)

Fazendo 1 2dX dX

temos:

2 *1 1 1 1 1

2 2* 1 1

1 1 21

ˆ ˆ2 .

ˆ ˆ2 .

dS dS e dS eds dSe e

dS

E

E (4. 238)

e

2 2* 1 111 2

1

2 ds dSEdS

(4. 239)

e

2 2* 2 222 2

2

2 ds dSEdS

(4. 240)

228

e

2 2* 3 333 2

3

2 ds dSEdS

(4. 241)

Se ds dS temos deformações infinitesimais. Logo

2 21 1 1 1* 1 1

11 2 21 1

2 21 1 1* 1 1

11 2 21 1

2

22

ds dS ds dSds dSEdS dS

dS ds dSds dSEdS dS

(4. 242)

Portanto,

* 1 111

1

ds dSEdS

(4. 243)

Este é o componente do tensor de deformação infinitesimal.

ii) Para os elementos fóra da diagonal principal temos:

Seja

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

ˆ

ˆˆˆ

dX dS e

dX dS edx ds edx ds e

(4. 244)

e

1 2 1 2ˆ ˆ. cos ,ds ds m n dS dS

*1 1 2 2

*1 2 1 1 2 2

*1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ2 .

ˆ ˆ ˆ ˆ. cos , 2 .

ˆ ˆ ˆ ˆ. cos , 2 .

dS e dS e

ds ds m n dS e dS e

ds ds m n dS dS e e

E

E

E

(4. 245)

Portanto,

* 1 212

1 2

ˆ ˆ2 cos ,ds dsE m ndS dS

(4. 246)

Tendo em conta que:

229

2 TT

T

C U u u

u u

F F I I

I I (4. 247)

logo

2 T TC U u u u u I (4. 248)

Portanto,

* 1 1 12 2 2

T Tu u u u E C I (4. 249)

Logo

* 1 12 2

ji m nij

j i i j

uu u uEX X X X

(4. 250)

Observe que *ijE é simétrico, logo

* *ij jiE E (4. 251)

De fato, para pequenas deformações (deformações infinitesimais), então

*ij ijE E (4. 252)

230

4. 24 – O Tensor Esquerdo de Deformação de Cauchy-Green

Por definição:

2B V (4. 253)

Desde que:

F VR (4. 254)

Sendo

T FR V (4. 255)

Então

TT T T

T T

FF VR VR V RR V

FF VV (4. 256)

Como V é um tensor simétrico, logo:

2T T FF VV V (4. 257)

Portanto,

TB FF (4. 258)

Observe que sendo u F I temos:

22T B C U (4. 259)

Relação entre B e C

TB RCR (4. 260)

e

TC R BR (4. 261)

Observe que se n é um auto-vetor de C com auto-valor , então: nR é um auto-vetor de B

com mesmo auto-valor.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆTn n n n n C R BR C (4. 262)

se

231

ˆ ˆ ˆT n n n RR BR RC R (4. 263)

Então

ˆ ˆn nB R R (4. 264)

Interpretação Geométrica:

Figura - 4. 32.

i) Para os elementos da diagonal

1

ˆˆ ˆdX dSnn e

R

(4. 265)

logo

2

1 1 1 1 1

21 1 1

21 1 12 21 1 1 12 21 1 1 1

2 21 1

ˆ ˆ. .

ˆ ˆ. .ˆ ˆ.

ˆ ˆ

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

T

T

T

dx dx dX dX dS n n

dx dx dS n nds ds dS n nds dS e eds dS e e

ds dS e e

C

B

F F F F

CC

R CRRCR

B

(4. 266)

Portanto,

21

11 21

dsBdS

(4. 267)

Obtendo portanto os outros elementos da diagonal

22

22 22

dsBdS

(4. 268)

e

23

33 23

dsBdS

(4. 269)

232

ii) Para os elementos fora da diagonal temos:

1 1 1

2 2 2

ˆ

ˆ

T

T

dX dS e

dX dS e

R

R

(4. 270)

e

1 1

2 2

ˆˆ

dx ds mdx ds n

(4. 271)

Logo,

1 1 1 1 2 1 1 2

1 2

ˆ ˆ. . . .

.

Tdx dx ds m ds n dX dX dX dX

dX dX

F F F F

C

(4. 272)

e ainda

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

1 2 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆcos , .

ˆ ˆ.ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

ˆ ˆ.ˆ ˆ. ; :

ˆ ˆ.

T T

T T

T T

T

TT T

T

T T

T

ds ds m n dS e dS e

dS dS e edS dS e e

dS dS e e

dS dS e e

dS dS e edS dS e e simétrico

dS dS e e

B

R C R

R CRR CR

RCR

CR R

RC RRC R C

RCR

(4. 273)

Logo

1 2 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆcos , .ds ds m n dS dS e e B (4. 274)

Portanto,

1 221

1 2

ˆ ˆcos ,ds ds m nB

dS dS (4. 275)

Figura - 4. 33.

233

Em termos do campo de deslocamento,

TT

T

T T

u u

u u

u u u u

B FF I I

I I

I

(4. 276)


j ji iij ij

j i m m

u uu uBX X X X

(4. 277)

Observe que:

1 1 12 2 2

j ji iij ij

j i m m

u uu uBX X X X

(4. 278)

Para pequenas deformações infinitesimais temos:

1 12 2

jiij ij ij

j i

uuB EX X

(4. 279)

Este é o tensor de deformação infinitesimal.

234

4. 25 – O Tensor de Deformação de Euler

Por definição:

* 112

e I B (4. 280)

O ponto de partida para se interpretar os elementos de B é:

1 1

1

dx dX

dx dX

dX dx

F

F F F

F

(4. 281)

Vamos verificar como são as componentes de 1F

Figura - 4. 34.

, ,dX X dX X X x dx t X x t

dX Xdx

(4. 282)

Logo

1dX dx F (4. 283)

então,

1iij

jj

i

XXxxX

(4. 284)

Portanto,

1ijij

X F

(4. 285)

Matricialmente

235

1 1 1

1 2 3

1 2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

ij

X X Xx x xX X XFx x xX X Xx x x

(4. 286)

A interpretação geométrica de:

1 1 11 2 1 1

1 11 2 1 2 1 2

. .

. .

T

T

dX dX dx dx

dX dX dx dx dx dx

F F F

FF B

(4. 287)

e

11 2 1 2.dX dX dx dx B (4. 288)

Logo

21 1

11 21

dSBds

(4. 289)

Figura - 4. 35.

1

1 2 1 2 1 2 1 2

11 2

*1 2

. . .

.

2 .

dx dx dX dX dx dx dx dx

dx dx

dx dx

I B

I B

e

(4. 290)

i) Para os elementos da diagonal temos:

Figura - 4. 36.

236

1 1

1 1

ˆ

ˆdx ds m

dX dS n

(4. 291)

e *

1 1 1 1 1 22 2 *1 1 1 1 1 12 2 2 *1 1 1 1 1

. . 2 .ˆ ˆ2 .ˆ ˆ2 .

dx dx dX dX dx dxds dS ds e ds eds dS ds e e

eee

(4. 292)

e 2 2

* 1 111 2

1

2 ds dSeds

e 2

1 111 2

1

dSBds

(4. 293)

Observe que para pequenas deformações (infinitesimais)

1 1ds dS (4. 294)

temos:

1 1 1 1*11 2

1

2

2

ds dS ds dSe

ds

*11

2e 1ds 1 1

21

ds dS

ds

(4. 295)

Portanto,

1 1 1 1*11 11

1 1

ds dS ds dSe E

ds dS

(4. 296)

ii) Para os elementos fóra da diagonal temos:

1 1 1

2 2 2

ˆˆ

dx ds edx ds e

(4. 297)

e

1 1

2 2

ˆ

ˆdX dS m

dX dS n

(4. 298)

Logo

237

*1 2 1 2 1 2

1 2

. . 2 .dx dx dX dX dx dx

ds ds

e

*1 2 1 1 2 2

*1 2 1 1 2 2

*1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .

ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .

ˆ ˆ2 .

dS dS m n ds e ds e

dS dS m n ds e ds e

ds ds e e

e

e

e

(4. 299)

Portanto,

* 1 212

1 2

ˆ ˆ2 cos ,dS dSe m nds ds

(4. 300)

e

11 2 1 2

11 2 1 1 2 2

11 2 1 2

11 2 12

.ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .

ˆ ˆ2 .

