Mecânica dos Fluidos 1Capítulo 2

Luis Fernando AzevedoLaboratório de Engenharia de Fluidos

DEM/PUC-Rio

A hipótese do meio contínuo• Uma teoria completa para o movimento de fluidos deveria

levar em consideração a estrutura molecular do fluido.

• A formulação das equações básicas para o movimento de cadamolécula produziria um número muito grande de equações, tornando a solução do problema impraticável.

• Para condições normais de temperatura de pressão, existe umaformulação simplificada que produz excelentes resultados: modelo de fluido como um meio contínuo

A hipótese do meio contínuo

• neste modelo assume-se que: o fluido é um meio contínuo, no qual qualquer propriedade local do fluido permaneceinalterada, não importando o tamanho da amostra examinada.

• Considere, por exemplo, a propriedade massa específica, ρ, definida como,

∀∆∆

→∀∆≡ Mlim

0ρ

A hipótese do meio contínuo

• A hipótese do contínuo falha quando ∆∀ é da ordem do caminholivre médio entre colisões moleculares

• Uma idéia de ordem de grandeza destes volumes:– considere um pequeno volume de gás nas CNTP de 10-6 cm3 (cubo de

0,1 x 0,1 x 0,1mm).– este volume é da ordem dos menores sensores disponíveis em

laboratório– Este volume contém cerca de 1016 moléculas, o que possibilita a

utilização da hipótese do contínuo

A hipótese do meio contínuo

• Algumas situações onde espera-se que a hipótese do meio contínuo falhe:– movimento de materiais particulados em suspensão

no ar (aerossóis)– determinação da força de arrasto sobre satélites em

órbita– número de Knudsen

escoamentodoticacaracterísensãodimcolisõesentremédiolivrehominca

LKn ==

λ

A hipótese do meio contínuo

• Quando utilizamos a hipótese do meio contínuo

– Qualquer propriedade é definida em todo espaço

– Não há vazios no fluido

– As propriedades podem ser representadas por funçõescontínuas do espaço e do tempo

– Um ponto no escoamento passa a ser uma região muitopequena no escoamento, porém grande o suficiente para nãoviolar a hipótese do meio contínuo

Conceito de campo

• Podemos descrever as propriedades do escoamento em termos do conceito de campo e utilizar todo o ferramentalmatemático existente

• Seja o vetor posição e t o tempo,é um campo descrevendo o valor

de uma dada propriedade

– Coordenadas cartesianas,

xr

)t,x(f r

kzjyixx ++=r

)t,,,r(f)t,z,,r(f)t,z,y,x(f φθθ ==

Exemplos de alguns campos de interesse• Campos escalares

– Massa específica,

– Temperatura,

– Pressão,

• Campos vetoriais

– Velocidade,

– Aceleração,

– Força,

• Campos tensoriais

– Tensão,

– Gradiente de velocidade,

– Taxa de deformação,

)t,x( rρ

)t,x(T r

)t,x(p r

)t,x(V rr

)t,x(a rr

)t,x(T r

)t,x(V rrv∇

)t,x(F rr

)t,x(D r

O campo de velocidade: casos particulares

• De uma maneira geral, o campo de velocidade é tri-dimensional e dependente do tempo,

)t,x(V rrescoamento transiente, tri-dimensional

• No caso de não haver dependência do tempo, tem-se o escoamento em regime permanente,

)x(V rrescoamento permanente, tri-dimensional

• O escoamento é uni, bi ou tri-dimensional, dependendodo número de coordenadas espaciais necesárias paradescrevê-lo,

O campo de velocidade: casos particulares

• escoamento 1-D,

zzrr eVeVeV)z,,r(V ++= θθθr

zz e)r(V)r(V =r

• escoamento 2-D,

j)y,x(vi)y,x(u)y,x(V +=r

k)z,y,x(wj)z.y,x(vi)z,y,x(u)z,y,x(V ++=r

Trajetória, linha de corrente e linha de tinta

São linhas que auxiliam a visualização e interpretação do escoamento,

• Trajetória: é a curva que descreve o caminho percorrido poruma partícula de fluido ao longo do tempo

Para torná-la visível no laboratório, é necessário “marcar” umadeterminada partícula e acompanhar seu movimento através de múltiplasfotografias