2

dX dX dx dxdS dS m n ds e ds e

ds ds e e

ds ds B

BB

B

(4. 301)

Portanto,

1 1 212

1 2

ˆ ˆcos ,dS dSB m nds ds

(4. 302)

Expressando o tensor de Euler em termos do campo de deslocamento, temos:

Sendo a coordenada espacial para o campo de deslocamento, temos:

,X x u x t (4. 303)

ode 1 X F

derivando X

temos:

1 i iijij

j j

X uFx x

(4. 304)

ou seja:

1xu

F I (4. 305)

Veja que:

1 1 1T Tx x

Tx x

u u

u u

B F F I I

I I

(4. 306)

e

238

1 T Tx x x xu u u u B I (4. 307)

como * 112

e I B temos:

* 1 12 2

T Tx x x xu u u u e (4. 308)


* 1 12 2

ji m mij

j i i j

uu u uex x x x

(4. 309)

Observe que *e é simétrico, logo

* *ij jie e (4. 310)

Para pequenas deformações temos:

* 12

jiij

j i

uuex x

(4. 311)

Observe que:

i i

j j

u ux X

(4. 312)

Então

*ij ije E (4. 313)

Figura - 4. 37.

- Na descrição Lagrangeana fixa-se o volume para deformações em Sólidos (vantajoso para

sólidos).

- Na descrição Euleriana fixa-se a região do espaço para deformações em um Fluido

(vantajoso para Fluidos)

239

4. 26 – Condição de Compatibilidade para as Componenetes do Tensor de Deformação Finito

240

4. 27 – Variação de Área devido a Deformação

Considere 2 elementos infinitesimais materiais emanando de uma partícula no

instante ot .

Figura - 4. 38.

A área formada por 2 elementos

1 2 1 2 3

1 2 1 2 3

ˆ:ˆ:

o ot dA dX dX dS dS et dA dx dx ds ds n

(4. 314)

Como o módulo do produto vetorial de dois vetores e a área subtendida pelo

paralelogramao formados pelso vetores.

1 2. sendA dx dx (4. 315)

Figura - 4. 39.

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

ˆ ˆ.ˆ ˆ ˆ ô

dA dx dx dX dX dS e dS edS dS e e dA e e

F F F FF F F F

(4. 316)

Por outro lado,

ˆdA dAn

(4. 317)

241

logo

1 2ˆ ˆ ôdA dAn dA e e F F

(4. 318)

Observe que:

1 2

3 3 1 2

vamosinterpolaresse termo

ˆ ˆ.

ˆ ˆ ˆ ˆ. .o

e dA e dA

e dA dA e e e

F F

F F F F

(4. 319)

Em notação indicial

1

2

3

1

2

3

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

p p

q q

r r

e e

e e

e e

F F

F F

F F

(4. 320)

Portanto,

3 1 2ˆ ˆ ˆ.e e e k F F F (4. 321)

Logo

3 1 2 3 1 2

3 1 2 3 1 2

ˆ ˆ.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ.r s rs

r r p p q q r p q r p q

r p q r pqs s r p q pqr

e e

k e e e e e e

k e e

F F F F F F

F F F F F F

(4. 322)

como , ep q r são índices mudos portanto podemos fazer:

3 1 2 3 1 2 3 1 2

3 1 2

r q p qpr r p q pqr p r q rqp

p q r pqr

k

F F F F F F F F F

F F F (4. 323)

e

1 2 3

3 1 2

2 2 1

3 2 1

1 3 2

2 1 3

p q r pqr

p q r pqr

p q r pqr

p q r pqr

p q r pqr

p q r pqr

k

F F F

F F F

F F F

F F F

F F F

F F F

(4. 324)

e

242

6

1 det6

i j k

i j k

p q r ijk pqr

p q r ijk pqr

k

k

F F F

F F F F (4. 325)

Portanto,

3 1 2ˆ ˆ ˆ dete e e F F F F (4. 326)

logo

3ˆ. dete n odA dAF F

(4. 327)

de ( ) temos:

1

2

ˆ 1

ˆ 2

ˆ ˆ. 0 . 0

ˆ ˆ. 0 . 0

Te

Te

n e n

n e n

F F

F F (4. 328)

Concluimos que ˆT nF esta uma direção 3e , ou seja:

3ˆ ˆ. Te n F (4. 329)

da equação ( ) temos:

3ˆ ˆ. detTodAe n dAF F (4. 330)

e

3ˆ ˆ. detT odAe ndA

F F (4. 331)

e

3ˆ ˆdetT odAn edA

F F (4. 332)

Portanto,

1 1

3

1

3

ˆ ˆdet

ˆ ˆdet

T T T o

To

dAn edA

dAn edA

F F F F

F F (4. 333)

e finalmente

243

1

3ˆ ˆdet TodAn dA e

F F (4. 334)

obtemos uma mudança de orientação do elemento de área.

1

3ˆdet TodA dA e

F F (4. 335)

É possível mostrar que:

1ˆ ˆdet T

o odAn dA n

F F (4. 336)

onde ôn é perpendicular ao elemento de área em ot .

244

4. 28 – Variação de Volume devido a Deformação

Figura - 4. 40.

î i idX dS e (4. 337)

não é soma

O volume no instante inicial ot t é:

1 2 3odV dS dS dS (4. 338)

e o volume num instante qualquer t t é:

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 2

.

.

ˆ ˆ ˆ.

dV dx dx dx

dX dX dX

dS e dS e dS e

F F F

F F F

(4. 339)

Logo

1 2 3 1 2 2ˆ ˆ ˆ.dV dS dS dS e e e F F F (4. 340)

e

detodV dV F (4. 341)

Se det 1F então odV dV

Figura - 4. 41.

245

Muda a área odA dA

Figura - 4. 42.

Mas preserva o volume: odV dV

TC F F e TB FF (4. 342)

e

2det det detT C F F F (4. 343)

e

2det det detT B FF F (4. 344)

logo

det deto odV dV dV C B (4. 345)

Para material incompressível temos:

det det det 1 F C B (4. 346)

Figura - 4. 43.

A equação da continuidade diz que:

246

dd

o

o o

m dmV dV

(4. 347)

Então

d deto o

odV

V

F

(4. 348)

det F onde é a característica cinemática do meio contínuo

247


248


249

Capítulo – V

TENSÃO NO CONTÍNUO

RESUMO


5. 1 – Objetivos do Capítulo

i) Entender


250

4.2.1 – Força de Corpo

É a força que atua à distância envolvendo todo o volume do corpo (força

gravitacional; força elétrica, a força magnética).

Figura - 5. 1.

4.2.2 – Força de Superfície

É a força que atua localmente sobre uma superfície e se transmite pelo contato,

como por exemplo a força de tração, que atua nas superfícies dos corpos separando as partes

do corpo.

Figura - 5. 2.

251

5. 3 – Vetor Tensão de Cauchy

Considere o corpo da Figura - 5. 3

Figura - 5. 3.

Então definimos o vetor tensão:

dSFd

SFt

S

0lim (5. 1)

4.3.1 – Princípio da Tensão de Cauchy

Pelo principio de Cauchy temos que a tensão t

depende do vetor x , do tempo t,

e da direção da normal n .

Figura - 5. 4. A tensão t

depende do corte da superfície

A dependência de ˆ, ,t x t n pode ser expressa como:

ˆ ˆ, , ,t x t n X t n T (5. 2)

onde T é uma transformação linear

252

Seja a tensão nt onde:

ˆnt n T (5. 3)

Figura - 5. 5.

Calculando a resultante das forças sobre o tetraedro temos:

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3

/ .

e e e n nforçaunid

massa

F t A t A t A t A dV B dVa

(5. 4)

e

1 2 3

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 6e e e n n

X X XF t A t A t A t A a B

(5. 5)

Observe que:

2 3 1 2 1 21 2 3; ;

3 3 3X X X X X XA A A

(5. 6)

No limite para 1 2 3, 0X X e X ; o volume 1 2 3V X X X se anula mais

rapidamente do que outros termos do lado esquerdo da equação (5. 5). Consequentemente,

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3n n e e eA t A t A t A t (5. 7)

Onde 1 2 3

6X X X a B

é um infinitésimo de ordem superior. Mas

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ î in n e n e n e n e (5. 8)

As áreas 1 2 2, eA A A podem ser expressas como:

1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn n n n nA n A A n e A n e e A n

(5. 9)

e

253


(5. 10)

e


(5. 11)

Portanto,

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn i n n n n i n i i n i niA n A A n e A n e e A n A n

(5. 12)

ou ainda

1 1 2 2 3 3; ;n n nA n A A n A A n A (5. 13)

Então

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3

ˆ ˆ ˆ. . .n n n e n e n e

n n n e n e n e

A t n A t n A t n A t

A t n A t n A t n A t

(5. 14)

e

1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3n e e et n t n t n t (5. 15)

e

ˆ 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆn j j j j j jt n T e n T e n T e (5. 16)

logo

ˆ ˆn i ji jt n T e (5. 17)

ou

ˆ

2a

n i jijcompontes Tensor decomponentes deumvetor ordemde um vetor

t n T

(5. 18)

Onde jiT é dado pela regra do quociente.

Portanto, T de componentes ijT é um tensor de 2ª ordem. T é o tensor de tensão

ou tensor de tensão de Cauchy.

ˆnt n T (5. 19)

254

5. 4 – Componentes do Tensor de Tensão de Cauchy

Considere a Figura - 5. 6

Figura - 5. 6.

As componentes do tensor de Cauchy sào dadas por:

ˆˆ ˆ ˆ. .jij i j i eT e e e t T (5. 20)

Na face 1e temos:

1

1

1

ˆ11 1 1 1

ˆ21 2 1 2

ˆ31 3 1 3

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

e

e

e

T e e e t

T e e e t

T e e e t

T

T

T

(5. 21)

Na face 2e temos:

2

2

2

ˆ12 1 2 1

ˆ22 2 2 2

ˆ23 3 1 3

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

e

e

e

T e e e t

T e e e t

T e e e t

T

T

T

(5. 22)

Na face 3e temos:

3

3

3

ˆ13 1 3 1

ˆ23 2 3 2

ˆ33 3 3 3

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ ˆ ˆ. .

e

e

e

T e e e t

T e e e t

T e e e t

T

T

T

(5. 23)

11 22 33, ,T T T são as componentes de tensões normais e 12 21 13 31 23 32, , , , ,T T T T T T são as

componentes de tensões de cisalhamento.

255

.

.

1 1 3

11 1 21 2 31 3

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆdireç direçda dacomp normal

aoplano

j

i jtensão tensãodecisalhamentonormal

e T eT T e T e T e

T

(5. 24)

As tensões normais podem ser de tração ou compressão.

Tensão de Tração > 0 ; Tensão de Compressão < 00 0ii iiT T

(5. 25)

Figura - 5. 7.

A resultante do cisalhamento é dada por:

2 21 21 31T T (5. 26)

Para um plano qualquer n passando pela partícula temos:

ˆnt n T (5. 27)

Ou em notação indicial temos:

î ij jt T n (5. 28)

A tensão normal em n :

ˆ.n n i i i j ijt n t n n n T (5. 29)

e

ˆ.

ˆ.n n i i i j ij

vn n i i i j ij

t t n T

t v t v v n T

(5. 30)

256

5. 5 – Simetria do Tensor de Tensão de Cauchy

Considere o paralelepípedo, conforme mostrado na Figura - 5. 8.

Figura - 5. 8.

No plano 1 2ˆ ê e , temos:

Figura - 5. 9.

Considerando as forças resultantes em cada uma das faces:

i) A força resultante na face 1e na direção 1e

1

1ˆ 11 2 3eF T X X (5. 31)

Na face 1e na direção 1e :

1

1ˆ 11 11 2 3eF T T X X (5. 32)


2

1ˆ 21 2 3 21 21 2 3eF T X X T T X X (5. 33)

257

ii) A força resultante na face 2e na direção 2e

2

2ˆ 22 1 3eF T X X (5. 34)


2

2ˆ 22 22 1 3eF T T X X (5. 35)


2

1ˆ 12 1 3eF T X X (5. 36)


2

1ˆ 12 12 1 3eF T T X X (5. 37)

Determinando os momentos em relação ao eixo 3e por A:

1 221 21 2 3 12 12 1 3

1 221 2 3 12 1 3 1 2 3

2 21 2 3 1 2

2 2

.2 2

A

V

X XM T T X X T T X X

X XT X X T X X X X X B

I X X X X X

(5. 38)

onde o I para um paralelepipedo é dado por:

2 21 2I X X (5. 39)

dividido ( ) por 1 2 3V X X X temos:

2 221 21 12 12 21 12 1 2

00

T T T T T T B X X

(5. 40)

Tomando o limite para 1 2 3, , 0X X X , logo:

21 122 2 0T T (5. 41)

Portanto,

21 12T T (5. 42)

Repetido para os outros direções temos:

258

ij jiT T (5. 43)

ou seja, o tensor de tensão de Cauchy é simétrico.

Para B

dado por uma delta de Dirac o termo,

0B

(5. 44)

Logo

21 122 2 0T T B

(5. 45)

O tensor deixa de ser simétrico:

259

5. 6 – Tensão Principais

A partir da secção 2B18, nós sabemos que para qualquer tensor de tensão

simétrico T existe no mínimo três direções principais, 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n mutuamente perpendiculares

(que são os auto-vetores de T). Os planos que contêm estas direções como suas normais são

conhecidas como planos principais 1 2 3, , . Sobre estes planos, o vetor de tensão, t

, é

normal ao plano (i. e. não há tensão de cisalhamento) e as tensões normais, 1 2 3, ,T T T , são

conhecidas como as tensões principais. Então, as tensões principais, 1 2 3, ,t t t

(os auto-valores

de T) incluem os valores máximos e mínimos das tensões normais, 1 2 3, ,T T T , entre todos os

planos que passam por um dado ponto, conforme mostra a Figura - 5. 10

Figura - 5. 10. Planos principais e auto-vetores de T.

Tensor T, auto-vetores (direções principais) 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n e auto-valores 1 2 3, ,T T T .

Logo o tensor T pode ser escrito como:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a b ct t t

T T TT T T T

T T T

(5. 46)

Considerando que T é simétrico então ele pode ser diagonalizável de forma a obter:

1

*2

3

0 00 00 0

a b ct t t

TT T

T

(5. 47)

onde a seguinte equação é satisfeita:

260

ˆ ˆt n n T (5. 48)

Os 'i s (auto-valores) estão associados as direções principais nas quais ocorre as tensões

principais. Observe que:

ˆ î i i it n n T (5. 49)

onde a notação indicial de i não está associada a soma de Einstein.

Multiplicando os dois lados da equação por ˆ jn observamos que as três direções

principais în são mutuamente ortogonais, ou seja:

ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ.ˆ ˆ.

ˆ ˆ.

n

i i j j

ji i i k k

ji i k i k

ji i k jk

ji i j

T n t n nn e n e

T n e n eT n n e eT n nT n n

TT

(5. 50)

e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ î ij j j i i

ij j i i i ij

n t n n n n

n n n n

T

T

(5. 51)

Vemos que as tensões de cisalhamento nestes planos são nulas, ou seja

2 1 1 2 1

3 1 1 3 1

3 2 2 3 2

ˆ ˆ ˆ ˆ. 0ˆ ˆ ˆ ˆ. 0ˆ ˆ ˆ ˆ. 0

n n n nn n n nn n n n

TTT

(5. 52)

As componentes do tensor T no sistema de coordenadas ˆïn (auto-vetores) são

dadas por:

1

2

3

0 00 00 0

TT T

T

(5. 53)

Portanto, a tensão normal a um plano qualquer orientado pelo auto-vetor n ,

temos:

261

1 2 3 1 2 3min , , max , ,nT T T T T T (5. 54)


Figura - 5. 11.

de tal forma que:

ˆ ˆt n n I T I (5. 55)

ou seja:

ˆ ˆ 0n t n T I I (5. 56)

Logo,

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

t t t n n n

t n t n t n

(5. 57)

ou ainda,

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

T T T nT T T nT T T n

(5. 58)

Portanto,

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

000

T T T nT T T nT T T n

(5. 59)

262

Sabemos que a equação ( ) é satisfeita para qualquer se ˆˆ 0n . Logo, para

eliminar esta solução trivial, nos observamos que o sistema homogêneo em ( ) admite solução

não-trivial somente se o determinante de seus coeficientes se anulam, ou seja:

*det det 0 T I T I (5. 60)

isto é:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

0 0det det 0 0

0 0

T T T TT T T TT T T T

(5. 61)

Portanto, as tensões principais devem ser obtidos das equação característica de T,

que pode ser escrita como:

3 21 2 3 1 2 3 0I I I T T T (5. 62)

onde:

1 11 22 33 1 2 3I tr T T T T T T T (5. 63)

e

11 13 22 2311 122

31 33 32 3321 22

2 2 22 1 2 3

det det detT T T TT T

IT T T TT T

I T T T

(5. 64)

e

11 12 13

3 21 22 23 1 2 3

31 32 33

det detT T T

I T T T TT TT T T

T (5. 65)

são os três invariantes escalares principais do tensor das tensões. Para os cálculos das direções

principais, vamos retornar a secção 2B17 (Veja processo de Ortogonalização de Gram-

Schimidt).