A equação da trajetória pode ser obtida pela solução simultânea das 3 equações diferenciais representadas por:

)t,x(Vdtxd rrr= com condições iniciais: 00 == temxx rr

• Linha de corrente: são curvas, passando por um dado ponto no espaço, que, para um dado instante de tempo fixo, são tangentes ao vetor velocidade em todos os pontos

Imagine um escoamento no plano xy

θ v

u

Vr

x

ylinha de corrente

dxdy

uvtan ==θ

wdz

vdy

udx,assim ==

Obs: 1) não há fluxo de massa através de uma linha de corrente2) linhas de corrente não se cruzam

• Linha de tinta (linha de emissão)

Suponha que injetamos um corante continuamente emum ponto do escoamento com coordenadas , começandoem t = T1 e observamos a linha de corante em um tempo posterior t= T2>T1

A linha de tinta é a curva formada por todas as partículas de fluido que no intervalo T1< t < T2 passaram por

Em regime permanente, trajetória, linha de corrente e linhade tinta coincidem

1xr

1xr

Campo de Tensão

As forças que agem em um elemento de fluido podemser de dois tipos:- Forças de corpo (ou de campo): forças devido à ação de

campos que agem igualmente em todo o elemento à distância. Por exemplo, forças devido à ação do campo gravitacional, campos eletromagnéticos

d∀, elemento de volume

aceleração local da gravidade

∀= dgFd Brr

ρ

massa específica

BFdr

Campo de Tensão

- Forças de superfície: forças devido ao contato do elemento com o material que o envolve. Esta força pode existir na fronteira com uma superfície sólida, ou quando se separa um elemento de fluidopara estudo.

força por unidade de área

∀d

∀dgρ

)t,n,r(tnrrndA

Princípio de Cauchy das tensões: em torno de qualquer superfícieimaginária no material existe uma distribuição do vetor cujaresultante e momento são equivalents àquelas causadas pelomaterial que envolve a superfície.

)n(tr

Campo de Tensão

Pode-se mostrar que o elemento de fluido está em equilíbrio estáticosob a ação das forças de superfície, mesmo quando em movimento

n )n(tr

)n(t −r

n−

dA)n(t)n(tdA)n(tdA)n(t −−=∴−−=

rrrr

x

)n(tr

n

y

z

ab

c

o

dA

face normal área força/áreaabc n dA )n(t

r

oac j− dAjn ⋅ )j(t −r

obc i− dAin ⋅ )i(t −

r

oab k− dAkn ⋅ )k(t −r

Para termos equilíbrio estático,

x

)n(tr

n

y

z

ab

c

o

dA

face normal área força/áreaabc n dA )n(t

r

oac j− dAjn ⋅ )j(t −r

obc i− dAin ⋅ )i(t −

r

oab k− dAkn ⋅ )k(t −r

[ ])k(tk)j(tj)i(tin)n(t

)in)(i(t)kn)(k(t)jn)(j(t)n(t

)n(t)n(t,usando

)dAkn)(k(t)dAin)(i(t)dAjn)(j(tdA)n(t

rrrr

rrrr

rr

rrr

++⋅=

⋅+⋅+⋅=

−−=

=⋅−+⋅−+⋅−+ 0

[ ])k(tk)j(tj)i(tin)n(trrrr

++⋅=

tensõesdastensoroéTTn)n(t ⋅=r

,direçõesnasscomponentedostermosemescrevendoe,kej,iscoordenadoeixosdosdireçãonanPara

33

[ ] [ ] [ ])i(tkk)i(tjj)i(tii)i(trrrr⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ])j(tkk)j(tjj)j(tii)j(trrrr⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ])k(tkk)k(tjj)k(tii)k(trrrr⋅+⋅+⋅=

)k(tk)j(tj)i(tiTrrr

++=

[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅= )i(tkki)i(tjji)i(tiiiTrrr

[ ] [ ] [ ]+⋅+⋅+⋅+ )j(tkkj)j(tjjj)j(tiijrrr

[ ] [ ] [ ])k(tkkk)k(tjjk)k(tiikrrr⋅+⋅+⋅+

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti

T

éTdematrizaolog

rrr

rrr

rrr

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti

Trrr

rrr

rrr

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

kkjkik

kjjjij

kijiiiT

,usualnotação

σττ

τστ

ττσ

+++

++++

+++=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=)k(tk)k(tj)k(ti)j(tk)j(tj)j(ti)i(tk)i(tj)i(ti