263

5. 7 – Máxima Tensão de Cisalhamento

Nesta secção, mostraremos que a tensão de cisalhamento máxima, ST , é igual a

metade da diferença entre as tensões principais máxima e mínima 1 3 / 2sT T T e atua

sobre o plano que divide o angulo reto entre as direções das tensões principais máxima e

mínima 1 3,t t

.

Seja 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ee e e as direções principais do tensor T e seja 1 2 3, , eT T T o valor das

tensões principais. Se n é um vetor unitário normal ao plano, as componentes do vetor tensão

t

, sobre o plano é dado por:

Figura - 5. 12.

Supondo 1 2 3T T T e o vetor normal, n dado por:

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ+n n e n e n e (5. 66)

e o vetor tensão t

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ+t t e t e t e (5. 67)

Então

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

0 00 00 0

t T n n Tt T n n Tt T n n T

(5. 68)

isto é, se T for representado em uma base de vetores 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ee e e nas direções principais (aquela

dos auto-vetores), então teremos:

1 1 1 2 2 2 3 3 3ˆ ˆ ˆ+t n T e n T e n T e (5. 69)

e a tensão normal sobre o mesmo plano é dada por:

264

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. + . +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+ . +

n

n

T n t n e n e n e t e t e t e

T n e n e n e n T e n T e n T e

(5. 70)

logo

2 2 21 1 2 2 3 3nT n T n T n T (5. 71)

onde:

ˆ . cos

1. cos

cos

n

n

n

T n t

T t

T t

(5. 72)

se 0 cos 1 , logo

nT t (5. 73)

Então, se ST denota a magnitude da tensão de cisalhamento total sobre o plano, nós temos

(vide Figura - 5. 13).

Figura - 5. 13.

Da Figura - 5. 13 desenho podemos extrair pelo Teorema de Pitágoras que:

22 2s nT t T (5. 74)

onde

ˆ ˆ ˆ î i ji i jt Tn n n e T n e T T (5. 75)

Logo

265

11 1 1 1

22 2 2 2

33 3 3 3

ji i

T n T nT n T n T n

T n T n

(5. 76)

e

2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3t n T n T n T

(5. 77)

logo

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3s nT n T n T n T T (5. 78)

ou

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3sT n T n T n T n T n T n T (5. 79)

Observe que:

21 2 3, ,sT f n n n (5. 80)

Por outro lado,

2 2 2 21 2 3ˆ 1n n n n (5. 81)

Tomando o diferencial de 21 2 3, ,sT f n n n temos:

2 2 22

1 2 31 2 3

0s s ss

T T Td T dn dn dn

n n n

(5. 82)

Dado que 1 2 3, edn dn dn não são independentes, então vamos tomar o diferencial

de:

2 2 2 21 2 3

21 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

ˆ 1

ˆ 2 2 2 00

d n d n n n d

d n n dn n dn n dnn dn n dn n dn

(5. 83)

multiplicando (5. 82) por 1n :

2 2 22

1 1 1 2 1 31 2 3

0s s ss

T T Td T n dn n dn n dn

n n n

(5. 84)

266

Então usando ( ) em ( )

2 2 2

2 2 3 3 1 2 1 31 2 3

0s s sT T Tn dn n dn n dn n dn

n n n

(5. 85)

logo

2 2 2 2

1 2 2 1 3 31 1 3 3

0s s s sT T T Tn n dn n n dn

n n n n

(5. 86)

Dado que 2dn e 3dn são independentes, então:

2 2 2 2

1 21 1 2 1 1 1

2 2 2 2

1 33 3 3 3 1 1

1 10

1 10

s s s s

s s s s

T T T Tn n

n n n n n n

T T T Tn n

n n n n n n

(5. 87)

Para que isto ocorra é necessário:

2 2 2

1 2 31 2 3

; ;s s sT T Tn n n

n n n

(5. 88)

onde são os multiplicadores de Lagrange (ver livro do Prager) substituindo 2sT nas três

equações acima temos:

22 2 2 21 1 1 1 2 2 3 3 1

22 2 2 22 2 1 1 2 2 3 3 2

22 2 2 23 3 1 1 2 2 3 3 3

2 2 21 2 3

2 2

2 2

2 2

1

n T n T n T n T n

n T n T n T n T n

n T n T n T n T n

n n n

(5. 89)

Resolvendo este sistema obtemos para 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n temos:

0(minimo) 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,11 1 10(máximo) 1, 1,0 ; 1,0, 1 ; 0,1, 12 2 2

s

s

T

T

(5. 90)

267

Figura - 5. 14.

As três tensões de cisalhamento máximo são obtidas substituindo-se 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n , em

1T temos:

1 2max 12

1 3max 13

2 3max 23

2

2

2

s

s

s

T TT

T TT

T TT

(5. 91)

logo

max max max max12 13 23, ,s s s sT máx T T T (5. 92)

Se fizermos:

1 2 3T T T (5. 93)

Logo

1 3max 2s

T TT (5. 94)

E a tensão normal asociada maxsT é dada por:

1 3

2nT TT

(5. 95)

Com estas relações podemos construir o chamado ciclo de Mohr

Figura - 5. 15.

268

5. 8 – Equação de Movimento de um Meio Contínuo Sujeito a Um Campo de Tensão

Descrição Espacial (no livro está errado – Descrição Material)

(5. 96)

Figura - 5. 16.

Equação de Movimento em Coordenadas Cartesianas

Aplicando a 2ª Lei de Newton à partícula:

1 1

2 1

3 1

ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 31 2 3

1

ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 31 2 3

2

ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 31 2 3

3

1 2 3 1 2 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

e e

e e

e e

t x x x x t x x xx x x

x


x


x

B x x x a x x x

(5. 97)

A equação no livro nas páginas 187 e 188 no rodapé estão erradas.

269

1 1

2 1

3 1

ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 3

1

ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 3

2

ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3

3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

e e

e e

e e

t x x x x t x x xx

t x x x x t x x x

x

t x x x x t x x xx

B a

(5. 98)

Tomando o limite para 1 2 3, , 0x x x ;

31 2 ˆˆ ˆ

1 2 3

ee e tt tB a

x x x

(5. 99)

mas ˆ îe it e T

, portanto na representação indicial temos:

ˆ îe i

i i

t eB a B ax x

T (5. 100)

e

îj i

j

T eB a

x

(5. 101)

e

ˆˆ îj i

i i i ij

T eB e a e

x

(5. 102)

Finalmente na forma invariante

div B a T (5. 103)

Esta é a Equação de Movimento de Cauchy, na descrição espacial (Euler). Indicialmente

iji i

j

TB a

x

(5. 104)

corpo particular meio em repouso ou 0a

div B a T (5. 105)

Esta é a equação de equilíbrio.

270

Equação de Movimento em Coordenadas Cilíndricas

271

Equação de Movimento em Coordenadas Esféricas

272

Condição de Contorno para o Tensor de Tensão

Figura - 5. 17.

Uma possível condição de contorno par o tensor de tensão é dada por:

int

ˆ nerno externo

n tT (5. 106)

se

ˆ 0n T 0T (5. 107)

é possível que:

ˆ. 0n m T (5. 108)

Em uma das direções principais

Figura - 5. 18.

273

5. 9 –Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff

Considere a seguinte transposição paralela mostrada na Figura - 5. 19.

Figura - 5. 19.

A transposicão paralela é dada por

//o

o

df dft t

(5. 109)

Dado o tensor de Cauchy

ˆnt T n

df tdA

dftdA

(5. 110)

É a representação espacial da área deformada

ô o o

o o o

oo

o

t T n

df t dA

dftdA

(5. 111)

É a representação espacial da área não-deformada

274

1º Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff

Figura - 5. 20.

Analogamente temos:

ô o ot T n (5. 112)

logo

o o odf tdA t dA df (5. 113)

e

//o oo

dAt t t tdA

(5. 114)

e

ˆ ˆ ô oo o

dA dAn n ndA dA

T T T (5. 115)

mas

1ˆ ˆdetT

o odAn dA n F F (5. 116)

Portanto,

1ˆ ˆdetT

o o on nT T F F (5. 117)

ou

1detT

oT T F F (5. 118)

Este é o primeiro Tensor de Piola-Kirchoff, T é o tensor de Cauchy, onde

1

detT

oT T FF

(5. 119)

Observação: F e To não são necessáriamente simétricos.

275

2º Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff

Figura - 5. 21.

ô

o

o

t n

df tdA

dftdA

T

(5. 120)

Sendo o tensor gradiente de deslocamento dado por:

df dfdx dX

FF

(5. 121)

logo

ô

o o

df df tdA

df n dA

F F

FT

(5. 122)

Por outro lado, considerando odf df

,

ô o o o odf t dA n dA T (5. 123)

comaparando ( ) com ( ) temos:

oFT T (5. 124)

Ou o 2º Tensor de Piola-Kirchoff (Tensor Fictício)

1o

T F T (5. 125)

Substituindo:

1detT

oT F T F (5. 126)

temos:

1 1

2( )

deto

T

CauchyTensorFísicoPiola

Kirchoff

T F F T F F (5. 127)

onde T é simétrico.

276

Aplicação a Vigas

Considere a viga mostrada na Figura - 5. 22.

Figura - 5. 22.

Descrição Material:

Equação Diferencial - t (domínio dependente do tempo na descrição de

Euler)

,u u x t (5. 128)

Descrição Material:

Equação Diferencial - cte (domínio não depende do tempo na descrição de

Lagrange)

,u u X t

(5. 129)

As Equações Constitutivas (ou Equações de Consistência) relacionam tensões

com deformações para um dado material.

277

5. 10 – Equação de Movimento escrito na Configuração de Referência

Seja a Equação do Movimento na descrição espacial:

iji i

j

TB a

x

(5. 130)

onde

1detij o jmim

T F TF

(5. 131)

substituindo

1det

ijo jmim

j j

TF

x x

TF

(5. 132)

logo

det det

oij jm jmimo im

j j j

T F Fx x x

TT

F F (5. 133)

e

1det det

oij j jmimo im

j j m j

T x Fx x X x

TT

F F (5. 134)

i) Analisando o primeiro termo do lado direito temos:

1 1det det

o oj jim im n

j m n j m

x xXx X X x X

T TF F

(5. 135)

usando o fato que:

o imo nim

n

d dXX

TT (5. 136)

e

nn j

i

XdX dxx

(5. 137)

e

278

jn n

m j m

xX XX x X

(5. 138)

temos:

1 1det det

1 1det det

1det

o ojim im n

j m n m

o ojim imnm

j m n

o ojim im

j m n

x Xx X X X

xx X X

xx X X

T TF F

T TF F

T TF

(5. 139)

ii) Analisando o segundo termo do lado direito temos:

2

detdet det det

o ojm jim imo jmim

j j m j

F xF

x x X x

T T FT

F F F (5. 140)

e

2

2

det1 1det det

j jn n

n m j n n j

x xX XX X x X X x

FF F

(5. 141)

e

2

2

det1 1det det

j nmn

n m j n

x XX X x X

FF F

(5. 142)

e

22 det1 1det det

j n

n m j m

x XX X x X

FF

F F (5. 143)

mas

1detdet jn

njm m

FX X

F

F F (5. 144)

e então

279

2detdet jn

m j n m

xXX x X X

FF (5. 145)

logo

0det

jm

j

Fx

F (5. 146)

Portanto,

1det

oij im

j m

Tx X

TF

(5. 147)

Levando este resultado para a equação de movimento temos:

1det

o imi i

m

B aX

TF

(5. 148)

logo

det deto imi i

m

B aX

TF F (5. 149)

visto que:

det o F (5. 150)

temos:

o imo i o i

m

B aX

T (5. 151)

que corresponde a equação de movimento na configuração inicial de referência. Então:

o o oDiv B a T (5. 152)

onde

,a a X t e ,B B X t

(5. 153)

280

5. 11 – Potência de Tensão

Considere o desenho da Figura - 5. 23.

Figura - 5. 23.

1

1

2

2

3

3

ˆ 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3

ˆ 1 2 3 2 3 1 2 3

ˆ 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3

ˆ 1 2 3 1 3 1 2 3

ˆ 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3

ˆ 1 2

, , . , ,

, , . , ,

, , . , ,

, , . , ,

, , . , ,

,

e

e

e

e

e

e

P t x x x x x x v x x x x

t x x x x x v x x x

t x x x x x x v x x x x

t x x x x x v x x x

t x x x x x x v x x x x

t x x

3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3, . , , , ,x x x v x x x B x x x v x x x

(5. 154)

ou

1 1

2 2

3 3

ˆ ˆ1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1

ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3

2

ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

3

1

, , . , , , , . , ,

, , . , , , , . , ,

, , . , , , , . , ,

. ,

e e

e e

e e

t x x x x v x x x x t x x x v x x xPV x

t x x x x v x x x x t x x x v x x xx

t x x x x v x x x x t x x x v x x xx

B v x x

2 3, x

(5. 155)

Ou ainda

281

1 1

2 2

3 3

ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 3

1

ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 3

2

ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

3

1 2 3

. , , . , ,

. , , . , ,

. , , . , , , ,

. , ,

e e

e e

e e

t v x x x x t v x x xPV x

t v x x x x t v x x xx

t v x x x x t v x x x x x xx

B v x x x

(5. 156)

Tomando o limite para 1 2 3, e 0x x x temos:

31 2 ˆˆ ˆ1 2 3

1 2 3

.. .. , ,ee e t vt v t vdP B v x x x

dV x x x

(5. 157)

Ou

ˆ ..je

j

t vdP B vdV x

(5. 158)

Mas

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.je j i i kj k i i

kj i ki i ij

t v e v e T e v e

T v v T

T

(5. 159)

logo

.i ij

i ij

v TdP B vdV x

(5. 160)

Mas por outro lado,

i ij ij ii ij

j j j

v T T vv Tx x x

(5. 161)

Substituindo em ( ) temos:

.ij ii ij i i

j j

ij ii i ij

j j

Equação de Movimento

T vdP v T B vdV x x

T vv B Tx x

(5. 162)

282

logo

i ii ij

j

D v vdP v TdV Dt x

(5. 163)

mas

i ii ij

j

D v vdP v dV T dVDt x

(5. 164)

Mas

12

1222

Ei i

i i

ii

D K D dV v vDt Dt

DdV v vDt

D vdVv

Dt

(5. 165)

logo

E ii

D K D vdVv

Dt Dt

(5. 166)

Portanto,

ES

D KdP dV dP

Dt (5. 167)

Onde

TiS ij x

j

vdP T dV tr v dVx

T (5. 168)

x é o gradiente na descrição espacial de Euler.

Se T é simétrico então os índices pode trocar de posição:

ji iij ji ij

j j i

vv vT T Tx x x

(5. 169)

logo

283

12

1 12 2

i i iS ij ij ij

j j j

j ji iij ij ij

j i j i

v v vdP T dV T T dVx x x

v vv vT T dV T dVx x x x

(5. 170)

Portanto,

S ij ij ji ijdP T D dV T D dV (5. 171)

onde D é o tensor taxa de deformação:

SdP tr dV TD (5. 172)

É a taxa de energia gasta para deformar o elemento infinitesimal de volume dV.

Portanto,

E SD K dPdPdV Dt dV

(5. 173)

Ou finalmente

ED KdP trdV Dt

TD (5. 174)

284

5. 12 – Taxa de Fluxo de Calor por Condução

Considere o paralelepipdeo de dimensões 1 2 3, ex x x sujeito a um fluxo de calor

q , conforme mostra a Figura - 5. 24.

Figura - 5. 24.

O balanço do fluxo de calor:

1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 3

1 2 3 3 3 1 2 3 3 1 2

ˆ ˆ, , . , , .

ˆ ˆ, , . , , .

ˆ ˆ, , . , , .

cQ q x dx x x e q x x x e dx dx

q x x dx x e q x x x e dx dx

q x x x dx e q x x x e dx dx

(5. 175)

ou

1 1 2 3 1 2 3 2 3

1 2 2 3 1 2 3 1 3

1 2 3 3 1 2 3 1 2

, , , ,

, , . , ,

, , . , ,

cQ q x dx x x q x x x dx dx

q x x dx x q x x x dx dx

q x x x dx q x x x dx dx

(5. 176)

logo

1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3

1 2 3

cq q qQ dx dx dx dx dx dx dx dx dxx x x

q q q Vdx x x

(5. 177)

Portanto,

cQ div Vdq (5. 178)

285

Usando a lei de Fourier:

kq (5. 179)

e

cQ div k Vd (5. 180)

logo

1 1 2 2 3 3cQ k k k Vd

x x x x x x

(5. 181)

Se o material é homogêneo temos:

2 2 2

2 2 21 2 3

2

cQ k Vdx x x

k dV

(5. 182)

Onde o operador diferencial Lapalciano é:

2 2 22

2 2 21 2 3x x x

(5. 183)

Portanto,

2cdQ kdV

(5. 184)

Se não há fonte de calor mas apenas uma distribuição de temperatura ao redor e no interior de

um volume temos então:

2 0 (5. 185)

286

5. 13 – Equação da 1ª Lei da Termodinâmica

Considere o paralelepípedo de dimensões 1 2 3, ex x x no espaço conforme mostra a

Figura - 5. 25.