Trrr

rrr

rrr

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tστττστττσ

ou seja, na notação xyxx ,τσ , etc, o primeiro índice indica a face do cubo onde a tensão atua, o segundo índice indica a direção da tensão

xxσ

xyτ

xzτzzσ zxτ

zyτ

yyσ

yxτyzτ

xxσ

xyτ

xzτ

x

y

z

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tστττστττσ

Os planos são considerados positivos de acordo com a sua normal

Convenção de sinais para a tensão:

Tensão positiva quando seu sentido e o plano onde atua são ambos positivos ou ambos negativos

nτ

+

τn

É importante conhecermos a relação entre a tensão aplicada e a taxade deformação produzida no fluido.

Considere o elemento de fluido entre 2 placas paralelas infinitas

Força dFxVelocidade du

dy

N O

y

x

M M’ P P’

dL

dx

dα

elemento de fluidoem t+dt

elemento de fluidoem t

Força dFxVelocidade du

dy

N O

y

x

M M’ P P’

dL

dx

dα

elemento de fluidoem t+dt

elemento de fluidoem t

y

xyx dA

dF=τA tensão cisalhante aplicada é:

dtdαDurante o intervalo de tempo dt, o elemento é deformado de

MNOP para M’NOP’. A taxa de deformação do fluido é dada por:

dtdudL ⋅= αα d)dtan( ≈)dtan(dydL α⋅= αddydL ⋅=Da figura,

dydu

dtd

=ααddydtdu ⋅=⋅

Qual a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação?

Hipótese: Fluido Newtoniano: taxa de deformação é linearmente proporcional à tensão cisalhante.

ensionaldimuniescoamentopara,dydu

yx −= µτ

µ : viscosidade dinâmica ou viscosidade absoluta

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

=sm

kgsPam

sN2µUnidade SI:

scmg:cpcentiPoise⋅

−210scmg:Poise ⋅1Outra unidade:

A viscosidadee varia com a temperatura e com a pressão

↑↓ Tµ Forças intermoleculares de curto alcanceLíquidos:

↑↑ TµGases: Troca de quantidade de movimento entre moléculas em regiões adjacentes

É comum no estudo de mecânica dos fluidos aparecer a razão:ρµυ =

Viscosidade cinemática:

[ ] SInosm2

=ν

Outra unidade:

scm:cStStokescenti

2210−

scm:Stokes

2

1

Exemplos numéricos….

Fluidos não Newtonianos• fluidos que não obdecem à lei de Newton da viscosidade

– a lei de Newton só se aplica a gases e líquidos de micro-estrutura simples

– para materiais de micro-estrutura mais complexa o comprotamento mecânico é qualitativamente diferente

• ocorrência na indústria– Petróleo: fluidos de perfuração, pertóleos pesados, emulsões,

soluções poliméricas, etc.– Plásticos: polímeros fundidos, soluções poliméricas, etc– Extrativa: lama, argilas, suspensões de minérios, etc.– Alimentos: manteiga, ketchup, maionese, massasm pastsa,

iogurte, etc..

a função viscosidade• a definição da função viscosidade é

γτ

η&

=

τ é a tensão cisalhante. No escoamento simples de cisalhamento é

xyτ

xyτ

dydu

=γ&

• principais tipos de desvio do comportamento newtoniano– dependência com a taxa de cisalhamento– dependência com o tempo de cisalhamento– viscoelasticidade

no mesmo escoamento

dependência com a taxa de cisalhamentoxy

• Modelo power law

τ

nKγτ &=

• Modelo de Bingham

K: índice de consistênciaN: índice de comportamento

γµττ &Po +=

tensão limite de escoamento

P viscosidade plásticaµoτ

• Fluido newtoniano

• Modelo de Bingham

µη =

1−= nKγη &

• Modelo power law

Po µγτη +=&

dependência com o tempo de cisalhamento

Fluidos tixotrópicos• Viscosidade cai com o

tempo de cisalhamento• Exemplos: tintas,

suspensões coloidais, emulsões

xyτ

Fluidos reopéticos• Viscosidade cresce com o

tempo de cisalhamento• Exemplo:suspensões conc.

de amido.