Figura - 5. 25.

de onde tomamos o seguinte balanço de energia

E C SPotenciaEnergia Energia Calor CalorDissipadaPotencial Cinética Condução Radiação

D U K P Q QDt

(5. 186)

onde

iE ij

j

vDP K T dVDt x

(5. 187)

Sabendo que o balanço de calor líquido de calor é dado por:

ic

i

qQ dVx

(5. 188)

Temos:

E i iE ij S

j i

D K v qD U K T dV dV QDt Dt x x

(5. 189)

logo

i iij S

j i

v qDU T dV dV QDt x x

(5. 190)

287

Fazendo a energia interna dU u dV onde u é a energia interna por unidade de volume

temos:

D u dVDU DudVDt Dt Dt

(5. 191)

considerando o material incompressível, temos:

0D dV

Dt

(5. 192)

Voltando a expressão ( ) da 1ª Lei da Termodinâmica temos:

i iij S

j i

v qDudV T dV dV QDt x x

(5. 193)

Fazendo

SS S S

dQq Q q dVdm

(5. 194)

Logo

i iij S

j i

v qDudV T dV dV q dVDt x x

(5. 195)

cancelando os volumes infinitesimais finalmente temos:

i iij S

j i

v qDu T qDt x x

(5. 196)

Em notação invariante temos:

SDu tr divq qDt

TD (5. 197)

288

5. 14 – Desigualdade de Entropia

Seja ,x t a entropia de uma partícula por unidade de massa. A entropia

associada a uma massa dm é dada por:

dm dV (5. 198)

A taxa material de variação de entropia é dada por:

D DdV dVDt Dt

(5. 199)

Considerando o material incompressível, a taxa material de entropia por unidade de volume é

dada por:

D d DDt dV Dt

(5. 200)

Logo a 2ª Lei da termodinâmica fica expressa como:

SqD divqDt

(5. 201)

289

5. 15 - Exemplos e Aplicações

290

5. 16 - Exercícios e Problemas

291

Capítulo – VI

O SÓLIDO ELÁSTICO

RESUMO



i) Entender

6. 2 - Introdução

292

6. 3 – A Teoria da Elasticidade

293

6. 4 – Propriedades Mecânicas

E

(6. 1)

Ey: Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade.

Coeficiente de Poisson

d

av

(6. 2)

Isotropia

Mesmas propriedades em qualquer direção

Anisotropia

Homogeneidade

Mesmas propriedades para qualquer partícula.

Não-Homogenenidade

Módulo Volumétrico

ij ijT (6. 3)

e

ˆ nn tT (6. 4)

é a pressão hidrostática ou termodinâmica

'ij ij ijT T (6. 5)

e

ke

(6. 6)

e

294

d Ve

dV

(6. 7)

Módulo de Elasticidade Transversal (ou de Cisalhamento)

Ensaio de Torção

Figura - 6. 1.

e o módulo de elasticidade transversal

t

p

M lI

(6. 8)

295

6. 5 – O Sólido Elástico Linear

a) A relação entre as forças aplicadas e as quantidades medidas de deformação são lineares.

Linearidade entre T e E , T E

b) As taxas de aplicação das forças não tem efeito

T é independente de E

c) Removendo as forças, as deformações desaparecem

Elasticidade Processo irreversível

d) As deformações são muito pequenas

Tensor de deformação infinitesimal E

6.5.1 - Relação de Consistência ou Relação Constitutiva

T T E (6. 9)

e

11 1111 11 1112 12 1113 13

1132 32 1133 33

12

13

33

... ...

....

:

T C E C E C EC E C E

TT

T

(6. 10)

Na notação indicial

ij ijkl klT C E (6. 11)

pela regra do quociente, ijklE é um tensor de quarta ordem, chamado de Tensor de

Elasticidade onde ijklC possui 81 componentes.

11 1111 11 1112 12 1121 21 1113 13 1131 31

1123 23 1132 32 1122 22 1133 33

1111 11 1122 22 1133 33 1112 1121 12

1113 1131 13 1123 1132 23

T C E C E C E C E C EC E C E C E C EC E C E C E C C E

C C E C C E

(6. 12)

296

Pode-se fazer com liberdade:

1112 1121

1113 1131

1123 1132

C CC CC C

(6. 13)

logo

ijkl ijlkC C (6. 14)

com isto ijklC passa a ter 54 componentes.

Mas, considerando a simetria de ijT


e

ji jikl klT C E (6. 16)

sendo

ij jiT T (6. 17)

temos:

66

ijkl jiklC C (6. 18)

Passa a ter 36 componentes.

297

Exemplo 5.2.2

Se /ij ijT U E , então:

a)

ijkl jiklC C (6. 19)

b)

1 12 2ij ij ijkl ij klU T E C E E (6. 20)

Solução

O sólido elástico satisfaz:


e

ijijrs

rs

TC

E

(6. 22)

Logo

2ijijrs

rs rs ij rs ij

T U U CE E E E E

(6. 23)

e

2rs

rsijij ij rs ij rs

T U U CE E E E E

(6. 24)

Como pela regra de Schwartz temos:

2 2

rs ij ij rs

U UE E E E

(6. 25)

logo

298

ijrs rsijC C (6. 26)

Sendo:

a)

ijij

UTE

(6. 27)

e

ij ij ijij

UT dE dE dUE

(6. 28)

como

U U E (6. 29)

Temos:

11 12 3311 12 33

...U U UdU dE dE dEE E E

(6. 30)

logo

ijkl kl ijdU C E dE (6. 31)

e

klij ij kldU C E dE (6. 32)

mas

ijkl klijC C (6. 33)

então

klij ij kldU C E dE (6. 34)

Somando ( ) com ( ) temos:

2 klij kl ij ij kldU C E dE E dE (6. 35)

e

299

2 klij ij kldU C d E E (6. 36)

Portanto,

12 klij ij klU C E E (6. 37)

Sendo ijkl klijC C , restam finalmente 21 componentes.

300

6. 6 – O Sólido Elástico Linear Isotrópico

Considere o desenho da Figura - 6. 2,

Figura - 6. 2.

sendo


no sistema 1 2ˆ ˆ,e e

' ' 'ij ijkl klT C E (6. 39)

no sistema 1 2ˆ ˆ' , 'e e

'ij ijT T (6. 40)

Então

'kl klE E (6. 41)

é pela isotropia, ou seja:

' ' '

,0 '

ij ijkl kl

ij ijkl klkl

ijkl ijkl kl

T C E

T C EE

C C E

(6. 42)

Logo,

'ijkl ijklC C (6. 43)

ou seja, ijklC é invariante, ele tem as mesma componentes qualquer que seja o sistema de

coordenadas.

A única possibilidade é dada por:

301

4 Invariantesij kl

aik jl

il jk

tensores de ordem

(6. 44)

ou qualquer combinação linear entre eles.

Representando ijklC como combinação linear dos 3 tensores.

ijkl ij kl ik jl il jkC (6. 45)

Portanto,


Substituindo ( ) em ( ) temos:

ij ij kl kl ik jl kl il jk kl

ij kk ij ji

T E E E

E E E

(6. 47)

Logo

ij ij kk ijT E E (6. 48)

Fazendo 2 obtemos:

2ij ij kk ijT E E (6. 49)

Lembrando que:

kkE trE e (6. 50)

logo,

2ij ij ijT e E (6. 51)

onde e são chamados de coeficientes de Lamé e possuem dimensão de tensão.

Obs:

As direções principais do tensor das deformações são as mesmas direções

principais do tensor das tensões.

2e T I E (6. 52)

Supondo que n que seja auto-vetor de E, logo:

302

ˆ ˆ ˆ2n e n n T I E (6. 53)

que é igual a:

ˆ ˆ ˆ2n en n T (6. 54)

pois ˆ ˆn nE satisfaz o segundo termo do lado direito. Logo

ˆ ˆ2n e n T (6. 55)

ou seja, n também é auto-vetor de T. E o auto-valor de é 2e .

Mas

1 2 3e E E E (6. 56)

Por outro lado,

1E (6. 57)

ou 2 3ouE E . Logo os auto-valores de T são:

1 1 2 3 1

2 1 2 3 2

3 1 2 3 3

2

2

2

T E E E E

T E E E E

T E E E E

(6. 58)

O traço é invariante, não importa o sistema de coordenadas.

303

6. 7 – Módulo de Young, Coeficiente de Poisson, Módulo de Elasticidade Transversal, Módulo Volumétrico

Sendo

2ij ij ijT e E (6. 59)

e

2 ij ij ijE T e (6. 60)

logo

2 2ij

ij ijT eE

(6. 61)

Fazendo i j k em (6. 59) temos:

3 2kk kk kkT E E (6. 62)

e

3 2kk kkT E (6. 63)

logo

3 2kkTe

(6. 64)

Portanto,

2 2 3 2ij kk

ij ijT TE

(6. 65)

ou

1

2 3 2kk

ij ij ijTE T

(6. 66)

Suponha o estado uniaxial de tensão:

1 2 3 0T T T (6. 67)

e

304

1

11 1 111

12 3 2

TE T

(6. 68)

logo

111 3 2

TE

(6. 69)

e

1

22 2 220 1

12 3 2

TE T

(6. 70)

logo

1 1

221

2 3 2 2T EE

(6. 71)

e

1

33 3 330 1

12 3 2

TE T

(6. 72)

logo

1 11

331

2 3 2 2T EE

(6. 73)

Então o módulo de Young yE ,

1

11

3 2y

T EE

(6. 74)

Mas o módulo de Poisson é:

22

11

33

11

2

2

EvEEvE

(6. 75)

Portanto,

305

11 11 22 33

22 22 33 11

33 33 11 22

1

1

1

Y

Y

Y

E T v T TE

E T v T TE

E T v T TE

(6. 76)

e

12 12

13 13

23 23

121

21

2

E T

E T

E T

(6. 77)

onde podemos concluir

2 1YE

v

(6. 78)

logo

1 1ij ij kk ijY

E v T vTE

(6. 79)

Observe o módulo de elasticidade transversal:

13 2312

12 13 232 2 2T TTG

E E E (6. 80)

Considere o material submetido ao estado hidrostático de tensão, dado por:

T I (6. 81)

onde

1 3

2 3 2E

I I (6. 82)

e

306

1 3

2 3 2E

I (6. 83)

sendo

3

3 2e tr

E (6. 84)

então

3 23

ke

(6. 85)

logo

23

ke (6. 86)

307

6. 8 – Equação da Teoria da Elasticidade Infinitesimal

Na secção 4.7, nós derivamos a equação de movimento de Cauchy, satisfeita por

qualquer meio contínuo

iji i

j

Ta B

x

(6. 87)

Estado Natural de um Meio Contínuo: o meio está descarregado.

Considera-se pequenas alterações na vizinhança do estado natural. Por exemplo,

uma viga sujeita a ação do próprio peso.

Figura - 6. 3.

pode-se assumir

i ix X (6. 88)

Estão implicitas

1i i

i i

u uX x

(6. 89)

Dado que:

i i ix X u (6. 90)

onde

i i i ii j

j

Dx Du u uv vDt Dt t x

(6. 91)

Como por hipótese, i

j

ux

é desprezível temos:

ii

uvt

(6. 92)

A aceleração é dada por:

308

i i ii j

j

Dv v va vDt t x

(6. 93)

assume-se que 1jv . Logo,

2

2i i

iv uat t

(6. 94)

Para um movimento infinitesimal, temos:

1 kk odV E dV (6. 95)

Mas pela equação da continuidade temos:

o odm dV dV (6. 96)

então

1okk

o

dV EdV

(6. 97)

logo

1o

kkE

(6. 98)

Considerando que 1ijE , temos:

o (6. 99)

Voltando a equação do movimento temos:

2

2iji

o o ij

Tu Bt x

(6. 100)

Pela Lei de Hooke temos:

2ij ij ijT e E (6. 101)

Com condição de contorno:

n tT (6. 102)

309

6. 9 – Princípio da Superposição

Seja 1u e 2u dois possíveis campos de deslocamento de um corpo sólido, e 1B

e 2B

e 1T e 2T , os correspondentes forças de corpo e campo de tensão.

Figura - 6. 4.

Se 1u é compatível, então ele deve satisafazer a equação do movimento:

1121

2iji

o o ij

Tu Bt x

(6. 103)

E por msua vez 2u , também

2222

2iji

o o ij

Tu Bt x

(6. 104)

sendo

1 1 ˆt n T (6. 105)

e

2 2 ˆt n T (6. 106)

Somando-se ( ) e ( ) , ( ) e ( ), obtém-se:

1 22 21 2 1 2

2 2i i

o o i i ij ijj

u u B B T Tt t x

(6. 107)

e

310

1 2 1 2 ˆt t n T T (6. 108)

O que garante isso é a linearidade da equação do movimento em termos de u , B

e T.

311

6. 10 – Onda Plana Irrotacional

Considere um meio sólido de dimensão infinita

Figura - 6. 5.

1 1 1

2 3

,0

u u x tu u

(6. 109)

Vejamos:

111 22 33

1; 0uE E E

x

(6. 110)

e

1 212

2 1

1 02

u uEx x

(6. 111)

e

3113

3 1

1 02

uuEx x

(6. 112)

e

3223

3 2

1 02

uuEx x

(6. 113)

Levando à Lei de Hooke:

1 1 111

1 1 1

122 33

1

2 2u u uTx x xuT Tx

(6. 114)

e

312

12 12 12 13 230 0

2 0T e E T T

(6. 115)

Substituindo estes resultados na equação do movimento temos:

2

2 2ijio ij ij

j j

Tu e Et x x

(6. 116)

Para i = 1,

2

1 11 12

1 1 1

2ou T ut x x x

(6. 117)

considerando o meio homogêneo temos:

2 2

1 12 2

1

2ou ut x

(6. 118)

ou

2 21 1

2 21

2

o

u ut x

(6. 119)

para as demais componentes os termos são todos nulos. Logo

2 221 1

2 21

Lu uct x

(6. 120)

onde

2L

o

c

(6. 121)

A equação ( ) admite solução da forma:

1 1 Lu f x c t (6. 122)

onde Lc é a velocidade de propagação da pertubação, a qual depende unicamente do tipo de

material.

313

6. 11 – Onda Plana Equivolumial

Considere o meio infinito

Figura - 6. 6.

1 3

2 2 1

0,

u uu u x t

(6. 123)

As componentes de tensor de deformação:

11 33

222

2

0 ; 0

0

E EuEx

(6. 124)

Portanto,

0e tr E (6. 125)

e

1 2 212

2 1 1

1 12 2

u u uEx x x

(6. 126)

e

3113

3 1

1 02

uuEx x

(6. 127)

e

3223

3 2

1 02

uuEx x

(6. 128)

314

Levando à Lei de Hooke temos:

11 22 33 0T T T (6. 129)

e

212 12 21

12 2 uT E T

x

(6. 130)

e

13 23 0T T (6. 131)

Substituindo na equação do movimento

2

2iji

oj

Tut x

(6. 132)

Para i = 1 ou 3 ambos os termos se anulam.

Para i = 2 temos:

22 21 2

21 1 1

ou T ut x x x

(6. 133)

Admitindo um meio homogêneo

2 22 2

2 21

2ou ut x

(6. 134)

e

2 222 2

2 21

Tu uct x

(6. 135)

onde

To

c

(6. 136)

Tc é a velocidade de propagação da pertubação.

A equação ( ) também admite solução na forma:

2 1 Tu g x c t (6. 137)

315

onde

1/ 22L

T

cc

(6. 138)

e

L Tc c (6. 139)

Saltando até a página 254.

316

6. 12 – Extensão Simples

Considere uma barra fabricada por extrusão, por exemplo, conforme mostra a

Figura - 6. 7.

admitindo que:

1 1 1

2 2 2 3

3 3 2 3

,

,

u u x

u u x x

u u x x

(6. 140)

Logo da equação de equilíbrio, supondo ausência de força de corpo

0ij

j

Tx

(6. 141)

Da Lei de Hooke

2ij ij ijT e E (6. 142)

e

0jiij ij

j j

uuT ex x

(6. 143)

Levando na equação do equilíbrio

0ij jiij

j j j j

T uuex x x x

(6. 144)

i) Para i = 1:

317

1 31 2 1

1 2 3 1

0

i

i

j jij

j j j

uex

T uuu u ux x x x x x x

(6. 145)

onde

i

i

uex

(6. 146)

logo 2 2 2

1 1 1 12 2 21 1 1

0j

j

T u u ux x x x

(6. 147)

e

2

1 121

2 0j

j

T ux x

(6. 148)

i) Para i = 2:

2 31 2 2

1 2 3 2

0

i

i

j jij

j j j

uex

T uuu u ux x x x x x x

(6. 149)

onde

i

i

uex

(6. 150)

logo 22 2

2 32 22 22 2 2 3

2 0j

j

T uu ux x x x x

(6. 151)

e

22

2 3222 2 3

2 0j

j

T uux x x x

(6. 152)

i) Para i = 3:

318

3 3 31 2

1 2 3 3

0

i

i

j jij

j j j

uex

T uu uu ux x x x x x x

(6. 153)

onde

i

i

uex

(6. 154)

logo 2 2 2

3 3 3 32 22 2 2 3

2 0j

j

T u u ux x x x x

(6. 155)

e

2 2

3 3 323 2 3

2 0j

j

T u ux x x x

(6. 156)

Solução De (1) temos:

1 1 2 2u C x C (6. 157)

Por outro lado,

31 2 1

11 111 2 3 11

uu u uTx x x x

(6. 158)

e

11 11 2 3,T T x x (6. 159)

e

31 2 2

22 221 2 3 21

uu u uTx x x x

(6. 160)

e

22 22 2 3,T T x x (6. 161)

Analogamente

319

33 33 2 3,T T x x (6. 162)

e

1 212

2 1

0u uTx x

(6. 163)

e

13 0T (6. 164)

e

3 31 2 2

23 231 2 3 3 21

u uu u uTx x x x x

(6. 165)

e

3223 23 2 3

3 2

,uuT T x xx x

(6. 166)

Para 1 0x

1 11 1 21 2 31 3

1 11 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

T e T e T e T e

T e T e e

(6. 167)

e

2 12 1 22 2 32 3

2 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

T e T e T e T e

T e T e

(6. 168)

e

ˆ 0Tn (6. 169)

onde

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆn n e n e n e (6. 170)

e

1 1 2 2 3 3 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn e n e n e n Te n Te T (6. 171)

e

2 12 1 22 2 33 3 3 13 1 23 2 33 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n T e T e T e n T e T e T e (6. 172)

e

320

2 12 3 13 1 2 22 3 23 2 2 32 3 33 3ˆ ˆ ˆ 0n T n T e n T n T e n T n T e (6. 173)

e

2 12 3 13

2 22 3 23 2 3

2 32 3 33

00 ; ,0

n T n Tn T n T n nn T n T

(6. 174)

Como

23 22

32 33

0 00 0

T TT T

(6. 175)

Analisando

Figura - 6. 8.

2 12 1 22 2 32 3

12 22 32

ˆ ˆ ˆ ˆ 00

e T e T e T eT T T

T (6. 176)

e

2 2321 22

1 2 3

0j

j

T TT Tx x x x

(6. 177)

e

322 2

2 2 2 3

2 0uT ux x x x

(6. 178)

e

323

2 3

2 uu f xx x

(6. 179)

e

2 1 2 3 2

1

3 3

u C x f x C

u g x C

(6. 180)

321

Por outro lado,

23 3 2

3 3 3 2

2 0T u ux x x x

(6. 181)

e

3 22

3 2

2 *u u c g xx x

(6. 182)

e

* *3 1 3 2 2

1

2 2* *

u C x f x C

u g x C

(6. 183)

Portanto,

2 1 2 2* *

3 1 3 2

u C x Cu C x C

(6. 184)

Logo,

22 1 2 3 2

22 2 0T C C C CT C

(6. 185)

e

11 1 2 3 1

11 1

T C C C CT C

(6. 186)

e

33 1 2 3 3

33 3

T C C C CT C

(6. 187)

e

3 31 2 2

23 231 2 3 3 20

u uu u uTx x x x x

(6. 188)

e

322

32

233 2

00

0uuTx x

(6. 189)

continuando da interrupção. De

2 22 3 23

2 32 3 33

00

n T n Tn T n T

(6. 190)

Portanto,

22 23 0T T cte (6. 191)

E o tensor de tensão é:

11 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

TT

(6. 192)

Mas 11T , logo

111

1

222

2

333

3

0

0

3

uT exuT exuT ex

e e

(6. 193)

e

3e (6. 194)

e

3e

(6. 195)

i)

1

1113

uTx

(6. 196)

323

Então

1

1 3ux

(6. 197)

e

1

1

33

ux

(6. 198)

e

1

1

23

ux

(6. 199)

Portanto,

1

1

23

ux

(6. 200)

Então

1 123

u x

(6. 201)

ii)

2 2

222 2

03

u uT ex x

(6. 202)

e

2

2 3ux

(6. 203)

Então

2 23u x

(6. 204)

iii)

3 3

333 3

03

u uT ex x

(6. 205)

e

324

3

3 3ux

(6. 206)

Então

3 33u x

(6. 207)

325

6. 13 – Torção de uma Barra Cilíndrica

Considere o cilindro mostrado na

Figura - 6. 9.

v r (6. 208)

ou

du dv rdt dt

(6. 209)

logo

du d r (6. 210)

Vamos admitir que:

1

1 1 1 2 2 3 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

u r e re x e x e x e

(6. 211)

e

2 2 3 3ˆ û x e x e (6. 212)

Portanto,

1

2 3

3 2

0uu xu x

(6. 213)

onde

326

1x (6. 214)

Vejamos agora as componentes do tensor de deformação E

11 22 33 0E E E (6. 215)

e

1 212 3 3

2 1

1 1 ''2 2 2

u uE x xx x

(6. 216)

e

3113 2 2

3 1

1 1 ''2 2 2

uuE x xx x

(6. 217)

e

3223

3 2

1 1 02 2

uuEx x

(6. 218)

Da lei de Hooke temos:

0

2ij ij ijT e E

(6. 219)

onde

11 22 33 0T T T (6. 220)

e

12 3 3'2 '

2T x x (6. 221)

e

13 2 2'2 '

2T x x (6. 222)

e

23 232 2 .0 0T E (6. 223)

Substituindo na equação de equilíbrio, temos:

327

0ij

j

Tx

(6. 224)

Para 1i

11

1

Tx

12

2

Tx

13

3

Tx

0 (6. 225)

Para 2i

21 22

1 2

T Tx x

23

3

Tx

3'' 0x (6. 226)

Para 3i

31 32

1 2

T Tx x

33

3

Tx

2'' 0x (6. 227)

Portanto,

1'' 0 ' C (6. 228)

e

1 1 2C x C (6. 229)

Vamos agora encontrar quanto vale 1C , através das condições de contorno.

Na superfície lateral:

ˆ 0t n T (6. 230)

e

2 2 3 3 2 2 3 3

2 12 1 22 2 32 3 2 3 13 1 23 2 33 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

n e n e n e n e

n T e T e T e e n T e T e T e e

T T T

(6. 231)

e

2 2 3 3 2 12 3 13 1 2 22 3 23 2 2 32 3 33 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n e n e n T n T e n T n T e n T n T e T (6. 232)

logo

328

2 12 3 13

2 22 3 230

2 32 3 330

00

0

n T n Tn T n T

n T n T

(6. 233)

Por outro lado,

322 3

322 12 3 13 3 2

2 3 3 2

ˆ ˆ ˆ

' '

' 0

xx rn e ea a a

xxn T n T x xa a

x x x xa

(6. 234)

Logo, u é compatível com 0n T na superfície lateral,

Na superfície 1x l

2 11 1 21 2 31 30

21 2 31 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

t e T e T e T e

T e T e

T

(6. 235)

logo

3 2 2 3ˆ ˆ' 't x e x e (6. 236)

Figura - 6. 10.

3 2 2 3ˆ ˆ' 'A A A

R tdA x e dA x e dA (6. 237)

e

329

3 2 2 3

0 0

ˆ ˆ' ' 0A A A

R tdA x dAe x dAe

(6. 238)

Tomando o momento em relação ao ponto O no centro.

odFA

M r tdA

(6. 239)

e

2 2 3 3 3 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ' 'oA

M x e x e x e x e dA

(6. 240)

e

2

2 21 2 3 1ˆ ˆ' '

P

o PA

r

Momento deInércia Polar I

M e x x dA e I

(6. 241)

e

1'o PM I e

(6. 242)

e

1o tM M e

(6. 243)

Portanto,

' t

P

MI

(6. 244)

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